Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1
УДК 512.66
О КОГОМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ПОЛУАБЕЛЕВОЙ КАТЕГОРИИ Н. В. Глотко, В. И. Кузьминов Аннотация: В полуабелевой категории строго точной последовательности 0 → A → B → C → 0 коцепных комплексов соответствует когомологическая последовательность · · · → H n (A) → H n (B) → H n (C) → H n+1 (A) → . . . . Исследуются условия точности гомологической последовательности в заданном ее члене. Библиогр. 6.
Будем рассматривать аддитивные категории, в которых выполнена Аксиома 1. Каждый морфизм α имеет ядро ker α и коядро coker α. В аддитивной категории, удовлетворяющей аксиоме 1, каждый морфизм α допускает каноническое разложение α = (im α)¯ α(coim α), где im α = ker coker α, coim α = coker ker α. Морфизм α называется строгим, если α ¯ — изоморфизм. Будем использовать следующие обозначения: Oc , M , Mc , P , Pc — классы всех строгих морфизмов, мономорфизмов, строгих мономорфизмов, эпиморфизмов и строгих эпиморфизмов соответственно. Аддитивная категория называется полуабелевой, если в ней кроме аксиомы 1 выполнены еще следующие две аксиомы. Аксиома 2. В каждом универсальном квадрате α
A −−−−→ B gy fy
(1)
β
C −−−−→ D α ∈ Mc =⇒ β ∈ Mc . Аксиома 2∗ . В каждом коуниверсальном квадрате β
D −−−−→ C gy fy
(2)
α
B −−−−→ A Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01–01–00795).
c 2002 Глотко Н. В, Кузьминов В. И.
42
Н. В. Глотко, В. И. Кузьминов
α ∈ Pc =⇒ β ∈ Pc . ϕ
ψ
Последовательность A − →B− → C называется точной, если im ϕ = ker ψ. В ϕ ψ полуабелевой категории последовательность A − →B− → C точна тогда и только тогда, когда coim ψ = coker ϕ. ϕ
ψ
Последовательность 0 − → A − → B − → C − → 0 называется строго точной, если ϕ = ker ψ и ψ = coker ϕ. Строго точной последовательности ϕ
ψ
0− →A− →B− →C− →0
(3)
коцепных комплексов в полуабелевой категории соответствует когомологическая последовательность H n (ϕ)
H n (ψ)
∆n
... − → H n (A) −−−−→ H n (B) −−−−→ H n (C) −−→ H n+1 (A) − → ... .
(4)
Д. А. Райков в [1] показал, что последовательность (4) точна и морфизмы, ее образующие, являются строгими, если все дифференциалы комплексов A, B и C будут строгими морфизмами. В [2] дано следующее обобщение этого результата: 1) если дифференциал dnA комплекса A является строгим морфизмом, то последовательность (4) точна в членах H n (B) и H n (C), а H n (ψ) — строгий морфизм; 2) если дифференциал dnB комплекса B является строгим морфизмом, то последовательность (4) точна в членах H n (C) и H n+1 (A), а ∆n — строгий морфизм; 3) если дифференциал dnC комплекса C является строгим морфизмом, то последовательность (4) точна в членах H n+1 (A) и H n+1 (B), а H n+1 (ϕ) — строгий морфизм. Ясно, что условие строгости в указанном уточнении результата Д. А. Райкова в общем случае не может быть отброшено. Соответствующие примеры легко построить в категории Ban банаховых пространств и непрерывных линейных операторов. Однако существуют полуабелевы категории, в которых каждой строго точной последовательности (3) соответствует точная последовательность (4). Так обстоит дело, например, в полуабелевых категориях, удовлетворяющих следующим условиям. Аксиома 3. В каждом универсальном квадрате (1) α ∈ M =⇒ β ∈ M . Аксиома 3∗ . В каждом коуниверсальном квадрате (2) α ∈ P =⇒ β ∈ P . Полуабелева категория называется специальной, если в ней выполнены аксиомы 3 и 3∗ . В настоящей работе мы заменяем условие строгости дифференциалов комплексов A, B и C более слабым условием их универсальности и в результате получаем вариант теоремы о точности когомологической последовательности (4), охватывающий случай специальных полуабелевых категорий. В следующей лемме перечислены используемые в дальнейшем известные свойства морфизмов в полуабелевой категории.
О когомологической последовательности
43
Лемма 1 [1–3]. В полуабелевой категории справедливы следующие утверждения и им двойственные: 1) ker α ∈ Mc для каждого морфизма α, β ∈ Mc ⇐⇒ β = im β; 2) если α, β ∈ Mc и морфизм αβ определен, то αβ ∈ Mc ; 3) αβ ∈ Mc =⇒ β ∈ Mc ; 4) в коуниверсальном квадрате (2) α ∈ M =⇒ β ∈ M , α ∈ Mc =⇒ β ∈ Mc ; 5) αβ ∈ Oc и β ∈ P =⇒ α ∈ Oc ; 6) морфизм α ¯ из канонического разложения произвольного морфизма α является биморфизмом, т. е. α ¯ ∈ M ∩ P. Мономорфизм α : A → B называется универсальным [4], если для любого морфизма f : A → C в универсальном квадрате (1) β ∈ M . Эпиморфизм α : B → A называется универсальным, если для любого морфизма f : C → A в коуниверсальном квадрате (2) β ∈ P . Морфизм α назовем M -универсальным, если α ¯ — универсальный мономорфизм, и P -универсальным, если α ¯ — универсальный эпиморфизм. Будем использовать следующие обозначения: Mu , Pu , M Ou , P Ou — классы универсальных мономорфизмов, универсальных эпиморфизмов, M -универсальных морфизмов и P -универсальных морфизмов соответственно. Очевидно, в полуабелевой категории Mc ⊂ Mu , Pc ⊂ Pu , Oc ⊂ M Ou ∩ P Ou . Лемма 2. В полуабелевой категории справедливы следующие утверждения и им двойственные: 1) если морфизм αβ определен и α, β ∈ Pu , то αβ ∈ Pu ; 2) если αβ ∈ Pu , то α ∈ Pu ; 3) Pu = P ∩ P Ou ; 4) если морфизм αβγ определен, α ∈ Mc , γ ∈ Pc , то αβγ ∈ P Ou ⇐⇒ β ∈ P Ou ; 5) в коуниверсальном квадрате (2) α ∈ P Ou =⇒ β ∈ P Ou ; 6) βα ∈ P Ou , β ∈ M =⇒ α ∈ P Ou . Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказаны в [4, предложения 2.8 и 2.9]. Пусть α : B → A — P -универсальный морфизм. Для произвольного морфизма f : C → A рассмотрим коуниверсальные квадраты E hy
β1
−−−−→ C fy im α
Im α −−−−→ A,
F iy
β2
−−−−→
E hy
α ¯
Coim α −−−−→ Im α,
β3
D −−−−→ gy
F iy
coim α
B −−−−→ Coim α.
Квадрат β
D −−−−→ C gy fy α
B −−−−→ A, где β = β3 β2 β1 , коуниверсален [4, с. 44]. По лемме 1 β1 ∈ Mc , β2 — бимор¯ Легко видеть, что β2 ∈ Pu . Доказано физм, β3 ∈ Pc . Следовательно, β2 = β. утверждение 5 леммы. Если морфизм αβγ определен, α ∈ Mc , γ ∈ Pc , то β¯ = αβγ. Поэтому αβγ ∈ P Ou ⇐⇒ β ∈ P Ou .
44
Н. В. Глотко, В. И. Кузьминов Если морфизм βα определен и β ∈ M , то квадрат α
A −−−−→ B βy idy βα
A −−−−→ C коуниверсален. Согласно утверждению 5 βα ∈ P Ou =⇒ α ∈ P Ou . Доказано утверждение 6. Если α ∈ P , то α = α ¯ coim α. Так как coim α ∈ Pc , то по 1 и 2 α ∈ Pu ⇐⇒ α ¯ ∈ Pu . Доказано утверждение 3. Лемма доказана. Аксиома 4. В универсальном квадрате (1) α ∈ Pu =⇒ β ∈ Pu . Аксиома 4∗ . В коуниверсальном квадрате (2) α ∈ Mu =⇒ β ∈ Mu . Доказательство следующих двух лемм аналогично доказательству пп. 5 и 6 леммы 2. Лемма 3. Если полуабелева категория удовлетворяет аксиоме 4, то в универсальном квадрате (1) в этой категории α ∈ P Ou =⇒ β ∈ P Ou . Лемма 4. Если полуабелева категория удовлетворяет аксиоме 4∗ , то βα ∈ M Ou , β ∈ M =⇒ α ∈ M Ou . Лемма 5. Пусть диаграмма D α% ϕ
A −→
γ
−→
β↓
B
E δ↓
ψ
−→
(5)
C
в полуабелевой категории коммутативна, ψ = coker ϕ, γ = coker α. Тогда 1) квадрат γ D −−−−→ E βy δy
(6)
ψ
B −−−−→ C универсален; 2) если ϕ ∈ Mc , то квадрат (6) коуниверсален. Доказательство. 1. Пусть u : B → X и v : E → X — морфизмы такие, что uβ = vγ. Так как ψ = coker ϕ и uϕ = uβα = vγα = 0, существует единственный морфизм w : C → X, для которого u = wψ. Поскольку wδγ = wψβ = uβ = vγ и γ ∈ P , то wδ = v. Квадрат (6) универсален. 2. Пусть ϕ ∈ Mc . Тогда по лемме 1 α ∈ Mc , α = ker γ, ϕ = ker ψ. Рассмотрим коуниверсальный квадрат γ1 D1 −−−−→ E β1 y δy ψ
B −−−−→ C. Существует такой морфизм ε : D → D1 , что γ1 ε = γ, β1 ε = β. Кроме того, существует такой единственный морфизм α1 : A → D1 , что β1 α1 = ϕ и γ1 α1 = 0.
О когомологической последовательности
45
Так как β1 εα = βα = ϕ и γ1 εα = γα = 0, в силу единственности морфизма α1 имеем α1 = εα. В коммутативной диаграмме α%
D ↓ε
α1
A −→ D1
&γ
(7)
γ1
−→ E
имеем α = ker γ,
γ = coker α,
α1 = ker γ1 ,
γ1 = coker α1 .
(8)
В произвольной диаграмме (7), удовлетворяющей условиям (8), морфизм ε является изоморфизмом. Это утверждение является аксиомой полуабелевой категории Д. А. Райкова. В [5] установлено, что эта аксиома в случае аддитивной категории следует из аксиом 1, 2 и 2∗ . Лемма доказана. Лемма 6. Пусть диаграмма ε
γ
ϕ
ψ
F −−−−→ D −−−−→ E αy βy δy A −−−−→ B −−−−→ C в полуабелевой категории коммутативна, γ = coker ε, ker ψ = im ϕ, ϕ ∈ P Ou , β ∈ M и квадрат ε F −−−−→ D αy βy ϕ
A −−−−→ B коуниверсален. Тогда δ ∈ M . Эта лемма является обобщением леммы 6 из [3]. Там предполагалось, что ϕ ∈ Oc и ψ = coker ϕ. Оба эти отличия несущественны, и доказательство остается прежним. Пусть диаграмма ϕ0
ψ0
A0 −−−−→ B0 −−−−→ C0 −−−−→ 0 γy αy βy ϕ1
(9)
ψ1
0 −−−−→ A1 −−−−→ B1 −−−−→ C1 в полуабелевой категории коммутативна, ψ0 = coker ϕ0 , ϕ1 = ker ψ1 . Так же, как и в случае абелевой категории [6], для диаграммы (9) определен связывающий морфизм δ : Ker γ → Coker α, причем Ker-Coker-последовательность ζ ε δ τ θ Ker α − → Ker β − → Ker γ − → Coker α − → Coker β − → Coker γ (10) полуточна. Теорема 1. Если в диаграмме (9) в полуабелевой категории α ∈ M Ou (α ∈ P Ou ), то последовательность (10) точна в члене Ker β (Ker γ). Если β ∈ M Ou (β ∈ P Ou ), то последовательность (10) точна в члене Ker γ (Coker α).
46
Н. В. Глотко, В. И. Кузьминов
Если γ ∈ M Ou (γ ∈ P Ou ), то последовательность (10) точна в члене Coker α (Coker β). ¯ 3 — каноническое разложение морфизДоказательство. Пусть β = β1 ββ ма β, квадраты ϕ2 ϕ3 A2 −−−−→ B2 A3 −−−−→ B3 (11) α1 y α2 y β1 y β¯y ϕ1
ϕ
2 A1 −−−−→ B1 , A2 −−−−→ B2 коуниверсальны, ψ2 = coker ϕ2 , ψ3 = coker ϕ3 . Существуют такие морфизмы α3 , γ1 , γ2 , γ3 , для которых диаграмма
ϕ0
ψ0
ϕ3
ψ3
A0 −−−−→ B0 −−−−→ C0 −−−−→ 0 γ3 y α3 y β3 y 0 −−−−→ A3 −−−−→ B3 −−−−→ C3 −−−−→ 0 γ2 y α2 y β¯y ϕ2
ψ2
ϕ1
ψ1
(12)
0 −−−−→ A2 −−−−→ B2 −−−−→ C2 −−−−→ 0 γ1 y α1 y β1 y 0 −−−−→ A1 −−−−→ B1 −−−−→ C1 коммутативна. Так как ϕ1 ∈ M и ϕ1 α1 α2 α3 = βϕ0 = ϕ1 α, то α1 α2 α3 = α. Аналогично γ1 γ2 γ3 = γ. Поскольку квадраты (11) коуниверсальны и ϕ1 ∈ Mc , то ϕ2 , ϕ3 ∈ Mc , α1 ∈ Mc , α2 ∈ M . По лемме 6 γ1 , γ2 ∈ M . Так как ¯ γ1 γ2 ∈ M , то ker α = ker α3 , ker β = ker β3 , ker γ = ker γ3 . α1 α2 , β1 β, Диаграмме, образованной первыми двумя строками диаграммы (12), соответствует Ker-Coker-последовательность, связанная с последовательностью (10) диаграммой Ker α3
ε0
→ Ker β3
δ0
→ Coker α3 a y
→
→
δ
→
0 y
τ
Ker β
Ker γ
α
Coker α
coker α
3 A0 −−−− → A3 α2 y idy
3 −−−−−→
α α
coker(α2 α3 )
→ Coker β
θ
→ Coker γ. (13) Морфизм a в этой диаграмме определен условием a(coker α3 ) = (coker α)α1 α2 . Так как β3 ∈ Pc , то по теореме 1 работы [3] верхняя строка диаграммы (13) точна в членах Ker γ3 и Coker α3 , причем δ 0 ∈ Pc . Определим морфизмы α b1 : Coker(α2 α3 ) → Coker α и α b2 : Coker α3 → Coker(α2 α3 ) условиями α b1 coker(α2 α3 ) = (coker α)α1 и α b2 coker α3 = (coker(α2 α3 ))α2 . Тогда a = α b1 α b2 . В [3, лемма 10] установлено, что α b1 = ker τ . Если β ∈ P Ou , то α2 ∈ P . Но тогда и α b2 ∈ P . Итак, δ = (ker τ )b α2 δ 0 , 0 α b2 δ ∈ P . Следовательно, coker δ = coim τ . Последовательность (10) точна в члене Coker α. Пусть α ∈ P Ou . Имеем коммутативную диаграмму Ker α
→
ζ0
→ Ker γ3
Coker α3 α b2 y
2 3 A0 −−− −→ A2 −−−−−−−→ Coker(α2 α3 ).
(14)
О когомологической последовательности
47
Так как α1 α2 α3 = α, α ∈ P Ou , α1 ∈ Mc , то по п. 6 леммы 2 α2 α3 ∈ P Ou . Ввиду того, что α2 ∈ M , левый квадрат диаграммы (14) коуниверсален. По лемме 6 α b2 ∈ M . Итак, δ = α b1 α b2 (coker ζ), α b1 α b2 ∈ M . Следовательно, ker δ = im ζ. Последовательность (10) точна в члене Ker γ. Пусть γ ∈ P Ou . Представим морфизм ψ1 в виде ψ1 = ψ10 coim ψ1 , где ψ10 = (im ψ1 )ψ¯1 — мономорфизм. Так как ψ0 = coker ϕ0 и (coim ψ1 )βϕ0 = 0, существует морфизм γ 0 : C0 → Coim ψ1 , для которого γ 0 ψ0 = (coim ψ1 )β. Поскольку ψ10 γ 0 ψ0 = ψ10 (coim ψ1 )β = ψ1 β = γψ0 и ψ0 ∈ P , то ψ10 γ 0 = γ. Диаграмме ϕ0
ψ0
ϕ1
coim ϕ1
A0 −−−−→ B0 −−−−→ αy βy
C0 γ0y
−−−−→ 0
0 −−−−→ A1 −−−−→ B1 −−−−−→ Coim ϕ1 −−−−→ 0 соответствует Ker-Coker-последовательность, которая по теореме 2 работы [3] точна в члене Coker β. Эта последовательность связана с последовательностью (10) коммутативной диаграммой δ0
0 Ker
γ
−→ Coker
α
Ker γ
−→ Coker α
δ
θ0
τ
0 −→ Coker γ 0 b ψ1 y
τ
−→
−→ Coker
β
−→ Coker β
θ
−→ 0
Coker γ,
где морфизм ψb1 0 определен так, что диаграмма γ0
coim γ 0
C0 −−−−→ Coim ψ1 −−−−→ Coker γ 0 b1 0 y ψ10 y idy ψ γ
C0 −−−−→
C1
coim γ
−−−−→ Coker γ
коммутативна. По лемме 6 ψb1 0 ∈ M . Но тогда ker θ = ker θ0 = im τ и последовательность (10) точна в члене Coker β. Доказаны три из шести утверждений теоремы 1. Остальные три следуют из доказанных по двойственности. Теорема доказана. Теорема 2. Если в полуабелевой категории выполнена аксиома 4∗ , то для Ker-Coker-последовательности (10) диаграммы (9) α ∈ M Ou =⇒ ζ ∈ M Ou , β ∈ M Ou =⇒ δ ∈ M Ou , γ ∈ M Ou =⇒ τ ∈ M Ou . Если выполнена аксиома 4, то α ∈ P Ou =⇒ ζ ∈ P Ou , β ∈ P Ou =⇒ δ ∈ P Ou , γ ∈ P Ou =⇒ τ ∈ P Ou . Доказательство. В доказательстве теоремы 1 морфизм δ был представлен в виде δ = α b1 α b2 δ 0 , где α b1 ∈ Mc , δ 0 ∈ Pc . Если выполнена аксиома 4 и β ∈ M Ou , то α2 ∈ M Ou . Имеем коммутативную диаграмму α3 %
A0 & α2 α3
A3 α2 y A2
coker α3 −−−−−→
coker(α2 α3 ) −−−−−−− −→
Coker α3 α b2 y Coker(α2 α3 ).
48
Н. В. Глотко, В. И. Кузьминов По лемме 5 квадрат coker α
3 −−−−−→
A3 α2 y
Coker α3 α b2 y
coker(α2 α3 )
A2 −−−−−−−→ Coker(α2 α3 ) универсален. Но тогда α b2 ∈ M Ou по утверждению, двойственному п. 5 леммы 2. По утверждению, двойственному п. 4 этой леммы, δ ∈ M Ou . Предположим теперь, что α ∈ M Ou и выполнена аксиома 4∗ . Используя каноническое разложение морфизма ϕ0 , представим этот морфизм в виде ϕ0 = (im ϕ0 )ϕ00 , где ϕ00 ∈ P . Так как ψ3 β3 (im ϕ0 ) = 0 и ϕ3 = ker ψ3 , существует такой морфизм α30 : Im ϕ0 → A3 , что ϕ3 α30 = β3 im ϕ0 . Поскольку ϕ3 α30 ϕ00 = β3 (im ϕ0 )ϕ00 = ϕ3 α3 и ϕ3 ∈ M , то α30 ϕ00 = α3 . По лемме 4 α30 ∈ M Ou . Рассмотрим диаграмму p2
Ker β ⊕ α00 Ker β
i1 % ker β
A00
−→
ϕ3 α03 ↓
j↓
−→
β3
−→
B0
B3 ,
в которой i1 — каноническое вложение первого слагаемого в прямую сумму, p2 — каноническая проекция на второе слагаемое, j = (ker β, im ϕ0 ). По лемме 5 квадрат p2 Ker β ⊕ A00 −−−−→ A00 jy ϕ3 α03 y β3
−−−−→ B3
B0
коуниверсален. Так как ϕ3 ∈ Mc , по лемме 2 ϕ3 α30 ∈ M Ou . По аксиоме 4∗ j ∈ M Ou . Рассмотрим теперь диаграмму Ker β ⊕ α00 A00
i2 % im ϕ0
p1
−→
j↓
−→
Ker β ψ0 (ker β)↓
ψ0
−→
B0
C0 ,
в которой i2 — каноническое вложение второго слагаемого в прямую сумму, p1 — каноническая проекция на первое слагаемое. По лемме 5 квадрат p1
Ker β ⊕ A00 −−−−→ Ker β jy ψ0 (ker β)y B0
ψ0
−−−−→
C0
универсален. Так как j ∈ M Ou , то ψ0 (ker β) ∈ M Ou . Поскольку ψ0 (ker β) = (ker γ)ζ, по лемме 2 ζ ∈ M Ou . Установлено, что при выполнении аксиомы 4∗ α ∈ M Ou =⇒ ζ ∈ M Ou . Доказательство следования α ∈ P Ou =⇒ ζ ∈ P Ou при выполнении аксиомы 4 аналогично. Доказаны три из шести утверждений теоремы 2. Остальные двойственны доказанным. Теорема доказана.
О когомологической последовательности
49
Пусть A = (An , dnA )n∈Z — коцепной комплекс в аддитивной категории, удовлетворяющей аксиоме 1. Для каждого n ∈ Z существует единственный морфизм anA : Coker dn−1 → Ker dn+1 A A , удовлетворяющий условию n ker dn+1 aA coker dn−1 = dnA . (15) A A e n (A) = Ker an комплекса Определены когомологии H n (A) = Coker an−1 и H A A n n e n (A), определенный A. Существует канонический морфизм mA : H (A) → H условием ker anA mnA coker an−1 = coker dn−1 ker dnA . A A Если категория полуабелева, то mnA — изоморфизм [2]. Произвольный морфизм ϕ : A → B комплексов индуцирует морфизмы n−1 en : Coker dn−1 → Coker dB . Строго точной последоϕ bn : Ker dnA → Ker dnB и ϕ A вательности комплексов ϕ
ψ
0− →A− →B− →C− →0
(16)
в полуабелевой категории соответствуют коммутативная диаграмма ϕ en
en−1 ψ
n−1 Coker dn−1 −−−−→ Coker dn−1 −−−−→ Coker dC −−−−→ 0 A B an an an Ay By Cy ϕ bn+1
0 −−−−→ Ker dn+1 A
−−−−→ Ker dn+1 B
bn+1 ψ
−−−−→ Ker dn+1 C
и ее Ker-Coker-последовательность n
n
n
n+1
n+1
ζ ε δ τ θ e n (A) → e n (B) → e n (C) → H H H H n+1 (A) → H n+1 (B) → H n+1 (C).
mnC
Наличие изоморфизмов одну последовательность
τn
(17n )
позволяет объединить последовательности (17n ) в ζn
∆n
... − → H n (A) −→ H n (B) −→ H n (C) −−→ H n+1 (A) − → ...,
(18)
где ∆n = δ n mnC . Теорема 3. Для когомологической последовательности (18), соответствующей строго точной последовательности (16), выполнены следующие утверждения. 1. Если dnA ∈ M Ou (dnA ∈ P Ou ), то последовательность (18) точна в члене n H (B) (в члене H n (C)). Если при этом выполнена аксиома 4∗ (аксиома 4), то θn ∈ M Ou (θn ∈ P Ou ). 2. Если dnB ∈ M Ou (dnB ∈ P Ou ), то последовательность (18) точна в члене n H (C) (в члене H n+1 (A)). Если при этом выполнена аксиома 4∗ (аксиома 4), то ∆n ∈ M Ou (∆n ∈ P Ou ). 3. Если dnC ∈ M Ou (dnC ∈ P Ou ), то последовательность (18) точна в члене n+1 H (A) (в члене H n+1 (B)). Если при этом выполнена аксиома 4∗ (аксиома 4), n+1 то τ ∈ M Ou (τ n+1 ∈ P Ou ). Доказательство. Пусть dnB ∈ M Ou . Из (15) следует, что anB ∈ M Ou . По e n (C). Диаграмма теореме 1 последовательность (17n ) точна в члене H τn
θn
n
n
H n (A) −→ H n (B) −→ H n (C) n n mn m m &∆n y y A B Cy ζ ε e n (A) −→ e n (B) −→ e n (C) H H H
δn
−→
H n+1 (A)
50
Н. В. Глотко, В. И. Кузьминов
коммутативна. Так как mnC и mnB — изоморфизмы, последовательность (18) точна в члене H n (C). Если выполнена аксиома 4∗ , то по теореме 2 δ n ∈ M Ou . Но тогда и ∆n ∈ M Ou . Одно из утверждений теоремы 3 доказано. Остальные доказываются аналогично. Следствие. В специальной полуабелевой категории когомологическая последовательность (18), соответствующая строго точной последовательности (16), точна. В заключение отметим, что вопрос о том, выполнены ли аксиомы 4 и 4∗ в произвольной полуабелевой категории, остается открытым. ЛИТЕРАТУРА 1. Райков Д. А. Полуабелевы категории // Докл. АН СССР. 1969. Т. 188, № 5. С. 1006–1009. 2. Копылов Я. А., Кузьминов В. И. О точности когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории // Тр. конференции «Геометрия и приложения». Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. С. 76–83. 3. Копылов Я. А., Кузьминов В. И. О Ker-Coker-последовательности в полуабелевой категории // Сиб. мат. журн.. 2000. Т. 41, № 3. С. 615–624. 4. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 5. Кузьминов В. И., Черевикин А. Ю. О полуабелевых категориях // Сиб. мат. журн.. 1972. Т. 13, № 6. С. 1284–1294. 6. Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Т. I. Введение в теорию когомологий и производные функторы. М.: Наука, 1988. Статья поступила 2 августа 2001 г. Глотко Николай Владимирович Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 Кузьминов Владимир Иванович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск 630090
[email protected] 