Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление

Ф.Гриффитс ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ М.: Мир, 1986. —360 с.

Книга крупного американского математика, отражающая современный взгляд на классическое вариационное исчисление. Она выгодно отличается от имеющейся литературы тщательным отбором материала, использованием современного математического аппарата, большим количеством разобранных примеров. Автор известен нашему читателю по переводу двухтомника «Принципы алгебраической геометрии», написанного в соавторстве с Дж. Харрисом (М.: Мир, 1982). Для математиков разных специальностей, специалистов по вариационному исчислению и геометрии. ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода 5 Введение 7 0. Предварительные сведения. 20 a. Обозначения из теории многообразий 20 b. Язык многообразий струй 22 c. Многообразия реперов 25 d. Дифференциальные идеалы 27 e. Внешние дифференциальные системы 31 I. Уравнения Эйлера — Лагранжа для дифференциальных систем с одной 35 независимой переменной a. Постановка задачи. Классические примеры 35 b. Уравнения в вариациях для интегральных многообразий 41 дифференциальных систем c. Дифференциальные системы в хорошей форме. Производный флаг и 48 характеристики Коши d. Вывод уравнений Эйлера — Лагранжа. Примеры. 63 e. Дифференциальная система Эйлера — Лагранжа. Невырожденные 81 вариационные задачи. Примеры II. Первые интегралы системы Эйлера — Лагранжа. Теорема Нетер и 104 примеры a. Первые интегралы и теорема Нётер. Некоторые классические примеры 104 b. Исследование системы Эйлера — Лагранжа для некоторых 136 вариационных задач дифференциальной геометрии 136 1. Функционал ∫ κ 2 ds для плоских кривых 2. Аффинная длина дуги 3. Функционал ∫ κ 2 ds для пространственных кривых

140 145

4. Задача Делоне

151

III. Уравнения Эйлера для вариационных задач в однородных пространствах a. Вывод этих уравнений 1. Мотивировки и идеи 2. Краткий обзор классического случая 3. Общие уравнения Эйлера b. Исследование уравнений Эйлера для некоторых примеров из дифференциальной геометрии 1. Уравнения Эйлера, ассоциированные с функционалом ∫ ( κ 2 / 2)ds для кривых в En 2. Некоторые задачи п. 1, но для кривых в Sn 3. Уравнения Эйлера, ассоциированные с невырожденными линейчатыми поверхностями IV. Граничные условия. Уравнения Якоби и вторая вариация. Уравнение Гамильтона — Якоби a. Граничные условия b. Якобиевы векторные поля и сопряженные точки. Примеры c. Геометрия приведенного пространства импульсов. Вторая вариация, форма индекса и достаточные условия локального минимума 1. Геометрия пространства импульсов и приведенного пространства импульсов 2. Перенесение задачи о второй вариации на пространство импульсов 3. Уравнение Якоби и вторая вариация d. Поля и уравнения Гамильтона — Якоби. Новые достаточные условия локального минимума e. Смешанные граничные условия и классическая задача Лагранжа 1. Хорошо поставленные смешанные вариационные задачи 2. Задача Лагранжа 3. Классический подход к задаче Лагранжа 4. Некоторые смежные примеры Приложение. Различные замечания и примеры a. Задачи с интегральными ограничениями. Примеры b. Некоторые классические задачи, рассмотренные методом подвижных реперов 1. Движение по Ньютону 2. Брахистохрона 3. Минимальная поверхность вращения Литература Добавление. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович. Неголономные задачи и геометрия распределений § 1. Введение § 2. Распределения, дифференциальные системы и кораспределения

155 155 155 157 167 172 172 179 184 191 191 209 226 229 232 234 241 268 268 273 281 288 296 296 307 307 311 313 315 318 318 321

1. Определения. Теорема Фробениуса 321 2. Вектор роста, распределение общего положения и вопросы 325 классификации 3. Двойственные формулировки. Пфаффова система и кораспределение 326 § 3. Условная вариационная задача с неголономными связями и 327 неголономная риманова геометрия 1. Теорема Рашевского — Чжоу и постановка задачи. 32/ 2. Уравнения Эйлера— Лагранжа и неголономная метрика. 328 3. Задачи Коши 329 4. Неголономное экспоненциальное отображение. 330 5. Теорема о параллелепипеде 331 332 6. Геометрия неголономной ε-сферы и ее особенности § 4. Задачи неголономной механики. Усеченная связность 339 1. Механика со связями 339 2. Проектирование и усеченная связность 341 3. Сравнение механической и вариационной задач 342 § 5. Алгебраические инварианты. Нормальные формы струй наборов 343 векторных полей 1. Свободные алгебры Ли и целочисленные инварианты наборов векторных 343 полей 2. Теоремы о росте и общность положения 345 3. Открытая и всюду плотная орбита в пространстве наборов струй 346 векторных полей 4. Универсальный пример набора векторных полей максимального роста 347 Литература 348 Именной указатель 350 Предметный указатель 351 Список обозначений 356 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Александров А. Д. 319 Гриффите Дж. Ф. (Jeanett Field Griffiths) 7 Арнольд В. И. 6, 157, 348 Гриффите Ф. (P. Griffiths) 318—323, Бляшке (W. BlaSchke) 15 327, 328 Брайент (R. Bryant) 19, 118, 119 Д'Арканджело (Renate D'Arcangelo) Вагнер В. В. 327, 348 19 Вейнстейн (Weinstein) 159 Дирак (P. Dirac) 319 Вершик А. М. 6, 318, 320, 341 Вессио (Vessio) 326 Каратеодори (С. Caratheodory) 38, Витт (Е. Witt) 343 319, 327 Картам (Е. Cartan) 5, 318, 319, 326 Вранчеану (G. Vranceanu) 348 Кириллов А. А. 9, 161, 166 Галуа (Е. Galois) 5 Козлов В. В. 348 Герц (Н. Hertz) 348 Костант (В. Kostant) 9, 16 Гершкович В. Я. 6, 318, 320 Кэлер (Е. Kahler) 49 Глакк (Н. Gluck) 80

Лагранж (J. Lagrange) 7 Ли П. (P. Li) 127 Ли С. (S. Lie) 161 Майер (А. Мауег) 368 Марсден (J. Marsden) 159 Миролло (R. Mirollo) 19 Мнёв Н. Е. 336 Мозер (J. Moser) 110 Нейштадт А. И. 348 Нётер (Е. Noether) 14 Радон (J. Radon) 15 Рашевский П. К. 319, 327 Синг (J. L. Synge) 348

Стернберг (S. Sternberg) 322 Сурьо (J.-M. Souriau) 9, 16 Схоутен (J. Schouten) 348 Уиллмор (Т. J. Willmore) 127, 128 Фаддеев Л. Д. 320, 341 Филиппов А. Ф. 328 Херманн (R. Hermann) 326 Хёрмандер (L. Hormander) 319 Холл (М. Hall) 343 Черн (=Чжэнь) (S. S. Chern) 14 Чжоу (W. L. Chow) 54, 327 Эйлер (L. Euler) 280 Яу (S. T. Yau) 127 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

При повторении слова иногда заменяются на тире, даже если они имеют другие окончания. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (например, алгебраическая).

алгебраическая вариационная задача 115 — идеал, порождённый набором форм 27 — интегрируемость в квадратурах 115 — первый интеграл 115 ассоциированная система 55 аффинная геодезическая 40 — длина Дуги 40, 141 — кривизна 141 — нормаль 142 — репер 25 — — Френе 141 бинормаль 145 брахистохрона 274, 311 вариационная задача 11 ——алгебраическая 115 — — классическая 36 — — — k -го порядка 39 — — невырожденная 13, 88 — — положительная 18 — — с ограничениями 38 — — сильно невырожденная 14, 98 — — смешанная хорошо поставленная 272 — — хорошо поставленная 193

вариация 41 — допустимая 194 — инфинитезимальная 42 Вейерштрасса E-функция 266 — — для вариационной задачи второго порядка 267 вектор роста 325, 344 вертикальный касательный вектор 22 взаимно достижимые точки 54—55 внешняя дифференциальная система 31 — — — на многообразии 1-струй каноническая 32 волновой фронт 250, 332 вполне интегрируемая гамильтонова система 120 — — пфаффов дифференциальный идеал 28 вторая вариация 232 — квадратичная форма 126 Гамильтона уравнения 90 — функция см. гамильтониан 'Гамильтона — Якоби уравнение 244, 250 гамильтониан 108, 111 гамильтонова система вполне интегрируемая 120

— форма уравнений Эйлера — Лагранжа 119 гауссова кривизна 74 Гейзенберга группа 333 геодезическая 38 — аффинная 40 — кривизна кривой 73 — на римановом многообразии 38 — — поверхности 75 — поле 242 Гессе матрица 103 Гильберта инвариантный интеграл 242 гиперэллиптическая кривая 117 главные моменты инерции 164 — оси инерции 164 голономный 274, 348 — ограничения 50, 273 горизонтальная дифференциальная форма 22 граничное подрасслоение 230 — условия на допустимые вариации 194 — — сопряжённые 211 грассманово многообразие 28 — расслоение 28 группа Гейзенберга 333 — ортогональная 338 Дарбу репер 129 — теорема 30, 56 действия функционал 37 — функция 247 Делоне задача 15, 151 дифференциал δФ 65 дифференциальной идеал 27 — — порожденный набором форм 27 — ограничение 289 — система 31, 322 ——алгебраическая 115 — — вполне неголономная 323 — — индуцированная 51 — — каноническая 32 — — Эйлера — Лагранжа 13, 87

— форма горизонтальная 22 длина дуги аффинная 141 допустимая вариация 194 — замена корепера 95 — кривая 318 достижимые взаимно точки 54—55 задача Делоне 15, 151 — изопериметрическая 297 — Лагранжа 10, 11, 273 — о брахистохроне 274, 311 — — — в сопротивляющейся среде 276 — Паппа 297 закон Ньютона 70 — сохранения полной энергии 110 идеал семейства Холла 344 изопериметрическая задача Паппа 297 изотропное граничное расслоение 230 — плоскость (для внешней 2-формы) 243 импульсов пространство 13, 87 — — приведённое 17, 194 инвариантный интеграл Гильберта 242 инволюция (функции в инволюции) 120 индекс поворота кривой 81 индекса форма 18, 235 индикатриса 251 индуцированная дифференциальная система 51 инерции момент 164 — эллипсоид 164 интегральное многообразие внешней дифференциальной системы 31 — — дифференциального идеала 27 — ограничения 296 — элемент внешней дифференциальной системы 31 — — дифференциального идеала 28 интегрируемость в квадратурах

алгебраическая 115 инфинитезимальная вариация 42 — — многообразия, удовлетворяющая смешанным граничным условиям 269 — симметрия вариационной задачи 106 каноническая внешняя дифференциальная система на многообразии 1-струй 32 — 1-форма 21 — поднятие иммерсии 60 Картана А. формула 21 Картана Э. лемма 98 — — метод многоугольника 143 — — система (ассоциированная с 2формой) 30, 56 — — структурное уравнение для формы кривизны 215 — — число 52 касательное пространство к V (I, ω) 41, 47 — расслоение проективизированное 82 квадратичная форма, ассоциированная с вариационной задачей 98 квазиинтегрируемость в квадратурах 77, 117 квазиоднородность 335 кеплерово движение 311 кинетическая энергия 37 классическая вариационная задача 36 — — — невырожденная 13, 88 — — — с ограничениями 38 — — — — — k-го порядка 40 — — — k-го порядка 39 — уравнения Якоби в гамильтоновой форме 223 Клеро теорема 115 ковариантная производная на римановом многообразии 213 конфигурационное пространство 162

коприсоединённое представление 160 корепера допустимая замена 95 Костанта — Сурьо теорема 157, 161 Коши характеристическая система 56 кривая постоянного типа 156, 168 — рациональная нормальная 141 — согласованная с распределением 318 кривизна аффинная 141 — гауссова 74 — геодезическая 73 — средняя 127 кривизны кривой 173 кривизнй оператор 216 Кристоффеля символы 70 кручение 145 Лагранжа множители 281, 328 лагранжево подпространство 244 лагранжиан 36, 328 — второго порядка 39 — однородный 113 Лежандра преобразование 93 Ли производная 21 линейчатая поверхность 186 локально вложимая пфаффова система 52 локальный минимум 228 — — сильный 228 — — слабый 228 матрица связности 213 Маурера — Картана уравнение 22 — — форма 22 метод характеристик 257 механическая система 37 минимум локальный 228 — сильный 228 — слабый 228 многообразие риманово 38 — струй 22 — Штифеля 200, 240 множители Лагранжа 281, 328 модифицированная скобка Пуассона 105

момент инерции 164 Мопертюи принцип 114 наименьшего действия принцип 37 невырожденная вариационная задача 13, 88 — — — классическая 90, 93, 118 — — — со смешанными граничными условиями 270 — кривая в грассманиане 186 — функционал Ф 90, 93 неголономный 274, 348 — геодезическая 329 — — поток 330 — метрика 329 — ограничения 38, 273 — сфера 322 — экспоненциальное отображение 331 независимости условие 32 — форма 32 независимых переменных число 31 Нетер теорема 107 нормаль аффинная 142 нормальное расслоение 20 — форма Пфаффа — Дарбу 31 Ньютона закон 70 ньютоново движение 307 ограничения 38, 50, 273 — голономные 38, 273 — интегральные 296 — неголономные 39, 273 однородный лагранжиан 113 омбилика 188 оператор кривизны 216 орбита (точки) коприсоединенного представления 160 ортогональная группа 338 Паппа изопериметрическая задача 297 первьш интеграл вариационной задачи 104 ——алгебраический 115 — продолжение внешней

дифференциальной системы 60 — — многообразия 83 — производная система 50 плоскость изотропная 243 плюккеровы координаты 184 поднятие иммерсии каноническое 60 — Френе 168 поле (геодезическое) 242 — реперов 212 полньш интеграл уравнения Гамильтона — Якоби 254 — энергия 93 постоянного типа кривая 156, 168 потенциальная энергия 37 правило множителей Лагранжа 281 преобразование Лежандра 93 приведённое пространство импульсов 17, 194 принцип Мопертюи 114 — наименьшего действия 37 присоединённое представление 160 приспособленный к подрасслоению базис 53 продолжение многообразия первое 60 — первое 60 — универсальное 59 проективизированное касательное расслоение 82 производная Ли 21 — отображение, ассоциированное с пфаффовой системой 50 — система 54 — — первая 50 — флаг 54 пространственная форма 77 пространство импульсов 13, 87 — — приведённое 17, 194 — конфигурационное 162 Пуассона скобка 120 — — модифицированная 105 пучок 321 Пфаффа — Дарбу теорема 31

пфаффов дифференциальный идеал 27 — — — вполне интегрируемый 28 — система 10, 29 — — в хорошей форме 49 — — локально вложимая 52 ранг 2-формы 29 распределение 29, 318, 322 — голономное 318 — инволютивное 29, 323 — интегрируемое 318 — неголономное 318 — неинтегрируемое 318 расслоение единичных сфер 212 рафинированные структурные уравнения 53 рациональная нормальная кривая 141 регулярный росток распределения 325 репер 25 — аффинный 25 — Дарбу 129 — Френе 9, 145 — — аффинный 141 решение дифференциальной системы Эйлера — Лагранжа со смешанными граничными условиями 272 — уравнения Гамильтона — Якоби 244 риманова метрика 37 — многообразие 38 связи 273 — голономные 273 — конечные 273 связности матрица 213 сдвиг по времени 109 семейство Холла 343 сильно невырожденная вариационная задача 14, 98 сильный локальный минимум 228 символы Кристоффеля 70 симплектическая структура 119

— форма стандартная 21 система ассоциированная 55 — Картана 30, 56 — механическая 37 — производная 50, 54 — характеристическая Коши 56 скобка Пуассона 120 — — модифицированная 105 слабый локальный минимум 228 слой 29 смешанные граничные условия 269 — пучок 330 сопряжённые граничные условия 211 сохраняемые величины 104 средняя кривизна 127 стабилизация 322 стандартнее локальные координаты на многообразии 1-струй 23 — симплектическая форма на кокасательном расслоении 21 степень неголономности 323 струй многообразие 22 структурное уравнение Картана 215 — — поверхности 74 — — подвижного репера 26 — — рафинированные 53 твёрдое тело 162 теорема Дарбу 30, 56 — Картана — Кэлера 12, 58 — Клеро 115 — Костанта — Сурьо 157, 161 — Нетер 107 — о всюду плотной орбите 346 — о квазитреугольной форме 346 — о параллелепипеде 332 — Пфаффа — Дарбу 40 — Фробениуса 38, 323 — Холла — Витта 343 — Чжоу 70 — Якоби 243 тришкин кафтан 239 универсальное продолжение 59 уравнения в вариациях для

интегрального многообразия 47 — — — — функционала 36 — Гамильтона — Якоби 244 — — — для классической вариационной задачи 250 — Маурера — Картана 22 — Ньютона 308 — Пфаффа 60 — Френе — Серре 145, 173 — Эйлера, ассоциированные с вариационной задачей 169 — — для левоинвариантного лагранжиана на группе Ли 159 — Эйлера — Лагранжа 11, 12, 36, 68, 69 — — — для хорошо поставленной смешанной вариационной задачи 272 — Якоби, ассоциированные с нормальным векторным полем вдоль геодезической 216 — — классические в гамильтоновой форме 223 усечённая связность 341 условие независимости 32 флаг производный 69 форма индекса 18, 235 — May pep a — Картана 22 — независимости 32 — пространственная 77 — связности 213 формула А. Картана 29 — Римана — Гурвица 154 Френе поднятие 168 — репер 9, 145 — — аффинный 141 Френе — Серре уравнения 145, 173 Фробениуса теорема 29 функционал Ф 36 — действия 37 функция Гамильтона см. гамильтониан — действия 247

— Лагранжа 328 — эллиптическая 78 характеристик метод 257 характеристическое векторное поле 258 — направление, ассоциированное с 2-формой 29 — система Коши 56 хорошая форма пфаффовой системы 49 хорошо поставленная вариационная задача 193 — — смешанная вариационная задача 272 циклическая координата 110, 112 Чжоу теорема 55 число Картана 52 — независимых переменных в дифференциальной системе 31 Штифеля многообразие 200, 240 Эйлера тождество для однородных функций 113 — уравнения 16 — — ассоциированные с вариационной задачей 169 — — для левоинвариантного лагранжиана на группе Ли 159 Эйлера — Лагранжа дифференциальная система 13, 87 — — уравнения 11, 12, 36, 68, 69 — — — для хорошо поставленной смешанной вариационной задачи 272 экспоненциальное отображение 331 экстремаль 11, 36 эллипсоид инерции 164 эллиптическая функция 78 энергия кинетическая 37 — полная 93 — потенциальная 37 Якоби уравнения, ассоциированные с нормальным векторным поле A

вдоль геодезической 216 — — классические в гамильтоновой форме 223 якобиевы векторные поля 211 Янга — Миллса внешний функционал 127 ∞ C -топология Уитни 345

E-функция Вейерштрасса 266 ——для вариационной задачи второго порядка 267 k-струя 22 Q-рост 344 — максимальный 345