О кривизне Риччи однородных метрик на некомпактных однородных пространствах

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2

УДК 514

О КРИВИЗНЕ РИЧЧИ ОДНОРОДНЫХ МЕТРИК НА НЕКОМПАКТНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Ю. Г. Никоноров

Аннотация: Исследуются свойства кривизны Риччи для специального класса однородных метрик на некомпактных однородных пространствах. В частности, для некоторых некомпактных пространств доказывается отсутствие однородных метрик Эйнштейна. Библиогр. 2.

Рассмотрим полупростую некомпактную группу Ли G, ее компактную подгруппу H, H ⊂ K ⊂ G, где K — максимальная компактная подгруппа, H 6= K. Пусть [·, ·] — скобка Ли, а B(·, ·) — форма Киллинга алгебры Ли g, и пусть g = k ⊕ p0 = h ⊕ p00 ⊕ p0 , где первое равенство есть разложение Картана алгебры g группы G, и k = h⊕p00 , p00 ортогонален h относительно B. Рассмотрим класс adh -инвариантных метрик M на p = p00 ⊕ p0 (adh -инвариантном дополнении к h) такой, что для любой метрики (·, ·) ∈ M p00 ортогонален p0 относительно (·, ·). Пусть h·, ·i = B|p0 −B|p00 , метрики (·, ·) и h·, ·i одновременно приводятся к диагональному виду, т. е. имеют место следующие разложения: p 0 = p 1 ⊕ · · · ⊕ pu ,

p00 = pu+1 ⊕ · · · ⊕ pv ,

где pi — попарно ортогональные относительно обеих метрик adh -инвариантные неприводимые модули, и (·, ·)|pi = xi · h·, ·i|pi для некоторых xi > 0. Можно считать, что x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xu и xu+1 ≤ · · · ≤ xv . Форма кривизны Риччи Ric(·, ·) для метрики (·, ·) является также adh инвариантной на p, поэтому Ric(·, ·)|pi = ri ·(·, ·)|pi для некоторых вещественных ri . Основным результатом является следующая Теорема 1. Если r1 ≥ ru , то rv > 0. В частности, из этой теоремы выводится утверждение об отсутствии среди метрик класса M эйнштейновых. С учетом того, что для ряда однородных пространств метриками класса M исчерпываются все adh -инвариантные метрики на p, доказывается отсутствие метрик Эйнштейна на некоторых некомпактных однородных пространствах. Для доказательства теоремы нам потребуется несколько вспомогательных утверждений. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96–01–00436) и гранта С-Петербург. ун-та.

c 2000 Никоноров Ю. Г.

422

Ю. Г. Никоноров

Пусть векторы eji образуют ортонормированный базис в p относительно h·, ·i, согласованный с разложением p на неприводимые модули pi , а именно eji ∈ pi при 1 ≤ j ≤ di = dim pi .  Рассмотрим также ортонормированный относительно −B базис ej0 в ал j гебре h, где 1 ≤ j ≤ d0 = dim h. Очевидно, что базис ei , 0 ≤ i ≤ v, является ортонормированным относительно метрики B|p0 − B|k в алгебре g. Известно, что в таком базисе операторы присоединенного действия adx : g 7→ g являются кососимметричными для всех x ∈ k и симметричными для всех x ∈ p0 [1, с. 241]. k Определим теперь числа для модулей pi , pj и pk : ij   X  k β  γ 
2 = eα , i , ej , ek ij α,β,γ

где α, β, γ изменяются в пределах от , dk соответственно. i , dj   1 до  d     k k k j Отметим очевидное равенство = и покажем, что = . ij ji ij ik 00 Действительно, если pi ⊂ p , то операторы adeαi : g 7→ g кососимметричны относительно выбранного базиса, поэтому    

 α β  γ 

 k j γ  ei , ej , ek = − eβj , eα , e , = . i k ij ik Если pi ⊂ p0 , то операторы adeαi : g 7→ g симметричны, таким образом,    

 α β  γ  β  α γ  k j ei , ej p , ek = ej , ei , ek , = . ij ik Лемма 1. Для всех i выполняется неравенство X k  ≤ di , ij j,k

где суммирование распространяется на все j, k от 1 до v. Равенство достигается тогда и только тогда, когда [h, pi ] = 0. Доказательство. Имеем X  X k  X  β  γ 
2 β  γ 
2 ≤ eα = eα i , ej , ek i , ej , ek ij j,k

α,β,γ 1≤j,k≤v

α,β,γ 0≤j,k≤v

X   X   X
β β   α β  α α β α α , e , e = e , e , e , e = B e , e = eα , e i i i i i i = di . j j j j α,β 0≤j≤v

α,β 0≤j≤v

α

Здесь мы воспользовались тем, что операторы adeαi : g 7→ g симметричны (кососимметричны) при pi ⊂ p0 (pi ⊂ p00 ). Нетрудно убедиться в том, что неравенство в этой цепочке обращается в равенство тогда и только тогда, когда [pi , h] = 0. Пусть bi таковы, что bi = −1 при pi ⊂ p0 и bi = 1 при pi ⊂ p00 . Лемма 2. Для вычисления чисел ri справедлива формула  X  k   xi 1 xk xj bi + − − . ri = ij 2xi 4di xj xk xi xj xi xk 1≤j,k≤v

О кривизне Риччи однородных метрик

423

Доказательство. Векторы √1xi eα i , где 1 ≤ i ≤ v, 1 ≤ α ≤ di , образуют ортобазис в p относительно метрики (·, ·). Воспользуемся утверждением 7.38 из [2], согласно которому кривизна Риччи вычисляется по формуле 1X 1 1X Ric(X, X) = − |[X, Xi ]p |2 − B(X, X) + ([Xi , Xj ]p , X)2 2 i 2 4 i,j для унимодулярной группы G, метрики (·, ·) на p и ортонормированного относительно (·, ·) базиса {Xi }. Для выбранного нами базиса получаем
1 X  α β  γ 
2 xk 1 X α B eα ei , ej , ek d i ri = − i , ei − 2xi α 2 xj xi α,β,γ 1≤j,k≤v

+

1 4

X α,β,γ 1≤j,k≤v

Учитывая, что       X   γ 
2 k k i α β ei , ej , ek = = = , ij ji jk

 β γ  α 
2 xi ej , ek , ei . xj xk

α B(eα i , ei ) = −bi ,

1≤j,k≤v

имеем

1 bi d i + d i ri = 2xi 4

 X  k   xi xk xj − − , ij xj xk xi xj xi xk

1≤j,k≤v

что и требовалось. Доказательство теоремы 1. Заметим, что для 1 ≤ i ≤ u  X  k   xi bi 1 xk xj ri = + − − ij 2xi 4di xj xk xi xj xi xk 1≤j,k≤v    1 X xk xj bi xi k + − − = , 2xi 2di 1≤j≤u i j xj xk xi xj xi xk u