Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, элементы математической статистики: Рабочая программа, задание на контрольную работу, методические указания к выполнению контрольной работы

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учереждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный технический университет Кафедра информатики и вычислительной математики

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Основы теории вероятностей Элементы математической статистики Рабочая программа Задание на контрольную работу Методические указания к выполнению контрольной работы

Факультеты: все Направление и специальность подготовки дипломированных специалистов 650000 – техника и технологии Направления подготовки бакалавров 550000 – технические науки

Санкт- Петербург 2003

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 519.2.06(07) Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, элементы математической статистики: Рабочая программа, задание на контрольную работу, методические указания к выполнению контрольной работы. –СПб.: СЗТУ, 2003.-39с.

Приводятся рабочая программа, задания на контрольную работу по разделу «Основы теории вероятностей, элементы математической статистики» и методические указания к выполнению контрольной работы. Рабочая программа курса разработана в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированных специалистов 650000 – техника и технологии и направлению подготовки бакалавров 550000 – технические науки. Рассмотрено на заседании кафедры информатики и вычислительной математики 13 февраля 2003г., одобрено методической комиссией факультета 17 марта 2003г.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: кафедра информатики и вычислительной математики СЗТУ, (зав. кафедрой Г.Г. Ткаченко, канд. физ.-мат. наук). Ю.В. Загашвили, д-р техн. наук, проф. Государственного Балтийского университета.

СОСТАВИТЕЛЬ:

Т.Д. Бессонова, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2003 2

Предисловие В настоящем комплексе приведена рабочая программа, тематические планы занятий, задания на контрольную работу no курсу «Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, элементы математической статистики», а также методические указания к выполнению контрольной работы. Контрольная работа предусматривает решение студентом четырех задач, охватывающих следующие темы: события и их вероятности; случайные величины: законы распределения и числовые характеристики; элементы математической статистики. Объем очных занятий по очно-заочной форме обучения для студентов всех факультетов Лекции - 12 часов. Практические занятия - 8 часов. Лабораторные работы - 12 часов. 1. Содержание дисциплины 1. 1. Рабочая программа (объем 180 часов) 1.1.1. Случайные события [1], с.3-31, 63- 67 Случайные события. Определение и классификация. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Аксиомы вероятностей и следствия из них. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Частоты и их свойства. Вероятность суммы событий. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. (Схема Бернулли). 1.1.2. Случайные величины [1], с. 31-42, 51-63 Определение случайной величины. Законы распределения величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Ряд распределения. 3

случайной

Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность вероятности случайной величины и её свойства. Примеры законов распределения: биномиальный, пуассоновский, гипергеометрический, геометрический, показательный, равномерной плотности, нормальный. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения и совместная плотность вероятности двух случайных величин. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, ковариация, коэффициент корреляции. 1.1.3. Центральная предельная теорема [1], с. 61-63 Закон больших чисел. Теорема Ляпунова. 1.1.4. Элементы математической статистики [2]. с. 22-43, 55-62 Генеральная совокупность и выборка. Точечные оценки неизвестных параметров. Понятия состоятельности и несмещённости оценок. Понятие о доверительных интервалах. Доверительные интервалы для оценок математического ожидания и несмещенной дисперсии. Метод наименьших квадратов. Моделирование случайных величин. Критерий Пирсона проверки гипотезы о законе распределения случайной величины. 1.2. Тематический план лекций (12 часов) для студентов очно-заочной формы обучения 1. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события. Алгебра событий. Относительные частоты событий и их свойства. Вероятность - аддитивная функция событий. Аксиомы теории вероятностей. Элементы комбинаторики. (2 часа) 2. Классическое определение вероятностей. Геометрические вероятности. Вероятность суммы событий. Определение условной вероятности. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. (2 часа)

4

3. Последовательности независимых испытаний. Схема Бернулли. Математические основы теории вероятностей. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. (2 часа) 4. Плотность вероятности и её свойства. Примеры распределений: биномиальное, пуассоновское, равномерное, показательное, нормальное. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин и их свойства. (2 часа) 5. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных чисел. Теорема Ляпунова. (2 часа) 6. Понятие выборки. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Понятие состоятельности и несмещенности оценок. Гистограмма. Эмпирическое распределение и его свойства. Понятие о доверительном интервале. Принцип максимума правдоподобия. (2 часа) 1.3. Тематический план практических занятий (8 часов) 1. События, операции над событиями. Классическое определение вероятностей. Условные вероятности. (4 часа) 2. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли. Теорема Пуассона. (2 часа) 3. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. (2 часа) 1.4. Содержание лабораторных работ (12 часов) 1. Обработка выборочных данных. Точечные и интервальные оценки. Построение гистограмм. (4 часа) 2. Моделирование дискретных случайных величин методом жребия. (2 часа) 3. Проверка гипотез по критерию Пирсона. (4 часа) 4. Метод наименьших квадратов. (2 часа)

1.5. Литература Основная: 1. Ильичев В.С Теория вероятностей.- Л.: СЗПИ, 1980. 2. Ильичев B.C., Сланевский А.В. Элементы теории случайных процессов и математической статистики. -Л.: СЗПИ, 1978. Дополнительная: 3. Захаров В.К., Севастьянов Б.А, Чистяков В.П. Теория вероятностей.М.: Наука, 1983. 5

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения, -М.: Наука, 1988. 5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей,- М.: Наука, 1973. 6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая школа, 1977. 7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979. 2. Задание на контрольную работу В контрольной работе студенту предлагается выполнить четыре задачи, номера которых следует выбрать в соответствии с последней и предпоследней цифрами шифра, а также первой буквой фамилии из таблицы, приведенной ниже. Посл. Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 шифра №.задач Предпосл. цифра шифра № задач Первая буква фамилии № задач

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

11 12 13 14 15 А,И,Т Б,О, В,М Г,Ф. Д,З Ц Ч Л,Х 30 29 28 27 26

6 6

7 7

8 8

9 9

10 0

16 17 18 19 20 Е, Н Ж,С, К,Э П,Щ У,Ш, Р Ю,Я 25 24 23 22 21

1. Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий: А – на всех кубиках одинаковое число очков; B – на всех кубиках выпало в сумме три очка; С – на всех кубиках выпало в сумме более трех очков. 2. Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий: А – на всех кубиках в сумме выпало ровно четыре очка; B – на всех кубиках в сумме выпало не менее четырех очков; С – на всех кубиках в сумме выпало более четырех очков. 3. Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий: А – на всех кубиках разное число очков; B – на всех кубиках выпало в сумме восемнадцать очков; С – на всех кубиках выпало в сумме менее восемнадцати очков. 4. В каждой из трех коробок находится по три белых и пять красных шаров. Из каждой коробки наудачу вынимается по одному шару. Найти вероятности событий: А – все шары белые; В – только один шар белый; С – хотя бы один шар белый. 6

5. В каждой из трех коробок находится по три белых и пять красных шаров. Из каждой коробки наудачу вынимается по одному шару. Найти вероятности событий: А – все шары красные; В – только один шар красный; С – хотя бы один шар красный. 6. На сборку поступило десять деталей, среди которых четыре бракованные. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятности событий: А – все взятые детали стандартные; В – только одна деталь среди взятых стандартная; С – хотя бы одна из взятых деталей стандартная. 7. На сборку поступило десять деталей, среди которых четыре бракованные. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятности событий: А – все взятые детали бракованные; В – только одна деталь среди взятых бракованная; С – хотя бы одна из взятых деталей бракованная. 8. В группе спортсменов два мастера спорта, шесть кандидатов в мастера и восемь перворазрядников. По жребию выбирается четыре спортсмена. Найти вероятности событий: А – все четыре выбранные спортсмена оказались перворазрядниками; В – среди выбранных спортсменов хотя бы один оказался перворазрядником; С – среди выбранных спортсменов ровно половина оказалась перворазрядниками. 9. В группе спортсменов два мастера спорта, шесть кандидатов в мастера и восемь перворазрядников. По жребию выбирается четыре спортсмена. Найти вероятности событий: А – все четыре выбранные спортсмена оказались кандидатами в мастера спорта; В – среди выбранных спортсменов хотя бы один оказался кандидатом в мастера спорта; С – среди выбранных спортсменов оказалось два мастера спорта и два кандидата в мастера спорта. 10. В группе спортсменов два мастера спорта, шесть кандидатов в мастера и восемь перворазрядников. По жребию выбирается четыре спортсмена. Найти вероятности событий: А – среди выбранных спортсменов оказались два мастера спорта; В – среди выбранных спортсменов хотя бы один оказался мастером спорта; С – среди выбранных спортсменов оказались один мастер спорта, один кандидат в мастера спорта и два перворазрядника. 11. Плотность вероятности случайной величины

f ( x) =

1 4.5π

− х2 −4 х−4

е

4.5

.

Найти её математическое ожидание, дисперсию, построить кривую вероятности; найти вероятности событий: А – случайная величина примет только положительные значения, В – случайная величина попадает в интервал, 7

симметричный относительно математического ожидания, длиной два средних квадратических отклонения. 12. Случайная величина распределена по нормальному закону; среднее квадратическое отклонение её равно 5 , P{X3}=0.15. Найти её дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятность отрицательных значений случайной величины. 14. Плотность вероятности случайной величины

1 f ( x) = 8π

− х 2 − 3 х − 2.25 8

е

.

Найти математическое ожидание случайной величины, её дисперсию; построить кривую вероятности; найти вероятности событий: А – случайная величина примет значение меньше 1, В – случайная величина примет значение больше –2. 15. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 5 и вероятностью попадания в интервал (7;∞) равной 0,4. Найти её дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятность попадания в интервал (m-σ;m+σ). 16. Случайная величина распределена по нормальному закону с σ = 8, вероятность попадания в интервал (-∞;4) равна 0,3. Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятности событий: А – случайная величина принимает положительные значения, Вслучайная величина попадает в интервал, симметричный относительно математического ожидания длиной четыре средних квадратических отклонения. 17. Плотность вероятности случайной величины

1 f ( x) = 50π

− х2 +6 х −9

е

50

.

Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна 0,8. 18. Случайная величина распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=5 и вероятностью принять значение больше 10 равной 0,4. Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; найти вероятность попадания случайной величины в интервал (-2;8). 19. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно –2, а вероятность попасть в интервал |η+2|60) = 1-0,98. Отсюда P{x≤60}=0,02. По формуле (5) преобразуем левую часть 60 − m )= 0,02. F(60)= Ф(

σ

Теперь по таблицам Ф(х) (табл.3) необходимо найти значение х, при котором Ф(х) равняется 0,02. Такого значения в таблице нет, это означает, что искомое значение – отрицательное. Используя формулу Ф(-х)= 1-Ф(х), (7) можно записать 60 − m m − 60 )= 1-Ф( )= 0,02, Ф(

σ

σ

25

т.е. Ф(

m − 60

σ

)= 0,98.

По табл.11 находим, что Ф(х)= 0,98 соответствует х=2,056, т.е. m − 60 = 2,056.

σ

Таким образом

m-2.056 σ =60.

Из второго условия следует P{Xр, то считается, что событие А не наступило. Поскольку значения случайной величины ни что иное как случайные события, процедура моделирования дискретной случайной величины с заданным законом распределения аналогична моделированию случайного события. Пусть дискретная случайная величина задана теоретическим рядом распределения.

26

η pi

х1 р(х1)

х2 р(х2)

х3 р(х3)

… …

хn р(хn)

Присваиваем случайной величине η значение х1, если значение случайного числа ri≤p(х1), значение х2, если p(х1) 0.9631. Для удобства использования правила можно свести в табл. 4 или изобразить на рис. 7. Таблица 4 Интервал zj Z=0 Z=5 Z=10 Z=15 1 0;0.619 0 0 0.619 0.70 0.963 1.0 ri 2 0.619; 0.708 5 3 0.708; 0.963 10 Рис.7 4 0.963; 1.000 15 27

Замечание. Поскольку в табл.1 даны только 2 знака мантиссы, значения границ интервалов округлили до трех знаков после запятой. Приступая к моделированию, η возьмем первое число из табл. 1. Для того х, чтобы начало было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 марта. Поэтому начнем с 9-й строки 3-го столбца. Это число 67, следовательно, r1= 0.67, оно принадлежит второму интервалу [0.619;0.708], поэтому х1=5. Таким образом, найдена стоимость ремонта первого прибора. Аналогично моделируются стоимости остальных приборов. Далее случайные числа будем выбирать двигаясь, например, по строкам влево или вправо. Второе число 43, т.е. r2=0.43, оно из интервала [0;0.619], поэтому х2=0. Сведем процесс нахождения реализаций η в табл.5. Таблица 5 интервал интервал j rj zj j rj zj 1 0.67 0.619;0.708 5 13 0.35 0;0.619 0 2 0.43 0;0.619 0 14 0.98 0.965;1.000 15 3 0.97 0.963;1.000 15 15 0.95 0.708;0.963 10 4 0.04 0;0.619 0 16 0.11 0;0.619 0 5 0.43 0;0.619 0 17 0.68 0.6194;0.708 5 6 0.62 0.619;0.708 5 18 0.77 0.708;0.963 10 7 0.76 0.705;0.963 10 19 0.12 0;0.619 0 8 0.59 0;0.619 0 20 0.17 0;0.619 0 9 0.63 0.619;0.708 5 21 0.17 0;0.619 0 10 0.57 0;0.619 0 22 0.68 0.619;0.708 5 11 0.33 0;0.619 0 23 0.33 0;0.619 0 12 0.21 0;0.619 0 24 0.73 0.708;0.963 10 25 0.79 0.708;0.963 10 Найдем экспериментальный ряд распределения, для чего подсчитаем частоты mi, равные числу приборов с данной стоимостью ремонта, т.е. числу появлений значений хj, вычислим их относительные частоты, т.е. оценки m вероятностей р *i = i и занесем результаты в табл.6. 25 Таблица 6 0 5 10 15 xi Σ 13 5 5 2 25 mi * 0.52 0.20 0.20 0.08 1.00 рi

Найдем экспериментальную функцию распределения F*(х)=

∑ pi* :

х < хi

28

при х < 0, 0 0.52 при 0 ≤ х < 5,  * F (х)= 0.72 при 5 ≤ х < 10, 0.92 при 10 ≤ х < 15,  1.00 при х ≥ 15 Построим экспериментальные многоугольник распределения и функцию распределения (рис. 8). Для наглядности сравнения теоретических и экспериментальных кривых построим штриховыми линиями теоретические кривые.

Рис.8 2. Найдем оценки числовых характеристик. Для вычисления оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения воспользуемся формулами: k

m* = ∑ xi р i ,

(8)

i =1

где k- число различных значений случайной величины; k

(

D[η ] = ∑ x i − m* i =1

)

или

29

2

рi

(9)

D * [η] = M *

[η ]− (m )

* 2

2

k

= ∑ хi2 рi − i =1

(m )

* 2

Поскольку формулы (6) и (7) дают смещенную несмещенную оценку найдем по формуле n D * [η]несм = D * [η]смещ . n −1

.

оценку

(10) дисперсии, (11)

n очень близок к n −1 единице, и можно считать оценку, вычисленную по формулам (9) или (10), оценкой несмещенной дисперсии. Вычисления сведем в табл. 7, аналогичную табл.2. Таблица 7 0 5 10 15 xi Σ 0.52 0.20 0.20 0.08 1.00 p *i * 0 1.00 2.00 1.20 4.20 = m* x p Замечание. При больших значениях n коэффициент

i

i *

2 xi p i

0

5.00

20.00

18.00

[η ] 2

43.00

=M*

17.64 25.36

= m* = D * [η]см

( )2

25 * = 1.0417 ⋅ 25.36 = 26.418 , D 25 − 1 см σ η* = 5.140 . Сравнив полученные результаты с теоретическими (см. пример 5), видим, что экспериментальные характеристики отличаются от полученных из исходного ряда распределения. Для того чтобы получить более близкие результаты, следует существенно увеличить число реализаций случайной величины. 3. Проверим соответствие закона распределения полученной случайной величины F*(х) заданному закону распределения F(x), используя критерий Пирсона. Для этого определяется случайная величина * [η] = D несм

k

(mi − npi )2

i =1

npi

χ =∑ 2

,

где k – число значений случайной величины; mi - число появлений значений случайной величины η; pi - теоретическая вероятность значения; n - объем моделируемой выборки ( npi - ожидаемое число появлений значения хi при n реализациях случайной величины). Величина χ2, называемая 30

“хи-квадрат”, служит показателем того, насколько хорошо согласуются моделируемое и ожидаемое распределения. В статистических расчетах число степеней свободы для дискретной случайной величины определяется как r=k-l-1, где k – число значений случайной величины, l – число параметров, которые были вычислены по результатам наблюдений. Введем понятие «критическое значение» C= χ α2 ,r следующим образом: если при проверяемой гипотезе вероятность события {χ2>C} Р(χ2>С)=α мала, то С называется «критическим значением», а α - «уровнем значимости» критерия χ2. Уровень значимости является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Выбор его определяется решаемой задачей. Как правило, полагают α=0.01 или α=0.05, т.е. в одном или пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза. Критические значения в зависимости от объема выборки и уровня значимости приведены в табл. 4 приложения А. В рассматриваемой задаче число k=4, поэтому число степеней свободы r=41=3. По табл. 4 найдем критические числа С1 (для α1=0.01) и С2 (для α2=0.05): ими будут С1=11.3 и С2=7.8. Найдем значение χ2. Все вычисления выполним в таблице 8 (n=25, npi вычислим до одного знака после запятой). Таблица 8 (mi − npi )2 i хi mi npi mi- npi npi 1 0 13 15.5 -2.5 0.403 2 5 5 2.2 2.8 3.536 3 10 5 6.4 -1.4 0.306 4 15 2 0.9 1.1 1.344 25 25.0 0.0 5.617=χ2 Σ При уровне значимости α2=0.05 событие {χ2>C2} не произошло (5.617C1} тем более не произошло, и в этом случае можно считать, что гипотеза о распределении случайной величины с заданным законом распределения не противоречит смоделированным значениям случайной величины. Пример 11. Из выборки в 15 элементов нормальной генеральной совокупности найдены оценки математического ожидания m* =-1.5 и несмещенной дисперсии s2= 1.21. Найти точность оценки математического ожидания и доверительный интервал, соответствующие доверительной вероятности β= 0.98. Определить эти же величины для выборки в 40 элементов, если оценки оказались такими же. 31

Решение. Истинные математическое ожидание m и дисперсия σ 2 данного нормального распределения не известны, поэтому воспользуемся

s s и Iβ=(m*-ε; m*+ε)= (m* − t β ; m* + t β ), формулами ε=tβ s n n n где ε - предельная ошибка, Iβ - доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β, tβ- значения квантиля распределения Стьюдента для числа степеней свободы, k=n-1. В данной задаче число степеней свободы k=14, а доверительная вероятность β=0.98. По таблице 10 приложения значений квантилей распределения Тогда предельная ошибка Стьюдента находится tβ=2.62449. 1.21 ε=2.62449 ⋅ ≈ 0.75 и доверительный интервал I0.98 =(-1.5-0.75;-1.5+0.75) = (15 2.25;-0.75). Полученный результат позволяет утверждать, что с вероятностью 0.98 математическое ожидание рассматриваемой случайной величины принадлежит интервалу (-2.25;-0.75). При выборке 40 элементов в связи с тем, что с увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, воспользуемся формулами ε =

σ

n

zβ для вычисления предельной

ошибки оценки математического ожидания и Iβ=(m*-ε; m*+ε) = (m*-

σ

вычисления доверительного интервала.

n

zβ;m*+

σ n

zβ) для

1+ β по таблицам 2 значений нормированной функции распределения нормального закона. zβ 1+ β называется квантилью порядка нормированного нормального 2 распределения. 1 + β 1 + 0.98 Вычислив = = 0.99, входим с этим значением функции в таблицу и 2 2 находим её аргумент, равный 2.327. 1.21 Таким образом, точность оценки ε= ⋅ 2.327 ≈ 0.405 , а доверительный 40 интервал I0.98=(-1.5–0.405;-1.5+0.405) = (-1.905; -1.045). Заметим, что увеличение объема выборки существенно сузило доверительный интервал. В этих формулах zβ находится как корень уравнения Ф(zβ)=

32

Приложение А. Таблицы математической статистики

Таблица 1. Равномерно распределенные случайные числа

10 37 08 99 12

09 54 42 01 80

73 20 26 90 79

25 48 89 25 99

33 05 53 29 70

76 64 19 09 80

52 69 64 37 15

01 47 50 67 73

35 42 93 07 61

86 96 03 15 47

34 24 23 38 64

67 80 20 31 03

35 52 90 13 23

48 40 25 11 66

76 37 60 65 53

80 20 15 88 96

95 63 95 67 95

90 61 33 67 11

91 04 47 43 68

17 02 64 97 77

39 00 35 04 12

29 82 08 43 17

27 29 03 62 17

49 16 36 76 68

45 65 06 59 33

66 31 85 63 73

06 06 26 57 79

57 01 97 33 64

47 08 76 21 57

17 05 02 35 53

34 45 02 05 03

07 57 05 32 53

27 18 16 54 96

68 24 56 70 47

50 06 92 48 78

36 35 68 90 35

69 30 66 55 80

73 34 57 35 83

61 26 48 75 42

70 14 18 48 82

65 86 73 28 60

81 79 05 46 93

33 90 38 82 52

98 74 52 87 03

85 39 47 09 44

11 23 18 83 35

19 40 62 49 27

92 30 38 12 38

91 97 85 56 84

70 32 79 24 35

98 11 83 86 99

52 80 45 68 59

01 50 29 54 46

77 54 96 02 73

67 31 34 00 48

14 39 06 86 87

90 80 28 50 51

56 82 89 75 76

86 77 80 84 49

07 32 83 01 69

22 50 13 36 91

10 72 74 76 82

94 56 67 66 60

05 82 00 73 89

58 48 78 51 28

60 29 18 90 93

97 40 47 36 78

09 52 54 47 56

34 42 06 64 13

33 01 10 93 68

50 52 68 29 23

50 77 71 60 47

07 56 17 91 83

39 78 78 10 41

98 61 17 62 13

65 80 74 69 09

48 12 35 91 89

11 43 09 62 32

76 56 98 68 05

74 35 17 03 05

17 17 77 66 14

46 72 40 25 22

85 70 27 22 56

09 80 72 91 85

50 15 14 48 14

58 45 43 36 46

04 31 23 93 42

77 82 60 68 75

69 23 02 72 67

74 74 10 03 88

33

Таблица 2. Значения квантилей распределения Стьюдента

Число степеней Доверительные вероятности свободы 0.9 0.95 0.98

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 60 120

6.31375 2.91999 2.35336 2.13185 2.01505 1.94318 1.89458 1.85955 1.83311 1.81246 1.79588 1.78229 1.77093 1.76131 1.75305 1.74588 1.73961 1.73406 1.72913 1.72472 1.72074 1.71714 1.71387 1.71088 1.70814 1.70562 1.70329 1.70113 1.69913 1.69726 1.67065 1.65765

12.7062 4.30266 3.18245 2.77645 2.57058 2.44691 2.36462 2.30601 2.26216 2.22814 2.20099 2.17881 2.16037 2.14479 2.13145 2.1199 2.10982 2.10092 2.09302 2.08596 2.07961 2.07388 2.06865 2.0639 2.05954 2.05553 2.05183 2.04841 2.04523 2.04227 2.0003 1.97993

34

31.821 6.96455 4.54071 3.74694 3.36493 3.14267 2.99795 2.89647 2.82143 2.76377 2.71808 2.68099 2.6503 2.62449 2.60248 2.58349 2.56694 2.55238 2.53948 2.52798 2.51765 2.50832 2.49987 2.49216 2.4851 2.47863 2.47266 2.46714 2.46202 2.45726 2.39012 2.35783

0.99 63.655898 9.9249883 5.8408477 4.6040805 4.0321174 3.7074278 3.499481 3.3553806 3.2498428 3.1692616 3.1058153 3.054538 3.0122828 2.9768489 2.9467265 2.9207877 2.8982322 2.8784416 2.8609429 2.845336 2.8313661 2.8187605 2.8073373 2.7969509 2.7874376 2.7787246 2.7706847 2.7632632 2.7563874 2.7499846 2.660272 2.6174166

0.999 636.578 31.5998 12.9244 8.61008 6.8685 5.95872 5.40807 5.04137 4.78089 4.58676 4.43688 4.31784 4.22093 4.14031 4.07279 4.01487 3.96511 3.92174 3.88332 3.84956 3.8193 3.79223 3.76764 3.74537 3.72514 3.70666 3.68949 3.67392 3.65952 3.64598 3.46015 3.37342

Таблица 3. Значения нормальной стандартной функции распределения х 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29

Ф(х) 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

X 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59

Ф(х) 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224

35

X 0.6 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89

Ф(х) 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

X 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19

Ф(х) 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883

Продолжение таблицы 3

х 1.2 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49

Ф(х) 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

X 1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.7 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79

Ф(х) 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

36

X 1.8 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.9 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09

Ф(х) 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

X 2.1 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.2 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.3 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39

Ф(х) 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 .0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

Окончание таблицы 3

х 2.4 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.5 2.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.6 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 ' 2.66 2.67 2.68 2.69

Ф(х) 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

X 2.7 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.8 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.9 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99

Ф(х) 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

37

X 3 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.1 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.2 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29

Ф(х) 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

X 3.3 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.4 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Ф(х) 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9999 1 1

Таблица 4. Значения квантилей распределения Пирсона Число степеней свободы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.001 10.827 13.815 16.266 18.466 20.515 22.457 24.321 26.124 27.877 29.588 31.264 32.909 34.527 36.124 37.698 39.252 40.791 42.312 43.819 45.314 46.796 48.268 49.728 51.179 52.619 54.051 55.475 56.892 58.301 59.702

Уровень значимости 0.005 0.01 0.025 7.879 6.635 5.024 10.6 9.21 7.378 12.84 11.34 9.348 14.86 13.28 11.14 16.75 15.09 12.83 18.55 16.81 14.45 20.28 18.48 16.01 21.95 20.09 17.53 23.59 21.67 19.02 25.19 23.21 20.48 26.76 24.73 21.92 28.3 26.22 23.34 29.82 27.69 24.74 31.32 29.14 26.12 32.8 30.58 27.49 34.27 32 28.85 35.72 33.41 30.19 37.16 34.81 31.53 38.58 36.19 32.85 40 37.57 34.17 41.4 38.93 35.48 42.8 40.29 36.78 44.18 41.64 38.08 45.56 42.98 39.36 46.93 44.31 40.65 48.29 45.64 41.92 49.65 46.96 43.19 50.99 48.28 44.46 52.34 49.59 45.72 53.67 50.89 46.98

38

0.05 3.841 5.991 7.815 9.488 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25 26.3 27.59 28.87 30.14 31.41 32.67 33.92 35.17 36.42 37.65 38.89 40.11 41.34 42.56 43.77

0.1 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.2 28.41 29.62 30.81 32.01 33.2 34.38 35.56 36.74 37.92 39.09 40.26

Содержание

Предисловие ............................................. 3 1. Содержание дисциплины ........................ 3 2. Задание на контрольную работу............. 6 3. Методические указания к выполению контрольной работы ................................ 11 Приложение А .......................................... 33

Редактор И.Н. Садчикова Сводный темплан 2003г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97.

Подписано впечать Б.Кн.-журн.

Формат П.л. 2,437

Б.л. 1,218

Тираж 500

60*84

1/16

РТП РИО СЗТУ

Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Питербург, ул. Миллионная, 5

39