Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах

1

ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997 - 2000 ГОДЫ»

Г. И. ПЕТРАШЕНЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ СИГНАЛЬНОГО ТИПА В УПРУГИХ СЕЙСМИЧЕСКИХ СРЕДАХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

СЕРИЯ УЧЕБНИКОВ ПО ПРЯМЫМ И ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

/7 i О ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1 9 9 7 - 2 0 0 0 ГОДЫ» САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

Г. и. ПЕТРАШЕНЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ СИГНАЛЬНОГО ТИПА В УПРУГИХ СЕЙСМИЧЕСКИХ СРЕДАХ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обу^аюшихея lib фйзйяеским специальностям

ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2000

У Д К 550.347 ББК 26.21 ПЗО Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. D.M. Бабич (С.-Петерб. отд-е Матсм. ип-та им. В.А. Стеклова РАН), докт. физ.-мат. наук, проф. B.C. Булдыреп (С.-Потсрб. гос. ун-т) Петрашеиь Г.И. ПЗО

Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах: Учебник. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. - 452 с. ISBN 5-288-02445-6 Учебник - тематическое учебиоо пособие повышенной сложности, первое из серии планируемых автором пособий по современной теории распространения сейсмических волновых нолей и ее приложений. Он посвящен всесторонне.му изучению основ динамической теории упругости в той ее части, которая сводится к волновым задачам сигнального типа. Сигнальное распространение волн, возбуждае.чое резко включаемыми воздействиями, содержит информацию об эффективно зондируемой среде. Поэтому учебник представляет основной интерес д л я сейсмологов, ориентирован на приложения в сейсмике и предназначен д л я студентов, магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области геофизики, но может также быть.интересен и специалистам.

Б Б К 26.21

Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 годы"

©

ISBN 5-288-02445-6

©

Г.И. Петрашень, 2000 Центр "Интеграция", 2000

Оглавление предисловие

9

Глава 1. Математический формализм и постановка задач в линейной теории упругости . §1. Основные положения математической теории упругости . . §2. Сводка обозначений и важнейших формул теории идеально упругих сред. Основные положения линейной акустики и линейной теории неидеальной упругости § 3. Постановка задач в динамической теории упругости. Единственность решения в классе функций со слг1быми разрывами § 4. О структуре тензора упругих параметров в случаях основных типов анизотропной среды и о классических моделях сейсмических сред Глава 2. Волновые поля сигнального типа. Поверхности разрывов (фронты) упругих волновых полей § 5. Слабые и сильные разрывы поля упругих смсщепий. Кинематические и динамические условия совместности § 6. Поверхности слабых разрывов как характеристические поверхности системы уравнений движения § 7. Условия совместности в проблеме распространения поверхностей сильных разрывов поля смещений § 8.

Правильные сильные разрывы и локально-плоские волны

Глава 3. Дополнения к общим положениям теории волновых полей §9. Обобщенные решения и представление о сосредоточенных источниках упругих возмущений § 10. Принцип взаимности в теории упругости и в сейсмической практике Глава 4. Вопросы математического аппарата теории распространения волновых полей §11. Сведения из вариационного исчисления и теории поля экстремалей § 12. Сведения из теории дифференциальных уравнегшй в частных производных первого порядка § 13. Дополнения и примеры (случаи однородных первой степени функций L{xk, ik) или Н{хк, Рк)) Глава 5. Источники волновых полей в изотропной однородной безграничной упругой среде § 14. Продольный и поперечный потенциалы § 15. Поле источника типа центра давлений 5

11 11

37

50

56

69 69 74 80 .

95 107 107 131 151 151 173 194 213 214 220

§ 16. Поля источников типа центров вращения. Фундаментальные решения Вольтерра и их применение 234 § 17. Решение задачи Коши для однородной и изотропной безграничной упругой среды. Формула Стокса 248 § 18. Физические следствия из формулы Стокса. Поля смещений основных точечных источников колебаний 263 Глава 6. Плоские и квазиплоские волны в изотропных упругих средах с плоской границей раздела 290 § 19. Сферические и плоские (однородные и неоднородные) волны. Отражение плоских волн от границы упругого полупространства. Явления полного внутреннего отражения . 291 § 20. Задачи на отражение—преломление плоских Bojni на границе раздела двух изотропных упругих полупространств (Решение методом Лемба и решение в составляющих поля смещений, как в случае анизотропных сред) 314 §21. О поверхностных волнах Релея и Стоунли в плоских задачах теории упругости 325 Глава 7. Плоские (и квазиплоские) волны в анизотропных упругих средах § 22. Общая теория плоских волн. Векторы поляризации, фазовые и лучевые скорости распространения. Однородные и неоднородные плоские волны § 23. Поверхности и кривые векторов рефракции и лучевых скоростей плоских волн. Основные их свойства и прикладное значение § 24. Задача на отражение-преломление плоских волн на границах раздела анизотропных полупространств. Полное внутреннее отражение и неоднородные плоские волны . . . . § 25. О поверхностных волнах на границах раздела однородных анизотропных yiipyi их полупространств

331

332

340

347 362

Глава 8. Л у ч и и фронты объемных волн. Описание волновых полей в прифронтовых зонах лучевым методом 367 § 26. Лучи и фронты объемных волн в анизотропных средах . . . 367 § 27. О лучевом методе количественной оценки волновых полей . 381 § 28. Лучевой метод и проблемы его применения в случае анизотропии упругих сред 402 Литература Приложение Summary

434 435 451

Contents Introduction

9

Chapter 1. Mathematical formalism and setting of problems in the theory of linear elasticity § 1. Basic statements of the mathematical theory of elasticity . . . § 2. Notation and the most important formulas of the theory of ideal elastic media. Basic statements of linear acoustics and the linear theory of nonideal elasticity § 3. Setting of problems in the dynamic theory of elasticity. The uniqueness of the solution in the class of functions with weak discontinuities § 4. The structure of the tensor of elastic parameters in the cases of basic types of the anisotropic medium and classical models of seismic media Chapter 2. W a v e fields of the signal type. Surfaces of discontinuity (fronts) of elastic wave fields . . . . § 5. Weak and strong discontinuities of the field of elastic displacements. The kincmatic and dynamic conditions of compatibility § 6. The surfaces of weak discontinuities as characteristic surfaces of the system of equations of motion § 7. The compatibility conditions in propagating the surfaces of strong discontinuities of the displacement field § 8 Surfaces of tame strong discontinuities and locally plane waves Chapter 3. Additions to general statements of the wave fields theory § 9. Generalized solutions and notions about the concentrated sources of elastic perturbations § 10. The reciprocity principle in the theory of elasticity and in the seismic practice Chapter 4. Some questions of the mathematical apparatus of the theory of wave fields propagation § 11. Notion from the calculus of variations and the theory of the field of extremals § 12. Notions from the theory of the partial differential equations of the first order § 13. Additions and examples (The cases of the homogeneous L(xk,Xk) or H{xk,Pk) functions of the first degree) Chapter 5. Sources of wave fields in the C£ise of the unbounded isotropic homogeneous elastic medium § 14. The longitudinal and transvers potentials § 15. The field of the source of the type of the center of pressures . . 7

11 11

37

50

56 69

69 74 80 95 107 107 131 151 151 173 194 213 214 220

§ 16. The fields of the sources of the type of the centers of rotation. The Volterra fundamental solutions and their application . . . § 17. The solution of the Cauchy problem for the unbounded homogeneous isotropic elastic medium. The Stokes formula . . § 18. Physical consequences from the Stokes formula. The displacement fields of basic point sources of oscillations Chapter 6. The plane and quasiplane waves in the isotropic elastic media with a plane interface . . . . § 19. The spherical and plane (homogeneous and nonhomogeneous) waves. The reflection of the plane waves from a boundary of the elastic half-space. Phenomena of the total internal reflection § 20. Problems on the reflection-refraction of the plane waves on the interface of two isotropic elastic half-spaces. (The solution in the form of the potentials of the Lamb method and the solution in terms of the components of the displacement field as in the case of the anisotropic media) § 21. The surface Rayleigh and Stoneley waves in plane problems of the theory of elasticity Chapter 7. The plane and quasiplane waves in the anisotropic elastic media § 22. General theory of the plane waves. The polarization vectors, the phase and ray velocities of propagation. The homogeneous and nonhomogeneous plane waves § 23. Surfaces and curves of the refraction vectors and the ray velocities of the plane waves. Their basic properties and practical significance § 24. The problem on the reflection-refraction of the plane waves on the interface of anisotropic half-spaces. The total internal reflection and nonhomogeneous plane waves § 25. The surface waves on the interfaces of the homogeneous anisotropic elastic half-spaces Chapter 8. The rays and fronts of the body waves. Description of wave fields in the front zones by the ray method § 26. The rays and fronts of the body waves in the anisotropic elastic media § 27. The ray method of the quantitative evaluation of wave fields . § 28. The ray method and problems of its application in the case of anisotropy of elastic media Literature Appendix Summary

234 248 263 290

291

314 325 331

332

340

347 362

367 367 381 402 434 435 451

Предисловие Предлагаемая книга — учебник повышенЕЮЙ сложности — первое из серии планируемых автором тематических пособий по современной теории распространения сейсмических волновых полей и ее приложений к сейс1мике. В нем всесторонне обсуждаются математические основы динамической теории упругости в той ее части, которая связана с распространением волновых полей сигнального типа и рассчитано на студентов старших курсов, бакалавров и магистров университетов. В основу его легли две книги автора, посвященные распространению волн в слоистых средах |1, 2], ставшие за двадцать лет своего существования библиографической редкостью, а также — выдержки из разделов « К у р с а высшей математики»акад. В.И. Смирнова, посвященных основам вариационного исчисления, теории ноля экстремалей и теории дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка. Достаточно близкое знакомство с такими разделами математики крайне полезно специалистам по теории распространения волн сигнального типа, составляющих сущность волновых полей, рассматриваемых в книге. Сигнальные волновые поля, возбуждаемые в средах резко включаемыми воздействиями, содержат информацию о строении зондируемой среды и об ее структурно-вещественных параметрах. Поэтому они и представляют интерес д л я сейсмической практики. Однако упомянутая информация может быть опознана, выделена и оценена на фоне помех только в таких случаях, когда исследователь имеет всестороннее представление о множестве процессов и явлений, с которыми волна может встретиться при прохождении ею различных участков исследуемой среды, о свойствах которой при исследованиях всегда делаются те или иные изначальные предположения. При этом получение объективного, научно-обоснованного представления о свойствах регистрируемых волновых полей, естественно, требует, во-первых, достаточно обстоятельного изучения закономерностей прохождения волнами различных частей моделей сред, адекватных модельным представлениям современной геофизики, и, во-вторых, — использования вычислительных средств в форме персональных компьютеров д л я придания выводам из теории ббльшей наглядности и количественной определенности. Последнее особенно важно в тех (все чаще встречающихся) случаях, когда прямые результаты теории волн выражаются плохо обозримыми формулами или громоздкими вычислительными алгоритмами, физический смысл которых остается невыясненным. Применение ко.мпьютеров в процессе изучения теории должно позволить доводить многие из таких результатов до числа, до наглядных графиков или приближенных качественных соотношений. Более того, такое применение позволяет сделать доступным и осязаемо-наглядным читателю (изучающему теорию) язык

дифференциальных уравнений, на котором выражаются практически все соотношения теории волн. А все это придаст теории волн более совершенную форму и более глубокое содержание, так как позволяет излагать в «численно-точной»и во вполне наглядной форме многие ее результаты, приводящие еще сейчас к затруднениям в количественном физическом описании. Подобные затруднения особенно велики, например, при описании процессов распространения волн в случаях встречающейся повсеместно анизотропии среды. И вот возникает общий вопрос, как избежать подобных затруднений и как заставить компьютер решать такие задачи, какие требуются в данной области науки. При этом под наукой следует понимать такую область знаний, в которой уже установлены те или иные (достаточные) соотношения-алгоритмы, связывающие изучаемые величины друг с другом некоторым внутренне-непротиворечивым образом. Д л я продвижения в количественном решении выбранной проблемы начинать, по-видимому, следует с анализа общности и различий в возможных алгоритмах решения конкретной задачи, возникшей в рассматриваемой области, с тем, чтобы выбрать из них оптимальное множество простейших алгоритмов, применение которых в том или ином (достаточном или оптимальном) логическом порядке приводит к количественному решению требуемой задачи. Не претендуя на общность, в качестве простейшего примера ситуации, относящейся к области теории волн, излагаемой в книге, можно назвать теорию плоских (или лучше — локально-плоских) волн. Ведь далее в тексте показывается, что при логически-разумном расщеплении процесса распространения волн сигнального типа на естественные его элементы, рассмотрение такой волны сводится к последовательному рассмотрению множества однотипных эле!^ентарных процессов распространения локально-плоских волн в соответственных условиях. Вследствие же этого естественно ожидать, что и общий алгоритм определения количественных характеристик волн сигнального типа сведется к рассмотрению последовательности логически-связанных однотипных алгоритмов оценки аналогичных же величин, относящихся к локально-плоским волнам. Подобным же образом дело обстоит прктически всегда, а не только в случае плоских волн и волн сигнального типа. Итак, при решении задач па количественную оценку волновых полей при помощи компьютера прежде всего нужно обращаться к детальному обсуждению логики алгоритмов, предоставленных теорией д л я решения требуемой задачи. На основании этого должен быть произведен отбор алгоритмов (при учете их качества и числа), достаточных (или оптимальных) д л я решения стоящей задачи. Л и ш ь после этого можно обращаться к воплощению алгоритма в компьютерную программу (или последовательность алгоритмов — в логически связанную последовательность соответственных программ). При этом обязательно нужно поинтересоваться, нет л и во множестве (готовых) стандартных программ какой-либо требуемой нам элементарной программы. Выяснение этого вопроса, по-видимому, не представит большого труда. Остается отметить, что, пользуясь изложенной тактикой, читатель сам уже сможет решать полезные количественные задачи па распространение волп в анизотропных упругих средах. При этом д л я оказания читателю посильной помощи в разделе « П р и л о ж е н и е » проводится краткое обсуждение нескольких алгоритмов, которыми ему уместно б ы л о бы здесь воспользоваться.

10

Глава 1. Математический формализм и постановка задач в линейной теории упругости Напоминаются основные понятия математического аппарата механики сплошных сред; выводятся уравнения движения и выписываются в линейном приближении различные дифференциальные и интегральные соотношения, полезные для изучения обш,их вопросов динамики упругих сред и ее приложений. Д л я облегчения ссылок на основания теории в § 2 приводится сводка всех необходимых формул и обозначений. Изложение ведется в рамках классических представлений о сейсмической среде, имеющей блоковое строение с границами раздела в виде математических поверхностей достаточно высокой гладкости. § 1. Основные положения математической теории упругости 1. Предполагая известным в общих чертах понятие «механическая сплошная среда и ее (термодинамическое) состояние», будем рассматривать такие сплошные среды, состояние которых определяется лишь вектором смещения материальных точек от положения их равновесия. Состояние среды до приложения к ней внешних воздействий буде.м называть "невозмущенным. Положение материальных точек в невозмущенном состоянии будем определять координатами {х, у, z) или радиус-вектором = х i Л-у j zk относительно произвольной фиксированной правовинтовой декартовой системы координат L с ортами i , j , к . Д л я удобства будем применять обозначения х = xi, у = Х2, z = хз, i = i i, j = i 2, к ш г 3.

11

Возмущения в среде будем описывать вектором смещений 3

it — и i + VJ + wk

(l-l-l)

определяющим отклонение материальной точки среды от се положения {х, у, z) в невозмущенпом состоянии. Функции it, и = и^ ^ = tti, f = Иу = U2 и ш = Uz = из зависят, вообще говоря, от координат X, у, ги времени t. Все необходимые для описания сплошной среды понятия и уравнения будем давать применительно к классу правовинтовых декартовых координатных систем, в которых вводимые понятия имеют наглядный физический смысл. При этом все рассматриваемые соотнощения будут иметь тензорный характер. Последнее обстоятельство дает очевидную возможность перехода к описанию рассматриваемых процессов в произвольных криволинейных координатах х[,х2,х'^ во всех случаях, когда это может понадобиться. 2. Если в фиксированный момент времени t = const оказывается it Ф it о + [Т^ X at], где ito и at постоянны, то говорят, что в среде произошли деформации. Для количественного описания деформаций рассматривают произвольную материальную точку М среды и (бесконечно) близкую к ней (материальную) точку М ' , положение которых Б невозмущепном состоянии определяется координатами (Жь Х2, Хз) и (Xi + dXi, Х2 + dX2, Хз + dxj). Взаимное расположение точек М и М' до и после деформации характеризуется соответственно векторами dl^ = dxi'ti

+

+ dx3^3,

dl^' = dl^ + dlt,

где 3

dlt = lt{xi

+dxu

••.,t)~

lt{xi,

X2, Хз, t) =

Q ^

'y—dxk+0{{drf).

В случае весьма малых dl^ вторым слагаемым правой части мож1ю пренебрегать, что дает dlt = ' ^ ~ d x „

(1.1.2)

причем производные здесь вычисляются в точке М{х\, Х2, хз). 12

Квадраты расстояний между точками М и М' до и после деформации соответственно равны dsl = dT^

=Y.dxl (1.1.3)

ds•1

_

E

dxi

+

^^^^dxk

i=l

= dsl + 2 Y1 Eikdxidxk, i,it=i

где Eik

=

8ui I 8m, I Y' du,. du^ a^i ^ dxi dXk

I dxk

(1.1.4)

r=l

при г, к = 1, 2, 3. Так как ds'^ и ds^ — инварианты в рассматриваемом классе преобразований координат, то 3

У ^ Eikdxidxk = ипв. i,k=l

Отсюда, а также из симметрии величин Ец^ = Ей, апедует, что выражение (1.1.4) представляет собой тензор 2-го ранга Этот тензор 'Напомним определение понятия «тензор». Пусть х'^ и xj^ (при а , А: = 1, 2, 3) координаты одной и той же физической точки М относительно произвольно выбранных координатных систем L ' и L рассматриваемого класса, причем предполагается, что имеют место одно-однозначные и ди(1)ференцируемые в М формулы преобразования координат х'^ = к х^ = x^ix'^)- Тогда совокупности величин В'°, A'i, А'"^) и А^, B ^ ( Д ^ ; , Л{, при Q, /3 = 1, 2, 3 и к,г = 1, 2, 3, заданных в точке М соответственно по отношению к системам L и L', определяют в точке М ковариантпый, контравариантный вектор (тензор второго ранга), если имеют место формулы преобразования дхк дх''

дХк

dxi

к=1

Aki,

В" дХк '

дХк дХг

i,k = l

i,k = l

В которых производные вычисляются в точке М . Следует помнить, что понятие «тензор» определено по отношению к некоторому классу преобразований координат, образующих группу в том смысле, что последовательное преобразование координат L —> L ' и V —> L" дает нреобра-

14

называют тензором деформации. В общем случае тензор деформации есть квадратичная функция от производных щ. Однако если выполняются условия

Ш

»

2

^

dur

dur

dxi

dxk

(1.1.5)

в которых положено 1 / dui duk = г I V 2 \дхк dxij '

(1.1.6)

то Eik ^Bik,

(1.1.7)

где £ik линейно относительно упомянутых производных. При этом выражение (1.1.3) переписывается в виде

ds'^ = dsg + 2 ^ Eikdxidxk. >,;с=1

(1.1.8)

Относительно класса афинных ортогональных преобразований координат таблица величин Eik из формулы (1.1.6) определяет симметричный тензор 2-го ранга, так как производные по координатам Хк от компонент щ вектора образуют, как известно, тензор. В нелинейной теории сплошной среды в качестве тензора деформации берут выражение (1.1.4). В линейной же теории предполагаются выполняющимися неравенства (1.1.5), вследствие чего под тензором деформации понимается выражение (1.1.6). Заметим, что в случае сплощной среды невырожденного типа (когда в ней не существует направлений, вдоль которых «размеры среды» пренебрежимо малы по сравнению с размерами среды по другим направлениям) условия (1.1.5) эквивалентны неравенствам дщ


L" для любых L, L', L" класса. В случае ортогональных преобразований координат ко- и контравариантные векторы (тензоры) не отличаются друг от друга.

14

Такие неравенства дают основания говорить о малости деформаций (1.1.6), а также о малости относительных смещений dlt материальных точек линейной деформируемой среды. 3. Для выяснения геометрического смысла компонент введенных тензоров рассмотрим материальные точки среды, заполнявшие до деформации прямоугольный параллелепипед, построенный на векторах dl^i = г idxi, = г tdx^, d'tz = г zdxz, с началами в точке М . После деформации эти материальные точки будут заполнять (косоугольный) параллелепипед, определяемый векторами dr^j = dl^i + dl^, т. е. dr'i =

+

-tkdxu

(1.1.10)

где Sik = 1 при i = к, 6ik = О при к — значок (символ) Кронекера. Длины таких векторов, очевидно, равны \dr\\ = y/\ + 2Eiidxu

(1.1.11)

где Eik имеет значение (1.1.4). Углы же aik = 7г/2 — ifiik между векторами (1.1.10) определяются формула.ми (при i Ф к) {dl^'i, d-t',)

2Eikdxidxk

При малых деформациях, когда выполняются равенства (1.1.5) или (1.1.9), имеет место соотношение (1.1.7) и 1, вследствие чего равенства (1.1.11) и (1.1.12) переписываются в виде

2sikdxidxk

„

Таким образом, при условиях (1.1.5) или (1.1.9) величины £ц характеризуют относительное удлинение векторов dT^k = г kdxk при деформации, а 2eik (при г ф к) определяют углы поворота этих векторов. Если ввести в рассмотрение антисимметричный тензор = 2

15

то формулу (1-1.2) можно переписать в виде 3

3

dui = ^ Eikdxk + ^ Uikdxkк=1 к=1

(1-1-2')

в случае etk = 0в точке М (что для линейной среды выражает условие отсутствия деформаций в точке М) для относительного смещения материальных точек М w М' будем иметь 3 dui-'^cjikdxk к=1

или

dlt =—[d'^

X rot it],

Это означает, что элементы среды, прилегающие к точке М , кроме, возможно, параллельного смещения (т. е. переноса, при котором, конечно, dlt — 0), испытывают поворот как целое. Тензор (1.1.13) поворотов не играет заметной роли в линейной теории сплошной среды. Что же касается тензора деформаций dk из выражения (1.1.6), то он оказывается одним из основных ее элементов. Полезно отметить, что если в области V сплошной среды поле смещений i t непрерывно вместе со всеми первыми частными производными и имеет вторые производные, то из условия = Ов области V элементарно следует формула it = #0 +

X Tit],

в которой ito и zt постоянны. Таким образом, указанное условие является необходимым и достаточным для того, чтобы среда, заполняющая область V, испытывала ашшь поступательное и вращательное движение как целое. Мы определили понятие деформации сплошной среды посредством тензоров (1.1.4) или (1.1.6) относительно класса афинных ортогональных преобразований координат, и во всех таких координатах компоненты тензоров имеют указанный геометрический смысл. В любых других (не декартовых) координатных системах тензоры деформации можно определить на ос?юве формул преобразования тензоров той или И1ЮЙ размерности. Однако при этом компоненты тензоров в таких системах уже не будут иметь указанного геометрического смысла. Тензорная (точнее, ковариантная) запись уравнений и любых соотношений теории сплошной среды обладает многими

16

преимуществами (однако далеко не столь серьезными как, например, в электродинамике). Одно из ее преимуществ состоит в простоте перехода от описания процессов в одной координатной системе к другой, а также в простоте получения различных инвариантов относительно преобразований координат. Так, например, из тензорт^гх свойств таблицы величин Sik (1.1.6) следует инвариантность выражений 3

3

г=1

г,к=\

£ik£ik

ИТ. д.

(1.1.14)

относительно афинных ортогональных преобразований координат. Наконец, следует отметить, что в линейной динамической теории упругости сложилась традиция называть тензором деформации не величины Eik из выражения (1.1.6), а величины e.ik из равенств дщ eii=£ii = ^ , dxi

eifc =

дщ duk = — +-—, dxk oxi

. , , г //г.

/1 1 1-Ч (1.1.1о)

Конечно, таблица Cik не определяет тензор 2-го ранга. Однако от названия величин etk тензором особых неприятностей не происходит. Следует только помнить, что настоящим тензором является Sik, связанный с Cik (в декартовой системе координат) соотношсния.ми (1.1.15). Инварианты (1.1.14) тензора выражаются через Cik следующим образом: Ii = ец -f 6-22 + езз = шш, (1.1.14') /а =

+ е|2 + е§з -Ь

+ efg + е^з) = ипн.

4. При установлении понятий «вектор смещений»и «тензор деформаций» мы фиксировали некоторую декартову систему координат L и рассматривали (произволыю выбираемую) материальную точку М, которая до деформации занимала положение (х, у, z) относительно L. В результате были определены функции lt{x, у, z, t), Eik{x, у, z, t), eik{x, y,'z, t) и т. д., зависящие в динамике также и от времени t. Переменные х, у, z в таких функциях являются как бы номером рассматриваемой точки среды и не определяют ее положения в деформированном состоянии. Такие переменные нгоываются субста1щиональными, а описание среды в координатах х, у, z называется лагранжевым.

17

Однако в некоторых ситуациях удобнее применять другой способ описания движения сплошной среды, восходящий к Эйлеру. В нем рассматриваются произвольно выбираемые фиксированные точки X — у = Tj, Z — ( системы координат L (той же самой, что и ранее) и изучаются такие материальные точки среды, которые в рассматриваемый момент времени t имеют координаты т], С- При этом в эйлеровом описании понятие «вектор смещений»не играет обычно существенной роли, так как движение среды характеризуют вектором 77, t), определяющим скорость перемещения той материальной точки, которая в момент времени t имеет координаты 77 и (Заметим, что по вектору можно определить тензор, аналогичный (1.1.4), называемый тензором скоростей деформации). Не задерживаясь на последовательном описании процесса движения сплошной среды с точки зрения эйлеровых или лагранжевых координат, установим лишь связь между такими описаниями в случаях, когда она существует. Если для лагранжевых координат сохранить обозначения х = — XI, у = Х2, Z — хз, а, эйлеровы координаты описания среды обозначить посредством ^ = ^i, = С= то из понятия «вектор смещений l / » вытекают равенства ^i^Xi+Ui{xuX2,X3,t),

г = 1,2,3.

(1.1.16)

Чтобы формулы (1.1.16) устанавливали одно-однозначное соответствие между Хг и ^к при t — const, необходимо и достаточно, чтобы О
как и в п. 5. Если плотность массовых сил, действующих на элементы среды, обозначить через / , а вектор плотности ускорения частиц — через то, согласно принципу Даламбера, основное условие равновесия запишется в виде

///

// = (5)

(V)

23

где р — плотность вещества в среде. В предположении достаточной гладкости частных производных tik по ?? и ^ можно воспользоваться выражением (1.1.26) и применить формулу Гаусса. В результате получается равенство - р1Й + mvtik]dV

= 0,

(1.1.27)

(V)

в котором Div tik = ii div t\ + гг div 1х Xi, Х2, хз относительно выбранной систе.мы координат L. В возмущенном состоянии, характеризующе.мся полем исходного вектора смещений lt(xi, Х2, хз, t) (от которого затем берется вариация истинное положение выделенных .материальных точек в фиксированный момент t определяется (относительно той же системы L) эйлеровыми координатами (^j, Ь) из формулы (1.1.16), изменяющимися в некоторой области Vq. Очевидно, что Vo характеризует область истинного расположения (в момент времени t) .материальных точек выделенной части среды и что при соответствующем выборе области V поверхность So с внешней нормалью 7t, ограничивающую область Vq, можно считать достаточно гладкой (если, конечно, гладкость исходного поля смещений Tt{xi, Х2, Хз, t) достаточно высока). В соответствии с первы.м начало.м тер.модинамики из.менение полной вариации энергии выделенного участка среды при вариации Sit исходного поля lt{xi, Х2, Хз, t) определяется формулой Д(£нот + £^кин) = А Л + Д д ,

(1.1.36)

Б которой L Q = О - сообщаемое среде количество тепла, а Д Л работа всех внешиих сил на перемещениях . Для определения ДЕпот удобно использовать лагранжевы коор-

28

динаты рассматриваемых точек среды, позволяющие писать

А£пот = J J J{W[lt+ Slt]-W[lt]]dV = J J J SWdV. (I')

iV]

Для вычисления остальных слагаемых в равенстве (1.1.36) удобнее описывать среду в эйлеровых координатах из п. 3. Пусть в этих координатах # обозначает ускорение материальных точек среды, р - ее массовую плотность, а / и - векторы плотностей массовых и поверхностных сил, приложенных соответственно к точкам области Vo и ее граничной поверхности SoДо вариации исходного поля i t каждая точка выделенного материального участка среды (заполняющего область Vq) характеризуется плотностью сил инерции При ма^'юй вариации Sit поля смещений каждая материальная точка области Vo смещается на величину Sit. Поэтому работа сил инерции на перемещениях Sit, равная изменению кинетической энергии выделенного участка среды, определится (с точностью до малых высшего порядка по сравнению с Sit) выражением

= J j j pi^ SltdVo. (Vo)

Аналогичные же соображения приводят к формуле

АА = J j j^5ltdVo+ J J Olt dSo + 0[{Slt)^] (Vo)

(So)

для работы внешних сил (приложенных к рассматриваемому участку среды) на перемещениях Sit. Таким образом, на основании формулы (1.1.36) мы приходим к соотношению

Л jswdv= I j J{f-pl^)SltdVo+ I J ttSltdSo, (V)

(Vo)

(1.1.36')

(So)

справедливому с точностью до малых высшего порядка относительно Sit. (Напомним, что все величины, входящие в правую часть равенства (1.1.36'), рассматриваются как функции введенных эйлеро-

29

вых координат (1.1.16), причем значения ' f , uf к отвечают исходному полю смещений Х2, хз, t) в фиксированный мо.мент времени t.) Чтобы преобразовать соотношение (1.1.36'), нужно учесть уравнение (1.1.28), а также соотношение t^Slt

= (itSui

+ t^du2 + t^Suz) i f ,

вытекающее из выражений (1.1.26), из которых следует I

j

tt5ltdSo

(So)

= j J j

dw(itSui

+ t^Su2 + t^Su-i)dVo.

(Vo)

Пользуясь такими выражения.ми и производя в интеграле замену переменных интегрирования по формулам (1.1.16), получаем равенства j j j 6WdV

= j j j{diY(tt6ui

(V)

=

+ t^Su2 + ltSu3)-mvtik6Tt}dVo

=

(Vo)

[ [ [{divittSui

-b t^2Su2 + ti6u3) -

dV,

J J J {V)

o(xi,

X2, Хз)

которые должны иметь место при любом выборе области V. Отсюда (в предположении непрерывности подьштегральных функций интегралов по V) вытекает искомая формула 6W =:

div ^ tkSuk — i5iv tikSlt (9(11, X2, Хз) fc=i

(1.1.37)

в которой расходимости вычисляются в координатах , , ^з > а затем в выражении всей квадратной скобки производится замена переменных ^2, Ь на Xi, Х2, Хз по формуле (1.1.16). Д л я нас основной интерес представляет случай линейной теории упругости, в которой деформации предполагаются малыми в смысле условий (1.1.9). При выполнении же условий (1.1.9) в соответствии с неравенством (1.1.17) и соотношением (1.1.30) оказывается 5(6,6,6) д(хих2,хз)

,

д '

d^k 30

^^dikdxi

^

д дх^,'

Поэтому в случае линейной теории упругости формула (1.1.37) переписывается в виде 5W = div( О,

(1.2.12)

коэффициенты Ciit,,/,J которой совпадают с коэффициентами Cik,vti из В15фажений (1.2.6) и (1.2.6'), а ej/t имеет значение (1.2.3), определяющая плотность потепциалыгой энергии деформации идеально упругой среды. Из условия = О с небходимостью следует = 0. В случае изотропных сред W определяется выражение.м 2W

=

{Х

+

2(1){еп+е22+езз?

+

^13 + ^23 " 4(eiiei2 + ецегз + еггСзз)]-

(1.2.13)

Из соотношений (1.2.6) и (1.2.12) следуют равенства tifc =

=

= ^

40

(1.2.14)

а также весьма полезные формулы dlt i О, а e(t) и e{t) непрерывны, причем е(0) = О, то существует некоторый (конечный) промежуток времени О < t 0. Совершенно таким же свойством обладает величина I в формуле (1.2.42), если ядра операторов (1.2.36) удовлетворяют неравенствам Ai(0>0,

(1.2.44)

iii{t)>Q.

Указанное свойство, которое мы назовем свойством неотрицательности /, оказывается весьма существенным при доказательстве единственности решения динамических задач в случае вязкоупругих сред (п. 6 § 3 ) .

Если учесть выражения (1.2.41) и (1.2.42) и уравнение движения (1.2.8), то равенство (1.2.39) после интегрирования по области V, ограниченной гладкой поверхностью S с внешней нормалью rt, приводит к формуле

{V)

"

(V)

(V)

1 1 / (S)

похожей на формулу (1.2.18), которую можно толковать как закон сохранения энергии в линейной теории вязкоупругих сред. При этом выражение l l l l d V = l l l (V)

(1.2.46)

{V)

соответствует энергии, гюглощенной средой из-за вязкости материала. Остается лишь отметить, что в реальных вязкоупругих средах условия (1.2.44) выполняются. При этом на основании вышеизложенного нельзя утверждать, что интеграл (1.2.46) всегда > 0. Однако если при t = О было it = О, а при i > О в среде появлялись возмуш,ения, то можно утверждать существование такого интервала О < t < ti времени, в котором / > О и, следовательно, интеграл (1.2.46) неотрицателен. Этого уже достаточно для доказате;п,ства единственности решений динамических задач в случае вязкоупругих материалов.

49

§ 3. Постановка задач в динамической теории упругости. Единственность решения в классе функций со слабыми разрывами 1. Пусть V - произвольная конечная или бесконечная область переменных х - xi, у = Х2, z = хз, ограниченная поверхностью S с внешней нормалью 7t. Предполагается, что область V заполнена упругой средой, характеризующейся упругими параметрами Cik^v^i = Cik,un{xi, Х2, Хз) и массовой плотностью р = p{xi, Х2, Хз). На элементы среды действуют внешние массовые силы ~f = ~f{xi, Х2, хз). В начальный момент времени ( = О считаются известными поля сме1цений и скоростей смещений, т. е.

f=0

= Uo{xi, Х2, Хз),

й

t=0

= V^[xi, Х2, Хз).

(1.3.1)

в точках N граничной поверхности S предполагаются заданными: а) или значения вектора смещений It

= Tf{N,

(1.3.2)

t),

б) или значения вектора напряжений It

N

=

(1.3.3)

t),

в) ИЛИ же, наконец, смешанные условия вида

N

(1.3.4)

N

ИЛИ

N

= U.{N,t),

N

=T3{N,t),

(1.3.4')

в которых на граничной поверхности S задаются частично составляющие вектора i t и частично составляющие вектора t „ . Заметим, что в условия (1.3.4) и (1.3.4') входят проекции векторов i t и на систему взаимно перпендикулярных ортов rf, f^, т^, определенных для каждой точки N на поверхности S. Обычно один из этих векторов (вектор т^) совпадает с нормалью i t к поверхности S.

50

функции , vt, v^, a также функции из правых частей того (одного!) из граничных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'), при которых рассматривается формулируемая ниже задача, считаются известными. При этом в случае бесконечных областей V всегда предполагается существование такого конечного радиуса Л > О, что все упомянутые функции тождественно равны нулю вне сферы радиуса Л с центром в какой-либо фиксированной точке области V. Это условие выражает тривиальный факт, что любые измерения и (контролируемые) воздействия на среду могут производиться лишь па конечных расстояниях от выбранной точки среды. Если внутри области V параметры Cj^ ^^ и р остаются непрерывными, то нестационарные динамические задачи теории упругости формулируются следующим образом. Требуется найти поле смещений lt{x, у, Z,) в области V из решения уравнения (1.2.8) mvtik

+ t

= р

d'lt dt^

при начальных условиях (1.3.1) во всех внутренних точках области V и при одном из граничных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'). При этом может оказаться, что на разных частях гранич1юй поверхности S заданы различные граничные условия из указанных (но обязательно на каждой части S только одно из таких условий). 2. Докажем единственность решения поставленной задачи в предположении, что при заданных функциях ' f , й^ а v^ и функциях из правых частей граничных условий решение реализуется в классе векторов lt{xi, Х2, хз, t) со слабыми разрывами, т. е. таких векторов, что непрерывно вместе с первыми частными производными в области V вплоть до поверхности 5 и имеет в области V интегрируемые вторые частные производные. При указанной гладкости решения it можно пользоваться зако1юм сохранения энергии в его интегральной форме (1.2.18). При этом будем сначала считать V конечной областью, ограниченной достаточно гладкой замкнутой поверхностью 5. Если существуют два решения ut и удовлетворяет в области V уравнению =

51

то разность i f = ut —

(1.3.5)

и нулевым начальным данным it

f=0

it

= 0,

t^o

(1.3.6)

= 0.

На поверхности же S поле it удовлетворяет одному из однородных условий (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) или (1.3.4'), в правой части которого появляется нуль. При этом, например в случае (1.3.2), оказывается it = О, следовательно, и it ^^ — 0. Нетрудно видет!», что какое бы из указанных граничных условий ни рассматривалось, в точках N границы S для поля it всегда выполняется равенство (ttit)

(1.3.7)

=0.

N

Применяя к нолю it формулу (1.2.18), в которой сле/дует положить = О, получаем ^///[И^

+ f

-

rfF

j j{ttlt)dS,

(1.3.8)

где поверхностный интеграл из правой части равен пулю в силу равенства (1.3.7). Поэтому из выражения (1.3.8) следует

/// (V)

t=t

dV

-

т

W+P-{itf

t=o

dV = Q,

(V)

(1.3.9) так как в момент t = О оказьп!ается (м = О и е;^; s О в силу уиювий (1.3.6). Значит W = О по условию (1.2.12). Но при любых t для W из условия (1.2.12) справедливо TV > 0. Поэтому из фор)мулы (1.3.9) и предположенной непрерывности всех первых частных производных от it след>'ет W = О и и = 0. Итак, ejfc = О и ^ = 0. Отсюда вытекает, что i t = й^ + х w^], где й^ = const, = const. Но в силу условий (1.3.6) оказывается = О, ij^ = О и, следовательно, i t = О, что и требуется. 3. Нетрудно видеть, что приведенное доказательство фактически применимо и для случая безграничной области V. Действительно, при рассмотрении процессов в течение любого конечного промежутка О < t О оказалось lf{xk, t) = О, то единственность решения задачи (в указанном классе функций) имела бы место. В противном же случае должно было бы сун;ествовать значение to > О, такое, что it = О при t < to, к it ф О, если < = + 5, где (5 > 0. Но тогда по свойству интегралов вида (1.2.43) при достаточно малом значении (5 > О должно было бы оказаться

///

IdV

> О,

(V)

вследствие чего из выражения (1.3.13) следовагю бы

IJ1I

dV < О

(V)

III

Wo + l i i t f

dV < О,

(V)

что невозможно. Итак, предположение, что it = — й^ ^ О приводит к противоречию. Значит it = О, т. е. единственность решения задач из п. 1 для случая вязкоупругих сред имеет место. § 4. О структуре тензора упругих параметров в случаях основных типов анизотропной среды и о классических моделях сейсмических сред Уравнения движения (1.2.9) упругой анизотропной среды содержат вещественные параметры Cik,,,i, = Cik,,i„{xi, х^, хз), удовлетво56

ряющие естественным условиям симметрии ^ik.fit/ ~

^ki^iii^ ~

~

^-/л/, гА: •

(I'^'l)

Вследствие этого в общем случае произвольной анизотропии среда характеризуется 21-м независимым упругим параметром. При этом неустранимых параметров в уравнениях (1.2.9) оказывается 18, так как тре.мя параметрами всегда можно распорядиться произвольно путем подходящего выбора направлений осей рассматриваемой декартовой системы координат. Однако при столь большом числе параметров, определяющих свойства среды, описание волновых процессов в ней становится физически бессодержательным. Поэтому приобретает прикладной интерес поиск таких классов упругих сред, которые характеризуются меньшим числом вещественных параметров. К менынему числу вещественных пара.метров можно прийти лишь путем наложения на класс расс.матривае.мых сред некоторых ограничительных условий, подобных условиям пространственной симметрии, характерной для монокристаллов (которые как раз и послужили отправной базой для первичного этапа изучения явлений упругой анизотропии.) Такого рода условия могут реализоваться и в блоках сейсмических сред. Вследствие этого получаемые упрощенные уравнения движения выборочных классов анизотропных сред оказываются полезными и в сейсмической практике. 1. При выяснении вопросов, касающихся возможно более простых структурных форм таблицы коэффициентов Cik^^u тензора упругих параметров среды, целесообразно исходить из следующих двух положений. Во-первых, из факта инвариантности (относительно афинных ортогональных преобразований координат L = L{XK)) выражения (1.2.12), т. е. 1 И''= -

^ ^

(1-4.2)

для плотности энергии упругой деформации среды (которое лежит в основе реалогии представления об упругой среде в теории упругости). И, во-вторых, из закона преобра:адвания дх', дх', дх', дх'

57

компонент тензора 4-го ранга упругих параметров при переходе {L ^ L') от одной правовинтовой декартовой системы координат {ХК} к другой.подобной же системе {x'f.}, связанной с первой системой формулами ортогонального преобразования 3

3

x'k = Y^akiXi, i=l

3

^ a k i O r i = Y^aikair = 5кгi=l i=l

(1-4.4)

Заметим, что в формуле (1.4.3) каждый из индексов а, Ь, си d принимает независимо от других любое значение 1, 2 или 3, а в правой части равенства подразумевается суммирование по индексам а, /3, 7 и 0 ,

(1.4.6')

ta = Y1 3=1

а, 0=1

которые в последующем, правда, не используются. Что касается тензора упругих параметров среды, то в соответствии с обозначениями (1.4.5) и (1.4.6) его составляющие представляются симметричной матрицей 6-го порядка Си

Си

Cl6

С26

С21 С22 \ Сб1

Сб2

...

(1.4.7)

Cq/3 = Cffa,

(Са^) = Сев /

элементы которой подчинены, например, условиям

Си > О,

Сц

С22

С21

С22

>

0,

Си С12

Ci4

С21

С22

С24

С41

С42

С44

>

Си

Cl2

Ci3

С21

С22

С23

С31

С32

сзз

0 , . . . , |Са/3 1 >

>

0,

0,

(1.4.8)

которые обеспечивают положительную определенность квадратичной формы из формул (1.4.6'). 3. При установлении структуры таблицы Са/з из формулы (1.4.7) в случае изотропной среды естественно исходить из условия с аЬ, cd ~

Cab, cdj

выражающего факт физической эквивалентности в описании полей смещений всех координатных систем L, связанных друг с другом ортогональными преобразованиями (вращения) (1.4.4). Поэтому в условии инвариантности (1-4.2) плотности энергии величины Cik,n.v оказываются постоянными в любых координатных системах L из формул (1.4.4). Само же выражение (1.4.2), содержащее постоянные

59

величины Cik,ii„, должно представлять собой (в классе указанных систем координат L) квадратичный инвариант относительно величин Cjjt — компонентов тензора деформации. Однако существует лишь два таких квадратичных инварианта, представляемых, например, выражениями Ji и J^ из равенства (1.1.14). Поэтому для плотности потенциальной энергии W из формулы (1.4.2) получается выражение 2W = aJi+bJ2,

(1.4.9)

в котором обычно полагают а = X и b — 2/u. Это приводит к следующему окончательному выражению: IJ'h = — — ( е й +S22 + е з з ) +

И^ = -b2/i[£?2 +

+ £23 -

( £ I I £ 2 2 + £ i i £ 3 3 + £22£ЗЗ)]-

(1.4.10)

Для составляющих тензора напряжений в соответствии с равенствами (1.2.6) получаются формулы tii -

: = 1, 2,3,

£qq + 2^еи = Лdivlt -t- 2/^

dxi'

q=\

и, =

=

(дщ

+

duk

гфк,

_

или tik - X'Y^SggSik+2^ieik,

г,/с = 1 , 2 , 3,

(1.4.11)

q=l

выражаю1цие закон Гука в случае изотропных упругих сред. Что касается матрицы (са/з) (1.4.7), то в случае изотропных сред она выглядит следующим образом: ( Л f 2/i Л Л 0 0 0 \

Л Л-|-2/х А 0 0 0

Л Л Л + 2/z 0 0 0

0 0 0 Р 0 0

0 0 0 0

0 ^ 0 0 0 IJ- 0 0 /i у

(1.4.12)

4. При устатювлении структуры матрицы (с^/з) в случае сред с осью симметрии второго порядка (моноклинные кристаллы) будем

60

считать, что оси Oxz рассматриваемых декартовых координатных систем совмещены с осью симметрии среды. Тогда при вращении среды вокруг оси Oxz на угол Hbix условий (2.6.2') ^ в точках поверхности x'q = = О могут быть вычиа]еиы следующие частные производные второго порядка: д ^ ^ дЧ, р, jfc = 1, 2, 3. (2.6.9) dx'i^dx'p' dx'f^dx'o' Не определенными же пока остаются лишь частные производные 9=1,2,3,

(2.6.9')

OXq

для которых из систе.мы уравнений (2.6.8) получается система трех равенств =

г = 1,2,3,

(2.6.10)

9=1

где обозначено

р,к=0 причем Wo = 'Ф{х1, Х2, хз, xq) - функция из преобразований (2.6.6) или (2.6.1), определяющая поверхность, несущую начальные данные Коши. Посредством же Ф(ж^,...) в равенствах (2.6.10) обозначены су.ммы функций

^С достаточно гладкими функциями и^ и v° из правых частей.

78

из выражений (2.6.8) со слагаемыми, содержащими частные производные типа (2.6.9), известные в точках поверхности (2.6.1) (или Xq = 0) в силу данных Коши. 4. Три равенства (2.6.10) можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно производных (2.6.9'). Коэффициенты fliq такой систе.мы, определяемые формулами (2.6.11), (2.6.5), имеют смысл и непрерывны не только в точках поверхности (2.6.1), но и во всей области точек {xq, Xi, Х2, хз), где р и Cik^fxu непрерывны, а функция •ф (2.6.1) определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными. Что же касается правых частей уравнений (2.6.10), то они определены и непрерывны лишь в точках поверхности (2.6.1). Если в точках поверхности (2.6.10) (а значит и в ее окрестности) оказывается ф О, то из системы уравнений (2.6.10) однозначно находятся значения всех производных (2.6.9'). При этом выясняется, что в точках поверхности (2.6.1) все частные производные второго порядка от поля смещений i t имеют вполне определенные непрерывные значения, вследствие чего поверх1Юсть (2.6.1) не может быть поверхностью разрыва для таких производных. Таким образом, упомянутые производные поля смещений i t могут иметь разрывы на поверхности (2.6.1) только в том случае, когда в точках поверхности (2.6.1) выполняется равенство |П;,| = 0,

(2.6.12)

содержащее в правой части определитель матрицы из формул (2.6.11), (2.6.5), не зависящей от поля смещений it, равно как и от значения ip функции (2.6.1). Элементы такой матрицы зависят лишь от упругих параметров р = р(хд) и Cik^^u — Cik,iiu{xp) анизотропной среды, а также от частных производных

функции (2.6.1). 5. Справедливость равенства (2.6.12) установлена лишь в точках поверхности (2.6.1), на которой (по предположению) част1п»1е производные второго порядка от функции it имеют рас^рывы непрерывности. Однако нетрудно видеть, что подобное равенство должно выполняться не только в точках поверхности (2.6.1), но и в ее окрестности (точнее, везде, где определены функции ф и упругие постоянные

79

среды). Чтобы в этом убедиться, достаточно повторить приведенные рассуждения для задач Коши, начальные условия (2.6.3) которых задаются не на поверхности (2.6.1), а Fia поверхностях 'Ф{Х1, Х2, X'i, хо) = с,

(2.6.1')

содержащих параметр с из промежутка -Со < с < со, и учесть упоминавшуюся независимость левой части равенства (2.6.12) от значений яр и поля смещений i t . При выполнимости же равенства (2.6.12) во всех точках {xq, Xi, Х2, хз) некоторой четырехмерной области это равенство приобретает смысл уравнения в частных производных первого порядка относительно функции ip{xi, жг, хз, Жо), посредством которой определяются (в форме (2.6.1) или (2.6.1')) уравнения поверхностей возможных слабых разрывов поля смещений i t . Чтобы получить явное выражение для упомянутого уравнения в частных производных, нужно воспользоваться выражениями (2.6.11), (2.6.5). При этом получаются формулы 3

^iQ =

(^ik.vqPkPp- PPlSiq,

(2.6.14)

В которых ро и pk обозначают производные (2.6.13), а упругие параметры р и являются пепрерывшями функщ1я.ми координат Хр.

Что же касается са.мого дифференциального уравнения, имеющего вид 3

X ] Cik,pgPkPp- PplSi,

= 0,

(2.6.12')

p,k=i

то к его обсуждению мы обратимся в § 8. § 7. Условия совместности в проблеме распространения поверхностей сильных разрывов п о л » смещений Пусть в некоторой области переменных Xi, Х2, хз, t заданы упругая среда с непрерывными параметрами р и Cik^^u, а также поверхность ^ { x u X 2 , X 3 , t ) = Q, (2.7.1)

80

фуикция ^ф которой определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка

во всех точках упомянутой области. Рассмотрим в такой области поле упругих смещений li{xi, Х2, Xz, t) с правильными сильными разрывами на поверхности (2.7.1). Последнее означает, что поле i t всюду непрерывно и имеет частные производные первого порядка, непрерывные с обеих сторон вне поверхности (2.7.1). При переходе же через поверхность (2.7.1) по крайней мере одна из упомянутых производных терпит разрыв непрерывности, но такой, что выполняются условия совместности (2.5.5) и (2.5.6). Исходя из предположения о наличии у поля г/ указап1п,1х разрывов в первых производных и пользуясь только лишь условиями совместности, поставим целью получить уравнения, которым должна удовлетворять функция ф (2.7.1), а также установить характер разрывов у производных от поля i t на поверхностях, определяемых при помощи функции (2.7.1) такими уравнениями. 1. Пользуясь формулой (1.2.6) для составляющих тензора напряжений, перепишем условие динамической совместности (2.5.6) в виде 3

Y1

1

д

Cik,r4Pk-^ - Р Р О ^ = М^и

г = 1,2,3,

(2.7.2)

где Мц - функции, всюду непрерывные в рассматриваемой области переменных Xk и t. Что же касается кинематических условий совместности (2.5.5), то, если в них заменить значки к, i соответственно на г, q, они примут вид Г, 9 = 1,2,3,

(2.7.3)

где MrQ являются всюду непрерывными функциями от Xk и t. При этом под Pit и ро здесь и везде далее понимаются производные (2.7.1') от функции -ф (2.7.1), непрерывные во всей рассматриваемой области переменных Xk и t. Двенадцать сооттюшений (2.7.2) и (2.7.3) можно рассматривать как двенадцать линейных алгебраических уравнений для двенадцати частных производных первого порядка от составляющих поля i t .

81

Коэффициенты таких уравнений, равно как и свободные члены М ц и Mrq, — всюду непрерывные функции. Поэтому если система разрешима, то все первые частные производные от составляющих поля it будут выражены через непрерывные функции и сами окажутся непрерывными. Таким образом, частные производные первого порядка от it могут иметь разрывы непрерывности лишь на таких поверхностях вида (2.7.1), функции t/) которых определяются из условия неразрешимости системы (2.7.2) и (2.7.3). Прежде чем выписывать условие неразрешимости такой системы, целесообразно привести ее к алгебраически более простому виду. Д л я этого умножим уравнения (2.7.2) наро/р, а получающиеся под знаком суммы выражения ро dug/dxr заменим правыми частями равенств (2.7.3). В результате придем к системе лишь трех алгебраических уравнений

Е

=

г = 1,2,3,

(2.7.4)

k,r,q—l В которой р{хиХ2,хз) 3

Mi = ^ M 4 i +

^ik.r.PkMr,,

(2.7.6)

причем = и Mi являются непрерывными функциями в рассматриваемой области переменных Xk и t. Условие неразрешимости такой системы уравнений, сводящееся к равенству нулю ее главного определителя

У^

hk,rqPkPr

-

pl^iq

= о,

(2.7.7)

k,r=\

как раз и оказывается искомым дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка относительно функции ф, по которой определяются поверхности (2.7.1) правильных сильных разрывов поля смещений. В связи с изложенным уместно напомнить, во-первых, что ро и рк из уравнений (2.7.4) и (2.7.7) имеют значения

82

частных производных из формул (2.7.1'). И, во-вторых, что уравнение (2.7.7) совпадает (с точностью до множителя с уравнением (2.6.12'), которое было получено нами для поверхностей слабых разрывов поля смещений. Такого совпадения, конечно, следовало ожидать на основании очевидного факта возможности перехода от поля it со слабыми разрывами на некоторой поверхности S к полю смещений, например, вида

dt"-^ имеюще.му уже сильные разрывы на той же поверхности. Значение п > 2 здесь имеет такой же смысл, что и в п. 1 § 5. 2. Не обращаясь еп;е к рассмотрению уравнения (2.7.7), левая часть которого является однородным алгебраическим многочленом шестой степени относительно величин pi, р2, Рз и ро, лишь отметим, что оно всегда распадается на три различных независимых уравнения соответственно трем типам волн, распространяющимся в анизотропных средах. К обсуждению подобных вопросов мы обратимся в § 8, а сейчас проиллюстрируем высказанное утверждение на простейшем при.мере изотропной упругой среды. Учитывая связь матрицы упругих постоянных Ci/t,^^ с ее представлением матрицей шестого порядка Са0 из п. 2 §4 и пользуясь таблицей (1.4.12), легко находим элементы матрицы ^

j-

'JbUp.p^^

k,r=l

(2.7.8)

Р

определяемые выражениями =

г = 1,2,3, Шщ =

Р^ = ± р 1

+ р,')РгРч, Л ' л ,

г^д,

(2.7.8')

=

Обозначая Qig = Шщ —рд 6iq, составляем определитель из левой части (2.7.7), имеющий значение = П11(П22Пзз - П ^ ) - ^21{П12Пзз - П1зПз2) + 83

= [(А' + -(Л' +

+ м'р' -

- РШ^'

+

+Р1) + / V -

= {-/-Ро)' (

-р'оЫ+Pi)

^

г

Р5]-

-Р^'

Таким образом, уравнение (2.7.7) для поверхностей разрывов расщепляется па три независимых уранпепия (2.7.9) V - P g

= 0,

=

(2.7.9')

два из которых (для поперечных волп) в рассматриваемом случае изотропных сред (и только в это.м случае) совпадают. При использопании обозначений

для скоростей продольных и поперечных волн, а также обозначений (2.7.1') для величин pk и ро уравнения (2.7.9) переписываются в привычной форме уравнений для поверхностей разрыва (фронтов) продольных и поперечных волп в изотропных упругих средах: {grader--

'^р \dt

(grad,^)2--

=0;

dt

= 0.

Что же касается уравнения (2.7.7) в общем случае анизотропной среды, то, как уже упоминалось, оно распадается на три различных независимых уравнения в частных производных (первого порядка) для трех различных типов волновых фронтов. Однако аналитические представления для таких независимых уравнений в обн;ем случае анизотропии практически не удается получать вследствие совершенно необозримой их сложности и громоздкости. И вот любопытным и поучительным оказывается тот факт, что упомянутых представлений фактически и не требуется для того, чтобы успещно решать любые задачи, связанные с распространением волновых фронтов в анизотропных упругих средах. Не обращаясь еп;е к такого

84

рода вопросам, обсудим следствия из уравнений (2.7.4), касающиеся характера разрывов поля амещепий при переходе через поверхность (2.7.1). 3. Допустим, что в результате решения уравнения (2.7.7) определена некоторая поверхность разрыва (2.7.1), относящаяся к одному из трех возможных типов волновых фронтов. Если определить, например, как в п. 3 §5, положительную (индекс «-Ь») и отрицательную (индекс « —») стороны поверхности (2.7.1), то можно ввести в рассмотрение вектор поляризации разрывов с составляющими

равными разности предельных значений производных dui/dt с положительной и отрицательной сторон поверхности разрыва. Очевидно, что при подчинении условию нормировки = 1

(2.7.12)

г-1

вектор поляризации разрывов определит направление (в пространстве х\, Х2, хз), вдоль которого составляющая вектора скорости с.мещеннй dlt/dt испытывает разрыв непрерывности при переходе через поверхность разрыва (2.7.1). Выписывая уравнения (2.7.4) в точках N+ и N- с положительной и отрицательной сторон поверхности разрыва и пользуясь непрерыв1юстью выражений (2.7.5) и (2.7.6), составим разность выписанных уравнений. В результате приходим к системе трех од1юродпых алгебраических уравнений 3

rqPkPvAq - plAi = 0,

г = 1, 2, 3,

(2.7.13)

k,T,q=l

относительно величин Л,- из формулы (2.7.11). Такие уравнения, очевидно, .могут расс.матриваться лип1ь после того, как функция -ф (2.7.1) уже определена на основании реп1ения ypaвпeF^ия (2.7.7). Поэтому все величины р^ и ро из соотношений (2.7.1'), входящие в уравнение (2.7.13), равно как и величины из выражения (2.7.5), следует считать известными. Определитель системы (2.7.13) удовлетворяет равенству (2.7.7), и, следовательно, систе.ма (2.7.13) разрешима.

85

Как уже упоминалось, система уравнений (2.7.13) определяет характер разрывов составляющих поля скоростей смещений при переходе через поверхность разрыва того или иного типа, распространяющуюся в неоднородной анизотропной упругой среде. Исследование такой поверхности производится в § 8. 4. В заключение рассмотрим сначала систему уравнений (2.7.13) в случае изотропной упругой среды. Затем же покаже.м, что система уравнений (2.7.13) обнаруживает близкое родство с системой уравнений (2.7.15), определяющей (совместно с уравнением Кристоффеля (2.7.18)) процесс распространения плоских волн с нормалью # в окрестности упомянутых точек N'*' и N" рассматриваемой поверхности разрыва. Если воспользоваться обозначениями (2.7.5), (2.7.8) и (2.7.8'), то не представит труда убедиться в том, что уравнения (2.7.13) в случае изотропии могут быть записа}1ы в следующих двух эквивалентных формах: 3 Е

[(А +

tl)PiPg

+

ifip^

-

pI

=

О

и Е

„=1

{(А +

-

рЧг,)

+

(2.7.13')

[(А +

-

ppl]5i,}A,

-

0.

Пусть рассматривается поверхность разрыва, распространяющаяся со скоростью Vp из выражения (2.7.10) и, следовательно, удовлетворяющая уравпснию (2.7.9) для фронтов продольных волн. Используя второе представление (2.7.13') для нахождения величин Ai из формулы (2.7.11), получаем систему уравнений 3

^^РгРя^я -Р^Аг = 0 ,

г = 1, 2, 3,

q=l

переписываемую в виде Piit

=

если воспользоваться векторной записью. Отсюда сразу получается выражение ^ ^ ^ 1^1

^

grad^A ^ ^ IgradV-i 86

где it — орт нормали (2.5.2) к поверхности разрыва (2.7.1). Итак, мы видим, что на фронтах продольного типа испытывает разрыв непрерывности лишь продольная, т. е. нормальная к поверхности фронта, составляющая вектора скорости смещений. При рассмотрении же поверхностей разрыва (2.7.9'), распространяющихся со скоростью поперечных волн, следует исходить из системы уравнений в форме первого из приведенных выше представлений, сводящегося, очевидно, к одному векторному равенству ("^ = О, т. е. (rt 'А) = 0. Такое равенство означает, что на фронтах поперечного типа испытывают разрыв непрерывности лишь составляющие вектора скорости смещений, перпендикулярные нормали ft к поверхности фронта. Обобщение подобных результатов на случай любых анизотропных сред дается в следующем параграфе, где весьма полезными оказываются сведения о плоских волнах (с нормалью it к фронту). При этом, в отличие от пп. 1-4, где рассматриваются неоднородные среды с непрерывными параметрами р{хр) и Х{к,1ш{х-р), теперь (в пп. 5-8) анизотропная среда предполагается однородной. 5. Пусть в однород1Юй анизотропной упругой среде с параметрами р = const и Cik,^v = const, распространяется плоская монохроматическая волна вида # = 'texpi{ujt

-

= 'Aexpik{vt

(2.7.14)

- itl^),

3

= ^ Akit; k=l

't = kit;

|lt| = 1;

m = kv;

it =

vlt,

причем к и V обозначают волновое чис;ю и фазовую скорость распространения, it — нормаль к фронту, а А — векторная амплитуда волны. При этом физический смысл придается, например, вещественной части выражения (2.7.14). Фронтом волны оказывается плоскость {vt — it't) = const, распространяющаяся в направлении it с фазовой скоростью v. Предполагая значение орта it и угловой частоты колебаний ш заданными, поставим вопрос о возможных значениях составляющих Ai амплитудного вектора 'А (вектора поляризации), а также — фазовой скорости V, при которых в заданной анизотропной среде волны вида (2.7.14) могут распространяться? Для этого выражение (2.7.14) следует подставить в уравнение движения для однородной анизо-

87

троппой среды, что приводит к системе алгебраических уравнений 3

^

Xik,pgnknpA,-v'^Ai = 0,

г = 1,2,3,

(2.7.15)

k,p,q=l

которую И предстоит изучить. При этом следует учитывать симметрию Ai, = kqi матрицы 3

l^iq = ^

\гк,рцПкПр,

1,7 = 1,2,3,

(2.7.16)

к,р-\

фактически входящей в систему уравнений (2.7.15), а также ее положительную определенность, выражаемую неравенством 3

Y,

> О,

(2.7.17)

1,9=1

справедливым при любых значениях > 0. В матрицу (2.7.16) входят величины Xik,pq = const из выражений (2.7.5), удовлетворяющие соотношениям си.мметрии, тождественным соотношениям (1.4.1). Что же касается неравенства (2.7.17), то оно является нрямы.м следствием положительной определенности формы (1.2.12) с матрицей Cik^iii, из выражения (2.7.5) (удовлетворяющей соотношениям (1.4.1)), а также возможности представления любой матрицы {ukbi) пол усу.м мой '^kbi = i [{ukbi + Tiibk) + [ukbi - Uibk)] симметричной и антисимметричной ее частей. 6. Однородная система алгебраических уравнений (2.7.15), переписываемая в виде 3

=

г = 1,2,3,

(2.7.15')

4=1 характеризуется симметричной положительпо-определепной матрицей (2.7.16). Решения таких систе.м хорошо изучены (см. [3, гл.II,

пп. 26, 27, 32, 33, 40]), поэтому можно воспользоваться готовыми результатами. Условие разрешимости системы (2.7.15), называемое уравнением Кристоффеля, имеюн;ее вид 3

Kq - V^^iq

У ^ Kk,pqnk'np - у'^Зц = О, к,р=\

(2.7.18)

оказывается уравнение.м третьей степени от гl^. Вследствие симметрии \ig и неравенства (2.7.17) все корни такого уравнения положительны, а из уравнения (2.7.18) следует, что каждый из таких корней оказывается однородной квадратичной фор.мой от п^ и, следовательно, не зависит от знака при орте i t . Расположим корни v'^ = v f { j t ) , г = 1, 2, 3, в порядке их убывания vfiTi) > vliTt) > v'i(7t) > 0. (2.7.19) Опыт показывает, что в реально существующих анизотропных средах при любых ft оказывается vj{lt) > v'^{lt), г — 2, 3. Что же касается значений v K l t ) и (совпадающих друг с другом в случае изотропии), то в анизотропных средах они .могут совпадать липш при значениях i t , соответствующих некоторым дискретным линиям на сфере |7f | = 1. Таким образом, правильнее писать vfilt)

> v^ilt)

> vi(lt)

(2.7.19')

вместо неравенства (2.7.19), считая, что знак равенства реализуется только на упомянутых линиях. Придавая величине v^ в систе.ме (2.7.15) значение vj{lt), (г = = 1, 2, 3) из неравенства (2.7.19) получаем разрешимую систему однородных алгебраических уравнений 3

^

Xik.pqrikUpA^'-^ -

=0,

(г = 1, 2, 3),

(2.7.20)

А:,р=1

ИЗ которой находим вещественные значения Л; =

составляю-

нщх амплитудного вектора i t нJюcкoй BOJHibi (2.7.14), распространяюи;ейся в направлении it с фазовой скоростью Vr > 0. Составляюпще вектора А

определяются из уравнений (2.7.20) с точностью

89

до произвольного множителя. Поэтому их можно подчинить условию нормировки

i=i

i=i

и называть составляющими вектора поляризации А плоской волны индекса «г». При этом векторы ^^ ^ при различных значениях г (т. е. отвечающие различным фс130вым скоростям Vr(Tt)), как известно, всегда ортогональны друг другу, так что оказывается

•

= f

Л Г ' л ! " ) = отвечающие рассматривае.мой точке N . Вектор же поляризации ^ такой волны нужно отождествлять с вектором (2.7.11) поляризации разрывов поля it в точке N. 2. Фиксируя произволыю па поверхности S правильных сильных разрывов точку N с нормалью Tt{N) и элементом dS^ поверхности (который допустимо еще считать плоским), воспользуемся установлегпюй локалыюй тождественностью полей, а также результатами § 7 и выясним пекоторью закономертюсти в распространении выделенного элемента волнового фронта. При этом результаты пп. 5—8 §7 будем применять для среды с параметрами \ik,pq = const и для направления нормали f t = const, где lt = lt{N).

(2.8.2)

На основании н. 6 § 7 можно утверждать, что элемент dSi\i поверхности S вида (2.7.1) распространяется со скоростью v{N) из формул (2.5.4) или (2.8.1), имеющей одно из трех допустимых значений Vr = i f i N ) ] , г = 1, 2, 3, зависящих от выбранной на поверхности 5 точки N и от направления lt{N) нормали к 5 в этой точке. При этом величины допустимых скоростей Vr (совпадающие с возможными значениями фазовых скоростей плоской волны) определяются из уравнения (2.7.18) при значениях \ik,pq и rt из формул (2.8.2). Что касается нумерации скоростей Vr = «^[А'^, 'Tt{N)], то ее естественно было бы производить в соответствии с неравенствами (2.7.19) и (2.7.19'), но обязательно так, чтобы всем точкам N рассматриваемой (конкретной) поверхности S (соответствующей волне определенного типа) отвечала скорость распространения Vr с одним и тем же индексом г. Но как выясняется в п. 3, таким двум условиям удается удовлетворить в обп;е.м случае анизотропной среды только по отнощению к одному индексу г = 1, отвечающему квазипродольным волнам. Нумерацию же квазипоперечных волн (индексами г = 2 и г = 3) мы будем производить так, чтобы строгое выполнение второго условия было всегда обязательным, а первого условия — возможным.

96

Таким образом, при принятой нумерации скоростей у нас всегда оказывается #(iV)]

#(Л0],

к = 2,3,

(2.8.3)

независимо от выбора точки N и направления орта lf{N). Но между величинами V2 и «з квазипоперечных волн могут выполняться соотношения того или иного типа : V2[N, lt{N)]

> V3[N, rf(iV)];

t;2[iV, ^ ( i V ) ] < г;з[Л^ 7f(iV)], (2.8.3')

в зависимости от рассматриваемой точки N на поверхности S и характера анизотропии упругой среды. Остается лишь отметить, что вектор поляризации разрывов из формулы (2.7.11), отвечающий элементу dS^ поверхности разрыва типа г, распространяющейся со скоростью «^[iV, rf (Л'')], определяется как подчиненное условию нор.мировки (2.7.21) решение системы уравнений (2.7.20), в котором \ik,pQ и i t имеют значения из формул (2.8.2), а под Vr подргоумевается значение упомянутой скорости Vr{N, "r?(iV)]. При этом векторы ^ с различными верхними индексами всегда оказываются ортогоналып>1ми дру1' другу независимо от того, какое из соотношений (2.8.3) реализуется в точке N. Итак, мы приходим к общим заключениям, справедливы.м для произвольных анизотроп}Н51х (в то.м числе и изотропных) сред и сводящимся к с;юдующему: существуют три типа поверхностей (правильных сильных) разрывов поля i t , распространяющихся со скоростями v{N) из формулы (2.8.1), равными фазовым скоростя.м соответственно квазипродольной и двух квазипоперечных плоских волн (распространяющихся в однородной среде с параметрами и по направлению орта нормали из формул (2.8.2)). При переходе через поверхность разрыва квазипродольного (квазипоперечного) типа в точке N испытывает разрыв непрерывности только составляющая вектора it, параллельная вектору поляризации ' ^ { N ) упоминавшейся квазипродольной (квазипоперечной) волны. Уместно отметить, что приведен1н»1е здесь результаты давали бы весьма полезную информацию о движении поверхностей разрывов и характере разрывов поля i t , если бы основные количественные законо.мерпости в распространении плоских волн в различных анизотропных средах были уже изучены. Это еще ра:^ подтверждает безотлагательную необходимость скорейшего изучения количественных закономерностей в распространении плоских волн. 97

3. Перейдем к обсуждению вопросов, касающихся вида дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для функций гр из выражений (2.7.1), отвечающих поверхностям разрыва поля it того или иного типа. В п. 1 § 7 было показано, что упомянутые функции ф обяза1п>1 удовлетворять (сложному) дифференциальному уравнению (2.7.7), которое след,'ет теперь лишь упростить надлежащим образом. Левая часть такого уравнения является полиномом третьей степени от р^, который преобразуется в левую часть алгебраического уравнения (2.7.18), если от величин ро и р^ перейти к величинам v = v{N) и п^ = nk{N) из формул (2.8.1). Поэтому преобразования алгебраического характера над левой частью формулы (2.7.7) можно производить на основе уравнения (2.7.18). Как уже указывалось в п. 6 § 7, уравнение (2.7.18) является алгебраическим уравнением третьей степени относительно г;^, имеющим три положительных корпя v^, =

Fr{Xik,pg,

Пи

П2,пз),

Г = 1, 2, 3,

(2.8.4)

каждый из которых оказывается однородной второй стенени функцией относительно переменных пх, Пг, пз. Выражения Fr из формулы (2.8.4) являются алгебраическими функциями от ni, пг, пз и ^ik.pq, которые всегда могут быть выбраны так, чтобы каждая из функций Fr при г- = 1, 2, 3 была аналитической функцией от указанных переменных везде, за HCKjH04eHHeM, бьпъ может, изолированных особых точек. (Указанный выбор можно произвести, например, на основе трех формул Кардана.) Что же касается явных выражений функций (2.8.4), то они не представляют практического интереса вследствие их крайней громоздкости и необозримости. Заметим, что к указанному выше способу нумерации корней уравнения (1.3.11) можно добавить еще требование, чтобы символу г — 1 всегда отвечал наибольший корень уравнения. Это вытекает из отмеченного в п. 6 § 7 факта, что при любых значениях \ik,pq (отвечающих реально существующим анизотропным упругим средам) и при любых направлениях орта it между корнями уравнения (1.3.11) всегда выполняются соотношения v\ > к — 2, Ъ, ъ которых знак равенства исключен. Поэтому если для корня (2.8.4) при г = 1 выбрать аналитическое представление, которому соответствует наибольшее значение v^ при некоторых фиксированных значениях rik и Xik,pq, то этому же аналитическому представлению v"^ = Fx будет соответствовать наибольший корень уравнения (1.3.11) и при любых

98

других параметрах rik и \ik,pq- Действительно, все функции Fr из выражений (2.8.4) непрерывны, и потому соотношение v'l > могло бы нарушиться только в том случае, если бы существовала точка Xii^ pg, в которой vf = V2 > v^. Однако опыт исключает существование такой точки. Итак, при определении корней (1.3.11) аналитически едиными при каждом фиксированном значении г формулами (2.8.4) всегда можно считать справедливыми неравенства (2.8.3). 4. Если учесть свойство однородности второй степени функций Fr из формул (2.8.4) относительно величин щ , П2, щ я возвратиться по формулам (2.8.1) к переменным ро, pi, р2, рз, то из формул (2.8.4) получатся выражения Po = Fr{^ik,p,„PuP2,P3),

г = 1,2,3,

(2.8.5)

для корней уравнения (2.7.7), рассматриваемого как алгебраическое уравнение третьей степени относительно Pq. Поэтому левая часть уравнения (2.7.7) может быть разложена на множители, что позволяет переписать это уравнение в виде 3

Д[р2 -

PUP2, Рз)] = 0.

Fr{\ik,pk..

(2.8.6)

Г=1

Таким образом, оказывается, что дифференциальное уравнение (2.7.7), в котором ро, Pi, Р2 и рз имеют смысл частных производных из выражения (2.7.1'), допускает тождественное преобразование к виду (2.8.6) и, ачедовательно, расщепляется на три независимых дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка вида (2.8.5). При этом, как уже упоминалось, каждая функция Fr (2.8.5) оказывается однородной второй степени регулярной функцией от аргументов PI,P2-.P3- Однако аналитические выражения таких функций настолько громоздки, что в фор.ме (2.8.5) уравнения не представляют практической ценности. 5. Чтобы получить уравнения, эквивалентные (2.8.5) и удобные в приложениях, вернемся снова к задачам для плоских волн из п. 6 § 7. Обсуждавшееся в связи с формулой (2.8.4) уравнение (2.7.18) является, как известно, условием разрешимости однородной алгебраической системы уравнений (2.7.20), решение которой подчинено ус;ювию нормировки (2.7.21). Тогда ecjm подставить в уравнение (2.7.20) вместо vl какое-либо значение v^ из соотношений (2.8.4), то из си-

99

стемы (2.7.20) и условия (2.7.21) однозначно определятся величины =

i = 1,2,3,

(2.8.7)

являющиеся однородными нулевой степени регулярпы.ми функциями от ni, П2 и Пз. При помощи таких величин из соотношений (2.7.20) и (2.7.21) для корней v^ из выражения (2.8.4) однозначно выводятся соотно1пения 3

vl = FriXik,p„ni,n2,Ti3)=

>4k^p^ik,pgPkPpA['-^ - PIA''/'^ = О, k,p,q=l

100

г = 1,2,3,

(2.8.12)

получающейся из системы уравнений (2.7.20), которую целесообразно здесь выписать еще раз: 3

^

=0,

(2.8.12')

k,p,q=l

В результате замены Vr и rtjt на ро и р^ по формулам (2.8.1). В связи с изложенным отметим, что несмотря на очевидную громоздкость и необозримость аналитических представлений, которые могли бы быть получены для функций А^р в результате решения системы уравнений (2.8.12'), уравнения (2.8.9) оказываются вполне пригодными (и даже удобными) для эффективного решения прикладных задач. И объясняется это в основном своеобразием конструкции, посредством которой величины А^р из формул (2.8.7') входят в правые части диффере11циа.,'1ьных уравнений (2.8.9). Своеобразие же этого состоит в том, что оттнодь не постоянные величи1п>1 Л-'^' ведут себя в уравнениях (2.8.9) как постоянные по отношению к (однократному) дифференцированию по pk w Xk- Дело здесь в следуюп;ем. 6. Для конструктивного построения поверхности гр = т { х и х 2 , х г ) ~ 1 = 0

(2.8.13)

разрыва (фронта) волны на основе решения соответствующей задачи для одного из дифференциальных уравнений (2.8.9) в частных производных первого порядка следует применять метод характеристик, свод}ш;ий проблему к предварительному построению системы лучей, отвечающих искомому волновому фронту. При этом лучи определяются как решения некоторых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида dxm

=

Х2,

Хз,

Рь Р2,

Рз),

(2.8.14) as

=

Х2, Хз, РиР2,

Рз),

m = 1, 2, 3,

где S — параметр, который в таких задачах, как выясняется, связан со временем t формулой . =

101

(2.8.13')

а под Нр^ и Н^^ понимаются частные производные по р^ и Хт от функции Гамильтона 3

Е

^ik,pяPkPpAl;'^A'f\

(2.8.15)

И вот ДЛЯ построения систе.мы лучей необходимо прежде всего вычислить частные производные Нр^ и Я^^. Они вычисляются вполне аналогично, вследствие чего мы рассмотрим подробно лишь производную 3

3

i,p,q=:1

+

3 V

г,к,д=1

/ (

Лч.

алИ

s,A{r)\

i,k,p,q=l

Если учесть свойства симметрии типа (1.1.10) ^im,pq — ^pq^im ~ ^mi,pq — ^im,qp для величин из равенств (2.7.5), то нетрудно убедиться в равенстве первого и второго, а также третьего и четвертого слагаемых из правой части выражения для Нр^. Поэтому

3

= 2 J2

^irn,pqPpA^;^А^р,

(2.8.16)

так как в силу системы (2.8.12) и условия (2.8.10) очевидно имеет место

г,к,р,(7 — 1

г=1

102

Совершенно так же для вторых нужных нам производных получаются выражения гг

_

-"Х". -

Z^

^^ik.pg Ят

А{Г]Л(Г) РкРрЛд

Ai

,

аналогичные выражениям (2.8.16), показывающие, что величины Л из формулы (2.8.4') AeMCTBHTejn,HO ведут себя как постоянные при вычислении производных ffp^ и Вследствие этого (решающего) обстоятельства правые части уравнений (2.8.14), которые можно переписать в виде dx

^^ =2 Е (2.8.14')

dpm ds

^ dXik, ,^ дх t,k,p,q=\

содержат, помимо \ik,pq и рк, лишь функции A'f^ из формул (2.8.7') (а не функции А^"^ и их частные производные, как можно было бы представить по внешнему виду функции Гамильтона (2.8.15)). При этом упомянутые функции, несмотря на крайнюю громоздкость их аналитических представлений, легко определяются численно из алгебраической системы уравнений (2.8.12'). А этого вполне достаточно для численного интегрирования (с помощью ЭВМ) системы уравнений (2.8.14'), определяющей лучи волн в анизотропных упругих средах. После построения системы лучей поверхности вачновых фронтов строятся без труда. 7. В заключение остается сделать три за.мечания, из которых первое следует рассматривать как принципиЕильное. Дело в том, что при переходе к окончательной фор.ме (2.8.9) для уравнений в частньгх производных, определяющих движение волновых фронтов, мы отказались от использования точных аналитических представлений для величин (которые можно было бы получить) и решили эти величины определять численно на основе системы алгебраических уравнений (2.8.12). Поэтому необходимо обсудить вопрос, касающийся правила выбора решений указанной систе.мы так, чтобы они отвеча-

103

ли заданным значениям индексов г в уравнении (2.8.9), определяющим тип рассматриваемых волн. На основании изложенного в п. 3 ясно, что при рассмотрении квазипродольных волн (г = 1) в качестве A'f'' необходимо брать peineние системы (2.8.12'), отвечающее всегда наибольщему собственному значению vf, удовлетворяющему неравенству (2.8.3). "Что же касается квазипоперечных волн, то при значениях параметров Xik,pq и Пк из равенств (2.8.2), при которых uf Ф например (2,8.17)

v^ > vl

трудностей не возникает; в качестве A f ^ и можно выбрать решения системы (2.8.12'), отвечающие соответственно собственным значениям Vo и г^з из неравенства (2.8.17), ортогональными друг другу, а также рещению И вот пусть при некоторых исходных значениях в области По параметров Xik,pq и Пк системы (2.8.12') выполняется неравенство (2.8.17), позволяющее определять решения и Л р ' как указано выше. Чтобы правильно продолжить выбранные решения на все пространство П параметров системы (2.8.12') (где наряду с неравенством (2.8.17) может выполняться равенство v^ = v^ и неравенство < ^з) следует учесть, что при любом фиксированном индексе г решение как аналитическая функция параметров однозначно определяется во всем пространстве П, ecjm известны значения В любой частичной области По этого пространства. Поэтому решения А] и А^ , выбранные для области По параметров, для которых выполняется неравенство (2.8.17), однозначно определяют функции Ар^ и A f ^ при любых значениях и U3, и эти (аналитические) функции уж во всяком случае должны быть непрерывными. Но нетрудно видеть, что вследствие условий ортогональности г = 2,3,

(2.8.18)

автоматически выполняющихся при любых т^ одно лишь требование непрерывности каждого из решений A f ^ и Л р ' при переходе через значения Vj = '^'з У^'^ обеспечивает единственность продолжения этих решений и, следователыю, фактически приводит к требуемому аналитическому их продолжению.

104

Итак, мы приходим к заключению, что при выборе решений A'f^ системы уравнений (2.8.12'), отвечающих различным индексам г из равенства (2.8.9), следует брать за исходные такие значения параметров Xik,pq и rik, нри которых справсдливо неравенство (2.8.17), а зате.м продолжать эти решения с жестки.м контролем их непрерывности. Второе из обещанных замечаний должно способствовать лучшему пониманию смысла и значения понятия о лучевой скорости (2.7.26), (2.7.27'), которое было введено в §7 на «абстрактном примере» плоских волн. Если учесть упо.минавшееся уравнение (2.8.13) фронта волны, а также формулу (2.8.13'), связывающую параметр s из уравнений вида (2.8.14) со временем, и воспользоваться формулами (2.8.1), из которых следует ; 1 о о Vr где Пк = дт/дхк — составляюн;ие орта нормали к фронту, а. Vr — ее фазовая скорость распространения, то первая группа уравнений (2.8.14) перепишется в виде

^

= 7

Е

= е'.

(2.8.19)

T,p,q=\

Таким образом, оказывается, что точка пересечения луча с фронтом (2.8.13) волны движется (вдоль луча) не с фазовой, а с лучевой скоростью. Как выясняется, вдоль лучей (определяемых в результате решения системы уравнений (2.8.14)) распространяется и энергия волны. При этом элементарные соображения баланса энергии приводят к лучевому методу расчета интенсивностей волн в нулевом его приближении. Что же касается третьего замечания, то оно восходит к естественному стремлению к возможно более полной физической наглядности в представлении результатов теории волн особенно в случаях, когда последние ревизуются в форме сложных формульных соотношений или мате.матических алгоритмов. Так, например, было показано, что построение волновых фронтов полей волн, возбуждае.мых различными источниками, оказывается связанным с построением совокупности лучей как решений системы обыкновенных дифференциальных

105

уравнений (2.8.14). Такая задача, выписанная для случаев анизотропии среды, подобна построению лучей и фронтов волн в неоднородных упругих средах на основе решения известной системы уравнений для лучей

ат

^

dr

=

V

т = 1,2,3,

(2.8.20)

где V = v{xi, Х2, Хз) — скорость распространения волн в среде, а = rt/v — вектор рефракции с нормалью i f к волновому фронту. Приведенные системы уравнений для лучей сами по себе еще не привносят количественно-качественной (физической) наглядности в понимание хода процессов распространения волн. Однако подобная наглядность сразу же появляется после численного решения систем уравнений и после построения систем лучей и фронтов, отвечаюш,их различны.м источникам волн и различным случаям вещественных параметров среды. Подобным же образом обстоит дело во многих (если не во всех) разделах теории волн, вследствие чего представляется крайне целесообразны.м дополнять математическое изложение вопросов теории упругих волновых полей специальным разделом, содержащим алгоритмы и программы расчета волновых полей в ряде узловых проблем теории.

Глава 3 Дополнения к общим положениям теории волновых полей § 9. Обобщенные решения и представление о сосредоточенных источниках упругих возмущений Прежде всего здесь обсуждаются пути обобщения понятия о решении t) задач динамической теории упругости на случаи, когда свойства гладкости функций T f { x k , t) оказываются (значительно) хуже, чем предполагалось в гл. 2. С решениями такого типа часто приходится встречаться в приложениях, в частности, и при рассмотрении волновых полей, порожденных сосредоточенными источниками. Что же касается второго круга вопросов, то он связан с принципом взаимности, выражающим своеобразное свойство симметрии полей по отношению к источнику и приемнику волн. Принцип взаимности находит приложение в сейсмической практике, причем не всегда корректное. Поэтому изложение его сущности в точной форме и обсуждение его физического смысла несомненно актуальны и теперь. 1. В гл. 2 обсуждались различные вопросы, связанные с классическим представлением о решениях уравнения (1.2.8), причем под решениями подразумевались непрерывные функции Х2, хз, t), имеющие вне границ раздела среды (на которых выполняются те или иные условия контакта, обсуждавшиеся в § 3) непрерывные частные производные первого и второго порядка везде, за исключением, быть может, конечного числа характеристических поверхностей. В соответствии с таки.м представлением для выяснения вопроса о том, является ли l t { x i , Х2, хз, t) классическим решением некоторой гра-

107

ничной задачи из п.1 § 3, необходимо было проверять непосредственно, удовлетворяет ли it уравнеию (1.2.8) и всем дополнительным условиям, а также обладает ли оно требуемой гладкостью и требуемым типом разрывов в производных на характеристиках. Подобную проверку не всегда легко произвести, особенно в случае сложных областей, а также входных данных, обладающих не слишком высокой гладкостью. Более того, входные данные часто оказываются такими, что им отвечает «ренюнне», не укладывающееся в понятие классического ренюния уравнения (1.2.8), однако ему можно придать ясный физический смысл. Наконец, иногда при выбранных входных данных задачи из п. 1 § 3 penienne lt{M, t) не удается построить классическим путем, т. е. так, чтобы на каждом шагу можно было проверить удовлетворение решением уравнению и всем дополнительным условиям. Однако если рассматривать входные данные как результат предельного перехода по какому-либо параметру п от других, более гладких входных данных, то появляется возможность строить последовательность классических решений t), сходящуюся в некотором смысле к функции lt{M, t). Возникают вопросы: можно ли (и при каких условиях) такую функцию lt{M, t) считать решением рассматриваемой задачи, отвечающим предельным значениям ее входных данных; какой математический смысл следует придавать такого рода решению; каково практическое значение таких решишй; каков их физический смысл и т. д. Выяснение подобных вопросов, имеющих, в частности, существенное значение в проблеме точечных источников упругих колебаний, базируется на некотором расширении понятия о решении уравнения (1.2.8). Чтобы наметить формальные пути такого расширения, полезно предварительно рассмотреть простейший случай однородной упругой (анизотропной) среды, для которой уравнение (1.2.8) может быть записано в форме

= J,9=l

(3.9.1)

?=1

где симметричные дифференциальные операторы

к,р—\

108

^

содержат упругие параметры Cji.,pq среды, удовлетворяющие соотношениям симметрии (1.2.6'). 2. Пусть О — произвольная функция, непрерывная с производными порядков П < ПО, то за — MQ; TIQ) можно взять / ( М - Мо) 1 и гпо > 1 имеет непрерывные noxk a t все частные производные вида др+я дх^дх1дх]д1ч

V Uee{M,

t),

где р = а + Р ^ < По и q < то- (Утверждение следует из свойств гладкости функций (3.9.9) и (3.9.10) и возможности дифференцирования функции l}ее под знаком интегралов. Последнее, кстати говоря, следует из того факта, что при (М, t) е В интегрирование в формуле (3.9.11) производится по конечной области, содержащейся внутри Be.) Замечание. Утверждение сохраняет силу и в случае невыполнения одного из неравенств щ > 1, т о > 1, если функцию it считать непрерывной. Если по = О (тпо = 0), то достаточно потребовать непрерывности lt{M, t) по неременны.м Xk (по нере.менной t) при любом t (любой Xk) из области В^. Свойство 2. Если в области В^ функция lt{M, t) непрерывна и имеет интегрируемые первые частные производные по Хк и t, то в точках {М, t) е В операция усреднения из формулы (3.9.11) над it коммутирует с однократным дифференцированим по ж*: и (В случае т о = О {щ = 0) и дифференцирования по t (по Xk) утверждение следует из возможности дифференцирования под знаком интеграла правой части выражений (3.9.12) или (3.9.13). В остальных же случаях утверждение доказывается дифференцированием под знаком интеграла одной из функций 4 с последующим интегрированием по частям.) Свойство 3. Если в области В^^, где £о > О фиксировано, функция Tt{M, t) непрерывна вместе с частными производными порядков q < qo, то средние функции (3.9.11) - (3.9.13) при О < е < £о и их частные производные порядков q < qo сходятся при е О равномерно в области В к функции lt{M, t) и к соответствующим ее частны.м производным. (Утверждение легко доказывается применением к jfge из формулы (3.9.11), равно как и к ее частным производным, вычисляемым с учето.м свойства 2, первой теоремы о среднем.) Свойство 4- Если относительно lt{M, t) известна лишь ее интегрируемость в Bt-j, где го > О фиксировано, то средние функции

114

{3.9.11) - (3.9.13) сходятся при £ ->• О к функции ll{M, t) по крайней мере в средне.м по области В в смысле метрики ъ L^ {р = 1, 2). (Доказательство такого утверждения можно найти в 5-м томе "Курса высшей математики" В. И. Смирнова.) Заметим, что из свойства 3 для любой непрерывной функции lt{M, t) вытекают соотношения lim,_,o f f f

- Mq; no)dMo =

— ОС OO

t)S{M - Mo; no) dMo = ll{M,

= f f f lt(M,

t), (3.9.14)

lim г->о f

lt{M,

to)Se{t - to', mo) dto =

— OO

=

to)S(t - to; mo) = lt{M,

/ lt{M,

t),

позволяющие с учетом условий (3.9.9) и (3.9.10) рассматривать (обобщенные) (5-фупкции Дирака ^ как результат предельного перехода при е О от функций (3.9.9) и (3.9.10). Наконец, нам придется пользоваться интегральной формулой Грина—Вольтерра

{В) °Ml{lt)

- -TtMl{lt°)]

clE-

(S)

' К а к известно, (5-функции Дирака определяются формально соотношениями СХ)

вида

S(t-to) =

О при

t ji to и f ip{to)S{t-to) dto = V>(t) для

любой непрерывной

-OO

tp(t}. Упомянутый предельный переход при е знаками интегралов, как в формуле (3.9.14).

115

О всегда следует выполнять под

г

- j d t J I 0

dt^F^)-] -

- (itt;^")-]} as,,

(So (3.9.15)

получающейся из дифференциальной формулы (1.2.21) (в которой ^ и заменены соответственио на ^ ( т / ) и согласно введенному в формуле (3.9.8) обозначению для левой части уравнения движения упругой среды) интегрированием по области В в виде гиперцилиндра из начала п. 3 в следующих предположениях. 1) В трехмерной области V, заполнсЕнюй упругой средой (на которой построена четырехмерная область В), имеется граница раздела So первого рода, вне которой все параметры упругой среды непрерывны. 2) Поверхность So имеет непрерывную (или кусочно-непрерывную) норма,г1ь 3) По обе стороны от границы раздела поле т/° непрерывно вместе с первыми частными производными вплоть до этой границы, а также до границы S области Б, и имеет ограниченные вторые частные производные. 4) По обе стороны от границы раздела So поле i t , имеющее в В интегрируем1.1е вторые частные производные, непрерывно и имеет первые частные производные, непрерывные везде, за исключением поверхности Ei, с кусочно-непрерывной нормапью Т^. При приближении к Ej с обеих ее сторон M/\{lf) имеет определенные предельные значения М^ {т1), а при приближении (с обеих сторон) к границе раздела So существуют предельные значения it"*" и Т^г^ векторов i t и Не останавливаясь }ia элементарном выводе формулы (3.9.15), лишь от.метим, во-первых, что выражения и M4{lt), равно как и М4(т/°), определяются формулами (1.2.5) и (1.2.23) соответственно полям i t и во-вторых, что различие в условиях, которым мы подчинили поля it и lt° объясняется лишь кругом вопросов, к которым будет применяться формула (3.9.15) в настоящем параграфе. В дальнейшем границу 5о, О 0. Выбирая, например, l t ° = lt 2, причем и О < £ < £о произвольны, и применяя к (3.9.18) первую теорему о среднем, получаем

118

где |М' - Мо| < е K\t — t'\ < е.Ъ силу непрерывности в выборе и £ отсюда следует

и произвола

Замечание. Если единственное изменение в условиях теоремы состоит в том, что обобщенное решение lt{M, t) имеет разрывы в первых производных на гладкой поверхности (или поверхностях) Ei, причем с обеих ее сторон существуют непрерывные предельные значения таких производных, то lt{M, t) — классическое решение уравнения (3.9.8) с правильны.ми сильными разрывами на Ej. Действительно, из равенств (3.9.17) и (3.9.15) аналогично предыдущему получается равенство 1111

[:t(lt)

+ -f]lt°

dB = - I I I

(В)

-

dSi,

(Ei)

(3.9.19) справедливое для любой G Kb- Выбирая сначала равным нулю на El и замечая, что при этом равенство (3.9.19) принимает вид (3.9.18) (так же, как и выше) убеждаемся, что вне поверхностей Е и El удовлетворяется уравнение (3.9.8). Но вследствие этого равенство (3.9.19) сводится к равенству

///•

lt°[Ml

(it)-Щ

(l/)]dEi=0

i^i)

при произвольной е Кв- В силу непрерывности [ М ^ ^ ( i t ) — M i (1?)] в точках El (вытекающей из условий теоремы) отсюда следует mI = М4 па El, что и означает выполнение динамических условий совместности (2.5.6). Из предположения же о непрерывности i t и существования предельных значений первых частных производных от с обеих сторон Ei вытекают и кинематические условия совместности (2.5.5) на EiТеорема 2. Еош в области В, содержащей гранипу (или границы) Е° раздела первого рода, функция ' f непрерывна, а обобщенное решение lt{M, t) урав1юпия (3.9.8) при контактном условии С непрерывно вместе с первыми частными производными по обе стороны от Е° (вплоть до точек Е°) и имеет интегрируемые вторые частные 119

производные, непрерывные везде, за исключением конечного чиача поверхностей Ё, то lt{M, t) является классическим решением уравнения (3.9.8) при условиях контакта С. Действительно, если сначала выбирать € К в равными тождественно нулю в £-окрестности поверхности (где е > О сколь угодно мало), то вполне аналогично предыдущему нетрудно убедиться, что вне функция lt{M, t) удовлетворяет уравнению (3.9.8). Вследствие этого условие (3.9.17) и формула (3.9.15) (в которой лишь третий интеграл из правой части отличен от нуля) приводят к равенству I

о

(So)

~

+ '

(3.9.20)

(в)

справедливому при любой G К^Предноложи.м для определенности, что условия С контакта на SQ сводятся для ноля it^ к равенствам (1^")+ = ( l t ° ) - =

{ П У = it!:)- ^ й

(3.9.21)

в точках поверхности So- (Контакт жесткий!) При этом равенство (3.9.20) переписывается в виде т j

dt I j i v i i t t ' ^ - l t - ) } d S

о

= 0,

(3.9.22)

(So)

где ito и То обозначают граничные значения (3.9.21) векторов т/" и на So, нриче.м условие (3.9.22) должно выполняться при любой

е к%.

Чтобы получить из условия (3.9.22) условия жесткости контакта на So для поля it, т. е. равенства lt+=Tt~,

=

(3.9.23)

достаточно воспользоваться легко доказуемым фактом, а именно: it^ может быть выбрано удовлетворяющим усиювию (1^°)+ = ( i t " ) " =

120

= = о на 5о при произвольных значениях вектора напряжений То = = в точках этой поверхности. При указанном выборе поля первое слагаемое под знаком интеграла в равенстве (3.9.22) равно нулю тождественно. Поэтому в силу произвола в выборе значений 7t(M, t) в точках поверхности So, а также непрерывности и па So (вытекающей из условий T C o p e M i . i ) из равенства (3.9.22) следует первое из равенств (3.9.23). В силу этого равенства соотноп1епие (3.9.22) переписывается в виде, не содержащем второго слагаемого под знаком интеграла, причем оно должно выполняться при любом е К'^. Отсюда сразу же следует и второе равенство (3.9.23). Теорема 3. Если при (М, t) & В функция lt(M,t - to; Mo) есть обобн;енное решение уравнения (3.9.8) при = 'f{M,t - to; Mo) и при любых значениях {Mo,to), принадлежащих области Во, г. tf = = (p{Mo,to) — интегрируемая в Во функция, то [f{M,

t) = л

и

^{Мо, to)lt{M,

(3.9.24)

t - to; Mo) dBo

(До)

определяет в области В обобн;енное решение уравнения - f { M , t),

=

(3.9.25)

где f{M,

t)=

I I I I f{Mo,

to)t{M,

(3.9.26)

t - to; Mo) dBo.

(Bo)

Действительно, для произволыюй

£ Kq (ИЛИ К%) имеем

( В )

чш

fiMo,

to)

1111

lt{M,

t - to;

dB

dBo =

(Во)

(Во)

//// 121

^~

dBo =

-IIJj^'f^B^ (В)

ЧТО и доказывает утверждение. Замечание. Практическое значение теоремы 3 состоит в том, что в ней рассматривается операция (3.9.24) усреднения но параметрам Мо и to решения lt{M, t - to\ Mo) уравнения (3.9.8), весьма часто встречающаяся в приложениях. Естественно ожидать, что такая операция приводит к более гладкому решению lf{M, t) уравнения (3.9.8) со сглаженной правой частью t). При этом если на основании (3.9.24) yдaJЮCь доказать достаточную гдадкость функции l}{M, f), то в силу теорем 1 и 2 она является классическим ( т. е. «хорошим» с точки зрения практики) решением уравнения (3.9.25). В частности, в случае однородной среды lt{M, t - to\ Mq) = = it{М — Mo, t — to). Поэтому формула (3.9.24) для любой финитной функции t) переписывается в виде L}{M, t)^

л

и

^{МО, to)lt{M

- MQ, t - to)dBo =

(Во)

= л

и

^(м

(3.9.27)

-Mo,t-to)lt{M,,ti)dB,,

(йО где Bi - настолько широкая область, что при любых ( М , t), принадлежащих замкнутой области В, вблизи границы Bi имеет место ip{M — Ml, t — ti) = 0. В этом случае гладкость решения 11 элементарно устанавливается на основании гладкости функции 1х решений уравнения (3.9.8) следует сделать ряд замечатшй, прежде всего относящихся к случаю задач, в которых поле смещений в области В возбуждается не массовыми силами с плотностью ~f{M, t), а воздействиями, прикладываемгями к границе 5 области V, загюлненной упругой средой. Ради определенности остановимся на воздействии вида В силу оценки

= - f { M , t),

(3.9.34)

(S)

где М G S, причем будем предполагать, что внутри V нет границ раздела 1-го рода Замечая, что при указанном в п. 3 выборе области В интеграл по Е в формуле (3.9.15) имеет ЗЕ1аче?ше III[it^Mliltyitm^O)] (E)

•^Заметим, ч т о в качестве u t

dE = / / /

dV1=0

iV) м о ж н о взять с р е д н ю ю ф у н к ц и ю (3.9.11) при

по

> 2, 7(10 > 2 и £ = £ „ , где Еп —> О при п —у ос. ^ В с л е д с т в и е э т о г о в ф о р м у л е (3.9.15) о т с у т с т в у е т слагаемое с и н т е г р а л о м по So-

124

г

(V)

0

(S)

определим в В класс К/, произвольных финитных функций непрерывных имеете с производными первого и второго порядков (или даже с производными всех порядков), равных тождественно нулю в окрестности поверхностей < = О и i = Г и удовлетворяюн;их ус;к)1!ию = О в точках боковой поверхности области Б, т. с. при М G S, О < t < Т. Если lt{M, t) — классическое ренгенис однородного уравнения (3.9.8) в области В, удовлетворяющее гранич1юму условию (3.9.34), то при произвольном G Kb формула (3.9.15) запингется в виде т

I

J (Л)

j

d

B

=

-

j 0

d t j l { l t ° f ) dS.

(3.9.35)

(S)

Таким образом, указанное классическое решение it удовлетворяет соотношению (3.9.35) при любой е Кп- Нетрудно видеть, что, наоборот, если соотношение (3.9.35) выполняется при любой l/" е Кь и при функции i t , непрерывной в В, например, вместе с производны.ми первого и второго порядков, то i t - классическое решение однородного уравнения (3.9.8), удовлетворяющее граничному условию (3.9.34). Приведенные соображения показывают, что соотношение (3.9.35), подобно соотношению (3.9.17), может быть положено в основу определения понятия обобщенного решения однородного уравнения (3.9.8)при граничном условии (3.9.34). Вследствие очевидной идейной близости соотноп1е1П1й (3.9.17) и (3.9.35) представляется возможным не останавливаться здесь на точном определении понятия об обобще1пюм решении однородного уравнения (3.9.8) при гранично.м условии (3.9.34), а также ira установлении необходимых для приложений его свойств. От.мети.м только, что на основе соотношения (3.9.35) легко могут быть доказаны утверждения, вполне аналогичные утверждениям теорем, приведе)Н1ых в п. 5. Остается сделать за.меча1ше, связанное с тем обстоятельством, что при изложении основных (простейших) результатов теории обобще1и1ых решений уравнения теории упругости мы не рассматривали динамических задач в их полной постановке, обсуждавшейся в § 3. Объясняется это тем, что необходи.мость перехода к обобщенным

125

решениям в прикладных задачах теории упругости обычно возникает в связи с рассмотрением последовательностей гГ^(М, t) классических решений полно поставленных (в смысле §3) динамических задач, соответствующих некоторым последовательностям достаточно гладких внешних воздействий, например, массовых fn{M, t) или поверхностных Т.п{М, t) плотностей сил. При фиксированном значении п каждая из таких задач для уравнения (3.9.8) решается при всех необходимых дополнительных условиях из § 3, обеспечивающих единственность решения. При изменении же значения п (например, при п —> ос) внешние воздействия на среду стре.мятся к соответствующим предельным значениям, гладкость которых оказывается уже недостаточно высокой для того, чтобы отвечающее им предельное поле упругих смещений lt{M, t) имело классический смысл. И если выполняются условия теоремы 4 (или вполне аналогичной теоремы в случае граничных воздействий Г„), то предельное поле lt{M, t) оказывается обобщенным решением уравнения (3.9.8), отвечающим предельным значениям внешних воздействий, а также всем прочим (не зависящим от индекса п) дополнительным условиям динамической задачи, которым удовлетворяла функция гГ^(М, t). Из единственности ренхения классических задач для t), а также из единственнсти предела (3.9.29') следует единственность обобщенного решения lt{M, t) в смысле метрики в Lp. 7. С обобщенными решениями в динамической теории упругости приходится встречаться главным образом при рассмотрении полей сосредоточенных источников колебаний в однородной или кусочно однородной среде. С физической точки зрения естественным подходом к проблеме источников колебаний, приложенных в точке {Мо, to) упругой среды, является рассмотретше последовательностей распределенных достаточно гладких плотностей массовых или поверхностных сил, область приложения которых стягивается к точке (Мо, to) при изменении некоторого параметра. Так, например, в случае внутреннего источника колебаний типа мгновенной силы с единичным импульсом, приложенной в момент t = to к точке MQ области V, за упомянутую последовательность можно взять плотность Тп{М - Мо, i - to) =

( М - Mo; no)

с (5-образнымн функциями (3.9.9) и (3.9.10).

126

{t - to; mo)

(3.9.36)

в случае подобного же источника, приложенного в точке (Мо, to) границы S упругой среды, следует исходить из последовательности =

- Mo)6,„{t-to-,mo),

(3.9.37)

где ~t — единичный вектор нормали или касательной к поверхности S в точке М (или в точке М^), а задаваемая в точках S достаточно гладкая функция (рпЩ — ^ о ) подчинена условиям 1) 2)

с^п(М-Мо)-| ff^M-Mo)dS

о, \М - Мо\ > бп, = l.

(5)

Не задерживаясь па перечислении других возможностей, заметим, что любые точечные источники могут быть сконструированы из систем источников вида (3.9.36) и (3.9.37) на основе соответствующих предельных переходов и что создаваемые ими поля смещений определяются суммарным вектором приложенных в источнике сил, а также векторами их моментов первого и высщих порядков. При выборе последовательностей распределенных массовых сил вида (3.9.36) естественно иметь дело с настолько гладки.ми (J-образными) функциями (М — Afo; пд) и 0) непрерывна в промежутке (3.9.44) и определяется соотношениями О, Ф,{t)

=

t < О,

fleeit)],

0• О и воспользоваться равенством (3.10.34). В результате вместо выражения (3.10.38) будем иметь ММи

to, N0;

= I I I t-u^iM,

to, No-, V, е2)6еЛМ-Мй

no)dM,

(V)

(3.10.39) где ut обозначает поле из представления (3.10.34). Что же касается правой части соотношения (3.10.1), то по таким же соображениям, как и в п. 3, интегрирование по основаниям гиперцилиндра В дает нуль. На боковой его поверхности {S, О < t < Т) интегрированию очевидно подлежит лишь одно слагаемое [it -mI"

-lt°Ml].

Вследствие этого вся правая часть соотношения (3.10.1) сводится к выражению т J J dN J t - utiN, (sj

t. Ml; v, e) S,{t ~ to - e- mo) 4, {N - No', щ) dt.

0

(3.10.40) Интегрирование гю t и предельный переход здесь легко выполняют-

141

ся, что приводит к следующему окончательному представлению J2{N), to, M i ;

= и

t-ut{N,

to, Mr, f , e^)

- No', no)dN.

(S)

(3.10.41) Таким образом, применение формулы Грина- Вольтерра приводит к соотношению J i ( M b to, No-, Ои £2 > О, когда воздействия (3.10.29) и (3.10.31) становятся строго сосредоточенными, то в равенстве (3.10.42) можно совершить переход к предела.м Si —> О, ег —О, что приводит к более простому соотнопюнию t

• й^{Мг, t, No-,

wt(iVo, t, Mi; ip).

=

(3.10.42')

Ha физическом толковании результата здесь можно не задерживаться. 8. В с в я з и с и з л о ж е 1 П 1 ы м у м е с т н о о т . м е т и т ь , ч т о е с л и формулу (1.2.21) при.менить к

полям

(3.10.43)

из формул (3.10.8) (удовлетворяющим уравнению (1.2.8) при плотностях массовых сил Д (3.10.9), гранич1п>1м условиям (3.10.3), а также начальным данным вида (3.10.7)) и проинтегрировать эту формулу по области V, то получится соотноптение

llj[t2nt-uM]pdM

= -

(V) + ///[Tiu^iM, 46)

I I (S)

t, M2-,

- T2ut{M, t, Mi;

142

dM.

(3.10.44)

Поверхностный интеграл из правой части равен нулю в силу равенства (3.10.3). Объемный же интеграл вычисляется на основании представлений (3.10.9) и известного свойства й-функции Дирака. При этом он приводит к выражению ФS

и Мг;

t, Мц

- t^{M2,

(3.10.45)

Вследствие этого из соотношения (3.10.44) вытекает интересное равенство - p-^ivi]

Jи

dM = Ф,

(3.10.46)

(V)

в котором ut = ut{M,t,

к

=1,2.

Обрап1,аясь к формулам (3.10.45), (3.10.46), нужно отметить, что из справедливости принципа взаимности в форме (3.10.27) в ней оказывается Ф = 0. Но тогда из равенства (3.10.46) вытекает соотношение j j j p^2utdM

(3.10.46')

= j j j pT^iU^dM,

(V)

{V)

означающее, что работы сил инерции nepBOi'o (второго) поля на перемещениях второго (первого) поля равны. Такой результат, по-видимому, Hejn.3H было предвидеть заранее. Наоборот, если бы было известно равенство (3.10.46'), то принцип взаим1юсти (3.10.27) вытекал бы из выражений (3.10.45) и (3.10.46). Именно так обстоит дело в статических задачах теории упругости, в которых векторы смещений не зависят от времени t (вследствие чего i^i = = 0), а также в стационарных задачах, когда решения ilt и й^ уравнения (1.2.8) нри плотностях массовых сил fi

- М,),

fl^l^e'^UiM

- M l )

представляются в виде =

Mk-,cj),

к = 1,2,

(3.10.47)

и подчиняются граничным условиям (3.10.3) (а в случае бесконечных областей V дополнительно подчиняются некоторым условиям на бесконечности, называе.мым условиями излучения). 143

Кстати, из принципа взаимности для стационарных задач, т. е. для функций вида (3.10.47), можно было бы вывести принцип взаимности и в общем случае. Для этого следовало бы определить разложение

/

}

О О,

— ОС

для выбранной (произвольной) функции ip{t) и составить подобную же суперпозицию ос

utiM,t,

(3.10..48)

I

решений (3.10.47) уравнения (1.2.8), подчиненных соответствующим дополнительным условиям. В силу линейности операции интегрирования для функций й\{М, t, Mi; ip) и t, Мг; ip) из соотношения (3.10.48) соотношение (3.10.27) также будет иметь место. Что же касается плотностей массовых сил, которым отвечают поля (3.10.48), то формально ясно, что они должны определяться выражениями (3.10.10). Все изложенное по поводу решений стационарных задач должно рассматриваться лишь как рассуждения, не подкрепленные какимилибо доказательствами. Последние, кстати говоря, оказываются значительно более трудными, чем прямой вывод принципов взаимности, которым посвящены пп. 1—7. 9. Чтобы заверпгать обсуждение принципа взаимности в теории упругости n0.;ie3H0 задержаться на инженерной манере его установления, а также — на обсуждении прикладного его значения в сейсмической практике. Утверждения принципа взаимности касаются случаев волновых полей, возбуждаемых пространственно-сосредоточенными источника.ми, прилагаемыми в двух различных точках Mi и М^ упругой среды, например, блокового строения. Вспедствие сосредоточенности источников при установлении принципа приходится иметь дело с полями смегцений содержапц1ми различные сингулярности, выводящие их из класса функций, интегрируемых по Риману, как это предполагается практически во всех инженерных исследованиях. ^1тобы преодолеть возпикаюн;ие здесь затруднения, не выходя за рамки

144

обычного интегрирования по Риману. прип1лось сосредоточенные источники рассматривать как пределы соответствуюп;их гладко-распределенных сил, возбуждающих достаточно гладкие ноля смещений Ti\{M, t. Mi; ei) и t, М2; 82)- Именно этим и объясняется обилие предельных переходов (при £ —> 0) в предыдущем при реализации доказательств в рамках выбранной схемы рассуждений. Д л я практики представляется полезным воспроизвести здесь серию доказательств на чисто инженерном уровне, где J-функции Дирака толкуются как «обычные» функции (даже «непрерывные»), но обладающие следующими специфическими свойствами ос

8{М - Мо) = О,

М ф Мо-;

- Mo) dMo = 1,

j j jS(M

00 / / /

f{MQ)S{M

- Mo) dMo ^

fiM)

(3.10.49) для любой непрерывной функции /(Mq). Одномерную J-функцию наделяют подобными же свойствами. а) Источники

типа включенной

силы.

Пусть в точках Mi и Мг включаются источники f i =jt^{t)S{M

-Ml),

t

= t О — малое число. Под семейством же к (р{х, ...), понимают бесконечное множество ций некоторого класса, содержащее функции неравенствам (4.11.5) при сколь угодно малых Вследствие очевидных соотношений \xk{x, аг) - хк[х, 0)1

ф функций, близких произвольных функф, удовлетворяющие значениях е > 0.

dxk

E тг-О'г

(4.11.6)

получающихся для функций (4.11.3), например, применением формулы Тейлора, а также вследствие предположенной непрерывности на промежутках < х < х°, —qq < Ог < Qo (а значит и ограниченности их модуля) всех производных дх^/даг от функций х^ = = xk{x, аг) из равенств (4.11.3) ясно, что семейство допустимых кривых или функций из равенств (4.11.3) оказывается в то же время семейством произвольных функций, близких к экстре.мали Хк = = a;fc(a;,0), к = 1, 2 ..., п. Поэтому вариацию функций Xk — xk{x, 0), представляющих экстремаль функционала (4.11.1), можно определять на основе семейства допустимых функций (4.11.3). В соответствии с изложенным под вариациями функций хк(х) и xk{x) из формулы (4.11.1) понимают следующие выражения:

=

^

=

А: = 1 , . . . , п .

(4.11.8)

Величины аг, г — 1, ... п, считаются здесь бесконечно малыми (что и позволяет пренебрегать в правых частях равенств (4.11.7), (4.11.8) поправочными члена.ми), а под {дхк/даг)о подразумеваются предельные значения при qi = «2 = ... а „ = О от производных по Qr функций Xk = xk{x, Qi, . . . , а „ ) из семейства (4.11.3). При этом в согласии с определением семейства (4.11.3) все параметры следует считать независимыми друг от друга, а все функции Xk{x,ar) и, следовательно, все выражения ^kr = f , \darJo 154

(4.11.9)

можно считать функциями от х в промежутке независимыми друг от друга и выбираемыми по произволу при любых значениях индексов /сиг. Остается лишь отметить, что если переменная хе{х°, х°) приближается к тому или иному концу промежутка, то вариации Sxk (4.11.7) стремятся к предельным значениям в соответствии с равенствами lim

Sxk,

{S'xk) =

lim

Sxk-

(4.11.10)

3. В некоторых задачах вариационного исчисления для функционала (4.11.1) кроме экстремальной кривой Xk = xk{x, 0), к — — 1, 2, . . . , п, приходится искать и значения пределов интегрирования х" и при которых 1 достигает экстремума. Такой поиск осуществляется также на основе вариации функций, входящих в выражение функционала, но теперь варьируются и пределы интегрирования и в функционале (4.11.1). Считая, что истинные пределы интегрирования в выражении (4.11.1), отвечающие экстремуму I, равны ж"(0) и i''(0), вводят в рассмотрение семейства {а;°(а)} и { £ ° ( q ) } произвольных непрерывно дифференцируе.м1.1х функций от параметра а, изменяющихся в малом промежутке ( - q q , Qo)i и таких, что нри а ~ О эти функции принимают упоминавшиеся значения а;°(0) и ж"(0). Вариации концов промежутка определяются формулами 6х°

а, (4.11.11)

5iO=i°(a)-i°(0)=

( а \dajQ

,

в которых {dx°/da)o и {dx^/da)Q обозначают значения производных функций х°{а) и а;°(а) наших семейств в точке а = 0. При этом параметр а в формулах (4.11.11) считается произвольным, не зависящим от параметров qi, 02, .. •, из формулы (4.11.7) и бесконечно малым. 4. Рассмотренное в п. 3 варьирование пределов интегрирования в функционале (4.11.1) влияет и на положения концов допустимых кривых (4.11.2), которые также оказываются функциями х^ = = Хк [а:°(о), Q i , . . . , а , ] и Xk = Xk [ж°(а), Q i , . . . , а-п] от п -I- 1 независимого параметра а, « i , аг, . . . , Вследствие такой зависимости 155

от варьируемых параметров (истиииые) изменения положений концов кривых (4.11.3) уже не характеризуются вариациями (4.11.10), а должны определяться так называемыми полными вариациями концов допустимых кривых. В соответствии с приведенным выше определением для полных вариаций концов кривых (4.11.3) получаются слб!дующие выражения: 6х° =

Sx,=

дх1,{х,аг-) дх

dxkjx, ат) дх

дхк{х,аг-)

dx"

х=х«(а)

х=х°(а)

da

—ШГг—

dx" da

8хк(х, а^) ваг

а.г

=

(4.11.12) Ну.пь справа у квадратных скобок здесь означает, что после вычис.пения выражения, стояп;его в скобках, в нем полагается а = = «1 = «2 = ... = = 0. Выражения {xk)° и [xk] обозначают предельные значения производных dxk[x, аг)1дх, в которых положено «1 = «2 = ... = « „ = О соответственно при х —> -Ь О и X ж" —0. ^1то же касается величин бхР и {Sx^), то они имеют значения из формул (4.11.11) и (4.11.10). Г). Ес.пи вместо х^, и xk{x) в функционале (4.11.1) подставить cooTBCTCTBeinto функции а;°(о:), х°{п) и х^{х,аг) из формул (4.11.11) и (4.11.3), то функционал I окажется функцией

/ ( q , Qi, Q2,---, а » ) =

J

L[x,

Xk{x,

a-r), xk{x,

ar)]dx

(4.11.13)

x°(a)

от параметров q, Oi, Q2, . . . , a„. Bee эти параметры, изменяющиеся в малых промежутках (-Qn, Qo), попарно независимы, произвольны и выбраны так, что функция 1{а, Qj , . . . , а „ ) достигает экстремума при Q = Qi = «2 = • • • = 0. В случае же а О, « г т^ О выражения 1{а, Q i , . . . , Q,i) представляют собой множество величин, близких к 7(0, О, . . . , 0). Поэтому в согласии с общи.м определение.м под вариацией SI (как говорят, под полной вариацией функционала) следует

156

поиимать выражение di Or, ^VSQr/o (4.11.14) производные из правой части которого, легко в?)Гшсляемые на основании равенства (4.11.13), выписываются при значениях а = QJ = — (12 = ... = о „ = 0. В явном виде фор.мула (4.11.14) очевидно переписывается следующим образом: Q i , . . . , а „ ) - /(О,..., 0) =

Г

"

SI = LSx

Г=1 "

01

\9aJo

5L .

дЬ

дхг

дхг

dx =

Лг

+

Г=1

+

Г=1

JhГ=1

дЬ дхг

d

дЬ

(4.11.15)

бхгйх.

dx дхг

Заметим, во-первых, что здесь было учтено соотношение 5xk — = dSxk/dx из выражения (4.11.11), позволившее вьшолнить интегрирование по частям. Во-вторых же, что первое слагаемое, заключенное в квадратные скобки, oт^^ocитcя к верхнему пределу интегрирования ж = х°(0) = а второе слах-аемое к нижнему пределу X = х°(0) = х°. Еачи воспользоваться выражениями (4.11.12) для полных вариаций ёх\ и 5xk концов допусти.мых кривых (4.11.3), то вместо формулы (4.11.15) окончательно будем иметь: 51 = к=\

—Т'

Sxkdx.

157

дхк

6xk \

-

(4.11.16)

Заметим, что везде здесь под L понимается выражение L{x, Xk,Xk) из формулы (4.11.1), содержащее функции Xk — х/.(х, 0), fc = 1, 2, . . . , п, отвечающие экстремали, от которых в формуле (4.11.6) исчис.чялись вариации Sx^- Что же касается вариаций 6х°, и Sx/i, 5хк, то они имеют смысл и значения соответственно из формул (4.11.10) и (4.11.11). 6. Так как, по предположению, функция 1{а, qi , . . . , Q„) из формулы (4.11.13) достигает экстремума при а = qi = Q2 = ... = а „ = = О, то на искомой экстремали вариация 61 (4.11.16) должна обращаться в пуль. Пусть в вариационной задаче для функционала (4.11.1) сначала считается, что концы допустимых кривых (4.11.3) закреплены, т. е. проходят через некоторые фиксированные точки {х°, х^, х", ..., ) и (х°, xi, Х2, . . . , Хп)- В этом случае 5х°, бхР, бхк и 6xk из выражения (4.11.16) равны нулю, и потому условие экстрему.ма функционала записывается в виде

аь

61 = lo к=1

dxk

d

дь

6xkdx = 0.

dx dxk

(4.11.17)

Но в силу равенства (4.11.7) имеет место

Е к=1

дЬ дхк

d

дЬ

\дЬ

dx dxk

к=1 dxk

Г=1

d

дЬ

dx dxk

•Фкг{х),

где Or — произвольно выбираемые независимые друг от друга числа, а 'фкг{х), определяемые по формулам (4.11.9), — произвольные и не зависящие друг от друга непрерывные функции. Фиксируя последовательно все значения к = ко, г = го, произведем выбор произвольных величин так, чтобы oкaзывaJюcь Qr =

О, г / го ^ О, г = Го

•Фкг

О,к^ко {ф(х),к =

I коГ

Тогда равенство (4.11.17) очевидно сведется к п независимым равенствам дЬ дхк

d

дЬ

dx dxk

•ф{х) dx = О,

158

к = 1, ..., п,

(4.11.18)

содержащим под знаком интеграла произвольную непрерывную функцию 'ф{х). Но в силу предположений о свойствах гладкости функции L{x, Xk, Хк) и функций xk{x, 0) (4.11.3) (сформулированных в начале п. 1 и сразу же за формулой (4.11.3)) выражения, стоящие под знаком интеграла из формулы (4.11.17) в квадратных скобках, непрерывн!,! при < х < Поэтому интегралы (4.11.18) могут равняться нулю при произвольной непрерывной г1'{х) тогда и только тогда, когда выполняются равенства

' =

t r i k - ' -

называемые уравнениями Эйлера для экстремальной кривой. Итак, функции (4.11.2), определяющие экстремаль функционала (4.11.1), должны удовлетворять системе п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (4.11.19). При рассматриваемых условиях закрепления концов экстремаль должна удовлетворять, кроме того, 2п концевым условиям вида xk{x°)=xl,

Хк{5р)=Хк:

к = 1,2,...,

п.

(4.11.20)

Общий интеграл Xk = xk{x, Ci ,С2, ..., С2„), к = 1, 2, ... ,п, системы уравнений (4.11.19) содержит, как известно, 2п произвольных постоянных ci, С2,. -., С2„, которые всегда могут быть выбраны так, чтобы удовлетворялись начальные данные Коши вида Хк

dxk = ак, — о dx

= Ък,

к = 1,2,...,п,

(4.11.21)

задаваемые в одной точке х = хо переменной х. Относительно же возможности выбора постоянных Ci, С2, •. •, Сгп в общем интеграле так, чтобы выполнялись граничные условия (4.11.20), заранее нельзя сказать что-либо определенное. В этом состоит, как известно, одно из затруднений практической реализации методов вариационного исчисления. Однако в интересующих нас задачах на распространение волн приходится иметь дело с решениями уравнений (4.11.19) только лишь при дополнительных условиях типа (4.11.21). 7. Пусть теперь, например, нижний конец допустимых кривых (4.11.3) закреплен, а верх1шй может свободно перемещаться вдоль заданной поверхности 9{x,xi,...,xn)=0. 159

(4.11.22)

Предполагая, что существует кривая (4.11.3), удовлетворяющая указанным условиям закрепления и доставляющая функционалу (4.11.1) экстрема;н>ное значение, поставим целью се найти. Как известно, если какое-либо экстремальное свойство достигается на объекте AQ из широкого бесконечного множества G конк)'рирующих объектов, то оно достигается на Ао и нри допущении к конкуренции лишь объектов из подмножества G, являющегося частью G, если только в G сод;ержатся как Ло, так и объекты, ско.чь угодно близкие к AQ. На основании такого общего утверждения очевидно, что экстремаль поставленной задачи должна быть в то же время и экстремалью задачи, в которой верхний К01юц допустимых кривых закреплен (именно в той точке, в которой находится конец искомой экстремали). Но раз так, то искомая экстремаль должна удовлетворять уравнениям Эйлера (4.11.19). Таким образом, дальнейший поиск экстремальной кривой сле;1ует осуществлять среди множества кривых, удовлетворяю1цих системе уравнений (4.11.19). Но при этом выражение (4.11.16) для полной вариации упрощается, и условие экстремума принимает вид

61 =

Т ,

"

NT ^^ • ^^^

4- J 2 .=1

.

IT

= 0.

(4.11.23)

Здесь /г = 1, 2,..., п, а значения L, ДЬ/ДХК и Xk вычисляются для концевой точки экстремали х^ = xk{x,0) (4.11.3). Величины же 6х = = &х° и 5хк = к = 1, 2,..., п, обозначают произвольные изменения координат точки (х, Xi,X2, • • •, Хп), расположенной па поверхности (4.11.22), т. е. такие изменения координат, что справедливо соотношение дх

+

^^

дХк

(4.11.24)

Заметим, что условие (4.11.24) называется уаювием трансверсальности пересечения поверхности (4.11.22) с искомой экстремалью, т. е. с кривой вида (4.11.2), определяемой функциями Xk = = xk{x), являюпщмися соответствующим интегралом системы уравнений (4.11.19). Очевид1Ю, что это условие фактически сводится к пропорциональности коэффициентов форм (4.11.23) и (4.11.24), т. е.

160

к равенствам вида /

^п

дЬ . \\

1 дЬ

1 дЬ

,,

в которых величины вх = дв/дх, в^^ = дв/дхх,..., 9х„ — дв/дхп пропорциопальпы направляющим косинусам нормали к поверхности (4.11.22). Каионическиие

переменные и система уравнений

Гамильтона

8. Уравнения Эйлера (4.11.19), которым должна удовлетворять любая экстремаль функционала (4.11.1) (называемые в механике материальных точек уравнениями Лагранжа), представляют собой систему п дифференциальных уравнений вторюго порядка для п функций Xk = Хк{х), /с = 1, 2 , . . . , п. Часто удобнее иметь дело с эквивалентной системой 2п дифференциа-чьных уравнений, но не второго, а первого порядка, переход к которой осуп1,ествляется присоединением к прежним искомым функциям некоторых новых неизвестных функций Ук = Ук{х), к = 1,2, ... ,п (например, тривиальным образом полагая ук = хк). Во многих случаях при переходе к уравнениям первого порядка систему уравнений (4.11.19) удается привести к каноническому виду системы уравнений Гамильтона, обладающей существенны.ми преимуществами при рассмотрении ряда принципиальных вопросов теории. Понимая под L в уравнениях (4.11.19) функцию L(X,

Хк,Хк)

=L{X,

ХиХ2,...,

Хп,

XI, Х2,...,

Хп)

из п. 1, положим Рк = ^

=

Xi,X'2,...,

Хп, Xi,X2,...,

Хп),

к=

1,2,...,п,

(4.11.26) и допустим, что равенства (4.11.26), рассматриваемые как система п функциональных уравнений для n величин Хк, могут быть разрешены относительно всех Xi,X2,..., Хк- Необходимое и достаточное уаповис разрешимости системы (4.11.26) сводится, как известно, к отличию от пуля функционального определителя 161

_ d{Li,,

Lj^,...,

5(^1, ±2,

LjJ

_ djpi ...,p„)

in)

^

(4.11.27)

dxi, ..., Xn)

что здесь и предполагается. При условии (4.11.27) из соотпопгепий (4.11.26) одноэпачно определяются п функций Xk - xk{x, Xr, Pr) = Xk{x, Xi ••.,Xn, Pu P2, •••, Pn),

к ^ I . . . , Tl, (4.11.28) подстановка которых в соотношение (4.11.28) обращает его в тождество. В этом случае (и, строго говоря, только в этом) возможен переход от урав1гепий (4.11.19) к канонической системе уравнений Гамильтона. При этом «переменные» Xk и pk, к — 1, 2, . . . , п, являющиеся на самом деле функциями от х, называются каноническими переменными {xk — обобщенными координатами, а р/с — обобщенными импульсами, по терминологии механики). Определим функцию п Н{х, Xk, Рк) = ^Ркхк{х, Хк, Рк) -L[x, Хк, хк{х, Хк, Рк)] (4.11.29) к=\ от переменных х, х\, Х2, • • •, Хп, Р\, Р2, • • •, Рп, называе.мую функцией Гамильтона. По правилам дифференцирования сложных функций при г = 1, 2, . . . , п находим: дН — = Хг -Ь > дрг ^ ^ дхг

дхк Рк^ дрг

V ^^^''дхг

^^ дЬ дхк

> ^ дхк дрг

^^дхкдхг

. , . = ^г{х,Хк, Рк),

дхг

=

дх/

4.11.30)

(4 1131)

Здесь мы воспользовались только определением (4.11.26) для величин Рк, предположением о разрешимости соотношений (4.11.26) относительно величин Хк, приводящим к функциям хк{х, Хг, Рг) из формулы (4.11.28), и определением (4.11.29) для функции Я . Уравнения (4.11.19) пока не использовались. Пусть теперь Хк = хк{х), к = 1,2, . . . , п, — какой-либо интеграл системы уравнений (4.11.19). При подстановке в правые части равенств (4.11.26) вместо Хк и Хк значений функций Хк = хк{х) и 162

Xk — dxk/dx определяются n функций p)t = Pk{x). В результате же (однозначной!) разрешимости относительно величин Xk системы уравнений (4.11.26) (в правые части которой, как указывалось, подставлены значения Xk = хк{х) и ж*. = dxk/dx) получаются функции хк{х, Хг, Рг) (4.11.28), очевид1Ю удовлетворяющие равенствам Хк [х-, xrix), Рг{х)\ =

=

(4.11.32)

1"де Xk — Хк{х) — рассматриваемый интеграл системы уравнений (4.11.19), а Рк{х) — определяемые по нему при помощи выражений (4.11.26) функции. На основании таких равенств ясно, что в результате подстановки значений упомянутых функций Хк = хк{х) и Рк = Рк{х) в соотпопюния (4.11.30) последние принимают вид G

=

. =

(.П.ЗЗ)

^Тто же касается функций рк —рк{х), определенных через интеграл = Хк{х), при помощи равенств (4.11.26), то в силу соотношений (4.11.19) и (4.11.31) для них получается

dx

дх дхк

=

Oxk

дхк'

k=l,2,...,n. '

(4.11.34)

Итак, мы видим, что любой интеграл Хк = хк{х) системы уравнений Эйлера (4.11.19) после присоединения к нему п функций рк — = Рк{х) (получающихся в результате подстановки в правые части формулы (4.11.26) значений Хк — хк{х) к Хк — dxk{x)/dx) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений первого порядка

dx

орк

dx

ахк

(4л,.за)

называемой системой уравнений Гамильтона. Справедливо и обратное утверждение, а именно: если Хк = хк{х), Рк — Рк(х), к = 1, 2, — любой интеграч системы дифференциальных уравнений (4.11.35), то функции Хк = хк{х) удовлетворяют системе уравнений (4.11.19), а п о д с т а 1 Ю в к а значений Хк = — хк{х), Хк = xk{x) и Рк — Рк{х) в соотношения (4.11.26) приводит к тождествам.

163

Действительно, по интегралам х^ = ^^(.т), рд. = I'ki'-'') системы уравнений (4.11.35) можно 011реде.лпть tjiyHKUHH ха;(х. Pri-c}) из формул (4.11.28) как результат ретсння (опюпяо.чьно .т;,.) системы уравнений (4.11.26), в которую подп'лв.ьчются вместо Xk и рк упомянутые значения Х>(Х) и РА-Д.Г). Эти функции должны удовлетворять соотношениям (4.11.30) и (4.11.31), сопоставление которых с первой группой уравнений (4.11.35) приводит к равенствам х,(а-, хАх),

Prix))

= ^ ^ ^

(4.11.36)

= х,(х),

означаюп;им, что подстановка в систему уравнений (4.11.26) значений XK = ХК(Х), XK — XI;{X) и PK = РК{х) действительно приводит к тождествам. Но так как подстановка зиаче1Н1Й х^ = хк{х) и Xk = xk{x) в левую часть системы (4.11.26) дает значения функций р^ = pk{x), удовлетворяющих второй группе уравнений (4.11.35), то в силу соотнон1ений (4.11.35) и (4.11.31) очевидно имеем: d dL{x, Xr, Xr) dx

dpk{x)

dxk

дН(х, Xr, Pr) _ dL{x, Xr, ir)

dx

dxk

dxk

(4.11.37) Ho это как раз и означает, что функции Хк — хк{х) (из интеграла Xk — xk{x), Рк = Рк{х) системы уравнений (4.11.35)) удовлетворяют системе уравнений (4.11.19), что и требова.'юсь. 9. Уравнения Гамильтона (4.11.35) представляют собой систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для 2п функций хк{х) и Рк(х). Основной для таких систем является задача Коши, в которой требуется построить решение Хк = = хк{х), Рк = Рк{х), к = 1, 2, ..., п, системы (4.11.35), удовлетворяющее начальным данным Xk\x=xo=xl,

Pk\x=xo=Pl,

к = 1,2,...,п,

(4.11.38)

где (при фиксированном значении Жо) правые части могут задаваться по произволу. В случае достаточной гладкости функций из правых частей уравнений (4.11.35) (например, такой, что эти функции непрерывны в рассматриваемой области переменных x , x i , . . . ,Хп, Pi, • • • ,Рп и имеют ограниченные частные производные по всем Xk и pk) задача Конш имеет решение и притом единственное. Это решение Хк = xk{x, xl

р°),

Рк = Рк{х, х1 Р1) 164

(4.11.39)

пифсрывио зависит от 2п параметров и В случае же более высокой гладкости правых частей уравнений (4.11.35) гладкость функций (4.11.39) также возрастает, и они уже имеют частные производные по хЧ и р". Как известно, общим интегралом системы уравнений (4.11.35) называется 2п функций Xk =

С], . . . , С2„),

Рк = Рк{х, t'l, С2, . . . , С2„),

(4.11.40)

зависяиц1х от 2п произволbni.ix постоянных, и притом так, что путем их исключения функции (4.11.40) .могут быть подчинены условиям (4.11.38) с произвольными значепнямн .т" и Из указанного факта существования решения задачи Kouni очевидно вытекют и существование общего интеграла спсто.мы (1.11.35). Поле экстремалей и уравнеиие

Гамильтона—Якоби

10. В случаях сунюствования канонических переменных из п. 8, позволяющих перейти от уравнений Эй.:1ера (4.11.19) для экстре.малей к канонически.м уравнениям Гамильтона (4.11.35), имеется дальнейп]ая возможность перехода от систе.мы о б ы к 1 Ю в е н н ы х уравнений (4.11.35) к уравнению в частных производных для некоторой функции 0(х, XI, . . . , Хп). Такое уравнение, называемое уравнением Гамильтона—Якоби, оказывается в извеспю.м смысле эквивалентным системе обыкновенных уравнений Гамильтона. Это обстоятельство, как извеспю, лежит в основе аиало1'ии .между математическим описанием явJюний механики систем материальных точек и геометрической 01ГГИКИ, сыгравшей важную ро.иь в развитии физики XX и. В теории же распространения волн упомянутая эквивалентность является следствие.^ воз.можности описания движения поверхностей разрыва поля как с точки зрения множества лучей (т. е. экстре.малей функционала Ферма, удовлетворяюпщх уравнениям Га.ми.чьтопа), так и с точки зрения распространяюп;ихся фронтов, описываемых уравнением Гамильтона—Якоби. Вывод уравнения Га.мильтона—Якоби, равно как и дока;^ательство его эквивалентности системе уравнений Гамильтона, мы приведем здесь лишь для случая трехмерного пространства, имеющего непосредственное отношение к основному для нас вопросу о распространенин фронтов волн (нес.мотря на то, что подобные же результаты имеют место и в случае пространства любого числа измерений). 165

При этом будем учитывать факт (разъясняемый далее), что в случае функционалов Ферма канонические переменные из п. 8 существуют только, если за переменную интегрирования в функционгьте (4.11.1) берется одна из пространственных координат, например х. Вследствие этого будем рассматривать функционал (4.11.1) в предположении, что X — X, XI = у, Х2 — 2, соответственно чему в применяемых далее формулах (4.11.26)-(4.11.35) будем полагать n = 2. Наконец, будем учитывать факт, что в случае существования канонических переменных наряду с условием (4.11.27) выполняется также и неравенство д{Н

) V2,

Рп)

^ 0{рир2,

(4.11.41)

. .. , Рп)

которым удоб1ю будет воспользоваться уже в начале п.И. 11. Говорят, что семейство экстремалей (т. о. совокупность решений системы уравнений (4.11.19) или (4.11.35) при п — 2), зависящих от двух пара.мстров, a j и аз, образует поле в трехмерной области В, если через каждую точку М = (х, xi, Х2) области В проходит одна и только одна экстремаль семейства. Различают два случая полей: 1) центральное ноле экстремалей, отвечающее полю лучей, выходяпщх из точечного источника BOJHI, и 2) общее поле экстремалей, соответствующее лучам, выходящим из точек фронта волны, заданного в момент времени t = to, к точкам волнового фронта в момент t > to- Мы здесь рассмотрим ради опредслепности случай центрального поля экcтpeмaJюй. Фиксируя точку М = (х°, х°, X2) центр поля, построим решение системы уравнений (4.11.35) при п = 2, подчиненное данпы.м Коши хк\х=х«=х1,

Рк\х^х°=оск,

А; = 1 , 2 ,

(4.11.42)

где Qi и 02 — независимые параметры, изменяюпщеся в некоторых заданных промежутках. Если функция Н{х, Xi, X2, Р ь Р г ) из правых частей уравнений (4.11.35) непрерывна вместе со всеми ее частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки а; = Xk = х° при любых рассматриваемых значениях pk = ак, то система (4.11.35) имеет единственное решение Хк = хк{х, ai, а2),

Рк = Рк{х, (У1, 02), 166

А; = 1,2,

(4.11.43)

удовлетвояющее условиям (4.11.42) и непрерывное со всеми его частными производными (по ж, Qi и Q2) первого порядка. При это.м в случае достаточно малых значений а; — хо > О оказывается^ xk=xl+

dxk = да.

Hi

{х-хо)

• (х - Хо) + 0[(х

-

Хо)%

дН° даг

где обозначено Н ^ = а;?, о ь ог) и а = 1, 2. Но тогда для функциональных определителей выполняется соотношение

5(qi,Q2)

d{ai,a2)

,4.11.44)

справедливое уж во всяком случае при достаточно малых х — xq > 0 в силу неравенства (4.11.41). Вследствие соотноп1ения (4.11.44) из первых двух функций = a;i(a.', ai, «2),

Х2 = x^ix, Qi, 02)

(4.11.45)

(взятых из равенств (4.11.43)) .можно выразить значения параметров ai=ai{x,xi,x2),

а2 = а2{х, xi, Х2),

(4.11.46)

причем связь между QI, Q2 И точкой М = (х, Xi, Х2) из некоторой окрестности точки Мо = Мо{х°, х1, х®) оказывается однозначной. При таких условиях через каж,тую точку М упомянутой окрестности проходит одна и только одна экстремаль из (4.11.43) и, следовательно, экстремали (4.11.43) или (4.11.45) образуют поле. Подставляя значение аи из равенства (4.11.46) во вторую группу функций pk = = Рк{х, ах, аг) (4.11.43), получаем для каждой точки М € В значения функций Pi =Pi(x,

XI, Х2),

Р2 = Р2(х, Xi, Х2),

(4.11.47)

называемых функциями наклона поля экстремалей (4.11.45). Путем дифференцирования по х вдоль экстремалей (4.11.45) сложных функций ^Так как dxk/dx = dH/dpk = Яр^ в СИЛ.У ф о р м у л ы (4.11.35).

167

Pfc(x, Qi, Q2) = Pk [a:, Xi{x, Qi, Q2), X2{X, a i , 02)] , получающихся из функций (4.11.47) подстановкой n пих значений xi и Х2 из формул (4.11.45), находим dpk ^ д^

у ^ дрк dxr

dx

^

дх

дхг

dx '

что на основании уравнений (4.11.35) переписывается в виде

Итак, мы видим, что построенные функции наклона поля (4.11.47) удовлетворяют системе уравнений (4.11.48) в частных производных. Легко доказывается и обратное утверждение, а именно, что любому решению (4.11.47) системы уравнений (4.11.48) соответствует некоторое поле экстремалей. Действительно, пусть функции (4.11.47) удовлетворяют системе уравнений (4.11.48). Подставляя их значения в правую часть первой группы уравнений (4.11.35) (при п = 2), гюлучим систему обыкновенных дифференциальных уравнений ^

dxkdH_

I.

1 о

первого порядка относительно двух функций хк{х). Ее общий И1ггеграл Xk = xk{x, fli, аг) зависит от двух пара.метров, которые (в соответствии с определением 1юнятия «общий интеграл») всегда .можно выбрать так, чтобы при х = оказа^юсь xi(a;o, 01, 02) = ж?,

а;2(а;о, Cj, 02) =

при любых значепих Отсюда спедует, что в рассматриваемой точке (х°, х\, ж®), равно как и в некоторой ее окрестности,

a(«i,a-2) Но при этом очевидрю, что функции Хк - хк{х, (ц, аг), А; = 1, 2, образуют поле. "Чтобы получить полное поле экстремалей как решений системы уравнений (4.11.35) при п = 2, определим при помощи 168

исходных функций (4.11.47) функции от х-. Рк =Рк{х,

аь аз) =Рк [ж, xi{x,ai,

ф,), Х2(Х, ai,

аг)],

уловлетпоря(Он;ие (как легко проверяется на основании соотнонюиия (4.11.48)) второй группе уравнений (4.11.35) при п = 2. А это как рач и означает, что построс1П1ые функции х/. — Xk[x, ai, аг) м Рк = = Pk{x, ai, Яг) образуют поле экстремалей. 12. ^-Ito6ijI про,.двинуться далее, следует вспомнить результаты п. 7, касаклциеся условия трансверсальности пересечения экстремалей с некоторой поверхностью G(.T, а:,, жа) = 0.

(4.11.49)

EcviH учест1> опреде.;юние функции Га\п1.льтона форму.пой (4.11.29), то условие трансверсальности запишется в рассматривае.мом случае (п = 2) в виде — Н{х, Xi, х-), Pi ,

+ piSxi + р-2^Х2 = 0.

(4.11.50)

В формуле (4.11.50) 6х, 6х] и 6x2 произвольные вариации координат точки {х,х\,х2), расположенной на поверхности (4.11.49), связанные друг с другом равенством +

=0,

=

эе дх '

_ д& = — . (4.11.51) - dXk •

Но значения 0^1 и как известно, пропорциональны направляюи1им косинусам п^, и n^j орта нормали rt к поверхности (4.11.49). Поэтому соотнопгспис вида (4.11.25), вытскаюн1,ес из формул (4.11.50) и (4.11.51), можно записать как Н{Х,

Xk, Рк) ^ Pi

^ Р2 ^ д

Tlx ИЛИ

Pi = n.x^h, Р2 = n,:Ji,

Н{х, Xk, Рк) + n.Jl = О,

(4.11.52)

где h — некоторая функция точки {х, xi, Х2) поверхности (4.11.49). Очевидно, что эта функция .может быть определена (в пришщпе) из уравнения Н{х, хх, Х2, rixili, П12/1) + rixh = О, (4.11.53) 169

получающегося из соотношений (4.11.52). Таким образом, оказывается, что условие трансверсальности определяет в точках поверхности (4.11.49) значения функций наклонар^ = рк{х, xi, 2:2),/с = 1, 2, подстановка которых в правые части первой группы уравнений (4.11.35) (т. е. в уравнения dxk/dx = Пр^) приводит к значениям хк{х, xi, хг), определящим направления подхода (или отхода) экстремалей к точке (х, XI, Х2) поверхности (4.11.49)^. 13. Если I —• любая гладкая кривая в пространстве (ж, Х\, Х2), определяемая уравнениями Xk — fc = 1, 2, то величина (4.11.54)

I ^ j L{x,xk{x),xk{x))dx (О

называется квазидлиной кривой I, или ее /-длиной. Рассмотрим центральное поле экстремалей из п. 11 с центром в точке Мо = {х°, Х2). Вдоль каждой экстремали (4.11.45), выходящей из точки Л/о (по направлению, определяе.мому пара.метрами Qi и Q2) и идущей к точке М = {х, xi, Х2), можно вычислить интеграл I = 1{М) (4.11.54). Если точка М принадлежит области В, в которой экстремали образуют поле, то выражение 1{М) определит 1Юкоторую функцию 0(х, XI, Х2), называемую основной функцией центрального поля экстремалей. Поверхность же 0(х, х\, Х2) — р — = const называется квазисферой, так как она получается как геометрическое место точек М, I, расстояние которых от точки MQ равно р = const. При переходе от точки М = [х, х\, Х2) ноля к близкой точке М' — {х + 6х, XI -Ь 5x1, Х2 -I- 1 точки в пространстве, воспринимаемом наглядно при п < 3), в которых pk = Oe/dxk- /г — 1 , 2 , . . . , n, а под , Х2, • . • , Xji,

РХ,Р2,...,Рп)

=

H[xkPk)

подразу.мевается достаточно гладкая функция от В1>пн1санных аргументов, не зависящая явным образом от 9. Как след,ует из пи. 13 и 14 предыду1цего иара1рафа (где в.место t применялось обозначение ж, а функция Гами:н)т0на Н зависела явно не только от Xk и pk, но и от х), к таким уравнения.м приводятся задачи для нолей экстремалей функциона.10в вида (4.11.1) в случае сун1,ествования канонических переменных. К таким же уравнениям при значениях п сводятся и задачи на распространение волновых фронтов, расс.матриваемых как поверхности слабых или си;плп>1х разрывов ноля смешений i t , представляющие /;ля нас основной интерес. При этом в носледне.м случае функции H{xk, Рк) = Х2, хз, pi, р2, Рз) из уравнений (4.12.1) в рассматривае.мых да.!1ее задачах всегда обладают еще важным д0П0JПlитeльным свойство.м, а и.менно: они оказываются положительно определенными однородными первой степени функциями от api'yментов Р1,Р2,Рз- С фрагментами теории таких уравнений нам и предстоит сейчас познако.миться. Как известно, теория уравнений в частных производных первого порядка органически связана с теорией систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для «характеристических полос» этого уравнения. Связь оказывается настолько глубокой, что можно говорить об эквивалентности основных задач, поставленных для уравнений вида (4.12.1) и упомянутых систем обыкновенных уравнений. Поэтому естественно прежде всего обсудить вопросы, касаюп^иеся такой эквивалентности. При этом нам придется ограничиться изложением лишь схе.м рассуждений и не останавливаться па полных доказательствах высказываемых утверждений,

173

равно как и на точной формулировке всех (необходимых) условий, касающихся гладкости функций, входящих в уравнения, при которых тот или иной формулируемый результат строго оправдан. При известном старании такие условия (в достаточной их форме) могли бы быть получены без особого труда. Однако их получение требовало бы места и отвлекло бы нас от понимания основных идей теории. 1. При обсуждении оби;их вопросов, связанных с системами дифференциальных уравнений для характеристических полос, отвечаюпщх уравнению в частных производных первого порядка, целесообразно вместо уравнения (4.12.1) рассматривать уравнение более общего вида H { x i , Х2, . . . , х „ , и, pi,P2, •••,Рп) = О,

(4.12.2)

где pk = du/dxk, к - 1, 2, . . . , п, а п > 2 — произвольное целое число. При этом в области измспепия аргументов {хк, и, рк) = = {XI,X2,... ,Хп, и, Pi, Р2,. •• ,Рп), 1"ДС реализуется искомое решение рассматриваемых далее задач, функцию Н{хк, и, рк) (4.12.2) мы будем считать непрерывной со всеми се часпнлми производными первого и второго порядка. Не задерживаясь на выводе системы уравнений для характеристических полос уравнения (4.12.2), который производится обычно на уровне интуитивно очевидных соображений, мы выпишем эту систему, а зате.м обсудим существующие связи между нею и уравнением (4.12.2). 2. Характеристическая система уравнений, отвечающая дифференциальному уравнению (4.12.2), записывается следующим образом: ^

= Нр,=Нр,{хг,и,рг), $

(4.12.3)

к = 1,2,...,п,

=

=

Г-1

^

Здесь применены обычные обозначения -

_ЭЯ

fr

_дН

-

_дН

для частных производных функции Я = Я(Ж1,

Х2,

Хп,

174

и,

Ри

Р2, • • • ,

Рп)

(4.12.4)

по соотБетствующим ее аргументам, а под s подразумевается некоторый параметр, (физический) смысл которого заранее по фиксируется. Соотношения (4.12.3), (4.12.4) представляют собой систему 2гг -I-1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно такого же числа искомых функций от s. При этом в соответствии с предположенной гладкостью функции Н из уравнения (4.12.2) правые части системы (4.12.3), (4.12.4) непрерывны и имеют непрерывные первые частные производные по всем переменным XI, Ж2, . . . , Хп, U,PI,P2,

. . . , Рп-

Что же касается взаимоотношения систе.мы (4.12.3), (4.12.4) с уравнением (4.12.2), то оно фактически вытекает из формулируемых ниже трех утверждений. Утверждение 1. Система уравнений (4.12.3), (4.12.4) имеет решение xk=xk{s,x'>,,u\p°),

(4.12.5)

к = 1,2,...,п,

pk=pkis,xным данным, относяпщмся лишь к некоторой фиксированной точке (х^) пространства п переменных xi, х г , . . . , а;„. Предположим теперь, что начшп>ные условия (4.12.7) задаются не в одной лишь точке (х®.), а во всех точках некоторой поверхности 'ф{х1, Х2,..., Хп) — О (в упомянутом пространстве п переменных Хх, X2-I..., х „ ) , задаваемых, напри.мер, в виде п функций А

in-]),

=

1, 2 , . . . ,

(4.12.16)

п.

от п - 1 независимых параметров ty, t-i,---, ^п-ь изменяющихся в некоторой области Вп-г • При этом недостающие значения и р1 из соотношений (4.12.7) в точках (4.12.16) упоминавшейся поверхности также должны задаваться некоторы.ми функциями =

«°(ii,

in-i),

р?.

f2,-.., ных данных для Xk и pk из равенств (4.12.47), (4.12.40) и (4.12.44) однозначно определяются функции Xk=Xk{s,TI,t2,...,TN-i),

К=1,2,...,П,

Рк=Рк(з,

tu

(4.12.48)

(4.12.49)

t2,...,tn-i).

При этом вследствие неравенства (4.12.45) и соображений, изложенных в п. 5, можно утверждать, что п функциональных соотношений (4.12.48) (рассматриваемых как уравнения относительно параметров S, ti, t2,. • •, t n - i ) однозначно разрешимы и приводят к выражения.м параметров s, t i , . . в виде функций s = s{xi,x2,...,xn),

tr =tr(xu

Хп),

Г = 1, 2, . . . , П -

1,

(4,12.50)

189

от коордииат Хк- При этом отображение точек (ал, жг,...,

х„) ^{s,

ti,...,

tn-i),

осуществляемое функциями (4.12.48) и (4.12.50), оказывается однооднозначным и таким, что произвольно выбирае.мым точкам {xi,

Х2,---,

Хп)

окрестности поверхности (4.12.40), расположенным вне этой поверхности, соответствуют значения s > 0. ^Ito касается уравнения (4.12.39), правая часть которого всегда положительна вследствие второго и третьего соотношений (4.12.32), то после подстановки значений функций Хк и рк из равенств (4.12.48) и (4.12.49) оно становится обыкновенным дифференциальны.м уравнением для функции r(,s), содержащим параметры t\, ^n-iИнтегрирование такого уравнения при начгшьном условии для т из соотнонюний (4.12.47) приводит к функции T = f{8,h,t2,...,tn-l),

(4.12.51)

удовлетворяющей при s > О неравенству f(s, > О, при которых справедливо соотношение (4.12.52) и, следовательно, t{xi, Х2, - • Х п ) > О- Таким образом, уравнение (4.12.54) может определять лишь точки поверхности (4.12.40). Тот факт, что в любой точке, определяемой соотношениями (4.12.40), уравнение (4.12.54) действительно удовлетворяется, вытекает из равенства (4.12.53) (где s(xi, Х2,..., Хп) = О при (xi, Ж2,..., Хп) из равснств (4.12.40)), а также из начального условия г = О при s = О (4.12.47) для функции г, удовлетворяющей неравенству (4.12.52). 10. Обсудим теперь случай точечного источника, в котором решение уравнения (4.12.35) ищется при том дополнительном условии, что уравнение (4.12.37) определяет лишь одну фиксированную точку {хк)- Такой случай естественно рассматривать как предельный при с —О, дополнительно предполагая, что значение г = г" = О задается на гиперсфере радиуса г > О с центром в точке (х^). В соответствии с этим вместо равенств (4.12.40) теперь нужно взять выражения xl=xk+£tk,

1, 2, . . . , п - 1 , 71-1

(4.12.55)

1/2

х°п=Хп+е

(4.12.56) к=\

где tk — произвольные не зависимые друг от друга числа, удовлетворяющие неравенству п-1 Y.tl2 система уравнений (4.13.16) имеет первый интеграл (4.13.18). В этом факте и состоит существенное отличие случаев р > 2 от случая р = 1. 6. Как следствие из возможности выбора параметра s в функционале (4.13.13) и уравнениях (4.13.16) так, чтобы на любой (фиксированной) экстремали выполнялось равенство (4.13.18), вытекает следующее утверждение. Утверждение. Пусть L{xk, Xk) > О не зависит от s и является однородной первой степени функцией от пере.менных Хк, к = = 1, 2 , . . . , п. Тогда параметр s при определении экстремалей (т. е. решений системы (4.13.16) уравнений Эйлера) всегда может быть выбран так, что рассматриваемая экстремаль функционала (4.13.13) оказывается в то же время экстремалью функционала £1 = J LP{xk,Xk)ds,

р>2,

fo и наоборот. Действительно, полагая L{xk, Хк) = L^[xk, Хк),

200

(4.13.20)

для определения экстремалей функционала (4.13.13) получаем систему уравнений (4.13.16), или, что то же, систему

т

dxk

ds

QL

1.14 V m

dxu

= 0,

A; = 1, 2 , . . . , 7t, (4.13.21)

a для экстрема-чей функционала (4.13.20) нолучае.м систему уравнений дЬ d dl (4.13.22) - - Г - — - = 0 , fc = l , 2 , . . . , n , dxk ds dxk или, что то же, систс.му pL^-

I дЬ _ ^ pL" дхк ds

- 1

дЬ дхк

= 0,

к = \,2,...,п.

(4.13.23)

Рассмотрим сначала экстремали функционала (4.13.13), т. е. функции Xk[s) (4.13.17), удовлетворяющие системе уравнений (4.13.16) или (4.13.23). Если параметр s на выбранной экстремали таков, что вдоль экстремали оказывается L = const, > О, то вдоль нес также L = const > 0. Но тогда слагаемые левой части уравнений (4.13.21) можно сократить на р ' ^ Ь ^ ! " ' ^ — const > О, что приводит к систе•ме уравнений (4.13.22). Итак, выбранная (но произволу) экстремаль функционала (4.13.13) оказалась также и экстремалью функционала (4.13.20), что и требовалось. Обратное утверждение доказывается аналогично. 7. Возвращаясь к случаю из п.4 функций Лагранжа L{xk, х/.), однородных первой степени относительно всех переменных Хк, мы видим, что при соответствующем BI)i6ope параметра s любую экстрема-ть функционала (4.13.13) (или системы уравнений (4.13.16)) можно искать как интеграл систе.мы уравнений Эйлера (4.13.22), в которой положено L = L''{xk, Хк) при нскоторо.м значении р > 2. Функция L оказывается уже однородной относительно Хк функцией степени р > 2 , вследствие чего система (4.13.22) имеет первый интеграп L = const. Поэтому на любой экстремали системы уравнений (4.13.22) выполняется соотнопшние (4.13.18), обеспечиваютцее эквивалент}юсть системы уравнений (4.13.22) системе уравнений Эйлера (4.13.16) для исходной функции L. Но в соответствии с 1)авенством (4.13.15) для L = L^ справедливо

к=1 201

откуда следует (

Р

-

oij

=

^

X^ii^i.ifc,

г = 1,2,..., п.

Такие соотношения возможны только, если (вообще говоря) \Lxi,Xr I Ф Ф 0. Поэто.му переход к каноническим переменным н случае функции Лагранжа L возможен на основе стандартных рассуждений. 8. Рассмотрим функционап Ферма / =

(4.13.24)

экстрема^чи которого при v = Vp и v = Vg определяют лучи продольных и поперечных волн, распространяющихся в изотропных сейсмических средах. Предположим сначала, что за независимую переменную выбрана координата х = Xi, вследствие чего для элемента дуги кривой получается выражение da = i / l + х\+ dx, где Хг = dxr/dx, г = 2, 3. При этом функционал (4.13.24) приводится к виду (1.4.1) с функцией Лагранжа L =

-Jl+xl+xl,

x = xi.

(4.13.25)

Обобщенные импульсы должны определяться из уравнений Рг = Li^ =

Vs/l +

+ Х^

г = 2,3,

(4.13.26)

из которых следует соотношение yjv-'^ - Р1 - Р1 =

v^Jl +

xl+xl

легко приводящее к равенствам

v/v ^ - P i - P i Таким образом, при непарамстрическом описании экстремаиейлучей (когда за независимую переменную берется одна из пространственных координат, например Xi = х) канонические переменные 202

удастся ввести стандартным путем. При этом для функции Гамильтона получается выражение

.

3 Н{хг, Рг) = "^Pkik - L[xk, Xk) = k=2

-PI

-PI,

a система уравнений Гамильтона

записывается в виде

dx ^/v-'^-Pi-pi

dxr ГПг

-dpk y-'-^V.

(4.13.27)

Если ввести в рассмотрение новую функцию (4.13.28)

Р1 =

и вместо х писать Xi, то систему уравнений (4.13.28) можно привести к форме dx,

_

^^^^

-dpi

fc

= l , 2 , 3,

(4.13.29)

где под s подразумевается некоторый параметр. Нетрудно видеть, что такую систему уравнений можно рассматривать как систему уравнений Гамильтона, отвечающую функции Гамильтона 3

H =

=

(4.13.30)

Г= 1

сохраняюн;ей постоянное значение вдоль лучей. 9. Если экстремали функционала Ферма определять в параметрической форме Хк = Xkjs), к — 1, 2, 3, то для элемента дуги получается выражение da = y'xf + + ^з- Поэтому функционал (4.13.24) принимает вид функционала (4.11.1) с функцией Лагранжа

v{Xi,

Х2,Хз)

203

которая оказывается однородной первой степени функцией от XkКанонические переменные в случае такой функции L, как известно, не существуют. Однако если (в соответствии с н.6) параметр s выбрать так, чтобы па экстремалях оказыва-'юсь L = const, то определение экстремалей можно производить на базе функционала (4.11.1) с функцией Лагранжа, например, в виде (4.13.32) fc=i Для обобщенных импульсов получаются }фавпения Хк

к = 1, 2, 3,

из которых следует х^ = 2v^pk и 3

(4.13.33) к=\

к=\

Уравнения Гамильтона принимают вид dxk ds

dpk ds

к =1,2,

3,

(4.13.34)

что в точности совпадает с уравнениями (4.13.29). 10. Уравнение Гамильтона -Якоби вида (4.11.60) для волновых фронтов акустических по.цей, отвечающих функции Гамильтона (4.13.33), может быть записано в форме д^

,

^^

^ дф дхк к=1 ^

2^

=

0,

и.;ги в форме

Ж

+ V

дхк

=

0,

если предполагается, что уравнения фронтов даются формулами 'ф = т{х1, Х2, хя) - t = 0, 204

(4.13.35)

где t играет роль времени. При этом для функции г получается уравнение в частных производных 3

3

^ ^

S 2

=L

(4,13.30)

которое называется уравнением эйконала. Характеристическая система (4.12.3)—(4.12.4) для такого уравнения сводится к системе (4.13.34), а также к обособленному уравнению ,

3

^ = ^^ к=1

=2,

(4.13.37)

устанавливающему физический смысл нара.метра ,s из уравнений (4.13.34). В соответствии с пп. 7-10 § 11 для нахождения фронта (4.13.35) волны необходимо систему уравнений (4.13.34), (4.13.37) дополнить нача-пьны.ми условиями, определяющими положение фронта в момент, начиная с которого строится регпение задачи. Например, в случае точечного источника RO.IIH (СМ. П. 10 § 12 ) такие данные можно задавать i! виде

6=0

где V =

= 0,

Xk

=

s=0

Wo

А: = 1 , 2 , 3 ,

(4.13.38)

Х2, Х3), а п^ ~ произволып^ге числа (составлякмцие орта

7^0)1 связанные условием = 1к=1

Решение системы (4.13.34), (4.13.37) дифферащиалыплх уравнений при заданных начальных условиях (паиример, вида (4.13.38)) определяет две группы функций: Xk=Xk{s,

71^1,11,°), к = 1,2,3,

г = г(б-, п?, пО) = 2s,

pk = Pkis, п°, n°).

(4.13.39)

(4.13.40)

При этом (как указано в пп. 4 и 9 § 12) для нахождения искомой функции т = T{XI, Х2, ХЗ) ИЗ формулы (4.13.35) необходимо разрепгать систему функциональных уравнений (4.13.39) относительно S, П), и подставить полученные выражения в правую часть

205

первой функции из соотношений (4.13.40). Это приводит к функции г = t { x i , Х2, хз), удовлетворяющей уравнению (4.13.36) и такой, что выражения =

dxk

(4.13.41)

V

где Пк — составляющие орта 1гармали j f к фронту (4.13.35) в любой точке луча, совпа/;ают с функциями рк = Pk{s, п^) из формул (4.13.40) (см. п. 4 § 12). Отсюда, равно как и из первой группы уравнений (4.13.34), вытекает факт ортогональности пересечения лучей с волновыми фронтами. Такое свойство, характерное для изотропных упругих сред, уже не имеет места в случае анизотропии. Заметим, что в тривиальном случае однородной (изотропной) среды, когда V — const (и, следовательно, Wj^,. = dv/dxk = О в уравнениях (4.13.34)) из уравнений (4.13.34) и начальных условий (4.13.38) для лучей получаются уравнения прямых Xk — х1 = 2vsn°f.. Исключение же (при помощи угаовий (4.13.38) и формул (4.13.40)) параметров s и дает 1 А:=1

что соответствует сферическим фронтам волн, иснущенггых точечным источником. 11. В §8 было показано, что функции 'ф, онрсдсляюн;ие согласно формуле (2.7.1) уравнения фронтов волп, распространяющихся в анизотропных упругих средах, удовлетворяют тому или иному уравнению в частных производных первого порядка (2.8.10) в зависимости от тина г рассматриваемой волны. Еши ввести новую функцию Т =

Т{Х1,Х2,ХЗ)

и определять поверхность фронта уравнением (2.8.13) или (4.13.35), то уравнение (в частн1>1х производных) для г запин1ется в виде 3

н =

Y1

=

206

(4.13.42)

где pk — дт/дхк, а под подразумевается подчиненное условию нормировки (2.8.10) решение системы (алгебраических) уравнений (2.8.12), в которых положено ро = 1Характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающая уравнению (4.13.42), очевидно имеет вид

tn=l Если воспользоваться результатами п. 6 §8, где производилось вычисление частных производных по Хт и р т от функции Я вида (4.13.42), и перейти от параметра s к параметру т = 2s (на основании последнего из выписанных уравнений), то такая систе.ма сведется к двум группам (связанных друг с другом) уравнений А^.р^РрЛМЛ*'-',

Е

dr

ш = 1, 2, 3,

г,р.9=1

(4.13.43) dr

2

дхт

"

которые полезно сопоставлять с уравнениями dXm

dpm

2

'^Хт

-7— = dr

—Г= ^ Рт, dr

V

t

г,

п

m = 1, 2, 3,

^л tn

лл\

4.13.44

для лучей в случае неоднородных изотропных сред. (Такая система 1юлучается из уравнений (4.13.34) при учете формулы (4.13.41) и при замене параметра s на т.) Остановимся на простейшем случае точечного источника волн в однородной анизотрошюй среде, в которой Xik,pq — const, вследствие чего система (4.13.43) принимает крайне простой вид ^

=

~

=

А: = 1 , 2 , 3 .

(4.13.45)

12. Д л я нахождения функции r ( x i , Х2, хз), входян],ей в уравнение (4.13.35) фронта BOJHibi, систему уравнений (4.13.43) необходимо дополнять ггачальны.ми условиями. В атучае точечнох-о источника такие условия следует записывать в виде равенств (4.13.38), т. е. г=0

= 0, Xk

„ = г=0

Рк

т=0

207

= —, Vr

к = 1,2, 3,

(4.13.46)

где под Uk'AVr = Vj.['rt) = Vr(ni, П2) подразумеваются соответственно составляющие произвольно задаваемого в точке (х°) орта it нормгиюй и значение фазовой скорости волны рассматриваемого типа г, отвечающие точке и значению i t . Однако в случае од1юродной среды, которую мы условились сейчас рассматривать, фазовые скорости Vr не зависят от рассматриваемых точек среды. Поэтому в (4.13.46) мы отбросили верхний индекс «О» у величин Пк и v^Решение задачи о фронте волны типа г, возбужденной точечным источником, производится в следующем порядке. а) Сначала определяются начальные значения Vr = V r ( j i ) и = = фазовой скорости и составляющих вектора поляризации волны типа г, однозначно отвечающие задавае.мьш в точке значениям нормалей i f . Это производится на основе решения алгебраической системы уравнений (2.8.12'). Заметим, что так как вид указанных уравнений не изменяется при за.мене it на ( - T t ) , то их решения удовлетворяют условиям (центральной) сим.метрии Vr{lt)

= Vr{-lt),

A^[\lt)=

(4.13.47)

A^l\-lt).

б) По найденным значениям величин (4.13.47) определяются начальные значения (в точке (аг^)) правых частей уравнений (4.13.43). В рассматриваемом случае однородной среды оказьн5астся rjm — О, а, получаюнщеся значения для Pmijt) = lt/vr{lt) и ^m{Tt) = ^m\lt) из уравнений (4.13.43) удовлетворяют соотношениям симметрии Р т ( ^ ) = -PM(-7t),

иЫ)

(4.13.48)

=

в) Затем переходят к интегрированию уравнений (4.13.43) нри начальных данных (4.13.38). При этом в случае однородной среды вместо уравнишй (4.13.43) рассматривают уравнения (4.13.45). Из системы (4.13.45) прежде всего вытекают равенства ра: — = const, вьшолпяюнщеся во всех точках вдоль луча, из которых следует, что вдоль луча остаются ностоянны.ми значения орта нормали it и фазовой скорости ы, заданные в начальной точке (ж®) луча. Но из этого вытекает также постоянство вдоль луча составляющих A Y \ l t ) и ^ л ( ^ ) = ^^k^i'^) вектора поляризации и лучевой скорости. Итак, вдо;п5 каждого луча (определяемого нача,:1ьным значением орта it) постоянны следующие величины Uk,

Vrilt),

fc=

A'f\lt),

208

1,2,3.

(4.13.49)

Эти величины можно считать зависящими лишь от двух составляющих, П1 и П2, орта it (удовлетворяющего нормировке | rt| = 1). Вследствие = const из первой группы уравнений (4.13.45) для лучей получаются уравнения пря.мых Xk - х1 =

П2)т,

А; = 1 , 2 , 3 .

(4.13.50)

г) Для нахождения функции T{XI, Х2, ХЗ) (ИЗ уравнения фронта волны (4.13.35)) следовало бы разрешить систему функциональных уравнений (4.13.50) относительно г, ni и n-j. Решение такой задачи в ана-читической форме едва ли возможно (и оно едва ли оказалось бы полезным на практике). Поэтому поверхность фронта T(XI, X-Z, Х^) = = i = const следует строить как геометрическое место точек {xk) из уравнений (4.13.50) при т — t = const и при значениях пг = \Jl-n\

-nl,

nf + n^ < 1,

(4.13.51)

где ni и П2 выбираются по произволу. В частности, такую поверхность (фронта) в случае i = 1 мы будем называть поверхностью лучевых скоростей. Встедствие соот[юшений (4.13.47) и (4.13.48) очевидно, что точки таких поверхностей (фронтов) обладают свойством симметрии относительно «центральной точки» О' = (а;J, х®, arc®). Что же касается (внешней) нормали rt^v в любой фиксированной точке N = {xi, Х2, Хз) поверхности фронта, то, как показано ниже, она совпадает с (постоянным) значение.м орта нормалей it в точках луча (4.13.50), соединяющего точки О' и N. А так как луч (т. е. вектор однозначно определяется по значению вектора нормалей it, фактически задаваемого по условиям (4.13.46) в точке О', то из высказанного утверждения следует одно-однозначность соответствия между задаваемыми в точке О' ортами it и точками N{lt) поверхности фронта. Остается лишь привести доказательство утверждения о внепщей нормали it^ в точке N поверхности фронта волны, которое базируется на соотнощении {-^•ЧГ')'-^,

^ =

Л . rOt

(4.13.52)

справедливом в случае любых однородных анизотропных сред и вы-

209

текающем из тождества (2.7.34), записываемого в виде ^

= 1.

(4.13.53)

Действительно, дифференцирование такого тождества дает равенства, во-первых, +

(4.13.54)

И, во-вторых, 3

3

-rflt) = 0 ,

(4.13.55)

так как второе ачагаемое из левой части равно нулю в силу равенства (2.8.12) и условия нормировки (2.8.11). Отсюда как раз и вытекает соотношение (4.13.52). Для доказательства же высказанного утверждения остается лишь предположить, что приращения (дифференциалы) и d'^ в предыдущих формулах появлялись как результат изменения орта нормалей i t , вследствие чего вектор ' (вектор d ^ ) оказывается расположенным в касательной плоскости к поверхности 5, которая является геометрическим местом (при изменении i f ] концов векторов (концов векторов ^("rt)), построенных из общего начала. Таким образом, в соотношениях (4.13.52) является произвольным бесконечно малым вектором, лежащи.м в касательной к фронту плоскости, построенной в некоторой его точке N{lf). Но так как в точке N{lf) фронта оказывается #лг = rt и ^ = lt/vr{lf), то из соотношений (4.13.52) следует {it • ' ) = О, что совместно с положительностью левой части тождества (4.13.53) и доказывает утверждение. Заметим, кстати, что если бы при произвольном изменении орта нормалей if была построена поверхность S как геометрическое место концов векторов (рефракции) = ' ^ { i t ) из соотношений

210

(4.13.52), имеющих общее начало в точке О то в силу равенства (4.13.55) можно было бы утверждать, что (при произвольно выбранном значении it) в точке N{li) поверхности S внешняя нормаль к этой поверхности совпадает по направлению с векторо.м 4 [it) лучевой скорости, вычисленны.м для выбранного значения it. Действительно, из равенства (4.13.55) и равенства (гт! • d'jf) = О, справедливых при произвольных d'l^. лежащих в касательной к S плоскости, следует параллельность или антипараллельпость f и nt. Но если учесть неравенство ("j^ • п1) > О, справедливое во всех точках N поверхности 5 по построению, а также равенство (4.13.53), то приходим к высказанному утверждению. 13. В заключение полезно привести некоторые результаты, связанные с поверхностью лучевых скоростей, введенной в п. 12. Совместим точку О' = (а;?, Х2, ж") из равенств (4.13.38) с началом координат, т. е. фактически положим а;^ = О, и будем задавать в этой точке значения нормали it так, чтобы они располагались в плоскости хз = О, которую будем называть плоскостью падения. Тогда составляющие нормали можтю определять формулами ni=sin0,

П2 = соз0,

пз = О

(4.13.56)

через угол падения 0 между ортами it и г2, отсчитываемый от оси 0x2- Соответственно таким значениям rik функциями от в оказываются также значения фазовой скорости Vr — Vr [в], составляющие

вектора "jt = (который называется вектором рефракции) и, наконец, составляюоще

Е г,р,д=\

(4.13.58)

вектора лучевой скорости. При этом, как правило, все три составляюпще вектора лучевой скорости (4.13.58) отличны от тождественного нуля. ''Такая поверхность называется поверхностью вектора рефракции волны типа г.

211

Таким образом, если при изменении угла в конец вектора рефракции (с составляющими из равенств (4.13.57)) описывает плоскую кривую (кривую рефракции), расположенную в плоскости падения, то конец вектора лучевой скорости (с началом в точке О') описывает, вообн;е говоря, пространственную кривую IR- Такая кривая располагается на поверхности 5 лучевых скоростей и обладает тем важным свойством, что в каждой ее точке N(0), отвечающей значению в, нормаль it {в) к поверхности 5 имеет составляющие из равенств (4.13.56) и, с;юдовательно, располагается в плоскости падения хз = О (точнее, в н;юскости, пара-'ию;н>ной плоскости падения). При этом (вследствие одно-однозначности соответствия между точками N{Tt) € 5 и значения.ми it) можно утверждать, что в точках N 6 5, не лежащих на кривой 1Г, норманн» к поверхности S уже не располагается в плоскости падения. Если спроектировать такую кривую на плоскость падения жз = О, то получится 1июская кривая Л^, определяемая (в параметрической форме) уравнениями a^i

х-2=й'\в),

хз=0

(4.13.59)

и имеющая в каждой своей точке N{9) нормаль lt{9), составляющие которой определяются формулами (4.13.56). Такую кривую мы назовем вспомогательной кривой лучевых скоростей. Ею удобно будет воспользоваться для иллюстратщи пр)отекания процессов отражения — преломлстщя волн на плоской границе раздела двух однородных анизотропных сред.

Глава 5 Источники волновых полей в изотропной однородной безграничной упругой среде В настоящей главе рассматриваются простейшие задачи динамической теории упругости, связанные с возбуждением и распространением волн в безграничной однородной и изотропной упругой среде. Показывается, что в адучае такой среды ноле смещений целесообразно представлять через продольный и поперечный потенциалы, удовлетворяющие раздельным волновым уравнениям. Обсуждаются 1юпросы, касающиеся полей с.мещений, возбуждаемых простейшими точечными источниками типа центра давления и центров вращений, реализующихся и виде продольных и поперечных расходящихся сферических волн. Путем обращения (знака) времени из этих нолей конструируются фундаментальные ренгения Вольтерра для уравнения теории упругости в случае однородной изотропной среды, представляющие собой некоторые сходяпщеся сферические волны. Наконец, на основе фундаментальных решений Вольтерра и интегральной формулы Грина—Вольтерра рассматривается общая задача Конш для ноля смеще1шй в однородной изотропной безграничной упругой среде и дается ее решение в виде формулы Стокса. В заключение обсуждаются некоторые физические следствия из упомянутой формулы. В практическом отнонгении приведенные результаты полезны, вопервых, как подготовительный этап к рассмотрению процессов распространения волн в слоисто-однородных изотропных средах и, вовторых, с точки зре1шя свойств «первичных» нолей, возбуждаемых точечны.ми источниками.

213

§ 14.

Продольный и поперечный потенциалы

Уравнение движения однородной и изотропной упругой среды, характеризуемой плотностью р = const и параметрами Ламе А = = const и /i = const, имеет вид выражения (1.2.10), т. е. Div

tik -

р

дГ^

п2 ^ = (A + /z)graddivlt + / x A l / - p ^ = - t ( M , t), где

(5.14.1)

— вектор плотности массовых сил. Ниже доказывается существование функций if п ф, а также Ф и таких, что i t = gradcp + r o t ^ ,

(5.14.2)

7 = g r a d Ф + rot"^, (5.14.3) а уравнение (5.14.1) оказывается эквивалентным след^ющи.м двум «раздельным» BOjmoBbiM уравнениям {X + 2 ^ i ) A ^ - p ^ = - Ф ,

=

(5.14.4)

(5.14.5)

Функции (р и ^ называются соответственно продольным и поперечным потенциалами ноля упругих смещений. Заметим, что в случае неоднородных изотропных упругих сред переход к потенциалам тоже возможен, но не рационален, так как для потенциалов получается система «перазделяющихся» уравнений, и притом не менее сложная, чем исход1юе уравнение (1.2.8) для вектора упругих смещений. 1. Так как любое решение уравнения (5.14.1) может рассматриваться как предел последовательности сколь угодно гладких решений того же уравнения с гладкими плотностями .массовых сил\ доказательство эквивалентности уравнения (5.14.1) уравнениям (5.14.4) и (5.14.5) достаточно провести в предположении, что поле it имеет, например, частные производные до третьего порядка включительно. Из такого предположения мы и будем исходить. ' См. § 9, п. 5, теорема 5.

214

Как известно, любое дифференцируемое векторное поле можно представлять суммой потенциального и соленоидального векторов. Допустим, что такое разбиение выполнено для векторов it и j из уравнения (5.14.1), т. е. =

+

7^Ti+fz,

(5.14.6)

rotwt = 0,

divizt^O,

(5.14.7)

rot7t = 0,

div;^ = 0.

(5.14.8)

где

Разбиение (5.14.6) неоднозначно, так как слагаемые « t и й^ (равно как /i и /2) можно заменить + — б^ без изменения соотношений (5.14.6)—(5.14.8), если

т. е. 4 = gradxo,

(5.14.9)

где Дхо = 0. Заметим, что векторы типа гЙ называются лапласовыми. Итак, разбиение (5.14.6) векторных полей на соленоидальную и потенциальную части производится с точностью до аддитивного лапласового вектора. При разбиении (5.14.6) векторов it и па, слагаемые уравнение (5.14.1) переписывается в виде (А + 2/i) grad

+

fx vot rot

+

=

f{M,t),

(5.14.10) где ^ — лапласов вектор, так как в силу условий (5.14.7) и (5.14.8) применение операции rot к левой и операции div к средней частям равенства (5.14.10) дает нуль. Если бы при выбранных значениях ut и в равенстве (5.14.10) оказалось ^ О, то можно было бы перейти к новым izf и й^' по фор.мулам = « t + й|1,

и

где в качестве лапласова вектора

й^, взято

t

й^ = 1 F{T-

T)V{M,

РJ 215

Т) dr.

(5.14.11)

При этом для ut' и й^' получилось бы соотношение (5.14.10), в котором Т^ = 0. Поэтому можно с самого начала считать s О, что позволяет переписать уравнение (5.14.10) в виде (Л + 2/i) grad div й\ - р

+ 71 = О,

де

/xrotrotsl +

(5.14.12)

-

Из условия (5.14.7) следует существование функций и

t)

^(М,

t)

(скалярного и векторного потенциалов), таких,что ilt=gradv;,

=

(5.14.13)

При этом одна из компонент ^ оказывается произвольной, так как величина не изменяется при замене ^ на "^+grad хо- Этим можно воспользоваться, в частности, для того, чтобы оказалось div

(5.14.14)

= 0.

Совершенно так же из условия (5.14.8) следует суш,ествовапие функций Ф и таких, что 7t = gradФ, причем

^

(5.14.15)

=

_ div

= 0.

(5.14.16)

На основании формул (5.14.13) и (5.14.15) формулы (5.14.12) переписываются в виде grad|(Л + 2 / . ) Д < p - p ^ - ^ ф | = 0 , Г ^ rot < /i rot rot

+ р

216

д''^

—

Ф ^ = о.

откуда при учете равенства (5.14.14) и формулы —rotrot ^ следует

(5.14.17) -/iA'^ + р

- Ф = grad/t(Af, t),

где Ah = О в силу соотношений (5.14.14) и (5.14.16). Если бы в уравнениях (5.14.17) оказалось c{t) ^ О, вместо ip в равенствах (5.14.13) можно было бы взять I =

+ j

(i-r)c(T)dT.

в результате для ф получилось бы первое уравнение (5.14.17) при c{t) = 0. Поэтому в уравнениях (5.14.17) можно полагать c{t) = 0. Совершенно так же, если бы в уравнениях (5.14.17) оказалось h ^ О, то от вектора ^ из формул (5.14.13) можно было бы перейти к вектору ' =

- - [{t-т) РJ о

grad h{M, т) dr,

не изменяя значения и соотнонюния (5.14.13). В результате получилось бы второе уравнение (5.14.17) с /( = 0. Итак, исходя из предположения, что вектор ' f плотности массовых сил имеет частные производные по нространственным переменным XI, Х2, хз и представляется формулой (5.14.3), где ^ подчинено условию (5.14.16), доказано, что любое решение it уравнения (5.14.1), имеющее част!гыс производные по пространственным переменным до третьего порядка включительно представляется в виде (5.14.2) через потенциалы и удовлетворяющие уравнениям (5.14.4) и (5.14.5). При этом в процессе доказательства предполагалось, что tp из формулы (5.14.2) подчинено условию (5.14.14). Однако нетрз'дно видеть, что последнее условие несуп1,ественно, так как если найдено Ij), удовлетворяющее условию (5.14.14) и уравнению (5.14.5), такое, что выполняется равенство (5.14.2), то при замене ^ на ^At = ^ + gradx, 217

(5.14.18)

где X ~ любое решение уравнения =

(5.14.19)

формулы (5.14.2) и (5.14.5) остаются неизменными. При этом для нового гр! уже имеет место divV^ = Д Х = - Х ^ О . Существенным оказывается то обстоятельство, что при выборе значений ^ в формуле (5.14.2), удовлетворяющих уравнению (5.14.5), всегда остается произвол, определяемый соотношениями (5.14.18) и (5.14.19). 2. В п. 1 был рассмотрен переход от уравнения Ламе (5.14.1) к волновым уравнениям (5.14.4) и (5.14.5) для потенциалов. Еще более простым оказывается обратный переход, показывающий, что если (р и гр — любые решения уравнений (5.14.4) и (5.14.5), имеющие производные до третьего порядка, то вектор i t из формулы (5.14.2) удовлетворяет уравнению (5.14.1) при значениях / из формулы (5.14.3). Для реализации такого перехода достаточно подставить в уравнение (5.14.1) значения it и ~f из формул (5.14.2) и (5.14.3), что и дает (Л + 2ц) grad div it + nAlt

- p

+ 7 =

= grad|(A + 2 M ) A < p - p ^ + $ | + •

= grad I (A + 2/x) Д(р - p ^

-Ь rot
О полости г < < (5, к границе которой прикладывается давление (5.15.7), потенциал (р(г, t) поля вне полости (г > (5) определяется формулой (5.15.12) при достаточно сложной функции Ф{t) (5.15.17). Для перехода же к полю, отвечающему сосредоточен1Юму источнику типа центра давления, нужно рассмотреть процесс • О, ро — —> оо, например, такой, что остается нормированной на единицу величина ^

=

О фиксируется величина Д. Затем к бесконечности устремляется а —> оо и замечается, что (на основании приведенных оценок) второе и третье слагаемые из (I), равно как и второе слагаемое из (П), стремятся к нулю.} Таким образом, из соотношений (5.15.17) и (5.15.18) в указанном пределе (при J ^ О и ро оо) получается равенство Ф{t) = -git),

(5.15.19)

причем изучаемые (далее) 1юля (р(г, t — to) и lt{r, t — О и t > to-

225

На основании изложенного ясно, что потенциал tp и отвечаюи;ее ему поле смещений it рассматриваемой задачи могут быть представлены формулами О функция g(r) и ее производные всех порядков не имеют разрывов, то фронт (5.15.22) единствен. Нетрудно видеть, что при функциях д{т), непрерывных вместе с первой производной и имеющих разрывы во второй производной.

226

поле смещений i t из формулы (5.15.20) принадлежит классу решений уравнения (5.15.3) с правильными сильными разрывами. Прямая проверка такого утверждения легко производится на основе соотношений (2.7.2)2 и (2.7.3) и формул (5.15.11) и (5.15.20). Однако нрош;е убедиться в том, что 1) фронт (5.15.22) является характеристикой продольного типа, 2) на фронте (5.15.22) выполняются кипе.матические условия совместности и 3) при переходе через фронт (5.15.22) испытывают разрыв лишь производные по нормали (т. е. по г) и времени t от норма;н,пой составляющей поля. Выполнимость таких условий очевидна. Остается лишь отмстить, что в случае произвольной функции q{T) поле t — to) можно рассматривать как обобн;енное решение обсуждаемой задачи. 4. Покаже.м теперь, что функцию (/з(г) из формулы (5.15.20) можно толковать как решение неоднородного волнового уравнения Ду? - ^уЗ = ATvq{t - ^o)e(^ - to)S{A4 - Mo),

(5.15.23)

в котором 5(М — Мо) — трехмерная (5-функция Дирака, а е(г) — функция Хевисайда, подчиненное при г — \М — Мо\ > О нулевы.м начальным данны.м = 0. (5.15.24) = Ч^ t=to l=to При этом, как и в любых других задачах математической физики, форму.пировка которых содержит (5-фупкцию Дирака, под ренюнием уравнения (5.15.23) будем понимать результат предельного перехода при О от решения ipe{r, t — to) такого же уравнения, в правой части которого S{M — MQ) заменена на достаточно гладкую функцию S.{M — MQ; Щ) (3.9.9), очевидно обладаюп1,ую свойствами: V

1)

д,{М

- Мо; по) ^ О

равномерно в любой замкнутой области Vo, не содержащей точки Мо, и оо

2)

lim j j j i>{M)S,iM

- Mo; no) dM = ф{Мо)

— oo для любой непрерывной функции 'ф{М). ^Или соотношения (2.5.6).

227

(5.15.25)

Будем исходить из известного классического результата, утверждающего, что решение уравнения = 47rF,(x, y,z,t-

Aifie -

to)e(t - to),

(5.15.26)

подчиненное нулевым начальным данным нри t = to, дается формулой^

r' О нулевым начальным уело= lt = 0. (5.15.34) t = to t^to В правую часть уравнения (5.15.33) входит обобщенная функция grad 1 (т. е. предполагается непрерывной с первыми частными производными во всем безграничном пространстве) и воснользуе.мся очевидным тождеством div[Ttd,(M

- Мо-, По)] == - MQ; ПО).

= г^(М) grad6^{M - Mq; щ) +

Интегрируя это тождество по трехмерному пространству переменной М и учитывая, что, согласно формулам (3.9.9), функция ПО) отлична от тождественного нуля ЛИШЬ при \M—MQ\ < < £ (причем если \М — Мо| = г, то — MQ\ по) = О вследствие непрерывности), получае.м ос

л J -&{M)gmdS,{M

- Mo;

no)dMo+

-оо

+ JJj

div

M o ; no) dM = 0.

|M-Mo|<e

Поэтому

оо

j j j

itiM)

grad S{M - Ma) dM

=

•"Соотношение (5.15.37) справедливо, если интегрирование выполняется по любой области V, содержап;ей точку Мо строго внутри себя. Это ясно из вывода формулы.

231

со

= lim j j j

-Jl j

= lim • ^

i f ( М ) grad(),(M - Mq; no) dM =

div if

6e{M -

Mo-, no) dM> = - div if'

M=Mo

\M-Mo\<e

D силу предполагаемой пепрерывпости div 1^{М) и свойства (5.15.22) функции SE{M — MQ-, ПО). 7. В заключение полезно остановиться на наглядном механическом толковании воздействий, определяемых векторами плотности массовых сил, содержащими обобщенную векторную функцию grad(5(M - Mo). При выяснении этого вопроса естественно воспользоваться отмеченным в п. о произволом в выборе вида гладких функций 5^{М — —Мо\ По) из соотнощений (3.9.9), которыми заменяется функция 6[М — Мо) в правой части уравнения (5.15.33) при построении последовательности классических решений IT^LM, MQ, T-TO). В нашем случае целесообразно считать, что выбираемые функции обладают сферической симметрией, вследствие чего и

6е{М - Мо-, по) = S,{r)

g r a d 4 ( M - A f o ; По) =

^ ^ f t , (5.15.38)

где f t — орт радиуса-вектора MQA^- Д л я «момента сил», распределенных с непрерывной плотностью (5.15.38), и.меем ос

I I I — OO

l^grad(5,(r) dV = j j j

5,) dV - j j j

r to и г ~\М — Мо\ > О решение уравнения =

- to) e{t - to) 6{M - Mo),

(5.16.1)

подчиненное нулевым начальным данным гр

t=to

t = to

= 0.

(5.16.2)

Здесь e{t — to) и S{M — Mo) — функции Хевисайда и Дирака, г = \М — —Мо| определяется формулой (5.15.4), а «5 = , / - = const

(5.16.3)

VР

обозначает скорость распространения поперечных волн в однородной и изотропной упругой среде. Поставленная задача эквиватюнтна задаче из п. 4 § 15, вследствие чего можно утверждать, что ее решение представляется формулой t-to)

= —q(t Г

\

-to- -)e(t - t o - - ) , FG /

234

V

VG /

(5.16.4)

аналогичной формуле (5.15.20) для Подразумевая под , гг, гя орты i , j , к декартовой системы координат, определим три вектора смещений 4 ( Г , t-to)=

rot(v4) =

X it]

(5.16.5)

соответственно значениям к = 1,2, 3, где rf обозначает орт радиусавектора = MQI^ точки М относительно точки Мо, в которой расположен источник. Совершенно так же, как и в п. 5 § 15, не представляет труда убедиться, что векторы (5.16.5) являются решениями неоднородного уравнения Ламе Div

tik -

р

S (Л + 2/i) grad div izt - д rot rot vt = 4TTnq{t - to)e{t - to) то1[п.6{М - Mo)],

-

pvfuk

=

- f k

^

(5.16.6)

подчиненного нулевым начальным данным ut

t=to

= Uk

t=to

= 0

(5.16.7)

при r > 0. При этом, как и в § 15, решение задачи (5.16.6), (5.16.7) следует рассматривать в смысле предела от последовательности решений такой же задачи, в которой 6{М — Мо) заменена па гладкую функцию - Мо; По) (3.9.9). Как и в п. 5 § 15, легко доказывается, что указанный предел не зависит от частного вида выбираемых функций (5f(M - Мо; по), удовлетворяющих соотношению (5.15.25). Явное же выражение vt из формулы (5.16.5) имеет вид vt{r, t-to)

=

Я'{т)

^

£W

VsT

e(r)[ftxll],

(5.16.8)

где ради краткости обозначено T = t - t o - — .

Vs

(5.16.9)

Передним фронтом волнового поля (5.16.8) оказывается расширяющаяся со времене.м трехмерная сфера г = 0

или

r = 235

v,{t-to),

(5.16.10)

впереди которой, т. е. при г > Vs{t — tg), царит покой. Если д{т) и ее производные имеют разрывы липп. при г = О, то фронт (5.16.10) единствен. Нетрз'дно видеть, что в случае функций д{т), непрерывных с первой производной и имеюнщх разрывы во второй производной, поля (5.16.8), как и (5.15.20), удовлетворгпот условиям совместности и относятся к классу решений уравнения Ламе с правильными сильными разрывами. 2. Для установления физического смысла полей (5.16.8) выпише.м плотность fk = -infiqit

- to) e[t - to) rot [u to, подчиненные при г = \М — Мо\ > О нулевым начальным данным It

= и

= 0. t = io

l=to

238

(5.16.17)

При этом применялись обозначения ЩЙ

\М - Мо\ = г = 7 ( х - . Г о ) 2 + ( у - у о ) 2 + ( л - г о ) 2 ,

= rrt,

где М = (х, у, z) и Мо = (жо, уо, ZQ) соответственно переменная точка поля и точка расположения источника. Величина f t определяла единичный вектор направления из точки Мо в точку М . Было показано следующее. а) В случае источника типа центра давления поле смещений i t = = йр{г, t — to) определяется из задачи (5.16.16), (5.16.17) при плотности массовых сил 7 =

-47Г(А + 2n)it - to^eit - to) grad J ( M - Mo),

(5.16.18)

где e ( r ) — функция Хевисайда, a 6{M — Mo) — трехмерная функция Дирака. Возбуждаемое источником (5.16.18) поле смещений дается формулой г4(г, t-to)

=

{t -

to)'

е ( t - t o - — ] ft Up/

(5.16.19)

и описывает расходящуюся сферическую волну со сферическим фронтом г = Vp{t — to), впереди которого царит покой, т. е. г4(г, i - to) = О,

если

(5.16.20)

r>Vp{t-to).

Векторное поле (5.16.19) удовлетворяет кинематическим и динамическим уатовиям совместности (см. §5). б) В случае источников типа центров вращения рассматриваются три различных вектора плот!юсти массовых сил, а именно 7

- to)''e{t - to) rot [fkS{M - Mo)]

=

(5.16.21)

при fc = 1, 2, 3. Возбуждаемое каждым из таких источников волновое поле характеризуется вектором смещений ut{r, t-to)

=

{t -

to)'

t - t o - ^ ) [ r t

xit],

(5.16.22)

описывающим расходящуюся поперечную волну со сферическим фронтом г — Vs{t — to), впереди которого царит покой, т. е. t - to) = О,

если 239

г > Vs{t - to)-

(5.16.23)

Векторные поля (5.16.22) также удовлетворяют кииематическим и динамическим условиям совместности. о. Поля смещений (5.16.19) и (5.16.22) являются исходными для определения так называемых фундаментальных решений Вольтерра в теории упругости. Из вида уравнений Ламе (5.16.16) или (5.14.1) следует, что если найдено какое-либо решение Tt(M, t — to) этого уравнения, отвечающее плотности .массовых сил 'fiM, t — tn), то поле смещений lt{M, to — t) будет удовлетворять уравнению (5.16.16) при ~f{M, to-t). (Это свойство есть следствие симметрии уравнения относительно знака времени!) Указанное обстоятельство позволяет получать из ренюпий задачи (5.16.16), (5.16.17), вынисапных в п. 4, новые решения уравнений Ламе, имеющие характер сходящихся к точке Мо (т. е. к точке г = 0) волн. Напомним, что такое свойство уравнений движения уже учитывалось в § 10 при рассмотрении принципа взаимности, причем та.м среда предполагалась неоднородной и анизотропной. Фундаментальное решение продольного типа получается из формулы (5.16.19) заменой t - to на. to — t. При этом полагается to > О, а решение рассматривается при значениях времени t > 0. Вектор смещений такого решения определяется формулой г4°{М,

Мо, t-to)

{t-toY

= г4(г, to - t) = Г N

1 „2 e\to-t

ft,

(5.16.24)

VpJ

правая часть которой отлична от нуля лишь при to-t

г

> О,

т.е.

г

Vp{to - t).

(5.16.26)

Поле и^^ имеет правильные сильные разрывы (т. е. удовлетворяет условиям совместности) и удовлетворяет }фавнению (5.16.16) при плотности массовой силы У = t ° = -47Г(А + 2/х)(< - tofeito

- i)grad(5(M - Mo),

(5.16.27)

прилагаемой фактически к точке Мо и отличной от пуля лиип. при t < to. Эта плотность силы гасит (поглощает) энергию приходящих к точке Мо «элементов» волны (5.16.24) . Появление волнового поля (5.16.24) при значениях t > О можно считать следствие.м ненулевых начальных условий Up

1 t=o

t o - ft; VpJ

(=0

=

заданных при t = 0. Возбуждаемые такими условиями волны приходят в точку Мо в течение времени Q < t < to к все вре.мя поглощаются^ (гасятся) источником (5.16.27). В момент t — to поглощающая сила (5.16.27) выключается и в среде устанавливается покой. Фундаментальные решения поперечного тина получаются из соотношений (5.16.22) заменой t — to на, to — t и рассматриваются при значениях времени t < 0. Поля смещений таких решений, имеюище вид ?Tt°(M, Мо, t-to)= (/. - кГ

to-t

vt

utir, tQ-t)

Vs

=

[ft X 4 ] ,

(5.16.28)

от.чичны от нуля только при to — t

Vs

>0,

T. e. при

г < Vsito — t),

И представляют собой сходящиеся поперечные волны. Задним фронтом волн (5.16.28) является четырехмерный конус или трехмерная сфера r = vSa-t), (5.16.29) ''Именно из-за этого поглощения и не возникает отраженной (сферическирасходящейся) волны от точки Мо, в которой фокусируются сферическисходяи(иеv,(to-t).

Поля (5.16.28) имеют правильные сильные разрывы па фронте (5.16.29) и удовлетворяют уравнению (5.16.16) при условии, что плотность массовых сил имеет значение t

=

= -4NNIT

-

- t) rot [ITS{M

to)^E{to

(5.16.30)

- Mq)].

Появление полей (5.16.28) .можно считать следствием ненулевых начальных условий

t=o

vV

\

-2to

^sj

eito

(=0

) И

X ik],

(5.16.31)

заданных при t = 0. Возбуждаемые такими условиями волны подходят к точке Мо в течение времени О < t < и поглощаются «источником» (5.16.30). В момент времени t = to источник выключается, и в среде устанавливается покой. В связи с изложенным полезно на конкретном примере поля li =

lt

(5.16.32)

V

(рассматриваемого типа расходящейся волны) обратить внимание на роль в определении решения однородного уравнения (5.16.16) (в котором ^ = 0) начальных данных вида it

l=to

= й^(г)е (to - ; \ vJ

^

t=io

= v^{r)£ (to - - ) . \ V/

(5.16.33)

Если правые части таких уашвий определены по значениям поля (5.16.32), то ясно, что решение однородных уравнений (5.16.16), подчиненное условиям (5.16.33), принимает вид (5.16.32) при t = to+t', (причем такое решение единственно). 242

t'>0,

Начальным же условиям (5.16.33), в которых изменен на обратный знак при отвечает (единственное) решение однородных уравнений (5.16.16) вида lt = lt г, to-t'-Це

V.

(to - t ' - - ) , \ vJ

представляющее собой уже сходящуюся волну к точке г = 0. В рамках таких соображений как раз и построены введенные выше фунда.ментальные репюния типа Вольтерра. 6. При помощи введенных фундаментальных решений Вольтерра удается построить репюние задачи Коши для однородной и изотропной безграничной упругой среды в форме, допускающей наглядное (})изическое толкование. Что касается постано1!ки такой задачи, то она сводится к нахождению (в безгранич1юй среде в .моменты времени t > 0) решения lt(M, t) уравнения (5.14.1) с задан1юй плотностью массовых сил / ( М , t), подчиненного начальным условиям it

i=0

=

it

(=0

= г^{М)

(5.16.34)

общего вида. Полное репюние задачи Конш дается в § 6. Сейчас же для иллюстрации применения фундаментальных регнений Вольтерра рассмотрим частные (вспомогательные) задачи, в которых требуется определить по уравнению (5.14.1) и начальным условиям (5.16.34) не само поле i t в произвольно выбираемой точке Мо = (хо, уо, го) среды в момент времени t - to > О, а липть значения div it и rot it от этого поля. Penieiine таких задач легко получается в результате применения интегральной формулы Грина—Вольтерра (3.10.1) и (3.10.2) к полю lt{M, t), удовлетворяющему условиям задачи Конш, а также к полю l t ° , совпадающему с продолып,™ или поперечными фундамента^тьными решениями Вол1>терра. Такие поля относятся к классу решений уравнения (5.14.1) (или, что то же, уравнения (5.16.16)) с правильными силып,гми разрывами и, следовательно, удовлетворяют условиям, при которых формула (3.10.1) справедлива. Для того чтобы и поле lt{M, t) удовлетворяло таким уаювиям, следует сначала предположить, что вхох^ные данные 'fiM, t), u^(M) и v^{M) задачи Коши задаются настолько гладкими функциями, что ее решение it оказывается непрерывным вместе с первыми частными производными. К случаю произвольных входных данных ' f , u^uv^ нетрудно 243

будет перейти в окончательном ринении задачи путем рассмотрения последовательностей достаточно гладких функций ' f , й^ и v^. 7. Для определения значения div i t в точке {XQ, уо, 2о) воспользуемся формулой (3.10.1) в случае замкнутой области В, ограниченной (снизу) плоскостью t = О и (с боков и сверху) — произвольной гладкой поверхностью El, такой, что четырехмерный конус г < V.^{tQ - t),

(5.16.35)

имеющий всрпшпу в точке (жо, уо, ZQ, to), оказывается расположепным внутри В. Под полем it в формуле (3.10.1) будем подразумевать решение уравнения (5.14.1), удовлетворяющее пачалып)ш данным (5.16.34), а в качестве возь.мем фундаментальное решение lt°{M, Mo, t - to) из формулы (5.16.24). Граничная поверхность Е области В состоит из двух частей: 1) из гладкой поверхности Ei, в точках которой = О вследствие свойства (5.16.26), и 2) из основания t — 0,в точках которого cosi/t=-l, lt(M, =

[ 1о J

cosuxk=0,

t) = vtiM),

1"

/

о е to \

к=

1,2,3,

и{М, t) = ^{М, г \

^р/

V^o

u„ =

2to

t), to-

ft.

dV,

(5.16.36)

Поэтому в силу формулы (3.10.2) оказывается

Ill[Ml°lt-Mllt°]

dE =

T о, a JOJ и

(5.17.26)

определяются интегралами вида

Joe{M) = f f I

- M')^{M')

dV,

(5.17.27)

£: ip к точке М начинает подходить продольная волна, содержащаяся в первом и третьем слагаемых из правой части формулы (5.17.41). Первое слагаемое

r Тр), то в силу равенства (5.18.14) поле t) представляется выражением

Ш не зависящи.м от времени. Аналогично обстоит дело и со вторым слагаемым

r Ts принимает значение =

(5Л8Л6') (Vo)

уже не зависящее от времени (так как область VQ располагается внутри сферы г < Vat). Что касается последнего слагаемого правой части соотношения (5.17.41), представляющегося выражением t

vt{M, t)

= ^jTdTj j jgrad 0

(^grad i

dV

(5.18.17)

VaT Ts статического поля (5.18.21), возникшего в результате выключения при t = О воздействия (5.18.14). Для этого достаточно лишь на изучешюе выше поле lt{M,

t) = й|(М, t) + «t(M,

t) + 4(М,

t)

из формулы (5.17.41) (приводящее к полю lt{M) (5.18.21) при t > Tg) наложить дополнительное поле if^lM, t), возбуждаемое в безграничной упругой среде (находившейся в покое при t < to — Ts) в результате включения в момент t — to — Ts («обратного») статического воздействия Т ш ' t ) ^

^

- I

' ^ ~ \

о,

-

+

^

М ' ^ Ко.

Такое воздействие начинает влиять на поле Tt{M, t) (5.18.21) в точке М в момент t = to - Ts к ъ момент t = to оно создает в точке М дополнительное поле lt°{M, to) = —lt{M) из выражения (5.18.21), которое компенсирует (снимает) в точке М статическое поле (5.18.21). 3. Рассмотрим теперь процесс установления стационарного колебательного режима в безграничтюй однородной и изотропной упругой среде. Пусть при t < О среда находилась в покое, а в момент t = О к ее фиксированной области Vo прикладывается воздействие с плотностью массовых сил (5.^3) где e{t) и Vo имеют такой же смысл, как и в воздействии (5.18.14).

272

Возбуждаемое воздействием (5.18.23) поле (5.18.13) описывается формулой (5.17.41). Если подставить значение (5.18.23) в выражение (5.17.41), то нетрудно убедиться в том, что исследуемое поле может быть представлено формулой li[M,

t) +

t) =

0],

(5.18.24)

где I I I

ijtlipiLe-'^rf..

r