制御工学〈下〉―現代制御理論の基礎 (理工学講座)

制 御 工 学(下) 現代制御理論の基礎

監修

深海 登世 司

藤巻 忠雄

東京電機大学出版局

制御工学 監修者

執筆者

深

下

海

登世司

藤 巻

忠 雄

第 １章  大庭  勝 實 第 ２章  藤巻  忠雄 第 ３章  川 島 忠雄 第 ４章  三舩  博 史 第 ５章 柿 倉  正義 第 ６章 柿 倉  正義 ・藤巻  忠 雄

ま え が

き

  この 本 は,筆 者 らの 制 御 工 学 上 巻 の続 編 で あ り,制 御 工 学 を専 門 と しな い学 部 上 級 生 乃 至 は大 学 院 修 士 課 程 の 学 生 の た め の現 代 制御 理 論 の入 門 教 科 書 と して, 演 習 を交 え た １週 １回 の 講 義 で,１ 学 期 間 で 習 得 で き る こ と を念 頭 に ま とめ た も の で あ る。   今 日に お け る コ ン ピ ュー タ の発 達 とあ い ま っ て,制 御 技 術 は ます ます 高 度 化 し て お り,広 範 の 分 野 で デ ィ ジ タ ル 制 御 が 導 入 され て い る。 この よ うな 状 況 下 で, 将 来 の 活 躍 が期 待 され る理 工 系 の 学 生 に は,そ の た め の基 礎 知 識 と して,上 扱 った よ うな フ ィー ドバ ッ ク制 御 理 論 に加 え て,シ

巻で

ステムの入出力特性 の みで な

く内 部 状 態 に着 目す る,い わ ゆ る現 代 制 御 理 論 を教 授 す る こ とは是 非 必 要 で あ る。 しか し なが ら,こ の よ う な新 し い制 御 理 論 は,初 心 者 に は ラ プ ラ ス変 換 に基 づ く フ ィー ドバ ック制 御 理 論 よ り も一 層,数

学 的 に映 り戸 惑 う こ とが あ る。 そ こで ,

この 本 で は,限 られ た 時 間 内 で,そ の 基 本 的 な 考 え方 を十 分 理 解 で き る よ うに と, 説 明 は で き る だ け平 易 にす る よ う努 め た 。   第 １章 で は,古 典 か ら新 しい制 御 理 論 へ の 発 達 の全 貌 に つ い て述 べ,第

２章 で

は,現 代 制 御 理 論 の基 礎 で あ るベ ク トル お よび 行 列 論 に つ い て要 約 した 。 第 ３章 で は,状 態 変 数 の 扱 い に つ い て具 体 例 に よっ て 解 説 し,ま た 第 ４章 で は,新 概 念 で あ る 可 制 御 性 お よ び 可 観 測 性 に つ い て 述 べ た。 さ ら に,第

しい

５章 で は,こ れ

ら を基 に,オ ブ ザ ー バ,最 適 制 御 の 考 え方 に つ い て解 説 した 。 第 ６章 で は,こ の よ う な新 しい 制御 理 論 を コ ン ピ ュ ー タ を用 い た 制 御 シ ス テ ム と して 具 現 化 す るた め に 必 要 な基 本 に つ い て述 べ た 。   な お,第

２章 は,こ の 本 の本 論 で は な く,第

３章 以 下 を理 解 す る た め に必 要 な

数 学 基礎 で あ る か ら,こ の程 度 の 知 識 を もつ 読 者 は,第

２章 を ス キ ップ して,次

章 に入 る こ とを奨 め る。 筆 者 ら は,こ の本 が 初 めて 現 代 制 御 理 論 を学 ぶ 人 へ の 導 き に な れ ば と念 願 し て い る。 読 者 が,こ

の 内容 を理 解 す る こ とが で きれ ば,さ

ら に高 度 の制 御 理 論 な ら

び に 実 際 シ ス テ ム の扱 い に ス ム ー ス に入 っ て行 くこ とが で き る と信 ず る。   この 本 の 出 版 に 当 って は,東 京電 機 大 学 出版 局 編 集 課 長 の 岩 下 行 徳 氏 に は,一 方 な らぬ お世 話 に な った,心

よ り感 謝 して い る。

1996年3月

深海 登世 司 藤巻  忠雄

目    次

第

１章

第 ２章

序 論 1・1制

御理論 の歴史 

1

1・2計

算 機 の 発 達 とデ ィ ジ タ ル制 御  

5

ベ ク トル と行列 2・1ベ

第３章

ク トル  

7

2・2  行 列 論  

10

寅習 問題   〔２〕 

37

シス テムの状 態 方程式 による表現 3・1状

態方程式  

38

3・2状

態 方 程 式 の 解(シ

3・3状

態 方 程 式 と伝 達 関 数 の 関 係  

53

3・4単

位 イ ンパ ル ス 応 答    

55

ス テ ム の 応 答) 

演 習 問 題   〔３〕  

第４章

50

57

システ ムの可制御性 お よび可観測 性 4・1可

制 御性 

59

4・2可

観 測性  

64

4・3座

標 変 換 と シス テム の構 造  

67

4・4伝

達 関 数 の極 ・零 点 消 去 と可 制 御 性 ・可 観 測 性    

76

演 習 問 題   〔４〕 

81

第 ５章

時間領域における制御系の設計 5・1状 5・2 

態 変 数 フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 の 概 要   最 適 レ ギ ュ レ ー タ   

5・3オ

ブザーバ問題 

演 習 問 題   〔５〕 

第 ６章

83 96 102

108

デ ィジ タル シス テ ムの扱 い 6・1連

続 時 間 シ ス テ ム か ら離散 時 間 シ ス テ ム へ の 変 換  

110

6・2離

散 時 間 シ ス テ ム の 状 態 方 程 式 とそ の 解  

114

6・3  状 態 方 程 式 とパ ル ス伝 達 関 数 行 列  

117

6・4可

制 御 性 お よ び可 観 測 性  

120

6・5状

態 変 数 フ ィ ー ドバ ッ ク 

122

6・6 

最 適 レ ギ ュ レ ー タ   

125

6・7 

オ ブザーバ 

127

演 習 問 題   〔６〕 

131

演 習問題 の 解 答  

132

参 考 文献  

142

索     引 

145

第 １章

1

・

1

〔１〕

序

諭

制御理論の歴史

制御理論のあけぼの

  フ ィー ドバ ッ ク制 御 の原 理 が 制 御 手 法 と して技 術 史上,初

め て 登 場 した の は紀

元 前 ３世 紀 ご ろ に ア レ キ サ ン ド リア の ク テ シ ビオ ス(Ktesibios)に た水 時 計 の 注 水 器 に お け る液 面 制 御 で あ る とい わ れ て い るが,制 とい え ば や は りワ ッ ト(J.Watt)が1784年

よ っ て 作 られ 御工学 の幕開 き

に蒸 気 機 関 の調 速 に遠 心 式 調 速 機 を使

用 した と き と い え よ う。 こ れ を 契 機 に調 速 機 の 解 析 を始 め と して調 速 系 が 制 御 工 学 の見 地 か ら研 究 さ れ る よ うに な った 。 そ の 中 で マ クス ウ ェ ル(J.Maxwell)が 1868年 に 調 速 系 の詳 しい 数 学 モ デ ル を示 し,ま た その シ ス テ ム が 安 定 で あ る た め に はす べ て の特 性 根 が 負 の 実 数 部 を持 た ね ば な らな い こ とを 明 ら か に した こ と に よ って 制 御 理 論 の 大 き な一 歩 が 踏 み 出 され た。 そ の 後,線 形 制 御 系 の 数 学 モ デ ル を示 す 高 次 の線 形 微 分 方 程 式 の 係 数 問 の 代 数 的 関 係 か ら シ ス テ ム の 安 定 判 別 を行 う方 法 が1877年 Hurwitz)に

に ラ ウ ス(E.Routh)に

よ り,ま た1895年

よ っ て 発 表 され た 。 さ らに,1892年

(A.Liapunov)が

に フ ル ビ ッ ツ(A.

に は ロ シア の数 学 者 リア プ ノ フ

「運 動 の 安 定 性 」 に 関 す る論 文 で,現 在 も非 線 形 系 の安 定 解 析

に用 い られ て い る リア プ ノ ブ の 安 定 判 別 法 を完 成 し た。 制 御 系 を線 形 微 分 方 程 式 で 表 し,そ れ を解 析 的 に解 く こ とが制 御 理 論 の あ け ぼの 期 で あ る19世 紀,20世 初 頭 の主 な 解析 手 法 で あ った 。

紀

〔２〕   古 典 制 御理 論 の 形 成   微 分 方 程 式 に よ る解 析 で は 系 の 次 数 が 高 くな る と特 性 方 程 式 の 根 を 求 め る こ と が 困 難 で あ り,せ いぜ い三 次 まで が 実 用 範 囲 で あ った 。 この よ う な時 間領 域 で の 理 論 的 な 取 扱 い の 困 難 さ か ら,1940年

代 に入 る とフ ィー ドバ ック制 御 系 の解 析 ・

設 計 は 周 波 数領 域 に お い て 展 開 され る よ う に な っ た 。 折 りし も第 二 次 世 界 大 戦 下 の ア メ リカ で は,周 波 数 応 答 法 が サ ー ボ 機 構 の設 計 法 と して 時 間 領 域 で の 扱 い の 困 難 さ を打 開 す る手 法 と して 大 い に 貢献 し,そ の 形 を整 えつ つ あ っ た 。 一 方,プ ロ セ ス 制 御 の 分 野 で も,1942年

に ジ ー グ ラ(J.Giegler)と

に よ る限 界 感 度 法 の提 案 が な され,周

ニ コ ル ス(N. Nichols)

波 数 領 域 で の設 計 法 が 確 立 され て い っ た 。

これ ら の手 法 の 基礎 は フ ィ ー ドバ ッ ク増 幅 器 の 設 計 に 関 連 して1932年 れ た ナ イ キ ス ト(H.Nyquist)と,そ

れ に続 い た ボ ー ド(H.Bode)の

に発表 さ 理論 に負 う

と こ ろが 大 き い。 周 波 数 応 答 法 に対 して フ ィー ドバ ッ ク系 の 特 性 根 配 置 に注 目す る根 軌 跡 法 が1948年

にエ バ ンス(W.Evans)に

よ っ て 提 案 され,そ

れ を基 礎 と し

て 過 渡 応 答 法 に つ い て も数 多 くの研 究 が な され た 。 か くし て周 波 数応 答 法,過 応 答 法 が確 立 さ れ,線 形 フ ィー ドバ ック制 御 理 論 の体 系,い

渡

わ ゆ る古 典 制 御 理 論

体 系 が 形 成 され た。 この 制 御 理 論 は ラ プ ラ ス 変 換 を 用 い て,シ ス テ ム 要 素 の複 素 数 領 域 に お け る 入 出 力 比 と して伝 達 関 数 を求 め,そ れ らの 結 合 を ブ ロ ック線 図 で 表 して シス テ ム を 表 現 して い る 。 こ の よ うな 制 御 系 を表 す ブ ロ ッ ク線 図 を代 数 的 に ま とめ,周 波 数応 答 を求 め た り,特 性 根 を求 め た りし て設 計 す るの が この 理 論 の 特 徴 で あ る。 しか し なが ら,こ の 場 合,主

に動 作 範 囲 が 狭 く線 形 化 が可 能 で,

単 一 ル ー プ の フ ィー ドバ ック 系 に そ の対 象 が 限 られ て い た。

〔３〕   現 代 制 御理 論 の芽 生 え   1950年 代 に な る と動 作 範 囲 の 拡 大 が 図 られ,こ れ に伴 い非 線 形 性 が 無 視 で き な くな る こ とに よ る非 線 形 制 御 問 題 が,ま

た 制 御 対 象 の 特 性 の 変 化 に対 応 し て制 御

装 置 を それ に適 応 させ るた め の 適 応 制 御 方 式 が研 究 の 対 象 とな っ た。 非線 形 制 御 系 の 解 析 で は位 相 面 解 析 法 と記 述 関 数 法 が 非 線 形 振 動 論 に基 礎 を置 い た 有 効 な解

析 法 と して 注 目 さ れ た 。 位 相 面 解 析 法 は 飽 和,非 線 形 摩 擦 等 の あ る制 御 系 の解 析 に 適 し た方 法 で あ るが,対

象 は二 次 の 系 に限 られ る難 点 が あ る。 しか し,こ の 方

法 は,現 代 制 御 理 論 の シ ス テ ム 記 述 法 で あ る状 態 空 間 法 の基 礎 を与 え る もの で も あ った 。 これ に対 し,記 述 関 数 法 は非 線 形 要 素 の 出 力 信 号 の 高 調 波 成 分 を除 い て その 入 出力 関 係 の周 波 数 応 答 を求 め,ナ り,リ ミ ッ トサ イ クル の振 幅,周

イ キ ス ト線 図 を用 い て 安 定 判 別 を行 っ た

波 数 を求 め る もの で,近 似 的 で は あ るが 高 次 系

に も使 え る非 常 に便 利 な 方 法 で あ る。 状 態 空 間 法 が 用 い られ る よ うに な る と非 線 形 系 の 安 定 判 別 は リア プ ノ フの 直 接 法 が 注 目 さ れ る よ う に な った が,記 述 関 数 法 は手 軽 に解 析 が で き,し か も非 常 に わ か りや す い特 長 を もっ て い る。 一 方,適 応 制 御 系 の研 究 は動 作 範 囲 の拡 大 に よ り生 ず る制 御 対 象 の動 特 性 の 変 化 に適 応 す る 制 御 装 置 を いか に構 成 す る か と い う問題 につ い て 多 くの 研 究 が な さ れ た が,本 質 的 に これ は 非 線 形 時 変 系 で あ るた め,そ の 安 定 性 の 理 論 解 析 は簡 単 に は ゆ かず ア ナ ロ グ シ ミ ュ レ ー シ ョン に頼 ら ざ る を得 な い状 況 で あ った 。 そ の 中 に あ っ て,モ デル 規 範 形 適 応 制 御 と セ ル フチ ュ ー ニ ン グ レ ギ ュ レー タが 有 力 な 適 応 制 御 の設 計 方 式 と して 注 目 され た が,実 同 定 の 問題,制

シ ス テ ム へ の 応 用 で はパ ラ メ ー タの オ ン ラ イ ン で の

御 系 の ロバ ス ト性*あ るい は安 定 性 な どの研 究 を進 め て い くこ と

が 必 要 で,そ の 適 用 例 は少 な く将 来 の研 究 に期 待 す る状 態 で あ っ た。 以 上 の よ う な動 作 範 囲 の 拡 大 に対 応 す るた め の制 御 手 法 に対 して 制 御 系 の 応 答 の 最 適 性 を求 め る手 法 も検 討 され た 。 す な わ ち,制 御 系 の 応 答 特 性 の評 価 関 数 を求 め,こ れ が 最 小 に な る よ う な 最 適 な制 御 方 式 を求 め よ う とす る もの で あ るが,制 御 対 象 の入 出 力 関 係 の み に注 目 し て構 築 され た古 典 制 御 理 論 で は個 々 の 問 題 に対 処 す る の が せ いぜ い で,新

しい 制 御 理 論 の 登 場 が待 た れ た。

〔４〕 現 代 制 御 理 論 の誕 生 1960年 代 に な る と既 に述 べ た 非 線 形 制 御 系 の安 定 解 析 に リア プ ノ フ の 安 定 論

＊   ロバ ス ト(Robust)は

「 少 々 の こ とで は ぐ らつ か な い」を意 味 し ,ロ バ ス トな制 御 系 とは 制 御 対 象 の動 特 性 が 動 作 中 多少 変 動 して も,また設 計 の際 に用 い た モ デル に多 少 の誤 差 が あ っ て も制御 系 と しての 基本 的 な特性 が それ らの影 響 で あ ま り変 わ らな い系 をい う。

の 適 用 や 最 適 制 御 理 論 な ど制 御 の 質 の 向 上 が 研 究 の 中心 とな った 。 これ に応 え る に は従 来 の 伝 達 関 数 記 述 法 の よ う に制 御 量 だ け に注 目 す る 方 式 で は対 応 で き な く な り,制 御 系 の 内部 状 態 を表 す状 態 ベ ク トル を フ ィー ドバ ッ ク し て,き め 細 か な 制 御 を行 う こ とが必 要 と な っ た 。 こ の た め に微 分 方 程 式 で シス テ ム の動 的 挙 動 を 数 量 的 に 捉 え る シ ス テ ム 記 述 法 が 不 可 欠 と な り,新 た に連 立 一 次 微 分 方 程 式 記 述 の 状 態 空 間 法 が 登 場 し,現 代 制 御 理 論 の 幕 開 き とな った 。 状 態 方 程 式 記 述 に よ る 現 代 制 御 理 論 の成 果 は 線 形 シ ス テ ム 理 論,多 形 制 御 系 の 安 定 問 題,適

変 数 制 御 理 論,最 適 制 御 理 論,非

応 制 御 理 論 な ど広 範 に及 ん で い るが,な

線

か で も線 形 シ ス

テ ム 理 論 の確 立 と最 適 制 御 理 論 が 最 大 の成 果 とい っ て よ いで あ ろ う。 シ ス テ ム へ の 入 力 が そ の す べ て の 内 部 状 態 を 支 配 す る か,あ

るい はシステム出力 にすべ ての

内 部 状 態 が反 映 す る か を明 らか に して い る の が 可 制 御 性 と可 観 測 性 の 概 念 で あ る が,こ れ ら は シ ス テ ム の 状 態 方程 式 記 述 で 初 め て 導 び く こ との で き る もの で あ り, 1960年 に カ ル マ(R.Kalman)に

よ っ て 導 入 され た。 可 制 御 で,か つ 可 観 測 な

制 御 対 象 に対 し,そ の対 象 の 次 数 よ り少 な い 出 力 か らモ デル を使 っ て 制 御 対 象 の 状 態 ベ ク トル を推 定 す る手 法 を1964年 案 し,状 態 観 測 器(オ

ブ ザ ー バ)と

に ル ー エ ンバ ー ガ(D.Luenburger)が

発

した 。 これ を基 礎 と して 確 立 さ れ た 状 態 ベ ク

トル フ ィ ー ドバ ッ ク法 に よ り古 典 的 制 御 手 法 に 比 べ 遥 か に き め細 か な 制 御 が 可 能 とな り,１変 数,多 変 数 制 御 系 の 区別 な く状 態 空 間 法 に よ って 一 般 理 論 の 展 開 が で きる よ う に な った 。 一 方,最 適 制 御 理 論 は シ ス テム の動 的挙 動 に つ い て の評 価 関 数 を 最 小 また は最 大 に す る よ う な極 値 を とる操 作 量 を求 め る問 題 で あ るが,ベ マ ン(R.Bellman)の

動 的 計 画 法,ポ

ン トリア ギ(L.Pontryagin)の

ル

最大原 理

を そ の 基 礎 と して い る。 そ の 基 本 的 考 え方 を線 形 の 制 御 対 象 につ い て 二 次 形 式 の 評 価 関 数 を与 え,そ の 値 が極 小 と な る よ う な状 態 ベ ク トル フ ィー ドバ ッ ク を行 う 線 形 二 次 形 式 最 適 制 御(Linear  QuadraticOptimal  ュ レ ー タ,あ

Control)を

用 い た 最 適 レギ

るい は それ とカ ル マ ン フ ィル タ(ま た はオ ブ ザ ー バ)を

用 い て正 規

性 白色 雑 音 が 混 入 して い る場 合 の 最 適 制 御 で あ るLQG(LinearQuadraticGaussian)制 御 等,現 代 制 御 理 論 は古 典 制 御 理 論 で は取 り扱 え な か っ た 多 くの 問 題 を解 決 して きた 。 しか しな が ら,こ の よ うな 新 しい 理 論 に も問題 が な い わ け で は な い。

す な わ ち,現 代 制 御 理 論 を設 計 に用 い る場 合,制 御 対 象 の状 態 空 間 モ デル が 実 シ ス テ ム と設 計 と を結 ぶ唯 一 の 絆 で あ る に も拘 わ らず モ デ ル の 不 完 全 さ に対 す る配 慮 を欠 い て い る た め,モ デ ル の 誤 差 が どの よ うな 結 果 を もた ら す か を定 量 的 に 予 測 す る こ とが 難 し い こ とで あ る。 この よ う な こ とか ら 「技 術 か ら遊 離 し て い る 」 とか 「理 論 過 剰 の 閉 じた世 界 で 自家 中 毒 を起 こ して い る」 な ど と久 し くいわ れ て きた が,1980年

ご ろか らい わ ゆ る ロバ ス ト制御,特

を許 容 す る制 御 」 と して 注 目 され,現

にH∞ 制 御 ＊が 「モ デル の誤 差

代 制 御 理 論 の モ デ ル の 問 題 解 決 に光 明 を 見

い 出 す と こ ろ とな りそ の 実 用 性 を 高 め て い る。

１・２ 計 算機 の発達 とデ ィジ タル制御

デ ィ ジ タ ル 計 算 機 が 初 め て 制 御 系 の 中 に と り入 れ ら れ た の は1959年 が,こ

の 時 は ま だ 計 算 機 の 信 頼 性 が 十 分 で な か っ た た め,制

う の で な く,デ

ー タ の 記 録,制

であ った

御 量 の 直 接 制 御 を行

御 系 の 監 視 等 の 範 囲 に 止 ま っ て い た 。 そ の 後,ア

ナ ロ グ 制 御 装 置 の 目 標 値 を デ ィ ジ タ ル 計 算 機 に よ っ て 与 え る,い わ ゆ るsupervisory control方

式 に 移 行 した 。 こ の よ う な 経 過 を た ど っ て 制 御 用 計 算 機 が 直 接,閉

ル ー プ 制 御 系 に 導 入 さ れ,直

接 デ ィ ジ タ ル 制 御(direct 

DDC)が

で あ っ た 。1965年

行 わ れ た の は1962年

以 降,制

ー トメ ー シ ョ ン の 構 成 要 素 と し て 一 般 的 と な っ た が 以 上 の プ ロ セ ス に 限 ら れ て い た 。1971年

,そ

digital  control略

して

御 用計 算 機 はプ ロ セ ス オ の値 段 が 高 い た め中 規 模

に マ イ ク ロ プ ロ セ ッ サ が 登 場 し,そ れ を

用 い た マ イ ク ロ コ ン ピュ ー タ は シ ス テ ム 制 御 の そ の 後 の 発 展 に大 きな 変 化 を与 え た 。 例 え ば,計

装 制 御 の 分 野 で は 集 中 形 か ら 分 散 形 へ,シ

はPLC(programmablelogic

controller)の

出 現 に よ る ソ フ ト化 の 進 展 に よ っ て,

複 雑 で 大 規 模 な シ ス テ ム へ の 対 応 が 可 能 と な り,制 き る よ う に な っ た 。 さ ら に,工

作 機 械 のNC技

の 変 更 が 可 能 と な るCNC(computerized  *H∞

の Ｈ は数 学 者Hardyの

頭 文 字 で,H∞

で あ る関 数 の 集 合 を表 す記 号 で あ る。

ー ケ ン ス制 御 の 分 野 で

御 の 柔 軟 さ と多 様 化 に 対 応 で

術 は プ ロ グ ラ ム の 変 更 だ けで 機 能

numericalcontrol)へ

と移 行 し て い っ

は 右 開 半平 面 で解 析 的 か っH∞ ノル ム が 有 限

た。 この よ うに マ イ ク ロ プ ロ セ ッサ の 出現 に よ っ て非 常 に 複 雑 な制 御 動 作 もハ ー ドウ ェア の面 か らの 制 約 を受 け な い で 実 現 で き る よ う に な り,制 御 則 の ソ フ ト化 が 急 速 に 進 行 して い る。   マ イ ク ロ プ ロ セ ッサ を デ ィ ジ タ ル コ ン トロ ー ラ と し て制 御 系 の 中 に 入 れ た と き 動 作 量 が 離 散 化 さ れ て 表 され る。 この離 散 化 は時 間 軸 方 向 と して の サ ン プ リ ン グ と空 間 軸 方 向 と して の 量 子 化 の二 つ に特 徴 づ け られ る。 サ ン プ リン グ に つ い て は 1950年 代 末 に Ｚ 変換 で 理 論 が 集 成 さ れ,そ の 取 扱 いが 確 立 した 。1960年 代 に入 る と現 代 制 御 理 論 の 誕 生 と呼 応 して サ ン プ ル値 制 御 系 も離 散 時 間 形 の 状 態 方 程 式 で 扱 わ れ る こ とが 多 くな っ た 。 現 代 制 御 理 論 は も と も と計 算機 の 使 用 を前 提 に構 築 され た も の で あ り,離 散 時 間 形 のLQ制 が 盛 ん に行 わ れ て い る。 特 に,サ 定 制 御)は

御,オ ブ ザ ー バ 等 の性 質 や 解 法 な どの 研 究

ンプ ル 値 制 御 独 特 の デ ッ ドビー ト制 御(有

速 応 性 に優 れ て い る反 面,ロ

限整

バ ス ト性 に欠 け る欠 点 が あ り,こ れ を克

服 す べ くロバ ス ト性 を も つ デ ッ ド ビー ト制 御 の研 究 も多 くな さ れ て い る。 一 方, A/D,D/A変

換 や 計 算 機 の 有 限 語 長 に よ る量 子 化 の影 響,す な わ ち 量 子 化 誤 差 に

つ い て は信 号 処 理 の分 野,特

に デ ィ ジ タ ル フ ィ ル タ の 分 野 で 詳 し く研 究 され て い

る。 以 上,計 算 機 の 発 達 とデ ィ ジ タ ル 制 御 に つ い て簡 単 に述 べ た が,今

後 はマ イク

ロ プ ロセ ッサ の利 用 を基 調 と し て現 代 制 御 理 論 の 有 用 性 が ます ま す 高 くな っ て行 く と思 わ れ る。

ベ ク トル と行 列

第 ２章

  上 巻 で 扱 っ た制 御 理 論 で は,シ

ス テ ム の 動 作 を解 析 す る た め,そ

の シス

テ ム の 入 出 力 特 性 を 表 す 伝 達 関 数 を 用 い た 。 下 巻 で 扱 う い わ ゆ る現 代 制 御 理 論 で は,シ

ス テ ム の 内 部 状 態 を表 す い くつ か の 状 態 変 数 を用 い た状 態 方

程 式 を用 い る。 シ ス テ ム の 特 性 を状 態 方 程 式 に よ っ て 論 ず る た め に は行 列 の 知 識 が ど う し て も必 要 と な る。 第 ２章 で は,こ

の た め の ベ ク トル と行 列

の 基 礎 に つ い て ま と め て お く。

2・1ベ

ク トル

x1，x2,…,xnを

成 分

とす る ベ ク トル を ｘ で 表 す 。

x1x2…xn

x=

〔

こ の よ う なx(1×n)を

(2・1)

〕

行 ベ ク

ま た,y1,y2,…,ynを

トル(row 

vector)と

い う。

成 分 と す る ベ ク トル を ｙ で 表 す 。 y1〕 y2…

(2・2)

y=〔

yn   こ の (column 

よ う なy(n×1)を vector)と

列 ベ

ク

ト ル

い う。

  こ の よ う な ベ ク トル の 集 合 を 一 つ の 空 間 と考 え,こ space)と

れ を ベ ク トル 空 間(vector

呼 ぶ 。 図2・1は,x1,x2,x3が

実 数 で あ る と き の 三 次 元 ベ ク トル 空 間 の

図2・1三

次 元 ベ ク トル 空 間

例 で,こ

の 空 間 内 で 一 つ の ベ ク トル ｘ が 表 現 さ れ て い る 。

零ベ ク トル

〔１〕

す べ て の 成 分 が 零 で あ る ベ ク トル を 零 ベ ク トル(null  vector)と

い う。

(2・3)

単位 ベ ク トル

〔２〕

一 つ の 成 分 だ け が １で (unit vector)と

,他

の 成 分 は す べ て 零 か ら な る ベ ク トル を 単 位 ベ ク トル

い う 。 例 え ば,

(2・4)

ベ ク トル の 演算

〔３〕 い ま,ｎ

次 元 ベ ク トル を

x=

x1x2…xn

〔

〕 ,

y=

〔y1y2…yn

〕

とす る

と,こ の 二 つ の 行 ベ ク トル ｘ,ｙ に 関 す る演 算 を 次 の よ う に 定 め る 。な お,こ

の関

係 は 列 ベ ク トル の 場 合 に も成 立 す る 。 (１)

加算 x+y=

〔x1+y1x2+y2…xn+yn

〕

(2・5)

(２)  減 算 x-y=

x1-y1x2-y2…xn-yn

〔

(2・6)

〕

(３)  ス カ ラ 倍     ｃ を ス カ ラ(scalar)と

す る と,ｃ

と ベ ク トル ｘ の 積 は,次

の よ う に な る。 cx=

cx1cx2…cxn

〔

〕

(４)  微 分     ベ ク トルx(t)の

(2・7)

時 間 微 分 は,次

の よ う に な る。 (2・8)

(５) 

内 積(ス

カ ラ 積) 

 

一 般 に,x1,x2,…,xnお

よ びy1,y2,…,ynが

複 素 数 で あ る と き,ベ ク トル ｘ の 共 役 ベ ク トル を ベ ク トル ｙ の 共 役 ベ ク トル y=

x1X2…xn

product)と

〕 ,

y=

〕

}

=x1y1+x2y2+…+xnyn

〔

〔

と 表 せ ば,

〔y1y2…yn

(x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn

をx=

〕 で 表 し,

x1x2…xn

x=

〕の 内 積

(2・9)

〔y1y2…yn

ま た は ス カ ラ 積(scalar

い う。

(６)  直 交 性     二 つ の ベ ク トル ｘ,ｙ の 内 積 が 零 の と き,こ れ ら は 互 に 直 交 す る(orthogonal)と

い う。

(７)  ノル ム   ベ ク トル ｘ 自体 の 内 積 は, (x,x)=x1x1+x2x2+…+xnxn (2・10)

=￨x1￨2+￨x2￨2+…+￨xn￨2〓0

と な る 。(x,x)の

平 方 根 を ‖x‖で 表 し,こ

れ を ｘ の ノ ル ム(norm)と

い う。 (2・11)

(８)  一 次 従 属 と一 次 独 立     ｎ 個 の ベ ク トルx1,x2,…,xnが と ご と く は 零 で な い 数c1,c2,…,cnが

与 え ら れ,こ

あ って

c1x1+c2x2+…+cnxn=0

が 成 立 す る 場 合,こ

(2・12)

の ｎ個 の ベ ク トル は 一 次 従属(linearly 

そ れ 以 外 の 場 合 を 一 次 独 立(linearly 

independent)と

dependent)と

い う。

い い,

2・2  行 列 論

n×m個 いう

の 文 字 ま た は 数 を 式(2・13)の

よ う に 配 列 し た も の を 行 列(matrix)と

。

列

行

(2・13)

そ の 行 列 を 構 成 し て い る 文 字 ま た は 数 を要 素 と い い,横 縦 の な ら び を 列(column)と

い う 。 ま た,左

素 を 対 角 要 素(diagonal)と

よ う に,横

正 方 行 列(square 

上 か ら右 下 に か け て の 対 角 線 上 の 要

い う 。 Ａ は ｎ 行 ｍ 列 か ら な る 行 列 で あ り,n×m次

元 行 列 と い い,A(n×m)の 式(2・14)の

の な ら び を 行(row),

よ うに表 す 。 お よ び 縦 の 数 の 等 し い,す

matrix)と

な わ ちn=mの

行 列 の こ とを

い う。

(2・14)

m=1の たn=1の

場 合 の 行 列 は,次 場 合 はa(1×m)な

の よ う に 表 さ れ,a(n×1)な

る 列 ベ ク トル と な り,ま

る 行 ベ ク トル に な る 。

(2・15)

こ の こ と か ら,ベ

ク トル を 表 す の に 行 列 が 用 い ら れ る こ と が わ か る 。

〔１ 〕

行列の形

  (１)零

行 列     行 列 の す べ て の 要 素 が 零 で あ る行 列 を 零 行 列(zero

null matrix)と

  (２)単

matrix,

い う。

位 行 列    対 角 要 素 が １で あ り,そ の他 の す べ て の 要 素 が 零 で あ る行

列 を単 位 行 列(unit

matrix)と

い う。 す な わ ち,

これ を簡 略 して

(2・16)

の よ う に 表 す 。 こ こ で,AI=Aで   (３)対

あ る。

角 行 列     対 角 要 素 の み か ら な り,そ

列 を 対 角 行 列(diagonal

matrix)と

の 他 の 要 素 が す べ て 零 で あ る行

い う。

(2・17)

  (４)転

置 行 列     あ る 行 列 の 行 と 列 を 入 れ 換 え た 行 列 を,そ

(transposed  (ａ)

matrix)と

い い, ATで

表 す 。 例 え ば,

の転 置 行 列

(ｂ)

こ の と き,一

般 に 次 式 が 成 立 す る。 (2・18) (2・19) (2・20) (2・21)

  な お,￨A￨は

Ａ の 行 列 式 を表 す 。 また,行 列 の 演 算 法 に つ い て は,次 の 「〔３〕

行 列 の 演 算 」 で 説 明 す る。 (５)対

称行 列

正 方 行 列 の 要 素aijとajiが

等 し け れ ば,そ

の 行 列 は,対

角

要 素 に 対 し て 対 称 に な っ て い る 。 こ の よ う な 正 方 行 列 を 対 称 行 列(symmetric matrix)と

い う。

対 称 行 列 は,

(2・22)

の よ うに 表 され,次

式 が 成 立 す る。

AT=A

(６)歪

(2・23)

対 称行列

0で あ る と き,す

正 方 行 列 に お い て,そ

の 要 素 がaij=-ajiで,か

つaii=

な わ ち,

(2・24)

の よ う に 表 さ れ る 行 列 を 歪 対 称 行 列(skew-symmetric 

matrix)と

い う。 こ の場

合, AT=-A

(2・25)

が成 立 す る。 (７)

余因子行列

正 方 行 列 の 余 因 子 行 列(adjoint  matrix)は,行

素 を,そ れ に 対 応 し た 余 因 子 に 置 換 え,こ 例 え ば,A(2×2),す

列 の各要

れ を転 置 と した もの と して 定 め られ る 。

な わ ち,

(2・26)

の 場 合 は,次

の よ う に求 め られ る。

(2・27)

ま た,A(3×3)の

場 合 に は,次

の よ う に な る。

(2・28)

よ り,要

素a11, 

a21,  a31,…

の 余 因 子 は,そ

れ ぞ れ

の よ う に,Aijは (-1)i+jを

行 列 式￨Ａ￨のaijを

含 む 行 お よ び 列 を 取 り除 い て で き る 行 列 式 に

乗 じ た も の で 与 え られ る。 こ こ で,￨Ａ￨は

した が っ て,Ａ

行 列 Ａ の行 列 式 を表 す 。

の余 因 子 行 列 は

(2・29)

とな る。

〔２〕 行 列 式   行 列 式(determinant)は 式 は,次

正 方 行 列 Ａ に つ い て の み 定 義 さ れ,￨Ａ￨と

表 す。行列

の よ うに行 あ る い は列 につ い て展 開 し計 算 され る。

行展開 の場合 (2・30)

列展 開の場合 (2・31)

  こ こ で,￨Mij￨は

Ａ の 第 ｉ行,第

ｊ列 を 除 い て 作 る{(n-1)×(n-1)}次

元 の小 行

列 式 で あ る 。 例 え ば,

の場合

(ａ)

(ｂ)

の 場 合   式(2・30)よ

り,

〔３〕 行 列 の演 算   (１)加

算 ・減 算    行 お よ び列 の 数 が それ ぞ れ 等 しい 二 つ の 行 列 Ａ お よ び

Ｂ の和(あ

るい は差)は

対 応 す る要 素 の和(あ

るい は差)に

よ り求 め られ る。 例

え ば,

(2・32)

とす れ ば,行 列 Ａ お よ び行 列 Ｂ の 和 は,次 の よ う に な る。

(2・33)

す な わ ち,A(n×m)+B(n×m)=C(n×m)で

  (２)ス

あ る。

カ ラ倍    行 列 Ａ の ス カ ラ ｃ倍 は,行 列 の各 要 素 の ｃ倍 した もの に

等 し い。 例 え ば,

(2・34)

とす れ ば,

(2・35)

と な る。

  (３)乗

算     行 列 Ａ お よび Ｂ の 乗 算 に お い て は,行 列 Ａ の 列 の 数 と行 列 Ｂ

の行 の 数 が 等 し くな け れ ば な ら な い。 例 え ば, ２列

３列

３行,

と す れ ば,

３行

(2・36)

(2・37)

と な る 。 一 般 に,乗

算 で は,次

の 関 係 が あ る。

①

(2・38)

②

(2・39)

③ (４)

(2・40)

微分

の と き に は,行

行 列A(n×m)の

要 素aij(t)が 微 分 可 能 な ス カ ラ変 数 ｔの 関 数

列 Ａ の 変 数 ｔに つ い て の 微 分 は,次

の よ うに な る。

(2・41)

の と き,

(2・42)

と な る 。 な お,こ

の 場 合,次

式 が 成 立 す る。

①

(2・43)

②

(2・44)

(５)

積分

の と き は,行

行 列A(n×m)の

要 素aij(t)が 積 分 可 能 な ス カ ラ 変 数 ｔの 関 数

列 Ａ の 変 数 ｔに つ い て の 積 分 は,次

の よ う に な る。

(2・45)

(６)

逆行 列

(inverse 

matrix)と

正 方 行 列 に お い て,次 い う 。 こ こ で,Ｉ

式 を 満 足 す る行 列A-1を

Ａ の逆行 列

は 単 位 行 列 を表 す。 (2・46)

で あ り,ま

た 余 因 子 行 列 の 性 質 と し て,AadjA=I￨A￨の

関 係 が あ る か ら, (2・47)

と な る 。 式(2・46)お

よ び 式(2・47)よ

り,逆

行 列A-1は

次 の よ う に求 め られ る。 (2・48)

た だ し,こ な お,Ａ

の 場 合,￨A￨〓0で の 行 列 式￨A￨〓0な

な け れ ば 逆 行 列A-1は

定 ま らな い 。

る 行 列 を 正 則 行 列(nonsingular 

matrix)と

い う。

逆 行 列 に関 して は,次 式 が成 立 す る 。

①

(2・49)

②

(2・50)

③

(2・51)

④

(2・52)

〔 例 題 〕2・1

行列

の 逆 行 列A-1を

〔 解答 〕

よ り,行 列 式 お よ び余 因 子 行 列 は,次 の よ う に計 算 され る。

求 め よ。

行列 式

余 因子 行列

こ こ に,

し た が っ て,逆

行 列 は次 の よ う に求 ま る。

〔４〕  行 列 の ラ ン ク

行列

(2・53)

の 要 素 か ら,あ

る γ個 の 行 と γ個 の列 に よ っ て 作 っ た γ次 元 の 小 行 列 式 の 中 に

一 つ で も零 で な い もの が あ る と き A=γ

と 表 す 。 こ の と き,γ+1次

な お,行

,Ａ

の ラ ン ク(階

数)は

γ で あ る と い い,rank

元 の 小 行 列 式 はす べ て零 で な け れ ば な らな い 。

列 の ラ ン ク に つ い て は,次

の こ とが 成 立 す る 。

 

①A(n×m)の

と き,rank

た だ し,min(n,m)は,行 ②rank

A=rank

〔例 題 〕2・2次

A≦min(n,m) 列 Ａ の 行 また は 列 の 数 の うち 小 さ い 数 で あ る。

AT

の 行 列 Ａ の ラ ン ク を求 め よ。

(ａ)

(ｂ)

〔解 答 〕   (ａ)  この 場 合,３ 次 元 の行 列 式 は定 義 で きな い(零 と考 え る)。 二 次 元 の小 行 列 式 は三 つ あ る。 す な わ ち,

し た が っ て,rank (ｂ) 

こ の 場 合,三

Aは

２で あ る 。

次 元 の 行 列 式￨A￨=2と

な る の で, rank

A=3で

あ る。

〔５〕 固有 値 と固 有 ベ ク トル A(n×n)を

次 の よ うな 正 方 行 列,Ｉ

を単 位 行 列 と し,

(2・54)

パ ラ メ ー タ ｓ を 用 い て 作 っ た 行 列 よ り(sI-A)を

は,第

３章 で の 理 論 展 開 に 必 要 に な る。

考 え て み よ う。 この 形 の 行 列

(2・55)

  (１)特

性 方 程 式     式(2・55)の 行 列 式￨sI+A￨は,ｓ

次 の 多 項 式 に な り,こ

の 式 を ０ と お い た も の,す

に 関 し て,次 の よ う なn

なわ ち (2・56)

こ れ を 特 性 方 程 式(characteristic  で あ り,ｓ

に つ い て 解 け ばn個

(characteristic 

root)と

equation)と

い う 。 こ れ は,  n次

の 根s=λ1,λ2,…,λ.が

の 根 の こ と を 行 列 Ａ の 固 有 値(eigen 

(２)固

有 ベ ク トル (λiI-A)υt=0, 

Aυi=λ

value)と

も い う。

υi

こ こ に,υi〓0,

vector)と

え ら れ る。 これ を特 性 根

い う。

ま た,こ

を 満 足 す る(n×1)次

元 ベ ク トルυiの

(2・57)

i=1,2,…,n

こ と をλiに つ い て の 固 有 ベ ク トル(eigen

い う。

0 

︺

︹

〔 例 題 〕2・3 1

A= -2 

2

の と きの 固 肩 値 お よび 固 有 ベ ク トル を求 め よ。

〔 解答 〕   Ａ の 特 性 方程 式 は,次 の よ う にな る。

す な わ ち,

の代 数 方 程 式

s2-2s+2=(s-1-j)(s-1+j)=0 よ り,固

有 値 は λ1=1+ｊ,λ2=1-ｊ

で あ る 。 し た が っ て,二

つ の 固 有 ベ ク トル が

存 在 す る。

い ま,固

有 ベ ク トル を

と 表 す と,式(2・57)よ

り,

①  (λ1I-A)υ1=0

よ り,(1+j)υ11-υ21=0,2υ11+(-1+j)υ21=0と υ21=(1+j)υ11と

な る 。 こ こ で,  υ11=1と

な る 。こ の ２ 式 は 等 価 で あ る か ら, 選 べ ば,υ21=1+jと

な り,

②  同 様 に し て,(λ2I-A)υ2=0

よ り,(1-j)υ12-υ22=0,2υ12-(1+j)υ22=0と こ れ よ り,υ22=(1-j)υ12と

な り,こ

な る。 こ で υ12=1と

選 べ ば υ22=1-jと

な り,

〔６〕 行 列 の対 角 化 お よび ジ ョル ダ ン形式 (１) 対角化

(2・58)

正 方 行 列 Ａ の 固 有 値 が す べ て 異 な り,λ1,λ2,…,λn(n個)と

し,こ れ に 対 応 す

る 固 有 ベ ク トル を υ1,  υ2,…,  υnと す る 。 こ れ ら は 一 次 独 立 で あ る。 い ま,行

列T(n×n)を

(2・59)

と お く。 Ｔ は 正 則 行 列,す 式(2・58)お

な わ ち,｜T｜ 〓0で

あ る。

よ び(2・59)の 積 は 次 の よ う に 表 さ れ る 。

(2・60)

こ こ で,式(2・57)Aυi=λiυiの

関 係 を 用 い れ ば,す

な わ ち

よ り,

(2・62)

と な る 。 す な わ ち, (2・63)

こ の 式 次 両 辺 に,左

か らT-1を

乗 ず る と,次

の 関係 が え られ る 。

(2・64)

以 上 の よ うな 演 算 に よ り,行 列 Ａ は そ の固 有 値 を対 角 要 素 とす る対 角 行 列 に変 換 され る こ とが わ か る。 この 行 列 Ｔ を対 角 変 換 行 列 とい う。 な お,固 有 ベ ク トル は,ス カ ラ係 数 倍 し て も変 わ らな い の で,変 換 行 列 が で き るだ け簡 単 な形 に な る よ うに選 べ ば よ い 。 この よ う な操 作 は,第

３章 以 下 の状 態 方 程 式 の 変 換 に よ く用

い られ る 。

〔 例 題 〕2・4 〔 解答 〕

〔 例 題 〕2・3の 行 列 Ａ を 対 角 化 せ よ 。

〔 例 題 〕2・3の 解 よ り,変

換 行 列 Ｔ は,次

の よ うに な る 。

こ こ に,

し た が っ て,

な お,行

列 Ａ が 対 称 行 列(A=AT)の

固 有 値 を λ1,λ2,…,λnと …

, υnと す れ ば,こ

表 し,こ

場 合 に は,重

複 して い る固 有 値 を含 め て

れ に 対 応 す る 固 有 ベ ク トル を そ れ ぞ れ υ1, υ2,

れ ら は 一 次 独 立 で,直

交 す る よ う に,す

な わ ち, (2・65)

こ こ に,i〓j の よ うに 選 べ る。

上 式 を 満 足 す る 固 有 ベ ク トル を求 め,変 換 行 列 を T〔

υ1/r1υ2/γ2…

υn/γn〕

(2・66)

こ こ に,

の よ う に 作 れ ば,次 T-1=TTが

の よ う に 行 列 Ａ を 対 角 化 す る こ と が で き る 。 式(2・66)よ

り,

成 立 し,

(2・67)

と な る 。 こ の 場 合 は,TTを

用 い て 対 角 化 で き る の で,計

算 は簡 単 で あ る 。

〔 例 題 〕2・5

を対 角 化 せ よ。

〔 解 答〕     この行 列 は,対 称 行 列A=ATで

あ る。 特 性 方 程 式 は

と な る。 し た が っ て,

s3-3s+2=(s+2)(s-1)2=0 よ り,固

有 値 は,λ1=-2,λ2=λ3=1で

あ る。

次 に,こ れ らの 固 有 値 に対 す る 固有 ベ ク トル を求 め る。 (ⅰ) 

λ1=-2に

つ い て,

よ り,次

式 が成 立 す る。 -2ν

11-ν21+ν31=0…

①

-ν11-2ν21-ν31=0…

②

ν11-ν21-2ν31=0…

ν11=1に =1と

選 べ ば,式

①,②

③

よ り,ν21=-1と

な る 。 式 ③ よ り,ν31(ν11-ν21)/2

な る。

し た が っ て,

(ii) 

よ り,次

λ2=1に

つ い て,

式 が 成 立 す る。 ν12-ν22+ν32=0… -ν12+ν22-ν32=0…

ν12-ν22+ν32=0…

  ν12=1と

選 べ ば,式

ば,ν22=2と

な る。

  (iii)λ3=1に 0も

成 立 す る 。

①

′

②

′

③

′

① ′あ る い は ② ′よ り ν22=ν32+1,し

つ い て は,  ν2Tν3=0を

満 足 す る

た が っ て,  ν32=1と

す れ

ν3を 求 め る 。 こ の 場 合,  ν1Tν3=

す な わ ち, ν13+2ν23+ν33=0

と な る の で,変

こ こ で,

換 行 列 は,式(2・66)よ

こ れ よ り,Ａ

は,次

り次 の よ う に求 め られ る。

の よ うに対 角 化 さ れ る。

A=TTAT

(２)ジ

ョル ダ ン形 式

行 列 で な い(AT〓A)場 は,T-1ATは

行 列 Ａ の 固 有 値 に 重複 した もの が あ り,か つ,対 称

合 に は,対 角 変 換 で き る と は 限 ら な い 。 こ の よ う な 場 合 に

ジ ョル ダ ン 形 式(Jordan's

canonical

form)で

表 され る。

対 角 要 素 が 固 有 値 λiで 構 成 さ れ る 次 の よ う な 正 方 行 列 を ジ ョル ダ ン ブ ロ ッ ク (Jordan  block) 

と い い,

(2・68)

  この よ うな ジ ョル ダ ン ブ ロ ッ クが,対 角 上 に配 列 さ れ た 行 列 をジ ョル ダ ン 形 式 とい う。

(2・69)

例 え ば, (ａ)

固 有 値:λ1,λ2(2重)の

場合

(ｂ)

固 有 値:λ1,λ2(2重),λ3(3重)の

場 合

  次 に,こ の よ う な ジ ョル ダ ン形 式 に変 換 す る た め の,固 有 ベ ク トル お よび 変 換 行 列 Ｔ の 計 算 方 法 に つ い て 述 べ る。 い ま,行

列A(n×m)の

相 異 な る 固 有 値 を λ1,λ2,…,λ

〓と し,そ

れぞれの重複

度 をm1,m2,…,m〓 ∼ λ〓の う ち の

,あ

と す る 。 こ こ で,  m1+m2+…+m〓=nで

あ る 。 固 有 値 λ1

る 固 有 値 λの 重 複 度 を ｍ と す れ ば,次 の よ う に 順 次 計 算 に よ り

固 有 ベ ク トル が 求 め ら れ る 。

(2・70)

これ よ り,変 換 行 列 の 要 素 は, T(λ)=〔

ν1ν2…

νm〕(n×m)

(2・71)

とな る。

  こ の よ う な 手 順 を 固 有 値 λ1∼λ〓に つ い て,繰 と,変

換 行 列 Ｔ が,次

返 し行 いT(λ1)∼T(λ

〓)を求 め る

の よ う に定 ま る。

T=〔T(λ1)T(λ2)…T(λ   こ れ を 用 い て,式(2・69)の

〓)〕(n×n)

(2・72)

よ う な ジ ョ ル ダ ン 形 式 に 対 角 変 換 で き る 。す な わ ち,

次 の よ うな 形 に な る。 A=T-1AT

〔 例 題 〕2・6

を ジ ョル ダ ン形 式 に 変 換 せ よ。

〔 解答 〕   この 系 の 特 性 方 程 式 は,

と な る 。 し た が っ て,

s3-4s2+5s-2=(s-2)(s-1)2=0 と な り,固

有 値 は,λ1=2の

単 根 と,λ2=λ3=1の

２重 根 と か ら な る 。

次 に,こ れ らの 固 有 値 に対 す る 固有 ベ ク トル を求 め る。 (ⅰ)  固 有 値 λ1=2に

よ り,次

つ い て,

式 が 成 立 す る。 2υ11-υ21-4υ31=0…

①

-2υ11+υ21+4υ31=0…

②

υ11-υ31=0…

υ11=1に

選 べ ば,式

… … … ③

③ よ り υ31=υ11=1,式

し た が っ て,

(ⅱ)  固 有 値 λ2=1に

よ り,次

つ い て,

式 が 成 立 す る。 υ12-υ22-4υ32=0… -2υ12+4υ32=0…

υ12-2υ32=0…

①

′

… ② ′

… … ③ ′

② よ り υ21=2υ11-4υ31=-2と

な る。

  式 ③ ′よ り υ32=υ12/2と

な り,υ12=2(任

① ′よ り υ22=υ12-4υ32=-2と

意 で よ い)に

選 べ ば,υ32=1と

な る。 式

な る 。 し た が っ て,

  (ⅲ)  固 有 値 λ3=1に つ い て,こ の 場 合,固 有 値 の重 複 度 は ２で あ るか ら,固 有 値 λ3に対 す る固 有 ベ ク トル は,次 式 で 求 め られ る。 (λ2I-A)υ3=-υ2

よ り,次

式 が 成 立 す る。 υ13-υ23-4υ33=-2… -2υ13+4υ33=2.........②

″ ″

υ13-2υ33=-1.........③

式 ③ ″ よ り υ33=(υ13+1)/2と υ23=υ13-433+2=-1と

①

″

な り,υ13=1に

選 べ ば,υ33=1と

な る 。 し た が っ て,

以 上 よ り,変 換 行 列 Ｔ は,次 の よ うに 求 め られ る 。

し た が っ て,

な る。式 ① ″よ り

こ れ よ り,

〔７ 〕

特性方程式 と行列の関係

(１)

コ ンパ ニ オ ン行 列

特性方程式 (2・73)

｜sI-A｜=sn+an-1sn-1an-2sn-2+…+a1s+a0=0

の 係 数 の 符 号 を 反 転 し た も の が,第

ｎ 行 の 要 素 に な っ て い る,次

コ ン パ ニ オ ン 行 列(companionmatrix)と

い う 。 こ れ は,同

の よ う な行 列 を

伴 行 列 と も呼 ば れ る 。

(2・74)

これ は,第

４章 で扱 う シ ス テ ム の可 制 御 正 準 シ ス テ ム を検 討 す る と き,有 用 で

あ る。 (２)

ヴ ァ ンデ ル モ ンデ 行 列

特性 方程式

｜sI-A｜=(s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=0

で,固

有 値 λ1,λ2,…,λnが

す べ て 異 な る と き,こ

の 固 有 値 で 構 成 さ れ る,次

よ う な 行 列 を ヴ ァ ン デ ル モ ン デ 行 列(Vandermonde'smatrix)と

い う。

(2・75)

の

〔８ 〕

行列関数

ス カ ラ関 数f(x)の

べ き級 数 展 開

f(x)=k0+k1x+k2x2+…

に お い て,変

(2・76)

数 ｘ を正 方 行 列 Ａ で 置 換 え た もの を行 列 関 数 とい う。

f(A)=k0I＋k1A+k2A2+…

(2・77)

こ こ に,

A0=I

具 体 的 に は,

①

(2・78)

②

(2・79)

③

(2・80)

等 で あ る。 行列指数 関

数eAtは,次

の よ う に 定 義 さ れ る 。 こ れ は,次

て い る 。 こ の よ う な 関 数 は,第

３章 以 下 で,シ

の よ うな 性 質 を も っ

ス テ ム の 動 特 性 を扱 うの に必 要 と

な る。

① (eAt)-1=e-At

(2・81)

②

(2・82)

eAt1eAt2=eA(t1+t2)

③ (2・83)

④

(2・84)

こ こに,Ｃ

⑤

AB=BAの

は積 分 定 数 行 列 と き,eAeB=e(A+B)

(2・85)

〔 例 題 〕2・7

の と き,eAtを

求 め よ。

〔 解答 〕

こ こ で,

に 注 目す る と各 要 素 は,次

し た が っ て,eAtは

〔９ 〕

の よ うに ま とめ る こ とが で きる 。

次 の よ う に な る。

ケ ー リー ・ハ ミ ル トンの 定 理

正方行列Aの

特性 方程式 を (2・86)

とす る と,Aは

特 性 方 程 式 を満 足 し,次 式 が成 立 す る。

(2・87) これ をケ ー リー 式(2・87)よ

・ハ ミ ル

ト ン の 定 理(Cayley-Hamilton'stheorem)と

い う。

り, (2・88)

と表 さ れ,AnはAn-1∼A0=Iの

線 形 結 合 とな る。

例 え ば,

と す れ ば,

し た が っ て,A2+3A+I=0

〔10〕

二次形式

変 数x1,x2,…,xnに

つ い て,

(2・89) を 二 次 形 式(quadraticform)と

例 え ば,i=k=3と

す れ ば,

い う。

+a21x2x1+a22x2x2+a23x2x3 +a31x3x1+a32x3x2+a33x3x3

(2・90)

と な る 。 こ の こ とか ら,Ａ

を対 称 行 列 と す れ ば ， 一 般 に

ψ=xTAx

(2・91)

の形 に 表 す こ とが で き る。 この よ うな 二 次 形 式 は， 次 の よ う に定 義 され る。 ①x〓0の

す べ て の ｘ に 対 し て,xTAx>0の

と き 正 定(positive  definite)と

い う。 ②x〓0の   definite)と ③x〓0の

す べ て の ｘ に 対 し て,xTAx〓0の

と き 準 正 定(semi-positive

い う。 す べ て の ｘ に 対 し て,xTAx0で

正 則 で あ れ ば,初

期 状 態x(0)は, (4・33)

か ら 一 意 に 決 ま る 。 こ こ で,kt0の 様 で あ る。

正 則 性 の 証 明 に つ い て は,式(4・17)の

場 合 と同

〔２ 〕

多入 力 多 出 力 シ ス テ ムの 可 観 測 条 件

１入 力 １出 力 シ ス テ ム の理 論 を拡 張 す れ ば,一 般 に 多 入 力 多 出 力 シス テ ム

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

(4・34)

y(t)=Cx(t)

(4・35)

の 場 合 に は,可 観 測 性 行 列 は

(4・36)

と な り,rankΠ=nな

4・3

ら ば,シ

ス テ ム は可 観 測 で あ る。

座標変換 とシステムの構造

  一 般 に,与

え られ る シ ス テ ム の 状 態 方程 式 は,そ の ま ま の形 で は解 析 す るの に

必 ず し も便 利 で は な い 。 そ こで,状 態 方程 式 に適 当 な 変 換 を施 し,シ ス テ ム の 特 性 を調 べ た り,設 計 をす る の に都 合 の よ い形 にす る こ とが よ く行 わ れ る。   システム

に お い て,行

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

(4・37)

y(t)=Cx(t)

(4・38)

列A(n×n)を

正 則 行 列T(n×n)を

用 い てA=T-1ATの

換 し て み よ う 。 こ れ を 相 似 変 換 と い う。 状 態 方 程 式,式(4・37)に

よ う に変 左 か らT-1を

か

けて 整 理 す る と T-1x(t)=T−1ATT-1x(t)+T-1Bu(t)

(4・39)

y(t)=CTT-1x(t)

(4・40)

と な る 。 こ こ で,x=T-1x,A=T-１AT,B=T-1Bお

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

よ びC=CTと

お け ば, (4・41)

(ａ)式(4・37),(4・38)の

シ ス テ ム

(ｂ)式(4・41),(4・42)の

シ ス テ ム

図4・4  状 態 変数 線 図

y(t)=Cx(t)

(4・42)

の よ うに シス テ ム は表 す こ とが で き る。 この よ うな変 換 を して も,両 者 に は次 の 関 係 が あ る。 ①

両 者 の 特 性 方 程 式 は変 わ ら な い。 した が っ て,そ れ ぞ れ の 固有 値 は等 し い。 sI-A=T-1sIT-T-1AT

=T-1(sI-A)T こ こ で, T-１IT=I よ り,

￨sI−A￨=￨sI−A￨=0

②

伝 達 関 数 行 列 は 変 わ らな い 。

G(S)=C(sI-A)-1B =CT-1(sI-TAT-1)-1TB =C{T-1(sI-TAT-１)T}-1B

=C(sI-A)-1B ③

可 制 御 性 は変 わ ら な い。 す なわ ち,原

シ ス テ ム が 可 制 御 な ら変 換 後 の シ ス

テ ム も可 制 御 で あ り,不 可 制 御 な ら不 可 制 御 で あ る。 す な わ ち, rank

BABA2B…An-1B

〔

=rank

〕

こ れ は, BAB 

〔

A2B…An-1B)

〕

BABA2B…An-1B

〔

〕

〔

=

=T-1

T-1B 

T-1ATT-1B(T-1AT)2T-1B…(T-1AT)n-1T-1B

BABA2B…An-1B

〔

と な り， Ｔ が 正 則,す

④

〕

〕

な わ ち￨T￨〓0な

こ と よ り明 ら か で あ る 。

可 観 測 性 は 変 わ ら な い。 す な わ ち，

こ れ は,

よ り明 らか で あ る。

〔１ 〕

対 角正 準 形式 とジ ョル ダ ン正準 形 式

  以 下 で は,理 解 を容 易 に す るた め,次

の よ う な １入 力 １出 力 シス テ ム に つ い て

考 え る。

  (ａ)Ａ た よ う に,行 Unと

x(t)=Ax(t)+bu(t)

(4・43)

y(t)=cx(t)

(4・44)

の 固 有 値 が 互 い に 異 な る 場 合   第 ２章2・2節 列 Ａ の 固 有 値 λ1,λ2,…,λnに

す る と き,こ

〔６〕(１)対 角 化 で 述 べ

対 応 す る 固 有 ベ ク トル を ν1,υ2,…,

れ を 並 べ て 作 っ た 変 換 行 列 T=

64)の よ うに 対 角 行 列 に変 換 さ れ る。 す な わ ち,

υ1  υ2 …   υn

〔

〕に よ り,式(2・

(4・45)

よ り,シ ス テ ム は,次

の よ う な新 しい 状 態 方 程 式 お よ び 出力 方 程 式 で 表 され る。

(4・46)

y(t)=cx(t)

(4・47)

こ こ で,b=〔b1b2…bn〕T, 

び 式(4・47)は,各

c=〔c1c2…cn]と

お

け ば,式(4・46)お

よ

々 以 下 の よ う に な る。

(4・48)

y(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t)

  この 関 係 は,図4・5(３

(4・49)

次 対 角 正 準 シ ス テ ム の場 合)の よ うな 状 態 変 数 線 図 で 表

され る。 状 態 変 数 は 互 に干 渉 し な い形 に な っ て い る。 した が っ て,可 制 御 の 条 件 は， す べ て のbiが 零 で な い こ とに相 当 す る。   また,可 制 御 性 行 列 の行 列 式 を求 め る と,

図4・5

  １入力 １出力 ３次 対角 正 準 シス テ ムの 状態 変数 線 図

(4・50)

と な る。 式(4・50)の の で,零 次 に,伝

右 辺 の 行 列 式￨V￨は

に は な ら な い(第

λi-λj(i〓j)因

２章 〔７〕参 照)。

達 関 数 行 列 は,第

した が っ て,bi〓0が

３章 の 式(3・81)よ

G(s)=c(sI-A)-1b

子 の すべ ての積 に な る 成 立 す る。

り求 め ら れ る 。 (4・51)

(4・52) こ こ で,bi,ciは

ベ ク トル

ｂ,ｃ

の 要 素 で あ る。

(ｂ)  Ａ の 固 有 値 に 重 根 が あ る 場 合 ｑ,…,ｗ

重 根 の 場 合 に は,第

固 有 値 λp,λq,…,λ

２章 で 述 べ た よ う に,ジ

ω が,そ

れ ぞ れ ｐ,

ョル ダ ンブ ロ ック とい わ れ

る 部 分 が 変 換 し た 行 列 の 対 角 部 に 表 れ る 。 す な わ ち,

(4・53)

で,Jp,Jq,…,Jω

が ジ ョ ル ダ ン ブ ロ ッ ク で,例

え ば,Jpは

(4・54)

の よ う な形 に な る。

〔２〕

可制御正準形式

可 制 御 で あ る,次 の よ う な １入 力 １出力 シス テム に つ い て 考 え よ う。

x(t)=Ax(t)+bu(t)

(4・55)

y(t)=cx(t)

(4・56)

この シ ス テ ム の 特 性 方程 式 ￨sI-A￨=sn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0

の 係数 で 作 られ る(n×n)次

の正 方 行 Ｕ

(4・57)

と可制 御 性 行 列 Γ=〔bAb 

A2b

…An-1b

〕との 積 か らな る行 列 を変 換 行 列 Ｔ と し よ う。 す な わ ち,

(4・58)

明 ら か に￨U￨〓0,ま 正 則 行 列,す

た 可 制 御 性 の 条 件 よ り￨Γ￨〓0で

な わ ち￨T￨〓0で

あ る か ら,変

換行 列 Ｔ は

あ る。

こ の よ う な 変 換 行 列 Ｔ を 用 い て 式(4・55),(4・56)の

シ ス テ ム を 変 換 す る と,以

下 の よ う に表 され る。

x(t)=Tx(t)

(4・59)

と お く と,

(4・60)

(4・61)

と な る 。 こ れ は コ ン パ ニ オ ン 行 列 の 形 と な り,式(4・60)お 標 準 形(controllable よ う に な る。

canonical

form)と

よ び 式(4・61)を

可制御

い う。 三 次 系 の 場 合 を 示 せ ば,図4・6の

１入 力 １出 力 ３次 可制 御 正準 シ ステ ム の 状 態 変数 線 図

図 4・6

また,こ

の シ ス テ ム の 伝 達 関 数 は,次 の よ う に な る。 伝 達 関 数 は,上 述 の よ う

な相 似 変 換 に よ っ て も変 わ らな い か ら,容 易 に求 め られ る。 す な わ ち,

G(s)=c(sI-A)-1b=c(sI-A)-1b (4・62)

〔３ 〕

可観測正準形式

可 観 測 で あ る,次 の よ う な １入 力 １出 力 シ ス テ ム に つ い て 考 え よ う。

x(t)=Ax(t)+bu(t)

(4・63)

y(t)=cx(t)

(4・64)

この シ ス テ ム の 特 性 方 程 式 ￨sI-A￨=sn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0

の係 数 で 作 られ る(n×n)次 換 行 列 Ｔ と し よ う。

(4・65)

の正 方 行 列 Ｕ と可観 測 性 行 列 Ⅱ か ら な る行 列 を 変

(4・66)

明 ら か に￨U￨〓0,ま 正 則 行 列,す

た 可 観 測 性 の 条 件 よ り￨Ⅱ￨〓0で

な わ ち￨T￨〓0で

換行 列 Ｔ は

あ る。

こ の よ う な 変 換 行 列 Ｔ を 用 い て 式(4・63)お る と,以

あ る か ら,変

よ び 式(4・64)の

シ ス テ ム を変 換 す

下 の よ う に表 され る。

x(t)=T-1x(t) と お く と,

x(t)=TAT-1x(t)+Tbu(t)

=Ax(t)+bu(t)

(4・67)

y(t)=cT-1x(t)

(4・68)

式(4・67)お

よ び 式(4・68)を

可 観 測 正 準 形 式(observablecanonical

う 。 三 次 系 の 場 合 を 示 せ ば,図4・7の

form)と

い

よ うになる。

図4・7  １出力 １入力 ３次可 観 測正 準 シス テム の 状 態変 数 線 図

こ の 場 合 の 伝 達 関 数 は,式(4・62)と

4

・

4

同 様 で あ る。

伝 達 関数の極 ・零 点消去 と可制御性 ・可観 測性

  こ こで は,伝 達 関 数 に お け る極 ・零 点 消 去 が 可 制 御 性 お よ び 可 観 測 性 の観 点 か ら どの よ うな 意 味 を もつ か,図4・8の

〔１〕   図4・8に

伝 達 関数 に お け る極 ・零 点消 去 お い て,シ

注 則 す れ ば,S1の s=1が

消 去 さ れ,一

な わ ち,伝

よ うな シ ス テ ム を例 に あ げ 説 明 す る。

ステムの入出力 に

零 点s=1と,S2の

極

次 遅 れ 系 に な る。す

達 関 数G(s)は,

図4・8 

シ ステ ムの ブ ロ ッ ク線 図

(4・69) とな る。

〔２ 〕 図4・8の

状 態 方程 式 に よ る扱 い シ ス テ ム を,そ

の ま ま状 態 変 数 線 図 で 表 す と,図4・9の

図4・9 

図4・9の

図4・8の

よ う に,状 態 変 数x1(t),

よ び 出 力 方 程 式 は,そ

よ う に な る。

シ ステ ムの 状 態 変数 線 図

x2(t)を

と れ ば,こ

の シス テ ム の 状 態 方 程 式 お

れ ぞ れ 次 の よ う に な る。

(4・70)

(4・71)

次 に,こ の シ ス テ ム の可 制 御 性 お よび 可 観 測 性 に つ い て調 べ て み よ う。 (ａ)可

制御性 につい て

よ り,式(4・3)の

可制 御 性 行 列 は

(4・72)

と な り,そ

の 行 列 式 は,次

の よ う に な る。

(4・73)

し た が っ て,こ

の シス テ ム は不 可制 御 で あ る。

(ｂ)  可 観 測 性 に つ い て

よ り,式(4・24)の

と な り,そ

可 観 測 性 行 列 は,

の 行 列 式 は,次

の よ う に な る。 (4・75)

した が っ て,こ の シ ス テ ム は可 観 測 で あ る。 以 上 の よ うに して,理 論 的 に は可 制 御 性 お よ び 可 観 測 性 は容 易 に求 ま るが,図 4・9の 状 態 変 数 線 図 を見 た だ け で は,シ ス テ ム が 可 制 御 で あ る か,あ る い は 可 観 測 で あ るか は明 らか で は な い。 そ こ で,状 態 方 程 式 を対 角化 して み よ う。 (ｃ)対

角化

この シ ス テ ム の 固 有 値 は,特 性 方程 式 (4・76)

し た が っ て,

よ り,固 は,以 ①

有 値 は λ1=1,λ2=-3と

な る 。 こ れ ら の 固 有 値 に つ い て の 固 有 ベ ク トル

下 の よ うに して 求 め られ る。 λ1=1に

つ い て の 固 有 ベ ク トル

第 ２章 の 式(2・57)よ

り, (4・77)

よ り,υ11=1と

選 べ ば,4υ21=0よ

り υ21=0,し

た が っ て,

(4・78)

②

λ2=-3に

つ い て の 固 有 ベ ク トル

① と同 様 に し て, (4・79)

よ り,υ12=1と

選 べ ば,υ22=-υ12=-1,し

た が っ て,

(4・80)

以 上 の結 果,変 換 行 列 Ｔ は,次 の よ う にな る。 (4・81)

し た が っ て,

この 変 換 行 列 Ｔ に よ っ て,シ

ス テ ム の行 列 Ａ は対 角 化 さ れ る。

(4・82)

(4・83)

(4・84)

よ り,対 角 化 され た状 態 方 程 式 お よ び 出 力 方 程 式 は,次 の よ う に な る。 (4・85)

(4・86)

こ の 式 を,状

態 変 数 線 図 に 表 せ ば,図4・10の

図4・10 

  図4・10に

図4・9を

対 角化 した シス テム の状 態 変数 線 図

お い て,上 方 の ブ ロ ッ ク 線 図 で は,入 力u(t)か

路 が 断 ち 切 れ て お り,x1は

入 力u(t)に

で あ る こ と が わ か る 。一 方,下 る 。 す な わ ち,可 変 数x1お

よ うに な る。

よ びx2か

よ っ て 制 御 で き な い 。す な わ ち,不

方 の ブ ロ ッ ク 線 図 で は,x2は

制 御 で あ る 。 ま た,上 ら 出 力y(t)に

ら状 態 変 数x1へ

入 力u(t)で

の経 可制御

制御 で き

方 お よ び 下 方 の ブ ロ ッ ク 線 図 と も,状

至 る 経 路 は 存 在 し て い る の で,両

態

者 と も可 観

測 で あ る こ とが わ か る。

  この よ うに,シ

ス テ ム を対 角 化 す る こ とに よ り,現 代 制 御 理 論 で 提 起 さ れ た 可

制 御 性 お よび 可 観 測 性 の概 念 が 一 層 明 確 に な る。

演  習  問  題  〔４〕 〔問 題 〕１.  シ ス テ ムx(t)=Ax(t)+bu(t)に

お い て,

の と き,次 の よ う な ３通 りの ｂ に つ い て,シ ス テ ム が 可 制 御 か 否 か を 判 定 せ よ 。

(ⅰ)

〔問 題 〕２.シ

(ⅱ)

(ⅲ)

ス テム

に お い て,

の と き,次 の ３通 り の ｃに つ い て,シ (ⅰ)c=〔100〕

〔 問 題 〕３.図4・11(ａ),(ｂ)の

ステ ムが可 観測 か否 か を判定 せ よ。

(ⅱ)c=〔010〕

(ⅲ)c=〔001〕

よ うなタ ンク シス テムが あ る。 この システ ムの可制 御

性 に つ い て 検 討 せ よ。 こ こ で は,液 面 の 変 動 は 平 衡 状 態 近 傍 で 僅 か と し,タ ク か らの 流 出 量 ｑ と液 位 ｘ との 間 に は線 形 性(q=x/R)が な お,Ｒ

お よ びR12は

管路 抵抗 で ある。

ン

成 立 つ もの とす る。

(ａ)

(ｂ) 図4・11タ

〔問 題 〕４.シ

ス テ ムx(t)=Ax(t)+Bu(t)に

ン クシス テム

お い て,

の と き,行 列 Ａ を 対 角 化 せ よ 。な お,そ の 変 換 行 列 Ｔ,お よ び 逆 行 列T-1の

一

例 を示 せ。

〔 問 題 〕5.状

態 方 程 式 お よ び 出 力 方 程 式 が,そ れ ぞ れ 次 式 で 表 され る シ ス テ ム が あ る。

この シ ス テ ム の 可 制 御 正 準 系 を 求 め よ。 ま た,そ

の 状 態 変 数 線 図 を描 け。

第 ５章  時間領域 にお け る制御 系 の設計

制 御 し よ う とす る対 象 に ど の よ う な 制 御 を加 え た ら望 み の 振 る 舞 い を制 御 対 象 に さ せ る こ とが で き る か,す

な わ ち,制

御 対 象 を 希 望 ど お りに 制 御

す る に は ど の よ う な制 御 系 を構 成 す れ ば よ い か と い う問 題 に対 して,そ

れ

を周 波 数 領 域 の 問 題 と し て 解 決 す る 手 法 を上 巻 で 示 した 。 こ れ に対 して, 本 章 で は,こ

の 問 題 を 時 間 領 域 で 直 接 的 に解 決 す る手 法 の 概 要 に つ い て 述

べ る。

自動 制御 系 の設計 の 目的 は,実 際 に使 用 で きる機械部 品 要素 あ るい は電 気 ・電 子部 品要 素 を どの よ うに組 み合 わ せ て望 ま しい振 る舞 い をす るシス テム を構 築 す るかで あ る。望 ま しい振 る舞 いは時 間領域 にお ける評価 基準 に よって容 易 に述 べ るこ とが で き る。例 えば,ス テ ップ入力 に対 す る最大 行 き過 ぎ量 や立上 り時 間 な どは時 間領域 にお け る有効 な評 価 基準 で あ る。

5・1  状 態 変 数 フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 の 概 要

上 巻 の 第 ３章 で も述 べ られ て い る よ う に,制 御 系 の性 能 は偏 差 や 制 御 量 な ど, 何 らか の 量 の積 分 値 で評 価 され る こ とが 多 い。この た め制 御 系 の 設 計 も,２乗 偏 差 の 積 分 値 の よ うな 評 価 関 数 を最 小 に す る とい う方 針 に基 づ い て設 計 され る こ とが 多 い。 評 価 関 数 の 最 小 値 を与 え る よ うな 制 御 系 は,一 般 的 に最 適 制 御 系 と呼 ば れ る。 特 に,制 御 対 象 が 線 形 で,評 価 関 数 が ２乗 偏 差 積 分 の よ う な,状 態 変 数 や 制 御 量 の 二 次 形 式 の,あ

る時 間 区 間 にわ た る積 分 で与 え ら れ る と して,そ

れ を最 小

に す る よ うに 制 御 信 号 を定 め る とい う最 適 制 御 問 題 は,最 適 レギ ュ レー タ 問題 と 呼 ば れ て い る。 これ は,ま たLQ問 と もあ る。

題(linear quadratic problem)と

呼 ばれ るこ

こ の節 で は,シ ス テ ム が 第 ３章 で 述 べ た 状 態 変 数 に よ っ て 記 述 され て い る場 合 の 最 適 制 御 系 の設 計 に つ い て,そ の 基 本 的 な 考 え方 お よび 手 法 の概 要 を 説 明 す る。

〔１〕 状 態 変 数 フ ィ ー ドバ ッ ク ま ず初 め に,系 の 状 態 変 数 が 測 定 で き る もの と し,そ れ を 用 い て 系 の 評 価 関 数 が 最 適 に な る よ うな 制 御 信 号u(t)を

つ くる こ と を考 え る。制 御 系 の 性 能 評 価 の た

め の評 価 関 数 Ｊ を状 態 変 数 を用 い て表 現 す れ ば,一 般 的 に は, (5・1)

の よ う に 表 さ れ る 。 こ こ で,ｔ

は 時 間,ｘ

は 状 態 ベ ク トル で あ り,ｕ

は制 御 ベ ク ト

ル で あ る。

通 常,制 御 系 に対 す る一 般 的 な 要 求 と して,シ ス テ ム の偏 差 を最 小 に す る こ と を求 め るの で,望

ま しい 状 態 ベ ク トル がxd=0で

あ る とす れ ば,シ ス テ ム の 偏 差

は恒 等 的 に シ ス テ ム の 状 態 ベ ク トル に等 しい と考 え る こ とが で き る。 す な わ ち, シ ス テ ム を平 衡 点x=xd=0に

お くこ とで あ り,こ の 平 衡 点 か らの い か な る ず れ

も偏 差 と考 え る こ とが で き る。 した が っ て,こ

こで は,状 態 変 数 フ ィー ドバ ッ ク

と偏 差 の ２乗 評 価 関 数 を 用 い る最 適 制 御 系 の設 計 問題 を考 え る こ と にす る。 対 象 とす る制 御 系 は,図5・1の

よ うで あ り,そ の状 態 方 程 式 は,

図5・1  状 態 変数 ｘ と制御 信 号 ｕを用 いて 表現 した制 御 系

x(t)=Ax(t)+Bu(t) で表 され る もの とす る。 こ こ で,フ され た状 態 変 数 の あ る 関 数 と して,

(5・2)

ィー ドバ ッ ク制 御 装 置 か ら の制 御 信 号 は 測 定

u(t)=h(x)

(5・3)

と表 さ れ る も の と す る 。 例 え ば,制

御 ベ ク トル を

(5・4)

あ る い は,

(5・5)

等 と選 ぶ こ とで あ る。制 御 信 号 を どの よ う に 選 ぶ か に は,あ る程 度 任 意 性 が あ り, 実 際 に シ ス テ ム に 要求 され る性 能 や,許 容 され る フ ィー ドバ ッ ク構 造 の 複 雑 さ の 程 度 な ど に依 存 す る。 状 態 変 数 フ ィー ドバ ッ ク に使 用 で き る状 態 変 数 は,当 然 の こ とな が ら測 定 で き る もの で な け れ ば な らず,し

た が って,そ

の 数 は 自 ず か ら制

限 を受 け る。 こ こ で,フ

ィ ー ドバ ッ ク 信 号 を 生 成 す る た め の 関 数 を(こ

関 数 と い う),u=Hxな

れ を フ ィ ー ドバ ッ ク

る 線 形 関 数 に 限 定 し よ う。 こ こ で,Ｈ

は(m×n)次

元 の

行 列 で あ る 。 す な わ ち,

(5・6)

で あ る 。 こ の 式(5・6)を

式(5・2)に 代 入 す る と,

x(t)=Ax(t)+BHx(t) =Dx(t)

(5・7)

図5・2式(5・7)の 変 数線 図

と な る 。 こ こ で,D=A+BHで(n×n)

シス テ ム の状 態

次 元 の行 列 で あ る。

〔２ 〕

積分形式の評価関数

  こ こで,上

巻 第 ３章 で述 べ た,シ

ス テ ム の 速 応 性 と密 接 に 関 連 した制 御 特 性 を

評 価 す る た め の ２乗 偏 差 評 価 関 数 を考 え る。 状 態 変 数 が 一 つ の 場 合 で,そ れ を偏 差 と考 え る と, (5・8)

で あ る。 も し,状 態 変 数 が 二 つ の 場 合 は, (5・9)

で あ る。 した が っ て,こ れ を一 般 化 し,状 態 変 数 の ２乗 和 の 積 分 で 評 価 関数 を表 す た め に行 列 演 算

(5・10)

を用 い る。 これ よ り,状 態 変 数 ベ ク トル を用 い た評 価 関 数 の 一 般 的 な 形 は,次 の よ うに 表 す こ とが で き る。 (5・11)

こ の式(5・11)に お い て,便 宜 上,終 端 時 間tfを 無 限 大 と し よ う。Ｊ の 最 小 値 を求 め る た め に,次 の 完 全 微 分 の 存 在 を仮 定 す る。 (5・12)

  こ こ で,Ｐ

は こ れ か ら決 定 さ れ る も の で あ る 。 計 算 を 簡 単 に す る た め に,一

性 を 失 う こ と な く,Ｐ 式(5・12)の

を 対 称 行 列,す

な わ ち, PT=Pと

左 辺 の 微 分 を 行 う こ と に よ り,

す る。

般

と な る 。 こ れ に 式(5・7)を 代 入 す る こ と に よ り,

(5・13)

こ こ で,(DTP+PD)=-Ｉ

と置 け ば,式(5・13)は, (5・14)

と な り,こ

れ が 求 め て い た 完 全 微 分 で あ る 。 式(5・14)を 式(5・11)に

代 入す る こ と

に よ り,

(5・15)

を 得 る 。こ こ で は,t→ ∞ の 極 限 と し て,シ ス テ ム は 安 定 で あ り,し た が っ て,x(∞) =0を

仮 定 し て い る。

以 上 に よ り,評 価 関 数 Ｊ を最 小 化 す る た め に,次 の 二 つ の 方 程 式 を考 え る。 (5・16)

DTP+PD=-I

(5・17)

設 計 の手 順 は,次 の よ う に な る。 ①

Ｄ は既 知 で あ る と して,式(5・17)を

②

式(5・16)の

  〔 例 題 〕5・1 

満 足 す る行 列 Ｐ を決 定 す る。

最 小 値 を 決 定 す る こ と に よ り,Ｊ

図5・3に

を最 小 化 す る。

示 され て い る

位 置 制 御 系 を 考 え る 。 状 態 変 数 はx1と x2で あ り,x1は

位 置 を表 す 変 数 とす る。

こ の シ ス テ ム は,図 に,制

か らす ぐわ か る よ う

動 項 の な い 二 次 系 と な る。 こ の シ

図5・3  〔例 題 〕5・1の 状 態 変 数 線 図

ス テ ム の 状 態 方程 式 は,

x(t)=Ax(t)+bu(t) す な わ ち,

(5・18)

と な る。

  い ま,フ

ィー ドバ ッ ク制 御 系 と して,次 式 で 示 され る 二 つ の 状 態 変 数 の 線 形 結

合 か らな る制 御 信 号 を採 用 す る こ とに す る。

u(t)=-k1x1-k2x2   こ の 式 の 右 辺 の-記 18)は,次

(5・19)

号 は 負 フ ィ ー ドバ ッ ク を 意 味 し て い る 。状 態 方 程 式,式(5・

の よ う に表 され る。

(5・20)

す な わ ち,

x(t)=Dx(t) (5・21)

とな る。

  こ の 位 置 制 御 系 の 伝 達 関 数 はG(s)=1/s2で,摩

擦 項 は 無 視 し て い る 。 こ こ で,

計 算 を 簡 単 に す る た め にk1=1と

し て,評 価 関 数 が 最 小 と な るk2の

こ と に す る 。 そ こ で,式(5・17)を

用 い る と,

値 を決 定 す る

DTP+PD=-I

(5・22)

とな る。 こ の行 列 演 算 を行 え ば,

(5・23)

が 得 ら れ る 。 さ ら に,こ

の 連 立 方 程 式 を 解 く と,

と な る。 評 価 関 数 は,

J=xT(0)Px(0) で あ るが,こ

(5・24)

こで各 状 態 変 数 は初 期 状 態 に お い て 平 衡 点 よ り １単 位 だ け ず れ て い

る と す る 。 す な わ ち ，xT(0)=〔11〕

で あ る 。 し た が っ て,式(5・24)は,

(5・25)

とな る。 この式 にす で に 求 め た Ｐ の 要 素 の 値 を代 入 す る と,

(5・26)

を得 る。 こ のk2の

関 数 の 最 小 値 を 求 め る た め に,k2で

微 分 して零 とお く と, (5・27)

と な る 。 し た が っ て,Ｊ

を最 小 に す るk2は,k22=4よ

値 は,式(5・26)にk2=2を

り, k2=2と

な る。Ｊの 最 小

代 入 す る こ と に よ り,

Jmin=3 と な る 。 ま た,こ

の 結 果,フ

ィ ー ドバ ッ ク 補 償 さ れ た 系 の シ ス テ ム 行 列 Ｄ は,

(5・28)

とな り,そ の 特 性 方 程 式 は, (5・29)

とな る。

  この 系 は 二 次 系 で あ り,そ の特 性 方 程 式 の標 準 形 は(s2+2ζ ωns+ω2n)で 表 さ れ るの で,補 償 され た 系 の 減 衰 係 数 は ζ=1.0で あ る。 こ の補 償 さ れ た 系 は,評 価 関 数 の 最 小 値 を与 え る とい う意 味 に お い て,最 適 な シ ス テム で あ る と い え る。 も ち ろん,こ

の シ ス テ ム は,い

ま,こ こで い くつ か 仮 定 した 特 定 の 条件 に対 して だ け

最 適 な の で あ っ て,条 件 が 変 わ れ ば最 適 で な くな るの は い う まで も な い。 補 償 さ れ た 系 の 構 成 図 を図5・4に 示 す 。

図5・4  〔例 題 〕5・1に お け る フ ィ-ド

  ま た,k2の

関 数 と して の評 価 関 数 を図5・5に 示 す 。 この 図 か ら も明 らか な よ う

に,こ の 系 の特 性(評 価 関 数)はk2の わ ち,k2が つ 。

バ ッ ク補 償

変 化 に対 して そ れ ほ ど敏 感 で は な い。 す な

あ る程 度 大 き く変 化 して も評 価 関 数 の値 はそ の 最 低 値 の 近 傍 の値 を持

図 5・5

〔 例 題 〕5・2

パ ラメー タk2の 値 に対 す る評価 関 数Jの 値

こ こ で は,〔 例 題 〕5・1で の フ ィ ー ドバ ッ ク ゲ イ ンk1お

よ びk2が

定 さ れ て い な い 場 合 に つ い て 考 察 し て み よ う 。 計 算 を簡 単 に す る た め に,問 本 質 を 失 う こ と な くk1=k2=kと

し よ う。 し た が っ て,前

指 題の

例 の 式(5・20)は,

(5・30)

と な る 。 Ｐ 行 列 を 決 定 す る た め に 式(5・17),す

な わ ち, (5・31)

を 用 い,式(5・22)お

よ び 式(5・23)と

方 程 式 を 解 く こ と に よ り,

が 得 られ る。

同 様 に し て,こ

の 式(5・31)よ

り得 ら れ る 連 立

こ こで,シ ス テ ム の初 期 状 態 と して,位 置 状 態 変 数 ｘ の み が １単 位 だ け平 衡 状 態 か らず れ て い る場 合 を考 え て み よ う。 す な わ ち, xT(0)=

10

〔

で あ る。 こ

〕

の と き評 価 関 数 式(5・16)は, (5・32)

と な り,し

た が っ て,最

小 化 す べ き評 価 関 数 は, (5・33)

と な る 。明 らか に,Ｊ の 最 小 値 は ｋが 無 限 大 に近 づ く とき に 得 られ,Jmin=1で

あ

る。ｋの 値 に対 す る Ｊ の値 を図5・6に 示 す 。 この 図 は,ｋ の値 が 無 限 大 に 近 づ くに 従 っ て評 価 関 数 の値 が 漸 近 的 に最 小 値 に近 づ くこ とを示 して い る。

図 5・6

〔例 題 〕5・2に

お け る フ ィ ー ドバ ッ ク ゲ イ ン ｋの

値 に 対 す る 評 価 関 数 Ｊの 値

こ こ で,次

の こ と に 注 意 し よ う 。 も し,フ

く す る こ と が で き れ ば,フ

ィ ー ドバ ッ ク 信 号

ィ ー ドバ ッ ク ゲ イ ン ｋ を 非 常 に 大 き

u(t)=-k{x1(t)+x2(t)} も非 常 に 大 き くす る こ とが で き る。 しか し,実 際 に は 実 現 で き る制御 信 号u(t)の 大 き さ は制 限 され る。し た が って,こ の 制 御 信 号u(t)に せ るた め に,ゲ

対 す る拘 束 条 件 を満 足 さ

イ ン を非 常 に大 き くす る こ とは で きず,あ

な けれ ば な らな い。 例 え ば,制 御 信 号u(t)に

る程 度 の大 き さ に抑 え

対 す る拘 束 条 件 を

￨u(t)￨〓50 とす る と,ゲ

(5・34)

イ ン ｋ に 対 し て 許 容 で き る 大 き さ は, (5・35)

と な る 。 こ の と き,Ｊ

の 最 小 値 は,

(5・36)

と な り,Ｊ の 絶 対 的 な 最 小 値 に十 分 近 い値 とな っ て い る。

〔３ 〕

制御量の評価

式(5・11)で 示 され た 評 価 関 数 の 考 察 で は,制 御 信 号 の 大 き さ は考 慮 され て い な い 。それ は評 価 関 数 を表 す 式 に制 御 信 号u(t)が

現 れ て い な い こ とか ら も明 らか で

あ る。 しか しな が ら,実 際 に は制 御 信 号 に よ る エ ネ ル ギ ー の 消 費 量 が 問題 とな る 場 合 も多 く存 在 す る。 例 え ば,宇 宙 船 にお け る 姿 勢 の 制 御 系 に お い て は,[u(t)]2 は ジ ェ ッ ト燃 料 に よ るエ ネ ル ギ ー の 消 費 を表 し,長 期 間 に わ た る飛 行 中 の燃 料 を 確 保 す る た め に節 約 され な け れ ば な らな い 。 こ こで,制 御 信 号 に よ る エ ネ ル ギ ー の 消 費 を考 察 の対 象 と して取 り入 れ る た め に,次 の評 価 関 数 (5・37)

を導 入 す る。 こ こで,λ は ス カ ラ の重 み 係 数 で あ る。 この λの値 は,状 態 変 数 に よ っ て 決 ま る評 価(式(5・37)右

辺 第 １項 に相 当)に 対 す る,エ ネ ル ギ ー の消 費 に よ

る評 価 の相 対 的 な 重要 度 に よ っ て 決 定 さ れ る。 こ こで も,前 よ る フ ィー ドバ ッ ク を行 列 方程 式

と同様 に状 態 変 数 に

(5・38)

で 表 す と し,こ

れ に よ り状 態 変 数 フ ィ ー ドバ ッ ク は,

(5・39)

と な る 。 こ こ で,式(5・38)を

式(5・37)に

代 入 す る と,次

式 を 得 る。

(5・40)

こ こ で,Q=(I+λHTH)は(n×n)次 へ 議 論 を 展 開 し た よ う に,こ

元 の 行 列 で あ る 。 式(5・11)か こ で も,次

ら 式(5・15)

の完全微分

(5・41)

の 存 在 を仮 定 す る。 この場 合 に は, (5・42)

が 満 た す べ き 条 件 と な り,し

た が っ て,式(5・15)と

同様 に し て (5・43)

を 得 る。 こ れ に よ り 設 計 手 順 は,式(5・42)の 述 の 式(5・16)か

〔 例 題 〕5・3

ら 式(5・17)と

図5・2の

右 辺 が-Iで

は な く-Qで

あ る以 外 は,前

全 く同 じ で あ る。

例 題 と 同 じ シ ス テ ム を 考 え る 。 こ の シ ス テ ム で,次

の よ

う な 状 態 変 数 フ ィ ー ドバ ッ ク を 行 う と す る 。

(5・44)

し た が っ て,行

列 Ｑ は

Q=(I+λHTH) =(I+λk2I) =(1+λk2)I

(5・45)

で あ る 。 〔例 題 〕5・2の よ う に,J=p11と 式(5・42)か

らp11を

す る た め にxT(0)=

10

〔

〕

とす る。

求 め る と,

DTP+PD=-Q =−(1+λk2)I

(5・46)

よ り,

(5・47)

が 得 ら れ る 。 Ｊ の 最 小 値 は,dJ/dk=0と

お く こ と に よ り,す

な わ ち, (5・48)

を 満 た すk=kminか

ら得 ら れ る 。す な わ ち,評 価 関 数 の 最 小 値 はk=kminで

図 5・7

〔例 題 〕5・3に お け る フ ィー ドバ ッ ク ゲ ィ ン ｋの 値 に 対 す る 評 価 関 数 Ｊの 値

得 られ

る 。 式(5・48)の

解 は ニ ュ ー ト ン ・ラ フ ソ ン 法 や カ ル ダ ノ の 解 法 に よ っ て 求 め る こ

とが で き る。   こ こ で,制 λ=1で

御 の エ ネ ル ギ ー と状 態 変 数 の ２乗 が 同 等 に 重 要 で あ る,す

あ る 場 合 を 考 え よ う 。 こ の 場 合,式(5・48)は4k3+k2-1=0と

ー トン ・ラ フ ソ ン 法 に よ り

,kmin〓0.6と

Ｊ の 値 は 約2.5と

な る。  kminに

な わ ち, な り,ニ

ュ

よ っ て 与 え られ る評 価 関 数

な り,前 の 例 題 の 場 合 よ りか な り大 き い 。 こ れ は エ ネ ル ギ ー の 消

費 を偏 差 と同 程 度 に重 要 視 して い る か らで あ る。 この場 合 の ｋ に対 す る Ｊ の値 を 図5・7に

示 す 。ま た,比 較 の た め に 〔 例 題 〕5・2に お け る ｋ に 対 す る Ｊ の 値 も 同 時 に

示 す。

  以 上 の論 議 か ら,評 価 関 数 Ｊ を最 小 に す る こ と は,制 御 系 の過 性 特 性 を よ く し, か つ,制 御 の た め の エ ネ ル ギ ー消 費 を少 な くす る とい う制 御 上 か らは ， 相 反 す る 要 求 に な る。 この 〔 例 題 〕5・3および 〔 例 題 〕5・2より,実 際 に得 られ る Ｊ の 最 小 値 は,初 期 条 件,評

価 関 数 の 定 義,重

み 係 数 λ等 に依 存 す る こ とが わ か る。

  パ ラ メー タ が さ らに 多 い 場 合 や,よ

り高 次 の シ ス テ ム に 対 して も基 本 的 に は同

様 な 手 法 で設 計 を行 う こ とが で き る。

５ ・２

最 適 レギ ュ レー タ

  前 節 で は,状 態 変 数 フ ィー ドバ ッ ク を用 い て評 価 関 数 を最 小 にす る 最 適 制 御 問 題 の概 要 を,例 題 を 中 心 に して,厳 密 性 を追 究 す る こ とな く紹 介 した。本 節 で は, この 問題 を最 適 レギ ュ レー タ問 題 と して 取 り上 げ,厳 密 に記 述 す る こ とを試 み る。

〔１〕

最 適 フ ィ − ドバ ッ ク 則

制 御 系 が 線 形 で あ り,そ の 振 る舞 い を記 述 す る状 態 方 程 式 が 次 式 で 与 え られ る もの とす る。

x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)   初 期 時 刻t=t0に

(5・49)

お け る 状 態 変 数X(t0)と,区

単 に 入 力 と 呼 ぶ こ と が あ る)u(t)が

間[t0,t1]に

わ た る 制 御 入 力(以 下,

与 え ら れ る と,式(5・49)の

解 は一 意 的 に 定 ま

る 。 い ま,与

え ら れ たx(t0),u(t)と,そ

れ ら に 対 応 し て 定 ま る 解x(t)に

対 し て定

義 され る量

を 最 小 に す る よ う にu(t)を

定 め る 問 題 を 考 え る 。 こ こ に,Ｊ

ム の 評 価 関 数 と呼 ば れ る 。 Ｆ,Q(t),R(t)は,前

は 式(5・49)の

システ

節 で も 若 干 述 べ た よ う に,シ

ステ

ム の実 際 的 な性 能 評 価 か ら適 切 に設 定 され る対 称 で 非 負 定 値 の行 列 で あ る。 た だ し,R(t)は

す べ て の ｔに 対 し て 正 則,￨R(t)￨〓0で

小 に す る と き の 入 力u(t)は こ こ で,以

を最

最 適 制 御 入 力 と呼 ば れ る 。

下 の よ うな こ とを考 え る。

あ る(n×n)次 も の と し,次

あ る と仮 定 す る 。 ま た,Ｊ

元 の 行 列P(t)は

対 称 で,区

間[t0,t1]に

お い てP(t)が

の 恒 等 式 を考 え る。

  ま た,式(5・49)と

第

あ る 。 こ こ で,式(5・51)を

この 式 中 のx(t)お

２ 章 の 式(2・19)よ

り,xT(t)=xT(t)AT(t)+uT(t)BT(t)で

次 の よ う に 書 き換 え る。

よ びxT(t)に

上 式 を代 入 す れ ば

項 の 順 序 を入 れ 換 え る と,次 式 に な る。

存在 す る

+uT(t)BT(t)P(t)x(t)+xT(t)P(t)B(t)u(t)}dt=0

(5・53)

こ の結 果 を利 用 す る と,上 記 の 問題 に対 す る解 は容 易 に得 られ る。

定理 ５ ・１

(n×n)の

行 列P(t)に

関 す る リ カ ッ チ の 微 分 方 程 式(Riccati

differentialequation)

P(t)=-AT(t)P(t)-P(t)A(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t)

}

P(t1)=F (5・54)

の 解 が 区 間[t0,t1]で

存 在 す る も の と す る 。そ の 時,与 え ら れ たx(t0)=x0に

評 価 関 数 式(5・50)を

最 小 に す る 最 適 制 御 入 力u(t)は,

u(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x(t) と 定 め られ る 。 た だ し,P(t)は   な お,評

式(5・54)の

対 して

(5・55)

リカ ッ チ の微 分 方 程 式 の 解 で あ る。

価 関数 Ｊの最小値 は

Jmin=xT(t0)P(t0)x(t0)

(5・56)

とな る。

〔 証 明 〕 式(5・52)か 利 用 す る と,次

ら恒 等 式(5・53)を

の よ う に な る。

引 き,P(t)が

式(5・54)の

解 で ある ことを

こ こで,上 式 の積 分 項[]内

を次 の よ う に変 形 す る。

xT(t)P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)x(t)+uT(t)BT(t)P(t)x(t) +xT(t)P(t)B(t)u(t)+uT(t)R(t)u(t) =uT(t)R(t)u(t)+xT(t)P(t)B(t)u(t)+uT(t)BT(t)P(t)x(t) +xT(t)P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)x(t)   こ こ で,Ｐ

は 対 称 行 列,す

な わ ち,PT(t)=P(t)お

よ びI=R(t)R-1(t)を

して

=uT(t)R(t)u(t)+xT(t)PT(t)B(t)u(t) +uT(t)R(t)R-1(t)BT(t)P(t)x(t) +xT(t)PT(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)x(t) =[uT(t)R(t)+xT(t)PT(t)B(t)]u(t) +[uT(t)R(t)+xT(t)PT(t)B(t)]R-1(t)BT(t)P(t)x(t) =[uT(t)R(t)+xT(t)PT(t)B(t)][u(t)+R-1(t)BT(t)P(t)x(t)] =[uT(t)R(t)+xT(t)PT(t)B(t)R-1(t)R(t)][u(t) +R-1(t)BT(t)P(t)x(t)] =[uT(t)+xT(t)PT(t)B(t)R-1(t)]R(t)[u(t) +R-1(t)BT(t)P(t)x(t)] こ こ で,R(t)は

対 称 行 列,す

な わ ちRT(t)=R(t)を

用 い る と,

=[uT(t)+xT(t)PT(t)B(t)(R-1(t))T]R(t)[u(t)

利 用

+R-1(t)BT(t)P(t)x(t)]   さ ら に,こ

こ で 転 置 行 列 に 関 す る 一 般 的 な 公 式(ABCD)T=DTCTBTATお

び(A+B)T=AT+BTを

よ

利 用 す る と,

=[u(t)+R-1(t)BT(t)P(t)x(t)]TR(t)[u(t)+R-1(t)BT(t)P(t)x(t)] と な る の で,結

局 Ｊ の 式 は,

(5・57) とな る。

  R(t)は

正 定 値 だ か ら,式(5・57)よ

小 に な り,そ

り,Ｊ は 明 ら か に 式(5・55)が

成 立 す る と き最

の 値 は 式(5・56)で 与 え ら れ る 。

  式(5・55)は,時

刻 ｔに お け る 最 適 制 御 入 力 が そ の 時 点 の 状 態 変 数 か ら 直 接 的 に

求 め ら れ る こ と,す

な わ ち,最

適 制 御 が 状 態 変 数 の フ ィ ー ドバ ッ ク に よ っ て 実 現

で き る こ と を 示 し て い る 。 こ の 事 実 は,最

適 フ ィ ー ドバ ッ ク 則,あ

るい は閉 ル ー

プ 最 適 フ ィ ー ドバ ッ ク 則 と呼 ば れ て い る 。 こ の 最 適 フ ィ ー ドバ ッ ク則 の 概 念 を 図 で 示 す と,図5・8の

よ う に 示 す こ と が で き る。

図5・8  状 態 変 数 を 用 い る 最 適 フ ィー ドバ ッ ク の 概念図

〔２ 〕

レギ ュ レー タ問 題

定 理5・1に

よ っ て,最 適 制 御 入 力 を求 め る た め に は リカ ッ チ の微 分 方程 式(5・

54)を 解 け ば よ い こ と が わ か っ た 。

シス テム の振 る舞 い を表 す 方 程 式 が (5・58)

と表 され る 。 す な わ ち,内 部 状 態 を表 す状 態 変 数 を直 接 観 測 す る こ とは で きず, 出 力 変 数y(t)を

とお し て の み観 れ る もの とす る。 また,評 価 関 数 は (5・59)

で 与 え られ る もの とす る と,そ の 最 小 値 を与 え る最 適 制 御 は,前 節 と同様 に し て, リカ ッチ の 微 分 方 程 式

(5・60)

を 満 た すP(t)を

求 め る こ と に よ り, (5・61)

で 与 え ら れ る 。 こ こ で,行 係 数 で,tf→

は 変 係 数 行 列 で あ っ て も よ い が,定

∞ の 場 合 が 最 も よ く 用 い ら れ る 。 問 題 の 時 間 区 間[t,tf]に

→ ∞ と し た と き,リ し,最

列 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｑ,Ｒ

カ ッ チ の 行 列 微 分 方 程 式(5・60)の

適 フ ィ ー ドバ ッ ク 則 も時 間 不 変 と な り,工

る 。 そ し て,こ 題 は,最

の よ う な 定 係 数 行 列 の 場 合 に,最

適 レ ギ ュ レ ー タ 問 題,あ

い ま,シ

解P(t)は

学 的 に も,よ

お い てtf

定数 行列 に集束 り実 現 が 容 易 に な

適 フ ィ ー ドバ ッ ク 則 を 求 め る 問

る い は単 に レギ ュ レー タ問 題 と呼 ば れ る。

ス テ ム(5・58)に 対 し て 評 価 関 数 が (5・62)

で 与 え ら れ る と す る 。 こ こ で Ｒ,Ｑ は そ れ ぞ れ(γ × γ),(m×m)の 列 と す る 。 こ の と き,次

正 定値 定数行

の 定 理 が 成 立 す る。

定 理5・2    シ ス テ ム(5・58)は,可

制 御 か つ 可 観 測(第

４章 参 照)と

す る。 こ

の と き評 価 関数 Ｊ を最 小 に す る最 適 制 御 入 力 は 一 意 的 に存 在 し,そ の 最 適 フ ィ ー ドバ ツ ク則 は u(t)=-R-1BTPχ(t)

で 与 え られ る。 こ こで,Ｐ

(5・63)

は リカ ッチ の 定 常 行 列 方程 式

ATP+PA-PBR-1BTP=-CTQC

(5・64)

の 解 で あ り,次 の 条 件 を満 足 す る。 ①

Ｐ は正 定 値 で あ る。

②

行 列(A-BR-1BTP)は

安 定 で あ る。す な わ ち,す べ て の 固 有 値 は 負 の 実 部

を持 つ 。

5・3  オ ブ ザ ー バ 問 題

式(5・61)あ

る い は 式(5・63)か

ら わ か る よ う に,最

態 変 数 χ(t)が 必 要 で あ る が,式(5・58)に る の はy(t)の

適 制 御 を実 行 す るた め に は状

お い て は,出

み で あ る 。 し た が っ て,χ(t)の

力 と して用 い る こ との で き

推 定 値 χ(t)を 何 ら か の 方 法 に よ り

作 り 出 さ な け れ ば な ら な い 。 こ の よ う な 問 題 は オ ブ ザ ー バ 問 題 と 呼 ば れ,〔C,A〕 が 可 観 測 で あ れ ば χ(t)を 発 生 す る オ ブ ザ ー バ の 構 成 が 可 能 で あ り,こ ー バ の 出 力 χ(t)を 用 い る と

,最

適 制 御 はu(t)=-R-1BTPχ(t)で

のオ ブザ

実現 で き る。

〔１〕 状 態 推定 最 適 レ ギ ュ レ ー タ の 制 御 法 則,式(5・63)は,シ ー ドバ ッ ク の 形 に な っ て い る -R-1BTPと 現 す る に は,す

ス テ ム の状 態 変 数 を用 い た フ ィ

。 す な わ ち,フ

す る フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 で あ る

ィ ー ドバ ッ ク の ゲ イ ン Ｋ を

。 し か し な が ら,こ

れ を具 体 的 に 実

べ て の 状 態 変 数 が 測 定 で き る こ と が 必 要 で あ る こ と と,フ

ィー ド

バ ッ ク ゲ イ ンが 何 らか の 方 法 で 決 ま る こ とが 必 要 で あ る。

式(5・62)の よ うな 二 次 形 式 の評 価 関 数 に対 して は 重 み行 列Q,Rが

与 え ら れ,

制 御 対 象 の 動 特 性 Ａ,Ｂ が 正 確 にわ かれ ば フ ィ ー ドバ ッ ク ゲ イ ンK=-R-1BTP は リカ ッチ 方 程 式 の解 と して 一 意 に計 算 で き る。 しか しな が ら,こ れ は純 粋 に理

論 上 の 話 で あ り,現 実 に は フ ィー ドバ ッ ク に必 要 な状 態 変 数 の す べ て を直 接 的 に 計 測 す る こ と は一 般 的 に は不 可 能 で あ る。 す なわ ち,ご

く限 られ た 出 力 の みが 測

定 可 能 で あ っ た り,あ る い は雑 音 に乱 さ れ た 不 正 確 な情 報 で あ る場 合 が 多 い。 さ ら に,制 御 対 象 の 動 特 性 も周 囲 の 環 境 に よ っ て時 々 刻 々 と変 化 す る こ と を考 え る と,Ａ,Ｂ が 一 定 値 とみ な さ れ る場 合 は む し ろ ま れ で あ っ た り,あ る い は,Ａ, Ｂ が 未 知 で あ った りす る。 この よ う な場 合 に,測 定 可 能 な入 力 お よ び 出力 情 報 か ら状 態 変 数 を推 定 して フ ィー ドバ ッ ク を 行 う こ とが 考 え られ る。 す な わ ち,オ ブ ザ ー バ(observer)と

呼

ばれ る装 置 を構 築 し,こ れ に よ り推 定 され た 状 態 変 数 を用 い て フ ィー ドバ ック を 施 し,レ ギ ュ レー タ を構 成 す る とい う方 法 で あ る。 い ま,制 御 対 象 が 可 観 測 で あ る と して,次 式 で表 され る 多 入 力 多 出 力 シ ス テ ム を考 え る。 χ(t)=Aχ(t)+Bu(t)

(5・65)

y(t)=Cχ(t)

(5・66)

上 式 に お い て,状

態 変 数 χ(t)が 測 定 で き な い と き,入

力u(t),出

力y(t)お

よ

び こ れ らの 微 分 と の 線 形 結 合 で χ(t)を 生 成 す る こ と を 考 え る 。 式(5・66)を 微 分 し て,こ

れ に 式(5・65)を

代 入 す る と,

y(t)-CBu(t)=CAχ(t) 式(5・67)を

(5・67)

さ ら に 微 分 し て 式(5・65)を

代 入 す る と,

y(t)-CBu(t)-CABu(t)=CA2χ(t)

とな り,こ れ を続 け る と次 式 の関 係 が 得 られ る。

(5・68)

上 式 の 右 辺 は測 定 可 能 な入 力,出

力 お よ び これ らの微 分 項 との線 形 結 合 で 表 さ

れ て お り,す べ て既 知 で あ る。 と こ ろで,こ

こで は制 御 対 象,式(5・65),(5・66)

は可 観 測 で あ る と仮 定 して い る が,こ の こ とは 可 観 測 性 行 列

の ラ ン ク が ｎ で あ る と い う こ と で あ り,こ

の 行 列 が 正 則 で あ る こ と,す

な わ ち,

逆 行 列 が 存 在 す る こ と を 意 味 す る 。 こ の こ と か ら状 態 ベ ク トル χ(t)は,

(5・69)

と求 ま る。 上 の 関 係 か ら明 らか な よ う に,入 出 力 信 号 に雑 音 が 存 在 しな い と仮 定 す れ ば,入

出力 お よ び こ れ らの 高 次 階微 分 を 実行 す る こ とに よっ て 状 態 推 定 が 可

能 で あ る。 しか しな が ら,実 際 の 制 御 対 象 で は入 力 や 出 力 に雑 音 が 含 まれ る の が 普 通 で あ り,こ れ ら の微 分 信 号 を用 い て χ(t)を 推 定 した の で は か な りの 誤 差 を 含 む こ と と な り,実 用 に は な らな い。 状 態 推 定 器 と して 有 名 な カ ル マ ン フ ィル タ(Kalmanfilter)は,雑

音 を伴 う制

御 対 象 の状 態 量 を雑 音 を含 む観 測 デ ー タ か ら推 定 す る もの で あ り,こ の 状 態 推 定 量 を フ ィー ドバ ック信 号 に用 い て 閉 ル ー プ制 御 シ ス テ ム を構 成 す る 。 通 常 の カル マ ン フ ィル タの 設 計 に は 考 慮 した雑 音 の 平 均 値 とか 共 分 散 とか の統 計 的 性 質 が 既 知 で あ る こ とが 必 要 で あ る。 こ の こ と は制 御 系 を設 計 す る前 に,予

め制 御 対 象 に

加 わ る雑 音 の種 類 や 統 計 的性 質 を精 度 よ く把 握 して お か な け れ ば な らな い が,こ の こ と も実 際 問題 と して は極 め て 困難 な 場 合 が 多 い 。 さ ら に,何

らか の 検 出器 を用 い て,す べ て の状 態 変 数 が 測 定 され る場 合 で も制

御 対 象 の 動 特 性 が正 確 に わ か ら な い と き に は未 知 パ ラ メー タ を推 定 す る パ ラ メ ー タ 同定 機 構 が 必 要 に な り,こ の 場 合 に はパ ラ メ ー タ同 定 問 題 と し て定 式 化 さ れ る。

もち ろ ん,制 御 対 象 の 動 特 性 が不 確 か で,し

か も状 態 変 数 の一 部 しか 出力 と し て

観 測 で き な い よ うな場 合 も,実 際 問題 と して し ば しば 生 ず る。 例 えば,人 工 衛 星 を打 ち 上 げ る ロ ケ ッ トな どの よ うな場 合 で は,高 度,速 度,燃 料 消 費 に伴 う質 量 , 大 気 の圧 力 な ど は,時 々 刻 々 大 幅 に変 化 し,ま た,位 置 や 速 度 の情 報 を得 る た め に ジ ャ イ ロや 加 速 度 計 を検 出 器 と して使 用 す れ ば,必

ず何 らか の観 測 雑 音 を含 む

こ とに な る。 こ の よ う に入 出 力 情 報 の み を用 い て未 知 パ ラ メ ー タ を 同定 し なが ら測 定 で き な い状 態 変 数 を同 時 に推 定 す る 方 式 は,一 般 に 適 応 オ ブ ザ ー バ の 設 計 問 題 と呼 ば れ て い る。

〔2〕   オ ブザ ーバ に よ る状 態 変 数 の 推 定 前 項 で 概 要 を述 べ た よ う に,検 出可 能 な入 力 と出 力 とか ら未 知 の状 態 変 数 を推 定 し,こ の 推 定 され た状 態 変 数 を用 い て フ ィ ー ドバ ッ ク制 御 を実 現 し よ う とい う 考 え 方 が あ る。 制 御 対 象 の 動 特 性 が 正 確 に わ か っ て い る と き,入 出 力 信 号 を 用 い て観 測 で き な い状 態 変 数 を推 定 す る問 題 は オ ブ ザ ー バ の 設 計 問 題 と呼 ばれ て い る。 これ は オ ブ ザ ー バ へ の 入 力 と して は制 御 対 象 へ の 測 定 可能 な入 力u(t)お

よび 出 力y(t)の

み

を用 い,真 の 状 態 χ(t)の オ ンラ イ ン推 定 値 χ(t)が オ ブ ザ ー バ か らの 出 力 に な る よ うな 装 置 を構 成 す る こ とで あ る。 こ こ で,制

御 対 象 と し て は, χ(t)=aχ(t)+Bu(t)+v(t) (5・70)

y(t)=Cχ(t)

で 表 せ る 可 制 御,か 能 な 入 力,v(t)が

つ可 観 測 の 制 御 対 象 を 考 え る。u(t)は 操 作 量 の よ う な測 定 可

外 乱 の よ う な測 定 で きな い入 力 で あ る。y(t)の 次 元 が 制 御 対 象

の 次 数 よ り低 い と き に は,Ｃ は矩 形 行 列 にな る の で,そ の 逆 行 列 を用 い てy(t)の 実 測値 か ら χ(t)を 求 め る こ とが で きな い 。そ こで,制 御 対 象 の モ デ ル を 用 い,こ の モ デ ル の 状 態 変 数 χ(t)を も っ て χ(t)の 推 定 値 とす る こ と を考 え る。 まず,制 御 対 象 と同 一 の モ デ ル を電 子 計 算 機 あ る い は電 子 回 路 な どで構 成 し,

図5・9  制 御 対 象 とモ デ ルの並 置 図5・9の

よ う に 置 い て み る 。 た だ し,制 御 対 象 の Ａ,Ｂ, Ｃ は 正 確 に わ か っ て い る

もの とす る。

こ こで,モ

デル の状 態 方 程 式 お よ び 出 力 方 程 式 は

(5・71)

で あ る 。 も し,モ Cと

デ ル が 実 シ ス テ ム と 全 く等 し い,す

な わ ち,A=A,B=B, 

す る と,両 シ ス テ ム と も 入 力 が 等 し い の で,モ デ ル の 初 期 値x(0)と

の 初 期 値x(0)が

等 し け れ ばt>0で

  し か し な が ら,一 般 にx(0)は

もx=x(t)と

未 知 で,x(0)を

の で,x(0)〓x(0)で

あ り,実

に は,x(t)〓x(t)で

あ り,y(t)〓y(t)と

y(t)の

C= 制御 対象

なる。 観 測 の 度 に 設 定 し直 す の も難 し い

際 に は, A〓A,  B〓B,  C〓Cで な る の で,図5・10の

も あ る 。 この とき よ う に, y(t)と

差 を ゲ イ ン ベ ク トル Ｋ を 介 し て モ デ ル に フ ィ ー ドバ ッ ク し,モ

正 す る こ と が 考 え ら れ る 。 こ の 場 合 の モ デ ル の 式 は,式(5・71)を

デ ル を修

修 正 し て,

(5・72)

図5・10 

と な る 。 こ こ で,f(t)は 差[y(t)-y(t)]に ち,Ｋ

モデ ル の修 正 と オプザ ー バ

モ デ ル の 状 態 が 制 御 対 象 の 状 態 へ 収 束 す る よ う に,出

力

よ っ て モ デ ル を 駆 動 す る た め の フ ィ ー ドバ ッ ク で あ る 。す な わ

を ゲ イ ン 行 列 と し て,

f(t)=K{y(t)-y(t)} =KCx(t)-KCx(t)

(5・73)

と 表 さ れ る 。理 想 条 件 と し てA=A,B=B,C=C,す

な わ ち,モ

と全 く一 致 し,か

し よ う。 こ の と き 状 態 変 数

つ 計 測 で き な い 外 乱 入 力 ν(t)が0と

デ ル が制 御 対 象

の 推 定 偏 差e(t)を

e(t)=x(t)-x(t) と す れ ば,式(5・70)か 注 意 す る と,次

ら 式(5・72)を

(5・74)

引 き,式(5・73)がf(t)=KCe(t)に

な る こ とに

式 が 得 られ る。

e(t)=(A-KC)e(t)

(5・75)

  t=0に

お け る 制 御 対 象 の 初 期 状 態X0は

き な い 。 そ こ で,モ

ｘ が 測 定 で き な い の で 知 る こ とが で

デ ル は 初 期 状 態 を ０に と っ て ス タ ー トす る 。 す な わ ち,式(5・

75)の 初 期 値 は,制 御 対 象 の 初 期 値e(0)=X0で

あ る 。し た が っ て,式(5・75)の

解 は,

e(t)=e(A-KC)te(0) (5・76) =e(A-KC)tx0

と な る。 それ ゆ え,Ｋ

を適 切 に選 ん で(A-KC)が

漸 近 的 に安 定 で,し か も収 束

の 速 い 固 有 応 答 を もつ よ うに Ｋ を設 計 す る と,任 意 の 初 期 誤 差e(0)に に 応 じ てx(t)→x(t)に

演

対 して

よ り状 態 変 数 の 推 定 が で き る 。

習

問 題

〔５ 〕

〔問題 〕１.制 御 対 象 が

で 表 さ れ る と き,

評価関数 を最小 にす る最適 制御 則u=Hxを

〔 問題 〕２． 制御 対 象が １次 元 の微 分 方程式 x=-ax+u で 表 さ れ る と き,

評価関数 を最小 にす る最 適制 御則 を求 めよ。

〔 問 題 〕３.制 御 対 象 が x=Ax+bu y=cx

た だ し,ρ>0

リカ ッチの 方程式 を直 接解 いて求 め よ。

で 記 述 さ れ て い る。 また,目

標 値 は大 き さrの

ス テ ッ プ関 数 とす る。 この と き

制 御則 を u=-KTx+u0 と お き,定 常 偏 差 が 零 とな る よ う に す るた め のu0を

求めよ

。

第 ６章

デ ィ ジタル シス テ ム の扱 い

  デ ィ ジ タ ル シ ス テ ム,す な わ ち離 散 時 間 シ ス テ ム の 取 り扱 い に つ い て は, 上 巻 第 ５章 で サ ン プ ル 値 制 御 系 と し て 述 べ ら れ て い る が,こ ナ ロ グ シ ス テ ム,す

の 章 で は,ア

な わ ち連 続 時 間 シ ス テ ム が 与 え られ た と き,そ れ を 離

散 時 間 シ ス テ ム で 扱 う に は,ど の よ う に変 換,処 理 す れ ば よ い か に つ い て, よ り詳 し く述 べ る 。 さ ら に,連 続 時 間 シ ス テ ム に 関 して,前

章 ま で に現 代

制 御 理 論 の 立 場 か ら検 討 した 基 本 的 な 問 題 に つ い て,離

散 時 間 システ ムで

は どの よ う に な る か を ま とめ た 。 こ れ ら は,実

ス テム を コン ピュ

際 に,シ

ー タ に よ っ て 制 御 す る と き必 要 と な る。

図6・1デ

6

・

1

ィジ タル 制御 シ ステ ム

連 続時 間 システ ムか ら離 散時 間 システ ムへの変換

  一 般 に,連 続 時 間 シス テム の動 作 は,す で に 第 ３章 に述 べ た よ う に,微 分 方程 式 に よ っ て記 述 され る。 こ こで は,連 続 時 間 シ ス テム か ら離 散 時 間 シ ス テ ム へ 変 換 す るの に は,ど い ま,入

の よ う な変 換 を 行 え ば よ い か に つ い て具 体 的 に検 討 しよ う。

力u(t),出

力y(t)と

し,次

の よ うな 線 形 シ ス テ ム に 注 目 す る。 (6・1)

y(t)=cx(t)

(6・2)

(ｂ)離 散時 間 シス テム

(ａ)連 続 時 間 シ ス テ ム 図6・2一

次 元 シ ステム の状 態 変数 線図

〔１〕 離 散 化 の 方 法(Ｉ)   まず,離 散 時 間 シ ス テ ム に お け る微 分 の 扱 い につ い て考 え る。 時 間 変 数 ｔに つ い て の微 分 は,一 般 に 次 の よ うに 定 義 され る。

(6・3)

この よ うな 時 間 微 分 を離 散 時 間 シ ス テ ム で 扱 う とす る と き,

の操 作が で き

な い。 これ は ⊿tの 最 小 値 は,信 号 の サ ン プ リン グ 間 隔 の 最 小 値 Ｔ 以 下 に す る こ とが で きな い か らで あ る。 した が って,離 散 時 間 シ ス テ ム で は,微 分 を次 の よ う な差 分 で 近似 す る こ とに な る。 (6・4)

こ こ で,Ｔ ： サ ンプ リン グ周 期 こ の 式 を 式(6・1)の 左 辺 に 適 用 す れ ば,

(6・5)

と な る。 時 間 ｔは,離 2,…)と

散 的 に 進 行 す る こ とか ら,現 在 の 時 刻 ｔ をt=kT(k=0,1,

表 せ ば,式(6・5)は,次

の よ うに表 され る。

し た が っ て,

x{(k+1)T}=(1+aT)x(kT)+bTu(kT) こ こ で,便 式(6・7)と

宜 上,x(kT)→x(k),x{(k+1)T}→x(k+1)と

(6・6) 書 け ば,式(6・6)は

な る。

x(k+1)=ax(k)+bu(k)

(6・7)

同 様 に し て,

y(k)=cx(k)

(6・8)

こ こ で,a=1+aT,b=bT,c=c の よ う に表 さ れ る。

以 上 は,オ イ ラー 近 似 を用 い た離 散 時 間 シ ス テ ム で あ り,こ の よ う な離 散 化 は 簡 単 な た め よ く用 い られ る。 しか しな が ら,こ の シ ス テ ム は,サ

ンプ リン グ周 期

Ｔ が 大 き くな る と,そ の 振 舞 は,式(6・1)の 原 シ ス テ ム の それ と大 き くか け は な れ た り,極 端 な場 合 は不 安 定 に な る こ とが あ る 。

〔２〕

離 散 化 の方 法(Ⅱ)

次 に,さ

ら に厳 密 な 離 散 化 の 方 法 につ い て 述 べ る。 これ は連 続 時 間 シ ス テ ム の

微 分 方 程 式 を 解 い てx(t)を

求 め た 後,近

似 値 を 用 い てx(k)を

求 め る方 法 で あ

る。 式(6・1)の 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は,次

式 で 与 え ら れ る(第

３章 式(3・60)参

照)。

(6・9)

し た が っ て,t=kT,t=(k+1)Tに

お け るx(t)は,そ

図 6・3

シ ステ ム の離 散 化

れぞれ

(6・10)

(6・11)

と な る 。 式(6・10)を

変 形 し て,式(6・11)に

ドに よ っ て,t=kTとt=(k+1)Tの

代 入 し,か

つ,入

力u(t)が

間 で は 一 定 値u(kT)で

０次 ホ ー ル

あ る こ と を考 慮 す

る と,

(6・12)

こ こ で,(k+1)T=τ=σ

な る 変 数 変 換 を 行 え ば,式(6・12)の

図

6・4

０次 ホー ル ドお よび信 号 波 形

右 辺 第 ２項 は,

と な る 。 し た が っ て,式(6・12)は

次 の よ うに 表 さ れ る。 (6・13)

同様 に して,

y(kT)=cx(kT)

(6・14)

と な る 。こ こ で,簡 単 の た め,x(kT)→x(k),x{(k+1)T}→x(k+1)，y(kT)→y(k) と 表 せ ば,式(6・13)お

よ び 式(6・14)は,そ

れ ぞ れ 次 の よ う に な る。

x(k+1)=ax(k)+bu(k)

(6・15)

y(k)=cx(k)

(6・16)

こ こ で,

6

・

2

離散時間システムの状態方程式 とその解

前 節 で は,１ 変 数 の 連 続 時 間 シ ス テ ム か ら離 散 時 間 シ ス テ ム へ の 変 換 方 法 に つ い て検 討 した。 次 に,そ の 結 果 を線 形 多 変 数 シス テ ム の状 態 方 程 式 お よ び 出 力 方 程 式 の 離 散 化 に 適 用 しよ う。

連続 時間 シス テム の状 態方程式 お よび出力 方程 式

の 解 は,第

x(t)=Acx(t)+Bcu(t)

(6・17)

y(t)=Ccx(t)

(6・18)

３章 式(3・60)よ

り次 式 で 与 え られ る。 こ こ で,「 下 ツ キ 」の ｃ は 連 続 時

間 シス テム の意 味 で 用 い て い る。 (6・19)

こ れ を 前 節 〔２〕と同 様 に 離 散 化 す る 。 す な わ ち,x(t)→x(t),y(t)→y(t)そ し てa→A,b→B,c→Cと の よ う に求 め られ る。

お け ば,離

散 時 間 シ ス テ ム の 状 態 方 程 式 は,次

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(6・20)

y(k)=Cx(k)

(6・21)

こ こ で,A=eAcT

C=Cc

Ｔ:サ   式(6・20)で

ンプ リン グ周 期

与 え ら れ る 離 散 時 間 シ ス テ ム の 状 態 方 程 式 は,ど

の ようなホール ド

方 式 を 用 い る か に よ り異 な る 。 こ こ で は,０ 次 ホ ー ル ド と し て い る 。

図6・5  離散 時 間 シ ステ ムの 状 態 変数 線 図

  次 に,式(6・20)に

注 目 す る 。 初 期 ベ ク トルx(0)お

0)が 与 え ら れ れ ば,次

よ び 入 力 ベ ク トルu(k)(k〓

の よ う な 漸 化 式 で 状 態 方 程 式,式(6・20)の

解 は 求 め ら れ る。

k=0:x(1)=Ax(0)+Bu(0) k=1:x(2)=Ax(1)+Bu(1) =A2x(0)十ABu(0)+Bu(1)

k=2:x(3)=Ax(2)+Bu(2) =A3x(0)+A2Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)

(6.22) (6.23)   この よ う に して 求 め られ る状 態 変 数 の 値 は,あ け る値 で あ る こ と に注 意 を要 す る。

くま で もサ ン プ リン グ時 点 にお

以 上 よ り出力 方程 式 は,次 の よ う にな る。

(6・24)

  次 に,こ の よ うに 連続 時 間 シ ス テ ム か ら離 散 時 間 シス テ ム に変 換 さ れ た シ ス テ ム の安 定 性 につ い て 調 べ よ う。 い ま,TcをAcの 成 立 す る(第

２章,式(2・64)参

対 角 変 換 行 列 とす れ ば,次 式 が

照)。

(6・25)

  さ ら に,Acの

固 有 値 を λ1,λ2,…,λnと す れ ば,上

式 は 式(6・26)の

よ う に表 され

る。

(6・26)

  Ａ の 固 有 値 は,￨zI-A￨=0の

根 で あ る 。 式(6・26)の

に な る。

￨zI-A￨=￨zI-Tc-1eAcTTc￨

関 係 を 用 い れ ば,次

の よ う

(6・27) こ れ よ り Ａ の 固 有 値zi(i=1,2,…, 

n)は,

zi=eλiT

(6・28)

で 与 え られ る 。Re{λi}

〈解 法 ２>

(ⅱ)

u(t)が 単 位 イ ン パ ル ス の と き,

U(s)=1で

〈解 法 １〉

あ る か ら,ラ

プ ラ ス変 換 よ り,

u(t)が 単 位 ス テ ップ の と き,

U(s)=1/sで

〔問 題 〕６.

(ⅰ)状

あ るか ら,ラ

プ ラス変換 よ り

態 変 数 をx1(t)=y(t),ｘ2(t)=x1(t)と

す る と,

状態方程式

出力 方程 式 (ⅱ)(ａ)u(t)が

単 位 イ ン パ ル ス の と き,x(0)=0と

(別解)

(ｂ)u(t)が

(別解)

単 位 ス テ ッ プ の と き,x(0)=0と

して

し て,

第 ４章

シ ス テ ム の 可 制 御 性 お よ び 可 観 測 性 … 演習 問題 〔４〕(p.81)

〔問 題 〕１. (ⅰ)可

制 御性 行列

￨Γ￨=-1,し

(ⅱ)

￨Γ￨=0,し

た が っ て,不

(ⅲ)

￨Γ￨=12,し

た が っ て,可

〔問 題 〕２. (ⅰ)  可 観 測 性 行 列

(ⅱ)

=

て， 〔問 題 〕３.図

と き(ⅰ)に

γ,

制 御

β

(ⅲ)

対 し て,γ=0の

制 御

可制 御

￨Ⅱ￨=1-α

￨Ⅱ￨

し た が っ て,α β=1の

た が っ て,可

￨Ⅱ￨=γ2

と き(ⅱ)お

よ び(ⅲ)に

対 し

シ ス テ ム は 不 可 観 測 で あ る。 ４・11(a)の

シ ス テ ム に お い て,タ

ン ク の 液 面x1,x2を

状 態 変 数 とす る と

状態方程式

可制御性行列

図 ４・11(ｂ)の

シ ス テ ム に お い て,タ

し た が っ て,可 制 御

ン ク の 液 面x1,x2を

状 態 変数 とす る と

状態方程式

可制御性行列

し た が っ て,不

〔問 題 〕４.

〔問 題 〕５.

可制御性行列

特性方程式

S3-(α+β+γ)S2+(α

変換行列

β+α γ+β γ)S-α βγ=0

可制 御

解図 ２

第 ５章 〔問 題 〕１.

時 間 領 域 に お け る制 御 系 の設 計 式(5・64)よ

り,リ

… … 演習 問題 〔５〕(p.108)

カ ッ チ の 方 程 式 は,

と な る 。 こ れ よ り,

とな る 。 した が っ て,最 適 制 御 則 の た め の フ ィー ドバ ッ ク ゲ イ ン Ｈ は,式(5・ 63)よ り,

とな る 。 〔問 題 〕2.

u=υ=x1,x=x2と

と表 さ れ,こ

お け ば,

の と きの 評 価 関 数 は,次 の よ う に 書 け る。

リ カ ッチ 方 程 式 は,

とな る か ら,そ

の解 は

と な る 。 た だ し,

こ れ よ り,

と な り,最 適 制 御 則 は,こ れ を積 分 し て 求

め られ る 。

〔問 題 〕3.

閉 ル ー プ 系 は,

x=(A-bKT)x+bu0 y=cx

と な る 。 定 常 状 態xsで

はxs=0で

あ る か ら,定 常 状 態 で の 出 力ysは,

ys=cxs=-c(A-bKT)-1bu0 とな る 。 一 方,閉

ル ー プ 系 の 伝 達 関 数 は,

ω(s)=c(sI-A+bKT)-1b で あ る 。 こ こ で,S=0と

お き,

ω(0)=c(-A+bKT)-1b=-c(A-bKT)-1b と な る 。 し た が っ て,ys=ω(0)u0と

書 け る か ら,定

常 状 態 で,ys=γ

とな る た

め に は, u0=ω-1(0)

と選 べ ば よ い 。

第 ６章 〔問 題 〕1.

デ ィジ タル シ ス テ ム の 扱 い

こ の シ ス テ ム の 動 作 を表 す 微 分 方 程 式 は,伝 達 関 数G(s)よ

と な る 。 こ こ で,x=x1,x=x2と ラ ー 近 似 す る と,次

〔問 題 〕2.

演 習 問題 〔６〕(p.131)

お き,サ

り

ン プ リ ン グ周 期 を Ｔ と して オ イ

の よ う に な る。

サ ン プ リ ン グ 周 期 を Ｔ とす る と,

(ⅰ)

の場 合

よ り可制 御性 行 列 Γ=

〔BABA2B

￨Γ￨=-(1-cos 

sin  T,し

1,2,…)を (ⅱ)

T)2T 

除 い て 可 制 御 で あ る。

の場 合

〕が 求 め た が っ て,サ

られ る 。 こ れ よ り,

ン プ リ ン グ 周 期T=nT(n=

(ⅰ)の 場 合 と 同 様 に して Γ を 求 め る。 これ よ り, ￨Γ￨=0,し 〔 問 題 〕３.連

た が っ て,不 可 制 御 で あ る。

続 時 間 シ ス テ ム に つ い て の   定 理5・1と

〔問 題 〕４.V=〔11〕

・す れ ば

式(6・83),式(6・86)お

同様 に して求 め られ る。 よ び 式(6・91)よ

り,次

うに求 め られ る。

,し

た が っ て,

と な る 。 こ れ よ り オ ブ ザ ー バ の パ ラ メ ー タ が 計 算 で き る 。a=a22-〓a12=1-〓

の よ

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索 あ  行 ア ナ ロ グ シ ス テム 

引 行 列 の ラ ン ク 

19

極 ・零 点 消 去 

76

111 ケ ー リー ・ハ ミル トンの定 理34

一 次従 属 

９

一 次独 立  

９

減 算(行 列 の)  減 算(ベ

15

ク トル の) 

現 代 制 御理 論 

９ ２

ヴ ァン デル モ ンデ 行列 

32

LQ問

83

コ ンパ ニ オ ン行 列 

10

古 典 制 御理 論 

46

固 有 値 

20,21

固 有 ベ ク トル 

20,21

ゴ ピナ ス  題 

n×n次

行 列 

ｎ次 元 の シス テ ム  オ ブザ ー バ 

103,127

129 ２

さ  行

オ ブザ ー バ 問題 

102

オ ブザ ー バ の設 計 問 題 

105

最 小 次元 オ ブザ ー バ 

重 み行 列 

127

最 適制 御 系  最適 制 御 入 力 

か 行 カル マ ン フ ィル タ 

最適 フィー ドバ ック則  104

可 観 測 

59,64,120

可 観 測性 

64,78,120

32

最適 レギ ュ レー タ  最適 レギ ュ レー タ 問題 

129 83 97 96,100 96 83,101

可 観 測 正 準形 式 

74

シス テ ムの 応 答 

50

加 算(行 列 の) 

15

ジ ョル ダ ン形 式  

27,28

加 算(ベ ク トルの)  可 制 御  可 制 御性 

８ 59 59,77,120

ジ ョル ダ ン正準 形 式 

69

ジ ョル ダ ンブ ロ ック 

28

出力 変 数 

40 45

可 制 御性 行 列 

60

出力 変 数 ベ ク トル 

可 制御 正 準 形 式 

72

準 正 定 

36

可 制御 標 準 形 

73

準負定 

36

乗 算(行 列 の) 

16

逆行 列 

18

状 態 推 移行 列  

51

行(行 列 の) 

10

状 態 推 定 

102

状態変数 

39

行 ベ ク トル 

７

行列 関 数 

33

状 態 変 数線 図 

行列 式 

14

状 態 変 数 フ ィー ドバ ック 

行 列 論 

10

状 態変 数 フ ィー ドバ ック制御83

行 列 の演 算 

15

状 態変 数 ベ ク トル 

41 84,122 45

状 態方 程 式  

38,114

状 態 方 程 式 の解  

50,114

状 態 方 程 式 の一 般 形  

46

ス カ ラ積  

９

ス カ ラ倍  

９,16

制御理論 

な

行

内積(ス カ ラ積) 

９

二 次 形式(行 列 の) 

35

入 力 変数  

40

入 力 変数 ベ ク トル  

45

１

制 御 量 の評 価  

93

正 則行 列  

18

正 定 

36

正 方行 列  

10

積 分(行 列 の) 

17

積 分形 式 の 評価 関数  

85

歪 対 称 行列  

12

零 行列  

11

微 分(行 列 の) 

17

零 ベ ク トル  

８

線形 結 合  

35

相似 変 換  

67

た 対 角 化(行

行

列 の) 

ノル ム 

９

は 行 パ ル ス伝 達 関数 行 列  

徴 分(ベ

119

ク トル の) 

９

評 価 関 数 

97

プ ロパ ー 

54

負定 

36

22,78

対角行列 

11

ベ ク トル  

７

対 角 正 準形 式  

69

ベ ク トル空 間  

７

対 角 変換 行 列  

24

ベ ク トルの 演 算 

対角要素 

10

閉 ル ー プ 最 適 フ ィ ー ドバ ッ ク 則  

対 称 行列  

12

単 位 行列  

11

単 位 イ ンパ ル ス応 答  

55

８

や

100

行

有 限整 定  

123

単 位 ベ ク トル  

８

有 限整 定 オ ブ ザー バ  

129

直 交性(ベ

９

余因 子 行列  

13

要素(行 列 の) 

10

ク トル の) 

デ ィジ タル シス テム  

定 数変 化 法   適応 オ ブザ ーバ の設 計 問題

110

ら 行

50 105

リカ ッチ の方 程 式 

伝達 関 数行 列 

53

離 散 時 間 シス テ ム 

110

転置行列 

11 レ ギ ュ レー タ 問 題  

100 ,101

同一 次 元 オ ブザ ー バ  

128

列(行 列 の) 

特性根 

21

列 ベ ク トル  

特 性 方程 式  

21

連続 時 間 シス テ ム 

98,126

10 ７ 110

理工学講座

制 御工 学 下

− 現代 制 御 理 論 の基 礎 − 1996年3月20日

  第 １版 １刷 発 行

2006年11月20日

  第 １版 ３刷 発 行

著 者〓大庭勝實 柿倉正義 川島忠雄 深海登世司 藤巻忠雄 三舩博史 学校法人  東京電機大学

発行所

東京電機大学出版局 代表者  加藤康太郎 〒101-8457

東 京都 千 代 田 区神 田 錦 町2-2 振 替 口 座00160-5-  電 話   (03)5280-3433(営

71715 業)

(03)5280-3422(編

集)

印刷 三美印刷㈱ 製本 渡辺製本㈱ Printed 

in Japan

*無 断 で転 載 す る こ とを禁 じ ます。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお取 替 え いた し ます。 ISBN4-501-10660-3 

C3054

デー タ解析 ・信号処理 関連 図書 数理科 学セ ミナー

数理 科学 セ ミナ ー

ウ ェ ー ブ レ ッ ト入 門 チャ ール ズ Ｋ.チ ュ ウイ著

桜 井/新 井 共 訳

ウ ェー ヴ レ ッ トビギ ナ ー ズ ガ イ ド CD-ROM(Mathematicaプ

A5判306頁

榊原 進 著

フー リエ解析の欠点を補 う強 力な手段 として,ウ ェー ブレッ ト解析が数学,物 理の基礎研究か ら信号処理, 情報等の 工学的 な応 用 まで,あ らゆ る分野で話題 で ある。 その基礎的知 識 を与 える待 望の入門書。

A5判242頁

情報 科学 セ ミナ ー

数 理科 学セ ミナー

ロ グ ラ ム)付

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ウォル シュ解析

桜井 明 編著

遠藤 靖 著

A5判184頁

A5判218頁

任意の点 を滑 らかに結ぶ 曲線 を描 くスプ ライ ン関数 は,デ ー タ解析や処 理,コ ンピュータ グラフ ィック にと幅広 い分野で活 用 されて いる。 基礎理論や初 歩 的 な性質 か ら応 用までわ か りや す く解説 した。

ウォル シュ解析 は,PCM信 号等 の離散デ ータの解 析 に最適で あ り,過 渡的 ・衝撃的現象や脳 波等の解 析 にも応用 され ている。 この デジタル 時代にふ さわ しいウォル シュ解析 の基礎理論 を解説 した。

ビギナー ズ

情 報科 学セ ミナー

デジタル信号処理

マルチス プライ ン

中村 尚五 著

チ ャール ズ Ｋ.チュ ウイ著   桜 井/新 井 共 訳

A5判192頁

A5判210頁

デジタル信 号処理 を入門者 に も分か るよ うにていね いに解説 したシ リー ズ三 部作 の第一弾。デ ジタル信 号処理 の基本概念につ いて,信 号 を時間の世 界で処 理す る ことを中心に,て いねいに解説 した。

80年 代以降,多 変数 スプライ ン(マ ルチ スプライン) の研 究が本格化 し,め ざま しい発展 を とげ大き な分 野となった。高次元のデータ処理や ３次元CAD等 の 応用 に向 けて,最 新の理論 を解説 した。

ビギ ナー ズ

ビギナ ーズ

デ ジタル フー リエ変換

デ ジタル フィル タ

中村 尚五 著

中村 尚五 著

A5判200頁

A5判192頁

フー リエ変換を用い,周 波数 の世界におけ る信号 処 理 を取 り上げる。DFT,FFTの 原 理を詳 しく説明 し た後,FFTの 応用例 を解説 した。特に数 式の展 開は 工科系の学生に も理 解できるよ うにていね いに した。

デジタル フィル タの原 理 を理解 し,読 者が必要 に応 じて開発 できるこ とを 目標 に した。 具体的なシ ステ ムを応用例 にあげ,ソ フ トウェア とハー ドウェアを

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ディジタル信号処理

デジタル信号処理

含め解説 した。

江原義郎 著

イブ ・トー マ ス/中 村 尚五 著

AB判208頁 これ か らデ ィジタル信号処理 を学ぼ うとす る者,あ るいは現在,特 に この分 野の知 識な しに信号 の処理 を行 ってい る信号処理 システ ムのユーザーや エンジ ニアを対象 とした入門書 である。

A5判216頁

基本 となっている例題 を繰 り返 し演習す ることによ り,効 率よくデジタル信号処理 を学べ るよ うに編集。 大学 の演習 のみ な らず,関 係技術 に携わ るエ ンジニ アや 基礎知識 のある人向 けの入 門書で ある。

*定 価,図 書 目録のお問 い合わせ ・ご要望は出版局 までお願 い致 します.

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