Небесная механика. Общий курс

Глава 2. Методы интегрирования 2.1. Теорема Якоби Рассмотрим один случай, который показывает, что введение функции преобразования S1 (Q , q ) может оказаться практически полезным. Предположим, что гамильтониан F уравнений в новых переменных dQ ∂ F = , dt ∂P

∂F dP =− dt ∂Q

(2.1.1)

зависит только от n-мерного вектора Q : F ( P , Q ) = K (Q ) .

(2.1.2)

В этом случае уравнение (2.1.1) сразу интегрируется Q = Q (0),

P=−

dK dQ

⋅ t + P (0).

(2.1.3)

Q ( 0)

Здесь через Q(0) и P(0) обозначены начальные условия. Будем полагать далее, что условие

⎛ ∂ 2 S1 (Q , q ) ⎞ ⎟⎟ ≠ 0 det⎜⎜ ⎝ ∂ qi ∂ Qi ⎠

(2.1.4)

выполняется для всей рассматриваемой области изменения переменных p и q . Тогда из уравнения (см.(1.5.6.)) ∂ S1 (Q , q ) P =− (2.1.5) ∂Q можно найти q = q ( P , Q ) = q ( P (0), Q (0), t ) , (2.1.6) а соотношением ∂ S1 (Q , q ) (2.1.7) p=− ∂q определяются старые обобщенные импульсы p = p ( P (0), Q (0), t ) .

(2.1.8)

Таким образом, если найдена функция S1 (Q , q ) такая, что для новых переменных выполняется условие (2.1.2), то проблема интегрирования исходной канонической системы будет решена. Сформулируем теперь условия, позволяющие определить S1 (Q , q ) . Поскольку функция F (по исходному предположению) явно от времени не зависит, то она является интегралом уравнений Гамильтона (1.1.1) и (2.1.1), и можно записать F ( p, q ) = F ( P , Q ) (2.1.9)

Глава 2. Методы интегрирования

41

или, с учетом (2.1.2), F ( p, q ) = K (Q ).

(2.1.10)

Подставляя в (2.1.10) соотношение (2.1.7), окончательно получим

⎛ ∂ S (Q , q ) ⎞ F ⎜⎜ 1 , q ⎟⎟ = K (Q ). ∂q ⎠ ⎝

(2.1.11)

Но в этом уравнении вектор Q = Q (0) является параметром, так что данное уравнение, определяющее функцию S1 , можно записать в виде

⎛∂ S ⎞ F ⎜⎜ 1 , q ⎟⎟ = c, ⎝ ∂q ⎠

(2.1.12)

где c — постоянная величина. Данное уравнение является частным случаем известного уравнения ГамильтонаЯкоби, так что все рассуждения можно сформулировать в виде теоремы Якоби. Если найдено решение уравнения Гамильтона-Якоби

⎛∂ S ⎞ F ⎜⎜ 1 , q ⎟⎟ = const, ⎝ ∂q ⎠

(2.1.13)

зависящее от n параметров Qi(0) таковых, что справедливо соотношение (2.1.4), то полное решение (общий интеграл) системы канонических уравнений dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− dt ∂q

(2.1.14)

определится соотношениями p=

∂ S1 (Q , q ) ∂ S (Q , q ) , P =− 1 . ∂q ∂Q

(2.1.15)

Заметим, что решение уравнения (2.1.13)

S1 = S1 (q1 ,K, qn , Q1 ,K, Qn ), обладающее указанным свойством (то есть независимостью всех параметров Qi), носит название полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. И задача интегрирования канонической системы (2.1.14) сводится к проблеме нахождения полного интеграла уравнения (2.1.13). Замечание. В случае функций преобразований, введенных в разделе 1.6, формулировка теоремы Якоби несколько меняется. Так, для функций S3 и S4 уравнение Гамильтона-Якоби (2.1.13) имеет вид

⎛ ∂S ⎞ F ⎜⎜ − , p ⎟⎟ = const, ⎝ ∂p ⎠

(2.1.16)

и полное решение системы канонических уравнений (2.1.14) дается либо соотношениями

42

Часть I. Методы небесной механики

q =−

∂ S3 ∂S , P =− 3, ∂p ∂Q

(2.1.17)

∂ S4 ∂ S4 , Q= . ∂p ∂P

(2.1.18)

либо q =−

В первом случае независимыми постоянными являются величины Qi, а во втором — Pi (i = 1, n) . В случае функции S2 уравнение Гамильтона-Якоби сохраняет вид (2.1.13), но полное решение определяется уравнениями p=

∂ S2 ∂ S2 , Q= . ∂q ∂P

(2.1.19)

Здесь все Pi — независимые постоянные, i = 1, n. Рассмотрим теперь случай неавтономных систем. Полагая

∂S ∂S = p, =v ∂q ∂u

(2.1.20)

и приравнивая функцию F′ (см. раздел 1.8) к постоянной, находим

⎛ ∂ S, ⎞ ∂S F ⎜⎜ , q , u ⎟⎟ + = const. ⎝∂q ⎠ ∂u

(2.1.21)

Заменяя u на t, окончательно получим

⎛ ∂ S, ⎞ ∂S F ⎜⎜ , q , t ⎟⎟ + = const. ⎝∂q ⎠ ∂t

(2.1.22)

2.2. Случай разделения переменных В некоторых особых случаях нахождение полного интеграла можно свести к квадратурам путем так называемого метода разделения переменных. Его сущность заключается в следующем. Пусть какая-либо координата, скажем, q1 и соответствующая ей производная ∂ S ∂ q1 входят в уравнение Гамильтона-Якоби в виде некоторой комбинации ϕ (q1 , ∂ S ∂ q1 ), не содержащей никаких других координат и производных, то есть уравнение (2.1.13) имеет вид: ⎛ ∂S ⎛ ∂S ∂ S ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ = c. F ⎜⎜ ,K, , q 2 , K , q n , ϕ ⎜⎜ q1 , ⎟ q q ∂ ∂ q ∂ 2 1 n ⎠⎠ ⎝ ⎝ Положим в этом случае (1) S = S (q1 ) + S ′ (q 2 , q3 ,K, q n ).

Подстановка этого выражения в (2.2.1) дает

(2.2.1)

(2.2.2)

Глава 2. Методы интегрирования

43

⎛ ∂ S′ ∂ S′ ⎛ ∂ S (1) ⎞ ⎞ ∂ S′ ⎟ ⎟ = c. (2.2.3) F ⎜⎜ , ,K, , q 2 , K , q n , ϕ ⎜⎜ q1 , ∂ qn ∂ q1 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ∂ q 2 ∂ q3 Предположим, что функция S найдена, тогда уравнение (2.2.3) должно выполняться тождественно при любом q1. Но при произвольном изменении q1 может измениться лишь функция ϕ. Поэтому тождественность равенства (2.2.3) требует, чтобы функция ϕ была постоянной. Следовательно, уравнение (2.2.3) распадается на два: ⎛ dS (1) ⎞ ϕ ⎜ q1 , (2.2.4) ⎟ = Q1 , dq1 ⎠ ⎝

⎛ ∂ S′ ⎞ ∂ S′ F ⎜⎜ , K, , q 2 ,K, q n , Q1 ⎟⎟ = c, (2.2.5) ∂ qn ⎝ ∂ q2 ⎠ где Q1 — произвольная постоянная. Уравнение (2.2.4) есть так называемое обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого функция S(1) может быть определена квадратурой S (1) = ∫ ψ (1) ( q1 , Q1 ) dq1 ,

(2.2.6)

после чего мы приходим к уравнению в частных производных (2.2.5), но с уже меньшим по сравнению с исходным уравнением (2.2.1) числом переменных. Положим, что таким способом можно отделить все переменные, то есть решение уравнения (2.2.1) имеет вид n

S = ∑ S ( k ) (q k , Q1 ,K, Qn ),

(2.2.7)

S ( k ) = ∫ψ ( k ) (q k , Q1 , K , Qn )dq k ,

(2.2.8)

k =1

где а Q1 ,K, Qn — постоянные. В этом случае согласно теореме Якоби решение исходной канонической системы, отвечающей уравнениям (2.1.14), определяется формулами dS ( k ) (q k , Q1 , K , Qn ) ∂S , Pk = − (k = 1, n). (2.2.9) ∂ Qk dq k Отметим, что случай циклической переменной, то есть переменной, не входящей явно в функцию F, следует из рассмотренного случая как частный. Действительно, пусть F не зависит явно от q1 и S представима в виде (2.2.2). Тогда из (2.2.4) заключаем, что dS (1) = Q1 (2.2.10) dq1 и, следовательно, S = Q1q1 + S ′(q2 , q3 ,K, qn ). (2.2.11) Из выражения (2.2.9) получаем известный результат dS (1) p1 = = Q1 = const . (2.2.12) dq1 pk =

44

Часть I. Методы небесной механики

2.3. Интегрирование уравнений задачи одного неподвижного центра Рассмотрим уравнения движения точки P с массой m относительно точки P0 массы M. Начало сферической системы координат совместим с P0. Тогда уравнения движения точки P, как следует из раздела 1.6, имеют вид dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− , dt ∂q

(2.3.1)

где q и p — трехмерные векторы, F = T − U, T=

[

]

1 2 −2 p1 + r −2 p22 + (r cosϕ ) p32 , 2m U=

χ r

(2.3.2) (2.3.3)

,

χ = fmM, q1 = r, q2 = ϕ, q3 = λ, f — гравитационная постоянная. Для решения этих уравнений обратимся к методу Гамильтона-Якоби. Воспользуемся производящей функцией S2 ( P , q ) , которую в дальнейшем будем обозначать просто S. Согласно разделу 2.1, уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид (2.1.13)

⎛ ∂S⎞ ⎟⎟ = K , F ⎜⎜ q , ⎝ ∂q⎠

(2.3.4)

где K — постоянная, и если будет найдено его решение, то решение исходной системы определится выражениями ∂S ∂S (2.3.5) p= , Q = . ∂q ∂P В дальнейшем, следуя астрономической традиции, будем употреблять обозначения P1 = L, P2 = G, P3 = H , (2.3.6) Q1 = l , Q2 = g , Q3 = h, при этом, согласно (2.1.19), L, G, H являются независимыми постоянными. Уравнение Гамильтона-Якоби (2.3.4) можно представить в виде

⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S ⎞ 1 ⎡⎛ ∂ S ⎞ ⎟ ⎟⎟ + (q1 cos(q 2 ))− 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + q1− 2 ⎜⎜ ⎢⎜⎜ 2m ⎢⎝ ∂ q1 ⎠ ∂ q2 ⎠ ∂ q3 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎣ 2

2

2

⎤ χ ⎥ − = K. ⎥⎦ q1

(2.3.7)

Ограничимся рассмотрением случая K < 0. Тогда из (2.3.6) сразу следует, что r = q1 < ∞. Вводя постоянную L, положим mχ 2 2L2 и будем пытаться решить уравнение (2.3.7) методом разделения переменных. Для этого, учитывая, что переменная λ явно в уравнение не входит, введем постоянную H и представим S в виде суммы K =−

Глава 2. Методы интегрирования

45

S = S1 ( r ) + S2 (ϕ ) + λH + const .

(2.3.8)

Подставляя S в (2.3.7), получим 2 ⎡ 1 ⎧⎪⎛ ∂ S1 ⎞ −2 ⎛ ∂ S 2 ⎟ ⎜ r + ⎢⎜⎜ ⎨⎜ 2m ⎪⎝ ∂ r ⎟⎠ ⎢⎣⎝ ∂ϕ ⎩

2 ⎤⎫ χ ⎞ mχ 2 −2 ⎪ 2 ⎟⎟ + H (cos ϕ ) ⎥ ⎬ − = − 2 . 2L ⎥⎦ ⎪⎭ r ⎠

(2.3.9)

Но выражение в квадратных скобках зависит только от ϕ, поэтому мы вправе положить ⎛ ∂ S2 ⎜⎜ ⎝ ∂ϕ

2

⎞ ⎟⎟ + H 2 (cos ϕ )− 2 = G 2 , ⎠

(2.3.10)

где G — постоянная. Тогда для S1 получается уравнение 2 ⎤ χ mχ 2 1 ⎡⎛ ∂ S1 ⎞ ⎟⎟ + r − 2 G 2 ⎥ − + ⎢⎜⎜ = 0. 2m ⎢⎝ ∂ r ⎠ r 2 L2 ⎥ ⎣ ⎦

(2.3.11)

Уравнения (2.3.10) и (2.3.11) легко интегрируются, и в результате находим

(

S = ± ∫ 2mχr −1 − G 2 r −2 − m 2 χ 2 L−2

(

± ∫ G 2 − H 2 (cosϕ ) −2

)

12

)

12

dr ±

dϕ + λH + Ψ ( L, G , H ),

(2.3.12)

где Ψ — произвольная функция указанных аргументов. Подставляя S в первую группу формул (2.3.5), получим ⎛ 2 mχ G 2 m 2 χ 2 ⎞ − 2 − p1 = ± ⎜ ⎟ r L2 ⎠ ⎝ r

12

12

⎛ 2 H2 ⎞ p2 = ± ⎜ G − ⎟ , cos2 ϕ ⎠ ⎝

,

p3 = H ,

(2.3.13)

откуда следует, что действительным значениям p1 соответствуют значения r из интервала r1 ≤ r ≤ r2 , где

r1 =

(

)

(

)

L2 L2 1 − 1 − G 2 L−2 , r2 = 1 + 1 − G 2 L−2 . mχ mχ

(2.3.14)

По астрономической традиции величины r1 и r2 обычно представляют в виде где a > 0, 0 ≤ e ≤ 1, так что

r1 = a(1 − e),

r2 = a(1 + e),

(2.3.15)

L = mχa, G = mχa(1 − e ).

(2.3.16)

2

2

2

Поскольку, согласно (2.3.5), (2.3.11), dp1 G 2 − mχr = , dr r 3 p1

(2.3.17)

то несложно установить, что движение изображающей точки на фазовой плоскости (p1,q1) происходит по замкнутой кривой, симметричной относительно оси q1 = r и пересекающей ее под прямым углом (рис. 2).

46

Часть I. Методы небесной механики

p

1

0

r1

r

r2

q1

Рис. 2. Кроме того, из первого уравнения (2.3.1) следует, что dq1 / dt = p1 / m, поэтому в верхней полуплоскости точка на фазовой плоскости движется от r1 к r2, а в нижней — наоборот. В точке r = a (1 − e 2 ) величина p1 достигает своего максимального значения. Рассмотрим теперь выражение для p2 (2.3.10). Действительным движениям отвечают значения ϕ, для которых H2 cos2 ϕ ≥ 2 . (2.3.18) G В астрономии принято использовать угловую постоянную i (0 ≤ i ≤ π), связанную с H и G соотношением H 2 = G 2 cos2 i. (2.3.19) Рассмотрим теперь первое уравнение из второй группы преобразований (2.3.5). Согласно выражению для S (2.3.12), имеем

l=

∂ S1 + Ψ1 , ∂L

(2.3.20)

где Ψ1 = ∂Ψ/∂L, или, полагая

R=−

m2 χ 2 2 r + 2mχr − G 2 , 2 L

(2.3.21)

получим

m2 χ 2 r ⋅ dr + Ψ1 . (2.3.22) L3 R1/ 2 Для вычисления интеграла введем угол E, называемый эксцентрической аномалией и определяемый выражением l = ±∫

r = a(1 − e⋅cosE).

(2.3.23)

Нетрудно видеть, что R является полиномом второй степени относительно cosE и, кроме того, обращается в нуль (имеет нуль 2-го порядка) при E, кратных π, то есть он пропорционален sin2E, а именно: R = Q⋅sin2E. Подставляя выражения (2.3.23) и (2.3.22) в (2.3.21), получим выражение для коэффициента пропорциональности Q: Q=

(

)

1 − m 2 χ 2 a 2 (1 − e ⋅ cos E ) 2 + 2mχL2 a (1 − e ⋅ cos E ) − L2 G 2 . 2 L sin E 2

(2.3.24)

Глава 2. Методы интегрирования

47

Теперь полагая, что E может принимать и мнимые значения, перейдем к пределу E→∞ . Тогда, учитывая, что cos2 E lim = −1, E →∞ sin 2 E находим m2 χ 2 a 2 e 2 Q= . L2 Таким образом, согласно (2.3.13), (2.3.19), −i ≤ ϕ ≤ i, и на фазовой плоскости (p2,q2) движение происходит по симметричной относительно обеих осей кривой, изображенной на рис. 3, где p2 = G sin i.

p2 p2 -i

i

q2

Рис. 3. Наконец, движение на плоскости (p3,q3) происходит по прямой, параллельной оси q3 (см. (2.3.13)). Представим теперь элементы L, G, H через постоянные a, e, i. Из (2.3.16) и (2.3.19) находим

(

L = ( mχ ) 1/ 2 a 1/ 2 , G = L 1 − e 2

)

1/ 2

,

H = G cosi.

(2.3.25)

Здесь для удобства дальнейших выкладок выбран знак плюс, хотя возможен выбор и другой комбинации знаков. Сопряженные переменные определяются, согласно (2.3.5), (2.3.6), выражениями ∂S ∂S ∂S (2.3.26) l= , g= , h= . ∂L ∂G ∂H Для нахождения первой сопряженной переменной воспользуемся соотношением (2.3.22). В силу (2.3.21)-(2.3.25) 2

⎛ mχae ⎞ 2 2 2 2 R=⎜ ⎟ sin E = e L sin E ⎝ L ⎠

(2.3.27)

и

l = ±∫

m2 χ 2 r ⋅ dr + Ψ1 . L4 e sin E

Учитывая, что dr = aesinE⋅dE , имеем

l = ± ∫ (1 − e cos E ) dE + Ψ1 = ± ( E − e sin E ) + Ψ1 .

(2.3.28)

48

Часть I. Методы небесной механики

Выбирая по традиции знак плюс и считая l = 0 при E = 0, получаем уравнение Кеплера

l = E − esinE,

(2.3.29)

позволяющее находить E, а следовательно, и r (при известных величинах a, e) по известному значению l. Обратимся теперь к третьему уравнению из группы (2.3.26). Представляя его подробно, с учетом (2.3.12) будем иметь h = ±∫

где Ψ2 =

H ⋅ dϕ

(

cos2 ϕ G 2 − H 2 cos −2 ϕ

)

1/ 2

+ λ + Ψ2 ,

(2.3.30)

∂Ψ , или, с учетом (2.3.19), ∂H h = ± cos i ∫

(

dϕ

cos ϕ 1 − cos i cos ϕ 2

2

−2

)

1/ 2

+ λ + Ψ2 .

(2.3.31)

Вычисляя интеграл при помощи подстановки x = tgϕ, находим

±tgi ⋅ sin (λ − h + Ψ2 ) = tgϕ.

(2.3.32)

Выбирая знак плюс и полагая Ψ2 = 0, получим

± tgi ⋅ sin (λ − h) = tgϕ.

(2.3.33)

Если перейти к прямоугольным координатам, то на основании уравнения (2.3.33) можно записать (см. (1.6.28))

sin(h) sin i ⋅ x1 − cos(h) sin i ⋅ x2 + cosi ⋅ x3 = 0.

(2.3.34)

Это уравнение плоскости, которая проходит через начало координат (то есть движение точки P происходит в плоскости, перпендикулярной вектору, образующему угол i с осью Ox3) и пересекает плоскость Ox1x2 по прямой, образующей угол h с осью Ox1. При условии отсчета h от той части прямой, в которой находится точка P, при переходе к положительным значениям угла ϕ угол h обозначается через Ω и носит название долготы восходящего узла. Угол i называется наклонением орбиты. Рассмотрим теперь второе из уравнений (2.3.26). Подставляя в него выражение (2.3.12), находим g = ±G ∫

(G

dϕ 2

− H 2 cos−2 ϕ

∂Ψ . ∂G Вводя по формуле

)

1/ 2

± G∫

(

dr

r 2 2mχr −1 − G 2 r −2 − m 2 χ 2 L−2

)

1/ 2

+ Ψ3 , (2.3.35)

где Ψ3 =

sinϕ = sini⋅sinu

переменную u, называемую аргументом широты, будем иметь

(2.3.36)

Глава 2. Методы интегрирования g ± u = ±G ∫

49 dr

(

r 2 2mχr −1 − G 2 r −2 − m2 χ 2 L−2

)

1/ 2

+ Ψ3 .

(2.3.37)

Несобственный интеграл, стоящий в правой части (2.3.37), как нетрудно видеть, является сходящимся, и после интегрирования находим

r=

a (1 − e 2 ) . 1 + e cos( ± u + g − Ψ3 )

(2.3.38)

Признано удобным принимать Ψ3 = 0 и выбирать знаки таким образом, чтобы r = r1 (см. (2.3.15)) при u = g, то есть

r=

a (1 − e 2 ) , 1 + e cos v

(2.3.39)

где v = u − g. Это уравнение эллипса в полярных координатах. Его большая полуось есть a, эксцентриситет — e, величина g носит название аргумента перицентра и обычно обозначается как ω. Введенный угол v называется истинной аномалией и связан с ранее введенной эксцентрической аномалией E формулой 1/ 2

v ⎛1+ e ⎞ tg = ⎜ ⎟ 2 ⎝1− e ⎠

tg

E , 2

(2.3.40)

следующей из известных свойств эллипса и легко получаемой из (2.3.23) и (2.3.39). Теперь, согласно теореме Якоби, осталось показать, что для введенных переменных P и Q выполняется условие ⎛ ∂ 2S Δ = det ⎜ ⎜∂q ∂P ⎝ i j

⎞ ⎟ ≠ 0. ⎟ ⎠

(2.3.41)

С учетом (2.3.12) имеем

∂ 2S ∂ r∂ L Δ=

0 0

∂ 2S ∂ r∂ G ∂ 2S ∂ϕ∂ G 0

0

∂ 2S ∂ 2S ∂ 2S = ⋅ . ∂ϕ∂ H ∂ r∂ L ∂ϕ∂ G

(2.3.42)

1

Учитывая выражение для импульсов (2.3.13), находим Δ=±

Gm2 χ 2 . L3 p1 p2

(2.3.43)

Поскольку p1 является функцией ограниченной, L < ∞, G/p2 ≠ 0, то, следовательно, Δ ≠ 0. Исходные уравнения (2.3.1) в новых переменных примут вид

50

Часть I. Методы небесной механики

∂K ∂K ∂K dL dG dH =− , =− , =− , dt dt dt dh ∂l ∂g dl ∂ K dg ∂ K dh ∂ K = , = , = . dt ∂ L dt ∂ G dt ∂ H

(2.3.44)

Поскольку K = − mχ 2 / (2 L2 ), то все элементы, за исключением l, являются постоянными, а l = n(t − t 0 ). (2.3.45) Здесь t0 — момент времени, отвечающий прохождению точки P через перицентр (см. (2.3.23), (2.3.29)), n = m χ 2 L3 носит название среднего движения. Таким образом, движение точки P происходит по эллипсу, размеры и форма которого характеризуются параметрами a и e, а ориентация в пространстве задается углами i, Ω и ω. Положение точки P на эллипсе определяется углом v (или E), связанным со средней аномалией l, являющейся линейной функцией времени, уравнением Кеплера (2.3.29). Введенные канонические переменные (2.3.44) связаны с указанными элементами, как мы установили, следующим образом: L = mχ a , G = L 1 − e 2 , l = n( t − t 0 ),

g = ω,

H = G cosi , h = Ω.

(2.3.46)

Впервые введенные знаменитым французским небесным механиком Ш. Делоне при разработке теории движения Луны, они называются элементами Делоне. Заметим, что, как уже указывалось в разделе 1.1, канонические уравнения не изменяются при замене P на λ 0 P и F на λ 0 F , где λ 0 — некоторый скалярный множитель. Во введенных элементах (2.3.46) фигурирует множитель (mχ )1/ 2 = m( fM )1/ 2 , поэтому, выбирая λ 0 = 1/ m, можно перейти к элементам L = χ 1a , l = n(t − t 0 ),

G = L 1 − e2 , g = ω,

H = G cos i, h = Ω,

(2.3.47)

в которых χ 1 = fM, а n = ∂ K ∂ L , причем гамильтониан

K=−

χ 12 2 L2

.

(2.3.48)

Покажем теперь, что введенные элементы позволяют определить и прямоугольные координаты (x,y,z) точки P. Для этого продифференцируем по t равенство (2.3.33) (согласно (2.3.44), h и i — постоянные величины): λ& ⋅ tgi cos( λ − h) = ϕ& ⋅ cos −2 ϕ . (2.3.49) Исключая из этого равенства λ& и ϕ& при помощи соотношений (1.6.33), (2.3.13), (2.3.19) и имея в виду подстановку (2.3.36), находим

cos u = cosϕ cos(λ − h).

(2.3.50)

Глава 2. Методы интегрирования Таким образом,

51

cosu = cosϕ⋅sinλ⋅sinh + cosϕ⋅cosλ⋅cosh.

(2.3.51)

Представляя формулу (2.3.33), с учетом преобразования (2.3.36), в виде cosϕ⋅sinλ⋅cosh − cosϕ⋅cosλ⋅sinh = cosi⋅sinu,

(2.3.52)

из последних двух соотношений находим cos ϕ sin λ = cos usin h + cos i sin ucosh, cosϕ cos λ = cos ucosh − cos i sin usin h.

(2.3.53)

В результате из формул (1.6.28) получим

x = rcosϕ⋅cosλ = r[cosu⋅cosh − cosi⋅sinu⋅sinh], y = rcosϕ⋅sinλ = r[cosu⋅sinh + cosi⋅sinu⋅cosh],

(2.3.54)

z = rsinϕ = r sinu⋅sini, или

H ⎡ ⎤ x = r ⎢cos( v + g ) cos(h) − sin( v + g ) sin( h)⎥, G ⎣ ⎦ H ⎡ ⎤ y = r ⎢cos( v + g ) sin( h) + sin( v + g ) cos(h)⎥, G ⎣ ⎦ ⎡ H2⎤ z = r ⎢1 − 2 ⎥ ⎣ G ⎦

(2.3.55)

1/ 2

sin( v + g ),

где

r=

G 2 χ1 1 + 1 − (G L) 2 ⋅ cos v

.

2.4. Интерпретация постоянных L, G, H Обратимся к трактовке постоянных L, G, H. Во-первых, из самого способа введения L следует, что постоянство L есть следствие закона сохранения энергии. Из последних равенств (2.3.13) и (1.6.33) можно сделать заключение о том, что постоянство H выражает закон сохранения момента количества движения относительно оси z. Если перейти к плоским полярным координатам, отсчитываемым в плоскости орбиты точки P, то гамильтониан задачи будет иметь вид H=

1 χ p12 + p 2 r −2 − . 2m r

(

)

(2.4.1)

Здесь p — величина полного момента количества движения. Сравнение этого выражения с формулой (2.3.2) показывает, что

p 2 = p22 + p32 cos2 ϕ . Следовательно, на основании уравнений (2.3.13) получим

(2.4.2)

52

Часть I. Методы небесной механики

G = p,

(2.4.3)

то есть G представляет собой модуль вектора момента количества движения точки P. Пусть его компоненты будут G1, G2, G3, тогда

G1q1 + G2q2 + G3q3 = 0,

(2.4.4)

и, сравнивая это уравнение с соотношением (2.3.34), находим, с учетом (2.3.46),

G1 = Gsini⋅sinΩ, G2 = −Gsini⋅cosΩ, G3 = Gcosi.

(2.4.5)

Вспомнив выражение для интеграла площадей в покомпонентной записи, найдем окончательно (см.(1.2.5)):

q2 p3 − p2 q3 = Gsini⋅sinΩ, q3 p1 − q1 p3 = −Gsini⋅cosΩ,

(2.4.6)

q1 p2 − q2 p1 = Gcosi. 2.5. Канонические элементы Пуанкаре Пуанкаре ввел в небесную механику две системы канонических элементов. Первая из них связана с элементами Делоне следующим образом: Λ = L,

λ = l + g + h,

Γ = L − G,

γ = −g − h,

Z = G − H,

z = − h.

(2.5.1)

Для доказательства каноничности новых элементов достаточно воспользоваться леммой Пуанкаре (раздел 1.3) и рассмотреть выражение

dS = ldL + gdG + hdH − λdΛ − γdΓ − zdZ,

(2.5.2)

для которого, в силу (2.5.1),

dS = ldL + gdG + hdH − (l + g + h)dL + (g + h)(dL − dG) + h(dG − dH) ≡ 0, то есть (2.5.2) является полным дифференциалом, что и доказывает каноничность новых элементов. Нетрудно, воспользовавшись соотношениями (2.3.47), выразить новые переменные через элементы кеплеровского движения: Λ = χ 11/2 a 1/2 ,

[

]

λ = n( t − t 0 ) + π ,

Γ = χ 11/2 a 1/2 1 − (1 − e 2 ) 1/2 ,

γ = −π = −ω − Ω,

Z = χ 11/2 a 1/2 (1 − e 2 ) 1/2 [1 − cosi ],

z = − Ω,

(2.5.3)

откуда следует, что при малых e 1 Γ = 1 − (1 − e 2 ) 1/ 2 = e 2 + K , 2 Λ

(2.5.4)

то есть Γ/Λ — величина порядка квадрата эксцентриситета. Если и величина i мала, то

Глава 2. Методы интегрирования

53

1 Z = 1 − cos i = i 2 + K , 2 1/ 2 2 Λ(1 − e )

(2.5.5)

то есть величина Z будет порядка квадрата наклонения орбиты. Вторую систему элементов Пуанкаре принято обозначать Λ, λ, ξ, η, p, q,

(2.5.6)

где Λ, λ — элементы первой системы, а

ξ = (2Γ ) 1/2 cosγ ,

η = (2Γ ) 1/2 sin γ ,

p = (2 Z ) 1/ 2 cos z,

q = ( 2 Z ) 1/ 2 sin z

(2.5.7)

образуют каноническую систему, что следует из примера раздела 1.4. Выразим эти элементы через кеплеровские, воспользовавшись соотношениями (2.5.3) и (2.5.7): Λ = χ 11/2 a 1/2 , λ = l + Ω +ω,

(

[

ξ = 2 χ 11/2 a 1/2 1 − (1 − e 2 ) 1/2

(

])

[

η = − 2 χ 11/2 a 1/2 1 − (1 − e 2 ) 1/2

1/ 2

])

(

cosπ ,

1/ 2

sin π ,

)

p = 2 χ 11/2 a 1/2 (1 − e 2 ) 1/2 [1 − cosi ]

(

1/ 2

)

q = − 2 χ 11/2 a 1/2 (1 − e 2 ) 1/2 [1 − cosi ]

(2.5.8)

cos Ω,

1/ 2

sin Ω.

Из этих формул следует, что величины ξΛ−1/ 2 , ηΛ−1/ 2 имеют порядок эксцентриситета, а pΛ−1/ 2 , qΛ−1/ 2 — порядок наклонения орбит. Пуанкаре назвал ξ, η — эксцентрическими, а p, q — облическими переменными. 2.6. Интегрирование уравнений задачи двух тел Рассмотрим движение двух материальных точек P0 и P с массами m0 и m, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. Уравнения движения точки P относительно P0 в этом случае имеют вид:

m

d 2 xi ∂ U = , ∂ xi dt 2

(2.6.1)

где i = 1,3 , xi — прямоугольные координаты P,

(

r = x12 + x22 + x32

)

1/ 2

, U=

χ r

,

χ = fm( m + m0 ),

f — гравитационная постоянная. Если перейти к сферическим координатам x1 = rcosϕcosλ, x2 = rcosϕsinλ, x3 = rsinϕ и ввести импульсы (см. (1.6.33))

(2.6.2)

54

Часть I. Методы небесной механики

p1 = m

dr , dt

p2 = mr 2

dϕ , dt

p3 = mr 2 cos2 ϕ

dλ , dt

(2.6.3)

то уравнения (2.6.1) приобретут каноническую форму dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− , ∂q dt

(2.6.4)

где q = (q1 , q2 , q3 ), p = ( p1 , p2 , p3 ) — компоненты трехмерных векторов обобщенных координат и импульсов, F = T − U,

(

)

1 p12 + r − 2 p 22 + r −2 p32 cos − 2 ϕ , 2m q1 = r ,q 2 = ϕ , q3 = λ.

T=

(2.6.5)

Таким образом, получаются уравнения задачи одного неподвижного центра и, следовательно, решение задачи представляется выражениями раздела 2.3, в которых следует положить χ = fm(m + m0) вместо fmM. 2.7. Метод вариации произвольных постоянных Предположим, что в уравнениях q& =

∂F , ∂p

p& = −

∂F ∂q

(2.7.1)

гамильтониан F в общем случае неавтономной системы представим в виде

F = F0 + F1 ,

(2.7.2)

причем решение системы с F = F0 известно, то есть удается найти решение уравнения Якоби вида ⎛ ∂S ⎞ ∂S + F0 ⎜⎜ q , ,t ⎟⎟ = const. (2.7.3) ∂t ⎝ ∂q ⎠ Пусть S = S(q1, ... ,qn; α1, ..., αn, t) — полный интеграл этого уравнения. Тогда, принимая S за производящую функцию, то есть считая (см. (1.5.12))

∂S ∂S = p, =β ∂q ∂α

(2.7.4)

( α , β — фиксированные n-мерные вектора для F = F0), приходим, согласно разделу 1.8, к новым переменным α , β и новому гамильтониану ∂S (2.7.5) Φ = F0 + F1 + . ∂t С учетом (2.7.5) уравнения для α , β будут иметь вид:

β& =

∂F ∂Φ , α& = − 1 , ∂α ∂β

(2.7.6)

Глава 2. Методы интегрирования

55

где F1 = F1( α , β , t). Следовательно, для решения системы (2.7.1) нужно из уравнений (2.7.4) найти функции q = q (α , β , t ), p = p (α , β , t ) и подставить в них α , β , являющиеся решениями системы (2.7.6). 2.8. Адиабатические инварианты

(

)

Предположим, что гамильтониан F q , p, θ * канонической системы dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− dt ∂q

(2.8.1)

помимо переменных q = ( q1 , K, q n ), p = ( p1 , K, p n ) зависит от некоторого параметра θ* (или, в общем случае, параметров θ 1* , K , θ *m ), который под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) изменяется со временем, так что за характерное время периода T движения системы выполняется условие

θ* dθ * 0), а затем уменьшаться до первоначального значения r1 (p1 < 0) (рис. 4). Подынтегральная функция, таким образом, двузначна, и поэтому необходимо ввести в r-плоскости разрез между двумя точками ветвления r1 и r2. Контур C1 охватывает разрез, деформируя его в два контура C2 + C3, при этом получим два интеграла, которые вычислим, пользуясь теоремой о вычетах:

I1 =

1 2π

1

1

∫ p dr = 2π ∫ p dr + 2π ∫ p dr = i[res( p ,0) + res( p , ∞)] = 1

C1

1

C2

= −( I 2 + I 3 ) + L

1

1

C3

(i 2 = −1).

1

(2.9.23)

Глава 2. Методы интегрирования

61

Второй вычет вычисляется введением новой переменной z = r −1 и разложением радикала в ряд около точки z = 0.

∞

Разрез

0 r C2

r

1

2

C1

C3

Рис. 4. Последнее равенство позволяет записать гамильтониан в переменных действиеугол в виде mχ 2 mχ 2 . K=− 2 =− (2.9.24) 2L 2( I 1 + I 2 + I 3 ) 2 Частоты движения по всем координатам равны ω:

ω=

∂K ∂K ∂K mχ 2 = = = , ∂ I1 ∂ I 2 ∂ I 3 ( I1 + I 2 + I 3 ) 3

(2.9.25)

и, следовательно, кеплеровское движение является полностью вырожденным. Вырождающиеся частоты можно исключить, перейдя к новым переменным I ′ , θ ′ при помощи преобразований I1′ = I 3 , I 2′ = I 3 + I 2 ,

(2.9.26)

I 3′ = I 3 + I 2 + I1 . Гамильтониан в новых переменных имеет вид mχ 2 , K=− 2 2 I 3′

(2.9.27)

причем в него входит лишь переменная I 3′ , для которой соответствующая частота отлична от нуля. Угловые переменные θ ′j можно найти с помощью уравнений

θ′ =

∂S , ∂ I 3′

а переменные действия

I1′ = H , I 2′ = G, I 3′ = L являются элементами Делоне. 2.10. Понижение порядка Обратимся опять к системе канонических уравнений

(2.9.28)

62

Часть I. Методы небесной механики q& =

∂F , ∂p

p& = −

∂F , ∂q

(2.10.1)

где F = F ( q , p ). Интегрирование этой системы может быть сведено, как было установлено ранее, к интегрированию уравнения ⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟ = const. F ⎜⎜ q , (2.10.2) ⎝ ∂q ⎠ Предположим, что известен еще один интеграл системы (2.10.1)

F1 (q , p ) = const ,

(2.10.3)

(F,F1) = 0.

(2.10.4)

то есть (см. раздел 1.7) Знание этого интеграла позволяет понизить порядок системы (2.10.1) на единицу. Действительно, уравнение (2.10.4) означает, что существует функция S, удовлетворяющая уравнению (2.10.2) и уравнению

⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟ = const. F1 ⎜⎜ q , ⎝ ∂q ⎠

(2.10.5)

Исключив из уравнений (2.10.2) и (2.10.5), например, ∂ S /∂ q1, получим соотношение ⎛ ∂S ∂S ∂S ⎞ ⎟ = 0. Φ⎜⎜ q1 , K , q n , , ,K, (2.10.6) ∂ q 2 ∂ q3 ∂ q n ⎟⎠ ⎝ Производная ∂ S /∂ q1 уже не входит в уравнение (2.10.6), и можно рассматривать q1 как параметр. Значит, уравнение (2.10.6) становится уравнением в частных производных с n − 1 независимой переменной, и задача сводится к интегрированию системы с n − 1 степенью свободы вида q& i =

∂Φ , ∂ pi

p& i = −

∂Φ ∂ qi

i = 2, n.

(2.10.7)

Что же можно сказать, если известны k независимых интегралов системы (2.10.1)? Пусть эти интегралы есть F1, F2, ..., Fk, (2.10.8) так что (см. (1.7.3)) (F,F1) = (F,F2) = ... = (F,Fk) = 0. (2.10.9) Можно ли понизить порядок системы (2.10.1) на k единиц? В общем случае это сделать не удается, так как для этого нужно, чтобы k + 1 уравнение в частных производных F = const, F1 = const, ..., Fk = const были совместимыми, что требует выполнения условий

(2.10.10)

Глава 2. Методы интегрирования

63

(Fm,Fl) = 0 m, l = 1, k .

(2.10.11)

В этом случае каждый из интегралов (2.10.10) может быть выбран в качестве гамильтониана системы (2.10.1). Если эти условия выполнены, то из уравнений (2.10.10) можно исключить производные

∂S ∂S ∂S , , K, , ∂ q1 ∂ q 2 ∂ qk в результате чего остается уравнение ⎛ ∂S ∂S ,K , Φ⎜⎜ q1 , q 2 , K , q n , ∂ q k +1 ∂ qn ⎝

(2.10.12)

⎞ ⎟⎟ = 0, ⎠

(2.10.13)

не содержащее этих k производных. Поэтому qk +1 , qk + 2 ,K, qn будут независимыми переменными, а q1, q2, ..., qk — параметрами, и исходные уравнения станут описывать систему с n − k степенями свободы. На основании этих результатов можно сформулировать теорему Лиувилля: если канонические уравнения (2.10.1) обладают n независимыми интегралами, которые находятся в инволюции (выполняется условие (2.10.11)), то система (2.10.1) интегрируема в квадратурах. 2.11. Дополнения Приведем кратко историю нахождения интегрируемых случаев уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных. В 1843 г. К. Якоби [2] нашел методом разделения переменных полный интеграл уравнения вида ⎛ ∂S ⎜⎜ ∑ i =1 ⎝ ∂ q i k

2

⎞ ⎟⎟ = h. ⎠

(2.11.1)

Несколько позднее, в 1846 году, Р. Лиувилль [3] показал, что интегрируемо более общее, чем (2.11.1), уравнение, а именно:

⎡ 1 ⎛ ∂S ⎜⎜ ⎢ ∑ i =1 ⎢ a i ( q i ) ⎝ ∂ q i ⎣ k

2 k ⎤ ⎞ ⎟⎟ − 2U i (qi )⎥ = 2h∑ bi (qi ). ⎥⎦ i =1 ⎠

(2.11.2)

В 1880 г. Дж. Морера [4] нашел методом разделения переменных все случаи интегрируемости уравнения 2

⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S ∂S ∂S ⎟⎟ + 2a12 ( q1 , q 2 ) a11 ( q1 , q 2 )⎜⎜ + a 22 (q1 , q 2 )⎜⎜ ∂ q1 ∂ q 2 ⎝ ∂ q1 ⎠ ⎝ ∂ q2

2

⎞ ⎟⎟ − U ( q1 , q 2 ) = h. (2.11.3) ⎠

П. Штекель [5] в 1891 г. исследовал проблему интегрируемости уравнения ⎛ ∂S a i ( q1 , q 2 , K , q k )⎜⎜ ∑ i =1 ⎝ ∂ qi k

2

⎞ ⎟⎟ − 2U ( q1 , q 2 , K , q k ) = 2h ⎠

(2.11.4)

64

Часть I. Методы небесной механики

и доказал теорему о том, что если уравнение (2.11.4) допускает разделение переменных, то должны существовать система k2 функций ϕij(qi) ( i , j = 1, k ) и система k функций ψ i(qi) ( i = 1,k ), обладающих тем же свойством, что и коэффициенты ai. Силовая функция U представляется соотношениями ai =

k 1 ∂Δ , U = ∑ψ i ai , Δ = det{ϕ ij }. Δ ∂ϕ i1 i =1

(2.11.5)

Эти условия являются и достаточными [6]. После работы Штекеля представляло интерес рассмотрение уравнения вида ⎞⎛ ∂ S ⎞ ⎟+ ⎟⎟⎜ ⎜∂q ⎟ ⎠⎝ j ⎠ k ∂S + ∑ bi (q1 , q 2 , K, q k ) − U (q1 , q 2 ,K, q k ) = h. ∂ qi i =1

⎛ ∂S ∂S 1 k + ∑ aij (q1 , q 2 , K, q k )⎜⎜ ∂ t 2 i , j =1 ⎝ ∂ qi

(2.11.4)

Очевидно, что возможность его интегрирования целиком определяется структурой коэффициентов aij и bi. Это побудило Т. Леви-Чивита в 1903 г. вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять указанные коэффициенты, чтобы уравнение было интегрируемым методом разделения переменных [7]. Следует также упомянуть об исследованиях П. Бургатти. Предположим, что уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид n

∑A

r ,s

r , s =1

⎛ ∂S ⎜⎜ ⎝ ∂ qr

⎞⎛ ∂ S ⎟⎟⎜⎜ ⎠⎝ ∂ q s

⎞ ⎟⎟ = 2[U (q1 , q 2 , K, q n ) + h], ⎠

(2.11.7)

где Ar , s = Ar , s (q1 , q 2 ,K, q n ).

Спрашивается, какой вид должны иметь коэффициенты Ar,s и силовая функция U, чтобы уравнение (2.11.7) интегрировалось методом разделения переменных? Бургатти [8] подходит к решению этой задачи с противоположной стороны. Он предполагает, что интеграл уравнения (2.11.7) найден и имеет вид n

S = ∑ ϕ i (qi , h, α 2 ,K, α n ).

(2.11.8)

i =1

Путем исключения постоянных α2, α3, ..., αn Бургатти находит уравнение, для которого (2.11.8) является полным интегралом. Это уравнение получается, если исключить постоянные из уравнений

∂S = ϕ i′ ( q i , h, α 2 , K , α n ) i = 1, n. ∂ qi

(2.11.9)

Бургатти ищет наиболее общий вид функций ϕ i′ , при котором это исключение приведет к уравнениям вида (2.11.7), и решает эту задачу, однако доказать, что найденный им вид действительно самый общий, ему не удалось. Мы не будем приводить выражений для ϕ i′ , они достаточно сложны и для нашей цели непосредственного интереса не представляют.

Глава 2. Методы интегрирования

65

Н. Д. Моисеев указал на возможность обобщения теоремы Штекеля. В 1934 г. им была доказана следующая теорема [9]. Пусть кинетическая энергия определяется выражением

[

]

1 n T = Φ∑ Ai q& i2 + 2 Bi q& i + Ci , 2 i =1

(2.11.10)

в котором каждый из коэффициентов Ai ≠ 0 является функцией только одной переменной qi, а Bi и Ci представимы в виде B

Bi =

n bi (qi ) c (q ) , Ci = i 2i , Φ = ∑ ϕ i (qi ) i = 1, n, Φ Φ i =1

и пусть силовая функция U имеет вид

U=

1 n ∑ U i (qi ). Φ i =1

Тогда уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется в квадратурах. Доказательство. Для гамильтониана F в рассматриваемом случае, когда кинетическая энергия T замкнутой системы не является чисто квадратичной функцией от q& i , будем иметь n ∂T q& − T , F = K −U, K = ∑ &i i i =1 ∂ q то есть 1 n 1 n F = Φ∑ Ai q& i2 − Ci − ∑ U i . (2.11.11) Φ i =1 2 i =1

[

]

Введем далее канонические переменные pi =

∂T ∂ q& i

(i = 1, n).

Следовательно, имея в виду (2.11.10), получим

pi = Φ( Ai q& i + Bi ) i = 1, n. Определяя из последнего выражения q& i и подставляя в (2.11.11), найдем 2 ⎤ 1 n 1 n ⎡ 1 ⎛ pi ⎞ F = Φ ∑ ⎢ ⎜ − Bi ⎟ − Ci ⎥ − ∑ U i , ⎠ 2 i =1 ⎢⎣ Ai ⎝ Φ ⎥⎦ Φ i =1

⎤ 1 n ⎡1 2 F= pi − bi ) − ci − 2U i ⎥, ( ∑ ⎢ 2Φ i =1 ⎣ Ai ⎦

(2.11.12)

и уравнение Гамильтона-Якоби автономной канонической системы с гамильтонианом (2.1.12) для производящей функции вида (2.1.22) S0(q) = S + ht запишется в виде

66

Часть I. Методы небесной механики

⎡1 ⎢ ∑ i =1 ⎢ Ai ⎣ n

2 n ⎤ ⎞ ⎛ ∂ S0 ⎟ ⎜⎜ − bi ⎟ − ci − 2U i ⎥ = 2hΦ ∑ ϕ i , ⎥⎦ i =1 ⎠ ⎝ ∂ qi

то есть

⎡1 ⎢ ∑ i =1 ⎢ Ai ⎣ n

2 ⎤ ⎞ ⎛ ∂ S0 ⎜⎜ − bi ⎟⎟ − ci − 2U i − 2hϕ i ⎥ = 0. ⎥⎦ ⎠ ⎝ ∂ qi

(2.11.13)

Это условие удовлетворяется, если положить 1 Ai

2

⎛ ∂ S0 ⎞ ⎜⎜ − bi ⎟⎟ − ci − 2U i − 2hϕ i = γ i ⎝ ∂ qi ⎠

(i = 1, n) ,

(2.11.14)

и при этом n

∑γ

i

= 0.

i =1

Каждое уравнение (2.11.14) интегрируется отдельно разделением переменных, а искомый интеграл уравнения (2.11.13) можно определить, взяв сумму решений всех уравнений (2.11.14). Этот интеграл в итоге представляется в виде: n

{

[

]

S0 = ∑ ∫ bi + Ai (ci + γ i + 2(U i + hϕ i ) i =1

1/ 2

}dq , i

(2.11.15)

так что S = S0 − ht, и теорема Моисеева доказана. Полагая в (2.11.15) bi = ci ≡ 0 (Bi = Ci ≡ 0), мы получим решение Лиувилля. B