Теория игр

Л.А.Петросян Н.А.Зенкевич Е.А.Семина

ТЕОРИЯ

ИГР Учебное пособие Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов университетов, обучающихся по специальности «Математика»

Москва 1998

s31 Т ) V2. тКт 1° §1 I V I и g \ ' Vi?

УДК 51 ББК22.1 ПЗО

Р е ц е н з е н т ы : кафедра исследования операций Московского государствен­ ного института электроники и математики (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Каштанов) и кафедра исследования операций факультета вычисли­ тельной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (зав. кафедрой чл.-кор. АН РАН П. С. Краснощекое).

П 30

Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов:/Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина. - М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. - 304 с : ил. ISBN 5-06-001005-8 ISBN 5-8013-0007-4 Книга представляет собой краткое и сравнительно элементарное учебное посо­ бие, пригодное как для первоначального, так и для углубленного изучения теории игр; в ней проводится исследование математических моделей принятия решений в условиях конфликта. Впервые в отечественной научной литературе дано системати­ ческое изложение единой теории статических и динамических игр. Рассмотрены конечные и бесконечные антагонистические игры, многошаговые игры, бескоалици­ онные и кооперативные игры, дифференциальные игры. В каждой главе содержатся задачи разной сложности. Книга предназначена для студентов и аспирантов университетов, экономических и технических учебных заведений, представляет интерес как для математиков, рабо­ тающих в области теории игр, так и для специалистов в области экономики, теории управления и исследования операций.

ISBN 5-06-001005-8 ISBN 5-8013-0007-4

© Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е.А. Семина, 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5 Введение 7 Глава I. Матричные игры 9 § 1. Определение антагонистической игры в нормальной форме . . 9 § 2. Максиминные и минимаксные стратегии 14 § 3. Ситуации равновесия 16 § 4. Смешанное расширение игры 21 § 5. Некоторые сведения из теории вьшуклых множеств и систем линей­ ных неравенств 25 § 6. Существование решения матричной игры в классе смешанных стра­ тегий 28 § 7. Свойства оптимальных стратегий и значения игры 32 § 8. Доминирование стратегии 40 § 9. Вполне смешанные и симметричные игры 46 § 10. Итеративные методы решения матричных игр 52 Упражнения и задачи 56 Глава II. Бесконечные антагошиiическне игры 60 § 1. Бесконечные игры 60 § 2. Ситуация е-равновесия, е-седловые точки и г-оптимальные стратегии 63 § 3. Смешанные стратегии 68 § 4. Игры с непрерывной функцией выигрыша 77 § 5. Игры с выпуклой функцией выигрыша 84 § 6. Одновременные игры преследования 94 § 7. Один класс игр с разрывной функцией выигрыша 101 § 8. Решение бесконечных одновременных игр поиска 104 Упражнения и задачи 109 Глава III. Неавтагонистнческне игры § 1. Определение бескоалиционной игры в нормальной форме § 2. Принципы оптимальности в бескоалиционных играх § 3. Смешанное расширение бескоалиционной игры § 4. Существование ситуации равновесия по Нашу § 5. Свойства оптимальных решений § 6. Равновесие в совместных смешанных стратегиях § 7. Задача о переговорах § 8. Игры в форме характеристической функции § 9. С-ядро и Н—М-решение § 10. Вектор Шепли Упражнения и задачи Глава IV. Позиционные игры § 1. Многошаговые игры с полной информацией § 2. Ситуация абсолютного равновесия § 3. Основные функциональные уравнения § 4. Стратегии наказания

113 . . . . 113 117 125 129 133 138 142 146 155 163 170 176 176 182 188 191 3

§ 5. Иерархические игры 194 § 6. Иерархические игры (кооперативный вариант) 196 § 7. Многошаговые игры с неполной информацией 204 § 8. Стратегии поведения 211 § 9. Функциональные уравнения для одновременных многошаговых игр 218 Упражнения и задачи 224 Глава V. Дифференциальные игры § 1. Антагонистические дифференциальные игры с предписанной продол­ жительностью § 2. Многошаговые игры с полной информацией и бесконечным числом альтернатив § 3. Существование ситуаций е-равновесия в дифференциальных играх с предписанной продолжительностью § 4. Дифференциальные игры преследования на быстродействие . . . . § 5. Необходимые и достаточные условия существования оптимальной программной стратегии убегающего § 6. Основное уравнение § 7. Методы последовательных приближений для решения дифференци­ альных игр преследования § 8. Примеры решения дифференциальных игр преследования . . . . § 9. Игры преследования с задержкой информации у преследователя . . Упражнения и задачи Литература

230 230 240 245 253 260 265 273 278 282 290 295

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическая теория игр является составной частью исследо­ вания операций. Она находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности, таких, как экономика и менед­ жмент, промышленность и сельское хозяйство, военное дело и стро­ ительство, торговля и транспорт, связь и т. д. Несмотря на наличие богатой монографической и специальной литературы по теории игр, учебных пособий, посвященных этому разделу математики, сравнительно немного и в них рассматриваются в основном отдельные разделы теории игр. Настоящее учебное посо­ бие восполняет этот пробел. В нем отражено большинство современ­ ных направлений теории игр. Пособие методически построено так, что понятие модели конфликта (игры) развивается от простой (мат­ ричные игры) до наиболее сложной (дифференциальные игры). Большинство учебных программ вузов предполагает чтение от­ дельных разделов или специальных курсов по теории игр. Данное учебное пособие построено таким образом, чтобы каждая глава могла служить основой такого курса. Для предварительного оз­ накомления с теорией игр достаточно изучить материал гл. I. Типовой курс по теории игр может быть построен на основе гл. I, Ш и IV. Наиболее подробно изложена теория антагонистических игр (гл. I, II, IV, V). В курсах «Системный анализ» и «Модели принятия решений» целесообразно использовать гл. III и IV. Теория неан­ тагонистических игр изложена в гл. III, IV, а теория динамических игр — в гл. IV, V. В пособии не отражены результаты теории дифференциальных игр многих лиц, поскольку этот класс игр еще недостаточно изучен. Однако имеющиеся в этом направлении рабо­ ты широко представлены в списке литературы [38, 45, 51, 77, 87, 88]. При построении курса лекций по приложениям теории игр полезно также воспользоваться специальной литературой [5, 10, 12, 20, 27, 34, 52, 53]. Во всех главах содержатся многочисленные примеры, иллю­ стрирующие основные положения теории. Некоторые из них пред­ ставляют самостоятельный интерес. В конце каждой главы при­ ведены упражнения для индивидуальной работы, расположенные в порядке изложения материала и возрастания сложности. В ряде случаев они существенно дополняют содержание главы. Систе­ матическое решение этих упражнений является важной формой изучения теории игр. 5

Для усвоения основных понятий и результатов, приведенных в учебном пособии, достаточно знания курса математики в объеме университетской программы. Наиболее сложной в математическом отношении является гл. II, которая предназначена для студентов математических специальностей. Материал, набранный петитом, при первоначальном изучении может быть опущен. В списке рекомендованной литературы приведены основная (учебники и задачники), дополнительная (монографии и учебные пособия) и справочная (справочники, обзоры, сборники статей) литература. В список дополнительной литературы включены также статьи, которые цитируются в основном тексте книги. Вместе с тем библиография не претендует на полноту. Библиографические ссыл­ ки можно найти в справочной литературе. Пособие может быть использовано как для первоначального, так и для углубленного изучения теории игр. Оно предназначено для студентов и аспирантов, специализирующихся в области при­ кладной математики, будет также полезно студентам экономичес­ ких и технических специальностей, факультетов менеджмента, из­ учающим математические методы принятия решений в сложных системах. Книга заинтересует специалистов, занимающихся воп­ росами теории игр, исследования операций, теории управления, математической экономики, теории менеджмента и их приложени­ ями. Учебное пособие написано на основе курсов «Теория игр и ис­ следование операций», «Системный анализ», «Математические мо­ дели принятия решений в экономике и управлении», а также ряда специальных курсов по разделам и приложениям теории игр, прочи­ танных Л. А. Петросяном и Н. А. Зенкевичем студентам старших курсов и аспирантам на факультете прикладной математики — про­ цессов управления Санкт-Петербургского государственного универ­ ситета. Параграфы 7, 9 гл. I, § 5, 10 гл. Ш, § 4 — 6, 8 и 9 гл. IV, § 2 — 6, 8 гл. V написаны совместно с Е. А. Семиной. Авторы

ВВЕДЕНИЕ

8.1. В настоящем учебном пособии изложены основные понятия и результаты теории игр. Теория игр — это раздел математики, в котором исследуются математические модели принятия решений в условиях конфликта, т. е. в условиях столкновения сторон, каждая из которых стремится воздействовать на развитие конфликта в сво­ их собственных интересах. Теорию математических моделей при­ нятия оптимальных решений принято называть исследованием операций, поэтому теорию игр следует рассматривать как при­ кладную математическую теорию — составную часть исследования операций. 8.2. Задачи исследования операций можно классифицировать по уровню информации о ситуации, которой располагает субъект, принимающий решение. Наиболее простыми уровнями информа­ ции о ситуации являются детерминированный (когда условия, в ко­ торых принимаются решения, известны полностью) и стохастичес­ кий (когда известно множество возможных вариантов условий и их вероятностное распределение). В этих случаях задача сводится к на­ хождению экстремума функции (или ее математического ожидания) при заданных ограничениях. Методы решения таких задач изучают­ ся в курсах математического программирования или методов оп­ тимизации. Наконец, третий уровень — неопределенный, когда известно множество возможных вариантов, но без какой-либо информации об их вероятностях. Такой уровень информации о ситуации являет­ ся наиболее сложным. Эта сложность оказывается принципиальной, так как могут быть не ясны сами принципы оптимального поведе­ ния. Следуя определению Н. Н. Воробьева, теория игр — это те­ ория математических моделей принятия решений в условиях неоп­ ределенности, когда принимающий решение субъект («игрок») рас­ полагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится, о множестве решений («стратегий»), которые он может принять, и о количествен­ ной мере того «выигрыша», который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию*. Установление принципов оптимального поведения в условиях неопределенности, доказательство существования решений, удов*Воробъев Н. Н. Философская энциклопедия. Т. 5. М., 1970. С. 208—210. 7

летворяющих этим принципам, указание алгоритмов нахождения решений, их реализация и составляют содержание теории игр. 8.3. Неопределенность, с которой мы встречаемся в теории игр, может иметь различное происхождение. Однако, как правило, она является следствием сознательной деятельности другого лица (лиц), отстаивающего свои интересы. В связи с этим под теорией игр часто понимают теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Таким образом, моделями теории игр можно в принципе содержательно описывать весьма разнооб­ разные явления: экономические, правовые и классовые конфликты, взаимодействие человека с природой, биологическую борьбу за существование и т. д. Все такие модели в теории игр принято называть играми. Математическое описание игры сводится к перечислению всех действующих в ней игроков, указанию для каждого игрока всех его стратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как игроки выберут свои стратегии. В результате игра становится формальным объектом, который поддается математи­ ческому анализу. 8.4. Игры можно классифицировать по различным признакам. Во-первых, бескоалиционные игры, в которых каждая коалиция (множество игроков, действующих совместно) состоит лишь из одного игрока. Так называемая кооперативная теория бескоалици­ онных игр допускает временные объединения игроков в коалиции в процессе игры с последующим разделением полученного выигры­ ша или принятие совместных решений. Во-вторых, коалиционные игры, в которых принимающие решение игроки согласно правилам игры объединены в фиксированные коалиции. Члены одной ко­ алиции могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения. По выигрышу игры можно разделить на антагонистические и иг­ ры с ненулевой суммой. По характеру получения информации — на игры в нормальной форме (игроки получают всю предназначенную им информацию до начала игры) и динамические игры (информация поступает игрокам в процессе развития игры). По количеству стратегий — на конечные и бесконечные игры. Начнем изучение теории с простейшей статической модели — матричной игры, в которой участвуют два игрока, множество стратегий каждого из игроков конечно, а выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

ГЛАВА I

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

1.1. Определеиие. Система Y={X,Y,K), (1.1) l где Xи Y — непустые множества, и функция К: Хх Y-*R называ­ ется антагонистической игрой в нормальной форме. Элементы хеХ и yeY называются стратегиями игроков 1 в 2 соответственно в игре Г, элементы декартового произведения Хх. Y (т. е. пары стратегий (JC, у), где хеХ и ye Y— ситуациями, а функция К — функцией выигрыша игрока 1. Выигрыш игрока 2 в ситуации (х, у) полагается равным [—К(х, у)], поэтому функция К также называется функцией выигрыша самой игры Г, а игра Г — игрой с нулевой суммой. Таким образом, используя принятую терминологию, для задания игры Г необходимо определить множе­ ства стратегий X, Y игроков 1 и 2, а также функцию выигрыша К, заданную на множестве всех ситуаций Хх Y. Игра Г интерпретируется следующим образом . Игроки одно­ временно и независимо выбирают стратегии хеХ, yeY. После этого игрок / получает выигрыш, равный К(х, у), а игрок 2 — (-К(х,у)). Определение. Игра Г' = (Х', Y', К1) называется подыгрой игры. Г=(X, Y, К), если X' с X, Y' с У, а функция К':Х'х Y'-tR1 являет­ ся сужением функции К на X' х Y'. В данной главе будут рассматриваться главным образом ан­ тагонистические игры, в которых множества стратегий игроков конечны. 1.2. Определение. Антагонистические игры, в которых оба игрока имеют конечные множества стратегий, называются мат­ ричными. Пусть игрок 1 в матричной игре (1.1) имеет всего т стратегий. Упорядочим множество X стратегий первого игрока, т. е. установим взаимно однозначное соответствие между множествами М={\, 2, ..., т} и X. Аналогично, если игрок 2 имеет и стратегий, то можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами N={\, 2,..., п} и Y. Тогда игра Г полностью определяется заданием 9

матрицы А = {аи}, где ау=К(хи yj), (i,j)eMxN, (xh y)eXxY,ieM, jeN (отсюда и название игры — матричная). При этом игра Г ре­ ализуется следующим образом. Игрок 1 выбирает строку геМ, а игрок 2 (одновременно с ним) — столбец j eJV. После этого игрок 1 получает выигрыш ау, а второй — (—ау). Если выигрыш равен отрицательному числу, то речь идет о фактическом проигрыше игрока. Игру Г с матрицей выигрышей А обозначим Г^ и назовем (тхл)-игрой (по размерности матрицы А). Если из изложения понятно, об игре с какой матрицей идет речь, то индекс А будем опускать. Нумерация стратегий в матричной игре может производиться различными способами, поэтому каждому отношению порядка, строго говоря, соответствует своя матрица. Таким образом, конеч­ ная антагонистическая игра может быть описана различными мат­ рицами, отличающимися друг от друга лишь порядком строк и сто­ лбцов. 1.3. Пример 1. (Оборона города.) Этот пример известен в литера­ туре под названием «игра полковника Блотто» [4]. Полковник Блотто имеет т полков, а его противник — п полков. Противник защи­ щает две позиции. Позиция будет занята полковником Блотто, если на ней наступающие полки окажутся в численном превосходстве. Противоборствующим сторонам требуется распределить полки между двумя позициями. Определим выигрыш полковника Блотто (игрока 1) на каждой позиции. Если у него на позиции полков больше, чем у противника (игрока 2), то его выигрыш на этой позиции равен числу полков противника плюс один (занятие позиции равносильно захвату одно­ го полка). Если у игрока 2 полков на позиции больше, чем у игрока 1, то игрок 1 теряет все свои полки на этой позиции и еще единицу (за потерю позиции). Если обе стороны имеют одинаковое число полков на позиции, то имеет место ничья и каждая из сторон ничего не получит. Общий выигрыш игрока 1 равен сумме выигрышей на обеих позициях. Игра, очевидно, антагонистическая. Опишем стратегии игроков. Пусть, для определенности, т>п. Игрок 1 имеет следующие страте­ гии: х0 = (т, 0) — послать все полки на первую позицию, xi=(m— 1, 1)—(т— 1) полков послать на первую позицию, а один — на вто­ рую, хг = (т—2,2),..., xm_i = (1, т — 1), хт=(0, т). Противник (игрок 2) имеет такие стратегии: у0 = (п, 0), у1 = (п — 1, 1), ..., у„ = (0, и). Пусть игрок 1 выбрал стратегию JC0, а игрок 2 — стратегию у0. Вычислим выигрыш а00 игрока 1 в этой ситуации. Поскольку т>п, на первой позиции выигрывает игрок 1. Его выигрыш равен л-И (единица — за удержание позиции). На второй позиции — ничья. Поэтому а00 = и + 1. Вычислим а01. Так как т>п—\, то на первой ю

позиции выигрыш игрока 1 равен п—1 + 1 =и. На второй позиции выигрывает игрок 2. Поэтому проигрыш игрока 1 на этой позиции равен единице. Таким образом, а 0 1 =л —1. Рассуждая аналогично, получаем a0J=n—J+1 — 1 =n—j, l^J^n. Далее, если т— \>п, то а 1 0 =я + 1 + 1=л + 2, а11 = и - 1 + 1=и, otl]=n-j+\-\-\=n-j-\, 2 О, а=const, р=const. (3.9) Тогда Z(T')=Z(r), vr=Pvr+a. (3.10) Доказательство. Пусть (х*. у*) — ситуация равновесия в игре Г. Тогда имеем К'(х*. у*)=РЦх*. у*)+а^рК(х*, у)+а=К'(х*, у), К'(х, у*)=рК(х, у*) + max min <xtf= 0. J

l

i

J

Заметим, что игры, сформулированные в примерах 1 — 3 (п. 1.3), не являются вполне определенными, а игра в примере 6 вполне опреде­ лена и ее значение v=6. § 4. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ ИГРЫ

4.1. Рассмотрим матричную игру Г^. Если в ней существует ситуация равновесия, то минимакс равен максимину, причем соглас­ но определению ситуации равновесия каждый из игроков может сообщить свою оптимальную (максиминную) стратегию против­ нику и от этого ни один из игроков не может получить дополнитель­ ную выгоду. Теперь предположим, что в игре Г^ не существует ситуации равновесия. Тогда согласно теореме п. 3.4 и лемме п. 2.2 имеем min max a,-,—max min а,у>0. j

'

'

(4.1)

J

В этом случае максиминная и минимаксная стратегии не являются оптимальными. Более того, игрокам бывает невыгодно их придер­ живаться, так как они могут получить больший выигрыш. Однако сообщение о выборе стратегии противнику может привести к еще большим потерям, чем в случае максиминной или минимаксной стратегии. Действительно, пусть матрица А имеет вид А=

7 3

2 5 21

Для такой матрицы min max af/=5, max min a y =3, т. е. ситуации j ' t j равновесия не существует. Обозначим через г* максиминную страте­ гию игрока 1 (i* = 1), а минимаксную стратегию игрока 2 через j* (j* = 2). Пусть игрок 2 придерживается стратегии j* = 2, а игрок 1 выберет стратегию f=2. Тогда последний получит выигрыш 5, т. е. на 2 единицы больше, чем максимин. Однако если игрок 2 догадает­ ся о выборе игрока 1, то он изменит стратегию на _/= 1, и тогда первый получит выигрыш лишь 2 единицы, т. е. на единицу меньше, чем в случае максимина. Аналогичные рассуждения можно провести и для второго игрока. По существу вопрос стоит о том, как раз­ делить между игроками выигрыш (4.1)? Оказывается, что в этом случае игрокам разумно действовать случайно, что обеспечивает наибольшую скрытность выбора стра­ тегии. Результат выбора не может стать известным противнику, поскольку до реализации случайного механизма не известен самому игроку. 4.2. Определение. Случайная величина, значениями которой являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией. Так, для матричной игры ГЛ смешанной стратегией игрока 1 является случайная величина, значениями которой являются номе­ ра строк ieM, M={1, 2, ..., т} матрицы А. Аналогично определяет­ ся смешанная стратегия игрока 2, значениями которой являются номера j eN столбцов матрицы А. Учитывая только что введенное определение смешанных страте­ гий, прежние стратегии будем называть «чистыми». Так как случай­ ная величина характеризуется своим распределением, то будем отождествлять в дальнейшем смешанную стратегию с вероятност­ ным распределением на множестве чистых стратегий. Таким об­ разом, смешанная стратегия х игрока 1 в игре есть m-мерный вектор т

*=«!

We Л". I 6=1, Z,>0, г'=1

т.

(4.2)

(-1

Аналогично, смешанная стратегия у игрока 2 есть л-мерный вектор и

у=(гц, .... Т]„), £ ty=l, и,>0

(4.3)

у'=1

При этом £,^0 и fy^O—вероятности выбора чистых стратегий ieM ujeN соответственно при использовании игроками смешан­ ных стратегий хну. Обозначим через X и Y соответственно множества смешанных стратегий первого и второго игроков. Нетрудно заметить, что мно­ жество смешанных стратегий каждого игрока — компакт в соответ­ ствующем конечномерном евклидовом пространстве (замкнутое, ограниченное множество). Определение. Пусть х=(£1, .... £т)еХ—смешанная страте22

гия игрока 1. Тогда множество индексов (4 4) Mx={i\ieM, {,>0}, (4.5) где iV={l, 2, ..., и}. Спектр смешанной стратегии состоит из таких чистых стратегий, которые выбираются с положительными вероят­ ностями. Для любой смешанной стратегии х спектр МхФ0, поскольку вектор х имеет неотрицательные компоненты, сумма которых равна 1 [см. (4.2)]. Рассмотрим смешанную стратегию м(=(^1, .... &, .... £т)еХ, где &=1, ^j=0,j^i, 1=1, 2, ..., т. Такая стратегия предписывает выбор /-Й строки матрицы А с вероятностью 1. Естественно отождествлять смешанную стратегию щеХ с выбором i-й строки, т. е. с чистой стратегией ie M игрока 1. Аналогично отождествим смешанную стратегию wJ=(rii, .... г\}, .... ri„)eY, где ц,= 1, ?/,, = 0, гф], }= 1, - , *, с чистой стратегией j eN игрока 2. Тем самым мы получили, что множество смешанных стратегий игрока есть расширение его про­ странства чистых стратегий. Определение. Пара (х, у) смешанных стратегий игроков в мат­ ричной игре ГА называется ситуацией в смешанных стратегиях. Определим выигрыш игрока 1 в ситуации (х, у) в смешанных стратегиях для матричной (т х л)-игры Гл как математическое ожи­ дание его выигрыша при условии, что игроки используют смешан­ ные стратегии соответственно х и у. Выбор стратегий игроками осуществляется независимо друг от друга, поэтому математическое ожидание выигрыша К(х, у) в ситуации (х, у) в смешанных стратеги­ ях х=(£1, .... £т), y = {Vv ».. »?*) равно т

K(x,y)=Y

п

X щ, Ь т= (хА)у=х(Ау).

(4.6)

(-1 j - \

При этом функция К(х, у) является непрерывной по хеХ и ye Y. Заметим, что выигрыши Щ, у), К(х, j) при применении одним из игроков чистой стратегии (/ или j соответственно), а другим — сме­ шанной стратегии (у или х) имеют вид л

Щ у)=К(ци y)=Y. 1j=aiy, z'=l, ..., т, т

K(x,j)=K(x, Wj)=Y a,j&=xaJ,j=l, ..., n, i-i

23

где а„ а' — /-я строка и j-я столбец соответственно (т х /^-матри­ цы А. Таким образом, от матричной игры ТА = {М, N, А) мы пришли к новой игре Гд = (А", У, К), где X и У — множества смешанных стратегий в игреПГЛ, а К — функция выигрыша в смешанных страте­ гиях. Игру Г^ будем называть смешанным расширением игры ГА. Игра ГА является подыгрой для ГА, т. е. Глс:ГА. 43. Определение. Ситуация (х*, у*) в игре ГА образует ситу­ ацию равновесия, а число v=K(x*. у*) является значением игры ГЛ, если для всех хеХ uyeY К(х, у*)^К(х*. у*НК(х*. у). (4.7) Из теоремы п. 3.2 следует, что стратегии (х*. у*), входящие в ситуацию равновесия, являются также оптимальными. Более того, согласно теореме п. 3.4 стратегии х* и у* являются соответственно максиминнои и минимаксной, поскольку внешние экстремумы в (З.П) достигаются (функция К(х, у) непрерывна на компактных множествах X и У). В п. 3.3 была показана стратегическая эквивалентность двух игр, отличающихся лишь началом отсчета выигрышей, а также масш­ табом их измерения (лемма о масштабе). Оказывается, что если две матричные игры ТА и ТА находятся в условиях этой леммы, то их смешанные расширения стратегически эквивалентны. Формально этот факт устанавливается следующим утверждением. Лемма. Пусть Г ^ и Г ^ — две матричные (т х п)-игры, причем А' = аА + В, а>0, a=const, а В— матрица с одинаковыми элементами ft, т. е. P,j=P для всех i и j . Тогда Z(YA')=*Z(YA), vA=avA + f}, где IV и ГА — смешанные расширения игр I V и ГА соответственно, a vA, vA — значения игр ТлиТА. Доказательство. Обе матрицы А и А' размерности /мхи, поэтому множества смешанных стратегий в играх Г^ и ГА совпада­ ют. Покажем, что для любой смешанной ситуации (х, у) выполняет­ ся равенство К'(х,у) = аК(х,у)+р, (4.8) где К' и К — выигрыши игрока 1 в играх IV и Г^ соответственно. Действительно, для всех хеХи уе У имеем К'(х, у)=хА'у=а(хАу)+хВу = а.К(х, у)+0. Тогда из леммы о масштабе следует, что Z(IV) = Z(r^), vA=olvA+p. 24

Пример 7. Проверим, что стратегии y* = (i/2> Ч** Vj» х* = =( /г> 1 / 4 , V4) оптимальны, a v = 0 — значение игры ГА с матрицей А=

1 -1 -1 -1

-1 3

_-1 3 -1_ Упростим матрицу А (с целью получения максимального числа нулей). Прибавляя ко всем элементам матрицы А единицу, получим матрицу

[

2 0 0

0 0 4 0 4 0

Каждый элемент матрицы А разделим на 2. Новая матрица прини­ мает вид

[

1 о о о о 2 0 2 0 По лемме значение игр связано равенством vA-=1/2 VA' = i/2(vA + l). Таким образом, требуется проверить, что значение игры ГА- рав­ но 1 / 2 . Действительно, К(х*. у*)=х* А"у* = 1/о. С другой стороны, для каждой стратегии yeY, у=(ц1, ц2, г\^) имеем К(х*. у) = = i 12*1 i + ll2П2+ /21з = 1 / 2 ' 1 = 1/2. а для всех х=(£1, £2, СзЛ хеХК(х, у*)= /2€i + /2^2+ /2^з= /г- Следовательно, указанные стра­ тегии х*, у* являются оптимальными, &vA = 0. В дальнейшем, говоря о матричной игре Г^будем предпола­ гать, что речь идет о ее смешанном расширении ТА. § 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Этот параграф носит вспомогательный характер и при первом чтении может быть опущен. Однако для понимания доказательств последующих утверждений полезно напомнить широко распрост­ раненные понятия и результаты. Большинство из них будет приве­ дено без доказательств, в необходимых случаях даны ссылки на специальную литературу. 5.1. Множество А/с Л™ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками этого множества хх, х2еМ в нем содержатся все точки отрезка

25

Axj+(1 —A)x2, 0Ь,х^0, (5.7) где А-(тхп)-матрица, с6К", хеRm, beК1 называется прямой стандартной задачей линейного программирования, а задача, заключающаяся в определении тяхЬу при ограничениях Ау*с,у>0, (5.8) где уеК1 — двойственной задачей линейного программирования для (5.7). Вектор хеК", удовлетворяющий системе (5.7), называется допустимым решени­ ем задачи (5.7). Аналогично вводится понятие допустимого решения у еЛ задачи 27

(5.8). Допустимое решение х(у) называется оптимальным решением задачи (5.7) [(5.8)], если на нем достигается минимум (максимум) функции сх(Ьу) на множестве всех допустимых решений. Справедливо следующее утверждение [16]. Теорема двойственности. Если обе задачи_ (5.7), (5.8) имеют допустимые решения, то они обе имеют оптимальные решения х, у соответственно, при этом сх—Ьу. 5.5. В заключение параграфа приведем одно свойство выпуклых функций. Снача­ ла напомним, что функция