Однородные пространства: теория и приложения

Департамент образования и науки Ханты-Мансийского автономного округа – Югры Югорский государственный университет

В. В. Балащенко, Ю. Г. Никоноров, Е. Д. Родионов, В. В. Славский.

ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ Монография

Ханты-Мансийск Полиграфист 2008

ББК 3-1 УДК 514.765 Б20

Издано при финансовой поддержке Департамента образования и науки Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

РЕЦЕНЗЕНТЫ: Н. К. Смоленцев, доктор физико-математических наук, профессор; Ю. Н. Мальцев, доктор физико-математических наук, профессор.

Б20 Балащенко В. В., Никоноров Ю. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Однородные пространства: теория и приложения. – Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008. - 280 с. В монографии излагаются недавние результаты работ авторов, а также других математиков, полученные в теории однородных римановых и псевдоримановых многообразий, теории однородных эйнштейновых многообразий, геометрии инвариантных структур на обобщенных симметрических пространствах, теории локально конформно-однородных пространств. Однородные пространства находят различные применения: в физике, в интегральной геометрии, используются в современной теории геометрических вероятностей, находят применения в теории статистических моделей форм образов при анализе и распознавании изображений. В приложении исследуются инвариантные метрики на трехмерных группах Ли, приводятся краткие сведения по теории геометрических вероятностей, методами интегральной геометрии исследуется затеняющий и видимый контур поверхности, строятся инварианты изображения относительно группы Ли преобразований. Подобные инварианты находят применение в теории распознавания образов.

ISBN 978-5-89846-794-4

c Департамент образования и науки Ханты° Мансийского автономного округа–Югры, издание, 2008 c Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., ° Славский В.В., 2008 c ° Оформление. ОАО ”Полиграфист”, 2008

Оглавление Введение

6

1 Однородные римановы многообразия 8 1.1 Определения и конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Структура множества инвариантных метрик . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Кривизны однородного риманова пространства . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Геодезические линии на однородных римановых пространствах 2.1 Поведение геодезических линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Однородные римановы многообразия с замкнутыми геодезическими 2.3 Геодезически орбитальные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 δ-однородные римановы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

18 18 18 22 24

3 Однородные римановы многообразия положительной кривизны 3.1 Однородные римановы пространства положительной секционной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Однородные римановы пространства положительной кривизны Риччи . 3.3 Одномерная кривизна однородных пространств . . . . . . . . . . . . . .

27

4 Однородные римановы многообразия с метрикой Эйнштейна 4.1 Общие результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Проблема существования инвариантных метрик Эйнштейна . . . . . . 4.3 Функционал скалярной кривизны и вариационные принципы . . . . . . 4.4 Доказательства существования инвариантных метрик Эйнштейна с помощью вариационного подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Однородные многообразия Эйнштейна с киллинговой метрикой . . . . 4.6 Компактные многообразия Эйнштейна специального вида . . . . . . . . 4.6.1. Эйнштейновы инвариантные метрики на пространствах Алоффа –Берже – Уоллача и их обобщениях . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Инвариантные эйнштейновы метрики на симметрических пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Эйнштейновы метрики на обобщенных флаговых многообразиях 4.6.4. Однородные многообразия Эйнштейна с эквивалентными слагаемыми в представлении изотропии . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна . . . . . . . . . . 4.8 Эйнштейновы солвмногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Однородные гармонические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Однородные многообразия Эйнштейна малой размерности . . . . . . . 4.10.1. Компактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 37 40

3

27 31 31

42 46 51 51 53 55 57 59 61 69 70 71

4.10.2. Компактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3. Компактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.5. Эйнштейновы солвмногообразия размерности 6 . . . . . . . . . 4.10.6. Перспективы классификации однородных эйнштейновых многообразий малой размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Локально конформно однородные пространства 5.1 Локально однородные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Локально конформно однородные пространства . . . . . . . . . 5.3 Конформно плоские метрики ограниченной кривизны . . . . . 5.3.1. Одномерная секционная кривизна . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Ограничение снизу одномерной секционной кривизны . 5.3.3. Метрики с ограниченной кривизной . . . . . . . . . . . 5.3.4. Полярное преобразование конформно-плоской метрики

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. 73 . 74 . 77 . 79 . 81 . . . . . . .

83 83 85 89 90 91 93 95

6 Инвариантные структуры на обобщенных симметрических пространствах 101 6.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 Однородные Φ–пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3 Алгебра канонических аффинорных структур однородного k–симметрического пространства . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.4 Алгебра канонических аффинорных структур регулярного Φ–пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.5 Классы регулярных Φ–пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6 Линейные подпространства, порождаемые оператором θ для регулярного Φ–пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.7 Канонические структуры на регулярных Φ–пространствах и инвариантные (псевдо)римановы метрики . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.8 Инвариантные почти эрмитовы структуры на однородных многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.9 Метрические f –структуры на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.10 Естественно редуктивные пространства с инвариантными метрическими f –структурами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.10.1. Инвариантные N Kf –структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.10.2. Инвариантные келеровы f –структуры . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.10.3. Инвариантные киллинговы f –структуры . . . . . . . . . . . . . . 126 6.10.4. Инвариантные G1 f –структуры и эрмитовы f –структуры . . . . 129 6.11 Канонические f –структуры на однородных Φ–пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.11.1. Канонические N Kf –структуры на регулярных Φ–пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.11.2. Канонические G1 f –структуры и эрмитовы f –структуры на регулярных Φ–пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.11.3. Канонические f –структуры на однородных Φ–пространствах порядков 4 и 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.11.4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4

6.12 Инвариантные f –структуры на комплексном флаговом многообразии M = SU (3)/Tmax . . 6.12.1. Келеровы f –структуры . . . . . . . . . 6.12.2. Киллинговы f –структуры . . . . . . . 6.12.3. Приближенно келеровы f –структуры . 6.12.4. Эрмитовы f –структуры . . . . . . . . . 6.12.5. G1 f–структуры . . . . . . . . . . . . . 6.13 Инвариантные обобщенные почти эрмитовы структуры высших рангов . . . . . . . . . . . 6.14 Римановы структуры почти произведения на естественно редуктивных пространствах .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

139 142 143 144 145 145

. . . . . . . . . . . . . . . 145 . . . . . . . . . . . . . . . 150

7 Приложение 1. Левоинвариантные метрики на группах Ли малой размерности (Гладунова О.П.) 153 7.1 Основные типы инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.2 Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных унимодулярных группах Ли с изотропным тензором Схоутена-Вейля. . . . . . . . . . . . 156 7.3 Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли с изотропным тензором Схоутена-Вейля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.4 Левоинвариантные лоренцевы метрики на группе Z(4) . . . . . . . . . . 170 7.5 О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6 О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8 Приложение 2. Геометрические вероятности и их применение при распознавании образов (Самарина О.В.) 226 8.1 Группы преобразований плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.1.1. Группа E(2) движений плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.1.2. Группа CE(2) гомотетий плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 8.1.3. Дифференциальные формы на группах E(2) и CE(2). . . . . . . 229 8.1.4. Кинематическая плотность на группах E(2) и CE(2). . . . . . . . 230 8.1.5. Выпуклые множества, пересекающие фиксированное выпуклое множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 8.1.6. Кинематическая формула в однородном римановом пространстве234 8.2 Интегрально-геометрические соотношения с ортогональным проектированием для седловых поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8.2.1. Затеняющий и видимый контур поверхности . . . . . . . . . . . . 235 8.2.2. Общая интегральная формула для видимого контура . . . . . . 238 8.2.3. Локальные свойства поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 8.2.4. Некоторые интегральные характеристики видимого контура . . 249 8.3 Конформные инварианты изображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.3.2. Случай непрерывного изображения . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.3.3. Инварианты дискретного изображения . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.3.4. Экспериментальная часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Литература

258 5

Введение Данная работа посвящена одному из разделов современной римановой геометрии теории однородных римановых многообразий, т.е таких римановых многообразий, на которых транзитивно действует некоторая группа движений. Предполагается дать краткий обзор некоторых результатов данной теории по следующим темам, наиболее близким к исследованиям авторов. 1. Однородные римановы многообразия. Определения. Примеры. Структура множества инвариантных метрик. Кривизны однородного риманова пространства. 2. Геодезические линии на однородных римановых пространствах. Поведение геодезических линий на однородных римановых пространствах. Однородные римановы многообразия с замкнутыми геодезическими. Гипотезы А. Бессе, В. Бляшке, В. Клингенберга. Замыкания геодезических линий. Геодезически орбитальные пространства. δ-однородные многообразия. 3. Однородные римановы многообразия положительной кривизны. Однородные римановы пространства положительной секционной кривизны. Пространства Алоффа-Берже-Уоллача. Дальнейшие примеры. Теорема В. Н. БерестовскогоДж. Милнора об однородных римановых многообразиях положительной кривизны Риччи. Одномерная кривизна однородных римановых пространств. 4. Однородные римановы многообразия с метрикой Эйнштейна. Основные факты, примеры. Проблема существования инвариантных метрик Эйнштейна, функционал скалярной кривизны и вариационные принципы. Однородные киллинговы многообразия с метрикой Эйнштейна. Компактные однородные многообразия Эйнштейна специального вида. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна. Эйнштейновы солвмногообразия. Однородные гармонические пространства. Однородные эйнштейновы пространства малых размерностей (dim M ≤ 7). 5. Локально конформно однородные пространства. Локально однородные пространства. Локально конформно однородные пространства. Одномерная секционная кривизна конформно плоской метрики. Конформно плоские метрики с ограниченной снизу одномерной кривизной. Конформно плоские метрики ограниченной кривизны. Полярное преобразование конформно плоской метрики. 6. Инвариантные структуры на обобщенных симметрических пространствах. Однородные Φ–пространства. Канонические структуры классических типов на регулярных Φ–пространствах. Канонические структуры для однородных k–симметрических пространств. Алгебра канонических аффинорных структур регулярного Φ–пространства. Канонические структуры на регулярных Φ–пространствах и 6

инвариантные (псевдо)римановы метрики. Обобщенная эрмитова геометрия, классы метрических f –структур на многообразиях. Естественно редуктивные пространства с инвариантными метрическими f –структурами и инвариантными структурами почти произведения. Канонические f –структуры на однородных k–симметрических пространствах и обобщенная эрмитова геометрия. Примеры. Приложение 1. Левоинвариантные метрики на группах Ли малой размерности. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с изотропным тензором Схоутена-Вейля. Левоинвариантные лоренцевы метрики на группе Z(4). О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой и псевдоримановой метрикой. Приложение 2. Геометрические вероятности и их применение при распознавании образов. Группы преобразований плоскости. Выпуклые множества, пересекающие фиксированное выпуклое множество. Интегральные формулы и средние значения. Кинематическая формула для однородных римановых пространств. Интегрально-геометрические соотношения для затеняющего и видимого контура поверхности. Конформные инварианты изображения. Литература. Приведенный список литературы тесным образом связан с конкретной проблематикой нашего рассмотрения и никоим образом не претендует на полноту. Многие близкие вопросы также не были затронуты, поскольку беглое упоминание серии смежных по тематике работ было бы, на наш взгляд, слишком поверхностным и не вполне оправданным. Авторы благодарны всем тем, кто причастен к созданию этой книги, особую признательность авторы выражают своим коллегам О.П. Гладуновой и О.В. Самариной – соавторам приложений 1 и 2. Надеемся, что представленные здесь сравнительно недавние результаты и их приложения найдут своего заинтересованного читателя, а ценные замечания будут с признательностью приняты. Монография издана на средства гранта Губернатора Ханты-Мансийского автономного округа–Югры А.В. Филипенко.

7

Глава 1

Однородные римановы многообразия 1.1

Определения и конструкции

Данный раздел содержит сведения общего характера, все формулировки теорем и доказательства приводимых здесь утверждений хорошо известны и могут быть найдены в [22]. Определение 1.1.1. Риманово многообразие (M, ρ) называется однородным, если группа Isom(M, ρ) его изометрий транзитивна на M (т.е. для любых точек x, y ∈ M существует изометрия, переводящая x в y). На заданном многообразии может действовать транзитивно несколько групп, поэтому приведем Определение 1.1.2. Риманово многообразие (M, ρ) называется G-однородным (или однородным относительно действия группы Ли G), если G есть замкнутая подгруппа Isom(M, ρ), действующая на M транзитивно. Например, группа изометрий евклидова пространства состоит из всех движений, а ее собственная подгруппа параллельных переносов действует транзитивно. Замечание. Замкнутость G необходима для простоты изложения. Действительно, если G транзитивная и эффективная группа преобразований многообразия M , сохраняющая некоторую риманову метрику ρ, то замыкание G в группе Diff(M ) является замкнутой подгруппой группы Isom(M, ρ), транзитивно действующей на M. Приведем без доказательства часть необходимых нам фактов. Доказательства данных теорем можно найти, например, в [22]. Теорема 1.1.1 (С. Б. Майерс - Н. Стинрод [299]). Пусть (M, ρ) — (псевдо)риманово многообразие. Тогда справедливы утверждения. (a) Группа Isom(M, ρ) всех изометрий является группой Ли, гладко действующей на M . (b) Для любой точки x ∈ M стационарная подгруппа Ix (M, ρ) = {f ∈ Isom(M, ρ) : f (x) = x} является замкнутой в Isom(M, ρ). Более того, представление изотропии ρ : Ix (M, ρ) → GL(Tx M ), f 7→ ρ(f ) = Tx f задает изоморфизм группы Ix (M, ρ) на замкнутую подгруппу ортогональной группы O(Tx M, ρx ) ⊂ GL(Tx M ). Следствие. Если (M, ρ) - риманово многообразие, тогда имеют место утверждения: (a) Ix (M, ρ) - компактная подгруппа группы Isom(M, ρ). Более того, если M компактно, то и Isom(M, ρ) компактна; 8

(d) dim Isom(M, ρ) ≤ n(n+1) , причем равенство возможно тогда и только тогда, 2 когда (M, ρ) имеет постоянную секционную кривизну. Замечание. Поскольку изометрия сохраняет метрику ρ, то она сохраняет связность Леви-Чивита, геодезические, элементы объема, кривизны. Рассмотрим соответствующие инфинитезимальные понятия. Определение 1.1.3. Пусть (M, ρ) - (псевдо)риманово многообразие. Векторное поле X на M называется киллинговым, если порожденная им локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов состоит из локальных изометрий. Замечание. Скобка двух киллинговых векторных полей есть киллингово поле. Таким образом, пространство всех киллинговых векторных полей есть подалгебра Ли алгебры Ли всех векторных полей. Теорема 1.1.2. На полном многообразии (M, ρ) любое киллингово поле полно, т.е. порождает однопараметрическую группу изометрий, а алгебра Ли киллинговых векторных полей есть алгебра Ли группы Ли Isom(M, ρ). Определение 1.1.4. Пусть G ⊂ Isom(M, ρ) замкнута. Стационарной подгруппой (стабилизатором или группой изотропии) произвольной точки x ∈ M , называется компактная подгруппа H = {f ∈ G : f (x) = x} группы Ix (M, ρ). Замечание. Компактность M равносильна компактности G. Замечание. Так как изометрия f однозначно определяется образом f (x) одной точки x и соответствующим касательным отображением Tx f, то линейное представление изотропии χ(f ) = Tx f стационарной группы H в GL(Tx M ) является точным (т.е. инъективным). Определение 1.1.5. Группа G действует на G/H (почти) эффективно, если H не содержит (недискретных) нетривиальных нормальных подгрупп группы G. Замечание. Если дана группа Ли G с компактной подгруппой H, то пусть C максимальная нормальная подгруппа группы G принадлежащая H. Тогда G0 = G/C действует на G/H со стационарной подгруппой H 0 = H/C и это действие G0 на G/H = G0 /K 0 эффективно. Пример 1.1.1. Рассмотрим CPn = SU (n + 1)/S(U (1)U (n)). Тогда группа G = SU (n + 1), G0 = SU (n + 1)/Zn+1 , C = Zn+1 - центр SU (n + 1). Группа G = SU (n + 1) действует на CPn не эффективно, но почти эффективно. Пример 1.1.2. В работах Д. Монтгомери и Х. Самельсона [297], А. Бореля [189, 188] классифицированы все компактные связные группы Ли, транзитивно и эффективно действующие на сферах. Данные по этой классификации содержатся в таблице 1. При вычислении размерности пространства G-инвариантных метрик метрики рассматриваются с точностью до гомотетии. Пример 1.1.3. Другим важным примером однородных пространств являются проективные пространства: RPn = SO(n + 1)/O(n),

CPn = SU (n + 1)/S(U (1)U (n)),

HPn = Sp(n + 1)/Sp(n)Sp(1), 9

CaP2 = F4 /Spin(9).

Таблица 1 G

SO(n)

U(n)

SU(n)

Sp(n)Sp(1)

Sp(n)U(1)

H

SO(n-1)

U(n-1)

SU(n-1)

Sp(n-1)Sp(1)

Sp(n-1)U(1)

Сфера

S n−1

S 2n−1

S 2n−1

S 4n−1

S 4n−1

0

1

1

1

2

G

Sp(n)

G2

Spin(7)

Spin(9)

K

Sp(n-1)

SU(3)

G2

Spin(7)

Сфера

S 4n−1

S6

S7

S 15

6

0

0

1

Размерность пространства G-инвариантных метрик

Размерность пространства G-инвариантных метрик

Замечание. Все группы примера 1.1.2 транзитивно действуют на RPn , кроме того, Sp(n) действует транзитивно на CP2n−1 (при отождествлении Hn с C2n ) со стационарной подгруппой Sp(n−1)U (1). Этим исчерпывается весь список компактных связных групп Ли, действующих транзитивно и эффективно на проективных пространствах (подробнее см. [89]). Пример 1.1.4. Единственной компактной связной группой Ли, действующей транзитивно и эффективно на плоском торе T n , является T n [296]. Пример 1.1.5. Примерами простейших некомпактных однородных пространств являются следующие: 1) гиперболическое пространство H n = SO0 (n, 1)/SO(n), где SO0 (n, 1) - связная компонента единицы группы O(n, 1), заданной квадратичной формой сигнатуры (n, 1) в Rn+1 ; 2) комплексный, кватернионный, октавный аналоги гиперболического пространства CHn = SU (n, 1)/S(U (n)U (1)),

HHn = Sp(n, 1)/Sp(n)Sp(1),

CaH2 = F4−20 /Spin(9). Важным примером однородных пространств являются римановы симметрические пространства. Определение 1.1.6. Риманово многообразие (M, ρ) называется симметрическим, или римановым симметрическим пространством, если для любой точки x ∈ M существует изометрия sx многообразия (M, ρ) такая, что sx (x) = x, Tx (sx ) = − IdTx M . Изометрия sx (определенная однозначно, если M связно) называется (центральной) симметрией с центром в точке x. Теорема 1.1.3. Риманово симметрическое пространство (M, ρ) однородно. 10

Доказательство. Во-первых, (M, ρ) полно, поскольку любой отрезок геодезической можно продолжить с помощью симметрий с центром в его концах. Далее, для любых точек x, y ∈ M симметрия относительно середины любого отрезка геодезической, соединяющего x и y (существует в силу полноты), переставляет x и y. Таким образом группа изометрий действует транзитивно. Замечание. Классификация римановых симметрических пространств впервые получена Э. Картаном и содержится во многих учебниках (см., например, [22]). Пусть (M, ρ) — G-однородное риманово многообразие, x ∈ M . Тогда H = G ∩ Ix (M, ρ) – компактная подгруппа группы G и M диффеоморфно G/H. Будем предполагать, что G действует на M = G/H эффективно диффеоморфизмами x ◦ (yH) = xyH, где x, y ∈ G. Далее, из транзитивности действия группы Ли G на однородном пространстве M = G/H и наличия нормальной римановой окрестности для любой точки риманова многообразия легко следует Теорема 1.1.4. Однородное риманово многообразие полно.

1.2

Структура множества инвариантных метрик

Опишем структуру множества G-инвариантных римановых метрик на однородном пространстве G/H с компактной группой изотропии H. Пусть g – алгебра Ли группы G. Для любого X ∈ g обозначим через Exp(tX) - однопараметрическую подгруппу группы G, порожденную X. Действие Exp(tX) на M позволяет рассмотреть ее как однопараметрическую группу ϕ(t) = Exp(tX) диффеоморфизмов многообразия M , где ϕt (y) = Exp(tX)y. Отождествим X ∈ g с векторным полем на M , порожденным ϕ(t). Тогда g отождествляется с множеством киллинговых векторных полей на (M, g), которые порождаются однопараметрическими подгруппами, лежащими в G. Подалгебра Ли h ⊂ g подгруппы H отождествляется с подалгеброй киллинговых векторных полей из g, которые обращаются в нуль в точке x ∈ M . Пусть Ad : x 7→ Ad(x) – присоединенное представление G в GL(g), где I(x)y = xyx−1 — внутренний автоморфизм, Ad(x) = Te I(x) ∈ GL(g) — дифференциал, x, y ∈ G, e ∈ G — единица группы G. Так как H компактна, то группа AdG (H) компактна в GL(g), поэтому с помощью процедуры усреднения можно построить AdG (H)инвариантную евклидову метрику в g и AdG (H) - инвариантное дополнение p к h в g (как ортогональное дополнение к h). Зафиксируем дополнение p (не единственное) и рассмотрим отождествление p с Tx M, сопоставляя элементу X ∈ p значение соответствующего поля Киллинга в точке x. Тогда представление изотропии χ группы H в Tx M отождествляется с ограничением присоединенного представления AdG подгруппы H в p. Справедлива следующая теорема, доказательство которой можно найти в [62] Теорема 1.2.1. Множество G-инвариантных римановых метрик на G/H находится в естественном взаимно-однозначном соответствии с множеством Ad(H)инвариантных скалярных произведений на p. Зафиксируем какое-либо Ad(H)-инвариантное дополнение p в g для подалгебры h. Пусть (·, ·) – некоторое Ad(H)-инвариантное скалярное произведение на p, которое мы отождествляем с порождаемой им инвариантной метрикой на однородном пространстве G/H. Далее через [·, ·]p и [·, ·]h обозначаются соответственно p-компонента и 11

h-компонента скобки Ли в алгебре Ли g. Заметим, что Ad(H)-инвариантность скалярного произведения (·, ·) влечет его ad(h)-инвариантность, что означает выполнение равенства ([Z, X], Y ) + (X, [Z, Y ]) = 0 для любых Z ∈ h, X, Y ∈ p. Последнее условие можно интерпретировать как кососимметричность операторов adZ : p → p относительно (·, ·). Отметим также, что в случае связной группы H условия Ad(H)-инвариантности и ad(h)-инвариантности, а также Ad(H)-неприводимости и ad(h)-неприводимости модулей эквивалентны. Теперь опишем некоторые специальные классы инвариантных метрик, вычисление характеристик кривизны на которых существенно упрощается. Нам будет удобно использовать отображение U : p × p → p, определяемое с помощью равенства 2(U (X, Y ), Z) = ([Z, X]p , Y ) + (X, [Z, Y ]p )

(1.1)

для всех Z ∈ p. Определение 1.2.1. Пусть (M, ρ) – однородное риманово многообразие, пространство p — Ad(H)-инвариантное дополнение к h в g. Метрика ρ называется естественно редуктивной относительно p, если U ≡ 0. Заметим, что естественно редуктивными являются большинство примеров инвариантных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах. Удобная характеризация естественно редуктивных метрик была получена Б. Костантом в [259] (см. также [22]). Приведем еще два определения более узких классов инвариантных метрик. Определение 1.2.2. G-однородное риманово многообразие (M, ρ) называется нормальным, если в алгебре Ли g существует такое Ad(G)-инвариантное скалярное произведение Q, что p есть Q-ортогональное дополнение к h в g и метрика ρ определяется ограничением Q на p. Замечание. Нетрудно видеть, что нормальные однородные пространства естественно-редуктивны. Частным случаем нормальных однородных римановых многообразий являются киллинговы или стандартные однородные римановы многообразия. Определение 1.2.3. Пусть G – компактная полупростая группа Ли, (X, Y )0 = − tr(ad X ◦ ad Y ), X, Y ∈ g, ρ – биинвариантная метрика на группе Ли G, соответствующая скалярному произведению (X, Y )0 . Если H – компактная подгруппа G, то однородная риманова метрика ρ0 пространства G/H, полученная из биинвариантной римановой метрики ρ группы G при естественной проекции π : G → G/H, называется метрикой Киллинга или стандартной метрикой. Исследуем теперь более подробно строение произвольного Ad(H)-инвариантного скалярного произведения Q на p. Рассмотрим некоторое Q-ортогональное Ad(H)инвариантное разложение (декомпозицию) p = p0 ⊕ p1 ⊕ · · · ⊕ pr

(1.2)

такое, что Ad(H)|p0 = Id и Ad(H)|pi неприводимо для 1 ≤ i ≤ r. Такое разложение не является единственным в случае, когда представления Ad(H) на некоторых Ad(H)-инвариантных модулях pi и pj (1 ≤ i < j ≤ r) эквивалентны. В то же время подпространство p0 и набор чисел di = dim(pi ) не зависят от выбора разложения. 12

Определение 1.2.4. Два неприводимых Ad(H)-модуля (ad(h)-модуля) pi и pj будем называть Ad(H)-изоморфными (ad(h)-изоморфными), если соответствующие представления на них эквивалентны, то есть существует Ad(H)-эквивариантный (ad(h)-эквивариантный) изоморфизм pi на pj . Обозначим через MG множество Ad(H)-инвариантных произведений на p. Как отмечается в [367] это множество может быть просто описано в терминах фиксированного Q-ортогонального разложения, а именно MG диффеоморфно пространству положительно определенных элементов в Ã ! Y Rr × HomAd(H) (pi , pj ) × S 2 (p0 ), 1≤i<j≤r

где через HomAd(H) (pi , pj ) обозначено множество Ad(H)-эквивариантных гомоморфизмов из pi в pj с естественной дифференциальной структурой, а через S 2 (p0 ) – множество билинейных форм на подпространстве p0 . Таким образом, множество MG может быть снабжено структурой гладкого (класса C ∞ ) многообразия. Важную роль в дальнейшем изложении также играет MG,1 – множество Ad(H)-инвариантных скалярных произведений на p, имеющих объем 1 относительно некоторого выделенного скалярного произведения. Очевидно, его также можно рассматривать как гладкое многообразие. Можно описать также параметризацию инвариантных метрик Ad(H)-эквивариантными симметричными операторами на p. Определение 1.2.5. Пусть K – группа Ли, а k – ее алгебра Ли. Рассмотрим некоторое представление Π : K → End(p), и индуцированное им представление алгебры Ли π : k → End(p). Линейный оператор L : p → p называется Π(K)эквивариантным (π(k)-эквивариантным), если он перестановочен с любым элементом из Π(K) (π(k)). Вернемся к описанию множества инвариантных метрик на однородном пространстве G/H. Пусть, как и выше, Q = (·, ·) — некоторое выделенное Ad(H)-инвариантное скалярное произведение на p. Рассмотрим теперь произвольную Ad(H)-инвариантную симметричную билинейную форму h·, ·i на p. Тогда, как нетрудно понять, существует Ad(H)-эквивариантный (·, ·)-самосопряженный оператор L : p → p такой, что h·, ·i = Q(L·, ·). Если рассматриваемая форма положительно определена, то L также положительно определен. Таким образом, можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством инвариантных метрик на однородном пространстве G/H и множеством (·, ·)-самосопряженных положительно определенных Ad(H)эквивариантных операторов на p. Последнее множество является выпуклым в пространстве всех линейных операторов, таким образом, оно допускает C ∞ -гладкую структуру. Наиболее удобными для исследования подмножествами MG являются так называемые “диагональные” семейства метрик. Вернемся к рассмотрению Q-ортогонального разложения (1.2). Подпространство p0 представим как прямую сумму попарно Qортогональных одномерных подпространств p0 = pr+1 ⊕ · · · ⊕ ps . Рассмотрим теперь следующее семейство Ad(H)-инвариантных метрик: h·, ·i = x1 Q|p1 ⊥ · · · ⊥ xr Q|pr ⊥ · · · ⊥ xs Q|ps , где все числа xi > 0. Для метрик такого “диагонального” семейства легко одновременно вычисляются их различные характеристики кривизны [367]. 13

Отметим, что любой автоморфизм τ группы G, сохраняющий группу изотропии H однородного пространства G/H, индуцирует отображение τ˜ : MG → MG , переводящее каждую G-инвариантную метрику ρ из MG в изометричную ей метрику. Для компактного однородного пространства G/H естественно рассмотреть действие группы NG (H)/H на MG , где NG (H) – нормализатор H в группе G. Нормализатор NG (H) действует на однородном пространстве G/H, G-эквивариантными диффеоморфизмами (yH, n) → ynH, n ∈ NG (H)/H. Более того, каждый G-эквивариантный диффеоморфизм G/H имеет такой вид [193]. Также мы имеем естественное действие (yH, nH) → ynH группы NG (H)/H на G/H. Таким образом, при исследовании множества G-инвариантных метрик на однородном пространстве G/H можно ограничиться исследованием множества метрик, попарно непереводящихся друг в друга указанным выше действием группы NG (H)/H. Зафиксируем на алгебре Ли g биинвариантное скалярное произведение (·, ·), порожденное некоторой биинвариантной метрикой на компактной группе Ли G. Рассмотрим теперь разложение g = h ⊕ p, ортогональное относительно (·, ·). Как уже было отмечено, множество инвариантных метрик MG на однородном пространстве G/H можно отождествить с множеством положительных Ad(H)-эквивариантных, (·, ·)-самосопряженных эндоморфизмов p. Действительно, существует естественное взаимно-однозначное соответствие между элементами множества MG и множеством Ad(H)-инвариантных скалярных произведений h·, ·i на p. С каждым таким скалярным произведением мы свяжем оператор A : p → p согласно формуле hX, Y i = (A(X), Y ) где X, Y ∈ p. Понятно, что оператор A определяется таким образом однозначно и принадлежит S 2 (p)Ad(H) — множеству положительных Ad(H)-эквивариантных, (·, ·)-самосопряженных эндоморфизмов p. Ясно также, что каждый оператор из S 2 (p)Ad(H) порождает некоторую G-инвариантную метрику на компактном однородном пространстве G/H. Поскольку NG (H) нормализует H, мы можем рассмотреть ограничение присоединенного действия NG (H) на p. Таким образом мы получаем действие NG (H) на MG , заданное для каждого n ∈ NG (H) следующим образом: (A, n) → A˜ = Ad(n)|p ◦ A ◦ Ad(n)−1 |p ,

(1.3)

где A принадлежит S 2 (p)Ad(H) . Отметим, что в силу биинвариантности скалярного произведения (·, ·) выполнено равенство Ad(n)−1 |p = Ad(n)t |p , и A˜ ∈ S 2 (p)Ad(H) . ˜ изометОчевидно, что инвариантные метрики, соответствующие операторам A и A, ричны между собой. Таким образом, при исследовании инвариантных метрик на однородном пространстве G/H, можно ограничиться изучением лишь одной из таких метрик. Как правило, при этом удобно для исследования выбрать метрику, порож˜ среди денную наиболее простым в некотором естественном смысле оператором A, −1 всех операторов вида Ad(n)|p ◦ A ◦ Ad(n) |p , где n ∈ NG (H).

1.3

Кривизны однородного риманова пространства

Нетрудно видеть, что ввиду инвариантности кривизны относительно изометрий, достаточно вычислить ее только в некоторой точке x риманового многообразия (M, ρ), поэтому далее тензор кривизны в точке x ∈ M отождествляется с AdG (H)-инвариантным тензором пространства p. Более того, кривизны однородного риманового многообразия (M, ρ) можно выразить через скалярное произведение в p и скобку Ли в алгебре g. Приведем, следуя [22], схему реализации данной идеи. Во-первых, пользуясь свойством киллинговости векторных полей и однородностью пространства, можно описать связность Леви-Чивита. 14

Лемма 1.3.1. Пусть (M, ρ) — G-однородное риманово многообразие, X, Y — киллинговы векторные поля. Тогда 1 (∇X Y )x = − [X, Y ]p + U (X, Y ), 2 где U : p × p → p определяется равенством (1.1). Замечание. Поле ∇X Y - не всегда киллингово, поэтому формула приводится в точке x ∈ M . Прямым следствием данной леммы является [22] Теорема 1.3.1. Пусть X, Y ∈ Tx M , M – однородное риманово многообразие. Тогда: 3 1 1 ρx (R(X, Y )X, Y ) = − |[X, Y ]p |2 − ([X, [X, Y ]g ]p , Y ) − ([Y, [Y, X]g ]p , X)+ 4 2 2 + |U (X, Y )|2 − (U (X, X), U (Y, Y )). Замечание. В дальнейшем мы будем отождествлять тензор кривизны в точке x с тензором пространства p. Будем писать ρx (R(X, Y )X, Y ) = (R(X, Y )X, Y ). Пусть {Xi } - ортонормированный базис пространства (p, (·, ·)). Положим X Z= U (Xi , Xi ). i

Поскольку (Z, X) = tr(ad(X)) для любого X ∈ g, то Z = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли g унимодулярна. Определение 1.3.1. Алгебра Ли g называется унимодулярной, если выполняется равенство tr(ad(X)) = 0 для всех X ∈ g. Группа Ли G называется унимодулярной, если она допускает двусторонне инвариантную меру Хаара. Замечание. Отметим, что для связной группы Ли G ее унимодулярность эквивалентна унимодулярности алгебры Ли g. В частности, унимодулярными являются все компактные, все полупростые, все связные нильпотентные группы Ли [128, предложение 1.4 главы 10]. Определение 1.3.2. Формой Картана-Киллинга B алгебры Ли g называется симметрическая Ad(G) – инвариантная билинейная форма на g, задаваемая равенством B(X, Y ) = tr(adX ◦ adY ) ∀X, Y ∈ g. С учетом данных обозначений справедливы утверждения. Следствие. Кривизна Риччи Ric в точке x задается формулой Ric(X, X) = −

X 1X 1X |[X, Xi ]p |2 − ([X, [X, Xi ]p ]p , Xi ) − ([X, [X, Xi ]h ]p , Xi )+ 2 j 2 i i 1X + ([Xi , Xj ]p , X)2 − ([Z, X]p , X). 4 i,j

Следствие. Справедлива формула 1X 1X 1 Ric(X, X) = − |[X, Xi ]p |2 − B(X, X) + ([Xi , Xj ]p , X)2 − ([Z, X]p , X). 2 i 2 4 i,j 15

Следствие. Скалярная кривизна S в точке x задается формулой 1X 1X S=− |[Xi , Xj ]p |2 − B(Xi , Xi ) − |Z|2 . 4 i,j 2 i Данные формулы следуют непосредственно из теоремы, и их доказательства можно найти в [22]. Для вычисления оператора Риччи Ric : p → p данной инвариантной метрики удобно пользоваться следующей формулой [209]: 1 1X (Ric X, Y ) = − B(X, Y ) − ([X, Xi ]p , [Y, Xi ]p )+ 2 2 i +

´ 1³ 1X ([Xi , Xj ]p , X)([Xi , Xj ]p , Y ) + ([Z, X]p , Y ) + ([Z, Y ]p , X) , 4 i,j 2

(1.4)

где X, Y ∈ p. В случае римановых симметрических пространств вышеприведенные формулы выглядят особенно просто. Теорема 1.3.2. Тензор кривизны и тензор Риччи симметрического риманова пространства определяются формулами : (R(X, Y )X, Y ) = −((adX ◦ adX)Y, Y ), Ric(X, Y ) = − tr((adX ◦ adY )|p ), где X, Y ∈ p. Доказательство теоремы следует из формулы для секционной кривизны Kσ , того факта, что U (X, Y ) = 0 для симметрических пространств, и факта, что оператор adX (X ∈ p) переставляет h и p. Теорема 1.3.3. Кривизна Риччи риманова симметрического пространства вычисляется по формуле: 1 Ric = − B|p 2 Доказательство. Пусть Y, X ∈ p, тогда tr((adX ◦ adY )|p ) = tr((adX ◦ adY )|h ) = 1 B(X, Y ). 2 Следствие. Пусть (M, ρ) - риманово симметрическое пространство. Тогда метрика ρ имеет постоянную кривизну Риччи, а многообразие (M, ρ) является эйнштейновым, в том и только том случае, если ограничение формы B на p либо тождественно равно нулю, либо знакоопределено и пропорционально скалярному произведению (·, ·) в p. В дальнейшем нам потребуется тензор одномерной кривизны риманова многообразия (M n , ρ), определяемый по формуле: µ ¶ 1 Rρij Aij = Rij − , n−2 2(n − 1) где Rij - тензор Риччи, R - скалярная кривизна, а также понятие одномерной кривизны: A(X) = Aij X i X j 16

в направлении единичного вектора X ∈ Tx M . Тензор одномерной кривизны представляет собой целую часть от деления тензора кривизны на метрический тензор, в смысле произведения Кулкарни-Номидзу [22], или бесследовую часть тензора Риччи, а одномерная кривизна играет важную роль в изучении конформно плоских римановых многообразий. Нетрудно также получить формулу для одномерной кривизны в случае однородных римановых пространств, пользуясь приведенными выше формулами для кривизны Риччи и скалярной кривизны.

17

Глава 2

Геодезические линии на однородных римановых пространствах 2.1

Поведение геодезических линий

Так как однородное риманово пространство (M, ρ) геодезически полно, то возникает вопрос о поведении геодезических линий на таких пространствах, об их замыкании и самопересечении. В этом направлении известна Теорема 2.1.1 (Е. Лакомба - М.В. Мещеряков [274, 71]). Геодезические на однородных пространствах есть либо просто замкнутые кривые, либо незамкнутые кривые без самопересечений. Кроме того, в работе М.В. Мещерякова [71] доказана Теорема 2.1.2. Геодезические линии левоинвариантной римановой метрики на связной и односвязной нильпотентной группе Ли не замкнуты. Естественно возникают две проблемы: Проблема 1 (А. Бессе). Найти однородные римановы многообразия, все геодезические которых замкнуты. Проблема 2. Описать однородные римановы многообразия, все геодезические которых разомкнуты.

2.2

Однородные римановы многообразия с замкнутыми геодезическими

Впервые проблема А. Бессе была рассмотрена в классе нормальных однородных пространств, т.е. таких пространств (G/H, ρ), однородная риманова метрика которых ρ получена из Ad(G)-инвариантного скалярного произведения группы Ли G при проекции π : G → G/H. В работе [17] была доказана Теорема 2.2.1 (М. Берже). Пусть (G/H, ρ) односвязное нормальное однородное риманово пространство, все геодезические которого замкнуты. Тогда (G/H, ρ) изометрично компактному симметричному пространству ранга 1 (КРОСПу: S n , CPk , HPm , CaP2 ). Позднее, чисто топологическими методами, в [21] для произвольных однородных римановых многообразий была доказана 18

Теорема 2.2.2 (А. Бессе). Односвязное однородное риманово многообразие, все геодезические которого замкнуты и имеют одну и ту же длину, изометрично КРОСПу. Одновременно было дано геометрическое доказательство этой теоремы без требования на длины геодезических линий [96, 97]. Теорема 2.2.3 (Е.Д. Родионов). Односвязное однородное риманово многообразие, все геодезические которого замкнуты, изометрично КРОСПу. Основная идея доказательства теоремы 2.2.3 состоит в следующем. Если строение (G/H, ρ) сложно, то ищется плоский вполне геодезический тор T в M = G/H, иррациональная обмотка которого разомкнута. Далее остается конечный список многообразий, который и рассматривается шаг за шагом. В работах [100, 101] исследовались вполне геодезические подмногообразия компактных однородных римановых пространств, изучался вопрос о возможности восстановления метрики однородного риманова пространства, если заданы ограничения на строение собственных вполне геодезических подмногообразий этих пространств. Были доказаны следующие теоремы. Теорема 2.2.4. Пусть M = G/H, dim M ≥ 3, – однородное риманово многообразие с метрикой ρ, не являющееся групповым, G – компактная группа Ли, действующая эффективно на M , T – максимальный тор H, C(T ) – централизатор T в G, MT = C(T ) · H. Тогда 1) если dim MT ≥ 2, то MT – собственное вполне геодезическое подмногообразие в M , а MT (G) = {ξ · MT : ξ ∈ G} – семейство вполне геодезических подмногообразий в M размерности не меньше двух; 2) если dim MT = 1, то MT является замкнутой геодезической, M нечетномерно, rank G = rank H + 1, и размерность центра группы G не превосходит единицы; 3) если dim MT = 0, то M – четномерно, rank G = rank H, и в каждой точке M найдется семейство собственных вполне геодезических подмногообразий размерности не меньше двух. Под рангом группы Ли понимается размерность максимального тора этой группы. Замечание. Нетрудно построить примеры групп Ли с левоинвариантными метриками на них, не содержащих собственных вполне геодезических подмногообразий, отличных от геодезических линий. Определение 2.2.1. Риманово многообразие M , все геодезические которого являются периодическими с общим минимальным периодом l > 0, называется P многообразием. Определение 2.2.2. Однородное риманово многообразие M называется почти P многообразием, если все собственные вполне геодезические подмногообразия M размерности не меньше двух изометричны P -многообразиям. Теорема 2.2.5. Пусть (M = G/H, ρ) – односвязное, компактное однородное риманово почти P -многообразие, не являющееся групповым, тогда 1) если M четномерно, то оно изометрично КРОСПу, 2) если M нечетномерно, то размерность центра группы G не больше единицы, а rank G = rank H + 1. Замечание. Существуют P -многообразия, не изометричные КРОСПам. Такими являются, например, поверхности Цолля и груши Таннери [21]. 19

В работах [98, 99] изучался ранг однородного риманова пространства, который определялся по аналогии с симметрическим случаем. Определение 2.2.3. Рангом однородного риманова многообразия M называется максимальная размерность плоского, в смысле тензора кривизны, вполне геодезического подмногообразия. Были доказаны (см. [98, 99]) теоремы о строении однородных римановых многообразий ранга 1, а также была дана двусторонняя оценка ранга нормального однородного пространства. Определение 2.2.4. Многообразие M называется однородным многообразием ранга 1, если на нем найдется однородная риманова метрика ρ такая, что (M, ρ) – однородное риманово многообразие ранга 1. Теорема 2.2.6. Для того чтобы односвязное компактное естественно редуктивное пространство имело ранг 1, необходимо и достаточно, чтобы оно было диффеоморфно либо КРОСПу, либо одному из следующих многообразий: Sp(2)/SU (2),

SU (5)/Sp(2) × S 1 ,

SU (3)/S 1 .

Теорема 2.2.7. Пусть M = G/H – четномерное односвязное компактное однородное пространство, rank G = rank H. Тогда, чтобы M имело ранг 1, необходимо и достаточно, чтобы оно было диффеоморфно либо КРОСПу, либо одному из следующих многообразий: SU (3)/Tmax ,

Sp(3)/Sp(1) × Sp(1) × Sp(1),

F4 /Spin(8).

Теорема 2.2.8. Пусть (G/H, ρ0 ) – односвязное компактное нормальное однородное риманово пространство, тогда справедливы оценки max {1, rank G − rank H} ≤ rank(G/H, ρ0 ) ≤ rank G. Замечание. Дальнейшую информацию о подмногообразиях однородных римановых пространств, и не только однородных, можно найти в недавней фундаментальной монографии А. А. Борисенко о внутренней и внешней геометрии многомерных подмногообразий [26] . К гипотезе А. Бессе тесно примыкает проблема В. Бляшке о том, что любое многообразие Бляшке (не обязательно однородное) изометрично КРОСПу. Дадим более подробные определения, следуя [21]. Рассмотрим Seg(m, n) – множество натурально параметризованных геодезических из точки m ∈ M в точку n ∈ M длины ρ(m, n). Пусть U M – расслоение векторов единичной длины, u ∈ Um M , γ : s → expm (su), A = {s ∈ R+ : γ|s0 ∈ Seg(γ(0), γ(s))}. Если A = R+ , то на γ нет точек раздела; если A = [0, r], то точку γ(r) назовем точкой раздела. Определим отображение раздела µ : U M → R+ ∪ {∞} по правилу: ½ r, если А = [0, r] µ(u) = ∞, если А = R+ . Тогда множество точек раздела точки m ∈ M есть Cut(m) = {expm (µ(u)u) : u ∈ Um M }. Определим изображение из точки m в точку n по правилу Λ(m, n) = {γ(n) ˙ ∈ Un M : γ ∈ Seg(m, n)}. Замечание. Множество точек раздела Cut(m) может состоять, как показывают примеры проективных пространств, более чем из одной точки. 20

Определение 2.2.5. Подмножество L единичной сферы S евклидова пространства V называется большой сферой, если существует векторное подпространство W ⊂ V такое, что L = W ∩ S. Определение 2.2.6. Компактное риманово многообразие (M, ρ) называется многообразием Бляшке в точке m ∈ M , если Λ(m, n) является большой сферой в Un M , где n ∈ Cut(m). Многообразие (M, ρ) называется многообразием Бляшке, если оно является многообразием Бляшке в любой точке. Замечание. Нетрудно видеть, что все геодезические многообразия Бляшке являются замкнутыми, поэтому из теоремы 2.2.3 легко следует Теорема 2.2.9. Односвязное однородное риманово многообразие Бляшке изометрично КРОСПу. Замечание. В общем случае гипотеза В. Бляшке все еще не является решенной. Для дальнейшего знакомства с данной тематикой можно порекомендовать, наряду с [21], следующие работы: [93], [125], [126], [95], [341], [377]. К гипотезам А.Бессе и В.Бляшке тесно примыкает [61] Гипотеза 1 (В. Клингенберг). Существует бесконечное число геометрически различных замкнутых геодезических на односвязном замкнутом многообразии. Хотя в общем случае на гипотезу В. Клингенберга все еще не дан окончательный ответ, для однородных римановых пространств справедлива Теорема 2.2.10 (Дж. МакКлири - В. Циллер [291]). Пусть M - компактное односвязное однородное пространство, не диффеоморфное КРОСПу. Тогда любая риманова метрика на M имеет бесконечно много геометрически различных замкнутых геодезических. Если же на M найдется риманова метрика ρ такая, что все геодезические, выходящие из некоторой точки p ∈ M , возвращаются в эту же точку через некоторый общий период t, тогда M диффеоморфно КРОСПу. Замечание. Теорема 2.2.10 позволяет дать топологическое доказательство теоремы 2.2.3. После данных работ естественным образом возник вопрос о замыканиях геодезических линий на однородных римановых пространствах. В случае естественно редуктивных пространств он исследован в работе [105]. Теорема 2.2.11 ([105]). Пусть G и H – компактные и связные группы Ли, G/H – естественно редуктивно, γ(t) = exp tX ◦ e¯ (X ∈ p, e¯ = eH), e – единица G. Тогда γ(t) или просто замкнутая кривая, или γ(t) изометрично плоскому тору размерности не меньше 2, причем γ(t) = π(T ), где T - тор G такой, что: 1) T ∩ H = e; 2) dim T = dim γ(t); 3) dim γ(t) ≤ dim exp tX. 4) γ(t) вполне геодезический в G/H тогда и только тогда, когда подмногообразие T H многообразия G является геодезическим в точке e ∈ G по направлениям из V = Te (T )|p относительно биинвариантной римановой метрики ρG группы Ли G. Два нижеследующих примера показывают, что в теореме реализуются, в определенном смысле, обе крайние ситуации. 21

Пример 2.2.1. На нормальных однородных пространствах SU (n + 1)/SU (n) ≈ S 2n+1 , Spin(9)/Spin(7) ≈ S 15 ,

Sp(n + 1)/Sp(n) ≈ S 4n+3 ,

Sp(n + 1)/Sp(n) × S 1 ≈ CP2n+1 ,

Sp(2)/SU (2); SU (5)/Sp(2) × S 1 ,

1 (SU (3) × U (2)/S1,1 )/U (2),

замыкания геодезических линий суть или просто замкнутые кривые, или плоские, но не вполне геодезические торы, причем последние всегда существуют. Пример 2.2.2. Если G/H - компактное симметрическое пространство, тогда любая его геодезическая есть или просто замкнутая кривая, или иррациональная обмотка некоторого плоского вполне геодезического тора многообразия G/H. Естественно, возникает вопрос. Проблема 3. Как устроены замыкания геодезических линий произвольного однородного риманова многообразия G/H? В заключение данной части отметим работы И. Чавела [198], Г. Рауха [324], В. Циллера [381], С. Хукума [347], в которых исследовались поля Якоби, сопряженные и фокальные точки вдоль геодезических линий на естественно редуктивных пространствах.

2.3

Геодезически орбитальные пространства

Определение 2.3.1. Геодезическая γ риманова многообразия (M, ρ) называется однородной, если она является орбитой однопараметрической подгруппы g(t) ⊂ Isom(M, ρ). Известна следующая Теорема 2.3.1 ([265]). Каждое однородное риманово многообразие имеет по крайней мере одну однородную геодезическую, проходящую через любую наперед заданную точку. Определение 2.3.2. Однородное многообразие (G/H, ρ) называется геодезически орбитальным пространством, если все его геодезические являются однородными. Замечание. Естественно редуктивные и, в частности, нормальные однородные пространства являются геодезически орбитальными пространствами. Естественно возникает вопрос о существовании геодезически орбитального пространства, отличного от естественно редуктивного. Первый такой пример был построен А. Капланом [247]. Этим примером является шестимерная нильпотентная группа Ли с двумерным центром (одна из обобщенных групп Гейзенберга), снабженная некоторой левоинвариантной метрикой. Рассмотрим теперь некоторые критерии геодезической орбитальности пространства. Пусть алгебра Ли g группы Ли G имеет Ad(G)-инвариантную невырожденную симметричную билинейную форму B(X, Y ), g = h ⊥B p, а инвариантная метрика ρ на однородном пространстве G/H задается скалярным произведением (·, ·) на p. Положим (X, Y ) = B(AX, Y ). Если B положительно определена, то A есть Ad(H)эквивариантный положительно определенный оператор на p. Справедлив следующий результат, установленный Б. Костантом [258], Э. Б. Винбергом [363], O. Ковальским и Л. Ванхекке [266]. 22

Теорема 2.3.2. Пусть (M = G/H, ρ) – однородное риманово многообразие, Y ∈ h, X ∈ p. Тогда γ(t) = exp(X + Y )t ◦ e¯ есть геодезическая линия тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: 1) [Y + X, AX] ∈ h; 2) ([Y, X], Z) = (X, [X, Z]p ) для всех Z ∈ p; 3) ([Y + X, Z]p , X) = 0 для всех Z ∈ p. Кроме того, (M, ρ) является геодезически орбитальным пространством тогда и только тогда, когда для каждого X ∈ p существует f (X) ∈ h такой, что [f (X) + X, AX] ∈ h. С помощью вышеуказанного критерия, геодезически орбитальные пространства размерности ≤ 6 классифицированы О. Ковальским и Л. Ванхекке [266]. Оказалось, что все геодезически орбитальные пространства в размерности ≤ 5 являются естественно редуктивными. В тоже время в размерности 6 существуют трех- и двухпараметрические семейства геодезически орбитальных пространств, которые не являются естественно редуктивными. Среди этих семейств фигурирует компактное однородное пространство SO(5)/U (2) с двухпараметрическим семейством инвариантных метрик. В работах [223] и [214] построены примеры семимерных геодезически орбитальных пространств, не являющихся естественно редуктивными. Тесно связанным с классом геодезически орбитальных пространств является класс слабо симметрических пространств, введенный A. Сельбергом [346]. Определение 2.3.3. Риманово многообразие M называется слабо симметрическим пространством, если для каждой пары точек p, q ∈ M существует изометрия M , переставляющая точки p и q. Понятно, что любое симметрическое пространство является слабо симметрическим и естественно редуктивным. Также слабо симметрическими пространствами являются геодезические сферы в симметрических пространствах ранга 1. Отметим, что существуют слабо симметрические пространства, не являющиеся даже естественно редуктивными. Например, такими пространствами являются геодезические сферы в проективной плоскости Кэли CaP2 . А. Сельберг доказал, что каждое слабо симметрическое риманово многообразие M коммутативно, т.е. допускает транзитивную группу Ли движений G такую, что алгебра всех G-инвариантных дифференциальных операторов на M коммутативна [346]. Если G связна и M = G/H, то это эквивалентно свойству, что функциональное пространство L1 (H\G/H) коммутативно, т.е. (G, H) – пара Гельфанда, или свойству, что для каждого унитарного неприводимого представления группы G размерность H-неподвижного множества не больше 1, т.е. (G, H) – сферическая пара. Х. Лоре в работе [276] построил коммутативное, не слабо симметрическое риманово многообразие. В тоже время при некоторых ограничениях на транзитивную группу движений классы слабо симметрических и коммутативных пространств совпадают [139]. В частности, если (G, H) – сферическая пара со связной компактной простой группой Ли и замкнутой подгруппой H, то G/H слабо симметрично [302]. Все такие пары известны из [269], [302]. Ю. Берндт, О. Ковальский и Л. Ванхекке в работе [178] получили следующий результат. Теорема 2.3.3 ([178]). Каждое слабо симметрическое пространство M является геодезически орбитальным. Много примеров слабо симметрических пространств построено В. Циллером [383]. 23

Оригинальный подход к изучению геодезически орбитальных пространств предложен О. Ковальским, С. Никцевич, З. Влашеком [263], [264]. Строение геодезически орбитальных пространств изучалось также К. Гордон [223], где подробно изучался случай нильпотентных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Среди других работ следует выделить работы Х. Тамару [355, 354], результаты З. Душека [212, 213], а также статью Д. В. Алексеевского и А. Арванитоеоргоса [142], посвященную классификации инвариантных геодезически орбитальных метрик на (обобщенных) флаговых многообразиях. В частности, в [142] был получен следующий классификационный результат. Теорема 2.3.4. Пусть (G/H, ρ) – риманово флаговое многообразие с простой группой Ли G и инвариантной метрикой ρ, являющееся геодезически орбитальным и отличным от естественно редуктивного. Тогда либо G/H = SO(2l + 1)/U (l), либо G/H = Sp(l)/U (1)·Sp(l−1), где l ≥ 2. При этом в обоих случаях множество инвариантных метрик с таким свойством является однопараметрическим семейством (с точностью до подобия). Отметим, что классификация общих флаговых многообразий сводится к классификации односвязных неприводимых флаговых мнгообразий, полная группа движений которых обязана быть простой группой Ли. Отметим также, что указанные в вышеприведенной теореме геодезически орбитальные метрики являются слабо симметрическими, что было показано ранее В. Циллером в работе [383]. Несмотря на многочисленные попытки получить полное удовлетворительное описание класса геодезически орбитальных пространств, следующая проблема до сих пор остается нерешенной. Проблема 4. Классифицировать геодезически орбитальные пространства.

2.4

δ-однородные римановы многообразия

В этом разделе мы приведем некоторые результаты о δ-однородных римановых многообразиях, образующих собственный подкласс в классе геодезически орбитальных пространств. Изложение опирается на работы В.Н. Берестовского и Ю.Г. Никонорова [172, 20]. В работе [173] было дано следующее Определение 2.4.1. Метрическое пространство (M, ρ) называется δ-однородным, если для любых двух точек x, y из M существует изометрия f пространства (M, ρ) на себя, перемещающая x в y и имеющая максимальное смещение в точке x, т.е. f (x) = y и ρ(x, f (x)) ≥ ρ(z, f (z)) для всех точек z ∈ M . Если всегда можно выбрать такое движение f из (под)группы G изометрий пространства (M, ρ), то (M, ρ) называется G-δ-однородным. Из этого определения непосредственно вытекает, что всякое δ-однородное пространство однородно. Нетрудно показать, что риманово δ-однородное многообразие (M, µ) G-δ-однородно для некоторой связной транзитивной (может быть, не единственной) группы Ли движений пространства (M, µ); в качестве G всегда можно взять связную компоненту единицы группы I(M ) всех движений пространства (M, µ). Поэтому в римановом случае в качестве G можно ограничиться рассмотрением только связных транзитивных групп Ли движений. 24

Пусть (M, µ) – δ-однородное риманово многообразие с внутренней метрикой ρ. Вследствие [173], всякое такое многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну. Справедливы следующие общие результаты [172]. Локально изометричное универсальное накрывающее любого δ-однородного риманова многообразия само δ-однородно. В свою очередь, каждое (односвязное) δоднородное риманово многообразие есть прямое метрическое произведение евклидова пространства и компактных (односвязных) неразложимых однородных многообразий. При этом все сомножители этого произведения сами являются δ-однородными. Обратно, всякое прямое метрическое произведение δ-однородных римановых многообразий δ-однородно. Если (M, µ) G-δ-однородно и G нормализует замкнутую подгруппу N полной группы движений I(M ) пространства (M, µ), то пространство орбит N \M с римановой фактор-метрикой δ-однородно. Так как каждое однородное риманово многообразие (M, µ) есть пространство орf, µ бит своего локально изометричного универсального накрытия (M e) относительно действия центральной дискретной подгруппы Γ связной компоненты единицы полf), где Γ изоморфна π1 (M ), то вследствие предыдущих ной группы изометрий I(M результатов, изучение δ-однородных римановых многообразий полностью сводится к односвязному компактному случаю. Примером δ-однородного риманова многообразия является произвольная группа Ли G с биинвариантной римановой метрикой µ, так как левые и правые сдвиги G перемещают все элементы группы на одно и то же расстояние. Приведем теперь несколько характеризаций δ-однородных римановых многообразий. Для этого необходимо напомнить некоторые определения. Определение 2.4.2. Отображение метрических пространств f : (M, r) → (N, q) называется субметрией, если оно отображает каждый замкнутый шар B(x, s) ⊂ (M, r) радиуса s с центром x на замкнутый шар B(f (x), s) ⊂ (N, q) радиуса s с центром f (x) [171]. Заметим, что гладкое отображение полных римановых многообразий является субметрией тогда и только тогда, когда оно является римановой субмерсией [171]. Определение 2.4.3. Однородное риманово многообразие (M = G/H, ρ) с транзитивной группой Ли G и стабилизатором H в точке x из M называется (G)нормальным в обобщенном (соответственно, обычном) смысле, если G допускает биинвариантную (соответственно, риманову биинвариантную) внутреннюю метрику r такую, что естественная проекция p : (G, r) → (G/H, ρ) есть субметрия. Отметим, что согласно работе [17] каждая биинвариантная внутренняя метрика на группе Ли финслерова. Теорема 2.4.1 ([172]). Риманово многообразие (M, µ) δ-однородно тогда и только тогда, когда выполняется какое-нибудь из следующих условий: 1) (M, µ) нормально в обобщенном смысле. 2) Для каждого касательного вектора v ∈ Mx в произвольной точке x из M существует киллингово векторное поле X на M такое, что X(x) = v и µ(X(x), X(x)) = maxy∈M µ(X(y), X(y)). 3) Каждая геодезическая γ в (M, µ) является орбитой 1-параметрической группы движений в M , порожденной некоторым киллинговым векторным полем, достигающим максимального значения своей длины на γ. В качестве следствия из этой теоремы мы получаем, что каждое нормальное однородное риманово многообразие δ-однородно и каждое δ-однородное риманово многообразие геодезически орбитально. 25

Рассмотрим теперь отдельно δ-однородные компактные римановы (почти эффективные) пространства (M = G/H, µ) положительной эйлеровой характеристики. В этом случае группа Ли G полупроста и компактна [260], и каждый максимальный тор подгруппы H является максимальным тором группы G. Если (M = G/H, µ) односвязно и неразложимо, то группа Ли G простая [260]. Теорема 2.4.2 ([172]). Пусть (M = G/H, µ) – G-δ-однородное компактное односвязное неразложимое риманово многообразие положительной эйлеровой характеристики, не являющееся нормальным, причем группа Ли G связна. Тогда G/H может быть только одним из пространств вида Sp(l)/U (1)·Sp(l−1), SO(2l+1)/U (l), l ≥ 2. Пусть h·, ·i – взятая со знаком минус киллингова форма на алгебре Ли g группы Ли G и h – алгебра Ли подгруппы Ли H. Рассмотрим h·, ·i-ортогональное разложение g = h ⊕ p = h ⊕ p1 ⊕ p2 , где k := h ⊕ p2 – алгебра Ли компактной группы Ли K, H ⊂ K ⊂ G, где K = Sp(1) · Sp(l − 1) (K = SO(2l)) для пространств первого (соответственно, второго) типа. При этом [p2 , p1 ] ⊂ p1 и µ = µx1 ,x2 должно порождаться скалярным произведением (·, ·) = x1 h·, ·i|p1 + x2 h·, ·i|p2 на p для некоторых чисел x1 , x2 , с условием 0 < x1 < x2 < 2x1 ; в этом случае G должна быть единственной связной транзитивной группой Ли движений пространства (M, µx1 ,x2 ). Пространства, указанные в теореме 2.4.2, ранее были исследованы в работах [383, 355, 142] (см. предыдущий раздел). Теорема 2.4.3 ([172]). Однородное риманово многообразие (M = SO(5)/U (2), µx1 ,x2 ) δ-однородно тогда и только тогда, когда x1 ≤ x2 ≤ 2x1 . Для x2 = x1 оно SO(5)нормально однородно; для x2 = 2x1 оно SO(6)-нормально однородно; для x2 ∈ (x1 , 2x1 ) оно не является нормальным однородным или естественно редуктивным, но SO(5)δ-однородно, причем SO(5) — единственная связная транзитивная группа движений пространства (M, µx1 ,x2 ). Как следствие из приведенной теоремы получаем, что существуют нормальные в обобщенном смысле однородные римановы многообразия, не являющиеся нормальными. Проблема 5. Классифицировать δ-однородные римановы многообразия. Отметим, что в настоящее время не известно ни одного примера δ-однородного риманова многообразия нулевой эйлеровой характеристики, которое не являлось бы нормальным однородным.

26

Глава 3

Однородные римановы многообразия положительной кривизны 3.1

Однородные римановы пространства положительной секционной кривизны

В работе [17] доказана Теорема 3.1.1 (М. Берже). Пусть (G/H, ρ0 ) - односвязное компактное нормальное однородное пространство положительной секционной кривизны Kσ > 0. Тогда либо M изометрично КРОСПу, либо M есть одно из пространств следующего списка: SU (n + 1)/SU (n) ≈ S 2n+1 , Spin(9)/Spin(7) ≈ S 15 , Sp(2)/SU (2),

Sp(n + 1)/Sp(n) ≈ S 4n+3 ,

Sp(n + 1)/Sp(n) × S 1 ≈ CP2n+1 ,

SU (5)/Sp(2) × S 1 ,

1 (SU (3) × U (2)/S1,1 )/U (2).

Идея доказательства данной теоремы состоит в применении формулы секционной кривизны для нормального однородного пространства, которая в данном случае имеет особенно простой вид: 1 Kσ (X, Y ) =k [X, Y ]h k2 + k [X, Y ]p k2 . 4 Позднее Н. Уоллачем, Л. Бержери была дана классификация, с точностью до диффеоморфизма, произвольных однородных римановых многообразий положительной секционной кривизны [365, 174], а С. Алоффом и Н. Уоллачем были впервые построены однородные римановы метрики положительной секционной кривизны на пространствах Алоффа-Уоллача [365, 147]: 1 , Wk,l = SU (3)/Sk,l

SU (3)/Tmax ,

k, l ∈ Z,

(k, l) = 1,

Sp(3)/Sp(1) × Sp(1) × Sp(1),

F4 /Spin(8).

1 Замечание. Пространства Алоффа-Уоллача Wk,l = SU (3)/Sk,l определяются вло1 жениями S в SU (3) вида

e2πiθ 7→ diag(e2πikθ , e2πilθ , e2πimθ ), где k, l, m — целые числа с наибольшим общим делителем 1, дополнительно удовлетворяющие соотношению k + l + m = 0. Данные пространства были исследованы С. Алоффом и Н. К. Уоллачем в [147]. В этой работе они доказали, что пространства Wk,l при kl(k + l) 6= 0 допускают метрики положительной секционной 27

кривизны. Кроме того, H 4 (Wk,l ; Z) = Z/|k 2 + l2 + kl|Z, таким образом, на пространствах Wk,l реализуется бесконечно много гомотопических типов. Позже М. Крек и С. Штольц показали в [271], что среди пространств Алоффа-Уоллача существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные между собой пространства. Принимая в расчет действие группы Вейля для SU (3) можно считать также, что k ≥ l ≥ 0. Замечание. Отметим, что между пространствами Алоффа-Уоллача существует следующая связь: π : SU (3)/S 1 → SU (3)/Tmax , т.е. одно из них является расслоенным пространством, другое – базой естественного расслоения со слоем S 1 . Теорема 3.1.2 (Л. Б. Бержери - Н. Уоллач). Пусть M = (G/H, ρ) – односвязное однородное риманово пространство с Kσ > 0. Тогда M либо диффеоморфно КРОСПу, либо M есть одно из многообразий следующего списка: Sp(2)/SU (2),

SU (5)/Sp(2) × S 1 ,

1 )/U (2), (SU (3) × U (2)/S1,1 1 SU (3)/S1,1 ,

SU (3)/Tmax ,

1 )/T 2 , (SU (3) × T 2 /S1,1

1 (SU (3) × T 2 /Sk,l )/T 2 ,

1 SU (3)/Sk,l ,

Sp(3)/Sp(1) × Sp(1) × Sp(1),

F4 /Spin(8).

Замечание. Заметим, что пространства 1 (SU (3) × U (2)/S1,1 )/U (2),

1 (SU (3) × T 2 /S1,1 )/T 2 ,

1 (SU (3) × T 2 /Sk,l )/T 2

1 диффеоморфны SU (3)/Sk,l , для соответствующих пар чисел (k, l). Поясним это на 1 1 примере пространства (SU (3) × T 2 /Sk,l )/T 2 . В этом случае Sk,l косо вкладывается 2 в тор T , где T 2 = diag(eiα , eiβ , e−i(α+β) ), α, β ∈ R, 1 1 группа SU (3) × (T 2 /Sk,l ) действует на SU (3)/Sk,l транзитивно, причем SU (3) дей1 1 1 ствует на SU (3)/Sk,l слева, а T 2 /Sk,l – справа. Тогда группа изотропии точки Sk,l представляет собой диагонально вложенный тор T 2 .

Замечание. Позднее Дж. Эшенберг [216] построил примеры 6- и 7-мерных неоднородных пространств с метрикой положительной секционной кривизны, а Я. В. Базайкин [170] построил серию 13-мерных примеров неоднородных пространств с метрикой положительной секционной кривизны Kσ > 0. Определим δ-защемленность компактного риманова многообразия (M, ρ) положительной секционной кривизны K следующим образом: Определение 3.1.1. δ(M ) =

min K . max K

Замечание. Очевидно, что δ(M, ρ) ∈ (0, 1]. Если δ(M, ρ) = 1, а M односвязно, то (M, ρ) изометрично, с точностью до гомотетии, стандартной сфере. Таким образом, δ-защемленность показывает как сильно локальная геометрия компактного риманова многообразия (M, ρ) положительной секционной кривизны K отличается от геометрии стандартной сферы. Более полный обзор по данной тематике содержится в [138]. В случае однородных римановых многообразий более удобно ввести следующую величину [323] 28

Определение 3.1.2. δ-защемленностью пары (G, H) называется число δ(G, H) = sup{δ(G/H, ρ) | ρ ∈ M(G, H)}, где M(G, H) — пространство всех G-инвариантных метрик на G/H, с точностью до изометрии и гомотетии. Определение 3.1.3. Непрерывная функция ∆ : [0, 1] → [0, 1] определяется равен1 ством ∆(k/l) = δ(SU (3) × T 2 /Sk,l , T 2 ) ∈ [0, 1] для рациональных чисел k/l ∈ [0, 1], и с помощью предельного перехода в иррациональных точках отрезка [0, 1]. В четномерном однородном римановом случае δ-защемленность пары была найдена Ф. М. Валиевым [361]. Результаты данной работы для пространств Уоллача приведены в таблице 2. Таблица 2 G

H

dim G/H

dim M(G/H)

δ(G, H)

SU(3)

T2

6

2

1 64

Sp(3)

Sp(1)3

12

2

1 64

F4

Spin(8)

24

2

1 64

В нечетномерном случае δ-защемленность пары исследовалась Г. Элиассоном [215], Е. Хейнтце [234], Г. Хуангам [239], Т. Путманом [323]. Так Г. Элиассон показал, что 1 для пары Берже (Sp(2), SU (2)) соответствующая константа δ(Sp(2), SU (2)) = 37 . Далее, Е. Хейнтце и Г. Хуанг нашли δ-защемленность пары Берже (SU (5), Sp(2) × S 1 )) для некоторых классов инвариантных римановых метрик. Полностью эту задачу ре1 шил Т. Путман, оказалось, что δ(SU (5), Sp(2) × S 1 )) = 37 . Кроме того, в работе Т. Путмана исследован вопрос о δ-защемленности пары для пространств АлоффаУоллача, а также других несимметрических пространств, допускающих однородную риманову метрику положительной секционной кривизны. Результаты этой работы приведены в таблице 3. Таблица 3 G

H

dim G/H

dim M(G/H)

δ(G, H)

Sp(2)

SU(2)

7

0

1 37

SU(5)

Sp(2) × S 1

13

1

1 37

1 SU (3) × U (2)/S1,1

U(2)

7

1

1 37

1 SU (3) × T 2 /S1,1

T2

7

3

4(1) ≥

SU(3)

1 S1,1

7

6

? ≥ 4(1)

1 SU (3) × T 2 /Sk,l

T2

7

3

(k/l → 1) → 4(1)

SU(3)

1 Sk,l

7

3

k/l→1 k/l6=1

1 37

→ 4(1)

Замечание. В последнем столбце таблицы 3 указана δ-защемленность соответствующей пары. Так, например, 1 1 1 ) ≥ ∆(1), ), T 2 ) = ∆(1) ≥ , δ(SU (3), S1,1 δ(SU (3) × (T 2 /S1,1 37 29

а для двух последних пар указана асимптотика функции δ-защемленности пары. В случае, когда однородное пространство диффеоморфно КРОСПу, δ-защемленность пары вычислялась многими математиками и относится к математическому фольклору, за исключением случаев, когда разложение изотропии имеет более одного слагаемого (см., например, [361, 19, 34, 35, 36, 330]). В недавней работе Л. Вердиани и В. Циллера [362] найдена δ-защемленность всех инвариантных метрик положителной секционной кривизны на сферах. Замечание. Отметим также работы [332], [111], в которых изучались конформные и одноранговые деформации однородных римановых метрик, приводящие к метрикам положительной секционной кривизны. Более точно сформулируем результат для конформно деформированных метрик. Теорема 3.1.3. Если метрика d¯ s2 = eσ(x) ds2 , конформно эквивалентная однородной римановой метрике ds2 односвязного компактного однородного пространства G/H, имеет положительную секционную кривизну, то однородное пространство G/H либо диффеоморфно КРОСПу, либо одному из многообразий Алоффа-Берже-Уоллача: Sp(2)/SU (2), SU (3)/Tmax ,

SU (5)/Sp(2) × S 1 ,

1 SU (3)/Sk,l ,

Sp(3)/Sp(1) × Sp(1) × Sp(1),

F4 /Spin(8).

В частности, для случая групп Ли справедлива Теорема 3.1.4. Если метрика d¯ s2 , конформно эквивалентная левоинвариантной 2 римановой метрике ds компактной группы Ли G, имеет положительную секционную кривизну, то группа Ли G локально изоморфна группе SU (2). Замечание. Естественно, после данных работ возник вопрос об оценке δ-защемленности однородной пары с метрикой положительной секционной кривизны, конформно эквивалентной однородной римановой метрике. В неоднородном случае в [332], [111] получены следующие результаты. Теорема 3.1.5. Пусть на компактном многообразии M n задана риманова метрика ds2 , имеющая в каждой точке x ∈ M n двумерную площадку нулевой секционной кривизны. Тогда для любой конформной деформации d¯ s2 = eσ(x) ds2 метрики ds2 найn дутся точка x0 ∈ M и двумерная площадка в этой точке, имеющая неположительную секционную кривизну, а также точка x1 ∈ M n и двумерная площадка в этой точке, имеющая неотрицательную секционную кривизну. Из данной теоремы, в частности, следует Теорема 3.1.6. Метрика, конформно эквивалентная метрике прямого произведения компактных римановых многообразий, всегда имеет точку и площадку нулевой секционной кривизны в этой точке. Замечание. Данное утверждение дает положительное решение гипотезы Х. Хопфа для метрик, конформно эквивалентных метрике прямого произведения компактных римановых многообразий. Гипотеза 2 (Х. Хопф). На S 2 × S 2 не существует римановой метрики со строго положительной секционной кривизной. 30

3.2

Однородные римановы пространства положительной кривизны Риччи

Однородные римановы метрики положительной или неотрицательной кривизны Риччи изучались в работах [175, 294, 18]. В частности, в [292] была доказана Теорема 3.2.1 (Дж. Милнор). Связная группа Ли G допускает G-инвариантную риманову метрику положительной кривизны Риччи тогда и только тогда, когда G компактна, а фундаментальная группа π1 (G) конечна. Если так, то в качестве такой метрики подходит любая биинвариантная риманова метрика. Позднее, В. Н. Берестовским получено обобщение данной теоремы на случай произвольного однородного пространства [18]. Теорема 3.2.2 (В. Н. Берестовский). Однородное эффективное пространство M = G/H, где G связна, а H компактна, допускает G-инвариантную риманову метрику положительной кривизны Риччи тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: (a) M - компактное и π1 (M ) - конечна; (b) G - компактна и подгруппа Леви LG (т.е. максимальная связная полупростая подгруппа G) действует транзитивно на M . Замечание. Задача классификации однородных римановых многообразий положительной кривизны Риччи очень сложна, она не решена даже в случае однородных римановых многообразий постоянной положительной кривизны Риччи (однородных многообразий Эйнштейна). Замечание. Кроме того, в работе [292] изучалось поведение кривизны Риччи, а также секционной кривизны на группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, а в [330] были даны двусторонние оценки кривизны Риччи, других типов кривизн на трехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками. Отметим также работу [262], в которой исследовалась связь между левоинвариантными римановыми метриками и главными кривизнами Риччи заданного типа на трехмерных унимодулярных группах Ли.

3.3

Одномерная кривизна однородных пространств

Рассмотрим теперь бесследовую часть тензора Риччи, ³ ´ или тензор одномерной криRρ ij 1 визны. Пусть, как и раньше, Aij = n−2 Rij − 2(n−1) , где Rij – тензор Риччи, R – скалярная кривизна, есть тензор одномерной кривизны, а A(X) = Aij X i X j – одномерная кривизна в направлении единичного вектора X ∈ Tx M риманова многообразия M . Тогда справедливы следующие утверждения [332] Теорема 3.3.1. Пусть (G/H, ρ) – однородное эффективное риманово многообразие, где G связна, а H компактна. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Если A(X) ≥ 0 для всех X ∈ Te¯G/H, то Ric(X) ≥ 0 для всех X ∈ Te¯G/H. Более того, если существует Y ∈ Te¯G/H такой, что Ric(Y ) = 0, то (G/H, ρ) изометрично произведению плоского тора и евклидова пространства T k × Rm . (b) Существуют однородные римановы многообразия неотрицательной кривизны Риччи и осциллирующей, т.е. принимающей значения разных знаков, одномерной кривизны A(X). 31

Теорема 3.3.2. Пусть (G/H, ρ) — однородное эффективное риманово многообразие, где G связна, а H компактна, неотрицательной одномерной кривизны A(X) ≥ 0; M = G/H не изометрично T k × Rm . Тогда справедливы утверждения: (а) группа G компактна, подгруппа Леви LG действует транзитивно на M ; (b) пространство M компактно, фундаментальная группа π1 (M ) конечна. Замечание. Авторам неизвестно, допускает ли теорема 3.3.2 обращение. Проблема 6. Пусть M компактно, а π1 (M ) конечна. Существует ли однородная риманова метрика ρ на M такая, что одномерная кривизна положительна? В случае групп Ли ответ на данный вопрос содержится в [332]. Теорема 3.3.3. Связная группа Ли G допускает G-инвариантную риманову метрику положительной одномерной кривизны A(ξ) > 0 тогда и только тогда, когда G компактна, а π1 (G) конечна. Если так, то в качестве такой метрики подходит стандартная (киллингова) метрика. Замечание. Существуют примеры биинвариантных римановых метрик на компактных полупростых группах Ли с конечной фундаментальной группой, для которых кривизна Риччи положительна, а одномерная кривизна осциллирует. Имеет место Теорема 3.3.4. Пусть (G/H, ρ) — однородное эффективное риманово многообразие, где G связна, а H компактна. Тогда одномерная кривизна A(X) постоянна в том и только том случае, если (G/H, ρ) эйнштейново. Более того, если A(X) = 0, то (G/H, ρ) изометрично риманову произведению плоского тора и евклидова пространства. Доказательство. Как показано в [332], условие постоянства одномерной кривизны равносильно выполнению системы равенств: P P rj rj r1 − = ... = rn − , 2(n − 1) 2(n − 1) где ri – главные значения кривизны Риччи, которая эквивалентна системе r1 = r2 = . . . = rn . Более того, если предположить, что одномерная кривизна тождественно равна нулю, то кривизна Риччи также равна нулю, а значит, согласно теореме Алексеевского – Кимельфельда [144], многообразие (G/H, ρ) является плоским. Замечание. Кроме того, в вышеупомянутой работе [332] и в работе [111] изучались конформные и одноранговые деформации римановых метрик, в том числе и однородных римановых метрик, и поведение различных типов кривизн при этих деформациях. Приведем соответствующие формулировки для одномерной кривизны и кривизны Риччи в случае конформных деформаций неоднородных римановых метрик. Теорема 3.3.5. Пусть на компактном многообразии M n задана риманова метрика ds2 , имеющая в каждой точке x ∈ M n одномерное направление X, для которого A(X) = k0 . Тогда для любой конформной деформации d¯ s2 = eσ(x) ds2 метрики ds2 найдутся точки x0 , x1 ∈ M n и соответствующие одномерные направления X0 , X1 в этих точках, для которых выполняются неравенства A¯x0 (X0 ) ≤ k0 e−2σ(x0 ) ,

A¯x1 (X1 ) ≥ k0 e−2σ(x1 ) . 32

Теорема 3.3.6. Пусть на компактном многообразии M n определена риманова метрика ds2 , имеющая в каждой точке x ∈ M n нулевую кривизну Риччи по всем направлениям. Тогда для любой конформной деформации d¯ s2 = eσ(x) ds2 метрики ds2 найдется точка x0 ∈ M n , в которой кривизна Риччи неотрицательна.

33

Глава 4

Однородные римановы многообразия с метрикой Эйнштейна 4.1

Общие результаты

Риманово многообразие (M, ρ) называется эйнштейновым, если кривизна Риччи метрики ρ связана с ней соотношением Ric(ρ) = C · ρ для некоторой константы C в каждой точке многообразия. В соответствии с тематикой настоящего обзора мы ограничиваемся рассмотрением однородных римановых многообразий Эйнштейна. В последние десятилетия эйнштейновы многообразия стали объектом многочисленных исследований, о чем можно судить по приводимой в настоящем обзоре библиографии. Серьезным этапом этих исследований стал выход книги А. Бессе [22]. В ней собраны огромное количество фактов, полученных различными авторами, чьи исследования в той или иной мере связаны с эйнштейновыми многообразиями. Более свежие результаты по однородным многообразиям Эйнштейна можно найти в замечательном обзоре М. Вана [371]. В частности, мы рекомендуем эти источники всем желающим узнать больше подробностей о построении метрик Эйнштейна с помощью расслоений и субмерсий, о многообразиях Кэлера-Эйнштейна и об эйнштейновых многообразиях малой кооднородности. В этом разделе мы уделим больше внимания тем результатам, которые (в основном, в силу того, что были получены совсем недавно) не представлены с достаточной степенью подробности в [22] и [371]. Задача классификации однородных римановых многообразий постоянной кривизны Риччи или эйнштейновых многообразий является очень сложной. Поэтому она рассматривается, как правило, с ограничениями того или иного характера: на класс рассматриваемых инвариантных римановых метрик, на алгебраическое строение однородного пространства, на размерность однородного пространства и т. д. Как было показано ранее, множество G-инвариантных римановых метрик на однородном пространстве G/H с компактной группой изотропии H и группой движений G, действующей на G/H (почти) эффективно, можно отождествить с множеством Ad(H)-инвариантных скалярных произведений на p – фиксированном Ad(H)инвариантном дополнении к h в алгебре Ли g. Мы в дальнейшем изложении (часто без дополнительных комментариев) будем использовать указанное отождествление. Также мы будем G-инвариантные римановы метрики называть инвариантными в тех случаях, когда это не приведет к недоразумению. Предварительно нам потребуется 34

Теорема 4.1.1 ([22]). Пусть (M, ρ) — однородное многообразие Эйнштейна постоянной скалярной кривизны S. (a) Если S > 0, то M компактно и фундаментальная группа π1 (M ) конечна. (b) Если S = 0, то M – плоское многообразие. (c) Если S < 0, то M не компактно. Доказательство данной теоремы следует из соответствующих теорем Майерса [298], Д. В. Алексеевского – Б. Н. Кимельфельда [144] и С. Бохнера [181]. Таким образом, в плоском случае задача классификации решена Д. В. Алексеевским – Б. Н. Кимельфельдом. Поэтому естественно выделить два оставшихся случая: случай положительной скалярной кривизны (компактные однородные многообразия Эйнштейна) и случай отрицательной скалярной кривизны (некомпактные однородные эйнштейновы многообразия). Напомним, что эйнштейновыми многообразиями являются компактные симметрические пространства с киллинговой метрикой. Изложению результатов относительно киллинговых эйнштейновых многообразий в настоящем обзоре посвящен отдельный параграф. Но необходимо отметить, что наиболее известные и изученные многообразия Эйнштейна являются именно киллинговыми. Напомним здесь некоторые классические результаты. Определение 4.1.1. Однородное пространство G/H, где H — компактная группа Ли, называется изотропно неприводимым, если представление изотропии группы H неприводимо, и строго изотропно неприводимым, если связная компонента единицы стационарной подгруппы H имеет неприводимое представление изотропии. Из изотропной неприводимости однородного пространства и леммы Шура легко следует Теорема 4.1.2 ([374]). Пусть G/H изотропно неприводимо. Тогда на M существует единственная, с точностью до гомотетии, G-инвариантная риманова метрика. Эта метрика является эйнштейновой. Замечание. Нетрудно понять, что компактные изотропно неприводимые пространства являются киллинговыми. Примерами изотропно неприводимых пространств являются неприводимые симметрические пространства. Кроме того, любое некомпактное изотропно неприводимое пространство является симметрическим [22]. В компактном случае строго изотропно неприводимые пространства классифицированы О. В. Мантуровым [68, 69, 70], Дж. А. Вольфом [374]. Несколько лет спустя классификацию строго изотропно неприводимых пространств получил также М. Крамер [268]. Позднее М. Ван и В. Циллер [369] получили полную классификацию изотропно неприводимых пространств. Кроме неприводимых симметрических пространств данные классификационные списки содержат конечный список однородных пространств, а также семейств однородных пространств. В случае строго изотропно неприводимых пространств он содержится в [22]. Заметим, что существует конструкция, принадлежащая Уоллу [374], которая позволяет получить большинство несимметрических строго изотропно неприводимых пространств с помощью компактных неприводимых симметрических пространств. Более точно, пусть G/H — компактное неприводимое симметрическое пространство, 35

χ — представление изотропии группы H. Тогда, за небольшим числом исключений, однородное пространство SO(dim G/H)/χ(H) является изотропно неприводимым (см. [374, 369]). Ключевой проблемой теории однородных эйнштейновых многообразий является по сей день нерешенная проблема классификации. Проблема 7. Классифицировать G-инвариантные метрики Эйнштейна на однородных пространствах M = G/H. Существует множество однородных пространств, инвариантные метрики Эйнштейна на которых полностью классифицированы. Но не наблюдается общего подхода для решения поставленной проблемы в целом. Не решена даже следующая Проблема 8 ([22]). Пусть M = G/H – компактное односвязное однородное пространство. Является ли множество G-инвариантных метрик Эйнштейна на M , рассматриваемых с точностью до изометрии и гомотетии, конечным? В частности, представляет интерес следующая Гипотеза 3 (К. Боем - М. Ван - В. Циллер [186]). Компактное однородное пространство G/H такое, что ранги групп H и G равны, допускает лишь конечное число инвариантных метрик Эйнштейна, с точностью до пропорциональности. Отметим, что известны примеры нетривиальных семейств инвариантных метрик на некоторых многообразиях. Например, существует нетривиальное семейство (SU (2)×SU (2))-инвариантных эйнштейновых метрик на S 3 ×S 2 = (SU (2)×SU (2))/S 1 , но при этом различные метрики этого семейства соответствуют различным вложениям группы изотропии i : S 1 ⊂ SU (2) × SU (2) [22, 368, 107]. Отметим также, что в недавней работе [186] К. Боем, М. Ван и В. Циллер получили ряд общих результатов по инвариантным эйнштейновым метрикам на компактных однородных пространствах. В частности, ими доказана следующая Теорема 4.1.3 ([186]). Пусть G/H — компактное однородное пространство с конечной фундаментальной группой. Тогда пространство модулей G-инвариантных эйнштейновых метрик состоит из конечного числа компонент, каждая из которых компактна. В недавней работе [44] М.М. Граев предложил новый подход к решению проблемы конечности числа инвариантных метрик Эйнштейна на заданном компактном однородном пространстве, основанный на классических результатах об оценке числа решений систем однородных полиномиальных уравнений. Этот подход позволяет доказать конечность числа инвариантных метрик для ряда конкретных однородных пространств. Заметим, что в компактном случае существует классификация групп и алгебр Ли и классификация максимальных подалгебр алгебр Ли [49, 48], которые позволяют получить полное описание компактных однородных пространств G/H. В тоже время не известна до сих пор классификации некомпактных алгебр (исключая малые размерности), тем самым задача классификации инвариантных эйнштейновых метрик на некомпактных однородных пространствах представляется еще более сложной. Как показано Д. В. Алексеевским в [3], в случае, когда однородное пространство M имеет неположительную секционную кривизну, на M действует просто транзитивно некоторая разрешимая группа Ли специального вида – нормальная группа движений в терминологии [3]. Используя этот результат, Д. В. Алексеевский классифицировал однородные многообразия Эйнштейна неположительной секционной кривизны в размерности ≤ 5 [3]. 36

Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной скалярной кривизны могло бы стать доказательство следующей гипотезы Д. В. Алексеевского. Гипотеза 4 (Д. В. Алексеевский, [2]). Пусть M = G/H — некомпактное однородное многообразие Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны. Тогда H является максимальной компактной подгруппой группы G. e В случае истинности приведенной гипотезы существует разрешимая подгруппа G группы G, действующая на M просто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий. Существенный прогресс в изучении эйнштейновых солвмногообразий получен Й. Хебером в работе [232], результаты которой обсуждаются в другом параграфе настоящего обзора.

4.2

Проблема существования инвариантных метрик Эйнштейна

Хорошо известны ограничения [22] на трехмерные и четырехмерные многообразия, допускающие метрику Эйнштейна. В общем случае задача нахождения необходимых и достаточных условий на многообразие, допускающее некоторую эйнштейнову метрику, представляется весьма сложной. В этом параграфе мы обсудим проблему существования G-инвариантных метрик Эйнштейна на однородных пространствах G/H. Известно достаточно много примеров некомпактных однородных пространств, не допускающих инвариантных эйнштейновых метрик. Приведем, например, теорему из работы Дж. Милнора [292]. Теорема 4.2.1. Пусть алгебра Ли группы Ли G является некоммутативной и нильпотентной. Тогда для любой левоинвариантной метрики существуют направления, где кривизна Риччи строго положительна и строго отрицательна. Таким образом, на группах, описываемых в формулировке этой теоремы, не может существовать левоинвариантной метрики со знакопостоянной кривизной Риччи, а тем более эйнштейновой. Интересным также представляется результат Й. Хебера ([232], 5.3). Теорема 4.2.2. Пусть разрешимая алгебра Ли g удовлетворяет следующим условиям: 1) g = a ⊕ [g, g], где a – абелева подалгебра алгебры g; 2) для Y ∈ a оператор ad(Y ) имеет только вещественные собственные значения; 3) один из операторов ad(Y ) не диагонализуем. Тогда группа Ли G не допускает левоинвариантной эйнштейновой метрики. Пример 4.2.1. Типичным примером алгебры, удовлетворяющим перечисленным в теореме условиям, является алгебра g = Lin {e0 , e1 , . . . , e5 } со скобкой Ли, определяемой следующими соотношениями: [e1 , ei ] = ei , i = 2, 3, [e1 , e4 ] = 2e4 , [e1 , e5 ] = 2e5 + e4 , [e2 , e3 ] = e4 , [e0 , e2 ] = e2 , [e0 , e3 ] = −e3 , [e0 , e4 ] = 0, [e0 , e5 ] = e4 , причем все остальные произведения базисных векторов полагаются нулевыми. В данном случае a = Lin {e0 , e1 }. 37

Приведем также примеры некомпактных однородных пространств с полупростой группой движений, не допускающих инвариантных метрик Эйнштейна, опираясь на [79]. Рассмотрим полупростую некомпактную группу Ли G, ее компактную подгруппу H, H ⊂ K ⊂ G, где K — максимальная компактная подгруппа, причем h 6= k. Пусть g = k ⊕ p0 = h ⊕ p00 ⊕ p0 , где первое равенство есть разложение Картана алгебры g группы Ли G, и k = h ⊕ p00 , p00 ортогонален h относительно формы Киллинга B. Рассмотрим класс Ad(H)-инвариантных метрик M на p = p00 ⊕ p0 ( Ad(H)-инвариантном дополнении к h) такой, что для любой метрики (·, ·) ∈ M p00 ортогонален p0 относительно (·, ·). Пусть h·, ·i = B|p0 − B|p00 , метрики (·, ·) и h·, ·i одновременно приводятся к диагональному виду, т.е. имеют место следующие разложения p0 = p1 ⊕ ... ⊕ pu , p00 = pu+1 ⊕ ... ⊕ pv , где pi — попарно ортогональные относительно обеих метрик Ad(H)-инвариантные неприводимые модули, и (·, ·)|pi = xi · h·, ·i|pi для некоторых xi > 0. Можно считать, что x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xu и xu+1 ≤ ... ≤ xv . Форма кривизны Риччи Ric(·, ·) для метрики (·, ·) является также Ad(H)-инвариантной на p, поэтому Ric(·, ·)|pi = ri ·(·, ·)|pi для некоторых вещественных ri . Основным результатом работы [79] является следующая Теорема 4.2.3. Пусть скалярное произведение (·, ·) принадлежит классу M. Тогда, если r1 ≥ ru в обозначениях, приведенных выше, то rv > 0. Замечание. Заметим, что приведенная теорема частично подтверждает гипотезу Д.В. Алексеевского (гипотезу 4). В силу леммы Шура нетрудно убедиться в том, что в случае отсутствия Ad(H)изоморфных неприводимых модулей pi ⊂ p00 и pj ⊂ p0 на однородном пространстве G/H нет инвариантной эйнштейновой метрики (в этом случае все Ad(H)-инвариантные метрики принадлежат классу M). Типичным примером, демонстрирующим это обстоятельство, является следующий. Пример 4.2.2. Рассмотрим вложение H = SO(a) × SO(b) × SO(c) ½µ × SO(d)¶¾⊂ A S SO(a + b, c + d), характеризуемое вложением алгебры h в g, где g = , St B где A, B — кососимметричные матрицы порядков a + b и c + d,   A 0     0   0 B   h=  , C 0     0   0 D A, B, C, D — кососимметричные матрицы порядков a, b, c, d соответственно. В данном случае мы имеем четыре неприводимых модуля p1 , p2 , p3 , p4 , в p0 размерностей ac, ad, bc, bd, и два неприводимых модуля p5 , p6 в p00 размерностей ab и cd. Если a, b, c, d ≥ 2, то модули pi и pj при i ≤ 4, j ≥ 5 не являются изоморфными, что нетрудно проверить. Таким образом, пространство SO(a + b, c + d)/SO(a) × SO(b) × SO(c) × SO(d) не допускает инвариантных метрик Эйнштейна при a, b, c, d ≥ 2. В работе [79] рассматриваются также и другие примеры некомпактных однородных пространств с полупростой группой движений, не допускающих инвариантных метрик Эйнштейна. 38

Первые примеры компактных однородных пространств, не допускающих инвариантных эйнштейновых метрик, были построены М. Ваном и В. Циллером [367]. Следуя цитируемой работе, рассмотрим компактное однородное пространство G/H с компактной простой группой Ли G такое, что алгебра g раскладывается в попарно ортогональные относительно формы Киллинга B = Bg слагаемые: g = h ⊕ p1 ⊕ p2 , причем Ad(H)-инвариантные модули p1 и p2 является неприводимыми; k = h ⊕ p1 – подалгебра алгебры g с соответствующей замкнутой связной подгруппой K ⊂ G. Пусть далее K 0 – частное K, действующее эффективно на K/H. Предположим также для простоты, что группа Ли K 0 полупроста и Bk0 = α · B|k для некоторого α > 0. Тогда справедлива следующая теорема [367]. Теорема 4.2.4. В условиях, приведенных выше, на однородном пространстве G/H не существует G-инвариантных эйнштейновых метрик если и только если ¶2 µ ¶ µ 2d1 1 D = c2 + − 1+ α(1 − α)(2c1 + 1) < 0, 2 d2 где d1 = dim p1 , d2 = dim p2 , c1 и c2 являются константами Казимира для пространств K 0 /H 0 и G/K относительно −Bk0 |h0 и −B|k соответственно. В статье [367] приводится множество примеров пространств для которых D < 0. Там же рассматриваются аналогичные конструкции с тремя неприводимыми модулями в разложении p. Другие примеры того же рода приводятся в работе [321]. Хорошо известно, что многообразие может допускать несколько различных транзитивных групп Ли преобразований. В статье [367] М. Ван и В. Циллер построили пример компактного односвязного однородного многообразия, не допускающего ни одной однородной эйнштейновой метрики. Пример 4.2.3 (М. Ван - В. Циллер, [367]). Пусть G = SU (4) и K = Sp(2) (со стандартным вложением Sp(2) ⊂ SU (4)). Рассмотрим вложение группы H = SU (2) как максимальной подгруппы группы Sp(2). Соответствующее пространство G/H = SU (4)/SU (2) не допускает ни одной эйнштейновой метрики, которая была бы однородна относительно некоторой транзитивной группы преобразований. Отметим, что размерность однородного пространства в рассмотренном выше примере равна 12. Это минимальная возможная размерность для такого рода примеров, что вытекает из следующего замечательного результата К. Боема и М. Керр [185]. Теорема 4.2.5 (К. Боем - М. Керр [185]). Пусть M n — компактное односвязное однородное пространство размерности n ≤ 11. Тогда M n допускает однородную эйнштейнову метрику. Кроме того, в работе [185] построены новые примеры компактных однородных пространств в размерности 12, не допускающих никакой однородной эйнштейновой метрики. Необходимо заметить также, что многочисленные примеры компактных однородных пространств, не допускающих инвариантных метрик Эйнштейна, могут быть построены с помощью римановых субмерсий [22]. В заключении отметим работу К. Боема [183], в которой приводятся некоторые достаточные условия отсутствия инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых компактных однородных пространствах. Эти достаточные условия получены на основе изучения бесследового тензора Риччи. Приведем один из примеров работы [183]. 39

Пример 4.2.4 (К. Боем [183]). Рассмотрим пространство G/H = SU (m + n1 + · · · + nk )/S(SO(m)U (1) × U (n1 ) × · · · × U (nk )), P где m, n1 , . . . nk ≥ 1. Если выполняется неравенство m > ( ki=1 ni )2 + 2, то G/H не допускает G-инвариантной метрики Эйнштейна.

4.3

Функционал скалярной кривизны и вариационные принципы

В этом параграфе мы обсудим корректность некоторых вариационных принципов для метрик Эйнштейна и их применение для доказательства существования однородных эйнштейновых метрик. R Рассмотрим полную скалярную кривизну S(ρ) = sρ µρ компактного риманового M

многообразия (M, ρ). Хорошо известна связь ([22], 4.19) между критическими точками функционала полной скалярной кривизны ρ 7→ S(ρ), ограниченного на пространство римановых метрик объема 1, и метриками Эйнштейна. А именно, критические точки рассматриваемого функционала являются в точности эйнштейновыми метриками, что легко следует из формулы первой вариации этого функционала. Отметим, что в случае инвариантных римановых метрик на однородных пространствах имеется конечномерный аналог сформулированного принципа ([22], 4.23): пусть G – компактная группа Ли, действующая транзитивно на многообразии M и MG,1 – множество G-инвариантных римановых метрик объема 1 на M , тогда метрика ρ ∈ MG является критической точкой функционала S|MG,1 , если и только если ρ эйнштенова. Поскольку для однородных метрик скалярная кривизна не зависит от точки, то естественно в этом случае формулировать вариационный принцип для функционала скалярной кривизны. Отметим, что при таком подходе к задаче мы имеем возможность получить аналоги вышеприведенных утверждений и для некоторых некомпактных однородных пространств, что невозможно при использовании функционала полной скалярной кривизны. Действительно, в свое время Г. Йенсен [241] показал справедливость рассматриваемого нами вариационного принципа для унимодулярных групп Ли. Г. Йенсен также показал, что при отказе от унимодулярности группы G вариационный принцип перестает быть справедливым. Это можно продемонстрировать на конкретных примерах, один из них мы рассмотрим ниже. Теперь мы приведем некоторое обобщение сформулированных утверждений для инвариантных метрик. Рассмотрим унимодулярную группу Ли G и две ее подгруппы H, K, H ⊂ K ⊂ G, где H — компактная группа Ли. Нас будут интересовать Ad(K) -инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве M = G/H. Рассмотрим p – некоторое Ad(K) -инвариантное дополнение к h в g. Нетрудно понять, что условие существования Ad(K)-инвариантного дополнения p к h по существу эквивалентно тому, что подалгебра h является идеалом в алгебре Ли k. Самые простые случаи, когда это условие выполняется, соответствуют тому, что либо подалгебра h тривиальна, либо h = k. Пусть MG,1 — множество Ad(H) -инвариантных скалярных произведений на p, имеющих ту же форму объема, что и некоторое выделенное скалярное произведение. Для краткости мы будем говорить, что MG,1 — множество метрик объема 1 относительно выделенного скалярного произведения. Рассмотрим также MG,K,1 — 40

множество Ad(K) -инвариантных метрик объема 1 на p относительно того же выделенного скалярного произведения. Как уже отмечалось, множество MG,1 может быть снабжено структурой гладкого многообразия, при этом MG,K,1 — некоторое подмногообразие в MG,1 . Справедлива следующая Теорема 4.3.1 ([76]). Пусть (·, ·) ∈ MG,K,1 , тогда следующие условия эквивалентны: 1) (·, ·) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве MG,1 ; 2) (·, ·) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве MG,K,1 ; 3) (·, ·) является инвариантной эйнштейновой метрикой. Как уже отмечалось, для неунимодулярных групп эта теорема перестает быть верной. Приведем теперь пример ([241]) неунимодулярной группы, который показывает невозможность распространения приведенной теоремы на однородные пространства с неунимодулярной группой движений. Пример 4.3.1. Рассмотрим разрешимую алгебру Ли     x1 , · · · , x n ¯  ¯   g= ¯xi ∈ R   0 матриц размера n × n, снабженную скалярным произведением h·, ·i таким, что векторы   δ1i , · · · , δni  Xi =  0 образуют ортонормированный базис. Легко видеть, что соответствующая группа Ли имеет следующий вид:     x1 , · · · , x n ¯  ¯   0 In−1 G= ¯xi > 0 ,   0 где через In−1 обозначена (n − 1)-мерная единичная матрица. Нетрудно также убедиться в том, что (G, h·, ·i) имеет постоянную отрицательную секционную кривизну, в частности, h·, ·i является метрикой Эйнштейна. В то же время простые вычисления показывают, что эта метрика не является критической точкой функционала скалярной кривизны, ограниченного на множество G-инвариантных метрик фиксированного объема. Более того, как показано в лемме 3.5 работы [232], для любой разрешимой неунимодулярной группы Ли G функционал скалярной кривизны S, ограниченный на множество метрик фиксированного объема относительно некоторой выделенной метрики, не имеет критических точек. Учитывая наличие большого количества эйнштейновых метрик на подобных группах Ли, можно убедиться в том, что вариационный принцип в приведенной нами форме теряет силу в неунимодулярном случае. В связи с этим необходимо отметить, что в работе [232] Й. Хебер для исследования эйнштейновых левоинвариантных метрик на разрешимых группах Ли с успехом применил некоторые модификации функционала скалярной кривизны. Дальнейшее развитие 41

идеи Й. Хебера относительно модифицированных функционалов скалярной кривизны нашли в работах Х. Лоре [277, 278, 279] и С. Уилл [372]. Далее мы рассмотрим применения сформулированного выше вариационного принципа для доказательства существования инвариантных метрик Эйнштейна на компактных однородных пространствах.

4.4

Доказательства существования инвариантных метрик Эйнштейна с помощью вариационного подхода

Впервые вариационный подход для нахождения инвариантных эйнштейновых метрик был использован Г. Йенсеном в работе [241]. В этой работе Г. Йенсен нашел множество новых примеров левоинвариантных метрик Эйнштейна на полупростых группах Ли. В настоящее время вариационный подход является одним из основных методов при классификации инвариантных метрик Эйнштейна на конкретных однородных пространствах. В этом параграфе мы рассмотрим лишь те результаты, которые относятся к доказательству существования инвариантных метрик на некоторых классах однородных компактных пространств. В работе [367] М. Ван и В. Циллер продемонстрировали как, используя вариационный принцип, можно доказывать существование метрик Эйнштейна исходя из глобальных свойств функционала скалярной кривизны. Например, существование точки глобального максимума (минимума) влечет, очевидно, существование соответствующей метрики Эйнштейна. В некоторых случаях удается установить глобальные свойства интересующего нас функционала, рассмотрим некоторые из них. Следуя [367], приведем необходимые конструкции. Определение 4.4.1. Гладкую функцию f : M → R, заданную на гладком многообразии M , будем называть правильной, если для любых вещественных чисел a < b множество f −1 ([a, b]) является компактом. Отметим, что ограниченная сверху (снизу) правильная функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. Пусть G — компактная связная группа Ли, H — ее замкнутая подгруппа такая, что G действует эффективно на однородном пространстве M = G/H. Обозначим через MG,1 множество G-инвариантных метрик объема 1 на M и через B — форму Киллинга алгебры g. Зафиксируем некоторую биинвариантную метрику ρ на G такую, что индуцированная ρ нормальная метрика на G/H имеет объем 1. Пусть Q – Ad(G)-инвариантное скалярное произведение на g, порождающее метрику ρ на G. Рассмотрим Ad(H)инвариантное разложение g = h ⊕ p с условием Q(h, p) = 0. Как и прежде, множество G-инвариантных метрик на G/H мы отождествляем с множеством Ad(H)инвариантных скалярных произведений на p. Рассмотрим теперь произвольную Ad(H)-инвариантную метрику h·, ·i. Существует Ad(H)-инвариантное разложение p = p1 ⊕ ... ⊕ pr ⊕ p0 , где Ad(H)|pi действует неприводимо для i = 1, 2, ..., r, Ad(H)|p0 = Id, p0 в свою очередь раскладывается в сумму одномерных модулей p0 = pr+1 ⊕...⊕ps , кроме того, h·, ·i = x1 Q|p1 ⊥ · · · ⊥ xs Q|ps , xi > 0 . Это разложение получается при одновременной диагонализации пары квадратичных форм h·, ·i и Q. Понятно, что такое разложение p может быть не единственным, но каждое Ad(H)-инвариантное скалярное произведение содержится в некотором семействе “диагональных” метрик. 42

Укажем теперь формулу для скалярной кривизны метрики h·, ·i. Для этого выберем в каждом модуле pi ортонормированный базис относительно Q: e1i , e2i , ..., edi i , где di = dim pi . Для каждой тройки модулей pi , pj , pk рассмотрим величину X [ijk] = ([eαi , eβj ], eγk )2 , α,β,γ

где α, β, γ изменяются от 1 до di , dj , dk соответственно. Заметим, что символы [ijk] симметричны по всем трем индексам, что следует из Ad(G)-инвариантности Q, и не {eji }, хотя и зависят от выбора декомпозиции зависят от выбора базисных векторов n o p. Очевидно, что базис √1xi eji является ортонормированным относительно метрики h·, ·i, теперь, вычисляя скалярную кривизну, получаем s

S(h·, ·i) =

1 X di bi 1 X xk − [ijk] , 2 i=1 xi 4 i,j,k xi xj

(4.1)

где −B|pi = bi · Q|pi . Нетрудно понять, что bi ≥ 0 и bi = 0 тогда и только тогда, когда pi ⊂ Z(g) (Z(g) – центр алгебры g), [ijk] ≥ 0, причем равенство [ijk] = 0 равносильно s Q xdi i = 1. тому, что Q([pi , pj ], pk ) = 0. Условие на сохранение объема имеет вид i=1

В ряде случаев формулы (4.1) вполне достаточно для изучения глобальных свойств функционала S на множестве MG,1 . Например, с ее помощью были получены следующие утверждения. Теорема 4.4.1 ([367]). Функционал скалярной кривизны S ограничен снизу на MG,1 тогда и только тогда, когда универсальная накрывающая G/H является произведением нескольких изотропно неприводимых однородных пространств и Rk , где k ≥ 0. Кроме того, правильность функции S равносильна тому, что k = 0. Если k = 0, то S имеет единственную критическую точку, которая является произведением единственных метрик Эйнштейна на каждом из сомножителей, и S ограничен снизу некоторой положительной константой. Если k ≥ 1, то S имеет критическую точку только при условии, что G/H является тором. Теорема 4.4.2 ([367]). Функционал скалярной кривизны S ограничен сверху и правилен (как функция) на MG,1 тогда и только тогда, когда H является максимальной связной подгруппой G, или, что эквивалентно, h является максимальной подалгеброй в g. В этом случае S достигает глобального максимума, который определяет G-инвариантную метрику Эйнштейна на G/H. Используя последнюю теорему, М. Ван и В. Циллер нашли в [367] несколько серий инвариантных метрик Эйнштейна. Поскольку теорема является теоремой существования, то успешное ее применение оказалось возможным лишь в тех случаях, когда на рассматриваемом однородном пространстве ранее не были известны явные примеры метрик Эйнштейна. В противном случае нельзя утверждать, что метрика, реализующая глобальный максимум функционала S, не совпадает с одной из известных. В дополнение к приведенным ранее результатам сформулируем еще одно утверждение из работы [367]. Теорема 4.4.3 ([367]). Функционал скалярной кривизны S ограничен сверху на множестве MG,1 , но не является правильным тогда и только тогда, когда S 1 · H является подгруппой G и G/H · S 1 – компактное неприводимое эрмитово симметрическое пространство отличное от SO(n + 2)/SO(n) × SO(2), где n ≥ 2. 43

Рассмотрим еще один метод доказательства существования однородных эйнштейновых метрик, который основан на устойчивости невырожденной критической точки и был использован в работе Ю.Г. Никонорова [308]. Пусть K — компактная полупростая группа Ли, G = K n , A — максимальный тор в K, T = An . Рассмотрим λ = (λ1 , λ2 , ..., λn ) ∈ Rn — некоторый вектор единичной длины с рациональными координатами. Этот вектор определяет вложение алгебры a группы Ли A в алгебру t группы Ли T следующим образом: произвольный вектор X ∈ a переходит в вектор (λ1 X, λ2 X, ..., λn X) ∈ t. Пусть hλ — ортогональное дополнение к образу данного вложения в алгебре t, которое берется относительно формы Киллинга алгебры g группы G, и Hλ — аналитическая подгруппа в группе G с алгеброй hλ . Нас интересуют инвариантные метрики Эйнштейна на однородных пространствах G/Hλ . Отметим, что эти пространства можно представить как торические расслоения со слоем A над произведением n копий флагового пространства K/A. Обозначим через MK/A,1 (соответственно MK,A,1 ) множество K-инвариантных и одновременно Ad(A)-инвариантных метрик объема 1 на K/A (на K). Справедлива следующая Теорема 4.4.4 ([308]). Пусть K — компактная полупростая группа Ли, и A — максимальный тор в K. Если функционал скалярной кривизны S имеет невырожденные критические точки на множествах MK/A,1 и MK,A,1 , то существует бесконечно много попарно неизометричных и негомотетичных эйнштейновых инвариантных метрик на однородных пространствах G/Hλ . Основная идея доказательства этой теоремы заключается в том, что функционал скалярной кривизны S, ограниченный на множество инвариантных метрик объема 1 на пространствах G/Hλ близок (при λ близких к вектору (1, 0, 0, ..., 0)) к некоторой функции, имеющей невырожденную критическую точку. Стандартные топологические рассуждения с использованием понятия индекса невырожденной критической точки показывают, что S имеет критические точки (являющиеся инвариантными метриками Эйнштейна) на множестве инвариантных метрик объема 1 для бесконечного числа пространств G/Hλ . В работе [308] приводятся конкретные примеры бесконечных серий однородных метрик Эйнштейна, построенные с помощью вышеприведенной теоремы. Идеи работы [367] о применении вариационного подхода были развиты в работе К. Боема, М. Вана и В. Циллера [186]. В этой работе авторы применяют теорию Люстерника-Шнирельмана для обнаружения инвариантных эйнштейновых метрик, которые соответствуют седловым критическим точкам функционала скалярной кривизны S, рассматриваемого на множестве MG,1 . Рассмотрим более подробно некоторые из результатов этой работы. Для каждого связного однородного пространства G/H с компактными группами G и H в работе [186] определяется граф ΓG/H . Пусть k — собственная подалгебра g размерности d, для которой h является собственной подалгеброй. Будем, следуя [186], называть такие подалгебры промежуточными. В грассманиане Gd (g) d-мерных подпространств g рассмотрим Ad — множество всех d-мерных Ad(H)-инвариантных промежуточных подалгебр алгебры g. Множество Ad является компактным подмножеством в Gd (g). Через [k] будем далее обозначать связную компоненту множества Ad , содержащую k. Определение 4.4.2. Граф ΓG/H однородного пространства G/H определяется следующим образом. Вершинами этого графа являются компоненты связности вида [k], где k — произвольная Ad(H)-инвариантная промежуточная подалгебра. Полагаем, что вершины [k1 ] и [k2 ] соединены ребром тогда и только тогда, когда некоторая 44

подалгебра из [k1 ] содержит (или содержится) в некоторой подалгебре из [k2 ]. Граф ΓG/H может оказаться пустым или несвязным. Будем называть компоненту графа ΓG/H аторической, если она содержит вершину [k] с алгеброй k такой, что [pk , pk ] 6= 0, где pk определяется из равенства k = h ⊥ pk . В противном случае компоненту графа ΓG/H будем называть торической. Приведем два результата из работы [186]. Теорема 4.4.5 (К. Боем - М. Ван - В. Циллер [186]). Пусть G/H — компактное связное однородное пространство. Если граф ΓG/H содержит по крайней мере две аторические компоненты, то G/H допускает G-инвариантную метрику Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Для некоторых однородных пространств условие аторичности компонент графа может быть снято. Теорема 4.4.6 (К. Боем - М. Ван - В. Циллер [186]). Пусть G/H — компактное однородное пространство с конечной фундаментальной группой и связными группами G и H. Если граф ΓG/H содержит по крайней мере две компоненты, то G/H допускает G-инвариантную метрику Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Отметим, что в работе [186] детально исследуются свойства графа ΓG/H для некоторых классов однородных пространств G/H, а также рассматривается множество примеров, иллюстрирующих эти свойства. Пример 4.4.1 ([186]). Рассмотрим компактное однородное пространство G/H, где G = SO(2n2 + n), n ≥ 2, H = SO(3), и группа изотропии H вложена в группу K = Sp(n)/Z2 посредством 2n-мерного унитарного представления группы SU (2), в то время как K вложена в G с помощью присоединенного представления. Можно показать, что ΓG/H имеет по крайней мере две компоненты. Таким образом, согласно теореме 4.4.6, пространство G/H допускает инвариантную метрику Эйнштейна. Необходимо отметить, что представление изотропии этого пространства распадается в сумму (4n2 + 7n + 6)(n − 1)/6 неприводимых слагаемых, поэтому найти явное выражение для инвариантной эйнштейновой метрики при больших значениях n невозможно. В недавней работе [182] К. Боем ввел для каждого компактного однородного пространства G/H с конечной фундаментальной группой некоторый симплициальный комплекс. Предположим, что группы G и H связны. Пусть T — максимальный тор компактного дополнения H в NG (H) — нормализаторе H в группе Ли G (если dim NG (H) = dim H, то полагаем T = {e}). Существует лишь конечное множество связных подгрупп Ли K в G с условием T H ( K ( G. Это множество частично упорядочено по отношению включения, следовательно, в нем существует конечное число ∗ . Далее рассмотрим минимальных элементов, которые мы обозначим K1∗ , K2∗ , . . . , Km все собственные подгруппы Ли Kα = hKα∗1 , Kα∗2 , . . . , Kα∗m i в G, порожденные группами Ki∗ , 1 ≤ p = |α| ≤ m, и все флаги Kβ1 < Kβ2 < · · · < Kβr таких подгрупп с условием Kβi ( Kβi+1 . Симплициальным комплексом ∆G/H однородного пространства G/H мы назовем соответствующий комплекс флагов. Таким образом, флаги Kβ длины 1 соответствуют вершинам этого комплекса, флаги 45

Kβ1 < Kβ2 длины 2 соответствуют его ребрам и т. д. Приведем теперь один из основных результатов работы [182]. Теорема 4.4.7 (К. Боем [182]). Пусть G/H — компактное однородное пространство со связными группами G и H. Если симплициальный комплекс ∆G/H не стягиваем, то G/H допускает G-инвариантную метрику Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Представляет также интерес достаточное условие существования инвариантной метрики Эйнштейна в терминах приведенных гомологий симплициальных комплексов. Определение 4.4.3. Пусть G/H — компактное односвязное однородное пространство со связной односвязной и полупростой группой G. Тогда G/H называется простым однородным пространством, если нормализатор NG (H) группы H в G и сама группа H имеют одинаковые ранги. Произвольное связное однородное пространство G/H со связной односвязной и полупростой группой движений G является либо произведением простых однородных пространств, либо тотальным пространством торического расслоения над таким произведением. В обоих случаях множители в таком произведении называются простыми факторами компактного однородного пространства G/H. Справедлива следующая Теорема 4.4.8 (К. Боем [182]). Пусть G/H — компактное односвязное однородное пространство со связной односвязной и полупростой группой G. Предположим, что существует поле F такое, что приведенные гомологии с коэффициентами из F симплициальных комплексов всех простых факторов пространства G/H нетривиальны. Тогда G/H допускает G-инвариантную метрику Эйнштейна. Помимо приведенной выше теорем в работе [182] более детально исследуются свойства симплициальных комплексов для компактных однородных пространств различных типов. Полученные в этой работе результаты позволяют доказывать существование инвариантных метрик Эйнштейна на различных классах однородных пространств, для которых явное нахождение инвариантной эйнштейновой метрики практически невозможно в силу наличия большого количества неприводимых слагаемых в представлении изотропии. Например, в [182] показано, что пространства G/H = SO(a1 + a2 + · · · + ar )/SO(a1 ) × SO(a2 ) × · · · × SO(ar ) при r ≥ 2 и a1 , a2 , . . . , ar ≥ 3, а также пространства G/H = Sp(a1 + a2 + · · · + ar )/Sp(a1 ) × Sp(a2 ) × · · · × Sp(ar ) при r ≥ 2 и a1 , a2 , . . . , ar ≥ 1 допускают инвариантные эйнштейновы метрики.

4.5

Однородные многообразия Эйнштейна с киллинговой метрикой

Как уже отмечалось, многообразиями Эйнштейна с киллинговой метрикой являются компактные изотропно неприводимые пространства, в частности, компактные симметрические неприводимые пространства. В работе [366] М. Ван и В. Циллер доказали, что для эффективного однородного пространства G/H с G компактной простой, H компактной, метрика Киллинга ρ0 46

является эйнштейновой тогда и только тогда, когда оператор Казимира представления изотропии χ пропорционален тождественному оператору. Пользуясь данным критерием и элементами теории представлений, М. Ваном и В. Циллером была получена классификация компактных однородных киллинговых многообразий с метрикой Эйнштейна и простой группой движений G [366]. Этот замечательный результат подробно изложен в книге [22], поэтому мы не будем здесь излагать детали соответствующей классификации. Условие эйнштейновости метрики Киллинга ρ0 на однородном пространстве G/H с G связной, компактной, полупростой, но не простой, изучалось в работах [108, 104, 106, 109, 110, 311, 320, 81]. В частности, в работах [108, 109] Е. Д. Родионовым было доказано, что если G/H — односвязное эффективное однородное пространство, G — связная компактная полупростая, но не простая, H — замкнутая, простая подгруппа G, то метрика Киллинга ρ0 эйнштейнова в том и только том случае, если G = H × . . . × H, diag : H ⊂ G — диагональное вложение, G/H = H × . . . × H/ diag H. В работах [110, 311] Ю. Г. Никоноровым и Е. Д. Родионовым были построены бесконечные семейства однородных пространств G/H с компактными полупростыми группами G и H, метрика Киллинга которых является эйнштейновой. Приведем типичные примеры из этих работ, показывающие как действует общая конструкция. Рассмотрим вложения H = K × L ⊂ (K × . . . × K) × L ⊂ K × . . . × K × G0 = G, где первое вложение имеет вид diag × Id (K берем t раз), второе Id × . . . Id ×π, π : K × L ⊂ G0 — некоторое вложение, G0 , K, L — компактные связные простые группы Ли. Теорема 4.5.1 ([110]). Пусть пара (g0 , k ⊕ l) является компактной неприводимой симметрической или компактной несимметрической строго изотропно неприводимой. Тогда пространство (G/H, ρ0 ) является эйнштейновым многообразием в том и только том случае, если алгебры Ли g0 , k, l содержатся в таблице 4. Таблица 4 g0 so(n + m)

k

l

Уравнения Эйнштейна

so(n)

so(m)

n2 + (t − 5)n + 6 − 2t = = m{m + (n − 2)(t − 1)}

sp(n + m)

sp(n)

2n2 + (5 − t)n + 3 − t =

sp(m)

= 2m{(t − 1)(n + 1) + m} so(4n)

sp(n)

sp(1)

метрика эйнштейнова при t = 11, n = 8

e6

g2

su(3)

метрика эйнштейнова при t=2

Замечание. Уравнения, приведенные в таблице 4, полностью решены и имеют бесконечно много решений при m, n, t ∈ N, m, n ≥ 1 [110, 311]. Алгебраическая структура однородных киллинговых многообразий с метрикой Эйнштейна изучалась в [108, 104, 81]. 47

Таблица 5 №

Gi

K

Li

(p, q, n, m)

λ

(m − n)(p − 2)(q − 1)+ 1

SO(p + q)

SO(p)

SO(q)

+n(p + q − 2)(q − 1) =

(p−3)(p+q−2) (p−2)(q−1)

= (p − 3)(p + q − 2) (m − n)(p + 1)(2q + 1)+ 2

Sp(p + q)

Sp(p)

Sp(q)

n(p + q + 1)(2q + 1) =

(2p+3)(p+q+1) (p+1)(2q+1)

= (2p + 3)(p + q + 1) 3

SO(4p)

Sp(p)

Sp(1)

(p, n, m) = (6s + 2, s, 9s + 2)

(6s+2)(4s+1) 2s+1

4

SO(4p)

Sp(p)

Sp(1)

(p, n, m) = (2s, s, s)

2s(4s−1) 2s+1

5

E6

G2

SU (3)

(n, m) = (1, 2)

4

6

E8

E7

SU (2)

(n, m) = (2, 7)

9

Имеет место классификация некоторого специального класса многообразий Эйнштейна с киллинговой метрикой. Приведем соответствующий результат, полученный Ю. Г. Никоноровым [81] и обобщающий теорему 4.5.1. Теорема 4.5.2 ([81]). Пусть (G/H, ρB ) — связное неприводимое однородное эйнштейново многообразие с киллинговой метрикой, задающееся вложениями H = K × L1 ... × Ln ⊂ |K × {z ... × K} ×L1 × ... × Ln ⊂ K ... × K} ×G1 × ... × Gn = G, | × {z m

m−n

где K, Li , и Gi — простые группы Ли, первое и второе вложения имеют вид diag(K) × Id ... × Id и Id | ×... {z × Id} ×π1 × ... × πn m−n

соответственно, и где πi : K × Li → Gi — некоторые вложения такие, что пары (Gi , πi (K × Li )) являются либо неприводимыми симметрическими, либо несимметрическими строго изотропно неприводимыми. Тогда для (G/H, ρB ) выполняется одно из следующих условий: 1) (G/H, ρB ) — симметрическое неприводимое с простой группой G; 2) (G/H, ρB ) — несимметрическое строго изотропно неприводимое с простой группой G; 3) (G/H, ρB ) определяется вложениями H = Sp(1) × Sp(3) × Sp(3) ⊂ (Sp(1) × Sp(1)) × Sp(3) × Sp(3) ⊂ Sp(4) × SO(12) = G, где первое вложение имеет вид diag(K) × Id × Id, второе — π1 × π2 , причем вложение π1 : Sp(1) × Sp(3) → Sp(4) определяет симметрическую пару, а вложение π2 : Sp(1) × Sp(3) → SO(12) — изотропно неприводимую; 4) (G/H, ρB ) — одно из пространств, перечисленных в таблице 5. Через λ в таблице 5 обозначена величина c−1 , где c — константа Казимира соответствующего эйнштейнового многообразия с метрикой Киллинга. 48

Замечание. Заметим, что все натуральные решения уравнения (t = m − n) t(p − 2)(q − 1) + n(p + q − 2)(q − 1) = (p − 3)(p + q − 2) имеют вид q=

w − 2n − 2 + 1, (n + t − 1)2 + 4n

p=

v + (n + t − 1)k + 2, 2

где числа w и v являются решениями уравнения w2 − ((n + t − 1)2 + 4n)v 2 = −4t(2n + t − 2). Совершенно аналогично, все натуральные решения уравнения t(p + 1)(2q + 1) + n(p + q + 1)(2q + 1) = (2p + 3)(p + q + 1) имеют вид q=

w + 2n + 2 1 − , 2 2((n + t − 1) + 4n) 2

p=

v + (n + t − 1)k − 1, 4

где числа w и v являются решениями того же уравнения w2 − ((n + t − 1)2 + 4n)v 2 = −4t(2n + t − 2), что и в ортогональном случае. В работах [108, 104] была установлена связь между однородными киллинговыми многообразиями с метрикой Эйнштейна и тройными алгебрами Эйнштейна. Приведем основные конструкции, показывающие эту связь, в неприводимом (по де Раму) римановом случае. Следуя А. Сейглу [333], дадим Определение 4.5.1. Тройная алгебра Ли (L.t.a) — это антикоммутативная алгебра (A, ◦) над полем F с трилинейной операцией A × A × A 3 (X, Y, Z) 7→ [X, Y, Z] ∈ A и аксиомами: (1) [X, X, Y ] = 0, (2) σ{[X, Y, Z] − (X ◦ Y ) ◦ Z} = 0, (3) σ{[X ◦ Y, Z, U ]} = 0, (4) [X, Y, U ◦ W ] = [X, Y, U ] ◦ W + W ◦ [X, Y, U ], (5) [U,W,[X,Y,Z]] = [[U,W,X],Y,Z] + [X,[U,W,Y ],Z] + [X,Y,[U,W,Z]], где σ — циклическая сумма по X, Y, Z ∈ A. Рассмотрим теперь редуктивное однородное пространств M = G/H и соответствующее редуктивное разложение g = h ⊕ p. Определим на p две операции: X ∗ Y = [X, Y ]p , I(X, Y, Z) = −[[X, Y ]h , Z] = −[h(X, Y ), Z],

X, Y, Z ∈ p.

Тогда (p, ∗, I) есть конечномерная антикоммутативная алгебра над R с тождествами, получаемыми из тождеств Якоби при проекциях на p и h. Более того, тройка (p, ∗, I) становится L.t.a. Мы назовем ее тройной алгеброй Ли редуктивного однородного пространства M = G/H. 49

Определение 4.5.2. Симметрическая билинейная форма Q(X, Y ) на (p, ∗) называется ∗-инвариантной, если Q(Z ∗ Y, X) + Q(Z ∗ X, Y ) = 0 для всех X, Y, Z ∈ p. Определение 4.5.3. Конечномерная L.t.a. (A, ∗, I) над R с ∗-инвариантным скалярным произведением Q называется тройной алгеброй Эйнштейна (E.t.a.), если для любого Q-ортонормированного базиса {Xi } алгебры A и каждого X ∈ A имеем X X∗ I(X, Xi , Xi ) = 0. i

С учетом данных обозначений справедлива [104] Теорема 4.5.3. Пусть (G/H,ρ0 ) — компактное односвязное неприводимое (по де Раму) киллингово однородное многообразие. Тогда (G/H,ρ0 ) эйнштейново тогда и только тогда, когда L.t.a. (p, ∗, I) пространства G/H является тройной алгеброй Эйнштейна. Замечание. Приводимый случай подробно исследован в [104]. Рассмотрим некоторые примеры тройных алгебр Эйнштейна. Пример 4.5.1. Если (G/H, ρ0 ) — компактное неприводимое симметрическое пространство с H 6= {e}, то g = h ⊥0 p, p ∗ p = 0, и значит (p, ∗, I) — тройная алгебра Эйнштейна. Пример 4.5.2. Пусть (G, ρG ) — компактная простая группа Ли с биинвариантной римановой метрикой. Тогда (g, [·, ·]) = (p, ∗), а I ≡ 0. Следовательно, (p, ∗, I ≡ 0) — тройная алгебра Эйнштейна, а (G, ρG ) — эйнштейново многообразие. Пример 4.5.3. Еще один класс тройных алгебр Эйнштейна дают изотропно неприводимые пространства, а также однородные киллинговы пространства с метрикой Эйнштейна и простой группой движений. Пример 4.5.4. Известно, что киллингово однородное многообразие Леджера — Обаты (G × . . . × G/ 4 G, ρ0 ), (где G — компактная простая группа Ли, а 4G — диагональное вложение) является неприводимым (по де Раму) эйнштейновым многообразием. Значит его L.t.a. (p, ∗, I) есть тройная алгебра Эйнштейна. Пользуясь инвариантностью формы Киллинга на простых компактных алгебрах Ли и алгебрах Мальцева, построим два примера однородных эйнштейновых многообразий. Пример 4.5.5. Пусть (m, ∗) — простая компактная алгебра Ли. Тогда Der(m, ∗) = Int(m, ∗), более того, ϕ : Int(m, ∗) 7−→ (m, ∗), где ϕ : m 3 X 7→ ad X — изоморфизм. Положим I(X, Y, Z) = (X ∗ Y ) ∗ Z, X, Y, Z ∈ m. Тогда (m, ∗, I) есть тройная алгебра Ли. Рассмотрим алгебру Номидзу, или стандартную обертывающую алгебру Ли для L.t.a. (m, ∗, I): ˙ Der(m, ∗); g = m+ ˙ [X, Y ] = X ∗ Y +D(X, Y ), где D(X, Y )Z = I(X, Y, Z), X, Y, Z ∈ m; [D, X] = −[X, D] = D(X), X ∈ m, D ∈ Der(m, ∗); [B, D] = BD − DB, B, D ∈ Der(m, ∗). Пусть G и H — компактные связные группы Ли алгебр G и Der(m, ∗) соответственно, H ⊂ G. Полагая (X, Y )0 = − tr ad X◦ad Y , имеем ([Z, X], Y )0 +([Z, Y ], X)0 = 0 для всех X, Y, Z ∈ m. Так как для A ∈ Der(m, ∗) найдется ZA ∈ m такая, что A(X) = [ZA , X] для всех X ∈ m, значит, (·, ·)0 является Ad(H)-инвариантным 50

скалярным произведением. Более того, соответствующая G-инвариантная метрика ρ0 на G/H естественно-редуктивна (U (X, Y ) ≡ 0), а значит R(X, Y )Z = 1 X ∗ (Y ∗ Z) − 14 Y ∗ (X ∗ Z) − 12 (X ∗ Y ) ∗ Z − D(X, Y )Z для всех X, Y, Z ∈ m. Из этого 4 факта и тождества Якоби имеем R(X, Y )Z = 54 Z ∗ (X ∗ Y ) для всех X, Y, Z ∈ m; Kσ (X, Y ) = 54 kX ∗ Y k20 для X, Y ∈ m, (X, Y )0 = 0, kXk0 = kY k0 = 1; Ric(X) = 54 для X ∈ m, kXk0 = 1. Замечание. Аналогичная конструкция, примененная к простой алгебре Мальцева C 7 = (m, ∗), дает изотропно неприводимое пространство Spin(7)/G2 . Замечание. Кроме того, в работе [104] исследовалась связь между тройными Sалгебрами и однородными многообразиями Эйнштейна, а также изучались киллинговы однородные пространства с симметриями конечного порядка и метрикой Эйнштейна. В связи с вышеприведенными результатами возникает два вопроса. Проблема 9. Классифицировать компактные односвязные однородные многообразия M = G/H (c компактными полупростыми G и H), метрика Киллинга которых является эйнштейновой. Проблема 10. Классифицировать конечномерные тройные алгебры Эйнштейна над полем вещественных чисел.

4.6 4.6.1.

Компактные многообразия Эйнштейна специального вида Эйнштейновы инвариантные метрики на пространствах Алоффа – Берже – Уоллача и их обобщениях

Другим важным примером однородных пространств Эйнштейна с ограничениями алгебраического характера на однородное пространство G/H являются однородные пространства Алоффа – Берже – Уоллача с простой группой движений и с соответствующими однородными метриками Эйнштейна. Данные по этой классификации приведены в таблице 6. Таблица 6 G

H

dim G/H

Число инвариантных метрик Эйнштейна с точностью до изометрии и гомотетии

Sp(2)

SU (2)

7

1

SU (5)

Sp(2) × S 1

13

2

SU (3)

S1

7

2

SU (3)

T2

6

2

Sp(3)

Sp(1)3

12

2

F4

Spin(8)

24

2

Замечание. Однородное пространство Sp(2)/SU (2) является изотропно неприводимым. Классификация однородных метрик Эйнштейна пространств SU (5)/Sp(2)× 51

S 1 , SU (3)/T 2 , Sp(3)/Sp(1)3 , F4 / Spin(8) получена в работах Д’Атри-Никерсона и Е. Д. Родионова [103, 102, 204]. Наконец, однородные метрики Эйнштейна на SU (3)/S 1 изучались в [370, 267, 80]. Однородные эйнштейновы метрики на обобщенных пространствах Уоллача, т. е. на пространствах с разложением изотропии, аналогичным разложению изотропии пространств Уоллача, изучались в [67, 78]. Приведем некоторые результаты из этих работ. Пусть G/H — однородное компактное пространство с полупростой связной группой движений G, действующей почти эффективно на G/H, и ее замкнутой подгруппой H. Через g и h обозначим алгебры Ли групп G и H соответственно. Пусть g = h ⊕ p, где p — ортогональное дополнение к h относительно формы Киллинга Bg алгебры Ли g. Определение 4.6.1. Будем называть однородное пространство G/H обобщенным пространством Уоллача, если модуль p представим в виде прямой суммы трех попарно ортогональных, относительно формы Киллинга Bg , Ad(H)-инвариантных неприводимых подмодулей: p = p1 ⊕p2 ⊕p3 , удовлетворяющих соотношениям [pi , pi ] ⊂ h для i ∈ {1, 2, 3}. Замечание. Ранее, в работе [67] обобщенные пространства Уоллача названы трилокально-симметрическими. Известно множество примеров пространств с описанным свойством. К ним относятся, в частности, многообразия флагов: SU (3)/Tmax , Sp(3)/Sp(1) × Sp(1) × Sp(1), F4 /Spin(8) (пространства Уоллача). Примерами обобщенных пространств Уоллача также являются C -пространства Кэлера: SU (n1 + n2 + n3 )/S(U (n1 ) × U (n2 ) × U (n3 )), SO(2n)/U (1) × U (n − 1),

E6 /U (1) × U (1) × Spin(8).

Инвариантные эйнштейновы метрики на указанных пространствах классифицированы в работе [252]. Каждое из перечисленных пространств допускает, с точностью до пропорциональности, четыре инвариантные эйнштейновы метрики, одна из которых является кэлеровой для подходящей комплексной структуры на пространстве G/H. Другой подход для пространств SU (n1 +n2 +n3 )/S(U (n1 )×U (n2 )×U (n3 )) содержится в работе [152]. Примерами обобщенных пространств Уоллача являются также пространства SO(l + m + n)/SO(l) × SO(m) × SO(n), Sp(l + m + n)/Sp(l) × Sp(m) × Sp(n), группа Ли SU (2) (H = {e}). Будучи трехмерной группа SU (2) допускает лишь одну левоинвариантную метрику Эйнштейна – метрику постоянной секционной кривизны [22]. Для общего случая мы располагаем следующим утверждением. Теорема 4.6.1 (Ю. Г. Никоноров [78]). Каждое обобщенное пространство Уоллача допускает инвариантную метрику Эйнштейна. Понятно, что этот результат неулучшаем в общем случае, что демонстрирует пример группы SU (3). Тем не менее, для большого класса обобщенных пространств Уоллача можно доказать существование нескольких инвариантных метрик Эйнштейна, чему и посвящена работа [67]. В частности, в [67] доказано, что на обобщенном пространстве Уоллача G/H, для которого неприводимые модули pi в разложении изотропии попарно не изоморфны, существует от одной до четырех инвариантных метрик Эйнштейна, с точностью до изометрии и гомотетии. В этой же работе доказываются более точные результаты для некоторых более узких классов обобщенных 52

пространств Уоллача, а также рассматриваются многочисленные примеры. Приведем в заключение один из них. Пример 4.6.1 ([67]). На однородном пространстве Sp(l+m+n)/Sp(l)×Sp(m)×Sp(n) для произвольных l ≥ 1, m ≥ 1 и n ≥ 1 существует ровно четыре, с точностью до пропорциональности, инвариантных метрики Эйнштейна. 4.6.2.

Инвариантные эйнштейновы метрики на симметрических пространствах

Хорошо известно, что компактные симметрические пространства с киллинговой метрикой являются однородными эйнштейновыми многообразия. Их классификация была проведена Э. Картаном [128]. В этом параграфе мы рассмотрим компактные симметрические пространства, представленные в виде M = G/H, где группа G = Isom0 (M ) является простой. В ряде случаев существует некоторая замкнутая подгруппа G0 ⊂ G, действующая на M транзитивно. Тогда мы имеем представление M = G0 /H 0 , где через H 0 обозначена соответствующая группа изотропии. В силу того, что группа G0 меньше G, есть надежда найти на рассматриваемом пространстве несимметричные G0 -инвариантные метрики Эйнштейна. Соответствующие исследования были проведены В. Циллером [382] в случае симметрических пространств ранга 1 и М. Керр [249] для неприводимых пространств ранга ≥ 2. Заметим, что для симметрического пространства ранга 1 любая группа Ли G, действующая на M транзитивно и эффективно, сопряжена некоторой подгруппе группы Isom0 (M ). Аналогичное утверждение для пространств ранга ≥ 2 хотя и представляется вполне вероятным, но пока остается недоказанным. В 1962 году А. Л. Онищик классифицировал простые компактные алгебры Ли g, обладающие подалгебрами g0 и g00 со свойством g = g0 +g00 [88]. Пусть G – односвязная компактная группа Ли, соответствующая алгебре g, а G0 и G00 – ее подгруппы, соответствующие подалгебрам g0 и g00 . Тогда G/G0 = G00 /(G0 ∩ G00 ) и G/G00 = G0 /(G0 ∩ G00 ). В случае, когда G/G0 или G/G00 является симметрическим пространством, классификация А. Л. Онищика дает нам все подгруппы G, действующие на симметрическом пространстве транзитивно. SO(2n)/SO(2n − 1) = U (n)/U (n − 1) = S 2n−1 , SO(2n)/SO(2n − 1) = SU (n)/SU (n − 1) = S 2n−1 , SO(4n)/SO(4n − 1) = Sp(n)/Sp(n − 1) = S 4n−1 , SO(4n)/SO(4n − 1) = Sp(n)U (1)/Sp(n − 1)U (1) = S 4n−1 , SO(4n)/SO(4n − 1) = Sp(n)Sp(1)/Sp(n − 1)Sp(1) = S 4n−1 , SO(7)/SO(6) = G2 /SU (3) = S 6 , SO(8)/SO(7) = Spin(7)/G2 = S 7 , SO(16)/SO(15) = Spin(9)/Spin(7) = S 15 , SU (2n)/U (2n − 1) = Sp(n)/Sp(n − 1)U (1) = CP2n−1 , SO(2n)/U (n) = SO(2n − 1)/U (n − 1) = = пространство ортогональных комплексных структур на R2n , SU (2n)/Sp(n) = SU (2n − 1)/Sp(n − 1) = 53

= пространство ортогональных кватернионных структур на C2n , 7 SO(7)/SO(2)SO(5) = G2 /U (2) = G+ 2 (R ), 8 SO(8)/SO(3)SO(5) = Spin(7)/SO(4) = G+ 3 (R ).

Первые девять примеров в этом списке соответствуют компактным симметрическим пространствам ранга 1. Справедлива следующая Теорема 4.6.2 (В. Циллер [382]). Пусть M = G/H – компактное симметрическое пространство ранга 1, G0 – замкнутая подгруппа группы G, действующая на M транзитивно. Количество несимметрических G0 -инвариантных метрик Эйнштейна на пространстве M , рассматриваемых с точностью до изометрии и подобия, определяется в таблице 7. Таблица 7 Количество N

G/H

G0 /H 0

несимметрических метрик Эйнштейна

1

SO(2n)/SO(2n − 1)

U (n)/U (n − 1)

0

2

SO(2n)/SO(2n − 1)

SU (n)/SU (n − 1)

0

3

SO(4n)/SO(4n − 1)

Sp(n)/Sp(n − 1)

1

4

SO(4n)/SO(4n − 1)

Sp(n)U (1)/Sp(n − 1)U (1)

1

5

SO(4n)/SO(4n − 1)

Sp(n)Sp(1)/Sp(n − 1)Sp(1)

1

6

SO(7)/SO(6)

G2 /SU (3)

0

7

SO(8)/SO(7)

Spin(7)/G2

0

8

SO(16)/SO(15)

Spin(9)/Spin(7)

1

9

SU (2n)/U (2n − 1)

Sp(n)/Sp(n − 1)U (1)

1

Несимметрическая метрика, указанная в строках 3, 4 и 5 таблицы 7, найдена Г. Йенсеном [241], эта метрика положительной секционной кривизны K, удовлетворяющая условию δ ≤ K ≤ 1, где δ = 1/(2n + 1)2 . Метрика указанная в строке 6, была найдена ранее Дж. Бургиньоном и Х. Карчером [191]. Ее секционная кривизна удовлетворяет условию δ ≤ K ≤ 1, где δ = 9/121. Метрика, указанная в строке 9 впервые найдена в [381]. Она имеет секционную кривизну с условием δ ≤ K ≤ 1, где δ = 1/4n2 . Эти три несимметрические метрики могут быть получены из стандартной метрики на тотальном пространстве расслоений Хопфа S 3 → S 4n−1 → HPn−1 , S 7 → S 15 → S 8 , S 2 → CP2n−1 → HPn−1 путем умножения метрики на касательном пространстве к слою на подходящую константу α < 1. Приведем теперь аналогичную теорему для симметрических пространств ранга больше 1. 54

Теорема 4.6.3 (М. Керр [249]). Пусть M = G/H – компактное неприводимое симметрическое пространство ранга ≥ 2, не изометричное группе Ли с биинвариантной метрикой; G0 – замкнутая подгруппа группы G, действующая на M транзитивно. Количество несимметрических G0 -инвариантных метрик Эйнштейна на пространстве M , рассматриваемых с точностью до изометрии и подобия, определяется в таблице 8. Таблица 8 Количество N

G/H

G0 /H 0

несимметрических метрик Эйнштейна

1

SO(2n)/U (n)

O(2n − 1)/U (n − 1)

1

2

SU (2n)/Sp(n)

SU (2n − 1)/Sp(n − 1)

0

3

SO(7)/SO(2)SO(5)

G2 /U (2)

2

4

SO(8)/SO(3)SO(5)

Spin(7)/SO(4)

2

Метрика, указанная в первой строке таблицы 8, была найдена М. Ваном и В. Циллером в работе [368]. Метрики, приведенные в третье строке таблицы не являются кэлеровыми ни для какой комплексной структуры на M . Ранее они были найдены в работах [252] и [152]. Две метрики, указанные в последней строке таблицы найдены в [249]. Следует также отметить работы Г. Йенсена [241, 242] и работу Дж. Д’Атри и В. Циллера [205], которые посвящены исследованию левоинвариантных метрик Эйнштейна на полупростых компактных группах Ли. В частности, из этих работ следует, что каждая компактная простая группа Ли размерности > 3 допускает левоинвариантную метрику Эйнштейна, отличную от киллинговой. Про некоторые группы известно большее, например, SO(2n) и SO(2n + 1) имеют не менее 3n − 2 различных левоинвариантных метрик. Отметим, что строение множества инвариантных метрик на группах Ли наиболее сложное по сравнению с другими однородными пространствами той же размерности. Поэтому определенный интерес представляет следующая Гипотеза 5. Каждая компактная полупростая группа Ли, снабженная левоинвариантной метрикой Эйнштейна, допускает дополнительную недискретную группу изометрий. 4.6.3.

Эйнштейновы метрики на обобщенных флаговых многообразиях

В этом параграфе, следуя работам [141] и [152], мы дадим описание результатов, касающихся инвариантных эйнштейновых метрик на обобщенных флаговых многообразиях. Пусть G — компактная, связная и полупростая группа Ли. Обобщенным флаговым многообразием называется однородное пространство G/K такое, что группа изотропии является централизатором некоторого тора в G. Это условие можно переформулировать следующим образом: M является орбитой присоединенного представления Ad(G)W для некоторого элемента W ∈ g. Отметим, что собственно флаго55

вым многообразием называется однородное пространство G/K при K, являющейся максимальным тором в G. Пусть p — ортогональное дополнение к подалгебре k в g относительно формы Киллинга. Зафиксируем подалгебру Картана hC коплексифицированной алгебры Ли kC и рассмотрим разложения Картана. X X X g C = hC + g(α) , kC = hC + g(α) , pC = hC + g(α) , α∈R

α∈RK

α∈RP

где R и RK обозначают соответственно системы корней пар (gC , hC ) и (kC , hC ). Система корней R естественно представляется в виде R = RK ∪ RP , где через RP обозначено множество дополнительных корней. Пространства g(α) являются одномерными корневыми подпространствами такими, что их элементы Xα характеризуется условием [H, Xα ] = α(H)Xα для любого вектора H ∈ hC . Выберем теперь в каждом из корневых подпространств векторы Eα ∈ g(α) со свойствами B(Eα , E−α ) = −1, [Eα , E−α ] = −Hα , где Hα определяются из условий B(Hα , H) = α(H) для каждого H ∈ hC . Множество векторов {Eα |α ∈ RP } образуют базис в pC . Числа Nαβ , определяемые из соотношений [Eα , Eβ ] = Nαβ Eα+β , называются структурными константами. Имея разложение gC = kC ⊕ pC , ассоциированное с обобщенным флаговым многообразием G/K, и разложение R = RK ∪ RP , положим h = g ∩ hC и t = Z(k C ) ∩ h = {X ∈ h|ϕ(X) = 0 ∀ϕ ∈ RK }. Пусть h∗ и t∗ являются сопряженными пространствами к пространствам h и t соответственно. Рассмотрим отображение ограничения κ : h∗ → t∗ , α 7→ κ(α) = α|t . Пусть теперь Rt = κ(R) = κ(RP ) (поскольку κ(RK ) = 0). Элементы множества Rt называются t-корнями. Нетрудно показать, что существует взаимно однозначное соответствие между t-корнями и неприводимыми ad(kC )-инвариантными подмодулями P PτC = CEα в pC . κ(α)=τ

Напомним, что каждая G-инвариантная метрика на G/K может быть представлена как ad(k)-инвариантное скалярное произведение на p, для упрощения записи мы сохраним те же обозначения для скалярного произведения на модуле pC . Обозначим через {ω α |α ∈ R} базис в векторном пространстве (pC )∗ , двойственный к + базису {Eα |α ∈ RP }. Зафиксируем систему положительных корней R+ = RK ∪ RP+ , + + + + + + где RK = RK ∩ R , R = RP ∩ R , и положим Rt = κ(R ). Следующее утверждение описывает множество инвариантных метрик на обобщенном флаговом многообразии Теорема 4.6.4 ([141]). Произвольное вещественное ad(kC )-инвариантное скалярное произведение ρ на pC имеет вид X X X ω α ∨ ω −α , ρ= xα ω α ∨ ω −α = xτ + α∈RP

τ ∈Rt+

α∈κ−1 (τ )

где ω ∨ σ = 12 (ω ⊗ σ + σ ⊗ ω), xα — положительные числа, причем xα = xβ при α|t = β|t . Таким образом, множество инвариантных римановых метрик на обобщенном флаговом многообразии G/K зависит от l(G, K) параметров, где l(G, K) — количество элементов множества Rt+ . Поскольку тензор Риччи определяется своим значением на базисе {Eα |α ∈ RP }, то полную информацию о нем можно получить из следующего утверждения 56

Теорема 4.6.5 ([152]). Тензор Риччи для инвариантной метрики ρ, описанной в предыдущей теореме, удовлетворяет следующим условиям. Ric(Eα , Eβ ) = 0 при α, β ∈ RP , α + β ∈ / RP . X 2 Ric(Eα , E−α ) = (α, α) + Nα,ϕ + ϕ∈RK ,α+ϕ∈R 2 1 X Nα,β + (x2 − (xα+β − xβ )2 ), 4 β∈R∗ xα+β xβ α M

∗ = RM \ κ−1 (κ(α)). где RM

В соответствии с вышеприведенными утверждениями, уравнение Эйнштейна для инвариантных метрик на обобщенном флаговом многообразии сводится с системе из l(G, K) алгебраических уравнений c l(G, K) неизвестными. Таким образом, в случае явно заданного обобщенного флагового многообразия для решения уравнений Эйнштейна может быть привлечена техника символьных вычислений на компьютерах с использованием базиса Гребнера, что с успехом проделано в некоторых работах (см., например, [335]). Отметим также, что среди инвариантных эйнштейновых метрик на флаговых пространствах можно выделить класс метрик Кэлера-Эйнштейна, на чем мы не будем останавливаться подробнее, ограничившись лишь ссылкой на книгу А. Бессе [22]. Полученную систему уравнений в частных случаях удается решить явно. Здесь следует отметить результаты А. Арванитоеоргоса [154]. Ему удалось доказать, что существуют ровно 4 (с точностью до пропорциональности) инвариантных эйнштейновых метрики на многообразии SU (n)/S(U (n1 )×U (n2 )×U (n3 )) (n = n1 +n2 +n3 ), 10 таких метрик на многообразии SO(4m)/(U (m)×U (m)) и 3 эйнштейновых метрики на многообразии G2 /U (2). Кроме того, в [154] показано существование по меньшей мере (n!/2) + n + 1 инвариантных эйнштейновых метрик (рассматриваемых с точностью до пропорциональности) на SU (n)/S(U (1)n ) при n ≥ 3, среди которых по крайней мере n + 1 не являются кэлеровыми. Отметим, что среди этих метрик есть много попарно изометричных. Заметим, что в процессе классификации однородных киллинговых многообразий с метрикой Эйнштейна и простой группой движений М. Ваном и В. Циллером был получен ряд обобщенных флаговых многообразий с метрикой Эйнштейна-Киллинга [366]. 4.6.4.

Однородные многообразия Эйнштейна с эквивалентными слагаемыми в представлении изотропии

Мы уже отмечали, что наличие попарно изоморфных Ad(H) -неприводимых подмодулей в представлении изотропии приводит к серьезному усложнения структуры множества инвариантных метрик MG на однородном пространстве G/H. При классификации инвариантных метрик Эйнштейна на G/H в силу технических трудностей приходится выбирать специальным образом параметризацию множества MG . При этом не существует универсального алгоритма для нахождения наиболее удобной параметризации. В качестве примеров работ, в которых классифицируются инвариантные метрики на пространствах, имеющих эквивалентные слагаемые в представлении изотропии мы отметим работы [143, 159, 80], о результатах которых более подробно рассказывается в разделе настоящего обзора, посвященном однородным 57

многообразиям Эйнштейна малой размерности. Кроме указанных работ мы назовем статью [82], в которой исследуются инвариантные метрики на пространствах Леджера-Обаты Gn / diag(G), где G — простая связная компактная группа Ли. В [82] в частности доказано, что каждое пространство Леджера-Обаты при n = 3 допускает ровно две, с точностью до изометрии и гомотетии, инвариантные метрики Эйнштейна (одна из этих метрик киллингова, другая изометрична киллинговой метрике на группе G × G). Примеры однородных пространств, имеющих изоморфные модули в представлении изотропии, были рассмотрены в работе [250]. В частности, в этой работе были исследованы инвариантные метрики на однородных простран8 ствах Spin(8)/G2 ∼ = S 7 × S 7 , Spin(7)/SU (3) ∼ = S 7 × S 6 , Spin(8)/U (3) ∼ = S 7 × G+ 2 (R ) и многообразиях Штифеля SO(n + 1)/SO(n − 1). Каждое из трех первых указанных пространств допускает по крайней мере одну инвариантную метрику Эйнштейна, отличную от метрики произведения эйнштейновых метрик на множителях. В то же время многообразие Штифеля SO(n + 1)/SO(n − 1) допускает ровно одну инвариантную метрику Эйнштейна при n = 2 и n ≥ 4. Некоторые из найденных в [250] инвариантных метрик были известны ранее, о чем подробно рассказывается в цитируемой работе. Остановимся более подробно на результатах, связанных с инвариантными эйнштейновыми метриками на пространствах Штифеля SO(n)/SO(n − k) и их симплектических аналогах Sp(n)/Sp(n − k). Ш. Кобаяси [63] первым доказал существование инвариантной эйнштейновой метрики на T1 S n = SO(n)/SO(n − 2). Позже, в работе [334] было доказано существование по крайней мере одной инвариантной метрики Эйнштейна на на каждом пространстве Штифеля SO(n)/SO(n − k). Отметим, что в случае k = 1 пространство Штифеля является евклидовой сферой S n−1 , которая допускает единственную (с точностью до подобия) инвариантную метрику Эйнштейна. Г. Йенсен в [242] показал, что на пространствах Штифеля SO(n)/SO(n − k), где k ≥ 3, существуют по крайней мере две инвариантные эйнштейновы метрики. В этой же работе доказано, что пространство Sp(n)/Sp(n − k) допускает по крайней мере две инвариантные метрики Эйнштейна. В работе [159], а позднее и в [250] (как уже отмечалось выше), были исследованы инвариантные метрики на многообразиях Штифеля SO(n)/SO(n − 2), и доказано, что SO(n)/SO(n − 2) допускает ровно одну инвариантную метрику Эйнштейна при n = 3 и при n ≥ 5. Необходимо отметить, что пространство Штифеля SO(4)/SO(2) = M1,1 допускает ровно две, с точностью до изометрии и гомотетии, инвариантные метрики Эйнштейна [143] (см. также раздел о классификации эйнштейновых многообразий малой размерности). Оказывается, что при k ≥ 3 возможно существование более чем двух однородных инвариантных метрик Эйнштейна на многообразиях Штифеля SO(n)/SO(n − k) и пространствах Sp(n)/Sp(n − k). Ниже мы приведем результаты, полученные в работах А. Арванитоеоргоса, В.В. Джепко и Ю.Г. Никонорова [155, 156]. Теорема 4.6.6 ([155]). Если s > 1 и l ≥ k ≥ 3 тогда многообразие Штифеля SO(sk+ l)/SO(l) допускает по крайней мере четыре SO(sk + l) × (SO(k))s -инвариантные метрики Эйнштейна, две из которых – метрики Йенсена. Теорема 4.6.7 ([156]). Если s > 1 и l ≥ k ≥ 1 тогда пространство Sp(sk + l)/Sp(l) допускает по крайней мере четыре Sp(sk + l) × (Sp(k))s -инвариантные метрики Эйнштейна, две из которых – метрики Йенсена. Теорема 4.6.8 ([155, 156]). Для любого положительного целого p существует многообразие Штифеля SO(n)/SO(l) и однородное пространство Sp(n)/Sp(l), которые допускают по крайней мере p SO(n)-инвариантные (соответственно, Sp(n)инвариантные) метрики Эйнштейна. 58

Отметим, что исследование инвариантных метрик Эйнштейна на пространствах SO(n)/SO(n − k) и Sp(n)/Sp(n − k) осложняется большой размерностью пространства инвариантных метрик и наличием большого количества попарно изоморфных подмодулей в представлении изотропии. Преодолеть эти трудности можно, ограничившись исследованием метрик с более обширной группой изометрий по сравнению с группами SO(n) и Sp(n). Такие дополнительные изометрии (для части метрик) порождаются действием на пространстве инвариантных метрик нормализатора группы изотропии в группе движений (см. подробности в [155, 156]).

4.7

Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна

Кривизна Риччи некомпактных однородных многообразий Эйнштейна неположительна (теорема 4.1.1). Согласно теореме Д. В. Алексеевского и Б. Н. Кимельфельда [144], однородное риччи-плоское многообразие является плоским, а значит, изометрично риманову произведению плоского тора на евклидово пространство. Таким образом, можно ограничиться исследованием случая отрицательной кривизны Риччи, что в случае эйнштейновых многообразий эквивалентно отрицательности скалярной кривизны. Заметим, что на настоящий момент не известно простого описания однородных пространств, допускающих инвариантную метрику отрицательной кривизны Риччи. Соответствующий результат для метрик положительной кривизны Риччи получен, как было отмечено ранее, В. Н. Берестовским [18]. Поэтому представляет интерес следующая Проблема 11. Привести необходимые и достаточные условия для существования инвариантных метрик отрицательной кривизны Риччи на однородном пространстве. Классифицировать однородные пространства, допускающие инвариантные метрики отрицательной кривизны Риччи. Отметим в связи с этим, что в работе [287] построены левоинвариантные метрики отрицательной кривизны Риччи на группах SL(n, R) при n ≥ 3. Далее мы кратко обсудим некоторые специальные классы некомпактных однородных многообразий Эйнштейна. Частичные классификации эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи получены многими авторами [22]. Э. Картаном [128, 22] классифицированы симметрические пространства некомпактного типа. Примерами несимметрических некомпактных однородных эйнштейновых многообразий являются однородные многообразия Кэлера-Эйнштейна однородные кватернионно-кэлеровы многообразия отрицательного типа. Мы не будем подробно останавливаться на теории кэлеровых многообразий и многообразий Кэлера-Эйнштейна. Им посвящена обширная литература (см., например, [22]). Отметим только следующее утверждение. Теорема 4.7.1 ([22, 300]). Некомпактные однородные многообразия Кэлера-Эйнштейна отрицательной кривизны Риччи в точности соответствуют ограниченным однородным областям, снабженным метрикой Бергмана. Под ограниченной областью подразумевается ограниченное открытое связное подмножество пространства Cn . Каждая ограниченная область U обладает метрикой Бергмана, строящейся по керн-функции области U [128]. Если группа голоморфных диффеоморфизмов области U транзитивна на U , то область U называется однородной. Если каждая точка p ∈ U является неподвижной точкой некоторого инволютив59

ного голоморфного диффеоморфизма области U на себя, то область U называется симметрической. Хорошо известно, что метрика Бергмана на однородной ограниченной области является метрикой Кэлера-Эйнштейна. Это утверждение принадлежит Э. Картану [194]. Э. Картан доказал совпадение классов эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа и ограниченных симметрических областей с метрикой Бергмана. Он же сформулировал проблему существования однородных несимметрических ограниченных областей и показал, что в размерности n ≤ 3 таких областей нет. Положительное решение проблемы Э. Картана (при n = 4 и n = 5) было дано И.И. Пятецким-Шапиро [90]. В цитируемой работе приведены примеры (первые в своем роде) непрерывных семейств однородных ограниченных областей. Дальнейшее развитие теория однородных ограниченных областей получила благодаря работам И. И. Пятецкого-Шапиро, С. Г. Гиндикина, Э. В. Винберга [90, 91, 33, 42, 222]. В указанных работах создана структурная теория ограниченных однородных областей, которые моделируются на вполне разрешимых нормальных j-алгебрах. Отметим также результат Дж. Д’Атри и И. Дотти, в работе [203] которых доказано, что однородная ограниченная область с метрикой Бергмана симметрична тогда и только тогда, когда ее секционная кривизна неположительна. Отметим, что группа Sp(n) × Sp(1) является максимальной подгруппой группы SO(4n), и рассмотрим некоторый специальный класс римановых многообразий. Определение 4.7.1. Риманово 4n-мерное многообразие называется (локально) кватернионно-кэлеровым, если его (ограниченная) группа голономии содержится в Sp(n) × Sp(1). Справедливо следующее утверждение. Теорема 4.7.2 (М. Берже [22]). Любое 4n-мерное (n ≥ 2) кватернионно-кэлерово многообразие является многообразием Эйнштейна. Более подробно со свойствами кватернионно-кэлеровых многообразий можно ознакомиться по книге А. Бессе [22]. Отметим лишь, что классифицированы кватернионнокэлеровы многообразия, моделируемые на вполне разрешимых группах Ли. Эта классификация была получена Д. В. Алексеевским [2] и В. Кортесом в [201]. В работе [201] подробно излагаются все этапы этой классификации и рассматриваются связи с некоторыми разделами теоретической физики. Хорошо известно, что связное однородное многообразие M неположительной секционной кривизны может быть представлено как разрешимая группа Ли с некоторой левоинвариантной метрикой [235, 236, 3, 158, 157]. При доказательстве этого утверждения используется теорема Ж. Адамара и Э. Картана о существовании точки, неподвижной относительно действия компактной группы на пространстве неположительной секционной кривизны [128]. Более того, Д. В. Алексеевским в [3] показано, что в случае неположительной секционной кривизны на M действует просто транзитивно некоторая разрешимая группа Ли специального вида — нормальная группа движений в терминологии [3]. В частности, такая редукция позволяет получить классификацию однородных многообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны в размерности ≤ 5 (см. [3]). Отметим, что среди найденных Д. В. Алексеевским в цитируемой работе многообразий отрицательной секционной кривизны только одно (размерности 5) не является локально симметрическим. Подробнее об этом рассказано в разделе об однородных многообразиях Эйнштейна малой размерности. Отметим, что примеры солвмногообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны были построены также в работах [207, 376]. Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной скалярной кривизны могло бы стать доказатель60

ство гипотезы Д. В. Алексеевского (гипотеза 4). В случае истинности приведенной ˜ группы G, действующая на M прогипотезы существует разрешимая подгруппа G сто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий. Однородными некомпактными многообразиями Эйнштейна отрицательной секционной кривизны связана еще одна проблема. Хорошо известно, что некомпактные симметрические римановы пространства имеют неположительный оператор кривизны. С другой стороны, на сегодняшний момент не известно несимметрических однородных многообразий Эйнштейна с неположительным оператором кривизны. Поскольку неположительность оператора кривизны влечет неположительность секционной кривизны, то все такие многообразия изометричны эйнштейновым солвмногообразиям. Представляет интерес следующая Гипотеза 6 (Т. Уолтер [376]). Каждое однородное многообразие Эйнштейна с неположительным оператором кривизны симметрично. В работах В. Обаты [314, 315, 316] изучены однородные почти кэлеровы многообразия Эйнштейна неположительной секционной кривизны. В частности, в [315] показано, что однородные почти кэлерово многообразие Эйнштейна с неположительным оператором кривизны и отрицательной секционной кривизной голоморфно изометрично комплексному гиперболическому пространству. В работе [316] доказано, что однородное многообразие Кэлера-Эйнштейна с неположительным оператором кривизны является римановым симметрическим пространством. Этот результат подтверждает вышеуказанную гипотезу Т. Уолтера для случая кэлеровых многообразий. Все известные на настоящий момент однородные эйнштейновы метрики отрицательной скалярной кривизны моделируются как левоинвариантные метрики на разрешимых группах Ли. В свою очередь, отсутствие классификации разрешимых алгебр Ли (за исключением малых размерностей) лишний раз указывает на сложности, связанные с классификацией таких метрик. Кроме того, пока не доказана справедливость гипотезы Д. В. Алексеевского, нет уверенности в том, что все эйнштейновы многообразия отрицательной скалярной кривизны моделируются с помощью разрешимых групп. Тем не менее, теория эйнштейновых солвмногообразий сегодня является достаточно продвинутым разделом римановой геометрии.

4.8

Эйнштейновы солвмногообразия

Как уже отмечалось, все известные примеры однородных эйнштейновых многообразий отрицательной скалярной кривизны могут быть смоделированы как разрешимые группы Ли с некоторой левоинвариантной метрикой. Исследованию эйнштейновых солвмногообразий посвящено большое количество работ, из которых можно выделить работы Д. В. Алексеевского, Й. Хебера и Х. Лоре. Обширный библиографический список приведен в работе Й. Хебера [232]. Из более свежих публикаций отметим работы К. Гордон и М. Керр [224, 251], Х. Лоре и С. Уилл [277, 278, 279, 280, 281, 372, 282], Х. Тамару [356, 357], Т. Пейне [322], Ю.А. Николаевского [305, 306, 307], Ю.Г. Никонорова и Е.В. Никитенко [310, 84, 74, 72, 73], в которых также можно найти ссылки на другие статьи по рассматриваемой тематике. В работе [232] Й. Хебером получен ряд фундаментальных результатов по солвмногообразиям Эйнштейна. Далее мы приведем наиболее интересные из этих результатов, отсылая читателей к [232], где подробно рассказывается о более ранних пуб61

ликациях других математиков, в которых многие из приводимых ниже утверждений были получены в ослабленной форме. Определение 4.8.1. Односвязная разрешимая группа Ли S, снабженная левоинвариантной римановой метрикой ρ, называется солвмногообразием. Определение 4.8.2. Разрешимой метрической алгеброй называется пара (s, Q), где s — разрешимая алгебра Ли, Q — некоторое скалярное произведение на s. Произвольное солвмногообразие (S, ρ) определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли s группы S, и наоборот, каждое скалярное произведения Q на s индуцирует левоинвариантную метрику ρ на группе S. Метрическую разрешимую алгебру Ли, соответствующую эйнштейновому солвмногообразию, будем также называть эйнштейновой. Понятно, что исследования свойств кривизны некоторого солвмногообразия гораздо удобнее проводить в терминах соответствующей метрической разрешимой алгебры Ли. Определение 4.8.3. Две метрические алгебры (s, Q) и (s0 , Q0 ) будем называть изометричными, если соответствующие им солвмногообразия (S, ρ) и (S 0 , ρ0 ) являются изометричными как римановы многообразия. Определение 4.8.4. Две метрические алгебры (s, Q) и (s0 , Q0 ) будем называть изоморфными, если существует линейное отображение L : s → s0 , которое является одновременно и изометрией евклидовых пространств и изоморфизмом алгебр Ли. Понятно, что изоморфные метрические алгебры являются изометричными. Обратное, вообще говоря, неверно [3, 232]. Если отождествить элементы алгебры Ли s с левоинвариантными векторными полями на группе Ли S, то нетрудно получить в терминах s формулы для вычисления основных характеристик кривизны солвмногообразия (S, ρ) аналогично тому, как это делается в случае общих однородных римановых многообразий. Пусть (·, ·) — скалярное произведение на алгебре Ли s, порождающее солвмногообразие (S, ρ). Выберем теперь для метрической алгебры (s, (·, ·)) ортонормированный базис {Xi }. Определим вектор H ∈ s, характеризующийся условием (H, X) = tr(ad(X)) для всех X ∈ s. Таким образом, H = 0 тогда и только тогда, когда алгебра s (группа S) унимодулярна. Множество u = {X ∈ s | tr(ad(X)) = 0} является максимальной унимодулярной подалгеброй алгебры Ли s и называется ее унимодулярным ядром. В неунимодулярном случае вектор H часто называют вектором средней кривизны метрической алгебры (s, (·, ·)), поскольку он естественным образом отождествляется с вектором средней кривизны порождаемого алгеброй Ли u группового подмногообразия (коразмерности 1) в солвмногообразии (S, ρ) [232]. В случае солвмногообразий известна удобная формула для оператора Риччи, полученная Д.В. Алексеевским [3]. 1X 0 1X 1 Ric = − adXi adXi + adXi ad0Xi − B − adsH , (4.2) 2 i 4 i 2 где через ad0Xi обозначается оператор, сопряженный оператору adXi относительно (·, ·), B – оператор Киллинга и adsH = 12 (adH + ad0H ). Для унимодулярных разрешимых групп Ли справедлива Теорема 4.8.1 (И. Дотти-Миателло [22, 208]). Если солвмногообразие (S, ρ) с унимодулярной разрешимой группой Ли S эйнштейново, то метрика ρ — плоская. 62

Таким образом, мы можем ограничиться исследованием неунимодулярных разрешимых групп Ли. Далее, через HQ = H мы будем обозначать вектор в метрической разрешимой алгебре (s, Q), определяемый равенством Q(H, Y ) = tr(ad(Y )) для всех Y ∈ s. Теперь мы определим некоторые специальные классы разрешимых алгебр Ли, имеющие важное значение для теории эйнштейновых солвмногообразий. Определение 4.8.5. Разрешимая алгебра Ли s называется вполне разрешимой, если все операторы ad(Z), Z ∈ s, имеют только вещественные собственные значения. Это эквивалентно тому, что существует базис в s, в котором ad(Z) одновременно представляются в виде верхних треугольных матриц. Значение введенного понятия видно из следующего утверждения. Теорема 4.8.2 (Д. В. Алексеевский [1]). Две метрические вполне разрешимые ал˜ изометричны тогда и только тогда, когда они изоморфны. гебры Ли (s, Q) и (˜s, Q) Определение 4.8.6. Метрическая разрешимая алгебра Ли (s, Q) называется алгеброй типа Ивасавы, если выполняются следующие условия: 1) s является ортогональной (относительно Q) полупрямой суммой [s, s] = n и абелева дополнения a; 2) все операторы ad(A), A ∈ a, симметричны относительно Q и ненулевые для A 6= 0; 3) существует вектор A0 ∈ a такой, что оператор ad(A0 ) : n → n положительно определен. Отметим, что такая алгебра s обязательно вполне разрешима и неунимодулярна, поскольку tr(ad(A0 )) 6= 0. Понятно также, что n = [s, s] совпадает с нильрадикалом алгебры Ли s. Замечание. Вышеприведенное определение обязано своим появлением разложению Ивасавы группы G = Isom(M )0 для симметрического пространства некомпактного типа M . Это разложение имеет вид G = K · A · N , где через K обозначена максимальная компактная подгруппа группы G, являющаяся также подгруппой изотропии симметрического пространства M ; A — абелева и нормализует нильпотентную подгруппу N . Таким образом, M = G/K может быть отождествлено с разрешимой подгруппой Ивасавы S = A · N , снабженной некоторой левоинвариантной метрикой. Тогда соответствующая метрическая алгебра Ли (s, Q) будет удовлетворять предыдущему определению. Нетрудно убедиться в том, что дополнение a в определении 4.8.6 является подалгеброй Картана, поэтому корректно определяется алгебраический ранг s, который полагается равным размерности a. Для метрических алгебр Ли типа Ивасавы известны достаточно удобные формулы для вычисления кривизны Риччи. Теорема 4.8.3 ([3, 232]). Пусть (s = a⊕n, Q) — метрическая алгебра типа Ивасавы, тогда ее кривизна Риччи удовлетворяет следующим соотношениям: ¯ = − tr(ad(A) ◦ ad(A)) ¯ для всех A, A¯ ∈ a; 1) Ric(A, A) 2) Ric(A, X) = 0 для всех A ∈ a, X ∈ n; 3) Ric(X, Y ) = −Q(ad(H)(X), Y ) + Ricn (X, Y ) для всех X, Y ∈ n, где через Ricn обозначена кривизна Риччи метрической алгебры (n, Q|n ). Следуя [232], приведем еще одно полезное 63

Определение 4.8.7. Метрическая разрешимая алгебра Ли (s, Q) называется стандартной, если ортогональное дополнение a к [s, s] относительно Q является абелевой подалгеброй алгебры s. Эйнштеново солвмногообразие (S, ρ) называется стандартным, если стандартной является соответствующая ему разрешимая метрическая алгебра Ли (s, Q). Отметим, что для стандартных эйнштейновых солвмногообразий (метрических алгебр Ли) можно корректно определить алгебраический ранг, как размерность коммутативной подалгебры a. Кроме того, нильпотентный идеал n = [s, s] для стандартной эйнштейновой алгебры совпадает с нильрадикалом алгебры s [232, следствие 4.11]. Условие стандартности слабее условия Ивасавы (4.8.6), но тесно связано с ним. ˜ — изометричные друг другу метрические разрешимые Например, если (s, Q) и (˜s, Q) ˜ алгебры Ли, причем (s, Q) — алгебра типа Ивасавы, то метрическая алгебра (˜s, Q) является стандартной [232, лемма 4.6]. Справедливо также следующая Теорема 4.8.4 (Й. Хебер [232]). Пусть (s, Q) — стандартная метрическая алгебра Эйнштейна, тогда существует изометричная ей метрическая алгебра типа Ива˜ причем метрические алгебры (n, Q|n ) и (n ˜ n˜ ), где n = [s, s] и n ˜, Q| ˜ = [˜s, ˜s], савы (˜s, Q), изоморфны друг другу. Сформулированное выше предложение является частью утверждения теоремы 4.10 работы [232]. Й. Хебером в [232] был получен ряд условий на эйнштейновы метрический разрешимые алгебры Ли, гарантирующие их стандартность. Поскольку все известные к тому времени примеры эйнштейновых солвмногообразий были стандартны, то естественной была постановка следующей проблемы. Проблема 12 (Й. Хебер [232]). Существует ли разрешимая группа Ли, допускающая нестандартную левоинвариантную метрику Эйнштейна? Во последующих работах разных авторов (см., например, [343, 310, 74, 73, 84, 306]) была доказана стандартность эйнштейновых солвмногообразий при различных дополнительных условиях. Например, в работе [74] стандартность была доказана для каждой метрической разрешимой эйнштейновый алгебры Ли с коммутативной производной подалгеброй. Кроме того, в этой работе была доказана стандартность всех эйнштейновых солвногообразий размерности ≤ 6, что позволило получить полную классификацию таких солвмногообразий. Методы, разработанные в [74], были потом использованы в работах [73, 84] для доказательства стандартности эйнштейновых солвмногообразий размерности 7. Отметим, что в [84] были установлены некоторые соотношения между дифференцирования и оператором Риччи произвольной нильпотентной метрической алгебры Ли, что представляет определенный самостоятельный интерес. Ю.А. Николаевский в [306] применил другой метод доказательства стандартности, основанный на введенном им понятии пред-эйнштейновых дифференцирований, что в частности позволило доказать стандартность всех эйнштейновых солвмногообразий размерности ≤ 9. Наконец, совсем недавно Х. Лоре получил полное решение проблемы Й. Хебера. Теорема 4.8.5 (Х. Лоре [281]). Каждое эйнштейново солвмногообразие является стандартным. Для доказательства сформулированного результата Х. Лоре разработал специальный метод, основанный на понятии стратификации для специальных представлений некоторых вещественных групп Ли. 64

Далее мы приведем несколько других результатов, связанных с изучением эйнштейновых солвмногообразий (формулировки многих из них скорректированы по сравнению с оригинальными источниками с учетом теоремы 4.8.5). Количество попарно неизометричных и негомотетичных левоинвариантных метрик Эйнштейна на компактной группе Ли S может быть сколь угодно большим [22]. В случае разрешимых групп ситуация совсем иная. Справедлива следующая Теорема 4.8.6 (Й. Хебер [232]). Произвольная разрешимая группа Ли S допускает не более одной метрики Эйнштейна, с точностью до изометрии и гомотетии. Отметим, что известно множество примеров разрешимых групп Ли, не допускающих левоинвариантных метрик Эйнштейна [232, 282]. Замечательное свойство эйнштейновых метрических алгебр Ли выражается следующим утверждением. Теорема 4.8.7 (Й. Хебер [232]). Пусть s – неунимодулярная разрешимая алгебра Ли, снабженная эйнштейновой скалярным произведением Q, a – абелево ортогональное дополнение к n = [s, s] относительно Q, вектор H ∈ a такой, что Q(H, X) = tr(ad(X)) для всех X ∈ s. Тогда для некоторого положительного λ оператор ad(λH)|n имеет собственные значения, вещественные части которых µ1 < . . . < µm являются натуральными числами с наибольшим общим делителем 1. Если обозначить через di кратность соответствующего собственного значения, то можно определить спектральный тип эйнштейнового солвмногообразия как набор (µ1 < . . . < µm ; d1 , . . . , dm ). В работе [232] Й. Хебер показал, что спектральный тип является инвариантом относительно изометрий и подобий. Кроме того, в каждой размерности реализуются лишь конечное число спектральных типов. В более поздних работах получен ряд дополнительных результатов, описывающих ограничения на возможный спектральный тип эйнштейнова солвмногообразия [282, 322, 305, 307]. Напомним, что односвязная разрешимая группа Ли диффеоморфна евклидову пространству. Рассмотрим пространство модулей всех однородных метрик на Rn , снабженное C ∞ -топологией. Обозначим через Mn подпространство всех эйнштейновых солвмногообразий с условием на скалярную кривизну S = −1. Понятно, что Mn представляется в виде объединения конечного числа подпространств Mn(µ;d) , состоящих из всех элементов спектрального типа (µ; d) = (µ1 < . . . µm ; d1 , . . . , dm ). Й. Хебер показал, что каждое Mn(µ;d) гомеоморфно вещественному полуалгебраическому подмножеству евклидова пространства и является открытым подпространством Mn в C ∞ -топологии [232]. В ряде случаев удается найти размерность пространства Mn(µ;d) вблизи некоторой эйнштейновой метрики. Рассмотрим пространство модулей Mn(µ;d) , содержащее симметрическое пространство ранга 1, M = KHm+1 , n = dim M . Теорема 4.8.8 (Й. Хебер [232]). Справедливы следующие утверждения: 1) если K = R или K = C, то M – единственный элемент в Mn(µ;d) ; 2) если K = H и m = 1, то M является изолированной точкой Mn(µ;d) ; 3) если K = H и m ≥ 2, то dim(Mn(µ;d) ) = 8m2 − 6m − 8 в окрестности M ; 4) если K = Ca (и m = 1), то dim(Mn(µ;d) ) = 84 в окрестности M . Отметим, что из этой теоремы следует существование непрерывных семейств эйнштейновых солвмногообразий. Однако, все такие метрики определяются на различных разрешимых алгебрах Ли. Это очевидно следует из единственности стандартной эйнштейновой метрики на разрешимой группе Ли. 65

Отметим, что первый пример непрерывного семейства однородных эйнштейновых метрик отрицательной скалярной кривизны получен И.И. Пятецким-Шапиро [90]. Из более поздних работ мы выделим статьи [224, 251], в которых строятся новые примеры эйнштейновых солвмногообразий, получающиеся модификацией алгебраической структуры некомпактных неприводимых симметрических пространств ранга больше 1. Также отметим работы Х. Лоре [277, 278, 279], в которых строится множество примеров эйнштейновых солвмногообразий с помощью оригинального вариационного принципа для эйнштейновых солвмногообразий ранга 1, установленного в [278]. В частности, в работе [279] Х. Лоре классифицировал шестимерные эйнштейновы метрические алгебры Ли с нильрадикалом коразмерности 1. Используя идеи Х. Лоре, в работе [372] С. Уилл получила классификацию семимерных эйнштейновых солвмногообразий с шестимерными некоммутативными нильрадикалами. Отметим, что классификация эйнштейновых солвмногообразий по сути может быть сведена к классификации эйнштейновых солвмногообразий ранга 1 (т.е. к случаю, когда нильрадикал разрешимой алгебры имеет коразмерность 1). Действительно, учитывая результаты теорем 4.8.4 и 4.8.5, можно ограничиться исследованием лишь эйнштейновых разрешимых метрических алгебр Ли (s, Q) типа Ивасавы. Нетрудно заметить, что подалгебра произвольной эйнштейновой разрешимой метрической алгебры Ли типа Ивасавы, натянутая на нильрадикал и вектор средней кривизны, сама является эйнштейновой метрической алгеброй Ли и при этом имеет ранг 1. Существует и процедура, позволяющая по заданной эйнштейновой алгебре Ли ранга 1 получить все ее эйнштейновы расширения произвольного ранга [232]. Ясно, что эйнштейновы разрешимые метрический алгебры Ли (s, Q) ранга 1 могут быть адекватно описаны в терминах своего нильрадикала (нильпотентной метрической алгебры Ли (n, Qn )) и дифференцирования алгебры n, порождающегося присоединенным действиям вектора средней кривизны H на s. Рассмотрим произвольную метрическую алгебру типа Ивасавы (s, Q) с нильрадикалом n коразмерности 1. Пусть Y = H/kHk, где вектор H ∈ s определяется формулой Q(H, X) = tr(ad(X)), X ∈ s. Понятно, что tr(ad(Y )) > 0 и Y ортогонально n относительно Q (n является максимальной унимодулярной подалгеброй в алгебре Ли s). Рассмотрим оператор D : n → n, являющийся ограничением на n оператора ad(Y ). Понятно, что D является симметрическим дифференцированием нильпотентной метрической алгебры Ли (n, Q|n ). Теорема 4.8.9 (Х. Лоре, [278]). Условие Ric = C · Id эйнштейновости метрической алгебры Ли (s, Q) эквивалентно выполнению равенства C · Id + tr(D)D = Ricn ,

(4.3)

на нильрадикале n, где через Ricn обозначен оператор кривизны Риччи метрической алгебры (n, Q|n ). При этом C = tr((Ricn )2 )/ tr(Ricn ). Х. Лоре отметил связь [277] между эйнштейновыми солвмногообразиями и нильсолитонами Риччи. Определение 4.8.8 ([277]). Левоинвариантная метрика ρ на нильпотентной некоммутативной группе Ли N называется нильсолитоном Риччи, если Ric(Q) ∈ R · Id ⊕ Der(n) для метрической алгебры Ли (n, Q), соответствующей риманову многообразию (N , ρ). Таким образом, предыдущая теорема может быть переформулирована следующим образом: 66

Теорема 4.8.10 (Х. Лоре, [277]). Левоинвариантная метрика ρ на нильпотентной некоммутативной группе Ли N , порождаемая метрической алгеброй (n, Q), является нильсолитоном Риччи тогда и только тогда, когда (n, Q) допускает стандартное эйнштейново расширение, коразмерность n в котором равна 1. Замечательным результатом работы [277] является следующая Теорема 4.8.11 (Х. Лоре, [277]). Пусть N – нильпотентная группа Ли с алгеброй Ли n. Если ρ и ρ0 – две левоинвариантные метрики на N , являющиеся нильсолитонами Риччи, то (N, ρ) изометрично (N, ρ0 ) с точностью до подобия. Из вышеприведенных утверждений и предложения 4 работы [278] следует Теорема 4.8.12 (Х. Лоре). Пусть (s1 , Q1 ) и (s2 , Q2 ) – две эйнштейновы метрические алгебры Ли, имеющие изоморфные между собой (как неметрические алгебры Ли) нильрадикалы коразмерности 1. Тогда (s1 , Q1 ) и (s2 , Q2 ) изометричны с точностью до подобия. Отметим, что теорема 4.8.12 является усилением теоремы 4.8.6. Рассмотрим теперь некоммутативную нильпотентную алгебру Ли n и обозначим через M = M(n) множество скалярных произведений на n. Определим функционал RD : M → R по формуле tr(Ric2Q ) RD(Q) = , (4.4) (tr(RicQ ))2 где через RicQ обозначен оператор Риччи метрической алгебры Ли (n, Q). Нам будет полезно следующее Определение 4.8.9. Скалярное произведение Q ∈ M называется минимальным, если на нем достигается минимум значений функционала RD : M → R. Замечание. Из неравенства Коши-Буняковского легко получить, что (tr(RicQ ))2 ≤ tr(Ric2Q ) · tr(Id), поэтому RD(Q) ≥ 1/ dim(n) для любого скалярного произведения Q. Не на каждой нильпотентной алгебре Ли n существуют минимальные скалярные произведения (см., например, [282]). Существование же таких скалярных произведений накладывает серьезные ограничения на алгебраическую структуру соответствующей нильпотентной алгебры Ли. Примечательна связь между минимальными скалярными произведениями и стандартными эйнштейновыми солвмногообразиями, установленная в ряде работ Х. Лоре. Теорема 4.8.13 (Х. Лоре, [277, 278, 280]). Для скалярного произведения Q на нильпотентной некоммутативной алгебре Ли n следующие условия эквивалентны: 1) Q – минимальное скалярное произведение; 2) метрическая алгебра Ли (n, Q) допускает эйнштейново разрешимое расширение; tr(Ric ) 3) оператор D = Id − tr(RicQ2 ) RicQ является симметричным (относительно Q) Q положительно определенным дифференцированием алгебры Ли n. При этом для любых минимальных скалярных произведений Q1 и Q2 метрические алгебры Ли (n, Q1 ) и (n, Q2 ) изометричны друг другу с точностью до подобия. Отметим, что в доказательстве эквивалентности пунктов 1) и 3) существенную роль играет общее утверждение о свойствах отображения момента для представлений вещественных редуктивных групп, полученное в работе [289] (см. более подробное обсуждение этих вопросов в [280] и [282]). 67

Замечание. Если выполнено условие 3) из теоремы 4.8.13, то нетрудно указать эйнштейново разрешимое (ранга 1) расширение (s, Q1 ) метрической алгебры Ли (n, Q). Положим s = RH ⊕ n, Q1 (n, H) = 0,

Q1 (H, H) = 1,

Q1 |n = Q,

а скобку Ли на s определим следующим образом: для векторов X, Y ∈ n скобка Ли на s действует также, как скобка Ли на n; для X ∈ n положим [H, X] = c · D(X), где c= q

¡

tr(Ric2Q )

− tr(RicQ ) dim(n) tr(Ric2Q ) − (tr(RicQ ))2

¢,

D = Id −

tr(RicQ ) RicQ . tr(Ric2Q )

Нетрудно проверить, что определенная таким образом разрешимая метрическая алгебра Ли будет эйнштейновой (см. подробности в [278, 279]). Если некоммутативная нильпотентная алгебра Ли n допускает минимальное скалярное произведение Q, то минимальное значение RDmin функционала RD (см. (4.4)) на M можно выразить через спектральный тип эйнштейновой разрешимой метрической алгебры Ли, являющейся стандартным расширением (n, Q). Точнее, справедлива Теорема 4.8.14 (Х. Лоре, [279]). Пусть Q – минимальное скалярное произведение на нильпотентной некоммутативной алгебре Ли n, RDmin = RD(Q), (s, Q1 ) – стандартное эйнштейново расширение метрической алгебры Ли (n, Q), и (k1 < . . . < km ; d1 , . . . , dm ) – его спектральный тип. Тогда (RDmin )−1 +

(k1 d1 + · · · + km dm )2 = dim(n). 2 d k12 d1 + · · · + km m

(4.5)

Отметим следующее очевидно следствие из приведенных выше результатов. e – произвольное скалярСледствие. Пусть в условиях предыдущего предложения Q ное произведение на алгебре Ли n, а RicQe – оператор Риччи метрической алгебры e Тогда (n, Q). (tr(RicQe ))2 tr(Ric2Qe )

≤

(tr(RicQ ))2 (k1 d1 + · · · + km dm )2 −1 = (RD ) = dim(n) − . min 2 d k12 d1 + · · · + km tr(Ric2Q ) m

Определение 4.8.10. Нильпотентная алгебра Ли n называется эйнштейновым нильрадикалом, если она изоморфна нильрадикалу некоторой эйнштейновой разрешимой метрической алгебры Ли. Приведенные выше утверждения показывают, что классификация эйнштейновых солмногообразий по сути сводится к классификации эйнштейновых нильрадикалов. Хорошо известно, что все коммутативные алгебры Ли являются эйнштейновыми нильрадикалами (см., например, [232]). Поэтому все сводится к исследованию некоммутативных нильпотентных алгебр Ли. В работе Д.В. Алексеевского [3] доказано, что все некоммутативные нильпотентные алгебры Ли размерности ≤ 4 являются эйнштейновыми нильрадикалами. Аналогичный результат для размерностей 5 и 6 был получен сооответственно Х. Лоре [279] и С. Уилл [372]. В тоже время существуют семимерные нильпотентные алгебры Ли, не являющиеся эйнштейновыми нильрадикалами [282]. Естественной преставляется следующая 68

Проблема 13. Классифицировать эйнштейновы нильрадикалы. Для исследования поставленной проблемы разными авторами были разработаны специальные методы, на основе чего получены частичные классификационные результаты по эйнштейновым нильрадикалам (см., например, [282, 322, 305, 307, 356, 357]). Тем не менее, эта проблема представляется чрезвычайно трудной и у нас нет оснований надеяться на то, что она будет решена в ближайшем будущем.

4.9

Однородные гармонические пространства

В этом разделе мы приведем некоторые результаты, связанные с однородными гармоническими пространствами. Определение 4.9.1. Риманово многообразие M называется гармоническим пространством, если геодезические сферы достаточно малого радиуса с центром в произвольной точке имеют постоянную среднюю кривизну. Более подробно познакомиться со свойствами гармонических пространств можно по книгам [21] и [179]. Одним из важных свойств гармонических пространств является их эйнштейновость [21]. Кроме того, все известные примеры гармонических пространств являются локально однородными. Поэтому естественный интерес вызывает следующая проблема. Проблема 14. Существуют ли неоднородные односвязные гармонические пространства? В 1944 году А. Лихнерович предположил, что все гармонические пространства являются двухточечно однородными (т.е. либо плоскими, либо симметрическими пространствами ранга 1) [288]. Сам А. Лихнерович доказал эту гипотезу для многообразий размерности 4. В 1990 году З. Сабо доказал гипотезу Лихнеровича для случая компактных многообразий с конечной фундаментальной группой [353]. Отметим также, что для всех многообразий размерности 5 гипотеза Лихнеровича была подтверждена в работе [303]. Однако, в 1992 году Е. Дамек и Ф. Риччи построили примеры некомпактных гармонических пространств неположительной секционной кривизны, отличных от симметрических пространств [202]. Эти пространства изометричны специальным эйнштейновым солвногообразиям ранга 1, являющихся расширениями обобщенных групп Гейзенберга. Определение 4.9.2. Пусть v и z – вещественные векторные пространства размерностей n и m соответственно, β : v×v → z – кососимметричное отображение. Снабдим прямую сумму n = v ⊕ n скалярным произведением h·, ·i, относительно которого v ортогонален z, и определим отображение j : z → End(v), Z → jZ , по формуле hjZ X, Y i = hβ(X, Y ), Zi, X, Y ∈ v, Z ∈ z. Введем структуру алгебры Ли на n, полагая [X + Z, Y + Z 0 ] = β(X, Y ),

X, Y ∈ v, Z, Z 0 ∈ z.

Определенная таким образом метрическая алгебра Ли n называется обобщенной алгеброй Гейзенберга, если для каждого Z ∈ z выполнено условие jZ2 = −hZ, Zi Id |v . Соответствующая такой метрической алгебре Ли односвязная группа Ли N с левоинвариантной метрикой называется обобщенной группой Гейзенберга. 69

Определение 4.9.3. Пусть n = v ⊕ z – обобщенная алгебра Гейзенберга, a = {H} – одномерное вещественное векторное пространство. Обозначим скалярное произведение и скобку ли на n через h·, ·in и [·, ·]n соответственно и определим новое векторное пространство s = n ⊕ a как прямую сумму n и a. Кроме того, определим скалярное произведение h·, ·i и скобку Ли [·, ·] на s формулами hX + Z + rH, Y + Z 0 + sHi = hX + Z, Y + Z 0 in + rs, 1 1 [X + Z + rH, Y + Z 0 + sH] = [X, Y ]n + rY − sX + rZ 0 − sZ, 2 2 где X, Y ∈ v, Z, Z 0 ∈ z, r, s ∈ R. Таким образом s становится метрической алгеброй Ли, а соответствующая ей односвязная разрешимая группа S с левоинвариантной метрикой называется пространством Дамек-Риччи. Как эйнштейновы солвмногообразия пространства Дамек-Риччи имеют спектральный тип (1 < 2; n, m). Среди этих пространств содержатся все симметрические некомпактные пространства ранга 1 непостоянной секционной кривизны (т. е. комплексные гиперболические пространства CH l , кватернионные гиперболические пространства HH l и гиперболическая плоскость Кэли OH 2 ). Отметим, что вещественные гиперболические пространства RH l являются эйнштейновыми солвмногообразиями ранга 1 со спектральным типом (1; l − 1). Пространства пространства Дамек-Риччи имеют неположительную секционную, а отрицательность секционной кривизны эквивалентна симметричности этих пространств [210]. Подробному исследованию свойств этих пространств посвящена книга [179]. Естественно возникает вопрос о существовании однородных гармонических многообразий, отличных от пространств Дамек-Риччи. Недавно полный ответ на этот вопрос был получен Й. Хебером, доказавшим следующую классификационную теорему. Теорема 4.9.1 (Й. Хебер, [233]). Произвольное односвязное однородное гармоническое пространство является либо евклидовым пространством, либо симметрическим пространством ранга 1, либо несимметрическим пространством ДамекРиччи. Поскольку гармонические многообразия являются эйнштейновыми, то при дополнительном условии однородности они делятся на три типа согласно знаку скалярной кривизны S (теорема 4.1.1). В случае S > 0 результат теоремы 4.9.1 следует из цитированного выше результата З. Сабо. В случае S = 0 достаточно применить теорему Алексеевского-Кимельфельда [144]. Основную трудность представляет случай S < 0. В этом случае Й. Хеберу удалось доказать, что однородное гармоническое пространство должно быть солвногообразием, а затем получить окончательный результат, используя структурную теорию эйнштейновых солвмногообразий и характеризацию пространств Дамек-Ричии. Отметим, что результат теоремы 4.9.1 при дополнительном условии неположительности секционной кривизны гармонического пространства был также получен Ю.А. Николаевским [304].

4.10

Однородные многообразия Эйнштейна малой размерности

В этом параграфе мы приведем известные классификационные результаты для однородных многообразий Эйнштейна малой размерности. 70

Хорошо известно, что эйнштейновы многообразия M n в размерностях n = 2 и n = 3 изометричны пространствам постоянной секционной кривизны. Дальнейшее изложение посвящено размерностям 4 ≤ n ≤ 7. В случае n = 4 полная классификация однородных эйнштейновых многообразий была получена Г. Йенсеном [240]. Теорема 4.10.1 (Г. Йенсен [240]). Пусть M 4 — связное и односвязное однородное многообразие Эйнштейна. Тогда M 4 изометрично риманову симметрическому пространству Отметим, что результат вышеприведенной теоремы справедлив и в компактном и в некомпактном случаях. Начиная с размерности 5 мы эти случаи будем разделять. Кроме того, в силу теоремы Д. В. Алексеевского и Б. Н. Кимельфельда [144] однородное риччи-плоское многообразие является плоским, а значит, изометрично произведению плоского тора на евклидово пространство. Таким образом, в компактном случае мы можем ограничиться исследованием многообразий положительной скалярной кривизны, а в некомпактном — многообразиями отрицательной скалярной кривизны. Заметим, что для классификации компактных однородных многообразий Эйнштейна M n положительной скалярной кривизны достаточно классифицировать инвариантные эйнштейновы метрики на однородных пространствах G/H размерности n, с компактной полупростой группой движений G, действующей почти эффективно на G/H [22]. Пусть p — ортогональное дополнение к подалгебре h в алгебре Ли g относительно ее формы Киллинга, тогда в этом случае присоединенное представление алгебры Ли h в p является точным. Таким образом, h является подалгеброй алгебры so(n), где n = dim(p) = dim(G/H). Перебирая все подалгебры алгебры Ли so(n) с помощью результатов Е. Б. Дынкина [49, 48] далее можно получить полный список однородных компактных пространств G/H размерности n. В силу того, что условие эйнштейновости локально, можно ограничиться исследованием односвязных однородных пространств. Отметим, что топологическая классификация всех односвязных однородных компактных пространств размерности ≤ 9 была получена С. Клаусом в работе [255]. В работе [185] доказана следующая Теорема 4.10.2. Пусть M — односвязное компактное однородное пространство. Тогда существует компактная связная и односвязная полупростая группа Ли G = G1 ×· · ·×Gp , p ≥, действующая транзитивно и почти эффективно на M со связной группой изотропии H, причем pri (H) 6= Gi , 1 ≤ i ≤ p, где через pri обозначена проекция H на Gi . Используя этот структурный результат, К. Боем и М. Керр получили классификацию односвязных компактных однородных пространств в размерности ≤ 12 (см. [185]). В последней работе также даются ссылки на более ранние работы по этой теме. Имея в наличии список однородных компактных пространств заданной размерности, можно классифицировать инвариантные эйнштейновы метрики на каждом из таких пространств. Наиболее удобным методом для такой классификации является вариационный подход. 4.10.1.

Компактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5

Хорошо известны компактные римановы пятимерные симметрические пространства SU (3)/SO(3) (киллингова метрика), S 3 × S 2 (произведение канонических метрик на 71

сферах) и S 5 (каноническая метрика сферы). Второе и третье пространства реализуются соответственно как SU (2)2 / diag(SU (2)) × SO(3)/SO(2) и SO(6)/SO(5) с биинвариантными метриками. Кроме того, (S 5 , ρcan ) допускает представление в виде однородного пространства SU (3)/SU (2) с некоторой инвариантной метрикой. Представление изотропии для последнего пространства распадается в сумму двух неприводимых слагаемых. Доказательство того, что единственной инвариантной эйнштейновой метрикой на SU (3)/SU (2) является каноническая метрика пятимерной сферы было получено Г. Йенсеном в работе [241]. Нетривиальные примеры компактных пятимерных эйнштейновых многообразий были получены М. Ваном и В. Циллером в работе [368]. Среди прочих результатов указанной работы, авторы исследовали инвариантные метрики Эйнштейна на однородных пространствах Ma,b = SU (2)2 /S 1 , где вложение S 1 имеет следующий вид: µ

e2aπit 0 −2aπit 0 e

¶

µ ×

e2bπit 0 −2bπit 0 e

¶ ,

где t ∈ R, r = (a, b) — нетривиальный вектор с целочисленными координатами, причем a и b не имеют общего делителя больше единицы. Все пространства Ma,b диффеоморфны произведению сфер S 3 × S 2 . Используя группу Вейля и внешние автоморфизмы группы SU (2)2 , можно дополнительно считать, что a ≥ b ≥ 0 и a > 0. Пространства Ma,b естественно изучать с помощью расслоений S 1 → Ma,b → SU (2)/S 1 × SU (2)/S 1 = S 2 × S 2 . В работе [368] было доказано, что пространства Ma,b при (a, b) 6= (1, 1) допускают ровно одну, с точностью до изометрии и гомотетии, инвариантную метрику Эйнштейна. Кроме того, пространство M1,1 также допускает по крайней мере одну инвариантную эйнштейнову метрику. Этот же результат был независимо получен Е.Д. Родионовым [328, 107]. Более того, в [107] было показано, что классификация компактных однородных 5-многообразий Эйнштейна может быть сведена, в несимметрическом случае, к классификации инвариантных метрик Эйнштейна на пространстве Ma,b . Отметим также, что M1,1 исключительно среди пространств Ma,b . В то время как на пространствах Ma,b при (a, b) 6= (1, 1) множество инвариантных метрик имеет размерность 3, размерность соответствующего пространства метрик на M1,1 равна 4. Это связано с тем, что в разложении изотропии для этого пространства два из трех неприводимых подмодулей изоморфны между собой. Заметим также, что M1,1 можно рассматривать как расслоение T1 S 3 = SO(4)/SO(2) единичных касательных векторов на сфере S 3 . Полная классификация компактных однородных 5-многообразий Эйнштейна была получена Д.В. Алексеевским, И. Миателло, С. Феррарисом в работе [143]. Теорема 4.10.3. Пусть M 5 — компактное связное и односвязное однородное многообразие Эйнштейна. Тогда M 5 является либо римановым симметрическим пространством, либо оно изометрично, с точностью до подобия, одному из пространств Ma,b ((a, b) 6= (1, 1)) с единственной инвариантной метрикой Эйнштейна или пространству M1,1 с одной из двух инвариантных метрик Эйнштейна. Замечание. Вторая инвариантная метрика на пространстве M1,1 была найдена в работе [143]. Необходимо отметить, что она изометрична произведению симметричных метрик на S 3 × S 2 . 72

4.10.2.

Компактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 6

Компактные шестимерные однородные многообразия Эйнштейна изучались в работах [204, 241, 382, 312]. Шестимерными компактными однородными многообразиями Эйнштейна с симметрической метрикой являются S 6 , S 3 × S 3 , S 2 × S 2 × S 2 (канонические метрики на сферах масштабируются с учетом равенства кривизны Риччи), (4) CP3 = S(U SU , Sp(2) . Отметим, что первые три из приведенных пространств до(1)×U (3)) U (2) пускают различные полупростые транзитивные группы движений. Помимо симметрических римановых пространств на настоящий момент известно четыре компактных шестимерных однородных многообразия Эйнштейна. В работе [312] была доказана следующая Теорема 4.10.4. Пусть G — компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на шестимерном односвязном однородном пространстве M 6 = G/H, где H — замкнутая подгруппа G. Если (G/H, ρ) является однородным эйнштейновым многообразием, то оно или является симметрическим пространством, или изометрично, с точностью до гомотетии, одному из следующих многообразий: (1) CP3 = Sp(2)/(Sp(1) × U (1)) с метрикой ρZ , (2) SU (3)/T 2 с киллинговой метрикой или кэлеровой метрикой, (3) SU (2) × SU (2) = S 3 × S 3 с некоторой левоинвариантной эйнштейновой метрикой. Инвариантные метрики Эйнштейна на SU (3)/T 2 впервые классифицированы в работе Д’Атри-Никерсона [204]. Таких метрик оказалось две, одна из них киллингова, вторая — кэлерова. В работе [382] В. Циллер получил классификацию инвариантных эйнштейновых метрик на пространстве Sp(2)/(Sp(1) × U (1)). Одна из этих метрик симметрическая (соответствующее риманово многообразие изометрично симметрическому пространству SU (4)/S(U (3) × U (1))), вторая (метрика ρZ ) является несимметрической метрикой положительной секционной кривизны с δ-защемленностью 0 < δ ≤ K ≤ 1, где δ = 1/16. Исходя из включения Sp(1) × U (1) ⊂ Sp(1) × Sp(1), можно рассмотреть расслоение Sp(1)/U (1) → Sp(2)/Sp(1) × U (1) → Sp(2)/Sp(1) × Sp(1) или, в другой записи, S 2 → CP3 → HP1 . Метрику ρZ можно получить, изменяя каноническую метрику на CP3 в направлении, касательном к слою S 2 . Хорошо известно, что киллингова метрика на группе SU (2) × SU (2) является симметрической и эйнштейновой. Г. Йенсен в работе [241] нашел вторую левоинвариантную эйнштейнову метрику ρJ на этой группе. Как показано в [205], группа SU (2) × SU (2) с метрикой ρJ изометрична однородному пространству ЛеджераОбаты SU (2)3 / diag(SU (2)) с киллинговой метрикой. Относительно левоинвариантных эйнштейновых метрик на группе SU (2) × SU (2) мы также располагаем следующим результатом. Теорема 4.10.5 ([312]). Пусть ρ — левоинвариантная эйнштейнова метрика на группе Ли SU (2) × SU (2), являющаяся Ad(S 1 )-инвариантной для некоторого вложения S 1 ⊂ SU (2) × SU (2). Тогда метрика ρ изометрична, с точностью до гомотетии, или киллинговой метрике или метрике Йенсена ρJ . 73

Таким образом, проблема полной классификации шестимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий сводится к следующей задаче. Проблема 15. Найти все левоинвариантные метрики Эйнштейна на SU (2) × SU (2). Отметим, что в работе [312] поставленная проблема переформулирована как задача нахождения критических точек явно заданной функции от 15 независимых переменных с одним уравнением связи. 4.10.3.

Компактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 7

Список компактных однородных эйнштейновых многообразий в размерности 7, имеющих симметрическую метрику следующий: S 7 , S 5 × S 2 , S 4 × S 3 , (SU (3)/SO(3)) × S 2 , где S n рассматриваются с метрикой постоянной секционной кривизны, метрика на SU (3)/SO(3) киллингова, а метрики на множителях масштабируются с учетом равенства кривизн Риччи. Отметим, что три последних в этом списке многообразия изометричны соответственно пространствам: SO(6)/SO(5) × SO(3)/SO(2), SO(5)/SO(4) × (SU (2) × SU (2))/SU (2) и SU (3)/SO(3) × SO(3)/SO(2) с подходящей инвариантной метрикой. В то же время каноническая метрика на семимерной сфере S 7 может быть смоделирована как подходящая инвариантная метрика на каждом из однородных пространств SO(8)/SO(7), Spin(7)/G2 или SU (4)/SU (3). В то время как первые из этих двух пространств строго изотропно неприводимы, представление изотропии для SU (4)/SU (3) распадается в сумму двух неприводимых слагаемых. Но, как было показано Г. Йенсеном в [242], SU (4)/SU (3) допускает лишь одну инвариантную метрику Эйнштейна — каноническую метрику сферы S 7 . Примеры семимерных компактных однородных многообразий Эйнштейна, отличные от римановых симметрических многообразий, были найдены Г. Йенсеном [242], Ш. Кобаяси [256], М. Ваном [370], Л. Кастеллани и Л. Дж. Романсом [197], Д. Пейджем и К. Поупом [319], Л. Кастеллани, Р. Д’Аурией и П. Фре [195], Р. Д’Аурией, П. Фре и П. ван Ньювенхьюзеном [206]. Отметим, что семимерные компактные однородные многообразия Эйнштейна представляют особый интерес для теоретической физики в связи теорией 11-мерной супергравитации и суперсимметрии [196, 211, 318]. Из результатов приведенных выше работах вытекает классификация инвариантных эйнштейновых метрик на всех семимерных компактных однородных пространствах за исключением двух особых пространств Алоффа-Уоллача. Классификация инвариантных эйнштейновых метрик на этих пространствах, а вместе с тем и полная классификация семимерных компактных однородных многообразий Эйнштейна, была получена Ю.Г. Никоноровым [80, 309]. Теорема 4.10.6 (Ю. Г. Никоноров [309]). Пусть M 7 — компактное связное и односвязное однородное многообразие Эйнштейна. Тогда оно либо риманово симметрическое пространство, либо изометрично, с точностью до пропорциональности, одному из многообразий в таблице 9. Замечание. В таблице 9 символом gcd обозначен наибольший общий делитель, символом ρcan обозначена каноническая метрика 7-мерной сферы S 7 ; а символом ρJ обозначена эйнштейнова метрика на S 7 , которая была найдена Г. Йенсеном [242] с помощью расслоения Хопфа S 3 → S 4n+3 → HPn при n = 1. 74

Таблица 9 M7

N

Инвариантные метрики Эйнштейна

1

Sp(2) SU (2)

-

киллингова

строго изотропно неприводимое 2

SO(5) SO(3)

= V (5, 3)

ρK 2 неизометричных

3

Sp(2) Sp(1)

= S7

метрики Эйнштейна, ρcan (симметрическая) и ρJ

4

SU (3)×SU (2) SU (2)×S 1

= Na,b ;

a > 0, b > 0, gcd(a, b) = 1 5a

3

SU (2) SO(2)×SO(2)

= Ma,b,c ;

a ≥ b ≥ c > 0, gcd(a, b, c) = 1

1 метрика при каждом вложении 1 метрика при каждом вложении 2 метрики

5b

2

Ma,b,0 = Ma,b × S ;

при (a,b)=(1,1) и

a ≥ b > 0, gcd(a, b) = 1

1 метрика при остальных вложениях

6

SU (3) SO(2)

= Wa,b ;

2 метрики при

a ≥ b ≥ 0, a > 0, gcd(a, b) = 1

каждом вложении

Замечание. В последних трех случаях, представленных в таблице 9, речь идет о счетном семействе однородных пространств, которые зависят от вложения подгруппы изотропии H и могут быть рассмотрены как S 1 -расслоения над CP2 × S 2 , S 2 × S 2 × S 2 и SU (3)/T 2 соответственно. Пространство Sp(2)/SU (2) является строго изотропно неприводимым и допускает единственную (киллингову) инвариантную метрику Эйнштейна [22]. Существует единственная инвариантная метрика Эйнштейна ρK на многообразии Штифеля SO(5)/SO(3). Она была найдена Ш. Кобаяси [22, 256] при помощи расслоения SO(n)/SO(n − 2) = T1 S n−1 → B = SO(n)/(SO(n − 2) × SO(2)) единичных касательных векторов к сфере S n−1 со слоем S 1 = SO(2). Метрика ρK такова, что указанное расслоение является римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями, а метрика на базе B = SO(n)/(SO(n − 2) × SO(2)) симметрическая. Единственность инвариантной эйнштейновой метрики на SO(5)/SO(3) была доказана в работе [159]. Другой подход к исследованию инвариантных метрик Эйнштейна на рассматриваемом однородном пространстве изложен в [250]. Как было установлено В. Циллером в работе [382], на пространстве Sp(2)/Sp(1) существует ровно две инвариантные метрики Эйнштейна. Одна из этих метрик — каноническая метрика на сфере S 7 , вторая метрика ρJ была найдена Г. Йенсеном [242]. Секционная кривизна K этой метрики удовлетворяет неравенству 0 < δ ≤ 75

K ≤ 1 при δ = 1/25. Отметим также, что метрики ρcan и ρJ являются инвариантными относительно действия более обширных групп Sp(2) × U (1) и Sp(2) × Sp(1) [242, 382]. Каждое из пространств Na,b = (SU (3) × SU (2))/(SU (2) × S 1 ) определяется вложением вида SU (2) × S 1 ⊂ SU (2) × (S 1 × S 1 ) = (SU (2) × S 1 ) × S 1 ⊂ SU (3) × SU (2), где S 1 имеет коэффициент наклона (a, b) в торе S 1 × S 1 . Среди пространств Na,b существуют пространства различных гомотопических типов, некоторые из Na,b гомеоморфны S 5 × S 2 [270, 368]. Инвариантные эйнштейновы метрики на этих пространствах были найдены Л. Кастеллани, Р. Д’Аурией и П. Фре [195] в контексте 11-мерной теории супергравитации. В этой работе доказано, что каждое из пространств Na,b допускает единственную инвариантную метрику Эйнштейна, с точностью до изометрии и гомотетии. М. Ван и В. Циллер установили тот же результат, используя S 1 -расслоения над CP2 × CP1 с различными классами когомологий [368]. Однородные пространства Ma,b,c = (SU (2) × SU (2) × SU (2))/(SO(2) × SO(2)) можно описать следующим образом. Рассмотрим разложение максимального тора Tmax группы Ли SU (2) × SU (2) × SU (2) вида Tmax = T 2 × S 1 , где точки S 1 имеют вид ¶ µ 2bπit ¶ µ 2cπit ¶ µ 2aπit e 0 e 0 e 0 × × , 0 e−2aπit 0 e−2cπit 0 e−2bπit где в свою очередь t ∈ R, r = (a, b, c) — нетривиальный вектор с целочисленными координатами, имеющими 1 в качестве своего наибольшего общего делителя. Соответствующее пространство (SU (2) × SU (2) × SU (2))/T 2 мы обозначаем через Ma,b,c . Отметим, что все эти пространства диффеоморфны S 3 × S 2 × S 2 [255]. Используя группу Вейля SU (2)3 и внешние автоморфизмы, можно считать, что a ≥ b ≥ c ≥ 0 и a > 0. Существование инвариантных метрик Эйнштейна на Ma,b,c было впервые доказано Р. Д’Аурией, П. Фре и П. ван Ньювенхьюзеном в работе [206]. Кроме того, в этой работе была показана единственность такой метрики, с точностью до изометрии и гомотетии, при (a, b, c) 6= (1, 1, 0). Другими методами этот же результат получен в работах [368], [329]. Как следует из классификации компактных однородных многообразий Эйнштейна в размерности 5, на пространстве M1,1,0 существуют ровно две инвариантные эйнштейновы метрики. Пространства Алоффа-Уоллача Wk,l = SU (3)/SO(2) определяются вложениями SO(2) = S 1 в SU (3) вида e2πiθ 7→ diag(e2πikθ , e2πilθ , e2πimθ ), где k, l, m — целые числа с наибольшим общим делителем 1, дополнительно удовлетворяющие соотношению k + l + m = 0. Эти пространства были исследованы С. Алоффом и Н. К. Уоллачем в [147]. В этой работе они доказали, что пространства Wk,l при kl(k + l) 6= 0 допускают метрики положительной секционной кривизны. Кроме того, H 4 (Wk,l ; Z) = Z/|k 2 + l2 + kl|Z, таким образом, на пространствах Wk,l реализуется бесконечно много гомотопических типов. Позже М. Крек и С. Штольц показали в [271], что среди пространств Алоффа-Уоллача существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные между собой пространства. Принимая в расчет действие группы Вейля для SU (3), можно считать, что k ≥ l ≥ 0. Ш. Кобаяси в [256], используя S 1 -расслоение над SU (3)/T 2 , нашел одну инвариантную метрику Эйнштейна на пространстве W1,1 . Эта метрика такова, что указанное расслоение является римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями и 76

с кэлеровой метрикой на базе. Вторую метрику на W1,1 обнаружил Г. Йенсен [242]. Эйнштейновы инвариантные метрики на пространствах Wk,l общего вида были исследованы М. Ваном в работе [370], где было показано, что каждое пространство Wk,l допускает по крайней мере одну инвариантную метрику Эйнштейна. Существование инвариантной метрики Эйнштейна на каждом из пространств Wk,l было установлено также Л. Кастеллани и Л. Дж. Романсом [197]. Д. Пейдж и К. Поуп доказали в [319], что существует ровно две, с точностью до изометрии и гомотетии, эйнштейновых инвариантных метрики на каждом из пространств Wk,l за исключением случаев (k, l) = (1, 0) и (k, l) = (1, 1). Другой подход к классификации инвариантных метрик Эйнштейна на пространствах Алоффа-Уоллача был использован О. Ковальским и З. Влашеком в [267], в которой также было показано, что одна из эйнштейновых метрик на пространствах Wk,k+1 для достаточно больших k имеет положительную секционную кривизну. Наконец, в работе Ю. Г. Никонорова [80] было показано, что на каждом из пространств W1,0 и W1,1 существует ровно две, с точностью до изометрии и гомотетии, инвариантных метрики Эйнштейна. Для этой цели был применен вариационный принцип, то есть исходная проблема была сведена к задаче конечномерного анализа. В качестве уточнения можно добавить, что классификация инвариантных метрик Эйнштейна на пространстве W1,0 (W1,1 ) сводится к задаче нахождения всех критических точек функции, зависящей от пяти (соответственно, семи) независимых переменных с одним уравнением связи. Отметим также, что для пространства W1,0 в работе [80] была найдена ранее не известная инвариантная метрика Эйнштейна. 4.10.4.

Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5

Д. В. Алексеевский в работе [3] доказал для каждого однородного пространства M неположительной секционной кривизны существование нормальной разрешимой группы, действующей на M просто транзитивно. Такая редукция позволила получить классификацию однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны для размерностей ≤ 5 [3]. Отметим также, что в процитированной работе Д. В. Алексеевский нашел все стандартные пятимерные эйнштейновы солвмногообразия. Полная классификация пятимерных эйнштейновых солвмногообразий получена Ю. Г. Никоноровым в [83]. В частности, в этой работе показано, что все эйнштейновы солвмногообразия размерности 5 являются стандартными. Классификацию пятимерных некомпактных однородных многообразий Эйнштейна дает следующее утверждение. Теорема 4.10.7 (Ю. Г. Никоноров [310]). Пусть (M 5 , ρ) — связное и односвязное некомпактное однородное многообразие Эйнштейна размерности 5, Ric(ρ) = −r2 ρ (r > 0). Тогда (M 5 , ρ) изометрично одному из солвмногообразий (S, ρ˜), порожденных метрическими алгебрами Ли (s, Q) из приводимого ниже списка. Для каждой метрической алгебры Ли указан ортонормированный относительно Q базис и нетривиальные коммутаторы базисных векторов. 1) {X1 , X2 , X3 , X4 , Y }, [Y, Xi ] = 2r Xi , 1 ≤ i ≤ 4. √ 2 2) {X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 }, [Y1 , Xi ] = √r3 Xi (1 ≤ i ≤ 3), [Y2 , X1 ] = t+ 2−3t rX1 , 2 √ √ 2 rX3 для некоторого t ∈ [0, 1/ 6]. [Y2 , X2 ] = −t · rX2 , [Y2 , X3 ] = t− 2−3t 2 q 2 rX3 , [Y1 , Xi ] = √r6 Xi (1 ≤ i ≤ 2), 3) {X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 }, [X1 , X2 ] = 3 q [Y1 , X3 ] = 23 rX3 , [Y2 , X1 ] = √r2 X1 , [Y2 , X2 ] = − √r2 X2 . 77

q 4)

{X1 , X2 , X3 , X4 , Y }, [X1 , X2 ] =

[Y, X3 ] =

√4r X3 , 33

[Y, X4 ] =

√3r X4 . 33

2 rX3 , 3

[Y, X1 ] =

q

2 5) {X1 , X2 , X3 , X4 , Y }, [X1 , X2 ] = rX3 , [X1 , X3 ] 3 2r 3r [Y, X2 ] = √30 X2 , [Y, X3 ] = √30 X3 , [Y, X4 ] = √4r30 X4 .

√2r X1 , 33

q =

2 rX4 , 3

[Y, X2 ] =

√2r X2 , 33

[Y, X1 ] =

√r X1 , 30

Все солвмногообразия, соответствующие вышеприведенным метрическим алгебрам Ли, являются попарно неизометричными. Отметим, что все метрические эйнштейновы алгебры Ли, приведенные в формулировке теоремы 4.10.7, были найдены ранее Д. В. Алексеевским в работе [3]. Солвмногообразие, соответствующее метрической алгебре Ли из пункта 1), изометрично пространству постоянной отрицательной кривизны (симметрическому пространству SO0 (5, 1)/SO(5)). Метрические алгебры Ли√из пункта 2) при фиксированном r образуют непрерывное семейство. При t = 1/ 6 соответствующее солвмногообразие является прямым произведением двумерного и трехмерного пространств постоянной кривизны (произведение SO0 (2, 1)/SO(2) и SO0 (3, 1)/SO(3)). При t ∈ √ [0, 1/ 6) соответствующее солвмногообразие имеет секционные кривизны разных знаков. Максимальное значение для таких секционных кривизн равно r2 (1/6 − t2 ). Солвмногообразие, соответствующее метрической алгебре Ли из пункта 3), изометрично симметрическому пространству SL(3, R)/SO(3). Секционная кривизна солвмногообразия, которое соответствует метрической алгебре Ли из пункта 4), ограничена сверху числом −5r2 /66 [3]. Наконец, солвмногообразие, соответствующее метрической алгебре Ли из пункта 5), также имеет секционные кривизны разных знаков. Во всех пунктах теоремы 4.10.7 векторы Xi образуют ортонормированный базис нильрадикала n алгебры Ли s. Более того, n = [s, s], т.е. нильрадикал совпадает с производной алгеброй алгебры Ли s. Нильрадикал n коммутативен в точности для алгебр Ли из пунктов 1) и 2) теоремы 4.10.7. Векторы Yi в каждой из вышеприведенных метрических алгебр Ли образуют ортонормированный базис в a — ортогональном дополнении к n в s. Для всех случаев a является коммутативной подалгеброй алгебры Ли s. Это в точности означает, что все приведенные метрические алгебры Ли являются стандартными. Более того, все эти алгебры являются алгебрами типа Ивасавы. Следствие. Каждое связное и односвязное пятимерное однородное эйнштейново многообразие отрицательной скалярной кривизны изометрично некоторому стандартному эйнштейновому солвмногообразию. Каждая пятимерная неплоская эйнштейнова метрическая алгебра Ли является стандартной. Солвмногообразия, соответствующие метрическим алгебрам из пунктов 1)-5) формулировки теоремы 4.10.7, имеют спектральные типы (1; 4), (1; 3), (1 < 2; 2, 1), (2 < 3 < 4; 2, 1, 1), (1 < 2 < 3 < 4; 1, 1, 1, 1) соответственно. Основная идея доказательства теоремы 4.10.7 заключается в установлении того факта, что любое связное и односвязное пятимерное некомпактное многообразие Эйнштейна отрицательной кривизны Риччи изометрично некоторому эйнштейновому солвмногообразию, и в использовании классификации пятимерных эйнштейновых солвмногообразий, полученной ранее в [83]. При этом существенно используются результаты работ [176, 209, 76, 79]. Замечание. Заметим, что все несимметрические солвмногообразия, порождаемые метрическими алгебрами Ли из списка теоремы 4.10.7 неприводимы по де Раму, поскольку в противном случае они представлялись бы в виде прямого произ78

ведения двух однородных эйнштейновых многообразий размерности ≤ 3, а каждое такое многообразие симметрично [240, 22]. 4.10.5.

Эйнштейновы солвмногообразия размерности 6

К сожалению, в настоящее время полной классификацией шестимерных некомпактных однородных многообразия Эйнштейна мы не располагаем. Известна лишь классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообразий. Теорема 4.10.8 (Е. В. Никитенко - Ю. Г. Никоноров [74]). Пусть (s, Q) — шестимерная эйнштейнова разрешимая метрическая алгебра Ли, Ric(Q) = −r2 Q (r > 0). Тогда (s, Q) изометрична одной из метрических алгебр Ли, перечисленных в следующем списке. Для каждой из алгебр указан ортонормированный относительно Q базис и нетривиальные коммутаторы базисных векторов. 1) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = √r2 X5 , [X3 , X4 ] = √r2 X5 , [Y1 , Xi ] = 2√r 2 Xi (1 ≤ i ≤ 4), [Y1 , X5 ] = √r2 X5 . q 2r √ 2) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = 7 X3 , [X1 , X4 ] = 27 rX5 , [X2 , X3 ] = √2r7 X5 , q q q q 2 3 7 3 [Y1 , X1 ] = 2 105 rX1 , [Y1 , X2 ] = rX , [Y , X ] = rX , [Y , X ] = 2 rX4 , 1 3 1 4 2 3 70 30 70 q [Y1 , X5 ] = 10 rX5 . 21 q q 6 6 3) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = rX , [X , X ] = rX4 , [X1 , X4 ] = 3 1 3 11 11 √2r X5 , 11

[X2 , X3 ] = √2r11 X5 , [Y1 , X1 ] = [Y1 , X4 ] = √4r55 X4 , [Y1 , X5 ] = √5r55 X5 .

√r X1 , 55

[Y1 , X2 ] =

√2r X2 , 55

[Y1 , X3 ] =

√3r X3 , 55

q 4) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = √r2 X3 , [X1 , X3 ] = 23 rX4 , [X1 , X4 ] = √r2 X5 , √ √ √ √ 1 3 [Y1 , X1 ] = 30 6rX1 , [Y1 , X2 ] = 20 6rX2 , [Y1 , X3 ] = 11 6rX3 , [Y1 , X4 ] = 13 6rX4 , 60 60 √ 1 [Y1 , X5 ] = 4 6rX5 . 5) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = √r2 X4 , [X1 , X3 ] = √r2 X5 , [Y1 , X1 ] = 3√r 2 X1 , √ X4 , [Y1 , X5 ] = 5r √ X . [Y1 , X2 ] = 2√r 2 X2 , [Y1 , X3 ] = 2√r 2 X3 , [Y1 , X4 ] = 65r 2 6 2 5 q 6) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = 23 rX3 , [X1 , X3 ] = √r2 X4 , [X2 , X3 ] = √r2 X5 , √ [Y1 , X1 ] = 2√r 6 X1 , [Y1 , X2 ] = 2√r 6 X2 , [Y1 , X3 ] = √r6 X3 , [Y1 , X4 ] = 41 6rX4 , [Y1 , X5 ] = √ 1 6rX5 . 4 q q 2 7) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = 3 rX3 , [X1 , X3 ] = 23 rX4 , [Y1 , X1 ] = √r39 X1 , [Y1 , X4 ] = √4r39 X4 , [Y1 , X5 ] = √3r39 X5 . q q q 2 2 2 rX2 , 8) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [X1 , X2 ] = 3 rX3 , [Y1 , X1 ] = 21 rX1 , [Y1 , X2 ] = 21 q q q 2 3 3 rX3 , [Y1 , X4 ] = 14 rX4 , [Y1 , X5 ] = 14 rX5 . [Y1 , X3 ] = 2 21 r 9) {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 }, [Y1 , Xi ] = √5 Xi (1 ≤ i ≤ 5). q 10) {X1 , X2 , X3 , X4 , Y1 , Y2 }, [X1 , X2 ] = 23 rX3 , [Y1 , X1 ] = √2r33 X1 , [Y1 , X2 ] = √2r33 X2 , q [Y1 , X3 ] = √4r33 X3 , [Y1 , X4 ] = √3r33 X4 , [Y2 , X1 ] = t · rX1 + r 12 − 11t2 X2 , [Y2 , X2 ] = q r 12 − 11t2 X1 + t · rX2 , [Y2 , X3 ] = 2t · rX3 , [Y2 , X4 ] = −4t · rX4 для некоторого √ t ∈ [0, 1/ 22]. q q 2 11) {X1 , X2 , X3 , X4 , Y1 , Y2 }, [X1 , X2 ] = 3 rX3 , [X1 , X3 ] = 23 rX4 , [Y1 , X1 ] = √r30 X1 , [Y1 , X2 ] =

√2r X2 , 39

[Y1 , X3 ] =

√3r X3 , 39

79

[Y1 , X2 ] = √2r30 X2 , [Y1 , X3 ] = √3r30 X3 , [Y1 , X4 ] = √4r30 X4 , [Y2 , X1 ] = √3r30 X1 , [Y2 , X2 ] = − √4r30 X2 , [Y2 , X3 ] = − √r30 X3 , [Y2 , X4 ] = √2r30 X4 . 12) {X1 , X2 , X3 , X4 , Y1 , Y2 }, [Y1 , Xi ] = 2r Xi (1 ≤ i ≤ 4), [Y2 , X1 ] = 2√1+s+t rX1 , 1+t2 +s2 1−s−t t−s−1 s−t−1 [Y2 , X2 ] = 2√1+t2 +s2 rX2 , [Y2 , X3 ] = 2√1+t2 +s2 rX3 , [Y2 , X4 ] = 2√1+t2 +s2 rX4 для некоторых 0 ≤ s ≤ t ≤ 1. 13) {X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 , Y3 }, [Y1 , Xi ] = √r3 Xi (1 ≤ i ≤ 3), [Y2 , X2 ] = √r2 X2 , [Y2 , X3 ] = − √r2 X3 , [Y3 , X1 ] = − √2r6 X1 , [Y3 , X2 ] = √r6 X2 , [Y3 , X3 ] = √r6 X3 . Все перечисленные метрические алгебры Ли являются попарно неизометричными. В каждом из случаев, описанных в теореме, векторы Xi образуют ортобазис в нильрадикале n алгебры s. При этом n = [s, s], т. е. нильрадикал совпадает с производной алгеброй алгебры Ли s. Лишь для метрических алгебр Ли из пунктов 9), 12) и 13) теоремы 4.10.8 нильрадикал n является коммутативным. Векторы Yi образуют ортобазис в a — ортогональном дополнении к n в алгебре s. В каждом случае a является коммутативной подалгеброй алгебры Ли s. Таким образом, все приведенные метрические алгебры Ли являются стандартными и даже алгебрами типа Ивасавы. Следствие. Все неплоские эйнштейновы разрешимые метрические алгебры Ли (солвмногообразия) размерности 6 являются стандартными. Метрические алгебры Ли (как стандартные эйнштейновы) из пунктов 1)-9) теоремы 4.10.8 имеют ранг 1, алгебры из пунктов 10)-12) – ранг 2, а алгебра из пункта 13) имеет ранг 3. Кроме того, эйнштейновы солвмногообразия, соответствующие метрическим алгебрам Ли из пунктов 1)-13) имеют спектральные типы (1 < 2; 4, 1), (3 < 4 < 6 < 7 < 10; 1, 1, 1, 1, 1), (1 < 2 < 3 < 4 < 5; 1, 1, 1, 1, 1), (2 < 9 < 11 < 13 < 15; 1, 1, 1, 1, 1), (2 < 3 < 5; 1, 2, 2), (1 < 2 < 3; 2, 1, 2), (1 < 2 < 3 < 4; 1, 1, 2, 1), (2 < 3 < 4; 2, 2, 1), (1; 5) (2 < 3 < 4; 2, 1, 1), (1 < 2 < 3 < 4; 1, 1, 1, 1), (1; 4), (1; 3) соответственно. Подчеркнем, что наиболее сложной частью доказательства приведенных выше результатов являлось обоснование стандартности шестимерных эйнштейновых солвмногообразий. Затем, учитывая стандартность всех эйнштейновых солвмногообразий размерности 6, классификация сводится к классификации солвмногообразий с различными типами нильрадикалов. Отметим, что классификация шестимерных эйнштейновых метрических алгебр с нильрадикалом коразмерности 1 получена ранее Х. Лоре в работе [279]. В работе [3] Д. В. Алексеевским было показано, что связное и односвязное однородное риманово пространство неположительной секционной кривизны изометрично стандартному солвмногообразию. Поэтому приведенная выше теорема 4.10.8 приводит к классификации шестимерных однородных эйнштейновых многообразий неположительной секционной кривизны. Теорема 4.10.9 ([74]). Пусть (M, ρ) – шестимерное связное односвязное однородное эйнштейново многообразие неположительной секционной кривизны, тогда оно либо симметрическое, либо изометрично солвмногообразию отрицательной секционной кривизны, которое порождается одной из двух нижеприведенных метрических алгебр Ли: 1) [X1 , X2 ] = √r2 X4 , [X1 , X3 ] = √r2 X5 , [Y1 , X1 ] = 3√r 2 X1 , [Y1 , X2 ] = 2√r 2 X2 , √ X4 , [Y1 , X5 ] = 5r √ X ; [Y1 , X3 ] = 2√r 2 X3 , [Y1 , X4 ] = 65r 2 6 2 5 q q q q 2 2 2 2 rX3 , 2) [X1 , X2 ] = 3 rX3 , [Y1 , X1 ] = 21 rX1 , [Y1 , X2 ] = 21 rX2 , [Y1 , X3 ] = 2 21 q q 3 3 rX4 , [Y1 , X5 ] = 14 rX5 , [Y1 , X4 ] = 14 80

где r > 0 определяется условием Ric(ρ) = −r2 ρ. Метрические алгебры Ли, указанные в теореме 4.10.9 фигурируют в списке теоремы 4.10.8 под номерами 5) и 8) соответственно. Шестимерными симметрическими эйнштейновыми солвмногообразиями являются солвмногообразия, соответствующие √ метрическим алгебрам Ли из списка теоремы 4.10.8 с номерами 1), 9), 10) при t = 1/ 22, 11), 12) при (s, t) = (0, 0), 12) при (s, t) = (1, 1), 13). Указанные эйнштейновы солвмногообразия изометричны следующим симметрическим пространствам соответственно (прямые произведения берутся с учетом равенства кривизны Риччи на всех сомножителях): SU (3, 1)/S(U (3) × U (1)), SO0 (6, 1)/SO(6) (пространство постоянной отрицательной кривизны ), SU (2, 1)/S(U (2) × U (1)) × SO0 (2, 1)/SO(2), SO0 (3, 2)/SO(3) × SO(2), SO0 (3, 1)/SO(3) × SO0 (3, 1)/SO(3), SO0 (2, 1)/SO(2) × SO0 (4, 1)/SO(4), SO0 (2, 1)/SO(2) × SO0 (2, 1)/SO(2) × SO0 (2, 1)/SO(2). Первые два из перечисленных симметрических пространств (симметрические пространства ранга 1) имеют отрицательную секционную кривизну, остальные пространства имеют двумерные площадки с нулевой секционной кривизной. Замечание. Заметим, что все несимметрические солвмногообразия, порождаемые метрическими алгебрами Ли из списка теоремы 4.10.8 неприводимы по де Раму, поскольку в противном случае они представлялись бы в виде прямого произведения двух однородных эйнштейновых многообразий размерности ≤ 4, а каждое такое многообразие симметрично [240, 22]. 4.10.6.

Перспективы классификации однородных эйнштейновых многообразий малой размерности

С. Уилл в работе [372] классифицировала семимерные эйнштейновы солвмногообразия (они заведомо стандартны) ранга 1. Таких солвмногообразий оказалось 34. Пользуясь указанным результатом C. Уилл, Е.В. Никитенко в работе [72] получил классификацию семимерных однородных эйнштейновых многообразий отрицательной секционной кривизны (все такие многообразия являются эйнштейновыми солвмногообразиями ранга 1). Понятно, что с возрастанием размерности количество эйнштейновых солвмногообразий будет еще большим. Это демонстрируют и многочисленные примеры известных солвмногообразий [232, 278, 279, 224, 251]. К сожалению, на настоящий момент не известно даже классификации нильпотентных вещественных алгебр Ли в размерностях ≥ 8. Это обстоятельство является несомненным препятствием для полной классификации эйнштейновых солвмногообразий в размерностях ≥ 9. Как уже упоминалось в этом обзоре, К. Боем и М. Керр классифицировали все компактные односвязные однородные пространства размерности ≤ 12 и доказали, что все такие пространства в размерности ≤ 11 допускают однородную метрику Эйнштейна. Таким образом, в компактном случае перспектива классификации однородных эйнштейновым многообразий M n для размерностей 8 ≤ n ≤ 12 кажутся более обнадеживающими. Но наибольшую сложность в этом случае представляет классификация левоинвариантных метрик на полупростых группах Ли. В настоящее время нет такой классификации даже для группы G = SU (2) × SU (2), размерность пространства инвариантных метрик на которой (после редукции по действию 81

G, как нормализатора {e}) равна 15. Заметим, что на восьмимерной группе SU (3) размерность аналогичного пространства равна уже 28. Таким образом, без привлечения новых идей классификация левоинвариантных метрик даже на этой группе практически невозможна.

82

Глава 5

Локально конформно однородные пространства 5.1

Локально однородные пространства

Кратко напомним, следуя [358], основные факты теории локально однородных римановых пространств. Определение 5.1.1. Риманово многообразие (M, g) называется локально однородным, если псевдогруппа локальных изометрий действует на нем транзитивно. Замечание. Если (M, ³ g) к´тому же является полным, то универсальное рима˜ , g˜ будет глобально однородным. Поэтому (M, g) будет нового накрывающее M ˜ = G/H c Gлокально изометрично римановому однородному пространству M инвариантной римановой метрикой g˜. Это перестает быть верным, если отказаться от предположения полноты. В этом случае существуют примеры локально однородных римановых многообразий, которые локально не изометричны никакому однородному пространству. В 1958 г. Амброуз и Зингер дали локальную характеристику однородных римановых многообразий [148]. Теорема 5.1.1. Риманового многообразие (M, g) локально однородно, если и только если существует метрическая линейная связность ∇ такая, что ∇T 0 = ∇R0 = 0,

(5.1)

где T 0 и R0 – кручение и кривизна связности ∇. Определение 5.1.2. Любая метрическая линейная связность ∇ с параллельным кручением и кривизной на (M, g) называется AS-связностью. Каждой такой связности можно сопоставить алгебраический объект, называемый инфинитезимальной моделью. Определение 5.1.3. Инфинитезимальной моделью на евклидовом пространстве V со скалярным произведением h, i называется пара тензоров (T, K) на V T : V → End(V ), K : V × V → End(V ),

X → TX , (X, Y ) → KXY 83

таких, что TX Y = −TY X, KXY = −KY X , h KXY Z, W i + h KXY W, Zi = 0 KXY ◦ T = KXY ◦ K = 0, KXY Z + KY Z X + KZX Y + TTX Y Z + TTY Z X + TTZ X Y = 0, KTX Y Z + KTY Z X + KTZ X Y = 0. Определение 5.1.4. Две инфинитезимальные модели (T, K) на V , и (T 0 , K 0 ) на V 0 , изоморфны, если существует изометрия F : V → V 0 такая, что TF0 X F Y = F TX Y, KF0 XF Y F Z = F KXY Z Инфинитезимальная модель, ассоциированная с AS-связностью ∇, определяется в каждой точке p ∈ M по правилу: V = Tp M , h·, ·i = gp , T = Tp0 , K = Rp0 . Обратно, каждой инфинитезимальной модели соответствует однозначно определенное, с точностью до локальной изометрии, локально однородное риманово многообразие [275]. Теорема 5.1.2. Пусть (T, K) инфинитезимальная модель на V , тогда существует локально однородное риманового многообразие (M, g) и AS-связность ∇ на нем такие, что соответствующая инфинитезимальная модель изоморфна данной. Кроме того, (M, g) определено с точностью до локальной изометрии. Заметим, что конструкция Номидзу позволяет ассоциировать с каждой инфинитезимальной моделью на V некоторую алгебру Ли g вместе с ее редуктивным разложением g = V ⊕ h (h – подалгебра g и [h, V ] ⊂ V ). А именно, пусть so(V ) алгебра Ли кососимметричных эндоморфизмов V , h – подалгебра so(V ), определенная по правилу h = {A ∈ so(V ) : A ◦ T = A ◦ K = 0} .

(5.2)

Тогда алгебра Ли g есть прямая сумма V и h, снабженная следующей скобкой Ли [X, Y ] = −TX Y + KXY , [A, X] = A(X), [A, B] = AB − BA, где X, Y – элементы V , а A, B – элементы h. С учетом данной конструкции приведем Определение 5.1.5. Пусть G – связная односвязная группа Ли, соответствующая алгебре g, и H – связная подгруппа в G, соответствующая подалгебре h. Если H замкнута в G, то инфинитеземальная модель (T, K) называется регулярной. Замечание. В этом случае локально однородное риманового многообразие (M, g), ассоциированное с (T, K) в смысле теоремы 5.1.2, локально изометрично однородному пространству G/H c соответствующей G-инвариантной римановой метрикой индуцированной скалярным произведением на V . Действительно, пусть g = V ⊕ h есть редуктивное разложение алгебры Ли группы G. Тогда каноническая связность второго типа [62], ассоциированная с этим разложением, есть AS-связность, чье кручение и кривизна в точке совпадают с T и K. Следовательно, (M, g) локально изометрично G/H. 84

Локально однородным римановым пространствам посвящены многочисленные работы (см., например, [358, 275, 359, 261]), причем существуют локально однородные римановы многообразия, которые локально не изометричны никакому однородному риманову пространству [261].

5.2

Локально конформно однородные пространства

Определение 5.2.1. Псевдориманово многообразие (M, g) называется локально конформно однородным, если псевдогруппа локальных конформных преобразований действует на нем транзитивно. Определение локально однородного и локально-конформно однородного пространства можно переформулировать в терминах киллинговых и конформно-киллинговых векторных полей. Пусть ds2 = gij dxi dxj – псевдориманова метрика на многообразии M n , ∇ – линейная связность Леви-Чивита, Rijks – тензор кривизны, Rij – тензор Риччи, Ric(ξ) = Rij ξ i ξ j – кривизна Риччи в направлении единичного вектора ξ, R – скалярная кривизна, Wijkl – тензор Вейля метрики ds2 . Определение 5.2.2. Векторное поле v определяет инфинитезимальное изометричное преобразование псевдориманова пространства и называется киллинговым, если vi,j + vj,i = 0. (5.3) Соответственно, векторное поле v определяет инфинитезимальное конформное преобразование псевдориманова пространства и называется конформно-киллинговым, если vi,k + vk,i = 2wgik . (5.4) для некоторой функции w. Определение 5.2.3. Пусть {M n , ds2 } – связное псевдориманово многообразие для любой точки x0 которого и любого касательного вектора ~v0 ∈ Tx0 M существует векторное поле v(x) в окрестности точки x0 ∈ M , удовлетворяющее системе (5.3) такое, что v(x0 ) = ~v0 . Многообразие в этом случае назовем локально однородным пространством. Соответственно, если векторное поле v(x) удовлетворяет системе уравнений (5.4), то многообразие назовем локально конформно однородным пространством. Система уравнений (5.4) изучалась в работах [378], [200]. Следуя [94], можно найти линейную систему уравнений, эквивалентную (5.4). С помощью этой системы можно более детально исследовать конформно-киллинговы векторные поля. Теорема 5.2.1. Система уравнений (5.4) на векторное поле v(x) эквивалентна линейной системе на тензорные поля vj , ηij , w, ζp : vj,p ηij,p w,p ςj,p

= ηjp + gjp w, (5.5) a (5.6) = va R pij + gip ζj − gjp ζi , = ζp , (5.7) b a a (5.8) = ηpa Aj + ηja Ap − Ajp,b v − 2wAjp , ³ ´ Rgjp 1 где Ajp = n−2 Rjp − 2(n−1) – тензор одномерной кривизны, vj – ковариантные компоненты векторного поля v(x), ηij – кососимметричный ковариантный тензор, w – 85

функция, ζp – ковекторное поле. При этом условия интегрируемости системы (на решение) имеют вид: v a Wijsk,a + 2wWijsk − ηi.a Wajsk − ηj.a Wiask − ηs.a Wijak − ηk.a Wijsa = 0, ζa W ajps − 3wSjps − v t Sjps,t + ηj.a Saps + ηp.a Sjas + ηs.a Sjpa = 0,

(5.9)

где Sjps = Ajp,s − Ajs,p – тензор Схоутена-Вейля. Замечание. Аналогичным образом можно показать, что уравнения Киллинга (5.3) на векторное поле эквивалентны линейной однородной системе vj,k = ηjk , (ηij ),k = va Rakij ,

(5.10)

где vj – ковариантные компоненты векторного поля v(x), ηij – кососимметричный ковариантный тензор. При этом условие интегрируемости системы (на решение) имеет вид v a Rijsk,a − ηi.a Rajsk − ηj.a Riask − ηs.a Rijak − ηk.a Rijsa = 0. (5.11) Отметим, что при w = 0 система (5.5-5.8) сводится к системе уравнений (5.10). Замечание. При n = 3 тензор Вейля тождественно равен нулю, и следовательно первое равенство в (5.9) выполняется автоматически, а второе равенство принимает вид −3wSjps − v t Sjps,t + ηj.a Saps + ηp.a Sjas + ηs.a Sjpa = 0. При n ≥ 4 второе равенство в (5.9) есть следствие первого [200], для доказательства достаточно ковариантно продифференцировать первое равенство по переменной xi , свернуть по индексу i и учесть тождество W ijsk,i = (n − 3)Sjsk . Замечание. Условие интегрируемости можно записать в более компактной форме [378], используя производную Ли: a Lv Sijk = W.ijk w,a .

Lv Wijks = 2wWijks , Справедливы леммы [112].

Лемма 5.2.1. Пусть n ≥ 4 и |W |2 = const 6= 0, либо n = 3 и |S|2 = const 6= 0, тогда конформно-киллингово векторное поле v будет киллинговым. Действительно, умножая первое равенство в (5.9) на W ijsk и сворачивая индексы, получим равенство ¢ 1 a¡ v |W |2 ,a + 2w |W |2 = 0. 2 Аналогично, умножая второе равенство в (5.9) на S jps и сворачивая индексы, получим равенство ¢ 1 ¡ ζa W ajps S jps − 3w |S|2 − v t |S|2 ,t = 0. 2 Следовательно, при любом n ≥ 3 имеем w ≡ 0 и ζs ≡ 0, а значит векторное поле v будет киллинговым. 86

Лемма 5.2.2. Пусть {M, ds2 } – псевдориманово и векторное поле n многообразие o 2 i v = {v } – киллингово. Тогда на многообразии M, ds , полученном из исходного 2

конформной деформацией метрики ds = e2σ(t) ds2 , векторное поле v = {v i } будет конформно-киллинговым. Для доказательства заметим, что в исходной метрике справедливо равенство vk,j = v,ji gik =

∂v i gik + v a Γaj,k . ∂tj

Отсюда · 2σ

v k,j = e

vk,j

¸ ∂σ a ∂σ a ∂σ + v a gkj + gak v j − gaj v k . ∂t ∂t ∂t a

∂σ Следовательно v k,j + v j,k = 2v a ∂t a g kj .

Замечание. Конформная деформация локально однородного пространства есть локально конформно однородное пространство. Теорема 5.2.2. Пусть {M n , ds2 } – локально конформно однородное связное пространство и хотя бы в одной точке |W |2 6= 0 ( |S|2 6= 0 при dim M = 3 ). Тогда {M n , ds2 } конформно эквивалентно локально однородному пространству. Рассмотрим случай dim M > 3. При конформной деформации тензор Вейля инвариантен, точнее ¯ ¯2 a W aisk = W isk , ¯W ¯ = e−4σ(t) |W |2 . ¯ ¯2 Следовательно, если |W |2 6= 0, то можно выбрать функцию σ(t) так, что ¯W ¯ ≡ const 6= 0, а значит, в силу леммы 1, многообразие M n будет локально однородным. В случае, когда dim M = 3, при конформной деформации будет инвариантен тензор Схоутена-Вейля, точнее ¯ ¯2 Sisk = S isk , ¯S ¯ = e−6σ(t) |S|2 . Отсюда следует, что и в этом случае многообразие M n будет локально однородным. Замечание. Существуют примеры левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных унимодулярных группах Ли, для которых тензор Схоутена-Вейля S 6= 0, а |S|2 = 0, а также примеры левоинвариантных лоренцевых метрик на специальной шестимерной группе Гейзенберга, для которых тензор Вейля W 6= 0, а |W |2 = 0 [114]. Краткое изложение этих результатов в пункте 7.2. Полной классификации конформно-плоских римановых многообразий на данный момент не существует. Однако, в однородном случае классификация однородных конформно-плоских римановых многообразий дана в [4]. Чтобы сформулировать результат [4], введем обозначения: • Rn – евклидово пространство; • T n – n-мерный тор; • S n – n-мерная сфера; • Pn – n-мерное проективное пространство; 87

• L2n−1 – многообразие получающиеся из сферы S 2n−1 ⊂ Cn отождествлением m √ точек, получающихся умножением на корень m −1; • L4n−1 (4) – многообразие получающиеся из сферы S 4n−1 ⊂ Hn , если ее стандартным образом вложить в левое n-мерное векторное пространство над телом кватернионов, и отождествить точки, получающиеся друг из друга умножением слева на какой-нибудь элемент из конечной подгруппы 4∗ = τ −1 (4) мультипликативной группы Sp(1) единичных кватернионов, τ : Sp(1) → SO(3) – естественное накрытие, а 4 – одна из следующих конечных подгрупп SO(3): Dp (p ≤ 2), F , O, или K4 – группы собственных вращений правильной p-угольной призмы p ≤ 3, тетраэдра и икосаэдра соответственно, или четверная группа Клейна; • Λn – пространство Лобачевского. Теорема 5.2.3. Всякое связное конформно-плоское риманово многообразие, допускающее транзитивную группу конформных преобразований (соответственно движений) конформно эквивалентно (соответственно гомотетично) одному из следующих римановых многообразий: • односвязные Rn , S n , Λn , Λn × R1 , Λn × S m ; • неодносвязные Rn × T m , Pn , L2n−1 , L4n−1 (4), Λn × T 1 , Λn × Pm , Λn × L2r−1 , m m n 4r−1 n 1 Λ × Lm (4), S × T , а также всевозможных конечнолистных накрытий следующих многообразий: Pn × T 1 , L2r−1 × T 1 , L4r−1 (4) × T 1 . m m Теорема 5.2.4. [53] Всякая область на сфере S n однородная относительно некоторой подгруппы C(S n ) мебиусовых преобразований совпадает, с точностью до мебиусова преобразования, либо со всей сферой, либо с полусферой (конформно эквивалентной Λn ), либо с S n \ {s}, где s ∈ S n (конформно эквивалентной Rn ), либо с S n \ S d , где S d – d-мерная вполне геодезическая сфера в S n (0 ≤ d ≤ n − 2), причем область S n \ S d конформно эквивалентна Λd+1 × S n−d−1 . С конформно-плоскими римановыми многообразиями тесно связано формально более общее понятие мебиусовых многообразий. Определение 5.2.4. Дифференцируемое многообразие M называется мебиусовым, если можно указать атлас A = {Uα , ϕα } его карт такой, что отображения переn хода ϕα ◦ ϕ−1 β являются сужениями мебиусовых преобразований R . При n ≥ 3 имеется взаимно-однозначное соответствие между мебиусовыми структурами многообразия и классами конформно эквивалентных конформно-плоских метрик на M . Левоинвариантные конформно-плоские структуры на группах Ли исследовались в работе [351]. Определение 5.2.5. Мебиусова структура на группе Ли G называется левоинвариантной, если левые сдвиги являются мебиусовыми преобразованиями. Группа Ли с левоинвариантной мебиусовой структурой называется мебиусовой группой. Определение 5.2.6. Левоинвариантной конформно-плоской структурой на группе Ли размерности dim G ≥ 3 называется множество C левоинвариантных метрик, каждая из которых конформно плоская, и для любых двух g1 , g2 ∈ C выполняется равенство g2 = λg1 , где λ ∈ R+ . Пара {G, C} называется конформно-плоской группой Ли. Приведем основной результат работы [351]: 88

Теорема 5.2.5. Произвольная односвязная мебиусова группа Ли G эквивалентна одной из групп конечного списка. В размерности n ≥ 3 левоинвариантные мебиусовы структуры находятся во взаимно-однозначном соответствии с левоинвариантными конформно-плоскими структурами. С точностью до выбора метрики из левоинвариантной конформной структуры, каждая такая группа Ли изометрична одному из римановых многообразий: En , Hn , S 3 , E1 × S 3 , E1 × Hn−1 , S 3 × Hn−3 со стандартной метрикой. Далее остановимся более подробно на некоторых вопросах геометрии конформно плоских римановых многообразий.

5.3

Конформно плоские метрики ограниченной кривизны

Конформно плоским метрикам посвящена обширная литература. В данном разделе мы лишь коснемся тех результатов, которые связывают конформно плоские метрики ограниченной кривизны с геометрией лоренцева пространства и пространства Лобачевского. Эта связь следует из того, что группа мебиусовых преобразований изоморфна группе Лоренца преобразований псевдоевклидова пространства Минковского, а также из того факта, что имеется непосредственное погружение конформноплоской метрики в изотропный конус пространства Минковского. Конструкция этого погружения известна давно, но эффективно используется сравнительно недавно [51]. Вероятно, первое эффектное применение было дано Н. Кюйпером при описании конформно-плоских многообразий, имеющих компактное накрывающее пространство [272], [273]. Отметим, что при доказательстве этих результатов существенно использовалась теорема Лиувилля о том, что конформное отображение при dim ≥ 3 является мебиусовым. В наиболее общем виде теорема Лиувилля доказана в [94]. Далее изложение следует работе [121]. Для простоты будем считать, что конформно плоская метрика задана на всем Rn , т. е. на единичной сфере S n с центром в начале координат Rn+1 . Метрика задана в виде ds2 =

dx2 , f 2 (x)

x ∈ S n ⊂ Rn+1 .

(5.12)

Пусть M n+2 = Rn+1 × R — псевдоевклидово пространство, скалярный квадрат вектора w = (x, ζ) ∈ M n+2 в котором равен hwi2 = |x|2 − ζ 2 , где |x|2 – скалярный квадрат вектора x ∈ Rn+1 . Обозначим через © ª C + = (x, ζ) ∈ Rn+1 : |x|2 − ζ 2 = 0, ζ > 0 изотропный конус (верхнюю половину). Лемма 5.3.1. Имеет место каноническое изометрическое вложение конформноплоской метрики ds2 = dx2 /f 2 (x) в изотропный конус, задаваемое формулой µ ¶ 1 x n , If : x ∈ S → ∈ C +. (5.13) f (x) f (x) Доказательство проверяется непосредственно. Замечание. Отметим, что If (S n ) ⊂ C + – пространственно–подобная n-мерная поверхность. Обратно, каждая такая замкнутая поверхность в C + определяет конформно плоскую метрику на S n . 89

Замечание. Конформно плоская метрика dx2 /f 2 (x) постоянной кривизны κ имеет вид f (x) = ε + (b, x), где κ = ε2 − |b|2 , причем ей соответствует сечение конуса C + гиперплоскостью (x, b) + εζ = 1. Если κ 6= 0, то все эти гиперплоскости касаются гиперболоида © ª Hκ = (x, ζ) : |x|2 − ζ 2 = −1/κ , (5.14) при κ = 0 гиперплоскость параллельна образующей конуса C + . Замечание. Мебиусовым преобразованиям сферы S n соответствуют "вращения" поверхности If (S n ) на конусе C + под действием псевдоортогональной группы O↑+ (n+ 1, 1), т. е. тех псевдоортогональных преобразований Rn+2 , которые переводят C + в себя и сохраняют ориентацию. Замечание. Если n = 2 и метрика задана на подобласти D ⊂ S n , то возможны конформные отображения, отличные от мебиусовых, которым соответствуют нетривиальные изгибания поверхности If (D) на конусе C + . Заметим, что если D = S n , то поверхность If (D) на конусе C + неизгибаема. 5.3.1.

Одномерная секционная кривизна конформно плоской метрики

Пусть D ⊂ Rn – область в n-мерном арифметическом евклидовом пространстве, f (x) – положительная функция в области D класса C 2 , задающая конформно плоскую метрику в D dx2 ds2 = 2 . (5.15) f (x) Если ξ1 и ξ2 – два единичных ортогональных вектора в Rn , то секционная кривизна метрики ds2 в двумерном направлении ξ1 ∧ ξ2 вычисляется по формуле µ 2 ¶ df d2 f + 2 − |∇f |2 , K(ξ1 ∧ ξ2 ) = f (5.16) dξ12 dξ2 где ∇f - градиент функции f в Rn , вектора ξ ∈ Rn .

d2 f – вторая производная функции f в Rn вдоль dξ 2

Определение 5.3.1. Одномерная секционная кривизна метрики (5.15) определяется по формуле d2 f 1 K(ξ) = f 2 − |∇f |2 . (5.17) dξ 2 Лемма 5.3.2. При n ≥ 3 одномерная секционная кривизна имеет внутренний смысл и не зависит от выбора конформной системы координат. Доказательство. Из формул (5.16) и (5.17) следует 1 {K(ξ ∧ ξ1 ) + K(ξ ∧ ξ2 ) − K(ξ1 ∧ ξ2 )} , (5.18) 2 где ξ1 , ξ2 – произвольная пара векторов таких, что ξ, ξ1 , ξ2 — взаимно ортогональные векторы единичной длины. K(ξ) =

Замечание. В статье [325] замечено, что при n ≥ 4 риманово пространство будет конформно плоским, если и только если для любой ортонормированной четверки векторов ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 K(ξ1 ∧ ξ2 ) + K(ξ3 ∧ ξ4 ) = K(ξ1 ∧ ξ4 ) + K(ξ2 ∧ ξ3 ). Нетрудно видеть, что это равносильно утверждению корректности формулы (5.18). 90

Замечание. При n = 1, 2 выражение (5.17) инвариантно относительно мебиусовых преобразований координат, но, вообще говоря, меняется при произвольной конформной замене координат. При n = 2 конформная структура компактного риманового многообразия {S 2 , ds2 } определена с точностью до мебиусова преобразования, поэтому одномерная секционная кривизна будет "глобально" корректно определена. Замечание. Так как при n = 3 тензор Вейля равен нулю в любом римановом пространстве, то формула (5.18) также корректна для произвольного риманова пространства размерности 3. Аналогично (5.16) вычисляется p-мерная секционная кривизна " p # X d2 f p K(ξ1 ∧ · · · ∧ ξp ) = f − |∇f |2 . 2 dξi 2 i=1

(5.19)

Лемма 5.3.3. Пусть 2 ≤ p < n и p-мерная секционная кривизна удовлетворяет неравенствам p p κ1 ≤ K(ξ1 ∧ · · · ∧ ξp ) ≤ κ2 . 2 2 Тогда одномерная секционная кривизна удовлетворяет неравенствам pκ1 − (p − 1)κ2 pκ2 − (p − 1)κ1 ≤ K(ξ) ≤ . 2 2 Доказательство. Аналогично формуле (5.18) имеем ( p ) 1 X K(ξ) = K(ξ ∧ ξ1 ∧ · · · ∧ ξˆi ∧ . . . ξp ) − (p − 1)K(ξ1 ∧ · · · ∧ ξp ) , p i=1 где ξ1 , . . . , ξp – произвольная система векторов таких, что ξ, ξ1 , . . . , ξp – взаимно ортогональны и единичной длины. Отсюда легко следует искомое неравенство. Итак, ограниченность кривизны конформно плоской метрики равносильна ограниченности ее одномерной секционной кривизны. Если конформно плоская метрика задана на сфере S n ⊂ Rn+1 , то для удобства будем считать, что функция f (x) по однородности распространена на все Rn+1 . В этом случае формула (5.17) имеет тот же вид d2 f 1 K(ξ) = f 2 − |∇f |2 , (5.20) dξ 2 где ξ – единичный касательный вектор к сфере S n , ∇f – градиент функции f в Rn+1 . 5.3.2.

Конформно плоские метрики с ограниченной снизу одномерной секционной кривизной.

Пусть F n ⊂ C + – n-мерная замкнутая пространственно подобная поверхность класса C 2 . Нетрудно заметить, что она диффеоморфна сфере. Фиксируем число κ и проведем через точку w0 ∈ F гиперплоскость в M n+2 , содержащую в себе касательную плоскость Tw0 (F ) и касающуюся гиперболоида (5.14) при κ 6= 0, а при κ = 0 – гиперплоскость, параллельную образующей конуса C + ; так определенная гиперплоскость единственна. Если f (x) – метрическая функция на S n , соответствующая поверхности F , и x0 ∈ S n – точка соответствующая точке w0 ∈ F , то проведение такой гиперплоскости аналитически соответствует разложению функции f в окрестности точки x0 в 91

виде f (x) = ε|x| + (f (x) − ε|x|), с последующим выделением главной линейной части второго слагаемого f (x) = ε|x| + (∇fx0 − εx0 , x) + η(x), (5.21) где η(x) = o(|x − x0 |) и ε выбрано так, чтобы метрика f0 (x) = ε|x| + (∇fx0 − εx0 , x)

(5.22)

имела кривизну κ, т. е. ε2 − (∇fx0 − εx0 )2 = κ. Итак, имеем f0 (x0 ) = f (x0 ), ∇f0 |x0 = ∇f |x0 , d2 f0 1 κ f0 2 − |∇f0 |2 ≡ . (5.23) dξ 2 2 Рассмотрим случай метрик, одномерная секционная кривизна которых ограниченна снизу, т. е. d2 f 1 κ f 2 − |∇f |2 ≥ . dξ 2 2 n Вычитая (5.23) из (5.20), получим в точке x0 ∈ S ¯ d2 η ¯¯ f (x0 ) 2 ¯ ≥0 (5.24) dξ x=x0 для всех векторов ξ, касательных в точке x0 сферы. Метрику f0κ (x) постоянной кривизны κ и удовлетворяющую условиям f0 (x0 ) = f (x0 ), ∇f0 |x0 = ∇f |x0 , будем называть касательной в точке x0 . Если κ > 0, то f0κ (x) положительна на всей сфере; если κ ≤ 0, то областью определения f0κ (x) будем называть ту часть сферы, где она положительна. Теорема 5.3.1. Пусть конформно плоская метрика dx2 /f 2 (x) такова, что ее одномерная секционная кривизна ограничена снизу κ (5.25) K(ξ) ≥ 2 и функция f ∈ C 2 . Тогда для любой точки x0 ∈ S n справедливо неравенство f (x) ≥ f0κ (x),

(5.26)

где f0κ (x) – касательная метрика в точке x0 кривизны κ и неравенство справедливо во всей области определения f0κ . Замечание. Геометрически теорема 5.3.1 утверждает, что поверхность F ⊂ C + лежит целиком по одну сторону (ниже) касательной гиперплоскости, определяющей метрику f0κ (x) (на рис. 1 изображена конформно-плоская метрика и метрика, касательная к ней). Теорема 5.3.2. Пусть конформно плоская метрика на сфере удовлетворяет условиям теоремы 5.3.1. Тогда для любых трех точек A1 , A2 , A3 ∈ F выполняется неравенство (5.27) (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) ≥ κa2 b2 c2 , где a = |A1 − A2 |, b = |A2 − A3 |, c = |A3 − A1 | – расстояния между точками в псевдоевклидовом пространстве M n+2 . Замечание. Верно обратное утверждение: пусть f ∈ C 2 и метрика ds2 = dx2 /f 2 (x) на сфере удовлетворяет соотношению (5.27), тогда выполняется неравенство (5.25). 92

Рис. 1: Касательная к конформно-плоской метрике

Замечание. Если конформно плоская метрика ds2 = dx2 /f 2 (x) задана в Rn , тогда расстояние между точками в псевдоевклидовом пространстве вычисляется по формуле |x1 − x2 | |A1 − A2 | = p , (5.28) f (x1 )f (x2 ) где A1 , A2 – точки, соответствующие x1 , x2 при изометричном вложении (5.13), |x1 − x2 | – обычное расстояние в Rn . 5.3.3.

Конформно плоские метрики ограниченной кривизны.

Рассмотрим конформно плоские метрики на сфере, одномерная секционная кривизна которых ограничена сверху: K(ξ) ≤ κ/2. (5.29) Ясно, что в этом случае по необходимости κ > 0. Как показывают примеры, утверждение, аналогичное теореме 5.3.1 (со сменой неравенства на противоположные), неверно без дополнительных ограничений. Пример 5.3.1. Рассмотрим случай, когда размерность n = 1. Пусть f1 (x) = 1 и  π 1 при 0 ≤ x ≤ 12 ,    1 + d − sin(x) при π ≤ x ≤ π, 12 f2 (x) =  1 + d + sin(x) при π ≤ x ≤ 23π ,  12   23π 1 при 12 ≤ x ≤ 2π, где d = sin 23π = 12

√

√ 6− 2 . 4

На рисунке 2 изображен график функции f2 (x).

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0

1

2

4

3 x

Рис. 2: 93

5

6

Нетрудно проверить, что для одномерных секционных кривизн метрик f1 , f2 выполняются соотношения: K1 (x) = 1/2,

K2 (x) ≤ 1/2.

В каждой точке x ∈ [0, 2π) выполняется неравенство K2 (x) ≤ K1 (x), в точке x = 0 графики касаются друг друга, но неравенство f2 (x) ≤ f1 (x) неверно. В угловых точках функции f2 (x) сосредоточена отрицательная кривизна, поэтому при ее сглаживании неравенство на кривизну сохранится. Теорема 5.3.3. Пусть конформно плоская метрика ds2 = dx2 /f 2 (x) на сфере такова, что ее одномерная секционная кривизна ограничена сверху и снизу, −

κ κ ≤ K(ξ) ≤ , 2 2

(5.30)

и f ∈ C 2 . Тогда для любой точки x0 ∈ S n справедливо неравенство f (x) ≤ f0κ (x)

(5.31)

для всех x ∈ S n (область определения f0κ совпадает со сферой, так как κ > 0). Замечание. Геометрически теорема 5.3.3 утверждает, что поверхность F ⊂ C + лежит целиком по одну сторону (выше) касательной гиперплоскости, определяющей метрику f0κ . Изучим те дифференциальные свойства конформной плоской метрики, которые следуют из ограниченности кривизны. Пусть f (x) — неотрицательная функция на сфере S n , f (x) < +∞. Будем говорить, что метрика ds2 = dx2 /f 2 (x) имеет обобщенную одномерную секционную кривизну не меньше, чем κ/2, если для любой тройки точек x1 , x2 , x3 ∈ S n выполняется соотношение (5.27). 2

Определение 5.3.2. Функция принадлежит классу W 1,loc , если ее вторые производные являются мерами [43]. dx2 на сфере имеет f 2 (x) обобщенную секционную кривизну не меньше, чем κ/2, κ > −∞. Тогда функция f (x) локально липшицева; в области, где f (x) > 0, функция f принадлежит классу 2 W 1,loc и имеет почти всюду второй дифференциал. Теорема 5.3.4. Пусть конформно плоская метрика ds2 =

Теорема 5.3.5. Пусть дана последовательность конформно плоских метрик ds2n = dx2 /fn2 (x), n = 1, 2, . . . . Кроме того, fn > 0, fn ∈ C 2 и одномерная секционная кривизна метрик ds2n равномерно ограниченна снизу и сверху: d2 fn 1 κ2 κ1 ≤ fn (x) 2 − |∇fn |2 ≤ . 2 dξ 2 2

(5.32)

Тогда, если fn поточечно сходится к функции f , то функция f принадлежит классу C 1,1 в области, где она положительна, т.е. f дифференцируема и ее производные удовлетворяют локально условию Липшица. Теорема 5.3.5 дополняет известный результат И. Г. Николаева [75] о том, что пространства Александрова ограниченной кривизны имеют метрический тензор гладкости C 1,α , 0 < α < 1. 94

5.3.4.

Полярное преобразование конформно-плоской метрики

В теории выпуклых множеств большую роль играет преобразование Лежандра выпуклой функции или поляра выпуклого множества. Аналогичную двойственность можно определить для конформно-плоских метрик [350]. Пусть D ⊂ S n – область на единичной сфере S n ⊂ Rn+1 , в области D задана конформно-плоская метрика (5.15) dx2 ds = 2 , f (x) 2

x ∈ S n ⊆ Rn+1 .

Определено каноническое изометрическое вложение (5.13) If : x ∈ D → (x/f (x), 1/f (x)) ∈ C + . Образ If (D) = F ⊆ C + – пространственно подобная n-мерная поверхность. В дальнейшем будем отождествлять конформно-плоскую метрику с поверхностью F . Предположим, что функция f (x) достаточно гладкая, тогда поверхность F регулярна, и в каждой точке z ∈ F определено касательное пространство Tz (F ). Существует единственный вектор z ∗ ∈ C + такой, что hz, z ∗ i = −1,

z ∗ ⊥ Tz (F ),

(5.33)

где ортогональность понимается относительно скалярного произведения в M n+2 . Удобно считать, что функция f (x), задающая конформно-плоскую метрику, по однородности распространена на все пространство Rn+1 . Тогда вектор z ∗ есть µ ¶ |∇f | |∇f | ∗ z = −∇f + x, , (5.34) 2f 2f где x ∈ S n ⊂ Rn+1 , ∇f градиент функции f в пространстве Rn+1 . Из однородности f (x) следует (∇f, x) = f (x), где (∇f, x) скалярное произведение в Rn+1 , отсюда легко проверяется (5.33). Если z ∈ F пробегает поверхность F , то точка z ∗ пробегает двойственную поверхность F ∗ . Соответствующую конформно-плоскую метрику будем называть полярной к исходной метрике. Сравнивая формулы (5.13) и (5.34), получим формулы для перехода к полярной конформно-плоской метрике: f ∗ (y) =

2f (x) , |∇f |2

(5.35)

∇f , y = x − 2f (x) |∇f |2

из которых видно, что функция f ∗ (y), y ∈ Rn+1 , задающая полярную конформноплоскую метрику, также однородная функция аргумента y. Замечание. Вторая формула в (5.35) интересна при изучении геодезических. Если выпустить геодезическую из точки z в любом направлении v, то соприкасающаяся окружность к ней пройдет через точку y. В аналитических выкладках с конформно-плоской метрикой полезен метод подвижного репера Картана. Обозначим через G(n + 1, 1) многообразие базисов в M n+2 вида {e1 , e2 , . . . , en , z, z ∗ }, где e1 , . . . , en пространственно подобные вектора, причем z, z ∗ ∈ C + ,

hz, z ∗ i = −1,

hz, ei i = hz ∗ , ei i = 0, 95

i = 1, 2, . . . , n.

(5.36)

На многообразии G(n + 1, 1) определены дифференциальные формы ωij равенствами       ω11 . . . ω1n ω1n+1 ω1n+2 de1 e1 .. ..   ...   ...   ... . .        de  =  ω 1 . . . ω n ω n+1 ω n+2  ·  e  . (5.37)  n   n   n  n n n n+1 n+2    dz   ω 1  n z n+1 . . . ωn+1 ωn+1 ωn+1 n+1 n+2 1 n dz ∗ z∗ ωn+2 ωn+2 . . . ωn+2 ωn+2 Из (5.36) следует n+1 n+2 = 0, = ωn+2 ωn+1

n+2 n+1 = 0, + ωn+2 ωn+1

k ωn+1 gki − ωin+2 = 0,

k ωn+2 gki − ωin+1 = 0,

где gki = hek , ei i. Поверхности F Gf (n + 1, 1), выделяемое условиями: z ∈ F,

C+

⊂

ei ∈ T (F ),

(5.38)

сопоставим подмногообразие

i = 1, 2, . . . , n.

(5.39)

n+2 На подмногообразии Gf дополнительно выполняется ωn+2 = 0. Введем обозначеi i ния ωn+1 = ω i , ωn+2 = ω ∗i , i = 1, 2, . . . , n. Деривационные формулы (5.37) примут вид       de1 e1 ω11 . . . ω1n ω1n+1 ω1n+2 .. .. ..   ..   ...   .. . . .   .     .  de  =  ω 1 . . . ω n ω n+1 ω n+2  ·  e  . (5.40)  n   n   n  n n n  dz   ω 1    n z 0 0 n+1 . . . ωn+1 1 n dz ∗ z∗ ωn+2 . . . ωn+2 0 0

Мы будем пользоваться двойственным базисом {e1 , . . . , en } в пространстве Tz F , для него: dei = ϕik ek + ω i z ∗ + ω ∗i z, dz = ωi ei , dz ∗ = ωi∗ ei , (5.41) где ϕki +ωik = 0, k, i = 1, 2, . . . , n. Структурные уравнения для многообразия G(n+1, 1) имеют вид dωij = ωik ∧ ωkj , i, j = 1, . . . , n + 2, (5.42) здесь по повторяющемуся индексу k берется сумма от 1 до n+2. Для подмногообразия Gf отсюда получим: dω i = ω k ∧ ωki ,

dω ∗i = ω ∗k ∧ ωki ,

dωij = ωik ∧ ωkj + ωi∗ ∧ ω j + ωi ∧ ω ∗j ,

ω ∗i ∧ ωi = 0,

(5.43)

где k, j, i = 1, . . . , n. Из (5.43) следует ω ∗i = Aik ωk ,

Aik = Aki ,

k, i = 1, . . . , n.

(5.44)

Выясним геометрический смысл тензора Aik . Из (5.43) вытекает, что формы кривизны метрики поверхности F имеют вид Ωji = dωij − ωik ∧ ωkj = (Aik δpj + Ajp gki )ω k ∧ ω p . Секционная кривизна вычисляется по формуле K(ξ ∧ η) = Rijkp ξ i η j ξ k η p = −Aik ξ i ξ k − Ajp η j η p , 96

(5.45)

где ξ, η ∈ Tz F – ортогональные единичные вектора. Одномерная секционная кривизна в направлении единичного вектора ξ есть K(ξ) = −Aik ξ i ξ k .

(5.46)

Собственные значения λi квадратичной формы (5.46) находятся из уравнения detkAik − λgik k = 0. Будем называть числа ki = −λi , i = 1, 2, . . . n, главными кривизнами метрики, собственные векторы – главными направлениями кривизны. Предположим, что ki 6= 0, i = 1, 2, . . . , n. Тогда отображение z ∈ F → z ∗ ∈ F ∗ регулярно и определяет регулярную пространственно подобную поверхность F ∗ ⊂ C + . Из равенства dz ∗ = ω ∗i ei = Aik ωk ei следует, что матрица kAik k задает дифференциал этого отображения. При этом главные кривизны метрики F ∗ равны 1/ki , i = 1, . . . , n, а главные направления кривизны на F переходят в главные направления кривизны на F ∗ . Конформно-плоским метрикам постоянной кривизны κ 6= 0 соответствуют поверхности F , которые получаются как пересечения конуса C + гиперплоскостями в M n+2 , касающимися гиперболоида © ª Hκ = z ∈ M n+2 : hz, zi = −1/κ . (5.47) При κ = 0 эти гиперплоскости параллельны образующим конуса C + . Пусть задана произвольная конформно-плоская метрика ds2 на сфере S n , или, другими словами, замкнутая пространственно подобная поверхность F ⊂ C + . Фиксируем число κ и сопоставим каждой точке z ∈ F гиперплоскость, содержащую в себе касательное пространство Tz (F ) и касающуюся гиперболоида (5.47). Такая гиперплоскость единственна. Обозначим эту гиперплоскость через γκ (z). Нетрудно проверить, что уравнение этой гиперплоскости имеет вид (p, w) = −1/κ, где p = pκ (z) = (1/κ)z ∗ + (1/2)z – точка касания гиперплоскости γκ (z) с гиперболоидом Hκ (см. рис. 3).

Рис. 3:

Теорема 5.3.6. Пусть в точке z ∈ F главные кривизны ki отличны от κ/2. Тогда pκ (F ) ⊂ Hκ – регулярная в точке pκ (z) гиперповерхность пространства Лобачевского Hκ , главные нормальные кривизны λi которой равны λi =

√ κ/2 + ki κ , κ/2 − ki

i = 1, 2, . . . , n.

(5.48)

Доказательство. Дифференцируя функцию pκ (z) = (1/κ)z ∗ + (1/2)z, получим dpκ (z) = (1/κ)dz ∗ + (1/2)dz = ((1/κ)Ski + (1/2)δki )ω k ei , 97

(5.49)

отсюда следует регулярность поверхности pκ (F ) при ki 6= κ/2. Касательное пространство Tp к поверхности pκ (F ) в точке pκ (z) параллельно касательному пространству Tz (F ). Положим √ √ √ √ en+1 = z ∗ / κ − ( κ/2)z, en+2 = z ∗ / κ + ( κ/2)z. (5.50) Нетрудно проверить, что en+1 – единичный вектор в касательном пространстве Tp (Hκ ), √ перпендикулярный к поверхности pκ (F ). Вектор en+2 = p κ перпендикулярен Tp (Hκ ), hen+2 i2 = −1. Рассмотрим подвижный репер {p; e1 , . . . , en+2 }, присоединенный к поверхности pκ (F ). Деривационные формулы имеют вид: dp = θ1 e1 + · · · + θn en ,

dei = θij ej + θin+1 en+1 + θin+2 en+2 ,

i den+1 = θn+1 ei , k k i где θin+2 = θn+2 gki , θin+1 = −θn+1 gki , θn+2 (5.50), получим √ ωi ω∗ θin+1 = κ − √i , 2 κ

i den+2 = θn+2 ei , √ = κθi . Сравнивая с формулами (5.40) и

θin+2 =

√ ωi ω∗ κ + √i . 2 κ

(5.51)

Так как θn+1 = 0, из структурных уравнений следует dθn+1 = θ1 ∧ θ1n+1 + · · · + θn ∧ θnn+1 = 0, P значит θin+1 = nj=1 bij θj , bij = bji . Коэффициенты kbij k задают вторую квадратичную форму поверхности pκ (F ) относительно нормали en+1 . Теперь из формул (5.51) получим: µ ¶ √ ωi √ ωk ωi∗ ωk∗ 1 jk √ , κ − √ = bij g κ +√ 2 2 κ κ κ µ ¶ kt tp √ ωi gik S ωt ωk gkt S ωp κ − √ = bij g jk + √ , 2 2 κ κ следовательно,

√ δik

κ git S tk bij g jk bij S jk √ − = + . 2 2 κ κ

Полагая g = kgij k, g −1 = kg ij k, S = kS ij k, b = kbij k, будем иметь ¶ µ −1 ¶−1 µ −1 √ κg κg −S +S . b = κg 2 2 Следствие. Если в каждой точке главные кривизны удовлетворяют неравенству (5.30), то поверхность p(F ) – образ F при отображении z ∈ F → p ∈ Hκ , будет локально выпуклой поверхностью в пространстве Лобачевского Hκ . Замечание. Главные направления кривизны при отображении pκ : F → Q переходят в главные направления нормальной кривизны поверхности Q ⊂ Hκ . Замечание. Всякой l-мерной регулярной поверхности Q ⊂ Hκn+1 пространства Лобачевского кривизны (−κ) соответствует конформно-плоская метрика на сфере, у которой (n − l) главных одномерных секционных кривизн равны κ/2. Используя 98

теорию k-седловых поверхностей, созданную С. З. Шефелем [133], или теорию kпараболических поверхностей, открытых А. А. Борисенко [24], [25], можно конструировать конформно-плоские метрики с наперед заданными ограничениями на кривизну. Так например, цилиндрическим поверхностям [23] пространства Лобачевского будут соответствовать конформно-плоские метрики имеющие k одинаковых, постоянных, отрицательных главных значения одномерной секционной кривизны. Замечание. Нетрудно убедиться,что если Q ⊂ Hκ – сфера в пространстве Лобачевского, радиус которой (во внутренней метрике) равен R, то ее главные кривизны равны √ √ cosh ( κR) √ λ= κ . sinh ( κR) √ В частности, главные кривизны орисферы (R = ∞) будут λ = κ. Замечание. Из формул (5.50) следуют соотношения: en+1 z =p− √ , κ

z en+1 √ =p+ √ . κ κ

Поэтому обратное построение конформно-плоской метрики по поверхности Q ⊂ Hκ будет происходить по следующему алгоритму. Фиксируем поле нормалей {en+1 } к поверхности Q и из каждой точки w ∈ Q выпускаем нормаль к Q; каждая такая нормаль задает луч в пространстве Минковского M n+2 с началом в точке w ∈ Q, направляющий вектор которого совпадает с данной нормалью. Пересечение конуса C + с поверхностью, образованной этими лучами, будет искомой поверхностью F , задающей конформно-плоскую метрику. При этом, замене поля нормалей {en+1 } на {−en+1 } соответствует сопряженная конформно-плоская метрика {z ∗ /κ}, деленная на κ. Замечание. Из формул (5.48) следует (см. график), что если главные кривизны конформно-плоской метрики удовлетворяют условию 0 < κ/2 < ki < κ1 /2, то главные нормальные кривизны λi поверхности Q ⊂ Hκ относительно нормали en+1 удовлетворяют неравенствам: √ κ1 + κ −∞ ≤ λi ≤ − κ . κ1 − κ √ В пределе, при κ1 → +∞, получим −∞ ≤ λi ≤ − κ. Следовательно, поверхность будет локально выпуклой, а вектор en+1 будет внутренней нормалью для Q. Точнее, Q будет орициклически выпуклой. При этом конформно-плоская метрика восстанавливается по Q аналогичным образом, с заменой внешней нормали на внутреннюю. √ Замечание. Из формул (5.48) следует (см. график функции λ(k) = κ κ/2+k на κ/2−k рис. 4), что если главные кривизны конформно-плоской метрики удовлетворяют условию −κ/2 < ki < κ/2, то главные нормальные кривизны λi поверхности Q ⊂ Hκ относительно нормали en+1 положительны, т. е. поверхность локально выпуклая. Как уже отмечалось, при n ≥ 3 имеется взаимно-однозначное соответствие между мебиусовыми структурами многообразия и классами конформно эквивалентных конформно-плоских метрик на M . В каждом таком классе можно выбрать в некотором смысле "каноническую" конформно-плоскую метрику [113] (см. также [149]): 99

Рис. 4:

Теорема 5.3.7. Пусть M – связное мебиусово многообразие размерности dim M ≥ 2. Тогда на M существует полная конформно-плоская риманова метрика ds2 такая, что имеет место одна из следующих возможностей: либо ds2 имеет постоянную кривизну равную 1, либо ds2 имеет постоянную кривизну равную 0, либо у этой метрики одномерная секционная кривизна удовлетворяет неравенству |A(ξ)| ≤ 12 и в каждой точке многообразия по крайне мере одна из главных одномерных секционных кривизн равна −1/2.

100

Глава 6

Инвариантные структуры на обобщенных симметрических пространствах 6.1

Введение

Классическими объектами исследования в дифференциальной геометрии являются аффинорные структуры на гладких многообразиях, т.е. гладкие тензорные поля типа (1, 1), реализованные в виде полей эндоморфизмов, действующих в касательном расслоении к многообразию. Число видов таких структур велико (см., например, обзор [134]), при этом впоследствии возникло много новых. В то же время интенсивно изучаемыми традиционно являются почти комплексные структуры, структуры почти произведения, почти контактные структуры и ряд других. С 1960-х годов значительную роль стали играть f –структуры К.Яно (f 3 + f = 0, см. [379]), которые обобщают почти комплексные и почти контактные структуры. Вместе с согласованной (псевдо)римановой метрикой на многообразии метрические f –структуры включают классы почти эрмитовых структур и метрических почти контактных структур, роль которых в дифференциальной геометрии и ее многочисленных приложениях чрезвычайно велика. В свою очередь метрические f –структуры являются важнейшим объектом в обширной обобщенной эрмитовой геометрии — области современной дифференциальной геометрии, развиваемой с середины 1980-х годов (см., например, [56], [57], [58], [254], [59]). Что касается дифференциальной геометрии однородных многообразий групп Ли, то здесь исследование инвариантных аффинорных структур является одним из фундаментальных направлений. Классические теории римановых и эрмитовых симметрических пространств (см., например, [128]) стали основой для поиска новых классов однородных пространств с инвариантными структурами. Значительное место здесь принадлежит однородным Φ–пространствам (см., например, [123], [375], [127]), которые называют также обобщенными симметрическими пространствами [63]. Прежде всего, однородные Φ-пространства порядка 3 (однородные 3–симметрические пространства [63]), обладающие канонической почти комплексной структурой ([122], [375]), обеспечили широкий спектр инвариантных почти эрмитовых структур, которые в случае естественно редуктивной метрики являются приближенно келеровыми [227], [55], [229]. Позднее было обнаружено, что регулярные Φ-пространства (в частности, однородные k–симметрические пространства) обладают обширным запасом канонических структур классического типа, в том числе почти комплексными и f –структурами [15], [6]. Это позволило не только существенно расширить ресурс 101

однородных многообразий с инвариантными почти эрмитовыми структурами, но и предъявить с помощью канонических f –структур первые классы инвариантных примеров в обобщенной эрмитовой геометрии [7], [9], [8], [162], [165]. Заметим, что важнейшую роль здесь сыграли однородные Φ-пространства порядков 4 и 5, снабженные естественно редуктивной метрикой, при этом выявилась значительная аналогия с классическими результатами Н.А.Степанова, Дж.А.Вольфа, А.Грея, В.Ф.Кириченко в эрмитовой геометрии. Некоторые задачи об инвариантных структурах рассмотрены нами на произвольных естественно редуктивных пространствах. Класс таких пространств интенсивно изучается в дифференциальной геометрии и ее приложениях. Эти пространства, широко обобщающие римановы глобально симметрические пространства, обладают тем свойством, что все геодезические на этих пространствах являются однородными, т.е. могут быть получены как траектории однопараметрических подгрупп группы изометрий [62]. Позднее оказалось, что таким свойством обладают и другие пространства, что в свою очередь привело к возникновению нового научного направления — поиска геодезически орбитальных пространств (g.o. spaces). Не останавливаясь на истории вопроса и обширной библиографии (см. главу 2), укажем лишь несколько недавних работ в этом направлении: [142], [214]. Заметим еще, что естественно редуктивными являются большинство примеров инвариантных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах (см. обзор [87]). Основным объектом исследования в этой главе являются канонические структуры на регулярных Φ–пространствах G/H. Такие структуры наиболее точно отражают специфику однородных Φ–пространств, поскольку инвариантны не только относительно транзитивно действующей группы, но и относительно "симметрий"самого пространства, порождаемых автоморфизмом Φ группы Ли G. Интересная особенность состоит в том, что наличие таких структур не связано с какими-либо ограничениями на группу G, при этом процедура построения канонических структур носит конструктивный характер. Это позволяет эффективно строить инвариантные примеры для многих разделов дифференциальной геометрии, что в определенной степени представлено здесь. В то же время канонические структуры не исчерпывают всех инвариантных структур изучаемого типа на данном однородном пространстве G/H. В этом смысле наше рассмотрение существенно отличается от известного направления исследований, в котором основной задачей является описание и исследование всех инвариантных структур какого-либо типа при наложении, однако, серьезных ограничений на группу G (полупростота, компактность и т.п.). В этой связи можно отметить работы [190], [37], [375], [237], [64] и многие другие. Интересными и важными являются ситуации, когда различные Φ–пространства имеют одну и ту же нижележащую структуру однородного пространства или просто гладкого многообразия. Это позволяет, используя технику канонических структур, конструировать инвариантные структуры на данном многообразии, варьируя как автоморфизм Φ, так и транзитивно действующую группу. В частности, это дает возможность строить инвариантные аффинорные структуры на симметрических пространствах, так как некоторые из них как многообразия реализуются в виде регулярных Φ–пространств с неинволютивными автоморфизмами Φ. Примеры такого рода также представлены здесь.

6.2

Однородные Φ–пространства

История возникновения и разные подходы в изучении обобщенных симметрических пространств изложены в работах [127], [63], [31]. Заметим лишь, что первые и геомет102

рически мотивированные обобщения симметрических пространств возникли в работах В.И.Ведерникова [28], [29], а очень общий подход был рассмотрен им в [30]. Здесь мы кратко сформулируем некоторые основные определения и результаты, относящиеся к регулярным Φ–пространствам и каноническим структурам на них. Более подробную информацию можно найти в [15], [165], [375], [63], [127], [123], [122]. Пусть G — связная группа Ли, Φ — ее (аналитический) автоморфизм. Обозначим через GΦ подгруппу всех неподвижных точек автоморфизма Φ, а через GΦ o — связную компоненту единицы подгруппы GΦ . Предположим, что замкнутая подгруппа H группы G удовлетворяет условию Φ GΦ o ⊂ H ⊂ G .

Тогда G/H называется однородным Φ-пространством. Однородные Φ–пространства содержат однородные симметрические пространства 2 (Φ = id) и, более общо, однородные Φ–пространства порядка k (Φk = id) или, в иной терминологии, однородные k–симметрические пространства (см. [63]). Для любого однородного Φ–пространства G/H можно определить отображение So = D : G/H → G/H, xH → Φ(x)H. Известно [123], что So является аналитическим диффеоморфизмом G/H. Обычно So называют "симметрией"многообразия G/H в точке o = H. Очевидно, что в силу однородности можно определить "симметрию"Sp в произвольной точке p ∈ G/H. Более точно, для любых p = τ (x)o = xH, q = τ (y)o = yH положим Sp = τ (x) ◦ So ◦ τ (x−1 ). Легко показать, что Sp (yH) = xΦ(x−1 )Φ(y)H. Таким образом, любое однородное Φ–пространство обладает семейством симметрий {Sp | p ∈ G/H}, причем каждое отображение Sp является аналитическим диффеоморфизмом многообразия G/H (см. [123]). Заметим, что имеются однородные Φ–пространства, которые не редуктивны. Вот почему так называемые регулярные Φ–пространства, введенные впервые Н.А. Степановым [123], представляют особый интерес. Пусть G/H — однородное Φ-пространство, g и h — соответствующие алгебры Ли для G и H, ϕ = dΦe — автоморфизм g. Рассмотрим линейный оператор A = ϕ − id и разложение Фиттинга g = g0 ⊕ g1 относительно A, где g0 и g1 обозначают 0- и 1компоненту этого разложения соответственно. Далее, пусть ϕ = ϕs ϕu — разложение Жордана, где ϕs и ϕu — полупростая и унипотентная компоненты ϕ соответственно, ϕs ϕu = ϕu ϕs . Обозначим через gγ подпространство всех неподвижных точек линейного эндоморфизма γ в g. Ясно, что h = gϕ = Ker A, h ⊂ g0 , h ⊂ gϕs . Определение 1 ([123], [15], [165], [127]). Однородное Φ–пространство G/H называется регулярным Φ–пространством, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: 1. h = g0 ; 2. g = h ⊕ Ag; 3. Сужение оператора A на Ag невырождено; 4. A2 X = 0 =⇒ AX = 0 для всех X ∈ g. 103

5. Матрица µ ¶автоморфизма ϕ может быть представлена в виде E 0 , где матрица B не допускает собственного значения 1. 0 B 6. h = gϕs . Напомним два основополагающих результата: Tеорема 6.2.1. ([123]) • Любое однородное Φ–пространство порядка k (Φk = id) является регулярным Φ–пространством. • Любое регулярное Φ–пространство редуктивно. Более точно, разложение Фиттинга g = h ⊕ m, m = Ag

(6.1)

является редуктивным разложением. Разложение (6.1) называется каноническим редуктивным разложением, соответствующим регулярному Φ–пространству G/H, а m называют каноническим редуктивным дополнением. Отметим также, что в любом регулярном Φ–пространстве G/H каждая точка p = xH ∈ G/H является изолированной неподвижной точкой симметрии Sp (см. [123]). Очевидно, что разложение (6.1) ϕ–инвариантно. Обозначим через θ ограничение ϕ на m. Как обычно, отождествим m с касательным пространством To (G/H) в точке o = H. Важно отметить, что оператор θ коммутирует с каждым элементом линейной группы изотропии Ad(H) (см. [123]). Также заметим (см. [123]), что (dSo )o = θ. Сейчас мы перейдем к рассмотрению замечательных инвариантных структур на однородных регулярных Φ–пространствах. Прежде отметим, что для любого однородного k–симметрического пространства G/H справедливо следующее тождество: θk−1 + θk−2 + · · · + θ + id = 0. В конце 1960-х годов было обнаружено, что любое однородное 3–симметрическое пространство G/H обладает канонической почти комплексной структурой J (см. [122], [375]). Эта структура порождается линейным эндоморфизмом 1 Jo = √ (θ2 − θ) 3 на m, поскольку Jo2 = −id (см. [122]). Отсюда следует, что структура J инвариантна как относительно группы Ли G, так и симметрий Sp . Заметим, что каноническая почти комплексная структура на таких пространствах стала эффективным инструментом и замечательным примером во многих конструкциях дифференциальной геометрии и глобального анализа, а именно, в исследованиях почти эрмитовых структур ([375], [227], [229], [55]), однородных структур ([359], [340], [57], [217], [286], [137] и т.д.), эйнштейновых метрик ([344], [345]), голоморфных и минимальных подмногообразий ([336], [337]), вещественных киллинговых спиноров ([231], [169], [248]). 104

В 1990 году была построена еще одна структура такого типа. Ею оказалась каноническая структура почти произведения P на произвольном однородном 5–симметрическом пространстве G/H, определяемая формулой (см. [16]): 1 Po = √ (θ4 − θ3 − θ2 + θ). 5 Это позволило получить впоследствии ряд общих результатов о таких пространствах (см. [16], [130]-[132]). Как известно, аффинорной структурой на многообразии называется тензорное поле типа (1, 1) или, что эквивалентно, поле эндоморфизмов, действующих в его касательном расслоении. Пусть F — инвариантная аффинорная структура на однородном многообразии G/H. Тогда F вполне определяется своим значением Fo в точке o, где Fo инвариантно относительно Ad(H). Для удобства всюду в дальнейшем мы будем обозначать одинаково любую инвариантную структуру на G/H и ее значение в точке o. Определение 2([14],[15]). Инвариантная аффинорная структура F на регулярном Φ–пространстве G/H называется канонической, если ее значение в точке o = H является полиномом от θ. Обозначим через A(θ) множество всех канонических аффинорных структур на регулярном Φ–пространстве G/H. Легко заметить, что A(θ) является коммутативной подалгеброй в алгебре A всех инвариантных аффинорных структур на G/H. Более того [15], dim A(θ) = deg ν ≤ dim G/H, где ν — минимальный многочлен оператора θ. Очевидно, что алгебра A(θ) для любого симметрического Φ–пространства (Φ2 = id) состоит только из скалярных структур, т.е. она изоморфна R. Что касается произвольного регулярного Φ–пространства (G/H, Φ), то алгебраическое строение его коммутативной алгебры A(θ) также полностью описано (см. [165]). Важно заметить, что все канонические структуры инвариантны также относительно всех "симметрий"{Sp } многообразия G/H(см. [123]). Кроме того, из равенства (dSo )o = θ следует, что инвариантная аффинорная структура Fp = (dSp )p , p ∈ G/H, порожденная симметриями {Sp }, принадлежит алгебре A(θ). Наиболее известным примером канонических структур является каноническая почти комплексная структура J = √13 (θ2 − θ) на однородном 3–симметрическом пространстве. Мы видели уже, что такой пример не является исключением. Более того, можно показать, что алгебра A(θ) содержит богатый запас классических аффинорных структур. Будем рассматривать в дальнейшем следующие аффинорные структуры классических типов: почти комплексные структуры J (J 2 = −1); структуры почти произведения P (P 2 = 1); f -структуры (f 3 + f = 0) [379]; f –структуры гиперболического типа или, кратко, h–структуры (h3 − h = 0) [58]. Ясно, что f –структуры и h–структуры являются обобщениями структур J и P соответственно. Все канонические структуры классического типа на регулярных Φ–пространствах полностью описаны [14],[15],[6]. В частности, для однородных k–симметрических пространств предъявлены точные вычислительные формулы. Приведем здесь основные результаты, используемые в дальнейшем. 105

Обозначим через s˜ (соответственно, s) количество различных неприводимых множителей (соответственно, различных неприводимых квадратичных множителей) над R минимального многочлена ν. Tеорема 6.2.2. ([14],[15],[6]). Пусть G/H — регулярное Φ–пространство. 1. Алгебра A(θ) содержит ровно 2s˜ структур P . 2. G/H допускает каноническую структуру J тогда и только тогда, когда s = s˜. В этом случае A(θ) содержит 2s различных структур J. 3. G/H допускает каноническую f –структуру тогда и только тогда, когда s 6= 0. В этом случае A(θ) содержит 3s − 1 различных f –структур. Предположим, что s = s˜. Тогда 2s f –структур являются почти комплексными, а остальные 3s − 2s − 1 имеют нетривиальное ядро. 4. Алгебра A(θ) содержит 3s˜ различных h–структур. Все эти структуры образуют (коммутативную) полугруппу в A(θ), включающую подгруппу порядка 2s˜ канонических структур P . Пусть далее G/H — однородное k–симметрическое пространство. Тогда s˜ = s + 1, если −1 ∈ spec θ, и s˜ = s в противном случае. Укажем точные формулы, позволяющие вычислить все канонические f –структуры и h–структуры. Используем ниже следующее обозначение: ½ n, если k = 2n + 1 u= . n − 1, если k = 2n Tеорема 6.2.3. ([14],[15],[6]) Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка k. 1. Все нетривиальные канонические f –структуры на G/H могут быть заданы операторами Ã u ! u ¢ 2X X 2πmj ¡ m f= ζj sin θ − θk−m , k m=1 j=1 k где ζj ∈ {−1; 0; 1}, j = 1, 2, . . . , u, причем не все коэффициенты ζj равны нулю. В частности, пусть −1 ∈ / spec θ. Тогда полиномы f определяют канонические почти комплексные структуры J тогда и только тогда, когда все ζj ∈ {−1; 1}. 2. Все канонические h–структуры на G/H могут быть заданы полиномами h = k−1 P am θm , где: m=0

(a) если k = 2n + 1, то u

am = ak−m (b) если k = 2n, то am = ak−m

1 = k

Ã

2X 2πmj = ξj cos ; k j=1 k

u X

2πmj ξj cos 2 + (−1)m ξn k j=1

!

Здесь числа ξj принимают значения из множества {−1; 0; 1}, причем полиномы h определяют канонические структуры P тогда и только тогда, когда все ξj ∈ {−1; 1}. 106

Детализируем теперь полученные результаты для однородных Φ–пространств малых порядков 3, 4 и 5. Заметим, что нет принципиальных трудностей и в рассмотрении более высоких порядков k. Следствие 1. ([14],[15],[6]) Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка 3. Имеются (с точностью до знака) только следующие канонические структуры классического типа на G/H: 1 J = √ (θ − θ2 ), P = 1. 3 Заметим, что существование и свойства структуры J хорошо известны (см. [122], [375], [227], [55]). Следствие 2. ([14],[15],[6]) На однородном Φ–пространстве порядка 4 имеются (с точностью до знака) следующие канонические классические структуры: 1 1 1 P = θ2 , f = (θ − θ3 ), h1 = (1 − θ2 ), h2 = (1 + θ2 ). 2 2 2 Операторы h1 и h2 образуют пару дополнительных проекторов: h1 +h2 = 1, h21 = h1 , h22 = h2 . При этом следующие условия эквивалентны: 1. −1 ∈ / spec θ; 2. структура P тривиальна (P = −1); 3. f -структура является почти комплексной; 4. структура h1 тривиальна (h1 = 1); 5. структура h2 нулевая. Общие свойства канонических структур P и f на однородных 4–симметрических пространствах были исследованы в [13]. Следствие 3. ([14],[15],[6]) На однородном Φ–пространстве порядка 5 имеются (с точностью до знака) следующие канонические структуры классического типа: 1 P = √ (θ − θ2 − θ3 + θ4 ); 5 4 2 J1 = α(θ − θ ) − β(θ − θ3 ); J2 = β(θ − θ4 ) + α(θ2 − θ3 ); f1 = γ(θ − θ4 ) + δ(θ2 − θ3 ); f2 = δ(θ − θ4 ) − γ(θ2 − θ3 ); 1 1 h1 = (1 + P ); h2 = (1 − P ); 2 2 √ √ √ √ √ √ √ √ 5+2 5 5−2 5 10+2 5 10−2 5 где α = ; β = ; γ = ; δ = . 5 5 10 10 При этом выполняются следующие соотношения: J1 P = J2 ; f1 P = J1 h1 = J2 h1 = f1 ; h1 P = h1 ; h2 P = −h2 ; f2 P = J2 h2 = −J1 h2 = −f2 ; f1 f2 = h1 h2 = 0; h1 + h2 = P. Кроме того, следующие условия эквивалентны: 1. spec θ состоит из двух элементов; 2. структура P тривиальна; 107

3. структуры J1 и J2 совпадают (с точностью до знака); 4. одна из структур f1 или f2 нулевая, а другая является почти комплексной и совпадает с одной из структур J1 или J2 ; 5. одна из структур h1 или h2 тривиальна, а другая равна нулю. Уже отмечали выше, что впервые каноническая структура P на однородных 5– симметрических пространствах была указана и изучена в [16]. Другие канонические структуры на этих пространствах изучались впоследствии в [130], [131], [132]. В то же время примеры 5–симметрических пространств возникали в исследованиях многократно (см., например, [190], [37] и др.) Заметим также, что в частном случае однородных Φ–пространств нечетного порядка k = 2n + 1 метод построения инвариантных почти комплексных структур был описан в [63]. Нетрудно убедиться, что все такие структуры являются каноническими в указанном выше смысле. Замечание 1. Метод описания классических канонических структур, изложенный в [15], является конструктивным и может быть использован для построения инвариантных канонических структур некоторых неклассических типов. Например, в работе [166] были полностью охарактеризованы канонические аффинорные структуры F на однородных k–симметрических пространствах, удовлетворяющие условию F 5 + F = 0 (так называемые f (5, 1)–структуры). Для них получены точные вычислительные формулы, которые детализированы для малых порядков k.

6.3

Алгебра канонических аффинорных структур однородного k–симметрического пространства

Выясним строение алгебры A(θ) канонических аффинорных структур сначала для однородных Φ–пространств любого конечного порядка k. При этом предлагаемый ниже подход в известной степени можно назвать геометрическим. Прежде всего, важно отметить, что метод построения всех классических канонических структур на однородных Φ–пространствах конечного порядка является конструктивным (см. [15], §4 и §5). Опишем кратко геометрическую суть этого подхода. Обозначим через s число пар комплексно сопряженных корней степени k из единицы, входящих в спектр spec θ оператора θ (не считая здесь корень −1, который также может входить в спектр). Рассмотрим соответствующее θ–инвариантное разложение канонического редуктивного дополнения m из (6.1): m = m0 ⊕ m1 ⊕ . . . ⊕ ms ,

(6.2)

где m0 обозначает подпространство, соответствующее собственному значению −1 (если −1 ∈ spec θ), а подпространства m1 , . . . , ms отвечают s парам корней из спектра θ. Тогда любая каноническая f –структура может быть представлена в виде f = (0, ζ1 J1 , . . . , ζs Js ),

(6.3)

где J1 , . . . , Js — определенные специальным образом в терминах θ комплексные структуры на m1 , . . . , ms соответственно, ζj ∈ {−1; 0; 1}, j = 1, 2, . . . , s. Что касается произвольной канонической h–структуры, то ее можно представить в виде h = (ξ0 I0 , ξ1 I1 , . . . , ξs Is ),

(6.4)

где I0 , I1 , . . . , Is — тождественные операторы на m0 , m1 , . . . , ms соответственно, ξj ∈ {−1, 0, 1}, j = 0, 1, 2, . . . , s. 108

Tеорема 6.3.1. [163] Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка k, s — число пар комплексно сопряженных корней степени k из единицы, входящих в спектр spec θ оператора θ. 1. Если −1 ∈ spec θ, тогда алгебра A(θ) изоморфна R ⊕ |C ⊕ .{z . . ⊕ C} . s

2. Если −1 ∈ / spec θ, тогда A(θ) ∼ . . ⊕ C} . =C | ⊕ .{z s

Доказательство. Для построения соответствующего изоморфизма используем приведенное выше описание канонических f –структур и h–структур. 1) Пусть −1 ∈ spec θ. Рассмотрим соответствующее разложение канонического редуктивного дополнения m: m = m0 ⊕ m1 ⊕ . . . ⊕ ms . Используя (6.3) и (6.4), определим следующие канонические h–структуры и f – структуры на G/H, полагая h0 = (I0 , 0, . . . , 0), h1 = (0, I1 , . . . , 0), .................. hs = (0, 0, . . . , Is ), f1 = (0, J1 , . . . , 0), .................. fs = (0, 0, . . . , Js ),

(6.5)

где I0 , I1 , . . ., Is — тождественные операторы на подпространствах m0 , m1 , . . ., ms соответственно, а J1 , . . ., Js — соответствующие специальные комплексные структуры на m1 , . . ., ms . Согласно теореме 6.2.3, существуют действительные многочлены h0 (x), h1 (x), . . ., hs (x) и f1 (x), . . ., fs (x) такие, что hi (θ) = hi , i = 0, 1, . . . , s, fj (θ) = fj , j = 1, . . . , s. Очевидно, что операторы {hi , fj } в формуле (6.5) линейно независимы. Поскольку в рассматриваемом случае dim A(θ) = deg ν = 2s + 1, приходим к выводу, что набор h0 , h1 , . . ., hs , f1 , . . ., fs есть в точности базис в A(θ). Поэтому для любой канонической структуры F ∈ A(θ) получим: F = a 0 h0 +

s X

(am hm + bm fm ),

m=1

где a0 , am , bm ∈ R, m = 1, . . . , s. Построим теперь следующее отображение: A(θ) −→ R ⊕ C . . ⊕ C}, | ⊕ .{z s

F = (a0 I0 , a1 I1 + b1 J1 , . . . , as Is + bs Js ) → (a0 , a1 + b1 i, . . . , as + bs i). Нетрудно проверить, что указанное соответствие является изоморфизмом рассматриваемых коммутативных алгебр. Тем самым первая часть утверждения доказана. 109

2) Пусть теперь −1 ∈ / spec θ. В этом случае имеем разложение m = m1 ⊕ . . . ⊕ ms , то есть m0 = {0}. Следовательно, dim A(θ) = deg ν = 2s. Положим теперь h1 = (I1 , 0, . . . , 0), .................. hs = (0, 0, . . . , Is ), f1 = (J1 , 0, . . . , 0), .................. fs = (0, 0, . . . , Js ).

(6.6)

Все последующие рассуждения проводятся аналогично случаю 1). Это завершает доказательство. ¤ Канонические структуры (6.5) (соответственно, (6.6)) на однородном k–симметрическом пространстве G/H, отвечающие случаю −1 ∈ spec θ (соответственно, −1 ∈ / spec θ), будем называть каноническими образующими алгебры A(θ). Остановимся на частных случаях теоремы 6.3.1. Следствие 4. Для любого однородного 3–симметрического пространства G/H его алгебра канонических аффинорных структур A(θ) изоморфна C. При этом каноническая почти комплексная структура J = √13 (θ − θ2 ) (см. Следствие 1) играет роль мнимой единицы в алгебре A(θ). Доказательство. Действительно, в этом случае spec θ = {ε, ε}, где ε — примитивный корень 3-й степени из единицы. Теперь из теоремы 6.3.1(2) следует, что структуры P = 1 и J являются каноническими образующими в алгебре A(θ) ∼ = C. ¤ Следствие 5. Для любого однородного 4–симметрического пространства G/H есть две возможности: 1) Если spec θ = {i; −1; −i}, то A ∼ = R ⊕ C. Кроме того, канонические структуры h1 , h2 , f (см. Следствие 2) являются каноническими образующими в A(θ). 2) Если spec θ = {i, −i}, то A(θ) ∼ = C. Более того, в этом случае G/H является локально симметрическим однородным пространством ([m, m] ⊂ h), а структура f = J = θ является интегрируемой канонической почти комплексной структурой на G/H. Доказательство. 1) Это утверждение немедленно следует из теоремы 6.3.1(1). 2) Подпространство m0 = Ker f в этом случае тривиально. А тогда, используя [13], получим: [m, m] ⊂ h. Отсюда сразу получаем, что каноническая структура f = J = θ интегрируема. ¤ Замечание 2. Ясно, что нет принципиальных трудностей в описании алгебры A(θ) для однородных Φ–пространств любых порядков k. Следует также подчеркнуть, что ключевое влияние на строение алгебры A(θ) оказывает строение спектра spec θ оператора θ, а не порядок k порождающего автоморфизма Φ. Кроме того, теорема 6.3.1 дает инструмент для классификации всех однородных k–симметрических пространств относительно их алгебр A(θ). Очевидно, что такая классификация содержит счетное число классов эквивалентности. 110

6.4

Алгебра канонических аффинорных структур регулярного Φ–пространства

Здесь мы рассмотрим вопрос о строение алгебры A(θ) канонических аффинорных структур для произвольных регулярных Φ–пространств, причем будем использовать преимущественно чисто алгебраический подход. Введем в рассмотрение коммутативную алгебру An (P), состоящую из матриц вида   z1 z2 . . . zn−1 zn   ...  0 z1 zn−1   . . ..  .. ..  .. . . . . .       0 0 ... ... z2  0 0 ... 0 z1 где все элементы zj , j = 1, 2, . . . , n принадлежат полю P. Следующая теорема дает полное описание строения алгебры A(θ). Tеорема 6.4.1. [10] Пусть G/H — регулярное Φ–пространство, ν — унитарный nm nm+1 νm+1 . . . νsns — его разломинимальный многочлен оператора θ, ν = ν1n1 ν2n2 . . . νm жение на унитарные неприводимые множители над R, где deg νj = 2 для j = 1, 2, . . . , m и deg νj = 1 для j = m + 1, . . . , s, причем все многочлены ν1 , ν2 , . . . , νs попарно взаимно просты. Алгебра A(θ) канонических аффинорных структур пространства G/H изоморфна прямой сумме вещественных коммутативных алгебр An1 (C) ⊕ · · · ⊕ Anm (C) ⊕ Anm+1 (R) ⊕ · · · ⊕ Ans (R). Схема доказательства теоремы. Алгебра A(θ) изоморфна подалгебре R[θ] в алгебре эндоморфизмов пространства m, порожденной элементами из R и θ: R[θ] = {h(θ)|h ∈ R[x]}. В свою очередь алгебра R[θ] изоморфна факторалгебре R[x]/(ν), где ν — главный идеал, определяемый многочленом ν. Теперь, в соответствии с разложением ν на неприводимые множители, приходим к известному классическому представлению R[x]/(ν) ∼ = R[x]/(ν1n1 ) ⊕ · · · ⊕ R[x]/(νsns ) (см., например, [40], [65]). Таким образом, задача сводится к явному описанию факторалгебры R[x]/(ν n ), где ν — неприводимый над R многочлен степени 1 или 2. Лемма 6.4.1. Пусть ν(x) = (x − a)n , a ∈ R. Тогда R[x]/(ν(x)) ∼ = An (R). Действительно, любой элемент r + (ν) алгебры R[x]/(ν(x)) вполне определяется многочленом вида r(x) = z1 + z2 (x − a) + · · · + zn (x − a)n−1 , где z1 , . . . , zn ∈ R. Непосредственно проверяется, что естественное отображение R[x]/(ν(x)) в An (R) является изоморфизмом алгебр. Лемма 6.4.2. Пусть ν(x) = (x2 +p x+q)n , где p2 −4q < 0. Тогда R[x]/(ν(x)) ∼ = An (C). Для доказательства леммы 6.4.2 воспользуемся тем фактом ([15], §2), что в R[x]/(ν(x)) имеется единственный (с точностью до знака) элемент J + (ν) такой, что J 2 ≡ −1(mod ν). Обозначим также T (x) = x2 + p x + q. Тогда можно указать в R[x]/(ν(x)) базис, определяемый следующими многочленами: e1 = 1, u1 = J, e2 = T, u2 = JT, . . . , en = T n−1 , un = JT n−1 . 111

Представляя теперь любой элемент данной алгебры многочленом r = bj uj ), где aj , bj ∈ R, j = 1, . . . , n, можно показать, что отображение

Pn

j=1 (aj ej

+

R[x]/(ν(x)) −→ An (C), r + (ν) −→ (z1 , . . . , zn ), √ где zj = aj + bj i, (здесь i = −1 — мнимая единица) j = 1, . . . , n, является изоморфизмом алгебр. Лемма 6.4.2 доказана. Теперь из лемм 6.4.1 и 6.4.2 очевидным образом приходим к утверждению теоремы. ¤ Следствие 6. Пусть G/H — регулярное Φ–пространство, где Φ — полупростой автоморфизм группы Ли G. Тогда · · ⊕ C} ⊕ R A(θ) ∼ · · ⊕ R} = |C ⊕ ·{z | ⊕ ·{z m

s−m

Как уже отмечалось, самым известным классом регулярных Φ—пространств являются однородные k–симметрические пространства (Φk = id). Следствие 7. Пусть G/H — однородное k–симметрическое пространство. Обозначим через m число пар сопряженных корней степени k из единицы, входящих в спектр оператора θ. Тогда A(θ) ∼ · · ⊕ C} ⊕R, если − 1 ∈ spec θ, =C | ⊕ ·{z m

· · ⊕ C} , если − 1 6∈ spec θ. и A(θ) ∼ =C | ⊕ ·{z m

Замечание 3. Построенный при доказательстве теоремы 6.4.1 изоморфизм для алгебры A(θ) позволяет конструктивно восстановить любую каноническую структуру на G/H по представляющему ее элементу в указанной прямой сумме алгебр. Эта процедура осуществляется последовательно с использованием классического алгоритма Евклида и в предположении, что известным является разложение минимального многочлена ν на неприводимые множители. Более того, явный вид алгебры A(θ) позволяет выделять все канонические структуры на G/H предписанного типа (как классические, так и иные). Например, очевидным становится существование на многих регулярных Φ–пространствах канонических почти касательных структур разных порядков (т.е. T l = 0, l ≥ 2). Кроме того, уже известное описание канонических структур основных классических типов (см. [15], [6]) может быть получено отсюда иным способом.

6.5

Классы регулярных Φ–пространств

При изучении однородных многообразий традиционно выделяют два типа - однородные пространства полупростого и разрешимого типов. Это деление особенно ярко выражено в вопросах классификации. Что касается полупростого случая для регулярных Φ–пространств, то хорошо известна здесь классификация 3–симметрических пространств (с простыми основными группами) (см. [375], [227]). Аналогичная классификация 4–симметрических пространств компактных простых групп получена в [244]. Немало работ посвящено в полупростом случае классификации произвольных k–симметрических пространств (см., например, [127]), при этом принципиальная разрешимость такой задачи изложена в ([237], глава 10). 112

В то же время используемые методы неприемлемы в разрешимом случае, а потому проблема классификации регулярных Φ–пространств в этом ключе нереальна. Отметим, что известно немало примеров k–симметрических пространств разрешимого типа (см., например, [63], [359]). Механизм предлагаемого нами разбиения всех регулярных Φ-пространств на классы основан на сопоставлении каждому регулярному Φ–пространству G/H его алгебры канонических аффинорных структур A(θ). Эта алгебра отражает специфику геометрических свойств G/H, определяемых автоморфизмом Φ, а указанное сопоставление не требует дополнительных ограничений на группу Ли G. Из доказанной теоремы 6.4.1 следует, что множество возникающих непересекающихся классов счетно. Рассмотрим некоторые простейшие случаи алгебр A(θ) и соответствующие им классы регулярных Φ–пространств. 1) A(θ) ∼ = R. Это означает, что каноническими являются лишь скалярные структуры, т.е. θ — оператор подобия. В частности, все однородные симметрические пространства принадлежат этому классу (для них θ = −1 — симметрия в касательном пространстве To (G/H)). 2) A(θ) ∼ = C. В этот класс входят, например, все однородные 3–симметрические пространства, при этом роль мнимой единицы в A(θ) играет уже упоминавшаяся хорошо известная каноническая почти комплексная структура J = √13 (θ − θ2 ) (см. [122], [375], [227]). Ясно, что любое k–симметрическое пространство (k ≥ 3), для которого spec θ состоит из двух элементов, также попадает в этот класс. 3) A(θ) ∼ = C ⊕ R. Все 4–симметрические пространства с максимальным спектром θ принадлежат этому классу. Аналогично, здесь же все k–симметрические пространства (k = 2n ≥ 4) со спектром из трех элементов. Отметим ряд важных особенностей: Замечание 4. Все классы алгебр A(θ) реализуемы. Иными словами, по любой коммутативной алгебре указанного в теореме 6.4.1 вида можно построить регулярное Φ–пространство с алгеброй A(θ), изоморфной данной алгебре. Замечание 5. Сравнение результатов в следствии 7 и теореме 6.4.1 показывает, что множество регулярных Φ–пространств значительно шире и геометрически богаче (в смысле канонических структур), чем наиболее известное подмножество однородных k–симметрических пространств. Замечание 6. Разные регулярные Φ–пространства могут иметь одну и ту же нижележащую структуру однородного пространства G/H. В этом случае они могут попадать в разные классы в предлагаемой классификации. Примеры таких однородных пространств указаны ниже. Примеры. Здесь мы приведем лишь несколько конкретных примеров с указанием соответствующих алгебр A(θ). 1) Сфера S 5 в несимметрическом представлении SU (3)/SU (2) является 4–симметрическим пространством (см., например, [63], [339]), а потому для нее, исходя из общих приведенных выше результатов, получим: A(θ) ∼ = C ⊕ R. Отметим, что этот факт получен в [66] прямым вычислением. 2) Группа гиперболических движений плоскости R2 диффеоморфна R3 и является римановым 4–симметрическим пространством разрешимого типа (см. [63]). По тем же соображениям снова получаем здесь: A(θ) ∼ = C ⊕ R. 3) 6–мерная обобщенная группа Гейзенберга (N, g) является нильпотентной группой Ли индекса 2. Как показано в [359], она может быть представлена одновременно как 3– и 4–симметрическое пространство. Поэтому алгебры A(θ) для этих представлений есть, соответственно, C и C ⊕ R. 113

4) Широко известное флаговое многообразие SU (3)/Tmax является k–симметрическим пространством для всех k ≥ 3 (см. [243]). При этом для надлежащих автоморфизмов Φ порядков k = 3, 4, 5 соответствующими алгебрами A(θ) будут C, C ⊕ R, C ⊕ C. 5) Пример регулярного Φ–пространства G/H с неполупростым автоморфизмом Φ приведен в ([15], §3). Минимальный многочлен оператора θ в этом случае имеет вид: ν(x) = (x2 + 2px + 1)2 , где p2 − 1 < 0. По доказанной теореме 6.4.1 это означает, что A(θ) ∼ = A2 (C). Отметим, что в данном примере алгебра A(θ) реализует максимальную возможную размерность, а именно: dim A(θ) = dim G/H = 4.

6.6

Линейные подпространства, порождаемые оператором θ для регулярного Φ–пространства

Пусть G/H — редуктивное однородное пространство, g = h ⊕ m — соответствующее редуктивное разложение алгебры Ли g. Рассмотрим линейные эндоморфизмы λ, µ на векторном пространстве m, т.е. λ, µ ∈ End(m). Обозначим через m(λ,µ) линейную оболочку всех векторов вида [ λ(X), µ(X) ], где X ∈ m. Пусть далее G/H — регулярное Φ–пространство с каноническим редуктивным разложением (6.1). Рассмотрим линейные операторы λ(θ) и µ(θ), где λ и µ — многочлены с действительными коэффициентами. Пусть m(λ,µ) — соответствующее линейное подпространство в g. Можно предполагать, не теряя общности, что многочлены λ и µ унимодулярны и, кроме того, deg λ < deg µ < deg ν, где через ν обозначен унимодулярный минимальный многочлен оператора θ. Очевидно, что любое m(λ,µ) является ϕ–инвариантным подпространством в g. Заметим, что в случае симметрического пространства (т.е. Φ2 = id) оператор θ = −id, откуда следует, что все подпространства m(λ,µ) в этом случае тривиальны. Одно из подпространств типа m(λ,µ) впервые было введено в [5]. Это подпространство соответствовало случаю λ(θ) = 1, µ(θ) = θ и обозначалось mϕ . Следует отметить, что условие mϕ ⊂ h является обобщением условия локальной симметричности [ m, m ] ⊂ h для однородного редуктивного пространства G/H. Например, это условие mϕ ⊂ h справедливо для любого однородного Φ–пространства порядка 3. Другие пространства типа m(λ,µ) возникнут в нашем рассмотрении позднее. Докажем теперь следующее важное утверждение. Tеорема 6.6.1. [165],[160] Пусть g = h⊕m — каноническое редуктивное разложение (λ,µ) для регулярного Φ–пространства G/H. Тогда для любых λ(θ) и µ(θ) проекция mh подпространства m(λ,µ) на h есть идеал в алгебре Ли h. Доказательство. Для любых X ∈ m и Y ∈ h имеем [ Y, [λ(θ)X, µ(θ)X] ] = [ Y, [λ(θ)X, µ(θ)X]m ] + [ Y, [λ(θ)X, µ(θ)X]h ]. Поскольку [ h, m ] ⊂ m и [ h, h ] ⊂ h, мы видим, что первое слагаемое принадлежит m, а второе входит в h. С другой стороны, из тождества Якоби следует, что [Y, [λ(θ)X, µ(θ)X]] = [λ(θ)X, [Y, µ(θ)X]]h + [λ(θ)X, [Y, µ(θ)X]]m + [[Y, λ(θ)X], µ(θ)X]h + [[Y, λ(θ)X], µ(θ)X]m . Из двух последних равенств можем получить теперь: [ Y, [λ(θ)X, µ(θ)X]h ] = [λ(θ)X, [Y, µ(θ)X]]h + [[Y, λ(θ)X], µ(θ)X]h . 114

(6.7)

Далее, поскольку X + [ Y, X ] ∈ m, имеем: [ λ(θ)(X + [ Y, X ]), µ(θ)(X + [ Y, X ]) ] = [ λ(θ)X, µ(θ)[ Y, X ] ]+ [ λ(θ)[ Y, X ], µ(θ)X ] + [ λ(θ)X, µ(θ)X ] + [ λ(θ)[ Y, X ], µ(θ)[ Y, X ] ] . Следовательно, [ λ(θ)X, µ(θ)[ Y, X ] ] + [ λ(θ)[ Y, X ], µ(θ)X ] = = [ λ(θ)(X + [ Y, X ]), µ(θ)(X + [ Y, X ]) ]− − [ λ(θ)X, µ(θ)X ] − [ λ(θ)[ Y, X ], µ(θ)[ Y, X ] ].

(6.8)

Так как ϕ является автоморфизмом алгебры Ли g и ϕ(Y ) = Y , то для любого многочлена σ получим: σ(ϕ)[ Y, X ] = [ Y, σ(θ)X ]. Используя этот факт, из (6.7) и (6.8) получим: [Y, [λ(θ)X, µ(θ)X]h ] = [λ(θ)X, [Y, µ(θ)X]]h + [[Y, λ(θ)X], µ(θ)X]h = [λ(θ)(X + [Y, X]), µ(θ)(X + [Y, X])]h − [λ(θ)X, µ(θ)X]h − [λ(θ)[Y, X], µ(θ)[Y, X]]h . (λ,µ) Исходя из определения подпространства mh получаем теперь, что (λ,µ)

[ Y, [ λ(θ)X, µ(θ)X ]h ] ∈ mh

.

(λ,µ)

Это означает, что mh является идеалом в h. ¤ Замечание 7. Хорошо известно [313], что для любого редуктивного однородного пространства G/H с редуктивным разложением g = h ⊕ m подпространство [ m, m ]h , порожденное всеми векторами [ X, Y ]h , где X, Y ∈ m, является идеалом в h. Очевид(λ,µ) содержится в идеале но, что для любого регулярного Φ–пространства идеал mh [ m, m ]h . Рассмотрим теперь частный случай этой общей ситуации. Более точно, охарактеризуем введенные подпространства m(λ,µ) у тех регулярных Φ–пространств, для которых минимальный многочлен оператора θ имеет степень 2. Tеорема 6.6.2. [165],[160] Пусть G/H — такое регулярное Φ–пространство, для которого минимальный многочлен ν оператора θ является квадратичным: ν(x) = x2 + p x + q. Тогда любое подпространство m(λ,µ) совпадает с mϕ . Пусть далее многочлен ν неприводим над R и подпространство mϕ нетривиально. Тогда следующие условия эквивалентны: (i) mϕ ⊂ h; (ii) q = 1; (iii) spec θ = {ε, ε¯}, где |ε| = |¯ ε| = 1. Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, поскольку deg λ < deg µ < deg ν = 2. (i) ⇐⇒ (ii) По предположению θ2 + p θ + q = 0. Отсюда для любого X ∈ m можем получить: ϕ[ X, θX ] = [ θX, θ2 X ] = [ θX, (−pθ − q)X ] = q[ X, θX ]. Следовательно, [ X, θX ] ∈ h тогда и только тогда, когда q = 1. (ii) ⇐⇒ (iii) Пусть q = 1. Так как p — действительное число, то комплексно сопряженные корни ε и ε¯ минимального многочлена ν лежат на единичной окружности S1 ⊂ C. Обратное утверждение очевидно. ¤ 115

Отметим, что римановы однородные Φ–пространства с неприводимым квадратичным многочленом ν (так называемые квадратичные s–многообразия) исследовались в работах [284], [285]. Следствие 8. Пусть G/H — такое однородное Φ–пространство порядка k, для которого spec θ состоит из двух элементов. Тогда mϕ ⊂ h. Действительно, в этом случае ε и ε¯ являются примитивными корнями степени k из единицы.

6.7

Канонические структуры на регулярных Φ–пространствах и инвариантные (псевдо)римановы метрики

Пусть G/H — регулярное Φ–пространство, g = h ⊕ m — соответствующее каноническое редуктивное разложение алгебры Ли g. Пусть далее на G/H задана (псевдо)риманова метрика, порождаемая симметрической билинейной формой g = h·, ·i на m × m, которая инвариантна относительно подгруппы AdG (H) и оператора θ. Такая метрика инвариантна не только относительно группы G, но и обобщенных симметрий Sp однородного Φ–пространства G/H. В случае полупростой группы Ли G классическим примером метрики g с указанными свойствами является так называемая стандартная метрика, индуцированная формой Киллинга алгебры Ли g. Заметим также, что эта метрика на произвольном регулярном Φ–пространстве G/H естественно редуктивна относительно канонического редуктивного разложения (см. [123]). Наша основная цель сейчас — исследовать согласованность канонических структур P, J, f, h на регулярном Φ–пространстве с (псевдо)римановой метрикой указанного вида. Прежде напомним некоторые определения: Пусть (M, g) — (псевдо)риманово многообразие, X, Y — гладкие векторные поля на M . (a) (g, P ) называется (псевдо)римановой структурой почти произведения, если g(P X, P Y ) = g(X, Y ) (см, например, [380]); (b) (g, J) называется почти эрмитовой структурой, если g(JX, JY ) = g(X, Y ) (см, например, [226]); (c) (g, f ) называется метрической f –структурой, если g(f X, Y ) + g(X, f Y ) = 0 (см, например, [58]); (d) (g, h) называется (псевдо)римановой h–структурой, если g(hX, Y ) = g(X, hY ) (см. [6]). Нетрудно заметить, что в частном случае Ker f = 0 метрическая f –структура (g, f ) совпадает с почти эрмитовой структурой, а в случае Ker h = 0 (псевдо)риманова h–структура (g, h) в точности приводит к (псевдо)римановой структуре почти произведения. Важным для дальнейшего рассмотрения является следующее утверждение: Лемма 6.7.1. Пусть V — векторное пространство над полем R, µ — билинейная форма на V ×V . Предположим, что µ инвариантна относительно невырожденного линейного оператора l : V −→ V , т.е. µ(lX, lY ) = µ(X, Y ) для всех X, Y ∈ V . Тогда µ(λ(l)X, Y ) = µ(X, λ(l−1 )Y ) для любого многочлена λ с действительными коэффициентами и для любых X, Y ∈ V . 116

P Доказательство. Запишем многочлен λ в виде: λ(x) = ki=0 αi xi . Тогда ÃÃ k ! ! k X X i µ(λ(l)X, Y ) = µ αi l X, Y = αi µ(li X, Y ) i=0

=

k X

Ã

αi µ(X, l−i Y ) = µ X,

i=0

à k X

i=0

! ! αi l−i

Y

= µ(X, λ(l−1 )Y ) .

i=0

Тем самым доказали требуемый результат.

¤

Tеорема 6.7.1. [165],[160] Пусть (G/H, g) — (псевдо)риманово регулярное Φ–пространство. Предположим, что метрика g инвариантна относительно группы G и "симметрий" {Sp }. Пусть далее P, J, f, h — такие канонические структуры на G/H, что соответствующие им многочлены P (θ), J(θ), f (θ), h(θ) удовлетворяют соответственно следующим условиям: (a) P (θ) = P (θ−1 ); (b) J(θ) = −J(θ−1 ); (c) f (θ) = −f (θ−1 ); (d) h(θ) = h(θ−1 ) . (6.9) Тогда соответственно (a) (g, P ) является (псевдо)римановой структурой почти произведения; (b) (g, J) является почти эрмитовой структурой; (c) (g, f ) является метрической f –структурой; (d) (g, h) является (псевдо)римановой h–структурой. Доказательство. (a) Для пюбых X, Y ∈ m условие g(P X, P Y ) = g(X, Y ) равносильно условию g(P X, Y ) = g(X, P Y ). Теперь, применяя лемму 6.7.1 для оператора l = θ и используя предположение P (θ) = P (θ−1 ), приходим к доказательству первого утверждения. Все остальные утверждения (b), (c) и (d) доказываются аналогичными рассуждениями. ¤ Следствие 9. [165],[160] Пусть (G/H, g) — (псевдо)риманово однородное Φ–пространство порядка k, где метрика g инвариантна относительно группы G и "симметрий"{Sp }. Тогда все канонические структуры P, J, f, h на G/H согласованы с метрикой g (в смысле теоремы 6.7.1). Доказательство. Действительно, в силу теоремы 6.2.3 все канонические структуры P, J, f, h могут быть заданы многочленами, которые удовлетворяют условиям ¤ (6.9). Остается только применить теорему 6.7.1.

6.8

Инвариантные почти эрмитовы структуры на однородных многообразиях

Здесь мы приведем некоторые сведения из эрмитовой геометрии и сформулируем ряд результатов об инвариантных почти эрмитовых структурах на однородных многообразиях, которые необходимы для дальнейшего изложения. Пусть M — гладкое многообразие, X(M ) — алгебра Ли гладких векторных полей на M , d — оператор внешнего дифференцирования. Напомним, что почти эрмитова структура на M (короче, AH–структура) — это пара (g, J), где g = h·, ·i — (псевдо)риманова метрика на M , J — почти комплексная структура, для которой 117

выполняется условие hJX, JY i = hX, Y i для всех X, Y ∈ X(M ). Отсюда немедленно следует, что тензорное поле Ω(X, Y ) = hX, JY i кососимметрично, т.е. (M, Ω) является почти симплектическим многообразием. Ω обычно называется фундаментальной формой (келеровой формой) AH–структуры (g, J). Далее, обозначим через ∇ связность Леви-Чивита метрики g на M . Перечислим ниже некоторые основные классы AH–структур вместе с их определяющими свойствами (см., например, [230],[59]): K H G1 QK AK NK

келерова структура: ∇J = 0; ∇X (J)Y − ∇JX (J)JY = 0; эрмитова структура: ∇X (J)X − ∇JX (J)JX = 0; AH–структура класса G1 , или G1 –структура: квазикелерова структура: ∇X (J)Y + ∇JX (J)JY = 0; почти келерова структура: d Ω = 0; приближенно келерова структура, ∇X (J)X = 0. или N K–структура:

Хорошо известны следующие соотношения между классами (см., например, [230],[59]): K ⊂ H ⊂ G1 ; K ⊂ NK ⊂ G1 ; NK = G1 ∩ QK; K = H ∩ QK. Обозначим, как обычно, через N тензор Нейенхейса почти комплексной структуры J, т.е. 1 N (X, Y ) = ([JX, JY ] − J[JX, Y ] − J[X, JY ] − [X, Y ]) 4 для всех X, Y ∈ X(M ). Тогда условие N = 0 равносильно интегрируемости структуры J (см., например, [62],[59]). Более того, почти эрмитова структура (g, J) принадлежит классу H тогда и только тогда, когда N = 0 ((см., например, [230],[59])). Особенно важную роль играют однородные почти эрмитовы многообразия, поскольку, по выражению А.Грея (см. [229]), "они являются модельными пространствами, с которыми можно сравнивать все другие почти эрмитовы многообразия". Значительное число примеров инвариантных почти эрмитовых структур, как общего, так и специального типов, для большинства отмеченных выше классов были обнаружены в работах [375], [227], [229], [55] и некоторых других. В частности, после детального исследования 6–мерных однородных приближенно келеровых многообразий В.Ф.Кириченко доказал [55], что естественно редуктивные строго приближенно келеровы многообразия SO(5)/U (2) и SU (3)/Tmax не изометричны (даже локально) 6–мерной сфере S 6 . Эти примеры дали отрицательный ответ на гипотезу Саваки и Яманаи (см. [342]), предполагавшую, что любое собственное 6–мерное N K–многообразие есть пространство постоянной кривизны. Заметим, что каноническая почти комплексная структура J = √13 (θ − θ2 ) на однородных 3–симметрических пространствах играет ключевую роль в этих и других примерах однородных AH– многообразий. Пусть g — инвариантная (псевдо)риманова метрика на редуктивном однородном пространстве G/H, g = h ⊕ m — редуктивное разложение алгебры Ли g. Как обычно, отождествим m с касательным пространством To (G/H) в точке o = H. Тогда инвариантная метрика g полностью определяется своим значением в точке o. Для удобства не будем различать в обозначениях саму инвариантную метрику g на G/H и ее значение в точке o. Напомним, что (G/H, g) называется естественно редуктивным относительно редуктивного разложения g = h ⊕ m [62], если g([X, Y ]m , Z) = g(X, [Y, Z]m ) для всех X, Y, Z ∈ m. Здесь индекс m обозначает проекцию g на m относительно редуктивного разложения. 118

Сформулируем здесь несколько результатов, имеющих тесную связь с нашим последующим рассмотрением. Tеорема 6.8.1. [137] Любая инвариантная почти эрмитова структура на естественно редуктивном пространстве (G/H, g) является структурой класса G1 . Tеорема 6.8.2. [375], [227] Однородное 3–симметрическое пространство G/H с канонической почти комплексной структурой J и инвариантной согласованной метрикой g является квазикелеровым многообразием. Более того, (G/H, J, g) принадлежит классу NK тогда и только тогда, когда метрика g естественно редуктивна. Tеорема 6.8.3. [290], [228], [54] 6–мерное собственное приближенно келерово многообразие является многообразием Эйнштейна. В заключение приведем некоторые недавние результаты, полученные в [338] для флаговых многообразий. Пусть G — комплексная полупростая группа Ли, g — ее алгебра Ли. Рассмотрим соответствующее максимальное флаговое многообразие F = G/P , где P — борелевская (минимальная параболическая) подгруппа в G. Для любой максимальной компактной подгруппы U в G можем записать F = U/T , где T ⊂ U — максимальный тор. При изучении U –инвариантных почти эрмитовых структур на F получен следующий результат: Tеорема 6.8.4. [338] Пусть G — комплексная простая группа Ли. Любая инвариантная приближенно келерова структура на F является келеровой, если только g не совпадает с A2 . Для случая A2 имеется один класс эквивалентности инвариантных почти комплексных структур, допускающих единственную (с точностью до гомотетии) приближенно келерову метрику. Далее, в соответствии с 16 классами почти эрмитовых структур (см. [230]), в [338] было показано, что в инвариантной постановке задачи эти 16 классов на F сводятся к 4-м классам инвариантных почти эрмитовых структур с 3-мя возможностями для инвариантных почти комплексных структур. Более точно, в [338] были получены следующие результаты: Имеются следующие классы инвариантных почти эрмитовых структур на F: 1) келеровы: {0}; W1 (приближенно келеровы); W2 (почти келеровы); W3 ; W4 ; W3 ⊕ W4 (интегрируемые); W2 ⊕ W4 ; W1 ⊕ W4 ; W2 ⊕ W3 ; W2 ⊕ W3 ⊕ W4 . 2) (1, 2)–симплектические (квазикелеровы): W1 ⊕ W2 ; W1 ⊕ W2 ⊕ W4 . 3) инвариантные: W1 ⊕ W2 ⊕ W3 (косимплектические); W1 ⊕ W3 ; W1 ⊕ W3 ⊕ W4 . (Два последних класса — для специальных метрик и всех инвариантных почти комплексных структур.)

6.9

Метрические f –структуры на многообразиях

Прежде всего, приведем кратко некоторые сведения из обобщенной эрмитовой геометрии, относящиеся к метрическим f –структурам на гладких многообразиях. Более подробную информацию и общий подход можно найти в работах [58], [56], [59]. Напомним, что f –структурой на многообразии M называется поле эндоморфизмов f , действующих в его касательном расслоении и удовлетворяющих условию f 3 + f = 0 (см. [379]). Число r = dim Im f постоянно для всех точек из M [352] и называется рангом f –структуры. Кроме того, число dim Ker f = dim M − r обычно называют дефектом f -структуры и обозначают def f . Легко видеть, что частные случаи def f = 0 и def f = 1 для f –структур приводят к почти комплексным и почти контактным структурам соответственно. 119

Пусть M — f –многообразие, X(M ) — модуль гладких векторных полей на M . Тогда X(M ) = L ⊕ M, где L = Im f и M = Ker f — взаимно дополнительные распределения, которые обычно называют первым и вторым фундаментальным распределением f –структуры соответственно. Ясно, что эндоморфизмы l = −f 2 и m = id + f 2 являются взаимно дополнительными проекторами на распределения L и M соответственно. Заметим, что сужение F заданной f –структуры на L есть почти комплексная структура, т.е. F 2 = −id. Тензор Нейенхейса для f –структуры определяется формулой [59] N (X, Y ) =

1 ([f X, f Y ] − f [f X, Y ] − f [X, f Y ] + f 2 [X, Y ]), 4

(6.10)

где X, Y ∈ X(M ). При этом критерием интегрируемости f –структуры является [136] условие N = 0. Перейдем теперь непосредственно к некоторым понятиям из обобщенной эрмитовой геометрии. Создание такой геометрии (см., например, [56], [58]) стало естественным следствием развития эрмитовой геометрии и теории почти контактных метрических структур вместе с многочисленными приложениями. Основным объектом этой геометрии является обобщенная почти эрмитова структура (короче, GAH– структура) произвольного ранга r на (псевдо)римановом многообразии (M, g) [56], [58]. Не приводя здесь детального определения этого общего понятия, ограничимся рассмотрением важнейшего частного случая GAH–структур ранга 1 — метрических f –структур, которые содержат класс почти эрмитовых структур. Напомним, что f –структура на (псевдо)римановом многообразии (M, g = h·, ·i) называется метрической f -структурой, если hf X, Y i + hX, f Y i = 0, X, Y ∈ X(M ) (см. [58]). В этом случае тройка (M, g, f ) называется метрическим f -многообразием. Ясно, что тензорное поле Ω(X, Y ) = hX, f Y i кососимметрично, т.е. Ω есть 2–форма на M . Ω называется фундаментальной формой метрической f –структуры [58], [56]. Легко видеть, что частные случаи def f = 0 и def f = 1 метрических f –структур приводят к почти эрмитовым структурам и почти контактным метрическим структурам соответственно. Пусть M — метрическое f –многообразие. Тогда первое и второе фундаментальные распределения L = Im f и M = Ker f взаимно ортогональны. Отметим, что в случае, когда ограничение метрики g на L невырождено, ограничение (F, g) метрической f –структуры на L есть почти эрмитова структура, т.е. F 2 = −id, hF X, F Y i = hX, Y i, X, Y ∈ L. Фундаментальную роль в геометрии обобщенных почти эрмитовых структур (в частности, метрических f –структур) играет специальный тензор T типа (2, 1), который называется композиционным тензором. Используя тензор T , можно задать алгебраическую структуру так называемой присоединенной Q–алгебры в X(M ) посредством формулы [56], [58]: X ∗ Y = T (X, Y ). Это дает возможность ввести некоторые классы GAH–структур на основе естественных свойств присоединенной Q–алгебры (см. [58], [56]). Отметим, что для метрических f –многообразий тензор T был точно указан в работе [58]: 1 T (X, Y ) = f (∇f X (f )f Y − ∇f 2 X (f )f 2 Y ), 4 где ∇ - связность Леви-Чивита (псевдо)риманова многообразия (M, g), X(M ). 120

(6.11) X, Y ∈

Перечислим ниже основные классы метрических f –структур, указав для них определяющие свойства: Kf Hf

келерова f –структура: эрмитова f –структура:

G1 f

f –структура класса G1 , или G1 f –структура: квазикелерова f –структура: киллингова f –структура: приближенно келерова f –структура, или N Kf –структура:

QKf Kill f NKf

∇f = 0; T (X, Y ) = 0, т.е. X(M ) — абелева Q–алгебра; T (X, X) = 0, т.е. X(M ) — антикоммутативная Q–алгебра; ∇X f + TX f = 0; ∇X (f )X = 0; ∇f X (f )f X = 0.

Классы Kf, Hf, G1 f, QKf (в более общей ситуации) введены в [58] (см. также [348]). Киллинговы f –многообразия Kill f были определены и изучались в [45], [46]. Класс NKf определен в работах [8], [162]. Приведем следующие очевидные отношения включения между классами метрических f –структур: Kf = Hf ∩ QKf ; Kf ⊂ Hf ⊂ G1 f ; Kf ⊂ Kill f ⊂ NKf ⊂ G1 f . Важно отметить, что в частном случае f = J мы получаем соответствующие классы почти эрмитовых структур (см. [230]). Например, для f = J классы Kill f и NKf совпадают с хорошо известным классом NK приближенно келеровых структур. Заметим, что келерова f –структура всегда интегрируема, что совпадает со случаем классической келеровой структуры J. Действительно, в силу отсутствия кручения у связности ∇ имеем: ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = 0. А тогда тензор Нейенхейса N (X, Y ) для f –структуры можно записать в виде (см. [59], с.410): 1 (∇f X (f )Y − f ∇X (f )Y − ∇f Y (f )X + f ∇Y (f )X), 4 откуда очевидным образом следует, что для келеровой f –структуры N (X, Y ) = 0. В то же время следует отметить, что эрмитова f –структура интегрируемой, вообще говоря, не является, что существенно отличает ее от классической эрмитовой структуры. Напомним в связи с этим, что эрмитовость почти эрмитовой структуры (g, J) равносильна ее интегрируемости (см., например, [230]). Заметим также, что киллинговы f –структуры определяются часто тем требованием, что фундаментальная форма Ω является формой Киллинга, т.е. d Ω = ∇ Ω [45], [60]. Нетрудно показать, что такое определение равносильно приведенному выше условию (см. [59], с.419). Композиционный тензор T для специальных классов метрических f –структур может быть записан проще. Более точно, справедлива следующая N (X, Y ) =

Лемма 6.9.1. Композиционный тензор T любой N Kf –структуры на гладком многообразии (M, h·, ·i, f ) имеет вид T (X, Y ) =

1 f ∇f X (f )(f Y ), 2

(6.12)

где X, Y ∈ X(M ). Доказательство. Определяющее условие для N Kf –структуры, поляризуя, может быть записано в виде: ∇f X (f )(f Y ) + ∇f Y (f )(f X) = 0. 121

Далее, для любой f –структуры имеет место тождество (см, напр., [60]), справедливость которого легко установить также прямой проверкой: f ∇X (f )(f 2 Y ) + f 2 ∇X (f )(f Y ) = 0. Используя теперь приведенные выше равенства, можем вычислить: − f ∇f 2 X (f )(f 2 Y ) = f 2 ∇f 2 X (f )(f Y ) = −f 2 ∇f Y (f )(f 2 X) = = f 3 ∇f Y (f )(f X) = f ∇f X (f )(f Y ). С учетом последнего равенства легко видеть теперь, что формула (6.11) принимает вид (6.12). ¤ Заметим, что формула (6.12) обобщает формулу, полученную ранее (тем же способом) в работе [60] для киллинговых f –многообразий (см. также [59]).

6.10

Естественно редуктивные пространства с инвариантными метрическими f –структурами

Перейдем теперь к рассмотрению инвариантных метрических f –структур на (псевдо)римановых однородных пространствах. Пусть G — связная группа Ли, H — ее замкнутая подгруппа, g = h·, ·i — инвариантная (псевдо)риманова метрика на однородном пространстве G/H. Как обычно, обозначим через g и h алгебры Ли, соответствующие группам G и H. Предположим, что G/H — редуктивное однородное пространство, g = h ⊕ m — редуктивное разложение алгебры Ли g. Мы также отождествим m с касательным пространством To (G/H) в точке o = H. Тогда инвариантная метрика g полностью определяется своим значением в точке o. Для удобства будем обозначать одинаково как саму инвариантную метрику h·, ·i на G/H, так и ее значение в точке o. Это соглашение будем использовать также для всех других инвариантных структур на G/H, в частности, для инвариантных f –структур. Любая инвариантная f –структура на G/H задает разложение m = m1 ⊕ m2 , где подпространства m1 = Im f и m2 = Ker f вполне определяют первое и второе фундаментальные распределения соответственно. Пусть теперь (G/H, g = h·, ·i, f ) — однородное редуктивное пространство с инвариантной (псевдо)римановой метрикой h·, ·i и инвариантной метрической f –структурой. Это означает, что для всех X, Y ∈ m выполняется равенство: hf X, Y i + hX, f Y i = 0.

(6.13)

Кроме того, подпространства m1 и m2 в этом случае ортогональны относительно метрики h·, ·i. Напомним, что (G/H, h·, ·i) называется естественно редуктивным пространством относительно редуктивного разложения g = h ⊕ m [62], если h[X, Y ]m , Zi = hX, [Y, Z]m i

(6.14)

для всех X, Y, Z ∈ m. Здесь, как обычно, индекс m обозначает проекцию векторов из g на m относительно указанного редуктивного разложения. Рассмотрим теперь некоторые из приведенных выше классов инвариантных метрических f –структур на естественно редуктивных однородных пространствах. 122

6.10.1.

Инвариантные N Kf –структуры

Пусть (G/H, h·, ·i, f ) — однородное редуктивное пространство с инвариантной естественно редуктивной метрикой h·, ·i и инвариантной метрической f –структурой. Охарактеризуем теперь инвариантные киллинговы и приближенно келеровы f – структуры в терминах специальных подпространств вида m(λ,µ) , введенных нами ранее. Tеорема 6.10.1. [162],[165] Пусть (G/H, g) — естественно редуктивное однородное пространство, f — инвариантная метрическая f –структура, g = h ⊕ m — соответствующее редуктивное разложение. (i) f — киллингова f –структура тогда и только тогда, когда m(1,f ) ⊂ h. (ii) f — приближенно келерова f –структура тогда и только тогда, когда 2 m(f,f ) ⊂ h. Доказательство. Воспользуемся традиционной техникой для инвариантных структур на редуктивных однородных пространствах [313]. Докажем, например, утверждение (ii). Условие ∇f X (f )f X = 0 означает, что ∇f X f 2 X = f ∇f X f X для всех гладких векторных полей X на G/H. Обозначим через α функцию Номидзу инвариантной аффинной связности ∇ [313]. Тогда, с использованием специальных векторных полей [313] в окрестности точки o, можно показать, что последнее условие равносильно следующему: α(f X, f 2 X) = f α(f X, f X),

X ∈ m.

Поскольку метрика g естественно редуктивна, то α(X, Y ) =

¤ 1£ X, Y m , 2

X, Y ∈ m.

Следовательно, приходим к соотношению [ f X, f 2 X ] ∈ h для всех X ∈ m, что в 2 точности равносильно включению m(f,f ) ⊂ h. Утверждение (i) доказывается аналогично. ¤ 2 Замечание 8. Рассмотрим частный случай f = J (J = −1) теоремы 6.10.1. Тогда оба полученных условия приводятся к включению m(1,J) ⊂ h, т.е. [ X, JX ] ∈ h для всех X ∈ m. Это есть в точности хорошо известный критерий для приближенно келеровых структур в естественно редуктивном случае (см. [375], p. 138 ). Напомним, что любая инвариантная метрическая f –структура на G/H определяет ортогональное разложение m = m1 ⊕ m2 , в котором m1 = Im f , m2 = Ker f . Сформулируем теперь результат, показывающий "степень отличия"в естественно редуктивном случае киллинговых f –структур от N Kf –структур. Tеорема 6.10.2. [162],[165] Пусть (G/H, g, f ) — естественно редуктивное однородное пространство с метрической f –структурой, m = m1 ⊕ m2 — соответствующее разложение относительно f . Следующие условия эквивалентны: (i) f — киллингова f –структура; (ii) f — N Kf –структура, для которой [ m1 , m2 ] ⊂ h. 123

Доказательство. Выбирая любой элемент X = X1 + X2 , X1 ∈ m1 , X2 ∈ m2 , получим [ X, f X ] = [ X1 , f X1 ] + [ X2 , f X1 ]. (6.15) Если f — киллингова f –структура, то по теореме 6.10.1(i) векторы [ X, f X ] и [ X1 , f X1 ] принадлежат h. Тогда из равенства (6.15) немедленно следует, что [ X2 , f X1 ] ∈ h. Так как оператор f невырожден на m1 , приходим к включению [ m1 , m2 ] ⊂ h. Итак, (i) влечет (ii). Обратно, пусть f является N Kf –структурой и, кроме того, [ m1 , m2 ] ⊂ h. По теореме 6.10.1(ii) имеем [ X1 , f X1 ] = [ f Y, f 2 Y ] ∈ h, где Y ∈ m. Так как по предположению [ X2 , f X1 ] ∈ h, то из равенства (6.15) следует, что [ X, f X ] ∈ h. Согласно теореме 6.10.1(i) это означает, что f есть киллингова f –структура. Доказательство завершено. ¤ Продолжим изучение инвариантных N Kf –структур на однородных пространствах. Как доказано в теореме 6.10.1(ii), критерием принадлежности инвариантной метрической f –структуры классу NKf в естественно редуктивном случае является выполнение условия [f X, f 2 X]m = 0 для всех X ∈ m. Поляризуя это равенство, приходим к критерию вида: [f X, f 2 Y ]m = [f 2 X, f Y ]m ,

(6.16)

где X, Y ∈ m. В свою очередь, последнее равенство эквивалентно следующему: [f 2 X, f 2 Y ]m = −[f X, f Y ]m .

(6.17)

Лемма 6.10.1. Для инвариантной N Kf –структуры на естественно редуктивном пространстве (G/H, h·, ·i, f ) имеет место соотношение f ([X, f Y ]m ) = f 2 ([X, f 2 Y ]m ),

(6.18)

где X, Y ∈ m. Доказательство. Используя (6.13), (6.14) и (6.17), для всех X, Y, Z ∈ m можем получить: hf ([X, f Y ]m ), Zi = −h[X, f Y ]m , f Zi = −hX, [f Y, f Z]m i = hX, [f 2 Y, f 2 Z]m i = h[X, f 2 Y ]m , f 2 Zi = hf 2 ([X, f 2 Y ]m ), Zi. Из полученного равенства в силу невырожденности метрики h·, ·i на m следует равенство (6.18). ¤ Вычислим далее композиционный тензор T для N Kf –структуры в рассматриваемом случае. Tеорема 6.10.3. Композиционный тензор T инвариантной N Kf –структуры на естественно редуктивном пространстве (G/H, h·, ·i, f ) имеет вид: 2T (X, Y ) = −f 2 ([f X, f Y ]m ) = f 2 ([f 2 X, f 2 Y ]m ),

(6.19)

где X, Y ∈ m. Доказательство. Вид композиционного тензора T для N Kf –структуры на гладком многообразии указан в лемме 6.9.1. Поскольку ∇X (f )Y = ∇X f Y − f ∇X Y для гладких векторных полей X и Y , то в случае редуктивного однородного пространства, используя традиционную технику специальных векторных полей в окрестности точки o = H ∈ G/H, получим: ∇X (f )Y = α(X, f Y ) − f α(X, Y ). 124

Здесь α — функция Номидзу инвариантной аффинной связности ∇ на G/H, а X, Y ∈ m [313]. Поскольку связность Леви-Чивита для естественно редуктивных пространств определяется формулой α(X, Y ) = 12 [X, Y ]m , то приходим к следующему равенству: 1 ∇X (f )Y = ([X, f Y ]m − f ([X, Y ]m )), 2

X, Y ∈ m.

Используя теперь лемму 6.10.1, для выражения ∇f X (f )f Y получим: ∇f X (f )f Y = 12 ([f X, f 2 Y ]m − f ([f X, f Y ]m )) = 21 ([f X, f 2 Y ]m − f 2 ([f X, f 2 Y ]m ) = 1 (1 − f 2 )([f X, f 2 Y ]m ). 2 Учитывая последнее равенство и применяя леммы 6.9.1 и 6.10.1, а также равенство (6.17), можем вычислить: 2T (X, Y ) = f ∇f X (f )f Y = 12 f (1 − f 2 )([f X, f 2 Y ]m ) = f ([f X, f 2 Y ]m ) = f 2 ([f X, f 3 Y ]m ) = −f 2 ([f X, f Y ]m ) = f 2 ([f 2 X, f 2 Y ]m ). Тем самым равенство (6.19) полностью доказано. ¤ Условимся, как обычно, обозначать индексами 1 и 2 проекции векторов из g на m1 и m2 соответственно относительно разложения g = h ⊕ m1 ⊕ m2 . Tеорема 6.10.4. Пусть (G/H, h·, ·i, f ) — естественно редуктивное однородное пространство с инвариантной N Kf –структурой. Структура f является эрмитовой f –структурой тогда и только тогда, когда выполняется соотношение: [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h.

(6.20)

Доказательство. Отметим, прежде всего, что формулу (6.19) для композиционного тензора T можно записать в виде: 2T (X, Y ) = −[X1 , Y1 ]1 .

(6.21)

В самом деле, для любых X, Y ∈ m получим: 2T (X, Y ) = f 2 ([f 2 X, f 2 Y ]m ) = f 2 ([−X1 , −Y1 ]m ) = −[X1 , Y1 ]1 . Эрмитова f –структура определяется условием T (X, Y ) = 0 для всех X, Y ∈ m. В силу равенства (6.21) это условие принимает вид [X1 , Y1 ]1 = 0, что эквивалентно ¤ включению [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h. Отметим частный случай полученного утверждения. Следствие 10. Инвариантная N K–структура на естественно редуктивном однородном пространстве (G/H, h·, ·i, J) келерова тогда и только тогда, когда G/H — локально симметрическое пространство ( т.е. [m, m] ⊂ h.) Доказательство. Действительно, в случае f = J условие (6.20) принимает вид [m, m] ⊂ h, т.е. G/H — локально симметрическое пространство. А в этом случае ¤ эрмитова структура J на G/H является келеровой. Заметим, что утверждение следствия 10 впервые (в несколько иной формулировке) доказано в [55]. Замечание 9. На самом деле, одно из утверждений теоремы 6.10.4 справедливо в более сильной формулировке. Более точно, как доказано в [12], условие (6.20) влечет эрмитовость инвариантной метрической f –структуры на любом редуктивном однородном пространстве (G/H, g), где g — произвольная инвариантная (псевдо)риманова метрика (не обязательно естественно редуктивная). 6.10.2.

Инвариантные келеровы f –структуры

Рассмотрим здесь инвариантные келеровы f –структуры на естественно редуктивных однородных пространствах. Укажем несколько характеристических условий: 125

Tеорема 6.10.5. Пусть (G/H, h·, ·i, f ) — естественно редуктивное однородное пространство с инвариантной метрической f –структурой. Следующие условия эквивалентны: 1) f — келерова f –структура; 2) [X, f Y ]m = f ([X, Y ]m ) для всех X, Y ∈ m; 3) [m, m1 ] ⊂ h и [m, m] ⊂ m2 ⊕ h. Доказательство. 1) ⇐⇒ 2). Условие ∇f = 0 для инвариантной f –структуры на редуктивном однородном пространстве в терминах функции Номидзу α инвариантной аффинной связности ∇ принимает вид: α(X, f Y ) − f α(X, Y ) = 0, где X, Y ∈ m. В силу естественной редуктивности α(X, Y ) = 12 [X, Y ]m . А тогда получаем равенство 1 [X, f Y ]m − f ( 12 [X, Y ]m ) = 0, 2 что эквивалентно условию 2). 2) ⇐⇒ 3). Пусть выполняется условие 2). Прежде заметим, что из условия 2) следует равенство [X, f Y ]m = [f X, Y ]m . (6.22) В самом деле, полагая в 2) Y = X, имеем: [X, f X]m = 0 для всех X ∈ m. А теперь, поляризуя это равенство, приходим к (6.22). С другой стороны, используя (6.13), (6.14) и (6.22), для любых X, Y, Z ∈ m можем получить: hf ([X, Y ]m ), Zi = −h[X, Y ]m ), f Zi = −hX, [Y, f Z]m i = −hX, [f Y, Z]m i = −h[X, f Y ]m , Zi. Отсюда в силу невырожденности метрики h·, ·i на m приходим к равенству: f ([X, Y ]m ) = −[X, f Y ]m .

(6.23)

А теперь из условия 2) и равенства (6.23) имеем: f ([X, Y ]m ) = 0 = [X, f Y ]m . В силу произвольности X и Y отсюда получаем включения [m, m1 ] ⊂ h и [m, m] ⊂ m2 ⊕ h. Обратно, если выполняются соотношения 3), то равенство 2) тривиально выполняется. ¤ Замечание 10. Условие 3) доказанной теоремы 6.10.5 можно записать в эквивалентной форме: [m1 , m1 ] ⊂ h, [m1 , m2 ] ⊂ h, [m2 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h. Рассматривая частный случай f = J теоремы 6.10.5, приходим к следующему утверждению: Следствие 11. Инвариантная почти эрмитова структура J на естественно редуктивном однородном пространстве (G/H, h·, ·i, J) келерова тогда и только тогда, когда G/H — локально симметрическое пространство ( т.е. [m, m] ⊂ h.) Отметим, что это утверждение усиливает следствие 10. 6.10.3.

Инвариантные киллинговы f –структуры

Будем теперь рассматривать инвариантные киллинговы f –структуры на естественно редуктивном пространстве (G/H, h·, ·i). Как известно [162], критерием киллинговости для инвариантной метрической f –структуры на таком пространстве является выполнение условия [X, f X]m = 0 для всех X ∈ m. Снова поляризуя это равенство, указанный критерий можно записать в виде: [X, f Y ]m = [f X, Y ]m , 126

X, Y ∈ m.

(6.24)

Лемма 6.10.2. Для инвариантной киллинговой f –структуры на естественно редуктивном пространстве (G/H, h·, ·i, f ) для всех X, Y ∈ m выполняются равенства: f ([X, Y ]m ) = −[X, f Y ]m = −[f X, Y ]m .

(6.25)

Доказательство. Рассуждения, устанавливающие справедливость первого равенства, фактически повторяют фрагмент из доказательства теоремы 6.10.5. А именно, используя (6.13), (6.14) и (6.24), для любых X, Y, Z ∈ m получим: hf ([X, Y ]m ), Zi = −h[X, Y ]m ), f Zi = −hX, [Y, f Z]m i = −hX, [f Y, Z]m i = −h[X, f Y ]m , Zi. Теперь из невырожденности метрики h·, ·i на m с учетом критерия (6.24) приходим к равенствам (6.25). ¤ Tеорема 6.10.6. Для инвариантной киллинговой f –структуры на естественно редуктивном пространстве (G/H, h·, ·i, f ) тензор Нейенхейса N и композиционный тензор T имеют вид: N (X, Y ) = [f X, f Y ]m = −[f 2 X, f 2 Y ]m = f 2 ([X, Y ]m ) = 2T (X, Y ), где X, Y ∈ m. Доказательство. Тензор Нейенхейса N , определяемый равенством (6.10), для инвариантной метрической f –структуры на редуктивном однородном пространстве вычисляется по формуле N (X, Y ) = 14 ([f X, f Y ]m − f ([f X, Y ]m ) − f ([X, f Y ]m ) + f 2 ([X, Y ]m )), где X, Y ∈ m. С учетом равенств (6.24) и (6.25), для киллинговой f –структуры получим: N (X, Y ) = 14 ([f X, f Y ]m + [f X, f Y ]m + [f X, f Y ]m + [f X, f Y ]m ) = [f X, f Y ]m . Перейдем далее к вычислению композиционного тензора T . Прежде всего, поскольку Kill f ⊂ NKf , будем использовать лемму 6.9.1. Теперь по аналогии с рассуждениями в теореме 6.10.3, получим последовательно для нашего случая с использованием (6.25) и (6.24): ∇X (f )Y = 12 ([X, f Y ]m − f ([X, Y ]m )) = −f ([X, Y ]m ), X, Y ∈ m. Далее, 2T (X, Y ) = f ∇f X (f )f Y = f (−f ([f X, f Y ]m )) = −f 2 ([f X, f Y ]m ) = −[f X, f 3 Y ]m = [f X, f Y ]m . Иную запись для тензора T можно получить, например, используя равенство (6.17): 2T (X, Y ) = [f X, f Y ]m = −[f 2 X, f 2 Y ]m . Наконец, используя равенство (6.25), можно получить еще одно представление для тензора T : 2T (X, Y ) = [f X, f Y ]m = −f ([f X, Y ]m ) = f 2 ([X, Y ]m ). ¤ Tеорема 6.10.7. Пусть (G/H, h·, ·i, f ) — естественно редуктивное пространство с инвариантной киллинговой f –структурой. Тогда справедливы следующие соотношения: [m1 , m1 ] ⊂ m1 ⊕ h, [m2 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h, [m1 , m2 ] ⊂ h. В частности, оба фундаментальных распределения киллинговой f –структуры определяют инвариантные вполне геодезические слоения многообразия G/H. Доказательство. Установим первое соотношение. Подпространство m1 характеризуется условием f 2 | m1 = −id. Возьмем любые X, Y ∈ m, тогда с использованием леммы 6.10.2 получим: f 2 ([f X, f Y ]m ) = [f 3 X, f Y ]m = −[f X, f Y ]m . 127

Отсюда следует, что [f X, f Y ]m ∈ m1 , т.е. [f X, f Y ] ∈ m1 ⊕ h. В силу произвольности X и Y имеем: [m1 , m1 ] ⊂ m1 ⊕ h. Перейдем к доказательству второго соотношения. Пусть X ∈ m2 , Y ∈ m. Тогда f ([X, Y ]m ) = −[f X, Y ]m = −[0, Y ]m = 0. Это означает, что [X, Y ]m ∈ m2 = Ker f , т.е. [m2 , m] ⊂ m2 ⊕ h. Отсюда, в частности, следует второе включение. Наконец, докажем третье соотношение. Возьмем любые f X ∈ m1 и Y ∈ m2 . Тогда из полученного выше соотношения [m2 , m] ⊂ m2 ⊕ h следует, что [f X, Y ] ∈ m2 ⊕ h. С другой стороны, можем вычислить: f 2 ([f X, Y ]m ) = [f 3 X, Y ]m = −[f X, Y ]m . Следовательно, [f X, Y ]m ∈ m1 , т.е. [f X, Y ] ∈ m1 ⊕ h. Из полученных двух включений следует, что [m1 , m2 ] ⊂ h. Обсудим теперь свойства фундаментальных распределений f –структуры, определяемых подпространствами m1 и m2 . Как известно, любая f –структура порождает на многообразии структуру почти произведения P по правилу: P = 2f 2 + id. При этом вертикальное и горизонтальное распределения этой структуры P определяются подпространствами m2 и m1 соответственно. Кроме того, нетрудно показать, что для метрической f –структуры на (псевдо)римановом многообразии построенная структура P является (псевдо)римановой структурой почти произведения, т.е. hP X, P Y i = hX, Y i. Заметим теперь, что полученные нами включения в естественно редуктивном случае в точности являются критерием того (см. [161]), что оба распределения порождают инвариантные вполне геодезические слоения на G/H. ¤ Замечание 11. Известно [45], что 2-ое фундаментальное распределение f –структуры на произвольном киллинговом f –многообразии M инволютивно и его слои являются вполне геодезическими подмногообразиями в M . Иными словами, информация об этом распределении, полученная в теореме 6.10.7, справедлива в общей ситуации. В то же время в [45] отмечено, что 1-ое фундаментальное распределение на киллинговом f –многообразии так называемого основного типа (см. [45]) не инволютивно. Поскольку по теореме 6.10.7 распределение, порождаемое подпространством m1 , инволютивно, приходим к следующему выводу: Следствие 12. На естественно редуктивном однородном пространстве (G/H, h·, ·i) не существует нетривиальных инвариантных киллинговых f –структур основного типа. Отмеченный факт широко обобщает соответствующий результат А.С.Грицанса, полученный для римановых глобально симметрических пространств. Замечание 12. Вид композиционного тензора T для инвариантных киллинговых f –структур, указанный в теореме 6.10.6, может быть также получен детализацией результата теоремы 6.10.3 с использованием первого включения из теоремы 6.10.7. В самом деле, 2T (X, Y ) = −f 2 ([f X, f Y ]m ) = [f X, f Y ]m . Установим теперь один из основных результатов об инвариантных киллинговых f –структурах. Tеорема 6.10.8. Пусть (G/H, h·, ·i, f ) — естественно редуктивное пространство с инвариантной киллинговой f –структурой. Следующие условия эквивалентны: 1) f — эрмитова f –структура; 2) [m1 , m1 ] ⊂ h; 3) [m, m] ⊂ m2 ⊕ h; 4) f — интегрируема; 5) f — келерова f –структура. 128

Доказательство. 1) ⇐⇒ 2). Из теоремы 6.10.6 имеем, что T (X, Y ) = 0 тогда и только тогда, когда [f X, f Y ]m = 0 для всех X, Y ∈ m, что равносильно включению [m1 , m1 ] ⊂ h. 1) ⇐⇒ 3). Используя теорему 6.10.6, для тензора T рассмотрим представление в виде: 2T (X, Y ) = f 2 ([X, Y ]m ). Теперь условие T (X, Y ) = 0 эквивалентно равенству f 2 ([X, Y ]m ) = 0 для всех X, Y ∈ m, что равносильно включению [m, m] ⊂ m2 ⊕ h. 1) ⇐⇒ 4). Это утверждение очевидно, поскольку по теореме 6.10.6 тензор T = 0 тогда и только тогда, когда N = 0. 2) ⇐⇒ 5). Пусть выполняется условие 2): [m1 , m1 ] ⊂ h. В силу того, что f – структура киллингова, по теореме 6.10.7 имеем включения: [m1 , m1 ] ⊂ m1 ⊕ h, [m2 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h, [m1 , m2 ] ⊂ h. Таким образом, приходим к включениям: [m, m1 ] ⊂ h и [m, m] ⊂ m2 ⊕ h. Теперь по теореме 6.10.5 (пункт 3)) получаем, что f –структура является келеровой. Обратная импликация в силу теоремы 6.10.5 (пункт 3)) очевидна. ¤ Замечание 13. Отметим, что в качестве частного случая этой теоремы (при f = J) снова приходим к утверждению следствия 10. 6.10.4.

Инвариантные G1 f –структуры и эрмитовы f –структуры

В этой части получим ряд утверждений об инвариантных метрических f –структурах классов G1 f и Hf на естественно редуктивных однородных пространствах и в более общей ситуации. Tеорема 6.10.9. [9],[167] Любая инвариантная метрическая f –структура на естественно редуктивном пространстве (G/H, g) является G1 f –структурой. Доказательство. Напомним, что f –структуры класса G1 f определяютя условием T (X, X) = 0, где композиционный тензор T имеет вид (6.11). Для естественно редуктивной метрики g = h·, ·i, используя функцию Номидзу α(X, Y ) = 12 [X, Y ]m связности Леви-Чивита и специальные векторные поля, можно показать, что 8T (X, Y ) = f ([f X, f 2 Y ]m − f ([f X, f Y ]m ) + [f 2 X, f Y ]m + f ([f 2 X, f 2 Y ]m )), где X, Y ∈ m. Отсюда сразу следует, что T (X, X) = 0 для всех X ∈ m. Интересно отметить частный случай (f = J) доказанной теоремы:

(6.26) ¤

Следствие 13. На естественно редуктивном однородном пространстве (G/H, g) любая инвариантная почти эрмитова структура принадлежит классу G1 . Заметим, что этот результат из эрмитовой геометрии получен иным способом в работе [137] (см. теорему 6.8.1). Перейдем теперь к инвариантным эрмитовым f –структурам. Tеорема 6.10.10. [9],[167] Пусть (G/H, g, f ) — естественно редуктивное пространство с инвариантной метрической f –структурой, g = h ⊕ m1 ⊕ m2 — соответствующее редуктивное разложение, где m1 = Im f, m2 = Ker f. Если выполняется условие (6.27) [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h, то G/H является эрмитовым f -многообразием. Доказательство. Из формулы (6.26) для композиционного тензора с использованием условия (6.27) сразу получаем: T (X, Y ) = 0 для всех X, Y ∈ m. ¤ На самом деле приведенная теорема 6.10.10 верна в более сильной формулировке, а именно: 129

Tеорема 6.10.11. [11],[12] Пусть на редуктивном однородном пространстве G/H с инвариантной (псевдо)римановой метрикой g задана инвариантная метрическая f –структура, g = h⊕m — соответствующее редуктивное разложение, m = m1 ⊕m2 , где подпространства m1 = Im f и m2 = Ker f определяют 1-ое и 2-ое фундаментальные распределения f –структуры. Если выполнено соотношение [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h, то (G/H, g, f ) является эрмитовым f –многообразием. Доказательство. Как показано в работе [58], при построении композиционного тензора T для метрической f –структуры используется тензор B(X, Y ) = = −f 2 N (f 2 X, f 2 Y ) (здесь N — тензор Нейенхейса f –структуры), который для редуктивного однородного пространства определяется равенством: B(X, Y ) = −f 2 [f X, f Y ]m + f 2 [f 2 X, f 2 Y ]m + f [f 2 X, f Y ]m + f [f X, f 2 Y ]m , где индекс m означает проектирование на m относительно редуктивного разложения g = h ⊕ m, а X, Y ∈ m. Соотношение [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h влечет теперь равенство нулю всех слагаемых в записи тензора B, откуда B(X, Y ) = 0 для всех X, Y ∈ m. Следуя указанной в [58] конструкции, получаем, что композиционный тензор T также является нулевым. Тем самым доказано, что G/H является эрмитовым f – многообразием. ¤

6.11

Канонические f –структуры на однородных Φ–пространствах

Рассмотренные выше классы инвариантных метрических f –структур могут быть эффективно реализованы как на специальных семействах однородных многообразий, так и в виде отдельных конкретных примеров. В частности, однородные Φ– пространства вместе с каноническими f –структурами на них обеспечивают обширный класс инвариантных структур в обобщенной эрмитовой геометрии. Изложим здесь ряд результатов в этом направлении. 6.11.1.

Канонические N Kf –структуры на регулярных Φ–пространствах

Покажем здесь, что естественно редуктивные регулярные Φ–пространства с некоторыми каноническими f –структурами на них позволяют предъявить широкий класс однородных N Kf –многообразий. Tеорема 6.11.1. [8],[162],[165] Пусть G/H — регулярное Φ–пространство, g — естественно редуктивная метрика на G/H относительно канонического редуктивного разложения g = h ⊕ m, f — метрическая каноническая f –структура на G/H. Предположим, что f –структура удовлетворяет условию f 2 = ±θ f.

(6.28)

Тогда (G/H, g, f ) является приближенно келеровым f –многообразием. Доказательство. По теореме 6.10.1(ii) достаточно доказать, что [ f X, f 2 X ] ∈ h для любых X ∈ m. Используя условие (6.28), можем получить: ϕ[ f X, f 2 X ] = [ θf X, θf 2 X ] = [ f 2 X, f 3 X ] = [ f 2 X, −f X ] = [ f X, f 2 X ]. Отсюда следует, что [ f X, f 2 X ] ∈ h.

¤ 130

Замечание 14. Напомним, что предположения для метрики g в теореме 6.11.1 выполняются, например, для случая полупростой группы Ли G и стандартной метрики g. Более того, такая метрика по следствию 9 согласована с любой канонической f –структурой на однородном Φ–пространстве порядка k. Следствие 14. [8],[162],[165] Пусть (G/H, g) — естественно редуктивное однородное Φ–пространство порядка k = 4n (n ≥ 1). Если {i, −i} ⊂ spec θ, тогда существует нетривиальная каноническая N Kf –структура на G/H. Доказательство. Снова воспользуемся конструктивным характером процедуры описания всех классических канонических структур на однородных Φ–пространствах конечного порядка (см. [15], §4 и §5). Предъявим каноническую f –структуру с требуемым свойством. Рассмотрим разложение m = m1 ⊕ m2 , в котором подпространства m1 и m2 определяются собственными значениями {i, −i} и, соответственно, всеми остальными, входящими в спектр оператора θ. Сейчас можем определить каноническую структуру f как специальную комплексную структуру на m1 , а на m2 полагаем ее равной нулю. Иными словами, рассмотрим набор (ζ1 , ..., ζl , ..., ζu ), ζj ∈ {−1, 0, 1} для построения канонических f –структур (см. [15], теорема 5.3), в котором ζl соответствует собственному значению i оператора θ. Тогда можем положить ζl = 1, ζm = 0, m ∈ {1, 2, ..., u}, m 6= l. Нетрудно заметить, что такая f –структура удовлетворяет условию f 2 = θf . Осталось применить теорему 6.11.1. ¤ Сформулируем теперь очевидный, но важный частный случай следствия 14: Следствие 15. Произвольное естественно редуктивное однородное Φ–пространство (G/H, g) порядка 4 является N Kf –многообразием относительно канонической f – структуры f = 12 (θ − θ3 ). В самом деле, в этом случае единственная каноническая f –структура на G/H (см. следствие 2) удовлетворяет условию (6.28). Заметим, что если Ker f = 0, то G/H является эрмитовым симметрическим пространством (см. [375], p.136). Следует заметить, что можно указать канонические N Kf –структуры на регулярных Φ–пространствах, для которых условие (6.28) не выполняется. Рассмотрим в этой связи канонические f –структуры на однородных Φ–пространствах порядка 5. Для их дальнейшего рассмотрения нам необходима серия специальных фактов об этих пространствах. Лемма 6.11.1. [16], [130]-[132], [15]. Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка 5, g = h ⊕ m — каноническое редуктивное разложение g, P — каноническая структура почти произведения на G/H. Рассмотрим разложение m = m1 ⊕ m2 , где m1 и m2 отвечают собственным значениям +1 и −1 оператора P соответственно. 1. Справедливы следующие включения: [m1 , m1 ] ⊂ h ⊕ m2 ,

[m2 , m2 ] ⊂ h ⊕ m1 ,

[m1 , m2 ] ⊂ m.

2. Канонические структуры J1 , J2 , f1 , f2 могут быть представлены в виде J1 = (I, J),

J2 = (I, −J),

f1 = (I, 0),

f2 = (0, J),

где I и J — специальные комплексные структуры на m1 и m2 соответственно. 131

3. Для всех X1 , Y1 ∈ m1 , X2 , Y2 ∈ m2 имеют место равенства I [X2 , Y2 ]1 = −[X2 , J Y2 ]1 ; J [X1 , Y1 ]2 = [X1 , I Y1 ]2 ; I [X1 , Y2 ]1 = −[I X1 , Y2 ]1 = [X1 , J Y2 ]1 ; I [X1 , Y2 ]2 = −[I X1 , Y2 ]2 = −[X1 , J Y2 ]2 . Здесь индексы 1 и 2 обозначают проекции векторов Z ∈ g относительно разложения g = h ⊕ m1 ⊕ m2 . Tеорема 6.11.2. [164],[165] Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка 5, g — естественно редуктивная метрика на G/H относительно канонического редуктивного разложения g = h ⊕ m. Тогда обе метрические канонические структуры f1 и f2 на G/H являются N Kf –структурами. Доказательство. Рассмотрим каноническую f –структуру f1 = (I, 0). Тогда для всех X ∈ m имеем [f1 X, f12 X] = [Y1 , f1 Y1 ] = [Y1 , I Y1 ], где Y1 ∈ m1 . Используя теперь лемму 6.11.1(3), можем получить [Y1 , I Y1 ]2 = J [Y1 , Y1 ]2 = 0. Кроме того, из леммы 6.11.1(1) следует, что [Y1 , I Y1 ] ∈ [m1 , m1 ] ⊂ h ⊕ m2 . Отсюда можно сделать вывод, что [f1 X, f12 X] ∈ h. По теореме 6.10.1(ii) это означает, что f1 является N Kf –структурой. Аналогичное утверждение для канонической структуры f2 = (0, J) может быть доказано таким же способом. ¤ Важно отметить, что на естественно редуктивных однородных k–симметрических пространствах (k ≥ 6) есть такие канонические f –структуры, которые не являются N Kf –структурами. 6.11.2.

Канонические G1 f –структуры и эрмитовы f –структуры на регулярных Φ–пространствах

Пусть снова G/H — регулярное Φ–пространство, g = h ⊕ m — каноническое редуктивное разложение, соответствующее автоморфизму ϕ = dΦe алгебры Ли g. Если g — инвариантная естественно редуктивная метрика на G/H, то всюду в дальнейшем под естественно редуктивным разложением подразумевается каноническое редуктивное разложение для G/H. Уже отмечали, что, например, для полупростой группы G метрика g, порождаемая формой Киллинга на любом регулярном Φ–пространстве G/H, естественно редуктивна (см. [123]). Важно также отметить, что для однородных Φ–пространств порядка k все канонические структуры f и J с такой метрикой согласованы (см. следствие 9). Tеорема 6.11.3. [9] Пусть (G/H, g) — естественно редуктивное однородное Φ– пространство порядка k. Любая каноническая метрическая f –структура на G/H является G1 f –структурой, а любая каноническая почти эрмитова структура J входит в класс G1 . Данная теорема является частным случаем теоремы 6.10.9 и следствия 13. В то же время она обеспечивает огромный запас инвариантных примеров структур указанных классов как в классической эрмитовой геометрии, так и в обобщенной эрмитовой геометрии. 132

Перейдем теперь к поиску инвариантных эрмитовых f –структур на основе канонических f –структур на однородных Φ–пространствах. Установим прежде некоторые дополнительные факты о канонических f –структурах. Tеорема 6.11.4. Пусть G/H — регулярное Φ–пространство, g = h⊕m — каноническое редуктивное разложение, f — каноническая f –структура на G/H, m = m1 ⊕m2 — разложение m относительно f –структуры. Предположим, что f –структура удовлетворяет условию f 2 = ±θ f. (6.29) Тогда [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h.

(6.30)

Доказательство. Заметим, что условие (6.29) эквивалентно следующему условию: f = ∓θ f 2 . (6.31) Используя (6.29) и (6.31), для любых X, Y ∈ m получим: f ([f X, f Y ]m ) = f ([θf 2 X, θf 2 Y ]m ) = (f θ)([f 2 X, f 2 Y ]m ) = f 2 ([f 2 X, f 2 Y ]m ). С другой стороны, снова используя (6.29) и (6.31), можем получить: f 2 ([f 2 X, f 2 Y ]m ) = f 2 ([θf X, θf Y ]m ) = (f 2 θ)([f X, f Y ]m ) = −f ([f X, f Y ]m ). Сравнивая эти две формулы, можем заключить, что f ([f X, f Y ]m ) = 0 для всех X, Y ∈ m. Очевидно, что последнее условие эквивалентно условию (6.30). ¤ Важно отметить, что некоторые однородные k–симметрические пространства обладают каноническими f –структурами, удовлетворяющими условию (6.29). Более точно, справедливо Следствие 16. Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка k = 4n (n ≥ 1), для которого {i, −i} ⊂ spec θ. Тогда для нетривиальной канонической f – структуры на G/H, удовлетворяющей условию (6.30), справедливо соотношение: [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h. Действительно, каноническая f –структура с требуемым свойством была предъявлена при доказательстве следствия 14. Остается применить теорему 6.11.4. ¤ В частности, каноническая f –структура на однородных 4–симметрических пространствах удовлетворяет условию (6.30). Этот результат был впервые получен в [13] вместе с другими включениями для подпространств m1 и m2 . Что касается случая k = 8, то соответствующая каноническая f –структура может быть представлена в виде (см. [162],[165]): 1 f = (θ − θ3 + θ5 − θ7 ). 4 Согласно теореме 6.11.4, она также удовлетворяет условию (6.30). Отметим также, что обращение теоремы 6.11.4 места не имеет. Как пример общего вида, можно указать обе канонические f –структуры на однородных 5–симметрических пространствах, для которых включение (6.30) справедливо (см. лемму 6.11.1). Однако условие (6.29) для таких f –структур не выполняется (см. следствие 3). Сформулируем теперь результаты о канонических эрмитовых f –структурах. 133

Tеорема 6.11.5. Пусть G/H — однородное регулярное Φ–пространство, g — произвольная инвариантная (псевдо)риманова метрика, f — метрическая (относительно g) каноническая f –структура на G/H. Если f –структура удовлетворяет условию f 2 = ±θ f , то (G/H, g, f ) — эрмитово f –многообразие. Доказательство. По теореме 6.11.4, условие (6.29) влечет включение (6.30). Теперь остается применить теорему 6.10.11. ¤ Непосредственно применяя эту теорему и следствие 16, получим Следствие 17. Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка k = 4n (n ≥ 1), для которого {i, −i} ⊂ spec θ. Рассмотрим нетривиальную каноническую f – структуру на G/H, удовлетворяющую условию f 2 = ±θ f , а также произвольную согласованную инвариантную (псевдо)риманову метрику g. Тогда (f, g) является инвариантной эрмитовой f –структурой на G/H. Выделим важный частный случай следствия 17: Следствие 18. [12] Любое однородное Φ–пространство (G/H, g, f ) порядка 4, где g — произвольная инвариантная метрика, f = 12 (θ − θ3 ) — метрическая (относительно g) каноническая f –структура, является эрмитовым f –многообразием. Наконец, рассмотрим частный случай этого следствия 18: Следствие 19. [12] Пусть для однородного Φ–пространства G/H порядка 4 выполняется условие: −1 ∈ / spec θ. Тогда G/H является эрмитовым локально симметрическим пространством относительно любой инвариантной метрики g, согласованной с почти комплексной структурой J = f . Доказательство. Требование −1 ∈ / spec θ эквивалентно условию m2 = Ker f = {0} (см. следствие 5). Отсюда следует, что [m, m] ⊂ h, т.е. G/H — локально симметрическое пространство. Из следствия 18 имеем тогда, что f = J = θ — эрмитова структура на G/H. ¤ Отметим, что этот факт является известным результатом в теории однородных пространств (см. [375], теорема 8.1). Tеорема 6.11.6. Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка 5, g — произвольная инвариантная (псевдо)риманова метрика, f1 , f2 — метрические (относительно g) канонические f –структуры на G/H. Тогда обе структуры f1 и f2 являются эрмитовыми f –структурами. Доказательство. Для канонических f –структур f1 и f2 на однородном Φ–пространстве порядка 5 имеем (см., например, [15]): m1 = Imf1 = Kerf2 ,

m2 = Imf2 = Kerf1 , m = m1 ⊕ m2 .

С учетом результатов леммы 6.11.1 имеем теперь, что для обеих структур f1 и f2 выполняется включение (6.27). Остается применить теорему 6.10.11. ¤ 6.11.3.

Канонические f –структуры на однородных Φ–пространствах порядков 4 и 5

Сформулируем теперь в наиболее полном виде результаты, относящиеся к обобщенной эрмитовой геометрии канонических f –структур на однородных Φ–пространствах порядков 4 и 5 с естественно редуктивной метрикой. 134

Tеорема 6.11.7. Каноническая метрическая f –структура f = 12 (θ − θ3 ) на естественно редуктивном однородном Φ–пространстве (G/H, g) порядка 4 является одновременно эрмитовой f –структурой и приближенно келеровой f –структурой. Кроме того, следующие условия эквивалентны: 1) f — квазикелерова; 2) f — киллингова; 3) f — интегрируема; 4) f — келерова; 5) [m1 , m1 ] ⊂ h; 6) [m1 , m2 ] = 0; 7) m ϕ ⊂ h; 8) G/H — локально симметрическое пространство. Tеорема 6.11.8. Пусть G/H — естественно редуктивное Φ–пространство порядка 5, f1 , f2 , J1 , J2 — канонические структуры на нем. Тогда обе структуры f1 и f2 являются как эрмитовыми f –структурами, так и приближенно келеровыми f –структурами. Более того, следующие условия эквивалентны: 1) f1 — квазикелерова; 2) f2 — квазикелерова; 3) f1 — киллингова; 4) f2 — киллингова; 5) f1 — интегрируема; 6) f2 — интегрируема; 7) f1 — келерова; 8) f2 — келерова; 9) J1 и J2 — N K-структуры; 10) [m1 , m2 ] = 0; 11) m ϕ ⊂ h; 12) G/H — локально симметрическое пространство. Замечание 15. Доказательства приведенных в теоремах 6.11.7 и 6.11.8 результатов используют как общие факты, установленные нами выше, так и специфику канонических f –структур на однородных Φ–пространствах порядков 4 и 5. Частично эти результаты анонсированы либо доказаны в работах [13], [7], [9], [8], [162], [165], [167], [132]. Заметим также, что обширный спектр конкретных примеров однородных пространств, удовлетворяющих условиям теорем 6.11.7 и 6.11.8, содержится в работах [244], [360] и некоторых других. 6.11.4.

Примеры

В заключительной части рассмотрим серию примеров как общего характера, так и конкретных однородных многообразий. При этом среди таких многообразий есть однородные пространства как полупростого, так и разрешимого типов. Как правило, мы также отметим строение соответствующих алгебр A(θ) для рассматриваемых однородных регулярных Φ–пространств. 1. Римановы 4– и 5–симметрические пространства. Римановы 4–симметрические пространства классических компактных групп Ли классифицированы и геометрически охарактеризованы в [244]. Аналогичная задача для 5–симметрических пространств решена, как утверждается, в работе [360]. Тем самым, согласно теоремам 6.11.7 и 6.11.8, представлен конкретный список однородных приближенно келеровых и эрмитовых f –многообразий полупростого типа, для которых соответствующие f –структуры, вообще говоря, не является интегрируемыми. Учитывая далее следствие 5, получаем, что для однородных 4–симметрических пространств алгебра A(θ) изоморфна C ⊕ R или C. Аналогичные рассуждения с использованием теоремы 6.3.1 для однородных 5–симметрических пространств приводят к следующему результату: A(θ) ∼ = C ⊕ C или A(θ) ∼ = C. 2. Сферы S2 , S5 , S6 . Общеизвестно, что любая стандартная сфера Sn является римановым глобально симметрическим пространством. Поэтому их алгебра канонических аффинорных структур тривиальна, т.е. изоморфна R. В то же время среди всех сфер только S2 , S5 и S6 могут быть реализованы как римановы однородные Φ–пространства с неинволютивными автоморфизмами Φ (см. [339], [63]). 135

Сфера S2 ∼ = SO(3)/SO(2) может быть представлена как однородное Φ–пространство любого порядка k (k ≥ 2). Если k > 2, то любая инвариантная аффинорная структура на S2 является канонической, т.е. A(θ) = A (см. [15]). Отсюда очевидным образом получаем, что A = A(θ) ∼ = C. В частности, стандартная комплексная 2 структура на S порождается канонической почти комплексной структурой. Сфера S5 , представленная как однородное пространство SU (3)/SU (2), обладает структурой риманова однородного Φ–пространства порядка 4 (см. [63], [339]). Каноническая f –структура f = 12 (θ − θ3 ) для такого представления вычислена в [15]. Дефект этой структуры равен 1, а потому она определяет инвариантную почти контактную структуру на S5 . Отсюда также сразу следует, что для этого Φ–пространства алгебра A(θ) изоморфна R ⊕ C. Кроме того, ясно, что каноническая f –структура является одновременно Hf – и N Kf –структурой. Легко также показать, что структура f не является киллинговой f –структурой. Тем не менее необходимо отметить, что сфера S5 обладает киллинговой f –структурой — так называемой слабо косимплектической структурой (см. [180], [253]). Эта f –структура, однако, не является инвариантной. Более того, из результатов работ [45], [46] следует, что S5 не допускает никакой инвариантной киллинговой f –структуры. Сфера S6 ∼ = G2 /SU (3) служит важнейшим примером в теории приближенно келеровых многообразий (см., например, [226]). Ее приближенно келерова структура определяется канонической почти комплексной структурой соответствующего однородного 3–симметрического пространства. Отсюда, в частности, следует, что A(θ) ∼ = C для такого представления сферы S6 . 3. Однородные Φ–пространства порядка 8. Как уже отмечалось, каноническая f –структура, описанная в следствии 14, может быть эффективно построена для однородных Φ–пространств любого порядка k = 4n. Рассмотрим, например, случай k = 8. Используя общую формулу для канонических f –структур (см. теорему 6.2.3), получаем, что в данной ситуации все канонические f –структуры можно представить в виде 3 3 1X X πmj m f= ( ζj sin )(θ − θ8−m ), 4 m=1 j=1 4

где ζj ∈ {−1; 0; 1}. Полагая ζ2 = 1, ζ1 = ζ3 = 0, получим: 1 f = (θ − θ3 + θ5 − θ7 ). 4

(6.32)

Легко проверить, что такая f –структура удовлетворяет условию (6.28). Применяя теперь следствия 14 и 17, приходим к следующему результату: Tеорема 6.11.9. Пусть (G/H, g) — естественно редуктивное однородное Φ–пространство порядка 8. Если {i, −i} ⊂ spec θ, то каноническая f –структура (6.32) является нетривиальной эрмитовой и приближенно келеровой f –структурой на G/H. Например, любое флаговое многообразие SU (n)/Tmax (n ≥ 3, Tmax - максимальный тор) может быть рассмотрено как однородное k–симметрическое пространство для всех k ≥ n (см. [243]). Поэтому такие флаговые многообразия при определенных n позволяют указать конкретные примеры однородных эрмитовых и приближенно келеровых f –многообразий. В частности, можно рассмотреть SU (8)/T 7 как однородное 8–симметрическое пространство. 4. 6–мерная обобщенная группа Гейзенберга. 136

Прежде всего, приведем в краткой форме необходимые нам сведения о 6–мерной обобщенной группе Гейзенберга (N, g). Подробное изложение содержится в работах [246], [247], [359]. Пусть V и Z — два действительных векторных пространства размерности n и m (m ≥ 1), причем оба снабжены скалярным произведением, которое для обоих пространств будем обозначать одинаковым символом h , i. Пусть далее j : Z → End(V ) — линейное отображение, обладающее свойствами |j(a)x| = |x||a|, j(a)2 = −|a|2 I, x ∈ V, a ∈ Z. Положим теперь n := V ⊕ Z и определим скобку Ли согласно правилу [a + x, b + y] = [x, y] ∈ Z, h[x, y], ai = hj(a)x, yi, где a, b ∈ Z и x, y ∈ V . В итоге получим нильпотентную алгебру Ли индекса 2 с центром Z. Связная односвязная группа Ли N , соответствующая алгебре Ли n, называется обобщенной группой Гейзенберга. Отметим, что N обладает левоинвариантной метрикой g, индуцированной следующим скалярным произведением на n: ha + x, b + yi = ha, bi + hx, yi, a, b ∈ Z, x, y ∈ V. Особый интерес представляет 6–мерная обобщенная группа Гейзенберга (см. [247], [359]). Вид скобок для алгебры Ли n = L(x1 , x2 , x3 , x4 ) ⊕ L(a1 , a2 ) был точно указан в работе ([359], с.111):   [x1 , x2 ] = a1 , [x1 , x3 ] = a2 ,  [x2 , x4 ] = −a2 , [x3 , x4 ] = a1 ,   все остальные скобки равны нулю. Известно (см. [359], с.112), что (N, g) является римановым однородным Φ–пространством порядка 4. Более точно, автоморфизм Φ порождается с помощью изометрического автоморфизма ϕ алгебры Ли n, для которого ϕ4 = id. Для удобства будем рассматривать ϕ записанным в виде ϕ : (x1 , x2 , x3 , x4 , a1 , a2 ) → (−x4 , −x3 , x2 , x1 , −a1 , −a2 ). В соответствии с принятыми нами обозначениями, имеем: θ = ϕ. Непосредственно вычисляя каноническую f –структуру f = 21 (θ − θ3 ) на (N, g), получим f : (x1 , x2 , x3 , x4 , a1 , a2 ) → (−x4 , −x3 , x2 , x1 , 0, 0). Отсюда следует, что f |V = ϕ |V , f |Z = 0, а потому m1 = Im f = V, m2 = Ker f = Z. Это означает, что дефект структуры f равен 2. На основании следствия 5 сразу же получаем, что A(θ) ∼ = C ⊕ R. Далее легко показать, что f является метрической f –структурой на (N, g). Важной особенностью здесь является тот факт, что однородное пространство (N, g) не является естественно редуктивным (см. [247], [359], с.96). В силу этого мы не можем воспользоваться, скажем, следствием 15, а потому должны перейти к непосредственным вычислениям. Связность Леви-Чивита ∇ метрики g приведена в работе [246]:  ∇x y = 12 [x, y],  ∇a x = ∇x a = − 12 j(a)x , (6.33)  ∇a b = 0, 137

где a, b ∈ Z, x, y ∈ V и x2 = j(a1 )x1 , x3 = j(a2 )x1 , x4 = j(a1 )j(a2 )x1 . Обозначим, как обычно, через α функцию Номидзу связности ∇. Несложные вычисления показывают, что [x, ϕ x] = 0 для всех x ∈ V . Положим теперь y = f X для всех X ∈ n. Тогда, вспоминая (6.33), можем получить α(f X, f X) = 12 [y, y] = 0, α(f X, f 2 X) = 12 [y, ϕ y] = 0. Отсюда следует, что каноническая f –структура удовлетворяет условию ∇f X (f )f X = 0, т.е. является N Kf –структурой. В то же время эта f –структура не является киллинговой. Далее, на основании следствия 18 f является эрмитовой f –структурой (можно убедиться в этом также прямым вычислением). Кроме того, используя результаты работы [13], можно показать, что структура f не интегрируема. ˜ С другой стороны, (N, g) является одновременно однородным Φ–пространством ˜ порядка 3 (см. [359], с.111). Обозначим θ = ϕ, ˜ где ϕ˜ — соответствующий изометрический автоморфизм алгебры Ли n, для которого ϕ˜3 = id. Для этого случая, очевидно, ˜ ∼ получаем: A(θ) = C. Легко убедиться, что каноническая почти комплексная струк1 ˜ тура J = √3 (θ − θ˜2 ) задается отображением J : (x1 , x2 , x3 , x4 , a1 , a2 ) → (−x4 , −x3 , x2 , x1 , a2 , −a1 ). В частности, отсюда получаем: J |V = f |V . Сформулируем итоговые результаты: Tеорема 6.11.10. [9], [162], [165] 6–мерная обобщенная группа Гейзенберга (N, g) является эрмитовым и приближенно келеровым f –многообразием относительно канонической f –структуры f = 12 (θ − θ3 ) однородного Φ–пространства порядка 4. Эта f –структура не является интегрируемой на (N, g). Алгебры A(θ) для 3– и 4–симметрического представлений (N, g) есть C и C ⊕ R соответственно. Замечание 16. Напомним (см. теорему 6.8.2), что (псевдо)риманово однородное Φ– пространство (G/H, g) порядка 3 с канонической почти комплексной структурой J является приближенно келеровым тогда и только тогда, когда метрика g естественно редуктивна. Что касается (псевдо)римановых однородных Φ–пространств (G/H, g) порядка 4 с канонической f –структурой, то ситуация здесь не вполне аналогична. Более точно, по следствию 15 любое естественно редуктивное Φ–пространство порядка 4 является приближенно келеровым f –многообразием. Однако приведенный пример 6–мерной обобщенной группы Гейзенберга показывает, что обращение этого утверждения места не имеет. В этом заключается существенное отличие между Φ–пространствами (G/H, g, J) для k = 3 и (G/H, g, f ) для k = 4. Замечание 17. Приведенный пример иллюстрирует также ситуацию, когда два различных Φ–пространства имеют одну и ту же нижележащую структуру однородного пространства. Это означает, что одно и то же однородное пространство может попадать в разные классы относительно алгебры A(θ). 5. Группа гиперболических движений плоскости R2 . Рассмотрим теперь в смысле обобщенной эрмитовой геометрии хорошо известный пример 3–мерного риманова однородного Φ–пространства порядка 4 (см. [63], c.18). Пусть   ¯   e−c 0 a ¯¯ c ¯   0 e b ¯ a, b, c ∈ R G=   0 0 1 ¯ 138

— группа Ли гиперболических движений плоскости R2 . Она является разрешимой группой Ли, диффеоморфной R3 . Риманова метрика g на G, определенная формулой ds2 = e2c da2 + e−2c db2 + λ2 dc2 , λ > 0, инвариантна относительно группы G при всех указанных λ. Автоморфизм Φ группы G, заданный формулой  c  −c   e 0 a e 0 −b Φ :  0 ec b  −→  0 e−c a  0 0 1 0 0 1 является изометрией порядка 4 с единственной неподвижной точкой. Следовательно, пара (G = R3 (a, b, c), g) является римановым Φ–пространством порядка 4. Теперь, используя результаты [63] и некоторые полученные выше, а также проводя соответствующие вычисления, можем установить следующие факты: Tеорема 6.11.11. [9], [162], [165] Каноническая f –структура f = 12 (θ − θ3 ) на римановом однородном Φ–пространстве (R3 (a, b, c), g) порядка 4 является метрической эрмитовой f –структурой, однако f не является ни интегрируемой, ни приближенно келеровой. Алгебра A(θ) для этого 4–симметрического пространства изоморфна C ⊕ R.

6.12

Инвариантные f –структуры на комплексном флаговом многообразии M = SU (3)/Tmax

Здесь мы детально рассмотрим все инвариантные f –структуры на флаговом многообразии M = SU (3)/Tmax . Отметим, что инвариантные почти комплексные структуры (т.е. f –структуры максимального ранга 6) на этом пространстве были исследованы в [229], [150], [151] и многих других работах. Как известно, однородное многообразие SU (3)/Tmax является важным примером во многих разделах дифференциальной геометрии и вне ее. В частности, M = = SU (3)/Tmax — это риманово однородное 3–симметрическое пространство, для которого нижележащее многообразие M не гомеоморфно никакому риманову симметрическому пространству (см. [284]). Далее, M является однородным k–симметрическим пространством для любого k ≥ 3. Более того, M — естественно редуктивное риманово однородное пространство, которое является некоммутативным (см. [243]). Это означает, что алгебра инвариантных дифференциальных операторов D(SU (3)/Tmax ) некоммутативна (см. [129]). Отсюда следует, что M = SU (3)/Tmax не является слабо симметрическим пространством (см., например, [32]). Кроме того, M является твисторным пространством для проективного пространства CP 2 (см., например, [22], гл. 13). Это стало ключевым моментом при построении первых примеров 6–мерных римановых многообразий, наделенных действительным киллинговым спинором (см. [169]). В частности, флаговое многообразие M = SU (3)/Tmax с приближенно келеровой структурой (g, J) как раз обладает действительным киллинговым спинором (см. [169], [231]). Более того, применяя идею дуальности для этого пространства SU (3)/Tmax , можно эффективно построить псевдоримановы однородные многообразия с действительными киллинговыми спинорами (см. [248]). Пусть Φ = I(s) — внутренний автоморфизм группы Ли SU (3), определяемый элементом s = diag (ε, ε, 1), где ε — примитивный кубический корень из единицы. Тогда подгруппа H = GΦ всех неподвижных точек автоморфизма Φ имеет вид: 139

GΦ = {diag(eiβ1 , eiβ2 , eiβ3 )|β1 + β2 + β3 = 0, βj ∈ R}. Очевидно, что подгруппа GΦ изоморфна тору T 2 = Tmax , диагонально вложенному в SU (3). Это означает, что флаговое многообразие M = SU (3)/Tmax является однородным 3–симметрическим пространством, определяемым автоморфизмом Φ. Рассмотрим каноническое редуктивное разложение g = h⊕m алгебры Ли g = su(3) для однородного Φ–пространства M . Используя обозначения в [102], получим:   ¯ ¯ α1 , α2 , α3 ∈ Im C,   α1 a c ¯ g = su(3) =  −a α2 b  ¯¯ a, b, c ∈ C, =  ¯ α1 + α2 + α3 = 0  −c −b α3 = E(α1 , α2 , α3 ) ⊕ D(a, b, c) = h ⊕ m. Если положим X = D(a, b, c), Y = D(a1 , b1 , c1 ), Z = E(α1 , α2 , α3 ), то скобки Ли можно кратко записать следующим образом (см. [108]): [X, Y ] = D(bc1 − b1 c, ca1 − c1 a, ab1 − a1 b)− 2E(Im(aa1 + cc1 ), Im(aa1 + bb1 ), Im(cc1 + bb1 )), [Z, X] = D(α1 a − aα2 , α2 b − bα3 , α3 c − cα1 ). Далее, положим m = m1 ⊕ m2 ⊕ m3 , где m1 = {X ∈ su(3)|X = D(a, 0, 0), a ∈ C}, m2 = {X ∈ su(3)|X = D(0, b, 0), b ∈ C}, m3 = {X ∈ su(3)|X = D(0, 0, c), c ∈ C}. Используя форму Киллинга алгебры Ли su(3), определим инвариантное скалярное произведение на m: go (X, Y ) = hX, Y io = − 12 Re tr XY. Тогда (см. [102]) g = h ⊕ m1 ⊕ m2 ⊕ m3 является h·, ·io –ортогональным разложением, при этом выполняются следующие соотношения: [h, mj ] ⊂ mj , [mj , mj ] ⊂ h, [mj , mj+1 ] ⊂ mj+2 , где j = 1, 2, 3 и индексы j рассматриваются по модулю 3. Кроме того, H–модули mj попарно неизоморфны. Перейдем к рассмотрению инвариантных римановых метрик на M . Принимая во внимание известное биективное соответствие между G–инвариантными римановыми метриками на G/H и Ad(H)–инвариантными скалярными произведениями на m (см. [62]), воспользуемся следующим фактом: Лемма 6.12.1. [102] Любая SU (3)–инвариантная риманова метрика g = h·, ·i на многообразии флагов M = SU (3)/Tmax имеет вид g = h·, ·i = λ1 h·, ·io|m1 ×m1 + λ2 h·, ·io|m2 ×m2 + λ3 h·, ·io|m3 ×m3 , где λj > 0, j = 1, 2, 3. Тройка (λ1 , λ2 , λ3 ) называется [102] набором характеристических чисел римановой метрики g. Рассматривая римановы метрики с точностью до гомотетии, можно предполагать, что (λ1 , λ2 , λ3 ) = (1, t, s), t > 0, s > 0. Для удобства обозначим это соответствие следующим образом: g = (λ1 , λ2 , λ3 ) или g = (1, t, s). Напомним также следующий результат: Tеорема 6.12.1. [366],[204],[102] Все (с точностью до гомотетии) инвариантные метрики Эйнштейна на флаговом многообразии SU (3)/Tmax задаются следующими наборами : (1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 1). 140

Пусть α — функция Номидзу [313] связности Леви-Чивита ∇ для инвариантной римановой метрики g = h·, ·i на редуктивном однородном пространстве G/H. Тогда 1 α(X, Y ) = [X, Y ]m + U (X, Y ), X, Y ∈ m, 2

(6.34)

где U : m × m → m — симметрическое билинейное отображение, определяемое формулой (см. [62]): 2hU (X, Y ), Zi = hX, [Z, Y ]m i + h[Z, X]m , Y i. Для нашего случая в приведенных обозначениях имеем: Лемма 6.12.2. [365],[108] Связность Леви-Чивита римановой метрики g = (λ1 , λ2 , λ3 ) на флаговом многообразии SU (3)/Tmax задается следующими условиями: U (X, Y ) = 0, если X, Y ∈ mj , j ∈ {1, 2, 3}; U (X, Y ) = −(2λj )−1 (λj+1 − λj+2 )[X, Y ], если X ∈ mj+1 , Y ∈ mj+2 , где j = 1, 2, 3 и индексы берутся по модулю 3. Перейдем сейчас к инвариантным f –структурам на M = SU (3)/Tmax . Используя прежние обозначения, любую инвариантную f –структуру на M можно задать отображением f : D(a, b, c) → D(ζ1 ia, ζ2 ib, ζ3 ic),

(6.35)

где ζj ∈ {1, 0, −1}, j = 1, 2, 3, i — мнимая единица. Будем называть набор (ζ1 , ζ2 , ζ3 ) характеристическим набором инвариантной f –структуры и для удобства обозначать f = (ζ1 , ζ2 , ζ3 ). Очевидно, все инвариантные f –структуры на M попарно перестановочны. Перечислим все (с точностью до знака) инвариантные f –структуры на M = SU (3)/Tmax : 1) инвариантные f –структуры ранга 6 (инвариантные почти комплексные структуры): J1 = (1, 1, 1), J2 = (1, −1, 1), J3 = (1, 1, −1), J4 = (1, −1, −1). 2) инвариантные f –структуры ранга 4: f1 = (1, 1, 0), f2 = (1, 0, 1), f3 = (0, 1, 1), f4 = (1, −1, 0), f5 = (1, 0, −1), f6 = (0, 1, −1). 3) инвариантные f –структуры ранга 2: f7 = (1, 0, 0), f8 = (0, 1, 0), f9 = (0, 0, 1). Из приведенного описания инвариантных f –структур и римановых метрик сразу следует, что любая инвариантная f –структура f = (ζ1 , ζ2 , ζ3 ) является метрической f –структурой относительно любой инвариантной римановой метрики g = (λ1 , λ2 , λ3 ). В частности, Jj , j = 1, 2, 3, 4 являются инвариантными почти эрмитовыми структурами относительно всех инвариантных римановых метрик g = (λ1 , λ2 , λ3 ). Исследуем теперь все инвариантные f –структуры в смысле принадлежности к специальным классам Kf, NKf, Kill f, Hf, G1 f обобщенной эрмитовой геометрии. Важным для дальнейших вычислений является выражение ∇X (f )Y . Используя формулу (6.34), имеем: ∇X (f )Y = ∇X f Y − f ∇X Y = α(X, f Y ) − f α(X, Y ) = 21 ([X, f Y ]m − f [X, Y ]m ) + U (X, f Y ) − f U (X, Y ). 141

В результате можем получить: 1 ∇X (f )Y = D(A, B, C), где 2 A = i((ζ1 + ζ3 )(1 + s − t)bc1 + (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1)b1 c), 1−s 1−s )ca1 + (ζ2 + ζ3 )( − 1)c1 a), t t t−1 t−1 C = i((ζ3 + ζ2 )( + 1)ab1 + (ζ3 + ζ1 )( − 1)a1 b). (6.36) s s

B = i((ζ2 + ζ1 )(1 +

6.12.1.

Келеровы f –структуры

Келеровы f –структуры определяются условием ∇X (f )Y = 0 . Используя формулу (6.36), это условие эквивалентно следующей системе уравнений:   (ζ1 + ζ3 )(s − t + 1) = 0 (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1) = 0  (ζ + ζ )(s + t − 1) = 0 2 3

(6.37)

Решая систему (6.37) для всех инвариантных f –структур, получаем следующий результат: Предложение 1. [167] На флаговом многообразии M = SU (3)/Tmax имеются следующие инвариантные келеровы f –структуры относительно соответствующих инвариантных римановых метрик: J2 = (1, −1, 1), gt = (1, t, t − 1), t > 1; J3 = (1, 1, −1), gt = (1, t, t + 1), t > 0; J4 = (1, −1, −1), gt = (1, t, 1 − t), 0 < t < 1. В частности, на M нет инвариантных келеровых f –структур ранга 2 и 4. Заметим, что для инвариантных почти комплексных структур этот результат известен (см. [229],[151]). Отметим также, что для каждой из келеровых f –структур J2 , J3 , J4 соответствующее 1-параметрическое семейство gt инвариантных римановых метрик содержит в точности одну метрику Эйнштейна, исключая естественно редуктивную метрику g = (1, 1, 1) (см. теорему 6.12.1). С учетом теоремы 6.8.2, последний факт означает, что структуры J2 , J3 , J4 не могут быть реализованы как канонические почти комплексные структуры J = √13 (θ − θ2 ) ни для каких однородных Φ– пространств порядка 3. Помимо этого, из коммутаторных соотношений для подпространств mj , j = 1, 2, 3 следует, что все инвариантные f –структуры ранга 2 и 4 неинтегрируемы. Отсюда немедленно следует, что такие f –структуры не могут быть келеровыми f –структурами. 142

6.12.2.

Киллинговы f –структуры

Определяющее условие для киллинговых f –структур можно записать в виде ∇X (f )X = 0. Из (6.36) тогда следует, что 1 ∇X (f )X = D(A0 , B0 , C0 ), где 2 A0 = ibc((ζ1 + ζ3 )(1 + s − t) + (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1)), 1−s 1−s ) + (ζ2 + ζ3 )( − 1)), t t t−1 t−1 C0 = iab((ζ3 + ζ2 )( + 1) + (ζ3 + ζ1 )( − 1)). s s

B0 = ica((ζ2 + ζ1 )(1 +

Легко показать теперь, что условие ∇X (f )X = 0 равносильно следующей системе уравнений: ½ (ζ1 + ζ3 )(s − t + 1) + (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1) = 0 (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1) + (ζ2 + ζ3 )(s + t − 1) = 0 Анализируя эту систему для всех инвариантных f –структур, приходим к следующему результату: Предложение 2. [167] Все инвариантные собственно киллинговы (т.е. не келеровы) f –структуры на флаговом многообразии M = SU (3)/Tmax и соответствующие им инвариантные римановы метрики (с точностью до гомотетии) перечислены ниже: J1 = (1, 1, 1), g = (1, 1, 1); f1 = (1, 1, 0), g = (3, 3, 4); f2 = (1, 0, 1), g = (3, 4, 3); f3 = (0, 1, 1), g = (4, 3, 3). В частности, на M нет инвариантных киллинговых f –структур ранга 2. Отметим, что структура J1 — это хорошо известная неинтегрируемая приближенно келерова структура на естественно редуктивном пространстве M (см. [227], [229], [55], [151] и др.). Структуры f1 , f2 , f3 стали первыми примерами инвариантных нетривиальных киллинговых f –структур [167]. Важной особенностью этих структур явилось то, что соответствующие им инвариантные римановы метрики не эйнштейновы (см. теорему 6.12.1). Это обстоятельство существенно отличает собственные киллинговы f –структуры и собственные N K–структуры, по крайней мере, в 6–мерном случае (см. теорему 6.8.3). Замечание 18. Интересно отметить, что все указанные выше киллинговы f – структуры являются каноническими f –структурами для подходящих однородных Φ–пространств группы Ли SU (3). Уже упоминали, что M = SU (3)/Tmax есть однородное k–симметрическое пространство для любых k ≥ 3. Это означает, что M как нижележащее многообразие может быть порождено разными автоморфизмами Φ группы Ли SU (3). В частности, J1 является канонической почти комплексной структурой J = √13 (θ − θ2 ) для однородного Φ–пространства порядка 3, где √ Φ = I(s), s = diag (ε, ε, 1), ε = 3 1 (см. начало этого параграфа). √ Далее, если мы рассмотрим автоморфизм Φ1 = I(s1 ), s1 = diag (i, −i, 1), где i = 4 1 — мнимая единица, то M есть однородное Φ1 –пространство порядка 4. Соответствующая каноническая f –структура f = 21 (θ1 −θ13 ) для этого Φ1 –пространства как раз совпадает (с точностью до знака) с f –структурой f3 = (0, 1, 1). Структуры f1 и f2 можно получить аналогичным способом. Более того, все структуры f1 , f2 , f3 и f7 , f8 , f9 могут быть реализованы 143

как канонические f –структуры для подходящих однородных Φ–пространств порядка 5. Заметим также, что все f –структуры f1 , f2 , f3 являются в точности сужениями структуры J1 на соответствующие распределения mp ⊕ mq , p, q ∈ {1, 2, 3}. 6.12.3.

Приближенно келеровы f –структуры

Используя (6.36), можем получить: 1 ˆ B, ˆ C), ˆ где ∇f X (f )f X = D(A, 2 Aˆ = −iζ2 ζ3 bc((ζ1 + ζ3 )(1 + s − t) + (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1)), ˆ = −iζ1 ζ3 ca((ζ2 + ζ1 )(1 + 1 − s ) + (ζ2 + ζ3 )( 1 − s − 1)), B t t t − 1 t−1 Cˆ = −iζ1 ζ2 ab((ζ3 + ζ2 )( + 1) + (ζ3 + ζ1 )( − 1)). s s Отсюда следует, что условие ∇f X (f )f X = 0 сводится к следующей системе уравнений:   ζ2 ζ3 ((ζ1 + ζ3 )(s − t + 1) + (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1)) = 0 ζ1 ζ3 ((ζ2 + ζ1 )(1 + t − s) + (ζ2 + ζ3 )(1 − s − t)) = 0  ζ1 ζ2 ((ζ3 + ζ2 )(t + s − 1) + (ζ3 + ζ1 )(t − s − 1)) = 0 Рассмотрение этой системы приводит к такому результату: Предложение 3. [167] Единственной инвариантной собственной приближенно келеровой f –структурой ранга 6 на флаговом многообразии SU (3)/Tmax является приближенно келерова структура J1 = (1, 1, 1) относительно естественно редуктивной метрики g = (1, 1, 1). Инвариантные собственные приближенно келеровы f –структуры ранга 4 и соответствующие инвариантные римановы метрики (с точностью до гомотетии) перечислены ниже: f1 = (1, 1, 0), gs = (1, 1, s), s > 0; f2 = (1, 0, 1), gt = (1, t, 1), t > 0; f3 = (0, 1, 1), gt = (1, t, t), t > 0. Инвариантные f –структуры f7 , f8 , f9 ранга 2 являются собственными N Kf –структурами относительно всех инвариантных римановых метрик g = (1, t, s), t, s > 0. Структуры f1 , f2 , f3 и f7 , f8 , f9 дают инвариантные примеры N Kf –структур на однородном пространстве M = SU (3)/Tmax полупростого типа, где соответствующие метрики не являются естественно редуктивными. Кроме того, для любой собственной N Kf –структуры на M есть, по крайней мере, одна (с точностью до гомотетии) соответствующая метрика Эйнштейна. А именно, для этих N Kf –структур рангов 6, 4 и 2 имеются (с точностью до гомотетии) 1, 2 и 4 метрики Эйнштейна соответственно (см. теорему 6.12.1). Здесь есть определенная аналогия с результатом теоремы 6.8.3. Замечание 19. Инвариантные f –структуры f4 , f5 , f6 на флаговом многообразии SU (3)/Tmax не могут быть реализованы как канонические f –структуры для какихлибо однородных Φ–пространств порядков 4 и 5 группы Ли SU (3). Этот вывод следует из сравнения результатов следствия 15, теоремы 6.11.2 и предложения 3. 144

6.12.4.

Эрмитовы f –структуры

Вычислим композиционный тензор T (см. формулу (6.11)) для любой инвариантной f –структуры на (SU (3)/Tmax , g = (1, t, s)). Применяя (6.36) и (6.35), можем получить: 1 ˇ B, ˇ C), ˇ где T (X, Y ) = D(A, 8 Aˇ = −ζ1 ζ2 ζ3 (1 + ζ2 ζ3 )((ζ1 + ζ3 )(1 + s − t)bc1 + (ζ1 + ζ2 )(s − t − 1)b1 c), ˇ = −ζ1 ζ2 ζ3 (1 + ζ1 ζ3 )((ζ2 + ζ1 )(1 + 1 − s )ca1 + (ζ2 + ζ3 )( 1 − s − 1)c1 a), B t t t − 1 t − 1 Cˇ = −ζ1 ζ2 ζ3 (1 + ζ1 ζ2 )((ζ3 + ζ2 )( + 1)ab1 + (ζ3 + ζ1 )( − 1)a1 b). (6.38) s s Напомним, что определяющим свойством для эрмитовой f –структуры является условие T (X, Y ) = 0. Анализируя теперь (6.38), получаем следующий результат: Предложение 4. [167] Инвариантные f –структуры J2 , J3 , J4 и f1 , . . . , f9 являются эрмитовыми f –структурами относительно всех инвариантных римановых метрик g = (1, t, s), t, s > 0 на флаговом многообразии M = SU (3)/Tmax . Напомним (известный результат), что почти комплексная структура J1 = (1, 1, 1) не интегрируема. Это согласуется с тем фактом, что J1 не является эрмитовой f – структурой для любой из римановых метрик. В то же время подчеркнем, что все f – структуры f1 , . . . , f9 рангов 4 и 2 не интегрируемы, хотя они являются эрмитовыми f –структурами. 6.12.5.

G1 f–структуры

Наконец, рассмотрим условие T (X, X) = 0, которое является определяющим свойством для G1 f –структур. Используя (6.38) и учитывая предложения 3 и 4, получаем Предложение 5. [167] Флаговое многообразие M = SU (3)/Tmax не допускает инвариантных собственных G1 f –структур (т.е. не являющихся N Kf –структурами и Hf –структурами). В частности, на M не существует инвариантных собственных G1 –структур J (т.е. не являющихся приближенно келеровыми и эрмитовыми). В заключение отметим, что к настоящему времени получена значительная информация о канонических f –структурах на однородных Φ–пространствах порядка 6, а также серия общих фактов об однородных Φ–пространствах произвольного порядка k, канонических структурах на них и их связи с обобщенной эрмитовой геометрией. Кроме того, интенсивно развивается сейчас направление, нацеленное на исследование инвариантных f –структур на флаговых многообразиях и их обобщениях (см., например, [199], [168] и др.), которое тесно связано с представленной здесь тематикой.

6.13

Инвариантные обобщенные почти эрмитовы структуры высших рангов

Приведем кратко необходимые сведения из обобщенной эрмитовой геометрии, следуя в основном работе [58] (см. также [56]). 145

Определение 3 [58]. Обобщенной почти эрмитовой структурой (короче, GAH– структурой) ранга r на гладком многообразии M называется совокупность {g, J1 , . . . . . . , Jr , T } тензорных полей на M , где g = h·, ·i — (псевдо)риманова метрика на M , J1 , . . . , Jr — линейно независимые в каждой точке многообразия тензоры типа (1, 1), называемые структурными аффинорами, или структурными операторами, определенные в каждой точке многообразия с точностью до ненулевого числового множителя и являющиеся вместе со своими квадратами и тождественным аффинором образующими некоторого подмодуля, являющегося подалгеброй алгебры всех эндоморфизмов касательного пучка многообразия, T — тензор типа (2, 1), называемый композиционным тензором. При этом должны выполняться условия: 1. hJi X, Y i + hX, Ji Y i = 0; 2. T (Ji X, Y ) = T (X, Ji Y ) = −Ji T (X, Y ); 3. TX g = 0; 4.

r T i=1

kerJi ⊂ kerT ⊂

r T i=1

ker(Ji5 − λi Ji );

5. Ji Jj = Jj Ji ; (i, j = 1, . . . , r; X, Y ∈ X(M )). Здесь 0 < λ ∈ C ∞ (M ); TX Y = T (X, Y ); оператор TX отождествляется с порожденным им дифференцированием тензорной алгебры многообразия. Многообразие, наделенное GAH–структурой, называется обобщенным почти эрмитовым (GAH)– многообразием. Символом GAH обозначается класс всех GAH–структур на M . Композиционный тензор T позволяет ввести в модуле X(M ) структуру присоединенной Q–алгебры с умножением "∗"по формуле X ∗ Y = T (X, Y ) [58]. Если Q–алгебра абелева (X ∗ Y = 0), то GAH–структура называется обобщенной эрмитовой структурой (GH–структурой) [58]. Аналогично, антикоммутативная Q–алгебра (X ∗ X = 0) определяет обобщенную G1 –структуру (GG1 –структуру) [58]. Очевидно, что GH ⊂ GG1 . Отметим также, что описание других важных классов GAH– структур приведено в [58], [56]. Как уже отмечали выше, важнейшим примером GAH–структуры ранга 1 является метрическая f –структура, т.е. f –структура на (M, g), согласование которой с метрикой g = h·, ·i задается условием hf X, Y i + hX, f Y i = 0 [58]. В этом случае композиционный тензор T может быть точно указан [58] и имеет следующий вид (см. формулу (6.11)): T (X, Y ) = 14 f {∇f X (f )(f Y ) − ∇f 2 X (f )(f 2 Y )}, где ∇ — связность Леви-Чивита метрики h·, ·i. Метрические f –структуры классов GH и GG1 мы назвали эрмитовыми f –структурами и f –структурами класса G1 соответственно, а соответствующие классы обозначили Hf и G1 f . Оказалось, что естественная конструкция GAH—структуры произвольного ранга r может быть построена на основе специального набора метрических f –структур. Эта идея была реализована в работах [38], [39]. Приведем один из результатов этого исследования: Tеорема 6.13.1. [38]. Пусть f1 , . . . , fr — линейно независимые в каждой точке (псевдо)риманова многообразия (M, g) метрические f –структуры, удовлетворяюr P Tj (X, Y ) , где щие условию fl fj = 0, l, j = 1, r, l 6= j. Положим T (X, Y ) = j=1

Tj (X, Y ) — композиционный тензор структуры fj , указанный выше. Тогда совокупность {g, f1 , . . . , fr , T } является GAH–структурой ранга r на M . 146

Перейдем далее к инвариантному аспекту указанной конструкции. Иными словами, с помощью канонических f –структур на однородных Φ–пространствах порядка k могут быть построены инвариантные GAH–структуры произвольного ранга r. Напомним при этом, что обширные классы метрических канонических f –структур (случай ранга 1) разных классов были предъявлены выше. Условимся далее называть базовыми канонические f –структуры, входящие в число канонических образующих алгебры A(θ) однородного Φ–пространства порядка k (см. теорему 6.3.1). Следующая теорема указывает общую конструкцию, основанную на базовых f – структурах: Tеорема 6.13.2. [12] Пусть G/H — однородное Φ–пространство порядка k, s — число пар сопряженных корней степени k из 1, входящих в спектр оператора θ, g — инвариантная (псевдо)риманова метрика, определяемая θ–инвариантной билинейной формой, f1 , . . . , fs — базовые канонические f –структуры на G/H. Тогда совокупность {g, f1 , . . . , fs , T } является инвариантной GAH–структурой ранга s, s P где T = Tl , а Tl — композиционный тензор (6.11) для базовой структуры fl , l=1

l = 1, s. Приведем теперь некоторые из конкретных результатов об инвариантных GAH– структурах высших рангов на однородных Φ–пространствах, полученные в [11], [12]. Tеорема 6.13.3. [12] Пусть (G/H, g) — однородное Φ–пространство порядка 5, для которого спектр оператора θ максимален (т.е. s = 2), f1 и f2 — канонические метрические f –структуры относительно произвольной инвариантной метрики g. Тогда {g, f1 , f2 , T } является обобщенной эрмитовой структурой ранга 2 на G/H. Доказательство. Отметим, что структуры f1 и f2 являются базовыми на G/H. Более того, из работ [15], [132] следует, что для канонического редуктивного разложения g = h ⊕ m справедливы соотношения: m = m1 ⊕ m2 , где m1 = Im f1 = Ker f2 , m2 = Im f2 = Ker f1 , при этом [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h, [m2 , m2 ] ⊂ m1 ⊕ h. В теореме 6.11.6 получили уже, что обе структуры f1 и f2 являются эрмитовыми f –структурами, т.е. их композиционные тензоры T1 и T2 равны нулю. Тогда возникающая на G/H в силу теоремы 6.13.2 инвариантная GAH–структура {g, f1 , f2 , T = T1 + T2 } является обобщенной эрмитовой структурой ранга 2. ¤ Замечание 20. Если в теореме 6.13.3 одна из структур f1 или f2 нулевая (т.е. s = 1), то другая является почти комплексной структурой (см. следствие 3). В этом случае G/H — эрмитово локально симметрическое пространство. В работе [12] рассмотрены конкретные примеры инвариантных GAH–структур рангов r > 1 на однородных пространствах как полупростого, так и разрешимого типов. Приведем здесь два из них. 1. Флаговое многообразие SU (9)/Tmax . Приведем пример обобщенной почти эрмитовой структуры, не являющейся эрмитовой. Флаговое многообразие SU (n)/Tmax (Tmax — максимальный тор) является n–симметрическим пространством, причем n — наименьший порядок (см. [243]). Рассмотрим случай n = 9 со стандартной метрикой, определяемой формой Киллинга. Пространство SU (9)/Tmax порождается внутренним автоморфизмом Φ(g) = wgw−1 , где w = diag{ε, ε2 , . . . , ε8 , 1}. В каноническом редуктивном дополнении m рассмотрим естественный базис вида: для p < l обозначим через e1pl (соответственно, e2pl ) кососимметрическую (соответ147

ственно, симметрическую) матрицу, для которой на месте (p, l) стоит 1 (соответственно, i), а все остальные элементы матрицы — нули. Введем также число t = l − p. Непосредственными вычислениями, используя для подсчета коэффициентов канонических f –структур формулу (см. [15], §4) 4

1X ηj (ε−jm − εjm ), am = 9 j=1 где ηj ∈ {−i, 0, i} и среди ηj есть отличные от базовых канонических f –структур для r = 1, 4   −e2pl , если e2 , если fr (e1pl ) =  pl 0, если  1  epl , если 2 −e1pl , если fr (epl ) =  0, если

нуля, устанавливается, что действие описывается равенствами: t=r t=9−r , t∈ / {r, 9 − r} t=r t=9−r . t∈ / {r, 9 − r}

(6.39)

Рассматриваемое пространство естественно редуктивно, и композиционный тензор Tr для каждого r = 1, 4, может быть записан следующим образом: 1 Tr (X, Y ) = fr ([fr X, fr2 Y ]m + [fr2 X, fr Y ]m + fr ([fr2 X, fr2 Y ]m − [fr X, fr Y ]m )). 8

(6.40)

Для выяснения свойств возникающих канонических f –структур опишем действие скобки Ли [eupl , evst ] на базисных элементах пространства m: 1. Если p = s, l = t, то [ejpl , ejlp ] = 0. 2. Если p = s, l < t, то [e1pl , e1pt ] = −e1lt . Если же l > t, то [e1pl , e1pt ] = etl1 . 3. Если l = t, p < s, то [e1pl , e1sl ] = −e1ps . Если же p > s, то [e1pl , e1sl ] = e1sp . 4. Если p = t, то [e1pl , e1sp ] = −e1sl . 5. Если l = s, то [e1pl , e1lt ] = e1pt . 6. Если p = s, l < t, то [e2pl , e2pt ] = −e1lt . Если же l > t, то [e2pl , e2pt ] = etl1 . 7. Если l = t, p < s, то [e2pl , e2sl ] = −e1ps . Если же p > s, то [e2pl , e2sl ] = e1sp . 8. Если p = t, то [e2pl , e2sp ] = e1sl . 9. Если l = s, то [e2pl , e2lt ] = −e1pt . 10. Если p = s, l < t, то [e1pl , e2pt ] = −e2lt . Если же l > t, то [e1pl , e2pt ] = −e2tl . 11. Если l = t, p < s, то [e1pl , e2sl ] = −e2ps . Если же p > s, то [e1pl , e2sl ] = −e2sp . 12. Если p = t, то [e1pl , e2sp ] = −e2sl . 13. Если l = s, то [e1pl , e2lt ] = e2pt . 14. В остальных случаях скобка Ли равна нулю. Теперь непосредственными вычислениями, используя (6.39) и (6.40), можно установить, что базовые структуры f1 , f2 , f4 являются эрмитовыми f –структурами, а f3 является f –структурой класса G1 f . Следовательно, верна Tеорема 6.13.4. [12] Однородное Φ–пространство SU (9)/Tmax порядка 9 со стандартной римановой метрикой g обладает инвариантной GG1 –структурой {g, f1 , f2 , f3 , f4 , T } ранга 4, причем структуры {g, fr , Tr } принадлежат классу Hf для r = 1, 2, 4, а {g, f3 , T3 } ∈ G1 f . 148

2. Обобщение группы гиперболических движений плоскости. Ранее уже рассмотрели в смысле канонических f –структур группу гиперболических движений плоскости (R3 (a, b, c), g) [63]. Теперь перейдем к обобщению этого риманова однородного Φ–пространства, предложенному М.Божеком (см. [63], с.191). Для любого натурального n введем в рассмотрение группу  u0   e 0 . . . 0 y0         0 eu1 . . . 0 y1      . . . . .   .. .. .. ..  |u0 + u1 + · · · + un = 0, ui , yi ∈ R . Gn =  ..      u n   0 0 ... e yn      0 0 ... 0 1 Таким образом, Gn — разрешимая группа Ли, диффеоморфная R2n+1 , причем в качестве глобальных координат выберем (y0 , y1 , . . . , yn , u1 , . . . , un ). Определим автоморфизм Φ группы Gn формулой (см. [63], с.192): Φ(y0 , y1 , . . . , yn , u1 , . . . , un ) = (−yn , y0 , . . . , yn−1 , u0 , u1 , . . . , un−1 ), где u0 = −(u1 +· · ·+un ). Нетрудно видеть, что этот автоморфизм имеет единственную неподвижную точку, и его порядок равен k = 2n + 2. Поэтому Gn — однородное Φ– пространство порядка 2n + 2. Алгебра Ли gn группы Gn имеет вид:    X 0 0 . . . 0 Y0      0 X1 . . . 0 Y1        . . . . .   . . . . . gn =  . . . . .  |X0 + X1 + · · · + Xn = 0 .       0 0 . . . X n Yn      0 0 ... 0 0 Тогда оператор θ = ϕ = dΦe действует по правилу: θ(Y0 , Y1 , . . . , Yn , X1 , . . . , Xn ) = (−Yn , Y0 , . . . , Yn−1 , X0 , X1 , . . . , Xn−1 ), где X0 = −(X1 + · · · + Xn ). Выберем в gn базис следующим образом. Пусть e1p , где p = 1, n, — это матрица (aql ), q, l = 1, n + 2, в которой a11 = −1, ap+1,p+1 = 1, а все остальные элементы равны нулю. Через e2t , t = 1, n + 1 обозначим такую матрицу (aql ), для которой at,n+2 = 1, а все остальные элементы — нули. Таким образом, получили базис в gn . Далее, через L1 (соответственно, L2 ) обозначим линейную оболочку векторов e1p (соответственно, e2t ). Можно показать, что базовые структуры fj , j = 1, n обладают свойством: ½ L1 , если j — четное Im fj ⊂ . (6.41) L2 , если j — нечетное На группе Gn можно определить левоинвариантную метрику g = h·, ·i, которая в выбранном базисе gn описывается следующим образом (см. [63], с.192): he1p , e1l i = a; he2t , e2t i = 1; he2v , e2t i = he1p , e2t i = 0; a > 0, где p, l = 1, n; t, v = 1, n + 1, v 6= t. Поскольку метрика g θ–инвариантна, то в силу следствия 9 все канонические f – структуры с ней согласованы. В частности, набор базовых канонических f –структур порождает по теореме 6.13.2 GAH–структуру ранга n. Выясним свойства этой GAH– структуры. 149

В выбранном базисе скобка Ли векторов из gn описывается равенствами:  0, если u = v,    0, если p 6= l, l 6= 1 [eup , evl ] = . −e21 , если u = 1, v = 2, l = 1    e2 , если u = 1, v = 2, p = l 6= 1

(6.42)

l

Для выяснения свойств композиционных тензоров Tj структур fj воспользуемся выражением Tj в терминах тензора Bj , который может быть определен равенством Bj (X, Y ) = −fj2 Nj (fj2 X, fj2 Y ), где Nj — соответствующий структуре fj тензор Нейенхейса (см. [58]). В подробной записи тензор Bj может быть представлен в виде: Bj (X, Y ) = −fj2 [fj X, fj Y ] + fj2 [fj2 X, fj2 Y ] + fj [fj2 X, fj Y ] + fj [fj X, fj2 Y ]. Используя теперь свойство (6.41) и формулы (6.42), можно заметить, что [fj X, fj Y ] = 0 для всех базовых структур fj , где X, Y ∈ gn . Следовательно, Bj = 0, что влечет (см. [58]) равенство Tj = 0. Отсюда следует, что композиционный тензор T = T1 + · · · + Tn для GAH–структуры {g, f1 , . . . , fn , T } равен нулю. Таким образом, верна следующая Tеорема 6.13.5. [12] Пусть f1 , . . . , fn — базовые канонические f –структуры на римановом однородном Φ–пространстве (Gn ∼ = R2n+1 , g) порядка 2n + 2, n ∈ N. Тогда {g, f1 , . . . , fn , T } является инвариантной обобщенной эрмитовой структурой ранга n.

6.14

Римановы структуры почти произведения на естественно редуктивных пространствах

Римановы структуры почти произведения изучались многими авторами с разных точек зрения. Обзор некоторых исследований в этом направлении содержится в [294]. Общая классификация римановых структур почти произведения была получена в работе [301] по аналогии с методом А.Грея и Л.Хервеллы [230] для почти эрмитовых структур. Примеры всех классов были построены в [294], а геометрические свойства для некоторых классов отмечены в [220], [221], [295] и др. Следует заметить, что, в отличие от почти эрмитовых структур, инвариантные римановы структуры почти произведения практически не рассматривались. Здесь мы детализируем классификацию А.Навейры для естественно редуктивных однородных пространств, а также укажем большое семейство примеров на основе римановых k–симметрических пространств с каноническими структурами почти произведения. Сформулируем некоторые понятия и результаты, следуя в основном работам [301], [221], [294]. Пусть (M, g) — риманово многообразие, P — структура почти произведения на M . Напомним, что пара (g, P ) называется римановой структурой почти произведения, если g(P X, P Y ) = g(X, Y ) для всех гладких векторных полей X, Y на M . На любом римановом многообразии почти произведения (M, g, P ) возникают два взаимно дополнительных ортогональных распределения, соответствующих собственным значениям 1 и −1 структуры P . Они обычно называются вертикальным V и горизонтальным H соответственно. Будем обозначать через A, B, C, ... вертикальные векторные поля, X, Y, Z — горизонтальные , а S, T, U, ... — произвольные векторные поля на M . Далее, пусть p и q — размерности распределений V и H соответственно, 150

{Ea }pa=1 — локальный ортонормированный базис в V, {Eu }qu=1 — локальный ортонормированный базис в H. Как обычно, обозначим через ∇ связность Леви-Чивита метрики g. Классификация римановых структур почти произведения была получена в [301]. Оказывается (см. [220]), все 36 классов в этой класссификации можно определить, рассматривая несколько условий на каждое из распределений V и H. Для простоты сформулируем эти условия в терминах вертикального распределения. AF (анти-слоение): ∇A (P )AP = 0; D1 (минимальность): α(X) = pa=1 g(∇Ea (P )Ea , X) = 0; D2 (омбиличность): g(∇A (P )B, X) + g(∇B (P )A, X) =

2 g(A, B)α(X); p

∆ : нет условий; F (слоение): ∇A (P )B = ∇B (P )A; TGF (вполне геодезическое слоение): ∇A P = 0; F1 (минимальное слоение): D1 и F; F2 (омбилическое слоение): D2 и F. В результате все классы в классификации Навейры можно отождествить с парами (D, D0 ) (с точностью до перестановки) , где D и D0 есть перечисленные выше условия. Сформулируем еще два результата: Tеорема 6.14.1. [220] (i) Одновременное выполнение условий AF и F равносильно условию TGF; (ii) Одновременное выполнение условий D1 и D2 равносильно условию AF. Перейдем теперь к рассмотрению инвариантных римановых структур P на естественно редуктивных однородных пространствах (G/H, g). В этом случае P определяет ортогональное разложение редуктивного дополнения m = m1 ⊕ m2 , где m1 (m2 ) — вертикальное (горизонтальное) подпространство. Опуская предварительные результаты работы [161], сформулируем основной результат: Tеорема 6.14.2. [161] В соответствии с классификацией Навейры есть в точности три класса инвариантных естественно редуктивных структур почти произведения: (TGF,TGF), (TGF,AF), (AF,AF). Более точно, 1. G/H принадлежит классу (TGF,TGF) тогда и только тогда, когда выполняются соотношения [mi , mi ] ⊂ mi ⊕ h, i = 1, 2, [m1 , m2 ] ⊂ h; 2. G/H принадлежит классу (TGF,AF) тогда и только тогда, когда выполняются соотношения [m1 , m1 ] ⊂ m1 ⊕ h, [m1 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h; 3. Любое G/H принадлежит классу (AF,AF). Известно, что класс (TGF,TGF) означает (локально) структуру произведения. Что касается класса (TGF,AF), то он известен как слоение Рейнхарта (см. [221], [326]). Рассмотрим теперь случай канонических структур P на однородных Φ–пространствах. Укажем один результат: 151

Tеорема 6.14.3. [161] Пусть (G/H, g, P ) — естественно редуктивное риманово однородное Φ–пространство порядка 4, где P = θ2 — каноническая риманова (относительно g) структура почти произведения на G/H. Тогда G/H принадлежит классу (TGF,AF). Более того, (G/H, g, P ) входит в класс (TGF,TGF) тогда и только тогда, когда G/H локально симметрично и [m1 , m2 ] = 0. Уже отмечали, что имеется обширный класс пространств, удовлетворяющих условиям теоремы 6.14.3 (см. [244]). В заключение исследуем в смысле классов Навейры уже рассмотренный ранее пример 6–мерной обобщенной группы Гейзенберга(см. [359]). Поскольку метрика здесь не является естественно редуктивной, то после непосредственных вычислений получаем такой результат: Tеорема 6.14.4. [161] 6–мерная обобщенная группа Гейзенберга (N, g) принадлежит классу (TGF,AF) относительно канонической римановой структуры почти произведения P = θ2 однородного Φ–пространства порядка 4.

152

Глава 7

Приложение 1. Левоинвариантные метрики на группах Ли малой размерности (Гладунова О.П.) 7.1

Основные типы инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли

В последующих частях мы будем придерживаться традиционных обозначений, выбранных для групп и алгебр Ли. Пусть G – группа Ли, {g, [·, ·]} – соответствующая алгебра Ли. Обозначим через h·, ·i – левоинвариантную псевдориманову метрику на G. Тогда псевдориманова связность определяется равенством 2 h∇X Y, Zi = X hY, Zi + Y hX, Zi − Z hX, Y i + h[X, Y ] , Zi + h[Z, X, ] , Y i + hX, [Z, Y ]i . Для левоинвариантных векторных полей X, Y, Z первые три слагаемых равны нулю, поэтому 2 h∇X Y, Zi = h[X, Y ] , Zi + h[Z, X] , Y i + hX, [Z, Y ]i . В силу того, что ∇ – связность Леви-Чевиты имеем; [X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X. Пусть {E1 , E2 , . . . , En } – левоинвариантные векторные поля на группе Ли. Положим [Ei , Ej ] = Cijk Ek ,

hEi , Ej i = gij ,

© ª где Cijk – структурные константы алгебры Ли, {gij } – метрический тензор. Положим Cijs = Cijk gks . Тогда символы Кристофеля первого рода вычисляются по формулам 1 Γij,k = (Cijk − Cjki + Ckij ) . (7.1) 2 Соответственно символы Кристофеля второго рода имеют вид Γsij = Γij,k g ks , ° ° где °g ks ° – матрица обратная к kgij k. Тензор Римана в данном случае можно найти по формуле Rijkt = Cijs Γsk,t − Γsjk Γis,t + Γsik Γjs,t , (7.2) 153

а тензор Риччи и скалярная кривизна соответственно вычисляются по формулам: Rik = Rijkt g jk , R = Rik g ik . Тогда тензор одномерной кривизны равен µ ¶ Rgik 1 Rik − , Aik = n−2 2(n − 1)

(7.3)

(7.4)

а его ковариантные производные равны Aij,k = Alj Γlki + Ail Γlkj . Тензор Схоутена-Вейля вычисляется по формуле SWijk = Aij,k − Aik,j ,

(7.5)

а тензор Вейля по формуле 1 (Rik gjt + Rjt gik − Rit gjk − Rjk git ) − n−2 R − (gjk git − gjt gik ) . (n − 1)(n − 2)

Wijkt =Rijkt −

Ковариантные производные тензора Sijk равны Sijk;t = Sljk Γlti + Silk Γltj + Sijl Γltk .

(7.6)

Ротор тензоров Вейля и Схоутена-Вейля соответственно определяется формулами rot(Wijkt ) = Wijkt;p − Wpjkt;i − Wipkt;j − Wijpt;k − Wijkp;t , rot(Sijk ) = Sijk;p − Spjk;i − Sipk;j − Sijp;k . Дивергенция тензора Вейля равна div(Wijkt ) = g ip Wijkt;p Дивергенцию тензора Схоутена-Вейля будем определять с помощью ковариантного дифференцирования с последующей сверткой с тензором g ij . Возможны три варианта такой свертки, компоненты дивергенции при этом имеют вид: g it Sijk;t , g jt Sijk;t , g kt Sijk;t . Замечание. В силу косой симметрии тензора Sijk по индексам j и k имеем g jt Sijk;t = −g jt Sikj;t . Определим дивергенцию типа I и II тензора Схоутена-Вейля Sijk , соответственно, формулами (7.7) div1 (S) = g it Sijk;t , и

div2 (S) = g jt Sijk;t .

(7.8)

Замечание. В силу косой симметрии тензора Sijk по индексам j и k в размерности три можно корректно определить также дивергенцию типа III div3 (S) = Si12;3 + Si23;1 + Si31;2 , ∀i ∈ {1, 2, 3}, образующую псевдотензор валентности 1. 154

Как принято, назовем метрической алгеброй Ли тройку {g, [·, ·], h·, ·i}, где {g, [·, ·]} – вещественная алгебра Ли, а h·, ·i – некоторое скалярное произведение на ней. Определение 7.1.1. Две метрические алгебры Ли {g1 , [·, ·]1 , h·, ·i1 } и {g2 , [·, ·]2 , h·, ·i2 } назовем изоморными, если существует линейное отображение ψ : g1 → g2 , являющееся одновременно изоморфизмом алгебр Ли и изометрией евклидовых пространств. Замечание. Хорошо известно, групповые многообразия, порождаемые изоморфными метрическими алгебрами Ли, локально изометричны как римановы многообразия (см., например, [3]). Определение 7.1.2. Группой автоморфизмов Aut(g, h·, ·i) метрической алгебры Ли {g, [·, ·], h·, ·i} назовем группу всех изоморфизмов этой алгебры Ли на себя. Замечание. Если скалярное произведение есть форма Киллинга, hX, Y i = − tr ad(X)· ad(Y ), то группа автоморфизмов соответствующей метрической алгебры Ли совпадает с группой автоморфизмов алгебры Ли. Определение 7.1.3. Скалярное произведение h·, ·i на алгебре Ли {g, [·, ·]} назовем регулярным, если группа автоморфизмов этой метрической алгебры Ли, Aut(g, h·, ·i) ⊂ GL(g), имеет минимальную размерность, а число m=

n(n − 1) − dim Aut(g, h·, ·i) 2

назовем числом модулей скалярного произведения. Замечание. Для коммутативной алгебры Ли число модулей равно нулю, а любые два скалярных произведения задают локально изометричные метрики. Теорема 7.1.1. Алгебра Ли группы автоморфизмов Aut(g, h·, ·i) метрической алгебры Ли состоит из операторов A ∈ gl(g) таких, что; hAX, Y i + hX, AY i = 0, [AX, Y ] + [X, AY ] = A [X, Y ] . Доказательство. Доказательство проводится путем дифференцирования однопараметрического семейтсва автоморфизмов метрической алгебры Ли. Теорема 7.1.2. Алгебра Ли группы автоморфизмов Aut(g, h·, ·i) метрической алгебры Ли с биинвариантной метрикой h·, ·i , содержит все внутренние автоморфизмы алгебры Ли g. Доказательство. Условие биинвариантости скалярного произведения имеет вид had(U )X, Y i + hX, ad(U )Y i = 0, тождество Якоби можно записать в виде [ad(U )X, Y ] + [X, ad(U )Y ] = ad(U ) [X, Y ] , где U ∈ g – произвольный элемент алгебры Ли. Следовательно, в данном случае все ad(U ) содержатся в алгебре Ли группы автоморфизмов Aut(g, h·, ·i). 155

7.2

Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных унимодулярных группах Ли с изотропным тензором СхоутенаВейля.

Пусть G – трехмерная группа Ли, g – алгебра Ли группы G. Структурные уравнения алгебры Ли g можно записать в виде [47] £ ¤ [Ei , Ej ] = εijk C ks + δis aj − δjs ai Es , (7.9) где εijk – обобщенный символ Кронекера, εijk = {(−1)σ : σ четность подстановки (ijk)}, C = ||C ks || – некоторая симметричная матрица, a = (ai ) – вектор. Тождество Якоби в терминах матрицы C и вектора a означает условие C ks as = 0.

(7.10)

Можно уравнения (7.9) записать также в виде [Ei , Ej ] = εijk C˜ ks Es ,

(7.11)

тогда матрица C˜ = ||C˜ ks || обладает тем свойством, что присоединенная к ней матрица симметричная [41], при этом C˜ ks = C ks + εksi ai – разложение на симметричную и кососимметричную составляющую, εksi = εksi – контр- и ковариантные псевдотензоры Кронекера. Определение 7.2.1. Алгебра Ли называется унимодулярной, если все внутренние автоморфизмы ad(U ) имеют равный нулю след. Лемма 7.2.1. Трехмерная алгебра Ли унимодулярна, в том и только в том случае, когда вектор a = (ai ) – нулевой. Доказательство. Структурные уравнения (7.9) можно подробно переписать в виде [E1 , E2 ] = (C 31 + a2 )E1 + (C 32 − a1 )E2 + C 33 E3 , [E2 , E3 ] = C 11 E1 + (C 12 + a3 )E2 + (C 13 − a2 )E3 , [E3 , E1 ] = (C 21 − a3 )E1 + C 22 E2 + (C 23 + a1 )E3 . Следовательно для U = U 1 E1 + U 2 E2 + U 3 E3 имеем ad(U )(E1 ) = [U, E1 ] = U 2 (−(C 31 + a2 )E1 − (C 32 − a1 )E2 − C 33 E3 )+ + U 3 ((C 21 − a3 )E1 + C 22 E2 + (C 23 + a1 )E3 ), ad(U )(E2 ) = [U, E2 ] = U 1 ((C 31 + a2 )E1 + (C 32 − a1 )E2 + C 33 E3 )+ + U 3 (−C 11 E1 − (C 12 + a3 )E2 − (C 13 − a2 )E3 ), ad(U )(E1 ) = [U, E3 ] = U 1 (−(C 21 − a3 )E1 − C 22 E2 − (C 23 + a1 )E3 )+ + U 2 (C 11 E1 + (C 12 + a3 )E2 + (C 13 − a2 )E3 ). Отсюда

¢ ¡ tr[ad(U )] = −2 U 1 a1 + U 2 a2 + U 3 a3 ,

и лемма доказана Замечание. В случае трехмерной простой группы ([g, g] = g и det C 6= 0), из (7.10) следует a = 0. 156

Пусть A = ||Aii0 || матрица перехода к другому базису {Ei0 } 0

Ei = Bii Ei0 ,

Ei0 = Aii0 Ei , 0

где B = ||Bii || – матрица обратная к A. При переходе к другому базису симметричная матрица C = ||C ks || преобразуются по закону 0

0

B k C ks Bss B > CB , C0 = , C = k (7.12) det B det B и следовательно образуют 2-контрвариантный псевдотензор, компоненты вектора a = (ai ) преобразуются по закону ai0 = Aii0 ai и образуют ковектор. Матрица C˜ = ||C˜ ks || преобразуется по тому же закону, что и матрица C. Пусть на векторном пространстве g задано скалярное произведение с помощью метрического тензора Tij , закон преобразования метрического тензора k 0 s0

Ti0 j 0 = Aii0 Tij Ajj 0 ,

T 0 = AT A> ,

(7.13)

т.е. ||Tij || образуют 2-ковариантный тензор. Замечание. Трехмерная простая односвязная унимодулярная группа Ли G есть, либо компактная группа SU (2), либо некомпактная группа SL(2, R). В первом случае матрица ||C ks || имеет собственные числа одного знака, во втором – разного. Пусть группа G = SU (2), тогда для произвольного метрического тензора ||Tij || существует базис {E1 , E2 , E3 } алгебры Ли g, в котором коэффициенты ||C ks || составляют единичную матрицу, а коэффициенты ||Tij || составляют диагональную матрицу, что следует из хорошо известного факта о приведении двух симметричных матриц (одна из которых положительно определена) к диагональному виду. В более общей ситуации имеет место Теорема 7.2.1. Пусть группа G унимодулярная трехмерная группа Ли, ||Tij || произвольный метрический тензор лоренцевой сигнатуры. Тогда характеристическое уравнение det(Tik C kj −λδij ) = 0 инвариантно относительно преобразований A базиса алгебры Ли g таких, что det A = 1. Если все корни этого уравнения вещественны и различны, то существует базис в котором коэффициенты ||C ks || и ||Tij || составляют диагональные матрицы.     −λ1 0 0 −1 0 0 C =  0 λ2 0  , T =  0 1 0  , 0 0 λ3 0 0 1 Если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни λ1,2 = α ± iβ и вещественный корень λ3 , тогда существует базис в котором матрицы C и T имеют вид     −α β 0 −1 0 0 C =  β α 0  , T =  0 1 0 , 0 0 λ3 0 0 1 Доказательство. Инвариантность характеристического уравнения следует из тензорного закона преобразования свертки Tik C kj , при условии, что det A = 1. В общем случае корни характеристического уравнения будут определены с точностью до ненулевого множителя. Фиксируем базис {E1 , E2 , E3 } в котором коэффициенты ||Tks || составляют матрицу   −1 0 0 T = ||Tks || =  0 1 0 . 0 0 1 157

Будем отождествлять векторное пространство g с арифметическим евклидовым пространством R3 , соответствующее скалярное произведение будем обозначать угловыми скобками h·, ·i, используя это скалярное произведение будем отождествлять ковариантные и контрвариантные компоненты тензоров. Предположим, что характеристическое уравнение имеет три различных вещественных корня λi , i = 1, 2, 3. Пусть {V1 , V2 , V3 } – соответствующие собственные вектора, тогда в базисе {E1 , E2 , E3 } имеем (T C − λi E)Vi = 0, (C − λi T )Vi = 0, Vi 6= 0, (7.14) где E – единичная матрица, T 2 = E. Вектора {V1 , V2 , V3 } – линейно независимы и образуют базис g. Заметим, что hCVi , Vj i = 0 при i 6= j. Действительно, hCVi , Vj i = hλi T Vi , Vj i = λi hT Vi , Vj i , hVi , CVj i = hVi , λj T Vj i = λj hVi , T Vj i . Так как матрицы C, T симметричные, отсюда получаем h T Vi , Vj i = h CVi , Vj i = 0 при i 6= j. Mатрицы C, T диагональны в базисе {V1 , V2 , V3 }, т.к. T V и C V – диагональны и T 2 = E. Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Пусть {V1 , V2 , V3 } – соответствующие собственные векторы, где V1 , V2 комплексно сопряжены: V1 = U + iV , V2 = U − iV и λ1,2 = α ± iβ. Тогда T C V1 = (α + iβ) V1 T C V2 = (α − iβ) V2 T C V3 = λ3 V3

T C (U + iV ) = (αU − βV ) + i (βU + αV ) T C (U − iV ) = (αU − βV ) − i (βU + αV ) T C V3 = λ3 V3 .

⇔

Следовательно, справедливы равенства: T C U = αU − βV, T C V = βU + αV, T C V3 = λ3 V3 ,

2

или (т.к. T = E)

C U = αT U − βT V, C V = βT U + αT V, C V3 = λ3 T V 3 .

Кроме того, аналогично вещественному случаю, выполняются равенства: h T U, V3 i = h T V, V3 i = 0,

h T U, U i + h T V, V i = 0.

Вектор V3 и пара векторов U, V определены с точностью до ненулевого множителя, поэтому можно считать, что h T V3 , V3 i = 1, Полагая h T U, U i = − cos(ϕ), h T сительно базиса {U, V, V3 }:  α −β  TC = β α 0 0

h T U, V i2 + h T U, U i2 = 1.

U, V i = sin(ϕ), получим матричные равенства отно 0 0 , λ3

  − cos(ϕ) sin(ϕ) 0 T =  sin(ϕ) cos(ϕ) 0 , 0 0 1

Матрица C в базисе {U, V, V3 } будет равна  − cos (φ) α + sin (φ) β cos (φ) β + sin (φ) α  C =  cos (φ) β + sin (φ) α − sin (φ) β + cos (φ) α 0

0 158

0



 0 . λ3

Возьмем в качестве матрицы перехода к новому базису матрицу   cos( ϕ2 ) sin( ϕ2 ) 0 A = − sin( ϕ2 ) cos( ϕ2 ) 0 , 0 0 1 в результате получим искомый вид матриц T , C. Рассмотрим случай вещественных корней характеристического уравнения. Пусть {E1 , E2 , E3 } - базис, удовлеворяющий теореме, тогда, применяя формулы (1)-(7) для вычисления тензора кривизны левоинвариантной метрики в построенном базисе, получим компоненты тензора Схоутена-Вейля: 1 1 1 1 1 1 SW132 = λ2 λ21 − λ22 λ3 − λ23 λ2 + λ21 λ3 + λ32 + λ33 − λ31 , 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 SW231 = − λ2 λ1 − λ2 λ3 + λ3 λ1 + λ1 λ3 + λ32 − λ33 − λ31 , 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 SW321 = − λ2 λ1 − λ2 λ21 + λ23 λ2 + λ23 λ1 + λ32 − λ33 + λ31 . 2 2 2 2 2 2 Квадрат длины тензора Схоутена-Вейля |SW |2 = SWijk SW ijk равен · ¸2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 1 2 2 2 3 ||SW || = − 3 λ2 λ3 − λ2 λ1 + λ3 λ2 − λ2 − λ3 + λ1 − λ1 λ3 − 2 2 2 2 2 2 £ ¤2 1 − (3λ23 + 2λ3 λ2 + 3λ22 − 2λ1 λ3 − 2λ1 λ2 − λ21 )(λ2 − λ3 ) . 4 Из равенства ||SW ||2 = 0 следует, что SWijk = 0. Действительно, равенство ||SW ||2 = 0 достигается только тогда, когда оба слагаемых левой части равны нулю одновременно. Заметим, что первое слагаемое равно квадрату компоненты SW132 , второе - квадрату суммы компонент SW231 и SW321 . Кроме того, легко проверить, что SW231 −SW321 = SW132 . Получаем, что с одной стороны SW231 +SW321 = 0, а с другой SW231 − SW321 = 0. Отсюда следует, что SWijk = 0. Поэтому в случае вещественных и различных корней характеристического уравнения не существует левоинвариантных лоренцевых метрик, для которых квадрат длины тензора Схоутена–Вейля равен нулю, а сам тензор не тривиален. Рассмотрим подробнее левоинваринтную лоренцеву метрику на 3-мерной унимодулярной группе в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Применяя формулы пункта 7 для вычисления тензора кривизны левоинвариантной метрики в построенном базисе, получим компоненты тензора кривизны: R2121 = λ3 α −

3 2 λ3 − β 2 , 4

1 R3131 = β 2 + λ23 , 4 R3132 = −βλ3 + 2αβ, 1 R3232 = −β 2 − λ23 , 4 Скалярная кривизна метрики будет равна Rs = −2 λ3 α + 159

1 2 λ3 − 2 β 2 , 2

а тензор Схоутена-Вейля в данном базисе имеет компоненты: 1 β (4 β 2 + 4 λ3 α + λ3 2 − 8 α2 ), 2 1 1 = 2 α β 2 − λ3 2 α + λ3 3 , 2 2 1 1 = −2 α β 2 + λ3 2 α − λ3 3 , 2 2 1 = β (4 λ3 α − 8 α2 + 4 β 2 + λ3 2 ), 2 = −4 α β 2 + λ3 2 α − λ3 3 .

SW131 = SW132 SW231 SW232 SW321

Квадрат длины тензора Схоутена-Вейля |SW |2 = SWijk SW ijk равен £ ¤2 ||SW ||2 =β 2 λ23 + 4λ3 α + 4β 2 − 8α2 − £ ¤2 − 3 λ33 − αλ23 + 4β 2 α . Выясним теперь, при каких значениях чисел α, β, λ3 компоненты тензора СхоутенаВейля отличны от нуля, а ||SW ||2 = 0. Эти значения будут соответствовать левоинвариантным лоренцевым метрикам, для которых квадрат длины тензора СхоутенаВейля равен нулю, а сам тензор не тривиален. Заметим, что число β отлично от нуля (т.к. β – коэффициент при мнимой части комплексного корня характеристического уравнения det(Tik C kj − λδij ) = 0). Рассмотрим следующие возможные случаи. 1. Пусть λ3 = 0, α = 0, тогда квадрат тензора Схоутена-Вейля будет равен: ||SW ||2 = 16β 6 . Очевидно, что при β 6= 0 квадрат тензора Схоутена–Вейля в нуль не обращается, поэтому в этом случае нет нужных метрик. 2. Пусть λ3 = 0, α 6= 0, тогда компоненты тензора Схоутена–Вейля и квадрат его длины равны: 1 1 β (4 β 2 − 8 α2 ), SW232 = β (−8α2 + 4 β 2 ), 2 2 = −2 α β 2 , SW132 = 2 α β 2 , SW321 = −4 α β 2 ,

SW131 = SW231

||SW ||2 = −112 α2 β 4 + 16 β 6 + 64 α4 β 2 . Нетрудно проверить, что в этом случае компоненты тензора Схоутена–Вейля одновременно в нуль не обращаются, значит любая пара чисел, удовлетворяющая уравнению ||SW ||2 = 0, дает нужные метрики. Множество решений уравнения ||SW ||2 = 0 представляет собой, координат α, β, четыре пересекающихся в точке (0,0) √ √ в системе 11 3 ± β. Учитывая ограничения на α, β, исключим из рассмотпрямые: α = ± 4 4 рения точку (0,0). Таким образом, существует бесконечно много левоинвариантных лоренцевых метрик с заданным свойством. Приведем, применяя пакет аналитических вычислений MAPLE, соответствующий рисунок. 160

α

β

3 4

_

11

4

α=

3 11 + 4 β 4

α=

β α= _ 11 _ 4

0 α=

_

4

Рис. 1.

3 4 β

11

+

3 4 β

√

√ 11 3 Точки рисунка 1, лежащие на прямых α = ± ± β (за исключением точки 4 4 (0,0)), соответствуют левоинвариантным лоренцевым метрикам, для которых ||SW ||2 = 0, а сам тензор не тривиален. 3. Пусть λ3 6= 0, α = 0, тогда компоненты тензора Схоутена-Вейля равны: 1 SW131 = β (4β 2 + λ3 2 ), 2 1 SW132 = λ3 3 , 2 1 SW232 = β (4 β 2 + λ3 2 ), 2 1 SW231 = − λ3 3 , 2 SW321 = −λ3 3 , ||SW ||2 = 16β 6 + 8β 4 λ23 + β 2 λ43 − 3λ63 . Можно проверить, что только при q √ 1 √ 2 √ 1 β (2053 + 216 82) 3 ((2053 + 216 82) 3 + 73 + (2053 + 216 82) 3 ) √ λ3 = ± 3 (2053 + 216 82)(1/3)

=k

λ3

λ3

β

квадрат длины тензора Схоутена–Вейля равен нулю, а его компоненты отличны от нуля. Приведем, применяя пакет аналитических вычислений MAPLE, соответствующий рисунок.

β

0

λ3 = −k β

Рис. 2. Точки рисунка 2, лежащие на прямых λ3 = ±k β (за исключением точки (0,0)), где q √ 1 √ 2 √ 1 (2053 + 216 82) 3 ((2053 + 216 82) 3 + 73 + (2053 + 216 82) 3 ) √ , k= 3 (2053 + 216 82)(1/3) 161

соответствуют левоинвариантным лоренцевым метрикам, для которых ||SW ||2 = 0, а сам тензор не тривиален. 4. Пусть λ3 6= 0, α 6= 0, тогда 1 β (4 β 2 + 4 λ3 α + λ3 2 − 8 α2 ), 2 1 1 SW132 = −SW321 = −2SW321 = 2 α β 2 − λ3 2 α + λ3 3 , 2 2 ¤2 ¤ £ 2 £ 3 2 2 2 2 2 ||SW || = β λ3 + 4λ3 α + 4β − 8α − 3 λ3 − αλ23 + 4β 2 α . √ Можно показать, что только при λ3 = ±2β/ 3 = −2α все компоненты тензора Схоутена–Вейля одновременно обращаются в нуль, в противном случае существует бесконечно много таких троек чисел λ3 , α, β, при которых компоненты тензора Схоутена–Вейля одновременно в нуль не обращаются, а квадрат его длины равен нулю. Приведем, применяя пакет аналитических вычислений MAPLE, соответствующий рисунок. SW131 = SW232 =

λ3 ||SW|| 2= 0

.

0

β

.

Q

P

SW 13 1

SW | |S

=0

132 =

0

2 0 || = W

Рис.3. Cечение искомого множества метрик плоскостью α = const. Точки P и Q, в которых одновременно пересекаются кривые SW132 = 0, SW131 = 0, ||SW ||2 = 0, дают пример метрик, для которых равенство нулю квадрата длины тензора Схоутена–Вейля влечет за собой равенство нулю всех его компонент, остальные точки компонент кривой ||SW ||2 = 0 дают пример левоинвариантных лоренцевых метрик с нулевым квадратом длины и ненулевыми компонентами тензора Схоутена–Вейля. Каждому набору чисел λ3 , α, β соответствует некоторая трехмерная унимодулярная алгебра Ли g группы Ли G. Осталось определить типы трехмерных унимодулярных групп Ли для тех значений λ3 , α, β, для которых существуют левоинвариантные лоренцевы метрики c указанным свойством. Для этого рассмотрим производную алгебры g: g 0 = R[E1 , E2 ] + R[E2 , E3 ] + R[E3 , E1 ]. Размерность производной может совпадать с размерностью алгебры g, может быть и меньше ее, что позволяет различать алгебры Ли. В случае 2 производная g 0 = R(αE1 + βE2 ) + R(βE1 − αE2 ) имеет размерность 2, и, согласно классификации, данной Дж.Милнором, существует две неизоморфных трехмерных унимодулярных алгебры Ли, удовлетворяющих этому случаю. Это компактная алгебра Ли, имеющая тип e(2) и некомпакная алгебра Ли, имеющая тип e(1, 1). Вычисляя форму Киллинга, находим, что на базисных векторах она имеет 162

вид:



 0 0 0 . 0 0 0 2 2 0 0 −2(α + β )

Так как форма Киллинга вырождена, то алгебра g – это некомпактная алгебра типа e(1, 1). В случаях 3, 4 производная имеет размерность 3, и, согласно [292], алгебра Ли g простая. Поэтому трехмерная унимодулярная группа Ли G – простая. Выясним компактность группы G. Матрица формы Киллинга алгебры g на базисных векторах имеет вид:   −2λα 2λβ 0  2λβ 2λα . 0 2 2 0 0 2(α + β ) Данная матрица приводится к диагональному виду:  2  2(α + β 2 ) 0 0 p  . 0 2λ α2 + β 2 p0 2 2 0 0 −2λ α + β Отсюда видно, что форма Киллинга не является знакоопределенной, поэтому группа G некомпактна с некомпактной алгеброй sl(2, R). Теорема 7.2.2. Пусть G – связная трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой имеющей нетривиальный тензор Схоутена –Вейля со свойством ||SW ||2 = 0, тогда алгебра Ли g группы Ли G изоморфна либо e(1, 1), либо sl(2, R). Замечание. Метрики, указанные в теореме, могут быть найдены из уравнений случаев 1–4.

7.3

Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли с изотропным тензором Схоутена-Вейля.

В силу замечания 7.2 для неунимодулярной алгебры Ли симметричный контрвариантный псевдотензор C = ||C ij || обязательно вырожденный, а ковектор a = (ai ) не нулевой. Лемма 7.3.1. Существует базис V1 , V2 , V3 алгебры Ли g в котором координаты C и ковектора a имеют вид:  11  C 0 0 C =  0 C 22 0 , a = (0, 0, 1), 0 0 0 где либо C 11 = C 22 = 0, либо C 11 = 1, C 22 = ρ, число ρ произвольное. Доказательство. С помощью ортогональной матрицы перехода A можно симметричную матрицу C привести к диагональному виду, так чтобы ковектор a имел 163

координаты a = (0, 0, a3 ), a3 6= 0. Тогда C 33 = 0. Применим теперь к этим тензорам преобразование координат с диагональной матрицей перехода вида     b1 0 0 1/b1 0 0 0 0  , b1 b2 b3 6= 0. B = ||Bii || =  0 b2 0  , A = ||Aii0 || =  0 1/b2 0 0 b3 0 0 1/b3 Согласно формулам преобразования (7.12) получим b1 b2 1 0 0 0 0 C 1 1 = C 11 , C 2 2 = C 22 , a30 = a3 , b2 b3 b1 b3 b3 11 Следовательно можно считать, что a3 = 1. Если оба числа C 6= 0, C 22 6= 0, то одно 11 22 0 0 0 0 из них C 1 1 можно сделать равным 1, а другое будет равно C 2 2 = ρ = C aC2 . Если 3 лишь одно из чисел C 11 , C 22 не равно нулю, то его можно считать равным 1. Замечание. Линейный оператор adV3 : V → [V3 , V ] переводит подпространство V1 , V2 в себя и матрица его в построенном базисе имеет вид · ¸ · ¸ 1 ρ 1 0 I) , либо II) . −1 1 0 1 Подалгебра {V1 , V2 } есть коммутативный идеал алгебры Ли, заметим также, что базисный вектор V3 определен равенством a(V3 ) = 1 с точностью до линейной комбинации векторов V1 , V2 . Соответствующая матрица C˜ из (7.11) будет иметь вид     1 1 0 0 1 0 C˜ = −1 ρ 0 , либо C˜ = −1 0 0 . 0 0 0 0 0 0 Алгебры I) отвечающие различным значениям ρ неизоморфны друг другу, и не изоморфны алгебре типа II), коммутатор [g, g] ⊆ {V1 , V2 } и dim[g, g] = 1 при ρ = −1. Замечание. Плоскость π = V1 ∧ V2 есть нулевое подпространство ковектора a и пересекает изотропный конус либо по вершине, либо касается конуса по прямой, либо пересекает по паре прямых. В зависимости от этого сужение скалярного произведения на плоскость π: А)– положительно определено, B)– неотрицательно определено, C) – знако-неопределено и невырождено.

Рис. 4. Теорема 7.3.1 (Случай А). Существует ортонормированный базис E1 , E2 , E3 от˜ T соответственносительно скалярного произведения h·, ·i в котором матрицы C, но     cos(φ)λ sin(φ)µ 0 1 0 0 C˜ = − sin(φ)λ cos(φ)µ 0 , T = 0 1 0  . 0 0 0 0 0 −1 164

Доказательство. Путем ортогонализации базиса {V1 , V2 , V3 } перейдем к ортонормированному базису {E1 , E2 , E3 },      10 B1 0 0 V1 E1 V2  = B210 B220 0  E2  . 0 0 0 V3 E3 B31 B32 B33 При этом коэффициенты тензоров C˜ и станут  11 C˜ C˜ 12 C˜ = C˜ 21 C˜ 22 0 0

и T преобразуются по формулам (7.12), (7.13)  0 0 , 0



 1 0 0 T = 0 1 0  . 0 0 −1

В случае I) получим; · 11 ¸ ρ+1 C˜ C˜ 12 , det ˜ 21 ˜ 22 = 0 C C (B33 )2

2 C˜ 12 − C˜ 21 = 30 B3

В случае II) получим; C˜ 11 = C˜ 22 = 0,

1 C˜ 12 = 30 , B3

1 C˜ 21 = − 30 B3

Любую квадратную матрицу L можно представить как композицию L = Q1 DQ2 ортогональных матриц Q1 , Q2 и диагональной D, следовательно существует ортонормированный базис {E1 , E2 } плоскости π такой, что   cos(φ)λ sin(φ)µ 0 C˜ = − sin(φ)λ cos(φ)µ 0 . 0 0 0 ˜ C˜ 11 + C˜ 22 , C˜ 12 − C˜ 21 являются инвариантами при ортогональном Величины det C, преобразовании базиса {E1 , E2 }. Следовательно, в случае I) получим; λµ =

ρ+1 , 0 (B33 )2

sin(φ)(λ + µ) =

2 4λµ ⇒ = ρ + 1. 2 30 B3 sin (φ)(λ + µ)2

В случае II) получим; λµ =

1 , 0 (B33 )2

cos(φ)(λ + µ) = 0,

sin(φ)(λ + µ) =

2 0 ⇒ cos(φ) = 0, B33

λ = µ.

˜ Теорема 7.3.2 (Случай B). Существует базис E1 , E2 , E3 в котором матрицы C, T соответственно     p q 0 0 0 −1 C˜ =  t s 0 , T =  0 1 0  , 0 0 0 −1 0 0 где q 6= t. Доказательство. Пусть вектор E1 направлен вдоль луча по которому касается плоскость π изотропного конуса, вектор E2 единичной длины лежит в плоскости π, 165

тогда вектор E3 определен однозначно видом матрица T . Матрица перехода от базиса {V1 , V2 , V3 } к базису {E1 , E2 , E3 } имеет вид      10 0 0 B1 B12 V1 E1 V2  = B210 B220 0  E2  . 0 0 0 V3 E3 B31 B32 B33 При этом коэффициенты тензоров C˜ и станут  11 C˜ 12 C˜ 21 C˜ = C˜ C˜ 22 0 0

и T преобразуются по формулам (7.12), (7.13) 

 0 0 −1 T =  0 1 0 . −1 0 0

 0 0 , 0

Как и в теореме А) получим в случае I); · 11 ¸ ρ+1 C˜ C˜ 12 det ˜ 21 ˜ 22 = , 0 C C (B33 )2

2 C˜ 12 − C˜ 21 = 30 B3

В случае II) получим; 1 C˜ 12 = 30 , B3

C˜ 11 = C˜ 22 = 0,

1 C˜ 21 = − 30 B3

Следовательно, в случае I) получим; ps − qt =

ρ+1 , 0 (B33 )2

q−t=

2 4(ps − qt) ⇒ = ρ + 1. 30 (q − t)2 B3

В случае II) получим; ps − qt =

1 , 0 (B33 )2

p + s = 0,

t−q =

2 0 ⇒ p = −s, B33

s2 +

t2 + q 2 = 0. 4

0

Так как B33 6= 0, то случай II) для B) невозможен. Теорема 7.3.3 (Случай C). Существует базис рицы C, T соответственно    p q 0 p q 1) C˜ = s −p 0 , 2) C˜ = −q r 0 0 0 0 0

E1 , E2 , E3 в котором векторы мат 0 0 , 0

  1 0 0 T = 0 −1 0 . 0 0 1

Доказательство. Перейдем от базиса {V1 , V2 , V3 } к ортонормированному базису {E1 , E2 , E3 }, так чтобы матрица перехода от базиса {V1 , V2 , V3 } к базису {E1 , E2 , E3 } имела вид      10 0 B1 B12 0 V1 E1 V2  = B210 B220 0  E2  . 0 0 0 V3 E3 B31 B32 B33 При этом коэффициенты тензоров и станут  1 0  T = 0 −1 0 0

C˜ и T преобразуются по формулам (7.12), (7.13)  0 0 , 1

 C˜ 11 C˜ 12 0 C˜ = C˜ 21 C˜ 22 0 . 0 0 0 

166

Как и в теореме А) получим в случае I); · 11 ¸ ρ+1 C˜ C˜ 12 det ˜ 21 ˜ 22 = , 0 C C (B33 )2

2 C˜ 12 − C˜ 21 = 30 B3

В случае II) получим; C˜ 11 = C˜ 22 = 0,

1 C˜ 12 = 30 , B3

1 C˜ 21 = − 30 B3

При переходе к другому ортонормированному базису {E1 , E2 } плоскости π = E1 ∧ E2 коэффициенты C˜ ij меняются по закону ¸ · 11 ¸ · ¸ · cosh(φ) sinh(φ) cosh(φ) sinh(φ) C˜ C˜ 12 0 ˜ · ˜ 21 ˜ 22 · C = sinh(φ) cosh(φ) sinh(φ) cosh(φ) C C ˜ C˜ 11 − C˜ 22 , C˜ 12 − C˜ 21 являются инвариантами. Если При этом величины det C, (C˜ 21 + C˜ 12 )2 − (C˜ 11 + C˜ 22 )2 = (C˜ 21 − C˜ 21 )2 − (C˜ 11 − C˜ 22 )2 − 4 det C˜ < 0 то выбором базиса E1 , E2 матрица C˜ приводится к виду 1) в противном случае к виду 2). В случаях 1), I) из инвариантности имеем; −p2 − qs =

ρ+1 , 0 (B33 )2

q−s=

2 4(p2 + sq) =ρ+1 ⇒ − 0 (q − s)2 B33

В случаях 1), II) получим; −p2 − qs =

ρ+1 , 0 (B33 )2

2p = 0,

q−s=

2 0 ⇒ p = 0, q = −s. B33

Другие 2 подслучая 2), I-II) разбираются аналогично. Рассмотрим последовательно как ведут себя компоненты тензора Схоутена–Вейля и квадрат его длины в случаях A),B),C). A) В этом случае компоненты тензора Схоутена–Вейля и квадрат его нормы равны: SW131 = −SW232 = −1/2 sin(φ)(3λ3 cos(φ)2 + 3λ2 cos(φ)2 µ− − 3λ cos(φ)2 µ2 + 2µ2 λ − 2λ2 µ − 3 cos(φ)2 µ3 ), SW132 = −1/2 cos(φ)(−4λ2 µ + 3λ2 cos(φ)2 µ − λ3 + 3λ3 cos(φ)2 − − 3 cos(φ)2 µ3 − 3λ cos(φ)2 µ2 + 3µ2 λ + 2µ3 ), SW231 = −1/2 cos(φ)(3λ3 cos(φ)2 − 3 cos(φ)2 µ3 + µ3 − 3λ cos(φ)2 µ2 − − 3λ2 µ + 4µ2 λ + 3λ2 cos(φ)2 µ − 2λ3 ), SW321 = 1/2 cos(φ)(−λ2 µ + λ3 + µ3 − µ2 λ), £ ¤ ||SW ||2 = −(µ − λ)2 3 cos(φ)2 (µ + λ)2 (µ2 − µλ + λ2 ) + 4µ2 λ2 . Очевидно, что при λ = µ все компоненты тензора и квадрат его длины обращаются в нуль. При других значениях λ, φ, µ не существует левоинвариантных лоренцевых метрик с ненулевыми компонентами тензора Схоутена–Вейля, для которых ||SW ||2 = 0. Действительно, решим уравнение ||SW ||2 /(λ − µ) = 0 относительно переменной cos(φ)2 : 4λ2 µ2 2 cos(φ) = − . 3(λ4 + µλ3 + µ3 λ + µ4 ) 167

Получаем, что cos(φ)2 равен неположительному числу. Это равенство возможно только в том случае, когда либо λ = 0, либо µ = 0, но тогда все компоненты тензора Схоутена–Вейля обращаются в нуль. В) В базисе, указанном в этом случае, компоненты тензора Схоутена–Вейля и квадрат его нормы равны: SW231 = 2SW132 = 2SW321 = s3 , SW232 = SW331 = −3/2qs2 , SW332 = 3/2q 2 s − 1/2s2 p + 3/2qs, ||SW ||2 = −3s6 . Видим, что квадрат длины тензора Схоутена–Вейля равен нулю тогда и только тогда, когда s = 0. Отсюда следует, что все компоненты тензора нулевые. С) В подслучае 1) компоненты тензора Схоутена–Вейля и квадрат его нормы равны: SW131 = −sq 2 − s2 q + 2p2 q + 2p2 s, SW132 = 2pq 2 + qps − ps2 , SW231 = −qps − 2ps2 + pq 2 , SW232 = −sq 2 − s2 q + 2p2 q + 2p2 s, SW321 = −2qps − ps2 − pq 2 , ||SW ||2 = 4(q + s)2 (4p4 + (−3s2 − sq − 3q 2 )p2 + s2 q 2 ). Если

q p=±

√ p 6 q 2 + 2 q s + 6 s2 ± 2 3 (3 s2 + 5 q s + 3 q 2 ) (s2 − q s + q 2 ) 4

,

то ||SW ||2 = 0. При этом не все компоненты тензора Схоутена–Вейля обращаются в нуль. В качестве "живого" примера можно рассмотреть значения s √ 7 ± 33 p=± , s = q = 1, 8 Имеем: ||SW ||2 = 0, SWijk 6= 0. Более того, применяя пакет аналитических вычислений MAPLE, нетрудно построить чертеж для искомых метрик. q SW131=0 |

2

|| | SW

=0

SW231=0 SW132=0

0

p SW231=0

||SW|| 2 =0

Рис. 5. Cечение искомого множества метрик плоскостью s = const. 168

Мы видим, что нет точек, через которые проходят все кривые одновременно. Поэтому любая точка, принадлежащая кривой ||SW ||2 = 0, дает пример левоинвариантной лоренцевой метрики на неунимодулярной группе Ли, для которой квадрат длины тензора Схоутена–Вейля равен нулю, а его компоненты отличны от нуля. В подслучае 2) компоненты тензора Схоутена–Вейля и квадрат его нормы, равны: 3 (r + p) (r2 − p r + 2 p2 ) SW132 = 2 3 c (r − p) (r + p) SW131 = 2 (r + p) (2 r2 − p r + 2 c2 + p2 ) SW231 = − 2 (r − p) (r + p)2 SW321 = − 2 ||SW ||2 = −4 (r + p)2 c4 + (r + p)2 (3 r2 − 14 p r + 3 p2 ) c2 − − (r + p)2 (3 r4 − 3 r3 p + 4 r2 p2 − 3 p3 r + 3 p4 ) Очевидно, что при r = −p все SWijk и ||SW ||2 равны нулю. Несложно проверить, что при q p ±2 −39r4 − 36r3 p + 150r2 p2 − 36p3 r2 − 39p4 + 6r2 − 28pr + 6p2 c=± 4 2 ||SW || = 0, а компоненты тензора Схоутена–Вейля в нуль не обращаются. Поэтому любой набор чисел p, r, c, удовлетворяющий этому выражению дает пример искомой метрики. Применяя, как и ранее, пакет аналитических вычислений MAPLE, нетрудно построить чертеж для искомых метрик.

r SW131=0

SW131=0

SW321=0

0

c

SW231=0 ||SW|| 2 =0

||SW|| 2 =0

Рис. 6. Cечение искомого множества метрик плоскостью p = const. Точки, принадлежащие кривой ||SW ||2 = 0, дают пример левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерной неунимодулярной группе Ли, для которых квадрат длины тензора Схоутена–Вейля равен нулю, а его компоненты отличны от нуля. Из вышеизложенного следует Теорема 7.3.4. Пусть G – связная трехмерная неунимодулярная группа Ли. В случаях А) и B) из равенства ||SW ||2 = 0 следует, что все компоненты тензора Схоутена-Вейля равны нулю. В случае С) существует бесконечно много левоинвариантных лоренцевых метрик на группе Ли G, для которых ||SW ||2 = 0, а тензор Схоутена-Вейля ненулевой. 169

7.4

Левоинвариантные лоренцевы метрики на группе Z(4)

Пусть G – группа Z(4) размерности 6, т.е. матричная группа вида    1 0 0 0        a 1 0 0 2,1  : ai,j ∈ R . G=   a3,1 a3,2 1 0       a  a a 1 4,1

4,2

Алгебра Ли g группы G есть матричная  0 0    h2,1 0 g=   h3,1 h3,2    h h 4,1

Выберем базис g  0  0 E1 =   0 1  0  1 E4 =   0 0

4,2

4,3

алгебра Ли вида   0 0     0 0  :h ∈R . 0 0  i,j    h4,3 0

следующим образом     0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 0   , E2 =     1 0 0 0  , E3 =  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0     0 0 0 0 0 0 0 0     0 0 0 0  0 0 0   0 , E5 =   0 1 0 0  , E6 =  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

 0 0   0  0  0 0  . 0  0

Известно, что центр этой алгебры порождается вектором E1 , т.е Z(g) = {h ∈ g : ∀r ∈ g [h, g] = 0} = {E1 } . Пусть на алгебре g задана лоренцева метрика, т.е. скалярное произведение h·, ·i сигнатуры 1. Множество времяподобных векторов (направленных в будущее) образует открытый выпуклый конус C + ⊂ g. Определение 7.4.1. Будем говорить, что левоинвариантная лоренцева метрика на нильпотентной группе принадлежит классу C + , если центр соответствующей алгебры Ли строго лежит в изотропном конусе метрики. Теорема 7.4.1. Пусть на группе G задана левоинвариантная лоренцева метрика класса C + , тогда существует ортонормированный базис {V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 } такой, что hV1 , V1 i = −1, hV2 , V2 i = hV3 , V3 i = . . . = hV6 , V6 i = 1, hVi , Vj i = 0, i 6= j, причем Vi ∈ {E1 , . . . , Ei } , i = 1, 2, . . . , 6. Доказательство. Построим искомый базис путем ортогонализации Грамма-Шмидта системы векторов {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 } относительно скалярного произведения, соответствующего лоренцевой метрике. По индукции строится {U1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 } – 170

ортогональная система векторов такая, что U1 U2 U3 ... U6

= = = = =

E1 , E2 + x2,1 U1 , E3 + x3,1 U1 + x3,2 U2 , ... E6 + x6,1 U1 + x6,2 U2 + x6,3 U3 + x6,4 U4 + x6,5 U5 .

Этот алгоритм пройдет, если на каждом шаге вектор Ui не будет получаться изотропным. Справедливы равенства: hU1 , U1 i = hE1 , E1 i , hE1 ∧ E2 , E1 ∧ E2 i hU2 , U2 i = , hE1 , E1 i hE1 ∧ E2 ∧ E3 , E1 ∧ E2 ∧ E3 i hU3 , U3 i = , hE1 ∧ E2 , E1 ∧ E2 i ... = ..., где hE1 ∧ . . . ∧ Ei , E1 ∧ . . . ∧ Ei i – определитель Грамма системы векторов {E1 , . . . , Ei } . Плоскость, натянутая на векторы {E1 , . . . , Ei } , имеет размерность i и трансверсально пересекает конус C + (не касается его), поэтому для любого i > 1 имеем: hE1 ∧ . . . ∧ Ei , E1 ∧ . . . ∧ Ei i < 0. Действительно, равенство нулю этого определителя означало бы, что сужение скалярного произведения h·, ·i на плоскость {E1 , . . . , Ei } вырождено, т.е. существовал бы вектор u ∈ {E1 , . . . , Ei } такой, что hu, wi = 0, ∀w ∈ {E1 , . . . , Ei } , следовательно, hu, ui = 0, а {E1 , . . . , Ei } содержалось бы в касательной плоскости к изотропному конусу в точке u – противоречие. Теорема 7.4.2. Пусть {V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 } – ортонормированный базис, построенный согласно предыдущей теореме. Тогда справедливы равенства: [V1 , Vi ] [V2 , V6 ] [V3 , V4 ] [V4 , V5 ] [V5 , V6 ]

= = = = =

0, ∀ i ∈ {1, . . . , 6}, µ1 V1 , [V2 , Vi ] = 0, ∀ i ∈ {3, . . . , 5}, µ2 V1 , [V3 , V5 ] = µ3 V1 , [V3 , V6 ] = µ4 V1 , µ5 V1 + µ6 V2 , [V4 , V6 ] = µ7 V1 + µ8 V2 , µ9 V1 + µ10 V2 + µ11 V3 ,

(7.15)

где µi ∈ R, i = 1, . . . , 11, структурные константы алгебры Ли. Обратно, если дано векторное пространство размерности 6 и для базисных векторов определена скобка Ли с помощью указанных формул, то при условии µ1 µ6 + µ2 µ11 = 0, µ1 6= 0, µ2 6= 0, µ6 6= 0, эта алгебра изоморфна алгебре g = z(4). 171

(7.16)

Доказательство. Из построения базиса {V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 } следует, что V1 V2 V3 V4 V5 V6

= = = = = =

b1,1 E1 , b2,1 E1 + b2,2 E2 , b3,1 E1 + b3,2 E2 + b3,3 E3 , b4,1 E1 + b4,2 E2 + b4,3 E3 + b4,4 E4 , b5,1 E1 + b5,2 E2 + b5,3 E3 + b5,4 E4 + b5,5 E5 , b6,1 E1 + b6,2 E2 + b6,3 E3 + b6,4 E4 + b6,5 E5 + b6,6 E6 ,

где b1,1 , b2,2 , b3,3 , b4,4 , b5,5 , b6,6 отличны от нуля. Отсюда непосредственным вычислением получаем искомые равенства, причем:

µ9 =

µ1 = − b2,2b1,1b6,6 , b b µ3 = 3,3b1,15,4 , b4,4 b2, 1 5,3 b4, 4 µ5 = b4,3 b5,4b−b + b5,5b1,1 , b2,2 1,1 b4,3 b6,4 −b6,3 b4,4 −b6,6 b4,2 b6,5 b4, 4 b2,1 µ7 = + b1,1 b2,2 , b1,1 b5,5 b6,4 −b6,5 b5,4 b6,6 b5,5 b3,2 µ10 = + b3,3 b2, 2 , b2,2

µ2 = b3,3b1,1b4,4 , b b −b b µ4 = 3,3 6,4b1,1 6,6 3,2 , µ6 = − b5,b52,2b4,4 , µ8 = − b6,5b2,2b4,4 , b b5,5 µ11 = − 6,6 , b3,3

b5,3 b6,4 −b6,3 b5, 4 −b6,6 b5,2 b1,1

−

−

(b5, 5 b6,4 −b6,5 b5,4 ) b2,1 b1, 1 b2,2

b6,6 b5,5 (−b2, 2 b3,1 +b3,2 b2,1 ) . b1,1 b3, 3 b2,2

Обратно, решая данную систему уравнений относительно {bi,j : j ≤ i ≤ 6}, получим, что данная система, при условии (7.16) всегда имеет решение, у которого b1,1 , b2,2 , b3,3 , b4,4 , b5,5 , b6,6 отличны от нуля, а именно: b1,1 = 1,

µ5 , b2,2 = 1, µ6 µ2 (µ10 µ5 − µ9 µ6 ) −µ3 µ8 + µ6 µ4 + µ2 µ10 = − , b3,2 = , b3,3 = 1, 2 µ6 µ1 2µ1 µ6 −µ8 µ5 + µ7 µ6 = , b4,3 = 0, b4,4 = µ2 , µ1 µ6 µ6 = 0, b5,3 = 0, b5,4 = µ3 , b5,5 = − , µ2 −µ3 µ8 − µ6 µ4 + µ2 µ10 µ8 = 0, b6,4 = − , b6,5 = − , b6,6 = −µ1 , 2µ6 µ2

b2,1 = − b3,1 b4,2 b5,2 b6,3

b4,1 , b5,1 , b6,1 , b6,2 принимают произвольные значения. Замечание. Нетрудно проверить, что при любом выборе констант µi , i = 1, . . . , 11 формулы (7.15) определяют 6-мерную алгебру Ли, в том и только в том случае, если выполняется требование (тождество Якоби), µ1 µ6 + µ2 µ11 = 0,

(7.17)

Алгебры Ли заданные формулами (7.15), без требования µ1 6= 0, µ2 6= 0, µ6 6= 0 будем называть 6-мерными W - алгебрами. В дальнейшем всегда предполагается выполнение равенства (7.17). Замечание. В условиях теоремы 1 множество левоинвариантных лоренцевых метрик на 6 – мерной группе G = Z(4) представляет собой не более чем 10 параметрическое семейство метрик. Используя теорему 7.1.1, нетрудно установить, что размерность в точности равна 10. 172

Теорема 7.4.3. Алгебра Ли группы изотропии Aut(g, h·, ·i) 6-мерной метрической W - алгебры Ли {g, [·, ·], h·, ·i} в общем положении тривиальна, а число модулей соответственно равно 5∗4 − 0 = 10. 2 Применяя формулы Милнора [292] для вычисления тензора кривизны левоинвариантной лоренцевой метрики в построенном базисе (при этом должно выполняться (7.17)), а также пакет аналитических вычислений MAPLE, получим компоненты тензора кривизны: R2121 R3131 R4131 R4141 R4241 R4321 R5121 R5132 R5142 R5151 R5231 R5242 R5251 R5321 R5343 R5352 R5421 R5432 R5453 R6131 R6141 R6143 R6152 R6161 R6242 R6251 R6253 R6261 R6321 R6342 R6352 R6354 R6362 R6421 R6432 R6451 R6453 R6461 R6463 R6521 R6541 R6543

= 1/4 µ1 2 , = 1/4 µ2 2 + 1/4 µ3 2 + 1/4 µ4 2 , = 1/4 µ3 µ5 + 1/4 µ4 µ7 , = 1/4 µ2 2 + 1/4 µ5 2 + 1/4 µ7 2 , = −1/4 µ6 µ5 − 1/4 µ8 µ7 , = 1/4 µ3 µ6 + 1/4 µ4 µ8 , = 1/4 µ1 µ9 , = 1/4 µ2 µ6 − 1/4 µ4 µ10 + 1/4 µ1 µ11 , = −1/4 µ7 µ10 , = 1/4 µ3 2 + 1/4 µ5 2 + 1/4 µ9 2 , = 1/4 µ1 µ11 , = 1/4 µ8 µ10 , = −1/4 µ6 µ5 − 1/4 µ10 µ9 , = −1/4 µ2 µ6 + 1/4 µ4 µ10 , = 3/4 µ2 µ3 , = 1/4 µ11 µ10 , = −1/4 µ8 µ9 + 1/4 µ7 µ10 , = −1/4 µ8 µ11 , = 3/4 µ3 µ5 , = −1/4 µ2 µ7 − 1/4 µ3 µ9 , = 1/4 µ2 µ4 − 1/4 µ5 µ9 , = 1/4 µ5 µ11 , = −1/4 µ5 µ8 , = 1/4 µ1 2 + 1/4 µ4 2 + 1/4 µ7 2 + 1/4 µ9 2 , = −1/4 µ6 µ10 , = −1/4 µ6 µ7 , = 1/2 µ3 µ1 , = −1/4 µ8 µ7 − 1/4 µ10 µ9 , = −1/4 µ2 µ8 − 1/4 µ3 µ10 , = 1/4 µ2 µ1 , = 1/4 µ3 µ1 , = 1/2 µ5 µ4 + 1/4 µ3 µ7 − 1/4 µ2 µ9 , = 3/4 µ1 µ4 + 1/4 µ11 µ10 , = 1/4 µ6 µ9 − 1/4 µ5 µ10 , = −1/4 µ2 µ1 + 1/4 µ6 µ11 , = −1/4 µ2 µ11 − 1/4 µ6 µ1 , = 1/2 µ3 µ7 + 1/4 µ5 µ4 + 1/4 µ2 µ9 , = 1/4 µ1 µ8 , = 3/4 µ4 µ7 , = −1/4 µ6 µ7 + 1/4 µ5 µ8 , = 1/2 µ2 µ11 + 1/4 µ6 µ1 , = 1/2 µ2 µ9 − 1/4 µ5 µ4 + 1/4 µ3 µ7 , 173

R3121 R4121 R4132 R4221 R4242 R4343 R5131 R5141 R5143 R5221 R5241 R5243 R5252 R5331 R5351 R5353 R5431 R5443 R5454 R6132 R6142 R6151 R6154 R6241 R6243 R6252 R6254 R6262 R6331 R6343 R6353 R6361 R6363 R6431 R6443 R6452 R6454 R6462 R6464 R6532 R6542 R6551

= 1/4 µ1 µ4 , = 1/4 µ1 µ7 , = −1/4 µ3 µ6 − 1/4 µ4 µ8 , = 1/4 µ1 µ8 , = 1/4 µ6 2 + 1/4 µ8 2 , = 3/4 µ2 2 , = −1/4 µ2 µ5 + 1/4 µ4 µ9 , = 1/4 µ2 µ3 + 1/4 µ7 µ9 , = −1/4 µ7 µ11 , = 1/4 µ1 µ10 , = −1/4 µ8 µ9 , = 1/4 µ8 µ11 , = 1/4 µ6 2 + 1/4 µ10 2 , = 1/4 µ4 µ11 , = −1/4 µ11 µ9 , = 3/4 µ3 2 + 1/4 µ11 2 , = 1/4 µ7 µ11 , = 3/4 µ2 µ5 , = 3/4 µ5 2 − 3/4 µ6 2 , = 1/4 µ2 µ8 + 1/4 µ3 µ10 , = 1/4 µ5 µ10 , = 1/4 µ3 µ4 + 1/4 µ5 µ7 , = −1/4 µ2 µ11 , = 1/4 µ6 µ9 , = 1/2 µ2 µ1 − 1/4 µ6 µ11 , = 1/4 µ6 µ8 , = 1/2 µ5 µ1 , = 3/4 µ1 2 + 1/4 µ8 2 + 1/4 µ10 2 , = −1/4 µ3 µ11 , = 3/4 µ2 µ4 , = 3/4 µ3 µ4 , = −1/4 µ11 µ9 , = 3/4 µ4 2 + 1/4 µ11 2 , = −1/4 µ5 µ11 , = 3/4 µ2 µ7 , = 1/4 µ5 µ1 , = 3/4 µ5 µ7 − 3/4 µ6 µ8 , = 3/4 µ1 µ7 , = 3/4 µ7 2 − 3/4 µ8 2 , = −1/4 µ3 µ1 , = −1/4 µ5 µ1 , = 1/4 µ3 µ11 ,

R6553 R6561 R6563 R6565

= 3/4 µ3 µ9 , = 1/4 µ1 µ10 + 1/4 µ4 µ11 , = 3/4 µ4 µ9 , = 3/4 µ9 2 − 3/4 µ10 2 − 3/4 µ11 2 .

R6554 = 3/4 µ5 µ9 − 3/4 µ6 µ10 , R6562 = 3/4 µ1 µ9 , R6564 = 3/4 µ7 µ9 − 3/4 µ8 µ10 ,

Аналогично, применяя формулы Милнора для вычисления тензора Риччи в построенном базисе, получим: 1 1 1 1 1 1 1 Rc11 = − µ1 2 − µ2 2 − µ3 2 − µ4 2 − µ5 2 − µ7 2 − µ9 2 , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Rc3 = µ11 µ9 , 2 1 1 1 1 2 Rc2 = µ1 2 + µ6 2 + µ8 2 + µ10 2 , 2 2 2 2 1 1 1 1 Rc2 = µ6 µ5 + µ8 µ7 + µ10 µ9 , 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 Rc3 = µ2 + µ3 + µ4 + µ11 , 2 2 2 2 1 1 2 Rc3 = µ1 µ4 + µ11 µ10 , 2 2 1 2 Rc4 = µ1 µ7 , 2 1 2 Rc5 = µ1 µ9 , 2 1 1 3 Rc4 = µ3 µ5 + µ4 µ7 , 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 Rc4 = µ2 + µ5 + µ7 − µ6 − µ8 , 2 2 2 2 2 1 1 3 Rc5 = − µ2 µ5 + µ4 µ9 , 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 Rc5 = µ3 + µ5 + µ9 − µ6 − µ10 − µ11 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 Rc5 = µ2 µ3 + µ7 µ9 − µ8 µ10 , 2 2 2 1 1 3 Rc6 = − µ2 µ7 − µ3 µ9 , 2 2 1 1 1 4 Rc6 = µ2 µ4 − µ5 µ9 + µ6 µ10 , 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 Rc6 = µ1 + µ4 + µ7 + µ9 − µ8 − µ10 − µ11 , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 Rc6 = µ3 µ4 + µ5 µ7 − µ6 µ8 . 2 2 2 Скалярная кривизна метрики будет равна Rs =

¢ 1¡ 2 µ5 + µ7 2 + µ1 2 − µ6 2 − µ8 2 − µ11 2 − µ10 2 + µ9 2 + µ2 2 + µ3 2 + µ4 2 . 2

Тензор Вейля в данном базисе имеет компоненты (в порядке их усложнения): W3121 = 3/8µ1 µ4 + 1/8µ11 µ10 , W4121 = 3/8µ1 µ7 ,

W3221 = −1/8µ11 µ9 , W4131 = 3/8µ3 µ5 + 3/8µ4 µ7 , 174

W4132 W4232 W4332 W4342 W5131 W5143 W5231 W5241 W5321 W5332 W5352 W5431 W5442 W5452 W6131 W6142 W6152 W6232 W6243 W6253 W6321 W6342 W6361 W6431 W6443 W6452 W6462 W6532 W6551 W6563 W6561 W6541 W3231 W5132 W5242 W5343 W6151 W6252 W6343 W6354 W6454 W6554

= −1/4µ3 µ6 − 1/4µ4 µ8 , = −1/8µ3 µ5 − 1/8µ4 µ7 , = 1/8µ1 µ7 , = −1/8µ1 µ4 − 1/8µ11 µ10 , = −3/8µ2 µ5 + 3/8µ4 µ9 , = −1/4µ7 µ11 , = 1/4µ1 µ11 , = −1/4µ8 µ9 , = −1/4µ2 µ6 + 1/4µ4 µ10 , = 1/8µ1 µ9 , = 1/8µ11 µ10 − 1/8µ1 µ4 , = 1/4µ7 µ11 , = 1/8µ1 µ9 , = −1/8µ1 µ7 , = −3/8µ2 µ7 − 3/8µ3 µ9 , = 1/4µ5 µ10 , = −1/4µ5 µ8 , = 1/8µ2 µ7 + 1/8µ3 µ9 , = 1/2µ2 µ1 − 1/4µ6 µ11 , = 1/2µ3 µ1 , = −1/4µ2 µ8 − 1/4µ3 µ10 , = 1/4µ2 µ1 , = −1/8µ11 µ9 , = −1/4µ5 µ11 , = 5/8µ2 µ7 − 1/8µ3 µ9 , = 1/4µ5 µ1 , = 5/8µ1 µ7 , = −1/4µ3 µ1 , = 1/4µ3 µ11 , = 5/8µ4 µ9 + 1/8µ2 µ5 , = 1/4µ1 µ10 + 1/4µ4 µ11 , = 1/2µ2 µ11 + 1/4µ6 µ1 , = 1/8 (µ6 µ5 + µ8 µ7 + µ10 µ9 ), = 1/4 (µ2 µ6 − µ4 µ10 + µ1 µ11 ), = 1/8 (3µ10 µ8 − µ2 µ3 − µ7 µ9 ), = 1/8 (5µ2 µ3 − µ7 µ9 + µ10 µ8 ), = 1/8 (3µ3 µ4 + 3µ5 µ7 − µ6 µ8 ), = 1/8 (3µ6 µ8 − µ3 µ4 − µ5 µ7 ), = 1/8 (5µ2 µ4 + µ5 µ9 − µ10 µ6 ), = 1/4 (2µ5 µ4 + µ3 µ7 − µ2 µ9 ), = 1/8 (5µ5 µ7 − 5µ6 µ8 − µ3 µ4 ), = 1/8 (5µ5 µ9 − 5µ10 µ6 + µ2 µ4 ),

W4221 W4321 W4341 W5121 W5142 W5221 W5232 W5243 W5331 W5351 W5421 W5432 W5443 W5453 W6132 W6143 W6154 W6241 W6251 W6254 W6331 W6352 W6421 W6432 W6451 W6461 W6463 W6542 W6562 W6553 W6521 W6362 W4241 W5141 W5251 W6141 W6242 W6261 W6353 W6453 W6543 W6564 175

= 1/4µ1 µ8 , = 1/4µ3 µ6 + 1/4µ4 µ8 , = 1/8µ11 µ9 , = 3/8µ1 µ9 , = −1/4µ7 µ10 , = 1/4µ1 µ10 , = 1/8µ2 µ5 − 1/8µ4 µ9 , = 1/4µ8 µ11 , = 1/4µ4 µ11 , = −1/8µ11 µ9 , = −1/4µ8 µ9 + 1/4µ7 µ10 , = −1/4µ8 µ11 , = 5/8µ2 µ5 + 1/8µ4 µ9 , = 5/8µ3 µ5 − 1/8µ4 µ7 , = 1/4µ2 µ8 + 1/4µ3 µ10 , = 1/4µ5 µ11 , = −1/4µ2 µ11 , = 1/4µ6 µ9 , = −1/4µ6 µ7 , = 1/2µ5 µ1 , = −1/4µ3 µ11 , = 1/4µ3 µ1 , = 1/4µ6 µ9 − 1/4µ5 µ10 , = −1/4µ2 µ1 + 1/4µ6 µ11 , = −1/4µ2 µ11 − 1/4µ6 µ1 , = 1/4µ1 µ8 , = 5/8µ4 µ7 − 1/8µ3 µ5 , = −1/4µ5 µ1 , = 5/8µ1 µ9 , = 5/8µ3 µ9 − 1/8µ2 µ7 , = −1/4µ6 µ7 + 1/4µ5 µ8 , = 5/8µ1 µ4 + 1/8µ11 µ10 , = 1/8 (−µ6 µ5 − µ8 µ7 + µ10 µ9 ), = 1/8 (3µ2 µ3 + 3µ7 µ9 − µ10 µ8 ), = 1/8 (−µ6 µ5 − µ10 µ9 + µ8 µ7 ), = 1/8 (3µ2 µ4 − 3µ5 µ9 + µ10 µ6 ), = 1/8 (−3µ10 µ6 − µ2 µ4 + µ5 µ9 ), = 1/8 (−µ8 µ7 − µ10 µ9 + µ6 µ5 ), = 1/8 (5µ3 µ4 − µ5 µ7 + µ6 µ8 ), = 1/4 (2µ3 µ7 + µ5 µ4 + µ2 µ9 ), = 1/4 (2µ2 µ9 − µ5 µ4 + µ3 µ7 ), = 1/8 (5µ7 µ9 − 5µ10 µ8 − µ2 µ3 ),

9 3 3 3 3 µ 2 − 20 µ2 2 − 20 µ3 2 − 20 µ4 2 − 20 µ5 2 − 40 1 3 3 3 3 3 1 − 20 µ7 2 − 20 µ9 2 + 20 µ6 2 + 20 µ8 2 + 20 µ10 2 + 40 µ11 2 , 9 9 3 3 9 W3131 = 40 µ2 2 + 40 µ3 2 + 40 µ4 2 − 20 µ1 2 − 20 µ5 2 − 3 3 3 1 1 1 − 20 µ7 2 − 20 µ9 2 + 20 µ11 2 + 40 µ10 2 + 40 µ6 2 + 40 µ8 2 ,

W2121 =

1 W3232 = − 10 µ1 2 − 1 − 10 µ4 2 −

3 3 µ 2 − 20 µ8 2 − 20 6 3 1 1 µ 2 + 40 µ5 2 + 40 µ7 2 + 20 11

3 1 µ 2 − 10 µ2 2 20 10 1 µ 2, 40 9

−

1 µ 2− 10 3

9 9 9 3 3 µ 2 + 40 µ5 2 + 40 µ7 2 − 20 µ1 2 − 20 µ3 2 − 40 2 3 3 1 1 1 1 µ4 2 − 20 µ9 2 − 10 µ6 2 − 10 µ8 2 + 40 µ10 2 + 40 µ11 2 , − 20 9 9 1 3 1 1 µ6 2 + 40 µ8 2 − 10 µ1 2 − 20 µ10 2 − 10 µ2 2 − 10 µ5 2 − W4242 = 40 1 1 1 1 1 − 10 µ7 2 + 40 µ3 2 + 40 µ4 2 + 40 µ9 2 − 40 µ11 2 , 1 1 3 1 1 W4343 = 21 µ 2 − 10 µ3 2 − 10 µ4 2 − 20 µ11 2 − 10 µ5 2 − 10 µ7 2 + 40 2 1 1 1 1 1 + 10 µ6 2 + 10 µ8 2 − 40 µ10 2 + 40 µ1 2 + 40 µ9 2 , 9 9 9 3 3 3 µ3 2 + 40 µ5 2 + 40 µ9 2 − 20 µ1 2 − 20 µ2 2 − 20 µ4 2 − W5151 = 40 3 1 1 1 1 − 20 µ7 2 − 10 µ6 2 − 10 µ10 2 − 10 µ11 2 + 40 µ8 2 , 9 9 1 3 W5252 = 40 µ6 2 + 40 µ10 2 − 10 µ1 2 − 20 µ8 2 − 1 1 1 1 1 1 1 − 10 µ3 2 − 10 µ5 2 − 10 µ9 2 + 10 µ11 2 + 40 µ7 2 + 40 µ2 2 + 40 µ4 2 ,

W4141 =

21 9 1 1 1 µ 2 + 40 µ11 2 − 10 µ2 2 − 10 µ4 2 − 10 µ5 2 − 40 3 1 1 1 1 1 1 µ9 2 + 10 µ6 2 + 10 µ10 2 + 40 µ1 2 + 40 µ7 2 − 40 µ8 2 , − 10

W5353 =

21 1 1 1 µ 2 − 21 µ 2 − 10 µ2 2 − 10 µ7 2 + 10 µ8 2 − 40 5 40 6 1 1 1 1 1 1 − 10 µ3 2 − 10 µ9 2 + 10 µ10 2 + 10 µ11 2 + 40 µ1 2 + 40 µ4 2 ,

W5454 =

9 9 9 9 µ 2 + 40 µ4 2 + 40 µ7 2 + 40 µ9 2 − 40 1 3 3 3 1 1 1 1 − 20 µ2 2 − 20 µ3 2 − 20 µ5 2 − 10 µ8 2 − 10 µ10 2 − 10 µ11 2 + 40 µ6 2 , 9 9 3 W6262 = 21 µ 2 + 40 µ8 2 + 40 µ10 2 − 20 µ6 2 − 40 1 1 1 1 1 1 1 1 − 10 µ4 2 − 10 µ7 2 − 10 µ9 2 + 10 µ11 2 + 40 µ5 2 + 40 µ2 2 + 40 µ3 2 , 9 1 1 1 µ 2 + 40 µ11 2 − 10 µ2 2 − 10 µ3 2 − 10 µ1 2 − W6363 = 21 40 4 1 1 1 1 1 1 µ7 2 − 10 µ9 2 + 10 µ8 2 + 10 µ10 2 − 40 µ6 2 + 40 µ5 2 , − 10 1 1 1 W6464 = 21 µ 2 − 21 µ 2 − 10 µ2 2 − 10 µ5 2 + 10 µ6 2 − 40 7 40 8 1 1 1 1 1 1 µ1 2 − 10 µ4 2 − 10 µ9 2 + 10 µ10 2 + 10 µ11 2 + 40 µ3 2 , − 10 1 W6565 = 21 µ 2 − 21 µ 2 − 21 µ 2 − 10 µ3 2 − 40 9 40 10 40 11

W6161 =

1 − 10 µ5 2 +

1 µ2 10 6

−

1 µ2 10 1

−

1 µ2 10 4

176

−

1 µ2 10 7

+

1 µ2 10 8

+

1 µ 2. 40 2

Скалярный квадрат |W |2 = Wijkt W ijkt тензора Вейля равен 81 2 2 81 11 µ6 µ10 + 2µ11 µ10 µ1 µ4 − µ6 µ8 µ3 µ4 − µ6 2 µ5 2 − µ6 2 µ3 2 + 3µ3 µ4 µ5 µ7 − 20 20 20 1 81 81 11 11 2 2 −7µ6 µ8 µ5 µ7 − µ10 µ4 − µ10 2 µ2 2 − µ10 2 µ9 2 + µ10 2 µ8 2 + µ6 2 µ11 2 − 20 20 20 20 20 11 2 2 81 2 2 1 2 2 81 2 2 51 2 2 −7µ2 µ1 µ6 µ11 − µ8 µ2 − µ8 µ7 − µ8 µ3 + µ5 µ7 + µ3 µ7 + 20 20 20 20 20 81 2 2 81 2 2 81 2 2 + µ3 µ9 + 3µ2 µ9 µ3 µ7 + µ9 µ4 − 3µ2 µ9 µ5 µ4 + µ9 µ7 − µ2 µ3 µ10 µ8 − 20 20 20 81 2 2 81 81 −7µ7 µ9 µ10 µ8 + µ2 µ4 µ10 µ6 + µ2 µ3 − 7µ5 µ9 µ10 µ6 + µ10 4 + µ11 4 + 20 40 40 81 2 2 11 2 2 81 4 81 4 81 4 81 2 2 11 2 2 + µ2 µ7 − µ 6 µ7 + µ7 + µ8 + µ6 + µ6 µ8 − µ 4 µ8 + 20 20 40 40 40 20 20 81 4 11 2 2 11 2 2 81 2 2 51 2 2 11 2 2 + µ3 − µ11 µ7 − µ10 µ3 + µ5 µ9 + µ5 µ4 − µ7 µ10 − 40 20 20 20 20 20 11 2 2 11 2 2 51 2 2 51 2 2 81 4 81 2 2 − µ8 µ5 − µ11 µ5 − µ2 µ11 − µ6 µ1 + µ9 + µ11 µ10 + 20 20 20 20 40 20 81 4 81 2 2 81 4 81 2 2 1 2 2 81 2 2 81 2 2 + µ4 + µ3 µ5 + µ5 + µ3 µ4 − µ4 µ6 + µ1 µ7 + µ1 µ4 + 40 20 40 20 20 20 20 51 2 2 81 4 81 2 2 11 2 2 51 2 2 11 2 2 11 2 2 + µ1 µ5 + µ1 + µ4 µ7 − µ6 µ9 + µ2 µ9 − µ6 µ2 − µ5 µ10 + 20 40 20 20 20 20 20 81 2 2 81 2 2 81 4 9 2 2 81 2 2 9 2 2 81 2 2 + µ2 µ4 + µ2 µ5 + µ2 + µ1 µ10 − µ11 µ9 + µ1 µ8 + µ1 µ9 + 20 20 40 20 20 20 20 9 2 2 9 2 2 11 2 2 51 2 2 11 2 2 51 2 2 11 2 2 + µ8 µ11 + µ3 µ1 − µ1 µ11 + µ4 µ11 + µ3 µ11 − µ8 µ9 + µ2 µ1 . 20 20 20 20 20 20 20 В случаях µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = 0, µ5 = ±µ6 , µ7 = µ8 = µ9 = µ10 = µ11 = 0,

(7.18)

µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 = 0, µ7 = ±µ8 , µ9 = µ10 = µ11 = 0,

(7.19)

µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 = µ6 = 0, µ7 = µ8 = 0, µ29 = µ210 + µ211 ,

(7.20)

имеем: |W |2 = 0. При этом тензор Схоутена-Вейля равен нулю а тензор Вейля не равен нулю, например W6262 6= 0 Замечание. Нетрудно проверить, что выбору (7.18) и (7.19) структурных констант соответствует алгебра Ли изоморфная прямому произведению трехмерной алгебры Гейзенберга и трехмерной коммутативной алгебры. Таким образом, построены примеры левоинвариантных лоренцевых метрики на группе Ли размерности 6, принадлежащих классу C + , таких, что тензор Вейля нетривиален, а его скалярный квадрат тождественно равен нулю. Заметим также, что для построенных метрик тензор Вейля является гармоническим в смысле [22]. 177

7.5

О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой

В [22, 21] дан один из последних обзоров о римановых метриках с гармоническим тензором Вейля. В трехмерном случае тензор Вейля тривиален, роль его аналога играет тензор Схоутена-Вейля (тензор Коттона). В данной работе исследуются трехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и почти гармоническим, т.е. с нулевым ротором и дивергенцией, тензором Схоутена-Вейля. Кроме того, с помощью операции свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, определен кососимметрический 2-тензор. Исследовано строение трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой, для которых данный тензор является гармоническим. Определение 7.5.1. Тензор Ti1 ...ip строения (p, 0) (см. [135, с.43]) называется гармоническим, если выполняются следующие три условия: (1) Ti1 ···ip — кососимметрический, (2) rot(Ti1 i2 ···ip ) = 0 или Ti1 i2 ···ip ;t = Tti2 ···ip ;i1 + Ti1 t···ip ;i2 + · · · + Ti1 i2 ···t;ip , (3) div(Ti1 i2 ···ip ) = g i1 t Ti1 ...ip ;t = 0, и почти гармоническим, если выполняются следующие два условия: (1) rot(Ti1 i2 ···ip ) = 0, (2) div(Ti1 i2 ···ip ) = g i1 t Ti1 ...ip ;t = 0. Понятие почти гармонического тензора вводится потому, что кососимметрическая часть S[ijk] и симметрическая часть S(ijk) тензора Схоутена-Вейля равны нулю. Таким образом, для тензора Схоутена-Вейля не выполняется первое условие из определения 7.5.1. Заметим, например, что кососимметрическая часть S[ijk] тензора Схоутена-Вейля равна нулю. 1 S[ijk] = (Sijk + Sjki + Skij − Sjik − Sikj − Skji ) . 3! В силу косой симметрии тензора Схоутена-Вейля по последним двум индексам, получим 1 S[ijk] = (Sijk + Sjki + Skij ) . 3 Применив (7.5), имеем S[ijk] =

1 (Aij;k − Aik;j + Ajk;i − Aji;k + Aki;j − Akj;i ) = 0. 3

Также нетрудно проверить, что и симметрическая часть S(ijk) тензора СхоутенаВейля равна нулю. Теорема 7.5.1. Пусть M — риманово многообразие, тогда Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k =

1 (Rtkip Rpj + Rkjip Rpt + Rjtip Rpk ). n−2

Доказательство. Из (7.4) ковариантным дифференцированием получаем µ ¶ 1 R;k gij Aij;k = Rij;k − . n−2 2(n − 1) 178

Тогда (7.5) принимает вид Sijk

1 = n−2

µ Rij;k − Rik;j

R;k gij − R;j gik − 2(n − 1)

¶ .

Отсюда ковариантным дифференцированием получаем µ ¶ 1 R;kt gij − R;jt gik Sijk;t = Rij;kt − Rik;jt − . n−2 2(n − 1)

(7.21)

Рассмотрим следующее выражение (n − 2) (Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k ) . В силу (7.21) имеем (n − 2) (Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k ) = (Rij;kt − Rij;tk ) + (Rik;tj − Rik;jt ) + (Rit;jk − Rit;kj )+ 1 [(R;kt − R;tk )gij + (R;jk − R;kj )git + (R;tj − R;jt )gik ], + 2(n − 1) или, очевидно, (n − 2) (Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k ) = (Rij;kt − Rij;tk ) + (Rik;tj − Rik;jt ) + (Rit;jk − Rit;kj ). Для тензорного поля произвольного строения, например, Tijs имеет место формула (см., например, [92, с.534]) s Tijs ;kl − Tijs ;lk = −Rlkps Tijp + Rlkip Tpj + Rlkjp Tips .

(7.22)

Применив (7.22), получим (n − 2) (Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k ) =

¡ ¢ = Rtkip Rpj + Rkjip Rpt + Rjtip Rpk + Rtkjp + Rkjtp + Rjtkp Rip .

Используя первое тождество Бианки Rtkjp + Rkjtp + Rjtkp = 0, получившееся равенство можно переписать в виде (n − 2) (Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k ) = Rtkip Rpj + Rkjip Rpt + Rjtip Rpk . Следствие. Пусть M — риманово трехмерное многообразие, тогда Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k = 0, ∀i ∈ {1, 2, 3}. Доказательство. Известно (см., например, [47, с.279]), что в трехмерном случае Rijkt = Rik gjt − Rit gjk + Rjt gik − Rjk git +

R (git gjk − gik gjt ) . 2

Применив данную формулу, из теоремы 7.5.1 получаем Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k = 0. В частности, div3 (S) = 0, и условие rot(S) = 0 равносильно равенству Stjk;i = 0.

179

(7.23)

Замечание. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем применять теорему 7.5.1 и следствие для трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Замечание. Для ориентированного трехмерного риманового многообразия наряду с тензором Sijk можно определить двухвалентный тензор Cts формулой 1 Cit = Sijk εsjk gts √ , g где g = det ||gij ||, εsjk = εsjk антисимметричный объект третьего порядка, равный   +1, (sjk) четная подстановка, sjk ε = −1, (sjk) нечетная подстановка,  0, (sjk) два одинаковых индекса. Нетрудно проверить, что Cit = Cti и Cit g it = 0. Будем тензор Cit называть тензором Коттона. Справедлива обратная формула √ Sijk = Cis εtjk g ts g. √ Заметим так же, что ковариантные производные тензоров εtjk g, εsjk √1g равны нулю. Замечание. Если размерность риманового пространства n > 3, то справедливо равенство Rijkt =

1 R (Rik gjt − Rit gjk + Rjt gik − Rjk git ) + (git gjk − gik gjt ) + Wijkt , n−2 (n − 1)(n − 2)

где Wijkt — тензор Вейля. Тогда из теоремы 7.5.1 следует, что Sijk;t + Sikt;j + Sitj;k =

1 (Wtki p Rpj + Wkjip Rpt + Wjti p Rpk ). n−2

Теорема 7.5.2. Пусть M — риманово многообразие, тогда справедливо равенство div1 (S) = 0. Доказательство. Подставляя (7.4) в (7.5), получаем µ ¶ 1 R;k gij − R;j gik Sijk = Rij;k − Rik;j − . n−2 2(n − 1)

(7.24)

Из этого равенства дифференцированием и сверткой получим µ ¶ g it R;kt gij − R;jt gik it div1 (S) = g Sijk;t = Rij;kt − Rik;jt − , n−2 2(n − 1) и т. к. смешанные производные скалярной кривизны R;kj = R;jk то, очевидно, что div1 (S) = g it Sijk;t =

g it (Rij;kt − Rik;jt ) . n−2

(7.25)

Применяя тождество (7.22) к тензору Риччи, равенство (7.25) можно переписать в виде div1 (S) =

¢ ¡ ¢ g it ¡ Rij;tk − Rik;tj + Rtki p Rpj − Rtji p Rpk + Rtkj p − Rtjk p Rip . n−2 180

Применяя первое тождество Бианки и равенство (см., например, [124, с.147]) 1 g it Rij;t = R;j , (7.26) 2 получим µ ¶ 1 1 p p p it div1 (S) = (R;jk − R;kj ) + Rk Rpj − Rj Rpk + g Rjkt Rip . n−2 2 Используя симметричность тензора Риччи, а также R;kj = R;jk , имеем ¢ g it ¡ div1 (S) = Rjkt p Rip = 0. n−2 Теорема 7.5.3. Пусть M — риманово многообразие, тогда справедливо равенство µ µ ¶¶ 1 R;kt gij − R;jt gik p p jt div2 (S) = R;ik + Rk Rip + g Rtki Rpj − Rik;jt − . n−2 2(n − 1) Доказательство. Из равенства (7.24) дифференцированием и сверткой по индексу j получим µ ¶ g jt R;kt gij − R;jt gik jt div2 (S) = g Sijk;t = Rij;kt − Rik;jt − . n−2 2(n − 1) Применив (7.22), имеем µ ¶ g jt R;kt gij − R;jt gik p p div2 (S) = Rij;tk − Rik;jt + Rtki Rpj + Rtkj Rip − . n−2 2(n − 1) В силу (7.26) это равенство принимает вид µ µ ¶¶ R;kt gij − R;jt gik 1 p p jt R;ik + Rk Rip + g Rtki Rpj − Rik;jt − . div2 (S) = n−2 2(n − 1) Следствие. Пусть M = G — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, тогда справедливо равенство ¢ 1 ¡ jt div2 (S) = g (Rtki p Rpj − Rki;jt ) + Rk p Rip . n−2 Доказательство. Из теоремы 7.5.3, используя постоянство функции скалярной кривизны, получаем требуемое. Пусть V = V i Ei — левоинвариантное векторное поле. Отождествим g с касательным пространством Te G, а V с вектором {V k } ∈ Te G. Определим кососимметрический тензор w = kwij k формулой wij = V k Skij .

(7.27)

В силу косой симметрии тензора Схоутена-Вейля Skij по индексам i и j тензор wij — кососимметрический. Ковариантные производные этого тензора равны wij;k = wlj Γlki + wil Γlkj . Ротор и дивергенция тензора wij вычисляются, соответственно, по формулам rot(w) = wij;t − wtj;i − wit;j , div(w) = g it wij;t . Наряду с произвольными векторами будем рассматривать и гармонические векторы. 181

Определение 7.5.2. Вектор {V i } называется гармоническим, если выполняются следующие условия: (1) rot(V ) = V i;j − V j;i = 0 , (2) div(V ) = V i;i = 0, где V i;j = −V l Γilk — ковариантные производные вектора {V i }. Следуя Дж. Милнору [292] определим структурные константы и удобный для вычислений базис в случае трехмерных алгебр Ли. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с алгеброй Ли g, тогда в g существует ортонормированный базис {E1 , E2 , E3 } такой, что: [E1 , E2 ] = λ3 E3 , [E2 , E3 ] = λ1 E1 , [E3 , E1 ] = λ2 E2 , где λ1 , λ2 , λ3 — структурные константы алгебры Ли g. Если G — трехмерная неунимодулярная группа Ли с алгеброй Ли g, тогда в g существует базис {E1 , E2 , E3 } такой, что: [E1 , E2 ] = αE2 + βE3 , [E1 , E3 ] = γE2 + δE3 , [E2 , E3 ] = 0, где α, β, γ, δ — структурные константы алгебры Ли g такие, что α + δ = 2. Лемма 7.5.1. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, λ1 , λ2 , λ3 — структурные константы алгебры Ли группы G. Тогда div2 (S)11 = 1/4 λ3 2 λ2 λ1 − 1/2 λ1 2 λ2 λ3 − 1/4 λ2 3 λ1 + 1/4 λ2 2 λ1 2 − 3/4 λ1 3 λ2 + λ3 3 λ2 − 1/4 λ3 3 λ1 − 1/2 λ3 2 λ2 2 − 3/4 λ1 3 λ3 + λ2 3 λ3 − 3/4 λ3 4 + 3/2 λ1 4 + 1/4 λ2 2 λ1 λ3 + 1/4 λ3 2 λ1 2 − 3/4 λ2 4 , div2 (S)22 = λ3 3 λ1 − 1/2 λ3 2 λ1 2 + λ3 λ1 3 − 1/2 λ3 λ1 λ2 2 − 1/4 λ3 3 λ2 − 3/4 λ3 λ2 3 + 1/4 λ2 2 λ1 2 − 3/4 λ2 3 λ1 − 1/4 λ2 λ1 3 + 1/4 λ3 2 λ2 λ1 − 3/4 λ3 4 + 3/2 λ2 4 + 1/4 λ3 2 λ2 2 + 1/4 λ3 λ2 λ1 2 − 3/4 λ1 4 , div2 (S)33 = −1/2 λ3 2 λ2 λ1 + 1/4 λ2 2 λ1 λ3 + λ2 3 λ1 − 1/2 λ2 2 λ1 2 + λ1 3 λ2 − 3/4 λ3 3 λ2 − 3/4 λ3 3 λ1 + 1/4 λ3 2 λ1 2 − 1/4 λ1 3 λ3 − 1/4 λ2 3 λ3 + 3/2 λ3 4 − 3/4 λ2 4 + 1/4 λ1 2 λ2 λ3 + 1/4 λ3 2 λ2 2 − 3/4 λ1 4 . Доказательство леммы следует из формул (7.1) — (7.8) и свойств тензора римановой кривизны. В частности, компоненты тензора Схоутена-Вейля имеют вид: S132 = 1/2 λ3 λ2 2 − 1/2 λ2 λ1 2 − 1/2 λ3 3 + 1/2 λ2 λ3 2 − 1/2 λ3 λ1 2 + + λ1 3 − 1/2 λ2 3 , S231 = 1/2 λ3 λ2 2 + 1/2 λ1 λ2 2 − λ2 3 + 1/2 λ3 3 − 1/2 λ1 λ3 2 − − 1/2 λ3 λ1 2 + 1/2 λ1 3 ,

(7.28)

S321 = 1/2 λ1 λ2 2 − 1/2 λ2 3 + 1/2 λ2 λ1 2 + λ3 3 − 1/2 λ1 λ3 2 − − 1/2 λ2 λ3 2 − 1/2 λ1 3 . Теорема 7.5.4. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения: (1) div1 (S) = 0. Тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим в том и только том случае, если алгебра Ли группы G имеет один из следующих типов: либо su(2), либо e(2), либо R3 , левоинвариантная риманова метрика гомотетична стандартной (т.е. структурные константы алгебры Ли равны между собой), а тензор Схоутена-Вейля тривиален. (2) div2 (S) = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли группы G имеет один из 182

следующих типов: либо su(2), либо e(2), либо R3 , левоинвариантная риманова метрика гомотетична стандартной, а тензор Схоутена-Вейля тривиален. Доказательство. Применяя лемму 7.5.1, составляем систему уравнений div2 (S) = g jt Sijk;t = 0 : div2 (S)11 = 1/4 (λ3 2 λ2 λ1 − 2 λ1 2 λ2 λ3 − λ2 3 λ1 + λ2 2 λ1 2 − 3 λ1 3 λ2 + + 4 λ3 3 λ2 − λ3 3 λ1 − 2 λ3 2 λ2 2 − 3 λ1 3 λ3 + 4 λ2 3 λ3 − 3 λ3 4 + 6 λ1 4 + + λ2 2 λ1 λ3 + λ3 2 λ1 2 − 3 λ2 4 ) = 0, div2 (S)22 = 1/4 (4 λ3 3 λ1 − 2 λ3 2 λ1 2 + 4 λ3 λ1 3 − 2 λ3 λ1 λ2 2 − λ3 3 λ2 − − 3 λ3 λ2 3 + λ2 2 λ1 2 − 3 λ2 3 λ1 − λ2 λ1 3 + λ3 2 λ2 λ1 − 3 λ3 4 + 6 λ2 4 +

(7.29)

+ λ3 2 λ2 2 + λ3 λ2 λ1 2 − 3 λ1 4 ) = 0, div2 (S)33 = 1/4 (−2 λ3 2 λ2 λ1 + λ2 2 λ1 λ3 + 4 λ2 3 λ1 − 2 λ2 2 λ1 2 + + 4 λ1 3 λ2 − 3 λ3 3 λ2 − 3 λ3 3 λ1 + λ3 2 λ1 2 − λ1 3 λ3 − λ2 3 λ3 + 6 λ3 4 − − 3 λ2 4 + λ1 2 λ2 λ3 + λ3 2 λ2 2 − 3 λ1 4 ) = 0. Решаем систему уравнений (7.29) относительно структурных констант алгебры Ли g. С точностью до перенумерации базиса имеется два решения: λ1 = λ2 , λ3 = 0, λ2 ∈ R, λ1 = λ2 = λ3 , λ3 ∈ R. Таким образом, алгебра Ли имеет тип su(2), e(2) или R3 . Непосредственно проверяется, что с учетом найденных решений тензор Схоутена-Вейля тривиален. Пусть далее тензор Схоутена-Вейля, кроме равенства нулю дивергенции, дополнительно удовлетворяет условию rot(S) = 0, т. е. имеет место равенство (7.23). Вычисляем ковариантные производные тензора Схоутена-Вейля и получаем, что условие rot(S) = 0 примет вид S212;1 = S331;1 = −S221;1 = −S313;1 = 1/4 (λ3 2 λ2 λ1 − λ2 2 λ1 λ3 − − 5 λ2 3 λ1 + λ2 2 λ1 2 + λ1 3 λ2 − 2 λ3 3 λ2 + 5 λ3 3 λ1 − λ3 2 λ1 2 − λ1 3 λ3 + 2 λ2 3 λ3 − 3 λ3 4 + 3 λ2 4 ) = 0, S112;2 = S323;2 = −S121;2 = −S332;2 = 1/4 (−λ3 2 λ2 λ1 + λ1 2 λ2 λ3 − − λ2 3 λ1 − λ2 2 λ1 2 + 5 λ1 3 λ2 − 5 λ3 3 λ2 + 2 λ3 3 λ1 + λ3 2 λ2 2 3

3

4

(7.30)

4

− 2 λ1 λ3 + λ2 λ3 + 3 λ3 − 3 λ1 ) = 0, S113;3 = S232;3 = −S131;3 = −S223;3 = 1/4 (λ1 2 λ2 λ3 − λ2 2 λ1 λ3 + + 2 λ2 3 λ1 − 2 λ1 3 λ2 + λ3 3 λ2 − λ3 3 λ1 + λ3 2 λ2 2 − λ3 2 λ1 2 + 5 λ1 3 λ3 − 5 λ2 3 λ3 − 3 λ1 4 + 3 λ2 4 ) = 0. В силу теоремы 7.5.2 дивергенция типа I тензора Схоутена-Вейля тривиальна при любых значениях структурных констант алгебры Ли g группы G. Поэтому система уравнений (7.30) полностью определяют класс трехмерных унимодулярных алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой, для которых тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим, т.е. удовлетворяет условиям: div1 (S) = 0 и rot(S) = 0. Решаем систему уравнений (7.30) относительно структурных констант алгебры 183

Ли g. С точностью до перенумерации базиса имеется два решения: λ1 = λ2 , λ3 = 0, λ1 , λ2 ∈ R, λ1 = λ2 = λ3 , λ1 , λ2 , λ3 ∈ R. Таким образом, алгебра Ли имеет тип su(2), e(2) или R3 . Заметим, что полученные решения совпадают с множеством решений системы уравнений (5.3). Замечание. Тензор Риччи для первого решения системы уравнений (5.3) обращается в нуль, а для второго — имеет следующие компоненты  λ2  3 0 0 2 2  kRij k =  0 λ23 0  . 0

0

λ23 2

Очевидно, что в данном случае многообразие является эйнштейновым. Лемма 7.5.2. Пусть G — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, α, β, γ, δ — структурные константы алгебры Ли группы G, такие что α + δ = 2. Тогда div2 (S)11 = 1/4 (4 α δ − 3 β 2 + 2 β γ − 3 γ 2 )(δ 2 − 2 α δ + β 2 + + 2 β γ + γ 2 + α2 ), div2 (S)22 = 1/4 (β 3 γ − 3 α2 γ 2 − 3 β 4 − 3 α2 β 2 + 3 γ 3 β + 6 δ 2 β 2 + + 6 δ 2 γ 2 + 6 γ 4 + 6 α2 β γ + 5 α β 2 δ − 15 α δ γ 2 − 8 δ 2 β γ + 4 α2 δ 2 + + β 2 γ 2 − 4 α δ 3 − 2 α β δ γ), div2 (S)23 = div2 (S)32 = 1/4 (−α β 2 γ + 6 α γ 2 β − 9 α γ 3 − 9 β 3 δ+ + 6 β 2 δ γ − β δ γ 2 − 8 α2 δ β + 12 α2 δ γ + 12 α δ 2 β − 8 α δ 2 γ), div2 (S)33 = 1/4 (3 β 3 γ + 6 α2 γ 2 + 6 β 4 + 6 α2 β 2 + γ 3 β − 3 δ 2 β 2 − − 3 δ 2 γ 2 − 3 γ 4 − 8 α2 β γ − 15 α β 2 δ + 5 α δ γ 2 + 6 δ 2 β γ + 4 α2 δ 2 + + β 2 γ 2 − 4 α3 δ − 2 α β δ γ). Доказательство леммы следует из формул (7.1) — (7.8) и свойств тензора римановой кривизны. В частности, компоненты тензора Схоутена-Вейля имеют вид: S132 = 1/2 ν α2 + β α δ + 1/2 β ν 2 − 1/2 β 3 − 1/2 β 2 ν − ν α δ − 1/2 β α2 + 1/2 ν 3 − 1/2 β δ 2 + 1/2 ν δ 2 , S221 = −1/2 β α ν + 3/2 α ν 2 − 3/2 β 2 δ + 1/2 ν β δ − α2 δ + α δ 2 , S231 = 1/2 β ν 2 + ν 3 − β δ 2 + ν δ 2 + 1/2 β 3 + 1/2 β α2 − 1/2 ν α2 − 1/2 β α δ − 3/2 ν α δ,

(7.31)

S321 = 1/2 ν 3 − 1/2 β δ 2 + 1/2 ν δ 2 + β 3 + 1/2 β 2 ν + β α2 − ν α2 − 3/2 β α δ − 1/2 ν α δ, S331 = −3/2 α ν 2 + α2 δ + 1/2 β α ν − α δ 2 + 3/2 β 2 δ − 1/2 ν β δ. Теорема 7.5.5. Пусть G — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения: 184

(1) div1 (S) = 0. Тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим в том и только том случае, если матрица структурных констант алгебры Ли группы G имеет вид √ ¶ µ ¶ µ 2 1 −γ 2 − δ ± 2δ − δ √ C= или C = , δ ∈ [0, 2], (7.32) γ 1 ± 2δ − δ 2 δ а тензор Схоутена-Вейля тривиален. (2) div2 (S) = 0 тогда и только тогда, когда матрица структурных констант алгебры Ли группы G имеет вид (7.32), а тензор Схоутена-Вейля тривиален. Доказательство. Применяя лемму 7.5.2, составляем систему уравнений div2 (S) = g Sijk;t = 0 : jt

div2 (S)11 = 1/4 (4 α δ − 3 β 2 + 2 β γ − 3 γ 2 )(δ 2 − 2 α δ + β 2 + + 2 β γ + γ 2 + α2 ) = 0, div2 (S)22 = 1/4 (β 3 γ − 3 α2 γ 2 − 3 β 4 − 3 α2 β 2 + 3 γ 3 β + 6 δ 2 β 2 + + 6 δ 2 γ 2 + 6 γ 4 + 6 α2 β γ + 5 α β 2 δ − 15 α δ γ 2 − 8 δ 2 β γ + 4 α2 δ 2 + + β 2 γ 2 − 4 α δ 3 − 2 α β δ γ) = 0, div2 (S)23 = div2 (S)32 = 1/4 (−α β 2 γ + 6 α γ 2 β − 9 α γ 3 − 9 β 3 δ+

(7.33)

+ 6 β 2 δ γ − β δ γ 2 − 8 α2 δ β + 12 α2 δ γ + 12 α δ 2 β − 8 α δ 2 γ) = 0, div2 (S)33 = 1/4 (3 β 3 γ + 6 α2 γ 2 + 6 β 4 + 6 α2 β 2 + γ 3 β − 3 δ 2 β 2 − − 3 δ 2 γ 2 − 3 γ 4 − 8 α2 β γ − 15 α β 2 δ + 5 α δ γ 2 + 6 δ 2 β γ + 4 α2 δ 2 + + β 2 γ 2 − 4 α3 δ − 2 α β δ γ) = 0. Решаем систему уравнений (7.33) относительно структурных констант алгебры Ли g. Имеется два решения: γ = γ, α = 1, δ = 1, β = −γ; √ α = 2 − δ, β = γ = 2δ − δ 2 , где δ ∈ [0, 2]. Непосредственно проверяется, что с учетом найденных решений тензор СхоутенаВейля тривиален. Пусть далее тензор Схоутена-Вейля кроме равенства нулю дивергенции дополнительно удовлетворяет условию rot(S) = 0, т.е. имеет место равенство (7.23). Вычисляем ковариантные производные и получаем, что условие rot(S) = 0 равносильно системе уравнений: S212;1 = S331;1 = −S221;1 = −S313;1 = 1/4 (−3 α2 ν 2 + 2 β 3 ν − 3 α2 β 2 − 2 ν 3 β + 3 δ 2 β 2 + 3 δ 2 ν 2 + 6 α2 β ν + 4 α β 2 δ − 4 α δ ν 2 − 6 δ 2 β ν − 3 β 4 + 3 ν 4 ) = 0, S112;2 = S323;2 = −S121;2 = −S332;2 = 1/4 (3 α2 ν 2 − 4 α3 δ + 4 α2 δ 2 + 5 β 3 ν + β 2 ν 2 + 3 α2 β 2 − ν 3 β − 2 α β δ ν − 2 α2 β ν − 11 α β 2 δ + α δ ν 2 + 3 β 4 ) = 0, S113;3 = S232;3 = −S131;3 = −S223;3 = 1/4 (4 α2 δ 2 − β 3 ν + β 2 ν 2 + 5 ν 3 β + 3 δ 2 β 2 + 3 δ 2 ν 2 − 2 α β δ ν + α β 2 δ − 11 α δ ν 2 − 2 δ 2 β ν + 3 ν 4 − 4 α δ 3 ) = 0, 2

3

2

2

S231;1 = S321;1 = −S213;1 = −S312;1 = −2 α ν β + 3/2 α ν + α δ β − α δ ν + 1/2 α β 2 ν − α δ 2 β + α δ 2 ν + 3/2 β 3 δ − 2 β 2 δ ν + 1/2 β δ ν 2 = 0, S112;3 = S113;2 = S232;2 = S323;3 = −S121;3 = −S131;2 = −S223;2 = = −S332;3 = 1/4 (3 α ν 3 + 3 β 3 δ − α β 2 ν − β δ ν 2 + 2 α ν 2 β+ + 4 α2 δ β − 8 α2 δ ν − 8 α δ 2 β + 4 α δ 2 ν + 2 β 2 )δ ν = 0, 185

(7.34)

где α + δ = 2. Согласно теореме 7.5.2 тензор Схоутена-Вейля имеет div1 (S) = 0 при любых значениях структурных констант алгебры Ли g группы G. Поэтому система уравнений (7.34) полностью определяет класс трехмерных неунимодулярных алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой, для которых тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим, т.е. удовлетворяет условиям div1 (S) = 0 и rot(S) = 0. Находим решения системы уравнений (7.34) относительно структурных констант алгебры Ли g. Имеются два решения: γ = γ, α = 1, δ = 1, β = −γ; √ α = 2 − δ, β = γ = 2δ − δ 2 , где δ ∈ [0, 2]. Заметим, что полученные решения совпадают с множеством решений системы уравнений (7.33). Замечание. Тензор Риччи имеет следующие компоненты для первого и второго решения системы уравнений (7.33) соответственно   −2 0 0 kRij k =  0 −2 0  , 0 0 −2   −4 0 √0 −4 −2 2δ − δ 2  . kRij k =  0 √ + 2δ 0 −2 2δ − δ 2 −2δ Очевидно, что для первого решения многообразие является эйнштейновым. Во втором случае это не так. Теорема 7.5.6. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, {V k } — вектор длины 1, wij = V k Skij — гармонический тензор, где Skij — тензор Схоутена-Вейля. Тогда для любой трехмерной унимодулярной алгебры Ли существуют направления, для которых тензор wij гармонический. Если дополнительно, {V k } — гармонический вектор длины 1, то алгебра Ли группы G изоморфна либо e(2), либо e(1, 1), либо R3 . Доказательство. Пусть V — левоинвариантное векторное поле такое, что kV k = 1, следовательно, имеем p p kV k = gij V i V j = (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1 (7.35) Используя (7.27), находим компоненты тензора wij : V3 2 (λ2 λ1 − λ2 3 + λ1 2 λ2 + 2λ3 3 − λ3 2 λ1 − λ3 2 λ2 − λ1 3 ), 2 V2 2 (7.36) w31 = −w13 = (λ2 λ3 + λ2 2 λ1 − 2λ2 3 + λ3 3 − λ3 2 λ1 − λ3 λ1 2 + λ1 3 ), 2 V1 2 w32 = −w23 = (λ2 λ3 − λ1 2 λ2 − λ3 3 + λ3 2 λ2 − λ3 λ1 2 + 2λ1 3 − λ2 3 ). 2 Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что rot(w) ≡ 0, и условие div(w) = 0 имеет вид w21 = −w12 =

div(w)1 = −1/2 V 1 λ1 (−λ3 2 λ2 + λ3 λ1 2 + λ2 3 − λ2 2 λ3 + λ1 2 λ2 − 2 λ1 3 + λ3 3 ) = 0, div(w)2 = 1/2 λ2 V 2 (λ3 2 λ1 + λ3 λ1 2 + 2 λ2 3 − λ2 2 λ3 − λ2 2 λ1 − λ1 3 − λ3 3 ) = 0, 3

2

2

3

2

2

3

3

div(w)3 = −1/2 λ3 V (−λ2 λ1 − λ1 λ2 − 2 λ3 + λ3 λ2 + λ3 λ1 + λ1 + λ2 ) = 0. 186

(7.37)

Решаем систему из уравнений (7.35) – (7.37) относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора V . Имеются следующие решения: V 1 = 0, 1

V 2 = 0, 2

V 3 = ±1, λ3 = 0,

λ1 , λ2 , ∈ R;

3

V = ±1, V = 0, V = 0, λ1 = 0, λ2 , λ3 ∈ R; p V 1 = ± 1 − (V 3 )2 , V 2 = 0, V 3 ∈ R, λ1 = 0, λ3 = 0, λ2 ∈ R; p V 1 = ± 1 − (V 3 )2 , V 2 = 0, V 3 ∈ R, λ2 = 0, λ3 = λ1 , λ1 ∈ R; V 1 = 0, V

1

V

1

V

1

V

1

V

1

V

1

V

1

V1 V1 V1

V 2 = ±1, V 3 = 0, p = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , p = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , p = ± 1 − (V 2 )2 , V 3 = 0, p = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , p = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , p = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , p = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , p = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , p = ± 1 − (V 2 )2 , V 3 = 0, p = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , p = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 ,

λ2 = 0 λ1 , λ3 ∈ R; V 3 ∈ R, 3

V ∈ R,

λ2 = 0,

λ1 = λ3 , λ2 = 0,

2

V ∈ R, λ1 = 0, 2

λ3 = 0, λ1 ∈ R; λ3 ∈ R;

λ2 = 0, λ3 ∈ R;

3

V , V =∈ R, λ1 = λ3 , λ2 = 0, λ3 ∈ R; V 3 ∈ R,

λ1 = λ2 , λ3 = 0,

λ2 ∈ R;

3

λ1 = λ2 = λ3 , λ3 ∈ R;

3

λ1 = 0,

V ∈ R, V ∈ R,

λ3 = λ2 ,

λ2 ∈ R;

V 2 , V 3 ∈ R, λ1 = 0, λ2 = λ3 , λ3 ∈ R; V 2 ∈ R, λ2 = λ1 , λ3 = 0, V 2 , V 3 ∈ R λ1 = λ2 , λ3 = 0,

λ1 ∈ R; λ2 ∈ R;

V 2 , V 3 ∈ R, λ1 = λ2 = λ3 , λ3 ∈ R; 1 V 1 = 0, V 2 = 0, V 3 = ±1, λ1 , λ2 , ∈ R, λ1 6= −λ2 , λ3 = (λ2 + λ1 )+ 6  q p 13 (λ2 + λ1 )2 ; + f (λ1 , λ2 ) + 12 g(λ1 , λ2 ) + q p 6 3 f (λ1 , λ2 ) + 12 g(λ1 , λ2 ) V1

1 V 1 = ±1, V 2 = 0, V 3 = 0, λ2 , λ3 ∈ R, λ2 6= −λ3 , λ1 = (λ3 + λ2 )+ 6  q 2 p 1 3 (λ3 + λ2 ) ; +  f (λ2 , λ3 ) + 12 g(λ2 , λ3 ) + q p 6 3 f (λ2 , λ3 ) + 12 g(λ2 , λ3 ) 1 V 1 = 0, V 2 = ±1, V 3 = 0, λ1 , λ3 ∈ R, λ1 6= −λ3 , λ2 = (λ1 + λ3 )+  6 q p 13 (λ3 + λ1 )2 ; f (λ1 , λ3 ) + 12 g(λ1 , λ3 ) + q p 6 3 f (λ1 , λ3 ) + 12 g(λ1 , λ3 ) p V 1 = ± 1 − (V 3 )2 , V 2 = 0, V 3 ∈ R, λ1 ≈ −3.09220λ2 , λ2 ∈ R, λ3 ≈ −3.18439λ2 ; p V 1 = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , V 3 ∈ R, λ1 ≈ −0.32333λ2 , λ2 ∈ R, λ3 ≈ 1.02982λ2 ; p V 1 = ± 1 − (V 2 )2 , V 3 = 0, V 2 ∈ R, λ1 ≈ −0.32333λ2 , λ2 ∈ R, λ3 ≈ 1.02982λ2 . ¢ ¡ Здесь введены обозначения f (λi , λj ) = (λi + λj ) 55 λi 2 − 106 λi λj + 55 λj 2 , ¢ ¡ g(λi , λj ) = 3 7 λi 2 − 13 λi λj + 7 λj 2 (λi − λj )2 (λi + λj )2 . Отсюда видно, что в полученном множестве решений содержатся все шесть неизоморфных трехмерных унимодулярных алгебр Ли, и для каждой такой алгебры Ли 187

существуют направления, для которых тензор wij является гармоническим. Пусть далее вектор {V k } — гармонический. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора {V k } . Получаем, что div(V ) ≡ 0, и условие rot(V ) = 0 имеет вид rot(V )21 = − rot(V )12 = V 3 (λ1 − λ3 + λ2 ) = 0, rot(V )31 = − rot(V )13 = V 2 (−λ1 + λ2 − λ3 ) = 0,

(7.38)

1

rot(V )32 = − rot(V )23 = V (λ2 − λ1 + λ3 ) = 0. По условию вектор единичный, следовательно, имеем p (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1

(7.39)

Компоненты тензора wij задаются равенствами (7.36), условия rot(w) = 0 и div(w) = 0 эквивалентны системе равенств (7.37). Решаем систему из уравнений (7.37), (7.38), (7.39) относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора V . Имеются следующие решения: V 1 = V 2 = 0, V 3 = ±1,

λ1 = −λ2 , λ3 = 0,

λ2 ∈ R,

1

2

3

λ1 = 0, λ3 = λ2 , λ2 ∈ R,

1

2

3

λ2 = 0, λ3 = λ1 , λ1 ∈ R,

1

3

2

λ1 = −λ3 , λ2 = 0,

1

3

2

λ2 = λ1 ,

V = V = 0, V = ±1, V = V = 0, V = ±1, V = V = 0, V = ±1, V = V = 0, V = ±1,

λ3 ∈ R,

λ3 = 0, λ1 ∈ R,

V 2 = ±1, V 2 = V 3 = 0, λ1 = 0, λ2 = −λ3 , λ3 ∈ R, p V 1 = 0, V 2 = ± 1 − (V 3 )2 , V 3 ∈ R, λ1 = 0, λ2 = λ3 , λ3 ∈ R, p V 1 = ± 1 − (V 3 )2 , V 2 = 0, V 3 ∈ R, λ1 = λ3 , λ2 = 0, λ3 ∈ R, p V 1 = ± 1 − (V 2 )2 , V 3 = 0, V 2 ∈ R, λ1 = λ2 , λ3 = 0, λ2 ∈ R, p V 1 = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 ∈ R, λ1 = λ2 = λ3 = 0. Таким образом, алгебра Ли имеет тип e(1, 1), e(2) или R3 , и для каждой алгебра данного типа существует гармоническое направление. Теорема 7.5.7. Пусть G — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, {V k } — вектор длины 1, wij = V k Skij — гармонический тензор, где Skij — тензор Схоутена-Вейля. Тогда структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты вектора V k содержатся в таблице 1. Более того, если {V k } — гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы G входят в таблицу 2. Доказательство. Аналогично унимодулярному случаю имеем p

(V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1 188

(7.40)

Таблица 1. Матрица структурных констант √ ¶ ± 2δ − δ 2 √2 − δ , δ ∈ [0, 2] ± 2δ − δ 2 δ µ ¶ 1 β , β ∈ R\{0} −β 1 √  2V 3 1−(V 1 )2 −(V 3 )2 2(V 3 )2 ± 1−(V 1 )2 , √1−(V 11)22 3 3 2 1 2 3 2

µ 1 2  3

 2V ±

1−(V ) −(V ) 1−(V 1 )2

µ α β 4

2(1−(V ) −(V ) ) 1−(V 1 )2

¶ β , β 2 + (α − 1)2 6= 0 2−α

Структурные константы алгебры Ли g удовлетворяют системе уравнений четвертой степени, которая имеет, по крайней мере,одно решение

Вектор V kV k = 1, V 1 6= 0 kV k = 1, V 1 6= 0 kV k = 1, V 1 6= 0, ±1, (V 1 )2 + (V 3 )2 ≤ 1, (±1, 0, 0)

kV k = 1, V 1 = 0

Используя (7.27), находим компоненты тензора wij : w21 = −w12 =

V2 (3 α γ 2 − α β γ − 3 β 2 δ + β δ γ − 2 α2 δ + 2 α δ 2 )+ 2

V3 3 (γ − δ 2 β + δ 2 γ + 2 β 3 + β 2 γ + 2 α2 β − 2 α2 γ − 3 α δ β − α δ γ), 2 V2 2 w31 = −w13 = (γ β + 2 γ 3 − 2 δ 2 β + 2 δ 2 γ + β 3 + α2 β − α2 γ− 2 V3 − α δ β − 3 α δ γ) + (2 α2 δ − 3 α γ 2 + α β γ − 2 α δ 2 + 3 β 2 δ − β δ γ), 2 V1 2 w32 = −w23 = (α γ + 2 α δ β + γ 2 β − β 3 − β 2 γ − 2 α δ γ− 2 − α2 β + γ 3 − δ 2 β + δ 2 γ). +

(7.41)

Вычисляем ротор тензора wij и получаем, что условие rot(w) = 0, в данном случае, задается уравнением rot(w)123 = rot(w)231 = rot(w)312 = − rot(w)213 = − rot(w)132 = V1 = − rot(w)321 = (α + δ)(−β + γ)(γ 2 + 2 β γ + α2 − 2 α δ + β 2 + δ 2 ) = 0. 2

(7.42)

Вычисляем дивергенцию тензора wij и составляем систему уравнений div(w) = 0. Для нетривиальных компонент дивергенции тензора wij получаем. div(w)2 = 1/2 V 2 (2 α2 δ 2 − 3 δ 2 β γ − 6 α δ γ 2 + 3 δ 2 β 2 + γ 3 β + β 3 γ+ + 2 δ 2 γ 2 + α2 β γ + γ 4 − 2 α δ 3 − α2 γ 2 ) + 1/2 V 3 (4 α2 δ γ − 2 α2 δ β+ + 3 α δ 2 β + α γ 2 β − β δ γ 2 − δ γ 3 − 2 β 3 δ + 2 β 2 δ γ − α δ 2 γ + δ 3 β− − 3 α γ 3 − δ 3 γ) = 0, div(w)3 = 1/2 V 2 (3 α2 δ γ − 3 β 3 δ − α β 3 − α3 β − 2 α γ 3 − α β 2 γ+ α3 γ + 4 α δ 2 β − 2 α δ 2 γ + β 2 δ γ + 2 α γ 2 β − α2 δ β) + 1/2 V 3 (β 3 γ− − δ 2 β 2 + 2 α2 β 2 + 3 α2 γ 2 − 2 α3 δ + γ 3 β + 2 β 4 − 3 α2 βγ − 6 α δ β 2 + + δ 2 β γ + 2 α2 δ 2 ) = 0. 189

(7.43)

Таблица 2. Матрица структурных констант µ

√2 − δ ± 2δ − δ 2

1

µ

1 −β

2

 3



4

√ ¶ ± 2δ − δ 2 , δ ∈ [0, 2] δ

¶ β , β ∈ R\{0} 1

2(V 3 )2 1 )2 1−(V √ 2V 3 1−(V 1 )2 −(V 3 )2 ± 1−(V 1 )2

µ α β

Вектор V kV k = 1, V 1 6= 0 Для каждой алгебры данного типа существует окружность гармонических направлений Гармонических направлений не существует

±

√ 3

 2

1−(V 1 )2 −(V 3 ) 1−(V 1 )2 2(1−(V 1 )2 −(V 3 )2 ) 1−(V 1 )2

2V

,

¶ β , β 2 + (α − 1)2 6= 0 2−α

Структурные константы алгебры Ли g удовлетворяют системе уравнений четвертой степени, которая имеет, по крайней мере,одно решение

kV k = 1, V 1 6= 0 Для каждой алгебры данного типа существует окружность гармонических направлений (±1, 0, 0) – гармоническое направление Гармонических направлений не существует

Гармонический тензор wij определяется системой уравнений ((7.40), (7.42), (7.43)) и условием на структурные константы δ = 2 − α, т. е. системой уравнений вида δ = 2 − α, p (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1, ¡ ¢ 1/2 V 1 (α + δ) (−β + γ) γ 2 + 2 β γ + α2 − 2 α δ + β 2 + δ 2 = 0, 1/2 V 2 (2 α2 δ 2 − 3 δ 2 β γ − 6 α δ γ 2 + 3 δ 2 β 2 + γ 3 β + β 3 γ + 2 δ 2 γ 2 + + α2 β γ + γ 4 − 2 α δ 3 − α2 γ 2 ) + 1/2 V 3 (4 α2 δ γ − 2 α2 δ β+ + 3 α δ 2 βα γ 2 β − β δ γ 2 − δ γ 3 − 2 β 3 δ + 2 β 2 δ γ − α δ 2 γ + δ 3 β− 3

(7.44)

3

− 3 α γ − δ γ) = 0, 1/2 V 2 (3 α2 δ γ − 3 β 3 δ − α β 3 − α3 β − 2 α γ 3 − α β 2 γ + α3 γ+ + 4 α δ 2 β − 2 α δ 2 γ + β 2 δ γ + 2 α γ 2 β − α2 δ β) + 1/2 V 3 (β 3 γ− − δ 2 β 2 + 2 α2 β 2 + 3 α2 γ 2 − 2 α3 δ + γ 3 β + 2 β 4 − 3 α2 βγ − 6 α δ β 2 + + δ 2 β γ + 2 α2 δ 2 ) = 0. Возможны три случая: γ = β,

(7.45)

(β + γ)2 + (α − δ)2 = 0,

(7.46)

1

V = 0.

(7.47)

Случай 1. γ = β. 190

Система уравнений (7.44) примет вид: p (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1, α = 2 − δ, γ = β, 2

2

3 2

3

(7.48) 3 2

3

2

2(β − 2δ + δ )(V δ − 3V δ + V β + 2V − 2V β) = 0, 2(β 2 − 2δ + δ 2 )(V 2 δ 2 − V 2 δ − V 3 β + V 2 β 2 ) = 0. Данная система уравнений, при ограничениях (β + γ)2 + (α − δ)2 6= 0 и V 1 6= 0, имеет следующие решения p V 2 = ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , (V 1 )2 + (V 3 )2 ≤ 1, δ ∈ [0, 2], α = 2 − δ, p (7.49) γ = β = ± δ(2 − δ); p 2(V 3 )2 1 2 3 2 1 2 3 2 , V = ± 1 − (V ) − (V ) , (V ) + (V ) ≤ 1, α = 1 − (V 1 )2 p V 3 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 2(1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 ) δ= , γ = β = ±2 , V 1 6= ±1 1 − (V 1 )2 1 − (V 1 )2 и, в частности, 2

V 1 = 0,

V 2 = V 3 = 0, δ = 2 − α,

γ = β, β 2 + (α − 1)2 6= 0.

(7.50)

(7.51)

Пусть теперь вектор {V k } — гармонический. Аналогично унимодулярному случаю, вычисляем ротор и дивергенцию вектора {V k } и получаем, что div(V ) ≡ 0, а условие rot(V ) = 0 в этом случае имеет вид rot(V )12 = − rot(V )21 = 2 V 2 α + V 3 γ + V 3 β = 0, rot(V )13 = − rot(V )31 = V 2 γ + V 2 β + 2 V 3 δ = 0,

(7.52)

rot(V )32 = − rot(V )23 = V 1 (β − γ) = 0. Также имеем

p (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1.

(7.53)

Для найденных серий алгебр и соответствующих им единичных направлений (7.49) (7.51), выделим те направления, которые являются гармоническими, т.е. удовлетворяют условию (7.52). Если имеет место (7.49),то условие (7.52) гармоничности вектора {V k } принимает вид √ V 2 (2 − δ) + 2V 3 V 2 δ − δ 2 = 0, √ V 2 2 δ − δ 2 + V 3 δ = 0, δ ∈ [0, 2]. Решая данную систему уравнений и учитывая, что координаты вектора V удовлетворяют равенству (7.53), находим следующие гармонические направления Ã r ! √ δ − 2(V 2 )2 2 V 2 2δ − δ 2 V = ± ,V , , δ ∈ [0, 2) δ δ ³ p ´ V = ± 1 − (V 3 )2 , 0, V 3 , δ = 2. 191

Пусть имеет место (7.50). Подставляем данные структурные константы (функции от компонент вектора V ) в систему уравнений (7.52). В результате получаем истинное тождество. Таким образом, направление, соответствующее данному набору структурных констант, является гармоническим. 1 )2 −(V 3 )2 ) 2(V 3 )2 Исследуем поведение функции δ = 2(1−(V = 2− 1−(V 1 )2 в окрестности точки 1−(V 1 )2 1 V = 1. Т.к. (V 1 )2 + (V 3 )2 ≤ 1, то всякий раз когда V 1 −→ 1 имеем V 3 −→ 0. Положим (V 3 )2 V 1 = 1 − tp , V 3 = tq , p, q ∈ N и определим функцию f = 1−(V 1 )2 . Тогда δ = 2 − f . Вычислим предел функции f при стремлении t к нулю. Имеем t2q . t−→0 2tp − t2p

L = lim f = lim t−→0

Если q ≥ p, то 2q − p > 0 и t2q−p L = lim = 0. t−→0 2 − tp Если q < p, то возможны следующие три ситуации: a. q < p = 2q. Тогда t2q 1 1 L = lim p = lim = . t−→0 2t − t2p t−→0 2 − tp 2 b. q < 2q < p. Т.к. p − 2q > 0, 2p − 2q > 0 и |t| < 1, имеем t2q 1 = lim p−2q = +∞. p 2p t−→0 2t − t t−→0 2t − t2p−2q

L = lim c. q < p < 2q. Тогда

t2q−p t2q = lim = 0. t−→0 2 − tp t−→0 2tp − t2p

L = lim Таким образом,

  0, L = 12 ,  +∞,

если q ≥ p или q < p < 2q, если q < p = 2q, если q < 2q < p.

Соответственно   2, lim δ = 2 − 2L = 1, t−→0  −∞,

если q ≥ p или q < p < 2q, если q < p = 2q, если q < 2q < p.

Отсюда следует, что случаи (7.49) и (7.50), вообще говоря, различны. Пусть имеет место (7.51), тогда условие (7.52) гармоничности вектора {V k } обращается в истинное тождество. Следовательно, в данном случае направление (±1, 0, 0) является гармоническим. √ V 2 (2 − δ) + 2V 3 V 2 δ − δ 2 = 0, √ V 2 2 δ − δ 2 + V 3 δ = 0, δ ∈ [0, 2]. 192

Случай 2. (β + γ)2 + (α − δ)2 = 0, γ 6= β, V 1 6= 0. Система уравнений (7.44) примет вид: p (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1, α = δ = 1, γ = −β. Решение данной системы p V 2 = ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , γ = −β, β ∈ R\{0}.

V 1 6= 0, (V 1 )2 + (V 3 )2 ≤ 1, α = δ = 1,

(7.54)

Пусть теперь вектор {V k } — гармонический. Действуя аналогично случаю 1, получаем, что (7.54) преобразует условия (7.52)— (7.53) гармоничности единичного вектора {V k } к виду V 2 = 0, V 3 = 0, V 1β = 0 V 1 = 1. Очевидно, что данная система уравнений решений не имеет, т.к. β 6= 0. Это означает, что среди направлений, соответствующих серии алгебр (7.51), нет ни одного гармонического. Случай 3. V 1 = 0, (β + γ)2 + (α − δ)2 6= 0, γ 6= β. Система уравнений (7.44) в этом случае имеет вид: δ = 2 − α, V 2 (16 α β − 18 α2 β − 4 α3 γ + 4 α3 β + 2 α γ 2 β + 2 β 2 γ − 8 α γ− − 6 β 3 − 2 α β 2 γ + 14 α2 γ + 2 α β 3 − 2 α γ 3 ) + V 3 (7 α2 β 2 + 4 β γ− − 2 α2 β γ + γ 3 β − 4 β γ α + 4 α4 − 12 α3 + 8 α2 − 4 β 2 + 2 β 4 + + β 3 γ − 8 α β 2 + 3 α2 γ 2 ) = 0, V 2 (8 γ 2 − 12 α β 2 − 12 β γ − 2 α2 β γ + 12 β γ α + 32 α2 − 20 α3 + 3

2 2

4

3

2

2

4

+ β γ + 7 α γ + 2 γ + γ β − 16 α + 12 β − 20 α γ + 4 α + + 3 β 2 α2 ) + V 3 (2 β 3 α − 4 β 3 − 2 β γ 2 − 8 γ + 8 γ α − 2 β 2 γ α+ + 2 α β γ 2 − 4 γ α3 − 10 α2 β − 2 γ 3 + 4 β α3 + 6 γ α2 + 8 β + 4 β 2 γ− − 2 α γ 3 ) = 0, p (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1 193

(7.55)

Положим V 2 = sin ϕ, V 3 = cos ϕ и введем следующие обозначения: A = 16 α β − 18 α2 β − 4 α3 γ + 4 α3 β + 2 α γ 2 β + 2 β 2 γ − 8 α γ− − 6 β 3 − 2 α β 2 γ + 14 α2 γ + 2 α β 3 − 2 α γ 3 , B = 7 α2 β 2 + 4 β γ − 2 α2 β γ + γ 3 β − 4 β γ α + 4 α4 − 12 α3 + + 8 α2 − 4 β 2 + 2 β 4 + β 3 γ − 8 α β 2 + 3 α2 γ 2 , E = 8 γ 2 − 12 α β 2 − 12 β γ − 2 α2 β γ + 12 β γ α + 32 α2 − 20 α3 + 3

2 2

4

3

2

2

(7.56)

4

+ β γ + 7 α γ + 2 γ + γ β − 16 α + 12 β − 20 α γ + 4 α + + 3 β 2 α2 , F = 2 β 3α − 4 β 3 − 2 β γ 2 − 8 γ + 8 γ α − 2 β 2γ α + 2 α β γ 2− − 4 γ α3 − 10 α2 β − 2 γ 3 + 4 β α3 + 6 γ α2 + 8 β + 4 β 2 γ − 2 α γ 3 . Тогда система уравнений (7.55) запишется в виде δ = 2 − α, A sin ϕ + B cos ϕ = 0, E sin ϕ + F cos ϕ = 0.

(7.57)

Рассмотрим частный случай α = 0. α = 0, δ = 2, β sin ϕ(2 βγ − 6 β 2 ) + cos ϕ(4 γ + γ 3 − 4 β + 2 β 3 + β 2 γ) = 0, 3

2

4

3

(7.58)

2

sin ϕ(−12 β γ + β γ + 8 γ + 2 γ + γ β + 12 β ) + cos ϕ(−4 β 3 − 2 β γ 2 − 8 γ − 2 γ 3 + 8 β + 4 β 2 γ) = 0. Если β = 0, то система уравнений (7.58) примет вид α = 0, β = 0, δ = 2,

(7.59)

γ(4 + γ 2 )(γ sin ϕ − cos ϕ) = 0. При условии γ 6= β имеется одно решения α = 0,

β = 0, δ = 2, γ = ctg ϕ.

(7.60)

Пусть далее, {V k } — гармонический вектор длины 1, т.е. имеют место (7.52)-(7.53). Положим V 2 = sin ϕ, V 3 = cos ϕ. Принимая во внимание, что δ = 2 − α, перепишем систему уравнений (7.52)-(7.53) в виде 2α sin ϕ + (β + γ) cos ϕ = 0, (β + γ) sin ϕ + (4 − 2α) cos ϕ = 0;

(7.61)

2α sin ϕ + (β + γ) cos ϕ = 0, (4α − 4) sin ϕ cos ϕ = 0.

(7.62)

или

Ясно, что имеет место одна из трех возможностей: cos ϕ = 0 или sin ϕ = 0 или α = 1. 194

Гармонические направления, удовлетворяющие условию гармоничности тензора wij , т.е. системе равенств (7.57), определяются следующей системой уравнений 2α sin ϕ + (β + γ) cos ϕ = 0, (β + γ) sin ϕ + (4 − 2α) cos ϕ = 0, δ = 2 − α, A sin ϕ + B cos ϕ = 0, E sin ϕ + F cos ϕ = 0.

(7.63)

Функции A, B, E, F определены в (7.56). a. cos ϕ = 0. В этом случае (7.63) примет вид β = −γ, α = 0, γ = 0. Очивидно, что при условии γ 6= β данная система уравнений не имеет решений. b. sin ϕ = 0. Тогда (7.63) преобразуется к виду β = −γ, α = 2, γ = 0. Ясно, что данная система не разрешима в силу ограничения γ 6= β. c. α = 1. В этом случае система равенств (7.62) эквивалентна системе уравнений вида γ = −β − 2 tg ϕ, 2(2 cos2 ϕ − 1) = 0. cos ϕ Из второго уравнения системы заключаем ϕ = ± π4 + πk, где k ∈ Z. Ограничение на структурные константы γ 6= β, в рассматриваемом случае можно переписать в виде β 6= tg ϕ. Нетрудно проверить, что при этом ограничении система уравнений (7.63) не имеет решений. Таким образом, получили, что в случае 3 нет ни одного гармонического направления. Замечание. В случае трехмерных однородных пространств, переходя к тройным алгебрам Ли однородного риманова пространства, можно получить классификацию трехмерных однородных пространств с почти гармоническим тензором СхоутенаВейля, или с гармоническим 2-тензором wij = V k Skij . В частности, нетрудно получить класс таких метрик на трехмерной сфере Берже U (2)/U (1). Замечание. Аналогичные теоремы имеют место для трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой.

7.6

О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой

Пусть V = V i Ei — левоинвариантное векторное поле, которое будем отождествлять с вектором {V k }. Определим тензор wij как свертку тензора Схоутена-Вейля с вектором {V k }, т.е. формулой (7.27). 195

Квадрат длины вектора {V k } вычисляется по формуле. kV k2 = gij V i V j ,

(7.64)

где gij — метрический тензор лоренцевой сигнатуры. Одновременно с лоренцевой метрикой введем евклидову метрику, в которой вектор {V k } единичный, т.е. имеет место равенство (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1

(7.65)

Случай унимодулярных групп Ли Пусть мы находимся в условиях теоремы 7.2.1 и корни характеристического уравнения вещественны. Применяя (7.64), нетрудно заметить, что квадрат длины вектора V , в данном случае определяется формулой kV k2 = −(V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 ,

(7.66)

Используя (7.27), находим компоненты тензора wij ¡ ¢ w21 = −w12 = 1/2 V 3 −λ1 2 λ2 − λ2 2 λ1 + λ2 3 − 2 λ3 3 + λ3 2 λ1 + λ3 2 λ2 + λ1 3 , ¡ ¢ w13 = −w31 = 1/2 V 2 −λ3 2 λ1 − λ3 λ1 2 − 2 λ2 3 + λ2 2 λ3 + λ2 2 λ1 + λ1 3 + λ3 3 , ¡ ¢ w23 = −w32 = 1/2 V 1 −λ3 λ1 2 + λ3 2 λ2 − λ2 3 + λ2 2 λ3 − λ1 2 λ2 + 2 λ1 3 − λ3 3 . Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что rot(w) ≡ 0, а условие div(w) = 0 имеет вид div(w)1 = −1/2 V 1 λ1 (−λ3 λ1 2 + λ3 2 λ2 − λ2 3 + λ2 2 λ3 − λ1 2 λ2 + 2 λ1 3 − λ3 3 ) = 0, div(w)2 = −1/2 V 2 λ2 (−λ3 2 λ1 − λ3 λ1 2 − 2 λ2 3 + λ2 2 λ3 + λ2 2 λ1 + λ1 3 + λ3 3 ) = 0, (7.67) div(w)3 = −1/2 V 3 λ3 (−λ2 2 λ1 − λ1 2 λ2 − 2 λ3 3 + λ3 2 λ2 + λ3 2 λ1 + λ1 3 + λ2 3 ) = 0. Полезным будет ввести обозначение F (λi , λj , λk ) = −2λ3i + λ2i (λj + λk ) + (λj + λk )(λj − λk )2 .

(7.68)

Заметим, что уравнение третей степени (относительно λi ) F (λi , λj , λk ) = 0 имеет только один действительный корень λi = f (λj , λk ), где функция f (λj , λk ) определена для любых значений структурных констант, за исключением случая λj + λk = 0 и задается равенством (q + 12r)2/3 + (λj + λk )(q + 12r)1/3 + (λj + λk )2 , (7.69) f (λj , λk ) = 6(q + 12r)1/3 q q = (λj + λk )(55λ2j − 106λj λk + 55λ2k ), r = |(λj − λk )(λj + λk )| 3(7λ2j − 13λj λk + 7λ2k ). Применяя введенные обозначения, перепишем (7.67) в виде V 1 λ1 F (λ1 , λ2 , λ3 ) = 0, V 2 λ2 F (λ2 , λ3 , λ1 ) = 0,

(7.70)

V 3 λ3 F (λ3 , λ1 , λ2 )) = 0, Решаем систему уравнений (7.70) совместно с условием (7.65) относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора {V k }. Тем самым определим 196

алгебры Ли и соответствующие им направления, для которых тензор wij является гармоническим. Случай I. V 1 = 0, λ1 6= 0, F (λ1 , λ2 , λ3 ) 6= 0. Имеются следующие решения λ1 = λ1 , λ2 = λ2 , λ3 = 0, V = (0, 0, ±1), λ1 , λ2 6= 0; λ1 = λ1 , λ2 = λ2 , λ3 = f (λ1 , λ2 ), V = (0, 0, ±1), λ1 6= −λ2 , λ1 , λ2 , f (λ1 , λ2 ) 6= 0; λ1 = λ1 , λ2 = 0, λ3 = λ3 , V = (0, ±1, 0), λ1 , λ3 6= 0; ³ ´ p λ1 = λ1 , λ2 = 0, λ3 = 0, V = 0, V 2 , ± 1 − (V 2 )2 , λ1 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1;

(7.71) (7.72) (7.73) (7.74)

λ1 = λ1 , λ2 = f (λ1 , λ3 ), λ3 = λ3 , V = (0, ±1, 0), λ1 6= −λ3 , λ1 , λ3 , f (λ1 , λ3 ) 6= 0; (7.75) ³ ´ p λ1 = λ1 , λ2 ≈ −3.184λ1 , λ3 ≈ −3.092λ1 , V = 0, V 2 , ± 1 − (V 2 )2 , (7.76) λ1 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1. Пусть имеет место (7.71) или (7.73). Тогда алгебра Ли изоморфна e(2) либо e(1, 1). Если выполняется (7.72) или (7.75), то алгебра Ли имеет тип либо su(2) (например, при λ1 = −1, λk = 3, f (λ1 , λk ) ≈ 2.901, k ∈ {2, 3}), либо sl(2, R) (например, при λ1 = 1, λk = 3, f (λ1 , λk ) ≈ 2.931, k ∈ {2, 3}). Из (7.74) (соответственно (7.76)) заключаем, что алгебра Ли изоморфна трехмерной алгебре Гейзенберга h (соответственно su(2)). Исследуем полученное множество направлений. Согласно (7.66), очевидно, получаем, что в каждом из случаев (7.71) — (7.76) квадрат длины вектора V равен 1. Пусть теперь {V k } — гармонический вектор. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора {V k }. Получаем, что условия div(V ) = 0, rot(V ) = 0 равносильны следующему уравнению rot(V )23 = − rot(V )32 = V 1 (λ1 − λ2 − λ3 ) = 0.

(7.77)

Отсюда видно, что все направления (7.71) — (7.76) является гармоническими. Случай II. V 1 6= 0, λ1 = 0, F (λ1 , λ2 , λ3 ) 6= 0. Система уравнений (7.70), (7.65) в данном случае имеет следующие решения λ1 = 0, λ2 = λ2 , λ3 = λ3 , V = (±1, 0, 0), λ2 , λ3 6= 0; ³ ´ p λ1 = 0, λ2 = λ2 , λ3 = 0, V = V 1 , 0, ± 1 − (V 1 )2 , λ2 , V 1 6= 0, |V 1 | < 1, ³ p ´ λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = λ3 , V = ± 1 − (V 2 )2 , V 2 , 0 , λ3 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1; ´ ³ p λ1 = λ2 = λ3 = 0, V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , V 1 , V 2 6= 0,

(7.78) (7.79) (7.80) (7.81)

|(V 1 )2 + (V 2 )2 | < 1;

³ p ´ 2 2 2 λ1 = 0, λ2 = λ2 , λ3 = λ2 , V = ± 1 − (V ) , V , 0 , λ2 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1; (7.82) ³ ´ p λ1 = 0, λ2 = λ2 , λ3 = λ2 , V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , λ2 , V 1 , V 2 6= 0, (7.83) |(V 1 )2 + (V 2 )2 | < 1.

Алгебра Ли, соответствующая решению (7.78), изоморфна e(2) или e(1, 1). А направление V = (±1, 0, 0) суть направление комплексной длины, т.к. kV k2 = −1. Пусть имеет место (7.78). Тогда алгебра Ли изоморфна трехмерной алгебре Гейзенберга h, а условие (7.66) эквивалентно равенству kV k2 = 1 − 2(V 1 )2 . 197

Очевидно, что 1 kV k2 = 0 ⇔ V 1 = ± √ ; 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 1 kV k > 0 ⇔ V ∈ − √ , 0 ∪ 0, √ ; 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 1 kV k < 0 ⇔ V ∈ −1, − √ ∪ √ ,1 . 2 2 Если выполняется³ (7.80), то соответствующая алгебра Ли имеет тип h, и квадрат ´ p 2 длины вектора V = 0, V , ± 1 − (V 2 )2 задается равенством kV k2 = 2(V 2 )2 − 1. Легко заметить, что 1 kV k2 = 0 ⇔ V 2 = ± √ ; 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 2 kV k > 0 ⇔ V ∈ −1, − √ ∪ √ ,1 ; 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 2 kV k < 0 ⇔ V ∈ − √ , 0 ∪ 0, √ . 2 2 Если имеет место (7.82) или (7.83), то алгебра Ли³изоморфна e(2). Направление ´ p (7.82) было исследовано выше. Для направления V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 из (7.66) находим kV k2 = 1 − 2(V 1 )2 . Легко заметить, что 1 kV k2 = 0 ⇔ V 1 = ± √ ; 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 1 kV k > 0 ⇔ V ∈ − √ , 0 ∪ 0, √ ; 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 1 kV k < 0 ⇔ V ∈ −1, − √ ∪ √ ,1 . 2 2 Алгебра Ли, соответствующая решению (7.81), изоморфна коммутативной алгебре R3 . Заметим, что в данном случае тензоры (7.2) — (7.5) тривиальны. Поэтому вопрос о гармоничности тензора wij (заведомо нулевого) не имеет смысла. Из (7.77), очевидно, следует, что ни одно из направлений (7.78) — (7.83) не является гармоническим. Случай III. V 1 6= 0, λ1 6= 0, F (λ1 , λ2 , λ3 ) = 0. В данном случае система уравнений (7.70), (7.65) имеет следующие решения 198

λ1 = f (λ2 , λ3 ), λ2 = λ2 , λ3 = λ3 , V = (±1, 0, 0), λ2 6= −λ3 , λ2 , λ3 , f (λ2 , λ3 )) 6= 0; ³ ´ p λ1 = λ1 , λ2 ≈ 1, 0298λ1 , λ3 ≈ −0.323λ1 , V = V 1 , 0, ± 1 − (V 1 )2 ,

(7.84) (7.85)

λ1 , V 1 6= 0, |V 1 | < 1;

³ p ´ λ1 = λ1 , λ2 = 0, λ3 = λ1 , V = ± 1 − (V 2 )2 , V 2 , 0 , λ1 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1; ³ ´ p λ1 = λ1 , λ2 = 0, λ3 = λ1 , V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , λ1 , V 1 , V 2 6= 0, |(V 1 )2 + (V 2 )2 | < 1; ³ p ´ λ1 = λ2 , λ2 = λ2 , λ3 = λ2 , V = ± 1 − (V 2 )2 , V 2 , 0 , λ2 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1; ³ p ´ 2 2 2 λ1 = λ1 , λ2 ≈ 1, 0298λ1 , λ3 ≈ −0.323λ1 , V = ± 1 − (V ) , V , 0 , λ1 , V 2 6= 0, |V 2 | < 1;

³

(7.86) (7.87)

(7.88) (7.89)

´ p 1 2 2 2 λ1 = λ2 , λ2 = λ2 , λ3 = 0, V = V , V , ± 1 − (V ) − (V ) , λ2 , V 1 , V 2 6= 0, (7.90) 1

2

|(V 1 )2 + (V 2 )2 | < 1;

´ ³ p 1 2 1 2 2 2 λ1 = λ2 , λ2 = λ2 , λ3 = λ2 , V = V , V , ± 1 − (V ) − (V ) ,

(7.91)

λ2 , V 1 , V 2 6= 0, |(V 1 )2 + (V 2 )2 | < 1. Если имеет место одно из решений:(7.84), (7.85), (7.88), (7.89) или (7.91), то алгебра Ли изоморфна алгебре sl(2, R). Если выполняется (7.86), (7.87) или (7.90), то алгебра Ли изоморфна алгебре e(1, 1). Квадраты длин направлений (7.84) — (7.91) были исследованы выше. Для найденных алгебр и соответствующих им направлений (7.84) — (7.91), выделим те направления, которые являются гармоническими, т.е. удовлетворяют условию (7.77). Нетрудно заметить, что это направления (7.86), (7.87) и (7.90). Пусть далее характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни. Используя (7.27), находим компоненты тензора wij ¡ ¢ w12 = −w21 = V 3 λ3 3 − λ3 2 α + 4 β 2 α , w13 = −w31 = V 1 (−1/2 β λ3 2 − 2 β λ3 α + 4 β α2 − 2 β 3 ) + V 2 (1/2 λ3 3 − 1/2 λ3 2 α + 2 β 2 α), w23 = −w32 = V 1 (−1/2 λ3 3 + 1/2 λ3 2 α − 2 β 2 α) + V 2 (−1/2 β λ3 2 − 2 β λ3 α + 4 β α2 − 2 β 3 ). Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что условия rot(w) = 0, div(w) = 0 равносильны системе уравнений: div(w)1 = 1/2 V 2 (β λ3 3 + 8 β 3 α + 4 λ3 β α2 − 8 β α3 )+ + 1/2 V 1 (12 β 2 α2 − 4 β 4 − β 2 λ3 2 − 4 β 2 λ3 α + λ3 3 α − λ3 2 α2 ) = 0, div(w)2 = 1/2 V 1 (β λ3 3 + 4 λ3 β α2 + 8 β 3 α − 8 β α3 )+ 2

3

2

2

2

2

2

4

(7.92) 2

2

1/2 V (−λ3 α + 4 λ3 β α + β λ3 − 12 β α + 4 β + λ3 α ) = 0, ¢ ¡ div(w)3 = V 3 λ3 3 − λ3 2 α + 4 β 2 α λ3 = 0. Гармонический тензор wij определяется системой уравнений (7.92) совместно с условием (7.65) и ограничением на структурные константы β 6= 0, т.е. системой урав199

нений вида div(w)1 = 1/2 V 2 (β λ3 3 + 8 β 3 α + 4 λ3 β α2 − 8 β α3 )+ + 1/2 V 1 (12 β 2 α2 − 4 β 4 − β 2 λ3 2 − 4 β 2 λ3 α + λ3 3 α − λ3 2 α2 ) = 0, div(w)2 = 1/2 V 1 (β λ3 3 + 4 λ3 β α2 + 8 β 3 α − 8 β α3 )+ 1/2 V 2 (−λ3 3 α + 4 λ3 β 2 α + β 2 λ3 2 − 12 β 2 α2 + 4 β 4 + λ3 2 α2 ) = 0, ¡ ¢ div(w)3 = V 3 λ3 3 − λ3 2 α + 4 β 2 α λ3 = 0,

(7.93)

(V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1, β 6= 0. Решаем данную систему уравнений относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора {V k¡}. ¢ Случай 1. V 3 6= 0, λ3 = 0, λ3 3 − λ3 2 α + 4 β 2 α 6= 0. Имеется одно решение α = α, β = β, λ3 = 0, V = (0, 0, ±1), α, β 6= 0. Как было замечено выше (см. раздел 7.2 ) алгебры Ли g, соответствующая полученному набору структурных констант, есть некомпактная алгебра типа e(1, 1). Квадрат длины вектора V определяется равенством (7.66), и в данном случае равен 1. Аналогично случаю действительных корней характеристического уравнения, проверим является ли данное направление гармоническим. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора V k . Получаем, что условия div(V ) = 0, rot(V ) = 0 равносильны следующему уравнению rot(V )23 = − rot(V )32 = 2V 2 β − V 1 λ3 = 0. Отсюда видно, что направление V = (0, 0, ±1) является гармоническим. Случай 2. λ3 6= 0. Имеются следующие решения: ³ ´ p √ α = α, β = ± 3α, λ3 = −2α, V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , α 6= 0, |(V 1 )2 + (V 2 )2 | ≤ 1; λ3 α = 2 3 2 , β = β, λ3 = λ3 , V = (0, 0, ±1), λ3 6= 0, ±2β. λ3 − 4β

(7.94)

(7.95)

(7.96)

Как было замечено выше (см. раздел 7.2 ) алгебры Ли g, соответствующая наборам структурных констант (7.95)-(7.96), есть некомпактная´алгебра типа sl(2, R). ³ p 1 2 Для направления V = V , V , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 из (7.66) находим kV k2 = 1 − 2(V 1 )2 . Очевидно, что 1 kV k2 = 0 ⇔ V 1 = ± √ ; 2 µ ¶ 1 1 2 1 kV k > 0 ⇔ V ∈ − √ , √ ; 2 2 · ¶ µ ¸ 1 1 2 1 kV k < 0 ⇔ V ∈ −1, − √ ∪ √ ,1 . 2 2 200

Так же из (7.94) легко получить, что данное направление является гармоническим, при √ V 1 = ± 3V 2 . √ ¿ + À соответствует значению β = − Причем знак 3α, а ¿ – À соответствует значе√ нию β = 3α Таким образом, доказана Теорема 7.6.1. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, {V k } — произвольный левоинвариантный вектор, такой что (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1, wij = V k Skij — гармонический тензор, где Skij — тензор Схоутена-Вейля. Тогда, если корни характеристического уравнения вещественны, то для любой трехмерной унимодулярной алгебры Ли существуют изотропные (за исключением su(2)), пространственноподобные и времениподобные направления, для которых тензор wij гармонический (см. таблицу 3). Более того, если вектор {V k } — гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты вектора {V k } содержатся в таблице 4. Если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни, то структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты вектора {V k } содержатся в таблице 5. Более того, если вектор {V k } — гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты вектора {V k } содержатся в таблице 6.

201

Таблица 3. Матрица констант

Знак kV k2

структурных

Вектор

su(2) 2

kV k > 0

Не существует алгебры Ли данного типа  −λ1 0 0  0 , λ2 0 (0, 0, ±1) 0 0 f (λ1 , λ2 ) −λ1 , λ2 , f (λ1 , λ2 ) одного знака, λ1 + λ2 6= 0, λ1 , λ2 , f (λ1 , λ2 ) 6= 0 



 −λ1 0 0  0 f (λ1 , λ3 ) 0 , 0 0 λ3 −λ1 , λ3 , f (λ1 , λ3 ) одного знака, λ1 + λ3 6= 0, λ1 , λ3 , f (λ1 , λ3 ) 6= 0

kV k2 > 0



−λ1  0 0

0 −3.184λ1 0

kV k2 < 0

Матрица констант

³

0, V 2 , ±

´ p 1 − (V 2 )2 ,

V 2 6= 0, |V 2 | < 1

структурных

Вектор

sl(2, R) 



kV k2 > 0

 0 , λ1 6= 0 0 −3.092λ1

Не существует алгебры Ли данного типа

Знак kV k2

kV k2 = 0

(0, ±1, 0)

−λ1  0 0

0 0 , λ1 6= 0 1.0298λ1 0 0 −0.323λ1   −λ2 0 0  0 λ2 0 , λ2 = 6 0 0 0 λ2   −λ1 0 0  0 , λ2 0 0 0 f (λ1 , λ2 ) −λ1 , λ2 , f (λ1 , λ2 ) разных знаков, λ1 + λ2 6= 0, λ1 , λ2 , f (λ1 , λ2 ) 6= 0   −λ1 0 0  0 f (λ1 , λ3 ) 0 , 0 0 λ3 −λ1 , λ3 , f (λ1 , λ3 ) разных знаков, λ1 + λ3 6= 0, λ1 , λ3 , f (λ1 , λ3 ) 6= 0   −λ1 0 0  0 , λ1 6= 0 1.0298λ1 0 0 0 −0.323λ1   −λ2 0 0  0 λ2 0 , λ2 6= 0 0 0 λ2 

−λ2  0 0

0 λ2 0

 0 0 , λ2 6= 0 λ2 202

³

³

´

± √12 , 0, ± √12

´

± √12 , ± √12 , 0

(0, 0, ±1)

(0, ±1, 0)

³

V 1 , 0, ±

´ p 1 − (V 1 )2 ,

V 1 6= 0, |V 1 |
0 kV k2 < 0

Матрица констант

0 λ2 0

 0 0, 0  0 0 , λ3  0 0 , λ1  0 0 , λ1

³ λ2 6= 0

´ 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 ,

p

V 1 , V 2 6= 0, |V 1 | (V 1 )2 + (V 2 )2 < 1

λ3 6= 0

λ1 6= 0

V 1, V 2, ±


0

sl(2, R) 

−α ± 3α 0 √ ± 3α α 0 , α 6= 0 0 0 −2α   λ33 − λ2 −4β β 0 2  3  λ33  β 0 , λ23 −4β 2 0 0 λ3 β 6= 0, λ3 6= 0, ±2β 

kV k2 < 0

структурных

√



−α √ ± 3α 0

± 3α α 0

0 0 , α 6= 0 −2α



√ ± 3α α 0

 0 0 , α 6= 0 −2α

−α √ ± 3α 0

Вектор ³

± √12 , V 2 , ±

|V 2 | ≤

q

1 2

´ − (V 2 )2 ,

√1 2

(0, 0, ±1) ³

V 1, V 2, ±

´ p 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 ,

(V 1 )2 ³+ (V 2 )2 ≤ ´ 1, V 1 ∈ − √12 , √12 ³

´ p V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , h ´ ³ i V 1 ∈ −1, − √12 ∪ √12 , 1

e(1, 1) kV k2 = 0 kV k2 > 0 kV k2 < 0

Не существует алгебры Ли данного типа   −α β 0  β α 0, α, β 6= 0 (0, 0, ±1) 0 0 0 Не существует алгебры Ли данного типа

208

Таблица 6. Матрица констант

Знак kV k2

kV k2 = 0

kV k2 > 0

sl(2, R) √   −α 3α 0 √  3α α 0 , α 6= 0 0 0 −2α √   −α − 3α 0 √ − 3α α 0 , α 6= 0 0 0 −2α   3 λ3 − λ2 −4β β 0 2  3  λ33  0 , β λ23 −4β 2 0 0 λ3 β 6= 0, λ3 6= 0, ±2β  −α √  3α 0 

−α √ − 3α 0

kV k2 < 0

структурных

 −α √  3α 0 

−α √ − 3α 0

√

3α α 0

√ − 3α α 0 √

3α α 0

√ − 3α α 0

 0 0 , α 6= 0 −2α  0 0 , α 6= 0 −2α  0 0 , α 6= 0 −2α  0 0 , α 6= 0 −2α

Вектор ³

± √12 , V 2 , ±

|V 2 | ≤ ³

1 2

´ − (V 2 )2 ,

1 2

´ − (V 2 )2 ,

√1 2

± √12 , V 2 , ±

|V 2 | ≤

q

q

√1 2

(0, 0, ±1)

q ´ V 1 , − √13 V 1 , ± 1 − 43 (V 1 )2 , ´ ³ V 1 ∈ − √12 , √12

³

q ´ V 1 , √13 V 1 , ± 1 − 43 (V 1 )2 , ³ ´ V 1 ∈ − √12 , √12 ³

q ´ V 1 , − √13 V 1 , ± 1 − 43 (V 1 )2 , h √ ´ ³ √ i V 1 ∈ − 23 , − √12 ∪ √12 , 23

³

q ´ V 1 , √13 V 1 , ± 1 − 43 (V 1 )2 , h √ ´ ³ √ i V 1 ∈ − 23 , − √12 ∪ √12 , 23 ³

e(1, 1) 2

kV k = 0 kV k2 > 0 kV k2 < 0

Не существует алгебры Ли данного типа   −α β 0  β α 0, α, β 6= 0 (0, 0, ±1) 0 0 0 Не существует алгебры Ли данного типа

Случай неунимодулярных групп Ли Пусть далее G — трехмерная неунимодулярная группа Ли. Случай А Применяя (7.64), нетрудно заметить, что квадрат длины вектора V , в данном случае определяется формулой kV k2 = (V 1 )2 + (V 2 )2 − (V 3 )2 .

(7.97)

Аналогично унимодулярному случаю, считаем, что компоненты вектора V удовлетворяют равенству (7.65). 209

Используя (7.27), находим компоненты тензора wij : ¡ ¢ w21 = −w12 = 1/2 V 3 (λ − µ) cos (ϕ) λ2 − µ2 , w13 = −w31 = 1/2 V 1 sin(ϕ)(3 (λ2 µ + λ3 − µ3 − µ2 λ) cos2 (ϕ) + 2 λ µ2 − 2 λ2 µ)+ + 1/2 V 2 cos(ϕ)(3 (λ2 µ + λ3 − µ3 − µ2 λ) cos2 (ϕ) + 4 λ µ2 + µ3 − 2 λ3 − 3 λ2 µ), w23 = −w32 = −1/2 V 2 sin(ϕ)(3 (λ2 µ + λ3 − µ3 − µ2 λ) cos2 (ϕ) + 2 λ µ2 − 2 λ2 µ)+ + 1/2 V 1 cos(ϕ)(3 (λ2 µ + λ3 − µ3 − µ2 λ) cos2 (ϕ) + 3 λ µ2 + 2 µ3 − λ3 − 4 λ2 µ). Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что условия rot(w) = 0, div(w) = 0 равносильны системе уравнений: rot(w)132 = rot(w)321 = rot(w)213 = − rot(w)123 = − rot(w)231 = = − rot(w)312 = 1/2 sin(ϕ) cos(ϕ)V 3 (λ − µ)2 (λ + µ)2 = 0, div(w)1 = 1/2 (λ − µ)(V 1 [2λµ2 − cos2 (ϕ)(λ + µ)(λ2 + 7λµ+ + 3µ2 ) + 3 (λ + µ)3 cos4 (ϕ)] − V 2 (λ + µ) sin(ϕ) cos(ϕ)[µ2 + 4 λµ− − 3 cos2 (ϕ)(λ + µ)2 ]) = 0,

(7.98)

div(w)2 = 1/2 (µ − λ)(V 2 [2λ2 µ − cos2 (ϕ)(λ + µ)(3λ2 + 7λµ+ + µ2 ) + 3 (λ + µ)3 cos4 (ϕ)] − V 1 (λ + µ) sin(ϕ) cos(ϕ)[λ2 + 4 λµ− − 3 cos2 (ϕ)(λ + µ)2 ]) = 0. Решаем систему уравнений (7.65)-(7.98) относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора {V k }. Тем самым определим алгебры Ли и соответствующие им направления, для которых тензор wij является гармоническим. Учитывая, что ϕ 6= πk, k ∈ Z и λ + µ 6= 0, получаем следующие решения: ³ p ´ π λ = µ, µ = µ, ϕ = ϕ, µ 6= 0, ϕ 6= ± , V = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 , 2 V 3 6= 0; ³ p ´ π λ = 0, µ = µ, µ 6= 0, ϕ = ± , V = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 ), V 3 6= 0; 2 ´ ³ p π λ = λ, µ = 0, λ 6= 0, ϕ = ± , V = ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 , V 3 6= 0; 2 π λ = λ, µ = µ, λ 6= ±µ, ϕ = ± , V = (0, 0, ±1); 2 π λ = λ, µ = 0, λ 6= 0, ϕ = ϕ, ϕ 6= πk, + πk, k ∈ Z, 2 Ã ! 2 − 3 sin2 (ϕ) 3 cos(ϕ) sin(ϕ) V = p ,p ,0 ; 4 cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) 4 cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) π λ = 0, µ = µ, µ 6= 0, ϕ = ϕ, ϕ 6= πk, + πk, k ∈ Z, 2 ! Ã 2 3 cos(ϕ) sin(ϕ) 2 − 3 sin (ϕ) ,p ,0 ; V = p 4 cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) 4 cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) √ λ = 0, µ = µ, µ 6= 0, ϕ = ± arctg 2 + πk, k ∈ Z, V = (0, ±10) .

(7.99)

(7.100) (7.101) (7.102) (7.103)

(7.104)

(7.105)

Исследуем полученное множество направлений. Согласно (7.97), очевидно, получаем, что в каждом из случаев (7.99) — (7.101) квадрат длины вектора V определяется равенством kV k2 = 1 − 2(V 3 )2 . 210

Очевидно, что 1 kV k2 = 0 ⇔ V 3 = ± √ ; 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 2 3 kV k > 0 ⇔ V ∈ − √ , 0 ∪ 0, √ ; 2 2 µ ¶ ¶ µ 1 1 2 3 kV k < 0 ⇔ V ∈ −1, − √ ∪ √ ,1 . 2 2 Также из (7.97) находим, для решения (7.102) квадрат длины вектора V равен -1, а в каждом из случаев (7.103) — (7.105) выполняется kV k2 = 1. Пусть далее вектор V k — гармонический вектор. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора V k . Получаем, что условия div(V ) = 0, rot(V ) = 0 равносильны уравнению rot(V )21 = − rot(V )12 = V 3 cos (ϕ)(λ + µ) = 0 Отсюда видно, что направления (7.100)-(7.105) является гармоническими. Случай B Используя (7.27), находим компоненты тензора wij : w21 = −w12 = 1/2 V 3 s3 , w13 = −w31 = −V 2 s3 + 3/2 V 3 qs2 ,

¡ ¢ w23 = −w32 = −1/2 V 1 s3 + 3/2 V 2 qs2 + V 3 1/2 s2 p − 3/2 sq 2 + 1/2 qst . Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что условия rot(w) = 0, div(w) = 0 равносильны системе уравнений: rot(w)132 = rot(w)321 = rot(w)213 = − rot(w)123 = = − rot(w)231 = − rot(w)312 = 1/2 s3 V 3 (q + t) = 0, div(w)2 = 1/2 s3 (2 sV 2 − 3 V 3 q − V 3 t) = 0,

(7.106)

div(w)3 = −1/2 s2 (2 sV 2 q − 3 V 3 q 2 + sV 3 p) = 0. Решаем систему уравнений (7.106) совместно с условием (7.65) относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора {V k }. Тем самым определим алгебры Ли и соответствующие им направления, для которых тензор wij является гармоническим. При условии, что q 6= t, имеются следующие решения: p q = q, s = 0, t = t, p = p, t 6= ±q, V = (V 1 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ), V 3 6= 0; (7.107) 2

2

2 2

V s (V ) s V s , s = s, t = − 3 , p = , s 6= 0, V 3 6= 0, (V 1 )2 + (V 3 )2 < 1, 3 V V (V 3 )2 p V = (V 1 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ); q = q, s = s, t = t, p = p, s 6= 0, t 6= ±q V = (±1, 0, 0). q=

(7.108)

(7.109)

Исследуем полученное множество направлений. Из равенств (7.64)-(7.65) находим, что квадрат длины вектора V равен kV k2 = −2V 1 V 3 + (V 2 )2 . 211

(7.110)

Отсюда получаем, что (7.107) есть изотропное направление. Пусть имеет место (7.107) или (7.108). Тогда из равенств (7.65)-(7.110) заключаем kV k2 = 1 − (V 1 + V 3 )2 . Ясно, что kV k2 > 0 ⇔ |V 1 + V 3 | < 1; kV k2 < 0 ⇔ |V 1 + V 3 | > 1; kV k2 = 0 ⇔ V 1 + V 3 = ±1. p 1 3 2 Кроме того, если V + V = 1, то V = ± −2V 3 (V 3 − 1), а если V 1 + V 3 = −1, то p V 2 = ± −2V 3 (V 3 + 1). Пусть далее вектор V k — гармонический вектор. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора V k . Получаем, что условия div(V ) = 0, rot(V ) = 0 равносильны следующему уравнению rot(V )21 = − rot(V )12 = rot(V )32 = − rot(V )23 = 1 1 = V 3 s + V 1 s − V 2 q + V 3 p = 0. 2 2

(7.111)

Решаем систему уравнений (7.65)-(7.106)-(7.111). При имеющихся ограничениях на структурные константы получаем, что направление (7.107) является гармоническим, только если q = q, s = 0, t = 0, p =

p V 2q 1 , q = 6 0, V = (V , ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ), V 3 6= 0. 3 V

Направления (7.108) и (7.109) не являются гармоническими. Случай C.1 Используя (7.27), находим компоненты тензора wij : ¡ ¢ w12 = −w21 = V 3 pq 2 + 2 pqs + s2 p , ¡ ¢ ¡ ¢ w13 = −w31 = V 1 −2 p2 q − 2 p2 s + sq 2 + qs2 + V 2 −pq 2 + 2 s2 p + pqs , ¡ ¢ ¡ ¢ w23 = −w32 = V 1 −2 pq 2 + s2 p − pqs + V 2 −2 p2 q − 2 p2 s + sq 2 + qs2 . Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что условия rot(w) = 0, div(w) = 0 равносильны системе уравнений: rot(w)132 = rot(w)321 = rot(w)213 = − rot(w)123 = − rot(w)231 = = − rot(w)312 = pV 3 (s − q) (q + s)2 = 0, div(w)1 = (q + s)(V 1 [sq 2 + p2 s − 4 p2 q] + V 2 [3 pqs − 2 p3 − − pq 2 ]) = 0,

(7.112)

div(w)2 = −(q + s)(V 1 [s2 p − 3 pqs + 2 p3 ] + V 2 [qs2 − 4 p2 s+ + p2 q]) = 0. Гармонический тензор wij определяется системой уравнений (7.65)-(7.112). Решаем данную систему уравнений относительно структурных констант алгебры Ли g и ком212

понент вектора {V k }. При условии, что q 6= s, имеются следующие решения: p = p, q = q, s = −q, q 6= 0, p 6= 0, ´ ³ p V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , (V 1 )2 + (V 2 )2 < 1;

(7.113)

p = 0, q = q, s = 0, q 6= 0, ³ ´ p 1 2 1 2 2 2 V = V , V , ± 1 − (V ) − (V ) , (V 1 )2 + (V 2 )2 < 1;

(7.114)

p = 0, q = q, s = s, s 6= q V = (0, 0, ±1); p = 0, q = 0, s = s, s 6= 0, ³ ´ p V = V 1 , V 2 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 , (V 1 )2 + (V 2 )2 < 1;

(7.115) (7.116)

p2 (7.117) p = p, q = − , s = s, s 6= 0, p 6= 0, s à ! p(5s2 + p2 ) s(5p2 + s2 ) V = p ,p ,0 ; (p2 + s2 )(s4 + 34s2 p2 + p4 ) (p2 + s2 )(s4 + 34s2 p2 + p4 ) s s p = ± , q = , s = s, s 6= 0 V = (±1, 0, 0); (7.118) 2 2 p √ p(ps + 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 ) p = p, q = , s = s, p = 6 0, s = 6 −p, ± 2p, 2p, (7.119) 2(2p2 − s2 ) s p 8p4 + 4s4 − 9s2 p2 − sp 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 1 , V =± 24p4 + 6s4 − 18s2 p2 s p 16p4 + 2s4 − 9s2 p2 + sp 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 2 V =± , V 3 = 0; 24p4 + 6s4 − 18s2 p2 p √ p(ps − 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 ) p = p, q = , s = s, p 6= 0, s 6= p, ± 2p, −2p, (7.120) 2 2 2(2p − s ) s p 4 + 4s4 − 9s2 p2 + sp 8p 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 , V1 =± 24p4 + 6s4 − 18s2 p2 s p 4 + 2s4 − 9s2 p2 − sp 16p 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 V2 =± , V 3 = 0; 24p4 + 6s4 − 18s2 p2 q q  √ √ p √ √ 6(13 − 73) 6(11 + 73) 9 + 73 11 + 73 s, q = s, V =  ,− , 0 ; p= 2 6 12 12 (7.121) q q   √ √ p √ √ 6(13 + 73) 6(11 − 73) 11 − 73 9 − 73 p= s, q = s, V =  ,− , 0 ; 2 6 12 12 (7.122) Исследуем полученное множество направлений. Из (7.64) находим квадрат длины вектора V kV k2 = (V 1 )2 − (V 2 )2 + (V 3 )2 .

(7.123)

Если имеет место (7.113), (7.114) или (7.116), то из равенств (7.65)-(7.123) полу213

чаем kV k2 = 1 − 2(V 2 )2 . Очевидно, что 1 kV k2 = 0 ⇔ V 2 = ± √ ; 2 1 kV k2 > 0 ⇔ |V 2 | < √ ; 2 1 kV k2 < 0 ⇔ |V 2 | > √ . 2 Аналогично получаем, что квадрат длины направлений (7.115) и (7.118) равен 1. Если выполняется (7.117), то из условия (7.123) находим kV k2 =

(p2 − s2 )(s4 + p4 − 14p2 s2 ) . (s2 + p2 )(s4 + 34s2 p2 + p4 )

Нетрудно проверить, что при имеющихся ограничениях на структурные константы √ данное направление является изотропным только при p = ±(2 ± 3)s. Непосредственно проверяется, что ³ ´ ³ ´ √ ´ ³ √ ´ ³ √ √ kV k2 > 0 ⇔ p ∈ −∞, −(2 + 3)s ∪ −s, (−2 + 3)s ∪ (2 − 3)s, s ∪ (2 + 3)s, ∞ ; ³ ´ ³ ´ ³ √ √ √ ´ ³ √ ´ 2 kV k < 0 ⇔ p ∈ −(2 + 3)s, −s ∪ (−2 + 3)s, 0 ∪ 0, (2 − 3)s ∪ s, (2 + 3)s . Пусть имеет место (7.119). Тогда из (7.123) получаем p s4 − 4p4 − sp 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 2 kV k = . 3(4p4 + s4 − 3s2 p2 ) Легко заметить, что kV k 6= 0 при заданных ограничениях на структурные константы. Непосредственно проверяется, что ³ ´ √ ´ ³ √ kV k2 > 0 ⇔ s ∈ −∞, − 2p ∪ − 2p, −p ∪ (2p, ∞) ; ´ ³ √ ´ ³√ kV k2 < 0 ⇔ s ∈ −p, 2p ∪ 2p, 2p . Пусть выполняется (7.120). Тогда из (7.123) находим p 4 4 s − 4p + sp 32p4 + 8s4 − 31p2 s2 kV k2 = . 3(4p4 + s4 − 3s2 p2 ) Нетрудно заметить, что соответствующее направление не является изотропным при допустимых значениях структурных констант. Также легко проверяется, что ³ √ ´ ³√ ´ kV k2 > 0 ⇔ s ∈ (−∞, −2p) ∪ p, 2p ∪ 2p, ∞ ; ³ ´ √ ´ ³ √ 2 kV k < 0 ⇔ s ∈ −2p, − 2p ∪ − 2p, p . Аналогично из (7.123) для направления (7.121) (соответственно (7.122)) получаем, √ √ 1− 73 1+ 73 что квадрат длины вектора V равен 12 (соответственно 12 ). 214

Пусть далее вектор V k — гармонический вектор. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора V k . Получаем, что условия div(V ) = 0, rot(V ) = 0 равносильны следующему уравнению rot(V )31 = − rot(V )13 = 2V 1 s.

(7.124)

Проверим, какие из найденных направлений (7.113) — (7.122) являются гармоническими. Очевидно, что (7.114) и (7.115) есть гармонические направления. Векторы (7.113) и (7.116) являются гармоническими только при V 1 = 0. Применяя (7.124) находим, что множество направлений (7.119) содержит два гармонических направления p = p, q =

√

Ã√ 2p, s = 0, p 6= 0, V =

! √ 3 6 , ,0 3 3

p = p, q = 2p, s = p, p 6= 0, V = (0, ±1, 0). Аналогично в множестве направлений (7.120) гармоническими являются Ã√

√

p = p, q = − 2p, s = 0, p 6= 0, V =

! √ 3 6 , ,0 3 3

p = p, q = −2p, s = −p, p 6= 0, V = (0, ±1, 0). Наконец, (7.117), (7.118), (7.121) и (7.122) суть негармонические направления. Случай C.2 Используя (7.27), находим компоненты тензора wij : ¡ ¢ w21 = −w12 = V 3 1/2 p2 r − 1/2 r2 p − 1/2 r3 + 1/2 p3 , ¡ ¢ ¡ ¢ w13 = −w31 = V 1 3/2 p2 q − 3/2 qr2 + V 2 1/2 p3 + 1/2 r2 p + r3 + pq 2 + q 2 r , ¡ ¢ ¡ ¢ w23 = −w32 = V 1 p3 + 1/2 p2 r + 1/2 r3 + pq 2 + q 2 r + V 2 3/2 p2 q − 3/2 qr2 . Вычисляем ротор и дивергенцию тензора wij . Получаем, что условия rot(w) = 0, div(w) = 0 равносильны системе уравнений: rot(w)132 = rot(w)321 = rot(w)213 = − rot(w)123 = − rot(w)231 = = − rot(w)312 = V 3 (p − r)(p + r)2 q = 0, div(w)1 = 1/2 (p + r)(V 1 [2 p3 − p2 r + 5 pq 2 + pr2 − 3 q 2 r]+ + V 2 [4 p2 q − 4 prq + 2 qr2 + 2 q 3 ]) = 0,

(7.125)

div(w)2 = 1/2 (p + r)(V 1 [2 p2 q − 4 pqr + 2 q 3 + 4 qr2 ]+ + V 2 [−p2 r + 3 pq 2 + r2 p − 5 q 2 r − 2 r3 ]) = 0. Гармонический тензор wij определяется системой уравнений (7.65)-(7.125). Решаем данную систему уравнений относительно структурных констант алгебры Ли g и компонент вектора {V k }. Принимая во внимание, что q 6= 0 и p + r 6= 0, находим следу215

ющие решения: p = r, q = q, r = r, r 6= 0, q 6= 0 V = (0, 0, ±1) , q 6= 0, r 6= 0; (7.126) q2 p = − , q = q, r = r, r 6= 0, q 6= 0, ±r (7.127) Ãr ! q(2r2 + q 2 ) r(r2 + 2q 2 ) V = p ,p ,0 ; (r2 + q 2 )(r4 + q 4 + 7q 2 r2 ) (r2 + q 2 )(r4 + q 4 + 7q 2 r2 ) p 1p 2 6r − 28pr + 6p2 + 2f , r = r, f = −(23p2 + 82pr + 23r2 )(p − r)2 , p = p, q = ± 4 (7.128) s 43p3 − 61r3 − 83rp2 + 101r2 p + f (r + p) V1 =± , 8(p − r)(13r2 − 10rp + 13p2 ) s 61p3 − 43r3 − 101rp2 + 83r2 p − f (r + p) 3 V2 =± , V = 0, 8(p − r)(13r2 − 10rp + 13p2 ) Ã ! Ã ! √ √ −24 2 − 41 24 2 − 41 p∈ r, −r ∪ −r, r ; 23 23 p 1p 2 p = p, q = ± 6r − 28pr + 6p2 − 2f , r = r, f = −(23p2 + 82pr + 23r2 )(p − r)2 , 4 (7.129) s 43p3 − 61r3 − 83rp2 + 101r2 p − f (r + p) V1 =± , 8(p − r)(13r2 − 10rp + 13p2 ) s 61p3 − 43r3 − 101rp2 + 83r2 p + f (r + p) 3 V2 =± , V = 0, 8(p − r)(13r2 − 10rp + 13p2 ) " ! Ã # √ √ −24 2 − 41 24 2 − 41 p∈ r, −r ∪ −r, r . 23 23 Исследуем полученное множество направлений. Согласно (7.64) квадрат длины вектора V определяется равенством kV k2 = (V 1 )2 − (V 2 )2 + (V 3 )2 .

(7.130)

Очевидно, что квадрат длины вектора (7.126) равен 1. Пусть имеет место (7.127). Из (7.65)-(7.130) находим kV k2 =

(r2 − q 2 )(r2 + q 2 + rq)(r2 + q 2 − rq) p . (r2 + q 2 )(r4 + q 4 + 7q 2 r2 )

Легко заметить, что kV k2 6= 0 при допустимых значениях структурных констант. Непосредственно проверяется, что kV k2 > 0 ⇔ q ∈ (−r, 0) ∪ (0, r) ; kV k2 < 0 ⇔ q ∈ (−∞, −r) ∪ (r, ∞) . Если выполняется (7.128), то из (7.65)-(7.130) получаем (p + r)(9p2 − 18rp + 9r2 − f ) . kV k = 4(r − p)(13r2 − 10rp + 13p2 ) 2

216

Нетрудно заметить, что соответствующее направление не является изотропным при заданных ограничениях на структурные константы. Также легко проверяется, что " ! √ −24 2 − 41 kV k2 > 0 ⇔ p ∈ r, −r ; 23 Ã # √ 24 2 − 41 kV k2 < 0 ⇔ p ∈ −r, r . 23 Аналогично для (7.129) имеем kV k2 =

(p + r)(9p2 − 18rp + 9r2 + f ) . 4(r − p)(13r2 − 10rp + 13p2 )

Легко проверить, что kV k2 6= 0 при допустимых значениях структурных констант. Более того, " ! √ −24 2 − 41 kV k2 > 0 ⇔ p ∈ r, −r ; 23 Ã # √ 2 − 41 24 kV k2 < 0 ⇔ p ∈ −r, r . 23 Пусть далее вектор V k — гармонический вектор. Вычисляем компоненты ротора и дивергенции вектора V k . Получаем, что условия div(V ) = 0, rot(V ) = 0 равносильны следующему уравнению rot(V )31 = − rot(V )13 = 2V 1 q + V 2 (p + r) = 0.

(7.131)

Очевидно, что (7.126) есть гармоническое направление. Применяя (7.131) находим, что в множестве направлений (7.127) гармоническими являются µ ¶ 3 4 p = −4r, q = 2r, r = r, r 6= 0, V = , ,0 ; 5 5 µ ¶ 3 4 p = −4r, q = −2r, r = r, r 6= 0, V = ,− ,0 . 5 5 Легко проверяется, что (7.128) и (7.129) суть негармонические направления. Таким образом, доказана Теорема 7.6.2. Пусть G — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, {V k } — произвольный левоинвариантный вектор, такой что (V 1 )2 + (V 2 )2 + (V 3 )2 = 1, wij = V k Skij — гармонический тензор, где Skij — тензор Схоутена-Вейля. Тогда, матрицы структурных констант алгебры Ли группы G и компоненты вектора {V k } содержатся в таблице7). Более того, если вектор {V k } — гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты вектора {V k } содержатся в таблице 8.

217

Таблица 7. Знак kV k2

№

Матрица констант 

1

kV k2 = 0

2

3

4

5

kV k2 > 0

6

7

8

9

kV k2 < 0

10

11

12

структурных 

Вектор

A

µ cos ϕ µ sin ϕ 0 −µ sin ϕ µ cos ϕ 0, 0 0 0 µ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, π2 + πk | k ∈ Z}   0 µ 0 0 0 0, µ 6= 0 0 0 0   0 0 0 λ 0 0, λ 6= 0, 0 0 0   µ cos ϕ µ sin ϕ 0 −µ sin ϕ µ cos ϕ 0, 0 0 0 µ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, π2 + πk | k ∈ Z}   0 µ 0 0 0 0, µ 6= 0 0 0 0   0 0 0 λ 0 0, λ 6= 0, 0 0 0   λ cos ϕ 0 0 −λ sin ϕ 0 0, 0 0 0 λ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, π2 + πk | k ∈ Z}   0 µ sin ϕ 0 0 µ cos ϕ 0, 0 0 0 µ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, π2 + πk | k ∈ Z}   µ cos ϕ µ sin ϕ 0 −µ sin ϕ µ cos ϕ 0, 0 0 0 µ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, π2 + πk | k ∈ Z}   0 µ 0 0 0 0, µ 6= 0 0 0 0   0 0 0 λ 0 0, λ 6= 0, 0 0 0   0 µ 0 −λ 0 0, λ 6= ±µ, 0 0 0

218

(0, ± √12 , ± √12 )

(0, ± √12 , ± √12 ) (0, ± √12 , ± √12 )

³ p ´ ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 , ´ ³ ´ ³ V 3 ∈ − √12 , 0 ∪ 0, √12 , (V 2 )2 + (V 3 )2 ≤ 1

µ sin(ϕ) √ 3 cos(ϕ) 2 2

4 cos (ϕ)+sin (ϕ)

µ √

,√

2−3 sin2 (ϕ) 4 cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ)

¶ ,0

¶

2−3 sin2 (ϕ) 4 cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ)

sin(ϕ) , √ 3 cos(ϕ) 2 2

4 cos (ϕ)+sin (ϕ)

,0

³ p ´ ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 , ´ ³ ³ ´ V 3 ∈ −∞, √12 ∪ √12 , ∞ , (V 2 )2 + (V 3 )2 ≤ 1

(0, 0, ±1)

1

2

kV k2 = 0

3

4

5

kV k2 0

>

6

7

2

kV k < 0

8

9

 p t 0  p t 0 

q 0 0 0, t 6= ±q 0 0  q 0 0 0, t = 6 ±q 0 0  (V 2 )2 V2 0 3 )2 s 3s (V V  V2  − 3 s s 0, V 0 0 0  22  (V ) V2 0 3 )2 s 3s (V V  V2  − 3 s s 0, V 0 0 0   p q 0  t s 0, s 6= 0, 0 0 0   p q 0  t 0 0, t 6= ±q 0 0 0  22  (V ) V2 0 3 )2 s 3s (V V  V2  − 3 s s 0, V 0 0 0   p q 0  t 0 0, t 6= ±q 0 0 0  22  (V ) V2 s s 0 3 2 3 V  (V V)2  − 3 s s 0, V 0 0 0 

1

2

3

kV k2 = 0

4

5

B





³

V 1, ±

´ −2V 3 (V 3 − 1), V 3 ,

p

V 1 + V 3 = 1, V 3 ∈ (0, 1) ³

V 1, ±

´ −2V 3 (V 3 + 1), V 3 ,

p

V 1 + V 3 = −1, V 3 ∈ (−1, 0) ³ s 6= 0

´ −2V 3 (V 3 − 1), V 3 ,

p

V 1 + V 3 = 1, V 3 ∈ (0, 1) ³

s 6= 0

V 1, ±

V 1, ±

´ −2V 3 (V 3 + 1), V 3 ,

p

V 1 + V 3 = −1, V 3 ∈ (−1, 0)

t 6= ±q

(±1, 0, 0) ³

V 1, ±

´ 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ,

p

|V 1 + V 3 | < 1, (V 2 )2 + (V 3 )2 < 1 ³ s 6= 0

V 1, ±

´ 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ,

p

|V 1 + V 3 | < 1, (V 2 )2 + (V 3 )2 < 1 ³

V 1, ±

´ 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ,

p

|V 1 + V 3 | > 1, (V 2 )2 + (V 3 )2 < 1 ³ s 6= 0 C1

p q 0 −q −p 0, p, q 6= 0 0 0 0   0 q 0 0 0 0, q 6= 0 0 0 0   0 0 0 s 0 0, s 6= 0 0 0 0 √ √   (2 + 3)s −(7 + 4√ 3)s 0  s −(2 + 3)s 0, 0 0 0 s 6= 0 √ √   (2 − 3)s −(7 − 4√ 3)s 0  s −(2 − 3)s 0, 0 0 0 s 6= 0

219

V 1, ±

´ 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ,

p

|V 1 + V 3 | > 1, (V 2 )2 + (V 3 )2 < 1 ³

V 1 , ± √12 , ±

|V 1 | < ³

³

´ − (V 1 )2 ,

q

1 2

´ − (V 1 )2 ,

1 2

´ − (V 1 )2 ,

√1 2

V 1 , ± √12 , ±

|V 1 |


  2 p ps 0 s −p 0, s 6= 0 0 0 0

√1 , (V 1 )2 2

V 1, V 2, ±

|V 2 | >

´ 1 − (V 1 )2 − (V 2 )2 ,

p

(p2 +s2 )(s4 +34s2 p2 +p4 )

¡

V1 =± V2 =±

q q

8p4 +4s4 −9s2 p2 −spf 24p4 +6s4 −18s2 p2 , 16p4 +2s4 −9s2 p2 +spf 24p4 +6s4 −18s2 p2 ,

√ ¢ ¡√ ¡ ¢ V 3 = 0, s ∈ −p, 2p ∪ 2p, 2p V1 =± V2 =±

q q

8p4 +4s4 −9s2 p2 +spf 24p4 +6s4 −18s2 p2 , 16p4 +2s4 −9s2 p2 −spf 24p4 +6s4 −18s2 p2 ,

V 3 = 0, s ¡ √ ¢ − 2p, p µ√

0

∈

√ ¢ ¡ −2p, − 2p ∪

¶ √ √ √ 6(13− 73) 6(11+ 73) ,− ,0 12 12

s 6= 0 C2 kV k2 = 0

Не существует алгебр Ли с гармоническим тензором wij

1 

2

kV k > 0

2

r −q 0

3

 q2 −r  −q 0

 0 0, r, q 6= 0 0

q r 0 q r 0

(0, 0, ±1)



V1 = √

0 0 0

V2

√

,

(r 2 +q 2 )(r 4 +q 4 +7q 2 r 2 )

,

V 3 = 0, q ∈ (−r, 0) ∪ (0, r)

 4

=

q(2r 2 +q 2 ) (r 2 +q 2 )(r 4 +q 4 +7q 2 r 2 ) r(r 2 +2q 2 )

 p q 0 −q r 0, 0 0 0 p q = ± 14 6r2 − 28pr + 6p2 + 2f

221

V1 =± V2 =±

q q

43p3 −61r 3 −83rp2 +101r 2 p+f (r+p) , 8(p−r)(13r 2 −10rp+13p2 ) 61p3 −43r 3 −101rp2 +83r 2 p−f (r+p) , 2 −10rp+13p2 ) ´ h 8(p−r)(13r √ ∈ −24 232−41 r, −r

V 3 = 0, p p f = −(23p2 + 82pr + 23r2 )(p − r)2

 kV k2 > 0

5

6

 p q 0 −q r 0, 0 0 0 p q = ± 14 6r2 − 28pr + 6p2 − 2f

 q2 −r  −q 0

q r 0



kV k < 0

7

0 0 0

q

43p3 −61r 3 −83rp2 +101r 2 p−f (r+p) , 8(p−r)(13r 2 −10rp+13p2 ) 61p3 −43r 3 −101rp2 +83r 2 p+f (r+p) , 2 −10rp+13p2 ) ´ h 8(p−r)(13r √ ∈ −24 232−41 r, −r

V 3 = 0, p p f = −(23p2 + 82pr + 23r2 )(p − r)2

V2

=

q(2r 2 +q 2 ) (r 2 +q 2 )(r 4 +q 4 +7q 2 r 2 ) r(r 2 +2q 2 )

√

,

(r 2 +q 2 )(r 4 +q 4 +7q 2 r 2 )

,

V 3 = 0, q ∈ (−∞, −r) ∪ (r, ∞)

 p q 0 −q r 0, 0 0 0 p q = ± 14 6r2 − 28pr + 6p2 + 2f

 8

V2 =±

q

V1 = √

 2

V1 =±

 p q 0 −q r 0, 0 0 0 p q = ± 14 6r2 − 28pr + 6p2 − 2f

222

V1 =± V2 =±

q q

43p3 −61r 3 −83rp2 +101r 2 p+f (r+p) , 8(p−r)(13r 2 −10rp+13p2 ) 61p3 −43r 3 −101rp2 +83r 2 p−f (r+p) , 2 −10rp+13p2 ) ³ 8(p−r)(13r i √ 2−41 ∈ −r, 24 23 r

V 3 = 0, p p f = −(23p2 + 82pr + 23r2 )(p − r)2 V1 =± V2 =±

q q

43p3 −61r 3 −83rp2 +101r 2 p−f (r+p) , 8(p−r)(13r 2 −10rp+13p2 ) 61p3 −43r 3 −101rp2 +83r 2 p+f (r+p) , 2 −10rp+13p2 ) ³ 8(p−r)(13r i √ 24 2−41 ∈ −r, r 23

V 3 = 0, p p f = −(23p2 + 82pr + 23r2 )(p − r)2

Таблица 8. Знак kV k2

№ 1

kV k2 = 0

2

3 4 5

kV k2 > 0

6

7

8 9 10

kV k2 < 0

11

12

kV k2 = 0

1

2

Матрица констант

структурных

Гармонический вектор

A Не существует гармонического направления   0 µ 0 0 0 0, µ 6= 0 (0, ± √12 , ± √12 ) 0 0 0   0 0 0 λ 0 0, λ 6= 0, (0, ± √12 , ± √12 ) 0 0 0 Не существует гармонического направления ³ p ´   2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 , ± 1 − (V 0 µ 0 ³ ´ ³ ´ 0 0 0, µ 6= 0 V 3 ∈ − √12 , 0 ∪ 0, √12 , 0 0 0 (V 2 )2 + (V 3 )2 ≤ 1   0 0 0 λ 0 0, λ 6= 0, 0 0 0   λ cos ϕ 0 0 µ ¶ −λ sin ϕ 0 0, sin(ϕ) 2−3 sin2 (ϕ) √ 3 cos(ϕ) √ , , 0 4 cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ) 4 cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ) 0 0 0 π λ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, 2 + πk | k ∈ Z}   0 µ sin ϕ 0 µ ¶ 0 µ cos ϕ 0, 2 sin(ϕ) √ 2−32 sin (ϕ)2 , √ 3 cos(ϕ) ,0 4 cos (ϕ)+sin (ϕ) 4 cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ) 0 0 0 π µ 6= 0, ϕ ∈ / {πk, 2 + πk | k ∈ Z} Не существует гармонического   0 µ 0 0 0 0, µ 6= 0 0 0 0   0 0 0 λ 0 0, λ 6= 0, 0 0 0   0 µ 0 −λ 0 0, λ 6= ±µ, 0 0 0 B V 2  V3q q 0  0 0 0, q 6= 0 0 0 0

направления ³ p ´ ± 1 − (V 2 )2 − (V 3 )2 , V 2 , V 3 , ³ ´ ³ ´ V 3 ∈ −∞, √12 ∪ √12 , ∞ ,

V 2

³

V3q

 0 0

q 0 0

 0 0, q 6= 0 0

(V 2 )2 + (V 3 )2 ≤ 1

(0, 0, ±1)

³

V 1, ±

´ −2V 3 (V 3 − 1), V 3 ,

p

V 1 + V 3 = 1, V 3 ∈ (0, 1) V 1, ±

´ −2V 3 (V 3 + 1), V 3 ,

p

V 1 + V 3 = −1, V 3 ∈ (−1, 0)

223

kV k2 = 0

4 5 kV k2 > 0

Не существует гармонического направления

3

6 7

Не существует гармонического Не существует гармонического V 2  V3q q 0  0 0 0, q 6= 0 0 0 0

направления направления ³ ´ p V 1 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ,

Не существует гармонического  V3q q 0  0 0 0, q 6= 0 0 0 0

направления ³ ´ p V 1 , ± 1 − (V 1 )2 − (V 3 )2 , V 3 ,

Не существует гармонического C1   p q 0 −q −p 0, p, q 6= 0 0 0 0   0 q 0 0 0 0, q 6= 0 0 0 0   0 0 0 s 0 0, s 6= 0 0 0 0

направления

V 2 kV k2 < 0

8 9

1

kV k2 = 0

2

3 4 5 6 7 8

9

2

kV k > 0

10

12 13 14 15 16

Не Не Не Не

существует гармонического существует гармонического существует гармонического существует гармонического   p q 0 −q −p 0, p, q 6= 0 0 0 0   0 q 0 0 0 0, q 6= 0 0 0 0   0 0 0 s 0 0, s 6= 0 0 0 0   0 q 0 s 0 0, s 6= ±q 0 0 0 Не Не Не Не

существует существует существует существует

гармонического гармонического гармонического гармонического

224

|V 1 + V 3 | < 1, (V 2 )2 + (V 3 )2 < 1

|V 1 + V 3 | > 1, (V 2 )2 + (V 3 )2 < 1

³

³

´ 0, ± √12 , ± √12 , V 1 , ± √12 , ±

|V 1 | < ³

q

1 2

´ − (V 1 )2 ,

√1 2

´ 0, ± √12 , ± √12 ,

|V 1 |
0

1

Не существует гармонического направления

2

Не существует гармонического направления

3

Не существует гармонического направления

4

Не существует гармонического направления

5 kV k2 < 0

6

6

Не существует гармонического направления   −4r 2r 0 ¡3 4 ¢ −2r r 0, r 6= 0 5, 5, 0 0 0 0   −4r −2r 0 ¡3 4 ¢  2r r 0, r 6= 0 5, −5, 0 0 0 0

7

Не существует гармонического направления

8

Не существует гармонического направления

225

Глава 8

Приложение 2. Геометрические вероятности и их применение при распознавании образов (Самарина О.В.) При построении статистических моделей форм образов в теории распознавания и анализа изображений большую роль играет теория геометрических вероятностей. Основы теории геометрических вероятностей были заложены выдающимися математиками прошлого столетия А. Пуанкаре, В. Бляшке, С. С. Чженем, их учениками Л. А. Сантало, С. Хелгансоном и многими другими известными математиками. Большой интерес к геометрическим вероятностям обусловлен прежде всего широким диапазоном их применения в естествознании. Факты, доставляемые интегральной геометрией и теорией геометрических вероятностей ложатся в основу многих быстро развивающихся современных теорий, которые занимаются изучением геометрических объектов случайного характера (таких как случайные точечные поля, случайные мозаики, фрактальные объекты), инвариантных относительно некоторых групп преобразований. Основы геометрической теории вероятности и большое число различных приложений можно найти в т. 1. Энциклопедия математики и ее приложений [116]. В данном приложении на простейших примерах взятых из [116] и [52] объясняются основные принципы интегральной геометрии. Приведены некоторые современные результаты [238]. В пункте 8.2 методами интегральной геометрии исследуются затеняющий и видимый контур поверхности – важные понятия из компьютерной графики. В последнем разделе изучается одна задача связанная с распознаванием образов в которой используется понятие инварианта относительно группы преобразований и результаты из теории геометрических вероятностей.

8.1

Группы преобразований плоскости.

Наиболее естественными и важными для приложений группами преобразований плоскости являются преобразования движения, т. е. поворот вокруг некоторой точки или параллельный сдвиг, а также более широкая группа включающая в себя дополнительно подобные растяжения плоскости. В данном пункте обе эти группы будут рассмотрены. 226

8.1.1.

Группа E(2) движений плоскости

Рассмотрим евклидову плоскость с декартовой прямоугольной системой координат. Тогда движение определяется как преобразование u : P (x, y) → P ∗ (x∗ , y ∗ ), заданное уравнениями x∗ =x cos ϕ − y sin ϕ + a, y ∗ =x sin ϕ + y cos ϕ + b.

(8.1)

где параметры a, b, ϕ меняются в пределах −∞ < a < ∞,

−∞ < b < ∞,

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

Совокупность всех таких преобразований обозначим, через E(2). Если K-множество точек и K ∗ = u(K)-образ множества K при движении u, то говорят, что множества K и K ∗ конгруэнтны. Легко дать геометрическую интерпретацию параметров a, b, ϕ. Пусть тройка (O; X, Y ) обозначает прямоугольную систему координат с центром O и осями X, Y (рис. 1). Предположим, что движение u отображает (O; X, Y ) в (O∗ ; X ∗ , Y ∗ ); тогда a, b являются координатами точки O∗ , а ϕ - углом между осью OX и осью X ∗ .

Рис. 1:

Единичным элементом группы E(2) является тождественное преобразование a = 0, b = 0, ϕ = 0. Вместо уравнений (8.1) иногда полезно представлять движение и матрицей   cos ϕ − sin ϕ a U =  sin ϕ cos ϕ b  (8.2) 0 0 1 При этом движение u2 u1 представляется произведением матриц U2 U1 а обратное движение u−1 - обратной матрицей U −1   cos ϕ sin ϕ −a cos ϕ − b sin ϕ U −1 =  − sin ϕ cos ϕ a sin ϕ − b cos ϕ  (8.3) 0 0 1 Следовательно, группа движений E(2) может быть определена как группа матриц вида (8.2) с обычным матричным умножением в качестве закона композиции. Мы 227

будем использовать один и тот же символ u для обозначения движения и соответствующей матрицы. Каждое движение определено точкой в трехмерном пространстве (a, b, ϕ). Это пространство с условием эквивалентности (a, b, ϕ) ∼ (a, b, ϕ + 2kπ) (k-любое целое) является пространством группы E(2) и будет обозначаться также E(2). Каждое движение s определяет два эндоморфизма E(2) левый сдвиг Ls : u → su и правый сдвиг Rs : u → us. Например, если   cos ϕ0 − sin ϕ0 a0 s =  sin ϕ0 cos ϕ0 b0  (8.4) 0 0 1 то   cos ϕ sin ϕ −a cos ϕ − b sin ϕ Ls :  − sin ϕ cos ϕ a sin ϕ − b cos ϕ  7→ 0 0 1   (8.5) cos(ϕ + ϕ0 ) − sin(ϕ + ϕ0 ) a cos ϕ0 − b sin ϕ0 + a0 7→  sin(ϕ + ϕ0 ) cos(ϕ + ϕ0 ) a sin ϕ0 + b cos ϕ0 + b0  0 0 1 что может быть записано в виде   a → a cos ϕ0 − b sin ϕ0 + a0 b → a sin ϕ0 + b cos ϕ0 + b0 Ls :=  ϕ → ϕ + ϕ0 Аналогично имеем

8.1.2.

  a → a0 cos ϕ − b0 sin ϕ + a b → a0 sin ϕ + b0 cos ϕ + b Rs :=  ϕ→ϕ +ϕ 0

(8.6)

(8.7)

Группа CE(2) гомотетий плоскости

Далее нам потребуется более широкая группа CE(2) ⊃ E(2) включающая в себя гомотетии – растяжения с центром в некоторой точке. Группа CE(2) также имеет матричное представление вида     eλ cos ϕ −eλ sin ϕ a  λ λ   e sin ϕ e cos ϕ b CE(2) = : a, b ∈ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < λ < ∞ . (8.8)   0 0 1 Группа CE(2) имеет размерность 4 и диффеоморфна CE(2) ' R2 × S 1 × R+ , где S 1 – единичная окружность, R+ – положительная полуось. Преобразования левого и правого сдвига в этой группе имеют вид:  a → eλ0 (a cos (ϕ0 ) − b sin (ϕ0 )) + a0    b → eλ0 (b cos (ϕ0 ) + a sin (ϕ0 )) + b0 Ls := (8.9) ϕ → ϕ + ϕ0    λ→λ+λ 0

Аналогично имеем

 a → a + eλ cos(ϕ)a0 − eλ sin(ϕ)b0    b → b + eλ sin(ϕ)a0 + eλ cos(ϕ)b0 Rs := ϕ → ϕ0 + ϕ    λ→λ +λ 0 228

(8.10)

8.1.3.

Дифференциальные формы на группах E(2) и CE(2).

Дифференциальная форма первого порядка или 1-форма на E(2) имеет вид ω(u) = α(u)da + β(u)db + γ(u)dϕ,

(8.11)

где α(u), β(u), γ(u) функции класса C ∞ определенные на E(2). Множество всех дифференциальных 1-форм на E(2) в точке u ∈ E(2) с операциями сложения и умножения на число образует кокасательное пространство Tu∗ E(2) размерности 3. Левые и правые сдвиги Ls , Rs : E(2) → E(2) индуцирует отображения кокасательного рассло∗ ∗ ения Ls : Tsu E(2) → Tu∗ E(2) и Rs : Tus E(2) → Tu∗ E(2). Используя соотношения (8.6) и (8.7) и базисные формы da, db, dϕ, можно получить точные выражения для этих отображений.   da → da cos ϕ0 − db sin ϕ0 db → da sin ϕ0 + db cos ϕ0 L∗s := (8.12)  dϕ → dϕ Аналогично имеем

  da → −(a0 sin ϕ + b0 cos ϕ)dϕ + da ∗ db → (a0 cos ϕ − b0 sin ϕ)dϕ + db Rs :=  dϕ → dϕ

Заметим, что матрица

(8.13)

ΩL = u−1 du

(8.14)

инвариантна относительно левых сдвигов, так как L∗s ΩL = (su)−1 d(su) = u−1 s−1 sdu = u−1 du = ΩL и, следовательно, элементы ΩL являются левоинвариантными 1-формами. Из (8.2) и (8.3) получаем   0 −dϕ cos ϕ da + sin ϕ db 0 − sin ϕ da + cos ϕ db ΩL = u−1 du == dϕ (8.15) 0 0 0 Следовательно, 1-формы ω1 = cos ϕ da + sin ϕ db,

ω2 = − sin ϕ da + cos ϕ db,

ω3 = dϕ

(8.16)

являются левоинвариантными 1-формами. С другой стороны, 1-формы ω1 , ω2 , ω3 линейно независимы (так как детерминант из коэффициентов da, db, dϕ не равен нулю), поэтому их любая линейная комбинация с постоянными коэффициентами также будет 1-формой, инвариантной относительно L∗s . Аналогично, для нахождения правоинвариантных 1-форм рассмотрим матрицу ΩR = du u−1 .

(8.17)

Матрица ΩR правоинвариантна и из (8.2) и (8.3) следует   0 −dϕ b dϕ + da 0 −a dϕ + db ΩR = dϕ 0 0 0

(8.18)

и, таким образом, 1-формы ω 1 = b dϕ + da,

ω 2 = −a dϕ + db, 229

ω 3 = dϕ

(8.19)

правоинвариантны. Аналогичные рассуждения справедливы для группы CE(2). Матрица ΩL для группы CE(2) равна   dλ −dϕ e−λ (da cos(ϕ) + db sin(ϕ)) e−λ (db cos(ϕ) − da sin(ϕ))  (8.20) ΩL = u−1 du =  dϕ dλ 0 0 0 Соответственно получаем четыре левоинвариантных 1-формы на группе CE(2) ω1 =e−λ (da cos(ϕ) + db sin(ϕ)) ω2 =e−λ (db cos(ϕ) − da sin(ϕ)) ω3 =dϕ ω4 =dλ Матрица ΩR для группы CE(2) равна   dλ −dϕ da − adλ + bdϕ db − bdλ − adϕ  ΩR =  dϕ dλ 0 0 0

(8.21)

(8.22)

Соответственно получаем четыре правоинвариантных 1-формы на группе CE(2) ω 1 =da − adλ + bdϕ ω 2 =db − bdλ − adϕ ω 3 =dϕ

(8.23)

ω 4 =dλ Замечание. Дифференцируя матричное тождество uu−1 = e, получим du u−1 + u du−1 = 0, или du−1 = −u−1 du u−1 . (8.24) Из этого равенства и (8.14), (8.17) следует равенство ΩL (u−1 ) = −ΩR (u)

(8.25)

справедливое для любой матричной группы. 8.1.4.

Кинематическая плотность на группах E(2) и CE(2).

Так как ω1 , ω2 , ω3 – левоинвариантные 1-формы на группе E(2), то их внешнее произведение dKL = ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 = da ∧ db ∧ dϕ (8.26) является левоинвариантной 3-формой на группе E(2). Кроме того, dK является единственной, с точностью до постоянного множителя, левоинвариантной 3-формой на E(2). Из (8.19) следует, что dKR = ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 = da ∧ db ∧ dϕ = dKL

(8.27)

т. е. дифференциальная форма dK = dKL = dKR является также и правоинвариантной на группе E(2) (группа E(2) – унимодулярная). Определение 8.1.1. Дифференциальная 3-форма dK называется кинематической плотностью группы E(2). 230

Кинематическая плотность dK есть инвариантный элемент объема пространства группы движений E(2). Интегрируя dK по множеству D из E(2), получаем меру соответствующего множества движений (кинематическую меру). Для того, чтобы прояснить геометрический смысл кинематической меры dK на группе E(2) и ее инвариантные свойства, рассмотрим несколько примеров. Рассмотрим прямоугольник Q = OABC и фиксированную область Q0 , как показано на рис. 2.

Рис. 2:

Требуется найти меру множества движений D = {u ∈ E(2) : uQ ∩ Q0 6= ∅}, т.е. множество движений, переводящих Q в положение, при котором оно пересекает Q0 . Эта мера равна интегралу Z Z dK = da db dϕ D

D

∗

по всем точкам O (a, b) и углам ϕ таким, что uQ∩Q0 6= ∅. Левая инвариантность этой меры означает, что вместо Q0 можно взять область sQ0 , т. е. образ Q0 при движении s, и мера от этого не изменится. Иными словами, мера множества движений D∗ = {u ∈ E(2) : uQ ∩ sQ0 6= ∅}, равна мере множества движений D = {u ∈ E(2) : uQ ∩ Q0 6= ∅} для любого фиксированного s (так как D∗ = s−1 D). Правая инвариантность меры dK означает, что вместо Q можно взять sQ и мера множества движений D∗ = {u ∈ E(2) : u(sQ) ∩ Q0 6= ∅} будет та же, что и множества D = {u ∈ E(2) : uQ ∩ Q0 6= ∅} (так как D∗ = Ds−1 ). Из этого следует, что в случае унимодулярной группы E(2) кинематическая мера не зависит от начального положения множеств Q или Q0 , и вместо нахождения меры множества движений можно искать меру множества прямоугольников, конгруэнтных Q, имеющих общую точку с областью Q0 . Например, если множество Q состоит из одной точки O(0, 0), и мы положим uQ = P (a, b), то Z Z (8.28) dK [{u : uQ ∈ Q0 }] = da ∧ db ∧ dϕ = 2π da ∧ db = 2πF0 , uQ∈Q0

uQ∈Q0

где F0 площадь множества Q0 . Рассмотрим группу CE(2). Так как ω1 , ω2 , ω3 , ω4 – левоинвариантные 1-формы на группе CE(2), то их внешнее произведение dKL = ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 = e−2λ da ∧ db ∧ dϕ ∧ dλ 231

(8.29)

является левоинвариантной 4-формой на группе CE(2). Кроме того, dKL является единственной, с точностью до постоянного множителя, левоинвариантной 4-формой на CE(2). Из (8.23) следует, что dKR = ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 = da ∧ db ∧ dϕ ∧ dλ = e2λ dKL

(8.30)

Из (8.24) получаем

dKL (u−1 ) = −dKR (u). (8.31) В дальнейшем мы будем брать только обсолютные значения плотностей и изменение знака в (8.31) можно не учитывать. Определение 8.1.2. Дифференциальные 4-формы dKL и dKR назавем соответственнно левой и правой кинематической плотностью группы CE(2). Рассмотрим прямое произведение групп E(2)×R, где R группа действительных относительно сложения. Определено естественное разложение произвольного элемента u ∈ CE(2) в виде произведения:  λ     λ  e cos ϕ −eλ sin ϕ a cos ϕ − sin ϕ a e 0 0  eλ sin ϕ eλ cos ϕ b  =  sin ϕ cos ϕ b  ·  0 eλ 0  , (8.32) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 т. е. отображение Ψ : E(2) × R → CE(2), являющиеся диффеоморфизмом (но не изоморфизмом групп). 8.1.5.

(8.33)

Выпуклые множества, пересекающие фиксированное выпуклое множество

Пусть Q-выпуклое множество площади F и периметра L а Q0 -выпуклое множество площади F0 и периметра L0 . Справедлива теорема [116]. Теорема 8.1.1. Мера выпуклых множеств, конгруэнтных Q и имеющих общую точку с множеством Q0 , т. е. мера множества положений Q, в которых оно пересекает множество Q0 равна: dK [{u : uQ ∩ Q0 6= ∅}] = 2π(F + F0 ) + LL0 .

(8.34)

Следствие. Если Q отрезок длины L, то dK [{u : uQ ∩ Q0 6= ∅}] = LL0 . Следствие. Если Q круг радиуса R, то dK [{u : uQ ∩ Q0 6= ∅}] = 2π(F0 + L0 R + π R2 ).

(8.35)

Следствие. Пусть Q и Q0 выпуклые множества границы ∂Q, ∂Q0 , которых имеют непрерывный радиус кривизны, причем наибольший радиус кривизны ∂Q меньше или равен наименьшего радиуса кривизны ∂Q0 , тогда dK [{u : uQ ⊆ Q0 }] = 2π(F + F0 ) − LL0 .

(8.36)

Теорема 8.1.2. Пусть Q, Q0 две области на плоскости, не обязательно выпуклые. Предположим Q0 неподвижна, а Q подвижна с кинематической плотностью dK, справедлива формула [116] Z m [uQ ∩ Q0 ] dK = 2π F0 F (8.37) {u:uQ∩Q0 }

где m [uQ ∩ Q0 ] – мера Лебега пересечения множеств uQ ∩ Q0 . 232

Следствие. Пусть Q и Q0 выпуклые подмножества плоскости, тогда среднее значение площади пересечения этих множеств (при условии их пересечения) равна: M [m [uQ ∩ Q0 ] : uQ ∩ Q0 6= ∅}] =

2π F0 F 2π(F + F0 ) + LL0

(8.38)

в терминах теории вероятности величина (8.38) является условным математическим ожиданием плошади перекрытия двух областей при условие, что они пересекаются. Замечание. Условное математическое ожидание доли площади α множества Q общей с Q0 соответственно равна · ¸ m [uQ ∩ Q0 ] 2π F0 M [α] = M : uQ ∩ Q0 6= ∅} = (8.39) m[Q] 2π(F + F0 ) + LL0 В частности для двух кругов Q и Q0 радиусов соответственно R и R0 эта величина равна: µ ¶2 2π · πR02 R0 . = M [α] = 2π · (π R02 + π R2 ) + (2π)2 RR0 R0 + R Для двух кругов единичного радиуса коэффициент ”перекрытия” M [α] равен 0.25. На рис. 3 изображен график коммулятивной функции распределения коэффициента ”перекрытия” двух кругов единичного радиуса полученный методом МонтеКарло с помощью математического пакета MatLab. В частности условная вероятность P (α > 0.041) ' 0.8 или другими словами, если два круга одного радиуса имеют общую точку, то с надежностью 0.8 можно утверждать, что коэффициент ”перекрытия” α > 0.041. Использую метод статистических испытаний нетрудно по1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Рис. 3: Эмпирическая коммулятивная функция распределения коэффициента ”перекрытия” двух кругов.

лучить функцию распределения коэффициента перекрытия для любых двух наперед заданных фигур на плоскости. 233

8.1.6.

Кинематическая формула в однородном римановом пространстве

Наиболее общая и естественная область исследований в интегральной геометрии и теории геометрических вероятностей это теория однородных пространств. Ярким примером этому служит доказанная R. Howard [238] общая кинематическая формула в однородном римановом пространстве. Пусть G – группа Ли и K компактная подгруппа G. Тогда однородное пространство G/K имеет инвариантную Риманову метрику и инвариантный форму объема ΩG . Пусть M и N компактные подмногообразия G/K, и I(M ∩ gN ) "интегральный инвариант" пересечения M ∩ gN . Тогда интеграл Z (8.40) I(M ∩ gN )ΩG (g) G

определен для широкого класса интегральных инвариантов I. Например, если X ⊂ G/K поверхность, hX – векторнозначная вторая квадратичная форма поверхности X в G/K. Пусть P ”инвариантный полином” от компонент второй фундамельной формы hX . Тогда интегральный инвариант можно определить формулой Z P P (hX )ΩX I (X) = X

Теорема 8.1.3. [238] Пусть G унимодулярная группа, тогда для любого инвариантного полинома P можно указать конечное множество полиномов (Qα , Rα ) (зависящих только от P ) таких, что для всех M и N Z X I P (M ∩ gN )ΩG (g) = I Qα (M )I Rα (N ) (8.41) G

8.2

α

Интегрально-геометрические соотношения с ортогональным проектированием для седловых поверхностей

Данный пункт посвящен исследованию гладких 2-мерных седловых поверхностей в евклидовом пространстве R3 методом интегральной геометрии [120]. Изучение проводится следующим способом: рассматриваются ортогональные проекции поверхности на всевозможные 2-мерные подпространства R3 , эти проекции можно считать тоже 2-мерными поверхностями, но уже в евклидовом пространстве R2 . Для этих проекций можно определить некоторые интегральные характеристики их, например, определена площадь (с учетом кратных точек). Если проинтегрировать эту величину по всем 2-мерным подпространствам R3 , то получится интегральная характеристика исходной поверхности в R3 . Например, Z 1 SX dωX , (8.42) S= 2π где S – площадь исходной поверхности, SX – площадь проекции на 2-мерное подпространство X, а интеграл берется по множеству 2-мерных ориентированных подпространств R3 , которое можно отождествить с единичной сферой. Подобного рода исследования проводились уже давно. Формула (8.42) впервые встречается у Коши, она доказана им для выпуклых поверхностей. И в дальнейшем в основном изучались выпуклые поверхности Т. Боннезен, В. Фенхель [187], А. Д. Александров [145, 146]. 234

Интегрально-геометрические соотношения для кривых были найдены ранее [218, 219] и [293], ими также указаны интересные приложения найденных соотношений к исследованию топологических свойств кривых в евклидовом пространстве. Ю. Г. Решетняком [327] были указаны обобщения формул Фари и Милнора и даны приложения этих формул к изучению нерегулярных кривых. Ю. Д. Бураго получены соотношения, аналогичные установленным здесь для двумерных многогранников [27], с их помощью им были получены ряд весьма тонких оценок в теории поверхностей. В работах [349, 119] были выведены интегральные соотношения для гладких поверхностей произвольной размерности. В данной работе рассматривается важный специальный класс – седловые поверхности, для которых удается получить более полную информацию. Получены новые интегральные соотношения для числа точек Уитни. Интегральные соотношения с ортогональным проектированием могут найти применение в теории компьютерной графики и томографии. Заметим, также, что в работе использована терминология из компьютерной графики. 8.2.1.

Затеняющий и видимый контур поверхности

Основным вычислительным инструментом в данной работе служит метод Картана внешних форм. Обозначим через E(3) множество ортогональных реперов в R3 , {x; e1 , e2 , e3 } ∈ E(3), где x – начало репера, а {e1 , e2 , e3 } – правая тройка векторов в R3 , удовлетворяющая условию (ei , ej ) = δij , i, j = 1, 2, 3.

(8.43)

На многообразие E(3) определены дифференциальные формы ω i , ω ji следующими равенствами dx =

3 X

ω i ei ,

i=1

dei =

3 X

(8.44) ω ji ej ,

j=1

они связаны между собой структурными уравнениями Маурера-Картана dω j = dω ji =

3 X i=1 3 X

ω i ∧ ω ji , (8.45) ω ki ∧ ω jk .

k=1

Кроме того формы ω ji , в силу условий (8.43), связаны между собой равенствами ω ki = −ω ik . Ориентированная двухмерная поверхностью в R3 класса C 3 по определению есть пара P = {M, x}, где M двумерное компактное ориентированное с кусочно-гладкой границей многообразие, а x : M → R3 – погружение класса C 3 . Погружение x : M → R3 определяет многообразие E(x), {p; e1 , e2 , e3 } ∈ E(x), где p ∈ M , а векторы {e1 , e2 } лежат в касательном подпространстве x∗ [Tp (M )] = Tp (P) к поверхности P в точке x(p), векторное поле e3 задает ориентацию поверхности. Погружением x индуцирует отображение i : E(x) → E(3); i : {p; e1 , e2 , e3 } → {x(p); e1 , e2 , e3 } . 235

Отображение i определяет формы ω k = i∗ ω k , ωj.k = i∗ ω kj на многообразии E(x). Причем выполняется равенство ω 3 = 0, а формы ω 1 , ω 2 , ω1.2 – линейно независимы на E(x) и dim E(x) = 3. Деривиционные формулы (8.43) примут вид dx = ω 1 e1 + ω 2 e2 , dek = ωk.j ej . Структурные уравнения (8.45) запишутся в виде; dω 1 = ω 2 ∧ ω2.1 , dω 2 = ω 1 ∧ ω1.2 , dω1.2 = ω1.3 ∧ ω3.2 , dω1.3 = ω1.2 ∧ ω2.3 , dω2.3 = ω2.1 ∧ ω1.3 , 0 = ω 1 ∧ ω1.3 + ω 2 ∧ ω2.3 . По лемме Картана из последнего равенства имеем ω1.3 = h11 ω 1 + h12 ω 2 , ω2.3 = h21 ω 1 + h22 ω 2 , где {hij } коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в базисе e1 , e2 ∈ Tp (P). Обозначим через S(x) многообразие точек {p; v}, где p ∈ M , а v ∈ S – единичный вектор такой, что v ∈ Tp (P). Рассмотрим диаграмму: i

E(x) → E(3) ↓π τ S(x) → S, где π и τ проекции определенные формулами π : {q; e1 , e2 , e3 } → {q; e2 } , τ : {q; v} → v. Определение 8.2.1. Фиксируем вектор v ∈ S, пусть Pv : R3 → Rv2 – оператор ортогонального проектирования на плоскость Rv2 ортогональную вектору v. Обозначим через Γv множество точек p ∈ M , в которых отображение Pv ◦ x : M → Rv2 имеет дифференциал коранга 1. Множество Γv в компьютерной графике носит название ”затеняющего контура” (occluding contour), очевидно τ −1 [v] = Γv × {v} ⊂ S(x). Рассмотрим сужение отображения Pv ◦ x на Γv , т.е. Pv ◦ x : Γv → Rv2 . Определение 8.2.2. Линия Pv ◦ x : Γv → Rv2 на плоскости Rv2 в компьютерной графике носит название ”видимого контура” (image contour). Введем обозначение для линии видимого контура γv = {Γv , Pv ◦ x}. Лемма 8.2.1. Для почти всех v ∈ S множество Γv является 1-мерным подмногообразием M . Лемма 8.2.2. Для почти всех v ∈ S множество Γ0v ⊂ Γv , где отображение Pv ◦ x : Γv → Rv2 нерегулярно, есть подмногообразие Γv коразмерности 1 и состоит из конечного числа точек. Доказательство. Выясним в каких точках отображение τ ◦ π регулярно. Пусть v = e2 , тогда dv = ω2.1 e1 + ω2.3 e3 , ω3.2 = h21 ω 1 + h22 ω 2 . 236

Следовательно, отображения τ ◦π регулярно, тогда и только тогда, когда форма ω2.3 – ненулевая. Пусть U – открытое подмножество E(x), на котором отображение τ ◦π регулярно. По теореме Сарда множество τ ◦ π [E(x) \ U ] ⊂ S имеет меру нуль. Поэтому для почти всех v ∈ S прообраз τ −1 [v] = Γv ×{v} ⊂ S(x) есть одномерное подмногообразие, которое будем отождествлять с Γv ⊂ M . Если u ∈ Tp (P) касательный вектор к Γv , то ω2.1 (u) = 0, ω2.3 (u) = 0. Первое равенство означает, что векторное поле v = e2 параллельно вдоль Γv . Второе равенство можно переписать в виде h21 ω 1 (u) + h22 ω 2 (u) = II(e2 , u) = II(v, u) = 0, т.е. векторные поля v и u сопряжены относительно второй квадратичной формы. Обозначим через Ξ1 подмножество E(x), на котором h22 = II(e2 , e2 ) = 0. Тогда Ξ1 ∩ U подмногообразие U коразмерности 1. Для доказательства этого рассмотрим отображение X : U → R1 , сопоставляющее точке z ∈ U число X(z) = h22 . Докажим, что отображение X : U → R1 трансверсально к нулевому уровню {X(z) = 0}. Дифференцируя равенство ω3.2 = h21 ω 1 + h22 ω 2 , получим dω3.2 = ω3.1 ∧ ω1.2 = dh21 ∧ ω 1 + dh22 ∧ ω 2 + h21 dω 1 + h22 dω 2 . Используя структурные уравнения преобразуем это равенство к виду £ ¤ £ ¤ ω1 ∧ (h11 − h22 ) ω1.2 + dh21 + ω2 ∧ 2h12 ω1.2 + dh22 = 0. Следовательно, по лемме Картана, на E(x) выполняются равенства; (h11 − h22 ) ω1.2 + dh21 = m11 ω 1 + m12 ω 2 , 2h12 ω1.2 + dh22 = m21 ω 1 + m22 ω 2 ,

где m12 = m21 .

(8.46)

Рассмотрим сужение X на подмногообразие N = {x = const, e3 = const}, проходящие через рассматриваемую точку из Ξ1 ∩ U . Достаточно доказать трансверсальность сужения X|Ξ1 . На подмногообразие N выполняется ω 1 = ω 2 = 0, ω1.2 6= 0, ω3.2 6= 0. Следовательно, h12 ω1.2 6= 0 и из второго равенства (8.46) получим dh22 |Ξ1 6= 0, что и требовалось для трансверсальности. Далее рассмотрим сужение отображения τ ◦ π|Ξ1 ∩U . Обозначим через F1 ⊂ Ξ1 ∩ U множество, где отображение τ ◦ π|Ξ1 ∩U нерегулярно. По теореме Сарда τ ◦π [F1 ] имеет / τ ◦ π [E(x) \ U ] ∪ τ ◦ π [F1 ], тогда одновременно Γv , Γ0v являются меру нуль. Пусть v ∈ подмногообразиями. Замечание. Линия Pv ◦ x : Γv \ Γ0v → Rv2 на плоскости Rv2 для почти всех v ∈ S состоит из конечного числа регулярных дуг. Эти дуги имеют естественную ориентацию определяемую векторным полем нормалей e3 вдоль них. Замечание. Для почти всех v ∈ S отображение Pv ◦ x : M → Rv2 находится в ”общем” положении, т.е. его особые точки Γv ⊂ M представляют собой: либо точки "складок" Γv \ Γ0v , либо точки Γ0v ⊂ Γv "сборок" Уитни. При этом Γv , Γ0v соответственно одномерное и нульмерное подмногообразие, точки Γ0v разбивают 0 − множество Γv на два множества Γ+ v ∪ Γv = Γv \ Γv ; Γ+ = {p ∈ Γv : II(v, v) > 0} , v − Γv = {p ∈ Γv : II(v, v) < 0} . 237

Лемма 8.2.3. Кривизна видимого контура равна kv =

k1 k2 , II(v, v)

(8.47)

где k1 , k2 – главные кривизны поверхности, II(v, v) – значение второй квадратичной формы в направлении вектора проекции v. Доказательство. Если касательный к поверхности в данной точке вектор η = η e1 + η 2 e2 касается затеняющего контура, то 1

(de3 (η), v) = 0 ⇒ h21 η 1 + h22 η 2 = 0. Кривизна видимого контура равна kv =

(de3 (η), Pv (η)) , |Pv (η)|2

где Pv (η) – проекция вектора η в плоскость Rv2 , полагая η 1 = 1, отсюда находим η 2 = − hh21 и 22 h11 h22 − h12 h21 k1 k2 kv = = . h22 II(v, v) Замечание. Формула (8.47) связывает между собой кривизну kv видимого контура, кривизну II(v, v) нормального сечения поверхности в направлении проекции и гауссову кривизну k1 k2 поверхности. В компьютерной графике она часто называется Koenderink’s Theorem [257]. 8.2.2.

Общая интегральная формула для видимого контура

На множестве S(x) определим меру следующим образом, пусть A ⊂ S(x) – произвольное измеримое множество и χ(p, v) – характеристическая функция A, тогда ZZ Z µ1 (A) = dsp χ(p, v)dωv , Sv1

M

где Sv1 = π −1 (p) – множество единичных векторов касательных к поверхности в данной точке p. Введем на S(x) еще одну меру. Пусть F ⊂ S(x) – подмножество, где отображение τ нерегулярно, тогда F – замкнутое множество. Положим µ2 на F равной нулю. Множество S(x) \ F открыто и для того, чтобы определить меру на нем, достаточно задать ее в некоторой окрестности произвольной точки {p0 , v0 } ∈ S(x)\F . В силу регулярности отображения τ в точке {p0 , v0 }, существует окрестность Wv0 точки v0 в S и существует диффеоморфизм Φ : Wv0 × R → S(x), отображающий Wv0 × R на некоторую окрестность U{p0 ,v0 } точки {p0 , v0 } в S(x), удовлетворяющий условиям; Φ [(v0 , 0)] = {p0 , v0 } , τ [Φ [(v, t)]] = v, (v, t) ∈ Wv0 × R. При фиксированном v ∈ Wv0 отображение Φ [(v, ·)] : R → M задает некоторое одномерное подмногообразие на поверхности M. Спроектируем его на плоскость Rv2 , т.е. рассмотрим отображение Pv ◦ Φ [(v, ·)] : R → Rv2 . Обозначим через K(v, t)dt элемент длины кривой {R, Pv ◦ Φ [(v, ·)]} в плоскости Rv2 . 238

Определим теперь меру µ2 в окрестности U{p0 ,v0 } , пусть A ⊂ U{p0 ,v0 } – произвольное измеримое множество, тогда ZZ µ2 (A) = K(v, t)dtdωv , Φ−1 [A]

где dωv – элемент площади на сфере S. Найдем, как связаны между собой меры µ1 и µ2 , для этого воспользуемся представлением мер µ1 и µ2 дифференциальными формами и одним обобщением теоремы Фубини. Приведем формулировку этой теоремы следуя [50]. Пусть X m , Y n – ориентированные многообразия (m ≥ n), ϕ : X m → Y n непрерывно дифференцируемое отображение, Kϕ ⊂ X m – подмножество, где ϕ нерегулярно. Тогда для y ∈ / ϕ (Kϕ ) прообраз ϕ−1 (y) есть дифференцируемое ориентированное подмногообразие размерности (m − n). Теорема 8.2.1. Пусть ω – некоторая (m−n)-форма на X m , Ω – некоторая n-форма на Y n , причем ω и Ω – формы одного вида (т.е. обе одновременно либо абсолютные, либо обычные), f – измеримая функция на X m , ϕ (Kϕ ) является 0-множеством. Предположим также, что f суммируемая на X m относительно ω ∧ ϕ∗ Ω. Тогда для почти всех y ∈ Y n корректно определена функция Z f ω. F (y) = ϕ−1 (y)

Функция F измерима и суммируема относительно Ω, и имеет место равенство Z Z ∗ fω ∧ ϕ Ω = F Ω. Xm

Yn

Если функция

Z Fb(y) =

|f | |ω| , ϕ−1 (y)

суммируема относительно Ω, то и f суммируема относительно ω ∧ ϕ∗ Ω. Замечание. Если ϕ принадлежит классу C m−n+1 , то в силу теоремы Сарда предположение, что ϕ (Kϕ ) является 0-множеством, можно опустить. Рассмотрим отображение проекции π : S(x) → M,

π [{p, v}] = p,

оно регулярно в каждой точке. На многообразие M определена дифференциальная 2форма dsp задающая элемент площади на M . На многообразие S(x) корректно определена 1-форма ω2.1 . В силу теоремы 8.2.1 для измеримой неотрицательной функции f на S(x) справедлива формула Z Z Z Z ∗ .1 .1 f µ1 . f ω2 ∧ π [dsp ] = dsp f ω2 = M

π −1 (p)

S(x)

S(x)

Аналогично, рассмотрим отображение τ : S(x) → S, дифференциальную 2-форму dωv на сфере S, задающую элемент площади на ней, и корректно определенную дифференциальную 1-форму ω 1 на S(x). Для измеримой неотрицательной функции f на S(x) справедлива формула Z Z Z Z 1 1 ∗ fω = f ω ∧ τ [dωv ] = f µ2 . dωv S

τ −1 (v)

S(x)

239

S(x)

Заметим, что π ∗ [dsp ] = ω 1 ∧ ω 2 , τ ∗ [dωv ] = ω2.1 ∧ ω2.3 . Формы ω 1 , ω 2 , ω1.2 – линейно независимы на S(x), следовательно, получаем µ1 = ω2.1 ∧ ω 1 ∧ ω 2 , ¡ ¢ µ2 = ω 1 ∧ ω2.1 ∧ ω2.3 = ω2.1 ∧ ω 1 ∧ h21 ω 1 + h22 ω 2 = h22 µ1 ,

(8.48)

или µ2 = II(e2 , e2 )µ1 = II(v, v)µ1 . Определение 8.2.3. Определим интегральный оператор, который сопоставляет паре функций χ+ (k), χ− (k) одного аргумента, функцию Q [χ+ , χ− ] (k1 , k2 ) от двух аргументов по формуле; £ ¤ Q χ+ , χ− (k1 , k2 ) = Z 2π h £ ¤+ £ ¤− i + 2 2 − 2 2 = χ (kϕ ) k1 cos (ϕ) + k2 sin (ϕ) + χ (kv ) k1 cos (ϕ) + k2 sin (ϕ) dϕ, 0

где kϕ =

k1 k2 , k1 cos2 (ϕ)+k2 sin2 (ϕ)

[x]± – положительная (отрицательная) часть числа.

Теорема 8.2.2. Сопоставим видимому контуру γv поверхности интегральную характеристику по формуле Z Z + χ− (ks )ds. χ (ks )ds + χ [γv ] = γv−

γv+

Тогда справедлива равенство ZZ ZZ £ ¤ χ [γv ] dωv = Q χ+ , χ− (k1 , k2 )ds. S

M

Доказательство. Предположим, что кроме видимого контура известно векторное поле нормалей e3 вдоль контура (векторного поля нормалей к поверхности вдоль затеняющего контура на ней). Такой видимый контур будем называть оснащенным.

Рис. 4: Оснащенный контур

Из рисунка 4 видно, что для оснащенного контура выделение в нем компонент γv+ и γv− не представляет трудности. Если вектор e3 направлен в сторону выпуклости кривой γv , то γv+ и γv− в противном случае. Положим S + (x) = {(p, v) : II(v, v) = h22 > 0} , S − (x) = {(p, v) : II(v, v) = h22 < 0} . И определим функцию f : S + (x) ∪ S − (x) → R формулой ( χ+ (kv ), (p, v) ∈ S + (x), f (p, v) = χ− (kv ), (p, v) ∈ S − (x), 240

где kv =

k1 k2 , II(v, v)

а k1 , k2 – главные кривизны поверхности в точке p ∈ M . Используя равенство (8.48) получим Z Z Z Z Z Z 1 dωv fω = f µ2 = f h22 µ1 = dsp f h22 ω2.1 . τ −1 (v)

S

S(x)

S(x)

Левая часть этого равенства есть интеграл ·Z Z Z + χ (ks )ds + dωv γv+

S

π −1 (p)

M

¸ χ (ks )ds , −

γv−

правая часть "Z

Z dsp M

S1+

Z 2 X + 2 χ (k(v)) (ei , v) ki dωv + i=1

S1−

χ− (k(v))

2 X

# (ei , v)2 ki dωv ,

i=1

где e1 , e2 – вектора направлений главных кривизн поверхности в точке p ∈ M , k1 , k2 – главные кривизны поверхности, v ∈ Tp (P) – единичный касательный вектор, dωv – элемент длины единичной окружности S1 ⊂ Tp (P). Полагая cos(ϕ) = (e1 , v), sin(ϕ) = (e2 , v) получим требуемое утверждение. Интегральная формула длины и кривизны видимого контура

Теорема 8.2.3. Для компактной седловой поверхности линии видимого контура γv± на плоскости Rv2 состоят из конечного числа выпуклых дуг. Пусть k1 (p) ≤ 0 ≤ k2 (p) главные кривизны поверхности в точке p ∈ M, положим p K1+ (k1 , k2 ) = 2 −k1 k2 + (π − 2ψ) (k1 + k2 ), p K1− (k1 , k2 ) = 2 −k1 k2 − 2ψ(k1 + k2 ), K2+ (k1 , k2 ) = −k1 k2 (2π − 4ψ) K2− (k1 , k2 ) = −k1 k2 4ψ, ³q ´ −k1 где ψ = arctan . Тогда справедливы равенства: k2 Z

¡

ZS S

K0 γv±

¢

Z dωv =

¡ ¢ K1 γv± dωv =

ZM M

K1± (k1 (p), k2 (p))dsp ,

(8.49)

K2± (k1 (p), k2 (p))dsp ,

(8.50)

где K0 (γv± ) – длина видимого контура γv± , K1 (γv± ) – интегральный поворот видимого контура, dωv – элемент площади сферы S, dsp – элемент площади поверхности. Доказательство. Формулы (8.49, 8.50) следствие теоремы 8.2.2. Установим справедливость первой формулы. Имеем Z 2π £ ¤+ + k1 cos2 (ϕ) + k2 sin2 (ϕ) dϕ = K1 (k1 , k2 ) = Z0 £ ¤ k1 cos2 (ϕ) + k2 sin2 (ϕ) dϕ, = S1+

241

© ª где S1+ = ϕ ∈ [0, 2π] : k1 cos2 (ϕ) + k2 sin2 (ϕ) > 0 . Или Z π/2 £ ¤ + K1 (k1 , k2 ) = 4 k1 cos2 (ϕ) + k2 sin2 (ϕ) dϕ = ψ/2

= (k2 − k1 ) sin(ψ) + (π − ψ) (k1 + k2 ) = √ (k2 − k1 ) −4k1 k2 = + (π − ψ) (k1 + k2 ) = k2 − k1 p = 2 −k1 k2 + (π − ψ) (k1 + k2 ). Остальные формулы в (8.49, 8.50) выводятся аналогично. Следствие. Для интеграла от разности длин γv+ и γv− видимого контура получаем формулу Z Z £ ¡ +¢ ¡ − ¢¤ £ + ¤ K0 γv − K0 γv dωv = K1 (k1 (p), k2 (p)) − K1− (k1 (p), k2 (p)) dsp = S M Z = π (k1 p) + k2 (p)) dsp . M

Следствие. Для интеграла от длины всего видимого контура получаем формулу Z Z £ + ¤ K0 (γv ) dωv = K1 (k1 (p), k2 (p)) + K1− (k1 (p), k2 (p)) dsp , S

где

M

K1+ (k1 , k2 ) + K1− (k1 , k2 ) = 4

p

−k1 k2 + (π − 4ψ) (k1 + k2 ).

Справедлива оценка 2 (|k1 | + |k2 |) ≤ K1+ (k1 , k2 ) + K1− (k1 , k2 ) ≤ 3.5220007 (|k1 | + |k2 |) . Верхняя константа приближенная и достигается при Кроме того справедливы неравенства

|k1 | |k2 |

=

|k2 | |k1 |

≈ 0.03726704544.

0 ≤ K1± (k1 , k2 ) ≤ 3.261012049 (|k1 | + |k2 |) . Следствие. Для интегрального поворота всего видимого контура (без учета точек сборок Уитни) получаем формулу Z Z £ + ¤ K1 (γv ) dωv = K2 (k1 (p), k2 (p)) + K2− (k1 (p), k2 (p)) dsp = S MZ = 2π |k1 k2 | dsp M

Определение 8.2.4. Седловую поверхность назовем Q-квазиминимальной если выполняются неравенства |k1 | 1 ≤ ≤Q Q |k2 | где Q > 1 некоторая константа. Заметим, что условие Q-квазиминимальности равносильно требованию квазиконформности сферического отображения седловой поверхности. Следствие. Для Q-квазиминимальной седловой поверхности справедливы оценки r p K ± (k1 , k2 ) 1 arctan ≤ 2 ≤ arctan Q Q 4 |k1 k2 | 242

Интегральная формула числа точек Уитни видимого контура

Теорема 8.2.4. Для седловой поверхности справедливо равенство Z Z p 0 |Γv | dωv = −k1 (p)k2 (p) [|κ1 | + |κ2 |] dsp , S

(8.51)

M

где |Γ0v | – число точек сборок Уитни, dωv – элемент площади сферы S, dsp – элемент площади поверхности, κ1 , κ2 – геодезическая кривизна асимптотических линий поверхности в данной точке. Доказательство. Докажим формулу (8.51). Предположим, что поверхность строго седловая, тогда в каждой точке базис e1 , e2 можно выбрать, так чтобы h11 = 0 (векторное поле e1 – асимптотическое). Тогда коэффициенты второй квадратичной формы будут √ h21 = h12 = ± −K, h22 = 2H, где K < 0 гауссова кривизна поверхности, H – средняя кривизна поверхности, за счет выбора направления векторного поля e2 можно считать, что всюду h21 = h12 > 0. Соответствующее гладкое сечение подрасслоение E(x) обозначим через E 0 (x) ⊂ E(x), так как асимптотических направлений два, то соответственно получим два таких √ сечения E 0 (x), E 00 (x) ⊂ E(x). Положим для краткости k = −K, h = 2H, тогда ω1.3 = kω 2 , ω2.3 = kω 1 + hω 2 . Дифференцируя внешне эти равенства получим ¡ ¢ dω1.3 = dk ∧ ω 2 + kdω 2 = ω1.2 ∧ kω 1 + hω 2 ,

¡ ¢ dω2.3 = dk ∧ ω 1 + kdω 1 + dh ∧ ω 2 + hdω 2 = ω2.1 ∧ kω 2

или

¡ ¢ dk ∧ ω 2 + kω 1 ∧ ω1.2 = ω1.2 ∧ kω 1 + hω 2 , ¡ ¢ dk ∧ ω 1 + kω 2 ∧ ω2.1 + dh ∧ ω 2 + hω 1 ∧ ω1.2 = ω2.1 ∧ kω 2 .

После приведения подобных членов получим ¡ ¢ ¡ ¢ ω 1 ∧ 2kω1.2 + ω 2 ∧ hω1.2 − dk = 0, ¡ ¢ ¡ ¢ ω 1 ∧ hω1.2 − dk + ω 2 ∧ 2kω2.1 − dh = 0. По лемме Картана отсюда следует 2kω1.2 = b11 ω 1 + b12 ω 2 , hω1.2 − dk = b21 ω 1 + b22 ω 2 . Аналогично hω1.2 − dk = c11 ω 1 + c12 ω 2 , 2kω2.1 − dh = c21 ω 1 + c22 ω 2 . где b12 = b21 , c12 = c21 , b21 = c11 , b22 = c12 . Следовательно окончательно получим равенства 2kω1.2 = bω 1 + cω 2 , hω1.2 − dk = cω 1 + dω 2 , 2kω2.1 − dh = dω 1 + aω 2 . 243

Отсюда получим dh = −(b + d)ω 1 − (c + a)ω 2 , µ ¶ µ ¶ h h 1 dk = b − c ω + c − d ω2, 2k 2k b 1 c ω1.2 = ω + ω2. 2k 2k Из равенства

de1 = ω1.2 e2 + ω1.3 e3 ,

получим, что ковариантная производная единичного векторного поля e1 вдоль асимптотической линии равна De1 = ω1.2 (e1 )e2 . de1 Следовательно геодезическая кривизна асимптотической линии равна κ1 =

b . 2k

Якобиан отображения e1 : U → S 2 равен |ω1.2 ∧ ω1.3 |, найдем его · b c ¸ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .2 ¯ ¯ ¯ ¯ω1 ∧ ω1.3 ¯ = 2k 2k ¯ω 1 ∧ ω 2 ¯ = b ¯ω 1 ∧ ω 2 ¯ = kκ1 ¯ω 1 ∧ ω 2 ¯ . 0 k 2 Отсюда суммарная площадь многолистной поверхности e1 : U → S 2 равна интегралу Z Z Z ¯ 1 ¯ 2¯ ¯ |kκ1 | ω ∧ ω = k|κ1 |ds = ν(n)dsn , U

U

S2

где |ω 1 ∧ ω 2 | = ds – элемент площади поверхности, ν(n) – число точек в прообразе 2 2 2 e−1 1 [n] , n ∈ S отображения e1 : U → S , dsn – элемент площади сферы S . Учитывая, что в каждой точке имеется второе асимптотическое направление, получаем искомою формулу (8.51). Замечание. Геодезическая кривизна асимптотической линии на поверхности совпадает с кривизной этой линии в пространстве. Замечание. Поверхность у которой оба семейства асимптотических линий – прямые есть либо гиперболический параболоид, либо однополостный гиперболоид. 8.2.3.

Локальные свойства поверхностей

В данном пункте будет указана формула для подинтегрального выражения (8.51) и его оценка. Кроме того, будут получены некоторые дифференциальные неравенства на гауссову и среднюю кривизну. В виду большого объема вычислений в данном пункте, для их контроля использовался пакет аналитических вычислений Maple. Представим поверхность в окрестности данной точки в виде графика функции. Для этого выберем начало декартовой системы координат в данной точке, оси OX и OY направим вдоль касательной плоскости к поверхности, ось OZ вдоль нормали к поверхности в данной точке. Уравнение поверхности z = f (x1 , x2 ) с точностью до малых 5 порядка примет вид ¢ ¢ 1 ¡ 1 ¡ 2 z= Lx1 + 2M x1 x2 + N x22 + a111 x31 + 3a112 x21 x2 + 3a122 x1 x22 + a222 x32 + 2! 3! (8.52) ¢ 1 ¡ + b1111 x41 + 4b1112 x31 x2 + 6b1122 x21 x22 + 4b1222 x1 x32 + b2222 x42 + o((x21 + x22 )5/2 ), 4! 244

где L, M , N – коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в данной точке. Коэффициенты первой и второй квадратичной формы поверхности в окрестности начала координат равны; z11 z12 z22 L= p , M=p , N=p , 2 2 2 2 1 + z1 + z2 1 + z1 + z2 1 + z12 + z22 (8.53) E = 1 + z12 , F = z1 z2 , G = 1 + z22 . Гауссова кривизна и средняя кривизна равны; K=

LN − M 2 , EG − F 2

H=

EN + GL − 2F M . EG − F 2

Подставляя (8.52) в формулы для гауссовой и средней кривизны, получим разложение гауссовой кривизны с точностью до малых 3 порядка K = LN − M 2 + (La122 + N a111 − 2M a112 )x1 + (La222 + N a112 − 2M a112 )x2 + · ¸ 1 1 2 2 2 2 + a111 a122 + Lb1122 − a112 + N b1111 + 2(L + M )(M − LN ) − M b1112 x21 + 2 2 £ ¤ + Lb1222 − a112 a122 + a111 a222 + N b1112 − 2M b1122 + 4M (M 2 − LN )(L + N ) x1 x2 + · ¸ 1 1 2 2 2 2 + a112 a222 + Lb2222 − a122 + N b1122 + 2(N + M )(M − LN ) − M b1222 x22 + 2 2 + o((x21 + x22 )3/2 ). (8.54) Аналогичное разложение средней кривизны равно H = L + N + (a122 + a111 ) x1 + (a222 + a112 ) x2 + · ¸ 1 2 1 3 3 1 5 3 2 2 + − L N + b1122 − L + b1111 − LM − N M x21 + 2 2 2 2 2 2 £ ¤ (8.55) 2 2 + b1112 + b1222 − M (3(L + N ) − 2(LN − M )) x1 x2 + ¸ · 1 3 3 1 5 3 1 2 2 2 + − LN + b2222 − N + b1122 − N M − LM x21 + o((x21 + x22 )3/2 ). 2 2 2 2 2 2 Отсюда находим коэффициенты aijk L2 H1 + 4M 2 H1 + 2M K2 − LK1 − N LH1 − 2LM H2 + N K1 , H 2 − 4K 2N M H1 + N K2 − N LH2 − LK2 − 2M K1 + L2 H2 = , H 2 − 4K 2LM H2 + LK1 − N LH1 − N K1 − 2M K2 + M 2 H1 = , H 2 − 4K N 2 H2 + 4M 2 H2 + 2M K1 − N K2 − N LH2 − 2N M H1 + LK2 = , H 2 − 4K

a111 = a112 a122 a222

(8.56)

где Ki , Hj – производные (ковариантные) вдоль соответствующих направлений. Теорема 8.2.5. Кривизна асимптотических линий седловой поверхности вычисляется по формулам ¯ 3 1 ¯sin (±ψ − ϕ)a111 + 3 sin2 (±ψ − ϕ) cos(±ψ − ϕ)a112 + κ1,2 = √ 2 −k1 k2 ¯ +3 sin(±ψ − ϕ) cos2 (±ψ − ϕ)a122 + cos3 (±ψ − ϕ)a222 ¯ , 245

где ϕ – угол образованный ³q ´ базисом e1 , e2 с направлениями главных кривизн поверх−k1 ности, ψ = arctan , aijk – коэффициенты 3-его дифференциала функции z из k2 формулы (8.52). Доказательство. Касательная плоскость к седловой поверхности является соприкасающийся к асимптотическим линиям, проходящим через данную точку. Поэтому достаточно найти кривизну интегральных линий Ldx21 + 2M dx1 dx2 + N dx22 = 0, проходящих через начало координат, где L, M , N из формул (8.53). Следствие. Для кривизны асимптотических линий на поверхности справедлива оценка ¯ ¯ 1 sup ¯a111 x31 + 3a112 x21 x2 + 3a122 x1 x22 + a222 x32 ¯ = |κ1,2 | ≤ √ 2 −k1 k2 x21 +x22 =1 1 = √ ||d3 z||C , 2 −k1 k2 где d3 z – 3-ий дифференциал функции z определенной формулой (8.52). Заметим, что aijk = hij,k – ковариантные производные коэффициентов второй квадратичной формы поверхности, причем hik,j = hij,k в силу уравнений Петерсона-Кодацци. Следовательно, ¯ 2 ¯ ¯X ¯ 1 1 ¯ ¯ |κ1,2 | ≤ √ sup ¯ ||h || . hij,k xi xj xk ¯ = √ ¯ 2 −k1 k2 ij,k C 2 −k1 k2 x21 +x22 =1 ¯i,j,k=1 Следствие. Пусть

R

||hij,k ||C dsp , 4π тогда найдется направление v ∈ S, для которого видимый контур имеет не более [m0 ] точек сборки Уитни. m0 =

M

Теорема 8.2.6. Гауссова кривизна, средняя кривизна и коэффициенты второй квадратичной формы поверхности связаны равенством LP 11 + 2M P 12 + N P 22 + T = 0,

(8.57)

где P 11 = H22 (H 2 − 4K) − 2HH22 + 4H2 K2 , P 12 = P 21 = −H12 (H 2 − 4K) + 2HH1 H2 − 2(H1 K2 + H2 K1 ), P 22 = H11 (H 2 − 4K) − 2HH12 + 4H1 K1 , T = −4K(H 2 − 4K) + 2H(∇H, ∇K) − 4|∇K|2 − K(H 2 − 4K)2 , ∇, 4 – градиент и оператор Лапласа, ковариантные производные функций K и H вычислены относительно внутренней метрики. Доказательство. Так как символы Кристофеля в начале координат равны нулю (система координат геодезическая в точке (0, 0)), то первые и вторые производные любой функции совпадают с ковариантными производными этой функции. Вычислим вторые производные функций K и H исходя из равенств (8.54,8.55) и подставим в них (8.56). В результате получим 6 линейных уравнений на пять неизвестных 246

коэффициентов bijkl . Исключая эти коэффициенты получим искомое соотношение. Определим два ковариантное симметричное тензорное поле Dij = Hij (H 2 − 4K) − 2HHi Hj + 2(Hi Kj + Hj Ki ). Нетрудно проверить, что величины P ij образуют присоединенную матрицу к Dij и меняются по тензорному закону при переходе к другому базису e1 , e2 . Замечание. Соотношение (8.57) можно получить другим способом, для этого уравнения (8.56) перепишем в виде L2 H1 + 4M 2 H1 + 2M K2 − LK1 − N LH1 − 2LM H2 + N K1 , H 2 − 4K 2N M H1 + N K2 − N LH2 − LK2 − 2M K1 + L2 H2 L2 = M1 = , H 2 − 4K 2LM H2 + LK1 − N LH1 − N K1 − 2M K2 + M 2 H1 M2 = N1 = , H 2 − 4K N 2 H2 + 4M 2 H2 + 2M K1 − N K2 − N LH2 − 2N M H1 + LK2 N2 = , H 2 − 4K

L1 =

(8.58)

где ковариантные производные hij,k от коэффициентов второй квадратичной формы вычислены относительно ортонормированного базиса e1 , e2 . Тогда условие вполне интегрируемости системы (8.58) на решении совпадает с равенством (8.57). При этом равенства L + N ≡ H, LN − M 2 ≡ K, выполняются тождественно. Следствие. Для поверхностей с постоянной средней кривизны получаем соотношение 4 [∇K]2 = −K(H 2 − 4K)2 − 4K(H 2 − 4K). Следствие. Пусть в некоторой точке поверхности система уравнений (8.57), (8.60) имеет два различных решения и точка не является омбилической, тогда окрестность этой точки имеет ровно два различных изометричных погружений имеющих данную среднюю кривизну [283], [245]. Теорема 8.2.7. Гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности связаны неравенством p √ H 2 − 4K (tr P )2 − 4 det P ≥ ¯ ¯ (8.59) ≥ ¯(H4H − 24K)(H 2 − 4K) − 2(H∇H − 2∇K)2 − 4K(H 2 − 4K)2 ¯ , где P = ||P ij ||, tr P = (P 11 + P 22 ) – след матрицы P . Доказательство. Коэффициенты второй квадратичной формы относительно ортонормированного базиса e1 , e2 удовлетворяют равенствам L + N = H,

LN − M 2 = K.

Общее решение системы уравнений (8.60) имеет вид √ √ H H 2 − 4K cos 2ϕ H 2 − 4K sin 2ϕ + , M =± , L= 2 2 2 √ H H 2 − 4K cos 2ϕ N= − , 2 2 247

(8.60)

где ϕ – угол образованный базисом e1 , e2 с направлениями главных кривизн поверхности. Подставляя эти формулы в уравнение (8.57) получим уравнение √ √ (P 11 + P 22 )H (P 11 − P 22 ) H 2 − 4K cos 2ϕ + ± P 12 H 2 − 4K sin 2ϕ + T = 0. 2 2 Это уравнение разрешимо относительно ϕ в том и только в том случае, когда выполняется неравенство r ¯ ¯ 11 22 11 − P 22 )2 √ ¯ ¯ (P (P + P )H 2 ¯, H 2 − 4K + (P 12 ) ≥ ¯¯T + ¯ 4 2 которое равносильно (8.59). Замечание. Уравнение (8.57) и неравенство (8.59) примут более симметричный √ ˜ = H 2 − 4K = вид, если перейти от функции Гауссовой кривизны к функции K |k2 − k1 |. Эта функция вне точек омбиличности поверхности имеет туже гладкость, что и функции H и K. Повторяя дословно предыдущие рассуждения по˜ средняя кривизна и коэффициенты второй квадратичной лучим, что функция K, формы поверхности связаны равенством LP˜ 11 + 2M P˜ 12 + N P˜ 22 + T˜ = 0,

(8.61)

где ˜ 2 (H11 − H22 ) − 2K( ˜ K ˜ 1 H1 − K ˜ 2 H2 ), P˜ 11 = K ˜ 2 H12 − 2K( ˜ K ˜ 1 H2 + K ˜ 2 H1 ), P˜ 12 = P˜ 21 = 2K ˜ 2 (H11 − H22 ) + 2K( ˜ K ˜ 1 H1 − K ˜ 2 H2 ), P˜ 22 = −K ˜ 4 (K ˜ 2 − H 2 ), ˜K ˜3 + K ˜ 2 |∇K| ˜ 2+K ˜ 2 |∇H|2 − 1 K T˜ = −4K 2 ˜ и ∇, 4 – градиент и оператор Лапласа, ковариантные производные функций K H вычислены относительно внутренней метрики. Соответственно неравенство (8.59) примет вид r³ ´2 ³ ´2 ˜ K P˜ 11 + P˜ 12 ≥ |T˜| (8.62) Следствие. Для поверхностей постоянной средней кривизны получаем соотношение ˜K ˜ = |∇K| ˜ 2 − 1K ˜ 2 (K ˜ 2 − H 2 ), 4K 2 или ˜ = 2K, 4 ln K где K – гауссова кривизна. Следствие. Для гладкой поверхности класса C 4 вне точек омбиличности выполняется неравенство ¯ ¯ ¯ √ ¯ 1 2 2 2 2 2 ˜ (K ˜ − H )¯ ≤ 2K||d ˜ 2 H|| + 2|∇H||∇K|, ˜ ˜K ˜ + |∇K| ˜ + |∇H| − K ¯−4K ¯ ¯ 2 p 2 2 2 . + H22 + 2H12 где ||d2 H|| = H11 248

Доказательство. Левую часть неравенства (8.62) преобразуем к виду r³ ´2 ³ ´2 ˜2 ˜ 11 − H22 ) − 2(K ˜ 1 H1 − K ˜ 2 H2 ) + 2KH ˜ 12 − 2(K ˜ 1 H2 + K ˜ 2 H1 ) . K K(H Под корнем стоит квадратичная функция относительно компонент H11 , H12 , H22 . Макp 2 2 2 симальное значение этой функции при условии H11 + 2H12 + H22 = ||d2 H|| равно ³√ ´2 2 ˜ ˜ 2K||d H|| + 2|∇H||∇K| . Отсюда получаем искомое утверждение. Замечание. Нетрудно проверить, что 2P 11 + P˜ 11 = 2P 22 + P˜ 22 = −2H|∇H|2 + 4H(H 2 − 4K) + 4(∇H, ∇K), 2P 12 + P˜ 12 = 0, 2T + T˜ = 2H 2 |∇H|2 − H4H(H 2 − 4K) − 4H(∇H, ∇K), следовательно, равенства (8.57) и (8.61) вытекают друг из друга. Заметим также, что тензор P˜ ij есть без следовая часть тензора −2P ij . 8.2.4.

Некоторые интегральные характеристики видимого контура

При анализе изображение в первую очередь естественно выделить "прямолинейные" детали, т.е. не слишком искривленные. Теорема 8.2.8. Пусть c > 0 фиксированная константа. Определим функции χ+ i (k), − χi (k) (i = 0, 1) формулами ½ ½ 1 |k| ≤ c |k| |k| ≤ c ± ± χ0 (k) = , χ1 (k) = . 0 |k| > c 0 |k| > c Тогда £ ¤ − Q χ+ , χ (k1 , k2 ) = 0 0 (sin(2θ+ ) + sin(2θ− )) (k2 − k1 ) + 2 (θ+ − θ− ) (k2 + k1 ) −k1 , k2 < c    sin(2θ+ ) (k2 − k1 ) + 2θ+ (k2 + k1 ) −k1 < c < k2 , = sin(2θ ) (k − k ) − 2θ (k + k ) k2 < c < −k1  − 2 1 − 2 1   0 c < −k1 , k2  4 (θ+ + θ− ) |k1 k2 | −k1 , k2 < c    £ + −¤ 4θ+ |k1 k2 | −k1 < c < k2 Q χ1 , χ1 (k1 , k2 ) = , 4θ |k k | k2 < c < −k1  − 1 2   0 c < −k , k где θ+ =

π 2

³q − arctan

−k1 (k2 +c) k2 (k1 +c)

´

³q , θ− = arctan

−k1 (c−k2 ) k2 (c−k1 )

1

´

2

.

Доказательство. Достаточно применить теорему 8.2.2. Следствие. В условиях теоремы, при стремлении c → +∞ имеет место асимптотическое разложение µ ¶ p £ + −¤ 1 2 |k1 k2 |3/2 + o , Q χ0 , χ0 (k1 , k2 ) = 4 |k1 k2 | + (π − 4ψ) (k1 + k2 ) + c2 c2 249

£ ¤ − Q χ+ , χ 1 1 (k1 , k2 ) = " p p µ ¶# 4 |k1 k2 | |k1 k2 | (3k12 + 2k1 k2 + 3k22 ) 1 = |k1 k2 | 2π − − +o 3 . 3 c 6c c

8.3

Конформные инварианты изображения

В современных методах обработки цифровых изображений, например при вейвлет анализе, используют кратномасштабное представление изображения. Поэтому желательно иметь такие характеристики изображения, которые не зависели бы от масштаба, ориентации, качества снимка. Эти характеристики можно использовать для определения характерных (особых) точек изображения. В данном пункте изложены результаты [115], определяются и исследуются четыре дифференциальных инварианта точки изображения относительно изменения масштаба и поворота. Аналогичные исследования проводились ранее в работах [317], [364] и [225], там же можно найти важные приложения для подобных инвариантов. 8.3.1.

Введение

Будем рассматривать одноканальное изображение. В математической постановке это означает, что задана неотрицательная функция в некоторой области на плоскости. Будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема, тогда справедливо разложение Тейлора второго порядка с центром в произвольной точке области. Можно считать, не ограничивая общности, что данная точка – начало координат на плоскости, тогда ¢ ¡ ¢ 1¡ f (x, y) = a + p1 x + p2 y + b11 x2 + 2b12 xy + b22 y 2 + o x2 + y 2 , 2 где a = f (0, 0), b11 =

∂ 2f (0, 0), ∂x2

b22

∂f ∂f (0, 0), p2 = (0, 0), ∂x ∂y ∂ 2f ∂ 2f = (0, 0), b = (0, 0) 12 ∂y 2 ∂x∂y p1 =

Предположим, что снимок подвергся преобразованию Θ (λ, ρ, φ) : f (x, y) → eλ f (eρ (x cos(φ) − y sin(φ)) , eρ (x sin(φ) + y cos(φ))) ,

(8.63)

т. е. повороту, растяжению. Множитель eλ можно интерпретировать как фактор поглощения среды, действующий в окрестности исследуемой точки. Нетрудно видеть, что преобразования Θ (λ, ρ, φ) удовлетворяют тождеству Θ (λ1 , ρ1 , φ1 ) ◦ Θ (λ2 , ρ2 , φ2 ) = Θ (λ1 + λ2 , ρ1 + ρ2 , φ1 + φ2 ) и образуют трехмерную коммутативную группу Ли G. Рассматривая действие группы G на пространстве J 2 (R2 , 0) 2-струй функций (тейлоровских разложений 2 порядка) получим, что группа G действует в пространстве параметров t = {a, p1 , p2 , b11 , b22 , b12 } ∈ R6 . Определение 8.3.1. Будем называть функцию I (a, p1 , p2 , b11 , b22 , b12 ) нетождественно равную константе инвариантом 2-го порядка, если под действием преобразований группы G она не меняется. 250

Пусть для произвольной функции параметров F (a, p1 , p2 , b11 , b22 , b12 ) определены инфинитезимальные дифференциальные операторы Xλ F , Xρ F , Xφ F ; ¯ ¯ d F (Ψ (t))¯¯ = Xλ F, dλ λ=0,ρ=0,φ=0 ¯ ¯ d F (Ψ (t))¯¯ = X ρ F, dρ λ=0,ρ=0,φ=0 ¯ ¯ d F (Ψ (t))¯¯ = Xφ F. dφ λ=0,ρ=0,φ=0

8.3.2.

(8.64)

Случай непрерывного изображения

Будем считать, что исходное физическое изображение представляет собой дважды непререрывно дифференцируемую числовую функцию f (x, y) со значениями в диапазане [0, 1].

Теорема 8.3.1. Дифференциальные операторы Xλ F , Xρ F , Xφ F равны ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F a+ p1 + p2 + b11 + b22 + b12 , ∂a ∂p1 ∂p2 ∂b11 ∂b22 ∂b12 ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F Xρ F = 0+ p1 + p2 + 2b11 + 2b22 + 2b12 , (8.65) ∂a ∂p1 ∂p2 ∂b11 ∂b22 ∂b12 ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F Xφ F = 0+ p2 − p1 + 2b12 − 2b12 + (−b11 + b22 ) . ∂a ∂p1 ∂p2 ∂b11 ∂b22 ∂b12 Xλ F =

Доказательство. Действие группы G на параметр t ∈ R6 определяется формулами t → Ψ(t), т.е. a → aeλ, p1 → (p1 cos(φ) + p2 sin(φ)) eλ+ρ , p2 → − (p1 sin(φ) − p2 cos(φ)) eλ+ρ , ¢ ¡ 2ρ+λ 2 b11 → e b11 cos (φ) + b12 sin (φ) cos (φ) − b22 cos2 (φ) + b22 , ¡ ¢ b12 → −e2ρ+λ b11 sin (φ) cos (φ) + b12 − 2b12 cos2 (φ) − b22 cos (φ) sin (φ) , ¡ ¢ b22 → −e2ρ+λ −b11 + b11 cos2 (φ) + 2b12 sin (φ) cos (φ) − b22 cos2 (φ) . Применив данное преобразование и проведя необходимые вычисления при указанных начальных условиях, получим искомые выражения (8.65) для значения дифференциальных операторов (8.64). Замечание. Непосредственно проверяется, что следующие функции являются инвариантами: 251

p21 + p22 , (b22 + b11 ) a b11 p21 + 2b12 p1 p2 + b22 p22 I2 = , (b222 + b211 + 2b212 ) a −2b12 p1 p2 + b11 p22 + b22 p21 I3 = , (b222 + b211 + 2b212 ) a −b212 + b11 b22 I4 = 2 2 . b22 + b211 + 2 b212 I1 =

Обозначим через J2 =

(b22 + b11 ) (b11 p21 + 2b12 p1 p2 + b22 p22 ) I2 = , I1 (b222 + b211 + 2b212 ) (p21 + p22 )

J3 =

I3 (b22 + b11 ) (b11 p22 − 2b12 p1 p2 + b22 p21 ) = . I1 (b222 + b211 + 2b212 ) (p21 + p22 )

Замечание. Инвариант I4 выражается через инварианты I1 , I2 , I3 , J2 , J3 следующим образом: I2 + I3 − I1 I4 = = J2 + J3 − 1. (8.66) I1 Теорема 8.3.2. Для инвариантов J2 , J3 справедлива точная оценка: ¶2 µ ¶2 µ 1 1 1 + J3 − ≤ J2 − (8.67) 2 2 2 Доказательство. Пусть B11 = b211 + b222 − 2b12 b22 − 2b11 b12 + 2b212 , B12 = b211 − b222 , B22 = b211 + b222 + 2b12 b22 + 2b11 b12 + 2b212 . Выражение (8.67) представимо в виде: µ ¶2 µ ¶2 1 1 S1 · S2 J2 − + J3 − = , 2 2 2 где

(8.68)

B11 p21 + 2B12 p1 p2 + B22 p22 (b211 + b222 + 2b212 )(p21 + p22 ) B22 p2 − 2B12 p1 p2 + B11 p22 S2 = 2 1 2 (b11 + b22 + 2b212 )(p21 + p22 ) S1 =

Заметим, что S1 + S2 = 2. Обозначим как µ ¶ B11 B12 B= , B21 B22

µ b=

b11 b12 b21 b22

¶ .

(8.69)

Если λ1 , λ2 - собственные числа симметричной матрицы ||bij ||i,j=1,2 , то 2λ21 , 2λ22 - собственные числа симметричной матрицы ||Bij ||i,j=1,2 . Следовательно, S1 , S2 - неотрицательные и в силу известного неравенства о том, что среднее геометрическое меньше или равно среднему арифметическому получаем: S1 · S2 ≤ 1, что и требовалось доказать. 252

J3 2 1.2

1.2

-0.2

2

J2

-0.2

Рис. 5: Область значений J2 , J3 .

Следствие. В силу формул (8.66) и (8.67) получаем область значений для инвариантов J2 , J3 представленную на рисунке 5. Следствие. Для инвариантов J2 , J3 и I4 = J2 + J3 − 1 справедливы точные оценки: √ √ 1− 2 1+ 2 ≤ J2 , J 3 ≤ , 2 2 8.3.3.

|I4 | ≤ 1.

Инварианты дискретного изображения

Определим дискретный вариант инвариантов I1 , I2 , I3 , I4 . Обозначим через fi,j значения функции f (x, y) в узлах прямоугольной сетки с шагом сетки h1 и h2 по горизонтали и вертикали соответственно.

Рис. 6: Прямоугольная сетка.

Возьмем тейлоровское разложение второго порядка функции f (x, y) с центром в точке (2, 2). Найдем значение данного разложения в узлах сетки согласно рисунку 6 и приравняем их данным fi,j . В результате получим систему из 9 уравнений на 6 неизвестных коэффициентов тейлоровского разложения. В матричной форме ее можно записать в виде: A · X = F,

(8.70)

где X столбец из неизвестных коэффициентов a, p1 , p2 , b11 , b12 , b22 ; F – столбец зна253

чений функции в узлах f2,2 , f1,2 , f2,1 , f2,3 , f3,2 , f1,1 , f1,3 , f3,3 , f3,1 ; матрица A равна:   1 0 0 0 0 0   1 −h h1 2 0 0 0 1   2 2   0   1 0 −h2 0 h22   2 h 2   1 0 h 0 0 2 2   h1 2   0 0 0 A =  1 h1 22  2   1 −h −h h1 h2 h h 1 2  1 2  22 22  1 −h h2 h21 h22 −h1 h2    1   h1 2 h2 2 h2 h1 h2   1 h1 22 22 1 h1 −h2 h21 h22 −h1 h2 Решая эту систему методом наименьших квадратов получим X = A−1 · F, где псевдообратная матрица A−1 равна:  5 2 2 2 9

A−1

9

9

2 9 1 6h1

9

 0 − 6h1 1 0 0  1  0 0 − 6h1 2 0 6h2  = − 2 1 2 2 − 3h1 2 3h11 2 2  3h21 2 3h122 − 3h 1 1 1  − 2 − 2 − 3h22 2 3h2 3h2 3h2 2 3h2 2 0 0 0 0 0

(8.71) − 19 − 6h11 − 6h12 1 3h1 2 1 3h2 2 1 4h1 h2

− 19 − 6h1 1

1 6h2 1 3h1 2 1 3h2 2 − 4h11 h2

− 91

1 6h1 1 6h2 1 3h1 2 1 3h2 2 1 4h1 h2

− 19

1 6h1 − 6h12 1 3h1 2 1 3h2 2 − 4h11 h2

       

Теорема 8.3.3. Для квадратичной функции f (x, y) формулы (8.71) дают точные значения коэффициентов тейлоровского разложения 2 порядка с центром в данной точке. Доказательство. Проверяется непосредственно. Следствие. Для квадратичной функции f (x, y) формулы (8.71) позволяют вычислить точные значения инвариантов. Замечание. В общем случае это решение даст приближение коэффициентов тейлоровского разложения. Тем более это справедливо для инвариантов. Замечание. В процессе реальной обработки изображения используется дискретизация (квантование), следствием которой является возникновение погрешностей при вычислении тейлоровского разложения и инвариантов. В следующих пунктах эти эффекты разбираются более подробно. Квантование изображения

На этапе передачи изображения по каналу связи, оно неизбежно подвергается дискретизатиции. В силу технических ограничений при этом возникает прямоугольная решетка точек изображения. Рассмотрим этот важный этап обработки изображения чуть подробнее. Память компьютера способна хранить только дискретные числа. Поэтому непрерывная величина должна быть подвергнута преобразованию дискретизации с шагом ∆. Операцию дискретизации случайной непрерывной величины по уровням часто называют квантованием. Число уровней квантования равно · ¸ 1 K= (8.72) ∆ 254

0

1

Рис. 7: Дискретизация непрерывной величины c шагом ∆.

В практических задачах обработки изображения величина квантования варьируется в широких пределах от с ("бинарные"(черно-белые) изображения) до K = 216 (true color – практически непрерывные значения яркости). Наиболее часто выбираются K = 28 , при этом пиксел изображения кодируется одним байтом информации. Из всего вышеуказанного делаем вывод, что пикселы, хранящиеся в памяти компьютера, представляют собой результат дискретизации исходного непрерывного изображения по аргументам и по уровням.

{

1/28

1/210

{

{ 1/29 Рис. 8: Величины K и ∆.

При практической реализации данного алгоритма возникают проблемы, связанные с эффектом квантования изображения. Будем предполагать, что выбрано число уровней квантования равное K = 28 и шаг квантования ∆ = 218 . Для частичной нейтрализации этого эффекта, при вычислении X, использован следующий метод. К значениям в узлах сетки прибавляются сгенерированные случайным образом значения (флуктуации) равные ± 2110 (см. рис. 8). Далее вычисляются производные и находятся медианные значения (т.е. проводится робастная фильтрация) для числителя и знаменателя инвариантов отдельно. Теорема 8.3.4. В условиях теоремы 8.3.3 для функции f (x, y) и для флуктуаций δ = kδi,j ki,j=1,3 , в силу линейности, формулы (8.71) дают следующие значения коэффициентов тейлоровского разложения: X = (a, p1 , p2 , b11 , b12 , b22 ) + A−1 δ, где компоненты (A−1 δ)i вектора строки A−1 δ равны: (A−1 δ)1 = (A−1 δ)2 = (A−1 δ)3 = (A−1 δ)4 = (A−1 δ)5 = (A−1 δ)6 =

1 (−δ1,1 + 2δ1,2 − δ1,3 + 2δ2,1 + 5δ2,2 + 2δ2,3 − δ3,1 + 2δ3,2 − δ3,3 ) , 9 −δ1,1 + δ1,3 − δ2,1 + δ2,3 − δ3,1 + δ3,3 , 6h1 −δ1,1 − δ1,2 − δ1,3 + δ3,1 + δ3,2 + δ3,3 , 6h2 1 (δ1,1 − 2δ1,2 + δ1,3 + δ2,1 − 2δ2,2 + δ2,3 + δ3,1 − 2δ3,2 + δ3,3 ) , 3h21 1 (δ1,1 + δ1,2 + δ1,3 − 2δ2,1 − 2δ2,2 − 2δ2,3 + δ3,1 + δ3,2 + δ3,3 ) , 3h22 δ1,1 − δ1,3 − δ3,1 + δ3,3 . 4h1 h2 255

Следствие. При условии, что δi,j независимы и распределены по нормальному закону N (0, σ), для компонентов вектора X получаем: µ ¶ µ ¶ ³ √ ´ σ σ σ 5 X1 ∈ N a, 3 , X2 ∈ N p1 , √ , X3 ∈ N p 2 , √ , 6h1 6h2 Ã Ã √ ! √ ! µ ¶ σ 2 σ σ 2 X4 ∈ N b11 , 2 , X5 ∈ N b12 , , X6 ∈ N b22 , 2 . h1 2h1 h2 h2 Как следствие этого, возникает ограничение на значения h1 , h2 – они не могут быть малыми. Оценки погрешностей тейлоровского разложения

Рассмотрим тейлоровское разложение 3-его порядка для произвольной функции f (x, y) с центром в данной точке ¢ 1¡ f (x, y) = a + p1 x + p2 y + b11 x2 + 2b12 xy + b22 y 2 + (8.73) 2 ¢ ¡ ¢ 1¡ + b111 x3 + 3b112 x2 y + 3b122 xy 2 + b222 y 3 + o (x2 + y 2 )3/2 6 Теорема 8.3.5. В условиях теоремы 8.3.3 для функции f (x, y) порядка m формулы (8.71) дают следующие значения коэффициентов тейлоровского разложения: X = (a, p1 , p2 , b11 , b12 , b22 ) + ε3 + · · · + εm , где ¢ 1 ¡ (3,0) 2 0, b h1 + 2b(1,2) h22 , 2b(2,1) h21 + b(0,3) h22 , 0, 0, 0 , 6 µ 1 4b(2,2) h21 h22 = − , 0, 0, b(4,0) h21 + 4b(2,2) h22 , 4b(2,2) h21 + b(0,4) h22 , 12 3 ¡ (3,1) 2 ¢¢ 2 b h1 + b(1,3) h22

ε3 = ε4

(8.74)

Остальные слагаемые имеют порядок малости ≥ 4. Доказательство. Проверка формул (8.74), (8.74) была проведена при помощи пакета Mathematica. Следствие. В общем случае погрешность имеет порядок C(h21 +h22 ), где константа C зависит лишь от третьей и четвертой производной. 8.3.4.

Экспериментальная часть

Было рассмотрено три тематических типа изображений: космические снимки, фотографии естественного и искусственного происхождений (рис. 9а). В результате 1 , J2 , J3 , как наиболее проведенных экспериментов были выбраны инварианты I1 устойчивые с вычислительной точки зрения. Гистограммы распределения значений 1 инвариантов , J2 , J3 для тестовых изображений приведены на рис. 9. I1 1 Матрица корреляции величин , J2 , J3 для изображения test1. I1   1.0000 0.0009 0.0005 C1 =  0.0009 1.0000 −0.0291  (8.75) 0.0005 −0.0291 1.0000 256

a)

b)

c)

d)

Рис. 9: a) – Тестовые изображения test1, test2, test3; b) – Гистограммы распределения значений инварианта I11 ; c) – Гистограммы распределения значений инварианта J2 ; d) – Гистограммы распределения значений инварианта J3 .

1 , J2 , J3 для изображения test2. I1   1.0000 0.0036 0.0026 C2 =  0.0036 1.0000 0.0649  0.0026 0.0649 1.0000

Матрица корреляции величин

1 , J2 , J3 для изображения test3. I1   1.0000 0.1808 −0.2920 C3 =  0.1808 1.0000 0.0191  −0.2920 0.0191 1.0000

(8.76)

Матрица корреляции величин

(8.77)

На основании проведенных экспериментов можно сделать вывод о том, что рас1 смотренные инварианты , J2 , J3 слабо коррелируют между собой и, следовательно, I1 данный набор числовых характеристик можно использовать в задачах распознавания изображений, отыскания снимков по образцу, задачах фотограмметрии. Заметим, что из пункта 8.1.5. следует оценка ”перекрытия” двух снимков, т. е. можно с наперед заданной достоверностью оценить ожидаемое число общих пикселей двух перекрывающихся снимков. 257

Литература [1] Алексеевский Д. В. Сопряженность полярных разложений групп Ли //Матем. сб. 1971. Т. 84. С. 14–26. [2] Алексеевский Д. В. Классификация кватернионных пространств с транзитивной разрешимой группой движений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1975. Т. 39, № 2. С. 315–362. [3] Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Матем. сб. 1975. Т. 96. С. 93–117. [4] Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Классификация однородных конформно-плоских римановых многообразий // Мат. заметки, 1978, Т. 24, № 1, С. 103-110. [5] Балащенко В.В. Инвариантные оснащения и индуцированные связности на регулярных ϕ–пространствах линейных групп Ли // Докл. АН БССР. - 1979. - Т.23. - №3. - С.209-212. [6] Балащенко В.В. Канонические f –структуры гиперболического типа на регулярных Φ–пространствах // Успехи мат. наук. - 1998. - Т.53. - №4. - С.213-214. [7] Балащенко В.В. Естественно редуктивные киллинговы f –многообразия // Успехи мат. наук. - 1999. - Т.54. - №3. - С.151-152. [8] Балащенко В.В. Однородные приближенно келеровы f –многообразия // Доклады РАН. - 2001. - Т.376. - №4. - С.439-441. [9] Балащенко В.В. Однородные эрмитовы f –многообразия // Успехи мат. наук. - 2001. - Т.56. - №3. - С.159-160. [10] Балащенко В.В. Алгебра канонических аффинорных структур и классы регулярных Φ–пространств // Доклады РАН. - 2002. - Т.385. - № 6. - С.727-730. [11] Балащенко В.В., Вылегжанин Д.В. Инвариантные обобщенные почти эрмитовы структуры на однородных Φ–пространствах конечного порядка// Доклады НАН Беларуси. - 2003. - Т.47. - №2. - С.44-49. [12] Балащенко В.В., Вылегжанин Д.В. Обобщенная эрмитова геометрия на однородных Φ–пространствах конечного порядка // Изв. вузов. Математика. 2004. - №10. - С.33-44. [13] Балащенко В.В., Дашевич О.В. Геометрия канонических структур на однородных Φ–пространствах порядка 4 // Успехи мат. наук. - 1994. - Т.49. - №4. - С.153-154. 258

[14] Балащенко В.В., Степанов Н.А. Канонические аффинорные структуры на регулярных Φ–пространствах // Успехи мат. наук. - 1991. - Т.46. - № 1. - С.205206. [15] Балащенко В.В., Степанов Н.А. Канонические аффинорные структуры классического типа на регулярных Φ–пространствах // Матем. сб. - 1995. - T.186. - №11. - С.3-34. [16] Балащенко В.В., Чурбанов Ю.Д. Инвариантные структуры на однородных Φ–пространствах порядка 5 // Успехи мат. наук. - 1990. - Т.45. - №1. - С.169170. [17] Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой I // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29. № 6. С. 17-29. [18] Берестовский В. Н. Однородные римановы многообразия положительной кривизны Риччи // Мат. заметки. 1995. Т. 58, № 3. С. 334–340. [19] Берестовский В. Н., Вольпер Д. Е. Класс U (n)-инвариантных римановых метрик на многообразиях, диффеоморфных сферам нечетной размерности // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 4. С. 612–619. [20] Берестовский В.Н., Никоноров Ю.Г. О δ-однородных римановых многообразиях. Доклады Академии Наук, 2007, Т. 415, N 6, С. 727–729. [21] Бессе А. Л. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: Мир, 1981. [22] Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т. 1, 2. М.: Мир, 1990. [23] Борисенко А. А. О цилиндрических многомерных поверхностях в пространстве Лобаческого // Укр. геометр. сб., 33 (1990), С. 18–27. [24] Борисенко А. А. Внешняя геометрия сильно параболических многомерных подмногообразий // Успехи матем. наук, 52, 6(318), 1997, С. 3–52. [25] Борисенко А. А. Внешняя геометрия параболических и седловых многомерных подмногообразий // Успехи матем. наук, 53, 6(324),1998, С. 3-52. [26] Борисенко А. А. Внутренняя и внешняя геометрия геометрия многомерных подмногообразий // М.: Изд-во ”Экзамен”, 2003 г.– 672 с. [27] Бураго Ю.Д. Неравенства изопериметрического типа в теории поверхностей ограниченной внешней интегральной кривизны.// Записки научных семинаров Ленинград. отд. ордена Ленина Математического института им. В.А.Стеклова, (1968). [28] Ведерников В.И. Симметрические пространства и сопряженные связности // Ученые записки Казанского ун-та. - 1965. - Т.125. - №1. - С.7-59. [29] Ведерников В.И. Симметрические пространства. Сопряженные связности как нормализованная связность // Труды Геом. семинара. ВИНИТИ. - 1966. - Т.1. - С.63-88. [30] Ведерников В.И. Об одном специальном классе однородных пространств // Изв. вузов. Математика. - 1972. - №12. - С.17-22. [31] Ведерников В.И., Феденко А.С. Симметрические пространства и их обобщения // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ АН СССР. - 1976. - Т.14. - С.249-280. 259

[32] Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и коизотропные симплектические действия // Успехи мат. наук. - 2001. - Т.56. - №1. - С.3-62. [33] Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г. Кэлеровы многообразия, допускающие транзитивную разрешимую группу автоморфизмов // Матем. сб. 1967. Т. 74. С. 357– 377. [34] Вольпер Д. Е. Секционные кривизны диагонального семейства Sp (n + 1)инвариантных метрик на 4n + 3-мерных сферах // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1089–1100. [35] Вольпер Д. Е. Семейство метрик на 15-мерной сфере // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 2. С. 263–275. [36] Вольпер Д. Е. Секционные кривизны нестандартных метрик на CP 2n+1 // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 1. С. 49–56. [37] Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. - М.: Наука, 1982. - 480 с. [38] Вылегжанин Д.В. Естественная конструкция обобщенной почти эрмитовой структуры // Вестник Витебского государственного университета. - 2001. №2. - C.114-119. [39] Вылегжанин Д.В. Обобщенная эрмитова геометрия на многообразии с f – структурами // Изв. вузов. Математика. - 2003. - №6. - С.28-36. [40] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 552 с. [41] Гато М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. Москва.: Мир, 1981. [42] Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., Винберг Э. Б. О классификации и канонической реализации ограниченных однородных областей // Тр. Моск. мат. общ. 1963. Т. 12. С. 359–388. [43] Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.– М.: Наука, 1983, 284 с. [44] Граев М.М. Число инвариантных метрик Эйнштейна в однородном пространстве, многогранник Ньютона и сжатия алгебры Ли // Изв. РАН. Сер. матем., 2007, Т. 71, №2, С. 29-88. [45] Грицанс А.С. О геометрии киллинговых f –многообразий // Успехи мат. наук. - 1990. - Т.45. - №4. - С.149-150. [46] Грицанс А.С. О строении киллинговых f –многообразий // Изв. вузов. Математика. - 1992. - №6. - С.49-57. [47] Дубровин Б. А., Новиков С. П. Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. [48] Дынкин Е. Б. Максимальные подгруппы классических групп // Тр. моск. мат. об-ва. 1952. Т. 1. С. 39-166. [49] Дынкин Е. Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Мат. сб. 1952. Т. 30, № 2. С. 349-462. [50] Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М. Мир. 1975 260

[51] Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Об изометричном погружении двумерных римановых многообразий в псевдоевклидово пространство // Мат. заметки. 1984. Т. 36, № 3, С. 447–455. [52] Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1972. [53] Кимельфельд Б. Н. Однородные области на конформной сфере // Мат. заметки, 8(3), 1970. [54] Кириченко В.Ф. K–пространства постоянного типа // Сиб. мат. ж. - 1976. Т.17. - №2. - С.282-289. [55] Кириченко В.Ф. О геометрии однородных K–пространств // Мат. заметки. 1981. - Т.30. - №4. - С.569-582. [56] Кириченко В.Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры // Известия АН СССР. Сер. математическая. - 1983. - Т.47. №6. - С.1208-1223. [57] Кириченко В.Ф. Эрмитово-однородные обобщенные почти эрмитовы многообразия // ДАН СССР. - 1984. - Т.277. - №6. - С.1310-1315. [58] Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИТИ АН СССР.- 1986. - Т.18. - С.25-71. [59] Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003. - 495 с. [60] Кириченко В.Ф., Липагина Л.В. Киллинговы f –многообразия постоянного типа // Известия РАН. Сер. матем. - 1999. - Т.63. - №5. - С.127-146. [61] Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982. [62] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. М.: Наука, 1981. [63] Ковальский О. Обобщенные симметрические пространства. М.: Мир, 1984. 240 с. [64] Комраков Б.П. Однородные пространства, порожденные автоморфизмами, и инвариантные геометрические структуры // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - 1975. - Т.7. - С.81-104. [65] Ленг С. Алгебра.- М.: Мир, 1968. - 564 с. [66] Липагина Л.В. О строении алгебры инвариантных аффинорных структур на сфере S 5 // Известия вузов. Математика. - 1997. - № 9. - С.17-20. [67] Ломшаков А. М., Никоноров Ю. Г., Фирсов Е. В. Инвариантные метрики Эйнштейна на три-локально-симметрических пространствах // Математические труды. 2003. Т. 6, № 2. P. 80–101. [68] Мантуров О. В. Однородные несимметрические римановы пространства с неприводимой группой вращений // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. С. 792– 795. 261

[69] Мантуров О. В. Римановы пространства с ортогональными и симплектическими группами движений и неприводимой группой вращений // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. С. 1034–1037. [70] Мантуров О. В. Однородные римановы многообразия с неприводимой группой изотропии // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1966. Т. 13. С. 68–145. [71] Мещеряков М. В. Несколько замечаний о гамильтоновых потоках на однородных пространствах // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, № 3(243). С. 215–216. [72] Никитенко Е.В. Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны // Математические труды. 2006. Т. 9. № 1. С. 101-116. [73] Никитенко Е.В. О нестандартных эйнштейновых расширениях пятимерных метрических нильпотентных алгебр Ли // Сибирские электронные математические известия. 2006. T. 3. С. 115-136. [74] Никитенко Е. В., Никоноров Ю. Г. Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия // Математические труды. 2005. Т. 8. № 1. С. 71-121. [75] Николаев И. Г. О гладкости метрики пространств с двусторонне ограниченной по А.Д. Александрову кривизной // Сиб. мат. журн., 24 (1983), № 2, С. 114– 132. [76] Никоноров Ю. Г. Функционал скалярной кривизны и однородные эйнштеновы метрики на группах Ли // Сиб. мат. журнал. 1998. Т. 39, № 3. С. 583-589. [77] Никоноров Ю. Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 5. С. 589–592. [78] Никоноров Ю. Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 200–205. [79] Никоноров Ю.Г. О кривизне Риччи однородных метрик на некомпактных однородных пространствах // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41, № 2. С. 421-429. [80] Никоноров Ю. Г. Классификация инвариантных эйнштейновых метрик на пространствах Алоффа — Уоллача // Тр. конф. «Геометрия и приложения», посвященной 70-летию В. А. Топоногова, 13–16 марта 2000 г. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН. С. 128–145. English translation in: Nikonorov Yu. G. Classification of invariant Einstein metrics on the Aloff-Wallach spaces // Siberian Advances in Mathematics. 2003. V. 13, № 4. P. 70–89. [81] Никоноров Ю. Г. Алгебраическая структура стандартных однородных эйнштейновых многообразий // Матем. труды. 2002. Т. 3, № 1. С. 119–143. [82] Никоноров Ю.Г. Инвариантные метрики Эйнштейна на пространствах Леджера-Обаты // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, № 3. C. 169–185. English translation in: Nikonorov Yu.G. Invariant Einstein metrics on the Ledger-Obata spaces // St. Petersburg Math. J. 2003. V. 14, № 3. P. 487–497. [83] Никоноров Ю. Г. Пятимерные эйнштейновы солвмногообразия // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2003. С. 343– 367. 262

[84] Никоноров Ю.Г. Об эйнштейновых расширениях нильпотентных метрических алгебр Ли // Математические труды, 2007, Т. 10, N 1, С. 164-190. [85] Никоноров Ю. Г., Родионов Е. Д. Компактные шестимерные однородные многообразия Эйнштейна // Докл. РАН. 1999. Т. 366, № 5. С. 599–601. [86] Никоноров Ю. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Геометрия однородных римановых многообразий // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2003. С. 162–189. [87] Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Геометрия однородных римановых многообразий // Современная математика и ее приложения. Геометрия. 2006. Том 37. C. 1-78. English translation in: Nikonorov Yu.G., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Geometry of homogeneous Riemannian manifolds // Journal of Mathematical Sciences, 2007, V. 146, № 6, P. 6313-6390. [88] Онищик А. Л. Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований // Тр. моск. мат. об-ва. 1962. Т. 11. С. 199–242. [89] Онищик А. Л. Транзитивные компактные группы преобразований // Мат. сб. 1963. Т. 60(102). С. 447–485. [90] Пятецкий-Шапиро И. И. О классификации ограниченных однородных областей в n-мерном комплексном пространстве // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. С. 316–319. [91] Пятецкий-Шапиро И. И. Структура j-алгебр // Изв. Акад. наук. Сер. мат. 1966. Т. 26. С. 453–484. [92] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. [93] Резников А. Г. Слабая гипотеза Бляшке для HP n // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283, № 2. С. 308–312. [94] Решетняк Ю.Г. Метод ортогональных проекций в теории кривых. Вестн. Ленинград. ун-та, 3, 22-26 (1957). [95] Ровенский В. Ю., Топоногов В. А. Геометрические характеристики комплексного проективного пространства // Геометрия и топология однородных пространств: Межвузовский сборник научных статей.- Барнаул: изд. Алт. ун-та, 1988.- С. 98–104. [96] Родионов Е. Д. Однородные римановы Z-многообразия // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 2. С. 191–197. [97] Родионов Е. Д. Строение однородных римановых Z-многообразий. Дис. к. ф.м. н. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982. [98] Родионов Е. Д. Однородные римановы многообразия ранга 1 // Сиб. матем. журн. 1984. Т. 25. № 4, С. 163–166. [99] Родионов Е. Д. Ранг нормального однородного пространства // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28. № 5, С. 154–159. [100] Родионов Е. Д. Геометрия однородных римановых многообразий // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 5. С. 1049–1051. 263

[101] Родионов Е. Д. Однородные римановы почти P -многообразия // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 102–108. [102] Родионов Е. Д. Эйнштейновы метрики на четномерных однородных пространствах допускающих однородную риманову метрику положительной секционной кривизны // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 126–131. [103] Родионов Е. Д. Однородные эйнштейновы метрики на одном исключительном пространстве Берже // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 1. С. 208–211. [104] Родионов Е. Д. Односвязные компактные стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 4. С. 104–119. [105] Родионов Е. Д. Замыкания геодезических линий компактных естественноредуктивных пространств // Тр. конф. памяти Н. И. Лобачевского. Казань, 1993. [106] Родионов Е. Д. Стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Докл. РАН. 1993. Т. 328, № 2. С. 147–149. [107] Родионов Е. Д. Односвязные компактные пятимерные однородные многообразия Эйнштейна // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 1. С. 163–168. [108] Родионов Е. Д. Однородные римановы многообразия с метрикой Эйнштейна. Дис. д. ф.-м. н. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1994. [109] Родионов Е. Д. Строение стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии I // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 175–192. [110] Родионов Е. Д. Строение стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии II // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 3. С. 624–632. [111] Родионов Е. Д., Славский В.В. Конформные и одноранговые деформации римановых метрик с площадками нулевой кривизны на компактном многообразии // Тр. конф. «Геометрия и приложения», посвященной 70-летию В. А. Топоногова, 13–16 марта 2000 г. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН. С. 171–182. [112] Родионов Е. Д., Славский В.В. Локально конформно однородные пространства // Доклады академии наук, 387(3), 2002. [113] Родионов Е. Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // Доклады академии наук, 387(4), 2002. [114] Родионов Е. Д., Славский В. В., Чибрикова Л. Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на группах Ли с нулевым квадратом длины тензора СхоутенаВейля // Вестник БГПУ. Серия: Естественные и точные науки. Вып. 4, 2004. [115] Самарина О.В., Славский В.В. Конформные преобразования изображения и их инварианты // Вестник СамГУ – Естественнонаучная серия, (в печати). [116] Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. – М.: Наука, 1983.–360 с. 264

[117] Славский В. В. Интегрально-геометрические соотношения с ортогональным проектированием для гиперповерхностей // Сиб. мат. журнал. 16(1), 1975, 103-123. [118] Славский В. В. Интегрально-геометрические соотношения с ортогональным проектированием для поверхностей // Сиб. мат. журнал. 16(2), 1975, 355-367. [119] Славский В. В. Интегрально-геометрические соотношения для многомерных поверхностей с ортогональным проектированием // Дисс. к.ф.-м.н., г.Новосибирск, НГУ, 1974 г. [120] Славский В. В. Интегрально-геометрические соотношения с ортогональным проектированием для сед-ловых поверхностей. Труды ИМ СОРАН, Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН. 2003г [121] Славский В. В. Конформно плоские метрики ограниченной кривизны на nмерной сфере. Исследования по геометрии ”в целом” и математическому анализу. - Новосибирск: Наука, 1987, Т. 9., С. 183-199. [122] Степанов Н.А. Однородные 3–циклические пространства // Известия вузов. Математика. - 1967. - №12. - С.65-74. [123] Степанов Н.А. Основные факты теории ϕ–пространств // Известия вузов. Математика. - 1967. - №3. - С.88-95. [124] Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. [125] Топоногов В. А. Экстремальные теоремы для римановых пространств с кривизной, ограниченной сверху // Сиб. матем. журн., 1974. Т. 15, № 6, С. 1348– 1371. [126] Топоногов В. А. Римановы пространства с диаметром, равным π // Сиб. матем. журн., 1975. Т. 16, № 1, С. 124–131. [127] Феденко А.С. Пространства с симметриями. - Минск: Изд-во Белорусского ун-та, 1977. - 168 с. [128] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. [129] Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. - М.: Мир, 1987. - 736 с. [130] Чурбанов Ю.Д. О некоторых классах однородных Φ–пространств порядка 5 // Изв. вузов. Математика. - 1992. - №2. - С.88-90. [131] Чурбанов Ю.Д. Канонические f –структуры однородных Φ–пространств порядка 5 //Вестник БГУ. Сер.1: Физ.Мат.Мех. - 1994. - №1. - С.51-54. [132] Чурбанов Ю.Д. Геометрия однородных Φ–пространств порядка 5 // Известия вузов. Математика. - 2002. - №5. - С.70-81. [133] Шефель С. З. О двух классах k-мерных поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве // Сиб. матем. журн., 1969. Т. 10, № 2, С. 459–467. [134] Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. - М.: 1969. - С.127-188. [135] Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. М.: ИЛ, 1957. 265

[136] Яно К., Кон М. CR–подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях. - М.: Наука, 1990. - 192 с. [137] Abbena E., Garbiero S. Almost Hermitian homogeneous manifolds and Lie groups // Nihonkai Math. J. - 1993. - V.4. - P.1-15. [138] Abresh U., Meyer W. T. Injectivity radius estimates and sphere theorems // Comparison geometry. Edited by Grove K. at al. Cambridge, 1997. P. 1–47. [139] Akhiezer D.N., Vinberg E.B. Weakly symmetric spaces and spherical varieties // Transformation Groups, 1999, V. 4, N 1, P. [140] Akivis M. A., Goldberg V. V. On geometry of hypersurfaces of a pseudoconformal space of Lorentzian signature // Journal of Geometry and Physics, 26 (1998), P. 112–126. [141] Alekseevsky D. V. Homogeneous Einstein metric // Differential Geometry and its Application. Communications. (Proc. of Brno Conference), Univ. of J.E. PurkyneCzechoslovakia. 1987. P. 1–12. [142] Alekseevsky D., Arvanitoyeorgos A. Riemannian flag manifolds with homogeneous geodesics // Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), P. 3769–3789. [143] Alekseevsky D., Dotti I., Ferraris S. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds // Pac. J. Math. 1996. V. 175. P. 1–12. [144] Alekseevsky D., Kimelfeld B. N. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature // Func. Anal. Appl. 1975. V. 9. P. 27–102. [145] Alexandrov, A.D. Selected works. Part 1: Selected scientific papers. Ed. by Yu. G. Reshetnyak and S. S. Kutateladze, transl. from the Russian by P. S. V. Naidu. Classics of Soviet Mathematics. 4(pt.1). Amsterdam: Gordon and Breach Publishers. x, (1996). 322 p. [146] Alexandrov, A.D.; Reshetnyak, Yu.G. General theory of irregular curves. Transl. from the Russian by L. Ya. Yuzina. Mathematics and Its Applications: Soviet/ Series, 29. Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers. x, (1989). 288 p. [147] Aloff S., Wallach N. An infinite family of distinct 7-manifolds admitting positively curved Riemannian structures // Bull. Amer. Math. Soc. 1975. V. 81. P. 93–97. [148] Ambrose W., Singer, I. M. On homogeneous Riemannian manifolds // Duke Math. J. 25, 647-669 (1958). [149] Apanasov, Boris N. Kobayashi conformal metric on manifolds Chern-Simons and η- invariants // Int. J. Math. 2, No. 4, 361-382 (1991). [150] Apostolov V., Grantcharov G., Ivanov S. Hermitian structures on twistor spaces // Ann. Glob. Anal. Geom. - 1998. - V.16. - P.291-308. [151] Apostolov V., Grantcharov G., Ivanov S. Orthogonal complex structures on certain Riemannian 6–manifolds // Differential Geometry and its Applications. - 1999. V.11. - P.279-296. [152] Arvanitoyeorgos A. New invariant Einsten metrics on generalized flag manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 337. P. 981–995. 266

[153] Arvanitoyeorgos A. SO(n)-invariant Einsten metrics on Stiefel manifolds // Diff. Geom. Appl. Proc. Conf. Aug.-Sept. 1995. Brno. P. 1–5 [154] Arvanitoyeorgos A. Einstein equations for invariant metric on generalized flag manifolds and inner automorphism // Balkan J. Geom. Appl. 1996. V. 1. P. 17–22. [155] Arvanitoyeorgos A, Dzhepko V.V., Nikonorov Yu.G. Invariant Einstein metrics on some homogeneous spaces of classical Lie groups // Canadian J. Math. (to appear). [156] Arvanitoyeorgos A, Dzhepko V.V., Nikonorov Yu.G. Invariant Einstein metrics on quaternionic Stiefel manifolds // Bull. Greek Math. Soc. (to appear). [157] Azencott R., Wilson E. Homogeneous manifolds with negative curvature, II // Mem. Am. Math. Soc. 1976. V. 178. [158] Azencott R., Wilson E. Homogeneous manifolds with negative curvature, I // Trans. Am. Math. Soc. 1976. V. 215. P. 323-362. [159] Back A., Hsiang W.Y. Equivariant geometry and Kervaire Spheres // Transac. A.M.S. 1987. V. 304. P. 207–27. [160] Balashchenko V.V. Riemannian geometry of canonical structures on regular Φ– spaces, Preprint No.174/1994, Fakult¨at f¨ ur Mathematik der Ruhr-Universit¨at Bochum, 1994, 1-19. [161] Balashchenko V.V. Naturally reductive almost product manifolds // Differential Geometry and Applications. Proc. of the 7th Intern. Conf., Satellite Conf. of ICM in Berlin. Aug. 10-14, 1998, Brno, Masaryk University in Brno (Czech Republic). - 1999. - P.13-21. [162] Balashchenko V. V. Invariant nearly K¨ahler f –structures on homogeneous spaces // Global Differential Geometry: The Mathematical Legacy of Alfred Gray. Contemporary Mathematics. - 2001. - V.288. - P.263-267. [163] Balashchenko V. V. The algebra of canonical affinor structures on homogeneous k–symmetric spaces // Differential Geometry and Its Applications. Proc. Conf., Opava (Czech Republic), August 27-31, 2001. Silesian University. Opava. - 2001. P.3-13. [164] Balashchenko V.V. Invariant nearly K¨ahler f –structures on homogeneous spaces, SFB 288 Preprint no.499, Berlin, 2001, 1-14. [165] Balashchenko V.V. Invariant structures generated by Lie group automorphisms on homogeneous spaces // Proceedings of the Workshop "Contemporary Geometry and Related Topics"(Belgrade, Yugoslavia, 15-21 May, 2002). Editors: N.Bokan, M.Djoric, A.T.Fomenko, Z.Rakic, J.Wess. - World Scientific, 2004. P.1-32. [166] Balashchenko V. V. Invariant f (5, 1)–structures on homogeneous k–symmetric spaces // Differential Geometry and its Applications. Proc. Conf., Prague (Aug.30Sept.3, 2004), Charles University, Prague (Czech Republic). - 2005. - P.191-201. [167] Balashchenko V. V. Invariant f –structures in generalized Hermitian geometry // Proceedings of the Conference "Contemporary Geometry and Related Topics". Belgrade, Serbia & Montenegro (June 26 - July 2, 2005). Faculty of Mathematics, University of Belgrade. - 2006. - P.5-27. 267

[168] Balashchenko V. V., Sakovich A. Invariant f –structures on the flag manifolds SO(n)/SO(2) × SO(n − 3) // International Journal of Math. and Math. Sciences. - 2006. - V. 2006. - Article ID 89545. - P.1-15. [169] Baum H., Friedrich T., Grunewald R., Kath I. Twistor and Killing Spinors on Riemannian Manifolds. - Teubner-Texte zur Mathematik, V.124, Teubner-Verlag, Stuttgart/Leipzig, 1991. [170] Bazaikin Ya. V. On a certain family of closed 13-dimensional Riemannian manifolds of positive curvature // Sib. Math. J. 1996. V. 37. P. 1068–1085. [171] Berestovskii V.N., Guijarro L. A metric characterization of Riemannian submersions // Ann. Global Anal. Geom., 18 (6) (2000), P. 577–588. [172] Berestovskii V.N., Nikonorov Yu.G. On δ-homogeneous Riemannian manifolds // Differ. Geom. and its Appl., 2008, V.-26, N-5, P. 514–535. [173] Berestovskii V.N., Plaut C. Homogeneous spaces of curvature bounded below // J. Geom. Anal., 9 (2) (1999), P. 203–219. [174] Bergery L. B. Les varietes riemanniens invariantes homogenes simplement connexes de dimension impaire a courbure strictement positive // J. Math. Pur. Appl. IX. Ser. 1976. V. 55, № 1. P. 47–68. [175] Bergery L. B. Sur la courbure des metrigues riemanniens invariantes des groupes de Lie etdes espaces homogenes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1978. V. 4(11), № 4. P. 543–576. [176] Bergery L. B. Homogeneous Riemannian spaces of dimension 4. In: G`eom`etrie Riemannienne en dimension 4. S`eminaire Arthur Besse. Paris: Cedic. 1981. [177] Berger M. Les varietes riemanniennes homogenes normales a courbure strictement positive // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. 1961. V. 15. P. 179–246. [178] Berndt J., Kowalski O., Vanhecke L. Geodesics in weakly symmetric spaces // Annals of global analysis and Geometry. 1997. V. 15, P. 153–156. [179] Berndt J., Tricerri M., Vanhecke L., Generalized Heisenberg Groups and DamekRicci Harmonic Spaces, Springer Lecture Notes in Mathematics, V. 1598, 1995. [180] Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. - LN in Math. V.509. Springer-Verlag, 1976. [181] Bochner S. Vectors fields and Ricci curvature // Bull. Ann. Math. Soc. 1946. V. 52, P. 776–797. [182] B¨ohm C. Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes // Journal of Differ. Geom., 2004, V. 67, P. 79-165. [183] B¨ohm C. Non-existance of homogeneous Einstein metrics // Comm. Math. Helvetici, 2005, V. 80, 123-146. [184] B¨ohm C. Unstable Einstein metrics // Math. Zeitschrift, 2005, V. 250, P. 279-286. [185] B¨ohm C., Kerr M. Low-dimensional homogeneous Einstein manifolds // Trans. Amer. Math. Soc., 2005, V. 358, P. 1455-1468. [186] B¨ohm C., Wang M., Ziller W. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds // GAFA, 2004, V. 14, P. 681-733. 268

[187] Bonnesen, T.; Fenchel, W. Theorie der konvexen Kцrper. (Erg. Math. u. ihrer Grenzgebiete 3, No.1) Berlin: Julius Springer. VII, (1934). 164 S. [188] Borel A. Le plant projectif des octaves et les spheres comme espaces homogenes // C. R. Acad. Sc., Paris. 1950. V. 230. P. 1378–1380. [189] Borel A. Some remarks about Lie groups transitive on spheres and tori // Bull. Am. Math. Soc. 1949. V. 55. P. 580–587. [190] Borel A., Hirzebruch F. Characteristic classes and homogeneous spaces. I // Amer. J. Math. - 1958. - V.80. - No.2. - P.458-538. [191] Bourguignon J. P., Karcher H. Curvature operators: Pinching estimates and geometric examples // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1978. V. 11. P. 71–92. [192] Boyer C., Galicki K. and Mann B. The geometry and topology of 3-Sasakian manifolds // Jour. reine angew. Math. 1994. V. 455. P. 183–220. [193] Bredon G.E. Introduction to compact transformation groups. New York, London: Acad. Press, XIII, (1972). ` Sur les domaines born`es homog`enes de l‘space de n variables [194] Cartan E. complexes // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1935. V. 11. P. 116–162. [195] Castellani L., D’Auria R., Fre P. SU (3)ΘSU (2)ΘU (1) for D = 11 supergravity // Nuclear Physics. 1984. V. 239 B. P. 610–652. [196] Castellani L., Romans L.J., Warner N.P. A classification of compactifying solutions for d = 11 supergravity // Nuclear Physics. 1984. V.241 B P. 429–462. [197] Castellani L., Romans L.J. N = 3 and N = 1 supersymmetry in a new class of solutions for D = 11 supergravity // Nuclear Physics // 1984. V. 241 B. P. 683– 701. [198] Chavel I. Isotropic Jacobi fields and Jacobi’s equation on riemannian homogeneous spaces // Comm. Math. Helv. 1967. V. 42. P. 237–248. [199] Cohen N., Negreiros C.J.C., Paredes M., Pinzon S., San Martin L.A.B. F– structures on the classical flag manifold which admit (1, 2)–symplectic metrics // Tohoku Math. J. - 2005. - V.57. - P.261–271. [200] Collinson C. D. A comment on the integrability conditions of the conformal Killing equation // Gen. Relativ. Gravitation 21, No. 9, 979-980 (1989). [201] Cort´es E. Alekseevskian Spaces // Diff. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129–168. [202] Damek E., Ricci F. A class of nonsymmetric harmonic Riemannian spaces // Bull. Amer. Math. Soc., 1992, V. 27, P. 139-142. [203] D’Atri J. E., Dotti Miatello I. A characterization of bounded symmetric domains by curvature // Trans. Amer. Math. Soc., 1983, V 276, P. 531-540. [204] D’Atri J. E., Nickerson H. K. Geodesic symmetrics in spaces with special curvature tensor // J. Diff. Geom. 1974. V. 9. P. 251–262. [205] D’Atri J. E., Ziller W. Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact Lie groups // Memoirs Amer. Math. Soc. 1979. V. 18, № 215. P. 1–72. 269

[206] D’Auria R., Fre P., van Nieuwenhuisen P. N = 2 matter coupled supergravity from compactification on a coset G/H possessing an additional Killing vector // Phys. Lett. 1984. V.136 B. P. 347–353. [207] Deloff E. Naturally reductive metrics and metrics with volume preserving geodesic symmetries on NC-Algebras. New Brunswick: Thesis, Rutgers, 1979. [208] Dotti Miatello I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Math. Zeit. 1982. V. 180. P. 257–263. [209] Dotti Miatello I. Transitive group actions and Ricci curvature properties // Michigan Math. J. 1988. V. 35. P. 427–434. [210] Dotti I. On the curvature of certain extensions of H-type groups // Proc. Amer. Math. Soc., 1997, V. 125, P. 573-578. [211] Duff M. J., Nilsson B. E. W., Pope C. N. Kaluza-Klein supergravity // Phys. Rep. 1986. V. 130. P. 1–142. [212] Du˘sek Z. Structure of geodesics in a 13-dimensional group of Heisenberg type // Proc. Coll. Diff. Geom. in Debrecen (2001). P. 95–103. [213] Du˘sek Z. Explicit geodesic graphs on some H-type groups // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, serie II, 69 (2002), P. 77-88. [214] Du˘sek Z., Kowalski O., Nik˘cevi´c S. New examples of Riemannian g.o. manifolds in dimension 7 // Diff. Geom. Appl., 2004, V. 21, P. 65-78. [215] Eliasson H. I. Die Krummung des Raumes Sp(2)/SU (2) von Berger // Math. Ann. 1966. V. 164. P. 317–327. [216] Eschenburg Y.-H. New examples of manifolds with strictly positive curvature // Invent. Math. 1982. V. 66. P. 469–480. [217] Garbiero S., Vanhecke L. A characterization of locally 3–symmetric spaces // Riv. Mat. Univ. Parma (5). - 1993. - V.2. - P.331-335. [218] Fary, Istvan. Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un noeud. Bull. Soc. Math. Fr. 77, 128-138 (1949). [219] Fary, Istvan. Sur certaines inйgalitйs geomйtriques. Acta Sci. Math., Szeged 12 A, 117-124 (1950). [220] Gil-Medrano O. Geometric properties of some classes of Riemannian almostproduct manifolds // Rend. Circ. Mat. Palermo, Ser.2. - 1983. - V.32. - No.3. - P.315-329. [221] Gil-Medrano O., Naveira A.M. Some remarks about the Riemannian curvature operator of a Riemannian almost-product manifold // Rev. Roumaine Mat. Pures Appl. - 1985. - V.30. - No.8. - P.647-658. [222] Gindikin S. G., Piatetskii-Shapiro I. I., Vinberg E. B. Homogeneous K¨ahler minifilds // In: Geom. homogen. bounded domains (C.I.M.E., 3 Ciclo, Urbino, 1967). Roma: Edizioni Cremoneze, 1968. P.3–87. [223] Gordon C. Homogeneous manifolds whose geodesics are orbits // Topics in Geometry, in Memory of Joseph D’Atri. (Prog. Nonlinear Differ. Equ. Appl. V. 20). Boston: Birkh¨auser, 1996. P. 155–174. 270

[224] Gordon C. S., Kerr M. New homogeneous metrics of negative Ricci curvature // Ann. Global Anal. Geom. 2001. V. 19. P. 1–27. [225] Gouet M., Montesinos P., Pele D. Stereo Matching of Color Images Using Differential Invariants // International Conference on Image Processing. 1999. [226] Gray A. Nearly K¨ahler manifolds // J. Diff. Geom. - 1970. - V.4. - No.3. - P.283-309. [227] Gray A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3 // J. Diff. Geom. - 1972. - V.7. - No.3-4. - P.343-369. [228] Gray A. The structure of nearly K¨ahler manifolds // Math. Ann. - 1976. - V.223. - No.3. - P.233-248. [229] Gray A. Homogeneous almost Hermitian manifolds // Proceedings of the Conference on Differential Geometry on Homogeneous Spaces, Turin, Italy, 1983; Rendiconti del Seminario Matematico Universita e Politecnico di Torino. - 1983. Special Issue. - P.17-58. [230] Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Mat. Pura ed Appl. - 1980. - V.123. - No.4. - P.35-58. [231] Grunewald R. Six-dimensional Riemannian manifolds with a real Killing spinor // Ann. Global Anal. Geom. - 1990. - V.8. - No.1. - P.43-59. [232] Heber J. Noncompact homogeneous Einstein spases // Invent. Math. 1998. V. 133. P. 279–352. [233] Heber J. On harmonic and asymptotically harmonic homogeneous spaces // GAFA, 2006, V. 16, P. 869 - 890. [234] Heintze E. The curvature of SU (5)/Sp(2) × S 1 // Invent. Math. 1971. V. 13. P. 205–212. [235] Heintze E. Riemannsche Solvmannigfaltigkeiten // Geom. Dedicata. 1973. V. 1. P. 141–147. [236] Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Math. Ann. 1974. V. 211. P. 23–34. [237] Helgason S. Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces. - New York: Academic Press, 1978. - 628 p. [238] Howard, R. The kinematic formula in Riemannian homogeneous spaces. Mem. Amer. Math. Soc. (1993). 106, no. 509, vi+69 pp. [239] Huang H.-M. Some remarks on the pinching problems // Bull. Inst. Math. Acad. Sin. 1981. V. 9. P. 321–340. [240] Jensen G. R. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. Diff. Geom. 1969. V. 3. P. 309–349. [241] Jensen G. R. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 20. P. 1125–1143. [242] Jensen G. R. Einstein metrics on principal fibre bundles // J. Diff. Geom. 1973. V. 8. P. 599–614. 271

[243] Jimenez J.A. Existence of Hermitian n–symmetric spaces and of non-commutative naturally reductive spaces // Math. Z. - 1987. - V.196. - No.2. - P.133-139. [244] Jimenez J.A. Riemannian 4–symmetric spaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1988. - V.306. - No.2. - P.715-734. [245] Kamberov G. Prescribing mean curvature: existence and uniqueness problems. Am. Math. Soc. 4, No.2, 4-11 (1998). [246] Kaplan A. Riemannian nilmanifolds attached to Clifford modules // Geom. Dedicata. - 1981. - V.11. - P.127-136. [247] Kaplan A. On the geometry of groups of Heisenberg type // Bull. London Math. Soc. - 1983. - V.15. - P.35-42. [248] Kath I. Pseudo-Riemannian T -duals of compact Riemannian homogeneous spaces // Transformation Groups. - 2000. - V.5. - No.2. - P.157-179. [249] Kerr M. Some new homogeneous Einstein metrics on symmetric spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348. P. 153–171. [250] Kerr M. New examples of homogeneous Einstein metrics // Michigan J. Math. 1998. V. 45. P. 115–134. [251] Kerr M. A deformation of quaternionic hyperbolic space // Proc. Amer. Math. Soc., 2005, V. 134, P. 559-569. [252] Kimura M. Homogeneous Einstein metrics on certain K¨ahler C-spaces // Recent topics in Differential and Analytic Geometry, Adv. Studies in Pure Math. 1990 V. 18-I. P. 303–320. [253] Kirichenko V.F. Sur la geometrie des varietes approximativement cosymplectiques //C. R. Acad. Sci. Paris, Ser.1. - 1982. - V.295. - No.12. - P.673-676. [254] Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR– submanifolds in generalized Hermitian geometry, I // Geom. Dedicata. - 1994. - V.51. - P.75-104. [255] Klaus S. Einfach-zusammenh¨angenge Kompakte Homogene R¨aume bis zur Dimension Neun // Diplomarbeit am Fachbereich Matthematik, Johannes Gutenberg Universit¨at. 1988. [256] Kobayashi S. Topology of positively pinched K¨aler manifolds // Tohoku Math. J. 1963. V. 15. P. 121-139. [257] Koenderink J. J. What does the occluding contour tell us about solid shape? Perception, 13:321-330,1984. [258] Kostant B. Holonomy and Lie algebra of motions in Riemannian manifolds // Trans. Am. Math. Soc. 1955. V. 80. P. 520–542. [259] Kostant B. On differential geometry and homogeneous spaces II // Proc. N.A.S. 1956. V. 42. P. 354-357. [260] Kostant B. On holonomy and homogeneous spaces // Nagoya Math. J., 1957, V. 12, P. 31-54. [261] Kowalski O. Counter-example to the ”second Singer’s theorem” // Ann. Global Anal. Geom. 8, No. 2, 211-214 (1990). 272

[262] Kowalski O., Nik˘cevi´c S. Eigenvalues of locally homogeneous riemannian 3manifolds // Geom. Dedicata. 1996. V. 62. P. 65–72. [263] Kowalski O., Nik˘cevi´c S. On geodesic graphs of Riemannian g.o. spaces // Arch. Math. 1999. V. 73. P. 223–234. [264] Kowalski O., Nik˘cevi´c S., Vl´a˘sek Z. Homogeneous geodesics in homogeneous Riemannian manifolds-examples // in Geometry and Topology of Submanifolds, X (Beijing/Berlin, 1999), pp. 104-112, World Sci.Publishing, River Edge, NJ, 2000. [265] Kowalski O., Szenthe J. On the existence of homogeneous geodesics in homogeneous Riemannian manifolds // Geom. Dedicata. 2000. V. 81. P. 209–214; correction: Geom. Dedicata. 2001. V. 84. P. 331–332. [266] Kowalski O., Vanhecke L. Riemannian manifolds with homogeneous geodesics // Boll. Unione Mat. Ital. VII. Ser. B. 1991. V. 5, № 1. P. 189–246. [267] Kowalski O., Vl´a˘sek Z. Homogeneous Einstein metrics on Aloff — Wallach spaces // Diff. Geom. Appl. 1993. V. 3. P. 157–167. [268] Kr¨amer M. Eine Klassifikation bestimmter Untergruppen kompakter zusammenh¨angender Liegruppen // Comm. Alg. 1975. V. 3. P. 691–737. [269] Kr¨amer M. Spharische Untergruppen in kompakten zusammenhangenden Liegruppen // Compositio Math. 1979. V. 38. № 2. P. 129-153. [270] Kreck M., Stolz S. A diffeomorphism classification on 7-dimensional Einstein manifolds with SU (3)ΘSU (2)ΘU (1) symmetry // Ann. Math. 1988. V. 127. P. 373–388. [271] Kreck M., Stolz S. Some nondiffeomorphic homeomorphic homogeneous 7manifolds with positive sectional curvature // J. Diff. Geom. 1991. V. 33. P. 465– 486. [272] Kuiper N.H. On conformally-flat spaces in large // Ann. of Math. (2) 1949. V. 50. P. 916–924. [273] Kuiper N.H. On compact conformally Euclidean spaces of dimention >2 // Ann. of Math. (2) 1950. V. 52. P. 478–490. [274] Lacomba E. Mechanical systems with symmetry on homogeneous spaces // Trans. Am. Math. Soc. 1974. V. 185(1973). P. 477–491. [275] Lastaria Federico G., Tricerri Franco. Curvature-orbits and locally homogeneous Riemannian manifolds // Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 165, 121-131 (1993). [276] Lauret J. Commutative spaces which are not weakly symmetric // Bull. London Math. Soc., 1998, V. 30, P. 29-36. [277] Lauret J. Ricci soliton homogeneous nilmanifolds // Math. Ann. 2001. V. 319. P. 715–733. [278] Lauret J. Standart Einstein solvmanifolds as critical points // Quart. J. Math. 2001. V. 52. P. 463-470. [279] Lauret J. Finding Einstein solvmanifolds by a variational method // Math. Z. 2002. V. 241. P. 83-99. 273

[280] Lauret J. A canonical compatible metric for geometric structure on nilmanifolds // Annals of Global Analysis and Geometry, 2006, V. 30, P. 107-138. [281] Lauret J. Einstein Solvmanifolds Are Standard // Preprint. 2007. arXiv: math.DG/0703472. [282] Lauret J. and Will C. Einstein solvmanifolds: existence and non-existence questions // Preprint, 2006, arXiv:math.DG/0602502. [283] Lawson, H. Blaine jun.; de Azevedo Tribuzy, Renato. On the mean curvature function for compact surfaces. J. Differ. Geom. 16, 179-183 (1981). [284] Ledger A.J., Pettitt R.B. Classification of metrisable regular s–manifolds with integrable symmetry tensor field // J. Math. Soc. Japan. -1976. - V.28. - No.4. P.668–675. [285] Ledger A.J., Pettitt R.B. Compact quadratic s–manifolds // Comment. Math. Helv. - 1976. - V.51. - P.105-131. [286] Ledger A.J., Vanhecke L. On a theorem of Kiriˇcenko relating to 3–symmetric spaces // Riv. Mat. Univ. Parma (4). - 1987. - V.13. - P.367-372. [287] Leite M.L., Miatello I.D. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n, R), n ≥ 3 // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 635-641. [288] Lichnerowicz A. Sur les espaces riemanniens compl‘etement harmoniques // Bull. Soc. Math. France, 1944, V. 72, P. 146-168. [289] Marian A. On the real moment map // Math. Res. Lett. 2001. V. 8. P. 779-788. [290] Matsumoto M. On 6–dimensional almost Tachibana spaces // Tensor. - 1972. V.23. - No.2. - P.250-252. [291] Mc Cleary Y., Ziller W. On the free loop space of homogeneous spaces // Am. J. Math. 1987. V. 109. P. 765–781; correction: Am. J. Math. 1991. V. 113. P. 375–377. [292] Milnor J. Curvature of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. 1976. V. 21. P. 293–329. [293] Milnor, John W. On total curvatures of closed space curves. Math. Scand. 1, 289296 (1953). [294] Miquel V. Some examples of Riemannian almost-product manifolds // Pacif. J. Math. - 1984. - V.111. - No.1. - P.163-178. [295] Montesinos A. On certain classes of almost-product structures // Michigan Math. J. - 1983. - V.30. - P.31-36. [296] Montgomery D., Samelson H. Groups transitive on the n-dimensional torus // Bull. Am. Math. Soc. 1943. V. 49. P. 455–456. [297] Montgomery D., Samelson H. Transformation groups of Spheres // Ann. Math. 1943. V. 44. P. 454–470. [298] Myers S. B. Riemannian manifolds with positive mean curvature // Duke Math. J. 1941. V. 8. P. 401–404. [299] Myers S. B., Steenrod N. The group of isometries of Riemannian manifold // Ann. Math. 1939. V. 40. P. 400–416. 274

[300] Nakajima K. On j-algebras and homogeneous K¨ahler manifolds // Hokkaido Math. J. 1986. V. 15. P. 1–20. [301] Naveira A.M. A classification of Riemannian almost-product manifolds // Rend. Mat. - 1983. - V.3. - No.3. - P.577-592. [302] Nguyˇen ˜ H.D. Compact weakly symmetric spaces and spherical pairs // Proc.Amer. Math. Soc. 2000. V. 128. N 11. P. 3425-3433. [303] Nikolayevsky Y. Two theorems on harmonic manifolds // Comment. Math. Helv., 2005, V. 80, P. 29-50. [304] Nikolayevsky Y. Harmonic homogeneous manifolds of nonpositive curvature // preprint, 2004, arXiv:math/0407024. [305] Nikolayevsky Y. Einstein solvable Lie algebras with a free nilradical // Ann. Glob. Anal. Geom., 2007, DOI 10.1007/s10455-007-9077-5. [306] Nikolayevsky Y. Nilradicals of Einstein solvmanifolds // Preprint, 2006, arXiv:math.DG/0612117 [307] Nikolayevsky Y. Einstein solvmanifolds with a simple Einstein derivation // Preprint, 2007, arXiv:0707.4595. [308] Nikonorov Yu.G. New series of Einstein homogeneous netrics // Diff. Geom. and its Appl. 2000. V. 12. P. 25–34. [309] Nikonorov Yu. G. Compact homogeneous Einstein 7-manifolds // Geom. Dedicata, 2004, V. 109, P. 7-30. [310] Nikonorov Yu. G. Noncompact homogeneous Einstein 5-manifolds // Geom. Dedicata. 2005. V. 113. P. 107-143. [311] Nikonorov Yu., Rodionov E. Standart homogeneous Einstein manifolds and Diophantine equations // Arch. Math. (Brno). 1996. V. 32. P. 123–136. [312] Nikonorov Yu. G., Rodionov E. D. Compact homogeneous Einstein 6-manifolds // Diff. Geom. and its Appl. 2003. V. 19. P. 369–378. [313] Nomizu K. Invariant affine connections on homogeneous spaces // Amer. J. Math. - 1954. - V.76. - No.1. - P.33-65. [314] Obata W. On homogeneous almost K¨ahler Einstein manifolds of negative curvature // Tokyo J. Math., 2005, V. 28, P. 407-414. [315] Obata W. Negatively curved homogeneous almost K¨ahler Einstein manifolds with nonpositive curvature operator // Osaka J. Math., 2007, V. 44, P. 483-489. [316] Obata W. Homogeneous K¨ahler Einstein manifolds of nonpositive curvature operator // Tohoku Mathematical Publikations, 2007, N 33. [317] Olver Peter J. Equivalence, Invariants, and Symmetry // Cambridge University Press. 1995. [318] Overduin J. M., Wesson P. S. Kaluza-Klein gravity // Phys. Rep. 1997. V. 283. P. 303–378. [319] Page D., Pope C. New squashed solutions of d=11 supergravity // Phys. Lett. 1984. V. 147 B. P. 55–60. 275

[320] Park J. Einstein normal homogeneous Riemannian manifold // Proc. Jap. Acad. 1996. V. 72. P. 197–198. [321] Park J., Sakane Y. Invariant Einstein metrics on certain homogeneous spaces // Tokyo J. Math. 1997. V. 20. P. 51–61. [322] Payne T. The existence of soliton metrics for nilpotent Lie groups // Preprint, 2005. [323] Puttmann T. Optimal pinching constants of odd dimensional homogeneous spaces. Ph. D. Dissertation. Bochum Univ., 1997. [324] Rauch H. E. Geodesics and Jacobi equations on homogeneous riemannian manifolds // Proc. United States–Japan Semin. Diff. Geom., Kyoto 1965. Kyoto: Kyoto Univ., 1965. P. 115–127. [325] Ravindra S. K. Curvature structures and conformal transformation // J. Diff. geometry. 1969., N 4. P. 425–451. [326] Reinhart B.L. Foliated manifolds with bundle-like metrics // Ann. of Math. - 1959. - V.69. - P.119-131. [327] Reshetnyak Yu. G. Stability theorems in geometry and analysis // Mathematical Institute of the SB of RAS. Novosibirsk (1996). [328] Rodionov E. D. Einstein metrics on a class of 5-dimensional homogeneous spaces // Comm. Math. Univ. Carolinae. 1991. V. 32. P.389–393. [329] Rodionov E. D. On a new family of homogeneous Einstein manifolds // Arch. Math. (Brno). 1992. V. 28, № 3–4. P. 199–204. [330] Rodionov E. D., Slavskii V. V. Curvatures estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Diff. Geom. & Appl., Satellite Conference of ICM in Berlin, Aug. 10–14, 1998, Brno Masaryk University in Brno (Czech Republic). Brno, 1999. P. 111–126. [331] Rodionov E.D., Slavskii V.V. Locally conformally homogeneous Riemannian spaces // Journal of ASU, 1 (19), 39-42 (2001). [332] Rodionov E. D., Slavskii V. V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carol. 2002. V. 43, № 2. P. 271–282. [333] Sagle A. On anti-commutative algebras and general Lie triple systems // Pac. J. Math. 1965. V. 15. P. 281–291. [334] Sagle A. Some homogeneous Einstein manifolds // Nagoya. J. Math. 1970. V. 39. P. 81-106. [335] Sakane Y. Homogeneous Einstein metrics on Flag manifolds // Lobachevskii Jornal of Mathematics. 1999. V. 4. P. 71–87. [336] Salamon S. Harmonic and holomorphic maps // Geometry Seminar “Luigi Bianchi” II – 1984, LN in Math., Springer–Verlag. -1985. - V.1164. - P.161-224. [337] Salamon S. Minimal surfaces and symmetric spaces // Diff. Geometry. Proc. Colloq. Santiago de Compostela. - 1985. - P.103-114. 276

[338] San Martin L. A. B., Negreiros C. J. C. Invariant almost Hermitian structures on flag manifolds // Advances in Math. - 2003. - V.178. - P.277-310. [339] Sanchez C.U. Regular s–structure on spheres // Indiana Univ. Math. J. - 1988. V.37. - No.1. - P.165-180. [340] Sato T. Riemannian 3–symmetric spaces and homogeneous K–spaces // Memoirs of the Faculty of Technology, Kanazawa Univ. - 1979. - V.12. - No.2. - P.137-143. [341] Sato H. On topological Blaschke conjecture. III // Lect. Notes Math. 1986. V. 1201. P. 242–253. [342] Sawaki S., Yamanoue Y. On a 6–dimensional K–space // Sci. Reports of Niigata Univ. Ser. A. - 1976. - V.13. - P.13-17. [343] Schueth D. On the “standard” condition for noncompact homogeneous Einstein spaces // Geom. Dedicata, 2004, V. 105, P. 77-83. [344] Sekigawa K., Watanabe J. On some compact Riemannian 3–symmetric spaces // Sci. Reports of Niigata Univ. Ser. A. - 1983. - No.19. - P.1-17. [345] Sekigawa K., Yoshida H. Riemannian 3–symmetric spaces defined by some outer automorphisms of compact Lie groups // Tensor. - 1983. - V.40. - No.3. - P.261-268. [346] Selberg A. Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series // J. Indian Math. Soc., 1956, V. 20, P. 47-87. [347] Singh H. On focal locus of submanifolds of naturally reductive compact Riemannian homogeneous spaces // Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. 1987. V. 96, № 2. P. 131– 139. [348] Singh K.D., Singh Rakeshwar Some f (3, ε)–structure manifolds // Demonstr. Math. - 1977. - V.10. - No.3-4. - P.637-645. [349] Slavskii V. V. An integral-geometric relationship in surface theory // Siberian Math. J. 13, 444-452 (1972). [350] Slavskii V. V. Conformally flat metrics and the geometry of the pseudo-Euclidean space // Siberian Math. J., 35 (1994), N 3, P. 674–682. [351] Stephan Maier. Conformally flat Lie groups // Math. Z. 228, 155-175 (1998) [352] Stong R.E. The rank of an f –structure // Kodai Math. Sem. Rep. - 1977. - V.29. - P.207-209. [353] Szabo Z.I, The Lichnerowicz conjecture on harmonic manifolds // J. Differential Geom., 1990, V. 31, P. 1-28. [354] Tamaru H.Riemannian geodesic orbit metrics on fiber bundles // Algebra, Groups and Geometries, 1998, V. 15, P. 55-67. [355] Tamaru H. Riemannian g.o. spaces fibered over irreducible symmetric spaces // Osaka J. Math., 1999, V. 36, P. 835-851. [356] Tamaru H. A class of noncompact homogeneous Einstein manifolds // Diff. Geom. and its Appl., Proc. Conf. Prague September 2004, 2005. P. 119–127. 277

[357] Tamaru H. Parabolic subgroups of semisimple Lie groups and Einstein solvmanifolds // Preprint, 2007, arXiv:0711.10022. [358] Tricerri F. Locally homogeneous Riemannian manifolds // Rend. Semin. Mat., Torino 50, No. 4, 411-426 (1992). [359] Tricerri F., Vanhecke L. Homogeneous structures on Riemannian manifolds // London Mathematical Society Lecture Note Series, 83. Cambridge etc.: Cambridge University Press. VI, 125 p. [360] Tsagas Gr., Xenos Ph. Homogeneous spaces which are defined by diffeomorphisms of order 5 // Bull. Math. Soc. Sci. Math. RSR. - 1987. - V.31. - No.1. - P.57-77. [361] Valiev F. M. Precise estimates for the sectional curvatures of homogeneous Riemannian metrics on Wallach spaces // Sib. Math. J. 1979. V. 20. P. 248–262. [362] Verdiani L., Ziller W. Positively curved homogeneous metrics on spheres // Preprint, 2007, arXiv:0707.3056. [363] Vinberg E. B. Invariant linear connections in a homogeneous manifold // Tr. Moskov. Mat. Obshch. 1960. V. 9. P. 191–210. [364] Walker K. N., Cootes T. F. and Taylor C. J. Locating Salient Facial Features Using Image Invariants. // 1998. [365] Wallach N. R. Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly positive curvature // Ann. Math. 1972. V. 96. P. 277–295. [366] Wang M., Ziller W. On normal homogeneous Einstein manifolds // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1985. V. 18. P. 563–633. [367] Wang M., Ziller W. Existence and Non-existence of Homogeneous Einstein Metrics // Invent. Math. 1986. V. 84. P. 177–194. [368] Wang M., Ziller W. Einstein metrics on principal torus bundles // J. Diff. Geom. 1990. V. 31. P. 215–248. [369] Wang M., Ziller W. On isotropy irreducible Riemannian manifolds // Acta Math. 1991. V. 166. P. 223–261. [370] Wang M. Some examples of homogeneous Einstein manifolds in dimension seven // Duke Math. J. 1982. V. 49. P. 23–28. [371] Wang M. Einstein metrics from symmetry and Bundle Constructions // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds. Lectures on geometry and topology, sponsored by Lehigh University’s Journal of Differential Geometry. (Surv. Differ. Geom., Suppl. J. Differ. Geom. V. 6). Cambridge: International Press, 1999. P. 287–325. [372] Will C. Rank-one Einstein solvmanifolds of dimension 7 // Diff. Geom. Appl. 2003. V. 19. P. 307–318. [373] Wolf J. Homogeneity and bounded isometries in manifolds of negative curvature // Illinois J. Math. 1964. V. 8. P. 14–18 [374] Wolf J. The geometry and structure of isotropy irreducible homogeneous spaces // Acta Math. 1968. V. 120. P. 59–148; correction: Acta Math. 1984. V. 152. P. 141– 142. 278

[375] Wolf J.A., Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms // J. Diff. Geom. - 1968. - V.2. - No.1-2. - P.77-159. [376] Wolter T. H. Einstein metrics on solvable groups// Math. Z. 1991. V. 206. P. 457– 471. [377] Yang T. C. On the Blaschke conjecture // Ann. Math. Stud. 1982. N. 102. P. 159– 171. [378] Yano K. The theory of Lie derivatives and its applications. Noth-Holland Publishing Co., Amsterdam; P. Noordhoff Ltd., Groningen; Interscience Publishers Inc., New York, 1957. [379] Yano K. On a structure defined by a tensor field f of type (1, 1) satisfying f 3 +f = 0 // Tensor. - 1963. - V.14. - P.99-109. [380] Yano K., Kon M. Structures on manifolds. - Singapore: World Scientific, 1984. [381] Ziller W. The Jacobi equation on naturally reductive compact Riemannian homogeneous spaces // Comm. Math. Helv. 1977. V. 52. P. 573–590. [382] Ziller W. Homogeneous Einstein metrics on spheres and projective spaces // Math. Ann. 1982. V. 259. P. 351–358. [383] Ziller W. Weakly symmetric spaces. In: Progress in Nonlinear Differential Equations. V. 20. Topics in geometry: in memory of Joseph D’Atri. Birkh¨auser. 1996. P. 355–368.

279

Научное издание

Виталий Владимирович Балащенко Юрий Геннадьевич Никоноров Евгений Дмитриевич Родионов Виктор Владимирович Славский

Однородные пространства: теория и приложения Монография Оригинал-макет подготовлен авторами Отпечатано с готового электронного оригинал макета ОАО ”Полиграфист”. Подписано в печать 29.12.2008 г. Формат 60×90/16. Бумага ВХИ. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл.п.л. 17,43. Тираж 500 экз. Заказ № 6750. ОАО ”Полиграфист”, Ханты-Мансийский автономный округ-Югра Тюменской области 628011, г. Ханты-Мансийск, ул. Мира, 46. Тел.: 8(3467) 33-49-91 E-mail: izdatelxmprint.ru