Определение реакций опор составных конструкций с внутренними односторонними связями. Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

Министерство образования Российской Федерации

Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Методические указания по выполнению расчетнографической работы по статике в системе Mathcad 2000. Составители: Задевалова Г.Э. Рецензент: Битуев И.К.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ВНУТРЕННИМИ ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы по статике в системе Mathcad 2000

Составители: Задевалова Г.Э.

Улан-Удэ 2001 г.

Подписано в печать . .01г. Формат 60×84 1/16. Усл.п.л. 0,7, уч.-изд.л. . Тираж 100 экз. Ред.-изд. отдел ВСГТУ. Г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 42. Отпечатано в тип. ВСГТУ г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40а

© ВСГТУ, 2001г.

1. Изобразить на чертеже схему составной конструкции. 2. Рассмотреть случай, когда реакции возникают в односторонней связи E ( RE = 0, RF =0 ), записать условия равновесия. 3. Рассмотреть случай, когда реакции возникают в односторонней связи F ( RE = 0, RF =0 ), записать условия равновесия. 4. Определить реакции опор A и В, а также усилия в шарнирах С и D и в односторонних связях E и F, для каждого из рассмотренных случаев, используя систему Mathcad. 5. Сравнить полученные значения реакций RE и RF. Одно из них должно быть отрицательным.

М

А

3

E Р1

1

С

q

60 o

В

2

D

F P2

4

3

1

2

Рис.1 Решение. Так как в условиях задачи отсутствует информация о том, в какой из односторонних связей E или F возникает реакция, необходимо рассмотреть два случая. Первый случай. RE = 0, RF =0. В этом случае элементы ЕD и АС конструкции прижаты один к другому и , следовательно, направление реакции RE будет таким, как показано на рис.3. Связь F “не работает”. М

А

E

3

2. Порядок выполнения заданий

Дано: схема конструкции (рис.1), P1 =10 кН, P2=3 кН, М=20 кН м, q=1 кН/м. Определить реакции опор A и В, а также усилия во внутренних двусторонних связях (шарнирах С и D) и в односторонних связях ( E и F).

Р1

С 1

Целью настоящей расчетно-графической работы является закрепление знаний, полученных при изучении раздела “Статика” курса теоретической механики, развитие навыков использования вычислительной техники в инженерных расчетах. Задание охватывает тему “Равновесие системы тел”. В работе требуется определить реакции опор и силы во внутренних двусторонних и односторонних связях составной конструкции. Схемы конструкций представлены в (1) на рис. 54-56, нагрузка указана в таблице 18. Необходимо учесть, что при заданной системе нагрузки конструкции реакция возникает только в одной из односторонних связей E или F. Зазоры отсутствуют. При снятии внешних сил реакции внешних и внутренних связей обращаются в ноль.

6. За истинные значения всех неизвестных реакций принять значения, соответствующие положительной реакции RE или RF. 3. Пример выполнения задания

60

q

o

В

D

2

1. Содержание задания

F P2

4

3

Рис.2

1

2

RE

2

Затем

уС

М

А

5

хА

∑F ∑F ∑M

3

хС

хС

Рис.3 уD

С

хD

D 2

3

уС

P2

10

4

60

уВ

o

Q хВ 2

6

хD D уD

Рис.5 Сначала рассмотрим силы, приложенные к части АС конструкции (рис. 3). Уравнения равновесия этой системы имеют следующий вид: X A + X C = 0; (1) ∑ FKX = 0

∑F ∑M

KY

CK

=0

=0

Y A + YC + R E = 0;

для

сил,

=0

X D − X C′ = 0;

(4)

KY

=0

− YC′ + Y D + P2 = 0;

(5)

X C′ ⋅ 1 + YC′ ⋅ 10 − P2 ⋅ 10 = 0.

(6)

DK

(2)

R E ⋅ 2 + M − X A ⋅ 3 + Y A ⋅ 7 = 0. (3)

=0

Далее, переходим к рассмотрению системы уравновешивающихся сил, приложенных к элементу ЕD (рис. 5). X B − X D′ − P1 ⋅ cos 60 0 = 0; (7) ∑ FKX = 0 =0

KY

Q = 2q = 2kH А

равновесия

KX

∑F

Рис.4 Е RE′

уравнения

приложенных к элементу СD (рис. 4):

уС С

запишем

∑M

BK

=0

′ ′ Y B − R E − Y D − P1 ⋅ sin 60 0 − Q = 0;

(8)

′ ′ R E ⋅ 6 − Y D ⋅ 2 + P1 ⋅ sin 60 0 ⋅ 6 − Q ⋅ 1 = 0. (9)

Учитывая, что Yc=Yc, Xc=Xc, YD=YD, XD=XD, RE= RE, представим систему в следующем виде: ⎫ 1. X A + X C = 0; ⎪ ⎪ Y A + YC + R E = 0; 2. ⎪ ⎪ RE ⋅ 2 − X A ⋅ 3 + Y A ⋅ 7 = − M ; 3. ⎪ ⎪ X D − X C = 0; 4. ⎪ ⎬ Y D − YC = − P2 ; (10) 5. ⎪ X C ⋅ 1 + YC ⋅ 10 = P2 ⋅ 10; 6. ⎪ 7.

X B − X D = P1 ⋅ cos 60 0 ;

8.

Y B − R E − Y D = 2 ⋅ q + P1 ⋅ sin 60 0 ;

9.

R E ⋅ 6 − Y D ⋅ 2 = 2 ⋅ q − P1 ⋅ sin 60 0 ⋅ 6.

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

Система алгебраических уравнений (10) определяет истинные значения искомых сил при условии, что RE > 0.

Второй случай. RE = 0, RF =0. В этом случае (рис.6 ) элементы FD и СD конструкции прижаты один к другому и, следовательно, направление реакции RF будет таким, как показано на рис.8, рис.9. Связь Е “не работает”. М

А

3

E Р1

С

q

В

D

∑F ∑F ∑M

KX

=0

X A + X C = 0;

(11)

KY

=0

Y A + YC = 0;

(12)

M − X A ⋅ 3 + Y A ⋅ 7 = 0.

(13)

=0

CK

2

1

60 o

Рассмотрим систему сил, приложенных к части АС конструкции (рис. 7). Уравнения равновесия этой системы имеют следующий вид:

Затем запишем уравнения равновесия для сил, приложенных к элементу СD (рис. 8):

F P2

4

3

1

Рис. 6 М

2

уА А

∑F ∑F ∑M

3

уС хС

С х′С

7

Рис. 7

С

уD

3

хD

D

у С′

=0

KX

хА

2

RF

X D − X C′ = 0;

= 0 − YC′ + Y D + P2 − R F = 0;

KY

DK

=0

R F ⋅ 6 + X C′ ⋅ 1 + YC′ ⋅ 10 − P2 ⋅ 10 = 0.

(14) (15) (16)

Далее, переходим к рассмотрению системы уравновешивающихся сил, приложенных к элементу FD (рис. 9).

F P2

4

∑F

10

KX

Рис. 8

∑F

1

P1

уВ

4

60 o 2

4

RF′ F

Рис.9

В

Q хВ

хD D 2

уD

KY

∑M

BK

=0 =0

X B − X D′ − P1 ⋅ cos 60 0 = 0; ′ ′ R E + Y B − Y D − P1 ⋅ sin 60 0 − Q = 0;

(17) (18)

′ ′ = 0 − R F ⋅ 4 − Y D ⋅ 2 + P1 ⋅ sin 60 0 ⋅ 6 − Q ⋅ 1 = 0. (19)

Учитывая, что Yc=Yc, Xc=Xc, YD=YD, XD=XD, RF= RF, перепишем систему уравнений (11) – (19) в следующем виде:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

X A + X C = 0; Y A + YC = 0; − X A ⋅ 3 + YA ⋅ 7 = −M ; X D − X C = 0; − R F + Y D − YC = − P2 ; 6 ⋅ R F + X C ⋅ 1 + YC ⋅ 10 = P2 ⋅ 10;

7.

X B − X D = P1 ⋅ cos 60 0 ;

8.

Y B + R F − Y D = 2 ⋅ q + P1 ⋅ sin 60 0 ;

9.

− 4 ⋅ R F − Y D ⋅ 2 = 2 ⋅ q − P1 ⋅ sin 60 0 ⋅ 6.

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(20)

Система линейных уравнений (20) определяет истинные значения всех искомых сил лишь при условии, что RF > 0. Системы линейных уравнений (10) и (20) перепишем в матричной форме:

[A] ⋅ [X ] = [B ] [A1 ] ⋅ [X 1 ] = [B ] . Здесь

(21) (22) ⎡RE ⎤ ⎢X ⎥ ⎢ A⎥ ⎢Y A ⎥ ⎢ ⎥ ⎢X B ⎥ [X ] = ⎢Y B ⎥ ⎢ ⎥ ⎢X D ⎥ ⎢Y D ⎥ ⎢ ⎥ ⎢X C ⎥ ⎢Y ⎥ ⎣ C ⎦

⎡RF ⎤ ⎢X ⎥ ⎢ A⎥ ⎢Y A ⎥ ⎢ ⎥ ⎢X B ⎥ [X 1 ] = ⎢Y B ⎥ ⎢ ⎥ ⎢X D ⎥ ⎢Y D ⎥ ⎢ ⎥ ⎢X C ⎥ ⎢Y ⎥ ⎣ C ⎦

Для решения полученных систем уравнений (21) и (22) используем систему Mathcad.

4. Работа в системе Mathcad 2000 1. Открыть систему Mathcad. 2. Ввести исходные данные. Для этого щелкнуть кнопкой мыши в свободном

(для символа

месте

и

напечатать

“ := ” необходимо нажать одновременно клавиши

“Shift ” и “ : ” ). Для ввода матрицы А ниже напечатать A :=

5. В появившемся диалоговом окне задать количество строк и столбцов, равное девяти. Нажать 3.Подвести указатель мыши к надписи

.

, нажать кнопку мыши.

6. Заполнить элементы матрицы А. 4. Подвести указатель мыши к надписи кнопку мыши.

, нажать

7. Щелкнуть кнопкой мыши в свободном месте и напечатать

8. Выполнить пункты 3, 4. В появившемся диалоговом окне задать количество строк, равное девяти и один столбец. Нажать

9. В полученный вектор-столбец умножения

–

“ * “,

подсчитанные значения.

deg

B

.

внести его элементы. (Знак

- градусы). Можно также внести и

10. Для решения линейной системы уравнений набрать команду X := lsolve( A , B) Для вывода на экран искомых реакций опор ниже набрать X=

11. Ввести матрицу A1, напечатав A1 :=

Список рекомендуемой литературы

,

выполнить пункты 3 – 10, определить искомые реакции при второй

1.

односторонней связи. 2.

12. В качестве ответов выбрать искомые реакции, когда величина усилия односторонней связи положительна. В приведенном примере – это второй случай. 13. Для вывода на печать нажать клавишу

.

Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для технических вузов. – М: Высш. шк., 1998г. Mathcad 2000 Professional. User’s Guide. MathSoft Inc., 1999г.