Элементарные пары примитивно нормальных теорий

Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 321—340 УДК 510.67:512.57 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПАРЫ ПРИМИТИВНО НОРМАЛЬНЫХ ТЕОРИЙ∗) Е. А. ПА...

Author: Палютин Е. А.

12 downloads 206 Views 224KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 321—340

УДК 510.67:512.57

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПАРЫ ПРИМИТИВНО НОРМАЛЬНЫХ ТЕОРИЙ∗)

Е. А. ПАЛЮТИН

Основной целью работы является доказательство замкнутости классов примитивно нормальных (§ 2), примитивно связных (§ 3), антиаддитивных (§ 2) и аддитивных (§ 3) теорий относительно операции P -обогащения. Это свойство весьма примечательно, так как главные ”структурные“ классы теорий, изучаемые в теории моделей, такие, как стабильные, тотально трансцендентные и др., этой замкнутостью не обладают. Кроме этого доказывается P -стабильность примитивно связных теорий (§ 4), а также приводится пример примитивно связной теории, имеющей модели, которые не являются примитивно связными (§ 5). Большинство из определений, приведенных в данной статье, взяты из [1, 2].

§ 1. Определения, обозначения, предварительные результаты Вместо a ∈ N n и X ⊆ N n будем использовать выражения a ∈ N и X ⊆ N. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула вида ∃x(Φ0 ∧ . . . ∧ Φk ), ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00540, Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проекты N 00-15-96184 и НШ-2069.2003.1, а также Минобразования России, грант N Е02-1.0-32.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

322

Е. А. Палютин

где Φi , i ∈ {0, . . . , k}, являются атомарными формулами, называется примитивной. Пусть N — структура, Φ(x, y) — формула языка структуры N , a ∈ N . Множество {b | N |= Φ(b, a)} кортежей элементов структуры N будем обозначать через Φ(N, a). Результат подстановки в формулу Φ(x, y) вместо кортежа переменных y кортежа элементов a будем обозначать через Φ(x, a) и также называть формулой. Пусть Φ(x, y) — примитивная формула. Множества вида Φ(N, a), a ∈ N , называют примитивными (в N ); вида Φ(N, a) и Φ(N, b), a, b ∈ N, — примитивными копиями (в N ). Пересечение семейства примитивных множеств называют ∆-примитивным множеством. Если для каждого i ∈ I множества Xi , Yi являются примиT T тивными копиями, то множества {Xi | i ∈ I} и {Yi | i ∈ I} называют ∆-примитивными копиями. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Структура N называется примитивно нормальной, если (X ∩ Y ) = ∅ или X = Y для любых примитивных копий X, Y в N . Теория T называется примитивно нормальной, если каждая T -модель примитивно нормальна. История этого понятия восходит к применению теории классификации (см. [3]) в универсальной алгебре. Нетрудно проверить, что для любой структуры N теория Th(N ) примитивно нормальна, если теория декартовой степени Th(N ω ) является стабильной. Так как классы структур, часто рассматриваемые в универсальной алгебре (многообразия, квазимногообразия и др.), замкнуты относительно декартовых произведений, то их стабильность влечет примитивную нормальность. Эквивалентность α на некотором подмножестве X ⊆ N n , определенную в структуре N некоторой примитивной формулой, назовем примитивной (в N ), множество X обозначим через domα. Часто эта примитивная формула будет также называться примитивной эквивалентностью. Пусть α — эквивалентность, X — некоторое множество. Говорим, что множество X является α-замкнутым, если для любого a ∈ (X ∩domα) выполняется αa ⊆ X. Ограничение (α ∩ X 2 ) эквивалентности α на множество X записываем как α ↾ X.

Элементарные пары примитивно нормальных теорий

323

Для формулы Ψ(x, y) через xΨ обозначается формула ∃y(Ψ(x1 , y) ∧ Ψ(x2 , y)). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если структура N примитивно нормальна, то для примитивной формулы Ψ(x, y) формула (xΨ)(x1 , x2 ) примитивна и определяет в N примитивную эквивалентность на множестве, которое задает в N формула (xΨ)(x1 , x1 ), причем ее классами будут все можества вида Ψ(A; a), a ∈ A. В частности, для любой примитивной формулы Ψ(x; y) языка L существует такая примитивная формула Φ(x1 , x2 ) языка L, что для любых кортежей a, b с условием b ∈ Ψ(A, a) выполняется равенство Ψ(A, a) = Φ(A, b). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть N — примитивно нормальная структура, X, Y — примитивные копии, C0 — класс некоторой примитивной эквивалентности α, (C0 ∩ X) 6= ∅ и (C0 ∩ Y ) 6= ∅. Тогда для любого α-класса C имеем (C ∩ X) 6= ∅ ⇔ (C ∩ Y ) 6= ∅. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. В силу симметричности X и Y можно считать, что для некоторого α-класса C1 выполняются соотношения (C1 ∩X) 6= ∅ и (C1 ∩Y ) = ∅. Пусть X = Ψ(N, a), Y = Ψ(N, b), где Ψ — примитивная формула, a, b ∈ N . Рассмотрим формулу Φ(x; z) = ∃y(Ψ(y, z) ∧ α(y; x)) и примитивные копии Z = Φ(N ; a), W = Φ(N ; b). Так как C0 ⊆ (Z ∩ W ), C1 ⊆ Z и (C1 ∩ W ) = ∅, то (Z ∩ W ) 6= ∅ и Z 6= W . Это противоречит примитивной нормальности структуры N . 2 В оставшейся части этого параграфа все понятия будут относиться к некоторой структуре N языка L. Приведем необходимые определения из [1, 2]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество X называется обобщенно примитивным (о. п. множеством), если существуют такие ∆-примитивное множество X ∗ и примитивная эквивалентность α, что X ∗ ⊆ domα и

324


X = X ∗ /α. При этом X ∗ называют основой, а α — образующей эквивалентностью множества X. О. п. множества X и Y называют обобщенно примитивными копиями (о. п. копиями), если у них имеется общая образующая эквивалентность, а основы X ∗ и Y ∗ являются ∆-примитивными копиями. Отождествляя одноэлементное множество {a} с элементом a, будем считать, что ∆-примитивные множества являются обобщенно примитивными. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X — ∆-примитивное множество, α — примитивная эквивалентность, X ⊆ domα. Аддитивным назовем о. п. множество X/α, для которого существует примитивная формула, определяющая на X/α структуру группы. Термин ”аддитивное множество“ выбран, поскольку все группы, определимые в примитивно нормальных структурах примитивными формулами, являются коммутативными [2, замеч. 8]. Будем говорить, что примитивная формула Φ(x, y, z, w, c) определяет на множестве X обобщенный терм Мальцева, если для любых a, b ∈ X истинна формула (Φ(b, b, a, a, c)) ∧ Φ(a, b, b, a, c)). Пусть N примитивно нормальна и примитивная формула Φ(x, y, z, w, c) определяет на ∆-примитивном множестве X обобщенный терм Мальцева. В [2] показано, что выполняются равенства xΦ ↾ X = yΦ ↾ X = zΦ ↾ X = wΦ ↾ X и формула Φ(x, y, z, w, c) определяет афинное сложение на о. п. множестве X/α, где α = xΦ, т. е. для любого a ∈ X формула Φ(x, a, y, z, c) определяет на X/α структуру абелевой группы со сложением (X ∩ αx) + (X ∩ αy) = (X ∩ αz), нулем которой является класс (X ∩ αa). Если формула Φ(x, y, z, w, c) определяет на X обобщенный терм Мальцева, то говорят, что она определяет терм Мальцева на X/xΦ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть структура N примитивно нормальна, о. п. множество X аддитивно, α — его образующая эквивалентность. Пусть U — α-замкнутое примитивное множество и (U ∩ X ∗ ) 6= ∅.


325

(1) Существует примитивная эквивалентность β со свойствами: (a) (X ∗ ∩ βa) = (X ∗ ∩ U ) для a ∈ (X ∗ ∩ U ); (b) X ∗ ⊆ domβ; (c) каждый β-класс является α-замкнутым. (2) Если примитивная эквивалентность γ обладает теми же свойствами из (1), что и β, то γ ↾ X ∗ = β ↾ X ∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) По [2, предлож. 8] существует примитивная формула (с параметрами), определяющая структуру абелевой группы на множестве X, причем нулем такой группы может быть любой заранее фиксированный элемент множества X. Пусть hX; +, 0i — такая группа, а 0 = αa0 для некоторого a0 ∈ (U ∩ X ∗ ). Из примитивной нормальности N вытекает, что примитивное отношение {ha1 , a2 i | (αa1 − αa2 ) = αb для некоторого b ∈ U } является искомой эквивалентностью β, т. е. удовлетворяет условию (1). На самом деле эквивалентность β разбивает X на классы смежности по подгруппе U/α. (2) Пусть примитивная эквивалентность γ удовлетворяет условию (1) с заменой β на γ. Предположим, что для некоторого b ∈ X ∗ выполняется (X ∗ ∩ γb) 6= (X ∗ ∩ βb). В силу [2, предлож. 9] можно считать, что X ∗ — примитивное множество. Из определения β имеем βb/α = (U ∩X ∗ )/α+αb. Отсюда в силу равенств (γb ∩ X ∗ )/α + 0 = (γb ∩ X ∗ )/α и (γa0 ∩ X ∗ ) = (U ∩ ∩X ∗ ) вытекает, что (βb ∩ X ∗ ) и (γb ∩ X ∗ ) являются примитивными копиями. Учитывая неравенство (X ∗ ∩ γb) 6= (X ∗ ∩ βb), получаем противоречие с примитивной нормальностью структуры N . 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть язык LP получается из языка L добавлением одного нового символа P одноместного предиката. Пусть T — некоторая теория языка L. Через T P обозначается теория языка LP , полученная добавлением к T предложений, истинность которых в структуре N языка LP выражает то, что множество P (N ) является элементарной подструктурой обеднения структуры N до языка L. Теория T P называется теорией элементарных пар теории T . Если N — модель теории T , а M — элементарная подструктура струк-

326


туры N , то через hN, M i обозначается структура теории T P , обеднение которой до языка L совпадает с N , а предикат P совпадает с множеством M .

§ 2. Примитивно нормальные теории Пусть N — примитивно нормальная структура языка L. Ясно, что любая примитивная формула ϕ(x) языка LP эквивалентна формуле вида ∃z(P (z) ∧ Φ(z; x) ∧ P (x′ )), где Φ — примитивная формула языка L, кортеж переменных x′ состоит из некоторых элементов кортежа x, а для кортежа переменных v = = hv1 , . . . , vn i через P (v) обозначается формула (P (v1 ) ∧ . . . ∧ P (vn )). ТЕОРЕМА 1. Если T — примитивно нормальная теория, то теория T P элементарных пар теории T также примитивно нормальна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, заключение теоремы неверно. Тогда существуют примитивная формула ϕ(x; y) языка теории T P , T P модель N и кортежи a1 , a2 , c, e структуры N такие, что N |= (ϕ(e; a1 ) ∧ ϕ(e; a2 ) ∧ ϕ(c; a1 ) ∧ ¬ϕ(c; a2 )). Пусть примитивная формула ϕ(x; y) имеет вид (∃z(P (z) ∧ Φ(z; x; y)) ∧ P (x′ )), где Φ — примитивная формула в языке теории T , кортеж x′ состоит из некоторых элементов кортежей x, y. Таким образом, найдутся такие кортежи b1 , b2 и d1 структуры N , что (1) N |= (Φ(bi ; e; ai ) ∧ P (bi )), i ∈ {1, 2}; (2) N |= (Φ(d1 ; c; a1 ) ∧ P (d1 )); (3) N |= ¬Φ(f ; c; a2 ) для любого f ∈ P (N ). Рассмотрим примитивные эквивалентности α(x1 , x2 ) = xΦ и β(z1 , z2 ) = (z)Φ. Для кортежа a длины n = l(y) введем обозначения: A(a) = = ∃zΦ(z, N, a), B(a) = ∃xΦ(N ; x; a). Структура N примитивно нормальна,


327

поэтому при различных a множества A(a) либо совпадают, либо не пересекаются (то же самое верно для B(a)). Ясно, что для любого кортежа a длины n формула Φ(z; x; a) определяет взаимно однозначное соответствие F a между множествами A(a)/α и B(b)/β. Таким образом, для произвольных кортежей a, b длины n, для которых A(a) = A(b), формула ∃x(Φ(z1 ; x; a) ∧ Φ(z2 ; x; b)) определяет взаимно однозначное соответствие G(a; b) между B(a)/β и B(b)/β, оно выражается композицией (F a )−1 ◦ F b . Так как кортеж e принадлежит обоим множествам A(a1 ) и A(a2 ), то получаем A(a1 ) = A(a2 ). Из (1)—(3) получаем (4) G(a1 , a2 )(b1 /β) = b2 /β; (5) (G(a1 , a2 )(d1 /β) ∩ (P (N ))m ) = ∅, где m = l(z). Так как P (N ) — элементарная подсистема ограничения структуры N на язык теории T , то найдутся такие кортежи f 1 , f 2 , d2 ∈ P (N ), что (6) G(f 1 , f 2 )(b1 /β) = b2 /β; (7) G(f 1 , f 2 )(d1 /β) = d2 /β. Из (4), (6) и поскольку структура N примитивно нормальна, отображения G(a1 , a2 ) и G(f 1 , f 2 ) совпадают. Это противоречит (5) и (7). 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть T — примитивно нормальная теория языка L, Θ = hN, M i, Θ |= T P , a ∈ N , ϕ(x, y) — примитивная формула языка LP , l(a) = l(y). Тогда существуют примитивная формула Ψ(x, z) языка L и кортеж m ∈ M , для которых выполняется равенство Ψ(M, m) = (ϕ(Θ, a) ∩ M ). При этом для всех кортежей a с условием (ϕ(Θ, a)∩M ) 6= ∅ существует одна и та же такая формула Ψ(x, z). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если (ϕ(Θ, a)∩M ) = ∅, то в качестве Ψ(x, m) можно взять формулу (x1 = m1 ∧ x1 = m2 ), где m1 , m2 — различные элементы M . Предположим противное, т. е. существует кортеж m ∈ ∈ (ϕ(Θ, a) ∩ M ). В этом случае в силу теоремы 1 и замечания 1 можно

328


считать, что a ∈ M . Пусть примитивная формула ϕ(x; y) имеет вид ∃z(P (z) ∧ Φ(z; x; y) ∧ P (x′ )), где Φ — примитивная формула языка L, кортеж x′ состоит из некоторых элементов кортежей x, y. Учитывая, что M 4 N , в качестве Ψ(x, m) можно взять формулу ∃zΦ(z, x, a). 2 СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть T — примитивно нормальная теория, а любая модель N теории T P обладает элиминацией кванторов до примитивных формул, т. е. для любой формулы Φ существует булева комбинация Γ примитивных формул, эквивалентная в N формуле Φ. Тогда имеет место заключение предложения 3 для произвольных формул (т. е. утверждение верно при удалении слова ”примитивная“). 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория T называется антиаддитивной, если она примитивно нормальна и в ее моделях нет бесконечных аддитивных множеств. Отметим, что в силу [2, предлож. 6, 8, 9] для примитивно нормальной теории T ее антиаддитивность равносильна отсутствию обобщенного терма Мальцева Φ(x; y; z; w) на примитивном множестве X с условием |X/xΦ| > ω. ТЕОРЕМА 2. Пусть T — примитивно нормальная теория. Тогда свойства антиаддитивности теории T и теории элементарных пар T P равносильны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что антиаддитивность теории T P влечет антиаддитивность теории T . Предположим, что теория T P не является антиаддитивной, а Θ = = hN, M i — модель теории T P , в которой существует бесконечное о. п. аддитивное множество. Взяв соответствующее элементарное расширение, можно считать, что Θ — ω-насыщенная структура. В силу [2, предлож. 6, 8, 9] существуют примитивное множество X и примитивная формула ϕ(x; y; z; w) языка LP , определяющая в Θ терм Мальцева на некотором бесконечном о. п. множестве X/α, где α ↾ X = xϕ ↾ X = yϕ ↾ X = zϕ ↾ X = wϕ ↾ X.


329

Пусть ϕ(x; y; z; w) = ∃v(P (v) ∧ Φ(x; y; z; w; v) ∧ P (u)), где Φ — примитивная формула языка L теории T , а кортеж u состоит из переменных, входящих в кортежи x, y, z, w. Если ϕ(x; y; z; w) определяет терм Мальцева на некотором о. п. множестве Y , то формула ϕ1 (x; y; z; w) = ∃v(P (v) ∧ Φ(x; y; z; w; v)) также определяет терм Мальцева на Y . В силу [2, док-во предлож. 9] можно считать, что X = ψ(N ; a), где ψ(x, a) = (ϕ(a, a, x, x) ∧ ϕ(x, x, a, a) ∧ ϕ(x, a, a, x) ∧ ϕ(a, x, x, a))

(1)

для некоторого a ∈ X. Возьмем произвольный b ∈ X. Из равенства X = = ψ(N ; a) получаем (ϕ(a, a, b, b) ∧ ϕ(b, b, a, a) ∧ ϕ(b, a, a, b ∧ ϕ(a, b, b, a)), следовательно, выполняется ψ(a; b). Из истинности ψ(a; a) и поскольку T примитивно нормальна, получаем ψ(N ; b) = ψ(N ; a). Таким образом, X = ψ(N ; b) для любого b ∈ X. Будем говорить, что примитивное множество U имеет бесконечный (конечный) индекс в аддитивном о. п. множестве Z, если (U ∩ Z ∗ ) 6= ∅ и множество Z ∗ /β бесконечно (конечно), где β — примитивная эквивалентность из п. (1) предложения 2 для X = Z. (Корректность этого определения следует из п. (2) предложения 2.) Далее воспользуемся тем, что о. п. подмножество аддитивного о. п. множества является аддитивным [2, предлож. 10]. С л у ч а й 1: найдутся такие примитивная формула ϕ0 (x; u; v) языка LP

и кортежи b ∈ M , c ∈ N , что примитивное множество ϕ0 (N ; b; c) имеет

бесконечный индекс в о. п. множестве Y /α, где Y = (X ∩ ∃u(P (u) ∧ ϕ0 (N ; u; c)).

330

Е. А. Палютин Рассмотрим примитивное множество V = {b | b ∈ M, (X ∩ ϕ0 (N ; b; c))) 6= ∅}

в структуре Θ и примитивную формулу ϕ2 (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; c; b) = ∃x1 . . . ∃x4 ((ψ(x1 ; b) ∧ ϕ0 (x1 ; u1 ; c)) ∧ . . . ∧ (ψ(x4 ; b) ∧ ϕ0 (x4 ; u4 ; c)) ∧ ϕ1 (x1 ; x2 ; x3 ; x4 )) языка LP . Так как ϕ1 (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) определяет обобщенный терм Мальцева на X, то ϕ2 (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; c; b) определяет обобщенный терм Мальцева на V . Индекс примитивного множества ϕ0 (N ; b; c) в о. п. множестве Y /α бесконечен, поэтому множество V /u1 ϕ2 бесконечно. По предложению 3 найдется формула языка L, определяющая на множестве V то же отношение, что и формула ϕ2 (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; c; b). Таким образом, в структуре M интерпретируется бесконечная группа. С л у ч а й 2: отрицание случая 1. Возьмем произвольный a ∈ X. Рассмотрим формулу γ(x; a; v1 ; . . . ; v5 ) = (Φ(x; x; x; x; v1 ) ∧ Φ(a; a; x; x; v2 ) ∧ Φ(x; x; a; a; v3 ) ∧ Φ(a; x; x; a; v4 ) ∧ Φ(x; a; a; x; v5 )). Так как формула ϕ определяет обобщенный терм Mальцева на X, то найдутся такие кортежи b1 , . . . , b5 ∈ M , что a ∈ Y = γ(N ; a; b1 , . . . , b5 ). Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса является подгруппой конечного индекса, поэтому множество Y имеет конечный индекс в X/α, в частности, множество (X ∩ Y )/α бесконечно. Из условия a ∈ Y и поскольку структура N нормальна, для любых i, j ∈ {1, . . . , 5} формулы Φ(x; y; z; w; bi ) и Φ(x; y; z; w; bj ) эквивалентны в структуре N . Таким образом, можно считать, что b1 = . . . = b5 , т. е. Y = γ1 (N ; a; b1 ), где γ1 (x; a; z) = γ(x; a; z; . . . ; z). Возьмем произвольные d, e ∈ Z = (X ∩ Y ). Из условий Φ(a; a; a; a; b1 ), Φ(a; a; e; e; b1 ) и Φ(d; d; a; a; b1 ) и поскольку структура N примитивно нормальна, получаем Φ(d; d; e; e; b1 ). Аналогично из условий Φ(a; a; a; a; b1 ), Φ(a; e; e; a; b1 ) и Φ(d; a; a; d; b1 ) получаем Φ(d; e; e; d; b1 ).


331

Таким образом, примитивная формула Φ(x; y; z; w; b1 ) определяет обобщенный терм Мальцева на Z. Если d, e ∈ Z и условие α(d; e) не выполняется, то в силу равенства xϕ1 ↾ X = α ↾ X условие (xϕ1 )(d; e) также не выполняется. Ясно, что имеет место xΦ ⊆ xϕ1 , поэтому и условие (xΦ)(d; e) не выполняется. Следовательно, множество Z/α бесконечно. Так как формулы Φ и γ1 имеют язык L, а M — элементарная подструктура структуры N , то для любого n ∈ ω найдется такой кортеж an ∈ M , что примитивная формула Φ(x; y; z; w; b1 ) определяет терм Мальцева на множестве Yn = γ1 (M ; an ; b1 )/xΦ и выполняется условие |Yn | > n. В силу ω-насыщенности структуры M в ней интерпретируется бесконечная группа. 2

§ 3. Примитивно связные теории В дальнейшем через N будет обозначаться некоторая структура языка L и все множества будут содержаться в ее носителе. Приведем некоторые определения из [1]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Φ(x, y, z) — формула языка L; X, Y — множества кортежей элементов из N длины l(x) и l(y) соответственно. Будем говорить, что множества X, Y связаны (в N ) с помощью формулы Φ(x, y, a), a ∈ N, если (a) ∀c ∈ X ∃d ∈ Y N |= Φ(c, d, a); (b) ∀d ∈ Y ∃c ∈ X N |= Φ(c, d, a); (c) ∃c ∈ X ∃d ∈ Y N |= ¬Φ(c, d, a). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула Φ(x, y, z), l(x) = l(y), называется (x, y)рефлексивной (в N ) если N |= ∀x∀y∀z(Φ(x, y, z) → (∃zΦ(x, x, z) ∧ ∃zΦ(y, y, z))). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ∆-примитивные копии X, Y называются примитивно связанными (в N ), если существуют (x, x′ )-рефлексивная примитивная формула Φ(x, x′ , y) языка L и кортеж a ∈ N такие, что Φ(x, x′ , a) связывает X и Y .

332

Е. А. Палютин ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Структура N называется примитивно связной,

если N примитивно нормальна, а любые ∆-примитивные копии X, Y множеств элементов структуры N с условиями |X| > 1 и Y 6= ∅ являются примитивно связанными в N . ЗАМЕЧАНИЕ 2. В [1] в определении примитивной связности теории рассматривалась примитивная связность множеств кортежей элементов. Однако при переходе к проекциям легко видеть, что из примитивной связности всех нетривиальных пар ∆-примитивных копий множеств элементов следует примитивная связность всех нетривиальных пар ∆-примитивных копий множеств кортежей элементов. Таким образом, достаточно рассматривать (как в данной статье) примитивную связность только множеств элементов. Нетрудно понять, что свойство структуры быть примитивно нормальной сохраняется при переходе к элементарно эквивалентным структурам. Для примитивно связных структур это неверно (см. контрпример в § 5). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория T называется примитивно связной, если она примитивно нормальна и каждая |T |+ -насыщенная модель теории T является примитивно связной. ЗАМЕЧАНИЕ 3. В [1] в определении примитивно связной теории T требовалась примитивная связность так называемой монстр-модели C, т. е. такой модели теории T , которая насыщена во всех рассматриваемых в доказательствах мощностях. Однако, нетрудно проверить, что в рассуждениях там использовалась только |T |+ -насыщенность структуры C. Кроме того, здесь дается определение примитивно связной не обязательно полной теории, поэтому нельзя, как там, ограничиться одной моделью C. С другой стороны, как покажет следующее предложение, для полной теории T в определении примитивно связной теории можно слово ”каждая“ заменить на ”некоторая“. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть A, B — элементарно эквивалентные κ-насыщенные структуры языка L, κ = |L ∪ ω|+ , A примитивно связна. Тогда B примитивно связна.


333

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X, Y — ∆-примитивные копии в B. Поскольку примитивная нормальность сохраняется при элементарной эквивалентности, B примитивно нормальна. Следовательно, существуют множество примитивных формул Σ(x, C) с параметрами из C ⊆ B, |C| 6 κ, и отображение f : C → B такие, что X = Σ(B, C) и Y = Σ(B, f (C)), где Σ(B, C) — множество реализаций Σ(x, C) в структуре B, а Σ(x, f (C)) получается из Σ(x, C) заменой каждого параметра a ∈ C на f (a). В силу κ-насыщенности структуры A найдутся такие множество C′

= {a′ | a ∈ C} ⊆ A и отображение f ′ : C ′ → A, что hB; a, f (a)ia∈C ≡

≡ hA; a′ , f ′ (a′ )ia∈C . Так как структура A примитивно связна, то существует (x, y)-рефлексивная примитивная формула Φ(x, y, b), b ∈ A, примитивно связывающая примитивные копии X ′ = Σ(A, C ′ ) Y ′ = Σ(A, f ′ (C ′ )). По κ-насыщенности структуры B найдется такой кортеж b∗ ∈ B, что hB; b∗ , a, f (a)ia∈C ≡ hA; b, a′ , f ′ (a′ )ia∈C . Из этой эквивалентности, теоремы компактности и κ-насыщенности структуры A получаем, что Φ(x, y, b∗ ) связывает X и Y . 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X, Y — о. п. копии, α — их образующая эквивалентность. (1) Будем говорить, что X связано (в N ) с Y с помощью формулы Φ(x, y, z), если для некоторого кортежа элементов c выполняются следующие условия: (a) для любых a1 ∈ X ∗ , b1 ∈ Y ∗ существуют такие a2 ∈ X ∗ и b2 ∈ Y ∗ , что в N истинны Φ(a1 , b2 , c) и Φ(a2 , b1 , c); (b) для любого a ∈ X ∗ множество Φ(a, N, c) является (α ↾ Y ∗ )замкнутым и не содержит Y ∗ ; (c) для любого b ∈ Y множество Φ(N, b, c) является (α ↾ X ∗ )замкнутым и не содержит X ∗ . (2) Будем говорить, что X примитивно связано с Y , если существует (x, y)-рефлексивная формула Φ(x, y, z) такая, что X связано с Y с помощью формулы Φ(x, y, z). ЗАМЕЧАНИЕ 4. Данное выше определение примитивно связной теории отличается от предложенного в [1], где кроме связанности ∆-прими-

334


тивных копий требовалась также связанность обобщенно примитивных копий, однако эти определения равносильны, а именно, имеет место ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5 [2]. Если в примитивно нормальной |L ∪ ω|+ насыщенной структуре N языка L любые ∆-примитивные копии X, Y с условиями |X| > 1 и Y 6= ∅ являются примитивно связанными, то в N примитивно связаны любые обобщенно примитивные копии X, Y с условиями |X| > 1 и Y 6= ∅. ТЕОРЕМА 3. Пусть T — примитивно связная теория. Тогда теория элементарных пар T P также является примитивно связной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 теория T P примитивно нормальна. Пусть Θ = hN, M i — некоторая |T |+ -насыщенная модель теории T P . Пусть X, Y — некоторые ∆-примитивные копии множеств элементов в Θ, |X| > 1, Y 6= ∅. Покажем, что X и Y примитивно связаны в Θ. Возьмем произвольные a ∈ X и b ∈ Y . Так как теория T P примитивно нормальна и в силу замечания 1, существуют такие примитивные эквиT T валентности αi (x; y), i ∈ I, что X = {αi (Θ; a) | i ∈ I} и Y = {αi (Θ, b) | i ∈ I}. Будем считать, что множество формул {αi (x; y) | i ∈ I} замкнуто относительно конъюнкции. Поскольку формулы αi , i ∈ I, примитивны и выполняется Θ |= ∀x∀y(α(x, y) → α(y, x)), можно считать, что αi (x; y) = ∃zi (P (zi ) ∧ Φi (zi ; x, y)), i ∈ I,

(2)

αi (x; y) = ∃zi (P (zi ) ∧ Φi (zi ; x, y) ∧ P (x) ∧ P (y)), i ∈ I,

(3)

или

где Φi являются примитивными формулами языка L. С л у ч а й 1: формулы αi имеют вид (3). Тогда X ⊆ M и Y ⊆ M . В силу предложения 3 множества X и Y являются примитивными копиями в структуре M . По примитивной связности теории T существует примитивная формула Φ, связывающая X и Y в M . Так как M — элементарная подструктура структуры N , то эта формула будет связывать X и Y в Θ. С л у ч а й 2: формулы αi имеют вид (2) и для каждого i ∈ I существуют такие кортежи mi , ni ∈ M , что X ⊆ Φi (mi ; N, a) и Y ⊆ Φi (ni ; N, b).

Элементарные пары примитивно нормальных теорий Тогда X =

T

{Φi (mi ; N, a) | i ∈ I} и Y =

T

335

{Φi (mi ; N, b) | i ∈ I}, т. е. мно-

жества X и Y являются ∆-примитивными копиями в структуре N (языка L), а следовательно, примитивно связаны, так как теория T примитивно связна. С л у ч а й 3: формулы αi имеют вид (2) и нарушаются условия случая 2. В силу симметричности X и Y существуют такие i0 ∈ I, m1 , m2 ∈ M , что (X ∩ Φi0 (mi ; N, a)) 6= ∅, i ∈ {1, 2}, и (Φi0 (m1 ; N, a) ∩ ∩Φi0 (m2 ; N, a)) = ∅. Рассмотрим примитивные формулы Ψi (z; y) = (P (z) ∧ ∃x(Φi0 (z; x, y) ∧ αi (x, y))), i ∈ I, T и ∆-примитивные в структуре Θ копии U = {Ψi (Θ, a) | i ∈ I} и V = T = {Ψi (Θ, b) | i ∈ I}. По предложению 3, U и V являются ∆-примитивными копиями в структуре M . Из |T |+ -насыщенности структуры Θ получаем равенства U = {m | m ∈ M, (Φi0 (m; N, a) ∩ X) 6= ∅}, V = {m | m ∈ M, (Φi0 (m; N, b) ∩ Y ) 6= ∅}. Пусть β = (z)Φi0 . Из m1 , m2 ∈ U следует |U/β| > 2. Так как Y ⊆ ⊆ ∃z(P (z) ∧ Φi0 (z; N, b)), то |V /β| = 6 ∅. В силу предложения 5 и примитивной связности теории T , о. п. множества U/β и V /β примитивно связаны с помощью (z; z′ )-рефлексивной примитивной формулы χ(z, z′ ; c) языка L, c ∈ M . Ясно, что примитивная формула κ(x, x′ , a, b, c) = ∃zz′ (P (z) ∧ P (z′ ) ∧ Φi0 (z, x, a) ∧ Φi0 (z′ , x′ , b) ∧ χ(z, z′ ; c)) является (x; x′ )-рефлексивной и связывает ∆-примитивные копии X и Y . 2 В [1] доказано, что любая формула в примитивно связной теории эквивалентна булевой комбинации примитивных формул. Из этой элиминации кванторов, теоремы 3 и следствия 1 вытекает СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть T — примитивно связная теория, Θ = = hN, M i, Θ |= T P , a ∈ N , ϕ(x, y) — произвольная формула языка теории

336


T P , l(a) = l(y) и l(x) = n. Тогда существуют формула Ψ(x, z) языка теории T и кортеж m ∈ M , для которых выполняется равенство Ψ(M, m) = (ϕ(Θ, a) ∩ M n ). Отсюда вытекает следующее обращение теоремы 3: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Если теория элементарных пар T P примитивно связна, то теория T также является примитивно связной. В [4] изучался особый класс примитивно связных теорий, наиболее похожий на модули над ассоциативным кольцом, а именно, класс аддитивных теорий. Напомним ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (1) Множества X и Y аддитивно связаны, если они связаны с помощью такой hx, yi-рефлексивной формулы Φ(x, y, z), что для любых a ∈ X, b ∈ Y и некоторого c ∈ C верно Φ(a, b, c). (2) Теория T называется аддитивной, если она примитивно нормальна и в любой |T |+ -насыщенной T -модели N любые ∆-примитивные копии X, Y множеств элементов структуры N с условиями |X| > 1 и Y 6= ∅ аддитивно связаны в N . ТЕОРЕМА 4. Пусть T — примитивно связная теория. Тогда свойства аддитивности для теории T и теории элементарных пар T P равносильны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 3 теория T P примитивно связана. Из следствия 2 сразу получаем, что аддитивность теории T P влечет аддитивность теории T . Обратное вытекает из доказательства теоремы 3. 2

§ 4. P -стабильность Понятие P -стабильной теории ввёл Т. Г. Мустафин (см. [5, 6]). Оно является частным случаем понятий T ∗ -стабильной [5] и E ∗ -стабильной [7] теорий, которые, в свою очередь, обобщают понятие стабильной теории (см. [8, 9]). Приведем здесь одно из эквивалентных определений P стабильности.


337

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть T — теория. Для T -модели M положим Q(M ) = {Th(hN ; N0 , ai)a∈M | M 4 N0 4 N }, где через ThhN ; N0 , ai)a∈M обозначается теория обогащения структуры N новым одноместным предикатом P , выделяющим элементарную подструктуру N0 , и новыми константами для каждого элемента a ∈ M . Теория называется P -стабильной, если существует такой кардинал κ > |T |, что для любой T -модели M мощности |M | 6 κ выполняется неравенство |Q(M )| 6 κ. ТЕОРЕМА 5. Пусть теория T примитивно связна. Тогда T является P -стабильной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение теоремы можно получить из следствия 2 и теоремы о характеризации E ∗ -стабильных теорий [7, теор. 1], так как из следствия 2 вытекает условие (2) этой характеризации. Однако отметим, что используемая часть этой теоремы является довольно простой и можно с помощью следствия 2 сразу получить оценку |Q(M )| 6 |λ1 ||T | , где λ1 = max{|M |, |T |, ω}. Поскольку |(2λ )λ | = 2λ для любого бесконечного кардинала λ, в качестве искомого κ можно взять мощность 2|T | . 2

§ 5. Контрпример В этом параграфе будет построен пример примитивно связной теории T ∗ , у которой имеются модели, не являющиеся примитивно связными. Заметим, что среди теорий модулей таких примеров нет. Язык L∗ теории T ∗ состоит из счетного множества символов двухместных отношений {α} ∪ {βn | n ∈ ω} и двух символов 4-х местных отношений µ и r. Аксиомы теории T ∗ описывают следующие свойства ее моделей A: (a) отношение α определяет эквивалентность на A с тремя классами эквивалентности B0 , B1 и B2 (b) предикат µ(x, y, z, w) определяет на каждом классе Bi , i 6 2, аффинную элементарную 2-группу Bi , т. е. определяет аффинное сложение

338


w = x − y + z в некоторой группе G, заданной на множестве Bi и удовлетворяющей условию 2G = G; (c) предикаты βi определяют эквивалентности на множестве A, и для каждого a ∈ Bj множество (βi a ∩ Bj ) является аффинной подгруппой группы Bj ; (d) β0 = A2 , и для любых k ∈ ω, i ∈ {0, 1, 2}, a ∈ Bi выполняются βk+1 ⊆ βk и |(βk a ∩ Bi )/βk+1 | = 2; (e) для любых k ∈ ω, a ∈ Bi , b ∈ Bj формула r(x, y, a, b) определяет в A изоморфизм аффинных групп (βk a ∩ Bi ) и (βk b ∩ Bj ), причем истинно r(a, b, a, b), и если i = j, то для любых c, d ∈ Bi имеет место r(c, d, a, b) ⇔ ⇔ µ(b, a, c, d). Пусть язык L∗n получается из языка L∗ удалением предикатных символов βi для всех i > n. Нетрудно проверить, что для любого n ∈ ω ограничение T ∗ на язык L∗n счетно категорично, следовательно, теория T ∗ является полной. Построим модель теории T ∗ , не являющуюся примитивно связной. Возьмем некоторую счетную элементарную 2-группу B (т. е. счетную группу B с условием 2B = {0}). Определим структуру A0 с носителем A0 = = (0 B ∪ 1 B ∪ 2 B), где 0 B, 1 B и 2 B — копии группы B. Для элемента a ∈ B через i a, i ∈ {0, 1, 2}, обозначаются соответствующие копии из i B числа a. Отношение α определяет эквивалентность на множестве A0 с тремя классами эквивалентности: 0 B, 1 B и 2 B. Предикат r определяется так: A0 |= r(i a, j b, k c, l d) ⇔ (i = k, j = l, j b = j (d − c + a)). Возьмем убывающую последовательность подгрупп Hi , i ∈ ω, группы B с T условиями H0 = B, {Hi | i ∈ ω} = {0} и |Hi /Hi+1 | = 2, i ∈ ω. Выберем также убывающую последовательность классов смежности Zi по подгрупT пам Hi , i ∈ ω, с условием {Zi | i ∈ ω} = ∅. Предикаты βi определяют эквивалентности на множестве A0 , причем для каждого i ∈ ω (α ∩ βi )классы являются копиями классов смежности по подгруппе Hi . Для каждого i ∈ ω определим сначала один βi -класс Xi через его пересечения с j B,

j ∈ {0, 1, 2}, следующим образом: (Xi ∩ j B) = j Hi для j ∈ {0, 1} и


339

(Xi ∩ 2 B) = 2 Zi . Для любого элемента a ∈ j B βi -класс βi a определим через его пересечения с k B, k ∈ {0, 1, 2}, по правилу: возьмем некоторые элементы c ∈ (Xi ∩ j B), d ∈ (Xi ∩ k B) и положим (βi a ∩ k B) = {b | A |= r(a′ , b, c, d) для некоторого a′ ∈ (α ∩ βi )a}. Ясно, что структура A является моделью теории T ∗ . Рассмотрим ∆T T примитивные копии X = {Xi | i ∈ ω} и Y = {βi 0 Zi | i ∈ ω}. Очевидно, X = {0 0, 1 0} и Y = {2 0}, поэтому эти множества не могут быть примитивно связанными. Для проверки того, что ω1 -насыщенные модели теории T ∗ примитивно связаны, достаточно показать, что любые примитивные копии X и Y либо являются (α ∩ βi )-классами для некоторого i ∈ ω, т. е. связаны отношением r, либо каждая из них пересекается со всеми α-классами, т. е. α связывает X и Y . Данный факт вытекает, например, из того, что моделью T ∗ может служить структура, полученная из абелевой группы Z3 × Z2ω обеднением и последующим добавлением соответствующих выделенных (с помощью предикатов) подгрупп, а отношения µ и r являются соответствующими линейными комбинациями.

ЛИТЕРАТУРА 1. Е. А. Палютин, Примитивно связные теории, Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 145—169. 2. Е. А. Палютин, Антиаддитивные примитивно связные теории, Алгебра и логика, 42, N 4 (2003), 473—496. 3. S. Shelah, Classiﬁcation theory and the number of non-isomorphic models (Stud. Logic Found. Math., 92), Amsterdam, North-Holland, 1978. 4. E. A. Palyutin, Additive theories, in: Proc. Logic Colloq.’98, Prague (Lect. Notes Math. Logic, 13), ASL, Massachusetts, 2000, 352—356. 5. Т. Г. Мустафин, Новые понятия стабильности теорий, в сб. ”Труды советско-французского коллоквиума по теории моделей“, Караганда, 1990, 112—125.

340

Е. А. Палютин 6. Т. Нурмагамбетов, Б. Пуаза, О числе элементарных пар над множествами, в сб. ”Труды французско-казахстанского коллоквиума по теории моделей“, Алматы, 1995, 73—82. 7. Е. А. Палютин, E ∗ -стабильные теории, Алгебра и логика, 42, N 2 (2003), 194—210. 8. M. D. Morley, Categoricity in power, Trans. Am. Math. Soc., 114, N 2 (1965), 514—538. 9. S. Shelah, Stable theories, Isr. J. Math., 7, N 3 (1969), 187—202.

Поступило 19 декабря 2002 г. Адрес автора: ПАЛЮТИН Евгений Андреевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]

Элементарные пары примитивно нормальных теорий

Recommend Documents