Интерактивные тесты по алгебре

Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Êàôåäðà ÃÀÌË ÊàçÍÓ èì. àëü-Ôàðàáè Ê.À. Ìåéðåìáåêîâ [email protected] Ôèíàëüíàÿ âåðñè...

Author: Мейрембеков К.А.

4 downloads 171 Views 3MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Êàôåäðà ÃÀÌË ÊàçÍÓ èì. àëü-Ôàðàáè Ê.À. Ìåéðåìáåêîâ [email protected] Ôèíàëüíàÿ âåðñèÿ 6 íîÿáðÿ 2007 ã. Àëìàòû

Title Page Contents

Èíòåðàêòèâíûå òåñòû ïî àëãåáðå Àííîòàöèÿ

JJ

II

J

I

Íàñòîÿùèé ôàéë ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì ê èíòåðàêòèâíîìó ýëåêòðîííîìó ó÷åáíèêó ïî àëãåáðå-1 Ê.À. Ìåéðåìáåêîâà îïóáëèêîâàííîìó íà ñàéòàõ

http://www.kazsu.kz/main.aspx?id=66 è

Page 1 of 112

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/algebra.htm. Â ôàéëå ñîáðàíû èíòåðàêòèâíûå òåñòû ïî äåñÿòè ðàçäåëàì àëãåáðû. Ôàéë ìîæåò ñòàòü

Go Back

âàæíûì ïîñîáèåì ïðè ïîäãîòîâêå ê êîëëîêâèóìàì, ýêçàìåíàì, ýêçàìåíàì ïðîìåæóòî÷íîãî ãîñóäàðñòâåííîãî êîíòðîëÿ è ýêçàìåíàì ÃÝÊ.

Close

Î ôàéëå Íàñòîÿùèé ôàéë ïîñâÿùåí âñïîìîãàòåëüíîé ôîðìå êîíòðîëÿ çíàíèé ñòóäåíòîâ òåñòèðîâàíèþ. Ôàéë ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì ê ôàéëó àâòîðà Èíòåðàêòèâíûé ýëåê-

òðîííûé ó÷åáíèê ïî àëãåáðå-1 , êîòîðûé ðàçìåùåí íà

•

ñàéòå ÊàçÍÓ èì. àëü-Ôàðàáè, íà ñòðàíè÷êå êàôåäðû ãåîìåòðèè, àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

http://www.kazsu.kz/main.aspx?id=66

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 2 of 112

•

è íà ñàéòå http:/eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/algebra.htm.

Â ýòîì ó÷åáíèêå èìååòñÿ ðàçäåë Êàê ðåøàòü òåñòû. Ïî âñåì âîçíèêàþùèì âîïðîñàì ÷èòàòåëü îòñûëàåòñÿ ê óêàçàííîìó ôàéëó. ×èòàòåëü â èíòåðàêòèâíîì ðåæèìå, ìîæåò ðåøàòü òåñòû ïî äåñÿòè ðàçäåëàì àëãåáðû. Àâòîð áóäåò ïðèçíàòåëåí ÷èòàòåëÿì, çàìåòèâøèì îïå÷àòêè. Ìîé e-mail [email protected]. Àâòîð ïëàíèðóåò åùå âûïóñòèòü

Èíòåðàêòèâíûé ýëåêòðîííûé ó÷åáíèê ïî àëãåáðå-2 è Èíòåðàêòèâíûé ïðàêòèêóì ïî àëãåáðå . Èç ïðåäëàãàåìûõ òåñòîâ, àâòîðàìè 29-è èç íèõ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâóþùèå è áûâøèå ñîòðóäíèêè êàôåäðû ãåîìåòðèè, àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ÊàçÍÓ èì. àëü-

Go Back Close

Ôàðàáè:

Ñ.À. Áàäàåâ 1.4, 10.18, 10.19, 10.20, 10.21. Å.Ð. Áàéñàëîâ 3.14, 5.1, 5.2, 5.3, 5.5.

Ñ.Ñ. Çàóðáåêîâ 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 3.11, 3.12, 4.4, 4.6. Ã.Ð. Êàçäàåâà 1.2, 1.3, 4.5, 4.8, 6.9, 6.10. Îñòàëüíûå 210 òåñòîâ ïðèíàäëåæàò àâòîðó íàñòîÿùåãî ôàéëà. Êîëëàæ íà ÷åòâåðòîé ñòðàíèöå èçãîòîâëåí ñòàðøèì ïðåïîäàâàòåëåì À.Å. Âåëàâè÷åíå. Àâòîð ïðèçíàòåëåí âñåì ïåðå÷èñëåííûì ïðåïîäàâàòåëÿì çà ñîòðóäíè÷åñòâî. Äëÿ íà÷àëà òåñòèðîâàíèÿ â ëþáîì èç ïðåäëàãàåìûõ ðàçäåëîâ íåîáõîäèìî âíà÷àëå íàæàòü

Start

îòâåòèòü íà âîïðîñû ðàçäåëà è íàæàòü

End . Â ãðàôå

Score

áóäåò

ïîêàçûâàòüñÿ ðåçóëüòàò. Ïðè íàæàòèè íà ôðàçó Correct áóäóò ïîêàçàíû ïðàâèëüíûå îòâåòû. Â îòëè÷èå îò óïîìèíàâøåãîñÿ ýëåêòðîííîãî ó÷åáíèêà, íàñòîÿùèé ôàéë íå

Title Page Contents

ñîäåðæèò ïîäðîáíûõ ðåøåíèé òåñòîâ è, ïîýòîìó, íå èìååò ñêðûòûõ ñòðàíèö.

Ëåãåíäà: Â ôàéëå

II

J

I

Page 3 of 112 Go Back Close

îçíà÷àåò, ÷òî îòâåò ñòóäåíòà ñîâïàäàåò ñ âåðíûì,

8 îçíà÷àåò, ÷òî åãî îòâåò íåâåðåí, êîððåêòíûé îòâåò îáîçíà÷åí ñèìâîëîì l . à ñèìâîë

JJ

4

Íàâèãàöèÿ Íàæàòèå ìûøüþ íà ôðàçû èëè ñèìâîëû ïàíåëè ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì äåéñòâèÿì: Title Page

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 4 of 112

Contents

II

JJ J

I

Page

ïåðåõîä íà ñòðàíèöó îãëàâëåíèÿ; ïåðåõîä íà ïåðâóþ èëè ïîñëåäíþþ ñòðàíèöó;

ïåðåõîä íà ïðåäûäóùóþ èëè ñëåäóþùóþ ñòðàíèöó; äèàëîã ïåðåõîäà íà íóæíóþ ñòðàíèöó.

Go Back Close

ïåðåõîä íà ïåðâóþ ñòðàíèöó;

âîçâðàò íà ïîñëåäíþþ ðàíåå ïîñåùåííóþ ñòðàíèöó;

äèàëîã çàêðûòèÿ ôàéëà, íà âîïðîñ î ñîõðàíåíèè èçìåíåíèé íåîáõîäèìî

âûáðàòü íåò. Çàùèòà ôàéëà âñå ðàâíî íå äàñò ñäåëàòü èçìåíåíèÿ.

Go Back Close

Íàèáîëåå áûñòðûé ñïîñîá íàâèãàöèè ÷åðåç Contents . Âîçìîæíî òàêæå ïåðåõîäèòü íà íóæíóþ ñòðàíèöó ÷åðåç Page èëè êíîïêàìè ñ ñèìâîëàìè, èëè ïðîñòî ùåëêàÿ ëåâîé èëè ïðàâîé êíîïêàìè ìûøè.

Title Page Contents

JJ

II

J

I


Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 6 of 112 Go Back Close Ìîé ðîäíîé ãîðîä è ìîé óíèâåðñèòåò

Ñîäåðæàíèå

Title Page

1

Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

2

Îïðåäåëèòåëè

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3

Ìàòðèöû

4

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

5

Ìíîãî÷ëåíû

6

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà.

7

Åâêëèäîâû è óíèòàðíûå ïðîñòðàíñòâà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

8

Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

9

Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ. . . . . .

82

10

Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû

97

. . . . . . . . . . . . . . .

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents

JJ

II

J

I


Ê.À. Ìåéðåìáåêîâ

Êàôåäðà ÃÀÌË ÊàçÍÓ èì. àëü-Ôàðàáè

7

42

1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà


1.1. Íàéòè ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

Îòâåòû:

a)

−1;

b)

√

3;

√ −1 + i 3

Title Page

JJ

II

J

I

d)

2;

e)

1+

√

3.

Îòâåòû:

a) Contents

√

3 − 1; √ 2 + 3 + i.

c)

1.2. Íàéòè àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

.

π 3,

b)

π 6,

1.3. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò óðàâíåíèå

c)

π 12 , 2

d)

− π6 ,

e)

− π3 .

c)

3,

d)

4,

e)

12.

√ x4 − 2x + 12 = 0 â ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë?

Îòâåòû:

a)

b)

0,

2,

1.4. Ñêîëüêî ïàð ðàçëè÷íûõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ñîäåðæèò ìíîæåñòâî êîðíåé 7-é ñòå-


ïåíè èç

1

?

Îòâåòû:

a)

0,

b)

1,

c)

z

ðàâåí

c)

2ϕ,

1.5. Ïóñòü àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

d)

2, ϕ

3,

e)

. Êàêîâ àðãóìåíò ÷èñëà

4. z + |z|

?

Îòâåòû:

a)

0,


b)

π,

d)

ϕ/2,


e)

π/6 + ϕ. 8


1.6. Ïóñòü

z

íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî è

|z| = |z − |z||

. Êàêîâ àðãóìåíò ÷èñëà

z

?

Îòâåòû:

a)

π/3,

b)

π/6,

c)

40◦ ,

d)

e)

π/4,

z1 è z2 êîìïëåêñíûå ÷èñëà, àðãóìåíòû êîòîðûõ ïîä÷èíÿþòñÿ Arg(z1 ) = ϕ è Arg(z2 ) = ψ . Êàêîâ àðãóìåíò ÷èñëà z1 · z2 ?

1.7. Ïóñòü

π/2. óñëîâèþ

Îòâåòû:

a)

0,

b)

ϕ + ψ,

c)

40◦ ,

d)

ϕ − ψ,

e)

z1 è z2 êîìïëåêñíûå ÷èñëà, àðãóìåíòû êîòîðûõ ïîä÷èíÿþòñÿ Arg(z1 ) = ϕ è Arg(z2 ) = ψ . Êàêîâ àðãóìåíò ÷èñëà z1 /z2 ?

1.8. Ïóñòü

Title Page Contents

JJ

II

J

I

ϕ · ψ. óñëîâèþ

Îòâåòû:

a)

π/3,

b)

ϕ + ψ,

c)

40◦ ,

d)

ϕ − ψ,

e)

ϕ · ψ.

z1 è z2 êîìïëåêñíûå ÷èñëà, àðãóìåíòû êîòîðûõ ïîä÷èíÿþòñÿ óñëîâèþ Arg(z1 ) = ϕ è Arg(z2 ) = ψ , ïðè÷åì ϕ < ψ . Â êàêîì íàèìåíüøåì èç ñëåäóþùèõ óãëîâûõ èíòåðâàëîâ íàõîäèòñÿ àðãóìåíò ÷èñëà z1 + z2 ?

1.9. Ïóñòü

Îòâåòû:

a)

(0, π/3),

b)

(0, ϕ + ψ), Page 9 of 112 Go Back

c)

d)

z1 è z2 êîìïëåêñíûå ÷èñëà, Êàêîâ ìîäóëü ÷èñëà Îòâåòû: a) z12 + z22 , b) c) d)

1.10. Ïóñòü

|z1 | − |z2 |,

Close


(ϕ, ψ),

e)

(ϕ, ϕ · ψ).

(ϕ, ϕ + ψ), z1 · z 2

?

|z1 |/|z2 |,

e)

|z1 | · |z2 |.

|z1 | + |z2 |,


9


z1 è z2 êîìïëåêñíûå ÷èñëà, Êàêîâ ìîäóëü ÷èñëà Îòâåòû: a) z12 + z22 , b) c) d)

1.11. Ïóñòü

|z1 | − |z2 |, 1.12. Ïóñòü

z1

è

z2

z1 /z2

?

|z1 |/|z2 |,

e)

|z1 | · |z2 |.

|z1 | + |z2 |,

êîìïëåêñíûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî

|z1 | = a < |z2 | = b . Â z1 + z2 ?

êàêîì íàèìåíü-

øåì èç ñëåäóþùèõ èíòåðâàëîâ íàõîäèòñÿ ìîäóëü ÷èñëà

Îòâåòû:

a)

b)

(b−a, a+b), 1.13. Ïóñòü

Title Page

z1

è

z2

c)

d)

(a, b),

(b/a, ab),

e)

(a, ab).

(a, a + b),

êîìïëåêñíûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî

|z1 | = a < |z2 | = b . Â z1 − z2 ?

êàêîì íàèìåíü-

øåì èç ñëåäóþùèõ èíòåðâàëîâ íàõîäèòñÿ ìîäóëü ÷èñëà

Îòâåòû:

Contents

a)

b)

c)

(a, b),

(b/a, ab), JJ

II

J

I

Page 10 of 112

1.14. Ïóñòü

z

d)

e)

(a, ab),

(a, a + b),

(b−a, a+b).

êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ îíî áóäåò è âåùåñòâåííûì?

Îòâåòû:

a)

íèêîãäà b) íå áóäåò,

òîëüêî, åñëè

z = 0,

c)

òîëüêî, åñëè

z2

d)

åñëè

z = z¯,

âåùåñòâåííî,

Go Back

e)

òîëüêî, åñëè àðãóìåíò ýòîãî ÷èñëà ðàâåí íóëþ.

Close



10


1.15. Ïóñòü

z

êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ îíî áóäåò ÷èñòî ìíèìûì?

Îòâåòû:

a)

íèêîãäà

íå áóäåò,

b) åñëè

òîëüêî,

z = 0,

c) åñëè

òîëüêî,

z3

d)

åñëè

z = −¯ z,

e)

òîëüêî,

åñëè àðãóìåíò

âåùåñòâåííî,

ýòîãî ÷èñëà ðàâåí

π/2.

1.16. Ñîïðÿæåííîå ñóììû äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðàâíî:

Îòâåòû:

a) Title Page

ñóììå

ýòèõ ÷èñåë,

b)

ñóììå

ñîïðÿæåí-

c)

ñóììå

èõ ìîäóëåé,

íûõ ýòèõ

d)

ïðîèç-

e)

ïðîèçâå-

âåäåíèþ èõ

äåíèþ ýòèõ

ìîäóëåé,

÷èñåë.

÷èñåë,

Contents

1.17. Ñîïðÿæåííîå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðàâíî:

JJ

II

J

I

Îòâåòû:

a)


ïðîèçâå-

b)

ñóììå

äåíèþ

ñîïðÿæåí-

ñîïðÿæåí-

íûõ ýòèõ

íûõ ýòèõ

÷èñåë,

c)

ñóììå

èõ ìîäóëåé,

d)

ïðîèç-

e)

ïðîèçâå-

âåäåíèþ èõ

äåíèþ ýòèõ

ìîäóëåé,

÷èñåë.

÷èñåë, 1.18. Ïóñòü

z = a + bi

êîìïëåêñíîå ÷èñëî. ×åìó ðàâåí ìîäóëü

|z|

?

Îòâåòû:

a)

a + b,


b)

|a| + |b|,

c)

|a| · |b|,

d)

a2 + b2 ,


e) √

a2 + b2 .

11


1.19. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë çàïèñàíî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå?

Îòâåòû:

a)

−(cos α + i sin α),

b)

cos α − i sin α,

d)

cos π2 + i sin 3π 2 ,

e)

cos α + i sin α.

1.20. Ïóñòü

ðàâíà

z = ρ(cos α + i sin α) êîìïëåêñíîå n ñòåïåíü z ÷èñëà z ?

Îòâåòû: n

Title Page

JJ

II

J

I

÷èñëî. Êàêîìó èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé

ρ (cos αn + i sin αn ),

b)

ρn (cosn (α) + i sinn (α)),

c)

ρn (cos(nα) + i sin(nα)),

d)

nρ(cos(nα) + i sin(nα)),

1.21. Ïóñòü

n

n

n

ρ (cos (nα) + i sin (nα)). z = ρ(cos α + i sin α) êîìïëåêñíîå n-îé ñòåïåíè èç ÷èñëà z ?

÷èñëî. Êàêîìó èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé

ðàâåí êîðåíü

Îòâåòû:

a) c)

√ √ ρ [ n cos α + i n sin α],

b)

α ρ [cos( α n ) + i sin( n )],

d)

√ n

√ n

Page 12 of 112 Go Back

sin α + i cos α,

a)

e) Contents

c)

ãäå

e)

√ n

ρ[

√ n

√ √ ρ [cos( n α) + i sin( n α)],

√ n

ρ [cos( α+2kπ ) + i sin( α+2kπ )], n n 0 ≤ k ≤ n − 1,

p √ cos( α) + i n sin ( n α)].

p n

√ n

Close



12

2. Îïðåäåëèòåëè


Óðîâåíü íåêîòîðûõ ðàçìûøëåíèé

2.1. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü

1 2 3 d

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Îòâåòû:

a)


0 2 a 0 b 0 c 4 5 0 0 0

0,

b)

c)

4ab,

−abcd,

d)

abcd,

e)

10ad.

2.2. Âûÿñíèòü, êàêîå èç ñëåäóþùèõ ïðîèçâåäåíèé íå âõîäèò â ðàçâåðíóòîå âûðàæåíèå

îïðåäåëèòåëÿ øåñòîãî ïîðÿäêà

Îòâåòû:

a)

a13 a22 a31 a46 a55 a64 ,

b)

a31 a13 a52 a45 a24 a66 ,

d)

a11 a23 a34 a45 a56 a62 ,

e)

a12 a21 a34 a43 a56 a65 .

c)

a34 a21 a46 a16 a61 a43 ,

Close



13



loga b 1

1 logb a

Îòâåòû:

a)

b)

1,

c)

0,

loga b + 1,

d)

e)

loga b.

e)

50.

logb a + 1,


Title Page Contents

JJ

II

J

I


1 4 7

2 3 5 6 8 9

c)

100,

Îòâåòû:

a)

1,

b)

0,

2.5. Âûáðàòü çíà÷åíèÿ i,j,k òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå

d)

−50,

a51 ai6 a1j a35 a44 a6k

âõîäèëî â ðàç-

âåðíóòîå âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ øåñòîãî ïîðÿäêà ñî çíàêîì ìèíóñ

Îòâåòû:

a)

2, 3, 2,

b)

4, 5, 6,

c)

5, 6, 1,

2.6. Âûáðàòü çíà÷åíèÿ i,j,k òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå

d)

4, 2, 2,

a51 ai6 a1j a35 a44 a6k

e)

3, 2, 3

âõîäèëî â ðàç-

âåðíóòîå âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ øåñòîãî ïîðÿäêà ñî çíàêîì ïëþñ.

Îòâåòû:

a)

2, 3, 2,


b)

2, 2, 3,

c)

4, 5, 1,

d)

2, 4, 2,


e)

2, 5, 2

14


2.7. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû

A

ðàâåí íóëþ , åñëè

Îòâåòû:

a)

ñòðîêè

b)

ðàíã

c)

ñòîëáöû

d)

ìàòðèöà

e)

ñòðîêè

ìàòðèöû

ìàòðèöû

ìàòðèöû

ÿâëÿåòñÿ

ìàòðèöû

ëèíåéíî

ðàâåí

ëèíåéíî

åäèíè÷íîé,

ëèíåéíî

íåçàâèñèìû,

ïîðÿäêó


çàâèñèìû.

ìàòðèöû, 2.8. Äëÿ êàêèõ ìàòðèö ñóùåñòâóåò îïðåäåëèòåëü?

Îòâåòû:

a) Title Page Contents

JJ

äëÿ

êâàäðàòíûõ

êîëè÷åñòâîì ñòðîê,

ìàòðèö, ðàíã

b)

äëÿ

c)

äëÿ

I

äëÿ âû-

ëþáîé

ðîæäåííûõ

ìàòðèöû,

êâàäðàòíîé

êâàäðàòíûõ

ìàòðèöû,

ìàòðèö, e)

êîòîðûõ

äëÿ

ñîâïàäàåò ñ

íååäèíè÷íûõ

II

J

d)

ëþáîé

ìàòðèö. 2.9. ×åìó ðàâåí îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû

−1

4·A

äëÿ ìàòðèöû âòîðîãî ïîðÿäêà

A

, åñëè

å¼ îïðåäåëèòåëü ðàâåí 3.


Îòâåòû:

a)

4,

b)

3,

c)

4/3,

d)

16/3,

e)

1/12.

Close



15


2.10. Êàê èçìåíèòñÿ îïðåäåëèòåëü ïîðÿäêà

n

, åñëè îäíîâðåìåííî èç ïåðâîé ñòðîêè

âû÷åñòü âòîðóþ, èç âòîðîé òðåòüþ è èç òðåòüåé ïåðâóþ?

Îòâåòû:

a)

èçìåíèò

çíàê,

b)

íå

èçìåíèòñÿ,

çàâèñèò

e)

ðàâíûì

c)

îò

íóëþ,

êîíêðåòíîãî

íà

ñòàíåò

d)

óìíîæèòñÿ

λ

.

îïðåäåëèòåëÿ, 2.11. Êàê èçìåíèòñÿ îïðåäåëèòåëü, åñëè èç óäâîåííîé âòîðîé ñòðîêè îòíÿòü óòðîåííóþ

òðåòüþ?

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Îòâåòû:

a)

b)

óòðîèòñÿ,

íå

èçìåíèòñÿ,

c)

d)

óìíîæèòñÿ íà

e)

óäâîèòñÿ,

èçìåíèò

çíàê.

−3,

2.12. Ñóììà ïðîèçâåäåíèé êàêèõ ìèíîðîâ îïðåäåëèòåëÿ íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîë-

íåíèÿ ðàâíà ýòîìó îïðåäåëèòåëþ ïî òåîðåìå Ëàïëàñà?

Page 16 of 112

Îòâåòû:

a)

ãëàâíûõ

ìèíîðîâ,

b)

ìèíîðîâ

k -ãî ïîðÿäêà,

Go Back

c)

óãëîâûõ

ìèíîðîâ,

d)

e)

âñåõ

ìèíîðîâ â çàäàííûõ ñòðîêàõ,

âñåõ

ìèíîðîâ

k

çàäàííûõ ñòðîêàõ.

Close



k -ãî

ïîðÿäêà â

16

k


2.13. Â îïðåäåëèòåëå òðåòüåãî ïîðÿäêà âñå ýëåìåíòû íå÷åòíûå ÷èñëà äåëÿùèåñÿ íà

ïÿòü. Íàéòè íàèáîëüøåå ÷èñëî èç ñëåäóþùèõ íà êîòîðîå äåëèòñÿ ýòîò îïðåäåëèòåëü

Îòâåòû:

a)

1000,

b)

5!,

c)

5,

d)

125,

e)

500.

2.14. Â îïðåäåëèòåëå ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà âñå ýëåìåíòû âåùåñòâåííû è íàõîäÿòñÿ â ñåã-

ìåíòå

[−1, 1] . Â êàêîé íàèìåíüøèé ñåãìåíò èç íèæåñëåäóþùèõ ïîïàäàåò çíà÷åíèå

îïðåäåëèòåëÿ?

Îòâåòû:

a)

[−4, 4],

b)

Title Page

2.15. Ïóñòü â îïðåäåëèòåëå

Contents

c)

[−24, 24],

[−50, 50],

d)

e)

[−1, 1].

[−100, 100],

∆ ïîðÿäêà n ñóììà ñòðîê ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè ðàâíà ñóììå

ñòðîê ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè. Íàéòè íàèáîëåå òî÷íóþ îöåíêó âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ èç ñëåäóþùèõ:

JJ

II

J

I

Îòâåòû :

a)

÷åòíîå

÷èñëî,

b)

≤ n!,

c)

ëþáîå

÷èñëî,

d)

e)

0.

íå÷åòíîå ÷èñëî,




17


2.16. Êàêèå ÷èñëà èç ñëåäóþùèõ ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ

1 2 3 4 5

1 3+x 4 5 1

1 1 1 2 2 2 5 1 2 = 0 1 2 3 2 3 4

Îòâåòû:

a)

5!,

b)

0,

c)

−1,

d)

ëþáîå

÷èñëî,

Title Page

II

J

I

Page 18 of 112

êîðíåé

2.17. Íàéòè âñå êîðíè óðàâíåíèÿ

1 1 1 0 x 0 1 2 1 2 3 4 3 4 5

Contents

JJ

e) íåò.

1 0 1 5 1

1 0 1 = 0 1 2

Îòâåòû:

a)

0,

Go Back

b)

1,

c)

5!,

d)

ëþáîå

÷èñëî,

e)

êîðíåé

íåò.

Close



18


2.18. Êàêèå ÷èñëà èç ñëåäóþùèõ ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ

1 1 1 0

1 1 1 2 x 3 =0 3 3 4 0 1 0

Îòâåòû:

a)

b)

1,

c)

5!,

d)

0,

e)

ëþáîå

÷èñëî, 2.19. Ïóñòü

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 19 of 112

è

k

∆

îïðåäåëèòåëü

ïîðÿäêà, âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî öåëûå ÷èñëà

íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü âñåõ ìèíîðîâ âòîðîãî ïîðÿäêà â

íàèáîëüøåå ÷èñëî èç ñëåäóþùèõ äåëèòñÿ

∆

∆

. Íà êàêîå

? Äà ïîìîæåò âàì Ëàïëàñ!

Îòâåòû:

a)

b)

6,

6!,

c)

k,

k3 ,

d)

∆ îïðåäåëèòåëü 3-ãî ïîðÿäêà, âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî {−1, 1} . Â êàêîì íàèìåíüøåì èç ñëåäóþùèõ ñïèñêîâ ëåæèò ∆ ?

2.20. Ïóñòü

e)

k6 .

ëåæàò â ñïèñêå

Îòâåòû:

a)

÷åòíûå

÷èñëà,

b)

c)

íå÷åòíûå ÷èñëà,

Go Back 2.21. Ïóñòü

Close

6-ãî

êîðíåé

íåò.

∆

îïðåäåëèòåëü ïîðÿäêà

öåëûå

d)

÷åòíûå

e)

÷åòíûå

÷èñëà ìåæäó



−6

−6

−4

è

n ≥ 4

6,

è

6,

è

4.

. ×åìó ðàâíà ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ

ìèíîðîâ â ïåðâûõ òðåõ ñòðîêàõ íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ?

Îòâåòû:

a)

0,


b)

∆,

c)

−∆,

d)

3∆,


e)

7∆. 19


2.22. Ïóñòü

a ¯ji )

∆ = det(aij )nn

îïðåäåëèòåëü ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè è

. Òîãäà îïðåäåëèòåëü

∆

∀ij(aij =

ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì

Îòâåòû:

a)

ïîëîæè-

òåëüíûì, 2.23. Ïóñòü

∆

b)

÷èñòî

ìíèìûì,

c)

ðàöèî-

íàëüíûì,

îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà è

∆

äåëèòåëü

d)

ðàâíûì

1,

e)

âåùå-

ñòâåííûì.

∀ij[aij = max{i, j}]

. ×åìó ðàâåí îïðå-

?

Îòâåòû:

a) 2.24. Ïóñòü

Title Page

b)

0, ∆

1,

c)

îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà è

∆

äåëèòåëü

d)

3,

3!,

∀ij[aij = min{i, j}]

e)

−6.

. ×åìó ðàâåí îïðå-

?

Îòâåòû:

Contents

JJ

II

J

I


a) 2.25. Ïóñòü

0, ∆

b)

îïðåäåëèòåëü

1, 4-ãî

c)

3,

d)

3!,

e)

−5.

ïîðÿäêà. ×åìó ðàâíà ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ ìèíî-

ðîâ âòîðîãî ïîðÿäêà â ïåðâûõ òðåõ ñòðîêàõ íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ?

Îòâåòû:

a)

−∆,

b)

2∆,

c)

4∆,

d)

0,

e)

3∆.

2.26. Â îïðåäåëèòåëå òðåòüåãî ïîðÿäêà âñå ýëåìåíòû ÷åòíûå ÷èñëà. Íàéòè íàèáîëüøåå

÷èñëî èç ñëåäóþùèõ íà êîòîðîå äåëèòñÿ ýòîò îïðåäåëèòåëü

Îòâåòû:

a)

2,


b)

4,

c)

3!,

d)

8,


e)

24.

20


2.27. Â îïðåäåëèòåëå ïåðåñòàâèëè âñå ñòðîêè òàê, ÷òîáû îíè ñëåäîâàëè â îáðàòíîì

ïîðÿäêå è çàòåì â ïîëó÷åííîì îïðåäåëèòåëå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïåðåñòàâèëè âñå ñòîëáöû. Êàê èçìåíèòñÿ ýòîò îïðåäåëèòåëü?

Îòâåòû:

a)

èçìåíèò

çíàê,

b)

íå

èçìåíèòñÿ,

c)

íèêàêîé

çàêîíîìåðíîñòè íå

d)

e)

óìíîæèòñÿ íà

4!,

ñóùåñòâóåò, 2.28. Â îïðåäåëèòåëå

1 Title Page Contents

JJ

II

J

I

n-ãî

Go Back Close

ðàâíûì íóëþ .

ïîðÿäêà êî âñåì ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè ïðèáàâèëè ÷èñëî

. Êàê ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ?

Îòâåòû:

a)

èçìåíèò

çíàê,

b)

íå

èçìåíèòñÿ,

c)

íè îäèí

èç

d)

e)

óâåëè÷èòñÿ

îñòàëüíûõ

íà

1,

ñòàíåò

ðàâíûì íóëþ.

îòâåòîâ íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì, 2.29. Â îïðåäåëèòåëå âòîðîãî ïîðÿäêà, âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà ÷èñëó

Page 21 of 112

ìîæåò

ñòàòü

∆

, êàæäûé

ýëåìåíò çàìåíèëè íà åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. Êàêîìó ÷èñëó ðàâåí ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü?

Îòâåòû:

a)

0,


b)

1,

c)

∆,

d)

−∆,


e)

2∆.

21


2.30. Â îïðåäåëèòåëå

n-ãî ïîðÿäêà ∆ âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ðàâíû ÷èñëó 1 . ×åìó

ðàâíà àëüòåðíèðîâàííàÿ ñóììà

A11 − A12 + A13 − A14 + · · · + (−1)n A1n àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ýëåìåíòîâ ïåðâîé ñòðîêè?

Îòâåòû:

a) 2.31. Ïóñòü

b)

0, ∆

c)

1,

−∆,

d)

2∆,

e)

∆.

îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà. ×åìó áóäåò ðàâíà âåëè÷èíà ýòîãî îïðå-

äåëèòåëÿ, åñëè åãî ïîâåðíóòü îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè?

Îòâåòû:

Title Page Contents

a)

b)

0,

2.32. Â îïðåäåëèòåëå

∆

c)

∆,

1,

d)

−∆,

e)

2∆.

ïÿòîãî ïîðÿäêà îäíîâðåìåííî ê ïåðâîé ñòðîêå ïðèáàâèëè âñå

îñòàëüíûå è àíàëîãè÷íî ê ïîñëåäíåé ñòðîêå ïðèáàâèëè âñå îñòàëüíûå ñòðîêè.

JJ

II

J

I

×åìó áóäåò ðàâåí ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü?

Îòâåòû:


a)

b)

0,

c)

∆,

2.33. Ïóñòü çàäàí îïðåäåëèòåëü

d

ïîðÿäêà

1, n.

d)

Îïðåäåëèòåëü

−∆, ∆

e)

ïîëó÷åí èç

2∆. d

çàìåíîé

êàæäîãî ýëåìåíòà íà åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. Íàéòè îïðåäåëèòåëü

a)

d

n−1

,

b)

1 d,

c)

d,

d)

0,

e)

d

2

∆. .

Close



22

3. Ìàòðèöû.

3. Ìàòðèöû

Óðîâåíü îïðåäåëåíèé

3.1. Êàêèå óñëîâèÿ íåîáõîäèìû è äîñòàòî÷íû äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàò-

ðèö

Title Page Contents

JJ

II

J

I

A

è

B

?

Îòâåòû:

a)

÷èñëî

ñòðîê ìàòðèöû

b)

÷èñëî

ñòîëáöîâ

A

ìàòðèöû

A

ðàâíî ÷èñëó


ñòîëáöîâ

ñòðîê

ìàòðèöû

B,

ìàòðèöû

c)

ìàòðèöû

d)

÷èñëî

äîëæíû

ñòðîê è

áûòü êâàä-

ñòîëáöîâ

ðàòíûìè,

ìàòðèöû

îäèíàêîâûé ïîðÿäîê.

âåòñòâåííî, ÷èñëó ñòðîê

Page 23 of 112

è ñòîëáöîâ ìàòðèöû

Go Back

B,

3.2. ×åðåç øòðèõ îáîçíà÷àåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèö. ×åìó ðàâíî

Close

ìàòðèöû

èìåòü

A

ðàâíî, ñîîò-

B,

e)

äîëæíû

(A · B)0

?

Îòâåòû:

a)

A0 · B 0 ,


b)

B · A,

c)

A0 · B ,

d)

A · B,


e)

B 0 · A0 .

23

3. Ìàòðèöû.

3.3. Ðàíã ìàòðèöû ðàâåí :

Îòâåòû:

a)

ìàêñè-

b)

ðàçìåðó

c)

÷èñëó

ñòðîê,

d)

e)

÷èñëó

ìàëüíîìó

ìèíîðà

ìèíîðó

îòëè÷íîãî îò

èç ïîðÿäêîâ

ýòîé

îòëè÷íîìó

íóëÿ,

ìèíîðîâ

ìàòðèöû.

îò íóëÿ,

ìàêñèìóìó

ìèíîðîâ

îòëè÷íûõ îò íóëÿ,

3.4. Ïóñòü

A

íåêîòîðàÿ ìàòðèöà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà áûëà îáðàòèìà íåîáõîäèìî è

äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Îòâåòû:

a)

äîëæíà

b)

äîëæíà

áûòü ïðÿìî-

áûòü

óãîëüíîé,

êâàäðàòíîé,

c)

ñèììåò-

ðè÷åñêîé,

d)

äîëæíà

e)

äîëæíà

áûòü

áûòü


åäèíè÷íîé

íåâûðîæäåí-

ìàòðèöåé.

íîé ìàòðèöåé,




24

3. Ìàòðèöû.

3.5. Ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ èç ñëåäóþùèõ ðàíã ìàòðèöû íå ìåíÿåòñÿ?

Îòâåòû:

a)

b)

ïðè

ïðèáàâ-

c)

ïåðåñòà-

ëåíèå ê

ñòðîêè íà

ñòîëáöó

ýëåìåíòîâ

ñòðîêå

âñåõ

÷èñëî,

äðóãîãî

ìàòðèöû

äðóãîé

ýëåìåíòîâ

ñòîëáöà

ìåñòàìè,

ñòðîêè

íåêîòîðîé

óìíîæåííîé

ñòðîêè â

Title Page

λ 6= 0

è

íà

I

Page 25 of 112

Close

è

óìíîæåíèå

ñòîëáöîâ íà

ñòîëáöîâ íà

ëþáîå ÷èñëî,

ëþáîå ÷èñëî

âîçâåäåíèè

êâàäðàò.

íå ðàâíîå íóëþ, 3.6. Ïóñòü ìàòðèöà

A

èìååò

m

ñòðîê è

n

ñòîëáöîâ è ìàòðèöà

ñòîëáöîâ òàêîâà, ÷òî ñóùåñòâóþò îáà ïðîèçâåäåíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ ðàçìåðû ìàòðèö

A, B

A·B

B èìåþùàÿ k ñòðîê è s B · A . Êàêèì óñëîâèÿì

è

?

Îòâåòû:

a)

äîëæíî

áûòü òîëüêî

Go Back

λ

óìíîæåíèå

Contents

J

e)

íîâêà

íà

II

ïðèáàâ-

ëåíèå ê

óìíîæåííîãî

JJ

d)

óìíîæåíèè

m=n

è

B

b) n = k m = s,

è

c)

mn = k + s,

d)

îáå

e)

ðàçìåðû

ìàòðèöû

ìàòðèö

äîëæíû

ìîãóò áûòü

êâàäðàòíàÿ

áûòü

ëþáûìè.

ìàòðèöà

îäèíàêîâûõ

ïîðÿäêà

n,


ðàçìåðîâ,


25

3. Ìàòðèöû.

3.7. Ïóñòü ìàòðèöà

A

èìååò

m

ñòðîê è

n

ñòîëáöîâ è ñóùåñòâóåò ìàòðèöà

A2

. Êàêèì

òðåáîâàíèÿì äîëæíà ïîä÷èíÿòüñÿ ýòà ìàòðèöà ?

Îòâåòû:

a)

îíà

b)

îíà

c)

îíà

d)

îíà

e)

îáÿçàíà

äîëæíà áûòü

äîëæíà

äîëæíà

ìîæåò áûòü

áûòü


ñîñòîÿòü èç

ñîñòîÿòü èç

ëþáîé,

îáðàòèìîé.

îäíîé

îäíîãî

ñòðîêè,

ñòîëáöà,

3.8. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìàòðèöà èìåëà îáðàòíóþ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñëåäóþùåå

óñëîâèå:

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Îòâåòû:

a)

ìàòðèöà

b)

ìàòðèöà

c)

ìàòðèöà

d)

ìàòðèöà

äîëæíà áûòü

ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ âû-

ÿâëÿåòñÿ


åäèíè÷íîé,

ðîæäåííîé,


e)

ëþáàÿ

ìàòðèöà.

è íåâûðîæäåííîé,




26

3. Ìàòðèöû.

3.9. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ ïðåäëîæåíèé âåðíî?

Îòâåòû:

a)

ðàíã

b)

ðàíã

c)

d)

ðàíã

ðàíã

e)

ðàíã

ìàòðèöû ïî

ìàòðèöû ïî

ìàòðèöû

ìàòðèöû ïî

ìàòðèöû

ñòîëáöàì

ñòðîêàì

ðàâåí ñóììå

ñòðîêàì

ðàâåí

ìåíüøå

áîëüøå

ðàíãîâ ïî

ðàâåí ðàíãó

ðàçíèöå

ðàíãà

ðàíãà

ñòðîêàì è ïî

ïî ñòîëáöàì,

ðàíãîâ

ìàòðèöû,

ìàòðèöû,

ñòîëáöàì,

ìàòðèöû ïî ñòîëáöàì è ïî ñòðîêàì.

Title Page Contents

JJ

II

J

I

3.10. Ïóñòü

r(A)

ðàíã îñíîâíîé ìàòðèöû, à

r(B)

ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòå-

ìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû:

Îòâåòû:

a) r(A) = r(B) − 1,

b) r(B) = r(A),

c) r(B) = r(A)+ ÷èñëî

ðàâåí ÷èñëó

d)

ðàâåí ÷èñëó

íåíóëåâûõ

íåèçâåñòíûõ,

óðàâíåíèé.

r(A)

e)

r(B)

ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ,




27

3. Ìàòðèöû.

3.11. Óêàæèòå êâàäðàòíóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà

ðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà

A

B

òàêóþ, ÷òî äëÿ êàæäîé ìàò-

èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

A·B =5·A Îòâåòû:

a)

 b)  c)   5 5 5 1 0 0 0  5 5 5 ;  0 1 0 ;  0 5 5 5 0 0 1 5 1 0 3 A= . Íàéäèòå A . 3 4 

3.12.

Title Page Contents

JJ

II I

Page 28 of 112

 d)  5 5 0 ;  0 0 0

0 5 0

 e)  0 5 0 ;  0 5 0

5 0 0

 5 0 . 0

Îòâåòû:

a)

b)

1 15

0 16

;

1 255

3.13. Èçâåñòíî, ÷òî ìàòðèöû

(A · B)−1

ðàâíà

J

0 5 0

0 256

A, B

è

c) ;

A·B

d)

1 63

0 64

;

e)

0 63

1 64

;

êâàäðàòíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà

1 64 n

0 63

. ×åìó

?

Îòâåòû:

a)

b) −1

A

·B

−1

A−1 · B ,

c)

A · B −1 ,

d)

A · B,

e)

B −1 · A−1 .

,

Go Back Close



.

28

3. Ìàòðèöû.

3.14. Ïóñòü

A

è

B, C

òàêèå ìàòðèöû, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðîèçâåäåíèÿ

A·B

è

B · A, B · C .

Êàêîå èç ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ áåçóñëîâíî âåðíîå.

Îòâåòû:

a)

b)

A·B = B ·A, 3.15. Ïóñòü

n-ãî

A

c)

A · (B · C) = (A · B) · C ,

d)

A · B = E,

B · A = E,

n-ãî ïîðÿäêà ïåðåñòàíîâî÷íàÿ A îáÿçàíà áûòü

êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà

ïîðÿäêà. Òîãäà ìàòðèöà

e) A = E B = E.

è

ñ ëþáîé ìàòðèöåé

Îòâåòû:

a)

b)

íóëåâîé,

Title Page 3.16. Ïóñòü

Contents

c)

åäèíè÷íîé,

A

d)

ðàâíîé

ìàòðèöå

λE ,

òðå-

óãîëüíîé,

e)

ñèììåò-

ðè÷íîé.

öåëî÷èñëåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà îáðàòíàÿ ìàòðèöà ê

A

ñóùå-

ñòâóåò è öåëî÷èñëåííà â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà

Îòâåòû:

JJ

II

a)

A

b)

íåâû-

J

c)

det A = 1,

ðîæäåíà,

d)

det A = −1,

e)

det A = ±1,

I


êàæäûé

ýëåìåíò â

A

+1 −1.

ðàâåí èëè 3.17. Ïóñòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà

òåëü ìàòðèöû

2 · A2

A

ðàâåí

5.

×åìó ðàâåí îïðåäåëè-

?

Îòâåòû:

a)

10,


b)

25,

c)

50,

d)

200,


e)

500.

29

3. Ìàòðèöû.

3.18. Ïóñòü

A

è

B

íåâûðîæäåííûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî ïîðÿäêà. Êàêèì èç

ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ îáëàäàåò ìàòðèöà

A+B

?

Îòâåòû:

a)

b)

îíà

íóëåâàÿ,

îíà

åäèíè÷íàÿ,

c)

íåâû-

ðîæäåííàÿ,

d)

e)

íè îäèí

èç

ñèììåò-

ðè÷åñêàÿ.

îñòàëüíûõ îòâåòîâ íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì, 3.19. Ïóñòü

Title Page Contents

JJ

II

J

I


A

è

B

íåâûðîæäåííûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî ïîðÿäêà. Êàêèì èç

ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ îáëàäàåò ìàòðèöà

A·B

?

Îòâåòû:

a)

b)

îíà îð-

òîãîíàëüíàÿ,

îíà

åäèíè÷íàÿ,

c)

íåâû-

ðîæäåííàÿ,

d)

e)

íè îäèí

èç

ñèììåò-

ðè÷åñêàÿ.

îñòàëüíûõ îòâåòîâ íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì, 3.20. Ïóñòü ìàòðèöà

A

èìååò òðè ñòðîêè è äâà ñòîëáöà, à ìàòðèöà

B

èìååò ÷åòûðå

ñòðîêè è òðè ñòîëáöà. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ îïåðàöèé íàä ýòèìè ìàòðèöàìè èìåþò ñìûñë?

Îòâåòû:

a)

A + B,


b)

A2 ,

c)

B2,

d)

A · B,


e)

B · A.

30

3. Ìàòðèöû.

A1 , A2 , A3 , A4 ìàòðèöû, ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî k ≤ 4 ìàòðèöà Ak k + 1 ñòîëáåö. Êàêîâû ðàçìåðû ìàòðèöû A1 · A2 · A3 · A4 ?

3.21. Ïóñòü

è

èìååò

k ñòðîê

Îòâåòû:

a)

b)

îäíà

äâå

c)

ìàòðèöà

d)

e)

ïðîèç-

ìàòðèöà

ñòðîêà è

ñòðîêè

÷åòâåðòîãî

âåäåíèå íå

ïåðâîãî

ïÿòü

÷åòûðå

ïîðÿäêà,

èìååò ñìûñë,

ïîðÿäêà.

ñòîëáöîâ,

ñòîëáöà,

3.22. Ïóñòü ìàòðèöà

[(ρA)2 ]−1

A

èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó è

ρ

íåíóëåâîå ÷èñëî. Êàêîâà ìàòðèöà

?

Îòâåòû:

Title Page Contents

a)

ρA−1

b)

,

íå

ñóùåñòâóåò, 3.23. Ïóñòü ìàòðèöà

A

äèàãîíàëüíàÿ è

c)

d) 2

−1 2

ρ (A A10

)

,

ρ

−2

e) −1 2

(A

)

ρ−2 A−1

ðàâíà íóëåâîé ìàòðèöå. Òîãäà ýòà ìàòðèöà

îáÿçàíà áûòü: ?

JJ

II

J

I


Îòâåòû:

a)

âûðîæ-

b)

íóëåâîé,

c)

íèëüïî-

äåííîé, íî

òåíòíîé, íî

íå

íå

îáÿçàòåëüíî

îáÿçàòåëüíî

íóëåâîé,

íóëåâîé,

d) åäèíè÷íîé,

e)

íåâû-

ðîæäåííîé.

Close


.

,


31

4. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

4. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

4.1. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, äàëåå íàçûâàåìàÿ

Title Page Contents

JJ

II

J

I

SLAU1 , èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (β1 , β2 , β3 , . . . , βn ) è ïîìåíÿâ ìåñòàìè âî âñåõ óðàâíåíèÿõ SLAU1 êîýôôèöèåíòû ïðè x1 è x2 ïîëó÷èëè SLAU2 . Êàêîìó óñëîâèþ ïîä÷èíÿåòñÿ ðåøåíèÿ SLAU2 ? Îòâåòû:

a)

èìååò

b)

îíà

c)

îíà

d)

èìååò

e)

èìååò

åäèíñòâåí-

ìîæåò áûòü

ìîæåò èìåòü

íóëåâîå

åäèíñòâåí-

íîå ðåøåíèå

íåñîâìåñò-

áåñêîíå÷íî

ðåøåíèå,


(β1 , β2 , . . . , βn ),

íîé,

ìíîãî

(β2 , β1 , β3 , . . . , βn ).

ðåøåíèé,




32


4.2. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, äàëåå íàçûâàåìàÿ

SLAU1 , èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (β1 , β2 , . . . , βn ) . SLAU2 ïîëó÷àåòñÿ èç SLAU1 óìíîæåíèåì íà 2 êîýôôèöèåíòîâ ïðè x1 âî âñåõ óðàâíåíèÿõ. Êàêîìó óñëîâèþ ïîä÷èíÿþòñÿ ðåøåíèÿ SLAU2 ? Îòâåòû:

a)

èìååò

b)

îíà

c)

îíà

d)

èìååò

e)

èìååò

åäèíñòâåí-

ìîæåò áûòü


íóëåâîå

åäèíñòâåí-


íåñîâìåñò-

áåñêîíå÷íî

ðåøåíèå,


( 12 · β1 , β2 , . . . , βn ),

íîé,

ìíîãî ðåøåíèé,

(2 · β1 , β2 , . . . , βn ).

Title Page Contents

JJ

II

J

I




33


4.3. Ïóñòü íàì çàäàíà ñèñòåìà ÷åòûðåõ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ÷åòûðü-

ìÿ íåèçâåñòíûìè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà ýòà ñèñòåìà ìîæåò èìåòü ñëåäóþùåå ÷èñëî ðåøåíèé :

Îòâåòû:

a)

ëþáîå

b)

ðîâíî

4,

c)

ðîâíî

2

d)

ëèáî íè

e)

íå

÷èñëî

èëè ðîâíî

îäíîãî, ëèáî

áîëüøå

n ≤ ∞,

îäíî,

îäíî, ëèáî

÷åòûðåõ.

áåñêîíå÷íî ìíîãî, 4.4. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ

α

ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ?

Title Page Contents

JJ

αx + 2y = αy + 2x =

Îòâåòû:

a)

II

α 6= 0;

b)

c)

α 6= 4;

α 6∈ {−2, 2}; J

I


3 4

4.5. Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà

íà

αi

n

d)

e)

ïðè

ëþáîì

α;

α

äëÿ âñåõ

íåâåðíî.

ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Êàæäîå i-òîå óðàâíåíèå óìíîæèì

è ïðîñóììèðóåì. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïåðâîå óðàâíåíèå ìîæíî çàìåíèòü íà

ïîëó÷åííîå?

Îòâåòû:

a)

b)

âñåãäà;

íèêîãäà;

c)

åñëè

α1 + · · · + αn = 0; d)

e)

åñëè

åñëè

α1 6= 0.

α1 + · · · + αn 6= 0; Ê.À. Ìåéðåìáåêîâ


34


4.6. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé

(1 + i)x + (1 − i)y (1 − i)x + (1 + i)y

= =

1+i 1 + 3i

Îòâåòû:

a)

(i, 1 + i),

b)

(1 + i, i),

d)

(1 − i, i),

e)

(1 + i, 1 − i).

c)

(i, 1 − i),

4.7. Äëÿ êàêèõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðèìåíèì ìåòîä Êðàìåðà?

Îòâåòû:

Title Page Contents

JJ

II

J

I

a)

íåîäíî-

ðîäíûõ è

b)

êâàä-

ðàòíûõ,

c)

îäíî-

ðîäíûõ,

d)

äëÿ

âñåõ,

e) êâàäðàòíûõ

íåñîâìåñò-

ó êîòîðûõ

íûõ,

îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ.




35


4.8. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-

íåíèé âåðíî?

Îòâåòû:

a)

Title Page Contents

JJ

II

J

ñîâìåñò-

b)

ñîâìåñò-

c)

ñîâìåñò-

d)

ñîâìåñò-

e)

ñîâìåñò-

íîñòü

íîñòü

íîñòü

íîñòü

íîñòü

ñèñòåìû

ñèñòåìû

ñèñòåìû

ñèñòåìû íå

ñèñòåìû

çàâèñèò

çàâèñèò

çàâèñèò

çàâèñèò îò

çàâèñèò îò

òîëüêî îò

òîëüêî îò êî-

òîëüêî îò êî-

ñâîáîäíûõ

âñåõ êîýô-

ñâîáîäíûõ

ýôôèöèåíòà

ýôôèöèåíòà

÷ëåíîâ,

ôèöèåíòîâ.

÷ëåíîâ,

ïðè

x1 ,

ïðè

xn ,

4.9. Ïóñòü â ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïåðåñòàâèëè ìåñòàìè êîýô-

ôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ

x2 , x3

. Òîãäà ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà âñåãäà

Îòâåòû:

a) ñîâìåñòíà,

I

b)

íåñîâ-

ìåñòíà,

c)

èìååò

d)

÷èñëî å¼

e)

èìååò

åäèíñòâåí-

ðåøåíèé

áåñêîíå÷íîå

íîå


÷èñëî

ðåøåíèå,

ðåøåíèé

ðåøåíèé.

èñõîäíîé ñèñòåìû,




36


4.10. Ïóñòü â ñèñòåìå ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âñå êîýôôèöè-

åíòû ðàöèîíàëüíûå. Îïðåäåëèòü êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé ñïðàâåäëèâî

Îòâåòû:

a)

âñå

b)

âñå

c)

âñå

ðåøåíèÿ âå-

ðåøåíèÿ ðà-

ðåøåíèÿ

ùåñòâåííû,

öèîíàëüíû,

öåëûå,

d)

e)

ñóùåñòâóþò


ðåøåíèÿ â

ðåøåíèÿ â

öåëûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñëàõ,

÷èñëàõ.

4.11. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ âåùåñòâåííûìè êî-

Title Page Contents

JJ

II

J

ýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ÷èñëî óðàâíåíèé ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ. Òîãäà ýòà ñèñòåìà âñåãäà ÿâëÿåòñÿ

Îòâåòû:

a) ñîâìåñòíîé,

I

b)

íåñîâ-

ìåñòíîé,

c)

èìååò

d)

èìååò

e)

åñëè

åäèíñòâåí-

õîòÿ áû

ñîâìåñòíà,

íîå

êîìïëåêñíîå

òî èìååò

ðåøåíèå,

ðåøåíèå,

áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé.




37


4.12. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ âåùåñòâåííûìè êî-

ýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ. Òîãäà ýòà ñèñòåìà

Îòâåòû:

a)

íåñîâ-

ìåñòíà,

Title Page

b)

c)

åñëè

II

J

I

èìååò

e)

åñëè

åäèíñòâåí-

õîòÿ áû

ñîâìåñòíà,

òî èìååò è

íîå

êîìïëåêñíîå

òî èìååò

âåùåñòâåí-

ðåøåíèå,

ðåøåíèå,

áåñêîíå÷íîå

íîå

÷èñëî

ðåøåíèå,

ðåøåíèé.

4.13. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

( 2x + y x + 2y

Contents

JJ

d)

èìååò

ñîâìåñòíà,

= =

5 4

Îòâåòû:

a)

íåñîâ-

ìåñòíà,

b)

(5, 4)

,

c)

èìååò

d)

(2, 1),

e)

(1, 2)

áåñêîíå÷íî ìíîãî

Page 38 of 112

ðåøåíèé è âñå èõ íå

Go Back

ïåðå÷èñëèòü,

Close



38

.

5. Ìíîãî÷ëåíû


5.1. Êàêóþ íàèìåíüøóþ ñòåïåíü ìîæåò èìåòü íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí, åñëè èçâåñòíî,

÷òî îí äåëèòñÿ íà

x2 − 1,

à åãî ïðîèçâîäíàÿ íà

(x + 1)2

c)

d)

?

Îòâåòû:

a)

2;

b)

3;

4;

e)

5;

Title Page

òàêîãî

ìíîãî÷ëåíà íå

Contents

JJ

II

J

I

Page 39 of 112

ñóùåñòâóåò. 5.2. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ öåëî÷èñëåííûõ êîðíåé ìîæåò èìåòü ìíîãî-

÷ëåí

f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ Z[x]

åñëè

an = 6

?

Îòâåòû:

a)

ñêîëüêî

b)

8;

c)

3,

d)

4;

e)

6.

óãîäíî; 5.3. Êàêîâà íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíîâ ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè íåïðè-

Go Back

âîäèìûõ íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë:

Îòâåòû:

Close

a)

1;

b)

2;

c)

3;

d)

4;

e) íàèáîëüøåé ñòåïåíè íåò.



39


5.4. Îïðåäåëèòü êðàòíîñòü êîðíÿ

x=1

ìíîãî÷ëåíà

x4 − 2x3 + 2x − 1.

Îòâåòû:

a)

b)

0;

c)

1;

5.5. Èçâåñòíî, ÷òî îäèí èç êîðíåé ìíîãî÷ëåíà

1+i

d)

2; 4

e)

3;

3

4.

2

f (x) = x + x + x − 4x + 10 ðàâåí ÷èñëó

. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ ÷èñåë îáÿçàíî áûòü êîðíåì ýòîãî ìíîãî÷ëåíà?

Îòâåòû:

a) 5.6. Ïóñòü

−1 − i, f (x), g(x)

b)

c)

1,

1 − i,

d)

−1 + i,

e)

i.

ìíîãî÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà íàèáîëü-

øèì îáùèì äåëèòåëåì ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ íàçûâàåòñÿ:

Title Page Contents

JJ

II

J

I


Îòâåòû:

a)

íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü ýòèõ

ìíîãî÷ëåíîâ,

c)

ìíîãî÷ëåí

b) d)

f (x) + g(x),

è

e)

íàèáîëüøåå ÷èñëî íà êîòîðîå

äåëÿòñÿ ýòè ìíîãî÷ëåíû, ìíîãî÷ëåí íà êîòîðûé äåëÿòñÿ

f (x)

è

g(x),

ìíîãî÷ëåí ñî ñòàðøèì

êîýôôèöèåíòîì

1

îáùèì äåëèòåëåì

, ÿâëÿþùèéñÿ

f (x), g(x)

,

êîòîðûé äåëèòñÿ íà ëþáîé äðóãîé îáùèé äåëèòåëü ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ.

Close



40


5.7. Ïóñòü ìíîãî÷ëåí

f (x)

âçàèìíî ïðîñò ñ ìíîãî÷ëåíîì

âçàèìíî ïðîñò ñ ìíîãî÷ëåíîì

h(x)

h(x).

g(x)

è òîò â ñâîþ î÷åðåäü

Êàêîå èç âûñêàçûâàíèé î ìíîãî÷ëåíàõ

f (x)

è

ñïðàâåäëèâî?

Îòâåòû:

a)

Contents

JJ

II

J

I

c)

îíè

f (x)

d)

h(x)

e)

íè îäèí

âçàèìíî

äåëèòñÿ íà

äåëèòñÿ íà

èç

îáùèé

ïðîñòû,

h(x),

f (x),

îñòàëüíûõ

äåëèòåëü

îòâåòîâ íå

âçàèìíî

ÿâëÿåòñÿ

ïðîñò ñ

Title Page

b)

èõ

íàèáîëüøèé

5.8. ×èñëî

α

g(x),

âåðíûì.

íàçûâàåòñÿ

k -êðàòíûì

êîðíåì ìíîãî÷ëåíà

f (x),

åñëè :

Îòâåòû:

a)

b)

f (α) = 0,

d)

f (x) x − α,

äåëèòñÿ íà

e)

f (x) = (x − α)k q(x), q(x) è q(α) 6= 0, c)

f (x) = (x − α)k q(x), äëÿ íåêîòîðîãî q(x),

äëÿ íåêîòîðîãî

f (αk ) = 0.




41

6. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà.


Title Page Contents

JJ

II

6.1. Ñêîëüêî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íóëåâûõ ýëåìåíòîâ?

Îòâåòû:

a)

îäèí,

b)

c)

äâà,

d)

êîíå÷íîå

J

÷èñëî,

I


6.2. Ïóñòü

x

e)

áåñêîíå÷íî ìíîãî,

R, à µ µ·x=0 ?

ýëåìåíò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì

×òî ìîæíî ñêàçàòü î

x

è

µ,

åñëè èçâåñòíî, ÷òî

íè

îäíîãî.

÷èñëî èç ïîëÿ

R.

Îòâåòû:

a)

îíè

ëèíåéíî çàâèñèìû,

b)

îíè êîë-

ëèíåàðíû,

c)

îáà

ðàâíû íóëþ,

d)

÷èñëî

e)

îíè

ðàâíî íóëþ

ëèíåéíî

èëè âåêòîð

íåçàâèñèìû.

íóëåâîé,



42


6.3. Êàêàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñè-

ìîé?

Îòâåòû:

a)

åñëè

b)

åñëè

c)

åñëè èõ

d)

åñëè îíà

e)

åñëè

îäèí èç

òîëüêî

ëèíåéíàÿ

ñîäåðæèò

íåêîòîðûå

âåêòîðîâ

òðèâèàëüíàÿ

êîìáèíàöèÿ

ïàðó

èç íèõ êîì-

íóëåâîé,

ëèíåéíàÿ

ðàâíà

îäèíàêîâûõ

ïëàíàðíû.

êîìáèíàöèÿ

íóëåâîìó

âåêòîðîâ,

ýòèõ

âåêòîðó,

âåêòîðîâ ðàâíà

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 43 of 112

íóëåâîìó âåêòîðó,

e1 , e2 , . . . , en n-ìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàía èç V îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿóêàçàííûõ n âåêòîðîâ ?

6.4. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âåêòîðû

ñòâà

V

ëèíåéíî íåçàâèñèìû, åñëè äàííûé âåêòîð

åòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

Îòâåòû:

a)

äà

ìîæíî,

Go Back

b)

ìîæíî,

òîëüêî åñëè

c)

íå

îáÿçàòåëüíî,

d)

ìîæíî,

e)

íåò, ýòî


âñåãäà íå

îíè

ýòîò âåêòîð

òàê.

îáðàçóþò

íóëåâîé,

áàçèñ,

Close



43


6.5. Ïóñòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

V

çàäàíû

n

ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ. ×òî

åù¼ íàäî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû óêàçàííàÿ ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ áûëà áàçèñîì â äàííîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå?

Îòâåòû:

a)

îíè óæå

b)

÷òîáû

c)

÷òîáû

d)

÷òîáû

e)

÷òîáû

îáðàçóþò

ñðåäè íèõ íå

êðîìå íèõ â

îíè îáðàçî-

ðàçìåðíîñòü

áàçèñ,

îêàçàëîñü

ïðîñòðàí-

âûâàëè

ïðîñòðàí-

êîëëèíåàð-

ñòâå

ìàêñèìàëü-

ñòâà

íûõ

íè÷åãî íå

íóþ ëèíåéíî

áûëà íå

âåêòîðîâ,

áûëî,

íåçàâèñèìóþ

ìåíåå

V

V

,

n

.

ñèñòåìó

Title Page

âåêòîðîâ â ïðîñòðàí-

Contents

JJ

II

J

I

ñòâå

V, 6.6. Ñêîëüêî áàçèñîâ èìååòñÿ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

Rn

?

Îòâåòû:

a)

îäèí,

b)

n,

c)

n!,

d)

íè

îäíîãî,

Page 44 of 112

e) áåñêîíå÷íî ìíîãî.

Go Back Close



44


6.7. ×òî íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà

V

íàä ïîëåì

K

?

Îòâåòû:

a)

íåïóñòîå

JJ

II

J

I

ïîäìíî-

c)

íåïóñòîå

d)

ïîäìíî-

e)

âñå

æåñòâî

ïîäìíîæå-

æåñòâî

ìíîæåñòâî

ñòâî,

çàìêíóòîå

ñòâî

ñîñòîÿùåå

V.

îòíîñèòåëü-

çàìêíóòîå

òîëüêî èç

íî ñëîæåíèÿ

îòíîñèòåëü-

íóëåâîãî

âåêòîðîâ è

íî ñëîæåíèÿ

âåêòîðà

óìíîæåíèÿ

âåêòîðîâ è

âåêòîðîâ íà

óìíîæåíèÿ

ñêàëÿðû èç

âåêòîðîâ íà

K,

ñêàëÿðû èç

Title Page Contents

b)

ïîäìíîæå-

θ,

K, 6.8. Ìîæíî ëè èç ïîðîæäàþùåé ñèñòåìû âåêòîðîâ óäàëèòü íåêîòîðóþ ÷àñòü, íå èçìå-

íèâ ïðè ýòîì å¼ ëèíåéíîé îáîëî÷êè ?

Îòâåòû:

a)

ìîæíî,


b)

íåëüçÿ,

c)

ìîæíî,

d)

íåëüçÿ,

e)

ìîæíî,

åñëè ïîðîæ-



äàþùàÿ

äàþùàÿ

äàþùàÿ

ñèñòåìà

ñèñòåìà

ñèñòåìà

ëèíåéíî

ëèíåéíî

ëèíåéíî

íåçàâèñèìà,

çàâèñèìà,

çàâèñèìà.

Close



45


6.9. Ïóñòü

è

R

n

Cn

àðèôìåòè÷åñêîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë

ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Òîãäà :

Îòâåòû:

Rn

a)

ïîäïðîñòðàíñòâî â

b)

Rn

c)

ÿäðîì

C

íå

ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ

n

Rn

,

C n,

ïîäïðî-

d)

Rn

e)

Rn ∩C n = ∅.

ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì

C

n

,

ñòðàíñòâîì â

C n, 6.10. Íàéòè ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ

x1 = (−1, 4, −3, −2), x2 = (3, −7, 5, 3), x3 = (3, −2, 1, 0), x4 = (−4, 1, 0, 1)

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 46 of 112

Îòâåòû:

a)

1,

b)

2,

c)

3,

d)

4,

e)

5.

6.11. Îïðåäåëèòü ÷èñëî âñåõ áàç ñèñòåìû âåêòîðîâ

x1 = (−1, 4, −3, −2), x2 = (3, −7, 5, 3), x3 = (3, −2, 1, 0), x4 = (−4, 1, 0, 1) Îòâåòû:

a)

2,

b)

3,

c)

4,

d)

5,

e)

6.

Go Back Close



46


6.12. Â ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé áîëåå ÷åì èç äâóõ âåêòîðîâ âåðíî îäíî

èç óñëîâèé:

Îòâåòû:

a)

b)

ñîäåðæèòñÿ

c)

ñîäåðæàòñÿ

Contents

JJ

II

J

I

îäèí èç

e)

êàæäûé

âåêòîðîâ

âåêòîð

íóëåâîé

ðàâíûå

ïðîïîðöèî-

ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ

âåêòîð,

âåêòîðû,

íàëüíûå

ëèíåéíîé

ëèíåéíîé

âåêòîðû,

êîìáèíàöèåé

êîìáèíàöèåé

îñòàëüíûõ,

îñòàëüíûõ.

6.13. Ñêîëüêî áàçèñîâ, ñîäåðæàùèõ âåêòîðû

Title Page

d)

ñîäåðæàòñÿ

x1 = (1, 1, 0, 0), x2 = (0, 0, 1, 1), R4 ?

ìîæíî ïî-

ñòðîèòü â àðèôìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå

Îòâåòû:

a)

b)

2,

c)

3,

4,

d)

16,


6.14. Ïóñòü

H1

è

H2 ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ H1 ∪ H2 áûëî ïîäïðîñòðàíñòâîì íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû:

îáúåäèíåíèå

Îòâåòû:


a)

îäíî èç íèõ

b)

H 1 ∪ H2 = V ,

ñîäåðæàëîñü â äðóãîì,

d)

H1 ⊆ H 2 ,

c)

îíî âñåãäà

ïîäïðîñòðàíñòâî,

e)

H1 ∩ H2 = {θ}.

Close



47


6.15. Ïóñòü

H1

è

ïåðåñå÷åíèå

H2 ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ H1 ∩ H2 áûëî ïîäïðîñòðàíñòâîì íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû:

Îòâåòû:

a)

îäíî èç íèõ

b)

H 1 ∪ H2 = V ,

ñîäåðæàëîñü â äðóãîì,

d)

H1 ⊆ H 2 ,

c)

îíî âñåãäà

ïîäïðîñòðàíñòâî,

e)

H1 ∩ H2 = {θ}.

Title Page Contents

JJ

II

J

I




48

7. Åâêëèäîâû è óíèòàðíûå ïðîñòðàíñòâà

7. Åâêëèäîâû è óíèòàðíûå ïðîñòðàíñòâà.

7.1. ×òî íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ

x, y

â åâêëèäîâîì ïðîñòðàí-

ñòâå ?

Title Page

Îòâåòû:

a) Contents

JJ

ïðîèçâå-

âåêòîð

ïåðïåíäèêó-

ìîäóëåé,

ëÿðíûé ê

II

J

b)

äåíèå èõ

è

I


y,

x

c)

âåêòîð

ïåðïåíäèêó-

x

d)

e)

÷èñëîâàÿ

÷èñëî

ðàâíîå ïðî-

êîììóòàòèâ-

èçâåäåíèþ

íàÿ

èõ ìîäóëåé

ëÿþùèé ñ

áèëèíåéíàÿ

íà ñèíóñ

íèìè ïðàâóþ

ôóíêöèÿ

óãëà ìåæäó

òðîéêó,

âåêòîðíûõ

íèìè.

äëèíà

àðãóìåíòîâ

êîòîðîãî

x, y

ðàâíà ïðîèç-

÷òî

âåäåíèþ èõ

∀x[(x, x) > 0] ïðè x 6= θ ,

ëÿðíûé ê è

y

è ñîñòàâ-

ìîäóëåé íà

òàêàÿ,

ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè,



49


7.2. Êàê ââîäèòñÿ äëèíà (ìîäóëü) âåêòîðà

a = (α1 , α2 , . . . , αn ) â åâêëèäîâîì ïðîñòðàí-

ñòâå ?

Îòâåòû:

a)

Pn

i=1

αi ,

b)

Qn

i=1

c)

αi ,

Pn

7.3. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

i=1

αi2 ,

a

b

è

d)

√

a,

e)

p

(a, a)

åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ?

Îòâåòû:

a)

cos ϕ = (a, b)/|a||b|

åñëè

a

è

b

b)

ctg(ϕ) = (a, b),

d)

tg(ϕ) = |a||b|/(a, b),

îòëè÷íû îò íóëåâîãî âåêòîðà è íå îïðåäåëåí â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

Title Page Contents

c)

cos(ϕ) = (a, b)/|a||b|,

e)

sin(ϕ) = |a|/|a + b|.

7.4. Êàêîå íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî ?

Îòâåòû:

JJ

II

a)

J

I

d)

Page 50 of 112

(a, b) ≤ (a, a) · (b, b),

b)

c)

(a, b)2 ≤ (a, a) · (b, b), e)

(a, b)2 < (a, a) · (b, b),

(a, b) ≤ (a, a).

(a, b)2 ≥ (a, a) · (b, b),

Go Back Close



50

.


7.5. Äëÿ êàêèõ âåêòîðîâ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî

ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ?

Îòâåòû:

a)

îðòîãî-

íàëüíûõ äðóã äðóãó,

b)

êîëëè-

íåàðíûõ,

c)

ìåæäó

d)

ìåæäó

e)

îðòîíîð-

êîòîðûìè

êîòîðûìè

ìèðîâàííûõ

îñòðûé óãîë,

òóïîé óãîë,

âåêòîðîâ.

Title Page Contents

JJ

II

J

I




51


7.6. Êàê çàïèøåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

a = (α1 , α2 , . . . , αn ) è b = (β1 , β2 , . . . , βn )

èç åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàäàíû â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå

e1 , e2 , . . . , en ? Îòâåòû:

a)

Pn

+ βi ),

b)

d)

P

αi βj (ei , ej ),

e)

i=1 (αi i6=j

Qn

Pn

i=1

c)

αi βi ,

i=1

Pn

j=1

7.7. Ïóñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

a

Pn

i=1

αi βi ,

αi βj (ei , ej ). è

b

åâêëèäîâà (óíèòàðíîãî) ïðîñòðàí-

ñòâà ðàâíî íóëþ. Òîãäà ýòè âåêòîðû:

Îòâåòû:

Title Page

a)

ëèíåéíî

çàâèñèìû,

Contents

JJ

II

J

I

b)

ëèíåéíî


c)

êîëëè-

íåàðíû,

d)

ëèíåéíî


e) îáðàçóþò

åñëè îáà

îñòðûé óãîë

âåêòîðà

ìåæäó

íåíóëåâûå,

ñîáîé.




52


7.8. Êàê ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ïîñòðîèòü îðòî-

íîðìèðîâàííûé áàçèñ?

Îòâåòû:

a)

b)

íîðìè-

ìåíÿòü

c)

d)

êàæäûé

ìåñòàìè,

ê íåìó

ê íåìó

âåêòîðû è

âåêòîð ýòîãî

ïîêà ñèñòåìà

ïðîöåññ

ïðîöåññ

çàòåì

áàçèñà,

íå ñòàíåò îð-

îðòîãîíàëè-

îðòîãîíàëè-

ìåíÿòü èõ

òîãîíàëüíîé

çàöèè è

çàöèè,

ìåñòàìè

è çàòåì

íîðìèðîâàòü

âûáðîñèòü

ïîêà ñèñòåìà

íîðìèðîâàòü

ïîëó÷åííûå

âñå ïîëó÷àþ-

íå ñòàíåò

ýòè âåêòîðû,

âåêòîðû,

ùèåñÿ

îðòîíîðìè-

íóëåâûå

ðîâàííîé.

Contents

JJ

II

J

I

Page 53 of 112

ïðèìåíèòü

íîðìè-

âåêòîðû

Title Page

ïðèìåíèòü

e)

ðîâàòü

ðîâàòü ýòè

âåêòîðû è íîðìèðîâàòü îñòàâøèåñÿ, 7.9. Ñêîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ ìîæíî óêàçàòü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

ðàçìåðíîñòè

n

?

Îòâåòû:

a)

n,

Go Back

b)

n!,

c)

n2 ,

d) 2, åñëè n=1è áåñêîíå÷íî

Close


ìíîãî ïðè

n > 1.



53


7.10. Êàê â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå

ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

e1 , e2P , . . . , en åâêëèäîâà Pnïðîñòðàíñòâà çàïèøåòñÿ n a = i=1 αi ei è b = i=1 βi ei ?

Îòâåòû:

7.11.

a)

Pn

d)

P

i=1 (αi

b)

+ βi ),

e)

i=1 Pn i=1

c)

αi βi , Pn

Pn

i=1

αi βi ,

αi βj . Pn ×åìó ðàâíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a = i=1 αi ei è Pn b = i=1 βi ei åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rn â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå? i6=j

αi βj ,

Qn

j=1

Îòâåòû:

a)

Pn

i=1 µi αi βi , ãäå âåùåñòâåííûå ÷èñëà,

Title Page Contents

JJ

II

J

I

µi

Pn j=1 µij αi βj , i=1 Pn e) i=1 µi αi βi , ãäå µi ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. c)

Pn

b)

Pn

i=1

µi αi βi ,

ãäå

µi

íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà,

d)

Pn

i=1

αi βj ,




54


L⊥

7.12. ×òî íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì

ïðîñòðàíñòâà

L

ê ïîäïðîñòðàíñòâó

åâêëèäîâà

V.

Îòâåòû:

a)

ðàçíîñòü

V \L

ìíîæåñòâ

V

è

b)

L,

ìíîæåñòâî âåêòîðîâ

ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê êàêîìó-ëèáî âåêòîðó èç

V \ L.

c)

îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â

e)

ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ èç

L,

{a ∈ V : (∀x ∈ L)[(a, x) = 0]},

d)

L

îðòîãîíàëüíûõ ê äðóã äðóãó.

Title Page Contents

JJ

II

J

7.13. Ïóñòü

L⊥

L ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà V

Îòâåòû:

a)

íàäìíî-

b)

ïîäìíî-

æåñòâîì

æåñòâîì

L,

L,

c)

d)

ïóñòûì

ìíîæåñòâîì,

ïîäïðî-

e)

ïîäïðî-

ñòðàíñòâîì

ñòðàíñòâîì â

ïðîñòðàí-

L.

ñòâà

I

Page 55 of 112

. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå

ÿâëÿåòñÿ :

V, 7.14. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ðàçìåðíîñòè

L

è

⊥

L

?

Îòâåòû:

Go Back Close

a)

dim L ≤ dim L⊥ ,

dim(L) · dim(L⊥ ) = dim V , d)


dim L + dim L⊥ = dim V , e) dim L = dim L⊥ . b)

c)


dim L ≥ dim L⊥ ,

55


7.15. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé áàçèñû ïðîñòðàíñòâà

L⊥

è âñåãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà

L, åãî îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ

V?

Îòâåòû:

a)

ëþáîé

áàçèñ

V

åñòü

îáúåäèíåíèå áàçèñîâ

L

è

L⊥ ,

b)

c)

îáúåäè-

íåíèå ëþáûõ áàçèñîâ

L⊥

L

è

áàçèñû â

åñòü

áàçèñ

d)


V,

L

è

îáúåäè-

íåíèå áàçèñîâ

L

I


îáúåäèíåíèÿ

âêëþ÷åíî

áàçèñîâ

êîòîðûõ íå

êàê

âåêòîðû

ñîáñòâåííàÿ

çàâèñÿùèå

÷àñòü â

îò

V.

áàçèñå

V,

îñòàëüíûõ, òî ïîëó÷èòñÿ áàçèñ

7.16. ×òî îçíà÷àåò çàïèñü:

⊥

V =L⊕L

V.

?

Îòâåòû:

V = {x + y : x ∈ L, y ∈ L⊥ } L ∩ L⊥ = ∅, c) L ∩ L⊥ = ∅, a)

e)

è

b)

V = {x + y : x ∈ L, y ∈ L⊥ },

d)

V = L ∪ L⊥ ,

V ⊆ L + L⊥ .

7.17. Íàéòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

Close

èç

îáúåäèíåíèå

Contents

J

è

L⊥

Title Page

II

åñëè

L⊥ ,

åñòü áàçèñ

JJ

e)

âûáðîñèòü

a = (1, 2, 3) è b = (−1, 2, −2) â åâêëèäîâîì

ïðîñòðàíñòâå.

Îòâåòû:

a)

0,


b)

1,

c)

5,

d)

−2,


e)

−3. 56



b = (−1, 2, −2)

a = (1, −2, −3)

è

â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Îòâåòû:

a)

b)

1,

0,

c)


b = (−2, 1, −2)

−2,

d)

5,

a = (3, −2, −1)

e)

−3.

e)

−3.

e)

−3.

è

â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Îòâåòû:

a)

b)

1,

3,

c)

−6,


b = (1 − i, 2, 1 + i) Title Page Contents

II

−2, è

â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå.

Îòâåòû:

a)

0,

b)

1 + i,

c)

ñòåìà âåêòîðîâ

e1 , e2 .

d)

6 + 2i,

7.21. Ïóñòü â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

JJ

d)

a = (1 + i, 2, 1 + i)

R

3

−2i,

çàäàíà îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-

Ñêîëüêî îðòîãîíàëüíûõ áàçèñîâ

R3

ñîäåðæàò

e1 , e2 ?

Îòâåòû:

J

I

a)

1,

b)

3,

c)

2,

d)

3!,

e) áåñêîíå÷íî

Page 57 of 112

ìíîãî.

Go Back Close



57


7.22. Ïóñòü â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

ñòåìà âåêòîðîâ

e1 , e2 .

R3

çàäàíà îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-

Ñêîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ

R3

ñîäåðæàò

e1 , e2 ?

Îòâåòû:

a)

b)

1,

c)

2,

d)

3,

e)

3!,

áåñêîíå÷íî ìíîãî.

L ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà V , âåêòîð a ∈ V ïðåäñòàâëåí a = x + y , ãäå x ∈ L, y ∈ L⊥ . ×òî íàçûâàåòñÿ óãëîì ìåæäó âåêòîðîì a è ïîäïðîñòðàíñòâîì V ?

7.23. Ïóñòü

â âèäå

Îòâåòû:

a)

Title Page

b)

óãîë

ìåæäó âåêòîðîì

Contents

âåêòîðîì

c)

óãîë

ìåæäó

aè y,

âåêòîðîì âåêòîðîì

d)

óãîë

ìåæäó

aè x,

âåêòîðîì âåêòîðîì

xè y,

âåêòîðîì

è

âåêòîðîì

a

è

ïëîñêîñòè

âåêòîðîì

J

I

ñòðàíñòâà

Close

a

íîðìàëüþ ê

II

Go Back

óãîë

ìåæäó

ëþáûì

JJ

Page 58 of 112

e)

óãîë

ìåæäó

L.

ïîäïðî-

L, L ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà V , âåêòîð a ∈ V ïðåäñòàâëåí â a = x + y , ãäå x ∈ L, y ∈ L⊥ . ×òî íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó âåêòîðîì ïîäïðîñòðàíñòâîì V ?

7.24. Ïóñòü

âèäå

a

è

Îòâåòû:

a)

|a|,

b)

|x|,

c)

|y|,

d)

e)

(a, a).

p x2 + y 2 , Ê.À. Ìåéðåìáåêîâ


58


7.25. Ïóñòü

L

ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà

Êàêîâ óãîë ìåæäó âåêòîðîì

a

è ïîäïðîñòðàíñòâîì

V, L?

a ∈ V

âåêòîð

ëåæèò â

L.

Îòâåòû:

a)

0,

b)

90◦ ,

c)

46◦ ,

d)

cos ϕ =

e)

π.

(a,a) |a|2 , 7.26. Ïóñòü

L


Êàêîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðîì

a

V,

a ∈ V

âåêòîð


ëåæèò â

L.

L?

Îòâåòû:

a) Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 59 of 112

7.27. Ïóñòü

0, L

b)

c)

1,

|a|,

d)

(a, a),

V , âåêòîð a ∈ V ïîäïðîñòðàíñòâîì L?


Êàêîâ óãîë ìåæäó âåêòîðîì

a

è

e)

a2 .

ëåæèò â

L⊥ .

Îòâåòû:

a)

0,

b)

90◦ ,

c)

45◦ ,

d)

cos ϕ =

e)

π.

(a,a) |a|2 , 7.28. Ïóñòü

L


Êàêîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðîì

a

V,

âåêòîð


a∈V

ëåæèò â

L?

Îòâåòû:

a)

0,

b)

1,

c)

|a|,

d)

(a, a),

e)

a2 .

Go Back Close



59

L⊥ .


7.29. Ïóñòü ðàçìåðíîñòü åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà

÷èñëî

k

òàêîå, ÷òî ñóùåñòâóþò

ëþáûìè äâóìÿ èç íèõ ðàâíû

k

V

ðàâíà ïÿòè. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå

íåíóëåâûõ âåêòîðîâ òàêèõ, ÷òî óãëû ìåæäó

90◦ .

Îòâåòû:

a)

b)

0,

7.30. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ

d)

c)

{a1 , . . . , ak }

ëèíåéíî çàâèñèìà, ê íåé ïðèìåíèëè ïðîöåññ

2,

5,

e)

∞.

1,

îðòîãîíàëèçàöèè è ïîëó÷èëè ñèñòåìó âåêòîðîâ

{b1 , . . . , bk }.

Êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé î ïîëó÷åííîé ñèñòåìå âåêòîðîâ

ÿâëÿåòñÿ âåðíûì?

Îòâåòû:

Title Page Contents

JJ

II

J

I

a)

b)

îíà

îáðàçóåò áàçèñ

V,

îðòîíîðìèðîâàíà,

d)


c)

ëèíåéíî

íåçàâèñèìà,

e)

(∃s ≤ k)[bs = θ].

ïîäïðîñòðàíñòâà

L(a1 , . . . , ak ),




60


7.31. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ

{a1 , . . . , ak }

íåçàâèñèìà, ê íåé ïðèìåíèëè ïðîöåññ îðòî-

ãîíàëèçàöèè è ïîëó÷èëè ñèñòåìó âåêòîðîâ

{b1 , . . . , bk }.

Êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé î ïîëó÷åííîé ñèñòåìå âåêòîðîâ


Îòâåòû:

a)

îíà

b)


e)

(∃s ≤ k)[bs = θ].

c)

V,

ëèíåéíî çàâèñèìà,

îðòîíîðìèðîâàíà,

d)

îáðàçóåò

îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà

Title Page Contents

JJ

II

J

I

L(a1 , . . . , ak ), a1 , . . . , a5 âåêòîðû åäèíè÷íîé äëèíû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R5 , ïðè÷åì ak ⊥ ak+1 äëÿ âñåõ k ∈ {1, . . . , 4} è a5 ⊥ a1 . Òîãäà ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ:

7.32. Ïóñòü

Îòâåòû:

a) â

áàçèñîì

R5 ,

Page 61 of 112

b)

íè îäèí

c)

îðòîãî-

d)

èç

íàëüíûì

îñòàëüíûõ

áàçèñîì â

ðîâàííûì

îòâåòîâ íå

R5 ,

áàçèñîì â

ÿâëÿåòñÿ

îðòîíîðìè-

e)

ëèíåéíî

çàâèñèìîé.

R5 ,

âåðíûì,

Go Back Close



61


a ëåæèò â ïîäïðîñòðàíñòâå L 2 ≤ dim L < dim V . Ïóñòü H îðòîãîíàëüíîå

7.33. Ïóñòü íåíóëåâîé âåêòîð

V,

ïðè÷åì

åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà äîïîëíåíèå ê âåêòîðó

a.

Êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ âåðíûì?

Îòâåòû:

a)

b)

H ∩L 6= {θ}, 7.34. Ïóñòü

V

c)

a ∈ H,

H ∩ L = ∅,

d)

e)

H ⊆ L.

H ∪L=V,

åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî è

L1 , L2

åãî ïîäïðîñòðàíñòâà, ïðè÷åì

L1 ⊂ L2 .

Êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé îá îðòîãîíàëüíûõ äîïîëíåíèÿõ ê ïîäïðîñòðàíñòâàì

L1 , L2


Îòâåòû:

Title Page Contents

JJ

II

J

I

a)

⊥ L⊥ 1 ⊂ L2 ,

b)

⊥ L⊥ 2 ⊂ L1 ,

d)

⊥ L⊥ 1 = L2 ,

e)

⊥ L⊥ 1 + L2 = V .

c)

⊥ L⊥ 1 ∩ L2 = {θ},




62

8. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû

8. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû.

8.1. Êàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

Title Page

V

íàä ïîëåì

K

?

Îòâåòû:

Contents

JJ

II

J

I


a) π : V → V òàêîå, ÷òî π(αa + βb) = απ(a) + βπ(b) äëÿ íåêîòîðûõ âåêòîðîâ a, b ∈ V è ñêàëÿðîâ α, β ∈ K , c) π : V → K òàêîå, ÷òî π(αa + βb) = απ(a) + βπ(b) äëÿ âåêòîðîâ a, b ∈ V è ñêàëÿðîâ α, β ∈ K ,

b) π : V → V òàêîå, π(αa + βb) = απ(a) + βπ(b) äëÿ âåêòîðîâ a, b ∈ V è ñêàëÿðîâ α, β ∈ K ,

âñåõ

âñåõ

d) π : V → K òàêîå, ÷òî π(αa + βb) = απ(a) + βπ(b) äëÿ íåêîòîðûõ âåêòîðîâ a, b ∈ V è ñêàëÿðîâ α, β ∈ K ,

e) π : V → V òàêîå, ÷òî (π(a), a) = (a, π ∗ (a)) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ V .



63


8.2. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöà

íåéíîãî ïðîñòðàíñòâà

V

Aeπ

ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

íàä ïîëåì

π

â íåêîòîðîì áàçèñå

e

ëè-

K?

Îòâåòû:

a)

π(ei ) = Aeπ = (αij )nn . åñëè

Pn

c)

Aeπ = Q−1 Aeπ Q,

e)

Aeπ = 0.

i=1

αij ej ,

òî

b)

ìàòðèöà ïåðåõîäà ìåæäó

áàçèñàìè

d)

e

è

π(e),

Aeπ = E ,

8.3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ïðåîáðàçóþòñÿ êîîðäèíàòû âåêòîðà

Title Page Contents

JJ

II

J

I


b = (β1 , . . . , βn ) â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ A = Aeπ = (αij )nn ?

ê ýòîìó âåêòîðó ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

π

ñ ìàòðèöåé

Îòâåòû:

c)

π(b) = A · b, Pn Pn π(b) = i=1 j=1 αij ej ,

e)

π(b) = b · A.

a)

8.4. Ïóñòü

b) d)

π(b) = θ, Pn Pn π(b) = i=1 j=1 αij βj ,

Q ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê áàçèñó e0 ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Êàê π ïðè ïåðåõîäå îò áàçèñà e ê áàçèñó e0 ?

èçìåíèòñÿ ìàòðèöà îïåðàòîðà

Îòâåòû: 0

a)

íå èçìåíèòñÿ,

b)

Aeπ = QAeπ Q−1 ,

c)

òðàíñïîíèðóåòñÿ,

d)

Aeπ = Q−1 Aeπ Q,

e)

Aeπ = QA.

0

0



64


8.5. Êàêèå îïåðàòîðû

π

è

τ

â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

V


n

íàçûâàþòñÿ

ðàâíûìè?

Îòâåòû:

a) ïî

òàêèå, ÷òî îáðàçû

π

è

τ

íåêîòîðûõ

ñëó÷àéíî âûáðàííûõ

b)

c)

òàêèå, ÷òî îáà

n

òàêèå, ÷òî

∃y∀x[π(x) = τ (y)],

îïåðàòîðà âûðîæäåííûå,

âåêòîðîâ ñîâïàäàþò,

d)

e)

òàêèå, ÷òî

∀x∃y[π(x) = τ (y)],

òàêèå, ÷òî

∀x[π(x) = τ (x)].

8.6. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ñóììà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ

Title Page

a)

b)

π + τ = τ + π,

II

J

I

è

τ?

c)

ïîëàãàåòñÿ

(π + τ )(x) = π(x) + τ (x) äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà x, d) (π + τ )(x) = (π(x), τ (x)),

Contents

JJ

π

Îòâåòû:


(π + τ )(x) = π(x) + τ (x) äëÿ âåêòîðà x, e) (π + τ )(x) = π(τ (x)).

êàæäîãî




65


8.7. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ óìíîæåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ

π

è

τ?

Îòâåòû:

a)

π · τ = τ · π,

b)

c)


(π · τ )(x) = π(x) + τ (x)


(π · τ )(x) = π(x) + τ (x) äëÿ êàæäîãî âåêòîðà x,

äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà

x, d)

(π · τ )(x) = π(τ (x)),

e)

(π · τ )(x) = (π(x), τ (x)). 8.8. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ óìíîæåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

π

íà ñêàëÿð

λ?

Îòâåòû:

Title Page Contents

a)

b)

λπ = πλ,


(λπ)(x) = λ(π(x)) x,

äëÿ êàæäîãî âåêòîðà

c)

d)

(λπ)(x) = λ(π(x)) x, (λπ)(x) = (λ, π(x)). ïîëàãàåòñÿ

(λπ)(x) = λx + π(x),

äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà

JJ

II

J

I


e)

8.9. ×åìó ðàâíà ìàòðèöà ñóììû îïåðàòîðîâ

π

è

τ?

Îòâåòû:

a)

Aeπ+τ = Aeτ + Aeπ ,

b)

Aeπ+τ = Aeτ · Aeπ ,

d)

E,

e)

Aeπ+τ = Aeτ − Aeπ .

c)

Aeπ+τ = Aeπ · Aeτ ,

Close



66


8.10. ×åìó ðàâíà ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ

π

è

τ?

Îòâåòû:

a)

Aeπτ = Aeτ + Aeπ ,

b)

Aeπτ = Aeτ · Aeπ ,

d)

E,

e)

Aeπτ = Aeτ (Aeπ )−1 .

8.11. ×åìó ðàâíà ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðà

π

c)

íà ñêàëÿð

Aeπτ = Aeπ · Aeτ ,

λ?

Îòâåòû:

a)

¯ e, Aeλπ = λA π

b)

Aeλπ = λn Aeπ ,

d)

E,

e)

Aeλπ = λ(Aeπ )−1 .

c)

Aeλπ = λAeπ ,

8.12. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ?

Title Page

Îòâåòû:

a) Contents

JJ

II

J

I

ïðîèçâå-

ïðîèç-

c)

ïðîèçâå-

d)

ïðîèç-

e)

ïðîèçâå-

âåäåíèå

äåíèå

âåäåíèå

äåíèå

ëèíåéíûõ

ëèíåéíûõ

ëèíåéíûõ

ëèíåéíûõ

ëèíåéíûõ

îïåðàòîðîâ





ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ

ëèíåéíûì

âåêòîðîì,

ëèíåéíûì

ïîäïðî-

ÿäðîì.

îïåðàòîðîì,

ñòðàíñòâîì,

ôóíêöèîíà-

Page 67 of 112

b)

äåíèå

ëîì,

Go Back Close



67


8.13. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ îáðàòíûé îïåðàòîð

Îòâåòû: −1

a)

π

·π

π −1

b)

ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì


c)

π+π

−1

π?

êàê îòîáðàæåíèå

τ :V →V

òàêîå, ÷òî

∀x∀y[π(x) = y ⇐⇒ τ (y) = x], d) π + π −1 ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì

ÿâëÿåòñÿ

òîæäåñòâåííûì îïåðàòîðîì,

e)

ê îïåðàòîðó


π −1 = −π .

8.14. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ìàòðèöû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ

π

è

π −1

â íåêîòîðîì

áàçèñå?

Title Page Contents

Îòâåòû:

a)

Aeπ−1 = Aeπ ,

Aeπ−1 = QAeπ Q−1 ìàòðèöû Q, e) Aeπ −1 = π . c)

JJ

II

J

I


8.15. Êàêîå ïîäïðîñòðàíñòâî

ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

Aeπ−1 = Q−1 Aeπ Q ìàòðèöû Q, d) Aeπ −1 = (Aeπ )−1 , b)

äëÿ íåêîòîðîé

L íàçûâàåòñÿ V?

äëÿ íåêîòîðîé

èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà

Îòâåòû:

a)

ëþáîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî,

c)

âñå ïðîñòðàíñòâî

e)

åñëè

V,

b)

åñëè

∀x[π(x) ∈ L],

d)

åñëè

(∀x ∈ L)[π(x) = θ],

∀x[x ∈ L → π(x) ∈ L].



68

π

â


8.16. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíûé ñïèñîê ïîäïðîñòðàíñòâ èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî îïå-

ðàòîðà ãîìîòåòèè

λ0 ε,

ãäå

ε

òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

Rn . Îòâåòû:

a)

âñå

b)

ëþáîå

c)

íóëåâîå

ïîäïðî-

íåïóñòîå

ïðîñòðàí-

ñòðàíñòâà

ïîäìíîæå-

ñòâî

Rn ,

ñòâî,

âñå ïðî-

{θ}

è

d)

âñå

e)

âñå

îäíîìåðíûå

ïîäïðî-

ïîäïðî-

ñòðàíñòâà

ñòðàíñòâà,


n.

ñòðàíñòâî

V, Title Page Contents

JJ

II

J

8.17. Ñïðàâåäëèâî ëè óòâåðæäåíèå : "Íóëåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî

{θ}

ÿâëÿåòñÿ èíâàðè-

àíòíûì îòíîñèòåëüíî ëþáîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êàæäîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå"?

Îòâåòû:

a)

íå

îáÿçàòåëüíî,

I

Page 69 of 112

b)

íèêîãäà

c)

äà,

d)

äëÿ

e)

íå èíâàðè-

íåêîòîðûõ

àíòíî,


ýòî òàê

âîçìîæíî

îíî èíâàðè-

òîëüêî äëÿ

àíòíî,

òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà.

Go Back Close



69


8.18. ×òî òàêîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå

íîì ïðîñòðàíñòâå

V

íàä ïîëåì

λ0 ëèíåéíîãî îïåðàòîðà π K?

äåéñòâóþùåãî â ëèíåé-

Îòâåòû:

a)

a

d)

b)

ñóùåñòâóåò âåêòîð

òàêîé, ÷òî

π(a) = λ0 a,

åñëè

λ0 ∈ K

è

c)

λ0

êîðåíü

ñóùåñòâóåò âåêòîð

õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî

a 6= θ òàêîé, ÷òî π(a) = λ0 a, e) åñëè λ0 = 0.

ìíîãî÷ëåíà îïåðàòîðà

π,

∀x[π(x) = λ0 x], a K?

8.19. ×òî íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì

Title Page Contents

JJ

II

J

I


V

íàä ïîëåì

ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

π

äåéñòâóþùåãî â

Îòâåòû:

a)

ñóùåñòâóåò ñêàëÿð

λ0 6= 0 òàêîé, π(a) = λ0 a d)

a = θ,

b)

π(a) = λ0 a,

c)

íàéäåòñÿ ñêàëÿð

λ0 ∈ K , π(a) = λ0 a ïðè ýòîì a 6= θ ,

÷òî

e)

åñëè

π(a) = a.




70

è


8.20. Êàêèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû èìååò ëèíåéíûé îïåðàòîð ïîâîðîòà íà óãîë

äóñîâ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

45

ãðà-

R2 ?

Îòâåòû:

a)

Contents

JJ

II

J

I

íóëåâîé

âåêòîð

âåêòîðîâ íåò,

8.21. Ïóñòü

Title Page

b)

ñîá-

ñòâåííûõ

Mρ

θ

c)

âåêòîð

d)

ρ

âñå

âåêòîðû,

âåêòîðû

ÿâëÿåòñÿ

áèññåêòðèñå

ìîäóëü

ñîáñòâåííûå.

ñîáñòâåííûì

ïåðâîãî

êîòîðûõ

âåêòîðîì,

êâàäðàíòà

ðàâåí

ñîáñòâåííûé,

ñîáñòâåííûå,

1

ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà

ñòâåííîìó ÷èñëó

e)

âñå

íà

. ×åì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî

π

îòâå÷àþùèõ ñîá-

Mρ ?

Îòâåòû:

a)

èíâàðè-

àíòíûì ïîäïðî-

ïîäïðî-

c)

ÿäðîì

îïåðàòîðà

π,

d)

e)

åñëè

äîáàâèòü

îáðàçîì

îïåðàòîðà

íóëåâîé

ñòðàíñòâîì îïåðàòîðà

b)

ñòðàíñòâîì,

π,

âåêòîð, òî ñòàíåò èíâàðèàíòíûì ïîäïðî-

Page 71 of 112

ñòðàíñòâîì îïåðàòîðà

Go Back

π,

Close



71

π.


8.22. Êàêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû èìååò íóëåâîé îïåðàòîð

O?

Îòâåòû:

a)

b)

íå

èìååò,

òîëüêî

c)

âñå

d)

e)

âñå

íóëåâîé

âåêòîðû

âåêòîðû

âåêòîð

ñîáñòâåííûå


âåêòîðà

ñîáñòâåííûé,

è îòâå÷àþò

è îòâå÷àþò


êîòîðûé

íóëþ,

ëþáîìó

è îòâå÷àþò

÷èñëó,

íóëþ.

îòâå÷àåò

åäèíè÷íûå

ëþáîìó ÷èñëó,

Title Page Contents

JJ

II

J

8.23. Ïóñòü

a, b

ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

π

îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì

ñîáñòâåííûì ÷èñëàì. Òîãäà

Îòâåòû:

a)

ýòè

âåêòîðû îðòîãîíàëüíû,

I

b)

êîëëè-

íåàðíû,

c) îáðàçóþò

d)

e)

îáðàçóþò

áàçèñ ïðî-

áàçèñ ÿäðà

ñòðàíñòâà

îïåðàòîðà

ëèíåéíî

íåçàâèñèìû.

π,

V,




72


8.24. Ñêîëüêî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (âîçìîæíî êðàòíûõ) èìååò ëèíåéíûé îïåðàòîð â


Rn ?

Îòâåòû:

a)

n,

b)

n!,

c)

≤ n,

d)

∞,

e)

≤ n,

çà

èñêëþ÷åíèåì íóëåâîãî îïåðàòîðà äëÿ êîòîðîãî ëþáîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåí-

Title Page Contents

JJ

II

J

I


íûì. 8.25. Êàê çàâèñÿò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îò âûáîðà áàçèñà â ëè-

íåéíîì ïðîñòðàíñòâå?

Îòâåòû:

a)

ìîæíî

b)

ìîæíî

íàéòè áàçèñ


äëÿ êîòîðîãî

c)

íèêàê

íå çàâèñÿò,

d)

íå

e)

äëÿ ïðî-

n

çàâèñÿò åñëè

èçâîëüíûõ


îïåðàòîð

÷èñåë ìîæíî

âñå

âñå

íåâûðîæäåí,





÷èñëà ïîëî-

÷èñëà ðàâíû

ýòè ÷èñëà

æèòåëüíû,

1

ñòàíóò ñîá-

ïî ìîäóëþ,

Close

ñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðà



73

π.


8.26. Ïóñòü

λ1 , λ 2

íå ðàâíûå äðóã äðóãó ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â

ïðîñòðàíñòâå

R2 .

Êàêîâ ïðîñòåéøèé âèä ìàòðèöû ýòîãî îïåðàòîðà â íåêîòîðîì

áàçèñå?

Îòâåòû:

a)

E,

b)

c)

O,

äèàãî-

íàëüíàÿ

d)

e)

(λ1 + λ2 )E .

ìàòðèöà ñ

λ1 , λ 2

íà

äèàãîíàëè,

Title Page Contents

JJ

II

8.27. ×òî òàêîå ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

ìàòðèöà

âèäà

λ1 0

1 , λ2

π?

Îòâåòû:

a)

íóëåâîå

b)

{x : π(x) = θ},

e)

âñå ïðîñòðàíñòâî

c)

{x : ∃y[π(y) = x]},

ïðîñòðàíñòâî,

d)

{x : ∃y[π(x) = y]},

V

.

J

I


8.28. Ïóñòü

π

ëèíåéíûé îïåðàòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

è

ker π , Im(π)

ÿäðî è

Îòâåòû:

a)

ker π ∩ Im(π) = ∅,

d) Close

V

îáðàç ýòîãî îïåðàòîðà. Êàêèì èç ñëåäóþùèõ òðåáîâàíèé îíè ïîä÷èíÿþòñÿ?

b)

ker π ∪ Im(π) = V ,

e)

ker π ⊇ Im(π).

c)

ker π ⊆ Im(π),

dim ker π+dim Im(π) = dim V ,



74


8.29. Êàê íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â


V

íàä ïîëåì

K?

Îòâåòû:

a)

ρ

íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êîðíè

ker(π − ρε)

è äëÿ êàæäîãî èç íèõ íàéòè ÿäðà

àëãîðèòìîì ïàðàëëåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ áàçèñà ÿäðà è îáðàçà îïå-

ðàòîðà,

b)


íàéòè ÿäðà

ker(π − ρε)

ρ

ëåæàùèå â

K

è äëÿ êàæäîãî èç íèõ

àëãîðèòìîì ïàðàëëåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ áàçèñà ÿäðà è

îáðàçà îïåðàòîðà,

Title Page

c) Contents

JJ

II

d) ãäå

J

I



ρ

, òîãäà åäèíè÷íûå âåêòîðà è áóäóò

ñîáñòâåííûìè,

ìàòðèöó

C

(E|A)

ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàóññà ñòðîê ïðèâåñòè ê âèäó

ñòóïåí÷àòàÿ, òîãäà ñòðîêè

B

ïðîäîëæàþùèåñÿ íóëÿìè â

C

(B|C)

,

è åñòü ñîáñò-

âåííûå âåêòîðû,

e) ãäå

ìàòðèöó

C

(E|A)

ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàóññà ñòðîê ïðèâåñòè ê âèäó

ñòóïåí÷àòàÿ, òîãäà íåíóëåâûå ñòðîêè

C

(B|C)

è åñòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû.

Close



75

,


8.30. Êàêîâû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðî-

âàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ

R(x).

Îòâåòû:

a)

ìíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíè

îòâå÷àþò ñîáñòâåííîìó ÷èñëó

c)

ìíîãî÷ëåíû âèäà

÷èñëó

xn

2,

îòâå÷àþò

1,

b)

ìíîãî÷ëåíû íóëåâîé ñòåïåíè

îòâå÷àþò ñîáñòâåííîìó ÷èñëó

d)

0,

ìíîãî÷ëåíû ó êîòîðûõ âñå

êîýôôèöèåíòû îäèíàêîâû è ðàâíû ÷èñëó

β,

ïðè÷åì îíî è áóäåò

ñîáñòâåííûì ÷èñëîì,

e) Title Page

ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû

îòâå÷àþò êîýôôèöèåíòó ñèììåòðè÷íîñòè.

Contents

JJ

II

J

I


8.31. Ïóñòü äëÿ îïåðàòîðà

π

ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð

π −1 .

Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó

ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè è ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýòèõ îïåðàòîðîâ?

Îòâåòû:

a) æå è

c)

ñîáñòâåííûå âåêòîðû îäíè è òå

Sp(π −1 ) = {ρ−1 : ρ ∈ Sp(π)}, ñîáñòâåííûå ÷èñëà îäíè è òå æå,

b)

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è

ñîáñòâåííûå âåêòîðû îäíè è òå æå,

d)

ñîáñòâåííûå ÷èñëà îäíè è òå æå,

à ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìîãóò áûòü

à âåêòîðû ñîîòâåòñòâåííî

äðóãèìè,

îðòîãîíàëüíû,

e)

íèêàêîé çàêîíîìåðíîñòè íåò.



76


8.32. Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè è ñïåêòðàìè îïåðàòîðîâ

ãäå

π

è

µ0 · π ,

µ0 6= 0.

Îòâåòû:

a)

b)

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è

ñîáñòâåííûå âåêòîðû îäíè è òå æå,

ñîáñòâåííûå ÷èñëà îäíè è òå æå,

à âåêòîðû ñîîòâåòñòâåííî îðòîãîíàëüíû,

c) æå è

e) æå è

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Go Back

Sp(µ0 π) = {µ0 + ρ : ρ ∈ Sp(π)},

d)

ñîáñòâåííûå âåêòîðû è

ñîáñòâåííûå ÷èñëà óìíîæàòñÿ íà

µ0 ,


Sp(µ0 π) = {µ0 ρ : ρ ∈ Sp(π)}.

8.33. Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè è ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè îïåðàòîðîâ

π

è π + µ0 Îòâåòû:

·ε

, ãäå

µ0

íåêîòîðîå ÷èñëî.

a) åñëè a ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ π , òî a + µ0 a ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ π + µ0 · ε îòâå÷àþùèé µ0 , c)

Page 77 of 112


e)

µ0 ,


Sp(π + µ0 ε) = {ρ + µ0 : ρ ∈ Sp(π)}, d)

ñîáñòâåííûå âåêòîðû è

ñîáñòâåííûå ÷èñëà óìíîæàòñÿ íà

b) æå è

Sp(π + µ0 ε) = {ρ · µ0 : ρ ∈ Sp(π)}

è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îäíè è òå æå,

íèêàêîé çàêîíîìåðíîñòè íåò.

Close



77


8.34. Ïóñòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

âåêòîðîâ îïåðàòîðà

π

è

H

V

çàäàíà ñèñòåìà

{a1 , a2 , . . . , ak }

cîáñòâåííûõ

èõ îáîëî÷êà. Òîãäà:

Îòâåòû:

a)

H

c)

H =V,

ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì îïåðàòîðà,

b)

H

ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì îïåðàòîðà,

d)

H

èíâàðèàíòíîå

ïîäïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî

e)

íàéäåòñÿ áàçèñ

V

π,

â êîòîðîì

ìàòðèöà îïåðàòîðà äèàãîíàëüíà. 8.35. Ïóñòü

V = L(sin(x), cos(x)) ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Êàêîâà ìàòðèöà îïåðàòîðà äèôV â áàçèñå { sin(x), cos(x) }?

ôåðåíöèðîâàíèÿ, äåéñòâóþùåãî â ýòîì ïðîñòðàíñòâå

Title Page Îòâåòû:

Contents

JJ

II

J

I


a) d)

e)

O, cos x sin x . − sin x cos x

c)

0 −1

8.36. Â êàêîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ ëèíåéíûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå

1 , 0

Rn

èìååò õîòÿ

áû îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå?

Îòâåòû:

a)

ìàòðèöà îïåðàòîðà

êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ,

Close

b)

E, cos x − sin x , sin x cos x

d)

n

÷åòíî,


b)

ìàòðèöà îïåðàòîðà

îðòîãîíàëüíàÿ,

e)

n

c)

îïåðàòîð

íåâûðîæäåí,

íå÷åòíî.


78


8.37. Êàêîâû ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðî-

âàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî.

Îòâåòû:

a)

b)

ìíîãî÷ëåíû

äðîáíî-

c)

òðèãîíî-

d)

òîëüêî

e)

ñîáñò-

ðàöèîíàëüíûå

ìåòðè÷åñêèå

ïîñòîÿííûå

âåííûå

îò îäíîãî

ôóíêöèè

ôóíêöèè

ôóíêöèè è

âåêòîðû

íåèçâåñòíîãî

îòâå÷àþò

sin x, cos x,

îíè

ôóíêöèè

îòâå÷àþò

÷èñëó

îòâå÷àþò

âèäà

÷èñëó

1,

0,

÷èñëó

0,

ãäå

Ceαx , è α

ëþáûå ÷èñëà, ïðè

Title Page

ýòîì

Contents

JJ

II

J

I


ñîîò-

ñîáñòâåííîå ÷èñëî. 8.38. Êàêîâû ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà äâóõêðàòíîãî

äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå

L(sin 2x, cos x, tg(x), ctg(x)) π íà èíòåðâàëå (0, ) 2

(îáîëî÷êà â ïð-âå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé) çàäàííûõ

Îòâåòû:

a)

ñîá-

ñòâåííûõ

Close

α

âåòñòâóþùåå

âåêòîðîâ íåò,


b)

sin 2x −4 è cos x îòâå÷àåò −1,

îòâå÷àåò

c)

íóëåâàÿ

ôóíêöèÿ,

d)

ëþáàÿ

ôóíêöèÿ îòâå÷àåò ÷èñëó

1,


e)

sin x + cos x îòâå÷àåò ÷èñëó

−1.

79


8.39. Èçâåñòíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü ÿäðà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàí-

ñòâå ìíîãî÷ëåíîâ íå áîëåå ÷åì ïÿòîé ñòåïåíè ðàâíà

2. Êàêàÿ èç ñëåäóþùèõ ñèñòåì

ìîæåò áûòü áàçèñîì îáðàçà?

Îòâåòû:

{x2 − 1, x3 − 2x + 1, x5 − 4},

b)

c)

{1, x, 2x, x2 },

{1, x3 +x−1, x4 −x+1, x5 −x3 +x−1}, d) {1, x, x2 , x3 − 2x, x5 − 2},

e)

íè îäíà èç óêàçàííûõ ñèñòåì íå

a)

ìîæåò áûòü áàçèñîì. 8.40. Êàê èçìåíèòñÿ ìàòðèöà îïåðàòîðà â íîâîì áàçèñå, åñëè îí ïîëó÷åí èç ñòàðîãî

Title Page

ïåðåñòàíîâêîé ïåðâîãî è òðåòüåãî âåêòîðà.

Îòâåòû:

Contents

a) ïîìåíÿåòñÿ

JJ

II

J

I

Page 80 of 112

b) ïîìåíÿåòñÿ

c)

íè÷åãî

íå èçìåíèòñÿ,

d) ïîìåíÿåòñÿ

e)

âñå

ñòðîêè è

ïåðâûé

ïåðâàÿ

ïåðâûé è

ñòîëáöû ðàñ-

ñòîëáåö ñ

ñòðîêà ñ

òðåòèé

ïîëîæàòñÿ â

òðåòüèì

òðåòüåé

ñòîëáåö,

îáðàòíîì

ñòîëáöîì,

ñòðîêîé,

ïåðâàÿ è

ïîðÿäêå.

òðåòüÿ ñòðîêà,

Go Back Close



80


8.41. Êàêèì èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ îáëàäàþò æîðäàíîâû ìàòðèöû?

Îòâåòû:

a)

îíè ñèì-

ìåòðè÷åñêèå,

8.42. Ïóñòü

A

ìàòðèöå

b)

d)

îíè

îíè

e)

îíè

âåðõíèå


íèëüïîòåíò-

ðè÷åñêèå,

òðåóãîëüíûå,

íûå,

íû.

æîðäàíîâà ìàòðèöà

A

c)

îíè

êîñîñèììåò-

n-ãî

ïîðÿäêà. Òîãäà ÷èñëî íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ â

äîëæíî áûòü:

Îòâåòû:

a)

b)

íå

áîëüøå

n,

n2 ,

ðîâíî

c)

ðîâíî

n!,

d)

e)

íå

ìåíüøå

n,

íå

áîëüøå

2n − 1.

Title Page Contents

JJ

II

J

I




81

9. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

9. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ.

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 82 of 112

9.1. Êàêîé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì?

Îòâåòû:

a)

b)

îïåðàòîð

π

c)

îïåðàòîð

π

π ∗ = −π ,

d)

ìàòðèöà

e)

ìàòðèöà

êîòîðîãî

êîòîðîãî

â

â óíèòàðíîì

ñèììåòðè÷å-


åâêëèäîâîì

ïð-âå òàêîé,

ñêàÿ â

ñêàÿ â

ïð-âå òàêîé,

÷òî

ëþáîì

ëþáîì îðòî-

áàçèñå,

ãîíàëüíîì

÷òî

π∗ = π,

π∗ = π,

áàçèñå.

Go Back Close



82


9.2. Êàêîé âèä èìååò ìàòðèöà ñèììåòðè÷åñêîãî îïåðàòîðà â îðòîíîðìèðîâàííîì áà-

çèñå?

Îòâåòû:

a)

äèàãî-

íàëüíàÿ,

b)

ðàñïàâ-

øàÿñÿ,

9.3. Åñëè ëèíåéíûé îïeðàòîð

c)

d)

íèëüïî-

òåíòíàÿ,

π

ñèììåò-

ðè÷åñêàÿ,

e) åäèíè÷íàÿ.

ñèììåòðè÷åñêèé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî

π,

V

è

L

òî

Îòâåòû:

a)

π

êîñî-

ñèììåòðè÷åí

Title Page

íà

L,

b)

π

îðòîãîíàëåí íà

L,

c)

π

ñèììåòðè÷åí íà

L,

d)

π

e)

π

âûðîæäåí íà

óíèòàðåí íà

L,

L.

Contents

JJ

II

J

I




83


9.4. Ïî÷åìó ëþáîé ñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð èìååò ñîáñòâåííûå âåêòîðû â åâêëèäî-

âîì ïðîñòðàíñòâå?

Îòâåòû:

a)

òàê êàê

b)

òàê êàê

c)

èç-çà

d)

òàê êàê

e)

òàê êàê

åãî ìàòðèöà

âñå åãî

òîãî, ÷òî îí

îí ÿâëÿåòñÿ

åãî õàðàêòå-

äèàãîíàëüíà,

õàðàêòåðè-

íå èìååò

ïðîåêòèðî-

ðèñòè÷åñêèé

ñòè÷åñêèå

êðàòíûõ

âàíèåì,

ìíîãî÷ëåí

êîðíè âåùå-

ñîáñòâåííûõ

èìååò âåùå-

ñòâåííû,

çíà÷åíèé,

ñòâåííûå êîýôôèöèåíòû.

Title Page Contents

JJ

II

J

9.5. Ñêîëüêî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èìååò ñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì

ïðîñòðàíñòâå

Rn ?

Îòâåòû:

a)

0,

b)

1,

c)

n!,

d)

n

ñ

ó÷åòîì êðàòíîñòè,

I





84


9.6. Ïóñòü

a

π , äåéñòâóþùåãî â åâM ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ y èç åâêëèäîâà ïðîa . Êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé î M âåðíî?

ñîáñòâåííûé âåêòîð ñèììåòðè÷åñêîãî îïåðàòîðà

êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

V,

à

ñòðàíñòâà, îðòîãîíàëüíûõ ê

Îòâåòû:

a)

b)

âñå

âåêòîðû

M

c)

M =V,

d)

M = ∅,

M = {θ},

ñîáñòâåííûå äëÿ

e)

M

èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëü-

π,

íî îïåðàòîðà

π. 9.7. Ïóñòü

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 85 of 112

π

ñèììåòðè÷åñêèé ëèíåéíûé îïåðàòîð , äåéñòâóþùèé â åâêëèäîâîì ïðî-

ñòðàíñòâå

V

. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé î

π

âåðíî?

Îòâåòû:

a)

â ïðî-

ñòðàíñòâå

V

b)

ìàòðèöà

c)

ìàòðèöà

d)

âñå

e)

îïåðàòîðà â


îïåðàòîð

ñóùåñòâóåò

ëþáîì


âåêòîðû äëÿ

ïåðåñòàíîâî-

îðòîíîðìè-

áàçèñå ñèì-

ãîíàëüíîì

π

÷åí ñ ëþáûì

ðîâàííûé

ìåòðè÷åñêàÿ,


íàëüíû

äðóãèì


ìåæäó

îïåðàòîðîì.

áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ

îðòîãî-

ñîáîé,

âåêòîðîâ

Go Back

π


ýòîãî îïåðàòîðà,

Close



85


9.8. Ïóñòü ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

ñòâà

V

π

â íåêîòîðîì áàçèñå åâêëèäîâîãî ïðîñòðàí-

ñèììåòðè÷åñêàÿ. Òîãäà:

Îòâåòû:

a)

â ïðî-

ñòðàíñòâå

V

b)

c)

îïåðàòîð

π

d)

ìàòðèöà

e)

îïåðàòîð


îïåðàòîð

π






îðòîíîðìè-

ñêèé, åñëè

ðè÷åí,

ãîíàëüíîì

ñêèé.

ðîâàííûé

óêàçàííûé


áàçèñ èç

áàçèñ îðòî-



íîðìèðîâàí,

âåêòîðîâ

Title Page Contents

JJ

II

J

I

ýòîãî îïåðàòîðà, 9.9. Êàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñèììåòðè÷åñêîãî îïåðàòîðà, ñî-

îòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì?

Îòâåòû:

a)

êîìïëà-

íàðíû,


b)

êîëëè-

íåàðíû,

c)

îðòîãî-

d)

ëåæàò

e)

íàëüíû ê

íà îäíîé

îáðàçóþò

äðóã äðóãó,

ïðÿìîé è

îñòðûå óãëû

íàïðàâëåíû

ìåæäó

â ïðîòèâîïî-

ñîáîé.

ëîæíûå

Close

ñòîðîíû,



86


9.10. Ïóñòü

π

π

ëèíåéíûé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

V

. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ

îðòîãîíàëåí?

Îòâåòû:

a)

åñëè âñå

b)

åñëè â

c)

ñîáñò-

ïðîñòðàí-

÷èñëà âåùå-

ñòâå

ñòâåííû,


îðòîãîíàëü-

îðòîíîðìè-

íû äðóã

ðîâàííûé

äðóãó,

V

âåííûå âåêòîðû

d)

e)

π ∗ = π −1 ,


π

π

ñîâïàäàåò ñî ñâîèì ñîïðÿæåííûì.

áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ

Title Page Contents

JJ

II

J

I

âåêòîðîâ

π,

9.11. Ïóñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

V,

ñîõðàíÿåò äëèíû âñåõ

âåêòîðîâ. Âåðíî ëè, ÷òî îí:

Îòâåòû:

a)

ñèììåò-

ðè÷åñêèé,

b)

îðòîãî-

íàëüíûé,

c)

íèëüïî-

òåíòíûé,

d)

òîæäå-

ñòâåííûé,

e)

ÿâëÿåòñÿ

ïîâîðîòîì ïðîñòðàíñòâà.




87


9.12. Ïóñòü

π

è

τ

îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïðîèç-

âåäåíèå îïåðàòîðîâ

πτ

áóäåò:

Îòâåòû:

a)

b)

îðòîãî-

JJ

II

J

I

Go Back Close

d)

áóäåò

e)

ìîæåò


íå èìåòü íè




íûì, òîëüêî

îäíîãî èç

åñëè

óêàçàííûõ

πτ = τ π ,

ñâîéñòâ.

π

è

τ

ñèììåòðè÷åñêèå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïðîèç-

πτ

áóäåò:

Îòâåòû:

a)

îðòîãî-

b)

ñèììåò-

c)

êîñîñèì-

d)

áóäåò

e)

ìîæåò

íàëüíûì

ðè÷åñêèì

ìåòðè÷åñêèì






ñêèì, òîëüêî

îäíîãî èç

åñëè

óêàçàííûõ

πτ = τ π ,

ñâîéñòâ.

9.14. Ïóñòü

π

è

τ

êîñîñèììåòðè÷åñêèå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà

ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ

Page 88 of 112

êîñîñèì-


âåäåíèå îïåðàòîðîâ

Contents

c)

ðè÷åñêèì

9.13. Ïóñòü

Title Page

ñèììåò-

íàëüíûì

πτ

áóäåò:

Îòâåòû:

a)

îðòîãî-

b)

ñèììåò-

c)

êîñîñèì-

d)

áóäåò

e)

ìîæåò

íàëüíûì

ðè÷åñêèì







ñêèì, òîëüêî

îäíîãî èç

åñëè

óêàçàííûõ

πτ = τ π ,

ñâîéñòâ.



88


9.15. Ïóñòü

π

ñèììåòðè÷åñêèé è

τ

êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðî-

ñòðàíñòâå. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ

πτ

áóäåò:

Îòâåòû:

a)

îðòîãî-

íàëüíûì,

b)

c)

ñèììåò-

ðè÷åñêèì,


9.16. Ïóñòü

π

ñèììåòðè÷åñêèé è

τ

Contents

JJ

II

J

I

Go Back

ðè÷åñêèì,

ìîæåò

íå èìåòü íè îäíîãî èç óêàçàííûõ

πτ = τ π

ñâîéñòâ.

îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàí-

πτ

áóäåò:

Îòâåòû:

a)

îðòîãî-

íàëüíûì,

b)

c)

ñèììåò-

ðè÷åñêèì,

π

êîñîñèììåòðè÷åñêèé è

τ

e)



9.17. Ïóñòü

d)

ñèììåò-

ðè÷åñêèì

ðè÷åñêèì,

ìîæåò

íå èìåòü íè îäíîãî èç


óêàçàííûõ

πτ = τ π ,

ñâîéñòâ.

îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðî-

ñòðàíñòâå. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ

Page 89 of 112

e)



ñòâå. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ

Title Page

d)

êîñîñèì-


πτ

áóäåò:

Îòâåòû:

a)

îðòîãî-

íàëüíûì,

b) êîñîñèììåòðè÷åñêèì,

Close


c)

êîñîñèì-


d)

ñèììåò-

ðè÷åñêèì,

e)

ìîæåò



îäíîãî èç


óêàçàííûõ

πτ = τ π ,

ñâîéñòâ.


89


9.18. Ïóñòü

π

îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

V

. Êàêîå èç ñëåäó-

þùèõ óòâåðæäåíèé îá ýòîì îïåðàòîðå ñïðàâåäëèâî?

Îòâåòû:

a)

îí âûðîæäåííûé,

c)

ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé

áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå

V

b)

9.19. Ïóñòü

îí ñèììåòðè÷åñêèé.

π

îïåðàòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

ðèöó

a b b e c f d g

Title Page Contents

JJ

II

J

I


ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð , êîòîðûé òàêæå îðòîãîíàëåí,

π,

ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà

e)

d)

π −1

èç

íèëüïîòåíòåí,

Êàêîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé î

π

c f h t

R4 èìåþùèé â íåêîòîðîì áàçèñå ìàò d g t q


Îòâåòû:

a)

ÿäðî

b)

îáðàç

c)

âñå

d)

â

R4

e)

ñîá-

îïåðàòîðà

îïåðàòîðà íå



ñòâåííûõ

íåòðèâèàëü-


÷èñëà

ñîáñòâåííûé

âåêòîðîâ

íî,

R4 ,

îïåðàòîðà

âåêòîð äëÿ

îïåðàòîð

ñîâïàäàþò

π,

ìîæåò íå

Close

ìåæäó

èìåòü.

ñîáîé,



90


9.20. Ïóñòü ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ñèììåòðè÷åñêàÿ.

Âåðíî ëè, ÷òî ýòîò îïåðàòîð ñèììåòðè÷åñêèé?

Îòâåòû:

a)

íåò,

b)

äà åñëè

c)

äà,

d)

òîëüêî

e)

íåò, åñëè


åñëè âñå

âåêòîðû

íîðìèðîâàí,

âåêòîðû

áàçèñà íå

áàçèñà

êîìïëàíàð-

ÿâëÿþòñÿ

íû.

ñîáñòâåííûìè äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà,

Title Page Contents

JJ

II

J

I

9.21. Ïóñòü ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå îðòîãîíàëüíàÿ. Âåð-

íî ëè, ÷òî ýòîò îïåðàòîð îðòîãîíàëüíûé ?

Îòâåòû:

a)

äà,

Page 91 of 112

b)

íåò,

c)

äà, åñëè

d)

íåò,

e)

äà, åñëè

âåêòîðû

åñëè


áàçèñà

âåêòîðû

íîðìèðîâàí.

îáðàçóþò

áàçèñà íå

ïðàâóþ

ÿâëÿþòñÿ

òðîéêó,

ñîáñòâåííûìè,

Go Back Close



91


9.22. Ïóñòü ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ.

Âåðíî ëè, ÷òî ýòîò îïåðàòîð êîñîñèììåòðè÷åñêèé?

Îòâåòû:

a)

äà, åñëè

b)

äà,

c)

íåò,

d)

äà, åñëè

e)

íåò, åñëè


âåêòîðû

âåêòîðû

íîðìèðîâàí.

áàçèñà

áàçèñà íå

îáðàçóþò

ÿâëÿþòñÿ

ïðàâóþ

ñîáñòâåííû-

òðîéêó,

ìè.

9.23. Êàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ?

Title Page Contents

JJ

II

J

Îòâåòû:

a)

ìàòðèöà

b)

ìàòðèöà

c)

ïðîèçâå-

d)

ñóììà


äåíèå

ìåæäó

íîãî

êîòîðîé íà

áàçèñàìè,


òðàíñïîíè-

ýëåìåíòîâ

ëþáîì

ðîâàííóþ,

êîòîðîé

áàçèñå,

ðàâíî

ðàâíà

I

åäèíè÷íàÿ

e)

ïåðåõîäà

ìàòðèöà,

êâàäðàòîâ âñåõ

1.

åäèíè÷íîé ìàòðèöå,




92


9.24. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà îðòîãîíàëüíà, åñëè è òîëüêî åñëè:

Îòâåòû:

a)

ñóììà

b)

ïðîèç-

I

Page 93 of 112

ñóììà

e)

ñóììà

êâàäðàòîâ

ïðîèçâåäå-

ëþáîé

ýëåìåíòîâ

ýëåìåíòîâ

ýëåìåíòîâ

íèé

ñòðîêè

ëþáîé

ëþáîé

ëþáîé

ýëåìåíòîâ

ñòðîêè

ñòðîêè

ñòðîêè

ðàâíî íóëþ,

ðàâíà íóëþ,

ðàâíà

è ñóììà ïðî-

ñóììà ïðî-

èçâåäåíèé

èçâåäåíèé

ýëåìåíòîâ

ýëåìåíòîâ

ðàçëè÷íûõ

ðàçëè÷íûõ

ñòðîê ðàâíà

ñòðîê ðàâíà

1,

0,

1,

Contents

J

d)

êâàäðàòîâ

Title Page

II

ñóììà

âåäåíèå

ðàâíà

JJ

c)

ýëåìåíòîâ

9.25. Ïóñòü

π

1,

ëþáûõ ñòðîê è

ðàâíà

1

.

êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà âñå åãî

ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëåæàò:

Îòâåòû:

a)

íà îñÿõ

êîîðäèíàò,

Go Back

b)

â ÿäðå

îïåðàòîðà,

c)

â îáðàçå

îïåðàòîðà,

d)

ñîá-

e)

âñå

ñòâåííûõ

âåêòîðû ïðî-

âåêòîðîâ

ñòðàíñòâà

íåò,

ñîáñòâåííûå.

Close



93


9.26. Ïóñòü

πèτ

ëèíåéíûå îïåðàòîðû â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå, ïðè÷åì âñÿêèé âåêòîð

ñîáñòâåííûé äëÿ îäíîãî èç ýòèõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì è äëÿ äðóãîãî. Ïóñòü ñïåêòðû ýòèõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè

{ρ1 , . . . , ρn }

. Êàêîâ ñïåêòð îïåðàòîðà

π+τ

S1 = {λ1 , . . . , λn }

è

S2 =

?

Îòâåòû:

a)

S1 ∪ S2 ,

d) Sp(π + τ ) ⊂ {λi + ρj : i, j ≤ n}, 9.27. Ïóñòü

Title Page

πèτ

b)

S1 ∩ S2 ,

e)

S1 .

c) Sp(π + τ ) ⊂ {λi · ρj : i, j ≤ n},

ëèíåéíûå îïåðàòîðû â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå, ïðè÷åì âñÿêèé âåêòîð

ñîáñòâåííûé äëÿ îäíîãî èç ýòèõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì è äëÿ äðóãîãî. Ïóñòü ñïåêòðû ýòèõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè

Contents

{ρ1 , . . . , ρn }.

Êàêîâ ñïåêòð îïåðàòîðà

S1 = {λ1 , . . . , λn }

è

π · τ?

Îòâåòû:

JJ

II

J

I

Page 94 of 112

a)

S1 ∪ S2

,

d) Sp(π · τ ) ⊂ {λi + ρj : i, j ≤ n}

b)

S1 ∩ S2

e)

S1

,

c) Sp(π · τ ) ⊂ {λi · ρj : i, j ≤ n}

.

Go Back Close



94

S2 =


9.28. Ïóñòü

π

è

τ

ñèììåòðè÷åñêèå ëèíåéíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Òîãäà îïåðàòîð

π+τ

ÿâëÿåòñÿ:

Îòâåòû:

a)

íåâûðîæäåííûì,

b)

c)

ñèììåòðè÷åñêèì,

êîñîñèììåòðè÷åñêèì,

d)

îðòîãîíàëüíûì,

e)

íè îäèí èç

îñòàëüíûõ îòâåòîâ íå ÿâëÿåòñÿ âåðíûì. 9.29. Ïóñòü

πèτ

êîñîñèììåòðè÷åñêèå ëèíåéíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Òîãäà îïåðàòîð

Title Page Contents

JJ

II

J

I

π+τ

ÿâëÿåòñÿ:

Îòâåòû:

a)

íåâû-

ðîæäåííûì,

b) êîñîñèììåò-

c)

ñèììåò-

ðè÷åñêèì,

d)

îðòîãî-

íàëüíûì,

ðè÷åñêèì,

e)

íè îäèí

èç îñòàëüíûõ îòâåòîâ íå ÿâëÿåòñÿ âåðíûì.




95


9.30. Ïóñòü

π

è

τ

îðòîãîíàëüíûå ëèíåéíûå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òî-

ãäà îïåðàòîð

π+τ

ÿâëÿåòñÿ:

Îòâåòû:

a)

íåâû-

ðîæäåííûì,

b) êîñîñèììåò-

c)

ñèììåò-

ðè÷åñêèì,

d)

îðòîãî-

íàëüíûì,

ðè÷åñêèì,

e)

íè îäèí

èç îñòàëüíûõ îòâåòîâ íå ÿâëÿåòñÿ âåðíûì.

Title Page Contents

JJ

II

J

I




96

10. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû


10.1. Êàêàÿ èç ñëåäóþùèõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû

f (x1 , x2 , x3 ) = x22 − 2x21 + 3x23 − 4x1 x2 + 2x1 x3 + 6x2 x3

?

Îòâåòû:

 Title Page

a)

Contents

JJ

II

J

I


d) 10.2. Ïóñòü

 −4 2 −2 6, 6 3  −2 1 −2 3, 3 3

1 −4 2  1 −2 1 Af



b)

e)

 −2 −4 2 −4 1 6, 2 6 3   −2 −4 2 0 1 6. 0 0 3

ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû

îáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ ñ ìàòðèöåé ìàòðèöåé

Bf

Q

c)

f (x1 , . . . , xn )

 −2 −2 −2 1 1 3

 1 3, 3

è ñäåëàíî ëèíåéíîå ïðå-

ïîëó÷åíà íîâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ñ

. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ìàòðèöû

Af

è

Bf .

Îòâåòû:

a)

Bf = Q−1 Af Q,

b)

Bf = QAf Q−1 ,

d)

Bf = QAf Q0 ,

e)

Bf = Q0 Af Q.


c)


Af = Bf ,

97


10.3. Êàê èçìåíèòñÿ ðàíã êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïðè íåâûðîæäåííîì ïðåîáðàçîâàíèè

ïåðåìåííûõ?

Îòâåòû:

a)

óâåëè-

÷èâàåòñÿ,

b)

óìåíü-

øàåòñÿ,

c)

íå

èçìåíÿåòñÿ,

d)

ìîæåò

èçìåíèòñÿ è

e)

íå óâå-

ëè÷èâàåòñÿ.

â ìåíüøóþ è â áîëüøóþ ñòîðîíó, 10.4. Êàê èçìåíèòñÿ ðàíã êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïðè âûðîæäåííîì ïðåîáðàçîâàíèè ïå-

ðåìåííûõ?

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Îòâåòû:

a)

óâåëè-

÷èâàåòñÿ,

b)

óìåíü-

øàåòñÿ,

c)

íå


d)

ìîæåò

èçìåíèòñÿ è

e)

íå óâå-

ëè÷èâàåòñÿ.

â ìåíüøóþ è â áîëüøóþ ñòîðîíó, 10.5. Êàê èçìåíÿåòñÿ ÷èñëî îòëè÷íûõ îò íóëÿ êàíîíè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ êâàäðà-

òè÷íîé ôîðìû ïðè íåâûðîæäåííîì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåìåííûõ.


Îòâåòû:

a)

óâåëè-

÷èâàåòñÿ,

Close

b)

óìåíü-

øàåòñÿ,

c)

íå


d)

ìîæåò

e)

íå

èçìåíèòüñÿ

óìåíüøàåò-

è â ìåíüøóþ

ñÿ.

è â áîëüøóþ ñòîðîíó,



98


10.6. Â ÷åì ñóòü ìåòîäà Ëàãðàíæà äëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì?

Îòâåòû:

a) âû÷èñëåíèå

b)

c)

âû÷èñëåíèå

âû÷èñëåíèå

d)

e)

âûäåëåíèå

ïåðåñòà-

íîâêà

ãëàâíûõ

óãëîâûõ

ðàíãà êâàä-

ïîëíûõ

ïåðåìåííûõ

ìèíîðîâ

ìèíîðîâ

ðàòè÷íîé

êâàäðàòîâ

íå ìåíÿåò

ìàòðèöû,

ìàòðèöû,

ôîðìû,

ëèíåéíûõ

êâàäðàòè÷-

ôîðì â

íóþ

äàííîé êâàä-

ôîðìó.

ðàòè÷íîé ôîðìå,

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 99 of 112

10.7. Ëþáóþ ëè êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó ìåòîäîì

Ëàãðàíæà?

Îòâåòû:

a) èìåþùóþ

b)

äà

ëþáóþ,

c) èìåþùóþ

d)

òîëüêî

e)

òîëüêî

êâàäðàòè÷-

ïîëîæèòåëü-

òîëüêî

òîëüêî ðàöè-

íóþ ôîðìó ñ

íî

öåëûå êîýô-

îíàëüíûå


îïðåäåëåí-

ôèöèåíòû,

êîýôôèöèåí-

íîé

íóþ.

òû,

ìàòðèöåé,

Go Back Close



99


10.8. Ïóñòü äàíà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò

n

ïåðåìåííûõ. Êàêîâû ðàçìåðû ìàòðèöû

íåâûðîæäåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåãî åå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó?

Îòâåòû:

a) èç

ñòîëáåö

n

ñòðîê,

b) èç

ñòðîêà

n

ñòîëáöîâ,

c)

ìàòðèöà

ïåðâîãî

d)

ìàòðèöà

ïîðÿäêà

n!,

e)

ìàòðèöà

ïîðÿäêà

n.

ïîðÿäêà,

10.9. Êàê ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåå äàííóþ

êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó?

Îòâåòû:

Title Page Contents

JJ

a)

íóæíî

ñòðîèòü

b) ïðèìåíèòü

c)

íàéòè

d)

ïðåîá-

ðàíã êâàäðà-

ðàçîâàòü

e) ïðèâåñòè

îðòîíîðìè-

ìåòîä

òè÷íîé

êâàäðàòè÷-

ïî Ãàóññó

ðîâàííûé

Ëàãðàíæà,

ôîðìû,

íóþ ôîðìó

ìàòðèöó

II

áàçèñ èç

ê íîðìàëü-

êâàäðàòè÷-


íîìó

íîé ôîðìû ê

I

âåêòîðîâ

âèäó,

ñòóïåí÷àòî-

J

Page 100 of 112

îïåðàòîðà ñ

ìó

ìàòðèöåé

âèäó.

Af , Go Back Close



100


10.10. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé

ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

f è îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì èç πf , â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, èìå-

þùåãî â íåêîòîðîì â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ìàòðèöó, ðàâíóþ ìàòðèöå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû?

Îòâåòû:

a)

ðàíã

b)

êâàäðà-

c)

ýòîò

d)

êâàäðà-

e)

òîëüêî â

êâàäðàòè÷-

òè÷íàÿ

áàçèñ

òè÷íàÿ

ýòîì áàçèñå

íîé ôîðìû

ôîðìà ïîëî-

îáðàçóåò

ôîðìà è

ìàòðèöà

ðàâåí ðàíãó

æèòåëüíî

ãëàâíûå îñè

áàçèñ êîí-

êâàäðàòè÷-

ýòîãî áàçèñà,

îïðåäåëåíà â

êâàäðàòè÷-

ãðóýíòíû,

íîé ôîðìû

ýòîì áàçèñå,

íîé


ôîðìû,

ñêàÿ.

Title Page Contents

JJ

II

J

I




101


10.11. Êàê ñâÿçàíû êàíîíè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ïðèâåäåííîé ê

êàíîíè÷åñêîìó âèäó îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííûõ, ñ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì

πf

, ìàòðèöà êîòîðîãî â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå åâêëèäîâà ïðî-

ñòðàíñòâà ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé ðàññìàòðèâàåìîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû?

Îòâåòû:

a)

Title Page

ñïåêòð

II

J

I

êàíîíè-

c)

êàíîíè-

d)

íàáîð

e)

êàíîíè-

÷åñêèå

÷åñêèå

êàíîíè÷å-

÷åñêèå




ñêèõ


íàáîðîì êà-

òû ðàâíû

òû


òû

íîíè÷åñêèõ

ðàíãó

ñîâïàäàþò ñ

òîâ

ñîâïàäàþò ñ


ìàòðèöû



äèàãîíàëü-

òîâ,

îïåðàòîðà,

òàìè

íàáîðîì

íûìè

õàðàêòåðè-

àáñîëþòíûõ


ñòè÷åñêîãî

âåëè÷èí

òàìè

ìíîãî÷ëåíà


ìàòðèöû

îïåðàòîðà,

÷èñåë,

îïåðàòîðà.

Contents

JJ

b)

îïåðàòîðà




102


10.12. Êàê çàâèñÿò êàíîíè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû îò âûáîðà îðòî-

ãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèâîäÿùåãî åå ê ãëàâíûì îñÿì?

Îòâåòû:

a)

íå

çàâèñÿò,

Title Page Contents

JJ

II

J

I

b)

íèêàê

íå çàâèñÿò,

c)

òîëüêî

d)

ïðè

e)

íå

çíàêè ýòèõ

ðàçíûõ

çàâèñÿò



ïðåîáðàçîâà-

òîëüêî äëÿ


òîâ ïðè

íèÿõ


íîå

ðàçíûõ


ñêèõ



òû ìîãóò


íèå

íèÿõ ìîãóò

ñòàòü

íûõ


áûòü

ñîâåðøåííî


íî,

ðàçëè÷íûìè,

ðàçëè÷íûìè,

íèé.

10.13. Êàêóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó ìåòîäîì îð-

òîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ?

Îòâåòû:

a)

ëþáóþ

b)

òîëüêî

c)

òîëüêî

d)

òîëüêî

e)

òîëüêî ñ

âåùåñòâåí-

èìåþùóþ

èìåþùóþ



íóþ,

öåëûå êîýô-

ðàöèîíàëü-

íî

íîé

ôèöèåíòû,

íûå

îïðåäåëåí-

ìàòðèöåé.


íóþ,

Page 103 of 112

òû,

Go Back Close



103


f (x1 , . . . , xn ) ïðè ëèíåéíîì íåâûðîæäåííîì ïðåîáðà(x1 , . . . , xn ) â ïåðåìåííûå (y1 , . . . , yn ) ïåðåõîäèò â êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó g(y1 , . . . , yn ). Êàê èçìåíÿåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà g(y1 , . . . , yn ) ïðè îáðàòíîì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåìåííûõ (y1 , . . . , yn ) â ïåðåìåííûå (x1 , . . . , xn )?

10.14. Ïóñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

çîâàíèè ïåðåìåííûõ

Îòâåòû:

a)

b)

ïåðåõîäèò â

c)

ïðèâîäèòñÿ

d)

e)

ñòàíîâèòñÿ

ïåðåõîäèò â

èçìåíÿåòñÿ

f (x1 , . . . , xn ),

ðàíã êâàäðà-

êàíîíè÷å-

ê ãëàâíûì


ñêèé

îñÿì,

íî

òè÷íîé

îïðåäåëåí-

ôîðìû.

âèä,

íîé,

Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 104 of 112

10.15. Íàéäèòå ñðåäè çàäàííûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íåèçâåñòíûõ, íåâûðîæäåííûå

ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèâîäÿùèå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó

f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 )2 − (x3 )2

ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.

Îòâåòû:

a)

x1 = 0, x2 = y2 , x3 = y3 ,

b)

x1 = y2 + y3 , x2 = y2 , x3 = y3 ,

c)

x1 = y1 , x2 = y2 + y2 , x3 = y2 − y3 ,

d)

x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y3 ,

e)

x1 = y2 , x2 = y2 , x3 = y3 .

Go Back Close



104


10.16. Êàê çàâèñèò ÷èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êàíîíè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ êâàäðàòè÷íîé

ôîðìû îò âûáîðà íåâûðîæäåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåãî êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó?

Îòâåòû:

a)

ýòî ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ

b)

c)

ýòî ÷èñëî ïðè

èíâàðèàíòîì

ïðåîáðàçîâàíèÿõ

ïðåîáðàçîâàíèé òîëüêî

óìåíüøàåòñÿ,

íèêàê íå çàâèñÿò,

äëÿ íåâûðîæäåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì,

d) Title Page

e)

ýòî ÷èñëî ïðè

òîëüêî äëÿ

óâåëè÷èâàåòñÿ,

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ

Contents

JJ

II

J

I


íå èçìåíÿåòñÿ

ïðåîáðàçîâàíèÿõ

êâàäðàòè÷íûõ ôîðì.

f (x1 , x2 , x3 ) ïîïàðíî ðàçf ê ãëàâíûì g(y1 , y2 , y3 )?

10.17. Ïóñòü ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû

ëè÷íû. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ îñÿì ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâîê íîâûõ ïåðåìåííûõ

Îòâåòû:

a)

1,

b)

2,

c)

3,

d)

4,

e)

8.

10.18. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîïàðíî êîíãðóýíòíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ñðåäè

x2 − y 2 ,

2x2 − 3xy,

3x2 − 2y 2 ,

2x2 + 3xy

Close Îòâåòû:

a)

0,


b)

1,

c)

2,

d)

3,


e)

4. 105



F (x, y) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 íà åäèíè÷íîé îêðóæíîF (x, y) íà îêðóæ-

ñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàåò íîñòè ðàäèóñà

2

ñ òåì æå öåíòðîì?

Îòâåòû:

a)

√

2,

b)

2,

c)

4,

d)

ëþáûå


e)

ëþáûå

çíà÷åíèÿ.

íûå çíà÷åíèÿ, 10.20. Íàéòè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà

Title Page Contents

2λxy + 4y

2

λ , äëÿ êîòîðûõ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà x2 −

ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé.

Îòâåòû:

a)

{0},

b)

(− 12 , 12 ),

c)

(−1, 1),

d)

(−2, 2),

e)

(−4, 4).

10.21. Êàêîâî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîïàðíî íåêîíãðóýíòíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì

JJ

II

J

I

F (x, y)?

Îòâåòû:

a)

3,

b)

4,

c)

5,

d)

6,

e) áåñêîíå÷íî

Page 106 of 112

ìíîãî.

Go Back Close



106


10.22. Êàêîâî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîïàðíî íå ýêâèâàëåíòíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì

F (x, y)

íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë?

Îòâåòû:

a)

3,

b)

c)

4,

d)

5,

6,


10.23. Êàêèå èç êâàäðàòè÷íûõ ôîðì

F1 , F 2 , F 3 , F 4

ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé íàä ïîëåì

âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, åñëè

F1 = 2y 2 + 4xy, F3 = −3x2 + 6xy − 3y 2 ,

Title Page Contents

JJ

II

J

I

F2 = x2 − 2xy + 5y 2 , F4 = −x2 − 2xy − y 2 ?

Îòâåòû:

a)

F1 , F2 ,

b)

F1 , F 3 ,

c)

F2 , F3 ,

d)

F2 , F 4 ,

e)

F3 , F4 .




107



f (x1 , x2 , x3 , x4 ) =

P4

i=1

P4

j=1

aij xi xj

ïîëîæèòåëüíî

îïðåäåëåíà. Òîãäà

Îòâåòû:

a)

aij

b)

âñå êîýôôèöèåíòû

a44

c)

ïîëîæèòåëåí,

ïîëîæèòåëüíû,

âñå ìèíîðû â

ìàòðèöå

(aij )44

ïîëîæèòåëüíû,

d)

Title Page

e)

çíàêè

íàéäåòñÿ

a11 , a22 , a33 , a44

íåíóëåâîé íàáîð ÷èñåë

÷åðåäóþòñÿ,

(ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 ) òàêîé, f (ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 ) ≤ 0.

÷òî

10.25. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ õàðàêòåðèçóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå êâàäðà-

òè÷íûå ôîðìû?

Contents

Îòâåòû:

a)

JJ

II

J

I

Page 108 of 112

âñå å¼

b)

âñå å¼

c)

ïðè

d)

ïðè

e)

åñëè îíà


ìèíîðû ïî-

ïîäñòàíîâêå


íå ÿâëÿåòñÿ

òû

ëîæèòåëüíû,

â íå¼ ëþáûõ

â íå¼ ëþáîãî

îòðèöàòåëü-


÷èñåë

íåíóëåâîãî

íî

íû,

ïîëó÷àåòñÿ

íàáîðà âåùå-

îïðåäåëåí-


ñòâåííûõ

íîé, òî

íîå

÷èñåë

ÿâëÿåòñÿ ïî-

÷èñëî,

ïîëó÷àåòñÿ

ëîæèòåëüíî


îïðåäåëåí-

íîå

íîé.

Go Back Close

÷èñëî,



108


10.26. Äîïóñòèì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

f (x1 , x2 , x3 )

÷åíèÿ â áåñêîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê. Âåðíî ëè, ÷òî

ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà-

f

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà?

Îòâåòû:

a)

b)

äà,

c)

òîëüêî ïðè

ýòî âñåãäà íå òàê,

óñëîâèè, ÷òî ýòè òî÷êè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé,

d)

e)

òîëüêî ïðè

íå îáÿçàòåëüíî.

óñëîâèè, ÷òî ñóùåñòâóåò ïëîñêîñòü â

R3 Title Page Contents

JJ

II

J

I

Page 109 of 112

òàêàÿ, ÷òî

f

ïîëîæèòåëüíà âî âñåõ òî÷êàõ ýòîé ïëîñêîñòè. 10.27. Ïóñòü

f (x1 , . . . , xn )

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà. Êàêîå èç

ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé äëÿ

f


Îòâåòû:

a)

âñå êî-

b)

âñå êî-

c)

âñå

d)

âñå

e)

ïðè

ýôôèöèåíòû

ýôôèöèåíòû

óãëîâûå

ìèíîðû ïî-


f

f

ìèíîðû ïî-


ëþáûõ ÷èñåë

îïðåäåëåíû,

òåëüíû,

ïîëîæè-


â

f

ïîëó÷èòñÿ

Go Back

ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîå

Close

÷èñëî.



109


10.28. ×åì îòëè÷àåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

îò íåîòðèöàòåëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû

f (x1 , . . . , xn )

g(x1 , . . . , xn )?

Îòâåòû:

a)

êîýôôèöèåíòû

f

ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû,

b)

íè÷åì íå

îòëè÷àþòñÿ,

à íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû

c)

êâàäðàòè÷íàÿ

ôîðìà

g


ðàíã ìåíüøèé ÷åì

g

ìîãóò

÷èñëî íåèçâåñòíûõ,

áûòü ðàâíûìè íóëþ,

d)

Title Page

ñóùåñòâóåò íàáîð

II

J

I

êàíîíè÷åñêàÿ

g

ôîðìà äëÿ

g(ρ1 , . . . , ρn ) < 0,

ñîäåðæàòü êâàäðàò

ìîæåò

ïåðåìåííîé ñ îòðèöàòåëüíûì

Contents

JJ

e)

÷èñåë òàêîé, ÷òî

êîýôôèöèåíòîì.




110


10.29. Ïóñòü

f

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò

êèå èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé âåðíû äëÿ

n

ïåðåìåííûõ. Êà-

f?

Îòâåòû:

a)

îíà

b)

ìîæåò

c)

å¼ ðàíã

d)

îíà

ìîæåò áûòü

îáÿçàíà

ëþáîì íåâû-

îòðèöàòåëü-

íè÷åñêèå

ìåíüøå ÷åì

èìåòü

ðîæäåííîì

íûå


n,

òîëüêî ïîëî-


êàíîíè÷å-

òû ðàâíûå

æèòåëüíûå

íèè å¼ ê

ñêèå

íóëþ,

êàíîíè÷å-

êàíîíè÷åñêî-


ñêèå

ìó âèäó âñå

òû,



òû,

òû ïðè êâàäðàòàõ

Contents

II

J

I

ïðè

èìåòü êàíî-

Title Page

JJ

e)


íîâûõ ïåðåìåííûõ ðàâíû

1.




111


10.30. Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.

Îòâåòû:

a)

åñëè

J

I

c)

åñëè âñå

d)

êâàäðà-

e)

êâàäðà-

óãëîâûå

òè÷íàÿ

òè÷íàÿ

íàÿ ôîðìà

êâàäðàòè÷-

ìèíîðû




íîé ôîðìû

êâàäðàòè÷-

æèòåëüíî

æèòåëüíî

íî


íîé ôîðìû

îïðåäåëåíà,



íû, òî îíà


òîãäà è

òîãäà è

òî âñå å¼


íû, òî îíà

òîëüêî

òîëüêî

ìèíîðû ïî-

íî


òîãäà, êîãäà

òîãäà, êîãäà



íî

âñå å¼

âñå å¼


ìèíîðû ïî-

óãëîâûå


ìèíîðû ïî-

Contents

II

åñëè âñå

ìèíîðû

Title Page

JJ

b)

êâàäðàòè÷-

ëîæèòåëüíû.




112

Интерактивные тесты по алгебре

Recommend Documents