Физика. Раздел 6. ''Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой механики. Физика твердого тела. Физика атомного ядра'': Основные законы и формулы: Методические указания к решению задач

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра физики

ФИЗИКА Раздел 6. Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой механики. Физика твердого тела. Физика атомного ядра. Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач.

Факультеты все Специальности все

Санкт-Петербург 1997 1

Утверждено редакционно-издательским советом института. УДК 53(07) Физика. Раздел 6. "Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой механики. Физика твердого тела. Физика атомного ядра." . Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач. СПб.:СЗПИ, 1997, - 34 с., ил. 1. Данное учебно-методическое пособие содержит основные законы и формулы физики, рекомендации к решению задач, примеры решения задач и рекомендуемую литературу по разделу: "Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой механики. Физика твердого тела. Физика атомного ядра. Основы радиационной безопасности", а также справочные таблицы. Пособие составлено в соответствии с программой по физике для инженерных специальностей высших учебных заведений. Рассмотрено на заседании кафедры физики. Одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники. Рецензенты: кафедра физики СЗПИ (и.о.зав.каф. физики В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц.); А.Г.Дмитриев, докт. физ.-мат. наук, проф. кафедры экспериментальной физики СПбГТУ. Составители: В.А.Воробьев, ст.препод. Н.А.Елисеева, канд. физ.-мат. наук, доц. А.Б.Федорцов, докт. физ.-мат. наук, проф. Л.М.Ценципер, зав. лаб. каф. физики. Научные редакторы: Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф. И.В.Попов, канд. физ.-мат. наук, доц.

Предисловие Цель настоящего учебно-методического пособия - оказание помощи студентам СЗПИ всех специальностей в изучении курса физики. Основной учебный материал пособия содержит шесть разделов физики, изданных отдельными брошюрами: 1. Физические основы механики. 2. Электростатика. Постоянный электрический ток. 3. Магнитостатика. Электромагнетизм. 4. Колебания и волны. Волновая оптика. 5. Молекулярная физика. Термодинамика. механики. 6. Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой Физика твердого тела. Физика атомного ядра. В каждом из разделов приведены основные формулы и примеры решения задач. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, список рекомендуемой учебной литературы и справочные таблицы. Общие методические указания к решению задач, выполнению и оформлению контрольных работ 1. В зависимости от объема изучаемого курса физики студенты выполняют разное число контрольных работ: - односеместровый курс физики - две конрольные работы; - двухсеместровй курс физики - три контрольные работы; - трехсеместровый курс физики - пять контрольных работ. 2. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения о студенте (фамилия, имя, отчество, факультет, шифр, номер специальности), а также номер контрольной работы, номер варианта и номера всех задач контрольной работы. 3. Условие каждой задачи переписывается полностью, без сокращений. 4. Решения сопровождаются подробными пояснениями, с обязательным использованием рисунков, выполненных чертежными инструментами. При этом оставляются поля и промежутки не менее 10 мм между строками для замечаний преподавателя. 5. Последовательность решения задач: а) вводятся буквенные обозначения всех используемых физических величин; б) под рубрикой "Дано" кратко записывается условие задачи с переводом единиц в систему СИ; 3

в) приводится рисунок, поясняющий условие; г) формулируются физические законы и обосновываются возможности их использования при решении данной задачи; д) на основе сформулированных законов составляются уравнения для искомых величин в системе СИ; е) находятся решения этих уравнений и выводятся рабочие формулы в общем виде; ж)по рабочим формулам проверяется размерность искомых величин; и) проводятся вычисления (с точностью не более 2-3 значащих цифр) в системе СИ. Числовые значения величин записываются в виде десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой, умноженной на соответствующую степень десяти. 6. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы. Выполненная контрольная работа сдается на рецензию преподавателю по крайней мере за одну-две недели до экзамена (зачета) по физике. После рецензирования вносятся исправления в решения задач в соответствии с замечаниями преподавателя. Исправленные решения помещаются в конце тетради с контрольной работой, которая сдается на повторную рецензию. Зачет по контрольной работе принимается преподавателем в процессе собеседования по правильно решенной и отрецензированной контрольной работе. Литература Основная 1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики М.: Высшая школа, 1989. 2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3. М.: Наука, 1989. Дополнительная 3. Климчицкая Г.Л., Шабаев В.М. Элементы квантовой механики и атомной физики. Текст лекций. СПб.: СЗПИ, 1992. 4. Комаровских К.Ф. и др. Физика твердого тела. Текст лекций. СПб.: СЗПИ. 1993. 5. Иванов В.Г, Федорцов А.Б. Основные единицы измерения оптических излучений. Текст лекций. СПб.: СЗПИ, 1992. 6. Иванов В.Г; и др. Основы квантовой оптики. Текст лекций. СПб.: СЗПИ. 1993. 7. Федорцов А.Б. Радиационная безопасность. Уч.пособие. СПб.: СЗПИ. 1996. 8. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука. 1990. 9. Чертов А.Б., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа. 1988, 1991.

4

Квантовая оптика. Основные законы и формулы. Закон Стефана-Больцмана

Re = T4, где Re - энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, = 5,67 . 10-8 Вт / (м2. К4) - постоянная Стефана-Больцмана, Т термодинамическая температура Кельвина. Первый закон Вина (закон смещения Вина) m = b / T, где m - длина волны на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела, b = 2,9 .10-3 м.К - постоянная первого закона Вина. Второй закон Вина (r ,T)max = b'.T5, где (r ,T)max - максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела, b' = 1,3.10-5 Вт / (К5.м3) - постоянная второго закона Вина. Энергия фотона = h или   h ω  где h - постоянная Планка, h = h/2 - приведенная постоянная Планка, ν частота фотона, ω = 2 πν - циклическая частота. Масса фотона m = ε /c2 = h / (c. ), где с - скорость света в вакууме, - длина волны фотона. Импульс фотона p = mc = h/ Формула Эйнштейна для фотоэффекта ( k) h = A + E max , где h энергия фотона, падающего на поверхность металла, А-работа ( k) E max - максимальная кинетическая энергия выхода электрона, фотоэлектронов. Красная граница фотоэффекта или o = A/h o = hc/A, где o и o - минимальная частота света и соответствующая длина волны, при которых еще возможен фотоэффект. Формула Комптона 5

θ h h 2    c  os θ  = 2 sin ,  2 m0 c m0 c где длина волны фотона падающего на свободный электрон, волны фотона рассеянного на угол θ , mo - масса покоя электрона. Комптоновская длина волны = h / moc ,  = 2,436 пм) .  

2



длина

Примеры решения задач

Пример1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) поверхности тела. Дано:    мкм = 5,8.10-7 м ____________________ Re - ? Решение. Энергетическая светимость Re абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой Re = T4, (1) где - постоянная Стефана-Больцмана, Т - термодинамическая температура. Температуру Т можно вычислить с помощью закона Вина (2) о = b / T, где b - постоянная закона смещения Вина. Используя формулы (2) и (1), получаем Re = (b / o)4 . Произведем вычисления: Re = 5,67.10-8

(

. −3 2,9010 . −7 5,810

)

4

Вт/м2 = 3,54.107 Вт/м2 = 35,4 МВт/м2.

Пример2. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны 0,155 мкм; 2) гамма-излучением с длиной волны 1 пм. Дано: . -7 1 = 0,155 мкм = 1,55 10 м . -12 2 = 1 пм = 1 10 м 6

______________ vmax1- ? vmax2- ? Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта ( k) ε = A + Emax , где ε энергия фотонов, падающих на поверхность металла, А-работа выхода ( k) электрона, E max - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Энергия фотона вычисляется также по формуле ε = hc/ λ , где h - постоянная Планка, с - скорость света в вакууме, λ - длина волны. Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле ( k) E max = mvo2/2 (3) или по релятивистской формуле 1 ( k) E max = Eo( -1), (4) 1 − β2 где Eo - энергия покоя электрона, β = v/c. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект. Если энергия ε фотона намного меньше энергии покоя Eo электрона, то может быть применена формула (3). Если же ε сравнима по величине с Eo , то вычисление по формуле (3) приводит к большой ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4). 1) Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2) 6,63 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 108 ε1 = Дж = 1,28.10-18 Дж 7 155 , ⋅ 10 или 128 , ⋅ 10 −18 ε1 = эВ = 8 эВ . 16 , ⋅ 10 −19 Полученная энергия фотона (8эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектронов в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3)

ε 1= А +

m0 v 2 max , 2

откуда 7

(5) vmax= 2( ε 1 − A ) / m o . Проверим размерность выражения (5). Для этого в правую часть выражения вместо символов величин подставим обозначения единиц 1 2

⎛ [ε 1 − A]⎞ 2 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = (1 Дж/1 кг)1/2 = ( 1 к г⋅ 1м / c )1/2 = 1 м/с . 1к г ⎝ [m o ] ⎠ Полученная единица является единицей скорости. Подставив значение величин в формулу (5), найдем 2(128 , .10 −18 − 0,75.10 −18 ) м/с = 1,08.106 м/с. vmax = 91110 , . −31 2) Вычислим энергию фотона гамма-излучения .

6,63.10 −34 3.108 ε 2 = hc/ λ = Дж = 1,99.10-13 Дж −12 10 или во внесистемных единицах 199 , .10 −13 ε2= эВ = 1,24.106 эВ = 1,24 МэВ . 16 , .10 −19 Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона ( ε 2 = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует использовать релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем к) к) β = (2Eo + E(max )E(max (к ) Заметив, что v = c β и Emax =

v max = c

к) / (Eo+ E(max ).

ε 2 получим (2Eo + ε 2 )ε 2 , Eo + ε 2

(2.0,51 + 124 , ). 124 , vmax = 3 10 м/с = 2,85.108 м/с . 0,51 + 124 , Энергии Ео и ε 2 входят в формулу в виде отношения, поэтому их можно выражать во внесистемных единицах. .

8

Пример 3. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол 90о. Энергия рассеянного фотона 0,4 МэВ. Определить энергию фотона до рассеяния. 8

Дано: θ = 90о ε 2 = 0,4 МэВ ___________ ε 1- ? Решение. Воспользуемся формулой Комптона h 2 = 2 m c sin θ (1) o где    - изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне, h - постоянная Планка, mо - масса покоя электрона, с скорость света в вакууме, θ - угол рассеяния фотона. Преобразуем формулу (1): заменим в ней на  и выразим длины ε волн и через энергии и ε 1 фотонов, соответственно 2 воспользовавшись формулой ε = hc/ ; умножим после этого числитель и знаменатель правой части формулы (1) на скорость света "с". Получим hc hc hc 2 θ − = 2 sin (2) ε2 ε1 mo c2 2. Сократив в формуле (2) левую и правую части на hc, выразим искомую энергию ε 2m o c 2 ε 2E o = ε1 = (3) θ θ , m o c 2 − ε 2 2 sin 2 E o − 2ε 2 sin 2 2 2 2 где Ео = moc - энергия покоя электрона. Вычисления по формуле (3) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона Ео = 0,51 МэВ, получим 0,4 .0,51 ε 1 = 0,51 − 2.0,4. sin2 (90 o / 2) MэВ = 1,85 МэВ .

Физика атома. Основные законы и формулы. Боровская теория для атома водорода и водородоподобных ионов. Момент импульса электрона (правило квантования орбит) Ln = mvnrn = n h , где m - масса электрона, vn - скорость электрона на n-й орбите,rn- радиус n-й стационарной орбиты, h =h/2 π - приведенная постоянная Планка, n=1,2,.. главное квантовое число. Радиус n-й стационарной орбиты a rn = o n2, Z где ао - радиус первой Боровской орбиты в атоме водорода, Z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Полная энергия электрона на n-ой орбите Ei Z 2 , En = n2 где Ei - энергия ионизации атома водорода. Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом (ионом) 2 E = h ν = En − En = Z Ei( 2

1

1 1 − 2 ), 2 n1 n2

где n1 и n2 - квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона. Спектроскопическое волновое число 1 ⎛ 1 1⎞ ~ ν = = RZ2 ⎜ 2 − 2 ⎟ , λ ⎝ n1 n 2 ⎠ где - длина волны фотона, R - постоянная Ридберга. Примеры решения задач

Пример1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона. Дано: n1 = 4 n2 = 2 _________ εф-? Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов

⎛ 1 1 1⎞ = RZ 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ , λ ⎝ n1 n 2 ⎠

(1)

где - длина волны фотона, R - постоянная Ридберга, Z - заряд ядра в относительных единицах (при Z=1 формула переходит в сериальную формулу для водорода), n1 - номер орбиты, на которую перешел электрон, n2 - номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 - главные квантовые числа). Энергия фотона ε ф выражается формулой ε ф = hc/ λ . Поэтому умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона ⎛ 1 1⎞ − ⎟. ⎝ n12 n 22 ⎠

ε ф = RhcZ2 ⎜

Так как Rhc есть энергия ионизации Еi атома водорода, то ⎛ 1 1⎞ ε ф = Е iZ2 ⎜ n2 − n2 ⎟ . ⎝ 1 2⎠ Вычисления выполним во внесистемных единицах. Подставляя данные из условия: Еi = 13,6 эВ; Z =1; n1 = 2; n2 = 4, получим ε ф = 13,6 . 12 . (1/22 - 1/42) эВ = 13,6 . 3/16 эВ = 2,25 эВ. Пример 2. Электрон в ионе гелия (Не+) находится в основном состоянии. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона на орбите. Дано: Не+ n=1 _________ Екин - ? Епот - ? Решение. Согласно теории Бора кинетическая энергия электрона на стационарной орбите номера n определяется mv 2n Екин = , 2

а потенциальная энергия Ze 2 , Епот = − 4πε o rn

где Z - заряд ядра (порядковый номер элемента в таблице Менделеева), vn и rn - cкорость электрона и радиус орбиты соответственно.

11

Радиус орбиты номера n равен

n2 ro , (1) rn = Z а скорость электрона на орбите определяется выражением ( в соответствии с правилом квантования орбит) vn =

nh , mrn

(2)

или, учитывая формулу (1),

Zh . mro n mv n2 На орбите центростремительная сила rn vn =

(3) равна силе Кулона

Ze 2 , связывающей электрон с ядром, 4πε o rn2

mv n2 Ze 2 = . 4πε o rn2 rn Поэтому потенциальная энергия электрона может быть представленна в виде Ze 2 2 Епот = 2 = - mv n = - 2Екин. 4πε o rn При этом полная энергия электрона на орбите равна Е = Епот + Екин = - Екин. Находим кинетическую энергию в соответствии с формулой (3) mv 2n Z2h2 = , Екин= 2 2mrо2n2

Учитывая, что h = 1,05.10-34 Дж.с, m = 0,911.10-30 кг, rо = 0,529.10-10 м, для гелия Z = 2 и условие n = 1, получим . −18 4. (105 , )2 10−68 8,6310 . -18 Екин = . = 8,63 10 Дж = = 54,4 эВ , . −30 2 0,91110 (0,529)2 10−201 1610 , . −19

Епот = - 2Екин = - 108,8 эВ , Е = - Екин = - 54,4 эВ . Отметим, что полная энергия электрона в основном состоянии (n = 1) может быть записана в виде Е = - Z2Ei , где Еi - энергия ионизации атома водорода, равная 13,6 эВ. Подставляя в это выражение Z = 2, получим выше найденное значение энергии Е = - 54,4 эВ.

12

Элементы квантовой механики. Основные законы и формулы.

Длина волны де Бройля

λ=

2πh , p

где p- импульс частицы. В релятивистском случае р=

1 (2E o + Eк )Eк , c

где Ео-энергия покоя частицы, Ек - кинетическая энергия частицы, равная Ек =

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2⎜ − 1⎟ , moc ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1− v ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ c

где mo- масса покоя частицы, v - скорость частицы. В нерелятивистском случае p = mov = 2m oEк ,

mo v2 . где кинетическая энергия частицы Ек= 2 Соотношения неопределенностей: а) ∆р x ∆x ≥ h /2 (для координаты и импульса); где ∆р x - неопределенность проекции импульса на ось x, ∆х - неопределенность координаты; б) ∆Е∆t ≥ h /2 ( для энергии и времени), где ∆Е - неопределенность энергии; ∆ t - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии. Решение уравнения Шредингера для одномерного бесконечно глубокого прямоугольного потенциального ящика (0 ≤ х ≤ l ): а) Ψn (x) =

2 πn sin x (собственная нормированная волновая функция), l l

π 2 h 2n2 б) Еn = (собственное значение энергии), где n = 1,2,3... - главное 2ml2 квантовое число; l - ширина ящика, m - масса частицы. В области x ≤ 0 и х ≥ l потенциальная энергия частицы равна бесконечности и Ψ (х) = 0.

13

Примеры решения задач

Пример1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U1 = 51 B; 2) U2 = 510 кВ. Дано: электрон U1 = 51 B U2 = 510 кВ = 5,1.10 5 В _________________ λ -? Решение. Длина волны де Бройля λ для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой h (1) λ= , p где h - постоянная Планка. Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Ек . Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая ( когда кинетическая энергия частицы много меньше энергии ее покоя ) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы). В нерелятивистском случае p= 2m oEк ,

(2)

где mo - масса покоя частицы. В релятивистском случае 1 (2E o + Eк )Eк , c где Ео = moc2 - энергия покоя частицы. Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае

p=

λ=

h 2m oEк

,

(3)

(4)

в релятивистском случае λ=

h

. 1 (2E o + Eк )Eк c 14

(5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и, в зависимости от этого, решим, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна Eк = eU. В первом случае Ек = eU1 = 51 эВ = 0,51.10-4 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Ек = 10-4 moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде h 102 h . λ1 = . = mo c . −4 . 2 2 2mo 10 mo c Учтя, что h/moc есть комптонговская длина волны Λ , получим 10 2 Λ. λ1 = 2 Так как Λ =2,43 пм, то λ1 =

10 2 2

2,43 пм = 171 пм .

Во втором случае кинетическая энергия Eк = eU2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что Ек = 0,51МэВ = moc2, по формуле (5) найдем h h = λ2 = , 1 3m 20 c 2 (2m o c 2 + m o c 2 )m o c 2 c Λ λ2 = или . 3 Подставив значение Λ и произведя вычисления, получим 2,43 λ2 = пм = 1,40 пм. 3

Пример2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома. 15

Дано: Ек = 10 эВ _________ lmin - ? Решение. Соотношение импульса имеет вид

неопределенностей

для

координаты

и

∆р ∆x ≥ h /2,

где ∆р - неопределенность импульса частицы (электрона), ∆х неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона), h = h/2 - приведенная постоянная Планка h. Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью l ∆х = . 2 Cоотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде l h ∆p ≥ , 2 2 откуда h l≥ . ∆p Физически разумная неопределенность импульса ∆p , во всяком случае, не должна превышать значение самого импульса p, т. е. ∆p ≤ p . Импульс р связан с кинетической энергией Ек соотношением р= Заменим ∆ р значением к равенству

2mEк .

2mEк (такая замена не увеличит l). Перейдем

lmin =

2h

. 2mEк Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

lmin =

2.105 , .10 −34 . −31 2.9,110 16 , .10

−19 .

10

м = 1,16.10-10 м = 116 пм.

16

Пример3.

2 π sin x описывает основное l l

Волновая функция ψ(х) =

состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале ∆ l=0,01l в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 ≤ х ≤ ∆ l); 2) в средней части ящика l ∆l ⎞ ⎛ l ∆l ⎜ − ≤x≤ + ⎟. ⎝2 2 2 2⎠

Дано: прямоугольный одномерный потенциальный ящик ____________________________ W(0 ≤ х ≤ 0,01l) - ? ⎛ W⎜ − l ⎝2

0,01l l 0.01l ⎞ ≤x≤ + ⎟-? 2 2 2 ⎠

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dх), пропорцирнальна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние 2

dw = ψ( x) dx . В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01l (рис.1)

2 w= l

0,01l

∫

π . x dx . l

sin2

(1)

0

Знак модуля опущен, так как ψ - функция в данном случае не является комплексной. Так как х изменяется в интервале ( 0 ≤ х ≤ 0,01l ) и, следовательно, π x