Εκπαιδευτικοί Προβληματισμοί - Τεύχος 6 - Ιανουάριος 1999

Αγαπητο φλοι και συνδελφοι

H καθυστρηση της κδοσης του 6ου τεχους του περιοδικο µας «Eκπαιδευτικο Προβληµατισµο» οφελεται στο γεγονς τι ο EK∆OTIKOΣ OIKOΣ ZHTH, στην επιθυµα του να συµβλει στην επιτυχα της εκπαιδευτικς µεταρρθµισης και της ανανωσης των σχολικν βιβλων, συµµετεχε µε 2 συγγραφικς οµδες στην προκρυξη του Παιδαγωγικο Ινστιτοτου για τη συγγραφ των διδακτικν βιβλων και διδακτικν οδηγιν της ΕYKΛEI∆EIAΣ ΓEΩMETPIAΣ καθς και λλων βιβλων. Οι προσπθειες αυτς, ταν φυσικ να απασχολσουν σε µεγλο βαθµ τους τεχνικος του Εκδοτικο Οκου και ορισµνα στελχη του περιοδικο. Με χαρ σας ανακοιννουµε τι το βιβλο των Εκδσεων ZHTH και της συγγραφικς του οµδας που αφορ την EYKΛEI∆EIA ΓEΩMETPIA δη εγκρθηκε και µλιστα µε υψηλ βαθµολογα ναντι των 6 υπολοπων πακτων που υποβλθηκαν. Η EYKΛEI∆EIA ΓEΩMETPIA της “Οµδας ΖΗΤΗ” θα διδαχθε απ το Σεπτµβριο του 1999 σ’ λα τα Λκεια της Ελλδας. H εκδτρια

TÔ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ÌÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÂÙ ·fi Ù· ‚È‚ÏÈÔˆÏ›·: ●

EΉfiÛÂȘ ZHTH AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27, 546 35 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË TËÏ. (031) 203.720, Fax: (031) 211.305

●

«ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·˙fiÁÏÔ˘ 5), 105 64 Aı‹Ó· TËÏ.-Fax: (01) 32 11 097

Oδηγες προς τους συγγραφες των προτσεων ➧

➧

➧

H κταση της παρουσασης ενς θµατος δε θα πρπει να υπερβανει τις 4 σελδες του εντπου, τουλχιστον στις θετικς επιστµες. H χρησιµοποηση της διατπωσης, της ορολογας και των συµβολισµν των εγκεκριµνων διδακτικν βιβλων της ∆ευτεροβθµιας Eκπαδευσης εναι υποχρεωτικ. H προσφυγ στη βοθεια εννοιν και µεθδων, που εναι εκτς της διδακτας λης, οπωσδποτε µως απ το «µεσο περιβλλον» της, θα πρπει να εναι περιορισµνη και να επισηµανεται τι εναι εκτς διδακτας λης. Στην περπτωση αυτ µια βιβλιογραφικ αναφορ θα εναι πολ χρσιµη.

Eιδικτερα, κατ την παρουσαση θα πρπει, εφσον εναι εφικτ και απαρατητο, ➧ να επισηµανονται οι επιδιωκµενοι στχοι, ➧ να δνεται το απαρατητο πληροφοριακ υλικ µε αναφορ στα διδακτικ βιβλα, ➧ να γνονται οι κατλληλες διδακτικς υποδεξεις, ➧ να γνονται εκενες οι αποδεξεις που υποδεικνουν µεθδους επεξεργασας θεµτων  επλυσης προβληµτων και ➧ να υποδεικνονται εκενα τα σηµεα, που εναι δυνατν να ξεφγουν λθη.

O Eππτης Eκδσεως

O ÂΉÔÙÈÎfi˜ Ì·˜ Ô›ÎÔ˜, ÁÈ· Ó· οÓÂÈ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ÙË «Û˘˙‹ÙËÛË» ̤۷ ·fi ÙÔ˘˜ «EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡˜ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆π™ª√À™», ı· Û·˜ ‰ˆÚ›˙ÂÈ ‚È‚Ï›· ÙˆÓ ÂΉfiÛÂÒÓ ÙÔ˘ (Ù· ÔÔ›· ı· ÂÈϤÍÂÙ ÂÛ›˜) ·Í›·˜ 10.000 ‰Ú¯. ÁÈ· οı ÚfiÙ·Û‹ Û·˜ Ô˘ ı· ‰ËÌÔÛȇÂÙ·È.

Âȉ‹ Ë Û‡ÓÙ·ÍË ÙÔ˘ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Ì·˜ ηٷÎχ˙ÂÙ·È ·fi ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÎÚÈÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·ÚÔ˘Û›·Û˘ Ù˘ ‡Ï˘ ÛÙ· Û¯ÔÏÈο ‚È‚Ï›·, Ì ·Û΋ÛÂȘ ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ χÛÂȘ ÌÈ·˜ ¿ÛÎËÛ˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ Û·˜ ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ì¤Û· ÛÙÔ˘˜ ÛÙfi¯Ô˘˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ı¤ÛÂÈ ÔÈ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, ‰ÂÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È ➧ Ë ÎÚÈÙÈ΋ ÙˆÓ ÂÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ Û¯ÔÏÈÎÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ‰È‰·Ûηϛ·˜ (ÂÎÙfi˜ Î·È ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜), ÁÈ·Ù› ı· ÚÔηϤÛÔ˘Ì ۇÁ¯˘ÛË ÛÙÔÓ Ì·¯fiÌÂÓÔ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi, Ô‡ÙÂ Î·È ➧ Ë ·Ú¿ıÂÛË ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ Î¿ÔÈˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ·ÊÔ‡ ·˘Ùfi ηχÙÂÙ·È ·fi ÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ‚ÔËıËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ΢ÎÏÔÊÔÚÔ‡Ó.

E

™Ùfi¯Ô˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ô Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ (ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ EÎ·›‰Â˘Û˘) ·Ó¿Ï˘ÛË ıÂÌ¿ÙˆÓ, ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ô˘ Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó Î·ı·Ú¿ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜ ηıÒ˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ χÛÂˆÓ Ô˘ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È ÙÚfiÔ˘˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ÂÎÙ›ÌËÛË °ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜

3

∂ À∫§∂π¢∂π∞ ° ∂øª∂∆ƒπ∞

∂À∫§∂π¢∂π∞ °∂øª∂∆ƒπ∞ ∆Ô Ó¤Ô ‚È‚Ï›Ô ‰È‰·Ûηϛ·˜ ÙÔ˘ ∂ÓÈ·›Ô˘ §˘Î›Ԣ

O

È EK¢O™EI™ ZHTH ¤¯Ô˘Ó 40 ¯ÚfiÓÈ· ·ÚÔ˘Û›· ÛÙȘ ·ÓÂÈÛÙËÌȷΤ˜ ÂΉfiÛÂȘ Î·È Û ÂΉfiÛÂȘ ÁÈ· ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ Î·È ÙÔ §‡ÎÂÈÔ. TÒÚ· Û˘Ó¯›˙Ô˘Ó Ì ÂÈÙ˘¯›· Î·È ÛÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ Û¯ÔÏÈÎÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Û˘ÌÌÂÙ¤¯ÔÓÙ·˜ ÛÙȘ ÚÔÎËÚ‡ÍÂȘ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.

Ô ¶·È‰·ÁˆÁÈÎfi πÓÛÙÔ‡ÙÔ ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÚÂÓ¤ÚÁÂȘ Ô˘ ›¯Â ÛÙËÓ Î·ÏÏȤÚÁÂÈ· Ù˘ ÎÚÈÙÈ΋˜ ÛΤ„˘ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ Ì·˜ Ë ·Ô˘Û›· ·fi ÙÔ ¶ÚfiÁÚ·ÌÌ· ™Ô˘‰ÒÓ ÙÔ˘ ÂÏÏËÓÈÎÔ‡ §˘Î›Ԣ Ë «ÎÏ·ÛÈ΋» (ηÙÂÍÔ¯‹Ó ÂÏÏËÓÈ΋) ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· Â·ÓÂÈÛ¿ÁÂÈ ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ Ì ¤Ó· Û‡Á¯ÚÔÓÔ, ÔÏÔÎÏËڈ̤ÓÔ Î·È ÏÂÙÔÌÂÚ¤˜ ¶ÚfiÁÚ·ÌÌ· ™Ô˘‰ÒÓ. °È·Ù› fiˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ ¶ÚÔÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜ ™Ô˘‰ÒÓ:

∆

∏ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›· ÈÛÙÔÚÈο ·ÔÙ¤ÏÂÛ ÙÔ ÚfiÙ˘Ô ıÂÌÂÏ›ˆÛ˘ Î·È ·Ó¿Ù˘Í˘ ÁÈ· ÙȘ ÂÈÛÙËÌÔÓÈΤ˜ ıˆڛ˜. √ ÚfiÏÔ˜ Ù˘ ÛÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· Â›Ó·È ıÂÌÂÏÈ·Îfi˜ Î·È ·Ó·ÓÙÈηٿÛÙ·ÙÔ˜, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÏÂÔÓ¤ÎÙËÌ·, Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ó· Â›Ó·È ¿ÌÂÛ· ÔÚ·Ù¿ Î·È ˘ÏÔÔÈ‹ÛÈÌ· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Ù˘ ÂÔÙ›·˜ Ì·˜. ∏ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ıˆڛ·˜ Á›ÓÂÙ·È ·Ú·ÁˆÁÈο Î·È ¤ÙÛÈ ‰›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÌÔÓ·‰È΋ ¢ηÈÚ›· ÛÙÔÓ Ì·ıËÙ‹ Ó· ηٷÓÔ‹ÛÂÈ ÙËÓ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· Î·È Ó· ·ÛÎËı› Û ·˘Ù‹. ∏ ʇÛË ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ‰È·Ú·ÁÌ·Ù‡ÂÙ·È ··ÓÙ¿ ÛÙȘ Û‡Á¯ÚÔÓ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÎÏ‹ÛÂȘ, Ô˘ ··ÈÙÔ‡Ó ‰Ú·ÛÙ‹ÚÈÔ ÚfiÏÔ ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹ ÛÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË Î·È Î·Ù¿ÎÙËÛË Ù˘ ÁÓÒÛ˘. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Î·È Î·Ù·Û΢ÒÓ (Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË), ‚ÔËıÔ‡Ó ÛÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ‰ÂÍÈÔًوÓ, fiˆ˜ ÎÚÈÙÈ΋˜ ‰ÈÂÚ¢ÓËÙÈ΋˜ ÛΤ„˘, ‰È·Ù‡ˆÛ˘ ÂÈηÛÈÒÓ ÛÙËÓ ·Ó·˙‹ÙËÛË Ù˘ χÛ˘, ‰È·‰Èηۛ˜ Ô˘ ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ó ÙÔÓ Ì·ıËÙ‹ Û ÂÚ¢ÓËÙ‹. ∏ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·, ̤۷ ·fi ÙÔ ÎÏ·ÛÈÎfi ÌÔÓÙ¤ÏÔ ÕÏÁ‚ڷ-°ÂˆÌÂÙÚ›· ÏÂÈÙÔ‡ÚÁËÛ Ì ÂÈÙ˘¯›· ̤¯ÚÈ ÙË ‰ÂηÂÙ›· ÙÔ˘ 1970, fiÙ·Ó Î·È Ó¤ÔÈ ÎÏ¿‰ÔÈ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ó· Á›ÓÔÓÙ·È ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ‰È‰·Ûηϛ·˜ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ. ∂Í·ÈÙ›·˜ ·˘ÙÔ‡ Ô ÚfiÏÔ˜ Ù˘ Û˘ÚÚÈÎÓÒıËÎÂ Î·È ¤·„ ӷ

·ÔÙÂÏ› ·ÚÈ· Û˘ÓÈÛÙÒÛ· Ù˘ ÂÎ·›‰Â˘Û˘ Ì ‰ÈÂıÓÒ˜ ·Ó·ÁÓˆÚÈṲ̂Ó˜ ÂÈÙÒÛÂȘ, ÛÙËÓ Î·Ù¿ÚÙÈÛË ÙˆÓ ·ÔÊÔ›ÙˆÓ. §·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙȘ ÚÔÎÏ‹ÛÂȘ ÙˆÓ Î·ÈÚÒÓ, ÙÔÓ ÈÛÙÔÚÈÎfi ÚfiÏÔ Ù˘ ÛÙËÓ ÔÏÈÙÈÛÙÈ΋ Ì·˜ ÎÏËÚÔÓÔÌÈ¿ Î·È ÙȘ Ӥ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ··ÈÙ‹ÛÂȘ, ¤¯ÂÈ ˆÚÈÌ¿ÛÂÈ Ë È‰¤· ÁÈ· ¤Ó·Ó Â·Ó·ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ı¤Û˘ Î·È ÙÔ˘ ÚfiÏÔ˘ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÛÙË ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· ∂Î·›‰Â˘ÛË Î·È È‰È·›ÙÂÚ· ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ. ∏ Û˘ÛÙËÌ·ÙÔÔ›ËÛË Î·È Ë ·Ú¯È΋ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ˆ˜ ÌÈ· ·ÍȈ̷ÙÈο ‰ÔÌË̤Ó˘ ıˆڛ·˜ ¤ÁÈÓ ·fi ÙÔÓ ∂˘ÎÏ›‰Ë, (3Ô˜ .Ã. ·ÈÒÓ·˜, «™ÙÔȯ›·»). ∏ ıÂÌÂÏ›ˆÛË ·˘Ù‹ Ì ÙȘ ·Ó·Áη›Â˜ ÙÚÔÔÔÈ‹ÛÂȘ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÂÍ·ÎÔÏÔ˘ı› Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ. ∆Ô ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ Î·Ù¿ ÙËÓ Û‡ÓÙ·ÍË ÙˆÓ ¶.™. ›ӷÈ: ¶Ú¤ÂÈ Ó· ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È ÛÙ· Û¯ÔÏ›· Ë Ï‹Ú˘ Î·È ·˘ÛÙËÚ‹ ·ÍȈ̷ÙÈ΋ ıÂÌÂÏ›ˆÛË Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜; ∏ ËÏÈΛ· Î·È Ù· ÂӉȷʤÚÔÓÙ· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ, ηıÒ˜ Î·È ÔÈ ÛÙfi¯ÔÈ Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ·È‰Â›·˜ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ, ‰ÂÓ Û˘ÓËÁÔÚÔ‡Ó Û ÌÈ· ηٷʷÙÈ΋ ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ·Ú·¿Óˆ ÂÚÒÙËÌ·. ªÈ· Ù¤ÙÔÈ· ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ı· ÂÓ¤ÏÂΠÙÔÓ Ì·ıËÙ‹ Û ÌÈ· Ì·ÎÚfi¯ÚÔÓË Î·È Â›ÔÓË ‰È·‰Èηۛ· Ì ·ÌÊ›‚ÔÏ· ÂÎ·È‰Â˘ÙÈο ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.

4 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

∂ À∫§∂π¢∂π∞ ° ∂øª∂∆ƒπ∞ ™Ù· Ï·›ÛÈ· ÙÔ˘ ıÂÛÌÔ‡ ηıȤڈÛ˘ ÙÔ˘ ÔÏÏ·ÏÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ (ÙÔ˘ ∂¶∂∞∂∫1) ÙÔÓ πÔ‡ÓÈÔ ÙÔ˘ 1998 ÙÔ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎfi πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ ÚÔ΋ڢÍ ÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ «∂À∫§∂π¢∂π∞ °∂øª∂∆ƒπ∞» (‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹, ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ Ô‰ËÁ›Â˜, χÛÂȘ ÙˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘) ÁÈ· ÙÔ §‡ÎÂÈÔ. √ ∂ΉÔÙÈÎfi˜ √›ÎÔ˜ ∑∏∆∏, fiˆ˜ ‹Ù·Ó ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓÔ, ÂÓ¤Ù·ÍÂ Î·È ÙËÓ «ÚfiÎÏËÛË» ·˘Ù‹ ÛÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȤ˜ ÙÔ˘ Ó· Û˘Ì‚¿ÏÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÙ˘¯›· Ù˘ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋˜ ‰È·‰Èηۛ·˜ ̤۷ ÛÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ Î·È ÙÔ §‡ÎÂÈÔ Î·È Û˘ÁÎÚfiÙËÛÂ Û˘ÁÁÚ·ÊÈ΋ ÔÌ¿‰· ·fi ÙÔ˘˜ Î.Î. (ηٿ ·ÏÊ·‚ËÙÈ΋ ÛÂÈÚ¿): ñ °È¿ÓÓË £ˆÌ·˝‰Ë, ¢Ú. ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ∫·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘ 1Ô˘ §˘Î›Ԣ ∏ÏÈÔ‡ÔÏ˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢. ñ £·Ó¿ÛË •¤ÓÔ, ∫·ıËÁËÙ‹ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ 2Ô˘ §˘Î›Ԣ ™˘ÎÂÒÓ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢. ñ °ÂÒÚÁÈÔ ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, ∫·ıËÙËÁ‹ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ ∂ıÓ. ªÂÙÛfi‚ÂÈÔ˘ ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ. ñ ∞Ó‰Ú¤· ¶Ô‡ÏÔ, ∫·ıËÁËÙ‹ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶ÂÈÚ·Ì·ÙÈÎÔ‡ ™¯ÔÏ›Ԣ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢ Î·È ñ °ÂÒÚÁÈÔ ™Ù¿ÌÔ˘, ∫·ıËÁËÙ‹ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ˘ ∞ÚÈÛÙ. ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢. ∆Ô ª¿ÚÙÈÔ2 ·Ó·ÎÔÈÓÒıËΠ·fi ÙÔ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎfi πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ fiÙÈ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ∂À∫§∂π¢∂π∞ °∂øª∂∆ƒπ∞ ÙˆÓ ∂ΉfiÛÂˆÓ ∑∏∆∏ ÎÚ›ıËΠ̠Ôχ ˘„ËÏ‹ ‚·ıÌÔÏÔÁ›· ·fi ÙËÓ ∂ÈÙÚÔ‹ ∫Ú›Ûˆ˜ ˆ˜ ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi (ÌÂٷ͇ 7 ·Î¤ÙˆÓ), ÙÔ ÔÔ›Ô ÏËÚÔ‡Û ÙȘ ÚԉȷÁڷʤ˜ Ù˘ ÚÔ΋ڢ͢, ÁÈ·Ù› «∂›Ó·È ÁÚ·Ì̤ÓÔ Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¶.™., Ì ÂÚÈÁڷʤ˜ ¿ÓÂÙ˜ Î·È Î·Ù·ÓÔËÙ¤˜… ∂›Ó·È Ù˘ÔÁÚ·ÊÈο ¿„ÔÁÔ Î·È Ë ÛˆÛÙ‹ ÁÏÒÛÛ·, ÔÈ Ù˘ÔÁÚ·ÊÈΤ˜ Î·È ¯ÚˆÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÊÔÚÔÔÈ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, Ù· Û¯‹Ì·Ù· Î.Ù.Ï. οÓÔ˘Ó ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÊÈÏÈÎfi ÚÔ˜ ÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙËÌ·ıËÙ‹… √È ·ԉ›ÍÂȘ ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÏÈÙ¤˜ Î·È ¯ˆÚ›˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜. √È ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ, Ù· Û¯fiÏÈ· Î·È Ù· ¤ÓıÂÙ· ÛËÌÂÈÒÌ·Ù· Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó ‹ ‰È¢ÎÚÈÓ›˙Ô˘Ó Ô˘ÛÈÒ‰Ë ÛËÌ›· Ù˘ ıˆڛ·˜…». ∆Ô ‚È‚Ï›Ô ∂À∫§∂π¢∂π∞ °∂øª∂∆ƒπ∞ ı· ÂÎÙ˘ˆı› ·fi ÙÔÓ √ÚÁ·ÓÈÛÌfi ∂ΉfiÛÂˆÓ ¢È‰·ÎÙÈÎÒÓ µÈ‚Ï›ˆÓ Î·È ı· ‰È‰·¯Ù› ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ ·fi ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ Û¯ÔÏÈÎfi ¤ÙÔ˜ 1999-2000.

1. ∂¶∂∞∂∫: ∂ȯÂÈÚËÛÈ·Îfi ¶ÚfiÁÚ·ÌÌ· ∂Î·›‰Â˘Û˘ Î·È ∞Ú¯È΋˜ ∂·ÁÁÂÏÌ·ÙÈ΋˜ ∫·Ù¿ÚÙËÛ˘. 2. √ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ÁÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ D. Hilbert ‰ËÌÔÛ›Â˘Û ÙÔ 1899 ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ «∆· £Â̤ÏÈ· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜». ∏ ÙÂÏÈ΋ ÂÂÍÂÚÁ·Û›· ·˘ÙÔ‡ ¤ÁÈÓ ÛÙÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÌÂٷ͇ Ù˘ ¿ÓÔÈ͢ ÙÔ˘ 1898 Î·È ÙÔ˘ πÔ˘Ó›Ô˘ ÙÔ˘ 1899. ¶ÚÈÓ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·fi 100 ¯ÚfiÓÈ·.

¶ÚÔÙ›ÓÂÙ·È, ÏÔÈfiÓ, Ë ÛÙ‹ÚÈÍË ÙÔ˘ fiÏÔ˘ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¿Óˆ Û fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÏÈÁfiÙÂÚ˜ ·Ú¯ÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ·Ï‹ıÂȘ, Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈο ·fi ÙËÓ ÂÌÂÈÚ›· Ì·˜ Î·È ÙȘ Ôԛ˜, ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi, ·ԉ¯fiÌ·ÛÙ ¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË. π‰È·›ÙÂÚË, fï˜, ·Ó·ÊÔÚ¿ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ ÛÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· (ÛÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì‹ ÙÔ˘ ‰È·Ù‡ˆÛË ÁÈ· ÙËÓ ··›ÙËÛË ‡·Ú͢ ÌÔÓ·‰È΋˜ ·Ú¿ÏÏËÏ˘). ∞˜ ÛËÌÂȈı› fiÙÈ Ë ÎÚÈÙÈ΋ Û’ ·˘Ùfi Ô‰‹ÁËÛ ÙÔÓ ÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ·ÈÒÓ· ÛÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ ÌË ∂˘ÎÏ›‰ÂÈˆÓ °ÂˆÌÂÙÚÈÒÓ. ∏ ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ıˆڛ·˜ Ô˘ ı· ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È, Ú¤ÂÈ Ó· ˘·ÎÔ‡ÂÈ ÛÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ÔÈÎÔÓÔÌ›·˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, ̤۷ ÛÙ· Ï·›ÛÈ· ÙˆÓ Û‡Á¯ÚÔÓˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ. ¶Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÙ·È Ë ·Ú¿ıÂÛË Î·È Ë ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ ϤÔÓ ··Ú·›ÙËÙˆÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ, ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· ·Ô‚·›ÓÂÈ Û ‚¿ÚÔ˜ Ù˘ ÏËÚfiÙËÙ·˜ Ù˘ ‰È‰·ÎÙ¤·˜ ‡Ï˘. ∞·Ú·›ÙËÙË ÎÚ›ÓÂÙ·È Ë ‰È·Û‡Ó‰ÂÛË ÙˆÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÚÔÙ¿ÛˆÓ, ηıÒ˜ Î·È Ë ·Ó¿‰ÂÈÍË Ù˘ ÏÔÁÈ΋˜ ·ÏÏËÏÔ˘¯›·˜ ÙÔ˘˜. ∞fi ÙËÓ ·Ú¿ıÂÛË Ù˘ ‡Ï˘ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÙÔ fiÏÔ ÔÈÎÔ‰fiÌËÌ· ¯Ù›˙ÂÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ¿Óˆ ÛÙȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜, Ù˘ ·Ú·ÏÏËÏ›·˜, Ù˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡. ∏ ÈÛfiÙËÙ· ÔÚ›˙ÂÙ·È ÂÓÈ·›· ÁÈ· fiÏ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ì ÙË

‰È·‰Èηۛ· Ù˘ Â›ıÂÛ˘ Î·È ÂÓ·fiıÂÛ˘, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÎÚ›ÓÂÙ·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ıÂÌÂÏȈı› ·ÍȈ̷ÙÈο Ë ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹. ªÂ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ·ÔÎÙ¿ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ÈÛ¯‡ Î·È ÂÌ‚¤ÏÂÈ·. ∆ÔÓ›˙ÂÙ·È fiÙÈ Ë ÔÌÔÈfiÙËÙ· ·ÊÔÚ¿ ÙË ÌÂϤÙË Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌfiÓÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜, ÂÓÒ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÌÔÚÊ‹. ŸÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù· Û¯‹Ì·Ù· ϤÔÓ Û˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ «¤ÎÙ·ÛË» Ô˘ ·˘Ù¿ ÂÚÈÎÏ›ԢÓ. ∏ ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ ∂›‰˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ¤¯ÂÈ ÚÔÂÙÔÈÌ¿ÛÂÈ ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ ÁÈ· Ó· ·Ó·Ù˘¯ı› Û‡ÓÙÔÌ· Î·È Ó· ηٷÓÔËı› Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È ·ÌÂÛfiÙÂÚ· Ì ÙËÓ ÂÔÙ›· Î·È Ì ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜. √ ηıÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Á›ÓÂÙ·È Ì¤Ûˆ ·Ú·‰Ô¯ÒÓ Û Ï‹ÚË ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· Ì ÙËÓ ∂›Â‰Ë °ÂˆÌÂÙÚ›·. ∏ ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÔÏ˘¤‰ÚˆÓ Î·È ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ·fi ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ·È Ì ÙËÓ Â‡ÚÂÛË Ù‡ˆÓ ÁÈ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙˆÓ Î˘ÚÈÔÙ¤ÚˆÓ ·’ ·˘Ù¿. ™ÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ· Â·Ó·ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÚfiÏÔ˘ Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, ı· Ú¤ÂÈ Ë ‰È‰·Ûηϛ· Ó· ÂÌÏÔ˘ÙÈÛÙ› Ì ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Î·È Ó· ˘ÔÛÙËÚȯÙ› Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ Ó¤ˆÓ Ù¯ÓÔÏÔÁÈÒÓ, fiˆ˜ Ô ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ Î·È Ù· ÔÙÈÎÔ·ÎÔ˘ÛÙÈο ̤۷.

5 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

ª ∞£∏ª∞∆π∫∞ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘, ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ÁÈ· Ù· ª·ıËÌ·ÙÈο, ¤¯ÂÈ ‰ÈÂıÓÒ˜ ·ÌÊÈÛ‚ËÙËı› ¤ÓÙÔÓ· Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ·. ∆Ô ÂÏÏËÓÈÎfi ™¯ÔÏÂ›Ô (°˘ÌÓ¿ÛÈÔ, §‡ÎÂÈÔ ∆∂π, Î·È ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ) ·›˙ÂÈ ¤Ó· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙË ‰ÔÌ‹ Ù˘ ÎÔÈÓˆÓ›·˜ Ì·˜ ·fi fi,ÙÈ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ™¯ÔÏÂ›Ô ÛÙȘ ¿ÏϘ ¯ÒÚ˜ Ù˘ ∂˘Úˆ·˚΋˜ ŒÓˆÛ˘ Î·È ÙˆÓ ∏¶∞. ™ÙȘ ¯ÒÚ˜ ·˘Ù¤˜ ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ Ù˘ÈÎfi ∞ÔÏ˘Ù‹ÚÈÔ ‹ ¶Ù˘¯›Ô, ·ÎfiÌË Î·È ÛÙÔ ¢ËÌfiÛÈÔ, Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Î·ıÔÚÈÛÙÈο ˘fi„Ë Î·È Ë ‚·ı‡ÙÂÚË ÁÓÒÛË, Ë Î·ÏÏȤÚÁÂÈ· Ù˘ ÛΤ„˘ Î·È Ù˘ ¤ÎÊÚ·Û˘. ™ÙÔȯ›· Ô˘ ‰ÂÓ ÂÁÁ˘¿Ù·È Ë ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ·˘Ù‹. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ı· Ú¤ÂÈ Ó· ›̷ÛÙ ÚÔÛÂÎÙÈÎÔ› ÛÙË ‚·Ú‡ÙËÙ· Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘. ™Ùfi¯Ô˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÚˆÙËÌ¿ÙˆÓ ÓÔÌ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ë «·˘ÙfiÌ·ÙË» ·Ó·ÁÓÒÚÈÛË ÙÔ˘ ÔÚıÔ‡ ‹ ÙÔ˘ Ï¿ıÔ˘˜ ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁÚ·Ù‹ Ú¿ÍË. √È ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ› ·Ú·ı¤ÙÔ˘Ó Û‹ÌÂÚ· ‰‡Ô ¿ÚıÚ· Û˘ÓÂÚÁ·ÙÒÓ ÙÔ˘ Î·È ‰È·ÚÂÒÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ Ì ۯÂÙÈÎÔ‡˜ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ Ô˘ ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ ı· Û˘Ì‚¿ÏÔ˘Ó ÛÙË ÔÚıÔÏÔÁÈÛÙÈÎfiÙÂÚË ‰È·ÌfiÚʈÛË ÂÚˆÙËÌ¿ÙˆÓ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘. √ ÂfiÙ˘ ÂΉfiÛˆ˜

∏

∞™∫∏™∂π™ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ∫§∂π™∆√À ∆À¶√À ∆Ô˘ ¢. ¶··ÎˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˘, ™¯. ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˘ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ

√

È ·Û΋ÛÂȘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ ‹ fiˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ϤÁÔÓÙ·È Î·È ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ Ô˘ Û˘Óԉ‡ÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· Ï‹ıÔ˜ ÚÔÙÂÈÓÔÌ¤ÓˆÓ ··ÓÙ‹ÛÂˆÓ ·fi ÙȘ Ôԛ˜ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ηÏÂ›Ù·È Ó· ÂÈϤÍÂÈ ÙËÓ ÔÚı‹. √È Î˘ÚÈfiÙÂÚ˜ ÌÔÚʤ˜ Â›Ó·È ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ «ÛˆÛÙfiÏ¿ıÔ˜», «ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜», «Û‡˙¢Í˘», «‰È¿Ù·Í˘» Î·È «Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÎÂÓÔ‡». ∂›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ Ù· ÏÂÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù· Î·È Ù· ÌÂÈÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÌÔÚÊÒÓ Î·ıÒ˜ Î·È ÔÈ Î·ÓfiÓ˜ ηٷÛ΢‹˜ ÙÔ˘˜ ·fi ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ‰ËÌÔÛȇÛÂȘ Î·È ÂÓËÌÂÚÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Á›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ. ∂‰Ò ı· ·Ó·Ï‡ÛÔ˘Ì ¤Ó· ‚·ÛÈÎfi ÛÊ¿ÏÌ· ηٷÛ΢‹˜ Ô˘ Û˘Ó‹ıˆ˜ Á›ÓÂÙ·È ÛÙȘ ·Û΋ÛÂȘ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜. ¡ÔÌ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ¿ÛÎËÛË Ô˘ ηٷÛ΢¿Û·Ì ‹ ÂÈϤͷÌ ÁÈ· ÙÔ ‰È·ÁÒÓÈÛÌ· Â›Ó·È Î·È ¿„ÔÁË Û ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È ÏÔ‡ÛÈ· Û ̷ıËÌ·ÙÈÎfi ÂÚȯfiÌÂÓÔ Î·È ÂÈÏÂfiÓ fiÙÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ͤÚÂÈ Ì·ıËÌ·ÙÈο ÁÈ· Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ.

√ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ô˘ ηٷÛ··Û ‹ Â¤ÏÂÍ ·˘Ù‹ ÙËÓ ¿ÛÎËÛË ÓÔÌ›˙ÂÈ fiÙÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· ÙË Ï‡ÛÂÈ Ú¤ÂÈ Ó· ͤÚÂÈ ÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ÔÌÔÁÂÓÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ, ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÔÚ›˙Ô˘Û·˜ Î·È ÙË Ï‡ÛË ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘. ∆›ÔÙ ·fi fiÏ· ·˘Ù¿. √ Ì·ıËÙ‹˜ ı· ¿ÚÂÈ ÙËÓ ÈÔ ‚ÔÏÈ΋ ÙÈÌ‹ Ï = 1, ı· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂÈ Î·È ı· ¤¯ÂÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·: x + 2y = 0 x + 2y = 0




‰ËÏ·‰‹ ÌÈ· Â͛ۈÛË x+2y = 0, fiÔ˘ Ô x Â›Ó·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ y, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ ÁÈ· Ï = 1 Î·È ¤ÙÛÈ ÛËÌÂÈÒÓÂÈ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛË ¢. ◆

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ∞µ = 5 cm, ∞° = 7 cm Î·È µ° = 6 cm. ∏ ∞ª Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ÙÔ ∞¢ Â›Ó·È ‡„Ô˜. A

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 ¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ·Ú·ÌÂÙÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· 2¥ 2:




(2Ï–1)x + (Ï+1)y = 0 Ïx + 2y = 0

°È· ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Ï ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ; ∞: Ï = 3, µ: Ï = –1, °:Ï = 4, ¢: Ï = 1.

B

¢

6 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M

°

∆Ô ¢ª ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜: ∞. 1, µ. 2, °. 2,5, ¢. 3

M ∞£∏ª∞∆π∫∞ ¡ÔÌ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ¿ÛÎËÛË Ú¤ÂÈ Ó· ͤÚÂÈ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ ÁÈ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ª. ∆›ÔÙ ·fi fiÏ· ·˘Ù¿ ‰ÂÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ͤÚÂÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ·Ú¿ ÌfiÓÔ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì Ï¢ڤ˜ 5, 7 Î·È 6 cm. ªÂÙÚ¿ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ¢ª Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌË̤ÓÔ ¯¿Ú·Î· Î·È ‚Ú›ÛÎÂÈ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË µ, 2 cm. ◆

∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÂÓ‰¤¯ÂÙ·È Ì ·Ϥ˜ ‰ÔÎÈ̤˜ Ó· ‰Ôı› Û ۇÓÙÔÌÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ ÛˆÛÙfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·Ó Î·È Ë ¿ÛÎËÛË Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È Û‡ÓıÂÙË ‹ fiÙÈ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË Ù˘ ··Ú·›ÙËÙ· Ë ÁÓÒÛË Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ıˆڛ·˜. ∞fi Ì›· ·Ï‹ ÛÙ·ÙÈÛÙÈ΋ ̤ÙÚËÛË Ô˘ ¤ÁÈÓ ÛÙȘ 235 ·Û΋ÛÂȘ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ Ù‡Ô˘ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ «∞ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ù˘ ∞¢ §˘Î›Ԣ ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο» (¤¯ÂÈ ‰Ôı› ˆ˜ ‚Ô‹ıËÌ· ÁÈ· ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹) ‰È·ÈÛÙÒıËÎ·Ó Ù· ÂÍ‹˜ (Û¯.1):

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 AÛ΋ÛÂȘ Ô˘ ‰ÂÓ ··ÈÙÔ‡Ó ÁÓÒÛË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, χÓÔÓÙ·È Ì ‰ÔÎÈÌ‹

Û˘Ó·+Û˘Ó2· ∆Ô ÎÏ¿ÛÌ·

ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ: ËÌ·+ËÌ2· · ∞. ÛÊ

2

· µ. ÂÊ

2

3· °. ÛÊ

2

¢. ÂÊ3·

∂. ÛÊ3·

∑. ÂÊ·

AÛ΋ÛÂȘ Ôχ ·Ϥ˜

40% 26% (62) (93)

34% (80)

¡ÔÌ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ͤÚÂÈ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÒÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Û ÁÈÓfiÌÂÓ· Î·È Ó· οÓÂÈ ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ. ¢ÂÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·˘Ù‹ Ë ÁÓÒÛË. £¤ÙÂÈ fiÔ˘ · = 30Æ Î·È ‚Ú›ÛÎÂÈ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 1. ∆ËÓ ›‰È· ÙÈÌ‹ ¤¯ÂÈ 90Æ ◆ Î·È Ë ·¿ÓÙËÛË °. ÛÊ

= ÛÊ 45Æ = 1. 2

AÛ΋ÛÂȘ ηÓÔÓÈΤ˜ Ô˘ ··ÈÙÔ‡Ó ÁÓÒÛË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¶O™O™TA A™KH™EøN ¶ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ 112 ¶O™O™TA A™KH™EøN ™ˆÛÙfi - §¿ıÔ˜ 104

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Â›Ó·È ÙfiÍÔ ∞° = 60Æ Î·È ∞° = 5cm. ∏ ·ÎÙ›Ó· √° ›ӷÈ: A

60Æ B

O

∞. 5  µ. 5

5

¶O™O™TA A™KH™EøN ™‡˙¢Í˘, AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ˘

°. 25 

19

¢. 2,5 °

∂. 23 

∂‰Ò Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ‰‡ÛÎÔÏË Î·È ··ÈÙ› ¯ÚfiÓÔ ÔfiÙ ‰ÂÓ Û˘ÌʤÚÂÈ Ë Ì¤ÙÚËÛË Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌË̤ÓÔ ¯¿Ú·Î·. ∞Ó Î·È Ë ¿ÛÎËÛË Â›Ó·È Ù˘ µ¢ §˘Î›Ԣ (ÓfiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ) χÓÂÙ·È Ì ٷ ÁÓˆÛÙ¿ Á˘ÌÓ·Ûȷο Ì·ıËÌ·ÙÈο. º¤ÚÔ˘Ì ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ √∞ Î·È √°. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ √∞° Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ Î·È ÂÂȉ‹ Ë ÁˆÓ›· ∞√° Â›Ó·È 60Æ ı· Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ, ÔfiÙÂ Â›Ó·È Î·È √° = 5. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ µ. ◆

∞ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÔÛÔÛÙ¿ ηٿ ηÙËÁÔÚ›· ™¯‹Ì· 1

¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÙÂÏÈο fiÙÈ ¤Ó· «·ı¤·ÙÔ» ÌÂÈÔÓ¤ÎÙËÌ· ÙˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ÎÏÂÈÛÙÔ‡ Ù‡Ô˘, ·Ó ‰ÂÓ ÚÔÛ¯ı› Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘˜, Â›Ó·È Ë Ï‡ÛË ·˘ÙÒÓ Ì ‰ÔÎÈ̤˜ ¯ˆÚ›˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ıˆڛ·˜. ◆

7 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

∞•π√§√°∏™∏ ∆ø¡ ª∞£∏∆ø¡ ÛÙ· ª∞£∏ª∞∆π∫∞ Ì ∂ƒø∆∏™∂π™ ∞¡∆π∫∂πª∂¡π∫√À ∆À¶√À TÔ˘ °È¿ÓÓË X. £ˆÌ·˝‰Ë, ¢Ú ¢È‰·ÎÙÈ΋˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, 1Ô §‡ÎÂÈÔ HÏÈÔ‡ÔÏ˘

È· ·fi ÙȘ ηÈÓÔÙƠ̂˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÈÛ¿ÁÂÈ Ë ÚfiÛÊ·ÙË ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ÌÂÙ·ÚÚ‡ıÌÈÛË Â›Ó·È Ë ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ÏÂÁfiÌÂÓˆÓ «ÎÏÂÈÛÙÒÓ» ‹ «·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘» ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ ÁÈ· ÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ. ™Ù· Ù‡¯Ë ÁÈ· ÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂΉfiÛÂÈ ÙÔ K¤ÓÙÚÔ EÎ·È‰Â˘ÙÈ΋˜ ŒÚ¢ӷ˜ (K.E.E.) ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ‰ÈÂÍÔ‰Èο Ù· ÏÂÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù· Î·È ÌÂÈÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ ηıÒ˜ Î·È ¿Ú· ÔÏÏ¿ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÁÈ· οı ÂÓfiÙËÙ· Ù˘ Û¯ÔÏÈ΋˜ ‡Ï˘1. ™ÙÔ ¿ÚıÚÔ ·˘Ùfi ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì οÔȘ ·fi„ÂȘ Î·È Û¯fiÏÈ· Û¯ÂÙÈο Ì ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ (E.A.T.) ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο Î·È È‰È·›ÙÂÚ· ÙˆÓ ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ «ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜». £ÂˆÚԇ̠fï˜ ÛÎfiÈÌÔ Ó· ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì ÚÔηٷÚÎÙÈο ‰‡Ô η›ÚÈ· ÛËÌ›·. OÈ Ù¿ÛÂȘ ÁÈ· ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Î·È Ì¿ıËÛË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Ô˘ ÂÈÎÚ·ÙÔ‡Ó Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ‰ÈÂıÓÒ˜, ÙfiÛÔ Û Â›Â‰Ô ¤Ú¢ӷ˜ fiÛÔ Î·È Ú·ÎÙÈ΋˜

M

1. BÏ. Û¯ÂÙÈο ÙȘ ÂΉfiÛÂȘ ÙÔ˘ K¤ÓÙÚÔ˘ EÎ·È‰Â˘ÙÈ΋˜ ŒÚ¢ӷ˜ (1998): ·) H ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ. °ÂÓÈΤ˜ Ô‰ËÁ›Â˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁ›·˜. ‚) H ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ù˘ A¢ §˘Î›Ԣ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. Á) H ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ù˘ B¢ §˘Î›Ԣ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. T‡¯Ô˜ A¢ . 2. AӷʤÚÔ˘Ì ÂÓ‰ÂÈÎÙÈο Ù· ÂÍ‹˜ ‚È‚Ï›· Ô˘ ÂΉfiıËÎ·Ó ÚfiÛÊ·Ù· ·fi ÙÔ NCTM.: ·) Assessment Standards for School Mathematics. (1995) ‚) Webb, N. & Coxford, A. [eds.] Assessment in the Mathematics Classroom. (1993 Yearbook) MÂÚÈÎÔ› Ù›ÙÏÔÈ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi Â›Ó·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈÎÔ› Ù˘ ·ÌÊÈÛ‚‹ÙËÛ˘ ÙˆÓ E.A.T. Î·È Ù˘ ·Ó·˙‹ÙËÛ˘ Ó¤ˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘: ñ Gay, S. & Thomas, M. Just Because They Got It Right, Does It Mean They Know It? (EÂȉ‹ ÙÔ ·¿ÓÙËÛ·Ó ÛˆÛÙ¿, ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó;) ñ Thompson, D. & Senk, S. Assessing Reasoning and Proof in High School. (AÍÈÔÏfiÁËÛË ÙÔ˘ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡ Î·È Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ)

ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜, ‰›ÓÔ˘Ó È‰È·›ÙÂÚË ¤ÌÊ·ÛË ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙË ÌÔÓÙÂÏÔÔ›ËÛË, ÙË Û˘ÏÏÔÁÈ΋ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÛÙËÓ Ù¿ÍË, ÙËÓ Î·ÏÏȤÚÁÂÈ· Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛΤ„˘ Î·È ¤ÎÊÚ·Û˘, ‰ËÏ·‰‹ ˙ËÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔÓ ·ÓÙ›Ô‰· ÙÔ˘ Ì˯·ÓÈÛÙÈÎÔ‡ ÙÚfiÔ˘ ·¿ÓÙËÛ˘ Ô˘ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ ÙȘ E.A.T. E›Ó·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈ΋ Ë ¤ÓÙÔÓË ÎÚÈÙÈ΋ ηٿ Ù˘ ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·Ú¯›ÛÂÈ ÛÙȘ H.¶.A., ÙË ¯ÒÚ· Ô˘ ηıÈÂÚÒıËÎ·Ó ÚÈÓ ÔÏϤ˜ ‰ÂηÂٛ˜ Î·È ÁÓÒÚÈÛ·Ó ÙÂÚ¿ÛÙÈ· ·Ó¿Ù˘ÍË Î·È ‰È¿‰ÔÛË. M ÚˆÙÔ‚Ô˘Ï›· ÙÔ˘ EıÓÈÎÔ‡ ™˘Ì‚Ô˘Ï›Ô˘ ¢·ÛÎ¿ÏˆÓ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ (N.C.T.M.) ¤¯ÂÈ ·Ó·Ù˘¯ı› ÌÈ· ÁfiÓÈÌË Û˘˙‹ÙËÛË ÁÈ· ÙËÓ Î·ıȤڈÛË Ó¤ˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ Ô˘ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Û˘Ì‚·Ù¤˜ Ì ÙȘ Û‡Á¯ÚÔÓ˜ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ ÁÈ· ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Î·È Ì¿ıËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ2. AÚÓËÙÈΤ˜, Â›Û˘, ÁÈ· ÙÔ ÚfiÏÔ ÙˆÓ E.A.T. ̤۷ ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ ÙˆÓ ÓÂÒÙÂÚˆÓ ·ÓÙÈÏ‹„ÂˆÓ ÁÈ· ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Î·È Ì¿ıËÛË Â›Ó·È ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰È·Ù˘ˆ-

ñ Lange, J. de. Assessment in Problem-oriented Curricula. (H ·ÍÈÔÏfiÁËÛË Û ·Ó·Ï˘ÙÈο ÚÔÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ӷ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜) Á) Stenmark, J.K. [ed.] Mathematics Assessment: Myths, Models, Good Questions, and Practical Suggestions . (1991). MÂÚÈÎÔ› ·fi ÙÔ˘˜ «Ì‡ıÔ˘˜» Ô˘ ηٷÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ‚È‚Ï›Ô Â›Ó·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÔ›: M‡ıÔ˜: T· ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈο, ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Â›Ó·È ÔÈ ÌfiÓÔÈ ¤Á΢ÚÔÈ Î·È ·ÍÈfiÈÛÙÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÔÈÔÙÈ΋˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ Â›‰ÔÛ˘. M‡ıÔ˜: O ÛÎÔfi˜ Ù˘ ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ Â›Ó·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÈ ÔÈÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ «Î·Ù¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ‡ÏË» Î·È ÔÈÔ› fi¯È Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ÌÔÈÚ¿ÛÂÈ ·Ó¿ÏÔÁ· ‚·ıÌÔ‡˜ Î·È ı¤ÛÂȘ. M‡ıÔ˜: T· ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈο ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Â›Ó·È Ô Î·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÙÚfiÔ˜ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ȉ¤Â˜ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο. (™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ «Ì‡ıÔÈ» ·˘ÙÔ› ·ÔÙÂÏÔ‡Û·Ó ÁÈ· ÔÏϤ˜ ‰ÂηÂٛ˜ ·ÎÚÔÁˆÓÈ·›Ô˘˜ Ï›ıÔ˘˜ Ù˘ ·ÌÂÚÈηÓÈ΋˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÂÎ·›‰Â˘Û˘).

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

9

∞ •π√§√°∏™∏

∆ø¡

M ∞£∏∆ø¡

™∆∞

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

ı› ÛÙ· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¢ÈÂıÓ‹ ™˘Ó¤‰ÚÈ· M·ıËÌ·ÙÈ΋˜ EÎ·›‰Â˘Û˘3. TÔ ÂÚÒÙËÌ·, ÏÔÈfiÓ, Ô˘ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ ·fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È ·Ó·fiÊ¢ÎÙÔ: M‹ˆ˜, ÁÈ· ¿ÏÏË ÌÈ· ÊÔÚ¿, ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÛÙËÓ ÂÏÏËÓÈ΋ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÂÎ·›‰Â˘ÛË ·Úˆ¯Ë̤Ó˜ ȉ¤Â˜ Î·È ÌÂıfi‰Ô˘˜, ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ÁÂÓÈ·ÂÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ Ë ·ÌÊÈÛ‚‹ÙËÛ‹ ÙÔ˘˜; TÔ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì ·ÊÔÚ¿ ÙËÓ ¤ÏÏÂÈ„Ë Û¯ÂÙÈ΋˜ ÂÌÂÈÚ›·˜ ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ È‰È·›ÙÂÚË ÚÔÛÔ¯‹ ÛÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ÙˆÓ E.A.T. Ô˘ ÂÓ‰¤¯ÂÙ·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó, fiÛÔ Î·È ÛÙÔÓ ÙÚfiÔ ÂÓË̤ڈÛ˘ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ‹ ÙÔ˘˜. Y¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ÂӉ›ÍÂȘ (΢ڛˆ˜ ·fi ÙËÓ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹ ÏËÚÔÊÔÚÈÒÓ Ì ηıËÁËÙ¤˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙ· ¶.E.K. Î·È ÛÙ· Ù·¯‡ÚÚ˘ıÌ· ÂÈÌÔÚʈÙÈο ÛÂÌÈÓ¿ÚÈ·) fiÙÈ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ Aã §˘Î›Ԣ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ·Ó ÌÂÁ¿Ï˜ ‰˘ÛÎÔϛ˜ ÚÔÛ·ÚÌÔÁ‹˜ ÛÙȘ E.A.T ηٿ ÙËÓ ÂÚÛÈÓ‹, ‰ÔÎÈÌ·ÛÙÈ΋ ÂÚ›Ô‰Ô ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ Î·È Ù· ÔÛÔÛÙ¿ ·ÔÙ˘¯›·˜ ‹Ù·Ó ·ÓÙÔ‡ Ôχ ÌÂÁ¿Ï·. E›Û˘, Ë EÏÏËÓÈ΋ M·ıËÌ·ÙÈ΋ EÙ·ÈÚ›·, Û ÚfiÛÊ·ÙË ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛ‹ Ù˘ ÁÈ· Ù· Ó¤· ̤ÙÚ· ÂÈÛ·ÁˆÁ‹˜ ÛÙËÓ ÙÚÈÙÔ‚¿ıÌÈ· ÂÎ·›‰Â˘ÛË, ÂÈÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ «Ë ‰È·‰Èηۛ· ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì ı¤Ì·Ù· ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÂÚÈÔÚÈṲ̂Ó˘ ¤ÎÙ·Û˘ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ·ÈÙÈÔÏÔÁÔ‡Ó ··Ú·›ÙËÙ· ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘˜4». A˘Ù‹ fï˜ Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ı¤ÛË ÁÈ· ÙËÓ ·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ ··ÓÙ‹ÛÂˆÓ ·Î˘ÚÒÓÂÈ ·˘ÙfiÌ·Ù· Ù· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· «ÏÂÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù·» Ô˘ ‰È·ÊÔÚÔÔÈÔ‡Ó ÙȘ E.A.T. ·fi ÙȘ ·Ú·‰ÔÛȷΤ˜ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÂχıÂÚ˘ ·Ó¿Ù˘Í˘ (ÂͤٷÛË ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·ÙfiÌˆÓ Û ۇÓÙÔÌÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· Î·È Û ÌÂÁ¿Ï˘ ¤ÎÙ·Û˘ ‡ÏË, ÂÍ·ÛÊ¿ÏÈÛË ·ÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈÎfiÙËÙ·˜ Î·È Â›Ù¢ÍË Û˘Ìʈӛ·˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‚·ıÌÔÏÔÁËÙÒÓ). Œ¯ÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÈÛËÌ¿ÓÛÂȘ, ı· ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ÂÓÙÔ›ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙˆÓ E.A.T. Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó, ηٿ ÙËÓ ¿Ô„‹ Ì·˜, ÂӉȷʤÚÔÓ ˆ˜ ‰Â›ÎÙ˜ Ô˘ÛÈ·ÛÙÈ΋˜ ηٷÓfiËÛ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ÌÂıfi‰ˆÓ. Afi Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë E.A.T., ÂΛӘ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ·ÍÈÔÏÔÁÔ‡Ó fi¯È ÌfiÓÔ ÙËÓ ·ÔÌÓËÌfiÓ¢ÛË, ·ÏÏ¿ Î·È Î¿ÔȘ ·ÓÒÙÂÚ˜ ÌÔÚʤ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛΤ„˘ Î·È ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜ Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ӷ ›‰Ë ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ «ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜» (E.¶.E.). °È· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÂÓÓÔԇ̠ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Î·È ‰‡Ô ·ÓÙÈ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô «AÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ù˘ B¢ §˘Î›Ԣ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο», Ù‡¯Ô˜ A¢ (K. E. E., 1998).

ª∂

E ƒø∆∏™∂π™ A ¡∆π∫∂πª∂¡π∫√À T À¶√À

(Û. 111) ¢›ÓÂÙ·È Î‡ÎÏÔ˜ ·ÎÙ›Ó·˜ OA = 6 cm, ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ PA = 8 cm Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Ù¤ÌÓÔ˘Û· P°B. N· ‚Ú›Ù ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ‰ÂÓ Ù·ÈÚÈ¿˙ÂÈ: ¯

„

P

32 A. x = 6 Î·È y =

3 B. x = 2 Î·È y = 32

°

8

°. x = 4 Î·È y = 16 6

B

O

A

¢. x = 5 Î·È y = 12,8 64 E. x = 7 Î·È y =

7

™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi ˙ËÙÂ›Ù·È Ô ·ÔÎÏÂÈÛÌfi˜ ÌÈ·˜ ·¿ÓÙËÛ˘. ŒÓ· ¿ÌÂÛÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÂϤÁ¯Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· Â›Ó·È Ë ÌÂÙÚÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù¤ÌÓÔ˘Û·˜ Î·È ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ı· Ú¤ÂÈ x Ø y = 82 = 64. ÕÚ· ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ x Ø y π 64. Ÿˆ˜ Á›ÓÂÙ·È fï˜ ·Ì¤Ûˆ˜ Ê·ÓÂÚfi, Ë ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· fiÏ· Ù· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ˙‡ÁË. EÔ̤ӈ˜ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ ¤Ó· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÂϤÁ¯Ô˘. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË (B) Â›Ó·È y–x = 30, ‰ËÏ·‰‹ Ë ¯ÔÚ‰‹ B° Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙË ‰È¿ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¿Ú· Ë ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ·ÔÎÏ›ÂÙ·È. AÓ ÂÍ·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡ Ï¿ıÔ˘˜ ηٿ ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙˆÓ x Î·È y, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ı· Ô‰ËÁ‹ÛÂÈ Û ϷıÂ̤ÓË ÂÈÏÔÁ‹ ÁÈ· ·Ù˘¯Â›˜ ÏfiÁÔ˘˜, Ë Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚÒÙËÛË ··ÈÙ› ÌÈ· Û˘ÏÏÔÁÈÛÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· ÂϤÁ¯Ô˘ Î·È ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ‚·ÛÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÁÓÒÛˆÓ. (Û. 128) ™ÙÔ Û¯‹Ì· ÙÔ AB°¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ 4 cm. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂ÓË; A
Ø °B
=0 4 cm B A. AB


Ø AB
=8 B. AO
Ø A°
= 16 °. AB
Ø °¢
= –16 ¢. AB
Ø BA
=8 E. OB

O

¢

°

™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜ (A) Î·È (¢) Â·ÏËı‡ÔÓÙ·È ¿ÌÂÛ· (ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ οıÂÙˆÓ Î·È ·ÓÙ›ÚÚÔˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ·ÓÙ›-

3. BÏ. .¯. Proceedings of the 7th International Congress on Mathematical Education, Û.146. Les Presses de l’ Université Laval. Sainte-Foy (Québec), 1994.

10

4. BÏ. E˘ÎÏ›‰Ë˜ B¢ Ù.29 (IÔ‡ÏÈÔ˜, A‡ÁÔ˘ÛÙÔ˜, ™Â٤̂ÚÈÔ˜ 1998), Û. 4. E›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ Ë E.M.E. ›¯Â ηıÈÂÚÒÛÂÈ ÙÔ 1991 ÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ «ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜» ÛÙÔÓ ¶·ÓÂÏÏ‹ÓÈÔ M·ıËÌ·ÙÈÎfi ¢È·ÁˆÓÈÛÌfi, ·ÏÏ¿ ÙÔ 1995 ÙȘ ÂÁη٤ÏÂÈ„Â. £· ›¯Â ÂӉȷʤÚÔÓ Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÁÓˆÛÙÔ› ÔÈ ÏfiÁÔÈ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÂÁηٿÏÂȄ˘.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∞£∏ª∞∆π∫∞ ÛÙÔȯ·). ÕÚ· ÔÈ ··ÓÙ‹ÛÂȘ (A) Î·È (¢) ·ÔÎÏ›ÔÓÙ·È. M¤ÓÂÈ ÏÔÈfiÓ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ٷ ÂÛˆÙÂÚÈο ÁÈÓfiÌÂÓ· (B) (°) Î·È (E), ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· ·ÚÎÂÙ¿ ¯ÚÔÓÔ‚fiÚ· ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÔʇÁÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ Û˘ÏÏÔ
Â›Ó·È ÔÌfiÚÚÔÔ Î·È ¤¯ÂÈ ‰ÈÁÈÛÌfi: TÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· A°
, ¿Ú· ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ï¿ÛÈÔ Ì¤ÙÚÔ ·fi ÙÔ AO


ØAB
. EÔ̤ӈ˜ ›AB Ø A° ı· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ AO Ó·È Î·È Ù· ‰‡Ô ÛˆÛÙ¿, ÂÂȉ‹ ·ÏÏÈÒ˜ ı· ›¯·Ì ‰‡Ô Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜ ÈÛfiÙËÙ˜. AÔÎÏ›ÔÓÙ·È ÏÔÈfiÓ Î·È ÔÈ ··ÓÙ‹ÛÂȘ (B) Î·È (°), ÔfiÙ ηْ ·Ó¿ÁÎËÓ Ë Ï·Óı·Ṳ̂ÓË ÈÛfiÙËÙ· Â›Ó·È Ë (E). ™ÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·˘Ù‹ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÌÈ· ÌÂÏÂÙË̤ÓË ÂÈÏÔÁ‹ ÙˆÓ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎÒÓ ··ÓÙ‹ÛÂˆÓ Ë ÔÔ›· ÌÔÚ› Ó· Ô‰ËÁ‹ÛÂÈ ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË ¯ˆÚ›˜, Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο, ÙËÓ ·Ú·ÌÈÎÚ‹ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÈ΋ ÂÂÍÂÚÁ·Û›·.

(Û. 122) ™ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ AB°¢ ›ӷÈ:
=·
=‚
.
, A¢ AB ·) TÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· A° ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ:


B.

–‚
A. · ‚ –·

ËÌ2· H ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ: 1+Û˘Ó2· Û˘Ó· B.

1+ËÌ·

°. ÂÊ·

¢. 2ÂÊ·

E. –ÛÊ·

™ÙÔ (·ÓÙÈ)·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi ÌÈ· ÎÏ·ÛÈ΋ ¿ÛÎËÛË (·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈ΋˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ ËÌ2·

= ÂÊ·) ¤¯ÂÈ ÌÂÙ·ÌÊÈÂÛÙ› Û E.¶.E., Ì ÙËÓ 1+Û˘Ó2· ÚÔÛı‹ÎË ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ·Û˘Ó¿ÚÙËÙˆÓ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎÒÓ ··ÓÙ‹ÛˆÓ. AÓ·ÚˆÙÈ¤Ù·È ÏÔÈfiÓ Î·Ó›˜, ·Ú¯Èο, Û ÙÈ ‰È·ÊÔÚÔÔÈÂ›Ù·È ·˘Ù‹ Ë E.¶.E. ·fi ÙËÓ ÎÏ·ÛÈ΋ ¿ÛÎËÛË (Ë ÔÔ›· ··ÈÙ› ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ οÙÈ Ôχ Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi, ‰ËÏ. Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ó ÌÈ·Ó ·fi‰ÂÈÍË): ·) N· οÓÔ˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·fi ÌÓ‹Ì˘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜; ‚) N· ‰Ôı› Ë Â˘Î·ÈÚ›· Û ÌÂÚÈÎÔ‡˜ Ó· ‰ÔÎÈÌ¿ÛÔ˘Ó ÙËÓ Ù‡¯Ë ÙÔ˘˜; (Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÔ˘Ó Â›Ó·È 20% ...). EÈϤÔÓ, Ë ·Ú¿ÏÂÈ„Ë ÙˆÓ fiÚˆÓ «Ù·˘ÙfiÙËÙ·» ‹ «ÁÈ· οı ·» ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ¤Ó· Îϛ̷ ·Û¿ÊÂÈ·˜ Î·È Û‡Á¯ÈÛ˘ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· Ô‰ËÁ‹ÛÂÈ ÌÂÚÈÎÔ‡˜ Ì·ıËÙ¤˜ Û ϷıÂ̤Ó˜ ÂÈÏÔÁ¤˜ ̤ۈ ÌÈ·˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋˜ ηٷÓfiËÛ˘ Ù˘ ÂÚÒÙËÛ˘. ™ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ÁÈ· ÂÈËÌ2· ‰ÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

ÌÔÚ› Ó· 1+Û˘Ó2· Â›Ó·È ›ÛË Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·fi ÙȘ ÚÔÛÊÂÚfiÌÂÓ˜  ··ÓÙ‹ÛÂȘ: ·Ó, .¯., · =

, ÙfiÙ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ›ÛË 4  Û˘Ó· Ì ÛÊ·Ø ·Ó · =

ÙfiÙ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ

6 1+ËÌ· Î.Ô.Î. ™ÙÔÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi, Ô˘ ·ÓÙÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ù· «˘ÔÓÔÔ‡ÌÂÓ·», Ë ÂÈÏÔÁ‹ ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ‰È·‰Èηۛ·˜ ·fi ÙÔ Ì·ıËÙ‹ Ê·›ÓÂÙ·È ›Ûˆ˜ ·Î·Ù·ÓfiËÙË, ·ÏÏ¿ Ë ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÂÌÂÈÚ›· ÂȂ‚·ÈÒÓÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ (·Ó Ì¿ÏÈÛÙ· Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë fiÙÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

°

B

·

A

¢

‚


+

–
· ‚ · ‚
+
°.

¢. · ‚ E.

2 2)


ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ: ‚) TÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· B¢

+‚ A. ·

(Û. 65)

A. ÛÊ·

Â›Ó·È Ô˘ÛÈ·ÛÙÈο ÌÈ· «˘ÔÓÔÔ‡ÌÂÓË» ¤ÓÓÔÈ· ÛÙÔ Û¯ÔÏ›Ô, ̤¯ÚÈ ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÙË °¢ §˘Î›Ԣ).


+
· ‚ B.

2



–‚ · °.

2



‚ –· ¢.

2


E.
‚ –·

™ÙÔ (·ÓÙÈ)·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi ÂϤÁ¯ÂÙ·È ÌfiÓÔ Ë ·ÔÌÓËÌfiÓ¢ÛË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ. H ηٷÛ΢‹ ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ E.¶.E. ‰ÂÓ ÌÔÚ› ÏÔÈfiÓ Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙ› ·Ú¿ ÌfiÓÔ ˆ˜ Û·Ù¿ÏË ¯ÚfiÓÔ˘ Î·È ¯ÒÚÔ˘. AÓ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙË ÁÓÒÛË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÔÚÈÛÌÒÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì Ì ¿ÌÂÛÔ ÙÚfiÔØ ·Ó ¿ÏÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ «‰È¢ÎÔχÓÔ˘Ì» οÔÈÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ (Ù˘ ıÂÙÈ΋˜ ηÙ‡ı˘ÓÛ˘ ...) Ô˘ ·‰˘Ó·ÙÔ‡Ó Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ó ¤Ó· Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ÔÚÈÛÌfi, ÙfiÙÂ Ë ÎÔÈÓ‹ ‰È‰·ÎÙÈ΋ Ú·ÎÙÈ΋ ÌÔÚ› Ó· ˘ԉ›ÍÂÈ ÈÔ ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ ·fi ÙÔ Ó· ˘Ô‚¿ÏÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Û ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· «ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜» ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜. T· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Î·È ·ÓÙÈ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ·˘Ùfi Ô˘ Û˘ÓÈÛÙ¿, ηٿ ÙËÓ ¿Ô„‹ Ì·˜, ÙÔ ‚·ÛÈÎfi ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÁÈ· ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÌÈ·˜ E.¶.E. ÛÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË Ù˘ ηٷÓfiËÛ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ÌÂıfi‰ˆÓ: H ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ÔÚı‹˜ ·¿ÓÙËÛ˘ ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È ·Ó·Áη›· Ë Ï‹Ú˘ ÂÂÍÂÚÁ·Û›· Ù˘ ÂÚÒÙËÛ˘ (ÁÈ·Ù›, ÙfiÙÂ, Ë E.¶.E. ‰ÂÓ ı· ‰È·Ê¤ÚÂÈ ·fi ÌÈ· ÎÏ·ÛÈ΋ ¿ÛÎËÛË «ÂχıÂÚ˘ ·Ó¿Ù˘Í˘»), ·ÏÏ¿ Ì ÙÚfiÔ Ô˘ Ó· ‰Ú·ÛÙËÚÈÔÔÈ› ÁÓˆÛÙÈΤ˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›Â˜ ·ÓÒÙÂÚ˜ Ù˘ ·ÔÌÓËÌfiÓ¢Û˘. T· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Â›Ó·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈο.

ñ AÓ x Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË Ωx–1Ω+Ωx–4Ω = 3 ¤¯ÂÈ: A. K·ÌÌ›· χÛË ¢. TÚ›˜ χÛÂȘ

B. M›· χÛË °. ¢‡Ô χÛÂȘ E. ÕÂÈÚ˜ χÛÂȘ

™ÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·˘Ù‹ ÌÔÚ› ‚¤‚·È· ηÓ›˜ Ó· ÂȯÂÈÚ‹ÛÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË ÂÂÍÂÚÁ·Û›·, ̤ۈ Ù˘ Ù˘ÔÔÈË̤Ó˘ Î·È ¯ÚÔÓÔ‚fiÚ·˜ ‰È·‰Èηۛ·˜ «·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛ˘ ÙˆÓ ·ÔÏ‡ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ». TÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÓfiËÌ· fï˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ‰Â ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Û‡ÓıËÌ· «‰ÈÒÍÙ ٷ

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

11

∞ •π√§√°∏™∏

∆ø¡

M ∞£∏∆ø¡

™∆∞

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

·fiÏ˘Ù·», ·ÏÏ¿ ÛÙË Û¯¤ÛË ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘5. TÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ x ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È 4 ¿Óˆ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÓfiËÌ· Ù˘ ÂÚÒÙËÛ˘ ›ӷÈ: «fiÛÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ›ÛÔ Ì 3 ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È 4;». EÂȉ‹ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 1 Î·È 4 Â›Ó·È 3, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î¿ı x ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ 1 Î·È ÙÔ 4 Â·ÏËı‡ÂÈ ÙË ‰Ôı›۷ Â͛ۈÛË. ÕÚ· Ë ÔÚı‹ ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Ë (E).

ñ OÈ ÂfiÌÂÓ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ, ÂÎÙfi˜ ·fi Ì›·, Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È fiϘ Ì ÙËÓ ÂÊ·. N· ‚Ú›Ù ÔÈ· Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ ‰ÂÓ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È. ËÌ· + ËÌ2· 1–Û˘Ó2· A.


B.

1 + Û˘Ó· + Û˘Ó2· ËÌ2· ËÌ2·–Û˘Ó2· + 1 °.


ËÌ2· + Û˘Ó2· + 1

ËÌ·+Û˘Ó2·–1 ¢.

ËÌ· + Û˘Ó2·+1

ËÌ2· E.

1+Û˘Ó2·

ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì هÔ




Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ™ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Â›Ó·È f(–2) = 0 Î·È f(0) = 2. O ÂÓÙÔÈÛÌfi˜ Î·È Ô ¤ÏÂÁ¯Ô˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·˘ÙÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ·ÔÎÏ›ÂÈ ·Ì¤Ûˆ˜ ÙȘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ (A), (¢), (E) Î·È ÂÚÈÔÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ (B) Î·È (°). XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ οÔÈÔ ¿ÏÏÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÛËÌÂ›Ô (.¯. ·fi ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ¤¯Ô˘Ì f(–1) > 0, ÂÓÒ ÛÙËÓ (B) Â›Ó·È f(–1) =–1) ‹ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ (.¯., ·fi ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ÂÓÒ Ë (B) Â›Ó·È ·Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ 0), ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Ë ÔÚı‹ ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È Ë (°). TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ¤Ú¢ӷ Ô˘ ¤ÁÈÓ Û 973 ÊÔÈÙËÙ¤˜ Ô˘ ·Ú·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Û·Ó Ì·ı‹Ì·Ù· AÓ¿Ï˘Û˘ ÛÙȘ H.¶.A.6 Î·È Â›Ó·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈÎfi ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ ÌÈ· E.¶.E., ÛÙËÓ ÔÔ›· ÔÈ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ‰ÂÓ Â›Ó·È «ÛÔÚ¿ Ù˘ Ù‡¯Ë˜», ·ÏÏ¿ ¤¯Ô˘Ó ÂÈÏÂÁ› Ì ȉȷ›ÙÂÚË ÚÔÛÔ¯‹ ÌÔÚ› Ó· ‰ÒÛÂÈ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÛΤ„˘ ÙˆÓ ÂÍÂÙ·˙Ô̤ӈÓ.

A. 0

y

B. 9

°. 12

¯



3

–3

¢. 13

Ωx+2Ωdx ›ӷÈ

E. 14

H ÔÚı‹ ·¿ÓÙËÛË 13 ‰fiıËΠÌfiÓÔ ·fi ÙÔ 5,4% ÙˆÓ ÊÔÈÙËÙÒÓ. TÔ 24% ¤‰ˆÛ ˆ˜ ·¿ÓÙËÛË ÙÔ 0, ÙÔ 22% ¤‰ˆÛ ÙÔ 9, ÙÔ 48% ¤‰ˆÛ ÙÔ 12 Î·È ÌfiÓÔ ÙÔ 0,6% ¤‰ˆÛ ÙÔ 14. OÈ ÂÈÏÔÁ¤˜ ·˘Ù¤˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó fiÙÈ ÔÈ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ÊÔÈÙËÙÒÓ ‰ÂÓ ¤ÁÈÓ·Ó ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÙÚfiÔ, ·ÏÏ¿ ˘‹ÚÍ·Ó ÚÔ˚fiÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ Ï·ıÒÓ Î·È ·Ú·ÓÔ‹ÛˆÓ. H ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ ·¿ÓÙËÛ˘ (A) ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ Ì˯·ÓÈÛÙÈ΋ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜



·

f(x)dx = 0,

–·

Ë ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÂÓÈο fiÙ·Ó Ë f Â›Ó·È ÂÚÈÙÙ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, οÙÈ Ô˘ ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË. H ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ ·¿ÓÙËÛ˘ (B) ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ Ï·ıÂ̤ÓË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜, Ô˘ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 0 3 9 9 (–x–2)dx + (x+2)dx =

–6 +

+6 = 9. –3 0 2 2 T¤ÏÔ˜, Ë ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ ·¿ÓÙËÛ˘ (°) ˘Ô‰ËÏÒÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ÌÈÛÔ› ÂÚ›Ô˘ ÊÔÈÙËÙ¤˜ ·Ï¿ ηٷÚÁÔ‡Ó ÙËÓ «ÂÓÔ¯ÏËÙÈ΋» ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ÙÔ



A. f(x) = ΩxΩ–2 B. f(x) =

E ƒø∆∏™∂π™ A ¡∆π∫∂πª∂¡π∫√À T À¶√À

ñ H ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜

™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·˘Ùfi, Ë Ï‹Ú˘ ÂÂÍÂÚÁ·Û›· ı· ··ÈÙÔ‡Û ӷ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ‰Â‰Ô̤Ó˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ÂÓÙÔÈÛÙÔ‡Ó ·˘Ù¤˜ Ô˘ Â›Ó·È ›Û˜ Ì ÂÊ· (‰ËÏ·‰‹ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ÎÏ·ÛÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ). MÈ· ÁÚ‹ÁÔÚË ·¿ÓÙËÛË fï˜ ÌÔÚ› Ó· ‰Ôı› Ì ÙË ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙ·ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ ·ÓÙÈ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜. ¶ÚÔÛ·ıԇ̠ӷ ÂÓÙÔ›ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ · ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· οÔÈ· ·fi ÙȘ ¤ÓÙ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ‰ÂÓ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÂÊ·. H ÚÒÙË ÙÈÌ‹ Ô˘ ÛÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ, ‰ËÏ·‰‹ · = 0Æ, ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ ÂÂȉ‹ fiϘ ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Á›ÓÔÓÙ·È ›Û˜ Ì 0 = ÂÊ0Æ. AÓ fï˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ · = 45Æ, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÌfiÓÔ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË (¢) Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚË ·fi ÙÔ 1 = ÂÊ 45Æ.

ñ H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿-

ª∂





3

–x–2 ·Ó x < 0 x +2 ·Ó x ≥ 0

ÔÏÔÎϋڈ̷

(x+2)dx = 12.

–3

°. f(x) = Ωx+2Ω ¢. f(x) = Ωx–2Ω E. f(x) = ΩxΩ+2 ™ÙȘ E.¶.E. Ô˘ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÌÈ· ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô˜ Â›Ó·È Ô ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ‹ ȉÈÔًوÓ

£· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÏÏ¿ Û¯fiÏÈ· ÁÈ· ÙÔ Â›‰Ô˜ Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÂÎ·›‰Â˘Û˘ Ô˘ Ô‰ËÁ› Û ٤ÙÔÈ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·, ·ÏÏ¿ ÂÏ›˙Ô˘Ì ӷ ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙÔ ˙‹ÙËÌ· ·˘Ùfi Û ¤Ó· ·fi Ù· ÂfiÌÂÓ· Ù‡¯Ë ÙˆÓ «EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÒÓ». ◆

5. BÏ. Û¯ÂÙÈο ÙÔ ¿ÚıÚÔ Ì·˜ «MÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙËÓ Aã§˘Î›Ԣ». EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, Ù. 4 (¢ÂΤ̂ÚÈÔ˜ 1997), ÛÛ.9-12. (ηıÒ˜ Î·È ÙȘ ‰ÈÔÚıÒÛÂȘ ÛÙÔ Ù. 5, Û.41).

12

6. BÏ. Û¯ÂÙÈο: Eisenberg, T. & Dreyfus, T. On the Reluctance to Visualize in Mathematics, ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô Visualization in Teaching and Learning Mathematics, ÛÛ.25-37. Mathematical Association of America. 1991.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

£∂øƒπ∞ ∞ƒπ£ªø¡ TÔ˘ £. •¤ÓÔ˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡

°

È· ÙËÓ ÏËÚ¤ÛÙÂÚË ÂÓË̤ڈÛË ÙˆÓ Û˘Ó·‰¤ÏÊˆÓ (·ÏÏ¿ Î·È ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ) ‰›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ «Ô ̤ÁÈÛÙÔ˜ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ (ª.∫.¢.) ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·˘ÙÒÓ». ∂›Û˘, ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ·Ó ÂÈϤÔÓ Ì¤ıÔ‰Ô Â‡ÚÂÛ˘ ÂȉÈ΋˜ χÛ˘ ÌÈ·˜ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ‰ÈÔÊ·ÓÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘.

·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ (·, ‚) = ˘Ó. ∏ ÚÒÙË ·’ ·˘Ù¤˜ ‰›ÓÂÈ

1. √ ª.∫.¢. ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó ‰˘·ÛÌfi˜

‰ËÏ·‰‹ Î·È ÙÔ ˘2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ · Î·È ‚. ∞˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ· ηı¤Ó· ·fi Ù· ˘fiÏÔÈ· ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ‰È·ÈÚ¤ÛˆÓ, ¿Ú· Î·È ÁÈ· ÙÔ ˘Ó = (·, ‚).

¶ÚfiÙ·ÛË 1 √ ª.∫.¢. (·, ‚) ‰‡Ô ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ · Î·È ‚ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·˘ÙÒÓ Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. ∞fi‰ÂÈÍË: ∂Âȉ‹ (·, ‚) = (Ω·Ω, Ω‚Ω), ¯ˆÚ›˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÂÓÈÎfiÙËÙ·˜, ıˆÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ·, ‚ Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·Î¤Ú·ÈÔÈ. ∞Ó Ô ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·, ‚ Â›Ó·È 0, .¯. · = 0, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ (·, ‚) = (0, ‚) = ‚ = 0 Ø · + 1 Ø ‚ Î·È Ë ÚfiÙ·ÛË ·ÏËı‡ÂÈ. ∂›Û˘, ·Ó · = ‚ > 0, Ë ÚfiÙ·ÛË ·ÏËı‡ÂÈ, ÂÂȉ‹ ÈÛ¯‡ÂÈ (·, ‚) = (·, ·) = · = 1 Ø · + 0 Ø ‚ ÀÔı¤ÙÔ˘Ì ÙÒÚ· fiÙÈ · > ‚ > 0. ∏ ¢ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ · Ì ÙÔÓ ‚ ‰›ÓÂÈ · = ‚ Ø 1 + ˘1 ∞Ó ˘1 = 0, ÙfiÙ (·, ‚) = ‚ = 1 Ø ‚ + 0 Ø ·. ∞Ó ˘1 π 0, ÔfiÙ 0 < ˘1 < ‚, Ë Â˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ‚ Ì ÙÔÓ ˘1 ‰›ÓÂÈ

˘1 = ·–1 Ø ‚ = 1 Ø · + (–1) Ø ‚, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ˘1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ · Î·È ‚. ∂›Û˘, Ë ‰Â‡ÙÂÚË ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÈÛfiÙËÙ˜ ‰›ÓÂÈ ˘2 = ‚–˘12 = ‚–(·–1‚)2 = (–·)2 + (1+12)‚,`

2Ë ∞fi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ, Ô˘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ› Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ› ÙˆÓ · Î·È ‚. To Û‡ÓÔÏÔ A ÂÚȤ¯ÂÈ ÚÔÊ·ÓÒ˜ Ù· · Î·È ‚, ·ÊÔ‡ ·=1Ø· +0Ø‚ Î·È ‚ = 0Ø· + 1Ø‚. ∞Ó Ì Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ∞, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Ì≤· Î·È Ì≤‚. À¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ Ó Î·È Ú ÌÂ Ì = Ó·+Ú‚. ∏ ¢ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ · Ì ÙÔÓ Ì ‰›ÓÂÈ (1)

· = Ì + ˘, 0 ≤ ˘ < Ì

πÛ¯‡ÂÈ ˘ = · – Ì = · – (Ó·+Ú‚) = (1–Ó)· + (–Ú)‚ ∞Ó Â›Ó·È ˘ > 0, ÙfiÙ ÙÔ ˘, ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ · Î·È ‚, ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∞. ∞˘Ùfi Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ÂÂȉ‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ˘ < Ì Î·È Ì Â›Ó·È ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ∞. ∂Ô̤ӈ˜, ˘ = 0 Î·È Ë (1) ÙÒÚ· ‰›ÓÂÈ ÌΩ·. √ÌÔ›ˆ˜, ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÌΩ‚, ‰ËÏ·‰‹ Ô Ì Â›Ó·È ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙˆÓ · Î·È ‚. ∞Ó Ì¢ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙˆÓ · Î·È ‚, ÙfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Ì¢Ω Ó·,

‚ = ˘1 Ø 2 + ˘2. ™˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÙˆÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ (∂˘ÎÏ›‰ÂÈÔ˜ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜), ̤¯ÚÈ Ó· ‚Úԇ̠˘fiÏÔÈÔ Ìˉ¤Ó. ŒÛÙˆ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ˘Ó > 0 Î·È ˘Ó+1 = 0. ŒÙÛÈ, ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ · = ‚1 + ˘1 ‚ = ˘12 + ˘2 ˘1 = ˘23 + ˘3 …………………… ˘Ó–2 = ˘Ó–1Ó + ˘Ó ˘Ó–1 = ˘ÓÓ+1 + 0

Ì¢Ω Ú‚

ηÈ

Ì¢Ω Ó· + Ú‚,

‰ËÏ·‰‹ Ì¢Ω Ì, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ì¢ ≤ Ì. ÕÚ·, Ô Ì Â›Ó·È Ô ª.∫.¢. ÙˆÓ · Î·È ‚, Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·˘ÙÒÓ. ª¿ÏÈÛÙ·, Ô ª.∫.¢. ÙˆÓ · Î·È ‚ Â›Ó·È Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ıÂÙÈÎfi˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˜ Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ · Î·È ‚. °Âӛ΢ÛË Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ 1: √ ª.∫.¢. Ó ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (Ó ≥ 2) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·Î¤Ú·ÈˆÓ ·˘ÙÒÓ.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

13

£ ∂øƒπ∞ ∞ ƒπ£ªø¡ ∞fi‰ÂÈÍË: ∂Ê·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ Â·ÁˆÁ‹˜. °È· Ó = 2 Ë ÚfiÙ·ÛË ·ԉ›¯ÙËΠ·Ú·¿Óˆ. ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· Ó ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·1, ·2, …, ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ Î1, Î2, …, ÎÓ Ù¤ÙÔÈÔÈ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ

Á–‚y ∞fi‰ÂÈÍË: ∏ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È x =

Î·È ‰›ÓÔ· ÓÙ·˜ ÛÙÔ y ÙȘ ÙÈ̤˜ 0, 1, 2, …, ·–1, ÙfiÙ ÁÈ· ÙÔ x ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ÙÈ̤˜

(·1, ·2, …, ·Ó) = Î1·1 + Î2·2 +…+ ÎÓ·Ó

£· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÌfiÓÔÓ Ì›· ·’ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈË. £ÂˆÚԇ̠ÙȘ ¢ÎÏ›‰ÂȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ

°È· ÙÔ˘˜ Ó + 1 ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·1, ·2, …, ·Ó, ·Ó+1 ÈÛ¯‡ÂÈ (2)

(·1, ·2, …, ·Ó, ·Ó+1) = ((·1, ·2, …, ·Ó), ·Ó+1) = (‰, ·Ó+1)

°È· ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ‰ = Î1·1 + Î2·2 +…+ ÎÓ·Ó Î·È ·Ó+1 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ Î Î·È ÎÓ+1 Ù¤ÙÔÈÔÈ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ (‰, ·Ó+1) = Ή + ÎÓ+1 Ø ·Ó+1 ŒÙÛÈ, Ë (2) ÁÚ¿ÊÂÙ·È (·1, ·2, …, ·Ó, ·Ó+1) = = Î(Î1·2+Î2·2+…+ÎÓ·Ó) + ÎÓ+1 Ø ·Ó+1 = (ÎÎ1)·1 + (ÎÎ2)·2 +…+(ÎÎÓ)·Ó + ÎÓ+1Ø·Ó+1 Î·È ¤ÙÛÈ ·ԉ›¯ÙËÎÂ Ë ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘ ÚfiÙ·Û˘.

2. ∂‡ÚÂÛË ÂȉÈ΋˜ χÛ˘ ‰ÈÔÊ· ÓÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ ‰ÈÔÊ·ÓÙÈ΋ Â͛ۈÛË Îx + Ïy = Ì

(Î, Ï, Ì ·Î¤Ú·ÈÔÈ)

¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, ·Ó Î·È ÌfiÓÔÓ ·Ó ª.∫.¢. ‰ ÙˆÓ Î Î·È Ï ‰È·Ú› ÙÔÓ Ì. ŒÙÛÈ, ‰È·ÈÚÒÓÙ·˜ Ù· ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔÓ ‰, ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ (3)

·x + ‚y = Á, fiÔ˘ (·, ‚) = 1

ñ ∏ ‡ÚÂÛË ÌÈ·˜ ÂȉÈ΋˜ χÛ˘ Ù˘ (3), fiˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Î·È ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô, ÌÔÚ› Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËı› ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ ÙÔÓ (·, ‚) = 1 ˆ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ · Î·È ‚ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ Ù· ̤ÏË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ·˘Ù‹˜ Ì Á. ŒÙÛÈ, ·Ó (·, ‚) = ·Î+ ‚Ï = 1, ÙfiÙ ·(ÎÁ) + ‚(ÏÁ) = Á Î·È ÌÈ· ÂȉÈ΋ χÛË Ù˘ (3) Â›Ó·È Ë (x0, y0) = (ÎÁ, ÏÁ). ñ ªÈ· ¿ÏÏË Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‡ÚÂÛ˘ ÂȉÈ΋˜ χÛ˘ Ù˘ (3) ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ÂfiÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË.

Á Á–‚ Á–2‚ Á–(·–1)‚

,

,

, …,

· · · ·

Á:·, (Á–‚):·, (Á–2‚):·, …, [Á–‚(·–1)]:· ÔÈ Ôԛ˜ ‰›ÓÔ˘Ó Ëϛη 0, 1, 2, …, ·–1 Î·È ˘fiÏÔÈ· ˘0, ˘1, ˘2, …, ˘·–1 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∆· ˘fiÏÔÈ· ·˘Ù¿ ·›ÚÓÔ˘Ó ÙÈ̤˜ ·fi 0 ¤ˆ˜ ·–1. ∞Ó Ù· ˘fiÏÔÈ· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ·Ó¿ ‰‡Ô, ÂÂȉ‹ ¤¯Ô˘Ó Ï‹ıÔ˜ ·, ÌfiÓÔ Ùfi ¤Ó· ·’ ·˘Ù¿ Â›Ó·È 0. ∞Ó .¯. ˘Î = 0, ÙfiÙ Á–΂ xÎ =

Œ
, · ÂÓÒ ÔÈ ˘fiÏÔÈ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Î¤Ú·È˜. ∞Ó ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi Ù· ˘fiÏÔÈ· Â›Ó·È ›Û·, .¯. ˘Ï = ˘Ì, 0 ≤ Ï < Ì ≤ ·–1, ÙfiÙ ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ Á – Ï‚ = · Ø Ï + ˘Ï ηÈ

Á–Ì‚ = · Ø Ì + ˘Ì,

Ì ·Ê·›ÚÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË, ·›ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ‚(Ì – Ï) = · Ø (Ï – Ì) ∞fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ô · ‰È·ÈÚ› ÙÔÓ ‚(Ì – Ï) Î·È ÂÂȉ‹ (·, ‚) = 1, ¤¯Ô˘Ì ·ΩÌ – Ï, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÔ, ·ÊÔ‡ Ì – Ï < ·.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Â͛ۈÛË 3x + 4y = 5, Ë ÔÔ›· ÁÚ¿5–4y ÊÂÙ·È x =

. 3 ¢›ÓÔÓÙ·˜ ÛÙÔ y ÙȘ ÙÈ̤˜ 0, 1, 2, ·›ÚÓÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔ 5 1 x ÙȘ ÙÈ̤˜

,

, –1 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ŒÙÛÈ, ÌÈ· ·Î¤Ú·ÈË 3 3 χÛË Â›Ó·È Ë (x0, y0) = (–1, 2), ÂÓÒ fiϘ ÔÈ ·Î¤Ú·È˜ χÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ x = x0 + ‚t = 1 + 4t, y = y0–·t = 2–3t

Ì tŒ
.

∏ ·Ú·¿Óˆ ̤ıÔ‰Ô˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ·, ‚ Â›Ó·È Û¯ÂÙÈο ÌÈÎÚÔ› ·ÚÈıÌÔ›.

¶ÚfiÙ·ÛË 2 ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚y = Á Ì · > 0(*) ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔÓ ÌÈ· ·Î¤Ú·ÈË Ï‡ÛË, fiÙ·Ó ÙÔ y ·›ÚÓÂÈ ÙÈ̤˜ ·fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ {0, 1, 2, …, ·–1}.

14

* ∞Ó ÈÛ¯‡ÂÈ · < 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È (–·)x + (–‚)y = –Á Ì –· > 0 Î·È Ë ÚfiÙ·ÛË ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ÙÔÓ –·. EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

ª∂§∂∆∏ °∂øª∂∆ƒπ∫ø¡ ∆√¶ø¡ Ì ÙË µ√∏£∂π∞ ÙÔ˘ ¢π∞¡À™ª∞∆π∫√À §√°π™ª√À ∆˘ ∞Ó‰Ú¤Ô˘ ª·Ú›·˜, ºÔÈÙ‹ÙÚÈ·˜

A

fi Ù· ÈÔ ‰‡ÛÎÔÏ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ Â›Ó·È ÂΛӷ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ÙfiÔ˘˜ «ŒÓ· ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· (Û‡ÓÔÏÔ ÛËÌ›ˆÓ) ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ (‹ ¯ÒÚÔ˘) Ô˘ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Î·È ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Ù˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ ·˘Ù‹˜»*. ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÛËÌ›·, ¢ı›˜ Î·È Â›‰·, ‰ËÏ·‰‹ ÚˆÙ·Ú¯ÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ. °È· ÙË Ï‡ÛË Ù¤ÙÔÈˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, ÛÙÔ Ó‡̷ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡ÌÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙËÓ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· ‰‡ÛÎÔÏË ‰È·‰Èηۛ·. √ÚÁ·ÓÒÓÂÈ fï˜ Î·È Ù·ÍÈÓÔÌ› ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Ì·˜ Î·È Î·ÏÏÈÂÚÁ› ÙËÓ ÎÚÈÙÈ΋ ÛΤ„Ë ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË ‰È·‰Èηۛ·. √ ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ §ÔÁÈÛÌfi˜ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÈ ÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Úfi‚ÏËÌ· Û ·ÏÁ‚ÚÈÎfi, Ô˘ Ë ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È Â˘ÎÔÏfiÙÂÚË. £· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ÛÙÔ ¿ÚıÚÔ ·˘Ùfi Ó· ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ì ÙË Ï‡ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡. ¶ÚÔÙÔ‡ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ÌÈ· Û‡ÓÙÔÌË ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛË ÙˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ ÔÚÈÛÌÒÓ Î·È È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡:

√ÚÈÛÌÔ› Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ∂Âȉ‹ ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ› Î·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜, fiˆ˜ ı· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙÔ‡Ó Â‰Ò, ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÙfiÛÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ fiÛÔ Î·È ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ı· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙÔ‡Ó ¯ˆÚ›˜ ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙË ‰È¿ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜. √ÚÈÛÌfi˜: √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰È·
,

Ω Î·È Ω
Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ · ‚ , Ì ̤ÙÚ· Ω· ‚ Ω, ÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi:


&


ΩΩ

,

π0 Ω· ‚ Ω Û˘Ó(· ‚ ), ·Ó · ‚ π0
Ø
· ‚=
‹


=0 0, ·Ó · ‚ =0




∆Ô ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ, fiˆ˜ ÔÚ›ÛÙËÎÂ, ¤¯ÂÈ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜:
Ø

(·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋), 1) · ‚ =
‚Ø·


)Ø

Ø
2) (Ï· ‚ = Ï(· ‚ ), ÏŒ ó,


+Á
Ø (‚
) = ·
Ø

Ø
3) · ‚ +· Á (ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋),
Ø ·
= Ω·
Ω2, 4) ·
ΩΩ

≠≠
Ω· ‚ Ω, fiÙ·Ó · ‚
Ø
‚= 5) ·


ΩΩ‚ Ω, fiÙ·Ó ·
≠Ø ‚ –Ω·





≠≠

≠Ø
fiÔ˘ · ‚ (·ÓÙ. · ‚ ) ÛËÌ·›ÓÂÈ ·Ú¿ÏÏËÏ· Î·È ÔÌfiÚÚÔ· (·ÓÙ. ·ÓÙ›ÚÚÔ·) ηÈ
Ø

^
6) · ‚ =
0 , fiÙ·Ó · ‚,
Ø

ØÚÔ‚·


. ‚ =· ‚ =
‚ ØÚÔ‚
7) · · ‚


Ø

Ø (‚ Á ), ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì · ·ÊÔ‡ Ë ·Ú¤ÓıÂÛË Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ‰Â ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ
. ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ì ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· ·
‰ÂÓ
π0 ¢ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Ô ÓfiÌÔ˜ Ù˘ ‰È·ÁÚ·Ê‹˜: °È· Á


Ø

= ‚. ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û˘ÓÂ·ÁˆÁ‹ · Á = ‚Ø
Á fi ·

√È ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ› ÙfiÔÈ Û ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ™ÙË ÌÂϤÙË Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ıˆÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ Â›Â‰Ô (·ÓÙ. Ô ¯ÒÚÔ˜), fiÔ˘ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ¯ÒÚ· ÙÔ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi Úfi‚ÏËÌ·, Â›Ó·È ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ˜ Ì ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ Oxy (·ÓÙ. Oxyz).

1. √ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜

y

M ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ÂÓfi˜ ¢ı‡K O A(·,0) B(‚,0) x ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Â›Ó·È Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ. ∆· ÛËÌ›· M(x, y) ÙÔ˘ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË
Ω = Ωªµ
Ω Ωª∞

∞Ó ıˆڋÛÔ˘ÌÂ, ¯¿ÚÈÓ ·ÏfiÙËÙÔ˜, fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Ox, ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ∞(·, 0) Î·È µ(‚, 0), Ì ·π‚, ÔfiÙÂ Ë ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË Ì·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â͛ۈÛË ·+‚ (x–·)2 = y2 = (x–‚)2+y2 ¤ =

Î·È yŒ ó, 2

* ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· °ÂˆÌÂÙÚ›·, Ë ÔÔ›· ı· ΢ÎÏÔÊÔÚ‹ÛÂÈ Ì ÙÔ Ó¤Ô ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi ÚfiÁÚ·ÌÌ·.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

15

ª ∂§∂∆∏ ° ∂øª∂∆ƒπ∫ø¡ T √¶ø¡

ª∂ ∆∏

Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ª ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·+‚ x =

, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Ox Î·È 2 ÛÙÔ Ì¤ÛÔ K ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.

2. √ ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ Ùfi-

B √∏£∂π∞

¢ π∞¡À™ª∞∆π∫√À § √°π™ª√À


+√∞
)2 +(ª√
+õ
)2 = Î ¤ (ª√


2–2√∞
2=Τ 2ª√ ¤

A


2 =
1
(2Î – ∞µ
2) . ª√ 4 ¤

O

B

1
2) , ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ∞Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Ï:

(2Î – ∞µ 4 ÛÙ·ıÂÚfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: x

·) ∞Ó Ï>0, ÙfiÙÂ Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ √ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú = Ï . ‚) ∞Ó Ï=0, ÙfiÙÂ Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ √ ÙÔ˘ ∞µ. Á) ∞Ó Ï0.

¶Úfi‚ÏËÌ· 3Ô: ∑ËÙÂ›Ù·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË


Ø ∞µ
= Î. ∞ª

°ÂÓÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙfiˆÓ ™ÙË ÌÂϤÙË Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ıˆÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¿ Î·È Î ÛÙ·ıÂÚfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

ªÂϤÙË: ∞Ó ¢ Â›Ó·È Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª ¿Óˆ ÛÙÔÓ ÊÔÚ¤·
(‚Ï. Û¯‹Ì·), ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ ∞µ ÙfiÙÂ


Ø ªµ
=Î ª∞

M


Ø ∞µ
=Τ ∞ª

¶Úfi‚ÏËÌ· 1Ô: ∑ËÙÂ›Ù·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË

A


Ø ∞µ
=Τ ∞¢ ¤

B

¢


ΩØ Ω∞µ
Ω = ΩÎΩ ¤ Ω∞¢ ΩÎ Ω
Ω=
¤ Ω∞¢
. Ω∞
µ Ω ¤

ªÂϤÙË: ∞Ó √ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ M

¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ (‚Ï. Û¯‹Ì·), ÙfiÙÂ


+√∞
=ª√
Î·È ªµ
=ª√
+õ
, ª∞ ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È:

M


+√∞
)2+(ª√
–√∞
)=Τ (ª√ ¤

y

M(y,x) Ô˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ M(x, y) Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ A(·,‚) ÛËÌÂ›Ô ∞(·, ‚) ÛÙ·ıÂÚ‹ Ú ·fiÛÙ·ÛË Ú>0 Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È O ·ÎÙ›Ó· Ú. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·
Ω ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË Ωª∞
Ω = Ú ¤ (x–·)2+(x–‚)2 = Ú2, Ωª∞

∆√À

A

O

B


+√∞
) Ø (ª√
+õ
) =Τ (ª√

∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Â›Ó·È Ë ÚÔ‚ÔÏ‹ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÙfiÔ˘ ÛÙÔ ÊÔÚ¤· ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‰ËÏ·‰‹ Ë Î¿ıÂÙË ÛÙÔ ∞µ Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ·.


+√∞
) Ø (ª√
–√∞
)=Τ (ª√ ¤ ¤


2–√∞
2=Τ ª√


Ω2 = Ω√∞
Ω2 + Î. (*) Ωª√

∞Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ Î ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒ
Ω2 + Î: ÛÂȘ ÁÈ· ÙÔ Ï: = Ω√∞


Ω = Ï>0, ÙfiÙÂ, Û‡Ìʈӷ Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ, Ô Áˆ·) ∞Ó Ωª√ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ Ï. ̤ÛÔÓ √ ÙÔ˘ ∞µ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú=

¶Úfi‚ÏËÌ· 4Ô: ∑ËÙÂ›Ù·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ª Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË


2–ªµ
2 = Î. ª∞

2

‚) ∞Ó Ï=0, ÙfiÙ ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (*) Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ √ ÙÔ˘ ∞µ Î·È Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓÔÛ‡ÓÔÏÔ {√}. Á) ∞Ó Ï