МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных заданий/ Краснояр. гос. Ун-т; Сост. Н.А. Пинкина. Красноярск, 2003. 26 с.
ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА
Предназначено для студентов 1 курса экономического факультета заочной формы обучения.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Методическая разработка Печатается по решению редакционно – издательского совета Красноярского госуниверситета
Красноярский государственный университет, 2003
Красноярск 2003
2
Пример: Вычислить 4 − 81
Решение типовых задач 1). Выполнить действия в алгебраической форме. Основные формулы: i2=-1 (a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1+a2)+i(b1+b2) (a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2-b1b2)+i(b1a2+a1b2) z1 a + ib1 (a + ib1 )(a2 − ib2 ) (a1a2 + b1b2 ) + (b1a2 − a1b2 )i a1a2 + b1b2 b1a2 − a1b2 = 1 = 1 = = + 2 z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) a22 + b22 a22 + b22 a2 + b22
(2 + 3i )(4 − 2i ) 15 +i 4 + 2i
Пример:
i
2 7
7
tgϕ =
0 − 81
ϕ =π z = 81(cos π + i sin π ) π + 2πk π + 2πk 4 z = 4 81(cos + i sin ), k = 0,1,2,3. 4 4
ε 1 = 4 81(cos
(2 + 3i )(4 − 2i ) = 8 + 12i − 4i − 6i 2 = 8 + 8i + 6 = 14 + 8i 14 + 8i (14 + 8i )(4 − 2i ) 64 + 32i − 28i − 16i 2 64 + 4i + 16 80 + 4i 1 = = = = = 4+ i 4 + 2i (4 + 2i )(4 − 2i ) 16 + 4 20 5 16 − 4i 2 1 4 4+ i −i = 4− i 5 5
Ответ:
r = (−81) 2 + 0 2 = 81
k = 0,
= i × i = (i ) × i = (−1) × i = −i 14
z = −81 + 0i
Подставляя в найденный ответ значения k, получим в результате четыре корня.
Решение: 15
Решение:
k = 2,
ε 2 = 3(cos
ε 3 = 3(cos
Основные формулы: Запись комплексного числа в алгебраической форме: z=a+ib Переход к тригонометрической форме записи: r = a2 + b2 b b tgϕ = , ϕ = arctg a a z = r (cos ϕ + i sin ϕ )
Формула для извлечения корня n-ой степени: z = n r (cos
π + 4π π + 4π 5π 5π 2 2 + i sin ) = 3(cos + i sin ) = 3(− −i ) 4 4 4 4 2 2
k = 3,
2). Вычислить в тригонометрической форме.
n
π + 2π π + 2π 2 2 3π 3π ) + i sin ) = 3(cos + i sin ) = 3(− +i 4 4 4 4 2 2
k = 2,
ε 3 = 3(cos
4 4− i 5
π π 2 2 3 2 3 2 + i sin ) = 3( +i )= +i 4 4 2 2 2 2
Ответ:
4
π + 6π π + 6π 7π 7π 2 2 + i sin + i sin ) = 3( −i ) = 3(cos ) 4 4 4 4 2 2 z = 4 81(cos
π + 2πk π + 2πk + i sin ), k = 0,1,2,3. 4 4
2 2 3 2 3 2 π π )= + i sin ) = 3( +i +i 2 2 2 2 4 4 π + 2π π + 2π 3π 3π 2 2 ε 2 = 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) = 3(− +i ) 4 4 4 4 2 2 π + 4π π + 4π 5π 5π 2 2 ε 3 = 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) = 3(− −i ) 4 4 4 4 2 2 π + 6π π + 6π 7π 7π 2 2 ε 4 = 3(cos + i sin ) = 3(cos + i sin ) = 3( −i ) 4 4 4 4 2 2
ε 1 = 4 81(cos
ϕ + 2πk ϕ + 2πk ) + i sin n n 3
4
3). Разложить многочлен на неприводимые множители.
Основные формулы: Вычисление определителей второго и третьего порядка:
Пример: x − x − x − x − 2 4
3
2
Решение: Подберем корень данного многочлена. Корнем является один из делителей свободного члена. Варианты: ± 1,±2 . Подстановкой убеждаемся, что х0=-1 – корень:
Поделим многочлен на x-x0. Деление будет без остатка. 4
x +x
3
x+1 3
x -2x2+x-2
_-2x3-x2-x-2 -2x3-2x2 _x2-x-2 x2+x _-2x-2 -2x-2 0 Полученный результат можно записать следующим образом: x4-x3-x2-x-2=(x+1)(x3-2x2+x-2) Найдем корень многочлена x3-2x2+x-2. Варианты: ± 1,±2 . Подстановкой убеждаемся, что х0=2 – корень. Поделим многочлен на x-x0 уголком. _x3-2x2+x-2 x-2 x2+1 x3-2x2 _ x-2 x-2 0 У многочлена x2+1 комплексные корни.
нет
действительных
корней.
x2+1=0 x2=-1 x= ± − 1 x= ± i тогда многочлен x2+1=(x+i)(x-i) Запишем конечный результат. Ответ: x4-x3-x2-x-2=(x+1)(x-2)(x+i)(x-i) 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить. 5
a11
a12
a 21
a 22
a11
a12
Найдем
= a11a 22 − a12 a 21 a13
detA= a 21 a 22 a 23 = a31
(−1) 4 − (−1) 3 − (−1) 2 − (−1) − 2 = 1 + 1 − 1 + 1 − 2 = 0
_ x4-x3-x2-x-2
detA=
a32
a33
= a11 a12 a13 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a 32 − (a13 a 22 a31 + a12 a 21 a 33 + a11 a 23 a32 ) Свойства определителей: 1) определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы; 2) если у определителя строчка (столбец) равен нулю, то и сам определитель нулевой; 3) если в определителе поменять местами две строчки (столбца), то знак определителя поменяется; 4) если в определителе две одинаковых строчки (столбца), то он равен нулю; 5) если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k; 6) определитель, содержащий две пропорциональные строки равен нулю; 7) если все элементы i-ой строки определителя представить в виде суммы двух слагаемых aij=bi+cj то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки кроме i-ой – такие же как и в заданном определителе, а i-ая строка (столбец) в одном из слагаемых состоит из элементов bi , в другом – из элементов cj; 8) если одна из строк (столбцов) определителя равна линейной комбинации его других строк (столбцов), то определитель равен нулю; 9) определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Разложение определителя по i-ой строке (j-ому столбцу): detA=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin где Aij-алгебраические дополнения элемента aij. Определение: дополнительным минором M ij элемента aij называется минор порядка (n-1) получающийся после вычеркивания из определителя i-ой строки и j-ого столбца. Тогда Aij=(-1)i+jMij Aij-алгебраические дополнения элемента aij. Разложение определителя по i-ой строке (j-ому столбцу): 6
detA=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin 2
1
6
5
3
1 −2
−5 4
Для начала нужно выбрать такие две строки или столбца, чтобы при их сложении получалось наибольшее количество нулей. В нашем случае это первая и третья строки. Пользуясь девятым свойством определителя умножаем первую строчку на (-1) и складываем с третьей. Получаем: 2 1 3 1 −2 6 5 −5 4 3 0 −7 0 4 0 − 4 −1 − 3 4 2 2 −3 5 1 4
Произведем разложение определителя по третьей строке. В сумму будем включать только ненулевые элементы, т. к. перемножая ноль и его алгебраическое дополнение в результате получим нулевое слагаемое. 2 1 3 1 −2 6 5 4 3 − 0 0 4 0 = −7 2 − 4 −1 − 3 4 2 5 1 4 −3 = (−1)
1 2 1
0
−6 3 5 −2 − 4 −1 − 3 4 2 2 −3 5 1 −4
2 3 6 5 × (−7) × −4 −3 2 5
2
3
Пример: 2
3+ 2
2
0 −4 1 9 0 (−1) × (−7) × + (−1) × 4 × 0 3 6 −2 0
1 −2 4 3 + (−1) 3+ 4 × 4 × 4 2 1 4
2 1 3 −2 6 5 5 3 − 4 −1 − 3 2 2 −3 5 4
Заметим, что степень у (-1) определяется номером строчки и столбца, на котором стоит выбранный элемент. В нашем случае элемент (-7) стоит на третьей строчке и во втором столбце, следовательно степень у (-1) будет 3+2. В результате получилось, что мы понизили порядок определителя на один. Проведем необходимые преобразования и разложим полученные определители по первому столбцу. Первую строку умножим на (-3) и сложим со второй, затем ее же умножим на 2 и сложим с третьей и умножим на (-1) и сложим с четвертой строкой. 7
3
2
1
0
2
0 −4
6
3
−2
−4 9 = 3 −2 2
6
В первых столбцах полученных определителей получилось по одному ненулевому элементу, что значительно упрощает дальнейшее решение. Разложим данные определители по первому столбцу. = 7 × (−1)
1+1
−4 1 9 2 −4 9 1+1 × 2 × 3 6 − 2 − 4 × (−1) × 2 × 1 3 −2 −4 2 2 0 6 6
Полученные определители определителя 3-го порядка.
решаем
по
формуле
вычисления
14 × ((−4) × 6 × 6 + 1 × (−2) × 2 + 9 × 3 × 0 − (9 × 6 × 2 + (−4) × (−2) × 0 + 1 × 3 × 6)) − − 8 × (2 × 3 × 6 + (−4) × (−2) × (−4) + 9 × 1 × 2 − (9 × 3 × (−4) + 2 × (−2) × 2 + (−4) × 1 × 6)) = = 14 × (−144 − 4 + 0 − (108 + 0 + 18)) − 8 × (36 − 32 + 18 − (−108 − 8 − 24)) = = 14 × (−148 − 126) − 8 × (22 + 140) = 14 × (−274) − 8 × 166 = −3836 − 1328 = −5164
5). Доказать совместность системы и решить ее а) Методом Гаусса б) Методом Крамера в) Матричным методом а) Методом Гаусса. При решении системы методом Гаусса расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Обратным ходом находятся неизвестные. В матрице можно умножать строчку на число и складывать с другой строчкой, менять строчки местами, менять столбцы местами ( при этом нужно переобозначить неизвестные). Сначала работаем с первой строкой, чтобы получить нули в первом столбце, затем со второй строкой, чтобы получить нули во втором столбце и то же самое с третьей строкой. Пример: решить систему методом Гаусса. x + 2 y + 5 z = −9 x − y + 3z = 2 3 x − 6 y − z = 25
Преобразовываем расширенную матрицу данной системы 5 − 9 2 5 − 9 1 2 1 2 × (-1) × (-3) ≈ 0 − 3 − 2 11 × (-4) ≈ 1 −1 3 3 − 6 − 1 25 0 − 12 − 16 52
8
Пример: Решить систему методом Крамера
5 − 9 1 2 ≈ 0 − 3 − 2 11 0 0 − 8 8
В результате получаем систему:
x + 2 y + 5 z = −9 x − y + 3z = 2 3x − 6 y − z = 25
x + 2 y + 5 z = −9 − 3 y − 2 z = 11 − 8 z = 8
1 2 5 ∆ = 1 − 1 3 = (1 + 18 − 30) − (−15 − 18 − 2) = −11 + 35 = 24 3 − 6 −1
Из последнего уравнения находим z=-1, подставляем во второе уравнение получаем -3y+2=11 y=-3 Подставляем найденные z и y в первое уравнение и получаем x-6-5=-9 x=2 Ответ: x=2 y=-3 z=-1
−9 2 5 ∆1 = 2 − 1 3 = (−9 + 150 − 60) − (−125 + 162 − 4) = 81 − 33 = 48 25 − 6 − 1
б)Методом Крамера: Решение системы a11 x + a12 y + a13 z = b1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 a x + a y + a z = b 32 33 3 31
∆ 1 48 = =2 ∆ 24 ∆ 72 y= 2 =− = −3 24 ∆ ∆ 24 z= 3 =− = −1 24 ∆
∆1 ∆ ∆2 y= , ∆ ∆ z= 3 ∆ x=
Ответ: x=2 y=-3 z=-1 в) Матричным методом Систему линейных уравнений можно записать в виде: AX=B,
a11 ∆ = a 21 a31
b1 ∆ 1 = b2 b3
a12 a 22 a32
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
a11 b1 ∆ 2 = a 21 b2 a31 b3
a13 a 23 a33
a11 ∆ 3 = a 21 a31
1 2 −9 ∆ 3 = 1 − 1 2 = (−25 + 12 + 54) − (27 − 12 + 50) = 41 − 65 = −24 3 − 6 25 x=
находится по формулам
где
1 −9 5 ∆2 = 1 2 3 = (−2 − 81 + 125) − (30 + 75 + 9) = 42 − 114 = −72 3 25 − 1
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
Где
a11 A = a 21 a 31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
x X = y z
b1 B = b2 b 3
(1)
Домножим уравнение (1) на А-1 слева. Получим A-1AX=A-1B X=A-1B Значит, нашей задачей является найти А-1( обратную матрицу) и перемножить ее с вектором В и мы получим вектор Х, составляющие которого будут являться решением нашей системы. Формула для нахождения обратной матрицы.
b1 b2 b3
A −1 =
9
1 × A∗ A
10
A11 A∗ = A12 A 13
A21 A22 A23
Ответ:
A31 A32 A33
где Аij является алгебраическим дополнением к элементу aij. Aij=(-1)I+jMij 1
5 3 3 − 6 − 1 2
В нашем задании: A = 1 − 1
x X = y z
− 9 B= 2 25
Найдем А ∗ : A11 = (−1)1+1
−1 3 = (1 + 18) = 19, − 6 −1
A12 = (−1)1+ 2
1 3 = −(−1 − 9) = 10 3 −1
A13 = (−1)1+3
1 −1 = (−6 + 3) = −3 3 −6
2 5 = −(−2 + 30) = −28 − 6 −1 1 5 A22 = (−1) 2+ 2 = (−1 − 15) = −16 3 −1 A21 = (−1) 2+1
x=2, y=-3,
z=-1
6)Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной однородной системы. Определение: система АХ=В называется однородной если столбец свободных членов В=0. Определение: рангом расширенной матрицы называется максимальное число линейно независимых (ненулевых) строк. Если ранг расширенной системы равен r, а число уравнений n, то число свободных неизвестных равно (n-r). Определение: элементарными называются следующие преобразования: 1) умножение любой строки матрицы на число; 2) прибавление к любой строке матрицы другой строки умноженной на число; Теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. При перемене местами двух строк или двух столбцов (при этом переобзначив переменные) ранг матрицы также остается неизменным. Пример: Пусть дана однородная система линейных уравнений. 3x1 + x 2 − 8 x3 + 2 x 4 + x5 = 0 2 x1 − 2 x 2 − 3x3 − 7 x 4 + 2 x5 = 0 x + 11x − 12 x + 34 x − 5 x = 0 2 3 4 5 1
A23 = (−1) 2+3
1 2 = −(−6 − 6) = 12 3 −6
определим ранг данной системы
A31 = (−1) 3+1
2 5 = (6 + 5) = 11 −1 3
А= 2 − 2 − 3 − 7
A32 = (−1) 3+ 2
1 5 = −(3 − 5) = 2 1 3
A33 = (−1) 3+3
1 2 = (−1 − 2) = −3 1 −1
3
1
1
11
−8 − 12
2 34
1 2 − 5
1 11 − 12 34 − 5 ≈ 0 − 24 21 − 75 12 0 − 32 28 100 16
19 − 28 11 A∗ = 10 − 16 2 − 3 12 − 3 ∆ = A = 24 19 − 28 11 1 10 − 16 2 24 − 3 12 − 3 19 − 28 11 − 9 − 171 − 56 + 275 = 48 2 1 1 Тогда, X = A −1 B = 10 − 16 2 2 = − 90 − 32 + 50 = −72 = − 3 24 24 27 + 24 − 75 = −24 − 1 − 3 12 − 3 25 A −1 =
11
1 11 − 12 34 − 5 ≈ 2 − 2 − 3 − 7 2 3 1 −8 2 1
(-2) (-3) ≈
1 11 − 12 34 − 5 4 (− ) ≈ 0 − 24 21 − 75 12 3 0 0 0 0 0
Матрица А имеет ранг равный 2.Выбираем в матрице две линейно независимых строки и оставляем в системе лишь те уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие две неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Пусть x3,x4,x5 –свободные неизвестные, тогда x1 + 11x 2 = 12 x3 − 34 x 4 + 5 x5 − 24 x 2 = −21x3 + 75 x 4 − 12 x5 12
Из второго уравнения находим
будет являться линейной комбинацией из базисных векторов. Проведем иллюстрацию:
7 25 1 x 2 = x3 − x 4 + x5 8 8 2
Подставляя найденное значение x2 в первое уравнение находим: 77 275 11 x1 + x3 − x 4 + x5 = 12 x3 − 34 x 4 + 5 x5 8 8 2 19 3 1 x1 = x3 + x 4 − x5 8 8 2
Запишем общее однородное решение системы: Χ o .o = (
19 3 1 7 25 1 x3 + x 4 − x5 ; x3 − x 4 + x5 ; x 3 ; x 4 ; x5 ) 8 8 2 8 8 2
Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения, мы получаем все решения данной системы. Пусть x3=8, x4=-8, x5=2. Подставляя данные значения в общее однородное решение мы получим частное однородное решение: Χ ч.о = (15;33;8;−8;2)
Определение: Всякая максимально линейно независимая система решений однородной системы уравнений называется ее фундаментальной системой. Если ранг матрицы равен r, а число неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. В нашем случае r=2, n=5, следовательно фундаментальная система решений (ФСР) будет состоять из 3-х линейно независимых векторов Χ1 , Χ 2 , Χ 3 . Чтобы составить ФСР мы должны задать такие значения свободным неизвестным, чтобы определитель из данных значений был ненулевой. Χ 1 : x3 = 8, x 4 = 0, x5 = 0
Зададим: Χ 2 : x3 = 0, x 4 = 8, x5 = 0 Χ 3 : x3 = 0, x 4 = 0, x5 = 2
На диагонали могут стоять любые элементы, мы подбираем наиболее удобные для нас. Все элементы, стоящие не на диагонали берем равные нулю. В результате мы получаем линейно независимую систему (так как определитель не равен нулю). Далее подставляем наши значения в общее однородное решение и строим ФСР. x1 x2 x3 x4 x5 Χ1 19 7 8 0 0 Χ2 3 -25 0 8 0 Χ3 -1 1 0 0 2 Данная система решений будет являться базой для любого частного решения. Любой вектор, не входящий в данную систему векторов 13
Χ ч .о . = α 1 Χ 1 + α 2 Χ 2 + α 3 Χ 3
15 19 3 − 1 33 7 − 25 1 8 = α 8 +α 0 +α 0 1 2 3 0 − 8 0 8 0 0 2 2
Получим систему:
19α 1 + 3α 2 − α 3 = 15 7α − 25α + α = 33 2 3 1 8α 1 = 8 8α = −8 2 2α 3 = 2
Отсюда,
α1 = 3 α 2 = −1 α3 = 1 Χ ч.о. = 3Χ 1 − Χ 2 + Χ 3
7). Образует ли линейное пространство данное множество. Определение: множество V называется линейным пространством, если в нем определены операции сложения (если a ∈ V , b ∈ V ⇒ (a + b) ∈ V ) и умножения на число α (если а ∈ V ⇒ αa ∈ V ), и введенные операции удовлетворяют аксиомам: 1) a+b=b+a 2) a+(b+c)=(a+b)+c 3) ∃ 0 : a + 0 = a 4) ∃ − a : a + (−a ) = 0 5) α (a + b) = αa + αb 6) (α + β )a = αa + βa 7) α ( βa) = (αβ )a 8) 1 × а=а Пример 1: будет ли являться линейным пространством множество матриц размером m × n? Решение: Пусть множество V составляют матрицы размером m × n они будут являться линейным пространством, так как на данном множестве введена операция сложения : если матрицу А ∈ V сложить с матрицей В ∈ V, то мы получим матрицу С размером m × n, которая тоже принадлежит множеству V; и операция умножения на число: если матрицу А ∈ V умножить на число α , то получим матрицу D, 14
которая также принадлежит множеству V. И так как элементы матрицы –это действительные числа, следовательно данное множество будет удовлетворять основным аксиомам. Пример 2: Будет ли являться линейным пространством множество многочленов пятой степени? Решение: Данное множество не будет составлять линейное пространство, так как можно подобрать пару таких многочленов, сумма которых не будет давать многочлен пятой степени: f1 ( x) = 4 x 5 + 3 x 3 − x + 5 f 2 ( x ) = −4 x 5 − 3 x 4 + x 2 + x − 6 f 3 ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) = −3 x 4 + 3 x 3 + x 2 − 1
Полученный многочлен является многочленом четвертой степени Для того чтобы доказать что множество не является линейным пространством достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий определение. 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). Определение: Базисом является максимальная система линейно независимых векторов. Пример: Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (−9,2,25), a = (1,1,3), b = (2,−1,−6), c = (5,3,−1)
В нашем случае система состоит из трех векторов (a, b, c), которые составляют базис. Значит любой вектор будет являться линейной комбинацией из данной системы векторов. Вектор d должен линейно зависеть от заданной тройки векторов. Пользуясь определением можно записать в виде формулы: d = αa + βb +γ с
Подставляя наши значения получим: 1 2 5 − 9 α 1 + β − 1 + γ 3 = 2 3 − 6 − 1 25
что можно записать в виде системы: α + 2 β + 5γ = −9 α − β + 3γ = 2 3α − 6 β − γ = 25
1
2
5
∆ = 1 − 1 3 = (1 + 18 − 30) − (−15 − 18 − 2) = −11 + 35 = 24 3 − 6 −1 −9 ∆1 = 2 25
2
5
− 1 3 = (−9 + 150 − 60) − (−125 + 162 − 4) = 81 − 33 = 48 − 6 −1
1 −9 5 ∆2 = 1 2 3 = (−2 − 81 + 125) − (30 + 75 + 9) = 42 − 114 = −72 3 25 − 1 1 2 −9 ∆ 3 = 1 − 1 2 = (−25 + 12 + 54) − (27 − 12 + 50) = 41 − 65 = −24 3 − 6 25 ∆ 1 48 = =2 ∆ 24 ∆ 72 β = 2 =− = −3 24 ∆ ∆ 24 γ = 3 =− = −1 ∆ 24 Ответ: d = 2a − 3b − c
α=
10). Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А − λЕ называется Определение: многочлен n-ой степени характеристическим многочленом матрицы А, а его корни называются характеристическими корнями (собственными числами) матрицы А. Определение: вектор Х называется собственным вектором, если выполняется следующее равенство: λА = λХ Х ≠0
где λ - собственные числа матрицы А. Пример: Найти собственные числа и собственные вектора матрицы 6
0 0 3 − 2 −1 − 3 4
А= 1
Решим данную систему методом Крамера
Найдем характеристический многочлен А − λЕ матрицы А. На практике вычитаем из диагональных элементов λ . Получим: 0 6 − λ A − λE = 1 3−λ −1 −3 15
0 −2 4 − λ 16
Найдем определитель данной матрицы и вычислим его разложением по первой строке. 6−λ
0
1
3−λ
−1
−3
A − λE =
0 − 2 = (−1)1+1 × (6 − λ ) × 4−λ
3−λ −3
−2 = (6 − λ ) × ((3 − λ ) × (4 − λ ) − 4−λ
− (−2) × (−3)) = (6 − λ ) × (12 − 4λ − 3λ + λ − 6) = (6 − λ ) × (λ − 7λ + 6) = 0 2
2
(6 − λ ) = 0 ⇒ λ = 6
λ 2 − 7λ + 6 = 0 λ = 6, λ = 1
В результате мы получили следующие собственные числа: λ1, 2 = 6
λ3 = 1
Найдем соответствующие им собственные вектора. По определению собственного значения и собственного вектора AX = λX AX − λX = 0 ( A − λE ) X = 0
0
0 x1
вектором
x1 X = x 2 получим x 3
x1 − 3x 2 − 2 x3 = 0 − 6 x 2 − 4 x3 = 0
систему: 1 − 3 − 2 × x 2 = 0 ⇒ 0 − 6 − 4 x 3
Ранг данной системы равен 2, а количество неизвестных три, следовательно должна быть одна свободная неизвестная. Обозначим за свободную неизвестную x3. Из второго уравнения выражаем x2 через свободную неизвестную: 17
0 Проверка: x3-свободная неизвестная. Пусть x3=3, тогда Χ = − 2 3
По определению собственного значения собственного вектора: найденное
собственное
число
и
λ3 = 1
0 0 0 = 1 − 3 − 2 0 − 6 − 4
0
x1 0 2 Χ = x 2 = − x3 x 3 3 x3
Теперь найдем собственный вектор для
Воспользуемся методом Гаусса для определения ранга полученной матрицы. Для этого проведем следующие преобразования: сложим вторую и третью строчку.
с
2 x1 − 3 × (− x3 ) − 2 x3 = 0 ⇒ 3 x1 = 0 ⇒
0 0 0 0 6 0 1 3 2 2 12 6 − × − = − = × − 2 − 1 − 3 4 3 18 3 × Х = λ ×Х А
0 0 0 0 0 6 − 6 A − 6× E = 1 3 − 6 − 2 = 1 − 3 − 2 = −1 − 3 4 − 6 − 1 − 3 − 2
матрицу
Полученное значение x2 подставляем в первое уравнение.
АХ = λХ
λ1, 2 = 6
полученную
2 x 2 = − x3 3
Подставим в определение собственный вектор.
Найдем собственный вектор для
Умножив
− 6 x 2 = 4 x3
0 5 0 0 6 −1 0 А − 1× Е = 1 3 −1 − 2 = 1 2 − 2 = − 1 − 3 4 − 1 − 1 − 3 3
Воспользуемся методом Гаусса для определения ранга данной матрицы. Для этого поменяем местами первую и третью строчки. Затем полученную первую строчку сложим со второй и умножив на 5 сложим с третьей строчкой. −1 − 3 3 −1 − 3 3 = 1 2 − 2 = 0 −1 1 = 5 0 0 0 − 15 15 х1 Перемножив полученную матрицу с вектором Х= х 2 получим х 3
систему:
18
− 1 − 3 3 x1 0 − 1 1 × x2 = 0 ⇒ 0 0 0 x3 − x1 − 3 x 2 + 3 x3 = 0 − x 2 + x3 = 0
Вариант 1 1). Выполнить действия в алгебраической форме: 2 − 2 3i i 1+ i 3
2). Вычислить в тригонометрической форме:
Ранг данной системы равен двум а число неизвестных трем следовательно одну неизвестную объявляем свободной ( пусть это будет х3). Выразим из второго уравнения х2 через х3 и подставим в первое уравнение х2= х3 - х1 - 3х3+3х3=0 х1=0 0 Χ = х3 х 3
АХ = λХ
0 0 0 0 6 0 1 3 2 2 2 1 − × = = × 2 −1 − 3 4 2 2 2 А ×Х = λ×Х
собственное
число
5 2 −5 4 5 9 −3 −7 −5 −5 −2 4 2 8 3 5 3 −2 8 3 −4 −3 4 −6 −3 x − 2 y + z = −1 2 x − y − 4 z = 7 x + y − 2z = 5
По определению собственного значения собственного вектора: найденные
1 + 3i
3). Разложить многочлен x 4 − 2 x 3 + x 2 − 8 x − 12 на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить
5). Доказать совместность системы:
0 Проверка: x3-свободная неизвестная. Пусть x3=2, тогда Χ = 2 2
Подставим в определение собственный вектор:
6
и
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: 8 x1 − x2 − 3x3 − 2 x4 − x5 = 0 3x1 + 2 x2 − 2 x3 + 7 x4 − 2 x5 = 0 12 x − 11x − x − 34 x + 5 x = 0 2 3 4 5 1
0 2 λ1, 2 = 6, Χ = − x3 3 x3 Ответ: 0 λ3 = 1, Χ = x3 x 3
7). Будет ли являться линейным пространством множество всех дробных чисел. 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (−2,11,−2), a = (1,2,−3), b = (3,−3,−2), c = (−1,4,2)
9). Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 2 2 − 1
А= 0 1 − 1 0 3
19
20
5
Вариант 2
Вариант 3
1). Выполнить действия в алгебраической форме. (1 − 3i )(1 + 3i ) + 2i17 3+i
1). Выполнить действия в алгебраической форме. 2(1 + i 3) − (1 + i 3 ) 1− i
2). Вычислить в тригонометрической форме: 3+i
6
2). Вычислить в тригонометрической форме: 4
3). Разложить многочлен x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 20 x + 15 на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 7 6 −9 −4 4 5 5 −3 1 −3 − 3 − 5 4 −1 3 2 2 7 1 −1 3 3 −5 −2 2
5). Доказать совместность системы: 3 x + 2 y + 2 z = −1 x + y + 3z = 1 4 x − y − 6 z = 1
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 + x2 + 3x3 + 2 x4 − 8 x5 = 0 2 x1 − 2 x2 + 2 x3 − 7 x4 − 3x5 = 0 5 x − 11x − x − 34 x + 12 x = 0 2 3 4 5 1
7). Образуют ли линейное пространство множество целых чисел? 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (1,−2,−1), a = (0,−1,2), b = (1,0,−1), c = (1,2,1)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 2 1 0 А= 1 2 0 −1 1 3
21
2 + 2 3i
3). Разложить многочлен x 4 + x 3 + 3x 2 + 5 x − 10 на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 5 9 −2 −4 2 −3 4 −3 5 7 −2 −4 4 −5 8 −6 6 −5 3 −3
5 3 2 8 7
5). Доказать совместность системы: 6 x + 2 y − z = 2 4 x − y + 3 z = −3 3 x + 2 y − 2 z = 3
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 + 2 x2 + x3 + 4 x4 + x5 = 0 2 x1 − x2 − 5 x3 + x4 + 3 x5 = 0 x + 3x − x − 6 x − x = 0 2 3 4 5 1
7). Образует ли линейное пространство множество всех функций, принимающих отрицательное значение? 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (3,−2,0), a = (−3,1,0), b = (2,−1,0), c = (1,2,1)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. − 2 0 0 2 1 − 1 2 3
А= 1
22
Вариант 4 1). Выполнить действия в алгебраической форме.
Вариант 5 1). Выполнить действия в алгебраической форме.
1+ i 2 − (2 + i) 1 − 2i 5
2). Вычислить в тригонометрической форме: 1+ i x 4 − x3 + x 2 − 3x − 6 5
3). Разложить многочлен на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 2 −3 5 −2 1 3 2 5 −4 −3 −2 3 −4 2 −3 −6 −4 −7 8 1 2 −1 7 1 5
5). Доказать совместность системы: x − 3 y + z = 9 2 x + 4 y + 3 z = −3 2 x − y + 2 z = 3
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: 2 x1 + x2 − x3 − x4 − x5 = 0 x1 − x2 + 2 x3 − x4 − 2 x5 = 0 3x + 3x − 4 x − x = 0 2 3 4 x
7). Образует ли линейное пространство множество векторов на плоскости? 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (6,1,0), a = (2,−1,1), b = (0,1,−2), c = (3,1,−1)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 3 −1 1 2 − 1 0 −1 2
А= 0
23
(4 − i ) 2 − 8i 3 (2 − i13 ) 5 i
2).
Вычислить в тригонометрической форме: 4
3 + 3i
3). Разложить многочлен x − 4 x 3 + 8 x 2 − 20 x + 15 на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 4
3 4 − 3 −1 − 2 −5 6 5 2 3 −4 9 3 −7 5 −1 − 4 1 1 −2 −3 7 5 2 1
5). Доказать совместность системы: 2 x + y + 3 z = 13 x + y + z = 6 3x + y + z = 8
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 + x2 + x3 + 2 x4 + 4 x5 = 0 x1 − 2 x2 − 3 x3 + x4 + 2 x5 = 0 2 x − x − 2 x + 3 x + 3 x = 0 3 4 5 1 2
7). Образуют ли линейное пространство множество отрицательных чисел? 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c).
всех
d = (2,−1,4), a = (1,0,2), b = (3,−3,4), c = (0,1,1)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 3
0 0 4 1 −1 1 4
А= 1
24
Вариант 6 1). Выполнить действия в алгебраической форме.
Вариант 7 1). Выполнить действия в алгебраической форме. 1 − i 20 18 i +i 1 + i
(1 − 3i )(1 + 3i ) − 2i18 − i (3 + i )
2). Вычислить в тригонометрической форме: 1 + 3i x 4 + x 3 − 4 x 2 + 2 x − 12
2).
4
3). Разложить многочлен на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 6 −3 3 3 7
4 5 8 6 8
−5 2 −7 −3 2 4 −4 3 −2 3
−5 −9 2 −4 −5
5). Доказать совместность системы: 2 x + y + z = 7 x + 2 y + z = 8 x + y + 2z = 9
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: 3x1 − x2 − 2 x3 − x4 + x5 = 0 2 x1 − x2 + 3x3 − x4 + 2 x5 = 0 5 x − 2 x + x − 2 x + 3 x = 0 2 3 4 5 1
7). Образуют ли линейное пространство множество многочленов шестой степени? 8). Найти разложение вектора базису (a, b, c). d = (4,0,−1), a = (2,−1,3), b = (1,0,−1), c = (0,−1,2)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 2 − 1 2 − 1 0 −1 2 3
А= 0
25
Вычислить в тригонометрической форме: 4
4 + 4 3i
3). Разложить многочлен x 4 + 3x 3 + 5 x 2 + 9 x + 6 на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 3 2 −5 3 2 2 −1 7 2 −1 5 1 −3 5 −3 7 4 −9 6 4 −3 1 4 −3 3
5). Доказать совместность системы: x + 2 y − 2z = 0 2 x − 3 y − 3 z = 2 − x + y + 3 z = 2
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 6). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 + x2 + 10 x3 + x4 − x5 = 0 5 x1 − x2 + 8 x3 − 2 x4 + 2 x5 = 0 3 x − 3 x − 12 x − 4 x + 4 x 2 3 4 1
7). Образуют ли линейное пространство множество векторов с целыми координатами? 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (7,−7,−1), a = (1,−2,1), b = (0,1,−3), c = (2,1,0)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 3
1 0 2 0 −1 2 1
А= 2
26
Вариант 8 1). Выполнить действия в алгебраической форме. (1 + i 3 ) 2 2i 9 5 i
Вариант 9 1). Выполнить действия в алгебраической форме. (−2 + i ) 2 i − (0,3 + 0,1i ) 1+ i
2). Вычислить в тригонометрической форме: 4
2). Разложить многочлен x 4 + x3 − 3x 2 + 3 x − 18 на неприводимые множители. 3). Пользуясь свойствами определителей вычислить:
−9 7 6 −4 4 4 − 3 − 5 −1 3 −3 5 5 1 −3 7 2 2 1 −1 −5 3 3 −2 2
3 4 − 3 −1 − 2 −5 6 5 2 −3 4 −9 −3 7 5 −1 − 4 3 1 2 3 7 5 2 −3
4). Доказать совместность системы: 2 x − 3 y + 2 z = 1 5 x + 2 y − 4 z = 3 − 3 x + 4 y − z = 0
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 5). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 − x2 + x3 − 2 x4 + x5 = 0 3x1 − x3 − 5 x4 + x5 = 0 x + 2 x − 2 x − 3x = 0 2 3 4 1
6). Образует ли линейное пространство множество векторов с дробными коэффициентами? 7). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (3,−3,5), a = (0,2,5), b = (1,−1,1), c = (2,0,−1)
8). Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 0 0 4 А= 1 2 − 1 − 2 −1 4
27
27
2). Разложить многочлен x 4 − x3 − 4 x 2 − 2 x − 12 на неприводимые множители. 3). Пользуясь свойствами определителей вычислить:
4). Доказать совместность системы: x + y − z = −2 2 x − 3 y + 4 z = 11 − 3x − 2 y + 2 z = −2
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 5). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 + x2 + x3 − x4 − x5 = 0 x1 + 2 x2 − 2 x3 − x4 − 2 x5 = 0 2 x + x + 5 x − 2 x − x = 0 3 4 5 1 2
6). Образует ли линейное пространство множество многочленов с целыми коэффициентами? 7). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (2,−7,3), a = (5,−3,4), b = (1,−2,3), c = (1,−1,4)
8)
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. 1 − 2 2 3 − 2 0 − 3 4
А= 0
28
Вариант 10 1). Выполнить действия в алгебраической форме. (−1 + i ) 2 (1 + i ) − 2i15 (2 − i )
2). Вычислить в тригонометрической форме: 4
16
3). Разложить многочлен x + x 3 + 3x 2 + 5 x − 10 на неприводимые множители. 4). Пользуясь свойствами определителей вычислить: 4
6 2 1 5 − 4 −1 1 4 −6 5
Список литературы 1. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1966. 2. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. – М.: Наука, 1978. 3. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемешев.– М.: Наука, 2000. 4. Курс высшей алгебры / А. Г . Курош. –М.: Наука, 1971.
7 −2 4 3 2 −2 2 1 3 3 −4 −2 3 −5 1
5). Доказать совместность системы: x + y + z = 1 2 x − 3 y + 2 z = −3 − 3 x + 2 y + 3 z = −4
и решить ее а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричном виде. 5). Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений: x1 + x2 + 10 x3 + x4 − x5 = 0 5 x1 − x2 + 8 x3 − 2 x4 + 2 x5 = 0 3x − 3 x − 12 x − 4 x + 4 x = 0 2 3 4 5 1
7). Образует ли линейное пространство множество многочленов с дробными коэффициентами? 8). Найти разложение вектора d по базису (a, b, c). d = (2,1,0), a = (1,2,−3), b = (5,−4,3), c = (1,3,−5)
9).
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. −1
2 1 − 4 0 − 2 5 0
А= 3
29
30
Линейная алгебра. Решение контрольных заданий.
типовых
примеров.
Варианты
Составитель Наталья Анатольевна Пинкина
Редактор О.Ф. Александрова Корректура автора
Лицензия ЛР № 020372 от 29.01.1997г.
Подписано в печать 24.10.2003 Тиражируется на электронных носителях Заказ 284 Дата выхода 30.10.2003 Адрес в Internet: www.lan.krasu.ru/studies/editions.asp Отдел информационных ресурсов управления информатизации КрасГУ 660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 22-05, e-mail:
[email protected] Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail:
[email protected] 31
