発展方程式 (紀伊國屋数学叢書 6)

紀伊國屋数学叢書 6

編集委員 伊 藤

清 三   (東京大学教授)

戸 田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

増田

久弥

発 展 方程 式 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  まず,時 刻tに 依 存 して き ま る状 態 の物 理量u=u(t)の,時刻tの す る発 展 の法 則 が知 られ て い る とす る.こ

の とき,時刻tで

経 過 に対

任 意 に状 態xを

与 えれ ば,そ れ 以後 の時刻t′

に お け る状 態u(t′)が

を対 応 させ る対 応U(t′,t)を

発 展作 用 素 とい う.こ の発 展 の仕 方 を示す 変 化

率 

をG(t)xと

応G(t)を

発 展作 用 素U(t′,t)の

わ か る.xにu(t′)

書 き,xをG(t)xに

生 成 作 用 素 とい う.こ

対 応 させ る対 の とき,U(t′,t)x

は,微 分 方 程 式(発 展 方 程 式);(∂/∂t′)U(t′,t)x=G(t′)U(t′,t)xを 満 足 す る こ とが わか る.多

くの場 合,状 態 の 物理量 はBanach空間

るか ら,上 の 微 分 方程 式 はBanach空間   本 書 の主 題 は,Banach空

の元 と して表 現 され

で考 え るの が都 合が よい.

間 に お け る作 用 素 を係 数 とす る微 分 方程 式 論,す

な わ ち,発 展 方程 式論 とそ の応 用 であ る.内 容 を理 解す るに は,関 数解 析 の基 礎 的 事柄(閉

グ ラ フ定 理,共 鳴定 理,Lebesgueの

収 束 定 理,Hahn-Banachの

拡 張 定 理)を 知 って いれ ば 十 分 で あ ろ う.   1948年 頃,吉 Cauchy問

田 と ヒ レは 独立 に画 期 的 研究 を発 表 し,そ の結 果 は じ め て,

題ut=Guの

解 の 存 在定 理 が 得 られ た.発 展 方 程 式 論 は,す べ て,

こ の研 究 に基 礎 を お い て い る.そ の 後,吉 田は 拡散 方 程 式 等 へ の応 用 を 通 じて 理 論を 著 し く深 めた.1953年,加

藤 は,こ れ を生 成 作 用 素Gが

時刻tに 依 存

す る場 合 に拡 張 し,こ の 理 論は 大 きな進 歩 を な しとげ た.1960年,田 は発 展 方 程 式 の重 要 な ク ラス―

放 物型 発展 方 程 式―

辺,加 藤

を と りだ し この理 論 は

重要 な進 歩 を とげ た.そ の 後,高 村 は,こ れ まで の線 型 理 論 を非 線型 の場 合 に 拡 張 し,彼 の仕 事 は 最 近 の 非線 型 発 展 方程 式 論 の 研 究 の端 緒 に な った.以 来, 多 くの我 が 国 の研 究 者 が,こ の方 面 で 重要 な 貢献 を して い る.   本 書 をⅠ 部 とⅡ部 とに 分 け,第Ⅰ 部 で 発展 方 程 式 論 の一 般 論 を述べ,第Ⅱ で そ の 偏 微分 方 程 式 のCauchy問

部

題 へ の応 用 を述 べ た.第Ⅰ 部 第1章 で は,関

数 解 析 の基礎 的 事 柄 を ま とめ,第2章

で は 時 刻 に関 して斉 次 的 な 発展 方 程 式 論,

す なわ ち,半 群 論 を 扱 い,発 展 方程 式 論 で 最 も基 礎 的 なHille-Yosida(ヒ 吉 田)の 定 理 を述 べ る.第3章 藤 の仕 事 を 紹 介 した.第4章

では,抽 象"双

レ・

曲型"発 展 方 程 式 論 に関 す る加

で は 抽 象"放 物 型"発 展 方程 式 論 を,生 成 作 用 素

の定 義 域 が 時 刻 に よらぬ場 合 と,時刻 に よ る場 合 とに 分 け て示 した.第5章

で は,

最 近 急 速 に 発展 した 非 線型 発 展 方 程 式 論 の最 も基 礎的 な生 成 定 理 のみ 述 べ た. 第Ⅱ 部 の 初 め の章 で は 発展 方 程 式 が いか に 偏 微 分方 程 式 と結 び つ くか を示 した. 第7章 で は,第3章 対 す るCauchy問 説 した.第8章

で述 べ た 一 般 論 の応 用 と して,双 曲型1階 偏 微 分 方 程 式 に 題 を扱 った.さ

らに,そ こで擬 微 分 作 用 素 につ い て丁 寧 に解

で は第4章 で 述べ た一 般 論 の応 用 と して,2階

程 式 に対 す るCauchy問

題 を 扱 い 筆者 の仕 事 を紹 介 した.第9章

放 物 型 偏 微 分方 では,第5章

で述 べ た一 般 論 の応 用 と しての 準 線 型1階 偏 微 分 方程 式 に 関す るCrandallの 仕 事 を紹 介 した.巻 末 に付 した あ とが き で十分 注 目に 値 す る劣微 分 発 展 方程 式 論 の 最近 の結 果 を述 べ た.   本 書 の構 成 を 図 で示 す と,次 の よ うに な ってい る.

第1章―

第6章(他

第2章

第3章―

第7章

第4章―

第8章

第5章―

第9章

の章 と独 立 して い る)

  最 後 に 御 講 義,研 究 御 指導 な ど学 生時 代 以 来,今

日に 至 る まで,公 私 に わ た

りお世 話 に な った 恩 師 吉 田耕 作 先 生 に,こ の 機 会 に深 く感 謝 した い.   畏 友,山 田義 雄 氏 は,本 書 の校 正刷 を閲 読 して 多 くの助 言 を して下 さ った.   一 昨 年,伊 藤 清 三 教授 が本 書 を執 筆 す る こ とをす す め て下 さっ て以来,紀 伊 國屋 書店 出版 部 の 渦 岡謙 一 氏,水 野 寛 氏,印 刷 所 加 藤 文 明社 の方 々に終 始 お世 話 に な った.以 上 のす べ ての 方 々に厚 くお礼 申 し上 げ る.

1975年   初 夏 

増 田 久 弥

目

次

まえが き

第Ⅰ 部

 一

般

論

第1章   関数 解 析 の基 礎 知 識 §1.1  Banach空

間の定義

  3

§1.2  作用 素 の列

 6

§1.3  リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式

  11

第2章   時 間的 に斉 次 な発 展 方 程 式 §2.1 

(C0)-半

群(Hille-Yosidaの

理 論) 

15

§2.2  正 則 半 群

 33

§2.3 A-許

 40

容空間

第3章  抽 象 双 曲型 線 型 発 展 方程 式 §3.1  {A(t)}の

安定性

  45

§3.2 発 展 作 用 素 の構 成

  51

§3.3 U(t,s)の

 

微 分 可 能性

§3.4 非 斉 次 方 程 式

58

  68

第4章  抽象放物型線型発展方程式 §4.1 A(t)の

定 義 域 が 一 定 の場 合

§4.2 定 義 域 が 変 る場 合 §4.3  正 則 発 展 作 用 素

 72

  84   93

第5章  非 線 型 発展 方 程 式 §5.1  発 展 作 用 素 の 構 成 §5.2 

Cauchy問

  107

題

 119

第Ⅱ部   応

用

第6章  生 成 作 用 素 の局 所表 現 §6.1  抽 象 放 物型 発 展 作 用 素 の生 成 作 用素 の局 所表 現  §6.2 

Peetreの

定 理

127   135

§6.3 抽 象 双 曲型 発 展 作 用 素 の生 成 作 用 素 の局 所 表現

 141

第7章  双 曲型1階 偏 微分 方 程 式系 §7.1 対 称 双 曲 型1階 偏 微 分 方程 式 系

 150

§7.2  擬 微 分 作 用 素

 158

§7.3  双 曲 型1階

 177

方程 式 系

第8章  2階 線型 放 物 型 方 程 式 §8.1  2階 放 物 型 方 程 式 のCauchy問

題

 183

§8.2  定 理 の 証 明

  185

第9章   準線 型1階 方程 式 §9.1  準 線 型1階 §9.2  定 理 の 証 明

偏 微 分 方 程 式 に 対 す るCauchy問

題

 193  196

あ とが き

  213

参 考文 献

  215

索

引

  221

第Ⅰ 部  一 般 論

第1章

  関 数 解 析 の基 礎 知識

  以下 の章 で 必 要 とす る関 数解 析 に 関 す る基礎 知 識 を,こ の章 に ま とめ た.幾 つ か の定 理 は 証 明 せず に述 べ て あ る.(証 明 の詳細 は,例 え ばYosida

[85]を

参 照 してい た だ きた い.)

  §1.1 Banch空   定 義   Xが

間の定義

複 素(ま た は 実)Banach空

 ⅰ)  線型 空 間 で あ る.と α1x1+α2x2∈Xと

間 で あ る とは,

くに,任 意 の複 素 数 αj∈Cとxj∈Xに

対 し,

な る.

 ⅱ)  ノル ム空 間 で あ る.す な わ ち,Xの

任 意 の元xに

対 し,

 イ)  ロ)  ハ)

を 満 た す 実 数 へ の 対 応‖x‖

が 存 在 す る.‖・‖ をXの

 ⅲ) 

完 備 で あ る.す

な わ ち,n,m→∞

列xn∈Xに

対 し,‖xn-x‖

Xは

た すCauchy点

の と き,xnはxに(X-)強   以 下 で,Banach空

の と き,‖xn-xm‖→0を →0な

収 束 ま た はXの 間 をX,X1,X2,…

ノル ム と い う.

るx∈Xが

満

存 在 す る.こ

ノ ル ム で 収 束す る とい う.

等 で 表 わ し,そ

の ノ ル ム を,‖・‖X,

‖・‖X1,‖・‖X2,…(誤 解 の お そ れ の な い とき は 単 に‖・‖)と 書 く.   定 義   Xの

部 分 集 合Dが,αj∈C,xj∈Xな

す と き,DをXの   定 義   X1の

部 分 空 間(subspace)と 部 分 空間Dか

+α2Tx2(αj∈C,xj∈D)を

らX2へ

ら ば α1x1+x2x2∈Dを い う.

の 作 用 素Tが,T(α1x1+α2x2)=α1Tx1

満 た す と きTを

線 型 作 用 素 とい う.

満た

  DをTの

定 義 域 と い いD(T)で

域 と い い,R(T)で   定 義   X1か Tは

表 わ す.ま

値

表 わ す. らX2へ

の 作 用 素Tの

定 義 域D(T)がX1で

稠 密 の と き,

稠 密 に 定 義 され て い る と い う.

  定 義   TをX1か

らX2へ

の 作 用 素 とす る.xnか

ル ム で そ れ ぞ れ 収 束 す る 点 列xn∈D(T)に そ れ ぞ れx,yと Tを

た{Tx;x∈D}をTの

した と き,x∈D(T)で

つTxnがX1,X2の

ノ

対 し て{xn},{Txn}の あ っ て,Tx=yが

極 限値 を 成 り立 つ な らば,

閉 作 用 素 とい う.

  定 義   TをX1か

らX2へ

の 作 用 素 と す る.も

Sx=Tx  を 満 た すX1か

らX2へ

らX2へ

存 在 す る な らば,Tを

可 閉 と い う.

の 線 型 作 用 素 とす る.Tが

の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,xn→0(X1の Cauchy列

ま り,

(x∈D(T))

の 閉 作 用 素Sが

  命 題1.1 TをX1か

しT⊂S,つ

ノ ル ム で)か

と な る任 意 の 点 列xn∈D(T)に

可 閉 とな るた め

つTxnがX2に

おいて

対 し,Txn→0(X2の

ノ ル ム で)

が 成 立 す る こ と で あ る.   証 明  十 分 条 件.閉 がCauchy列 く.こ

Tx′n-Txn→0,つ

は,xn→xか

存 在 す る と き と定 め,Sx=lim

よ っ て 一 意 的 に 定 ま り,xnの

つTx′nがCauchy列

x′n-xn→0,か

と な るx′n∈D(T)を

ま りTx′nとTxnは

らX2へ

Txnと

お 際,

別 に も っ て く る と, と な る.仮

定 よ り,

同 じ極 限 値 を もつ こ と が わ か る.上

る 線 型 閉 作 用 素 で あ る こ と は 容 易 に 確 か め られ

要 条 件 は 明 らか. 

  定 義   TをX1か

つTxn

と り方 に よ ら な い.実

つTx′n-Txn=T(x′n-xn)はCauchy列

の よ うに 定 め たSがT⊂Sな る.必

定 め る.D(S)∋xと

を な すxn∈D(T)が

れ はxに

x′n→x,か

作 用 素Sを

(証 明 終) の 線 型 作 用 素 とす る.適

当 に,定

数Mを

とれ

ば,

(1) が,す

べ て のx∈D(T)に

  D(T)=X1な

対 し 成 立 す る と き,Tを

る 線 型 有 界 作 用 素 の 全 体 をB(X1,X2)で

有 界 作 用 素 と い う. 表 わ し,B(X1,X1)

をB(X1)と な お,以

書 く.特 下 でTが

B(X1,X2)に

に,B(X,C)をX*と

表 わ し,Xの

有 界 作 用 素 と い っ た ら,D(T)=X1と

双 対 空 間 とい う. 仮 定 し よ う.T∈

対 し,

(2) をTの(作

用 素)ノ

場 合 も あ る.こ

下 で‖・‖X1,X2の

代 わ りに,‖・‖ と 書 く

の ノ ル ム に よ っ てB(X1,X2)はBanach空

  T∈B(X1,X2)と →Tx(X2の

ル ム と い う.以

す る.こ ノル ム で)と

間 と な る.

の と きxn→x(X1の

ノル ム で)な

な る .実 際,(1)の

中 のxの

らば,Txn

代 わ りにxn-xと

と れ ば 明 らか で あ る.   命 題1.2 S∈B(X1,X2),T∈B(X2,X3)と

す る と,

が 成 立 す る.   (証 明 は 定 義 よ り明 らか.)   定 理1.1(閉 る.も

し,D(T)=X1な

  命 題1.3 

し,す

らX2へ

ら ば,T∈B(X1,X2)で

TをX1の

と す る.も 定 数Mが

グ ラ フ 定 理)  TをX1か

の 線 型 閉 作 用 素 で あ る とす あ る.

中 で 稠 密 に 定 義 さ れ たX1か

べ て のx∈D(T)に

らX2へ

対 し 

の 線 型 作 用素

が 成 立 す る よ うな

存 在 す れ ば,Sx=Tx(x∈D(T))な

るS∈B(X1,X2)が

存 在す

る.   証 明   各x∈Xに

対 し て,xn→xな

る 点 列xn∈D(T)が

よ りTxnはX2の をSxと

す れ ば,命

題1.1の

中 のCauchy列

証 明 と 同 様 に し てSxはxの

の と り方 に よ ら な い こ とが わ か る.こ

のSが

存 在 す る.  と な る.そ

み で 定 ま り,xn

求 め る作 用 素 で あ る こ とは 容 易

に わ か る.    定 義   TをX1か つSTx=x(x∈D(T))を 逆 作 用 素 と い いT-1と

の極 限

(証 明 終) らX2へ

の 線 型 作 用 素 とす る.TSx=x(x∈D(S))か 満 た すX2か

書 く.

らX1へ

の 線 型 作 用 素SをTの

  命 題1.4(C. ば,Tは

Neumann) 

T∈B(X)と

逆 作 用 素T-1∈B(X)を

す る.も

し ‖I-T‖0に

が成 立 す る.n→∞

(4)

対 し, 

とお く と,

とす れ ば,Aが

閉作 用 素 であ るか ら,

かつ が 成 立す る.ε ↓0と す れ ば,も て,(4)を

う一 度,Aが

得 る. 

(証 明終)

  Ω を 複素 平 面 の中 の領 域 とす る.x(t)を る.Ω

閉作 用 素 で あ る こ とを 利 用 し

の任 意 の 点t0に

対 し,t0の

Ω で定 義 され たX-値

適 当 な近 傍{t;￨t-t0￨0とx∈Xに y∈D)を

な るt0に

と る. 

が￨t-t0￨β

に 対 し,J(λ)x∈D(A)と AJ(λ)x=λ(1-J(λ))x 

(9)

が 成 り立 つ.   証 明   半 群 の 性 質 とU(t)の

と な る.(最

有界 性 よ り

後 の 等 式 で 変 数 変 換 を 用 い た.)し

な り,

た が っ て,

と な る.h↓0と

す れ ば,明

らか に 右 辺 第1項

は λJ(λ)xに 強 収 束 す る.第2

項 は,

 第2項

と な る.し

か る に,

で あ る.(2)よ

り‖U(t)x-x‖

I2のxの

係 数 は-λ

な る.以

上 よ り,h↓0の

束 す る.よ

→0(h↓0)で

に 収 束 す るか ら,h↓0に

あ るか ら,I1→0(強

収 束).

対 しI2→-λx(強

収 束)と

と き,h-1(U(h)-I)J(λ)xは

っ て,J(λ)x∈D(A)か

λJ(λ)x-λxに

つ-AJ(λ)x=λJ(λ)x-λxを

強 収

得 る. (証 明 終)

  任 意 のx∈Xに   命 題2.4 

対 しJ(λ)x∈D(A)で

任 意 のx∈Xに

強 収 束 す る.特

対 しJ(λ)xは

に,D(A)はXの

 証 明   (8)に

あ る が,さ

らに 次 の 命 題 が 成 立 す る.

λ→∞(λ:実

数)の

と きxに

中 で 稠 密 で あ る.

お い て 変 数 変 換t→s=λtを

し,恒

を用

等 式 

い れ ば,

を 得 る.よ

を 得 る.λ>2￨β￨位

他 方,各tに

とお く と

っ て, 

に とれ ば,(4)よ

対 し,λ

が っ て,Lebesgueの収

→∞

り

の と き(2)に

よ っ てfλ(t)→0と

束 定 理 よ り‖J(λ)x-x‖

→0(λ

→∞)が

な る.し

た

導 か れ る.

J(λ)x∈D(A)で

あ る か らD(A)はXの

  x∈D(A)に

対 し,U(t)xはt=0に

分 可 能 と な る.つ   命 題2.5  t>0に

中 で 稠 密 で あ る.  お い て だ け で な くt>0に

(証 明 終) 対 し て も微

ま り,

-Aを

半 群{U(t)}の

対 しU(t)x∈D(A)か

生 成 作 用 素 と す る.x∈D(A)な

つtに

らば,

つ き強 微 分 可 能 で,

(10) が 成 立 す る.   証 明   (1)よ

り,x∈D(A)の

と き,

(11) が 成 立 す る が,こ

の 右 辺 はh↓0の

と き-U(t)Axに

=h-1(U(h)-I)U(t)xも-U(t)Axに か つAU(t)x=U(t)Axを

強 収 束 す る.こ 示 し て い る.さ

  が 存 在 し-U(t)Axに (2)に

よ っ て-U(t)Axは[0,∞)上

補 題2.1)に

  補 題2.1 

(Diniの

数 とす る.f(t)は

く し て,命

定 理)  f(t)を

ら に,こ

って左 辺

れ は,U(t)x∈D(A)

の こ とはU(t)xの

右微分

等 し い こ と を 意 味 し て い る.と 強 連 続 で あ る か ら,Diniの

よ っ て,U(t)xは[0,∞)上 と な る.か

収 束 す る.よ

こ ろ が,

定 理(下

の

強 連 続 的 微 分 可 能 で あ り,  題 は 証 明 さ れ た.  区 間[a,b]で

強 連 続 な右 微 分 

定 義 さ れ たX-値

を もつ と仮 定 す る.つ

(証 明 終) 強連 続 関 ま り,各t

に対 し

が(強 収束 で)存 在 しか つ,そ の極 限 を  間(a,b)で

強 連 続 で あ る と仮 定 す る.こ

的 微 分 可 能 で あ っ て,

が 成 り立 つ.

とす る と,  の と き,f(t)は,(a,b)で

は,区 強連続

 証 明  cをac)に

な

題 の 成 立 が わ か る.

が成立す

対 し, 

が 成 立 す る最 大 部 分 区 間 とす る.も しb′0に

な る.cは 分cに

とな る

お く と,h(t)は(a,b)で

し こ れ が 示 さ れ れ ば,ε

 よ り,十

分法 に お け

続 性 に よ っ て, 

と な る.t=b′

で 

が成 立す るか ら,十 分小 さ い δ>0に 対 し,

が 成 り立 つ.こ っ て[c,b)に

れ は,[c,b′]の

最 大 性 に 反 す る.か

が 成 り立 つ. 

お いて 

  U(t)と(λ+A)-1と   命 題2.6 

く し てb′=bで

はLaplace変

あ る.よ

(証 明終)

換に よ っ て 結 ば れ て い る.つ

任 意 のλ(Reλ>β)は-Aの

ま り,

リ ゾル ベ ン ト集 合 に 入 り,

(12) が 成 立 す る.   証 明   (9)よ

り,x∈Xに

対 しλ-1J(λ)x∈D(A)で (λ+A)λ-1J(λ)x=x 

が 成 立 す る.こ て い る.他

れ は λ+AがD(A)か

方,(11)の

らXの

両 辺 に λe-λtを掛 け てtに

(13) 上へ の写 像 で あ る こ とを示 し つ き(0,∞)上

h-1(U(h)-I)J(λ)x=J(λ)h-1(U(h)-I)x  を 得 る.h↓0と

す れ ば,h-1(U(h)-I)x→-Axで

用 素 で あ るか ら,右

辺 は-J(λ)Axに

強 収 束 す る.他

で 積 分 す れ ば,

(x∈D(A)) あ るがJ(λ)は 方J(λ)x∈D(A)よ

有界作 り,

左 辺 →-AJ(λ)x.よ

っ て,x∈D(A)に対

しAJ(λ)x=J(λ)Axと

な る.(13)

を 考 慮 し て, λ-1J(λ)(λ+A)x=(λ+A)λ-1J(λ)x=x  とな る.こ

れ よ り,λ+Aが1対1の

λ-1J(λ)と 一 致 す る.J(λ)の 密 に 定 義 され て,λ-1J(λ)は も有 界 作 用 素 とな る.よ

定 義(8)よ

(x∈D(A))

写 像 で あ り,逆

作 用 素(λ+A)-1は

りか く し て,(12)を

得 る.Aは

既 に 見 た 通 り有 界 作 用 素 で あ るか ら,(λ+A)-1

っ て,Reλ>β

な るλ

は-Aのリ

ゾ ル ベ ン ト集 合

に 入 る.    命 題2.7 

稠

(証 明終) Reλ>β

な る任 意 の λ に 対 し

(14) が 成 立 す る.   証明  (12)よ

り

[(1)よ

り]

[変数 変 換 に よっ て]

とな るが

で あ る か ら,

(15) を 得 る.ゆ えに,

[(4)に

よ っ て]

と な る.こ

れ は(14)の

  λ+Aは

有 界 な 逆(λ+A)-1を

Aは

成 立 を 示 し て い る. 

閉 作 用 素 と な る.こ

(証 明 終)

も つ か ら,λ+Aは

れ と,命

題2.3∼2.7を

閉 作 用 素.し ま とめ れば,命

た が っ て, 題2.2が

成

立 す る こ とが わ か る.   さ て,Aに

対 し安 定(stable)と

  定 義   Aが

次 の3条

い う概 念 を 導 入 し よ う.

件 を 満 た す と き 指 数{M,β}を

もっ て安定 で あ る と い

う:   イ)  AはXの

中 の 稠 密 に 定 義 さ れ た 線 型 閉 作 用 素 で あ る,

  ロ)  λ>β な る λ は-Aの

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 入 る,

  ハ)  次 の 評 価 が 成 立 す る:

(16) 指 数{M,β}を を(4)を

もつ 安 定 な 作 用 素 の 全 体 をG(X,M,β)で

満 足 す る(C0)-半

(X,M,β)と

な る.命

に 対 し(16)が

群 と し,-Aを

題2.2の

そ の 生 成 作 用 素 とす れ ば,A∈G

中 の λ を 実 数 に 限 れ ば よ い.し

成 立 す れ ば,Reλ>β

入 り,Reλ>β

表 わ そ う.{U(t)}

な るλ

な る λ に 対 し,(14)が

は,-Aの

か し,λ>β

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に

成 立 す る こ とが わ か る.(読

者 は,確

か め ら れ た い.)   例1 

X=C[0,∞]と

す る.U(t)を(5)つ

よ っ て 定 義 さ れ た 半 群 と し よ う.(半

ま りU(t)u(x)=u(x+t)に

群 と な る こ と は,前

に 示 し た.)こ

の生 成

作 用 素-Aは D(A)={u∈X;u(x)は[0,∞)上1回

連 続 的 微 分 可 能 でu′ ∈X}

(17) (-Au)(x)=u′(x)

で 与 え られ る.実

と な る か ら,

際,u,u′

∈Xな

るuに

対 し て,

を 得 る.u′

は 一 様 連 続 で あ る か ら,h↓0の

よ っ てh-1[u(h)-I]u→u′(強 -Au=u′

収 束).つ

と な る.λ>0と

と き,上

式 右 辺 は0に

ま りu,u′∈Xな

す る.任 意 のu∈D(A)に対

収 束 す る.

らばu∈D(A)か

つ

して,(λ+A)u=fと

お

(c:

く.微 分 方程 式λυ-υ′=fを 解 く.こ の解 は  定 数)で

与 え られ る が,特

な る解 はυ0,υ′0∈Xを υ0∈D(A)か

に, 

満 足 す る こ とが 直 接 計 算 よ りわ か る.し

つλυ0+Aυ0=f=(λ+A)uと

る こ と よ りu=υ0と

な る.こ

な る.ゆ

れ はu,u′

∈Xを

た が っ て,

え に λ+Aが1対1で

意味 す る.こ

あ

れ よ り(17)の

成

立 が わ か る.   例2 

X=C[-∞,∞]と

す る.こ

の と き,U(t)の

す る.U(t)を(6)に

よ っ て 与え ら れ た 半 群 と

生 成 作 用 素-Aは

D(A)={u∈X;uは2回

連 続 的 微 分 可 能 で,u,u′∈X}

(18)

で 与 え られ る.実

際,u′,u″

∈Xな

と な る こ とに 注 意 す れ ば,xを固

と な る.よ

っ て,xを

と な るか ら,

るu∈Xを

任 意 に と る.直

定 し て(U(t)u)(x)をtの

固 定 す れ ば,

接計算に より

関 数 とみ な し て,

u″∈Xで

あ りU(t)は

半 群 で あ る か ら,‖U(t)u″-u″

ゆ えに,h-1[U(h)-I]uは1/2u″

に 強 収 束 す る.よ

 と な る.逆

程 式 

にu∈D(A)と

を 解 く.こ

∈D(A)を

る.か

  さ て,い

あ る こ とか ら,u=υ0.こ

題2.2で

(Hille-Yosidaの

れ は,u′,u″∈Xを

意味す

定 理(ま

た はHille-

定 理 と も い う)を 述 べ よ う. 定 理)  A∈G(X,M,β)と

な るた め の必要 か つ

生成 作 用 素 に もち, 

を満足す る

存 在 す る こ と で あ る. 生 成 作 用 素 に もつ 半 群 をe-tAと

示 し た.必

る こ と は 明 ら か.任

書 く こ と が あ る.定

要 条 件 が 示 さ れ た と す る.A∈G(X,M,β)に

問 題du(t)/dt=-Au(t),u(0)=xの

唯 一 の 解 で あ る.実

意 の 解u(t)に

  (必 要 条 件 の証 明Ⅰ;K.

理 の十 分 条 件 は 命

対 しe-tAxがCauchy 際,命

題2.5よ

対 し,(d/ds)e-(t-s)Au(s)=0と

つ き 積 分 す れ ば,u(t)=e-tAu(0)=e-tAxを

合:A∈B(X)の

っ てυ0

た が っ て,

よ い よ 半 群 の 理 論 で 中 心 的 なHille-Yosidaの

群U(t)が

  注 意  -Aを

対 す る 解υ0は

示 され た.

十分 な条 件 は,-Aを (C0)-半

に,c1=c2=0に

よ りλυ0+Aυ0=f=λu+Au.し

Yosida-Feller-Phillips-Miyaderaの   定 理2.1 

分 方

の 解 は 

得 る. 

く し て(18)が

つ

お く.微

接 計 算 よ りυ0,υ′0,υ″0∈Xで あ る こ と が わ か る.よ

λ+A,λ>0,が1対1で

な る.

っ てu∈D(A)か

し て,(λ+A)u=fと

と な る.特

で あ る か ら,直

‖→0(t↓0)と

Yosidaに

な り,こ

り,解

であ

れ をsに

得 る か ら 一 意 的 で あ る.

よ る) 

と き,du(t)/dt=-Au(t),u(0)=xの

(第 一 段) 

Aが

有 界 作用 素 の場

解 はu(t)=e-tAx

で 与 え られ る.こ

こ でe-tAは (作 用 素 ノ ル ム の 収 束) 

に よ っ て 定 義 し た.こ

れ を 示 す に は,e-tAが-Aを

あ る こ とを み れ ば よ い.実

と な り,Un(t)は [0,∞)上 は[0,∞)上

用 素 ノ ル ム で の)極 限 で あ るe-tA

て,BC=CBな

る 有 界 作 用 素B,Cに

な る.実 際BjCk=CkBjで

/(i+k)!のtjskの

係 数 は(-1)j(-1)kBjCk/j!k!と

e-tAe-sA=e-(t+s)Aと

な る.よ

半 群 で あ る.直

ら にt=0と

接,級

っ てexp(-tB

係 数 と は 一 致 す る .こ

成 立 を 示 し て い る.特 な る.さ

対 して

あ るか ら(-1)j+k(tB+sC)j+k

係 数 とexp(-tB)exp(-sC)のtjskの

れ はe-tBe-sC=e-tB-sCの

り,e-tAは

つ き広 義 一 様 に 収束 す る こ とが わ か る.

広 義 一 様 な(作

強 連 続 と な る.さ

-sC)のtjskの

と お く と,

作 用 素 ノ ル ム でtに

e-tBe-sC=e-tB-sCと

生 成 作 用 素 に もつ 半 群 で

際, 

強 連 続 なUn(t)の

(19)

に,B=A,C=Aと

す れ ば,e-tAはIと

す れ ば, な る.以

上 よ

数 を微 分す れば

(20) と な る か ら,e-tAの   (第2段)一

生 成 作 用 素 は-Aで

般 の 場 合:一 般 のA∈G(X,M,β)に対

と と も に 小 さ く な るか ら(19)でe-tAを にYosida近

あ る.

似An=AJnを

定 義 で き な い.そ

用 い る.た

こ こ で, 

る こ とか ら,命

し,Ajの

定 義 域 がj

こ で,Aの n >β

だ し, 

(x∈D(A))な

代 わ り で あ る.

る こ と と‖Jn‖ が 有 界 で あ

題 よ り,次 式 を 得 る. limJnx=x 

(強 収 束), 

x∈X. 

  か つJn∈B(X)よ な る か らe-tAn(≡Un(t))が

定 義 で き る.定

義 よ り,

(21)

り,An∈B(X)と

で あ るか ら, 

を 得 る.(16)に

る評 価 

よ って導 か れ

を上 式 の右 辺 に 代 入す れ ば,

(22) を 得 る.次

に,T>0に

対 し てUn(t)xが[0,T]上

一様 収 束 す る列 で あ る

こ とを 示 す.

で あ る か ら,

を 得 る.よ

っ て,

(23) が 成 り立 つ.他

方,x∈D(A2)に

対 し

で あ るか ら,

を 得 る.ゆ

(22)よ

え に,AnとUmの

り,こ

はx,m,n,s,tに

可 換 性 と上 式 よ り

で お さ え られ る.こ

の 右 辺 は,  よ ら ぬ 定 数.ゆ

え に,

こ で,M′

が 成 り 立 つ.か Un(t)xは[0,T]上

一 様 に 強 収 束 す る.し

の と き λ2(λ+A)-2→I(強 (1+n-1A)-2xで も,‖Un(t)‖ [0,T]上

く し て,任

収 束)で

近 似 さ れ る.ゆえ は[0,T]上nに

か る に,(21)と

あ るか ら,任

りλ → ∞

意 のx∈Xは,D(A2)の

元

に,D(A2)はXの

中 で 稠 密 で あ る.し

か

つ いて 一様 有 界 で あ り,Un(t)x(x∈X)は,

連 続 で あ る か ら,命

題1.8を

適 用 す れ ば,任

に 強 収 束 し,そ

は 強 連 続 と な る.x∈Xに

対 しUn(t)Un(s)x=Un(t+s)xが

∞

対 し

命 題1.5よ

Un(t)xは,[0,T]上一様

ら,n→

意 のx∈D(A2)に

意 のx∈Xに

の 極 限 をU(t)xと

お く と,U(t)x 成 立 し て い るか

と す れ ば,U(t)U(s)x=U(t+s)xを

が成 立 す る.ゆ

対 し,

得 る.明

え に,U(t)は(C0)-半

ら か に, 

群 と な る.さ

らに(22)

よ り,

な る 評 価 を 得 る.最 す れ ば,A=Aで

後に,こ

の よ うに 構 成 したU(t)の

あ る こ とを 示 そ う,x∈D(A)に

生 成 作 用 素 を-Aと 対 し て,(20)のAをAn

で お き か え た 式 の 両 辺 を 積 分 す れ ば,

(24) と な る.一

方,有

に よ っ て,強 U(t)Axに

限 区 間 上Un(t)はU(t)に

収 束 す る か らUn(t)Anx=Un(t)JnAxは,有 強 収 束 す る.ゆ

と な る.‖U(t)Ax-Ax‖ −I]xは-Axに x∈D(A)か

一 様 に 強 収 束 しJnはIに(21)

え に(24)に

→0(t↓0)に

お い てn→

写 す か ら,D(A)=D(A)と

∞

ま りA=A.こ

対 しh-1[U(h)

え に,x∈D(A)な

に 対 し λ+AはD(A)をXの な る.つ

とす れ ば

注 意 す れ ば,h↓0に

強 収 束 す る こ とが わ か る,ゆ つAx=Ax.λ>β

限 区 間 上一 様 に

上 へ1対1に れ で定 理 は す べ て証 明 さ

れ た.   (必 要 条 件 の 証 明Ⅱ;E. Hilleに

よ る)  Cauchy問

らば

題du(t)/dt=-Au(t),

u(0)=xを

解 くの にAを

有 界 作 用 素 で 近 似 す る代 わ りに,差

す な わ ち,[0,t]をn等

分 で近 似す る.

分 に 分 割 し 後 退 差 分 を と る:(h=t/n)

h-1[un((j+1)h)-un(jh)]=-Aun((j+1)h) 

(j=0

こ れ を 解 く と,un((j+1)h)=(1+hA)-1un(jh)で

,1,…n).

あ るか ら,un(t)=un(nh)

=(1+hA)-nxと

な る .n→∞

な る で あ ろ う.こ

の 考 え に し た が っ て 必 要 条 件 の 証 明 を 示 そ う.A∈G(X,

M,β)よ

に 対 しun(t)が

( 

り, 

な らば 

界 作 用 素 とな る. 

収 束 す れ ば そ の極 限 が 解 と

)に 対 し  と お く とVnも

は有

有 界 作 用 素 と な り,

  1)

な る 評 価 が 成 り立 つ.((16)を  さ ら に 命 題1.9よ tに 関 し て 正 則,し

み よ.)

り, 

は,00と

しλu(x)-u′(x)=f(x)を

f(y)dy(c:定

作 用 させ れば,

換 の一 意 性 か ら,

  例   (17)に に対

対 し,両 辺 にfを

解 く.こ

あ る.第2項

∈D(A)と

す る.任

な る. 意 のf∈X=C[0,∞]

の 解 は, 

な る.し

た が っ て,u∈Xと

な る た め に はc=0と す 解 はu=0に

な らね ば な ら な い.特

限 る.よ

っ てλ+Aは1対1で

で あ る か ら,λ+AはD(A)か

らXの

ゆ え に, 

に,λu-u′=(λ+A)u=0を あ る.さ

満た

ら に,

上 へ の 写 像 で あ り,

で あ る か ら,(17)に

と な る. 

よ

って 定義 した 作用 素は 縮 少 半 群 を定 め る.

  §2.2  正 則 半 群   (6)に

よ っ て 定 義 さ れ た 半 群 は,tに

る こ と が,G(x,t)の

性 質 か らわ か る.こ

つ きRet>0ま

で 解 析 的 に延 長 され

れ に 示 唆 さ れ て,正

則 半 群 と い う半

群 の 重 要 な ク ラ ス を 導 入 し よ う.   定 義   ￨argt￨0を をaε=0と

固 定 す る.A∈H(ω)の

仮 定 して も一般 性 を 失 わ な い.Aの

わ りにe-aεtU(t)を

考 え れ ば よ い か らで あ る.複

定 義 に で て く るaε

代 わ りにA+aε,U(t)の 素 平 面 内 の 曲線

代

Γ=Γ1∪Γ2 と定 め る(方

向 は 正 の 方 向).Γ

は 明 らか に-Aの

リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 含 ま

れ る.U(t)を

(27) と定 め る. 

と λ∈ Γ1に 対 し,   ゆ え に,(λ+A)-1に

で あ る か ら,

対 す る仮 定 よ り,

(28) と な る.eλt(A+λ)-1は  で あ り,eλt(A+λ)-1お

と λ∈Γ1の 近 傍 で,t, よ び,こ

れ をtに

は 共 に絶 対 積 分 可 能 で あ るか ら,  な 有界 作 用 素 で あ る. 

群 の 性 質(ⅲ)を   (ⅰ)を

は￨argt￨0)

の 場 合 に 示 した と同 様 に し て わ か る.よ ゆ え に(z+A)-1は

っ てz+AはXの

上 へ の 写 像 で あ る.

存 在 し,

で 与 え られ る.よ

って

これ よ り(z+A)-1は

有 界 作 用 素(し た が ってAは

閉 作 用 素)で 

を 満 足 す るか ら-Aは

定 理2.2よ

りπ/2

型 の正則 半 群 を 生 成す る.

  §2.3  A-許  

-Aを

容空間

生 成 作 用 素 に もつ(C0)-半

群e-tAはD(Ak)(k=1

に す る:e-tAD(Ak)⊂D(Ak)  概 念 を 導 入 し よ う.こ   以 下,YをXの Yの

位 相 がXの

  定 義   YがXに (  い う.

y∈Y)を

,2,…)を

これ を 一 般 化 し て,A-許

不変

容 空 間 とい う

の 概 念 は 次 章 で 大 切 と な る.

中 に(Xの

位 相 で)稠

密 に 入 っ て い るBanach空

位 相 よ り強 い と し よ う.A∈G(X,M,β)と 関 し てA-許 満 た し,か

容(簡

単 にA-許

つ{e-tA}がY上

容)で で(C0)-半

間 で,

す る. あ る と は,e-tAy∈Y 群 を つ くる とき を

  例   Y=D(A)と はXの

し ノ ル ム を‖y‖Y=‖(A+β+1)y‖

中 で 稠 密 なBanach空

とす る.こ

の と きY

間 で あ る こ と は 明 ら か で あ る. 

(y∈Y)よ

りXの

位 相 よ りYの

方 が 強 い.e-tAY⊂Y

は 明 ら か で あ る.  よ りA∈G(Y,M,β)と e-tAはYで(C0)-半

群 を 生 成 す る.よ

な るか ら

っ て 上 の よ うに 定 め たYはA-許

容

間 の ノル ム を 区 別 す る た め に,Xの

ノル

で あ る.   YとXと

い う2つ

ム を‖・‖X,Yの

のBanach空

ノ ル ム を‖・ ‖Yで 表 わ す.Xの

={u∈D(A)∩Y;Au∈Y}か

つAu=Au((u∈D(A))に

用 素AをAのYに

お け る 部 分 と い いA￨Yで

  さ て,YがA-許   命 題2.9 

中 の 作 用 素Aに

よっ て定 義 した 作 表 わ そ う.

容 で あ る た め の 条 件 を 与 え よ う. A∈G(X,M,β)と

必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,適

す る.こ

の と きYがA-許

当 に 実 数M,β

容 で あ るた め の

を とれ ば,十

分 大 き い λ に 対 し て,

で

 イ)   ロ)  (A+λ)-1YはYの

中 で稠 密 で あ る

が 成 立 す る こ とで あ る.こ =exp(-tA)と

の と きA=A￨Y,U(t)=exp(-tA),U(t)

す れ ば,U(t)=U(t)￨Y,(A+λ)-1=(A+λ)-1￨Yが

  証 明  YをA-許

容 と仮 定 し よ う.{e-tA}はYで

素 が 存 在 す る.そ

れ をA′

な 定 数).y∈Yと

す れ ば,e-tAy=e-tAyで

と す れ ば,A′

成 立 す る. 半 群 と な るか ら生 成 作 用

∈G(Y,M,β)で

あ る(M,β

あ る か ら,(12)に

=(A′+λ)-1y(λ>max(β,β′)).(A′+λ)-1y∈Yよ る.さ

対 し,D(A)

ら に,こ

分 条 件 を 示 そ う.A=A￨Yと は 存 在 し(A+λ)-n￨Yと

り,イ)が

あ りD(A′)はYの 中 で 稠 密 で あ る.こ

す る.こ

な

た が っ て(A′+λ)-n=(A

の こ と と,A′ ∈G(Y,M,β)よ

る.(A+λ)-1Y=(A′+λ)-1Y=D(A′)で るか ら,(A+λ)-1YはYの

よ っ て(A+λ)-1y

り(A+λ)-1Y⊂Yと

れ は(A′+λ)-1=(A+λ)-1￨Y,し

+λ)-n￨Yし を 示 し て い る.こ

は適 当

の と き,十

等 し くA∈G(Y,M,β)を

れは

ロ)を

導かれ

中 で稠 密 で あ 示 し て い る.十

分 大 き い λ に 対 し(A+λ)-n 示 す.こ

れ が 示 さ れ れ ば,

系2.1の(b)よ

束)で

(強 収

り 

あ り, 

=U(t)yを

(y∈Y)で

得 る .U(t)y∈Yよ

さ て,任 が,他

意 のy∈Yに

りU(t)Y⊂Yで

あ る.こ れ で 十 分 条 件 を 得 る.

対 し,z=(A+λ)-1yと

方,z∈D(A)か

す る.仮

つAz+λz=yが

と な る か ら,z∈D(A),Az=Azを な る か ら(A+λ)-1は

存 在 し(A+λ)-1￨Yに な る.さ

等 し い.こ

ら に,イ)よ

仮定

た が っ て,A∈G(Y,M,β)で

っ てAz=y-λ2∈Y

れ を く り返 し用 い れ ば,

り, 

中 で 稠 密 で あ る こ とが わ か る.(A+λ)-1の

で あ る.し

ロ)を

用 い れ ば,D(A)

有 界 性 よ りAは

A∈G(X,M,β)と

続 な 線 型 作 用 素 とす る.こ

=SAS-1と

の と き,YがA-許 るM1,β1が

らXの

上 へ の1対1両

AS-1x∈Y}で

存 在 す る こ と で あ る.そ

の 上,A1

意 のz∈Xに

命 題2.9よ

っ てA1+λ=S(A+λ)S-1と 対 し てS-1z∈Yと

り(λ+A)-1Y⊂}Yで

S(λ+A)-1S-1zと x∈D)(A1)か

な る.YがA-許 な る.十

あ る か ら(λ+A)-1S-1z∈Y∩D(A).x=

つ(λ+A1)x=S(A+λ)S-1x=zと

な る.こ

上 へ の 写 像 で あ る.(λ+A1)x=0な

1で あ る こ とか ら,x=0が

容 と仮

分 大 き い λ に つ い て,

お く と,AS-1x=S-1z-λ(λ+A)-1S-1z∈Yで

らXの

あ る か ら, れ よ り λ+A1は

ら ば,S,A+λ,S-1が1対

した が う.さ らに,x=(λ+A1)-1z=S(λ+A)-1S-1z

と な る か ら(λ+A1)-n=S(λ+A)-nS-1を 定 数M1,β1が

成 立.

義 に よ っ てD(A1)=D(SAS-1)={x∈X;S-1x∈D)(A),

あ る.よ

定 す る.任

連

容 とな るた め の必 要 十 分条 件 は

お く と,Se-tAS-1=e-tA1,(A1+λ)-1=S(A+λ)-1S-1が

  証 明   ま ず,定

D(A1)か

(証 明 終)

す る.SをYか

SAS-1∈G(X,M1,β1)な

閉 作 用素

あ る.

  命 題 の 後 半 は 上 の 証 明 か ら 明 らか で あ る.    命 題2.10 

あ る

え に,y=(A+λ)z=(A+λ)zと

を 満 た す.D(A)=(A+λ)-1Y=(A+λ)-1Yと はYの

定 よ りz∈Yで

成 立 す る.よ 得 る.ゆ

(A+λ)-n=(A+λ)-n￨Yと

あ る か ら,U(t)y

得 る.よ

っ て 命題2.9よ

り適 当 な

存 在 し て,  D(A1)がXの

中 で 稠 密 で あ る こ と は,S,S-1が

連 続,(A+λ)-1YがYで

稠 密 で あ る こ と か ら わ か る.よ

M1‖S‖Y,X‖S-1‖X,Y,β1)と S-1=(A1+λ)-nと

な る.Se-tAS-1=e-tA1で

系2.1の(b)を

と す る こ と に よ っ て 示 さ れ る.逆 =S(A+λ)S-1か y∈Yに

な

=S-1D(A1)で らYへ

てYはA-許   注 意  Xか Txn→Tx(Y-強 Yか

らXへ

題2.9と

に,A1∈G(X,M,β1)と

お

同 様 にn→

∞

仮 定 す る.A1+λ あ る が,任

意 の

く と,(A+λ)-1y=(A+λ)-1S-1x=S-1(A1+λ)-1 ら に,(A+λ)-1￨Y=S-(A1+λ)-1Sと

ら,(A+λ)-n￨Y=S-1(A1+λ)-nS.よ

(A+λ)-1YがYの

Xか

用 い れ ば,命

え に,(A+λ)-1Y⊂Y.さ

る か

あ る こ と は,S(A+λ)-n

ら(A+λ)-1S-1=S-1(A1+λ)-1(λ>β)で

対 しx=Syと

x∈Y.ゆ

っ てA1∈G(X,

っ て, 

中 で 稠 密 で あ る こ と は,(A+λ)-1Y=S-1(A1+λ)-1SY あ る こ と,D(A1)がXの

中 で 稠 密 で あ る こ と,お

の 連 続 作 用 素 で あ る こ と か らわ か る.か

く し て 命 題2.9に

容 で あ る.  らYへ

の作 用 素Tが

よっ

(証 明 終) 連 続 で あ る とは,xn→x(X-強

収 束)な

収 束)が 成 立す る と きを い う.さ らに,逆 作 用 素T-1が の連 続 作 用 素 の と き,Tを

よ びSが

両 連 続 とい う.特 に,線

素 で あ る こ と有 界 作 用 素 で あ る こ とは 同 じで あ る.

らば,

存在 して,

型 の場 合,連 続 作 用

第3章

 抽象双曲型線型発展方程式

  正 の 実 数TとBanach空 す るXの う.こ

中 の(一

の と き,発

間Xの

元x,お

般 に 非 有 界 な)線

よび 実 の パ ラ メ ー タ ーtに

型 作 用 素A(t)が

依存

与 え られ て い る と し よ

展方程式

(1) (2) を 満 た す,tに が,こ

依 存 す るXの

元u(t)を

の 章 と 次 章 の 主 な 目 的 で あ る.前

に こ の 問 題 を 解 い た.そ

求 め る とい うCauchy問 章 で はA(t)がtに

の 場 合 と 同 様 に,tに

題 を解 くの 依存 しな い場 合

依 存 す る 場 合 に も,各tを

固

群 の 生 成 作 用 素 と な る 場 合(双

曲

定 し た と き に,-A(t)がX上

の(C0)-半

型 と よ ぶ)と,さ

則 半 群 の 生 成 作 用 素 と な る 場 合(放

ぶ)と

ら に 強 く,正

に 分 け て,Cauchy問

題(1),(2)を

扱 う の が 都 合 が よ い.こ

双 曲 型 の 場 合 を 扱 い,次

章 で は 放 物 型 の 場 合 を 考 察 す る.抽

T. Kato,

よ っ て つ く られ た.

K.

  さ て,1次

Yosidaに

元 常 微 分 方 程 式 に 対 す る 次 のCauchy問  (0sβ

と お き,各tjがm回

群 を生

お よ びsj>0(j=1,…,k)に

意 の 自 然 数k, 

対 し て,(5)を よ う.こ

証 明:前

る特 別 な 場 合 か ら 始 め

位 に 大 き く と る.仮

あ らわ れ る と考 え れ ば,x∈Xに

定(4)の

中 で, 

対 して,

(7) を 得 る.系2.1の(b)に exp(-sA(tj))xに

よ っ て,m→ 強 収 束 す る か ら,命

は

∞ に 対 し て  題1.5に

よ っ て,

(強 収束) とな る.他 てm→

∞

と な るか ら,(7)に

方,  とす れ ば,ノ

ル ム の 連 続 性 を 用 い て,

おい

(8) を 得 る.次

に,各sjが

(pj,qjは

自 然 数)と

正 の 有 理 数 の 場 合 に(5)の す る.mjを

対 し て 成 立 す る か ら,特 kは,m1+…+mkと

成 立 を 示 そ う. 

任 意 の 自 然 数 とす る.(8)は

に 各tjがmj回

任 意 の{tj}に

あ ら わ れ て い る と 考 え て(そ

な る),(8)を

の とき

適 用 す れ ば,

(9) を 得 る.こ

こ で,半

群 の 性 質: 

てs=(q1q2…qk)-1を smj=sjと

を 用 い た.sと

と り,mjと

し てmj=q1…qj-1pjqj+1…qkを

し

と れ ば,

な る か ら,(9)は

(10) と な る.最

後 に,各sjが

非 負 の 実 数 の 場合 に(5)を

有 理 数 の 近 似 列{snj;n=1,2,…}を

と る と,(C0)-半

∞ の と き,exp(-snjA(tj))xはexp(-sjA(tj))xに

対 し て(10)が

ル ム の 連 続 性 を 用 い て,(10)が す る.よ

っ て,xは

強 収 束 す る.よ

成 立 す る か ら.そ

こ でn→

∞

非 負 の 実 数 の 系{sj;j=1,…,k}に

任 意 のXの

対 し,正

元 で あ る か ら,求

の

群 の 強 連 続 性 よ り,n→

に 強 収 束 す る.ゆ

  は  j=1,2,…,k}に

示 す.sjに

っ て,

え に{Snj; とす れ ば ノ 対 し成 立

め る 評 価 式(5)が

得 られ

る.   (Ⅱ)→(Ⅲ)の

証 明:定

理2.1に

よ っ て,仮

定(5)は(β,∞)がA(t)

の リ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 含 ま れ る こ と を 意 味 す る.さ

を 得 る.こ

を 得 る.(5)よ

れ をk回

り,

掛 け 合 わ せ れ ば,

らに,命

題2.6に

よ っ て,

と な る か ら,x∈Xに

と な り,こ

対 して,

れ は(6)の

成 立 を 示 し て い る.(Ⅰ)は(Ⅲ)の

か ら,(Ⅲ)⇒(Ⅰ)は   さ て,{A(t)}が は,一

明 らか で あ る. 

(証 明 終)

安 定 か ど うか を(4)ま

般 に 難 しい の で,安

し-A(t)が

特別な場合であ る

た は上 の命 題 に よっ て確 か め る の

定 の た め の 十 分 条 件 を2つ

縮 少 半 群 の 生 成 作 用 素 な ら ば,条

述 べ て お こ う.各tに

件(4)は

対

つ ね に 満 た され る.

こ れ を 一 般 化 した の が 次 の 命 題 で あ る.   命 題3.2 

Banach空

間XにXの

ノ ル ム と 同 値 な ノ ル ム の 族 ‖ ‖t 

が 与 え られ て い る とす る.も

し

定数)  を 満 た し,さ

ら に そ の うえ,実

-A(t)はX

tで 指 数{1,β}を

仮 定 し よ う.た で あ る.こ

だ し,Xtは

の と き,任

が 成 立 す る.さ

,t0=0お

もつ(C0)-半 空 間Xに

ノ ル ム ‖ ‖tを 備 え たBanach空

意 の 

よび 

な る.

お く と,(11)に

x0

よ り 

ら に,仮 定 に よ っ て, 

と な る か ら,xj=(A(tj)+λ)-1xj-1を

間

に 対 し て,{A(t)}∈G(Xs,e2cT,β)

とす る. 

よ び‖ ‖tj=‖ ‖jと

と な る.さ

固 定 す る ご と に,

群 の 生 成 作 用 素 とな っ て い る と

ら に,{A(t)}∈G(X,m2e2cT,β)と

 証 明  x∈Xお =x

数 β を 適 当 に 選 べ ば,tを

(11)

用 い て,不

等 式

を 得 る.両

辺 の 

を とれ ば,

を 得 る.任

意 のsに

対 し て,(11)を

用 い れ ば,

と な り,こ れ は 命 題 の 前 半 を 証 明 し て い る.後 半 は,  よ り示 され る. 

(証 明 終)

  安 定 の た め の 十 分 条 件 を も う1つ 述 べ て お こ う.こ

れ は,安

定 な族 の摂 動 に

関 す る条 件 で あ る.   命 題3.3 

{A(t)}∈G(X,M,β)と

お よ び,tに

関 して 一 様 有 界 

B(t)}∈G(X,M,β+MK)で

で あ れ ば,{A(t)+

と る.{A(t)}∈G(X,M,β)で

あ る か ら,(A(t)

有 界 作 用 素 と し て 存 在 す る.R(t)=(A(t)+λ)-1と を 満 た す.そ

とな る か ら,命

題1.4に

よ っ て,1+B(t)R(t)は

も ま た 有 界 な 逆 を もつ こ と が わ か る.実

で与 え られ

る.さ

て, 

お く と,上

お く と, 

れ ゆ え に,

A(t)+B(t)+λ=[1+B(t)R(t)](A(t)+λ)を

=B(tj)と

しB(t)が,B(t)∈B(X)

あ る.

  証 明   λ を λ>β+KMと +λ)-1は

し よ う.も

式 よ り,

有 界 な 逆 を もつ.恒 利 用 す れ ば,A(t)+B(t)+λ

際,

に 対 し て,Rj=(A(tj)+λ)-1,Bj

等式

を 得 る.た

だ し,α

は 非 負 整 数 を 成 分 に も つk-ベ

￨α￨=α1+…+αkと

定 め,さ

ク トル

α=(α1,…,αk)で,

ら に,

  Sα=(Rk[-BkRk]αk)(Rk-1[-Bk-1Rk-1]αk-1)…(R1[-B1R1]α1) と お い た.さ

て,こ

のSα  

な る 形 を し て い る.た

を 評 価 し よ う.Sα Sα=(-1)￨α￨El+1FlEl…F1E1

だ し,EiはRj+pRj+p-1…Rj+1な

はBjRjBjRj…BjRjBjな

る 形 の 作 用 素 で,Fi

る 形 の 作 用 素 で あ る.も

で い れ ば,Rjを,そ Bjを

は

の 形 か ら,ni-1個

α1+α2+…+αk(=n)個

しFiがBjをni個

含 ん で い る.そ

し て,全

含 ん で い る か ら,n1+…+nl=nと

含 ん 体 でSα

は

な る.

を 用 い れ ば, 

  お よ び,  と な る か ら,

を 得 る.次

に,EiがRjな

全 体 と し てRjを Rjな

る 形 の 作 用 素 をmi個

α1+…+αk+k=n+k個

含 ん で お り,F1,…,Flの

る形 の 作 用 素 は 全 体 と し てn1+…+nl-1=n-1個

m1+m2+…+ml+1=(n+k)-(n-1)=k+lな

え に,上

を 得 る.し

た が っ て,

を 得 る.

の2つ

は

中 に,

含 ま れ て い るか ら, る 関 係 が あ る.(4)に

 が成 立 す るか ら,

と な る.ゆ

含 ん で い る とす る.Sα

の 評 価 式 を 合 わ せ れ ば,

よ っ て,

 

を 用 い れ ば,上

を 得 る.こ

式 よ り

れ は,β

を β+KMで

お きか え た(4)の

+B(t)∈G(X,M,β+KM)で

成 立 を 示 す か らA(t)

あ る. 

(証 明 終)

  §3.2  発 展 作 用 素 の 構 成   安 定 な 作 用 素 の 族{A(t)}か で,§2.3で

ら 発 展 作 用 素{U(t,s)}を

導 入 し たXの

のYはA(t)の

部 分 空間Yが

あ る い は‖‖Xと

元 の ノ ル ム,Xの

書 き,Yの

‖‖Yと

書 く.さ

さ て,こ

の 節 の 目的 は,次

  定 理3.1 YをXの

らXへ

用 い た記 号

中 の 作 用 素 の ノ ル ム を 共 に,‖

元 の ノル ム,Yの

ら に,Yか

こ

基 本 的 役割 を 演 ず る こ と に な る.こ

定 義 域 を 一 般 化 した 概 念 とみ な さ れ る.§2.3で

を こ こ で も用 い よ う.Xの

{A(t)}を

構 成 し よ う.こ

‖

中 の 作 用素 の ノ ル ム を 共 に

の 作 用素 の ノ ル ム を‖‖Y,Xと

書 こ う.

の 定 理 を 示 す こ とで あ る. 中 に 稠 密 に 埋 め 込 ま れ て い るBanach空

次 の 仮 定(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

間 と す る.

満 た す 族 とす る.

  (ⅰ)  {A(t)}∈G(X,M,β)   (ⅱ)  Yは

各tに

対 しA(t)-許

と,A(t)∈G(Y,M,β)と (ⅲ)  Yは

容 な 空 間 で あ っ て,A(t)=A(t)￨Yと

な る実 数M,β

ル ム 連 続,つ

が存 在 す る.

の 定義 域 に 含 まれ,写 像t→A(t)

す べ て のA(t) 

は,(Y,X)-ノ

お く

ま りtn→tな

らば,‖A(tn)-A(t)‖Y,X→0と

な る.   こ の と き,次

の(a)∼(d)の

に 値 を もつ 関 数U(t,s)が

性 質 を もつ  存 在 し,し

で 定 義 さ れ たB(X)

か も(a)∼(d)を

もつ そ の よ う な 関

数 は 一 意 的 で あ る.  (a)  (b) U(t,s)は, 

評価

な るsとtに

つ きX-強

連 続 で あ って

を満 た す.  (c)

 (d) た だ し,

(∂/∂t)+,∂/∂sは そ れ ぞ れX-強

 注 意  上 の 性 質(a)∼(d)を (evolution

て,適

operator)と

当 な 定 数cを

も つ 関 数U(t,s)を{A(t)}に対

よぶ.D(A(t))がtに

Yに

各tに

対 しA(t)-許

ノル ム の 族‖y‖t=‖(A(t)+β+1)y‖Xを

よ り(A(t)+β+1)(A(s)+β+1)-1は

よ り,-A(t)は

題2.8よ

と,Aに

れ は(11)の

∈G(Y,e2CT,β)を が っ て,定

=Yで

容 はe-sA(t)D(A(t))⊂D(A(t))よ

り

い うの に 命 題3.2を 導 入 す れ ば,閉

用 い よ う.

グ ラ フ 定 理(定

理1.1)

有 界 作 用 素 で あ る か ら,‖‖tは‖‖Yと

もつYで

際,

指 数{1,β}を

同値 あ る か ら,

もつ(C0)-半

群 の 生成 作用

成 立 を示 した い,恒 等 式

関 す る仮 定 を 用 いれ ば,

を 得 る.こ

Cauchy間

満 た す.実

り(A(t)+λ)-ny=(A(t)+λ)-ny(y∈Y)で

ノル ム‖‖tを

素 とな る.次 に,(11)の

あ っ

の と きY=D)(A(t)),

定 理 の 仮 定(ⅱ),(ⅲ)を

例 と 同 様 に 示 さ れ る.{A(t)}∈G(Y,M,β)を

ら に,命

る発展作用素

(y∈

と れ ば,Yは

明 ら か で あ る.Yが

と な る.さ

す

とる と 

‖y‖Y=‖(A(0)+β+1)y‖Xと (ⅲ)は

わす.

よ らず{A(t)}∈G(X,1,β)で

が 成 立 す る 場 合 を 考 え てみ よ う.こ

D(A(t)), 

§2.3の

右微分,X-強微分を表

成 立 を 示 し て い る.よ

得 る.以

上 よ り,{A(t)}は

理 の 成 立 を 仮 定 す れ ば,発 題(1),(2)の

あ り,tに

つ きX-強

解u(t)が

っ て,命

題3.2を

定 理3.1の

展 作 用 素U(t,s)が

存 在 す る.こ

存 在 す る と す る と,各tに

連 続 的 微 分 可 能 で あ る か ら,

適 用 す れ ば,{A(t)}

仮 定 を す べ て 満 た す.し の と き,も

対 しu(t)∈D(A(t))

た し

と な り,sに

つ い て 積 分 す れ ば,u(t)=U(t,0)u(0)=U(t,0)xが

発 展 作 用 素 の 存 在 か ら,Cauchy間 の た め に,つ で(c)は

ま り,Cauchy間 弱 す ぎ る.望

U(t,s)はs,tに

題(1),(2)の

関 し てY-強連

X-強 微分 

に,

解 の 存 在 が いえ な い で あ ろ う か.そ

題(1),(2)を

ま しい の は,次

成 立 す る.逆

解 く と い う立場 か らす れ ば ,上

の性質中

の 性 質 を もつ こ と で あ ろ う."U(t,s)Y⊂Y;

続;各yとsを固

定 し た と き に , 

が 存 在 し,-A(t)U(t,s)yに等

に関 す る に関 してX-

し く, 

強 連続 で あ る,"ふ つ う,発展 作 用 素 といわ れ て い る のは,(c)の

代 わ りに,こ の性 質

を もつ関 数 の こ とで あ る.こ の 性 質 を もつ た め の十 分条 件 は 次節 で述 べ るで あ ろ う.   定 理 の 証 明   3段 階 に 分 け て 証 明 す る.  (第1段) 

近 似 発 展 作 用 素 の構 成.区

目 の 分 点 をtjす

る.A(t)に

を つ く る と,仮 用 い て,近

定(ⅰ)よ

分 し,そ

対 し て,階 段 関 数An(t)=A(tj) 

り,{An(t)}∈G(X,M,β)と

な る.こ

ず,こ

の 近 似 発 展 作 用 素Unに

対 応 す る 性 質 が ど うな る か を 調 べ て み る.構

た す こ とは 明 らか で あ る.仮

定(ⅰ)と

命 題3.1よ

成 の 仕 方 か ら,(a)を

sに 関 す るX-強

連 続 性 よ り,命

に 関 す るX-強 仮 定(ⅱ)に

連 続 性 が で る.つ

適 用 す れ ば,Un(t,s)のtとs

ま り,Unに

対 し て(b)が

よ っ て,exp[-(tj+-s)A(tj)]Y⊂Yお

A(tj+1)]Y⊂Yで

成 り立 つ.次

よ びexp[-(tj+2-tj+1)

あ る か ら,exp[-(tj+2-t+1)A(tj+1)]exp[-(tj+1-s)A(tj)]

得 る.以

下 同 様 に し て,仮

が 成 り 立 つ こ と が わ か る,特

と な る.し

題1.5を

定(ⅲ)よ た が っ て

に,任

りY⊂D(A(tk))で

満

り 

群exp[-(t-tk)A(tk)]とexp[-(tj+1-s)A(tj)]のtと

あ り,仮

のAn(t)を

対 し て前 頁 の(a)∼

が 成 り 立 つ.半

Y⊂Yを

の 第j番

似 発 展 作 用 素Un(t,s)を,

に よ っ て 構 成 し よ う.ま (d)に

間[0,T]をn等

定(ⅱ)を

く り返 し 用 い れ ば,Un(t,s)Y⊂Y

意 のy∈Yに

対 し て,Un(tk,s)y∈Yで

あ る か ら,Un(tk,s)y∈D(A(tk))

に,

を 得 る.定

義 よ り,exp[-(t-tk)A(tk)]Un(tk,s)=Un(t,s)お

=An(t) 

よ び,A(tk)

で あ る こ とに注 意 すれ ば, 

(i=1,…,n)に

対

し,

(12) を 得 る.こ

れ は 性 質(c)に

と な る か ら,こ

対 応 し て い る.y∈Y(⊂D(A(tj))に

の 両 辺 にUn(t,tj+1)を

(tj+1-s)A(tj)]=Un(t,s)を

作 用 さ せ て,関

対 し て,

係Un(t,tj+1)exp[-

用 い れ ば,

(13) (tj<s