Всплески и минимальные сплайны: Курс лекций

Ю.К.Демьянович

ВСПЛЕСКИ & МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ (курс лекций)

С.-Петербург 2003

2

-

Выходные данные

2

ВВЕДЕНИЕ Последние десятилетия отмечены возрождением интереса к локальной аппроксимации и, в частности, к сплайнам и всплескам (см., например, [1–14]). Это объясняется широким применением последних к различным видам обработки числовых потоков — носителей информации. Основная задача такой обработки — сокращение объема числового потока за счет выявления и отбрасывания несущественных (с той или иной точки зрения) частей. Обработка числового потока может производиться в двух направлениях: в направлении сохранения аппроксимации и в направлении сохранения основных спектральных характеристик. Классическим аппаратом обработки в первом направлении являются сплайны, а аппаратом обработки во втором направлении служат всплески (за рубежом чаще употребляется термин вейвлеты /wavelets/). Оказалось [10–18], что сплайны и всплески тесно связаны между собой: каждая цепочка вложенных пространств минимальных сплайнов порождает всплесковое разложение. Поскольку мощность множества упомянутых цепочек — континуум, то такова же мощность множества предлагаемых всплесковых разложений. Удивительно, что все они находят простую реализацию в виде явно выписываемых формул декомпозиции и реконструкции. Кроме того, эти всплесковые разложения наследуют хорошо исследованные асимптотически оптимальные (по N -поперечнику) аппроксимацинные свойства сплайнов. Правда, в случае неравномерной сетки формулы несколько усложняются (они зависят и от рассматриваемой сетки [18]), а изложение доказательств требует дополнительных приемов, поэтому случай неравномерной сетки в данном курсе лекций не рассматривается (хотя, конечно, неравномерная сетка весьма существенна для аппроксимации функций с особенностями). Цель данного курса лекций — ознакомить читателя с различными подходами к построению пространств сплайнов и всплесков на равномерной сетке.1 1 Работа

частично поддержана грантами РФФИ 01-01-00336 и 01-01-00398.

3

Как сплайны, так и всплески подвергались многочисленным и всесторонним исследованиям: соответствующая литература насчитывает тысячи наименований, в том числе, десятки монографий (см. [3–14] и имеющуюся там библиографию); естественно, в подобном курсе нет возможности охватить даже наиболее существенные исследования, и потому выбор материала определялся исключительно вкусами автора. В то же время, как надеется автор, предлагаемый материал подводит читателя к переднему краю исследований, позволяя ему быстро освоиться с определенным кругом задач и принять участие в их решении. Курс лекций распадается на четыре главы: первая содержит введение в классический анализ всплесков, во второй рассматриваются сплайны на равномерной сетке, третья посвящена построению биортогональной системы и прямому решению интерполяционных задач, а четвертая содержит вейвлетное разложение цепочек пространств минимальных сплайнов. В каждой главе даны упражнения для закрепления материала. В конце курса имеется поглавный список обозначений, а также общий список терминов. Нумерация определений, лемм и теорем своя в каждой главе; ссылка из другой главы сопровождается номером главы, отделяемым точкой от номера перечисленных утверждений: например, ссылка на лемму 2.3 означает ссылку на лемму 2 из главы 3. Нумерация фурмул — своя в каждом параграфе; структура ссылок аналогична: ссылка на формулу (3.2.4) означает ссылку на формулу (2.4) из главы 3. От читателя требуется лишь знание основных фактов алгебры и математического анализа, некоторые из которых приводятся мелким шрифтом; мелкий шрифт может быть пропущен искушенными читателями, а также теми, кто (по тем или иным причинам) интересуется лишь общей канвой излагаемой теории. Автор надеется, что предлагаемая работа будет полезна обеим категориям читателей.

4

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВСПЛЕСКОВ (ВЕЙВЛЕТОВ) § 1. Преобразование Фурье Рассмотрим банахово пространство L1 (R1 ) измеримых функR ций ϕ(x) с конечным интегралом |ϕ(x)| dx и положим Z def kϕ(x)k1 = |ϕ(x)| dx; здесь и далее отсутствие пределов у интеграла означает интегрирование по всей вещественной оси R1 от −∞ до +∞. Определение 1. Для функций ϕ(x) и ψ(ξ) пространства L1 (R1 ) введем прямое и обратное преобразования Фурье формулами Z  def ϕ(x)e−ixξ dx, (1.1) F ϕ(x) (ξ) =  def 1 F −1 ψ(ξ) (x) = 2π

Z

ψ(ξ)eixξ dξ.

(1.2)

В дальнейшем для краткости будем также применять сокращенные обозначения   def −1 ˇ def ϕ(ξ) b ψ(x) ψ(ξ) (x). = F ϕ(x) (ξ), = F Нетрудно видеть, что ϕ(−ξ) b = 2π ϕ(ξ), ˇ

(1.3)

и потому многие утверждения, касающиеся прямого преобразования Фурье, можно перефразировать для обратного. Весьма важно ответить на вопрос: при  каких условиях и в каком смысле справедливо равенство F −1 ϕ(ξ) b (x) = ϕ(x). Некоторые варианты ответа будут даны в дальнейшем.

5

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L2 (R1 ) со скалярным произведением Z hf, gi = f (x)g(x) dx и нормой kf k2

def

=

|hf, f i|1/2 .

Нам понадобится еще банахово пространство L∞ (R1 ) с нормой kϕk∞

def

=

ess sup |ϕ(x)|. x∈R1

Для краткости пространства L1 (R1 ), L2 (R1 ), L∞ (R1 ) часто обозначаются просто L1 , L2 , L∞ . Теорема 1∗ . Если функция f лежит в пространстве L1 , то 1) ее преобразование Фурье fb существует и лежит в пространстве L∞ , и при этом kfbk∞ ≤ kf k1 , 2) функция fb(ξ) равномерно непрерывна на R1 и 3) lim|ξ|→±∞ fb(ξ) = 0. Если еще существует производная f 0 функции f и эта производная — элемент пространства L1 , то 4) F {f 0 (x)}(ξ) = iξ fb(ξ). Доказательство. По свойствам интеграла из (1.1) получаем неравенство Z |fb(ξ)| ≤

|f (x)| dx,

откуда и вытекает утверждение 1). Ввиду неравенства

|fb(ξ +α)− fb(ξ)| ≤

Z

−iξx

e

−iαx

(e

−1)f (x) dx ≤

Z

|(e−iαx −1)||f (x)| dx

получим оценку

Z sup |fb(ξ + α) − fb(ξ)| ≤

|(e−iαx − 1)||f (x)| dx,

ξ

в правой части которой ξ не фигурирует. Учитывая, что limα→0 (e−iαx − 1) = 0, по теореме Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла приходим к утверждению 2).

6

Докажем теперь утверждения 3) и 4), причем начнем с последнего. В условиях существования производной f 0 , сама функция f непрерывна и ввиду предположения f ∈ L1 необходимо lim|x|→+∞ f (x) = 0; поэтому при интегрировании по частям в интеграле F f 0 (x) (ξ) =





Z

e−ixξ df (x)

внеинтегральные члены пропадают, и в результате находим



0

Z



F f (x) (ξ) = iξ

e−ixξ f (x) dx,

что и требовалось. Утверждение 4) доказано. Для доказательства утверждения 3) по произвольному ε > 0 найдем функцию hε (x) такую, что hε , h0ε ∈ L1 и kf − hε k1 < ε. Имеем |fb(ξ)| ≤ |fb(ξ) − b hε (ξ)| + |b hε (ξ)|. Применив утверждение 1) к первому слагаемому и утверждения 4) и 1) — ко второму, получим |fb(ξ)| ≤ kf − hε k1 + |b h0ε (ξ)|/|ξ| ≤ ε + kh0ε k1 /|ξ|, откуда следует утверждение 3). Теорема полностью доказана. Следствие 1∗ (О линейности и ограниченности оператора F как оператора из пространства L1 в L∞ ). Оператор Фурье F является линейным ограниченным оператором, действующим из пространства L1 в пространство L∞ . Доказательство. Ввиду доказанной теоремы линейность и аддитивность очевидны, а ограниченность вытекает из утверждения 1) упомянутой теоремы. Рассмотрим два важных примера функций из пространства L1 и их преобразования Фурье. Определение 1∗ (Функция Хевисайда). Функция вида χ(x) =

n

0 1

при при

x < 0, x≥0

называется функцией Хевисайда. Функцию χa (x)

def

=

e−ax χ(x),

7

a ≥ 0,

будем называть обобщенной функцией Хевисайда. Очевидно, функция Хевисайда не лежит в L1 , а ееR преобразование Фурье в обычном смысле не существует (интеграл χ(x)e−ixξ dx расходится). Лемма 1∗ (Преобразование Фурье обобщенной функции Хевисайда). При a > 0 обобщенная функция Хевисайда χa лежит в L1 , а ее преобразование Фурье существует и вычисляется по формуле χ ca (ξ) =

1 . a + iξ

Доказательство. Принадлежность функции χa пространству L1 очевидна; следовательно, ее преобразование Фурье χ ca существует:

Z χ ca (ξ) =

+∞

e−ax e−ixξ dx = −

0

x=+∞ 1 1 e−x(a+iξ) x=0 = . a + iξ a + iξ

Определение 2∗ (Функция Гаусса). Функция вида g(x)

def

=

2

e−x

называется функцией Гаусса. Функцию ga (x)

def

=

2

e−ax ,

a > 0,

будем называть обобщенной функцией Гаусса. Лемма 2∗ (Преобразование Фурье обобщенной функции Гаусса). Обобщенная функция Гаусса ga лежит в L1 , а ее преобразование Фурье существует и вычисляется по формуле gba (ξ) =

q

π − ξ4a2 . e a

(1.1∗ )

Доказательство. Принадлежность функции ga пространству L1 сомнений не вызывает. Для отыскания ее преобразования Фурье сначала рассмотрим интеграл F (y)

def

=

Z

2

e−ax

8

+xy

dx.

Элементарным преобразованием показателя и подстановкой z = y ) последовательно получим 2a

Z F (y) =

y

e−a(x− 2a )

2

y2

+ 4a

1 y2 dx = √ e 4a a

Z

√ a(x−

2

e−z dz.

Приняв во внимание, что (см., например, [19, с. 132])

Z

2

e−z dz =

√ π,

(1.2∗ )

и что F (y) — аналитическая функция, при y = iξ найдем b ga (ξ) = F (iξ) =

pπ a

ξ2

e− 4a . Формула (1.1∗ ) доказана.

Лемма 1. Если ϕ ∈ L1 и a, b ∈ R1 , a 6= 0, то  1 b ξ  F ϕ(ax + b) (ξ) = ei a ξ ϕ b . a a

(1.4)

Доказательство. В интеграле Z  F ϕ(ax + b) (ξ) = ϕ(ax + b)e−ixξ dx сделаем подстановку x0 = ax + b; тогда получим Z  0ξ 1 ibξ a F ϕ(ax + b) (ξ) = e ϕ(x0 )e−ix a dx = a 1 b ξ  b = ei a ξ ϕ , a a что и требовалось доказать. § 2. Свертка функций Определение 2. Сверткой функций ϕ, θ ∈ L1 называется функция, получаемая по формуле Z def f (x) = ϕ(y)θ(x − y) dy. (2.1) 9

Свертка обозначается символом ∗, так что h = ϕ ∗ θ. Теорема 2∗ (свойства свертки). Если функции ϕ, θ принадлежат L1 , то 1) свертка этих функций также принадлежит L1 , ϕ ∗ θ ∈ L1 , 2) свертка коммутативна: ϕ ∗ θ = θ ∗ ϕ, 3) если еще функция f из L1 , то (ϕ ∗ θ) ∗ f = θ ∗ (ϕ ∗ f ), т.е. свертка ассоциативна. Доказательство. Для функции f (x)

def

Z ϕ(y)θ(x − y) dy

=

справедлива оценка (используем теорему Фубини о перемене порядка интегрирования, см., например, [20, с. 379])

Z

Z |f (x)| dx ≤

Z

Z =

|ϕ(y)||θ(x − y)| dy =

dx

Z |ϕ(y)| dy

|θ(x − y)| dx,

так что после замены x 7→ x0 , x0 = x − y имеем

Z

Z |f (x)| dx ≤

Z |ϕ(y)| dy

|θ(x0 )| dx0 .

Теперь видно, что из конечности последних двух интегралов следует конечность интеграла в левой части последнего неравенства; этим доказано свойство 1). Доказательство второго свойства сводится к перестановке интегралов (по теореме Фубини см. [20, с.384]) и к замене переменной интегрирования. Аналогично доказывается и третье свойство. Теорема доказана.

Лемма 2. Если ϕ, θ ∈ L1 , то справедливо соотношение  b F ϕ ∗ θ (ξ) = ϕ(ξ) b · θ(ξ). (2.2) Доказательство. Применяя преобразование Фурье к свертке (2.1), находим Z   F ϕ ∗ θ (ξ) = F ϕ(x)θ(y − x) dx (ξ) = 10

Z =

Z

−iyξ

ϕ(x)θ(y − x) dx dy.

e

(2.3)

Из соотношения (2.3) после перестановки порядка интегрирования (по теореме Фубини) и подстановки y 0 = y − x получим Z Z  F ϕ ∗ θ (ξ) = ϕ(x) dx e−iyξ θ(y − x) dy = Z

Z

= Z =

−ixξ

e

ϕ(x) dx Z ϕ(x) dx

0

e−i(y +x)ξ θ(y 0 ) dy 0 = 0 b e−iy ξ θ(y 0 ) dy 0 = ϕ(ξ) b · θ(ξ);

формула доказана. Рассмотрим функцию Γε (x)

def

=

x2 1 √ e− 4ε , 2 πε

ε > 0,

(2.1∗ )

называемую усредняющим ядром. Лемма 3∗ . Функция Γε лежит в пространстве L1 , а ее преобразование Фурье имеет вид 2

Γbε (ξ) = e−εξ .

(2.2∗ )

Доказательство. Заметим, что функция Γε с точностью до мно1 , жителя 2√1πε совпадает с обобщенной функцией Гаусса ga при a = 4ε 1 Γε (x) = √ g 1 (x), 2 πε 4ε и потому Γε ∈ L1 . Применив преобразование Фурье к обеим частям только что написанного соотношения и пользуясь формулой (1.1∗ ), найдем 1 −εξ2 Γbε (ξ) = √ gc , 1 (ξ) = e 2 πε 4ε что и требовалось.

11

Следствие 2∗ . Справедлива формула

Z Γε (x) dx = 1. Доказательство легко следует из формулы (2.2∗ ) при ξ = 0. Теорема 3∗ . Если функция f лежит в пространстве L1 , то в каждой точке x непрерывности функции f (x) справедливо соотношение lim (Γε ∗ f )(x) = f (x). (2.3∗ ) ε→+0

Доказательство. Пусть x — точка непрерывности функции f (x). По произвольному η > 0 найдем δ = δ(η) так, что |f (x − y) − f (x)| < η при |y| < δ. Ввиду следствия 2∗ имеем

Z




(Γε ∗ f )(x) − f (x) =

Z

Γε (y) f (x − y) − f (x) dy =

δ

Z







Γε (y) f (x − y) − f (x) dy +

=

Γε (y) f (x − y) − f (x) dy, |y|>δ

−δ

и потому

Z

δ

|(Γε ∗ f )(x) − f (x)| ≤ η

Z Γε (y) dy + max Γε (y) |y|>δ

−δ

|f (y)| dy+

Z

(2.4∗ )

Γε (y) dy.

+|f (x)| |y|>δ

Используя следствие 2∗ , получаем

Z

δ

max Γε (y) ≤ Γε (δ) −→ 0,

Γε (y) dy < 1,

|y|>δ

−δ

ε→+0

√ а поскольку при подстановке y = y 0 ε имеем (y 0 )2 y2 1 1 1 Γε (y) = √ e− 4ε = √ e− 4 = √ Γ1 (y 0 ), 2 πε 2 πε ε

то

Z

Z Γε (y) dy = |y|>δ

√ |y 0 |>δ/ ε

12

dy =

Γ1 (y 0 ) dy 0 −→ 0. ε→+0

√ εdy 0 ,

Теперь из неравенства (2.4∗ ) вытекает соотношение (2.3∗ ). Теорема доказана.

§ 3. Еще о свойствах преобразования Фурье Лемма 4∗ . Если функции f, g лежат в пространстве L1 , то справедлива формула

Z

Z f (x)b g (x) dx =

fb(x)g(x) dx.

Доказательство. Поскольку интегралы в доказываемой формуле конечны (ввиду непрерывности функций b h(x), b g (x) — см. теорему 1∗ ), по теореме Фубини имеем

Z

Z f (x)b g (x) dx =

Z f (x) dx

g(y)e−ixy dy =

Z

Z g(y) dy

f (x)e−ixy dx,

что и требовалось установить. Теорема 4∗ (о смысле оператора F −1 ). Если f, fb ∈ L1 , то в любой точке x непрерывности функции f верно соотношение f (x) = F −1 fb (x).




Доказательство. Рассмотрим функцию hε,x (t)

def

=

1 itx−εt2 . e 2π

Применяя к ней преобразование Фурье, вспоминая формулу (1.1∗ ) и введенную ранее с помощью соотношения (2.1∗ ) функцию Γε (x), имеем

d h ε,x (y) = 1 = 2π

Z

1 2π

Z

2

e−iyt+itx−εt dt =

e−it(y−x) gε (t) dt =

1 2π

Z

1 1 gbε (y − x) = 2π 2π

2

e−it(y−x) e−εt dt =

q

π − (x−y) e 4ε = Γε (x − y). ε

Теперь благодаря лемме 4∗ легко находим

Z (f ∗ Γε )(x) =

Z f (y)Γε (x − y) dy =

13

f (y)b hε,x (y) dy =

Z =

1 fb(t)hε,x (t) dt =

Z

2π

2

fb(t)eitx e−εt dt;

таким образом 1 (f ∗ Γε )(x) = 2π

Z

2

fb(t)eitx e−εt dt.

(3.1∗ )

Если x — точка непрерывности функции, то при ε → 0 левая часть соотношения (3.1∗ ) стремится к числу f (x) (см. теорему 3∗ ). Подынтегральная функция в правой части равномерно (по параметру ε → 0) стремится к предельной функции на каждом конечном отрезке; таким образом, выполнены условия теоремы Лебега о возможности предельного перехода под знаком Итак, правая часть соотношения R интеграла. 1 (3.1∗ ) стремится к 2π fb(t)eitx dt, т.е. к обратному преобразованию Фурье от функции fb(t). Теорема доказана.

§ 4. Равенство Парсеваля Определение 3∗ . Автокорреляционной функцией от функции f ∈ L2 называется функция F , определяемая равенством

Z F (x) =

f (x + u)f (u) du.

Лемма 5∗ . Aвтокорреляционная функция F от функции f ∈ L2 существует и 1) является равномерно непрерывной на всей вещественной оси, 2) для нее справедливо неравенство |F (x)| ≤ kf k22 , ∀x ∈ R1 . Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши–Буняковского

Z Z 1/2 Z 1/2 2 |g| | dy |h|2 | dy gh dy ≤ для оценки разности |F (x + z) − F (x)|. Полагая в этом неравенстве g(y) = f (x + y + z) − f (x + y), h(y) = f (y), находим

Z

|F (x + z) − F (x)| =






f (x + y + z) − f (x + y) f (y) dy ≤

14

≤

1/2 Z f (x + y + z) − f (x + y) 2 dy kf k2 .

Ввиду теоремы Лебега при z → 0 интеграл в правой части стремится к нулю, откуда следует утверждение 1) доказываемой леммы. Второе утверждение легко получается применением неравенства Коши–Буняковского для g(y) = f (x + y), h(y) = f (y). Лемма доказана. Теорема 5∗ (равенство Парсеваля). Если f ∈ L1 ∩ L2 , то преобразование Фурье fb функции f лежит в пространстве L2 и справедлива формула √ kfbk2 = 2πkf k2 . (4.1∗ ) Доказательство. Ввиду теоремы 1∗ функция fb(x) непрерывна и стремится к нулю при x → ±∞, так что заведомо функция Γε (x)|fb(x)|2 лежит в пространстве L1 (напомним, что Γε ∈ L1 ). Очевидны равенства (используем теорему Фубини)

Z

bε (x)|fb(x)|2 dx = Γ Z

=

Z bε (x)fb(x)fb(x) dx = Γ

Z f (y) dy

Z f (u) du

bε (x) dx. eix(y−u) Γ

1 представляет собой Последний интеграл с точностью до множителя 2π b обратное преобразование Фурье от функции Γε , вычисленное в точке y − u; по теореме 4∗ оно равно Γε (y − u). Итак,

Z

bε (x)|fb(x)|2 dx = 2π Γ

Z

Z f (y) dy

f (u)Γε (y − u) du.

После перестановки порядка интегрирования и подстановки y 7→ x, x = y − u, в правой части последнего равенства найдем

Z

bε (x)|fb(x)|2 dx = 2π Γ

Z = 2π

Z

Z f (u) du

Z f (u) du

Γε (y − u)f (y) dy =

Z Γε (x)f (x + u) dx = 2π

Z Γε (x) dx

Здесь подставим корреляцию F (x) функции f , F (x)

def

=

Z f (x + u)f (u) du;

15

f (x + u)f (u) du.

в результате получаем

Z

bε (x)|fb(x)|2 dx = 2π Γ

Z Γε (x)F (x) dx.

(4.2∗ )

Поскольку F (x) — непрерывная функция (см. лемму 5∗ ), то в соответствии с теоремой 3∗ имеем Γε ∗ F (x) −→ F (x), ε→+0

что эквивалентно соотношению

Z Γε (x − y)F (y) dy −→ F (x). ε→+0

Полагая здесь x = 0 и учитывая четность функции Γε (x − y), находим

Z Γε (y)F (y) dy −→ F (0). ε→+0

Учитывая последний результат в формуле (4.2∗ ), имеем

Z

bε (x)|fb(x)|2 dx −→ 2πF (0). Γ

(4.3∗ )

ε→+0

Заметим теперь, что в левой части соотношения (4.3∗ ) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Действительно, из (4.3∗ ) следует, что fb ∈ L2 , и поскольку согласно формуле (2.2∗ )

bε (x)|fb(x)|2 ≤ |fb(x)|2 , 0 0, определяемая формулой  f (x) при |x| ≤ A, def fA (x) = 0 при |x| > A, лежит в пересечении L1 ∩ L2 , и потому fbA ∈ L2 (см. теорему 5∗ ). Нетрудно видеть также, что для любой последовательности чисел {An }, стремящейся к +∞, соответствующая последовательность функций {fbAn } сходится в себе в пространстве L2 . Поэтому предел limA→+∞ fbA существует и единствен; иначе говоря, существует предел (в смысле нормы пространства L2 ), упомянутый в правой части соотношения (5.1∗ ). Ввиду плотности линейного множества L1 ∩ L2 полученное распространение единственно, а ввиду формулы (4.1∗√ )оно представляет собой линейный ограниченный оператор с нормой 2π. Теорема 7∗ (обобщенное равенство Парсеваля). Если f, g ∈ L2 , то преобразования Фурье fb, b g функций f, g лежат в пространстве L2 и справедлива формула hf, gi = 2πhfb, b g i.

(5.2∗ )

Доказательство. Пусть сначала h ∈ L1 ∩ L2 . Прежде всего заметим, что для функций g, f , равных h, g = f = h, соотношение (5.2∗ ) установлено ранее (см. теорему 5∗ ), √ (5.3∗ ) kb hk2 = 2πkhk2 .

17

Если же h ∈ L2 , то ввиду плотности L1 ∩ L2 в L2 найдется последовательность hn ∈ L1 ∩ L2 такая, что limn→+∞ kh − hn k = 0. Подставляя hn в (5.3∗ ), находим √ cn k2 = 2πkhn k2 , kh откуда, переходя к пределу и используя непрерывность нормы, получаем (5.3∗ ) для интересующей нас функции h. Итак, формула (5.3∗ ) справедлива для любой функции h ∈ L2 . Для доказательства обобщенного равенства Парсеваля (5.2∗ ) воспользуемся очевидной формулой 8hf, gi = kf + gk22 − kf − gk22 + kf − igk22 − kf + igk22 /i,




применив ее также и к скалярному произведению 8hfb, b g i; в результате четырехкратного использования формулы (5.3∗ ) для h = f + g, f − g, f − ig, f + ig придем к требуемому соотношению (5.2∗ ). Лемма 6∗ . Для f, g ∈ L2 верно соотношение hf, b g i = hfb, gi.

(5.4∗ )

Доказательство. Соотношение (5.4∗ ) справедливо для функций f, g ∈ L1 ∩ L2 (см. лемму 4∗ ). Из непрерывности скалярного произведения и плотности множества L1 ∩ L2 вытекает справедливость (5.4∗ ) для всех f, g ∈ L2 .

§ 6. Оператор сопряженного отражения и биективность преобразования Фурье в пространстве L2 Определение 3. Оператором сопряженного отражения назовем оператор S : ψ(x) 7−→ ψ(−x). (6.1) Лемма 7∗ . Для f ∈ L2 справедливы формулы




S Sf = f,




S Sf = f,

18

kSf k2 = kf k2 ,

(6.1∗ )

cf , fb = S

(6.2∗ )

c = S fb. Sf

Доказательство. Первые две формулы в (6.1∗ ) вытекают из определения (6.1) оператора сопряженного отражения. Третья формула в (6.1∗ ) также очевидна (делаем подстановку x 7→ x0 , x0 = −x): kSf k22

Z =

Z

2

+∞

|f (−x)|2 dx =

|Sf (x)| dx = −∞

Z

−∞

=−

|f (x0 )|2 dx0 =

Z

+∞

|f (x0 )|2 dx0 = kf k22 .

−∞

+∞

Доказательство первого из соотношений в (6.2∗ ) вытекает из следующей цепочки равенств (опять подстановка x 7→ x0 , x0 = −x):

Z cf (ξ) = S

Z f (−x)e−iξx dx =

f (−x)e−iξ(−x) dx =

Z

0

f (x0 )e−iξx dx0 = fb(ξ).

Для доказательства второго соотношения в (6.2∗ ) имеем

Z c (ξ) = F {f (−x)}(ξ) = Sf

−iξx

f (−x)e

Z dx =

0

f (x0 )e−i(−ξ)x dx0 =




= fb(−ξ) = S fb (ξ). Лемма полностью доказана. Теорема 8∗ (о биективности преобразования Фурье в L2 ). Преобразование Фурье, распространенное по непрерывности на пространство L2 , является отображением пространства L2 на себя, т.е. F {h} ∈ L2 для любой функции h ∈ L2 , и какова бы ни была функция g ∈ L2 , найдется единственная функция f ∈ L2 такая, что fb = g;

(6.3∗ )

последнее означает,что решение уравнения (6.3∗ ) существует и единственно при любой правой части из L2 . Доказательство. По теореме 6∗ преобразование Фурье переводит пространство L2 в себя, поэтому для доказательства теоремы достаточно установить, что любой элемент g пространства L2 является образом некоторого элемента f ∈ L2 при упомянутом преобразовании.

19

Покажем, что функция f , определенная формулой 1 c Sg, 2π

f=

(6.4∗ )

удовлетворяет равенству (6.3∗ ). Согласно первому из соотношений в (6.2∗ ) найдем

cf i + kfbk22 ; kg − fbk22 = k gk22 − 2 0,

α > 1.

(9.1)

Теорема 1 (первая суммационная формула Пуассона). Пусть выполнено предположение P (f ). Тогда справедлива формула X X f (x + l) = fb(2πk)e2πikx . (9.2) l

k

Доказательство. Прежде всего заметим, что предположения (9.1) совпадают с условиями теоремы 13∗ , и потому справедлива формула (9.1∗ ). 1 b Ввиду соотношения (1.3) верно равенство fˇ(x) = 2π f (−x); заменяя 0 ∗ 1 в (9.1 ) fˇ(n) на 2π fb(−n) и −n на n , найдем

X

f (x + 2πj) =

j

1 X b 0 ixn0 f (n )e . 2π 0

(9.7∗ )

n

def

Благодаря лемме 1 для функции fa (x) = f (ax) имеем fba (ξ) так что, заменяя в (9.7∗ ) функцию f на fa , получаем

X

fa (x + 2πj) =

j

def

x 1 = a f ( a ),

1 Xb fa (n)eixn , 2π n

откуда

X j

f (ax + 2πaj) =

1 X b n ixn f ( )e . 2πa a n

30

(9.8∗ )

Полагая здесь a =

1 , 2π

имеем

X

X x + j) = fb(2πn)eixn . 2π

f(

j

(9.9∗ )

n

x Наконец, заменяя в последнем равенстве 2π на x0 и опуская штрих, получаем формулу (9.1). Теорема доказана. Замечание (о различных представлениях формулы суммирования Пуассона). В ходе доказательства предыдущей теоремы нами были получены соотношения (9.7∗ )–(9.9∗ ), которые можно рассматривать как различные представлениях формулы суммирования Пуассона. Полагая x = 0 в формулах (9.1∗ ), (9.7∗ )–(9.9∗ ), получаем

X

X

f (2πj) =

j

X

j

(9.10∗ )

n

1 Xb 0 f (n ), 2π 0

f (2πj) =

j

X

fˇ(n),

(9.11∗ )

n

1 Xbn f (2πaj) = f ( ), 2πa a n

X

f (j) =

X

j

fb(2πn).

(9.12∗ )

n

Теорема 2 (вторая суммационная формула Пуассона). Пусть при некоторых константах C > 0, α > 1 выполнены соотношения |f (x)| ≤ C, (9.3) |g(x)| ≤ C(1 + |x|α )−1 ,

|b g (ξ)| ≤ C(1 + |ξ|α )−1 .

(9.4)

Тогда справедлива формула X X hf, g(· − l)ie−ilξ = fb(ξ + 2πk)b g (ξ + 2πk).

(9.5)

l

k

Доказательство. Нетрудно видеть, что из соотношений (9.3)– (9.4) следуют импликации g, b g ∈ L1 , а это ввиду теоремы 1∗ и

31

соотношения (1.3) приводит к равномерной непрерывности только что перечисленных функций на вещественной оси. Пусть ξ — фиксированное вещественное число. Рассмотрим (очеdef видно, непрерывную) функцию Fξ (y) = g(y)e−iyξ . Ввиду первого из соотношений (9.4) она удовлетворяет неравенству |Fξ (y)| = |g(y)| ≤ C(1 + |y|α )−1 .

(9.13∗ )

Для ее преобразования Фурье имеем

Z cξ (η) = F {Fξ (y)}(η) = F

g(y)e−iyξ e−iyη dy = b g (ξ + η),

(9.14∗ )

cξ (η) — непрерывная функция, лежащая в пространстве L1 . так что F Покажем, что эта функция с некоторой положительной константой Cξ∗ удовлетворяет неравенству cξ (η)| ≤ Cξ∗ (1 + |η|α )−1 . |F

(9.15∗ )

Действительно, при ξ = 0

cξ (η) = b F g (η) и дело сводится ко второй из оценок (9.4) (так что в этом случае Cξ∗ = C). Для |η| ≥ 2|ξ| > 0 имеем

η |ξ + η| ≥ |η| − |ξ| ≥ ≥ |ξ| > 0, 2

так что

η α |ξ + η|α ≥ . (9.16∗ ) 2 Ввиду второй из оценок (9.4) из формул (9.15∗ ), (9.16∗ ) имеем

α cξ (η)| ≤ C(1 + η )−1 , |F 2



так что

cξ (η)| ≤ 2α C(1 + |η|α )−1 |F

для

|η| > 2|ξ| > 0.

(9.17∗ )

При |ξ| > 0 обозначим Cξ максимум модуля непрерывной функции cξ (η) в области |η| ≤ 2|ξ|: F Cξ

def

=

cξ (η)|; max |F

|η|≤2|ξ|

32

(9.18∗ )

тогда очевидно

!−1

1 + |η|α

cξ (η)| ≤ Cξ ≤ Cξ |F

;


α

1 + 2|ξ|

отсюда следует неравенство




α 

cξ (η)| ≤ Cξ 1 + 2|ξ| |F

(1 + |η|α )−1

Полагая Cξ∗

def

=

при




α 

max{2α C, Cξ 1 + 2|ξ| ∗

|η| ≤ 2|ξ|.

(9.19∗ )

},

∗

благодаря соотношениям (9.17 ) и (9.19 ) придем к искомой оценке (9.15∗ ). Только что установленные неравенства (9.13∗ ) и (9.15∗ ) в соответствии с теоремой 13∗ позволяют применить первую суммационную формулу Пуассона (9.2) к функции Fξ (x):

X

Fξ (x − l) =

l

X

cξ (2πk)e2πikx . F

k

Имеем

X

g(x − l)e−iξ(x−l) =

l

X 

F g(y)e−iyξ (2πk)e2πikx .



(9.20∗ )

k

Из (9.14∗ ) и (9.20∗ ) найдем

X

g(x − l)e−iξ(x−l) =

X

l

b g (2πk + ξ)e2πikx .

(9.21∗ )

k

Умножая (9.21∗ ) на eiξx и переходя к сопряжению, получаем

X l

g(x − l)e−ilξ =

X

e−iξx b g (2πk + ξ)e−2πikx .

(9.22∗ )

k

Легко заметить, что ввиду неравенств (9.4) ряды в последнем соотношении абсолютно и равномерно сходятся. Умножим обе части соотношения (9.22∗ ) почленно на f (x); ввиду условия (9.2) в результате

33

снова получим абсолютно и равномерно сходящиеся ряды. Интегрируя их почленно (ввиду равномерной сходимости рядов почленное интегрирование допустимо), получаем формулу

XZ

f (x)g(x − l) dx e−ilξ =

l

=

XZ

f (x)e−ix(ξ+2πk) dx b g (2πk + ξ);

k

она эквивалентна формуле (9.5). Теорема доказана.

Замечание. Легко видеть, что из предположения P (f ) следует (9.3), так что справедливо также следующее утверждение: если выполнены предположения P (f ) и P (g), то верна вторая суммационная формула Пуассона (9.5). Заметим также, что если функция f удовлетворяет условию P (f ), то для нее справедливы формулы (9.1∗ ), (9.7∗ )–(9.12∗ ).

Следствие 5. Для измеримой функции g, удовлетворяющей условию P (g), справедлива формула X XZ |b g (2πk)|2 . (9.6) g(x)g(x − l) dx = k

l

Доказательство. Соотношение (9.6) вытекает из формулы (9.5) при g = f и ξ = 0. § 10. Некоторые вспомогательные утверждения В этом параграфе центральную роль играет функция F (ξ), удовлетворяющая почти везде тождеству: X |F (ξ + 2πj)|2 ≡ c, 0 < c < +∞, (10.1) j

где константа c не зависит от ξ. Следствием этого тождества, конечно, является абсолютная сходимость (почти везде) ряда P 2 j |F (ξ + 2πj)| . 34

Лемма 5. Если выполнено тождество (10.1) и функции Ψ и Φ почти везде удовлетворяют соотношениям Ψ(ξ) = G(ξ/2)F (ξ/2),

(10.2)

Φ(ξ) = H(ξ/2)F (ξ/2),

(10.3)

с некоторыми 2π-периодическими функциями H и G, то почти везде справедливо тождество X Φ(ξ + 2πj)Ψ(ξ + 2πj) ≡ j

  ≡ c H(ξ/2)G(ξ/2) + H(ξ/2 + π)G(ξ/2 + π) .

(10.4)

Доказательство. Рассмотрим сумму S

def

=

H(ξ/2)G(ξ/2)c + H(ξ/2 + π)G(ξ/2 + π)c

с упомянутой выше константой c. Заменим первое вхождение константы c на ряд, находящийся в левой части соотношения (10.1), а второе ее вхождение — на ряд в левой части соотношения X |F (ξ + π + 2πj)|2 ≡ c, j

которое вытекает из (10.1), если заменить ξ на ξ +π. В результате получим равенство X S = H(ξ/2)G(ξ/2) |F (ξ + 2πj 0 )|2 + j0

+H(ξ/2 + π)G(ξ/2 + π)

X

|F (ξ + π + 2πj 00 )|2 .

j 00

Напомним, что рассматриваемые ряды абсолютно сходятся. После внесения функций H и G под знаки суммирования полученные ряды также, очевидно, будут абсолютно сходиться. Используя 2π-периодичность упомянутых функций, имеем X S= H(ξ/2 + 2πj 0 )G(ξ/2 + 2πj 0 )|F (ξ + 2πj 0 )|2 + j0

35

+

X

H(ξ/2 + π + 2πj 00 )G(ξ/2 + π + 2πj 00 )|F (ξ + π + 2πj 00 )|2 .

j 00

Конечно, использование 2π-периодичности функций H и G не меняет рассматриваемых рядов, которые по-прежнему абсолютно сходятся. Два ряда в правой части последнего соотношения удобно рассматривать как две части ряда X H(ξ/2 + πj)G(ξ/2) + πj|F (ξ + πj)|2 , j

сгруппированного по четным и нечетным значениям индекса j соответственно (напомним, что почленное сложение абсолютно сходящихся рядов допустимо!). В соответствии с формулами (10.2), (10.3) имеем X S= H(ξ/2 + πj)G(ξ/2) + πj|F (ξ + πj)|2 = j

=

X

Φ(ξ + 2πj)Ψ(ξ + 2πj);

j

Отсюда следует соотношение (10.4). Следствие 6. В условиях леммы 5 справедлива эквивалентность X Φ(ξ + 2πj)Ψ(ξ + 2πj) ≡ 0 ⇐⇒ j

H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) ≡ 0.

(10.5)

Лемма 6. Если справедливы предположения (10.1)–(10.2), то почти везде верно тождество   X |Ψ(ξ + 2πj)|2 ≡ c |G(ξ/2)|2 + |G(ξ/2 + π)|2 . (10.6) j

Ψ,

Доказательство. Применяя лемму 5 к случаю, когда Φ = H = G, получаем соотношение (10.6). 36

Следствие 7. Если в тождестве (10.1) c = 1, то в условиях леммы 6 справедлива эквивалентность X |Ψ(ξ + 2πj)|2 ≡ 1 ⇐⇒ |G(ξ)|2 + |G(ξ + π)|2 ≡ 1. (10.7) j

Доказательство. Применяя лемму 6 и учитывая условие c = 1, из (10.6) найдем (10.7). Лемма 7. Если 2π-периодические функции H и G разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды Фурье, X X H(ξ) = hk e−ikξ , G(ξ) = gj e−ijξ , (10.8) j

k

то справедлива формула H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) = 2

X

e2jξi

X

j

hk g2j+k .

(10.9)

k

Доказательство. Ввиду абсолютой сходимости ряды (10.8) можно перемножать почленно: X hk gj e(j−k)ξi . (10.10) H(ξ)G(ξ) = k,j

Отсюда H(ξ + π)G(ξ + π) =

X

hk gj e(j−k)(ξ+π)i =

k,j

=

X

hk gj e(j−k)ξi (−1)j−k .

(10.11)

k,j

Из (10.10) и (10.11) найдем H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) =

X k,j

37

(1 + (−1)j−k )hk gj e(j−k)ξi =

=

X

eisξ (1 + (−1)s )

s

X

hk gk+s .

k

Избавляясь от нулевых слагаемых с помощью подстановки s = 2j, получаем формулу (10.9). Следствие 8. Если в условиях леммы 7 H = G, то соотношение (10.9) примет вид X X |H(ξ)|2 + |H(ξ + π)|2 = 2 e2ijξ hk h2j+k . (10.12) j

k

§ 11. Целочисленные трансляции, ортофункции и разложение единицы Рассмотрим теперь функцию θ ∈ L1 и порождаемое ею семейство функций {θ(x − l) | l ∈ Z}. Определение 6. Множество {θ(x − l) | l ∈ Z} называют множеством (всех) целочисленных трансляций функции θ, а если для некоторой константы c 6= 0 эти функции почти везде удовлетворяют тождеству X θ(t − j) = c, (11.1) j∈Z

то говорят, что множество целочисленных трансляций функции θ является представлением константы. Если в формуле (11.1) c = 1 и потому X θ(t − j) = 1, (11.2) j∈Z

то говорят, что множество целочисленных трансляций θ дает разложение единицы. Замечание. Если множество целочисленных трансляций θ является представлением константы, то при некотором числе c0 6= 0 множество целочисленных трансляций c0 θ дает разложение единицы. 38

Лемма 8. Если измеримая функция θ, удовлетворяет условию P (θ) и при некотором c 6= 0 b θ(2πk) = δ0,k c,

(11.3)

то множество целочисленных трансляций θ является представлением константы c. Обратно, если θ ∈ L1 и множество целочисленных трансляций θ представляет константу c, то выполнено условие (11.3). Доказательство следует из первой формулы Пуассона, X X 2πikx b θ(x − l) = θ(2πk)e . (11.4) l

k

Для первой части теоремы справедливость этой формулы предполагается, а во второй части ее справедливость P следует из того, что θ ∈ L1 представляет константу c (ибо l θ(x − l) = c — конечно, непрерывная функция, и ряд Фурье ее, очевидно, сходится — см. теорему 1∗ ). Итак, если множество целочисленных трансляций функции θ ∈ L1 дает разложение константы, то ввиду определения при некотором c 6= 0 левая часть в (11.4) равна c, откуда следует (11.3). Обратно, из справедливости (11.3) вытекает равенство константе c правой части, что приводит к формуле (11.1). Следствие 9. Пусть измеримая функция θ(t) такова, что множество ее целочисленных трансляций дает разложение единицы. Тогда справедливо соотношение Z θ(t)dt = 1. Доказательство. Ввиду обстоятельств, упомянутых при доказательстве леммы 8, здесь возможно применить первую суммационную формулу Пуассона (11.3) и в ней взять k = 0. Определение 7. Ненулевую функцию θ(x) будем называть ортофункцией в L2 , если множество ее целочисленных трансляций {θ(x − l) | l ∈ Z} 39

образует ортогональную систему в L2 , hθ(·), θ(· − l)i = 0, l 6= 0,

∀l ∈ Z.

(11.6)

Если выполнено условие hθ(·), θ(· − l)i = δ0,l ,

∀l ∈ Z,

(11.7)

то функцию θ(x) будем называть ортонормальной. Лемма 9. Пусть функция θ(x) удовлетворяет условию P (θ). Для того чтобы функция θ была ортофункцией, необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье почти везде удовлетворяло соотношению X b + 2πk)|2 ≡ c, |θ(ξ (11.8) k

где c — некоторая отличная от нуля константа. Для того чтобы функция θ была ортонормальной необходимо и достаточно, чтобы тождество (11.8) выполнялось с константой c = 1. Доказательство. По второй формуле Пуассона (см. (9.5)) при f = g = θ найдем X X b + 2πk)|2 , hθ(·), θ(· − l)ie−ilξ = |θ(ξ (11.9) l

k

и потому равенство (11.7) эквивалентно соотношению (11.8). Эквивалентность ортонормальности θ и соотношения (11.8) при c = 1 также вытекает из (11.9). § 12. Кратно-масштабное уравнение и масштабирующая функция Рассмотрим векторное пространство (линейную систему) V , лежащее в пространстве L2 . В дальнейшем в V рассматривается

40

алгебраический базис, порождаемый сдвигами и подобным преобразованием аргумента некоторой функции. 2 Определение 8. Пусть число α отлично от нуля. Если система функций {ϕ(αx − l) | l ∈ Z} (12.1) представляет собой базис в векторном пространстве V , то функция ϕ называется α-образующей для V , а пространство V — α-порождением функции ϕ. В случае α = 1 функция ϕ называется образующей для пространства V , и говорят, что V порождено функцией ϕ. Теорема 3. Если функция ϕ является 2-образующей для векторного пространства V 1 из L2 , то для любой функции f ∈ V 1 существует последовательность чисел {an } такая, что выполнены эквивалентные равенства 1) X f (x) = 2 an ϕ(2x − n), (12.2) n

2) fb(ξ) = Af (ξ/2)ϕ(ξ/2) b

(12.3)

с 2π-периодической функцией Af (ξ), которая получается из функции f применением к ней оператора χϕ , определяемого соотношением χϕ : f 7−→ Af (ξ), X def Af (ξ) = χϕ {f }(ξ) = an e−inξ ; (12.4) n

эквивалентность равенств (12.2) и (12.3) понимается в том смысле, что если функция f ∈ L2 удовлетворяет одному из них, то она удовлетворяет и второму.3 2 В соответствии с общепринятой терминологией алгебраическим базисом векторного пространства называем совокупность линейно независимых элементов, обладающую тем свойством, что любой элемент пространства может быть представлен в виде конечной линейной комбинации элементов упомянутой совокупности. P 3 Ввиду предыдущего подстрочного замечания все суммы со знаком , фигурирующие в этом параграфе, конечны.

41

Доказательство. Равенство (12.2) вытекает из условия, что система {ϕ(2x − l) | l ∈ Z} представляет собой базис в пространстве V 1 , а функция f лежит в этом пространстве. Эквивалентность соотношений (12.3) и (12.4) очевидна, поскольку второе из них получается применением преобразования Фурье к первому, X Z b f (ξ) = 2 an e−iξx ϕ(2x − n) dx = n

=

X

ξ

an e−i 2 n

Z

ξ

e−i 2 z ϕ(z) dz.

n

Функция Af (ξ) называется характеристикой элемента f ∈ V 1 относительно 2-образующей ϕ (или — в наших рассмотрениях — просто характеристикой элемента f ). Теорема 4. Если в условиях предыдущей теоремы ϕ ∈ V 1,

(12.5)

то существует последовательность чисел {hn } такая, что выполнены эквивалентные равенства 1) X ϕ(x) = 2 hn ϕ(2x − n), (12.6) n

2) ϕ(ξ) b = H(ξ/2)ϕ(ξ/2) b

(12.7)

с 2π-периодической функцией X  def H(ξ) = χϕ ϕ (ξ) = hk e−ikξ

(12.8)

k

в том смысле, что если функция ϕ ∈ L2 удовлетворяет одному из них, то она удовлетворяет и второму. Доказательство получается применением теоремы 3 к функции f = ϕ.

42

Следствие 10. В условиях теоремы 4 множество целочисленных трансляций функции ϕ лежит в пространстве V 1 . Доказательство вытекает из соотношений (12.5)–(12.6). Определение 9. Соотношение (12.6) называется кратномасштабным уравнением, функция ϕ называется  масштабируdef ющей для V 1 , а ее характеристика H(ξ) = χϕ ϕ (ξ) — масштабирующим множителем для ϕ. Теорема 5. В условиях теоремы 4 при выполнении дополнительного предположения Z ϕ(x) dx 6= 0 (12.9) справедливо соотношение X

hn = 1.

(12.10)

n

Доказательство. Формула (12.10) получается интегрированием соотношения (12.6) по всей вещественной оси и использованием условия (12.9). Замечание. При весьма общих условиях масштабирующая функция ϕ(x) в пространстве L1 (R1 ) однозначно определяется уравнением (12.6) и нормировочным условием Z ϕ(t)dt = 1. (12.11) С учетом равенства (12.11) применим формулу (12.7) рекурсивно. В результате получим бесконечное произведение ϕ(ξ) b =

+∞ Y

H(2−j ξ);

(12.12)

j=1

на условиях его сходимости здесь не останавливаемся (по этому поводу см., например, [5, с. 292]). Явное представление упомянутой функции на всей вещественной оси при фиксации коэффициентов hn в большинстве случаев затруднительно, однако 43

нетрудно построить алгоритм ее определения в двоичных точках вещественной оси (т.е. в точках вида j2i , ∀i, j ∈ Z). Лемма 10. Если ϕ — масштабирующая функция, удовлетворяющая условию P (ϕ), и H(π) = 0,

ϕ(0) b = 1,

(12.13)

то множество целочисленных трансляций функции ϕ дает разложение единицы. Доказательство. Согласно лемме 8 достаточно доказать соотношение ϕ(2πk) b = δ0,k . (12.14) Ввиду теоремы 4 выполнено соотношение (12.7). Полагая в нем ξ = 2π, 4π, . . ., с помощью первого соотношения из (12.13) последовательно получаем ϕ(2π) b = 0, ϕ(4π) b = 0, . . ., что вместе со вторым соотношением из (12.13) приводит к (12.14). Лемма 11. Для функции H(ξ) вида (12.8) справедливы следующие эквивалентности: X H(π) = 0 ⇐⇒ (−1)k hk = 0, (12.15) k

H(0) = 1

⇐⇒

X

hk = 1.

(12.16)

k

Доказательство каждой из этих эквивалентностей очевидным образом вытекает из представления H(ξ) (см. формулу (12.8)). Замечание. Соотношения (12.16) справедливы в условиях теоремы 5 (см. соотношение (12.10)). § 13. Примеры масштабирующих функций 1. B-сплайны. Примером масштабирующих функций являются B-сплайны. В дальнейшем характеристическую функцию промежутка [a, b] будем обозначать χ[a,b] . Пусть m — неотрицательное целое число. В дальнейшем m-кратной сверткой функции f при 44

m > 0 считается функция (f ∗ f ∗ . . . ∗ f )(t), а 0-кратной сверт| {z } m+1

кой функции f — сама эта функция. Под C s (a, b), s = 1, 2, . . ., подразумевается класс функций с областью определения (a, b), у которых в точках интервала (a, b) существуют непрерывные производные всех порядков от 1 до s, C 0 (a, b) обозначается класс непрерывных на (a, b) функций, а C −1 (a, b) — класс кусочно-непрерывных функций с конечным числом разрывов первого рода на каждом отрезке [c, d] из интервала (a, b). Определение 10. Приведенным B-сплайном степени m mB (на целочисленной сетке) называется функция ω , являющаяся m-кратной сверткой характеристической функции χ[0,1] промежутка [0, 1],
mB (13.1) ω (t) = χ[0,1] ∗ χ[0,1] ∗ . . . ∗ χ[0,1] (t). {z } | m+1

mB

Теорема 6. B-сплайн ω обладает следующими свойствами: mB 1) носителем функции является отрезок ω [0, m + 1], mB supp ω = [0, m + 1], mB

2) на интервале (0, m + 1) функция ω mB

ω (t) > 0

положительна,

∀t ∈ (0, m + 1), mB

3) на интервалах (k, k + 1), k = 0, 1, . . . , m функция ω является многочленом степени m, mB 4) функция ω m − 1 раз непрерывно дифференцируема на всей вещественной оси, mB

ω

∈ C m−1 (R1 ), mB

(13.2)

5) преобразование Фурье функции ω вычисляется по формуле  1 − e−iξ m+1 d mB . (13.3) ω (ξ) = iξ 45

6) при t ∈ (0, 1) справедливы соотношения 6.1)

dk dtk

6.2)

ω (t) = tm /m!.

mB

B

m−k

ω (t) = ω

(t),

k = 0, 1, . . . , m,

mB

Доказательство. Для доказательства прежде всего заметим, что из определения 5 вытекает рекуррентная формула j+1 B

ω

j

=ω

B

∗ χ[0,1] ;

перепишем ее в эквивалентном виде Z j+1 B j B ω (t) = ω (t − x)χ[0,1] (x) dx. Благодаря определению характеристической функции χ[0,1] , с помощью замены переменных x 7→ x0 , x0 = t − x, находим Z 1 Z t−1 j+1 B j B j B ω (t) = ω (t − x) dx = − ω (x0 ) dx0 , 0

t

откуда j+1 B

ω

Z

t

B

ω (x0 ) dx0 . j

(t) =

(13.4)

t−1

Поскольку функция 0

ω

B def = χ[0,1]

(13.5)

неотрицательна, то ввиду формулы (13.4) последовательно опреj B деляем неотрицательные функции ω (t) при j = 1, 2, . . . Утверждения 1) и 2) доказываемой теоремы легко получаются полной математической индукцией по m. Будем доказывать их одновременно. Базой индукции служат равенство 0 B 0 B supp ω = [0, 1] и положительность функции ω во внутренних точках своего носителя, очевидным образом вытекающие из определения 10 (см. также формулу (13.5)). 46

j

B

Предполагая теперь, что supp ω = [0, j + 1] и что функj B ция ω положительна во внутренних точках своего носителя, из формулы (13.4) видим, что для случаев, когда пересечение T (t − 1, t) [0, j + 1] пусто, подынтегральная функция в (13.4) равна нулю; последнее эквивалентно выполнению одного из соотношений t < 0 или j + 2 < t. (13.6) Благодаря неравенствам (13.6) можно утверждать, что j+1 B

∈ [0, j + 2].

supp ω

(13.7)

Заметим теперь, что если t ∈ (0, j + 2), то пересечение инj B тервала (t − 1, t) с носителем функции ω заведомо содержит внутренние точки; ввиду предположения индукции эта функция положительна во внутренних точках, и, значит, интеграл (13.4) положителен. j+1 B Итак, с одной стороны, в упомянутых точках функция ω j B отлична от нуля, так что из (13.7) следует равенство supp ω = [0, j + 2], а с другой стороны, j+1 B

ω

(t) > 0 при t ∈ (0, j + 2).

Полная математическая индукция для пунктов 1) и 2) закончена, утверждения 1) и 2) доказаны. Базой полной математической индукции для доказательства пункта 3) служит тот очевидный факт, что по определению (см. 0 B также (13.5)) функция ω — многочлен нулевой степени. Для доказательства пункта 4) следует заметить, что интегрирование в (13.4) повышает гладкость на единицу, так что исходя из очевидного соотношения 0

ω

B

∈ C −1 (R1 )

приходим к импликации (13.2).

47

При доказательстве свойства 5) достаточно увидеть, что формула для преобразования Фурье от B-сплайна получается применением упомянутого преобразования к свертке (13.1) с учетом леммы 2 и очевидных соотношений Z 1 1 − e−iξ d 0 B e−iξx dx = . ω = χd [0,1] = iξ 0 Перейдем к доказательству свойства 6). Дифференцируя соd j+1 B отношение (13.4) при j = 1, 2, . . . , m − 1, получим dt ω (t) = j

B

j

B

ω (t) − ω (t − 1). При t ∈ (0, 1) значение аргумента t − 1 не j B j B d j+1 B лежит в носителе функции ω , и потому dt ω (t) = ω (t). Заметим, что это соотношение верно и для j = 0, поскольку (t Z при 0 ≤ t < 1, 1

1

B

0

2−t 0

ω (t − x) dx =

ω (t) = 0

и потому имеем d dt

j+1 B

j

B

d dt

1

B

ω (t) = 1 при

при при

1 ≤ t ≤ 2, t∈ / [0, 2],

t ∈ (0, 1). Итак, соотношение

ω (t) = ω (t) справедливо для j = 0, 1, . . . , m − 1, t ∈ (0, 1). mB k-кратное применение этого соотношения к функции ω докаm−k зывает свойство 6.1) при k = 0, 1, 2, . . . , m . Поскольку ω B ∈ m−k B m−k−1 1 C (R ) и supp ω = [0, m + 1], то при k = 0, 1, 2, . . . , m − 1 m−k на левом конце носителя функция ω B обращается в нуль: m−k B dk m B (0) = (0) = 0. Благодаря свойству 6.1) отсюда получаем dt ω k ω 0, k = 0, 1, . . . , m − 1. Рассмотрение свойства 6.1) при k = m − 1, t ∈ (0, 1) приводит 1 B dm−1 m B к равенству dt (t) = ω (t), дифференцирование последm−1 ω dm m B dj m B него теперь дает dt (t) = 1. Итак, dt (+0) = δm,j , j = m ω j ω 0, 1, . . . , m. Из этих соотношений следует свойство 6.2). Теорема полностью доказана. mB Теорема 7. B-сплайн ω удовлетворяет следующему кратномасштабному уравнению: mB

ω (t) = 2−m

m+1 X j=0

 m + 1 mB ω (2t − j). j

48

(13.8)

Доказательство. Воспользуемся свойством 5) предыдущей теоремы, заменяя в нем ξ на ξ/2:  1 − e−i ξ2 m+1 d mB . ω (ξ/2) = i 2ξ

(13.9)

Учитывая в (13.3) соотношение 1 − e−iξ = (1 − e−iξ/2 )(1 + e−iξ/2 ), получаем (1 − e−iξ/2 ) d mB = ω (ξ) = 2−m−1 (1 + e−iξ/2 )m+1 m+1 ( iξ 2) d mB = 2−m−1 (1 + e−iξ/2 )m+1 ω (ξ/2), откуда по формуле бинома Ньютона с помощью леммы 1 находим m+1 X m + 1 1 d d mB mB −m e−iξj/2 ω (ξ/2) = ω (ξ) = 2 2 j j=0

−m

=2

m+1 X j=0

 n o m+1 mB F ω (2x − j) (ξ). j

Теперь после обратного преобразования Фурье получим соотношение (13.9). 2. Функция Шеннона. Вторым примером масштабирующей функции является функция Шеннона. Определение 11. Функцией Шеннона называется функция ϕS (x) =

49

sin πx . πx

Теорема 8. Справедливы следующие утверждения: 1) преобразованием Фурье функции Шеннона служит характеристическая функция промежутка [−π, π], cS (ξ) = χ ϕ [−π,π] (ξ);

(13.10)

2) функция Шеннона удовлетворяет масштабирующему уравнению X ϕS (x) = 2 hn ϕS (2x − n), n

πn 1 sin ; (13.11) πn 2 3) в образах Фурье масштабирующее уравнение имеет вид hn

def

=

  ξ  cS cS (ξ) = H S ξ ϕ , ϕ 2 2

(13.12)

X

(13.13)

где H S (ξ) =

hn e−inξ ,

n

а коэффициенты hn определяются по формуле (13.11). Доказательство. Пункт 1) устанавливается применением обратного преобразования Фурье к характеристической функции промежутка [−π, π]; следующая цепочка равенств служит доказательством этого пункта: Z π  1 −1 F χ[−π,π] (x) = eixξ dξ = 2π −π 1 eiπx − e−iπx sin πx = . 2π ix πx Теперь докажем пункт 3). Для этого заметим, что согласно только что установленной формуле (13.10)  1 при |ξ| ≤ π, c S ϕ (ξ) = 0 при |ξ| > π, =

50

и потому  cS (ξ/2) = ϕ

1 при 0 при

|ξ| ≤ 2π, |ξ| > 2π.

(13.14)

Формула (13.14) эквивалентна равенству cS (ξ/2) = χ ϕ [−2π,2π] (ξ).

(13.15)

Из соотношений (13.10) и (13.15) видно, что справедлива формула (13.12), где H S (ξ/2) = χ[−π,π] (ξ),

H S (ξ) = χ[−π/2,π/2] (ξ). (13.16)

⇐⇒

Осталось заметить, что правая часть формулы (13.13) представляет собой разложение функции (13.16), продолженной периодически с промежутка [−π, π] на всю вещественную ось, в ряд Фурье; действительно, Z π Z π/2 1 1 ixn χ[−π/2,π/2] (x)e eixn dx = dx = hn = 2π −π 2π −π/2 π

π

1 nπ 1 ein 2 − e−in 2 = sin . 2π in nπ 2 Итак, пункт 3) доказан. Утверждение 2) теперь легко получается из только что доказанной формулы (13.12) применением обратного преобразования Фурье с учетом леммы 1. Теорема полностью доказана. =

§ 14. Прямое разложение и пространство всплесков (вейвлетов). Основные предположения В дальнейшем нам понадобится понятие прямой суммы пространств. Определение 12. Говорят, что линейное пространство X представлено в виде прямой суммы двух подпространств V и W , и пишут . X = V + W, (14.1) 51

если любой элемент x пространства X однозначно может быть представлен в виде суммы вида x = v + w, где v ∈ V, w ∈ W . Заметим, что фиксация одного из слагаемых в прямой сумме (14.1) однозначно не определяет второе слагаемое. Иногда удобно считать одно из слагаемых фиксированным (помеченным), а выбор второго из них подчинить тем или иным условиям. В дальнейшем помеченным слагаемым будем считать V . Определение 13. Помеченное слагаемое V в прямой сумме (14.1) называется всплесковой (вейвлетной) базой (базовым пространством), а любое его прямое дополнение до X — пространством всплесков (вейвлетов) по отношению к паре вложенных пространств V ⊂ X. Рассмотрим подпространство V 1 пространства L2 , и пусть ϕ — масштабирующая функция для V 1 . Обозначим V 0 линейную оболочку системы ϕ(· − j) ∈ V 1 , j ∈ Z. Пусть W 0 — некоторое пространство всплесков по отношению к паре V 0 ⊂ V 1 , V 1 = V 0 + W 0. .

(14.2)

Согласно определению пространства V 0 функция ϕ является образующей для V 0 . Предположим, что существует функция ψ, являющаяся образующей для пространства W 0 ; функция ψ называется образующим всплеском для W 0 . Вопрос об условиях существования образующего всплеска требует специального рассмотрения. Теорема 9. Если ψ — образующий всплеск для пространства W 0 , то 1) существуют числа gk такие, что X ψ(x) = 2 gk ϕ(2x − k), (14.3) k

2) справедливо представление b = G(ξ/2)ϕ(ξ/2) ψ(ξ) b

52

(6.4)

с 2π-периодической функцией X  def G(ξ) = χϕ ψ (ξ) = gk e−ikξ .

(14.5)

k

Доказательство. Нетрудно видеть, что мы находимся в условиях теоремы 3, если в ней взять f = ψ. В дальнейшем введем предположения, которые будем называть основными и обозначать A0 . Условие A0 1) ϕ — масштабирующая функция для V 1 (см. формулы (12.5)–(12.8)), 2) пространство V 0 порождено функцией ϕ, 3) верно представление (14.2) пространства V 1 в виде прямой суммы V 0 (всплесковая база) и W 0 (пространство всплесков), 4) ψ — образующая функция для пространства W 0 (см. формулы (14.3)–(14.5)), 5) справедливы предположения P (ϕ) и P (ψ). Функциям ϕ и ψ соотнесем функции H и G в согласии с формулами (12.7)–(12.8) и (14.4)–(14.5) соответственно. § 15. Ортогональное разложение пространств и условия на их образующие Рассмотрим условия ортогональности подпространств прямой суммы (14.2) в скалярном произведении h·, ·i пространства L2 . Определение 14. Два пространства V, W ⊂ L2 называются ортогональными, если для ∀v ∈ V и ∀w ∈ W справедливо соотношение hv, wi = 0. В этом случае пишут V ⊥W . Очевидно, из ортогональных пространств V, W можно обра. зовать прямую сумму V + W ; слагаемые V, W называют орто. гональными слагаемыми, а символ + в такой сумме заменяют . символом ⊕, так что V + W = V ⊕ W . Теорема 10. В условиях A0 ортогональность пространств V 0 и W 0 эквивалентна любому из условий

53

1) hψ(·), ϕ(· − l)i = 0,

∀l ∈ Z,

(15.1)

2) X

b + 2πk)ϕ(ξ b + 2πk) = 0 ψ(ξ

∀ξ ∈ R1 .

(15.2)

k

Доказательство. Поскольку ортогональность пространств эквивалентна ортогональности их базисов, то первая часть теоремы установлена. Для доказательства второй части используем вторую формулу Пуассона (см. (9.5)) при f = ψ, g = ϕ; в результате найдем X X b + 2πk)ϕ(ξ b + 2πk). (15.3) hψ, ϕ(· − l)ie−ilξ = ψ(ξ l

k

Отсюда вытекает равносильность условий 1) и 2). § 16. Ортогональность целочисленных трансляций масштабирующей функции Пусть выполнено условие A0 ; рассмотрим необходимые условия ортонормированности целочисленных трансляций масштабирующей функции hϕ(·), ϕ(· − l)i = δ0,l ,

∀l ∈ Z.

Теорема 11. Если масштабирующая функция ϕ(x) ортонормальная, то справедливы следующие эквивалентные соотношения: 1) |H(ξ)|2 + |H(ξ + π)|2 ≡ 1, (16.1) 2) X

hk hk−2j =

k

1 δ0,j , 2

(16.2)

где H(ξ) — масштабирующий множитель, а hk — его коэффициенты Фурье (см. соотношения (12.7) и (12.8)). 54

Доказательство. Согласно лемме 9 для того чтобы функция ϕ была ортонормальной, необходимо и достаточно, чтобы почти везде выполнялось тождество X |ϕ(ξ b + 2πk)|2 ≡ 1. k

В следствии 7 возьмем F = ϕ b (см. тождество (10.1)), Ψ = ϕ, b G= H; тогда тождество (10.1) выполнено с константой c = 1, и потому выполнены условия следствия 7; теперь получаем соотношение (16.1). Для доказательства второй части заметим, что выполнены условия следствия 8; ввиду (10.12) соотношение (16.1) эквивалентно соотношению X X 2 e2jξi hk h2j+k ≡ 1. (16.3) j

k

Благодаря линейной независимости функций {e2jξi | j ∈ Z} тождество (16.3) эквивалентно соотношению (16.2). Теорема полностью доказана. Определение 15. Масштабирующую функцию, являющуюся одновременно ортофункцией, будем называть масштабирующей ортофункцией. § 17. Масштабирующая ортофункция в ортогональном разложении Здесь рассматриваются условия, когда прямая сумма V 1 = V 0 +W0 .

является ортогональной. Теорема 12. Пусть выполнено условие A0 , и функция ϕ является ортофункцией. Для того чтобы пространства V 0 и W 0 были ортогональны, V 1 = V 0 ⊕ W 0, 55

необходимо и достаточно, чтобы было выполнено любое из условий 1) (17.1) H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) ≡ 0, 2) X

hk g2j+k = 0

∀j ∈ Z.

(17.2)

k

Доказательство. Согласно теореме 10 ортогональность пространств V 0 и W 0 эквивалентна соотношению (15.2), X b + 2πj) ≡ 0. (17.3) ϕ(ξ b + 2πj)ψ(ξ j

Поскольку ϕ — масштабирующая ортофункция (по условию), то согласно лемме 9 выполнено соотношение (11.8) при θ = ϕ, а тогда при F = ϕ, b Φ = ϕ, b Ψ = ψb справедливы условия леммы 5 и следствия 6 из нее (см. (10.5)), так что (17.3) эквивалентно (17.1). Эквивалентность (17.1) и (17.2) следует из леммы 7. Пусть a(ξ) — функция, удовлетворяющая почти везде тождеству G(ξ) ≡ a(ξ)H(ξ + π). (17.4) Следствие 11. Пусть выполнено условие A0 , и функция ϕ является ортофункцией. Тогда ортогональность пространств V 0 и W 0 эквивалентна тому, что функция a(ξ) обладает свойством a(ξ) = −a(ξ + π). Доказательство. Заметим, что ввиду периодичности H(ξ) из (17.4) получим G(ξ + π) ≡ a(ξ + π)H(ξ).

(17.5)

В силу теоремы 12 ортогональность пространств V 0 и W 0 эквивалентна тождеству H(ξ)G(ξ) + H(ξ + π)G(ξ + π) = 0. 56

(17.6)

Подставив (17.4) и (17.5) в тождество (17.6), после сокращения на H(ξ)H(ξ + π) найдем a(ξ) + a(ξ + π) = 0. § 18. Ортонормальные всплески и их свойства При предположении A0 необходимые условия ортонормальности для всплесков (вейвлетов) на целочисленной сетке аналогичны таковым для масштабирующей функции; при этом они становятся также достаточными. Теорема 13. Предположим, что выполнены условия A0 и масштабирующая функция ϕ ортонормальна. Для того чтобы образующий всплеск ψ(x) был ортонормальным, необходимо и достаточно выполнение любого из двух эквивалентных соотношений 1) |G(ξ)|2 + |G(ξ + π)|2 ≡ 1, (18.1) 2) X

gk gk−2j =

k

1 δ0,j . 2

(18.2)

Доказательство. Ввиду ортонормальности масштабирующей функции ϕ согласно лемме 9 выполнено соотношение (11.8) с θ = ϕ, b c = 1. Отсюда видно, что ортонормальность ψ (см. (11.8) b эквивалентна (см. формулу (10.7) при Ψ = ψ) b теперь при θ = ψ) соотношению (18.1). Эквивалентность (18.1) и (18.2) вытекает из следствия 8, примененного при H = G. § 19. Ортонормальные всплески в ортогональном разложении Теорема 14. Пусть выполнены условия A0 , масштабирующая функция ϕ ортонормальна, а функция a(ξ) удовлетворяет условию G(ξ) = a(ξ)H(ξ + π).

57

Для того чтобы ψ был ортонормальным всплеском, необходимо и достаточно, чтобы |a(ξ)| = 1. (19.1) Доказательство. Подстановка H(ξ + π) = G(ξ)/a(ξ) в тождество (16.1), вытекающее (см. теорему 11) из ортонормальности функции ϕ, |H(ξ)|2 + |H(ξ + π)|2 ≡ 1, дает
|a(ξ)|2 |G(ξ)|2 + |G(ξ + π)|2 ≡ 1. Отсюда видно, что условие (19.1) эквивалентно условию (18.1), а последнее (см. теорему 13) эквивалентно ортонормальности образующего всплеска. Теорема 15. Если в условиях A0 функция ϕ ортонормальная, то для того чтобы базовое пространство V 0 было ортогонально пространству всплесков W 0 с образующим ортонормальным всплеском ψ, необходимо и достаточно, чтобы функция G(ξ) a(ξ) = (19.2) H(ξ + π) обладала свойствами a(ξ) = −a(ξ + π),

|a(ξ)| = 1.

(19.3)

Доказательство. Для доказательства достаточно воспользоваться следствием 11 и теоремой 14. Теорема 16. Если в условиях A0 ϕ — масштабирующая ортонормальная функция, a G(ξ) = −e−iξ H(ξ + π), то справедливы следующие утерждения:

58

1) базовое пространство V 0 ортогонально пространству всплесков W 0 , а его образующий всплеск ψ ортонормален, 2) коэффициенты Фурье gk функции G выражаются через коэффициенты Фурье hk функции H с помощью формул gk = (−1)k h1−k .

(19.4)

Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточно проверить соотношения (19.3) для функции (19.2), которая в данном случае равна a(ξ) = −eiξ ; эти соотношения очевидны ввиду равенств ei(ξ+π) = −eiξ , | − eiξ | = 1. Итак, первое утверждение установлено. Для доказательства второго запишем цепочку очевидных равенств X X hk e−iξ eik(ξ+π) = G(ξ) = gk e−ikξ = − k

=−

X

k

hk ei(k−1)ξ eikπ =

X

k

(−1)k−1 hk ei(k−1)ξ

k 0

и положим здесь k − 1 = k ; тогда найдем X 0 0 G(ξ) = (−1)−k h1−k0 eik ξ , k0

что соответствует формуле (19.4). § 20. Переход от одного базиса к другому. Формулы декомпозиции и реконструкции Вопросы экономного перехода от одного базиса к другому являются центральными в теории всплесков (вейвлетов). Пусть выполнены условия теоремы 16. Тогда справедливо разложение V 1 = V 0 ⊕ W 0, (20.1) и выполнены следующие свойства: 59

1) функция ϕ(x) является решением масштабирующего уравнения, X ϕ(x) = 2 hn ϕ(2x − n), (20.2) n

2) система ее целочисленных сдвигов {ϕ0n (x)}n∈Z , ϕ0n (x) = ϕ(x − n) def

образует ортонормированный базис пространства V 0 , 3) система функций {ϕ1n (x)}n∈Z , √ def ϕ1n (x) = 2ϕ(2x − n),

(20.3)

(20.4)

образует ортонормированный базис пространства V 1 , 4) функция ψ(x) — образующий ортовсплеск пространства W 0 , построенный по формуле (19.4), X (20.5) ψ(x) = 2 (−1)1−n h1−n ϕ(2x − n), n

так что система функций {ψn0 (x)}n∈Z , ψn0 (x) = ψ(x − n), def

(20.6)

образует ортонормированный базис пространства всплесков W 0 . Из формулы (20.2) найдем X ϕ(x − k) = 2 hn ϕ(2x − 2k − n), n

откуда ввиду обозначений (20.3) и (20.4) имеем √ X ϕ0k (x) = 2 hn ϕ12k+n (x), n

а после замены индекса суммирования 2k + n = n0 60

(20.7)

выводим ϕ0k (x) =

√ X 2 hn0 −2k ϕ1n0 (x),

(20.8)

n0

Аналогичным образом из формулы (20.5) находим X ψ(x − k) = 2 (−1)1−n h1−n ϕ(2x − 2k − n), n

а с использованием обозначения gn = (−1)1−n h1−n и соотношений (20.3) и (20.6) выводим √ X ψk0 (x) = 2 gn ϕ12k+n (x), n

откуда после замены (20.7) получим √ X gn0 −2k ϕ1n0 (x). ψk0 (x) = 2

(20.9)

n0

Рассмотрим некоторый элемент v пространства V 1 и разложим его по базису {ϕ1n (x)}n∈Z , X v= c1j ϕ1j . (20.10) j

В силу представления (20.1) этот элемент можно также записать в виде X X v= c0j ϕ0j + d0j ψj0 , (20.11) j

j

Из (20.10) и (20.11) вытекает равенство X X X c0j ϕ0j + d0j ψj0 = c1j ϕ1j . j

j

(20.12)

j

Выразим коэффициенты левой части последнего равенства через коэффициенты правой части.

61

Домножая скалярно в пространстве L2 равенство (20.12) на элемент ϕ0k , ввиду формулы (20.8) и условий ортогональности находим X c0k = c1j hϕ1j , ϕ0k i = j

=

X

c1j

D

E √ X √ X hn0 −2k ϕ1n0 = 2 ϕ1j , 2 c1j hj−2k , n0

j

откуда c0k =

j

√ X 1 2 cj hj−2k .

(20.13)

j

Теперь, умножая скалярно в пространстве L2 на элемент ψk0 , благодаря формуле (20.9) и условиям ортогональности, получаем X d0k = c1j hϕ1j , ψk0 i = j

=

X

E √ X √ X c1j ϕ1j , 2 c1j gj−2k , gn−2k ϕ1n = 2 D

n

j

j

так что окончательно находим √ X 1 cj gj−2k . d0k = 2

(20.14)

j

Формулы (20.13)–(20.14) называются формулами декомпозиции. Обратная задача — отыскание коэффициентов c1n по заданным коэффициентам c0n и d0n — называется задачей реконструкции. Для ее решения умножим равенство (20.12) на ϕ1k и воспользуемся формулами (20.8) и (20.9); тогда получим X X c1k = c0j hϕ0j , ϕ1k i + d0j hψj0 , ϕ1k i = j

=

X j

c0j

j

E D√ X 2 hn0 −2j ϕ1n0 (x), ϕ1k + n0

62

+

X j

d0j

E √ X D√ X √ X 0 gn0 −2j ϕ1n0 (x), ϕ1k = 2 2 c0j hk−2j + 2 dj gk−2j , n0

j

откуда окончательно √ X 0 √ X 0 c1k = 2 cj hk−2j + 2 dj gk−2j . j

j

(20.15)

j

Формулы (20.15) называются формулами реконструкции. § 21. О разложении цепочки вложенных пространств в прямую сумму Разложение цепочки вложенных пространств в прямую сумму может оказаться полезным при анализе числовой информации, для ускорения обработки больших числовых потоков, а также при построении эффективных методов решения задач математической физики. Говорят, что векторное пространство X представлено в виде прямой суммы векторных подпространств X 1 , X 2 , . . . , X n , и пишут . . . X = X 1 + X 2 + . . . + X n, или X=

• n X

X i,

i=1

если любой элемент x пространства X однозначно может быть представлен в виде суммы вида x = x1 + x2 + . . . + xn , где xi ∈ X i , i = 1, 2, . . . , n. Аналогичным образом определяется прямая сумма и для бесконечного числа слагаемых. (А) Предположим, что в пространстве L2 задана цепочка вложенных пространств . . . ⊂ V −2 ⊂ V −1 ⊂ V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . , а для каждого пространства V σ+1 , ся прямое разложение

σ ∈ Z, этой цепочки имеет-

V σ+1 = V σ + W σ . .

63

(21.1)

Тогда цепочку (21.1) можно представить в виде прямой суммы E

def

=

• X

W σ;

(21.2)

σ

очевидно, что E=

[

V σ.

σ

Согласно принятым обозначениям W σ представляет собой прямое дополнение пространства V σ до пространства V σ+1 , σ ∈ Z, так что V j + W j = V j+1 , V j+1 + W j+1 = V j+2 , . . . , .

.

и, значит, V j + W j + W j+1 + . . . = E. .

.

.

(21.3)

Обозначая CE V j

def

=

• X

W σ,

CE W j

def

=

j≤σ

• X

W σ,

σ6=j

прямые дополнения пространств V j и W j до E, находим E = V j + CE V j ,

E = W j + CE W j .

.

.

(21.4)

Если ввести операции Pj и Qj проектирования на пространства V j и W j параллельно пространствам CE V j и CE W j соответственно, то для любого f ∈ E имеем X X f = Pj f + Qσ f, f= Qσ f. (21.5) σ

σ≤j

(B) Пусть существует измеримая функция ϕ(x), удовлетворяющая условию P (ϕ) такая, что функции √ def (21.6) ϕj,l (x) = 2j ϕ(2j x − l), ∀l ∈ Z, 64

образуют алгебраический базис в пространстве V j . (C) Предположим, что существует функция ψ(x), P (ψ) такая, что функции √ def ψj,l (x) = 2j ψ(2j x − l), ∀l ∈ Z, (21.7) образуют алгебраический базис в W j . Определение 16. Пространства W j называются пространствами всплесков (вейвлетов), функции ψj,l (x) — вейвлетным (всплесковым) базисом, а функция ψ(x) — образующим всплеском. Цепочка вложенных пространств (21.1) называется базовой цепочкой для семейства {W j }j∈Z пространств всплесков. Говорят также, что семейство пространств {W j }j∈Z порождено образующим всплеском ψ(x). Теорема 17. В условиях (А)–(С) 1) существуют числа gk такие, что X ψ(x) = 2 gk ϕ(2x − k), k

2) справедливо представление b = G(ξ/2)ψ(ξ/2) b ψ(ξ) с 2π-периодической функцией G(ξ) =

X

gk e−ikξ .

k

√ Доказательство. По свойству(В) система ϕ1,l = 2ϕ(2x − l) — базис в V1 , так что ϕ(2x − l) — также базис в V 1 . По свойству (С) ψ0,0 (x) = ψ(x) — элемент пространства W 0 ⊂ V 0 . Нетрудно видеть, что мы находимся в условиях теоремы 9. Замечание. Если выполнены условия (A)–(C) и f ∈ E, то из (21.5) видно, что найдутся числа γj,l ∈ C 1 такие, что X f (x) = γj,l ψj,l (x). j,l

65

Задача отыскания базиса ψj,l и чисел γj,l для заданной функции f (x) рассматривается в дальнейшем. § 22. Ортогональное разложение цепочки вложенных пространств Здесь будет рассматриваться условия ортогональности пространств прямой суммы (21.2) в скалярном произведении h·, ·i пространства L2 . Теорема 18. В условиях (A)–(C) ортогональность пространств V j и W j при фиксированном целом j эквивалентна любому из равносильных условий 1) hψ(·), ϕ(· − l)i = 0, ∀l ∈ Z, (22.1) 2) X

b + 2πk)ϕ(ξ b + 2πk) = 0, ψ(ξ

∀ξ ∈ R1 .

k

Доказательство. Сначала докажем, что ортогональность пространств V j и W j при фиксированном целом j эквивалентна ортогональности V 0 и W 0 . По формулам (21.6) и (21.7) имеем Z j hψj,l , ϕj,l0 i = 2 ψ(2j x − l)ϕ(2j x − l0 ) dx, так что после подстановки x0 = 2j x − l, обозначив l00 = l0 − l, найдем Z hψj,l , ϕj,l0 i = ψ(x0 )ϕ(x0 − l00 ) dx0 . (22.2) Поскольку ортогональность пространств эквивалентна ортогональности их базисов, то из (22.2) следует ортогональность пространств V 0 и W 0 . Осталось сослаться на теорему 10. Следствие 12. В условиях теоремы 11 из ортогональности пространств V j и W j при целом фиксированном j ∈ Z следует 66

0

0

1) ортогональность любой пары пространств V j и W j , для любых целых j 0 ∈ Z; 0 2) ортогональнoсть пространств W j и W j при любых различных целых j, j 0 ; 3) справедливость представлений E = ⊕σ W σ ,

(22.3)

V j ⊕ W j ⊕ W j+1 ⊕ . . . = E,

(22.4)

E = V j ⊕ CE V j ,

E = W j ⊕ CE W j .

(22.5)

Доказательство. Первое утверждение очевидным образом вытекает из эквивалентности соотношений (22.1) и утверждения об ортогональности пространств V j и W j при целом фиксированном j ∈ Z. Для доказательства второго утверждения, не нарушая общ0 ности, будем считать, что j < j 0 . Очевидно, что W j ∈ V j , и 0 0 поскольку V j ⊥W j (см. только что доказанное первое утвержде0 ние), то W j ⊥V j , что и требовалось. Переходя к доказательству третьего утверждения, заметим, что в установленных ранее соотношениях (21.2), (21.3), (21.4) слагаемые ортогональны, так что заменой символа прямой сум. мы + на символ ортогональной суммы ⊕ из них соответственно получаем соотношения (22.3), (22.4), (22.5). § 23. Ортовсплески в ортогональном разложении цепочки вложенных пространств Здесь рассматривается ситуация, когда цепочка вложенных пространств представлена в виде ортогонального разложения пространств всплесков, порожденных ортовсплеском. Теорема 19. Пусть выполнены условия (A)–(C) и, кроме того, выполнено любое из равносильных условий 1) hψ(·), ϕ(· − l)i = 0, ∀l ∈ Z, (23.1) 67

2) X

b + 2πk)ϕ(ξ ψ(ξ b + 2πk) = 0,

∀ξ ∈ R1 ,

(23.2)

k

а также выполнено любое из следующих равносильных условий: 1) X b + 2πk)|2 ≡ 1, |ψ(ξ (23.3) k

2) |G(ξ)|2 + |G(ξ + π)|2 ≡ 1,

(23.4)

3) X

gk gk−2j =

k

1 δ0,j , 2

(23.5)

где G(ξ) — характеристика функции ψ(x) при образующей ϕ(ξ), а gk — еe коэффициенты Фурье (см. формулы (6.4)–(6.5)). Тогда система √ def (23.6) ψj,l (x) = 2j ψ(2j x − l), ∀l ∈ Z, является ортонормированным базисом в E. Доказательство. Любое из соотношений (23.1), (23.2) влечет выполнение условий теоремы 10, и, значит, прямое разложение пространства E переходит в ортогональное (см. формулу (21.2)), E = ⊕σ W σ . (23.7) Любое из соотношений (23.3)–(23.5) согласно теореме 13 означает, что система (23.6) представляет собой ортонормированый базис в каждом слагаемом пространстве W σ ортогональной суммы (23.7), и потому объединение систем (23.6) является ортонормированным базисом в E. Следствие 13. В условиях теоремы 18 для любого элемента f ∈ E справедливо P ортогональное представление (обобщенный ряд Фурье) f = σ,l γσ,l ψσ,l , где γσ,l = hf, ψσ,l i. Доказательство легко вытекает из теоремы 18. 68

§ 24. Кратно-масштабный анализ в L2 При построении теории всплесков в качестве всплесковой базы Vj и в качестве пространства всплесков Wj мы рассматривали векторные пространства (линейные системы) с элементами из гильбертова пространства L2 . Тем самым не требовалась их замкнутость в метрике L2 ; поэтому мы избегали использовать термин "подпространство" в отношении этих пространств (этот термин обычно используется в отношении замкнутых линейных систем, лежащих в банаховом или в гильбертовом пространстве). Поэтому нами рассматривались лишь конечные суммы в разложении по базису (напомним, что рассматривался алгебраический базис), в кратно-масштабном уравнении и в связанных с ними ситуациях. Это упростило рассуждения, не сделав их менее практичными, ибо на практике чаще всего применяются именно конечные суммы. Расширение класса рассматриваемых объектов — подключение к рассмотрению разумно отобранных бесконечных сумм — возможно на пути пополнения (в смысле метрики L2 ) упомянутых векторных пространств. Один из вариантов такого расширения — так называемый кратно-масштабный анализ в L2 , к краткому рассмотрению которого мы и переходим. Кратно-масштабный анализ в L2 (R1 ) задается некоторым набором аксиом (см. ниже определение 18). Сначала напомним понятие базиса Рисса. Определение 17. Базисом Рисса в в гильбертовом пространстве H со скалярным произведением < ·, · > называется система элементов {ψn } такая, что для нее существует биортогональная система элементов {gn }, т.е. hgn , ψk i = δn,k , причем 1) для любого элемента f ∈ H X |hf, gn i|2 < +∞, n

2) для любой последовательности чисел an ∈ l2 существует элемент f ∈ H такой, что an = hgn , f i.

69

Замечание. Фактически первое требование заменяет неравенство Бесселя, а второе — теорему Рисса. Н.К.Бари доказала, что система {ψn } является системой Рисса тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный обратимый в H оператор A такой, что система {Aψn } является полной и ортонормированной; это эквивалентно также тому, что матрица Грама
hψn , ψk i определяет линейный непрерывный обратимый оператор в l2 . Определение 18. Говорят, что в L2 задан кратно-масштабный анализ, если последовательность подпространств V σ ∈ L2 , σ ∈ Z, образует цепочку вложенных пространств, . . . ⊂ V −2 ⊂ V −1 ⊂ V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . со следующими свойствами: 1) v(x) ∈ V σ ⇐⇒ v(2x) ∈ V σ+1 , 0 2) v(x) 1) ∈ V 0 , S ∈σ V ⇐⇒ v(x + T 3) σ V плотно в L2 и σ V σ = {0}, 4) существует функция ϕ ∈ V 0 с ненулевым средним, Z ϕ(x) dx 6= 0, такая, что множество функций {ϕ(x − l) | l ∈ Z} является базисом Рисса в V 0 . Теорема 20. Справедливы следующие свойства: 1) множество функций def

{ϕj,l | ϕj,l (x) =

√

j

2 ϕ(2j x − l)}

является базисом Рисса в V j , 2) существует последовательность чисел {hn } пространства l2 такая, что X ϕ(x) = 2 hn ϕ(2x − n), (24.1) n

70

причем X

hn = 1.

(24.2)

n

Доказательство. Покажем сначала, что множество функций {ϕ1,l }, где √ def ϕ1,l (x) = 2ϕ(2x − l) (24.3) представляет собой базис пространства V 1 . Действительно, согласно пункту 1) определения 18 какова бы ни была функция u(x) ∈ V 1 , функция v, построенная по формуле v(x) = u(x/2),

(24.4)

лежит в пространстве V 0 . Ввиду пункта 4) того же определения множество {ϕ(x−l) | l ∈ Z} является базисом Рисса в V 0 , откуда P следует, что существует представление v(x) = jP cj ϕ(x − j). Заменяя здесь переменную x на 2x0 , найдем v(2x0 ) = j cj ϕ(2x0 −j); это в силу формул (24.3) и (24.4) эквивалентно тождеству X u(x0 ) = cj ϕ1,j (x0 ). j

Принимая во внимание произвольность выбора функции u из пространства V 1 и очевидную линейную независимость системы (24.3), видим, что система (24.3) — базис пространства V 1 . Поскольку система {ϕ0,j } (здесь ϕ0,j (x) = ϕ(x − j)) — базис Рисса в V 0 , то существует биортогональная к ней система линейных функционалов {gn }, gn [ϕ0,j ] = δn,j , (24.5) где квадратными скобками обозначено применение функционала gn к функции ϕ0,j . Обозначив gn (x) реализацию функционала gn в виде функции в скалярном произведении пространства L2 (по теореме Рисса такая реализация существует и единственна), соотношение (24.5) перепишем в виде Z gn (x)ϕ(x − j) dx = δn,j 71

и сделаем замену переменных x = 2x0 . Тогда получим Z 2gn (2x0 )ϕ(2x0 − j) dx0 = δn,j ; последнее означает, что система функционалов √ { 2gn (2x0 )} (24.6) √ биортогональна системе функций { 2ϕ(2x0 − j)}. Учитывая обозначения (24.3), приходим к выводу, что система функционалов (24.6) биортогональна системе функций {ϕ1,l }. Нетрудно также удостовериться в справедливости требования 1) в определении 7. Таким образом, система {ϕ1,l } действительно является базисом Рисса в V 1 . Аналогичным образом устанавливается, что множество функций √ j def {ϕj,l | ϕj,l (x) = 2 ϕ(2j x − l)} является базисом Рисса в V j при j = 2, 3, . . . Первый пункт заключения теоремы доказан. Cогласно пункту 4) определения 18 функция ϕ(x) лежит в пространстве V 0 , а ввиду включения V 0 ⊂ V 1 эта функция лежит также в пространстве V 1 . Следовательно, ее можно представить в виде линейной комбинации элементов только что упоP мянутого базиса, ϕ(x) = 2 n hn ϕ1,n (x), что в силу определения функций ϕ1,n (x) эквивалентно соотношению (24.1). Для доказательства равенства (24.2) достаточно проинтегрировать соотношение (24.1) по всей вещественной оси и воспользоваться свойством 4) из определения 18. УПРАЖНЕНИЯ 2

1. Что такое пространство L1 ? Какие из функций e−x , e−x , 3 5 sin(x), e−|x| , −x, e−x , −x5 ,e−|x| , x1 лежат в L1 ? 2. Как выглядит преобразование Фурье обобщенной функции Хевисайда? функции Гаусса? 72

3. Доказать формулу Z

2

e−z dz =

√

π. 2

4. Найти преобразование Фурье для функции e(3x−2) . 5. Что такое пространство L2 ? Является ли оно гильбертовым пространством? 6. Как следует сформулировать определение преобразования Фурье в пространстве L2 ? 7. В чем состоит обобщение равенства Парсеваля на пространство L2 ? 8. Дать определение оператора сопряженного отражения и сформулировать его свойства. 9. Сформулируйте и докажите теорему о биективности преобразования Фурье в L2 . 10. Как определяются пространства L∗1 и L∗2 ? 11. Что такое полудискретное преобразование Фурье? Что такое спектр Фурье 2π-периодической функции? 12. Что такое операция периодизации и каковы ее свойства? 13. Что такое формула суммирования Пуассона? Сформулируйте достаточные условия ее справедливости. 14. Какие варианты формулы суммирования Пуассона вам известны (написать первую и вторую суммационные формулы Пуассона). 15. Что такое целочисленная трансляция функции? Что такое разложение единицы? Какие функции называются ортофункциями? 16. Дать понятия кратно-масштабного уравнения и масштабирующей функции. 17. B-сплайн как пример масштабирующей функции (сформулировать определение и описать его свойства). 18. Что такое функция Шеннона? Каковы ее свойства? 19. Дать понятие пространства всплесков в линейном пространстве. 20. Что такое образующий всплеск? Каковы его свойства? 73

21. Сформулировать условия ортогональности базового и всплескового пространств (см. § 15). 22. Каковы необходимые условия ортонормальности масштабирующей функции? 23. Что такое ортонормальные всплески? Каковы их свойства? 24. Что такое формулы декомпозиции и реконстукции? 25. Поставьте задачу об ортогональном разложении цепочки вложенных пространств. Каковы условия построения ортогонального разложения (см. § 22). 26. Что такое базис Рисса? Каковы его свойства? 27. Что такое кратно-масштабный анализ в L2 ? Какова роль базиса Рисса в кратно-масштабном анализе?

ГЛАВА 2 ВЛОЖЕННОСТЬ ПРОСТРАНСТВ МИНИМАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ § 1.

Введение

Вложенность аппроксимирующих пространств полезна для организации экономичных способов обработки информации и при построении приближенных методов решения задач математической физики. В случае равномерной сетки удобно рассматривать линейные пространства, базис которых получен из одной образующей функции с компактным носителем сдвигом ее аргумента на целое число шагов. В частности, если образующая функция удовлетворяет масштабирующему уравнению, то ее можно зафиксировать для всей последовательности вложенных пространств. В классе S m элементарных минимальных сплайнов (МС) степени m единственным решением этого уравнения является B-сплайн, и потому фиксация образующей функции для всей последовательности вложенных пространств МС приводит лишь к последовательности вложенных пространств B-сплайнов [16]. В этой главе установлено, что совокупность пространств минимальных сплайнов степени m, рассматриваемых на последовательности двухкратно измельчающихся равномерных сеток, распадается на цепочки протранств, в которых каждое следующее пространство содержит предыдущее. Эти цепочки не пересекаются, пространства из одной цепочки обладают одинаковой гладкостью, а их образующие сплайны в направлении укрупнения сетки равномерно стремятся к B-сплайну. Здесь в случае последовательности двукратных измельчений сетки образующая функция фиксируется для каждого пространства в отдельности, и это приводит к тому, что множество S m распадается на непересекающиеся (бесконечные в обе стороны) последовательности вложенных пространств с аппроксимацией (m + 1)-го порядка на функциях класса C m+1 ; если одно из пространств последовательности лежит в каком-либо классе C k , k = −1, 0, . . . , m − 1, то и все пространства рассматриваемой 75

последовательности лежат в этом классе (под C −1 подразумевается множество кусочно-непрерывных функций с разрывами первого рода в узлах сетки). Предлагаемые последовательности пространств и базисные системы применимы для построения вариационно-разностных методов, причем вводимое здесь калибровочное соотношение обеспечивает быстрый переход от разложения по базису любого пространства этой последовательности к разложению по базису предыдущего пространства и восстановление всей последовательности по любому наперед заданному пространству МС; в случае B-сплайнов это соотношение превращается в масштабирующее уравнение. § 2. Образующие минимальные сплайны Обозначим через K множество вещественных чисел R1 или множество комплексных чисел C 1 (дальнейшие рассуждения в основном остались бы прежними, если под K подразумевать просто ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, однако здесь для определенности ограничимся упомянутым частным случаем). Пусть m — некоторое натуральное число. Рассмотрим конечномерное пространство Km+1 векторов a = (a0 , . . . , am )T , aj ∈ K, j = 0, 1, . . . , m. В дальнейшем символом Z обозначается множество целых чисел. Пусть l, s ∈ Z, причем выполнено соотношение l + s = m + 1. В вещественном евклидовом пространстве Km+1 векторы будем представлять, как вектор-столбцы и обозначать жирными буквами латинского алфавита a, b, c, d, e, f, x, y, z, а также греческими буквами µ, ν, λ. Компоненты этих векторов нумеруются целыми числами 0, 1, 2, . . . , m, например, µ = (µ0 , . . . , µm ), причем иногда компоненту вектора обозначаем квадратными скобками с индексом; ввиду этого соглашения, в частности, [a]j = aj , [x]j = xj – j-е компоненты векторов a и x соответственно (j = 0, 1, 2, . . . , m). В пространстве Km+1 рассмотрим гиперплоскость M вида M = {µ|µ = (µ0 , . . . , µm ), 76

µi ∈ K1 , i = 0, . . . , m, µ0 = 1}.

(2.1)

Квадратную матрицу, составленную из m+1 вектор-столбцов a, b, c, . . . , f пространства Km+1 , будем обозначать символом {z } | m+1

(a, b, c, . . . , f).

(2.2)

Нумерация столбцов матрицы проводится слева направо последовательными целыми числами (не обязательно положительными) в порядке возрастания. В тех случаях, когда это существенно, номера столбцов указываются верхним левым индексом со штрихом; например, если столбцы матрицы (2.2) занумеровать числами −s, −s + 1, . . . , l − 1, то ее эквивалентная запись (с указанием нумерации столбцов) имеет вид 0

( −s a,

0

−s+1

b,

0

−s+2

c, . . . ,

0

l−1

f).

(2.3)

Если к тому же известно, что в этой матрице вектор-столбец d находится на j-м месте, а вектор-столбец e находится на k-м месте, где j < k, j, k ∈ {−s + 3, −s + 4, . . . , l − 2}, то матрицу (2.3) можно записать в виде 0

( −s a,

0

−s+1

b,

0

−s+2

0

0

c, . . . , j d, . . . , k e, . . . ,

0

l−1

f).

Пусть ξ ∈ K; рассмотрим вектор-функцию
T def ϕ(ξ) = ϕ0 (ξ), ϕ1 (ξ), . . . , ϕm (ξ) ,

ϕi (ξ) = ξ i , def

i = 0, 1, . . . , m, а ϕ(α) (ξ) обозначим производную порядка α от ϕ(ξ). Пусть функция ω(l,s,µ) (t) вещественного переменного t ∈ (k, k + 1), k ∈ Z, удовлетворяет соотношениям k+s X

ϕ(j)ω(l,s,µ) (t − j) =

m X α=0

j=k−l+1

77

(−1)α

µα (α) ϕ (t), α!

(2.4)

supp ω(l,s,µ) = [−s, l]. Соотношения (2.4) называются аппроксимационными соотношениями. При фиксированном t равенства (2.4) можно рассматривать, как систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей Вандермонда относительно неизвестных ω(l,s,µ) (t − j). Таким образом, функция ω(l,s,µ) (t) однозначно определяется из соотношений (2.4) на всей вещественной оси за исключением целочисленных точек ее носителя; в упомянутых точках эта функция и ее производные имеют разрывы первого рода, которые иногда устранимы. Если при некоторых целых i, j, i ∈ {0, 1, . . . , m}, j ∈ {−s, −s + 1, . . . , l}, верно равенство (i)

(i)

lim ω(l,s,µ) (t) = lim ω(l,s,µ) (t), t→j+0

t→j−0

то в дальнейшем всегда полагаем (i)

(i)

ω(l,s,µ) (j) = lim ω(l,s,µ) (t). t→j

Определение 1. Функция ω(l,s,µ) (t), удовлетворяющая соотношениям (2.4), называется образующим минимальным сплайном. Лемма 1. Если α = (α0 , α1 , . . . , αm ) — вектор с неотрицательными целочисленными компонентами, а a = (a0 , a1 , . . . , am ) — вектор из пространства Km+1 , то определитель def

(α0 ) ∆α (ξ + a0 ), ϕ(α1 ) (ξ + a1 ), . . . , ϕ(αm ) (ξ + am )) a = det(ϕ

не зависит от ξ ∈ K, так что (α0 ) ∆α (a0 ), ϕ(α1 ) (a1 ), . . . , ϕ(αm ) (am )). a = det(ϕ

Доказательство. По формуле Тейлора (для многочленов степени не выше m) имеем ϕ(ξ + τ ) =

m X

τ β ϕ(β) (ξ)/β!, τ ∈ K,

β=0

78

(2.5)

так что для вектора ϕ(ξ + τ ) справедливы представления ϕ(ξ + τ ) = Dm (ξ)ϕ(τ ), ϕ(αj ) (ξ + τ ) = Dm (ξ)ϕ(αj ) (τ ), j = 0, 1, . . . , m, где матрица Dm (ξ) задается равенством  ϕ0 (ξ) ϕ00 (ξ) ϕ(m) (ξ)  . Dm (ξ) = ϕ(ξ), , ,..., 1! 2! m! Благодаря этому определитель ∆α a можно представить в форме (α0 ) ∆α (a0 ), . . . , Dm (ξ)ϕ(αm ) (am )), a = det(Dm (ξ)ϕ

откуда (α0 ) ∆α (a0 ), ϕ(α1 ) (a1 ), . . . , ϕ(αm ) (am )). a = detDm (ξ)det(ϕ

Осталось заметить, что Dm (ξ) − нижнетреугольная матрица с единичной главной диагональю, и, значит, detDm (ξ) = 1. Лемма доказана. Теорема 1. Пусть r ∈ R1 , µ = ϕ(r). Образующий минимальный сплайн ω(l,s,ϕ(r)) (t) непрерывен тогда и только тогда, когда r ∈ {−s + 1, −s + 2, . . . , l − 1}; (2.6) при условии (2.6) справедливы равенства ω(l,s,ϕ(r)) (j) = δj,r , j ∈ Z (δj,r – символ Кронекера). Доказательство. По формуле (2.5) при τ = −r из (2.4) получим k+s X

ϕ(j)ω(l,s,ϕ(r)) (t − j) = ϕ(t − r),

j=k−l+1

79

t ∈ (k, k + 1).

Заменяя t на τ + k, τ ∈ (0, 1), найдем k+s X

ϕ(j)ω(l,s,ϕ(r)) (τ + k − j) = ϕ(τ + k − r),

τ ∈ (0, 1).

j=k−l+1

Производя замену индекса суммирования k − j = j 0 , имеем l−1 X

ϕ(k − j 0 )ω(l,s,ϕ(r)) (τ + j 0 ) = ϕ(τ + k − r),

τ ∈ (0, 1).

j 0 =−s

Отсюда при j = −s, −s + 1, . . . , l − 1 выведем ω(l,s,ϕ(r)) (τ + j) = 0

=

0

0

det( −s ϕ(k + s), . . . , j ϕ(τ + k − r), . . . , l−1 ϕ(k − l + 1)) . det(ϕ(k + s), ϕ(k + s − 1), . . . , ϕ(k − l + 1))

Применим лемму 1 к определителю в знаменателе, полагая ξ = k, αi = 0, ai = s − i, i = 0, 1, 2, . . . , m, а также — к определителю в числителе, определяя иначе лишь aj , а именно, полагая во втором случае aj = τ − r. Ввиду упомянутой леммы ясно, что в действительности рассматриваемые определители от k не зависят; беря k = 0, получим ω(l,s,ϕ(r)) (τ + j) = =

0 0 0 1 det( −s ϕ(s), . . . , j ϕ(τ − r), . . . , l−1 ϕ(−l + 1)), ∆l,s

(2.7)

где ∆l,s = det(ϕ(s), ϕ(s − 1), . . . , ϕ(−l + 1)). Рассмотрим целое число n из множества {−s+1, −s+2, . . . , l− 1}, n ∈ {−s + 1, −s + 2, . . . , l − 1},

(2.8)

и вычислим ω(l,s,ϕ(r)) (n − 0) и ω(l,s,ϕ(r)) (n + 0); в первом случае приходится рассматривать промежуток (n−1, n) и потому в (2.7) 80

положить j = n − 1, а во втором – промежуток (n, n + 1) и в (2.7) взять j = n. Итак, ω(l,s,ϕ(r)) (n − 0) = ...,

0

n−1

ω(l,s,ϕ(r)) (n + 0) = 0

0 0 1 lim det( −s ϕ(s), −s+1 ϕ(s − 1), . . . ∆l,s τ →1−0

n

ϕ(τ − r), . . . ,

0

l−1

ϕ(−l + 1)),

0 0 1 lim det( −s ϕ(s), −s+1 ϕ(s − 1), . . . , τ →+0 ∆l,s

ϕ(τ − r), . . . ,

0

l−1

ϕ(−l + 1)).

Окончательно найдем ω(l,s,ϕ(r)) (n − 0) = ...,

0

n−1

0

ϕ(−r + 1), n ϕ(−n), . . . ,

ω(l,s,ϕ(r)) (n + 0) = ...,

0

n−1

0 0 1 det( −s ϕ(s), −s+1 ϕ(s − 1), . . . ∆l,s 0

l−1

ϕ(−l + 1)),

(2.9)

0 0 1 det( −s ϕ(s), −s+1 ϕ(s − 1), . . . ∆l,s 0

ϕ(−n + 1), n ϕ(−r), . . . ,

0

l−1

ϕ(−l + 1)).

(2.10)

Если r выбрать так, что r ∈ {−s + 1, . . . , l}, r 6= n,

(2.11)

то −r + 1 ∈ {s, s − 1, . . . , −l + 1}, −r + 1 6= −n + 1, и в формуле (2.9) получится 0, а если взять r = n, то в упомянутой формуле получится 1. Аналогичным образом, если в соотношении (2.10) положить r ∈ {−s, . . . , l − 1}, r 6= n, то получится 0, а при r = n в (2.10) получится единица.

81

(2.12)

Теперь ясно, что при условии (2.6) выражения (2.9) и (2.10) равны, а это означает интересующую нас непрерывность функции ω(l,s,ϕ(r)) в целочисленной точке n, удовлетворяющей условию (2.8). Разность этих выражений представляет собой отличный от тождественного нуля многочлен m-й степени по переменной r, 0 0 1 h def det( −s ϕ(s), −s+1 ϕ(s − 1), . . . P (r) = ∆l,s ..., 0

l−1

0

n−1

0

ϕ(−r + 1), n ϕ(−n), . . . , 0

ϕ(−l + 1)) − det( −s ϕ(s),

0

−s+1

ϕ(s − 1), . . . i 0 0 0 . . . , n−1 ϕ(−n + 1), n ϕ(−r), . . . , l−1 ϕ(−l + 1)) .

...,

Ввиду только что сказанного, этот многочлен обращается в нуль в m различных точках {−s + 1, −s + 2, . . . , l − 1} (и, значит, для упомянутого t = n функции ω(l,s,ϕ(r)) (t) непрерывны), а при остальных вещественных r он в нуль не обращается (т.е. при остальных r для t = n рассматриваемые функции разрывны). Для окончания доказательства теоремы осталось заметить, что при условии (2.6) в силу очевидных равенств (см. также (2.9) и (2.10)) ω(l,s,ϕ(r)) (−s + 0) = ω(l,s,ϕ(r)) (l − 0) = 0 функция ω(l,s,ϕ(r)) (t) непрерывна и на концах промежутка [−s, l]. Теорема доказана. § 3. Пространства минимальных сплайнов Для фиксированного σ ∈ Z рассмотрим линейное простран˜σ ство X (l,s,µ) : ˜σ X u|˜ u(x) = (l,s,µ) = {˜

X j∈Z

82

vj ω(l,s,µ) (x2σ − j),

vj ∈ R1 , j ∈ Z, x ∈ K}.

(3.1)

В дальнейшем понадобится следующее утверждение. Лемма 2. Для измеримой функции ω(t) с компактным носителем в R1 из тождества X ω(t − j) = 1, (3.2) j∈Z

справедливого Rпочти везде на интервале t ∈ (k, k + 1), следует соотношение R1 ω(t)dt = 1. Доказательство этой леммы было дано в первой главе (см. следствие 9). Замечание 1. Функция ω(l,s,µ) удовлетворяет соотношению (3.2). Для доказательства достаточно рассмотреть тождество (2.4) покомпонентно. Теорема 2. Если µ0 , µ00 ∈ M,

µ0 6= µ00 ,

˜σ 0 и X ˜ σ 00 различны. то пространства X (l,s,µ ) (l,s,µ ) Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай σ = 0, ибо для других целых σ доказательство аналогично. Проведем доказательство от противного: предположим, что при некоторых µ0 , µ00 ∈ M, µ0 6= µ00 , справедливо равенство ˜0 0 = X ˜ 0 00 . X (l,s,µ ) (l,s,µ )

(3.3)

Тогда базисную функцию ω(l,s,µ) первого из этих пространств можно выразить через линейную комбинацию базисных функций ω(l,s,µ00 ) (t−j) второго пространства. Если в упомянутой линейной комбинации фигурирует одна функция, то единственным кандидатом на эту роль (с учетом расположения носителя) является функция ω(l,s,µ00 ) (t) и при этом ω(l,s,µ0 ) (t) ≡ cω(l,s,µ00 ) (t), c = const;

83

вычисление нулевого момента от обеих частей последнего тождества в силу замечания 1 дает c = 1. Итак, ω(l,s,µ0 ) (t) ≡ ω(l,s,µ00 ) (t), откуда благодаря аппроксимационным соотношениям (2.4), рассматриваемым при µ = µ0 и при µ = µ00 , немедленно получим µ0 = µ00 . Последнее противоречит условию теоремы. Если же в рассматриваемой линейной комбинации более одного слагаемого с ненулевыми коэффициентами, то ее носитель, очевидно, не может разместиться на отрезке [−s, l], являющемся носителем функции ω(l,s,µ0 ) (t). Поэтому эта линейная комбинация не может служить представлением функции ω(l,s,µ0 ) (t). Итак, в любом случае функция ω(l,s,µ0 ) (t) не может быть представлением в виде линейной комбинации функций ω(l,s,µ00 ) (t − j), так что равенство (3.3) невозможно. Теорема доказана. В дальнейшем рассматриваются пространства (3.1) с различными индексами (l, s, µ). Оказывается, что среди них имеются одинаковые пространства. Для прояснения этой ситуации введем нижнетреугольную матрицу (m + 1)-го порядка A = (aγα ), где γ α

 aγα =




при 0 ≤ α ≤ γ, при γ < α ≤ m.

0

Для наглядности приведем  1 1 A= 1 1

матрицу A при m = 3:  0 0 0 1 0 0 . 2 1 0 3 3 1

def

Лемма 3. Степень Ak = Ak матрицы A с целым показателем k 6= 0 представляет собой нижнетреугольную матрицу вида Ak = (a(k) (3.4) γα ), где a(k) γα =



γ α




k γ−α

0 84

при 0 ≤ α ≤ γ, при γ < α ≤ m.

При k = 0 имеем A0 = I, где I — единичная матрица. Доказательство этой леммы проводится индукцией по k. Базой индукции может служить случай k = 0, в котором Ak k=0 = A0 = I. Индукционный переход следует производить в двух направлениях: от k к k + 1 и от k к k − 1. Проведем сначала его для первого направления, переходя от k к k + 1. Обозначая через bγβ элемент произведения Ak A = Ak A = Ak+1 , для γ ≥ β имеем4   m X X γ  (1) γ−α α bγβ = a(k) a = k = γα αβ α β α=0 β≤α≤γ

=

X β≤α≤γ

=

α! γ! · k γ−α = α!(γ − α)! β!(α − β)!

X γ! (γ − β)! k γ−α = β!(γ − β)! (γ − α)!(α − β)! β≤α≤γ   X   γ γ − β γ−α = k ; β γ−α β≤α≤γ

заменяя в последней сумме индекс α на α0 = γ − α, последовательно находим −γ ≤ −α ≤ −β, 0 ≤ γ − α ≤ γ − β, откуда 0 ≤ α0 ≤ γ − β и   X     γ γ − β α0 γ bγβ = k = (k + 1)γ−β , 0 β α β 0 0≤α ≤γ−β

что и требовалось. Обращаясь ко второму направлению, заметим, что A−1 = A−1 , ибо согласно предыдущим выкладкам при k = −1 1 Pm (−1) (1) приходим к равенству α=0 aγα aαβ = δγ,β , где δγ,β — символ Кронекера. Таким образом, произведение Ak A−1 = Ak A−1 = 4 Случай

γ < β рассматривать нет необходимости, ибо произведение нижнетреугольных матриц дает нижнетреугольную матрицу.

85

Ak−1 приводит к похожим выкладкам; обозначая элемент только что упомянутого произведения b0γβ , аналогично предыдущему для γ ≥ β имеем   m X X γ  0 (k) (−1) γ−α α bγβ = aγα aαβ = k (−1)α−β = α β α=0 β≤α≤γ

  γ = (k − 1)γ−β . β Индукция завершена. Лемма доказана. def Лемма 4. Для функции ωk (t) = ω(l,s,µ) (t − k) верно тождество X X (−1)α (α) ϕ(j)ωk (t − j) = µ(k) (t), (3.5) α ϕ α! j 0≤α≤m

(k) µα

(k)

(k)

где числа − компоненты вектора µ(k) = (µ0 , . . . , µm ), даваемого формулой µ(k) = Ak µ. (3.6) Доказательство. Из определения функций ωk (t) и соотношения (2.4) получим X

X

ϕ(j)ωk (t − j) =

j

0≤α≤m

(−1)α µα ϕ(α) (t − k). α!

По формуле Тейлора (см. (2.5)) найдем X

ϕ(j)ωk (t − j) =

j

X 0≤α≤m

m−α X ϕ(α+β) (t) (−1)α µα (−k)β , α! β! β=0

откуда после замены индекса суммирования β на индекс γ = α+β и после перестановки порядка суммирования получим последовательно X j

ϕ(j)ωk (t − j) =

X 0≤α≤m

m X (−1)α ϕ(γ) (t) µα (−k)γ−α = α! (γ − α)! γ=α

86

X (−1)α ϕ(γ) (t) µα (−k)γ−α = α! (γ − α)!

X

=

0≤γ≤m 0≤α≤γ

=

X

(−1)γ

0≤γ≤m

  γ γ−α ϕ(γ) (t) X k µα . γ! α 0≤α≤γ

Поскольку вторая сумма в последней формуле представляет (k) собой компоненту µγ вектора µ(k) (см. формулу (3.4) в лемме 3), видим, что соотношения (3.5), (3.6) установлены. Лемма доказана. Теорема 3. Пусть целые числа l, s, l0 , s0 удовлетворяют условию l + s = l0 + s0 = m + 1. (3.7) Для справедливости равенства ˜ σ0 0 0 = X ˜σ X (l ,s ,µ ) (l,s,µ)

(3.8)

необходимо и достаточно, чтобы µ0 = Ak µ,

(3.9)

где k = l0 − l. Доказательство. Как и прежде, не нарушая общности, будем считать, что σ = 0. Достаточность. При доказательстве достаточности требуется установить, что если выполнено соотношение (3.9), то справедливо равенство (3.8). ˜0 По определению пространства X (l,s,µ) его базисом являются 0 0 функции ω(l,s,µ) (t − k ), k ∈ Z, где ω(l,s,µ) (t) удовлетворяет усло˜ 0 0 0 0 являютвиям (2.4). Точно также базисом пространства X (l ,s ,µ ) 00 00 ся функции ω(l0 ,s0 ,µ0 ) (t − k ), k ∈ Z, где ω(l0 ,s0 ,µ0 ) (t) – решение системы X j

ϕ(j)ω(l0 ,s0 ,µ0 ) (t − j) =

m X α=0

87

(k)

(−1)α

µα (α) ϕ (t) α!

(3.10)

при условии supp ω(l0 ,s0 ,µ0 ) = [−s0 , l0 ];

(3.11)

(k)

здесь µα – компоненты вектора µ0 , определяемого равенством (3.9), α = 0, 1, . . . , m. По лемме 4 системе (3.10), (3.11) удовлетворяет функция def ωk (t) = ω(l,s,µ) (t − k), и потому ввиду единственности решения ω(l0 ,s0 ,µ0 ) (t) = ω(l,s,µ) (t − k). ˜ 0 0 0 0 получается из баТеперь ясно, что базис пространства X (l ,s ,µ ) ˜0 зиса пространства X целочисленным сдвигом аргумента. Из(l,s,µ) за инвариантности множества элементов базиса при таком преобразовании приходим к равенству (3.8). Достаточность доказана. Необходимость. При доказательстве необходимости требуется установить, что в условиях (3.7) из равенства (3.8) следуют соотношения (3.9). Аналогично доказательству теоремы 1 нетрудно проверить, что из равенства (3.8) следует совпадение базисных функций ˜00 0 0 и X ˜0 пространств X (l ,s ,µ ) (l,s,µ) . Следовательно, справедливо соотношение ω(l0 ,s0 ,µ0 ) (t) = ω(l,s,µ) (t − k), def

где k = l0 − l. Согласно лемме 4 функция ωk (t) = ω(l,s,µ) (t − k) удовлетворяет аппроксимационным соотношениям с вектором def µ ¯ = Ak µ. Теперь сравнивая аппроксимационные соотношения для функций ω(l0 ,s0 ,µ0 ) (t) и ωk (t), приходим к равенству (3.9). Необходимость установлена. Следствие 1. Каковы бы ни были фиксированные целые ˜0 l, s, l + s = m + 1, множество {X (l,s,µ) }µ∈M содержит всевозможные пространства минимальных сплайнов степени m на целочисленной сетке, и при различных µ эти пространства различны.

88

§ 4. Приведенный образующий минимальный сплайн и его характеристический многочлен Определение 2. Функция ω(m+1,0,µ) (t) называется приведенным образующим минимальным сплайном степени m. Введем обозначения: ˜ σ def ˜σ X (µ) = X(m+1,0,µ) .

def

ω(µ) (t) = ω(m+1,0,µ) (t),

(4.1)

Множество всех приведенных образующих минимальных сплайнов степени m обозначим Sm , Sm = {ω(µ) |µ ∈ M}.

(4.2)

Для функции ω(µ) (t), t ∈ (k, k + 1), k ∈ Z, соотношения (2.4) принимают вид k X

ϕ(j)ω(µ) (t − j) =

m X

(−1)α

α=0

j=k−m

µα (α) ϕ (t), α!

supp ω(µ) = [0, m + 1].

(4.3)

Определение 3. Аналитическое продолжение P(µ) (t) приведенного образующего минимального сплайна (4.1) с промежутка (0, 1) на всю вещественную ось называется характеристическим многочленом этого сплайна. Коэффициенты характеристического многочлена будем обозначать pi , i = 0, 1, . . . , m, так что P(µ) (t) =

m X

pi t i .

i=0

Согласно определению 3 из формулы (4.3) находим P(µ) (t) =

m X α=0

(−1)α

µα det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(α) (t))/∆(0) m , (4.4) α!

89

где ∆(0) m

def

=

det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(0)).

Коэффициенты этого многочлена могут быть представлены в форме pj =

1

m−j X

(0) ∆m j! α=0

(−1)α

µα det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(α+j) (0)). α!

Лемма 5. Старший коэффициент характеристического многочлена равен pm = 1/m!. (4.5) Доказательство. Старший коэффициент характеристического многочлена (4.4) совпадает со старшим коэффициентом многочлена ˜(t) def p P˜m (t) = , p˜(0) def

где p˜(t) = det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(t)) — многочлен степени m с корнями t = −m, −m + 1, . . . , −1. По теореме Виета свободный член многочлена p˜(t) равен произведению fm (−1)m (−m)(−m + 1) . . . (−1) = fm m!, где fm — старший коэффициент последнего упомянутого многочлена. Следовательно, ∆(0) ˜(0) = fm m!, m =p так что

(4.6)

p˜(t) fm tm + . . . 1 m P˜m (t) = = = t + ... p˜(0) fm m! m!

Лемма доказана. Как известно, для определителя Вандермонда справедлива формула Y det(ϕ(x0 ), ϕ(x1 ), . . . , ϕ(xm )) = (xj − xi ). 0≤i<j≤m

90

Используя эту формулу для xj = −m + j, получим представ(0) ление ∆m , ∆(0) m = det(ϕ(−m), ϕ(−m + 1), . . . , ϕ(0)) = Y Y Y (j − i), (j − i) = = 0<j≤m 0≤i<j

0≤i<j≤m

откуда ∆(0) m =

Y

j!.

(4.7)

0<j≤m

Теперь из соотношения (4.6) видно, что Y j!. fm =

(4.8)

0<j≤m−1

Лемма 6. Для числа k из множества {0, 1, . . . , m} справедливо тождество  k  X m+k−j j=0

m

ω(µ) (τ + j) = P(µ) (τ + k),

τ ∈ (0, 1).

(4.9)

Доказательство. Составим два определителя (m + 1)-го порядка, добавляя к m вектор-столбцам ϕ(−m), ϕ(−m + 1), . . . , ϕ(−1) по вектор-столбцу, представленному левой и правой частями соотношения (4.3) соответственно:  det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1),

k X

 ϕ(j)ω(µ) (t − j) =

j=−m+k m   X µα = det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), (−1)α ϕ(α) (t) , α! α=0

91

или k X

  det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(j) ω(µ) (t − j) =

j=−m+k

=

m X

(−1)α

α=0

  µα det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(α) (t) . α!

Для упрощения правой части этого соотношения сначала рассмотрим случай, когда t ∈ (0, 1); в этом случае k = 0 и предыдущее соотношение дает: 0 X

  det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(j) ω(µ) (t − j) =

j=−m

=

m X

(−1)α

α=0

  µα det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(α) (t) , α!

причем все слагаемые левой части кроме последнего равны нулю. Итак, при t ∈ (0, 1)   det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(j) ω(µ) (t) = =

m X

(−1)α

α=0

  µα det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(α) (t) . α!

Поскольку по определению характеристического многочлена ω(µ) (t) = P(µ) (t) при t ∈ (0, 1), то предыдущее соотношение можно переписать в виде ∆(0) m P(µ) (t) =

m X α=0

(−1)α

  µα det ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(α) (t) . α!

Последнее соотношение — тождество двух многочленов на отрезке (0, 1), и потому оно верно при любых t. Теперь вернемся к

92

случаю t ∈ (k, k +1); после изложенного упрощения правой части получим k X

det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(j))ω(µ) (t − j) = ∆(0) m P(µ) (t).

j=−m+k

Делая здесь подстановку t = τ + k, τ ∈ (0, 1), и используя обозначения def cj = det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(j))/∆(0) (4.10) m , после отбрасывания нулевых слагаемых получим k X

cj ω(µ) (τ + k − j) = P(µ) (τ + k).

j=0

Более подробно эти соотношения можно записать в виде     ω(µ) (τ ) P(µ) (τ )   c0 0 ... 0  ω (τ + 1)   P(µ) (τ + 1)  c0 . . . 0   (µ)  c1       ω(µ) (τ + 2)  =  P(µ) (τ + 2)  . c2 c1 ... 0     ... ... cm cm−1 . . . c0 ω(µ) (τ + m) P(µ) (τ + m) Теперь заменой индекса j на j 0 = k − j выведем соотношения k X

ck−j 0 ω(µ) (τ + j 0 ) = P(µ) (τ + k), τ ∈ (0, 1), k = 0, 1, . . . , m,

j 0 =0

которые (после отыскания чисел cj ) приведут к формуле (4.9). Для отыскания упомянутых чисел заметим, что введенный при доказательстве леммы 5 многочлен P˜m (t) степени m решает интерполяционную задачу P˜m (k) = 0, k = −m, −m + 1, . . . , −1, P˜m (0) = 1, и может быть представлен в виде P˜m (t) = det(ϕ(−m), . . . , ϕ(−1), ϕ(t))/∆(0) m . 93

Ввиду формул (4.10), справедливы равенства cj = P˜m (j), j = 0, 1, . . . , m. Корни и старший коэффициент многочлена P˜m (t) известны, и потому m 1 Y P˜m (t) = (t + i); m! i=1 отсюда легко получаем значения чисел cj :   m+j cj = . m

(4.11)

Лемма доказана. Рассмотрим нижнетреугольную матицу C:   1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0   c1   C =  ... ... ... ... ... ...,   cm−1 cm−2 cm−3 . . . 1 0 cm cm−1 cm−2 . . . c1 1 элементы которой вычисляются по формулам (4.11), а также рас¯ обратную к C. Очевидно, что C¯ – также смотрим матрицу C, нижнетреугольная матрица вида   c¯0 0 0 ... 0 0 c¯0 0 ... 0 0   c¯1   ... ... . . . . . . . . .  , причем c¯0 = 1. C¯ =  . . .   c¯m−1 c¯m−2 c¯m−3 . . . c¯0 0 c¯m c¯m−1 c¯m−2 . . . c¯1 c¯0 Теорема 4. Если приведенный образующий сплайн ω(µ) (t) задан на промежутке (0, 1), то формулы def

P(µ) (t) = ω(µ) (t) при t ∈ (0, 1), ω(µ) (t) =

k X j=0

(−1)j



 m+1 P(µ) (t − j) j

94

(4.12)

при t ∈ (k, k + 1), k = 1, 2, . . . , m, позволяют определить этот сплайн на промежутках (1, 2), (2, 3), . . . , (m, m + 1). Доказательство. Прежде всего заметим, что соотношения (4.9) можно рассматривать, как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел ω(µ) (τ + j), j = 0, 1, . . . , m, с упомянутой выше треугольной матрицей C. Обращая матрицу C и полагая t = τ + k, отсюда получаем ω(µ) (t) =

k X

c¯j P(µ) (t − j),

t ∈ (k, k + 1).

(4.13)

j=0

Для доказательства теоремы осталось установить справедливость формул   j m+1 c¯j = (−1) . (4.14) j ¯ Элемент dij Для этого составим произведение матриц C и C. матрицы произведения при i < j очевидно равен нулю, а для i ≥ j имеем dij = ci−j c¯0 + ci−j−1 c¯1 + . . . + c0 c¯i−j = =

i−j X

ci−j−s c¯s =

s=0

 i−j  X m+i−j−s m

s=0

(−1)s



 m+1 . s

Отсюда видно, что при i = j последняя сумма равна единице, dii = 1. При i ≥ j эта сумма оказывается равной нулю, dij = 0; для доказательства можно воспользоваться формулой 4.2.5.60 из книги [22, с. 620]: n X k=0

(−1)k

   m m+n−k−1 = 0, k m−1 95

в которой следует заменить m на m + 1, n на i, а k на s. Впрочем, представление (4.14) достаточно просто получается и без ссылки на формулу 4.2.5.60 из только что упомянутой книги. Наметим ход рассуждений. Рассмотрим функции A(t) = (1 − t)−(m+1) ,

B(t) = (1 − t)m+1 .

Нетрудно видеть, что A(t) =

+∞ X

m+1

cj t j ,

B(t) =

j=0

X

c¯j tj ,

j=0

где числа cj и c¯j даются формулами (4.11) и (4.14) соответственно. Действительно, из математического анализа известна формула (1 + x)α = 1 +

α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − k + 1) k α x+ x +...+ x +... 1! 2! 1!

справедлива в круге |x| < 1 для вещественных α. Положим здесь сначала α = −(m + 1), x = −t; тогда A(t) = (1 − t)−(m+1) = 1 +

(−m − 1)(−m − 2) −m − 1 (−t) + (−t)2 + . . . 1! 2!

(−m − 1)(−m − 2) . . . (−m − k) (−t)k + . . . = k! (m + 1)(m + 2) . . . (m + k) k m + 1 (m + 1)(m + 2) 2 t+ t +. . .+ t +. . . = = 1+ 1! 2! k!       m+1 m+2 2 m+k k =1+ t) + t + ... + t + ... = 1 2 k ... +

=

 +∞  X m+j j

j=0

tj =

+∞ X

cj tj .

j=0

При α = m + 1, x = −t найдем m+1 m+1

B(t) = (1 − t)

=

X

k

(−1)



m+1 X k m+1 k t = c¯k t . k



k=0

k=0

96

Теперь из очевидного тождества A(t)B(t) ≡ 1 получим 1≡

+∞ m+1 X X

cj c¯k tj+k .

j=0 k=0

Отсюда после подстановки j 7→ i, j + k = i, "приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях", выводим

X

X

cj c¯k =

j+k=i,0≤k≤m+1,j≥0

ci−k c¯k = δi,0 ,

0≤k≤min{m+1,i}

¯ где δi,0 — символ Кронекера. Отсюда следует, что произведение C C представляет собой единичную матрицу. На этом вывод формулы (4.14) завершается.

Теорема полностью доказана. Следствие 2. Каков бы ни был многочлен степени m со старшим коэффициетом 1/m!, существует приведенный образующий сплайн, для которого этот многочлен является характеристическим. Для доказательства подставим данный многочлен в левую часть тождества (4.4) и определим оттуда числа µα ; легко видеть, что они определятся однозначно, причем µ0 окажется равным единице. Теперь искомый сплайн определяется с помощью формул (4.13), (4.14). Теорема 5. Для того чтобы при некотором i из множества {0, 1, . . . , m − 1} производная i-го порядка от функции ω(µ) (t) была непрерывна, (i)

ω(µ) ∈ C(R1 ),

(4.15)

необходимо и достаточно, чтобы i-я производная характеристического многочлена при t = 0 обращалась в нуль, (i)

P(µ) (0) = 0. 97

(4.16)

Доказательство. Эквивалентность формул (4.15) и (4.16) легко вытекает из тождества (4.13). Действительно, при переходе от интервала (n − 1, n) к интервалу (n, n + 1) в сумме непрерывных в точке n функций (4.13) добавляется одно слагаемое, так что непрерывность результирующей функции в точке n эквивалентна тому, что добавленное слагаемое обращается в нуль при t = n. Этим доказывается утверждение для i = 0. При других i оно доказывается аналогично. Теорема доказана. Замечание 2. Поскольку B-сплайн m-й степени – функция класса C m−1 (R1 ), то ясно, что на промежутке (0, 1) он должен представляться многочленом степени m, который вместе с последовательными производными вплоть до m − 1 порядка обращается в 0 в точке t = 0, т.е. многочленом вида ctm , где c — некоторая константа. В предыдущей главе B-сплайн m-й стеmB пени ω (t) построен как m-кратная свертка характеристической функции χ[0,1] (t) множества [0, 1]. Согласно утверждению 1.6) теоремы 6 предыдущей главы при t ∈ (0, 1) верно тождеmB ство ω (t) = tm /m!; последнее означает, что характеристичеm B ский многочлен P (t) этого сплайна имеет вид m

B

m P (t) = t /m!.

(4.17)

Из (4.12) получим формулу mB

ω (t) =

k X

m

B

c¯j P (t − j),

t ∈ (k, k + 1),

k = 0, 1, . . . , m,

j=0

(4.18) являющуюся известным представлением B-сплайна с помощью "усеченных степеней". Теорема 6. Вектор µ выражается через образующий сплайн по формулам m X µ= ϕ(j)ω(µ) (j + 0). (4.19) j=0

98

Доказательство. Воспользуемся формулой (4.3) при t ∈ (0, 1): j=0 X

ϕ(j)ω(µ) (t − j) =

m X

(−1)α

α=0

j=−m

µα (α) ϕ (t). α!

Заменив индекс суммирования по формуле j 0 = −j, найдем m X

ϕ(−j 0 )ω(µ) (t + j 0 ) =

j 0 =0

m X

(−1)α

α=0

µα (α) ϕ (t), α!

так что после перехода к пределу при t → + 0 покомпонентная запись имеет вид m X

(−j 0 )k ω(µ) (j 0 + 0) = (−1)k µk ,

k = 0, 1, . . . , m.

j 0 =0

Окончательно m X

j 0k ω(µ) (j 0 + 0) = µk ,

k = 0, 1, . . . , m;

j 0 =0

последнее эквивалентно формуле (4.19). Теорема доказана. Теорема 7. Параметры µs выражаются через коэффициенты характеристического многочлена с помощью следующих формул: µs =

m X i=0

pi

m X j=0

(−1)j



 m m+1 X s k (k − j)i , j

s = 1, 2, . . . , m.

k=j

(4.20) Доказательство. При t → k + 0 из соотношения (4.13) найдем k X ω(µ) (k + 0) = c¯j P(µ) (k − j). (4.21) j=0

99

Подставим (4.14) в формулу (4.21), а результат такой подстановки учтем в формуле (4.19). Благодаря этому, получим равенство µs =

m X i=0

pi

m X

k

s

k X

j



(−1)

j=0

k=0

 m+1 (k − j)i , j

(4.22)

откуда с помощью суммирования по известPmперестановки Pk Pзнаков m Pm ному правилу = k=0 j=0 j=0 k=j найдем соотношение (4.20). Теорема доказана. Следствие 3. Переставляя первое суммирование в (4.22) на последнее место, получаем представление µs через характеристический многочлен µs =

m X

k

k=0

s

k X

j

(−1)

j=0



 m+1 P(µ) (k − j). j mB

Следствие 4. Приведенному B-сплайну ω mB ет вектор µ = µ , где mB

µs =

(4.23)

соответству-

  m m m+1 X s 1 X k (k −j)m , s = 0, 1, . . . , m. (4.24) (−1)j m! j=0 j k=j

Для доказательства подставим характеристический многочлен mB (4.17) B-сплайна ω в формулу (4.23); в результате получится представление (4.24). Замечание 3. В дальнейшем, когда не может возникнуть путаницы, индекс m над символами ω, P, µ будем опускать; в частности, полагаем mB

ω B (t) = ω (t),

m

B

B P (t) = P (t),

mB

µ

= µB .

Теорема 8. В множестве (4.2) имеется лишь один сплайн класса C m−1 – это приведенный B-сплайн степени m. 100

Доказательство. Для доказательства следует воспользоваться теоремами 4–5 и замечанием 2. Из доказательства теоремы 7 нетрудно видеть, что формулы (4.20) и (4.22) справедливы и при s = 0. Учитывая равенства µ0 = 1, pm = 1/m! (см. формулы (2.1), (4.5)) и произвольность остальных коэффициентов характеристического многочлена при определении по формулам (4.22) чисел µs , s = 1, 2, . . . , m, приходим к выводу, что должно быть справедливо следующее утверждение. Лемма 1∗ . Числа (m) def =

bi

m X k X

(−1)j



k=0 j=0



m+1 (k − j)i j (m)

равны нулю для i = 0, 1, . . . , m − 1, а число bm равно m!. Доказательство. Хотя предыдущие рассуждения уже являются доказательством рассматриваемой леммы, однако из методический соображений проведем независимое доказательство. Прежде всего перестановкой суммирования это выражение приведем к виду   m m X m+1 X 0 (m) (k − j)i , (−1)j bi = j 0 j=0

k =j

откуда после замены индекса суммирования k = k0 − j получим представление   m−j m X m+1 X i (m) (−1)j k. (4.1∗ ) bi = j j=0

k=0

Докажем сначала, что (m)

bi0

при i0 = 0, 1, . . . , m − 1.

= 0,

(4.2∗ )

Для i0 = 0, 1, . . . , m − 1 воспользуемся индукцией по i. При i0 = 0 последовательно имеем (m) b0

=

m X

j

(−1)

j=0

= (m + 1)

m X j=0

(−1)j







m+1 (m − j + 1) = j



m+1 j

101

−

m X j=0

(−1)j





m+1 j= j

m+1

= −(m + 1)(−1)

m+1 X

−

j



(−1)

j=0 m+1

X

=

(−1)j



j=0



m+1 j − (m + 1)(−1)m+1 j



=



m+1 j = 0. j

Будем считать полученный только что результат базой индукции 5 . Теперь предположим, что i < m и что для всех целых чисел i0 , для которых 0 ≤ i0 < i, соотношение (4.2∗ ) выполнено. Докажем его справедливость для i0 = i. Применяя формулу бинома Ньютона к разности (k + 1)j+1 − kj+1 при j = 0, 1, . . . , n для некоторого натурального n и складывая полученные равенства, стандартным образом получим i+1

(n + 1)

 =

n i+1 X i k + 1





k=0

 ... +

n i + 1 X i−1 k + ... 2



k=0

n n i+1 X 1 i+1 X 0 k k , i i+1







k=0

k=0

откуда (i + 1)

n X

ki = (n + 1)i+1 −

ci,i0

i0 =0

k=0 def

i−1 X

n X

0

ki ,

(4.3∗ )

k=0

где ci,i0 = Применим теперь формулу (4.3∗ ) при n = m − j в правой части равенства (4.1∗ ); тогда найдем i+1 i+1−i0

(m)

(i + 1)bi

=




m X

(−1)j

j=0

=

m X j=0

(−1)j





h

m+1 j

(m − j + 1)i+1 −

i−1 X

m−j

ci,i0

i0 =0 i−1



m



X

j=0

i

=

k=0

 m−j X

X X m+1 m+1 (−1)j (m − j + 1)i+1 − ci,i0 j j 0 j =0

0

ki

0

ki .

k=0

5 Для последнего из написанных равенств см., например, формулу 4.2.2.3 из [22].

102

Однако по предположению индукции m X

(−1)j



j=0

 m−j X

m+1 j

0

ki = 0

k=0

0

для 0 ≤ i < i, так что последнее соотношение принимает вид (i +

(m) 1)bi

=

m X

j



(−1)

j=0

=

m X

(−1)j

j=0





m+1 (m − j + 1)i+1 = j



m+1 (m − j + 1)i+1 , m−j+1

откуда после подстановки k = m − j + 1 найдем (i +

(m) 1)bi

m+1

= (−1)

m X k=0

k

(−1)





m + 1 i+1 k . k

Правая часть6 последнего равенства при i < m равна нулю, а при i = m она равна (m + 1)!. Отсюда следуют утверждения, сформулированные в доказываемой лемме.

§ 5. Псевдосвертка и калибровочное соотношение Рассмотрим векторы µ, ν ∈ M, µ = (µ0 , µ1 , . . . , µm ), и зададим числа ηs равенствами s   X s µi νs−i , ηs = i i=0

ν = (ν0 , ν1 , . . . , νm ),

s = 0, 1, . . . , m.

(5.1)

(5.2)

Определение 4. Псевдосверткой векторов µ, ν ∈ M вида (5.1) называется вектор η = (η0 , η1 , . . . , ηm ) с компонентами (5.2); обозначим ее символом , так что η = µ ν.

6 См.,

например, формулы 4.2.2.3 и 4.2.2.4 из [22].

103

Очевидно, псевдосвертка превращает гиперпоскость (2.1) в абеdef леву группу с единицей 1 = (1, 0, . . . , 0). Обратный элемент к эле−1 менту µ обозначается µ . Нетрудно вычислить последовательные компоненты вектора µ−1 , [µ−1 ]0 = 1, [µ−1 ]1 = −µ1 , [µ−1 ]2 = 2µ21 − µ2 , [µ−1 ]3 = −6µ31 + 6µ1 µ2 − µ3 , [µ−1 ]4 = 24µ41 − 36µ21 µ2 + 8µ1 µ3 + 6µ22 − µ4 , . . . Определение 5. Пусть некоторые функции ω и ψ заданы на R1 , имеют компактный носитель и удовлетворяют тождеству ω(t) =

K X

cj ψ(2t − j),

(5.3)

j=0

где K – некоторое натуральное число, а cj – фиксированные вещественные числа. Тождество (5.3) называется калибровочным соотношением, функция ω(t) – калибруемой, а функция ψ(t) калибрующей функцией. При ω = ψ это соотношение принято называть масштабирующим уравнением (см., например, [1]). Определение 6. Квазибиномиальной матрицей с параметром µ = (µ0 , µ1 , . . . , µm ) называется нижнетреугольная мат(γ) рица Qµ вида Qµ = (qα ), где   (γ) γ−α γ qα = (−1) µγ−α при 0 ≤ α ≤ γ, α qα(γ) = 0 при γ < α ≤ m, а µ – вектор с компонентами µj , µ = (µ0 , µ1 , µ2 , . . . , µm ); здесь γ – номер строки, а α – номер столбца. 104

(5.4)

Теорема 9. Пусть даны векторы µ, λ ∈ Km+1 , а Qµ и Qλ – соответствующие квазибиномиальные матрицы. Тогда для произведения этих матриц справедлива формула Qµ Qλ = Qµ λ .

(5.5)


(α) Доказательство. Обозначая q ζ = (−1)α−ζ λα−ζ αζ , 0 ≤ ζ ≤ α ≤ m, элементы матрицы Qλ , а qeγζ — элементы матрицы Qµ Qλ , где γ — номер строки, а ζ — номер столбца, для 0 ≤ ζ ≤ γ ≤ m имеем X (α) qeγζ = qα(γ) q ζ = ζ≤α≤γ

=

X

(−1)γ−α µγ−α

ζ≤α≤γ

= (−1)γ−ζ

X

    γ α · (−1)α−ζ λα−ζ = α ζ

µγ−α λα−ζ

ζ≤α≤γ

α! γ! = α!(γ − α)! ζ!(α − ζ)!

X (γ − ζ)! γ! µγ−α λα−ζ = ζ!(γ − ζ)! (γ − α)!(α − ζ)! ζ≤α≤γ    X  γ−ζ γ µγ−α λα−ζ . = (−1)γ−ζ α−ζ ζ

= (−1)γ−ζ

ζ≤α≤γ

После замены индекса суммирования на α0 = α − ζ окончательно получим   X   γ γ−ζ qeγζ = (−1)γ−ζ µγ−α−α0 λα0 = ζ α0 0 0≤α ≤γ−ζ

γ−ζ

= (−1)

   γ  µ λ γ−ζ , ζ

что и требовалось установить. Теорема доказана. Следствие 5. Из только что сформулированной теоремы следует, что во множестве квазибиномиальных матриц 105

матричное произведение коммутативно, а квазибиномиальная матрица Qµ обратима тогда и только тогда, когда µ0 6= 0; при этом справедлива формула Qµ Qµ−1 = I, где I – единичная матрица. Лемма 7. Справедливо представление Qµ ϕ(t) =

m X

(−1)α µα ϕ(α) (t)/α!.

(5.6)

α=0

Доказательство. Из (5.4) находим X (γ) [Qµ ϕ(t)]γ = q β tβ = 0≤β≤γ

=

X γ  (−1)γ−β µγ−β tβ , γ = 0, 1, . . . , m, β

0≤β≤γ

где [Qµ ϕ(t)]γ − компонента вектора Qµ ϕ(t) с номером γ. Замена индекса суммирования α = γ − β теперь дает X  γ  [Qµ ϕ(t)]γ = (−1)α µα tγ−α = γ−α 0≤α≤γ

=

X 0≤α≤γ

X (−1)α γ!(−1)α (α) µα tγ−α = µα (tγ ) . α!(γ − α)! α! 0≤α≤γ

Лемма доказана. Используя представление (5.6), аппроксимационные соотношения (4.3) при t ∈ (k, k + 1) перепишем в виде k X

ϕ(j)ω(µ) (t − j) = Qµ ϕ(t).

j=k−m

106

(5.7)

Дифференцируя тождество (5.7) i раз, умножая результат на (−1)i λi /i! и складывая по i = 0, 1, . . . , m, имеем k X j=k−m

ϕ(j)

m X

(i)

(−1)i λi /i!ω(µ) (t − j) = Qµ

i=0

m X

(−1)i λi /i!ϕ(i) (t).

i=0

Снова обращаясь к лемме 7, получаем k X

ϕ(j)Ω(t − j) = Qµ Qλ ϕ(t),

(5.8)

j=k−m

где def

Ω(t) =

m X

(i)

(−1)i λi /i!ω(µ) (t).

(5.9)

i=0

В силу формулы (5.5) тождества (5.8) можно записать в форме k X

ϕ(j)Ω(t − j) = Qµ λ ϕ(t),

(5.10)

j=k−m

причем ввиду формулы (5.9) имеем suppΩ = [0, m + 1]. Теорема 10.

(5.11)

Если µ, λ ∈ M, то справедливо соотношение ω(µ λ) (t) =

m X (−1)i

i!

i=0

(i)

λi ω(µ) (t).

(5.12)

Доказательство. Формула (5.12) вытекает из аппроксимационных соотношений (5.10) и равенства (5.11) в силу единственности определяемого ими сплайна. Теорема установлена. Следствие 6. Если µ, µ ˜ ∈ M, то верна формула ω(˜µ) (t) =

m X (−1)i i=0

i!

(i)

[˜ µ µ−1 ]i ω(µ) (t).

107

(5.13)

Доказательство. Полагая µ ˜ = µ λ и пользуясь коммутативностью псевдосвертки и обратимостью µ, находим λ = µ ˜ µ−1 ; теперь из соотношения (5.12) вытекает формула (5.13). Следствие 7. Любой приведенный образующий сплайн ω(µ) mB может быть представлен через приведенный B-сплайн ω и его производные, а именно ω(µ) (t) =

m X (−1)i i=0

i!

mB

[µ (µB )−1 ]i ω


(i)

(t).

(5.14)

Доказательство. Полагая µ = µB в формуле (5.13) и затем заменяя там µ ˜ на µ, получаем представление (5.14). § 6. Цепочки приведенных сплайнов В дальнейшем потребуется следующее утверждение (см. теорему 6 первой главы, а также, например, [1]). mB Теорема 11. Для приведенного B-сплайна ω степени m справедливо соотношение mB

ω (t) = 2

−m

m+1 X j=0

 m + 1 mB ω (2t − j). j

(6.1)

Соотношение (6.1) является масштабирующим уравнением (а следовательно, и калибровочным соотношением) для B-сплайнов. Теорема 12. Для приведенного минимального сплайна ω(µ) степени m, заданного на целочисленной сетке, справедливо соотношение m+1 X m + 1 −m ω(µ) (t) = 2 ω(Uµ) (2t − j), (6.2) j j=0 где U – преобразование гиперплоскости M в себя, U:

µ→µ ˜, 108


def µ ˜ = µB E2 µ (µB )−1 ,

(6.3)

а E2 – квадратная диагональная матрица порядка m + 1 с элементами 2i на диагонали, i = 0, 1, . . . , m. Доказательство. Пусть F – квадратная диагональная матрица m + 1-го порядка с диагональными элементами (−1)i /i!, i = 0, 1, . . . , m. Вектор λ определим равенством λ = µ (µB )−1 . Соотношение (5.14) может быть переписано в виде m X

ω(µ) (t) =

mB

[F λ]i ω


(i)

(t).

(6.4)

i=0

Для удобства введем обозначение   −m m + 1 bj = 2 . j

(6.5)

Тогда формула (6.1) принимает вид mB

ω (t) =

m+1 X

mB

bj ω (2t − j).

(6.6)

j=0

Дифференцируя тождество (6.6) i раз и подставляя его правую часть в формулу (6.4), находим ω(µ) (t) =

m X

[F λ]i

i=0

m+1 X

mB

b j 2i ω


(i)

(2t − j).

j=0

Переставляя знаки суммирования и используя введенную при формулировке доказываемой теоремы матрицу E2 , получаем ω(µ) (t) =

m+1 X j=0

bj

m X

mB

[E2 F λ]i ω

i=0

109


(i)

(2t − j).

(6.7)

Ясно, что вектор µ ˜ = (E2 λ) µB def

удовлетворяет соотношению
F µ ˜ (µB )−1 = E2 F λ. Ввиду последней формулы, очевидно равенство m X i=0

mB

[E2 F λ]i ω


(i)

(t) =

m X


m B
(i) [F µ ˜ (µB )−1 ]i ω (t),

(6.8)

i=0

откуда благодаря формуле (5.14) ясно, что выражения (6.8) представляют собой минимальный приведенный сплайн ω(˜µ) (t). Из соотношения (6.7) теперь находим ω(µ) (t) =

m+1 X

bj ω(˜µ) (2t − j),

(6.9)

j=0

что с учетом обозначений (6.3) и (6.5) приводит к формуле (6.2). Теорема доказана. Соотношение (6.9) является калибровочным соотношением для минимальных сплайнов ω(µ) и ω(˜µ) , причем ω(µ) – калибруемый, а ω(˜µ) – калибрующий сплайны. Ввиду очевидной обратимости преобразования U, по априори фиксированному приведенному образующему сплайну m-й степени (или по соответствующему пространству минимальных сплайнов) с помощью формул (6.2), (6.3) можно построить образующий сплайн для сетки в два раза более мелкой и для сетки в два раза более крупной и благодаря этому однозначно определить всю (бесконечную в обе стороны) последовательность минимальных образующих сплайнов, каждая пара соседних элементов которой удовлетворяет соотношению (6.2); такую последовательность будем называть цепочкой приведенных образующих def сплайнов и обозначать Cµm = {ω(Uj µ) |j ∈ Z}, µ ∈ M. Из предыдущего следует, что цепочки Cµm0 и Cµm00 совпадают тогда и только тогда, когда µ00 = Uj µ0 при некотором j ∈ Z. 110

Различные цепочки не имеют общих элементов. Все множество (4.2) образующих приведенных S минимальных сплайнов распадается на такие цепочки, Sm = µ∈M Cµm . Цепочка CµmB состоит из одинаковых элементов – экземпляров одного и того же приведенного образующего B-сплайна степени m. Два элемента с различными номерами у любой другой цепочки Cµm , µ 6= µB , представляют собой различные сплайны. Теорема 13. Если при некоторых i ∈ {0, 1, . . . , m} и (i) k ∈ {−1, . . . , m} i-я производная ω(µ) (t) приведенного образующего сплайна ω(µ) (t) лежит в классе C k , то все сплайны из цепочки Cµm обладают тем же свойством. Доказательство. Из калибровочного соотношения (6.9) легко видеть, что кратности корней t = 0 i-х производных характеристических многочленов для приведенных сплайнов ω(µ) (t) и ω(Uµ) (t) совпадают. Осталось воспользоваться теоремой 5. Теорема доказана. Каждая из цепочек в направлении укрупнения сетки (при j → −∞) характеризуется определенным "сглаживанием" приведенных образующих сплайнов; точнее, справедливо следующее утверждение. Теорема 14. Каков бы ни был вектор µ ∈ M равномерно по t ∈ (k, k + 1), k = 0, 1, . . . , m, выполнено соотношение mB limj→−∞ ω(Uj µ) (t) = ω (t). Доказательство. Рассмотрим преобразование H : µ 7−→ ω(µ) , задаваемое формулами (4.3), как преобразование гиперплоскости M арифметического пространства Km+1 в линейное пространство F кусочно-полиномиальных функций f (t), являющихся алгебраическими многочленами степени не выше m на промежутках (k, k + 1), k = 0, 1, . . . , m. Для удобства в каждом из них ввеdef дем норму kµk = max0≤j≤m |µj |, µ ∈ Km+1 , а также рассмотрим норму def

kf k = max

sup

0≤k≤m t∈(k,k+1)

111

|f (t)|,

f ∈ F.

Очевидно, что преобразование H непрерывно, и потому для доказательства теоремы достаточно установить, что при любом µ ∈ M справедливо соотношение lim Uj µ → µB .

j→−∞

(6.10)

Теперь заметим, что матричное преобразование E2 переводит гиперплоскость M в себя и является эндоморфизмом группы M, так что E2 (x y) = (E2 x) (E2 y). Рассмотрим итерационный процесс −1 µ = E2 µ E2 b b,

(k)

(k−1)

0

где µ , b ∈ M, а k – любое целое число. Легко установить (индукцией по k), что все итерации лежат в M и что этот процесс может быть представлен через начальное приближение в форме
(k) −1 k 0 (6.11) µ = E2 ( µ b ) b. Поскольку E2k – диагональная матрица с элементами вида 2ik на главной диагонали, то каков бы ни был вектор z ∈ M, при k → −∞ существует предел, равный единице группы (т.е. вектору 1 = (1, 0, . . . , 0)) lim E2k z = 1,

k→−∞

(6.12)

а при k → +∞ для любого вектора z ∈ M, отличного от единицы группы (т.е. z 6= 1), не существует предела предела последовательности E2k z (ненулевые компоненты [z]s , s = 1, 2, . . . , m, дают неограниченный рост). 0 Полагая z = µ b−1 в силу формулы (6.12) теперь получаем
0 lim E2k ( µ b−1 ) b = b. (6.13) k→−∞

112

Осталось заметить, что при b = µB в силу формул (6.13) итерационный процесс (6.11) благодаря соотношению (6.12) приводит к формуле (6.10). Теорема полностью доказана. Дадим краткую иллюстрацию. Множество S1 состоит из сплайнов  при t ∈ (0, 1),  t − µ1 + 1 1 ω (µ) (t) = −t + µ1 + 1 при t ∈ (1, 2),  0 при t ∈ / [0, 2]. Среди таких сплайнов существует единственный непрерывный образующий сплайн: это B-сплайн первой степени, получающий1 B 1 B def ся при µ = µ , µ = (1, 1). Преобразование U переводит век1 B тор µ = (1, µ1 ) в вектор µ ˜ = (1, 2µ1 − 1), оставляя вектор µ неизменным. Множество S2 состоит из сплайнов  2 − (2µ1 − 3)t/2 + (2 − 3µ1 + µ2 )/2 при t ∈ (0, 1),   t /2 2 2

ω (µ) (t) =

−t + 2µ1 t + 1 − µ2

при t ∈ (1, 2),

2   t /2 − (2µ1 + 3)t/2 + (2 + 3µ1 + µ2 )/2 при t ∈ (2, 3),

при t ∈ / [0, 3],

0

среди которых единственным сплайном класса C 1 является квад2 B def ратичный B-сплайн, получающийся при µ = µ = (1, 3/2, 5/2). Соответствующее преобразование U для вектора µ = (1, µ1 , µ2 ) дает µ ˜ = (1, 2µ1 − 3/2, 4µ2 − 6µ1 + 3/2); при этом неизменным 2 B остается лишь вектор µ . С помощью формул (6.2)–(6.3) теперь можно построить цепочки образующих сплайнов и соответствующие им последовательности вложенных пространств. УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти псевдосвертку векторов a = (1, 2, 3) и b = (3, 4, 5). 2. Описать множество векторов x, для которых x a = 0; здесь a = (1, 2, 3). 3. Найти квадратичный приведенный B-сплайн. 4. Найти общий вид кубического приведенного минимального сплайна (параметр µ ∈ M произволен). 113

5. Найти параметр µ, соответствующий кубическому приве3 B денному В-сплайну (этот параметр обозначается µ ). 6. Выписать формулы для кубического приведенного B-сплайна. 7. Найти общий вид приведенного минимального сплайна четвертой степени (параметр µ ∈ M произволен). 8. Найти параметр µ, соответствующий приведенному В-сплайну четвертой степени (этот параметр обозначается µB (4) ). 9. Выписать формулы для приведенного B-сплайна четвертой степени. 10. Найти общий вид приведенного минимального сплайна пятой степени (параметр µ ∈ M произволен). 11. Найти параметр µ, соответствующий приведенному Bсплайну пятой степени (этот параметр обозначается µB (5) ). 12. Выписать формулы для приведенного B-сплайна пятой степени. −1  −1  B 13. Вычислить µB и µ . (3) (4)  −1  −1 и µB . 14. Вычислить µB (2) (5) ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ УПРАЖНЕНИЯМ 3. Квадратичный приведенный B-сплайн имеет вид  t2 /2 при t ∈ (0, 1),    2 −t + 3t + 1 − 3/2 при t ∈ (1, 2), 2 B ω (t) = t2 /2 − 3t + 9/2 при t ∈ (2, 3),    0 при t ∈ / [0, 3]. 4. Общий вид кубического приведенного минимального сплайна: 3

ω (µ) (t) = −

1 1 11 1 3 t + (− µ1 + 1)t2 + (−2µ1 + µ2 + )t− 6 2 2 6

11 1 µ1 + µ2 − µ3 + 1 при t ∈ (0, 1), 6 6 114

1 3 3 1 3 ω (µ) (t) = − t3 + ( µ1 − 1)t2 + (2µ1 − µ2 + )t− 2 2 2 2 1 1 − µ1 − µ2 − µ3 + 1 при t ∈ (1, 2), 2 2 3

ω (µ) (t) =

1 3 3 3 1 t + (− µ1 − 1)t2 + (2µ1 + µ2 − )t+ 2 2 2 2

1 1 + µ1 − µ2 − µ3 + 1 при t ∈ (2, 3), 2 2 1 1 1 11 3 ω (µ) (t) = − t3 + ( µ1 + 1)t2 + (−2µ1 − µ2 − )t+ 6 2 2 6 +

11 1 µ1 + µ2 + µ3 + 1 при t ∈ (3, 4), 6 6 3

/ [0, 4]. ω (µ) (t) = 0 при t ∈ 5. Параметр µ = µB (3) , соответствующий кубическому приведенному B-сплайну, таков: µB (3) = (1, 2, 13/3, 10). 6. Формулы для кубического приведенного B-сплайна имеют вид 1 3 при t ∈ (0, 1),  6t       при t ∈ (1, 2), − 21 t3 + 2t2 − 2t + 23      3 B ω (t) = 21 t3 − 4t2 + 10t − 22 при t ∈ (2, 3), 3       − 61 t3 + 2t2 − 8t + 32 при t ∈ (3, 4),   3     0 при t ∈ / [0, 4].

115

7. Общий вид приведенного минимального сплайна четвертой степени: 4

ω (µ) (t) = +(−

1 4 1 5 5 1 35 t + (− µ1 + )t3 + (− µ1 + µ2 + )t2 + 24 6 12 4 4 24

5 1 5 25 35 35 µ1 + µ2 − µ3 + )t + (− µ1 + µ2 − 12 4 6 12 12 24 5 1 − µ3 + µ4 + 1) при t ∈ (0, 1), 12 24

1 2 5 5 5 4 ω (µ) (t) = − t4 + ( µ1 − )t3 + ( µ1 − µ2 − )t2 + 6 3 6 2 6 5 5 2 +( µ1 − µ2 − µ3 + 3 2 3 1 5 + µ3 − µ4 + 1) 6 6

5 5 5 )t + (− µ1 − µ2 + 6 6 6 при t ∈ (1, 2),

1 4 3 5 t − µ1 t3 + ( µ2 − )t2 + 4 2 4 5 5 1 +( µ1 − µ3 )t + (− µ2 + µ4 + 1) при t ∈ (2, 3), 2 4 4 4

ω (µ) (t) =

1 2 5 5 5 4 ω (µ) (t) = − t4 + ( µ1 + )t3 + (− µ1 − µ2 − )t2 + 6 3 6 2 6 5 2 5 +( µ1 + µ2 + µ3 − 3 2 3 5 1 − µ3 − µ4 + 1) 6 6 4

ω (µ) (t) =

5 5 5 )t + ( µ1 − µ2 − 6 6 6 при t ∈ (3, 4),

1 4 1 5 5 1 35 t + (− µ1 − )t3 + ( µ1 + µ2 + )t2 + 24 6 12 4 4 24 116

+(−

35 5 1 25 25 35 µ1 − µ2 − µ3 − )t + ( µ1 + µ2 + 12 4 6 12 12 24 5 1 + µ3 + µ4 + 1) при t ∈ (4, 5), 12 24 4

/ [0, 5]. ω (µ) (t) = 0 при t ∈

8. Параметр µ = µB (4) , соответствующий приведенному Bсплайну четвертой степени, таков: µB (4) = (1, 5/2, 20/3, 75/4, 331/6).

9. Формулы для приведенного B-сплайна четвертой степени:

4

B

ω (t) =

 1 4  24 t       − 61 t4 + 56 t3 − 54 t2 + 56 t −        25 2   14 t4 − 52 t3 − 35 4 t + 2 t−

при t ∈ (0, 1), 5 24

при t ∈ (1, 2),

155 24

при t ∈ (2, 3),

 65 2  − 61 t4 + 52 t3 − 55   4 t + 2 t−      5 3 25 2 125 1 4    24 t − 6 t + 4 t − 6 t −     0

655 24

при t ∈ (3, 4),

625 24

при t ∈ (4, 5), при t ∈ / [0, 5].

10. Общий вид приведенного минимального сплайна пятой степени: 5

ω (µ) (t) =

1 1 1 1 17 1 5 t + (− µ1 + ) t4 + (− µ1 + µ2 + ) t3 + 120 24 8 2 12 24 +(−

17 3 1 15 µ1 + µ2 − µ3 + ) t2 + 8 4 12 8 117

15 17 1 1 137 137 µ1 + µ2 − µ3 + µ4 + )t − µ1 + 4 8 2 24 60 60 15 17 1 1 + µ2 − µ3 + µ4 − µ5 + 1 при t ∈ (0, 1), 8 24 8 120

+(−

5

ω (µ) (t) = −

1 5 5 3 3 25 5 t + ( µ1 − ) t4 + ( µ1 − − µ2 ) t3 + 24 24 8 2 24 12

9 5 5 5 25 3 5 25 µ1 − µ2 + µ3 − ) t2 + ( µ1 − µ2 + µ3 − µ4 + 8 4 12 8 4 8 2 24 13 13 5 25 3 1 + )t − µ1 − µ2 + µ3 − µ4 + µ5 + 1 12 12 8 24 8 24 при t ∈ (1, 2),

+(

5

ω (µ) (t) =

1 5 1 5 5 5 t +( − µ1 ) t4 + (− − µ1 + µ2 ) t3 + 12 4 12 12 6

3 5 5 5 5 5 1 5 µ4 + ) t+ +( µ1 + µ2 − µ3 − ) t2 + ( µ1 − µ2 − µ3 + 4 2 6 4 2 4 12 3 1 5 5 1 1 +1 − µ1 − µ2 + µ3 + µ4 − µ5 при t ∈ (2, 3), 3 4 12 4 12 5

ω (µ) (t) = −

1 5 5 1 5 5 t + ( µ1 + ) t4 + (−µ1 + − µ2 ) t3 + 12 12 4 12 6

3 5 5 5 5 5 1 5 +(− µ1 + µ2 + µ3 − ) t2 + ( µ1 + µ2 − µ3 − µ4 − ) t+ 4 2 6 4 2 4 12 3 1 5 5 1 1 +1 + µ1 − µ2 − µ3 + µ4 + µ5 при t ∈ (3, 4), 3 4 12 4 12 5

ω (µ) (t) = +(−

1 5 3 5 3 5 25 t + (− − µ1 ) t4 + ( µ1 + µ2 + ) t3 + 24 8 24 2 12 24

25 9 5 5 5 25 3 5 µ1 − µ2 − µ3 − ) t2 + ( µ1 + µ2 + µ3 + µ4 − 8 4 12 8 4 8 2 24 118

13 13 5 25 3 1 )t + 1 + µ1 − µ2 − µ3 − µ4 − µ5 12 12 8 24 8 24 при t ∈ (4, 5), −

5

ω (µ) (t) = −

1 1 1 1 17 1 5 t + ( µ1 + ) t4 + (− µ1 − µ2 − ) t3 + 120 24 8 2 12 24

17 3 1 15 15 17 1 µ1 + µ2 + µ3 + ) t2 + (− µ1 − µ2 − µ3 − 8 4 12 8 4 8 2 1 137 137 15 17 1 1 − µ4 − )t + 1 + µ1 + µ2 + µ3 + µ4 + µ5 24 60 60 8 24 8 120 при t ∈ (5, 6), +(

5

/ [0, 6]. ω (µ) (t) = 0 при t ∈ 11. Параметр µ = µB (5) , соответствующий приведенному Всплайну пятой степени: µB (5) = (1, 3, 19/2, 63/2, 1087/10, 777/2). 12. Формулы для приведенного B-сплайна пятой степени:  1 5  120 t      1 1 5  t + 14 t4 − 12 t3 + 12 t2 − 14 t + 20 − 24        1 5 9 3 19 2 39 79 4    12 t − t + 2 t − 2 t + 4 t − 20    5 B 71 2 231 731 1 5 3 ω (t) = − 12 t + 32 t4 − 21 2 t + 2 t − 4 t + 20      19 3 89 2 409 1829 1 5 4    24 t − t + 2 t − 2 t + 4 t − 20      1 5  − 120 t + 14 t4 − 3t3 + 18t2 − 54t + 324   5     0

119

при t ∈ (0, 1), при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), при t ∈ (3, 4), при t ∈ (4, 5), при t ∈ (5, 6), при t ∈ / [0, 6].

B 13. Элементы, обратные к элементам µB (3) и µ(4) , даются формулами
−1 µB = (1, −2, 11/3, −6), (3)
−1 = (1, −5/2, 35/6, −25/2, 24). µB (4) B 14. Элементы, обратные к элементам µB (2) и µ(5) , имеют вид

µB (2) µB (4)


−1


−1

= (1, −3/2, 2),

= (1, −3, 17/2, −45/2, 274/5, −120).

ГЛАВА 3 БЫСТРОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ЗАДАЧ § 1.

Алгебра псевдосвертки

Введем координатные орты e = (1, 0, 0, . . . , 0)T ,

e = (0, 1, 0, . . . , 0)T ,

0

1

e = (0, 0, 1, 0, . . . , 0)T , . . . , 2

e = (0, 0, . . . , 0, 1)T ;

m

(1.1)

для координат вектора a в разложении по этим ортам будем использовать обозначения [a]s = as ,

s = 0, 1, . . . , m.

(1.2)

Введенную ранее псевдосвертку (см. определение 2.5.4) можно рассматривать на векторах пространства Km+1 , полагая для векторов a, b ∈ Km+1 [a b]s =

s   X s j=0

j

[a]j [b]s−j ,

s = 0, 1, . . . , m.

(1.3)

Как и ранее, псевдосвертка может рассматриваться как ассоциативное и коммутативное умножение в Km+1 , единицей для 0 которого служит вектор e ; будем использовать и другое обозначение для единицы: 1 = e = (1, 0, 0, . . . , 0)T . 0

Введением псевдосвертки в качестве умножения линейное пространство Km+1 превращается в ассоциативную коммутативную алгебру ранга m + 1, обозначаемую далее символом A. Обратный элемент к элементу a ∈ A существует тогда и только тогда, когда [a]0 6= 0; он обозначается a−1 . Ввиду формулы

121

def

(1.3) компоненты bs обратного элемента b = a−1 последовательно определяются из соотношений [a b]s = δ0,s , где δj,s — символ Кронекера. Используя формулы (1.3), находим (см. также § 2 главы 2) s   X s j=0

j

[a]j [b]s−j = δ0,s ,

s = 0, 1, . . . , m,

откуда при [a]0 6= 0 имеем [a−1 ]0 = 1/a0 , [a−1 ]1 = −a1 /a20 , [a−1 ]2 = (2a21 − a2 a0 )/a30 , [a−1 ]3 = (−6a31 + 6a1 a2 a0 − a3 a30 )/a40 , [a−1 ]4 = (24a41 − 36a21 a2 a0 + 8a1 a3 a20 + 6a22 a20 − a4 a30 )/a50 , [a−1 ]5 = (−120a51 + 240a31 a2 a0 − 60a21 a3 a20 − 90a1 a22 a20 + +10a1 a4 a30 + 20a2 a3 a30 − a5 a40 )/a60 , [a−1 ]6 = (720a61 − 1800a41 a2 a0 + 480a31 a3 a20 + 1080a21 a22 a20 − −90a21 a4 a30 − 360a1 a2 a3 a30 + 12a1 a5 a40 + +30a2 a4 a40 − 90a32 a30 + 20a23 a40 − a6 a50 )/a70 , . . . ,

(1.4)

и т.д. Из формул (1.1)–(1.3) определяется таблица умножений, а именно для i, j = 0, 1, . . . , m получаем  j+k
j+k j k e , если j + k ≤ m, j (1.5) e e= 0, если j + k > m. Рассматриваемая алгебра является кольцом с делителями нуля; действительно, из (1.5) следует, например, равенство 1

m

e e = 0.

122

Рассмотрим подалгебру A0 элементов a с нулевой компонентой [a]0 : A0 = {a |a = (0, a1 , a2 , . . . , am ),

aj ∈ K,

j = 1, 2, . . . , m}. Очевидно, что A0 состоит из необратимых элементов алгебры A. Ясно также, что фактор-алгебра A / A0 изоморфна алгебре действительных (соответственно — комплексных) чисел, так что A0 — максимальный идеал (см. [9, с. 81]). Заметим еще, что A0 — простой идеал, а A — локальное кольцо (см. там же, с. 88). § 2. Об абелевой группе на гиперплоскости M Как и прежде (см. § 2 главы 2), будем рассматривать гиперплоскость M = {a | a = (a0 , . . . , am )T , aj ∈ K, def

j = 0, 1, . . . , m, a0 = 1} в пространстве Km+1 . Очевидно, что для каждого a ∈ M существует обратный элемент a−1 , причем [a−1 ]0 = 1, (2.1) а остальные компоненты получаются по формулам (1.3) с учетом соотношения (2.1) (первые компоненты легко получить из (1.4), принимая во внимание упомянутое соотношение (2.1)). Итак, псевдосвертка превращает гиперплоскость M в абелеву группу с единицей 1. Введем элемент e равенством e = (1, 1, . . . , 1)T . | {z } k

123

Нетрудно видеть, что e e . . . e = (1, k, k 2 , . . . , k m )T . | {z }

(2.2)

k

Для любого t ∈ K положим et = (1, t, t2 , . . . , tm )T .

(2.3)

Ввиду формул (2.2)–(2.3) имеем ek = e e . . . e, {z } | k

а из определения псевдосвертки и определения (2.3) выражения et для x, y ∈ K легко получаем ex ey = ex+y .

(2.4)

Определение 1. В алгебре A рассмотрим операцию a 7→ a, сопоставляющую вектору a вектор a по правилу [a]s = (−1)s [a]s , s = 0, 1, . . . , m;

(2.5)

эту операцию назовем операцией псевдосопряжения. Очевидно, что псевдосопряжение является инволюцией, a = a.

(2.6)

Легко проверяются формулы a b = a b, et

(2.7)

−t

=e .

Из (2.6), (2.7) следует, что псевдосопряжение — автоморфизм группы M.

124

§ 3. Представления некоторых матричных операций В дальнейшем квадратным матрицам (m + 1)-го порядка будем сопоставлять операции в пространстве Km+1 по обычному правилу умножения матрицы на вектор. Вернемся к нижнетреугольной матрице A (см. § 3 главы 2):  γ
при 0 ≤ α ≤ γ, α A = (aγα ), aγα = 0 при γ < α ≤ m. Нам известно (см. лемму 2.3), что для любого целого k степень Ak матрицы A имеет вид  γ
γ−α при 0 ≤ α ≤ γ, (k) α k Ak = (a(k) ), a = γα γα 0 при γ < α ≤ m. Лемма 1. Для любого x из пространства Km+1 справедлива формула Ak x = ek x. (3.1) Доказательство. По определению псевдосвертки для любых векторов a, x из Km+1 справедливо соотношение s   X s aj xs−j . [a x]s = j j=0 Полагая здесь a = ek , имеем aj = k j , так что [a x]s =

s   X s j=0

j

k j xs−j .

(3.2)

С другой стороны, вычисляя s-ю компоненту результата применения матрицы Ak к вектору x, находим s   X s s−α k k xα . (3.3) [A x]s = α α=0 125

Правые части равенств (3.2) и (3.3) совпадают; отсюда следует равенство их левых частей. Лемма доказана. Обратимся теперь к квазибиномиальной матрице Qµ (см. определение 2.6). Лемма 2. Для любых µ и x из пространства Km+1 справедлива формула (3.4) Qµ x = µ x. Доказательство. Ввиду определений 2 и 3 очевидны равенства   s X s s−j [Qµ x]s = (−1) µs−j [x]j = [µ x]s , s−j j=0 откуда и вытекает формула (3.4). Лемма доказана. Замечание 1. Из формул (3.1) и (3.4) следует, что, используя квазибиномиальную матрицу, можно найти степени матрицы A, Qe−k x = ek x = Ak x, откуда видно, что Qe−k = Ak .

§ 4.

Об автоморфизмах группы M

Рассмотрим покомпонентное умножение векторов a · b, определяемое равенством [a · b]s = [a]s [b]s . Ясно, что покомпонентное умножение превращает гиперплоскость M в ассоциативный коммутативный моноид с единицей e = (1, 1, . . . , 1),

126

где обратимы только те векторы, все компоненты которых ненулевые. Для x ∈ K рассмотрим в M оператор Ex , определяемый диагональной матрицей Ex = (xi )i=0,1,...,m .

(4.1)

Нетрудно проверить, что для ∀ a, b ∈ M верно соотношение Ex (a b) = (Ex a) (Ex b),

(4.2)

которое означает, что Ex — эндоморфизм группы M, а при x = 6 0 отображение Ex — автоморфизм этой группы (ибо при x = 6 0 уравнение Ex a = b разрешимо относительно a ∈ M для всех b ∈ M). В соответствии с формулами (2.3), (2.5) и (4.1) имеем Ex e = ex ,

E−1 a = a;

для x, y ∈ K легко получается соотношение Ex ey = exy .

(4.3)

Рассмотрим подмножество Φ гиперплоскости M, Φ = {a | a = et , def

t ∈ K}.

Ввиду свойства (2.4) Φ — подгруппа группы M (относительно умножения ). Из соотношений (4.2) и (4.3) следует, что при x 6= 0 оператор Ex служит автоморфизмом подгруппы Φ. Нетрудно заметить (см. (4.1)), что автоморфизм Ex можно задать равенством Ex a = ex · a и соотношение (4.2) трактовать как дистрибутивность покомпонентного умножения на элементы из подгруппы Φ относительно псевдосвертки: et · (a b) = (et · a) (et · b). 127

Как сказано выше, покомпонентное произведение определяет коммутативную ассоциативную алгебру в пространстве Rm+1 и новую бинарную операцию в группе M с единицей e. Ввиду дистрибутивности покомпонентного умножения относительно псевдосвертки подгруппа Φ превращается в кольцо, изоморфное кольцу K. Для покомпонентного умножения вводим степень, полагая x·k = x · . . . · x} . | · x {z k раз

Очевидно свойство k

(et )·k = et .

§ 5.

Дифференцирование вектор-функции et

Здесь займемся отысканием производной от вектор-функции et . Лемма 3. Для функции et справедливо следующее предельное соотношение: e∆t − 1 1 lim = e. ∆t→0 ∆t Доказательство. Ввиду определения вектор-функции et при ∆t → 0 имеем e∆t − 1 = ∆t
1 = (1, ∆t, . . . , (∆t)m )T − (1, 0, 0, . . . , 0)T → (0, 1, 0, . . . , 0)T . ∆t Лемма доказана. Теорема 1. Для k-й производной вектор-функции et справедлива формула  k k! e et при k ≤ m, (et )(k) = (5.1) 0 при k > m.

128

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по k. Для k = 1 при ∆t → 0 согласно лемме 3 имеем et+∆t − et e∆t − 1 1 = et → et e , ∆t ∆t откуда и следует справедливость формулы при k = 1. Для k < m из предположения индукции (et )(k) = k! e et k

имеем (et )(k+1) = k! e (et )0 = k! e e et k

k

1

и по таблице умножения отсюда получим k+1

(et )(k+1) = (k + 1)! e et , так что первая формула в (5.1) установлена. Поскольку вторая формула очевидна, то теорема полностью доказана. § 6. Операция реверсии Введем теперь псевдоскалярные произведения (a, b)s =

s X

[a]j [b]0j ,

s = 0, 1, . . . , m,

j=0

здесь штрих означает комплексное сопряжение. Пусть рассматриваются линейная операция Fx , задаваемая диагональной матрицей, на главной диагонали которой находятся элементы xi /i!, (s) i = 0, 1, . . . , m, и линейная операция Ix , задаваемая матрицей, (s) на второй диагонали которой находятся элементы ij,s−j = xj , j = 0, 1, . . . , s, а все остальные элементы — нулевые. Первую из этих операций назовем факториальной операцией, а вторую — операцией инверсии.

129

Легко убедиться в справедливости цепочки равенств [a b]s =

s X j=0

= s!

s! aj bs−j = j!(s − j)!

s X aj j=0

bs−j (s) = s!(F1 a, I1 F1 b)s . j! (s − j)!

(6.1)

Из (6.1) вытекает соотношение (s)

[a b]s = s!(F1 a, I1 F1 b)s ,

s = 0, 1, . . . , m.

Введем операцию реверсии rev по формуле rev(a) = (am , am−1 , . . . , a0 ).

(6.2)

Из формулы (6.2) видно, что операция rev является инволютивным автоморфизмом пространства Km+1 , но не является таковым ни в алгебре A, ни в группе M. Поскольку s   X s [x rev(x)]s = [x]j [x]m−s+j , j j=0 то h

=

s   i X s j m−s+j et rev(et ) = t t = j s j=0

s   X s j=0

j

h 2 i t2j · tm−s = et e · [rev(et )]s ;

отсюда

2

et rev(et ) = et

+1

· rev(et ).

Аналогично цепочке равенств (6.3) получаем h

(6.3)

s

s   i X s j m−s+j et rev(eτ ) = t τ = j s j=0

130

(6.4)

=

s   X s j=0

j

i h (tτ )j · τm−s = etτ +1 · [rev(eτ )]s , s

так что et rev(eτ ) = etτ +1 · rev(eτ ).

(6.5)

Равенство (6.5) является обобщением равенства (6.4). Полагая здесь t = 1/τ , имеем 1

e τ rev(eτ ) = e2 · rev(eτ ).

(6.6)

Заметим также, что 

tm

1







 t−1   tm−1   −2   m−2  1  t   t rev(et ) =   = tm e t .  = tm   ...   ...   −m+1   −1  t t t−m 1 Итак,

1

rev(et ) = tm e t ;

(6.7)

эквивалентная запись имеет вид h

i−1 −1 rev(et ) = t−m e−t .

Применяя операцию rev к обеим частям равенства (6.7), находим 1

et = tm rev(e t ).

(6.8)

Используя (6.7) в (6.5), получаем etτ +1 · rev(eτ ) = τ m et+1/τ . В частности, при τ = 1/t найдем e2 · rev(e1/t ) = t−m e2t . 131

(6.9)

Выяснение других связей между операциями rev, · и предоставляем читателю. Итерации в группе M

§ 7.

Итерационными автоморфизмами в группе M будем называть отображения вида η = Ex µ Ex b−1 b, µ, b ∈ M.

(7.1)

Теорема 2. Итерационный процесс −1 µ = Ex µ Ex b b,

(k)

(k−1)

k = 1, 2, . . . ,

(7.2)

может быть представлен через начальное приближение в форме (k) k 0 k −1 (7.3) µ = Ex µ Ex b b. Доказательство. Формулу (7.3) докажем индукцией по k. При k = 1 эта формула очевидна. Предположив, что она верна при некотором k, покажем ее справедливость при k + 1. Подстав(k) ляя µ из (7.3) в формулу (7.1) вместо µ, находим −1 −1 µ = Ex (Exk µ Exk b b) Ex b b.

k+1

0

(7.4)

Учитывая, что операция Ex представляет собой групповой автоморфизм, получаем (Ex b)−1 = Ex b−1 .

(7.5)

По этой же причине, раскрывая скобки в (7.4), переносим Ex на каждый сомножитель в скобках; в результате имеем −1 −1 µ = Exk+1 µ Exk+1 b Ex b Ex b b.

k+1

0

Пользуясь формулой (7.5), отсюда выведем искомое соотношение. Индукция завершена. Теорема доказана. Следствие 1. Справедливы утверждения: 132

1) при |x| < 1 итерационный процесс (7.2) сходится к вектору b; 0 2) при |x| ≥ 1, x 6= 1 µ 6= 1, b 6= 1, итерационный процесс (7.2) расходится; (k) 0 3) при x = 1 вектор µ не меняется и равен µ ; (k) 0 4) при µ = b = 1 и при любом x вектор µ не меняется и равен 1. Теорема 3. Итерационный процесс (7.2) может рассматриваться для отрицательных k = −1, −2, . . . , так что (k−1)

µ

= Ex−1 µ b−1 Ex−1 b, (k)

(7.6)

а результат в представлении через начальное приближение может быть выражен в той же форме (7.3), где k пробегает упомянутые отрицательные значения. Доказательство. Из (7.2) имеем Ex−1 µ = (k)

−1 −1 µ b Ex b,

(k−1)

так что (k−1)

µ

= Ex−1 µ (Ex−1 b)−1 b. (k)

Теперь индукцией (аналогично доказательству теоремы 1) при j = 1, 2, . . . устанавливаем справедливость формулы −j

µ = (Ex−1 )j µ (Ex−1 )j b b. 0

Эта формула совпадает с формулой (7.3) при k = −j. Теорема доказана. Следствие 2. Верны утверждения: 1) при |x| > 1 итерационный процесс (7.6) сходится к вектору b; 0 2) при |x| ≤ 1, x 6= 1, µ 6= 1, b 6= 1, итерационный процесс (7.6) расходится; (k) 0 3) при x = 1 вектор µ не меняется и равен µ ; (k) 0 4) при µ = b = 1 и при любом x вектор µ не меняется и равен 1. 133

Теорема 4.

Если xj 6= 1, j = 1, 2, . . . , m,

(7.7)

то единственной неподвижной точкой преобразования (7.1) является элемент b, а при x = 1 множество неподвижных точек совпадает с M. Доказательство. Условие о том, что точка µ ∈ M является неподвижной при преобразовании (7.1), имеет вид µ = Ex µ Ex b−1 b.

(7.8)

Умножая обе части (7.8) на b−1 , находим µ b−1 = Ex (µ b−1 ), откуда получаем покомпонентные равенства [µ b−1 ]j = xj [µ b−1 ]j ,

j = 1, 2, . . . , m.

В условиях (7.7) имеем [µ b−1 ]j = 0, j = 1, 2, . . . , m, что эквивалентно соотношению µ b−1 = 1. Первая часть теоремы доказана. При x = 1 соотношение (7.8) справедливо при любом µ ∈ M. Теорема полностью доказана. Обозначим через Kkm+1 подпространство пространства Km+1 с нулевой k-й компонентой (k = 1, 2, . . . , m), Kkm+1 = {x | x ∈ Km+1 , [x]k = 0}. Теорема 5. Если x 6= 0, b ∈ M и при некоторых i, k, i ∈ Z, k ∈ {1, 2, . . . , m}, верно соотношение , µ b ∈ Rm+1 k i

(7.9)

то для любого j ∈ Z справедливо аналогичное соотношение j

m+1 µ b ∈ Rk .

134

(7.10)

Доказательство. Не нарушая общности, будем считать, что i < j. Аналогично формуле (7.2) легко получить соотношение −1 µ = Exj−i µ Exj−i b b, j

i

эквивалентное равенству −1 −1 µ b = Exj−i ( µ b ). j

i

Поскольку при x 6= 0 оператор Ex и его степени в соответствии с определением оставляют инвариантным подпространство Rm+1 , то из (7.9) вытекает соотношение (7.10). k § 8.

Представления аппроксимационных соотношений

Аппроксимационные соотношения k X

ej ω(µ) (t − j) = Qµ et ,

t ∈ (k, k + 1),

(8.1)

j=k−m

рассмотрим при k = 0; заменяя обозначение t на τ , считая τ ∈ (0, 1) и полагая j 0 = −j, имеем m X

e−j ω(µ) (τ + j) = Qµ eτ ,

τ ∈ (0, 1).

j=0

Ввиду леммы 2 m X

Qµ x = µ x, и потому

e−j ω(µ) (τ + j) = µ eτ ,

τ ∈ (0, 1);

j=0

переходя здесь к сопряжению, находим m X

ej ω(µ) (τ + j) = µ e−τ ,

j=0

135

τ ∈ (0, 1).

(8.2)

Умножая соотношение (8.2) на элемент µ−1 , получаем m X

µ−1 e−j ω(µ) (τ + j) = eτ ,

t ∈ (0, 1).

j=0

Дифференцирование последнего тождества s раз дает m X

(s)

µ−1 e−j ω(µ) (τ + j) = s! e eτ , s

t ∈ (0, 1),

j=0

что эквивалентно тождеству m X

(s)

µ−1 e−j−τ ω(µ) (τ + j) = s! e , s

t ∈ (0, 1).

j=0 s

Заметим, что элементы e необратимы (s = 1, 2, . . . , m). § 9.

Формулы для минимальных сплайнов

Перепишем аппроксимационные соотношения (8.2) в развернутом виде: e0 ω(µ) (τ ) + e−1 ω(µ) (τ + 1) + . . . + e−m ω(µ) (τ + m) = µ eτ . (9.1) При каждом фиксированном τ ∈ (0, 1) аппроксимационные соотношения (9.1) будем рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел ω(µ) (t + j), j = 0, 1, . . . , m. Определителем этой системы является отличный от нуля определитель Вандермонда: ∆ = det(e0 , e−1 , . . . , e−m ), def

так что при τ ∈ (0, 1), быть записано в виде ω(µ) (τ + j) =

j ∈ {0, 1, . . . , m} искомое решение может 0 0 0 1 det( 0 1, 1 e−1 , . . . . . . , j−1 e−j+1 , ∆

136

0

j

µ eτ ,

0

j+1 −j−1

e

,...,

0

m −m

e

),

τ ∈ (0, 1),

(9.2)

где снова τ ∈ (0, 1), а кроме того, применены указатели для номеров столбцов (см. § 3). § 10.

Дифференцирование минимальных сплайнов def

Возьмем вектор ν ∈ A с координатами να = [ν]α . Вычисляя производные порядка α от обеих частей равенства α (9.2), умножая на числа (−1)α! να и суммируя по всем α от 0 до m, при τ ∈ (0, 1), j ∈ {0, 1, . . . , m}, получаем m 0 X 0 0 1 (−1)α να (α) ω(µ) (τ + j) = det 0 1, 1 e−1 , . . . , j−1 e−j+1 , α! ∆ α=0 0

j

µ

m  X 0 (−1)α να τ (α) 0 j+1 −j−1 (e ) , e , . . . , m e−m . α! α=0

(10.1)

Рассмотрим функцию Φν (t), определенную при t ∈ R1 \Z формулой m X (−1)α να (α) def Φν (t) = ω(µ) (t). (10.2) α! α=0 Поскольку ввиду формулы (5.1) имеем m m X (−1)α να τ (α) X (−1)α να α (e ) = α! e eτ = ν eτ , α! α! α=0 α=0

то из (10.1)–(10.3) при τ ∈ (0, 1), Φν (j + τ ) = ...,

0

j−1 −j+1

e

0

(10.3)

j ∈ {0, 1, . . . , m}, находим

0 0 1 det( 0 1, 1 e−1 , . . . ∆

, j µ ν eτ ,

0

j+1 −j−1

i

e

,...,

0

m −m

e

).

(10.4)

Замечание 2. При ν = e формула (10.4) дает представление i-й производной минимального сплайна ω(µ) . 137

§ 11.

Свойства функции Φν (t)

Из определения (10.2) следует, что носитель функции Φν (t) совпадает с отрезком [0, m + 1]. Займемся вычислением предельных значений def

Φν (n ± 0) =

lim Φν (t).

t→n±0

Для вычисления воспользуемся формулами (10.4), считая, что выполнено следующее условие: (А) При вычислении предела слева n принимает значения из множества {1, . . . , m + 1}, а при вычислении предела справа n принимает значения из множества {0, 1, 2, . . . , m}. Поскольку Φν (n − 0) = lim Φν (τ + n − 1), τ →1−0

то, полагая j = n − 1, по формуле (10.4) находим Φν (n − 0) = ...,

0

n−2 −n+2

e

,

0

n−1

0 0 1 lim det( 0 1, 1 e−1 , . . . τ →1−0 ∆ 0

µ ν eτ , n e−n , . . . ,

0

m −m

e

),

τ ∈ (0, 1).

Аналогично Φν (n + 0) = limτ →+0 Φν (τ + n), и, полагая j = n в формуле (10.4), находим Φν (n + 0) = ...,

0

n−1 −n+1

e

0

0 0 1 lim det( 0 1, 1 e−1 , . . . ∆ τ →+0

, n µ ν eτ ,

0

n+1 −n−1

e

,...,

0

m −m

e

),

τ ∈ (0, 1).

Итак, Φν (n − 0) = 0

n−1

0

0 0 0 1 det( 0 1, 1 e−1 , . . . , n−2 e−n+2 , ∆

µ ν e, n e−n , . . . ,

0

m −m

138

e

),

τ ∈ (0, 1),

(11.1)

0 0 0 1 det( 0 1, 1 e−1 , . . . , n−1 e−n+1 , ∆

Φν (n + 0) = 0

n

µ ν,

0

n+1 −n−1

e

,...,

0

m −m

e

τ ∈ (0, 1).

),

(11.2)

Положим здесь ν = ν(r) = µ−1 er , def

r ∈ K.

(11.3)

Теорема 6. Если r ∈ {1, 2, . . . , m},

(11.4)

то функция Φν(r) (t) непрерывна и при этом Φν(r) (j) = δr,j ,

(11.5)

где δr,j — символ Кронекера. Обратно, если функция Φν(r) (t) непрерывна в некоторой точке j ∈ {0, 1, . . . , m, m + 1}, то выполнено условие (11.4). Доказательство. Очевидно, что функция Φν(r) (t) заведомо непрерывна на множестве R1 \{0, 1, 2, . . . , m+1}; поставим вопрос о ее непрерывности в точках 0, 1, 2, . . . , m + 1. Сначала докажем первую часть теоремы. Ввиду равенства (11.3) имеем µ ν(r) = e−r , и потому из соотношений (11.1), (11.2) при условии n ∈ {1, 2, . . . , m} (11.6) получаем Φν (n − 0) = ...,

0

n−2 −n+2

e

,

0

n−1 −r+1

Φν (n + 0) = 0

n −r

e

,

0

0 0 1 det( 0 1, 1 e−1 , . . . ∆

e

0

m −m

e

),

(11.7)

0 0 0 1 det( 0 1, 1 e−1 , . . . , n−1 e−n+1 , ∆

n+1 −n−1

e

0

, n e−n , . . . ,

,...,

0

m −m

e

),

τ ∈ (0, 1).

(11.8)

Ввиду предположения (11.4) при n = r условие (11.6) выполняется, а тогда левые части соотношений (11.7) и (11.8) совпадают, ибо они равны единице (определители в числителе совпадают 139

с определителем ∆ в знаменателе). Если n 6= r, то при предположении (11.4) и при условии (11.6) каждый из определителей в числителе равен нулю (они имеют по два одинаковых столбца), и потому опять-таки правые части рассматриваемых соотношений совпадают. Итак, при условии (11.6) имеем Φν(r) (n − 0) = Φν(r) (n + 0) = δr,n ; таким образом, доказаны как непрерывность функции Φν(r) (t) в точках 1, 2, . . . , m, так и соотношение (11.5). Для доказательства первой части теоремы осталось установить непрерывность функции Φν(r) (t) в точках t = 0 и t = m + 1. Поскольку промежуток [0, m + 1] является носителем этой функции, то достаточно доказать соотношения Φν(r) (+0) = Φν(r) (m + 1 − 0) = 0.

(11.9)

Применяя формулы (11.2) и (11.1) при n = 0 и n = m + 1 соответственно (см. условие (А)), находим Φν(r) (+0) =

1 det(e−r , e−1 , . . . , e−m+1 , e−m ), ∆

(11.10)

1 det(1, e−1 , . . . , e−m+1 , e−r+1 ); (11.11) ∆ поскольку определители в числителе правых частей равенств (11.10), (11.11) равны нулю (они имеют по два одинаковых столбца), то соотношения (11.9) доказаны. На этом заканчивается доказательство первой части теоремы. Докажем вторую ее часть, а именно докажем, что из непрерывности функции Φν(r) (t) в некоторой точке Φν(r) (m + 1 − 0) =

j ∈ {0, 1, . . . , m, m + 1} следует выполнение условия (11.4). Как и выше, сначала рассмотрим случай, когда упомянутая функция непрерывна в некоторой точке множества {1, 2, . . . , m}.

140

Итак, пусть выполнено условие (11.6). Рассмотрим многочлен mй степени относительно r 0 0 0 0 1h det( 0 1, 1 e−1 , . . . , n−2 e−n+2 , n−1 e−r+1 , P (r) = ∆ 0

n −n

e

,...,

0

m −m

e

0

0

) − det( 0 1, 1 e−1 , . . . ,

0

n−1 −n+1

i 0 0 n −r 0 n+1 −n−1 e , e , . . . , m e−m ) .

e

, (11.12)

Ввиду первой части теоремы корнями этого многочлена являются числа {1, 2, . . . , m}, ибо при выполнении условия (11.4) функция Φν(r) (t) непрерывна, в частности и в точке n, а вычитаемое и уменьшаемое в квадратных скобках (11.12) являются ее предельными значениями справа и слева соответственно в упомянутой точке. Если предположить, что эта функция непрерывна в этой точке при каком-либо еще значении r = r∗ , r∗ ∈ / {1, 2, . . . , m}, то окажется, что многочлен P (r) имеет m + 1 различных корней, что невозможно для многочлена m-й степени. Итак, из непрерывности функции Φν(r) (t) в точке n, удовлетворяющей условию (11.6), следует соотношение (11.4). Для окончания доказательства второй части теоремы осталось установить, что из непрерывности рассматриваемой функции хотя бы в одной из точек t = 0 или t = m + 1 следует соотношение (11.4). Непрерывность функции Φν(r) (t) в точке t = 0 эквивалентна равенству Φν(r) (+0) = 0, а это эквивалентно соотношению det(e−r , e−1 , . . . , e−m+1 , e−m ) = 0 (см. формулу (11.10)); многочлен m-й степени, находящийся в левой части последнего соотношения, очевидно имеет m различных корней r = 1, 2, . . . , m и других корней иметь не может. Итак, для непрерывности функции Φν(r) (t) в точке t = 0 условие (11.4) необходимо. Точно так же доказывается необходимость этого условия для непрерывности функции Φν(r) (t) в точке t = m + 1, а именно непрерывность последней эквивалентна равенству det(1, e−1 , . . . , e−m+1 , e−r+1 ) = 0 (11.13) 141

(см. соотношение (11.11)). Многочлен степени m, находящийся в левой части соотношения (11.13), имеет корни r = 1, 2, . . . , m; других корней он иметь не может, откуда и следует нобходимость условия (11.4). Вторая часть теоремы доказана. Следствие 3. Для проверки непрерывности функции Φν(r) (t) на вещественной оси достаточно проверить ее непрерывность в одной из точек множества {0, 1, . . . , m, m + 1}. Следствие 4. Если при некоторых целых i и j, удовлетво(i) ряющих условиям i ≥ 0, j ∈ {0, 1, . . . , m + 1}, функция ω(µ) (t) непрерывно продолжима в точку j, то она продолжима по непрерывности в любую точку множества {0, 1, . . . , m + 1} (тем са(i) мым функция ω(µ) (t) может быть непрерывным образом распространена на всю вещественную ось). § 12. Система функционалов, биортогональная системе базисных минимальных сплайнов Опишем линейные пространства функций, которые понадобятся в дальнейшем. Множество определенных и непрерывных на отрезке [c, d] функций обозначается через C[c, d], множество функций, непрерывных в каждой точке открытого интервала (c, d), — через C(c, d), наконец, множество тех функций из C(c, d), которые могут быть распространены по непрерывности до функций из C[c, d], будет обозначаться символом Chc, di. Замечание 3. Введенные множества представляют собой линейные пространства, и для них верны включения C[c, d] ⊂ Chc, di ⊂ C(c, d). Ясно, что если функция u лежит в Chc, di, то существуют конечные пределы u(c+0) = limt→c,t>a u(t), u(d−0) = limt→d,t 0: Xh :

. . . < x−2 < x−1 < x0 < x1 < x2 < . . . ,

(7.1)

где xk = kh, k ∈ Z. Обратимся к базисным минимальным сплайнам ωj,(µ) , рассмотренным ранее (см. формулу (3.12.8)) на целочисленной сетке Z для построения аналогичных сплайнов на сетке (7.1). Определение 2. Функции x def (7.2) ωh,j,(µ) (x) = ωj,(µ) h 168

называются базисными минимальными сплайнами, соответствующими параметру µ ∈ M на сетке Xh . Линейная оболочка ˜ h,(µ) def X = L{ ωh,j,(µ) | j ∈ Z}

(7.3)

называется пространством минимальных сплайнов, соответствующих параметру µ ∈ M (на сетке Xh ). Лемма 5. Верно включение ˜ h,(µ) ⊂ X ˜ h/2,(Uµ) , X

(7.4)

где U – преобразование гиперплоскости M в себя, U:


def µ ˜ = µB E2 µ (µB )−1 ,

µ→µ ˜,

(7.5)

а E2 – квадратная диагональная матрица порядка m + 1 с элементами 2i на диагонали, i = 0, 1, . . . , m. Доказательство. Напомним, что калибровочное соотношение имеет вид (см. формулы (2.6.2) и (1.7)): ω(µ) (t) = 2

−m

m+1 X j=0

 m+1 ω(Uµ) (2t − j), j

(7.6)

где U — указанное в лемме преобразование гиперплоскости M в себя (см. формулу (7.5)). Заменяя в (7.6) t на x/h − j 0 , получаем ω(µ)

m+1    x X m + 1 − j 0 = 2−m ω(Uµ) −1 − 2j 0 − j ; h 2 h j j=0

x

последнее эквивалентно калибровочному соотношению ωh,j 0 ,(µ) (x) = 2−m

m+1 X j=0

 m+1 ωh/2,j+2j 0 ,(Uµ) (x). j

(7.7)

Доказываемое утверждение является очевидным следствием только что установленного тождества (7.7). 169

Лемма 6. (α)

ωj,(µ)

x h

Справедливо тождество

≡ hα

dα ωh,j,(µ) (x), dxα

∀x ∈ (xk , xk+1 ), ∀k ∈ Z.

(7.8)

Доказательство очевидно. Рассмотрим линейное пространство \ Uh = {u | u ∈ C m hxj , xj+1 i}. j∈Z

Ясно, что минимальные сплайны ωh,j,(µ) принадлежат пространству Uh . ± На пространстве Uh зададим линейные функционалы gh,j,(µ,r) равенствами ± gh,j,(µ,r) (u) =

def

m X

(−1)α

α=0

να α d α u (xj ± 0), h α! dxα

(7.9)

где ν = µ−1 er ,

r ∈ {1, 2, . . . , m},

(7.10)

и введем обозначения для семейств этих функционалов − G− h,µ (r) = {gh,j,(µ,r) }j∈Z ,

+ G+ h,µ (r) = {gh,j,(µ,r) }j∈Z .

def

def

Теорема 6. При условии (7.10) семейства функционалов G− и G+ биортогональны системе функций h,µ (r) h,µ (r) {ωh,j,(µ) (x)}j∈Z , а именно − + gh,j 0 +r,(µ,r) (ωh,j,(µ) ) = gh,j 0 +r,(µ,r) (ωh,j,(µ) ) = δj,j 0 .

(7.11)

Доказательство. Согласно теореме 3.8 системы функциона+ лов G− µ (r) и Gµ (r) биортогональны системе ωj,(µ) , т. е. gj±0 +r,(µ,r) (ωj,(µ) ) = δj,j 0 . 170

(7.12)

Благодаря формулам (3.12.1)–(3.12.4) и (3.12.8) видим, что соотношения (7.12) эквивалентны равенствам m X

(−1)α

α=0

να (α) 0 ω (j + r ± 0) = δj,j 0 , α! j,(µ)

(7.13)

откуда с помощью (7.8) находим m X

(−1)α

α=0

να α dα ωh,j,(µ) 0 ((j + r)h ± 0) = δj,j 0 , h α! dxα

(7.14)

В соответствии с обозначениями (7.9) формулы (7.14) представляют другую форму равенств (7.11). Теорема доказана. Теорема 7. Если функции uh,n (x) и U (t) связаны соотношением x uh,n (x) = U ( − n), h то ± ± gh,j,(µ,r) (uh,n ) = gj−n,(µ,r) (U ). Доказательство. Ввиду очевидных соотношений U (α)

 dα uh,n − n = hα (x) h dxα

x

и формул (7.9) имеем (при xj = jh) ± gh,j,(µ,r) (uh,n ) =

m X

(−1)α

α=0

=

m X

(−1)α

α=0

=

m X

(−1)α

α=0

να α dα uh,n h (xj ± 0) = α! dxα

 να α −α (α)  xj h h U −n±0 = α! h

 να (α)  ± U j − n ± 0 = gj−n,(µ,r) (U ). α!

Теорема доказана. 171

§ 8. Всплесковые цепочки в классе минимальных сплайнов На вещественной оси рассмотрим равномерную сетку XS :

. . . < xS−2 < xS−1 < xS0 < xS1 < xS2 < . . . ,

(8.1)

где xSk = k · 2−S , k ∈ Z, S ∈ N0+ . Объединение сеток X S обозначим X (∞) : X (∞)

def

=

+∞ \

X S.

(8.2)

S=0

Будем рассматривать функции u(x) со следующим свойством: (E) Существует бесконечная сетка Ξ(u) :

. . . < ξ−2 < ξ−1 < ξ0 < ξ1 < ξ2 < . . .

с точками сгущения ±∞ и с узлами ξj из множества X (∞) при j ∈ Z такая, что7 u ∈ C m hξk , ξk+1 i,

∀k ∈ Z.

Множество функций u, имеющих свойство (E), является линейным пространством; его8 обозначим X. Очевидно, что вве˜ h,(µ) при h = 2−S , денное ранее (см. § 7) пространство сплайнов X + S ∈ N0 , содержится в пространстве X. Лемма 5 позволяет построить цепочку вложенных пространств сплайнов в X; для этого зафиксируем µ, µ ∈ M, и положим VS

def

=

˜ 2−S , (US µ) . X

7 Определение

(8.3)

пространств C m hc, di см. в § 12 главы 3. качестве X можно взять более широкое пространство V∗m , в котором функция и все ее производные вплоть до производной m-го порядка имеют конечную вариацию на каждом конечном отрезке вещественной оси; это не изменяет последующее изложение. 8В

172

Ввиду упомянутой леммы V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ VS ⊂ . . . ⊂ V(∞) ⊂ X.

(8.4)

Для реализации схемы, изложенной в § 4–6, нужно построить (S) систему элементов {ϕi } ⊂ VS и биортогональную к ней си(S) стему функционалов {ϕ bi0 }, распространенную на пространство X. Положим (S) def = ω2−S , i, (US µ) ,

S ∈ N0+ ,

ϕi

i ∈ Z.

(8.5)

Поскольку функция u, обладающая свойством (E), кусочно непрерывна со всеми производными вплоть до порядка m включительно, причем число точек разрыва конечно на любом конечном отрезке и все точки разрыва первого рода, то на этой функ± ции определены функционалы gh,j,(µ,r) (u), задаваемые формулами (7.9)–(7.10). Из них наиболее интересны функционалы, получаемые при h = 2−S с заменой µ на US µ, S ∈ N0+ ; пусть (S) def + = g2−S ,i0 +r,(US µ,r) ,

ϕ bi0

(8.6)

где r — фиксированное число из множества {1, 2, . . . , m}. В соответствии с теоремой 6, примененной при h = 2−S , систе(S) (S) ма функционалов {ϕ bi0 }i0 ∈Z биортогональна системе {ϕi }i∈Z . S S Операции проектирования P , Q и пространство VS строятся по формулам (6.4)–(6.6). Теорема 8. Построенные здесь объекты (S)

(S)

X, VS , WS , P S , QS , {ϕ bi0 }, {ϕi }, S ∈ N0+ представляют всплесковую (вейвлетную) цепочку Wµ , зависящую от параметра µ ∈ M,
(S) (S) Wµ = Wµ X, VS , WS , P S , QS , {ϕ bi0 }, {ϕi }, S ∈ N0+ . 173

Если µ 6= µ0 , µ, µ0 ∈ M, то всплесковые цепочки Wµ и Wµ0 различны. Доказательство. Все требования, предъявляемые к всплесковой цепочке, проверены (см. формулы (8.4)–(8.6)), кроме калибровочного соотношения (6.2). Для его проверки обратимся к установленному в предыдущем параграфе тождеству (7.7): ωh,j 0 ,(µ) (x) = 2

−m

m+1 X j=0

 m+1 ωh/2,j+2j 0 ,(Uµ) (x). j

Полагая здесь h = 2−S и заменяя µ на US µ, получим ω2−S ,j 0 ,(US µ) (x) = 2

−m

m+1 X j=0

 m+1 ω2−S−1 ,j+2j 0 ,(US+1 µ) (x), j

что ввиду обозначений (8.5) можно переписать в виде (S) ϕj 0

=

m+1 X

−m



2

j=0

 m + 1 (S+1) ϕj+2j 0 . j

(8.7)

Заменяя в (8.7) обозначения индексов (j 0 на i, j на j 0 ) (S) ϕi

=

m+1 X

−m

2

j 0 =0



 m + 1 (S+1) ϕj 0 +2i , j0

и заново вводя индекс суммирования j по формуле j = j 0 + 2i, находим   2i+m+1 X m + 1 (S+1) (S) ϕ . (8.8) ϕi = 2−m j − 2i j j=2i Формула (8.8) означает, что выполнено калибровочное соотношение (6.2), X (S+1) (S+1) (S) ϕi = dij ϕj , (8.9) j

174

(S)

где коэффициенты dij от S не зависят и даются формулой (S)

dij =



2−m m+1 j−2i 0 при




при 2i > j

2i ≤ j ≤ 2i + m + 1, или при j > 2i + m + 1.

(8.10)

Итак, Wµ — всплесковая цепочка. Осталось установить, что если µ 6= µ0 , µ, µ0 ∈ M, то всплесковые цепочки Wµ и Wµ0 различны; однако это обстоятельство очевидно, ибо различными являются цепочки вложенных пространств минимальных сплайнов (см. § 6 второй главы). Теорема доказана. § 9.

Декомпозиция и реконструкция во всплесковых разложениях цепочек минимальных сплайнов

Пусть f ∈ X. Введем обозначения X (S) (S+1) X (S) (S) , P Sf = ai ϕi , QS f = b i0 ϕi0

(9.1)

i0

i

где (S) def (S) bj (f ), = ϕ

aj

(S) def (S+1) bj (QS f ). = ϕ

bj

(9.2)

Аналогично формуле (5.3) найдем X (S) (S) X (S) (S+1) f = P S f + QS f = ai ϕi + b i0 ϕi0 = i0

i

=

X

X X (S) (S+1) (S+1) (S) dij ϕj + b i0 ϕ i 0 = ai i0

j

i

=

X X i0

(S)

(S)

ai dii0 + bi0



(S+1)

ϕ i0

.

(9.3)

i (S+1)

Применяя функционалы ϕ bj

к соотношению (9.3), для чисел

(S) def (S+1) bj (f ) = ϕ

cj

175

(9.4)

получаем формулы (S)

cj

=

X

(S)

dij ai

(S)

+ bj .

(9.5)

i

Формулы (9.5) называются формулами реконструкции, а числа dij — фильтром реконструкции. (S) Пусть теперь известны коэффициенты ck в разложении эле(S+1) мента f ∈ VS по элементам базиса ϕk , X (S) (S+1) f= ck ϕk . (9.6) k

Аналогично (5.7) найдем X X (S) (S) (S+1)
(S) (S) bj 0 = cj 0 − dj 0 j ck ϕ bj 0 ϕk . j

(9.7)

k

Формулы (9.7) называются формулами декомпозиции, а числа (S) (S+1)
ϕ bj 0 ϕk — фильтром декомпозиции. Во введенных только что обозначениях не отмечается зависимость от параметра µ. Поскольку цепочка вложенных пространств минимальных сплайнов однозначно определяется параметром µ гиперплоскости M (см. главу 2), то тем самым от (S) (S) (S) µ, вообще говоря, зависят и остальные объекты ϕj , ϕ bj 0 , ai , (S)

bi и др. Однако из формул (8.10) видно, что числа dij (фильтр реконструкции) от S и от µ не зависят. Дальше в этом параграфе будет показано, что таким же свойством обладает фильтр декомпозиции def (S+1)
(S) . ej 0 k = ϕ bj 0 ϕk Здесь будут даны также достаточно простые формулы для его вычисления. Заметим прежде всего, что независимость от S вытекает уже из теоремы 7. Поэтому достаточно ограничиться случаем S = 0 и сосредоточиться на доказательстве независимости упомянутых чисел от параметра µ ∈ M. 176

Рассмотрим дифференциальный оператор Mµ , задаваемый формулой m X µα def Mµ = (9.8) (−1)α ∂ α . α! α=0 Этот оператор называется определяющим оператором [24, с. 276]. Лемма 7. Пусть фиксированы µ ∈ M, r ∈ {1, . . . , m} и S ∈ N0 . На пространстве многочленов πm функционалы (8.6) могут быть заданы с помощью определяющего оператора формулой   (S) ϕ bj (u) = Mµ−1 u (2−S j + 0). (9.9) Доказательство. Для краткости ограничимся случаем S = 0. Согласно определениям (8.6), (7.9)–(7.10) имеем (0)

ϕ bi0 (u) = gi+0 +r,(µ,r) (u) =

m X

(−1)α

α=0

=

m X

(−1)α

α=0

να d α u 0 (i + r + 0) = α! dxα

[µ−1 er ]α dα u 0 (i + r + 0). α! dxα

(9.10)

Используя определение свертки в формуле (9.10), находим (0)

ϕ bi0 (u) =

=

m α   X (−1)α X α dα u [µ−1 ]j [er ]α−j α (i0 + r + 0) = α! j=0 j dx α=0

m X

[µ−1 ]j

j=0

m   X α (−1)α α=j

j

α!

rα−j

dα u 0 (i + r + 0) = dxα

m m X [µ−1 ]j X (−1)α α−j dα u 0 = r (i + r + 0) = j! α=j (α − j)! dxα j=0

=

m X [µ−1 ]j j=0

j!

(−1)j

m−j X α0 =0

0

0

(−1)α α0 dα dj u 0 r (i + r + 0). α0 ! dxα0 dxj 177

(9.11)

Благодаря импликации u ∈ πm функция u представляет собой многочлен степени не более m, и потому формула Тейлора c m − j + 1 слагаемыми, написанная для производной функции u порядка j, имеет нулевой остаточный член: m−j X (−1)α0 0 dα0 dj u dj u 0 (i + 0) = (i0 + r + 0). rα dxj α0 ! dxα0 dxj 0

(9.12)

α =0

Подставляя (9.12) в (9.11), получаем (0)

ϕ bi0 (u) =

m X [µ−1 ]j j=0

j!

(−1)j

dj u 0 (i + 0). dxj

(9.13)

Ввиду формулы (9.8) равенство (9.13) означает, что соотношение (9.9) доказано для S = 0. Случай S 6= 0 аналогичен. Лемма доказана. Следствие 7. Функционалы gi+0 +r,(µ,r) (u) на пространстве πm от r ∈ {1, 2, . . . , m} не зависят. Лемма 8. Справедливо тождество ω(λ) (t) = Mλ µ−1 ω(µ) (t),

∀t ∈ R1 \ Z.

(9.14)

Доказательство. Тождество (9.14) вытекает из формулы (2.5.12) (см. теорему 2.10) и из определения (9.8) оператора Mµ . Следствие 8.

Справедливо представление

ω(λ) (t) = Mλ ω(1) (t),

∀t ∈ R1 \ Z.

(9.15)

Доказательство получается из тождества (9.14), если в нем в качестве µ взять единицу группы M. По формуле (9.15) можно получить любой базисный минимальный сплайн; поэтому вводят следующее определение [24, с. 275]. 178

Определение 3. Сплайн ω(1) (t) называется стандартным минимальным сплайном степени m. В дальнейшем будем использовать диагональную матрицу E2 с элементами 2i , i = 0, 1, . . . , m, введенную ранее (см. формулы (2.6.3) и (3.4.1)). def Лемма 9. Если u ∈ C m (a0 , b0 ), (a0 , b0 ) ⊂ R1 , а u2 (t) = u(2t) 0 0 ∀t ∈ (a /2, b /2), то справедлива формула     M u2 (t) = M u (2t), ∀t ∈ (a0 /2, b0 /2). (9.16) ν

E2 ν

Доказательство формулы (9.16) вытекает из очевидной цепочки равенств 

=

m  X di u2 (−1)i [ν]i i (t) = M u2 (t) = ν i! dt i=0

m X (−1)i i=0

i!

m

 = M Лемма 10.

X (−1)i di u di u (2t) = [E2 ν]i i (2t) = i dt i! dt i=0  u (2t) ∀t ∈ (a0 /2, b0 /2).

2i [ν]i

E2 ν

Справедлива формула E2 µ−1 = (E2 µ)−1 .

(9.17)

Доказательство. Поскольку E2 — эндоморфизм группы M, последовательно имеем (см. соотношение (3.4.2) при x = 2)
E2 µ−1 E2 µ = E2 µ−1 µ = E2 1 = 1. Формула (9.17) доказана. Теперь вернемся к преобразованию U (см. формулу (7.5)): 
−1  def U : µ 7→ µ ˜, µ ˜ = µB E2 µ µB . (9.18)

179

Лемма 11. Для любых t ∈ R1 \Z и r ∈ Z верно тождество M

E2 µ−1

er


ω(Uµ) (t) = M

µB E2 (µB )−1

er


ω(1) (t).

(9.19)

Доказательство. Ввиду леммы 8 находим M

E2 µ−1

er


ω(Uµ) = M




E2 µ−1 er Uµ

ω(1) .

(9.20)

Поскольку E2 — эндоморфизм, из формулы (9.17) выводим E2 er E2 µ−1 Uµ = E2 er E2 µ−1 µB E2 µ E2 µB


−1

,

откуда, используя формулу (9.17), получаем  −1
−1 E2 er E2 µ−1 Uµ = E2 er E2 µ µB E2 µ E2 µB = = E2 er µB E2 µB


−1

.

Осталось воспользоваться соотношением (9.20). Соотношение (9.19) доказано. (0) (1) Теорема 9. Величина ϕ bj (ϕj 0 ) в соотношении (9.7) не зависит от параметра µ ∈ M и определяется формулой (0)

(1)

ϕ bj (ϕj 0 ) = ω

E2 e µ E2 (µ ) r

B −1

B



2(j + r) − j 0 + 0 ,

(9.21)

где r — фиксированное число из множества {1, 2, . . . , m}. (0) (1) Доказательство. По определению ϕ bj и ϕj 0 (см. формулы (8.5) и (8.6)) и ввиду леммы 9 имеем (0)

(1)

ϕ bj (ϕj 0 ) = M =M =M

µ−1 er

E2 µ−1 E2 er

E2 µ−1 E2 er

ω1/2,j 0 ,(Uµ) (j + r + 0) =


ωj 0 ,(Uµ) 2(j + r) + 0 =


ω(Uµ) 2(j + r) − j 0 + 0 . 180

Используя лемму 11, отсюда находим (0)

(1)

ϕ bj (ϕj 0 ) = M

E2 er µB E2 (µB )−1


ω(1) 2(j + r) − j 0 + 0 .


−1 def Теперь применим соотношение (9.15) при λ = E2 er µB E2 µB . Формула (9.21) установлена. (1) (0) Следствие 9. Во множестве чисел ϕ bj (ϕj 0 ) имеется не более m + 1 различных ненулевых чисел. 1) Если j 0 — нечетное число, то, полагая j 0 = 2l − 1, приходим к числам
(0) (1)
2(j − l + r) + 1 + 0 , (9.22) ϕ bj (ϕ2l−1 ) = ω r B B −1 E2 e µ E2 (µ ) где 2(j − l + r) + 1 ∈ {1, 2, . . . , m}, при этом: 1.1) если m — четное число, то, считая m = 2p, получаем 2(j − l + r) + 1 = 1, 3, . . . , 2p − 1, ⇐⇒ j − l + r = 0, 1, . . . , p − 1; 1.2) если m — нечетное число, то полагая m = 2p − 1, снова находим 2(j − l + r) + 1 = 1, 3, . . . , 2p − 1, ⇐⇒ j − l + r = 0, 1, . . . , p − 1. 2) Если j 0 — четное число, j 0 = 2l, то приходим к числам (0)

(1)

ϕ bj (ϕ2l ) = ω

E2 e µ E2 (µ ) r

B

B −1



2(j − l + r) + 0 ,

(9.23)

где 2(j − l + r) ∈ {0, 1, 2, . . . , m}, причем: 2.1) если m — четное число, m = 2p, то получаем 2(j − l + r) = 0, 2, . . . , 2p, , ⇐⇒ j − l + r = 0, 1, . . . , p; 2.2) если m — нечетное число, m = 2p − 1, то на этот раз находим 2(j − l + r) = 0, 2, . . . , 2p − 2, ⇐⇒ j − l + r = 0, 1, . . . , p − 1. 181

Следствие 10. Если j 0 — нечетное число, то во множе(0) (1) стве чисел ϕ bj (ϕj 0 ) будут встречаться лишь числа ω

E2 e µ E2 (µ ) r

жестве чисел

h

m−1 2 (0) (1) ϕ bj (ϕj 0 )

где i + r = 0, 1, . . . ,

ω

B −1

B

i



2(i + r) + 1 + 0 ,

(9.24)

, а если j 0 — четное число, то во мно-

будут встречаться лишь числа

E2 er µB E2 (µB )



2(i + r) + 0 , −1

(9.25)

i h i h m−1 при m четном, и i + r = 0, 1, . . . , где i + r = 0, 1, . . . , m+1 2 2 при m нечетном. Очевидно, что следствие 10 является перефразировкой следствия 9. Замечание 2. Независимость от µ ∈ M фильтра декомпозиции def (0) (1) ejj 0 = ϕ bj (ϕj 0 ), установленная в теореме 9, является результатом подходящего (0) продолжения функционалов ϕj (u) с пространства сплайнов V0 на вмещающее пространство сплайнов V1 (см. формулы (8.6) при S = 0). Отметим также небольшое число ненулевых элементов в упомянутом фильтре. Другие способы продолжения могли привести к более сложным ситуациям и, в частности, к зависимости от параметра µ. (0) (1) Определение 4. Фильтр ej,j 0 = ϕ bj (ϕj 0 ) называется универсальным фильтром декомпозиции для всплескового (вейвлетного) разложения минимальных сплайнов. Из предыдущего следует: 1) универсальный фильтр декомпозиции не зависит от параметра µ ∈ M; 2) упомянутый фильтр определяется m + 1 числами (9.24)–(9.25);

182

3) для всплесковых (вейвлетных) разложений сплайнов степени m имеется m универсальных фильтров декомпозиции, определяемых параметром r ∈ {1, 2, . . . , m}. Ниже приводятся упражнения, в которых, в частности, предлагается вычислить универсальные фильтры декомпозиции для значений m = 2, 3, 4 и для всех соответствующих r ∈ {1, 2, . . . , m}. Упражнения сопровождаются ответами, в которых приводятся лишь ненулевые коэффициенты этих фильтров; остальные коэффициенты — нули). УПРАЖНЕНИЯ 1. Что такое универсальный фильтр декомпозиции? Каковы его свойства? 2. Сколько имеется универсальных фильтров декомпозиции при m = 4? 3. При m = 2 найти явные формулы компонент вектора ζ = E2 er µB E2 (µB )−1 и функции ω

E2 er µB E2 (µB )−1


t).

4. Построить все универсальные фильтры декомпозиции в случае m = 2. 5. Сделать упражнение 3 при m = 3. 6. Построить все универсальные фильтры декомпозиции при m = 3. 7. Вывести формулы, вычисляющие функцию ω

E2 er µB E2 (µB )−1


t)

в случае, когда m = 4 (эта задача может вызвать технические трудности у читателя; в таком случае рекомендуется обратиться сразу к ответу, где попутно указаны результаты некоторых промежуточных вычислений, а именно результаты построения вектора ζ = E2 er µB E2 (µB )−1 ). 183

8. Провести построение всех универсальных фильтров декомпозиции при m = 4. 9. Гипотеза (А). Для любого натурального m и для любого x ∈ K справедлива формула [ex (µB )−1 ]m =

m Y

(x − j).

j=1

Читателю предлагается доказать или опровергнуть высказанную гипотезу (соображения по этому поводу см. в разделе Ответы к некоторым упражнениям). ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ УПРАЖНЕНИЯМ 3. При r = 1 компоненты вектора ζ таковы: ζ0 = 1,

ζ1 = 1/2,

ζ2 = −1/2,

а сплайн ω(ζ) (t) имеет вид  t + t2 /2    2 −t + t + 3/2 ω(ζ) (t) = t2 /2 − 2t + 3/2    0

при при при при

t ∈ (0, 1), t ∈ (1, 2), t ∈ (2, 3), t∈ / [0, 3].

При r = 2 компоненты вектора ζ определяются равенствами ζ0 = 1,

ζ1 = 5/2,

ζ2 = 11/2,

а соответствующий сплайн таков:  −t + t2 /2    2 −t + 5t − 9/2 ω(ζ) (t) = t2 /2 − 4t + 15/2    0

при при при при

t ∈ (0, 1), t ∈ (1, 2), t ∈ (2, 3), t∈ / [0, 3].

4. Универсальные фильтры декомпозиции при m = 2 (приводятся лишь ненулевые коэффициенты этих фильтров; остальные коэффициенты — нули). 184

I фильтр (r = 1) e

2l, l

= −1/2;

e

= 3/2.

(9.26)

= 3/2;

e

= −1/2.

(9.27)

2l−1, l−1

II фильтр (r = 2) e

2l, l−1

5. При m = 3,

2l−1, l−2

r = 1 компоненты вектора ζ = E2 er µB E2 (µB )−1

таковы: ζ0 = 1,

ζ2 = −1,

ζ1 = 0,

а сплайн ω(ζ) t) имеет вид  3 t /6 + t2 + 34 t        −t3 /2 − t2 + 2t + 2      ω(ζ) (t) = t3 /2 − t2 − 2t + 2      4 3 2    −t /6 + t − 3 t     0

ζ3 = 0, при t ∈ (0, 1), при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), при t ∈ (3, 4), при t ∈ / [0, 4].

При r = 2 компоненты вектора ζ определяются равенствами ζ0 = 1,

ζ1 = 2,

ζ2 = 3,

а соответствующий сплайн таков:  3 t /6 − 23 t        −t3 /2 + 2t2 − 2      ω(ζ) (t) = t3 /2 − 4t2 + 8t − 2       −t3 /6 + 2t2 − 22   3 t+8     0 185

ζ3 = 2, при t ∈ (0, 1), при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), при t ∈ (3, 4), при t ∈ / [0, 4].

При r = 3 компоненты вектора ζ определяются равенствами ζ0 = 1,

ζ1 = 4,

ζ2 = 15,

ζ3 = 52,

а интересующий нас сплайн таков:  3 t /6 − t2 + 43 t        −t3 /2 + 5t2 − 14t + 10      ω(ζ) (t) = t3 /2 − 7t2 + 30t − 38       −t3 /6 + 3t2 − 52   3 t + 32     0

при t ∈ (0, 1), при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), при t ∈ (3, 4), при t ∈ / [0, 4].

6. Универсальные фильтры декомпозиции при m = 3 (как и прежде, приводятся лишь ненулевые коэффициенты этих фильтров).

I фильтр (r = 1) e

2l, l

= −2;

e

2l−1, l−1

= 5/2;

e

2l−1, l

= 1/2.

(9.28)

II фильтр (r = 2) e

2l, l−1

= 2;

e

2l−1, l−2

= −1/2;

e

2l−1, l−1

= −1/2.

(9.29)

= 5/2.

(9.30)

III фильтр (r = 3) e

2l, l−2

= −2;

e

2l−1, l−3

= 1/2;

186

e

2l−1, l−2

7. Как было обещано при формулировке задачи, здесь приводятся не только требуемые сплайны для m = 4 и r = 1, 2, 3, 4, но def и значения соответствующего вектора ζ = E2 er µB E2 (µB )−1 . Итак, при r = 1 компоненты вектора ζ определяются по формулам ζ0 = 1,

ζ1 = −1/2,

ζ2 = −1,

ζ3 = 7/4,

ζ4 = 7/2,

а сплайн ω(ζ) имеет вид

ω(ζ) (t) =

 4 2 t /24 + t3 /2 + 11  6 t + 2t      11 25 2  −t4 /6 − 76 t3 − 13   12 t + 3 t + 8      25 2   t4 /2 + t3 /2 − 11 4 t − 3t + 8  5 2  −t4 /6 + t3 /2 + 17   12 t − 3t − 8      7 2  t4 /24 − t3 /3 + 12 t + t/3 − 58       0

при t ∈ (0, 1), при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), при t ∈ (3, 4), при t ∈ (4, 5), при t ∈ / [0, 5].

При r = 2 компоненты вектора ζ определяются по формулам ζ0 = 1,

ζ1 = 3/2,

ζ2 = 1,

ζ3 = −9/4,

ζ4 = −13/2,

а сплайн ω(ζ) (t) получается согласно формулам

ω(ζ) (t) =

 4 t /24 + t3 /6 − t2 /6 − 32 t        −t4 /6 + t3 /6 + 23 t2 − 2 t −   12 3        t4 /4 − 32 t3 + t2 /4 + 6t − 15 8

при t ∈ (0, 1), 15 8

 67 2 8 35 3  −t4 /6 + 11   6 t − 12 t + 3 t + 8      22 35 2  t4 /24 − 23 t3 + 43   12 t − 3 t + 8     0 187

при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), при t ∈ (3, 4), при t ∈ (4, 5), при t ∈ / [0, 5].

При r = 3 компоненты вектора ζ определяются по формулам ζ0 = 1,

ζ1 = 7/2,

ζ2 = 11,

ζ3 = 119/4,

ζ4 = 127/2,

а сплайн ω(ζ) (t) получается по формулам

ω(ζ) (t) =

 4 t /24 − t3 /6 − t2 /6 + 32 t       25 2   −t4 /6 + 23 t3 − 37  12 t − t + 8      25 2   t4 /4 − 27 t3 + 61 4 t − 21t + 8  247 2 157 3  −t4 /6 + 19   6 t − 12 t + 3 t −      315 2   t4 /24 − t3 + 103  12 t − 31t + 8     0

при t ∈ (0, 1), при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3), 325 8

при t ∈ (3, 4), при t ∈ (4, 5), при t ∈ / [0, 5].

При r = 4 компоненты вектора ζ определяются равенствами ζ0 = 1,

ζ1 = 11/2,

ζ2 = 29,

ζ3 = 583/4,

ζ4 = 1387/2,

а сплайн ω(ζ) (t) вычисляется по формулам

ω(ζ) (t) =

 4 2 t /24 − t3 /2 + 11  6 t − 2t      193 2 104 175 3   −t4 /6 + 17  6 t − 12 t + 3 t − 8      169 2 1105 3   t4 /4 − 11 2 t + 4 t − 132t + 8

при t ∈ (0, 1),

 2045 2  −t4 /6 + 92 t3 − 523   12 t + 178t − 8      236 1155 2   t4 /24 − 34 t3 + 187  12 t − 3 t + 8     0

при t ∈ (3, 4),

при t ∈ (1, 2), при t ∈ (2, 3),

при t ∈ (4, 5), при t ∈ / [0, 5].

8. Универсальные фильтры декомпозиции при m = 4 (приводятся лишь ненулевые коэффициенты этих фильтров). 188

I фильтр (r = 1) e

2l, l

= −47/8;

e

e

2l, l+1

= 35/8;

e

= 25/8;

e

2l−1, l−1

= −5/8;

2l−1, l

= 25/8.

(9.31)

II фильтр (r = 2) e

2l, l−1

= −5/8;

e

2l−1, l−2

2l, l

e

2l−1, l−1

= 3/8;

= −15/8.

(9.32)

III фильтр (r = 3) e

2l, l−2

= −15/8;

e

= 3/8;

e

= 25/8;

e

e

2l−1, l−3

2l, l−1

= −5/8;

2l−1, l−2

= 25/8.

(9.33)

IV фильтр (r = 4) e

2l, l−3

e

2l−1, l−4

= −5/8;

e

2l, l−2

2l−1, l−3

= 35/8;

= −47/8.

(9.34)

9. Выскажем некоторые соображения в пользу сформулированной гипотезы (А). Приведенные результаты вычислений (см. упражнения 4, 6, 8 и формулы (9.28)–(9.34)) показывают, что при m = 2, 3, 4 и для r = 1, 2, . . . , m верно равенство

+0 = 0. ω (9.35) r B B −1 E2 e µ E2 (µ ) 189

Согласно определению характеристического многочлена формула (9.35) эквивалентна его обращению в нуль в точке 0, что в соответствии с обозначениями, введенными в § 2, может быть записано в форме p


= 0.

E2 er µB E2 (µB )−1 ,0

(9.36)

Полагая в (2.10) λ = E2 er E2 (µB )−1 , def

из (9.36) находим эквивалентное соотношение [E2 er E2 (µB )−1 ]m = 0.

(9.37)

Поскольку преобразование E2 — эндоморфизм группы M, то, учитывая диагональную структуру неособенной матрицы E2 , видим, что соотношение (9.37) эквивалентно равенству [er (µB )−1 ]m = 0,

(9.38)

которое, таким образом, установлено для m = 2, 3, 4 при r = 1, 2, . . . , m. Покажем, что для упомянутых r и m равенство (9.38) допускает непосредственную проверку. Действительно: 1) при m = 1, µB = (1, 1), (µB )−1 = (1, −1) имеем [er (µB )−1 ]1 = r · 1 + 1 · (−1) = r − 1;

(9.39)

2) при m = 2, µB = (1, 3/2, 5/2), (µB )−1 = (1, −3/2, 2) получим [er (µB )−1 ]2 = r2 · 1 + 2 · r · (−3/2) + 1 · 2 = = (r − 1)(r − 2); B

3) при m = 3 из равенств µ (1, −2, 11/3, −6) выведем

(9.40) B −1

= (1, 2, 13/3, 10), (µ )

=

[er (µB )−1 ]3 = r3 · 1 + 3 · r2 · (−2) + 3 · r · 11/3 + 1 · (−6) = = (r − 1)(r − 2)(r − 3);

(9.41)

4) при m = 4, µB = (1, 5/2, 20/3, 75/4, 331/6), (µ ) = (1, −5/2, 35/6, −25/2, 24) получим B −1

[er (µB )−1 ]4 = r4 · 1 + 4 · r3 · (−5/2) + 6 · r2 · 35/6+ +4 · r · (−25/2) + 1 · 24 = (r − 1)(r − 2)(r − 3)(r − 4).

(9.42)

Формулы (9.39)–(9.42) позволяют высказать гипотезу (А). Если эта гипотеза справедлива, то из эквивалентности формул (9.35)– (9.38) вытекает справедливость равенств (9.35) при любом натуральном m, откуда следует, что любой из рассматриваемых фильтров декомпозиции заведомо не может иметь более m ненулевых элементов (фактически, это суждение позволяет уменьшить априорную оценку числа необходимых арифметических действий при расчетах по формулам декомпозиции).

Литература 1. Schoenberg I. J. Contribution to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45–99, 112–141. 2. Рябенький В. С. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952. 3. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с. 4. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайнфункций. М., 1980. 352 с. 5. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М., 1987. 239 с. 6. Малоземов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с. 7. Strang G., Fix G. Fourier Analysis of the finite element method in Ritz – Galerkin Theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N. 3. P. 265–273. 8. Демьянович Ю. К., Михлин С. Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств. Численные методы и функциональный анализ // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1973. Т. 35. С. 6–11. 9. Демьянович Ю. К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с. 10. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск,2001. 464 с. 11. Чуи К. Введение в вэйвлеты. М., 2001. 412 с. 12. Strang G. Wavelets and dilation equations: a brief introduction // SIAM Rev. 1989. Vol. 31. P. 614–627. 13. Skopina M. Multiresolution Analysis of Periodic Functions // East Journal on Approximations. 1997. Vol.3. № 2. P. 203–224. 14. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков. //Успехи математич. наук. 1998. Т.53, № 6. С.53–128. 15. Демьянович Ю. К. О построении проекционных сплайнов и вейвлетов // Вестн. СПбГУ. Сер.1. 1997. Вып.1 (№ 1). С.17– 19. 16. Демьянович Ю. К. О вложенности пространств минимальных сплайнов // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2000. № 7. С.1012– 1029. 192

17. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решение задач интерполяции // Докл. РАН. 2001. Т. 377. № 6. С.739–742. 18. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 3. С.314–319. 19. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. II. М., 1956. 464 с. 20. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., 1957. 352 с. 21. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., 1965. 379 с. 22. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М., 1981. 797 с. 23. Ленг С. Алгебра. М., 1968. 564 с. 24. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 317 с. 25. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб., 1999. 132 с.

СПИСОК

ОБОЗНАЧЕНИЙ I глава

Символ k · k1 L1 F, F −1 ϕ, b ψˇ h·, ·i k · k2 k · k∞ L2 , L∞ χ(x), χa (x) g, ga ϕ∗θ Γ (ξ) S