Теория упругости

WITOLD NOWACKI

TEORIA SPR£2YSTOSCI Paiistwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1970

В. НОВАЦКИЙ

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Перевод с польского Б. Е. ПОБЕДРИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА

1975

УДК 539.3

Монография известного польского ученого В. Новацкого представляет собой учебник повышенного типа по теории упругости. От известных руководств по этому предмету книгу отличает то, что автор положил в основу связанную задачу термоупругости, а классическую теорию упругости и теорию температурных напряжений изложил как ее частные случаи. Большое место занимают в монографии динамические задачи, в частности задачи о распространении волн. Книга написана на высоком математическом уровне и предназначена научным работникам и инженерам-конструкторам, занимающимся проблемами деформируемого твердого тела и теоретическими вопросами сопротивления материалов. Ее можно использовать и как учебное пособие для студентов-механиков университетов.

Редакция литературы по математическим наукам

Н

Q41 (0D-75 " ~ ^ "

©

Перевод на русский язык, «Мир», 1975

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА Эта монография написана известным специалистом, вице-президентом Польской Академии Наук Витольдом Новацким. Она представляет собой расширенный университетский курс теории упругости. Несмотря на достаточно высокий математический уровень, книга является весьма доступной, ибо автор всякий раз подробно разъясняет используемые понятия, которые выходят за рамки втузовской программы. Поэтому книгу можно рекомендовать для первого ознакомления с предметом. Вместе с тем основные разделы классической теории упругости освещены в ней настолько полно, что она может служить и справочным пособием для специалистов-механиков и инженеров-прочнистов. От известных книг монографию Новацкого отличает прежде всего то, что автор положил в основу связанную задачу термоупругости, а классическую теорию упругости и теорию температурных напряжений изложил как ее частные случаи. Характерно также, что автор уделил очень большое внимание динамическим задачам теории упругости; впервые в книге такого рода приводится математическое описание континуума Коссера. Монография содержит и ряд оригинальных результатов, полученных автором (кручение бруса, имеющего трещины, распространение термоупругих волн, несимметричная упругость и др.). Следует отметить, что в книге отсутствуют некоторые разделы, традиционно читающиеся в университетском курсе теории упругости (например, методы решения задач, основанные на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно, контактные задачи теории упругости, теория конечных деформаций). Однако на русском языке имеются монографии, в которых эти вопросы хорошо освещены ' ) . При переводе была использована наиболее употребительная в отечественной литературе терминология. Исключение состав-

') См., например, Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, «Наука», М., 1970; Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости.Гостехиздат, М., 1953; Новожилов В- В., Теория упругости, Судпромгиз, Л-, 1958-

От переводчика

ляют часто используемые автором термины «эластостатика» и «эластокинетика», под которыми понимается соответственно статическая и динамическая задачи теории упругости. При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточности. Работа по переводу велась в постоянном контакте с автором, который специально для русского издания переработал главу 5 и внес несколько изменений в другие главы, а также прислал список опечаток и исправлений. За все это я приношу автору свою глубокую благодарность. Б. Победря

ПРЕДИСЛОВИЕ Теория упругости занимается деформацией и движением упругого тела. Основы этой теории заложили математики и механики XIX века (Коши, Лагранж, Навье, Пуассон, Сен-Венан, Кирхгоф, Бетти). Развиваемая главным образом математиками как раздел математической физики, она приобрела в 20—30-е годы нашего столетия неизменную, почти классическую форму. В эти годы появились новые разделы механики деформируемых тел: теория пластичности и реология. Этим разделам уделялось наибольшее внимание. Однако в последнее двадцатилетие наблюдается возрождение теории упругости, бурное развитие ряда ее разделов. Причину этого явления следует искать в значительном прогрессе, достигнутом во многих областях техники, и прежде всего в химической промышленности, ядерной физике и конструировании летательных аппаратов. Поскольку разного рода конструкции работают при все более высоких температурах, усиленное внимание исследователей привлекла теория температурных напряжений. В связи с этим узкий дотоле раздел теории упругости получил существенное развитие. Более того, возникла новая область, называемая термоупругостью, которая представляет собой синтез классической теории упругости и теории теплопроводности. В последнем двадцатилетии развивалась также нелинейная теория упругости — так называемая теория конечных деформаций. В то же время мы являемся свидетелями возрождения теории несимметричной упругости: первые работы по этой теории опубликованы братьями Коссера в 1910 г., но только сейчас она нашла приложения к некоторым упругим средам. В настоящей монографии автор хотел отразить указанные тенденции развития теории упругости. Поэтому изложение предмета несколько необычно. Исходным пунктом стала термоупругость, опирающаяся на термодинамику необратимых процессов. Только на этой основе излагаются классические разделы теории упругости, такие, как эластостатика, эластокинетика, и новые разделы — теория температурных напряжений и связанная термоупругость.

8

Предисловие

Монография состоит из трех частей. В первой, содержащей три главы, даются общие основы теории упругости, обсуждаются деформированное и напряженное состояния и связь между этими состояниями и температурой. Излагаются термодинамические основы деформаций и выводятся общие дифференциальные уравнения термоупругости для анизотропной среды. Вторая часть касается эластостатики изотропных тел и охватывает пять глав. Материал, содержащийся в этой части, стал уже классическим. Однако ввиду его большого практического значения он излагается широко и подробно. В этой части обсуждаются основные принципы и теоремы эластостатики, методы решения ряда двумерных и трехмерных задач и, наконец, приводится теория установившихся температурных напряжений и дисторсии. Третья часть посвящена динамическим задачам теории упругости. В настоящей монографии эта часть занимает необычно много места. Это объясняется стремительным развитием указанного раздела в последние годы, главным образом в области распространения упругих волн. В этой части представлены основные теоремы и методы классической эластокинетики, теории неустановившихся температурных напряжений и связанной термоупругости. В последней главе как бы синтезируется все изложенное в третьей части: она заключает в себе основы теории несимметричной термоупругости. Отсюда как частные случаи получаются остальные теории, рассмотренные в третьей части. Основу этой монографии составили лекции для студентов отделения механики физико-математического факультета Варшавского университета. Я полагаю, что эта книга, возникшая в результате разработки и расширения указанных лекций, может заинтересовать широкий круг читателей, прежде всего научных работников и инженеров-конструкторов, занимающихся проблемами механики деформируемого тела и теоретическими проблемами сопротивления материалов. В. Новацкий

К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Это издание лишь незначительно отличается от польского: в нем переработана пятая глава и устранены некоторые недочеты. Книга содержит существенно расширенный материал факультативных лекций, которые в течение ряда лет читались студентам отделения механики факультета математики и механики Варшавского университета. Я стремился в ней обратить особое внимание читателей на термодинамический подход к теории упругости, при котором температурные поля и поля деформаций рассматриваются как единое целое. При таком подходе эластостатика и эластокинетика появляются как частные случаи общей теории. Я очень рад, что моя книга издается в Советском Союзе, и надеюсь, что она найдет новых читателей. Витольд Новацкий Варшава, 16 мая 1974 г.

Часть I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Глава 1 ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 1.1. Упругость. Сплошная среда Опыт показывает, что твердое тело под влиянием внешних воздействий изменяет свою форму. К внешним воздействиям относятся поверхностные нагрузки, массовые силы, нагревание или охлаждение тела. Если деформация тела не превышает некоторых пределов, то при достаточно медленном снятии внешних воздействий оно возвращается к своему первоначальному состоянию. Если снять внешние воздействия мгновенно, то тело совершает свободные колебания. Однако вследствие внешнего и внутреннего сопротивления тело по истечении некоторого времени возвращается в состояние равновесия, принимая свою первоначальную форму. Такое свойство твердого тела называется упругостью. При значительных деформациях снятие внешних воздействий не приводит к полному исчезновению деформации. Сохраняется некоторая остаточная деформация тела. Эти остаточные деформации называются пластическими. Математическая теория упругости старается выяснить изменения геометрического и механического состояния тела в процессе его деформации. Речь идет об определении и оценке геометрических величин, характеризующих деформации тела, а также об оценке внутренних сил, называемых напряжениями, которые возникают в процессе деформации. Для анализа деформированного и напряженного состояний применяются методы математической физики. Для этого определяется понятие сплошной среды, ее плотности, рассматриваются геометрические величины, описывающие изменения тела, внутренние силы, их связь с внешними воздействиями. Соотношения между внутренними силами и деформациями берутся из эксперимента. Поэтому теория упругости является феноменологической теорией.

12

Гл. 1. Деформированное состояние

В теории упругости пользуются теоретической, идеализированной и упрощенной, моделью твердого тела в виде «мате-

риального

континуума-» или «.материальной сплошной

среды».

Пренебрегая молекулярной структурой тела, а стало быть, опуская ряд реальных свойств твердого тела, мы принимаем модель непрерывного размещения материи в пространстве. «Размазывая» атомную и молекулярную структуру тела, мы рассматриваем его как трехмерное евклидово пространство, точки которого совпадают с частицами тела. Материальный континуум трактуется как непрерывная среда в математическом смысле. Поэтому предполагается, что близкие точки переходят после деформации также в близкие точки. Возможность пояйления во время деформации трещин и пустот в теле исключается. Непрерывное распределение материи в некоторой области тела можно охарактеризовать с помощью одной скалярной величины, а именно плотности. Эту величину мы определим следующим образом. Рассмотрим точку Р, окруженную замкнутой поверхностью, охватывающей область с объемом AV. Содержащуюся в этой области массу обозначим через ДМ. В силу предположения о непрерывности среды, определим плотность р в точке Р как предел отношения AM/AV при стремлении к нулю объема &V: ,пч

,.

ДМ (Я)

р ( Р ) = lim о

v *v

A

dM

=-W'

... ! )

a v

Этот предел определяет р как функцию непрерывную и дифференцируемую в области, занятой телом. Полная масса тела определяется формулой

М = J p dV.

v

(2)

Если плотность постоянна в каждой точке тела, то М = pV. Твердое тело, характеризующееся постоянной плотностью, называется однородным телом. В настоящей монографии мы будем заниматься исключительно упругими телами. Под этим мы будем понимать такое идеализированное твердое тело, которое после снятия внешних воздействий возвращается к своему первоначальному положению и форме. При этом мы предполагаем, что существует только одно состояние, характеризующееся отсутствием внутренних сил и деформаций, к которому возвращается тело после снятия внешних воздействий. Это состояние называется естественным состоянием тела. Главным предметом нашего изучения будет линейная теория упругости. В этой теории предполагается, что деформации тела

13

1.2. Деформация тела. Вектор перемещения

являются достаточно малыми, а феноменологические соотношения, связывающие деформированное и напряженное состояния тела, являются линейными. 1.2. Деформация тела. Вектор перемещения Рассмотрим упругое тело, которое в некоторый момент вреt = t0 занимало в евклидовом пространстве область В и находилось в естественном состоянии. Положение каждой точки этой области определяет радиусвектор г == (х\, х2, Хз) в декартовой системе координат Х\, х2, х3. Вследствие приложенных к телу внешних воздействий (нагрузка, нагревание и т. п.) оно в некоторый момент времени t займет м е н и

РИС. 1.1.

в евклидовом пространстве область В'. Точка Р области В переместится в точку Р' области В'. Положение точки Р' описывается в той же самой системе координат х\, х2, *з радиусом-вектором г ' = ИиЪ, 1з)- Во время перемещения материальных точек тело, вообще говоря, изменяет свою форму и объем (рис. 1.1). Соответствие между положением Р(хи х2, х3) материальной точки в момент t = t0 н положением Р' (| l f | 2 , |э) той же материальной точки в момент t должно быть взаимно однозначным и гомеоморфным. Это вытекает из предположения о непрерывности материальной среды. Соответствие между точками Р и Р' описывается соотношениями = li{xv

x 2 , x 3 , f),

i ==• 1, 2 , 3 .

(1) 1

Предположим, что функции \i принадлежат классу С (т. е. непрерывны и имеют непрерывные первые производные) и что преобразование (1) является неособенным. Тогда якобиан = det

дх,

(2)

14

Гл. 1. Деформированное состояние

должен быть отличным от нуля, что позволяет получить соотношения, обратные к (1): *i = *i(Ei. h> ёз. t), ' = 1. 2 - 3 О) Из соотношений (1) — (3) можно извлечь несколько следствий. Материальные точки, лежавшие до деформации на кривой или поверхности, переходят после деформации в точки, лежащие на некоторой кривой или поверхности. Материальные точки, лежавшие до деформации внутри замкнутой поверхности, после деформации также лежат внутри некоторой замкнутой поверхности. Материальные элементы, составлявшие до деформации границу тела, образуют ее и после деформации. Из рис. 1.1 видно, что ~РР' = г' — г = и. (4) Вектор и назовем перемещением точки Р, вызванным деформацией тела. Соотношение (4) можно записать также в виде Отсюда

Щ = Ь — xt,

i=l,

2, 3.

(5)

lt = xt + ui(xl,x2,x3,t). (6) Формула (6) выражает зависимость (в каждый момент t) между параметрами Х\, х2, х3 и | i , | 2 , |з- Каждой точке до деформации соответствует только одна точка после деформации. Формулы (6) можно также рассматривать как преобразование координат. Параметры Хи введенные как декартовы координаты до деформации, можно использовать как криволинейные координаты для описания положения точек после деформации. Предположим, что xl=x')1, X2 = X\ имеют постоянные значения. В этом случае система уравнений (6) будет определять кривую, на которой лежат точки Р', до деформации лежавшие на прямой, параллельной оси х3. Вообще мы утверждаем, что координатные линии х\, х2, х3 в деформированной среде являются линиями, на которых находятся точки, лежавшие до деформации на прямых, параллельных осям декартовой системы координат. Представленное здесь описание поля перемещений связано с именем Лагранжа. Для описания деформации тела мы будем пользоваться координатами xt материальной частицы (точки) тела (в момент t = t0) как независимыми переменными. Поле перемещений Ui(x\,x2, x3, t) в момент t выражаем через положение (xi,x2yx3), занимаемое частицей в момент t = tQ. Наряду с описанием Лагранжа применяется другой способ, в котором в качестве независимых переменных принимаются координаты I,, относящиеся к положению материальной точки в момент t. Это описание, связанное с именем Эйлера, имеет вид */ = h ~ MEi, | 2 . 1з. 0.

I= 1 , 2 , 3 .

(7)

1.3. Тензор деформаций

Если в эти соотношения мы подставим £, = !?, Е2 = ^2' т 0 П0Л Учим из системы (7) систему трех уравнений, описывающую кривую, на которой до деформации лежали точки Р, оказавшиеся после деформации на прямой, параллельной оси х3. Рассмотрим для примера двумерное движение | , = х, ch t -f х2 sh t, | 2 = xx sh t -\- x2 cht. Перемещение иа (а = 1,2) можно выразить либо в координатах ха, либо в координатах | а . Подставляя выражения (8) в уравнения «а = 1а — Ха, О = 1 , 2, (9) получим вектор перемещения в координатах Лагранжа x2(cht—

1).

(

'

Если разрешить уравнения (8) относительно хи х2 и подставить в (9), получим тот же самый вектор перемещения в координатах Эйлера Uj — ^ s h f + laO —chfl-

(11)

1.3. Тензор деформаций Рассмотрим две бесконечно близкие точки недеформированного тела: точку Р с декартовыми координатами Xi и точку Q с координатами xt + dxt. В результате деформации точка Р перейдет в положение Р' с координатами х{ -\- щ = | ь а точка Q переместится в точку Q' с координатами xt + dxt + Щ + dut. Здесь и — вектор перемещения, т. е. вектор с началом в точке Р и концом в точке Р'. Квадрат расстояния между точками Р и Q равен \PQ? = dsl=*dx} + dx\ + dx\ = dxt dxr

(1)

Квадрат расстояния между этими точками после деформации выражается формулой 2

2

Q' F = ds = dl\ + d|2 + rf|! = dh dli-

(2)

Примем описание деформации тела по Лагранжу, вводя в качестве независимых переменных координаты ** материальной точки

16

Гл. 1. Деформированное состояние

до деформации. Так как h = h (xi, x2, x3, t),

1

то )

t = const,

dh^-^-dx,.

(3)

Отсюда, согласно формуле (2), имеем ds2 = db dli = -Ш-4^- dx, dxk.

(4)

Образуя разность квадратов расстояний, находим, что 2

ds — ds\ = ^ - -Щ- — Ь^ dxs dxk = 2ejk dxf dxk.

(5)

Величины

описывают деформацию тела в первоначальных координатах. Здесь 6jft — символ Кронекера, определенный следующим образом: | 1 для j = k,

\Фк.

для Используя соотношение и подставляя в (5) д%,(

=

ди{

+6

выразим величины е^ через производные вектора перемещения: дх, Формула (5) описывает изменение длины линейного элемента ds0 после деформации. Величины е^ характеризуют это из* менение; назовем их составляющими деформированного состояния. Величины е^ образуют тензор второго ранга, что вытекает ') Здесь мы используем соглашение о суммировании. Формула (3) означает, что

17

1.3. Тензор деформаций

из их определения (5) и закона преобразования при переходе к другой системе координат. Исследуем, как преобразуются e]h при переходе к другой системе координат. Обозначим через е«р составляющие деформированного состояния в прямоугольной системе х\. Предположим, что система х\ повернута относительно системы xt, но обе системы координат имеют одно и то же начало. Оси системы координат х\ составляют с осями системы х{ углы, направляющие косинусы которых представлены в следующей таблице: *з

*2


(1 П) . Косинус этого угла выражается по известной формуле Вследствие деформации тела изменяется как длина, так и направление линейных элементов. Обозначая через v*1, v*11 направляющие косинусы линейных элементов, а через е2 > еъ. В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (10) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат xt. Коэффициенты It являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (10) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни

26

Гл. 1. Деформированное состояние

Подставляя е ь е2, е3 поочередно в уравнения (8), получим, пользуясь соотношением (5), три набора направляющих косинусов v^1^ v{?]t v{?\ Эти направляющие косинусы определяют три оси, называемые главными осями. Покажем, что направляющие косинусы v\k)f соответствующие разным корням eh, относятся ко взаимно перпендикулярным прямым. Если v((.u связан с корнем еи a v^2) — с корнем е2, то из уравнения (8) имеем

Умножим первое соотношение на v1;21, а второе на

Левые части этих уравнений идентичны ввиду симметрии тензора etj. Вычитая одно уравнение из другого, имеем

(е, —e a )vi I ) vi 2 ) = 0. Поскольку е{ Ф е2, то v\uvf> = 0, откуда и следует ортогональность главных осей. Вернемся к алгебраическому уравнению (10), которое можно представить в эквивалентном виде (е — е1)(е-е2){е

или

(12)

— е3) = 0,

е3 — («1 + е2 + е3) е2 + (е,е2 + е2е3 + е3е,)е + ехе2еь = 0. (12а) Итак, имеем второй набор инвариантов "2F h = e{e2ez

= -^

Здесь йцк — тензор Леви-Чивиты, т. е. антисимметричный тензор со следующими свойствами. Если два индекса равны, то ещ = 0. Если ijk является четной перестановкой чисел 1, 2, 3, то e,-,ft = 1. Если ijk является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3, то e{jk = = — 1 . Например, £ £

123

= = €

231 "

== €

112 =

312

= =

€

331 =

1>

€

= £

222 =

213

= = £

=

0>

132=

= €

321 =

=

— 1•

Правые части соотношений (13), выраженные через составляющие тензора е^, соответствуют соотношениям (11).

27

1.7. Изменение объема тела

1.7. Изменение объема тела Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с ребрами, параллельными осям ХГ прямоугольной системы координат. Проекции его ребер на оси координат xt выражаются формулами на ось хх: на ось хг\

dxu

на ось х3:

ди3 dx u

ди3 dx , 2

Применяя известную из аналитической геометрии формулу, по которой объем параллелепипеда выражается через его ребра, получим Д1/* = £>ДК, &V = dxldx2dx3, (2) где ди, = 1 + Л° Ф О (3) дх, ап —

— ^

1.

Рассмотрим квадрат определителя £>:

(4) После простых преобразований величину D2 удается выразить через компоненты тензора деформаций е{у. Г)2

и

| s

I п

|

— I °Ц "Г *е11 \Вычисляя последний определитель, получим

/с\

\°)

где /* — инварианты, определяемые формулами (11) из § 1.6. Выражая инварианты It через главные значения тензора деформаций, получим 2

D = 1 + 2 (е, + е2 + е3) + 4 (е,е2 Далее, Д° =

2ех

2е3) -

(6)

28

Гл. 1. Деформированное состояние

Обозначая через A,j (i = 1,2,3) относительные удлинения вдоль главных осей, где

получим из формулы (6) Л° = (1 +A,,)(1 + Я,2)(1 + Лз)— 1. Окончательно изменение объема параллелепипеда зуется формулой ^ 1

=

д=1+Д0

=

(7) характери-

( 1 + я , ) ( 1 + Я 2 )(1+Я 3 ).

(8)

Относительное изменение объема получим из формулы

Эту величину назовем дилатацией. Если относительные удлинения малы по сравнению с единицей, то дилатация является суммой главных удлинений: АУ*-ДК

„

, „

, .

(9)

1.8. Бесконечно малая деформация Упругие тела, все размеры которых соизмеримы между собой, работают, как правило, в области малых деформаций. Исключением является мягкая резина, а также некоторые поли* меры. Поэтому классическая теория упругости основывается на предположении, что деформации настолько малы, что их можно трактовать как бесконечно малые. Это предположение считают справедливым и при проектировании конструкций, в которых один из размеров значительно меньше остальных. В инженерных конструкциях и машинах делают ограничения не только на деформации, но и на прогибы, считая их очень малыми. В настоящей монографии мы ограничимся изучением малых деформаций. Будем заниматься линейной теорией упругости. Будем предполагать, что составляющие вектора перемещения малы по сравнению с каждым размером деформируемого тела, а первые производные перемещений по координатам малы по сравнению с единицей. Произведениями и квадратами первых производных перемещений будем пренебрегать по сравнению с первыми производными. Используя высказанные выше предположения, характерные для линейной теории упругости, опустим в выражении 1 / dUj е

duk

ди[

dUi \

1Ь — ~2 \~д% + ~dxj + ~dxj ~dx^J

( '

29

1.8. Бесконечно малая деформация

нелинейный член. Принимая для тензора малых деформаций обозначение Sjh, получим г \ ахк

откуда е

Ь

12

1 / dui 2 \ дх2

, '

ди\ п — Лг. ' ди2 ал

(2)

axf j ди2 22 — дх2 '

е

1 / ди2

,

ди3

"м ди3 \

дх3 • „

1 / ди3 2 \ дх, ^

1

дх3 ) '

В § 1.4 мы рассматривали выражение

(3) описывающее относительное удлинение XPQ = (ds — dso)/dsQ линейного элемента ds0. Относительное удлинение элемента ds0, который перед деформацией лежал на прямой, параллельной оси х\, мы подсчитывали по формуле -1.

(4)

В случае малых деформаций заменим в\\ на 8ц. А так как ЕЦ является малой величиной по сравнению с единицей, то первый член в правой части уравнения (4) можно разложить в ряд Тейлора. Сохраняя только линейные члены,получим

R'

РИС. 1.2.

Аналогично А,22 » егг, ^-зз ~ езз- Диагональные компоненты тензора деформаций гц совпадают с относительными удлинениями линейного элемента. Рассмотрим теперь соотношение (6) § 1.4: (5) 11) = со8ф(1> „, + 2e/ikvJv». Для малых деформаций можно пренебречь членами %PQ и А,РП по сравнению с единицей. Заменяя, далее, ejk на zih в уравнении (5), получим cos ф*, „, = cos