6
シリーズ… 数学 の世界 野ロ 廣 監修
幾何の世界 鈴 木 晋 一 著
朝倉書店
ま え
が
き
「幾 何 」 とい う言 葉 か ら ど ん な こ と を思 い 浮 か べ るで し ょ うか.楽
...
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6
シリーズ… 数学 の世界 野ロ 廣 監修
幾何の世界 鈴 木 晋 一 著
朝倉書店
ま え
が
き
「幾 何 」 とい う言 葉 か ら ど ん な こ と を思 い 浮 か べ るで し ょ うか.楽
しい 思 い
出 や 嬉 しい 思 い 出 を も って い る 方 もあ るで し ょ う し,苦 い思 い 出 や 嫌 な思 い 出 を もって い る方 もあ るで し ょ う.ま た,即 ピ タゴ ラ ス(三 平 方)の 定 理 な ど ,幾 つ か の 定 理 を思 い 浮 かべ た 方 もあ るで し ょ う.数 学 用 語 の 中に は も ち ろ ん,日 常 用 語 の 中 に も幾 何 ○ ○ とか 幾 何 的○ ○ あ る い は 幾何 学 的 ○ ○ と い った もの が た くさん あ り ます,幾 つ か 挙 げ て み て くだ さ い."図 い る考 え 方 ・方 法"と い っ た,何 つ い て,"幾
何(的)"と
形 的 な"と か"図 形 を用
らか の 意 味 で 図 形 あ る い は 物 の 形 な ど と結 び
い う言 葉 が 広 く用 い られ ,定 着 して い ます.と
ころが
「幾 」は 「数 に つ い て の 不 定 ・疑 問 の 語(岩 波 国語 辞 典)」 とあ りますが ,「幾 何 」 は17世
紀 に 中 国 で 生 まれ た 造 語 で,本
(1章 「幾何 学 の 歴 史 」 を参 照).そ
来 図 形 的 な 意 味 は まっ た くあ りませ ん
の せ い か,あ
る い は 中 学 校 ・高 等 学 校 の 数
学 か ら幾何 とい う用 語 が 消 え て し ま っ たせ い か,大
学 で 数 学 を専 攻 す る 学 生 の
中 に も,「幾 可 」 と書 く人が 随 分 と た くさん い ます. と こ ろで 専 門 的 に は い っ た い ど ん な 幾 何 学が あ るの か 手 元 に あ る幾 何 学 関 係 の 書 籍 や 数 学 辞 典 な ど を パ ラ パ ラ 開 い て ,名 称 を 片 端 に列 挙 して み ま し ょ う: ユ ー ク リ ッ ド幾 何 ・非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 ・双 曲 幾何 ・楕 円幾 何 ・放 物 幾 何 ・球 面 幾 何 ・平 面 幾 何 ・立 体 幾 何 ・自然 幾何 ・絶 対 幾 何 ・非 アル キ メデ ス 幾 何 ・座 標 幾 何 ・解 析 幾 何 ・ア フ ィ ン幾何 ・射 影 幾 何 ・微 分 幾何 ・積 分 幾 何 ・位 相 幾 何 ・ 微 分 位 相 幾 何 ・組 合 せ 位 相 幾 何 ・代 数 的 位 相 幾 何 ・円 幾 何 ・球 幾 何 ・超 球 幾 何 ・ メ ー ビ ウ ス 幾何 ・反 転 幾 何 ・有 限 幾 何 ・代 数 幾 何 ・共 形 幾何 ・接 続 幾 何 ・リ ー マ ン幾 何 … … . こ こ に 挙 げ た名 称 の ,あ る もの は か な り広 い 意味 の 幾 何 学 の 総 称 で あ り,ま た あ る もの は そ の なか の 特 別 な もの で あ り,さ ら に 同 じ もの の 別 称 が 混 じ って い た りで,並
列 す る こ と 自体 お か しい の で す が,と
にか くた く さ
ん の 幾何 学 が あ る こ とが わか り ます. 幾何 学 とは,と
に か く 〈数 学 的 〉 図 形 の 性 質 を 〈数 学 的 に 〉研 究 す る学 問 で
あ る … … とい うこ とが で き ます.○ ○ 幾何 の ○ ○ に は,ど の よ うな 図 形 を ど の よ うな 舞 台 で,ど
の よ うな方 法 で,ま た ど の よ うな性 質 を取 り扱 うの か な ど を
示 す よ うな 言 葉 が 入 って い る の で す. 高 等 学 校 まで の 数 学 の 内容 は,少
々乱 暴 で す が,
「数 に 関す る事 柄 」 と
「図 形 に 関 す る事 柄 」
の 2つ に大 別 す る こ とが で き ます.図 形 に 関す る事 柄 に つ い て い え ば,ま ず 小 学校 で 観 察 ・実 験 ・実 測 な ど を通 じて,い な ど を,少
ろい ろ な物 の 形 につ い て 名 称 や 性 質
しず つ段 階 を経 なが ら学 び ます.さ
ら に 中 学 校 で は 直 線 ・線 分 ・三
角 形 ・四 角 形 ・円 ・球 ・立 方 体 ・角柱 ・円 錐 な ど の 基 本 的 な平 面 図 形 や 空 間 図 形 に つ い て よ り系 統 的 に学 び ます.こ こ で は 図 形 の 性 質 を実 験 や 実 測 に よっ て で は な く,証 明 に よ っ て 確 認 し,証 明 され た 事 柄 を用 い て 新 し い性 質 を導 き ま す.こ れ は も う幾 何 の 世 界 で,ユ
ー ク リ ッ ド幾 何 あ る い は 総 合 幾何 の 初 歩 とい
うこ とに な りま す.高 等 学 校 で は選 択 制 で 一律 で は あ りませ ん が,中
学校で の
幾何 の 延 長 と,座 標 を活 用 し て 関 数 や 方 程 式 で 表 され る 図 形 に つ い て,式 算 や微 分 ・積 分 な ど も用 い て そ の性 質 を 調べ ます.ま た,サ ン ジ ェ ン トな ど の 三 角 法 に つ い て も学 び ます.さ ら に,ベ
の計
イ ン ・コサ イ ン ・タ ク トル の 概 念 も学 び,
ベ ク トル を用 い て 図 形 を研 究 す る方 法 が あ る こ と も学 び ま す.こ れ は 座 標 幾 何 あ る い は 解 析 幾 何 の 初 歩 を 学 ん だ とい うこ とが で き ます. 本 書 で は,高 等 学 校 まで で 学 ぶ ユ ー ク リッ ドの 平 面 幾 何 を 中 心 に して,図
形
を 数学 的 に取 り扱 う楽 し さ ・嬉 しさ を紹 介 し よ う と思 い ます.こ れ を通 じ て,幾 何 の 構 成 の 妙 や 定 理 の 美 し さ をお 伝 えで きれ ば と願 って い ます. 2001年 9月
鈴 木 晋 一
目
1. 幾 何 学 の 歴 史
次
1
1.1 幾 何 学 の 誕 生 と そ の 公 理 系
1
1.2 非 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 の 誕 生
6
1.3 近 世 ・近 代 の 幾 何 学
8
2. 基 礎 的 な 事 項
11
2.1 直 線 と 角
11
2.2 多 辺 形 と 多 角 形
15
2.3 円 周 ・円 ・円 盤
18
2.4 図 形 の 移 動 と 合 同
23
2.5 作 図 と作 図 題
28
2.6 命 題 ・論 証 ・記 号
29
3. 3
角
3.13
形
33
角形 の角
33
3.22 等 辺 3 角 形
35
3.3 直 角 3 角 形
38
3.4 3 角 形 の 辺 と 角 の 大 小
40
3.5 平 行 4辺 形
43
3.63
50
4. 円
周
角形の五 心 と 円 盤
57
4.1 弧 ・弦 ・中 心 角
57
4.2 円
59
周
角
4.3 2つ の 円 周 の 位 置 関 係
66
4.4 続 ・3角 形 の 五 心
69
5. 比 例
と 相
5.1 面
似
73
積
73
5.2 ピ タ ゴ ラ ス の 定 理
76
5.3 線 分 の 比 例
79
5.4
84
メネ ラ ウ ス の定 理 とチ ェバ の定 理
5.5 3 角 形 の 相 似
90
5.6 方 べ き の 定 理
94
5.7 三 角 比 と 正 弦 法 則 ・余 弦 法 則
97
6. 多 辺 形 と 円 周
103
6.1 3 角 形 と 円 周
103
6.2 4辺 形 と 円 周
108
6.3 パ ッ プ ス の 定 理 ・デ ザ ル グ の 定 理 ・パ ス カ ル の 定 理
114
7. 続 ・多 辺 形 と 円 周
121
7.1 多 辺 形 に 関 す る 分 離 定 理
121
7.2 多 辺 形 の 内 部 対 角 線
126
7.3 正 多 角 形
128
7.4 円 周 の 長 さ と 円 盤 の 面 積
130
練 習 と 問題 の 解 答
135
文
献
139
索
引
141
談話 室 ギ リ シ ャ の 作 図 3大 難 問 円 錐 曲線 ・2次 曲 線 弧 度 法
134
32
120
1 幾何 学の歴 史
こ の 章 で は,幾 何 学 の 誕 生 か ら 今 日 まで の 歴 史 を ,超 特 急 で 概 観 し ます.た ん の 人 名 が 登 場 し,読 み に くい と こ ろ もあ るか と思 い ます が,細
気 楽 に読 み 進 め て くだ さ い.こ れ まで に 学 ん だ 幾 何 学が ど ん な もの な の か,こ か ら本 書 で 展 開 され る 幾 何 の 背 景 は ど うな っ て い る の か,そ
くさ
部 に こ だ わ らず, れ
の 答 え は と もか く,
「幾 何 の 世 界 」 の 成 立 の 雰 囲 気 を 感 じて い た だ け れ ば 十 分 で す.
1.1
幾何 学 の誕 生 と その 公理 系
古 代 の 数 学 は,エ ジ プ トの ナ イル 河 の 流 域 と,チ グ リス ・ユ ー フ ラテ ス両 河 に 挟 まれ た メ ソ ポ タ ミア 地 方 に 起 こ った こ とは よ く知 られ て い る.ギ 歴 史 家ヘ ロ ド トス(Herodotus,B.C.484-425)の の 中 に は,「幾 何 学 は,ナ 直 す 術 と して,エ 「Geometry」
リシ ャの 大
著 書 『歴 史(ヒ ス ト リア イ)』
イル 河 の 氾 濫 で 年 ご とに 消 え る耕 地 の 境 界 線 を引 き
ジプ トに 起 こ っ た 」 と書 か れ て い る.幾 何 学 を 意 味 す る英 語
とい う言 葉 が,geo(土
地)とmetry(測
量)か
ら成 り立 っ て い
るの は,こ の 間 の 事 情 を よ く物 語 っ て い る.メ ソポ タ ミア 地 方 も肥 沃 な 土 地 に 恵 まれ,し か も交 通 の 要 所 に 当 た っ て い た の で,早
くか ら商 業 の た め の 計 算 術
が 進 歩 し た.数 学 も他 の 学 問 と同 じ よ うに,実 生 活 の 必 要 に根 ざ し て 起 こ っ た こ とが よ くわ か る. エ ジ プ トと地 中 海 を 隔 て た対 岸 の ギ リシ ャに お い て は,エ
ジ プ トの 実 用 的 な
文 化 を 輸 入 し,こ れ ら を系 統 的 に 整 理 し た だ け で な く,理 論 的 な検 証 を加 え る と と もに そ の 方 法 を も とに さ らに 新 しい 事 実 を発 見 し,1 つの 学 問 に まで 高 め て い った.こ
う して 幾 何 学 が 誕 生 した の で あ る.こ の 時代 の 代 表 的 な 人 物 と し て,
ギ リ シ ャ 哲 学 ・ギ リ シ ャ 数 学 の 祖 と もい わ れ る 夕 ー レ ス(Thales,B.C.624‐546) が 挙 げ ら れ る.ピ
タ ゴ ラ ス(Pythagoras,B.C.589?-?)と
ギ リ シ ャ はB.C.480年
に ペ ル シ ャ と の 戦 い に 勝 っ て,ア
国 家 と し て ま す ま す 栄 え,い は 主 と し て,定
テ ネ を中心に都 市
わ ゆ る ソ フ ィ ス トた ち を 生 ん だ.ソ
フ ィ ス トた ち
木 と コ ンパ ス を用 い て 与 え られ た 条 件 を満 た す 図 形 を作 図せ よ
と い う 「作 図 問 題 」 で 幾 何 学 に 貢 献 し た.そ 争(B.C.431‐404)以
そ の 学 派 も 活 躍 し た.
の 後,ギ
リシ ャは ペ ロポ ネ ソ ス 戦
降 し だ い に 勢 力 を 失 っ て い っ た が,そ
化 の 中 心 と し て の 地 位 を 保 ち,ソ
れ で も な お 学 問 ・文
ク ラ テ ス(Socrates,B.C.467‐399)や
子 プ ラ ト ン(Platon,B.C.429‐347)な に 対 し て 深 い 反 省 と 考 察 を 加 え,定
ど を 排 出 し た.特
その弟
に プ ラ トン は 幾 何 学
義 ・公 理 ・定 理 ・証 明 な ど の 思 想 を 確 立 し,
次 に 述 べ る ユ ー ク リ ッ ド の 先 駆 と な っ た. こ の よ う な 環 境 の 中 で ユ ー ク リ ッ ド(Euclid,B.C.330?-275?;下 像)は,こ
図はその 肖
れ まで に 蓄 積 さ れ た 数 学 知 識 を 理 路 整 然 た る 一 つ の 体 系 に ま と め あ
げ て 『原 論(ス
ト イ ケ イ ア,Σ〓Xε〓
論 』 は 実 数 論 や 整 数 論 な ど も 含 む が,そ
α,Elements)』,全13巻
を 著 し た.『原
の 主 要 部 分 は 幾 何 学 で あ る.こ
は,そ
の 理 論 的 構 造 が し っ か り し て い る が ゆ え に,長
れ,特
に 第 1巻 か ら 第 3 巻 の 部 分 は 中 世 は い う に 及 ば ず20世
の書物
い 間学 問 の 典 型 と考 え ら 紀 初 頭 まで もほ
と ん ど そ の ま ま の 形 で 幾 何 学 の 教 科 書 と し て 用 い ら れ て き た の で あ る.当 エ ジ プ ト王 プ ト レ マ イ オ ス 一 世(Ptolemaios,B.C.323‐283)が,「
時の
もっ と手 軽
に 幾 何 学 を 学 ぶ 方 法 は な い か 」 と ユ ー ク リ ッ ド に た ず ね た と こ ろ,「 幾 何 学 に 王 道 な し 」 と 答 え た と の こ と で あ る.
『原 論 』 は多 くの 国 ・言 語 で 翻 訳 され て きたが,日 阪 英孝,伊 東 俊 太 郎,池 完 成 した.以
本 で も,中 村 幸 四郎,寺
田美 恵 共 訳 『ユ ー ク リ ッド原 論 』(共 立 出 版,1971)が
下 の 記 事 で も これ を参 考 に した と こ ろが 多 い.
ちな み に,1574年
に ロ ー マで 出版 され た ク ラヴ ィウス(Clavius,1537‐1621)
の ラテ ン語 版 『原 論 』 の幾 何 の 部 分 が,彼 に学 ん だ 宣教 師 リ ッチ(Ricci)に て 通訳 の 徐 光 啓 の 協 力 を 得 て 漢 訳 され,『幾何 原 本 』(1607)と され た の が"幾 何"の
語 源 で,"geo"の
よっ
して 中 国 で 出版
音 訳 との こ とで あ る.
『原 論 』13巻 の う ち,特 に第 1巻 が 注 目 され るの で,そ
の 構 成 ・内 容 の 一 部
を紹 介 して お こ う.ま え が きや 説 明 な ど 一切 な しに,い き な り23個 の 定 義(言 葉 の正 確 な 限 定)が
並 ん で い る.
定義 1) 点 とは 部 分 を もた な い もの で あ る. 2) 線 とは 幅 の な い長 さで あ る. 3) 線 の端 は 点 で あ る. 4) 直 線 とは そ の 上 に あ る点 に つ い て 一 様 に横 た わ る 線 で あ る. 5) 面 と は 長 さ と幅 の み を もつ もの で あ る. 6) 面 の端 は 線 で あ る. 7) 平 面 とは そ の 上 に あ る直 線 に つ い て 一 様 に横 た わ る 面 で あ る. 8) 平 面 角 と は平 面 上 に あ っ て 互 い に 交 わ りか つ 一 直 線 を な す こ と の な い2 つ の線 相 互 の か た む きで あ る. 9) 角 を は さ む線 が 直 線 で あ る と き,そ の 角 は直 線 角 と よば れ る.
この 後 に,5 個 の 公 準(要 命 題)と
5個 の 公 理(共
請 :特 に 幾何 学 の 建 設 に 際 し て承 認 を 要 求 され る
通 概 念 :一 般 に 真 で あ る こ とが 承 認 され る で あ ろ う命
題)が 続 く. 公 準(要 請) 1) 任 意 の 点 か ら任 意 の 点へ 1つ の 直 線 を引 け る. 2) 有 限の 直線 を そ の ま ま直 線 に延 長 で きる.
3) 任 意 の 中心 と半径 で 円が 描 け る. 4) す べ て の 直 角 は 相 等 しい. 5) 2直 線 に 1直 線 が 交 わ っ て,同 らば,こ
じ側 に 2直 角 よ り小 さい 内 角 を つ くる な
れ らの 2直 線 を 限 りな く延 長 す る と,2 直 角 よ り小 さい 内 角 の
あ る側 で 交 わ る.
図1.1
α+β