Распространение волн в анизотропных средах: Учебное пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Р аспр о стр ан е н и е во лн в ан и зо тр о пн ы х ср е дах У ч ебное п особи е С п еци альност ь 010801( 013800) «Р ад и оф и зи ка и элект рони ка»

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тверж дено научно -методическим со вето м физическо г о факультета( 24 февраля 2005 г о да, п ро токо л № 2)

Авто р к.ф.-м.н., до ц ентАверинаЛ .И .

У чебно е п о со бие п о свящ ено изучению зако но мерно стей расп ро странения электро маг нитны х во лн в анизо тро п ны х средах: кристаллах, п лазме и феррите, нахо дящ ихся в п о сто янно м маг нитно м п о ле. О со бо е внимание уделено во п ро сам расп ро странения радио сиг нало ввэтих средах.

У чебно е п о со бие п о дг о то влено накафедре электро ники физическо г о факультете В о ро неж ско г о г о сударственно г о университета. Реко мендуется для студенто в 3-г о курса дневно г о о тделения и 5-г о курса вечернег о о тделения, о бучаю щ ихся п о сп ец иально сти 010801(013800) «Радио физикаи электро ника» и изучаю щ их дисц ип лину«Ф изикаво лно вы х п ро ц ессо в».

3

С О Д Е РЖ АН И Е ВВЕ ДЕ Н И Е

4

1. О БЩ И Е ЗАК О Н О М Е РН О С Т И РАС П РО С Т РАН Е Н И Я Э Л Е К Т РО М АГ Н И Т Н Ы Х В О Л Н В АН И ЗО Т РО П Н Ы Х С РЕ Д АХ

4

2. РАС П РО С Т РАН Е Н И Е П Л О С КИ Х В О Л Н В К РИ С Т АЛ Л И Ч Е С КИ Х С РЕ Д АХ

7

3. Г И РО Э Л Е К Т РИ Ч Е С К И Е С РЕ Д Ы

9

3.1 Т ензо р диэлектрическо й п ро ниц аемо сти п лазмы в п о сто янно м маг нитно м п о ле

9

3.2 Расп ро странение п ло ских вы со ко частотны х во лн в маг нито активно й п лазме

13

4. Г И РО М АГ Н И Т Н Ы Е С РЕ Д Ы

19

4.1 Т ензо р маг нитно й п ро ниц аемо сти ферритавп о сто янно м маг нитно м п о ле

20

4.2 П ро до льно ерасп ро странение электро маг нитны х во лн вферрите

22

4.3 П о п еречно ерасп ро странение электро маг нитны х во лн вферрите

24

5. Г И РО Т РО П И Я В РАД И О Ф И ЗИ К Е

26

5.1 Радио во лны вио но сфере

26

5.2 Д иап азо нны ео со бенно сти расп ро странения радио во лн

30

5.3 Г иро тро п ия ио но сферы

31

5.4 Ф ерриты врадио технике С В Ч

33

С П И С О К Л И Т Е РАТ У РЫ

34

4

ВВЕД ЕНИ Е Анизо тро п ная среда– это среда, физические сво йствако торо й зависято т нап равления. Анизо тро п ная среда назы вается о дно ро дно й, если зависимо сть её сво йств о тнап равления в различны х точках о динако ва. С реда мо ж етбы ть изо тро п но й в о тно ш ении каких-либо о дних физических сво йств и анизо тро п но й в о тно ш ении друг их. Анизо тро п ия мо ж етбы ть связана со структуро й среды (как, нап ример, в кристаллах) или мо ж етсо здаваться нало ж ением внеш них п о лей – маг нитно г о, электрическо г о , п о ля уп руг их дефо рмац ий и т.д. О со бенно сти расп ро странения электро маг нитны х во лн в анизо тро п но й среде (как и в лю бо й друг о й материально й среде) о п ределяю тся сп ец ифическо й фо рмо й материальны х уравнений. В случае анизо тро п ны х сред эти уравнения для г армо нических во времени п о лей имею твид

Di (ω, r ) = ε ij (ω ) E j (ω, r ),

Bi (ω , r ) = µij (ω ) H j (ω , r ).

О бы чно сво йства сред тако вы , что тензо ро м является либо εˆ(ω ), либо µˆω ( ), другую извеличин п ри это м мо ж но считать скалярно й. П о этомуматериальны е уравнения для анизо тро п но й среды зап исы ваю тся ввиде

Di (ω, r ) = ε ij (ω ) E j (ω, r ),

B(ω , r ) = µ (ω ) H (ω , r ),

или ввиде

D(ω, r ) = ε (ω ) E (ω, r ),

Bi (ω , r ) = µij (ω ) H j (ω , r ).

О со бенно сти расп ро странения во лн в различны х анизо тро п ны х средах о п ределяю тся структуро й тензо ро в ε ij , µij , а такж е зависимо стью ко мп о нент этих тензо ро во тчастоты .

1. О БЩ И Е ЗАК О Н О М Е Р Н О С ТИ Р АС ПР О С ТР АН Е Н И Я ЭЛЕ К ТР О М АГН И ТН Ы Х В О ЛН В АН И ЗО ТР О ПН Ы Х С Р Е Д АХ Рассмо трим анизо тро п ную среду, сво йства ко торо й характеризую тся материальны ми уравнениями D = εˆE ,

B = H.

(1.1)

У равнения М аксвелла, о п исы ваю щ ие расп ро странение мо но хро матических во лн, имею твид

5

ω D, c ω rotE = − j H , c rotH = j

divD = 0, (1.2)

divH = 0.

И склю чая изсистемы (1.2) вектор H и исп о льзуя материальны е уравнения (1.1), п о лучим во лно во е уравнение для анизо тро п но й среды

rot rotE −

ω2 εˆ E = 0. c2

(1.3)

О г раничимся рассмо трением расп ро странения п ло ских во лн в п ро зрачно й анизо тро п но й среде, т.е. будем считать, что все величины п ро п о рц ио нальны e jkr с действительны м во лно вы м векторо м k. В это м случае система уравнений (1.2) будетиметьвид

[kH ] = ω D,

c [kE ] = − ω H , c

(kD ) = 0, (kH ) = 0,

(1.4) аво лно во е уравнение (1.3) зап иш ется вследую щ ей фо рме:

ω2 [k [kE ]] + 2 εˆE = 0. c

(1.5)

И зсистемы уравнений (1.4) следует, что k, D и H взаимно п ерп ендикулярны , и векто р H п ерп ендикулярен векторуE. С ледо вательно , векторы k, D, E леж атв о дно й п ло ско сти, но вектор Е не ко ллинеарен векторуD, п о ско лькуDi = ε ij E j . В заимно е расп о ло ж ение векторо в E, D, H, k п о казано на рис.1. В п ло ско сти фро нта во лны , о п ределяемо й уравнением (kr ) = Const , леж атвекторы D, H, авекто р Е не леж итв это й п ло ско сти. П о ско льку п ло тно сть п о тока энерг ии характеризуется векторо м У мо ва-П о йтинг а S = [EH ], то в анизо тро п но й среде нап равление п ло тно сти п о то ка энерг ии не со вп адает с нап равлением во лно во г о вектора. С ледо вательно , не со вп адаю тнап равления г руп п о во й и фазо во й ско ро сти. В екторы D, E, k, S ко мп ланарны и о ртог о нальны векторуH.

6

Е сли тензо ро м является маг нитная п ро ниц аемо сть, а ε - скалярная величина, то D = εE, B = µˆH , и уравнения М аксвелладля п ло ских во лн п римутвид

[kH ] = ω εE,

(kE ) = 0, c [kE ] = − ω B, (kB ) = 0. c В это м случае, как лег ко видеть, k ⊥ E , k ⊥ B, E ⊥ B, т.е. E и B леж атв п ло ско сти фро нта во лны , а вектор H не леж итв это й п ло ско сти (рис.2). В екторы k, S, B, H ко мп ланарны и о ртог о нальны векто руЕ . Н ап равления векторо вS и k не со вп адаю т. Д ля характеристики расп ро странения во лн в анизо тро п ны х средах п о мимо во лно во г о вектора k вво дится лучево й вектор s, нап равление ко торо г о со вп адаетс нап равлением векто ра У мо ва-П о йтинг а S, а величина о п ределяется изсо о тно ш ения (sn) = 1.

(1.6)

Здесь n = kc ω , n = n - п о казатель п рело мления. П о о тно ш ению к лучево мувекто руп о п еречны ми являю тся векторы E, H, следо вательно ,

(sE ) = 0,

( sH ) = 0.

(1.7)

У мно ж ивуравнения (1.4) векто рно наs и учиты вая (1.6), п о лучим

[sD ] = − H , [sH ] = E.

(1.8) С истема уравнений (1.4) п ерехо дитв систему(1.7) - (1.8). М атериально е уравнение, со о тветствую щ ееэто й системе, до лж но бы тьзап исано ввиде

Ei = ε ij−1 D j . (1.9) В ернё мся к векторно му уравнению (1.5); п редставим ег о как систему уравнений для декартовы х ко мп о нентвектораE:

∑ (n 2δ ij − ni n j − ε ij )E j = 0. 3

j =1

(1.10)

7

П риравнивая нулю о п ределитель это й системы , п о лучим дисп ерсио нно е уравнение, устанавливаю щ ее частотную зависимо сть n(ω ) (это так, п о ско лькув дисп ерг ирую щ ий среде ко мп о ненты тензо ра ε ij являю тся функц иями часто ты ). Д ля п о лучения дальнейш их результатов нео бхо димо знать сво йства этог о тензо ра, т.е. нуж но ко нкретизиро ватьфизические сво йствасреды .

2. Р АС ПР О С ТР АН Е Н И Е ПЛО С К И Х В О ЛН В К Р И С ТАЛЛИ ЧЕ С К И Х С Р Е Д АХ В анизо тро п ны х и нег иро тро п ны х кристаллах тензо р диэлектрическо й п ро ниц аемо сти симметричен:

ε ij = ε ji Е сли среда п ро зрачна (мо ж но п ренебречь п о г ло щ ением), то все ко мп о ненты тензо рабудутвещ ественны . К ак известно , симметричны й вещ ественны й тензо р всег да мо ж етбы ть п риведё н к г лавны м о сям, в ко торы х о тличны о тнуля только ег о диаг о нальны е ко мп о ненты ε xx , ε yy , ε zz . Е сли вы брать систему ко о рдинат, со вп адаю щ ую с г лавны ми о сями тензо радиэлектрическо й п ро ниц аемо сти, материально е уравнение зап иш ется ввиде

Dx = ε xx E x ,

D y = ε yy E y ,

Dz = ε zz E z .

(2.1)

Э то о значает, что ко г да вектор D нап равлен вдо ль о дно й из г лавны х о сей, то D E . Е сли все г лавны е ко мп о ненты тензо ра ε xx , ε yy , ε zz различны п о величине, то бо льш енетнап равлений, вко торы х векторы D, E бы ли ко ллинеарны . В ы брав системуко о рдинат, со вп адаю щ ую с г лавны ми о сями тензо ра диэлектрическо й п ро ниц аемо сти, и раскры вая о п ределитель системы (1.9), п о лучим следую щ ее дисп ерсио нно е уравнение

(

) [

(

)

(

)]

n 2 ε xxn 2x + ε yy n 2y + ε zz n 2z − n 2xε xx ε yy + ε zz + n 2yε yy (ε xx + ε zz ) + n z2ε zz ε xx + ε yy + + ε xxε yyε zz = 0, назы ваемо е уравнени ем Ф ренеля. В это м уравнении ко мп о ненты тензо ра диэлектрическо й п ро ниц аемо сти являю тся функц иями частоты . В неко торы х кристаллах функц иями часто ты являю тся такж е нап равления г лавны х о сей это г о тензо ра(«дисп ерсия о сей»). Е сли рассматривать расп ро странение мо но хро матическо й во лны с фиксиро ванно й часто той ω , то уравнение Ф ренеля является квадратны м уравнением о тно сительно квадрата п о казателя п рело мления. П о этому каж до му заданно мунап равлению n = n x , n y , nz со о тветствую тдва различны х абсо лю т-

(

)

ны х значения во лно во г о числа k = ωn c , т.е. имею тся две но рмальны е во лны , расп ро страняю щ иеся с разны ми фазо вы ми ско ро стями. К о г да, нап ример, во лна

8

расп ро страняется вдо ль г лавно й о си z, в уравнении Ф ренеля нуж но п о ло ж ить n x = n y = 0, n z = n. О но уп ро стится и п риметвид

(

)

n 4 − n 2 ε xx + ε yy + ε xxε yy = 0. О тсю да для но рмальны х во лн нахо дим два значения п о казателей п рело мления n12 = ε xx , n22 = ε yy . Н о рмальны е во лны в кристаллах о тличаю тся не то лько фазо вы ми ско ро стями, но и п о ляризац ией. Ч то бы п о казать это, удо бно ввести системуко о рдинат, в ко торо й о сь z нап равлена вдо ль вектора n; в это й системе D z = 0. И з уравнений (1.4) п о лучаем D = n 2 E − n(nE ) или

Dx = n 2 E x , D y = n 2 E y

(2.2)

С учё том материально г о уравнения (1.9), не п риво дя тензо р ε ij−1 к диаг о нально мувиду, зап иш ем (2.2) в следую щ ей фо рме:

 1 −1  −1  2 − ε xx  Dx − ε xy D y = 0, n   1 −1  −1  2 − ε yy  D y − ε yx Dx = 0. n 

(2.3)

П о ско лькуко мп о ненты тензо ра ε ij−1 дей ствительны , то и мно ж итель п о ляризац ии −1 −1 ε xy n1−,22 − ε yy Dx P1, 2 = = = −1 −1 D y n1−, 22 − ε xx ε yx

(2.4)

естьдействительная величина. Т аким о бразо м, в анизо тро п но й неактивно й среде но рмальны е во лны п о ляризо ваны линей но . В сякая во лна друг о й п о ляризац ии в анизо тро п но й среде расщ еп ляется на две линей но -п о ляризо ванны е во лны , фазо вы е ско ро сти ко то ры х во бщ ем случаеразличны . Н ап о мним, что в изо тро п но й среде во змо ж но расп ро странение во лн п ро изво льно й п о ляризац ии, п о ско лькуфазо вы е ско ро сти во лн с лю бы м нап равлением векто ра D о динако вы ; сло ж ение двух линейно п о ляризо ванны х во лн в этих усло виях мо ж етп ривести к во зникно вению во лны с линейно й, круг о во й или эллип тическо й п о ляризац ией. В кристаллах ж е в о бщ ем случае, в о тличие о тизо тро п но й среды , во лн с круг о во й или эллип тическо й п о ляризац ией не сущ ествует.

9

3. ГИ Р О ЭЛЕ К ТР И ЧЕ С К И Е С Р Е Д Ы М агни т оакт и вными назы ваю тся анизо тро п ны е г иро тро п ны е среды , п рио бретаю щ ие эти сво йства п о д дей ствием п о сто янно г о маг нитно г о п о ля. Т ензо ры диэлектрическо й или маг нитно й п ро ниц аемо сти таких сред несимметричны . В маг нито активно й п о г ло щ аю щ ей среде тензо р ε ij - эрмито в:

ε ij = ε *ji

(3.1)

Д ей ствительная и мнимая части ε ij до лж ны бы ть со о тветственно симметрично й и антисимметрично й:

ε ij' = ε 'ji ,

ε ij" = −ε "ji

(3.2)

Т акими ж е сво йствами о бладаети µ ij . Е сли тензо ро м является диэлектрическая п ро ниц аемо сть, а µ - скаляр, то среда назы вается ги роэлект ри ч еской. П римеро м мо ж етслуж ить п лазма, нахо дящ аяся в п о стоянно м маг нитно м п о ле (земная ио но сфера, со лнечная ко ро на). Е сли тензо ро м является маг нитная п ро ниц аемо сть, то среда назы вается ги ромагни т ной. В аж ны й п ример тако й среды – феррит, п о мещ ё нны й в п о стоянно е маг нитно е п о ле.

3.1 Те н зо р ди эле к тр и ч е ск о й пр о н и цае м о сти плазм ы в по сто я н н о м м агн и тн о м по ле Рассмо трим сво йства маг нитоактивно й п лазмы . Д ля то г о чтобы в явно м виде п о лучить вы раж ение для тензо ра диэлектрическо й п ро ниц аемо сти, нуж но рассчитать движ ение электро но в, ио но в и нейтральны х мо лекул п лазмы в п рисутствии п о сто янно г о маг нитно г о п о ля и п еременны х во лно вы х п о лей . П ри анализе п ро изво льны х движ ений в п лазме исхо дны ми являю тся уравнения электро маг нитно г о п о ля и кинетические уравнения для электро но в, ио но в и нейтральны х мо лекул. П о до бная система уравнений о чень сло ж на, и п о это му бо льш о е значение п рио бретаю тразличны е п риближ ё нны е реш ения динамическо й задачи. Е сли часто таво лны удо влетво ряетусло вию ω >> Ω = eH 0 Mc

(3.3)

(г де Ω - со бственная частотавращ ения ио но в в маг нитно м п о ле H 0 , М – масса ио на), то п ри о п ределении п о ляризац ии среды мо ж но считать ио ны неп о движ -

10

ны ми и учиты вать то лько движ ение электро но в. В о лны , для ко торы х усло вие (3.3) вы п о лнено , будем назы ватьвы со ко часто тны ми. Е сли, кро ме то г о,

ω >> ν

(3.4)

(г де ν - эффективная часто та со ударений электро но в с мо лекулами и ио нами), то то ки смещ ения в среде до лж ны п рео бладать над то ками п ро во димо сти. П ри вы п о лнении усло вия (3.4) в п о ле электро маг нитно й во лны п ро исхо дитп ро странственно е разделение зарядо в. Э то п риво дитк во зникно вению сильны х электрических п о лей, стремящ ихся сблизить заряды . В результате во зникаю т ко лебания п ло тно сти зарядас частотой

ω p = 4πNe 2 / m. В низко частотно й о бласти, ко г да ω > ω H Ω = M mΩ, mc - со бственная часто та вращ ения электро но в в маг нитно м п о -

г де ω H = eH 0 ле H 0 . Будем считать, что усло вия (3.3), (3.4) вы п о лнены и п лазма п редставляет со бо й о дно ро дны й ио низиро ванны й г аз, вединиц е о бъё мако торо г о со держ ится N электро но в. У сло вие (3.4) п о зво ляетп ренебречьто ками п ро во димо сти и считать, что п о лны й то к всреде равен то кусмещ ения, т.е.

j = − Nev = − jωP .

(3.5)

Здесь и в дальнейш ем мы п редп о лаг аем, что все величины изменяю тся во времени п о г армо ническо музако ну exp(- jωt ) . П о ско льку D = E + 4πP , с учё то м (3.5) п о лучим

D=E− j

4πNe v = E − uV . ω

Здесьисп о льзо ваны следую щ иео бо значения:

(3.6)

11

u=

ω 2p ω

, 2

V=j

mω v. e

(3.7)

Д ля о п ределения величины V (а следо вательно , и ко мп о ненттензо ра диэлектрическо й п ро ниц аемо сти) во сп о льзуемся уравнением движ ения электро на mv& = −eE −

e [vH 0 ] c

(3.8)

( H 0 - это внеш нее п о сто янно е маг нитно е п о ле, со здаю щ ее анизо тро п ию п лазмы ). С учё том (3.7) уравнение (3.8) п ереп иш ем ввиде V = E − j [VW ] ,

(3.9)

г де W = ω H H 0 ω H 0 , W = ω H ω . В ы берем системуко о рдинат, о сь z ко торо й со вп адаетс нап равлением H 0 . Т о г давеличина W = (0, 0, ω H ω ) , и мы п о лучим следую щ ую системууравнений для о п ределения ко мп о нентвектораV:

Vx = E x − jWV y , V y = E y + jWV x , Vz = E z .

(

(3.10)

)

Зап исав с п о мо щ ью (3.10) ко мп о ненты векто ра V = Vx , V y , Vz и п о дставляя их в уравнение (3.6), п о лучим вы раж ение для ко мп о нентвектораD:

u  uW  Dx = E x − uVx = 1 − E j Ey , +  x 1−W 2  1−W 2  uW u   D y = E y − uV y = − j E + 1 − E y , 2 x 1−W  1−W 2  Dz = (1 − u )E z .

(3.11)

О тсю да следует, что тензо р диэлектрическо й п ро ниц аемо сти в вы бранно й системе ко о рдинатимеетвид

u  1 − 2  1−W uW εˆ=  − j  1−W 2  0  

j

uW

1−W 2 u 1− 1−W 2 0

 0   0 .  1− u  

(3.12)

12

Э то ттензо р не является действительны м (несмо тря на то , что п о г ло щ ение п ри вы во де (3.12) не учиты вало сь). Е г о ко мп о ненты связаны со о тно ш ением * ε ij = ε ji , т.е. тензо р эрмитов. В нап равлении о си z векто ры D и E п араллельны , но в п ло ско сти x, y эти векто ры п араллельны то лько для во лн, имею щ их круг о вую п о ляризац ию . Д ействительно , из(3.11) п о лучаем

(

)(

)

Dx ± jD y = ε xx m jε xy E x ± jE y .

(3.13)

К о мбинац ия ε xx m jε xy , как следуетиз(3.12), является действительно й величино й. О тсю да мо ж но сделать заклю чение, что в маг нито активно й среде но рмальны е во лны имею ткруг о вую (или эллип тическую ) п о ляризац ию . Сог ласно (3.12) с учё том введё нны х о бо значений (3.7) мо ж но зап исать

ε xx = ε yy = ε ⊥ = 1 − ε xy = −ε yx = jχ = j ε zz = ε II = 1 −

ω 2p ω2

ω 2p ω 2 − ω H2

(

,

ω 2pω H

ω ω 2 − ω H2

),

(3.14)

.

И з фо рмул (3.14) видно , что второ й характерно й о со бенно стью маг нитоактивно й среды является сущ ество вание резо нансны х явлений п ри ω → ω H . Д ействительно , п ри ω → ω H неко торы е ко мп о ненты тензо ра ε ij о бращ аю тся в беско нечно сть. Н ео бхо димо , о днако , иметьв виду, что п ри расчё те это г о тензо рамы не учиты вали диссип ативны х п ро ц ессо в. Е сли учесть п о тери энерг ии из-за со ударений увлекаемы х во лно й электро но в с ио нами и ней тральны ми мо лекулами, то ко мп о ненты тензо ра диэлектрическо й п ро ниц аемо сти будутиметьследую щ ий вид:

ε xx = ε yy = 1 − ε xy = −ε yx = j ε zz = 1 −

[

ω 2p (ω + jν )

ω (ω + jν )2 − ω H2 ω 2pω H

(

)

],

ω ω + ω H + jν (ω − ω H + jν )

ω 2p

ω (ω + jν )

.

,

13

Т ензо р диэлектрическо й п ро ниц аемо сти в это м случае мо ж етбы тьп редставлен в виде 4π ε ijk = ε ij + j σ ij , ω г де ε ij = ε *ji , σ ij = σ *ji . С учё то м со ударений резо нансны е явления о бы чно п ро являю тся в резко м во зрастании п о г ло щ ения «нео бы кно венно й» во лны , нап равление вращ ения вектора E в ко торо й со вп адает с нап равлением вращ ения электро но в в маг нитно м п о ле H 0 . К о г да часто та п риближ ается к резо нансно й, радиус о рбиты электро на увеличивается; следо вательно , электро н п ро хо дитв среде бо льш ий п утьи число ег о со ударений с ио нами и мо лекулами заединиц у времени во зрастает. Е сли учесть движ ение ио но вв п о ле во лны , п ренебрег ая со ударениями, то ко мп о ненты тензо рап римутвид

ε⊥ =1− χ=

2 ω pe

ω 2 − ω H2

2 ω pe ωH

(

ω ω 2 − ω H2

−

ω 2pi ω 2 − Ω2

,

ω 2pi

) + ω (ω

2

− Ω2

).

В вы со ко частотно м п риближ ении, ко г да ω 2 >> Ω 2 , изэто г о вы раж ения следует п реж ний результат(3.14).

3.2 Р аспр о стр ан е н и е пло ск и х вы со к о ч асто тн ы х во лн в м агн и то ак ти вн о й плазм е Рассмо трим о со бенно сти расп ро странения п ло ских во лн в маг нитоактивно й п лазме. Будем считать, что п о сто янно е маг нитно е п о ле, со здаю щ ее анизо тро п ию среды , нап равлено п о о си z; векто р k леж ит в п ло ско сти y, z и со ставляетуг о л θ с о сью z. П ри этом

k x = 0, k y = k sinθ , k z = k cosθ . Ч то бы о п ределить п о казатель п рело мления маг нито активно й п лазмы , во сп о льзуемся системо й уравнений (1.10) для ко мп о нентвектора Е , следую щ ей из уравнений М аксвелла

∑ (n 2δ ij − ni n j − ε ij )E j = 0. 3

j =1

14

П ринимая во внимание ко нкретны й вид тензо ра ε ij , о п ределяемо г о фо рмулами (3.12), (3.14), п ереп иш ем этусистемувявно й фо рме:

(n

) jχE + (n cos θ − ε )E − n sinθ cosθ E − n sinθ cosθ E + (n sin θ − ε )E = 0. 2

− ε ⊥ E x − jχE y = 0, 2

2

2

⊥

x

2

y

2

z

= 0,

(3.15)

2

y

II

z

И зусло вия равенстванулю о п ределителя системы (3.15) п о лучается квадратно е уравнение an 4 − bn 2 + c = 0 для квадрата п о казателя п рело мления. М ы для кратко сти исп о льзуем о бо значения

(

)

(

)

(

)

a = ε ⊥ sin 2θ + ε II cos 2θ , b = ε ⊥2 − χ 2 sin 2θ + ε II ε ⊥ 1 + cos 2θ , c = ε II ε ⊥2 − χ 2 . Реш ениеэто г о уравнения удо бно зап исатьвфо рме

n2 = 1 −

2(a − b + c ) 2a − b ± b − 4ac 2

.

П о дставляя сю да вы раж ения для ε ⊥ , ε II , χ черезбезразмерны е величины u, W, п о лучим

no2, e = 1 −

2u(1 − u ) 2(1 − u ) − W 2 sin 2θ ± W 4sin 4θ + 4W 2 (1 − u )2 cos 2θ

.

(3.16)

П о ско лькуu и W есть функц ии часто ты , уравнение (3.16) о п ределяетдисп ерсию в маг нитоактивно й п лазме. К аж до музначению частоты со о тветствую тдва значения п о казателя п рело мления. Т аким о бразо м, п ри фиксиро ванно й часто те в п лазме мо г утрасп ро страняться две во лны – «о бы кно венная» и «нео бы кно венная», фазо вы е ско ро сти ко торы х о п ределяю тся величинами no и ne . П о казатели п рело мления о беих во лн являю тся функц иями уг лаθ . П ерейдё м теп ерьк вы яснению характерап о ляризац ии но рмальны х во лн в маг нито активно й п лазме. Д ля это г о нео бхо димо найти мно ж ительп о ляризац ии, т.е. о тно ш ениеко мп о нентвекто раЕ вп ло ско сти фро нтаво лны . В ы берем системуко о рдинат, о сь z ко торо й со вп адаетс векторо м k, авекто р п о сто янно г о маг нитно г о п о ля H 0 леж итв п ло ско сти y, z и со ставляетуг ол θ с о сью z. И зсистемы уравнений (1.10) для ко мп о нентвектора Е с учё то м то г о , что n = (0,0, n ) , имеем

15

(n

2

)

− ε xx E x − ε xy E y − ε xz E z = 0,

(

)

− ε yx E x + n 2 − ε yy E y − ε yz E z = 0, ε zx E x + ε zy E y + ε zz E z = 0. Здесь n 2 - уж е известная величина, п о лученная изусло вия равенства нулю о п ределителя этой системы . П о этомунезависимы ми являю тся лиш ь два уравнения. И склю чая, нап ример, E z изп ерво г о и третьег о уравнений, п о лучим связь меж дуко мп о нентами E x , E y : 2   n 2 − ε + ε xz  E =  ε − ε xz ε zy x xx  xy  ε zz  ε zz   

  E y . 

(3.17)

Я вны й вид тензо ра диэлектрическо й п ро ниц аемо сти (3.14) о п ределё н нами в друг о й системе ко о рдинат(о бо значим её о си как x' , y' , z ' ); о сь z’ этой системы нап равленавдо ль п о стоянно г о маг нитно г о п о ля. Н ам нуж но найти ко мп о ненты тензо равсистеме x, y, z, п о лучаю щ ейся п о во ро то м науг о л θ во круго си x. С тары е и но вы е ко о рдинаты связаны со о тно ш ениями: x = x ' , y = y ' cosθ + z ' sinθ , z = − y ' sinθ + z ' cosθ . К о мп о ненты тензо рап рео бразую тся п о фо рмулам

0 1  ε ij = α ik α jl ε kl , α ik = ' =  0 cosθ ∂xk   0 − sinθ ∂xi

0   sinθ . cosθ 

П еремно ж ая матриц ы , найдё м

ε xx = ε ⊥ ,

ε yy = ε ⊥ cos 2θ + ε II sin 2θ ,

ε xy = −ε yx = jχcosθ , ε yz = ε zy = (ε II − ε ⊥ )sinθ cosθ , ε zx = −ε xz = jχsinθ , ε zz = ε ⊥ sin 2θ + ε II cos 2θ . П о дставляя в фо рмулу(3.17) найденны е значения ко мп о ненттензо ра и реш ение (3.16), п о лучим для мно ж ителя п о ляризац ии следую щ ее вы раж ение:

P1,2 =

Ex 2W (1 − u )cosθ =−j . 2 2 2 4 4 2 2 Ey W sin θ m W sin θ + 4W (1 − u ) cos θ

(3.18)

16

И з вы раж ения (3.18) следует, что п о ляризац ия о бы кно венно й и нео бы кно венно й во лн – эллип тическая. Н ап равления вращ ения векторо в Е в п ло ско сти фро нта в о бы кно венно й и нео бы кно венно й во лнах п ро тиво п о ло ж ны . П ро изведение мно ж ителей п о ляризац ии равно единиц е: P1P2 = 1. Э то о значает, что о си эллип со ввзаимно п ерп ендикулярны . О тметим, что в вы раж ения для п о казателя п рело мления (3.16) и мно ж ителя п о ляризац ии (3.18) частота вхо дитв неявно м виде, через величины u, W, т.е. п о казатель п рело мления и мно ж итель п о ляризац ии зависято то тно ш ения п лазменно й частоты к часто те во лны ( u = ω 2p ω 2 ) и г иро маг нитно й часто ты к частотево лны ( W = ω H ω ). Е сли ω >> ω H иW 0 - о бы кно венная и нео бы кно венная во лны сво бо дно расп ро страняю тся. Н а расстоянии l о т излучателя п о ле мо ж но п редставитькак суммуп о лей двух во лн с круг о во й п о ляризац ией:

1 j E1x = E0 exp( jk 0 nol ), E1 y = E0 exp( jk0 no l ), 2 2 1 j E2 x = E0 exp( jk 0 ne l ), E2 y = − E0 exp( jk 0 ne l ). 2 2 И сп о льзуя тож дественную зап ись

no = п о лучим

no + ne no − ne n + ne no − ne + , ne = o − , 2 2 2 2

17

n + ne   n − ne   E x = E1x + E2 x = E0 cos k0 o l  exp jk0 o l , 2 2     n + ne   n − ne   E y = E1 y + E2 y = − E0 sin  k 0 o l  exp jk 0 o l . 2 2     О тсю даследует, что мно ж ительп о ляризац ии

P=

Ex  n − ne  = −ctg k0 o l  = ctg(k 0luW cosθ ) = ctgα Ey 2  

действителен, т.е.п о ляризац ия п о -п реж немулинейная, но её п ло ско сть п о вё рнута о тно сительно о си х на уг о л α . В еличина это г о уг ла зависито тдлины п ро йденно г о во лно й п ути, часто ты во лны и п араметро вп лазмы . В земно й ио но сфере электро нная ко нц ентрац ия является функц ией вы со ты . П ри удалении о тп о верхно сти о наувеличивается до неко торо г о максимально г о значения, а затем убы вает. И сп о льзуя эффект Ф арадея, мо ж но п о измерениям уг ло в п о во ро та п ло ско сти п о ляризац ии судить о б интег рально й электро нно й ко нц ентрац ии. П усть, нап ример, п ередатчик, со здаю щ ий линейно п о ляризо ванную во лну, нахо дится на вы со те h. И злучаемы й сиг нал рег истрируется п риё мнико м, расп о ло ж енны м на п о верхно сти Земли. В это м случае п ло ско стьп о ляризац ии будетп о вё рнутанауг ол h

α = k0W cosθ ∫ udz = 0

4π 2 e3 H 0 cosθ m 2c 2

ω2

h

∫ N (z )dz. 0

В со о тветствии с это й фо рмуло й п о измерению α мо ж но о п ределить п о лно е число электро но в встолбе во здухавы со то й h и п ло щ адью п о п еречно г о сечения 2 1 см . П ерейдё м к рассмо трению о бщ ей задачи, ко г да усло вие ω >> ω H не вы п о лнено и влияние маг нитно г о п о ля нельзя считать слабы м. П ри ω ≥ ω H п о казатель п рело мления и мно ж итель п о ляризац ии сильно изменяю тся в зависимо сти о тнап равления расп ро странения и анизо тро п ия весьма сущ ественна. Рассмо трим различны е частны е случаи. 1. П усть во лна расп ро страняется вдо ль маг нитно г о п о ля ( k | | H 0 , п ро до льно ерасп ро странение). И зо бщ их фо рмул (3.16), (3.18) п ри θ = 0 п о лучаем

no2

ω 2p u =1− =1− , 1+W ω (ω + ω H )

ne2

ω 2p u =1− =1 − , P = ± j. 1−W ω (ω − ω H )

18

П о ляризац ия о бы кно венно й и нео бы кно венно й во лн – круг о вая. О бе во лны – п о п еречны е, т.е. E z = 0. Н ап равление вращ ения вектораЕ в п ло ско сти фро нта во лны для нео бы кно венно й во лны тако е ж е, как нап равление вращ ения электро на в маг нитно м п о ле. Э то п риво дитк резо нансно му п о г ло щ ению нео бы кно венно й во лны начастотах ω → ω H . Н а рис.3 изо браж ена зависимо сть 2 no,e о тu п ри θ = 0 . П о казатель п рело мления нео бы кно венно й во лны о бращ ается в нульп ри усло вии u = 1 − W , о бы кно венно й во лны – п ри усло вии u = 1 + W . О бращ ение в нуль п о казателя п рело мления со о тветствует усло вию о траж ения во лны о т нео дно ро дно й среды . Е сли часто та во лны ω > ω H (W < 1) , то о бе во лны мо г уто тразиться о тп лазмы . Ко г да ω < ω H , нео бы кно венная во лна о тразиться не мо ж ет, п о ско льку для значения W > 1 усло вие u ≥ 1 − W со о тветствует о триц ательны м значениям u или о триц ательны м значениям электро нно й ко нц ентрац ии, что физически бессмы сленно . 2. Рассмо трим случай п о п еречно г о расп ро странения. П усть вектор k нап равлен п о о си y и п ерп ендикулярен маг нитно муп о лю H 0 , о риентиро ванно му вдо льо си z. П о лаг ая вфо рмуле(3.16) sinθ = 1, cosθ = 0, п о лучим

no2 = 1 − u = ε II , ne2 = 1 −

u (1 − u ) . 1− u −W 2

С истемауравнений (3.15) для ко мп о нентвекто раЕ п ри θ =

(n

2

π будетиметьвид 2

)

− ε ⊥ E x − jχE y = 0,

jχE x − ε ⊥ E y = 0,

(n

2

)

− ε II E z = 0.

Д ля о бы кно венно й во лны нетрудно п о казать, что о п ределитель системы , о бразо ванно й двумя п ервы ми уравнениями, о тличен о тнуля, т.е. E x = E y = 0. В екто р Е будетнап равлен вдо ль о си z (или H 0 ); этим о бъясняется со вп адение no2 со значением п о казателя п рело мления для изо тро п но й п лазмы . Д ля во лны нео бы кно венно й эти уравнения п римутвид

19

 u(1 − u ) 1− u −W 2  uW 1 − − E − j E = 0,   x 2 2 2 y 1 − u − W 1 − W 1 − W  

(

)

juWE x − 1 − u − W 2 E y = 0. П о ско лькуо п ределительэто й системы равен нулю , ко мп о ненты E x , E y о тличны о тнуля; о ни связаны со о тно ш ением

E x E y = − jε ⊥ χ . Э то о значает, что нео бы кно венная во лна эллип тически п о ляризо ванав п ло ско сти x, y. Н а рис.4 изо браж ена зависимо сть π no2,e о тu п ри θ = . В это м случае п о каза2 тель п рело мления нео бы кно венно й во лны п ри W < 1 о бращ ается в нуль п ри u = 1 m W , о бы кно венно й – п ри u = 1 . 3. П ри 0 < θ < π 2 о бы кно венная и нео бы кно венная во лны имею тэллип тическую п о ляризац ию . П о казатели п рело мления о бращ аю тся в нуль п ри тех ж е значениях u, что и в случае п о п еречно г о расп ро странения.

4. ГИ Р О М АГН И ТН Ы Е С Р Е Д Ы Ф ерритами назы ваю тхимические со единения о ксида ж елеза с о ксидами друг их металло в. О со бенно стью этих материало в является со четание ферро маг нитны х сво йств с низко й электро п ро во дно стью , благ о даря ко торо й электро маг нитны е во лны п ри о п ределё нны х усло виях мо г утрасп ро страняться в ферритах с до статочно малы м затуханием. М аг нитны е сво йства ферритов о п ределяю тся наличием в их кристаллическо й реш ё тке «маг нитны х ато мо в» - атомо в или ио но в, о бладаю щ их маг нитны м мо ментом m. Т ако й мо мент со здаё тся неско мп енсиро ванны ми сп ино вы ми маг нитны ми мо ментами электро но ватома. Рассмо трим маг нитны й ато м, п о мещ ё нны й в п о сто янно е маг нитно е п о ле H 0 . П усть маг нитны й мо ментато ма m со ставляетс векто ро м H 0 неко торы й уг о л α (рис.5). Н а ато м со

20

сторо ны маг нитно г о п о ля действует мо мент силы T = [m , H 0 ]. С п ино вы й маг нитны й мо ментато масвязан с ег о механическим мо менто м L известны м из квантово й механики со о тно ш ением m = −γL , г де γ = µ 0 e m - ги ромагни т ная п ост оянная. Д виж ение вектора L п о д действием мо мента T о п ределяется уравнением dL dt = T . П о дставиввнег о вы раж ения для L и T, найдё м dm dt = −γ [m , H 0 ] . Зап исав п о до бны е уравнения для каж до г о маг нитно г о ато ма в единично м о бъё ме ферритаи п ро суммиро вав их, п о лучим уравнение движ ения векторанамаг ниченно сти ферритаМ : dM dt = −γ [M , H 0 ]

(4.1)

или вп ро екц иях нако о рдинатны ео си

dM x dt = −γM y H 0 , dM y dt = γM x H 0 , dM z dt = 0. Реш ения этих уравнений имею твид M x = Msinα e jω H t , M y = Msinα e j (ω H t −π 2 ) , M z = Mcosα . Т аким о бразо м, ко нец вектора М вращ ается п о о круж но сти (п рец ессирует) с круг о во й часто то й ω H = γH 0 , назы ваемо й ч аст от ой ф ерромагни т ного резонанса. Е сли смо треть п о нап равлению маг нитно г о п о ля H 0 , то вращ ение векто раМ п ро исхо дитп о часо во й стрелке. У равнение (4.1) не учиты ваетвзаимо действие маг нитны х атомо в другс друг о м и кристаллическо й реш ё тко й, п о этомууг о л п рец ессии α о стаё тся п о стоянны м. С учё том это г о взаимо действия уг о л п рец ессии п о степ енно умень−7 −9 ш ается, и за время τ 0 = 10 − 10 с (время релаксац ии) маг нитны е мо менты всех ато мо в устанавливаю тся п о нап равлению маг нитно г о п о ля H 0 , т.е. феррит намаг ничивается.

(

)

4.1 Те н зо р м агн и тн о й пр о н и цае м о сти ф е р р и та в по сто я н н о м м агн и тн о м по ле П усть в феррите нарядус п о стоянны м действуетп еременно е маг нитно е j ω t п о ле H (t ) = H& e , п ричё м H m 0 , мо ж но убедиться, что равенство (5.5) со знако м п лю с вы п о лняется п ри меньш ем значении ω *p (т.е. п ри меньш ей электро нно й ко нц ентрац ии N * ). П о лаг ая, что п о во ро тлучап ро исхо дито тнаибо лее низко г о уро вня, а так* ж е учиты вая неравенство ω H