Алгебра и геометрия (Решение систем линейных уравнений, вычисление определителей): Методические указания

Министерство образования Российской Федерации ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПММ

Кафедра вычислительной математики

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ)

Методические указания для решения задач по курсу “Алгебра и геометрия” для студентов 1-го курса дневного и вечернего отделений факультета ПММ

СОСТАВИТЕЛИ: Глушакова Т.Н.

Бондаренко Ю.В.

Воронеж – 2000

-2СОДЕРЖАНИЕ §1. Матрицы(действия над ними, обратная матрица)…………………………3 §2. Определители: определение, свойства и вычисление……………………...9 §3. Правило Крамера……………………………………………………………19 §4. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы……………...20 §5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений…………………….23

-3§1. МАТРИЦЫ (ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, ОБРАТНАЯ МАТРИЦА) Определение 1. Матрицей A размеров m × n называется совокупность m ⋅ n чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:  a11 a12 ... a1n   ... a2 n  . A =  a21 a22  ... ... ... ...    am1 am 2 ... amn  Числа aij (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n) , составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Определение 2. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Остальные матрицы называются прямоугольными. Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется  0 0 ... 0    нулевой матрицей: O =  0 0 ... 0  . ... ... ... ... 0 0 0 0   Определение 4. Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:  1 0 ... 0    E =  0 1 ... 0  . ... ... ... ...  0 0 ... 1    Определение 5. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах. Определение 6. Две матрицы A и B называются перестановочными, если AB = BA .  a11 a12 ... a1n    Определение 7. Если в матрице A =  a21 a22 ... a2 n  строки и столбцы ... ... ...   ... ... amn  a a  m1 m2  a11 a21 ... am1  a  ... a a Т 12 22 2 m поменять местами, то полученная матрица A =    ... ... ... ...   a1n a2 n ... amn  называется транспонированной к матрице А . Определение 11. Преобразование матрицы, при котором строки матрицы становятся столбцами, а порядок элементов не меняется, называется транспонированием.

-4I.

Обратная матрица

Определение 8. Матрица B = A −1 называется обратной к квадратной матрице A , если AB = BA = E . Для отыскания обратной матрицы существуют два способа. 1) Припишем к матрице A = (aij ) nn справа единичную матрицу и, применяя метод Гаусса (см. §4), преобразуем расширенную матрицу так, чтобы слева стояла единичная матрица, тогда справа будет находиться обратная матрица B = (bij ) nn :  a11 a  21  ...  an1

a12 a22 ... an 2

... a1n 1 0 ... a2 n 0 1 ... ... ... ... ... a nn 0 0

... ... ... ...

1 0   0  → ... →  0 ...  ... 1 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 b11 b12 0 b21 b22 ... ... ... 1 bn1 bn 2

... b1n   ... b2 n  . ... ...  ... bnn 

 A11 A21 ... An1  1  A12 A22 ... An 2  2) A −1 =   , где Aij (i, j = 1,..., n) – алгебраические ... ... ...  det A  ...  A1n A2 n ... Ann  дополнения к элементу aij , det A – определитель матрицы A (см. §2). 7  2 5 № 840 (П). Найти обратную матрицу для матрицы A =  6 3 4 .  5 − 2 − 3   Решение. I способ.

− 5 − 3 2 5 7 1 0 0 5 7 1 0 0 2 6 3   4 0 1 0 → − 29 0 − 12 − 17 − 3 1 0  →  5 − 2 − 3 0 0 1 12  0 − 29 − 41 − 5 0 2  2  

0 0   2 5 0 − 188 203 − 168  2 5 7 1  0 12 17 3 → − 1 0  →  0 12 0 − 456 492 − 408  →  0 0 1 27 − 29 24   0 0 1 27 24  − 29 − 7 − 17   

−2 2   2 5 0 − 188 203 − 168   2 0 0 2    → − 5 0 1 0 − 38 41 − 34 → 0 1 0 − 38 41 − 34  →  0 0 1 27 − 29 24   0 0 1 27 − 29 24   −1 1  1 0 0 1  → 0 1 0 − 38 41 − 34  .  0 0 1 27 − 29 24   

-5Ответ:

1  −1  1  = − − 38 41 34  . A  27 − 29 24    −1

II способ. 2 5 7 2 5 7 det A = 6 3 4 6 3 4 = 2 ⋅ 3 ⋅ (−3) + 5 ⋅ 4 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 ⋅ (−2) − 5 ⋅ 3 ⋅ 7 − 5 −2 −35 −2 −3 − (−2) ⋅ 4 ⋅ 2 − (−3) ⋅ 6 ⋅ 5 = −18 + 100 − 84 − 105 + 16 + 90 = −1 ; 4 = −1 ; A = (−1)1+2 6 4 = 38 ; A = (−1)1+3 6 3 = −27 ; A11 = (−1)1+1 3 12 13 −2 −3 5 −3 5 −2 7 = 1; A = (−1) 2+ 2 2 7 = −41 ; A = (−1) 2+3 2 5 = 29 ; A21 = (−1) 2+1 5 22 23 −2 −3 5 −3 5 −2 A31 = (−1) 3+1 5 7 = −1; 3 4

A32 = (−1) 3+ 2 2 7 = 34 ; 6 4

A33 = (−1) 3+3 2 5 = −24 . 6 3

−1   1 −1 1 1   −1    Таким образом, A = −1 38 − 41 34 = − 38 41 − 34  .  − 27 29 − 24   27 − 29 24      −1

−1 1   1 Ответ: A −1 =  − 38 41 − 34  .  27 − 29 24    II. Действия над матрицами 1. Сложение и умножение на число Пусть A = (aij ) mn и B = (bij ) mn – матрицы, состоящие из m строк и n столбцов. Определение 9. Матрица C = (cij ) mn , элементы которой определяются по формуле cij = aij + bij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) , называется суммой матриц A и B и обозначается A + B : C = A + B . Замечание. Сумма определена только для матриц одних и тех же размеров. Определение 10. Матрица C = (cij ) mn , элементы которой определяются по формуле cij = βaij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) , называется произведением матрицы A на β и обозначается βA : С = βA .

-6Утверждение. Для любых матриц A , B и C одних и тех же размеров и любых чисел α и β выполнены равенства: 1) A + B = B + A ; 2) ( A + B) + C = A + ( B + C ) ; 3) α ( A + B) = αA + αB ; 4) (αβ ) A = α ( βA) . 2. Умножение матриц Пусть даны матрицы A = (aij ) mn и D = (d ij ) np . Определение 11. Произведением матриц A и D называется такая матрица C = (cij ) mp , элементы которой определяются по формулам n

cij = ∑ aik d kj , то есть элемент сij равен сумме произведений элементов i -той k =1

строки матрицы A на элементы j -го столбца матрицы D . Замечание. Произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае AD ≠ DA . Если дана матрица F = ( f ij ) nm , то произведение AF – это матрица (m × m) , а FA – это матрица (n × n) . № 822 (П). Найти все матрицы, перестановочные с матрицей  1 2  . 3 4 Решение. Пусть A =  a b  – матрица, которую нам надо найти. Тогда c d   1 2  a b  =  a b  1 2  ⇒  3 3  c d   c d  3 4        3   3 = c b   a + 2c = a + 3b  = c b 2   3a + 4c = c + 3d  2 . ⇒ ⇒ d =a+c ⇒ b + 2d = 2a + 4b 3 3 3b + 4d = 2c + 4d d = b + a d = b + a 2    2   a Ответ: A =  3  b 2

  , где a, b – любые числа. 3 b + a  2 b

-73. Многочлен от матрицы Определение 12. Пусть дан многочлен ϕ (t ) = α 0 + α1t + α 2t 2 + ... + α k t k и пусть A = (aij ) nn – квадратная матрица, тогда значением многочлена ϕ (t ) от матрицы A называется матрица ϕ ( A) = α 0 E + α1 A + α 2 A 2 + ... + α k A k , где E – единичная матрица, Ai – матрица, получающаяся при умножении матрицы A на себя i раз. № 861 (П). Решить матричное уравнение  1 2  X =  3 5  . 5 9 3 4 Решение. 1 вариант. x Пусть X =  1  x3

x2   3 5   x + 2 x3 = ⇒  1   5 9 x4     3x1 + 4 x3

 1 2  x1   3 4  x3 − 3 1 − 3 0 3 0 

x2  , тогда x4 

0 1 0 3

2 0 4 0

0 3 2 5 → 0 5 4 9 

1 0 0 0 

x2 + 2 x4   3 5  = 3x2 + 4 x4   5 9 

0 2 0 3  1 1 0 2 5  → 0 0 − 2 0 − 4 0 0 0 − 2 − 6   0

0 1 0 0

0 0 1 0

 x1 + 2 x3 = 3  x + 2 x4 = 5 . ⇒  2 3x1 + 4 x3 = 5  3x2 + 4 x4 = 9  x1 = −1 0 − 1   x = −1 0 −1 . ⇒ 2  0 2 =2 x 3  1 3   x4 = 3

Ответ: X =  − 1 − 1 . 2 3 2 вариант. −1

Очевидно, что

X =  1 2   3 5  . Найдем матрицу, обратную к  3 4   5 9 

матрице A =  1 2  . 3 4 I способ: −2 1   − 2 1  − 3 1 2 1 0  →  1 2 1 0  →  1 0 3 −1  1 ⇒ A = 3 1. 3 4 0 1 0 − 2 − 3 1 0 1 − −         2 2 2 2 

-8II способ: 1  4 − 2   − 2 1  1  4 − 2 A = −3 1  = − −3 1  = 3 − 1 .     2 det A   2 2 Таким образом, −1

 − 2 1  3 5  − 2 ⋅ 3 + 1⋅ 5 − 2 ⋅ 5 + 1⋅ 9  − 1 − 1 = 3 . 1  1 3 1 = X = 3 −  5 9   ⋅ 3 − ⋅ 5 ⋅ 5 − ⋅ 9   2 3    2 2 2 2 2 2  Ответ:  − 1 − 1 . 3  2 № 827 (П). Найти значение многочлена f (t ) = 3 x 2 − 2 x + 5 от матрицы  1 − 2 3 A =  2 − 4 1 .  3 − 5 2   Решение. Найдем

f ( A) = 3 A 2 − 2 A + 5 E = 3( A ⋅ A) − 2 A + 5 E .

 1 − 2 3  1 − 2 3   1 − 4 + 9 − 2 + 8 − 15 3 − 2 + 6  A2 =  2 − 4 1  2 − 4 1  =  2 − 8 + 3 − 4 + 16 − 5 6 − 4 + 2  =  3 − 5 2  3 − 5 2   3 − 10 + 6 − 6 + 20 − 10 9 − 5 + 4        6 − 9 7 =  − 3 7 4 ;  −1 4 8    6 − 9 7   1 − 2 3   5 0 0   18 − 27 21 f ( A) = 3 − 3 7 4  − 2 2 − 4 1  +  0 5 0  =  − 9 21 12  +  − 1 4 8   3 − 5 2   0 0 5   − 3 12 24           − 2 4 − 6   5 0 0   21 − 23 15  +  − 4 8 − 2  +  0 5 0  =  − 13 34 10  .  − 6 10 − 4   0 0 5   − 9 22 25        21 − 23 15  Ответ:  − 13 34 10  .  − 9 22 25   

-9§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ I.

Понятие перестановки, подстановки, инверсии, транспозиции

Определение 1. Биективное (взаимнооднозначное) отображение конечного множества на себя называется перестановкой. Перестановки множества A = {1,2,..., n} обычно записывают в виде n . ϕ = α1 α2 ... (1)  α ... 2  1 n Эта запись означает, что ϕ (i ) = α i . Пример 1. Выписать все перестановки, соответствующие данной: 1 2 3 4 5  4 3 α α α  3 4 5  Решение.

α i = 1,2,5 (i = 3,4,5) . Очевидно, что варианты (их будет 3!): 4 3 α3 α 4 α5 4 3 1 2 5 4 3 1 5 2 4 3 2 5 1 4 3 2 1 5 4 3 5 1 2 4 3 5 2 1

Рассмотрим все возможные

Таким образом, получим следующие перестановки:

ϕ1 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 1 2 5

ϕ 2 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 1 5 2

ϕ 3 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 2 5 1

ϕ 4 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 2 1 5

ϕ 5 =  1 2 3 4 5  ,  4 3 5 1 2

ϕ 6 =  1 2 3 4 5  .  4 3 5 2 1

Замечание 1. Столбцы в перестановке (1) можно менять, строчки – нет. Замечание 2. Всюду в дальнейшем будем считать, что первая строчка в перестановке (1) не меняется. Замечание 3. Иногда перестановку (1) записывают в виде ϕ = (α1 ,α 2 ,...,α n ) . (2)

- 10 Теорема 1. Из n элементов можно составить n! различных перестановок вида (2). Определение 2. Такое расположение пары чисел в перестановке (2), когда большее стоит впереди меньшего, называется инверсией или беспорядком. Определение 3. Если в перестановке (2) четное число инверсий, то перестановка называется четной, если нечетное – нечетной. Определение 4. Преобразование, при котором 2 элемента в перестановке (2) меняются местами, а все остальные остаются на месте, называется транспозицией. Теорема 2. Транспозиция меняет четность перестановки (2). Теорема 3. Число четных перестановок (2) равно числу нечетных n! перестановок и равно . 2 Определение 5. Перестановка (1) называется четной, если сумма инверсий перестановок, стоящих в первой и второй строках, четная или четности первой и второй строк одинаковы. Замечание 4. Если первая строка в перестановке (1) не меняется, то четность перестановки определяется только второй строкой. II.

Определители второго и третьего порядков

Определение 6. Элементы, стоящие на главной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего левого угла), называются главными диагональными элементами матрицы. Определение 7. Элементы, стоящие на побочной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего правого угла), называются побочными диагональными элементами матрицы. Определение 8. Определителем второго порядка квадратной матрицы a a12  A =  11  называется число, равное разности произведения главных  a21 a22  диагональных элементов и произведения побочных диагональных элементов: a a12 = a11a22 − a21a12 . det A = 11 a21 a22 Пример 2. Вычислить определитель 1 2 . 3 4 Решение. 1 2 = 1 * 4 − 3 * 2 = 4 − 6 = −2 . 3 4

- 11 Ответ: –2. Определение 9. Определителем третьего  a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23  называется число det A =    a31 a32 a33  вычислять следующими способами:

порядка a11 a12 a 21 a 22 a31 a32

квадратной матрицы a13 a 23 , которое можно a33

1) по правилу треугольника: a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a 21a32 a13 − a31a 22 a13 − a32 a23 a11 − a21a12 a33 . a33

1 2 3 Пример 3. Вычислить определитель 4 5 6 по правилу треугольника. 7 8 9 Решение. 1 2 3 4 5 6 = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 ⋅ 3 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅ 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ 9 = 45 + 84 + 96 − 7 8 9 − 105 − 48 − 72 = 0 Ответ: 0. 2) по правилу Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца и составить сумму произведений главных диагональных элементов и элементов, параллельных главной диагонали, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных побочной диагонали: a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a11 a 23 a 21 a33 a31

a12 a 22 = a11a22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a21a32 − a31a 22 a13 − a32 a23 a11 − a32 − a33 a 21a12 .

- 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Пример 3. Вычислить определитель

по правилу Саррюса.

Решение. 1 2 31 2 4 5 6 4 5 = 1⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 4 ⋅ 8 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅1 − 9 ⋅ 4 ⋅ 2 = 7 8 97 8 = 45 + 84 + 96 − 105 − 48 − 72 = 0 Ответ: 0. III.

Определители n-го порядка

Определение 10. Определителем n–го порядка квадратной матрицы  a11 a12 ... a1n   ... a2 n  A =  a21 a22  ... ... ... ...    an1 an 2 ... ann  называется алгебраическая сумма n! слагаемых (членов определителя). Каждый член определителя есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца. Произведение (a1α1 a2α 2 ...anαn ) берется со знаком “+”, если

перестановка

знаком “ – ”, если нечетная.

 1 2 ... n  четная, и со α α ... α  1 n  1

№ 252 (Ф-С). Выписать все слагаемые, входящие в определитель 5-го порядка и имеющие вид a14 a23 a3α3 a4α 4 a5α5 . Решение. Составим перестановку, соответствующую данному  1 2 3 4 5  . Очевидно, что α = 1,2,5 (i = 3,4,5) . 4 3 α α α  i 3 4 5  Рассмотрим все возможные варианты (их будет 3!): 4 4 4 4 4 4 4

3 α3 α 4 α5 3 1 2 5 3 1 5 2 3 2 5 1 3 2 1 5 3 5 1 2 3 5 2 1

число инверсий знак 5 − 6 + 7 − + 6 7 − 8 +

элементу:

- 13 IV. Свойства определителя 1) При транспонировании определитель квадратной матрицы не меняется. Следствие. Всякое утверждение, справедливое для строк определителя, справедливо и для его столбцов. 2) Если в определителе две строки поменять местами, то определитель изменит свой знак. Следствие. Если в определителе есть две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю. 3) Если в определителе все элементы некоторой строки умножить на некоторое число к, то определитель умножится на это число. a11 a12 ... ... 4) bi1 + ci1 bi 2 + ci 2 ... ... an1 an 2

... a1n a11 ... ... ... ... bin + cin = bi1 ... ... ... ... ann an1

a12 ... bi 2 ... an 2

... a1n a11 ... ... ... ... bin + ci1 ... ... ... ... ann an1

a12 ... ci 2 ... an 2

... a1n ... ... ... cin . ... ... ... ann

Следствие. Определитель не изменится, если к некоторой строке этого определителя прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 5) Если в определителе какая-то строка является линейной комбинацией остальных строк, то определитель равен нулю. 6) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 7) Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. V.

Минор, дополнительный минор, алгебраическое дополнение

Определение 11. Пусть дана квадратная матрица n-го порядка. Выберем в ней k строк и k столбцов. Элементы, стоящие в пересечении данных строк и столбцов, образуют матрицу k-го порядка. Ее определитель называется минором k-го порядка, состоящим из выбранных строк и выбранных столбцов. Определение 12. Если вычеркнем выбранные строки и столбцы, то определитель оставшейся матрицы называется дополнительным минором M ' . Определение 13. Алгебраическим дополнением к минору k -го порядка, составленному из строк i1 , i2 ,..., ik и столбцов j1 , j2 ,..., jk , называется число A = (−1) i1 +i2 +...+ik + j1 + j2 +...+ jk M ' . Когда k = 1 , выбирается элемент aij и его дополнительный минор

называется просто минором M ij .

- 14 Определение

14.

Алгебраическим

дополнением

к

элементу

aij

называется число Aij = (−1) i + j M ij .  1 − 10 4 2 7 0 Пример 4. Для данной матрицы A =  4 1 −4 4 0 3 11 5 4  M 35 , составленный из 3,5 строк и 2,4 столбцов,

5 0  0 1  3 5  выписать минор 0 10  0 − 7  дополнительный минор,

24

алгебраическое дополнение к

M 35 . 24

Решение. M 35 = 1 3 , 5 0 24 VI.

1 4 0 M '= 2 0 1 , 4 3 10

1 4 0 A = (−1) 3+5+ 2+4 M ' = 2 0 1 . 4 3 10

Вычисление определителей

1) Приведение определителя к треугольному виду (с использованием свойств 2)-6)). 1 2 3 4 № 279 (Ф.-С.). Вычислить определитель − 2 1 − 4 3 , приведя его к 3 − 4 −1 2 4 3 − 2 −1 треугольному виду. Решение. − 4 − 32 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 −2 1 −4 3 = 20 5 2 11 = 0 5 2 11 = 900 3 − 4 −1 2 0 − 10 − 10 − 10 0 0 − 6 12 4 3 − 2 −1 0 − 5 − 14 − 17 0 0 0 − 30 Ответ: 900.

№ 279 (П). Вычислить определитель

приведя его к треугольному виду.

1 2 3 4 −1 0 3 4 −1 − 2 − 0 4 −1 − 2 − 3 0 ... ... ... ... − 1 − 2 − 3 − (n − 1)

... ... ... ... ... ...

n n n, n ... 0

- 15 Решение. Прибавим первую строку определителя ко всем остальным: 1 2 3 4 3 4 −1 0 −1 − 2 − 0 4 0 −1 − 2 − 3 ... ... ... ... − 1 − 2 − 3 − (n − 1)

... ... ... ... ... ...

n 1 n 0 n = 0 n 0 ... ... 0 0

2 2 0 0 ... 0

3 6 3 0 ... 0

4 8 8 4 ... 0

... n ... 2n ... 2n = ... 2n ... ... ... n

= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n! Ответ: n! 2) Определитель Вандермонда: 1 a1 a12 a13 ... a1n

1 a2 a 22 a23 ... a2n

1 a3 a32 a33 ... a3n

... ... ... ... ... ...

1 an+1 an2+1 = ∏ (a − a j ) . an3+1 1≤ j