Кинематика: Методика решения задач и индивидуальные домашние задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра общей физики

Л.В. ШАШКОВА, В.К. ШАШКОВА, Е.В.ЦВЕТКОВА

КИНЕМАТИКА МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования - «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов дневного, вечернего и заочного факультетов.

Оренбург 2003

ББК 22.21я73 Ш - 32 УДК 531.1(075)

Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков.

Ш - 32

Шашкова Л.В., Шашкова В.К., Цветкова Е.В. Механика.Часть 1. Кинематика: Методические указания – Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2003. – 63 с.

Методические указания предназначены для студентов дневного, вечернего и заочного факультетов, для изучения раздела «Кинематика» и освоения методики решения задач по данному разделу, а также выполнения домашней контрольной работы по вариантам.

Ш_______________

ББК 22.21я73  Шашкова Л.В., Шашкова В.К., Цветкова Е.В., 2003  ГОУ ВПО ОГУ, 2003

2

1 Механика 1.1 Элементы векторной алгебры В курсе элементарной физики, как известно, приходится оперировать двумя категориями величин – скалярными и векторными. Существенным отличием вектора от скаляра является направленность вектора, чем и обусловлены особые правила действий над ними, носящие геометрический характер. А Поскольку действия над векторами по сущеСевер ству учащимся известны плохо, то представляется А необходимым рассмотреть простейшие операции над векторами перед изложением основного матеО риала. Необходимость этих предпосылок объясняО ется еще и тем, что векторная запись многих уравЮг нений физики более полно отображает соответстРисунок 1.1 вующие процессы и является более простой и компактной. Вектор определяется абсолютной величиной (модулем) и направлением и на чертежах изображается направленным отрезком, длина которого в определенном масштабе характеризует абсолютную величину вектора. Так, движение какого-либо тела на северо-восток со скоростью 30 м/с может быть изображено отрезком, направленным на северо-восток (и только туда!) и имеющим длину, определяемую масштабом; например, при масштабе в 1 см 10 м/с длина отрезка ОА должна быть 3 см, а при масштабе в 1 см 15 м/с – 2 см и т.д. (рисунок 1.1). Точка О называется началом вектора, точка А – его концом. Принято для отличия векторов от скаляров обозначать в тексте векторы жирными буквами или над буквами ставить черту или стрелку. Например: a, r r r v, E или а , v , E . Абсолютные значения векторов обозначают теми же буквами, но без всяr r r кого выделения их, например: a, v, E или a , v , E . Формально векторные равенства имеют тот же вид, что и скалярные, наr r r пример, а + b = c . Стрелки же над буквами означают, что мы имеем дело с векторами и, значит, операции над ними производятся по особым правилам, о которых речь будет идти в дальнейшем. В частности, такая запись означает, что если а = 2 и b = 3, то с не обязательно будет равно 5.

3

1.1.1 Умножение вектора на скаляр r

Умножение вектора а на какой – либо положительный скаляр дает векr тор того же направления, что и вектор а , но в n раз больший по величине (рисунок 1.2). r 3r b= a 2

r а

r r l = n⋅a

r 1r а= а 2

Рисунок 1.2

r

Умножение вектора a на отрицательный скаляр m дает вектор противоr положного вектору a направления и в m раз больший по величине (рисунок 1.3). r a r r h = m⋅a

r 1r c =− a 2

Рисунок 1.1.2 Сложение векторов

Сложить несколько векторов – это значит заменить несколько на самом деле имеющихся векторов таким одним, → → d → → b который был бы эквивалентен всем заc a мененным. Результирующий вектор на→ d ходят как замыкающую той ломаной ли→ a → нии, звеньями которой являются составb → → c b ляющие векторы. Например, надо сло→ → c a → → жить изображенные на рисунке 1.4 век→ f d r f r r r торы a , b , c и d . Для этого пристраивают в люРисунок 1.4 бом порядке к концу одного (предыдущего) вектора начало другого (последующего). 4

r

Результирующий вектор f направлен от начала первого слагаемого к концу последнего. При этом имеет место коммутативность, т.е. то, что от перестановки составляющих сумма не меняется. Из рисунка 1.4 видно, наприr r r r r r r мер, что a + b + c + d = b + a + d + c . В частном случае сложения двух векторов при построении получается треугольник, две стороны которого – составляющие, а третья – результирующий вектор. 1.1.3. Вычитание векторов

Как и в случае скаляров, вычитание b векторов есть действие, обратное → a → сложению. Рассмотрим вычитание → b a на примере двух векторов. → c r → Пусть надо из вектора с выc r → → честь вектор а и тем найти их разa a r r r → → → −a → b ность b = c − a . Чтобы найти разноf d → r r → сти двух векторов с и а , надо к b b r r вектору с прибавить вектор (- а ), r r r Рисунок 1.6 Рисунок 1.5 т.е. вектором b = c − a будет вектор, r r направленный от начала вектора с к rконцу вектора (- а )r (рисунок 1.5). На риr r r r r r сунке 1.6 показаны два вектора а и b , их сумма c = a + b , разности d = b − a и r r r f = a −b . Из рисунка 1.7 видно, что в параллелограмме, построенном на векторах r r r v a и b как на сторонах, одна диагональ ( c ) имеет смысл суммы, а другая ( d ) r r – разности векторов b и a . В процессе изменения вектора могут меняться обе характеристики вектора: и его величина (модуль) и направление. На риr r r сунке 1.8 показан некоторый вектор, изменившийся от v0 до v , а также ∆v → a

→ a → → d c

→

→ v0

→ b

Рисунок 1.7

→ v

→ v0 → v′0 → →

|v′0|=|v0|

vn ∆→

v ∆→

→ ∆vτ

→ v

Рисунок 1.8

r

полное изменение вектора с учетом изменения его по величине ( ∆vτ ) и по наr правлению ( ∆vn ). Легко видеть, что: 5

r r r ∆v = ∆vτ + ∆v n .

1.1.4 Разложение вектора на составляющие

Часто бывает необходимо заменить один вектор такими несколькими, которые в сумме своей были бы эквивалентны этому замененному. Такая операция называется разложением вектора на составляющие векторы. Рассмотрим три случая, когда составляющих векторов должно получиться два: 1) известны кроме раскладываемого вектора направления составляющих. Подлежат нахождению величины составляющих векторов. Очевидно, геометрически задача сводится к построению треугольника по одной из сторон и прилежащим к ней двум углам и нахождению сторон получившегося треугольника (или параллелограмма); 2) известен кроме раскладываемого вектора один из составляющих векторов. Надо найти второй составляющий вектор. Геометрически задача сводится к построению треугольника по двум сторонам и углу между ними (или к построению параллелограмма по диагонали, одной из сторон и углу между ними), определению третьей стороны треугольника и угла, составляемого этой стороной с одной из заданных сторон (или соответствующих элементов параллелограмма); 3) известны кроме раскладываемого вектора величины составляющих векторов. Надо найти их направления. Геометрически задача сводится к построению треугольника по трем сторонам (или параллелограмма по диагонали и сторонам) с последующим определением углов треугольника (или параллелограмма). → На рисунке 1.9 пояснены эти b три случая. Первому случаю α → → → соответствует построение паa c a → β β c раллелограмма или треугольα ника по известным с, α и β с → b последующим определением а Рисунок 1.9 и b. Второму случаю – построение по заданным с, α и β (или с, b и а) с последующим определением b и α (или а и β). Третьему случаю – построение по известным с, а, b с последующим определением α и β.

6

1.1.5 Решение векторных треугольников

Решение векторных многоугольников, т.е. таких, сторонами которых являются векторы, производится по тем же правилам, что и решение обычных многоугольников. В том случае, когда получившаяся фигура является косоугольным треугольником, ее решение сводится к применению теоремы косинусов и теоремы синусов (и редко теоремы тангенсов). Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Так, для случая, изображенного на рисунке 1.10 имеем:

α

→ c

→ b

γ β

→ a

Рисунок 1.10

с 2 = а 2 + b 2 − 2ab cos γ a 2 = c 2 + b 2 − 2cb cos α b 2 = а 2 + c 2 − 2 ac cos β

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих этим сторонам углов. Для случая, изображенного на рисунке 1.10 имеем: a sin α ; = b sin β

a sin α ; = c sin γ

b sin β = с sin γ

В том случае, когда треугольник получается прямоугольным, решение упрощается. Рассматривать этот случай мы не будем.

1.1.6 Проекции вектора на оси координат и сопоставление векторному равенству скалярных равенств

Ведем понятие о проекциях вектора на оси координат. r Пусть на плоскости задан вектор с . Введем в этой же плоскости две взаимноперпендикулярные оси координат х и у, положительные направления r которых указаны стрелками. Тогда вектор с определится своей величиной с и углом, который он составляет с какой-либо осью, например, осью х (рисунок 1.11). r r r Разложим вектор с на векторы а и b , направленные вдоль осей х и у, и y

cy

y

→ a

→ c

cy

α

→ a → b

α

→ c

→ b

0

cx

Рисунок 1.11

x

0

cx

Рисунок 1.12

x

7

спроектируем их на оси координат. Тогда проекции этих векторов будут одr новременно и проекциями вектора с на оси координат. Проекция вектора считается положительной, если соответствующая составляющая вектора направлена в сторону положительного направления оси, и наоборот. Например, на рисунке 1.12 сх и су положительны, так как соответствующие им составr r r ляющие вектора с ( а или b ) направлены в стороны положительных значений х и у. На рисунке 1.13 проекция сх положительна (так как соответствующая ей r составляющая вектора с направлена вдоль положительных значений оси х), а проекция су отрицательна (так как соответствующая ей составляющая вектоr ра с направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси у). y

→ b

by cy ay

β

→ c

→ a α

0

γ bx

ax

x

Очевидно, что задание вектора его величиной и углом, который он составляет с какой-либо осью, совершенно эквивалентно заданию проекций этого вектора на оси. Действительно, зная с и α, можно найти сх = с⋅cosα и су = с⋅sinα. Верно и обратное: зная проекции вектора, можно найти его величину и направление, а именно: tgα =

и

с = с х2 + с у2

cx

Рисунок 1.13 r

r

cy cx

.

r

Пусть теперь нам задано векторное равенство а + b = c . Изобразим три этих вектора в соответствии со сказанным выше. Проектируя все векторы на оси координат (рисунок 1.13), получим очевидные равенства: сх = ах+bх или сх = а cosα + b cosβ; су = ау+bу или суr= а sinα + b sinβ; r т.е. по проекциям векторов а и b легко находятся проекции суммарного векr тора c . Но проекции вектора вполне определяют сам вектор, именно: c = c х2 + с у2

и

tgγ =

cy cx

Таким образом, всякому векторному равенству вида: r r r r r r r а + b − c + ... + k = i + f − ...h

(1)

можно сопоставить на плоскости два скалярных равенства проекций векторов:

8

а х + bx − c x + ... + k x = i x + f x − ... + hx

(2)

а y + by − c y + ... + k y = i y + f y − ... + hy

(3)

При этом полученная система совершенно эквивалентна исходному векторному равенству в том смысле, что позволяет определить проекции интересующего нас вектора по проекциям остальных векторов. В случае, если векторы лежат не в одной плоскости, то к двум равенствам проекций на оси х и у добавляют третье равенство проекций векторов на ось z, ибо в трехмерном случае вектор определяется тремя проекциями на оси. Надо запомнить, что знаки, стоящие в равенствах (2) и (3), никакого отношения к знакам проекций векторов не имеют и означают лишь те действия, которые производят с векторами и их проекциями. Эти знаки просто переносятся из векторного равенства (1) в (2) и (3); о знаках же проекций следует судить по сказанному в пояснении к рисункам 1.11 и 1.12. Решение векторных равенств, как видно, может быть сделано как с помощью теорем синусов и косинусов, так и с помощью сопоставления векторному равенству скалярных. Первый способ удобен в том случае, если в векторном треугольнике задан один из углов. В случае же, если все углы задаются по отношению к одному и тому же направлению, удобен второй способ. 1.2 Кинематика

Кинематика изучает различные механические движения тел без рассмотрения причин вызывающих эти движения. Алгоритм решения задач по кинематике: 1) прочитать условие задачи и выяснить характер движения; 2) записать условие задачи, выразив все величины в единицах СИ; 3) сделать чертеж (при необходимости). На чертеже указать систему и начало координат, вектор скорости и ускорения; 4) используя основные формулы кинематики, подобрать формулы, необходимые для решения данной задачи. Уравнения записать в проекциях на оси координат; 5) найти искомую величину в общем виде и проверить размерность; 6) вычислить искомую величину и проанализировать ответ. 1.2.1 Равномерное прямолинейное движение. Относительность движения. Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

9

мещения. Перемещением материальной точки за некоторый промежуток времени называется вектор перемещения ∆r =r B - r A

у S A

∆r

 rA

B  rB

Рисунок 1.14 Пройденный путь S представляет собой скалярную величину, равную расстоянию, пройденному материальной точкой по ее траектории. Пройденный путь и длина вектора перемещения совпадают, S =|∆r |, только при движении тела по прямой в одном направлении. Во всех других случаях модуль перемещения меньше длины пути (рисунок 1.14). Пример. Точка последовательно перемещается из положения О в положение А, затем в В, С и т.д. (рисунок 1.15). Путь, пройденный точкой, будет равен сумме длин участков траектории S=ОА+АВ+ВС+СД+ДЕ. Вектор перемещения ∆r =ОЕ соединяет начальЕ ное положение О с конечным ее положе-

нием Е. Модуль вектора перемещения В

Д

А

∆r =ОЕ неравен пути S, пройденному

точкой. С О Рисунок 1.15

Пример. Велосипедист движется по траектории в форме окружности радиуса R. За какой-то промежуток времени он проехал половину длины окружности. Модуль вектора перемещения велосипедиста при этом равен диаметру окружности (2R), а пути – половине длины окружности (πR). Скорость материальной точки представляет собой вектор, характеризующий направление и быстроту перемещения материальной точки относительно тела отсчета. Аналогично, вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета. Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материально точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. 10

Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот r ∆r v= промежуток времени: ∆t . Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координат ОХ, причем за положительное направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроецировав векторы r и v , на эту ось, для проекций ∆rx=|∆r | и ∆vx=|∆v | этих векторов мы можем записать: ∆r vx = x ∆t отсюда получаем уравнение равномерного движения: ∆rx=vx ⋅ t Т.к. при равномерном прямолинейном движении S=|∆r|, можем записать: Sx=vx ⋅ t Тогда для координаты тела в любой момент времени имеем: Х=Х0+Sx=X0+vxt, где Х0 – координата тела в начальный момент t=0. На рисунке 1.16 представлены графики зависимости скорости, и пути равномерного прямолинейного движения от времени. v

v=const

S=v ⋅ t

S S=v3⋅t

v3 v2

S=v2⋅t

v1

S=v3⋅t

0

t а)

t б)

Рисунок 1.16 Чем больше скорость, тем больше наклон графика зависимости пути, пройденного телом, от времени. При Х0=0 графики координаты и пути прямолинейного равномерного движений совпадают (см. рисунок 1.15 б). Пример. Уравнение движения тела дано в виде х=4-3t. Определить начальную координату тела, скорость движения и перемещения тела за 2 секунды. Найти: Дано: Х=4-3t х0 - ? vx - ? t1=2c S-? 11

Решение : Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде: х=х0+vxt x=4-3t Очевидно, что х0=4м, vx=-3м/с (знак «-» означает, что направление скорости не совпадает с направлением оси Ох, т.е. они противоположно направлены). Перемещение тела найдем по формуле: S=x-x0. конечную координату х можно определить, подставляя в уравнение движения время t1: x=4-3t1. В общем виде формула перемещения: S= 4-3t1-x0=4-3t1-4= -3t1 S= -3 ⋅ 2= -6м. (Тело движется в отрицательном направлении оси Ох). Ответ: Х0=4м; vx=-3м/с; S= -6м. Как следует из определения механического движения, оно представляет собой изменение положения тела относительно других тел. Следовательно, понятие относительности движения входит уже в само понятие механического движения. Сущность относительности движения заключается в том, что описать какое – либо движение можно только сделав выбор тела, относительно которого данное движение будет рассматриваться, т.е. выбрав тело отсчета. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов образует систему отсчета. Движение одного и того же тела описывается по-разному относительно различных систем отсчета, причем эти системы могут двигаться друг относительно друга. Пусть некая материальная точка движется в произвольном направлении равномерно и прямолинейно со скоростью v′ относительно подвижной системы отсчета Х′ О′ Z′, которая в свою очередь движется равномерно и прямолинейно со скоростью U относительно неподвижной системы отсчета OXZ. Z′ Допустим, что в начальный Z

момент времени (t=0) начала этих систем координат (точки О и О′)

r

r '

и их одноименные оси совпадают, O′

а через промежуток времени t

r0

занимают положение, показанное на рисунке 1.17 (оси Оу и Оу′ направлены перпендикулярно плоскости чертежа за чертеж). 12

O

X Рисунок 1.17

X′

Пусть за указанный промежуток времени материальная точка перемещается из точки О′ в точку А, т.е. ее перемещение относительно подвижной системы отсчета X′O′Z′ равно r′. За это время подвижная система отсчета перемещается из точки О на расстояние ut, т.е. перемещение равно r0. Поэтому относительно неподвижной системы отсчета рассматриваемая материальная точка движется по прямой | ОА| и ее перемещение: r = r′ + r0. Почленно разделив это соотношение на промежуток времени t, в течение которого происходит описываемое движение, получим: r r ′ r0 = + , t t t r где =v – скорость материальной точки относительно t неподвижной системы отсчета, r′ =v′ - скорость материальной точки относительно t подвижной системы отсчета, r0′ =u - скорость подвижной системы отсчета t относительно неподвижной. v = v′ +u Последняя формула выражает классический закон сложения скоростей: скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы. Пример. Скорость вертикального подъема груза краном v1=0,2 м/с, скорость тележки крана v2=0,1м/с. определить скорость движения груза относительно Земли. Дано: y v1

v1=0,2 м/с

v

v2=0,1 м/с Найти:

v–?

v2 x Рисунок 1.18

Решение: Свяжем неподвижную систему отсчета с Землей, а подвижную с тележкой 13

крана. Сделаем чертеж (рисунок 1.18). По правилу сложения скоростей : v = v1+v2 По условию задачи скорость v1 направлена вверх, а скорость v2 горизонтально. Векторы скоростей складываются по правилу параллелограмма. Модуль скорости груза относительно Земли найдем по теореме Пифагора: v = v12 + v22 , где v1 – собственная скорость движения (подъема груза), v2 – скорость тележки крана (подвижной системы отсчета).

v = 0.2 2 + 0.12 ≈ 0,22м/с . Ответ: v ≈0,22 м/с. Пример. Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за время t=10 мин по траектории АВ. Скорость течения реки vр=0,3 м/с, ширина реки 240 м. С какой скоростью v относительно воды и под каким углом α к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь другого берега за указанное время? Дано: B vр=0,3 м/с. l=240 м.

l

t=10мин=660 с. v′

Найти:

v α

v′ - ? α-?

A

vр

Рисунок 1.19 Решение: Примем берег за неподвижную систему отсчета. Тогда относительно беl рега скорость лодки равна: v = . t

Эта скорость (рисунок 1.19), является суммой двух скоростей: скорости лодки относительно воды v′ (скорости относительно подвижной системы отсчета) и скорости реки vр (скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной). По закону сложения скоростей: v=vр+v′. Так как по условию задачи скорость лодки относительно берега направлена вдоль АВ, а скорость реки перпендикулярно АВ, то скорость лодки относительно воды: v′ = 14

v 2 + v 2р (по теореме Пифагора)

2

v′ =

2

l   240  2 2   + vр =   + 0,3 = 0,5 м / с t 600    

Искомый угол можно найти из выражения:

tgα =

v l = vр t ⋅ vр

240 0,4 4 = = 600 ⋅ 0,3 0,3 3 4 α = arctg ≈ 53o 3

tgα =

Ответ: v′=0.5 м/с, α ≈ 53o 1.2.2 Неравномерное движение

Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения называют неравномерным или переменным. Средней скоростью vср называется величина, равная отношению перемещения тела ∆r за некоторый промежуток времени ∆t к этому промежут∆r ку: vср = ∆t Модуль средней скорости определяется как отношение пути ∆S, пройденного телом за некоторый промежуток времени, к этому промежутку: ∆S Vср= ∆t Пример. Поезд прошел первую половину пути со скоростью v1=72 км/ч, вторую половину пути – со скоростью 36 км/ч. Определить среднюю скорость поезда на всем пути.

Дано: v1=72 км/ч=20 м/с. v2=36 км/ч=10 м/с. S1=S2=S/2. Найти: vср - ? Решение: Средняя скорость прохождения пути: S vср= , где S=S1+S2 и S1= S2= S/2 t 15

Время движения складывается из двух разных промежутков времени: t1 – времени, в течении которого поезд движется со скоростью v1 и равного S S t1= 1 = v1 2v1 и t2 – времени, в течение которого поезд движется со скоростью v2 и равного: S S t2= 2 = v2 2v2 S S + . Представим это выражение в определении скороТогда, t=t1+t2= 2v1 2v2 сти, предварительно упростив. Получим: 1 2v ⋅ v 2 ⋅ 20 ⋅ 10 400 S vср= = 1 2 = = = 13,3 м/с = 1 1 v2 + v1 v2 + v1 2 0 + 10 30 + ) S( 2v1 2v2 2v1 ⋅ v2 Ответ: vср=13,3 м/с. Пример. Поезд прошел первую половину времени движения со скоростью 36 км/ч, вторую половину времени со скоростью 54 км/ч. Определить среднюю скорость движения поезда. Дано: v1=36 км/ч=10 м/с. v2=54 км/ч=15 м/с. t1= t2=t/2. Найти: vср - ? S Решение: Средняя скорость движения поезда vср= . t Длина пути складывается из двух различных участков пути: на первом vt поезд движется со скоростью v1 и длина участка пути S1=v1t1= 1 1 , на втором 2 v t поезд движется со скоростью v2 и длина этого участка пути S2=v2t2= 2 2 . 2 v1t v2 t v1 v2 t Тогда весь путь равен: S=S1+S2= + = t ( + ) = ( v1 + v2 ) 2 2 2 2 2 t ( v1 + v2 ) v1 + v2 Найдем среднюю скорость движения vср= = 2t 2 В этом случае среднюю скорость движения можно находить как среднее арифметическое скоростей на различных участках пути (если время движения одинаково). 10 + 15 vср= = 12,5 м/с 2 Ответ: vср=12,5 м/с. 16

Направление вектора средней скорости vср совпадает с направлением ∆r, (рисунок 1.20). При неограниченном уменьше- A нии ∆t vср стремится к предельному значению, которое называется r0 мгновенной скоростью.

v ∆S ∆r

 vср В

Рисунок 1.20

Итак, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость vср, когда промежуток времени движения стремится к нулю. ∆r v= lim ∆t →0 ∆t Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. dr Поэтому: v= dt Мгновенная скорость v есть векторная величина, равная первой производной радиуса – вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рисунок 1.19). По мере уменьшение ∆t путь ∆S все больше будет приближаться к |∆r |, поэтому модуль мгновенной скорости: | ∆r | ∆r ∆S dS |= lim = lim v=|v |= | lim = ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t dt Таким образом, модуль мгновенной скорости v равен первой произdS водной пути по времени v= dt При неравномерном движении тела его скорость непрерывно изменяется. Как быстро изменяется скорость тела, показывает величина, которая называется ускорением. Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+∆t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости ∆v ∆v к интервалу времени ∆t: аср= ∆t Мгновенным ускорением а в момент времени t будет предел средне∆v d v го ускорения:а= lim а ср = lim = ∆t→ 0 ∆t → 0 ∆t dt 17

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. В данной системе отсчета вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие координатные оси (проекциями ах, ау, аz). Составляющая аτ вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке, называется тангенциальным (касательным) ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор аτ направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости (рисунок 1.21, а) и в противоположную сторону – при убывании скорости (рисунок 1.21, б). ar

an

v

ar v

a

a

∆v >0

an ∆v >0

a)

б) Рисунок 1.21

Тангенциальная составляющая ускорения аτ равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту из-

менения скорости по модулю: aτ= lim ∆t → 0

∆vτ ∆v dv = = lim ∆t → 0 ∆t ∆t dt

∆v n v 2 Вторая составляющая ускорения, равная: аn= lim = ∆t→0 ∆t r называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют так же центростремительным ускорением). Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих

а=

dv = aτ + a n ; a = aτ2 + a n2 dt

Пример. Пусть х возрастает пропорционально квадрату времени, т.е. х=Аt2. Чему равна мгновенная скорость в момент времени t1- ? Дано: х=Аt2 Найти: v-? Решение: В общем случае производная от степенной функции tn записывается в виде: 18

d n (t ) = nt n −1 dt Мгновенная скорость определяется: d (t 2 ) dх d 2 = 2аt v= = (аt ) = а dt dt dt

Ответ: В момент времени t1 имеем v=2аt1 Пример. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задается уравнением S=At-Bt2+Ct3, где А=2 м/с, В=3 м/с2, С=4 м/с3. Найти: а) зависимость скорости v и ускорения a тела от времени t; б) расстояние S, скорость v и ускорение а тела через время t=2 с после начала движения. Дано: S=At-Bt2+Ct3 А=2 м/с, В=3 м/с2, С=4 м/с3. Найти: а) v(t)-?, a(t)-? б) S-? V-? a-? при t=2 c. Решение: а) Скорость тела: v=ds/dt v=A-2Bt+3Ct2; v=2-6t+12t2 м/с Ускорение тела а=dv/dt а=-2B+6Сt a=-6+24t м/с2 б) Расстояние, пройденное телом, S=2t-3t2+4t3. Тогда через время t=2 c имеем: S=24 м; v=38 м/с; а=42 м/с2. 1.2.3 Равнопеременное прямолинейное движение Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным. Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости v точки, движение называется равноускоренным. Если направление векторов а и v противоположны, движение называется равнозамедленным. При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению (а=const). При этом среднее ускорение аср равно мгновенному ускорению а вдоль траектории точки. Нормальное ускорение при этом отсутствует (аn=0). Изменение скорости ∆v=v-v0 в течении промежутка времени 19

∆t=t-t0 при равнопеременном прямолинейном движении равно: ∆v=a ∆t, или v-v0=a(t-t0). Если в момент начала отсчета времени (t0) скорость точки равна v0 (начальная скорость) и ускорение а известно, то скорость v в произвольный момент времени t: v=v0+at Проекция вектора скорости на ось ОХ связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением: vх=v0х ± aхt Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси. Вектор перемещения ∆r точки за промежуток времени ∆t=t-t0 при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а равен: ∆r = v0∆t +

a (∆t ) 2 , а его проекция на ось ОХ (или пе2

ремещение точки вдоль соответствующей оси координат) при t0=0 равна: a t2 ∆rx=v0xt ± х 2 Путь Sx, пройденный точкой за промежуток времени ∆t=t-t0 в равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а, при t0=0 равен: aхt 2 Sx=v0xt± 2 При v0=0 путь равен: a t2 Sx= х 2 Так как координата тела равна X=X0+S, то уравнение движения тела имеет вид: aхt 2 X= ± x0 ± v0xt ± 2 Возможно так же при решении задач использовать формулу: v 2 − v02x S= x 2a x Пример. Ускорение автомобиля равно а=-4 м/с2. Что это означает? Решение: Ускорение автомобиля отрицательно, следовательно, скорость его уменьшается, т.е. автомобиль тормозит. Его скорость уменьшается на 4 м/с за каждую секунду. Пример. Судя по спидометру, за 1 минуту скорость автобуса изменилась с 18 до 72 км/ч. С каким средним ускорением двигался автобус? Дано: а t=1 мин=60 с. v0 v v0=18 км/ч=5 м/с. 20

v=72 км/ч=20 м/с. Найти:

а -?

0 1

2

x ∆v

v

-v0 Рисунок 1.22 Решение: Движение автобуса носит равноускоренный характер, ах>0. Направим ось ОХ по направлению автобуса и изобразим векторы конечной и начальной скорости, вектор ускорения (рисунок 1.22). По определению ускорения: ∆ v v - v0 а= = ∆t t Так как векторы скорости совпадают с направлениями оси ОХ, следовательно, их проекции положительны: v − vx0 >0 ах= x t Вычислим значение ускорения: 20 − 5 м/с м а= = 0,25 м / с 2 [ = 2] 60 с с Ответ: а=0,25 м/с. Пример. Самолет летел со скоростью 216 км/ч и стал двигаться с ускорением 9 м/с2 в течении 20 секунд. Какое расстояние пролетел самолет за это время и какой скорости он достиг? Дано: v0=216 км/ч=60 м/с а=9 м/с2 t=20 c Найти: S-?v-? Решение: Движение самолета равноускоренное, ах>0 1 способ Перемещение самолета можно определить по формуле: a t2 S=v0t+ (движение прямолинейное, направление скорости, ускоре2 ния и оси ОХ совпадают, поэтому индекс “х” можно не писать). 21

9 ⋅ 20 2 S=60⋅20+ = 3000 м = 3км 2 Конечную скорость самолета можно определить по формуле: v=v0+at v=60+9⋅20=240 м/с Ответ: S=3000 м=3 км; v=240 м/с. 2 способ Можно сначала определить конечную скорость самолета: v=v0+at, а затем определить перемещение самолета по формуле: v 2 − v0 2 S= 2a 2 2 240 − 60 ( 240 + 60 ) ⋅ ( 240 − 60) 180 S= = = 300 = 300 м 2⋅9 18 18 (при вычислении воспользовались формулой сокращенного умножения). Пример. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно, с ускорением 20 см/с2, другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. Через какое время велосипедисты встретятся и какое перемещение совершит каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м ? Дано: v01=18 км/ч=5 м/с a1=20 см/с2=0,2м/с a1 a2 v02=5,4 км/ч=1,5 м/с a2=0,2м/с v01 v02 x02=130 м Найти: S1 - ? S2 - ? t1- ? О A B x Рисунок 1.23 Решение: Пусть ось ОХ совпадает с направлением движения первого велосипедиста, а начало координат с точкой О, в которой он находился в момент времени t=0 (рисунок 1.23). Тогда уравнения движения велосипедиста таковы: a1t 2 х1=v01t (т.к. а1х=-а1; х01=0) 2 a2t 2 х2=х02 - v02t (т.к. v2x=-v02 и a2x=-a2) 2 В момент встречи в точке А: t=t1; x1=x2 Тогда получим равенство: 22

a1t12 a2t12 = х02 - v02t , откуда v01t1 2 2 x02 130 v01t1 + v02t1=х02, т.к. а1=а2 t1= ; t1= = 20c v01 + v02 5 + 1,5 Определим перемещение каждого до встречи. a1t12 0,2 ⋅ 202 = 5⋅20 = 60 м S1=x1 - x01= v01t 2 2 0,2 ⋅ 202 a t2 S2=| x2 - x02| = v02t1 + 2 1 =1,5⋅20 + = 70 м 2 2 Ответ: S1=60 м; S2=70 м; t1=20 c. Пример. Условие движения тела дано в виде х = 15t + 0,4t2. Определить начальную скорость движения тела, а также координату и скорость тела через 5 с. Дано: Х(t) = 15t + 0,4t2 T = 5c. Найти: а -? v0 - ? x - ? v - ? Решение: Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде: at 2 x = x0 + v0t + 2 2 x = 15t + 0,4t Очевидно, что х0 = 0, а коэффициенты при t и t2 равны v0 = 15м/с и а/2 = 0,4 м/с2, откуда а = 0,8 м/с2. Координату тела через 5с. найдем из уравнения, подставляя вместо t время: х = 15⋅ 5 + 0,4 ⋅ 52 = 85 м. Скорость тела определим по формуле: v = v0 + at = 15 +0,8 ⋅ 5 = 19 м/с Ответ: а = 0,8 м/с2; v0 = 15 м/с; х = 85м; v = 19 м/с. 1.2.4 Свободное падение тел

Движение тела, брошенного вертикально вверх. Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха. При свободном падении тела с небольшой высоты h от поверхности Земли (h «Rз, где Rз – радиус Земли) оно движется с постоянным ускорением g, направленным вертикально вниз. Ускорение g называется ускорением свободного падения. Оно одно и 23

тоже для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем моря и от географической широты. Если в момент начала отсчета времени (t0=0) тело имело скорость v0, то по истечении произвольного промежутка времени ∆t=t-t0 скорость тела при свободном падении будет: v = v0 + gt При начальной скорости падения, равной нулю (v0=0), скорость тела в произвольный момент времени t: v = g t Путь h, пройденный телом в свободном падении, к моменту gt 2 времени t: h = v0t + . Если начальная скорость тела равна нулю (v0=0), то 2 h=

gt 2 . 2

Модуль скорости тела после прохождения в свободном падении пути v x2 − v02x h находится из формулы S= 2a x

Т.к. vk2 − v02 = 2 gh , то v = v02 + 2 gh

или при v0=0 v = 2 gh Если координатная ось ОУ направлена вертикально сверху вниз, то модуль скорости тела в произвольной точке траектории с координатой у: v = v02 + 2 g ( у − у0 ) Продолжительность ∆t свободного падения без начальной скорости (v0=0) с высоты h: ∆t =

2h g

Пример. Тело падает вертикально вниз с высоты 20 м без начальной скорости. Определить: 1) путь h, пройденный телом за последнюю секунду па-

дения, 2) среднюю скорость падения vср, 3) среднюю скорость на второй половине пути vср2.

О

Считать g=10м/с2 Дано:

h0=20м

g↓

h1

h0

∆t = 1c Найти:

h-? vср-? vср2 -?

у Рисунок 1.24

24

Решение: Направим ось у вертикально вниз, и пусть начало координат совпадает с начальным положением тела (рисунок 1.24).

Согласно формуле: h=

gt 2 , уравнение движения запишется в виде: 2

gt 2 у= 2 в момент падения на землю у=h0. Отсюда время движения тела: 2h0 t= g g (t − ∆t )2 За время (t- ∆t ) тело прошло путь h1 = 2 Путь за последнюю секунду равен:

 g  2h0 h0 − h1 = h0 −  − ∆t  2 g 

(

2

)2

10 2 ⋅ 20 / 10 − 1 h = 20 − = 15 м 2 Тело прошло путь h0. Время движения t =

2h0 . Тогда средняя скоg

gh0 10 ⋅ 20 , vср= = 10 м / с 2 2 Для определения средней скорости на второй половине пути необходимо узнать время, за которое эта часть пути пройдена. Время движения на второй половине пути равно полному времени полета t минус время t1, затраченное на прохождение первой половины пути. Время t1 находится из уравнения h0 gt12 h = , т.е. t1= 0 g 2 2

рость падения vср=h0/t; или vср=

Таким образом, t2=t-t1=

2h0 h h − 0 = 0 g g g

(

)

(

)

2 −1

h0 gh0 10 ⋅ 20 = 2 −1 = 2 2t 2 2 Ответ: h=15м; vср=10м/с; vср2=17м/с. Следовательно, vср2=

(

)

2 − 1 ≈ 17 м / с

При движении тела вертикально вверх с начальной скоростью v0, ускорение тела равно ускорению свободного падения g. На участке до наивысшей точки подъема движение тела является равнозамедленным, а после достижения этой точки – свободным падением без начальной скорости. Скорость тела в произвольный момент времени t от начала движения 25

независимо от того, рассматривается лишь подъем тела или его опускание после достижения наивысшей точки, равна v = v0 + gt Пример. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20м/с. Определить скорости тела v1и v2 в момент времени t1=1,5c и t2=3,2c от начала движения. Считать, что координатная ось Оу направлена снизу вверх (рисунок 1.25) y Дано:

v0=20м/с t1= 1,5 м/с t2=3,2 м/с Найти:

 v0

v1-? v2-? 0 Рисунок 1.25 Решение: Выражения для проекций v1y и v2y искомых скоростей: v1 y = v0 − gt1 , v2 y = v0 − gt 2 откуда v1y=(20-9,8⋅1,5) ≈ 5м/с, v2y=(20-9,8⋅3,2)≈-11м/с. Знаки проекций v1y и v2y говорят о том, что вектор скорости v1 будет направлен вертикально вверх (тело еще не достигло наивысшей точки подъема), а вектор v2 – вертикально вниз (в момент времени t2 тело движется вниз). Вектор перемещения ∆r тела за произвольный промежуток времени ∆t = t − t0 при условии t0=0 равен

gt 2 ∆r = v0t + 2 В момент времени tпод, соответствующий наибольшему подъему тела над точкой бросания (когда у=умах или высота подъема тела максимальна h=hмах=умах-у0) скорость тела станет равна нулю: v=v0-gtпод=0 откуда tпод=v0/g в этот момент направление движения тела изменяется на противоположное. Максимальная высота подъема тела над точкой бросания v2 hмах=умах-у0= 0 2g Пример. Тело бросают вертикально вверх с высоты h0=1,5м над поверхностью Земли у края ямы глубиной h=3,5 м. Начальная скорость тела равна 2,3 м/с. Определить, в какой момент времени tk от начала движения (t0=0) тело достигнет дна ямы, и найти путь S, пройденный телом за это вре26

мя. Дано: h0=1,5 м h=3,5 м v0=2,3 м/с Найти: tk - ? S- ?

y v0

hmax h0

0 g

h Рисунок 1.26 Решение: Совместим начало отсчета координат с точкой бросания тела, а координатную ось Оу направим вертикально вверх (рисунок 1.26). Зависимость координаты у от времени при этом будет иметь вид gt 2 у=у0 + v0t 2 где у0 – начальная координата. Полагая в этом уравнении t=tk, y0=0, y= - (h0 + h), имеем gtk2 - (h0 + h) = v0tk , 2

откуда

gtk2 -

2 v0tk - 2(h0 + h)=0 и t k1,2

v 0 ± v02 + 2 g ( h0 + h ) = g

v0 − v02 + 2 g ( h0 + h ) Корень tk 2 = g При заданных условиях не имеет смысла, т.к. оказывается, что tk2