Формула Вайцзеккера. Методические указания к решению задач по ядерной физике

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Ростовский Государственный Университет”

Мальцев Ю.Ф., Латуш Л.Т.

Методические указания к решению задач по ядерной физике для студентов физического факультета “Формула Вайцзеккера”.

Ростов-на-Дону 2004 г.

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ. Протокол N от сентября 2004 г.

Авторы: Мальцев Ю.Ф. – доцент кафедры общей физики; Латуш Л.Т. - доцент кафедры общей физики.

3

Полуэмпирическая формула Вайцзеккера. Понятие об удельной энергии связи вводится в школьном курсе физики, это энергия связи рассчитанная на один нуклон

ε

=

E св . A

Хорошо

известна зависимость удельной энергии связи от массового числа A : удельная энергия связи для всех ядер, за исключением самых легких (до A ≅ 10 ), почти постоянная величина и равна в среднем примерно 8 МэВ. Если удельная энергия связи является константой, то сама энергия связи пропорциональна числу нуклонов в ядре: E св = ε ⋅ A , ε ≅ const. Этот факт определенно свидетельствует о том, что ядерные силы являются короткодействующими – их радиус действия порядка размеров самих нуклонов в ядре. Отсюда следует, что ядерные силы способны насыщаться. Насыщение означает, что каждый нуклон в ядре взаимодействует только с несколькими соседними нуклонами. В этом отношении ядерные силы аналогичны химическим силам, обуславливающим валентность химических элементов. Насыщением ядерных сил объясняется, почему энергия связи в грубом приближении пропорциональна массовому числу A . Действительно, если бы каждый нуклон взаимодействовал со всеми другими нуклонами ядра, то пропорциональна числу сочетаний

энергия из

связи A по

была 2,

бы т.е.

A! 2 ~ A (A −1 ) ~ A . Но этого нет – энергия связи пропор) ( − 2! A 2! ! циональна первой степени A . E св ≅

Вытекающее из постоянства удельной энергии связи свойство насыщения ядерных сил приводит к мысли об аналогии между ядерным веществом и жидкостью: силы, связывающие молекулы жидкости, также обладают способностью насыщаться, а энергия испарения жидкости линейно зависит от ее массы, подобно тому, как энергия связи ядра линейно связана с его массой. Это дает основание рассматривать атомное ядро как каплю несжимаемой жидкости. Основные положения капельной модели ядра были сформулированы Вайцзеккером. Им была впервые получена эмпирическая формула для расчета энергии связи ядра, состоящая из нескольких слагаемых. Первый член в формуле констатирует, что для бесконечной ядерной материи, не имеющей поверхности, E св была бы пропорциональна A . Назовем этот член объемной энергией и обозначим

E об = a об А

, но ядро имеет поверхность.

Нуклоны, находящиеся на поверхности, связаны меньше, чем нуклоны в

4

глубине ядра, и чем больше поверхность, тем меньше должна быть энергия связи. Поэтому необходимо ввести в формулу для энергии связи слагаемое, которое называют поверхностной энергией E пов , пропорциональное поверхности ядра. Поверхностная энергия входит в формулу со знаком минус. Так как поверхностная энергия пропорциональна поверхности, т.е. квадрату радиуса ядра, а радиус ядра пропорционален 2

A

1

3,

то

поверхностную энергию записывают в виде E пов = а пов ⋅ А 3 . Далее надо учесть то обстоятельство, что ядерная “жидкость” имеет заряд Z . Этот заряд обусловлен протонами ядра, которые испытывают кулоновское отталкивание и, следовательно, ослабляют ядерные силы притяжения. Именно этими силами объясняется небольшое уменьшение удельной энергии связи для тяжелых ядер. Кулоновская энергия является составной частью энергии связи со знаком минус. Для равномерного 2 2

e R

3 распределения заряда, как известно, электрическая энергия равна ⋅ Z 5

.

Кулоновские силы – дальнодействующие, и поэтому кулоновская энергия пропорциональна числу взаимодействующих пар, то есть

E кул = а кул ⋅ Z 2 А

−1

3.

Согласно модели ядра как жидкой капли, энергия

связи ядра должна была бы содержать три составляющих. Опытные данные, накопленные в ходе изучения свойств ядер, указывают на наличие еще двух слагаемых в формуле для энергии. Опыт показал, что ядра, состоящие из одинакового числа нейтронов и протонов N = Z , обладают большей устойчивостью, большей энергией

(

)

связи, чем с разными. Отклонение от равенства N = Z в любую сторону ведет к уменьшению энергии связи. Этот должно быть учтено в формуле для энергии. Член, учитывающий такое уменьшение энергии, получил название энергии симметрии. Он берется в следующем виде:

E сим = a сим

(N

−Z

A

)

2

(А − 2Z )

2

= a сим

A

и вводится в формулу со знаком минус. Последнее слагаемое в формуле для энергии связи связано со следующим. Ядра с четным A можно разделить на две группы: четно-четные ядра с четным числом нейтронов и протонов и нечетно-нечетные ядра с нечетным числом, как нейтронов, так и протонов. Опыт показывает, что

5

четно-четные ядра имеют систематически большую энергию связи, нежели нечетные, в то время как ядра нечетно-нечетные имеют меньшую энергию связи. Особенно четко это наблюдается в области легких ядер. Такая особенность в поведении удельной энергии связи отражается в формуле для энергии связи добавкой члена, имеющего вид δ =

δ

A

−3

4,

где

⎧ ⎪ + δ − для четно − ченых ядер ⎪ ⎪ =⎨ 0 − для нечетных ядер ⎪ ⎪− − для нечетно − нечетных ядер ⎪⎩ δ

В том обстоятельстве, что энергия связи оказывается систематически большей для ядер, содержащих четное число нейтронов и протонов, проявляется эффект парного взаимодействия между частицами одного типа. Этот эффект получил название спаривания одинаковых нуклонов в ядре. При спаривании, как показывают измерения ядерных масс, энергия связи возрастает приблизительно на 1 МэВ. Эта дополнительная энергия называется энергией спаривания. Итак, в окончательном виде энергия связи ядра может быть представлена формулой:

E св = a об А − a пов А

2

3−

2

−1

a кул Z А

(A − 2Z )

2

3−

a сим

A

−3

+δ ⋅ А

4

Эта формула получила название полуэмпирической формулы Вайцзеккера. Коэффициенты в формуле подбираются так, чтобы получилось наилучшее согласие с опытом. В настоящее время приняты следующие значения: a об = 15.75 МэВ, a пов = 17,8 МэВ, a кул = 0,71 МэВ, a сим = 23,7 МэВ,

δ

= 34 МэВ.

Формула Вайцзеккера для энергии связи в большинстве случаев справедлива с точностью до нескольких МэВ и чрезвычайно полезна при выяснении всех существенных общих свойств ядер. Однако некоторые детали не отражаются этой формулой должным образом. Сюда относятся, например, особая устойчивость “магических” ядер и флуктуации энергии спаривания. Задача 1. Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер определяется только различием энергий кулоновского отталкивания в этих ядрах, вычислить радиусы зеркальных ядер 23 Na , 23Mg .

6

⎛ 23 ⎞ ⎛ 23 ⎞ = 186,56 МэВ , E св ⎜⎝ Na ⎟⎠ E св ⎜ Mg ⎟ = 181,72 МэВ ⎝ ⎠ Кулоновская энергия равномерно заряженного шара радиуса определяется соотношением

(Z

3Z E кул = 5

−1

)e

R

2

R

Обозначим заряд ядра 23 Na как

Z

,а ядра 23Mg как

Z

+ 1 . Тогда

разность энергий связи будет ∆ E св = E св

(A , Z )− E (A , Z св

+1

)

6Z e = 5 R

2

откуда 2

R

6Z e = . 5 ∆ Е св

Преобразуем последнюю формулу используя выражение для постоянной

α

тонкой структуры

2

=

e hc

=

1 137

.

5 Z hc е = ⋅ ⋅ 6 ∆ E св hс

2

R

Учитывая, что hс = 197 МэВ ⋅ Фм , получим

R=

6 ⋅11 ⋅ 1,44 МэВ ⋅ Фм 5 ⋅ 4,84 МэВ

На основе эмпирической зависимости

R=

(

23

= 3,9 Фм

)

R = 1,23 ⋅ A

1

3

получаем

23 Mg = R ( Na ) = 123 ⋅ 23 3 = 3,5 Фм 1

Задача 2. Из сравнений энергии связи зеркальных ядер 11B и 11C оценить величину

1

r 0 в формуле R = r 0 3 A

.

Для равномерно заряженной сферы разность энергий связи ядер

7

2

2

2

1 ∆ E св = 6Ze , R = 6Ze , r 0 A 3 = 6hc ⋅ e , ∆ E св hc 5R 5E св МэВ ⋅ Фм = 1.4 Фм r 0 = 6⋅197 2,76 МэВ ⋅137⋅2,22

Задача 3. Ядро 27 Si в результате

β

+

распада переходит в “зеркаль-

ное” ядро 27 Al . Максимальная энергия позитронов 3, 48 МэВ. Оценить радиус этих ядер.

∆ E св = 6Ze 5R

2

2

, где Z – атомный номер ядра 27 Al ,

6Ze . R = 5E св

+

β распаде Q = E св ( A, Z − 1) − E св ( A, Z ) − (m n − m p ) − m e =

Максимальная энергия спектра позитронов при

= E св ( A, Z − 1) − E св ( A, Z ) − 1.8 МэВ = = ∆ E св − 1.8 МэВ 2

R = 5 Q +16.Ze 8 МэВ

(

)

=

6 ⋅13 ⋅1.44 МэВ ⋅ Фм 5(3.48 + 1.8) МэВ

= 4,3 Фм .

Задача 4. Используя формулу Вайцзеккера, получить соотношение для вычисления энергии спонтанного деления на два осколка и рассчитать энергию симметричного деления ядра 238U . Энергия деления ядра на два одинаковых осколка Q = (m исх − 2m оск ) = 2W оск − W исх , где mисх и mоск - массы исходного ядра и каждого из осколков, а W исх и W оск - их энергии связи. Формула Вайцзеккера для энергии связи ядра содержит пять членов. Последний член вследствие его малости рассматривать не будем. Поскольку при делении ядра на два одинаковых осколка

Aоск = Aисх 2

и

Z оск = Z исх 2 ,

то энергия деления ядра будет зависеть только от второго и третьего членов формулы – поверхностной и кулоновской энергии

8

пов кул пов кул + W исх − 2W оск − 2W оск Q = W исх

Поверхностная энергия осколков

2W

пов оск

= 2a пов ⋅ А

2 3 оск

⎛ ⎞ = 2a пов ⎜ Аисх ⎟ ⎝ 2 ⎠

2

3

⎛1⎞ = 2⋅⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

3

2

a пов ⋅ Аисх3 =

1

пов пов = 2 3 W исх = 1.26W исх

Кулоновская энергия осколков 2

Z = − 2 3 кул = 0,63 кул 2W = 2а кул оск W исх 2 W исх 1 3 Аисх 2 2 кул пов Z исх Q = 0,37W исх − 0,26W исх = 0,37 а кул 1 − 0,26 a пов Аисх3 = 180 Аисх3 кул оск

МэВ

Литература. 1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.5. – М.: Наука, 1989 2. Михайлов В.М., Крафт О.Е. Ядерная физика. – Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1988 3. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие. – М: Высшая школа, 1991