数学ソフトによる曲線と図形処理 (新・数学とコンピュータシリーズ)

片 桐 重 延 監修 片桐重延 ・ 飯 田健 三 ・ 佐 藤 公 作 ・高 橋 公 共著

R  く日本複 写 権 セ ン ター 委 託 出 版物 〉   本 書 の全 部 ま た は一 部 を無 断 で複 写複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 での例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。本 書 か らの 複写 を希 望 さ れ る場合 は,日 本 複 写権 セ ン ター(03-3401-2382)に ご連 絡 くだ さい。

序

文

  平 成6年

度 よ り実 施 され た新 し い 高校 数 学 で は,コ ン ピュ ー タ に 関 す る取 扱 い

が い ま まで 以 上 に 重視 され て い る。 そ れ は,こ れ か ら コ ン ピュ ー タ につ い て,ま た,コ ン ピ ュー タ に 関連 す る 「数 学 」 に つ い て 学 ぼ う とす る人 々 に とっ て 学 び が い の あ る もの で あ る。元 来 ,日 本 の 数 学 教 育 は,戦 後 長 い 間 大 学 進 学 者 の ため の, あ る い は,将 来 特 に数 学 を必 要 とす る人 々 の た め の もの で あ っ た 。 しか し,数 学 が 情 報 化,高

度 技 術 社 会 の た め に さ ま ざ ま な か た ちで 関 与 して きた 現 在,も

単 に,将 来,数 な くな り,よ

はや

学 を特 に 必要 とす る人 々 や,理 工 系 を志 す 人 々 の た め の もの で は り広 い意 味 で の知 的 ユ ー ザ ー とい わ れ る人 々 が 数 学 を学 習 す る 時代

が きた の で あ る。 この こ とは,「 中 等教 育(中 学 ・高校)に シー は,情 報 化,高

お け る数 学 的 リテ ラー

度 技 術 社 会 に お け る一 般 知 識 人 が もつ べ き標 準 的 な教 養 を 目

指 す こ とに な る」(数 学 教 育 の 会)の 指 摘 に も端 的 に示 され て い る。 ま さに,コ

ン

ピ ュー タ関 連 の数 学 は,こ れ か らの 生 涯 教 育 の 基 盤 と して の 数 学 で あ る とい っ て も過 言 で は な い。   本 シ リー ズ(全10巻)は,コ

ン ピュ ー タ関 連 の数 学 を次 の 各 分 野 に分 け て 企 画

し た。 そ れ は 既 刊 の 「 数 学 と コ ン ピ ュー タ シ リー ズ(全8巻)」 向 け に発 展 させ,新

の 思 想 を よ り現代

しい 中 等 数 学 の 考 え を取 り入 れ た も の で あ る。

  第 一 は,  

● コ ン ピュ ー タ言 語 と処 理

 

●BASICに

よ る数 学 の 問 題 解 法

 

●BASICに

よ る高校 数 学

の 内 容 で,コ 数 学A,数

ン ピュ ー タ関 連 の数 学 を学 ぶ た め の 基 盤 と新 し い数 学,特

学Bの

内 容 に準 拠 した もの で あ る。BASIC言

に高校 の

語 は,こ れ らの教 科 書 の

ほ とん どで使 用 さ れ て い る言 語 で あ り,こ れ か ら も数 学 教 育 用 言 語 の主 流 と し て 導 入 され るで あ ろ う。

  第 二 は,  

●行 列 と線 形 計 算

 

●数値計 算

 

●確 率 統 計

に そ の 特 徴 が 見 られ る よ う に,こ れ か らの 高 校 数 学,あ 学 に 取 り入 れ られ るで あ ろ う。 行 列,線

るい は,大 学 初 年 度 の 数

形 計 算,数 値 計 算,確

率 統 計 の 基礎 を 目

ざ した 。 主 題 の 性 格 上,や や 難 解 な 問題 も含 ま れ るが,全 体 を とお して 読 め ば 高 校 生 に も理 解 で き る よ う に心 が け た つ も りで あ る。 い う ま で も な く,高 校 現 場 で 数 学Cを

中心 に これ か ら コ ン ピュー タ関連 の 数 学 を教 え よ う とす る先 生 方 や,大

学 で これ らの数 学 を平 易 に学 習 しよ う とい う人 々 に とっ て も有 効 に利 用 で き る で あ ろ う。   第 三 は,  

● 数 学 ソ フ トに よ る 曲線 と図 形処 理

 

● 数 学 ソ フ トに よ る数 式 処 理 と関 数

に お い て 取 り上 げ た数 学 ソ フ トウ ェ ア に よ る数 学 の 展 開 で あ る。 数 学 ソフ トは い まや ます ます 発 展 し,こ れ か らの 数 学 で 欠 くこ と に で き な い分 野 に な りつ つ あ る。 図 形 処 理 や 数 式 処 理,関

数 とグ ラフ の 扱 い につ い て は,単

に 中 等数 学 の み な らず

数 学 教 育 や 数 学 の研 究 に お い て も有効 な手 段 に な る。 こ こ で は,代 表 的 な 数 学 ソ フ トに つ い て 取 り上 げ,問 題 の解 法 を試 み た。  他 に  

● コ ン ピ ュー タに よ る グ ラ フ ィ ッ ク ス

は,コ

ン ピュ ー タ グ ラ フ ィ ッ クス を その 基 盤 か ら誰 に で も わか る よ うに や さ し く

解 説 し た もの で あ り,  

● コン ピ ュー タに よ る成 績 処 理

は,主

と して 小 学 校,中

学 期 ご との,ま

学 校,高

等 学 校 に お け る教 科 担任,学

年担任の先生方 の

た,学 年 末 の成 績処 理 と省 力化 等 につ い て,誰 に で も利 用 で き る

よ うに 解 説 し た。 こ こ で は,各 種 の ソ フ トウ ェ ア を利 用 した処 理 方 法 に つ い て も 示 した 。

  以上,こ

れ か ら コン ピュ ー タ を学 習 す る人,コ

ン ピ ュー タ に 関連 す る数 学 を学

習 し,教 育 し よ う とす る人,数 値 計 算 に 習 熟 し数 学 の 社 会 に お け る有効 な活 用 を 図 る人,さ こ の 全10巻   な お,多 三,室

ら に,数 学 の ソ フ トウ ェ ア を有 効 に 利 用 し よ う とす る人 々 に と って, の 書 が座 右 の銘 の ご と く,有 効 に 利 用 さ れ る こ と を願 ってや ま な い 。 忙 な 中 を この シ リー ズ の 執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯

岡和 彦,佐

る と と もに,本

藤 公 作,志 賀 淳一,山

路 進,金

田健

子 伸 一 の各 氏 に お 礼 を 申 し上 げ

シ リー ズの 出版 を企 画 ・推 進 して くだ さ っ た東 京 電機 大 学 出版 局,

お よ び終 始 ご助 言 くだ さ っ た 同 編 集 課 長 朝 武 清実 氏 に深 甚 の 感 謝 を捧 げ た い 。 1995年3月

監修 片桐

重延

は じめに   この 巻 で は,直

線 や 円,楕

円,双

曲線 な どの二 次 曲線 や,媒

介 変 数 表 示,極 座

標 表 示 に よ る曲 線 な どの 「い ろい ろ な 曲線 」 を取 り扱 う。 また,ベ

ク トル や 複 素

数,平 面 幾 何 の 基 礎 と変 換 等 につ い て の 「図 形処 理 」 の 方 法 を,代 表 的 な数 学 ソ フ トウ ェ ア で あ る 「関数 ラ ボ」,「マ ス キ ャ ド」,「GeoBlock」 こ れ は,い

を用 い て 解 説 す る。

ろ い ろ な 曲 線 の 取 り扱 い,図 形処 理 に これ ら の数 学 ソ フ トウ ェ ア が 適

切 で あ る と考 え たか らで あ る。   第2章 か ら第5章

は 「関 数 ラ ボ」,「マ ス キ ャ ド」,あ る い は本 シ リー ズ 第8巻 で

取 り扱 う 「デ ラ イブ 」 の う ち,ど の ソ フ トウ ェ ア を使 う こ と も可 能 で あ り,ど の 章 の 問題 も十 分 に解 け る よ うに 考 え た。 し たが っ て,各 ェ ア,あ

自の 使 い 慣 れ た ソ フ トウ

る い は最 も適 切 と思 わ れ る ソフ トウ ェア を使 っ て,こ

れ らの 章 の 問 題 に

取 り組 ん で い た だ き た い。 第6章 の 平 面 幾 何 に つ い て は,「GeoBlock」

が 最 も適

切 な ソ フ トウ ェ ア で あ る。   元 来,数

学 ソ フ トウ ェ ア は,数 学 の 学 習 に コ ン ピ ュー タ を使 用 した り,数 学 の

指 導 に コ ン ピュ ー タ を利 用 す る 際 の ツ ー ル と して有 効 で あ る。 特 別 な コ ン ピュ ー タに 関 す る知 識 や 技 能 を も た な くと も,そ れ ぞれ の ソ フ トの 指 示 に従 っ て数 式 や 図 形 を入 力 し,簡 単 な 操 作 に よ っ て計 算 した り,曲 線 を描 い た り,図 形 を処 理 す るこ とが で き る。 こ れ は,ま ,cや

文 字tを

さに 数 学 ソ フ トウ ェア の 利 点 で あ る。 また,係 数a,b

パ ラ メー タ と して,指 定 した パ ラ メー タの 変 化 に 伴 うグ ラ フ を動

的 に 表示 し た り,点 や 線 の 軌 跡 を視 覚 的 に確 認 す る こ とが で き る。   本 書 が,こ れ か ら数 学 を学 ぶ 人 に とっ て,数 学 ソ フ トウ ェ ア を使 用 して数 学 的 事 実 を発 見 し た り,考 察 す る こ と を通 して数 学 を学ぶ 楽 し さ を 味 わ い,教

師 と生

徒 が体 験 を通 して新 し い数 学 教 育 を創 造 す る 契機 に なれ ば 幸 い で あ る。

1995年3月

著 者 し るす

目

次

第1章 

ソ フ トウ ェアの基本操作

1.1  関 数 ラ ボ

 1

[1] 機能 の概要

 1

[2]数

 2

式 の入 力

[3] 計 算

 4

[4]グ

 7

ラフ

1.2  Mathcad(ウ

ィ ン ド ウ ズ 版)

[1] 機能 の概要 [2]Mathcadの

1.3 

 12  12

起動

 13

[3]簡

単 な計 算

 13

[4]変

数や 関数 の定義

 14

[5]レ

ン ジ変 数

 15

[6]領

域 の移 動

 16

[7]ベ

ク トル,行

[8]グ

ラフの描画

列の計算

 17  18   21

GeoBlock

[1]

機能 の概 要

[2]GeoBlockの

[3]図

形 の描画

 21

立 ち 上 げ と終 了

 23  25

第2章  図形と方程式 2.1  点 と 直 線

[1] 座 標

 33

  33

[2]直

  36

線 の方程 式

2.2  円 と 直 線

 39

2.3  軌 跡 と方 程 式

 41

2.4  不 等 式 の 表 す 領 域

 45

[1]不

等 式の領域

 45

[2]連

立不 等式 の表す領域

 47

[3]領

域 に お け る最大,最

小

 48

練習問題

 49

第3章  二次曲線 3.1  楕

円

  50

[1]楕

円 の定 義1

 50

[2]楕

円 の 定 義2

 52

[3]軌

跡 が 楕 円 とな る例

 53

3.2  双 曲 線

 53

[1]双

曲 線 の定 義

 53

[2]関

数 の グ ラ フ と して描 画

 55

[3]双

曲線の漸近 線

 56

3.3  放 物 線

 57

[1]放

物 線の定義

 57

[2]軌

跡 が 放 物 線 とな る例

 58

3.4  二 次 曲 線 [1]二

[2]

 59

次 曲 線 の定 義

 59

離心率

 59

[3] 接 線

 61

[4]焦

点

 62

[5]円

錐 曲線

 63

練習問題

 64

第4章  媒介変数表示と極座標表示 4.1  媒 介 変 数表 示

 65

4.2  曲 線 の 媒介 変数 表 示

 66

4.3  極 座 標 表 示

 78

[1] 極 座標

 78

[2]極

 79

座 標 と直 交座 標 の 関係

4.4  極座 標 表 示 によ る曲 線

 80

4.5  二 次 曲 線 と離 心 率

  86

練習問題

 90

第5章  ベク トルと複素数 5.1  ベ ク トル と そ の 演 算

  92

[1]有

向 線 分 とベ ク トル

 92

[2]ベ

ク トル の和 と差

 94

[3]ベ

ク トル の成 分

 95

[4]ベ

ク トル の 内積

 98

5.2  ベ ク トル の 図 形 へ の応 用 [1]位

置 ベ ク トル と分 点

[2]直

線 の ベ ク トル 方 程 式

 99  99  101

5.3  複 素 数 平 面

 102

[1] 複素 数

  102

[2]複

素数平面

  102

[3]複

素数 平面上 での複素数 の演算

 103

[4]複

素 数の極形 式

 109

[5]ド

・モ ア ブ ル の 定 理

 105

5.4  複 素 数 の 図 形 へ の応 用

 107

[1] 回転移 動

  107

[2] 対称移 動

 108

[3]3点

 109

[4]

の位 置 関 係

三角形 の相 似

 110

練習問題

 111

第6章  平面幾何 6.1  基 本 図 形 の性 質

 112

[1]基

本 図 形 の 描 画 と計 算 式 に よ る確 認

 112

[2]有

名 定 理 の 計 算 式 に よ る確 認

 121

6.2  円 の 性 質

 125

[1]円

の 性 質 と計 算 式 に よ る確 認

 125

[2]円

に 関 す る定 理 の 計 算 式 に よ る確 認

 128

6.3  条 件 によ つ て 定 まる 図形 像,

ア ニ メー シ ョ ン

 132

[1]軌

跡,残

 132

[2]基

本 的 な軌 跡

 139

[3]い

ろ い ろ な条 件 で 動 く点 の軌 跡

 136

6.4  合 同変 換 と相 似 変 換

 139

[1]合

同変換

 139

[2]

相似 変換

 142

練習問題

 143

問および練習問題の解答

索

 147

 (1)  問 の 解 答

  147

 (2) 練 習問題 の解 答

 163 引 176

第1章  ソフ トウ ェアの基 本操 作   こ の 章 で は,「い ろ い ろ な 曲 線 」を 取 り扱 う上 で 適 切 と思 わ れ る数 学 ソ フ トウ ェ ア の 「関 数 ラ ボ 」,「マ ス キ ャ ド」 を取 り上 げ,「 図 形 処 理 」 に は 「GeoBlock」 の ソ フ トウ ェ ア に つ い て,そ の 入 力,処

を 使 用 す る。 各 々

の 機 能 の 概 要 と基 本 操 作 を説 明 す る と と もに,数

理 の 方 法 等 につ い て 述 べ る。 「例 題 」や 「問 」 を1つ1つ

式や 図形

解 く こ とに よ っ て 自

然 に理 解 で き る よ う に 考 え た 。

1.1 

関 数

ラ ボ

[1]  機 能 の 概 要   関 数 ラ ボ を起 動 す る と,図1.1に

示 す 画 面 が 表示 され る。 これ を初 期 画 面 とい

う。   初 期 画 面 の上 段 に あ る7つ の項 目 を メ イ ンメ ニ ュ ー とい う。 こ の 中 か ら使 用 す る項 目 を1つ 選 ん で操 作 を開 始 す る。 メニ ュー 項 目の 選 択 は,キ マ ウ ス に よ っ て行 う。 そ の 主 な機 能 は 次 の とお りで,選

ー ボー ドま た は

ば れ た項 目 に従 っ て そ れ

ぞ れ プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー が 表 示 され る。 (a)  数 式 入 力  (b)  編

集 

数 式 の新 規 入 力 や 追 加 入 力,定 義 式,注 釈 の 入 力 をす る。 対 象 式 ・定 義 式,記 録,グ

ラ フ の 削 除 や 編 集 をす る。

(c)  グ ラ フ

  グ ラ フ を新 規 ・追 加 して 描 い た り,指 定 し たパ ラ メー タ を変 化

させ て グ ラ フ を動 的 に 表 示(ア ニ メー シ ョン)す る。 ま た,点 の座 標 値 の表 示 等 をす る。 (d)  座 標 軸

 座 標 軸 の 移 動,x軸,y軸

の 目盛 の変 更,表 示 領 域 の拡 大 ・縮

小 を す る。

図1.1  関 数 ラ ボ の初 期 画 面 お よび 画 面 各 部 の 名 称

(e)  計

算

  多項 式 の展 開 と計 算,文 字 の 置 き換 え と整 理,因 数 分 解,方 程

式 の 解 を求 め,微 分 ・ 積 分,数 値 計 算 等 を行 う。 ま た,計 算 環 境 の 設 定 をす る こ とが で き る。 (f)  印

刷

  記録 し た数 式 や 注釈,グ

(g)  セ ッ シ ョ ン

  関 数 ラ ボの 現 在 の 状 態 の こ とで,全 画 面 の 初 期 化,ド ラ イ

ブや パ ス の 変 更,作 [2] 

ラ フ,画 面 全 体 の 印 刷 をす る。

成 し た画 面 の 保 存 と読 み 込 み 等 をす る。

数式 の入力

  数 式 や 注 釈 は,キ ー ボ ー ドか ら入 力 す る。 数 式 入 力 をす るの は,主 に 対 象 式 エ リア と定 義 式 エ リア で あ り,キ ー ボ ー ドよ り入 力 パ ネ ル を用 い て入 力す る。 注 釈 は,記 録 エ リア や グ ラフ エ リアへ 入 力 す る。 計 算 の 実 行 や グ ラ フの 描 画 は,数 式 を 入 力 して初 め て実 行 さ れ る。

  数 式 の 入 力 で しば しば使 わ れ る記 号 や 特殊 文 字 は,フ

ァ ン ク シ ョン キー に割 り

当 て られ て お り,ま た演 算 記 号 の 入 力 に は フ ァ ン ク シ ョ ン キー に割 り当 て られ た 「数 式 ブ ロ ック」 を用 い る(表1

.1)。 数 式 ブ ロ ッ クの 中 の× 印 で示 され る もの を

数 式 ブ ロ ッ クの 要 素 とい い,数 式 ブ ロ ッ ク を選 択 して,要 素 に数 値 や 文 字,記

号

を 入 力 す る。 こ の こ と に よ って,中 学 や 高校 の 教 科 書 に 出 て く る数 式 表 現 と同 じ 形 で数 式 等 を入 力す る こ とが で きる。 表1.1 

フ ァ ン ク シ ョ ン キー の 割 当 て

(1)  対 象 式 の 入 力   計 算 や グ ラフ を描 くと き の対 象 と な る式 を入 力 す る。「式 ○ ○ の △ △ を求 め な さ い 」 の 式 ○ ○ に 相 当す る。 入 力 パ ネ ル に1回

に 入 力 で き る式 は1つ

で あ るが,追

加 に よ っ て複 数 の 対 象 式 を計 算 や グ ラ フ描 画 の対 象 にす る こ とが で き る。   対 象 式 と して 入 力 で き る数 式 は,次 の よ うな もの で あ る。 (a)  単 純 式

 等 号,不

等 号 を含 ま な い数 式   (例)ax+bな

(b)  関 係 式

 等 号,不

等 号 を含 む 数 式

(c)  点

  座 標(x,yの

(d)  線

分

座 標 値) 

ど。

 (例)ax+b≧0,y=f(x)な

(例)(a,b)な

ど。

ど。

  線 分 表 現(点 をハ イ フ ン で つ な ぐ)  (例)(a,b)−(0,0)な

ど。

(2)  定 義 式 の 入 力   対 象 式 の 中 の変 数 の値 を定 義 した り,関 数 や 数 列 を定 義 す る。 た だ し,x,y, iを定 義 す る こ とは で き な い。 これ ら の変 数 に 数 値(数 式)を 代 入 す る に は,「 文 字 の 置 き換 え」 を行 う。

 定 義 式 と して 入 力 で き る数 式 は,次

の よ うな タ イプ の 等 式 で あ る。

 な お,注

釈 の 入 力 に つ い て は数 式 入 力 の プ ル ダ ウ ン メニ ュー

「注 釈(グ

ラ フ)」 を 用 い る

[3] 

計

「注 釈(記

録)」,

。

算

  メ イ ン メ ニ ュ ー の 「計 算 」を選 択 す る と,7つ

の プル ダウンメニューが表示 され

る。 こ の メ ニ ュー か らそ れ ぞ れ の 処 理 に 応 じて 項 目 を選 択 し,対 象 式 の 計 算 を実 行 す る。 対 象 式 が複 数 の 場 合 は,対 象 式 エ リア に登 録 され て い る順 に 結 果 が 記録 に 表 示 され る。 (1)  展 開 と 計 算   多項 式 の 展 開,分

数 の 約 分,微 分 ・積 分 等 を行 い,記 録 エ リア の最 後 の 行 に 計

算 結 果 を表 示 す る。   「計 算 環 境 の 設 定 」 で 「分 数 式 約 分 」,「複 素 数 計 算 」 を 「ON」 に して,そ れ分 数 式 の 約 分,複

れぞ

素 数 計 算 をす る こ とが で き る。

(2)  数 値 計 算   対 象 式 の値 が 数 値 と して計 算 さ れ,結 果 が数 値 で表 示 され る。(1)の

「展 開 と

計 算 」は,対 象 式 を数 式 と して処 理 して い るの に 対 して,「 数 値 計 算 」を選 択 す る と関 数 電 卓 に よ る計 算 と 同 じ く数 値 計 算 を行 う。 (3)  文 字 の 置 き 換 え   対 象 式 の 中 の1文 字(数 式 を除 く)を任 意 の数 式(単 純 式)で 置 き換 えるこ とが で きる。 さらに 「 展 開 と計 算 」を実 行 す る場 合 は,「計 算 環 境 の 設 定 」で 「計 算 結 果 → 対 象 式 」を 「ON」にして 計 算 結 果 をその まま対 象 式 に入 力 し,続 けて 「展 開 と計 算 」を行 う。

(4)  因 数 分 解   対 象 式 を 因数 分 解 す る。記録 エ リア の 最 後 の行 に 因 数 分 解 の結 果 が 表 示 され る。 因 数 分 解 で き る対 象 式 は有 理 係 数 の 多項 式 で,有 理 数 の 範 囲 で 因数 分 解 す る。   分 数 式 の 場 合 は,分 母,分

子 に対 して 因 数 分解 を行 う。

〔例 題1〕  次 の 式 を入 力 し,xの

次 数 の 高 い もの か ら順 に 並 べ よ。

(1) (2) 〔 解 〕  与 えられ た式 を対 象 式 へ 入 力 し, 「計 算 」 の 「文 字 で 整 理 」 を指 定 す る。   対 象 式 と記 録 は図1.2に る。 式(2)は,対

示 す とお りにな

象 式(追 加)で 入 力 で きる。

問1  次 の式 を入 力 し,xの 次数 の 高 い もの か ら順 に並べ よ。 (1)

(2) 問2  次 の 式 を 展 開 せ よ。

(1) (2) 図1.2

〔例 題2〕  次 の 式 を計 算 せ よ。 た だ し,分 数 式 は約 分 し,複 素 数 は 虚 数 単 位iを 用 い て表 せ 。

(2)

(1) (3)

(4)

〔解 〕  記 録(図1.3)

図1.3

〔例 題3〕  放 物 線y=−x2+2x−2と 〔解 〕  1.  第1段

直 線y=2ｘ−3の

階 と し て,対

「方 程 式 を 解 く」 を 実 行 す る

象 式 に−x2+2x−2=2x−3を

交 点 の座 標 を求 め よ。 入 力 し,「 計 算 」→

。 記 録 エ リ ア のxの

値 が 解 で あ る。 2.  次 に,対

象 式(新 規)にy=2X(注)−3を

入 力 し,

定 義 式 にX=−1を

入 力 し てy座

標y=−5を

求

め る。 次 に,X=1を

入 力 してy座

標y=−1を

求

め る。(−1,−5),(1,−1)が (注)Xを

解 で あ る。

大 文 字 に し た の は,小 文 字 のx,yは

定 義

図1.4

す る こ とが で きな い か らで あ る。

問3  次 の 方 程 式 を解 け 。 た だ し,分 数 は約 分 し,複 素 数 は 虚 数 単位iを

(1) (3)

用 いて表せ 。

(2) (4)

(注) 3元 一 次 連 立 方 程 式,二 次 と一 次 の 連 立 方 程 式 は こ の シ ス テ ム で は 解 け な い。

〔例 題4〕   関 数f(x)=−x4+2x2+1の 〔解 〕  

極 大 値,極

小 値 を求 め よ。

「計 算 」 の 「計 算 環 境 の 設 定 」 で 「計 算 結 果 → 対 象 式 」 をONの

てf'(x)を

求 め る と,−4x3+4xが

状態 に し

対 象 式 に 再 入 力 さ れ る。

対象式 f'(x) ↓ −4x3+4x=0 ↓ f(0) f(−1) f(1) を求 め る。

図1.5

問4  次 の 数 列 の初 項 か ら第20項

(1)

まで の 和 を求 め よ。

(2)

問5  次 の 関 数 を微 分 せ よ。

(1)

(2)

問6 [4] 

 の と き,

を求 め よ。

グラ フ

  メ イ ン メ ニ ュ ー か ら 「グ ラ フ 」を選 択 す る と,7つ

の プ ル ダ ウ ン メニ ュー が 表 示

さ れ る。 こ の メニ ュ ー か ら使 用 す る項 目 を選 択 して グ ラ フ エ リアへ グ ラ フ を描 く (新 規 ・追 加)。 他 に ア ニ メー シ ョ ン,消 去,座

標 の 表 示 等 を行 う。 また,「 表 示

環 境 の 設 定 」 を選 択 して グ ラ フエ リア の 表 示 条 件 を任 意 に変 更 で き る。

(1)  グ ラ フ を 描 く(新 規 ・追 加)   指 定 した 条 件 で グ ラ フ エ リア に 対 象 式 の グ ラ フ を描 くこ とが で き る。こ の と き, 対 象 式 の数 式 にパ ラ メー タが 含 まれ て い な い こ と。 また,す れ て い る と き に は,新 規 を選 ぶ と前 の グ ラ フは 更 新 さ れ る。   グ ラ フ を描 け る数 式 は,お お む ね 次 の もの で あ る。 (a)  座 標 表 現 に よ る 点(例

えば,点(a,y)な

ど)

(b)  線 分 (c) x,yの

関 数(2変

数x,yの

関数 は2次

(d) x,yの

不 等 式 で表 さ れ る領 域

形 式 ま で)

〔 例 題5〕  二 次 関 数y=2x2−4x +3の

グ ラ フ を 描 け 。 ま た,頂

点の座

標 と軸 の 方程 式 を求 め よ。 〔 解 〕  「 種 類 の 選 択 」で 線 の 種 類 を 選 択 す る 。 図1.6の 座 標 は(1,1),軸 あ る が,グ

よ う に,頂

点の

の 方 程 式 はx=1で

ラ フ上 で は正 確 に 測 定 で

きな い こ とが あ る。 こ の と きは 計 算 で確 認 す る。

問7  2つ の 放 物 線y=4x2+5x… y=−2x2−x…

①,

② の グ ラ フ を描 き,2つ

の 曲 線 で 囲 まれ た 部 分 の 面積 を求 め よ。 (注)式

① をy≧4x2+5x,式

y≦−2x2−xと

② を

図1.6

不 等 式 で 入 力 す る と,

グ ラ フ を描 く と きに 共 通 部 分 を斜 線 等 で 表 示 す る こ とが で き る 。

で に グ ラ フが 表 示 さ

(2)  ア ニ メ ー シ ョ ン   パ ラ メ ー タ の 値 を 変 化 さ せ な が ら グ ラ フ を動 的 に 表 示 す る 。 「グ ラ フ 」の プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー か ら 「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 ぶ と,グ が 黄 色 の 線 で 描 か れ,同

時 にパ ラ メー タパ ネ ル が 表 示 され る。 指 定 した パ ラ メー

タ を 変 化 させ て グ ラ フ の 変 化 を み る。 こ の と き,目 の 軌 跡 を 「ON」,「OFF」

〔例 題6〕  y=2x2+1… −x+kの

ラ フ エ リア に 対 象 式 の グ ラ フ

的 に 合 わ せ て 残 像,ま

た は点

に し て グ ラ フ の 変 化 の 状 態 を 調 べ る こ とが で き る 。

①,y=−x+k…

② の グ ラ フ を 描 き,方

程 式2x2+1=

解 の 個 数 を調 べ よ。

〔解 〕 対 象 式 に ①,②

の 式 を 入 力 し,ア ニ メ ー シ ョ ン でkの

値 を 変 化 さ せ て,グ

ラ フ の 状 態 か ら解 の個 数 を調 べ る。 (注) kの

正 確 な 値 は,2x2+1=−x+kの

判 別 式 よ り求 め る。

図1.7

問8  残 像 を「ON」 に し て,aが 問9  パ ラ メ ー タa,p,qの

変 化 した と き のy=x2+ax−2の

グ ラ フ の 変 化 を調 べ よ 。

値 を そ れ ぞ れ 変 化 さ せ て,式y=a(x−p)2+qで

表 され るグ

ラ フ の 変 化 を調 べ よ。 問10  y=x+kがx2+y2=6と,①2点 れ ぞ れ に つ い てkの

値 を求 め よ。

で 交 わ る。 ② 接 す る。 ③ 共 有 点 を もた な い 。 そ

(注)お お よ そ の 目安 を 定 め,正

〔例 題7〕 tを

確 な値 は 計 算 で 確 認 す る。

媒 介 変 数 と し てx=t−sint…

①,y=1−cost…

の 軌 跡 を 求 め よ 。 一 般 に,x=a(t−sint),y=a(1−cost)で

② で表 さ れ る点 表 さ れ る曲 線 をサ イ

ク ロ イ ド曲 線 と い う。 〔解 〕  問 題 の 曲 線 は,半

径1の

円 がx軸

上 を転 が る と きの 円 周 上 の 点 の 軌 跡 で

あ る 。 円 の 方 程 式 は(x−t)2+(y−1)2=1,点 対 象 式 に 入 力 し,ア

の 座 標 を(t−sint,1−cost)と

して

ニ メ ー シ ョ ン で グ ラ フ を描 く と 次 の よ う に な る。 軌 跡 を 求 め

る と き は,「 点 の 軌 跡 」 を 「ON」

に す る。

図1.8

問11 r=sinnθ

と極 座 標 表 示 さ れ た 曲 線 の グ ラ フ を描 け 。 た だ し,n=2と

(注)対 象 式 に(rcosθ,rsinθ)を

入 力 し,定 義 式 をr=sinnθ,n=2と

す る。 して 媒 介 変

数 表示 す る。

  座 標 軸 の プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー か ら 「ズ ー ム ア ッ プ 」 を 選 ぶ こ と に よ り,任

意 の

領 域 を 画 面 い っ ぱ い に 拡 大 す る こ と が で き る 。 拡 大 し た い 領 域 の 左 上 す み に+字 カ ー ソ ル を 移 動 し,左

上 す み の 希 望 す る 位 置(点)を

マ ウ ス で ク リ ッ ク す る か,

同 時 に 表 示 され る操 作 パ ネ ル の矢 印 と決 定 を ク リッ クす る(キ ー 操 作 は マ ニ ュ ア ル を参 照)。   次 に,右 下 す み の 点 を ク リ ックす る こ と に よ り拡 大 す る領 域 が 定 ま り,「 決 定 」 を ク リッ ク して 拡 大 す る。 で 与 え られ る正 規 分 布 曲 線 を描 け。 ま

〔 例題8〕  確率 密度 関数 た,見

や す くす る た め に グ ラ フ を 拡 大 し て 示 せ 。

〔解 〕 ズ ー ム ア ッ プ の 機 能 を 用 い て,−4≦x≦4,−0.15≦y≦0.8程

度 に拡 大 す

る。

図1.9

問12 ズ ー ム ア ップ の 機 能 を用 い て,y=1/x2のx=0の

近 くの 関 数 の状 態 を調 べ よ。

1.2 

Mathcad(ウ

[1] 

機能の概 要

  Mathcadは

ィ ン

ド ウ ズ 版)

数 値 計 算,数 式 処 理,グ ラ フ作 成 な どの 機 能 を備 え た ソ フ トで あ る

が,ノ ー トに 自 由 に 記 述 して い く感 覚 で操 作 して いけ ば よい よ うに な って お り, 表 示 も数 学 の 専 門書,教

科 書 の 記 述 と同 じ よ うに な る よ うに 設 計 され て い る。 ウ

ィ ン ドウ ズ版 で あ る た め,マ

ウ ス で 簡 単 に操 作 で き る よ うに な っ て い るが,キ ー

ボ ー ドだ け で も数 式 を 入 力 で き る よ うに キー が割 り当 て られ て い る。 繰 り返 し計 算 もレ ン ジ変 数 と い う特 殊 な変 数 を使 っ て お り,プ ロ グ ラ ム を組 む とい う感 じで は な く,数 式 を記 述 す る と い う感 覚 で,数 列 の漸 化 式 や グ ラ フの 作 成 を扱 うこ と が で き る。   数値 計 算 に重 き を 置 い て い る よ う で あ り,数 式処 理(シ け 足 し とい う感 じ もす るが,Mapleと

ン ボ リ ッ ク計 算)は 付

い う数 式処 理 ソ フ トを使 い,結 果 をMath

cadの 数 式 で表 して い る。 シ ン ボ リ ッ ク計 算 で は無 理 数 の 計 算 を近 似 小 数 で行 わ な い で,無 理 数 の ま ま で 扱 い,結 果 も無 理 数 を使 って 表 現 す る。 数 学 で は,こ

の

方 が都 合 が よ い 。 数 値 計 算 は 自動 計 算 を して くれ るが,数 式 処 理 は そ の つ ど操 作 しな け れ ば な らな い の で,ワ ー クシ ー トの 数 式 を変 更 す る と即 座 に結 果 の 数 式 が 変 わ る とい うよ う な こ とは な い。   グ ラ フ ィ ッ クス に つ い て は,関 数 ラ ボの よ うに動 き を見 せ た りす る こ とが で き な い,エ

ラー 処 理 を し て くれ な い た め,定 義 域 に は 十分 注 意 しな い とい け な い 。

ズー ム機 能 が な い な ど不 満 は 残 るが,数 た り,プ

値 計 算 の結 果 と グ ラ フ を同 時 に見 せ られ

リン ト教 材 の 作 成 が 容 易 で あ る こ とな ど利 点 も 多 い。

  ウ ィ ン ドウ ズ上 で 動 くの で,他 の ソ フ トと同 時 に 使 うこ とが で き る,Mathcad 文 書 も同 時 に 複 数 見 る こ とが で き る,他 の ソ フ トとの デ ー タ のや り取 り も簡 単 で あ る,操 作 も覚 えや す い な ど便 利 な 点 が 多い 。

[2] 

Mathcadの

起 動

  ウ ィ ン ドウ ズ の プ ロ グ ラ ム マ ネ ー ジ ャ ー の 中 のMathcadを の ウ イ ン ドウ が 現 れ る(図1.10)。

の 関 係 で,小

起 動 さ せ る と,次

スペ ー ス

さな ウ ィ ン ドウ に して あ る。

2行 目に 命 令 メニ ュー が 並 ん で い るが,そ の どれ か をマ ウ ス で ク リッ クす る と,そ の 中 の命 令 が メ ニ ュ ー に な っ て現 れ る。左 側 の ス イ ッ チ は数 式 入 力 の と きに使 用 す る も の で マ ウ ス で ク リ ッ クす る と,ル ー トや 指 数 を入 力 で き る よ うに な る。   式 を入 力 した り,値 を代 入 した りす るノー トに あた る部 分 が 真 ん 中 の 白 い部 分 で ある。 そ の 左 上 に小 さな 十 字 の マ ー クが あ るが,こ れ がMathcadの [3] 

図1.10

カー ソル で ある。

簡 単 な計算

  電 卓 で 行 う よ う な 計 算 をMathcadで

〔 例 題9〕  図1.11の

よ う に,分

行 う こ とが で き る。

数 とル ー トを使 っ た計 算

を実行 せ よ。 〔解 〕 今 後,キ

ー ボ ー ドか ら 入 力 す る キ ー は 「と 」で く く

って 示 す こ とにす る。 1.  十 字 の カ ー ソ ル が あ る 所 に 数 値 が 入 力 さ れ る の で,マ ウ ス を 動 か し,左

ボ タ ン を ク リ ッ ク し,カ

ー ソル を好 き 図1.11

な所 へ 移 動 させ る。

2. 

「32/5+3.6」

と 入 力 す る と,

と表 示 さ れ る。

3. 

「=」

と入 力 す る と,左

を 押 す と,そ

れ が 確 定 し,カ

4.  「¥2+¥3=」

辺 に 表示 す る。 リター ン キー

ー ソル が次 の行 に 移 る。

と 入 力 す る と,√2+√3=1.932と

を 押 す と確 定 し,カ (注1) 

辺 の 値 を 計 算 し て,右

表 示 さ れ,リ

ター ン キー

ー ソ ル が 下 の 行 に 移 る。

ル ー トの 入 力 は√

の ボ タ ン を ク リ ッ ク して も よ い。

を 入 力 し,計 算 結 果 が 同 じに な る こ と を確 か め よ。

問13 

図1.11の

よ う に,

[4] 

変数 や関数 の定義

  変 数 は アル フ ァベ ッ トで始 ま る文 字列 で 表 す 。 数 学 に お け る変 数 と違 い,2文 字 以 上 で あ っ て も よい の で,2abと し,2・a・bと

して積 を表 した い とき は 「2*a*b」

と入 力

表 示 しな け れ ば な らな い 。 関 数 は数 学 と同 じよ うに カ ッ コの 中

に 変 数 を入 れ て,f(x)と

表 せ ば よ い 。 関 数 名 も2文 字 以 上 で あ って も よい 。

〔例 題10〕   直角 を は さ む2辺

の 長 さが1と2,2と3の2つ

の 直角 三 角 形 の斜

辺 の 和 を求 め よ。 〔解 〕 図1.12の

ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。

1.  「f(a,b):¥a^2」,ス

ペ ー ス キ ー,「+b^2」,

リター ン キ ー と押 す 。 2. 

「f(1,2)+f(2,3)=」,リ

ター ン キー と押 す 。

(注1)  左 辺 の 変 数 に 値 を代 入 した り,関 数 を定

義 した りす る の は:=で (注2) =は

あ り,:キ

図1.12

ー で 入 力 で き る。

左 辺 の 式 の 値 を計 算 す る記 号 で あ り,入 力 した段 階 で値 の計 算 が 行

わ れ る。 問14 

1辺 の 長 さaの 正 四 面 体 の 体 積V(a)をaを

1辺 の 長 さ3の 正 四 面 体 の4頂 体 の体 積 を求 め よ。

点 の と こ ろ で,1辺

用 い て 表 せ 。こ の 関 数 を利 用 し て, の長 さ1の 正 四 面 体 を切 り取 っ た 立

[5] 

レ ン ジ 変 数

  Mathcadに や,グ

は レ ン ジ 変 数 と い う独 自 の 変 数 が あ り,こ の 働 き で,繰

ラ フ の 描 画 が で き る よ う に な る 。i:=1..10と

自 然 数 の 値 を と り,x:=−2,−1.8..2と

す る と,iは1か

り返 し計 算 ら10ま

での

す る と,xは−2,−1.8,−1.6,…,1.8,2

の 実 数 を と る こ と に な る 。 レ ン ジ 変 数 は 等 差 数 列 で 並 ん だ 値 の 集 合 で あ り,2つ の 数 字 しか 示 し て い な い 前 者 の 場 合 は,公 差 が1ま 示 さ れ て い る 後 者 の 場 合 は,最

〔例 題11〕   2か ら7ま 〔解 〕 図1.13の

2. 

「log(n)=」

の 数 字 の差 が 公 差 に な る。

ター ン キ ー を押 す 。

と 入 力 し,リ

ター ン キー を押 す 。

ー で 入 力 で き る。

レ ン ジ 変 数 の 入 っ て い る 式=」 と す る と,レ

値 に 対 応 す る 式 の 値 を1列

〔例 題12〕  

の数 字 が

ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。

「n:2;7」 と 入 力 し,リ

(注2)「

な り,3つ

で の 常 用 対 数 の値 を求 め よ。

1. 

(注1)..は;キ

初 の2つ

た は−1と

〔 例 題11〕

ン ジ変 数 の 図1.13

に並 べ て 表 示 す る。

の数 値 の 小 数 点 以

下 の け た数 を変 更せ よ。 〔解 〕1.  [マ ス(M)]の マ ッ ト(F)]を

中 の[数

値 フォー

選 択 す る と,図1.14の

操

作 パ ネ ル が 現 れ る。 2.  表 示 精 度 の ところ を8に す ると,小 数 点 以 下8け

問15 

20C5,20C6,…,20C10の

し,了 解 を クリック た で 表 示 さ れ る。

図1.14

値 を 求 め よ 。n!と い う 関 数 を 使 っ て よ い 。 た だ し,大

も指 数 表 記 を しな い で 求 め よ。

〔例 題13〕 a1=1,ai+1=2ai+1で 〔解 〕  図1.15の

表 さ れ る 数 列 のa5,a21を

よ う に 入 力 し て い く。

求 め よ。

き な数

1.  3行 し,ス

目 が 漸 化 式 で あ る。 こ れ は 「a[i+1:2・a[i」 ペ ー ス キ ー を 押 し た あ と,「+1」

と入 力

と入 力 し,リ

ター

ン キ ー を押 す 。 2.  レ ン ジ 変 数iが1か

ら20ま

で 繰 り 返 さ れ,a21ま

で計算

さ れ る。 3.  「a[5=」 でa5=31が

表 示 さ れ,「a[21=」

でa21=2097151

が 表 示 され る。 (注)下 付 き文 字 を 入 力 す る の は,左

のxiの

ボタン をク リ

ッ ク して も よい 。

の 値 を計 算 せ よ。

問 16 

[6] 

図1.15

領 域の移 動

  左 ボ タ ン を押 しな が らマ ウ ス を動 か す と,点 線 の ボ ッ クス が 現 れ る。 そ の ボ ッ クス が か か っ て い る領 域 は,点 線 の ボ ッ ク ス で 囲 わ れ る。 こ の こ とに よ り,そ の 領 域 が 指 定 され た こ とに な り,削 除,複 写,移 動 な どが で き る よ うに な る。   指 定 され た領 域 の 中 に マ ウ ス カー ソル を入 れ る と,十 字 の カ ー ソル が 大 き くな る。 そ こ でマ ウ ス の ボ タ ン を押 し,押 した ま ま マ ウス を移 動 した い とこ ろ まで も っ て い き,ボ タ ン を離 す と移 動 が 終 わ る(図1.16参   た だ し,数 式 の 移 動 をす る と図1.16の

照)。

よ う に定 義 され て い な い 関数 を参 照 して

し ま う結 果 に な る こ とが あ り,注 意 が 必要 で あ る。Mathcadは ら右 へ 式 を 評 価 し て い く の で,う

ま く配 置 す れ ば,見 や

す い 数 学 教 材 を作 成 す る こ と が で き る。 ま た,削 除,複 写 に つ い て は,他

の ウ ィ ン ドウ

ズ の ソ フ トと 同 じよ うに[編

図1.16

上 か ら下 へ,左 か

集(E)]の [7] 

メニ ュー の 中 に命 令 が 入 っ て い る。

ベ ク ト ル,行

  Mathcadで

列の 計算

は 数 の 縦 列 をベ ク トル,四 角 形 の 数 配 列 をマ トリ ック ス とい う。 こ

こ で は 高 校 程 度 の 計 算 をす るに と どめ る。  〓で あ る と き,a+2b,￨a￨,a・bを

〔 例 題14〕

〔解 〕 図1.17の

ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。

1.  「a:」 と 入 力 し た 後,[マ

ス]の

中 の[マ

ト リッ ク

ス]を 選 択 し,マ

ト リ ッ ク ス の パ ネ ル(図1.18)に

い て,行

を1に

と,列

を2,列

し,[作

成]を

ー を 押 し て か ら−2を

お

ク リッ クす る

ベ ク トル が 表 示 さ れ る の で,第1成

力 し,TABキ

求 め よ。

分5を

入

入 力 し,リ タ ー

ン キ ー を押 す 。 2.  マ ト リ ッ ク ス の パ ネ ル は 表 示 さ れ た ま ま で あ り, 「b:」と入 力 した 後

,[挿

入],[作

れ ば ベ クトルの 入 力 状 態 とな り,

成]の

「a+2*b=」,リ

タ ー ン キー で

4. 

「｜a=」,リ

タ ー ン キ ー で5.385を

5. 

「a*b=」,リ

問17 

〓を 表 示 す る 。

の す べ て の要 素 の 和 を求 め よ。

表 示 す る。

通 の ア ル フ ァ ベ ッ トで よ い 。 と して 計 算 せ よ。

に お い て,〓

〔例 題15〕

図1.18

表 示 す る。

タ ー ン キ ー で 内 積7を

ク トル を 代 入 す る変 数 は,普 〔 例 題16〕

順 に クリックす

〓を入 力 す る。

3. 

(注)ベ

図1.17

 〓 の

と き,2A+B,AB,A-1を

求 め よ 。 ま た,A

〔解 〕 図1.19の

ワー ク シー トを作 成 す

る。 操 作 の 手 順 は 〔例 題14〕 とほ ぼ 同 じ で あ る。 積 の 記 号 ・を忘 れ ない よ うに す る。逆 行 列 はAの−1乗

と して 入 力 す れ

ば よ い 。ま た,行 列 の 要 素 はA1,1な ど と し て 指 定 す る が,Mathcadを

初 め て起 動 し

た 状 態 で は 要 素 の 番 号 が0か

ら始 ま っ て

し ま う。 こ れ を1か ら に す るた め に は, [マ ス]の [8] 

中 の[組

み込 み 変 数]のORIGINを1と

図1.19

す れ ば よ い。

グラフの描 画

  Mathcadの

二 次 元 グラ フ はxを

っ て描 い た り,iを

レ ン ジ変 数 と し,横 軸 に と り,f(x)を 縦 軸 に と

レ ン ジ変 数 と し,xi,yiを

軸 と し た り,θ を レ ン ジ変 数 と し,

x(θ),y(θ)を 軸 と した り,い ろ い ろ な 方 法 で描 け る。 た だ,既 定値 で は グ ラ フ が 小 さ く,軸 を表 示 し て くれ な い な ど使 い に くい面 もあ る。 そ の た め,一 度 描 い て か ら修 正 す る必 要 が あ る。ま た,複 数 の グ ラ フ を同 じ座 標 に 表 示 す る こ とが で き, 色,線 種 な ど を 自由 に選 ぶ こ とが で き る。   た だ し,関 数 値 が 虚 数 に な る と虚 部 を 無視 して グ ラ フ を描 い た り,0で し ま う と い うエ ラー が で るの で,定 義 域 に は 十 分 注 意 す る 必要 が あ る。

〔例 題16〕 

y=x3−4xの

〔解 〕  図1.20の 1. 

「x:-5,-4.8;5」

グ ラ フ を描 け 。

ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。 と 入 力 し,リ

ター ン

と 入 力 し,ス

ペ ー ス

キー を押 す 。 2. 

「f(x):=x^3」

キ ー を 押 し,「−4・x」,リ 押 す 。

ター ン キー と 図1.20

割 って

3. 

「f(x)@」

  〔 例 題16〕

と押 す と座 標 軸 が 現 れ,x軸

の グ ラ フ はMathcadがy軸

の 目盛 を 自 動 的 に 決 め て し ま っ て い る 。

こ ち らで 表 示 範 囲 を指 定 した の が 次 の

〔例 題17〕  

〔 例 題16〕

〔解 〕 図1.21の

〔 例 題17〕

で あ る。

の グ ラ フ の 表 示 範 囲 を−4〓x〓4,−4〓y〓4と

せ よ。

ワー ク シー トを作 成 す る。

1.  関 数f(x)を [マ ス]の

の ところ で 「x」,リター ン キー と押 す 。

定 義 し た 後,表 示 範 囲 を ベ ク トルrに 中 の[マ

ト リ ッ ク ス]を

実 行 し,4行1列

代 入 す る 。「r:=」 と 入 力 し, の ベ ク トル に し,成

分 を

入 力す る。 2.  次 に,[マ

ス]の

レ ン ジ 変 数xを 3.  [グ ラ フ]の

TABキ

み 込 み 変 数]のORIGINを1と

し,r1,r2を

定 義 す る。 中 の[グ

を 実 行 し,図1.22の 4. 「f(x)@」

中 の[組

ラ フ フ ォ ー マ ッ ト] よ うに 設 定 す る。

と押 す とグ ラフ枠 が 現 れ,「x」,

ー,「r[4」,TABキー,「r[3」,

リタ ー ン キ ー と押 す 。 グ ラフ が 現 れ るが 上 下 左 右 の 長 さが 図1.21の

ように な って い な い 。

5.  グ ラ フ外 の 点 に お い て,マ を 押 し,ボ か し,グ

ウス の ボ タ ン

タ ン を 押 し た ま ま,マ

ウ ス を動

ラ フ を 点 線 の ボ ッ ク ス で 囲 う。 こ

れ で グ ラ フ を選 択 した こ とに な る。 マ ウ ス

図1.22

図1.21

使 い,

を ボ ッ ク ス の 辺 の と こ ろ へ も っ て い き,ボ

タ ン を押 し た ま ま動 か し て ボ ッ クス

を広 げ て 大 き さ を調 整 す る。

問18 

〔 例 題17〕

に お い て,r,f(x)を

(1)

変 更 して 次 の グ ラ フ を描 け 。

(2)

〔例 題18〕 

y=x,y=−x,x2−y2=1の3つ

〔解 〕 図1.23の

の グ ラ フ を表 示 せ よ。

ワー クシ ー トを

作 成 す る。 1.  x,t,px(t),py(t)の

式 を入 力

す る。π の 入 力 は 左 側 に あ る π の ボ タ ン をク リックす れ ば よい 。 2.  ORIGINを1と

す る。

3.  「x,−x,py(t)@」

と入 力 し,

グ ラ フ 枠 が 表 示 さ れ た 後,「x,x ,px(t)」 4.  TABキ

と入 力 す る。 ー を 押 し,y軸

の とこ ろ で とr4が

「r[4」

の上限

を入力す る

表 示 さ れ る。 同 様 に し

て,r3,r2,r1も

入 力 す る。 図1.23

図1.24

5.  グ ラ フ の と こ ろ を ク リ ッ ク す る と,グ

ラ フ が 青 い 四 角 で 囲 ま れ る。 こ の 状 態

で グ ラ フ フ ォ ー マ ッ トを 実 行 し,図1.24の 図1.23の

よ う に 変 更 し,大

き さ を調 整 す る と

グ ラ フ に な る。

(注1)関

数 の グ ラ フ を 描 くだ け な ら ば 横 軸 の 変 数 はxだ

媒 介 変 数 表 示 の グ ラ フ も描 くた め に,縦 る よ う にxを2回 (注2)双

け で よ い の で あ る が,

軸 の 変 数 と横 軸 の 変 数 が1対1に

対 応す

記 述 し て い る。

曲 線 やy=tanxの

よ う な グ ラ フ は,グ

ラ フ フ ォ ー マ ッ トの ト レー ス タ

イ プ が ドロ ー で な い と漸 近 線 の と こ ろ で グ ラ フ が つ な が っ て し ま う 。

問19 

〔 例 題18〕

1.3 

[1] 

の グ ラ フ にx2−y2=−1,x2+y2=2の

グ ラ フ を 追 加 せ よ。

GeoBlock

機 能 の概 要

  GeoBlockは,さ

ま ざ ま な 平 面 図 形 を描 画 し,そ れ らの 図 形 が も っ て い る性 質 を

計 算 式 や ア ニ メー シ ョン で 探 る こ とが で き る コ ン ピ ュー タ ツー ル で あ る。 点,線 分,三

角 形,多

角 形,円

の よ うな 基 本 図 形,並

線 や そ の 線 分 に平 行 な 直 線,あ

び に,選 択 し た線 分 の垂 直 二 等 分

る角 の 二 等分 線 の よ うな複 合 図 形 を描 画 す る た め

の 「ア イ コ ン」 が 画 面 上 に用 意 され て い て,こ れ らの ア イ コ ン を指 定 す れ ば,そ れ らの ア イ コン に対 応 す る 図 形 を描 画 す る こ とが で き る。   また,す

で に 描 画 さ れ て い る図 形 上 の 点 に,点 結合,交

点,接 点,線 上 の 点,

垂 線 の 足 な どの 制 約 を設定 し た り,こ れ らの制 約 を解 除 した りで き る。 こ の 制 約 を設 定 す るた め の 「制 約 ボ タ ン」が 画 面 上 に 用 意 され て い る。 例 えば,中 半 径 がABで

あ る円 と,円 周 上 に端 点Cが

置 か れ て い る線 分CDが

Cを 選 ん で 「 接 点 」の制 約 ボ タ ン を ク リ ッ ク をす る と,図1.26の 接 点,よ

って 線 分CDが

接 線 の 位 置 に 置 か れ る([3]〔

心 がA,

あ る と き,点 よ うに,点Cが

例 題22〕 参 照)。

図1.25

図1.26

  ま た,線 分 の 長 さや 方 向 を設 定 した り,多 角 形 の頂 点 の 角 度 を設 定 した り,線 分 上 の点 を必 要 な 比 率 の 内 分 点 ま た は外 分 点 に す る な どの 制 約 を設 定 した り,こ れ らの 制 約 を解 除 し た りす る こ とが で き る。   例 えば,ア

イ コ ン 「三 角 形」 を選 ん で 三 角 形 を描 き,辺ABを

さ 」を選 ん で辺BCと 等 辺 三 角 形ABCが

等 しい長 さに とれ ば,図1 得 られ る([3]問22参

制約 ボ タ ン 「長

.27の よ うに,AB=BCで

照)。

あ る二

図1.27

[2] 

GeoBlockの

  GeoBlockの

立 ち 上 げ と終 了

実 行 用 デ ィス ク を ドライ ブAに

セ ッ トキ ー を押 す と,デ 示 さ れ た 後,図1.28の

セ ッ トして,電 源 を投 入 す るか リ

ィス クか らプ ロ グ ラム が読 み 込 ま れ,タ

イ トル 画 面 が 表

よ うな初 期 画 面 が 表 示 され る。

図1.28

(1)  メ イ ン メ ニ ュ ー の 選 択   画 面 の 第1行(最 さ れ て い る 項 目 は,矢 き る。

上 段)が

メ イ ン メ ニ ュ ー で あ る。 メ イ ン メニ ュー の リバ ー ス

印 キ ー(→

ま た は ←)を

押 す か,マ

ウ ス を利 用 して移 動 で

  メ イ ン メ ニ ュ ー に は 計 算 式,図 シ ョ ン の7つ

形 編 集,ラ

ベ ル,画

面 操 作,印

の 項 目が あ り,各 項 目 を選 ん でRETURNキ

用 い て 左 ク リ ッ ク す る と,項 で の 説 明 は,マ

刷,部

ー を 押 す か,マ

品,セ

ッ

ウスを

目に応 じて プ ル ダ ウ ン メニ ュー が 表 示 さ れ る。 こ こ

ウ ス を利 用 して 操 作 して い る も の とす る。

(2)  プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー   メ イ ン メ ニ ュ ー の7つ

の メ ニ ュ ー 項 目 の1つ

を 選 ぶ と,そ

の選 択 に 応 じて プ ル

ダ ウ ン メ ニ ュ ー が 表 示 さ れ る。

図1.29 

(3)  GeoBlockの

プ ル ダ ウ ン メニ ュー

終 了

  メ イ ン メ ニ ュ ー か ら 項 目 「セ ッ シ ョ ン 」 を 選 び,表 ー か ら 「終 了 」 を 選 ぶ と

,図1.30の

示 され るプ ル ダ ウ ン メニ ュ

よ うな確 認 パ ネ ル が 表 示 さ れ る。

図1.30

 こ の と き,Noを 表 示 され る。

選 べ ば,GeoBlockが

終 了 し,A＞(コ

マ ン ドブ ロ ン プ ト)が

[3] 

図 形 の 描 画

  GeoBlockで

は,メ

示 さ れ る 。 初 め に,図

ニ ュ ー の 他 に,図

形 ア イ コ ン の 機 能 に つ い て 述 べ る 。 ま た,描

す べ て 消 去 し た い と き は,メ を ク リ ッ ク し て,確

形 を 描 く た め の 「図 形 ア イ コ ン 」が 画 面 表 画 した 図 形 を

イ ン メ ニ ュ ー の 項 目 「セ ッ シ ョ ン 」 の 「全 初 期 化 」

認 パ ネ ル でYesを

ク リ ッ ク す る。

(1)  基 本 図 形 の ア イ コ ン   GeoBlockに

は,下

記 の よ う に 「基 本 図 形 ア イ コ ン 」 が 用 意 さ れ て い る 。

独 立 し た点 を描 画 す る。 線 分 を描 画 す る。 三 角 形 を描 画 す る。 多角 形 を描 画 す る。 中心 と円 周 上 の1点 円 周 上 の3点   こ こ で は,そ 「円(2点

を指 定 して 円 を描 画 す る。

を指 定 して 円 を描 画 す る。

れ ぞ れ の ア イ コ ン を ア イ コ ン 「点 」,「線 分 」,「三 角 形 」,「多 角 形 」,

指 定)」

,「 円(3点

指 定)」

と表 す 。

(2)  複 合 図 形 の ア イ コ ン  

GeoBlockに

い て,そ

は,「 基 本 図 形 ア イ コ ン 」の 他 に,す

で に描 画 され て い る 線分 に つ

の 線 分 の 垂 直 二 等 分 線 や そ の 線 分 に 平 行 な 直 線 を描 い た り,す

さ れ て い る角 に つ い て,そ

の 角 の 二 等 分 線 を 描 い た りす る た め の

でに描画

「複 合 図 形 ア イ

コン 」 が 用 意 さ れ て い る。

指 定 さ れ た 線分 の 垂 直 二 等分 線 を描 画 す る。 指 定 され た 線 に 対 す る平 行 線 を描 画 す る。 指 定 され た角 の 二 等 分 線 を描 画 す る。   こ こで は,そ れ ぞ れ の ア イ コン をア イ コン 「垂 直 二 等分 線 」,「平 行 線 」,「角 の 二 等 分 線 」 と表 す 。 (a)  垂 直 二 等 分 線 の描 画

 複 合 図 形 ア イ コ ン 「垂 直 二 等 分 線 」 を選 択 す る と,

任 意 の 線 分 に対 す る垂 直 二 等 分 線 を描 画 す る こ とが で き る。 こ の場 合,線

分 と垂

直 二 等分 線 との 交 点 は,「 等 分 点 」 の 制 約(次

ペ ー ジ(3)制約 ボ タ ン参 照)を 受 け,

垂 直 二 等分 線 上 の 点 は,「 方 向 」 の 制 約(次 ペ ー ジ(3)制約 ボ タ ン参 照)を 〔例 題19〕  線 分ABを

描 画 し,こ の 線 分 の垂 直 二 等 分 線CDを

〔解 〕  1. 線分ABを

受 け る。

描 画 せ よ。

描 画 す る。

2. 複 合 図 形 ア イ コ ンか ら 「垂 直 二 等分 線 」 を ク リ ッ クす る と,垂 直 二 等分 線 の メ ッセ ー ジパ ネ ル が 表 示 され る。

図1.31

3.  1.で 描 画 した 線 分ABを 二 等分 線 上 に 点Dが 問20  △ABCの

選 択 す る と,線 分ABの

あ るABの

辺BCの

垂 直 二 等 分 線CDが

垂 直二 等分 線DE,並

中点 をC,点Cを

通 る垂 直

描 画 され る。

びに 辺CAの

垂 直 二 等分 線FGを

描画

せ よ。 (b)  平 行 線 の 描 画

  複 合 図 形 ア イ コ ン 「平 行 線 」を選 択 す る と,任 意 の 線 分 に

対 す る平行 線 を描 画 す る こ とが で き る。   こ の ア イ コ ン を選 択 す る と,「 線 分 を選 択 して くだ さ い 。」 とい うメ ッセ ー ジパ ネ ル が 表 示 さ れ,選 択 した 線 分 に平 行 な直 線 が選 択 状 態 で表 示 され る。 こ の直 線 を 必要 に 応 じて移 動 して決 定 す れ ば,選 択 した線 分 に 平 行 な 直 線 を描 画 す る こ と が で き る。 (c)  角 の 二 等 分 線 の 描 画

  複合 図 形 ア イ コ ン 「角 の 二 等 分 線 」 を選 択 す る と,

任 意 の角 に 対 す る二 等 分 線 を描 画 で き る。こ の ア イ コン を選 択 す る と,「角 を作 る 3点 を選 択 して くだ さ い。」と い うメ ッセー ジパ ネ ル が 表 示 さ れ,二 等 分 した い角 の 頂 点 を2番

目に し て,3点

を順 に ク リ ッ クす れ ば,選 択 した角 の 二 等 分 線 を描

画 す るこ とが で き る。 (3)  制 約 ボ タ ン   図 形 エ リア の下 に あ る10個

の ア イ コ ン図1.32を

制 約 ボ タ ン とい う。 す で に描

画 し て あ る図 形 に 制 約 ボ タ ンに よ る制 約 を設 定 す る こ とに よっ て,題 意 に そ っ た, よ り正 確 な 図 形 を描 画 す る こ とが で き る。

図1.32

(a)  基 本 的 な制 約 の 設 定

点結合  重 な っ て い る2つ の点 を結 合 す る設 定 交点  接 点 

2本 の 線 が 交 わ る点 に位 置 す る点 を交 点 に設 定 次 の よ うな 点 を接 点 に 設定 ・円 に 接 して い る線分 の 端 点 ・線 に 接 して い る円 周 上 の 点 ・円 に接 して い る円 周 上 の 点

線上 の点  線 上 に 置 い た点 を線 上 に 拘 束 す る 設 定 垂 線 の足  線分 上 に の せ た線 の端 点 を垂 線 の 足 とす る 設 定 解 除 

選 択 した 点 が 受 け て い る制 約 を解 除 す る設 定

 そ れ ぞ れ の 制 約 ボ タ ン を,制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」,「交 点 」,「接 点 」,「線 上 の 点 」, 「垂 線 の 足 」 ,「 解 除 」 と表 す 。 (b) 

長 さ の 設 定 

画 面 エ リア の右 下 端 に は,長 さ の単 位 が 表 示 さ れ,こ の長

さ が 画 面 上 の1の 長 さ と して 扱 わ れ る。 制 約 ボ タ ン 「長 さ」 は描 画 され て い る線 分 を選 択 して,そ

の 線 分 の長 さ を設 定 で き る。

(c)  点 と線 の 状 態 表 示  態 が 表 示 さ れ る。

点 お よ び 線 は,そ の 点 また は線 の 色 と形 に よ っ て,状

緑 色 の線 

現 在,選

択 さ れ て い て操 作 の 対 象 とな っ て い る線

白 い線 

現 在,選

択 さ れ て い な い 線,し

たが っ て,操 作 の 対 象 と な っ

て いない。 緑 でふ ち ど られ た 点… 現在,選

択 され て い て 操 作 の 対 象 とな っ て い る点

緑 の ふ ち ど りの 中 に 「+」 が あ る点… 現 在,選

択 され て い て 操 作 の対 象 とな

って い る線 分 を規 定 し て い る一 方 の 点  現 在,操 作 の 対 象 とな っ て い る状 態 を選 択 状 態 とい い,そ れ ぞ れ の点,線

を「選

択 状 態 の 点 」,「選 択 状 態 の 線 」 と表 す。 (d)  選 択 図 形 の 消 去 

点 ま た は線 が 選 択 状 態 で あ る と き,メ イ ン メニ ュ ー の

項 目 「図 形 編 集 」 の 「選 択 図 形 の 消 去 」 を ク リ ッ クす れ ば,他

の図形 は原状の ま

ま,そ の 点 ま た は線 を消 去 す る こ とが で き る。 〔例 題20〕 

長 さ1の

線 分ABを

描 画せ よ。

〔解 〕  1.  基 本 図 形 ア イ コ ン 「線 分 」 を 選 択 す る 。 そ の ア イ コ ン が 反 転 表 示 さ れ る。 2.  2点 を 指 定 し て,線 の と き,初 に はBと

分ABを

描 画 す る(図1.33)。

め に 指 定 し た 点 に はA,続

こ

い て 指 定 し た点

図1.33

い うラベ ル が 自動 的 に付 され

る。

3. 長 さ の 制 約 を施 し た い 線 分ABを 選 択,そ の 端 点Bを

選 択 状 態 に し,制

約 ボ タ ンの 「長 さ 」 を選 択 す る。 4. 選 択 した線 分 の 端 点Aか

ら 目盛 のつ

いた定 規(電 子 定 規)が 表 示 され,同 時 に 画 面 の 左 側 に操 作 パ ネ ル が 表 示 され る。

図1.34

 デ ジ タ ル(ま た は ア ナ ロ グ)を 反 転 させ る な ど必 要 な操 作 を施 し,RETURN キー を押 す か 「決 定 ・改行 」 を左 ク リ ッ クす る と,「 長 さ 単位 」 が 基 準 とな っ た 目盛 が 表 示 され る。 5. 電 子 定 規 の 設 定 用 カー ソ ル を,電 子 定 規 の基 準 点 か ら1つ 目 の 目盛 に 移 動 す

図1.35

る と,パ ネ ル の 長 さ単 位 が1.00と

表 示 され る。 こ の値 が 「長 さ単 位 」の 長 さ を

1と した 線 分 の 長 さ を表 す 。 こ の位 置 で,改 行 キー を押 す か マ ウ ス で 「決 定:改 行 」 を ク リ ッ ク し て,長

さ1の 線 分ABを

(注) 操 作 パ ネ ル に お い て,デ

得 る。

ジ タ ル を選 べ ば 設 定 用 カー ソル の 動 きが 電 子 定 規

の 目盛 に 拘 束 さ れ,▲ ▼ は 目盛 幅 の分 母 を1∼50の

間 で設 定 で き る。分 母 の 値 が

大 きい ほ ど 目盛 幅 は 小 さ くな る。 ま た,操 作 パ ネ ル に お い て ア ナ ロ グ を選 べ ば, 設 定 用 カ ー ソル は 電 子 定 規 上 の 任 意 の位 置 に 設 定 用 カ ー ソ ル を移 動 す るこ とが で き,そ の と きの パ ネ ル の示 す 数 値 が そ の 線 分 の 長 さ を表 す 。 問21  長 さ2の 線 分ABを (e) 角度

の 設 定 

描画せ よ。 また,長 さ2.5の 線分CDを

表示 せ よ。

制 約 ボ タ ンの 「角 度 」 を選 択 す る と,描 か れ て い る三 角 形

ま た は 多角 形 の 内角 の 大 き さ を180゜以 下 の 正 の角 度 に 設 定 す る こ とが で き る。 〔例 題21〕  内 角Aの 〔解 〕   1.ア

大 き さ が45゜の △ABCを

描 画 せ よ。

イ コ ン 「三 角 形 」 を選 ん で,△ABCを

角 度 を指 定 し た い 頂 点Aを

選 択 状 態 に す る。

描 画 し,図1.36の

よ うに,

図1.36

2.  制 約 ボ タ ン の 3.  45を

「角 度 」 を選 択 す る と,角

入 力 す る と,入

4.  改 行 キ ー を 押 す か,マ 45゜の 三 角 形ABCが (注)ア

力 パ ネ ル の 角 度 が45゜ と な る 。 ウ ス で 「決 定 」 を ク リ ッ ク す る と,内

角Aの

大 き さが

得 ら れ る。

イ コ ン 「角 度 」 を 使 っ て 角 度 を 指 定 で き る の は,基

角形 」お よび

「多 角 形 」 で 描 画 さ れ た 図 形 の 内 角(ま

「多 角 形 」 の 辺 の 一 方 の 端 点 が に

度 入 力 パ ネ ル が 表 示 さ れ る。

本 図 形 ア イ コ ン の 「三

た は 外 角)に

「角 度 」 の 制 約 を 受 け て い る 場 合 は

限 る 。 ま た, ,他

方の端点

「 接 点 」,「 方 向 」,「垂 線 の 足 」,「角 度 」,「 長 さ 」 を 設 定 す る こ と は で き な い 。

問22 

AB=BCで

ABCDを

(f) 接点 点,線

あ る △ABCを

描 画 せ よ。 ま た,内 角Aの

大 き さが90゜ で あ る 四角 形

描 画 せ よ。

の 設 定 

制 約 ボ タ ン 「接 点 」 を選 択 す る と,円

に 接 し て い る 円 周 上 の 点,円

に 接 して い る線 の端

に 接 して い る 円周 上 の 点 を そ れ ぞ れ 接 点 に 設

定 で き る。

〔例 題22〕   円Aと Aの

線 分CDを

描 き,端

点Cを

円 周 上 に 移 動 し て,線

分CDを

接 点 で あ る よ うに 設 定 せ よ。

〔解 〕  1.ア 描 画 す る。

イ コ ン 「円 」 を選 ん で,図1.37の

よ に,円AB並び

に 線 分CDを

円

図1.37

2. 線 分CDの

端 点Cを

選 択 状 態 に し,点Cを

円Aの

3. 制 約 ボ タ ン 「接 点 」 を選 択 す る と,端 点Cが 問23  線分AB並

びに 円CDを

周 上 に移 動 す る。

接 点,線 分CDが

描 き,円周上 の点Dを 移動 して 円CDを

接 線 と な る。 線 分ABに

接す

る円 とせ よ。 (g) 方向

の 設 定 

制 約 ボ タ ン 「方 向」 を選 択 す る と,線分 の 方 向 を,画 面 エ

リア右 下 端 の 水 平 線 ま た は画 面 上 の 他 の 線 分 に対 して 設 定 す る こ とが で き る。 〔例 題23〕

線 分ABを

描 き,この 線 分ABが

水 平 線 と60゜の角 をなす 位 置 に描 画 せ

よ。 〔解 〕  1.ア

イ コ ン 「線 分 」を用 い て,線 分ABを

この 線 分 を選 択 状 態 に,さ

らに 点Bを

描 画 す る。 図1.38の

選 択状 態 にす る。

図1.38

よ うに,

2.  制 約 ボ タ ン 「方 向 」 を 選 ん で ク リ ッ ク す る と,画

面 に は 点Aを

中 心 と し,水

平 線 を基 準 とす る電 子分 度 器 が 表 示 され る。 3.  分 度 器 の 設 定 用 カ ー ソ ル を,図1.39の

よ う に,水

移 動 す る。 こ の と き操 作 パ ネ ル に は,角

 (注)角 度 設 定 用 の 操 作 パ ネ ル に は,あ

度60.00が

平 方 向 と60゜ と な る よ う に 表 示 され る。

る角 度 を単 位

に デ ジ タル に変 え る こ とが で き る ＜ デ ジ タル 設 定 ＞ ま た は 連 続 的 に値 を変 え る こ とが で き る＜ ア ナ ロ グ 設 定＞ の い ず れ か を選 択 で き る。 ま た,＜ 垂 直＞,＜ 平 行＞ の利 用,＜ 手 入 力＞ の 利 用 も可 能 で あ る。 また,基 準 線 は,水 平 方 向,垂

直方 向 また は 他 の線 分 の い ず れ

か を選 択 で き る。 4. 操 作 パ ネ ル の 決 定 ・改行 を ク リ ッ クす る。 5. 水 平 線 と60゜の角 を なす 線 分ABが 問24  線 分AB,CDを

描 き,線 分ABを,線

る方 向 が60゜であ る よ うに設定 せ よ。

描 画 さ れ る。 分CDに

対す

図1.39

第2章  図形と方程式   「図 形 と方 程 式 」は,座 標 を 用 い た 式 の 計 算 に よ っ て 図 形 の 性 質 を 調 べ る もの で あ る。 こ れ は 図 形 を研 究 す る 基 本 的 な 方 法 の1つ の 最 も基 本 的 な 平 面 上 の 直 線,円,円

で,解

の 接 線,軌

析 幾 何 と もい わ れ る。 こ の 章 で は,そ 跡 と作 図,不

等 式 の 表 す 領 域 等 を取 り

扱 う。   な お,こ

の 章 で は 「関 数 ラ ボ 」 を使 用 す る が,他

の ソ フ トウ ェ ア を使 用 す る こ と も可

能 で あ る。

2.1 

点 と 直 線

[1]  座

標

 平 面上 の直 交す る2直 線 の交 点 をOと し,Oを 軸,y軸

を と る と き,そ れ ぞ れ は 数 直 線 で,平

上 の 任 意 の 点 は2つ

の 実 数x,yの

原点 と して 図2.1の よ うにx

面

値 の 組(x,y)

で 表 す こ とが で きる。   い ま,2点A(a,b),B(c,d)に

で あ る か ら,

対 して

図2.1

(2.1) と表 す こ とが で き る。   特 に,AC,BCの はy軸

う ちの 一 方 が 座 標 軸 に 平 行 な場 合,例 え ば,a=cの

と きはAB

に平 行 に な り,

と な る。

問1  △ABCの

辺BCの

中 点 をMと

す る と き,

で あ る こ と を 証 明 せ よ。  (注)こ れ を 中 点 定 理 とい う。 座 標 軸 の 取 り方 に よ って 問 題 の 解 法 を容 易 にす る(図2.2)。

  平 面 上 の2点A(a,b),B(c,d)を ABをm:nに

内 分,外

結 ぶ 線分

分 す る 点 の 座 標 は,そ

図2.2

れ ぞれ

で あ る 。 ま た,2点

の 中点 の座 標 は

で あ る。

〔例 題1〕  3点A(−2,1),B(4,−1),C(3,6)を

頂 点 とす る △ABCに

つ い て,次

の問 に 答 え よ 。   (1)  3辺 の 長 さ を 求 め て,△ABCの   (2)  ABの

中 点 をLと

辺 形ADBCを

し て,CDの

形 状 を調 べ よ。 中 点 がLに

な る よ う に 点Dを

求 め,平 行 四

作 図 せ よ。

〔解 〕(1)   1.  2頂 点 の 座 標 を そ れ ぞ れ(a,b),(c,d)と

し て,「 対 象 式(新

規)」 を 選 び,

√(c−a)2+(d−b)2を

入 力 す る(x,y,i,

は 定 義 式 で 定 義 で き な い)。 2.  定 義 式 にA,Bの

座 標 の 値a=−2,

b =1,c=4,d=−1を 3. 

「計 算 」 →

代 入 す る。 「展 開 と 計 算 」 を選 び 実 行

す る 。結 果 は 記 録 エ リ ア に 記 録 さ れ る(図 2.3)。 4.  BC,CAに

つ い て は,「 定 義 式 の 編 集 」

で,a,b,c,dの

値 を変 え て求 め る。記 録

よ り,△ABCはCA=CB=5√2の

二等

辺 三 角 形 で あ る(図2.4)。 図2.3

(2) 

1.  「対 象 式(新 Bの

規)」 を 選 び,A,

座 標 を 入 力 し て 中 点(1,0)を

求

め る。 2.  「対 象 式(新 標 を(f,g)と

規)」 を選 び,Dの し てf,gを

座

求 め る。

3.  「対 象 式(新 規)」 を 選 び,線 分AB, BC,CA,CDを

入 力 す る。

4.  「グ ラ フ(新 規)」 を 選 び,△ABC と 線 分CDの 5. 

「対 象 式(新

DA,DBを 6. 

グ ラ フ を 描 く。 規)」 を 選 び,線

分

入 力 す る。

「グ ラ フ(追

加)」 を 選 び,線

を 変 え て 線 分DA,DBの

種

図2.4

グ ラ フ を 描 く(図2.4)。

問2  平 面 上 の3点A(a,b),B(c,d),C(f,g)を を3:1に

外 分 す る点 を,そ れ ぞ れD,E,Fと

の 重 心 が △ABCの

頂 点 と す る△ABCの す る と き,△DEFの

重 心 と一 致 す る こ と を示 せ 。

辺AB,BC,CA

重 心 を求 め,△DEF

[2] 

直 線の方 程 式

  わ れ わ れ は,こ

れ まで に 学 ん で きた こ とか ら直 線 の 方 程 式 は,い

ずれ も

(2.2) の 形 で 表 さ れ る こ と を 知 っ て い る 。 こ れ ら はx,yに

つ いての一次方程式

(2.3) の 形 に 統 合 す る こ とが で き る。   実 際 に,も

しb≠0な

 こ れ は,式(2.2)の

ら ば 式(2.3)は,次

式 の よ うに 書 き換 え られ る。

〓,切 片

傾 き

〓の 直 線 を 表 し,b=0な

らばa≠

0で あ る か ら,

と な り,式(2.2)のx=k,す

な わ ちy軸

に 平 行 な 直 線 と な る 。 し た が っ て,式(2.

3)は 直 線 の 方 程 式 を 一 次 方 程 式 の 形 で 書 い た も の で あ る 。

〔例 題2〕  次 の 方 程 式 の 表 す グ ラ フ を 描 き,(1)の

グ ラ フ と(2),(3),(4)の

フ の位 置 関 係 を調 べ よ。

(1)

(2)

(3)

(4) 〔 解 〕  2. 

1. 

「対 象 式(新

「グ ラ フ を 描 く(新

規)」

を選 び,(1)を

規)」 を 選 び,(1)の

入 力 す る。 グ ラ フ を 描 く。

グラ

3.  直 線(2),(3),(4)に

つ いて 手 順

1.,2.を 繰 り返 して 線 種 を変 えて グ ラ フ を 描 く。こ の と き「グ ラ フ を 描 く(追 加)」 を選 ぶ 。 (1)と(2)は1点 (1)と(3)は

で交 わ る。 平行 で あ る。

(4)と(1),(3)は

垂 直 で あ る。

問3  次 の 直 線 の 方 程 式 を求 め て,そ の グ ラ フ を描 け 。 (1)  2点(−1,2),(3,5)を

通 る直線

(2)  点(1,2)を 通 り3x+2y=10に

図2.5

平 行,ま

(3)  2直 線2x+y−5=0,x−y−1=0の

たは垂 直な直 線

交 点 を 通 り,2x−3y+6=0に

〔例 題3〕  直 線2x+y+3+k(x−3y−2)=0は,kが 定 点 を 通 る こ と を 示 せ 。 ま た,そ 〔解 〕  

1.「

対 象 式(新

平行 な直線

どの よ うな 値 を とっ て も

の 交 点 の 座 標 を求 め よ 。

規)」 を 選 び,

直 線 の 方 程 式 を入 力 す る。 2. 

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を選 び,残

をONに

像

す る。

3.  パ ラ メー タ(k)の 値 を増 加 ・ 減 少 させ て 定 点 を通 るこ とを確 認 す る。

4. 連 立 方 程 式

2x+y+3=0  x− 3y−2=0

を解 い て定 点 を求 め る。 定 点 は(−1,−1) 問4  め よ。

〔 例 題3〕 の 直 線 が 原 点 を通 る よ う にkの

図2.6

値 を定 め,そ

の と きの 直 線 の 方 程 式 を求

〔例 題4〕  a=(1,4),b=(2,1)で 点A,Bを

通 る 直 線gを

表 さ れ る2

描 け 。 ま た,直

線gの

媒 介 変 数 表 示 を求 め よ。 (注)2つ

の ベ ク トルa,bで

表 さ れ る 点A,B

を 通 る 直 線 の ベ ク ト ル 方 程 式 は,tを

任 意 の実

数 と して 図2.7

で 表 さ れ る(図2.7)。 〔解 〕 p=(x,y)と 1. 

す る と,(x,y)=(1+t,4−3t)で

あ る か ら,

「対 象 式(新 規)」 を選 び,ベ ク トルa ,bを

入 力 す る((1,4)−(0,0),

(2,1)−(0,0))。 2.  「グ ラ フ(新 ルa,bを

4. 

ク ト

太 線 で 描 く。

3.  「対 象 式(追 4−3t)を

規)」 を 選 び,べ

加)」 を 選 び,(1+t,

入 力 す る。

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 び,点

軌 跡 をONに

の

し て 作 図 す る(図2.

8)。 媒 介 変 数 表 示 は,x=1+t,y=4−3 ｔで あ る。

問5 

図2.8

〔 例 題4〕 で 直 線gの

問6  点(2,−1)を し,p1(x1,y1)を

方 程 式 をax+by+c=0の

通 り,ｎ=(−1,2)に

通 りn=(a,b)に

形 で表せ 。

垂 直 な 直 線 の 方 程 式 を求 め て グ ラ フ を 描 け 。た だ

垂 直 な 直 線 の 方 程 式 はa(x−x1)+ｂ(y−y1)=0で

あ る。

2.2 

円と直線

 平 面 上 でpか

ら定 点cに

至 る距 離 が 常 に 一 定(r)で

あ る。 す な わ ち,

(2.4)

(一 定)  で あ る 点pの

軌 跡(点p全

体 の 集 合)を

円 と い う。 定 点cを

円 の 中 心,定

数rが

円 の半 径 で あ る。   座 標 平 面 で 点cの

座 標 を(x1,y1),pの

座 標 を(x,y)と

す る と,式(2.4)は

  す な わ ち,

(2.5) と な る 。 式(2.5)を

円 の 方 程 式 と い う 。 式(2.5)の

左 辺 を 展 開 して 整 理 す る と,

(2.6) の 形 の 方程 式 に な る。 逆 に,式(2.6)で

表 さ れ る図 形 はl2+m2−4n＞0の

と き円

を表 す 。 〔 例 題5〕  次 の 方 程 式 が 円 を表 す と き,kの 観 察 し,kの

どの よ う な値 に 対 して 円 に な る か を

値 の 範 囲 を求 め よ。

(2.7) 〔 解 〕 1. 

「対 象 式(新

規)」 を 選 び,式(2.

7)を 入 力 す る 。 2.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を 選 び,kの

ど

の よ う な 値 に 対 し て 円 に な る か を確 認 す る。   式(2.7)を

変 形 す る と,(x+k)2+

  (y−3)2=k2−9   し た が っ て,k2−9＞0。 k＜−3,k＞3の

す な わ ち,

図2.9

と き 円 を 表 す 。 こ の と き 中 心 はc(−k,3)で

あ る。

  円x2+y2=r2と

直 線y=mx+nの

共 有 点 の座 標 は,そ れ らの 方 程 式 を連 立 方 程

式 とみ な した とき の実 数 解 で あ る。2式 か らyを 消 去 した方 程 式

(2.8) の 判 別 式 をDと

す る と き,実

数 解 の 個 数 は,

・D＞0 〓

  異 な る2点

で 交 わ る。

・D=0 〓

  1点 で 交 わ る(接

・D＜0 〓

  共 有 点 を も た な い(交

す る)。 わ ら な い)。

〔例 題6〕  直 線y=2x+kが,円x2+y2=10と2点 囲 を 求 め よ 。 ま た,接 〔解 〕1. 

で 交 わ る よ う にkの

す る と き のkの

「対 象 式(新

規)」

値 の範

値 と接 点 の 座 標 を 求 め よ 。

を 選 び,

円 の 方程 式 を入 力 す る 。 2. 

「グ ラ フ を描 く(新

規)」 を 選 び,

グ ラ フ を 描 く。 3.  「対 象 式(新

規)」 を 選 び,直

方 程 式y=2x+kを

線の

入 力 す る。

4.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を 選 び,kの

値

を 変 化 さ せ て 共 有 点 の 個 数 を調 べ る (図2.10)。   y=2x+kをx2+y2=10に 判 別 式 ＞0と

図2.10

代 入 して

し て 解 く と,k＜−5√2,k＞5√2の

ま た,k=±5√2の

と き 接 し,接

問7  円x2+y2=9と

直 線y=mx+3の

問8  円x2+y2=10の

円 周 上 の 点(−1,3)に 円 周 上 の 点(a,b)に

線y=2x+kが,円x2+y2=25に

あ る。

共 有 点 の 個 数 を調 べ よ。 ア ニ メ ー シ ョ ン で 共 有

と は 計 算 で 求 め よ。

問9直

で 交 わ る こ とが わ か る 。

点 の 座 標 は(−2√2,√2),(2√2,−√2)で

点 の 状 態 を予 想 し,あ

(注)円x2+y2=r2の

と き2点

お け る接 線 を 求 め て グ ラ フ を描 け 。 お け る接 線 の 方 程 式 はax+by=r2で 接 す る と きのkの

あ る。

値 と接 点 の 座 標 を求 め よ。

問10 c(−3,−2)を

中心 とす る 円 が 点(6,5)を 通 る。 こ の と きの 半 径rを

〔例 題7〕 は,kが

求 め よ。

 (2.9)

ど の よ う な 値 を と っ て も2定

点 を 通 る 円 を 表 す こ と を 示 せ 。 ま た,そ

の2

点 を求 め よ。 〔解 〕 1. 

「対 象 式(新

方 程 式(2.9)を

規)」 を 選 び,

入 力 す る。

2.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を選 び,kの を 変 化 さ せ て 円 が2定

値

点 を通 る こ と

 を確 認 す る。   方 程 式(2.9)をkで

こ れ がkに

整 理 す る と,

つ い て の恒 等 式 で あ る条

件 は, 図2.11

で あ るか ら,こ れ ら を解 い て こ れ が2定

問11 

〓を得 る 。

点 の座 標 で あ る。

方 程 式x2+y2+kx−ky−4=0で

表 さ れ る 円 は,kが

に 定 点 を 通 る こ と を示 せ 。ま た,こ の 円 が 円x2+y2=1に

2.3 

ど の よ う な 値 を と っ て も常

接 す る と き のkの

値 を求め よ。

軌 跡 と方 程 式

 一 般 に 与 え られ た 条 件 を満 たす 点 全 体 の 集 合 を

,そ の 条 件 を満 たす 点 の軌 跡 と

い う。 例 え ば,点cを

中心 とす る半 径rの

円 は,

cp=r とい う条 件 を満 た す 点 の 軌 跡 で あ る。   い ま,条 件 を満 た す 点pの

座 標x,yの

間 にf(x,y)=0が

成 り立 つ とき

(2.10) が 表 す 図 形Kが,そ

の 軌 跡 と い う こ とが で き る 。

〔例 題8〕  座 標 平 面 上 の2定

点A(−2,0),B(2,0)に

対 して

(2.11) を み た す 点Pの

軌 跡 を求 め よ。

〔解 〕 与 え られ た 条 件 を 満 た す 点Pの

座 標 を(x,y)と す る と,

こ れ を,式(2.11)に

代 入 して

x =1 す な わ ち,ABを3:1に 点Cを

通 り,ABに

内分 す る 垂 直な直線 で

あ る。 (注)  軌 跡 を 証 明 す る に は,   (1)  与 え ら れ た 条 件Fを す 点 は,図

形K上

  (2)  逆 に,図

点 は 条 件Fを

満 た

に あ る。 形K上

図2.12

の任 意 の

満 た す こ と を示 す 。 しか し,〔例 題8〕 の よ うに座 標 を用 い て 条 件 を

方 程 式 で 表 した場 合 に は,途

中 の 計 算 が 同値 で あ る場 合 に は(2)の 説 明 を省 略 す

る。 〔例 題9〕  定 点A(1,−2)と AQの

中点Pの

〔解 〕  

し,点Qが

直 線5x+3y=15上

を動 く とす る。線 分

軌 跡 を求 め よ。

1.  「対 象 式(新 規)」 を選 び,5x+3y=15を

入 力 す る。

図2.13

2. 

「グ ラ フ を 描 く(新

3.  「対 象 式(新

規)」 を 選 び,直

規)」 を 選 び,tを

「対 象 式(追

加)」 を 選 び,Pの

グ ラ フ を描 く。

パ ラ メ ー タ と し てQの

Aの 座 標 を(1,−2)と して 線 分AQを

4. 

線5x+3y=15の

座 標 を,〓

表 す 式 を入 力 す る。

座 標

〓を 入 力 す る 。

5.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を 選 び,「 残 像 」,「 点 の 軌 跡 」をONに Pの

座 標 を(x'y')と

す る と,x=2x'−1,y=2y'+2で

15に 代 入 す る と5x'+3y=7,す

なわ ち

し て グ ラ フ を 描 く。

あ る。 こ れ を5x+3y=

〓で,も との 直 線 と平行 で

あ る。

問12 kの

値 が い ろ い ろ 変 わ る と き,放 物 線y=x2−2kx+1の

問13  a,b,cを

そ れ ぞ れ 独 立 に 変 化 させ て 放 物 線y=ax2+bx+cの

に 変 化 す るか ア ニ メー シ ョ ン で 確 認 せ よ 。

頂 点 の 軌 跡 を求 め よ。 グ ラ フが どの よ う

〔例 題10〕 

2定

で あ る 点Pの 〔解 〕 

1. 

点A(−2,0),B(1,0)が

軌 跡 を求 め よ。 「対 象 式(新

を 選 び,2点A,Bを 2. 

あ る。

規,追

加)」

入 力 す る。

「対 象 式(追

加)」

を選 び,

 す な わ ち,

(2.12)  を 入 力 す る 。 3. 

「グ ラ フ を 描 く(新 規)」

を選 び,

グ ラ フ を 描 く。

図2.14

  式(2.12)は(x−2)2+y2=4と と し,半

径2の

同 値 で あ る 。 し た が っ て,x軸

上 の 点(2,0)を

中心

円 とな る。 こ の 円 を ア ポ ウ ニ ウ スの 円 と い う。

問14  2定 点A(−2,0),B(2,0)に

至 る 距 離 の 平 方 の 和 が12に

等 しい 点Pの

軌 跡 を求め

よ。

〔例 題11〕   点Qが

円

(2.13) の 円 周 上 を 動 く と き,線 〔解 〕  2. 

1. 

分OQの

「対 象 式(新

中 点Pの

軌 跡 をア ニ メ ー シ ョ ン で調 べ よ。

規)」 を 選 び,式(2.13)を

「グ ラ フ を 描 く(新 規)」

を 選 び,式(2.13)の

3.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 用 い る た め,式(2.13)の

入 力 す る。 グ ラ フ を描 く。 グ ラ フ を θをパ ラ メー タ と し

て

(2.14)  と表 す と,Pの

座標は

図2.15

  で あ る 。 「グ ラ フ を 描 く 」→ 「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を選 び,点 θ を 変 化 さ せ てPの

して

変 化 を調 べ る。

中 心 の 座 標(2,3),半

径1の

問15  中心 が 原 点 で 半 径3の 分AQを2:1に

の 軌 跡 をONに

円 に な る。

円 が あ る。 円 周 上 の 任 意 の 点Qと

内 分 す る 点Pの

定 点A(−3,0)を

結 ぶ線

軌 跡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 調 べ よ。ま た,そ の 軌 跡 を 求 め

よ。

2.4  不 等式の 表す領域 [1] 

不等 式の領 域

  直 線g:y=x−1は 域 をA,下

座 標 平 面 を2つ の 領 域 に分 け る。い ま,こ の 直線 の 上 側 の領

側 の 領 域 をBと

す る とき

で あ る。 ま た,直

線gは,方

x−1を 満 た す 点(x,y)の

程 式y=

集合 で

と表 さ れ る。   一 般 にf(x,y)をx,yに し て,f(x,y)=0が

関 す る式 と 座 標 平 面 を い くつ

か の 領 域 に 分 け る と き,  

・{(x,y)￨f(x,y)＞0}で

f(x,y)の

あ る領 域 を

図2.16

正領 域

  ・{(x,y)￨f(x,y)＜0}で

あ る領 域 をf(x,y)の

負領 域

と い う。   例 え ば,x−y−1の

正領 域は

す な わ ち,{(x,y)￨y＜x−1}でy=x−1の

直 線 の 下 側 と な る。

〔例 題12〕  次 の不 等 式 の 表 す 領 域 を 図 示 せ よ。

(1) (2) (3) 〔解 〕  (2)に つ い て 1.  「対 象 式(新 規)」 を選 び,y≧x2− 4x+3を 2. 

入 力 す る。

「グ ラ フ を描 く(新

規)」 を 選 び,

領 域 の パ ター ン を適 切 に選 ぶ 。 図2.17

(1),(3)に

つ い て も同様 の 手 順 に よ る。

(1)  不 等 式2x+y≦1の

表 す 領 域 が 図 示 さ れ る 。 こ の 場 合 は,直

線2x+y=1

を含 む 。 (2)  y=x2−4x+3の

放 物 線 の 上 側 の 領 域 。 た だ し,境

(3)  円(x−2)2+(y+1)2=8の 問16 

内側

次 の式の正 領域 を図示せ よ。

(1) [2] 

界 を含 む。

(2)

(3)

連 立不等式 の表す領 域

  い くつ か の不 等 式 が 与 え られ た と き,そ れ ら の不 等 式 を同 時 に 満 た す(x,y)全 体 の 集 合 は,そ れ ぞ れ の不 等 式 が 表 す領 域 の 共 通 部 分 で あ る。 〔例 題13〕   次 の 連 立不 等 式 の 表 す 領 域 を図 示 せ よ。

① ② 〔解 〕 

1.  「対 象 式(新

び,式

① を入 力 す る。

2.  「対 象 式(追

規)」 を 選

加)」 を 選 び,式

②

を入 力 す る。 3.  「グ ラ フ を 描 く(新 規)」,「 共 通 部 分 」 を 選 び,領 円x2十y2=4の 2x+1の

問17 

域 を図 示 す る。 内 側,直

線y=

上 側 の 共 通 部 分 で あ る。

次の不 等式 の表 す領 域 を図示せ

よ。

(1)

図2.18

(2)

(3) [3] 

領 域 に お け る 最 大,最

  あ る制 約 条 件 が,x,yに も と でx,yで

小

つ いて の不 等 式 で 表 さ れ て い る と き,こ の制 約 条 件 の

表 され た あ る式f(x,y)の

  不 等 式 の 表 す 領 域 を 図 示 し,点(x,y)が 値,最

最 大 値,最 小 値 を求 め る問 題 を取 り扱 う。 こ の 領 域 に あ る と きのf(x,y)の

小 値 を求 め る こ とに な る。 最 も基 本 的 な も の と して,次

最大

の よ うな 問 題 が 考

え られ る。 〔 例 題14〕   x,yが4つ

を み た す と き,x,yに

の 最 大 値,最 〔 解 〕 

つ いての式

小 値 を求 め よ。

1.  「対 象 式(新 規),(追

を 選 び,4つ 2. 

の不等式

加)」

の不 等 式 を入 力 す る。

「グ ラ フ を 描 く(新

規)」 を 選 び,

4つ の 不 等 式 の 共 通 部 分 の 領 域 を 図 示 す る。 3.  「対 象 式(新

規)」 を選 び,x+y=

kを 入 力 す る 。 4.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を選 び,kの

図2.19

値 を 変 化 させ て,2で

求 め た領 域 との共 有 点

を もつkの

最 大値

値,最

大 値,最

小 値 を求 め る。

〓,最小 値0

問18 x2+y2≦4の

と き,2x+yの

と る 値 の 最 大 値,最

小 値 と,そ

の と き のx,yの

値 を

求 め よ。 問19 

4x2+3y2≦12の

と き,2x−yの

〓を楕 円 とい う(第3章

値 を求 め よ。 問20 

と る 値 の 最 大 値,最

小 値 と,そ

参 照)。

4つ の 不 等 式x≧0,y≧0,x+y≧1,3x+4y≦12で

(x,y)が

こ の 領 域 内 に あ る と きのx2+y2の

の と き のx,yの

最 大 値,最

表 され る領 域 を図 示 し,点 小 値 を求 め よ 。

練習問題 1.  点(5,4)か

ら 直 線4x+3y−12=0に

(注)点(x,y)か

至 る距 離 を 求 め よ。

ら直 線ax+by+c=0に

至 る 距 離 は,

  で 与 え ち れ る。 2.  正 方 形ABCDの にCP=CQの

頂 点 をA(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)と 点P,Qを

を確 認 せ よ 。 ま た,こ

と る と き,Qか

らAPに

下 ろ した 垂 線QHは

定 点 を通 る こ と

の 定 点 の 座 標 を求 め よ。

3.  円x2+y2−2x+2y−2=0に (1)  こ の 円 と直 線2x−y−1=0と

つ い て,次

の問 に 答 え よ 。

の 交 点P,Qの

(2)  x2+y2−2x+2y−2+k(2x−y−1)=0は,kが P,Qを

す る。 辺BC,CD上

座 標 を求 め よ。 ど の よ う な 値 を と っ て も2点

通 る 円 を表 す こ と を確 認 せ よ 。

4.  円x2+y2+2x−2y−(1+k)=0が,円x2+y2=9に

接 す る よ うにkの

値 を 求 め よ。

5.  次 の 不 等 式 の 表 す 領 域 を図 示 せ よ。

(1)

(2)

(3) 6. x,yが

不 等 式x≧0,y≧0,5x+2y≧10,3x+4y≧12を

満 た す と き,3x+2yの

最 小 値 を求 め よ。 7.  点(X,Y)が

円X2+Y2=1の

円 周 上 を動 くとき,点(X+Y,XY)の

軌 跡 を求 め よ。

第3章  二 次 曲 線   こ の 章 で は,x,yの れ,定

二 次 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 を 取 り扱 う。 これ ら は3種

類 に分類 さ

点 や 定 直 線 へ の 距 離 に 関 す る関 係 を満 た した 軌 跡 と して も定 義 さ れ て い る 。 軌 跡

を 取 り扱 う と き 関 数 ラ ボ を使 い,数 値 処 理 も併 せ て 行 い た い と き はMathcadを

使 うこ

と に す る。

3.1 

楕

円

[1]  楕 円の定義1  半径aの 円 を上下 方向 に〓 倍 す る と,そ の 方程 式 は〓 形 す る と〓

と な る。 この 方 程 式 で 表 され る 曲線 を楕 円 とい う。

〔例 題1〕   点P(x1,y1)が

半 径aの

の描 く軌 跡

円 周 上 を 動 く と き,点〓

を 関 数 ラ ボ で 調 べ よ 。 た だ し,a=5,b=4と 〔解 〕 半 径aの

とな り,変

せ よ。

円 周 上 の 点 は 三 角 関 数 の 定 義 よ り,P(acosθ,asinθ)と

る 。 し た が っ て,Q(acosθ,bsinθ)と

し て 軌 跡 を 調 べ れ ば よ い 。 図3.1の

考 え 関数 ラ

ボ の 記 録 に 従 っ て 入 力 し て い く。 式 の 左 側 の 記 号 で 入 力 の 仕 方 が 判 断 で き る 。1 行 目 は 対 象 式(新

規)の

入 力 で あ り,2∼4行

目 は 対 象 式(追

加)の

入 力 で あ る。

5∼8行

目 は定 義 式 の 入 力 で あ る。

  こ の 後,グ

ラ フ の メニ ュ ー の 中 の ア ニ メー シ

ョ ン を実 行 し,θ

の 値 を 増 減 させ る と,点Qが

動 い て い く。CTRLキ と,軌

ー を 押 し な が らTを

押す

跡 を 描 くモ ー ドに 変 わ る の で 軌 跡 が 楕 円

と な る こ と が,図3.2の た,CTRLキ

よ うに 確 認 で き る。 ま

ー を 押 し な が らSを

描 く モ ー ド に 変 わ り,図3.3の

押す と残 像 を よ うに な る。 図3.1

図3.2

図3.3

〔 例 題2〕  次 の 方 程 式 で 表 され る楕 円 を関 数 ラ ボ で 描 け 。

(1) (2) 〔 解 〕  (1),(2)の2つ

の 式 を関 数 ラボ の 対 象 式 と して

入 力 し て,「 グ ラ フ を 描 く(新 3.4の

規)」

を実 行 す れ ば,図

よ うに な る。

〓とな る の で,中

(2)は

(−1,1)の

楕 円 で あ る。

心が

図3.4

問1  点P(x1,y1)が

楕 円〓

上 を 動 く と き,点Q(2x1,2y1)の

動 く軌 跡 を関 数 ラ ボ

で 調 べ よ。

[2] 

楕 円 の 定 義2

  2定 点F,F'か

ら の 距 離 の 和 が 一 定 で あ る 点 の 軌 跡 を 楕 円 と い い,F,F'を

焦点

とい う。  a ＞c＞0の

と き,2点F(c,0),F'(−c

程 式 はb=√a2−c2と

お く と,〓

,0)か ら の 距 離 の 和 が2aで

あ る楕 円 の 方

で あ る。

  2定 点 か らの 距 離 の和 が 一 定 の 点 の 軌 跡 は,輪 に した ひ も と,2つ 筆 で描 くの が一 番 納 得 で き るの で あ るが,コ

の ピ ン と鉛

ン ピュ ー タ を使 う と和 の 長 さ,焦 点

間 の 距 離 な ど を 自由 に 変 更 で き,楕 円 の 形 が ど う変 わ るか に つ い て簡 単 に 調 べ ら れ る。 〔例 題3〕  F(3,0),F'(−3,0)か

らの 距 離 の 和 が10で

あ る点 の 軌 跡 を,和 が一 定

で あ る こ とが わ か る よ うに 関数 ラ ボ で描 け 。

図3.5

  図3.5の

図3.6

記 録 を見 て 入 力 す る。アニ メー ションで θを変 化 させ て いくと,図3.6の

よう

に,大 きな円 に小 さな円 が 接 しなが ら動 い ていくの で,距 離 の和 が 一 定 で あることが実 感 で きる。 楕 円上 の点 は 〔 例 題1〕 が一 定 である軌 跡 が 〔 例 題1〕

で調 べ た媒 介 変 数 表示 で とっているの で ,距 離 の和 の楕 円 と同 じであることが わか る。

問2  〔 例 題3〕 にお い て補 助 の 円 をか か ない よ うに し,焦 点 の座 標 を 自由 に変 更 で きる よ うに して軌 跡 を調べ よ。

[3]  軌 跡 が 楕 円 と な る 例

〔例 題4〕  長 さ5の 線 分ABが き,ABを3:2に

あ っ て,点Aはx軸

分 け る点Pは

〔解 〕  図3.7の

上,点Bはy軸

上 を動 く と

どの よ うな 曲線 上 を動 くか。 関 数 ラ ボ で 調 べ よ。

記 録 を 見 て 入 力 し,ア

ニ メー シ ョ ン機 能 で θ を 変 化 さ せ る と,図3.8の t =5sinθ

よ う に な る。s=5cosθ, と す る と,√s2+t2=5と

る の で,(s,0),(0,t)は 端 点 で あ り,線

長 さ5の

分ABを3:2に

す る 点 が(2cosθ,3sinθ)と

な 線分 の 内分

な り,軌

跡 が 楕 円 と な る の で あ る。

図3.7

問3 

外 分 す る 点 の 軌 跡 を調 べ よ 。

〔 例 題4〕

に お い て,線 分ABを2:1に

図3.8

3.2  双 曲 線 [1]  双 曲 線 の 定 義   2定 点F,F'か

らの 距 離 の 差 が 一 定 で あ る点 の 軌 跡 を双 曲 線 と い い,F,F'を

点 と い う。c＞a＞0の (1)  2点(c,0),(−c,0)か

√c2−a2 と 置 く と,〓

(2)  2点(0,c),(0,−c)か √c2−b2 と 置 く と,〓

と き, ら の 距 離 の 差 が2aで

あ る 双 曲 線 の 方 程 式 は,b=

であ る。

ら の 距 離 の 差 が2bで で あ る。

あ る 双 曲 線 の 方 程 式 は,a=

焦

〔例 題5〕  F(5,0),F'(−5,0)か

ら の 距 離 の 差 が6で

あ る点 の 軌 跡 を関 数 ラ ボ で

調 べ よ。

〔解 〕 図3.9の

記 録 に 従 っ て 入 力 す る 。〓

−tan2t=1で

あ る の で,〓

の 上 の 点 で あ る。 こ の 点 とF,F'

は〓

と結 ん だ 折 れ 線 を 動 か し て い き軌 跡 を 調 べ る 。 ま ず,ア

ニ メ ー シ ョ ン を 選 択 し,aの

し た 後,点

〔例 題6〕  

の 軌 跡 をONと

〔 例 題5〕

し,tを

値 を3に

図3.9

変 化 さ せ る。

の 双 曲 線 に つ い て,距

離 の 差 が 一 定 と い う こ とが わ か る よ

うに補 助 の 円 を描 け 。 〔解 〕  〔 例 題5〕 に お い て,図3.10の

変 化 させ る と,図3.11の

記 録 を 追 加 し,ア

ニ メ ー シ ョ ン でtの

よ うに,右 側 の部 分 が 表

示 さ れ る。 距離 の差 が 一 定 で あ る こ とが2つ

の円

に よ り確 認 で き る。tの 値 を更 に 変 化 させ て 双 曲 線 の左 側 の 部 分 を描 く とき は,座 標 軸 の倍 率 を縮 小 す る と,円 が 内接 して い る状 態 で,差 あ るこ とが 図3.12の

図3.11

が一 定 で

図3.10

よ うに確 認 で き る。

図3.12

値 を

問4  2点(0,5),(0,−5)か

らの 距 離 の 差 が8で

あ る点 の 軌 跡 を調 べ よ。

問5  次 の 方 程 式 で 表 さ れ た グ ラ フ を関 数 ラ ボ で 描 け 。

(1)

(2)

(3)

[2]  関数の グ ラフ と して描画  x軸 に 焦 点 の あ る双 曲 線 の 一 般 形 をyに つ い て解 く と,〓

であ

り,こ れ を別 々 に関 数 の グ ラ フ と して 描 画 す る。 関 数 ラ ボ は グ ラ フ は きれ い に描 け るが,対 応 表 を併 記 す る こ とが で き な い の で,Mathcadで の グ ラ フ を描 け 。

〔 例 題7〕  関 数〓 〔 解 〕 図3.13のMathcadワ か ら5ま

で を40等

処 理 す る こ とに す る。

ー ク シ ー ト を作 成 す る。xを

分 し て 値 を代 入 し て い る 。 「f(x)@」

が 確 保 さ れ,「x」,Tabキ

ー,「x1」,Tabキ

レ ン ジ 変 数 と し,−5

と入 力 す る と グ ラ フの 枠

ー,「−1」,リ

タ ー ン キ ー と押 す と,

グ ラフ が 表 示 さ れ る。   次 に,グ ラ フの 大 きさをマ ウ ス で 変 更 す る。Mathcadで くの で,−3≦x≦3の

部 分 が0と

リター ン キ ー,「f(x)=」,リ

は 虚 部 を無 視 して グ ラフ を描

み な され て しまって い る。xとyの

値 の 対 応 は,「x=」,

ター ン キー と入 力 す るこ とで 簡 単 に 表 され る。

図3.13

の グ ラ フ を 方 程 式 をyに

問6  双 曲線〓

つ い て 解 き,関 数yの

グ ラフ を描

くこ と で 表 示 せ よ。

[3]  双曲線 の漸近 線 の 漸 近 線 は,直 線〓

 双 曲線〓

で あ る。

の漸近 線 が 直線〓

〔 例 題8〕  双 曲 線〓

であ る こ とを グラ フ を

描 い て確 か め よ。 〔 解 〕  〔 例 題7〕 の グ ラ フ はx=±3の つ い て 解 き,yの

関 数xの

図3.14のMathcadワ

にyの

と 同 じ よ う に し て,

して グ ラ フ を描 い て い る。 グ ラ フ フ ォ ー マ ッ トは 図

よ う に 設 定 す る。r=100な

様 子 を 確 認 す る 。y軸 にxの が,x軸

グ ラ フ を描 い た方 が よい 。〔 例 題7〕

ー クシー トを作 成 す る。表 示 領 域 を簡 単 に変 更 で き る よ う

に−r≦y≦r,−r≦x≦rと 3・15の

近 くで 点 が 荒 くな っ て い る。 方 程 式 をxに

ど と し,関 数g(y)と

±a/byの 値 が 近 づ い て い く

関 数 を 複 数 並 べ た と き は,x軸

関 数 を 複 数 並 べ た と き は,y軸

図3.14

の 変 数yはyの

の 変 数xは1つ

で よい

関 数 の個 数 と同 じ

図3.15

だ け 並 べ な け れ ば な らな い 。 問7  双 曲線〓

と,そ

の 漸 近 線 の グ ラ フ を描 き,近 づ き 方 を調 べ よ 。

3.3  放 物 線 [1] 

放物 線の定 義

  定 直 線lとl上 焦 点,定

に な い 点Fか

ら等 距 離 に あ る点 の軌 跡 を放 物 線 とい い,点Fを

直 線lを 準 線 とい う。p≠0の

と き,

(1)  準 線x=−p,焦

点F(p,0)の

放 物 線 の 方程 式 は,y2=4pxで

あ る。

(2)  準 線y=−p,焦

点F(0,p)の

放 物 線 の 方程 式 は,x2=4pyで

あ る。

〔例 題9〕  直 線x=−1と 〔解 〕 図3.16の

点(1,0)か ら等 距 離 に あ る点 の軌 跡 を調 べ よ。

記 録 に 従 っ て 関数 ラ ボ に 入 力 す る。 放 物 線 の 方 程 式 を使 っ て し

ま って い るが,等 距 離 に あ る こ と を実 感 させ るた め に 円 を 表示 す る よ うに して い る。 ア ニ メー シ ョ ン を実 行 す る と,初 期 状 態 でp=1と

な っ て い る。 点 の軌 跡 を

ONに

し てtを

変 化 させ る と,図3.17の

よ う に な る 。pの

値 を 変 更 し て,放

が ど う変 わ る か も確 認 す る と よ い 。

図3.16 図3.17

問8  直 線y=−1と

点(1,1)か

ら等 距 離 に あ る点 の 軌 跡 を調 べ よ 。

[2] 軌跡が放物線となる例 〔 例 題10〕   円(x−4)2+y2=4と

直 線x=−2

の 両 方 に 接 す る 円 の 中 心Pの だ し,円

軌 跡 を調 べ よ 。 た

と円 は外 接 す る もの とす る。

〔解 〕  中 心Pと2つ

の 接 点 と の 距 離 は,こ

の

円 の 半 径 の 長 さ で あ り等 し い 。 し た が っ て,点 Pと

点(4,0)と

の 距 離 と 点Pと

直 線x=−4と

の 距 離 が 等 し い 。 ゆ え に,点Pは 準 線x=−4の

焦 点(4,0),

放 物 線 を 描 く。 図3.18の

記録 に

従 っ て 関 数 ラ ボ に 入 力 す る と,図3.19の

よ うな

軌 跡 が 得 ら れ る 。 対 象 式 を 新 規 入 力 し,そ

図3.18

のつ

ど グ ラ フ を描 く と 線 種 を 別 々 に 指 定 で き る 。

問9 

〔 例 題10〕 に お い て,中

の 円 を 内接 させ る と きの 点Pの

心Pの

円 が も う1つ

軌 跡 を調 べ よ。

図3.19

物線

3.4  [1] 

二次曲線

二 次曲線の 定義

 x,yの

二 次 方 程 式 で 表 され る曲 線 を二 次 曲 線 と い う。特 殊 な場 合 を 除 くと,そ

の グ ラ フ は 円,楕 円,双

曲線,放

物 線 の どれ か とな る。

〔例 題11〕   次 の 方 程 式 で 表 さ れ る曲 線 を描 け 。

(1)

(2)

(3) 〔解 〕 図3.20の 描 く(新 規)を

記 録 に 従 っ て 入 力 し,グ ラ フ を

実 行 す ると,図3.21の

ように な る。

図3.20

問10 

次 の 方 程 式 で 表 さ れ た 図 形 を描 け 。

(1)

図3.21

(2)

(3) [2] 

離心 率

 定 点Fと定直 の 値eが

線lへ

の距離 の 比PF/PH

一 定 で あ る 点 の 軌 跡 はFを

焦

点 とす る二 次 曲線 で あ り,以 下 の よ うに な る。 e =1の

と き,放 物 線

e＜1の と き,楕 円

図3.22

e＞1の こ のeを

と き,双

曲線

離 心 率 とい う。

〔例 題12〕 

点(2,0)と

直 線x=5へ

の 距 離 の 比 の 値 γ が 一 定 で あ る 点 の 軌 跡 を,

γ の 次 の 値 に つ い て 調 べ よ。

(1)

(2)

(4)

(5)

〔解 〕 図3.23の

(3)

記 録 に従 って 関 数 ラ ボ に 入 力 す る。 距 離 の 比 が 等 しい とい う式

を変 形 して 点 の座 標 を計 算 して い る ため,ル ートを使 う こ とに な り,曲 線 の 上 半 分 と下 半 分 を 同 時 に 描 くこ とに した。 計 算 式 の評 価 に 時 間 が か か る た め,ア た 後,パ

ニ メ ー シ ョ ン を実 行 し

ネ ル が現 れ る まで に か な りの時 間 が

か か る。 点 の 軌 跡 をONに

して,軌 跡 を描 く

が,γ を 変 更 す る と き は,一 度,点 の 軌 跡 を OFFに

図3.23

して か ら行 う。 実 行 結 果 は 図3.24と

な る。  (注1)離

心率 をeに

した か っ たが,関 数

ラ ボで は,自 然 対 数 の 底 に な って し ま うの で,γ

と した。

 (注2)x軸

の 近 くで グ ラ フ が 切 れ る と き

が あ る。 そ こ で増 減 幅 を小 さ くす れ ば あ る 程 度 解 消 す る。 問11 

原 点 と直 線x=1へ

で あ る 点 の 軌 跡 を,γ

(1)

(2)

の 距離 の比 γが一定

図3.24

の 次 の値 に つ い て 調 べ よ。

(3)

(4)

[3]  接

線

 二 次 曲線 の 曲 線 上 の 点(x1,y1)に お け る接 線 の 方 程 式 は,次 の よ うに な る。 (1)  楕円〓

の接 線 の 方 程 式 は,

(2) 双曲 線〓

の 接 線 の方 程 式 は,

(3) 放 物 線y2=4pxの

〔例 題13〕 楕円〓 〔解 〕 図3.25の

接 線 の 方 程 式 は,y1y=2p(x+x1)

上 の 点(4cost,3sint)に 記 録 に 従 っ て 入力 し,アニ

お け る接 線 を描 け 。

メ ー シ ョ ン を 実 行 し,tを

変 化 させ る

と楕 円 上 を接 線 が動 い て いく 。 問12 放

物線y2=4x上

〔例 題14〕  楕 円〓

の 点(〓,t)に

お け る 接 線 を描 け。

へ 点(5,4)か ら 引 い た2本

の 接 線 の接 点 ど う し を結 ん だ直 線 の 方程 式 を求 め よ。 図3.25

〔 解 〕 接 点 を(x1,y1),(x2,y2)と =1が点(5

す る と接 線〓

,4)を 通 る こ と よ り,〓,同

したがっ て,2つ

の接点 は 直 線〓…①

様 に して〓

である。

上 に あ る。 図3.26の記録に

図3.26

図3.27

従っ

て 入 力 し,ア

ニ メー シ ョ ン でkを

変 化 させ て,点(5,4)を

楕 円 と 直 線 ① の 交 点 を 通 る こ とが 図3.27の

問13 

〔 例 題14〕 に お い て,楕

とな る と き,接

[4]  焦

通 る 直 線 が 接 す る と き,

よ う に 確 か め ら れ る。

円 上 の 接 線 の ほ う を動 か し,楕

円 と直 線 ① の 交 点 が 接 点

線 が 点(5,4)を 通 る こ と を示 せ 。

点

 二 次 曲 線 の 焦 点 の名 前 の 由 来 は,曲 線上 で光 が 反 射 して1点 に 集 まる こ とに あ る 。

(1) 放 物 線 の 軸 に 平 行 な光 線 が 放 物 線 に 焦 点 側 か ら 当 た っ て 反 射 す る と,そ れ ら は 焦 点 に 集 ま る。 (2) 楕 円 の1つ

の 焦 点 か ら出 た光 線 は,楕 円 で 反射 して も う1つ の 焦 点 に 集 ま る。

(3) 双 曲 線 の1つ

の 焦 点 か ら 出 た光 線 は双 曲 線 で反 射 す る と,も

ら 出 た 光 線 の よ うに な る。

う1つ の焦 点 か

〔例 題15〕  放 物線y2=4xの

焦 点か ら出 た光

線 が 放 物 線 で 反 射 し て平 行 光 線 とな る様 子 を関 数 ラ ボ で確 認 せ よ。 〔 解 〕 図3.28の

記録 に従っ て 入 力 す る。 反射

点 に お け る接 線 を引 い て 入射 角 と反 射 角 が 等 し

図3.28

い こ とを実 感 させ る。 ア ニ メー シ ョン でtを 変 化 させ る と,反 射 点 が 動 い て い き光 線 が平 行 で あ る こ とが 図3.29の 問14 

楕円〓の1つ

が 楕 円 で 反 射 し て,他

よ うに 確 認 で き る。 の焦点 か ら 出 た 光 線 の 焦 点 に 向 か う こ と をa=5

と して 確 か め よ 。

図3.29

[5]  円錐 曲線   円錐 を頂 点 を通 らな い 平 面 で 切 る と切 り口が 放 物 線,楕 円,双 曲 線 とな るの で, 二 次 曲 線 を 円 錐 曲 線 と もい う。

〔例題16〕  Mathcadの

円錐z=1−√x2+y2を

平 面〓

た とき の 切 り口 を

面 プ ロ ッ トで 調 べ よ 。

〔解 〕 図3.30のMathcadワ

ー ク シ ー トを 作 成 す る 。 ま ず,「 マ ス 」 の 中 の 「組

み 込 み 変 数 」 を選 択 し,ORIGINを0に 1〓y〓1の

で切っ

領 域 を50×50の

設 定 す る。 次 に,2行

等 間 隔 に と る こ と を 決 め,配

い る。 円 錐 の 方 程 式 をz=f(x,y),平

列 変 数xi,yiに

面 の 方 程 式 をz=g(x,y)と

図3.30

目 で−1〓x〓1,− 代 入 して

し,if関

数 を

1

使 っ て,円

錐 の 平 面 よ り上 に あ る部 分 を 切 っ て い る。 さ ら にif関

の 部 分 を 表 示 し な い よ う に し た 。 行 列Mi,jにf(xi,yi)を 「面 プ ロ ッ ト作 成 」を選 び

,グ

数 を 使 い,z＜0

代 入 し,「 グ ラ フ 」の 中 の

ラ フ の 左 下 の と こ ろ にMを

入 力 す る と,三

次元 グ

ラ フ が 表 示 さ れ る 。 グ ラ フ の と こ ろ を ク リ ッ ク し た あ と,「 グ ラ フ 」の 中 の 「面 プ ロ ッ トフ ォ ー マ ッ ト」 を 選 び,図3

.31の

よ うに 設定 す る。

図3.31

問15 

〔 例 題16〕

に お い て,平

(1)

面 の 方 程 式 を次 の 式 に 変 更 し,断 面 を調 べ よ。

  (2)

練習問題 . 楕円〓上

の動 点P(p,q),Q(p,−q)と,長軸

そ れ ぞれ 結 ぶ 直 線AP,BQの

交 点Rの

軌 跡 を調 べ よ。 た だ し,p≠0,p≠

2.  2つ の 円x2+y2=4,(x−4)2+y2=1の

直線x=1の

±2と す る。

両 方 に 接 す る 円 の 中 心 の 軌 跡 を調 べ よ 。

両 方 に 接 す る 円 の 中 心 の 軌 跡 を調 べ よ。

5.  空 間 に お い て,平

面z=2と

6. 放 物 線x2=4pyに

つ い て,そ の 焦 点 を通 る 直 線 が,こ の放 物 線 と2点A,Bで交

  る と き,線 分ABの

中 点 の 軌 跡 を調 べ よ 。

7. 原点

と直 線x=2への距離

を

両 方 に 接 す る 円 の 中 心 の 軌 跡 を調 べ よ 。

3.  2つ の 円x2+y2=16,(x−1)2+y2=1の 4.  円x2+y2=4と

の両端A(2,0),B(−2,0)と

原 点 へ の 距 離 の 等 しい 点 の 軌 跡 を 調 べ よ。

の 比 の値〓が一

  とx軸 の 正 の 向 き と な す 角 をtと

して 調 べ よ。

定 であ る 点Pの

軌 跡を,OP=r,OP

わ

第4章  媒介変数表示と極座標表示 4.1  媒介変数表示   原 点Oを 点Pを

中 心 とす る 半 径rの

円 周 上 に1

と り,そ の座 標 を(x,y),OPがx軸

の

正 の 部 分 とな す 角 を θ 〔ラジア ン〕 とす る。   三 角 関 数 の 定 義 か ら,

(4.1)  こ こ で,cos2θ+sin2θ=1で

あ るか ら 図4.1

これ は,原

点 を 中心 とす る半 径rの

円 の方 程 式 で あ る。 式(4.1)か ら

(4.2)   し た が っ て,式(4.2)は,θ と い い,式(4.2)の2つ

を変 数 とす る円 の 方 程 式 で あ る。 この θを媒 介 変 数

の 式 を 合 わ せ て,θ

を 媒 介 変 数 とす る 円 の 媒 介 変 数 表 示 と

い う。

 一 般 に

,曲 線C上

の 点 の座 標(x,y)が,変

で 与 え られ る と き,上 の2つ

数tの

関 数 と して

の 式 を合 わせ て,曲 線Cの

媒 介 変 数 表 示 とい い,tを

媒 介 変 数 とい う。な お,媒 介 変 数 表 示 で 表 され た 式x=f(t),y=g(t)か

ら媒 介 変

 数tを消 去 す れ ば,曲 線Cの

直交 座 標(x,y)に

よ る方 程 式y=F(x)が

問1  tを 媒 介 変 数 と し て 表 示 さ れ た 次 の 方程 式 は,ど (1) x=1+2t,y=−4+3t 

得 られ る。

の よ うな 曲 線 とな る か 。

(2) x=a+rcost,y=b+rsint

4.2  曲線の媒介変数表示  こ こ で は,い

ろ い ろ な 曲 線 の媒 介 変 数 表 示 を求 め,関 数 ラボ の 優 れ た 描 画 機 能

を活 用 し,媒 介 変 数 表 示 され た 曲 線 を描 き,そ の性 質 を調 べ る。  傾 きが〓

で,点(x1,x2)を

(x,y)は,図4.2か

通 る直線 上 の 点P

ら〓

た だ し,lm≠0で

を満たす

あ る 。 こ の 式 をtと

x−x1 =lt,y−y1=mt

,す

。

す る と

な わ ち, 図4.2

で あ る。 こ れ が 直 線 の媒 介 変 数 表 示 で あ る。   次 に,楕 に 垂 線QHを

円 の 媒 介 変 数 を 求 め て み よ う。 円x2+y2=a2上 ひ く。 点PをQH上

の 点Q(x',y')か

に と り,

とす る。

(4.3) お よ び,x'2+y'2=a2か

ら

(4.4) 図4.3

し た が っ て,点P(x,y)の (図4.3)。

軌 跡 は 楕 円 とな る

らx軸

  こ こ で,半

径aの

円 の 媒 介 変 数 表 示 がx'=acosθ,y'=asinθ

式(4.3)のx=x',y=〓か

で あ る こ と と,

ら

が 得 られ る。 こ れ が 楕 円 の 媒 介 変 数 表 示 で あ る。   ち なみ に,こ

と な り,確

の2式

か ら媒 介 変 数 θ を消 去 す る と

か に 式(4.4)の

楕 円 の 方程 式 を満 たす 。

〔例 題1〕  円x2+y2=52上 点Pを

の 点Q(x',y')か

と り,HP:HQ=3:5と

ラ フ で 図 示 し,点Pの

らx軸

す る 。 点Q,垂

,g(t))」

軌 跡 」 をONに 1. 

した 後,媒

「π」 を 選 び

2.  「対 象 式(新

3.  点Q,Pの

介 変数tの

,x軸

規)」 「グ ラ フ(新

ら か じ め 円x2+y2=52を

規)」 を選 び,

線 が 得 られ る。

キ

規)」 を 描 く。

媒 介 変 数 表 示 を(5cosθ,

「グ ラ フ 」 の

入 力 す る。

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選

「値 」 を 反 転 させ,媒

とす る。

介 変 数 θの 値 を

増 加 ・減 少 さ せ る と,点P,Qの られ る。

値 を変 化 させ れ ば,曲

を π単 位 に 設 定

び,「 点 の 軌 跡 」 を 「ON」 5. 

曲 線 を描 くに は 「対 象 式(新

に 枠 を移 し,→

5sinθ),(5cosθ,3sinθ)と 4. 

関 数 ラ ボ の動 的 グ

「表 示 環 境 の 設 定 」 を 選

び,「 座 標 軸 刻 み(x)」

選 び,あ

に

を入 力 す る。 次 い で,「 グ ラフ 」 の 「ア ニ メー ション」 を選 び,「 点 の

「グ ラ フ 」 の

ー で

線QH,点Pを

ひ き,QH上

軌 跡 が楕 円 とな るこ と を確 か め よ。

〔解 〕   媒 介 変 数 表 示x=f(t),y=g(t)の 「(f(t)

に 垂 線QHを

軌 跡 が得

図4.4

〔解 〕  点Qの

座 標 を(x,y)と

す る 。x=5cosθ,y=3sinθ,か

=1か ら〓と

つ,cos2θ+sin2θ

な る 。 し た が っ て,〓

と な り,点Pの

軌 跡 は

楕 円 で あ る。

問2  tを 媒 介 変 数 とす る 次 の 方 程 式 は,楕

円 を 表 す こ と を示 せ 。

〔例 題2〕  点P(x,y)が楕円〓+y2=1上に

あ る と き,3x+2yの

最 大値,最小 値

を求 め よ。 〔 解 〕1. 

「グ ラ フ 」 の 「表 示 環 境 の 設

定 」 を 選 び,x軸 2.  「対 象 式(新

を π単 位 に設 定 す る。 規)」 で,楕

円 上 の 点P

の 媒 介 変 数 表 示 を 「(2cosθ,sinθ)」, ま た2x+3yの 象 式(追

軌 跡 を 調 べ る た め 「対

加)」 を 選 び,座

6cosθ+2sinθ)」 3. 

標 形 式 「(θ,

を 入 力 す る。

「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を

選 び,「 点 の 軌 跡 」 を 「ON」 4. 

「 値 」 を 反 転 させ,媒

を増 加 ・ 減 少 させ る と,そ   楕 円 上 の 点Pの  

に す る。

介 変 数 θの値 れ に 応 じ た 点Pと

座 標(x,y)は,x=2cosθ,y=sinθ

F(θ)=3x+2y=6cosθ+2sinθ=√40sin(θ+α)。

な る 正 の 最 小 角 。−1≦sinθ

≦1で

問3 

〔 例 題2〕 に つ い て,楕

円 が 直 線3x+2y=kと

値,最

小 値 を求 め よ。

〔 例 題3〕  半 径aの され た点Pの

円Cがx軸

図4.5

点(θ,3x+2y)の

軌 跡 が得 られ る。

と表 せ る 。 こ こ で, た だ し,α

あ る か ら最 小 値 は−2√10,最

はtanα=3と

大 値2√10と

な る。

共 有 点 を もつ 条 件 を利 用 して 最 大

を滑 る こ とな く転 が る と き,こ の 円 周 上 に 固 定

軌 跡 の 方 程 式 を求 め よ。

〔 解 説 〕 点Pが

原 点 に 重 な っ た と き の 円Cの

置 か ら角 θ だ け 転 が っ て 中 心 がC1ま の 接 点 をQと

し,Pか

らx軸

中 心 の 位 置 をC0と

で き た と き,Pの

お よ びQC1に

す る。C0の

座 標 を(x,y),円

垂 線PH,PIを

とx軸

位 と

ひ く。

図4.6

だ か ら,〓

 した が って,点Pの

ゆ え に,

軌 跡 は θを媒 介 変 数 と して 次 式 の よ うに 表 され る。

こ の 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 を サ イ ク ロ イ ド(cycloid)と

問4  関 数 ラ ボ を 利 用 して,半 円 周 上 に 固 定 さ れ た 点Pの

  点Pがy軸

円Cがx軸

円Cがx軸

を 滑 る こ と な く転 が る と き,こ

あ る と き,円Cの

の 位 置 か ら角 θ だ け 転 が っ て 中 心 がClま

を ひ く(図4.7)。

とx軸

の円の内

軌 跡 を考 え て み よ う 。

上 の 点(0,a-b)に

標 を(x,y),円

を滑 る こ と な く転 が る と き,こ の 円 と

動 的 グ ラ フ を描 け 。

  次 に,〔 例 題3〕 の 半 径aの 部 に 固 定 さ れ た 点Pの

径1の

い う。

と の 接 点 をQと

中 心 の 位 置 をC0と

で き た と き,原

し,Pか

らx軸

す る 。C0

点 の 位 置 をO1,Pの

お よ びQC1に

垂 線PH,PI

座

だか ら

  し たが っ て,点Pの

軌 跡 は,θ を媒 介 変

数 と して 次 の よ うに表 され る。 図4.7

(4.5)   こ の 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 をト ロ コイド (trocoid)と

い う 。例 え ば,a=1,b=0.5の

と き は 図4.8と

な る。

 θ を 媒 介 変 数 と し た 式(4.5)に (1) a=bの

と き,Pは

お い て,

円 周 上 の 点 で,そ

の 軌 跡 は サ イ ク ロ イ ドで あ る 。 (2)  a＞bの

と き,Pは

円 の 内 部 の 点 で,

軌 跡 は ハ イ ポ トロ コイド(hypotrocoid) (3) a＜bの

と き,Pは

軌 跡 はエピト

図4.8

円 の 外 部 の 点 で,

ロ コイド(epitrocoid)

とい わ れ て い る。   例 え ば,a=1,b=2の  

と き,図4.9

とな る。

問5  媒 介 変 数 表 示 式(4.5)に の 値 を い ろ い ろ 変 え て,上

お い て,aとb

の(1),(2),(3)の

場

合 の軌 跡 を描 け。 図4.9

〔 例 題4〕  半径7の

円 に,半 径2の

円 が 内接 しな が ら滑 る こ とな く転 が る と き,

この 内接 円 の 円 周 上 に 固定 さ れ た点Pの

軌 跡 の 方 程 式 を 求 め,そ

の グ ラ フ を描

け。 〔 解 説 〕  は じ め に,点Pがx軸 A(7,0)に

あ る と す る 。Aの

上 の点 位 置 か ら角θ

だ け転 が って 中 心 がCま

で き た と き,2

円 の 接 点 をTと

し,Pの

座 標 を(x,y)と

す る 。Cか らx軸

へ 垂 線CH,Pか

お よ びCHに

垂 線PQ,PIを

ひ く。

 ∠AOT=θ,OA=7だ

か ら,PT=

AT=7θ,OC=5か CH=5sinθ

∠ CPI=β

らx軸

らOH=5cosθ, と な る 。 ま た,∠PCT=α,

と す る と,PT=2α

 し た が っ て,点P(x,y)の

図4.10

か らα=〓θ,β=α−θ=〓θ

軌 跡 は θ を 媒 介 変 数 と し て,次

こ の 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 を 内 サ イ ク ロ イ ド(hypocycloid)と 〔解 〕  1.  「対 象 式(新

規)」,「 グ ラ フ(新

と な る。 ゆ え に,

の よ うに 表 され る。

い う。

規)」 を 選 び,円x2+y2=72を

じめ 描 く。 2.  内 接 し な が ら 滑 る こ と な く 転 が る 半 径2の 5sinθ)2=22と,こ

円 の 方 程 式(x−5cosθ)2+(y−

の 円 周 上 に 固 定 さ れ た 点Pの

媒 介 変 数 表示 を

あ らか

 を 入 力 す る 。 3.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を選 び,「 点 の 軌 跡 」 を「ON」 4. 

にす る

。

「値 」 を 反 転 さ せ,媒

増 加 ・減 少 さ せ る と,そ 円 と 点Pの

介 変 数 θの値 を れ に 応 じた 内 接

軌 跡 で あ る内 サ イ ク ロイ ド

が 得 られ る。 図4.11

  一 般 に,半 径aの

円 に半 径bの

の 円 周 上 に 固定 され た点Pの

円 が 内 接 しな が ら滑 る こ とな く転 が る と き,こ

軌 跡 の 媒 介 変 数 表 示 は,次

式 の よ うに な る。

(4.6)

  例 え ば,(1)a=4,b=1の

と き,(2)a=5,b=1の

そ れ ぞ れ 図4.12,4.13と つ,(2)の

尖 点 は5つ

と き,内 サ イ ク ロ イ ド曲 線 は

な る 。 グ ラ フ か ら(1)で は 尖 点(先

の 尖 っ た 部 分)が4

あ る こ とが わ か る 。

図4.12

図4.13

  特 に,式(4.6)でa=4,b=1の  こ の 場 合,三

と き の 曲 線 を ア ス テ ロ イ ド(asteroid)と

角 関 数 の3倍

い う。

角 の公式

か ら,

と な り,ア ス テ ロ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 式(4.6)は

問6 

ア ス テ ロ イ ドx=acos3θ,y=asin3θ

そ の 曲 線 を 描 け 。 特 に,a=4の

上 式 の よ う に,よ

に お い て,い

り簡 潔 に 表 せ る 。

ろ い ろ なa(a＞0)に

対 し て,

と き,

と

 の2つ

の 曲 線 を描 くこ とに よ っ て,上

  次 に,半 径1の

円 に,半 径1の

接 円 の 円 周 上 に 固定 され た点Pの   は じめ に,点Pがx軸 が って 中 心 がCま をTと

し,Pの

垂 線PQ,PIを

角 の 公 式 を確 か め よ 。

円が 外 接 し なが ら滑 る こ とな く転 が る と き,外 軌 跡 の 方程 式 を求 め て み よ う。

上 の 点A(1,0)に

で き た と き,2円

座 標 を(x,y)と

x軸 へ 垂 線CH,Pか

の3倍

らx軸

あ る とす る。Aの

位 置 か ら角θ だ け転

の接 点

す る 。Cか

ら

お よ びCHに

ひ く。

図4.14

  し た が って,外 接 円 の 点Pの る。

軌 跡 は θ を媒 介 変 数 と して,次 式 の よ うに表 され

こ の 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 を,特  そ の 動 的 グ ラ フ 表 示 は,次

に カ ージオイド(cardioid)と

い う。

の 手順 とな る。

  1.  「対 象 式(新 規)」,「 グ ラ フ(新 規)」 を 選 び,円x2+y2=12を

あ ら か じめ

描 く。  2.  外 接 し な が ら 滑 る こ と な く転 が る 半 径1の

円 の 方 程 式(x−2sinθ)2+

(y−2cosθ)2=12と,こ 固 定 さ れ た 点Pの

の 円 周上 に 媒 介 変 数 表 示 を2

cosθ−cos2θ,2sinθ−sin2θ

と追

加 入 力 す る。 図4.15

  3. 

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 び,「 点 の

軌 跡 」 を 「ON」

 4. 

に す る。

「値 」 を反 転 させ,媒 介 変 数 θの値 を増 加 ・減 少 させ る と,そ れ に 応 じた

外 接 円 と点Pの   一 般 に,半 径aの

軌 跡 で あ る カージオイド が 得 られ る。 円 に 半 径bの

の 円 周 上 に 固 定 さ れ た点Pの

円 が 外 接 しな が ら滑 る こ とな く転 が る と き,こ

軌 跡 は外 サ イ ク ロイ ド(epicycloid)と い わ れ,そ の

媒 介 変 数 表 示 は,次 式 の よ うに な る。

(4.7)   サ イ ク ロ イ ド と ト コ ロイド は,

と ま と め て 表 さ れ,総   a＞0,b＞0の

称 してエ ピ サイ ク リ ッ ク(epicyclic)と

と き,こ の 媒 介 変 数 表 示 さ れ た 曲 線 は,す

呼 ば れ て い る。 で に 調 べ た よ う に,原

点 を 中心 とす る半 径aの で 等速 で ま わ る点Pの 問7 

円周 上 を 等速 に 動 く点Qが

な ど,い

〔 例 題5〕  円x2+y2=a2に

ろ い ろ なa,bに

お い て,(1)a=2,b=1(2)a=3,b=1 対 す る 曲 線 を描 け 。

巻 きつ け ら れ た 糸 を 張 り な が ら,糸

0)の 位 置 に あ る と き か ら ほ ど い て い く。 糸 を 張 っ た と き,糸 をT,∠AOT=θ

まわ り を半 径b

軌 跡 で あ る。

外 サ イ ク ロ イ ドの 媒 介 変 数 表 示 式(4.7)に

(3)a=2,b=3,…

あ り,Qの

の 端Pが

点A(a,

が 円 と接 し て い る 点

とす る。 θ を 媒 介 変 数 と し た 糸 の 端P(x,y)の

軌 跡 は,

の 方程 式 で 表 され る こ と を示 せ 。   また,a=1の

場 合 のPの

軌 跡 の 動 的 グ ラ フ を描 け 。

〔解 〕 Tか らx軸 へ 垂 線TQ,Pか よ びTQに

垂 線PH,PIを

か ら,点P(x,y)の 変 数 と して,次

らx軸 お

ひ く(図4.16)。

軌 跡 の 方 程 式 は θ を媒 介 式 の よ うに表 さ れ る。 図4.16

こ の 方 程 式 で 表 さ れ る 曲 線 を伸開 線(イ  a=1の 1. 

場 合 のPの

「対 象 式(新

ンボ ル ー ト;involute)と

軌 跡 を 描 く手 順 は,以

規)」,「 グ ラ フ(新

2.  線 分TPと

糸 の 端Pの

下 の とお りで あ る。

規)」 で 円x2+y2=12を

く。

媒介 変数表示 を

い う。

あ らか じめ描 い て お

と入 力 す る。 3.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を 選 び,「 点 の 軌 跡 」 を ONと 4. 

す る。

「値 」 を 反 転 さ せ,媒

介 変 数 θの 値 を

増加 ・ 減 少 さ せ る と,θ の 増 加 に 応 じ た 糸 の 端Pの

軌 跡 が 得 られ る。

図4.17

  今 まで の 例題 で 調 べ た よ うに媒 介 変 数 を使 う と,い ろ い ろ な 曲線 が簡 単 に 得 ら れ る。ま た,す で に 学 ん だ 円や 楕 円,双 曲線 も三 角 関 数 やtの

有理 式 を使 って 次 式

の よ うに 表 せ る。 【 標準 形】

【三 角 関数 】

【 有理 式 】

(1) 直 線

(2) 放物 線

(3) 円

(4) 楕 円

(5) 双 曲 線  ま た は 自然 対 数 の底eを 問8  上 の(2),(5)の

用 い て,

θ,お よ びtの 媒 介 変 数 表 示 さ れ た 式 が放 物 線,双 曲 線 の 標 準 形 を

表 す こ と を θ,お よ びtを

消 去 す る こ とに よ って 確 か め よ。

 す で に 学 ん だ もの に次 の 曲 線 が あ る。 (6) サ イ ク ロ イ ド

(7) ア ス テ ロ イ ド (8)  カ ージオイド

(9) イ ンボ ル ー ト

 その 他,代

表 的 な もの に また は

で 与 え ら れ る 曲 線 が あ り,リ

 ま た は

サ ー ジ ュ と呼 ば れ て い る。 例 え ば,

(1)

(2)

(3) は,そ

れ ぞ れ 図4.18,図4.19,図4.20の

曲 線 とな る。

図4.18

図4.19

図4.20

問9  (1)か ら(3)のリ サ ー ジュ 曲 線 に お い て,x,y軸 一 致 し て い る こ と を確 か め よ 。ま た,(1),(3)で

交 点 の 座 標 が そ れ ぞ れ±a,±bと

与 え られ るリ サ ー ジュ 曲 線 は 同 じ形 で あ

る が,媒 介 変 数 θの 増 加 に よ っ て ど こが 異 な るか,2つ

の曲線 を同時 に描 いて調 べ よ。

問10  文 字 定数a,bに

具 体 的 数 値 を与 え,媒 介 変 数 表 示 さ れ た(1)か ら(10)の 曲 線 を 描

き,① 曲 線 の 対 称 性,②

曲 線 の 現 れ る領 域,③ 増 減 や 極 値,④x軸,y軸

との 交 点,⑤漸

な ど特 定 の 直 線

近 線 な ど曲 線 の 性 質 や 特 徴 を調 べ よ。

4.3  極座 標表 示 [1]  極座標   今 まで,点 の 位 置 を表 す の にx軸 して い る座 標 で,2つ

の 実 数 の 組(x,y)を 用 い て

きた 。そ の他 に,原 点O以 置 は,図4.21の

に,rと

外 の 平 面 上 の 点Pの

よ う に 原 点Oか

OPが 半 直 線OXと

ら の 長 さrと

θ を与 え れ ば 明 らか に1つ の 点Pが

た,原 点Oを

極,θ

位 置 を表 す2つ

を偏 角,偏

π)は,そ

図4.21

定 ま る。 の実 数 の 組(r,θ)を 極 座 標 とい う。 ま

角 を測 る基 準 とな る半 直 線OXを始

 極座 標 で 表 示 さ れ た3点A(1,〓 π),C(3,〓

位

なす 角θ に よ って 決 ま る。逆

  そ こ で,平 面 上 の 点Pの

B(2,〓

とy軸 が 直交

線 と い う。

π),

れ ぞ れ 図4.22

と な る 。 こ の よ う に 正 の数 rと 角θ が 与 え ら れ た と き,(r,θ)を

極 座 標 とす る点 の位

置 は 定 ま る 。 し か し,点

が 与 え ら れ た と き,

rの 値 は た だ1つ 定 ま るが,偏 角 θの値 は た だ1つ に は 定 ま らな い。   例 え ば,上

の例で,(1,−〓π),(1,〓π),(1,〓π),…

は すべ て 点Aを

表す。

[2] 極座標 と直交座標の関係   極 座 標 の 極Oを

直交 座 標 の 原 点,始

軸 の 正 の 部 分 に と り,点Pの 座 標 を(x,y)と

線OXをx

極 座 標 を(r,θ),直交

す る 。 図4.23か

ら わ か る よ う に,

(4.8) で あ る。 これ か ら極 座 標 と直交 座 標 の 関 係 は

図4.23

と な る 。 た だ し,x≠0

〔 例 題6〕  直交 座 標 が(−1,−√3)で 座 標(r,θ)を

あ る 点P,お

求 め よ 。 た だ し,r＞0,0≦

〔解 〕  ま ず,点Pに

よ びPとx軸

対 称 の 点P'の

極

θ＜2π と す る 。

つ いては

 偏 角 θの値 は,π ＜ θ＜〓 πに ある か ら〓 し た が っ て,Pの極座 一 方

,Pの

対 称 点P'のrの

標 は(2,〓)で

値 は2で

偏角 θ の 値 は〓

し た が っ て,P'の極座標

問11 

あ る。

あ る が,

で あ る。

は(〓)

次 の 各 点 を 図 示 し,極 座 標 で表 され た 点 は 直交 座 標 で,直交

極 座 標 で 表 せ 。 ま た,(4)のy軸 2π とす る。

図4.24

座標 で表 された点 は

対 称 の 点 の 極 座 標 も求 め よ。 た だ し,偏 角 θは,0≦

θ＜

(1)

(2)

(3)

(4)

4.4  極座標 表示 による曲線  極 座 標(r,θ)に つ い て の 方 程 式 ま た は,

 (4.9)

が あ る と き,こ れ を満 た す 極 座 標 の 点 の 集 合 を方 程 式(4.9)の 表 す 曲 線 とい い,式 (4.9)を この 曲線 の 極 方 程 式 とい う。 〔例 題7〕  次 の極 方 程 式 は どん な 曲線 を表 す か 。

(2)

(1)

〔解 〕  (1)  こ の 極 方 程 式 の 表 す 曲 線 はr (r≧0)を 任 意 と して,極 座 標(r,θ)の

点の

集合 で あ る。した が っ て,曲 線 は極Oか

ら出

て,始 線OXと

な す 角 が1ラジ

ア ンの半 直

線 で あ る。 この 半 直 線 の 傾 きは,tan1で

あ

る か ら直交 座 標 に よ る方 程 式 は

図4.25

た だ し, と な る。

(2)  この 極 方 程 式 の 表 す 曲 線 は θ を任 意 と し て,極 座 標(a,θ)の 点 の集 合 で あ る。 した が って,こ

の 曲 線 は 極Oを

中 心 とす る半 径r

 の 円 で あ る。 直交 座 標 に よ る方 程 式 は 図4.26

 と な る 。

 極 座 標 と直交 座 標 との 関係 式(4.8)か ら式(4.9)の 極 方 程 式 を使 う と,極 座 標 で 表 され た曲 線 も

(4.10) と媒 介 変 数 θ を用 い て 表 示 で き る。 問12  極 方 程 式r=f(θ)が 係 式(4.10)か

与 え ら れ た と き,次 の 極 方 程 式 の 表 す 曲 線 を描 け 。 ま た,関

ら直 角 座 標 の 式g(x,y)=0を

(1)

作 り,確 か め よ 。

(2)

〔例 題8〕  極Oか を求 め,そ

(3)

ら直 線lに

引 い た垂 線 の足 がH(p,α)で

あ る直 線 の 極 方 程 式

の グ ラ フ を描 け 。 た だ し,p＞0

〔解 〕 直 線 上 の 任 意 の 点 をP(r,θ)と す る。

よ っ て,rcos(θ−α)=pで

あ る 。 し た が っ て,

求 め る 直 線 の極 方 程 式 は

  極 方 程 式 がr=f(θ)の

と き,関

らx=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ

係 式(4.10)か

図4.27

と媒 介 変 数 表 示 で き る 。そ こ で,関 数 ラ ボ の 「定

義 式 」 の機 能 を利 用 す る。

と き,関 数 ラ ボの 操 作 は 次 の よ うに す れ ば よい 。 1.  「定 義 式 」 で,極

方 程 式r=f(θ)を〓 と入 力 す る 。

2.  座 標 の 形 で(f(θ)cosθ,f(θ)sinθ) を 入 力 す る。 3.  「ア ニ メ ー シ ョ ン 」を 選 び,「 点 の 軌 跡 」 を 4. 

ONに

す る。

「値 」 を 反 転 さ せ,媒

介 変 数 θの 値 を

図4.28

増 加 ・減 少 させ る と,θ の 増 加 に 応 じた 点 の 軌 跡 が 得 られ る。 〔 例 題9〕  極 方 程 式

(4.11) に つ い て,以

下 の 問 に答 え よ。

(1)  関 数 ラ ボ で 式(4.11)の

曲 線 を描 く手 順 を考 え,n=1,2,3の

(2) n=1,2,3の

と き の,そ

(3) n=4,5,6の

と き の 曲 線 を 描 け 。 ま た,θ

れ ぞ れ の 曲 線 の 特 徴 を調べ よ。 が0か

  曲 線 上 の 点 は 何 周 す る か,n=1,2,3,4,5,6そ (4) n≧2で

あ るnの

ときの 曲 線 を描 け 。

値 が 偶 数 の と き と,奇

ら2π

ま で 変 化 す る と き,

れ ぞ れ の 場 合 に つ い て調 べ よ。 数 の と き の 曲 線 の 違 い を 調 べ,そ

の変 化 の 規 則 性 を類 推 せ よ。 〔解 〕(1) −1≦sinnθ≦1か

ら 「座 標 軸 」の 「 倍 率 の 変 更(x,y同

表 示 す る領 域 を−1.2≦x,y≦1.2程

度 に設 定 して お く と よい 。

1.  「定 義 式 」を 選 び,f(θ)=sinnθ

と入 力 す る 。 ま た,nの

時)」 を選 び,

値 と し てn=1と

定 義 式 に追 加 す る。 2.  「対 象 式(新

規)」 を 選 び,極

座 標 表 示 の 式(f(θ)cosθ,f(θ)sinθ)を

入力

す る。 3. 

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を選 び,「 点 の 軌 跡 」 を 「ON」

4.  滑 ら か な 曲 線 を 描 く た め,→

とす る。

キ ー で 「増 減 幅 」 を 反 転 させ,「0.010」

程度

に 設 定 す る。 5.  ← キ ー で 「値 」 を 反 転 させ,媒   増 減 に 応 じ たn=1の 6. nの

値 を2に

7. n=2を

9.  さ ら に,操

の

場 合 の 曲 線 が 得 ら れ る(図4.29)。

定 義 し 直 す た め,「 編 集 」 の 「定 義 式 の 編 集 」 を 選 ぶ 。

反 転 し,「メ ニ ュー:HELP」

8.  操 作3.か

介 変 数 θ の 値 を 増 加 ・減 少 さ せ る と,θ

ら5.を

の 「反 転 行 の 編 集 」でn=2と

繰 り返 し,曲線r=sin2θを

作6.と7.でn=3と

sin3θを 得る(図4.31)。

変 更 し,3.か

変 更 す る。

得 る(図4.30)。 ら5.を

繰 り返 せ ば,曲線r=

図4.29 n=1の

とき

図4.30 n=2の

図4.31 n=3の

(2) n=1の

と き,r=sinθ

の 両 辺 にrを

と き

か け る と,r2=rsinθと

と直 角 座 標 の 関 係 式x2+y2=r2,y=rsinθか

 した が っ て,n=1の

図4.30か

と き は 中心(0,〓),半径〓

ら わ か る よ う に,4つ

とき き

な る 。極 座 標

らx2+y2=y

の 円 と な る。n=2の

の 直線θ=0,θ=±〓,θ=〓

と き,

のいず れに関 し

て も対 称 で あ る 。 こ れ は 正 弦 関 数 の 次 の 性 質 に よ る も の で あ る 。

同 様 に して,

n=3の

と きは ,図4.31か

ら3つ の 直 線θ=〓,θ=〓π,θ=〓π

のいず れに関

して も対 称 で あ る。 こ れ も正 弦 関数 の 性 質

  に よ る もの で あ る。 (3) n=4,5,6の

と き の 曲 線 は 図4.32∼

ま で 変 化 す る と き,nが

図4.32

図4.34の

奇 数 の 場 合 は2周,偶

とお り で あ る 。 θが0か 数 の 場 合 は1周

図4.33

す る。

ら2π

図 4.34

(4)  曲線 の 作 る葉 の 枚 数 につ い て,nの

値 が(ア）偶 数 の と き2n〔枚 〕(イ)奇数 の

と きちょ うどn〔枚 〕 と類 推 で き る。  極 方 程 式(4.11)の 表 す 曲 線 は,あ

たか もバ ラの よ うな の で バ ラ 曲 線,あ

るい

は 正 葉 曲 線 とい わ れ る。 問13  正葉曲 線r=sinnθ

に お い て,nの

値 を〓,〓,√2,π

較 せ よ。 さ ら にr=cosnθ

につ い て も 〔 例 題9〕

と して 曲 線 を描 き,特徽 を比

の よ うな 考 察 を し,ど

もつ 曲 線 が 得 られ るか 調 べ よ。

  次 に,あ た か も渦 巻 の よ うに極 を 中心 に 回 転 しな が ら遠 ざか る曲 線 に つ い て 調 べ て み よ う。  は じ め に,

(4.12) の 曲 線 を描 く。r=〓

の と き,図4.35の

よ

う に 左 回 り の 渦 巻 状 の 曲 線 と な る 。 式(4. 12)で 表 さ れ る 曲 線 を ア ル キ メ デ ス の 螺 線 とい う。  θ=θ1 に 対 す る動径r=aθ1と

θ=θ1+2π

図4.35

の よ う な特 徴 を

に 対 す る動径r=a(θ1+2π)の

差 は2πaで,θ1に

関 係 な く一 定 で あ る 。

  次 に分 数 形 の

(4.13) の 曲 線 を 描 く。a=3で,〓の

曲 線 は 図4.36と

と き,

な る。 こ の 図 か ら θ が 限

り な く大 き く な っ て い く と 曲 線 は 極 に 巻 き 付 い て い き,y=3が漸

近 線 で あ るこ とが わ

か る。 こ れ は,式(4.13)に

お いて

図4.36

ま た,

とな るか らで あ る。

問14 

次 の 極 座 標 表 示 され た 曲 線 を描 け 。

(2)

(1)

4.5 

二次曲線 と離 心率

 放 物 線 や 円,楕 円,双 曲線 はx,yの

二 次 式 で 表 せ るた め,総 称 して 二 次 曲 線 と

い わ れ て い る。 これ ら二 次 曲線 を離 心率 とい う考 え で ま とめ て み よ う。 〔例 題10〕  極Oを

焦 点,始 線OX上

線 とす る放 物 線 の極 方 程 式 を求 め よ。

の 点A(a,0)を

通 り,OXに

垂 直 な直 線 を準

を

〔解 〕 平 面 上 の 点Pの

極 座 標 を(r,θ),Pか

線 に 引 い た垂 線 をPHと

す る。点Pが放

ら準

物線上 に

あ るた め の 条 件 は,

で あ る。  OP=r,PH=a−rcosθ し た が っ て,求

か らr=a−rcosθ

め る極 方 程 式 は

図4.37

 放物 線 は,定点Oと定直線lへ 点Pの

を満たす

軌 跡 で あ る。

  一 般,定

は,Fを

点Fと定直線lへ

の距離

の 比〓

焦 点 とす る 二 次 曲 線 で あ る 。eを離

  焦 点Fを

極 に,Fを

点 をA(a,0),曲 PHと

の距離が 等 しい 。 す な わ ち,〓

通 り準 線lに

線 上 の 点Pの

が 一 定 値eで

あ る 点Pの

心率(eccentricity)と

軌 跡

い う。

垂 直 な 直 線 を始 線 に と る。始 線 と準 線 と の 交

極 座 標 を(r,θ)と

し,Pか

ら準 線 に 引 い た 垂 線 を

す る。

に代 入 して

 し たが っ て,求 め る極 方程 式 は 図4.38

  関 数 ラ ボ を利 用 し て,上 の 極 方 程 式 で表 さ れ る曲 線 を,離 心率eの

変化 に応 じ

て描 い て み よ う。 定 数eは

こで は 文 字

自然 対 数 の 底 と して 使 われ て い るた め,こ

kを 使 い,準 a=3と

線 が 通 る 点Aを(3,0),す

し て 曲 線 を 描 く。 な お,極

な わ ち, 座 標 で あ るか

ら 直 角 座 標 の 軸 や 目 盛 な ど を 表 示 し な い た め, 「グ ラ フ 」 の

「グ ラ フ 表 示 環 境 の 設 定 」 を 選 び

「 座 標軸 表示」 ,「座 標 軸 刻 み(x)」,「 座 標 軸 刻 み (y)」,「 目 盛 数 値 表 示 」 をOFFと   1. 

「定 義 式 」 で,極

す る。

方 程 式r=f(θ)を

と入 力  2.  も う1度

「定 義 式 」 で,k=1を

追加

図4.39 

手 順3.ま で の 入 力 画 面

  入 力  3. 

「対 象 式(新

規)」 を選 び,座

で(f(θ)cosθ,f(θ)sinθ)を  4. 

入力

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 び,「 点 の 軌

跡 」 をONに   5. 

標 の形

す る。

「 値 」 を反 転 させ,媒

介 変 数 θの値 を

増加 ・ 減 少 させ る と,θ の 増 減 に 応 じた 点 の 軌 跡,す   6. 

な わ ち,放

「編 集 」 の

k=1の

物 線 が 得 られ る。

「定 義 式 の 編 集 」 を 選 び,

図4.40 

k=0.5の

と き

行 を 反 転 さ せ,「 メ ニ ュ ー 」,次

に 「反 転 行 の 編 集 」 でk=0.5と

し,k

の値 を定 義 し直 す 。   7.  動 的 グ ラ フ の 操 作4.,5.を し,k=0.5の

場 合 の 軌 跡 を 観 察 す る。

  8.  以 下,6.,7.の 0,2,…の

繰 り返

操 作 を 繰 り返 し,k=

軌 跡 を 観 察 し,ど

の よ うな 曲

線 と な るか 調 べ る。   以 上 の 操 作 で はk=0,0.5,1,2と

して1

図4.41 k=2の

とき

つ1つ具

体 的 に 調べ たが,f(θ)〓

変 数 θ の2つ

だ け を定義 式 に入 力 し,離 心率kと

をパ ラ メー タ と し て処 理 す る こ と もで き る。

  こ の 場 合,パ

ラ メ ー タ パ ネ ル で,離

「 値 」 を反 転 させ る

。 次 い で,変

心 率kの

値 を 決 定 し た 後,パ

数 θ を 増 加 ・減 少 さ せ,θ

軌 跡 を 描 く。k=0.3,0.6,1,1.5,2,2.5の

ラ メー タ θの

の 増 減 に応 じた 点 の

場 合 の 二 次 曲 線 が,図4

.42で

あ る。

図4.42

 以 上 の こ とか ら,極方程 (1) e=0の (2)  0＜e＜1の

式〓

は

と き,円 と き,楕

円

(3) e=1の

と き,放

物線

(4)1＜eの

と き,双

曲線

を表 す こ とが わか る。 問15 f(θ) 〓

だ け を定 義 式 に 入 力 し,離心

タと した 極 方 程 式r=f(θ)が,離 曲 線 を 表 す こ と を確 か め よ 。

率kと

心率 の値 に よ っ て(1)円,(2)楕

変 数θの2つ 円,(3)放

をパラメー 物 線,(4)双

練習問題 1.  楕 円x=3cosθ+2,y=2sinθ−1(0≦

θ＜2π)に

 (1)  楕 円x=3cosθ,y=2sinθ(0≦  (2)  0≦ θ≦ π の と き,ど

 (3) x,y座

θ＜2π)と

つ い て,以

下 の 問 に答 え よ。

の 位 置 関 係 を調 べ よ 。

の よ う な 曲 線 とな る か 。

標 で,cosθ

とsinθ を 入 れ 換 え た媒 介 変 数 表 示x=3sinθ+2,y=2cos

θ−1の グ ラ フ を描 き,は 2. x=2cosθ,y=cos2θ

じめ の 曲 線 と ど こ が 異 な る か を調 べ よ。

と媒 介 変 数 表 示 さ れ た 曲 線 を 描 け 。 ま た,2倍

cos2θ=2cos2θ−1を

用 い て,媒 介 変 数 θ を消 去 してy=f(x)の

角の公式

形 で 表 せ 。 そ の 際,

xの 変 域 を求 め よ。 3.  0≦ θ＜2π の と き,(sinθcosθ,sinθ+cosθ)を ,x=sinθcosθ,y=sinθ+cosθ 数 を 消 去 し,直

座 標 に も つ 点Pの

と し た と き のxの

角 座 標 で 考 え,点Pの

軌 跡 を 描 け 。また

変 域 を 求 め よ。 さ ら に媒 介 変

軌 跡 が放 物 線 の 一 部 で あ る こ と を 説 明 せ よ 。

4.  次 の 極 座 標 表 示 さ れ た 曲 線 を 描 け。

(2)

(1)

5.  方 程 式(x2+y2)2=a2(x2−y2) 

(4.14)

で 表 さ れ る 曲 線 は レ ム ニ ス ケ ート(lemnis cate)と

呼 ば れ,a=5の

と き 図4.43と

な る。

 以 下 の 問 に 答 え よ 。

 (1)  直線y=txと 式(4.14)と

レ ム ニ ス ケ ート の 方程 の 交 点 を 求 め,そ

の媒 介変 数

表 示 の 式 を 求 め よ。  (2)  極 座 標 と 直 角 座 標 と の 関 係x=rcos θ,y=rsinθ

か ら レ ム ニ ス ケ ート の 極

方 程 式 を求 め よ。  (3)  媒 介 変 数 表 示,極 ら,そ

方 程 式 表 示 の2つ

か

図4.43

れ ぞ れ レ ム ニ ス ケ ート を描 け 。

6.  方 程 式

(4.15)  で 表 され る 曲 線 は,デ

カ ルト の 正 葉 線 と呼 ば れ,a=1の

と き 図4.44と

な る。

 以 下 の 問 に 答 え よ 。  (1)  直 線y=txと

正 葉 線 の 方 程 式(4.15)

との 交 点 を求 め,そ

の 媒介変 数 表示 の 式

を求 め よ 。  (2)  媒 介 変 数 表 示 か ら デ カ ル トの 正 葉 線 を 描 け。  (3)

  =0か

ら 直 線x+y+a=0が漸

る。 この こ と をaの

近 線 とな

値 を変 えて描 い た曲

線 か ら確 か め よ。 7. 極方程

式r=caθ(cは

の 曲 線 を 描 き,aの 8. 

図4.44

一 般 に,極

定 数)に

つ い て,c=1と

値 が0＜a＜1,a＞1,a=1の

し,(1)a=〓,a=2,a=1の

とき

場 合 の 曲 線 の で き方 や 特 徴 を調 べ よ。

方程 式

(4.16)  で 表 され る 曲 線 を リ マ ソ ン(蝸 牛 線)と

い う。

  以 下 の 問 に 答 え よ。   (1) r=3cosθ−1で

表 さ れ る 曲 線 を 描 き,x軸,y軸

の 関 係 を調 べ よ 。 ま た,曲  (2) a=bの  (3) a＜bの

との 交 点 の 座 標 を求 め,係 数 と

線 の 特 徴 を挙 げ よ。

と き の 曲 線 を描 き,そ の 特 徴 を調 べ よ。 場 合 の 曲 線 の 特 徴 を,(a,b)=(1,2),(1,3),(1,〓),(2,3)と

 (4)  上 の(1)か ら(3)で,い との 交 点 がa,bの

ろ い ろ なa,bの

し て 調 べ よ。

値 に 対 し て 描 い た 曲 線 を観 察 し,x軸,y軸

値 に よ っ て 示 す 値 と一 致 す る こ とや 曲 線 の 特 徴 を調 べ よ 。

第5章  ベク トル と複素数   こ の 章 で は,二 次 元 ベ ク トル と複 素 数 に つ い て,図 形 へ の 応 用 を 中 心 にMathcadを っ て 調 べ る。 矢 線 は 取 り扱 え な い が,複 的 意 味 を も ち,図

使

素 数 は 複 素 数 平 面 を取 り扱 う こ と に よ り,図 形

形 的 応 用 が 可 能 で あ る。 平 行 移 動,回

転,拡

大 ・縮 小 な ど は 簡 単 に 取

り扱 う こ とが で き る。

5.1  ベク トル とその 演算 [1]  有 向線 分 とベク トル   大 き さ と 向 き を も つ 量 を ベ ク トル と い う。線 分ABに 結 ぶ 有 向 線 分ABも 表 し,点A,Bを

ベ ク トル で あ り,こ そ れ ぞ れ ベ ク トルaの

  2つ の ベ ク トルa=ABとb=CDの

れ が ベ ク トルaで 始 点,終

ら 点Bを

あ る こ と をa=ABと

点 とい う。

向 き が 同 じ で 大 き さ が 等 し い と き,2つ

の ベ ク トル は 等 し い と い い,a=bと

書 く。

〔例 題1〕   3点A(0,0),B(−2,−3),C(1,4)に 点Dを

お い て,点Aか

対 し て,AB=CDと

な る ように

決 め よ。

〔解 〕 残 念 な が ら,Mathcadに

は 矢 線 を 図 示 す る機 能 が な い の で,図5.1の

に 線 分 と 終 点 を 描 く こ と で 代 用 す る。A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)と

よ う

し,ま

ず,−5〓x〓5,−5〓y〓5を

し,x軸

の 変 数 はxi,x2,xj,x4と

xj,yjで 線 分CDを マ ッ トは 図5.2で

描 き,x2,y2で

グ ラ フ の 範 囲 と し,y軸 す る 。i,jが

レ ン ジ 変 数 な の で,xi,yiで

点B,x4,y4で

あ る 。 点Dを(−1,1)に

点Dを

 x1

 

=1 =0

y1=0, 

..2, j=3..4

, x2=−2, x3=1, x4=−1

y2=−3, y3=4, 

y4=1

図5.1

図5.2

線 分AB,

描 い て い る。 グ ラ フ フ ォ ー

す れ ば 図5.1の

くな る。  i

の 変 数 はyi,y2,yj,y4と

よ う に ベ ク トル が 等 し

問1  AB=

〔 例 題1〕 CDと

に お い て,点Aを(2,−1)に

  kを 実 数 と す る と き,kaを   k＞0の

変 更 し た と き,点Cの

次 の よ うに 定 め る。

と き,aと

同 じ 向 き で 大 き さ がk倍

 k＜0の

と き,aと

反 対 の 向 き で 大 き さ がk倍

=0の

と き,0ベ

ク トル

 k

問2 

座 標 を ど う す れ ば,

な るか 。

〔 例 題1〕 に お い て,点Cを(2,1)と

の ベ ク トル の ベ ク トル

した と き,次 の 式 が 成 り立 つ よ う に 点Dを

定

め よ。  (1)

 (2)

[2]  ベ ク トルの和 と差   2つ の ベ ク トルa,bに と き,ACで

表 さ れる ベ ク トルcをa,bの

  2つ の ベ ク トルa,bに い た 差 と い い,b−aと き,ABで

対 し て,a=AB,b=BCと

表されるべ

〔 解 〕

〔 例 題1〕

変 数 に 対 し て1つ

和 と い い,c=a+bと

対 し て,a+x=bを

ク トル がxで

の ワ ー ク シ ー ト を 修 正 し,図5.3の の 線 分 が 対 応 し て い る の で,レ

る。

図5.3

ひ

とると

あ る。

対 し て,a=OA,b=OBと

な る よ う な 点C,Dを

らaを

な る よ う にOA,OBを

あ り,AB=OB−OAで

とる

表 す。

満 た す ベ ク トルxをbか

表 す 。a=OA,b=OBと

〔 例 題2〕  原 点O,A(3,1),B(1,2)に OC=a+b,CD=b−aと

な る よ う にAB,BCを

す る と き,

調 べ よ。 よ う に す る 。1つ ン ジ 変 数 は6個

の レンジ

必要 とな っ て い

終 点 も 表 示 し て い る の で,x軸,y軸

の 変 数 は10個

数 はxi,x2,xj,x3,xk,xh,x4,xm,xn,x5で

あ り,y軸

お く。 グ ラ フ 部 分 が 図5.4で

ず つ 必 要 と な っ た 。x軸

の 変 数 はxをyに

の変

変 えた もの を

あ る。

図5.4

問3 

〔 例 題2〕 を 変 更 し て,点A,Bの

座 標 を変 更 す る と点C,Dの

位 置 もそれ に と も

な っ て 変 わ る よ うに せ よ。

[3]  ベ ク トルの成 分   ベ ク トルaの

始 点 を 原 点 と し た と きの 終 点 の 座 標(a1,a2)のx座

れ ぞ れ ベ ク トルaのx成

分,y成分 で あ り,a=(a1,a2)と

は,(a1,a2)の

の 列 ベ ク トル を 使 う こ と に す る 。

 ベ ク トル の成 分 に よ る計 算 mは 実 数 の と き,

標が そ

表 さ れ る。ま た,a=〓

と 表 す こ と も あ り,こ れ を 列 ベ ク トル と 呼 ん で い る 。Mathcadで の ベ ク トル は 取 り扱 え な い の で,こ

標,y座

形

(1) (2) 〔例 題3〕

 (複合 同順) 〓の 成 分 を求 め,そ の 計 算 を図

 〓の と き,

示 せ よ。 〔解 〕  ま ず,「 マ ス 」の 中 の 組 み 込 み 変 数 のORIGINを1と

し,図5.5の

ワー ク

図5.5

シ ー トを作 成 す る。Mathcadで

は,文 字 の上 の 矢 印 はベ ク トル を表 す 記 号 で は な

く,特 殊 な働 き をす る の で 付 け て は い け な い。 列 ベ ク トル は 普 通 の文 字 に代 入 し て よ い。Aは 行 列Aの1列

目 を表 す 。Aに は代 入 さ れ て い な い の で 要 素 が0

と な り,行

列Aは〓

と な る 。 〔例題2〕

と違 い,行

列 を使っ て いる の で 式

の 数 が 少 な く な っ て い る。 記 述 が 複 雑 に な る の で 始 点 と終 点 の 区 別 を 付 け て い な い 。4行

目 を 付 け 加 え た こ と に よ っ て,3bがbの3倍

る 。x軸

の と こ ろ の 変 数 が 表 示 さ れ て い な い が,A1,i,B1,k,C1,jで

問4 

〔 例 題3〕

に お い て,c=ma+nb(m,nは

で あ る こ とが 明 示 で きて い

整 数)と

あ る。

し,m,nを

自由 に 変 更

で き る よ う にせ よ 。

〔 例 題4〕  a=〓,b=〓

の と き,c=−1.5a+3bの

成 分 を 求 め,そ

の計

算 を図 示 せ よ。 〔 解 〕 p=ma+nb(m,nは

整 数)の

表 す 点 を 図 示 し て お く こ と でa,b,c

の 位 置 関 係 を 明 示 す る 。 グ ラ フ の 表 示 範 囲 をrと rの 成 分 はr1,r2,r3,r4と (xj,k,yj,k)とい う2次 ダ イ ヤ,ラ

し て 利 用 で き る の で,こ

い うベ ク トル に 代 入 し て い る。 れ を グ ラ フ の4隅

元 配 列 の 点 を グ ラ フ 化 す る 。 そ の 際,ト

イ ン を な し と設 定 す る 。

図5.6

に記 述 す る。

レー ス は シ ン ボ ル を

図5.7

  図5.7が

グ ラ フ 部 分 で あ る 。x軸

の と こ ろ の 変 数 はxj,k,C1,h,A1,h,B1,hで

あ る。

[4]  ベ ク トル の内積   0で な い2つ 積 と い い,a・bと

の ベ ク トルa,bの

な す 角 が θ の と き,￨a￨￨b￨cosθ

をaとbの

内

表 す。

で あ る と き,a・b=a1b1+a2b2

  〔例 題5〕  a=(〓)の

と き,a・bの

計 算 を し,そ の 値 が 図 形 上で表 して い る もの

を調 べ よ 。

  〔解 〕 ￨b￨cosθ はベ ク トルaを 含 む 直 線 へ の 正 射 影 の 長 さ で あ り,ベ を90°回転 させ たベ ク トル を β とす る と,a,βで ￨b￨cosθ￨であ は〓

る。図5.8の

で き る平 行 四 辺 形 の 面 積 が￨a￨

ワ ー ク シ ー トを作 成 す る。〓

で あ り,平 行 四辺 形 の部分 は4行目で点

ク トルb

に垂 直 なベ ク トル

列 を定義し,点 は+で 表 示 して い

る。x軸 の と こ ろ の変 数 はA1,i,B1,j,xm,nで あ る。3行 目 で はaと β とで で きる 平行 四辺 形 の 面 積 を公 式 で求 め て い る。

図5.8

問5 

〔 例 題5〕

に お い て,a=(〓)と

して 調 べ よ。 一 般 に 内積 が 負 の と きは,平

行四

辺 形 が ど う な る と き と考 え られ る か 。

5.2  ベ ク トルの 図形 への応用 [1]  位置ベ ク トル と分 点   原 点 を始 点 と し,終 点 がPで B,Pの

あ る ベ ク トル を 点Pの

位 置 ベ ク トル がa,b,pで

る と き,〓

であ る 。

あ り,点Pが

位 置 ベ ク トル と い う 。点A,

線 分ABをm:nに

分 け る点 で あ

〔例 題6〕 

A(−1,2),B(2,1),C(3,3)の

で 表 さ れ る 点 をPと

と き,辺BCの

す る と,AP=2PMで

中 点 をMと

し, 〓

あ り,Pが△ABCの

重心

で あ る こ と を示 せ 。 〔解 〕 図5.9の

ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。4行

目のABCは

行 列 の 積 で は な く,

図5.9

行 列 の 名 前 で あ る。 こ の名 前 に す る こ とで 三 角 形 の 座 標 が 並 ん で い る行 列 で あ る こ と を強 調 して い る。AM,OPも

同 様 で あ る。5行 目 の絶 対 値 の記 号 は ベ ク トル

で は 大 き さ を 表 し,この

式 は〓を

重 心 で あ る 。 ま た,x軸

の 変 数 は,ABC1,j,ABC1,i,OP1,k,AM1,kで

問6〔

例 題6〕

に お い て,3点A,B,Cを

示 し て い る 。 し た が っ て,点Pは

△ABCの

あ る。

次 の よ うに 変 更 し て 調 べ て み よ。

 (1)A(2,−1),B(1,3),C(−1,1) 

(2)A(1,6),B(−3,1),C(2,1)

[2]  直線のベ ク トル方 程式   分 点 の 公 式 に お い て,t=〓

と お く と,p=(1−t)a+tbで

を2点A,Bを

方 程 式 と い い,tを

〔例 題7〕 

通 る 直 線 の べクトル

2点A(2,1),B(−1,2)を

通 る 直 線 の,次

あ る 。 この 式

媒 介 変 数 とい う。

の ベ ク トル 方 程 式 に つ い て

調 べ よ。p=(1−t)a+tb(0〓t〓1) 〔解 〕 図5.10の

よ う に ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。1行

を と る よ う に 定 義 さ れ る 。2行 を と る の で,こ と こ ろ が(0,0)の

目 のpk,iは

の 直 線 上 の 点 は1つ

目 でtiは0,0.1,…,1の

値

二 次 元 配 列 で あ る が,iが1つ

お きの 値

お き に 代 入 さ れ る こ と に な り,代

入 されな い

ま まで あ る。

 し た が っ て,図5.11の

よ う に(p1,j,p2,j)と

図5.10

図5.11

し て グ ラ フ を 描 く と,折

れ 線 を描 くこ

とに よ りベ ク トル が 表 示 さ れ る。こ れ だ け で ベ ク トルa,bも

表 示 され るが,色 を

変 え て 表 示 した い の で も う1回 上 書 き して い る。tiの 値 は グ ラ フ の右 に 表 示 す る よ うに して い る。 問7  (1) 

〔 例 題7〕 t〓0 

に お い て,tの (2) 

次 の 値 に つ い て 調 べ て み よ。

t〓1

5.3  複 素数平面 [1]  複 素数  i2=−1を

満 た す 実 数 で な い数iを 虚 数 単 位 とい い,実 数a,bに

対 して,a+bi

で 表 され た数 を複 素 数 と い う。 〔例 題8〕 z1=1+√2i,z2=√3−iの

 (1) z1+z2 

〔解 〕 図5.12の

と き,次

の 計 算 をせ よ。

 (3)

(2) z1・z2

ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。Mathcadで

変 数 と し て み な さ れ て し ま う。虚 数 単 位iは1iと 単 にiと

は,単

にiと

入力す ると

し て 入 力 す る 。 た だ し,表 示 は

な っ て し ま うの で 注 意 が 必 要 で あ る。

図5.12

問8 

〔 例 題8〕

の 計 算 を シ ン ボ リッ ク計 算 で せ よ。

[2]  複素 数 平面  複 素 数a+biに

対 して,点(a,b)を

対 応 させ る と,複 素 数 を座 標 平 面 上 に 表示 す

る こ とが で き る。 こ の 平 面 を複 素 数 平 面 とい う。

〔例 題9〕  次 の 複 素 数 を複 素 数 平 面 上 に 図示 せ よ。  (1) 

3+2i 

(2) 

 (3) −2 

(4) 

〔解 〕  図5.13の る 。Im(z1)が Re(z1)が

2−i 3i

ワ ー ク シー トを作 成 す

複 素 数z1の

虚 部 を 表 し,

実 部 を表 す 。 グ ラ フ フ ォ ー マ

ッ トを 選 択 し,シ ン ボ ル を ダ イ ヤ,角,+, Xな ど と し,点

を 表 示 さ せ る 。 ま た,グ

ラ フ の 表 示 範 囲 をr1,r2,r3,r4と

し て,4

隅 に 入 れ て マ ー カ へ の ク リ ップ を オ ン に して い る。

図5.13

[3] 複素数平面上での複素数の演算  複 素数の加 減   複 素 数z1=a1+b1i,z2=a2+b2iの  ① z 1にz2を にb2だ

加 え る こ と は,複

素 数 平 面 上 で,点P1をx軸

引 く こ と は,複 素 数 平 面 上 で,点P1をx軸

あ る と き,

方 向 にa2,y軸

方 向

方 向 に−a2,y軸

方 向

け平 行 移 動 す る こ と で あ る 。

〔例 題10〕 z1=3+2i,z2=2−iで 〔解 〕  図5.14の 行 列Zを

れ ぞ れ 点P1,P2で

け平 行 移 動 す る こ と で あ る 。

 ② z 1か らz2を に−b2だ

表 す 点 が,そ

あ る と き,z1+z2,z1−z2の

表 す 点 を図 示 せ よ。

ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。点 の 移 動 を わ か りや す くす る た め に,

使 い,原 点 か ら 引 い た 線 分 を 表 示 し た 。点 は 色 で 区 別 さ せ た い の で,別 々

に 表 示 して い る。

図5.14

問9 z1=1−2i,z2=−1−iの

と き,2z1−3z2を

図示せ よ。

[4]  複素 数の極形式   複 素 数z=a+biが

表 す 点 をPと

と 表 す 。 ま た,z≠0の arg(z)で

と き,OPがx軸

す る と き,OPの

長 さ をzの

絶 対 値 と い い,｜z｜

の 正 の 向 き と な す 角 をzの

偏 角 と い い,

表す。

 複素 数の乗除

  〔例 題11〕 z1=1+2i,z2=2−iで 〔解 〕 図5.15の

あ る と き,z1z2の

ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。Mathcadで

表 す 点 を 図 示 せ よ。 は,arg(z),｜z｜

ら も 組 み 込 み 関 数 と し て 使 う こ とが で き る 。 た だ し,arg(z)はラジ

る 。1〔ラジ

ア ン 〕=〓

の どち

ア ン で 表 され

〔度 〕 で あ る の で,こ れ を か け れ ば 度 で 表 示 さ れ る 。レ ン ジ

変 数nを 行 列Zで

使 って い るの で,arg(zn)・rad=,￨zn｜=で

角 度,大

線 分 を 表 示 す る 。 色 で 点 を 区 別 し た い た め,そ

る 。図5.16が

グ ラ フ 部 分 で あ る が,x軸

きさを す べ て 表 示 す る。 れ ぞれ 別 々 に 表示 して い

の 変 数 は,Re(z1),Re(z2),Re(z3),Z1,mで

あ る。

図5.15

図5.16

問10

[5] ド

〔 例 題11〕

に お い て,z3〓

と し て,ど

う変 わ る か 調 べ よ。

・モ ア ブ ル の 定 理

 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

をド

・モ ア ブ ル の 定 理 と い う。

〔例 題12〕 z1=r(cosθ+isinθ),zn=z1n,θ=20゜,n=1,2,…,12で znの 表 す 点 を 表 示 せ よ 。

あ る と き,

〔 解 〕

け て,度

図5・17の

ワ ー ク シ ー ト を 作 成 す る 。1〔 度 〕=〓

をラジ ア ン に 変 換 す る 。zmの漸

化式 でzの

で あ る の で,これ

累 乗 を求 め,最

ブ ル の 定 理 が 成 り立 っ て い る こ と を 確 か め て い る 。 図5.18が

後 にド ・モ ア

グ ラ フ部 分 で あ る。

図5.17

図5.18

問11 

問12 

〔例 題12〕

〔 例 題12〕

に お い て,r=0.9,θ=30゜

に お い て,r=1,θ=60゜,N=6と

解 を す べ て 求 め よ。

と して 調 べ よ 。

し て 調 べ,そ

をか

の 図 を 使 い,z6=1の

5.4  複素数 の図形への応用 [1]  回 転移 動   複 素 数zが る と,そ

表 す 点 をPと

の 表 す 点 はPが

〔例 題13〕 z1=3+2iで

す る と,zに

大 き さ1の

複 素 数cosθ+isinθ

をか け

原 点 の ま わ りに θ回転 し た点 で あ る。

あ る と き,z1の

表 す 点 を原 点 の ま わ りに60゜回 転 さ せ

よ。 回 転 して い く と きの 円 弧 も表 示 せ よ。 〔解 〕 図5.19の

ワー ク シー トを作 成 す る。 〔 例 題12〕 の よ うに,漸 化式 を使 っ て

円 弧 の 部 分 の 複 素 数 を求 め,行 列Wに

実 部 と虚 部 を代 入 す る。行 列Zに

複素 数

z1 ,zN+1の 実 部 と虚 部 を代 入 す る。

図5.19

問13 

〔 例 題13〕

転 させ よ。

に お い て,υ=−2−iと

す る と き,ｚ1の 表 す 点 をυ の ま わ りに60°回

[2]  対 称移動  複 素数zと

そ れ に 共 役 な複 素 数zを 表 す 点 は,x軸

に 関 して 対 称 で あ る。zと−

zを表 す 点 は 原 点 に 関 して対 称 で あ る。 直 線 に 関 す る対 称 移 動 は 回転 を使 っ て表 され る。 〔 例 題14〕

点(3,2)と 直線y=2x−1に

関 し て対 称 な 点 の 座 標 を複 素 数 を用 い

て求 め よ。 〔解 〕 図5.20の

ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。a=2,b=1,f(x)=ax+bと

biと す る 。z1,υ,1+f(1)iの の な す 角θ が4行 る 。Zが

表 す 点 を そ れ ぞ れP,V,Qと

目 で 求 め ら れ,Vの

ま わ り に2θ

そ の 座 標 を表 して い る。

図5.20

し,υ= す る と,VPとVQ

回転 させ て対 称 点 が 求 め られ

問14点(4,2)と

直 線y=−x+1に

関 し て 対 称 な 点 の 座 標 を調 べ よ。

[3]  3点 の 位置 関係  3点A,B,Cを

表 す 複 素 数 を それ ぞ れz1,z2,z3と す る。

①〓 が 実 数 の と き,3点A,B,Cは

一 直 線上 に あ る。

②〓 が 純 虚 数 の と き,AB⊥BCで

  〔例 題15〕 

と き,〓

  〔解 〕

直 線y=x−1上

あ る。

の3点A,B,Cのx座

標 を そ れ ぞ れ−2,1,3と

す る

の 値 を調 べ よ。

図5.21の

ワ ー ク シ ー ト を作 成 す る 。求 め る値 が−1.5と

な り,確 か に 実 数

で あ る。

図5.21

問15 

直 線y=x−1上

の2点A,Bのx座

直 線 に 垂 直 な 直 線 上 の 点Cのx座

標 が3で

標 が そ れ ぞ れ−2,1で あ る と き,〓

あ り,Bを

通 って この

の 値 を調 べ よ。

[4]  三 角形 の相 似   △ABCと△A'B'C'に

2,z3,w1,w2,w3で

つ い て,A,B,C,A',B',C'を

あ り,〓

表 す 複 素 数 が,そ

れ ぞ れz1 ,z

で あ る と き,△ABCと△A'B'C'は

相

似 で あ る。

〔例 題16〕 A,B,C,A',B',C'を

表 す 複 素 数 が そ れ ぞ れz1,z2,z3,w1,w2,w3で

り,z1=1+3i,z2=2−i,z3=−2+i,w2=1−3i,w3=4−2iで

△A'B'C'が

相 似 で あ る と き,w1を

〔解 〕 図5.22の

あ

あ る 。 △ABCと

求 め よ。

ワ ー ク シー トを作 成 す る。 相 似 の関 係 式 を変 形 して,3行

w1,を 求 め て い る。 相 似 の 対 応 す る点 を示 す ため にB,B'を

図5.22

表 示 して い る。

目で

練習問題  〓の と き,

1. 2.

な す 角 を求 め よ 。

と き,△OABに

つ い て,OAを2:1,OBを3:2に

を そ れ ぞ れM,Nと

4.  2点A,Bの

満 た すs

 〓の と き,aとbの

3.  A(5,1),B(4,1)の

し,ANとBMの

ぞれp,a,bと

c=sa+tbを

交 点 をPと

す る と き,pをa,bで

表 さ れ,s

求 め よ。

内分 す る点

す る 。P,A,Bの

位 置 ベ ク ト ル をそれ

表せ 。

位 置 べ ク トル がa=(21),b=(−12)であ

p=sa+tbと

,tを

り,点Pの

位 置 べ ク トル が

,tの 関 係 が 次 の 式 で 与 え ら れ る と き,点Pは

どの よ う な 図

形上 の点 で あ るか。  (1) s+t=−1(−l〓t〓0) 

5.  A1(3,1),A2(1,2)で N=5,N=7と

(2)  4s+t=2(s〓0,t〓0)

あ る と き,線 分A1A2を1辺

とす る正N角

形 を描 け 。 た だ し,

して 実 行 せ よ。

6.  〔 例 題14〕 で は 偏 角 を使 っ て 対 称 点 を求 め た が,偏

角 を使 わ な い で加 減 乗 除 と共役

複 素 数 を求 め る 計 算 だ け で 求 め よ。 7.  A1(−6,5),A2(1,6),B(4,−3)の 点An+2を△AnBAn+1の せ よ。

と き,△AnBAn+1∽△An+1BAn+2と 外 部 に と る と す る(n=1,2,3,…,7)。

な る よ うに こ れ らの 三 角 形 を図 示

第6章  平 面 幾 何   これ ま で の 平 面 幾 何 の 学 習 の 目 的 は,論 証 に よ る 図 形 の体 系 の 組 み 立 て に あ っ た 。 こ こ で は,論 証 に よ る 図 形 の体 系 の 組 み 立 て の 学 習 に そ の 目的 を お くの で は な く,コ ュ ー タ ソ フ トGeoBlockの シ ョ ン を 利 用 して,発

特 性 を 生 か して,さ

ンピ

ま ざ まな 図 形 の 性 質 を計 算 式 や ア ニ メ ー

見 した り確 認 し た りす る こ と に よ っ て,自

ら学 習 を推 し進 め る 力

を身につ け る こ とを目的 としてい る。   もち ろ ん,計

算 式 や ア ニ メ ー シ ョ ンに よ る 図 形 の 性 質 の 発 見 や 確 認 が 図 形 学 習 の 終 着

点 で は な い 。 発 見 し た性 質 や 確 認 し た こ とが らが,常 が 必 要 で あ る。 計 算 式 に よ る 場 合 も,ア

に 成 り立 つ こ と を 示 す に は ,論 証

ニ メー シ ョ ン に よ る場 合 も,そ

こでの確 認 は論

証 と は 異 な る こ と を 意 識 し な け れ ば な ら な い 。 こ の 章 の 学 習 全 体 を 通 して,い

ずれか 一

方 に 偏 ら な い 柔 軟 な 思 考 が 重 要 で あ る。

6.1  基本 図形 の性質 [1]  基本図形の描画 と計算式による確認   基 本 的 な 図 形 の 描 画 と描 画 さ れ た 図 形 の性 質 を,GeoBlockの

計 算 式 を用 い て

確 認 す る方 法 につ い て 学 習 し よ う。 (1)  長 さ の 単 位 と方 向 の 基 準  図形 エ リア 内右 下 の 交 差 して い る2線 分 は,「 長 さ単 位 」を表 す と と もに,水 平

並 び に垂 直 の 方 向 の 基 準 に もな って い る。 こ こ で,制 約 ボ タ ン 「長 さ」 を選 択 す る と,選 択 状 態 の 線 分 の 長 さ を,「 長 さ単 位 」あ るい は,他 の 線分 の長 さ を基 準 と して 指 定 で き る。 〔例 題1〕  こ と を,計

(二 等 辺 三 角 形)AB=BCで

あ る △ABCを

描 き,∠B=∠Cで

ある

算 式 で確 か め よ。

〔解 〕 ＜ 描 画＞   1. 基 本 図形 ア イ コ ン 「三角 形 」を選 択 して,△ABCを 2. 辺ACを

選 択 し,点Cを

3.  「長 さ」 を選 ぶ と,点Aを

選 択 状 態 に して制 約 ボ タ ン 「長 さ」 を選 ぶ 。 始 点 とす る電 子 定 規 が表 示 さ れ る。 この 定 規 の 目

盛 は,画 面 内右 下 の 「長 さ単 位 」 を基 準 と して い る。 線 分ABを クす る と,目 盛 は 線 分ABを

基 準 とす る 目盛 に 変 化 す る。1番

パ ネ ル 「デ ジ タ ル1/5」 と して小 目盛 の5番

選 ん で ク リッ 目の 目盛(操 作

目)に 電 子 カー ソ ル を移 動 して,改

行 キー を押 す か,操 作 パ ネ ル の 「決 定:改行 」を ク リッ クす る と,AC=ABで る△ABCを

描 く。

あ

得 る。

図6.1

＜確 認＞

メ イ ン メニ ュー の 「計 算 式 」 を選 び,プ

追 加 に よ って∠B(∠ 式 の 画 面 に,そ

ルダウ ンメニューの計算 式の

の 記 号 はf・4)を 入 力 す る。 続 い て,∠Cを

入 力 す る と計 算

れ ぞ れ の 角 の 大 き さが 表 示 され る。

(注)∠B,∠Cの

大 きさ は,図 の 変 形 に よ って 変 化 す るが,等

しい 値 で あ る こ と

が 確 か め られ る。 問1〔

例 題1〕 で 描 い た△ABCの

と きの∠B,∠Cの

頂 点Aを

移 動 して△ABCの

値 が 等 し い こ と を確 認 せ よ 。 頂 点B,頂

点Cの

形 を変 え て み よ 。 そ の 移 動 も試 み よ。

 (注)頂 点A,Bは

自由 に 移 動 で き るが,頂 点Cは

点Aを

中 心 と して, ABを

半 径 とす る

円 周 上 の み を移 動 す る と い う制 限 が あ る 。

(2) 制約ボ タン設定後の 制約 の制 限   1つ の 線 分 に は 「方 向 」 とい う制 約 と 「長 さ」 とい う制 約 を同 時 に 設 定 で き る が,こ

の 「方 向 」 と 「長 さ」 を除 き,1つ

の点 に は1つ

の制 約 しか 設 定 で き な い。

す で に何 らか の 制 約 を受 け て い る点 に,さ らに 制 約 を設定 し よ う とす る と,「この 点 に はす で に 制 約 が あ ります 。 設 定 で き ませ ん。」とい うエ ラー メ ッセ ー ジ パ ネ ル が 表 示 さ れ る。 〔 例 題2〕 

(正三 角 形)  正 三 角 形ABCを

描 け。

＜考 え 方＞  三 角 形 の 辺 や 内角 に ど の よ う な制 約 を与 え る と正 三 角 形 が 得 られ る か。   ま ず,辺BAの

長 さ を辺BCの

等 し くす る 。 こ の と き,線

長 さに

分BAの

端点

Aは 長 さ の 制 約 を 受 け て い る。 し た が っ て,辺ACに

「長 さ 」 の 制 約 を あ ら た に

加 え る こ と は で き な い 。 ま た,頂 には

点A,B

「角 度 」 の 制 約 を加 え る こ と も で き

な い 。 し か し,辺BAの,辺BCに

対す

る 「方 向 」を60° にする 制 約 を 加 え る こ と

図6.2

は で き る。 〔解〕1.  2.  辺BAを て,辺BCを

基 本 図 形 ア イ コン 選 択,頂

4.  △ABCが

選 択 状 態 に し て,制

ク リ ッ ク し て,BA=BCを

3.  続 い て,辺BAを び,辺BCを

点Aを

「三 角 形 」 を 選 ん で△ABCを

選 択,頂

点Aを

描 く。

約 ボ タ ン 「長 さ 」 を 選 ぶ 。 続 い

得 る。 選 択 状 態 に し て,制

ク リ ッ ク し て,BAのBCに 求 め る正 三 角 形 で あ る。

約 ボ タ ン 「方 向 」 を選

対 す る 方 向 を60° にする 。

問2 

(1)  〔 例 題2〕 で 描 い た△ABCに

つ い て,計 算 式AB,BC,CA,∠A,∠B,∠Cを

入 力 して,そ れ らの 値 を調 べ よ。また,頂 点 を移 動 して これ らの 値 に 変 化 が あ るか 調 べ よ。 (2) 

〔 例 題2〕

で 描 い た△ABCを

用 い て,辺

の 長 さが4(「 長 さ 単 位 」基 準)の 正 三 角

  形 を描 画 せ よ。 (3)  は じめ に,辺BCに

対 す るBAの

とい う順 序 で,正

方 向 を60°に 設 定 し,続 い て,BA=BCに

設 定する

三 角 形 を描 画 して み よ。

  基 本 図 形 ア イ コ ン 「多角 形 」を用 い て,四 番 目の 頂 点 を最 初 の 頂 点 に 重 ね れ ば, 四角 形 を描 くこ とが で き る。一 般 に,n番

目の 頂 点 を最 初 の頂 点 に重 ね れ ばn角

形 を描 くこ とが で き る。 〔 例 題3〕  (正方 形)  四 角 形ABCDを

描 いて,そ

の 四 角 形 に,次 の1.∼4.の

制

約 を加 え よ。 また,制 約 を加 え た 四 角 形 の辺 や 角 に つ い て成 り立 つ こ と を,計 算 式 を用 い て確 認せ よ。 ＜ 制 約＞   1.  辺ADの

辺ABに

対 す る 「方 向 」 を90° にする 。 2.  辺ADの

「長 さ 」 を,AD=ABと

す る。 3.  辺DCの

辺DAに

対 す る 「方 向 」

を 90°にする 。 4.  辺DCの

「長 さ 」 をDC=DAと

す る。

＜確 認＞   1.∼4.の 制 約 を加 え た 四 角 形 に つ い て,計 BCの

長 さが,他

と,∠B,∠Cの

算 式 を用 い て 辺 の3辺

と等 し い こ

大 き さ が90°に 等 し

い こ とな どが確 認 で き る。 問3 

〔 例 題3〕

の 四 角 形 に お い て,計

せ よ。 ま た,AC,BDの

図6.3

算 式 を用 い て,∠ACB,∠ACDの

長 さを比較せ よ。

大 きさを比較

(3)  点 結 合   制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を選 択 す る と,重 な っ て い る点 と点 を結 合 す る こ とが で き る。 重 ね た 2つ の 点 が あ る とき,「 点 結 合 」を選 択 して 実 行 す る と2つ の 点 は 結 合 す る。 この と き,下 の 点 の ラベ ル だ け が 表 示 さ れ る。   例 え ば,2つ

の 点A,Bが

あ る場 合 に,Aを 移 動

してBに 重 ね て,「 点 結 合 」を選 べ ば2つ

の点 は

結 合 さ れ,ラ ベ ル はBだ け に な る。 逆 に,Bを 移 動 してAに 重 ね て,「点結 合 」を選 べ ば2つ の 点 は 結 合 され,ラ ベ ル はAだ け に な る。線 分ABと CDの

図6.4

端 点 の ラベ ル つ い て も同様 で あ る。

(4)  交

点

  制 約 ボ タ ン 「交 点 」 を選 択 す る と,線

と線 が 重 な った位 置 に 点 を描 画 し,交 点

に 設 定 す る こ とが で き る。 線 と線 の 重 な っ た位 置 に点 を描 画 し,「 交 点 」を選 択 し て 実 行 す る と,描 画 して選 択 状 態 に あ る点 が 交 点 に 設 定 され る。 この 点 は 関 連 し た 図 形 の移 動 が な い 限 り,移 動 で き な い 点 と して 表 示 され る。 〔 例 題4〕   (対角 線 の 交 点)  〔 例 題3〕 で描 い た 四 角 形ABCDの 並 び にAC,BDの

交 点Iを 描 画 せ よ。

〔 解 〕1. 

〔 例 題3〕

で 描 い た 四 角 形 をABCDと

2.  ア イ コ ン 「線 分 」 を 選 ん で 端 点Eを 点Eが

点Aに

重 ね ら れ,ラ

ベ ル がAと

て 「点 結 合 」 を ク リ ッ ク す る と,点Fが 角 線ACが

点Aに

す る。 重 ね,「 点 結 合 」 を ク リ ッ ク す る 。

な る 。 引 き 続 い て,点Fを 点Cに

点Cに

重 ね ら れ ラ ベ ル がCと

重 ね

な り,対

描 画 さ れ る。

3.  2.と 同 様 に 対 角 線BDを

描 画 す る。

4.  ア イ コ ン 「点 」 を 選 ん で,ACとBDの ン

対 角 線AC,BD

「交 点 」 を ク リ ッ ク す る と,点IがAC,BDの

交 点 の 位 置 に 点(I)を 置 き,制 交 点 と設 定 され る。

約 ボタ

問4 

〔 例 題4〕

で描 い た 四 角 形 に お い て,計

調 べ よ 。 また,点Aま

た は 点Bを

算 式 を用 い て,∠AID,∠IADの

移 動 して,こ

大 きさ を

れ ら の値 の 変 化 を調 べ よ。

(5)  線 の 属 性 変 更   メ イ ン メ ニ ュ ー の 「図 形 編 集 」 を ク リ ッ ク して 表 示 され る プ ル ダ ウ ン メニ ュー の 「 選 択 図 形 の 属 性 変 更 」 を ク リ ッ クす る と,選 択 図 形 が 線 の場 合,図6.5の

よ

うに 線 の属 性 変 更 パ ネ ル が 表 示 さ れ る。

図6.5

  この メニ ュ ー で直 線 を選 ん で ク リッ クす る と,○ が 中黒 の〓 と な り,直 線 が 選 択 され る。 ● 線 種(図6.6) 線 分 …2点 を始 点 と終 点 とす る線 分 直線 …2点 を 通 って両 方向 に伸 び る直線 半直 線1…2点 の うち、先 に描 かれ たほ うの点 を端点 と し、 もう1点 を通 って 伸 び る半 直線 半直線2…2点 の うち、あ とか ら描か れた ほ うの点 を端点 とし、 もう1点 を通 って伸 びる半 直線

図6.6

(6)  垂 線 の 足   制 約 ボ タ ン 「垂 線 の 足 」 を選 択 す る と,線 分 上 に の せ た 線 の 端 点 を,垂 線 の 足 に 設 定 す る こ とが で き る。 (7)  数 式 入 力 の フ ァ ン ク シ ョ ン キー へ の 割 当 て   数 式 や 記 号 の 入 力 が 容 易 に行 え る よ うに,数 式 に よ く用 い られ る記 号,特 殊 文 字,お

よ び数 式 ブ ロ ッ ク は 図6.7に

示 す よ うに,F1∼F10の

フ ァ ン クシ ョン

キー に 割 り当 て られ て い る。

図6.7 

〔例 題5〕(垂

線 の 長 さ の和)三

す る 正 方 形AEFB,ACIJを FM,IOを

フ ァ ン ク シ ョン キ ー へ の 割 当 て

角 形ABCの2辺AB,ACを

作 る。 点F,Iか

描 画せ よ。 こ の と き,BC=FM+IOが

ら 辺BCの

そ れ ぞ れ1辺

と

延 長 線 に それ ぞ れ垂 直

成 り立 つ こ と を,計 算 式 に よ っ

て確 か め よ。 〔解 〕

＜ 描 画＞   1.  ア イ コ ン 「三 角

形 」 を 用 い て△ABCを

描 く。

2.  ア イ コ ン 「多 角 形 」 を 用 い て,第1 の 点(D)をAに,第4の

点(G)をB

に,そ れ ぞ れ 点 結 合 し,第5の Aに 重 ね て,四 角 形AEFBを

点(H)を 描 画 す る。

3.  こ の 四 角 形 に お い て,辺AEの ABに

対 す る 「方 向 」 を90°,辺AEの

ま た,同 ABの

様 に,辺BFの

辺ABに

長 さ に 等 し くす る。

辺

図6.8

「長 さ 」 を 辺ABの

長 さ に 等 し くす る 。

対 す る 「方 向 」 を90°,辺BFの

「長 さ 」 を 辺

4.  2.,3.の

手 順 で 四 角 形AEFBは

5.  2.∼4.と

同 様 の 手 順 に よ っ て,正

6.  線 分BCの

正 方 形 と な る。 方 形ACIJを

属 性 を 「直 線 」 に 変 更 す る 。

7.  ア イ コ ン 「線 分 」 を 用 い て,第1の 点(M)を

直 線BCの

点(L)をFに

延 長 上 に 置 い て,制

8.  7.と 同 様 に し て,点Iか

ら 直 線BCに

＜確 認 ＞

計 算 式 に そ れ ぞれ,FM+IO,BCを

FM+IOの

値 とBCの

記 号(+)は,F6の

重 ね て 「点 結 合 」 し,第2の

約 ボ タ ン 「垂 線 の 足 」 を ク リ ッ ク す る 。 垂 線IOを

引 く。

入 力 す る。点Aを

値 を比 較 して,BC=FM+IOで

任 意 に移 動 して,

あ る こ と を確 認 す る。演 算

使 用 に よ って 得 られ る。

問5  二 等 辺 三 角 形ABCの ,DGと

描 く。

底 辺BC上

す る。 この とき,DE+DGの

の 点Dか

ら辺AB,ACに

引 いた 垂 線 を,そ れ ぞ れDE

値 が 一 定 で あることを計 算 式 によって確 か め よ。

 す べ て の 内 角 の大 き さが 等 し く,す べ て の 辺 の 長 さ が 等 し い 多角 形 が 正 多角 形 で あ る。n角

形 の1つ

の辺 の 隣辺 を基 準 とす る 「方 向 」が〓

で,「 長 さ」

が 隣辺 と等 し くな る よ う な操 作 をn−2〔 回〕繰 り返 せ ば,正n角

形 が 得 られ る。

〔 例 題6〕 

(正五 角 形)正

五 角 形 を描 画 せ よ。

〔 解 〕  ＜描 画＞   1.  ア イ コ ン 「多角 形 」を用 い て五 角 形ABCDEを 2.  辺AEを

描 画 す る。 選 び,点Eを

選 択 状 態 に す る。

3.  制 約 ボ タ ン 「方 向 」 を選 び,辺ABを 。方 向入力パ ネルの

ク リ ッ クする

「手 入 力 」 を 選 び,角

度入 力

パ ネ ル に108°を キ ー ボ ー ド入 力 す る 。 4.  続 い て,制

約 ボ タン 「長 さ」 を選 び,辺ABを

クす る。電 子 定 規 の 長 さカ ー ソル を,辺ABの くな る位 置 に 置 い て,RETURNキ

ク リッ 長 さに 等 し

ー を押 す 。 図6.9

5.  辺EDとDCに

つ い て,2.∼4.の

6.  五 角 形ABCDEが

問6 

操 作 を 繰 り返 し て,同

様 な 設 定 を 行 う。

正 五 角 形 で あ る。

〔 例 題6〕 の 五 角 形 に つ い て,∠ABC,∠BCDの

大 き さ を調 べ よ 。 ま た,辺BCの

長 さが 他 の 辺 の 長 さ に 等 し い こ と を確 か め よ 。

〔例 題7〕 

(三 角 形 の 外 心)△ABCの

引 き,こ れ らの 交 点 をHと お い て,BJ=JCが

し,Hが

辺AB,ACの ら辺BCに

垂 直 二 等分 線 を そ れ ぞ れ

垂 線HJを

描 画 せ よ。 そ の 図形 に

成 り立つ こ とを計 算 式 を用 い て確 か め よ。

〔解 〕  ＜描 画＞   1. △ABCを

描 画 す る。

2. 複 合 図形 ア イ コ ン 「垂 直二 等分 線 」 をク リ ッ ク してABを 二 等分 線DEが

選 択 す る と,ABの

垂直

描 画 され る。

3.  2.と 同 様 に し て,ACの

垂 直 二 等 分 線FG

を描 画 す る。 4.  基 本 図 形 ア イ コ ン 「点 」を 用 い て,点(H) を2つ

の 垂 直 二 等 分 線 の 交 点 に 重 ね,「 交

図 6.10

点 」 を ク リ ッ クす る。

5. 基 本 図 形 ア イ コン 「線分 」 を用 い て,第1の BC上

に 置 い て,制

＜確 認 ＞

点(J)を 辺

約 ボ タ ン の 「垂 線 の足 」 を選 ん でクリック す る。

計 算 式 にBJ,JCを

動 し て も,BJの

点(I)をHに,第2の

そ れ ぞ れ 入 力 し,そ れ らの値 を比 較 す る。頂 点 を移

値 とCJの 値 は等 しい値 で あ る こ とが 確 認 で き る。

 (注)〔 例 題7〕 の 線 分HJは,辺BCの の 辺 の垂 直 二 等 分 線 が1点

垂 直 二 等分 線 に な る。 こ の こ とは,3つ

で交 わ る こ と を表 して い る。

(8)  等 分 点  制 約 ボ タ ン 「等 分 点 」 を選 択 す る と,線 分 上 に置 い た 点 を,そ の 線分 の 内分 点 ま た は 外 分 点 に設 定 す る こ とが で き る。   例 えば,線 分AB上

に点Cを

置 いて こ

の 点 を選 択 状 態 に し,制 約 ボタン 「等分 点 」をクリックす る。 等 分 点 パ ネ ル の 比率 を,比 の 前 項,後 項 ともに▲,▼を クリッ クして希 望 す る値 とし,必 要 に 応 じて 内 分,外

分,比

率 反 転 を選 ん で,リ ター ン

キー を押 す か「 決 定:改行 」 をクリックす る。 図6.11の

場 合,点CはABを2:1の

図6.11

比 に 内分 す る位 置 に 設 定 され て い る。

問7  次 の 各 事 項 を確 か め よ。   (1)  △ABCの∠B,∠Cの

二 等 分 線 の 交 点 をHと

す る と き,∠HAB=∠HACが成り

立 つ こ と を確 か め よ。  (2)  △ABCの∠Bの

外 角,∠Cの

∠ BAJ=∠CAJが  (3)  △ABCの

頂 点B,Cか

と き,AH⊥BCが  (注)ア

ら そ れ ぞ れ 辺AC,ABに

た は∠AKCの

 (4)  △ABCの

引 い た 垂 線 の 交 点 をHと

す る

成 り立 つ こ と を確 か め よ。

イ コ ン 「線 分 」の2端

点 を,そ れ ぞ れ 点A,Hに

属性を「 半 直 線1」 に選 ん で 線 分AHを ∠AKBま

外 角 の 二 等 分 線 の 交 点 をJと す る と き,

成 り立 つ こ と を確 か め よ。

の 交 点 をKと

の線 分AHの

す る。 こ の と き,

値 を調 べ る 。

辺AC,ABの

の 交 点 をJと

延 長 し,辺BCと

「点 結 合 」 し,そ

す る 。AJの

中点(1:1の

内 分 点)を そ れ ぞ れD,Eと

延 長 と 辺BCと

の 交 点 をMと

し,BDとCE

す る と,BM=CMが

成 り

立 つ こ と を確 か め よ。

[2] 有名定理の計算式による確認   こ こで は,中 線 定 理,メネラウス 確 か め て み よ う。

の定 理,チェバ

の定 理 な ど を計 算 式 を用 いて

〔例 題8〕   (中 線 定 理)△ABCの

辺BCの

中点(1:1に

内分)をDと

す る と き,

次 の 等 式 が 成 り立 つ こ と を確 か め よ。

〔 解 〕＜ 描 画＞   1.基 2.BC上

に 点Dを

本 図 形 ア イ コ ン 「三 角 形 」 を用 い て,△ABCを

描 く。

中点 に 設 定 す る。

＜確 認＞   1.ABの

入 力 に 引 き続 い て,f・2を 押 す と累 乗 の入 力待 ち とな る。そ

こで2を 入 力 し,TABキ

ー を押 す と計 算 式AB2を

得 る。 2.1.の BD2)を

計 算 式 入 力 法 に よ り,AB2+AC2,2(AD2+ そ れ ぞ れ 入 力 す る。

  図 形 を変 形 し て も,こ

れ ら の2つ

の式 の値 が 等 し

い 値 で あ る こ とが確 認 で き る。 (注)こ

の 図 形 の 性 質 は,中

図6.12

線 定 理 ま た は パ ッ プス の

定 理 と呼 ば れ て い る 。

問8 △ABCの∠Aの

が 成 り立 つ こ と を,計

二 等 分 線 が 対 辺BCと

す る と,

算 式 を用 い て 確 か め よ 。

〔例 題9〕(メネラウス それ ぞ れ 点F,G,Hで

交 わ る 点 をGと

の定 理)△ABCの 交 わ る 直 線DEを

辺AB,BC,CAま

た は そ の延 長 と

引 くと,次 の 等 式 が 成 り立 つ こ と を確 か

め よ。

〔解 〕＜

描 画＞   1.  △ABCと

直 線DEを

2.  ア イ コ ン 「点 」を 用 い て 点(F)をABとDEの を ク リ ッ ク し て,点Fを

設 定 す る。

描 画 す る。 交 点 に 置 き,制

約 ボ タ ン 「交 点 」

3.  辺BCを て,線

選 択 し,点Cを

選 択状 態 に し

の属 性 変 更 パ ネル の線 種 か ら 「半

直 線1」 を選 び ク リ ッ ク して,BCの

延長

線 を描 画 す る。 4.  ア イ コ ン 「点 」を 用 い て,点GをBCの 延 長 とDEの

交 点 に 置 き,制 約 ボ タ ン 「交

点 」 を ク リ ッ ク し て,点Gを

設定 す る。

5.  4.と 同 様 に し て,CAとDEの 点Hを

交点 に

図6.13

設 定 す る。

＜ 確 認＞1. 

計 算 式 の 入 力 ①f・1キ

状 態 が 表 示 さ れ る。 初 め に,AFを

力 し てTABキ

ー を 押 す と,分数

ー を 押 す と,

入 力 し てTABキ

式〓を

号× が表示 され る。③続いて,①,②の操

〓の 形 の分 数 の 入 力待 ちの ー を 押 し,続

得 る 。②f・9キ

作 に よ り〓

い てFBを

ー を 押 す と,乗

入

法記

を入 力 し,計算 式〓

を得 る。④続いて,f・9キ ー を押 して,乗 法 記 号 を表示 す る。⑤続いて, ①,② の 操 作 に よ り〓

を入 力 して,分数式〓

2. ⑤ で得 た 式 の 値が〓 3.  図 形 を 変 形 し て も,2.の (注)こ

問9 

が 成 り立 つ こ と を確 か め る。 等 式 が 成 り立 つ こ と を 確 か め る 。

の 図 形 の 性 質 は,メネラウス

〔 例 題9〕

を得 る。

の 定 理 と呼 ば れ て い る。

で 描 い た 図 形 に お い て,直

線DEの

動 して も,等 式 が 成 り立 つ こ と を確 か め よ。

位 置 を 次 ペ ー ジ 図6.14の

よ う に移

図6.14

〔例 題10〕(チェバ

の定 理)△ABCと1点Dが

あ り,直 線ADと CAの

辺BCの

交 点 をJ,直

線CDと

交 点 をG,直 辺ABの

線BDと

辺

交 点 をMと

す

る と き,次 の 式 が 成 り立 つ こ と を確 か め よ。

〔解 〕＜

描 画＞  

2.  ア イ コ ン

を頂 点Aに

1.  △ABCと

点Dを

描 画 す る。

「線 分 」 を ク リ ッ ク し て,第1の

点 結 合 し,第2の

点(E)

点(F)を 点Dに

図6.15

点 結合 す る。 メ イ ン メニ ュ ー 「図

形 編 集 」 の 「新 規 図 形 の 属 性 設 定 」 を選 び,線 種 の 「半 直 線1」 る。 半 直 線ADがBCと

を選 び決 定 す

交 わ る点 に 点(G)を 置 き,「 交 点 」を ク リ ッ ク して,点

Gを 設 定 す る。 3.  2.と 同 様 に,BDの

延 長 とCAと

の 交 点J,CDの

延 長 とABと

の 交 点Mを

そ

れ ぞれ 設 定 す る。

＜確 認＞

計算 式に

を入 力 して,そ の 値 が1に 等 しい こ と を確

か め る。

 (注) この 図形 の 性 質 はチェバ の定 理 と呼 ば れ て い る。 問10 

〔 例 題10〕

に お い て,点Dを

き も等 式 が 成 り立 つ こ と を確 か め よ。

図6.16の

よ うに △ABCの

外 に移 動 して,そ

のと

図6.16

6.2  円の性質 [1] 円の性質 と計算式による確認   円 の 描 画 と,描 画 され た 円 の性 質 を計 算 式 を用 い て確 認 す る方 法 に つ いて 学 習 し よ う。   円 の 中 心 を通 る2つ の 線 分 の一 方 の 線 分 の他 方 の 線 分 に対 す る方 向 を,他 の 指 定 した角 に 等 し く と る こ と が で き る。図6.17で,∠DAFの

大 き さ を∠HAJに

等

し く と り,円 周 と の交 点 を 図 の よ うに 定 め る。 計 算 式 に,OPN,LMK(記

号͡はSHIFT+f・6,点

入 力 が 済 め ばTABキ

の記号

ー)を 入 力 して,こ れ らの値 が 等

し い こ とが 確 か め られ る。   こ の こ とか ら,「等 しい 中心 角 に対 す る弧 の長 さが 等

図6.17

し い」 こ とが 推 察 で き る。   こ こ で は,円

に 関 す る図 形 を描 画 し た り,描 画 した 図 形 の 基 本 的 な性 質 を計 算

式 を用 い て 推 察 し た り,確 認 した りす る。 〔例 題11〕 

(円 の描 画) 

画 せ よ。

(1)線

分ABが

あ る。 こ の 線 分 を 半径 とす る 円 を描

  (2)  半 径2(長 〔解〕(1) 

さ 単 位 を1と

1.線

分ABを

与 え ら れ た 線 分 とす る。

  2.  ア イ コ ン 「円 」(2点 (C)を 点Aに

指 定)を

重 ね,制

ック し,第2の

選 ん で,第1の

点

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リ

点(D)を

画 され る。 引 き続 き,制 す ると,ABを

す る)の 円 を 描 画 せ よ 。

点Bに

重 ね る と,円

が描

図6.18

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 をクリック

半 径 とす る円 が 描 画 され る。

(2)  1.  ア イ コ ン 「円 」(2点

指 定)を

選 ん で2点

を

ク リ ック して 円 を描 画 す る。  2. 引 き続 い て,制 約 ボ タ ン 「長 さ」 を ク リッ クす る と,円 の 中心 を端 点 とす る電 子 定 規 が 表 示 され る。 カ ー ソ ル を 単 位2の RETURNキ

ー を 押 す か「 決 定:改行 」 を ク リッ ク

す る と,半 径2の 問11 

円 が描 画 さ れ る。

半 径 が そ れ ぞ れ1,2,3の

(1)  円(3点

目 盛 に 移 動 し て,

同 心 円 を描 画 せ よ。

図6.19

指 定)

 基 本 図 形 ア イ コ ン 「円 」(3点

指 定)を 選 択 す る と,指 定 した3点

を通 る円 が 描

画 で き る。 〔例 題12〕  (三角 形 の 外 接 円)  △ABCが

あ る。こ の 三 角 形 の外 接 円 を 次 の(1),

(2)の 方 法 で描 画 せ よ。  (1)  ア イ コン 「円 」(3点

指 定)を 用 い て,△ABCの3頂

 (2)  ア イ コン 「円 」(2点

指 定)を 用 い て,△ABCの

等分 線 の交 点)を 〔解 〕

△ABCを

中 心 と し,1つ

外 心(3つ

の辺 の垂直二

の 頂 点 を円 周 上 の 点 に 指 定 す る方 法

与 え ら れ た 三 角 形 とす る。

(1)  1.  ア イ コ ン 「円 」(3点 に 重 ね,制

点 を指 定 す る方 法

指 定)を

ク リ ッ ク し,第1,2の

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リ ッ ク す る 。

点 を そ れ ぞ れA,B

 2.  第3の 点 をCに

重 ね る と円 が 描 画 され る。引 き続 い て 制 約 ボ タン 「点 結 合 」

を ク リッ クす る と,△ABCの

外 接 円が 描 画 され る。

(2)  1.  ア イ コ ン 「垂 直 二 等 分 線 」を選 び 辺ABを を描 画 す る。 続 い て,ア

ク リ ッ ク して,垂 直 二 等 分 線

イ コ ン 「垂 直 二 等分 線 」 を選 び 辺CAを

ク リックし

て,垂 直 二 等分 線 を描 画 す る。 2.  ア イ コ ン 「点 」を選 ん で,1.の2直

線DE,FGの

点 」 を ク リ ッ ク す る 。 交 点 に は ラ ベ ル 点Hが 3.  ア イ コ ン 「円 」(2点 重 ね て,そ

指 定)を

交 点 に 置 き,制 約 ボ タ ン 「交 付 け られ る。

選 ん で,第1の

点 をHに

重 ね,第2をAに

れ ぞ れ 制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」を ク リ ッ ク す る と,△ABCの

外接 円

が 描 画 さ れ る。

問12 

〔例題2〕 で 描 い た 円 につ いて,∠A=1/2∠BHCが成り

立 つ こ と を計 算 式 で 確 か

め よ。

(2) 三角形の 内接 円  △ABCの3つ (内心)で

の 内 角 の 二 等 分 線 は1点H

交 わ る。

  こ の 点Hか

ら辺BCに

とす る と き点Hを 円 は△ABCの3つ

下 ろ し た 垂 線 をHJ

中 心 と し,HJを

半 径 とす る

の 辺 に接 す る。

〔例 題13〕   (三角 形 の 内接 円)△ABCの

図6.20

内 接 円 を描 画 せ よ。 ま た,内 心 をH

とす る とき,

が 成 り立 つ こ とを計 算 式 で確 か め よ。 〔 解 〕 ＜ 描 画＞   1. △ABCを Hと

す る。

描 画 し,∠B,∠Cの2等

分 線BE,CGの

交点 を

2.  ア イ コ ン 「線 分 」 を 用 い て,第1の し,第2の

点(J)をBC上

重 ね 「点 結 合 」 を ク リ ッ ク

に 置 き,「 垂 線 の 足 」 を ク リ ッ ク す る。

3.  ア イ コ ン 「円 」(2点

指 定)を

をク リ ッ ク し,第2の

点(L)をJに

用 い て,第1の

結 合 」を ク リ ッ ク す る と,LとJが る。 こ の 円 が△ABCの

点(I)を 点Hに

点(K)を

点Hに

重 ね 「点 結 合 」

重 ね る と 円 が 描 画 さ れ る 。 引 き続 い て ,「 点 点 結 合 さ れ,HJを

半 径 とす る 円 が 描 画 さ れ

内接 円 で あ る。

＜ 確 認＞   計 算 式 を 用 い て,∠BHC(角

の 記 号∠ の 入 力 はf・4)並

(角度 の 単 位°の 入 力 はf・3)を

そ れ ぞ れ 入 力 し,これ

び に〓 らの 値 が 等 しい

こ とを確 か め る。

問13 

〔 例 題13〕

の 図 に お い て,〓

が 成 り立 つ こ と を確 か め よ。

[2]  円に関する定理の計算式による確認   こ こ では,GEOBLOCKを

用 い て 定 理 とな って い る円 の 性 質 を調 べ よ う。題 意

に 適 す る図 形 の描 画 の 準 備 と して,初 め に,こ

こ で 必要 と な る操 作 「ラベ ル 設 定 」

に つ い て 学 習 す る。 (1)  ラ ベ ル の 設 定  メ イ ン メ ニ ュ ー か ら 「ラベ ル 」を選 び,引

き続 いて プ ル ダ ウ ン メニ ュ ー か ら 「設

定 」 を選 ん で,画 面 上 の 点 を ク リ ッ クす れ ば,ラ ベ ル 設 定 パ ネ ル が 表 示 さ れ る。 こ の パ ネ ル の ア ル フ ァベ ッ ト1文 字 に,未 使 用 の ア ル フ ァベ ッ ト1文 字 を上 書 き 入 力 して,RETURNキ

ー を押 す か「 決 定:改行 」 を ク リッ クす れ ば,新

ラベ ル が

設 定 で き る。 (2)  方 べ き の 定 理  円 の弦 や 接 線 につ い て の 次 の,方 べ き の定 理 が 成 り立 つ 。 〔例 題14〕(方

べ きの 定 理) 

次 の定 理 を,計 算 式 に よ っ て確 か め よ。

 (1)  円 の2つ

の 弦AB,CDま

た は そ れ らの延 長 が,点Pで

交 わる とき

PA・PB=PC・PD  (2)  円 の 弦ABの

延 長 と円 周 上 の1点Tに

お け る接 線 が,点Pで

交 わ るとき

〔解 〕(1) ＜

描 画＞   1.  ア イ コ ン 「円 」 を 選 ん で,円

(中 心A,周

上 の 点B)を

描 く。

2.  ア イ コ ン 「線 分 」を 選 ん で,第1の い て,制 第2の

点(C)を

周上 にお

約 ボ タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク し,続 点(D)も

周 上 に お い て,制

を ク リ ッ ク し て,弦CDを

いて

約 ボ タ ン 「線 上 の 点 」

引 く。 同 様 に し て,弦EFを

引 く。 3.  ア イ コ ン 「点 」を 選 ん で,ABとCDの 制約 ボタン

「交 点 」 を ク リ ッ ク す る 。

4. ＜ ラ ベ ル 設 定＞ ニューの

交 点 上 に 置 き,

点Aを

「ラベ ル 」 の

「設 定 」 を 選 ん で,ラ

ル に 表 示 さ れ て い る文 字Aに

ベ ルパ ネ

新 た な に 文 字Oを

を押 す か「決 定:改 行 」を ク リ ッ ク して,円 に し て,Bを

図6.21

選 択 状 態 に し て,メ イ ン メ

上 書 き して,RETURNキ

の 中 心 の ラベ ル をOに

消 去,EをA,FをB,GをPと

ー

す る。 同様

そ れ ぞ れ ラベ ル 設 定 して,問 題 に

適 す る 図 を描 画 す る。 ＜ 確 認＞

計 算 式 を 用 い て,PA・PB,PC・PD(乗

し て,2つ

の 値 が 等 し い こ と を 確 認 す る。

法 記 号 ・はf・8)を

(2) ＜ 描 画＞   (1)と 同様 に 描 画 す る と と もに,弦 並 び に接 線 を選 択 状 態 に して,メ

イ ン メ ニ ュー

「図 形 編 集 」の 「選 択 図 形 の属 性 変 更 」を選 ん で, これ ら の 線分 を延 長 して,交 点 を設 定 す る。 さ ら   に,問 題 どお りの ラベ ル 設定 を行 う。 ＜ 確 認＞ 力 し てTABキ

計 算 式 を 用 い て,PT2(f・2を ー を 押 す),PA・PBを

押 し,2を

入

それ ぞ れ 入 力

し て 得 ら れ る 値 が 等 し い こ と を確 認 す る 。

図6.22

それ ぞ れ 入 力

問14 

〔 例 題14〕(1)に

お い て,弦AB,CDが

円 外 で 交 わ る場 合 に つ い て も,等 式 が 成

り立 つ こ と を確 か め よ。

(3) 外心 と垂心の 関連定理  円 の 外 心 と垂 心 に 関 連 して,次 の 定 理 が 成 り立 つ 。 〔例 題15〕(外 H,外

心 と垂 心)△ABCの

心 をOと

足 をMと

し,Oか

垂心 を

ら辺BCに

引いた垂線 の

す る と き,AH=2OMで

あ る こ と を計

算 式 で確 か め よ。 〔解 〕＜ 描 画＞   1. △ABCを

描 画 す る。

2.  ア イ コ ン 「線 分 」 を選 ん で第1の

点 を頂 点A

に重 ね,制 約 ボ タ ン 「点結 合 」 を選 ん で ク リッ クし,第2の

点 を 辺BCに

こ れ に よ り垂 線AEを

図6.23

置 き,制 約 ボ タ ン 「垂 線 の 足 」を 選 ん で ク リ ッ ク す る 。

得 る 。 同 様 に し て,垂

3.  ア イ コ ン 「点 」 を 選 ん で,2.で 点 」 を ク リ ッ クす る。 ラベ ル

描 い た2垂

線CGを

得 る。

線 の 交 点 に 置 き,制

約 ボタン

「交

「H」 の 点 が 得 ら れ る 。

4.  ア イ コ ン 「垂 直 二 等 分 線 」 を 選 ん で,辺AB,ACを

ク リ ッ ク し て,そ

れぞれ

の 二 等分 線 を描 画 す る。 5.  ア イ コ ン 「点 」 を 選 ん で,4.で 点 」 を ク リ ッ ク す る 。 続 い て,メ

描 い た2直

線 の 交 点 に 置 き,制

イ ン メニ ュー の

約 ボタン

「交

「ラ ベ ル 設 定 」 を 用 い て,こ

の 点 の ラ ベ ル を新 た に 「O」 と 設 定 す る 。 6.  ア イ コ ン 「線 分 」 を 選 ん で,第1の を 辺BC上

＜確 認＞

点 を 点Oに

重 ね 「点 結 合 」 し,第2の

に 置 い て,「 垂 線 の 足 」 とす る 。 こ れ に よ り垂 線OMを

計 算 式 を用 い て,AH,2×OMを

点

得 る。

それ ぞ れ 入 力 し,こ れ らの 式 の 値 が 一

致 す る こ と を確 認 す る。 問15 △ABCの

外 心 をO,垂

Gで 交 わ る こ と を 示 せ 。

心 をH,BCの

中 点 をMと

す れ ば,OHと

中線AMは

重心

(4) シム ソ ンの 定 理   三 角 形 の 外 接 円 の 周 上 の勝 手 な点 か ら各 辺 に 引 い た 垂 線 につ い て,次

の定 理 が

成 り立 つ 。 〔例 題16〕   (シム ソ ン 線)△ABCの

外 接 円 の 周 上 の 点Pか

ま た は そ の 延 長 上 に 垂 線PI,PK,PMを

引 く と き,I,K,Mは

ら,辺BC,CA,AB 一 直線上 にあ るこ と

を確 認 せ よ。 〔解 〕 ＜ 描 画＞ 

1.  ア イ コ ン 「三 角 形 」を 選 ん で△ABC

を 描 画 す る。 2.  ア イ コ ン 「円(3点 Aに 重 ね,制 第2,第3の

指 定)」 を選 ん で,第1の

点 を頂 点

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リ ッ ク し,続 点 を そ れ ぞ れ 頂 点B,Cに

「点 結 合 」 を ク リ ッ ク し て

重 ね,制

,3点A,B,Cを

いて

約 ボ タン

通 る 円Gを 図6.24

描 画 す る。 3.  ア イ コ ン 「点 」 を選 ん で,円

周 上 に 点 を 置 き,制

約 ボタン

「線 上 の 点 」 をク

リ ッ ク す る 。 メ イ ン メ ニ ュ ー の ラベ ル 設 定 に よ り こ の 点 の ラ ベ ル をPと 4.  ア イ コ ン 「線 分 」 を 選 ん で,第1の をク リ ッ ク し,第2の し て,点Pか

ら辺BCに

へ の 垂 線PK,PMを

＜確 認＞

点 を 辺BC上 垂 線PIを

点 を 点Pに

重 ね,制

す る。

約 ボ タ ン 「点 結 合 」

に 置 い て 制 約 ボ タ ン 「垂 線 の 足 」を ク リ ッ ク 描 画 す る 。 同 様 に し て,点Pか

ら辺CA,AB

そ れ ぞれ 描 画 す る。

計 算 式 を用 い て,∠BMI+∠BMKを

入 力 して,こ の角 度 の 大 き さが

180°で あ る こ と を確 認 す る。 (注)〔 例 題16〕 をシム

ソ ン の 定 理 と い い,I,K,Mに

よ っ て 定 ま る 直 線 を 点Pの

シムソ ン 線 と い う。

問16 

〔 例 題16〕 に お い て,PIと

シム ソ ン 線(直

線KMI)が

外 接 円 と のP以

平 行 に な る こ と を,計

外 の 交 点 をNと

す れ ば,直

算 式 に よ っ て確 認 せ よ 。

線ANと

6.3  条件 によ って定 まる 図形  平 面 上 で,あ

る条 件 を満 た す 点 の集 合 と して 表 され る図 形 を求 め るこ と を考 え

よ う。  一 般 に

,与 え られ た条 件 を満 た す 点 の集 合 を,そ の 条 件 を満 たす 点 の軌 跡 とい

う。GEOBLOCKは,点

の軌 跡 を画 面 表示 す る シ ス テ ム を備 え て い る。

[1]  軌 跡,残

像,ア

  初 め に,GEOBLOCKの

ニ メ ー シ ョン 「軌 跡 」,「残 像 」,「 ア ニ メ ー シ ョ ン 」 の 機 能 に つ い て

述 べ る。

(1)  点 の 軌 跡 のON,OFF  1つ 点 が 選 択 状 態 で あ る と き,メ イ ン メ ニ ュ ー の 「図 形 編 集 」の 「選 択 図形 の属 性 変 更 」を ク リ ッ クす る と,点 の 変 更 パ ネ ル が 表 示 され,点

の 軌 跡 表 示 のON

,OFF

を切 り替 え る こ とが で き る。   例 え ば,点Aが

選択状

態 に あ る と き 「選 択 図 形 の属性変 更」 をク リック 図6.25

す る と,図6.25の

よ うな

パ ネ ル が 表 示 さ れ る。 こ のパ ネ ル の 「軌 跡 」の 枠 内 のONを

ク リ ッ クす る と,ON

の 前 の○ が〓 に 変 わ り,点 の軌 跡 が 表 示 さ れ る状 態 が 得 られ る。 (2)  点 の 残 像 のON,OFF  点 の 軌 跡 のON,OFFと

同 様 に,点 の 残 像 のON

,OFFを

き る。  例 え ば,点Aが

選 択状 態

に あ る と き 「選 択 図 形 の属 性 変 更 」を ク リッ クす る と, 図6.26の

よ うな パ ネ ル が

図6.26

切 り替 え る こ とが で

表 示 さ れ る。 点 の 「軌 跡 」の 場 合 と 同様 に,こ の パ ネ ル の 「残 像 」の 枠 内 のONを クリックす ると,ONの

前 の○ が〓 に 変 わ り,点 の 残 像 が 表 示 され る状 態 が 得 られ る。

  図形 が選 択 状 態 に な い と きは,「 選 択 図 形 の属 性 変 更 」 を ク リッ クす る と,「 図 形 が 選 択 され て い ませ ん 」 とい う メ ッセ ー ジ画 面 が表 示 され,処 理 が 進 ま な い 。   こ の パ ネ ルの 軌 跡,残 像 の初 期 値 は共 にOFFで せ に よ る表 示 画 面 は,図6.27の

あ る。2つ のON,OFFの

組合

よ うに 得 られ る。

図6.27

(3)  ア ニ メ ー シ ョ ン   メイ ンメニューの

「画 面 操 作 」 の

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 択 す る と,図

形 や 移 動 の 様 子 を 指 定 し た コ マ 数(コ 10,20,50の

い ず れ か)の

マ 数 は2,5,

ア ニ メー シ ョン に す る こ と

が で き る 。ア ニ メ ー シ ョ ン を 選 択 す る と,図6.28の よ うな ア ニ メー シ ョンパ ネ ル が 表 示 さ れ る。   点 の 「軌 跡 」 並 び に 「残 像 」 をONに

し て,さ

らに 図6.28

ア ニ メ ー シ ョ ン を選 ん で 点 を移 動 す る と,図6.29の よ うな ア ニ メー シ ョンが 描 画 され る。

図6.29 

ア ニ メー シ ョン

形 の変

[2]  基本 的な 軌跡  こ こ で は,点

の 「軌 跡」 並 び に 「残 像 」 をONに

して,基

本 的 な軌 跡 並 び に残

像 を ア ニ メー シ ョ ン描 画 して み よ う。 (1)  定 点 か ら 一 定 の 距 離 にあ る よ う に 動 く点 の 軌 跡 ＜操 作 手 順＞① 

ア イ コ ン 「線 分 」 を選 ん で,線 分ABを

② 制 約 ボ タ ン 「長 さ」 を用 い て,ABの

描 画 す る。

長 さ を,例 え ば3に す る。

③ ア イ コ ン 「点 」を用 い て 点(C)を 点Bに

重 ね,制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リック

す る。 ④  点Bだ

け を選 択 状 態 に し て,メ イ ン メニ ュー 「図 形 編 集 」 を選 ん で,引

き,「 選 択 図 形 の 属 性 変 更 」 を選 び,「 軌 跡 」並 び に 「残 像 」 を共 にONに 「決 定:改 行 」 を ク リ ッ ク す る ⑤  メ イ ン メニ ュ ー の

。

「画 面 操 作 」 の 選 択 に 引 き

続 い て,「 ア ニ メ ー シ ョ ン 」を ク リ ッ ク し て,アニメ ーション す る と,移

パ ネ ル を表 示 した ま ま

,点Bを移動

動 開 始 し た 点 か ら停 止 し た 点 ま で

の 点 の 軌 跡 と残 像 が ア ニ メ ー シ ョン 表 示 さ れ る。 ⑥ ⑤ の 操 作 は,希 望 す る 回 数 繰 り返 す こ とが で きる。

(2) 定 直線か ら一定の距 離にある ように動 く点の 軌跡 ＜ 操 作 手 順＞①  分ABを

ア イ コ ン 「線 分 」 を 用 い て 線

描 画 す る 。 こ の 線 分 を 定 直 線 とす る 。

② ア イ コ ン 「線 分 」を 用 い て,第1の 上 に 置 い て,制 し,第2の のABに

図6.30

点(C)をAB

約 ボ タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リック 点(D)を

線 外 に と る 。 続 い て,CD

対 す る 「方 向 」 を90° に 取 り,CDの

さ を 例 え ば,2に

等 し くす る 。

③ ア イ コ ン 「点 」を 用 い て,点(E)をDに 「点 結 合 」 し

長

重 ねて

,こ の 点 を選 択 状 態 に し て,「軌 跡 」

図6.31

き続 して,

  並 び に 「残 像 」をONに ④ AB上

の 点Cを

点Dの

す る。

移 動 す る と,移 動 開 始 した 点 か ら停 止 した 点 ま で に対 応 す る

「軌 跡 」 と 「残 像 」 が ア ニ メー シ ョ ン表 示 さ れ る。

(3)  2定 点 か ら等距 離にあるよ うに動 く点 の軌跡 ＜操 作 手順＞①

  ア イ コ ン 「線 分 」 を用 い

て線 分ABを

描 画 す る。 この 線 分 の 長 さ を

3に す る。 ② ア イ コ ン 「円 」(2点 の 点(E)を

点Aに

  引 き 続 い て,制

指 定)を

用 い,第1

重 ね 点 結 合 し,円 を 描 く。 約 ボ タ ン 「長 さ 」を 選 びCD

を ク リ ッ ク す る 。 半 径 がCDの

円が描 画 さ

れ る。 ③ ② と 同 様 に,点Bを

中 心 と し て 半 径CD

の 円 を 描 く。 ④ ア イ コ ン 「点 」 を用 い て,点(I)を②,③の 一 方の交点 に置 き

,制

約 ボ タ ン 「交 点 」

をク リ ッ クす る 。 こ の 点Iを て 「軌 跡 」 並 び に

選 択状 態に し

「残 像 」 をONに

図 6.32

⑤ ④ と同 様 に,他 方 の交 点Jの

す る。

「軌 跡 」 並 び に 「残像 」 をONに

す る。

⑥  「ア ニ メー シ ョン」 を選 ん で 操 作 パ ネ ル を 表示 した ま ま,線 分CDの ,必 要 な 範 囲 だ け移 動 す る と,2定

点A,Bか

端 点Dを

ら等 距 離 に あ る よ うに動 く点 の

軌 跡 と残 像 が ア ニ メー シ ョ ン表 示 さ れ る。 (4)  角 の2辺 ＜操 作 手順＞①

か ら等 距離 に あ る よ う に 動 く点 の 軌 跡

点Aに

  ア イ コン 「線 分 」を選 ん で,線 分ABとCDを

重 ね,制 約 ボ タ ン 「点結 合 」 を ク リ ッ ク して,角DABを

② ア イ コ ン 「線 分 」 を選 ん で,線 分EFを ③ ア イ コ ン 「線 分 」を選 ん で,第1の 上 の 点 」を ク リ ッ ク し,第2の

描 画 す る。

適 当 な位 置 に描 画 す る。

点(G)を 線 分AB上

点 を角DAB内

描 画 し,点Cを

に 置 き,制 約 ボ タ ン「線

に 置 く。 制 約 ボ タ ン 「長 さ」をク

リッ ク して,線 分GHの ク,線 分ABと

長 さ をEFに

等 し く し,制 約 ボ タ ン 「方 向」 を ク リッ

の 角 を90°に す る。 続 い て,ア

ク リッ ク して,ABに

イ コ ン 「平行 線 」 を選 び,ABを

平 行 な 直線 を引 く。 この 平行 線 上 の 点(I)を,点Hに

て制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」を ク リ ッ クす る と,線 分ABか 平 行 線HJが

等 しい

描 画 され る。

④ ③ と 同様 に,線 分ADか がEFに

らの 距 離 がEFに

重ね

らの距離

等 し い平 行 線LNを描

画 す る。 ⑤ ア イ コ ン (O)を

「点 」 を選 択 し て,点

直 線③,④

の 交 点 に 置 き,制

約 ボ タ ン 「交 点 」 を ク リ ッ ク す る 。 ⑥  「図 形 編 集 」 ,「 選 択 図 形 の 属 性   変 更 」 を 選 ん で,「 軌 跡 」,「残 像 」 共 にONに

し て,RETURNキ

ー

を 押 す か,「 決 定:改 行 」を ク リ ッ ク す る。

⑦  「画 面 操 作 」,「 ア ニ メー シ ョン 」 を選 ん で,線 分EFの

端 点 を移 動

して,こ の 線 分 の 長 さ を変 え る と, 角 の2辺

か ら等 しい 距 離 に あ る よ

う に 動 く点Oの

軌 跡 が ア ニ メーション

図6.33

表 示 され る 。

[3]  いろ いろな条 件で動 く点の軌 跡   こ こ で は,い

ろ い ろ な 条 件 で 動 く点 の 軌 跡 を,GeoBｌockの

の 機 能 を 利 用 し て,画

「ア ニ メ ー シ ョ ン 」

面 に 表 示 す る 方 法 を 学 習 し よ う。

〔例 題17〕   (円 の 中心 の軌 跡)半

径1の

円 が 直 線ABの

片側 を,ABに

接 しな

が ら 回 転 し て 移 動 す る と き,こ 〔 解 〕＜

の 円 の 中 心 の 軌 跡 を表 示 せ よ。

AB上

描 画＞   1.  線 分ABを

描 く。 ア イ コ ン

「線 分 」 の 第1の

に 置 き,制 約 ボ タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク し,第2の

2.  線 分CDの

線 分ABに

対 す る 方 向 を90° と し,長

3.  ア イ コ ン 「円 」を選 ん で 第1の

点Eを

点Dを

さ を1と

点Dに,第2の

点Cを

線分

線 外 に 置 く。

す る。

点Fを

点Cに

重 ね てそれ

ぞれ 制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リ ッ ク す る 。 4.  ア イ コ ン 「点 」 を 選 ん で,点Gを

点Dに

重 ね て,制

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 をク

リ ッ クす る 。 ＜ 表 示＞ 

4.の 点G(D)を

選 択 状 態 に し て,「 図 形

編 集 」,「選 択 図 形 の 属 性 変 更 」 の 「残 像 」を 共 にONに

「軌 跡 」 並 び に

し

,「 画 面 操 作 」,「 ア ニ メ ー

シ ョ ン 」 を ク リ ッ ク す る 。 点Cを

図6.34

移 動 す る と,そ

れ に 応 じた 範 囲 で の 中 心 の 軌 跡(直

線ABに

平 行 な 直 線)が

ア ニ メー シ ョ ン表 示

され る。 問17  点Oで

交 わ る2直 線AB,CDか

ら等 距 離 に あ る 点 の 軌 跡 を表 示 せ よ 。

〔例 題18〕   (角 が 一 定 な 点 の 軌 跡)  定 ま った 線 分ABの ∠ APB=60°

とな る よ うな 点Pの

〔解 〕 ＜ 描 画＞   1. △ABCを

一 方 の 側 に あ っ て,

軌 跡 を表 示せ よ。 描 き,頂 点Cを

選 択 状 態 に して,制 約 ボ タ ン 「角

図6.35

度 」 を ク リ ッ ク し,角 用 い て,点CをPに

度 パ ネ ル に60° を 入 力 し て 決 定 す る 。 ま た,「 ラ ベ ル 」 を ラベ ル設 定 す る。

2.  ア イ コ ン 「点 」 を選 ん で,点Dを

点Pに

重 ね,制

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リ

ックす る 。 ＜表 示＞

点Pを

選 択 状 態 に し て,〔 例 題17〕 の 表 示 の 操 作 と 同 様 に し て,点Cを

移 動 す る と,そ

れ に 応 じ た 範 囲 で の 点Pの

軌 跡(ABを

弦 と し,60°を 含 む 弓 形)

が ア ニ メー シ ョン 表 示 さ れ る。

問18 

円Oの

周 上 に 定 点Aが

あ る 。Aを

通 る 円Oの

弦 の中点 の軌 跡 を表示 せ よ。

〔例 題19〕  (線 分 の 中 点 の 軌 跡)  長 さ4の 線分ABの 角XOY の 辺OX,OY上 中点Mの 〔解 〕＜

そ れ ぞれ 直

を動 く と き,線 分ABの

軌 跡 を表 示 せ よ。 描 画＞   1.  線 分ABを

ルA,Bを

そ れ ぞ れO,Xに

線 分CDを

描 画 し,点Cを

し,ラ ベ ルDをYに

描 画 し,ラ

ベ

設 定 す る。 続 い て, 点Oに

重 ねて点結合

設 定 す る。続 い て,点Oを

選 択 状 態 に し て,ラ

ベ ルBを

作 に よ っ て,角XOYが

抹 消 す る(こ

の操

図6.36

描 画 さ れ る)。

2.  線 分OYのOXに

対 す る 方 向 を90° に 設 定 す

る(こ の 操 作 に よ っ て,直角XOYが 3.  ア イ コ ン 「円 」を 選 ん で,第1の

得 ら れ る)。 点(A)をOX

上 に 置 き,制

約 ボ タン

し て 円ABを

描 画 す る 。続 い て,制 約 ボ タ ン 「長

さ 」 を用 い て,円ABの 4.  初 め に,点Bの 描 い た 円 とOYと

「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク

半 径 を4に

す る。

図6.37

ラ ベ ル を 抹 消 す る 。 引 き続 い て ア イ コ ン 「点 」 を 選 び,3.で の 交 点 に 点(B)を

の 操 作 に よ っ て,線 分 の 両 端A,Bが 分ABが

両 端A,Bが

置 き,制 約 ボ タ ン 「交 点 」を ク リ ッ ク す る(こ そ れ ぞ れOX,OY上

に あ り,長 さ が4の

線

得 ら れ る)。

5.  ア イ コ ン 「線 分 」を選 ん で,第1の を点 結 合 す る。

点 をA,第2の

点 をBに

置 い て,そ

れ ぞれ

6.  ア イ コ ン 「点 」を選 ん で,点(E)を

線分AB上

に 置 き,制 約 ボ タ ン 「等 分 点 」 を ク リ ッ ク し, 点Eを1:1の をMに

内 分 点 に 決 定 し,点(E)の

ラベ ル

設 定 す る。

＜表 示＞   6.で 設 定 した点Mを

選 択 状 態 に して,

表 示 に 必 要 な 操 作 を施 し,点Aを

移 動 す る と,そ

れ に 応 じた 点Mの

軌 跡(点Oを

中心 と し,半 径2

の4分

円)が

ア ニ メ ー シ ョン表 示 され る。

問19 

円Oに

お い て,一

図6.38

定 の 長 さ を もつ 弦 の 中 点 の 軌 跡 を 表 示 せ よ 。

6.4  合同変 換 と相似変換   こ こ で は,平 行 移 動,回

転 移 動,対 称 移 動 とい う3つ の合 同 変 換 並 び に相 似 変

換 を利 用 して,図 形 の 性 質 を調べ た り,条 件 に 適 す る図 を描 画 した り して み よ う。

[1]  合同変 換   平 行 移 動,回

転 移 動,対

称移 動 の考 え は,図 形 の 性 質 の確 認 に利 用 で き る。 各

移 動 に お け る 図形 の 描 画 に は,GeoBlockの 〔例 題20〕   AB,CD上

(平 行 移 動 の 利 用) 

正 方 形ABCDの2辺

に そ れ ぞ れ 端 点 が あ る線分EFと,2辺AD,BC

上 に それ ぞ れ 端 点 が あ る線 分GHが

あ る。 この2つ

EF ,GHが

直交 して い れ ば,EF=GHで

EF ,GHを

平 行 移 動 し て証 明せ よ。

＜考 え方＞   GeoBlockを

あ る こ と を,線 分

等 し い長 さ で あ る こ とが

確 認 で きる 。 こ こ で は,線 分EF並 動 して,線 分EFと

の線分

用 い て,問 題 に適 す る 図 を描 き,

計 算 式 を用 い る と,EFとGHが

明 す る。

描 画 能 力 が使 え る。

線 分GHが

び に線 分GHを

平行移

等 しい 長 さで あ る こ と を証

図6.39

〔解 〕 図6.40の 線 分EFを 点Gが

ように,点Eが

頂 点Bに

重 なる位 置 まで

平 行 移 動 し,そ の線 分 をBJと す る。同様 に して,

頂 点Aに

重 なる位 置 まで線 分GHを

の 線 分 をAIと し,AIとBJと  △BCJと△ABIに

の交 点 をKと す る。

お い て,

  BC=AB(正  ∠

平行 移 動 し,そ

方 形 の1辺)…①

BCJ=∠ABI 

図6.40

(正方 形 の 内角)…②

 ∠ ABJ+∠JBC=90°   ∠AKB=90° 

(正方 形 の 内角)…③ (2つ の 垂 直 な 線分 の 平 行 移 動 の 作 る角)

 よ っ て,

 式③,④

か ら,

 式①,②,⑤

か ら,

  △BCJ≡  BJ ,AIは

△ABI,よ

っ て,BJ=AI

そ れ ぞ れ 図6.39のEF,GHを

平 行 移 動 した もの で あ るか ら,EF=GHで

あ る。

問20  ADとBCが ∠ B=∠Cで

平 行 な 台 形ABCDに

あ れ ばAB=DCで

の ように辺ABを

お い て,

あ るこ とを,図6.41

平 行 移 動 した 図 を利 用 して確 認 せ よ。 図6.41

〔例 題21〕  

(回転 移 動 の利 用)  △ABCの

側 に そ れ ぞ れAB,ACを1辺 ADB,ACEを

とす る正 三 角 形

作 る。この とき,DC=BEで

を証 明せ よ。また,DCとBEの △ADCの

外

あること

作 る角 の大 きさを,

＜考 え 方＞

回転 移 動 を利 用 して求 め よ。 △ADCを

回 転 移 動 して,△ABE

に 重 ね る こ とが で き るか 。 こ の とき の 回転 の 中

図6.42

心 並 び に 回転 角 度 は い く らか 。ま た,DCとBEの しい 大 き さ で あ るか 。GeoBlockで DC,BEが

作 る角 の 大 き さは 回転 角 度 に 等

問 題 に 適 した 図 を描 き,計 算 式 を 利 用 して,

等 しい 辺 で あ る こ と,∠EBC+∠BCDの

大 き さが60°で あ る こ とが 確

認 で き る。 こ こ で は,回 転 移 動 を利 用 して 明 らか にす る。 〔解 〕 △ADCと△ABEに

お い て,

AD=AB 

(正三 角 形 の 辺)…①

AC=AE 

(正 三 角 形 の 辺)…②

 ま た,

 よ っ て,

 式①,②,③

に よ り,

 △ADC≡   また,点Aを

△ABE,よ

っ て,DC=BE

中 心 に して,辺ADを60°

転 す ると△ABEに

回 転 してABに

重 な る。 した が って,辺DCも60°

た が っ て,DCとBEの

問21 △ABCの

辺AB,ACを1辺

と して,こ

同 じ側 に 描 く。 こ の と

〔例 題22〕  (対称 移 動 の 利 用)  △ABCに

ADに

の三角 形 の

平 行 四 辺 形 で あ る こ とを確 認 せ よ 。

す る 。AB＞ACと

お い て,∠Aの

図6.43

二 等 分 線 と辺BCと

す る と き,辺ACを

関 し て 対 称 移 動 す る こ とに よ っ て,BA‐AC

とBD‐DCの

大 小 を 比 較 せ よ。

＜考 え方＞   問 題 に 適 す る図 は,GeoBlockの

複合 図

形 アイコン 「角 の 二 等 分 線 」を用 い て描 画 で き,し か も,

回

重 な る。 し

描 く。さ ら に,辺BCを1辺

とす る正 三 角 形BCRを△ABCの

の 交 点 をDと

回 転 す ると,辺BEに

作 る 角 は60° で あ る。

外 側 に 正 三 角 形ABP,CAQを

き,四 角 形AQRPが

重 ね るか ら,△ADCは60°

図6.44

計 算 式 に よ っ てBA‐ACとBD‐DCの

大 き さ を確 認 す る こ とが で き る。 こ こ で は

対 称 移 動 を利 用 して大 き さ を 比 較 す る。 〔解 〕   二 等 分 線ADに   ADに

関 してACを

AH=ACな

対 称 移 動 す る と,点Cに

る点Hで

HD=DC…①

関 して,一 方 の側 の 図 形 を対 称 移 動 す る。

あ る。△AHD≡

対 応 す る点 は,辺AB上

△ACDで

の

あ るか らAH=AC,

で あ る。

  一 方,式①

か らBA−AC=BA−AH=BE…②,BD−DC=BD−ED…③,式②,

③ のBH,BD−HDは,そ

れ ぞ れ△HBDの1辺

と2辺

の 差 を表 して い る。し たが

っ て,

BH＞BD−HDよ 問22 △ABCに BCの

っ て,BA−AC＞BD−DC

お い て,AB＞ACと

延 長 と交 わ る 点 をDと

す る 。 こ の 三 角 形 の∠Aの

す る と,BA+ACとBD+DCの

外 角 の 二 等分 線 が辺

大 き さ を 比 較 せ よ。

[2]  相似変 換  あ る 図 形 を こ れ と相 似 な 図 形 に 移 す 変 換 を利 用 して,図 形 の 性 質 を確 か め た り, 条 件 に適 す る図 を描 画 す る こ とが で き る。 〔例 題23〕   (相 似 変 換)  鋭 角 三 角 形ABCに

内

接 す る正 方 形 を次 の 条 件 を満 た す ように 描 画 せ よ。   (1)  2つ の 頂 点 は,そ

れ ぞ れ 辺AB,AC上

に

あ る。  (2)  残 り の2つ

の 頂 点 は 辺BC上

に あ る。

図6.45

＜考 え方 ＞  まず,(1)の2つ の 条 件 の一 方 と(2)の条 件 を満 た す 正 方 形 を作 図 す る。   頂 点Bを

相 似 の 中 心 と して,上 の 正 方 形 を相 似 変 換 して,(1),(2)の両 方 の条 件 を

満 たす 正 方 形 を描 画 す る。 〔解 〕1. 

ア イ コ ン 「直 線 」を 選 ん で,第1の

点Dを

ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク す る 。 続 い て,第2の ボタン

「垂 線 の 足 」 を ク リ ッ ク す る 。

辺AB上 点Eを

に 置 き,制

辺BC上

約 ボ タ

に 置 き,制

約

2.  ア イ コ ン 「円 」 を 選 ん で,第1の をク リ ッ クす る 。続 い て,第2の さ 」を選 び,基 準 の 線 分DEを EGを

点(F)を 点(G)を

点Eに

重 ね,制

約 ボ タ ン 「点 結 合 」

ク リ ッ ク し て 円 を描 き,制 約 ボ タ ン 「長

ク リ ッ ク して 円

描 く。

3.  ア イ コ ン 線 分BCと

「点 」 を選 ん で,2.で の 交 点 に 置 き,制

をク リ ッ ク し て 点Hを

描 い た円 と

約 ボ タ ン 「交 点 」

描 画 す る。

4. 複 合 図 形 ア イ コ ン「平 行 線 」を選 び,BC,DE に そ れ ぞ れ 平 行 で 点D,Hを

通 る平 行 線 を描

画 す る。 ア イ コン 「点 」 を選 ん で,点Mを2

図6.46

つ の 平 行 線 の 交 点 に 設 定 す る。 5. 頂 点Bを

相 似 の 中心 と して,4.で

描 い た正 方 形 を頂 点Mが

位 置 ま で相 似 変 換 す る。 まず,BMの 方 形DEHMの

延 長 とACと

辺AC上

の 交 点Oを

に くる

定 め る。 上 の 正

描 画 と同様 な操 作 に よ り,正 方 形 を描 画 して,2つ

の 条 件 を満 た

す 正 方 形 を得 る。 問23  与 え られ た 半 円Oの

直 径AB上

に2頂

点 を も ち,他

の2頂

点 を弧 上 に もつ 正 方

形 を描 画 せ よ。

練習問題 1. 

図6.47の

よ う に,正 方 形ABCDの

に,点EをAC=AEと 線EFを

辺ABの

な る よ うに と り,Eか

引 き,BCと

の 交 点 をGと

延 長上

らACに

垂

す る。 計 算 式 を 用 い

て, ① 

AF=AB 

②  AGは∠BACの

二 等分 線

で あ る こ と を確 か め よ 。 2.  ア イ コ ン 「多 角 形 」 を用 い て,図6.48の

よ うな星形 図6.47

ABCDEを  ま た,計

描 画 せ よ。 算 式 を用 いて

∠ A+∠B+∠C+∠D+∠Eの 3.  図6.49の

値 を求 め よ。

よ うに,正 三 角 形ABC内

の と きPD+PE+PFがPの

の 点Pか

ら3辺 に 垂 線PD

,PE,PFを

引 く。 こ

位 置 に 関 係 な く一 定 で あ る こ と を示 せ 。 ま た,こ

の一 定

値 が 正 三 角 形 の 高 さ に 等 しい こ と を 示 せ 。 4.  正 五 角 形 の1つ

の 頂角 は,そ の 頂 点 を 通 る2つ

の対角

線 に よ っ て 三 等 分 され る こ と を確 か め よ。 5.  △ABCに

つ い て,次

の 等 式 が 成 り立 つ こ と を,計 算

式 を用 い て 確 か め よ 。

(参)分

数 入 力 はf・1(分

分 母,分

子 を 入 力 し終 わ っ た ら,そ れ ぞ れTABキ

押 す),記 号sin×

数 は分 母,分

はSHIFT+f・3,∠

子 の順 に 入 力 し,

図6.48

ー を

の 記 号 はf・4を そ

れ ぞれ用 い る。 6.  円 に 内接 す る 四角 形 に お い て,次 の 式 が 成 り立 つ こ と を,計 算 式 を 用 い て 確 か め よ 。 AB・CD+AD・BC=AC・BD(トレミ 7.  半 径 の 等 し い2つ Bを 通 る直 線 が2つ AC=ADで

ーの 定 理)

の 円 が2点A,Bで

交 わ っ て い る。

の 円 と そ れ ぞ れC ,Dで 交 わ れ ば,

図6.49

あ る こ と を確 か め よ。

8.  底 辺BCの 交 点Hの

位 置 と長 さ が 一 定 な 三 角 形ABCの

辺AB,CAそ

れぞ れの垂 直二 等分 の

9.  円O外

軌 跡 を 表 示 せ よ。 の 定 点Aを

通 る 直 線 と円 と の 交 点 をP,Qと

す る と き,弦PQの

軌 跡 を表 示 せ よ。 10.  図6.50の AB上

よ う に,AB=ACで

に 点Dを,辺ACの

あ る二等 辺三角 形 の辺 延 長 上 に 点Eを,BD=CEと

な る よ う に と れ ば,底 辺BCは

線 分DEを

二等分 す るこ

と を確 か め よ。 11.  図6.51に

お い て,四

角 形ACDE,CBFGは

いずれ も

正 方 形 で あ る 。 こ の と き,回 転 移 動 の 考 え を用 い て, AG=DB,AG⊥DBで 12.  図6.52の

あ る こ と を証 明 せ よ。

よ う に,△ABC(AB＞AC)の∠Aの

二

図6.50

中 点Mの

図6.52

図6.51

等 分 線 に,B,Cか

ら垂 線BD,CEを

で あ る こ とを 証 明 せ よ。

引 き,BCの

中 点 をMと

す れ ば,

問および練習問題の解答 (1)  問

の

解

答

第1章   ソフ トウェアの 基本 操作 問1 

(1)7x4+x3−8x2+12 

問2 

(1)−2y4+11y3−23y2+19y+10 

問3 

(1)

(2)−3x2+(y2+2y+5)x+6(y2−10) (2)4a2+4b2+4c2

〓(複素数ON)

  (3)2,−1+√3,−1−√3 

問4 

(1)

問5 

(1)

(4)x=5,ｙ=3  (2)

 (2)

問6

問7 

解図1.1参

照

解図1.1

問 8  略

  (2)−2,5/2

問10

問9 

略

問11  解図1.2参

照

問12  解図1.3参

照

解 図1.2

解図1.3

問13 

「¥6」,ス

ペ ー ス キ ー,「+¥2」,2回

ス ペ ー ス キ ー,「/2=」,リ

タ ー ン キ ー と押 せ

ばよ い 。

問14

 〓 とす れ ば よ い。

問15

  リ タ ー ン キ ー,

リ タ ー ン キ ー,

リ ター ン キ ー と押 せ ば よ い 。

問16

問17

問18 

(1)関

数 を 変 更 し,rの

成 分 を−4,4,−4,4と

 (2)f(x):=x・sin(x)と 問19 

右 の 式 を 追 加 し,x軸

px(t),py(t),px2(t)と

し,rの

す る。

成 分 を−8,8,−8,8と

す る。

の 変 数 をx,x, し,y軸

をx,−x,py(t),px(t),py2(t）と

の 変 数 す る。

問20  複 合 図 形 ア イ コ ン 「垂 直 二 等 分 線 」を選 ん で,辺BCを 二 等 分 線DEが 問21 

描 画 され る。 同 様 に して,CAの

基 本 図 形 ア イ コ ン 「線 分 」 を選 ん で,線

ク リ ッ ク す る と,点Aを

基 準 と し て,長

ーソル を移 動 し

,「 決 定:改

様 に して,設 CDを 問22 

ク リ ッ クす れ ば,BCの

垂 直 二 等 分 線FGが

分ABを

描 画 され る。

描 画 す る。 制 約 ボ タ ン 「長 さ 」 を

さ単 位 を単 位 とす る 目盛2の

行 」を ク リ ッ クす る と長 さ2の 線 分ABが

定 用 カ ー ソ ル を 目盛2.5の

垂直

位 置 に 設 定 用カ 描 画 され る。 同

位 置 に 移 動 し て 操 作 す れ ば,長

さ2.5の

線分

得 る。

基 本 図 形 ア イ コ ン 「三 角 形 」 を選 ん で△ABCを

描 画 す る。 線 分BC並

選 択 状 態 に す る 。 制 約 ボ タ ン 「長 さ」 を ク リッ ク して,点Bを 描 画 さ れ る の を み て,辺ABを

ク リ ッ ク して,定

盛 に 変 更 し,設 定 用 カ ー ソル をBCの の 「決 定:改

規 の 目盛 を線 分ABを

長 さがABに

二 等 辺 三 角 形 で あ る。 基 描 画 す る 。 頂 点Aを

て,制 約 ボ タ ン 「角 度 」 を ク リ ッ ク,角 度 入 力 パ ネ ル に90を ク リッ クす る。 四 角 形ABCDが∠A=90°の

線 分AB上

に 置 い て,制

選 択 状 態に し

入 力,「 決 定:改

行」を

四 角 形 で あ る。

問23  基 本 図 形 ア イ コ ン 「線 分 」,「円 」 を そ れ ぞ れ 選 ん で 線 分AB,円CDを 周 上 の 点Dを

基 準 とす る 目

等 し くな る位 置 に 移 動 して,パネル

行 」 を ク リ ッ クす る。 △ABCがAB=BCの

本 図 形 ア イ コ ン 「多角 形 」を選 ん で 四角 形ABCDを

び に 点Cを

基 準 とす る 電 子 定 規 が

描 画 す る。

約 ボタ ン 「 接 点 」 を ク リ ッ クす る と,円CDが

線 分ABに

接 す る 円 で あ る。

問24  ア イ コ ン 「線 分 」を選 ん で,線 分AB,CDを 状 態 に して,制

描 画 す る。 線 分AB,点Bを

約 ボ タ ン 「方 向 」 を ク リ ッ クす る。 点Aを

示 さ れ た ら,線 分CDを

の 線 分ABが

線 分CDに

基 準 とす る 電 子 分 度 器 が 表

ク リ ッ ク し て,目 盛 を線 分CDを

度 器 の 目盛 用 カー ソ ル を60°の位 置 に 移 し,「 決 定:改

共 に選 択

基 準 とす る 目盛 に 変 え る。分 行 」 を ク リ ッ クす る。 こ の と き

対 し て60°の 線 分 で あ る。

第2章  図形と方程式 問1 

略

問2  △ABCの

重心

〓,ま た,

〓よ り,△DEFの

問3 

重心 は

略

問4

問5

 グ ラフは略

問6 問7  m≠0の

と き異 な る2点 で 交 わ る。m=0の

問8 −x+3y=10,グ 問9 

〔例 題6〕

と き,1点

で 交 わ る(共

有 点1)。

ラフは略 に準 ず る。

問10  略問11解図2.1,k=〓 

解 図2.1

問12 

解図2.2参

照 

解図2.2

問13 

略

問14 

解図2.3,中

心(0,0),半

径√2の 円 に な る。

問15 

〔 例 題11〕

に 準 ず る。

問16  略 問 17 (1),(3)略  (2)  解図2.4,境

解図2.3

問18  略 問19  4x2+3y2≦12の

領域 を グ ラフに描

い て お く。 新 た に,k=2x−yを

て ア ニ メ ー シ ョ ン で 調 べ よ。 解図2.5参

解図2.5

問20 

略

解図2.4

入 力 し

照 。 最 大 値4,最

小 値−4

界 を含 む 。

第3章  二次 曲線 問1 

解図3.1を

入 力 し,ア

ニ メー シ ョン

解図3.1

入 力 し,ア

解図3.2

問2 

解図3.2を

問3 

〔 例 題4〕 に お い てmとnを

問4 〔 例題5〕 に お い て,軌 aの 値 を4に

ニ メー シ ョン

定 義 しなおす。

跡 上の 点 を(atant,〓)に

した 後,tを

変 更 し,アニ

メ一 シ ョ ン に し,

変 化 させ る 。

問5  方程 式 を対 象式 と して入 力 し,グ ラフを描 くを実行 問6 

〔 例 題7〕 の 関 数 式 を〓

関 数 に−f(x)を 問7 

〔例 題8〕

問8 

解図3.3を

問9 

〔 例 題10〕

に 変 更 し,yの

表 示範囲 を−5〓y〓5と

追 加 す る。

に お い て,a:=4 

b:=3に

変 更 す る。

入 力 して ア ニ メ ー シ ョ ン

の 最 後 の2行

を解図3.4に

変 更 す る。

解 図3.4

問10 

方程 式 を 対 象 式 と して 入 力 し,グ

問11 

〔 例 題12〕

に お い て,ｐ=1,f=0と

解図3.3

ラ フ を 描 く を実 行 す る。 定義 しなおす。

し,ｙ 軸 の

解図3.6

解図3.5

問12 

解図3.5を

入 力 し,ア

ニ メー シ ョ ン

問13 

解図3.6を

入 力 し,ア

ニ メー シ ョ ン

解図3.7を

入 力 し,ア ニ メー シ ョ ン。bの 値 も変 更 で き るの で い ろ い ろ な 形 で 調 べ

問14 

るこ とが で き る。

解図3.7

問15 

〔 例 題16〕

に お い て,zの

式 を変 更 す る。

第4章  媒介変数表示と極座標表示 問1

〓か ら,

 (1)

(2)(x−a)2+(y−b)2=r2か

問2

 し た が って,楕

円 を表 す 。

傾 き 3/2,点(1,−4)を 通 る直 線 ら 点(a,b)を

中 心,半

径rの

円

問3 〓…①,3x+2y=k…②

と し て 式①

か らx2+4y2=4,式②

か ら2y=k−3xと

る 。∴x2+(k−3x)2=4,す

な

な わ ち,

10x2−6kx+(k2−4)=0。

共 有 点 を もつ に は

(3k)2−10(k2−4)≧0 ∴k2≦40 し た が って,−2√10≦k≦2√10

〔 関数 ラボ に よる操作 〕   楕 円① を あ らか じめ 描 い て お き,

解図4.1

 の 動 的 グ ラ フ を描 く(解図4.1)。 問4 

対 象 式 に 円 と 点Pを cost)」

と 入 力 し,tを

表 す 式 を,そ

れ ぞれ

「(x−t)2+(y−1)2=1」

「(t−sint,1−

パ ラ メー タ と した 動 的 グ ラ フ を 描 く。

問 5  略 問6  グ ラ フ は 略 。 ま た, 〓と ら,3倍 問7 

角 の 公 式 が 成 り立 つ こ とが 示 さ れ る。

(1),(3)の

場 合 は 解図4.2,4.3の

と お り で あ る 。 そ の 他,い

解図4.2

問8

〓の 表す 曲線 が 同 じこ とか

  (2)y=a(x)2=ax2,第2式

(5)θ を 消 去 す る と,

ろい ろ試 してみ よ。

解図4.3

は,

〓か ら

〓 ∴y2=4px

次 に,tを

消 去 す る。

さ ら に,

問9 −1≦sinmθ≦1か

ら,−a≦asinmθ≦aと

 − 1≦cosnθ≦1か

な る 。 同 様 に,

ら,−a≦acosnθ≦a

  した が っ て,−a≦x≦a,−b≦y≦bで れ ぞ れ±a,±bと

交 点 は,そ

一 致 す る。

  ま た,0≦x＜2π 象 限→ 第4象

あ る か ら,リ サ ー ジュ とx軸,y軸

で は,y=sinxは,増

限→ 第2象

加→ 減 少→ 増 加 と変 化 す るか ら,(1)は

限→ 第3象

増 加 と変 化 す る た め,(3)の

限 の順 に 曲 線 を描 く。 一 方,y=cosxは,減

曲 線 は,第1→

第3→

第2→

第4象

第1 少→

限 の 順 に描 か れ る。

問10  略 問 11 

(1)(−√2,√2) 

(2)(−√5,0)

 (3)

〓  (4)

〓, y軸 対 称 の

点は 問 12  曲 線 は 略   (1)r2=2rcosθ

か

ら,x2+y2=2x 

  (2)rcosθ+rsinθ=5か

 (3)

ら,x+y=5

〓か ら,

問13 〓,√2(0≦

∼解図4.6の

∴(x−1)2+y2=1

θ≦6π),π(0≦

と お り である。〓

は略

θ≦60π)の

と き は,そ

れ ぞ れ 解図4.4

解図4.5

解図4.4

解図4.6

解図4.7

解図4.8

な お,r=cosnθ

に つ い て はn=1,2,3

の と き の 曲 線 を 解図4.7∼ し た。や は り正 葉 曲 線

〓cos θか ら,正 nnθを〓

解図4.9に

示

と な る が,sin

軸

線r=si

回転 した 正 葉 曲 線 で あ る こ

とが 確 か め ら れ る 。

解図4.9

問14 

略

問15  略

第5章  ベ ク トル と複 素数 問1 C(3,3)  問3 

〔 例 題2〕

問2 

(1)D(−2,−5) 

(2)D(3,2.5)

に お い て,x4:=x2+x3 x5:=x3−x2 y4:=y2+y3 

問 4  解図5.1を

y5:=y3−y2と

す る。

作 成 す る 。x軸 の と こ ろ の 変 数 が 表 示 さ れ て い な い が,B1,j C2,h A1

,iで

あ る。 問5 

内 積 が−22と

な る。 内 積 が 負 の と き は,aを

含 む 直 線 を 境 にbと

反 対 側 に 平 行 四辺

形 が 現 れ る。 問6 

略 問7

問8  まず,シ

(1))

〓とす る 。

 (2)

〓と す る 。

ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッサ を ロ ー ドし,変 数 を使 わ な い で 次 の よ うに 計 算 式 を

記 述 し, マ ウ ス で 選 択 した 後,シ

ン ボ リ ッ ク に 評 価 を実 行 す る。

解図5.1

問9 

〔例 題10〕

問10  略

問12 

に お い て,m:=1..5 n:=1..3と

問11 rgの

図 よ り正 六 角 形 の 頂 点 の 複 素 数 は,6回

r6 =1の

変 更す る。

す る。

か け る と 回転 して1の

と こ ろ に くる の で

解 で あ る。

問13 zm+1:=(zm−υ)・w+υ

と い う漸 化式

問14 

〔例 題14〕

に お い て,a:=−1 

問15 

〔例 題15〕

で,a:=1 

z3:=γ+g(γ)・iと

第6章

し,z1,z2,z3を

成 分 を−1,1,−1,1と

に 変 更 す る 。 ま た,行

b:=1 z1:=4+2iと

b:=−1f(x):=a・x+b

列zは

次 の よ う に す る。

す る と,(−1,−3)と

g(x):=−1/a・(x−

な る。

β)+f(β)

す る。

平面幾何

問 1  頂 点Aを

移 動 し て も,∠B,∠Cの

値 は 等 し い 。 ま た,頂 点BCを

移 動 し て も,∠B,∠C

の 値 は 等 しい 。 問2 

(1)AB,BCは

等 し い 値 で あ るが,CAも

で あ るが,∠A,∠Cと

も∠Bに

こ れ ら の 値 と等 しい 値 と な る。∠Bは60°

等 し く,60°で あ る。(2)線

分BCと

点Cを

選 択状 態

問

 に して,制

約 ボ タ ン 「長 さ 」 を選 ん で ク リ ッ クす る と,点Bを

基 準 とす る 電 子 定 規 が

描 画 され る。 目盛 用 カ ー ソル を4の 長 さ の 位 置 に 移 し て,「 決 定:改 る。(3)〔 問3 

例 題2〕 の 手 順(長

さ,方

計 算 式 エ リア に∠ACB,∠ACDを で あ り,ACの

問4 

値 とBDの

向 の 順)を 変 え て も,同

そ れ ぞれ 入 力 す る。∠ACB,∠ACDは

で あ る こ とが 示 され る。 点Aま 描 画＞ 二 等 辺 三 角 形ABCを

入 力 す る 。∠AID=90°,∠IAD=45°

た は 点Bを

移 動 し て も,こ

ン 「垂 線 の 足 」 を ク リ ッ ク して 垂 線DEを 重 ね,制

れ らの値 は変化 しない。

描 画 す る。ア イ コ ン 「線 分 」を選 ん で,第1の

上 に 置 き,制 約 ボ タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リッ ク,第2の

の 点 をDに

と もに45°

値 は 等 しい 。

「計 算 式 の 追 加 」 を用 い て,∠AID,∠IADを

問5 ＜

行 」を ク リ ッ クす

じ正 三 角 形 が 得 られ る。

点 をAB上

引 く。 次 に,ア

に 置 き,制 約 ボ タ

イ コ ン 「線 分 」を選 ん で 第1

約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リ ッ ク,第2の

ボ タン 「 垂 線 の 足 」 を ク リ ッ ク して 垂 線DGを

点 をBC

点 をAC上

に 置 き,制 約

引 く。

 ＜ 確 認＞ 「計 算 式 の 追 加 」を用 い てDE+DGを

入 力 す る。BC上

の 点Dを

移 動 し て,

こ の 値 が 変 わ ら な い こ とが 確 認 で き る。 6 ∠ABC=108°,∠BCD=108°

で あ る。BCの

値 をABの

値 と比 べ て,等

しい 値 で あ る

こ とが 確 認 で き る 。 問7 

(1)＜

描 画＞ 複 合 図 形 ア イ コ ン 「 角 の 二 等 分 線 」 を選 ん で,∠ABCの

。 同 様 に して∠BCAの の 交 点 に 重 ね,制

そ れ ぞれ 入 力 し て,こ

の 値 が 等 し い こ と を確 認 す る 。(注)点Hが△ABCの  (2)＜ 描 画＞ 辺ABと

点Bを

行 」 して ,ABの

,∠DBC(∠Bの

半 直 線 を 引 く。 ア イ コ ン 「点 」

外 角)の 二 等 分 線 を 引 く。 同 様 に し て,∠

外 角)の 二 等 分 線 を引 く。 以 下,(1)と

 ＜ 確 認＞ 「計 算 式 の 追 加 」を 用 い て,∠BAJ,∠CAJを 値 が 等 し い こ と を確 認 す る 。(注)点Jが∠ABCの  (3)＜ 描 画＞ 頂 点B,Cか の 交 点 をKと

 ＜ 確 認＞∠AKB(ま △ABCの垂

内心 で あ る 。

延 長 線 上 に 置 き,制 約 ボ タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク す る。 ア イ コ ン

「 角 の二 等 分 線 」 を選 ん で

と BCと

れら

選 択 状 態 に し,「 図 形 編 集 」 の 「選 択 図 形 の 属 性 変 更 」

「 線 種 」 の 半 直 線 を選 ん で 「 決 定:改

BCE(∠Cの

の二 等分 線

約 ボ タ ン 「交 点 」 を ク リッ クす る。

 ＜ 確 認＞ 「計 算 式 の 追 加 」を用 い て,∠HAB,∠HACを

を 選 ん でABの

二 等 分 線 を描く

二 等 分 線 を描 き,ア イ コ ン 「点 」 を選 ん で,2つ

ら辺AC,ABに

同 様 に す る。 そ れ ぞ れ 入 力 し て,こ 傍 心 の1つ

れ らの

で あ る。

引 い た垂 線 の 交 点 をHと

し, AHの

延長

す る。 た は∠AKC)が90°

心 で あ る 。(4)＜

で あ る こ と を確 認 す る。(注)こ

描 画＞ 線 分AC上

に 点Dを

の 点Hが

置 き,制 約 ボ タ ン 「 等分

点 」を ク リ ッ ク,1:1の 点Eを

内分 点 を 「決 定:改

す る。AJの

延 長 とBCと

の 交 点 をMと

描 画 す る 。 同様 に し て,

確 か め る。(注)点Mが△ABCの ＜描 画 ＞∠BACの

描 画 し て,交

点 をJと

す る。

 ＜確 認 ＞ 「計 算 式 の 追 加 」 を選 ん で,BM

問8 

行 」 して,点Dを

描 画 す る 。 ア イ コ ン 「線 分 」 を選 ん で,線 分BD,CEを

,CMを

入 力 して2つ

の値 が 等 しい こ と を

重 心 で あ る。

二 等 分 線 とBCと

の 交 点 をG(ラ

 ＜確 認 ＞ 「計 算 式 の 追 加」 に,〓

ベ ルFをGに

変 え る)と す る。

を そ れ ぞ れ 入 力 し て,これ

らの 値 が等しい

こ と を確 認 す る。 問9 

＜参 考 ＞表 示 し た図 は,BA,CAの

画 しな い 場 合 で も,点F,Hは

各 延 長 線 を 描 画 し て い る が,こ れ らの 延 長 線 を描

「線 上 の 点 」 とい う制 約 を受 け て い るの で,常

に,延

長

線 の位 置 に 表 示 さ れ る。 問10 

＜参 考 ＞点Dが△ABCの ,Mの

外 の 点 で あ る と き,G,J

各 点 は,「線 上 の 点 」とい う制 約 を受 け て い る

ので,G,J,Mの

各 点 は,線

上 か 延 長 線 上 に あ る。

解図6.1

問11 

＜描 画 ＞ ア イ コ ン 「円(2点 指 定)」 を選 ん で,第1の

点Aを

円 の 中 心,第2の

点を

任 意 位 置 に 置 き,制 約 ボ タ ン 「長 さ 」 を ク リ ッ ク,表 示 さ れ る 電 子 定 規 の 目盛 用 カ ー ソル を1の 長 さ の位 置 に 移 し て,「 決 定:改 円 が 描 画 さ れ る。 続 い て,ア Aの

位 置 に 置 き,制 約 ボ タ ン 「点 結 合 」 を ク リッ ク し,半 径1の

半 径2の

円 を 描 画 す る。 同様 に し て,中 心 が 一 致 し て,半 径3の

操 作 に よ っ て,半 径1,2,3の 問12 

点Cを

円の 中心

場 合 と 同様 に し て, 円 を描画 す る。 この

同 心 円 が 描 画 で き る。

＜確 認 ＞ 「計 算 式 の 追 加 」を 用 い て,〓,〓(〓の ぞれ 入 力 し て,そ

問13 

行 」を ク リ ッ ク す る。 こ の 操 作 で 半 径1の

イ コ ン 「円(2点 指 定)」 を選 ん で,第1の

入 力 はf・1を利

用)をそれ

れ らの 値 が 等 し い こ と を確 か め る。

＜確 認 ＞ 「計 算 式 の 追 加」を 用 い て,BJ,〓(AB+BC−AC)を

そ れ ら の 値 が 等 し い こ と を確 か め る。

そ れ ぞ れ 入 力 して,

問14 

＜説 明 ＞弦AB,CDが

円 内 で交 わ ら ない位 置 に

移 動 す る と,交 点Pは CDの

円 外 に 出 る。 点Pに

は,AB,

「交 点 」 とい う制 約 が あ る か ら,「 線 上 の 点 」

という 制 約 を受 け て い る 。 し た が っ て,交 点Pが

円

外 に あ って も こ の 制 約 を 受 け て,AB,CDの

延長線

上 に あ る。解図6.2で

値 が等

も,PA・PB,PC・PDの

解図6.2

しい こ とが 確 か め られ る 。 問15 

＜ 説 明 ＞ 中線AMとOHの

れば,点Gが△ABCの 問16 

描 画 し,AG/GMの 値 が2に

等 し いことを 確 か め

重 心 で あ る こ とが 説 明 で き る。

＜ 説 明＞PIの

延 長 と 円 周 との 交 点 をNと

を 確 か め れ ば,直 問17 ＜

交 点Gを

線KMIとANが

説 明＞ 「角 の2辺

して,∠PIM,∠INAの

値 が 等 しい こ と

平行 で あ る こ とが 説 明 で き る。

か ら 等 距 離 に あ る よ うに 動 く点 」 の 描 画 に 必 要 な 操 作 を,4つ

の 角∠AOD,∠DOB,∠BOC,∠COAに

つ い て 繰 り返 し行 え ば,2直

線AB,CDか

ら

等 距 離 に あ る点 の 軌 跡 と残 像 が ア ニ メー シ ョン 表 示 され る。   結 果 的 に は,4つ

の 角 の 二 等 分 線(互

い に 直交 す る2直 線)が

問18 ＜ 描 画＞ ア イ コ ン 「線 分 」 を用 い て,第1の ク リ ッ ク,第2の て ,ア

点Cを

イ コ ン 「点 」 を用 い て,点Dを

を 選 び,「 決 定:改  ＜ 表 示＞ 点Dを  点Cを 問19 ＜

円 周 上 に お い て,ボ

移 動(円

弦AB上

点BをAに

に 置 き,ボ

選 択 状 態 に し,「 軌 跡 」,「残 像 」をONに 周 上)す

れ ば,点Dの

周 上 に 置 き,ボ

え ば,3)と

す る円 を 描 画する 点Cを

円

タン 「 線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク,

え ば4)と

との 交 点 をEと

す る 。 ア イ コ ン 「線 分 」 を選 ん で,

す る円 を 描 き,初 め の 円

イ コ ン 「点 」 を選 ん で,点Hを

に 置 き,ボ タ ン 「等 分 点 」,1:1,内

ク リ ッ ク し,点Hを を解図6.3の

分

して,「 ア ニ メー ション」を選 ぶ 。

描 き,

半 径 を一 定(例

CE上

タ ン 「等 分 点 」,1:1,内

軌 跡 と残 像 が ア ニ メー ション表 示 され る。

。引 き続 い て,ア イ コ ン 「円 」 を,第1の

描 き,ア

タ ン 「点 結 合 」 を

行 」 を ク リ ッ ク す る。

こ の 円 の半 径 を一 定(例

弦CEを

重 ね,ボ

タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ クす る 。 続 い

描 画＞ ア イ コ ン 「円 」 を 選 ん で,円ABを

ABの

得 られ る。

弦CEの

弦

分 を選 ん で

中 点 に 設 定 す る。ラベル

よ うに 設 定 す る。

解図6.3

 ＜表 示 ＞ 点Mを 選 ぶ 。 点Aを

選 択 状 態 に し,「 軌 跡 」 「残 像 」 をONに

移 動(円Oの

し,「 ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を

周 上 に あ る)す る と,弦 の 中 点Mの

軌 跡,残

像 が ア ニ メー

シ ョ ン 表 示 さ れ る。 問20 

四 角 形ABCDに  し た が っ て,四

お い てAD〓BC平 角 形ABEDは

行 移 動 し て い る か ら,AB〓DE

平 行 四辺 形

 し た が っ て,AB=DE…①  ま た,AB〓DEか

ら,∠B=∠DEC

  仮 定 か ら,∠B=∠Cで

あ るか ら∠DEC=∠C

 し た が っ て,DE=DC…②  式①,② か らAB=DC 問21 △PBRと△ABCに

お い て,

  PB=AB(正

三 角 形 の 辺)…①

  BR=BC(正

三 角 形 の 辺)…②

 ∠PBR=60°−∠RBA,∠ABC=60°−

∠RBA

 し た が っ て,∠PBR=∠ABC…③  式①,②,③

に よ っ て,△PBR≡

 ま た,AC=AQで

△ABC,し

 同 様 に して,△ABCと△QRCに   PA=RQ…⑤

つ い て,AB=RQま

  (注)△PBRを,点Bを

あ る か ら,

平 行 四 辺 形 で あ る。

中 心 に し て60° 回転 す る と△ABCが

 C を 中 心 に して60° 回転 す る と△QRCが

得 られ,△ABCを

点

得 ら れ る。

延 長 上 に 点Eを,AC=AEと

 △ACDと△AEDに  

たPA=ABで

を得 る。

 式④,⑤ か ら,四 角 形AQRPは

問22  辺BAの

た が っ て,PR=AC

あ る か ら,PR=AQ…④

な る よ う に と る。

お い て,

AC=AE,∠CAD=∠EAD,ADは

共通

 した が っ て,△ACD≡

△AED,し

 △BEDに

の 和 は 第3辺

お い て,2辺

た が っ て,CD=ED

 こ こ で,BE=AB+AE=AB+AC

よ り大 き い か ら,BE＜BD+ED ま た,BD+ED=BD+CD

 し た が っ て,AB+AC＜BD+CD 問23 

＜ 説 明 ＞最 初 は,1辺CFが

形CDEFを OD ,OEの

描 画 す る。 次 に,四

直 径AB上

に あ り,辺CFの

角 形 を 点Oを

中 点 がOと

一致 す る正方

相 似 の 中 心 と して 拡 大 す る。 実 際 に は,

延 長 と 円 周 との 交 点 を そ れ ぞ れD',E'と

し,D',E'か

らABに

垂 線D'C',E'

F'を 引 け ば,四 角 形C'D'E'F'が (注)  実 際 の ラベ ル に は,D'な

求 め る正 方 形 で あ る。

ど ダ ッ シ ュ の つ い た 文 字 ラベ ル の 設 定 は で き な い 。

(2)  練 習 問題 の解 答 第2章  図 形 と方 程式 1.  解図2.1参

照

解 図2.1

2.  解図2.2参

照

解図2.2

  定 点(0,2) 3.  (1)解図2.3参

照

解図2.3

(2)解

図2.4参

照

4.解

図2.5参

照

解 図2.4

解 図2.5 k=8±6√2 (約16.5,3.4)

5.(1)解

図2.6参

照

解 図2.6

境 界 を含 む 。

(2)解

図2.7参

照

解 図2.7

(3)  解図2.8参

照

解図2.8

境 界 を含 む 。 6.  解図2.9参

照

解図2.9

最小値〓

7. X+Y=x,XY=yと (解図2.10参

お く と,X,Yはt2−xt+y=0の

解 で あ る 。こ れ よ り,x2−4y≧0

照)。

解図2.10

〓の部 分

〓で,

第3章  二次 曲線 1. 解図3.1を

入 力 し,アニメ

ーション 2. 解図3.2を

入 力 し,ア

ニ

メ ー シ ョン 。 外 接 す る と き と内 接 す る と き で 半 径 の 計 算 式 が 違 う た め,常

に円を

2つ 描 い て い る。

解図3.1

解図3.2

解図3.3 解図3.4

3.  解図3.3を

入 力 して ア ニ メー シ ョ ン

4.  解図3.4を

入 力 し て ア ニ メ ー シ ョ ン 。 軌 跡 は2つ

5.  方 程 式 が〓と

な る。 〔 例 題16〕

y)を 削 除 し て,f(x,y):=1−〓

6.  解図3.5を 7. Pか

入 力 し,ア

の放 物 線 で あ る 。

に お い て,g(x,y),if文

で議

し たf(x,

と す る。

ニ メー シ ョン

ら 直 線 へ 下 ろ し た 垂 線 の 足 をH

とす る と,

解図3.5 解図3.6

 よ り,〓

で あ る。 解図3.6は

ニ メ ー シ ョ ン でhを

第4章 

一 般 性 を も たせ る た め,a=2と

している。 ア

決 め て か らtを 変 化 させ る。

媒 介変 数表 示 と極座 標表 示

1.  (1)x軸  (3)θ=0の

方 向 に2,y軸 ときx=2,y=1か

2.  曲 線 は略。〓 −1≦cosx≦1か

. 軌 跡 は略。〓

方 向 に−1だ け平 行 移 動 し た もの 。  (2)上 半 分 の 楕 円 ら,点(2,1)か

らもとの 曲線 とは 逆 回 りに楕 円 が 描 か れ る。 ら,−2≦x≦23

ま た,y2=(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=2x+1  し た が っ て,点Pの

軌 跡 は,放

物 線y2=2x+1の〓

の部分

4.  略 5.  (1) y=txを

式(4.14)に

代 入 し て,

〓これ をyに 代 入 す る と,

ゆ え に,

〓た だ し,｜t｜≦1

した が って,tを 媒 介 変 数 として, (2)  方 程

式(4.14)にx=rcosθ,y=rsinθ

を 代 入

し て{r2(cos2θ+sin2θ)}2=〓

か ら,〓 こ こ で,〓

か ら,

代 入 し て,(1+t3)x3＝3atx2,x≠0の

こ の と き,〓x=0の  (2),(3)は 7. a=1/2,2,1の

〓と も 同 じ形 の 曲 線 が 得 られ る。

〓と

(3) 極 方 程 式 の 場 合 は, 6.  (1)y=txを

と き はy=0で

と き,〓 原 点 と な る。

略 と き のr=aθ

の と き 対 数 螺 線,ま

た は,等

の曲線

は,そ

れ ぞ れ 解図4.1に

な る 。r=caθ

角 螺 線 と い う。

(a)

(b) 解 図4.1

で,特

に,a＞1

  図 で 示 さ れ る よ う に,0＜a＜1の 回 り,a＞1の

ときは右

と き は 左 回 りに 曲 線 が 描 か れ

る。 ま た,a=1の

と きは,中 心 が 極,半 径1

の 円 で あ る。

解図4.1

8.  (1)解

図4.2か

(2,0),(4,0),y軸 で あ る 。 曲 線 はx軸 線(輪

線)を

ら,x軸

と の 交 点 が(0,0),

と の 交 点 は(0,1),(0,−1) 対 称 で,内

部 に1つ

の曲

もつ 。

解図4.2

 (2)a=b=1,2の 線 は,x軸 で,内

と き,解図4.3と

に 対 称 で あ る 。 点(0,0)は

な る 。曲 特別 な点

に く び れ て い る 点 と な る 。 こ の 点(0,0)

を尖 点 と い う 。

解図4.3

(3)(a,b)=(1,2),(1,4/3),(2,3)の

と き,曲線

と きは 常 に 凸 で あ る。 こ の こ とか ら,曲 線 はb＜2aの 2aの

と きは 極 に 対 し て,常

極に 対 し て 凹 の部分

と き,極 に 対 して 凹 凸 が あ り,b≧

に 凸 で あ る こ とが 推 測 で き る。

(b)

(a)

(c)

(d) 解 図4.4

第5章   ベク トル と複 素数 1.  解 図5.1を

作 成 す る 。Bの

逆 行 列 を 使 っ てs,tを

解 図5.1

が あ る 。(1,3)の

求 め て い る。

2.  acos関

数 はラジ ア ン で 値 を返 す の で,次

3. 解図5.2を

作 成 す る。s,tはソルバ

の よ うにす る。

で 求 め る。初 期 値 を定 めGivenとFind関

数 で連 立

方 程 式 を は さむ 。 未 知 数 の 数 と方 程 式 の 数 が 等 し くな い とい け な い 。 グ ラ フ のy軸 数 はOAB2,i,AN2,k,BM2,k,OP2,kで

あ り,x軸

の変

の 変 数 はOAB1,i,AN1,k,BM1,k,OP1,kで

あ る。

解図5.2

4. (1)〔

例 題7〕 に お いて,〓

と修 正 し,si:=−1−tiを

挿 入 し,Pk,i:=si:ak+

ti・bk と修 正 す る。

 (2)(1)に

お い て,〓

の 成 分 を−4,4,−2,6と修正す

る。

5. 解図5.3を 大 き さ1の Am+2と

作 成 す る。 正N角 複 素 数 をwと

す る。4行

A2,m,B2,mで,x軸

形 の 内 角 は〓

す る。3行

で あ り,そ の 角θを 偏 角 と し,

目 の漸 化式 がAmをAm+1の

ま わ り に θ 回 転 させ

目 の漸 化式 は−θ 回 転 さ せ る も の で あ る。 グ ラ フ のy軸 の 変 数 はA1,m,B1,mで

あ る。

の 変数 は

解 図5.3

6. 解図5.4を

作 成 す る。VOの

角 を θ とす る と,Vは

平 行 移 動 がz1−υ で あ り,VQとx軸

原 点 に き て い るの で〓

る。 直 線 は 回 転 してx軸

る。 グ ラ フ のy軸

で 割 る と,原点 の ま わ りに−θ 回 転 す

とな っ て い るの で,共役

称 に 動 く。 そ の 点 を θの 回 転,OV平

の 正 の 向 き との な す

複 素 数 を 求 め る計 算 で 直 線 に 関 し て 対

行 移 動 で も と に戻 す と,求 め る点(0.6,3.2)と

の 変 数 はf(x),Z2,nで,x軸

の 変 数 はx,Z1,nで

な

あ る。

解 図5.4

7.  解図5.5を

BAn+2よ

の y軸,x軸

作 成 す る 。An,Bを

り,〓

表 す 複 素 数 をαn,β

であ

の 変 数 は そ れ ぞ れZ2,m,Z1,mで

と す る と,△AnBAn+1∽

△An+1

り,これとり2行目 の漸 化式 が 得 られ る 。 グ ラ フ

あ る。

解図5.5

第6章 

平 面幾 何

1. ＜ 描 画＞ 正 方 形ABCDを

描 画 す る(6.1〔例 題3〕 参 照)。ABを

択図 形 の 属 性 変 更 」を ク リッ ク,線 種 を半 直 線1と ア イ コ ン 「円 」 を選 ん で,第1の 結 合 」 して 描 い た 円 とABの 「線 分 」 を選 ん で 足 」 を選 び,垂

,第1の

線EFを

点 をAに

す る と,ABは

こ の 方 向 に延 長 され る 。

お き 「点 結 合 」,第2の

延 長 との 交 点 に 点E(ラ 点 を 点Eに

選 択,「 図 形 編 集 」の 「 選

お き,第2の

引 く。EFとBCの

点 をCに

ベ ル 変 更 す る)を 点 をAC上

交 点 にGを

お い て 「点

お く。 ア イ コ ン

に お き,ボ

タン 「 垂線の

お く。

 ＜ 確 認＞ 「 計 算 式 の 追 加 」を用 い て,AF,ABを

入 力 し て,こ

確 か め る。 ま た,∠GAE,∠GACを

れ ら の 値 が 等 し い こ と を確 か め る。

入 力 し て,こ

れ らの 値 が 等 し い こ とを

2. ＜ 描 画＞ ア イ コ ン 「多角 形 」 を選 ん で 星 形 を描 画 す る。 第6番 Aに

重 ね れ ば,星

形(五

角 形)が

目の 点 を 第1番

目の 点

入 力 し て,こ

の値 が

描 画 さ れ る。

 ＜ 確 認＞ 「計 算 式 の 追 加 」に よ り,∠A+∠B+∠C+∠D+∠Eを   180°に な る こ と を確 か め る。 3. ＜ 描 画＞ 初 め に,正 三 角 形ABCDを 分 」 を 用 い て,第1の   上 に お い て,ボ

点 をPに

描 画 す る(6.1〔例 題2〕 参 照)。 次 に,ア

重 ね,ボ

タ ン 「点 結 合 」 を ク リッ ク し,第2の

タ ン 「垂 線 の 足 」 を ク リ ッ ク す る。 同 様 に 他 の2辺

 ＜ 確 認＞ ラベ ル を変 更 して,垂 線 をPD,PE,PFと を 入 力 す る。 点Pを Aか ら辺BCに

イ コ ン「線 点 をAB

に も垂 線 を引 く。

し て 計 算 式 エ リア に,PD+PE+PF

移 動 して も,こ の 値 が 変 わ ら な い こ とが 確 か め られ る。 ま た,頂 点

引 い た 垂 線 をAXと

す る と,PD+PE+PFがAX(正

三 角 形 の 高 さ)の

値 に 等 し い こ と も確 か め られ る 。 4. ＜ 描 画＞ 正 五 角 形ABCDEを

描 画 す る(6.1〔 例 題6〕 参 照)。

 ＜ 確 認＞ 計 算 式 エ リア に,∠BAC,∠CAD,∠DAEを が そ れ ぞ れ36° に 等 しい こ とが 確 か め ら れ る。

そ れ ぞ れ 入 力 す る。 こ れ らの 値

5. ＜ 確 認＞ 計 算 式 エ リア に,〓

をそ れ ぞ れ 入 力 して,これ

らの

値 が 等 し い こ とが 確 か め られ る。 6. ＜ 描 画＞ 初 め に,円 第3の

を描 画 す る 。 次 に,ア

点 ま で 円 周 上 に お き,ボ

イ コ ン 「多角 形 」 を選 ん で,第1の

タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク す る。 第4の

点から

点 を 第1の

点

に 重 ね る。  ＜ 確 認＞AB・CD+AD・BC,AC・BD(記

号 ・はf・8)を そ れ ぞ れ 入 力 して,こ

れ らの値

が 等 しい こ と を 確 か め る。 7. ＜ 描 画＞1つ

の 線 分XYを

描 き,基 準 の 長 さ とす る。 半 径 がXYに

画 す る 。 この と き,ラ ベ ル をす べ て 消 去 す る。1つ ベ ルBをCに

通 る線 分 をABと

設 定 す る 。こ の 線 分 を延 長 して 他 の 円 との 交 点 をDと

コ ン 「線 分 」 を 用 い て,他  ＜ 確 認＞BC,BDを

て,ABの

の 交 点Bを

入 力 して,こ

8. ＜ 描 画＞ △ABCを

通 る線 分BC,BDを

描画 す る。

れ らの 値 が 等 し い こ と を確 か め る。

垂 直 二 等 分 線 を描 画 す る 。 同様 に して,ACの

 ＜ 表 示＞ 点Aを

し,こ

の 点Hを

9. ＜ 描 画＞ 円ABを

垂 直 二 等 分 線)が

ク リッ ク し

垂 直 二 等分 線 を描 画 す る。2つ

選 択 状 態 に す る。

選 択 状 態 に し て,「 ア ニ メー シ ョ ン 」 を選 び,頂

軌 跡 と残 像(BCの

点Aを

移 動 す る と,

ア ニ メ ー シ ョ ン表 示 さ れ る 。

描 き,ラ ベ ル を消 去 す る。円 外 の1点Aか

ら 円 と交 わ る 線 分ABを

描 画 す る。新 た な 線 分 の 端 点 を 円 と線 分 との 交 点 に そ れ ぞ れ 置 き,線 分PQを をPQ 上 に 置 き,「 等 分 点 」,1:1,内 点 をMと

選 ぶ 。 点Aま

行 」 を ク リッ ク し て,PQの

選 択 状 態 に して,「 軌 跡 」,「残 像 」 をONに

た はBを

移 動 す る と,点Mの

中

軌 跡(AOを

して,ア

ニ メー シ ョ ン を

直 径 とす る 円 周 の 円Oの

内部

ア ニ メー シ ョ ン 表 示 さ れ る 。10

. ＜描 画＞ 二 等 辺 三 角 形ABCを を 選 ん で,第1の   上 に お き,ボ ACの

分 と し,「 決 定:改

描 く。点M

す る。

 ＜表 示＞ 点Mを

部 分)が

し,ラ

す る。続 い て,ア イ

描 画 す る。 ア イ コ ン 「垂 直 二 等分 線 」を選 ん で 辺ABを

の 垂 直 二 等分 線 の 交 点 をHと

点Hの

の 交 点Aを

等 し い 円 を2つ描

点(D)をBに

描 画 す る(6.1〔例 題1〕 参 照)。 続 い て,ア 重 ね,ボ

タ ン 「点 結 合 」を ク リ ッ ク,第2の

点(E)をAB

タ ン 「線 上 の 点 」 を ク リ ッ ク す る。 次 に,「 選 択 図 形 の 属 性 変 更 」 を用 い て

延 長 線 を引 く。 続 い て,「 線 分 」 を選 び,第1の

  結 合 」を ク リ ッ ク,第2の クす る。 次 に,CGを て,CGとBEの

イ コ ン 「線 分 」

点(G)をACの

点(F)を

延 長 上 に お い て,ボ

点Cに

重 ね,ボ

タ ン 「線 上 の 点 」を ク リッ

選 択 状 態 に し て ボ タ ン 「長 さ」を ク リ ッ ク,線 分BEを

長 さ を 等 し くす る。 ま た,線 分EGとBCの

タ ン 「点

交 点 をHと

ク リッ クし す る(ラ ベ ル を

図6.50の

よ う に 変 更 す る)。

 ＜ 確 認＞ 計 算 式 を 用 い れ ば,DH,HEを

入 力 して 等 しい 値 で あ る こ とが 確 認 で き る。

 ＜ 証 明＞ … … 図 形 の 平 行 移 動 を 利 用 す る考 え… … 点Eを

通 りACに

平 行 な 直 線 を引 き,BCと

の 交 点 をIと す る 。

AC〓DIか

ら,∠DIB=∠ACB…①

△ABCは

二 等 辺 三 角 形 で あ る か ら,∠ABC=∠ACB…②

式①,② か ら∠ABC=∠DIB,よ

っ て,DB=DI

1辺 と両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 しい か ら,△DIH≡

△ECH

し た が っ て,DH=HE 11. ＜描 画＞ 省 略  ＜ 証 明＞ △ACGと△DCBに  ∠

お い て,AC=CD,CG=CB(正

ACG=∠GCB=90°

△DCBに

で あ るか ら,点Cを

方 形 の 辺)

中心 と して△ACGを90°

重 ね る こ とが で き る。 した が っ て,AG=DBま

回転移 動す る と

たAG⊥DB

12. ＜描 画＞ 省 略  ＜ 考 え方＞ 直 線ADに 点 をF,CEの

関 して,ABを

延 長 とABと

対 称 に 移 動 す る 。ACの

の 交 点 をGと

す る と,EはGCの

延 長 とBDの

延 長 と の交

中点,DはBFの

中 点 であ

る。

 △CGBに

お い て,EはCGの

また,△BFCに

お い て,DはBFの

AC=AG,AB=AFか

式①,②,③

中 点,MはBCの

ら,

に よ り,

中 点,MはBCの

中 点,中

点 連結 定理 に よ り

中 点,中

点 連結 定理 に よ り

索 引 確 認 パ ネ ル 

あ  行 ア イ コ ン 

軌跡

22

ア ス テ ロ イ ド 

極 

2,9,67,133

ア ポ ウ ニ ウ ス の 円 

イ ン ボ ル ー ト 

75 99

ウ ィ ン ドウ ズ 

13

内 サ イ ク ロ イ ド 

85

5

78

極 座 標 

44

ア ル キ メ デ ス の 螺 線 

位 置 ベ ク トル 

  39,41,67,132,134

記 録 エ リア  

73

ア ニ メ ー シ ョ ン 

24

78

極 方 程 式 

80

虚 数 単 位 

102

グ ラ フ エ リア 

7

さ  行 71

サ イ ク ロ イ ド 

69

サ イ ク ロ イ ド曲 線  エ ピ サ イ ク リ ッ ク  エ ピ トロ コ イ ド 

74

エ ラ ー メ ッ セ ー ジパ ネ ル  円 

39

132

39

始 線 

か  行 カ ー ジ オ イ ド  回 転 移 動 

外 接 円 

127 34

74

107,140

外 サ イ ク ロ イ ド  130

131

シ ム ソ ン の 定 理 

63

円 の 方 程 式 

外 分 

残 像 

110

114 シ ム ソ ン線 

円 錐 曲 線 

外 心 

三 角 形 の 相 似 

70

74

10

131

78

実 数 解 の個 数 

40

始 点 

92

終 点 

92

準 線 

57

焦 点 

52,53,57,62

初 期 画 面  伸 開 線 

1,23 75

ズー ム ア ップ  垂心 

10

垂 直 二 等 分 線  数 式 処 理(シ

25

図 形 編 集 

118

2

制 約 ボ タ ン 

12

4

定 義 式 エ リア 

2

28

電 子 分 度 器 

32

ト コ ロイド 

70

ド ・モ ア ブ ル の 定 理 

21,27

正 葉 曲 線 

85

等分 点 

121 な  行

61 104

内積 

漸 近 線 

56

内接 円 

117

選 択 状 態 

内分 

双 曲 線 

98 128 34

28

選 択 図 形 の 属 性 変 更 

117

二 次 曲 線 

59,86 は  行

53

相 似 変 換 

ハイ ポ トロ コイド 

142

パ ップス の 定 理  た  行 対 称 移 動  対 象 式 

108,141 3

チェバの 定 理 

中 点 

2

50,52

中 線 定 理 

122

124

122

85

パ ラ メー タ 

2 65,101

媒 介 変 数 表 示  半 径 

70

65

39

フ ァ ン ク シ ョ ン キ ー 

3

プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー 

4,24

プ ロ グ ラ ム マ ネ ー ジ ャ ー 

34

中 点 定 理 

バ ラ曲 線 

媒 介 変 数 

対 象 式 エ リア  楕 円 

105

46

絶 対 値 

線 種 

66

電 子 定 規 

28

セ ッ シ ョ ン 

正 領 域 

定 義 式 

ン ボ リ ッ ク計 算) 

数 式 ブ ロ ッ ク 

接 線 

直交 座 標 

130

34

複 素 数 

102

13

複 素 数 平 面  負 領 域 

102 ら  行

46 ラジア ン 

ベ ク トル 

17,92

ベ ク トル 方 程 式  平 行 移 動  偏 角 

104

38 ,101

リ サ ー ジュ  離 心率 

140

78,104

領 域 

77

60,87 46

領 域 の 共 通 部 分  放 物 線 

47

57

方 べ きの 定 理 

128

レ ン ジ 変 数 

15

列 ベ ク トル 

95

ま  行 マ ウ ス 

わ  行 12

マ トリ ッ ク ス 

17

メ イン メ ニ ュ ー 

ワー ク シ ー ト 

  英 字 ・記 号 1,23

メネラウス の 定 理 

123

GeoBlock  Mathcad 

や  行 要 素 

3

12

21 12



片 桐 重 延 学

歴 

東 京教 育 大 学 理 学部 卒 業(1953)

職

歴 

日本私学教育研究所研究員  理学博士

飯 田 健 三 学

歴 

職

歴  東京都立富士高等学校教諭

埼 玉 大学 理 工 学部 数 学 科 卒 業(1976)

佐 藤 公 作 学

歴 

山形 大学 理 学 部卒 業(1971)  東 京 学芸 大 学 教 育学 研 究 科(修 士 課程)修

職

歴  東京都 立代々木高等学校定時制教頭

了(1975)

高橋   公 学 職

歴  東京教育大学理学部数学科卒業(1956) 歴  私立桐朋女子中 ・高等学校講師

新 ・数 学 と コン ピュー タ シ リー ズ 7 数 学 ソ フ トに よ る  曲 線 と図 形 処 理 1995年6月30日

  第1版1刷

発行

著

者 片 桐 重 延 飯 田健 三 佐 藤 公作 高 橋  公 発行者 学校法人  東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣 川 利 男 発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田錦 町2‐2 振 替 口 座  00160‐5‐71715

印刷 三立工芸（株） 製本 （株） 徳住製本所

〓

業)

(03)5280‐3422(編

集)

Katagiri Iida

装 丁   高橋 壮一

電 話  (03)5280‐3433(営

Sato

Shigenobu

Kenzo Kohsaku

Takahashi Printed

in

Ko Japan

*無 断で 転 載す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁本 はお 取替 え いた し ます 。 ISBN

4‐501‐52290‐9

C3355

〓< 日本 複 写権 セ ン ター 委託 出版 物>

1995

デー タ解析 ・信号 処理 関連 図書

ウ ェ ー ブ レ ッ ト入 門

数理科学セ ミナー ウオル シュ解析

チ ャー ル ズK.チ A5判  306頁

遠藤  靖 著 A5判  218頁

数 理 科 学 セ ミナ ー

ュ ウイ著  桜 井/新 井 共 訳

ブー リエ解析の欠点を補 う強力 な手段 として,ウ ェー ブ レッ ト解析 が数学,物 理 の基礎研究か ら信号処理, 情報等の工学的 な応 用 まで,あ らゆる分野で話題で ある。 その基礎的知 識 を与 える待 望の入門書。

ウォル シュ解析 は,PCM信 号 等の離散デー タの解 析に最適で あ り,過 渡的 ・衝 撃的 現象や脳 波等の解 析に も応用 され ている。 このデジタル 時代にふ さわ しい ウォル シュ解析 の基礎理 論を解 説 した。

情報科学セ ミナー

情 報 科 学 セ ミナ ー

ス プ ラ イ ン関 数 入 門

マ ル チ ス プ ラ イ ン

桜 井   明 編 著 A5判  184頁

チ ャ ール ズK.チ ュ ウイ著  桜 井/新 井 共 訳 A5判  210頁 80年 代以降,多 変数スプ ライン(マ ルチスプライ ン) の研 究が本格化 し,め ざま しい発展を とげ大きな分 野となった。高次元のデー タ処理や3次 元CAD等 の 応用 に向けて,最 新の理論 を解説 した。

任意の 点を滑 らか に結ぶ 曲線 を描 くスプライ ン関数 は,デ ー タ解析や 処理,コ ン ピュー タグラ フィック にと幅広 い分野で活用 されてい る。基礎理論や初 歩 的 な性質 か ら応用 までわか りやす く解説 した。

ビギナーズ デジ タル 信号処 理

デ ジ タル フ ィル タ

中村 尚五 著 A5判  192頁

A5判 

ビギナーズ 中 村 尚 五 著

デジタル信 号処理を入門者 に も分か るように ていね いに解説 したシ リー ズ三 部作の第一弾。デ ジタル信 号処理の基本概 念につ いて,信 号 を時間の世界で処 理 する ことを中心に,て いねいに解説 した。

192頁

デ ジ タル フ ィル タ の 原 理 を理 解 し,読 者 が 必 要 に応 じて 開発 で き る こ と を 目標 に した。 具 体的 な シ ステ ム を応 用例 に あ げ,ソ フ トウ ェ ア とハ ー ドウェ ア を 含 め解 説 した。

ビギ ナー ズ

プラ クテ ィス

デ ジタル フー リエ変換

デ ジ タ ル 信 号 処 理

中村 尚五 著 A5判  200頁 フー リエ変換 を用い,周 波数 の世界におけ る信号処 理 を取 り上げ る。DFT,FFTの 原理 を詳 しく説明 し た後,FFTの 応用例 を解説 した。特 に数式の展開は 工科系の学生 にも理解で きるよ うにていねいに した。

イブ ・トー マ ス/中 村 尚五 著 A5判  216頁

ユーザーズ

基 本 となっている例題 を繰 り返 し演習す る ことによ り,効率 よくデ ジタル信号処理 を学べるよ うに編集。 大学の演習 のみ な らず,関 係技術に携わ るエ ンジニ アや基礎知識 のあ る人向 けの入門書で ある。

Mathematicaハ

デ ィ ジ タル 信 号 処 理

ン

ドブ ッ ク

江原 義 郎 著 AB判  208頁

M.L.ア ベル/J.P.ブ レイ セ ル トン共 著 川瀬 宏 海/五 島 奉 文/佐 藤穂/田 澤 義彦 共 訳 B5判  818頁  バージ ョン2.2対応版

これか らデ ィジタル信 号処理 を学 ぼ うとする者,あ るい は現在,特 にこの分 野の知識 な しに信号 の処理 を行 って いる信 号処理 システムのユーザーやエ ンジ ニア を対象 とした入門書 であ る。

多 くの コマ ン ドに関す る豊富な実例が示 してあ り,計 算結果や記 号演算お よびグ ラフィックス表示の機能 が視 覚的に理解で きる。 よりていねいな訳注に より わか りやすい訳 を心がけた。

*定 価,図 書 目録 のお問 い合わせ ・ご要望は出版局 までお願 い致 します. 

D-51

情報科学図書 情報科学セミナー 情報 科 学の基礎

情報 科学 セ ミナー

足立暁生 著 A5判  184頁

古東  馨 著 A5判  226頁

境界領域 で コン ピュー タを うま く利用す るための科 学 である情報科学につ いて,数 学的基礎 を与 える大 学専門 学科向けの教科 書であ り,理 論計算機科 学の 入門書 であ る。

計算機言語の学習 のためのプログラミングを終 え,プ ログラ ミング自身 を学 ぶ入門書。 デー タの検索,整 列の計算方法 を題材 に,ア ル ゴリズムとデー タの表 現方法 を中心 に して,Pascalを 基に解説 した。

情報科学セミナー スイ ッチ ン グ 理 論 と応 用

情報科学セミナー 数理 科学概 論

足立 暁 生 著 A5判  200頁 ブール代数 の基礎 とその応用 分野 を扱 う大学 専門学

桜井 明 著 A5判  186頁

科向けの教 科書で ある。 例,例 題,問 題 によ り込み 入った理 論,技 法 も理解 しや すい よ うに配慮 した。 特に計 算機 科学への橋渡 しを意識 して編集 した。

Pascalに

よ るデ ー タ構 造

自然現象や社会 現象 を数式化 して研究す る学 問であ る数理科学 の全体像 を初 めて明 らか にす る。 基礎 と 手法,さ らに実際例 として物理,統 計,心 理,経 済, 社会科学,言 語,芸 術 と広範な分野 について言及。

情報科学セミナー 公開鍵 暗号 系

パ ソコンに よるス プライ ン関 数

アル ト ・サ ロ マー 著   足 立 暁生 訳 A5判  354頁

桜 井 明 監修   吉 村和 美 ／ 高 山文 雄 共 著 A5判  236頁 CG,CAD,デ ー タの解析 などの多方 面にわた る応

ネ ッ トワー クの普及 に より,デ ー タ保護 の重要性が 問われ てお り,欧 米で は,極 めて安全 で有効 な公開 鍵暗 号の標準化が進 め られてい る。本書 は,暗 号研 究の成 果 を盛 り込ん だ最新の内容 である。

情報科学セ ミナー ア ル ゴ リズ ム 論 理 論 と実 際 G.ブ ラ ッサ ー ル ／P.ブ ラ ッ トレー 共 著 足 立 暁 生 訳 A5判  434頁 広 い範 囲の様 々な問題 を取 り上 げ,そ れ ぞれに対 し アル ゴ リズ ムの基 礎的な考察や応用 の意 味を記述。

情報科学セミナー オ ブジ ェク ト指 向 システ ム分析 3つ の モ デ ル に基 づ くア プ ロー チ デ ビ ッ トW.エ ンブ レイ 他共 著 畠山 正行 監 訳 A5判  370頁 オブジェ ク ト指 向の対象を,プ ログラム開発の静的 な分野に とどめず,よ り広大な世界 のモデ リングと 記述 法 ととらえ,シ ステム全体の分析 に用いた。

デ ー タ解 析 ／CG／

微分方程式

用で話題の スプ ライン関数 をパソ コンの上で実現 し, デー タや 曲線 を自由 自在 に操れ る強力 な機能 を持っ たプログラム とともに解説 した。 ニ ュ ー ラ ル コ ン ピ ュ ー タ 脳 と神 経 に学 ぶ 合原 一 幸 著 A5判  236頁 人工知 能研 究の行 き詰 ま りを打破 したニ ュー ラル (ニュー ロ)コ ンピュータについて,最 初に 日本 に紹 介 し,今 日に至る まで,こ れ以上 の入 門書はな いと いわれ る ロン グセ ラー。 ニ ュ ー ラ ル シ ス テ ム に お け る カ オ ス 合原 一 幸 編 著 A5判  378頁 カオス工学 を リー ドする国内外16名 の研究者が,最 先 端の研究 を盛 り込んで 「 脳 」,す なわちニ ュー ラ ル システム とカオ スの関係 を理論 ・実験の両面 から 解説 した。

*定 価,図 書 目録 のお問い合わせ ・ご要望 は出版局までお願い 致 します. 

D‐52

ハ ー ドウェ ア ・MPU

つ くる並列処理 コ ン ピュー タ

知 的実験 ツー ル と しての

PC‐9800シ

パ ソ コ ン 活 用

リー ズ で は しる

ハー ド ・ソ フ ト ・セ ンサ技 術

小畑 正 貴 著 A5判  208頁

天 良和 男 著 B5判  256頁

実験に よって並列 処理 を具体的 に理解でき るよ うに 構成 。読ん で理解 し,さ らに数万 円の部品代 でPC‐ 9800シ リー ズ用のマル チプ ロセ ッサボー ドを自作, その上 で様 々な並列 処理プ ログラムを動か し実験。

長 年,物 理教育への コン ピュー タの利 用研究 を積ん できた著者が,パ ソコンの活用 について実践に基づ き具体的にて いねいに解説 した。

マ イ コ ン応 用 シ ス テ ム 入 門

マ イ コ ン 応 用 シ ス テ ム 入 門 ハ ー ド編

ソ フ ト編 柏谷 英 一 ／ 佐 野 羊介 ／ 中村 陽 一 著 A5判  288頁 MPUを これ か ら学 ぼ うとす る人のため に,基 礎か らプ ログラム開発 までを解説。デー タ表現 の基礎か ら,マ イ コンの基本構成 と動作,Z80MPUの 概 要, Z80の アセンブラ,命 令,プ ログラム開発手順 まで。

柏谷 英 一 ／佐 野 羊介 ／ 中村 陽 一／ 浅 野健 一 著 A5判  304頁 マイ ク ロプ ロセ ッサを応 用するために,Z80  MPU の概要 か ら周辺回路 の設 計,メ モ リ,入 出力 イ ンタ フェー ス,デ ータ転送,割 り込み,シ ステムの設計 と開発 までを解説 した。

図解Z80 マ シン語制御 のす べて

ハ ー

ド も 学 ぶMS‐DOS入

ver5.0/3.3対

ハ ー ドか らソ フ トま で

門

応版

入門者 で も順に読み進む こ とで,マ シン語制御 につ いて基本的 な理解が でき,簡 単なマイ コン回路の設 計がで きる ようにな る。

白土 義 男 著 AB判  304頁  2色 刷 ハー ドデ ィス クやEMSボ ー ド等の周辺装置 を前提 と して,ハ ー ドウェアを接 続 し,ア プ リケー シ ョン ソ フ トを組み込 む実習 をとお して,具 体的にMS‐DOS を学ぶ。

例 解Z80

図解   マイ コ ン

白土 義 男 著 AB判  280頁  2色 刷

マ イ

コ

ン の ハ ー

ド と ソ フ

イ ン タ フ ェー ス の 基 礎 バ ス タ イ ミン グ ・A/D・D/A

ト

倉 石 源 三 郎 著 A5判  272頁 Z80を

ハ ー ドとソ フ トの 両 面 か ら取 り上 げ,豊

富な

五 島奉 文 ／ 田 中裕 太 郎 ／ 中村 尚 五 著 A5判  200頁

例題 や 演 習 問 題 に よ りや さ し く解 説 。 基 礎 数 学 か ら, デ ィジ タ ルIC,メ モ リIC,CPU,命 令 とプ ロ グ ラ ム,入 出 力 イ ン タ フ ェ ー ス,パ ソ コンOSま で。

インタ フェー スを理解す るための基礎知識やバ スタ イ ミング ・A/D・D/Aを 具体的回路図 ・波形写真で や さしく図解 した。

図解 マイコン は じ め て の パ ソ コ ン 計 測 ・制 御

図解16ビ ッ トマ イ コン 68000と フ ァ ミ リの 活 用

BASIC／

DMAC／ACRTC／HDC

ア セ ンブ ラ／ マ シ ン語

天 良和 男 ／ 矢 野越 夫 著 A5判  240頁 パ ソコンで 「 何か」を したい人,パ ソコンに 「 何 か」 をや らせ たい人の ために,お もしろい計測 ・制御の 例 を挙 げ解 説 した。

関根 慶 太 郎 監 修   日立マ イ コン 著 A5判  240頁 16ビ ッ トマイ コンシステムの世界を理解す るために, 68000の 最新周辺LSIを 中心 としたシステムの設計 と構成 について解説。

*定 価,図 書 目録の お問い合わせ ・ご要望 は出版局 までお願 い致 します. 

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