Информационно-статистическая теория измерений

Федеральное агенТство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Ю. П. Иванов, Б. Л. Бирюков

ИНФОРМАЦИОННО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ Модели сигналов и анализ точности систем Учебное пособие

Санкт-Петербург 2008 

УДК 519.216 ББК 22.172 И20 Рецензенты: кафедра процессов управления Балтийского государственного технического университета; доктор технических наук, профессор С. Н. Шаров

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

И20



Иванов Ю. П., Бирюков Б. Л.  Информационно-статистическая теория измерений. Модели сигналов и анализ точности систем: учебное пособие / Ю. П. Иванов, Б. Л. Бирюков. – СПб.: ГУАП, 2008. – 160 с. ISBN 978-5-8088-0313-8 Рассматриваются принципы построения, математические модели и методы анализа информационно-измерительных систем и их сигналов применительно к летательным аппаратам. Излагаемый материал основывается на использовании теории вероятности и случайных процессов, метода пространства состояний, интегральных и дискретных преобразований, а также элементов функционального анализа. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 190300 «Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы» и направлению 551500 «Приборостроение».

УДК 519.216 ББК 22.172

ISBN 978-5-8088-0313-8

© ГУАП, 2008 © Ю. П. Иванов, Б. Л. Бирюков, 2008



Оглавление Предисловие................................................................... 5 Глава 1. Общая характеристика информационно-измерительных систем...................................................................... 7 1.1. Основные понятия и назначение информационно-измерительных систем летательных аппаратов................ 7 1.2. Классификация информационно-измерительных систем летательных аппаратов................................ 11 1.3. Основные свойства и качество информационно-измерительных систем.................................................. 18 Глава 2. Модели сигналов.................................................. 25 2.1. Основные понятия................................................. 25 2.2. Характеристики и параметры сигналов..................... 27 2.3. Классификация сигналов и помех............................ 31 2.4. Описание типовых сигналов.................................... 37 2.4.1. Простейшие сингулярные детерминированные функции..................................................... 37 2.4.2. Прямоугольный симметричный импульс с единичной высотой .................................... 43 2.4.3. Модулированные сигналы............................. 45 2.4.4. Квазидетерминированные сигналы................. 48 2.4.5. Дискретизированные сигналы........................ 48 2.5. Пространство сигналов........................................... 53 2.5.1. Пространство детерминированных сигналов..... 53 2.5.2. Пространство случайных сигналов.................. 59 2.6. Дискретные представления сигналов при помощи рядов................................................. 62 2.6.1. Конечномерные представления реализаций сигналов..................................................... 62 2.6.2. Представление случайных сигналов при помощи обобщённых рядов Фурье............ 66 2.6.3. Представление случайных сигналов при помощи ряда Карунена–Лоэва................. 73 2.6.4. Представление случайных сигналов при помощи канонических разложений Пугачёва......... 77 2.6.5. Сравнительная характеристика представлений случайных сигналов при помощи рядов........... 80 2.7. Спектральное представление случайных сигналов...... 81 2.7.1. Частотное разложение стационарного случайного процесса на конечном интервале времени 81 

2.7.2. Частотное представление стационарного случайного процесса на бесконечном интервале времени.Спектральная плотность стационарного случайного процесса................ 82 2.7.3. Белый шум.................................................. 85 2.7.4. Понятие формирующего фильтра.................... 86 2.8. Интегральные представления сигналов..................... 88 2.8.1. Общие основы интегральных преобразований... 88 2.8.2. Преобразование Гильберта............................. 91 2.8.3. Преобразование Фурье.................................. 95 2.9. Представление сигналов в пространстве состояний..... 98 2.9.1. Построение модели сигнала в пространстве состояний................................................... 98 2.9.2. Представление случайных процессов в пространстве состояний ............................. 105 2.10. Представление дискретных во времени сигналов...... 107 2.10.1. Представление сигнала с ограниченной частотной полосой в виде ряда В. А. Котельникова.... 107 2.10.2. Дискретное преобразование Фурье................ 111 2.10.3. Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование......................................... 115 2.10.4. Особенности дискретизации случайных сигналов..................................................... 117 Глава 3. Статистический анализ и оценка точности линейных систем............................................................. 120 3.1. Постановка задачи................................................. 120 3.2. Модели линейных систем........................................ 121 3.3. Общие правила преобразования случайныхсигналов линейными системами........................................... 127 3.4. Статистические характеристики выходных сигналов элементарных звеньев............................................ 132 3.5. Статистические характеристики выходного сигнала системы во временном представлении....................... 136 3.6. Статистические характеристики стационарных выходных случайных сигналов в частотном представлении...................................................... 142 3.7. Преобразование случайных сигналов системами в пространстве состояний.............................................. 153 Заключение.................................................................... 158 Библиографический список .............................................. 159



Предисловие В учебном пособии рассматриваются вопросы, необходимые для изучения будущими бакалаврами, инженерами и магистрами дисциплины «Информационно-статистистическая теория измерений» (ИСТИ) и входящие в программу, составленную в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для специальности 190300 «Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы» и направления 551500 «Приборостроение». Содержание вопросов и форма их изложения сформировалась на основе материалов лекций, которые на протяжении ряда лет читались студентам Санкт-Петербурского государственного университета аэрокосмического приборостроения. Учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть, которая рассматривается в данной книге, имеет три главы. В первой главе раскрывается содержание понятия ИИС, указывается место ИИС в приборном оборудовании летательного аппарата, определяются её основные задачи, приводится классификация ИИС летательного аппарата по их назначению, используемой математической модели, типу применяемых сигналов. Даётся определение качества ИИС, основных её свойств и показателей их оценок, таких как эффективность, точность, надёжность, инвариантность, динамические характеристики, помехозащищённость, адаптивность, робастность и других. Во второй главе приводятся основные математические модели сигналов, помех измерения и результатов измерения датчиками ИИС, используемыми в приборном оборудовании летательного аппарата. Изложение материала в пособии ведётся от общего к частному и базируется на представлении сигналов в евклидовом и гильбертовом пространствах. Модели сигналов рассматриваются в частотновременном аспекте с раскрытием их изоморфизма. Общей моделью, наиболее адекватной реальным физическим процессам, воздействующим на датчики информации, является случайный процесс. В пособии рассматриваются модели сигналов в виде частичных сумм обобщённых рядов Фурье, Карунена–Лоэва, канонических рядов Пугачёва, рядов Котельникова, позволяющих упростить модели сигналов и решить ряд новых задач синтеза ИИС на основе использования интервального представления случайных процессов. При изучении реализаций случайных процессов рассматриваются различные детерминированные функции времени, в том числе гармонические и сингулярные функции. В качестве моделей помех могут 

быть использованы многие модели сигналов, представленные в пособии, а также белый гауссовский шум. В третьей главе рассматриваются методы оценки качества линейных ИИС и описания выходных сигналов при использовании первых двух моментов случайных процессов как во временной, так и в частотной областях. При этом рассматриваются как стационарные, так и нестационарные ИИС при воздействии нестационарных и стационарных случайных входных процессов. В этом же разделе рассматриваются методы анализа преобразований сигналов в пространстве состояний. Вторая часть пособия посвящена рассмотрению методо­логии синтеза ИИС оценки и классификации сигналов Изложение материала базируется на использовании теории вероятности и случайных процессов, в частности марковских, пространства состояний сигналов и систем, элементов функционального анализа, доступных для студентов технических вузов. Ю.П.Ивановым написаны предисловие, главы 1 и 2, за исключением пп. 2.8.3, 2.10.2, 2.10.4, а также п. 3.2; Б.Л.Бирюковым подготовлена глава 3, а также написаны пп. 2.8.3, 2.10.2, 2.10.4 и заключение.



Глава 1. Общая характеристика информационно-измерительных систем 1.1. Основные понятия и назначение информационно-измерительных систем летательных аппаратов Рассмотрим (рис. 1.1) общую структурную схему систем измерения и управления летательным аппаратом [10]. На схеме обозначено: ЛА – летательный аппарат; ИССиИП – информационно-измерительные системы и измерительные приборы ЛА; СУТД – система управления траекторным движением ЛА; ИОСУТД – исполнительные органы системы управления траекторным движением ЛА; ОСУ – обобщённая система управления ЛА; РВ – руль высоты; РН – руль направления; Э – элероны; X(t) – векторы–столбцы (размерности которых указаны в скобках) полезных сигналов, являющихся функциями времени; H(t) – векторы–столбцы внешних и внутренних помех измерения, являющихся функциями времени; Xˆ (t)  – векторные функции времени оценок полезных сигналов; U(t) – векторные функции времени управляющих сигналов положением в пространстве ЛА; δв, δн, δэ – углы поворота рулей управления ЛА соответственно по высоте, направлению и крену. H(d×1)(t) Xпр (k×1)(t) B

B

ЛА

δв

РВ РН Э

δн δэ

H2 (ν×1)(t) B

X(q×1)(t) HH ×1)(t) 1 1(l(lЧ1)(t B

B

B

B

H3 (υ×1)(t)

X1 (r×1)(t)

B

Xˆ ( g × )(t)

B

ИИСиИП

СУТД Xˆ  (ω× )(t)

ОСУ (ЭВМ )

B

U(p×1)(t)

ИОСУТД

U1 (s×1)(t) B

B

X2 (f×1)(t) B

B

Рис. 1.1. Структурная схема систем измерения и управления летательным аппаратом 

ЛА совершает движение в пространстве в некоторой системе координат OXYZ, связанной с Землёй, по заранее известной или вычисляемой в зависимости от полётной ситуации или задач ЛА траектории в возмущенной среде. Среда характеризуется такими параметрами, как давление, плотность, температура, влажность и т. д. Процессы, протекающие в среде, носят случайный характер и могут быть математически описаны случайными величинами или процессами. В условии случайных возмущений среды устойчивое относительно заданной (или программной) траектории полёта Xпр(t) движение ЛА возможно только при наличии управления аэродинамическими силами, действующими на рулевые поверхности рулей РВ, РН, элероны и т. д. Управляющие сигналы U(t) вырабатываются системой управления траекторным движением. Управляющие сигналы поступают на исполнительные органы СУТД только при наличии информации о положении осей симметрии и параметрах движения ЛА, а также их производных. Эта информация может быть получена с помощью измерительных приборов и информационно-измерительных систем, входящих в состав бортового оборудования ЛА. Применительно к контуру СУТД информационно-измерительные системы измеряют векторфункцию X(q×1)(t) размерности (q×1), характеризующую реальную траекторию движения ЛА и производные её ухода от программной траектории движения, преобразуя их в выходные сигналы ИИС Xˆ ( g × )(t) . СУТД вырабатывает в соответствии с некоторыми законами сигналы управления U(p×1)(t), поступающие на исполнительные органы системы управления траекторным движением (ИОСУТД). Исполнительные органы системы управления траекторным движением управляют поверхностями РВ, РН, Э, отклоняя их соответственно на углы δв, δн и δэ и обеспечивая в каком-то смысле близость компонент векторов Xпр(k×1)(t) и X(q×1)(t). Таким образом обеспечивается устойчивое движение ЛА относительно программной Xпр(t) траектории движения. Рассмотренную задачу общего траекторного движения ЛА обычно разделяют на две задачи: – определение положения центра масс ЛА в некоторой системе координат (СК) 0XYZ, связанной с Землёй или другой планетой, в любой момент времени – задача навигации; – определение положения осей симметрии ЛА, скоростей и ускорений их изменения во времени и стабилизация их относительно программной траектории движения – задача пилотирования ЛА. На рис. 1.1 векторы возмущающих воздействий H(t), действующие на ЛА и различные элементы бортового оборудования, имеют 

различную размерность (d, l, ν, υ) и, возможно, различные по мощности и физической природе компоненты, так как бортовое оборудование может находиться внутри фюзеляжа как в герметических, так и негерметических отсеках и на различных расстояниях от источников помех. Полёт ЛА невозможен без двигателей (силовых установок – СУ), создающих тягу и подъёмную силу, обеспечивающие возможность движения ЛА над поверхностью Земли. Работа двигателей требует наличие запаса топлива на борту ЛА. Поэтому возникают задачи контроля состояния и управления работой СУ, а следовательно, и задачи измерения параметров режимов работы двигателей, запаса и расхода топлива. Полёт ЛА, связанный с наличием на борту ЛА экипажа или пассажиров, требует реализации условий жизнеобеспечения на борту ЛА, поскольку с подъёмом на высоту атмосферные условия значительно меняются (давление и температура падают по сравнению с их значениями на Земле, плотность воздуха и его состав также меняются с высотой) по сравнению с условиями на Земле. В связи с этим возникает задача управления условиями жизнеобеспечения в зоне места работы экипажа и нахождения пассажиров, а следовательно, и в необходимости измерения совокупности физических величин, характеризующих условия жизнеобеспечения в зоне места работы экипажа и нахождения пассажиров. ЛА может иметь и специальные задачи – фотографирование земной поверхности, распыление удобрений и другие задачи, требующие специальных измерений. Перечисленные задачи значительно шире рассмотренной задачи траекторного движения и учтены на рис. 1.1 наличием векторов X1(r×1)(t), X2(f×1)(t), Xˆ  (ω× )(t) , размерностей r×1, f×1 и ω×1 соответственно, а также обобщённой системы управления (ОСУ). В состав обобщённой системы управления входит СУТД и дополнительная система управления, вырабатывающая сигналы U1(s×1)(t), определяемые параметрами процессов, не связанными непосредственно с задачей управления траекторным движением. Если выделить средства измерения как объекты проектирования из общего состава бортоH(l×1)(t) вого оборудования (рис. 1.2), то можно сформулировать X(m×1)(t) Xˆ (n × )(t) постановку задачи проекИИСиИП тирования бортовых измерительных средств как раз- Рис. 1.2. Информационно-измерительная система ЛА работку алгоритмов работы 

и конструкции информационно-измерительных систем (ИИС) при известных свойствах, формах представления и диапазонах изменения компонент векторов сигналов X(m×1)(t), возмущений H(l×1)(t) и векторов показаний Xˆ (n × )(t) ИИС. Таким образом, на ИИС и ИП воздействует вектор полезных сигналов X(t) размерности m×1, где m = q+r+f, на выходе которых наблюдается вектор сигналов Xˆ (t) размерности n×1, где n = g+ω. При этом требуется обеспечить определённую техническими условиями степень близости свойств компонент Xˆ i (t) к соответствующим свойствам компонент Xi(t), i = 1, 2, …, m, отражающую степень адекватности отображения измеряемых физических величин или процессов в соответствующие им сигналы ИИС или показания ИП. При этом в качестве моделей сигналов Xi(t), оценок Xˆ i (t) i = 1, 2, …, m и помех Hj(t), j = 1, 2, …, n используются случайные процессы и случайные величины. При проектировании одного прибора, одной измерительной системы m = 1, n = 1, l = 1. Бортовое измерительное оборудование образуется как совокупность приборов и ИИС, обеспечивающих получение и обработку измерительной информации обо всех процессах и их параметрах, которые в совокупности обеспечивают возможность выполнения всех задач летательным аппаратом, включая безаварийные взлёт и посадку. В измерительной технике под средством измерения понимают всякое техническое средство, используемое в измерениях и имеющее нормируемые метрологические характеристики. Таким образом, метрологические свойства средств измерения, в том числе и бортовых средств измерения, нормированы, т. е. удовлетворяют нормам, ограничениям, установленным соответствующей технической документацией. Под прибором понимают средство измерения, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем. Бортовые приборы ЛА имеют в своём составе отсчётные устройства (шкала и стрелка, шкала и уровень, цифровой счётчик и др.), по которым оператор (член экипажа) может снять отсчёт измеряемой физической величины. Под ИИС понимают совокупность средств измерения и вспомогательных устройств, связанных между собой каналами связи, единым алгоритмом работы и обеспечивающих получение, передачу, и обработку измерительной информации для использования в системах управления и представление ее в форме, удобной оператору. Таким образом ИИС в отличие от ИП ЛА производят обработку и выдают измерительную информацию в форме сигналов, исполь10

зуемых в автоматических системах управления и других устройствах (например, бортовой ЦВМ) и, кроме того, как правило, имеют выводы и на индикационную панель оператора. Обработка измеряемой информации ИИС включает в себя различные преобразования (нормализация, квантование, дискретизация, классификация) сигналов с целью согласования работы отдельных узлов системы и выделение сигналов на фоне шумов (фильтрация и оценивание). Значительный объём бортового оборудования, устанавливаемого на борту ЛА, огромное число схемных элементов в нём остро ставят проблему его надёжности. Недостоверность измерительной информации, связанная с наличием погрешности или наличием отказов в оборудовании, может привести к использованию нагружённых сверх нормативных уровней режимов работы бортового оборудования, в том числе и силовых установок, увеличивая вероятность отказов бортового оборудования и снижая качество решения задач бортовым оборудованием и летательным аппаратом в целом. Поэтому главными являются задачи повышения надёжности бортового оборудования и исключение возможности попадания недостоверной измерительной информации в какие-либо каналы ОСУ ЛА. Следовательно, возникают задачи контроля состояния бортового оборудования и планёра, в том числе контроля критических (аварийных с точки зрения возможности устойчивого полёта) пилотажно-навигационных параметров и управление структурой бортового оборудования с целью исключения поступления недостоверной измерительной информации в каналы контуров ОСУ ЛА. 1.2. Классификация информационно-измерительных систем летательных аппаратов Классификацию ИИС ЛА будем производить по назначению и принципу действия систем, по характеру представления сигналов и способу передачи измерительной информации, по виду используемой математической модели ИИС и способу индикации измерительной информации. 1. По назначению ИИС можно подразделить на следующие классы: – пилотажные системы; – навигационные системы; – пилотажно-навигационные системы; – системы измерения параметров состояний силовых установок; – системы измерения запаса топлива и управления положением центра масс ЛА; 11

– системы жизнеобеспечения и жизнедеятельности экипажа и пассажиров; – системы контроля критических (аварийных) значений пилотажно-навигационных параметров; – системы измерения и записи (хранения) параметров процесса полёта; –системы измерения и контроля параметров бортового оборудования ЛА. Современные бортовые ИИС отличаются от ИИС, используемых для других целей, тем, что для улучшения характеристик, таких как точность получаемых оценок, достоверность принимаемых решений, надёжность навигационных приборов, помехозащищённость информационно-измерительных систем строятся как комплексные системы. В этом случае используется несколько разных по физическому принципу работы измерителей одного и того же параметра и оптимально-инвариантный алгоритм обработки информации. Например, курсовые системы (КС) имеют в своём составе гироскопические, магнитные, спутниковые, астрономические и другие измерители курса, наблюдаемые сигналы которых могут быть использованы для повышения точности оценок курса ЛА. При классификации по назначению выделена группа ИИС определения физических величин (параметров траектории полёта), необходимых как для решения задачи пилотирования, так и навигации – истинная воздушная скорость V, путевая скорость W, число Маха M, вектор линейного ускорения A, угловые характеристики в навигационной 0XYZ и пилотажной 0XсYсZс (связанной с летательным аппаратом) системах координат. В том числе угол атаки α (угол между проекцией вектора истинной воздушной скорости Vв полёта на вертикальную плоскость и строительной осью ЛА) и угол скольжения β (угол между проекцией Vг вектора V на горизонтальную плоскость и продольной осью ЛА). К этому классу относятся ИИС пилотажно-навигационных параметров. Кроме того, выделена система измерения запаса топлива и управления центром масс ЛА, поскольку запас топлива является важным параметром, характеризующим возможную длительность полёта. Система измерения и контроля аварийных значений пилотажно-навигационных параметров помимо получения измерительной информации предполагает использование операции контроля. В этих системах осуществляется сравнение текущей измерительной информации с критическими значениями параметров и выработка соответствующего сигнала (больше, меньше, в допуске), а также осуществляется поиск причины возникшей полётной ситуации (от12

каз того или иного оборудования ЛА, наличие каких-либо непредвиденных влияний окружающей среды и др.). Задачей таких систем может быть анализ полётной ситуации и определение путей выхода из сложившейся критической ситуации и выработка рекомендаций пилоту или сигналов управления, обеспечивающих устойчивое движение ЛА относительно заданной траектории с требуемым качеством и с высокой вероятностью. Подобная система в целом является не только измерительной и управляющей, но и анализатором ситуации и определения возможных путей выхода из критической ситуации и должна опираться на принципы структурной и параметрической адаптации к возникшей ситуации и на идеологию теории сатистических решений. Если система обладает такими свойствами на всей траектории полёта, то она может быть названа автоматом безопасности полёта ЛА. Средства измерения и записи (хранения) параметров процесса полёта предназначены для сохранения и записи реализаций параметров процесса полёта при авариях ЛА с целью последующего анализа причин аварии и конструктивной доработки бортового оборудования, обеспечивающего безаварийность полётов с требуемой вероятностью. В составе бортового оборудования имеются также автоматизированные средства контроля (АСК) состояний бортового оборудования. Распределённые по отдельным видам бортового оборудования встроенные АСК обычно решают задачу контроля работоспособности, т. е. соответствия показателей качества или параметров состояния проверяемого объекта установленных технической документацией пределам работоспособного или неработоспособного состояния объекта контроля. При этом обычно используется двухальтернативный контроль, когда экипажу выдаются сигналы «годен» или «негоден». Эти сигналы могут обобщаться по отдельным видам бортового оборудования. 2. По принципу действия (или роду физических величин), используемых в процессе преобразования измеряемых физических процессов в выходную информацию различают: – механические системы; – электромеханические системы; – оптические системы; – радиотехнические системы; – электронные системы; – тепловые системы. Гироскопическими системами называются электромеханические системы, в которых используются свойства гироскопа. 13

На практике часто применяются смешанные ИИС, использующие различные виды физических процессов (оптикомеханические, электрооптикомеханические, радиооптические и т.д.). 3. По характеру представления сигналов в процессе выработки выходной измерительной информации можно выделить: – аналоговые системы; – импульсные системы; – цифровые системы; Также используют следующие смешанные системы: – аналогоимпульсные; – аналого-цифровые; – импульсно-цифровые. В аналоговых ИИС (в том числе при измерении физических процессов в форме редко появляющихся импульсов, например ударных ускорений при посадке ЛА) сигналы на всех этапах преобразования измеряемых физических процессов в выходные сигналы являются непрерывными функциями времени. В импульсных ИИС основные этапы преобразования измерительной информации в выходной сигнал осуществляются с помощью сигналов, дискретизированных по времени, – импульсов, появляющихся во времени по определённому закону (через равные промежутки времени при равномерной дискретизации), у которых информация об измеряемом физическом процессе заложена в одном или нескольких параметрах – амплитуде импульса, длительности импульса или частоте появления. В цифровых ИИС помимо дискретизации сигналов по времени (обычно используется равномерная дискретизация) осуществляется и дискретизация по уровню. При этом область возможных значений разбивается обычно равномерно на некоторое количество квантов ∆, а значению отчёта уровня сигнала X(t) в некоторый производный момент времени ti, i = 1, 2, …, ставится и в соответствие наибольшее число квантов такое, что разность между уровнем сигнала X(ti) и его отсчётом (квантованным по уровню сигналом) X(ti)–X∆(ti) минимальна. Отсчитанный уровень сигнала X∆(ti) представляется в цифровом виде с помощью кода (двоичного, восьмеричного, двоично-десятичного и т.п.). 4. По характеру передачи измерительной информации ИИС можно классифицировать в зависимости от наличия или отсутствия дистанционной передачи измерительной информации от измерительного преобразователя, непосредственно воспринимающего измеряемый физический процесс, к преобразователю, обеспечивающему выдачу сигнала ИИС или отсчёт показаний индикатора. Для ИИС 14

и приборов, даже простейших, характерно наличие дистанционной передачи (проводной или осуществляемой с помощью специальных электромеханических устройств) в составе конструкции, поскольку первичный измерительный датчик устанавливается в месте измерения физического процесса, а индикатор – на приборной доске одного или нескольких членов экипажа. При этом некоторые ИИС, например, связанные с измерением параметров среды в кабине ЛА, которые устанавливаются в зоне оперативной деятельности экипажа, могут и не иметь дистанционной передачи. Таким образом, по указанному признаку ИИС подразделяются на дистанционные и недистанционные. 5. По виду математической модели ИИС можно классифицировать с точки зрения используемого математического оператора. Математическое выражение закона, в соответствии с которым по заданной реализации y(t) входного сигнала определяется реализация выходного сигнала xˆ (t), называют [4, 6] оператором системы Aτt { } xˆ (t) = Aτt {y(τ)}, τ∈ [t0 ,t] , (1.2.1) где фигурные скобки в обозначении оператора Aτt { } заключают функцию, над которой производятся действия оператора, индекс τ внизу обозначает аргумент этой функции, по которому действует оператор, индекс t вверху указывает на зависимость оператора от времени, t0 – начальный момент времени. Входной сигнал можно представить в виде Y(t) = G{X(t), H(t)} , где G – оператор композиции полезного сигнала X(t) и помехи измерения H(t). В этом плане все математические модели ИИС можно разделить на линейные и нелинейные. Динамическая система называется линейной, если её оператор линеен. Оператор Aτt { } называется линейным, если при любых числах n, скалярных числах c1, c2, …, cn и при любых функциях z1(t), z2(t), …, zn(t), принадлежащих линейному пространству Z выполяется следующее соотношение:  n  n Aτt  ∑ cν ⋅ zν (τ)  = ∑ cν ⋅ Aτt {zν (τ)}, ν=  ν=

(1.2.2)

т. е. результат действия этого оператора на любую линейную комбинацию данных функций является линейной комбинацией результа15

тов его действия на каждую функцию в отдельности. Динамическая система линейна тогда и только тогда, когда линейной комбинации любых входных воздействий соответствует та же линейная комбинация соответствующих выходных функций. Это свойство линейных систем, выраженное формулой (1.2.2), называется принципом суперпозиции. Принцип суперпозиции опирается на два важных свойства линейных систем – однородности и аддитивности. Свойст­ во однородности связано с возможностью выноса скалярных величин из-под знака оператора, а свойство аддитивности определяется равенством процедур взятия оператора от суммы входных воздействий сумме взятия операторов от каждого входного воздействия в отдельности. Поэтому линейные системы можно определить как такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции. Линейные и нелинейные ИИС по виду математической модели можно подразделить на безынерционные и инерционные. Безынерционными называются системы, использующие метод обработки сигналов, при котором не учитываются прошлые показания измерителей к моменту выработки оценки. Для безынерционной системы справедливо следующее соотношение: xˆ (t) = A t {y(t)} . (1.2.3) Для инерционных систем оценка сигнала производится в соответствии со следующим выражением: xˆ (t) = Aτt {y(τ)}, τ∈ [t0 ,t] , (1.2.4) где τ может принимать континуум значений, либо счётное число дискретных значений в текущем интервале времени [t0, t]. Линейные инерционные ИИС по признаку зависимости или независимости реакции ИИС xˆ (t) от момента времени поступления наблюдаемого сигнала y(τ), где τ∈[t0, t], подразделяются на стационарные и нестационарные ИИС. Стационарность или независимость от времени есть инвариантность преобразования к временным сдвигам в том смысле, что для любого y(t) и любого t0, если xˆ (t) = Aτt {y(τ)}  , то xˆ (t − t0 ) = Aτt {y(τ − t0 )} . Для линейных систем связь выходного и входного сигналов может быть записана в виде ∞

xˆ (t) =

∫ g (t, τ)y(τ)dτ ,

(1.2.5) где g(t, τ) – импульсная весовая функция, представляющая собой реакцию системы на единичный δ-импульс, подаваемый на вход в момент времени τ при нулеых начальных условиях: −∞

16



g (t, τ) = Aτt {δ(t − τ)};



∞, t = 0 , δ(t) =   0, t ≠ 0 .

(1.2.6))

Оператор Aτt {} инвариантен во времени тогда, когда импульсная реакция (весовая функция) g(t, τ) зависит только от разности аргументов t−τ. Линейный оператор в этом случае соответствует выражению ∞

xˆ (t) =

∫ g (t − τ)y(τ)dτ ,

(1.2.7)

−∞

т. е. xˆ есть свёртка g и y; свёртку часто обозначают символически xˆ = g ⊗ y . Физически реализуемые системы характеризуются тем, что на их операторы наложено существенное ограничение: они должны быть неупреждающими или казуальными. Это условие легко выразить через импульсную реакцию. Для того, чтобы выходной сигнал xˆ (t) зависел бы только от предыдущих значений входного сигнала y(t) необходимо и достаточно наложить следующее условие на импульсную реакцию: g(t, τ) = 0 при всех τ >t .



(1.2.8)

Это ограничение часто вводят в запись самой операции: t

xˆ (t) =

∫ g (t, τ)y(τ)dτ ,

(1.2.9)

−∞

не оговаривая условие на функцию g(t, τ). Многие динамические ИИС могут быть достаточно точно описаны дифференциальными уравнениями конечного порядка. Указанные математические модели особенно часто используются для описания цепей с сосредоточенными параметрами. Математическую модель ИИС при использовании дифференциального оператора n-го порядка можно записать в следующем виде:



n

di xˆ (t)

i =0

dti

∑ ai (t)

n −

di y(t)

i =0

dti

= ∑ bi (t)

(1.2.10)

,



где ai(t) и bi(t) – непрерывные функции. Если коэффициенты уравнения постоянны, то параметры системы не зависят от времени. 17

6. По способу индикации ИИС ЛА подразделяются на ИИС с непосредственной выдачей информации оператору и регистрирующие ИИС ЛА, выдающие информацию на запись на какой-либо материальный носитель (бумажная лента, магнитная плёнка, электронные носители информации и т. д. ). ИИС с непосредственной выдачей информации оператору по виду индикационного канала, используемого оператором, подразделяются на: – ИИС со зрительной индикацией; – ИИС со звуковой индикацией; – ИИС с тактильной (чувствительность кожи к раздражителям – давлению, температуре и др.) индикацией. Индикаторы ИИС зрительного канала оператора по способу выдачи информации подразделяются на индикационные, использующие те или иные отсчётные устройства (шкала и стрелки, световой столб и шкала, цифровая запись, световая сигнализация от дискретных сигналов и т.п.) и изобразительные (карта местности, отображение сигналов в виде пространственных рисунков и др.). 1.3. Основные свойства и качество информационно-измерительных систем Качество ИИС характеризуется совокупностью свойств, определяющих пригодность выполнять поставленные задачи в соответ­ ствии с назначением. Основное назначение ИИС ЛА заключается в своёвременном и точном измерении навигационных и других физических и медикобиологических параметров или в достоверности их классификации с целью обнаружения критических ситуаций. Характерной особенностью задачи оценки качества ИИС ЛА является многообразие свойств, определяющих успешность выполнения требуемых задач, таких как точность, длительность, надёжность работы, удобство эксплуатации, затраты на производство и содержание и т.д. В связи с этим понятие качества рассматриваемых ИИС является многогранным, комплексным, включающим различные свойства. К основным свойствам ИИС, определяющим их качество можно отнести следующие: 1) эффективность; 2) точность; 3) достоверность; 4) надёжность; 18

5) помехозащищенность; 6) робастность; 7) инвариантность; 8) адаптивность. Для количественной оценки качества ИИС вводят показатели качества и свойств ИИС. Показатель качества – это число, характеризующее в принятой системе единиц свойство систем. Вычисление показателя качества позволяет произвести сравнение различных ИИС и определить, какая система является лучшей по сравнению с другими. Система, для которой показатель качества принимает экстремальное значение, называется оптимальной. Оптимальная система – это наилучшая система в смысле данного показателя качества из всех возможных систем данного класса. Определение оптимальных систем составляет задачу синтеза ИИС. При анализе определяются показатели качества известной системы, а при оптимальном синтезе определяются сами ИИС, обеспечивающие наилучшие значения показателей качества. 1. Эффективность. Эффективность ИИС – есть мера целесообразности её применения. В качестве показателя качества эффективности можно использовать относительную величину затрат: C Э =− , C где С – стоимость затрат на создание ИИС ЛА, обеспечивающей заданную точность измерения и оценки полезного сигнала или достоверность принимаемых решений; С1 – допустимые затраты, предоставленные на создание ИИС ЛА с требуемыми характеристиками. 2. Точность. В ИИС ЛА одними из основных операций являются измерение и оценка параметров сигналов. Процесс измерения параметров сигналов характеризуется точностью. Под точностью ИИС понимают качество её средств измерения и алгоритмов обработки сигналов, отражающих близость к нулю погрешностей измерения и ошибок оценок. Для ИИС ЛА характерно, что наблюдаемый сигнал и погрешность измерения являются случайными процессами. Для оценки показателя качества используется величина среднего риска, который в случае определения точности обработки векторного сигнала X(t) характеризуется средним квадратом ошибки оценки

R = M[ET E] ,

(1.3.1) 19

где E = Xˆ − X  – вектор ошибки измерения или оценки Xˆ (t)  , «Т» – знак транспонирования вектора (аргумент t в приведённых выражениях для простоты записи опущен). Преобразуем выражение (1.3.1) в форму, удобную для использования. Обозначим среднее значение 

вектора ошибки оценки M[E] = E и E = E − Μ [E ]  – центрированное значение ошибки оценки, тогда выражение (1.3.1) можно представить в следующем виде: 





T

R = M[ET E] = M[( E − E + E)T ⋅ ( E − E + E)] = M[E T E] − 2M[E T E] + E E =  

=Tr{M[E E T ] + E E T } = Tr{KE + E E T } , где Tr{} – след матрицы; KE – корреляционная матрица ошибок оценок сигнала X; E E T  – матрица, определяемая смещённостью ошибки оценки E = M[Xˆ ] − M[X] или наличием систематических ошибок при измерении и оценке сигнала X. 3. Достоверность. При исследовании ИИС контроля состояний приборного оборудования ЛА, обнаружения и распознавания сигналов, классификации сигналов, т. е. в том случае, когда число альтернативных принимаемых решений z = 0, 1, ..., N по результатам наблюдения Y(t) счётное и чаще всего конечное, важнейшей характеристикой является достоверность принимаемых решений. Достоверность ИИС определяет степень доверия к принимаемым решениям. В качестве показателя достоверности ИИС используется вероятность принятия правильных решений по результатам наблюдений. Пусть в общем случае векторный наблюдаемый сигнал Y = G{X, H}, есть известная композиция полезного сигнала X и помехи H, где Y∈Ω, X∈Ω, Н∈Ω, а Ω – область возможных значений соответствующих векторов. Рассмотрим случай двуальтернативного решения, когда по результатам наблюдения принимается одно из двух взаимоисключающих решений z = 0, 1. Каждое реальное решение определяется попаданием вектора Y в соответствующую область Φ0 или Φ1.При этом Φ0∩Φ1 = Ω, Φ0∪Φ1 = ∅. Кроме реальных решений будем рассматривать идеальные решения zT = 0, 1, которые определяются попаданием вектора X в соответствующие области Ω0 или Ω1, Ω0∩Ω1 = Ω, Ω0∪Ω1 = ∅. Безусловные достоверности D0, D1 соответственно каналов «0», «1» и общая безусловная достоверность D могут быть определены в виде следующих совместных вероятностей: 20

Ω0

Φ1

B

B

Φ0

Ω1

B

B

Рис. 1.3. Процесс принятия решения: X ∈ Ω0 ⇒ zT = 0, X ∈ Ω1 ⇒ zT = 1, Y ∈ Φ0 ⇒ z = 0, Y ∈ Φ1 ⇒ z = 1

D0 = P{X ∈Ω0 ; Y ∈Φ 0 } , D = P{X ∈Ω; Y ∈Φ } , D = D0 + D . Безусловные вероятности появления ошибок при двуальтернативном решении определяются следующими соотношениями: α = P{X ∈Ω0 ; Y ∈Φ } , β = P{X ∈Ω; Y ∈Φ 0 } . При рассмотрении процесса контроля приборного оборудования ЛА безусловную вероятность α называют риском изготовителя, а β – риском заказчика. Безусловная вероятность появления ошибок при принятии двуальтернативного решения γ = α+β . 4. Надёжность. Для ИИС высокие точность и достоверность являются необходимыми, но недостаточными свойствами, так как даже высокоточные и высокодостоверные системы могут не выполнить поставленных задач, если в процессе их работы будут появляться отказы в аппаратуре. Поэтому при оценке качества ИИС необходимо учитывать свойство, присущее всем приборам – надёжность системы. Надёжность – это свойство выполнять заданные функции, сохраняя во времени значения установленных эксплуатационных показателей в заданных пределах, соответствующих заданным режимам и условиям использования, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования объекта эксплуатации. Для ИИС ЛА наибольшее значение имеет свойство надёжности, характеризуемое безотказностью аппаратуры в процессе полёта. Одним из способов обеспечения требуемой безотказности является введение в бортовое приборное оборудование структурной избыточности путём резервирования узлов или приборов ИИС ЛА. 21

Надёжность – комплексное свойство, а отдельные его компоненты характеризуют: – безотказность; – ремонтопригодность; – сохраняемость; – долговечность; – помехозащищённость. 5. Помехозащищённость. В процессе работы ИИС ЛА на неё воздействуют внутренние и внешние помехи. Под помехой будем понимать любой дестабилизирующий фактор, действующий на сигнал и вызывающий потерю информации, т. е. помеха – это причина возникновения погрешности или сбоя. Помехи по характеру воздействия можно подразделить на флюктационные и систематические. Флюктационные помехи представляет собой последовательность импульсов, имеющих случайные амплитуду, длительность, форму и время появления отдельных импульсов. Систематические помехи могут иметь постоянные или изменяющиеся во времени значения. Воздействие помех на ИИС приводит к появлению недопустимых погрешностей или даже к срыву функционирования систем. Поэтому важным свойством ИИС является помехозащищённость. Способность ИИС нормально функционировать (т. е. получать, обрабатывать, выдавать информацию) при наличии помех называется помехозащищённостью системы. Чем меньше отличие выходного сигнала от полезного при воздействии помех, тем большей помехозащищённостью обладает система. Современные ИИС, как правило, работают под воздействием большого числа интенсивных дестабилизирующих факторов. Поэтому для нормального функционирования ИИС необходимо применять специальные меры по повышению её помехозащищенности. Любое повышение помехозащищённости ИИС связано с введением избыточности и усложнением аппаратуры. В качестве показателя помехозащищённости ИИС можно ввести следующий критерий: Kп =

∆R / R * ∆a / a*

,

где R* – оптимальный показатель качества рассматриваемой ИИС при номинальных значениях параметров помех; a* – номинальное значение рассматриваемого параметра помехи; DR – изменение по22

казателя качества ИИС при отклонении рассматриваемого параметра от номинального значения на заданную величину Da. 6. Робастность. Робастность – это малая чувствительность показателя качества к изменению параметров ИИС. Показатель робастности можно определить следующим соотношением: ∆R / R * Kр = , ∆b / b* где b* – номинальное значение рассматриваемого параметра ИИС; DR – изменение показателя качества ИИС при отклонении рассматриваемого параметра от номиR нального значения на заданную величину Db. Из рис. 1.4 видно, что изменение одного и того же параметра b приводит к различным изменени∆R1 ∆ R2 ям показателя качества. Система, у которой изменение параметра * 0 b* b + ∆b b b приводит к менее заметным Рис. 1.4. Примеры зависимостей изменениям показателя качестпоказателей качества ва R, является более робастной R двух одинаковых по напо отношению к другой. значению ИИС от изменения одного и того же 7. Инвариантность и адаппараметра b тивность. К моменту проектирования ИИС обычно объёма априорной информации недостаточно для полного оптимального синтеза систем. Особенно это типично относительно информации о полезном сигнале. Поэтому иногда ограничиваются проектированием ИИС, показатель качества которой был бы независим (инвариантен) от характеристик полезного сигнала. Можно также построить ИИС инвариантной относительно заданного типа помех. Таким образом, инвариантность систем – это свойство независимости показателя качества от характеристик полезного сигнала или от возмущающих воздействий. Для обеспечения свойства инвариантности требуется введение дополнительных каналов приёма и обработки полезного сигнала. Другим способом преодоления априорной неопределенности является построение адаптивной ИИС. Адаптивная ИИС изменяет, приспосабливает алгоритмы обработки сигналов с целью сохране23

ния высокого показателя качества в зависимости от вида входной информации. При оценке качества ИИС приходится часто учитывать одновременно несколько разнородных её свойств. В этом случае единый общий критерий показателя качества можно представить в виде функ­ ции некоторых критериев W = ϕ(W1, W2, …, Wk) . Каждое Wi оценивает частное i-е свойство ИИС. Частные критерии можно объединить в единый общий критерий W, используя следующие элементарные действия над частным критериям: k

W = ∑ λi Wi , i =

где параметр λi – «вес» частного критерия Wi. В этом случае общий результат представляет собой сумму частных результатов, каждый из которых имеет свою значимость. В том случае, когда общая задача ИИС решается, если частные критерии принимают значения не менее заданных Wi*, i = 1…k, общий критерий может быть определен следующим соотношением: , Wi ≥ Wi* , W= * 0 , Wi < Wi , i = ,k .

24

Глава 2. Модели сигналов 2.1. Основные понятия Для всех ИИС ЛА характерна общность структурного построения используемых методов анализа и синтеза и показателей качества их работы. Общим для всех указанных систем и входящих в них устройств является также то, что их функционирование непосредственно связано с сигналами. Так, например, навигационная ИИС осуществляет измерение физических процессов, таких как изменение давления Р, температуры Т, относительной влажности ∆ и т. д. Совокупность указанных физических процессов, характеризующих состояние среды, в которой находится ИИС ЛА, определяет воздействия, содержание информацию или сигналы. Электрические сигналы на выходе измерителей (первичных датчиков) или параметры сигналов должны соответствовать первичным физическим воздействиям. Физические процессы, не отнесенные к классу сигналов и приводящие к искажению, т. е. к нарушению соответствия между первичными физическими процессами и электрическими сигналами измерителей, называются помехами. К помехам можно отнести возмущения, вызванные вибрацией, случайным изменением температуры, нечувствительностью измерителя, турбулентностью атмосферы и т. д. Характеризуя сигнал с точки зрения его функционального назначения, т. е. отвечая на вопрос «для чего служит сигнал», можно дать следующее определение: сигнал есть материальный носитель информации. Понятие информации базируется на двух философских категориях: отражении и многообразии. «Информация есть отраженное многообразие» – это определение, данное Л.А.Урсулом [7], подчеркивает, что информация возникает в процессе отражения и при наличии определенного выбора из множества явлений. В качестве сигналов используются не сами по себе объекты, а их состояния. Образование сигнала заключается в изменении состояний физического объекта, произведенного по определенным правилам. Таким образом, сигнал есть изменение материального объекта, произведенное по заранее определенным правилам. Одному и тому же измеряемому физическому явлению может быть поставлен в соответствие целый ряд физически различных сигналов. Сохранение информации обеспечивается взаимно однозначным соответствием сигналов. В теории множеств существует поня25

тие изоморфизма множеств, придающее точный смысл несколько неопределенному понятию соответствия сигналов. Рассмотрим понятие изоморфизма для дискретных множеств. Два множества X и Y, состоящие из элементов x∈X и y∈Y называются изоморфными, если выполняются следующие условия: – каждый элемент xm∈X может быть взаимно однозначно сопоставлен с элементом ye∈Y, т. е. xm→ye и ye→xm; – каждая операция (из некоторого класса операций), преобразующая элемент xn∈X в xm∈X в множестве Х, f(xn) = xm может быть взаимно однозначно сопоставлена с операцией ϕ, преобразующей элемент yk∈Y в ye∈Y, ϕ(yk)→ye, т. е. f→ϕ, ϕ→f; – если xn∈X соответствует yk∈Y и xm∈X соответствует ye∈Y, если f(xn) = xm и f→ϕ, то для всех x, y, f ϕ(yk)→ye. Смысл первых двух условий очевиден, последнее условие обеспечивает удовлетворение того требования, чтобы элементы xm и ye, полученные из соответствия друг другу операций f и ϕ, тоже соответствовали друг другу. В приложении к теории сигналов каждое множество, упоминаемое в приведенном определении, представляет собой множество физически однородных сигналов. Операции f и ϕ являются операциями перекодирования. Переход из одного множества в другое эквивалентен переходу от сигнала одной физической природы к соответствующему сигналу другой природы. С этой точки зрения смысловое (семантическое) содержание информации, несомой сигналом, исчерпывается изоморфным соответствием между сигналами и событием, отражаемым данным сигналом. В свете понятия изоморфизма задача построения математической модели сигнала выглядит как задача построения множества математических образов, изоморфного множеству реальных сигналов. В соответствии с определением информации одна единственная функция измеряемого параметра не может служить моделью сигнала. Такая функция приобретает сигнальные свойства только тогда, когда она входит в некоторое многообразие функций. Следовательно, моделью сигнала может служить набор однозначных функций измеряемого параметра. В качестве конкретной реализации сигнала используется какая-либо одна из этих функций. Такой модели соответствует понятие случайного процесса как множества функций параметра t, на котором определена вероятностная мера. Каждая конкретная функция называется реализацией случайного процесса.

26

2.2. Характеристики и параметры сигналов Под характеристикой сигнала будем понимать зависимость параметров сигнала от времени или частоты. Параметр есть количественное выражение свойства сигнала. Необходимость исследования характеристик и параметров сигналов вызвана задачами анализа, синтеза и оптимизации сигналов и информационно-измерительных систем. Рассмотрение характеристик и параметров сигналов целесообразно производить раздельно применительно к реализациям сигнала как детерминированным функциям и сигналам как множеству случайных функций. Основными задачами теории сигналов являются рассмотрение и исследование числовых характеристик, параметров, методов представления и основных моделей сигналов, в том числе спектральных характеристик сигналов. Понятие спектра сигнала возникло из представления периодического сигнала x(t) как функции времени в виде ряда, состоящего из косинусоид (синусоид), называемых гармониками: x(t) =

N

∑ An cos(ωn t + ϕn ) ,

n =0

с определенным соотношением их амплитуд An, частот ωn и фаз ϕn. Частоты гармоник ωn кратны частоте ω1, т. е. ωn = nω1 , где ω1 – частота первой или основной гармоники, период которой по времени равен периоду сигнала T, т. е. ω1 = 2π/T. Если использована комплексная форма записи косинусоид, то ряд имеет вид x(t) =

N

∑

n =− N

Cn e jωnt ,

где последовательность коэффициентов Cn, в общем случае комплексных, называется дискретным комплексным спектром сигнала x(t), в то время как последовательность модулей |Cn| образует амплитудный спектр, а фаз arg(Cn) – фазовый. На точность представления сигнала влияет количество гармоник N, а также способ определения коэффициентов ряда. Как правило, коэффициенты Cn определяются по формуле b

Cn =

 x(t) e − jnωt dt, b − a = T , T ∫a

которые в этом случае называются коэффициентами ряда Фурье. Обобщением представления сигналов посредством рядов Фурье является представление 27

∞

x(t) =

 j ωt ∫ X( jω)e dω , 2 π −∞ ∞

X( jω) =

∫ x(t) e

− j ωt

dt ,

−∞

где X(jω) – прямое преобразованием Фурье функции x(t) и называется комплексным спектром сигнала, который теперь уже может быть непериодическим. В отличие от спектров при использовании рядов Фурье спектр X(jω) – сплошной, т. е. является не последовательностью, а функцией непрерывного аргумента – частоты ω. Первое интегральное выражение является обратным преобразованием Фурье функции X(jω). Оба преобразования являются взаимно однозначными, и, следовательно, X(jω) несёт в себе всю информацию о сигнале x(t). Комплексный спектр может быть выражен через вещественные функции X( jω) = A (ω) e j ϕ(ω) , где A(ω) и ϕ(ω) – амлитудный и фазовый спектры соответственно. Дополнительные сведения о спектрах и их свойствах приводятся в последующих разделах. К часто используемым параметрам реализаций сигналов при анализе и оптимизации моделей сигнала относятся: практически реальные длительность, время нарастания и полоса частот сигнала, определяемые соответственно интервалами времени и частоты, при которых амплитудные значения убывают до заданного значения относительно максимальных величин, а также средний квадрат ошибки оценки или воспроизведения, энергия, мощность, средняя частота, период дискретизации по времени и величина кванта, т. е. величина дискретизации амплитуды реализации сигнала, амплитуда A, частота ω, фаза ϕ гармонического сигнала x(t) = A sin(ωt+ϕ). К основным характеристикам сигналов, описываемых случайным процессом, относятся закон распределения параметров сигнала и, в частном случае, огибающей узкополосного случайного сигнала, наличие свойства марковости, стационарности и эргодичности исследуемого случайного процесса, зависимость спектральной плотности дисперсии стационарного сигнала от частоты, вид корреляционной функции и математического ожидания сигнала как функции времени. В теории сигналов широко используются следующие параметры и показатели качества ИИС и случайных сигналов: среднеквадратическая точность оценки и фильтрации сигналов, достоверность 28

классификации, длительность среднего интервала корреляции, среднее число выбросов за заданный уровень, практически реальная полоса частот спектральной плотности, вероятность недостижения заданных границ сигналом, средняя энергия и мощность, средняя частота непрерывного и средняя частота повторения дискретного сигналов и т. д. При оптимизации ИИС и сигналов наиболее часто в качестве критериев оптимальности используется средний квадрат ошибки и достоверность классификации сигналов. Средний квадрат ошибки оценки сигнала в векторном случае определяется в виде M[( Xˆ (t) − X(t))T ( Xˆ (t) − X(t))] = Tr{M[( Xˆ (t) − X(t))( Xˆ (t) − X(t))T ]} , (2.2.1) где Xˆ (t)  – оценка сигнала X(t); Xˆ (t) и X(t) – векторы–столбцы размерности m×1; Tr{} – след матрицы. Достоверность классификации сигналов есть вероятность принятия правильных решений о принадлежности сигнала к определённому классу по результатам наблюдений. Рассмотрим некоторые характеристики и параметры сигналов, описываемых случайными процессами. Математическое ожидание X(t) векторного сигнала X(t) размерности m×1 определяется по формуле ∞

M[X(t)] = X(t) =

∫ x(t)f (x,t)dx ,

(2.2.2)

−∞



где f(x, t) – многомерная плотность распределения сигнала, в общем случае зависящая от времени. Матрица корреляционной функции Kx(t1, t2) вещественного сигнала X(t) размерности m×m и ее элементы Kxij (t,t2 ) равны

Kx (t,t2 ) =

Kx (t,t2 )

Kx2 (t,t2 )

......

Kxm (t ,t2 )

Kx2 (t,t2 )

Kx22 (t,t2 )

......

Kx2m (t,t2 )

................... ................... ...... .................... Kxm (t,t2 ) Kxm2 (t,t2 ) ...... Kxmm (t ,t2 )

, (2.2.3)

∞ ∞

Kxij (t,t2 ) =

∫ ∫ (xi (t ) − xi (t ))(xj (t2 ) − xj (t2 ))f (xi ,xj ;t,t2 )dxdx2 , (2.2.4)

−∞ −∞

где xi(t), xj(t) – компоненты случайного векторного сигнала X(t) в момент времени t, i, j = ,m ; X(t), Xi (t), Xj (t)  – математическое ожидание векторного сигнала X(t) и компонент его; f(xi, xj; t1, t2) – сов29

местная плотность распределения Xi и Xj в моменты времени t1и t2. Величина ∞ Dxi = Kxi (t = t,t2 = t) = ∫ (xi (t) − xi (t))2 f (xi ,t)dx, i = ,m (2.2.5) −∞ определяет дисперсии компонент сигнала X(t) в момент времени t. Многие сигналы, соответствующие физическим процессам на борту ЛА, можно рассматривать как стационарные в широком смысле, т. е. их корреляционные функции зависят только от разности рассматриваемых моментов времени, а математические ожидания не зависят от времени Kxij (t,t2 ) = Kxij (t2 − t ) = Kxij (τ), i = ,m , M[xi (t)] = xi (t) = const, i = ,m . (2.2.6) Среди различных законов распределения случайного процесса {x(t), t∈T} наиболее широкое применение имеет нормальный закон распределения для гауссовского случайного процесса. Случайный процесс называется гауссовским, если для n любых моментов времени t1, …, tn из T (n – произвольное целое число) n случайных m-мерных векторов X(t1), …, X(tn) имеют совместное нормальное распределение

f ( X* ) =

 (2π)

nm

Kx*

   exp  − ( X * − X * )T Kx* − ( X * − X * )  , (2.2.7) 2  

где X* – nm-мерный вектор–столбец вида X*T = [X1, …, Xn], Xi = X(ti) – вектор размерности m×1; Kx* = Kxlk , l,k = ,n  – корреляционная матрица размера nm×nm, а Kxlk = M ( X(tl ) − X(tl ))( X (tk ) − X(tk ))T  ; Kx* −  – обратная корреляционная матрица; Kx*  – определитель матрицы Kx* . Большое применение в практических приложениях находит класс случайных процессов, называемых марковскими. Широкое использование указанных процессов обусловлено, с одной стороны, возможностью для них получения аналитических выражений для широкого класса задач анализа и синтеза в пространстве состояний линейных и нелинейных ИИС, с другой стороны, достаточно точным приближением этих моделей сигналов к реальным сигналам. Случайный процесс {X(t), t∈T} называется марковским, если для любых n моментов времени t1 W  ,   −∞

где X(jω) – спектр сигнала x(t). Классификация случайных сигналов частично совпадает с классификацией случайных процессов. При этом можно выделить следующие практически важные классы сигналов: марковские сигналы; гауссовские сигналы, n-мерные законы распределения значения которых, соответствующие любым временным сечениям, являются нормальными; стационарные или квазистационарные сигналы, т. е. сигналы, являющиеся стационарными на заданном интервале времени; квазидетерминированные сигналы – такие сигналы X(U, t), которые определяются функциями случайного вектора U и времени t и при каждой реализации случайного вектора U являются детерминированными функциями времени, и альтернативные им варианты. 33

Множество случайных сигналов можно также классифицировать аналогично реализациям сигналов по следующим свойствам: – сигналы, ограниченные в среднем по величине:  XKC =  X; M [X(t) ] = 

∞



−∞



∫ x(t)f (x(t))dx < K; −∞ < t < ∞  ,

где f(x(t)) – плотность распределения значений сигнала x(t) в момент времени t; – сигналы с ограниченной в среднем энергией



  ∞  ∞ ∞ XE =  X;M  ∫ x2 (t)dt  = ∫ ∫ x2 (t)f (x(t))dxdt ≤ E  ; (2.3.14)  −∞  −∞ −∞   – сигналы с ограниченной средней длительностью ∞   Xτ =  X; τ = ∫ tf (t)dt ≤ τd  , −∞  

где f(t) – плотность распределения длительности сигнала X(t); τd – допустимое среднее значение длительности сигнала; – случайные стационарные сигналы с практически (в теоретическом аспекте случайные сигналы имеют неограниченный спектр) ограниченной полосой ∞    XWC =  X; S(ω) = K (τ)e − jωτ dτ = 0, ω > W  ∫ 2π −∞  

при условии, что W

∫

S(ω)dω = Kd Dx ,

−W

где Dx – дисперсия процесса X(t); Kd – известное значение коэффициента (0  0 . 

(2.4.2)

Используется также следующее представление функции знака: sign(t) =

x(t) . x(t)

Умножение произвольной функции x(t) на функцию знака означает изменение знака x(t) в момент времени t = 0. В связи с тем, что в данном случае условие (2.4.1) выполняется, для нахождения спектра функции sign(t) поступают следующим образом: а) образуют sign-образную функцию; б) получают для sign-образной функции преобразование Фурье; в) в результате предельного перехода получают спектр функции знака. Введём sign-образную (рис. 2.3)), используя экспоненциальные функции (α>0) sign∧(t) = e −αt1(t)−eαt1(−t). sign(t)

1

∧

sign (t) t

0 –1

Рис. 2.3. Зависимости функций знака и знако-образной от времени 37

Тогда функцию знака можно определить соотношением (2.4.3)

sign(t) = lim e −αt ⋅ (t) − eαt ⋅ (−t)  , α→0

единичная функция где

, t > 0 ;  (t) = /2, t = 0 ; 0, t < 0 . 

(2.4.4)

Преобразование Фурье от функции знака определяется следующим соотношением: 0 ∞  F ( jω) = F {sign(x)}= lim  ∫ (e −αt ⋅ e − jωt )dt − ∫ (e αt ⋅ e − jωt )dt  = α→0   −∞ 0 0 ∞  = lim  ∫ (e −(α+ jω)t )dt − ∫ (e(α− jω)t )dt  = α→0  −∞ 0  ∞    α− jω)t = lim  (e −(α+ jω)t ) − e( α→0  −(α + jω) (α − jω) 0 

(

)

 = −∞  

0

    −2 jω 2 = lim  − = .  = lim 2 2 α→0  −(α + jω) (α − jω ) α→0 α − ( jω) jω  

(2.4.5)

Выражение (2.4.5) является комплексным спектром функции 2 знака. Амплитудный спектр равен F ( jω) = . Фазовый спектр опω π ределяется значением − на всех частотах. Амплитудный спектр 2 функции знака изображен на рис. 2.4. 2. Единичная функция (единичный скачок, функция Хевисайда) F (ω)

0 Рис. 2.4. А мплитудный спектр функции знака 38

ω

Единичная функция (рис. 2.5) определяется соотношением (2.4.4) и её также можно определить через функцию знака (t) =

  + sign(t) . 2 2

1(t) 1 1 2 0

t

Рис. 2.5. Единичная функция

Умножение сигнала на 1(t) равносильно включению этого сигнала в момент времени t = 0 x(t), при t > 0 ,   (t) ⋅ x(t) =  x(t), при t = 0 , 2 0, при t < 0 . С помощью единичной функции описываются финитные сигналы (ограниченные по времени). Преобразование Фурье от единичной функции можно получить, используя следующее соотношение:   F {(t)} = F {} + F {sign(t)} . 2 2 Можно показать, что для константы A преобразование Фурье будет равно +∞

F { A} = A

∫e

− j ωt

+∞

dt = 2πA ⋅

−∞

 e − jωt dt = A ⋅ 2π ⋅ δ(ω) , ∫ 2π −∞

где δ(ω) – дельта-функция, тогда F{1} = 2π δ(ω) , F {(t)} = π δ(ω) +

 . jω

(2.4.6)

39

Амплитудный спектр единичной функции показан на рис. 2.6. F (ω)

ω 0 Рис. 2.6. Амплитудный спектр единичной функции

Таким образом, спектр единичной функции отличается от спектра функции знака наличием у первого дельта-образной составляющей. 3. δ-функция (δ-импульс, единичный импульс, импульсная функ­ ция, функция Дирака) Будем определять δ-функцию следующими соотношениями:  ∞ , t = 0 , δ(t) =  0, t ≠ 0 ,   +∞ (2.4.7)  δ(t)dt = . ∫  −∞ Свойство чётности

Свойства δ-фукции

δ(−t) = δ(t) . Связь с единичной функцией Учитывая, что +∞

0

∫

δ(t)dt =

−∞



∫ δ(t)dt = 2 ,

0

то , t > 0 ,   δ ( t )d t =  , t = 0, ∫ 2 −∞ 0, t < 0 , t

t

∫ δ(τ)dτ = (t) ,

−∞

d(t) = δ(t) . dt 40

Фильтрующее свойство Учитывая, что ∞ , t = t0 , δ(t − t0 ) =  0, t ≠ t0 , тогда при tнω . m 

2.4.3. Модулированные сигналы В сигнале как носителе информации всегда имеются параметры, изменение которых происходит в соответствии с передаваемым сообщением или с измеряемыми величинами какого-либо физического явления. Таким образом, любой сигнал является случайным процессом, некоторые из параметров которого модулированы в соответствии с законами изменения соответствующей физической величины. Различают следующие наиболее часто встречающиеся виды модуляции: амплитудная, фазовая, частотная, импульсная, кодовая и смешанная. Рассмотрим некоторые из видов модуляций, используемые применительно к гармоническому сигналу x(t) = A(t)cos[ω0t+ϕ(t)] , где A(t) – изменение амплитуды во времени; ω0 – основная круговая частота; ϕ(t) – изменение фазы сигнала. 45

Амплитудная модуляция В этом случае параметром, несущим информацию, является амплитуда, изменение которой происходит в соответствии с законом A (t) = A0 + M A λ(t), где λ(t) – изменение измеряемой физической величины или сообщения; MA – коэффициент глубины модуляции (A0>MA); A0 – среднее значение амплитуды сигнала (математическое ожидание λ(t) M[λ(t)] = 0, т. е. A0 = M[A(t)]). Будем в дальнейшем предполагать, что значения λ(t) нормированы так, что −1≤λ(t)≤1 . В этом виде модуляции частота ω0 фиксирована, ϕ(t) – случайное изменение фазы гармонического сигнала (мешающий параметр сигнала). Выражения для сигнала можно записать в виде  M  x(t) = A (t)cos (ω0 t + ϕ(t) ) = A0  + A λ(t)  ⋅ cos (ω0 t + ϕ(t) ) = A0     M  j ω t +ϕ(t) )  = Re  A0  + A λ(t)  e ( 0 , A0     где Re – вещественная часть комплексного сигнала. Фазовая модуляция При этом виде модуляции информация связана с изменением фазы сигнала

{

}

j ω t +ϕ(t) ) x(t) = A0 cos[ω0 t + ν(t) + ϕ(t) ] = Re A0 e jν (t) e ( 0 ,

ν(t) = Mф λ(t) , где Mф – индекс или глубина фазовой модуляции. Амплитуда сигнала x(t) в этом случае A0(t) = A0 = const. Введем обозначение ω0t+ν(t)+ϕ(t) = θ(t). Тогда текущая круговая частота сигнала ω(t) =

dθ dλ(t) dϕ(t) = ω0 + Mф + , dt dt dt

dλ(t) где ∆ω = Mф  – информационное изменение круговой частоты dt сигнала. 46

Часто ϕ(t) = const, тогда ω(t) = ω0 + Mф

dλ(t) . dt

Если λ(t) = cos Ωt, то величина max ∆ω(t) = Mф Ω называется девиацией частоты при модуляции. Таким образом, ее изменение приводит к прямо пропорциональному изменению действительной ширины спектра. Частотная модуляция При частотной модуляции гармонический сигнал можно представить следующим выражением:

{

}

j ω t +ϕ(t) ) x(t) = A0 cos[ω0 t + φ(t) + ϕ(t) ] = Re A0 e jφ(t) e ( 0 , t

где φ(t) = Mч ∫ λ(τ)dτ ; Mч – наибольшее отклонение или девиация 0

частоты при модуляции; φ(t) – информационное изменение фазы сигнала. При λ(t) = cos Ωt φ(t) =

Mч sin Ωt . Ω

Mч Величина называется индексом частоты модуляции и имеет Ω смысл наибольшего отклонения фазы в процессе модуляции. При частотной модуляции изменение частоты Ω при малом значении индекса частоты модуляции практически незначительно сказывается на изменении спектра сигнала. При использовании импульсной модуляции сигнал x(t) представляет собой последовательность импульсов, параметры которых (амплитуда, частота, длительность, временное положение) соответствует значениям измеряемой физической величины в дискретный момент времени. При кодовой модуляции дискретной по времени и квантованной по уровню измеряемой физической величине ставится в соответствие кодовая комбинация, которой модулируется заранее известный сигнал. Кодовая модуляция применяется с целью обеспечения повышения помехоустойчивости при передаче сигналов по каналам информации. При этом часто применяют самокорректирующие коды. 47

2.4.4. Квазидетерминированные сигналы Часто сигнал или ошибку измерения информационно-измерительной системы можно описать математической моделью вида X(t, U), представляющую собой детерминированную функцию X(t, U) времени и векторной случайной величины U = (U1, U2, …, Um), m≥1. Такие сигналы называются квазидетерминированными. Примером квазидетерминированного процесса является гармонический сигнал X(t, ω, ϕ, A) = A sin(ωt+ϕ) со случайными амплитудой A, частотой ω и фазой ϕ. Квазидетерминированные модели соответствуют тому случаю, когда параметры сигнала не меняются на интервале наблюдения. Другим примером квазидетерминированной модели является полиномиальное представление n

X(t) = ∑ ai ti ,

(2.4.12)

i =0

где a  – случайные центрированные вещественные величины с изi вестными дисперсиями, попарно некоррелированные, т. е. M[ai] = 0, M[aiaj] = 0, если i≠j и M ai2  = Dai . Такая модель, в частности при i = 0, 1 используется для описания регулярных ошибок гироскопических измерителей. При i = 0 модель (2.4.12) характеризует систематические ошибки навигационных измерителей. Так как математическое ожидание процесса X(t) M[X(t)] = 0, то дисперсия Dx(t) сигнала X(t) изменяется в соответствии со следующим соотношением: n

Dx (t) = M  X 2 (t)  = ∑ Dai t2i . i =0

Поэтому если полиномиальная модель описывает ошибки или помехи измерения, то очень важно вводить информационно-измерительные устройства, устраняющие, по крайней мере, нарастающие во времени ошибки, т. е. обеспечивать астатизм системы соответ­ ствующего порядка. 2.4.5. Дискретизированные сигналы В современных информационно-измерительных системах обработка сигналов происходит при использовании цифровых вычис48

лительных машин. В связи с этим измерительные сигналы предварительно преобразуются в кодовые комбинации. Одной из ступеней такого преобразования является дискретизация, или квантование по времени сигналов. В авиационных ИИС также широко используются дискретные датчики (типа радиолокационного дальномера) и дискретные элементы. Поэтому дискретная реализация сигнала (дискретный процесс) является одной из широко используемых моделей измерительных сигналов. Дискретный процесс определяется только при дискретных значениях независимой переменной времени t. Подобный процесс представляет собой последовательность чисел X[k], k = 0, ±1, ±2. Обычно числа расположены равномерно по времени t = kT и разделены интервалом T. Квантование непрерывных реализаций сигналов по уровню Суть квантования (дискретизации по уровню) состоит в замене континуума значений, которые может принимать непрерывный сигнал, дискретным множеством заранее установленных значений. Обычно квантование осуществляется перед кодированием сигналов в преобразователях «аналог–код» и с целью повышения помехозащищенности. Такое преобразование основывается на том, что передача информации по каналам связи всегда сопровождается действием помех и искажений. Это приводит к тому, что близкие друг к другу «похожие» непрерывные сигналы трудно различать при приеме. Появляется как бы некоторая зона неразличимости (неопределенности), в пределах которой нельзя установить истинное значение сигнала. Если учесть заранее некоторые причины искажения, то можно еще до передачи преобразовать сигналы так, чтобы нежелательные факторы уже никакого влияния на них не оказывали. Характерной особенностью такого преобразования является преднамеренное введение в сообщение некоторой заранее запланированной ошибки (ошибки квантования). При квантовании по уровню непрерывная шкала мгновенных значений сигнала x(t) с размером Ax разбивается на конечное число частей – квантов. Полученная при этом дискретная шкала называется шкалой уровней квантования. Интервал между соседними уровнями квантования называется шагом квантования Δx. Величина Δx определяется допустимой зоной неразличимости. Квантование может быть равномерным (при шаге постоянном по всей шкале) и неравномерным (при изменении шага от уровня к уровню по некоторому правилу, учитывающему статистику квантуемых сигналов). Равномерное квантование применяется чаще, так как его проще реализовать. 49

x(t) xкв(t) ∆xi xi+1 xi xi–1 t

0 εкв(t)

t

0 Рис. 2.13. Квантование непрерывных сигналов

Принцип квантования непрерывного сообщения по уровню изображен на рис. 2.13. На нем показаны только три уровня квантования и введены следующие обозначения: xi−1, xi, xi+1 – уровни квантования; ∆xi – шаг квантования, εкв(t) – текущая ошибка квантования. Квантование осуществляется по правилу: мгновенные значения сигнала, заключенные между соседними уровнями, всегда относят к ближайшему из них. При таком правиле каждый уровень квантования должен находиться в середине зоны неразличимости, равной шагу квантования. На рис. 2.13 для наглядности зона, соответствующая уровню xi, заштрихована, а стрелками условно показано, как необходимо относить мгновенные значения сообщения x(t) к соотвествующим уровням. В результате квантования непрерывное сообщение заменяется дискретным сообщением xкв(t), которое имеет ступенчатую форму и может принимать только конечное число различных мгновенных значений, равное числу уровней квантования Nкв. Текущая ошибка квантования εкв(t) представляет собой разницу между x(t) и xкв(t) εкв(t) = xкв(t)−x(t), которую называют шумом квантования. В пределах i-го шага по уровню мгновенное значение текущей ошибки ∆εi(t) лежит в интервале −∆ xi /2 ≤ ∆εi (t) ≤ ∆ xi /2 . Исследования показывают, что при равномерном квантовании ( ∆ xi = ∆ x = const ) дисперсия (средний квадрат) шума квантования по всем уровням ε2кв = 50

 Nкв

Nкв

∑ ∆εi2 = i =

∆2x . 2

Эта величина определяет среднюю мощность шума квантования Pкв. Так как ∆x = Ax/Nкв, то ε2кв =

∆2x Ax2 = . 2 2 2Nкв

(2.4.13)

относительной ве Для оценки квантования удобно пользоваться личиной δ2кв =

ε2кв

=

Pкв , Px

(2.4.14) X 2 где сигнала x(t). X  – дисперсия (средняя мощность) квантуемого На основании выражений (2.4.13) и (2.4.14) имеем /2 A   δкв = Ax2 X 2 = ⋅ x , (2.4.15) 2 3Nкв 2 3Nкв Xэф 2

)

(

где Xэф – эффективное значение сигнала x(t). Выражение (2.4.15) можно записать в виде δкв = Kx



3Nкв ,

где Kx = Ax/2Xэф – пик-фактор, зависящий от статистики сигнала. Практика показывает, что для различных классов непрерывных сигналов Kx≈1,5…3,5 и, следовательно, δкв≈(1…2)/Nкв. В инженерных приложениях среднеквадратическое значение ошибки квантования обычно оценивают величиной δкв =

 , Nкв

(2.4.16)

которая соответствует пик-фактору K = 3 (т. е. равновероятному x распределению мгновенных значений сигнала). Представление реализациий сигналов в цифровой форме В результате дискретизации по времени и квантованию по уровню непрерывное сообщение заменяется последовательностью отсчетов, которые могут принимать только конечное число значений, равное числу уровней квантования Nкв. Каждое из этих значений (число) можно выразить в одной из систем счисления и передать по линии связи в виде кодовых комбинаций. Запись числа N в позиционной системе счисления имеет вид N=



∑ γi Mi − = γm M m− + ⋅⋅⋅ + γM 0 ,

i =m

51

где M – основание системы счисления (M≥2); m – число разрядов; γi – весовой коэффициент разряда, принимающий одно из целых значений в интервале 0 ≤ γi ≤M−1. Передача конкретного числа по линии связи сводится к передаче его весовых коэффициентов γi. Наиболее просто эта операция реализуется для двоичной системы счисления, когда γi принимает только два значения (0 и 1). В этом случае кодовые комбинации состоят из двоичных элементов (например, импульсов и пауз). Преобразование непрерывных сообщений в цифровую форму связано с появлением ошибок за счет дискретизации по времени и квантования по уровню, которые предполагаются некоррелированными. В соответствии со свойством аддитивности критерия для некоррелированных ошибок средний квадрат ошибки цифрового преобразования δ2ц = δ2∆ + δ2кв , где значение δ∆ определяется ошибкой дискретизации сигнала x(t), δкв определяется выражением (2.4.16). При передаче непрерывных сообщений, преобразованных в цифровую форму, наличие помех в канале связи приводит к тому, что некоторые элементы переданных кодовых комбинаций могут быть искажены и приняты неверно. В результате кроме указанных выше ошибок появляется дополнительная ошибка, средний квадрат которой δ2п = kPoш , где Pош – вероятность ошибки при приеме отдельного элемента цифровой последовательности; k – коэффициент, величина которого зависит от характеристик сигналов и помех (k = 1…4), обычно принимают k = 4. При точностях передачи, представляющих практический интерес, ошибку передачи можно считать некоррелированной с ошибками преобразования. В этом случае средний квадрат ошибки передачи δ2общ = δ2ц + δ2п = δ2∆ + δ2кв + δ2п .

52

2.5. Пространство сигналов 2.5.1. Пространство детерминированных сигналов Представление и преобразование сигналов, соотношения между идеальными и реальными их значениями удобно интерпретировать с геометрической точки зрения, изображая сигналы в виде векторов. Представление сигналов в векторном пространстве позволяет использовать геометрические понятия и хорошо разработанный математический аппарат векторного анализа для установления взаимосвязи различных моделей сигналов, упрощения математических выкладок, уяснения физической сущности и единства процессов формирования, передачи и обработки сигналов. На использовании векторного представления сигналов базируются как методы рациональной аппроксимации, так и оптимальные методы синтеза самих сигналов и их систем обработки. Обычно сигналы ИИС ЛА, рассматриваемые в двумерном пространстве как совокупность пар значений {x(t), t}, взятых достаточно плотно, являются сложными функциями времени. С целью упрощения методов анализа, синтеза и автоматизации обработки сигналов желательно представить их в более сложных пространствах, в которых каждый сигнал изображается простейшим элементом – точкой. Для указанного перехода широко используются различные разложения произвольных сигналов в непрерывную или дискретную последовательность более простых («элементарных») функций, определяющих базис многомерного пространства. Коэффициенты разложения чаще всего связаны линейной зависимостью с разлагаемым сигналом, что особенно удобно при исследовании методов обработки в линейных системах, к которым применим принцип независимости действия оператора преобразования (суперпозиции). Будем рассматривать пространство сигналов как гильбертово. Гильбертово пространство – это функциональное, линейное, полное, бесконечномерное пространство со скалярным произведением. Напомним, что метрические пространства, обладающие тем свойст­ вом, что в них все фундаментальные последовательности (Коши) являются сходящимся, называются полными. Последовательность xn, n = 1, 2, … называется последовательностью Коши, если для любого ε > 0 существует положительное целое n0, такое, что при m, n > n0, расстояние между элементами последовательности xm и xn d(xm, xn)0 при достаточно большом n0 имеем xˆ n − xˆ m

2

=

n

∑

i =m +

αi

2

Vi

2

n

∑

=

i =m +

2

(x, Vi / Vi

2

≤ ε2 , n, m > n0 . (2.5.14)

Поскольку H2(T) – полное пространство, то последовательность {xˆ n } сходится к некоторой точке в H2(T). Таким образом, последовательность {xˆ n } сходится к x, если Vi ,i = ,m или Ui ,i = ,m есть полная (замкнутая) соответственно ортогональная или ортонормальная система. Ортогональная (ортонормальная) система называется полной, если не существует дополнительных, отличных от нуля ортогональных (ортонормальных) векторов, которые можно было бы прибавить к этой системе. При этом полные системы являются счетными. Для полной ортогональной системы неравенство (2.5.12) переходит в равенство Парсеваля

{

∞

∑ i =

(x, Vi ) Vi

2

∞

= ∑ αi i =

2

Vi

2

}

2

= x .

{

}

(2.5.15)

Для ортонормированного базиса равенство Парсеваля определяется соотношением ∞

∑ αi

2

2

= x .

(2.5.16)

i =



Смысл выражения (2.5.16) в том, что для квадратично интегрируемых сигналов энергию сигнала (2.5.16) можно определить суммированием квадратов коэффициентов разложения x(t) в ряд Фурье по ортонормальным составляющим Ui. Разложение сигнала в этом случае ∞

x(t) = ∑ αiUi .

(2.5.17)

i =



утверждать, что для люНа основании сказанного выше можно 2 бого ε>0 и любого x∈H (T) имеется такое n0, что при использовании ортонормального базиса 57

n

d(x, xn ) = x − xn = x − ∑ (x,Ui )Ui < ε при n > n0 i =

.

Таким образом, если используется для предоставления произвольного сигнала подпространство Mn, натянутое на первых n элементах полной ортонормальной системы, то норма погрешности может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточно большого n. Правда, n зависит от x, поэтому нельзя лимитировать ошибку равномерно для всех x. Если размерность функционального пространства со скалярным произведением конечна и равна n, то в этом случае оно называется евклидовым. Любой сигнал x(t) в евклидовом n-мерном пространстве при использовании ортогонального базиса Vi(t), i = ,n может быть взаимно однозначно представлен в виде n

x(t) = ∑ αi Vi (t) , i =

где αi – в общем случае комплексные коэффициенты Фурье разложения сигнала x(t) относительно ортогональной системы векторов Vi(t), i = ,n , определяемые соотношением (2.5.11). Упорядоченная последовательность из n скалярных комплексных чисел α = αi ,i = ,n определяет взаимно однозначно сигнал x(t) относительно базиса Vi(t), i = ,n . Таким образом, сигналу x(t)∈Mn, где Mn – евклидово n-мерное пространство, натянутое на базис Vi(t), i = ,n , взаимно однозначно соответствует вектор–строка αT = {α1, …, αn}. Множество таких последовательностей Cn, образующее линейное пространство, определяет множество различных сигналов, принадлежащих также пространству Mn. Скалярное произведение в пространстве Mn относительно базиса Vi(t), i = ,n имеет вид

{

}

n

(x, y) = ∑ αiβi* Vi

2

,

(2.5.18)

i =

где β  – комплексные коэффициенты Фурье разложения y(x) отноi сительно ортогональной системы векторов Vi(t), i = ,n . Если используется ортогональный базис Ui, i = ,n , то получим равенство скалярных произведений в пространствах Mn и Cn 58

n n  n  n n (x, y) =  ∑ αiUi ∑ β jUj  = ∑∑ αi β*j (Ui ,Uj ) = ∑ αi βi* = (α,β) , (2.5.19)  i =  i = j = j = i =  

где βT = {β1, …, βn}. Использование полного ортогонального базиса в (2.5.19) для приближения функций x(t)∈H2(T), кроме обеспечения совпадения скалярных произведений в Mn и Cn, не требует повторения вычислений заново для определения проекций x на Mn+1. На практике используется большое количество полных ортогональных систем, к которым можно отнести комплексные гармонические функции, полиномы Лежандра, полиномы Чебышева, функции Лагерра, функции Лежандра, функции Чебышева, функции Уолша и т.д. 2.5.2. Пространство случайных сигналов Рассмотренные выше пространства сигналов и их свойства относились к реализации сигналов, т. е. детерминированным сигналам. Пусть математическая модель рассматриваемого сигнала X(t) описывается случайным (в общем случае комплексным) процессом, определенным на интервале времени T и при каждом значении t являющимся случайной величиной с конечной дисперсией. Пусть также значение

∫ ∫ M  X(t)X

TT

*

(t′)  dt dt′ конечно, где M  X(t) X * (t′)   – ма-

тематическое ожидание произведения значений X(t) и сопряженного значения X*(t′) центрированного случайного процесса в моменты времени t и t′. Представление случайного процесса X(t) в виде вектора в пространстве случайных сигналов может быть рассмотрено в двух аспектах. В первом варианте представления сигнала в виде вектора (в общем случае в бесконечномерном пространстве) случайный процесс X(t) рассматривается как совокупность его случайных значений, каждое из которых определяется для своего момента времени. Случайное значение X(t) при фиксированном t∈T определяет вектор в пространстве сигналов относительно определенного базиса. При изменении параметра t просто отмечаются точки в этом пространстве. В пространстве сигналов задается совместная плотность распределения случайных значений. Определяя скалярное произведение (X, Y) сигнала X(t) на сигнал Y(t′) из рассматриваемого пространства сигналов формулой 59

   ( X, Y ) = M  X (t) Y * (t′)  = KXY (t, t′) =  

=

∞ ∞ 

∫ ∫



X (t) Y * (t′)fXY (t, t′) dx dy ,

(2.5.20)

−∞ −∞ 



где X(t) = X(t) − M[X(t)], Y (t) = Y (t) − M[Y (t)]  – центрированные значения случайных процессов X(t) и Y(t), KXY(t, t′); fXY(t, t′) – взаимная корреляционная функция и совместная плотность распределения случайных процессов X(t) и Y(t′) соответственно в моменты времени t и t′, норму элемента X(t) можно определить следующей формулой: 

2  2     X =  M  X(t)   = [KX (t,t) ]2 = σ X (t) < ∞ ,       

(2.5.21)

где KX(t, t), и σX(t) – автокорреляционная функция и среднеквадра тическое значение случайного процесса X(t) в момент времени t, т. е. получаем гильбертово пространство H2. Расстояние в этом пространстве сигналов определяется следующим соотношением: 

2  2     d( X, Y ) =  M  X (t) − Y (t′)   =       





= (KX (t, t′) − 2KXY (t, t′) + KY (t, t′) )2 .

(2.5.22)

X(t) обычно В качестве базиса разложения случайных величин используются случайные некоррелированные центрированные величины с конечными дисперсиями, а компонентами αi, i = , ∞ , вектора X(t) являются математические ожидания коэффициентов ряда Фурье, построенного на основе указанного базиса. Данная интерпретация случайного процесса X(t) как вектора гильбертова пространства используется для определения характеристик и при исследовании свойств рассматриваемых сигналов. Во втором варианте представления случайного процесса X(t), определённого на интервале времени T в виде вектора в пространстве сигналов, случайный процесс X(t) рассматривается как ансамбль детерминированных функций времени (реализаций) и с каждой ре60

ализацией сопоставляется одна из точек или вектор пространства сигналов, в котором определена совместная плотность распределения случайных значений реализаций. Определяя скалярное произведение (X, Y) сигнала X(t) на сигнал Y(t′) из рассматриваемого пространства формулой      ( X, Y ) = ∫ ∫ M  X(t) Y * (t′)  dt dt′ = ∫ ∫ KXY (t,t′)dt dt′ ,   TT TT

и, следовательно, норму элемента X(t) формулой

(2.5.23)





  2  2   X =  ∫ ∫ M  X(t) X(t′)  dt dt′  =  ∫ ∫ KX (t,t′)dt dt′  < ∞ ,      TT   TT 

(2.5.24)

получаем гильбертово пространство L2(T, H2) над гильбертовым пространством H2(T) случайных величин. Расстояние между сигналами X(t) и Y(t′) в этом пространстве сигналов определяется следующим соотношением: 

2  2    d( X, Y ) =  ∫ ∫ M  X(t) − Y (t′)  dtdt′  = TT       





 2 =  ∫ ∫ [KX (t,t′) − 2KXY (t,t′) + KY (t,t′) ]dtdt′  .   TT 

(2.5.25)

Компонентами вектора X обычно являются случайные коэффициенты разложения αi, i = , ∞ сигнала X(t) относительно заданного ортогонального и часто функционально связанного с корреляционной функцией KX(t, t′) базиса (обобщенный ряд Фурье, каноническое разложение Котельникова, ряд Карунена–Лоэва). Данная интерпретация случайного процесса X(t) как вектора гильбертова пространства наиболее часто используется при аппроксимации и формировании по известным элементарным случайным процессам исследуемого сигнала X(t). Неравенство Бесселя для скалярного случайного процесса X(t) при использовании ортогонального или некоррелированного базиса Vi, i = , ∞ , можно записать следующим образом:

61

n

∑ Μ  αi i =

2

V  i

2

2

≤ X ,

(2.5.26)

где V определяется соотношением (2.5.21) или (2.5.24). i При использовании замкнутого (полного) ортогонального базиса справедливо равенство Парсеваля ∞

∑ M  αi i =

2

⋅ V  i

2

2

= X .

(2.5.27)



Если используемый базис является ортонормальным, то соотношение (2.5.27) можно записать в следующем виде: ∞

∑ M  αi i =

2

2

= X . 

2.6. Дискретные представления сигналов при помощи рядов 2.6.1. Конечномерные представления реализаций сигналов Имеется ряд практических задач, требующих дискретного представления непрерывного случайного процесса, как модели сигнала в виде рядов, где коэффициентами ряда являются случайные величины, а базисными функциями являются ортогональные на заданном промежутке времени детерминированные функции времени. К этим задачам относятся: – аппроксимация случайных непрерывных сигналов конечными рядами указанного вида с целью использования простых алгебраических линейных методов обработки сигналов вместо используемых интегральных или дифференциальных способов; – аппроксимация или представление случайных непрерывных сигналов конечными рядами с целью построения реализаций сигналов по известным их вероятностным характеристикам при математическом моделировании; – представление случайных непрерывных сигналов в виде бесконечных рядов с целью получения функционалов отношения правдоподобия, необходимых для решения оптимальных задач классификации сигналов. Так как случайный сигнал задается на множестве реализаций, то представление сигнала в виде ряда связано с таковым представлением его реализаций как функций времени. 62

Итак, представление сигналов рядами состоит в том, что необходимо с произвольным сигналом ограниченной энергии, т. е. временной функцией X(t)∈H2(T), сопоставить сигнал, определенный в конечном n-мерном подпространстве H2(T). Задача сводится к нахождению подходящего отображения гильбертова пространства H2(T) в пространство Cn, где Cn – пространство наборов n комплексных чисел, т. е. координат векторного n-мерного евклидова пространства Mn, натянутого на базис ϕi (t),i = ,n , где ϕi(t) – в общем случае независимые функции. Такое отображение должно быть в некотором смысле наилучшим, где n выбирается компромиссно с учетом точности и экономичности представления. Рассмотрим методы дискретного представления сигналов в n-мерном пространстве. 1. Пусть сигнал x(t) принадлежит подпространству H2(T), которое натянуто на систему ϕi (t),i = ,n линейно независимых произвольных функций из H2(T). В этом случае x(t) может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации ϕi (t),i = ,n

{

}

{

{

}

}

n

x(t) = ∑ αi ϕi (t) = α T ϕ(t) , x ∈ Mn , t ∈ T ,

(2.6.1)

i =

где αT = {α , α , …, α } – транспонированный набор n комплексных 1 2 n чисел (вектор–строка) – образует представление x(t) в Cn, ϕT(t) =  = {ϕ1(t), …, ϕn(t)}. Так как H2(T) – пространство со скалярным произведением, то, умножая скалярно левую и правую части соотношения (2.6.1) на ϕi (t),i = ,n , получим

{

}



Gα = f ,

(2.6.2)

где (ϕ, ϕ ) (ϕ2 , ϕ ) ...... (ϕn ,ϕ ) (ϕ, ϕ2 ) (ϕ2 , ϕ2 ) ...... (ϕn , ϕ2 ) G= , f= .............. .............. ...... .............. (ϕ, ϕn ) (ϕ2 , ϕn ) ...... (ϕn , ϕn )

(x, ϕ ) (x, ϕ2 ) , ...... (x, ϕn )

откуда

{

}

α = G −1f .

Если ϕi (t),i = ,n  – ортогональный базис, т. е. ϕi = Vi, где (Vi, Vj) = =0 при i = j, то

63

 V G − =

0

2

0

0

V

 V2

(x, V )

2

0

, G −f =

......... .......... .......  0 0 2 Vn

......... . ......... (x, Vn )

При использовании ортонормального   Vi  ,i = ,n  Ui = V i   n x(t) = ∑ αiUi (t) , i = α = f , αi = (x,Ui ) , i = ,n .



2

Vn

(2.6.3)

2

базиса

ϕi =Ui,

(2.6.4) (2.6.5)

Часто возникает задача построения ортонормального бази-

{U ,i = ,n} из системы n линейно независимых векторов в M {ϕ ,i = ,n}. Чаще всего используется способ ортогонализации

са

i

n

i

Грама–Шмидта, который получается путем нормализации векторов Vi, определяемых следующей схемой:   Vi = ϕi ,   ......................................   n − Vi  Vn = ϕn − ∑ (ϕk ,Uk )Uk , Ui = . Vi  k =

(2.6.6)

2. Пусть сигнал x(t) принадлежит гильбертову пространству H2(T). Требуется его представить в конечном подпространстве Mn, натянутом на произвольную систему ортогональных функций, т. е. базис Vi, i = ,n подпространства Mn, , определяется соотношениями (2.6.3). Поскольку число измерений H2(T) бесконечно, а Mn или Cn конечно, отображение должно быть типа «много в одно». Требуется разбить пространство H2(T) на множества эквивалентности, каждому 64

из которых взаимно однозначно соответствует некоторая точка в Mn. При этом произвольному вектору x∈H2(T) ставится в соответствие вектор xˆ n ∈ Mn , наиболее близкий к x в смысле расстояния d(x, xˆ n ) , используемого в пространствах H2(T) и Mn, где xˆ n  – произвольный вектор, принадлежащий Mn. Таким образом, каждый вектор из Mn

{

}

должен порождать множество эквивалентности Sxˆ n = x ∈ H 2 (T ) , x − xˆ n ≤ x − x n , для ∀ x n ∈ Mn . При этом все векторы из Sxˆ n имеют одно и то же представление в виде набора n чисел, совпадающее с представлением вектора xˆ n . Решение поставленной задачи следует из теоремы проецирования. Теорема. Для любого вектора x∈H2(T) существует единственный вектор xˆ n в Mn, задаваемый разложением n

xˆ n = ∑ αi Vi , i =

где αi =

(x, Vi ) Vi

2

=

∫ x(t)Vi

*

(t)dt

∫ Vi (t)Vi

(t)dt

T

*

,

(2.6.7)

T

такой, что разность (x − xˆ n )  – ортогональна ко всем векторам из Mn и x − xˆ n < x − x , где x n  – любой другой вектор в Mn, а Vi (t),i = ,n ортогональный базис. Доказательство. Из (2.6.7) и при выполнении (2.6.3) имеем

{

n

(x − xˆ n , Vj ) = (x, Vj ) − ∑ i =

(xi , Vi ) Vi

2

}

(Vi , Vj ) = (x, Vj ) − (x, Vj ) = 0 , j = ,n . (2.6.8)

Отсюда следует, что вектор x − xˆ n ортогонален ко всем векторам в Mn. Покажем, что d(x, xˆ n ) = x − xˆ n  – минимальное расстояние (норма) из всех x − x n . Рассмотрим квадрат расстояния между x∈H2(T) и произвольным x ∈ Mn x − x n = (x − xˆ n ) − (x n − xˆ n )

2

= (x − xˆ n , x − xˆ n ) −

−(x − xˆ n , x n − xˆ n ) − (x n − xˆ n , x − xˆ n ) + (x n − xˆ n , x n − xˆ n ). 65

Поскольку x n − xˆ n ∈ Mn , на основании (2.6.8) средние слагаемые пропадают, d(x, x n ) = x − x n

2

2

+ x n − xˆ n

2

.

= x − xˆ n

2

(2.6.9) Ясно, что минимум d(x, xˆ n ) достигается при x n = xˆ n . Назовем xˆ n ортогональной проекцией x на Mn, η = x − xˆ n  – погрешность приближения x вектором xˆ n . Точность приближения численно характеризуется нормой η. Положив в (2.6.9) x n = 0 , получим

2

2

η = x − xˆ n

.

(2.6.10) Таким образом, два вектора x∈H2(T), y∈H2(T) эквивалентны (x~y) при проецировании на Mn, если их координаты в Mn:

(x, Vi ) = (y, Vi ) , i = ,n , или x~y, если z = (x−y)∈M, где M = {z,(z, x n ) = 0 для всех x n ∈ Mn } и M – линейное подпространство H2(T). Любой вектор x∈H2(T) может быть единственным образом представлен суммой вектора из Mn и вектора из M, причем эти векторы ортогональны, т. е. для любого x имеет место x = xˆ n + z ; xˆ n ∈ Mn , z ∈ M , (xˆ n , z) = 0 . Естественно рассматривать H2(T) как прямую сумму подпространства Mn и M, т. е. H2(T) = Mn+M. Таким образом, для наиболее точного представления x∈H2(T) в пространстве Mn необходимо выбрать координаты αi спроецированного вектора xˆ n равными αi =

(x, Vi ) Vi

2

.

(2.6.11)

{

}

При использовании ортогонального базиса Ui ,i = ,n αi = (x, Ui) .

(2.6.12)

2.6.2. Представление случайных сигналов при помощи обобщённых рядов Фурье Представление случайных сигналов в виде рядов позволяет значительно упростить методы обработки сигналов, расширить класс решаемых задач при использовании традиционных алгоритмов фильтрации и классификации сигналов и разработать новые подходы к решению задач прогнозирования и интерполяции случайных 66

процессов. Использование моделей сигналов в виде рядов Фурье позволяет заменить с заданной точностью на выбранном интервале времени случайный непрерывный или дискретный процесс квазидетерминированным процессом. Использование рассматриваемых моделей сигналов особенно эффективно в случае линейных преобразований гауссовских наблюдаемых сигналов датчиков, т. е. когда выполняется принцип суперпозиции. Основное достоинство таких моделей сигналов заключается в том, что случайный процесс, описывающий такие сигналы, представляют в виде суммы произведений случайных величин на детерминированные функции, т. е. заменяют исходный случайный процесс совокупностью квазидетерминированных элементарных процессов, операции с которыми значительно проще осуществлять, чем с исходным случайным процессом. Пусть входной сигнал X(t) – произвольный центрированный (математическое ожидание M[X(t)] = 0) случайный процесс, который определён на текущем либо локальном замкнутом интервале [t−T, t], где T может принимать конечное или бесконечное значение. Будем рассматривать сигналы с конечной энергией, которые удовлетворяют следующему требованию: t

∫

2

x(τ) dσ(τ) < ∞ ,

(2.6.13)

t −T

где выражение (2.6.13) определяет интеграл Лебега–Стилтьеса, который позволяет охватить более широкий класс, чем интеграл Римана, как непрерывных, так и дискретных случайных сигналов. Если это условие выполняется, то будем обозначать рассматриваемый класс сигналов как x(t)∈ L2σ [t−T, t], где L2σ  – гильбертово пространство. Аппроксимация сигнала на текущем интервале [t−T, t] эквивалентна локальной аппроксимации сигнала X(t−λ) аргумента λ из L2σ [0, T] на фиксированном интервале [0, T]. При этом выражение (2.6.13) можно представить в следующем виде: T

∫ x(t − λ)

2

dσ(λ) < ∞ .

0

Будем предполагать, что весовая функция σ(λ) является неубывающей, отличной от константы функцией (если T = ∞, то σ(∞) = lim σ(λ) конечен), т. е. при λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 λ→∞

σ(λ ) ≤ σ(λ2 ) ≤ σ(λ3 ) . 67

Если функция σ(λ) абсолютно непрерывна, то для неё справедливо соотношение dσ(λ) = ω(λ)dλ , ω(λ)≥0 . В этом случае интеграл ( 2.6.13) является интегралом Лебега или Римана. Пусть ортонормальные, в общем случае, комплексные функции ψk(λ), k =  0, 1, …, ∞, определяющие базис разложения сигнала X(t), принадлежат также пространству L2σ [0, Т]. Условие ортонормальности функций ψk(λ) можно выразить через скалярное произведение T

(ψк , ψ l ) = ∫ ψ k (λ)ψ*l (λ)dσ(λ) = δkl ,

(2.6.14)

0

k = l, δkl =  где δkl =   – символ Кронекера; * – знак сопряжённой k ≠ l, δkl = 0 функции y. Если функция σ(λ) дифференцируема, то скалярное произведение определяется интегралом Римана T

(ψк , ψ l ) = ∫ ψ k (λ)ψ*l (λ)ω(λ)dλ . 0

Если рассматривается дискретный случай, то dσ(λ) = ω(λµ )δ(λµ − λ) .

(2.6.15) Если дискретные значения распределены равномерно, то выражение (2.6.15) можно переписать в следующем виде:

dσ(λ) = ω(λ)δ(µ − λ)dλ , m = 0,,2,.... Для дискретного случая скалярное произведение определяется выражением (ψк , ψ l ) = ∑ ψк (µ)ψ∗l (µ)ω(µ) . µ

Рассмотрим задачу наилучшей аппроксимации случайного процесса X(t) на интервале времени [0, T] конечномерным случайным 68

вектором. На основании теоремы ортогонального проецирования эта задача в данном случае сводится к представлению случайного процесса на замкнутом интервале [0, T] в виде частичной суммы ряда следующего вида: x N (t − λ) = где xk (t) =

(x, ψ k ) ψk

2

∫

N −

∑ xk (t)ψk (λ) , λ ∈ [0,T] ,

(2.6.16)

k =0

x(t − λ)ψ*k (λ)dσ(λ)

=T

∫ ψk (λ)ψk (λ)dσ(λ) *

, k = 0, , ..., ∞ , (2.6.17)

T N – спектральная размерность модели. Учитывая (2.6.14 ) и ортонормальность базиса {ψk}, k =  0, 1, …, ∞, 2 квадрат нормы функции ψk(λ) ψ k =  . Тогда выражение (2.6.17) можно переписать в следующем виде:

xk (t) = ∫ x(t − λ)ψ*k (λ)dσ(λ) .

(2.6.18)

T

Соотношения (2.6.16) и (2.6.18) соответственно определяют представления случайного сигнала X(t−λ) на замкнутом интервале [0, T] в виде частичной суммы обобщённого ряда Фурье и обобщённый спектр xk сигнала в базисе {ψk (λ)}, k =  0, 1, …, ∞. Точность аппроксимации реализаций сигнала X(t) моделью, определяемой частичной суммой и коэффициентами ряда Фурье, можно оценить с помощью квадратичного функционала: T

N −

0

k =0

IN (t) = ∫ x(t − λ) −

2

∑ xk (t)ψk (λ) dσ(λ) .

(2.6.19)

Квадратичный функционал IN(t) при определении xk формулой (2.6.18 ) имеет минимальное значение по отношению к другим представлениям частичной суммой ряда сигнала X(t) относительно взятого базиса {ψk(λ)}. Раскрывая подынтегральное выражение (2.6.19) и учитывая ортонормированность базиса, после взятия интегралов получим следующее соотношение: T

N −

0

k =0

IN (t) = ∫ x(t − λ)x∗ (t − λ)dσ(λ) −

∑ xk (t)xk∗ (t) ≥ 0 . 69

N −

Отсюда следует, что ряд

∑ xk (t)xk∗ (t) при N→∞ сходится, причём

k =0

выполняется неравенство Бесселя T

∞

0

k

∗ ∫ x(t − λ)x (t − λ)dσ(λ) ≥ ∑ xk (t) . 2

(2.6.20)

Если для любой функции x(t) из L2 [0, Т] вместо знака неравенст­ σ ва имеет место знак равенства, то справедлива формула Парсеваля (N→∞): T

∞

0

k

∗ ∫ x(t − λ)x (t − λ)dσ(λ) =∑ xk (t) . 2

(2.6.21)

Если равенство Парсеваля выполняется, то говорят, что базис {yk(l)} полный (замкнутый). В этом случае T

∫

0

x(t − λ) −

2

N −

∑ xk (t)ψk (λ) dσ(λ) → 0 при N → ∞ .

k =0

Для замкнутого ортонормированного базиса ошибка представления сигнала X(t) частичной суммой ряда Фурье определяется: IN (t) =

∞

∞

k= N

k= N

∑ xk (t)xk∗ (t) = ∑

2

xk (t) ,

т. е. сумма не учтённых коэффициентов определяет ошибку IN(t). Достаточным условием замкнутости ортогонального базиса является, например, следующее условие: N −

lim

N →∞

∑ ψk (t)ψ∗k (τ) = δ(λ − τ) ,

(2.6.22)

k =0

где правая часть представляет собой дельту-функцию. Подстановка (2.6.18) в (2.6.16) в случае N→∞ при выполнении условия (2.6.22), и учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, даёт тождество, что и доказывает достаточность выполнения этого условия для замкнутости {ψk(λ)}. Теперь рассмотрим X(t) как случайный процесс, а не как отдельную реализацию его. При использовании в качестве модели случайного процесса X(t) частичной суммы ряда Фурье мерой точности этой модели является среднеквадратический функционал 70

IN (t) = Μ [IN (t) ] = T

N −

0

k =0

= ∫ Μ x(t − λ)x∗ (t − λ)  dσ(λ) −

∑ Μ xk (t)xk∗ (t)  .

(2.6.23)

Неравенство Бесселя тогда определяется: ∞

T

k =0

0

∑ M xk (t)xk∗ (t)  ≤ ∫ M x(t − λ)x∗ (t − λ)  dσ(λ) .

Если выполняется равенство Парсеваля ∞

T

k =0

0

∑ M xk (t)xk∗ (t)  = ∫ M x(t − λ)x∗ (t − λ)  dσ(λ) ,

то ортогональная система {ψk (λ)} является замкнутой на интервале [0, Т] относительно случайного процесса X(t−λ), т. е. на множестве его реализаций {xj(t−λ)}. В этом случае справедливо следующее соотношение: 2 T  N − lim ∫ M  x(t − λ) − ∑ xk (t)ψ k (λ)  dσ(λ) = 0 . N →∞   k =0 0  

Тогда, среднеквадратический функционал, характеризующий точность приближения случайного процесса X(t−λ) при выбранном N ωm .  108

(2.10.5)



Так как спектр x(t) ограничен, то сигнал x(t) является непрерывным и определен в интервале −∞