üõÀÖõ ý± ýó
üب¨î §¥
ù¡üÔ¹÷ ýÀúõ
1382 öµÆõ¥
:Â
:bÞÂ
±þ¢ ø ü õÀ Ö õ ýÂ ± ý ó ...
9 downloads
185 Views
5MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
üõÀÖõ ý± ýó
üب¨î §¥
ù¡üÔ¹÷ ýÀúõ
1382 öµÆõ¥
:Â
:bÞÂ
±þ¢ ø ü õÀ Ö õ ý ± ý ó Å þ ¤À ýÂ î ´ ¨ ü µ õ b ú Â ß þ ¥ éÀ û üª ¥ ö ÝÑ ¤¢ ø ´¨ ¤Êõ ¤Æ µî .Àª ÀÔõ Óܵ¿õ ýûÖܨ À .´¨ ¨Àû ý Âû ¥ Û±ì ýó î  ;´¨ ùÀª ù¢Ôµ¨ ¨Àû ÀþÀ ÝûÔõ üêÂãõ ¤¢ ú ,ñÞãõ ø ¤ ü ©ø ¤ ¥ ø ùÀª ý¤ø¢ Àþ ¹ ¥ öØõ f Þä ø ,ÝþµêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ýµÞî ýû¥È öØõ À .´¨ ùÀª ù¢Ôµ¨ ºû
Â ê ¤ û ä Þ ¹ õ b þ Â Ñ ÷ þ ø ü õ Þ ä ý ó « Ê ¡ ¤¢ ü Ü ± ì á
Ï ÷ ð ü¨ª¤î öþ¹È÷¢ Ýû ø ü¨ª¤î öþ¹È÷¢ ý Ýû µî ßþ ¥ .ÝþµêÂÚ÷ .¢Þ÷ ù¢Ôµ¨ öüõ ß ýúó¨ Àª¤ ø üþª ´ú Óܵ¿õ ý¤ª¢ b ¤¢ ßþ ÂÞ ý¢þ¥ ¢Àã µî ñ
¡ ¤¢ ¢Àã öØõ À ´¨ ¹ µ±ó î ;´¨ ùÀõ ùÀ÷¡ ä
Ï ö¢Þ÷ ¤  ÷ î Ýî Âê ´¨ ùÀª ü㨠öØõ À ,õ .Àî Û ¤ úþ ÂÞ ßþ ¥ ýÂµÈ ¥ ýób Æõ ¾¨ î ü¤¬ ¤¢ ø ,´¨ ù¢ÂØ÷ Û ¤ ú÷ ¥ ×þ ºû ùÀ÷¡ .´¨ ùÀª ùÀ÷¹ð µî ¤¢ ö Û ,Àª ýó bõ¥ ¤¢ ¢õ öøÂê ¶±õ öõ ¥ µî ßþ ¶±õ ¿µ÷ í
õ ß þ  ° ó â ìø ¤¢ ;´ ¨ ù¢ ú ÷ ö¢ Å þ ¤À Û ì ,ý ± ý ó ø ¢ ú È Â ¡ Û Ê ê ¤¢ .Ý þù¢ Þ ÷ â Þ Â ß þ ¤¢ ¤ á ® õ ø¢ ß þ ý ú µ Þ Æ ì .´¨ ùÀª ù¢¤ø ÂµÈ ãóÎõ ý ýÀÔõ ö ¤ú ¨ ø ´¨ üõÞä ýó ¢¤õ ¤¢ µî ¤ú ×þ ü±þ ÂÖ ¤Î ×±¨ §¨  µî üõÞä ýó ´ÞÆì .Àªüõ ý± ýó ¢¤õ ¤¢ ÂÎõ ÍÖê ¤ À÷¡ ý ¥ °óÎõ ´¨ ùÀª ü㨠.´¨ ùÀÈ÷ ÝÑ ¨Âõ ´ÞÆì ¤¢ .Ýþ ¤ÁÚ ùÀ÷¡ §Âµ¨¢ ¤¢ ¤ ýó °ó Ç¿ ´ä¨ ø Ýî .À ª ü õ × þ ó ý Ì ê × þ ý¢ ùø  ð  ü Ü ¬ À îb ,ý ± ý ó Âõ ßþ ø ÀµÆû âþ ¨ ø Ûõî ÛØÈ ý¢ ùø Âð úÔõ ýÂð¢þ ÀãµÆõ öþ¹È÷¢ ý± ýó î Ǩ ßþ ý üêî ø ´ìõ ¾¨ öÈþ ¢ªüõ ¶ä ¢¡ .À÷¤ø ´¨À Àîüõ ¤î ÂÎõ Ûõî ½® ß³õî öø-ÂÔª b Ìì ø üȪ ýûÌê b þ ÂÑ÷ ÂÚþ¢ .¢ªüõ ù¢Â ùÂú ý¢ ýúûø Âð b ±¨½õ ¤¢ ú÷ ýø¢ Âû ¥ ø À÷ªüõ ÂÎõ 2.6 Ç¿ öä î) ö¢¤ Ý¡ b Ìì ,¼Î¨ ø ÀÜÔõ ¥ À¤±ä ¶±õ .ßØ ýóÞû «Ê¡ ¤¢ üõÀÖõ üÜÊê ø ûùÂð bþ ÂÑ÷ ,(´¨ ùÀª
ú¡¤ ø üõ¨ Âî£ ¥ ,ýó ¤ ÷ ,´¨ ýó ¢¤õ ¤¢ µî ßþ ö f õî .´¨ ùÀª ÂÑ÷ é¬
ø ÂÈõ ¤¢Þ÷ .Àî ãóÎõ ´Æû î ü±Â ¤ µî ßþ ñÊê ¢¤À÷ üõø ó f ·õ .Àû¢üõ öÈ÷ ¤ Óܵ¿õ ñÊê öõ ü±þ ÂÖ ýúÚµÆ ,Ûþ£ ¤¢ í¤¢ ø ßµÆ÷¢ ,
.´¨ 17 ÷ ø 16 12 ,9 0 ñÊê Ýúê ñîõ 18 ÛÊê
,üب¨î §¥ ,Û¨î ÷ ,ßþ ß .1979 ±õµ³¨
¤Àõ ´¨Âúê
9 9 12 15
û¥È : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
21 21 28
41 52
ùøÂð 2.1
ýµõ ýÌê 3.1 üÚµ¨ ø ýó
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
33
33
äÞ¹õ 1.1
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
úµªÚ÷ üÚµ¨ 2.2
5
üþÖó ýó 1.3
üµÞÆì ¤¡ ýó 2.3
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2
ýó ýÌê 1.2
ÀþÀ ýó ýûÌê Àó : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1
Ìê Â ùøÂð ÛÞä 3.3
3
57
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
ýó ýûÌê á÷
63
63 71 81 86
ÂÌܬ ýÌê 4.3
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
95 103
¼Î¨ ø ÀÜÔõ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
131
ÀþÀ ýûÀÜÔõ ´¡¨ 2.5
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
ûÀÜÔõ ýÀ Ö±Ï 3.5
142
üÞû : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
6
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
ö¢¤ Ý¡ bÌì :¢Â¤î 2.6
µ¨ ýúµªÚ÷ üÞû 3.6
151 151
5
ñ·õ À ø ÓþÂã 1.5
121 121
À±Þû ýÌê 3.4
×Ø ÛþÆõ :¢Â¤î 4.4
91 91
ù¢ÂÈê ýÌê 1.4
é¤øÀ¨øû ýÌê 2.4
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4
ý¢ ùøÂð : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
úû¤ ® 1.7
7
159 168 171
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
ý¢ ùøÂð úÔõ ÝÞã 3.7
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
S1 ùÂþ¢ ý¢ ùøÂð
181 181 185 191 194 198
205 210 215 220 224
4.7
üȪ ýûÌê : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
8
ñ·õ À ø ÓþÂã 1.8 óø «¡ 2.8
üȪ ýÌê ý¢ ùøÂð 3.8 ý¤Àõ ýÌê ý¢ ùøÂð 4.8
ö±õ ¸þøÀ÷¨ ø ø-í¨¤ ýþÌì 5.8
203 203
ý¢ ùøÂð 2.7
ßØ ýóÞû : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : :
ßØ ùb¹÷¥ 1.9
ýóÞû ýúûøÂð 2.9
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9
: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
ß³õî öø-ÂÔª bÌì 5.9
µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ 6.9
9
1 ÛÊê û¥È
ø ú ûø  ð þ Â Ñ ÷ , û ä Þ ¹ õ b þ Â Ñ ÷ ¤¢ ü õÀ Ö õ Ó þ ¤ ã ø Ø ö Û Ê ê ß þ ¤¢
 û ´ ¨  µ ú .Ý îü õ  Πõ ,À ª À û ¡ ù¢ Ô µ ¨ µ î ß þ ¤¢ î ¤ ý  µ õ ý û Ì ê .Àî Àì ÛÊê ßþ b ãóÎõ Àª ¥ ´ìø
äÞ¹õ
ù¢Ôµ¨ "´¨ ù¢Ôµ¨ "X î
X
Y
6=
b äÞ¹õ Âþ ¥
Y
Y
ø ´¨
X ' üãõ X b äÞ¹õ Âþ ¥
X'
¥ ý ¬ä b äÞ¹õ' ÇþÞ÷ ýÂ
Y
ø
üãõ
X
Y
Y
X
ø
¢Þ÷ ¥ ,Y
X
ýûäÞ¹õ ýÂ
Y
¢Þ÷ ¥ ø Ýîüõ
X
ùð Âû .Ýîüõ
¢Þ÷ ¤ üú b äÞ¹õ .Ýîüõ ù¢Ôµ¨ "À÷¤À÷ ÕÜã
X
b äÞ¹õ ø¢ ÝÖµÆõ ÂÌܬ þ ü¤î¢ ÂÌܬ
ÂÚþ¢ ö .y
X ÷ ¤ ûäÞ¹õ ¥
¢Þ÷ ¥
;
.Ýîüõ ù¢Ôµ¨ ýúø ¥ b äÞ¹õ ¤
Y
1.1
2Y
ø
x
2X
î Ýîüõ Óþ Âã ý
Y
(x; y ) °Âõ
Y = f(x; y) j x 2 X ; y 2 Y g:
fXi j i = 1; 2; ; ng
üûµõ ýþ¢Âð ü¤î¢ ÂÌܬ
:¢Þ÷ Óþ Âã ¢ªüõ Èõ ¤ ¬
X1
X2 Xn := f(x1 ; ; xn ) j xi 2 Xi ; 1 i ng: 9
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
û¥È
.1 ÛÊê
äÞ¹õ 1.1
,A b äÞ¹õ Â ü÷Þû â ù b ¤Ú÷
.Àªüõ
2X
x
Y
.Àîüõ ÂÑ÷
ý¥
f (x) = y
¥
!Y
f : X
Ìä Âû î ý ÂÒ ¥ ´¨ ¤±ä ,äÞ¹õ ø¢ ß
´ªÚ÷
!Y
ùÚ÷ ,Àª
f (W
X
¥ äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢
W0
[ W 0 ) = f (W ) [ f (W 0 ); X fWj j i 2 J g f ·õ ,
¤µ¡ ¤¢ ,
ø
2X
ý x
W
[
2
Wj ) =
j J
[
2
ÇþÞ÷
f
â
g
Âð î ¢ª .Ýîüõ Óþ Âã
¥ ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ýþ¢Âð Âð ,üÜî ´ó ¤¢
f(
\
2
Wj )
j J
j J
f :X
!Y
¥ ´¨ ¤±ä ,A
f
î ¢ª .a
Âû ý¥
f (X )
ùÚ÷ ,Àª
ÀþÀ½
\
2
î Àª
f (Wj ):
j J
j
X
X
¥ üã ,f
: X
A
¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
j
Âð
(f A )(a) = f (a) bή f A : A
öø ¤ø ù b ¤Ú÷ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª â
J
ý¹ ,¢ø Â÷ ú Ý î ü¤ ¬ ¤¢
¢Þ÷ Ýû ¤ ö î Àîüõ Óþ Âã
2A
!Y
\ W 0 ) f (W ) \ f (W 0 ):
f (W
f (Wj );
Âû .f ÝÆþ÷üõ ¬
¡ ¤ Î
x
×þ ý¥
ùÚ÷ ,´¨ ø ÂÔõ ¤ÁÚÆþÀ÷ b äÞ¹õ ×þ
f(
¥
â ¥ ¤±ä
f :X
¤ ¬
f 2 Y j y = f (x)
X
µØþ ý ÂÊä ¤
1A (x) = x bή 1A : X
Image(f ) := f (X ) = y
þ â
f :X
j
ø
Y
¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
â
.Ýû¢üõ
!X
.f A
!Y
!Y =f
Z
üã
Æ 1A
Âð
¥ ´¨ ¤±ä ,f ´½
f 2 X j f (x) 2 Z g: fZj j j 2 J g
Z
f 1 (Z ) := x Ýþ ¤¢ ,Y ¥
f 1(
[
2
Zj
Zj ) =
j J
ùÚ÷ ,x1 .f (X )
6= x2
þ¢Âð Âû ý¥ î ¢ª
ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¥
[
2
f 1 (Zj );
f 1(
j J
x1 ; x2
2X
2
Zj ) =
j J
f 1 (Y
\
f 1 (Zj ):
Zj ) = X
\
2
f 1 (Zj );
j J
!Y : X ! Y f (x1 ) = 6 f (x2 ) f :X!Y 1 f :X !Y
ùð Âû î ´¨ ×±Øþ ü¤ ¬ ¤¢
= Y î ´¨ ø  þ ª ü¤ ¬ ¤¢ f
x = f 1 (y )
,
â
â .
×þ ´ó ßþ ¤¢ .Àª ª ø ×±Øþ î ´¨ üþ¨ø¢ ü¤ ¬ ¤¢ :´ª¢ Àû¡ ¢ø Âþ ¥ b ή
f :X
â
öø ¤ø â
y = f (x):
10
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
äÞ¹õ 1.1
Z
X
¥
û¥È
f
Æg
°îÂõ â
ùÚ÷ ,Àª â
!Z
g : Y
ø
f : X
.1 ÛÊê
!Y
Âð
:¢¢Âðüõ Óþ Âã Âþ ¥ ¤ ¬
(g
Æ f Æf 1 : Y ! Y f Æg : Y ! Y
f 1 ø
Æ f )(x) := g(f (x));
ø
öø ¤ø ×þ Âû ø ù¢ üþ¨ø¢ ø¢ Âû
f
î Àîüõ ¹þ
f Þãõ .Àª üõ ,
X X
¤¢ î Ýð ý¥ ¤ Ýû
¥
2 X:
â ùÚ÷ ,Àª üþ¨ø¢ üã
â Âð ,ÅØãó
ø ×±Øþ
x
g
g
.¢ Àû¡ ü÷Þû ø¢ Âû
f
ø
f : X
ùÚ÷ ,Àª ü÷Þû ø¢ Âû
Æf : X ! X
!Y
»÷
!X gÆf : X ! X f : X
ö¢ ü÷Þû ¯Âª .¢ Àû¡ ý ÂÚþ¢ .´¨ ª
g
÷
ýäÞ¹õ Âþ ¥ ,X b äÞ¹õ  Τ ×þ ¥ ¤ Ñõ
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
b Τ .x
y
ÝÆþ÷üõ
(x; y )
2
ý¹
:Àî ëÀ¬ Âþ ¥ ÂÈ Íþª ;x
x
ý
;y .x
Âð .Àªüõ
[x℄ :=
f : X
X ! X
.Ýû¢üõ öÈ÷
xy
x
ùÚ÷ ,y
fy 2 X j x yg
âìø ý¥ ¤Ýû b µ¨¢ ×þ fÖì¢ ¤¢
.´¨
z X
x
2X
Âû ý¥ :ü¥ ¯Âª (1
ùÚ÷ ,x
z
ø
x
y y
b äÞ¹õ ¥ ¤±ä
¥ Ìä Âû ùÚ÷ ,Àª
Âð :ü÷¤Ö ¯Âª (2
Âð :ýÀ㠯ª (3
x
Ûõª ý¥ ¤Ýû b µ¨¢
X
 ý¥ ¤Ýû ýΤ .´¨
Ûت üã ¥ ¤±ä
ìø ü¡Â üµ þ
X
b äÞ¹õ Â üþ ø¢ ÛÞä
x + y ,xf y
¤ ¬ ¤
f (x; y )
¤ÀÖõ
11
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
û¥È
.1 ÛÊê
ùø Âð 2.1
ùø Âð
:Àîüõ ëÀ¬ Âþ ¥ Íþª ¤¢ î üþø¢ ÛÞä ×þ ùÂÞû ´¨
b Þû ý¥ î ¢¤¢ ¢ø ý ¤ Ï ,G ¤¢ ü÷Þû ÂÊä
î ¢¤¢ ¢ø ý ¤ Ï ,g öø ¤ø
g 1
2G
ý ÂÊä (1
2G
= 1g = g û g
2G
ý ÂÊä ,g
Âû ý¥ (2
1 g = gg 1 = 1 .g
.´¨ ¤Âì ý ÂþÁ³µîª ´¬¡ ,g1 ; g2 ; g3
g1 (g2 g3 ) = üãþ
ýäÞ¹õ ùø Âð
2G
,1
.g 1
G
2.1
2G
Âû ý¥ (3
.(g1 g2 )g3
öø ¤ø ø
0 ¢Þ÷ ¤ ü÷Þû ÂÊä ,¢ªüõ ù¢Ôµ¨ ¤À÷ î ,ùø Âð üãÞ ÇþÞ÷ ¤¢ g
üãþ ,´¨ ü÷Þû ÂÊä ,©ÂÊä ú î üûø Âð .Ýû¢üõ ÇþÞ÷
¢Þ÷ ¤
f0g f1g
.¢ªüõ ùÀõ÷ üúþÀ ùø Âð , ´½
H
ùÚ÷ ,g
î Ýð ùø Âð Âþ ¥
2H
b µ¨ÀÞû
ø
.´¨
G
G
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
¥ üûø Âð Âþ ¥
H
Âð .Àª ùø Âð ,H Â
f j 2 Hg
gH := gh h
b äÞ¹õ ¥ ¤±ä
0 þ H ùø Âð Âþ ¥ ¥ g H ø gH ² b µ¨ÀÞû ø¢ G
Ûî ,G ¤¢
H
ø ÂÔõ ùø Âð ¥
G g
H
g
þ
b äÞ¹õ Âþ ¥
¥ üÖó üþø¢ ÛÞä
ͨ
H
² b µ¨ÀÞû
.¢¢Âðüõ Óþ Âã Èõ ¤ ¬ ´¨¤
² ýûµ¨ÀÞû ,üãþ .À÷ ¤ ¬ ßþ Âè ¤¢ þ ø ÀµÆû ¹õ .Àîüõ ¥Âê ¤
ý¥ î ´¨ üã ¥ ¤±ä ,H ùø Âð
f : G
G =
!H
ÝÆê¤ õÞû î ü¤ ¬ ¤¢
ÝÆþ÷üõ ø ´¨ ÝÆê¤ õø þ
Kernelf := ¥ ´¨ ¤±ä f : G
f
G
ùø Âð ¥
0 .f (gg )
=
ø ,Àê¤ õø þ
!H
!H
f :G
ÝÆê¤ õÞû
f (g )f (g 0 ) û g; g 0
H
ø
G
.f
: G = H þ H
fg 2 G j f (g) = 1H g Kernelf = f1g
f
.
ú üãþ ,¢¤¢ Ìä ×þ ÍÖê ÝÆê¤ õø þ Âû b µÆû ,ßþ .
k
2
Âû ø
g
2G
üûø Âð Âþ ¥ ,f ý
g
2G
üãþ
.G ¤¢ ü÷Þû ÂÊä Âû ý¥ î ´¨ ñõÂ÷
: G
!H
G=K
ü¤ ¬ ¤¢
ÝÆê¤ õÞû Âû b µÆû
Âû ý¥ ùÚ÷ ,Àª
ýûµ¨ÀÞû b Þû
b Þû
Ýðüõ ,Àª üþ¨ø¢
ÝÆê¤ õÞû b µÆû
,Àª üúþÀ ©µÆû î ´¨ ×±Øþ üµìø ú ø üµìø
2G
G
1 .gkg
G ¥ ñõÂ÷ üûø Âð Âþ ¥ K
b äÞ¹õ ø ´¨ üØþ
Kg
ùø Âð ¥
2K
K
ùø Âð Âþ ¥
ݪ µª¢ ý
»÷ .´¨
´¨¤ b µ¨ÀÞû
gK
G ¥
K
ñõÂ÷
² b µ¨ÀÞû
12
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ùø Âð 2.1
û¥È
ÛÞä ´½
0
G
.1 ÛÊê
K
¤¢
²
0
(gK )(g K ) = (gg )K
.Àõ÷üõ
f :G
üþª ÝÆê¤ õÞû .´¨ éÂõø þ
G=K
0
Âð î ;
,üãÞ ÇþÞ÷ ¤¢
Âð ø
ý
g
.
g
n
G
Â
üµÞÆì ¤¡ ùø Âð ¤
!H
¤¢
g
g
2G
H
.Àû¢üõ ùø Âð ÛØÈ
K
ùÚ÷ ,Àª
b 撖
ùÚ÷ ,g
ͨ ùÀª Àó ùø Âð Âþ ¥
2
fgn j n 2 Zg G g 1 g 1 g 1 Ýþ ¤¢ ,n 0 Âð ø g n } {z
:=
= g
|
üãþ
n
+ g} Ýþ ¤¢ ,n 0 Âð î ; {z
ng = g + g +
|
G=K
Âð î ¢¤¢üõ öä£ ÝÆê¤ õø þ b Ìì ßóø
üµÞÆì ¤¡ ùø Âð
G
b äÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ¤±ä Ýþ ¤¢ ,n
K
n
.´¨
g
ng = ( g ) + ( g ) +
×þ ý¥ »÷ .
{z
|
¤¢
:=
H
G
Âð
g)
}
= gg
g
| {z } n
Ýþ ¤¢ ,n
Ýþ ¤¢
0
n ýûÀóõ b äÞ¹õ ,üÜî ´ó ¤¢ .´¨ ¥ Ìä Âû î ý ¤ Ï ´¨ üûµõ
S
G
¥
»÷ .´ª÷ öüõ
S
S
g
Àóõ ý ¤ ø¢ ùø Âð
g; g 0
2
G
¤¢ ¬ä ýú÷ ¥ ü ÂÌܬ ¤ ¬ ¤
þ üÜ
Âû ý¥ î Ýð ÂþÁ³Ìþã
.´¨ üÜ üûø Âð (üãÞ ÇþÞ÷ )
Z ¼½¬
Z |
G
G
ùø Âð Ýðüõ ,Àª
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
G
ùø Âð
f ·õ .gg ¢Àä b äÞ¹Þû ,
0
0
= gg
1 þ 1 Àóõ ý ¤ ø¢ üûø Âð ,ùø
ã
.´¨ .Àªüõ
G Ýðüõ ,G = g
ýäÞ¹î Âþ ¥ ¥ ¤±ä ,G ø ÂÔõ ùø Âð ×þ
.´¨ ùÀª Àó fûµõ ý
¥
ýú÷ b Þû
fng j n 2 Zg
+(
G
Z {z Z} é¤ õø þ ùø Âð ¥ ¤±ä n b±Âõ ¥ ¢¥ üÜ ùø Âð n
ùø Âð
G
Âð : î ¢¤¢üõ öä£ ùÀª Àó fûµõ üÜ ýúûø Âð ý þ ¹ b Ìì
é¤ õø þ
Hm i = 1; ; m
H 0 H1
ùø Âð
ý ¤ ø¢ ýûùø Âð , µØþ ¤ ¬ û
Hi
G ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª ùÀª Àó fûµõ üÜ
ýû
Hi
¥ ×þ Âû b ±Âõ ÷ ø
ø ´¨ ¢¥ üÜ ùø Âð ×þ
H0
H0
î ´¨
b ±¤ .ÀµÆû ñø ý¢Àä ö b ±Âõ ¥ .´¨ ßã Ûì
ùø Âð Âþ ¥
1h 1 .ghg
Ûت ´¨ ý ÂÊä ,G ùø Â𠤢 Âð¹
ýú ÂÌܬ b Þû ùÂÞû
¥ ¤ Ñõ
G ¤¢ ýûÂð¹ bÞû bäÞ¹õ ¥ ¤±ä ,G ¤¢ ýûÂð¹
ñõÂ÷ Âð¹ ùø Âð Âþ ¥ .(Àû¢üõ ÛØÈ ùø Âð ×þ ¢¡ ßþ) Àªüõ ú÷ ¥ üûµõ .Àªüõ üÜ
G=K
ö ý¥ î ´¨
G
¥
K
f Þä ø ´¨ üûø Âð Âþ ¥ ßþ µØî
13
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
û¥È
.1 ÛÊê
ùø Âð 2.1
,üÖÖ ¢Àä b Þû b äÞ¹õ ÇþÞ÷ ý °Âµ
R
°Üè .Ý÷¢üÞ÷
n
R
N
Q
ø
,R ýû¢Þ÷ ¥
Ìä ¤ ÂÔ¬ .Ýîüõ ù¢Ôµ¨ þð ø üã±Ï ,¼½¬ ,Íܵ¿õ
C
ø üÖÖ Í¡ öä ¤
n ü¤î¢
ÂÌܬ ¥ ´¨ ¤±ä
R
¥ «Ê¿ ýû b äÞ¹õ
b ½Ô¬ öä ¤ b äÞ¹õ .Ýîüõ ¤ Ê Íܵ¿õ
Âþ ¥ ÇþÞ÷ ý Âþ ¥ ýúþ ¤ÁðÀõ÷ ¥ .R ¥ ü³î
:Ýîüõ ù¢Ôµ¨ (ûù¥ )
(a; b) :=
N ,Z ,C
fx 2 R j a < x < bg;
[a; b℄ :=
fx 2 R j a x bg:
14
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý µõ ýÌê 3.1
û¥È
.1 ÛÊê
ý µõ ýÌê
3.1
;À÷¤¢ ùÂÞû ¤ ü¬Ê¿ "¤µ¡¨' î Ýîüõ ãóÎõ ¤ üþûäÞ¹õ ý ó ¤¢ "?´¨ µ¨
f : X
!Y
þ' Ǩ ¢ªüõ î ´¨ ý÷𠤵¡¨ ßþ
Y
üþû¤µ¡¨ ß ùÂÞû b äÞ¹õ ø¢
ø
X
¹þ ¤¢ î ,ÀÈ¿ üªø ¤ üãõ
Óî ý µõ ø ü¨ÀÜì ýûÌê ßµÆþ ÂÚ÷ ¤ ¤ îÁõ ¤µ¡¨ Ç¿ ßþ ¤¢ .ÀµÆû .Ýîüõ Ýðüõ ü¤ ¬ ¤¢ ,Àª ø ÂÔõ üã ¥ î ¢¢Âð ´êþ ö ý
Æx >
f : Rn
! Rm
Âð î Ýþªüõ ¤ ø¢þ
0 ×þ ,"x > 0 Âû ý¥ î ´¨ µ¨ x ¤¢
jf (x)
b ܬê ÕÜÎõ ¤Àì ¢Þ÷ Ëþã . .¢¢ ÝÞã
!Y
f : X
j
f (y ) < "x
¢ª ¹µ÷
jx
f
j
y < Æx
â ´ó ü𢨠¤ Óþ Âã ßþ öüõ ,ü¨ÀÜì
ù¢Ôµ¨ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,ݪ µª¢ "ܬê â' üþûäÞ¹õ Âð ,Øþ ÂüÜî "ܬê â' .Ýî Óþ Âã ¤ ø¢ ö öõ â üÚµ¨ Ý÷üõ ܬê â ßþ ¥ ø ,Àª ¤¢ ¤ (üúþÀ) «¡ ü¡Â üµÆþüõ - ¢ªüõ ùÀõ÷ "µõ' °Üè î .¢¢Âðüõ Âþ ¥ Óþ Âã ¶ä Âõ ßþ
d : A
A ! R
â .´¨ ø ÂÔõ ýäÞ¹õ
A
.Óþ Âã 1.3.1
Ýþ Âð
Íþª ¤¢ 뢬
.a
.d(a; b)
+ d(b; )
= b Âð ú ø Âð d(a; b) =
d(a; )
ý µõ ýÌê ¤ ö  «Ê¿ µõ Ùþ ùÂÞû ¤ ø¢ üðÄþø .Ýû¢üõ öÈ÷
M
ý
A
a; b;
2A
(1
Âû ý¥ (2
b äÞ¹õ .Ýðüõ
¢Þ÷ ù¢¨ ¤ Î þ
0
A
 µõ ¤
(A; d) °Âõ ø ¥ ø ùÀõ÷ .Ýõ÷üõ ü·Ü·õ ýøÆõ÷
ý¥ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
ü𢨠ùÚ÷ ,d(a; b)
A ý ý µõ d Âð
î Àû¢ öÈ÷
.d(a; b)
= d(b; a) ø
j
ø
= b
j
a
A = R
.ßþ ÂÞ 2.3.1
0 d(a; b) Ýþ ¤¢ ý a; b 2 A Âû .ñ·õ 3.3.1
Ýî Âê Âð .¢¢ öÈ÷ ¤
A
Â
d
ö¢ µõ ¢ªüõ
15
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
û¥È
.1 ÛÊê
ý µõ ýÌê 3.1
d
¥ ´¨ ¤±ä ÷
ø
A = Rn
v u n uX (yi x := t i=1
k
k
d(x; y ) = y
ý ¤ª¢ ¤î
î ¢Þ÷ Âê ¢ªüõ üÜî ´ó ¤¢
d ö¢ µõ ö¢¢ öÈ÷ Ýû ¥ .y = (y1 ; .Àõ÷üõ
Rn
¥ À¤±ä
d(x; y ) =
n X
=1
jyi
xi )2 ;
; yn ) ø x = (x1 ; ; xn ) î
 üóÞãõ µõ þ ü¨ÀÜì µõ ¤ µõ ßþ .´Æ÷
Rn
.ñ·õ 4.3.1
 ýûµõ ¥ ÂÚþ¢ ÷Þ÷ ø¢
j
j
j
d(x; y ) = max yi
xi ;
1in
i
xi :
.Ýþ ¤³¨üõ ùÀ÷¡ ¤ úþ ö¢ µõ ±
Óþ Âã ,Àª ù¿ó¢ ýäÞ¹õ
d(x; y ) = .Àõ÷üõ
A
0 1
x=y x=y
6
A
.ñ·õ 5.3.1
»÷
Âð Âð
 µÆÆð µõ ¤ Û¬ µõ .¢Þ÷ Óþ Âã ¢ªüõ
A
 µõ ×þ
.ßþ ÂÞ 6.3.1 .´¨
Rn
 µõ ×þ
d
, ñ·õ ¨ ¥ ¢¤ õ Âû ¤¢ î Àû¢ öÈ÷ (1
.ÀîüÞ÷ Óþ Âã µõ
.ÀîüÞ÷ Óþ Âã µõ
b ή
dr
Rn
î Àû¢ öÈ÷
Â
R
Â
d(x; y ) = (y
x)2
j
d(x; y ) = min1in yi
xi
.´¨ ´±·õ ø üÖÖ ý¢Àä .´¨ µõ ÷
d0 (x; y ) = d(x; y )=(1+d(x; y )) Óþ Âã d0
r
î Àû¢ öÈ÷ (2
j î Àû¢ öÈ÷ ø µõ
?¢ Àû¡
R
n
d(x; y )
î Àû¢ öÈ÷ .´¨ µõ
 ý µõ
d
Ýî Óþ Âã
xy
þ ùÚ÷ ,y ø
x
Ýþ Âð (4
dr (x; y ) := r d(x; y )
0 .0 d (x; y ) 1 ù¤Þû î ¢ª
¼½¬ ¢Àä ßþ µØî=
d
(3
2 Rn
d Ýþ Âð
(5
.´¨ µõ ÷
ý¥
Rn
¤¢ Âð (6
ß b ܬê  þ µð¤
16
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý µõ ýÌê 3.1
A
û¥È
¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
(B; d0 ) ´ó ßþ Â
B
ø ù¢ ý µõ üþÌê
(A; d) »÷
.1 ÛÊê
.Ìì 7.3.1
0 .¢Þ÷ Óþ Âã öüõ B  d ý µõ ,B B d ÀþÀ½ .Àõ÷üõ
.˻
(A; d) ý µõ ýÌê Âþ ¥ ¤
f ±ì î ý ¤ Ï öÞû üÚµ¨ öüõ üµ¤ ,µõ úÔõ ßµª¢ ¤µ¡ ¤¢ ,ݵÔð
.¢Þ÷ Óþ Âã ¤ Óܵ¿õ ý µõ ýûÌê ß
f :A
!
ö ý
â .Àª ý µõ ýûÌê
Æx >
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
f
(B; dB ) ø (A; dA ) Ýþ Âð
.Óþ Âã 8.3.1
0 ×þ ,"x > 0 Âû ý¥ î Ýð a 2 A ¤¢ µ¨ â .dB (f (x); f (y ))
< "x
¢ª ¹µ÷
dA (x; y )Æx
ü¤ ¬  ¤
B
¥ î ¢¢Âð ´êþ
.Àª µ¨ ¯Ö÷ b Þû ¤¢ î Ý𠵨
.ßþ ÂÞ 9.3.1
f :
â î Àû¢ öÈ÷ .y
©üóÞãõ µõ ùÂÞû
R
2A
Ýþ Âð .´¨
î ;´¨ µ¨
d
µõ ý µõ üþÌê
f (x) = d(x; y )
b ή
A A
Ýþ Âð (1
!R
.Àªüõ
ýÌê
M0
f : M0
!
Ýþ Âð .´¨
â b Þû î Àû¢ öÈ÷ .´¨
.¢¤À÷ ¢ø
A
d üóÞãõ ü¨ÀÜì µõ (R; d)
M0
M
R
Â
d0
ý µõ ýÌê
µÆÆð µõ
M
Ýþ Âð (2
(R; d0 ) ý µõ
¥ üرØþ b µ¨ â ºû î Àû¢ öÈ÷ .À÷µ¨
¥ µ¨ â b äÞ¹õ ,B  µõ þ ø
A
M
 µõ Ëþã î À¨¤üõ ÂÑ÷ ß
f ·õ .Àîüõ Âç .¢ª Âþ ¥ ¢¤õ ,
B
.ßþ ÂÞ 10.3.1  µõ
B f
dAr A
Ýþ Âð .Àª
¥ üã
f
dB
ø
dA
°Âµ µõ ý µõ ýÌê ø¢
A
Â
dA
µõ ´±Æ÷
.Àª µ¨
dAr
ø
A
Ýþ Âð (1
Ýþ Âð .´¨ (4)-6.3.1 ßþ ÂÞ ¤¢ À÷õ ùÀª µ¡¨ ,A
î ´¨ µ¨ üµìø ú ø üµìø
.Àî Û
B
ý½ (5)-6.3.1 ßþ ÂÞ ¥
d0
A
f Â
Àî ´ .Àª
dAr
µõ ´±Æ÷
µõ üúµõ ¤ () ÝØ öÞû (2
!´Æ÷ â üÚµ¨ Àä þ ø üÚµ¨ ü¨¤  ý ü±¨õ ×½õ ܬê ,ßþ .´¨ µ±¨õ ¤î ßþ ý "¥ b äÞ¹õ' úÔõ î ¢ª üõ ´
17
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
û¥È
¥ ø
.1 ÛÊê
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
y
2
A
ý µõ ýÌê 3.1
(A; d) ý µõ ýÌê ¥ U bäÞ¹õ Âþ ¥
Âð î ¢¢Âð ´êþ ö
"x >
0 ×þ ý x 2 U
ýð
Br (x) := y
"x >
.Óþ Âã 11.3.1
0 ×þ ý x 2
U
2U B"x (x) U
Âû ý¥ Âð ,ÂÚþ¢ ö .y
f 2 A j d(x; y) < rg
î ;Àª
.Àªüõ
¥ ©üóÞãõ µõ
R
Âû ý¥ î Ýð
0 1) = fx 2 R j 0
:À÷¥
R2
< "x
î ¢¢Âð ´êþ ý ¤ Ï á㪠ø
1g
<x
1g; f(x; y) 2 R2 j 0 < x < 1 ; 0 < y < 1g:
.ßþ ÂÞ 13.3.1 ´±·õ ø üÖÖ ý¢Àä
r
ø
x
2A
,ù¢ ý µõ üþÌê .´¨ ¥
?À÷¥ (R
2
A
¤¢
¤¢ üóÞãõ ý ó ´±Æ÷)
(A; d) Âð î Àû¢ öÈ÷ (1
Br (x)
R2
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
¥ Âþ ¥ ýûäÞ¹õ Àî (2
f(x; y) j x2 + y2 < 1g [ f(1; 0)g; f(x; y) j x + y > 0g; f(x; y) j x + y < 0g; f(x; y) j jxj < 1g; f(x; y) j x2 + y2 < 1g; f(x; y) j x + y = 0g: ¥ ø ÂÔõ µõ ×þ ´±Æ÷ ¥ ýûäÞ¹õ b Þû b þ¢Âð
.À÷¤¢ ¤Âì .´¨ .´¨
¤¢ üóÞãõ µõ ´±Æ÷)
R
F
F
F
F
Âð î Àû¢ öÈ÷ (3
ùÚ÷ ,Àª ¤¢
A
F
¥ ýÌä ,
F
¥ ýÌä ,
¢¡ ø
;
A
ý µõ üþÌê
üú b äÞ¹õ (1
¥ Ìä ø¢ Âû âÎÖõ (2
¥ Ìä ¢Àã Âû áÞµ (3
¤¢ ¥ ýûäÞ¹õ ¥ üûµõ÷ b þ¢Âð ×þ ¥ üó·õ (4 .´Æ÷ ¥ ú÷ b Þû âÎÖõ î À (R
.Ýþ ¤¢ ¤ Âþ ¥ °ó ÝØ ,¥ b äÞ¹õ úÔõ ý Âð¤Ø
18
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý µõ ýÌê 3.1
û¥È
üµìø ú ø üµìø ý µõ ýûÌê öõ .Àª ¥
U
M1
¤¢
ø Àª µ¨
ý
">
f : M1
f 1 (U ) bäÞ¹õ ,M2 f
0 ,öî
î Àîüõ ¹þ
Ýî Âê .ÀµÆû
2U
M2
,Å .x
2
üÚµ¨ .´¨ ¥
U
.f (x)
f
¤¢
U
ø
! M2
.Ìì 14.3.1
â
¥ b äÞ¹õ Âû ý¥ î ´¨ µ¨
M1
°Âµ  µõ
f 1 (U )
d2
ø
)
BÆ
f
1 (U )
,Âþ ¥ ;B" (f (x))
x
2
U
î ¢¤¢ ¢ø ö
" >
B" (f (x)) U
M1
M1
¤¢
0 Ýî ÝØ
,ÂÚþ¢ ö
¥¢ ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
0 Âû ý¥ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ;x 2
ßþ ,õ .Àªüõ ¥
Æ>
f 1 (U ) bÞû ý¥ °ÜÎõ ßþ ö .Àªüõ
b äÞ½õ ý
Ýþ Âð :±
d2 (f (x); f (y )) < ":
üãõ ¢¡ ßþ î ,f (BÆ (x))
Ýþ Âðüõ ¹µ÷ ,´¨ ¼½¬ û
d1
Ýþ Âð .M2 ¥ ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
î ¢ªüõ ´êþ ö ý
d1 (x; y ) < Æ
.1 ÛÊê
f 1 (B" (f (x)))
M1
.Àªüõ
f 1 (U )
î
Ýî Âê ,ÅØãó
ßþÂ ø ,´¨ ¥
M2
¤¢
B" (f (x))
0 ùÚ÷ ,x 2 f 1 (B" (f (x))) ùð Âû î ´¨ üãõ öÀ 1 (B (f (x))) î Âð î ¢¤¢ ¢ø ö ý Æ > 0 ,ÂÚþ¢ ¤±ä .BÆ (x) f " ¢¤¢ ¢ø ö ý
2
Æ >
.´¨ µ¨
f
î ´¨ µ¨ üµìø ú ø üµìø
f
üãþ .d2 (f (x); f (y ))
s ×þ ,s
.[s : t) = fx 2 R j s
= R (3
2
R
x < tg
23
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
ý ó ýÌê 1.2
.Àî É¿Èõ ¤ ýÌä ¨ ýäÞ¹õ  ßØÞõ ýúþó bÜî (4 ÛØÈ ,R ¥ ýûäÞ¹õ Âþ¥ ¥ Âþ¥ ýûù¢÷¡ ¥ ×þ ºû î Àû¢ öÈ÷ (5 :Àû¢üÞ÷ R  ýó ,U1 = f;; Rg [ f(
1; x℄ j x 2 Rg
.U2 = f;; Rg [ f(a; b) j a; b 2 R & a < bg
ø ÂÔõ ýó ýÌê ×þ ¥ ýäÞ¹õ Âþ¥ Y »÷
.Óþ Âã 10.1.2
äÞ¹õ ßþ .ÝþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ Ý÷üõ ¤ Y ¤¢ ñÞÈõ ¥ bäÞ¹õ ßþµð¤ ,Àª X .Ýðüõ Y
öø ¤¢
Æ
ö ø ù¢¢ öÈ÷ Int(Y ) þ Y ¢Þ÷ ¤ ,ÂÚþ¢ ¤±ä
2 J g î ,YÆ = Sj2J Ui .Ìì 11.1.2 Æ Y ¥ bäÞ¹õ ý Âð ú ø Âð x 2Y ,®ø .´¨ Y ¤¢ ñÞÈõ .x 2 U î ¢¢Âð ´êþ
¥ ýûäÞ¹õ bÞû ùb¢÷¡ fUj j j ý¤Ï U
:Àª Rn ¥ Âþ¥ ª bäÞ¹õ Âþ¥ I n Àî Âê
.ñ·õ 12.1.2
; xn ) 2 Rn j 0 xi 1 ; i = 1; 2; ; ng:
f
I n := x = (x1 ;
d(x; y ) = üóÞãõ µõ ýµõ ýó ,üãþ) Àª üóÞãõ ýó ý¤¢ Rn Âð
Æ
¥ ´¨ ±ä I öø ¤¢ ùÚ÷ ,((
Æn
f
I := x = (x1 ;
." = minfxi ; 1
Pn
=1 (yi
i
xi )2 )1=2
; xn ) 2 Rn j 0 < xi < 1 ; i = 1; 2; ; ng: j
xi i =
Æ
1; 2; ; ng ø x 2I
îÂõ ø " á㪠(B" (x) := fy 2 R
j
Ýî Âê Âõ ßþ bÑ
õ ýÂ g ,üãþ) B" (x) ¥ ýð ,öî
n d(x; y ) < "
Æ
×þ ý¥ Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ ¥ I ¤¢ ,ßþ ø ;¢¤¢ ¤Âì I n ¤¢ fõÞ ,x ¤¢ Ûõª ,x ¤¢ îÂõ ø r > 0 ù¿ó¢ á㪠Br (x) ýð Âû ùÚ÷ ,xi .À÷¤À÷ ¤Âì
In
öø ¤¢ ¤¢ üÏÖ÷ ö ,ßþ .Àªüõ
In
2 f0; 1g ý i
¤¢ ¯Ö÷ ¥ Âè üÏÖ÷
.À÷¤¢ ü¬Ê¿ ݨ ,¥ ýûäÞ¹õ ÝÞµõ 24
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýÌê 1.2
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
´¨ µÆ ü¤¬ ¤¢ X ýó ýÌê ¥ C bäÞ¹õ Âþ¥
.Óþ Âã 13.1.2
.Àª ¥ X
C î
áÞµ ,âÎÖõ «Ê¡ ¤¢ ûäÞ¹õ þÂÑ÷ «¡ ¥ ù¢Ôµ¨ ýÀã °ó ÝØ .¢¢Âð üõ ¹µ÷ ÝÞµõ ø .À÷µÆ X ø ; (1
.Ìì 14.1.2
.´¨ µÆ ,µÆ ýûäÞ¹õ ¥ üûµõ ¢Àã Âû áÞµ (2 .´¨ µÆ ,µÆ ýûäÞ¹õ ¥ ù¿ó¢ ¢Àã Âû íµª (3 .¢Þ÷ ÓþÂã ¤ ýó ýÌê ¢ªüõ ÷ µÆ bäÞ¹õ úÔõ ¥ áø ª .ßþ ÂÞ 15.1.2
¤¢ î Àª X ¥ ýûäÞ¹õ Âþ¥ ¥ ýù¢÷¡
V
ø äÞ¹õ ×þ X ÝþÂð (1 :Àîüõ ëÀ¬ Âþ¥ Íþª .;; X
2 V (1
.´¨ V ¥ ýÌä ,V ¥ Ìä ø¢ Âû áÞµ (2
.´¨ V ¥ ýÌä ,V ýÌä ¥ ù¿ó¢ ¢Àã Âû íµª (3 X  ýó ×þ
U
= fX
j 2 Vg ¤¬ ßþ ¤¢ î Àû¢ öÈ÷
V V
.Àû¢üõ ÛØÈ .¥ Ýû ø ´¨ µÆ Ýû ýäÞ¹õ Âþ¥ Âû ,µÆÆð ýÌê Âû ¤¢ î Àî ´ (2 bäÞ¹õ Âþ¥ Âû ø Àª üûµõ ýó ýÌê ×þ ¯Ö÷ ¢Àã Âð î Àû¢ öÈ÷ (3 .´¨ µÆÆð Ìê ö ýó ,Àª µÆ ö ¥ ýÌä × -9.1.2 ßþÂÞ ¤¢ À÷Þû
U î ,(R; U ) ýó ýÌê ¤¢ î Àû¢ öÈ÷
(4
.µÆ Ýû ø ´¨ ¥ Ýû [s; t) Ûت bäÞ¹õ Âû ,´¨ (3)
ø ÂÔõ ýó ýÌê ×þ ¥ ýäÞ¹õ Âþ¥ Y »÷
.Óþ Âã 16.1.2
äÞ¹õ ßþ .ÝþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ Ý÷üõ ¤ Y Ûõª bµÆ bäÞ¹õ ßþµØî ,Àª X Âè ø Y ¤¢ âìø ¯Ö÷ .Ýðüõ Y ¤µÆ ö ø ù¢¢ öÈ÷ Cl(Y ) þ Y ¢Þ÷ ¤ 25
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
ý ó ýÌê 1.2
¤ Y ý ÂÚþ¢ ñ¢ãõ Ó¬ ø¢ ýÀã ÝØ .Àõ÷üõ Y
ýÀ ¯Ö÷
¤ Y ¤¢ âìø
.¢¥¨üõ ÝûÂê ýûäÞ¹õ bÞû ùb¢÷¡ fFj j j
2 J g î ,Y
=
T
2
j J Fi
(1
.Ýó 17.1.2
.´¨ Y Ûõª bµÆ .U \ Y 6= ; ݪ µª¢ ,x Ûõª U ¥ bäÞ¹õ Âû ý¥ Âð ú ø Âð x 2 Y (2 ýäÞ¹õ ø x
2 Y
ø ´¨ µÆ X
Ýî Âê ,2 ÝØ ± ýÂ .´¨ üúþÀ 1 ÝØ
:±
\ Y = ; î Àª ¢õ ý¤Ï x Ûõª U ¥ .x 2 U ø x 2 Y õ .Y X U ,Å .Y X U
U ¹µ÷ ¤¢ .U
Ëì ×þ ,ßþÂ
.ÝþÀ¨¤ ø ´¨ ¥ X
2
Y õ .x
2
X
2 Y Ýî Âê ,ÅØãó Y ) \ Y = ; ¹µ÷ ¤¢ ,(X Y ) \ Y = ;
Y ßþÂ ø x
.´¨ Ëì î (X
ýûäÞ¹õ ¤µÆ ,ÝþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ üóÞãõ ýó ¤ R »÷
.ñ·õ 18.1.2
.ÀµÆû [a; b℄  üÚÞû [a; b℄ ø (a; b℄ ,[a; b) ,(a; b) .ßþ ÂÞ 19.1.2
ýûäÞ¹õ Âþ¥ ¥ ×þ Âû ¤µÆ .Àª üóÞãõ ýó R  X ÝþÂð (1 :Àþ¤ø ´¨À ¤ X ¥ Âþ¥
.A = f1; 2; 3; g; B = fx j ´¨ þð xg; C = fx j ´¨ ݬ xg
.Àª (3)-9.1.2 ßþÂÞ ¤¢ ùÀª ÂÎõ ýó R ¥ ¤±ä X ÝþÂð (2 .À ¤ X ¥ [a; b℄ ø (a; b℄ ,[a; b) ,(a; b) ýûäÞ¹õ Âþ¥ ¥ ×þ Âû ¤µÆ :Àî Ñ
õ Àã ßþÂÞ ¤¢ ¤ ûäÞ¹õ ¤µÆ «¡ Âþ¨ :Àî ± ¤ Âþ¥ ýûù¤ ð ¥ ×þ Âû µÆ F ø ù¢ Y
.ßþ ÂÞ 20.1.2
F X X ýó ýÌê ¥ ýäÞ¹õ Âþ¥ Y Âð .Y F ùÚ÷ ,Àª
(1
.Y = Y î ´¨ µÆ üµìø ú ø üµìø Y (2 .Y = Y (3 26
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýÌê 1.2
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
.(A \ B ) = A [ B ø (A [ B ) = A \ B (4
.X Y := Y
Æ
Y = (X
Y ) (5
\ ¤ X ýó ýÌê ¥ Y ø ÂÔõ bäÞ¹õ ¥ Âõ î ü¤¬ ¤¢ .Y = Y [ Y ¤¬ ßþ ¤¢ ,Ýî ÓþÂã (X Y ) .Y
Y
(6
î ´¨ µÆ üµìø ú ø üµìø Y (7
.Àª µÆ Ýû ø ¥ Ýû Y î ´¨ üú Y üµìø ú ø üµìø (8 . (fx 2 R j a < x < bg) = (fx 2 R j a < x < bg) = fa; bg (9 öø ¤¢ ¤µÆ Y î ´¨ äÞ¹õ ×þ ¤µÆ üµìø ú ø üµìø Y î Àî ´
(10
.Àª ©¢¡ ¤Âì ù¢Ôµ¨ ¢¤õ ãê¢ fÀã î ´¨ üÞûÔõ µ¨¢ ö ¥ üÚþÆÞû úÔõ .´êÂð Àû¡
X bäÞ¹õ Âþ¥ .´¨ ýó ýÌê X ÝþÂð .Óþ Âã 21.1.2 x 2 U X ¤¢ U ¥ ýäÞ¹õ î Ýð x üÚþÆÞû ×þ ü¤¬ ¤¢ ¤ x 2 N N
.¢ª ´êþ N .Àªüõ ÇÏÖ÷ ¥ ×þ Âû ¥ ýüÚþÆÞû ,¥ bäÞ¹õ Âû
.ñ·õ 22.1.2
Æ
.´¨ A ü÷ø ¤¢ ¯Ö÷ ¥ ×þ Âû ¥ ýüÚþÆÞû A= ; A bäÞ¹õ Âû ,Øþ ÂüÜî î Àû¢ öÈ÷ .´¨ ýó ýÌê X ÝþÂð
.ßþ ÂÞ 23.1.2
.´¨ ¢õ x ¥ üÚþÆÞû ×þ Ûì ,x 2 X bÎÖ÷ Âû ý¥ (1 .´¨ x ¥ ýüÚþÆÞû ÷ M ùÚ÷ ,N
M ø Àª x ¥ ýüÚþÆÞû N Âð
(2
.´¨ x ¥ ýüÚþÆÞû ÷ N \ M ùÚ÷ ,Àª x ¥ üþûüÚþÆÞû N ø M Âð (3 ¢ø ý¤Ï x ¥ U üÚþÆÞû ×þ ,x ¥ N üÚþÆÞû Âû ø x 2 X Âû ý¥ (4 .Àªüõ ÇÏÖ÷ ¥ ×þ Âû ¥ ýüÚþÆÞû U ø U
N î ¢¤¢
27
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
úµªÚ÷ üÚµ¨ 2.2
úµªÚ÷ üÚµ¨
ü¤¬ ¤¢ ¤ Y ø X ýó ýûÌê öõ f : X
!Y
â
2.2
.Óþ Âã 1.2.2
.Àª ¥ X ¤¢ f 1 (U ) öø ¤ø ùb¤Ú÷ ,Y ¥ U ¥ bäÞ¹õ Âû ý¥ î Ý𠵨 ýûÌê ß X
!Y
´ â ø X : X
! X ü÷Þû â
.ñ·õ 2.2.2
.ÀµÆû µ¨ â ¥ úó·õ ßþ ù¢¨ ,ýó Âê â Âû ùÚ÷ ,Àª µÆÆð ýó X üþÌê Âð
.ñ·õ 3.2.2
ß °ÜÎõ ßþ Ûó¢ .´¨ µ¨ Y ÂÚþ¢ ýó ýÌê X ¥ f : X
!Y
.´¨ ¥ ßþ ø X ¤¢ ´¨ ýäÞ¹õ ,Y ¤¢ ¥ bäÞ¹õ Âþ¥ Âû öø ¤ø :´¨ â Âû ùÚ÷ ,Àª §ÞÜõ ýó ýó üþÌê Y Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ µ¨ ,Y ýµ X ù¿ó¢ ýó ýÌê ¥ f : X
!Y
.Àî ùÀûÈõ À÷üõ Àã ßþÂÞ ¤¢ ¤ ÝØ ø¢ ßþ ÅØä .¢ªüõ üêÂãõ µ¨÷ üã ,Àã ñ·õ ¤¢
f;; Rg [ f( 1; x) j x 2 Rg î X = (R; U ) ÝþÂð .ñ·õ 4.2.2 f 1 ( 1; y 2 ) = Âþ¥ ;´Æ÷ µ¨ f â .´¨ f (x) = x bή f : X ! X öä ¤ À÷µ¨ X X ¥ â Àî Øþ ± .´Æ÷ ÕÜãµõ U î ( y ; y ) ø
U
=
.(¢ª ãÂõ (4)-5.2.2 ßþÂÞ ) Ýþ¤³¨üõ ùÀ÷¡ ßþÂÞ .ßþ ÂÞ 5.2.2
Àî ´ .Àª X  ýó ø¢ U 0 ø U ø ù¢ ù¿ó¢ ýäÞ¹õ X ÝþÂð (1 .U 0
U î ´¨ µ¨ üµìø ú ø üµìø (X; U ) ! (X; U 0 ) ü÷Þû â
ýÌê Âû ý¥ ' î ´¨ ´¬¡ ßþ ýó üþÌê X Àî Âê (2 ý¤¢ X Àî ´ ."´¨ µ¨ f ,f : X
!Y
â Âû ø Y ýó
µÆÆð ýó üþÌê Y Àî Âê :üþÞû¤) .´¨ µÆÆð ýó (.´¨ ýÌê Âû ý¥ ' î ´¨ ´¬¡ ßþ ýó üþÌê X Àî Âê (3 ý¤¢ X Àî ´ ."´¨ µ¨ f ,f : X
!Y
â Âû ø X ýó
28
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
úµªÚ÷ üÚµ¨ 2.2
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
ýó üóø Y ýÌê X Àî Âê :üþÞû¤) .´¨ §ÞÜõ ýó (.´¨ §ÞÜõ
U = f;; Rg [ f( 1; x) j x 2 ýó
üÖÖ ¢Àä bäÞ¹õ X ÝþÂð (4
Âè î ´¨ µ¨ üµìø ú ø üµìø f : X
!Y
f (x0 ) ùÚ÷ ,x
â Àî ´ .´¨ Rg
Àª ´¨¤ bµ¨ ø (f (x) > > x0 Âð ,üãþ) ù¢ üóø ÷ Âð î ¢ª ´êþ ö ý Æ > 0 ×þ ," > 0 Âû ø x 2 X Âû ý¥ ,üãþ) .(jf (x)
f (x0 ) < " ùÚ÷ ,x0
j
x < x0 + Æ
.¢Þ÷ ö ¢ªüõ ÷ µÆ ýûäÞ¹õ ×Þî ¤ â üÚµ¨ ú ø üµìø Y ø X ýó ýûÌê ß f : X
!Y
â
.Ìì 6.2.2
X ¤¢ f 1 (C ) bäÞ¹õ ,Y ¤¢ C bµÆ bäÞ¹õ Âþ¥ Âû ý¥ î ´¨ µ¨ üµìø
.Àª µÆ ¤¢ ø ´¨ ¥ Y ø f 1 (Y
C ùÚ÷ ,Àª µÆ C Âð .´¨ µ¨ f Àî Âê :±
C) = X
f 1 (C ) õ .Àªüõ ¥ f 1 (Y
C ) bäÞ¹õ ¹µ÷
,¤¬ ßþ ¤¢ .Àª ¥ Y ¤¢ U Àî Âê ,ÅØãó .´¨ µÆ f 1 (C ) ßþ ,´¨ µÆ ÷ f 1 (Y
2
f 1 (U ) bäÞ¹õ ¹µ÷ ¤¢ ø ´¨ µÆ Y
U) = X
C
.´¨F üÚµ¨ Áó ø ,f 1 (U ) ö¢ ¥ üãõ ßþ î
,¢¤Ú÷üõ ¥ ýûäÞ¹õ ¤ ¥ ýûäÞ¹õ î üã
.Óþ Âã 7.2.2
ýûäÞ¹õ ¤ µÆ ýûäÞ¹õ î üã ,Èõ ¤¬ .¢ªüõ ùÀõ÷ ¥ ´ªÚ÷ .¢ªüõ ùÀõ÷ µÆ â ,¢¤Ú÷üõ µÆ ¯Ö÷ ú Ûõª Y Àî Âê :´Æ÷ µ¨ î ý¥ â (1
.ñ·õ 8.2.2
f g
X Àî Âê ,ß»Þû .Àî ¿µ÷ Y  ¤ µÆÆð ýó ÷ ø Àª a; b f :X
!Y
â .´¨ üóÞãõ ýó ùÂÞû üÖÖ ¢Àä ýó ýÌê
f (x) =
bή a b
x 0 Âð x < 0 Âð
üþÌê ¥ â Âû .´Æ÷ ¥ X ¤¢ f 1 (fag) ,Âþ¥ .´Æ÷ µ¨ üóø ´¨ ¥ .´¨ ¥ fõ ó,µÆÆð ýó ýÌê ×þ ýó 29
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
úµªÚ÷ üÚµ¨ 2.2
,´Æû ÷ µÆ , ¤¢ ùÀõ f : X
!Y
â .´Æ÷ µ¨ î ýµÆ â (2 .ÀªüÞ÷ µ¨ üóø
X ,X = Y = fa; bg Ýî Âê :µÆ ÷ ø ´¨ ¥ ÷ î ýµ¨ â (3
´ªÚ÷ ¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ §ÞÜõ ýó ùÂÞû Y ø µÆÆð ýó ùÂÞû
f g ¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ f;; fag; Y g ýó
.´¨ ß f : X
!Y
ü÷Þû
X ,X = Y = a; b Ýî Âê :´Æ÷ µÆ üóø ´¨ ¥ î ýµ¨ â (4
ùÂÞû Y ø µÆÆð ýó ùÂÞû
.´¨ ß x 7! a bή f : X
!Y
´ ´ªÚ÷
ùÂÞû X = fa; bg Ýî Âê :´Æ÷ ¥ üóø ´¨ µÆ î ýµ¨ â (5
´ªÚ÷ ¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ üóÞãõ ýó ùÂÞû Y = R ø µÆÆð ýó .´¨ ß f (b) = 1 ø f (a) = 0 bή f : X
!Y
bÞû ´¨ ßØÞõ ,Ýî ǑÖó f  üµþ¢øÀ½õ Âð î Àû¢üõ öÈ÷ Âþ¥ ßþÂÞ .À÷ª üÔµõ X ýó ýûÌê ß µ¨ üã f : X
!Y
ÝþÂð
.ßþ ÂÞ 9.2.2
Ø ßþ ¥ ×þ Àî ,Àª üþ¨ø¢ () ø ,ª () ,×±Øþ () f Âð .´¨ Y ø F (3) ,¡ µÆ üóø ´¨ ¥ F (2) ,µÆ ÷ ø ´¨ ¥ ÷ F (1) :ÀµÆû ´¨¤¢
?µÆ Ýû ø ´¨ ¥ Ýû F (4) ,¡ ¥ üóø ´¨ µÆ ù¢¨ ù¢ãó ëê DZ .´¨ µ¨ ,µ¨³þ â °î ,ýÀã ÝØ §¨  .´¨
! Y ø ù¢ ýó ýûÌê Z ø Y ,X ÝþÂð .Ìì 10.2.2 ÷ h = g Æ f : X ! Z ú÷ °î ¤¬ ßþ ¤¢ .Àª µ¨ üã g : Y ! Z øf :X
.´¨ µ¨ f 1 (g 1 (U )) Áó ø ´¨ ¥ Y ¤¢ g 1 (U ) ¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ ¥ Z ¤¢ U Ýþ ð :±
.(g Æ f ) 1 (U ) = f 1 (g 1 (U )) õ .´¨ ¥ X ¤¢
2
,öÆØþ) ¥ ¤Þû ýó ýÌê ø¢ ü¤¬ ¤¢ î Àþðüõ õ ýÀã ÓþÂã .Ýîüõ ù¢Ôµ¨ ÝÆê¤ õÿÞû Ôó ¥ ´ó ßþ ¤¢ ;À÷ªüõ µêÂð (... ø  Ýðüõ ü¤¬ ¤¢ .Àª ýó ýûÌê Y ø X ÝþÂð ×þ Âû î À÷ª ´êþ g : Y
!X øf :X!Y
.Óþ Âã 11.2.2
bµ¨ â î Àê¤ õÿÞû Y
ø
X
30
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
úµªÚ÷ üÚµ¨ 2.2
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
ßþ ¤¢ .(À÷µ¨ g ø f ø g Æ f = 1Y ø f .ÀµÆû Y
ø
X
ß üþúÞÆê¤ õÿÞû
g
ø
Æ g = 1X ,üãþ) ´¨ ýÂÚþ¢ öø ¤ø Y ÝÆþ÷üõ ´ó f Ýðüõ ø X =
f : üã :´¨ ß ,ÝÆê¤õÿÞû ý ñ¢ãõ ÓþÂã
.´ª¢¢þ 12.2.2
Øþ Â ùø
ä úÞÆê¤õÿõû ,ßþ .µ¨ öø ¤ø ø üþ¨ø¢ ,ƨ X
!Y
¤¬ ÷ ¤ ¥ ýûäÞ¹õ ,Àîüõ ÂÒµõ Ýû ×±Øþ ¤¬ ¤ ¯Ö÷ .À÷¥¨üõ ÂÒµõ Ýû ×±Øþ ,ýó ýûÌê bÞû bþ¢Âð ß ¤¢ ö¢ ÝÆêÂõÿõû bΤ
.Ìì 13.2.2
ýûµ¨¢ ýó ýûÌê bÞû §
î ,°Â ßþ .´¨ ý¥ ¤ Ýû ý Τ .¢¢Âðüõ ÝÆÖ é¤õÿõû ©¢¡ ýó ýÌê ×þ ¥ ü÷Þû ´ªÚ÷ î ¢ª ´¨ üêî :± ,ÝÆê¤õÿõû ø¢ °î ø ´¨ ÝÆê¤õÿõû ,ÝÆê¤õÿõû Âû öø ¤ø ,´¨ ÝÆê¤õÿõû
2
.´¨ ÝÆê¤õÿõû Ýþ¤¢ ,ö  ùø
ä .Ýþ¢¤ø é¤õÿõû ýûÌê ¥ üþúó·õ 1.1 Ç¿ ¤¢
d µõ M ýµõ ýÌê ¥ ܬ ýó ýÌê X Âð (1
.ñ·õ 14.2.2
d0 (x; y ) = d(x; y )=(1 + µõ M ýµõ ýÌê ¥ ܬ ýó ýÌê Y ø ù¢
.ÀµÆû é¤õÿõû Y ø X ùÚ÷ ,Àª d(x; y )) ýó ýÌê Y ø üóÞãõ ýµõ ýó Rn ýÌê X Àî Âê (2 é¤õÿõû Y ø X ,¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ d(x; y ) = max jyi
j
xi µõ ¥ Û¬
ýó Y = Rn ø üóÞãõ ýó X = Rn Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .ÀµÆû .ÀµÆû é¤õÿõû Âè Y ø X ùÚ÷ ,Àª µÆÆð .ßþ ÂÞ 15.2.2
f 1 ö ¤¢ î Àþ¤ø f : X
!Y
µ¨ üã ø Y ø X ýÌê ø¢ ¥ üó·õ (1 .Àª±÷ µ¨
ú ø üµìø Y ø X Àî ´ .ÀµÆû ýó ýÌê Y ø X Àî Âê (2 üþ¨ø¢ fø î ¢ª ´êþ ö f : X ! Y üã î ÀµÆû é¤õÿÞû üµìø ¥ f (U ) î Àª ¥ üµìø ú ø üµìø X ¥ U bäÞ¹õ Âþ¤' ü÷ ¤¢ ø ù¢ ."Àª 31
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÚµ¨ ø ý ó 2 ÛÊê
úµªÚ÷ üÚµ¨ 2.2
b¥ ø M ø m ´±·õ ¢Àä b¥ î ÀµÆû ö R2 bäÞ¹õ  d0 ø d ýûµõ (3 þ¤¢ û y; y 0 2 Y bÞû m d1 (x; y )
d2 (x; y) M d1 (x; y)
ûµõ ßþ ýÂð¤Ø ¥ Û¬ ýó ýÌê ø¢ ¤¬ ßþ ¤¢ î Àû¢ öÈ÷ (.ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ Y ü÷Þû ´ªÚ÷ :üþÞû¤) .Àê¤õÿÞû ýúÞÆê¤õÿõû bÞû bäÞ¹õ ÂÚÈþÞ÷ G(X ) ø ýó üþÌê X ÝþÂð (4 .´¨ ùø Âð ,â³ °î ÛÞä ùÂÞû G(X ) Àî ´ .´¨ f : X
´ .Gx (X ) := ff
!X
2 G(X ) j f (x) = xg ý x 2 X Âû ý¥ Àî Âê .´¨ G(X ) ¥ üûø Âð Âþ¥ Gx (X ) Àî
.´Æ÷¢ ýó ýûÌê bãóÎõ ÝÜä öüõ ¤ ýó
.´ª¢þ 16.2.2
.À÷ªüõ µêÂð üØþ ,é¤õÿõû ýûÌê ,ÝÜä ßþ ¤¢ ¤ ¢õ ýûÌê ýø ¤ ¥ ÀþÀ ýûÌê Àó ý üþúªø ¤ ,Àã ÛÊê ¤¢ .¢Þ÷ Ýû¡
32
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
3 ÛÊê ÀþÀ ýó ýûÌê Àó
X
 ¢õ ý ó ¥ .Àª
X
üþÖó ý ó
1.3
S
Ýî Âê
ý ó ýÌê ¥ ýä¹õ Âþ ¥
S Â
.Ýî ú Ý÷ üõ
ù¢÷¡ ¥ ¤±ä
X
ý ó ýÌê ¥
.´¨
U
:=
S
fU \
X
S Â üþÖó ýó
¤¢ üû¿ó¢ ¥ äÞ¹õ
ùÚ÷ ,Àª
X
S
 ý ó ×þ
U
Âð ,ù¡
S j
2
2 (U J
j
S
.´¨ ÕÜãµõ
\ S)
.Àõ÷üõ ÷
U
= ùÚ÷
S
\S U
üþÌê Âþ¥ S
.Ýó 2.1.3
Âð
¤¢ ¥ ýûäÞ¹õ ù¢÷¡
S
= X \ S ø ; = ;\ S ö
U2
\S
ø
U1
j 2 Ug
S U
,
,˻
ý ó
.´¨ ¥,Àû¢üõ
Ýî Âê ¯Âª ßõø¢ ýÂ
S
ö
Â¬ä ¥ ù¿ó¢ ýù¢÷¡ .´¨ ÕÜãµõ
ü±Æ÷
ÛØÈ ýûäÞ¹õ
\S (U1 \ S ) \ (U2 \ S ) = (U1 \ U2 ) \ S U fU \ S j j 2 J g S U ( 2 )\S
¥ Ìä ø¢
U
U
.Óþ Âã 1.1.3
Øþ ± ý ö¢ ý ó ¯Âª ¨ ÕÖ½ :±
S
.¢¢Âðüõ ¹µ÷ ÝØ ßóø fÞÖµÆõ ,S ,¤ ¬ ßþ ¤¢ ;Àª
î
¤¢ ¥ ýû äÞ¹õ ù¢÷¡ .¢ Àû¡
¤
U
ý ó ×þ
S
X
÷
j
J
.Óþ Âã 3.1.3
¤ üþÖó ý ó ìø ü¡Â
Ýðüõ ùÚ÷ ,Àª üþÖó ý ó ý¤¢
j
¥
S
ýäÞ¹õ Âþ ¥ Âð
33
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ÀþÀ ý ó ýûÌê Àó 3 ÛÊê
üþÖó ý ó 1.3
.´¨ ùÂÞû (üóÞãõ ý ó
)
R
¥
[a; b℄ bäÞ¹õ
X ¥
.ñ·õ 4.1.3
Âþ ¥ Âð
ýûäÞ¹õ ùÚ÷ ,Àª üþÖó ý ó
[a; ); (d; b℄; (d; );
a < < b; a < d < b; a d
j
2J
a
a
Å ,a
an
.an
bn
a
n
Ýî Âê öî
bn
¹µ÷ ¤¢ ø
×þ ý¥ ,a
+1
ݪ µª¢
ý
n
b
a
ø
m
bn
ý
n
Âû ý¥
¼½¬ ¢Àä ´Ô Âû
fa1 ; a2 ; g fa1; a2 ; g fb1 ; b2 ; g
b äÞ¹õ
.´¨
Âû ý¥ ö .Àª
ý ü öÂî ßþ µð¤ .b
bn
+1
b
2
Ýî Âê .´¨
n ý n Âû ý¥ ¤ ¬ ßþ
= b 2 [0; 1℄ ø À÷ªüõ ¤ [0; 1℄ ùb¥ U
ö
0 î ,¢¤¢ ¢ø (a "; a + ") Uj ¥ ýù¥ ,´¨ ¥ Uj ö aN < " ¹µ÷ ¤¢ ø 2 N < " î Ýîüõ ¿µ÷ ö ý N ´±·õ ¼½¬ .bN ¹µ÷ ¤¢ ;b bN < 2 N < " ø a aN < 2 N < " ø a 2 [aN ; bN ℄ õ
¢Àä
Âþ ¥ ºû ¤
2
[aN ; bN ℄
Ý÷¢üõ Âþ ¥ ,´¨ Ëì î
[aN ; bN ℄
.À÷ª öüÞ÷
± fÀã
(a U
"; a + ")
¥ üûµõ Ǫ
.¢¢ öÈ÷ ¤ Âþ ¥ ÝØ ý ¤Âì ø ù¢¢ ÝÞã öüõ ¤ ñÀµ¨ .Àª Àû¡ ¤ °ÜÎõ ßþ ¥ ý ÂÚþ¢
,I
= [0; 1℄ R
î ,I
n
:= I I
Rn
.¹µ÷ 12.1.4
n
Àø °ãØõ
.´¨ ù¢ÂÈê
üþÌê Âþ ¥
S
X
ø µ¨ üµªÚ÷
f : X
!
.´¨ ù¢ÂÈê üþÌê Âþ ¥ ÷
¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨
f (S )
Ǫ Âþ ¥ ,´¨ ù¢ÂÈê
f (f 1 (Uk ))
2
S
ý ¥ üȪ
ö .´¨
õ .´¨ üûµõ .Àªüõ
U
K
S
Y
.Ìì 13.1.4
Ýþ Âð
f (S )
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,´¨ ù¢ÂÈê
U = fUj j j 2 J g U 0 = ff 1(Uj ) j j 2 J g U 0 ff 1(Uk ) j k 2 K g Ýî Âê :±
ý ¥ üȪ
,ßþ .¢¤¢ ¢ø
¥
¥ üûµõ üȪ Âþ ¥ î ,´¨
.´¨ ù¢ÂÈê
[0; 1℄ R
µÆ ù b ¥ Âû (1
f (S )
ý üȪ
üûµõ
Uk
.¹µ÷ 14.1.4
66
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
ù¢ÂÈê ýÌê 1.4
ý üêî ø ¥ ¯Âª .Àê¤ õÿÞû ý ó
ýÌê ø¢
.Àª ù¢ÂÈê
f :
´ªÚ÷ ´±Æ÷ üµÞÆì ¤¡ ý ó
Y
Yø X
Àî Âê (2
î ´¨ ßþ ,Àª ù¢ÂÈê
Y
ý¤¢
.´¨ ù¢ÂÈê
Y
ø ù¢ ù¢ÂÈê
X
X
Øþ
Âð (3
X
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
!Y
.´¨ üúþÀ ÝØ ßþ ±
.´ª¢¢þ 15.1.4
ýÌê ºû , b ¹µ÷ ¥ (2) ÝØ §¨ Â î ¢ª
.Àª é¤ õÿÞû ù¢ÂÈê ýÌê ×þ À÷üÞ÷ ý ù¢ÂÈê Âè
.ñ·õ 16.1.4
ù¢ÂÈê ,ù¢ÂÈê ýÌê ×þ ¥ äÞ¹õ Âþ ¥ Âû î ¢¤À÷ üõø ó .´Æ÷ ù¢ÂÈê î ´¨ .¢Þ÷ ÕÖ½ ¢ªüõ
f ·õ Âþ ¥ [0; 1℄ ùb¢ÂÈê ýÌê ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥ (0; 1) ,
f(1=n; 1 1=n) j n 2 Ng
Ǫ ͨ üµû¤ ¤ °ÜÎõ ßþ
.Ìì 17.1.4
.´¨ ù¢ÂÈê ,ù¢ÂÈê ýÌê ×þ ¥ µÆ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû
S
×þ Âû ö ¤¢ î ,´¨ î Ýîüõ Ñ
õ ,S
X
S
fUk j k 2 2
ý ¥ üȪ
U = fUj j j 2 J g
2
Ýþ Âð :±
j J Uj ö .Àªüõ X ¥ ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥ û Uj ¥
üûµõ üȪ Âþ ¥ ,´¨ ù¢ÂÈê Ûت þ ø ´¨
.˻
X
fUk j k 2 K g
ö ø ´¨ Ûت þ
X
X
S
U [ fX
S
ý üûµõ Ǫ Âþ ¥ ßþ
K
´ó ø¢ Âû ¤¢ ,ßþ .´¨ üûµõ .À÷ªüõ ¤
ý ¥ üȪ
.¢¤¢
fUk j k 2 K g [ fX U
ü¨¤  ¤ üð¢ÂÈê  ý Âð´ÞÆì ¤¡ þ ø ý ó
g Kg S
î ,
î ´¨
g
¥ üûµõ üȪ Âþ ¥
ö¢Þ÷ ǑÖó Âb ¹þ
.´¨ ü ÂÌܬ ý ó ´÷ ,öî .Ýþ¢Þ÷
ý üêî ø ¥ ¯Âª .Àª ý ó ýÌê
Y fWj j j 2 J g
.Àª ù¢ÂÈê
X
X
¤¢ û
ý ¥ üȪ
X
S
ø
î ,´¨
´¨ ù¢ÂÈê
.Ìì 18.1.4
Ýþ Âð
Y
ø
X
ýÌê ø¢ Âû Øþ
Ýþ Âð .Àª ù¢ÂÈê
Y
ø
X
Àî Âê :±
Vj;k ) fUj;k Vj;k j j 2 J ; k 2 K g x 2 X fxg Y fUj;k Vj;k j j 2 J ; k 2 K g fUi (x) Vi (x) j i = 1; ; n(x)g Uk;j
X
î ´¨ ßþ Àª ù¢ÂÈê
k K (Uj;k
2
ÛØÈ
ýÂ ý¥ ÇÈ
ýÌê Âþ ¥ ý
Wj
Âû Óþ Âã
,ßþÂ
Âû ý¥
ý ý¥ Ǫ ,´¨
Y
.À÷¥
Y
.´¨
¤¢ û
.Àû¢üõ ÛØÈ
ö ø (´¨ é¤ õÿÞû
Y
üûµõ üȪ Âþ ¥ ý¤¢ ,´¨
Vj;k
X
Y ø
Y
,Âþ ¥)
fxg Y
67
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
b þ¢Âð ,°Â ßþ .U
ù¢ÂÈê ýÌê 1.4
0(x) := Tn(x) Ui (x) Ýþ Âð i=1
X
üȪ Âþ ¥ ý¤¢ ßþ ø Àû¢üõ ÛØÈ
fU 0 (xi ) Vk (xi ) j i = X Y 0 U (xi ) fWj j j 2 J g i
,õ .Àªüõ
î ´¨ ߪø ¤
fxg Y fU 0(x) j x 2 X g fU 0 (xi ) j i = 1; ; mg 1; ; m ; ki = 1; ; n(xi )g j 2J ki i Vk (xi ) Uj;k Vj;k Wj X Y X Y .À÷ª³ ¤
À÷üõ î
ý ¥ üȪ
.´¨
üûµõ
Ûî ý üûµõ ø ¥ Ǫ
î À÷¤¢ ¢ø ö ý
¢ø
k
2K
×þ ø
×þ ,
¥ üûµõ üȪ Âþ ¥ ,¹µ÷ ¤¢ .
Âû ø
Âû ý¥
i
.À÷ªüõ ¤
Y
ýûÌê ,ÀµÆû µ¨
ø
X
ö ùÚ÷ ,Àª ù¢ÂÈê
2
Âð ,ÅØãó
.À÷üõ ù¢ÂÈê ÷
ùÚ÷ ,Àª ý ó ý
î ¢¤¢
i
Xn
ýûÌê
Âû ý¥ î ´¨ ßþ
X1
ø
üð¢ÂÈê ý üêî ø ¥ ¯Âª .Àª ù¢ÂÈê
I n := [0; 1℄n
Àø °Øõ
n
,´¨ ù¢ÂÈê
X
.¹µ÷ 19.1.4
ø . . . ,X2 ,X1 Âð
X2 X n
Y
I := [0; 1℄
ö
Xi
.ñ·õ 20.1.4 .´¨ ù¢ÂÈê
ý¢Àä î Ýð Âû ø
x = (x1 ;
ü±ãØõ
ù¢ÂÈê
Rn
n
¤À÷Âî
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
; xn ) 2 S
öø ¤¢ ¤¢
S
Rn
¥
S
.ÓþÂã 21.1.4
b äÞ¹õ Âþ ¥
0 üÖÖ Ýª µª¢ ý i = 1; ; n .Àª µª¢ ¤Âì 2K âÜ®
b ÎÖ÷ Âû ý¥ î ¢ª ´êþ ö
,ÂÚþ¢ ö
jxi j < K
.
K >
.ñ¤-ßþû bÌì 22.1.4
¥ ¤À÷Âî ø µÆ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû
.´¨
×þ ¤¢
S
î ¢¤¢ ¢ø ý
é¤ õÿÞû Àø °ãØõ
K >
0 ¢Àä Å
.Àª ¤À÷Âî ø µÆ
n °ãØõ n ßþ ,õ
ø ´¨ ù¢ÂÈê üþÌê ¥ µÆ ýäÞ¹õ Âþ ¥
S
.¢Âðüõ ¤Âì
S
Ýþ Âð :±
2K âÜ® °ãØõ
n
,Å .Àªüõ ù¢ÂÈê ßþ ø ´¨
2
.Àªüõ ù¢ÂÈê ßþÂ
.((14)-7.2.4 ßþ ÂÞ) ´¨ ´¨¤¢ ÷ Ìì ßþ ÅØä
.´ª¢¢þ 23.1.4
68
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
ù¢ÂÈê ýÌê 1.4
.ñ·õ 24.1.4
:À÷ù¢ÂÈê Âþ ¥ ¤¢ ø ÂÈõ ýûÌê ¥ ×þ Âû
n+1 ¥ ý ¤À÷Âî ø µÆ äÞ¹õ Âþ ¥) ;(R b
Sn
n
;S
n ýª ù¤Ø÷) b
;(S .(R
3
Sn (1
RP
n
(2 (3
¥ ¤À÷Âî ø µÆ ýäÞ¹õ Âþ ¥) §õ ¤÷ (4
.ßþÂÞ 25.1.4 ?À÷ù¢ÂÈê Âþ ¥ ¤£ ø ÂÈõ ýûÌê ¥ ×õÀî (1
2) Int(D n ) = fx 2 Rn j kxk < 1g; 1) D n = fx 2 Rn j kxk 1g; 3) f(s; t) 2 R2 j 0 s 1 ; 0 t 4g; 4) f(s; t; u) 2 R3 j s2 + t2 1g \ f(s; t; u) 2 R3 j t2 + u2 1g .´¨ ¤À÷Âî fõ ó
µ¨
f
Rn
¥ ù¢ÂÈê b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû î Àû¢ öÈ÷ (2
î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ú ø üµìø
Âè ø µÆ ©¤¢Þ÷ î Àþ ¤ ø
g : I
f :I
!R
!R
â ¤¢Þ÷ î Àî ´ (3
µ¨÷ â ×þ ¥ üó·õ .Àª .Àª ù¢ÂÈê
â b Þû äÞ¹õ
F (X; Y )
Ýþ Âð
.Àª ý ó
Y
ýÌê
ø
Y AX Y X B A F (X; Y ) F (A; B ) := ff 2 F (X; Y ) j f (A) B g A Xg L = fF (A; B ) j B Y
öÈ÷ ýÂ
F (A; B )
ù¢Ôµ¨ ,À÷¤Ø÷üõ
¢Þ÷ ¥ ,B ¤
ø
î
Âð .Àª
´êþ ý ¤ Ï
ýÂ ý ó
×þ
¬ä ùÚ÷ ,f
Ýî Âê .Àª ù¢ÂÈê ÂþÁý µõ ý ó Ýîüõ Óþ Âã
ý ó
ø ´¨
2U
Âð
g
¤ ¬ ßþ ¤¢ î Àî ´
.(Àõ÷üõ
Y
:Ýîüõ
:Ýîüõ Óþ Âã ø
î ¢ªüõ
ýÌê
¥ µ¨
ø ù¢ÂÈê
U = fU 2 F (X; Y ) j f 2 F1 \ \ Fn U F1 ; ; Fn 2 L F (X; Y ) U ¤ ßþ) ´¨
Ýþ Âð (4
¥ ý ¬ä b Þû b äÞ¹õ Âþ ¥ ö¢¢
Ýþ Âð . ¥
X
F (X; Y )
¥-ù¢ÂÈê ýó
ýÌê ×þ
 öî .Àª
d (f; g ) := sup d f (x); g (x) : x2X F (X; Y ) ý µõ ×þ d ¤ ¬ ßþ
.´¨ ¥-ù¢ÂÈê ý ó öÞû fÖì¢
d
X
Ýþ Âð (5
µõ ý µõ
¤¢ î Àû¢ öÈ÷
F (X; Y )
Â
d
¥ Û¬
69
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
üÚþÆÞû Âû ,x
2X
ù¢ÂÈê ýÌê 1.4
Âû ý¥ î Ýð
Âð î Àû¢ öÈ÷ .´¨ ù¢ÂÈê î Àª
F (X; Y ) X ! Y
ù¢ÂÈê fã®õ x
d
X
2J
ý ¥ üȪ
î)
x
U = fUj j j 2 J g
U Ǫ Ù±ó ¢Àä
Uj
ýûäÞ¹õ ¥ üØþ ¤¢
X
X
üÌê
X
Ýþ Âð (7
Âð Àî ´ .´¨ ùÀª
) ¥
¥
(f; x) 7! f (x) bή
î ,Àª ù¢ÂÈê ý ó
Âþ ¥ Âû î ¢¤¢ ¢ø ö ( ¤Âì (j
ýÌê (6
üþ ¤ÀÖõ ´ªÚ÷ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª ù¢ÂÈê fã®õ
ý µõ ¥ ö ý ó
ùÚ÷ ,Àª
X
¥ ý µØî üÚþÆÞû ý¤¢
.´¨ µ¨
Û¬
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
Æ
Æ >
0 üÖÖ ý¢Àä
¥ µÞî ÂÎì b äÞ¹õ .¢Âðüõ
ý ÂÊä
1
1 ¤ U
î ,Àª
X
ùÚ÷ ,Àª
î Ýþ Âðüõ ÂÑ÷ ¤¢
V
[f1g
X
ÂÚÈþÞ÷
X1
ø ù¢ ý ó üþÌê
 ø ÂÔõ ý ó
[ f1g
U
Âð
.´¨
X
X
Ýþ Âð (8
¤¢ âìø Âè
Ûت ýûäÞ¹õ b Þû ùÂÞû
U
¤ ¬
1 î Àî ´ .´¨ µÆ ø ù¢ÂÈê X V bäÞ¹õ ø V X ×þ U 1 ¥ üþÌê Âþ ¥ X î Àî ´ ,ß»Þû .´¨ X 1 ý ý ó ´¨ X 1 1 ùø
ã ø .(Àõ÷üõ X ý ýÎÖ÷ × ý¥¨ù¢ÂÈê ¤ X ) ´¨ ù¢ÂÈê X
70
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
é¤ øÀ¨øû ýÌê
2.4
± ¢ ùÀª µ¨¡ ö ¤¢ î ´¨ (2)-6.1.2 ßþ ÂÞ Ç¿ ßþ áø ª b ÎÖ÷ ¯Ö÷ ¥ ø ¥ Âû ý¥ ùÚ÷ ,Àª ÂþÁý µõ ü®ø ÂÔõ ý ó ýÌê Âð î ¢¢Âð
y
2 x 2 Ux ,
×þ ý¥ ,x
6=
y
ö ,âìø ¤¢
.´¨ ö Â ¢õ ý ó
¥ ´Ô Âû ý¥ î ´¨
2 Ux
X
Uy
¤¢
X
B" (y )
é¤øÀ¨øû
î À÷ª ´êþ ö
Ux
ø
¥ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¤¢ þÞµõ
.´¨ ù¢¨ ö ±
¤ð¥¨ ø
.Ýþ ÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤
,x
Uy
î À÷ªüõ ´êþ ý ¤ Ï
 µõ ø
B" (x)
ü¤ ¬ ¤¢
ø
Ux
d
î
.Ux
\ Uy
d(x; y ) =
=
;
2" ý "
y
ø
ø
Uy
>
x
0
ýûäÞ¹õ ´¨ üêî öî
X
.ÓþÂã 1.2.4
ýÌê
¥ ýûäÞ¹õ ,x; y .Ux
2X
þÞµõ ¯Ö÷
\ Uy = ;
ø
y
2 Uy
.ñ·õ 2.2.4
.´¨ é¤ øÀ¨øû ,ÂþÁý µõ ýÌê Âû (1
.´¨ é¤ øÀ¨øû ©üóÞãõ ý ó ùÂÞû
Rn
(2
.´¨ é¤ øÀ¨øû ,µÆÆð ý ó ý ó ýûÌê Âû (3 Âè ,§ÞÜõ ý ó
ý¤¢ ø ÎÖ÷ ×þ ¥ Ç ý ó
ýÌê Âû (4 .´¨ é¤ øÀ¨øû
.ßþÂÞ 3.2.4 ú ø üµìø
X
Àî ´
.´¨ üûµõ ÝÞµõ ý ó üþÌê .Àª üûµõ
×þ ,s
2U
2F [s; t) U
Âû ý¥ Âð ú ø Âð
ßþ ¤¢ î Àî ´
.˻
R
U
 "
X
.Àª é¤ øÀ¨øû
Y
áµõ á÷ ¹þ ¤¢ .´¨
î ´¨ ßþ
X
ý¥¨À ¯øª
Ýþ Âð (1
î ´¨ é¤ øÀ¨øû üµìø
' Óþ Âã ý ó
F
î ¢ª ´êþ ö ý
.´¨ é¤ øÀ¨øû
ø ¥ ¯Âª Àî ´ .Àê¤ õÿÞû ý ó
X
ýÌê ø¢
Y
(R; F )
ø
X
Ýþ Âð (2
t > s ¤ ¬
Àî Âê (3
ö¢ é¤ øÀ¨øû Øþ ý üêî
¥ ý÷Þ÷ ,ö¢ é¤ øÀ¨øû ¯Âª
f Þä ,õ .Ýîüõ ÂÎõ ¤ ¯ø ª ßþ é¤ øÀ¨øû ýûÌê öÞú âìõ Â·î ¤¢
.´¨
71
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
ý¥¨À ñ¬ á÷
ü¤ ¬ ¤¢ .´¨ 4 þ ø 3 ,2 ,1 ,0 ¢Àè ¥ üØþ ø ÂÈõ
Tk
ý¥¨À ¯Âª ¤¢ î ,´¨ Ìê
Tk
k
×þ
Ýþ Âð
X
:1.4 Ûت
.ÓþÂã 4.2.4
ý ó
ýÌê Ýðüõ
:Àî ëÀ¬ Âþ ¥ ¤¢ üØþ î ¢ª ´êþ
X
¤¢ ¥ ýäÞ¹õ ,X ¤¢ ý ¹õ ¯Ö÷ ¥ ´Ô Âû ý¥
: T0
.¢ª (Óó)-1.4 Ûت .¡ ¤ ý ÂÚþ¢ üóø ,¢¤¢  ¤¢ ¤ î À÷ª ´êþ
X
Ûت .¡ ¤
¤¢ ¥ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¤¢ ý ¹õ ¯Ö÷ ¥ ´Ô Âû ý¥
x
ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
y
ý ÂÚþ¢ ø ,¡ ¤
y
ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
x
: T1
üØþ
.¢ª ()-1.4 À÷ª ´êþ
X
¤¢ ¹õ ø ¥ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¤¢ ý ¹õ ¯Ö÷ ¥ ´Ô Âû ý¥
Ûت .¡ ¤
x
ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
y
ý ÂÚþ¢ ø ,¡ ¤
y
ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
x
: T2
üØþ î
.¢ª ()-1.4
x
b ÎÖ÷ Âû ø
¤
F
F
µÆ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ý¥ ø Àîüõ ëÀ¬
üØþ î À÷ªüõ ´êþ ö
.ÀîüÞ÷ âÎì ¤
F
X
T1
¯Âª ¤¢
X : T3
¤¢ ¹õ ø ¥ b äÞ¹õ ø¢ ,F ¥ ¤¡
ø ¢ªüõ Ûõª ¤
x
ý ÂÚþ¢ ø ,¡ ¤
x
ø ¢ªüõ Ûõª
.¢ª (¢)-1.4 Ûت
72
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
ø µÆ ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ´Ô Âû ý¥ ø Àîüõ ëÀ¬ î À÷ªüõ ´êþ ö ¢ªüõ Ûõª ¤
F2
X
¤¢ ¹õ ø ¥ b äÞ¹õ ø¢ ,X ¥
F2
ý ÂÚþ¢ ø ,ÀîüÞ÷ âÎì ¤
T1
F2
¯Âª ¤¢
ø
F1
ø ¢ªüõ Ûõª ¤
ý ¹õ
F1
.¢ª (û)-1.4 Ûت .ÀîüÞ÷ âÎì ¤
ÝÑõ
.Àõ÷üõ
Àªüõ ßþ
T4
ø
T3
¤ Ìê
¯ø ª Óþ Âã ¤¢
T3 T1
é¤øÀ¨øû
ø ,
üØþ
F1
T2
¤ ýÌê
X : T4
ø
f Þãõ
.´ª¢¢þ 5.2.4
¯Âª ¢ø Ûó¢
8.2.4 b Ìì ) À÷µÆ ýÎÖ÷ × ýûäÞ¹õ î ´¨ üþûÌê ß ¤¢ î .(¢ª
ýûÌê
Ti
Ti T0 T 1 T 2 T 3 T 4
b Þû b þ¢Âð ,i
= 0; 1; 2; 3; 4
.
Âþ ¥ Íø ¤ ßþ ö¢ Àî ± .´¨ üúþÀ
2
.Ìì 6.2.4
Ýî Âê
î
¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ ý ó
T i Ti
+1 ¢¤ õ Âû ¤¢ Øþ :±
(2)-7.2.4 ßþ ÂÞ .¢¢ ¹÷ öüõ ñ·õ b ¤ ¤ ýäÞ¹õ
.ßþÂÞ 7.2.4 úø üµìø î Àî ´ .Àê¤ õÿÞû ý ó ýÌê ø¢ .(k
= 0; 1; 2; 3; 4 î) Àª Ìê-Tk ×þ X
ý¥ î Àþ ¥Æ ý÷ð ¤ .Àª±÷ Ìê
:üþÞû¤)
Tj
ý
j>k
.´¨ Ìê
T4
X4
ø
Y
ø
X
Ýî Âê (1
î ´¨ Ìê-Tk ×þ
X3 ,X2 ,X1 ,X0
Âû ý¥ üóø ,Àª Ìê
ý ó
Tk
×þ
Y
üµìø
ýûÌê (2
Xk
ý
k
Âû
fõ ó é¤ øÀ¨øû ù b ¢ÂÈê ýÌê Âû î Àî ´ (3
b Ìì ± ÀþÀª À÷ ÷ Âð ø ,Àþ ¥À÷ üûÚ÷ 10.2.4 b Ìì ± (.Àî 20.2.4
ýÎÖ÷ × b äÞ¹õ Âû î ´¨ Êê
T1
üµìø ú ø üµìø
X
.Ìì 8.2.4 .Àª µÆ ö ¥
ßþ ¤¢ .y
S
2
y X
2 X fxg
ø
fxg Uy = ßþÂ
x
2X
Ýþ Âð .´¨ Ìê
.¢¤¢ ¢ø ¢¤À÷  ¤¢ ¤
T1
×þ
x î y
X
Ûõª
Àî Âê :±
Uy
¥ ýäÞ¹õ ¤ ¬
73
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
¤¢ ßþ ø ´¨ ¥ ýûäÞ¹õ ¥ üäÞµ
X
.´¨ µÆ
fyg
X
ø¢ Âû
ßþ .¡ ¤
x
fxg
X
ø
fxg fxg fyg fxg
X
¤¢
y
ý ÂÚþ¢ ø ,¡ ¤
y
ø
ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
2
Âð ,ÅØãó
x
üØþ î ,À÷¥
.´¨ Ìê
A
T1
ù¢ÂÈê b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû
.´¨ µÆ
A î Ýî Âê Ý÷üõ ,´¨ üúþÀ A = X
2A a 2 Va
,a
x
Âû ý¥ .Ýîüõ ¿µ÷
.
ø
x
2 Ua
Âþ ¥ ,Àªüõ ù¢ÂÈê
U :=
A
ö ø .´¨
Va(i)
A
x
X
A
2X
ø
Ua
ý ¹õ ø ¥ ýûäÞ¹õ Âþ ¥
fVa j a 2 Ag fVa 1 ; ; Va n g x
,´¨ ¥
ÎÖ÷ Âû ,Å .U
ö¢ ¥ üãõ ßþ ;Àªüõ
Ua(1)
X
X
2
b äÞ¹õ öî
À÷õ üûµõ üȪ.
( )
( )
A
A
\ \ Ua n
( )
A
¹µ÷ ¤¢
¤¢ ñÞÈõ î .Àªüõ
X
ù b ¢ÂÈê ýÌê ¥ µ¨ üµªÚ÷
´¨ ÝÆê¤ õÿÞû
f
f :X
!Y
üµìø ú ø üµìø ,¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª
ßþ ÅØä .´¨ üþ¨ ø¢ ¹µ÷ ¤¢ .Àª üþ¨ø¢
f
Âû ý¥ î ´¨ µ¨
V
Âð ,õ .Àª µÆ
f
ùÚ÷ ,Àª ÝÆê¤ õÿÞû
Y
é¤ øÀ¨øû ýÌê
f
f (V )
Âð î ´¨ ߪø ¤ :±
f 1
Y
¤¢
üµìø ú ø üµìø ,¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ ¢õ
(f 1 ) 1 (V ) = f (V ) ,X V
¥¢
V
f 1
b µÆ b äÞ½õ Âþ ¥
b äÞ¹õ 17.1.4 ùÚ÷ ,Àª µÆ
,10.2.4 b Ìì Áó ø ´¨ ù¢ÂÈê ÷
2
î
Ýî Âê ,ßþ .Àªüõ °ó î ´¨ ÝØ
b Ìì Ûó¢ ßþ ø ´¨ ù¢ÂÈê ,´¨ µÆ
f
A
.Ìì 11.2.4
Àî Âê
.Àª ×±Øþ
¤¢
Ìê
´ó ¤¢ ÝØ ö :±
ý ¥ üȪ
î ¢¤¢
X
ýÎÖ÷ .´Æ÷ Ìê ¢¡ þ ø üú
¥ ×þ Âû ¥ ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
¢¤¢ ¢¡ ¢Âð ¥ ýäÞ¹õ ö¢ µÆ ,¹µ÷ ¤¢ ø
A
Va
;
A=
A
î À÷ªüõ ´êþ ý ¤ Ï
b äÞ¹õ .À÷ªüõ ¤
ø Àªüõ ¹õ û
2X
ø
X
×þ
.¹µ÷ 9.2.4 .Ìì 10.2.4
.´¨ µÆ ýÌä × b äÞ¹õ Âû ,é¤ øÀ¨øû ýÌê Âû ¤¢ ö ¤¢ ,X é¤ øÀ¨øû üþÌê ¥
X
¹µ÷ ¤¢ .Àªüõ ¥
ùÚ÷ ,Àª µÆ ø¢ Âû
ø ¢¤¢  ¤¢ ¤
fxg
Àû¢üõ öÈ÷ î ,X
.Àªüõ
f 1
X
f (V ) bäÞ¹õ ,13.1.4
üÚµ¨ üãõ ¢¡ ßþ î
74
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
.ñ·õ 12.2.4
µ üð¢ÂÈê ø ö¢ é¤ øÀ¨øû ¯Âª ø¢ Âû ÝØ ¤¢ î) Àª µÆÆð ý ó
üÖÖ ¢Àä b äÞ¹õ
Àª ©üóÞãõ ý ó ùÂÞû ä ø üþ¨ø¢ ,µ¨
X
!
Y
R
b äÞ¹õ ÷
Y
X
Âð ,Û·Þó üê Âþ ¥
.´¨
ø (´¨ é¤ øÀ¨øû Âè bõ ó
ü÷Þû ´ªÚ÷ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,(´Æ÷ ù¢ÂÈê î) .Àªüõ ÝÆê¤ õÿÞû
X
ù¢ÂÈê ýÌê ¥ ×±Øþ ø µ¨ üµªÚ÷
¹µ÷ ¤¢ ø ´¨ ÝÆê¤ õÿÞû
f :X
! f (X )
f :X
!Y
.¹µ÷ 13.2.4
Âð
Y
ùÚ÷ ,Àª
é¤ øÀ¨øû ýÌê .f
X (X ) =
.´ª¢¢þ 14.2.4
¥ ý ¤Æ ö¢ ÝÆê¤ õÿÞû ± , ÝØ ×Þî
.¢ªüõ ù¢¨ 2.3 Ç¿ ¤¢ ýúµªÚ÷
,ûÌê Âþ ¥ ¤¢ ÷Ú ö¢ é¤ øÀ¨øû ´¬¡ î Ýîüõ ÂÎõ ¤ Ǩ ßþ ñ .Àîüõ àÔ÷ üµÞÆì ¤¡ ýûÌê þ ø ú ÂÌܬ
.Ìì 15.2.4
.´¨ é¤ øÀ¨øû ,é¤ øÀ¨øû ýÌê ×þ ýÌê Âþ ¥ Âû
ýûäÞ¹õ ¥ ´Ô ×þ ¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª ýûäÞ¹õ ,öî .y
S
ßþÂ .y
2
2 Uy
2 Uy \ S
ø
2 Ux x 2 Ux \ S ø
x
S
î À÷ªüõ ´êþ ý ¤ Ï
.Àª ©üóÞãõ ý ó
ý¤¢
Rn
¤¢
¤¢
Uy
:±
Uy
¥
\S
Ux
ø
ø
Ux
\S
üêî ø ¥ ¯ ª .Àª é¤ øÀ¨øû
.ÀµÆû ý ó
Y
w2 = (x2 ; y2 ) ø
U1
Y w1 2
ø
ø
X
ýÌê
ø
X
Rn
¥ äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ,¤ ¬
.Ìì 17.2.4
Ýþ Âð
ýûÌê î ´¨ ßþ Àª é¤ øÀ¨øû
w1 = (x1 ; y1 )
ø ù¢ é¤ øÀ¨øû
¹õ ø ¥ b äÞ¹õ ø¢ ùÚ÷ ,x1
U1
¤ ¬ ßþ ¤¢ .x2
ø
U1
Y
Y
.ñ·õ 16.2.4
Ýî Âê
.´¨ é¤ øÀ¨øû ,©üþÌê Âþ ¥ ý ó
U2
S
,ÀµÆû ¹õ ,À÷¥
X
x Ýþ Âð
ø
.´¨ é¤ øÀ¨øû
ßþ ¤¢
ø¢
y
¥ øÔµõ b ÎÖ÷ ø¢
î ÀµÆû
2 U2 X Y
ø
x1
6 x2 = 2 U1
Y
ø
Âð .Àª
X
X
X
Y
Øþ ýÂ
Àî Âê :±
Y
¤¢ þÞµõ b ÎÖ÷
î À÷ªüõ ´êþ ý÷ð
¥ üþ ¹õ ø ¥ ýûäÞ¹õ Âþ ¥
U2
X
Y
¤¢ ø
75
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
ö ¤¢ î ,´¨  Ûì üúÈõ ñÀµ¨ ,y1 .¢ªüõ ù¢Ôµ¨
fxg X 2 S1
ø
X
fyg
6= y2
V2
X
ø
ø
X
V1
ýûÌê Âþ ¥ ùÚ÷ ,Àª é¤ øÀ¨øû
.ÀµÆû é¤ øÀ¨øû ,Àê¤ õÿÞû
S1
x1 = x2
S1
ýÌê ,´¨ é¤ øÀ¨øû
Y
R2
ø
2 U2 Y
Âð .w2
Ûت ýûäÞ¹õ ¥
X
X
Y
Âð ,ÅØãó
°Âµ î
X
Y
¥
.ñ·õ 18.2.4
ö
.´¨ é¤ øÀ¨øû
.ñ·õ 19.2.4
ÂÌܬ Âû ø ,é¤ øÀ¨øû üþÌê ¥ Ìê Âþ ¥ Âû Øþ
ýÌê î ¢Þ÷ ÝØ öüÞ÷ üÜî ´ó ¤¢ ,´¨ é¤ øÀ¨øû ,é¤ øÀ¨øû ýûÌê
X
f ·õ Àî Âê ,
.(A
.´¨ é¤ øÀ¨øû fõ ó ,é¤ øÀ¨øû ýÌê Âû üµÞÆì ¤¡
= (0; 1) ø X = R
Û·õ) Àª µÆ Âè
A
ýäÞ¹õ Âþ ¥ é¤ øÀ¨øû üþÌê
0 Âð ú ø Âð x x ' Óþ Âã ý¥ ¤Ýû b Τ î ´¨ X= ¥ ¤±ä Y Ýþ Âð 0 0 ×þ A ö¢Þ÷ íø  ¥ Û¬ ýÌê üãþ) ´¨ X  "fx; x g 2 A þ x = x ÂþÊ ´±Æ÷ üµÞÆì ¤¡ ý ó î
fx0 g 2
Y
ø ´Æ÷ µÆ
Y
¤
b ÎÖ÷ öø ¤ø ù b ¤Ú÷ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Ýî ùÂÞû
Y
¤¢
fx0 g
??
Â𠢪
b ÎÖ÷ ,ßþ .´Æ÷ µÆ
X
;X ¤¢ ÎÖ÷
: X
¤¢ ø ´¨
A
!
Y
ÂÂ
.Àª é¤ øÀ¨øû À÷üÞ÷
Y
üã±Ï
x0
2A
¹µ÷ ¤¢
é¤ øÀ¨øû fÞµ ,é¤ øÀ¨øû üþÌê ´ÞÆì ¤¡ Øþ ¥ öÞÏ ñÊ ý ¥ ý÷Þ÷ Âþ ¥ ÝØ .´¨ ¥÷
X
ýÌê «Ê¡ ¤¢ ý ÂµÈ ®ø ÂÔõ ,´¨ .´¨ ö
î Àª
X
ý ó
ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû
ýÌê üµÞÆì ¤¡ ýÌê
X
öþ  .À÷µÆ
Y
X
¤¢ ý þÞµõ ¯Ö÷
¤¢ üÚÞû î ,f ´½
y2
X
Ýþ Âð
ýª ´ªÚ÷ ͨ
ùÚ÷ ,Àª µÆ
¯Ö÷ ÂþøÊ ¥ À¤±ä
.À÷µÆ
Y
¤¢ ø ¹õ
f 1 ( y2 )
¹õ ø ¥ ýûäÞ¹õ ¥ ´Ô ×þ ,
,´¨ µÆ ¢ø
y1
Y
!Y
.Ìì 20.2.4 f
Âð ÷ ø Àª
Y
¯Ö÷ :±
¤¢ ýÎÖ÷ × ýûäÞ¹õ b Þû
f g f 1 (fy1 g) a 2 f 1 (y2 ) x 2 f 1 (y1 ) f 1 (fy2 g) a 2 Vx;a x 2 Ux;a fVx;a j a 2 f 1 (fy2 g)g A fVa;x j a 2 Ag f 1 (fy2 g)
ý¥ .ÀµÆû µÆ
Ux;a
ø
X
Ýþ Âð
f : X
Âð .´¨ ùÀª É¿Èõ
.Àªüõ (ù¢ÂÈê ø) é¤ øÀ¨øû
Y
üûµõ ýäÞ¹õ Âþ ¥
ö .
ø
ø
ýûäÞ¹õ .Àª
ø
b ÎÖ÷ Âû
î À÷¤¢ ¢ø ý ¤ Ï
Vx;a
ø
¥ üûµõ üȪ Âþ ¥ ßþ ø Àªüõ ÷ ù¢ÂÈê f ·õ ;À÷ªüõ ¤ ,
î ,
î ¢¤¢
76
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
À÷¤¢ ¢ø .Vx
=
S
Vx
ø
Ux
2
a A Vx;a ø Ux
B
üûµõ ýäÞ¹õ Âþ ¥ ø ¥
V =
=
T
2
x B Vx ø U
ßþ ø À÷µÆ ø¢ Âû
f g fUx j x 2 B g
ø
ý ¥ üȪ
î ¢¤¢
=
2
f g V
f (X
V)
ø À÷¥ ø¢ Âû
.
Ýî Âê
ø .
ø
f (X
\ W2
.W1
ø
f g U
f 1 ( y1 )
;
G
G
ùø Âð ø ù¢ é¤ øÀ¨øû ýÌê
V)
V)
X
Â
2
g
,(´¨
x
µÆ ÷
G
7!
¤ ¬ ßþ ¤¢
ÛÞä ö
g x
(C )
.˻
X
X
×þ
!
g : X
é¤ øÀ¨øû ýÌê Â
G = Z2
.´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
ýäÞ¹õ Âþ ¥
A
RP
ÂþÊ ÂÚÈþÞ÷ ,C
\ A 6= ;
! X=A
ø Àª
Âð ,õ .´¨ µÆ ÷
X
A)
RP n
X=A
ßþÂ
.¹µ÷ 21.2.4
X=G
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
!
X=G
C
Ýþ Âð
î ,
S
:±
2
g G g C
g C = g (C )
ö
.ñ·õ 22.2.4
X
Âð
Sn ùb¢ÂÈê
¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª
= (C
ùÚ÷ ,C
A)
ø
.¹µ÷ 23.2.4 C
X
¥ µÆ
Ýþ Âð :±
\A =; p(C ) = p(C A) [ p(C \ A)
C = p(C )
[ p(C \ A)
.
¥ µÆ ýäÞ¹õ Âþ ¥
Âþ ¥ ,Àªüõ µÆ ÷ ßþ î
p 1 p(C
öþ Â
´ªÚ÷ î Àû¢üõ öÈ÷ ßþ .´¨
ø ù¢ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
p : X
26 f (X U ) 1 (fy g) \ (X V ) = ; W 1 \ W2 = ;
ßþ ,´¨ ùÀª Û¬
.´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
U)
y
ßþ .´¨ µÆ
üûµõ ùø Âð ÛÞä ¥
n
f (X
´ªÚ÷ ,¤ Ñõ) ´¨ ÝÆê¤ õÿÞû
.´¨ µÆ
ø Àªüõ ¹õ
W1 = Y
Âð
: X
1 ( (C ))
¹µ÷ ¤¢ ;´¨ µÆ
2
X
¥
Âê ö
¥ µÆ ýäÞ¹õ Âþ ¥
.´¨ üã±Ï ÂþÊ
b ή
ø
ø
f
.´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
1 ( (C )) =
1 (y ) 1
î ¢ª ÕÖ½ ´¨ üêî ,ù¡
62 f (X
¹µ÷ ¤¢ .y
f
,´¨ µÆ
f (X
=
î
üûµõ üȪ Âþ ¥ öþ  .´¨
U)
W2 = Y
¥
öî
¢¢Âðüõ ¹µ÷ úþ ¥ ¥ î
üûµõ
ø
x B Ux ýûäÞ¹õ ßþ .Àªüõ f
1( y ) .f 2
2 W2 y1 2 W1 y 2 W 1 \ W2 f 1 (fy g) \ (X U ) = ; f 1 fy g) U \ V = ; 2
.y2
2
T
f 1 ( y2 )
.Àªüõ
1( y ) .f 2
a A Ux;a âìø ¤¢
f 1 ( y1
ù¢ÂÈê Ý÷¢üõ î ´¨
S
f g f g Vx x 2 Ux fUxk x 2 f 1 (fy2 g)g
ý ¹õ ø ¥ b äÞ¹õ ø¢ ,«Ê¿
Âð .Àª üã±Ï ùÚ÷
[A =C [A
77
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
2
.´¨ µÆ
p
´ªÚ÷ ßþÂ
b Ψø ¢Þ÷ ñÞä é¤ øÀ¨øû ýÌê ×þ  ¢ªüõ î ý ÂÚþ¢ ýúµþ¢øÀ½õ .´¨ ùÀª ù¢¤ ø ýÀä ßþ ÂÞ ¤¢ ,Àª é¤ øÀ¨øû Û¬ üµÞÆì ¤¡ ýÌê ,ú÷ .´¨ ùÀª ÂÎõ ÷ 20.2.4 b Ìì öø ¤ø ß»Þû
.ßþÂÞ 24.2.4 é¤ øÀ¨øû ýÌê ýø Â
X
µÆ üµìø ú ø üµìø
Y
¥
C
üµÞÆì ¤¡ ý ó ý¤¢
¥
U
Y
î Àþ ÂÚ ¹µ÷ (.Àª µÆ
.Àª µÆ
.´¨ µÆ
X
ú ø üµìø
Y
¤¢
Y
Y
f
X
Y
f 1 (C ) î ´¨
ͨ ùÀª É¿Èõ
ý ó ýÌê Àî ´ (2
Y
¤¢
Âð î Àî ´ .´¨ µ¨ üµªÚ÷
Y j y 1 = y2 g
f :X
X f(x1 ; x2 ) 2 X X j f (x1 ) = f (x2 )g ¤¢
Àî ´ .´¨ µÆ ø ¥ ,µ¨ üµªÚ÷
f(x1 ; x2 ) 2 X X j f (x1 ) = f (x2 )g
!Y
Y
f :X
!Y
Y
Àî ´ .Àªüõ
î ´¨ é¤ øÀ¨øû üµìø ú ø üµìø .Àª µÆ
X
Y
= ys
,
(x; t)
¤¢
Óþ Âã
y0 = 1
' Óþ Âã
¥ üþÖó ý ó
D2
ø
Ýþ Âð (5
´ªÚ÷
f
î
b äÞ¹õ
Ýþ Âð (6
Àø «Âì
(S1 I )=
 Ø÷ ¯ø ÂÈõ ,´¨ é¤ õÿÞû
f 2 R j 0 x; y 1g 0 fx; x g = f0; 1g (x; y) = (x0 ; y0) ,
X = (x; y ) y
 ý¥ ¤Ýû b Τ
X
´¨ ùÀª Âê ¹þ ¤¢ î) ´¨
ø
R2
X
!Y
X f(x1 ; x2 ) 2 X X j f (x1 ) = f (x2 )g
Àî ´ .(
.Ýû¢ ¤Âì ¤
f :X
X
Àî ´ ,ùø
ã .Àª µÆ
(y; s) S1 I I = [0; 1℄ R S1 C D 2 = fx 2 R2 j kxk 1g = fx 2 C j jxj 1g
"xt
Ýþ Âð (4
b äÞ¹õ î ´¨ é¤ øÀ¨øû üµìø
ø ´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
´¨ é¤ øÀ¨øû üµìø ú ø üµìø
Ýþ Âð (3
b äÞ¹õ ùÚ÷
.Àª µÆ
´±Æ÷ üµÞÆì ¤¡ ýÌê
Y
b äÞ¹õ Âþ ¥ Àî ´ :üþÞû¤) .Àª ¥
ÂÎì î ´¨ é¤ øÀ¨øû üµìø ú ø üµìø
,Àª é¤ øÀ¨øû
Ýþ Âð (1
b äÞ¹õ Âþ ¥ Àî ´ .Àª
.´¨
f(y1 ; y2 ) 2
!Y
f :X
ù b ¢ÂÈê ýÌê ¥ ª üµªÚ÷
f 1 (U ) î ´¨ ¥ üµìø ú ø üµìø Y
â Âõ  ý¥ ¤Ýû b Τ
þ
Ýþ Âð (7
(x; y ) (x0 ; y 0 )'
78
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
´ .(Àî Ñ
õ ¤ 2.4 Ûت) ´¨ "x .´¨ é¤ õÿÞû
RP 2
0=1
X=
x
ø
fy; y0g = f0; 1g
þ
ù b Àª ý ÂðüØþ ýÌê î Àî
2.4 Ûت
Rn+1 ¥ fx 2 Rn+1 j kxk = 1 ; xn+1 0g bäÞ¹õ Âþ ¥ Sn+ Ýþ Âð (8 f (x1 ; ; xn+1 ) = bή f : Rn+1 ! Rn â ¤ ¬ ßþ ¤¢ î Àî ´ .´¨ n µÆ «Âì n ýø  Sn ¥ üÞÆê¤ õÿÞû (x ; ; x ) .Àîüõ üêÂãõ D b n 1 + Sn
, x y' ¤ ¬ R  ¤ bΤ ùÂÞû R= ø ´¨ ý¥ ¤Ýû ýΤ ¤ ¬ ßþ ¤¢ î Àû¢
öÈ÷ .Ýîüõ Óþ Âã "Àª þð ý ó
x
y
(9
.´Æ÷ é¤ øÀ¨øû ©üµÞÆì ¤¡ î Àª
X
´ªÚ÷
:üþÞû¤)
¥ ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
1 .U =
U
ø ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
X=(X
U)
Àî ´
.´Æ÷
X
X
Ýþ Âð
(10
¢¡ ÂÂ
1) = ø ,u 2 U ý h(u) = p(u) bή h : U 1 ! X=(X U ) üã±Ï ÂþÊ p : X ! X=(X U ) ö ¤¢ î ,Àþ ÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ p(X U) ,(Àª ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê X ø) x 2 X Âð î Àþ ÂÚ ¹µ÷ (.´¨ .(X fxg)1 = X ¤ ¬ ßþ ¤¢ n .S = (Rn )1 = D n =Sn 1 = I n =I n î Àî ´ n I n I n :üþÞû¤) (.S f(0; ; 0; 1)g = Rn = D n Sn 1 = h(
üȪ ´ªÚ÷ ´±Æ÷ ø µÆ üµªÚ÷
Y
f
X
üµÞÆì ¤¡ ýÌê
,é¤ øÀ¨øû üþÌê
î Àî ´ ¤ ¬ ßþ ¤¢
X
Y
Ýþ Âð (20.2.4 b Ìì ÝÞã)
Àî Âê .Àª
.Àª ù¢ÂÈê
(11
fg
f 1( y )
ý
y
f : X
2Y
!Y
(12
Âû ý¥
.´¨ é¤ øÀ¨øû
79
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
X
¥ µÆ üþÌê Âþ ¥
b Τ .Àªüõ Ìê ×þ
X
0 ý¥ ø x; x
A
é¤ øÀ¨øû ýÌê 2.4
ø ´¨ ù¢ÂÈê ø é¤ øÀ¨øû üþÌê
X
Àî Âê
G ×þ A ø üûµõ üûø Âð G Àî Âê ùø
ã
2
 ý¥ ¤Ýû ýΤ
A
þ
x
= x0
,
x
x0 ' ¤ ¬
Àî ´ .Ýîüõ Óþ Âã "x .´¨ é¤ øÀ¨øû ÷
ø µÆ î ´¨ ù¢ÂÈê üµìø ú ø üµìø
Rn
= g y X=
.Àªüõ
X
 ¤
ý
g
2G
ùø
ã ø ´¨
¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
b Ìì ø (2)-25.1.4 ßþ ÂÞ ø 22.1.4 b Ìì ¥ :üþÞû¤)
(13
:Àî ´
(14
.Àª ¤À÷Âî
(.¢ª ù¢Ôµ¨ 10.2.4
80
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
À±Þû ýÌê 3.4
À±Þû ýÌê
úÔõ üóø ;Àª "Ø ×þ' î ´¨ À±Þû ü¤ ¬ ¤¢ ýØ
X
A
X
3.4
ýÌê ý¢úª ÂÑ÷ ¥
Âð' Ýî ¯Âª î ´¨ ßþ ñÖãõ ?´¨ üãõ ý ó ¤¢ "Ø'
¤¢ µÆ þ ¥ °Âµ ,A ¤¢ µÆ þ ø ¥ ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ,Àª
X
ýÌê ¤¢
Ýû ¥ Ýû ,X ¤¢ ýØ Âû î Ýþ ¤¢ ¤Ñµ÷ ,16.1.3 Ýó §¨  ,ßþ ."Àª .Àª
Âþ ¥ ú î Ýð
X
¤
¥
A
À±Þû
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
b äÞ¹õ Âþ ¥ .Àª
X
ø
;
X
ý ó
ýÌê
X
¤¢ µÆ
.ÓþÂã 1.3.4
¥ ¤±ä ,X ¤¢ µÆ Ýû ø ¥ Ýû ýûäÞ¹õ
üþÖó ý ó ùÂÞû) ý ó ýÌê ×þ öä î Ýð À±Þû ü¤ ¬ ¤¢ .Àª À±Þû (X ¥
.Àîüõ ¤ ýÀ±Þû ý ¤ üõø¢ Óþ Âã Âþ ¥ b Ìì
üäÞµ ¤ ¬ î ´¨ À±Þû üµìø ú ø üµìø
X
ýÌê
.Ìì 2.3.4
.´ª÷ öµ÷ ¹õ ø üú Âè ,X ¤¢ ¥ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ ¥ ¤¢ ¥ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ µÆ ø ¥
X
¤¢ ÷
X2
X2
ø
X1
î ,X
ßþÂ ø
¹µ÷ ´ó ø¢ Âû ¤¢ .X2
=
;
ø
X
= X 1 [ X2 X 1 = X2
X1 = X
þ
ø ù¢ À±Þû
X
Ýþ Âð :±
¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª ¹õ ø
X1 = X
ø
X1 =
;
¹µ÷ ¤¢ .´¨
.´ª÷ öüÞ÷ üú Âè ø ¹õ ,X ¤¢ ¥ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ áÞµ Àª±÷ ¹õ ø üú Âè ,X ¤¢ ¥ b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ áÞµ ¤¢ µÆ Ýû ø ¥ Ýû ÷
X
U
ø
2 Âþ ¥
U
U
ùÚ÷ ,Àª
X
=X
þ
Âþ ¥ ,´Æ÷ À±Þû
¥ ¹õ üäÞµ
S0
U =
;
R
S0 =
¥
X
X
î ¢ªüõ
Ýî Âê ,ÅØãó
¤¢ µÆ Ýû ø ¥ Ýû
¥ ýûäÞ¹õ ¥ üþ ¹õ áÞµ .U
f1g
X
X
X
U
Âð .U
X
¤ ¬ ßþ ¤¢ ö ,õ .´¨
ø
X
üãþ .Àª üú ø¢ ö ¥ üØþ üµÆþ ,´¨ ùÀª
f 1; 1g
ñ¢ãõ ¤ Î þ ;Àªüõ
S0
b äÞ¹õ Âþ ¥
¥ µÆ ø ¥ ,üú Âè ýäÞ¹õ
.Àªüõ
± ¥ Ç .(¢ª 6.3.4 b Ìì ) ´¨
.ñ·õ 3.3.4
R
f1g f 1g ø
¥ ýûäÞ¹õ
¥ À±Þû ýäÞ¹õ Âþ ¥
[a; b℄
.¢Þ÷ ¯µ Àþ ¢úª ¥ ù¢Ôµ¨ ¤¢ ,Àû¢üõ öÈ÷ î Ýîüõ ÂÎõ ñ·õ ø¢ ,ö
81
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
f;; Rg[f( 1; x) j x 2 ßþ ± ýÂ ýäÞ¹õ Âþ ¥
\S
U
= C
U = (
ø
ø Àª
\S
X
1; b)
X
F
X
C
¤¢
[ S 6= C \ S
2
:˻
[s; t)
F
b ¥ ý x
ùÚ÷ ,Àª
S
.Àªüõ
S
X
ø ´¨ ¥
ùÚ÷ ,Àª ýøÆõ þ µð¤
ßþÂ .(U
S
ßþ .´¨ µÆ ø ¥
¤¢
S
U
a
t > s
S
2S
X
g
R
¥ üú Âè
î ´ª÷ öüõ
= [A; 1)
î ,C
x
x
ø
x < b ùÚ÷
Âð Èõ ¤ ¬
ö¢ À±Þû üãõ î ,F
s
×þ ý
a
¥ µÞî ý
ý ó ùÂÞû üÖÖ ¢ÀäbäÞ¹õ
î ¢¢Âð ´êþ ö ý
Âð)
.˻
Ýî Âê ,Âõ
¤¢ î
= U \S = C \S ö .a; b 2 R
Âð î Ýþ Âðüõ ¹µ÷ ,F
.ñ·õ 4.3.4
Ýþ Âð
ýûäÞ¹õ Âþ ¥ b Üî ¤ ¬ ßþ ¤¢
f ·õ :Àªüõ µÆ
:
X
¥ ù¿ó¢ ø üú Âè ýäÞ¹õ Âþ ¥
¤ ¬ ¤
2S C \ S 6= U [ S S [a; b) ,x
ý ó üÖÖ ¢Àä b äÞ¹õ
.ÀµÆû À±Þû
F
À±Þû ýÌê 3.4
=S
ø
.ñ·õ 5.3.4
Ýþ Âð
Âû ý¥ Âð ú ø Âð
F
× ýûäÞ¹õ ,X ¤¢ üú Âè ø À±Þû ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ú ¤ ¬ ßþ ¤¢ .S Âè ø À±Þû ýäÞ¹õ Âþ ¥
X
¥
.T
[x; x + ")
T
Ýî Âê ,°ÜÎõ ßþ ± ýÂ
b äÞ¹õ Âþ ¥ ,"
0 Âû ý¥
>
= fxg î ´¨ ßØÞõ üµìø ú ßþ õ
.T ¤¢ ýÎÖ÷
x
.ÀµÆû ýÌä ø Àª
X
¥ üú
.((4)-15.1.2 ßþ ÂÞ) ´¨ µÆ ø ¥
.´¨ Þ öû ø ÀµÆû À±Þû ýÌä × ýûäÞ¹õ Âþ ¥ b Þû î ´¨ ߪø ¤
.Ýþ ¥¢Âüõ
[a; b℄ R
.´¨ À±Þû
,ß»Þû .´¨ ;À÷µÆ
h
[a; b℄ ¤¢ V
ø
U
a
.h
2U
öÂî
ö) ´¨
h
fu 2 U j
ø
R
ý
U = [a; b℄
¤¢
v
U
(h
¤ ¬ ßþ Âè ¤¢ Âþ ¥) ,
V
üóø .h
2
V
2V
Àþ ¹µ÷ ¤¢ ,´¨ µÆ
¤¢ ,´¨ µÆ ÷
ù b ¥
¥ ø ¹õ b äÞ¹õ ø¢ áÞµ
[a; b℄ ¤¢ V = [a; b℄ U
Ýî Âê .ÀµÆû µÆ ÷
[a; b℄ R
ýÀ±Þû ± ñ
2 V
ø
U
V
[a; b℄ Ýî Âê
î Ýþ ¤¢ .a
,´¨ µÆ
Âû ý¥
.Ìì 6.3.4
g
R
¤¢
2U
:±
Ýî Âê
[a; b℄ ¢¡ ö ,ßþÂ
b äÞ¹õ üþ öÂî ßþ µØî
ö .(´¨ üú Âè ,´¨ ÕÜãµõ äÞ¹õ ßþ
"; h + ")
\ V 6= ;
ý
">0
Âû ý¥ ,ñ
Àþ 19.1.2 Ýó ¹µ÷ ¤¢ ø (¢ªüÞ÷ üþ .´¨ Ëì î ,h
2U \V
.´¨ µ¨ ,µ¨ üµªÚ÷ ´½ À±Þû ýÌê Âû ù b ¤Ú÷
ø
h
2V
¹µ÷
.Ìì 7.3.4
82
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
À±Þû ýÌê 3.4
Âð .´¨ µ¨ ø ª üµªÚ÷
f :X
Âê ßþ î ,´¨ µÆ ø ¥
U =
þ
2
;
f : [0; 1℄
¹µ÷ ¤¢
! S1
.´¨
ø ´¨
.´¨ À±Þû ÷
R
X
!Y
f 1 (U )
¤¢
f 1 (U ) = X
þ
ø
(a; b℄ ,[a; b)
Y
ùÚ÷ ,Àª µÆ ø ¥
;
.´¨ À±Þû
f (X )
Y
ø
.Àª À±Þû
Y
ßþÂ .U
U
=X
.ñ·õ 8.3.4
f (t) = exp(2t) X
¤¢
üãõ ,X ýÀ±Þû
[0; 1℄ ö
ßþ ,´¨ µ¨
ø üµìø ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª é¤ õÿÞû ýÌê ø¢
(a; b)
Àî Âê :±
f 1 (U ) =
¥ À±Þû ýäÞ¹õ Âþ ¥
S1 = f ([0; 1℄)
X
ø À±Þû üþÌê
b ή
.¹µ÷ 9.3.4
Âð
î ´¨ À±Þû
X
üµìø ú
Ûت üþûäÞ¹õ ýÀ±Þû ± öØõ ¢¹þ ´ú .Ýîüõ ± ¤ ýÀã ÝØ ,R ¤¢
À±Þû ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ýþ¢Âð
Y =
.´¨ À±Þû
ý¥ ¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª
Yi
S
Y
Yj
Âþ¨
¢ªüõ ¹µ÷
Yi
U
Yi .Yi
2
j J Yj ùÚ÷ ,
Yi
Áó ø
.U
U
¤¢
U
[a; b) =
.´¨ Èõ ¤ ¬
2
6= ;
Âð .Àª
\ Yi
U
U
b äÞ¹õ ø
=Y
ýÌê ¥
Ýî Âê :±
\ Yi 6= ;
ý
i
2J
ßþ ,´¨ À±Þû Âê ÕÎõ
U
ßþÂ .Yj
R
X
ý
¤¢ ýûù¥ b Þû
U j
¹µ÷ ¤¢ ,Àîüõ
2J
Âû ý¥ î
.¹µ÷ 11.3.4
¤¢ µÆ ýûù¥ b Þû 6.3.4 b Ìì Øþ :±
¹µ÷ 10.3.4 b Ìì ¥ ,
±
2
j J Yj
\ Y i = Yi
.ÀµÆû À±Þû
R
.Ìì 10.3.4
Ýî Âê
¢¤ õ ¤¢ ñÀµ¨ ¤ÂØ ,ñ .´¨ ß ÷
2
,ÀµÆû À±Þû
T
¤¢ µÆ ø ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
,õ .´¨ µÆ ø ¥ ,üú Âè
âÎì ¤ û
fYj j j 2 J g
.´¨ À±Þû ÷
S
(a; b) ø (a; b℄ [a; 1)
1 [a; b
n
a)=2n ℄
(b
ýÀ±Þû ± .´¨ À±Þû
ßþÂ
[a; 1) =
S
ý üêî ø ¥ ¯Âª .Àª ý ó ýÌê
Y
ø
X
Y
ø
[a; b) î Ýþ Âðüõ
1 [a; a + n℄
n
.´¨ Èõ ¤ ¬
.Àª À±Þû
Øþ ÷ ø
(
X
1; 1)
Ýþ Âð
ø
ö ,ß»Þû
(
1; b
ýÀ±Þû
.Ìì 12.3.4
î ´¨ ßþ ,Àª À±Þû
X
Y
Øþ
83
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý ó ýûÌê á÷ 4 ÛÊê
2Y X fy g ý
y
x
Âû ø
2X
Âû ý¥ ö .Àª À±Þû
Y
ø
X
= fxg Y
ýûäÞ¹õ b Þû î Ýîüõ Ñ
õ ,Y
Àî Âê :± ø
fyg fxg Y
X = X
fyg) \ (fxg Y ) = f(x; y)g X Y (X fy g) [ (fxg Y ) S y2Y x2X (X fy g) [ (fxg Y ) T X Y 6 ; x2X (X fy g) [ (fxg Y ) = (X
Áó ø
õ
¤ ¬ ¤
.ÀµÆû À±Þû
.´¨ À±Þû
´ ø ù¿ó¢ ý ÂÊä À±Þû
À±Þû ýÌê 3.4
ø
b äÞ¹õ 10.3.4 b Ìì
î ,´ª÷ öüõ
Ýþ Âðüõ ¹µ÷ ,
ö .´¨
.´¨ ßþ ø 7.3.4 b Ìì ¥
Y
X
ø
¹µ÷ ,ÀµÆû ª ø µ¨
X
ýÀ±Þû .Àª À±Þû
Y : X
2
Y ! Y
ø
Y
Ýî Âê ,ÅØãó
X : X
Y ! X
î ´ìø .¢¢Âðüõ
ßþ ÂÞ .ÀµÆû À±Þû
RP n
ø
Sn ,Rn
1
n
ý
.ñ·õ 13.3.4
Âû ý¥
.¢ª Àã
.ßþÂÞ 14.3.4 ýûäÞ¹õ Âþ ¥
.´Æ÷ À±Þû
Q
R
þð ¢Àä b äÞ¹õ î Àî ´ (1
Q
?ÀõÀî
Àª ù¥ þ î ´¨ À±Þû üµìø ú ø üµìø
R
À±Þû
¥ ýäÞÞ¹õ Âþ ¥ î Àî ´ (2
A
ýäÞ¹õ Âþ ¥ ,R ¤¢ ù¥ ¥ ¤ Ñõ ¹þ ¤¢) .ýÎÖ÷ × ýäÞ¹õ þ ø
A
¥
a 0 ý¢Àä ,x 2 U Âû ý¥ ,ü÷ ¤¢ .´¨ é¤ øÀ¨øû .B" (x) = Int(D n ) µ±ó ø x 2 B" (x) U
= fexp(2it) j t 2 1 C x = exp(2i) 2 S1 x 2 S1 f xg = S1 fexp(2i( 12 ))g = fexp(2it) j 12 < t < + 12 g = ( 12 ; + 12 ) = ( 1; 1) = Int(D 1 ): Int(D 1 ) S1 Ýî Âê Âõ ßþ ù b ÀûÈõ ý .´¨ ÀÜÔõ Âð ¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª
ùÚ÷ ,
.Àªüõ
é¤ õÿÞû ýüÚþÆÞû
×þ
S1 ùÂþ¢ (4
¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
Ig
¥ ÎÖ÷ Âû ,ßþÂ
Ýþ ¤¢ ,üÜî ´ó ¤¢
:1.5 Ûت
ø
n
=0
´ó
.´¨ ÀÜÔõ
n ×þ
Sn
n 2 ¢Þ÷ Âê öüõ Å
ù b ÀûÈõ ýÂ .
Sn
ý
n Âû ý¥
.ñ·õ 4.1.5
f ±ì .´êÂð ¤Âì ü¨¤  ¢¤ õ
n=1
f Þä î Ýîüõ ÂÎõ ¤ ý ¤Ú¹ð ÂþÊ ,°ÜÎõ ßþ ¥ ÝÆê¤ õÿÞû ×þ
' ´ªÚ÷ ßþ .Àªüõ Rn ýø  f(0; ; 0; 1)g n+1 ¤¢ x (0; ; 0; 1) ¥ ´¨¤ üΡ .x 2 Sn f(0; ; 0; 1)g ù¢Þ÷ ݨ R n = fx 2 Rn+1 j x b ÎÖ÷ .Àî âÎì ¤ R n+1 = 0g Ýû¢üõ ¢Àµõ ¤ ö ų¨ ø .¢ª 1.5 Ûت .¢ªüõ É¿Èõ µØþ ¤ ¬ '(x) ¢¤ ¡Â
Ýî Âê :¢ªüõ üêÂãõ ß
92
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
¼Î¨ ø ÀÜÔõ 5 ÛÊê
ñ·õ À ø Óþ Âã 1.5
' ö¢ ×±Øþ ø üÚµ¨ = ' 1 ¢ªüõ ùÀþ¢ üÖì¢ ñõÂê .¢Âî ùÀûÈõ ÷ ¤ ö üÚµ¨ ø ¢Þ÷ Óþ Âã ¤ ¢¤Áðüõ x ø (0; ; 0; 1) ¥ î üµ¨¤ Í¡ b ó¢ãõ Àµ :¢¤ ø ´¨À ¢ªüõ ' ý .Ýþ ¤ øüõ ´¨À ¤ xn+1 = 0 ö ¤¢ î Í¡ ¥ ýÎÖ÷ ,ų¨ .ÝÆþ÷üõ ¤ üµ¤ ß»Þû .´¨ ù¢¨ ý¢úª ÂÑ÷ ¥ Ûì À
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,î ¢Þ÷ ÕÖ½ ¢ª üõ üµ¤
'(x1 ; ; xn+1 ) =
xn x1 : ;; 1 xn+1 1 xn+1 :´¨ ß
' öø ¤ø ,ùø
ã
!
(x1 ; ; xn ) = 1 +2xk1xk2 ; ; 1 +2xknxk2 ; k1x+k kxk12 : ' Æ ' = 1Sn f 0;;0;1 g ' Æ = 1Rn n x 2 S f(0; ; 0; 1)g Int(D n ) (0; ; 0; 1) Sn f(0; ; 0; 1)g Rn Sn f(0; ; 0; 1)g 2
(
)
Øþ ÷ ø
ø
ýüÚþÆÞû ý¤¢
ø
üÚµ¨ ÕÖ½
Âû Øþ ¹µ÷ .¢ªüõ ù¢Â³¨ ùÀ÷¡
b ÎÖ÷ .´¨ (
ÝÆê¤ õÿÞû ßþ .´¨
¢¡ üãþ)
é¤ õÿÞû
é¤ õÿÞû
üÚþÆÞû ý¤¢ ÷
:Àªüõ Âþ ¥ ª
'0 (x1 ; ; xn+1 ) =
Àµ ©ø ¤ ßþ ¤¢
.¢¤¢ ¢ø
= fx 2 Sn Rn 1 j xn 1 > U ! Int(D n ) Rn Int(D n ) x 2 Sn Ux = U
+
+
xn x1 : ;; 1 + xn+1 1 + xn+1
Sn
n ùbÀûÈõ ýÂ ÂÚþ¢ ©ø ¤
ö¢ ÀÜÔõ
¥ üÚþÆÞû .Ýîüõ
Ýì ÂþÊ b ܨø üÚþÆÞû ßþ
ßþ ø ¢¢Âðüõ ÂþÊ
Ýîüõ Âê ,
,öî .´¨
ýø Â
X
.Àªüõ ÀÜÔõ
.Ýîüõ ¿µ÷ ¤
(x1 ; ; xn 1) 7! (x1 ; ; xn ) +
b ÎÖ÷
0g
b ή
ý¥ üÜî ´ó ¤¢.Àªüõ ÝÆê¤ õÿÞû ´ªÚ÷
x 2 Sn ¥ ý¥ üÚþÆÞû ®ø î ,fy
üÞÆê¤ õÿÞû ,
(0; ; 0; 1) 2 Sn
¤¢Â  ¢Þä ø
0 2 Rn
+1
p 2 Sn j kx yk < 2g
¥ ùÀ÷¤Áð b ½Ô¬
n  Ýì ÂþÊ
n ×þ
fÞä Sn î Àû¢üõ öÈ÷ ø ¢¥¨üõ ¤Âì Int(D n ) ø Ux öõ
n Óþ Âã ¤¢ ö¢ é¤ øÀ¨øû Âê .´ª¢¢þ 5.1.5 ýüÚþÆÞû ý¤¢ ©ÎÖ÷ Âû î Àª üþÌê X Âð þ î ´¨ ÂÎõ ñ b ¨ ßþ
.´¨
üõ ó
ÀÜÔõ
93
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
¼Î¨ ø ÀÜÔõ 5 ÛÊê
ñ·õ À ø Óþ Âã 1.5
Ǩ ßþ ¾¨ ?´¨ é¤ øÀ¨øû
X fõ ó þ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,´¨ Rn é¤ õÿÞû
¤ ö¢ é¤ øÀ¨øû Âê Âð âìø ¤¢ .¢ª Àã ñ·õ ´¨ üêî .´¨ üÔõ ,À÷ªüõ ¤ÀþÀ 2.5 Ûت ¤¢ À÷õ ü±¹ä ýûÌê ,Ýî éÁ ÀÜÔõ
n Óþ Âã ¥
¤¢ ü¨ÀÜì ýûÌê ûÀÜÔõ ö¢ é¤ õÿÞû fã®õ «Ê¡ ¤¢ õ ¢úª î !´¨ ¢Ì Àª ßþ ,ÀÜÔõ Óþ Âã  ö¢ é¤ øÀ¨øû ¯Âª ó ý ÂÚþ¢ Ûó¢ ×þ Àþª ,¢Âðüõ ü±¨õ ÀÜÔõ Â
RN
ת ÀÜÔõ
N
RN
¤¢ ÀÜÔõ Øþ ± ý ù¤ ¯Âª ßþ ¢ø î
ü÷õ ýÌê ¥ ö¢ é¤ øÀ¨øû ¯Âª ´ó ßþ ¤¢ .¢ªüõ ÝûÂê
n Âû ö §¨ Â î ¢¤¢ ¢ø ýÌì ,´ÖÖ ¤¢ N
é¤ õÿÞû öüõ (ï¤ üêî ù b ¥À÷
)
RN
.¢ªüõ ÛÞ½
f ·õ) ¥ üþÌêÂþ ¥ ¤ (ù¢ÂÈê ,
ø (6)-8.2.5ßþ ÂÞ ù¢ÂÈê ýûÀÜÔõ ´ó ¤¢ ÝØ ßþ ù b ÀûÈõ ýÂ
.¢Þ÷
.¢ª (7)
,˻
U
ý ó
X = fx 2 R j
1 < x 2g Ýî Âê
Ûت ýûäÞ¹õ ¥ ù¿ó¢ üäÞµ
X
Â
R
ͨ ùÀª ǑÖó üþÌê Âþ ¥ ý ó
X
ÂÑ÷ ¥ .ÀµÆ÷ ¥
f2g
U þ U
Â
U
ý ó
¤¢
( ; 2℄
=X
ý¤¢
þ
X
f2g
=; , U 2U
î ¢ª
X
."˻
¼½¬ Ûت ,ý¢úª
¥ ù¿ó¢ ¥ üÚþÆÞû Âû ,üãþ) ´¨ ×þ¢ ÷
¥ ¥ üÚþÆÞû Âû Âþ ¥ ,´Æ÷ é¤ øÀ¨øû
' î
Ûت ýûäÞ¹õ ,Âþ ¥ !´Æ÷
,Âþ ¥ .Àªüõ 2.5 Ûت ¥ () þ (Óó) ´ÞÆì ¤¢
ý¥ üÚþÆÞû ,
U
.ñ·õ 6.1.5
X ®ø
f0g
.(¢¤¢  ¤¢ ¤
ù¥À÷ü
(; 0)
Ûت
X ¤¢ ÎÖ÷ Âû ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .Àîüõ âÎì ¤ f0g Ûõª ¥ ýûüÚþÆÞû Þ ,f2g 1 ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,x 6= 2 ø x 2 X Âð .Àªüõ R é¤ õÿÞû ýüÚþÆÞû ý¤¢ N = [ 1=2; 0) [ (3=2; 2℄ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,x = 2 Âð üóø .´¨ üúþÀ ÝØ ßþ b ή f : N ! ( 1; 1) â ͨ î ´¨ f2g ¥ ý¥ üÚþÆÞû f (x) = üþ¨ø¢ ø µ¨
f
2y 4 2y
1=2 < y < 0 3=2 < y 2
î Àî ÕÖ½ ùÀ÷¡ ´¨ ¥ .Àªüõ é¤ õÿÞû
b ή
g : ( 1; 1) ! N
g(x) =
x=2 2 x=2
Int(D 1 )
¥ ´¨ ¤±ä Ç÷ø ¤ø ß»Þû ø ´¨
1<x 0 Âð ø ´¨ é¤ ÞÿÞû .Àªüõ üþ ø¢ ºû î ¢ª ù¢¢ öÈ÷ ´¨ ¥ ,ýÀ Ö±Ï b Ìì ± ÛÞØ ý ¹÷ 26 ÛÊê ¤¢ ¤ ßþ ;ÀµÆ÷ é¤ õÿÞû 8.3.5 b Ìì ¤¢ ùÀª ÂÎõ Ψ ¥
2
.Ýû¢üõ
.ßþ ÂÞ 18.3.5
À÷õ ( ¹õ fõø ó ÷ üóø) þÞµõ ø ù¢¨ b µÆ Ý¡ ø¢ .´Æ÷ À±Þû
î ¢¤À÷
C3 ø C2 ,C1
T
T
(C1 [ C2 )
¤¢ î Àû¢ öÈ÷ (1 î ¢¤¢ ¢ø
þÞµõ ù b µÆ Ý¡ ¨ ºû b ¢¨
T
.Àª À±Þû
T
C 2 ø C1
î Àû¢ öÈ÷ (2
(C1 [ C2 [ C3 )
.Àû¢ ÝÞã ý ÂÚþ¢ ¼Î¨ Âû ý ¤ (2) ø (1) þ ÂÞ (3
f ±ì î Ýþ Âüõ öþ °ÞØ ¤ ÛÊê ßþ ¤ ü½Î¨ Âû :Ýþ¢¢ ¤ Çóì
.¢¢ ÇþÞ÷ öüõ
R2
¤¢ üãÜ® À b ÷ ×þ üµÞÆì ¤¡ ýÌê ¤ ¬
1 m Å ¥ ý ÂþÁ³µú ¼Î¨ M Âð (1 .Ìì 19.3.5 Ûت ¤¢ î ý÷ð ´¨ üãÜ® 4m b ÷ ×þ üµÞÆì ¤¡ ýÌê M ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
.´¨ ùÀª ù¢¢ öÈ÷ (Óó)-21.5
1 n Å ¥ ý ÂþÁµú ¼Î¨ M Âð (2 öÈ÷ ()-21.5 Ûت ¤¢ î ý÷ð ´¨ üãÜ® 2n b ÷ ×þ üµÞÆì ¤¡ ýÌê
M
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
.´¨ ùÀª ù¢¢
117
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
¼Î¨ ø ÀÜÔõ 5 ÛÊê
ûÀÜÔõ ýÀ Ö±Ï 3.5
21.5 Ûت
µÔð Ûت
#
T T
nRP 2 ø mT î Ýû¢ öÈ÷ ´¨ üêî ÝØ ßþ ± ýÂ
.Ýîüõ ãóÎõ ¤
n 3 ø m 2 ´ó âìø ¤¢
:±
.ÀµÆû ÇþÞ÷ Ûì ùÀª
ßóø ö¢¤ ø ´¨À ø °ÜÎõ ÝÞã À÷ø ¤ .´¨ ùÀª ¼þ ÂÈ 23.11 Ûت ¤¢ ¤ ¬ Ûت ,ÂþÁµú Ψ ´ó ý .´¨ ¼®ø ,ÂþÁ³µú Ψ «Ê¡ ¤¢ ÝØ ¥ .Ýþ ¤¢
#
#
RP 2 RP 2 RP 2
2
ý ¤ 24.11 Ûت ø
#
RP 2 RP 2
ýÂ ¤ 23.11
.´¨ ¼®ø ¤î ýÀã ÛÂõ Ýû
.ßþ ÂÞ 20.3.5
M
ýÎÖ÷ Âû ö ¤¢ î é¤ øÀ¨øû ´¨ üþÌê ,
n ¤¢ üþ ýÌê-Ý÷ þ ,üãþ) R ýüÚþÆÞû î
Rn
M
¤¢¥ Âõ ÀÜÔõ
n ¥ ¤ Ñõ
(1
Rn é¤ õÿÞû ýüÚþÆÞû ý¤¢
¤¢ üÏÖ÷ b äÞ¹õ .¢¤¢ (H
n
:= fx 2 Rn j xn 0g
é¤ õÿÞû üÚþÆÞû ºû üóø À÷¤¢ üþ ýÌê-Ý÷ é¤ õÿÞû
,¤¢¥ Âõ ÀÜÔõ
n Âû ¥ Âõ î Ýîüõ ´ ñ
.Ýõ÷üõ
.´¨ ÀÜÔõ
Âû ¥ Âõ Àî ´
.´¨ ù¢ÂÈê ø ¤¢¥ Âõ ,ýÀã
2
M ¥ Âõ ¤ À÷¢¤À÷ (n 1) ×þ ¢¡
ýÀÜÔõ ,¤¢¥ Âõ ¼Î¨ (2
ýû±ó Âð î Àþ ÂÚ ¹µ÷ .´¨ ùÂþ¢ üûµõ ¢Àã ¥ üäÞµ ,¤¢¥ Âõ ¼Î¨ ¹µ÷ ,Ý÷±Æ» «Âì (°¨õ ø) üûµõ ¢Àã ¤ ¼Î¨ ×þ ¥ Âõ ¥ Û¬ .¢ Àû¡ ¼Î¨
¢È÷ ö ¤¢ ü¨õ ¤÷ ºû î Ýð ÂþÁ³µú ü¤ ¬ ¤¢ ¤ ¤¢¥ Âõ ¼Î¨ (3 î ´¨ ÂþÁ³µú üµìø ú ø üµìø ¤¢¥ Âõ ¼Î¨ î Àî ´
.´êÂð å¨
.Àª ÂþÁ³µú (¢ª ¤¢ (2) ßþ ÂÞ ) ©µÆø ¼Î¨
118
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
¼Î¨ ø ÀÜÔõ 5 ÛÊê
ûÀÜÔõ ýÀ Ö±Ï 3.5
22.5 Ûت
23.5 Ûت
24.5 Ûت
119
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
6 ÛÊê üÞû üû¤ À±Þû ýÌê
1.6
üÜ¡ Ýîüõ ÂÎõ Ç¿ ßþ ¤¢ î üä®õ .Àª ãóÎõ 3.4 Ç¿ ¤¢ ýÀ±Þû :Àþüõ ¤Þª ýÀþÀ ýÀ±Þû úÔõ f¨¨ üóø ,´¨ ö ±ª
.üû¤ À±Þû
.Ýþ ¤¢ ¥÷ Âþ ¥ Óþ Âã ,úÔõ ßþ Óþ Âã ¥ Ç
f
: bµ¨ ´ªÚ÷
üúµ÷ ¤
f (1)
.Àª ý ó
f (1)
2X
f (0)
¥ ýû¤
ø Àµ ¤
f
üþÌê
f (0)
2X
X
.Óþ Âã 1.1.6
Ýî Âê
b ÎÖ÷ .Ýõ÷üõ
î ¢ªüõ µÔð ¤ ¬ ßþ ¤¢
ý¹ ÂÆõ
ά ¥ ìø ü¡Â .Àîüõ Ûʵõ
X
¤¢ ù¤ ¤
[0; 1℄ ! X
.Ýõ÷üõ ÂÑ÷ ¤ õ ù¤
f (1) ¤ f (0) bÎÖ÷ f
þ ,´¨
.¢ªüõ ù¢Ôµ¨ ù¤
ùÀõ÷ ù¤ ,´¨ â Å ¥ î þ Ý¡
¤ äÞ¹õ ßþ
f
´ªÚ÷ î ¢ª
.Àªüõ äÞ¹õ Å ¥ î
.´ª¢¢þ 2.1.6
f ([0; 1℄)
X
÷ ;¢ªüõ
.Ýõ÷üõ ü½õ ´ã®ø
f (t)
,¹µ÷ ¤¢ .¢Þ÷ ¤ Ê öüõ öõ¥ öä ¤
t
2 [0; 1℄
.Àû¢üõ öÈ÷ ¤
.´¨ ù¿ó¢ ý ÎÖ÷
x
2X
ø ý ó üþÌê
X
Ýî Âê
t
°Üè
b Ñ½ó ¤¢ ´îÂ
.ñ·õ 3.1.6
121
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
b Þû ,ù¤ ßþ ¤¢ .Ýõ÷üõ
x
¤¢ ´ ù¤
¤
= x bή "x : [0; 1℄
"x (t)
!Ýîüõ é¬
x
!X
öØõ ¤¢ ¤ öÞµìø
,¢õ ýúû¤ ýø ¤ ¥ ÀþÀ ýúû¤ Àó ý üÜî ñ ßä ¤¢ ø ù¢¨ ©ø ¤ ø¢ .Ýîüõ ¼þ ÂÈ ¤ ú÷ ýÀã Ýó ¤¢ î ¢¤¢ ¢ø
ßþ ¤¢ .Àª
X
¤¢ ù¤ ø¢
g
ø
f
ø ,ý ó üþÌê
X
Ýî Âê
.Ýó 4.1.6 ¤ ¬
ù¤ ¤ ßþ .´¨
X
¤¢ üû¤ ÷
f(t)
= f (1
t)
b ή
f :
[0; 1℄ ! X (1 .Ýõ÷üõ
X
f
¤¢ üû¤ ÷ Âþ ¥ b ή
(f g)(t) = : [0; 1℄ ÷ f = f
h
! Æh
g : [0; 1℄ ! X f (2t) g (1
â ø ,´¨ µ¨
f
ùÚ÷ ,f
:Ýõ÷üõ
g
f
öø ¤ø
(1) = g(0) Âð (2
¤¢
f
® ¤ ßþ .´¨
0 t 1=2 Âð 1=2 t 1 Âð
2t)
: [0; 1℄
!X
ßþ ,´¨ µ¨ ®ø ÷
ù¤ Âê ÕÎõ ö :±
h(t)
=1
t
b ή
; [0; 1℄
°Æ Ýó ¥ ´¨ üêî ,(2) ´ÞÆì ¢¤ õ ¤¢ .Àª ´ (1) ´ÞÆì ø ´¨ µ¨
g
ø
f
,ÀµÆû µÆ
[0; 1℄ ¤¢ [1=2; 1℄ ø [0; 1=2℄ ¹þ ¤¢ î Â
2
.f
b ή ù¤ ø¢ ¤¢ .ÀµÆû
g (t)
g
ø
=
f
X
os(t); 0; sin(t)
=
ø ´¨ Àø ù b Âî
ø
.Ýî ù¢Ôµ¨ ??
(1) = g(0) ¹÷ ¨ ø ,À÷µ¨
S2
f (t)
Ýî Âê
.ñ·õ 5.1.6
= os(t); sin(t); 0
°Âµ
¤ ¬ ßþ
f(t)
= f (1
t)
=
os(t); sin(t); 0
; ß»Þû ø
(f g)(t) = =
0 t 1=2 Âð 2t) 1=2 t 1 Âð
os(2t); sin(2t); 0 0 t 1=2 Âð
os(2t); 0; sin(2t) 1=2 t 1 Âð
f (2t) g (1
122
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
üÞû 6 ÛÊê
ø¢ Âû î Ýð üû¤ À±Þû ¤ ¬ ¤¢ ¤ ,x0 ; x1
2X
X
.Óþ Âã 6.1.6
ý ó ýÌê
Âû ý¥ ,ÂÚþ¢ ö .¢Þ÷ Ûʵõ Ýú öµ üû¤ ¤ ö ¥ ÎÖ÷ .f
(1) = x1 ø f (0) = x0 î ¢ª ´êþ ö X ¤¢ f
üêî ø ¥ ¯Âª î ¢Þ÷ ´ ¢ªüõ ¯Ö÷ Âþ¨ î ¢ª ´êþ
x0
??
üû¤
.´ª¢¢þ 7.1.6
Ýó §¨ Â
ýÎÖ÷ î ´¨ ßþ ,Àª üû¤ À±Þû üþÌê Øþ ýÂ
,üû¤ À±Þû
ά ý¹ °µî ü¡Â ¤¢ .¢Þ÷ Ûʵõ ö öµ üû¤ ¤ Ìê .¢ªüõ ù¢Ôµ¨ ü¨ì À±Þû þ ý ÂÆõ À±Þû
Âû ý¥ ,Âþ ¥ üû¤
f (t)
.´¨ üû¤ À±Þû ,üóÞãõ ý ó
= (1
t)a + tb
b ή
f
: [0; 1℄ ! Rn
Rn
.ñ·õ 8.1.6
´ªÚ÷ ,ù¿ó¢ .´¨
b
a; b
2 Rn
a
Rn
¥
¤¢
.´¨ Âþ ¥ Óþ Âã ¥÷ ,°ÜÎõ ßþ ýÂ .¢¢ ÝÞã öüõ ¤ ñ·õ
ý¥ î Ýð À½õ ü¤ ¬ ¤¢ ¤ .Àª µª¢ ¤Âì
E
¤¢ fõÞ
1.6 Ûت .Àª µª¢ ¤Âì
f(1
E
E
Rn
t)a + tb
b äÞ¹õ Âþ ¥
j 0 t 1g
.Óþ Âã 9.1.6 b äÞ¹õ
a; b
2E
Âû
¤¢ ,E ¥ ÎÖ÷ ø¢ Âû öõ Û¬ø Í¡ ù¤ ,ÂÚþ¢ ö .¢ª
´¨ À½õ Âè () ø À½õ (Óó) :1.6 Ûت
¤¢ Í¡ ù¤ .´¨ À½õ
Rn
¤¢
Dn
§Âì .´¨ À½õ
Rn
.ñ·õ 10.1.6 .´¨ À½õ
ý ó ùÂÞû) ü¨ÀÜì üþÌê ¥ À½õ b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû
R1
.Ìì 11.1.6
.´¨ üû¤ À±Þû (©üþÌê Âþ ¥
.ÀµÆû 12.3.4 7.3.4 Ø ±ª 17.1.6 ?? Ø
123
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
.Ìì 12.1.6
À±Þû ,µ¨ üµªÚ÷ ͨ üû¤ À±Þû ýÌê Âû ù b ¤Ú÷
.´¨ üû¤
Âð .Àª ª ø µ¨ üµªÚ÷
X
À÷ªüõ ´êþ ö ¢ø
Y
b0
a0
¥
X
¤¢
¤¢
f
b0
ø
!Y
g:X
a0
ø ù¢ üû¤ À±Þû
X
Y
b ÎÖ÷ ø¢ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
üû¤ ,´¨ üû¤ À±Þû
b
ö¢ üû¤ À±Þû üãõ ßþ .Àªüõ
X a
ö .g
¥
Y
Ýî Âê :± ¥ ÎÖ÷ ø¢
b
ø
a
(b0) = b ø g(a0 ) = a î
Æf
g
¤¢ üû¤
2
,öî .¢¤¢ .´¨
Y
¥ ¯Âª ,Àª é¤ õÿÞû ýûÌê .´¨
Y
ø
X
.¹µ÷ 13.1.6
î ü¤ ¬ ¤¢
ö¢ üû¤ À±Þû ,X ö¢ üû¤ À±Þû ý üêî ø
[0; 1℄ ,Âþ ¥ ;´¨ üû¤ À±Þû S1 (1 .ñ·õ 14.1.6 1 ª ø µ¨ e(t) = exp(2ti) b ή e : [0; 1℄ ! S ùø
ã .´¨ üû¤ À±Þû ßþ ø ,À½õ
R1
¤¢
ù b Âþ¢ ×þ ¥ ü¨ì ¤ ö ¥ ÎÖ÷ ø¢ Âû ,Âþ ¥ .´¨ üû¤ À±Þû
ͨ
R
f0g
n+1
Sn
b µ¨ ÂþÊ ,Âþ ¥ ;n
1
1
b µ¨ ÂþÊ ,Âþ ¥ ;n
À±Þû ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ýþ¢Âð .´¨ üû¤ À±Þû
2
ø
a
2 Yk
ý
ø ´¨ üû¤ À±Þû
¥
Yl
¤¢
g
k; l Yk
Y
2J
=
S
x
7! x=kxk
î ,´¨ üû¤ À±Þû
fYj j j 2 J g
2
j J
Yj
ùÚ÷ ,
ö .´¨
2
j J
Yj
2
Yj
x
(2
a
6 ; Âð =
¥
2Y Yk
Sn ¤ ¬
Yk
ßþ ¤¢ .n
[ Yl Y 1
(3 ´ªÚ÷ (4
7! f
g
x; x
.Ìì 15.1.6 .´¨
X
¤¢ üû¤
Ýî Âê :±
¤¢
f
Ýþ Âð .Yl
üû¤ ,a;
:= f g bή b a ¥ üû¤ ,öî .¢Âðüõ
,Âþ ¥ .´¨ üû¤ À±Þû ¤ ¬ ßþ ¤¢ .S
h
2
j J
RP n
íµª ¥ ù¿ó¢ ýÎÖ÷
üû¤ ,Èõ ¤ ¬ .¢¤¢ ¢ø
î ´¨ ߪø ¤ .¢¤¢ ¢ø
Àî Âê
T
ý¥ ¤ ¬ ßþ ¤¢ .a; b
T
Sn
î ,´¨ üû¤ À±Þû
.Àªüõ
b
f0g
.´¨
.¢Þ÷ Ûʵõ Ýú öüõ ǑÀ±õ ¥ ùÀ÷¤Áð Âè
.Àªüõ ´ªÚ÷ ͨ
R
n+1
2 Yk
.¢¤¢ ¢ø
b
¤¢ ¤ ¢¡ ¤ÀÖõ ´ªÚ÷ ßþ
Ýî Âê
.ñ·õ 16.1.6
:= fx 2 Snjxn+1 0g ø S + := fx 2 Snjxn+1 0g Ýþ Âð 124
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
¤¢ .´¨
x
üÞû 6 ÛÊê
p
7! (x1 ; ; xn ; 1 kxk) ´ªÚ÷ ͨ Dn Rn bµ¨ ùb¤Ú÷ S +
üêÂÏ ¥ .´¨ üû¤ À±Þû ÷ À±Þû
Sn ýÌê 15.1.6
S
,Èõ ¤ ¬ .´¨ üû¤ À±Þû
b Ìì ,¹µ÷ ¤¢ .S
+
S+
¹µ÷
\ S = fx 2 Sn j xn+1 = 0g .´¨ üû¤
üêî ø ¥ ¯Âª .Àª ý ó .Àª üû¤ À±Þû
Y
ø
X
ýûÌê
Y
ø
X
Ýþ Âð
.Ìì 17.1.6
î ´¨ ßþ ,Àª üû¤ À±Þû
X
Y
Øþ ýÂ
f õî :± ,À±Þû ý¹ Þû ¤¢ ´¨ üêî ú ;´¨ 12.3.4 ÝØ ± ±ª
2
.¢ª ù¢Ôµ¨ üû¤ À±Þû ¥
f Þä ö¢ üû¤ À±Þû ø ýÀ±Þû î Àî ǑÖó ß Ø Àþª !´¨ üØþ
.´Æ÷ ß üóø
÷ª ø ×î :2.6 Ûت
î ´Æ÷ ¤ Ï ßþ .´¨ À±Þû fõ ó ,üû¤ À±Þû ýÌê Âû
.Ìì 18.1.6
.Àª üû¤ À±Þû fõ ó ,À±Þû ýÌê Âû
ý .´¨ À±Þû
X
X
Ýîüõ ´ .Àª üû¤ À±Þû üþÌê
¥ üú Âè ø ¥ üþûäÞ¹õ Âþ ¥
V
ø
U
î ,X
=U [V
X
Ýî Âê :±
Ýî Âê ¤ Ñõ ßþ
: [0; 1℄ ! X üû¤ ,ÀµÆû üú Âä V ø U ø ´¨ üû¤ À±Þû X ö .ÀµÆû À±Þû ÷ f ([0; 1℄) ,´¨ À±Þû [0; 1℄ ö .¢¤¢ ¢ø f (1) 2 V ø f (0) 2 U ø U ¹µ÷ ¤¢ .Àª ¹õ À÷üÞ÷ V \ f ([0; 1℄) ø U \ f ([0; 1℄) ßþ ø ´¨ f
.´¨ À±Þû
X
ßþ ø ,Àª ¹õ À÷üÞ÷
V
125
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
À±Þû î Ýþ ¤ ø À±Þû ýÌê ×þ ¥ üó·õ ´¨ üêî ,ø¢ ÝØ ö¢¢ öÈ÷ ý Ûت ;´¨ éø Âãõ ÷ª ø ×î ø
X
= A [ B î Àþ ÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ X C
×î
A
= fig;
ֻ
B
= [0; 1℄ [
Àµ ,X ýÀ±Þû ± ýÂ
Bn
=
öä ´½ ,Ýîüõ ¤ î üó·õ .Àª üû¤
b Þû ø
B
S
=
n1 n
+ yi n 2 N ; 0 y 1
.´¨ üû¤ À±Þû Âè ø À±Þû
2
n N Bn î  ,´¨ üû¤ À±Þû
U
Ýî Âê .´¨ üû¤ À±Þû
ßþ Âè ¤¢ î  ,A ´¨ ¥
U
B
B
X
o
:
î Ýîüõ ä¢
î Ýîüõ Ñ
õ
[0; 1℄ [ f1=n + yi j 0
Âè íµª Ýû ø ÀµÆû üû¤ À±Þû û Âþ ¥
b äÞ¹õ Âþ ¥ .¢ª 2.6
1g
y
,15.1.6 b Ìì ,¹µ÷ ¤¢ ;À÷¤¢ üú
U î Ýî Âê Ý÷üõ .Àª X ¥ µÆ ø ¥ ýäÞ¹õ
ö .¢¤¢  ¤¢ ¤
A
î ´¨ µÆ ø ¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
X
U
¤ ¬
g \ X U î ¢¤¢ ¢ø ö " > 0 ý¢Àä ,i 2 U ø À±Þû B ,õ .U \ B 6= ; ùÄþø ;1=n + i 2 U î ¢¤¢ ¢ø ý n ¼½¬ ý¢Àä üãþ .U \ B = B ßþ .B ¥ µÆ ø ¥ ,üú Âè ýäÞ¹õ Âþ ¥ U \ B ø ´¨ .Àªüõ À±Þû X ßþ ø U = X ¹µ÷ ¤¢ ;A U ø X = A [ B üóø .B U î ßþù¢Þ÷ ± âìø ¤¢) (6)-14.3.4 ßþ ÂÞ ,¹µ÷ ¤¢ ø B X B fx j ji
,öî .
j
x < "
(.´¨ À±Þû î
X
áø ª
¤¢ üû¤ ú î Ýû¢üõ öÈ÷ ,´Æ÷ üû¤ À±Þû
i
¥ î Àª
X
¤¢ üû¤
ö ùø
ã ø Àªüõ µÆ
j
Ýþ Âð
[0; 1℄ ¤¢ f
Øþ ± ýÂ
.´¨ ´ ù¤ ,¢¢Âðüõ áø ª
1 (i)
,´¨ µÆ
X
ýÌê
¤¢
fig ö
i
2
X
¥
.¢¢Âðüõ
6= ; Ýþ ¤¢ ,0 2 f 1 (i) 1 (i) Âð .Àª X ¥ 1=2g ý " > 0 ,´¨ µ¨ f ö ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,t0 2 f î Ýîüõ ä¢ .f (t) 2 U ý t 2 (t0 "; t0 + ") Âû ý¥ î ¢ªüõ ´êþ ö jt1 t0 j < " Ýî Âê ,°ÜÎõ ßþ ùbÀûÈõ ý .f ((t0 "; t0 +")\[0; 1℄) = fig ¤¢ f (t1 ) Ûõª ù b ¥ ,´¨ ¹õ ýûù¥ ¥ üäÞµ U \ B ö .f (t1 ) 2 B ø
X
\ fz 2 C j jz
f
X
X
i
1g; fz j z 2 2 Rg ´ ,ÀµÆû
W
¥ ¥ üþûäÞ¹õ Âþ ¥
B
ø
C
A
¥ Âþ ¥ ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¤Àî (2
Øþ Âê ¤ ??
Ýó ÝØ (3 .Àî
127
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
= A [ B Ýþ Âð A = f(x; y )jx = 0; 1 y 1g; B = f(x; y )j0 < x 1; y = os( x )g: î Àª
R2
¥ üþÌê Âþ ¥
X
.´Æ÷ üû¤ À±Þû üóø ,´¨ À±Þû
X
Àû¢ öÈ÷
= A [ B Ýþ Âð A = f(x; y )jx = 0; 1 y 1g; B = f(x; y )j0 < x 1; y = sin( 1 x )g: î Àª
R2
¥ üþÌê Âþ ¥
X
.´Æ÷ üû¤ À±Þû üóø ,´¨ À±Þû
A=
f(x; y)j0 x 1; y =
fAj j j 2 J g
ø Àª
.À÷¤¢ íµª
A
X
î Àª
x n; n
R2
¥ üþÌê Âþ ¥
2 N g; B = f
j
(x; y) 12
= A [ B Ýþ Âð x 1; y = 0g: Àû¢ öÈ÷
ýÌê ¥ üû¤ À±Þû ýáÞ¹õ Âþ ¥
A
Àî Âê (7
î Àª
X
¥ üû¤ À±Þû ýûäÞ¹õ Âþ ¥ ¥ ýþ¢Âð
+
S
Y
S
=A[
2
j J
n >
Aj
Àî ´
[ jk k
Sn = Sn Sn Ýþ Âð + x Rn+1 x =
+
ý
(6
X
f 2 Rn 1 j kxk = 1; xn 1 0g; Sn = f 2
üû¤ À±Þû
Àû¢ öÈ÷
X
î
n
(5
.´Æ÷ üû¤ À±Þû üóø ,´¨ À±Þû
.´¨ üû¤ À±Þû
Sn + = x
X
(4
(8
1; xn+1 0g:
0 Âû Àî ´ (8)-7.2.4 ßþ ÂÞ ¥ ù¢Ôµ¨
.´¨
X
¤¢ üû¤ Âð ú ø Âð
x
y
' Óþ Âã ´¨
,ß»Þû .´¨ ý¥ ¤ Ýû ýΤ î ´¨ ßþ ,Àª üû¤ À±Þû
X
X
Àî ´ ."Àª µª¢ ¢ø
X
¥ ýäÞ¹õ ,x
2X
î Ýð üû¤ À±Þû fã®õ î ¢ª ´êþ ¤¢ ,Àª ¥
x
U
¥
V
X
b äÞ¹õ Âþ ¥ Âû ø
üû¤ À±Þû fã®õ
X=
y
Ýþ Âð (9
x
¥
üµÞÆì ¤¡ ýÌê
b ÎÖ÷ ý ¥ üÚþÆÞû ,î Ýþªüõ ¤ ø ¢þ ü¤ ¬ ¤¢ ¤
X
ýÌê
üû¤ À±Þû ø ¥ üÚþÆÞû ,x ¥ ø ù¢ üû¤ À±Þû fã®õ
X
U
.x
2
U
î ´¨
Âð î Àî ´ .V
î Àî ´ .´¨ üû¤ À±Þû fã®õ
X
Âð î Àî ´ .ÀµÆû üû¤ À±Þû fã®õ
19.1.6 b Ìì ¥ ¢À¹õ ü± ßþ) ´¨ üû¤ À±Þû
(10
¥ üÚþÆÞû Âû ý¥
n
R
Øþ ý üêî ø ¥ ¯Âª î Àî ´
.Àª üû¤ À±Þû
U
ýÌê  ýΤ
X
U
U
¤ ¬ ßþ
Rn
¤¢ ¥
ùÚ÷ ,Àª À±Þû ø .(Àªüõ
128
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
Ak
üÞû 6 ÛÊê
ø . . . ,A1 ýûäÞ¹õ Âþ ¥ .p; q
2 A1 Ai \Aj = ; ,p
î ¢ªüõ ùÀõ÷ ݪ µª¢
q
ø
p
2X
ø ý ó
üþÌê
Ýþ Âð
ß Û¬ø ù¢¨ ù b ¹÷¥ ×þ ¤ ¬ ¤¢
ji j j > 1 i; j 2 f1; ; kg Ai \ Ai 1 6= ; i 2 f1; ; k 1g
.¢ª 3.6 Ûت ;
X
+
Âû ý¥ ø
ý
q
X
(11
¥
2 Ak
Âû ý¥ ø
3.6 Ûت
,˻
X
U = fUj j j 2 J g ø ù¢ À±Þû X Âð î Àî ´
ý ¥ üȪ
U ýÌä ¥ ù¢¨ ýù¹÷¥ ¤ X ¤¢ ¯Ö÷ ¥ ´Ô Âû ¤ ¬ ßþ ¤¢ ͨ î X ¤¢ üÏÖ÷ b äÞ¹õ ,p 2 X ý¥ :üþÞû¤) .¢Þ÷ Ûʵõ Ýú (.Àþ ÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ¢Þ÷ Ûʵõ Ýú öüõ U ǑÌä ¥ ù¢¨ ýù¹÷¥ öµ
.À 19.1.6 b Ìì ý ý ÂÚþ¢ ± ,11 ßþ ÂÞ ¥ ù¢Ôµ¨ .´¨ üû¤ À±Þû ,À±Þû ÀÜÔõ
n Âû
î Àî ´
(13
.´¨ üû¤ À±Þû fã®õ ,ÀÜÔõ
n Âû
î Àî ´
(14
= A [ B [ C Óþ Âã Y R2 ýÌê î Àî ´ A = f(x; y )jx2 + y 2 = 1; y 0g; B = f(x; y )j 1 x 0; y = 0g; C = f(x; y ) j 0 < x 1; y = 1 2 sin( x )g; î
(12
Y
(15
.´Æ÷ üû¤ À±Þû fã®õ üóø ,´¨ üû¤ À±Þû
ù b Âþ¢
D
= Y [ D R2 Ýþ Âð .Àªüõ f(x; y )j(x 1)2 + y2 = 1g
ø Àªüõ 15 ßþ ÂÞ ¤¢ î ´¨ öÞû
üóø ,´¨ üû¤ À±Þû
Z
Àî ´
Y
î
Z
(16
.´Æ÷ üû¤ À±Þû fã®õ
üû¤ .´¨ °¹ä üû¤ üêÂãõ ´ÞÆì ßþ á®õ
.ßî Â Ìê ù¤ 21.1.6
Ìê ù¤ ¤ üû¤ ß !Àû¢ Ǫ ¤ Ûõî â Âõ ×þ ,üÚµ¨ ßä ¤¢ ´¨ ¤¢ì î ÷ð ßþ ¤ ñø ý ý¢
õ 1890 ñ¨ ¢øÀ ÷ÿ . ýì .Àõ÷üõ ßî  .¢Þ÷ ¢¤ ¡Â úÞ¡
129
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
¤¢ ñø ý ¨
üû¤ À±Þû ýÌê 1.6
.¢¢Âðüõ Óþ Âã
fn
¥ Å .¢¤À÷ üµÞ¥ ùÀ÷¡ ýÂ
:
I n
! I2
ýúû¤ ýÀ ¤ ¬
f
ù¤
b ÜÂõ Ýƹ .À÷ùÀª ù¢¢ öÈ÷ 4.6 Ûت
(1=2) ·î À bÜ¬ê ¤¢ I 2 â Âõ ¥ ÎÖ÷ Âû , n bÜÂõ 2 ª ø µ¨ üµªÚ÷ ýÀ ´ó ¤¢ .¢¤¢ î Àî .ݨ¤üõ f : I ! I 2 .0; 1 2 I ¯Ö÷ ¤¢ ¹ ,´¨ ×±Øþ fn : I ! I ´ªÚ÷ (üûµõ) ÛÂõ b Üî ¤¢ f Þä .´Æ÷ ×±Øþ ú÷ À ,î üó ¤¢ .(0; 1) = fn (0; 1)
¤Âì
fn (I )
¥ ýÎÖ÷
n
4.6 Ûت
130
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î
¤¢ ù¢¨ b µÆ Ý¡
.´¨ ý ó
ýÌê
X
2.6
.Óþ Âã 1.2.6
Àî Âê
C
= ö ýäÞ¹õ ,ÂÚþ¢ ¤±ä ;ùÂþ¢ é¤ õÿÞû ùb¤Ú÷ ¥ ´¨ ¤±ä ,½Ô¬
f
î ¢ª
,X
= R2
.´¨ µ¨ §Øãõ ø ×±Øþ ,µ¨
f
:
I
!
X
î ,f
(I )
¤¢ ù¢¨ b µÆ Ý¡
ά ý¹ öüõ ,üµ¤ ý .´Æ÷ ¢ÂÔ Âʽõ
ÛØÈ Í¡ ù¤ ý¢Àã ú ¥ ö¢¤ Ý¡ î ü¤ ¬ ¤¢ .¢Þ÷ ù¢Ôµ¨ ö¢¤ Ý¡ ¥ .Ýõ÷üõ ö¢¤ üãÜ® À ¤ ö ,¢ª
¤
U
X
b äÞ¹õ Âþ ¥ .´¨ ý ó üþÌê
X
Àî Âê
.Óþ Âã 2.2.6
õ ü¤ ¬ ¤¢ b Ôó b äÞ¹õ Âþ ¥ ºû Àî b äÞ¹õ Âþ ¥ ø ù¢ À±Þû î Ýð ýÀ±Þû b
V
X
Âð ,ü÷ ¤¢ ø Àª À±Þû
U
f ø î üãõ ßþ ;Àª±÷ .V
üØþ ú ,Ûþ£ ¤¢ ø ÂÈõ ùb¤ ð ø¢ öõ ¥
=U
ùÚ÷ ,Àª
U
X
¥ ÂÚþ¢ À±Þû
V
ù¢ À±Þû
.(¢ø ýûþ ¤¢) Ýó 3.2.6 .Àª ´¨¤¢ ´¨ ßØÞõ
R2
C ,¤¬ ßþ ¤¢ .Àª ü¨ÀÜì b½Ô¬ ¤¢ ýù¢¨ bµÆ Ý¡ C Ýþ Âð (1
.´¨ ú÷ íµÈõ ¥ Âõ C î ,¢¢Âðüõ ÛØÈ ýÀ±Þû bÔóbõ ø¢ ¥ ø ´¨ À±Þû Âè .´¨ ¤À÷Âî ýÀ±Þû bÔóbõ ø¢ ßþ ¥ üØþ ú ýûÔóbõ ¥ ×þ Âû ¥ Âõ D Âð .´¨ ü¨ÀÜì b½Ô¬ ¥ ýäÞ¹õ Âþ¥ C Ýþ Âð (2 ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª ¤À÷Âî ýÔóbõ ý¤¢ R2 D Âð ÷ ø ,Àª R2 D ÇÞÞµõ .´¨ ù¢¨ bµÆ Ý¡ D öõ Þû ý ¤Âì Àû¢ öÈ÷ î Ýþ ¤ ø üó·õ ´¨ üêî ä¢ ßþ ± ý :±
K. Yoneyuma õ÷þ .í ¤ ñ·õ ßþ .¢ªüõ Ëì ¹õ ú÷ ý÷ .¢Þ÷ ÂÎõ Lakes of Wada ¢ø ýûþ ¤¢ öä ´½
1917 ñ¨ ¤¢ ×þ Ûت
ýùÂþ ¤ ¬ ¤ ßþ
.Àî Ñ
õ ¤ 5.6 Ûت ;Àþ ÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ü ´Ô
öø ¤¢ ÷ þ ¤¢ ø¢ ø ´¨ ù¢Þ÷ Ï üþþ ¤¢ ¤ ö éÂÏ î Ýîüõ ¤ Ê þ ¤¢ ø¢ Ù÷¤ Ýîüõ Âê ,¶½ öÀª ߪø ¤ µú ý .Àªüõ âìø ö ûþ ¤¢ ¥ ×þ Âû ø þ ¤¢ ¥ °¨õ ýúó÷î À î ´¨ ßþ éÀû .´¨ øÔµõ ¥ üó÷î ,t
= 0
b Ñ½ó ¤¢
.Ýî Óþ Âã À±Þû ¥ b äÞ¹õ ¨ ,ùÂþ ¼Î¨ Â
131
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
À÷üõ ùÂþ ¯Ö÷ b Üî ¥ Àø ×þ ·îÀ b Ü¬ê ¤ Ûþ ¤¢ î ÝÈîüõ þ ¤¢ î Ýîüõ ÂÔ ×þ ù¤Þª b þ ¤¢ ¥ üó÷î ,t
= 1=2 bÑ½ó ¤¢
.Àîüõ âþ ¥
1=2 ·îÀ bÜ¬ê ¤ þ ¤¢ ·îÀ b Ü¬ê ¤ þ ¤¢ î Ýîüõ ÂÔ ø¢ ù¤Þª b þ ¤¢ ¥ üó÷î ,t = 3=4 b Ñ½ó ¤¢ Ýû¢üõ õ¢ ¤ À÷ø ¤ ßþ .Àî âþ ¥ öüõ ùÂþ b ÎÖ÷ Âû ¥ 1=4 n ùÂþ (1=2)n b ÎÖ÷ Âû ¥ Àø (1=2) ·îÀ b Ü¬ê ¤ Ï Âõ ,t = 1
b Ñ½ó ¤¢ .ÀþÞ÷ âþ ¥ À÷üõ ùÂþ ¥ ÎÖ÷ Âû ¥
þ ¤¢ ÷ ø ú÷ Ûʵõ ýúó÷î b رª ùÂÞû þ ¤¢ ø¢ ,°Â ßþ .ÀþÞ÷ âþ ¥ ÕÏõ' î Àû¢üõ ÛØÈ À±Þû ø ¥ b äÞ¹õ ¨ ,ú÷ Ûʵõ ýúó÷î b رª ø .ÀµÆû ú÷ í µÈõ ¥ Âõ "D
= ×È¡
¢ø ýûþ ¤¢ :5.6 Ûت
Ý¡ ×þ ¢ø ýûþ ¤¢ ¤¢
D
b ÷ ùÚ÷ ,Àª ´¨¤¢ Ýó ¥ (1) ÝØ Âð ñ
(2) ÝØ Âð ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .´¨ ÍÜè Ýó ¥ (2) ÝØ ßþ ø ´¨ ù¢¨ b µÆ õ ýä¢ °Â ßþ ø ;´¨ ÍÜè Ýó ¥ (2) ÝØ fõø ó ùÚ÷ ,Àª ´¨¤¢ Ýó ¥
2 ¤ (1) ÝØ
.Àª ±
f Þä .´¨ ´¨¤¢ 3.2.6 Ýó ¥ (1) ÝØ
ùÀª ý ¤ ð ÷
C. Jordan ö¢¤
.´ª¢¢þ 4.2.6
.§ ¤¿µê ݨ ßþ .Àõ÷üõ ö¢¤ Ý¡ b Ìì
ý¢úª ÂÑ÷ ¥ (1) ÝØ Øþ ' ¢Þ÷ ¤úÒ ý¢
õ 1890 ñ¨ ¤¢ î üÆî ;´¨
132
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
ñ¨ ¤¢
O. Veblen ßÜø
üÞû 6 ÛÊê
.ø fÀã ¤ ü± ß ."¢Þ÷ ± ¤ ö Àþ ,´¨ üúþÀ
ÙÜû î ´¨ ý Âù¢¨ ÀþÀ ± ,Ýþ ¤ øüõ ¹þ ¤¢ î ü± .¢Þ÷ ¤ 1900 .ݵÆû ø öûÂõ ´ ßþ ¥ ø ´¨ ù¢Þ÷ ¤
Helge Tverberg ï ¤ ø
î Ýîüõ ¢¢¤Âì ,¶½ ¤¢ üµ¤ ýÂ
D2
üþûäÞ¹õ Âþ ¥ öä ¤
Àø «Âì ø
S1 ùÂþ¢ õ¢ ¤¢ C
.Ýþ Âðüõ ÂÑ÷ ¤¢
±¨½õ Ûì
jx
y
j
¤ ¬
¤ ú÷ b ܬê ,Àª
A
= fag »÷
R2
S1
þ
R2
y
¥
ø
x
= R2
d(A; B )
(a; B ) := inf fjb
:= inf fjb
j j 2 Bg
.d
a b
Íܵ¿õ b ½Ô¬ ¥
.Óþ Âã 6.2.6
b ܬê
B
¤¢ ¹õ ù b äÞ¹õ Âþ ¥ ø¢ b ¢ÂÈê
.Ýîüõ Óþ Âã
.¢¢¤Âì 5.2.6
ø
A
Âð
.Àªüõ
j j 2 A ; b 2 Bg
a a
¤ ¬
Ýîüõ Óþ Âã ,Àª ýÎÖ÷ ×
ýûüãÜ® À ¢¤ õ ¤¢ ö¢¤ Ý¡ b Ìì Àû¢üõ öÈ÷ ,Ýîüõ ± î üÞØ ßóø .´¨ ´¨¤¢ ö¢¤
ö¢¤ üãÜ® À ×þ íµÈõ ¥ Âõ
C
D
.ûüãÜ® À ý ö¢¤ bÌì 7.2.6
Âð
î ,¢¢Âðüõ ÛØÈ ýÀ±Þû b Ôó b õ ø¢ ¥
R2
C
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
.Àªüõ ¤À÷Âî ú÷ ¥ üØþ fÖì¢ ø ´¨ ú÷ Ûì À
R2
ß ;´¨
r
¥
L
C p
ùÚ÷ ,Àª ö¢¤ üãÜ® À
b ÎÖ÷ ¥ ¥è
r
ù¿ó¢ üΡ Ý÷ ø
î Àª üãê¢ ¢Àã ÂÚÈþÞ÷
P (r; p)
Âð î Ýû¢üõ öÈ÷ Àµ :±
p
2 R2
Ýþ Âð .Ýõ÷üõ
p
Ýþ Âð .¢¤¢ Ôó b õ ø¢
¤¢ á㪠¤ ýäÞ¹õ
C
§b¤ ø¢ Âû Ø÷ ¯Âª ;Ýþ ¤ ø ¤Þª ø¢ ¤ ý¢¤ ¡Â ß ùÚ÷ ,Àî âÎì ¤
C
§b¤ ×þ ¥
,¤ ¬ ßþ Âè ¤¢ .Àª µª¢ ¤Âì
L
þ
r
C
Âð Øþ ¯ø ÂÈõ ,Àîüõ ¢¤ ¡Â
üΡ ù¤ Þ þ ¢¤ÁÚ
V
C
V
´Þ¨ ×þ ¤¢ °Â
L
þ
V
¤ ø¹õ
f ·õ .Ýþ ¤ øüõ ¤Þª ×þ ¤ ö Ýþ ¤¢ (Óó)-6.6 Ûت ¤¢
P (r1 ; p)
= 1;
P (r2 ; p)
= 1;
P (r3 ; p)
= 1;
P (r4 ; p)
= 5;
P (r5 ; p)
= 3;
P (r6 ; p)
= 3:
ö¢ ¢Âê ø ø ¥ üóø ,¢Þ÷ Àû¡ Âç Ûî ¤¢ :¢¢Âðüõ ÝÆÖ ¢Âê ø ø ¥ ¯Ö÷ Ýû¢üõ öÈ÷ .Xe
\ Xo = ;
ø
R2
R2
P (r; p)
C C
=
¤ÀÖõ ,p ¤¢
,ßþÂ
Xe
f
á㪠ǡÂ
f ¬ ö .¢Þ÷ Àû¿÷ Âç
[ Xo
î ´¨ ߪø ¤ .Xo ø
Xe
133
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
(p; C ) = " ø p 2 R2 C Ýþ Âð .À÷¥ R2 C ¤¢ Xo ø Xe bäÞ¹õ ø¢ Âû î 2 C î ´¨ üãõ öÀ ßþ B" (p) ¤¢ ¯Ö÷ Þ ö¢ ¢Âê ø ø ¥ .B" (p) R .d
ý¥ ´¨ üêî °ÜÎõ ߨ b Ñ
õ ý î  ;´¨ üØþ
Xo
ø
Xe
,¹µ÷ ¤¢ .Ýþ ÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤
p
¥ ¥è ø
x
p
ö¢ ¢Âê ø ø ¥
2 B" (p)
¥ µªÁð á㪠,x
.¢¤¢ Ôó b õ ø¢ Ûì À ø ´¨ À±Þû Âè
R2
C
Áó ø À÷¥
6.6 Ûت
Xo
üû¿ó¢ ´¨¤ Í¡ ù¤ ,°ÜÎõ ßþ ù b ÀûÈõ ý .ÀµÆû üû¤ À±Þû ö ý¨ ø¢ ¤¢ ø
R2
C
C
×þ¢ ÷ ,a; b
¤¢ üû¿ó¢ b ÎÖ÷
ýÎÖ÷ ø ùÀª áø ª
R2
C
p
p
Âð ñ .b
C
R2
C
2
þ
a
: S1 ! R2
C
¤¢
.À÷¤¢ ¤Âì
f Þä ,ݪ
C
C
×þ¢ ÷
×þ¢ ÷ ù¤Þû ø Ý÷Þ
.´¨ Þ öû ø ,Àªüõ À±Þû Áó ø ÀµÆû üû¤ À±Þû
f
Xe
¤¢ üû¤ ®ø ùÚ÷ ,Àª
¤¢ ö ¹÷ ß ¤¢ î ü¤ ¬ ,À÷ø ¤ ßþ b õ¢ .¢ø ¤üõ
b
ø
Ýîüõ Âê ø ù¢Þ÷ ¿µ÷
2 Xo ø a 2 Xe °Â ßþ
¥ î ¢¤¢ ¢ø
î Àû¢üõ öÈ÷ ßþ .À¨¤ Ýû¡
µ¨
2
R2
Xo
ø
Xe
Âð î ´ãìø ßþ ø ´¡Øþ üÚµ¨ úÔõ õ¢ ¤¢ .Ýþ ¤¢ ¥÷ ,´Æû ÷ ´¡Øþ b µ¨ ùÚ÷ ,Àª
´ªÚ÷.Àª ×þ ,"
>
ݪ µª¢
0
d2
ø
d1
°Âµ µõ ý µõ ýÌê ø¢
M2
Âû ý¥ î ´¨ ´¡Øþ b µ¨
d1 (x; y ) < Æ
x; y
ø
M1
.Óþ Âã 8.2.6
Ýþ Âð
ü¤ ¬ ¤¢
f
:
M1
!
M2
2 M1 Âû ý¥ î ¢ª ´êþ ö ý Æ > 0 .d2
(f (x); f (y)) < "
134
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
ßþ
üÞû 6 ÛÊê
.´ª¢¢þ 9.2.6
.´¨ Âýì üóÞãõ üÚµ¨ ¥ Øþ üÚµ¨
´Üî ö ÅØä üóø ,´¨ µ¨ ùÚ÷ ,Àª ´¡Øþ b µ¨ üã Âð î üãõ .¢¤À÷
.Àª µ¨
: M1 ! M2 ø ý µõ ýÌê M2 ø M1 Ýþ Âð .Ìì 10.2.6
f
.´¨ ´¡Øþ b µ¨
ùÚ÷ ,Àª ù¢ÂÈê
M1
Âð ¤ ¬ ßþ ¤¢
0 ý¢Àä ,x 2 M1 Âû ý¥ ." > 0 Ýþ Âð :± .d2 (f (x); f (y )) < "=2 ùÚ÷ ,d1 (x; y ) < Æ (x) ø y 2 M1 Âð î
¢¤¢ ¢ø ö b äÞ¹õ
f
Æ (x) >
fBÆ x (x) j x 2 M1 g Æ = minfÆ (x1 ); ; Æ (xn )g ffBÆ x1 (x1 ); ; fBÆ x (xn )g i 2 f1; ; ng d1 (x; y ) < Æ x; y 2 M1 Æ Æ (xi ) d2 (f (x); f (xi )) < "=2 x 2 BÆ x (xi )
,´¨ ù¢ÂÈê
M1
M1
ö .Àû¢üõ ÛØÈ
.
Ýþ Âð .
ý
ý ¥ üȪ
(
)
ø
Âð ,¤ ¬ ßþ ¤¢
Âþ ¥ ,
ßþÂ ø
d1 (y; xi ) < d1 (y; x) + d1 (x; x1 ) < Æ + Æ (xi ) ßþÂ .d2
d2 (f (x); f (y ))
:¢¤¢ üûµõ üȪ Âþ ¥
( n)
×þ ý¥ ùÚ÷ ,
ß»Þû .
( )
( i)
2Æ
(f (y); f (xi )) < " ¹µ÷ ¤¢ ø
d2 (f (x); f (xi )) + d2 (f (xi ); f (y)) < "
2
.À÷¨¤üõ ± ¤ ÝØ î
µ¨
f
ùÚ÷ ,Àª µ¨ üµªÚ÷
:
f
S1
!
R2
Âð
.¹µ÷ 11.2.6 .´¨ ´¡Øþ
.˻
f
:
d2
M1
ø
!
d1
°Âµ µõ ý µõ ýÌê
Âð ÷ ø ,Àª ù¢ÂÈê
´êþ ö ý .d1
Æ >
0 ×þ "
>
M1
M2
ø
M1
Ýþ Âð
ø ù¢ µ¨ üµªÚ÷
0 Âû ý¥ ùÚ÷
.¹µ÷ 12.2.6 f
:
M1
! M2
,Àª ÝÆê¤ õÿÞû
Âð
f (M1 )
(x; y) < " ùÚ÷ d2 (f (x); f (y)) < Æ ø x; y 2 M1 ùð Âû î ¢ªüõ
ö ¤¢ î ´¨ ý µõ ýûÌê öõ µ¨ üµªÚ÷
2
f 1
: f (M1 )
! M1
.´¨ ù¢ÂÈê
:±
f (M1 )
: S1 ! R2 bή ö¢¤ Ý¡ C Ýþ Âð .Ìì 13.2.6 0 1 2 ή C 0 ö¢¤ ýÜÞ À ×þ " > 0 î ¢¤¢ ¢ø ý ¤ Ï f : S ! R b .jf (x) f 0 (x)j < " û x 2 S1 bÞû ý¥ Âû ý¥ .Àª
f
135
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
î ¢¤¢ ¢ø ö ý
jx ö ý
A
"1 >
0 ,´¨ S1  ´¡Øþ bµ¨ f
"1 >
j
=)
y < "1
j 2" :
jf (x)
f (y )
p¤¢ ¤À÷Âî bÔóbõ ¤ ¬
3 f (b) ø f (a) bÎÖ÷
î Àª ý¥ «Âì
D
Ýþ Âð :±
jb aj < 3 Ýî Âê .¢¤¢ ¢ø ü¬Âì ß .Ýþ Âðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ·î À jb aj
,
ù b Âþ¢ .Àª ý
4=3 ¥ µð¤ ñÎ A ü¨ì ýúµ÷ ø¢ b ø a üµÆþ ¤ ¬ ßþ ¤¢
2 A fa; bg
ff (a); f (b)g maxfj aj; j bjg > jb
f (A)
Âû ý¥ Âþ ¥ ,Àî âÎì ¤
À÷üÞ÷ ¥ Âõ
f (b)
ø áø ª
6= a
v1
(2 ;vn
f (a)
6= b
¥ î Àª
ø
v1
6= a
f (A)
¤¢
C
§¤
f (vn )
ø . . . ,f
j
a
.
(v1 ) Ýþ Âð
(1 :Àû¢ ¤ ´¨ ßØÞõ ñÞµ ¤ú .À÷ªüõ ݵ¡
ùÂþ¢ ñø ´ó ¤¢ .vn = b ø v1 = a (4 ;vn 6= b ø v1 = a (3 ;vn = b ø 0 2 C ü¬Âì .´¨ §Þõ f (b)f (v ) ø f (a)f (v ) ´¨¤ ýúΡ ùÀ±Æ D R n 1 0 0 f ·õ ,f (b) ø f (a) ùÀ±Æ ¯Ö÷ ¤¢ D ùÂþ¢ î ¢¤¢ ¢ø ö D f (a )
b 0 ø f (a)f (v1 ) °Â ¢¤ ¡Â ¯Ö÷ ßþ Ý÷¢üõ î üó ¤¢ ,¢¤¢ §Þ f (b ) ø 0 a0 j > jb aj ö .Àî ùÀûÈõ ¤ (Óó)-7.6 Ûت ;ÀÖÜãµõ f (b)f (vn ) jb D0 ü¬Âì ø ´¨ §Þõ f (a)f (v1 ) D ùbÂþ¢ ø¢ ´ó ¤¢ .ÝþùÀ¨¤ Ëì f (a)f (v1 ) ¤¢ f (a) ×þ¢ ÷ ýÎÖ÷ ¤¢ ¤ C Ý¡ D0 î ¢¤¢ ¢ø ö R2 C ù¤
D
ßþ .Àî Ñ
õ ¤ ()-7.6 Ûت ;¢¤Áðüõ
R x
¥ ø Àîüõ §Þõ
b ÷ ,¤ú ´ó ý .´¨ ø¢ ´ó Èõ ¨ ´ó .Àõ¹÷üõ Ëì
2
Âû ý¥ .Ýþ Âðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤
.¢¤Áðüõ ý
x
f (b)
ø
f (a)
¥ ø ´¨
x
f (b)
ø
f (a)
f (a)
R2
C
¤¢ fõÞ
¥ Âè ýÎÖ÷ ¤¢ ¤
f (b)f (vn 1 )
ø
f (a)f (v2 )
Dx
f (A)
D0
¥ ýûÂ ø
f (A)
© îÂõ î ¢¤¢ ¢ø ¢ÂÔ Âʽõ
×þ ý¥ ,¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àî ´îÂ
.¢Âðüõ ¤Âì ø
f (b)f (vn 1 )
þ
D
Sx
Sx
ýùÂþ¢ ,R
x
Ýî Âê
îÂõ ¥ µ¨ ¤ Î
ö ¥ Û¬ «Âì î
¢øÀ½õ
Sx
ݨ¤üõ ýùÂþ¢
x
ý¥ ,÷µ¿±ª¡
ù b Âþ¢ ,«Ê¿ ý
ýúΡ ù¤ ¥ üØþ Øþ þ ø ,Àîüõ ì
õ
f (b)
137
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
ßõø¢ î üó ¤¢ ,´¨ ßØÞõ Âè ´ó ßóø î Ýþ¢¢ öÈ÷ ÂµÈ .´¨ §Þõ
p j 3 ÂÚþ¢ ¤±ä ;Àîüõ ǑÖó ¤ á®õ ×þ
ú Ìì ßþ b Þû .Àõ¹÷üõ Ëì ø¢ ´ó ¤¢ ùÀª ù¢Ôµ¨ ©ø ¤ ´ó
jb
2
a
.
7.6 Ûت
.Ýîüõ ± ¤ ö¢¤ b Ìì ¥ üµÞÆì öî ø¢ ÛìÀ
R2
C
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª ö¢¤ Ý¡
C
.Ìì 15.2.6
Âð
.¢¤¢ Ôó bõ ýÔó b õ î Ýû¢ öÈ÷ Ýû¡üõ .´¨ öÂîü Ôó b õ ø¢ ßþ ¥ üØþ ®ø :±
C
ÂÚÞû ö¢¤ ýúãÜ® À ¥ ýó±÷¢ . . . ø
ÂÔ¬ î . . . ø . . . ø
f2 ,f1 ,f
"2 ,"1
Ýþ Âð .¢¤¢ ÷ ¤À÷Âî
,ùÀª É¿Èõ 13.2.6 b Ìì ¤¢ î »÷ À÷Þû) Àª
´ªÚ÷ ͨ °Âµ . . . ø
p
C2 ,C1
C2 ,C1 ,C
Ýþ Âð .(Àîüõ Ûõ
limn!1 fn = f üµìø î ý÷ð ,Àª ùÀª ÂÎõ fn (bn ) ø fn (an ) ¯Ö÷ Ûõª Sn ýùÂþ¢ ,ý n Âû ý¥
,14.2.6 b Ìì öî .
jbn
an
j 3
S0
ýúÞ¡ b Þû î ¢¤¢ ¢ø ßþ .Àîüõ Ï ¤ û
Sn
ýùÂþ¢ b Þû
S0
.˻
2 ¤À÷Âî R
1 .´¨ ´þú ¤¢ z À ý¤¢ fzn g
ßþ
b ÎÖ÷
Sn
îÂõ Ýþ Âð
¹µ÷ ¤¢ .Àîüõ Ï ¤
.¢¤¢ ¤À÷Âî ýó±÷¢ Âþ ¥ ßþ ø ´¨
2 .À÷¤¢ ¤Âì R
zn
C
.¢¤¢ ¢ø
÷ ø
Cn
ö¢¤
¤¢ . . . ø ,z2 ,z1 b ó±÷¢ ,°Â
b ó±÷¢ î Ýî Âê Ý÷üõ ,¹µ÷ ¤¢ n=1
C
jy xj < jf (bn ) f (an )j Æ
b Ôó b õ ×þ ¤¢
zn
ø
z
,ï¤ üêî ù b ¥À÷ ýû
Æ>0
n ý¥
p 3 jf (y) f (x)j Æ ï¤ üêî ù f (x)j Æ=2 ý n N Âû ý¥ ¹µ÷ ¤¢ ø b ¥À÷ N î ;jf (y ) Âð î ¢¤¢ ¢ø ö ý ý
n
1
:¢Þ÷ ùÀûÈõ ¢ªüõ Ûþ£ ¤ ¬ ¤
Âû ý¥ ßþÂ .
ùÚ÷ ,
138
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
n
ÂÎì ý
N
ù b ¥À÷ ýû
2 ,R
C
n
üÞû 6 ÛÊê
< Æ=2
Âû ý¥ î ´¨ üãõ öÀ ßþ ."N
(zn ; Cn )
ý¥ üóø .d
zn
b Ôó b õ ×þ ¤¢
ý ¤À÷Âî b Ôó b õ ¤¢
zn
ø
z
> "=2
,ßþ .Àªüõ
¹µ÷ ¤¢ ø ´¨
jz
j
zn < Æ=2
üµÆþ ,ßþ .
Æ=2
¥ µð¤
Ýþ ¤¢ ï¤ üêî
Óþ Âã ,Âþ ¥ .Àª µª¢ ¤Âì ,ö ¥ ý ¤À÷Âî b Ôó b õ üãþ
z
¤À÷Âî Âè b Ôó b õ ¤¢ À÷üÞ÷
î Ýû¢ öÈ÷ Ýû¡üõ .Àªüõ âìø
R2
.Àª âìø µ¨ üû¤ ,ßþÂ
2 .Àª µª¢ ¤Âì R
(g(I ); C ) = Æ Ýþ Âð
ßþ î ,d
z
C
Cn
Âþ ¥ Âû 19.1.6 b Ìì ) ¢¤¢ ¢ø
¤À÷Âî Âè b Ôó b õ ¤¢
z
C
2
¥
C
z
Ýî Âê
¥
R2
¤À÷Âî Âè b Ôó b õ ¤¢
¥ ¤¡ ýÎÖ÷
C
R2 C
g
¤¢
2 .(´¨ üû¤ À±Þû fõ ó ,R ¤¢ ¥ ø À±Þû b äÞ¹õ
b ÎÖ÷ ,ï¤ üêî ù b ¥À÷ ýû
n
ý¥ î ´¨ üãõ öÀ
f ±ì î üÞØ ßþ üóø .¢¤¢ ¤Âì .´¨ Ëì ¤¢ ,Ýþ¢ öÈ÷ ¤ ö üµ¨¤¢
R2
Sn
ßþ ø ´Æ÷ ÕÜãµõ
R2
C
¤À÷Âî Âè b Ôó b õ
z
R2
C
î Ýþ Âðüõ ¹µ÷
.¢¤¢ Ôó b õ ø¢ ÛìÀ .Ýþ ¤¢ ¥÷ Âþ ¥ Ýó ø Óþ Âã ö¢¤ b Ìì ø¢ ´ÞÆì ± ´ú ,õ¢ ¤¢
C
î ´¨ ´¨¤ üΡ ù¤ ¥ ¥±ä
ÕÜãµõ
R2
C
C
©üþúµ÷ ¯Ö÷ ý¨
,Å
.Óþ Âã 16.2.6
Âø
ö¢¤ Ý¡
.Àîüõ âÎì ÎÖ÷ ø¢ ú ¤¢ ¤ .Àªüõ
,˻
X
C
¥ ý Âø
ø ù¢ ö¢¤ üãÜ® À
ùø
ã .Àªüõ
R2
C
C
.´ª¢¢þ 17.2.6
»÷
ýûÔó b õ ¥ üØþ
X
î ,
X [C
¤ ¬ ßþ ¤¢ .¢¤¢ Ôó b õ ø¢
b
¥ üØþ ¤¢ ÎÖ÷ ø¢
f g
d( a; b ; C )
ý
Æ>
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª ¢ø
X
¤¢
g
ø
a
ø ù¢ ö¢¤ üãÜ® À
0 ×þ ý¥ î ý÷ð
C
Ýþ Âð
2 ˻ R
2Æ ¥ µÞî ñÏ X [ C ¤¢ C ¥ ý Âø
üû¤ ,üµãìõ ß ¤¢ .À÷¤¢ ¤Âì
X
.Ýó 18.2.6 C
¤¢
X
ýûÔó bõ
ùð Âû Ýî Âê .Æ
b Ôó b õ ×þ ¤¢ ø¢ Âû
b
ø
a
(g(I ); C ) > Æ î ¢¤¢
.d
a
¤¢ îÂõ ø
Æ
.ÝûÀ ´îÂ
á㪠ý¥ «Âì Àµ î ´¨ ß ¢± üܬ ù b Àþ :±
b
´Þ¨ üõ¤ ¤ ö ,X  © îÂõ Ô Å³¨ ø µêÂð ÂÑ÷ ¤¢
2Æ ÂÎì ) «Âì ´î ßþ üõÚû ú
µÞî ñÎ Âø ×þ î ¢¢ ¹÷ öüõ ¤ (
139
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
üìÔ ß î Àîüõ ¹þ Âø  ®ø ÂÔõ .Àª µª¢ ¢ø
X
2
[C
¤¢
2Æ ¥
.¢¤À÷ öØõ
ø¢ ·î À
R2
C
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª ö¢¤ Ý¡
C
.Ìì 19.2.6
Ýþ Âð
.¢¤¢ Ôó bõ
r
b Ôó b õ ¨ ¥ üÏÖ÷
ø
q ,p
ø ¢¤¢ Ôó b õ ÂµÈ þ ¨
1 ýúãÜ® À ¥ ýó±÷¢ fCi g
i=1 ø
°Âµ ýúµªÚ÷ ͨ . . . ø Ýþ ¤¢ ï¤ üêî á b ¥À÷ ýû 7.2.6 b Ìì ¤ ù¢Ôµ¨ ¤¢
fp; q; rg
n
f
g
d( p; q; r ; C )
C2 ,C1 ,C ý¥
R2
=
(fp; q; rg; Cn )
.d
q
ø
p
û
n
< "=2
b Þû ý¥
¯Ö÷ î À÷ µª¢ ¢ø ý ¤ Ï
ýû
n
n
ý¥ .À÷ªüõ Ûʵõ Ýú
üêî ù b ¥À÷ ýû ¥ Ôó b õ ×þ ¥£
q
n ý¥
ø
p
Æn
ñÏ
q
´þú ø
n
ø
(Cn
,¹µ÷ ¤¢ ;d
C
.
ßþÂ ø
ÂÚÞû ö¢¤
.
f2 ,f1 ,f
d(Cn ; C ) < "=2
p
R2
Cn
¥
Xn
b Ôó b õ ×þ
î Ýî Âê Ý÷üõ ,Ýî
0 < Æ < " ý Æ Ýî Âê
Æ
Xn
C ) < Æ=2 Ýþ ¤¢
¤¢
gn
üû¤ ͨ
,ï¤ üêî ù b ¥À÷
(gn (I ); C )
ßµª¢ ¤Âì üãõ ¢¡ ßþ î ,d
Æ
. ø
Âû ý¥ î Ýîüõ Ñ¡
õ
d(gn (I ); Cn )
¥ ù¢Ôµ¨ .¢¤À÷ ¢ø üðÄþø ý ¢ø
Ýþ Âð .Àª ö þÞµõ
.Àª ùÀª üêÂãõ
ù¢Ôµ¨ ó±÷¢ Âþ ¥ ¥ ø ó ¤ ¬ ¤¢ »÷ .À÷¤¢ ¤Âì
Xn
"
Ýî Âê :±
Ýî Âê .Àª
b ÎÖ÷ ¨ ¥ ø¢ ,ï¤ üêî ù b ¥À÷
.ÀÖÜçµõ
C
ºû ,Ëì ßþ §¨ Â
> Æ=2
ï¤
2 .´¨ R
C
n ý Âø ,n ¥ ¤ÀÖõ ´þú ý¥ î Ýþ Âðüõ ¹µ÷ 18.2.6 Ýó
limn!1 Æn = 0 ø Àªüõ âìø Xn n ¥ üøÔµõ ýûÔóbõ ¤¢ q ø p î ¢¤¢ ,n(1) °Âµ ø Àª ùÀª °Âõ ý¢ã¬ °Â ,n ¤ÀÖõ ´þú ßþ Ýî Âê ø fn(i) (ai )  n(i) üþúµ÷ ¯Ö÷ Ýî Âê ,ß»Þû .Àª . . . ø ,n(2) limi!1 (fn(i) (bi ) fn(i) (ai )) = Ýþ ¤¢ ,limi!1 Æn(i) = 0 ö .Àª fn(i) (bi ) limi!1 (bi Àîüõ ¹þ ßþ î ,limi!1 (f (bi ) f (ai )) = 0 ßþ ø 0 ¤Âì Xn(i) b Ôó n(i) þÞµõ b õ ø¢ ¤¢ q ø p ¯Ö÷ ý i Âû ý¥ ö .ai ) = 0 .
f ¥ ý ¤À÷Âî b Ôó b õ ,n ¥ ¤ÀÖõ ´þú ý¥ ,p
·õ ,ÎÖ÷ ø¢ ßþ ¥ üØþ ,À÷¤¢ ßþ µØî
Ai
limi!1 (bi
,
.´¨
2
ø Àªüõ ¢øÀ½õ
ai )
= 0 ö
fn(i) (Ai )
ø
n(i) î ,´¨ ÕÜçµõ
Xn(i)
n(i)
1 .Àªüõ bi ø ai ö üþúµ÷ ¯Ö÷ î ´¨ S ¤¢ ü¨ì
" ¥ µÞî ,ï¤ üêî ùb¥À÷ ýû n ý¥ Ôóbõ ßþ ÂÎì î Ýþ Âðüõ ¹µ÷
jp
.Àª ± ÝØ ø ´¨ Ëì î ,
j
f (ai ) < "
«Ê¡
.¢¢Âðüõ ¹µ÷ 19.2.6 ø 15.2.6 ýþÌì ¥ ö¢¤ Ý¡ b Ìì öî
140
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ö¢¤ Ý¡ b Ìì :¢Â ¤î 2.6
üÞû 6 ÛÊê
.ßþ ÂÞ 20.2.6 ¤¢ ,Àª
f
:I
! R2
×±Øþ ø µ¨ ´ªÚ÷ ×þ ù b ¤Ú÷ .´¨
A
2 À±Þû R
Âð î Àî ´ (1
C
¤ ¬ ßþ
: S1 ! R2 bή ü÷¢¤ Ý¡ C Àî Âê p Æ = minfjf (y ) f (x)j j x; y 2 S1 ; jy xj 3g
¤ ¬ ¤
 ¤¢ ¤
Æ
Æ
.˻
ÂÎì «Âì ×þ
f
R2
C
(2
¤À÷Âî b Ôó b õ Àî ´ .Ýîüõ Óþ Âã .¢¤¢
¿µ÷ öüõ .Cr
R2
¤¢ Ýû ¥ À ø¢ ø¢ ø ù¢¨ b µÆ Ý¡ ¤Þª÷ ¢Àã (3
= f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 = rg ö ¤¢ î ,fCt j 0 < t 2 Rg
f·õ ;¢Þ÷ é¤ õÿÞû ´¨ üþÌê ,´Èû Ûت Ý¡
j (x 1)2 + y2 = 1g ø¢ ø¢ ø ´Èû Ûت ýúÞ¡ ¥ ýþ¢Âð fEj j j 2 J g Âð î Àî ´ f(x; y) 2
R2
.´¨ ¤Þª fõ ó
J
ùÚ÷ ,Àª
R2
¤¢ ¹õ
141
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
µ¨ ýúµªÚ÷ üÞû 3.6
µ¨ ýúµªÚ÷ üÞû
3.6
Óþ Âã ý ó ýûÌê ß ýúµªÚ÷ b äÞ¹õ  ýý¥ ¤Ýû b Τ ÛÊê ßþ ¤¢ µêÂð ¤Ø úû¤ ¢¤ õ ¤¢ î üõÚû f¬Ê¡ ,ýÀã ñÊê ¤¢ Τ ßþ
.Ýîüõ
.´¨ ¤¢¤ ¡Â ýùÄþø ´Þû ¥ ,À÷ªüõ 8.6 Ûت
! Y µ¨ ´ªÚ÷ ø¢ ,ù¢¨ ö ú÷ öõ öµ ý ¤ Ï fft : X ! Y j 0 t 1g µ¨ ýúµªÚ÷ ¥ ýù¢÷¡ î Ýð Þû ü¤ ¬ ¤¢ ¤
f 0 ; f1 : X
-8.6 Ûت ¤¢ .¢ª (Óó)-8.6 Ûت ;Àª µ¨ ü ×þ
Y
ø
X
=
S1
t
´±Æ÷ î ´êþ
¹þ ¤¢ ;´¨ ùÀª ù¢¢ öÈ÷ Þû Âè ´ªÚ÷ ø¢ () µÖì¢ ö .Àªüõ
R2
¤¢
9.6 Ûت
î Ýð Þû ü¤ ¬ ¤¢ ¤
F (x; 1)
F
f 0 ; f1
!Y
´ªÚ÷ ø¢
= ø F (x; 0) = f0 (t) î ¢ª ´êþ ö F : X Y
: f0 ' f1 ÝÆþ÷üõ ´ó ßþ ¤¢
öÈ÷
:X
ft (x)
¤
F (x; t)
öüõ ¤ Ï ßþ .ݨ¤üõ
!Y
µ¨ üµªÚ÷
.¢ª 9.6 Ûت .f1 .Àõ÷üõ
2 [0; 1℄ ft : X ! Y
¤ÀÖõ ý
.Óþ Âã 1.3.6
t
f1
ø
f0
ß üÞû ¤
Âû ý¥ .F
F
(t)
´ªÚ÷
: f0 ' f1 ¤Êµ¡ þ
µ¨ üµªÚ÷ ,°Â ßþ .Ýû¢üõ
142
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
µ¨ ýúµªÚ÷ üÞû 3.6
.´¨
¤¢ üû¤
f1
f0
:
I
!Y
f
üÞû 6 ÛÊê
ø ,ù¿ó¢ ý ó ýÌê
= f ((1
ü±îÂ
F (x; t)
ùø
ã
.Àªüõ µ¨ ,ßþ ø ´¨
F
ßþÂ .f1
fft j 0 t 1g
¥ µ¨ ýúµªÚ÷ ¥ ýù¢÷¡
t)x)
b ή
f
F ø
Y
R
.ñ·õ 2.3.6
Àî Âê
: I I
!Y 3 t 7! 1
î ¢Þ÷ ¤úÒ
¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨
t
2
R
Y
ýúµªÚ÷ ¥
(x) = F (x; 1) = f (0) = "f (0) (x) ø f0 (x) = F (x; 0) = f (x) .F : f ' "f (0) ¤Êµ¡ þ ;´¨ "f (0) ø f ß üÞû ×þ
ý ÂüÜî úÔõ ¥ (ø ó ¤ ¬ ¤¢ ,µ±ó) üµã®ø ß ßþ ¥ µ ý ù¢Ôµ¨ Âç
A
A
«Ê¿ ýäÞ¹õ Âþ ¥ ´±Æ÷ üÞû üãþ - ü±Æ÷ üÞû
¯Ö÷ ¥ ×þ ºû ,üÞû À÷ø ¤ ¤¢ î Ýîüõ Âê ´ó ßþ ¤¢ .Ýîüõ .ÀîüÞ÷
!Y
:X
f0 ; f1
,ÀÞû
X
¥ ýäÞ¹õ Âþ ¥
A bäÞ¹õ ´±Æ÷ f1
ø
f0
A
Àî Âê
.Óþ Âã 3.3.6
Ýðüõ ü¤ ¬ ¤¢ .Àª µ¨ üþúµªÚ÷
: X I ! Y üÞû ×þ î ´ üãþ ,Àª µªÀ÷ üÚµÆ t t 7! F (a; t) b ή F (a; ) : I ! Y ´ªÚ÷ ,a
2A
ø ù¢
Âû ý¥ î ¢ª ´êþ ö
f1
ø
f0
öõ
F
ÂÚþ¢ ö .Àª
8a 2 A8t 2 I ,f0
'
rel A
f1
ÝÆþ÷üõ ø ´¨
A
: F (a; t) = f0 (a):
´±Æ÷ ü±Æ÷ üÞû
.F
f0 (a)
= ý a
2A
Âû ý¥ fõ ó ùÚ÷ ,f0
F
Ýðüõ ,´ó ßþ ¤¢
: f0 ' f1 þ ø f0 ' f1 (rel A) A
'A f1 .´ª¢¢þ f0 jA f1 jA Âð
¤Êµ¡ þ ;f1
.
ø¢ Âð î üãõ ßþ üÞû ,A
=
;
,Y
»÷ ,ùø
ã .ÀµÆû ÷ Þû ,Àª ü±Æ÷ Þû ´ªÚ÷
= f0g ø X = I = "R2
(a)
.´¨ ü±Æ÷ üÞû ¥ ÂüÜî üÞû ,üÜî ´ó ¤¢
.´¨
A
4.3.6
A
´±Æ÷ üÞû öÞû
ü±Æ÷ üÞû ×þ 10.6 Ûت ¤¢ (1
¤¢ ü ×þ' ø .ÀµÆ÷
A
A
= f0; 1g ,X = I
.ñ·õ 5.3.6 .¢ªüõ ùÀûÈõ
X
Âê 11.6 Ûت ¤¢ (2
´±Æ÷ ü±Æ÷ Þû üóø ,ÀÞû
f1
ø
f0
ýúµªÚ÷
143
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üÞû 6 ÛÊê
µ¨ ýúµªÚ÷ üÞû 3.6
10.6 Ûت
11.6 Ûت
.´¨ ý¥ ¤ Ýû ,üÞû b Τ ,Àã ÝØ §¨  ý¥ ¤ Ýû ýΤ ,Y
X
¥ µ¨ ýúµªÚ÷ b äÞ¹õ Â
'A
.Ýó 6.3.6
b Τ
.´¨ ,´¨ ©¢¡ ø
f
öõ
A
´±Æ÷ ü±Æ÷ üÞû
F (x; t)
= f (x)
ö :±
: Âð Âþ ¥ ,´Æû ÷ ü÷¤Ö Τ ßþ .´¨ ü¥ ¤ îÁõ bΤ ø f ' f ßþ A Τ ,ù¡ .´¨ G(x; t) = F (x; 1 t) bή G î ,G : g ' f ùÚ÷ ,f ' g A A ö ¤¢ î ,H : f ' h ùÚ÷ ,G : g ' h ø F : f ' g Âð Âþ ¥ ,´¨ ýÀãµõ F
A
H (x; t)
=
A
F (x; 2t) F (x; 1
2
A
0 t 1=2 Âð 1=2 t 1 Âð
2t)
.Àªüõ µ¨ ,°Æ Ýó §¨  ø ,Àªüõ
.ßþ ÂÞ 7.3.6 öÈ÷ .Àª µ¨ üµªÚ÷
f
:
S1
!X
ø ý ó üþÌê
X
Àî Âê (1
Þû ´ üµªÚ÷ ,üãþ) ´¨ üÞû üµìø ú ø üµìø
f
î Àû¢
144
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
µ¨ ýúµªÚ÷ üÞû 3.6
;g
jS1 = f
´ªÚ÷
üÞû 6 ÛÊê
g
î ý÷ð ÀÈ µª¢ ¢ø
Âð :üþÞû¤)
Àî Óþ Âã
t
2I
x
ø
2
.˻
S1
f
¢¡ ÂÂ
!
D2 X 1 S = D 2
:
:
ý¥ ùÚ÷ ,F
'f
üµªÚ÷ î ,(´¨ ö ÀþÀ½ üãþ ø Àª ¤ îÁõ ´
g (tx)
(.Àî ù¢Ôµ¨ (6)-24.2.4 ßþ ÂÞ ¥ ų¨ ø ýûµ¨¢ b Þû b äÞ¹õ
P (x; y )
¤
'
f0;1g
y
×þ ü¤ ¬ ¤¢
P (x; y )
6=
X
f0; 1g
X
x
¥
!X p ' q f0;1g
:I
p; q
Âð î Àû¢ öÈ÷ (.
¤¢
p(1)
X
ø ´¨ ý¥ ó üþÌê
ý¥ ¤Ýû b Τ ´±Æ÷
.ÅØãó ø ;¢¤¢ ¢ø .Àª
2
.x; y
y
x
¥
X
= F (x; t) Àî Âê (2
¤¢ ýúû¤ ¥ ý¥ ¤Ýû
ù¤ ø¢ ,ÂÚþ¢ ¤±ã) .Ýû¢üõ öÈ÷ î Àîüõ É¿Èõ ¤
P (x; y ) ¥ Ìä
;
P (x; x) ø P (x; y ) ǑÌä öõ ×±Øþ ý ® ùÚ÷ ,
= q(0) üþúû¤ q ø p Ýî Âê .0 b ή
8 s > < p t t s h(t) = > : q 1 s ´±Æ÷ p q ø h ¤ ¬ ßþ
!X
h:I
0 t s Âð s
t1
1 Ýþ Âð
< s
> > > > < > > > > > :
4t s+1 g(4t s 1) 4t s 2 h 2 s
f
0 t s + 1 Âð 4 s+2 s+1 Âð t 4 4 s+2 t 1 Âð 4 153
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
úû¤ ® 1.7
ùø
ã ø ´¨ µ¨
F (t; 0) = (f g) h (t); F (0; s) = f (0) = (f g) h (0);
2
F
â
F (t; 1) = f (g h) (t); F (1; s) = h(1) = f (g h) (1): .Àªüõ ÂÑ÷ ¢¤ õ üÞû
F
,ßþÂ
.6.1.7 Ýó ¯ Âõ :3.7 Ûت
µÖì¢ ö .´¨ ýûµ¨ÀÞû ® ü·¡ Â¬ä ´÷ ×þ ø
["x ℄[f ℄ =
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
X
¤¢
y x ¥ üû¤ f
.Ýó 7.1.7
Àî Âê
[f ℄["y ℄ = [f ℄
.
"x f f ø f "y f î ¢ª ± Àþ :± b ή ¤ F : I I ! X ´ªÚ÷ .Àî ùÀûÈõ ¤ 4.7 Ûت .Ýîüõ ±
¤ ø¢ ÝØ ú ,È Ûó¢ .
F (t; s) =
üÞû
2
8 >
:
f
2t
1 + s s+1
0 t 1 s Âð 2 1 s t 1 Âð 2
F ø F (t; 1) = f (t) ,F (t; 0) = ("x f )(t) ¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àªüõ
² ü·¡ ý¤¢ ý ÂÊä Âû , Ýó §¨ î ¢ª
.Ýîüõ Óþ Âã
f0; 1g
´±Æ÷ ü±Æ÷
.´ª¢¢þ 8.1.7
ù¤ î À÷ ü·¡ ø¢ ßþ ü¤ ¬ ¤¢ ú .´¨ ¢¡ «Ê¿õ ´¨¤ ü·¡ ø .´¨ ù¢Þ÷ áø ª ö ¥ î À öþ ýÎÖ÷
154
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
úû¤ ® 1.7
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
.7.1.7 Ýó ¯ Âõ :4.7 Ûت
¤ ø¢þ .Ý ý¥ ¤ Ýû À ¤¢ ø ¢ø ¤ ¬ ¤¢ ¤ úû¤ öø ¤ø Ýû¡üõ öþ ¤¢ Óþ Âã
f(t)
:=
f (1
t)
¤ ¬ ¤
.(ßþ ÂÞ)
[f℄[f ℄ =
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª
X
f öø ¤ø ,f
ø ÂÔõ ù¤ ý î Ýþªüõ
f g Âð ú ø Âð f ¤¢
y x ¥ üû¤ f
g î ¢ª .Ýîüõ
Àî Âê
.Ýó 9.1.7
.[f ℄[f℄ = ["x ℄ ø ["y ℄ ¤ ñø ÝØ ú ,È Ûó¢ .
(f f)(t) =
üÏ öø ¤ø ´ú ,Ýþ¢ÂðÂ
x
8 >
: f(2t
f
f f
1) = f (2 2t)
ù¤ Ûî ,ö ø¢ b Þ÷ ¤¢ ø
ų¨ ø ݨÂ
y
,ù¢Âî áø ª
x
f
ù¤ Ûî ,ù¤ ßþ ¥ ñø b Þ÷ ¤¢
¥ Øþ ¥ öÞÏ ýÂ
.¢ªüõ
Âû ý¥ Âð ñ .(ý¢ä ´ä¨  ø¢ ,üãþ) Ýþù¢Þ÷ ¿µ÷ 2 ¤ öÞµä¨
s °¨µõ ¤ ´ä¨ ,ù¿ó¢ s 2 [0; 1℄ ų¨ ø ¢ø ¤üõ f (2(1 s)) î Ýþ ¤¢ x ¥ áø ª ù¤ ×þ ý s 2 [0; 1℄ ßþ .ݨ¤üõ "x s = 1 ý¥ ø f f s = 0 ý¥ .¢¢Âðüõ ¥ x b ή ¤ F : I I ! X Âû ý¥ ¤ ¬ ßþ ¤¢
F (t; s) =
.Ýþ ÂÚ
1
8 >
:
f 2(1 t)(1 s)
1 0 t Âð 2 1 t 1 Âð 2
155
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
úû¤ ® 1.7
ø ´¨ µ¨
F (t; 0) = f f (t); F (0; s) = f (0) = f f (0);
2
F
®ø .Ýîüõ Óþ Âã
F (t; 1) = f (0) = "x (1); F (1; s) = f (0) = f f (1): .´¨ Þ öûÂ ø
f f ß Âþ ¥ ª G : I I
!X
F : f f "x ßþÂ
.´ª¢¢þ 10.1.7
ý ÂÚþ¢ üÞû
:¢¤¢ ¢ø
G(t; s) =
°¨µõ ,´¨ ¥
8 > > > > < > > > > :
f
f (2t)
f (1 s)
f (2 2t)
"x ø
0 t 1 s Âð 2 1 s t 1 + s Âð 2 2 1 + s t 1 Âð 2
ù¤ üÏ ý î ü÷õ¥
s)=2 ý ,Å .Àªüõ 1 s ´ÞÆì (1 + s)=2 ý ùÚ÷ ø Ýîüõ ±¬ f (1 s) bÎÖ÷ ¤¢ ,ų¨ ;Ýîüõ f f f ´ªÚ÷ ,s = 0 üµìø ,ßþ .Ýîüõ f ù¤ ¥ ´Èð¥ é¬ ¤ öÞµìø ,¡ .Ýþüõ ´¨¢ "x üãþ ;ݵÆû x ¤¢ ´ìø Þ ,s = 1 üµìø ø Ýþ ¤¢ ¤
¢Àµõ ¤¢ ´î é¬ ¤ öÞµìø ñø ´ÞÆì
(1
.´¨ ß ´ªÚ÷ ßþ ÂÏ ù b Àþ
ú÷ ß Â® ø ûÂÆõ ¥ ý¥ ¤ Ýû ýûµ¨¢ b ãóÎõ ÂÚþ¢ ¤ ,ýÀã ÛÊê ¤¢ .Ýþ ¥¢Âüõ
.ßþ ÂÞ 11.1.7
g(1) = ø f (1) = g(0) X ý ó üþÌê ¤¢ h ø g ,f ù¤ ¨ ¥ üó·õ 6 f (g h) î Àþ ¤ ø h(0) (f g ) h = î Àþ ¤ ø ÷ üó·õ .(f g ) h = .f (g h) .Àî õì
"f (0) f
f "f (1)
ý ÝÖµÆõ ü± (2
h(1) = 1 ø h(0) = 0 µ¨ üµªÚ÷ h : I ! I ø ù¢ X ¤¢ üû¤ f Ýþ Âð .f f Æ h î Àû¢ öÈ÷ .Àª f
î ,Àþ ¤ ø
f
"x f
(1
(3
ý ÝÖµÆõ ü± , ¤¢ 3 ßþ ÂÞ ¥ ù¢Ôµ¨ (4 .´¨
x ¤¢ ¥è üû¤
156
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
úû¤ ® 1.7
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
.Àª íµÈõ öþ ø
x ¥ íµÈõ áø ª X ¤¢ üþúû¤ f; g : I ! X Ýþ Âð .f g "x î f g üµìø ú ø üµìø Àî ´
h(1) = 0 ø h(0) = 1 µ¨ üµªÚ÷ h : I ! I ø ù¢ X ¤¢ üû¤ f Ýþ Âð .f f Æ h î Àû¢ öÈ÷ .Àª f2 ø f1 ýúû¤
.Àª ù¤
f :I
! X 0 = t 0 t1 t2 = 1 ø
(5
(6
Àî Âê (7
:Ýîüõ Óþ Âã Âþ ¥ ¤ ¬ ¤
f1 (t) = f (1 t) t0 + t t1 ; f2 (t) = f (1 t) t1 + t t2 : (.Àî ù¢Ôµ¨ , ¤¢ 3 ßþ ÂÞ ¥ :üþÞû¤) .f1 f2 f Àî ´ .Àª ù¤
f :I
! X 0 = t 0 t1 t2 t q ø
1 Àî Âê
(8
f2 ,f1 ýúû¤ fi (t) = f (1 t) ti 1 + t ti ; ; i = 1; 2; ; q .[f ℄ = [f1 ℄[f2 ℄ [fq ℄ Àî ´ :Ýîüõ Óþ Âã Âþ ¥ ¤ ¬ ¤
fq ø
=
. . . ,
V ø U î ,X = U [V ø Àª ý ó üþÌê X Àî Âê ¤ ¬ ¤ [f ℄ ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª X ¤¢ üû¤ f Âð î Àû¢ öÈ÷ .À÷¥ fõÞ üû¤ û fi ¥ ×þ Âû ö ¤¢ î ,´ª÷ öüõ [f ℄ = [f1 ℄[f2 ℄ [fq ℄ 1 (U ); f 1 (V )g ¥ Ǫ :üþÞû¤) .´¨ V ¤¢ fõÞ þ ø U ¤¢ ¤ I ¥ ff 1 (V ) ø f 1 (U ) ų¨ ,µêÂð ÂÑ÷ ¤¢ ýûù¥ ¥ ¹õ üäÞµ ¤ ¬ ¤ f (7)-25.1.4 ßþ ÂÞ ¥ Øþ þ ;Àî ù¢Ôµ¨ I üð¢ÂÈê ¥ ų¨ ø ÀÆþ ¥ üþûäÞ¹õ Âþ ¥
(9
(.Àî ù¢Ôµ¨ , ¤¢ 8 ßþ ÂÞ ¥ ¡ ¤¢ .Àî ù¢Ôµ¨
h : (0; 1) ! (0; 1) Âð î Àî ´ (1 ß î Àû¢ öÈ÷ .f j(0;1) = h î ¢¤¢ ¢ø ö f : [0; 1℄ ! [0; 1℄ ´¨ µÆ (0; 1) = Int(I ) ¤¢ î (0; a℄ ù b ¥ :üþÞû¤) .´¨ µØþ ý f
ø b î ,´¨ [ ; 1) þ (0; b℄ Ûت h((0; a℄) î Àû¢ öÈ÷ ø ù¢Þ÷ üÞÆê¤ õÿÞû ùÚ÷ ,Àª ÝÆê¤ õÿÞû
(.ÀµÆû
h(I )
.
=
I
ùÚ÷ ,Àª ÝÆê¤ õÿÞû
h
:
I
!I
(10
1 ø 0 ß ýÀä
Âð î Àî ´ (2
(.Àî ù¢Ôµ¨ ýÀ±Þû ¥ :üþÞû¤)
g : I ! g(I ) ø f : I ! f (I ) î Àª X ¤¢ üþúû¤ g ø f Àî Âê (3 .f g þ f g ùÚ÷ ,f (I ) = g (I ) Âð î Àî ´ .ÀµÆû ÝÆê¤ õÿÞû (.Àî ù¢Ôµ¨ ßþ ÂÞ ßÞû ¥ 2 ´ÞÆì ¥ :üþÞû¤)
157
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
úû¤ ® 1.7
f : Int(I ) ! f (Int(I )) î Àª X ¤¢ µÆ üþúû¤ g ø f Àî Âê (4 f (I ) = g(I ) Âð î Àî ´ .ÀµÆû ÝÆê¤ õÿÞû g : Int(I ) ! g(Int(I )) .f g þ f g ùÚ÷ ,f (I ) = g (I ) ø ø
158
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 2.7
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
ý¢ ùø Âð
2.7
ù¤ ø¢) úû¤ ¥ ý¥ ¤Ýû ýûµ¨¢ b äÞ¹õ ¤¢ ® ÛÞä î ÝþÀþ¢ Û±ì Ç¿ ¤¢ ñ¬ ¤¢
X ö üþÌê ¤¢ (Àª Þû f0; 1g ´±Æ÷ î À÷¥ ¤Ýû ü¤ ¬ ¤¢
ø ÂÔõ ù¤ ø¢ ÂÌܬ ´¨ ßØÞõ î ´¨ ßþ óbÆõ .¢¤¢ ëÀ¬ ùø Âð b ä®õ f
ά ,Àîüõ Âç ,ÂÚþ¢ b ÎÖ÷ ýÎÖ÷ ¥ ü÷Þû ÂÊä ß»Þû ø ¢¢ÂÚ÷ Óþ Âã ¤¢ üúµ÷ ø Àµ ø) µÆ ýúû¤ ¥ ú ,ÛØÈõ ø¢ ßþ  ±Üè ý !´¨ ¤ øª :Ýîüõ Óþ Âã §¨ ßþ  .Ýîüõ ù¢Ôµ¨ (ø ÂÔõ b ÎÖ÷ ×þ
f (0) = f (1) î Ýð µÆ
ü¤ ¬ ¤¢ ¤
ü¤ ¬ ¤¢ .
.Ýðüõ ÷ ÖÜ
¤ µÆ ù¤ .Ýõ÷üõ
f
b þ
¤
f
.Óþ Âã 1.2.7
ù¤
x bÎÖ÷ ,f (0)
= f (1) =
x î
(X; x) ¢Þ÷ ¤ x 2 X ¤¢ bþ bµÆ ýúû¤ ¥ ý¥ ¤ Ýû ýûµ¨¢ bÞû bäÞ¹õ .Ýû¢üõ öÈ÷
[f ℄[g ℄ = [f
ùø Âð ,
g℄
® ÛÞä ùÂÞû
(X; x) bäÞ¹õ .Ìì 2.2.7 .Àû¢üõ ÛØÈ
ÂÊä î °ÜÎõ ßþ Â÷ ø Û±ì Ç¿ ¥ 7.1.7 ø 6.1.7 Ø :±
2
.´¨ üúþÀ ÝØ ,Àªüõ
.Ýõ÷üõ
["x ℄ ù¤Þû ø ´Æ÷ ¤ øª ÂÚþ¢ ü·¡
x bÎÖ÷ ¤¢ bþ X ý¢ ùø Âð [f ℄ 1 = [f℄
ý ÂþÁ³µîª ,ùø
ã . üó ¤¢ .¢Þ÷ ù¢Ôµ¨
¤
(X; x) .Óþ Âã 3.2.7
î ¢ª
.´ª¢¢þ 4.2.7
[f ℄[g ℄[h℄ ¥ öüõ ([f ℄[g ℄)[h℄ ý¹ , (X; x) ¤¢ ® ÛÞä
.ÀøÔµõ °Üè
f (g h) ø (f g) h Âþ ¥ ,´¨ üãõ ü f g h î .ßþ ÂÞ 5.2.7
x bÎÖ÷ Âî£ (X; x) ¤¢ Â
(1
(X; x) = ùÚ÷ ,Àª µÆÆð ý¥ ó üûµõ üþÌê X Âð î Àû¢ öÈ÷
(2
?´¨ üõ ó
1
.
üþÖó ý¥ ó Íܵ¿õ ¢Àä b äÞ¹õ
Q
î ,Àþ ¤ ø ´¨À ¤
.(´¨ ùÀª Âê ¢¤À÷µ¨
R
(Q ; 0) ùø Âð
 ý ó) Àªüõ
R
(3
¥
159
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
ý¢ ùø Âð 2.7
g ø f Âð î Àû¢ öÈ÷ .Àª (X; x) = 1 üþÌê X Ýþ Âð :üþÞû¤) .f g ùÚ÷ ,Àª f (1) = g (1) ø f (0) = g (0) = x X
¤¢ üþúû¤ ¥
(4
(.Àî ù¢Ôµ¨ (5)-11.1.7 ßþ ÂÞ
ÂÚõ ,¢¤À÷ ¢ø
(X; y) ø (X; x)
ß ¯±¤ ¢ø ý ýüÜî Ûó¢ ºû
y x ¥ üû¤ Ø÷
.´êþ öµ ,Àª µª¢ ¢ø
y x ¥ X
x; y 2 X Ýþ Âð .Ìì 6.2.7 .Àê¤ õø þ (X; y ) ø (X; x) ýúûø Âð ùÚ÷
¤¢ üû¤ Âð .
x ¤¢ bþ ýµÆ ù¤ g Âð .Àª y x ¥ üû¤ f Ýþ Âð :± (X; x) ! ´ªÚ÷ ßþ .¢ Àû¡ y ¤¢ bþ µÆ üû¤ (f g) f b ή (X; y )
ùÚ÷ ,Àª
uf :
uf [g ℄ := [f ℄ 1 [g ℄[f ℄ = [(f g ) f ℄
uf
Âþ ¥ ,´¨ úûø Âð ß ÝÆê¤ õÞû
.Ýîüõ Óþ Âã ¤
uf ([g ℄[h℄) = uf ([g h℄) = [f℄[g h℄[f ℄ = [f℄[g ℄[h℄[f ℄ = [f℄[g ℄:([f ℄[f℄):[h℄[f ℄ = ([f℄[g ℄[f ℄):([f℄[h℄[f ℄) = uf ([g ℄):uf ([h℄): b ή
uf :
(X; y)
! (X; x)
x y
´ªÚ÷ ,
(uf Æ uf)([g ℄) = [g ℄ î ¢¢ öÈ÷ ¢ªüõ üµ¤
.
2
ý
f ù¤ ¥ ù¢Ôµ¨ ñ
¥
.ݨ¤üõ
uf([h℄) = [(f h) f℄
.Àªüõ ÝÆê¤ õø þ Áó ø ´¨ üþ¨ ø¢
x; y
2X
Âû ý¥ ùÚ÷ ,Àª üû¤ À±Þû .Àê¤ õø þ
ùø Âð ¥ ,Àª üû¤ À±Þû ö õ
(X )
.
X
X
Âð
uf
ßþÂ
.¹µ÷ 7.2.7
(X; y) ø (X; x) ýúûø Âð
î ü¤ ¬ ¤¢ , ÝØ ÂÑ÷
.Óþ Âã 8.2.7
:¢Þ÷ ý ¤¢¢¡ þ b ÎÖ÷ Âî£ ¥ ø ´Ôð ß¿¨ öüõ
f Þä .Ýîüõ ý ¤¢¢¡ ö éÁ ¥ ,¢¤À÷ ¢ø
ùÀþ ¤¢ .´¨ üõ ó 6.2.7 b Ìì ¤¢ üû¤ À±Þû Âê
X
ý¢
y x ¥ É¿Èõ üû¤ .´ª¢¢þ 9.2.7
üêÂãõ öØõ ,¢¢Âðüõ üêÂãõ ý¢ ýúûø Âð b ±¨½õ «Ê¡ ¤¢ ý ÂµÈ ÷Øõ î .Àê¤ õø þ Âè
(X; y) ø (X; x) Óܵ¿õ ýû x; y 2 X ý¥ î ¢¤¢ ¢ø üó·õ 160
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 2.7
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
.ßþ ÂÞ 10.2.7
y
x ¥ g ø f ýúû¤ Àî ´ üãþ) Àîüõ Óþ Âã (X; y ) (X; x) ,G ø ÂÔõ ùø Âð Z (G) îÂõ :üþÞû¤) .Àª ÕÜãµõ (X; x) (.¢¢Âðüõ Óþ Âã Z (G) := fa 2 G j 8 b 2 G : ab = bag
¥ ü÷ÆØþ ÝÆê¤ õø þ üµìø ú ø üµìø îÂõ [g f℄ ÂÊä î ,(uf = ug ¤ ¬
x ¥ f
ù¤ ͨ ùÀª É¿Èõ ÝÆê¤ õø þ
ùø Âð î ´¨
f
uf : (X; x)
¿µ÷ ¥ ÛÖµÆõ üµìø ú ø üµìø
uf
! (X; y)
(1
Ýþ Âð (2
y .Àª üÜ (X; x)
Àî ´ .Àª
.Ýþ ¥¢Âüõ ý¢ ýúûø Âð  µ¨ ýúµªÚ÷ Âb b ãóÎõ õ¢ ¤¢
':X!Y
¤ ¬ ßþ ¤¢ .´¨ µ¨ üµªÚ÷ .´¨
Y
¤¢ üû¤
'Æf
ùÚ÷ ,Àª
'Æf
.
¤¢ b þ µÆ üû¤
'Æf
ùÚ÷ ,Àª
x
Ýþ Âð
2X
X ¤¢ üû¤ f
'Æg
2 (X; x) ' : (X; x) ! [f ℄
f g Âð
¤¢ b þ µÆ üû¤
' ,Àã Ýó ÂÑ÷
f
(2
Âð (3
'(x) 2 Y
.Óþ Âã 12.2.7
Âû ý¥ ,11.2.7 Ýó
ßþ .Àªüõ
Âð (1
ùÚ÷ ,
.Àªüõ
,ý
.Ýó 11.2.7
(Y; '(x)) ÕÜãµõ ø Óþ Â㵪¡ [' Æ f ℄ ÂÊä
.¢Þ÷ Óþ Âã öüõ
' ([f ℄) := [' Æ f ℄ ¤ ¬ ¤ (Y; '(x)) .Ýõ÷üõ
' ͨ üþÖó ´ªÚ÷
.´¨ úûø Âð ß ÝÆê¤ õÞû
¤
' .Ýó 13.2.7
´ÖÖ ¤¢ .´¨ ù¢¨ ¤Æ :±
' ([f ℄:[g℄)
=
' ([f g℄) = [' Æ (f g)℄
= [(' Æ f ) (' Æ g )℄ = [' Æ f ℄:[' Æ g ℄ =
' ([f ℄):' ([g℄) 161
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
ý¢ ùø Âð 2.7
2
.´¨ Þ öûÂ ø
.Ýþ ¤³¨üõ ùÀ÷¡ ßþ ÂÞ öä ø ,À± Ûì üµ¤ ýÀã Ø
.Ìì 14.2.7 ¤ ¬ ßþ ¤¢ ,À÷µ¨
:
Y
!Z ':X!Y ø
ýúµªÚ÷ Àî Âê (1
(' Æ ) = ' Æ
.
 ü÷Þû ÝÆê¤ õÞû
1
¤ ¬ ßþ ¤¢ ,Àª ü÷Þû ´ªÚ÷
1:X
!X
.´¨
.Àê¤ õø þ ý¢ ýúûø Âð ý¤¢ ,é¤ õÿÞû ýûÌê
' : (X; x) ! (Y; '(x)) ùÚ÷ ,Àª ÝÆê¤ õÿÞû ' : X
Âð (2
'(X; x)
.¹µ÷ 15.2.7
!Y
Âð ,ÂÚþ¢ ö
.´¨ ÝÆê£õø þ
ý ýÀ÷ø ¤ ,ý¢ ùø Âð b ±¨½õ , Ø ÂÑ÷
.´ª¢¢þ 16.2.7
üÚ÷Ú üêÂãõ ý °¨õ ý÷Þ÷ ßþ .Àªüõ ± ù b ¥ ý ó ÛþÆõ ñÖµ÷ ý ó ¥ ¤ ÛþÆõ ý ± ý ó ¤¢ ,âìø ¤¢ .Àªüõ ý ± ý ó ¤¢ ÛÞä Û¬ b ¹µ÷ ¥ ų¨ ø ,Ýû¢üõ ¤Âì ü¨¤  ¢¤ õ ± ¤¢ ¤ ö ,ù¢Þ÷ ÛÖµõ ± Âþ ¥ ª üʵ¿õ ý¤¢ ,À÷ø ¤ ßþ
.Ýþ Âüõ ùÂú ý ó ÛþÆõ Û ýÂ :´¨
,(þ öä ö ¥ ù¿ó¢ b ÎÖ÷ Âû ý¥ ø) ý ó ýÌê Âû ý¥ (1 .Ýþ ¤¢ ¤µ¡ ¤¢ (ý¢ ùø Âð ) üûø Âð
ÝÆê¤ õÞû ) üÞÆê¤ õÞû ,ý ó üþûÌê ß µ¨ ´ªÚ÷ Âû ý¥ (2 .Ýþ ¤¢ ¤µ¡ ¤¢ ú÷ ÂÑ÷ ýúûø Âð ß (üþÖó
.Àîüõ ǑÖó ¤ Ï Âõ ýúÞÆê¤ õÞû °î ,üþÖó ýúµªÚ÷ °î (3
.Àîüõ ǑÖó ¤ ü÷Þû ÝÆê¤ õÞû ,ü÷Þû ´ªÚ÷ (4
.Àîüõ ǑÖó ÝÆê¤ õø þ ,úÞÆê¤ õÿÞû (5
162
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 2.7
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
ý¢ ýúûø Âð ,é¤ õÿÞû ýûÌê ,15.2.7 b ¹µ÷ §¨ Â î ¢ª ùø Âð ´¨ ßØÞõ' Àû¢üõ öÈ÷ î ¢¤¢ ¢ø ü÷øÂê ýúó·õ üóø ,À÷¤¢ é¤ õø þ Âð ,ñ ßþ ."Àª±÷ é¤ õÿÞû Ìê ø¢ ö õ ,Àª é¤ õø þ Ìê ø¢ ý¢ ø¢ ö fÞµ î ´êÂð ¹µ÷ öüõ ,Àª±÷ é¤ õø þ ø ÂÔõ ýÌê ø¢ ý¢ ùø Âð .Àê¤ õÿÞû Âè Ìê ,Àª µª¢ ¤ ¤¢ ¤ îÁõ 5 1 «¡ î ý ÂÒ
ý¢ ùø Âð b±¨½õ ,µÖì¢ ö
ý ¤ Úî ¥ ý ¤ µØ÷ê ,
: T OP ! GRO
.
.´ª¢¢þ 17.2.7
:Àªüõ
ý µõ ýûÌê ý ¤ Úî ¥
M
GRO
ûø ø Âð ý ¤ Úî
.¢ªüõ ùÀõ÷ ¤ µØ÷ê
T OP
ý ó ýûÌê
¤ µØ÷ê öüõ ,¤ µØ÷ê ¥ ÂÚþ¢ ý÷Þ÷ öä
,ø ÂÔõ ý µõ ýÌê Âû î ,¢Â ÷
T OP
ý ó ýûÌê ý ¤ Úî
MET
´±Æ÷ ¤ ´ªÚ÷ ö ¢¡ ,´ªÚ÷ Âû ø ;Àû¢üõ ´±Æ÷ ¤ ö  ý ó ¤µ¡¨ .Àû¢üõ
.ßþ ÂÞ 18.2.7
' ´ªÚ÷ î Àþ ¤ ø ' : X ! Y ×±Øþ ø µ¨ ´ªÚ÷ ¥ üó·õ 2 1 (. (D ; x) = 1 ø (S ; x) = Z Àî Âê :üþÞû¤) .Àª±÷ ×±Øþ ,ö
ÂÑ÷
,ö ÂÑ÷
' ´ªÚ÷ î Àþ ¤ ø ' : X ! Y
(1
ª ø µ¨ ´ªÚ÷ ¥ üó·õ (2 .Àª±÷ ª
y x ¥ üû¤ f ø Àª µ¨ ' : X ! Y ´ªÚ÷ Âð î Àî ´ u'Æf ø uf î ,' Æ uf = u'Æf Æ ' : (X; x) ! (Y; '(y )) ùÚ÷ ,Àª ýúûø Âð öõ ' Æ f ø f °Âµ ýúû¤ ͨ ùÀª É¿Èõ ýúÞÆê¤ õø þ X
¤¢
(3
.Àªüõ ý¢
x0 2 X ø ÀµÆû ý ó ýûÌê Y ø X Àî Âê (X; x0 ) ¥ ü÷ÆØþ ÝÆê¤ õÞû ü¤ ¬ ¤¢ '(x0 ) = (x0 ) ; ' : X ! Y .Àª Þû x0 ´±Æ÷ ø ' î Àîüõ É¿Èõ (Y; '(x0 )) ýúµªÚ÷ î Àî ´ .
r : X ! A ±Ö÷ ´ªÚ÷ X ý ü®±Ö÷ A Àî Âê ÝÆê¤ õõ i : (A; a) ! (X; a) Àî ´ .a 2 A ø Àªüõ i : A ,! X r : (X; a) ! (A; a) ´ªÚ÷ ø ;(Àªüõ ×±Øþ ÝÆê¤ õÞû ,üãþ) ´¨ ýµ ´ªÚ÷ ø
(4
(5
.(Àªüõ ª ÝÆê¤ õÞû ,üãþ) ´¨ ÝÆê¤ Þ
163
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¢ ùø Âð 7 ÛÊê
ý¢ ùø Âð 2.7
(X; a) ¥ ñõÂ÷ üûø ÂðÂþ ¥ i ((A; a)) Àî Âê , ßþ ÂÞ ¤¢ ®ø ÂÔõ Image(i ) := ýúûø ÂðÂþ ¥ ÝÖµÆõ ÂÌܬ (X; a) Àî ´ .´¨ 1 .Àªüõ Kernel(r ) := r (["a ℄) ø i ( (A; a)) a 2 A ø Àª X ý ýì üÆþ¢Â𢠱Ö÷ A Âð î Àû¢ öÈ÷ i : (A; a) ! ÝÆê¤ õø þ ǑÖó °õ i : A ,! X ýµ ´ªÚ÷ ,¤ ¬ .¢ªüõ (X; a)
ßþ ¤¢ ,
2X
x0
,
' : X ! X Âð î Àû¢ öÈ÷ .´¨ ÝÆê¤ õø þ ' : (X; x0 ) ! (X; '(x0 )) ´ªÚ÷ ùÚ÷
ø Àª
:üþÞû¤)
'
' 1X
µ¨ üµªÚ÷
(6
(7
(8
(.Àî 19.2.7 b Ìì ± ,ÀþÀª ¤÷ Âð
.Àª üõ (4)-15.4.7 ßþ ÂÞ ÝÞã ýÀã ÝØ
' ' ,µ¨ üþúµªÚ÷ ; ' : X ! Y Ýþ Âð .Ìì 19.2.7 ø ,f (t) = F (x0 ; t) b ή ù¤ f : I ! X Ýî Âê .Àª x0 2 X ø üÞû ¤ ¬ ßþ ¤¢ .Àª (Y; (x0 )) (X; x0 ) ¥ f ù¤ ͨ üÖó ÝÆê¤ õø þ uf : (X; x0 ) ! ø ' : (X; x0 ) ! (X; '(x0 )) üÖó ýúÞÆê¤ õÞû .À÷¤¢ ëÀ¬ = uf Æ ' bΤ ¤¢ (X; (x0 )) F
:
Æ g℄ = [(f (' Æ [g ℄ 2 (X; x0 ) Æ g (f (' Æ g)) f f (t) = F (x0 ; t) (' Æ g)(t) = F (g(t); 1)
[
ùÚ÷ ,
Ýû
ø
ø
(f (' Æ g )) f (t) = =
Æg ("x ( Æ g ))"x
8 < : 8 < :
î ¢ª ´¨ üêî ,
¤
g)) f ℄
ýúû¤ î Ýû¢ öÈ÷ Ýû¡üõ ,ÂÚþ¢ ö .
Ýþ ¤¢ ,
Âð î Ýû¢ öÈ÷ Ýû¡üõ :±
x=
ù¤ ,õ .
ö î ¢ªüõ Ñ
õ .À÷¥ ¤
0 t 1=4 Âð 1=4 t 1=2 Âð 1=2 t 1 Âð 0 t 1=4 Âð 1=4 t 1=2 Âð 1=2 t 1 Âð
f (1 4t) (' Æ g )(4t 1) f (2t 1) F (x0 ; 1 4t) F (g(4t 1); 0) F (x0 ; 2t 1)
Æ g (f (' Æ g) ø
(x0 )
ö¢ Þû ù b ÀûÈõ ýÂ
¹þ ¤¢ î ,´¨ ¥ ¤ Ýû
("x (
Æ g))"x
:´ª÷ öüõ Âþ ¥ ¤ ¬
("x (
8
0 ø ø ¥ n Âð ¢Âê n Âð ø ¥ n Âð
0
Sn (X )
0
,¹µ÷ ¤¢
Zn (X ) Bn (X )
Hn (X ) =
n = 0 Âð n > 0 Âð
= 0Z
2
.´¨ Þ öû Â ø
H0 (X ) = ,Àª üû¤ À±Þû ø üú Âè üþÌê X î ü¤¬ ¤¢
.Ýó 10.2.9
.Z ø nx
2 Z î ,´¨
:
¤¬ ¤
X
x2X H0 X
nx x Ûت (ßØ ùb¹÷¥ 0 üãþ) ¤ø¢ 0 Âû :±
( ) ! Z ´ªÚ÷
.À÷ÂÔ¬ ú÷ ¥ üûµõ ý¢Àã ¹ Þû X
.Ýîüõ ÓþÂã ÂÚþ¢ ¤ø¢
0 ×þ
P x2X mx x Ýî Âê .Ýû¢üõ öÈ÷ ¤
ý ßØ ùb¹÷¥
1 ý¥ ,üãþ
X x2X
û 'j ø kj
2
Z î ,´¨
mx x =
=
P
.´¨ ïóÞû
X x2X
x2X
nx x
:=
X
x2X
üÔþÂ㵪¡ ,Àµ
P
x2X nx x î ,Àª
nx x + :
j 2J kj 'j Ûت ßØ ùb¹÷¥
1 Âû
,üóø
öî .ÀµÆû ßØ í¢¨
=
X j 2J
kj 'j =
X j 2J
nx
1
kj 'j (v1 ) 'j (v0 ) : ,ßþÂ
X
nx x
= = =
X X X
mx x +
x2X
mx x +
mx +
X
X
kj
kj 'j (v1 )
X
kj
=
.Àªüõ
X
X
kj 'j (v0 )
mx =
X
mx x
üÔþÂ㵪¡ üãõ ßþ î
208
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ýóÞû ýúûøÂð 2.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
À÷õ ÎÖ÷ Âû ý¥ Âþ¥ .´¨ ª ÝþÂð .´¨ ×±Øþ
,ùø
ã .´¨ ÝÆê¤õÞû
(n x) = n Ýþ¤¢ , x 2 X
î Ýû¢üõ öÈ÷ ,¹÷ ¨ .
¤¬ ßþ ¤¢ .Àª ù¿ó¢ ¤ø¢ X x2X
ø
P
nx x
= =
X x2X X x2X
X
x2X X
nx x0 +
nx x0 +
,®ø
nx x nx x0
x2X
nx'x
0 ×þ
P
nx x
nx x ,ßþ .Àªüõ x0 x ¥ (ßØ í¢¨ 1 ×þ ,üãþ) ù¤ 'x î
¹µ÷ ¤¢ .
P
2
nx = 0 ùÚ÷ , .Àªüõ
P
nx x
= 0 Âð ,ßþÂ
ïóÞû
(
P
ö¢ ×±Øþ üãõ î ,´¨ ïóÞû 0
ÛØÈ ¤ öû ö §¨ 10.2.9 Ýó ± ¤¢ ¡ bÜÂõ P
.ÀðóÞû
nx )x0 ¤ø¢ 0
=
P
nx x0
P
nx x
.´ª¢¢þ 11.2.9
nx x ¤ø¢ 0 Âû ,ö §¨  Âþ¥ .Àû¢üõ P .¢¢Âðüõ É¿Èõ
fõî . nx ¢Àä ͨ ¤ø¢ 0 ßþ î ,´¨
209
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9 ,¤¬ ßþ ¤¢ .Àª µ¨ üµªÚ÷ f
:X!Y
Ýî Âê
.Óþ Âã 1.3.9
:Ýî ÓþÂã Ý÷üõ Âþ¥ bή ¤ f# : Sn (X ) ! Sn (Y ) ´ªÚ÷
f#
X j 2J
nj 'j
=
X j 2J
nj (f Æ ')
õ .Ýþ¢Âîüõ ù¢Ôµ¨ f#;n ¢Þ÷ ¥ f# ý¹ ¢ µú Àþª
.´ª¢¢þ 2.3.9
.¢¤À÷ ýÂÚþ¢ b¹µ÷ ,¶½ ö¢Âî ÂùÀ»
fÞä ¤î ßþ . Æ f# = f# Æ ùø
ã ø ,´¨ úûø Âð ß ÝÆê¤õÞû f#
.Ýó 3.3.9
×þ ' Ýî Âê ,ø¢ ÝØ ± ý .´¨ üúþÀ f# ö¢ ÝÆê¤õÞû :± ¤¬ ßþ ¤¢ .Àª ßØ í¢¨
(n 1)
(i Æ f#)(')(x0 ; x1 ; ; xn 1) = i (f Æ ')(x0 ; x1 ; ; xn 1) = (f Æ ')(x0 ; x1 ; ; xi 1 ; 0; xi ; ; xn 1) = f '(x0 ; x1 ; ; xi 1 ; 0; xi ; ; xn 1) = f (i ')(x0 ; x1; ; xn 1 ) = (f Æ i Æ ')(x0 ; x1 ; ; xn 1 ) = (f# Æ i )(')(x0 ; x1 ; ; xn 1 ) 2
.´¨ Þ öûÂ ,°Â ßþ ø
f#(Bn (X )) ø f# (Zn (X )) Zn (Y ) Ýþ¤¢ ,Û±ì Ýó ®ø ÂÔõ .¹µ÷ 4.3.9 ×þ ¤ ¤ø¢ n Âû ø ,¥ Âõ n ×þ ¤ ý¥ Âõ n Âû f# ,ÂÚþ¢ ö .Bn (Y ) .Àîüõ ÂþÊ ¤ø¢ n üãþ ßþ î ,
f#(d)
2
Æ f#( ) = ( Æ f#)( ) = 0 ùÚ÷ ,Àª X ¤¢ ý¤ø¢ Âð :±
= ø d = (e) ùÚ÷ ,Àª X ¤¢ ý¥ Âõ d Âð
.´¨
Y ¤¢ ý¤ø¢ ÷ f#( )
.´¨ Þ öû ø ´¨ Y ¤¢ ý¥ Âõ ÷ f# ( (e)) = (f# (e)) 210
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9 ,Àª µ¨
f
:X!Y
´ªÚ÷ Âð , b¹µ÷ §¨  .Óþ Âã 5.3.9 bή ¤ f : Hn (X ) ! Hn (Y ) üûø Âð ÝÆê¤õÞû ùÚ÷
f ´ªÚ÷ .´¨
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
X j 2J
nj 'j
:=
X ¤¢ ù¿ó¢ ¤ø¢ n ×þ
X j 2J X j 2J
nj (f Æ 'j ) nj 'j ¹þ ¤¢ î ,¢Þ÷ ÓþÂã öüõ
.Ýõ÷üõ f ͨ üþÖó ÝÆê¤õÞû ¤ f .f ([ ℄) := [f# ( )℄ ùÚ÷ , =
X j 2J
nj 'j Âð ,´ÖÖ ¤¢
.´ª¢¢þ 6.3.9
ùÀ÷¡ ßþÂÞ öä ¤ ú÷ ± ø ,À± Ûì üµ¤ ýÀã Ø .Àî ÆþÖõ 15.2.7 b¹µ÷ ø 14.2.7 bÌì ¤ úþ .Ýþ¤³¨üõ .Ìì 7.3.9
ùÚ÷ ,n 0 ø Àª µ¨ g : Y
! Z ø f : X ! Y ýúµªÚ÷ Ýî Âê .(f Æ g ) = g Æ f : Hn (X ) ! Hn (Z )
ü÷Þû ´ªÚ÷ 1X ¤¬ ßþ ¤¢ ,n
¤¬ ßþ ¤¢ ,n
0 ø Àª X ü÷Þû ´ªÚ÷ 1X Âð
.´¨ Hn (X )
0 ø Àª ÝÆê¤õÿÞû f : X ! Y
Âð
.´¨ ÝÆê¤õø þ f
(1
(2
.¹µ÷ 8.3.9
: Hn (X ) ! Hn(Y )
g ø f Âð .Àª µ¨ üþúµªÚ÷ f; g : X ! Y ÝþÂð .Ìì 9.3.9 .f = g : Hn (X ) ! Hn (Y ) ý n 0 Âû ý¥ ùÚ÷ ,Àª Þû t (x) = (x; t) ¤¬ t : X ! X I ´ªÚ÷ ,t 2 I ý¥ Ýî Âê :± F (x; 0) = f (x) üãþ .Àª g f ¥ üÞû F : X I ! Y ÝþÂð .¢¢Âð ÓþÂã ø F Æ 0 = f :ݪ µª¢ °Æ §¨  ÂÚþ¢ ,ö .F (x; 1) = g (x) ø ¤¬ ßþ ¤¢ .F Æ 1 = g f = (F Æ 0 ) = F Æ 0 = F Æ 1 = (F Æ 1 ) = g: »÷ .0 = 1 : Hn (X ) ! Hn (X I ) î Ýû¢ öÈ÷ ´¨ üêî ,ßþ ) P : Sn (X ) ! Sn+1 (X I ) üÞÆê¤õÞû î ´¨ ßþ ,Ýû¢üõ öÈ÷ î 211
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê ,0# ; 1#
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9
: Sn(X ) ! Sn(X I ) ø ÂÔõ ýúÞÆê¤õÞû ÂÑ÷ (¤Èõ ÂÚÜÞä :Àîüõ ëÀ¬ Âþ¥ bΤ ¤¢ î ¢¤¢ ¢ø
Æ P + P Æ = 1# 0# 1# ø 0# Ýðüõ f
ά ,´ó ßþ ¤¢ ùÚ÷ ,Àª X ¤¢ ¤ø¢ n ×þ ø ,Àª ýù¹÷¥ Þû 1# ø 0# Âð .ÀµÆû ýù¹÷¥ Þû
(1# ¤¢ .1#
0# )( ) = ( Æ P + P Æ )( ) = (P Æ )
= 0# ßþ ø Àªüõ 1# ( ) ø0#( ) ö¢ ïóÞû üãõ ßþ î
ýù¹÷¥ Þû 1# ø 0# î Ýû¢ öÈ÷ ´¨ üêî ,Ìì ± ý ,¹µ÷ .Ýþ¤¢ ¥÷ P ÓþÂã ,ßþ ¹÷ ý .ÀµÆû
Sn (X ) ¥ ýÌä ,üãþ ;Àª X ¤¢ ßØ í¢¨ n ×þ ' : n ! X ÝþÂð ÓþÂã Ìä Pi (') Ýî Âê i = 0; 1; ; n ý¥ .Àª
Pi (') (x0 ; x1 ; ; xn+1 )
:=
'(x0 ; x1 ; ; xi 1 ; xi + xi+1 ; xi+2 ; ; xn+1 ) ; 1
i X k=0
xk
ÓþÂã Ìä P (') 2 Sn+1 (X I ) ø Àª Sn+1 (X I ) ¥
P (') :=
i=0
( 1)i Pi (')
: Sn(X ) ! Sn+1 (X I ) ö¢ ÝÆê¤õÞû ùb¢ÁûÈõ .Àª :ÝÆþ÷üõ Âþ¥ ¤¬ ¤ P (')
,öî .´¨ üúþÀ P
P (') =
n X
nX +1 j =0
( 1)j j P (') =
nX +1 X n j =0 i=0
( 1)i+j j Pj (')
:´ª÷ öüõ Âþ¥ ¤¬ ¤ Pj
{i (')
ùÚ÷ ,i < j
(j Æ Pi )(')(x0 ; ; xn ) =
= '(x0 ; ; xi
,üêÂÏ ¥
1 Âð
Pi (') (x0 ; ; xj 1 ; 0; xj ; ; xn )
1 ; xi + xi+1 ; xi+2 ; ; xj 1 ; 0; xj ; ; xn ) ; 1
i X k=0
xk
212
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
i X
= (j 1 Æ ') '(x0 ; ; xj
1 ; xi + xi+1 ; xj +2 ; ; xn ) ; 1
k=0
= Pi (j 1 Æ ')(x0 ; ; xn ) = (Pi Æ j 1 Æ ')(x0 ; ; xn)
xk
¤¬ ßþ ¤¢ ,i > j Âð
(j Æ Pi )(')(x0 ; ; xn ) =
Pi (') (x0 ; ; xj 1 ; 0; xj ; ; xn )
= '(x0 ; ; xi 1 ; 0; xj ; ; +xi
= (j Æ ')(x0 ; ; xi
2 ; xi 1
1 + xi ; xi+1 ; ; xn ) ; 1
2 ; xi
+ xi ; xi+1 ; ; xn) ; 1
= Pi 1 (j ')(x0 ; ; xn) = (Pi 1 Æ j Æ ')(x0 ; ; xn )
i X k=0
xk
i X k=0
xk
ùÚ÷ ,i = j Âð ,ù¡
(j Æ Pj )(')(x0 ; ; xn) =
= '(x0 ; ; xn) ; 1
Pi (') (x0 ; ; xj 1 ; 0; xj ; ; xn )
i X
k=0
xk
=(j 1 Æ ')(x0 ; ; xj 1 ; 0; xj ; ; xn ) = (j Æ Pj 1 Æ ')(x0 ; ; xn) Ýþ¤¢ ,¤Êµ¡ ,ßþÂ
j Æ Pi =
8 < :
Pi 1 Æ j Pj Æ j 1 Pi Æ j 1
i < j Âð i = j Âð i > j Â𠤬 ¤ P ñ
P
= =
nX +1 X n j =0 i=0
( 1)i+j j Pi
0 Æ P0 + n+1 Æ
n X
j i=j =1 X Pn i>j
+
Æ Pj +
( 1)
n X
i=j 1=1 i+j P j i
( 1)j Æ Pj
Æ +
X i<j 1
1
( 1)i+j j Æ Pi
213
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
ýóÞû ýúûøÂð ß ¯±¤ 3.9
î ´êÂð ¹µ÷ öüõ üµ¤ Íø ¤ ¥ ù¢Ôµ¨ ø µª÷
ÆP
= 0 Æ P0
n+1 Æ Pn P Æ î Ý÷¢üõ üêÂÏ ¥ ,õ
0 Æ P0 (')(x0 ; ; xn )
n+1 Æ Pn (')(x0 ; ; xn )
= = = =
P0 (')(x0 ; ; xn )
= = = =
Pn (')(x0 ; ; xn )
'(x0 ; ; xn ); 1
1 Æ ' (x0 ; ; xn )
1# Æ ' (x0 ; ; xn )
0# ø 1# ýù¹÷¥ üÞû ÂÚ÷È÷ î ; Æ P
2
'(x0 ; ; xn ); 0
0 Æ ' (x0 ; ; xn )
0# Æ ' (x0 ; ; xn )
+ P Æ = 1#
0# ßþÂ
.Àîüõ ÛÞØ ¤ Ìì ± ßþ .Àªüõ .ßþ ÂÞ 10.3.9
f : X ! Y Âð î Àî ´ (1 .´¨ ÝÆê¤õø þ f : Hn (X ) ! Hn (Y ) ý n 0
Âû ý¥ ùÚ÷ ,Àª üÞû ý¥ ¤ Ýû
X ý A à±Ö÷ ×þ ýµ ´ªÚ÷ i : A ,! X Âð î Àî ´ (2 g : X ! A Âð î Àî ´ .´¨ ÝÆê¤õõ i : Hn (A) ! Hn (X ) ùÚ÷ öÈ÷ ,ùø
ã .Hn (X ) = Image(i )Kernel(g ) ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª à±Ö÷ ÝÆê¤õø þ i ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª X ý üÆþ¢Âð¢ üÒ±Ö÷ A Âð î Àú¢
,˻
.´¨
p : X ! fx0 g ÝþÂð .x0 2 X ø Àª üû¤ À±û üþÌê X ÝþÂð (3 p : Hn (X ) ! Hn (fx0 g) bµÆû ¤¬ ¤ H~ n (X ) ø Àª üúþÀ ´ªÚ÷ .Hn (X ) = H~ n (X ) Hn(fx0 g) Àî ´ .Ýî ÓþÂã
ÂÚÈþÞ÷
214
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
: X ! Y bµ¨ ´ªÚ÷ ÝþÂð (4 ~ n(X ) ! H~ n (Y ) üþÖó ÝÆê¤õÞû ¤¬ Âê ,ùø
ã .¢¤¢ ¢ø f : H ´±Æ÷ f î ,Àª þ bÎÖ÷ ê bµ¨ ´ªÚ÷ ÷ g : X ! Y Àî ~ n(X ) ! H~ n(Y ) Àî ´ .´¨ Þû X ¤¢ þ bÎÖ÷ .f = g : H ßþ ¤¢ î Àû¢ À÷È÷ .´¨ þ bÎÖ÷ ê f
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9 ýÌê ×þ ýóÞû ùø Âð ßþø ø ý¢ ùø Âð ß ¯±¤ ßã Ç¿ ßþ ¥ éÀû .´¨ ýó .¢¤¢ ¢ø
: (Y; y0 ) ! H1(Y ) ¤¬ üÞÆê¤õÞû
.Ìì 1.4.9
bµÆû ø ´¨ ª ùÚ÷ ,Àª üû¤ À±Þû Y Âð .´¨ (Y; y0 ) ùø Âð ùbÀª üÜ H1 (Y ) ,ÂÚþ¢ ö ;´¨ (Y; y0 )
Âð¹ ùø Âð Âþ¥ ¥ ¤±ä
(f ) : 1 ! ´ªÚ÷ .Àª Y
¤¢ y0 áø ª üû¤ f
:I!Y
Ýî Âê :±
:Ýîüõ ÓþÂã Âþ¥ ¤¬ ¤ Y
(f )(x0 ; y0) = f (x1 ) = f (1
x0 )
(x0 ; x1 ) 2 1
( (f )) = ùÚ÷ ,Àª µÆ üû¤ f Âð .´¨ ßØ í¢¨ 1 ×þ (f ) ¤¬ ßþ ¤¢ .Àªüõ Y ¤¢ ¤ø¢ 1 ×þ (f ) ßþ ø y0 y0 = 0 (f ) ýû¤ø¢ ùÚ÷ ,Àª ¥ ¤ Ýû bµÆ ù¤ ø¢ f 0 ø f Âð î Ýîüõ ÕÖ½ öî f0; 1g ´±Æ÷ üÞû F : I I ! Y ø f f 0 Ýî Âê .ÀðóÞû (f 0 ) ø .Àª f 0 ø f öõ :Ýîüõ ù¢Ôµ¨ Âþ¥ ª ßØ í¢¨ 2 ×þ ßµ¡¨ ý F ¥ ,ÝÆþ ß÷üõ (1 s; s(1 t); st) ¤¬ ¤ Q 2 2 ÎÖ÷ Âû ʵ¿õ .Ýîüõ ÓþÂã F (s; t) ¤ '(Q) öî .(¢ª 3.29 Ûت ) 0 t; s 1 î Ýþ¤¢ Q 2 2 bÎÖ÷ (x0 ; x1 ; x2 ) ʵ¿õ §¨  (
x F 1 x0 ; 2 1 x0 F (0; 0)
x0 = 6 1 Âð x0 = 1 Âð x2 x î Àî 0 x2 ßþ .0 x0 ; x1 ; x2 µ±ó ø 2 = 1 x0 x1 + x2 1 x0 .´¨ µ¨ ' î ÝþÂðüõ »µ÷ ,F (0; t) = F (0; 0) ý t 2 I Âû ý¥ ö .1 '(x0 ; x1 ; x2 ) =
215
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9 :¢¤ø ´¨À öüõ üµ¤ ¤ ' ¥ Âõ
(0 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(0; x0 ; x1) = F (1; x1 ) = y0 = ( ("))(x0 ; x1 ) ß»Þû ;´¨ "(t) := y0 ´ ù¤ " : I
!Y
î
(1 Æ ')(x0 ; x1 ) = '((x0; 0; x1 ) =
x x0 6= 1 Âð F 1 x0 ; 2 1 x0 F (0; 0) x0 = 1 Âð F (1 x0 ; 1) x0 6= 1 Âð F (0; 0) x0 = 1 Âð ( (f 0))(x0 ; x1 )
= = (2 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(x0 ; x1 ; 0) = F (1 x0; 0) = ( (f ))(x0 ; x1) . Æ ' =
(f ) + (f 0) = (") ÂÚþ¢ ö 3.29 Ûت
¤¢ ,Ýî ÓþÂã 2 (x0 ; x1 ; x2 ) = y0 ¤¬ ¤ 2
: 2 ! Y
´ªÚ÷ Âð õ
1 : 1 ! Y î , Æ 2 = 1 Æ 2 = 2 Æ 2 = 1 î ¢ªüõ Ñ
õ ¤¬ ßþ (f 0) = (f ) ýû¤ø¢ ø (") = Æ 2 ßþ .´¨ 1(x0 ; x1 ) = y0bή .´¨ ÓþÂ㵪¡ H1 (Y ) (Y; y0 ) ¥ â î À÷ íüõ ± ßþ .ÀðóÞû Y ¤¢ ýµÆ ýúû¤ f 0 ø f Ýîüõ Âê ö¢ ÝÆê¤õÞû ÕÖ½ ý .´¨ ïóÞû (f ) + (f 0 ) (f f 0 ) î Ýû¢ öÈ÷ ´¨ ¥÷ .Àª y0 ¤¢ bþ ßØ í¢¨ 2 ×þ ý¥ ,üãþ ;´¨ ý¥ Âõ (f ) + (f 0 ) (f f 0) üãþ Ûت ¤¢ ' ÓþÂã . (f ) + (f 0 ) (f f 0) = ' ݪ µª¢ ý ' : ! Y 216
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê ¤¬ ø ´¨ ùÀª Ó¬ 4.29
'(x0 ; x1 ; x2 ) =
f (1 + x2 x0 ) f 0 (x2 x0 )
x0 x2 Âð x0 x2 Âð
¤ ' ¥ Âõ .´¨ µ¨ ø ÓþÂ㵪¡ ' ,°Æ Ýó î Àî .¢ÂþÁüõ ¹÷ :¢Þ÷ ±¨½õ öüõ üð¢Æ
(0 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(0; x0 ; x1 ) = f 0(x1 ) = ( (f 0))(x0 ; x1 ) (1 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(x0 ; 0; x1 ) Âð = ff (0(1x1+ x1x0 ) x0 ) xx00 xx11 Âð = ff (0(22xx11) 1) xx11 11==22 Âð (x0 + x1 = 1) Âð = (f f 0)(x0 ; x1 ) (2 Æ ')(x0 ; x1 ) = '(x0 ; x1 ; 0) = f (1 x0 ) = ( (f ))(x0 ; x1 ) (f )+ (f 0) (f f 0) Àû¢üõ öÈ÷ î , Æ' = (f 0) (f f 0)+ (f ) ßþ .´¨ ÝÆê¤õÞû
ßþ ø ´¨ ïóÞû 4.29 Ûت
217
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9
Y Ýî Âê ñ P nj ('j (v0 ) üãþ , Æ = 0 ßþ ;Àª Y ¤¢ ¤ø¢ 1 ×þ = nj 'j ÝþÂð P üµÆþ î Ýîüõ Ñ
õ my y ¤¬ üÆþ÷¥ .'j (v1 )) = 0 y0 ¥ gj 0 üû¤ ,ø ÂÔõ j 2 J Âû ý¥ .my = 0 û y 2 Y bÞû ý¥ Ýîüõ ¿µ÷ ö 'j (v0 ) = 'k (v0 ) y0 ¥ gji üû¤ ø *'j (v0 ) = 0 'j (0) P y0 ¥ üû¤ gy ÝþÂð) y2Y my (gy ) = 0 üµÆþ î ´¨ ¼®ø .gj0 = gk0 î P P nj ( j (gj0 ) j (gj0 )) ¤¬ ßþ ¤¢ ;Àª (y y2Y my (gy ) ¤¬ ¤ .´¨ ª
P
î Ýû¢ öÈ÷ Ýû¡üõ .Àª üû¤ À±Þû
(.´ª÷ öüõ
:= (gj0 ) + 'j (gj1 ) ¤¬ j ßØ ùb¹÷¥ 1 ÓþÂã P ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª fj (t) = '(1 t; t) bή ù¤ fj : I ! Y Âð . = nj j ((gj0 fj ) gj1) = j ùø
ä ø ,´¨ Y0 ¤¢ þ Y ¤¢ ýµÆ ù¤ (gj0 fj ) gj1 Q n = ¹µ÷ ¤¢ ø .Àªüõ üþª üãõ ßþ î ; j f(gj 0 fj ) gj 1 g ïóÞû 0 (f ) Ýîüõ Âê ,´¨ Âð¹ ùø Âð Âþ¥ bµÆû Øþ ± ýÂ
Ýþ¤¢ ,j
j
¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª
(f ) =
X j 2J
nj 'j
=
X j 2J
('j0
'j 1 + 'j 2 )
'ji = Ýþ¤¢ (i = 0; 2; 2 ý¥ ) ø ´¨ ßØ í¢¨ 2 ×þ (j 2 J ) 'j î ø k ý¥ î ݪ µª¢ üµÆþ ,´¨ ßØ í¢¨ 1 ×þ (f ) ö . Æ 'j (f ) = 'k` , ´¨¤ ´Þ¨ ¤±ä ýÀ µ¨¢ ¥ Å ø (f ) = 'k` ý ` .À÷ªüõ ÂÔ¬ ÂÚþ¢ °þ® bÞû ø ¢ªüõ ÂûÒ 1 °þ®
Û·õ .Àª 'j (vi ) y0 ¥ Y ¤¢ üû¤ (j 2 J ø i = 0; 1; 2 î) gji ÝþÂð üÚµÆ ý¤Áð ÅþÀ÷ üÚ÷Ú ø ¢¤¢ üÚµÆ 'j (vi ) üþúµ÷ bÎÖ÷ ú gji ,Û±ì .¢ª 5.29 Ûت .Ýîüõ ¿µ÷ ¤ ´ ù¤ ,'j (vi ) = y0 Âð .¢¤À÷ bή ù¤ (j
2 J ø i = 0; 1; 2 î) fij ÝþÂð
fji (t) = 'ji (1 t; t) = i Æ 'i (1 t; 1) ¤¬ ¤ (j
hj0 hj1 hj2
2 J ø i = 0; 1; 2 î) hji ýúû¤ ø Àª Y
¤¢
= (gj1 fj0 ) gj2 ; = (gj0 fj1 ) gj2 ; = (gj0 fj2 ) gj1 ; 218
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ý¥Âõ ùøÂð ø ý¢ ùøÂð ß ¯±¤ 4.9 hj
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
= (hj0 h j1 ) hj2 ¤¬ ¤ (j 2 J ) hj ýúû¤ ,ù¡ .Ýîüõ ÓþÂã
hj Øþ ùbÀûÈõ .Ýîüõ ÓþÂã
(gj1 ((fj0 fj1) fj2 )) gj1 .Àªüõ ¥ ¤ Ýû
" ´ ù¤ ÷ ßþ µ±ó î ,´Æ÷ ý¤ª¢ ¤î ,´¨ ¥ ¤ Ýû Q . j [hj ℄nj = 1 ßþ 5.29 Ûت
Àª ©Âð¹ ùø Âð Âþ¥  ,Àª Q
(Y; y0 ) ´ÞÆì ¤¡ ÂÚÈþÞ÷ A(Y; y0 ) ÝþÂð
(Y; y0 ) ¥ ýÂÊä [℄ Âð .(´¨ (Y; y0 ) ùbÀª üÜ A(Y; y0 ) üãþ)
, j [hj ℄nj
= 1 ö .Ýû¢üõ öÈ÷ [[℄℄ ¤¬ ¤ A(Y; y0 ) ¤¢ ö ÂÑ÷ ÂÊä Q Øþ ¹µ÷ . (f ) = 'k` ý k; ` ×þ ý¥ î Ý÷¢ üõ . j [[hj ℄℄n = 1 Ýþ¤¢ ¤¢
Þ ,´¨ üÜ A (Y; y0 ) ö .f = hk` ÷ ø (gij ¿µ÷ ) f = fk` Q Q ßþ . j [[hj ℄℄n = [[f ℄℄ Ýþ¤ø ´¨À ø Ýî ýÀ âÞ ¤ j [[hj ℄℄n ¤±ä ¤¢ bµÆû î ÝþÀþ¢ ,Å .´¨ ÕÜãµõ Âð¹ ùø Âð Âþ¥ [f ℄ üãþ .[[f ℄℄ = 1 ´¨ üÜ H1 (Y ) î ´ãìø ßþ ,ÂÚþ¢ ý¨ ¥ .Àªüõ âìø Âð¹ ùø Âð Âþ¥ j
j
j
¤ Ìì ± ,°ÜÎõ ßþ .¢¤¢  ¤¢ ¤ Âð¹ ùø Âð Âþ¥
bµÆû î ´¨ üãõ ßþ
2
.Àîüõ ÛÞØ .ßþ ÂÞ 2.4.9
.H1 ((S1)n ) = Zn ø H1 (S1) = Z î Àû¢ öÈ÷ (1
H1 (Y ) A(Y; y0 ) ùÚ÷ ,Àª±÷ üû¤ À±Þû Y Âð î Àû¢ öÈ÷ ,ñ·õ Âî£ (2 .´Æ÷ é¤õø þ ÂþÁ³µú÷ ¼Î¨ ×þ ( ,g á÷ ¥ ÂþÁ³µú ¼Î¨ ×þ (Óó ýóÞû ùø Âð ßóø (3 ú ø üµìø S2 ø S1 Ψ î ÀþÂÚ ¹µ÷ ų¨ ø Àî ±¨½õ ¤
g á÷ ¥
219
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
ß³õî öø-ÂÔª bÌì 5.9 .H1 (S2 ) = H1(S1 ) î Àê¤õÿÞû üƵìø
H1 (Y ) ø (Y; y0 ) üµìø ú ø üµìø Àî ´ .Àª üû¤ À±Þû Y Àî Âê (4 .Àª üÜ (Y; y0 ) î Àê¤õø þ Ýû .´¨ é¤õø þ Z Z 8 Ûت ýóÞû ùø Âð ßóø î Àû¢ öÈ÷ (5 ö  ¥ ×Æþ¢ ×þ üúõ
S ¢¡ ¥ ¤±ä S 0 ø Àª ¼Î¨ ×þ S ÝþÂð (6 .H1 (S ) = H1(S 0 ) î Àî ´ .Àª
ß³õî öø-ÂÔª bÌì 5.9 ýܨø ß³õî öø-ÂÔª bÌì î Ýþ¢Âî Ñ
õ ,ý¢ ýúûø Âð b±¨½õ ¶½ ¤¢
fþ£ î Ýþ¤¢ ýóÞû bþÂÑ÷ «Ê¡ ¤¢ Èõ ýÌì .´¨ Àõø Â÷ ¤Æ .Ýþ¥¢Âüõ ö Ó¬ ¤¢ ¥ ýûäÞ¹õ Âþ¥ U2 ø U1 î ,X = U1 [ U2 ÝþÂð .Óþ Âã 1.5.9 ü³µ ýúµªÚ÷ ÂÚÈþÞ÷ i = 1; 2 î i : Ui ! X ø 'i : U1 U2 ! Ui ø À÷ X ýúÞÆê¤õÞû ¤¬ ßþ ¤¢ .Àª üóÞãõ
i : Hk (U1 \ U2 ) ! Hk (U1 ) Hk (U2 ) ; j : Hk (U1 ) Hk (U2 ) ! Hk (X ) :Ýîüõ ÓþÂã Âþ¥ ¤¬ ¤
i( ) := '1 ( ); '2 ( ) ; j ( 1 ; 2 ) := ¤¢ ¥ ýûäÞ¹õ Âþ¥ ¢ø
: Hk (X ) !
( )
1 1
( )
2 2
U2 ø U1 î ,X = U1 [ U2 ÝþÂð .Ìì 2.5.9 Hk 1 (U1 \ U2 ) üþúÞÆê¤õÞû ¤¬ ßþ ¤¢ .À÷ X
:Àîüõ ëÀ¬ Âþ¥ À÷õ ,úÞÆê¤õÞû ø úûø Âð ¥ ýó±÷¢ ¤¢ î À÷¤¢ i Hk (U1 ) Hk (U2 ) Hk+1 (X ) ! Hk (U1 \ U2 ) ! j ! Hk (X ) ! Hk 1 (U1 \ U2 ) !
.Àªüõ ö üܱì ÝÆê¤õÞû ùb¤Ú÷  ÝÆê¤õÞû Âû bµÆû ,ó±÷¢ ßþ ¤¢ 220
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ß³õî öø-ÂÔª bÌì 5.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
= V1 [ V2 ÂÚþ¢ üþÌê Y Âð ùø
ã (f jU1\U1 ) Æ = ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª f (Ui) Vi µ¨ üµªÚ÷ f : X ! Y .¢¢Âðüõ Ëþã üþÖó ýúÞÆê¤õÞû ÝÆê¤õÞû ÂÚþ¢ ¤±ä . Æ f Âð ø ,Àª (À÷¥ Y ¤¢ V2 ø V1 î) Y
ÝÆê¤õÞû Âû bµÆû ö ¤¢ î úÞÆê¤õÞû ø úûø Âð ¥ ýó±÷¢
.Óþ Âã 3.5.9
ÂÎõ bó±÷¢ ,ßþ .¢ªüõ ùÀõ÷ Õì¢ bó±÷¢ ,´¨ üܱì ÝÆê¤õÞû ùb¤Ú÷  ýúÞÆê¤õÞû ¤
ýúµªÚ÷ .´¨ Õì¢ bó±÷¢ ×þ ¥ ý÷Þ÷ ,2.5.9 bÌì ¤¢ ùÀª
.Àõ÷üõ Åþ ¤µþø-Âõ bó±÷¢ ¤ 2.5.9 bÌì ¤¢ ùÀª ÂÎõ bó±÷¢ ø ͤ (ýóÞû bþÂÑ÷ ö¢ ÀÔõ ,ßþÂ) ö ö¢ ÀÔõ õ ,ÝîüÞ÷ ± ¤ 2.5.9 bÌì .Ýû¢üõ öÈ÷ ,ö ¥ ¤î b¹µ÷ À ų¨ ø ÝØ ×þ ± ¤ ¤¬ ßþ ¤¢ .Àª ´±·õ ø ¼½¬ ý¢Àä n ÝþÂð
Hk (
) = 0Z
Sn
.Ìì 4.5.9
k = n þ ø k = 0 Âð
¤¬ ßþ Âè ¤¢
Tn (x0 ; x1 ; ; xn ) = bή ´ªÚ÷ ,üãþ) Àª §Øã÷ ´ªÚ÷ Tn : Sn ! Sn Âð ,ùø
ã .´¨ 1 ¤¢ ® Tn : Hn (Sn) ! Hn (Sn) ùÚ÷ ,(( x0 ; x1 ; ; xn ) ÝþÂð .Ýîüõ ± Åþ¤µþø-Âõ bó±÷¢ ¥ ù¢Ôµ¨ ø ǑÂÖµ¨ ¤ ÝØ :± ø U1 Àî . U2 = fx 2 Sn j xn < 1=2g ø U1 = fx 2 Sn j xn > 1=2g ¹µ÷ ¤¢ .´¨ Þû Sn 1 U1 [ U2 ø À÷ÂþÁ³®±Ö÷ U2
Hk (Ui ) =
Z
0
k = 0 Â𠤬 ßþ Âè ¤¢
¤¬ ßþ ¤¢ ,Ýî ¤Ê fx 2 Sn j xm
;
Hk (U1 \ U2 ) = Hk (Sn
= 0g ¤¬ ¤ Sn
):
1
1 Âð î Àî
.Tn jSn
1
= Tn
bó±÷¢ k = 1 ý Åþ¤µþø-Âõ bÌì ¤¬ ßþ ¤¢ ;n = 1 ÝþÂð
1
j j i ! 0 ! H1 (S1) ! H0 (S0) ! Z Z !
ó±÷¢ ,¢¡ ´÷ ÷ ßþ î ,Àû¢üõ ´¨À ¤ j j i ! 0 ! H1 (S1) ! Z Z ! Z Z !
.i(x; y ) = (x + y; x + y ) ö ¤¢ î ,Àû¢üõ ¤ 221
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
ß³õî öø-ÂÔª bÌì 5.9
Image() = ùø
ã ;´¨ ×±Øþ Å ,Kernel() = Image(j ) = 0 ö ,öî .H1 (S1) = Z ßþ .´¨ é¤õø þ Z î ,Kernel(i) = f(x; x) 2 Z Zg î Ýîüõ Ñ
õ ,T0 Æ = Æ T1 ö ø T0 (x; y ) = (y; x) î ´¨ ߪø ¤ ¤îÁõ bó±÷¢ ,1 < k ý¥ .´¨
1 ¤¢ ® T1
j i ! 0 ! Hk (S1) ! Hk 1 (S0) ! 0 !
¹µ÷ ¤¢ ø Kernel() = Image(i) ö) ´¨ ÝÆê¤õ þ ,ß»Þû ;´¨ Ìì ßþ .(´¨ ª ßþ ,Image() = Kernel(j ) ö ø ´¨ ×±Øþ .Àª ´ n = 1 ý¥ ¤¬ ßþ ¤¢ ;Àª ¤Âì n = m 1 ý ÂÑ÷ ¢¤õ ÝØ ø m > 1 Ýî Âê .´¨ ¼½¬ ÷ n = m ý ÝØ î Ýû¢ öÈ÷ Ýû¡üõ Ûت ýó±÷¢ ùÚ÷ ,k = 1 Âð j i ! 0 ! H1 (Sm) ! Hk 1 (Sn 1) ! 0
bó±÷¢ °õ ¢¡ ßþ î ,Ýþ¤¢ j i ! 0 ! H1 (Sm) ! Z ! Z Z !
H1 (Sm) = ø Image() = 0 Áó ø Kernel(i) = 0 ßþ .i(a) = (a; a) î ,¢¢Âðüõ Ûت ýó±÷¢ ¤¬ ßþ ¤¢ ,1 < k Âð
.0
j i ! 0 ! Hk (Sm) ! Hk 1 (Sm 1) ! 0
ùÚ÷ ,k = m Âð ,ùø
ã .Hk (Sm) = Hk 1 (Sm 1) ¢¢Âðüõ ¹µ÷ ö ¥ ð ,Ýþ¤¢ .´¨
2
1 ¤¢ ® Tm ÝþÂðüõ ¹µ÷ ,Tm 1 Æ = Æ Tm Øþ ¥ ù¢Ôµ¨ .¢¢Âðüõ ¹µ÷ ǑÂÖµ¨ Û¬ ÝØ öî .¹µ÷ 5.5.9
.ÀµÆ÷ Þû á÷ Ýû Sm ø Sn ùÚ÷ ,n 6= m Âð (1 .´¨ ´ ýÎÖ÷ ý¤¢ f : D n
! D n Ûت µ¨ ´ªÚ÷ Âû
(2
.ÀµÆ÷ Þû 1Sn ü÷Þû ´ªÚ÷ ø Tn : Sn ! Sn §Øã÷ ´ªÚ÷ (3 222
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ß³õî öø-ÂÔª bÌì 5.9 1S2
n
ü÷Þû ´ªÚ÷ ø ,A(x)
=
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê x bή A : S2n ! S2n ÂÏÖ ´ªÚ÷ (4 .´¨ Þû
´ ýÎÖ÷ f ùÚ÷ ,Àª Þû 1Sn ü÷Þû ´ªÚ÷ ø f
: Sn ! Sn Âð
(5
.¢¤¢
f (x) ý x 2 S2n Âû ý¥ î f
: S2n ! S2n Ûت bµ¨ ´ªÚ÷ ºû (6 .¢¤À÷ ¢ø ,Àª Àõãµõ R2n+1 ¤¢ x ø
ßþÂÞ ;¢¢Âðüõ ¹µ÷ (9.3.9 bÌì) üÞû üþ¢¤ø÷ bÌì ¥ ñø ´ÞÆì :± À÷Þû ø ´¨ ¤ø ´ ÎÖ÷ bÌì ,ø¢ ´ÞÆì .Àî Ñ
õ ¤ (1)-10.3.9 ¹µ÷ üÞû üþ¢¤ø÷ bÌì ¥ ¨ ´ÞÆì .´¨ ± Ûì 14.4.7 b¹µ÷ öûÂ
= R0 Æ R1 Æ Æ R2n î ¢¢Âðüõ ¹µ÷ ´ìø ßþ ¥ ¤ú ´ÞÆì .¢¢Âðüõ A : H2n (S2n) ! H2n (S2n) ßþ ø ´¨ i ɵ¿õ ´±Æ÷ §Øã÷ Ri î ºû f î Ýîüõ Âê ,ݹ ´ÞÆì ý .´¨ ( 1)2n+1 = 1 ¤¢ ® ×þ Áó ø (1 t)f (x) tx 6= 0 ý x Âû ý¥ ¹µ÷ ¤¢ .Àª µªÀ÷ üµ bÎÖ÷ ¤¬ A ø f öõ F : S2n I ! S2n üÞû (1 t)f (x) tx F (x; t) = k(1 t)f (x) txk
,A
x Âð Âþ¥ ,¢¢Âðüõ ¹µ÷ ݹ ´ÞÆì ¥ ÝȪ ´ÞÆì ,¹÷¨ .¢Þ÷ ÓþÂã öüõ 2 .f (x) 6= x üµÆþ ùÚ÷ ,Àª Àõãµõ f (x) ø ü¨Àû ±ã î ¢¤¢ ¢ø ßÞÈ ýð bÌì ýÌì
.´ª¢¢þ 6.5.9
Ìì ßþ §¨  .¢¥¨üõ ÝûÂê ¤ bÌì ¥ 6 ø 5 ýúµÞÆì S2 ö ¼Î¨ ¥ bÎÖ÷ Âû ¥ î D 3 üãþ) ßÞÈ ýð ×þ Þª »÷
Ûت ö ýÀ÷¥ ÷ª ¤¢ì ,Àª µª¢ ¤µ¡ ¤¢ (Àª ùÀø ¤ üþõ .¢ Àû¿÷ ¤Þû Àª µª¢ ßÞÈ ýð ×þ  ¤Þû ö¢¥ ÷ª ×þ Þª Âð î ´¨ ß ö ± ¢Þä
x  f (x) üµÆþ ùÚ÷ ,Àª x bÎÖ÷ ¤¢ ù¢Âî Àª¤ ýõ ýµ¨¤ f (x) ¤¢Â ø
ûõ Øþ þ ø ,¢¤¢ ¢ø õ ü ü÷ fÞµ þ üʽõ ß ¤¢ üãþ .Àª Øþ °ó .´ª¢ Àû¡ üÚµÆت 223
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ 6.9 .¢¥ ÷ª öüõ ¤Þû Ûت ¤ ßÞÈ .¢¤¢ ¢Â¤î ©¹Þû üÞ ýúûðø Â÷ ¤¢ ¤î ßþ .ßþ ÂÞ 7.5.9
.Àî ±¨½õ ¤ RP 2 ýóÞû ýúûø Âð ,Åþ¤µþø-Âõ bÌì ¥ ù¢Ôµ¨ (1 ±¨½õ ¤ ùÂð ×þ ݵµõ ýóÞû ýúûø Âð Åþ¤µþø-Âõ bó±÷¢ ¥ ù¢Ôµ¨ (2 .ÀþÂÚ ¹µ÷ ¤ ?? b¹µ÷ ,ų¨ .Àî .´êþ ¢ªüÞ÷ Sn 1  D n ¥ ü®±Ö÷ ºû î Àî ´ (3
m 6= Âð î Àî ´ .Àª n ø m °Âµ Àã üþûÀÜÔõ N ø M ÝþÂð (4 ýó Àã üþ¢¤ø÷ bÌì Âþ .ÀêÂõÿÞû Âè fÞµ N ø M ùÚ÷ ,n ßþÂÞ ¤¢ M=(M D) = Sm üÔ¬ ÝÆê¤õÿÞû ¥ :üþÞû¤) .Àõ÷üõ (.Àî ù¢Ôµ¨ (6)-??
µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ 6.9 ûþ ÂÑ÷ ßþ bÞû .¢¤¢ ¢ø ýóÞû ýúûø Âð ÓþÂã ý ýÂÚþ¢ ¢Àãµõ ýúªø ¤
ßþ .ÀµÆû üØþ
fÞä (úãÞµ¹õ
CW
ÜÞ ¥) ûÌê ¥ üð¤ ¤Æ µ¨¢ ýÂ
Ûþø ¤¢ î Àõ¹÷üõ ýóÞû bþÂÑ÷ ý üä®õ Û¬ üªø ¤ ÂÏ °ÜÎõ ýä®õ ñ¬ .´¨ ùÀª áø ª ¢Âµ¨ .ö ø ï±Üþ .§ ͨ ý¢
õ 1950 bû¢ .À÷ªüõ ùÀõ÷ µêþ ÛÜÖ ýóÞû ýûþ ÂÑ÷ ñ¬ î ,Ýîüõ ÂÎõ ¹þ ¤¢ ¤ (ý¢ ýúûø Â𠢤õ ¤¢
f·õ) ´ bÎÖ÷ ýó ýûÌê  ñ¬ ßþ ¥ .¢Þ÷ ù¢Ôµ¨ öüõ Âʵ¿õ ª ,µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ bä®õ ñ¬ ßµ¡¢Â ¥ Ç .Ýþ¤¢ ¥÷ úÔõ À
X
.Àª x0 ´ bÎÖ÷ ýó üþÌê X ÝþÂð .Óþ Âã 1.6.9 .Ýîüõ ÓþÂã (X I )= (X I ) [ (fx0 g I ) üµÞÆì ¤¡ ýÌê ¤¬
¤
ßþ ¤¢ ,Àª þ bÎÖ÷ ê ø µ¨ üµªÚ÷
f : X ! Y
f
:X!Y
Âð î ¢ª
Ûت þ bÎÖ÷ ê ø µ¨ üµªÚ÷ ÓþÂã °õ f ¤¬ .¢¢Âðüõ 224
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ 6.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
X ýó ýÌê ÂÑ÷ CX µêþ ÛÜÖ ¯ø ¿õ .Óþ Âã 2.6.9 .¢¢Âðüõ ÓþÂã (X I )= (X f1g) [ (fx0 g I ) üµÞÆì ¤¡ ýÌê ¤¬ ÂÑ÷ Cf üµªÚ÷ üÏø ¿õ ùÚ÷ ,Àª þ ê ø µ¨ üµªÚ÷ f : X ! Y Âð Ýû bΤ î ,¢¢Âðüõ ÓþÂã (CX [ Y )= üµÞÆì ¤¡ ýÌê ¤¬ f
:´¨ Âþ¥ ª ý¥ ¤
(x; 0) f (x) () f (x) 2 Y ; (x; 0) 2 CX ´ªÚ÷ î ¢ª .Àªüõ Cf ¤¢
Y y0 ÂÑ÷ bÎÖ÷ ¥ ¤±ä Cf ýþ bÎÖ÷
ýµ ´ªÚ÷ öä ¤ ö ;¢Þ÷ ÓþÂã öüõ üã±Ï ¤¬ ¤ i : Y
! Cf
.¢Þ÷ ¢ÀÞÜì öüõ .ßþ ÂÞ 3.6.9
öÞû ´¨¤¢
Cp ùÚ÷ ,Àª ´ ´ªÚ÷ p : X
! fx0 g Âð î Àî ´ .´¨ X
(1
.´¨ é¤øÀ¨øû ÷ X ùÚ÷ ,Àª é¤øÀ¨øû X Âð î Àû¢ öÈ÷ (2 .S1 = S2 î Àî ´ (3 ßØ ý¥óÞû bþÂÑ÷ ý ¢Âµ¨-ï±Üþ ñ¬ ÂÏ ý ü±¨õ ´ãìõ öî .´¨ µêþ ÛÜÖ ùÂÞû þ ÎÖ÷ öä ýÎÖ÷ ûÌê bÞû ´ÞÆì ßþ ¤¢
.Óþ Âã 4.6.9
þ ¯Ö÷ ø À÷µ¨ ,À÷ªüõ ÓþÂã üþûÌê ß ß ÷ úµªÚ÷ bÞû ø ,ÀµÆû .Àîüõ Ô ¤ f ýûÌê (bÞû Þµ þ) ¥ ýþ¢ ð  µêþ ÛÜÖ ßØ ý¥óÞû bþ ÂÑ÷ Âû :¢¢Âðüõ ÛØÈ Âþ¥ ¢¤õ ¥ ø ¢¢Âðüõ ÓþÂã þ ¯Ö÷ ýó ¢¤õ ýÌê Âû
H~ n î ý÷ð ,úµªÚ÷ ¥ fH~ n j n 2 Zg ýù¢÷¡ ( ~ n(X ) üÜ üûø Âð ,X ãóÎõ ø ;Àû¢üõ ´±Æ÷ H
ù¿ó¢ ¼½¬ ¢Àä ø f
:X!Y
þ bÎÖ÷ ê bµ¨ ´ªÚ÷ Âû ý¥ ( ~ n(X ) ! H~ n (Y ) üÞÆê¤õÞû ,n ø ;üþÖó ÝÆê¤õÞû f : H 225
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê
µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ 6.9
n (X ) : H~ n (X ) ! üÞÆê¤õÞû ,n ¼½¬ ¢Àä Âû ø X ýÌê Âû ý¥ ( ~ n+1 (X ) .X ÂÑ÷ ÕÜã ÝÆê¤õÞû H :Àª µª¢ ëÀ¬ Âþ¥ Û¬ ´Ôû ¤¢ Àþ , ¤¢ ø ÂÈõ Ǒª ùÚ÷ ,n
2
1 : X ! X Âð (ü÷Þû Û¬ ) (1 ~ ~ n(X ) üþÖó ÝÆê¤õÞû .´¨ ÝÆê¤õø þ 1 : Hn (X ) ! H
Z ø Àª ü÷Þû ´ªÚ÷ X
bÎÖ÷ ê ø µ¨ üþúµªÚ÷ g : Y ! Z ø f : X ! Y Âð (°î ۬ ) (2 .(g Æ f ) = g Æ f ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª þ ø µ¨ üþúµªÚ÷ g : Y
!Zøf :X!Y
Âð (ÕÜã ö¢ üã±Ï Û¬ ) (3
:´¨ ÂþÁ³Ìþã Âþ¥ ¤¢Þ÷ ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª þ bÎÖ÷ ê
H~ n (X ) f
?
H~ n (Y )
n (X )
- H~ n(X )
(f )
n (Y )
- H~ n(?Y )
X ¤¢ bþ bÎÖ÷ ´±Æ÷ f; g : X ! Y ýúµªÚ÷ Âð (üÞû Û¬ ) (4 .À÷ g ø f üþÖó ýúÞÆê¤õÞû ¤¬ ßþ ¤¢ ,Àª Þû
n (X ) : H~ n (X ) ! üÖÜã ÝÆê¤õÞû ,ý n 2 Z Âû ý¥ (ÕÜã Û¬ ) (5 ~ n+1 (X ) .´¨ ÝÆê¤õø þ H bó±÷¢ ,n ¼½¬ ¢Àä Âû ø f
:X!Y
´ªÚ÷ Âû ý¥ (´ì¢ Û¬ ) (6
H H ~ n(Y ) i! ~ n(Cf ) H~ n (X ) f!
i:Y
! Cf ¹þ ¤¢ ;Image(f ) = Kernel(i ) î ´¨ ´¬¡ ßþ ý¤¢ H~ n (S0) =
.´¨ üã±Ï ýµ Z
0
n = 0 Â𠤬 ßþ Âè ¤¢
(Àã Û¬ ) (7
,n 2 Z ø Àª x0 bþbÎÖ÷ ý¥ó üþÌê X î ü¤¬ ¤¢ .ñ·õ 5.6.9 ~ n (X ) ùø Â𠤬 ¤ H
H~ n (X ) := Kernel(p );
p : Hn (X ) ! Hn (fx0 g): 226
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
µêþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ 6.9
ßØ ýóÞû 9 ÛÊê p:X
! fx0 g î ,Ýîüõ ÓþÂã ~ n (X ) ! H~ n(Y ) üÖó üÞÆê¤õÞû ,f : X ! Y þ î ¢¤¢ ¢ø f : H ê ´ªÚ÷ Âû ý¥ .´¨ üúþÀ ´ªØ÷
ÛÜÖ ßØ ýóÞûbþÂÑ÷ ×þ ¤¬ ßþ .´¨ ÓþÂã Ûì üúþÀ ¤¬ -Âõ bó±÷¢ ¥ 6 ø 5 ñ¬ ÕÖ½ ý :üþÞû¤) .Àî ´ ¤ ßþ ´¨ µêþ (.Àî ù¢Ôµ¨ Åþ¤µþø
G := fGn j n 2 Zg Àî Âê .ñ·õ 6.6.9 0 ~ .Hn (S ) = Gn ý n Âû ý¥ î Ýî ¯Âª 4.6.9 ¤¢ (7) Û¬ ý¹ ø Àª üÜ ýúûø Âð ¥ ýþ¢Âð
ß .ݨ¤üõ
G ¤¢ °þ® bµÔÜþ ÛÜÖ ýóÞû bþÂÑ÷ ×þ ¤¬ ßþ ¤¢
´ ¤ ßþ .Àª üõ ýµÆ ´ìõ ý¤¢ ßþ÷ ý± ýó ¤¢ üþûþÂÑ÷ .Àî
227
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
õ÷µî
[1℄
Bredon, G. E.
Introdu tion to ompa t transformation
,
groups, A ademi Press, New York - London, 1972.
[2℄
Conner. P. E.
Dierentiable periodi maps,
,
se ond edition,
Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1979.
[3℄
Conner, P. E. & Floyd, E.E.
,
Dlerentiable periodi maps,
Springer, Berlin - Heidelberg - New York, 1964.
[4℄
Dold, A.
,
Le tures on algebrai topology,
Springer, Berlin -
Heidelberg - New York, 1972.
[5℄
Eilenberg, S. & Steenrou, N.
,
Foundations of algebrai
topology, Prin etor University Press, Prin eton. N.J., 1952.
[6℄
Gray. B.
,
Homotopy theory, A ademi Press, New York - San
Fran is o - London. 1975.
[7℄
Greenberg, M. J.
,
Le tures on algebrai topology, Benjamin,
New York, 1967.
[8℄
Hirs h, M. W., Dierential topology, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1976.
[9℄
Husemoller, D.
,
Fibre bundles, se ond edition, Springer, New
York - Heidelberg - Berlin. 1975.
229
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
õ÷µî [10℄
õ÷µî
Massey, W. S.
,
Homology and ohomology theory,
Mar el
Dekker, New York - Basel. 1978.
[11℄
Maunder, C. R. F.
,
Introdu tion to algebrai topology, Cam-
bridge UniversityPress. 1980.
[12℄
Moise, E. E.
Geometri topology in dimensions 2 and 3,
Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1977.
[13℄
Rolfsen, D.
,
Knots and links, Publish or perish, Berkeley, Ca.,
1976.
[14℄
Spanier, E. H.
Algebrai topology,
,
M Graw Hill, New York,
1966.
[15℄
Switzer, R. M.
.
Algebrai topology - homotopy and homology,
Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1975.
[16℄
Vi k, J. W.
,
Homology theory,
A ademi Press, New York -
London, 1973.
[17℄
Whitehead, G. W.
,
Homotopy theory,
M.I.T. Press, Cam-
bridge, Mass., 1966.
ÂµÈ ãóÎõ ý °¨õ âÂõ ø °µî ¥ ýùÀþ ð üêÂãõ ,´ª¢¢þ ßþ ¥ éÀû ´±Æ÷ ý ÂµÈ ý ó ä
Ï ¥ ,âõ ßþ °Üè ¤¢
.´¨ µî ßþ b õ¥ ¤¢
ÂÑ÷ ¤¢ fÌã ø üÊ¿ª ¹ ú÷ ¿µ÷ í
õ .¢¢Âðüõ ù¢Ôµ¨ ,µî ßþ ¬ üÜî ¤ Ï ¤ ℄14[ Â÷³¨ µî üÜþ¢ .´¨ «Ê¿ Ñ
õ ßµêÂð õ ,´¨ üêî ø °¨õ ¤Æ ý ± ý ó ¢ø ¤ ø ý  ßþ
.Ýîüõ
.Àªüõ ¤ª¢ ãóÎõ ´ú ¢¤ õ ¤¢
.Àî ãÂõ ℄4[ Àó¢ ,ûÀÜÔõ üõÞä b þ ÂÑ÷ ù b ÀûÈõ ý :ÀÜÔõ
¥ üÞúõ b µ¨¢
.¢ª ãÂõ ℄12[ Åþõ ,ûÀÜÔõ
ü±¨õ âÂõ ℄8[ ©Âû
3 ÷ ø ûÀÜÔõ 2
.¢¤¢ ¢ø ÂþÁ³ÜÆ÷ÂÔþ¢ ýûÀÜÔõ
,ûÀÜÔõ
.´¨ ûÀÜÔõ ßþ ßµ¡¢Â ý Àúµþø ø ℄14[ Âþ³¨ ,℄6[ ý Âð ¥ À¤±ä õ¥ ßþ ¤¢ Ûì µî ¨ :üÞû .℄17[
230
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
õ÷µî
õ÷µî
¤¢ î ,Àõ¹÷üõ ý ¤ ýúê
î b þ ÂÑ÷ üȪ ýûÌê b ãóÎõ :üȪ ýÌê .´¨ ùÀª µ¡¢Â ¶½ ßþ ℄14[ Âþ³¨ ø ℄9[ ÂóÞ¨øû °µî
.¢¢Âðüõ ¬ ℄1[ öø¢Â µî :ý ó ýÌê  ùø Âð ÛÞä
.¢¢Âðüõ ¬ ℄13[ ßÆÔó¤ µî :ùÂð
Àó¢ °µî ,ßØ ý óÞû b þ ÂÑ÷ «Ê¡ ¤¢ ÂµÈ ä
Ï °Æî ýÂ :ý óÞû ÂÚþ¢ á÷ ø¢
.Àî ãóÎõ ¤ ℄16[ ×þø ø ℄14[ Âþ³¨ ,℄7[ ï±þ Âð ,℄4[
Âþ³¨ µî î ,× ý óÞû ø ü ý óÞû ¥ À¤±ä ý óÞû b þ ÂÑ÷ ,´¨ °¨õ ü ý óÞû ý ℄11[ ¥ ¤À÷õ .´¨ µ¡¢Â ú÷ ℄14[ ℄6[ ý Âð °µî .À÷µ±¨õ × ý óÞû ¢¤ õ ¤¢ ℄10[ üÆõ ø ℄4[ Àó¢ üóø µêþ ÝÞã ý óÞû b þ ÂÑ÷ b õ¥ ¤¢ ÂµÈ ä
Ï °Æî ý ℄15[ ¤ µ¨ ø ¢Âµ¨ ø ï±Üþ µî ,¹÷ ¨ .À÷ªüõ ¬ ˽õ üÞû b þ ÂÑ÷ Àþ¢ ¥ .¢¢Âðüõ ¢úÈ üä®õ Û¬ ý óÞû b þ ÂÑ÷ ý ℄5[
231
Copyright : Mehdi Nadjafikhah - IUST
18/9/05
üþ±Ôó ´¨Âúê
55 ,Ìê
33 ,üþÖó 57 ,ü ÂÌܬ
52 ,äÞ¹õ
n 41 ,RP
41 ,üµÞÆì ¤¡ 69 ,¥-ù¢ÂÈê
üÖÖ ý ÂþÊ ýÌê
Sn ùÂî
34 ,
34 ,ü±Æ÷
91 ,ÀÜÔõ
G G n n n
44 ,ý ÂðüØþ 45 ,÷µ¨
162 ,ý ± ý ó
,µêþ ÛÜÖ ý óÞû ýûþ ÂÑ÷ ñ¬
98 ,÷ðø¢
224 105 ,ýÀ±Þû âÞ
147 ,ý ±Ö÷ 147 ,üÆþ¢Â𢠱Ö÷
131 ,ö¢¤ üãÜ® À
147 ,ýì üÆþ¢Â𢠱Ö÷ 9 ,ûäÞ¹õ ü¤î¢ ÂÌܬ
13 ,ÝÆê¤ õø þ
159 ,ÖÜ 189 ,46 ,ßþ
î ý ÂÎ 121 ,Ý¡ 189 ,131 ,115 ,ù¢¨ b µÆ Ý¡
159 ,ù¤ ×þ b þ
131 ,ö¢¤ Ý¡
144 ,üÞû 64 ,Ǫ
174 ,ù¤ b ¤¢
64 ,¥
107 ,µ¨¢
64 ,üûµõ
11 ,ý¥ ¤Ýû b µ¨¢ 221 ,Õì¢ b ó±÷¢
10 ,â
221 ,Åþ ¤ µþø-Âõ b ó±÷¢
190 ,üȪ ÛþÀ±
107 ,¼Î¨ µ¨¢ ßµ¡ø¢
185 ,âêÂ
108 ,¼Î¨ §õ ¤÷ ßµ¡ø¢
ý ó
232
üþ±Ôó ´¨Âúê
üþ±Ôó ´¨Âúê
RP 2 ý ÂþÊ ½Ô¬
206 ,¤ ø¢
153 ,úû¤ ®
11 ,Τ
49 ,
11 ,ü¥ 70 ,Ǫ Ù±ó ¢Àä
11 ,ýÀã
231 ,52 ,ÛÞä
11 ,ü÷¤Ö
95 ,¢¥
11 ,ý¥ ¤ Ýû
52 ,ý ó ýÌê Â ùø Âð
121 ,ù¤
52 ,äÞ¹õ Â ùø Âð
121 ,˵
192 ,ýÀãµõ
121 ,üûµ÷
182 ,µ¨÷
159 ,µÆ
206 ,ý¥ Âõ ÂÚÜÞä
159 ,þ
212 ,¤ Èõ ÂÚÜÞä
122 ,´
ÂÊä
153 ,®
12 ,öø ¤ø
129 ,ßî Â Ìê
12 ,ü÷Þû
122 ,öø ¤ø 151 ,ý¥ ¤ Ýû
163 ,¤ µØ÷ê
104 ,þø ¤
70 ,ýÎÖ÷ × ý¥¨ù¢ÂÈê ýÌê
204 ,ßØ ù b ¹÷¥
146 ,ÂþÁ ±Ö÷
129 ,ù¢¨ ù b ¹÷¥
231 ,üȪ
64 ,Ǫ Âþ ¥
63 ,ù¢ÂÈê
13 ,ùø Âð Âþ ¥
15 ,ý µõ 73 ,ÝÑõ
203 ,¢¤À÷µ¨ í¢¨
70 ,ù¢ÂÈê fã®õ
204 ,ßØ í¢¨
128 ,üû¤ À±Þû fã®õ
104 ,¼Î¨
71 ,é¤ øÀ¨øû
109 ,ÂþÁ³µú
81 ,À±Þû
109 ,ÂþÁµú 108 ,ø ¤ ×þ
182 ,üȪ ýÌê 184 , ó ýÌê
71 ,ý¥¨À ¯ø ª 133 ,áãª
Ìì
233
üþ±Ôó ´¨Âúê
üþ±Ôó ´¨Âúê
118 ,ÀÜÔõ ¥ Âõ
177 ,± ü¨¨
86 ,×Ø ÛþÆõ
198 ,ø-í¨¤
121 ,ù¤ = ÂÆõ
,üµÞÆì ¤¡ ýúµªÚ÷ ä ´¬¡
121 ,ü½õ
43
230 ,ÀÜÔõ 91 ,ýÀã
n
132 ,ö¢¤ Ý¡
ÀÜÔõ
86 ,ý ¤± b Èþ ¤
131 ,ýÀ±Þû b Ôó bõ
201 ,ö±õ ¸þøÀ÷¨ 107 ,Ψ ýÀ Ö±Ï
225 ,µêþ ÛÜÖ ßØ ý¥ óÞû b þ ÂÑ÷ 231 ,üä®õ Û¬ ý óÞû b þ ÂÑ÷
223 ,ßÞÈ ýð 224 ,ý ó Àã üþ¢¤ ø÷
142 ,Þû ýúµªÚ÷
177 ,½Ô¬ ¤¢ ¤ ø ´ ÎÖ÷
10 ,´ªÚ÷
68 ,ñ ¤ -ßþû
147 ,±Ö÷ 29 ,¥
126 ,÷ª ø ×î
29 ,µÆ 12 ,ùø Âð
10 ,ª
13 ,üÜ
28 ,ý ó ýÌê ¤¢ µ¨ 15 ,ý µõ ýÌê ¤¢ µ¨
167 ,ý ó
134 ,´¡Øþ b µ¨
13 ,ý ¤ ø¢ 13 ,ùÀª Àó fûµõ
185 ,âê 10 ,üþ¨ ø¢
159 ,ý¢ ùø Âð
10 ,×±Øþ
207 ,ý¥ Âõ ùø Âð 231 ,ùÂð
181 ,üȪ ´ªÚ÷ 189 ,þ
n
15 ,嵛
193 ,ÝÑõ
9 ,äÞ¹õ
45 ,41 ,§õ ¤÷
18 ,ý µõ ýÌê ¤¢ ¥
146 ,üÞû á÷ Ýû
10 ,¤ÁÚÆþÀ÷
146 ,üÞû ý¥ ¤Ýû
68 ,¤À÷Âî
123 ,üû¤ À±Þû
181 ,ùÀª ùÀ÷ª fÖþ
166 ,ù¢¨ À±Þû
225 ,µêþ ÛÜÖ ¯ø ¿õ
123 ,ü¨ì À±Þû
225 ,üµªÚ÷ üÏø ¿õ
123 ,ý ÂÆõ À±Þû
206 ,¥ Âõ
234
üþ±Ôó ´¨Âúê
üþ±Ôó ´¨Âúê
12 ,µ¨ÀÞû 212 ,ýù¹÷¥ Þû 142 ,üÞû 144 , 143 ,ü±Æ÷ 231 ,ßØ ý óÞû 231 ,× ý óÞû 231 ,ü ý óÞû 207 ,ïóÞû 12 ,ÝÆê¤ õÞû 225 ,üþÖó ÝÆê¤ õÞû 221 ,ͤ ýúÞÆê¤ õÞû 30 ,ÝÆê¤ õÿÞû
235