Разностные схемы (введение в теорию)

С. К. Годунов, В. С. Рябенький

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ Допущено министерством высшего и среднего специального образования

для

в качестве учебного пособия

СССР

студентов университетов и высших учебных заведений по специальности «Прик.ладная математика:.

И ЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАИНОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «IB.YI(A• ГЛАВНАЯ РЕДАК:ЦИЯ

Москв� 1977

ФИЗИI(О-МАТЕМАTИЧECI(OI'I ЛИТЕРАТУРЫ

518

г 59

УДК 517.949.8

Разностные с хем ы (введение в теорию), С. К. Г о­ д у н о в, ·в. С. Р я б е нь к и il, учебное п особие, Г лав ная редакция физико- м атем ати ческой литерату­ р ы изд- ва «Наука» , М., 1 977.

Т еория р аз ностных схем т. З а п исывая урав­ нение в виде другой рекуррентной формул ы : .

.

1

Un.-t =а (fn-

Ьип) ,

мы таким же путем определим все Ип при n < т. Для выделения е д и н с т в е н н о г о решения уравнения ( 5) .

aUп-t + bun + CUn+l = f n

достаточно задать произвольно значения и в к аких-нибудь двух последовательных целых точках, н апример з адать значения Иm-t и Иm. Доказательство немедленно следует из того, что р ассматриваемое ур авнение может быть переписано в в иде сле­ дующих двух ре куррентных формул : 1

Un+l =с Un- bun- au"-t). Ип-t =а 1

Uп- bu,�- СUп+д·

18

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯдКА

[ГЛ. r

2. Порядок разностного уравнения. Повторим еще раз полу­ ченный результат и сформулируем понятие порядка для раз­ ностных уравнений ( 4 ) и (5) . Для выделения единственного решения ур авнения ( 4 ) аип + Ьип + l = fп достаточно задать зн ачение и в одной точке. Такое уравнение называется уравнением первого порядка. Для выделения един­ ственного решения уравнения (5) аип - J + Ь ип + cиn + l = fl"l достаточ но задать зн ачения решения в двух последовательных точ ках. В связи с этим т а кое уравнение называется уравнением в торого порядка. Можно было бы еще р ассмотреть простейшее уравнение аи п = fп , а =1= О, решение которого определяется единственным образом без н а ­ ложения каких-либо пр�дв а р ительных ограничений н а последо­ в а тельность {иn}. Та кое уравнение естественно назв ать уравне­ нием нулевого порядка. Простейшая разностн а я схема ( l ) для дифференциального· ур а внения первого порядка и ' + Аи = f является р азностны м уравнением первого порядка. Схема ( 3 ) для дифференциаль ного уравнения второго поряд­ ка и" + Аи' + Ви = f имеет второй порядок. Пример схемы (2) 1 1 - 2h и (х- h) + Аи (х) + 2h и (х + h ) = f (х)

для уравнения и' + Аи = f показывает, что порядок разност­ ного уравнения может быть б о л ь ш е порядка дифференци аль­ ного уравнения. В этом примере дифференциальное ура внение имеет первый порядок, а соответствующее ему разностное урав­ нение - второй. 3. О б щее реше нце р азностного ура внения. Опишем тепер ь структуру решений изучаемых разпостных ур авнений. Сначала р а ссмотри м однородное уравн ение (6) . айп + Ьйп + J = О. Обозначим через Уп решен ие ур а внения (6) , удовлетворяющее н а ч альному условию У0 = l . Очевидно, что йп = аУ n также бу­ дет решением однородного ур авнения при произвольнам выборе постоя нной а. Н етрудно показ ать, что л юбое решение однород­ ного уравнения ( 6) может быть представлено в таком в иде. В самом деле, каждое решение однозн ачно определяется своим

ПРОСТЕйШИЕ РАЗНОСТНЫЕ YPABIIEI-IИЯ

§ 1]

19

зн ачением при n О. Но решение йп, принимаю щее заданное значение й0, получается по фор муле й п = п. если в качестве множителя взять число йо. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение ( 4)

=

аУ

а

аип

+ Ьип+! = fп·

{и�}-

два каких-н ибудь его решения. Вычитая Пусть {йп} и друг из друга равенства.

+ Ьйп+r =fп• + Ьи�+l = fn• мы видим, что разность йп - и: = йп удовлетворяет однородному ура внению (6) а йп + bйn+l = О. Поэтому любое решение {йп} можно записать в в иде йп =и� + йп =и � + аУn при подходящем выборе постоянной а. Легко проверить, с дру­ гой стороны, что при произвольна м выборе а фор мула =и� + аУn задает некоторое решение неоднородного ура в­ нения : + Ьип+I =а (и� + аУп) + Ь (u�+l + аУn+t) = (аи� + bu�+I) + а (аУ + Ь У ) =fп +а· О = fп• айп а и�

Un

aun

=

n

n+I

Итак, мы показали, что общее решение однородного уравне­ ния (6 ) имеет вид

йп =аУт частное решение этого ур авнения, удовлетворяющее где У начальному условию У = 1 , а а- произвольная постоянная. Общее решение неоднородного уравнения (4) аип + bun+! = fп может быть предста влено в в иде ип =и� + аУп, где и�- какое-нибудь частное решение этого неоднородного уравнения, а а- произвольная постоянная. Ан алогичное утверждение и а н алогичными рассуждения м и n-

о

можно доказать и для разностного уравнения второго порядка. Мы не буде м эти р а ссуждения приводить ( ч итатель их без тру­ да восстановит) , а только сформулируем окончательный ре­ зуль тат.

20

РАЗНОСТНЫЕ УРАВ НЕН ИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯдКА

[ГЛ. f

Общее р ешение однородного р азностного уравнения айп-1 + Ьйп + сйп+l =О

(7 )

может быть представлено в в иде йп = aYn + �Zn,

где Уn и Zn- ч а стные р ешения уравнения (7) , удовлетворяю­ щие н а чальным условиям У0= 1, У1 =0, Zo=O, Z1 = 1,

а а

и � - произвольные постоянные. Общее решение н еоднородного уравнения (5) aun-1 + btln +сип+!= fп

может быть представлено в в иде ип = и�+

аУ + �Zn, n

где и�- к а кое-нибудь ч а стное решение этого неоднородного уравнения. В се результаты и р а ссуждения этого пар агра ф а могли бы быть дословно повторены и для разностных уравнений с пере­ мен н ы м и ко эффициентами, но мы на этом не останавливаемся, чтобы не усложнять изложение несущественными подробно­ стя ми. З АДАЧИ

J. Доказать, что общее р ешение р аз ностного однор одного у р авн е ния UnUn

+ bnUn+l = О

пср ем ен п ы ми к оэфф ициен т а м и an '1=- О, bn � О можно за писать в в иде Un = ayn , где Yn - н р оизвольное частное решен ие, не при всех n обр ащаю ­ щееся в н уль, а а - п р оизвольм ая постоянная. 2. Доказ ать, что общее р ешение р азностного однор одного уравнения вто­ р ого пор ядка UnUn-1 + bnUn + CnUn+l = О

. с

с н е р еменн ы м и коэффициентами, an '1=- О, Un

Сп

= ayn +

'1=-

О, мож н о записать в виде

�Zn,

где Yn и Zn - люб ые два ч астных р ешения этого ур авне ния, для которых не р авен н улю опр еделитель

1 Y1l· Zo Уо

z1

§ 2]

А РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯдК

2f

3. Пусть Yn и Zn - два каких-ниб удь ч а стных р ешения р а зностного урав-­ нения второго п орядка из задачи 2. Д оказать, что определитель

I

Yn Zn

l

Yn+t = YnZn+t- ZnYn+t Zn+t

либо ра вен нулю п р и каждом n, либо отличен от нуля п р и всех n. 4. Во скольких последовательных точках н адо задать значе ни я решениsr­ разностного ура в нения UUn + bUn+t + CUn+2 + dlln+з = fп,

а =/= О, d =/= О, чтобы существ овало одно и только одно решение {u n}, п рини­ м ающее заданные значения в этих точках? Каким сле дует считать пор ядок рассм атр ив аемого разностного ур а в нения ?

§ 2. Р азностное уравнение первого порядка

В этом параграфе будет получена формула, в ы р а ж ающая общее решение разностного уравнения первого порядка с по­ стоянн ыми коэффициента м и аип + bиn+I = f п при довольно слабых огр а н ичениях н а fп . Как показано в § 1 , общее решение м ожет быть представлено в виде n ип = и�+ аУn = и�+ а ( - � ) ,

г де и�- какое-нибудь ч а стное р ешение, а а - произвольн а я по­ стоянная. Таким образом, задача об отыскании общего решения све­ лась к задаче об отыскании к а кого-либо одного ч а стного реше­ ния и�. 1. Ф ундаментальное решение. Сна ч а л а построим р ешение при некоторой специальным образом з аданной правой ч а сти

fп _

{

О , n =t= О, l,

n=0.

Для обозн ачения такой функции обычно применяется символ Кронек ера О, n =t= k, 6�= 1 , n=k. Тогда f п = 6g. Решение уравнени я аип + bиn + I = 6g будем обозначать через Gn: aGn + bGп+I = 6�. (l)

{

22

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОР51дi 1, то огра ниченное решение получается только при А= 1/а (рис. 2, б): .!... (- .!!.Ь )11 ' n �О ' """' а Gп (4) Рис.

_

3. Ч астное решение.

с

{

2.

п;;;:: 1.

О,

Ч астное решение уравнения аи11 + bun+l =fп t5) произвольной правой ча стью можно з аписать в виде ряда Un =

00

k -L-

oo

Gп-kfk,

( 6) если

где Gn- ка кое-нибудь фундаментальное решение, этот ряд сходится. Покажем это, воспользовавш ись р авенством aGп - k + Ь Gп -k+l =бj-k (=J:),

толь ко

которое получ ается из равенства ( 1), если в нем всюду з а м е­ нить n н а n- k. Подставляя сходящийся ряд (6) в левую часть уравнения ( 5 ), получи м

aun +bun+l =а

00

L

k =- oo

Gп -kfk + Ь 00

kL 00

=-

oo

Cn-k+lfk =

= �=-00 L (aGn- k + ЬG,1 - k+l) fk

00

=

L б�fk =fп

/1.=-00

·

:24

[ГЛ. l'

РЛЗНОСПIЫЕ УРАВНЕ Н ИЯ \-ГО И 2-ГО ПОРЯдКЛ

Ряд (6) может оказ аться р а сходящимся, если не делать ни­ ка ких пр е дположений о поведении п р авой ч а сти f,, разностного ур авнения. В с а м о м деле, если положить f,, = ( -а/Ь) 1', то

\ А ( - : )n (А-+)(- �)n

Gп-kfk=1

fi ри

n � k,

при n�k+1.

и ряд (6) п р и ф и ксированном n содержит бесконечно ·е число одинаковых членов, отличных от нуля. Т е о р е м а . Пусть 1 ajb 1 =1= 1, 011- ограниченно е фундам ен­

тально е р ешение и fk ограничеliЫ по модулю, т. е. Тогда ряд

k�-L

1 f,, 1


1. Читатель после этого без труда р а ссмотрит противо­ положн ы й случ ай. При н а ш их предположениях каждый член р яда 1 а/Ь 1

может быть по абсолютной величине оценен сверху членом схо­ дящейся геометрической прогреесии

1

,n-k F 1 1 ( _.!!_ )n-k fk 1 � -� Ь 1а1

-а

Ь

""""

о

Отсюда следует сходимость р яда (6), а т а кже оценка 1 ип 1 � Гill F

1 ,k-n =

" Ь L.. а 00

k�n

F

1а1-1ь1 '

(7)

котор а я показывает, что решение (6) получилось огр а н иченным. ·других ограниченных решений ур авнение аип + bиn+l = f не и меет, т а к к а к любое р ешение получ ается из (6) прибавле­ n нием некоторого решения йп = а ( - � ) соответствующего од­ нородного ур а внения. Решение {й} долж но быть огр а ниченным, как р азность двух огр ан иченных решений, что возможно лишь при а = О.

n

25

РЛЗJJОСТ!-JОЕ У Р А ВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯ дКА

§ 3]

ЗАДАЧИ 1 . Н а йти общее решение уравнения

2иn- иn+! = 5n,

Р е ш е н и е. Общее решение соответств ующего одно р одного уравнен ия 2iin- йn+t =О и меет в ид ii.n = a2n. Ч астное решение и� будем искать в форме и: = csn с неопределе нн ы м коэффициентом. Подставляя в уравн ение, получим

(2·5n-sn+l)C=5n;

и: = С5п

С=-1/з.

Тюш м образом, (Заметим, что записать ч астное решен ие ип в в иде ряда (6) нельзя, так как его общи й член не стремится к нулю, и ряд р асходится.) 2. Подобрать ч ас тное решение и: у равнения •

Ука

2ип-иn+l = 2n.

а н и е. Ищите решение в виде и;1 =Сп· 2n

3. П одобрать частные решени� э

•

•

un уравнения

2ип-иn+I = fп

в

с лучае, если п р а в а я часть и меет следующий специальный в ищ . · '

n)'fп =l, б ) fп =:=n, в) fп = n2 , г) fп = 1 + 2n -n2

. 4. Подобрать ч астные решен н я и п уравнения

'

ес лп пр а в а я часть f

•

ип-иn+I = fп ,

n

а ) f п =l, б)

f п = n, в �. fп =n2•

нмеет следующиii специальный вид:

§ 3. Разностное уравнение второго порядка

В этом па раграфе будет получена формул а , выражающая общее решение неоднородного р азностного уравнения с постоян­ ными коэффициента м и UUn- 1 + bUn + CUn+ I = f n· (1) В § 1 выяснено, что общее решение и меет вид (2) где u;1- какое-нибудь частное решение заданного неоднород­ ного ура внения , а

26

PAЗIIOCТiibШ

УРЛВIIЕIШЯ 1-ГО

11

2-ГО ПОРЯДКА

[ГЛ. 1

-общее решение соответствующего однородного уравнения (3) аи11 - 1 + Ь ип + cиn + l =О. С н ач а л а н а йдем формулу для общего решения однородного уравнения ( 3 ) , а потом фундам ентальное решение и частное ре­ шение н еоднородного ур авнения. 1. О б щее р е ш е н и е однородного уравнения. Вспоминая, что n случае разностного уравнения первого порядка существовало ч а стное решение в ида иn = qn, попробуем и здесь искать част­ ное решение в виде гео метрической· прогрессии. Подставим вы­ ражение иn = qn в разностное уравнение и убедимся, что оно действительно будет решением, если q является корнем квад­ ратного уравнения а + bq + cq2 =О, (4) называемого характеристическим уравн.ен.ием. Корни этого ура внения могут быть р азличны м и или кратными. Рассмотр им последовательно оба случая. Если корни Q1 и q2 этого характе­ ристического уравнения различны, то мы можем н а йти в виде гео метрической прогреесии даже два независимых частных ре­ ш ения : n и01 n = qn2" n = q1' и(2) Л ин ей н а я комбинация йп

=

аи� 1 + Ри�l = aqf + pq�

(5)

этих двух решений с произвольн ы м и постоянными коэффициен­ т а м и а и � тоже будет решением однородного уравнения. По­ кажем, что это - общее р ешение. Действительно, произвольное ч астыое решение йп однород­ ного уравнения, принимаюшее при n = О и n = 1 любые напе­ ред заданные зн ачения йо и й1 , м ожет быть записано в таком в иде. Достаточно определить а и � из р авенств т.

а+Р=йо, aq1 + Pq2 =й1 ,

е. положить а=

иоq2- и. q�- ql

= ' �

и.- иoql q2- q,

В ч астности, n и Zn, определенные в § 1 как решения одно­ родного ура внения, удовлетворяющие условиям У0 = 1, У1 =0, Z0 = 0, Z1 = 1 ,

У

§

3]

имеют вид

Р А З НОСТНОЕ УРА В Н Е Н ИЕ ВТОРОГО ПОРЯдi\А

У ,� =

q2 q2 - q l

Zп = -

q� -

1

q2 - q l

ql q2 - q l

q n1 +

q� .

1

q2 - q l

q 2n •

1 1

l J

27

(6)

Из формул (6) в идно, что они непригодны в случае кратного корня Q 1 = q2• Рассмотр им теперь этот случай. При Q 1 = q2 одно ч а стное решение снова может быть з а п и­ сано в виде un = q�. Чтобы найти второе, сделаем в уравнении (3 ) подстановку un = yn q�, после чего получим для У п уравнение ayn - 1 + b q lyn + c q�yn+ l = О. Как известно, а/с равно произведению, а Ь/с - сум м е с обрат­ ным знаком корней хара ктер истического уравнения (4 ) . Та к ка к оба эти корня равны q 1 , то а с=

qi '

Ь с

=

-

2 q 1'

вследствие чего разностное уравнение для писано так:

Yn

может быть пере­

или несколько проще: Yn- 1 - 2 yn + Yn + l =О . Переписав еще раз это уравнение в виде Уп- 1 - Уп = Уп - Yn + l •

м ы видим, что разность Yn- 1 - Уп не меняется при изменен и и n. Таким образом, решением является произвольная арифметиче­ ская прогрессия. Н а м достаточно н а йти какое-нибудь одно ре­ шение, и мы возьмем ариф метическую прогреесию Уп = n. Вспоминая, что мы искали Ип в виде ип = ynq� , получ аем, что среди решений уравнения a Un- 1 + Ьип + cun+l = О есть решение un(2) пq n1 " Итак, в случа е кратных корней q 1 = q2 в дополнение к ч а ­ стному решению и� > = q � м ы н ашли еше о д н о нез а в и симое ча ­ стное реш ение и;;> = nq�. Линейная комбинацня йп = a.qf + �nq f =

РАЗНОСТН Ы Е У Р А ВН Е Н И Я 1 - ГО И 2 -ГО ПОРЯдКА

'28

[ГЛ-

f

с произвольн ы м и постоя н н ы м и коэффициент а м и тоже будет ре­ шением однородного уравнения, причем произвольвое частное решение можно получить из этой фор мулы, соответствующим образом подбирая числа а и � - В ч астности, решения Yn и Z n в случ а е кратных корней имеют в ид

;

Уn = q - n q f •

z = - n q n1 = nq n1 - 1 . n q,

)t

(7)

Интересно отметить, что формулы (7) могут быть получены формул ( 6 ) для У n и Zn в случа е некратных корней харак­ теристического уравнения. Тогда м ы имели для Уn и Zn р авен­ ства q2n - 1 - q nl - 1 ql q2 n n ' Уn q2 q l q2 - Q2 - Q t q l Q2 - q , Q2 - q, n- n 1 1 n n - q2 q 1 z из

n=-

Q2 - Q 1

ql +

Q2 - Q l

q2

-

Q2 - Q l

З астав и м корень q2 приближаться к корню Q 1 . При этом вы­ р ажения q� - 1 - q ? - 1 и q2 - ql -стремятся к некоторым предел а м , а именно соответственно к (п - 1 ) q ? - 2 и nqf - 1 . Таким образом, мы видим, что в случ ае кратных корней решения Уn и Zn п римут в ид (7) . Итак, м ы построили решения У n и Z n во всех случаях, кото­ рые могут представиться при а и с, отличных от нуля. Тем самым м ы показали, что всегда можно выписать в яв­ ном виде любое решение интересующего н а с однородного раз­ ностного уравнения второго порядка. Интересно остановиться подробнее н а случа� когда при ве­ щественных коэффициентах а, Ь , с ур авнение а + b q + c q2 - = О им еет комплексно-сопр5tжснные корни Q 1 и Q2 . Покажем, что в этом случ а е общее решени е однородного р азностного уравне­ ния (3) может быть з а п исано в следующем в иде :

где

а

Vi



=

(..J ; У cos nq> ,

l / ( 2i) , � = - l / (2i) - частнQе решение

(..J""fY sin nq>.

Линейная ком бинация этих ч а стных решений с произволь­ ным и постоянны м и коэффициент а м и у, и V2 и д а ет общее ре­ шение (8) , выписанное выше. ( Возможность записать в таком виде ч астное решение (8) , приним а юшее при n = О и n = 1 .тно­ бые наперед з аданные значения, чит.атель легко проверит са­ мостоятельно.) 2 . Общее решение неоднородноrо уравнения. Ф ундаме нтал ь­ ное решение. Тепер ь з а й м емся н еоднородны м р азностны м ура n­

нением

nричем огр аничимся

(9)

в ажным для дальнейшего с луч а е м , ког д а

среди корней характеристического уравнения (4) нет р авных единице по модулю : l q, I =F 1 , l q2 I =F 1. Сн а ч а л а будем искать

30

Р АЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 - ГО И 2 - ГО ПОР ЯдКА

[ ГЛ .

f

решение неоднородного уравнения (9) с правой частью fп спе­ циального в ида : n =f= О, n fn = 6О = 1 , n = O.

{ О,

Это решение будем обозначать через Gn и называть фундалtен­ тальным. Мы будем искать ограни ченное фундаментальное ре­ шение, т. е. огр аниченное р ешение следующих групп ура внений : 1. а Gп - 1 + bGn + c Gn + l = О при n � - 1 . 11. a G- 1 + bG0 + c G 1 = 1 . 111. aGn- 1 + bGn + c Gn+l = при n � 1.

О

Н а чнем со случа я некратных корней, q 1 =f= q 2. В этом случ ае общее решение однородного уравнения (3) имеет вид Поэтому каждое частное решение Gn однородного уравнения записы в а ется в форме G n = a'q7 + �'q� при п � О,

1

где а ' и � ' - подходящим образом подобранные постоянные. Точно так же ч астное решение Gn, n � О, однородного уравне­ ния 111 можно записать в виде Gn = а"q7 + �"q� при n � О с

соответствующи ми постоянными а " и � ". В рассматриваемом н а м и случае q1 =f= q2, 1 qi 1 =f= 1 , 1 q2 l =f= 1 возможны следующие варианты: а) 1 q2 1 > 1 ; 1 qt l < 1 , б) 1 qt l < 1 , l q2 1 < 1 ; в) 1 qt l > 1 , 1 q2 1 < 1 ; г) 1 qt l > 1 , 1 q2 1 > 1 . Построим огр аниченное фунда ментальное решение Gn в слу­ чае а ) . Из условия огрQ.ниченности Gn при n -+ -оо видно, что а' = О, а из условия огр аниченности Gn при n -+ + оо следует � " = О. Поэтому �'q� при п � о . Gn - a "q 7 при n ;;;: О.

{

§ 3]

31

РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИ Е ВТОРОГО ПОРЯдКА

При n = О обе последние формулы должны давать одно и то же значение Go. Отсюда �' = Подберем �' из условия вы­ полнения уравнения 1 1 : a�'qz- 1 + Ь�' + c�'q 1 = 1 ,

а".

А' t' -

1

a qz- 1 + Ь + cq

1

•

Знаменатель этой дроби отличен от нул я : aqz- 1 + Ь + c q1 = (a qz- 1 + Ь + cq2) + с (q1 - q2) = c (q1 - q2) =1= 0. И так, n� O ,

п � О. Мы построили огр аниченное фундам ентальное решение в случае а) (р ис. 3, а) . ·

[,'n

• . •

•

._--�-п ---� о

•

о

л

а)

Рис. 3 .

·

В>Ои

8

•

•

Заметим для дальнейшего, что при условиях max ( 1 а 1 . 1 Ь 1, 1 с 1) � В > О, е -е l ql l < l 2 i q; l l < 1 - 2 · -

где

lf)

•

1

( 1 0)

> О - к а кие-нибудь числ а , имеет место оценка либо -УЬ 2 - 4 а с ;;з:

(l l)

-УВ " - 8"/4 > В/2.

д.�я в ы в ода опенки ( 1 1 ) отмети м , что в силу первого условия ( 1 0) о fi н ­

s а rелыю

.шбо

Ja/ > В/4,

либо

Jcf > В/4,

Р АЗ НОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 - ГО И 2-ГО ПОРЯ ДКА

[ГЛ.

О ч е в и д 1 1 ы также соотношения

1 1 aq; 1 + Ь + cq1 = c (q1 - q 2 ) = а ( q; - Q\ ) = 1

1 q , - Q2 ;;;.. 1 Q2 / - 1 q , 1 ;;;..

,Уь2 - 4ас,

2 - В/2 _ В/2 - ( 1 - В/2) = В 2 _ В > В, 1

1 q; l - q ! ' l > в.

1 a q; 1 + ь + cq 1 1 ;;;.. �В

Из этих соотношен ий следует оценка

и

нер авенство ( 1 1 ) _

В случ а е б ) из условия ограниченности Gn при следует а' = � ' = О, так что при п � О. оп - a" f о �" q� при n � O. q +

{

n -+

Из условия 00 = О в ытекает а " = -f3". Коэффициент бираем так, чтобы удовлетворить уравнению 1 1 : а

"

=-

а"

-оо

под­

1

c ( q , - q2 ) •

Ограниченное фундаментальное решение (рис. 3, 6) я имеет вид при п � о. при

с .'l уч а е

б)

n � O.

В случ ае в) по аналогии со случаем а) ограниченное фун­ д аментальное решение имеет в ид Gn =

'

i \

1

a q 1- 1 aq l

l

+

1

n при n � o. ь + cq2 q ,

+ Ь +

cq 2

q n2 при n � O.

Случа й г ) аналогичен случ аю б ) . Если корни кратные, q , = Q2 , то при построении огр аничен­ ного фунда м ентальн ого решения вм есто формулы tl.n

используется формул а

=a q ? + ��

f

§

3]

В случае l ч • l

а

33

РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДI{А:


1 получим

при п � О ,

при n � o.

1 +.

{ о f

при n � o.

при п � О . Итак , мы р азоб али все варианты, которые могут предста ­ виться в случае 1 Q1 =1= 1 , 1 Q2 l =1= 1 , а =1= О, с =1= О, и увидели, что ограниченное фундаментальное решение существует. Из выпи­ санных формул следует, что оно экспоненциально убывает при Gп

-

-

n � oo :

_1_ /Щ" ' а

_

( 1 2) < Gp l n l , где G > О и О < р < 1 - некоторые постоянные. При этом в качестве р может служить любое число, удов­ л етворяющее нера венству / Gn /

(1 Ч t /,

[

р > max mi п

·l

: ) .

1

m i п 1 q2 / , 1

(

,

;2 1 ) ]

•

Мы выяснили вопрос о существовании и виде фунда менталь­ ного решения, т. е. решения неоднородного ура внения (9) . В случае произвольной правой ч а сти {fn } частное решение и� можно за писать в виде сум м ы ряда

и� = k =L- oo Gn - k fk , 00

( 1 3)

если только этот ряд сходится. Это провернется совершенно так же, как а налогичный ф а кт для р азностного уравнения пер­ вого порядi о.

[ ГЛ. \'

РАЗ НОСТНЫЕ УР АВНЕНИЯ 1 - ГО И 2 - ГО ПОРЯДI(А

36

Поэтому один из корней q; , q; удовлетворяет неравенству 1 q' l < 1 - 8/2- Этим корнем может быть только q; = 1/q2 , что и завершает доказательство оценок ( 1 8) Для уравне-ния с вещественными коэффициентами при усло­ вии ( 1 7) а втоматически выполнены условия ( 1 О) , а значит, и оценк а ( 1 5) для огр аниченного ч а стного решения и: неодно­ родного р азностного уравн.е ния (9) _

_

il.

ЗАДАЧИ

! ип- 1 - 5 u n + 6 un + 1 = О,

Написать общие решения уравнений 5

ип- 1 - 2 ип + Un+ 1 = 0,

9 иn- 1 + Зип + ип+ 1 = О,

n = O,

::t:

J,

•

.

•

,

n = O, ± ! , . . . .

n = O, ± I , . . .

2. Н айти огр а ничен ное при n -+ + оо решение уравнения 5

ип- 1 - 2 ип + иn+ 1 = О, nри н и м аюшее значение ио = 1 . , 3. В ыписать тысячный член п оследовательности ио, ·и,, иz, два члена которой р а в н ы единице, ио = 1 , и, = 1 , а последующие .

ляются рекуррент н ы м соот ношением

ип + 1 = Un- 1

+

.

•

первые опреде·

иn , n = \ , 2 , , , ,

4. Н а йти условие, накладыв аемое н а корни характеристического ур ав не­ ния, необходимое и достаточное для того, чтобы р а з ностное урав нение

аиn - 1 + Ьип + CUn+ 1 = О, n = О, ± \ , ± 2,

•

•

• ,

имело х отя бы одно нетри виальное ограничен ное решение (решение иn == О назыв ается тр иви альныАt) 5. Н айти условия, котор ы м долж н ы удовлетворять корни хар актеристи­ ческого уравнения, необходимые и достаточ ные для того, чтобы все решения у р а в нения аип- 1 + bun + с ип+ 1 = О, n = О, ± \ , . . . , _

были огра ничены . .- 6. Каковы долж н ы быть корн и характеристического урав нения, чтобы nри -п -+ +оо все решения уравнения a иn-t + Ьиn + сиn + ! = О стремились к нулю? .J� Н а йти какое-нибудь частное решение неоднородного разностного урав­ нения 5

иn - 1 - 2 ип + ип+ 1 = fn,

n = О, ±

1,

• . . ,

если п р а в а я ч асть и меет следующий специальный вид � а) f n = \ _ У к а з а н и е. Искать решение вида и п б) в)

= А. f n = n . У к а з а н и е. Искать решение вида и � = А + Bn. fn = з п . У к а з а н и е. Искать р еш е ние вида и : = А -

@f

n

=

c o s n.

Ук

а

з

а

н и е. Искать р ешение вида

и:

зп.

=

А sin

n

+ В cos 11.

37

Р А З Н О С Т Н О Е У Р А В Н Е Н И Е ВТОРО ГО П О Р Я д К А

§ 3]

8. Построить какое-н ибудь огр а н иченное фундамен тальное реш ение у р а в -

нения

Un- 1

+ Un + Un+ l

=

l n·

Существуют ли у этого уравнения неогр аниченные фундаментальные решения? , 9 . Построить какое-нибудь ф ундаментальное решение уравнения Un - 1 -

2un

+ Un+l

blln

+ CUn+l

=

fn ·

Существует ли ограниченное фундаментальное решение? 10. При каком \'Слов и и н а корни характеристического уравнения р а з l l о , 1jJ и {fn} , не возрастает с ростом числ а N. Действительно, если вме­ сто q> , 1\J и {fn} задать соответственно q> + � lf , 1\J + �1\J, {f n + М п } , то решение {иn} получит приращение { � иn} . Это nриращение ввиду линейности задачи ( 1 ) , (2) является решением задачи и

an �иn - l + Ь п �ип + С п �иn +l = � fn• O < n < N, �ио = �q>, �и N = �1\J

в силу (5) удовл етворяет оценке

1 �ип 1 � М max { 1 �IP l,

1 � 1\J

l,

max 1 М т 1 }.

}

т

Далеко н е всякая однозначно разреши м а я краевая задача ( 1 ) , ( 2 ) является хорошо обусловленной. Н апример, если правым ч а стям з адачи

иn + l - 5ип + 6 иn - l = f n• О < n < N , ио = q>, и N = 1\J п р идать nриращения

}

Мп == О, �1\J = О, �IP = 8 , то решение {иn} получит приращение n 1 - (2/з) Nn = O, 1 , . . . , � Un = 2n 1 - 2/з) N ( Отсюда л L.l m '�' '

-. N - 1 л Lltl N - l � 2

1 •3

N.

8.

Возмущение в nри задании q> вызвало быстро возрастающее с ростом N возмущение решения. Число М в неравенстве (5) з а, 2 N-l .ведомо нельзя взять р а стущ им медленнее экспоненты _!_ 3 3. Достаточн ы й п р и з н а к хорошей обусловленнос1·и .

•

Т е о р е м а. Если коэффициенты a n , Ьп, С п удовлетворяют услови ю

(6)

ПРИЗНАКИ ХОРОШЕИ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

§ 4]

41

то задача ( 1 ) , (2) хорошо обусловлена , причем решение {ип} удовлетворяет оценк:е 1 ип 1 � max

(7 )

{ 1 q> l, 1 '11 l, � m,:x 1 f 1 } . т

Д о к а з а т е л ь с т в о. С н а ч а л а предположим, что при з адан­ ных фиксированных q> , 'iJ и {fn } з адач а ( 1 ) , ( 2 ) имеет р ешение {и71} , и установим для н его оценку ( 7 ) . Пусть н а ибольшее среди чисел l иn l , n = О, 1 , . . . , N, есть ч исло l щ l . Если k = О или k = N, то неравенство (7) очевидно, так как ио = q> , иN = '11 · Остается рассмотреть случ а й О < k < N , 1 иh 1 � 1 иn 1 · В этом случае, с учетом (6) , можно н а писать

( b k 1 · 1 иk 1 = 1 - a k иk - ! - Ck иk + l + f k 1 � � � ak 1 · 1 иk 1 1 + 1 Ck 1 · 1 иk + l l + 1 f k � � ( 1 ak 1 + 1 Ck 1 ) 1 иk 1 + 1 fk 1, l l fk l l ип l � l иk l � b l - i afk l k l k l l ck l � -б- · и неравенство (6) также выполнено. Осталось доказать, что задача ( 1 ) , (2 ) им еет, и притом только одно, р ешение {и n } при произвольных правых ч а стях О, ил и

Uo,

1

1

•

•

•

Ьп 1 - 1 а п 1 - 1 Сп 1 Ь п 1 + 1 ап 1 + 1 Сп 1

или

,:;::::; .....__

8 > О dп = Ш а Х ( 1 ап 1 1 Ь п 1 1 Сп 1 ) ....__ В > О ' :;:::> ' ' '

1 ап + 1 Ьп 1 1 ....__ 8 О 1 Ь п 1 +-1 а п 1 + 1 1 ::;:::; > '

1

Сп Сп

k I(J)

l щ - a� I � D -гl _

.

::;:::;

d .....__ В �

1 bk - b 1 I � D

> О'

l k l I(J) --м-

,

> О, >О выражения bn + anLn-'/" н а которые приходится д�л ить, н е обра­ щаются в нуль, а погрешности , допускаемые в процессе вычис­ лений, не н акапливаются и не приводят к возрастающим с ро­ стом N ошибкам в вычисJiяемых значениях решения. Эти два з а м ечател ьных свойства прогонки - м алое число· ариф метических действий для ее реализации и сл а б а я чувстви­ тельность к вычислительным погрешностя м - дел ают прогонку очень удобным вычислительным алгоритмом. 2. П р и мер вычисл ител ьна неустойчивого ал горитм а. Для ре­ шения хорошо обусловленной разностной краевой задачи ( 1 ) воз можны разные алгоритм ы. Мы описали алгоритм прогопки, обладающий достоинства м и мал ого числ а необходимых ариф­ метических действий и вычислител ьной У стойчивости. Ука жем другой, еще более простой алгоритм, одн а ко вычисл ител ьна не­ устойчивый и пра ктически непригодный при больших зн аче­ ниях N. Задав И �, . = ер , U\1 ) = 0 , найдем решение U ( J) = { U� J }, n = = 0, 1 , . . . , N , разностного уравнения ( ! ). Понятно , что , вообще 2 2 г ово р я, U(l =/= ф. з адав u о( ) = ер, u ( ) = 1 , в ы числим р е ш ен ие· N )

D

1

ro

,

54

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2 - ГО ПОР ЯДКА

[ ГЛ. 2

и(�) = {u��'} . Это решение также не удовлетворяет условию на

Un = ои n( 1 ) + ( l - (J) и (2) n ,

пр авой гра нице. Положим теперь

n = O, l , . . . ,

N.

(5 )

Очевидно, что при любом о выполнено условие uo = , U N = 'IJJ

и

(1)

установим некоторые свойства хорошо обусловленных разно­ стных кр аевых з адач с те:>f, чтобы воспользов аться этими свой­ , Uq - 'ljJ ,

Р


, 'Ф и {fn } , , Uq, обр азующие решение, удовлет­ причем ч исла U p, Up+l • воряют перавенетв а м (2) 1 un 1 � М 1 max 1 f т 1 + М 2 max ( 1 q> 1 , 1 'Ф 1 ) , •

где

М1

М1 � 1 . �)

•

•

т

и

М2 - н екоторые

М а т е р и а л гл.

3

положительные постоянные,

в п о следующих гл а в а х -

чте н и и м о ж е т быть nроп ущен.

не используется

и

М1

� М2,

п р и п е рв о м

§ б]

57

СDОИ СТВ А ХОРОШО ОБУСЛОВ ЛЕННЫХ КР АЕ ВЫХ ЗАДАЧ

}

Рассмотри м задачу апйп- 1 + Б пйп + ёпйп+ ! = fп, Р < п < q , йр = q> , йq = 'Ф· Если предпол агать, что возмущения коэффициентов Бп - Ьп , ёп - Сп не слишком сильные, а и менно: 1 iiп - ап 1 < 8 < -

1 Ьп - Ьп 1 < 8
1 . 1 1� 1 ) . (7} т Для этого перепишем (3) следующим образо м : 1 апйп- 1 + Ь пiiп + Спйп+! = fп + ( ап - iiп ) йп- 1 + 1 + (Ьп - Ьп) й п + ( с п - ёп) йп + l • O < n < N , ) йо = q>, й N = 'ljJ. J

(8)

58

O Б O C I-I O B A I-I И E МЕТОДА ПРОГОНКИ

[ГJI.

3

Нз этой записи и из оценок ( 2) и ( 4) вытекает не р авенство

!! �·М 1 ( rn,: x l fm l +

6�1

!-t) + A:f 2 max ( I <J> I, I 'IJ I ) �

� 21 !1 + М1 max 1 f т 1 + М2 max ( 1 q> 1 . I 'IJ 1 ). 111

Решая последнее неравенство относительно f.l., получ им (7) , и з которого следует ( 5 ) . Из неравенства (5) следует, что однородна я систем а, соот­ в е тствующая задаче (3) и возникающая при q> = 1jJ = fn - О , и меет только нулевое решение йп = О. Поэтому опр еделитель систе мы (3) отличен от нуля, и задача (3) однозначно р азре­ ш и м а при произвольных пр авых ч а стях. Свойства 1° и 2° до­ казаны. Осталось доказать свойство 4°, т. е. нер авенство ( 6) . ВычитаЯ почленно и з р авенств ( 8 ) р авенства ( 1 ) , получим 1 a,l ( йп- 1 - Uп- 1 ) + b n ( йп - Uп) + Сп ( й п + l - U пн) = 1 = ( ап - i'iп) йп l + ( Ь п - Ьп) � п + (сп - ёп) йn+ l • О < n < N, t = Uo - Uo = O, U N - UN = O. J Применим (2) : 1 й п - U п I � M1 max l ( i'i т - а т ) й т - 1 + ( Ь т - Ьт) йт + ( ёт - С т) йтн l· т Воспользовавшись (4) и (5) , отсюда выводи м 1 йп - Un 1 � М1 в [ 3 · 2М1 max 1 f т 1 + 3 · 2М2 max ( 1 , U r = 'IJ . Можно показать, что 1 й ,� - ull l � в [6M� max т l Т т 1 + 6 M1M2 max ( 1 Ф 1. 1 ii> 1 )] +

}

т - f т !. + М2 max ( 1 ф - q> 1 . IФ - 'IJ 1 ) + М 1 max т 1Т

( l О)

Н а мети м только схему доказ ательства, которое легко про­ вести по этой схеме. Изменив сначала только правые части и оставив старые коэффициенты, с помощью ( 2 ) увндим, что каждое U n и з м е н и т­ ся не более чем н а М 1 m a x 1 Т т - f т 1 + М2 max ( 1 Ф - q> 1 . 1 ii> - 'IJ 1 ). т

§ б]

59

С ВОИСТВА Х ОР О Ш О ОБУСЛОВЛЕН Н Ы Х К Р АЕВЫХ ЗАД АЧ

Изменив затем в системе с измененны м и п р а вы м и ч а стя м и ко­ эффициенты, убедимся, что в силу свойства 4° компоненты Иn дополнительно изменятся на величины, не превосходящие в

[ 6 М т mтax lf т / + 6 М1 М2 max ( 1 Ф / , 1 'Р 1 ) ] ,

что и приведет к оценке ( 1 О) . Выведем из описанных н а м и следствий неравенства ( 2) еще одно. А именно, пусть дл н решений системы ( 1 ') и м еет место при векотором Л > О, р + Л < n < q - Л, оцен к а 1 и" l < М 1 max 1 f т 1 + м; ш а х ( 1 ер /, 1 'iJ 1 ) . 1n

т

}

Тогда для решения возмущенной системы

iiпйп - 1 + Бпйп + ё п й п+ l = fп . йр = ер,

Р

< п < q,

йq = '\J,

удовлетворяющей условиям

/ iiп - an /, / bn - bn /, / ёп - с / < в < -1-2 < -1- ,

(1 1)

l йn i � 2M 1 max т \ f т 1 + ( м; +

( 1 2)

2 4М 1

6М 1

верно при тех же условиях р + Л < n < q - Л неравенство

� ) max ( / ер / , 1 '\J / ).

Чтобы убедиться в этом, определим воспомогательную сеточную функцию {vn} как решение системы anVn - 1 + bnvn + CnVn+ l = О , р < n < q, V p = ep, V q = '\J. При р + Л < п < q - Л будет l v п i < M; max ( J ep /, 1 '11 1 ). ( 1 3) Затем прнменим для оценки 1 йп - Vn 1 не равенство ( 1 О) , из ко­ торого следует, с учетом ( 1 1 ) , что \ йп - v n l �

}

� в[6МJ max J fm } + т

6М1 М2 max ( } ер }, } tP 1)] + М1

max ) fm } �

� 41 max ( 1 ер /, 1 'iJ 1 ) + 2MI max 1 f т /. т

т

Принимая во внимание оценку ( 1 3) , отсюда ср азу получаем ра венство ( 1 2) .

не­

6(1

[ГЛ .

О Б О С Н ОВА Н И Е МЕТОЛЛ П Р О ГОНКИ

3

3 а м е ч а н и е. В ажно подчеркнуть, ч т о величина е в оцен­ ках ( 4) , в пределах которой можно возмущать коэффициенты исхt)дной задачи, не н а руша я р азрешимости, а также коэффи­ циенты в оценке (5) решения возмущенной задачи и в оценках (6) и ( 1 О) отклонения решения возмущенной задачи от реше­ ния неваэмущенной задачи - все эти ч исла зависят только от коэффициентов М 1 и М 2 в оценке (2) . Конкретные зна чения ко­ эффициентов разностного уравнения и число точек q - р + 1 с а м и по себе роли не игр а ют : их влияние сказывается только через константы М 1 и М 2 , при которых спра ведлива оценка (2) .

2.

До казател ьство

критер ия

хорошей

обусловленности.

В п . 5 § 4 сформулиров а н критерий хорошей обусловленности задачи ( 1 ) при условиях г л адкос'Ги коэффициентов J ak - az i � D и

условиях

/ k; l г .

l bk - bt i � D

1 ck - cz 1 � D

1 k ; l \(1) ,

/ k ; t г. D>

О,

ro

}

> О,

( 1 4)

d п = max ( 1 ап 1 . 1 Ьп 1. 1 С п 1 ) � В > О, ( 1 4') 1 ап I � MI , 1 Ьп I � MI . 1 Сп I � MI. Для хорошей обусловленности задачи ( 1 ) при условиях ( 1 4) , ( 1 4') необходимо и достаточно, чтобы корни квадратного урав­ нения

ап + Ьпq + С пq2 = о удовлетворяли неравенств а м

е l q� l � 1 - 2 ·

о l q2 1 1 � 1 - 2 ·

( 1 5)

:где е > О не з а в исит от N и n. Н е о б х о д и м о с т ь доказывается примерно таким же спо· · с обо м , к а к это сделано в п. 4 § 4' при ра ссмотрении случ ая по­ стоянных коэффищ1ентов, и мы не будем н а этом останавли­ ваться. При док а з ательстве д о с т а т о ч н о с т и м ы будем пользо­ в аться указан н ы м в п. 6 § 4 критерием хорошей обусловлен­ ности ( 1 5) р азностной кра евой задачи а Uп - 1 + Ь uп + CUп +l = fп , р < n < q , е

}

Up = > 24/8. Если q - р :::::;;; 24/8, то коэффициенты задачи ( 2 1 ) при любых k и l , р ::;::. k, l S. q, удовлетв�р я ют в силу условий гладкости

N, p ,

62

ОБОСНО В А т rИЕ

М Е ТОДА nPOГO I I KИ

( 1 4) и благодаря тому, что N в соответствии вел и ко, следующим оценка м : 1 a - at 1 < D

k

1

[ГЛ.

с

3

(20) достаточно

1 k ;; l I(J) � D 1 q ; р I(J) � D 1 24 I(J) < е, BN

bk - bt l < е ,

1 ck - C z < е .

l

Эти коэффици енты «почти» постоянны и не более чем на е от· л и ч а ются от коэффициентов задачи ( 1 6) , где в качестве а, Ь, с выбран ы a p+ i • p + l • Сzч 1 . Решение задачи ( 1 6) удовлетворяет оценке ( 1 7) . Число е выбрано по формуле ( 1 9) в соответствии с требованием ( 4 ) . Поэтому для оценки решения зад 1 ч н (2 1 ) 1\южно воспользоваться неравенством (5) :

b

(23)

Рассмотрим теперь случай q - р > 24/8, в частности р = О, q = N. Предположим, что при некоторых ф иксированных I, 1 '1\J I , max 1 иNk /] � k т O < k< r 1

O I , I 'Ф I ). � 2M1 max l f т l + 2 O <max k l 1 'Ф 1 ). (2 7 ) т

т

,

Оценка (27) , полученн а я при q - р > 24/8, в силу (23) остает­ справедливой и для q - р � 24/8. З ад а ч а (2 1 ) р азреши ма при произцольных правых ч а стя х, так к а к из оценки (27) видно, что при q> = 'Ф = f m = О существует только нулевое решение. Мы завершили док�за тельство того, что при условиях глад­ кости ( 1 4) и при условиях ( 1 4' ) условие ( 1 5) является крите­ рием хорошей обуслов.1енности з адачи ( 1 ) . Следующий пример показывает, что условня гл адкости ( 1 4 ) нельзя игнорировать. Легко провер ить, что разностн ая I О; 1 Ь п 1 � 1 ап 1 + 1 Сп 1 + 6 , второй приз н а к: 1 Ьп 1 - 1 йп 1 - 1 С п 1 � :::--1 Ь п 1 + 1 йп 1 + 1 Сп 1

е > 0 ' d п = m ax ( 1 ап 1 ' 1 Ь п 1 ' 1 Сп 1 ) � ,:?" В

> 0;

третий признак :

1 Ьп 1 + 1 йп + Сп 1 � е > 0' 1 Ьп 1 + 1 йп 1 + 1 С п 1 :::---

М :::�-- dп � ""'*' В > О '

причем предполагается, что коэффициенты вещественны и удов­ летворяют услов иям гл адкости ( 1 4 )

1 ak - az l � D

1 k ;; 100 , 1

1 bk - b z l � D D>

О,

1 k;; Г, 1

ro > O.

В случа е выполнения любого из первых двух признаков за­ дач а ( 1 ) р азрешима при N � 2 и при произвольных правых ча­ стях, а в случае в ы полнения третьего признака задача ( 1) р аз­ решима при всех достаточн о больших N и произвольных правых ч а стях. При тех ж е N н аряду с з адачей ( 1 ). р азрешимы все «урезанные» I 1. max . l т fт 1 )

Величина м L и К удобно присвоить индекс l - 1 /2 и полу· ченные соотношения и неравенства записыв ать так: й z - 1 = L z -•t. й z + К ! - ''• ' 1 Lz - •t. l � 2 М , 1 K z- •t. l � 2 М max ( 1 q> 1. max 1 f т 1 ) . т

} (6)

Соотношение такого же вида было получено при .описании п рогош Ь . ( 1 4) q, - q, Н а помним еще, что и0 м ы уеловились задавать р а вным Ь. Усло­ вия ( 1 4 ) подсказывают н а м , как можно задавать u 1 • Оказы ­ в а ется , достаточно, чтобы и 1 --+ и 0 = Ь при h --+ О. В самом деле, q , --+ _+. 1 , Q2 --+ - 1 при /z --+ О, и поэтому при /z --+ О

§

8]

ПОРЯДОК ТОЧНОСТИ

И

АППРОК r: I IМЛ Ц Н Я

75

2. Скорость сходимости решения р азностного уравнения. Те­ перь перейдем к изучению скорости сходимости при р азл ичных конкретных способах в ы бора и1 � и (h ) . Для определения и (h ) естественно воспользов аться р азло­ жением решения дифференциального уравнения и ' + Аи = О по ф о р м ул е Тейлора . Пользуясь тем, что в силу этого уравнения и' = - Аи, перепишем формулу Тейлора т а к :

и (х1 ) = и ( О) - h А и (О) + О (h2) = и (О ) ( l - A h) + О (h 2 ).

Та кое равенство имеет место для точного решения дифферен­ ци ального уравнения. При приближенном решении, огр аничи­ ва ясь двумя член а м и этого разложения, можно положить и1 = и0 ( l -

A h).

Если м ы решили огр а ничиться только одним член ом, то пол а­ гаем В первом из этих двух случ аев м ы допускаем в н ачальном зна­ чении и1 ошибку порядка h2, во втором - ошибку порядка h. Выясним скорость сходимости в каждом из этих двух слу­ чаев задания нач альных данных. Положим Uo = ь , и ! = ( l - A h) ь . ( 1 5) Тогда (см. формулы ( 9 ) )

� !L!!_o - u 1 = [ 1 - Ah + O (h2)] b � ( 1 - Ah ) b = O (h ) ' 2 + о (h ) q , - Ql

-

Q2 - Q I

q,uo - U I =

[ - 1 - Ah -

A �h 2 2

+ О ( h4) b

- 2 + 0 (h4)

] - ( 1 - Ah) Ь

= b + O (h2)

( 1 6)

В о звращаясь к равенству ( 1 2 ) , легко приходи м к выводу, кото­ р ы й и является н ашей целью : '

( 1 7) Он формулируется так. Если начальное значение и 1 задает­ ся с точностью до величины порядка h2, то и погрешность в ре­ шении будет порядка h2, т. е. р азностн ая схе м а имеет второй

порядок точности.

Можно показать, что даже если з адать в качестве и 1 точное знач ение Ье - Ах, , большей точности, чем порядка h2, в решении добиться нельзя. Советуем читателю в качестве упражнения доказать выск азанное утверждение.

ЭЛЕМЕНТАРНЫ Е ПРИМЕРЫ Р АЗНОСТНЫХ СХЕМ

[ГЛ. 4

Л егко также про � ерить, что если в к ачестве Uo задавать не точно Ь , а любую величину в ида Ь + О (h2) , то скорость сходи ­ мости все р авно будет второго порядка. Перейдем к р ассмотрению второго изуч аемого нами случ ая эадания н а ч альных данных. Пол агаем При

и,

и 1 = и0 = Ь.

этом

-} Ahb + О (h2) ,

[ 1 - Ah + о ( h 2 ) ] ь - ь - 2 + о ( h2 )

следовательно,

[ь + ; Ahb + О (h2)] [e -Axn + О (h2)] ­ - ( - l ) n [ � Ahb + О (h2)] [eA xn + О (h 2)] =

=

=ь

е- А хп + А Ь

е

- A xn - ( - l ) n A xn е

2

h + о (h2).

Таким образом, если допустить в н а ч альных данных ошибку порядка h, то и ошибка в решении будет порядка h. Подведем итог. Мы в идели, что р ассм атриваемая разност­ н а я схе м а u (x + h) - u (x - h ) 2h

в отличие от схемы

+ А и (х) -О'

может дать более высокую скорость сходимости, а именно схо­ димость с остаточным членом порядка h2, а не порядка h, как у второй из этих схе м. Для того чтобы добиться второго поряд­ ка точности, н адо, задавая точное и0, выбирать и1 отличаю­ щимl'q о т значения точного решения дифференциального урав­ нения в точке х = х0 + h на величину порядка h2• Можно было б ы показать, что и и0 можно задавать не точно, а с ошибкой порядка h2• От этого порядок скорости сходимости не умень­ шится. Уточнение н а чальных данных до порядка h3 и выше н е дает увеличения точности решения.

§ 8)

77

ПОРЯдОК ТОЧНОСТИ И АППРОКСИМАЦИЯ

Если задавать н ач альные данные с ошибкой порядка h, то и решение получим с ошибкой того же порядк а. 3. Порядок аппроксим ации . И нтересно понять, с чем свя з ано то обстоятельство, что схем а и

( х + h - и ( х) + u A (х) = 0

�

оказывается менее точной, чем схе м а и

·

( х + h ) - и (х - h )

2h

+ А и ( х)

_ О. -

Эти схемы р азличаются приближен н ы м.и в ы р аж ениями и

(х + h ) - и ( х) h

и

и

( х + h ) - и (х - h ) 2h

для производной dи/dx в точке х. Е стественно поэтому предпо­ ла гать, что в первой схеме производна я з а менена менее точным выражением, чем во второй. Т а к оно и есть на самом деле. ЗаМ"еним и (х + h ) и и ( х - h ) их тейлоравеким и разложениямю hэ и (х + h) = и (х) + и' (х) h + и" (х) 2 + и"' (х) т + О (h4) ,

h2

и (х - h) = и (х) - и' (х) h + и" (х) 2 - и"' (х) 6 + О (h4) . h2

h3

Пользуясь этими р азложениями, получим

.'l� - (х) = и' (х) + и" (х) ; + О (h2) , и (х + h) ; и (х - h ) = и' (х) + и"' (х) �2 + О (h 4) , и

т.

(х +

и

е. в первом случае м ы имеем аппроксим ацию производной лишь с первым порядком точности, а во втором - со втор ы м по­ рядком. Рассмотренные п римеры наводят н а мысль, что порядок ско­ рости сходимости решений разностных уравнений может быть сдел ан равным порядку аппрокс и м а ции производных дифферен­ циального уравнения. Одна ко оказывается, что в та кой общей формулировке эта гипотеза неверн а . На разностные схе мы, для которых будет до­ казана ее справедливость, н а м придется на ложить одно весь м а существенное огр аничение - требование устойчивости. Необхо­ димость этого огр а ничения станет ясна из пр и м ера, которы й � ы рассмотрим в следующем п а р а графе .

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕР Ы РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

78

[ГЛ. 4

§ 9. Н еустойч и в ая разностная схе м а 1. Способы аппрокси мации производной. Зай мемся снова р азностными схе м а м и для приближенного интегрирования про· стейшего дифференциального уравнения и' + А и = О. Как м ы уже видел и, для составления разностной схемы, приближаю · щей это уравнение, достаточно з а менить производную и ' каким· либо аппроксимирующим ее разностны м отношением. Так, на ­ пример, м ы р ассм атривали схемы, для которых производная и ' з а м енялась через и (х + h ) - и ( х ) h

и ( х + h ) - и ( х - /z ) 2h

или

+ (l

Очевидно таJ{Же, что любое выр ажение вида J.t

и

(х + h ) - и ( х - /r ) 2h

_

J.t )

и (х + h ) h

- 11

(х)

б у дет приближать и' (х) . В са мом деле, подставим в это выра · жение тейлоравекие р азложения дл я и (х + /1) и и (х - h ) : О + и (х h) = и (х) + и' ( х) h + (h2) , О и ( х - h ) = и (х) - и ' (х) h + (h2). J.t

Тогда получ и м и

( х + h ) - 11

(х - h)

2h

_

- �L

+ (l

_

J.t)

11 (х + h ) - 11 ( х ) = h

[11 ( х ) + и ' ( х ) h + О ( h 2 ) ] - [и ( х ) - и' ( х ) h + О ( h 2 ) ]

+ (l

_

J.t )

h: О (h2)] - и (х)

2h

[и (х)

+ и ' (х)

+

= и ' ( х) +

О

(h) .

Пользуясь та кого рода а п проксимацией производной, можно получить целое семейство р азностных схем, з ависящих от чис­ лового п а р а м етр а . Эти схемы будут иметь вид J.t и ( х +

h)

� u ( x - h) + ( l - J.t) !t ( х + h� - z1 (x) + А и (х) = О .

(l)

Каждому значению п а р а метр а J.t отвеч ает своя схема. Изучению схе м, получ ающихся при !l = О и J.t = 1 , был посвящен § 8 . 2. П р и мер неустойчивой р аз ностной схемы. Р ассмотр и м те­ перь еще одну схему т а кого вида, котор ая получается из ( 1 ) при J.t = 4 : 4

11

(х +

!1 ) -

2h

11

( х - h)

_

З

и

(х + h ) - 11 ( х )

lz

+ А ( ·) = О ll Х

•

(2)

9]

§

79

НЕ УСТОПЧИ В АЯ Р АЗНОСТНАЯ СХЕМА

Ее можно переписать еще так: - 2и (х - h) + (3 + Ah) u (x) - и ( х + h) = О .

( 2 ')

Как и в р а нее ра ссмотренных п р и мерах, мы будем получать решение на отрезке [0, l ], разбитом точ к а м и р азностной сетки п � N равных ш а гов, каждый длины h = 1 /N. Координ ата X n точки сетки определяется как X n = nh = n/ N. Решение разностного уравнения выписывается явно форму­ лой

и

-

n - ио

1 n 1 n] [ q2 -Q2 q1 qn1 q2 -Q ! q1 q2n] + и 1 [ - _ q 2 - q1 q 1 + q 2 - q1 q2 ' _

,__

-

где q 1 и q 2 - корни характеристического уравнения - 2 + ( 3 + Ah) q - q 2 = 0 . q , = З + Ah;-

Выч ислим q 1 и q 2:

-./ 1 : 6 A h + A ' h ' = 1 - Ah + 2 A h + О (h' ) , 2 q2 = 3 + Ah + ,У 1 : 6 Ah + A h 2 = 2 ( l + Ah) + 0 ( h 2 ). '

'

l

(3 )

(4)

1

Мы буде м пользоваться еще приближенными выражениями для q� и q� : 1 q� = [ l - Alz + O (h 2 )l n = [ l - Ah + О (h 2 )] xn fh = = e -Ax n + 0 (h) , 1 (5) q� [ 2 ( l + Ah) + О (h2 ) ] n = [ 2 ( l + Ah) + О (h 2)] x nfh = =

= 2xnlh [eA x n + О (h) ].

i

J

Подставив выражен ия (5) в формулу (3), получим

и

n=

QzU o--Q и . [e - Axn + О (h) ] + Q1 Uo - U1 Q 1 - Q2 Q2 1

[ е Ах11 + О (h) ] 2 x nfh ,

(6)

Прежде чем исследовать, к чему стрем ится и п при /z ---+ О, мы должны указ ать, как задаются н ачальные з начения u 0 н и 1 разностного решения. Так же, как и в § 8, будем р азыскивать решение, удовлетво­ ряющее условию и ( О) = Ь , и возьмем в !}ачестве разностных начальных данных и о = Ь и и 1 = Ь ( 1 - Ah) . ПодСТ [] В Н l\1 эти нач альные данные в форм улу (6) и упростим по отдельности ка ж дое слагаемое.

во

[ГЛ.

Э Л Е М Е НТАР Н Ы Е П Р И М Е Р Ы Р А З Н О СТ Н Ы Х СХЕМ

4

Первое и второе сл а гаемые п римут соответственно вид

Q �llo - 11 1 Qz - Q l

[ e - Ax n + О ( h ) ] =

==

Q 1Uo - и 1 Q2 - Q l =

[ 2 + О ( h)] Ь - ( 1 - A h ) Ь [2 + 0 (1!)) - [ 1 - 0 (11))

[ eAx n + О (h)] 2 xnfh

[е - Axn + О (h)] = Ье - Axn +

=

[ 1 - A ll + 2 A 2 h2 + О ( h3)) Ь - Ь ( 1 - Ah) ( Ax n + О е [ 1 + 0 ( h)) - [ 2 + 0 (h)J =

Т а ки м образом, мы получили

0 ( h) ,

(h)] 2 xnfh -

_

- 2A2/z2b [eAx n + О (h)] 2 xn fh

•

Первое сл агаемое этой формулы при h --+ О , X n = х = const стремится к ь е-Ах, т. е. к I'ICKOMOMY решению. З н а чит, для того ч тобы к этому решению сходилось все выражение для Un, не­ о бходимо, чтобы второе сл агаемое сходилось к нулю. Одн ако оно при h --+ О стремится не I< нулю, а к бесконечности. В самом деле, - 2 A 2 b e A x n + О (h) стрем ится к конечному и не равному нулю пределу - 2А2Ье А х, а h22x n f h стре мится к бесконечности быстрее любой положител ьной степени 1 /ft. Мы показали, что раз ностна я схем а , аппроксимирующая дкфференциальное ура внение, может и м еть решение, не сходя­ щееся при lt -+ О к решению дифференциал ьного уравнения. Можно подумать, что п р п ч шш этого в недостаточно точном вы­ боре u 1 . Одна ко мы сейчас покажем, что сходи мости не будет, даже если выбрать и 1 точно р а в ным решению дифференциаль­ ного уравнения при Х 1 ха + !t, т. е. если положить u 1 = Н ачнем с того, что упростим выра жения, = u0 e -A h = Ье-А1•. в ходящие в формулу (6) : ·

=

q 2uo - U ! Q2 - Q l

=

[2 + 0 (h)] Ь - b e - A h [ 2 + о \ h i ] - t l + о ( h )]

[1 Q !Uo - U ] = Q l - Q2

=

Ь + 0 ( h),

- Ah + 2 A2h ' + о ( h3)] ь :...._ ь e - A it = _ 1_ Nh 2 [Ь + о 2 . [ 1 + о (h)) - [2 + о (h)]

Подставив эти выражения

в

формулу (6) , получим

(h) ]

•

§ 9]

H !': Y C T O й Ч I I FI A Я Р А З I-Ю С Т Н А Я

СХЕМА

81

Второй член привой части этого р авенства снова стрем ится к бесконечности, тогда как первый остается огр а ничен н ы м . По­ этому стрем ится к бесконечности и все решение р а з ностного уравнения . Причи н а того, что разностн ая схема ( 2 ) не да ет сходи мост и при h -+ О, к а к м ы в идели, состоит в том, что она мо.жет и меть быстро воз растающие при уменьшении ш а га ft решения, даже есл и н а ч альные данные заданы вполне разумно. Такого рода р азностные схемы 1 : .1 зываются неусто й ч и вьи�ш. Естественно, что они вепригодны для числен ного решения д и ф · ференциальны х ур авнений.

ГЛАВА 5

СХОД И МО СТ Ь Р Е Ш Е Н И Я РАЗ Н О СТ Н Ы Х УРА В Н Е Н И й КА К СЛ ЕД С Т В И Е А П П РО К С И МА Ц И И И УСТО й Ч И ВОСТ И

В гл. 4 м ы н а примерах выяснили, что та кое аппроксимация дифференциальной з адачи разностной задачей и в чем состоит сходимость, благод аря которой решение дифференциальной за­ дачи можно прибл иженно вычисл ять по р азностной схеме. Мы познакомил ись с явлением неустойчивости, которое может сде­ лать р азностную схему р а сходящейся и непригодной ДJI Я вы­ числений. Анализ поведения решений в этих элементарных ввод­ ных примерах, п р едназначен н ых только для предварительного знакомства с основными понятиями, был основан на записи решений в в иде формул. Такая запись оказалась возможной лишь бл а годаря специальному подбору п римеров. В этой гл аве мы дадим строгие определения понятий сходи­ мости, а п прокси м а ции и устойчивости. Мы покажем, что дока­ зательство сходимости не обязательно основывать н а ан ализе формул для решений. Это доказательство можно разб ить н а проверку а п проксим ации дифференциальной зада чи разностной 11 проверку устойчивости р азностной задачи. § 1 О . Сходимость р азностной схемы J . П онятие о сетке и сеточной фу н к ц и и . Пусть н а некоторо:>1 отрезке D поставлена неi l /u11 = h

Эта нор м а ан алоги ч н а нор м е

1 1 и (х) 1 1 =

( � и (х) d xу· 1

12

для функций и (х ) с интегрируемым н а отрезке О � х � 1 квад· ратом. Всюду, где не оговорено противное, мы будем пользов аться нормой ( 1 О ) . После того, как введено нормированное пространство Uh, приобретает смысл понятие отклонения одной функции от дру­ гой. Если a и b - две произвольные сеточные функции из Uh, то мерой их отклонения друг от друга считается нор м а их раз· ности, т. е. число (hl 11 a - Ь lluh· Теперь можно перейти к строгому определению сходящейся раз­ ностной схемы. Пусть для приближенного вычисления решения дифферен­ ц и а л ь н о й к р а е в о й з а д а ч и ( l ) . т . е . дл я п р и бл и ж е н ного вычисле­ ния сеточной функции [tt]h н а основе использования равенства ( l ) , составлена пекоторая систем а ур авнений, которую будем си м волически записывать, а н алогично уравнению ( 1 ) , в форме р а венства L,,ur h l fU&I . (1 1) Прим ера м и могут служить разностные схемы (6) , (7) , (9) для дифференциальных краевых з адач ( 2 ) , (4 ) , (5) соответ­ ственно. Для з а писи схемы (6) в форме ( 1 1 ) можно положить nh Un + J - Un + 1 + и: ' n = O, 1 , . . . , N - 1 , h о

=

Lьи

=

j < h> :=

{

Uo.

{ cos nh, 3.

..

n = O, 1 ,

•

•

.

, N - 1,

§ 10]

{

СХОДИМОСТЬ РАЗJ J ОСТНОй СХЕМЫ

Схема (7) запишется Lьии11

==

U rt + l -

uo ,

иN ,

flh) = За пишем еще

в

h

Wn + l - W n

f l h) =

{

фор м е ( 1 1 ) , если принять

2:�n + U n - 1 +

{

-v' 1 +

2,

nh ,

[1

_

(nh)2) иn, n = 1 , 2 ,

. . . , N - l ".

n = 1 , 2, . . . , N = 1 ,

1.

виде ( 1 1 ) схему (9) , приняi

v n + 1 - vn

h

в

89

+ (nh) v nWn >

+

1 + (n h ) 2

1

n = О, 1 ,

( Vn + WIZ) ' n = О, 1 ,

(nh) 2 ...... 3 nh + 1 , cos2 nh , 1' -3

.

•

.

, N-

1,

. . ., N- 1,

n = О, 1 , . . . , N - 1 , n = O, 1 , . . . , N - 1 ,

Систе ма ( 1 1 ) , как видим, зависит от ll и долж на быть выпи­ сана для всех тех h, для которых рассматривается сетка Dh и· сеточная функци я [и]1,. Т а ки м образом, разностн ая краевая за­ дача ( 1 1 ) - это не одна систе ма, а семейство систем, завис ящее от параметр а h. Будем предпол агать, что при каждом р ассм атриваемоl\I до­ статочно м алом ll существуст решение u задачи ( 1 1 ) , п р и н ад­ лежащее пространству И h · Будем говорить, что решение и разностной краевой з ада чи ( 1 1 ) при измельчении сетки сходится к реtиению и диффер ен­ циальной краевой зада•ш ( 1 ) , если ( 1 2)· 11 [и]h - ut h> l lu11 -> О при h __,.. О. .

Если, сверх того, вы rrол нено нсра венство 11 [tt]h - и t h> ll uh � ch \

( 1 31

г....t c с > О и k > О - некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что им еет м есто сходимость порядка h" или что разностная с хема и.дtеет k-й порядок точности. В § 8 были р а ссмотрены две р азностные схемы для з адачи

:: +

Аи =

и (О)О, = ЬО. � х � 1

·1

Полученные там оценки разности б (х) = и (xk) - и�h) между то•!­ н ы м и приближен н ы м решениями означают, что для первой из этих схем имеет м есто сходимость порядка ll, а для второй ­ сходимость порядка h2• Обл адание свойством сходимости является фундаментальным требованием, которое предъявляется к разностной схеме ( l l ) для численного решения дифференциальной кр аевой з адачи ( l ) . Если оно и м еет м есто, то с помощью р азностной схемы ( l l ) можно вычислить р ешение и с .'Iюбой н а перед заданной точ­ ностыо, выбирая д.'l я этого h достаточно м а.'lым. Мы точно сфор­ му.'lирова.'lи понятие сходимости и подош.'lи к центр а.'lьному во­ п росу о том , как построить сходящуюся разностную схему ( 1 1 ) для вычис.'lения решения дифференциальной краевой задачи ( l ) . Приведеиные выше примеры дополняют р а ссмотренные в гл. l и дают представ.'lение о простейшем способе построения таких схе м : с.'lедует выбрать сетку и з а м ен ить производные разност­ н ы м и отношениями. Одн а ко д.'I Я одной и той же дифференциа.'lь­ поif краевой задачи, к а к м ы виде.'lи, можно получить р аз.'lичные р азностные схе мы ( l l ) , по-разному выбирая сетку D h и по-раз· ному з а меняя производные приближающими их р азностными отношениями. Мы уже виде.'lи н а примере простейшего обыкно­ венного дифференци ального уравнения из § 6, что р азностн ая схе м а может оказаться непригодной для счета. 3 . П ро вер к а сход и мости р азностной схемы. Не будем пока з г н и м аться построением разностных схем и поставим задачу н ес i, идеальное с точ­ ки зрения сходимости. Это озн а ч ало бы, что решение иU1> раз­ ностной задачи L hи( h J = f(hJ совпадает с искомой сеточной функ­ цией [и]h , которую мы уеловились считать точ н ы м р ешением. Одна ко, к а к правило, систему ( 1 1 ) н е удается выбрать так, чтобы [и]h в точности ей удовлетворял а . При подстановке [и]h в уравнении . ( 1 1 ) возникает не котора я невяз к а :

( 1 4)

Если эта невязка l'JfCh J «стремится к нулю» при h - О, так что удовлетворяет уравнению ( 1 1 ) все точнее, то будем гово­ рить, что р азностная схема L ь и( h l = f ( h ) а ппроксим ирует диффе­ ренциальную краевую задачу L и = f н а решении и последней. В случае аппроксим ации можно считать, что ура вн-ение ( 1 4 ) , которому удовлетворяет [и]h , получается из уравнения ( 1 1 ) пу­ тем прибавления пекоторой м алой (при м алом h ) добавки l'Jf� к правой ча сти fChJ. Следовательно, если решение иCh J з адачи ( 1 1 ) устойчиво относительно возмущения п р а вой ч а сти fЩ, "!. е. м ало изменяется при малом изменении правой ч а сти, то решение иСI!) задачи ( 1 1 ) и решение [и]h з адачи ( 1 4 ) отлич аются м а ло, т а к что из аппроксимации бf( h) - О при 1t - О [ и]11

С.'Iедует сходимость и( h) -

[и]h при

h - О.

Н а меченный н а м и путь проверки сходимости ( 1 2 ) состоит в том, чтобы разбить этот трудны й вопрос н а дВ'tl более просты х : сначала проверить, имеет ли м есто а ппрокси м ация з а д а ч и ( 1 ) , задачей ( 1 1 ) , а затем выяснить, устойчива ли задачи ( 1 1 ) . В этом содерж1fтся и указание н а способы построения сходя­ щихся разностных схем для численного решения задачи ( \ ) ' надо строить аппроксимирующую ее р азностную схему; из мно­ гих возможных способов аппроксим а ции н адо выбир ать такие, при которых р азностные схе мы оказываются устойчивыми. Изложенный общий пла н исследования сходи мости, есте­ ственно, предполагает, что введены м атем атически строгие по­ нятия аппроксим ации и устойчивости, позволяющие доказать теорему о том, что из а ппрокси м а ции и устойчивости следует сходимость. Н а м еченные выше определения а п проксим�щии и устойчивости не явля ются строги ми. Для определения а п прокси­ м ации надо еще уточнить, ч то та кое невязка l'JfChJ в общем случ а е и что та кое е е величина, а дл я определения устойчивости ­ придать точный смысл слова м «малому возмущеншо пр авой

92

[ГЛ. 6

СХОДИМОСТЬ . АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОй ЧИВОСТЬ

части соответствует м алое воз мущение решения разностной за· дачи Lьu( h ! = f(h>». Строгим определениям понятий а ппрокси м а ции и устойчи· .вости мы посвятим отдельные п а р а гр а фы.

.х

N

J.

Разделить отрезок [О, 1] на N частей точками х0 = О, х 1 , х2, ЗАДАЧИ

= 1 так, чтобы

Xn + l - Xn X n - Xn - 1

• • •

, xN- l •

q,

выяснить, можно ли по с ледовательно с ть таких ceTOI< при N -+ оо (q - не зависящая от N пос тоянная) и с пользовать для приближенного решения за­ дачи

11

с

помощью р азнос тной с хемы

и' - и = О , и (О) = 1

}

Стремится ли к нулю при N ...... оо максимальный из ш агов Xn + 1 - Xn? У к а з а н и е. Проще всего разобрать случай q > 1 и убедиться, что lim

N -+ oo

и(lfNJ ( х N ) =

оо .

§ t t . Аппроксимация дифферен циа,q ьно й кр аевой з адачи р аз ностной схемой t . Невязка бf( h J. Придадим точный см ысл понятию аппрокси­ мации дифференциальной краевой з адачи ( l ) из § 1 0 Lu = f (1)

на решении

и

разностной схемой ( 1 1 ) из § 1 О Lhu (h > = f(h J.

(2 )

Для этого надо уточн ить, что такое невязка бf + б f(h> , (3) возникающая при подстанооке сеточной функции [u]h - таблицы искомого решения и - в уравнение (2) , а т а кже что та кое се величин а . Стремлен ие в ел и ч и н ы н ев я з к и fJf = f (l'), подробно за писанном равенств ами (5) , которое м ы рассмотр е ли в качестве прп м ера, н а L1, можно смотреть как на опер атор. Этот оператор каждой сеточной функ­ ции v< h> = { v n } , п = О , l, . . . , N, из линейного пространства функций, определенн ы х на сетке D h , ста в ит в соответствие не­ который элемент g вида ( l О) из линейного простр анства Fh по фор муле 1 V n + t - 2 Vn + Vп- 1 + а ( ) V n + l - V n - t + Ь ( ) ,

L hv< h)

==

Jl

h2

Xn

2/z

Xn Vn

vo , v . - Vo

h

Условимся и в общем случа е р а зностной кра евой задачи (2) считать, что правые части тех скалярных уравнений, кото р ы е в совокупности з а п и с а н ы символическим равенством L h и< h >

=

t< h >,

являются компонента м и вектора f из некоторого линейного нормированного простра нства F h · Тог да на Lh можно смотреть J из и h некоторый элемент fU•> из F1,. В таком случае им еет смысл выр ажение L1, [ u ]1, , возникающее в результате примепения опер атора Lh к сеточной функции [и]h из и,, и являющееся элементом простр а нств а F h · Невязка б f thJ L11 ( и ]1, - f < h > прин адлежит пространству F h • к а к раз ность двух элементов этого пространства. Под величиной невязки следуст поШI !'.I ать 11 бf\ h ! IIF h · =

3. Ап п ро кси м ация порядка h k.

О п р е д е л е н п е. Будем говорить, что разпостн ая схема Lhи< h > = f U•> аппрокси.мирует задачу L и = f н а решении и, если 11 б f < h > IIF,, - О при. /t -+ О. Если, сверх того, имеет место неравенств о k 1 б f < h > IIFh � ch , где с > О и k > О - некоторые постоянные, то будем говорить, что имеет место аппроксимация порядка hk или порядка k от­ носител ьно величи пы h. То обстоятельство, что и является решением задачи ( 1 ) , дает инфор м ацию о функции и , Jюторую можно использовать для построения системы (2) , а также для проверки факта аппрокси­ м а ции. Поэтому в определении а ппрокси м а ции мы и упоминаем

§ 1 1]

АППРОКСИМАЦИЯ РАЗНОСТНОй СХЕМЫ

97

задачу ( l ) . Одна ко подчеркнем, что приведеиное о п ределени � аппроксимации задачи L и = f н а решении и р азностной схемой L hu = f = f соответствует с порядком h h функции и , не вникая в происхождение этой функции. В ч а стности, если функция и является одновременно решением двух совсем р азличных задач L01и = f Ш и L t2 >и = f< 2 > вида ( l ) , - то одн а и та же р азностн ая схема Lhи = f одновременно а ппроксимирует или не аппро­ ксимирует каждую из этих задач на их общем решениi"I и . 4. П р и меры.

П р и м ер l . Разностн а я схема (5) ввиду оценки ( l l ) аппро­ ксимирует задачу (4) с первым порядко·м относительно h. Раз­ ностную схему ( 5 ) легко усовершенствовать т а к, чтобы аппро­ кси мация стала порядка h 2 • д.ТI Я этого з а м етим, что все компо­ ненты вектора бf! h J, кроме последней, стрем ятся к нулю, как h 2 (предпоследняя даже в точности р а в н а нулю ) . · Тольк о последняя компонента вектора бf, т. е. невязка от ио = 2 систе м ы подстановки [ и]h в последнее уравнение и 1 h (5) стремится к нулю м едленнее, а и м е н н о к а к пер в а я сте­ пень h. Это досадное обстоятеJiьство легко устр ан ить. По фор­ муле Тейлора

и ( h ) -;; и (О) = и' (О) + ; и" (О) + �2 и '" (S) = 2+

=

� и" (О) + �2 и"' (6) ,

О < s < h.

Но из дифференциального )' р авнения ( 4 ) н аходим и" (О) =

-

а ( О ) и' (О)

-

Ь (О) и (О) + cos О =

-2 а (О) - Ь (О) + l .

Поэтому, заменив последнее равенство (5) р а венством

и 1 � и о = 2 - � (2 � (0) + Ь (0) - 1 ],

{

получим для f!h) в м есто (7) выражение f!h) = 4

COS Xn ,

l,

2-

�

С , 1\ . Годунов, В. С , Рябенькиi\

[2а (О) + Ь (О)

-

1 ].

( 1 2)

98

С ХОДИМОСТЬ . АППРОКСИМАЦИЯ И УСТ ОйЧИВОСТЬ

Тогда окажется, что

�� [ и (4'

(Sз )

бf < h> = о, .

..!!:_ и " ' (6 ) 6

и

t и (4) (s. )

+ ( и" '

[ГЛ.

5

(6 1 ) + и"' (62))] ,

.

11 «'\f( h ) IIFh < C 1 h2, где С 1 - некотор ая постоянная, не з ависящая от h. Порядок аппроксим а ции станет вторым относительно h. Подчеркнем, ч:то для построения р азностного гр аничного условия ( 1 2) мы использовали не только гр аничные условия задачи ( 4 ) , но и самое дифференциальное уравнение. Можно считать, что м ы использов ал и гр аничное условие

{

и " ( х) + а ( х) и' ( х) + Ь ( х) и ( х) lx =o = co s х lx =O•

которое является следствием дифференциального уравнения. П р и м е р 2. Выясним, к а к' = f(h> ( 1 8) о J h [hI и!h> f(h1 \ J ( 1 9) =

(20) Для этого н адо положить t1!1h и (h) -

U n + l - ll n - l

llhиth> = и - о

2h

•

12 и !h> = h - и1 ' f!оh> = 1 + хn2 ' f (1h ) = b ' f2( h> - ь.

+

А иn • n = 1 ' 2 '

• • • '

N

-

1'

§ 1 1]

АППРОКСИМАЦИЯ Р А ЗНОСТНОй СХЕМЫ

101

Для удобства речи и в общем случ а е р азностную схему (2) ча­ сто р азбивают н а две или несколько подсистем :

(2 1 )

так что

L11иl111

=

f 1�

zho и( h) ' l'hиl111 ,

l lhRи ( h) '

f(h)

=

f6"1 •

r 1 . . J f (h) ' r t

l fkh):

П р а вую ч а сть n"l каждой подсистем ы l'hи(111 = пь 1 удобно считать элементом линейного нормированного пространств а F� 1 • н ормы в простр анстве F1, и простра нств ах F11(l) , F ь(2 ) , . . . , F 1,(R) удобно выбир ать согл а сованно, чтобы имело место р а в енство 11 f(Ы //р11 = m ax jl nы /lp �)·

r

(22)

Разбивая (2) н а подсистемы (2 1 ) , м ы всегда будем считат ь , что (22) выполняется . Удобство р азбиения р азностной схемы L1,и(111 = f( h ) н а подси­ с.темы (2 1 ) состоит в том, что можно говорить о порядке со­ ответстви я каждой подсисте мы в отдельности решению и за ­ дачи ( 1 ) , Lи = f . З а этот порядок приним ается порядок убыва­ ния нормы 1 бf�" 1 I F � ; невязки бf�Ы

h

zи

[и] h

=

fr( h ) + б f r(Ы •

при h � О. Порядок ап прокси м а ции всей р азностной схемы L1,u( h) = f( h l н а решении и задачи Lu = f, бл агодаря согл а сова н ­ н о м у выбору н о р м (22) , р авен порядку убыван ия н ор м ы 1 1 бf(r ) 1/F(r) невязки бf�h ) п р и т о м r , при котором о н а убыв а ет медь леннее всего. В примере 2 при р азбиении систе м ы ( 1 3 ) на п одсистем ы ( 1 5) - ( 1 7) , или ( 1 8) - (20) , простр анство F � l состоит и з сеточных функций f 6Ы { f п } с нормой 1 f6Ы 1 / max / f n /. определен. n ных в точках Xn = nh, n = 1 , 2 , . . . , N - 1 , а пространства =

=

1 02

СХОДИМОСТЬ , АППРОКСИМА ЦИЯ И УСТОйЧИВОСТЬ

F h0 и р� > одномерны и состоят из чисел с нормой Ур авнение ( 1 8) 1

r гл.

ll a ll = 1 а 1 · 5

соответствует з адаче ( 14) н а решении и со втор ы м порядком, уравнение lh1 )и( h) = f\h> соответствует точно, а уравнение l�и( h> = nh> - с первым порядком. Чтобы повысить порядок ап­ прокси м а ции, которым обл адает р азностная схем,е. ( 1 3) , с пер­ вого до второго относительно h, достаточно «подпр авить» только граничное условие l�)и( h) = Ь . З а м етим, что

l �) [и] h = и (h) = и ( О) + hи' ( О) +

�2 и" Ш.

Учтем, что и (О ) = Ь и что в силу ( 14 ) и' (О) = - А и ( О) + 1 = - А Ь + 1 . Положив l�и( h> = и 1 = Ь - hAb + h, т. е. nh> = Ь h Ab + ll , -

мы добьемся того, чтобы выполнялось условие �� [и] h = и (h) = nh> + о (h 2 ) ,

т.

е. чтобы и м ел м есто второй относительно h порядок соответ­ ствия граничного условия l� >и ( h> = nh l (nh> = Ь h Ab + h) (23) -

з адаче ( 14) н а решении и. Т аким образом, р а зностн ая схема ( 1 5) , ( 1 6) , (23) аппроксимирует з адачу ( 1 4) со вторы м поряд­ ком относительно h . Р азбиение р азностной схемы (2 ) на подсистемы ( 2 1 ) условно и дел а ется только для удобства р ечи. Т а к, например, систему ( 13) можно было бы р азбить на две подсистемы, отнеся к пер­ вой по-прежнему р азностное уравнение ( 1 5) , а ко второй - оба гр аничных условия ( 1 6) и ( 1 7) . Мы получили бы символиче­ скую запись zh( o)и( h) = f о(h> ' - f (1h) ' lo >и (h) h где

}

§ 1 1]

АППРОКСИМАЦИЯ PAЗHOCTHOI'I СХЕМЫ

\ 03

Одн а ко при таком р азбиении на подсистемы, в отличие от р аз­ биения ( 1 5 ) - ( 1 7 ) или ( 1 8) - (20) , мы лишили с ь бы возможно­ сти коротко выр азить то обстоятельство, что nервое гр аничное условие при подстановке [u]h выполняется точно, а второе ­ лишь с первым относительно h порядко м . 6 . Замена производных р азностными отношения м и . В р ас­ смотренных приме р ах дл я получения р азностных схем м ы за­ r,,еняли производные в дифференци альном уравнении р азност­ ными отношениями. Этот п р ие м весь ма универсален и позволяет построить для л юбой дифференциальной краевой задачи, имею­ щей достаточно гл адкое решение и (х) , р азностную схему с лю­ бым н аперед заданным порядком аппрокси м а ции. Действительно, покажем, что производную dku/dxk произвольнаго поряд­ ка k можно заменить р азностным отношением так, чтобы погрешность от та­ кой замены для достаточно гладкой функции и (х) была любого н аперед заданного порядка р относительно шага h разностной сетки. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов. Напишем равенство вида (24) постараемен подобрать н е зависящие от h неопределенные коэффициенты а , , - S t + 1 , . . . , 5 2 , так, чтобы оно оказалось спр аведлив ым. Пределы суммирования 5t � О н 52 � О можно взять п� извольны:ми, н о так, чтобы порядок 5 1 + 52 р азностного отношения h - k 1... а8и (х + 5 h ) удометворял нер авенству 5 t + 52 � k + р - 1. По фор муле Тейлора

и

5 = -5 1 ,

и

d и (х ) ( 5 h ) 2 d2 и (х ) (х + 5h) = и (х) + 5h ... � + -21 - dx2 + ( 5h ) k + p - l

+ �.:..:.:..._ (k + p - 1 ) 1

dk + p - l и ( х )

dxk+p - l

__

+

( 5 h )k + P

(k + p ) l

ctk+Pu Ш

dx k + P

П одс тавим это выр ажение вместо и (х + 5h) в (24) и приведем подобные члены. Получим d kи ( х ) k k - h-

dx

_

[

и (х

)L

а8

+

dи ( х )

dx

---

h 11 L 5 as +

--

• • •

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях: h•, 5 = -k, . . , р - 1 , в левой и правой частях этого р авенства, получим

-k + 1,

.

1 04

СХОДИМ ОСТЬ, АППРО К СИМАЦИЯ И УСТОйЧИ ВОСТЬ

следующую систему уравнений для определения

L а8 = 0, L 5 а8 = 0,

.

L 5k- l a s = О, L 5 ka 8 = kl, L 5 k+ l a s = О, .

.

.

.

.

.

.

[ГЛ.

5

а. :

1

( 25)

1

Если 5 1 + 5 2 = k + р - 1 , то выписанные k + р равенств обр азуют л и н е й н у ю систему относительн о того же числа неизвестных а, . Определитель этой си­ стемы - 51 + 1

есть известный определитель В андермоида и отличен от нуля. Таким обра­ зом, существует единственный набор коэффициентов а. , удовлетворяющий системе (25) . Если + � k + р, то, очевидно, таких систем коэффициен­ тов а. мн ого. Так, например, существует единственное разностное отношение первого пор ядка вида h- 1 (а0и ( х ) + а 1 и ( х + h)] ,

5t 52

приближающее dи/dx с первым относительно при и (х + - и ( х)

:� =

�

�� =

��

h

порядком. Оно получается

+ 0 (h ).

Точно так же существует единственное разностное отношение первого рядка в ида h - 1 [ а - 1 и (х - h) + (х)], приближающее dи/dx с первым относительно h порядком: и (х ) - (х - h ) + 0 ( h ).

a ou

по­

Среди р азностных отношени й второго порядка впда

h-1

( х - h) + а0и ( х) + а 1 и ( х + h)] существует бесконечно много приближающих dи/dx с первым порядi(ОМ от­ носительно h , но только одно со вторым порядком. Реш ая систему (25) для этого случая увиди м, что при а1 = 1/2. ао = О, а- 1 = - 1 /2 [а - 1 и

dx = dи

u

(х +

h) - и (х - h) 2h

+0

( h2).

§ 11 ]

1 05

АППРОКСИМАЦИЯ РА ЗНОСТНОй СХЕМЫ

Если мы хотим приблизить d 2 и/dx 2 с порядком h2, то k = 2, р = 2 и надо, чтобы s1 + s z � 3 . Поэтому среди р азностных отношений в ида (26) h - 2 ( а - 1 и (х - h) + а 0 и (х) + а 1 и (х + h) + а 2 и ( х + 2h) ) "J"Олько одно является искомым. Решая систему (26) для определения ко э ффи ­ циентов а- 1 , ао, а 1 , a z, получим а - 1 = а1 = 1".

1,

а о = -2,

а 2 = О,

е. уже неоднократно использованное на ми равенство d 2 и (х) и (х + h ) - 2и (х) + и (х - h ) dx2

=

h2

+ 0 (h 2 )

•

7. Другие способы построения р азностн ых схем. З а мена про­ изводвыл разностными отношен иями не единствен ный, а ча сто н не лучший способ построения р азностн ых схем . Некоторым други м способам, приводящим к н а иболее употребительным разностным схем а м , будет посвящен § 1 9 . Здесь огран ичимся ори мером. Простейшая разностн ая схе м а и п + 1 - и п G (X n = O , 1 , . . . , N -· 1 , ll , Un ) = О ' h

L,lu(h) ==

f

[

Uo = а,

называе мая схемой Эйлера, аппроксимирует задачу �

Тх с

G (x , и) = 0 , и (О) = а

О �х�

1,

1

(2 7)

первы м порядком относительно h. При известном U n зн ачение вычисляется по фор муле U n+l = Un + h G ( Xn, U n ) . С хем а

Un+l

где й = Un + h G (xn . ип ) , н а зывается схемой Эйлера с пересче ­ том. Она же является одной из схем Рунге - Кутта второ го порядка аппроксимации, о которых будет подробно р ассказано § 1 9. Есл и U n уже вычислено, то по схеме Эйлера вычисляем значение Uo = a ,

в

а

потом осуществляем уточнение н а йденного й, пол агая Un+ l = Un +

� lG (хп , Uп) + G (хп + l • й)] ,

1 06

СХОДИМОСТ Ь, АПП РОКСИМАUИЯ И УСТОЯЧИН ОСТЬ

[ГЛ.

5

ЗАДА ЧИ 1. Проверить, что схема Эйлера с пересчетом аппроксимирует задачу (27) иа гладком решении u (x) со вторым относительно h порядком.

§ J 2. Определение устойчи вости р азностной схемы. Сходи мость к а к следствие аппроксимации и устойчивости 1 . Определение усто йч ивости. Пусть для приближенного вы­ числения решения и дифференциальной краевой задачи Lи = f (1) составлена р а зностн ая схе м а L hи< hJ = f Lh [и]h = f + 6 f < hJ , возникающая при подстанооке таблиuы [и]h решения и в урав­ нение ( 2 ) , удовлетворяет оценке вида h ( 3) ll б f< > IIFh � c. h k , где С1 - некоторая постоянная, не зависящая от h. Легко про­ верить, что разностная схе м а

Lhи< h > :=

{

аппроксим ирует

4

U n + I - Un - I

2h

3 Un + I - Un + А = иn О' h

n = l , 2, ио = Ь

. . ., N - 1,

du - + Аи = U ' dx

и (О )

=

Ь

н а решении и с первым порядком относительно h. Одн ако, как показано в § 9, решение и< h >, доставляемое этой р азностной схе­ мой, не стремится к [и]h при h -+ О. Таким образом, аппроксимаuии, вообще говоря, недостаточно для сходимости. Нужна еще устойчивость. О п р е д е л е н и е 1 . Б уде м н азывать р азностную схему (2) устой чивой, если существуют числ а h0 > О и б > О такие, что при любом h < ho и любом в< h > Е Fh, ll в< h > IIFh < 6 р азностн ая з адача ·

•

( 4)

§ 12]

ОПР ЕД Е ЛЕНИЕ

YCTOI'! Ч i f B OCTif

РАЗНОСТI I Ой СХЕМЫ

1 07

полученная из задачи (2) доб авлением к п р а вой части возмуще­ ния e< h >, имеет одно и только одно решение zU•>, причем это реше­ ние отклоняется от решения u неваэмущенной задачи (2) на сеточную функцию z - u, удовлетворяю щую оценке (5)

rде С - некоторая постоянная, н е зависящая от h . В частности, неравенство (5) озн ачает, что м алое возмуще­ ние e правой части разностной схемы (2) вызывает р а вномер­ но относительно h м алое возмущение· z - uU1> решения. Пусть опер атор L,1, отображ ающий Uh в Fh , линейный. Тогда приведеиное выше определение устойчивости р а вносильно сле­ дующе:v�у: О п р е д е л е н и е 2. Будем называть разностную схему (2 ) с линейным оператором L,, устойчивой, если при любом f< h > Е Е Fh уравнение L1,u = {(11> и меет единственное решение u< h > Е Е U h , причем (6)

где С - некоторая постоянная, не зависящая от h. Докажем равносильность обоих определений устойчивости в случае л инейного оператор а Lh. Сначала установим, что из устойчивости разностной схемы (2) в смысле определения 2 следует устойчивость в смысле определения l . Пусть линей н а я задача (2) при всех р а сс м атри­ ваемых h < h 0 и произвольнам f Е F h имеет единственное ре­ шение, причем выполнена оцен ка (6) . Вычитая из р авенства ( 4) ра венство ( 2) , получим L h (z

- u)

=

e '

откуда в силу (6) следует оценка (5) при произвольнам e Е Fh , а зна чит, и устойчивость в смысле определения l . Покажем теперь, что устойчивость в смысле определения l влечет за собой устойчивость в смысле определения 2. В силу определения l при некоторых ho > О и б > О и при произволь­ ных h < h0 и e + e< h >, L hu f< h >. Поло ж и м w == z - u и вычтем эти р авенства поч.1енно. Получим =

=

1 08

СХОДИМОСТЬ , АП П РОКСИМАЦИЯ И УСТОйЧИВОСТЬ

[ГЛ.

5

причем в силу (5) Очевидно, что, изменив обозн ачения решения и пр авой части уравнения L h w< h> = e I I Fh < б задача ( 2 ) и меет единственное решение и и выполнена оценка (6) не только для всех f , удовлетворяющих оценке 11 f< h> I I Fh < б, но " вообще для всех f< h > Е Fh, т. е. имеет место устойчивость в смыс­ ,л е определения 2. В с а м о м деле, пусть 11 f / p h � б. Докажем однозначную раз­ решимость и оценку (6) в этом случа�. Полож им и

< > - 2 11 r 11 // p h и- < м • f = 2 11 r : / p h _

,- (h! _

Для й получим уравнени�

Lh й( h) = Гh '.

причем

- ! < б. 2 / l t< h11J IIFh 11 f lluh � С 11 б f< h > IIFh · Учитывая (3 ) , сразу получ аем доказываемое не равенство ( 7 ) . В качестве иллюстрирующего примера докажем устойчи­ вость разностной схемы Эйлера h

U n + I - Un

- G ( Xn , ип ) = того же специального в ида f 1 О,

где O E F�I). Например, при доказательстве сходимости р азностной схе м ы ( 1 3 ) можно было воспользоваться тем, что оба гр а н и ч н ы х уелоРИЯ

{

}

.

Uo = 2 , == f O > h =1 при подстановке в них таблицы решения [ u ]h з адачи (4) из § 1 0 выполн яются точно: u ( O) = 2 , lh0 1 [u] h = и (1) = 1_ Поэтому проверку неравенства ( 1 5) , озн а ч аю щего устойчи­ вость разностной схемы ( 1 3) , можно было провести не дл я про­ извольной правой ч а сти gn , n = 1 , 2, . . . , N - 1 , [( l > u< h > h

f =

{

=

UN

{

а,

�. а тол ько для правых ч а стей вида gn, n = l , 2 , . . . , N - 1 , < > h f = о,

{

О,

ко г да а = О и � = О. В задаче ( 1 3) мы справились с проверкой нер авенств а, озна­ ч ающего устойчивость, и без учета этого упрощающего обстоя­ тельства . В более сложных задачах (для уравнений с ч а стны м и производными) указанное сообр ажение будет иногда полезно. В заключение параграфа подчеркнем, что схе м а доказатель­ ств а сходимости решения задачи L h u U•> = f < h > к решению зада ч и L u = f путем проверки аппроксим а ции и устойчивости носит общий характер. Под L u = f можно пони м ать л юбое функцио­ налыюе уравнение, а не то.'! ько кр аев ую задач у д л я обыкновен­ ного дифференциального ур авнени я. С а м о по себе неважно, ре­ шением какой задачи является функция и. Ур авнение L u = f используется только дл я конструиров ания р азностного ур авне­ н ия Lьu = f < h> . Поясним эту мысль в п . 3. _

[ГЛ.

СХОДИМОСТЬ . АППРО К СИМАЦИ Я И УСТОйЧИ ВОСТЬ

1 14

&

3 . С х о д я щ а я с я р азнос т на я с х е м а д л я и нте граль ного у р авнени я . Построи м и исследуем разностную схему для вычисления решения интегрального урав­ нен и я

Lи

"""'

и (х) -

� К ( х , у) и ( у ) dy = f ( х ) . 1

u

Будем предполагать, ч то 1 К (х, у) 1 < р < 1 . Зададим N , положим h = l fN и будет искать таблицу [ и ],. значений ре· шения на сетке Xn = nh, n = О , 1, . . . . N. Для получения разностной схемы мы в равенстве 1

и (х п ) - � К ( хп . у ) и (у) dу = f ( х п ) ,

n

о

= O . l , . . . , N.

приближенно заменим и нтеграл суммой, пользуясь квадратурной формулой трапеций . Напомним эту формулу: для произвольной дважды дифференци­ руемой н а отрезке О Е:; у Е:; 1 функции ЧJ (у) �:праведливо приближенное ра­ венство 1

�

u

q> ( у )

d y """ h

(�о

+ ч> ,

+ ср2 +

. . . + ч> N - 1 +

q> i\1'

-2-

)

1

•

h = N'

причем погрешность есть величина О (h2) . После указанной замены и нтеграла­ получим

и] .

Построенная разностная схема L h и ( h ) = t < h > аппроксимирует задачу Lи = f на решении и со вторым порядком относительно шага h, поскольку квадра­ турная формула трапеций и меет второй порядок точности. Проверим устой­ чивость. Пусть и 1 · m: x

[

1 z (х�,

О �х� 1

и (О) = а,

nри внесении изменений бq> (х) и ба в правые ч а сти ур авнения граничного условия соответственно решение и (х ) изменяется на величину б и ( х) того же порядка. Ра ссмотрим теперь р азностную схему

и

Lhи

r -�

( ) h

та к что

[

Un+ l h- U n

U11,

n = O, 1 , . . . , N - 1 ,

ио = а,

f l u h = m ax 1 и�>

к а к обычно, зададим р авенством т

1·

Устойчивости можно ожидать только в том случ ае, есл и норма 11 f < h) / / p h =

существенно за висит и от и меть вид 11 f < h > / ph

q> (xn )

1 ер (:п ) I Fh

и от а. Например, она может

= max [ 1 а /,

max I IP т 1 ]. т

( 1 4)

*) Мы имеем в виду и сл уч ай р азностных схе м дл я уравнений с част ­

ными

п р оизводными .

§ 13]

121

О В Ы БОР Е НОРМ

Устойчивость в этой нор ме док а з а н а в § 1 2, где р ассмотрена более общая нелин ейная задача. Нельзя ожидать устойчивости, если норм а выбр а н а , скажем,. по формуле 11 f < h> 1/Fh = max [h 1 а /, maтx 1 <JJ m 1 ], куда а входит по мере уменьшен ия h со все более малым весом. Устойчивость в смысле этой нормы озн ачала бы более сл а ­ бую зависимость решения и< h > от а, ч е м зависимость от а ре­ шения и дифференциального уравнения. Между тем , при м а ­ лом h в силу сходимости ( сходимость имела б ы место в случае· устойчивости, поскольку аппроксим ация тоже есть) решение р азностного ур авнения м ало отлич ается от решения дифферен­ циального ур авнения и при изменении начального зн ачения а должно меняться примерно так, как меняется решение и ( х ) . Более четко : при сдел анном выборе нор м ы з ад а ч а Un+ I - Un

h

+ А ип = <JJn o n = О, 1,

. . ., N- 1,

1

и0 = 0

аппроксимирует задачу

�� + А и = , не зависящая от а, должна была бы сходиться к решению и (х) , к аково бы ни было з аданное а . Но u< h > не· может сходиться одновременно к разным функциям и ( х ) . В случ ае р азностной схемы U n + l - 2u n

h2

+ Un - 1 + А

n = 1,

Un + l - Un - 1

21!

+ Ви п = <JJn o

N,

...

и0 = а ,

ll i

для задачи

d2 u dx 2

-

h

+ А dx + В и = 11

Таким образом ,

•

hA [(2 - B h 2) уО > -

У11 + 1 = Rh Yn + hрп,

n

- y(2! A h_ _2_--:::2

n

+ h'lm'�' n + l ] '

n = О, 1 , . . . , N - 2 ,

}

(25)

[ГЛ. 5

СХОДИМОСТЬ , АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОI-1 Ч И В ОСТ Ь

1 32

где _

2 - Ah 2 + Ah

о

В силу условий т ор Уа :

ua = а,

)

Pn =

,

и 1 - ио h

Ь

- [ а + bh ] а

Уа -

[

А� QJn +

2h2 2+

1

]

•

(26)

(см. (22) ) вычислим век· •

(2 7)

чем и з а вершим приведен ие исследуемой р азностной схемы виду ( 1 3) . Легко в идеть, что если норму вектора [ ; ] определить· как max ( 1 а 1 , 1 � 1 ) , то нам не уд11стся т а к просто доказать устойчи­ вость с н а ш и м операторо�л R h. так ка к 11 Rh 11 � 2 и 11 R h llп � оо . Поэтому норму в простр а нстве У определим не та к, как в при­ мере 2. Именно, положим

·К

Мы поставили значок h при У, чтобы подчер кнуть, что норма теперь з ависит от h . При сдел анном выборе норм между 11 u < h ) llu h' 11 f ! h ) IIF h ' 1 Pn l lv11, 1 1 Уа IILh выполнены соотношения ( 1 7) . Остается проверить в ыполнение условия \ R h \ vh � C , n = 1 , 2, . . . , N. Н а м известна формул а ( 1 9) , выражающая норму опе­ р атора через элементы з ада ющей его м атрицы, если норма в простр анстве У заДан а формулой Сведем з адачу вычисления нор мы оператор а в простр анстве Yh этому случ а ю :

к

т

;

�/ h ) . Покажем, что для любого линейного пре­ де S = ( l h образов а н и я Т, действующего в пространстве У, справедливо р авенство II T ll vh = \ s т s-1 /lv . В с а м о м деле, _

§

1 4]

1 33

ДОСТАТОЧНЫй ПРИЗНАК УСТОйЧИВОСТИ

Далее, 1 Т l lv

h

=-=

m; x

ll s т s - 1 sx lly II Tx llvh = 11 х llvh �,:� U Sx llv

l l s т s - ' o ll v 11 V 1 у

- m ax veY

_

Теперь заметим, что

2 - Ah h 2 + Ah 2А h l - 2 + Ah

)

ll - ll sтs - t UY·

-

•

Поэто му где С - какая-нибудь не зависящая от h постоянная, выбр ан� ная нз условия 1

+ Ch � max

[1 1

-

2В h 2 + Ah

1 +1

2 - Ah h 2 + Ah 8 2 Ah

1

lz l + l t � h 1 ] ' В частности, при достаточно м алых h это м у условию удов­ летворя ет, очевидно, число С = 1 + 2 1 А 1 + 2 1 В 1 · Итак, 1

�

•

-

n = 1 , 2,

2

. . .

A Ah

, N,

что гара нтирует устойчивость исследуемой схемы.

5. Неединственность канонической записи. Приведение разностной схемы к каноническому виду ( 1 3) можно осуществить м ногими способам и. Полагая у � = Ту11 , где Т - пр оизвольнос лине йное преобразование пространства У, к оторому принадлежат Уп и P n . п е ре й дем к записи

Yn+ l = RhYn + h pn, '

'

у�

Зде с ь

'

Rп

=

ТRпТ -

1

, Pn = TPn• '

'

задано.

Уо = Ту0• '

'

}

( 1 3')

1 34

=

[

С Х О д И М О С Т Ь , А П П Р О К С И М АЦ И Я И

Если

б ы в примере 3 вместо Y n

ll n + � � Un h R fr =

],

[ �: + ' ]

мы

[ГЛ.

2 + hA

У

h_

2 - hA 2hz В 2 + hA

)

,

Pn =

i/ [ � J I

[

Yn

положили

то п р и шли бы к записи схемы в виде ( 1 3) , где

( � -

=

УСТОйЧИ В ОСТЬ

2 2 + h A <JJn + r о

]

5

=

·

= rnax ( l a. l , I P I ) были бы вы · по фopмyлe . Y полнены условия ( 1 7) . Огр аниченность R � IIY очевидна:

П р и выборе нормы в

1

-

2 1) ( h , 1 2 2+h BhA 1 + 1 2 2hA+-h A2h В ( h) h ) + rnax (l + h l + 2 1 А 1 1 1 2-1А1h

где С в ы б р а н о из условия 1 + Ch >: rnax 1 +

=

=

В

'

И меется п р оизвол также и в выборе р азмерности простр анства могли бы, скажем, вместо

Уп = [ � : + 1 J полож ить Yn =

[ �::: ]. ll tl

•

У. М ы что в

этом п р н мере, впрочем, не упростило бы исследования устойчивости.

Подведем нтог н а ш и м р а ссмотрени я м . Из приведеиных при· меров вытекает, что для исследовани я устойчивости разностной схемы Lhи 1 + 1 u �2> 1 ), n

al

n

в предположении, что u n = а=

}

. . , N - l,

Нор мы

1 A if ( х ) 1 � М.

1 36

[ГЛ. 5

СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОйЧИВОСТЬ

3. Привести к каноническому виду: Y n + J = R 11Yn + hp n , н остное уравнение

U n + 2 - 2un + J + Зип - 4Un - J h

положив Ч п =

[ :::: J

- 5 Un = llиь • 1 f с

Сформулированный призн а к оценки степеней 1 � 1 по располо­ жени ю спектра (т. е. совокупности собствен н ы х зна чений) опе­ р атор а R1, не зависит, очевидно, от выбора нор м ы в простр а н­ стве, где действует оператор RJ,. Спектральный признак устойчивости ( 1 3) не зависит та к ж е от схемы ( 1 ) к виду (2). Если приведение ссуспособа приведения , ' ' ' h ' 1 ществлено иначе, Y n+ I = R h yn + Р 11 , так чт о У ' = Ту, R h = TR hT - , г де Т - произвольный невырожденный линейный оператор, то спектры опер аторов Rh и R� совп ад а ют. В самом деле, det (R�

- 'АЕ) = det (TRhT - 1 - ЛЕ) = d et [Т (Rh - ЛЕ) Т-1] = = d et Т d et (Rh - Л Е) det Т - 1 = det (Rh - Л Е) .

§ ! 5]

! I ЕОБХОДIIМЬ! й СПЕКТРАЛЬНЫй П РИЗНАК УСТОйЧИ ВОСТ! I

1 39

Поэтому уравнения d et (R1, - Л Е ) = О и det ( R � - ЛЕ) = О имеют одинаковые корни Л.

3. Обсуждение с nектрального признака устойчи вости. з а в а, что при выборе норм в соответствии с условиями

жение спектра оператора R,, в круге 1 Л 1 ' 1 + ch,

В ыше было nока­ (6) 1 1 (7) р асnоло­ ( 1 3)

н е обх од и мое для огр аниченности / R h //. н еобходимо также и для устойчи­ вост и . Пу сть уеловне ( 1 3) грубо нарушено, так что п р и достаточно малых h > О имеется собственное число Л, по м одулю существенно превосходящее е;ш ниuу, скажем, > О не. зависит от х. Тог да р азностная схема ( 1 ) неустойчива при лю­ р азумном выборе норм 1 и lluh и II J (h) IIFh' даже если и не огр аничи­ вать свободу этого выбора условиями (6) и (7) . Это высказывание нельзя назвать теоремой хотя бы потому, что оно оперир ует термином «р азумны й», не получившим точного определения. Объ­ ясшtм, что мы имеем в виду. При любом р азумном выборе нормы 11 и lluh можно так подобр ать по­ ложительное k,, чтобы п ри всех достаточно малых h выполнялось неравенс т во ( 1 4) 11 и lluh � h k ' m a x 1 и п 1 -

где

б ом

е

n

В противном случае, очевидно, не может быть выполнено р авенство (4) из § 1 3: lim 11 [иl ll uh = 1 и llu· h h -+ 0 Д а лее, при любом р азумном выборе нормы 1 r IIFh можно так п одо ­ брать k2 > О, чтобы при всех достаточно малых h выполнялось неравенство

( 1 5)

где через F обозначен Маt 1 + h 1 -&, то она неустойчива при любом разумном выборе норм.

Воспользу емся необходим ы м спектральным признаком устой­ чивости ( 1 3 ) и докажем, что схе м а , р а ссмотрен ная в § 9, дей­ ствительно неустойчива. В § 9 строгого исследования неустойчи­ вости не могло быть проведено хотя бы потому, что т а м в на­ шем р а споряжении еще не было аккуратных определений . Интересующая н а с р азностна я схема п риближает задачу и' + А и = О, ( 1 8) u (O) = а и и меет вид 4 Un

+ l � Un - 1 -

3 ll n + I - Un

Положив Y n = [

h

+ Аи = о , n = 1 , 2, . . . ' N + 1 , п

и0 = а, и 1 = ( l - Ah)

а.

}

::+1 ] , п риведем схему ( 1 9) к виду ( 2 ), где R

ь-

_

с з + А h -2 ) , 1

0

Рп = О .

(19

)

§

15]

НЕ О БХ ОД ИМЫИ СПЕ!(ТРАЛЬНЫИ ПРИЗНАК УСТОйЧИВОСТИ

141

Собственные значения м атрицы R. h суть корни квадр атного уравнения det (R. h - ЛЕ) = 0: Л

1, 2 =

2

3 + Ah ±

j �

2 _•

. ( 3 + Ah ) 2

2

Первый корень Л1 (h) при h - О стремится к числу 2, так что при м алых h 3 I Л.I I > 2 > 1 . Поэтому нельзя ожидать устойчивости ни при к а ком разумном выборе норм . В ч астности, если ввести норм ы р авенств а м и

11 u( h) lluh = man x 1 <JJn /, 11 f(h) //ph = II Yп i/y =

1 :n 1 �Fh /1 [ :�: J l y р

= m a x [ 1 а / , 1 � / , m ax 1 <JJn 1 ] , -

n

= m ax [ I Y �0 \ . \ У�' \ ] .

то будут выполнены оба условия (6) , (7) , п р и которых неравен · ство ( 3 ) необходимо для устойчивости. Одн а ко II R. � 11 > (3/2) n -> --. оо , если n = 1 /h, h - О, и устойчивости нет. Как м ы видели, грубое н а рушение необходн мого спектраль­ ного признака устойчивости ( 1 3 ) : IЛI�

1 + ch,

например наличие собственного числ а Л. * оператора R.h, удовле­ творяющего оценке 1 > 1 + h 1 -г.

л* l

свидетельствует о непоправимой за счет выбор а нор м неустой­ чивости. Подчеркнем, одна ко, что р аспо.'lожение спектра оператор а R.1& внутри кру г а 1 Л 1 < 1 + ch еще не гарантирует устойчивости. Устойчивость в этом случае может зависеть от удачного вы­ f.ора норм, к а к показыв ает пример следующей р азностной схе­ мы, которую мы у ж е рассматривали в § 14 с нескол ько иной точки зрения.

142

СХОДИМОСТЬ, А ППРОКСI !МАЦ И Я

УСТОйЧ И ВОСТЬ

[ГЛ. 5

Разностную схему решения задачи и" = q> (x) , и ( О ) = а, Ь выберем т а к :

и' (О ) =

ll n + l -

2u n + ll n - 1

h�

q>n ,

n = l , 2,

ио = а ,

u -;; un

Полож ив У п =

==

И

Ь = .

.

.

.,

[ �:+1 ] , запишем ее в виде (2), где ] Уо = [ ] =[ h iJ!n 0

Pn

а + hb

•

1

N - I,

а

1 •

Оба собственных числ а мат рицы R h р а вны единице. В случае I , I Y�> i ) , 11 и < h > lluh = max 1 Уп lly,

...

1 1"1 11,,

� 1 Г �'• � max [ 11 n

Уо

l y, m_;: x l �т 1 [ ;

� � I Yп l yh = max ( l y� > j, 1 у > � у > 1 ) . 11 и lluh = max 1 Уп 1 /yh , n 11 f< h > I F h = max [ 1 Уо i l yh max 1 q>m 1 ].

2)

rn

Читатель л егко убедится, что в обоих случ аях в ыполнены условия ( 6 ) , (7) и условия ( 28) из § 1 4, при которых устойчи­ вость р а вносильна оценке

1 R � 11 � С ,

ся.

..

1 , 2, . , N - 1 . П р и выборе норм по формул а м 1 ) эта оценка не выполняет­ Н а п р и мер, пол а гая Уа = [ 1 Уа 11 = 1 , получим Yn

пр и

n =

[п+ 1]

I /1!, lt --. О. =

n

'

n=

�],

§ 1 5]

НЕОБХОДI IМЬ!й С П Е КТР А Л Ь I ! Ьi й П РИЗНАК УСТОй Ч И В О СТИ

1 43

При выборе норм по формул а м 2 ) устойчивость имеется : при произвольнам у 0 = [ llo 11 1 имеем

] 1\ Yп l y h = \ RZYu / = / :: : � i�: =�: � �п - l ) \ Yh Но

= max [1 и0 + (и, - uo) ( n + 1 ) 1 · 1

n

и

+ 1 � 1/h, поэтом у I Yn ��11 = \ RZYo /k � � Uo 1 + I R� \1 < 2 ,

1 11 1 -;; 110 1 � 2 11 Yu \IY11

11 1 -;; 110 / ] .

n = 1 , 2, . . . , N - 1 .

Н а п р а ктике ча сто огр аничиваются проверкой того, выпол­ няется ли необходимый спектральный признак устойчивости. Если он выполнен, дальнейшую проверку пригодности схемы устанавливают путем экспериментального счета по этой схеме, не за ботясь о явном конструировании норм. Спосо б а м такой проверки посвящен § 1 8. З А Д АЧИ

=

=

1. Пуст ь р а з ностное у р а в нение второго порядка au n - t + b u ,. + си n + ! R ,,y n + h!p n с помощью з а м е н ы !f n = QJ n nриведево к в иду У п н U Показат ь , что корни х а рак т еристического у р а в не н и я а + ЬЛ +сЛ 2 =

[ ll nn + 1 ] .

=

=

= О и собственвые з н а ч ения м атрицы R h совпадают. 2. З а п нсать р а з ностное у р а внение втор ого nорядка au n - t + b u ,. + cи n + t =

= ер ,. в в иде Y n + t

=

R h Y n + hp n

с

nом ощью з а м е н ы Yn =

[ :: :� ] .

Един­

ственпо лп такое п р и веденпе? Показать , что собственны м и з н а ч е в п я м п м а т р и ­ цы R ,, я вляются Iюр шr х а р а ктер истического у р а в н е н и я а + Ь Л + с "л. 2 = О и еще число Л О, так что выполнение спект р а льного п р и з н ака уст оiiчп восш =

I Л I � 1 + ch не завнсит от вы бо р а Yn =

[ �: + I ] и л и Y n

=

[ �:: :: ].

3. Пусть собственпые векторы v < 1 J и v ( 2 ) м а т р иц ы второго порядка R ,, , отв еча ющие собс твенным зна ч е ш r я м л , и Л 2 соответственно,

u ,.

при h -+ О стремятся к р а зличны м неколли н е а р н ы м предельным п олож еп н я м . Тог да условия 1 Л , J < 1 + с h, 1 Л2 l < 1 + ch не только необходи м ы , во и достаточ н ы =

max

для оценки

в ида

[ J a. J , 1 � 1 ]. До к а з а ть .

1 R� 1 1 < С,

n

=

1 , 2,

...,

N, ес.111

1/ [ �] I Y

=

1 44

[ГЛ . 5

СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТО И ЧИ Н ОСТ Ь

§ 1 6. О ш и б ки о кругления 1. Ош ибки в коэф ф и циентах.

Если р азноетпа я схема Lh и

(l)

а п п роксимирует задачу L a = f н а решении и и устойчива, то и меет место сходимость .. Одна ко задум анная разностная схема н и когда не реализуется точно из-за ошибок округления в зада­ нии ее коэффициентов и пр авых ч а стей. Пусть, н а п ример, требуется решить з адачу и' + А и = соs х, О � х � 1,

}

u (O) = а

по р азностной схеме Un+ I h

Un

+ Aun = COS Xn >

А

n � О, 1 , . . , N .

Uo = a.

'· \

(2)

З начения cos Х11 , а, и коэффициент 1 /h з ад аются с тем и или и н ы м и ошибк а м и округления. В общем случае в место ( l ) мы и меем дело с разностной схемой (3)

гДе (!t.L1, и {!t.(I•Jf - погрешности в задании оператора Lh и п р авой ч а сти f< h>, вызваниные округлениями. Для схемы (2) опе· р а тор {!t.L h и м еет вид

-1

{!t. ( h ) ( � ) ( v п + l - Vn ) + (f!t.( h )A) ( (/!t.. ( h) Lk ) v h) -0 v0•

Vn ,

n = O, 1 , . . , N - l . .

·

Погрешность {!t.(l•>fU•> задается формулой n = O, l , . . . , N - l ,

Здесь (!t.M - погрешность, допущенная при з адании величи­ ны м. Чтобы избежать чисто технических трудностей, ограничимся случаем, когда опер аторы L h и (!t.< h >L h линейны, а простра нство Uh имеет конечную р азмерность, к а к в р асемотрепной схеме (2) . При э т и х предположени я х исследуе м, каковы допусти м ые ошиб­ ки округления и как должна возрастать точность задания раз-

1 45

О ШИ БКИ ОКРУГ ЛЕНИ Я

§ 16)

ноетной схемы по мере измельчения сетки, т. е. при стремленпи к нулю. Т е о р е м а. Если устойчивая разностная схема ( l ) аппрокси� мирует задачу Lи = f на решении и с некоторым порядком hk : 1 1 Lь ( и] ь - f< h) IIFь � ch k , h

то при усло виях

1 �(h) L ,zv (h) IIFь � c 1 hk 1 v(h) lluь• 1 �(h) f(h) I Fь � c2hk

J

(4)

разностная схем.а (3) тоже аппроксимирует задачу Lи = f с по.. рядком hh и тоже устойчива. Таким образом, п ри условиях ( 4) порядок точности р азност ­ ной схе мы (3) , по которой фактически производится счет, есть hk и совпадает с порядком точности з адум анной р азностной схемы ( l ) . В п редположении, что нор м а 11 · llиь выбрана в соответствии с условием ( 4) из § 1 3, т. е. так, что lim 1 1 [и] ь ll иь = 1 1 и l lu. 1

�Р


§ 1 7. Кол ичественн ая хар актеристика устойчи вости

1

Начнем с рассмотрения хорошо известного примера разност� ной схемы

Un + Jh- Un + Аиn = О ' и0 = 1

для дифференциальной краевой з адачи

(1 }

и' + Аи = О , и (О) = 1 .

Ее решение и м еет вид

ип = e-Axn + h А2;п e-Axn + о (ll2)

(см. (3') из § 8; пол а гаем

1 ) . В ы р ажение (6) из § 8 {) ( хп ) = h А2;п e-A x n + 0 ( h 2) Ь

=

представляет собою остаточный член, т . е . ошибку о т за мены значения е - � n точного р ешения ди фф еренциального уравнения решением и�J разностной задачи. Остаточный . член стремится. к нулю, как первая степень h ; эта схе м а и меет первый порядок точности. Выбор шага h за висит от точности, которую мы хоти м достичь. Ясно, что модуль отношен ия ошибки к точному реше­ нию l б ( x n ) /и (xn ) 1 должен быть во всяком случае меньше еди­ ницы, чтобы приближенное решение можно было считать с коль­ ко-нибудь точным. Посмотрим, при ка ких h это условие выполняется. В в ы ра­ жении б (xn ) пренебрежем сл а гаемым О (h 2 ) и р а ссмотр и м отно­ шение ошибки б ( х п ) в точке Xn к точному решен и ю : 6 ( хп ) 11

( хп)

�

А 2 х 11

- A xn n - x n = h A2X2

_h_-�_-2-�_ Ae

__

е

Возьмем А = 20 и будем р а с с м атривать это отношение в точке Xn = 1 . Тогда из условия l б ( l ) /и ( l ) 1 < 1 получим h < 0 , 2 1 0- 3 • Теперь выясним, какие ш а ги требуются для интегри рования той ж е задачи и' + А и = О по схе ме второго порядка точности ·

Un+J -h Un - J + А ип = О , 2 Uo = 1 , и1 = 1 - Ah,

}

(2 )

1 50

СХОдИМОСТЬ , АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОйЧИВОСТЬ

если по-прежнему

ycJI O B И IO

А = 20

и ставится та же цель удовлетворить ( 1< 1 1� ll

при

[ГЛ. 5

1)

( 3)

Решение этой задачи и м еет вид (см. р авенство ( 1 2 ) из § 8 Ь = 1):

Ошибка, таким образом, имеет в ид Пренебрежем слагаемым O ( h3) , выпишем отношение ошибки б ( хп ) к точному решению и (хп ) = е и определим шаг h из

- Axn

условия ( 3 ) . Этот ш а г окажется столь малым, что если условно принять м а шинное время р асчета по схеме ( 1 ) за одну секунду, т о по схеме (2) придется затратить окодо четырех суток! Дело в том, что оценку п р а ктической пригодности той или иной схемы для решения определенной задачи следует делать не только по степени lt, входящей в выражение погрешности, но еще и по коэффициенту при этой степени. Теперь постар аемся понять, как можно судить о пригодности той или иной разностной схемы Lhu = f из исследования ее устойчивости. Для краткости з аписей будем считать оператор L h линейным. Н а помним (см. § 1 2 ) , что р азностная схема назы­ ва ется устойчивой, если при любом f Е F,, она однозначно разреш и м а , причем решение u( h) Е Uh удовлетворяет оценке Доказывая в § 1 2 теорему о том, что из аппроi lluh видно , что для м алости величины 1 1 [u]h - u ll uh надо .,

§

17]

КОЛИЧЕСТВЕI-I I I Л Я ХАРАI\ТЕРИСТИКА YCTOПЧI I BOCТif

Ist

с:: ще, чтобы не был слишком велик коэффициент С , хар ; :ш те рн­ гующий устойчивость. Поэтому, если мы хоти м выяснить пригодность той илн иной р азностной схе мы для решения интересующей н ас задачи, ШI JI O :1 11 ать, что сх е м а устойчива . Нужно еще з нать примерно вс.'ш­ чину коэффициента С, суждение о которой можно получить с п о­ собами, указанными в §§ 1 4, 1 5, экспериментальны м и расчета l\1 1 ! или каким-нибудь косвенным обр.азом. Подсчитаем, н а п р и мер, коэффициент С для разностных схсы ( 1 ) и ( 2 ) решения задач и и' + А и = qJ ( х ) , и ( О ) = а, о которых шла речь в начале п а ра гр а ф а . Сначала рассмотрим схему + А ип - IРп о

ll n + J - Il n

/l

_

u0

при нор м а х

=

а

n = O,

1, . . . , N - 1,

) 11 иUt ) l uh = m ax 1 ип 1, 1 1 f !h I Fh = m a x [ 1 а 1, m a x 1 (\Jп 1 ] . n

n

Приведем ее к виду Y n + l = R hY n + h рп , у0

}

задано, положив У п = и" , R h = ( 1 - A/z ) , Р п = IJJ n· Положим = I Y n l · Тогда условия ( 1 7 ) из § 1 4 выполнены :

l l y" l l =

( 5)

причем можно положить с2 = 1 . Далее, очевидно, 1 R7. l ( l - A h )11• Поэто му можн о полож пть С = 2 ma x [ 1 , ( 1 - Ah) "]. Отсюда =

' С = { 2 ( 1 - A h) N , 2,

если А > О , если А � О.

Покажем, что число С нельзя взять существенно меньШIIМ. Нормы выбра ны нами так, что выполнены и условия (6) и (7) из § 1 5 : (6) 1 и< h) l uh � М , m ax 11 Уп 1 1, n

1 52 l , qr > 1 , 1 q2 l < l . Решения -

-

Рис. 5.

Рис.

6.

q n и q ?, соответствующие корня м q и q 1 , примерно одина• ково б ыстро р астут, а п а р азитическое решение q � затухает, не оказы в а я вли я н и я на х а р а ктер устойчивости второй схемы ( рис. б) . Отметим, что большое зн ачение С п р и А « О неизбежно для любой разностно й схемы, прибл и ж ающей задачу и' + Аи = О, и ( О ) = а . В са мом деле, при м а л ы х IL решение устойчивой раз­ ностной зад а ч и похоже на решение дифференциальной задачи, к которому оно пр н !L - О сходится. Но решение дифференциаль­ ной задачи и = u0e --" -" таково, что шах 1 и (х) 1 ·= 1 и 0 1 е-Ах, т. е. ш а х 1 и (�) 1 в большое ч исло е-А р аз превосходит модуль 1 ио l н а ч ального зна чения u0. Мы должны еще отметить, что большой коэффи циент С ве­ д е т н е только к необходи мости р асчетов с м ел к и м шагом, но и

§ l R]

П P I I I' M

И С С .Л Е ЛО В Л Н И Я

1 55

Y C T O il Ч I I B O C Т I I

к большому числу десятичных з н а ков, с которым приходится вести вычисления. В самом деле, в § 1 6 м ы показали, что ошибки округлешш можно включить в ошибки при задании п р авых ч а стей, которые оцениваются величиной C 1 h k . Увеличение этих ошибок вызывает увеличение коэффициента С 1 , 'I T O при большом С в силу ( 4 ) l\южет катастрофически сказаться н а точности результата. В заключение этого п а раграфа м ы хотели бы еще предосте­ речь читателя от ложного впечатления о схе мах второго поряд­ ка точности, которое могло у него создаться из р а ссмотренного примера. Мы вовсе не хоти м опорочить все такие схемы, опи­ сывая недостатки одной из них. Читателю будет очень полезно провести_ с а мостоятельное изучение схе мы второго порядка точ­ ности вида Un + l - ll n

h

+А

Un+l + Un

2

= О'

1

Стремясь добиться, чтобы при А = 1 погрешность б ( 1 ) был а меньше, чем и ( 1 ) = е-А , он убедится, что эта схе м а н а кл ады ­ вает менее жесткое огр а ничение н а ш а г h, чем схема первого порядка точности ( 1 ) . Кроме того, советуем прикинуть, с каким ш а гом н адо инте­ грировать задачу и' + и = О, и ( О ) = 1 , чтобы получпть в tt ( 1 ) погрешность не более. 1 0-:>. Ес.тш читатель продел ает эту при ­ кидку для рассмотренных в начале п а р а гр а ф а разностн ы х схем ( 1 ) и (2) , то увидит, что схе ма первого порядка т с ч 1 : ::: :: � ;i ( 1 ) требует значительно более мелкого шага, ч е м схем а второго порядка точности (2) . . Таким образом, выгодность или невы годность той или иной схемы з ависит не только от нее самой, но и от задачи, к кото­ рой она применяе т ся. и0 = 1 .

§ 1 8.

П р и е м и с с л едо в а н и я усто й ч и во ст и н ел и н е й н ы х

з адач

Способы исследования устойч ивости, нз,rюженные в §§ 1 4 11 1 5, были непосредственно приспособлсны для раз ностных урав­ нений с постоянными коэффициента ми. Поэтому может пок D ­ заться, что нельзя использовать п риведенный в этих п а р а гра ф а х материал дл я ан ализа схем интегрирования даже уравнен и й �� = G (х, и) с довольно общей функцией G . Одн ако это не та к. Пусть интересующая н а с интегральная кривая уравнения liX =

du

G (x, и)

(1)

1 56

[ГЛ. 5

СХО ДИМОСТЬ , АППРОКСИМ АЦИЯ И УСТОйЧИ В ОСТЬ

пр оходит через точку с коорди натами этой точки и меем G

х = х0' и - и0• -

Вблизи

(х , и) � д G д( х.и и ) (и - ио) + д G д(х.х и ) ( х - Хо) + G (хо , ио) .

(2)

и поэтом у уравне ние ( 1 ) с определ енной точност ью может быть з аменено более просты м :

dи

dX -

где

А =

qJ

( Х)

=

д G ( х и) д и, G

1 , х = х,

( Хо , Uo ) + д G д( хх, и) u = uG

А и = Y I-I Г E -

Схем а Р унге - Кутта

Lhu( h ) = где

ип + 1 - ип

h

1 59

КУТТА И АДАМСА

- [ 2a2а- l

]

1 k r + - k2 = 0 ' 2а

n = О, 1 , . . . , N - 1 ,

(4)

ио = а ,

п ри любом фиксирова н ном а имеет второй порядок аппрокси­ м ации. докажем только утвержден ие о схеме ( 4 ) . Доказатель­ дения о схеме (3 ) а н алогич но, но более громоздко. тво утверж с Решение Мы

и (х)

уравнения

и'

=

du

а

(х, и ) удовлетворяет тождествам

di """' a ( х , и ( х )), d d2u да + да = dx� """' di ( х . и ) 7fX дU

и ( xn + h

( х п ) = и ' хп + ( )

Поэтому из формулы Тейлора

�

- ll

а

� и" ( Х п ) + О (h 2 )

_ [а +� (2Q_ + 2Q_ди а) ]

для решения и ( х следует равенство ) и ( Xn + l ) - и ( Х п ) 2 дх h

а.

=

х � хn и�и ( хп )

0 (h2) ,

Но, разлагая по h функцию друх переменных по формуле Тейлора живая члены первой степени, получим 1 l 2a21 2а--\ k 2 ( х + a h, и + aha) k2 1 а а ·

+ -2 1

а+ а 2 а 1 + 1 [ а + � alt + а а a h a + О h 2 ] ди 2а а 2а + �2 ( да + ддuа а ) 1 а

2а

=

-

1

=

х = хп = U U ( хп )

,

-

(

dx

=

а

дх

)

и

уи.ер­

x = xn tхп )

U=U

х = хn и = и ( хп )

n и = и (Хп)

х=х

(5 )

+

О (h2).

( 6)

Поэтому при подстаповке в левую часть р авенства (4) вместо U n и ll n + t соответственно значени й и (хп ) и u (x .. + t ) решеп а я u (x) п олучится выраже­ ние, совпадающее с левой частью равенства (5) с точностыо до О ( h2) . Сле­ довательно, это выражение имеет второй r.орядоi( относительно h . Поскол�>ку значение llo = а задано точно, этим завершается доказательство того, что схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.

[ ГЛ . 6

УПОТРЕБИТЕЛЬНЫ Е РАЗНОСТН Ы Е СХЕМЫ

1 60

Для получения иn+l по схеме Рунге - Кутта при уже извест­ н ом ип приходится l р а з в ычислять значения функции G ( х, и ) . Эти зн ачения больше н е используются. 2. Схе м ы Адамса. В схе мах Ада м с а , одну из р азновидностей которых мы сейчас опишем, для вычисления каждого следую ­ щего зн ачения иn+l достаточно дополнитедьно вычислить значе­ н и е G ( х, и ) лишь в одной точке независимо от порядка аппрок­ сим ации. Кроме того, пр иходится продел ать небольшое число вычитаний и сложений, которые требуют во много раз меньше времени, чем к аждое вычисление сколько-нибудь сложной функ­ ции G (х , и ) . Обозначим V fn = fп - f п- l • V2 fn V (Vfп) = Vfn - V fп- 1 = f n - 2 fп- l + fn-2• V3fп = VV2fп = fп - З f п- 1 + З fп- 2 - fп-з =

и положим G n = G ( xn, иn ) . Выпишем несколько р азностных уравнений, используемых в схем ах Ада мса для выч исления иn + l • если и п , иn- l , . . . уже вычислен ы :

Un Un +l -Un

Utl+l - - Gп = О , n = O, 1 , h n = 1 , 2, Gn - - VGn = 0 • h Un + l - U n Gn - ; VGn V2Gn = о , n = 2 , 3 , h Un +l � V2G _!_ V G G =О G � 8 V3 h n = З , 4,

21

-

_ 152 U n n 2 n 12 n -

-

-

-

-

n

. . . , N - 1 , (7 ) .

. . , N - 1,

(8)

. . . , N - 1 , (9) ( 1 0)

. . . , N - 1.

П ервое из этих уравнений - р азностное уравнение Э( О они н е превос­ ходят единицу. Поэтому небольшие ошибки при задании У0 и У 1 ведут к столь же небольшим погрешностя м в решении. Рас­ смотр и м теперь задачу Коши " - а2 = О O� x� l, , у у (2') у (О ) = Уо, у' ( О ) = tg а . Е е решение имеет вид

}

у ( х) =

аУ о + 2а

tg а

е

ах

+

аУ о

-

2а

}

tg а

е - а х.

Если при задании tg а допущена погрешность решения при х = 1 получит прир а щение l\ y ( 1 ) =

: еа - 2: е-а.

2

е,

то значение

( 4)

При больших а вычитаемое в р авенстве ( 4 ) пренебрежимо м ало, но коэффициент при е в первом сл агаемом еа/ ( 2а ) стано-

§ 201

1 69

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

вится большим. Поэтому метод стрельбы п р и решении задачи ( 1 1 ) , будучи форм ально п р иемлемой п роцедурой, при больших а становится п р а ктически непригодны м . Это перекликается с сооб­ ражения м и п . 2 § 5, где был приведен пример вычислительна не­ устойчивого алгоритм а дл я решения р азностной краевой задачи. 2. М етод прогонки. Для решения кр аевой задачи О�х� у" - р (х) у = f (х),

1, }

y ( I ) = Y,

у (О) = У0,

)}

при р (х) � 1 можно воспользов аться р азностной схемой Y m + 1 - 2 !/ m

ll '

+ У т- 1

_

Р ( X m ) Ym =

f (Xm '

О < т < М,

Mh = l ,

У о = Уо,

Ум = У,

и

решать разностную з адачу прогонкой. Условия при мени мости прогонки при р (х) > О, к а к л егко проверит читатель, выпол­ нены. 3. Метод Н ьютона. Метод стрельбы при решении хорошо по­ с тавленой кр аевой задачи может оказ аться, как мы видели, непримен и м ы м из-за вычислительной неус т ойч ивости. Но м етод прогонки, даже формально, можно примен ять только для реше­ ния линейных задач. Метод Н ьютона сводит решение нелинейной задачи к се рии линейных задач и состоит в следуюшем. Пусть изв естн а ве кото­ р а я функция у 0 ( х) , удовлетворяющая граничным условиям ( 1 ) и грубо приближенно равн а я искомому реш ению у ( х ) . Полож и м Уо (х) + v (х) , у ( х) ( 5)

г де v ( х ) - поправка к нулевому приближеюно у 0 ( х ) . Подста­ вим (5) в уравнение ( 1 ) и линеаризуем задачу, используя равенства у" (х) = у; (х) + v " (х) , =

f (x , y0 + v , Y� + v 1 ) = =

f (х. , у0 ,

1 у0) +

д f ( Х , У 11, ду

У�)

v

+

дf ( х ,

Уо , У �)

ду '

v

1

+ О (v 2 +

l v 1 l2 ) .

Отбр асыва я остаточный член О ( v 2 + 1 V 1 1 2 ) , получ и м линейную задачу для поправки v (х) : i/1 = р ( х) V1 + q (х) iJ + qJ (х) , (6 ) v (O) = v ( l ) = O ,

}

1 70

г

[ГЛ. 6

УПОТР Е Б ИТЕЛЬНЫЕ Р ЛЗНОСТНЬI Е СХ Е МЫ

де р

(х) -

_

iJf ( х ,

ду '

У0 • У�) •

q ( х) =

д f ( х, У 0 • У �) ду

•

У�) - У�· Решая линейную задачу (6) а налитически или кюшм -либо численным методом, н а йдем приближенно поправку й и примем У1 == У о (х) + v .:�а следующее приближение. Описанная процедура может применяться к нелинейной раз­ ностной I::Ж = О из неравенства ( 6") следует, что rn ax l и::Ж I не возрастает с ростом n. Отмеченное свойство разт ноетной схе м ы принято называть принципом максимума. Для краткости будем иногда пользоваться эти м названием для всего неравенства , 1 и::ж+ 1 1 � mтa x 1 и ::ж 1 + т m a x 1 q> ::Ж 1. т, n Правая часть этого нер авенства не зависит от т, т а к что в ле­ вой части вместо 1 и ::ж+ 1 1 м ожно написать rna x 1 и ::ж+ 1 1 , получив т перавенство m a x 1 и::ж+ 1 1 � max 1 и::ж 1 + т m a x 1 q> ::Ж 1· т

т. n

т

Аналогично получ аем неравенства

m a x 1 и::ж 1 � ma x 1 и::ж- 1 1 + т mт,a x 1 q>::Ж l • т

т

mтa x 1 и)п 1 � mтa x 1 и�

n

1 + т mm,anx \ q>::Ж 1 ·

После почленного СJlОжения этих нера венств и приведен ия добных членов получим

1 и:n 1 mтa x 1 и::ж+ J 1 � max т

+ (п + 1) т mm,a nx 1 q>::Ж 1 ·

по·

1 78

П Р И ЕМЫ ПОСТРОЕ НИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

[ ГЛ . 7

Отсюда неnосредственно следует m a x 1 и�+ I 1 � m a x 1 '1' т 1 + Т m a x 1 1 раз­ н остной сх е м ы (5 ) на чувствительности реше н и я иU'> к ошибкам п ри задан и и fh� Ведь и м е н но р а в н ом е р н а я относит е льно h чу в­ ствительность решен и я I< ошибкам при задании fU'> и определе на выше как у с тойч и во ст ь . Допустим, что п р и все х h выпош1я ются тождеств а r:p ( mh , п т) = О и -ф ( m h ) = О, так ч то f(h) =

{ 'Ф(j)�тl } = о

и р е ш ение u ( h ) = {и�} зада ч и ( 5 ) есть тождествен н ы й нуль. и� =-:= О. Допуст и r�t , далее, что при зад а нии н а ч альных да н н ых допущена о ш и б к а и вместо 'Ф т = О зада но �'т = ( - ! ) тв, в = = coпst , т а к ч то в-м е сто за

дан о

Будем обоз н ачать получ а ющееся при это м решение через й

....;.;.:._т__:.::.. +

(mh. п т ),

m = O, ± I , . . . ; n = O, I , . . . , [T/ т ] - 1 , и� = "Ф ( ml!), m = O, ± 1 , . • .

} }

§ 22. П ростейшие приемы построения аппрокси ми рующих р азностных схем

1 . Замен а производных р азностн ы м и отнош ениями. Простей­ ший прием построения разностных кр аевых з адач, а п прокси­ мирующих дифференциальные, состоит в з а мене производных соответствующими р азностными отношениями. Приведем не­ сколько примеров разностных схем, полученных таким спосо­ бом. В этих пример а х будут использованы прибл иженные фор­ мулы _d_ f ( z_ )

� .!...f..:..:
и ( х + З х ,;� - и ( х , t )

т. д .

(А/)1 .

= ди �:· t )

+

[

t. x д2 ид�; 2

t)

+

0

(dx)]

s

22)

ПОСТРОЕНИЕ АППРОI(СИМИРУЮ ЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пример

1.

Вернемся к з адаче Коши ( 4) из § - оо < х < оо ,

ди - ди дt дх = q> (х , t) , и (х, О) = 'Ф (х) ,

- 00

(mh , пт ) , L hll(h) = uоm = ·•'1'· ( тh)

{

она является единственной, а ппроксимирующей р а ссматривае­ м ую задачу Коши. Говоря о единственности, мы пренебрегаем тем произволом, который вносит сво бода выбора функ ций О 1 (h ) , О 2 ( lt ) , Оз ( Jz ) . Всюду в дальнейших •?n + l, л) пр им ера х м ы та к же будем прене- (m -/, _ �) (т,л) б регать подо бного рода очевидны м Р и с. 13. произволом и даже н е все г д а б у д ем в водить произвольн ые вел ичины, ан алогичные ве личи н а м 0 1 ( h ) , 0 2 (/t ) , Оз (h ) , с самого н а ч а л а полагая их р а в н ы м и нулю. Ч итатель без тр у да убедится, что в р а ссмотренном сейчас примере учет этих величин привел бы к следующему несуше­ ст венн о м у из м ен е нию результата : ао = � (+ + O (h) ] ,

I

(m,л+l)

1 [ ' - 1 + O (h) ] , 1 а1 = 7i [ - 1 + O (h)] .

ао = 71

,-

А налогично будет обстоять дело и в других примерах, кото ­ рые н а м встретятся . Пос мотр и м теперь, как можно строить для задачи ( 4 ) раз­ ностные схемы a0u;:,+ • + аuи::Ж + а _ 1и;:,_ 1 + a 1 u;:, + l = q> (mh , пт). ( 1 0) L h ll( h ) - u�1 'iJ (mh) = более общего вида, связывающие значения искомой функци и в четырех точ ках, изобр аженных н а рис. 1 3. =

7

{

С. К. Год у н о в .

В . С. Р ябен ький

ПРИЕМ Ы ПОСТРОЕНИ� Р АЗНОСТНЫХ СХЕМ

1 94

Ш а ги сетки снова свяжем р авенством ' = rh , r = введем обозн а чение лh . п оложив Л hи( h ) = а0и�+ ! + а0и� + а _ 1 и�- I + а 1 и� + !'

[ГЛ.

7

const, и

(1 1)

Для веикой достаточно г л адкой функции и ( х, t) с помощью формулы Тейлор а можно написать

Ah [и]h lx = m h , = ( а 0 + а 0 + а 1 + а - 1 ) и (mh, n , причем значение решения и(h ) в точке сетки, бли­ жайшей к Р, полностью оГiределяется значениями функции 1\J н а некотором множестве 0�' 1 о� ( Р ). Для того чтобы имела место сходимость иСh> -+ и при h -+ О, разностая схема пеобходилю должна быть устроена так, чтобы при h -+ О в произвольпой окрестности любой точки области ОФ (Р) при достаточно .малом h имелась точка множества O�h> =

= >

= 0�1 (Р ) .

Объясни м , почему в случ ае невыполнения сформул и рован­ ного условия Кур а нт а, Фридрихса и Леви сходи мости ожидать не приходится. Пусть оно не выполнено, т а к что в некоторой фиксированной ок рестности некоторой точки Q и з обл а сти ОФ ( Р) при всех достаточно м альzх h нет точек из множеств а о�> = = о �> (Р) . Если сходимость иlh > -+ и и при данной функции ф имеет ( случ а йно ! ) место, то измен и м 1\J в указанной окрестности точки Q так, чтобы изменилось зн ачение и ( Р ) , оставляя вне этой окрестности функцию 1\J неизменной. Сходимость иС h > -+ и при новой функции 1\J уже не может и м еть места : значение и ( Р) изменилось, в то время как значения uU'> в точке сетки, ближай­ шей к Р, остались при � алых h неизменными, поскольку функция 1\J в точках м ножества о� > O�h > (P) осталась неизменной. Условию Куранта, Фридрихса и Л еви нетрудно придать фор­ му теоремы, а проведеиные р ассуждения превр атить в ее дока" зательство, одн а ко м ы не будем этого дел ать. Р а ссмотр и м несколько примеров, где изложенное н а м и сооб­ р ажение позволяет установить р асходимость и непри годность разностной схемы и н а щупать устойчивую и сходя щуюся р аз­ ностную схему. Конечно, доказательство сходи мости приходится проводить отдельно, так как в ыполнение условия· Кур ант а , Фридрихса и Леви лишь необходимо, но н едостаточно для схо­ димости. З а мети м та кже, что при н аличии ап прокс и м а ции усло­ вие Кур анта, Фридрихса и Леви необходимо и для устойч ивости, поскольку из а п п рокс и м ации и устойчивости следует сходи­ мость. 2. П р и меры р аз ностных схем для з адачи Кош и . Используем условие Куранта, Фридрихса и Леви для а н ализа н ескольких р азностны х схем, аппроксим ирующих задачу Коши

=

ди = 1\Jo ( Х, t), ди + а ( t ) ах

дt

и (х, О)

= 'i'1 (х) ,

-

-


(Р) состоит из точек сетки, отмеченных крестиками, а множество G��> (Р) - из точек x_N, X-N + l • . . . , хо . н а оси Ох (эти множества и м еют общие точки н а оси О х) . Оче­ видно, что любая точка Q множества GФ, ( Р) имеет окрестность, в которую не попадают точки множества 0�,1 (Р) , как бы м ало ни было h. Разностн а я схе м а ( 4 ) не удовлетворяет условию Ку­ р а нта, Фридрихса и Леви, необходи м ому дл я сходим ости. Р а ссмотрим теперь для задачи (3) ра зностн у ю схему ( рис. 1 7 ) (6 )

'214

ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

.ИЛИ

+

[ГЛ.

7

}

и::z+ l = [ I + а (tп) r J и::z - а (tп) rи::z +l 't"ф0 (хт , tп) • (7 ) и� = '1'1 (хт) • где r = т:/h. Ш а г т: сетки выберем из условия N т: = 1 , N - целое, так что ·гс·ч ка Р = ( 0, 1 ) будет принадлежать сетке. Значение решения u в этой точке, т. е. и� , в силу формул (7) выразится через 1\Jo ( O, 1 - т:) и два значения и�- 1 и и f - 1 Эти два значения в свою очередь в силу (7) выражаются через '\J o (0, 1 2т:) , '\J o ( h, 1 - 2т: ) и через три значения и�-2, и f - 2 , и� - 2 и т. д . В коп ечном счете и!j выражается через значения '\Jo ( хт, tn ) в точка х .

-

f'(IJ, /)

-t

о

Рис. 1 7.

сетки, отмеченных н а рис. 1 7 крестиками, и через значения '\'1 ( 0) , и� = '\' 1 (х 1) , . , и� = '\' 1 (x N) функции '\' 1 ( х ) в то ч ках хо, х 1 , . . . , XN н а оси О х. Таким образом, Gф�> (Р) в этом случа е - это множество точек, отмеченных крестиками, а , x.v н а оси Ох. Ясно, G�� > (Р) - это м ножество точек Хо, Х 1 , что в случае r = т:/h > 1 /2 (этот случ ай не изобр ажен на ри· сунке) точка В = ( 1 /r, О) лежит л евее точки А = Gw ( Р ) . По­ этому существует окрестность точк и А , в котор ую не поп адают при h -+ О точ ки о� > (Р). Условие Кур анта, Фридрихса и Леви н а рушено, и сходимости ожидать нельзя. Для того чтобы схе м а (6) могл а оказаться сходящейся, не· обходимо, чтобы r � 1 /2 • Но этого м ало. Допустим, что r < 1 , но н е котор а я точк а Q х а р а ктеристики AQP лежит над прямой ВР, как на рис. 1 7. Тогда тоже нельзя ожидать сходимости. З н ачение функции '\J o (х, t) в точке Q оказывает влияние на зна­ чение и ( 0, 1 ) решения дифференциальной з адачи, т. е. Q при­ н адлежит м ножеству G w, ( Р ) . Но значение '\J o (х, t) в точке Q ( к а к и значения '\J o (х, t )· на всем участке QP характеристики) не оказывает влияния на значение и (Р) решения р азностного и� =

.

.

•

•

.

§

24]

УСЛ О В ИЕ КУ Р А Н Т А . ФРИ Д Р ИХСА И Л Е В И

215

уравнения в точ ке Р : существует окрестность точки Q, куда при h - О не попадают точки множеств а G�� J (Р). Условие Кур анта. Фридрихса и Леви не выполнено. Выбрав r н а столько малым, чтобы треугольни!{ ОРВ содер­ жал не только точку А = ( 2, О ) , но и всю х а р а ктеристику AQP. уже можно доказать устойчивость ( и сходимость) р азностной схемы (6) . Для та кого выбора числа r учтем, что ( в силу диф­ ференциального ура внения характеристики dx/dt = а ( t) ) вели­ чина -- 1 /a ( t) есть тангенс угл а н а клона касательной к ха р а к­ теристике к оси О х, а -- r = --т:/h есть т а н генс угл а н аклона прямой ВР к оси Ох. Легко понять, что х а р а ктеристика AQP бу­ дет лежать в треугольнике ВОР, если '� �

m ax

1

l) � t � l

(8 )

l a (t ) l

и тогда условие Кур анта, Фридрихса и Леви выполнено. Покажем, что при условии (8) р азностн а я схем а ( 6 ) , ап­ проксимирующая задачу Коши ( 3 ) , устойчива, и следовательно. tходится. При этом нормы определим р авенства м и l и� j . l l и( h ) lluь = max т. п 1 f( h) IIF h = max 1 'Фо (хт , iп ) 1 + max 1 'Ф 1 (хт) 1. т m, n

Учитывая, что при условии (8)

1 + а (tп) r � 1

2t п + 1 3

-

из р а венства (7) получи м

j и�+ 1 1 �

[ 1 -- 2t

n

+ 1

r

+ 2t

n

+1

r

� О,

] max 1 и� 1 + 't' m ax 1 'ljJ0 (х,,.., tп

т m, n j l �'o (xm , tп ) l � � max т и� l + 't' max т. п 3

� max 1 и�- 1 1 т

3

х + 2 't' max m, n 1 'I\J0 ( т , tn ) 1 �

/ ит:п+ 1 / � 1 1 fih J IIFь

Поскольку полученное нера венство

) 1�

216

[ ГЛ .

ПР ИЕМЫ ПОСТРОЕ НИЯ Р А ЗНОСТНЫХ СХЕМ

с п р аведливо при любых т = О, ± 1 , . . . и любых � 1 , то ll u ( h) l luh � 1 f ( h) IIFh '

n,

7

( n + 1 ) т :s:::;;

и

устойчивость р азностной схемы ( 6 ) при условии (8) доказ ана. Ог р а н ичение (8) н а шаг т п р и з аданном ш а ге h, т :s:::;; 1/з h, можно осл абить, не н а рушая условия Кур анта, Фридрихса и Леви, если t

О

Л=В=(ё, О)

.---�--��--�--- х

Рис. 1 8

сдел ать ш а г т переменным, tn+l = tn + 'tn, и выбир ать его при nереходе от tn к tn+ l с учетом н а клона х а р а ктеристики вблизи точ ки t = tn, а именно из условия

n = O, 1 , . . . Из менен н а я таким образо:VI схе м а (6) имеет вид u n+ l _ u n un _ un т 't"n т + а т + l lz т = �'о (х ·u ли

т , tп). и� = 1\J I (х ) т

(9)

( 1 0)

В соответствии с формулой (9) огр аничение н а ш а г 'tn менее жесткое, чем при использовании схемы (6) с постоянным шагом. При м алых n используется шаг t'n � h, и лишь при приближе­ нии tn к t = 1 приходится выбир ать t'n = 1/3 h (рис. 1 8) . Доказа­ тел ьство устойчивости схе мы ( 1 О ) при условии (9) лишь несу­ rцественно отл и ч а ется от док азательства устойчивости схе­ мы (6) при условии (8) : используя нер авенство 1 + а ( t п ) r n � О,

УСЛ О В И Е КУР А Н Т А . Ф Р И Л Р Т ! Х СЛ И Л Е В И

� 24]

получим в силу ( 1 1 ) 1 и;:,+ 1 � max 1 и::, / + 't11 maxn / '\'0 (хт, f11) 1 :::;;;;

т

217'

tn,

:::;;;; max / и::z- 1 / + (-r11_ 1 + 't 11 ) m ax / '\'0 ( х т,

t

п) / :::;;;; т, n � m a x / и%, / + t n + 1 m a x 1 '\'0 ( x m , f11 ) / < 1 1 f во всех вну­ тренних точ ках сетки. Значения же в гр аничных точках сетки з ада н ы с са" мого н а ч а л а . Одн ако э т а н а первый взгляд удобная схе м а совершенно не­ пригодн а . Известно, что решение задачи Дирихле для уравнения Л а пл аса зависит в каждой точ ке от значений ф ( х, у) 1 г всюду н а гра н и це. А в построенной н а м и р азностной схеме вычисле­ вие решения u во всех внутренних точках происходит без ис .

=

.

УСЛОВИЕ

§ 24]

I(YPAHTA.

ФР ИДР ИХСА И Л Е В И

пользования значения ф (х, у) на верхней стороне квадрата. Эта разностна я схема не м ожет оказаться сходящейся. Сложность, присущая схеме ( 1 3) , связ ана с существом дела . В з аключение п одчеркнем еще раз, что услов ие Куранта, Фридрихса и Л ев и не является достаточ ным условием устойчивости. В § 25 будет, в част­ п ости, показано, что разностн а я схема

Lhи о.

h?

-

Р + аа и рт + а l и рт + l + а2 и т + 2) ,

00




ПОСТРОF.Н И Я РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

(х - t) + ф (х - t) + 2

q>

[ГЛ. 7

(х + t) - 'Ф ( к + t)

,

�

1

W ( Х, t) -_ q> (х - t) + 'Ф ( х - t ) -2 q> (х + t) + 'Ф (х + t) , J Может ли оказаться сходящейся р азностная схе ма вида v�+ l - v � w � + 1 - w� 1 +

1'

о , р ?;: О , т = О, ± 1 , . . ,

h

w тP +I _ W тQ v � + l - v;;, о, + h v� = q> ( ) w � = 'Ф ( х т)?

.

1

�

1

1'

xm •

·Сопоставьте области влияния начальных данных для р азностной ренци альной задач. 3. З адача К:ош и

.i!.!!_ dt

и

.i!.!!_ = о ' дх

(х, О) =

имеет ре шение

e iax ,

и

.

t > о,

-

00

1 . 8

С, К. Годуно11,

В,

С, r'ябенышА

П Р ИЕ МЫ И ССЛЕДОВАНИI'I УСТО йЧИВОСТИ

226

{

[ГЛ.

8

П р и м е р 3. Рассмотр и м следующую разностную схему L и< h) = h

и �+ t _ и;:, - и;;, + ! - и � _ 1 т 2 /J

= qJ

и� = 'Ф (хт )

(хт , fp) ,

( 1 8)

для той же з адачи Коши ( 1 4 ) . По д ставляя в ур авнение ( 1 8 ) выражение (8) , посл е сокр а­ щений получи м ура внение дл я Л :

0/+i."

e ia _ e - ia

'J. - 1

-т- -

ИЛИ

2h

Л (а ) =

=О

1 + i ( � si n а ) . С пе ктр Л = Л ( а ) заполн яет верти кальный от­ Рис. 2 2 . резок длины 2т:/h, проходящий через точ ку Л = = 1 ( рис 22) . Есл и т:/h = r = const, то уеловис ( 1 2') н е выполня ется ­ · спе ктр н е л ежит в единичном круге. Если при h _. О ш а г т: из ­ меняется, к а к h 2 , та к что т: = rh 2 , то с а м а я далекая от то ч ки Л = О точ к а Л (а) имеет модуль .

о

о

/- !! '

.

-V (i-Y

1 + = V I + тr � 1 I Л (a ) l a �л/2 = Условие I Л ( а) 1 � 1 + ст: в э том случ а е выпол нено п р и с = r/2. Ясно, что требование т: = rh 2 является гор аздо более ж е с т ­ к и м условием на убывание шага по вре м е ни т: при стремлении шага h к нулю, чем требование т: = r/1 , r � 1 , которого было достаточно для в ы полнения признака Ней м а н а для разностных с х е м (5) и ( 1 5) , а ппроксимирующих ту же задачу Коши ( 1 4 ) . Отмети м, что признак Кур а нта , Ф ридри х са и Леви, к а к по­ казана в конце § 24, позвол яет утверждать неустойчивость об­ · суждаемой схе м ы тол ько при т:/h > 1 , а при т:/h � 1 суждений о б устойчивости не дает и оказывается сл абее п ризнака Ней­ мана. Рассмотр и м теперь две построенные в § 2 2 р азностные схемы, ыш рокси м и рующие задачу · Коши дл я уравнения теплопровод­ ности ut - а2ихх = qJ (х, t ), - оо < х < оо , O < t < T , ( 1 9)

{

и

(х, О)

=

·ф

(х),

- 00

+ -f т:.

О-

произвольное .

В

�о / U (a) /2 da,

2n

·

2�

самом деле, если

( 43)

max 1 '}.. (а) 1 = а

§ 25]

= 1 А. (а")

СПЕ !(ТРАЛ ЬНЫй АНАЛИЗ РАЗНОСТНОй ЗАДАЧИ I

(х + h , t) - u (h ) ( х , t) h

't' д 2и (h) ( х , f 'l ди( h ) ( х , t) д t2 дх +2 h д2и (h ) ( х, t)

+ h� 8 (11) 1 ( х, t) .

д х2

-2

(50)

Здесь и далее 8 h >, 8 h>, 8 h) - равномерно по h огр аниченные вместе со своими производ н ы м и функции. Из р авенства (50) следует, в частности, д и (h ) д (h l + h8 (h ) ( Х , t ) _uдt _=_ д_ 2 х

\

д2и( h ) д u (h ) д iii2 = 7iX �

�

�

•

Дифференцируя это тождество по t , получим

(

)

+ ·

h

д 8 �h )

д2 и (h )

-с;г - (§Х2 +

h

д 8 �h>

7JX

+

h

+ h 8 з(h >. аг = д х2 д 8 �h)

д� u(h)

П одставля я выражение для д2uf h 1fд12 в р а венство (50) и отбrасывая члены второго порядка м алости, получим дифференциальное у р авнение вида ( 48) : дU(hJ

a u ! h>

� - ах-

=

h - 't' д 2u (h > -· 2- � '

(5 1)

которое будем р ассматривать не на сетке, а всюду п р и t > О . Таким образом, р аз ностное уравнение ( 4 6 ) оказалосu в «Основном совпа­ да ющим » с дифференциальным приближение.м ( 5 1 ) , котор ое есть ур авнени е в ида (48) с м а л о й вя зкостью 1.1. = ( h - т ) /2. Э т а вязкость носит назва ни е аппроксимационной, так как появ илась в результате а п п р оксимации задачи (47) раз ностной задачей (46) . Д ифференциальное у р а внение (5 1 ) сглаживает начальные данные в основном так же, как схема ( 46) . Действительно, если tax, то к м оменту t = т эта гар моника, в соответствии с форм у ­ U (х О ) = е , лой ( 49) , ум ножится н а А

(а , 't')

= 1 -

h - 't' 2

--

a 2 't' + ia't' •

a 2 't' 2 2-

h

+ о ('t'2) = 1 + ia't' - 2 a 2't' +

о ('t' 2 ) .

(5 2 )

§ 25)

=

С П Е КТРАЛЬН Ый АНАЛИЗ Р А ЗНОСТНОй ЗАДАЧИ КОШИ

иr:n

П ри

t

Л

-r

(а)

= fliax \x�m h

239

eia т h по р азн остной схеме (46) получим

=

ту ж'е г а рмонику, умноженную на множитель

=1-

r

- r + (1 +

+ rela h = 1

r

iah

в

момент

� ) + о (h2) =1+ � a2-r + О (-r2),

а 2

-

.".

ia-r -

который совпадает с множителем ( 5 2 ) с точностью до бесконечно м алых h) порядка.

второго относительно -r (или

З А Д АЧИ 1. При каких значениях п а р аметра а > О р азностн а я схема , аппр окси­ мирующая задачу Коши для уравнения теплопроводности

Р+ l ит

_

't'

Р Р+ I ит = а и т+ l

_

и 2ир + I + иР + I + и� _ 1 т- 1 + ( 1 - а) � + I - 2 и � 2

1�

т = О,

и� задано, т/h2?

±

1,

• . •

h

,

'

}

удовлетворяет спектр альному признаку устойчивости Неймана при любом r =

2. Удовлетворяет

разностн ая схем а :

ли спектр альному признаку устойчивости следующая

и �+ I _ и �- I 2-r

г� е

.h( "' тl )

и i,.

! ит

= и (х, О ) + 't ди ( х , О) дt

=

}

= 'l'т • =

th( l )

'�' т '

т = О, ± 1 ,

и 2 и ( x m ' О) + 't' д 2 д(х, х

О)

Эта р азностна я схема аппроксимирует задачу Коши лопроводности с nор ядком О (т2 + h2) . 3. Показать, что р азностн а я схема

и�+ I _ и � +

__;.;..:__ = 't'

А

и Р ++I l т

2h _

Р +-I1 ит

• • . ,

= О , т = О, 1, р = О, 1 , . . . , т = О, ± 1 , ±

. . •

,

• • • ,

аnпроксимирующая задачу Коши

.Е!!._ + А � =О дх и (х, О) = 'IJ (х), дt

'

- 00 - оо


l .

а)

�� 8�

G�

d) т),

Любая функция v = {Vmn} , обр ащающаяся в нуль на гр а н ице квадр ата, р азлагается в конечный двумерный р яд Фурье .М - 1

"

Vmn = 2 i..J

k, l - 1

г де

m . -м S lП М , C k l SlП

.

k1t

l1tn

(6)

Ck z = ( v , -ф .!... 2.

и при достаточно м алых значениях h н а йдутся Лk, I Лп l > 1 . Тогда устойч ивости нет ни при к ако м р азумном *) выборе норм. Р ассмотри м р азностную схему более обшего в ида

r

*) См. §

13.

[( 1 - и) ЛххиР + иЛххиР + I} = О , и� = Ф (mh)

§

27]

I(ОНЕЧНЬI Е Р ЯДЫ ФУРЬЕ

257

для той же дифференциальной задачи о теплопроводности ( 1 1 ) . Здесь а - пара метр. Н а йдем решения вида

k = 1 ' 2, . . . ' м - 1 ' лh подлежат определению. Подставляя это выр ажение в р азностное уравнение, пол у . чим .с оотношение, которому должно удовлетвор ять Лh : + + Ak = 1 't' ( 1 - а) J.l.k ,; a'A.kJ.I.k · Отсюда . 2 k1t 1 - ( \ - О') т s ш 2М 4 h2 .,...-k = 1 , 2, . . . , М - 1. 'Л k = -----k 1t u,. .

где

� +

По-прежнему

4h 2

sш2

2М

i 'Лk l2 (иP, иР). (и Р + I , иP+ 1 ) � max k

Энергетическое не равенство ( 1 5) имеет место, если max l 'Л k 1 � 1 или ( 1 - u) r . 2 k 1t - 1 + ur . 2 k1t 1 т 1 об! П 2М """'= J 1 4 sш 2М ' r = 7i! ' 4

1

1

_

Очевидно, что при 1 ;;;;::: а ;;;;::: 1 /2 это не равенство - и эне рге­ тическое нера венство ( 1 5 ) также - выполняется, ка ково бы ни было r . Если а = О, то р азностна я схема превращается в уже рассмотренную явную схему и, как м ы видели, для выполнения энергетического не равенства ( 1 5) при всех h нужно, чтобы было r � 1 /2 . 3. П редставление решений р азностных схем для двумерной з адач и теплопроводности . Р ассмотрим теперь двумерную з адачу

теплопроводности ди

д2и

+

д 2и

l} ( 1 6) O � t � T. и (х , у, t) lг = О, J Здесь через обозначена боковая поверхность п а р а ллелепи­ дt

=

дх2

ду 2

•

и (х, у, О) = 1jJ (x , у) , Г

О �х� 1, О �у� 1,

педа О � х, у � 1, О � t � Т. Построим сетку (хт, Уп, tp ) = ( mh, nh, р,;) , причем будем счи­ тать h = 1 /М, где М - н атур альное. За D h примем точки сетки, 9

С, 1(. Годунов-, В , с.

Рябеиькиll

258

[ГЛ. 8

П РИЕМЫ ИССЛЕДОВА НИ й УСТОйЧИ ВОСТИ

О ::;:;;; t ::;:;;; Т.

лежа щие внутри и на границе пар аллелепипеда О � Обозначим A xxU:'nn = A YYU:'nn =

u i:z+ l,

n -

2 ui:z n + и :'п-1.

h2

и�. n + l - 2и:'п п + и�. h2

х,

у ::;:;;; ! ,

n

n-l

Операторы Ахх и Ауу совершенно аналогичны, только первый действует по перемениому т, в то время как n и р - пара метры, а второй - по перемениому n, а т и р - для него параметры . Просте йшая р азностная схем а для задачи ( 1 6) есть о :;;;;; тh,

u� n = �1 (тh, nh) ,

nh ::::;;;:

о :;;;;; р т < Т - т,

ui:z п l г = 0.

1,

)

1

( 1 7)

И щем решения разностного уравнения при условии uPtn n 1 г = 0 вида , О. То г д а левую часть этого равенства оценим так:

rа2 (хт•• tn ) и�t_: 1 - ( 1 + 2rа2 (хт •• tп)) tt�"t 1 + rа2 (хт•• tп) и�ti 1 = = а 2 (хт•• tn) [(и�t_: 1 - и�t 1 ) + (и �п1�1 - и�1 1 ) ] - и�1 1 � - и�t 1 • Поэтому

- иnт*+ J � - и nт* - -rm (x �

3.

't'

т* '

� mтах и� 1 + -r max т. n j �p (xт , tп ) ! .

Сопо ст а вление я вно й и нея о но й разностных схем . Таки м обр азо м, н ер а венство (5) , означающее справедливость прин­ ципа м а ксиму м а , доказано. В месте с тем доказана и устойчи­ вость неявной р азностной схемы ( 1 4 ) в нормах ( 4 ) . Под черкнем существенную разницу между явной и неявной разностными с х емами (2) и ( 1 4) . Пер вая из них тр ебует для

§

28]

ПРИНUИП МАКСИМУМА

устойчивости ограничения на шаг 't'

=:;;: : �

1 2 m ax а 2 (х,

t)

h2

267

,

которое становится о чень жестким, есл и коэффициент а 2 (х, t ) принимает большие значения хотя бы в .малой окрестности ка­ кой-либо одной точки. Вторая, неявная разностная схем а остается устойчивой при произвольно.м соотношении ша г ов h и т:. Разностные схе мы, которые подобно неявной схеме ( 1 4 ) остаются устойчивыми п р и п роизвольнам соотношении ш а гов с етк и , н азывают абсолютно устойчивыми или безусловно устой­ чивыми. Я в н а я схем а ( 2) н е является абсолютно устойчивой.

ГЛАВА 9

П О Н Я Т И Е О РАЗ Н О С Т Н Ы Х С Х Е МА Х ДЛЯ Р А С Ч Е ТА О Б О Б ЩЕ Н Н Ы Х Р Е Ш Е Н И И § 29. Обобщенное решение

Во всех р а ссмотренных до сих пор пример а х м ы предпола ­ гали, что существ у ют достаточно гладкие решения дифферен­ циальных краевых задач, а в основу построения р азностных схем клали приближенную за мену производных в дифферен­ циальном уравнении р азностны ми отношениями. Одн ако диф­ ференцируемых функций н едостаточно для описания многих важных процессов ф изики. Так, н а п ример, ф изические экспери­ м енты показыв а ют, что р а спределения давления, плотности и температуры в сверхзвуково м течении невязкого газа описы­ в а ются функция м и, имеющи м и скачки - ударные волны. С качки могут возникать с течением времени при гладких н а ч альных данных. Соответствующие д и�ф еренциальные краевые з адачи не и меют гладких решений. Прихо д ится р асши рить понятие реше­ ния и некоторым естественн ы м способом ввести обобщенные ре­ шения, которые могут быть и разрывными. Для этого суще­ ст вуют дв а основных способа. Первый способ состоит в том , чтобы з аписывать физические з а коны сохр анения ( м а ссы, импульса, энергии и т. д. ) не в диф­ ференциальной, а в интегральной форме. Тогда они имеют смысл и для р а зрывных функций, которые нельзя дифференци­ ровать, но и нтегрировать можно. Второй способ состоит в искусственном введении в диффе­ ренциальные уравнения та к их члено в , при которых эти у рав­ нения имеют гладкие решения. Эти искусственно введенные члены в сл уч а е газодин а м ических задач имеют смысл малой вязкости, выглаживающей разрывы течения. Затем коэффи­ циенты при «вязких» членах устремляют к нулю, а предел , J\ к о ­ то рому стрем ится решение , принимают з а обобщенное решение исходной задач и .

ОБОБШ ЕННО Е Р Е Ш ЕНИЕ

§ 29)

269

Мы поясн им определение обобщенного решения и способов его расчета н а примере следующей задачи Кош и : и + и дх = О, дt ди

д

о < t < т,

- оо < х < оо ,

}

(l) - оо < х < оо , и (х, О) = \jJ (х), котор ая является простейшей моделью задач газовой дин а мики среди обладающих свойством возникновения разрывных реше­ ний из гладких нач альных данных. 1 . Мехаю1зм возникновения р азрывов. Предположи м сна­ ч ала, что задача ( 1 ) и меет гл адкое решение и (х, t ) . Введе м ли­ нии х = x (t ) , определяемые ур авнением

�; = и (х,

t) .

(2)'·

Эти линии называ ются хара ктеристиками уравнения ut + иих = О. t

Рис.

28.

Рис. 29.

Вдоль каждой х а р а ктеристики х = x ( t ) решение и (х , t) . можн о сч итать функцией, завнеящей только от t: и (х, t) = и [х ( t) , t] = и (t). Тогда .!!! !._ = .Е!:_ �� � .Е!:_ д t + д х dt = дt + и дх = о • dt Поэтому вдоль х а р а ктеристики решение постоянно, и (х, t ) = = c o пs t . Но в силу уравнения ( 2) из и = coп st следует, что ха­ р а ктеристика есть п р я м а я линия х = и t + ха. Здесь ха - абсцис­ са точки ( х а , О ) , из которой выходит х а р а ктеристика, а и = = \jJ ( ха ) - угловой коэффициент ее н а клона к оси Ot. Заданием н ач альной функции и ( х , О) = \jJ (х) , т а к и м образом, н аглядно определяется и картина х а р а ктеристик, и значения решения и ( х, t) в каждой точке полуплоскости t > О ( р ис. 28) .

РА СЧЕТ О Б О Б Щ Е Н Н Ы Х Р ЕШ Е Н И й

27'.:

[ ГЛ.

9

З а м етим ср азу же, что в предположении существования глад­ кого решения и (х, t ) х а рактер истики не могут пересекаться, так как каждая х а р а ктеристика пр иносила бы в точку пере­ сечения свое значение решения и решение не было б ы однозначной функцией. П р и мо­ t нотонно возрастающей ф у н к ­ ции ф (х) с ростом Ха угол а увеличив ается, характер и ­ стики н е пересекаю тся (рис. 29) . Но в случае убывания функции ф (х) х арактер и­ стики сходятся и пересече__..:....__�L.,_-+--'----..,. .т ния неизбежны - незави0 симо от гладкости функции ф (х) . Г л адкое решение заРис. 30. дачи ( l) перестает суще­ ствовать с момента t = l, когда хотя бы две характер и стики пересекутся ( р ис. 30) . Гр афики функции и = и (х, t ) при t = О , 21 t- и t , изображены н а р ис. 3 1 . l1

[)

Рис.

31

2 . Оп р еделение обобщенног о решения . Н а помним фор м улу Г рина, которой будем пользоваться при определении обобщен­ ного решения задачи ( 1 ) . Пусть D - произвольная область с rр аницей Г н а плоскости Oxt, и пусть Ф 1 (х, t ) и Ф2 (х, t ) имеют ·в области D непрерывные в плоть до границы Г частные произ­ водные. Тогда справедл и в а следующая формула Грина :

И ( а:, + да�" ) dx dt = ф Ф 1 dx - Ф2 dt . D

( 3)

Г

)

Ф есть дивергенция вектора Ф = Ф : . Формула Грина ( 3 ) озн а ч ает, что интегр ал от дивергенции век­ торного поля Ф по области D р а вен потоку вектор а Ф через гр аницу Г этой обл асти.

в ыражение --уг дФ 1

+

дХ2 дФ

(

§

29]

ОБОБЩЕ ННОЕ Р Е Ш F. Н ИЕ

271

Переходим к определению понятия обобщенного решения. З апишем дифференциальное уравнение из задачи ( l ) в дивер­ гентной форме: д ди u2 (4) дt + ах т ) = О .

(

Проинтегрируем обе ч а сти уравнения (4) по произвольной области D, лежащей в полуплоскости t � О. Получи м О=

� � [ �� + :х ( � ) ] dx dt = ф и dx - � dt. Г

D

Таким образом, каждое дифференцируемое решение ура внения ( 4 ) удовлетворяет интегральному соотношению

ф и d � dt = O, г

х

2

-

(5)

где Г - произвольный контур, лежащий в полуплоскости t > О. Равенство (5) выражает некоторый з а кон сохранения : поток вектора и 2 через любой з а м кнутый контур равен нулю. Покажем, что, и обратно, если гладкая функция удовлет­ воряет при любом контуре Г интегральному з а кону сохр анения (5) , то в каждой точке ( хо, to) , to > О, выполнено р а венство (4 ) . Предположим противное, и пусть для определенности в неко­ торой точке ( хо, to) будет

(�)

.2.!!. д t ._ + � д х .!!:.'2_. _

( 2 )1

t � to

х - хо,

> О.

Тогда в силу непрерывности можно н а йти столь м алый круг D с границей Г и с центром в точке ( хо, to) , всюду в котором

ut +

( 1�2 )

х

О=

> О . Пол учим

ф и dx - � dt = � � [ �� + :х ( и; ) ] dx dt > О . Г

D

Возникшее противоречие О > О доказывает, что из (5) в слу­ чае гладкой функции и (х , t) следует ( 4 ) , так что (4) и (5) равносильны. Но в случае р а зрывной функции и ( х, t ) диффе­ ренциальное уравнение ( 1 ) или (4 ) н а линии р азрыва теряет смысл, а интегральное условие (5) смысла не теря ет. Поэтому будем н а зывать обобщенным решением ур авнения (4) всякую кусачно-дифференцируемую функцию, удовлетворяющую п р и произвольнам выборе контур а Г в полуплоскости t � О усло­ вию (5) .

272

РАСЧЕТ ОБОБ ЩЕ Н Н ЫХ РЕШ ЕН И й

[ ГЛ . 9

3. Усл овие н а л и н ии разрыва решения. Пусть внутр и об­ л а сти, где отыскивается решение, имеется линия х x ( t) , на которой обобщенное решение и (х, t) терпит разрыв пер вого ро­ да. Пусть при приближении к этой линии слева или справа по­ лучаем на ней соответственно и (х, t) = ил ев (х, t), и ( х, t ) = U п рав (х, t) . Оказывается, что значения илев ( х, t) , иправ ( х, t) и скорость движения точки .IJ р азрыв а х = dx/dt не могут бып. про­ извольны: они связаны между собой некото рым соотношением . �------� z Пусть L явля ется л ин ией разр ы в а о и dx - �2 dt ( р ис. 32) . Интегр ал Рис. 32.

==

tt

�

ABCDA

по •к онтуру AB CDA , как и по любому другому контуру, обра­ щ а ется в нуль. Когда отрезки В С и DA стягив аются к точка м Е и F соо11ветственно, интегр алы п о н им обр ащаются в нуль и по­ луча ется р авенство

� [и] dx - [ �2 ] dt = О,

L'

или

� ( [и] �� - [ и; ] ) dt = О,

L'

где [z] = Zправ - Zлев - скачок величины z на линии разрыва, а L' - произвольный уч асток этой линии L' = EF. Ввиду произвольности участка L' в каждой точке линии L долж н а о б р а щ аться в нул ь подынтегр альная функция :

�� - [ и; ] = О. U �рав - "�е в "лев + "пр ав [и] = 2 (ип ра в - Uл е в) = (и]

Отсюда

!!:__ dt

= [!!...2 ]

:

т а к что н а линии р азрыва вы полнено условие

dt = dx

в " п рав

"л е +

2

Если бы м ы записали уравнение вергентной форм е : д

Ut

+

иих

д из ) = О , (з ( u2 ) + -ах

ar т

2

=

'

(6) О в другой ди­ (7)

§

29)

ОБОБЩЕ ННОЕ Р Е Ш Е Н И Е

273

то пришли бы аналогичны м путем к другому интегральному соотношению: и

ф - dx - - dt = O ' г

и2

из

2

3

(8 )

к другому условию н а линии разрыв а :

(9)

Н а клон (9) линии р азрыва ( или скорость х уда р ной вол н ы ) не сов падает с н а клоном ( б ) , отвечающим первой дивергентной за писи ( 4 ) . Отсюда видно, что понятие обобщенного решения зависит от того, к а кой именно интегр альный з а кон сохр анения отражается заданным дифференциальным уравнением ( l ) . В зада чах м атем атичеокой ф изики интегр альные з а коны сохра· нения имеют вполне определенный ф изический с м ысл. Н а гладких функциях все пять форм записи

и

ди

ат + и ах- = 0, ди

д

ди

и2 (2 ) =о и2 ( ;t 2 ) + :х ( и; ) = О , ф и dx - �2 dt = О,

ат + ак

,

и2 из ,t 'j' 2 dx - 3 dt = О

г

г

равносильны между собой. В дальнейшем, р а ссматривая задачу Коши ( l ) , мы будем иметь в виду вЫполнение интег рального з а кона сохра нения ( 5) и вытекающего из него условия ( 6 ) н а р азрыве. 4. Распад произвольного р а з рыва. Пусть з аданы р азрывные начальные данные п ри х < О, и при х > О . = Построенное по этим начальным данным решение изображено на рис. 33. 2 + 1 dx 3 Та нгенс угла н а клона линии р азрыва dt = -2- = 2 яв ляется средним а р ифметическим из тангенсов углов н а клона характеристик по обе стороны от нее.

{�

2 74

Р А СЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ Р Е Ш Е Н И И

[ ГЛ . 9

З а дадим теперь в н а ч альных условиях другой разры в : nри х < О , и= при х > О. Из р ис. 34 видно, что возможны два способа построения реше­ ния. В первом способе м ы получаем непрерывное решение, а во

{�

dx= J dt 2

t

11 =2

(} Рис.

33.

втором - ра зрывное при t > О. Следует предпочесть неnрерыв­ ное решение. В пользу этого говорит следующее р ассуждение. Е сли несколько изменить н а чальн ы е данные, задав их формулой при х � О, 2 при и= при 1 + хfв то решение и определится однозначно. Оно изображено на р ис. 35. При стремлении 1:: к нулю это решен ие переходит в не­ прерывное решение, изображенное н а р ис. 34, a-r Запрет реше­ ния , изображенного на рис. 34, б, по причине его неутойчивости

{

t

ff=l

о)

.т

Рис. 3 4

о

d)

.т

относительно возмущения н а ч альных данных а н алогичен запрету ударных волн р а зрежения при математическом описании тече­ ния идеального газа.

'§ 30)

ПОСТРОЕНИЕ Р АЗНОСТ НЫХ СХЕ М

275

5. Другое опр е деление обобщенно го решения . Для опре де ­ ления понятия обобщенного решения задачи ( 1 ) можно рас­ -смотреть вспомогательную задачу ди ди д2и дt + и ах = /.1. д х 2 ' ( 1 0) и (х , О) = '\) (х).

}

Здесь дифференциальное ур авнение уже не гипербол ического, а параболического типа. Его решения сохра няют гл адкость, ·е сли '\) (х) - гладкая функция. А есл и и (х, О) = '\) (х) разрыв н о, ·то разрыв сглаживается. П а р а м етр 1.1. > О игр ает роль вяз кос ти t

Рис.

35.

газовой дина мике. При 1.1. -+ О решение задачи ( 1 0 ) стре м ится к пределу, который можно принять за обобщенное решение з а ­ .дачи ( l ) . Можно п оказать, чте для задачи ( 1 ) последнее опре­ деление обобщенного решения р а в носильно определению с по­ мощью з а кона сохранения (5) . :в

§ 30. П остроение разностных схем Перейдем теперь .для задачи

к

вопросу о построении р азностных схем

� + и � = 0' дt

дх

и (х, О) = 1\J (х).

}

(1)

Будем предполагать для опреде.Jiен нqсти, что '\) (х) > О . Тогда &t (х, t ) > О . Первое, что кажется естественны м , - это р а сс мот­ реть разностную схему и � - и� - 1 и �+ l _ и � = 0, р = О, l ' + и� h "" (2 ) m = O, ± 1 , . . . , и:n = '\) (х т )·

... , }

РАСЧЕТ ОБОБЩЕ Н Н Ы Х Р Е Ш Е Н И й

276

[ГЛ. 9

т 0, мы видим, что З а моражив а я коэффициент в точке для возникающего ура внения с постоянными коэффициентами при переходе н а слой t = (р 1 ) т выполняется принцип м а к­ сймум а , если ш а г т = 'tp выбран из условия

и� +

т=

rР = Тр �---;и� т \ ----.-1 . h

ma x

-

1

Поэтому можно ожидать устой чивости. Есл и решение задачи ( 1 ) гладкое, то аппрокси м а ция задачи ( 1 ) задачей (2) не вы­ з ы в а ет сом нения. Действительно, в этом случае эксперимен­ тальные р а счеты заранее известн ы х гладких решений подтвер­ жда ют сходим ость. Одн а ко если задача ( 1 ) имеет ра зрывное решение, то сходимости к обобщен ному решению, заданному, скажем, интег­ ральным з а коном сох ранения

f и dx - u22 dt = О,

(3)

г

н и в како м разумном см ысле ожидать нет оснований. Ведь в используемую р азностную схему ( 2 ) не заложена инфор м а ция о том, какой именно з а кон сохра нения - ( 8 ) из § 29, ( 3 ) , или какой-нибудь другой - положен н а м и в основу определения обобщенного решения. Поэтому при построении ра зностной схе мы надо использо­ вать либо интегр альный закон сох ранения, соответствующий искомому обобщенному решению, скажем закон (3) , либо ур ав­ нение с искусственной вязкостью ( 1 О) § 29: (4 ) осуществляющее при !.t � О отбор интересующего нас обобщен­ ного решения. 1 . Схе м а с искусственной вязкостью. Отметим сразу же, что р азностн а я схе ма с искусственно введенной м алой вяз костью ..

и �+ l - и � т

+ и� и � - и � - l h

и'1п

=

!.t

и � - l - 2 и �п + и � + l

= '\J (хт)

h2

'

имеет решение и < h> ра вномерно сходя щееся при h - О и достаточно м алом т -r ( h, !.t) к искомому обобщенному реше­ нию задачи ( 1 ) вне сколь угодно м алых окрестностей линий р азрыва обобщенного решения. При этом !.t = �.t (h ) должно при h � О достаточно м едленно стремиться к нулю. Различные раз­ ностные схемы, использующие искусственную вязкость, успеш-

= {и � }. =

§ зu1

ПОСТРОЕНИ Е РАЗН ОСТНЫХ СХЕМ

271

но применяются при газодин ам ических р а счетах. Их недостат­ ком является размазывание разрывов. Остановимся подробно н а построении рйзностных схем на основе интегр ального з а кон а сохранения ( 3 ) . Можно н а м етить дв а подхода. При первом используется н е только с а м интегральный з а кон сохранения (3) , н о т а кже и вы­ текающее из него условие н а р азрыве

( 5) При втором р азрывы не выделя ются и р а счет ведется по еди-. нообразным формул а м во всех р а счетных точках. 2. Метод характер исти к . Н аи более четко идея выделен ия р азрыва при р асчете обобщенного р ешения реализуется в м е­ тоде характер истик, который можно считать одн и м из в а р и а н­ тов метода конечных раз ностей. Р азвитие возникающих в про­ цессе расчета: т. е. при увеличении времени t, р азрывов считается по особым формул а м , использующим соотношение ( 5 ) на разрыве. Вне р азрывов задания дифференциального уравне­ ния во в сех Встреча вшихея н а м фор м ах р а в носильны м ежду со­ бой. Поэтому при построении р а счетных фор мул в точках об­ ластей гладкости можно исходить из записи з а кона сохр а нения в дифференци альной форме, т. е. из дифференциального ур а в­ нения д

ди

и дt + и ах = О.

Принципиальн а я схе м а одного из вариантов метода х а р акте­ ристик применительно к н а шему п р имеру состоит в следующем. Отмети м н а оси Ох точки Xm = mh. Будем считать для опре­ деленности, что начальное условие и (х, О) = 'Ф (х) задается г ладкой функцией 'Ф (х) . Из каждой точки (xm, О) выпустим ха­ р актеристику ур авнения иt + иих = О. Предположим, чтобы не осложнять изложение, что при з а ­ данной функции 'Ф ( х ) можно выбр ать столь м алое т, что н а любом отрезке времени длины т каждая х а р а ктеристика пере­ сека ется не более чем с одной из соседних х а рактеристик. Возьмем такие т и проведе м прямые t = lp = рт. Рассмот­ рим точки пересечения х а р а ктеристик, выходящих из точек (xm, О) , с пря мой t = т и перенесем в эти точки значения р е­ шения и (xm , О ) = 1� (xm) по х а р а ктеристик а м . Если н а участ,к е О � t � т никак ие две характеристики н е пересеклись, т о дел а е м следующий ш а г : продолжаем х а р а кте­ ристики до пересечения с п р я мой t = 2т и переносим по х а р а к­ теристикам зн ачения решения в точки пересечения. Если пере­ сечения характер истик за время т < t � 2т опять не было, то

РЛСЧЕТ ОБОБШСН Н ЫХ Р Е Ш ЕНИй

278

[ГЛ . 9

де.1 а е м следующий шаг и так до тех пор, пока на некотором уч астке tp < t < tp+I две характеристики, н а пример выходящи е из точек (хт , О ) и o (xm +l• О ) , пересекутся (рис. 36) . Тог да середину отрезка Q�-J:i.' ,Q�+ I будем считать точкой, из которой выхо­ дит зарождающийся р азрыв. Точки Q�+ i и Q�-J:i.'i з а м еняем одной точкой Q, приписывая ей два значения р ешения, илев и Uпра в, принимая за эти величины значе· ------�- t = t� н ия илев = и (Q� )

И иправ = и (QJ:. + I),

Из точки Q выпускаем л инию разрыва до пересечения с пря­ мой t = tP+2 • Угловой коэффи­ циент разрыва определяем из условия на р азрыве Рис. 36

+ tg a = и лев 2 иправ

Из точки пересечения разрыва с пря мой t = tp+2 проводим х а р а ктеристики н а з ад до пересечения с прямой t = tP+ I . про­ ведя их с угловы м и коэффициента м и илев и иправ с предыдущего слоя . В точках пер есечения этих х а р а ктеристик с прямой i = t p + l с помощью интерполяции по х н аходим значения и 11 прини м аем их за левое и п р а вое зн ачения решения в точке р азрыва, лежащей на пря­ мой t р +2 . Это поз воляет определить новый наклон р а з рыв а как среднее ариф­ м етическое н а йденных зна­ чений слева и спр а в а и про­ rm,pJ должить разрыв еще на шаг т по времени. Рис. 37 Достоинство метода ха­ р актеристик в том , что он позволяет следить за р азры в а м и и а кукр атно их р ассчитывать. Одн ако в процессе счета возникают все новые разрывы, в ч а стности , м алосущественные р азрывы могут пересекаться , 'Гак что с течением времени картина усложняется . Логика рас­ чета усложняется , требования к м ашинной п амяти и расход м а ш инного времени возраста ют. В это м недостаток метода х а р а ктеристик, в котором раз· рывы в ыделены и счита ются нестандартн ы м образом. 3 . Д и в ергентные р азностные схем ы. Р азностные схемы, не ис4 . по.Тiъзующие искусственно введенную вязкость и не исi:юльзую·

� j l

(;n-j'fl+i)L__J fm +pfl +2J

� 30]

ПОСТРОЕНИЕ Р АЗНОСТНЫХ СХЕМ

2 79

щие условия н а р азрыве, как б ыло выяснено, должн ы о n и ­ раться н а интегральные з а ко н ы сохранения. Проведем н а плоскости Oxt сетку п р я м ы х t = рт:, х = = ( т + 1/2 ) h, р = О , 1 , . . . ; т = О, + 1 , . . . Отметим н а сторо­ нах возникающих прямоугольников их середины ( рис. 3 7) и от­ несем их к сетi О. Сн а ч а л а ищем вспомогательные величины й по недивергент­ ной неявной р азностной схеме й тР + '/• u тP + и- тp + 'l• - и-P+'I• т- 1 =О итР h �/ 2 _

·

Зн ачение коэффициента при их в ур авнении Ut + иих = О за ме­ н я е м через и�, а не через й�+ 'l• , чтобы возникающая схема б ыл а линейна относите льно по длежа щих вычисле н ию величи н.

§ 30]

ПОСТРОЕ Н И Е РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Далее пол агаем

р + >/, _ _!_ (u- P+'/o И m+ т '/2 -

2

+ U-P+ m +'I'l )

283

( 9)

и пользуемся схемой (7) , ( 9) . Получаемая так дивергентн ая схем а на г л адком решении им еет второй порядок аппроксимации. Эвристическое исследование с помоtцью спектрального при­ знака Неймана при линеаризации и з амораж ивании коэффи­ циента указывает н а устойчивость при произвольнам r = т/h. Проведем это исследование. В результате линеаризации и з амораживания коэффициента придем к схеме вида

Для решения с начальными данными и� = ei a m получим г де f.t =

1

1+

Далее, где 'А - 1 't

Л. (а) =

+

a

-2 - -r2 r

a

e

ia

•

� ( eia _2 e -ia ) -- О, a re + i a i a ' 1 Л. (а) 1 = l . h

2 + ar 2 + ar - are

ЧА С ТЬ ЧЕ ТВ Е Р ТА Я З АД А Ч И

С

П РО СТР АН СТ В Е И Н ЫМ И Л ЕРЕМЕИ Н Ы М И

Д ВУМЯ

Г

Л А В А 10

П О Н Я Т И Е О РАЗ Н О СТ Н Ы Х СХ ЕМА Х РАС Щ Е П Л Е Н И Я

Разностные схемы р а сщепления - одно из важных средств 11 р и р а счете решений м ногомерных нестационарных задач ма­ ·тем атической физики. § 3 1 . Конструкция схем р асщепления

На описательном уровне идею конструкции схем р а сщепления можно изложить так. Р а ссмотрим дифференци альную з адачу в ида ди

аг = Аи, и lt=O

т

О < t < Т,

задано, .

}

(1)

де А - некоторый опер атор по простр анствеиным переменным, н а пример : д 2и д 2и А и = д х 2 + ду2 •

Значения и (х , у, tP+l ) по уже известным значениям и (х, у, tp ) , выразим формулой (гд е Е - единичный опер атор,

tp = рт:,

v)

u ( x, у , Ev

=

t p + т:) = и (х,

у , t p)

+ т:

а;;

+ О (т:2) =

= и (х, у , fр ) + т:Аи (х, у , tр) + О (т:2) = (Е + т:А) и (х, у, - tр) + О (т:2).

Допустим, что п р а в а я ч а сть уравнения ( 1 ) имеет вид­ Аи == А 1 и + А 2и. Тогда р а с щепим ур авнение ( 1 )

��

= А1и + А2и

§

3 (]

285

I< O H CT P Y K Ц I I Я С Х Е М Р А С ЩЕ П Л Е Н И Я

на следующие два: tp :;;;;; t :;;;;; tp+ l •

v (х, у , tp) = и (х, у , tp) ,

дt = A2w , дw

t11 ::::;;;: t �n • ( )=

п ространству Fh отнесем элем енты g вида gh

и

( 1 2)

1 1

о,'Фmп

норму в Fh определ и м р а в енством 11 g< h> IIFh = max 1 q>� n 1 + max 1 'Фmn 1 · т, n т, n, р

Сначала докажем безусловную устойчивость разностной схемы (9) , з адаваемой уравнен и я м и ( l О) , ( 1 2 ) , а а п проксим ацию до­ кажем позже. Ввиду линейности р азностной схемы (9) для до­ каз ательства устойчивости н адо показать, что задача L h z(h ) =1 r 'P � n

F g IIFh•

где

1

t EF h , п р и чем

t �mn l

с не з а висит от h. З а пишем з адачу L h z = g в р азвернутом в иде:

2mn - zm n -

__;,:;;:.:..._ . ...:.:.:.:. .:: . - Л zP + I o+ l

,;

где Zmn -

УУ

mn

m'�"" mP +n I m, n = 1 , 2 , . . . , N - 1 , ' zP+ l zP+ Оп Nn I = 0 ' =

=

решение вспомогательной з адачи т, f!. = l , 2 , . . . , N - l ,

n и чем

р

ZJm n - 't'mn' В силу принцила м а ксимум а , доказанного в § 28

мерной

- ···

неявной

р а з но с тной

с хемы,

}

}

( 1 3)

( 1 4)

дл я одн о ·

а п п р о кс и м и рующеА

одно·

§

32]

Э!(ОН ОМИЧН Ы Е РА З НОСТ НЫЕ С Х ЕМЫ

293

мерное ур авнение теплопро водности, из уравнени й ( 1 3 ) еле· дует, что 1 z 1 + т m,m n,axp 1 m n 1 (mh, nh) Е � D

+ (mh, max 1 \\Jmn 1. nh ) Г Е

h

(8)

Таким образом, р азностна я краевая задача ( 3) а п проксими­ рует задачу Дирихле ( 1) со вторы м порядком относительно h. 2 . Устойч ивость. Определим нор м у в п ростр а нстве Uh функ� ций , заданных н а сетке D h , положив (9) Umn 1. 11 u< h > lluh = max (mh, n h ) Е Dh 1 Для доказательст. в а устойчивости разностной схемы (3) , к которому м ы переходим, в соответствии с определением устой­ чивости н адо установить, что задача (2) однозначно разреш и м а п р и произвольной пр авой части f (это свойство н е з а в исит от выбора нор м ) и что выполнена оценка в ида ( 1 0)

rде

с

не зависит ни от h, ни от f.

зоо

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 1 t

Л е м м а 1 . Пусть функция v = { Vmn} определена на сет­ о к е Dh и во внутренних то чках ( Xm , Уп) = ( mh, пh) Е Dh удовлетворяет усл овию

( 1 1} Аh v < h> l (mh, nh) :;;;;: о ( mh, пh) Е D'h. Тогда наибол ь шее на сетке D h зна чение v< h > достигается хотя бы в одной точке г h . Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Выберем среди точек сетки D h , в которых v достигает своего наибольшего значения, к а кую-нибудь одну точку ( xm, Уп ) , имеющую самую большую абсциссу. П о н ашему предположению ( xm. Уп ) внутренняя точка, причем Vmn строго больше, чем Vm + 1 , В точке ( mh, пh) будет Ah v l (mh, nh) == ( v т + 1 , n - Vт п) + (vm, n + 1 - Vт п ) + (vm-1, v т п) + (vm, n- 1 -vтп) = { vmn} определена на сетке­ D h и во внутренних точках (mh, пh ) Е D'h удовлетворяет условию

( 12) Тогда наименьшее на сетке бы в одной точке границы.

Dh зна чение v 1 (mh, nh) \ - о 1 ( mh, nh) Е Гh•

§ 34]

30 1

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАдАЧ И дИРИХЛ Е

имеет только нулевое решение u ,У2, построим вспомогательную функцию p < h! (х, у) =

� [R2 - (х2 + у 2)] (mh,max D� 1 nh) е

Ф тп

1+

max

(mh, nh) Е Г h

1 'i'mn l ,

которую будем р а сс м атривать только в точках сетки D h . Это от­ ражено значком h в обозначении P ( x, у) . В силу ( 1 5) всюду в точках D� Лh p < h > 1 x=mh, = y-nh

max

(rh, sh) Е D0h

1 q> rs 1t,

(mh , n h) Е Dh.

Поэтому р азность решения u mn + max 1 q>, s 1 � О. r,

s

В силу лем м ы 1 р азность u ] .

РАЗНОСТНАЯ

§ 34]

{

CXFMA

д.� Я З A J ! ,\ Ч I I JШ Р И Х Л Е

303

+A � lh> l h! = yyU qJ (тh , n h) , ( тh 1 n h) Е Dah• . и l г h = 'Ф ( s т п ) , (тh, nh) Е Г h ·

получим разностную схему (2) вида L,zu' h!

=

� ( h> l A xx U h>

Пользуясь формулоi'! Тейлора , можно убедиться в том, что и м еется второй порядок аппрокси м а ции. Можно было бы дока­ зать устойчивость построенной схемы, преодолев а я некоторые дополнительные трудн ости, по сравнению с рассмотрен н ы м и н а ­ ми п р и р азборе примера . Н а практике, п р и решении конкретных задач, обычно огра­ ничиваются обоснова н и я м и принципиального х а р а ктера н а мо­ дельных задачах, тип а проведенного в ыше. Конкретные сужде­ ния о погрешности получ аются , как правило, не из теоретиче­ ских оценок, а из сравнения м ежду собой результатов р а счетов, выполненных н а сетках с различны м и значениями шага h. После того, как разностн а я краевая зада ч а , а п п рокси м и рую­ щая дифференциальную, построен а , нужно еще указать н е слишком трудоемкий способ е е решения. В едь при м алом h з а ­ д а ч а ( 2 ) есть систе м а скалярных уравнений очень высокого по­ рядк а . В разобранном н а м и примере решение разностных урав­ нений - слож н а я и интересн ая задач а , но м ы отложим ее р а с­ смотрение до §§ 35, 36. ЗАДАЧИ

\ . Доказать, что если во внутренних точi{ах области

удовлетвор яет уравнению л u ( h) h

l

- о

(m h, nh) -

т,

'

n = 1,

2,

• • •

,

Dh

функция ulhJ

М- 1.

Mh = l ,

Dh

оди н а ковые значения, либо н а и большее то либо ц\h) п р и н и мает всюду н а и наи меньшее значен ия функции ц\ h ) не дости гаются н и в одной в н утренней точке сетки Dh ( у с и л е н н ы й п р и н ц и п м а к с и м у м а) . 2 . Если в о всех внутренних точках области выполнено условие A h u\h) ;;;;:. О, пр ичем хотя бы в одной точке н ера вен ство строгое, то ц\ h ) н е достигает своего н а и большего значения н и в одной внутренней точке. 3. Ра ссмотр и м разностную схему L h u\ h ) = f\h) вида um+ 1, n

D ,,

+ llm, n + l + u m - 1 , n + 11m, n - 1 -

um n = ,,, '1' 1 ( sm n )

h2

на

гоh > '

иl n - u n , o, = ф ( nh � . 2 h

n = 1,

4umn

= ф ( m h, n h ) ,

...,

М - 1.

( m h, n h ) Е

D� ,

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧ И

304

(Г Л. 1 1

Эта р а з н остн а я схем а аппроксимирует задачу (рис. 43)

+

д2 и д2 и ду 2 = !р ( х , у) ( х, у ) Е D, дх 2 и ( х, у ) l г ( l) = Ф 1 (s ) , (х , у) Е Г(/), и = Ф2 (s) , n

.IJ

Р ис.

� 1

r (2 )

а ) Доказать,

ФI (sm n ) ,

43.

что

ф 2 (nh) задача

при

любых

L h и(h> = f(h)

rp ( mh, nh) , и меет един­

ственное решение. б ) Доказать, что если rp (mh, nh) неотрицательно, а ф , (sm n ) и фz (nh) неположительны, то u(h) неположительно. в ) Доказ ать, ч т о при любых ( 1 0) Е Р = L (c r s Л.�s) ,

в

r, s

где Crs - коэффициенты р азложения нач альной погрешности = { е� п } в конечный ряд Фурье, а числ а ').," зада ются формулой

в0

� s "'r -1 _

4т - "'Ji2

(

sщ •

2

r:rt

2М

+

.

SШ

2

s:rt

2М

)•

(1 1)

308

[ГЛ. 1 1

ЭЛЛИПТИЧЕС!(ИЕ ЗАДАЧИ

Числа C�s == Crs'A�s являются коэфф ициентами р азложения по ­ грешности е Р = {e� n } в р яд Ф урье по ортанормальному базис у 'Ф(r, sJ . Поэтом у // еР /1 = 0:: 1 Crs'Л�s 12)'1•, l/ e0 // = (L 1 Crs 12)''•. ( 1 2) О тсюда в идно, что ( 1 3) При этом всегда можно з адать е0 т а к, чтобы р авенство дастио (r' s ' ) г ал ось. Для этого нужно взять е = 'Ф , г де (r ' , s ')- т а п а р а номеров, при которой m a x 1 'Л rs 1 = 1 'Лr's ' 1 · r ·

,

s

Т а к и м образом, для стремления l l e P I I / I I e0 l l к нулю при р -+ оо нужно, чтобы выполнялось неравенство m a x 1 'Лrs 1 < 1 . r,

s

Н а ибо.1ее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе т, при котором m a x 1 'Л rs 1 приним ает н аим еньшее возможr, s нос зн ачеhие. Из формулы ( 1 1 ) н аходим самую левую и самую правую точки 'Лтs : 8-r COS2 2М n � fi2 ' "' л е в = 1 8 -r 2 n � "' прав = 1 fi2 S I П 2М -

•

-

(рис. 44 ) . Увеличивая т, н ачиная от т = О, мы вызываем сдвиг обеих этих точек влево. При том зн ачении т, при котором эти точки будут симметричны относи­ тельно точки 'Л = О , 1 [/ ( 1 4) дальнейшее увеличение 't" нецелесо­ Рис. 44. образно. Действительно, при таком увеличении правая точ к а Аправ будет продолжать приближаться к нулю, но з ато левая, которая ста• нет больше нее по модулю max 1 'Лr s l = - Л лев. будет удаляться от нул я . При том т , при котором 'Л лев = - 1 , и п р и больших т погреш­ ность еР вообще не будет стремиться к нулю. Ита к, оптим альное т = h2 /4 на ходи м из условия ( 1 4) . При этом max 1 '· s

л" 1 = 1

-

2 s i n2

2�

•

§ 35)

зоg,

МЕТОд УСТА НОВЛЕНИЯ

Поэтому для уменьше ния нормы первона чальной погрешн ости = {е�п} в заданное число е раз треб уется продела ть тако е­ число р шагов ите р ационного процесса (4 ) , чтобы

1:Р

( l - 2 sin2 2�

О тсю д а

р -;;;:.: -

1

ln

У < е- 1•

( 1 - 2 sin2 2� )

�

2М2

2- . л:

Подсчит аем число арифмет ических действи й , необходи м ы х для уменьшения ошиб ки в е раз. Н а каждый переход от u P к u P+ 1 требуетс я сМ 2 арифмет ических действий . Поэтому и х о бщее чи­ сло срМ2 = О ( М 4) . 3 . Схем а переменных напр а влений . З а й мемся теперь иссле­ дование м поведен ия погрешн ости е Р = { е::Z п } для схемы (6) . Аналоги чно предыду щему убеждае мся, что погрешн ость еР· в этом случае удовлетв оряет разностн ой краевой з адаче

ётп - 8�п

= Ахiтп + Аууе�п• Втp +п l - вт п - А - + А p + l т:/2 х.хетп уует п • 8mп l г = е�п lг = О , e� n = 'Фа (хт , Уп ) - итп ' т:/2

-

( 1 5).

Решение задачи ( 1 5) было выписано в виде конечно го ряда. Фур ье в § 2 7. Ка к и для задачи (9) , оно и м еет вид ( 1 0 ) : еР = L (c,sЛ.�s) 'Ф1'• 8\ где Ств - коэффициенты р азложени я н ачальной погрешности (r, ео = L Crs 'Ф s) в конечный ряд Фурье, но числа Лrs • на которые умножается г армоника -ф(r, в ) при переходе от е Р к е Р+1 , тепер ь другие: Ars =

( 1 - 2т:М2 sin 2 W) ( 1 - 2т:М2 sin2 -ш)

л:r л:s ( 1 + 2т:М2 sin 2 2М ) ) ( 1 + 2т:М2 si n 2 2М

'

( 1 6 ).

Как и при анализе сходимос ти схемы ( 4 ) , выполнен о нера-­ венство ( 1 3) : U вP U "jj8i i""f � { ma x 1 Л." 1 }р , r, s

310

[ГЛ. 1 1

ЭЛЛИП ТИЧЕС!(ИЕ ЗА Д А ЧИ

nричем равенство достигается п р и некотором специальном зада­ нии 8 а = { е�пп } · Из выражения ( 1 6) для 'Лrs видно, что при любом т выпол­ нено неравенство I Лrs l < 1 и, следовательно, имеет место стрем­ ление lleP II к нулю. Далее, Лrs = Лr · Лs , где 'Лk

.

- 2тМ2 sш2

nk

k = 1 , 2, . . . , М - 1.

= ------п-=k- ' 1

2М

1 + 2тМ2 sin 2 -2М

Поэтому max 1 Л,8 1 достигается при r = s = r ' , где r' - тот но'· s мер, при котором величина 1 Лr, 1 м акси м альн а . Очевидно, что функция у = ( 1 - х) 1 ( 1 + х) монотонна. Поэтому ns

- 2тМ2 sin2 2М 'Лs = ----1 + 2тМ2 sin2 � 1

2М

лежит между точками 1

- 2тМ2 cos2 ....::..._

2М 'Ал е в = --------'и

1 + 2тМ2 cos2 ....::..._ 2М

1

- 2тМ2 sin 2 ....::..._

2М 'Лпра в = ----1 + 2тМ2 sin2 ....::..._ 2М

на вещественной прямой. Увеличение т вызывает сдвиг точек Алев и 'Лпрао влево. 'Поэтому значение max 1 Л8 1 будет наимень­

шим при том т, при котором -'Алев = 'Лправ. т. е. при т � --./ 1 . 2 nM В этом случае s

max 1 Л,s 1 = 1

- --./�

n

+О

( �2 )

•

Для уменьшения нормы погрешности ll eP 1 в заданное число р аз по сравнению с первоначальным значением нормы погреш1/Ости ll e0 11 число шагов р должно быть найдено из условия

е

(1 - n �'iy � е - 1 , откуда

м

р � n -v . 12

= О (М) .

31 1

МЕТОД УСТАН ОВЛ ЕНИЯ

§ 35]

Каждый переход от uP к uP+I требует сМ2 арифметических операций. Следовательно, общее число а р и ф м етических опера­ ций для уменьшения ошибки в е р а з будет О (М 3 ) , а для умень­ шения в заданное число k раз будет О (М 3 l n k ) . Мы видим, что при больших М второй из р ассмотренных н а м и процессов уста новления, использующий схему переменных направлений, приводит k уменьшению ошибки в заданное ч исло раз ценой меньших з атрат арифметических действий, чем м е­ тод установления, основанный н а использовании простейшей я в ­ ной разностной схемы ( 4 ) : при достаточно больших зн ачениях М (при мелкой сетке) схем а переменных н а п равлений оказы­ вается выгоднее. 4. Выбор точности . Сдел а ем зам ечание о точности, которой следует добиваться, решая з адачу ( 1 ) м етодом установления или други м итерационн ы м м етодом, дающи м последовательные приближения u 1 , u2, . . . , uP. Разностн ая задач а ( 1 ) аппрокси м и ­ рует задачу (2) н а гл адком решении и ( х, у) с порядком ll2 = = l /M2• Поэтому точное решение u з адачи ( l ) отличается от искомой таблицы [u] h на величину порядка 1 /М 2 • В связи с этим нет смысл а вычислять решение u з адачи ( l ) с большей точ­ ностью. Если считать, что нулевое приближение u0 = 'Ф о задано с погрешностью порядка 1, то число k, в которое м ы хоти м уменьшить норму погрешности, должно быть выбрано по­ рядка М2• Добиваться уменьшения первоначальной погрешности более чем в О (М2) раз было бы нецелесообразной з атратой вычисли­ тельной работы. При вычислениях н а конкретной фиксирован ной сетке п р а к­ тически итерируют до тех пор, пока последовательные п р и бл и ­ переста нут меняться в предел ах удовлетво­ жения uP, uP+1, ряющей нас точности. 5. Гр а н ицы пр и м е н и м ости м етодо в. Разностн ая схе м а ( 4) и ан ализ убывания ошибки, проведенный н а м и , переносятся на разностные схемы, а п п роксимирующие другие краевые задачи для эллиптического уравнения с переменными коэффициента м и в области с криволиней н ы м и граница м и . В ажно только, чтобы оператор Ah, а налогичный оператору Лh = ( Лхх + Лии) в схеме ( 1 ) , р ассм атриваемый н а сеточных функциях, удов.Тi етво ­ ряющих однородным граничным услов и я м , был с а м осоп ряжен­ ным и чтобы его собственные значения J..l. j были одного зн а к а : О < J..l. m in, < J..I. J < J..l.m ax• В этом случае дл я а н ализа используются конечные ряды Фурье н е по функциям •

•

•

-

.,,(r, "'

s)

=

s in � 2 sin � м · м

-

:3 1 2

[Г JI.

ЭЛЛИПТИЧЕСI(ИЕ ЗАДАЧИ

1f

а по ортанормальной системе собственных функций этого само­ -сопряженного оператора A h . Ф а кт существования и полноты та­ кой систем ы собственных функций известен, а их конкретный вид нигде не используется. Р а зностн а я схе м а (6) переменных н а п р авлений в ыдерживает обобщение н а случа й з адачи Дирихле с переменными коэффи­ циент а м и в обл а сти с криволинейной гр аницей. ( Одн а ко ана­ .ли з Фурье становится невозможен.) В случае краевых условий вида au + � l = 'Ф прямое обобщение схемы (6) не приводит г . к р а сп аден ию алгоритм а на одномерные прогонки.

��

З АДА Ч И

J. Н ап исать по а н алогии с р ассмотренными схем а м и (4) и (6) явную и 'Неявн у ю схемы решения установлением з адачи Дир ихле а ) для уравнения Л апласа с переменными коэффициен тами:

[

д k, ""(j'X

ди + дjj д ( х , у) ах

]

[k 2 (х , у ) ду ди ]

и lг = Ф (х , у) lг•

= О,

О � х. у � 1

б) для квазилинейного уравнения

[

д k, ""(j'X

ди ] + ау д [k 2 ( и ) ау ди ] = 0 , О � х . у � \ , ( и ) дх и lг = Ф ( х , у) lг ·

2 . Показать, что в м етоде переменных напр авлений для решения р аз• ·ностной задачи Д ирихле

AxxUmn + Аууит п = IJI (xm , У п) . т, n =

1 , 2,

М - 1 ; Mh

и тп l г = Ф (х, у) l г • • • ,

=

1,

� J

}

итерация м и м о ж н о в ы б р ать итерационный п а р аметр 't' так, чтобы после пер ­ ·вой же итерации р азложение погрешности е Р в конеч н ы й ряд Фурье не со­ -держало любой н аперед заданной гармоники ф (r, •>.

§ 36. И терации с переменным ш агом 1 . И дея Рич ардсон а. Механизм сходимости простейшей схе­ ..ы ы уст ановления ( 4 ) § 35

(1)

§

Зб]

ИТЕРАЦИИ С П Е Р ЕМЕННЬIМ Ш А ГОМ

3 1 3'

состоит, как м ы видели, в погашении каждой из г а р м о н и к 'ljJ(r, •> . по которы м р азлагается погрешность e� n = ит п - u�n нулевого приближения в конечный ряд Фурье. Если (2) r, s то коэффициенты Фурье погрешности следующего приближения­ "' p+ 1 . 1,(r, s р+ l ) е - LJ C r s '1' r, s выражаются через c �s по формулам (см. ( 1 0) , ( 1 1 ), § 35 ): :n:r + SIП · 2 2М :n:s ) (3) C �s+ 1 = (1 - 't'J.I.r s ) C�s • где J.l.г s = 4м2 ( S IП2 2М При фиксированном выборе 't' не все гармоники погаш а ются оди н а ково быстро. Более сильно погашаются те гармоники 'ljJ(r, • > , для которых м ножитель погашения 'Ars = 1 - 't' J.I.rs ближе к нулю. т. е. те, для которых J.l.rs � 1 /-r. Это наводит н а мысль от шага к шагу менять п а р а м етр т , чтобы поочередно хорошо г а сились все гармоники 'Ф(т, •>, и в р езультате з а несколько ша гов все гар­ моники гасились бы более или м енее р авномерно. В этом состоит идея Рич ардсо н а для решения самосопряжен­ ных линейных систем уравнений с м атрицей, все собственные зн ачения которой и меют оди н а ковый з н ак. 2. Чебышевекий набо р параметров. Итер ационный процесс Ричардсон а задается формул а м и + u�"tl = u�n 't'p + l [Ah u�n - q> (хт , Уп )], m, n = 1 , 2 , . . . , M - 1 , (4 ) 0 1 1 · + {и 1 • ' } ) P s задано um n г = '1' ( mn ' тп _

•

•

итерационн ы м п а р а м етром 't' p + l • зависящим от номера итер а ­ ции. Ричардсон указал приемлемый, но н е опти м а льный н а б ор­ параметров {тр} . Изложим результаты об опти м альном н а боре итерационных п а р а м етров {-rp} и оценке скорости убыв а н и я нормы погрешности lieP II . В силу формул ы (3) очевидно, что к о ­ эффициенты Фурье c �s погрешности eh на k-м шаге выра жа ются через коэффициенты Фурье c� s н ач альной погрешности е 0 П() формул а м k C �8 = C�8 П ( l - 't'1 JJ.,8 ) , r, s = l , 2 , . . . , М - 1 . /= 1 с

Введем обозначение Qk ( JJ.), положив Qk

( JJ.) =

k

L о - 't,t-t> ·

1- 1

\5)

·з и

Э ЛЛИПТИЧЕС К ИЕ ЗАДАЧИ

[ ГЛ. 1 1

Тогда

Jl ek ll2 = L = 1 r, s 1 C �s l2 r,Ls Q k ( llrs) C�s l 2 �

� max 1 Q ,; (1-L, s) 1 L 1 c�s 1 2 = max 1 Qk ( 1-L,s) l · /1 8° 112 • �s �s �s ·Очевидно, что неравенство 1 k ( J.L,s) 1 · 1/ 8° 11 /1 8k 11 � max r, s Q при некоторых е 0 становится точным р авенством. Числ а J.Lrs. за­ даваемые формулой (3) , разбросаны по отрезку а = J.Lmln � J.L � J.Lma:в: = ь , (6)

rде

(6 ' ) М ы н е будем опираться на ф актическое знание чисел J.L rs. так как это - случ а й ное обстоятельство, имеющее место только дл я н а шего пример а . Будем пользоваться лишь тем, что известны гра н ицы а и Ь отрезка ( 6 ) , на котором они леж ат. Поэтому, за­ дав /г , поставим з адачу т а кого определения итер ационных п а · р а м етрав -r1 , -r 2 , . . . , 't k , чтобы среди всех м ногочленов Qk ( J.L) сте­ nени k, удовлетворяющих условию Q (О) = 1 , (7 ) многочлен (5) н а отрезке а ::;:;;;; J.L ::;:;;;; Ь наименее у клонялся от нул я : (8) Q� = ma x 1 Q k (J.L) 1 минимально. Эта

a .;;;; jl. ,.;; b

з адача теории аппроксим ации функций решена в 1 892 году А. А. М арковым. Искомый м ногочлен Qk ( J.L ) == Tk ( J.L) выра­ ж ается через м ногочлен Чебышева (см., н а пример, В . Л . Гон ча­ ров, Теория интерполирован�я и приближения функций, М., 1 954) Tk (х) == cos k arccos х = i- [(х + ,У х2 - 1 )k + (х - ,У х2 1) k],

наименее уклоняющийся от нуля на отрезке - l ::;:;;;; х ::;:;;;; 1 среди всех многочленов степени k, с коэффи циентом единица при xk . Именно, если сдел ать линейное преобр азование

Х=

Ь + а - 2 J.L Ь-а ,

(9 )

§

315

ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕ Н Н ЫМ Ш А ГОМ

36]

переводящее отрезок а � J.L � Ь в отрезок - 1 � х � 1 , а точ­ ку J.L = О в точку х0 = ЬЬ + а > 1 , то -а

Tk ( J.L) = ТTk((x) хо )

=

k

( x + -v'X2='l)k + (x - -v'X2"=1)k

( х0 + лjх� - 1 У + ( х0 - л./х� - 1 У

•

( 1 0)

, 't'11 , при ко1 uрых воз­ Н абор итерационных п а р а м ет ров t' t , t'2, никает м ногочлен ( 1 0 ) , определяется из условия, чтобы нули J.l.j = 1 /t'j м ногочлена f11 ( J.L ) при n реобразовании (9) переходили в нули X j м ногочлена Чебышева Т11 (х) : •

•

•

't' J - ..,--,,----;-;----.- • - Ь + а - (Ь - а) х

2

XJ

= COS

j = 1 , 2,

1

2k

(2j

п.

-

1) ,

1 k. }

( 1 1)

�

...

1

Оценим наибольшее отклонение Q ; м ногочлена Q11 ( J.L ) == == T 11 ( J.LJ от нуля на отрезке а � J.L � Ь. Ка к известно из теори и аппроксим а ции функций, м ногочлен Чебышева Т11 ( х ) п р и н и м а ет наибольшее по модулю значение на отрезке - 1 � х � 1 в k + 1 точках, к числу которых принадлежат концы этого отрезка . По­ этому из ( 1 О ) следует, что

Qk = •

Т �г ( l ) Т �г ( х о)

2

=

( хо + л./х� - 1) k + ( х0 - лjх� - 1 У

Далее, из (9) получаем

: �:

х0 = Т)

= ьа =

=

: ��

J.lmln J! max

R�

= П- 2

4М 2

1 + 2 Т) + О (Т) 2 ) , •

}

.

( 1 2)

(1 3)

Поэтому при больших М

х0 ± ,Ух� · 1 = 1 ± 2 .у'Т) + О (Т)) ,

откуда, с учетом ( 1 3) , следует Q. =

k

=2

[1

+ 2 .УТi + о ('ll )] k + [1 - 2 -v'il + о ('1\)] k 2

=

{ek In ( 1 +2 -v'il+o (tJJ ) + e k ln ( I - 2 -v'Y!+o (ТIJ ) } � � 2 : {ekn! M + e - k nfM J . :

. Считая , что норм а первоначальной ошибки в 0 порядка еди­ ницы, ll в0ll � 1 , в силу замечания п. 4 § 35 о разумном порядке

[Г Л. 1 1

ЭЛЛИ ПТИЧЕСI(ИЕ ЗАДАЧИ

3 16

тuчности, которого следует добиваться, решая з адачу итера­ 2 ция ми , н адо выбрать k из условия Q� � м- , т. е. k

� 2 ln М + l n 2 л;

М

� 2 l n М + ln 2 2

-v'fJ

Для погашения первоначальной погрешности е. выбрать k из условия Q� � е - 1 , k�

1 + ln 2 л;

М

�

т.

1

; 2 = О ( М) .

+ 2

fJ

( 1 4) в

е

ра з надо ( 1 5)

Выбрав k из этого условия, можно з атем первые k шагов итера­ ции п ринять з а первый цикл итераций и riовторять весь цикл с тем ж е набором п а р а м етров 't 1 , 't2, • . • , 'tk . Для уменьшения нор­ мы погрешности в М 2 раз потребуется такое число v циклов, что­ бы e-v ,....., I /M2, v ,..,.., 2\n М. Общее число элементарных шагов :итера ционного процесса за v циклов будет kv

�

( 1 +� n 2 М ) 2 ln М = О (М ln .М).

Оно лишь в конечное число раз 1 + ln 2

2 2 1n 2/( I n М) � +

1 + ln 2

превосходит число ( 1 4) элементарных шагов итерационного процесса, не использующего з а цикливание. Т аким образом, ис­ пользование цикл а с k � ( 1 + ln 2)/(2 -vff]) дает упрощение без существенного увеличения числа итераций. Использовать циклы длины k < 1 /(2 -yff]) нецелесообразно. Н апример, при k = 1 процесс Ричардсона (4) превр атится в про­ цесс простых итераций ( 1 ) с оптим альным выбором 't. Число шагов процесса для уменьшения нор м ы первоначальной ошибки 1 1 e0 ll в е раз будет � 2M2/n2, как показано в п. 2 § 35. Это число в О (М) раз превышает число ш а гов, необходимых для этой же цели при выборе длины k цикл а в соответствии с ( 1 5) . 3 . Н у м ераци я итер ационных параметров. Формулы ( 1 1 ) за­ дают опти мальный н а бор итерационных п а раметров 't 1 , 't2, . , 'tk (при з аданном фиксиров анном k) . Переставим как-либо ч лены последовательности 't1 , -r2 , • • • , 'tk , расположив их в неко­ торой очередности x = ( х 1 , х2, • • • , 'Xk ) . и будем вести итера­ ции по формул а м .

•

.

•

•

UP +

1 = Р + 't И Kp+ l

и P + l l г = •h"''

-

(Л hИР ..:..._ m) 't' 1

иО з адано.

}

( 1 6)

ИТЕРАЦИИ С П Е Р Е М Е Н Н Ы М Ш АГОМ

§ 36]

31 7

При идеальной реализации алгоритм а ( 1 6) результат фи­ нальной, k-й итерации не зав исит от выбранной очередностИ h x < > = ( x t , х2, , x h ) . Но при реальном р а счете, который ве­ дется на м а шине с конечным числом зн а ков, этот порядок край­ не важен. От него при больших 'k резко зависит чувствитель­ ность результата к ошибкам округления, допускаемым н а про­ межуточных ш а гах процесса, т. е. вычислительная устойчивость алгоритм а. Прежде чем приво!- z;p дить приемлемые порядки x = заметим , что = ( xt , х2, . . . , xh) , исходный алгоритм ( 4 ) , отвечаю !J fJ щий x , c�s � 1 , и ра счет ведется точно, без ошибок округ � лени я . Тогда коэффициенты погрешности 1-го приближения е 1 = = L c �s'l'( r , s) выражаются формулой •

•

•

c; s = П ( 1 - т1�-t,8) С�8• /=1 l

Проследим за · эволюцией c; s с ростом l при = М - 1 . В этом случ ае l-tr s = I-tм - I , M- I = !-tmax = b "...." M2 , l

f,Z = с�- 1 , М - 1 = п ( 1 - 'tfb). 1

см - 1 , м- 1

}

r

=

М - 1, s

=

( 1 7)

Рассмотрим линейные функции 1 - 'tj\-t, j = 1 , 2, . . . , k, нули которых J.tj = 1 /тj определя ются формул а м и ( 1 1 ) . Из этих фор 1 . k 2j - 1 3 мул видно, что при � < 6 , или 1 < -+6- , справедливо неравенство

1-tJ

< 2 , и поэтому (рис. 45) ь

1 1 - 't1b l > 1

Е сли k "...."

и

поэто м у

2

/�l

�Т} ...., М,

а

при i
(k Поэтому

1

f-l+l

+

•

=

/=i+l

•>

с1 1 • '

3)/6, о чевидно,

1 J.t t > 2

[ь + а - -2 - > 4 "' м-. - а" ] ь

k

П

ь

( 1 - т1 а) ,.." ( 1

?

- �2 ) k- J

.....

1,

так что Ц, 1 .-- с 1 , 1 , и погашения погрешности округления не произошло. Практическая вепригодность нумер а ции параметров х< "> = ( 1 , 2, . . . , k) показа н а . Если н а l- м ш а ге процесса ( 1 3} вн е с е н а погрешность округлени я J�l+ l

с

.

... (xт , Уп) ] , 't'p + l I u Pmn+ _ mn 1 [А р+ 1 -2 xxumn + Аyyumn q> (Xm, Yn )] • 't' + l p й

-

_

т,

и�� 1 1г = йтп lг = 'Ф (s тп)• Для погрешности М-1 8k

гд е

A.i

Т1 , т2, . . .

=

e

k

n = 1 , 2, . . . , М - 1.

= uk - и получим выражение

"" c k .1,(r, s) ' 't' r, L.. s = l rs

(т)

1 ==

ni - 21'М2 sin 2 2М

1 + 2't'M2 sin2 � 2М .

,

i = 1 , 2 , . . . , k.

При заданном k оптим альным является такой выбор чисел , t'k , при котором величина max r. s

1 ll Л , /=1

(т/ ) "-s (т/)

1

приним ает наименьшее зн ачение. Если не пользоваться точным знанием ч исел Л т ( т) и Лs (т) , а лишь границами, где они лежат, возникает задача чебышевекого типа для произведения дробио­ линейных функций, подобная рассмотренной в п. 2 для м ного­ членов. Постановка этой з адачи, как впрочем и предложение исполь­ з ов ать для решения у равнения Пуассона процесс установления

ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕ Н НЫ М Ш А ГОМ

§ 36]

32 1

со схемой перемеш-1 ых н а п равлений, принадлежит Дугласу, Пис­ ману и Рэкфорду. В ра боте Дугласа и Рэкфорда 1 956 года, ко­ торую мы здесь излож им, было дано приближенное решение этой задачи. При их выборе итерационных п а р а м етров число шагов итерационного процесса, нужное для уменьшения ошибки в е раз, есть О ( l п М) , а число арифметических действий есть

Покажем, что, задав произвольно положительное q, q < 1 , можно так выбрать итерационные п а р аметры т , , Т2, , Tk в количестве k = О ( l n М ) , чтобы выполнялись неравенства (22) 1 [Л., (т , ) Л.s (т, )] [Л., (т2) Л.s ( 't'2)] • • • [Л., ('t'k) Л.s (тk) ] 1 < q , r , s = 1 , 2, . . . , М - 1 Тогда ll ek ll :::;;;; q ll e0 11 . Есл и производить первые k итераций с итерацион ными п а р а м етр а м и 't' I , т2, . . , Tk, з атем следующие k итераций, снова используя т , , т2, , Tk , то для уменьшения нор­ мы погрешности в е раз потребуется, очевидно, некоторое н е за­ висящее от М число таких циклов, соде ржащих по k = О (lц М) .итераций кажды й . Обоснуем р авенство ( 2 2 ) и при этом объясним, к а к можно в ы брать п а р а м етр ы т , , 't'2 , . . . , Tk · Очевидно, что i = 1 , 2 , . . , М - 1 , 't' > O. I Л.i (т) l -< 1 , Поэтому для выполнения при любых r, s = 1 , 2, . . . , М - 1 неравенства ( 2 2 ) достаточно, чтобы при любом i = 1 , 2 , . . . , М- 1 хотя бы оди н из k сомножителей Л.; (тр ) , р = 1 , 2, . . . , k, удовлетворял неравенству О (М2 1 п М ) .

•

•

•

.

.

•

•

•

.

!:!.... sin 2 ...! 2М 1 + 2-r рМ2 s in2 2� 1 - 2 трМ2

___ ___

.,..._

• 2 Все числа 2 м2 sш отрезку

n.i

2м

,

t

•

� --/ q.

(23)

= 1 , 2 , . . . , М - 1 , принадлеж ат (2 4 )

Итак, для выполнения (22) достаточно ввиду (23) , чтобы для каждого зн ачения 1.1. из отрезка (24) хотя бы при одном 't' , t = т , , т2 , Tk , выполнялись неравенства •

.

.

.

-г - 'V

q
будут nреобладать в р яде Ф урье для nогрешно­ сти в h , п олученной в результате расчета n р и x ( h ) ( k, k - 1, . . . , 1 ) с ош н б · к а м и округ лен и я? 3 . Пусть А - сам осоnр яжен н ы й оnератор, собственные значения которого лежат н а отрезке О < f! m t n < �t < f! m a x - Какому условию должно удовлетво· р ять число обусловленности 11 = f! m t n /�t m a x , чтобы для решения уравнения А х : при сделанном в ы боре т

AI,

3 :n: 2

Обозначим получе н н ое в п р оцессе итераций (2) п р ибли ж ение и Р через и, а погреш ность е Р = и Р - и = и - и через v. Если бы мы з н али погреш­ ность v, то н ашли бы искомое реше11ие и = и - v. Однако относительно v мы знаем только, что оно удовлетвор яет уравнению 1

=

1-

8 Л.f 2

( ""' 1 ) .

(6)

(7 )

МЕТОД Ф ЕДОРЕН КО

� 37]

325

где s - известная сеточная функция - это невязка, возникающая при под­ становке == и в уравнение ( 1 ) :

иР

s=

Аhи р - на сетку вдвое более мелкую, в носил эту прои нтерполированную поправку в tiJ((k - 1 >*> и делаем н есколько итер аций, чтобы погасить прив несенную при и нтерполяции ошибку. Результат этих итер аций интерполируем на еще вдвое более мелкую сетку, уточ няем с его помощью хранящуюся для э той сетки поправку 17((�-2>*>, делаем несколько итераций и производим следующую интерполяцию. На предпоследнем шаге после внесения в V* поправки и итер аций получим по­ поправку V*, которую и нтерполируем н а и сходную сетку. Продела в нескольк() итер а ци й (2) над и - V, п олучи м результат. =

С Л А В А 12

П О Н Я Т И Е О ВА Р И А Ц И О Н Н О- РАЗ Н О СТ Н ЬI Х И П РО Е К Ц И О Н Н О- РАЗ Н О СТ Н ЬI Х СХ ЕМАХ

В этой гл аве мы изложим способ построен и я р азностных схем, основанный н а использовании той или иной в а р иацион­ ной или проекционной постановки краевой задачи, решение ко­ торой требуется численно н а йти. Этот способ, называемый ино­ гда методо м конечных элементов , позволяет строить пригодные р азностные схе мы н а нерегулярных сетках, а также при м ень­ ших предположениях о гладкости искомого решения и коэффи­ циентов уравнения. Бл агодаря появляющейся свободе в в ы­ боре сеток узлы можно р асполагать гуще в тех ч астях области определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно или г де нас интересуют более мелкие детали его пове­ дения. Возможность целесообразно р а спол агать узл ы позволяет до­ стигать требуемой точности при м еньшем числе узлов сетки. Метод конечных элементов можно интерпретировать как {)Дну из возможных конкретиз ациИ классических в а р и а ционных методов решения краевых з адач. Поэтому м ы сначала ( § 38 ) р асскажем о классических вариационном и проекционном м ето­ дах, а затем (§ 39) о вариационно-р а зностных схемах. § 3 8. В ар иационные и проекци о н н ы е методы

1 . В ари О - какая-нибудь фиксирова н н а я функция. Это скалярное умножение индуцирует норму 11 w llw в простр а нстве W по формуле (28) 1 w /1� = (w , w) .

Обозначим W подпростр анство функций w Е W', удовлетво­ ряю щ и х услов и ю w l г = О. После введения скалярного умножения систе м а (26) благодаря условию w� l г = О примет в ид о

_

L a1 (ror, ro �) = - И fro � dx dy, N

i=!

n= l, . .

D

.

, N.

( 29)

З а метим, что м атрица системы (29) ro N

=

(rof, rof) . . . (rof, ro%) .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(ro�, rof) . . . (ro%, w%)

есть матрица Г р а м а системы линейно независимых функций (22 ) . Как известно из курса линейной алгебры, ее определ итель ()Тличен от нуля. Решение an = iiп , n = 1 , . , N, с исте м ы (29) и дост авляет функцию .

.

которую прин и м а ют за пр иближенное р ешение. Функция W N nускает простое геометр ическое истолко в а н ие. В силу ( 4) и (27) имеем 1 (wN) - 1 ( и) = ( wN - и, w N - и). :Далее J (wN ) - / (и) = m in [ / (w) - / ( и)] = �

W E WN

min

W

N

E �N

Д О•

(w - и, w - и) = (wN - u, wN - u).

338

В АР И Л ! lИ ОН Н О- И П РОЕКUИОН НО -Р А З Н ОСТН ЫЕ СХЕМЫ

[ГЛ. 12

Т а к и м образом, w N есть тот элемент л инейного N-мерного про­ странства WN, н а тянутого на базис (22 ) , который н а и менее уклоняется от и в смысле нормы (28) , т. е. w N есть проекция о - N решения и в подпростр анство W в с мысле ск алярного произведения (27) . Мы з а кончили форм альное изложение схемы Ритца для оты­ скания приближенного решения. Выясним теперь, от чего зависит близость приближенного ре· шения н айденного по методу Ритца, к точному решению и задачи (А) , которой м ы уеловились считать ер (s) = О. Понятно, что число // WN - и l/ 1.v зависит от выбора базисных функций (22) . Если бы, н а пример, базисные функции (22) были выбраны т а к ( неве­ роятный случ а й ! ) , чтобы функция и оказала сь одной из функций N-мерного пространства W N , натянутого на базис (22) , то приближенное решение WN совпало бы с точным решением и. В самом деле,

в

о

/ ( w N ) - / (и) = m i оn (/ (w) - / (u)) = / ( u) - / (и) = O W E WN

и

в силу теоремы 3

Одн ако функция и н а м неизвестн а, а известны только неко­ торые ее свойства, котор ы м и обладает не только он а , но и це­ лый класс и функций. Н а пример, пусть известно, что вторые производные функции и непрерывны и огр аничены постоянной М. Тогда кл асс и состоит из всех дважды непрерывно диффе­ ренцируемых функций, вторые производвые которых не превос­ ходят М и которые удовлетворяют условию и l г = О. Н а п о м н и м , что для решения и и любого w Е W о

1 (w) - 1 (и) и

в силу теоремы · з

= (w - и,

w - и)

= 1/ w - и 1/��''

1/ w - и /[w � a l/ w - и / 1:. . w

Поэтому выбор базисных функций надо по возможности осуо шествить т а к, чтобы для каждой функции v Е и с W н ашлась

§ 381

ВАРИАЦИОННЫЕ И П РОR КЦИОНН ЬШ МЕТОДЫ

339

функция wN Е W N , « близкая» к ней, т. е. такая, для которой мало ». Тогда, в частности, будет « мала » величина 1 1 wN - v 11� w « о

11 wN - и 11� =

m i n [/ (w) - 1 (и) ] = m i n о

о

а

вместе

с

(w - и , w - и),

W E WN

W E WN

тем будет « мала» и величина 11 w N - и 1/w : � и 1/:w 11 W N и �� w � а 1 / W N -

-

•

Говоря точно, н а илучшим был бы т акой выбор функций (22) , при котором число K N = KN (U , W N ) = S ц p о

VEU

min �

W E WN

1/ w - v / 1 w,

было бы н аименьшим возможным. Обозначим

х"'

(30)

(И, W) число о

(3 1 ) Это число называется N -мерным колмогоровским поперечнико м класса функций И относительно нормированного пространств а W c W . Очевидно, что н а илучшим выбором функций (22) был бы такой, при котором число (30 ) совп адало бы с поперечником А Н. Колмогорова x.v (И, W). При любом е > О существует, очевидно, н абор б азисных функций (22) , для которых о

о

1 (wN) - 1 (и) = 1/ w N -

� S up

и

l nf

йЕИ WEW

11:w �

о

J__ = K1 (U, W N ) � x1 (U, // w - й jj'w

о

о

W ) + в.

N

N-мер ный попереч ник X N (Х, У) А. Н Колмогорова м н ожеств а Х, лежа­ щего в л инейном норм ированином пр остр анстве У относительно этого п р о ­ стр анств а оn)Jеделяется формулой

x N (Х, У ) = lnf S u p m in 11 у - х lly• y N с У Х Е Х rJ E Y N

где Y N - nроиэвольное фикси рованное N-мерное линейное м ногооб разие (ги ­ перnлоскость) .

.340

[ГЛ.

В А Р И А Ц ИО Н I-1 0 - И П Р О ЕКШ! О!-I Н О - Р А З НОСТН Ы Е СХЕ М Ы

Т2

Поперечники сосчита н ы во многих случаях. В частности, известно, что для класса всех функций v, v ll г = О, и м е ю щи х огр а ничен ные неиоторой оG­ щей константой непрерывные вторые п р оизводные XN

'itN

(U ,

W ) = о .YIN .

(U, W) . �

= О

( ) ( ...j1jj ) .

(32)

(33 )

При учете дополнительных сведений об искомом реШЕ'нии и, на йденных при предв арительном анализе задачи или в резуль­ тате опыта решения близких задач, суж ается кл асс И, а при о этом поперечники х н ( и , W), N = 1 , 2, . . . могут только умень­ шаться. Поэтому искусство и опыт вычислителя состоят в том, чтобы уметь выбрать узкий класс и, содержащий искомое решение и, а затем выбрать прио заданном N базисные функции (22) так, чтобы число К н (и, w н ), введенное равенством ( 30) , не елиша ком сильно превосходило N- мерный поперечник х н (и, W). То­ гда в правой части нера венства 11 Wн - и lliv � a

[/ (wн) - / (и) ] = a ll Wн - и ll� � аК1 ( и , w н ) о

будет стоять число, близкое к х� (и, W), которое с росто м N стремится к нулю, и притом тем быстрее, чем уже кл асс и. Если п роизвести достаточно полный учет особенностей реше­ ния и, которые удалось выяснить до вычислений, а затем в со­ ответствии с этим хорошо выбрать базисные функции, то до­ статочно точные приближения получатся уже при м алых значе­ ниях N. Но объем вычислительной р а боты, которая состоит в вычислении коэффициентов и решении системы (26) , зависит именно от N. Таким образом, получится экономный вычисли­ тельный алгоритм. Проиллюстрируем применение метода Ритца еще одним при­ мера м : ра ссмотрим задачу ( В ) . После того, ка к система базис­ ных функций (22) выбрана, ищем приближенное решение о

Wн (х, у,

а , , . . . , ан ) =

Н

L

n=l

anro

� (х, У)

в простр анстве W N всех линейных комбинаций, подбирая по­ стоянные так, чтобы выражение J [wN (x, у, а1 ,

• . . , aN ) ]

§ 38]

ВАРИАЦИОННЫЕ И ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

34 1

приняла наименьшее зн ачение. Для этого числ а а , , , 1 ' aN надо · определить из систем ы уравнений д l [ w N (x, y, a l ' . • . , a N )] (34) n = 1 , . . . , N. .. = о, .: ___:..:.:. -�-'!...-�--::-__.:._ дап •

__

Будем считать, что в определении ( 27) скалярного у множе­ ния функция a (s ) совпадает с той, котор а я входит в краевое условие задачи ( В ) . Тогда систем а уравнений ( 34 ) п р имет вид N L a i (ro f , ro%) = - И fro� dx dy + � О и так что sin а � sin а о = const > О. Из р авенств (22) и неравенств (20) следуют оценки

а

�

:rt -

2eto,

1 д ( w - v ) � � --2- А з h , 1 д ( w - v ) 1 < --2- А зh, ао дх ду � 2 А з. котор ые п р имут в и д ( 1 8) , если обозначить sш а.0

sш

-

II а. о SI-

-

Для завершения доказ ательств а оценок ( 1 = 8) , -а вместе с тем и ( 1 6) оста­ Ве м ы оnиралнсь. Докажем ( 1 9 ) . лось доказать оценки ( 1 9) и ( 2 0 , н а которы О бозначим через н ап р авление от точки (х', у') к точке (х", у") . На от­ резке, соедин яющем эти точки, любая функция 1\) ( х , у) может р ассматри­ в аться как функция от s , где р а сстояние от точки (х', у') . По теореме о конечных п р и р ащениях

s

) s-

1\) ( х", у " ) - 1\) ( х ' , у ' ) = ,У ( х " -

х

) + (у" - у ' ) 2

' 2

d 1\) �� ТJ) ,

где (е, ТJ ) - некотор а я точка на отрезке, соединяющем точки (х ", у") . Если х, у (dl ) 1\' (х, у ) =

dv

(х', у')

и

§ 39]

П О С Т РОЕ Н И Е

то

dv ( х " , dl

у ")

dv ( х ', у ' ) dl

_

=

. 1( х "

'V

И

_

СВОйСТВА

х ' )2 + (у

"

_

( dv (s, у ' ) 2 ..!!._ ds dl

Обозначим углы между напр авлениями 1 и s с осью а п �· Тогда имеют место символические р авенства

dt

d

ds

d

( dtd )

ds

д . д дх + sш 7ijj • R ддх + ' �-'R ауд '

cos а

= cos а cos � д 2 + х

-У

)•

( 2.3)

Ох соответственно через

SШ

[cos а si п � + s i n а cos �]

д2

дх ду +

+ sш •

+ siп ( а + � )

'I'J)

а

= COS 1"

д2

Очевидно, что

d

=

·

3 53

СХЕМ

д2дvх(sд.у

'I'J) + s in a si n

R

1"

а

. sш

R�'"' дд 2

д vд(sу 2, 'I'J ) / 2

2 • -

у

� 3М

""""

( х" - х ' )2 + ( у" - у')< 2 c 1 h, то из ( 23) получим неравенство 1 dv (х",d/ у") dv (х',d/ у') 1 М 6 M ct. Для доказательства первого совпадающее с ( 19) , если принять А з нер авенства (20) за метим, что на стор оне треугольника, и меющей н а п равле-

Поскольку

_

�б

.._,.

С!

h'

=

= О . В самом деле, н а концах этои стор оны ние 1 1 , есть точка, где d /1 w - v обращается в нуль п о построению, а з н а ч ит, по теореме Ролля в п р о ­ межуточной точке произ водн а я обращается в н уль. Обоз н а ч и м координаты этой точки у') и воспользуемся нер авенством ( 1 9) , в котором п р имем н аправление 1 совпадающим с направлением l t . Получим первое неравенство (20) . Второе доказыв ается а н алогично. Завершив доказ ательство неравенств ( 1 9) и (20) , м ы завершили тем самым и доказ ательство неравенств а ( 1 6) . Для завершения доказ ательства в сей теоремы осталось уст а н овить неравен­ ство ( 1 7 ) . З аметим прежде всего, что каждая функция v Е И удовлетворяет уелов и ям

d ( w - v)

•

(х',

(24 )

где М - максимум модулей вторых п роизводных функции v (x, у) в областн D , а L - диагональ какого-либо квадр ата, содержащего D. Пусть п р я м а я у = = const пересекает область D. Поскольку в концах отрезка п ересечения этой прямой с Г п о условию v у) обр ащается в н у ль, то в не которой внутренней

(х,

(х0, у) этого отрезка по теореме Ролля будет д v (;;· у) О В любой другой точке этого отрезка 1 дv ( хх, у) 1 / д v (хдх, у) дv ( хо. у ) / 1 х - Хо 1 · / д2 v ( s , у ) 1 � L M д

точке

.

=

= .

-

12 С, 1\. Годунов, В. С, Рябенький

дх

=

дх 2

""""

,

354

[ГЛ. 1 2

В А РИ АU ИОН Н О - И ПРОЕК Ш Ю Н Н О - Р А ЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Второе неравенство ( 24) доказывается а н алогично. И з конструкции базисн ы х функци й

Ф

�

следует, что функция

w

( х,

N у ) = L о ( Р�) Ф� (х , n=I

у) в области

D'-..D N , п о которой ведется и н тегрирование в левой части ( 1 7) , есть тожде­ ственный н уль. Таким образом, благод аря оценкам (24) подынтегральн а я ф ункция в левой части неравенства ( 1 7) н е превосходит числа 2M2L2, а сам интеграл не превосходит числа 2M2L2 . s

M2L2C h 2 2 N �2

Таким образом, нер авенство ( 1 7) справедливо, если принять Теорема дока з а н а .

А,

2M2L2 Cz.

3. П р и м е р ва р и ационно-разностной схе м ы дл я третье й краевой з адачи. Р ассм отрим третью кр аевую задачу ( В ) § 38: д2 и дх 2

+

д д� +

cr

д2 и ду 2

= f ( х , у) ,

( s) и = ао > О, не которая постоянная, не зависящая от N. где Тогда справедлива оценка ( 321 . а

а0 -

§ 391

ПОСТРОЕНИЕ И CBOI'ICTB A СХЕМ

357

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из о п ределеnия (3 1 ) величи н ы ! (, ( V , WN) следует, что д л я доказательст в а оценки ( 3 2 ) доста � точно для каждой функци и и ( х, у) Е V построить та кую функ• шt ю WN

(х, у ) , для которой Ум еет м есто не р а в енство

+

� a (s) (w - и)2 ds � �2

г

(33)

у) = L и (Р� ) ro� (х, у ).

(34)

с nостоянной А, не з а висящей от и и от h. Покажем , что та кой функцией м ожет служ ить функция

N

w (х ,

n= l

В силу структур ы левой ч а сти нер ав е н ства (33) достаточ но п о ­ к а з ать, ч т о и м еют м е сто сл е.qующие нер а венств а :

1 д (wдх- и ) � � В h 1 д ( wду- и) I < B 1 h �

1

'

l w - и i � B2 h н а Г ,

всюд у н а D ,

(35) (36)

В1 В2 -

где и н екото р ы е п о стоя н н ы е. Нера вен ств а ( 35 ) дока ­ з ы в а ются почти дословно т а к ж е , к а к нер а вР.н ств а ( 1 8 ) , уста ­ новленные в ы ш е в м н огоугольнике Dг. Д л я док а з ательст в а не­ р а в енств а ( 36) з а м ети м , что в силу нер а венств ( 35) , и м еющих !\I есто и н а г р а н и це Г, п роизводн ая

d ( w - u) ds

=

COS V

д ( w - и) + . д( SIП V wд u) дх у

функции w - и вдоль г ра ницы не п р евосходит по м одул ю ч и сл а 2Bth. З десь i' - угол м ежду н а п ра влением г р а н ицы в д а н н о й точке и осью. О х . Д алее в точках Р � = Qr;:, n = 1 , 2 , . . . , т , и м еют м есто р а венства w - и = О. Поэтому в п р о и з вольной точке Q границы Q

� d (wd� u) d N

s �s

N • 2В 1 h � 2 (длина Q Qn

Qn

тде s

·Q�

N - р а сстояние от точки Q Qn

Q

сетки , измеренное вдоль гра ницы

до ближайшей

Г.

Г) · В 1 • h, к

ней точ ке

Теорем а доказана .

358

B Л P I I ::Z.

(1)

(2 )

и� = 'Ф т ·

Слагаемое vP+1 пол н о стью определ я ется по иР = {и::Ж } . т а к что его можно з а п и сать в форме где R h - о п е р атор, кото р ы й к аждой сеточной функции иР Е И !. ·с тавит в соответствие сеточную функци ю vP+ 1 Е И h по фор­ муле ( 2 ) . З а пись ( 1 ) примет тогда вид uP + I = RhиP + т: р Р , (3) и0 з а д ано.

vP+ I = RhиP ,

}

В этом п а р а г р а ф е мы покажем и н а других пример ах, как осу­ ществля ется п р и ведение эволюцион н ы х р а з ностных краевы х задач (4) к виду ( 3 ) . Мы уст а н о в и м , что если при таком п р и в едении удо в­ летворе н ы некото р ы е естествен н ы е т ребо в а н и я , то усто йчи вость з ад а ч и (4) н а отрез1 (mh ) , m = O , 1 ,

q>::z ,

. . .•

. . . • . . . •

М - 1, м.

[Т/т ] ,

1 1

(7 )

Я сно, что должны быть выполнены условия согл а со в а н ия '\>t ( О ) = '\> ( О ) , '\1 2 (О) = '\> ( 1 ) . В силу усло вий задачи и0 = з адано, а функции и 1 , и 2, можно по следо в ательн о выч ислить. Для этого следует переписать р а з н о стное ура внение и з схемы (7) в в иде •

и::z+ 1

=

r =

•

( 1 - 2r) и::z + r (и::Z _ 1 + и::Z+ 1 ) + т q>� ,

;2 ,

m = l , 2, . . . , М - 1 ;

и использо в ать р а ве н ств а

иg+ I Поэтому при м е м з а с нормой

=

'I>I

{tl�}

•

(tр + д·

и'J.t+ I

р = О, 1 ,

=

.

. , [Т/т] - 1 , .

'1>2 (t p + I )·

U h простр а н ство сето ч н ы х функций и = {и0 , и 1 , . . . , им} �

и 11 = m a x 1 и т 1 . т

uP+ l = RьиР + трР, u0 задано,

}

З а пишем теперь р а з ностную кр аевую з адачу в виде

(8)

обозн ачив через Rh оператор , который каждом у элементу а = {am} простр а н ств а U!a ста вит в соответствие не кото р ы й э лемент Ь = {bm} того же простр а н ств а п о формул а м Ьт = ( 1 Ьо

=

ао,

- 2r) ат + r (ат - 1 + am + I ), m � l , 2 , . . . , M - l .

Ьм = ам.

}

( 9)

КОНСТ Р УКЦ ИЯ ОПЕ РАТОРА П ЕРЕХОДА

368

Rh

П р и т а ком в ы б о р е опер атор а

рР = { р � , р �,

[!'Л. 1 3

.

.

·

• PXi } •

о предел ится формулой р -

р -

(

'Ф • (f p + l ) - 'Ф · (t p )

't'

'

р Р из Uh,

сеточ н а я фун кция

К 11 й0 11.

Отсюда ясно, что

р

11 f(h) II F 11 й(h) lluh > � К3

Это неравенство и з - з а

h

•

произвольности К и означ ает неустойчивость. Теперь подведем итог р а семотре н и я м этого п а р а гр а ф а . Мы показали, что, п р и водя р а зностную схему Lhu(hl = f (hl к .виду (3)

иР+ I

и0

=

Rh и .o +

зад ано ,

тр.о , }

372

[ГЛ. 13

КОН СТРУКЦИ Я О П Е Р АТОРА ПЕ Р ЕХОдА

м ож н о использовать з атем опер атор R h для и сследо в а н и я устой ­ чивости . И м е н н о , доказ а н а следующая Т е о р е м а . Если при приведении разностной схемы (4 ) к

виду ( 3 ) соблюдено условие 3°, то для устойчивости необходи­ мо, чтобы выполнялось неравенство II R � I < K, р = 1 , 2 , . . . , [ T/t ] , ( 1 3) ' где К - некоторое •tисло, не зависящее от h . Если приведение к виду (3) проведено с соблюдением условий 1 ° и 2 °, то оценк и ( 1 3 ) достаточны для устойчивости. Мы долж н ы о б р атить в н и м а н и е ч итателя на то, что обычно р а сслоение сеточной функции ит , _

Р

m = 1 , 2 , . . , , M - 1 ; p = 0 , 1 , . . . , [T/t] - 1 , и� = 'Ф т = 0, . , М, · иg + l = 'ljJ1 (tp + l)• и�+ l = 'ljJ2 ( tp + l)' р = 0, 1 , . . . , (T/t) - 1 , . .

т•

Т

для з адачи о теплопроводности дt -

ди

д2и = q> (х , t), дх2

1

1 J

}

j

и (х , О) = 'Ф (х) , � и (О , t) = 'Ф 1 (t), и ( l , t) = 'Ф2 (t) , O < t < T, О < х < 1 .

( 1 4)

( 1 5)

Мы подробно р а сс м а т р и в а л и эту схему в § 28. П р и м е м з а иР вектор и Р = (иg , иr • . . . ' и� ) с нор мой 1 и Р 11 = = max 1 и� j." Решение н а (р + l ) - м слое з а п ишем в виде сум ы ы т

где в

Va+l

=

( v uP+ I •

v P1 + I •

•

•

· •

v Pм+ I

)

И

рР = (рРu • рР1 '

•

. . ,

nP �"'М )

сво ю очередь явля ются решен и я м и вспомог ател ьных � �7ем

ЗАПИСЬ РАЗНОСТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

!14 1 1

уравнений

vff + l = иg = '� �

r vт D + ll +

- ( 1 + 2r) vP+ т 1

m = 1,

2,

(tP)'

+ r v m�> + 1 l

=

. . . , А1 - 1 ,

- итР •

v;w+ l = и;w = 'ljJ2 ( t P),

pg =

Ф1 (t p +l) - Ф1 (t p ) т

r p � + l - ( 1 + 2r) р� + rр�н

P:W =

=

IIFh

[ 1 Ф I (tр + ! )т- Ф l (tp ) 1 . / Ф2 (tp +l)"'- Ф2 (t p ) / .

вытекает и з оценк и

II P P I I � max

]

� x l P 1 1. max р

а} Проверить, что в ыполнены условия 1 ° - 3°. = r � 1 схема устойчива, а при т/h неустойчива.

б) Доказать, что при т/h

=

r > f''

§ 42. И спол ьзование частны х решениИ 11ри конструировании оnератора перехода

В да ч и

§ 4 1 р а сска з ы в алось о п р иведении р а зностной краевой з а -

к виду

u P+ l u0

=

R, huP + 't p P ,

задано.

(l)

}

( 2)

При этом оператор R. h можно выбир ать п о - р а зному. Цел ь п р и в е­ дения I< виду _( 2) состоит в том , чтобы по оцен к а м вел и ч и н 1 R.� � можно было судить об устойчи вости. Б ыло п о к а з а но, что оценка

I R.K II < К,

р

=

l , 2, .

.

.

обеспечивает устойчив ость, если только операто р в ы б р а н ы так, ч т о выполня ются услов и я :

1°

11 рР 11 � Kt ll f ! h) II Fh'

где р пробегает все значения, при которых

2°

11 U0 1 1 � К2 1 1 f!h ) 1/Fh•

(3)

, [T/'t] ,

ph

R.h

и

нормы

определено;

!, которую в этом случ а е н аибо­ л ее е стестве н н о выбр ать совпада ющей с и( h ! . В в еден ие т а кого опер ато р а R h и такой функции z( h ) н и сколько не п родвинуло бы н а с D и сследо в а н и и усто й ч и Dо сти . В к а честве операто р а Rh н адо стар аться бр ать к а к можно бо­ л ее п р о стой о п е р а то р . Одн а ко R h должен н а столько пол н о учи­ ·ты вать свойства р а з н остной задачи L h и( h> = f( h> , чтобы в ы полне­ ние условия 1 *, т. е . существо в а н и е функции z( h !, было достато ч ­ но очевидн ы м . Ч а сто уда ется воспользов аться свободой в выборе R 1• • кото р а я в о з н и к ает бла годаря тому, что в м е сто условия 1° должно выполняться лишь менее огран ичительное условие 1 * , для облегчения док а з ательства усто й ч и вости. В к а честве функ­ ции z( h ) при этом испол ьзуются фун кции, которые строятся из р е ш е н и й р а зностных з адач при правой ч а сти f( h ) того или иного специ ального вида. Мы сей ч а с п о к а ж е м на п р и м ер ах, как пользов аться предл а ­ т ае м ы м п р и е м о м . П р и м е р 1 . Р а·ссмот р и м р а з н остную краевую з адачу ( 1 ) вида и�&+ ! - и�� u:;. + 1 - u:;. = - 'Ф l (t p ) т

.

(9) к к а н оническому виду (2) полож им P u = (ug , иf, . . . , им)• ll и ll = max l v т l ·

Для п р иведе н и я з а д а ч и

т

§ 42]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ

37 9

РЕШЕI IИА

Оператор R h , = R h a, переводящий элемент а = (ао, а 1 , . . . того ж е п р остр а н ства U h в элемент = b t, . . . nростр а н ства, определим р а венств а м и = (1 - а т + т = О, l , . . . , М - l , •

• .

, ам )

Ь

bm

Ьм = 0 ,

Тогда, очевидн о ,

r)

Ь

ram + l•

(Ьо ,

, Ьм )

}

r = т:/h.

р Р = , и что р а сположение всех собственных чи сел Лk на отрезке - 1 � Л :s:;:;; 1 необходи м о и достато чно дл я выполнения н е р а венств

(23)

где нор м а опер атор а з адаетс я с помощью скаляр ного у м ноже­ ния

(2 1 ). .

394

КОНСТРУКЦИ Я ОП Е РАТОРА П EP EXOilA

[ГЛ .

13

6. Кр итер и и устойчи вости Сам арского. В предложенной А . А . С а м арским [ 23 ] , [24] теории устойчивости широкого клас­ са р а зностных схем в гильбертовам п ростр а н стве указаны не­ обходи м ы е _ и достато чные условия устойчивости в тер минах л и н е й ных н е р а ве н ств м ежду опер атор н ы м и коэффициент а м и этих схе м , а т а к ж е получе ны другие резул ьтаты . П р и в едем здесь л и ш ь д в а р езул ьтата из этой теории. Пусть Uh - евклидоно п р о стр а н ство с некоторым скалярным ум ножением (u , v ) = [u, v ] , и пусть опер атор R,, , v = R h u, и, V Е Uh , з а д а н р а ве Н СТВОМ

(2 4 )

где A h и B h - с а м о сопряженные опер аторы, причем Bh > О . Оп р едел и м энергетическую норму 1 и llв h в простр а н стве Ufa, положив (25) Тогда с п р а ведл и в а следующая

Т е о р е м а 2 . Jl словия

2 O � Ah � Bh т

(26)

необходимы и достаточны для выполнения неравенств II R � II � 1 ,

р � О.

(27)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определ и м с а м осоп ряженный опер а­ тор A'h р ав е н ством A'h = B h - тАh. Тогда ( 2 4 ) р а в носильно р а ­ венству ( 2 0 ) , а условия ( 2 6 ) р а в носильны условиям -B h :::;;;; :::;;;; А11 :::;;;; B h , т. е. усл о в и я м

(28) К а к п о к а з а н о в п . 5, опер атор Rh я в л я ется с а мосопряжен­ н ы м в с м ы сл е скаля рного ум ножения ( 2 1 ) и утвержде ние тео­ р е м ы р а в носильно утвержде нию, что все собственные числа 'Ak операто р а Rh лежат н а отрезке - 1 � Л � 1 в том и только том случ ае, если выпол н е н ы условия ( 2 8 ) . Докажем это по­ следнее утвержде н и е . Пусть в ы п о л н е н ы условия ( 2 8 ) . Ум ножим р а в е н ство (22) с к а л я р н о н а собстве н ную функцию -ф )вh / = L с� 1 Лk 1 � =

� L с� = (и, и)8h = [В hи , и]

Отсюда [В,,и, и] � 1 [д,,и, 1 , что р а в н осильно услов и я м ( 2 8 ) . Теоре м а док а з а н а . З а мети м , что проверка условий ( 2 8 ) р авносильн� п роверке того, будут л и н еотрицател ь н ы все собстве н н ы е ч и сл а с а м о со­ пряженных в см ысле скалярного у м ножения [и, v ] опер аторов Bh - дh и B h + дh .

и]

.

Приведем без доказ ательст ва еще один критер и й устойчив � сти, примени­ мый к р аз ностны м схемам (24) , для котор ых B h > О, A h A h > О. Введем в пространстве И h' энергетичес к ую норму 1 1 и IIA Теорема

3.

положи в 1 1 и =

h

•

1 1� """' [ Ar.u. и ] . h

Выполн е ни е условия Btz ;;;;" 2 A h необходимо и достаточно 't

для того, ч т обы и м е ло лtе ст о неравенство 11 R h IIA < 1 . h

Теорема 3 содержится в п. 4 § 1 гл. VI книги [23] и доказывается без п омощи спектр ального п одхода, котор ый эдесь н е удается при менить из-за несамосопряженности оператора Bh. 1 . Пусть опер атор R ,, ,

ЗА Д АЧИ

Ь """' R ha, задан формулами Ь т = ( 1 - r) am + ram + l • т = О, 1 , , Ьм = О. . . .

М - 1, }

М. Покаэать, что в простра нстве И� сеточных функций { а т } • т = О, 1 , нельзя задать с кал я р н ое п р о и з в еден ие так, чтобы оператор R.h стал само­ сопряженным. .

. • .

Г Л А В А 14

С П Е КТ РА Л Ь Н Ы й П Р И З Н А К УСТО й Ч И В ОСТ И Н ЕСАМО С О П РЯ Ж Е Н Н Ы Х Э В ОЛ Ю Ц И О Н Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗАДА Ч

Здесь м ы покажем, что по спектру неса мосо пряжен ного опе­ р атор а Rh нельзя судить об усто й ч и вости р а з н остной краевой задачи в ограниченной о бл а сти, в в едем понятие спектр а семей­ ств а опер аторов {Rh} и р ассмотр и м спектральную постановку вопроса о б устойчивости, оста ющуюся р азумной и в случ ае не­ с а мосопряженных р а зностных краевых з адач в огран иченных обл а стях. Будет у к а з а н необходи мый и близкий к дост аточному спектр а л ь н ы й п р и з н а к устойчивости. § 44 . Спектр семейства операторов {Rь} 1 . Н еобход и м ость усовершенствования спектрально го при­ энака устой ч и вости. В гл . 1 3 было пок а з а но, что обычно эволю­ цио н н ы е р а зностные краевые задачи можно при вести к виду uP+ I = RhuP + т рР, (l) u0 задано

}

так, чтобы устой чивость н а и н тер в але в р е м е н и О � t � Т была р а вносильна р а вномерной по h огр аниченности норм степеней операто р а перехода R11. т. е. оценке

II R � II < К , р = 1 , 2,

. . . , [Т/т] ,

(2)

где Л - ш а г сетки по в р е м е н и , т = т ( h ) . Было уста новлено, что р а сположен ие собственных з н ачени й о перато р а R h внутри круга

1л1< 1

с

т

( 3) на ком плексной плоскости необходи мо дл я выполнения усло­ вия ( 2 ) , т. е. для усто й ч и вости . В § 43 было п о к а з а н о , что в слу­ ч а е с а м осопряженного операто р а R,, условие (3 ) я вляется не тол ыю необходи м ы м , но и достато чным у с л о в и е м р а в но м е рной +

§ 44]

С П СКТР СЕМЕйСТВА ОПЕРАТОРОВ

397

огр аниченности ( 2 ) норм степенеi'1 операто р а R,,. Этот же ф а кт установлен в § 25 и для разностной з ад а ч и Коши с посто я н ­ н ы м и коэффициент а м и в случ ае двуслойных р а з н о стных схе м относител ьно одной неизвестной функции н е з а в и с и м о от того, и м еет ли м е сто са мосопряженность. Одн ако в общем случ ае не­ с амосопряженных р а з ностных кр аевых з адач в огра ниченных областях необходи м ы й признак ( 3 ) очень далек от достаточного и совершенно неадекватен воп росу о р а вномерной огра ниченности (2) норм I R� / степеней опер ато ра Rh· Это п о к а з ы вает следующий п р и м е р . П р и м е р . Для р азностн9й кр аевой задачи � l � и ;;, + l - и � и + -и ,

l � [Т/т] , . , м-' Mh = l , J

= <jJ (Хт, fp) ,

h

-r

р = О, 1 , иХt = О, и� = 'IJ (хт ) • m = O, 1 '

.

.

.

.

.

а п п роксимирующей з адачу u t - Их

'

( 4)

= (х, t), О � х :;;;;; 1 , o :;;;;; t :;;;;; T, и (х, О) = 'Ф (х), и ( l , t) = О. Мы уже р а сс м атривали р азностную схему (2) в п . 2 § 26 в к а ­

честве примера, иллюстрирующего п р и м енение п р и з н а к а Б абен­ ко - Гел ь ф а н д а . Н а по м н и м , что согл асно это му призн аку исследо в а н и е и сходной задачи на отрезке следует р азбить на исследо в а н и е трех вспомогател ьных задач: з адачи б е з боков ы х г р а н и ц , з адачи с одной только левой г р а ницей и задачи с од­ ной тол ько п р а во й г р а н ицей, для к аждой из которых н адо н айти все собственные зн ачения опер аторов перехода от u P к и Р + 1 • О к а з ы в ается , что алгоритм вычисления спект р а семейства опер аторов {R h } совпад ает с процедурой Б а бенко - Гел ьфанда. Чтобы описать алгоритм вычисления спектра семейства опе­ р аторов {R h } , н а р яду с о п е р а тором R,,, заданным р а венства м и +� � +� Опер атор R . v = Rи, задается н а л и н е й н о м простр а н стве огр а ниченных функций и = { . . . , и- 1 , uo, и 1 , . . . } , определен н ы х на всей сеточной п р я м ой - оо < mh < оо , по формуле +

l, . . .

Эта фор м ул а полу ч а ется из р авенств ( l ) при удалении левой г р а н и цы в - оо , а п р а вой в + оо , что отр ажено стрел кой с � + дву мя конца м и в обоз н ачении опер атор а : R . Опер атор R ,

Vт = ( 1 - r) ит + rит + 1 , m = O,

(3)

АЛ ГОРИТМ В ЬI Ч И С Л Е J-I I I Я С П Е К Т Р А

§ 45]

405

= Rи, задается п а линейном простр а н стве сеточных функций и = ( ио. и 1 , . . . , Urn, ) , определе н н ых н а сеточ н о й полупря м ой Xm = тl� . т = О, 1 , 2, . . . , и стр е м я щихся к нулю п р и т - + оо . v

�

•

.

.

Он з адается формул о й

Vт = ( 1 - r) uт + ram + l , m = O, 1 , . . .

Эта формул а получ а ется из формул ( ! ) п р и уд алении п р а ­ в о й гр а н и цы в + оо , что отр ажено м не м о н и ческим з н а чком -+ � в обоз н а чении опер атор а : R . + + Н а конец, опер атор R , v = Ru , н ад функци я м и

(4 )

и м) . ит - 0 п р и т - - оо , определен н ы м и н а сет очной полупрямоi1 = mh, т = . . . , -2, - 1 , О, 1 , . . . , М, з ададим формул а м и V m ( 1 - r ) Urn + ГИт+ 1 ' т = . . . ' - 1 ' О, 1 ' . . . ' м - 1 ' (S) Vм = О. и =(.

. . , Um ,

•

.

.

,

llм - 1 ,

х,"

}

=

Эти фор мулы получились из фор мул ( 1 ) при уда л е н и и л евой + гр аницы в - оо , что т а кже отр ажено в обоз н а ч е н п и опер атор а : R.

Р ис. 54.

Мы види м , что опер аторы R, R и R от h не з а в и сят. Обл а сти определения функций и = {ит} дл я опер а торов ( 1 ) , ( 3 ) , ( 4 ) и ( 5 ) показ а в ы н а р и с . 54. Будет пока з а но, ч то совокупность +�

�



�

+

как, прежде чем переходить к док числ а 1 и есть собственные з н а ч е н и я оператор а R . В н а шем ��

п р и мере у р а в н е н и е R и - Ли = О и м еет вид ( 1 - r - Л.) и т + r и т + l = 0, т = О ,

+ 1, . . .

В с я кое решение этого обыкновенного р а з постного у р а в н е н и я первого п о р я д к а , к а к вытекает и з § 1 , м о ж е т лишь посто и н н ы м м н ожителем отл и ч а ться от сеточной функции tt 111 = q m , т = = О, + 1 , . . . , где q - корень х а р а ктер и стического уравнения ( 1 - r - 1) + rq = О. Связь м ежду числ а м и Л и q можно з а п и ­ с а т ь т акже в ф о р м е Л. = 1 - r + rq. Решение ит = q m огр а н и чено при т -+ + оо и при т -+ - оо тол ько в том случ ае, е сли 1 q 1 = 1 , q = eia, О � а � 2л. По­ этому м н ожество тех з н ачений Л, при которых решение ит = qm огр а н ичено, получается по формул е Л. = 1 - r + rq = 1 - r + r e1a, когда q = eia пробегает еди н и ч ную окружность 1 q l = 1 на ком. �� плексной плоскости . Точ к а 1 пробегает п р и этом окружность Л р адиуса r с центром в точке 1 - r ( р и с . 26, а, стр . 289) . � В ы ч исл и м собственные з н ачения опер.атор а R, т. е. те Л., п р и которых уравнение �

и м еет решение tt = ( и0, и 1 , , tt m , . . . ) , стремящееся к нул ю п р и т -+ + оо . � У р а в н е н и е Rи - Л.и = О в р а з в ер нутом в иде можно з а п и сать так: Rи - Л.и = О •

•

•

( 1 - r - Л.) и т + rит+ l = 0 , т = О , 1 , . . .

Е го решение ит = qm, т = О, 1 , . . . , стремится к нулю при т -+ + оо , если 1 q 1 < 1 . Соответствующи е собственные значения

1 =

1 - r + rq з а пол н я ют п р и этом в н утренность круга

Л радиуса r с центр ом в точке 1 - r ( р и с . 2 6 , 6) ."

( 1 - r - Л) ит + rttm + t = O , т = . . . , - 1 , 0, 1 , . . . , М - 1 , - Л.им = О.

}

( 6)

§ 451

.1\. Л ГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ С П ЕКТРА

407

В с я к а я сето чная функция tt = { ит } . т = М, М - 1 , . . . , удовлетворяющая первому из этих соотношен и й , с точн остью до постоянного м ножител я по-прежнему и м еет вид ит = qm, п р и ­ чем Л и q по-прежнему с в я з а н ы р а венством Л = 1 - r + rq. Р е ­ шение ит = q>n, т = М, М - 1, . . . , стре м ится к нулю п р и т -+ - оо , е с л и 1 q 1 > 1 . В торое соотношение ( 6) , т. е. р авенство - Л и ы = О, н а кл ады в а ет на решение llm = qm допол нительное требов ание - Лим = - лqм = О или Л = О. Если точ к а Л = О лежит вне круга р адиуса r с центром в точке 1 - r, изобр ажен­ ного н а рис. 26, в , т. е. если r < 1 /2, то ей соответствует н е кото+ рое зн ачение q, 1 q 1 > 1 . Множество Л тех Л , при которых ура в 1/2 на р и с. 2 7 , б и 27, в . ' Докажем теперь, что спектр семей ств а опер аторов { R h} сов+ +� � падает с объединением А м н ож еств Л, Л и Л собств енных +->

�

+

з начений вспомогательных опер аторов R, R, R. Н адо показать, что к ажд а я точка м н ожест в а Л п р и н адлежит спектру семейств а р а з н остных опер аторов { R h} и что друг их то­ чек спектр н е содержит. Сн а ч а л а покажем, что всякая точка Ло Е Л прин адлежит спектру семейств а р азностн ых опер аторов. Для этого достаточно установить, что, ка ково бы н и было 8 > О , не р а в енство

(7)

имеет решение и п р и всех достаточно м а л ы х положительных з н аче ни я х h . Решение и = ( и о , и 1 , . . . , и м) мож·но н аз в ать «по­ чти собственным вектором» опер атор а R h . поскольку решение уравнения Rhи - Ли = О в алгебре прин ято н а з ы в ать собствен­ ным вектор о м . Построения, с помощью которых проводится доказ ательство, +� � + з ависят от того, к а кому из трех м н ожеств Л, Л или Л п р и н ад+� л ежит точка Ло. Н а чн е м со случ а я Л 0 Е Л. Покажем , что п р и любом 8 > О и всех достаточно м алых h нер авенство (7 ) и м е ет решение и. Переходи м к построению функц ии и = ( и о , и 1 , . . . , Им) . По . . . ,

и м)

= ( 1 , q0 ,

•

•

•

.

. •

, qg-t) .

Вычир:ш м для этой сеточной функции и, г р а ф и к которой в слу­ чае q = 1/ 2 изобр ажен на рис. 56, норму вектор а w == R1, и - Л0и. Из р авенств

l w m i = I ( I - r - Л0 ) q[f + rq[f + 1 I = O, m = O, . I , . . , М - 1 , .

lw

м

l = l qo lм

следует, что 11 w 11 = 1 q0 lм = 1 q0 / 11 h . Если h н а столько м ало, что h 1 q0 / 1 1 < в, то l l w l l = I I R 1, и - Лott ll < в = в ll и ll , поскольку l l и ll = 1 . Итак, док а з а н о, что в н а ш е м п р и м е р е все точ ки м н ожеств -+ л, Л и Л прин адлежат спектру qm семей ств а р азностных операто­ ров . Покажем теперь, что вся к а я точ к а Л о , н е п р и н адлежащая +-> -+ + {) мн ожеств а м Л, А и Л, не п р и н адР и с. 56. лежит спектру семейства {Rh} . Именно покажем, что существует чи сло А > О, не з а в ися щее от h и такое, что для л ю бой фун кцшz и = (ио, и 1 , . . . , и м ) выпо л нено нер авенство (8) 11 R hu - Л.ои 11 � А 11 и 11.

(tj /)� .

Тогд а п р и в < А н е равенство I I R h и - Лои l l < в l l и l l не и м еет р е­ шения и точк а Ло не прин адлежит спектру. Обозн а ч и м f = == R1, и - f...о и , тогда неравенство ( 8 ) з а пишется т ак : 14 С. 1(.

ll f ii � A II и l /.

Гом н ов,

В, С. Р ябенький

(9)

4\0

[ГЛ. 1 4

УСТОйЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕНН ЬIХ ЗАДАЧ

Эту оценку мы и будем обосновыв ать. Р а венство з а п и ш е м в р а з в е р нуто м в иде :

R1,u - Лои = f

( 1 - r - Ло) ит + rит+ l = f т, т = О , 1 , . . . , М - 1 , - Лаим = f м ·

}

( 1 0)

Буде�! р а с с м атрив ать э т и соотн ошения к а к ур а внение относи ­ тельн.о и, а f будем считать заданной п р а вой ч а стью. З апишем р ешение и = {ит} в в иде сум м ы , положив Uт = am + � n"

т=

о,

1 , . . . ' М,

(1 1)

где am - ком поненты огр а н иченного решения а = {am} следую­ щего у р а в н ен и я :

{ о, о,

( 1 - r - Ла) ат + r ат + 1 = F т = =

если т < О , f т, если т = О , 1 , . . . , М - 1 , если т � М.

( 1 2)

Тогда в силу л и н е й ности в е ктор � = { � m} , компоненты которого входят в р авенство ( l l ) , есть р ешение уравнения ( 1 - r - A.o ) �т + r� т + l = 0 , m = O , 1 , . . , М - 1 , - А.а�м = f м + Л аам· .

}

( 1 3)

Для док а з а тельств а оценки ( 9) , которую при сдел анном в ы­ \ б оре нор м ы можно перепис ать в форме 1 Uт 1 < A max l f т l, в . т силу соотн ошения Um = а"" + � т достаточно установить оценки вида ( 1 4) 1 ат 1 :'(; А , max 1 f т 1. ( 1 5) 1 � т 1 :'(; А 2 max 1 f т 1.

где А 1 и А 2 - н е1 О ,

[

то, выписав функцию Грина р азностного уравнения первого порядка ( § 2) , можно установить, что пpir любом Л из круга 1 Л - 'Л о 1 < miп 1 Л о 1. 1 � при всех достаточно больших N и всех и Е и N выполнено неравенство N 1 1 R N и Л и 11 > a 11 и 11 . Отсюда следует, что точки этого кру г а не прин адл е­ жат Л (а, k, N) , если N достаточно велико, а следовательно, н не принад.lе­ жат ни замыканию их объединений Л, (а, k) , н и ядру Л (а) . З аметим, что ядро Л (О) показателя а = О в р ассмотренном примере со­ стоит из двух точек 'Л = О и Л = 1 r, а ядро .\ ( 1 ) совпадает со всем снект­ ром семейства опер аторов { R N } . который б ыл вычислен в На этом закончим рассмотрение пршrера н вернемся к общим построе­ -

-

ниям.

0]

§ 4 5.

О п р е д е л е н и е. Я д р о Л ( О ) назовем абсолютным ядром. Т е о р е м а 2. А бсолютное ядро семейства операторов { R N } не зааи с ит

от выбора последовательностtt нор.11 ll · llм ·

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из того факта, что пр н а = О �шожество Л (а, k , N ) совпадает при каждом N с м ножество�! собственных зн ачеrrн ii опе­

р атора R N ' которое не зависит от нормы в простр анстве и N ' Т е о р е м а 3 . При усло вии ( 1 ) последо в ат ел ь ность н орм l · llм в се� д а можн о выбрать так, чтобы спектр сеАtейства операторов { R м } совпадал со

Д о к а з а т е л ь с т в о. Укажем конструкцшо норм, существование кото­ рых утверждается в теореме. Выберем базис в пр остр анстве и N так, чтобы м атрица преоnразования R N в этом базисе была жордан овоii н модул и всех внеднагона.1 Ы I Ы Х членов былн меньше чем 1 /N. Введем скалярное у :ш о ж е н не и нарожденную н м норму, объявив этот базнс ортонормальным. [ слп /. о ­ произвольная точка , не принадлеж ащая Л (О) , и е > О - р асстояние от этой

своtш абсолютным ядроАt.

j 47]

УСТ()11 Ч I ! ВОСТЬ ЛЛ ГОГ'IПМОЕ РЕ Ш ПIИ Я YPAB I I C I I I IП

415

точки до замкнутого в силу теор емы 1 м н ожества Л (О) , т о м о ж н о п р оверин., ч то 11 Rи - Лои

Е 11 � 4 ll и 11

п р и в с е х N > 8/в и всех и Е

nр!I I I адлеж н т спектру семе iiст ва операторов 1 Jт ai 3 можно сделать поэтому и с помощью спектральных признаков. Длп вычисления решения ( несамосопряженного) уравнения вида A Nи + fN = O ( 1 2) можно пытаться строить итерационный алгоритм в форме

BN u m + 1 = BN u m + ( A,v u m + fN) .

( 1 3)

П р и этом опер атор B N надо подобрать так, чтобы е г о было легко ЧIIС­ ленно обратить и чтобы спектр семейства операторов {B;y ' A N } имел воз�юж J ю меньш ий р адиус fJ , р < 1 . В силу оценки 1 R'!j // "( С (Е) · ( р + E)m, гд е Е > О произвольно, а С ( Е) не зависит от N, это обеспечит быструю сходи­ мость, а в силу критерия устойчивости, сформулированного выше, - устойчн­ Iюсть итерационного алгоритма ( 1 3) .

ДОПОЛНЕНИЕ

М Е Т О Д В Н УТ Р Е Н Н И Х Г РА Н И Ч Н Ы Х УС Л О В И й В теории краевых задач для аналитических функций, т. е. для решений систNr ы ур авнений Кошп - Рпмана, а также для решениii более общих crr­ cтe�l ура вненнii с ч а стн ы�ш пр оизводными, примен яется Аrетод сингулярных интегральных уравнений. Он состоит в сведении краевых задач к некоторым интегр альным уравнениям н а гран ице р ассматриваемой области. П р и этом в дополнение к задашrьrм граничным условиям используются следствия самой системы дифференцнальньrх уравнений - соотношения, которым должны удо­ влетворять функции (и их нормальные производньrе) на границе области, чтобы их можно было доопределить внутри области до некоторого решения соответствующей системы. В случае аналитических функций - это классиче­ ское условие Сохоцкого - Племеля, которое возникает при переходе в ин­ тегр альной формуле Коши QJ

(z)

=

r __Lill_ d ь � 2:rtt j ь у

z

к пределу п р и стремлении z к границе у. В случае дифференциальных урав­ нений второго порядка соответствующее условие возникает из формулы Грина, выраж ающей решение в каждой точке областн через значения этого решения и его нормальной производной па границе. Ч тобы получить это условие, также надо перейти к пределу при стремлении точки изнутри обла­ сти к ее границе, воспользовавшись свойствами потенциалов простого и двой­ ного слоев. Мет од внутренних граннчньrх условий по идее аналогичен описанному методу редукции краевых задач для уравнений с частными производньr м и к интегр альным уравнениям н а границе. Роль дополнительных граничных усло­ вий, аналогичных условию Сохоцкого - Племеля, играют в нутренние гранич­ !lhrе условия, возника ющие и з раз ностного аналога интегр альной формулы Коши ( ил н р азностного аналога формулы Грина) . 1 . Класс систем разнос.тны х уравнений. Рассматриваются краевые задачи для общих систем разностных уравнений с постоянными коэф ф ициентами, которые в векторной записи имеют вид Lu

=

L

kEK

Ak11n + k - fn .

(\)

где n = (п ,, nz , . . . , п . ) . k = ( k , , flz , . . . , k. ) - мультииндексы, А ,. - квадрат­ н ые м ат р ицы , f - з аданная н и н - искомая вектор-функции, К - конечное �люжество (шаблон) . Будем предполагать, что систем а ( 1) удовлетворяет с.1едующе�rу алгебр анческо�rу условню: характеристическая матрица k (2) А Ш == L лks , kEK n

' ДОПОЛНЕНИЕ

420 k

k

-t l •• �s s и � 1 ' • • • , � - комплексные пар аметры, не является то ж • где ts k = ь1 • s дественно по s вырожденной:

d e t А Ш Ф О.

(3 )

Это ограничение естественно: можно по казать, что в случае det А ( s ) = О уравнение ( 1 ) имеет решение не п р и всякой финитной (по п) п р авой части f n . 2. Фундаментальное р е ш ен ие. Матричную функцию Gn назовем фунда­ ментальным решением системы ( 1 ) , если она одновременно удовлетворяет следующим двум уравнениям:

L

A k Gn - k =

k e l(

� Е,

�

(4 )

( 4') L G n - k A k = �� Е . k e l( Л е м м а . П у сть Q ( s t . . , S t ) есть произвольн ы й много ч лен от про и з ­ вольного ч и сла t комплексных аргументов, не обращающийся тождественно в нул ь. Тог да можно вы б рать радиусы г; окружностей 1 s ; 1 = г; так, чтобы выполнялось неравенство Q (st, . . . , st) =1= 0, если l st l = г t , l st l = гt. . .

•

. . .

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по числу аргументов t. При t = 1 число корней Q ( st ) = О конечно и утверждение очевидно. Считая, ч т о утверждение доказано для t = р, установим его в случае t = р + 1. Многоч .'l еН Q (st, . . . , S P + t ) расположим по степеням S Р н : Q ( s . . . . . , s p + l) =

Q o (s . .

. . . , s p) s :+ l + . . . + Q м (s .. . . . , s p)·

где М - некоторое н атуральное число и Qo ( s t, . . . , S P ) не обращается тож· дественно в н уль. Выберем Г t, , Гр так, чтобы Qo ( s t, . . , S P ) =1= О п р и l st l = Г t, . . . , l s P I = Г р . Это возможно по предположению индукции. В ы ­ бирая теперь Г р + t достаточно большим, можно добиться, чтобы при l s ; \ = г ; , j = 1 , . . , р + 1, выполнялось нер авенство Q (st, . . , S P + t ) =1= О. Т е о р е м а 1 . Матрица G n , определяемая равенством • • •

.

Gn

=

1

( 2 л;i)s

� ';}'

� ';}'

• • •

.

1 � А- ш ';}' n l + 1 n + 1 ds i 61 " ' ss s .

• • •

l !i.J I -'J

•

'

. d� s .

(5 )

является фундаментальным решением.

Здесь r; в соответствии с леммой выбраны так, чтобы det А ( s ) =1= О, если l s; l = r; . Д о к а з а т е л ь с т в о получается непосредственной проверкой. Учитыва 111 свойства вычетов, nолучаем

3. Граница сеточной области. огр аниченном множ е с тве

L и """'

L

k e l(

Рассмотрим уравнение ( 1) на некотором

A kиn+ k

=

f n• ·

n Е

D o,

(6 )

где Do - произвольная сеточна я область определения правой ч асти · fn · Тогда иn е ст ь множество D, которое пр обегает т о ч к а

о бл а сть определения решения

42 1

МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИй

n + k, если n и k пробегают независимо Do и К соответственно. Сопоставим каждому г Е D подмножество К т множества К , состоящее из всех тех k Е К, для которых r - k Е Do. Границей Г назовем со· вокупность всех тех точек r Е. D, для которых К, х х х х х х х х х непусто. Например, для простейшего разностного х х аналога уравнения Пуассона L и ""'

и

п , - 1,

n,

+

ип

, n,+ 1 n, + , , n,- 1 4 , , = =, + иn , + l .

+

ип п

ип

Nh

l

h 2 F п . п ,,

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

множество Do состоит из тех точек (nth, n2h) \ кото· х х х х х х х х х рые попали внутрь квадрата l x1 l � \, l x2 � \ . Множество К - из п яти векторов ( \ , 0) , (0, 1 ) , (- \ , 0) , (0, - \ ) , (0, 0) . Множество D - сово· Р ис. 57 . купиость всех целочисденных точек квадрата nt � N, 1 n2 l � N, кроме четырех угловых flt N. Граница Г состоит из дву� слоев точек, отмеченных на 1 n2 l р ис. 57 крестиками. l n 1 I < N,

\ n2 l < N;

l= =

\

4. Разностные аналоги интегральных формул

Коши

и

типа Коши.

Л е м м а. Пусть B n - произвольная Аtатрица-функция, для ко1 орой имеет

смьtсл умножение справа на квадратную Аtатрицу порядка т , определенная на всей целочисленной сетке. Справедливо следующее тождество:

=

L

nED

( k LJ( B - n + kAk ) ип E

L

rЕГ

(k��EJ(r B - r+ kAk )

и ,.

(7 )

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вектор-функцию и n , n Е. D, можно записать в виде

Левая и правая части тождества (7) линейно зависят от и. Поэтому для доказательства достаточно проверить справедливость тождества (7) для век· тор-функции если n =1= t , если n = t, при каждом фиксированном t Е D :

L

n Е Do

- V +k k = L ьь� B_t+kAkvt L B-t+kAkvt - L B-t+ k Akvt k E /( k E J( k E J( t L ( L B -n+kAk) 0n - L ( L B - r+J(Ak) v,. n E D k Е /( Г Е Г k E J( r k { 1 , если D0, t _k

B-n

L

k Е /(

AkVn + k =

L L

k Е /( n Е D0 =

=

где

111 un

=

о. если t

-

k

-

е

е

Dn.

B nAk n

=

=

422

ДОПОЛН ЕНИЕ

Т е о р е м а 2. Пусть {иn}, п Е D , - nроизвольное решение уравнения (6)", а G " - rzроизвольное фундаментальное решение. Тогда справедлива формула

если п Е D , если п Е D.

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Помножим обе части равенства (6) слева на м атрицу G t - n и просуммируем по в сем п Е D o. Воспользовавшись тож де ­ ством (7 ) , а з атем р авенством (4') , получим формулу (8) . С л е д с т в и е. Каждое решение {иn} уравнения ( 6) полностью оп реде ­

ляется своими значетtЯАIU на Г tt восстанавливается по этmt зна•tениям rю форАtуле (8) . Т е о р е м а 3. Пусть {ur} - произвольная вектор-функция раз,нерностu rn, определенная на Г, и пусть G n - произвольное фундаАtентальное решение. Тогда формула ttn =

L

rеГ

(L

k e K,

)

Gn- r+ kAk Vr +

L

m e D,

задает некоторое решение уравнения (6) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применнм оператор определенной формулой (9) :

Lun

=

L

rе Г

[k L

e K,

( L Gn - r+ k ) Ak

]

llr

+

L

m e D,

Gn-m rm, п Е D, L

(9)

к вектор - функции {иn},

(L G /1-m) fm, п Е Dо. ( 1 0)

Вы•шслим правую ч асть. В силу (4) имеем LGn - r+ k =

{ Е, О,

есл и п = r - k, е сл и

п =1= r - k.

Но в силу определения множества Kr точz (z) в ограниченной области d с грашщей у:

_12:n:i_

� ....2JQ_ d � = ':У � - z

t ev

{

q>

(z), если z .= d, О, если z Е d U у.

(ll)

П р и этом роль аналитических функций, границы об.1 астн и ядра Коши 1 1 игра ют соответственно решения {иn} задачи (6) , граница Г се 2:n:i � z точной области D и выр ажение L Gn - r +kAk , учитывающее через _

множество ТОЧЮI r Е

Kr, Г.

(

k eK

,

)

по которому ведется сумм ирование, структуру границы вблизи

Формулу (9) в таком случае естественно сравнить с интегральной фор­ мулоii типа Коши. Формул а (8) аналогична также формуле Грина для урав­ нения Л апласа. Подчеркнем, однако, следующее существенное р азлнчне между формула­ ми ( 1 1 ) и (8) : интегральная формула Коши справедлива только строго в нутри области d, а р азностная формула ( 8) - всюду •I a D, включая то•tки

А налогичное р а зли ч ие и м е ется также между ф о р м у л о й (9) и фор мулоii Гри н а.

грани цы Г.

МСТОЛ B H YTPEI-11-ПI X ГРАН И ЧН ЫХ УСЛО В ИI-1

423

5. Внутренние г раничные усло в и я .

Т е о р е м а 4. Пусть Gn - какое-нибудь фундаАtентальное решение урав­ нения ( 1 ) . Для того •tтобы заданную на Г вектор-функцшо {и,}, r Е Г, Аtожно было доопределить всюду в ограни•tенной сето•tной области D до пекоторога решения у равнения (6) , необходшю и достато•tно, •tтобы при всех n Е Г вы­ tюлнялись равенства

L

rЕГ

(L k E

!(Г

Gn - r + k

)

Ur

+ m LE D0 Gn - mfm

=

ип ,

n Е Г.

( 1 2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если {и,}, r Е Г, можно доопределить всюду на D до векоторого решения {и п }, п Е D , то, примею1в к этому решению формулу (8) , а затем р ассматривая полученное равенство только при n Е Г, убедимся в выполнении ( 1 2) . Обратно, если {и,}, r Е Г, удовлетворяет ( 1 2 ) , то примем V т == и, и построим некоторое решение {и п}, n Е D , по формуле (9) . В силу ( 1 2) гра ничные значения этого решения {и,}, r Е Г, совпадут с заданными. ДОJ(азанная теорема 4 дает основание назвать р авенства ( 1 2) внутрен­ тtми гранu•щыми условиями: эти условия не задаются извне, а являются следствиями самого разностного уравнения. Если формулы (8) и (9) тр актовать как аналоги и нтегральных формул Коши н типа Коши, то внутренние граничные условия аналогичны классиче­ ским условиям Сохоцкого - Племеля, при которых заданную на границе у области на комплексной плоскости функцию О, построим сетку и

( хп , • Уп,) = (n 1 h, n2h)

разностное уравнение и n , + I, n , 11 n . - I . n, + и п, ,

Ошесем к D0

=

�

D

+

все

n, + I

OGJ

и

PJ воспользуемся ме­

+ иn,n,- I - 4ип,п, = О.

те точки сетк и, к о т о р ые вместе со всеми 'Iетырьмп

426

Д ОПО Л НЕ НИЕ

соседшrми точками прин адлежат dUy. Тогда определится сеточная оG.1асть = Dh, ее граница Г = Гh и вrrутреrrние грашrчныс условия и г - Риг = О Идея состоит в том, чтобы по функции и l v = a (s) и фукrщии

D

ди

dn

1

=

v

b (s ) .

записанной в вrще ряда с неопределенными коэффициентамrr, продолжить решение по формуле Тейлора с границы у в приграничную полоску, где ле­ ж r r т граница сеточной области fh; затем подобрать rrеопределеrшые ко эффrrшrеrrты

ai = aJ, �i �j'

из условия мшшмизацrrи rrевязки, возrrнкающеr"r прп подстановке пpoдomкcrr ­ границы у в приграничную полоску функции u ( x, у) , во вrrутрсннне граничные условия. =

IIOЙ с

1 1 . Сопоставление метода внутренних граничных условиИ с rул я рньr х интегральных урав нений. В начале Дополнения м ы

м е т о д о r.1

с ш r­

указывали r : a аналогию между методом внутренних граничных условий и методом с ш rгу­ лярrrых интегральных уравнений, которая не является полноii. Здесь м ы со­ поставrrм эти методы, уточняя аналогию и выявляя существенные р азлнчrrя. Для сопоставления сначала опишем идею метода сингулярных интсгр а.1ьных уравнений для дифференциальных краевых задач на п ри мере зад�чн д2и д 2и дх2 + дх2 - fl и = 0 ' 1

2

х = ( x r . х2) Е d ,

(2 1 )

(22) а rи1 = QJ ( х) , х = ( x r. Х: ) Е у, d - ограниченная(х) область, у - се граница. Краевес усло­ rra границе облает.� его проrrзrю.:шую

a0uo +

где fl 11 вие (22) связывает решение и = и о по направлению внутренней нормали д и/дv и 1 (х) . Коэффициенты а0 заданные опер аторы. Выпишем классическую формулу Грина для у равнения ( 2 1 ) : =

coпst > О,

=

и

(х) =

)

у Е 'V

[g ( x - y) �� - и ��] day.

r: а1 -

(23)

гд е g (х) - фундаментальное решение уравнени я ( 21 ) , стре�шщеес1 к н у.1ю н а бесконечности. Устремим х к границе у. Воспользовавшись c r o ikтв � м rr потенциалов простого и двойного слоев, получим rra границе у с о о ш о ш с н r r е вида (2 1 ) , связ ывающее решение и (х) 11 его rrор�rальную проrrзводrrую ди/д\' = 1 1 1 (х) rra границе области ; Ь о 1 1 Ь 1 - некоторые известные и нтегральные операторы. Переход от задачи ( 2 1 ) , (22) rc равносилыrоii системе ура внений (22) , (24) отrrосительrrо функций и о (х) и и , (х) , определенных на границе у , и состав­ ляет сущность метода сшrгулярrrых шrтегральных уравнениii . Для сравнения р асс�rотри м теперь метод внутренних грашrчных услов r r й прнмеrrительно к следующей общей краевой задаче для разностного аналога уравнения (2 1 ) н квадратной сеточной области

и п, - 1 , n, + 11 п , , n,+ l + u n , + l , n, + и п,. n2 - l - (4 + !l) lln,, n, = О , -N