Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 125-134
УДК 519.14+512.542
ОБ А В Т О М О Р Ф И З М А Х ГРАФА АШБАХЕРА*)
А. А. МАХН...
9 downloads
136 Views
932KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 125-134
УДК 519.14+512.542
ОБ А В Т О М О Р Ф И З М А Х ГРАФА АШБАХЕРА*)
А. А. МАХНЕВ, Д . В. П А Д У Ч И Х
В настоящей статье рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а графа Г через [а] обозначается окрестность вершины а, т. е. подграф, индуцированный Г на множестве всех смежных с а вершин. Положим ах — {a} U [а]. Граф называется сильным с параметрами (А,/х), если любое его реб ро лежит в Л треугольниках, и любая пара несмежных вершин имеет \х общих соседей. Граф Г называется сильно регулярным с параметрами (u,fc, А,/х), если он имеет v вершин, регулярен валентности к и являет ся сильным с соответствующими параметрами. Звездой называется граф, содержащий такую вершину а, что любая отличная от а вершина графа смежна только с а. Если звезда имеет не менее трех вершин, то а назовем централь звезды. Если регулярный граф валентности к диаметра d имеет v вершин, то выполняется неравенство, доказанное Муром (см. [1]):
v Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00462* ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
126
А. А. Махнев, Д. В. Падучих
v регулярного графа валентности к и нечетного обхвата g удовлетворяет неравенству v J> 1 + к + к{к - 1) + • • • + к{к - 1)(з~ 3 )/ 2 . Графы, для которых достигается равенство, являются графами Мура. Простейший пример графа Мура доставляет (2d+ 1)-угольник. Дамерелл [3] доказал, что граф Мура валентности к ^ 3 имеет диаметр 2. В этом случае v = к2 + 1, граф сильно регулярен сА = 0 и / х = 1,а валентность к равна 3 (граф Петерсена), 7 (граф Хоффмана—Синглтона) или 57. Пер вые два графа являются графами ранга 3 с группами автоморфизмов S$ и Us(5)(x) соответственно, где х индуцирует полевой автоморфизм на U$(b). Существование графа Мура валентности к = 57 неизвестно. Ашбахер [4] доказал, что граф Мура с к — 57 не является графом ранга 3. Мы будем называть граф Мура с к = 57 графом Ашбахера. Камерон [5] доказал, что граф Ашбахера не может быть вершинно транзитивным. Цель данной работы — получение информации о строении группы автоморфизмов гипотетического графа Ашбахера. Если X — некоторое множество автоморфизмов графа Г, то через Fix(X) обозначим множество всех вершин из Г, неподвижных относительно любого автоморфизма из X. Т Е О Р Е М А . Пусть Г — граф Ашбахера, G = Aut(F). Предполоэюим, что G содержит инволюцию t. Тогда выполняю7пся
следующие
утверждения: (1) Fix(£) является звездой, содержащей 56 вершищ (2) G — Y(t) х X для некоторых подгрупп Х) Y нечетного порядка, Y инвертируется t и либо \Y\ делит 5 или 57, либо \Y\ делит 21 (в случае \Y\ = 21 имеем |Fix(y)| = 37 для элемента у порядка 7 из У); (3) если X ф I, то Fix(X) — либо звезда, Y — 1, \Х\ = 7; либо пятиугольник,
\Y\ делит 5, \Х\ делит 55; либо граф Петерсена, \Y\ делит
3, \Х\ делит 27; либо граф Хоффмана—Синглтона, \Y\ делит 5 или 7, \Х\ делит 25. Доказательство теоремы разобьем на ряд лемм. В леммах 1—3 при ведем общие результаты об автоморфизмах графов Мура. В лемме 4 пока-
Об автоморфизмах графа Ашбахера
127
жем, что множество неподвижных точек любого инволютивного автомор физма графа Ашбахера является звездой с 56 вершинами. Это утвержде ние принадлежит Хигмену (не опубликовано, доказательство приведено в [5]). Строение группы G, содержащей инволюцию, опишем в леммах 5—9. Некоторые используемые результаты получены Ашбахером [4], тем не менее приведем их доказательства для полноты изложения. Л Е М М А 1. Пусть Г — сильный граф с А = 0, // = 1. Тогда (1) граф Г является графом Мура или звездой; (2) если X С Aut(r) и X имеет неподвижные точки, то Fix(X) таксисе является сильным графом с А = 0, /i = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вез ограничения общности Г содержит путь abc. Пусть [а] = {6, а,-}, [с] = {&, Cj}. Тогда для любой вершины аг найдется единственная смежная с ней вершина Cj. Поэтому валентности вершин а и с совпадают. Если валентности а а с больше 1, то можно найти пути aa,-ci и c\cb. Как показано выше, валентности а и Ъ совпадают. В этом случае Г является графом Мура. Если же валентности а и с равны 1, то Г будет звездой с центром Ъ. Утверждение (1) доказано. Пусть а, Ъ - несмежные вершины из Fix(A'). Тогда [а] П [Ь] состоит из единственной вершины, очевидно, лежащей в Fix(-X"). Поэтому Fix(X) является сильным графом с А = 0, /л = 1. Л Е М М А 2. Пусть Г — граф Мура валентности k ^ 3 ; t — инво люция из Aut(r). Тогда (1) если ааг — ребро для некоторой вершины а (Е Г, то Fix(t) явля ется звездой, имеющей к — 1 вершину; (2) если Fix(t) — звезда, то |Fix(£)| = к ± 1; (3) если Fix(t) — граф Мура, то Г - граф Хоффмана—Синглтона и Fix(t) — граф Петерсена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ааь — ребро для некоторой вершины а Е € Г, то t переводит Д = [а] - {а1} в [а1] - {а}, причем указанные подграфы не пересекаются, так как в Г нет треугольников. Далее, для a,- e Д инво люция t переводит Гг = [аг] - {а} в [а\] - {а1}. При этом вершины аг, а\
128
А. А. Махяев, Д. В. Падучих
не являются смежными (иначе Г содержал бы четырехугольник), поэто му Г,- П Г* имеет единственную вершину Ъ{. С другой стороны, множества {а, а*}, А, Л* и Г,', Ц
i ^ fc - 1, образуют расщепление Г, следовательно,
Fix(£) = {b{} состоит из к — 1 вершины. Поскольку графов Мура на к — 1 вершине нет. Fix(£) является звездой. Утверждение (1) доказано. Пусть Fix(£) — звезда с центром а. Если t фиксирует каждую вер шину из а х , то |Fix(£)| = fc + 1. Если же b Е [а] - Fix(t), то для с Е [Ь] - {а} вершины с и с1 смежные. В противном случае для х 6 [с] П [с1] мы получим четырехугольник abcx. Теперь (2) следует из (1). Если Fix(i) — граф Мура, то F'ix(t) имеет нечетную валентность, так как t действует без неподвижных точек на [а] — Fix(£) для а £ Fix(t). Заметим, что каждая вершина из Г — Fix(t) будет смежной с неко торой вершиной из Fix(t). Действительно, если а £ Г — Fix(t), то в силу (1) можно считать, что ааь не является ребром, и единственная вершина из [а] П [а1] принадлежит Fix(£). Если Г — граф Хоффмана—Синглтона, то (3) выполняется. Если же Г — граф Ашбахера, то число вершин из Г - Fix(t), смежных с вершина ми из Fix(t), не больше 50(57 - 7). С другой стороны, |Г - Fix(t)| = 3200, получили противоречие с утверждением предыдущего абзаца. Лемма до казана. Инволюцию t из группы автоморфизмов графа Мура валентности к назовем хорошей, если |Fix(£)| = к - 1. ЗАМЕЧАНИЕ. Если Г — граф Петерсена, то стабилизатор верши ны а — это группа Н = Z2 X 5з, причем инволюция из Z(H)
фиксирует
а1-, а нецентральные инволюции из Н фиксируют по ребру из а1- {и яв ляются хорошими). Если же Г — граф Хоффмана—Синглтона, то ста билизатор вершины а — это группа Н ~ S7? причем транспозиции из Н являются хорошими, произведение двух независимых транспозиций фик сирует граф Петерсена, а произведение трех независимых L
фиксирует ребро из a . Пусть далее Г — граф Ашбахера, G — Aut(r).
транспозиций
Об автоморфизмах графа Ашбахера
129
Л Е М М А 3. Пусть X — подгруппа нечетного простого порядка из G> Тогда выполняется одно из утверждений: (1) Fix(X) пусто и \Х\ делит 5 • 13; (2) |Fix(X)| = 1 и \Х\ делит 3 • 19; (3) Fix(X) - звезда, |Fix(X)| ^2 и\Х\
делит 7;
(4) Fix(X) — пятиугольник и \Х\ делит 5*11; (5) Fix(X) — граф Петерсена и \Х\ делит 3; (6) Fix(X) — граф Хоффмана—Синглтона и \Х\ делит 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что 3250 = 2 - 5 3 • 13. Если X дей ствует без неподвижных точек на Г, то \Х\ делит 5 • 13 и выполняется утверждение (1). Если |Fix(X)| = 1, то X действует без неподвижных то чек на окрестности вершины из Fix(X) и выполняется утверждение (2). Допустим теперь, что |Fix(X)| ^ 2. По лемме 1, Fix(X) являет ся звездой, пятиугольником, графом Петерсена или графом Хоффмана— Синглтона. Если Fix(X) — звезда, лежащая в а 1 , Ь Е [а] П Fix(Jf), то I0J - Fix(X)| = 56 и \Х\ делит 7. Если Fix(X) — граф Мура валентности fc, то для a G Fix(X) группа X действует без неподвижных точек на множестве [а] — Fix(X), состоящем из 57 - к вершин. Подставляя к = 2,3 и 7, получаем соответствующие утверждения леммы. Л Е М М А 4. Каждая инволюция из G является хорошей (в частности, любая инволюция из G является нечетной подстановкой на Г). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение получено на шаге 4 доказа тельства теоремы 3.13 [5]. Из леммы 3 следует, что n(G) С {2,3,5,7,11,13,19}. В леммах 5—9 предполагается, что t — инволюция, причем Fix(t) С а х . В силу леммы 4, G = 0(G)(t). Л Е М М А 5. Пусть t переставляет вершины Ь,с £ [а]. Тогда (1) ddl — ребро для любой вершины d из [Ь] — {а}; (2) действие t однозначно определяется заданием пары переставля емых вершин из [а].
130
А. А, Мгьхнев, Д. В. Падучих ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что d e [Ь] и вершины d, d* не яв
ляются смежными. Тогда вершина е из [d] П [d'j принадлежит а х , причем либо е — а и bad — треугольник, либо {a, 6,d, е} — четырехугольник. В любом случае получаем противоречие. Зафиксируем переставляемые инволюцией t вершины 6, с из [а]. Пусть х £ Г — [а]. Если х £ [Ь] U [с], то #* — единственная, смежная с х вершина из [b] U [с]. Пусть # будет смежной с некоторой вершиной d из Fix(£). Тогда х окажется смежной с единственной вершиной у 6 [Ь], и ж* это единственная вершина из [d], смежная с у1 из [с]. Л Е М М А 6. Группа G не содержит отличных от t инволюций s, для которых Fix(s) С а1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем переставляемые инволюцией t вершины Ь, с из [а]. Пусть s — отличная от t инволюция, причем Fix(s) С С а1-. Без ограничения общности можно считать, что s переставляет вер шины c,d из [а]. В этом случае Fix(sf) = а1 — {b,c,d} и можно считать, что st является 3-элементом. Далее, st действует без неподвижных точек на [е] — {а} для е 6 Fix(s£) П [а]. Это противоречит тому, что 3 не делит 56. Л Е М М А 7, Пусть g — неединичный элемент нечетного порядка из C{t). Тогда выполняется одно из утверждений: (1) Fix(g) — пятиугольник и \д\ делит 55; (2) Fix(g) — граф Петерсена и \д\ делит 27; (3) Fix(g) — звезда из а1-, \д\ делит 7 и Nodg)) содержится в С