Лабораторная работа по углубленному исследованию дифракции Фраунгофера на щели

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 8, ¹ 1, 2002

57

Ñîâðåìåííûé ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì ïî ôèçèêå Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ïî óãëóáëåííîìó èññëåäîâàíèþ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè Í.ß. Ìîëîòêîâ, Â.Á. Äèâàê, Î.Â. Ëîìàêèíà Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà îáùåôèçè÷åñêîãî ïðàêòèêóìà ïî âîëíîâîé îïòèêå ïîñòàâëåíà â ñàíòèìåòðîâîì äèàïàçîíå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. Ýêñïåðèìåíòàëüíî èññëåäóåòñÿ äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè, à òàêæå íà ùåëè, ïîëîâèíà ïëîùàäè êîòîðîé ïåðåêðûâàåòñÿ ïëàñòèíêîé â ïîëâîëíû. Íàáëþäàåìûå ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà ñîãëàñóþòñÿ ñ òåîðèåé äèôðàêöèè.

 ëàáîðàòîðíîì ïðàêòèêóìå ïî îïòèêå äàííàÿ ðàáîòà ñòàâèòñÿ êàê â îïòè÷åñêîì, òàê è â ðàäèîôèçè÷åñêîì äèàïàçîíàõ âîëí [1-2].  ñàíòèìåòðîâîì äèàïàçîíå âîëí (λ=3,2 ñì) âûïîëíåíèå ðàáîòû ñâîäèòñÿ ê ýêñïåðèìåíòàëüíîìó íàõîæäåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ â äèôðàêöèîííîì ïîëå è ñðàâíåíèþ ïîëó÷åííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òåîðåòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ èíòåíñèâíîñòè J äèôðàãèðîâàííûõ âîëí îò óãëà ϕ äèôðàêöèè: 2

⎡ ⎛ πb ⎞⎤ ⎢ sin⎜ λ sin ϕ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎥ , J=J o ⎢ πb ⎢ sin ϕ ⎥ ⎢ ⎥ λ ⎣ ⎦

(1)

ãäå Jî – èíòåíñèâíîñòü âîëí â îáëàñòè ùåëè, b – øèðèíà ùåëè. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ

πb 1 sin ϕ = kb sin ϕ =U, λ 2

ãäå k=

(2)

2π - âîëíîâîå ÷èñëî, âûðàæåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä: λ 2

J=J o ⎡ sin U ⎤ . (3) ⎢ U ⎥ ⎣ ⎦ Àíàëèç äàííîãî âûðàæåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî â öåíòðå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû íàáëþäàåòñÿ ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè J=Jo ïðè U=0, èëè ϕ=0. Ìèíèìóìû äèôðàêöèè ñóùåñòâóþò ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ: U=mπ, (4) ãäå m = 1,2,3…, èëè bsinϕ=mλ. (5) Ïðè óãëóáëåííîì èçó÷åíèè îïòèêè âàæíî èññëåäîâàòü, êàê âëèÿåò íà äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó ïåðåêðûòèå ÷àñòè âîëíîâîãî ôðîíòà â îáëàñòè ùåëè äèýëåêòðè÷åñêîé ïëàñòèíêîé. Ïîäîáíûå òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, ïðîâîäèìûå ñòóäåíòàìè â ëàáîðàòîðèè, ñïîñîáñòâóþò ðàçâèòèþ ìûøëåíèÿ è äîñòèæåíèþ èìè âûñîêîïðîäóêòèâíîé

58

Í.ß. Ìîëîòêîâ, Â.Á. Äèâàê, Î.Â. Ëîìàêèíà

òâîð÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè.  òîæå âðåìÿ ñòóäåíòû óáåæäàþòñÿ â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ôàçîâûõ ïëàñòèíîê ìîæíî óïðàâëÿòü ïðîöåññîì äèôðàêöèè è èçìåíÿòü õàðàêòåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû. 1. Òåîðèÿ Ïóñòü íà ùåëü (Ðèñóíîê 1) øèðèíîé b ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê âîëí. Îñü OX ëåæèò â ïëîñêîñòè ùåëè, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê åå îáðàçóþùèì, à íà÷àëî êîîðäèíàò Î ñîâìåùåíî ñ öåíòðîì ùåëè. Ïåðåêðîåì ëåâóþ ïîëîâèíó ùåëè äèýëåêòðè÷åñêîé ïëàñòèíîé, êîòîðàÿ èìååò ãåîìåòðè÷åñêóþ øèðèíó d, à åå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ðàâåí n. Ïëàñòèíà èçìåíÿåò ôàçó âòîðè÷íûõ âîëí ïî ñðàâíåíèþ ñ âîëíàìè, èäóùèìè îò îòêðûòîé ïðàâîé ÷àñòè ùåëè, íà âåëè÷èíó δî=k⋅d(n-1)=

2π d ( n − 1). λ

(6)

b

0 -b/2

x

Adx C ϕ

+b/2

1

2

Ðèñóíîê 1.

Ðàçîáúåì âîëíîâóþ ïîâåðõíîñòü â îáëàñòè ùåëè íà ýëåìåíòàðíûå ïîëîñêè øèðèíîé dx. Ìåæäó âòîðè÷íûìè âîëíàìè 1 è 2 èìååòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà Δ=ÎÑ=ÎÀ⋅sin ϕ=x⋅sin ϕ, (7) èëè ðàçíîñòü ôàç: δ=-kΔ=-kõ⋅sinϕ. (8) Êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà âòîðè÷íîé âîëíû, èäóùåé îò ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà dx ðàâíà: dE1=

(9)

ãäå Åî – íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âîëíû â îáëàñòè ùåëè. Àíàëîãè÷íî, àìïëèòóäà âòîðè÷íîé âîëíû, èäóùåé îò ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà dx, ðàñïîëîæåííîãî â ëåâîé ÷àñòè ùåëè, ãäå ðàñïîëîæåíà òîíêàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïëàñòèíà, ðàâíà:

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà óãëóáëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè

59

E o i ( ωt −δ−δo ) E i ( ωt + kx sin ϕ −δo ) e dx = e dx . (10) b b Àìïëèòóäà ðåçóëüòèðóþùåé âîëíû, ïðèõîäÿùåé îò âñåé ùåëè â òî÷êó íàáëþäåíèÿ ïîä

dE2=

óãëîì ϕ, ñîãëàñíî ïðèíöèïà Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà èíòåãðèðîâàíèåì âûðàæåíèé (9) è (10). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò àìïëèòóäà âîëíû, à íå êîëåáàíèÿ ïîëÿ, ÷ëåí åiωt ìîæíî îïóñòèòü; ïðè ýòîì ñîìíîæèòåëü å −iδo èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå è ìîæåò áûòü âûíåñåí èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà: E E= o b

b 2

∫e

ikx sin ϕ

dx + e

0

−iδo

Eo b

0

∫e

ikx sin ϕ

b − 2

dx

.

(11)

Èíòåãðèðîâàíèå äàåò: b b −ik sin ϕ ⎞ E o ⎛⎜ ik 2 sin ϕ −iδo −iδo ⎟ −1+ e −e ⋅e 2 E= ikb sin ϕ ⎜ e ⎟ . ⎝ ⎠

Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì: ⎡ e iU − 1 + e −iδo (1 − e −iU ) ⎤ E=Eo ⎢ ⎥. 2iU ⎦⎥ ⎣⎢

(12)

Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè äèôðàêöèîííîãî ôðîíòà â îáùåì ñëó÷àå îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì: 2

⎡ e iU − 1 + e −iδo (1 − e −iU ) ⎤ J=Jo ⎢ (13) ⎥ . 2iU ⎢⎣ ⎥⎦  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïîëîâèíà ïëîùàäè ùåëè ïåðåêðûâàåòñÿ ïîëóâîëíîâîé ïëàñòèíêîé, ãåîìåòðè÷åñêàÿ òîëùèíà d êîòîðîé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: d(n-1)=λ/2, äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü ôàç, âíîñèìàÿ ïëàñòèíîé, ðàâíà δî= π. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî e −iδo = e −iπ = −1 , âûðàæåíèå (13) ïðèíèìàåò âèä: 2

⎡ e iU + e −iU − 2 ⎤ J=Jo ⎢ ⎥ . 2iU ⎥⎦ ⎣⎢ Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Ýéëåðà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì: 2

J=Jo ⎡1 − cosU ⎤ , ⎢ U ⎥ ⎣ ⎦ èëè ñîãëàñíî ôîðìóëû (2) èìååì:

(14)

(15)

60

Í.ß. Ìîëîòêîâ, Â.Á. Äèâàê, Î.Â. Ëîìàêèíà

2

πb ⎤ ⎡ ⎢1 − cos( λ sin ϕ) ⎥ ⎥ . J=Jo ⎢ (16) πb ⎥ ⎢ sin ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ λ Èññëåäóåì ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ (15). Ïðè U=2mπ, (17) ãäå m=0, 1, 2, 3 … îáðàçóþòñÿ ìèíèìóìû äèôðàêöèè: J=0. Èç ôîðìóëû (17) íà îñíîâàíèè âûðàæåíèÿ (2) ïîëó÷èì óñëîâèå ìèíèìóìîâ äèôðàêöèè: b sin ϕ=2mλ . (18) Íà Ðèñóíêàõ 2 à, á ïîêàçàíû ñïëîøíîé ëèíèåé è ïóíêòèðíîé ñîîòâåòñòâåííî, òåîðåòè÷åñêèå ãðàôèêè ôóíêöèé (3) è (15) ïðè J0=1. J à

á

-3π

-2π

-π

0

π

2π

3π

U

Ðèñóíîê 2.

2. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà. Ñõåìà ëàáîðàòîðíîé óñòàíîâêè äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè â ñàíòèìåòðîâîì äèàïàçîíå ðàäèîâîëí ïîêàçàíà íà Ðèñóíêå 3. Èñòî÷íèêîì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (λ=3,2 ñì) ñëóæèò êëèñòðîííûé (Ê-19) ãåíåðàòîð, íàãðóæåííûé ïðÿìîóãîëüíûì âîëíîâîäîì ñ ðóïîðíîé àíòåííîé 1. Ñâåðõâûñîêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ, âûðàáàòûâàåìûå ãåíåðàòîðîì, ìîäóëèðóþòñÿ íèçêî÷àñòîòíûì ñèãíàëîì ñ ïîìîùüþ ìóëüòèâèáðàòîðà, ñîáðàííîãî íà äâîéíîì òðèîäå 6Í7Ñ. Èçëó÷åíèå ïåðåäàþùåé ðóïîðíîé àíòåííîé 1 íàïðàâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê öåíòðó ùåëè 2 øèðèíîé b=12 ñì è âûñîòîé h=30 ñì, âûðåçàííîé â ìåòàëëè÷åñêîì ëèñòå ðàçìåðîì 60×35 ñì. Ïðèåìíèêîì âîëí â

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà óãëóáëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè

61

äèôðàêöèîííîì ïîëå ùåëè ñëóæèò ðóïîðíàÿ àíòåííà 3, íàãðóæåííàÿ ïðÿìîóãîëüíûì âîëíîâîäîì ñ äåòåêòîðíîé ñåêöèåé. Äëÿ èçìåðåíèÿ èíòåíñèâíîñòè âîëí â äèôðàêöèîííîì ïîëå ïðèåìíàÿ àíòåííà ñîåäèíÿåòñÿ ñ ìèêðîàìïåðìåòðîì Ô-195. Ïðèåìíàÿ àíòåííà çàêðåïëÿåòñÿ íà ðåéêå 4 äëèíîé 1 ì òàê, ÷òî îíà âìåñòå ñ ðåéêîé ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Î, ðàñïîëîæåííîé â ïëîñêîñòè ùåëè. Óãëû ϕ, ïîä êîòîðûìè ïðîèçâîäÿòñÿ èçìåðåíèÿ èíòåíñèâíîñòè äèôðàãèðîâàííûõ âîëí, èçìåðÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ øêàëû òðàíñïîðòèðà ñ òî÷íîñòüþ äî 0,50. Ïîëóâîëíîâàÿ ïëàñòèíà 5, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ïåðåêðûâàåòñÿ ïîëîâèíà âîëíîâîãî ôðîíòà â îáëàñòè ùåëè, âûïîëíåíà â âèäå ìåòàëëîëåíòî÷íîé ñòðóêòóðû. Îíà ñîñòîèò èç òîíêèõ ìåòàëëè÷åñêèõ ëåíò øèðèíîé d=40 ìì, óñòàíîâëåííûõ ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó íà ðàññòîÿíèè à=20 ìì (Ðèñóíîê 4).

3 2

M 4 1

ϕ

b O 5

Ðèñóíîê 3.

à

.

d

Ðèñóíîê 4.

62

Í.ß. Ìîëîòêîâ, Â.Á. Äèâàê, Î.Â. Ëîìàêèíà

Ýêâèâàëåíòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìåòàëëîëåíòî÷íîé ñòðóêòóðû, êàê èñêóññòâåííîé ñðåäû, äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð Å êîòîðîé ïàðàëëåëåí ëåíòàì, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: 2

⎛ λ ⎞ n= 1−⎜ ⎟ . ⎝ 2a ⎠

(19)

Ïðè λ=3,2 ñì è à=20 ìì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ðàâåí n = 0,6. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ òîëùèíà d=40 ìì ïîëóâîëíîâîé ïëàñòèíû óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ d(1-n)=λ/2. (20) 3. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà Íà Ðèñóíêå 5 ïîêàçàíî ýêñïåðèìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè øèðèíîé b=12 ñì ñàíòèìåòðîâûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, êîòîðîå íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì (Ðèñóíîê 2 à), âûòåêàþùèì èç ôîðìóëû (3). Ñòóäåíòàì ïðåäëàãàåòñÿ ðàññ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â äèôðàêöèîííîì ïîëå ùåëè ïî ôîðìóëå (1) ïðè J0=16 ìêÀ è ñðàâíèòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ ãðàôèêîì Ðèñóíêà 5. Íà îñíîâå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ãðàôèêà (Ðèñóíîê 5) îïðåäåëÿþòñÿ óãëû, ïðè êîòîðûõ íàáëþäàþòñÿ ìèíèìóìû äèôðàêöèè íà ùåëè: ϕ1=150; ϕ2=320; ϕ3=530. Ïîëó÷åííûå äàííûå ñîãëàñóþòñÿ ñî çíà÷åíèåì óãëîâ, ðàññ÷èòàííûõ ïî ôîðìóëå (5) ïðè b=12 ñì, λ=3,2 ñì è m=1; 2; 3: ϕ1=15,50; ϕ2=32,30; ϕ3=540. Íà Ðèñóíêå 6 ïîêàçàíî ïîëó÷åííîå ýêñïåðèìåíòàëüíî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñàíòèìåòðîâûõ âîëí ïðè äèôðàêöèè íà ùåëè øèðèíîé b=12 ñì, êîãäà îäíà èç ïîëîâèí ïëîùàäè ùåëè ïåðåêðûâàëàñü ïîëóâîëíîâîé ïëàñòèíêîé. Ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñîãëàñóåòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì (Ðèñóíîê 2 á), âûòåêàþùèì èç ôîðìóëû (15). Ñòóäåíòàì ïðåäëàãàåòñÿ ïîñòðîèòü òåîðåòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè J îò óãëà äèôðàêöèè ïî ôîðìóëå (16) ïðè b=12 ñì; λ=3,2 ñì è J0=16 ìêA è ñðàâíèòü åå ñ ãðàôèêîì (Ðèñóíîê 6). Íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ãðàôèêà, èçîáðàæåííîãî íà Ðèñóíêå 6, ëåãêî íàéòè óãîë, ïðè êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ ìèíèìóì äèôðàêöèè: ϕ1=330. Äàííîå çíà÷åíèå óãëà ñîãëàñóåòñÿ ñ ôîðìóëîé (18) ïðè b=12 ñì, λ=3,2 ñì è m=1, êîòîðàÿ äàåò ϕ1=32,30. Äîïîëíèòåëüíî ñòóäåíòàì ïðåäëàãàåòñÿ îáúÿñíèòü ýêñïåðèìåíòàëüíûå çàâèñèìîñòè Ðèñóíîê 5 è Ðèñóíîê 6, èñïîëüçóÿ ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì ïî ñëîæåíèþ àìïëèòóä âòîðè÷íûõ âîëí, ïðèõîäÿùèõ â ðàçëè÷íûå òî÷êè íàáëþäåíèÿ îò ýëåìåíòàðíûõ ïîëîñîâûõ ó÷àñòêîâ ùåëè.

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà óãëóáëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè

Ðèñóíîê 5.

Ðèñóíîê 6.

63

64

Í.ß. Ìîëîòêîâ, Â.Á. Äèâàê, Î.Â. Ëîìàêèíà

Ëèòåðàòóðà 1. Ôèçè÷åñêèé ïðàêòèêóì /Ïîä. ðåä. Â.È. Èâåðîíîâîé, - Ì.: ÃÈÔÌË, 1962. 2. Ìîëîòêîâ Í.ß., Ïîñòóëüãèí À.Â., Õâîñòîâà Í.Â., Ùàëüíåâ Â.Â., Äèâàê Â.Á. Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè äëÿ âûïîëíåíèÿ ëàáîðàòîðíûõ ðàáîò ïî îïòèêå â ñàíòèìåòðîâîì äèàïàçîíå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. – Òàìáîâ: ÒÃÓ.