Изучение распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов. Методическое указание к лабораторной работе

Изучение распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов Методическое указание к лабораторной работе для студентов дневного и заочного обучения

Министерство образования и науки Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Составители: Шелкунова З.В., Шагдаров В.Б. Методическое указание к лабораторной работе для студентов дневного и заочного обучения инженерно-технических и технологических специальностей по «Статистической физике»

ФИЗИКА Методическое указание к лабораторной работе Изучение распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов

Ключевые слова: Кванты, бозоны, энергия квантового осциллятора, статистика Бозе-Эйнштейна, формула Планка, абсолютно черное тело. Составители: Шелкунов Н.Г. Шагдаров В.Б.

Редактор Т.А. Стороженко Подписано в печать 1.06. 2004 г. Формат 60×80 1/16 Усл.п.л. 0,7, уч.- изд.л. 0,6: Печать операт., бум. писч. Тираж ____ экз. Заказ № 89. ___________________________________________________ Издательство ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 40, в  ВСГТУ, 2004 г.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004

Цель работы: ознакомиться с бозе-частицами, изучить распределение фотонов при тепловом измерении для различных длин волн и температур. Приборы и принадлежности: установка УКЛО – 4. Краткая теория Для квантовых частиц должны выполняться условия: - дискретность состояний, абсолютная тождественность или неразличимость частиц в данном состоянии; - наличие собственного момента импульса или спина, который может принимать целое или полуцелое значение от постоянной Планка. Все фундаментальные частицы (кварки, липтоны) имеют полуцелый спин, а частицы-переносчики взаимодействия целых спин. Значение спина влияет на расположение частиц по квантовым состояниям. Если спин – целое число, то в квантовом состоянии может находиться произвольное число частиц, а так как частицы неотличимы друг от друга, микросостояния с любым числом частиц в них считаются одними и теми же. Частицы с такими свойствами называются бозонами (бозе-частицами). К числу бозонов относятся фотоны, фононы, дейтроны, атомы гелия и т.д. Статистику бозонов называют статистикой БозеЭйнштейна. Статически среднее значение числа заполнения N при температуре Т определяется: −1

E−µ   < N ( E ) >=  exp − 1 (1) кг   Среднюю энергию квантового осциллятора можно определить по формуле: − hυ Е= (2) E−µ exp −1 кТ

Рассмотрим применение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу (электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии). Фотоны не взаимодействуют друг с другом, поэтому фотонный газ можно принять за идеальный. Для равновесного фотонного газа µ=0, а Е = hυ , тогда −1

hυ   (3) < N ( E ) >=  exp − 1 кТ   Это выражение представляет собой функцию распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов. Статический метод для описания равновесного состояния идеального газа можно применить при изучении излучения абсолютно черного тела. Излучение абсолютно черного тела – это равновесное излучение, характеризующееся тем, что энергия излучения ω (υ , Т )dυ в интервале частот υ , υ + dυ , заключенного в единице объема, определяется равенством излученной и поглощенной стенками полости энергии в указанном интервале частот. Вероятность того, что при температуре Т осциллятор будет находится в возбужденном состоянии с N фотонами или с энергией ЕN = N ⋅ hυ , определяется по формуле:  hυ   nhυ   PN = exp −   1 − exp −  kT   kT   Среднее число фотонов в осцилляторе < N ( E ) >= ∑ N ⋅ Pn или −1

  hυ   (4) < N ( E ) >=  exp  − 1 ;  kT    число осцилляторов, описывающих поле излучения в единичном объеме и в единичном интервале частот, 8πυ 2 N (υ ) = 3 . Тогда спектральная плотность энергии c

ω (υ , T ) в большой полости объемом V при температуре Т

может быть представлена для переменных υ и Т: dN 8πν 2 hν ; (5) ω (υ , Т )dυ = ε = 3 ⋅ dν c  hν  exp  −1  kT  - для переменных λ и Т 8πhc 1 . (6) ω (λ , T ) = 5 ⋅ λ  hc  exp  −1  λkT  Формулы (5) и (6) - формулы Планка для спектральной плотности энергии равновесного излучения.

Следствия формулы Планка Для больших и малых длин волн из закона излучения Планка получаются следующие приближения:  hν  1) для высоких частот  >> 1 , т.е. для малых длин волн  kT   hc  λ, ω (λ , Т )dλ ≈ 2hc 2 λ− 5 ⋅ exp − dλ , это выражение опи kTλ  сывает излучения абсолютно черного тела в ультрафиолетовой области спектра;   hν 2) для низких частот 