Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 202-217
УДК 512.56/.57:510.57
О ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ ФИНАЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ А. ...
9 downloads
136 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 202-217
УДК 512.56/.57:510.57
О ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ ФИНАЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ А. П. СЕМИГРОДСКИХ В ведение
Замкнутым по суперпозиции классам функций над счетным множе ством посвящен ряд работ. В частности, большое внимание уделено за мкнутым классам рекурсивных функций. Обзор результатов, касающихся в основном базисов таких классов, содержится в [1]. В настоящей работе мы приступаем к изучению внутреннего строения замкнутых классов из некоторого частично упорядоченного множества У, "пронизывающего" ре шетку всех замкнутых классов примитивно рекурсивных функций. Опре деление множества IP будет дано ниже, после введения понятия рекурсивно замкнутого класса. Сейчас лишь отметим, что основная часть статьи по священа изучению классов из У, порожденных константами с помощью стандартных итеративных операций и примитивной рекурсии. Как оказа лось, эти классы тесно связаны с понятием периодичности. Периодические функции — это стандартный математический объ ект. Нередко встречаются и такие непериодические функции, подходящие ограничения которых являются периодическими. Понятие периодичности можно распространить и на функции от многих переменных: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию / : N§ -» No назовем финально периоди ческой с периодом p G N, если существует т £ No такое, что для любых г ^ к и а\,...
©
, ak E No функция
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
О замкнутых классах финально периодических функций
203
д(х) = / ( а ь . . . ,at-_i,ar + m,a t - + i,... , ak) периодична с периодом, делящим р. Здесь, как обычно, через N обозначается множество натуральных чи сел и No = NU{0}. В настоящей работе рассматриваются только функции, являющиеся операциями на множестве No. Нульместные функции обыч ным образом отождествляем с константами и считаем их финально пери одическими функциями. Везде далее на константы будем смотреть и как на элементы из No, и как на константные функции от подходящего числа переменных. Число р из определения финально периодической функции будем иногда называть ее периодом. Очевидно, что такой период не будет единственным. Для точной постановки задачи потребуются определения пяти стан дартных итеративных операций. От первоначальных определений из [2] они отличаются лишь тем, что действие указанных операций естествен ным образом распространяется на нульместные функции. Введем вначале наиболее важную из них — подстановку, обозначаемую через *. Для fc-мест ной функции / и m-местной функции g определим (к + т — 1)-местную функцию h = / * g, полагая h(xu
• • • , Xk+m-l)
= /(fffai, • • • , Жт), Ж т + Ь . . . , £fc+m-i).
(1)
Далее, для к > 1 определим операции (, г и Д: (С/)(яь--- ,хк) = / ( ж 2 , . . .
,xkjxi),
( г / ) ( я ь Ж 2 , я з , . . • ,Zk) = /(ж 2 ,Ж1,жз,... ,ж*),
(2)
(А/)(Ж1,... , ^ - i ) = /(ж1,Ж1,ж 2 ,... ,a*_i), и для fc E No определим операцию V: (V/)(a> b ... ,3*+i) = / ( ж 2 , . . . ,a?fc+i).
(3)
Далее необходима и операция /?(/, а*)> ffa(y+l)=G5(y,tfa(y)). Рассмотрим последовательность 5^ = Ha(m(g) + *p(fif) + 1), t G N. Все зна чения функции Я й лежат в конечном n-элементном множестве 5 . Поэтому найдутся такие t,T £ No, что £ < Т, Т — J ^ n и з* = ST, т. е. Ha{rn{g) + tp(g) + 1) - Я й (ш(у) + Гр( 5 ) + 1).
О замкнутых классах финально периодических
функций
209
Выберем минимальные t и Т с данными свойствами. Воспользовавшись свойствами функции G&, имеем Ha(m(g) + tp(g) + 2) = Gu(m(g) + tp{g) + 1, Я а (ш( 5 ) + tp( fl ) + 1)) = Ga(m(g) + tp{g) + 1, st) = Gu{m{g) + tp(g) + 1,s T ) = Gu{m(g) + Tp(g) +
l,sT)
= G * M $ ) + Tp(flf) + 1, Я й (ш( 9 ) + 2>(y) + 1)) = Hs{m{g) + Tp(g) + 2). Итак, Яа(га(у)+£р(у)+2) = Ha(m(g)+Tp(g)+2). получаем Ha(m(g)+tp(g)
Продолжая по индукции,
+ m) = Яа(т(у) + Тр(у)-|-га) для любого т £ N.
Тогда функция Я 5 (у) = Ha{rn(g) + *р(#) + У + 1) периодична с периодом (Г - t)p(g). При этом m(Ha) ^ m(g) + tp{g) + 1. Итак, для любых a i , . . . , a^ € No функция Я й (у) = fc(oi,... , а*, у) финально периодична с периодом тп5р(у), где 1 ^ гай ^ п. Если удастся доказать, что существует число М £ No такое, что для любого а £ No* функция Нй(у + М) периодична, то тем самым будет доказано, что h финально периодична по последней переменной с периодом, равным по крайней мере п\р{д). Пусть q = max{m(/), m(g)} + HOK(p(/),p(ff)) и M = тах{га(Я б ) | Я а (у) = Л ( а ь . . . ,а*,у), где 0 ^ а 1 : . . . ,а* ^ д}. Пусть теперь a i , . . . ,а* € No. Если 0 ^ ai,...
}a,k
^ #, то Нй{у + М)
периодична. Если щ > q для некоторого г, то для любого такого г имеем а{ = max{m(/),m(flf)} + *f-HOK(p(/),p(flf)) + г,-
(5)
при некоторых fc^r, e No, где г,- < НОК(р(/),р(