優調和函数と理想境界 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國屋数学叢書 30

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

伊藤 清三

優 調 和 函 数 と理 想 境 界 紀伊 國屋書店

ま

 理 想 境界 とい う言葉 は,最 とす る とき,S=R＼Rを

え

が

き

も一 般 的 に言 う と,空 間Rの

空 間Rの

コ ンパ ク ト化 をR

理 想境 界 と呼 ぶ ので あ るが,興

くの結 果 が得 られ て い る の はRがRiemann面

の場 合 で あ り,そ の 中 で も函

数 論 的 あ る い はポ テ ン シ ャル 論 的 に重要 な のはRoyden,

Wiener,

持 が それ ぞれ 定 義 した コ ンパ ク ト化 に よ る理 想 境 界 で あ る.特 持 の理 論 は,Green函 る点 で,2階   R.S.

にMartin,倉

楕 円 型 偏 微 分 方程 式 の理 論 と直接 結 び つ く もの で あ る.

Martinは1940年

日Martin境

Riemann面

Martin,倉

数 と密 接 に関 係 す る核 函 数 を用 い て調 和函 数 を表現 で き

の調 和函 数 のPoisson積 め,今

味 あ る多

の論 文(あ

とが き の文 献[10])に

お い て,単 位 円 内

分 表示 を高 次 元 空 間 の 一般 領 域 の 場 合 に 拡 張 す るた

界 と呼 ば れ て い る理 想 境 界 を導 入 した.そ の理 論 も結 果 も

の研 究 に重 要 な も の とな った が,彼

の発 想 と手 法 は,ラ

プ ラシ ア

ンを2階 楕 円型 偏 微 分 作 用 素 で置 き替 え て も,そ の ま ま適 用 で き る も ので あ っ た.更 に,倉 持 境 界 の理 論 と呼 ばれ る倉 持 氏 の1956年 も,Riemann面

の論 文(あ とが き の[15])

の研 究 を念頭 に置 い て書 かれ て は い る が,2階 楕 円型 偏 微 分 作

用 素 に 自然 な 方 法 で拡 張 で き る もの で あ っ た.し か も,偏 微 分 方 程 式 の立 場 か ら見 れ ば,Martin境 mann問

界 ・倉持 境 界 の理 論 が それ ぞれDirichlet問

題 ・Neu

題 に対 応 して い る とい うこ とは,興 味 深 い こ とで あ る.

  この観 点 か ら本 書 で は,一 般 の変 数 係 数2階 楕 円 型 偏 微 分 作 用 素(以 下'楕 円 型 作 用 素'と 略 称 す る)に つ いて,Martin境

界 ・倉 持境 界 に対応 す る理 想 境 界

(そ れ ぞ れ 同 じ名 称 で 呼 ぶ)を 構 成 す る理 論 お よび,調 和函 数(=楕

円型 偏微 分

方 程 式 の解)の 表 現 定 理,極 小 函 数(端 点 的 函 数)と 理 想 境 界 上 の点 との対 応 な どを解 説 した.こ の よ うな理 論 の 自然 な拡 張 が 可能 で あ る の は,調 和 函 数 の主 要 な性 質,特 に最 大 値 原 理・一 致 の定理(一 意 接 続 定 理)・Harnack型 Weylの

補 題 お よび 優 調 和 函 数 のRiesz分

の 定理 ・

解 な どが,楕 円型 作 用 素 の場 合 に も

本 質 的 に同 じ形 で成 り立 つ こ とに よ る.し か し,本 書 で扱 う楕 円 型作 用 素 は形 式 的 自己 共 役(そ の場 合 はLaplace-Beltrami作

用 素)と は限 らな い ため に,技

術 上 の形 式 的修 正 で は 同 じ理 論 を構 成 で き な い部 分 も あ る.特 に倉持 境 界 の構 成 に当 ってDirichletの

原 理 を用 い る所 は,や や異 な る概 念(結 果 か ら見 れ ば

Dirichlet積 分 を最 小 にす る函 数 の概 念 の 自然 な拡 張 で あ るが)を 必 要 とす る. ま た,普 通 の ラ プ ラシ ア ンの 場合 と本 質的 に 同 じ結 果 で あ って も,一 般 の(変 数係 数 で あ っ て 形 式 的 自己共 役 を 仮 定 しない)2階 楕 円型 作 用 素 と して 述 べ ら れ た 定理 を 引用 す る方 が,都 合 が よ い こ とが 多 い.   そ こ で本 書 に お い て は,第1章 ち,あ

で本 叢 書 中 の 拙著 「拡 散 方 程 式 」 の 内容 の う

とで必 要 に な る諸 定 理 とそ の関連 事 項 の概 略 を記 述 し,第2章

函 数 に つ い て の準 備 を行 ない,ま い る た め の'正 則 写 像'と れMartin境

た第5章 で,Dirichletの

い う概 念 につ い て述 べ た.第3章

で優 調 和

原 理 の代 わ りに用 と第6章

がそ れ ぞ

界 と倉 持 境 界 に関 す る本 論 ともい うべ き部 分 で あ り,第4章

と第

7章 の内 容 は,そ れ ぞ れ の前 の章 に付 随 す る事 項 で あ る.   筆 者 は,本 書 の 内容 で あ る楕 円型 作 用 素 に関 す る理 想 境 界 の理 論 を放 物 型 方 程 式 に も応 用 す る こ とを,一

つ の夢 と して い た の で あ る が,こ

れ につ い て は,

少 な く と も筆 者 自身 の満 足 す る形 に は ま とめ られ て い な いの で,単 に 夢 と呼 ん で お く.し か し本 書 に よ っ て,Martin境

界 ・倉持 境 界 の理 論 が一 般 の2階 楕

円 型作 用 素 の場 合 に拡 張 され る様 子 の一端 を見 て い た だ き,理 想 境 界 を偏 微 分 方 程 式 の 角度 か ら眺 め た場 合 の本 質 を把 握 して い た だ けれ ば有 難 い と思 う.更 に,こ の よ うな理 論 に興 味 と関 心 を持 って,筆 者 の夢 を実 現 の方 向 に導 いて 下 さる方 が あれ ば,望 外 の幸福 と言 わ な け れ ば な らな い.   最 後 に,本 書 の完 成 まで には紀 伊 國屋 書 店 出 版 部 の水 野 寛 氏 に始 終 お 世 話 に な っ た こ とを記 し,こ こ に心 か ら感 謝 の意 を表 す る次 第 で あ る.

1988年  盛 夏

伊 藤

清 三

目

次

  まえ が き  ⅴ 序

章  理想境 界 考察 の由来

  §0.1  調 和 函 数 と境 界 値 問 題

 1

  §0.2  拡 散 方 程 式 に 関 す る予 備 的 考 察 第1章

  6

  拡 散 方 程 式 ・楕 円 型 境 界 値 問 題 に 関 す る 準 備

  §1.1  予 備概 念 と記 号

  13

  §1.2  拡 散 方 程 式 の 基 本解 の 性 質,解 の存 在 と一 意 性   §1.3  楕 円型 境 界 値 問 題,Green函

数,Neumann函

  §1.4  調 和 函 数 の性 質

 20 数

  29   41

  §1.5  ベ ク トル 解 析 に 関 連 した 事 項

 50

  §1.6  付 記(測 度 の漠 収 束,半 連 続 函 数)  第2章 

53

優調 和 函数

  §2.1  優 調 和 函 数 の定 義  §2.2  正 値A-優

調和 函数 の存 在 とGreen函

 §2.3  優 調 和 函 数 の 局所 可 積分 性 とRiesz分 第3章

  Martin境

数 の存 在

  69

解

 76

界

  §3.1  予 備 概 念  §3.2  Martin境

 59

  界 の構 成

 §3.3  正 値 調 和 函数 の積 分 表 現  §3.4  極 小 函 数,標 準 表現 とそ の 一 意 性

89

  93  100   112

第4章 

滑 ら か な 境 界 のMartin境

界 へ の埋め込 み

  §4.1  埋 め込 み の定 理

  127

  §4.2  埋 め込 み 定 理 の証 明

 129

第5章

 楕 円型 偏微分 作 用 素に関 す る正則写 像

  §5.1  正 則 写 像 の た め の予 備 概 念 と記 号

  137

  §5.2  作 用 素A*に

  140

よ る境 界 値 問 題 の解 に 関 す る準備

  §5.3  正 則写 像

  145

  §5.4  正 則 写 像 の定 義 の拡 張 と基 本 的 性 質   §5.5  Neumann型

核 函数N(x,y) 

  §5.6  核 函数N(x,y)と 第6章 

163

あ る境 界値 問題

Neumann型

 154

  172

理 想 境 界(倉 持 境 界)

  §6.1  Neumann型

理 想 境 界 のた め の 予 備 概 念

  175

  §6.2  Neumann型

理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成

 183

  §6.3  全 調和 函 数 と全 優 調和 函数

 192

  §6.4 FH0函

  204

数 とFSH0函

数 の 積分 表現

  §6.5 理 想境 界 上 の 点 の分 類   §6.6  極 小FH0函 第7章

  208

数,標 準 表現 とそ の一 意 性

  滑 ら か な 境 界 のNeumann型

理 想 境 界 へ の埋 め込 み

  §7.1  埋 め 込 み の定 理   §7.2 核 函 数N(x,y)の

 235 滑 らか な 境 界 上 へ の拡 張

  §7.3  埋 め 込 み 定 理 の証 明

  あ とが き,文 献 な ど  

索引

 259

 221

 256

 237   251

序章 理想境界考察の由来

 §0.1  調 和 函 数 と境 界 値 問 題

  この §と次 の §で は,本 書 で取 扱 う'理 想 境 界'の 由来 を 説 明 す る た め に, 主 とし てEuclid空

間に お け る普通 の ラ プ ラシ ア ン△ に 関 す る古 典 的 な 境 界 値

問 題 に つ い て,い

くつ か の 既 知 の事 実 を 述 べ る.次 の 第1章 か ら,一般 の 変 数

係 数2階 楕 円 型 微分 作用 素 に 関す る理 想境 界 の 構成 を 目標 とし て,あ

らた め て

体 系 的 に 述 べ るが,本 章 で 述 べ る事項 はす べ て 第1章 以 後 に 述 べ る結 果 に 含 ま れ るか ら,本 章 で は 数 学 的 な'証 明'は 与 え な い で,説明

に 必 要 な'既 知 の 結

果'を 記 述 す る.   Ω をm次

元Euclid空

を も つ も の とす る.こ

間Rm(m≧2)の の と き,Ωにお

呼 ば れ る 函 数G(x,y)(Ω 在 し て,Ω

け る(Dirichlet問

×Ω の 上 で 

の 上 でHolder連

函 数 φ(x)に

中 の 有 界 領 域 で,十

分 滑 らか な 境 界

題 の)Green函

数 と

な る か ぎ り定 義 さ れ て い る)が

続 な 任 意 の 函 数f(x)と

存

∂Ω の 上 で 連 続 な 任 意 の

対 し て,

 (0.1.1) 

Ω にお い て △u=-f,∂

Ω の 上 でu=φ

を満 た す 函数u(x)が

(0.1.2) で与 え られ る;こ こ でdyはm次 法 線 微 分,dSは

Ω の境 界 上 で の外 向 き

元 面 積要 素 を 表 わ す.特 にf≡0の

場 合,

す なわ ち ∂Ω の 上 で与 え られ た境 界 値 φ を とる調 和 函 数u(Dirichlet問

題の

解)は,Ω  (0.1.3)

境 界 上 でのm-1次

元 体 積 要 素,∂/∂nは

に おい て

で 与 え ら れ る.Green函数G(x,y)は,任 値 を と り,xとyの

に対して正の

少 な く と も 一 方 が ∂Ω の 上 に あ れ ば0に

式(0.1.3)に

お い て 

れ て い る.)従

って

 (0.1.4) 

意 の 

で あ る.(≧

∂Ω 上 で φ≧0な

(も っ と も,こ の こ とはGreen函

な る か ら,上

の公

は実 は>と な る こ とが知 ら

ら ば Ω に お い てu≧0で

あ る.

数 の性 質 を 使 わ な く て も,調 和 函 数 の最 大

値・ 最 小値 原 理 か らも 出 る こ とで あ る.)   境 界 値 問 題 とい う立 場 か らは,φ は普 通 の 函数 で あ るが,Ω に お け る非 負値 調和 函 数 を与 え る式 とし て は,(0.1.3)に 有 界Borel測

度dμ(y)で

お い て φ(y)dS(y)を

∂Ω 上 の任 意 の

置 き替 え て も よい.な お Ω に お け る調 和 函数 に つ い

ては,非 負 値 とい う こ とは 正 値 とい うこ と と同等 で あ る(最 大値 ・ 最小値原理 に よ り).   R.S.

Martin[10]は

一般の 領 域R(有

界 性 も仮 定 せ ず,境 界 の性 質 に つ い

て 何 の 条 件 も考 え な い)に お け る正 値 調 和 函数 の表 現 を考 え た.彼 はR×Rの 上(た だ し )で 境 界S(今

日Martin境

R×(R∪S)  uがS上

適 当 な 核 函 数K(x,y)を

導 入 し,そ れ を 用 い てRの

界 と 呼 ば れ る も の)を 定 義 して 核 函 数K(x,y)が

に拡 張 され る こ とを 示 し,Rに

のBorel測

理想

おけ る任 意 の 正値 調 和 函数

度 μに よ って

 (0.1.5)

と表 現 され る こ とを 示 した.Rが

普 通 の意 味 の滑 らか な境 界Sを

(同相 に埋 め込 まれ る とい う意 味)で あ って,y∈Sな け る 本 来 のGreen函

数G(x,y)に

を 掛 け た もの に等 し い.(滑

対 す る 

らか な 境 界Sに

もて ばS⊂S

らばK(x,y)はRに にyの

お

み の適 当 な 函数

関 す る この事 実 はMartinの

論文

[10]に は 示 され て い な い が,本 書 第4章 を 見 られ た い.)だ か ら測 度 μを 修 正 す る こ と に よ り,y∈Sに

対 し て は 

意 味 で(0.1.5)は(0.1.3)の

 上 に述 べ た よ うに,Martin境

と 考 え て よ い.こ

の

拡 張 と 考 え ら れ る.

界 上 の測 度 を 用 い た 正 値 調 和 函 数 の 表 現 式 は

Dirichlet境 Neumann境

界値 問題 の解 の 表 現 式 の拡 張 と考 え る こ と が で き る.そ

れでは

界 値 問 題 に 対 応 す る もの は ど うか と い う問 題 が 当然 考 え られ る.

この よ うな 理想 境 界 の 導 入 は 倉持 氏[15]に に よ り倉 持 境 界 と名 付 け られ た.倉

よ って な され,他 の 多 くの 研究 者 理

の研 究 に活 用 し て多 くの成 果 を 挙 げ られ た が,本

書で

想 境 界)をRiemann面

持 氏 は こ の理 想 境 界(お よびMartinの

は 楕 円 型 偏 微分 方 程 式 の 立 場 で この 理 想 境 界 を解 説 す る.な お,倉 持 氏 自身 は この 理 想 境 界 に 関 連 す る概 念 にN-Martin(言 に 対 応す るMartin型

の境 界etc.の

うま で も な くNeumann問

意)と い う言 葉 を 使 わ れ た が,本 書 で は

Neumann型

理 想 境 界,倉 持 境 界 の 名 称 を 併 用 す る.

  Martin境

界 に よる 正値 調 和 函 数 の表 現 式(0.1.5)に

に 関 して 考え る場 合 は,Martin境

題

相 当す る式 を 倉 持 境 界

界 の 場 合 とや や 異 な る取扱 い を しな け れ ば

な らな い の で,そ の 理 由を 素 朴 な見 地 か ら説 明 し て お く.  まず,滑

ら か な 境 界 を も つ 有 界 領 域 Ω(⊂Rm)に

  (0.1.6) 

Ωにおいて

△υ=0,∂

の 解 υ が 存 在 す る た め に は,Greenの

お け るNeumann問

題:

Ω の 上 で ∂υ/∂n=φ

公 式 か ら直 ち に わ か る よ うに,φ

が

 (0.1.7) を 満 た さ な け れ ば な ら な い.だ

か ら(φ ≡0と

界 ∂Ω 上 で 正 負 の 値 を と る 必 要 が あ る か ら,前 よ う に,φ(y)dS(y)を と は で き な い.そ

∂Ω 上 のBorel測 こ で 我 々 は,Ω

い う 自 明 な 場 合 を 除 き)φ は 境 のMartin境

度dμ(y)(非

界 に 関 す る説 明 の

負 値!)に

移 行 させ る こ

の 内 部 に 一 つ の コ ン パ ク ト集 合K0(そ

界 ∂K0は 十 分 滑 ら か な も の)を 固 定 し,(0.1.6)の

代 わ りに Ω ＼K0に

の境

お け る次

の 境 界 値 問 題 を 考 え る:

において  (0.1.6′)

の 上 で 

こ の境 界 値 問 題 に 対 し てはGreen函 在 し て,∂ Ω 上 でHolder連  (0.1.8)

の上で 数 と 同 じ役 目を す る核 函 数N(x,y)が

続 な任 意 の 函 数 φ(y)に 対 して 解 υが

存

で与 え られ る.(こ の こ とに つ い て は 次 の 第1章 で 説 明す る.な お,K0の 現 象 的 意味 に つ い ては 次 の §で 触 れ る.)こ

拡散

の場 合 は φ(y)≧0と し て扱 うこ と

が で き るか ら,前 に述 べ た よ うな'測 度 へ の移 行'を 考 え る こ とが可 能 で あ る.   次 に,Dirichlet問

題(か ら生 じたMartin境

数 に 当 た る もの は,Neumann問

界 の理 論)に お け る正値 調 和 函

題(か ら生 じた 倉 持 境 界 の理 論)に おい ては,

正 値 調 和 函 数 よ り も狭 い 範 囲 の も の で あ る こ とを注 意 し て お こ う.そ れ は,境 界 値 問 題(0.1.6′)に お い て φ≧0で な くて も解 υが 正 値 調 和 函 数 とな る こ とが あ るか ら で あ る.従

って,す べ て の正 値 調 和 函数 υ(x)が 非 負 値 のNeumann

境 界 条 件 φ に よ って(0.1.8)で 与 え られ る とは限 ら ない.前 境 界 の 場 合 と同 様 に 倉持 境 界 も,有

に述 べ たMartin

界 領 域 Ω では な く一 般 の 領 域Rに

対 して

考 え る の で あ るか ら,そ の'境 界'は 最 初 は'目 に 見 え な い'も の で あ る.だ か ら(0.1.6′)にお い て φ≧0で あ る こ とを反 映 す る条 件 を,領 域 の 内 部 に お け る υ の性 質 だけ で記 述 した い.そ は 全 調 和 函 数 と呼 ぶ;第6章

の ため にfull

harmonic

function(本

書で

§6.3で 一般 的 に 定 義 す る)と い う概 念 が 導 入 さ

れ て い る.   Rの

境 界 が 目 に 見 え な い こ とか ら 起 こ る 今 ひ と つ の 問 題 は,有

場 合 の ∂Ω 上 で ∂υ/∂n=0と あ る.こ

い う 性 質 の,一

の 問題 は 例 え ば(0.1.6′)に

υ=ψ(≡0と

は か ぎ ら な い)を

般 領 域Rの

お い て,∂K0の

うか ぎ り は,こ Dirichlet積

与 え,∂ Ω の 上 で ∂υ/∂n=0と

の 問 題 の 解υ は,∂K0の

上 で υ=ψ

界条件

な る解υ を,∂ Ω

通 の ラ プ ラ シ ア ン △を 扱 と な る 函 数 の う ち で,

分 

を最小にす るもの

と して 特徴 づ け られ(Dirichletの 一 般 の 領域Rの

場合 の 表 わ し 方 で

上 でDirichlet境

に お け る 情 報 を 用 い な い で 求 め る こ と に 相 当 す る.普

界領域 Ωの

原 理 とし て知 られ て い る),こ

場 合 に も適 用 す る こ と が で き る

.し

の考え方を

か し本 書 に お い て は,

 の形 の ものを 含 む一般 の変数係数2階 楕 円型偏微分作用素 を 扱 うの で,Dirichletの

原 理 そ の もの は 適用 で き な い.そ

上 で 与え ら れ た 函 数 ψ に 対 し て,∂K0上 Dirichlet積 分D[υ]を

こで 我 々は,∂K0の

で境 界 値 ψ を と る函 数 υの うち で

最 小 に す る もの を対 応 させ る写 像 の概 念 を拡 張 し た も

の とし て,第5章

に お い て'正 則写像'と

は,倉 持 境 界 の理 論(第6章)の 構 成(第5章

名付 け る概 念 を定 義 す る.こ の写 像

み な らず,そ

の準 備 と して の核 函 数N(x,y)の

§5.5)に も必 要 であ る.

  こ こ で 優 調 和 函 数 の 概 念 に 触 れ て お く.こ f≡0と

し た 場 合 の 函 数uの

話 か ら 始 め た の で,△u=0を

ち 調和 函 数 に つ い て 述 べ て き た が,fを る と,(0.1.2)で

満 た す 函 数,す

一般 に 非 負 値 函 数 でHolder連

与 え ら れ る 函 数uは(0.1.1)を

 (0.1.9) 

を満 たす.こ

の § の 初 め に(0.1.1)に

満 た す か ら,特

おい て なわ 続 とす

に

△u≦0

の よ うな 函数uは

優 調 和 函 数 と呼 ば れ る.uが

調 和 函数 な らば,滑 ら か な境 界を もつ 有 界 領 域DでD⊂

領 域 Ω にお け る 優

Ω な る も の を任 意 に

とる とき, ∂D上 でuに等

 (0.1.10) 

[

Dの

し くてDで

内 部 ではu≧wが

調 和 な 函 数wを

とる と,

成 立 す る.

す なわ ち,大 ざ っ ぱに 言 えば,優 調 和 函 数 は 領 域 の境 界 上 で 同 じ値 を とる調 和 函 数 よ りも,領 域 の内 部 では 大 きい 値 を と る.(こ れ が'優'調 和 函 数 の 名 の 由 来 で あ る.)現 代 で は 優 調 和 函 数 の概 念 は 次 の よ うに拡 張 され て い る.す な わ ち, 連 続 性 も仮 定せ ず,一 般 に下 に 半連 続(§1.6参 と同 じ性 質 を もつ 函数uを な い た め,(0.1.10)の

照)な 函数 で あ っ て,(0.1.10)

優 調 和 函 数 とい う.も っ と も,uの

記 述 の よ うにuに

連 続 性 の仮 定 が

等 し い境 界 値 を もつ調 和 函 数 の存 在 は

保証 され な い の で,こ の述 べ 方 は 少 し修 正 す る必 要 が あ る.正 確 な 定 義 は §2.1 の 最初 に 与 え る.

 §0.2  拡 散 方 程 式 に 関 す る予 備 的考 察

 拡散方程式 の最 も基本的 な形 は  (0.2.1)

と書 かれ る;こ

こ でu≡u(t,x)は

中 の領 域 Ω の点xの

時 間t(≧0)とm次

函数 で あ り,△ はxの

たはその

空 間 に お け る ラ プ ラ シ ア ンで あ る.

我 々は △ よ り もや や 一 般 的 な次 の偏 微 分 作 用 素Aお 分 作 用 素A*を

元空 間Rmま

よび そ れ と'共 役'な 偏 微

考え る:

 (0.2.2)

従 っ て,拡

散 方 程 式 と し て は,(0.2.1)の

 (0.2.3)

を 扱 い,こ

代 りに

 (0.2.3*)

れ ら に 対 し て,t=0の

  (0.2.4) 

と き の'初

期 条 件'を

それ ぞれ

u(0,x)=u0(x),υ(0,y)=υ0(y)

の 形 に 与え る.Rmの Dirichlet型

部 分 領 域 Ω で 考 え る場 合 の ∂Ω 上 の 境 界 条 件 と し て は,

の も の は(0.2.3)に

  (0.2.5) 

つ い て も(0.2.3*)に

つ い て も 同 じ形 の

u(t,x)=φ(x),υ(t,y)=φ(y)

を 考 え る が,Neumann型

の 境 界 条 件 は,方

程 式(0.2.3)に

対 して は

 (0.2.6)

を 考 え,方

程 式(0.2.3*)に

対 し ては

 (0.2.6*)

を 考 え る;こ

こ で β(y)は

(b1(y),…,bm(y))の

Ω の 境 界 ∂Ω の 上 の 点yに

外 法 線 成 分 で あ る.こ

お け る ベ ク ト ルb(y)=

れ ら の方 程 式 や 境 界 条 件 の 物 理 的 意

味 につ い て は,'あ

とが き'に あ げ て あ る拙 著[1]の

  bi(x)≡0(i=1,…,m)の

と き はA=A*=△

必 要 が な く,(0.2.3)と(0.2.3*)は (0.2.6)と Neumann型

同 じ に な る.我

序 章 §0を 見 られ た い.

と な っ て,AとA*を

共 に(0.2.1)と同

じ に な り,ま

区別す る た(0.2.6*)は

々 が 本 書 に お い て 述 べ よ うす る 理 想 境 界 の 構 成(特 に

理 想 境 界 の 場 合)に お い て は, 

な る こ とに よ っ て起 こる

問 題 点 を ど の よ うに 処 理 す る か が 興 味 あ る 点 の 一 つ で あ る か ら,こ て も 

従 っ て 

の 場 合 に つ い て 述 べ る.以

の §に おい

後 Ω は 有 界 領 域 と し,

Ω の 境 界 に は 適 当 な 滑 ら か さ を 仮 定 し て お く.   な お,次

の章 か らはEuclid空

Laplace-Beltrami作

間Rmの

用 素 に な る が,こ

との 意 義 に つ い て も[1]の

か わ りにm次

し て 次 のⅰ),ⅱ)が

って △ は うす る こ

§1を 参 照 さ れ た い.

  拡 散 方 程 式(0.2.3),(0.2.3*)にDirichlet型 て 考 え た と き,基

元 多 様 体 で 考 え,従

れ は 単 な る形 式 的 一 般 化 で は な い;そ

境 界 条 件(0.2.5)を

本 解 と 呼 ば れ る 函 数U(t,x,y)(t>0,x∈

合わせ

Ω,y∈Ω)が

存在

成 り立 つ:

 ⅰ) 拡 散 方 程 式(0.2.3)の

解u(t,x)で,初

期 条 件(0.2.4)と

境 界 条 件(0.2.5)

を 満 たす ものが

 (0.2.7)

で 与 え ら れ る.  ⅱ)  拡 散 方 程 式(0.2.3*)の (0.2.5)を

満 たす もの が

 (0.2.7*)

で 与 え ら れ る.   更 に, 

な るか ぎ り

解 υ(t,y)で,初

期 条 件(0.2.4)と

境界条件

 (0.2.8)

が 存 在 す る.ま

た(0.2.7)の

示 さ れ る の で,左

右 辺 第1項

辺 のu(t,x)もt→

はt→

∞

∞

と す る と き0に

近 づ くこ とが

とす る と き の 極 限 函 数u(x)が

存 在 し,

(0.2.7)は

  (0.2.9)

と な る.(右

辺 第2項

こ のuはAu=0を

は 形 式 的 に 極 限 移 行 し た が,こ 満 た し,∂ Ω 上 でu=φ

の 解 で あ る.G(x,y)はGreen函 あ る.同

れ は 厳 密 に 証 明 で き る.)

と な る;す

な わ ちDirichlet問

数 で あ り,(0.2.9)は(0

様 に し て(0.2.7*)か

.1.3)と

題

同 じ式 で

ら

 (0.2.9*)

が 得 ら れ,こ

  さて,基

の υはA*υ=0を

本 解U(t,x,y)の

満 た し,∂ Ω 上 で υ=φ

拡 散 現 象 的 意 味 は,初

量 が 拡 散 に よ って時 間tの 後 に 点yに 表わ す もの で あ る.す

 は 領 域 の 境 界 上 の 点yに 境 界 条 件 がDirichlet型

の符号を変 えた 

(0.2.8)に

より

と な る か ら,(0.2.9)に

函 数 と し て は,初

あ る 場 合 に は,上

め に 点x

の法線方向微分係数

あ った 単 位 質 量 が 時 間tの 後 に 境 界

部 分 に 到 達 す る密 度 分 布 を 表 わ し てい る.

現 わ れ る 

質量 が無 限 時 間 の 間 に 境 界 上 の 点yに (0.2.9)で 与 え られ るu(x)がAu=0を

部 分へ 移 る割 合 を

お け る外 向 き の濃 度 勾 配 を 表 わ し,特 に

は,点xに

お け る面 積 要 素dS(y)の

あ った単 位 質

おけ る濃 度 分 布 を 表 わ し て い る.従 って,

の(0.2.5)で

上 の 点yに

め に 点xに

お け る体 積 要 素dyの

な わ ち,U(t,x,y)はyの

に あ った単 位 質 量 の,時 刻t>0に

と な る.

は,点xか

ら拡 散 し始 め た 単 位

到 達 す る 密 度分 布 と考 え ら れ る が, 満 たす とい う こ とは,拡 散 が 時 間 的 に

定 常 な状 態 す なわ ち平 衡 状 態 に 達 した も の と考 え ら れ る の で,こ

の意味では

 は,点xに 界 上 のdS(y)部 (weight)で   次 に,拡

お い て 単 位 時 間 に 単 位 質 量 の 湧 き出 しが あ る と き の境

分 に 到 達 す る 密 度 を 表 わ し,こ

平 均 し た も の が(0.2.9)のu(x)で 散 方 程 式(0.2.3),(0.2.3*)に

(0.2.6),(0.2.6*)を

そ れ ぞ れNeumann型

は 別 の 函 数)が

 ⅰ) 拡 散 方 程 式(0.2.3)の

解u(t,x)で,初

る重 み

あ る と考 え る こ と で も き る.

合 わ せ て 考 え た と き も,前

(前 の 基 本 解U(t,x,y)と

れ を φ(y)dS(y)な

境界条件

と 同 じ よ うに 基 本 解U(t,x,y)

存 在 し て,次

のⅰ),ⅱ)が

期 条 件(0.2.4)と

成 り立 つ:

境 界 条 件(0.2.6)

を 満 たす もの が

 (0.2.10)

で与 え られ る.  ⅱ )  拡 散 方 程 式(0.2.3*)の (0.2.6*)を

解 υ(t,y)で,初

期 条 件(0.2.4)と

境界条件

満 た す も のが

 (0.2.10*)

で 与 え ら れ る.

  この場 合 も基 本解U(t,x,y)の

拡 散 現 象 的 意 味 は,前

の(Dirichlet型

境界

条 件 を考 え た とき の)基 本解 と全 く同 じで あ る.従 って(0.2.10*)の 右 辺 第1項 は,初 め の質 量 分 布 の密 度 が υ0(x)で あ った 拡 散 物 質 の,時 間tの 後 の分 布 密 度 を表 わ し て い る.ま た(0.2.6*)の の 法 線成 分 を 表 わ す か ら,φ(y)≧0な

左 辺 は境 界 上 の点yに らば(0.2.6*)は

お け る流 量(flux)

単 位時 間 に境 界 か ら面

密 度 φ(y)の 割 合 で 拡 散物 質 が 流 入 す る こ とを 意 味 す る.だ か ら(0.2.10*)の 右 辺 第2項 は,こ

の 割 合 で 拡 散物 質が 境 界 か らた え ず 流 入 す る と き の,時

間t

の 後 の分 布 密 度 を 表 わ す.   こ の 基 本 解U(t,x,y)に G(x,y)を

対 し て は,(0.2.8)に

定 義 す る こ と は で き な い;右

よ っ てGreen函

辺 の 積 分 は 発 散 す る.そ

数 の役 目の の た め に,

(0.2.10),(0.2.10*)に

お い てt→ ∞ とす る と,ど ち らの 式 で も右 辺 第2項 は

∞ に発 散 し,'平 衡状 態'に は近 づ か な い.こ の こ とを(0.2.10*)の 右 辺 第2項 に つ い て 拡 散 現 象 的 に解 釈 す る と,境 界 か ら た え ず 一 定 の 割 合 で流 入 す るた め,領 域 内 の総 質量 が 限 りな く増 加 して,時 間tと と もに ∞ に 近 づ くの で あ る. だ か ら,境 界条 件 を与 え る 函数 φ(x)が 正 値 で あ って も平 衡 状 態 を 得 るた め に は,領 域 Ω の境 界 か らたえ ず 一 定 の 割 合 で 流 入 す る質 量 を 吸 収 して くれ る所 が 必 要 で あ る.   そ こ で,領

域 Ω の 内 部 に,十

つ 固 定 し,領

域 Ω＼K0に

分 滑 ら か な境 界 を も つ コ ン パ ク ト集 合K0を

お い て 拡 散 方 程 式(0.2

.3),(0.2.3*)を

ぞ れ に 対 し て ∂Ω に お け る 境 界 条 件(0.2.6),(0.2.6*)を ∂K0に

お け るDirichlet型

  (0.2.11)  を 与 え る.こ

(0.2.4)を

u(t,x)=0,υ(t,y)=0(吸

Ω ＼K0)が

場 合 は(0.2.8)と

与 え る だ け で な く,

収 壁 の 条 件)

存 在 し て,こ

満 た す 函 数u(t,x),υ(t,y)が

ど ち ら の 式 で も 右 辺 第1項

れ

の境 界 条 件

の と き 前 と 同 様 な 基 本 解U(t,x,y)(た

x∈ Ω ＼K0,y∈

考 え,そ

一

れ ら の 方 程 式,境

界 条 件 と初 期 条 件

そ れ ぞ れ(0.2.10),(0.2.10*)(た

の 積 分 領 域 を Ω＼K0と

同 様 に 

だ し 定 義 域 はt>0,

す る)で

だ し,

与 え ら れ る.こ

の

な る か ぎ り次 の 核 函 数 が 定 義 さ れ る:

 (0.2.12)

こ の と き,例 項 は0に

え ば(0.2.10*)の

右 辺 に お い て 形 式 的 にt→

∞

と す る と,第1

近 づ き,

 (0.2.13)

で 定義 され る函 数 υ が Ω＼K0に  (0.2.14)

おい て

∂Ω の上 で 

を 満 た す こ と が 証 明 され る.基 あ る か ら,(0.2.12)で

の上 で 本 解U(t,x,y)の

定 義 さ れ るN(x,y)を

拡 散 現 象 的 意 味 は前 と同 じで 用 い て(0.2.13)で

与 え られ る 函

数 υ(y)が 上 に述 べ た 方 程 式 と境 界 条 件 を 満 た す こ とは,境 部 分 か ら単 位 時 間 に φ(x)dS(x)だ

界 ∂Ω 上 のdS(x)

け の質 量 が 流 入 し,そ れ が境 界 ∂K0か ら吸

収 され る こ とに よ って 平 衡 状 態 を 保 って お り,そ の と き の拡 散 物 質 の分 布 密 度 が υ(y)で あ る と考 え られ る.   上 の(0.2.13),(0.2.14)が

そ れ ぞ れ 前 §の(0.1.8),(0.1.6′)に

§ で 述 べ た 場 合 に は,A=A*=△ =N(y,x)を β≡0で

も つ た め,(0 あ る か ら(0.2.14)の

  Martin境

界,倉

に つ い て.こ

の こ とは,普

で あ る こ と に よ り核 函 数 が 対 称 性:N(x,y) .2.13)を(0.1.8)の

形 に 書 く こ と が で き る し,ま

中 の 境 界 条 件 が(0.1.6′)の

用 素Aで

も,A=A*で

般 に 

常 に 素 朴 な 説 明 で は あ る が,こ

合 を 表 わ して い る.G(x,y),N(x,y)に

つ い て も平 衡 状 態 に 関 し て同 様 に解 釈

る 重 み で 平 均 し た 式(0.2.9)で

分 に 到 達 す る密 度 与 え ら れ るu(x)

題:

Ω に お い てAu=0,∂Ω の 解 で あ る か ら,拡 接 結 び つ く.だ Martin境

こ に 述 べ て お こ う.

らyへ 拡 散 物 質 が移 動 す る 割

ら湧 き出 した 単 位 質 量 が 境 界 上 のdS(y)部

 を,φ(y)dS(y)な がDirichlet問

あ る か ら)特 別 に 考 慮 す

の場 合 に は 考 慮 しな げ れ ば な ら な

 前 に も述べ た よ うに,基 本解U(t,x,y)はxか

され る.点xか

関 して 考 え る こ と

通 の ラ プ ラ シ ア ン △ を 考 え る 場 合 に は(あ る い は,変

る 必 要 の な い こ と で あ る が,一 の こ と に つ い て,非

た

よ う に 書 け る の で あ る.

持 境 界 を そ れ ぞ れ 偏 微 分 作 用 素A,A*に

数 係 数 のLaplace-Beltrami作

い.こ

対 応 す る.前

散 現 象 的 に は,方

か らDirichlet問

界 の 理 論 は,偏

  次 にNeumann問

の 上 でu=φ, 程 式Au=0の

解 がDirichlet問

題 と直

題 の あ る意 味 で の 拡 張 と考 え られ る と こ ろ の

微 分 作 用 素Aに

つ い て 考 え る の で あ る.

題 の 場 合 を 考 察 す る.Aが

ラ プ ラシ ア ン△ の ときは,領

域 Ω の境 界 ∂Ω の 上 で の外 法 線 微 分 係 数 ∂υ/∂n=φ を 与 え る こ と は,境

界面

上 の単 位 面 積 あた りの拡 散 物 質 の流 入 量 を 与 え る こ とで あ る か ら,こ の 境 界 条 件 と △υ=0と  (0.2.15)

を 満 た すυ を 核 函 数N(x,y)に

よ って 表 わ す 式 は

と書 く の が 自 然 で あ る;そ る こ とに よ る.△

れ はN(x,y)は

の 場 合 に はN(x,y)=N(y,x)で

と本 質 的 に は 同 じ で あ る が,一

で 定 義 さ れ る υ(y)はA*υ=0を

る 場 合 に は,偏

らyへ 移 動 す る 割 合 で あ

あ る か ら(0.2.15)は(0.1.8)

般 のAと 

べ た 拡 散 現 象 的 意 味 が あ る の は(0.2.15)で

に対 す るMartin境

物 質 がxか

と を 考 え る と き は,上 あ っ て(0.1.8)で

満 た す 函 数 で あ る.だ

界 と 同 じ 思 想 でNeumann問 微 分 作 用 素A*に

は な い.(0.2.15)

か ら,Dirichlet問

題

題 に 対 す る倉 持 境 界 を 考 え

つ い て 考 え る の で あ る.

  我 々は 理 想 境 界 の 構 成 に お い て は,一 つ の 多 様 体Rを を 構 成 す る.そ のRが,よ

に述

り広 い 多様 体M(=Rmで

考 え て,そ の 上 で理 論 も よい)の 部 分 領 域 であ

って,そ の 境 界 の 一 部 また は全 体 が十 分 滑 らか で あ って も,最 初 は 境 界 の こ と を 考 え な い でRの

理 想境 界 を構 成 す る.そ の あ とで,上 述 の よ うにRがMの

中 で 滑 らか な 境 界 を もて ば,そ れ が 理 想 境 界 の 中 へ 自然 な 形 に 埋 め 込 まれ る こ とが示 され る.

第1章  拡散方程 式 ・ 楕 円型 境界値 問題 に関す る準備

 §1.1  予 備 概 念 と記 号

 Rを

向 きづ け られ たC∞ 級 多 様 体 とし,そ の次 元 をm≧2と

の 局 所 座標 を(x1,…,xm)で

表 わ す.テ

す る.Rの

点x

ン ソル解 析 の 慣 例 に 従 っ て,上 下 の添

え 字 が 同 時 に 現 わ れ る式 に お い て は,そ

の添 え字 に つ い て加 え る こ とを 意味 す

る.集 合E⊂RのRに

核(=内

れE,E°,∂Eで

お け る閉 包,開

表 わ す.

  本 書 に おい ては,集 合E⊂Rが とし,Eが 元C3級

点 全 体 の 集 合),境 界 を そ れ ぞ

有 界 であ る とは,Eが

正 則 な 集合 で あ る とは,∂Eが

有 限 個 の 互 い に 交 わ らな いm-1次

単 純 超 曲 面 か らな る こ と と す る.正

有界で ある 必 要はない.な

お,Kが

コン パ ク トで あ る こ と

則 な集 合Eも,その

境 界 ∂Eも,

正則 コ ンパ ク ト集合 な らば,そ の 境 界 ∂K

も正 則 コ ンパ ク ト集合 で あ る こ とは,定 義 か ら明 らか で あ る.   Ω をRの

中 の正 則 な領 域(=連 結 開集 合)と す る.Ω

で 定 義 さ れ た 函 数f

の,∂Ω 上 の点zにお け る 微分 係数(局 所 座 標 に 関 す る)を 次 の よ うに 定 義 す る: zの 適 当 な座 標 近 傍U(z)を

とれ ば,任 意 のx∈U(z)∩

Ω に対して

f(x)=f(z)+αi(xi-zi)+o(￨x-z￨)

(￨x-z￨は

そ の局 所 座 標 に関 す るEuclid的

と定 め る. 

距 離)が 成 立 す る とき

等 も 同様 の方 法 で定 義 され る.従 って,函 数fがΩ

Ck級(k=0,1,2,…)と

い う概 念 が 定 義 さ れ,そ

の上 で

れ らは 局 所 座標 に 無 関 係 な概 念

で あ る.

 Ω でCk級

の実 数 値 函数 の全 体 をCk(Ω),ま

た そ の 中 で台 がΩに 含 まれ る コ

ンパ ク ト集 合 で あ る もの 全体 をCk0(Ω)と 書 くこ とは 慣 例 の とお りで あ るが,上 に述 べ た 意 味 でΩ でCk級

の 実 数 値 函 数 の全 体 をCk(Ω),そ

の 中 で 台 がΩ に含

まれ る コ ンパ ク ト集 合 で あ る も の全 体 をCk0(Ω)と 書 く.Ck0(Ω)に 属 す る函数 は ∂Ω 上 の値 を0と 定 義 し,Ck(Ω)に

属 す る函 数 を そ の Ω へ の制 限 と同一 視 す れ

ば, 

で あ る が,Ω

Ck0(Ω)で

あ る.

  Rに お い て次 の楕 円型 偏 微 分作 用素Aを

こ こ で‖aij(x)‖

はRに

お い てC2級

の2階

考え る:

反 変 テ ン ソ ル で,各

い て 狭 義 正 定 符 号 の対 称 行 列 で あ り,‖bi(x)‖ トル,ま

が コ ン パ ク トな ら ばGk(Ω)=

たc(x)はRに

お い てC1級

  (1.1.1) 

はRに

の 函 数 で,常

点x∈Rに

お い てC2級

お

の反 変 ベ ク

に

c(x)≦0

な る も の と す る.ま

た

 (1.1.2) ‖aij(x)‖=‖aij(x)‖-1(逆

行 列),a(x)=det‖aij(x)‖

と す る.   Rに

お い て,テ

こ とが で き る.今

ン ソ ル‖aij(x)‖

後,こ

ベ ク トル 場 の 発 散(div),内

に よ っ て 導 か れ るRiemann計

の計 量 に 関 す る体 積 要 素  積 等 を 考 え る .す

や,

な わ ち,ベ

Φ=(φ1,…,φm), Ψ=(ψ1,…,ψm) 

量 を考 え る

ク トル 場

(共 変 成 分)

に対して

とす る.ス

カ ラ ー 場 φ の 勾 配(gradientと

〓 φ で 表 わ し,ま

たb=b(x)=‖bi(x)‖

と表 わ さ れ る.こ

れ に 対 し て,

も 呼 ば れ る ベ ク トル 場 で あ る)を とす る と,偏

微 分 作 用 素Aは

で 表 わ され るA*を,偏   Ω をRの

微 分 作 用 素Aの(形

中 の 正 則 な 領 域 とす る と き,Ω

計 量 か ら 導 か れ る 超 曲 面 要 素 をdS(z)で

式 的)共 役 偏 微 分 作 用 素 とい う. の 境 界 ∂Ω の 上 で 前 述 のRiemann

表 わ す.ま

た,点z∈

∂Ω に お け る 単 位

外 法 線(Ω か ら 見 て 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トル)をnΩ=nΩ(z)と (b(z)・nΩ(z))と す る.点z∈ さ れ,Ω

書 き,βΩ(z)=

∂Ω の 近 傍 に お い て ∂Ω が 方 程 式 ψ(x)=0で

の 内 部 で ψ(x)>0な

表わ

ら ば, 従 って

同様 に,ス

カ ラー場uの

  α(x)を ∂Ω 上 でC2級

外 法 線 微 分 係 数 は 次 の式 で与 え られ る:

の函 数 で あ っ て0≦ α(x)≦1な る値 を とり,超 曲面 ∂Ω

上 で の2階 の各 偏 導 函 数 がHolder連 を 与 え,Ω

で定 義 され た 函数u,υ

続 な もの とす る.∂ Ω 上 で 連続 な 函 数 φ に対 し て,∂ Ω 上 で の境 界 条 件

 (Bφ)

お よび  (B*φ)

を 考 え る.こ

れ ら の 境 界 条 件 で φ≡0の

す.(B*0)を(B0)に

場 合 を,そ

共 役 な 境 界 条 件 とい うが, 

れ ぞ れ(B0),(B*0)で

表わ

の 場 合 に も同 様 に 呼 ぶ こ

と も あ る.

 な お,ま

ぎれ る恐 れ が な け れ ば,nΩ,βΩ の添 え字 Ω を 省略 す る こ とが あ る.

  Ω 上 の 函 数uが 連 続, 

境 界 条 件(Bφ)を

な る 点xの

満 た す とは,α(x)=1な

る点xに

近 傍 と Ω と の 交 わ り にお い て はC1級

おいては

で あ っ て,(Bφ)

が 成 立 す る こ と で あ る.

  Ω でCk級

の ベ ク トル 場 の全 体 をCk(Ω)と

書 く(k≧0).Ck0(Ω)等

前 に述 べ た 函 数 の集 合 の場 合 と同 様 に 規 約 す る.

の記 号 も,

 υ が 有 界 か つ 

Ω 上 で 可 積 分(前 述 の体 積 要 素dxに

で,divφ

と(〓υ・Φ)が

関 し て)な らば

 (1.1.3)

な る こ と は,Greenの

公 式 と し て 知 ら れ て い る.こ

こ でυ≡1と

した 式

 (1.1.3′)

はGaussの と呼 び,次 が有 界 か つ

定 理 ま た は 発 散 の 定 理 と 呼 ば れ る が,(1.1.3)を の(1.1.4),(1.1.5)の

み をGreenの

∈C20(Ω)∩C10(Ω)で

定理

公 式 と呼 ぶ 人 も あ る.u,υ

あ っ て,div(〓u),(〓u・

(〓u・bυ)が Ω 上 で 可 積 分 な ら ば,(1.1.3)に

もGaussの

〓 υ),div(〓

υ-bυ),

よ り

  (1.1.4)

および

が 成 立 す るか ら,こ の二 つ の 式 を 辺 々引 き算 して か ら右 辺 の(〓u・bυ)の 積 分 を 左 辺 に 移 す と,偏 微 分 作 用 素AとA*の

定 義 に よ り次 の式 を得 る:

  (1.1.5)

(AとA*の

中 のcを

公 式 と 呼 ば れ る.更

含 む 項 は 相 殺 す る).(1.1.4)お にu,υ

よ び(1.1.5)もGreenの

が そ れ ぞ れ 境 界 条 件(B0),(B*0)を

満 た す な ら ば,

(1.1.5)は

 (1.1.6)

と な る.従

っ て,特

にu,υ

∈C20(Ω)な ら ば(1.1.6)が

成 立 す る.

  楕 円 型 境 界 値 問 題 fを 領 域 Ω 上 で与 え られ た 連 続 函数 とす る.(Holder連 続 性,有 界 性 あ る い は 可積 分 性 等 を仮 定 す る こ とが多 い.)こ の と き

Au=-f, 

A*υ=-f

の 形 の 方 程 式 を 楕 円 型(偏 微 分)方 程 式 と 呼 び, 方 程 式Au=-fと を 満 た すu=u(x)を

境 界 条 件(Bφ)

求 め る問 題,お

よび

方 程 式A*υ=-fと を 満 た す υ=υ(x)を   境 界 条 件(Bφ)に

境 界 条 件(B*φ)

求 め る 問 題 を,楕 お い て α(x)≡1と

し た も の,す

  (1.1.7) u￨∂ をDirichlet境

円 型 境 界 値 問 題 と い う. なわち

Ω=φ 界 条 件 とい い,α(x)≡0と

  (1.1.8) 

し た も の,す

なわ ち

(∂u/∂n)￨∂Ω=φ

をNeumann境

界 条 件 と い う.ま

  (1.1.9) 

た領域 Ωで Au=0

を 満 た す 函 数uを,本

書 で はA-調

合 は 普 通 の 調 和 函 数 で あ る.境 る 問 題 をDirichlet(境

界 条 件(1.1.7)を

界 値)問 題 と い い,(1.1.8)を

め る 問 題 をNeumann(境 斉 次 方 程 式(1.1.9)を

和 函 数 と 呼 ぶ;Aが

界 値)問

題 と い う.こ

満 た すA-調 満 た すA-調

和 函 数uを 和 函 数uを

求め 求

れ ら の境 界 値 問 題 の 名 称 は,

非斉次方程式

  (1.1.10) 

Au=-f

で置 き替 え た場 合 に も用 い る.ま

た,偏

ぞれA*,(B*φ)で

△(ラ プ ラ シ ア ン)の 場

微 分 作 用 素A,境

界 条 件(Bφ)を そ れ

置 き替 え た もの も,同 様 の 名 称 で 呼 ぶ こ とが あ る.

 拡 散方 程 式 と そ の基 本 解 の 定義   まず 拡 散 方 程 式 を定 式 化 し よ う.  時 間tの 区 間(0,∞)とRの

中 の 正 則 な領 域 Ω との直 積(0,∞)×

る放 物型 偏 微 分 方程 式   (Lf)

に,t↓0の

とき の 初 期 条 件

(Ω上 で有 界 収 束)

 (I) 

お よ び(0,∞)×

∂Ω に お け る 境 界 条 件

Ω におけ

 (Bφ)

を 合 わ せ て 考 え る;こ

こ でu0,f,φ

は そ れ ぞ れ Ω,(0,∞)×

上 で 与 え ら れ た 有 界 連 続 な 函 数 で あ る.函 u(t,x)がtに

つ い てC1級,xに

任 意 のt>0に対

し て,xに

数u(t,x)が(Lf)を

つ い てC2級 つ い てu(t,x)が

意 のt>0に

あ る.(Lf),(I),(Bφ)を 題(Lf-I-Bφ)と

∂Ω の

満 た す と は,

で あ っ て 方 程 式(Lf)が

成 立 し,

Ω 上 で 有 界 で あ り,Au(t,x)が

Ω に 含 まれ る 任 意 の 有 界 領 域 の 上 で 有 界 な こ と で あ る.ま を 満 た す と は,任

Ω,(0,∞)×

た,u(t,x)が(Bφ)

対 し て 前 に 述 べ た 意 味 で(Bφ)が 成 立 す る こ と で

満 た すu(t,x)を

求 め る 問 題 を 放 物 型 初 期 値-境 界 値 問

呼 ぶ.

 こ の(Lf-I-Bφ)に

共 役 な 問 題 と し て,次

の も の を 扱 う.(0,∞)×

Ω に おけ る

放物型偏微分方程 式  (L*f)

に,t↓0の

とき の初 期 条 件

 (I*)

お よ び(0,∞)×

∂Ω に お け る 境 界 条 件

  (B*φ)

を 合 わ せ て 考え る;こ

こ で υ0,f,φ は そ れ ぞ れ Ω,(t,∞)× Ω,(t,∞)× ∂Ω の 上

で与え られ た連 続 函 数 で,  が 有 限 な も の とす る.函 に つ い てC1級,yに に 対 し てyに

数 υ(t,y)が(L*f)を

つ い てC2級

つ い てυ(t,y)が

で あ っ て 方 程 式(L*f)が

  (Lf),(L*f)に

成 立 し,任

Ω 上 で 可 積 分,A*υ(t,y)が

の 有 界 領 域 の 上 で 可 積 分 な こ と で あ る.ま 任 意 のt>0に

満 た す と は,υ(t,y)がt

た,υ(t,y)が(B*φ)を

意 のt>0

Ω に 含 ま れ る任 意 満 た す とは,

対 し て 前 に 述 べ た 意 味 で(B*φ)が 成 立 す る こ と で あ る. お い てf≡0と

(Bφ),(B*φ)に お い て φ≡0と

し た 方 程 式 を,そ し た も の は,そ

れ ぞ れ(L0),(L*0)で

表 わ す.

れ ぞ れ 前 に 述 べ た(B0),(B*0)で

あ る.

  方程 式(Lf),(L*f)を 述 べ たDirichlet境

一 般 に 拡 散 方 程 式(ま た は 熱 伝 導 方 程 式)と い う.前 に 界 条 件,Neumann境

界 条件 の 名称 は,放 物 型 初 期 値-境

界 値 問 題 の場 合 に も用 い る.  こ こで 拡 散 方 程 式 の 基 本 解 の 定 義 を 与え る.   定 義  ⅰ)  (0,∞)× Ω × Ω で 定 義 さ れ た 連 続 函 数U(t,x,y)が 問 題(L0-I-B0)の

基 本 解 で あ る と は,Ω

初 期 値-境 界 値

で 有 界 連 続 な 任 意 の 函 数u0(x)に

対 し

て

 (1.1.11)

で 定 義 さ れ る 函 数u(t,x)が(L0-I-B0)の

解 と な る こ と で あ る.

 ⅱ)  (0,∞)× Ω × Ω で 定 義 さ れ た 連 続 函 数U*(t,x,y)が (L*0-I*-B*0)の

基 本 解 で あ る とは,Ω

初 期 値-境 界 値 問 題

で 連 続 か つ 可 積 分 な 任 意 の 函 数υ0(x)に

対 して

 (1.1.11*)

の 解 とな る こ と で あ る.

で 定 義 さ れ る 函 数 υ(t,y)が    実 際 は,(L0-I-B0)の U(t,x,y)の

基 本 解 で あ っ て 同 時 に 

存 在 が 示 さ れ,そ

れ を 使 っ て(Lf-I-Bφ)の

の基 本解 で あ る函 数 解, 

の解

を与 え る公 式 が示 され る の で,そ れ ら の事 実 を述 べ た 後 は,そ の 共通 の基 本解 U(t,x,y)を

単 に(拡 散 方 程 式 の)基 本 解 と呼 ぶ こ とにす る.

  以 下 こ の章 に お い て は,本 叢 書 中 の拙 著 「拡 散 方 程 式 」[1]に

述 べ られ た事

実(定 理 な ど)の うち,本 書 にお い て直 接 用 い られ る事 項 を述 べ,補 足 的 説 明 を 加 え る.上 掲 書 を今 後[拡]と

書 い て 引 用 す る.以 下 に 述 べ る 定 理 の証 明 は 大

部 分 省 略 す るか ら,必 要 あ らば[拡]を 偏微 分 作 用 素A,A*がtを 含 ま ない 形 で述 べ る.

参 照 され た い.な

お,[拡]に

おいては

含 む 形 で述 べ てあ る定 理 も,こ こで は初 め か らtを

 §1.2  拡 散 方 程 式 の基 本 解 の性 質,解

 ま ず Ω を 有 界 な 正則領 域 とす る.こ

の存 在 と一 意 性

の と き 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-B0)の

の基本解 で も あ る函数

基 本解 であ っ て 同 時 に 初 期値-境 界 値 問 題  U(t,x,y)を

構 成 す る こ と が で き る([拡]第2章

よ う に,(L0-I-B0)の

U*(t,x,y)と

§7,§8).一

方,次

に示す

の任意の基本解

任 意 の 基 本 解U(t,x,y)と 

が一 致 す るの で,両 者 の基 本解 が一 意 的 で か つ 同 じ函 数 であ る こ

とが 結 論 され る.   二 つ の 基 本 解 が 一 致 す る こ と の 証 明.Ω

で 有 界 連 続 な 任 意 の 函 数u0(x)と,

Ω で 連 続 か つ 可 積 分 な 任 意 の 函 数 υ0(x)を

と り,前

定 義 に あ る よ う に,函 任 意 のt>0を

数u(t,x),υ(t,y)を(1.1.11),(1.1.11*)で

と り00の

任 意 な こ と に よ り,(0,∞)×Ω

っ て 連 続 性 に よ り(0,∞)×Ω  (1.2.3) 

× Ω に お い て,従

×Ω に お い て U(t,x,y)=U*(t,x,y)

が 成 り立 つ.従

っ て ま た,(1.2.2)の

す る こ と に よ り,任

意 のt,s>0と

第1の

等 式 でt,τ

任 意 のx,y∈Ω

を そ れ ぞ れt+s,sと

に対 し て

(1.2.4) が 得 られ る.こ れ を基 本 解 の 半 群 性 とい う. 基 本 解 の 性 質 を い くつ か 述べ て お く. U(t,x,y)は(t,x)の

(1.2.5)[

条 件(B0)を

函 数 と し て 方 程 式(L0)と

満 た し,(t,y)の

と境 界 条 件(B*0)を

函 数 と し て 方 程 式(L*0)

満 た す.([拡]§7)

(1.2.6)

([拡]定

ま た,Ω1∩Ω2=φ

境 界

な る 任 意 の 領 域Ω1,Ω2を

理8.3)

と る と き,

に つ い て一 様 に

(1.2.7) ([拡]定

理8.6)

について一様 に

(1.2.8) (同 上 の系) 偏 微 分 作 用 素Aの

係 数bi(x)が≡0(従

  (1.2.9)    (1.2.6)の

っ て 形 式 的 にA=A*)な

U(t,x,y)=U(t,y,x).  第1の

のx,y∈Ω,z∈

不 等 式 と境 界 条 件(B0),(B*0)に

らば

([拡]定 よ り,任

理8.5)

意 のt>0と

任 意

∂Ω に 対 し て

 (1.2.10)

とな る が,更

に 強 く次 の こ とが い え る.([拡]定

  定 理1.2.1 

 ⅰ )  (1.2.6)の

Sν={z∈

第1の

∂Ω￨α(z)=ν}(ν=0,1)と

理10.1) お く と,

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,x∈S1ま

た はy∈S1の

と き,か

つ そ の と き に か ぎ る;

 ⅱ)  (1.2.10)の の と き,か

第1の

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,z∈S0ま

た はy∈S1

つ そ の と き に か ぎ る;

 ⅲ)  (1.2.10)の の と き,か

第2の

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,x∈S1ま

た はz∈S0

つ そ の と き に か ぎ る.―

 次 の二 つ の 定 理 は,拡 散 方 程 式 の係 数c(x),境

界 条 件 の 係 数 α(x)の 大 小

関 係や,領 域 Ω の大 小 関 係 が,基 本 解 の大 小 関 係 に反 映 す る こ とを 示 す.   初 め に 一 つ の 有 界 領 域 Ω の 上 で 考 え る.偏 件(前

§参 照)を

満 た す 二 つ の 函 数c1(x),c2(x)を

のc(x)をcν(x)に

し た も の をAν

Aνuを(Lν,0)と

微 分 作 用 素Aの

と し,こ

書 く こ とに す る;た

件(B0)に

お け る 係 数 α(x)の

ν=1,2に

対 し て(B0)の

考 え,ν=1,2に

だ しaij,biは

共 通 とす る.ま

た,境

αν(x)と し た も の を(Bν,0)と 書 く.初 す る と,次

界条 考 え, 期 値-

の 定 理 が 成 り立

理11.1)

  定 理1.2.2  のt>0,任

対 し て,A

条 件 を 満 た す 二 つ の 函 数 α1(x),α2(x)を

α(x)を

条

れ に 対 応 す る 拡 散 方 程 式 ∂u/∂t=

境 界 値 問 題(Lν,0-I-Bν,0)の 基 本 解 をUν(t,x,y)と つ.([拡]定

係 数c(x)の

Ω 上 でc1(x)≦c2(x),か

意 のx,y∈Ω

つ ∂Ω 上 で α1(x)≧ α2(x)な

ら ば,任

意

に対 して

 (1.2.11) 

0≦U1(t,x,y)≦U2(t,x,y).―

  次 に,Ω1⊂Ω2な

る 二つ の 有 界 領 域Ω1,Ω2を

部 分 は あ っ て も な くて も よい.ま

た,ν=1,2に

考 え る;∂Ω1と 対 し て,境

∂Ω2との 共 通

界 条 件(B0)に

る 係 数 α(x)の 条 件 を 満 た す αν(x)を ∂Ων の 上 で 考 え,(B0)の

おけ

係 数 α(x)を

αν(x)と し た も の を(Bν,0)で 表 わ す.Ων に お け る 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-Bν,0) の 基 本 解 をUν(t,x,y)と   定 理1.2.3  な ら ば,任   (1.2.12) 

す る と,次

∂Ω1∩ ∂Ω2の 上 で α1(x)≧ α2(x)か

意 のt>0,任

意 のx,y∈Ω1に

つ ∂Ω1＼∂Ω2の 上 で α1(x)≡1

対 して

0≦U1(t,x,y)≦U2(t,x,y).―([拡]定

  以 下 の 定 理1.2.4∼5*は,基 (Lf-I-Bφ), 

の 定 理 が 成 り立 つ.

本 解U(t,x,y)を

の解 を 表 わす 式 を与え,そ

理11.3) 用 い て 初 期 値-境 界 値 問 題

れ ら の解 の一 意 性 を 示 す も

の で あ る;以 ([拡]定

下 に お い て もS1={z∈

∂Ω￨α(z)=1}(定

理9.1,9.2,9.1*,9.2*参

  定 理1.2.4 

u0,f,φ

同 様)と

す る.

照)

は それ ぞれ

有 界 連 続 な 函 数 と す る.(0,∞)×Ω (Lf-I-Bφ)の

理1.2.1と

Ω,(0,∞)×

Ω,(0,∞)×

の 上 の 函 数u(t,x)が

解 な ら ば,u(t,x)は(0,∞)×(Ω

＼S1)に

∂Ω で 与 え ら れ た 初 期 値-境 界 値 問 題

お い て 次 の 式 で与 え られ

る:  (1.2.13)

従 っ て{Lf-I-Bφ)の

解 はu0,f,φ

  定 理1.2.5 

Ω で 有 界 連 続 函 数,fを(0,∞)×

u0を

連 続 な 函 数 と し,ま はHolder連

た φ を(0,∞)×

続 な 函 数 と す る.こ

は 初 期 値-境 界 値 問 題(Lf-I-Bφ)の つHolder連

に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

続 な ら ば,方

∂Ω で 有 界 で あ っ て(0,∞)×(∂ の と き,(1.2.13)で 解 で あ る.特

程 式(Lf)は(0,∞)×Ω

[0,∞)× ∂Ω で 連 続 で あ り,u0がΩ

Ω で 有 界 で か つHolder

定 義 さ れ る 函 数u(t,x)

に,fが(0,∞)×Ω

で 連 続 で あ っ て,S1の

期 条 件(I)は

Ω 上 の 一 様 収 束 で 成 立 す る.

  注 意1 

定 理1.2.4で

解uが(1.2.13)で 全 体 で は な い.実

と お く と右 辺 の 各 項 は0に は 成 立 し な い.し

境 界 値 問 題 の解uは(0,∞)×Ω の 値 が 定 ま る こ と に な り,解   注 意2  上 の 注 意1に と,"(0,∞)×(Ω

際 に,z∈S1の

＼S1)に

お い てuの

で 連 続 だ か ら,結

か し 今 後 も,煩

よ うに 述 べ,特

＼S1)の

と き(1.2.13)でx=z

値 が 定 ま れ ば,初

局(0,∞)×

期 値-

Ω に お い て 解u

の 一 意 性 を 述 べ た こ と に な る の で あ る.

お い て(1.2.13)で

雑 を 避 け る た め,上

理1.2.5は

厳 密 に述 べ る

定 義 さ れ る 函 数u(t,x)が(0,∞)

×Ω ま で 連 続 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ て(Lf-I-Bφ)の る.し

が

の と き は こ の 点 で は(1.2.13)

述 べ た と 同 じ理 由 に よ り,定

＼S1)に

た,φ

上 でu0(x)=φ(0,x)

表 わ さ れ る の は(0,∞)×(Ω

な る か ら, 

か し(0,∞)×(Ω

で有 界 か

で 成 立 す る.ま

な ら ば,初

上 で あ っ て(0,∞)×Ω

Ω ＼S1)で

の"…

解 と な る"と …"の

に 必 要 が あ れ ば 注 意 す る こ とに す る.

い うべ き で あ

か わ り に 定 理1.2.5の

 以 上 二 つ の'注 意'に 述 べ た事 項 は,次 の二 つ の定 理 に も適 用 され る.   定 理1.2.4* 

υ0,f,φ は そ れ ぞ れ

Ω,(0,∞)× Ω,(0,∞)×

続 函 数 で,υ0は Ω 上 で可 積 分 で あ り,任 意 のt>0に

∂Ω で 与 え ら れ た 連

対 し て 

が 有 限 で あ る とす る.(0,∞)×Ω

が初期値-境界値問題 

上 の 函 数 υ(t,y)

の 解 な ら ば,υ(t,y)は(0,∞)×(Ω

＼S1)に

お

い て 次 の式 で与 え られ る:

 (1.2.13*)

の解 は

従 って    定 理1.2.5*  連 続,φ

υ0,f,φ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

υ0をΩ で 連 続 か つ 可 積 分 な 函 数 と し,fは(0,∞)×

は(0,∞)×

∂Ω で 連 続 で あ っ て(0,∞)×(∂Ω

＼S1)で

な 函 数 と し,任 意 のt>0に対

し て 

が 有 限 で あ る も の と す る.こ

の と き(1.2.12*)で

期値-境界値問題 

の解 で あ る;初 期 条 件 は(I*)と

∈Ω で 

続

初

同 時 に,各 点x

も成 立 す る.

≡0,u(t,x)≡1と

考 え れ ば,直

偏 微 分 作 用 素A,境  (1.2.14)[

はHolder連

定 義 さ れ る 函 数 υ(t,y)は

  次 の 事 実 も 基 本 解 の 主 要 な 性 質 の 一 つ で あ る が,定 f≡0,φ

Ω でHolder

理1.2.4に

お い てu0≡1,

ち に 得 ら れ る:

界 条 件(B0)に

お い てc(x)≡0,α(x)≡0な

ら

ば

  以 上 で,有 界 な 正 則 領 域 Ω に お け る 拡 散 方 程 式 の基 本解 の お も な性 質 と, 解 の 存 在 と一 意 性 に 関 す る事 項 を 述べ た.次にΩ

が有 界 で な い正 則 領 域 の場 合

につ い て 述 べ る.   まず 一 つ の基 本 解 を構 成 す る筋 道 を 略 述 す る.集 おけ る相 対 位 相 に関 す るEの

内部 をIntΩEと

正 則 領 域 で あ る もの の列{Dn}で,次

合E⊂Ω

に対 し て,Ω

に

書 くこ とに し,Ω の部 分 領 域 で

の条 件 を 満 た す もの を一 つ 固 定 す る:

 (1.2.15)

各nに

対 し て,Ω

  (1.2.16) 

上 で0≦

x∈Dn-1な

ωn(x)≦1な

る 函 数 ωn∈C30(Ω)で

ら ば ωn(x)=1,x∈

Ω＼Dnな

と な る も の を 定 め て お き,∂ Ω 上 の 境 界 条 件(B0),(B*0)に ∂Dn上

の 函数

αn(x)を

ら ば ωn(x)=0 お け る 係 数 α(x)か ら,

次 の よ う に 定 義 す る:

のとき   (1.2.17)

のとき

こ の 函 数 αnを 係 数 と し て,(B0),(B*0)と 境 界 条 件 を そ れ ぞ れ(Bn,0),(B*n,0)と 合 に 述 べ た よ うに,領 Un(t,x,y)(そ

域Dnで

同 様 な 式 に よ っ て ∂Dnの

書 く こ と に す る と,前

上 で与 えた

に Ω が 有 界 領 域 の場

考 え た 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-Bn,0)の

基本解

の基 本 解 で もあ る)が 唯 一

れ は 初 期 値-境 界 値 問 題 

つ 存 在 す る.今 後 次 の よ うに 定 義 し てお く:  (1.2.18) 

xま

こ の と き 定 理1.2.3に  (1.2.19) 

で あ る が,一

た は 

な ら ばUn(t,x,y)=0.

よっ て

{Un(t,x,y)}n=1,2,…

方,(0,∞)×

  (1.2.20) 

はnに

関 し て単 調 増 加

Ω ×Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で {Un(t,x,y)}n=1,2,…

で あ る こ とが 示 さ れ([拡]補

は 一様 有 界

助 定 理12.2),従

って

 (1.2.21)

が 存 在 す る.そ

し て,各Un(t,x,y)が

で あ る こ と と(1.2.19),(1.2.21)を た(L0-I-B0)の

上 に 述 べ た よ う にDnで 用 い て,U(t,x,y)が

一 つ の 基 本 解 で あ り,か

こ と が 示 され る.([拡]定

理12.2参

つ 

照;同

後 述 の 注 意3を

非 有 界領 域 Ω で 考 え の一 つ の 基 本 解 で あ る

書 に お け るU(t,x,y)の

見 か け 上 も う少 し 一 般 的 な 記 述 に な っ て い る が,本

考 え た基 本解

構成法は

質 的 に は 同 じ で あ る.な お,

見 よ.)

 非 有界 領 域 で は基 本解 の 一 意性 は保 証 さ れ な い.(反

例 は[拡]§17参

そ こで 次 の最 小基 本 解 の概 念 を導 入 す る.   定 義   領 域Ω に お け る 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-B0)の

基 本 解U(t,x,y)が

照.)

最 小 基 本 解 で あ る と は,(L0-I-B0)の t>0,す

べ て のx,y∈Ω

任 意 の 基 本 解U(t,x,y)が,す

に 対 し てU(t,x,y)≧U(t,x,y)を

べ て の

満 た す こ と で あ る.

 の最 小 基 本 解 も同様 に定 義 す る.   定 理1.2.6 

前 ペ ー ジ で 構 成 し た 基 本 解U(t,x,y)は,(L0-I-B0)の

つ の 最 小基 本解 で あ り,同 時 に 

た だ一

のた だ 一 つ の 最 小 基 本 解 で も あ る.

前 ペ ー ジ のU(t,x,y)が(L0-I-B0)の

の最

小基 本 解 で もあ る こ とは,[拡]定

最 小 基 本 解 で あ り, 

理13.1に

よ ってわ か る.ま た,そ れ らの 最

小基 本 解 の 一 意 性 は 明 らか で あ る.   注 意3 

上 に 述 べ た'一

意 性'に

よ っ て,[拡]の

U(t,x,y)が

前 ペ ー ジ で 構 成 し たU(t,x,y)と

U(t,x,y)が

領 域Dnや

  最 小 基 本 解 は,一 が,実

た 前 ペ ー ジ の

の お の お の に対 して 定 義 した 後,前

ペ ー ジ で 構 成 し たU(t,x,y)を

単に

.

  最 小 基 本 解U(t,x,y)が (1.2.19)の

同 じ で あ り,ま

応 は(L0-I-B0), 

呼ぶ

構 成 し た 基 本 解

函 数 ωnの と り方 に 無 関 係 な こ とが わ か る.

は 両 者 に 共 通 な の だ か ら,今

'最小 基 本 解'と

§12で

有 界 領 域 に お け る 基 本 解Un(t,x,y)の

極 限 と し て(1.2.21)で

定 義 さ れ る か ら,有

の 性 質 で 最 小 基 本 解 に 遺 伝 す る も の が 多 い.例

単 調増 加 列

界 領 域に お け る基 本 解

え ば(1.2.6)か

ら

 (1.2.22)

は直 ち に 得 られ,ま

た最 小基 本 解 の半 群 性

 (1.2.23)

も(1.2.4)と

積 分 論 の 単 調 収 束 定 理 に よ っ て 得 ら れ る.

  この §の最 後 に,Rが 分(境

あ る多 様 体Mの

部 分 領 域 で あ っ て,そ

の境 界 の一 部

界全 体 で も よい)が 適 当に 滑 らか な場 合 に は,そ の滑 らか な 部分 で はR

に お け る最 小基 本解 がDirichlet界 は,集 合E⊂Mの

閉包E,境

条 件 を 満 たす こ とを示 す.以

界 ∂E等 の用 語 ・記 号 は,Mに

る もの とす る.(次 の §では §1.1の 冒頭 の約 束 に 戻 る.)

下 この §で

お け る位 相 で考 え

  定 理1.2.7 

Rが

向 き づ け ら れ たm次

境 界 ∂Rの 一 部 分Sがm-1次 素Aの

元C3級

元C∞

級 多 様 体Mの

部 分 領 域 で,そ の

単 純 超 曲 面 か ら成 る と し,偏

微分作用

係aij(x),bi(x)はR∪SでC2級,c(x)はR∪SでHolder連

す る.こ

の と き,∂Rに

続 と

お け る 相 対 位 相 で 考 え たSの

内 部 をSと

書 く と,Rに

お い て 前 述 の よ う に 構 成 し た 最 小 基 本 解U(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)×(R∪S) の 上 ま で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て,Sの xま

た はyがS上

上 でDirichlet条

の 点 な ら ばU(t,x,y)=0と

件 を 満 た す;す

な わ ち,

な る.

 証 明  前 に述 べ た非 有 界 領 域 に お け る基 本 解 の構 成 に お い て Ω=Rの は,(1.2.15)を

場合

満 た す 正 則 有 界 領 域 の列{Dn}は,

 (1.2.24)

を 満 た す も の と な る.(こ RはRで

は な い.)ま

い か ら,(1.2.17)で

た,前

こ で は 閉 包 の 記 号-の

意 味 が 前 と異 る か ら,最

の ∂Ω に 相 当 す る'境

界'はRの

後の

中 に は存 在 し な

定 義 さ れ る αn(x)は

 (1.2.25) 

∂Dnの

上 で

と な る.有

界 領 域Dnに

く と,Rに

お け る 最 小 基 本 解U(t,x,y)は

αn(x)=1

対 し て 前 に 述 べ た 一 意 的 な 基 本 解 をUDn(t,x,y)と

書

 (1.2.26)

で与 え られ る.次 にRをMの 解U(t,x,y)を

部分 領 域 と考 え て,R∪Sに

以 下 の よ うに 構成 す る.{Ωn}をMの

お け る一 つ の基 本

中 の正 則 有 界 領 域 の列 で,

次 の条 件 を 満 た す も の とす る:  (1.2.27)

各Ωnに

対 し て,∂Ωn上

でDirichlet境

意 的 な 基 本 解 をUΩn(t,x,y)と あ る か ら,基

界 条 件 を 与 え た 場 合 の,前

す る と,UΩn(t,x,y)はnに

に述べた一

関 して 単 調 増 加 で

本 解U(t,x,y)を

 (1.2.28)

で 定 義 す る.各UΩn(t,x,y)は

∂Ωn上 でDirichlet境

界 条 件 を 満 た す か ら,

(1.2.27),(1.2.28)に

よ りU(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)×(R∪S)に

お い て連

続 で あ っ て,   (1.2.29)  を 満 た す.一 てDn⊂

Ωkな

xま

た はyが

方,各Dnは るkが

こ こ で,(1.2.18)と

∈Sな

ら ばU(t,x,y)=0

コ ン パ ク トで 

あ り,こ

の と き 定 理1.2.3に

だ か ら,各nに よ り

同 じ 規 約 を 用 い る こ と に よ り,上

(t,x,y)∈(0,∞)×R×Rで

成 立 す る.だ

(0,∞)×R×Rの こ の こ と と(1.2.29)に 連 続 的 に 拡 張 さ れ て,xま

対 し

の不 等 式 はす べ て の点

か ら(1.2.26)に

よ り

上 で0≦U(t,x,y)≦U(t,x,y).

よ り,U(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)∪(R∪S)の た はyがS上

の 点 な ら ばU(t,x,y)=0と

上 まで な る.

}

§1.3  楕 円 型 境 界 値 問 題,Green函

数,Neumann函

数

  この §で は楕 円 型境 界値 問題 に 関 す る 事項 を 述 べ る.こ

こで も Ωは正則領

域 で あ り,特 に こ とわ ら な けれ ば 有界 とはか ぎ ら な い もの とす る.fお を それ ぞれ 領域 Ω お よび そ の 境 界 ∂Ω の 上 の 函 数 と し,§1.1に 方 程 式Au=-fと

境 界条 件(Bφ)を 満 た す 解uを

方 程 式A*υ=-fと

述 べ た よ う に,楕

(Bφ)の 中 の 係 数

α(x)は,そ

求 め る問 題,

と呼 ぶ こ と に す る.

円 型 偏 微 分 作 用 素Aの

中 の 係 数c(x),境

界条件

れぞれ

Ω に お い てc(x)≦0,∂

と仮 定 して い るが,こ

述べた

境 界 条 件(B*φ)を満 たす 解 υを 求 め る問 題

を,そ れ ぞ れ 楕 円型 境 界値 問題(Af-Bφ),    §1.1に

よび φ

Ω に お い て0≦

α(x)≦1

こ で は更 に次 の条 件(C1)を 仮 定 す る:

c(x)は Ω で恒 等 的 に0で は な い  (C1)

α(x)は

∂Ω で 恒 等 的 に0で

  特 に(Bφ)がDirichlet境 る.こ

はない

界 条 件 な ら ば,明

の 仮 定 が 成 り立 た な い の は,c(x)≡0か

の 場 合 で あ る.こ   定 理1.3.1 

の少 な くと も一 方 が 成 立 す る. ら か に こ の 仮 定 が 成 り立 っ て い つ(Bφ)がNeumann境

界条件

の 場 合 に つ い て は あ と で 述 べ る.

条 件(C1)の

Ω ×Ω に お い て 

も と で は,拡

散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

ら,

な る か ぎ り有 限 値 を と る 函 数

 (1.3.1)

が 定義 され て,次 の こ とが成 り立 つ:  (1.3.2) 

任 意 の コ ン パ ク ト集 合F⊂ 任 意 のy∈

 (1.3.3)[

Ω を 固 定 す る と きG(x,y)はxの

に お い て楕 円型 方程 式AG=0と 任 意 のx∈

(1.3.3*)[

Ω に 対 し て 

境 界条 件(B0)と を満 たす;

Ω を 固 定 す る と きG(x,y)はyの

にお い て楕 円型 方 程 式A*G=0と

函 数 と し て Ω＼{y}

函 数 と し て Ω ＼{x}

境 界 条 件(B*0)と を 満 た す.

([拡]定

理18.1参

照)

 系  前 定 理 のG(x,y)に

対 し て,x,y∈

Ω,z∈

∂Ω な ら ば

 (1.3.4)

 (1.3.4*)

  ([拡]定

理18.1の

を 考 え て,微

系;こ

れ ら の 式 は 形 式 的 に は,(1.3.1)の

分 と積 分 の 順 序 を 交 換 し た も の で あ る.)

  上 の 定 理 の 函 数G(x,y)を

用 い て 楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ),(A*f-B*φ)の

を 表 わ す 公 式 が 与え ら れ る(後 型 境 界 値 問 題 のGreen函   定 理1.3.2 

f(x)は

述 の 定 理1.3.2,1.3.3)の

る 点xで

で,G(x,y)を

解 楕 円

数 とい う. Ω で 有 界 か つHolder連

有 界 部 分 集 合 に 含 まれ る とす る.ま 0か

つ￨φ(x)￨/α(x)が

有界

な ら ば,

 (1.3.5)

で 定 義 さ れ る 函数uは,楕

円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)の

 ⅱ)  ∂9上 の あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で α(x}0だ

uに 対 す る 仮 定 と 定 理1.4.1の

系1に

も 正 で あ る.さ

ら, 

式 を 証 明 す れ ば よ い.

内 部 に 一 点y0を す る と,x∈

と る.Ωにお Ω ＼{y0}な

は 正 で あ る.ま

か ら, 

よ り,uは

た,

け る らば 定 理 た,函

数

Ω の 内部 で正 の 値 を と る か

て,

に対 し て と 定義 す る と,u-υ

は Ω＼ Ω0に お い てA-調

和 で あ って

な らば ならば だ か ら,定

理1.4.1の

にu(z1)=υ(z1)=0だ

 で あ る.よ

系3に か ら 

っ て 

よ り Ω＼ Ω0に お い てu(x)-υ(x)≧0と と な る.一

が成 立 す る.

方,定

な る.特

理1.3.4に

よ り

  次 にHarnackの

  一 般 に,集

諸 定 理 を 述 ベ る.

合Eの

上 の 函 数 列{fn}(パ

で置 き替 え て も よい)が,あ

ラ メー タnを 連 続 的 に 変 化 す る実 数

る函 数fにEで

広 義 一 様 収 束 す る とは,Eの

任

意 の コン パ ク ト部 分 集 合 の上 で一様 収 束 す る こ とで あ る.   定 理1.4.3(Harnackの 2,…)は

Ω でA-調

第1定 和,Ω

理)  Ω を 有 界 領 域 と し,函

で 連 続 と す る.こ

の と き,函

数un(x)(n=1,

数 列{un}が

∂Ω 上 で

一 様 収 束 す れ ば,

 ⅰ )  {un}は

Ω で一 様 収 束 し,そ の 極 限 函 数uは

 ⅱ)  Ω に 含 まれ る任 意 の 座 標 近 傍Wと,そ 関 す る2階 以 下 の任 意 の 偏 微分 演 算Lに て広 義 一様 にLuに

Ω でA-調

和 であ る;

の 中 の 局 所 座 標(x1,…,xm)に

対 して,函

数 列{Lun}はWに

おい

収 束 す る.

  ([拡]定 理22.3参

照;な

お,同

Aの 係 数 がC∞ 級 な らば,上

書 に 述 ベ られ て い る よ うに,偏

のⅱ)のLは

微 分 作用 素

任 意 階 数 の 偏 微 分 演 算 で よい が,こ

の こ とを 今 後 本 書 に お い て用 い る機 会 は な い.)  定 理1.4.4  領 域 Ω でA-調

和 な 函 数 の 列{un}が

Ω 上 で一 様 有 界 な ら ば,

{un}の 適 当 な部 分 列 が Ω で広 義一 様 に 収束 す る.  ([拡]定

理22.6;こ

  定 理1.4.3のⅰ)の

の 定 理 をHarnackの

か し 定 理1.4.4に

お け るDirichlet問 調 和)函

数 をDの

参 照),A*-調和

お い て は,D⊂

題 のGreen函

Ω な る正則 有 界 領 域Dを

数GD(x,y)に

よ っ てA-調

函 数 に つ い て も定 理1.4.4は

成 立 す る.更

証 明 参 照)す

が 成 立 す る こ と が わ か る.以 し た も の の 変 形 と し て,A-調

れ ば,A*-調

上 の 考 察 に よ り,定

考 え,Dに 和(ま た はA*-

中 で 表 現 す る式 を 用 い れ ば よ い か ら([拡]定

理22.3のⅱ)の

定 理 が 成 立 す る.

Ω の内部において の

和 函数 に つ い て は この ま まの 形 で は成 立 しな

っ て Ω で 広 義 一 様 収 束 す る 部 分 列 に 対 し て,定 ([拡]定

理 と呼 ぶ こ と も あ る.)

証 明 は 最 大 値 原 理 に よ る の で,Aが

み 定 義 さ れ て い る 場 合 は,A*-調 い.し

第3定

理22.6の に 定 理1.4.4に

理1.4.3のⅱ)の

証明 よ

証 明 を適 用

和 函 数に つ い て も こ の 命 題 理1.4.3と

和 函 数 に つ い て もA*-調

定 理1.4.4を

合併

和 函 数 に つ い て も次 の

  定 理1.4.5  あ っ て,Ω

領 域 Ω に お い てA-調

和(ま

た はA*-調

和)な 函 数 の 族{uλ}が

の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 な ら ば,函

{￨〓uλ￨}も

数 の族

Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で一様 有 界 で あ っ て,函

{uλ}の 適 当 な 部 分 列{uλν;ν=1,2,…}は あ る 函 数uに

広 義 一 様 に 収 束 し,更

値 函 数〓uに

広 義 一 様 に 収 束 す る.―

Ω でA-調

和(ま

た はA*-調

に ベ ク トル 値 函 数 の 列{〓uλν}は

  下 の二 つ の 定 理 も,前 掲 書[拡]でA-調

数族 和)な

ベ ク トル

和 函 数 に つ い て 証 明 され てい る が,

A*-調 和 函数 に つ い て も同様 に 証 明 さ れ る.   定 理1.4.6(Harnackの

補 題)  領 域 Ω の 中 の 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Kに

対 し て,正

存 在 し て,Ω

の 定 数cK,c′Kが

値 を と る任 意 の 函 数uと,任

でA-調

和(ま

意 の 点x0,x∈Kに

コ ン パ ク ト集 合Kの

はA*-調

は 関 係 し な い こ と が 重 要 で あ る.

数uに

  定 理1.4.7(Harnackの な 函 数 の 列{un}が 増 加 で あ り,か た はA*-調 でnに

つ

和)な

第2定 あ っ て,各 一点x0∈

函 数 に,Ω

み に 関 係 し,非

理)  領 域 Ω でA-調

点x∈

非負

不 等 式).―

  こ こ で 定 数cK,c′Kが 和)函

和)で

対 して

(Harnackの

 (1.4.3) 

た はA*-調

負 値A-調

和(ま

た はA*-調

Ω に お い て{un(x)}はnに

Ωに お い て 有 界 な らば,{un}は

和(ま

た

和)

関 し て単 調 Ω でA-調

上 で 広 義 一 様 に 収 束 す る;{un(x)}が

和(ま

各 点x∈

関 し て 単 調 減 少 と し て も 同 様 で あ る.―

  こ こで,Ω 上 で い た る と こ ろ正 の 値 を と るA-調 和 函数,A*-調

和 函数 の存 在

を 証 明 して お く.   まず,一 点x0∈ Ω を 固 定 し,x0を

含 む 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}で,Dn⊂

Dn+1(n=1,2,…), 

を 満 た す も の を 定 め て,各Dnに

chlet境

数GDn(x,y)を

4に

Ω

界 値 問 題 のGreen函

よ り,函

 (1.4.4)

数

考 え る.定

理1.3.2と

お け るDiri 定 理1.3.

はDn上

で い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA-調

=un(x)/un(x0)はDn上

意 のnを

Harnackの

不 等 式 に よ りDnの

る か ら,定

理1.4.5に

固 定 す る と き,Dnの

上 の 函 数 列{ωk;k≧n}は

適 当 な 部 分 列 がDnでA-調

か ら,nに

の と き Ω 上 で ω(x)≧0か

和 な あ る函 数

関 す る 対 角 線 論 法 に よ り,初

{ωn}の 適 当 な 部 分 列 が Ω でA-調

め の函 数 列

和 な あ る 函 数 ωに Ω で広 義一 様 に 収 束 す つ ω(x0)=1で

あ る か ら,Harnackの

不等式

含 む 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 の 上 で ω は 正 の 最 小 値 を と り,従

Ω 上 い た る と こ ろ ω(x)>0と るA-調

満 た すA-

任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 で あ

よ り{ωk}の

に 広 義 一 様 収 束 す る.だ

に よ りx0を

か ら,函 数 ωn(x)

で い た る と こ ろ 正 の 値 を と り ωn(x0)=1を

調 和 函 数 で あ る.任

る.こ

和 函 数 で あ る.だ

な る.以

和 函 数 の 存 在 が 示 さ れ た.同

と 同 じGreen函

数GDn(x,y)を

って

上 に よ り Ω 上 い た る と ころ 正 の 値 を と 様 なA*-調

和 函 数 の 存 在 を 示 す に は,前

用 い て,(1.4.4)の

か わ りに

 (1.4.4*)

な る函 数 を 定 義 す る と,こ れ はDn上

い た る と こ ろ正 の値 を と るA*-調

和函数

で あ るか ら,あ とは 上 と同 様 に 議 論 す れ ば よい.   さて,Ω

で いた る とこ ろ正 の値 を と るA*-調

和 函数 ωを 用 い て,A*-調

数 に 関 す る最 大 値 原 理 に つ い て 述 べ る.ま ず Ω でC2級

の 函 数uに

和函

対 して

 (1.4.5)

な る偏 微 分 作 用 素Aを

定 義 す る と,

な る こ と を 用 い て 計 算 す る こ と に よ り,A*とAと   (1.4.6) 

ω-1A*(ωu)=Au

な る 関 係 が あ る こ と が 示 さ れ る.だ u=υ/ω

がA-調

か ら 函 数 υ がA*-調

和 で あ る こ と と は 同 値 で あ る.と

わ し た と き のc(x)≡0な て,函

の間 に は

こ ろ がAはAの

る 条 件 を 満 た し て い る か ら,A*-調

数 υ/ω に 定 理1.4.1や

事 実 が 成 り立 つ;特

和 で あ る こ と と,函 数

そ の 系(い

に 系1のⅱ)に

ず れ もc(x)≡0の

よ り次 のこ と が い え る.

形 に書 き表 和 函数 υに対 し

場 合)を

適用 した

  定 理1.4.8  る.υ

ω を 領 域 Ω の 上 で い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA*-調

が Ω 上 のA*-調

れ ば,υ

和 函 数 で,υ/ω

和 函 数 とす

が Ω の 内 部 で最 大 値 ま た は 最 小 値 を と

は ω の 定 数 倍 で あ る.―

 このこ とか ら次 の最 大 値 ・最小 値 原 理 を得 る:   定 理1.4.9  ωを 前 定理 の通 りと し,Dが

Ω の 部分 領 域 で,そ

Ω に含 まれ る コン パ ク ト集 合 であ る とす る.函 数 υがDで 調 和 な らば,υ/ω はDに

の閉 包Dは

連 続 か つDでA*-

おけ る最 大 値 と最 小値 を いず れ もDの

境 界 ∂Dの 上

で と る.―   Ω 上 い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA-調 式 的 に 共 役 なA*に

関 す る 議 論 を,c(x)≡0の

そ れ に は,p=logω,b=b+2〓pと

とす る と,A*はAの 別 の も の で あ る;念 に,簡

和 函 数 ω を 用 い て,Aお

よび そ れ と形

場 合 に 帰 着 さ せ る こ と も で き る.

定 義 し て,

形 式 的 共 役 作 用 素 で あ る.(こ の た め 注 意 し て お く.)こ

のAは

の と き,前

前 ペ ー ジ のAと

は

ペ ー ジ の 場 合 と同様

単 な 計 算 に よ って

 (1.4.7)

な る 関 係 が 示 さ れ る か ら,u=ω-1u,υ=ω

とな り,AとA*に

υ とお け ば

関 す る議 論 が,AとA*に

関 す る議 論 に 帰 着 され る.こ の

とき,対 応 す る拡 散方 程 式 の基 本解 の 関 係 も重 要 で あ る が,こ

こで は 次 の章 で

用 い られ る下 記 の事 実 を 述 べ て お く.   Dを そ の閉 包 が Ω に 含 ま れ る 正 則 有 界 領 域 と し,Dに ∂u/∂t=AuにDirichlet境

お け る拡 散 方 程 式

界 条 件 を 与 え た もの の基 本 解 をUD(t,x,y)(§1.1)

とす る と,函 数

はDに

お け る拡 散 方 程 式 ∂ω/∂t=Aω

の基 本 解 で あ る.こ の こ とは(1.4.7)を  次 に,調

にDirichlet境

界 条 件 を与 え た も の

用 い て 容 易 に 験 証 され る.

和 函 数 の 一 意 接続 定理 を 述 べ る.こ

の 定 理 は 局 所 的 な 性 質 で あ り,

偏微 分 作 用 素Aの 和 函 数 とA*-調

係 数c(x)に

対 す る仮 定(1.4.1)は

必 要 で な いか ら,A-調

和 函 数 との 間 に 本 質 的な 違 い は全 くな い.

  複 素 平 面 内 の領 域Dで

正 則(ま た は調 和)な 函 数uが

な い 開 集合 に お い てu≡0と

な る な ら ば,D全

あ って,Dの

体 でu≡0と

中の空で

な る;こ の こ とは

一 致 の定 理 とし て よ く知 られ て い る.こ こで 調 和 函数 を ラ プ ラス方 程 式 △u=0 の解 と考 え る こ と に よ り,上 の 定 理 はm次

元空 間Rmの

中の 領 域 に お け る調

和 函数 に拡 張 され る.更 に ラプ ラシ ア ン △ の場 合 か ら変 数 係 数 の2階 楕 円型 偏 微 分 作 用 素Aの

場 合 に 拡 張 し た 定 理 が 一 意 接続 定 理 で あ っ て,Aronszajn

[2],Cordes[3]ら

に よ って 証 明 さ れ た;そ の 証 明 は,例 え ば 熊 ノ郷[4]の

§5.6に 詳 し く記 述 さ れ て い るの で,そ れ を 参 照 さ れ た い.こ 性 質 であ る こ とに よ り,Euclid空

の定 理 が 局 所 的

間 の中 の領 域 で も多 様 体 の 中 の領 域 で も証

明 は 同 じ で あ る.だ か ら下 記 の定 理 の Ω は 本 書 で 扱 って い る多様 体(§1.1)の 中 の領 域 と して 読 まれ た い.   定 理1.4.10(一 が あ っ て,Ω

意 接 続 定 理)  領 域 Ω でA-調

和(ま た はA*-調

の 中 の 空 で な い 開 集 合 に お い てu≡0な

ら ば,Ω

和)な

函 数u

全 体 でu≡0で

あ る.   上 記 の[2],[3]に

お い ては,'空

い'Ω の一 点 がuの ぼ 同 等 な 条 件)の

で ない 開 集 合 に お い てu≡0'と

い う条 件 よ り も弱

無 限位 の零 点 で あ る'と い う条 件(述 べ 方 は 少 し違 うが,こ れ とほ も とで証 明 され て い るが,本

書 で 応 用 す る に は上 の定 理 の 述べ 方 で 十

分 で あ るか ら,こ の よ うに 内 容 の わ か りや す い 述 べ 方 に して お く.([4]に

は 上 の定 理 に

述 べ た 形 で 証 明 され てい る.)

  最 後 に,楕

円型 方 程 式Au=-fあ

る い はA*u=-fの'弱

下 記)と 真 の解 に関 す る定 理 を述 べ る.(こ

こで一 般 に は 

い解'(定

義は

だ か ら,こ の 定

理 は 調 和 函 数 にか ぎ った 話 で は な い が,こ の §で 関 連 事 項 と し て 述 べ る.)こ こで も係 数c(x)に 方 程 式Au=-fに

対す る仮 定(1.4.1)は

不 要 で あ り,前 掲 書[拡]の

つ い て 述 べ て あ る定 理 が,方 程 式A*u=-fに

§23で

つ い て もそ

の ま ま成 立 す る.   定義  領 域 Ω で 局 所 可 積 分 な 函 数u(x)が で あ る とは,任 意 の ψ∈C∞0(Ω)に対 して

楕 円 型 方 程 式Au=-fの

弱 い解

 (1.4.8)

が 成 立す る こ とで あ る.AとA*を

入れ 替 え て,楕

円型 方 程 式A*u=-fの

弱 い 解 を 同様 に 定義 す る.   弱 い解 に対 して,普 通 の 意 味 の(す な わ ち,そ の方 程 式 に 現 わ れ るす べ て の 偏導 函数 が 普通 の 意 味 で存 在 し て 連続 な)解 を 真 の 解 とい う.真 の解 が 弱 い解 で あ る こ とは,Greenの

公 式 に よ って 明 らか で あ る.

 こ の と き 次 の 定 理 が 成 立 す る([拡]定   定 理1.4.11  分 な 函 数uが

函 数fは

理23.1参

領 域 Ω でHolder連

楕 円 型 方 程 式Au=-f(ま

に お け る そ の 方 程 式 の 真 の 解 υ で,Ω

照).

続 とす る.Ωにお

た はA*u=-f)の 上 でu(x)=υ(x)(a.e.)と

い て 局所 可積

弱 い 解 な ら ば,Ω な る もの が存

在 す る.―

  拡 散 方 程 式 につ い て も同様 な定 理 が成 立 し,ま た それ らの方 程 式 が境 界条 件 を 伴 な う場 合 の 定 理 も あ る([拡]§23参 い か ら省 略 す る.

照)が,本

書 に お い て応 用 の機 会 が な

 §1.5  ベ ク トル 解 析 に 関 連 した 事 項

  この §の 内 容 は,偏 微 分 方程 式 に 関す る結 果 で はな いが,前

§ま で に述 べ た

事 項 の一 部 を用 い て,本 書 第5章 以 降 で必 要 な こ とを 準 備 す る.  

Rの

部 分 領 域 Ω の 上 の 函 数uが

と は,uが

Ω で 連 続 で あ り,有

区 分 的 に 滑 ら か(piecewise

限 個 の 正 則 領 域 Ω1,…,Ωnが

∪ … ∪∂Ωn)の 各 連 結 成 分 でuがC1級

smooth)で

ある

存 在 し て Ω ＼(∂Ω1

な る こ と で あ る.

 Ω 上 で い た る と ころ正 の値 を とるC2級

の 函 数ω が 与 え られ た とき, は 今 ま での 通 り)

な る測 度 を 定 義 し,こ れ に 関 連 した い くつ か の記 号 を 約 束 す る.  ま ず,Ω

上 の ベ ク トル 場

(共変 成 分) に 対 し て,§1.1で

定 義 し た よ うに (Ω 上 の ス カ ラ ー 函 数)

と し,重

み ω を も つ 測 度dωxに

関 す る'内

積'と'ノ

と定 義 す る(各 式 の 右辺 が 意 味を もつ 限 り).例

ル ム'を

え ばuが

Ω 上 で 区分 的 に 滑 ら

か な 函 数 な らば

が 定 義 さ れ る.な

お,ω ≡1の

と き は 添 え 字 ω を 省 略 す る こ と が 多 い.

  ‖ Φ‖Ω,ω0に対

包TがΩ

に

の 接 線 ベ ク トル で 単 位 の 長 さ を も ち,点x

に お け るΓ の 向 き づ け と 同 じ方 向 を も つ も の と す る.こ

dσ はΓ

点x∈Γ

の と き(1.5.1)を

満

 が 成 立 す る;こ

こで

助 定 理24.2)

とし て証 明す れ ば よ い.Γ

を 内 部 に含 む管 状

の 内 部 の 有 限 個 の 座 標 近 傍 で 覆 わ れ る よ うに と る.

内 部全 体に一つ の 曲線 座 標 が構 成 で き るか ら,そ れ を 固 定 す る.

し て,Rmの

まれ

上 でC∞ 級 の非 負 値 函 数 ρεで,台

 (dyは

普 通 のLebesgue測

度)な

が 原 点 の ε近 傍 に含

る も の を 定 め る.Tの

内

部 に 固 定 し た 曲 線 座 標 を 使 っ て ρε(x-y)(x,y∈T)を

考 え る と,xがΓ

動 くか ぎ り,十

函 数 と し て の ρε(x-y)

の 台 はTの

分 小 さ い す べ て の ε>0に

内 部 に 含 ま れ る.だ

か ら

対 し て,yの

上を

  (1.5.2)

と 定 義 す る と Φε∈C10(Ω)で あ っ て,y∈Tな

と な る.一

方y∈Ω

と な る.こ

こ で ε ↓0と す れ ば ρεの 性 質 に よ り補 助 定 理 の 結 論 を 得 る.

  更 に,[拡]定

＼Tな

理24.3の

Ω で 区 分 的に滑ら

か'と

ら ばdivω

Φε=0は

らば

系 の 仮 定 の う ち'ψ

自 明 だ か ら,仮

∈C1(Ω)∩C0(Ω

い う条 件 で 置 き 替 え て も,同

れ は 同 書 の 補 助 定 理21.1と

  補 助 定 理1.5.2 

Φ∈C1(Ω)がΩ

す と し,ま

∈C1(Ω)と

たφ,ψ

  上 に 述 べ た[拡]定 ペ ー ジ)と す る と,次   定 理1.5.1 

理24.3の

上 でdivω

質 的 に は 次 の補 助 定

し て 証 明 さ れ て い る. Φ=0,∂Ω

上 で(Φ ・n)=0を

満た

系 に お い てΩ,Sを

そ れ ぞ れΩ ＼K,∂K(50

あ っ て,任 ＼K上

意 の ψ ∈Pω(Ω;K)に

対 し て

で 有 界 な 任 意 の ψ∈Pω(Ω;K)

が 成 立 す る.―

  上 の 定 理 はK=φ

で も よ い;そ

の 場 合 は 次 の よ うに 書 け る.

Φ∈L2ω(Ω)で あ っ て,任

を 満 た す な ら ば,Ω 成 立 す る.

明の

す る と,

 を 満 た す な ら ば,Ω

  定 理1.5.2 

は

の 定 理 が 得 ら れ る.

Φ∈L2ω(Ω＼K)で

に 対 し て 

∪S)'を'ψ

様 に 証 明 で き る;証

最 後 に あ る 内 積 の 式 を ω の 重 み つ き に 修 正 し た も の は,本 理 に 帰 着 さ れ,そ

定に よ り

意 の ψ∈Pω(Ω)に 対 し て 

上 で 有 界 な 任 意 の ψ∈Pω(Ω)に 対 し て 

が

 §1.6  付記(測

度 の 漠 収 束,半 連 続 函 数)

  本 章 の標 題 と した 偏 微 分 方 程 式 に関 す る こ とで は な い が,測 度 の 漠 収 束 の 概 念 と,半 連 続 函数 に 関 し て,本 書 で使 う事 柄 を念 の た め に述 べ て お く.   Ⅰ.  測 度 の漠 収 束 に つ い て Ω をRの

部 分 領 域 と し,Ω上

で連 続 な 函 数 で,

台 がΩ の コン パ ク ト部 分 集 合 であ る もの全 体(§1.1でC00(Ω)と 単 にC0(Ω)と

書 く こ とに す る.Ω に お け るBorel集

合 族(Ω の 中 の開 集 合 全

体 で 生成 され る σ-加法 族)BΩ の上 で定 義 され た測 度 μで,任 集合K⊂Ω

に対 して μ(K)0と D⊂D⊂ 題:Dに

な り,ⅲ)が な る点x0∈

Ω な る よ うな あ る有 界 領 域Dに お い てAw=0,∂D上

の 仮定 を満 たす が,一 方Dに る か らu(x)<w(x)と

成 立 す る.次 に,逆

Ωが あ る と仮 定 す る と,x0∈

お い てAu>0と

でw=u,の

の命 題

な る.wを

解 とす る.こ の ときwは

おい て(2.1.1),(2.1.2)お

よびAu>0が

境界値問 条 件ⅲ) 成立す

な る,だ か らuは 条 件ⅲ)を 満 た さな い こ とに な り,A-

優 調和 で は な い.   A-優 調 和 函数 の 例   領 域 Ω でA-調 和 な 函 数 がA-優 義 か ら明 らか で あ る.Ω に お い て,§1.3の 散 方 程 式 の 基 本解 か ら作 られ るGreen函 使 って,A-調

和 でな いA-優

調 和 で あ る こ とは,定

最 後 の ペ ー ジ に述 べ た よ うに,拡

数 の 存 在 を 仮 定 す れ ば,定 理2.1.1を

調和 函数が 次 の よ うに し て構 成 され る.

  f(x)を Ω 上 で 非 負 値 を と るHolder連

続 な 函数 で,そ の 台 が Ω の 内部 に含

まれ る有 界 集合 で あ る とす る と,函 数  (2.1.3)

はAu=-fを 一般化 として  (2.1.4)

満 た す か ら,定 理2.1.1に ,μ が Ω に お け るBorel測

よ っ てA-優

調 和 で あ る.こ

度 であ っ て函 数

の事 実 の

がΩ

で 恒 等 的 に ∞ で な い な らば,uはA-優

述 定 理2.1.4).従 てA-優

っ て 特 に,任

調 和 で あ る.(μが

一 点yに

  注 意   偏 微 分 作 用 素Aの 的 に0で

意 のyを

場 合 に は,Ω

る こ と と,上

固 定 す る と きG(x,y)はxの

仮 定 し て い る)がΩ

述べ た よ う にGreen函

に お い て恒 等

数G(x,y)が

で 正 の 値 を と り定数 で な いA-優

の よ う なGreen函

函数 とし

集 中 し た 単 位 質 量 の 場 合 で あ る.)

係 数c(x)(≦0と

は な い な ら ば,§1.3で

が,c(x)≡0の

調 和 で あ る こ とが 証 明 さ れ る(後

存 在す る

調 和 函数 が 存 在 す

数 が 存 在 す る こ と と が 同 等 で あ る こ と を,次

の §2.2で 証 明 す る.   定 理2.1.2 

函 数u1,u2がΩ

し てc1u1+c2u2はΩ

でA-優

  証 明   u1,u2がΩ た す こ と,お

でA-優

調 和 な ら ば,任

調 和 な ら ば,c1u1+c2u2が お の お の がⅲ)を

函 数wと

函 数 の 列{u1n},{u2n}で

を と る.u1,u2の

∂D上

の 各 点 でnに

収 束 す る も の が あ る.任

意 の ε>0を

w1=u1n, w2=u2n, 

す こ とに よ り,Dに

題 の 解)と す る.こ

のuに

仮定 の連 続 れ ぞ

つ い て単 調増加 で あ り,∂D あ る.こ

のnを

固定

条 件ⅲ)を

満 た

で それ ぞれ w0=1

の と き,u1,u2が

おいて

が 成 立 す る が,ε は 任 意 に 小 さ くとれ るか らu(x)≧w(x)が 条 件ⅲ)を

対 し てⅲ)の

与 え る と,

な るnが

和 で あ っ て ∂D上

と な る 函 数(Dirichlet問

満

つ い て 単 調 増 加 で あ っ て,そ

だ か ら,Sn=∂Dと

し,w1,w2,w0をDでA-調

定 義 の 条 件ⅰ),ⅱ)を

下 半 連 続 性 に よ り,∂D上

は ∂Dに お け る相 対 位相 で 開 集 合 で あ って,nに は コ ン パ ク トで 

対

満 た す こ とは 明 らか で あ るか

満 た す こ とを 示 せ ば よ い.こ

を 満 た す 領 域Dと

意 の 正 の 定 数c1,c2に

調 和 で あ る.

よ びc1u1,c2u2の

ら,u=u1+u2がⅲ)を

れu1,u2に

でA-優

得 られ,函 数uは

満 た す.

 定 理2.1.3 

Ω でA-優

調 和 な 函 数 の 列{un}が

{un(x)}がnに

つ い て 単 調 増 加 で あ り, 

あ っ て,各

点x∈

Ω において

がΩ で恒 等 的 に ∞ で

は な い な ら ば,uはA-優

調 和 で あ る.

  証 明 uが 定 義 の条 件ⅰ),ⅱ)を 満 た す こ とは 明 らか であ るか ら,ⅲ)を ば よい.uに

対 し てⅲ)の

仮 定 を 満 た す 領 域Dと

函 数wと

示せ

を とる.un-wは

∂D上 で 下 に 半 連 続 で あ るか ら,任 意 の ε>0を 与 え る と,

は ∂Dに お け る 相 対 位 相 で 開 集 合 で あ る.よ 同 様 に し て,Dに

お い てu(x)≧w(x)と

  こ こ で,§1.3の (2.1.4)の

っ て,あ

な る こ と が 示 さ れ る.

最 後 の ペ ー ジ に 述べ たGreen函

函 数uがA-優

と は 前 定 理 の 証 明 と全 く

数G(x,y)が

調 和 で あ る こ とを 証 明 し よ う.G(x,y)は,Ω

る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

存在すれば にお け

ら

 (2.1.5)

に よ っ て 得 ら れ た も の で あ った.だ

か らU(t,x,y)の

半 群性 に よ り

 (2.1.6)

 以 上 の こ と を 使 っ て,次   定 理2.1.4 

μ がΩ

の 定 理 を 証 明 す る.

に お け るBorel測

度 で あ っ て,函

数

 (2.1.7)

がΩ で恒 等 的 に ∞ で は な い な らば,uはΩ y∈Ω を 固定 す る と き,G(x,y)はxの

でA-優

調 和 であ る.特 に,任 意 の

函 数 と してΩ でA-優

 証 明  まず,有 界 領 域 の列{Dn}でDn⊂Dn+1,  し,各nに

対 し て 函数

な る も の を 固 定 す る.次

調 和 で あ る. なる も の を 固定

ωn∈C20(Ω)で

に 各nとt>0,y∈Ωに

対 して

 (2.1.8)

は 非 負 値 で あ っ て,U(t,y,z)の

連続性 ・ 可 微 分 性に よ り,fn(t,y)はyに

ついて

C2級,従

っ て も ち ろ んHolder連

続 で あ る.だ

か ら函 数

  (2.1.9)

はxに

つ い てAun(t,x)=-fn(t,x)≦0を

つ い てA-優

調 和 で あ る.ま

加 で あ る か ら,∞

満 た す か ら,定

たfn(t,x)は,従

理2.1.1に

っ てun(t,x)もnに

よ りxに

つ い て単 調 増

の値 を 許 す 函数

が 定 義 さ れ る が,(2.1.8),(2.1.9)お

よ び(2.1.6)に

よ り

 (2.1.10)

と な り,従

っ て(2.1.5)に

と な る か ら,u(x)に

よ り

関 す る 仮 定 に よ り,各t>0に

て 恒 等 的 に ∞ で は な い.だ 調 和 で あ る.こ

はnに

こ でtn↓0な

か ら定 理2.1.3に る 数 列{tn}を

調 和 で あ る.特

つ い てA-優

とれ ば,(2.1.10)に

よ りu(tn,x)

だ か ら,再 に,一

点yを

に 集 中 し た 単 位 質 量 を 考 え れ ば,G(x,y)はxの

つい

よ りu(t,x)はxに

つ い て単 調 増 加 で あ って 

よ りu(x)はA-優

対 し てu(t,x)はxに

び 定 理2.1.3に

固 定 し,(2.1.7)の

μ と し てy

函 数 と し てA-優調

和 であ

る.   A*-優

調 和 函 数 に つ い て   今 ま でA-優

調 和 函 数 に つ い て 述べ た 事 項 は,A*-

優 調 和 函 数 に つ い て も そ の ま ま成 立 す る.た て は,xとyと

の 役 目 が 入 れ か わ る.例

だ し,Green函

数G(x,y)に

つ い

えば 定 理2.1.4の(2.1.7)は

 (2.1.7*)

と 書 け ば よ い.な

お,§1.3の

の コ ン パ ク ト集 合E⊂  (2.1.11)

最 後 に 述 べ た(1.3.29),(1.3.28)に

Ω に対 し て

よ り,任

意

が成 立 す るか ら,μ が 有界 なBorel測 所 可 積 分,従

っ て 

度 な らば(2.1.7*)で

対 応 す る定 理 は,次

とな る.だ か らA*-優

函 数υ はΩ でA*-優

度 な らば(2.1.7*)で

函 数 としてA*-優

調 和 であ る.―

い てbi(x)≡0,従

あ って,定 理2.1.4を

っ てA=A*の

定 理2.1.4*と

数 に 関す る大 抵 の文 献 で はA=A*の

場 合 に は,G(x,y)=

同 じ書 き方 に で き る.優 調 和 函

場 合(ま た は それ を 抽 象 化 した 形)が 扱

わ れ て い るが,本 書 に お い て は 特 に 断 わ らな い 限 り  A-優 調 和 とA*-優   Aにお

定 義 され る

調和 で あ る.特 に,任 意 のx∈ Ω を 固定 す る と き,G(x,

  偏 微分 作用 素Aにお G(y,x)で

調和 函 数 に 関 して 定 理2.1.4に

の形 で 述 べ て お く方が 使 い や す い こ とが 多 い.

  定 理2.1.4*  μがΩにお け る有 界Borel測

y)はyの

定 義 され るυ は 局

と して い るの で,

調 和 の概 念 を 区 別 す る.

い てc(x)≡0の

A-優 調 和 函 数 とA*-優

場 合 に は,い

わ ゆ る最 小値 原 理 が成 立す る;こ れ は

調 和 函 数 とに 関 し て,そ れ ぞ れ 次 の 定 理2.1.5,2.1.5*

の 形 に述 べ られ る.   定理2.1.5  偏 微 分 作 用 素Aの 係 数c(x)が

≡0な る とき,領 域Ω でA-優

調

和 な函 数 が Ω の 内部 で最 小 値 を とれ ば,そ れ は Ω に お い て 定 数 で あ る.   証 明  函数uが

Ω でA-優

c(x)≡0な らばuに

調 和 で あ っ て,Ω

で あ る と し て よい.uが

Ω に お い て 定 数 で な い とす る と,E={x∈Ω￨u(x)=0}

はΩ の 真 部 分 集 合 で あ るか ら,Ω x0∈D⊂D⊂Ω

の 内 部 で最 小値 を と る とす る.

定 数 を 加 え て もA-優 調 和 性 は 変わ らな い か ら,最 小 値 が0

の 内部 にEの

な る正 則 な 有 界 領 域Dが

境 界 点x0が

とれ る.uの

上 で非 負 値 を と る連続 函 数 の 単 調増 加列{φn}で,∂D上 が あ る.Dに し て,Dに

お け るDirichlet問 お い てA-調

の解)をwnと

と な る か ら,n→

って

下 半 連 続 性 に よ り,∂D でuに

対

和 で あ っ て ∂D上 でφnに 等 し い 函数(Dirichlet問

題

∞ として

調 和性 に よ り

数 をGD(x,y)と

収束 す る もの し,各nに

す る と,uのA-優

題 のGreen函

存 在 し,従

 (2.1.12)

が 成 立 す る.∂D上 ∂D＼Eは

で ∂GD(x0,y)/∂nD(y)0

る こ と とuの

れ は 矛 盾 で あ る. 係 数c(x)が≡0と

数υ(x)が

領 域Ω

し,ω(x)をΩ でA*-優

上 でυ=Cω

  注 意  Ω で 正 の 値 を と るA*-調

和 函 数 ω は 常 に 存 在 す る.(§1.4)

  定 理2.1.5*の

の 函 数wに

対 して

で 定 義 さ れ る 偏 微 分 作 用 素Aを

考え る と,こ

れ とA*と

  (2.1.13) 

ω-1A*[ωw]=Aw

な る 関 係 が あ る(46ペ でA-優調

ー ジ).ま

ず,υ

和 で あ る こ と を 示 す.υ

がΩ

と な る 定 数Cが

でA*-優

る.こ

連 続 か つDでA-調

の と きωwはDで

り,∂D上 ωw≦υ,従

で ωw≦υ っ てw≦uと

和 で あ っ て,∂D上

連 続 で あ っ て,(2.1.13)に と な る か ら,υ な る.こ

がA*-優

れ でuがAに

の 仮 定 を 満 た す とす る と,函

数u=υ/ω

し た よ うに,uはΩ

調 和 で あ る.AはAの

数Cに

はΩ

っ てΩ 上 でυ=Cω

な る正 則 有 界 領 域 で あ でw≦uを

満 た す とす 和 であ おいて

て 函 数υが

満 た

定 理2.1.5*

の 内 部 で 最 小 値 を と り,上

理2.1.5に

が Ω

満 た せ ば,

よ りDでA*-調

調 和 で あ る.さ

る 条 件 を 満 た し て い る か ら,定

等 し い.よ

調 和 な ら ばu=υ/ω

つ い て 定 義 の 条 件ⅲ)を

でA-優

c(x)≡0な

の間には

調 和 な こ と に よ り,Dに

す こ と が わ か っ た か ら,uはΩ

でA-優

存 在 す る.

が 優 調 和 性 の 定 義 の 条 件ⅰ),ⅱ)を

uも 同 じ条 件 を 満 た す こ と は 明 らか で あ る.DがD⊂Ω り,wがDで

で正の値

調 和 で あ っ て,υ/ω

が Ω の 内 部 で 最 小 値 を と れ ば,Ω

証 明  Ω でC2級

下半

に証 明

形 に 書 き表 わ し た と き の よ りuはΩ上

で あ る定

とな る.

  次 の定 理 も,優 調 和 函数 の性 質 とし て興 味 あ る事 実 で あ り,§2.3と

§6.4で

利 用 され る.優 調 和 函数 は連 続 とは限 ら な い か ら,こ の性 質 は 自明 で は な い.

  定 理2.1.6 

領 域 Ω に お い て 函 数u,υ

優 調 和)で あ っ て,u=υ(a.e.)な   証 明   u,υ

がA*-優

し,u(y0)=υ(y0)を

と る.(u(y0)=∞

uの 下 半 連 続 性 に よ り,y0の の と き,Ω1はy0の Euclid空

＼{y0}を

開 区 間(0,1)と

定 に よ りΩ1で 0な 域D1＼D0(⊃

収 束 す る か ら,あ

お い て ωn=ω′n=1

お い て ωn≧ω′n≧0;こ こ でn→

と な る.c0n0な

ω′n-(ωn-c)はDn＼D′0でA-調

特 に ∂D1の

∞ と す れ ばⅰ)に よ っ て ω≧

∂D′0)に 最 大 値 ・最 小 値 原 理 を 適 用 す れ ば,00,従 ∞ と し て ω′ ≧ ω-cを

っ てω′n>ωn-c≧ 得 る か ら,cとc1の

 従 っ て Ω＼D′0に お い て 

ω-cと

な る,

と り方 に よ り

と な る か ら,ω>0な

る こ

成 り立 つ な ら ば,Ω

におい

とが わ か る.   補 助 定 理2.2.2 

前 の 補 助 定 理 のⅲ)で

て 定 数 で な い 正 値A-優

ω≡0が

調 和 函 数 は 存 在 し な い.

  証 明   Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優 x1,x2∈

Ω

調 和 函 数uが

と正 数cをu(x1)0で

とお く と,(2.2.7)と

と っ て 固 定 し,D0=Dn0と

和 な 函 数 ω に 収 束 し,仮 ω>0と

あ る.n>n0な

Ω＼D0でf=0な

な る.だ る各nに

定 と

か ら,S=∂Dn0+1 対 し て 

る こ とに よ り

に おい て の上 で の上 で だ か ら 最 小 値 原 理 に よ りDn＼D0の でun≦cn(1-ω)と

上 でcn(1-ω)-un≧0と

な る.特

な るか ら

 (2.2.8)

次 に,Dn0+1に の 上 でun0+1=0で

だ か ら   (2.2.9)

お い てAun=Aun0+1=fに あ る か ら,最

よ りA(un-un0+1)=0,∂Dn0+1=S

大 値 原 理 と(2.2.8)に

よ り

と な り,こ

れよ り

にSの

上

を 得 る.一

方Dn＼D0で

はAun=f=0,∂Dnの

上 で はun=0だ こ れ と(2.2.9)と

原 理 に よ り 

を 得 る.こ

各nに

の 右 辺 はn(>n0)に

対 し て 

べ て のnに

であ るか ら,上 の 結 果 か ら    以 上 の こ と を 用 い て,次   定 理2.2.1 

係 数c(x)が 数G(x,y)が

要'性

ら(2.2.1)

定 義 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Ω

Ω で 恒 等 的 に0の 存 在 す れ ば,定

において

場 合 に証 明す れ ば よい

理2.1.4に

函 数 と し て Ω でA-優

は 明 ら か で あ る.よ

数G(x,y)が

た よ う に,Ω

はun=0

が 得 られ る.

  Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優 Green函

つ い て Ω ＼Dnで

調 和 函 数 が 存 在 す る こ と で あ る.

す る と きG(x,y)はxの け る'必

る

の 定 理 を 証 明 し よ う.

数G(x,y)が

定 数 で な い 正 値A-優

  Green函

た1≦n≦n0な

領 域 Ω に お け る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

に よ っ てGreen函

  証 明   Aの

大値

か ら

無 関 係 な 有 限 な 値 を と る.ま

は 有 限 で あ り,す

か ら,最

よ り,任

意 のy∈

調和 で あ る か ら,こ

っ て,'十

分'性

Ω を 固定 の定 理 に お

を 証 明 す る.

調 和 函 数 が あ る とす る.(2.2.1)に

定 義 さ れ る こ と を 示 す に は,第1章

の 内 部 に あ る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Eに

§1.4の

よっ て 最 後 に述 べ

対 して

 (2.2.10)

な る こ と を 証 明 す れ ば よ い.Ω を 定 め,unを(2.2.6)に

こ こ でn→

あ る.こ

∞

つE上

よ っ て 定 義 す る と,補

す べ て のn,す と な るMが

上 でf≧0か

べ て のx∈

の と き(2.2.5)に

とす る と,Un(t,x,y)のnに

でf≧1と 助 定 理2.2.3に

な る 函 数f∈C10(Ω) よ り

Ω に 対 し てun(x)≦M0,x∈

Ω0に 対 し てυ(t,x)≧u(x)

とな る こ と を 仮 定 し て 矛 盾 を 導 け ば よ い.ま

ずu(x)-υ(x)はΩ0に

お い て正 の

値 を とる下 半 連 続 関 数 であ るか ら   (2.3.1) Ω0の

上 で00と   こ の よ う な 函 数hは,例

Ω0でA-調

適 当に と れ ば,Ω0に

おいて

な る. え ば 次 の よ うに 定 義 さ れ る,uは

を と る か ら,そ れ を α とす る.α>0な る.wを

な 函 数hを

ら ばh≡0と

和 か つ ∂Ω0で 境 界 値w=1を

で 正 の 最 小 値 β を と る か ら,h(x)={1-(α/β)}w(x)と

Ω0の 上 で 最 小 値

す れ ば よい か ら,α ≦0と す と る 函 数 と す る と,ω

は Ω0

す れ ば よ い.(Aに

お

い てc(x)≡0は でw>0な

仮 定 し て い な い か ら,wに

ら ば Ω0でw>0と

とGreen函

な る こ と は,境

数 の 性 質(1.3.3*)か

 定 理2.3.1  領 域 Ω でA-優 わ ち,D⊂

調和 な 函 数uは,Ω

和 だ か らu(x0)0と

を 示 せ ば よ い.こ

で局 所 可 積 分 で あ る.す な

対 し て 

Ω0⊂ Ω0⊂ Ω な る正 則 有 界 領 域 とす る.Ω0に 函 数hを

界 値 問 題 の 解 を 与 え る式(1.3.5)

ら わ か る.)

Ω な る任 意 の有 界 領 域Dに

  証 明   uはA-優調

最 小 値 原 理 は 適 用 さ れ な い が,∂ Ω0

よ うなA-調

和

可 積 分 な こ とを示 せ ば十 分 で 仮 定 し て,uがDで

の 仮 定 の も と で は 補 助 定 理2.3.2に

よ り,任

可積分 な こと 意 のt>0,x∈

Ω0に 対 し て  (2.3.11)

t0>0を

ひ と つ 固 定 す る と,任

意 のx,y∈

Ω0に

対 し てUΩ0(t0,x,y)は

と な る.だ

値 を と る か ら, 

か

正の

ら(2.3.11)に

 とな り,uがDで

よ り

可積 分 な

こ と が 示 さ れ た.

 定 理2.3.2  函数uが

領 域 Ω でA-優

調 和 な らば,Ω

で非 負 値 を と る任 意 の

f∈C20(Ω)に 対 して   証 明. fの 台 を含 む 有界 領 域 Ω0で Ω0⊂Ω な る もの を と り,  (2.3.12)

を 示 せ ば よ い.Ω0に

対 し て(2.3.10)の

和 函 数hを

と な る.だ

き  u(x)+h(x)に

よ うなA-調

か ら,函

を 証 明 す れ ば,uに

対 し て 

(2.3.12)が

成 り立 つ こ と に な る.よ

(2.3.12)を

証明 す れ ば よ い.こ

な る こ とに よ り

と る.こ

っ て 初 め か ら Ω0でu(x)>0と

の と

数u1(x)=

対 して 仮 定 し て

の 仮 定 の も と で は 補 助 定 理2.3.2とf(x)≧0

 (2.3.13)

一 方 ,基 本 解 の性 質 に よ り

(Aの

添 え 字xは,UΩ0(t,x,y)の

変 数xにつ

い てAを

施 す こ と を 示 す)と

な

る か ら,

がy∈Ω0に

つ い て有 界 収 束 で成 立 し,従 っ て

がy∈Ω0に

つ い て 有 界 収 束 で 成 立 す る.だ

てt↓0と

し た 極 限 を と れ ば,(2.3.12)が

  定 理2.3.3  存 在 し て,任

Ω 上 のA-優

左 辺 をtで

割 っ

得 ら れ る.

調 和 函数uに

意 のf∈C20(Ω)に

か ら,(2.3.13)の

対 し て,Ω

に お け るBorel測度

μが

対 して

 (2.3.14)

  証 明   任 意 のf∈C0(Ω)に っ て 定 義 す る と,C0(Ω)は

対 し て,そ

線 型 ノ ル ム 空間 を な す.{Dn}n=1,2,…

界 領 域 の 列 でDn⊂Dn+1,  属 す る 函 数 で 台 がDnに C0(Dn)に

はC0(Ω)の

な る も の と し,各nに 含 ま れ る も の の 全 体 をC0(Dn)と

属 す る 関 数fは,Dnで

て,Ω-Dnで

はf(x)≡0と

の ノ ル ム を‖f‖=maxx∈

をΩ

よ

の中の有

対 し て,C0(Ω)に 書 く こ と に す る;

連 続 か つ ∂Dnでf(x)=0と

な るものであっ

し てΩ 全 体 に 拡 張 し た も の と考え て も よい.C0(Dn)

線 型 部 分 空 間 で あ り,ノ ル ム‖f‖ に 関 し て 完 備(従

間)で あ る.ま

Ω￨f(x)￨に

たC20(Dn)はC0(Dn)の

っ てBanach空

中 で ノル ム に関 し て稠 密 な 線 型 部分 空 間

で あ る.こ

こ で,任

意 のf∈C20(Ω)に

く こ と に す る と,L(f)はC20(Ω)の て 正 値 汎 函 数 で あ る;す   (2.3.15) Ω   各nに

対 し て(2.3.14)の

上 の 線 型 汎 函 数 で あ り,ま

書

た前定理に よっ

なわ ち 上 でf(x)≧0な

対 し て,Ω

左 辺 の 値 をL(f)と

ら ばL(f)≧0.

上 でgn(x)≧0,Dn上

でgn(x)=1と

な るgn∈C20(Ω)を

一

つ 固 定 し て お く.ま ず   (2.3.16) 

任 意 のf∈C20(Dn)に

対 し て￨L(f)￨≦L(gn)‖f‖

と な る こ とを 示 そ う.(f∈C20(Dn)をΩ こ と に よ りf∈C20(Ω)と

＼Dnに

考 え る.)gnの

-‖f‖gn(x)≦f(x)≦‖f‖gn(x)が

さ れ て￨Ln(f)￨≦L(gn)‖f‖ お け るBorel測度

 (2.3.17) 

  次 に,測

正 値 線 型 汎 関 数 な る こ とに

れ は(2.3.16)を

を 満 た す.だ

任 意 のf∈C0(Dn)に

度 μn(n=1,2,…)をΩ

μm(Dn)≦ μm(Dm)0と

す る.R上

中 のBorel集

合 と し,μ をBで

の 正 値 調 和 函 数uが

定 義 さ れ たBorel

極 小 函 数 で あ っ て,R上

で

 (3.4.4)

を 満 た す な ら ば,一

点 ξ0∈Bが

存 在 し て,R上

でu(x)=u(γ)M(x,ξ0)が

成立

対 し てM(γ;ξ)=1だ

か ら,

す る.   証 明   (3.1.10)と(3.2.3)に (3.4.4)に

よ りu(γ)≧ μ(B)>0と

の 正 則 性 に よ り,Sの μ(Γ)>0な

る も の が あ る.一

>0,ρ-diam(Γ1)0な

れ はSの

コ ン パ ク ト部 分 集 合 で μ(Γ1)

め の Γ に 対 し て 行 な っ た 議 論 を こ の Γ1に

ン パ ク ト集 合 Γ2⊂ Γ1で,μ(Γ2)>0か

るも の が 得 られ る.以

で Γ ⊂Bか

般 に 集 合Δ の 距 離 ρ に 関 す る直 径 を ρ-diam(Δ)

中 の ρ-diam(Δν)0か

る コ ン パ ク ト集 合 の 単 調 減 少 列{Γn}が

得 ら れ る.こ

つ

ρ-diam(Γ2)0に

対 し て,R

す な わ ち Ω ∈OΓ;§3.3の3°)

を適 当 に とれ ば

  (4.2.12)  と な る.次 Fを 含 むRの

x∈ Ω な ら ばu(x)0に 対 し て十 分 大 きいD⊃Kを

とな る(上 の左 辺 の(…)内

す なわ

補 題 に よ り 

を 得 る.次 に 任 意 の ψ∈Pω(R;K)に

に 制 限 し た も の はPωn(Dn;K)に

ば 

か ら,こ の 補 助 定理 の 仮 定 に よ

でR＼DをR＼Kと

が い くら で も 小 さ く な る).だ

と な る.

とれ ば

し て お い て,Dを か ら,Dn⊃Dな

らば

大 き くす れ

n→ ∞

とす る とD上

で は 一 様 に

ωn→ω,Φn→Φ

と な り,ε は 任 意 の 正 数 だ か ら    補 助 定 理5.3.2 

を 得 る.

ω1,ω2∈C2(R)で

あ っ て,い

満 た す と し,ω=ω1+ω2,p=logω

く)を

満 た し,各

 (5.3.4) 

だ か ら 

ず れ も 定 理5.3.1の(B)を

と お く 、 こ の と き ω も(B)(ω(x0)=1を

ων(ν=1,2)に

任 意 の ψ ∈Pω(R)に

つ い て 

除

であ って

対 し て 

 証 明  まず 簡 単 な 計算 に よ り,R上

で 次 の 不 等 式 が 成 立 す る:

 (5.3.5)

この 不 等 式 は,両 辺 の 差 を 通 分 して

を 用 い れ ば 容 易 に 示 さ れ る.(5.3.5)と 

とな るか ら,両 端 辺 をR上

に より

で 積分 す れ ば

 (5.3.6)

す な わ ち 

両 端 辺 をR上

が 示 され た.次 に,任 意 の ψ∈Pω(R)に 対 し て

で積 分 す る と, 

の 各 項 の 積 分 は0に を(ω(x0)=1を  (5.3.7)

な る か ら 

除 き)満

た す こ とが 示 さ れ た.ま

な る こ と に よ り,右 を 得 る.こ たν=1,2に

端辺

れ で ω が(B) 対 して

従 って が 成 り立 つ か ら,両

辺 の2乗

こ う し て 

をR上

で 積 分 す れ ば,仮

が 示 さ れ た.こ を 得 る.だ

の こ と と(5.3.6)と

れ で 補 助 定 理5.3.2が

  以 上 の 補 助 定 理 を 用 い て,定  定 理5.3.1の と お く と,定  (5.3.2′)  任 意 のkに

で あ る か ら,定

な 部 分 列 を,Rに

対 応 す る 領 域Dnの

数 列{ωn;n≧k}はDkで

か らkに

と り,ωn=ωDn

るA*-調

和函数の列

和 函 数 にDkで

関 す る対 角 線 論 法に よ り,{ωn;n≧1}の 和 な 函 数 ω にRで

々 は し ば ら く の 間,こ

た(5.3.2′)に

 (5.3.8) 

更 に 定 理1.4.5に

証 明 す る.

一 様 有 界 なA*-調

よ り適 当 な 部 分 列 が,あ

部 分 列 を 単 に{Dn}と

あ り,ま

よ び5.3.2を

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を

お い てA*-調

選 ぶ こ とが で き る.我

ω(x0)=1で

理5.3.1お

おいて

理1.4.5に

義 一 様 に 収 束 す る.だ

仮 定 に よ って

存 在 し て,

Dnに

対 し て,函

し て(5.3.4)

示 さ れ た.

証 明   (5.1.8)を 数M≧1が

よ り,

か ら 

か ら 任 意 の ψ∈Pω(R)⊂Pων(R)に対

の 等 式 の 左 辺 は 意 味 を も ち,(5.3.7)と

と な る.こ

定 と(5.3.6)に

適当

広 義 一様 に 収 束 す る よ う に

の 部 分 列 を 単 に{ωn}と

書 く こ と に す る.こ

よ りRに

広

書 き,

の とき 明 らか に

おいて

従 って よ り 

(Rで 広 義 一 様 収 束)が 成 立 す るか ら,

 とお く と

(Rで 広 義 一 様 収 束).

 (5.3.9) 

ま た(5.1.4),(5.3.2′),(5.1.6)に

よ り

で あ り,(5.1.3)に と な る.そ

よ り任 意 の ψ ∈Pωn(Dn)に

とお くと,補 助 定 理

こ で 

5.3.1(K=φ

の 場 合)が

  次 に,性

対 し て 

質(B)を

適 用 さ れ るか ら,ω が 性 質(B)を

も つ 函 数 の 一 意 性 を 証 明 す る た め,ω1と

も つ と し,ω=ω1+ω2,p=logω 数 列{ωn}の

と お く.(一

中 の 函 数 で は な い.)こ

対 し て 

ω2が 性 質(B)を

意 性 の 証 明 中 は ω1,ω2は 前 の 函

の と き 補 助 定 理5.3.2に

よ り,ν=1,2に

とお い て

従 っ て(5.3.4)で 

を 得 る.だ

もつ こ と が わ か る.

か ら

 (5.3.10)

ま た,ω

が 性 質(B)を

も つ か ら, 

に定 理1.5.2が

と 

適 用 され て  (5.3.11)

と な る.(5.3.10)と(5.3.11)と

はRで

定 数 と な り,ω1(x0)=ω2(x0)=1に

  こ こ で 再 び{Dn}を,初 る.前

を 得 る か ら, 

か ら 

に 述 べ た(B)を

の 部 分 列 の 中 に,適 が そ れ ぞれ

めに と っ た よ うに(5.1.8)を

当 な 部 分 列{D(ν)}を

意 性 に よ り,{Dn}に

広 義 一 様 に 収 束 し,こ

も 関 係 し な い と こ ろ の,あ

 がR上

固 定 し,ま

と っ て,対

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に

  定 理5.3.2の

満 た す領 域 の 列 とす

満 た す 函 数 の 存 在 証 明 か ら わ か る よ うに,{Dn}の

ω,〓 ω にRで

ら(5.1.8)を

よ り ω1≡ω2を 得 る.

証 明   Kを

こ で ω は,上

ωD(ν)}

に 証 明 した 一

る定 ま っ た 函 数 で あ る.だ

対 し て,部

か

分 列 を と ら ず に,

広 義 一 様 収 束 で成 立す る.

内 部 に 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D0を

た 函 数u0∈C10(R}でu0￨∂K=φ

の を 一 つ 固 定 す る.前

応 す る{ωD(ν)},{〓

任意

を 満 た し,台

がD0に

に 定 義 し た 函 数 ωDに 対 し てpD=logωDと

一つ

含 まれ る も す る と,

 

Dに

お い て 

∂D上 で

が 成 立す る.こ の こ と と,定 理 に述 べ られ た 函 数υDの 性 質 か ら,D⊃D0な

ら

ば 部 分積 分 に よ って

(こ の 式 は 定 理1.5.1と

本 質 的 に 同 じ で あ る)お

よび

が 示 され る.だ か ら

とな り,こ の 不 等 式 か ら

従 って  (5.3.12)

を 得 る.ま

た 補 助 定 理5.2.5に

よ り次 の 不 等 式 が 成 り立 つ:

 (5.3.13)

さ て,(5.1.8)を 定 理1.4.5に

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を よ り,{Dn}の

{〓υD(ν)}がR＼K°

が(5.1.8)を 定 理5.3.1の

適 当 な 部 分 列{D(ν)}に

で 広 義 一 様 に 収 束 す る.定

部 分 列 で 成 立 す れ ば,後

と る と,補

で 示 す(C)を

満 た す 任 意 の 列{Dn}で(部

対 応 す る{υD(ν)}お

理5.3.2の

満 た す 函 数uの

書 い て,{υDn}の

よび

最 後 の命 題 が こ の

一意 性 に よ り,そ の 命 題

分 列 を と ら ず に)成

証 明 の 最 後 の 部 分 と 同 様 に し て 証 明 さ れ る.だ

{D(ν)}を 単 に{Dn}と

助 定 理5.2.4と

極 限 函 数uが(C)を

り立 つ こ と が,

か ら,上

の 部分 列

満 た す こ とを示

せ ば 十 分 で あ る.記

号 の 簡 単 化 の た め υn=υDn,ωn=ωDnと

た こ と と定 理5.3.1に

がR＼K°

よ りuはR＼Kに

お い てA*-調

ク トで あ る こ と と,(5.3.12),(5.3.13)お Fatouの

っ てu￨∂K=φ

和 で あ る.函

で あ り,ま

数u0の

よ びLebesgue積

た

台 が コン パ

分論にお

け る

補題に より

更 に υn(=υDn)の

が 成 立 す る.だ

と お く と,補

定 義 に よ り,任

か ら,p=logω

助 定 理5.3.1が

性 質(C)を   次 に,こ

に述べ

よ り

に お け る広 義 一 様 収 束 で 成 立 す る.従

定 理1.4.5に

お く と,上

意 の ψ∈Pωn(Dn;K)に対

して

と して

適 用 さ れ て(5.3.1)が

成 立 す る.以

上に よ りuは

も つ. の よ うなuの

に 対 し て,uと

一 意 性 を 証 明 す る た め,与

υ が 共 に 性 質(C)を

もつ とす る.こ

え られ た函 数

φ∈C1(∂K)

の と き定 理1.5.2に

おい て

 とす る こ とが で き るか ら

と な る.こ

の 式 と,u-υ

を 得 る.こ

こ で ∂K上

  定 理5.3.1お

も性 質(C)(た

で はu=υ=φ

だ し φ ≡0)を

よ び5.3.2に

よ り,Rの

だ か ら,R＼Kでu=υ

もつ こ とに よ り

と な る.

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Kを

与 えた

と き,C1(∂K)で

定 義 さ れ た 一 意 写 像L≡LKで,φ

でA*-調

∂K上

和 かつ

が 性 質(C)を

含 む 集 合(例

え ばR＼K°

義 さ れ た 函 数wでw￨∂K∈C1(∂K)な 像 を 簡 単 にLwと

の 写 像Lを

で も,R全

理5.3.2か

則 写 像L≡LKが

正 則 写 像 と呼

体 で も よ い)で

る も の に 対 し て,w￨∂Kの

書 く こ と に す る.正

も つ こ と は,定

対 し てR＼K

で 境 界 値 φ を と る 函 数 を 対 応 さ せ る も の を,u=LKφ

も つ よ うに 定 義 す る こ とが で き る.こ

ぶ こ と に す る.∂Kを

17)を

∈C1(∂K)に

写 像Lに

定 よる

次 の 性 質(5.3.14∼

ら 容 易 に わ か る(以 下 φ,φ1,φ2∈C1(∂K)

とす る):  (5.3.14) 

Lω=ω,

 (5.3.15) 

(c1,c2は

 (5.3.16) 

φ ≧0な

で あ っ て,ψ

ら ばLφ

≧0,

に属し

が 

か つ 

 (5.3.17)

定 数),

な らば

こ こで ψ≡1と す る と,u=Lφ

が次 の式 を満 たす こ とが わか る:

 (5.3.18)

ま た,(5.3.14∼16)か

ら 次 の 式 は 容 易 に 導 か れ る:

 (5.3.19)

  特 にb≡0(従

っ てA=A*)の

り ω≡1と な る.従

っ てp≡0と

と き は,定理5.3.1に な る か ら,(5.3.17)の

お け る ω の一 意 性 に よ 最 後 の等 式 は

(5.3.20) と な る.こ し て 

の こ と か ら, 

か つυ￨∂K=0を

満 た す 任 意 の υに 対

とな るか ら

が成 立 す る.だ か らu=Lφ

は,∂K上

で 境 界値 φを とる函 数 の うち でR＼K

に お け るDirichlet積   以 上 に 述 べ たLの normal

operator,山

が わ か る.

分 が 最 小 な も の と し て,一 各 性 質 に よ り,こ

意 的 に 定 ま る 函 数 で あ る.

のLがAhlfors-Sarioの

口 博 史 氏[13]のregular

operatorの

書 物[6]の 拡張 である こと

  §5.4  正 則 写 像 の 定 義 の 拡 張 と基 本 的 性 質

  KをRの

中 の正 則 コンパ ク ト集 合 とし,L≡LKを

とす る.点y∈R＼K°

前 §で 定 義 した 正 則 写 像

を 任 意 に と って 固 定 す る と き,任 意 の φ∈C1(∂K)に

対 して  (5.4.1)

が 成 立 す る.こ

像(yは

の こ と と(5.3.15),(5.3.16)に

固 定)はC(∂K)上

な る写

よ り, 

の有 界正 値 線 型 汎 函 数 で(5.4.1)を

一 意的に 拡 張 され る.だ か ら ∂Kの 上 のBorel測 の が存 在 し て,任 意 の φ∈C1(∂K)に

度μyKで

満 た す もの に

μyK(∂K)≦1な る も

対 して

 (5.4.2)

が 成 立 す る.   ∂Kに お い て下 半連 続 な 任 意 の 函 数 φ に対 し て,(LKφ)(y)を(5.4.2)),に り定義 す る.任

意 の下 半 連 続 な 函 数 は 連続 函 数 の,従

ってC1級

調 増 加 列 の極 限 函 数 と し て 表 わ さ れ る か ら,(LKφ)(y)はyの R＼Kに

お い てA*-調

よ

の 函数 の,単 函数 と し て,

和 な 函数 の単 調 増 加 列 の極 限 で あ る.だ か ら定 理1.4.7

に よ っ て次 の定 理 が 得 られ る.   定 理5.4.1 

∂Kに お い て下 半 連 続 な 任 意 の 函数 φ に 対 し て,R＼Kの

結 成 分 に お いてLKφ

は,そ

こで恒 等 的 に ∞ で ない か ぎ りA*-調和

  こ うして 正 則 写 像LKが,∂Kに 各 連 結 成 分 でA*-調 に 拡 張 され た.こ

で あ る.

お い て 下 半 連 続 函 数 の全 体 か ら,R＼Kの

和 また は恒 等 的 に ∞ で あ る よ うな 函数 の集 合 の中 へ の写 像

の よ うに 拡 張 され た写 像LKも

  この 拡 張 され たLKに

つ い て も,前

る集 合 で下 半 連 続 函 数wに とにす る.

各連

§のLKの

対 し て,LK(w￨∂K)の

正 則 写 像 と呼 ぶ. 場 合 の よ うに,∂Kを

含む あ

こ とを簡 単 にLKwと

書 くこ

  こ こ で 次 の 定 理 を 証 明 し て お く.   定 理5.4.2 

K1,K2をRの

とす る と,∂K1に

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な

お い て 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R＼(K2)°

てLK2(LK1φ)=LK1φ

対 し て こ の 定 理 が 成 立 す れ ば,前

写 像 の 拡 張 の 定 義 に よ り,∂K1で こ とが わ か る.φ ∈C1(∂K1)な

(C)でK=K2,φ=u￨∂K2と

ら ば,u=LK1φ

と定 義 す る と,ψ

は 定 理5.3.2の(C)(K=K1と

な る.従

っ て υ=LK2uは

し た も の を 満 た す.任

の 上 の 函 数ψ

す る)に

意 の ψ ∈Pω(R;K2)に

で 連 続 で あ り,〓ψ

を 満 た す,従

性 質(C)(K=K1と

定 理5.3.2の 対

を

はR＼(K1)°

さ れ て 

ペ ー ジに述 べ た 正 則

下 半 連 続 な任 意 の函 数 φ に対 し て 成 立 す る

満 た し,u￨∂K2∈C1(∂K2)と

し て,R＼(K1)°

におい

が 成 立 す る.

  証 明   φ∈C1(∂K1)に

す る)を

る もの

はR＼(K1∪

っ て ψ ∈Pω(R;K1)と

∂K2)で

定義

な る か ら,uの

よ り

を得 る.こ の式 はψ の定 義 に よ り次 の式 と同 じ であ る:

だ か らuは

定 理5.3.2の(C)でK=K2,φ=u￨∂K2と

っ て,定

理5.3.2に

てu=υ

と な るか ら,定

お け る(C)を 理5.4.2が

  こ こ で,Ahlfors-Sarioの ence

theorem)と

掲 書[6]に

満 た す 函 数 の 一 意 性 に よ りR＼(K2)°

におい

成 立 す る.

書 物[6]に

呼 ん で い る 定 理(同

(後 述 の 定 理5.4.3).こ

し た も の を 満 た す.よ

お い て'主 書p.154)に

存 在 定 理'(main

exist

対 応 す る定理 を証 明 し よ う

の 定 理 は 本 書 に お い て 今 後 応 用 す る 機 会 は な い が,前

お い て 主 存 在 定 理 が 重 要 な 基 本 定 理 の 一 つ で あ る こ と か ら も,ま

た 本 書 の 正 則 写 像 が[6]のnormal

operatorの

拡 張 で あ る こ とを 更 に 明 確

に す る た め に も,こ   R＼KでA*-調 く と,前

の 定 理 を 述 べ る こ と は 無 駄 で は あ る ま い. 和 で あ っ てR＼K°

で 連 続 な 函 数 の 全 体 をH(R＼K)と

§で 定 義 し た 正 則 写像L≡LKはC1(∂K)か

写 像 で あ っ て,次

の 性 質 を も つ;こ

らH(R＼K)の

こ で φ,φ1,φ2∈C1(∂K)と

 (L.1) 

(Lφ)￨∂K=φ,

 (L.2) 

Lω=ω,

 (L.3) 

(c1,c2は

 (L.4) 

φ≧0な

ら ばLφ

書 中への

す る:

定 数),

≧0,

とす る と

 (L.5) 

  今 後 こ の §に お い て は,LはC1(∂K)か (L.1∼5)を

満 た す も の と し,そ

用 い な い.上

らH(R＼K)の

中 へ の写 像 で あ っ て

れ が 前 §で構 成 され た 正 則 写 像 で あ る こ とは

の 性 質(L.2∼4)か

ら,次

の(L.6)は

容 易 に 導 か れ る:

 (L.6)

  Ahlfors-Sarioの を す る.ま

ずKを

つ 定 め て お く.任

主 存 在 定 理 に 対 応 す る定 理5.4.3(後 含 む 正 則 領 域D⊂Rで

対 し て,Dに

こ で φ,φ1,φ2∈C1(∂D)と

 (G*.2) 

書 く と,写

 (G*.5) 

 (G*.6)

お け るDirichlet境

像G*は

(G*φ)￨∂D=φ, G*ω=ω, (c1,c2は

φ≧0な

ら ばG*φ

とす る と

≧0,

界値 対 し

次 の 性 質 を も つ;こ

す る:

 (G*.3) 

 (G*.4) 

もつ も の を 一

解 が 一 意 的 に 存 在 す る か ら,φ ∈C1(∂D)に

て こ の 解 υ を 対 応 さ せ る 写 像 をG*と

 (G*.1) 

コ ン パ ク トな 閉 包Dを

意 の φ∈C1(∂D)に

問 題:A*υ=0,υ￨∂D=φ,の

述)を 示 す た め の 準 備

定 数),

  (G*.1)は

明 ら か.(G*.2),(G*.3)は

か る.(G*.5)はDに

お い てA*υ=0な

れ る.(G*.4),(G*.6)はA*-調   な お,写

像Lに

し,L(w￨∂K)が G*に

境 界 値 問 題 の解 の一 意 性 に よ って わ る こ と とGreenの

和 函 数 に 関 す る 最 大 値 原 理 の 結 果 で あ る.

つ い て,∂Kを

含 む あ る 集 合 で 定 義 さ れ て い る 函 数wに

定 義 さ れ る な ら ば そ れ を 単 にLwと

え ば,wが

像

は この意 味 で使 っ

∂Kを 含 む 集 合 で 定 義 さ れ てw￨∂K∈C1(∂K)な

 (L.1′) 

対

書 くこ と に し た が,写

つ い て も 同 様 で あ る.(L.2)のLω,(G*.2)のG*ω

て い る.例

公 式 に よ り導 か

らば

LLw=Lw

が 成 り立 つ こ とは,(L.1)か

ら直 ち に わ か る.G*に

関 し て も同様 の こ とが い

え る.   こ こで い くつ か の補 助 定 理 を 準 備 す る.   補 助 定 理5.4.1 

コン パ ク ト集 合Kと

のみ で 定 ま る正 の定 数k0な

定 理2.1.6を

な る こ とが 示 され

証 明 と全 く同 じ 論 法 に よ る;Aと

か わ りに(6.1.16)を

る こ とか ら,υ がDで

  上 の 一 意 性 の 証 明 はDが

理1.4.10と

用 い れ ば よ い.こ

調 和 な ら ば μ(D)=0で

コ ン パ ク トで な くて も よ い か ら,次

の一意性

あ る. の定理が成立

す る.   定 理6.1.8 

領 域 Ω(⊂R′)の 上 の 優 調 和 函 数 υ が,Ω

と Ω 上 の 調 和 函 数hに

よ っ てυ=μN+hと

とhは

υ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る;特

=0で

あ る.―

  最 後 に,優 合 の,Ω

表 わ さ れ る な ら ば,こ

度 μ

の よ うな μ

に 領 域 Ω1(⊂ Ω)で υ が 調 和 な ら ば μ(Ω1)

調 和 函 数 υ が Ω の あ る コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 外 で 調 和 で あ る場

全 体 で のRiesz分

  定 理6.1.9 

に お け るBorel測

Kを

領域

解 の 定 理 を 証 明 し よ う. Ω(⊂R′)の

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と す る.υ

が Ω 上の

優 調 和 函 数 であ って,Ω ＼Kに で 台 がKに

含 まれ る もの と,Ω 上 の 調 和 函 数hが

い て υ=μN+hが

の閉 包Dが

度μ

一 意 的 に存 在 し て,Ω に お

Ω の コン パ ク ト部 分 集 合 で あ る も

とつ 固 定す る.こ

の と き 定 理6.1.7に

関 係 しな い)とD上

の 調 和 函数hDが

μ(Dに

に お け るBorel測

成 立 す る.

  証 明  Kを 含 む 領 域Dで,そ の を,ひ

お い て調 和 な らば,Ω

よ り,Ω に おけ るBorel測 一 意 的 に 存 在 して,Dに

度

お いて

次 の式 が成 立 す る:  (6.1.17)

更 に,υ

がD＼Kで

調 和 な こ と に よ り μ(D＼K)=0で

あ る.こ

こ で,Dが

Ω

に 含 ま れ る コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ か ぎ り任 意 に 大 き く とれ る こ と と,μ がD に 無 関 係 な こ と に よ り,μ

の 台 はKに

含 ま れ る.だ

か ら(6.1.17)の

項 の 積 分 範 囲 を Ω と書 い ても よ い か ら,(6.1.17)をυ=μN+hDと こ と に す る.い

ま,D＼Kに

右 辺 第1 簡 単に書 く

おい て h=υ-μN

と 定 義 す る と,hは な る か ら,一

意 接 続 定 理(定

る こ と に よ りhは +hが

Ω ＼Kに

理1.4.10)に

よ っ て,Kの

Ω 上 の 調 和 函 数 と な る.こ

成 立 す る.hの

っ て 明 ら か で あ る.

お い て 調 和 で あ り,D＼Kにお

一 意 性 も,hDのDに

い て はh=hDと

上 で もh=hDと

定義す

の と き明 ら か に Ω 全 体 で υ=μN お け る 一 意 性 と一 意 接 続 定 理 に よ

§6.2  Neumann型

  K0を

理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成

前 § で 固 定 し た 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,こ

Neumann型

核 函 数 をN(x,y)と

す る.こ

のK0を

用 い て構 成 した

の核函数は

 (6.2.1)

に お い て 定 義 さ れ て い て 連 続 で あ り,こ に あ れ ばN(x,y)=0で

あ る.そ

 (6.2.2) 

意 のy∈R′

一 方 が ∂K0の 上

こで

x∈K0,y∈R′

と 定 義 す る と,任

の 集 合 の 中 でx,yの

に 対 し て はN(x,y)=0

を 固 定 す る と き,N(x,y)はxに

つ い てR＼{y}

の 上 で 連 続 な 函 数 と な る.   Rの

一 点 コ ン パ ク ト化(one-point

ン パ ク ト空 間 で あ る か ら,そ ク ト集 合K0を

compactification)は

距離づけ可能 な コ

の 位 相 を 定 義 す る 距 離 の 一 つ を ρ0とす る.コ ン パ

含 む 領 域D0で,そ

の 閉 包D0が

コ ン パ ク トで あ る も の を 一 つ 固

定 す る.   任 意 の 二 点x1,x2∈Rに

対 し て,上

に 述 べ た 距 離 ρ0(x1,x2)と

 (6.2.3)

と を 用 い て,   (6.2.4)

と 定 義 す る.   我 々 は こ の ρを 用 い て,§3.2に を 進 め る こ と が で き る.以 定 理6.2.3,定

理6.2.5を

界 の 構 成 と 全 く並 行 に 議 論

下 に 述 べ る 定 理 や 補 助 定 理 は,定 除 き,§3.2に

同 じ 方 法 で 証 明 さ れ る.だ 理6.2.5以

お け るMartin境

理6.2.2の

系2,

お け る 対 応 す る 定 理 や 補 助 定 理 と全 く

か ら こ の §で は,定

外 の 各 定 理 や 補 助 定 理 は,§3.2と

理6.2.2の

系2,定

理6.2.3,定

同 じ順 序 に 従 っ て記 述 す るだ け

と し,そ れ ら の 証 明(そ れ は §3.2と 本 質 的 に 同 じ 議 論 の 繰 返 し に な る)は 記 述 し な い;た

だ,§3.2の

記 述 と形 式 的 に 多 少 の 違 い の あ る 部 分 に つ い て の み,前

も っ て 注 意 を 述 べ て お く に 止 め る.読

者 諸 氏 が §3.2に な ら っ て 各 定 理 を 験 証

さ れ る こ と は 容 易 で あ ろ う.   ま ず §3.2の 偏 微 分 作 用 素A,核 な っ て お り,核

函 数M(x,y)が

函 数 の 変 数xとyの

役 目 が 入 れ 替 っ て い る.次

お い て は 必 要 の な か っ た コ ン パ ク ト集 合K0が (6.2.3)で

定 義 し た ρ1はx1,x2∈K0に

合 に お け る位 相 的 な 議 論 で は,§3.2に

Rを

こ の 章 で 用 い ら れ て い る た め,

の こ と はRの

れ

中 の コ ン パ ク ト集

おけ る論 法 に本 質 的 な影 響 を与 え な い

距 離 ρ に よ っ て 完 備 化 し た 後 の 理 想 境 界 の 近 傍 に お け る 議 論 に 対 し て も, 助 定 理3.2.1の

記 の 補 助 定 理6.2.1の

補 助 定 理3.2.2お

理5.5.1の

証 明 の 中 で(3.1.9)を

証 明 で は 定 理5.5.1の

よ び 定 理3.2.2と

部 分 に つ い て は,下 は,定

に

点 コ ン パ ク ト化'の 位 相 を 与 え る 距 離 で あ る こ と に よ り,

ρ0は 影 響 を もた な い.補 し,下

に,第3章

対 し て は 距 離 の 性 質 を も た な い.そ

ゆ え 距 離 ρ0を ρ1に 加 え て ρを 定 義 し た が,こ

し,ま た ρ0がRの'一

こ こ で はA*,N(x,y)に

用 い る.ま

そ の 系 の 証 明 中 に 補 助 定 理3.1.2を

記 の 補 助 定 理6.2.2お 系3のⅱ)を

用 いた の に対

系3のⅰ)を

用 い る.以

よ び 定 理6.2.2と

た,

用 いた

そ の 系1の

証明で

上 の こ と に 注 意 す れ ば,Neumann

型 理 想 境 界 の 構 成 が 下 記 の 手 順 で 進 め ら れ る.   補 助 定 理6.2.1 

(6.2.4)で

与 え た ρ はRに

こ の 距 離 で 定 義 さ れ る 位 相 は,多   補 助 定 理6.2.2 

Rは

本 来 の 位 相 と 同 じ で あ る.

上 に 述 べ た 距 離 ρに 関 し て 全 有 界 で あ る.

  こ の 補 助 定 理 に よ り,空 間 で あ り,ρ はRの

様 体Rの

お け る ひ と つ の 距 離 を 定 義 し,

間Rの

距 離 ρ に よ る 完 備 化Rは

コ ン パ ク ト距 離 空

上 の 距 離 に 自然 な方 法 で 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.そ

れ た 距 離 を 同 じ 記 号 ρで 表 わ し て も 混 乱 は 起 こ ら な い か ら,以

の拡 張 さ

下 そ うす る こ と

に す る.   こ の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ:   定 理6.2.1 ⅰ) 

多 様 体Rは

コ ン パ ク ト距 離 空 間Rの

中 に 同 相 に 埋 め 込 まれ

て い る.  ⅱ)  R＼RはRの   定 理6.2.2 

閉 部 分 集 合 で あ っ て,内 核 函 数N(x,y)は

点 を も た な い.

 ⅱ

の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ る.拡 る と き,yの   系1 

張 さ れ たN(x,y)は,任

函 数 と し てR′ ＼{x}で

EがR＼K0の

っ て,E∩F=φ

意 のx∈Rを

固定 す

調 和 で あ る.

中 の 閉 集 合,FがR′

∪ ∂K0の

中 の コ ン パ ク ト集 合 で あ

な らば

 ⅰ )

)  N(x,y)はE×Fの

上 で 距 離 ρに 関 し て 一 様 連 続 で あ る.

  系2  任 意 のx∈R＼K0に

対 し て,N(x,y)のyに

微分    こ の 系2に

界 の 場 合 の 定 理3.2.3の

界 の 構 成 ま で 述 べ た あ と で,上 の 系2はx∈R′

の 系2の

Rは

た 次 の 定 理6.2.3の

証 明 と は 事 情 が 異 な る か ら,理 証 明 と 次 の 定 理6.2.3の

の 場 合 は 定 理5.5.1の

の §で 証 明 す る の はx∈R＼Rの   定 理6.2.3 

系2に

方 に 無 関 係 で あ る.K0とK0をRの

ン パ ク ト集合K0,距

離 ρ0,領 域D0の

れ ぞ れK0,K0を

し,(6.2.3)と(6.2.4)に

よ っ てN(x,y),ρ0を

用 い て ρを 定 義 す る.距 す る.こ

用 い て §5.5で

述 べ た よ うに 構 成

用 い て ρ1,ρ を 定 義 し,同

離 ρ,ρ に 関 し てRを

の と き,RとRは

函

様

完 備 化 した 距

一 様 同相 で あ っ て,そ

の

お い て は 恒 等 写 像 で あ る.

  こ の 定 理 に よ り,上

に 述 べ た 方 法 で 構 成 さ れ るRの

は た だ ひ と 通 りで あ る.§3.2の 合 で あ る か ら,こ

そ れ ぞ れK0とK0

コ ン パ ク トで あ る とす る.核

数N(x,y),N(x,y)を,そ

同 相 写 像 はRに

選び

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合,ρ0とρ0をR

れ ら の 閉 包D0,D0は

離 空 間 を そ れ ぞ れR,Rと

証 明 を 与 え る.

ほ か な ら な い か ら,こ

の 一 点 コ ン パ ク ト化 の 位 相 を 与 え る 距 離 と し,D0とD0は

にN(x,y),ρ0を

想境

場 合 で あ る.

次 の 意 味 で,コ

を 含 む 領 域 で あ っ て,そ

上 で の法 線

が 成 り立 つ.

対 応 す る も の は §3.2に は 存 在 し な い し,ま

証 明 はMartin境

な お,上

関 す る ∂K0の

が 存 在 して, 

れ をRの

場 合 と 同 様 に,R＼Rは

完 備 化Rは,本

質的に

内 点 を もた な い 閉 集

境 界 と考え て 次 の 定 義 を 与 え る.

  定 義   こ の §に 述 べ た よ うに 構 成 し たRをRの(楕

円 型 偏 微 分 作 用 素A*に

関 す る)Neumann型 をRの(A*に

コ ン パ ク ト化 ま た は 倉 持 コン パ ク ト化 とい い,S=R＼R

関 す る)Neumann型

  定 理6.2.2に

理 想 境 界 ま た は 倉 持 境 界 と い う.

よ り任 意 の 点 ξ∈Sに

函 数 で あ る が,定

理3.2.4に

対 し てN(ξ,y)はyに

つ い てR上

対 応 す る次 の 定 理 に よ り,S上

の調和

の相 異 な る二 点 は

相 異 な る調 和 函 数 を 与 え る.   定 理6.2.4  の 点y∈R′

S上

の点

ξ,ηに 対 し て,定

でN(ξ,y)=N(η,y)と

理6.2.2の

な る な ら ば,ξ

系2と

  定 理6.2.2の

証 明   前 ペ ー ジ に 述 べ た よ うに,x∈R＼Rの

明 す れ ば よ い.K0を

証 明 し よ う.

内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,そ

ト部 分 集 合 で あ る も の を 一 つ 固 定 す る と,任 (n→ ∞)な る 点 列{xn}⊂R＼Dが Green函

数GD＼K0(x,y)を

任 意 のxnと

任 意 のy∈D＼(K0)°

場 合 に証

の 閉 包DがRの

意 のx∈Rに

存 在 す る.定 考 え る と,そ

すべ て

と η は 同 じ 点 で あ る.

  こ こ で 定 理6.2.2の 系2の

定 理6.2.3を

函 数N(x,y)が

理5.5.1の

コン パ ク

対 し て ρ(xn,x)→0 系3の

証 明 中 と同 じ

の 証 明 中 に 示 し た(5.5.22′)に

よ り,

に 対 して

 (6.2.5)

∂Dと

∂K0と

は 互 い に'離

れ た'コ

ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,上

の式 か ら

 (6.2.6)

(6.2.5)でn→

∞

と す る と,定

と な るか ら,N(x,y)のyに

理6.2.2の

系1のⅱ)に

よ り

関 す る ∂K0上 で の 法 線 微 分 が 存 在 し て

 (6.2.7)

定 理6.2.2の

系1のⅱ)に

よ り(6.2.6)と(6.2.7)でz∈

 と な る か ら,  し て 一様 収 束)が

成 立 す る.こ の こ と と,xn∈R′

て い る こ とか ら,x∈R＼Rに対

し て も成 立 す る.

∂Dに

関 し て一 様 に

(y∈ ∂K0に に 対 し て は こ の 系2が

関

成 立し

  こ こ で 定 理6.2.3の   補 助 定 理6.2.3 

定 理6.2.3の

に お け る §5.2の の と き,ⅰ)任

証 明 に 用 い る次 の 補 助 定 理 を 示 す. 仮 定 の も と で 更 にD0⊂K0と

境 界 値 問 題(5.2.1)のGreen函

数 をGD0＼K0(x,y)と

意 のx∈R＼D0,y∈D0＼K0に

対 して

含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域Dを

に お け る §5.2の

境 界 値 問 題(5.2.2)の

核 関 数ND,K0(x,y)を

§5.5以 降 の よ う にND(x,y)と

書 く.K0をK0で

核 函 数 をND(x,y)と

意 のy∈D0＼N0を

D＼(K0)°  

書 く.任

に お け るxの

D＼K0に

と る.D＼K0 考 え,こ

れを

置 き 換 え て同 様 に 定 義 し た 固 定 し て,ND(x,y)を

函 数 と考 え る と,

お い てAxND(x,y)=0,∂Dの

を 満 た す.ND(x,y)が

す る.こ

対 して

 ⅱ )  任 意 のx∈R＼D0,y∈D0＼K0に

  証 明   D0を

し,ま たD0＼K0

上 で

境 界 値 問 題(5.2.2)(K=K0)の

核 函数 であ るか ら

 (6.2.8)

が 成 立 す る.ま お け るyの  

た,任

意 のx∈D＼D0を

固 定 し て,ND(x,y)をD0＼(K0)°

函 数 と考 え る と

D0＼K0に

お い てA*yND(x,y)=0,∂K0の

を 満 た す.GD0＼K0(x,y)が(5.2.1*)のGreen函

が 成 立 す る.従

っ て 特 にz1∈

が 成 立 す る.こ

れ を(6.2.8)の

入 す る と,次

に

の 等 式 を 得 る:

∂K0に

上 でND(x,y)=0 数 で もあ るか ら

対 して

右 辺(に

お い てzをz1と

書 き 直 し た 式)に

代

 (6.2.9)

こ こ で 定 理5.5.1に

お け る よ うに,(5.1.8)を

な る よ うに と る と,定

理5.5.1に

満 た す 領 域 の 列{Dn}をD0⊂D1

述 べ た 領 域 に お け る広 義 一 様 収 束 で

 (6.2.10)

が 成 立 す る.(6.2.9)に

お い てD=Dnと

し てn→

∞

とす れ ば(6.2.10)に

よ

りⅰ)の 結 論 を 得 る.   次 にⅱ)を

証 明 し よ う.Dを

∈C10(D＼K0)を

初 め に 述 べ た よ う な 正 則 領 域 とす る.任

と っ て,y∈D＼(K0)°

意 のf

に対 して

 (6.2.11)

と おくと,υ  

は D＼K0にお

を 満 た し,y∈

∂K0な

い てA*υ=0,∂Dの ら ばND(x,y)=0で

上 で あ る か ら,

 (6.2.12)

と な る.§5.2に あ る か ら,任

述 べ た よ うにND(x,y)は 意 のy∈D＼(K0)°

が 成 立 す る.こ

はxに

核函数 で も

に対 して

の 式 の 左 辺 の υ に(6.2.11)を,右

る こ とが で き る か ら,代

特 にx,yが

境 界 値 問 題(5.2.2*)の

辺 の υ に(6.2.12)を

代入す

入 して か ら右 辺 の積 分 の 順 序 を 変 え る と

そ れ ぞ れD＼D0,D0＼K0を

つ い て 連 続 で あ る か ら,fの

動 くな ら ば,上 任意性に よ り

の 両 辺 の{…}の

中

 (6.2.13)

が 成 立 す る.(5.2.4)と(5.5.10)に 分 を 考 え,Dと K0を

お い て,xに

し てⅰ)の 証 明 中 と 同 じDnを

固 定 す る と き,(6.2.10)の

第1式

関 す る ∂K0の

と っ てn→

に よ りx∈

∞ とす る と,y∈D0＼

∂K0に

 が 成 立 す る か ら,(6.2.9)か の と 同 様 に し て(6.2.13)か

らⅱ)の

  こ の 補 助 定 理 を 用 い て,定

がRに

関 す る一 様 収 束 で

らⅰ)の 結 論 を 導 い た

結 論 が 導 か れ る.

理6.2.3の

  ま ず こ の 定 理 は,D0⊂(K0)°

上 で の法 線 微

証 明 を 与 え よ う.

と し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.距

お い て 同 値 な 距 離 で あ る こ とは 明 ら か で あ る.ま

たRの

離 ρ0とρ0と 任 意 の コン パ

ク ト部 分 集 合 に お け る 二 つ の 距 離 ρ と ρ の同 値 性 も 明 ら か で あ る.よ を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D⊂Rを

一 つ と っ て,R＼Dに

と ρ1が 互 い に 同 値 な 距 離 を 与 え る こ と を 示 せ ば,ρ 距 離 と な る か ら,距 が わ か る.ρ1と K0⊂Dな

お い て 同値 な

離 空 間 の 完 備 化 の 一 意 性 に よ り定 理6.2.3が

成立す る こと

る こ と と,補

  x1,x2∈R＼Dと

お い て は'距

助 定 理6.2.1に

す る.補

助 定 理6.2.3に

 (6.2.14)

 (6.2.15)

が 成 立 す る.こ

こで

らば

離'の

条 件 を 満 た す こ と は,K0∪

対 応 す る 補 助 定 理3.2.1の

っ て ρ1とρ1のR＼Dに

が 成 立 し,y∈D0＼K0な

お い て ρ1

と ρ がRに

ρ1がR＼Dに

ば 容 易 に わ か る.よ

っ て,D0

証 明 を見 れ

お け る 同 値 性 を 証 明 す る. よ り,y∈D0＼K0な

らば

と お く;C1,C2が

有 限 な こ と は ∂D0,∂K0,D0が

互 い に交 わ ら な い コン パ ク

ト集 合 で あ る こ とか ら 明 ら か で あ り,C3が

有 限 な こ と は,定

中 の(5.5.10)を

て 任 意 の 正 数 ε>0に

用 い て 容 易 に 示 さ れ る.さ

と お く と,ρ1の

定 義 と(6.2.14)か

ら

が 導 か れ,ρ1の

定 義 と(6.2.15)か

ら,同

が 導 か れ る.N(x,y),N(x,y)は

理5.5.1の

証 明

対 して

様 に して

定 理6.2.2の

系1のⅱ)に

と な る.以

続 性 を もつ か ら, 

述 べ られ た 一 様 連

上 に よ り,ρ1と

ρ2が 同

値 な距 離 で あ る こ とが わ か る.   最 後 に,核 理6.2.2に Borel測

函 数N(x,y)に よ り,(6.1.7)で

NK(x,・)≦N(x,・)が 対 し て は,点

と きR＼(K0∪K)にお す る と(6.1.11)と

列{xn}⊂R′

μNが

∪Sの

上 の 任 意 の

成 立 す る;特

に 対 し て,R＼(K0∪K)に

にx∈K°

に測度

＼Kでxに

おいて

な ら ば 等 号 が 成 立 す る.任

意の

収 束 す る も の が 存 在 す る.こ

い てNK(xn,・)≦N(xn,・)が

成 立 す る か ら,n→

有 界 収 束 定 理 に よ りNK(x,・)≦N(x,・)を

に 含 ま れ るBorel測

上 の

号 が 成 立 す る.

よ り任 意 のx∈R′ 成 立 し,特

と,R′

お い て(μN)K≦

内 部 に 含 ま れ る な ら ば,等

  証 明   定 理6.1.6に

μ を 台 がK°

＼Kに

∪Sの

れ に つ い て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

度 μ に 対 し て,R′

μ の 台 がKの

x∈Sに

定 義 さ れ た ポ テ ン シ ャ ル μNが,R′

度 μ の 場 合 に 拡 張 さ れ る.こ

  定 理6.2.5  Borel測

関 す る ポ テ ン シ ャ ル の ひ とつ の 性 質 を 述 べ る.定

度 とす る と,初

の

∞ と

得 る.さ

め に 述 べ た 事 実 と(6.1.10),

て

(6.1.11)を

用 い て,任

意 のy∈R＼(K0∪K)に

対 し て 次 の 計 算 が で き る:

測 度 μ の台 に 条 件 を つ け な い 場 合 は,上 の 計 算 で μに 関 す るK° の上 の積 分 が R′∪Sの 上 の 積 分 とな り,不 等 式NK(x,y)≦N(x,y)に か ら2番

よ り,上 の 計算 の最 後

目の等 号 が 不 等 号 ≦ とな るか ら,(μN)K(y)≦(μN)(y)が

  今 後,Rの

任 意 の 部 分 集 合Eに

の 閉包,内 部 を それ ぞれEa,Eiと Rで 考え たEの

閉 包,内 部 は,今

記 号 の用 法 は,第3章

得 られ る.

対 し て,コ ン パ ク ト距離 空 間Rで 書 く.集 合E⊂Rに

対 し て,も

ま で通 りそ れ ぞ れE,E°

の場 合 と同様 で あ る.)

考 え たE との 多様 体

と書 く.(こ れ らの

  §6.3  全 調 和 函 数 と全 優 調 和 函数

  Martin境

界 の理 論 に お い て は,核

函 数 と正 の 測度 を用 い て積 分 表現 さ れ る

函 数 は 正値(優)調 和 函 数 で あ った が,倉持

境 界 の理 論 に お い て,同 様 な積 分 表

現 を もつ 函 数 の 特徴 づ け とし て,全(優)調

和 函 数 の概 念 を導 入す る.

  下 記 の 定 義 に お い て は,υ は常にR′

に お い て非 負 値 か つ 下 半 連 続 で あ って

恒 等 的 に ∞ で は な い 函数 を表 わ す とし,任 意 の正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ 対 し て,υKは(6.1.8)で

定 義 され た 函数 とす る.こ の とき υKはR′にお

に いて

下半 連続 で あ る.   定 義 ⅰ) 任 意 の正 則 コンパ ク ト集合K⊂R′に

対 して,R′ 上 で υK≦υな る

とき,υ をR′ 上 の全 優 調 和 函 数(full superharmonic 函 数 と呼 ぶ;そ (full harmonic

function)ま

の よ うなυ が 更 にR′ で調 和 で あ る と き,R′ function)ま

 ⅱ )  υ がFSH函

た はFH函

上の全調和函数

数 と呼 ぶ.

数 で あ っ て,(Kn)°

⊃Kn+1(n≧1)か

満 た す 任 意 の 正 則 コン パ ク ト集 合 の 列{Kn}n≧1に  とな る と き,υ をR′ 上 のFSH0函 R′ で調 和 で あ る と き,R′ 上 のFH0函

た はFSH

つ 

を

対 してR′ の 各 点にお

数 と呼 ぶ;そ

数 と呼 ぶ.(K0は

いて

の よ うな υが 更 に

本 章 の 初 めに 固 定 し

た 正 則 コ ンパ ク ト集 合 で あ る.)   注 意1  FSH函

数 が 優 調和 で あ る こ とは上 の 定義 中 に 直接 は述 べ られ て い な

い が,実 は 優 調 和 で あ る(後 述 の補 助 定理6.3.1).   注 意2  FH0函 FSH0函

数 は ∂K0上 で境 界値0を

とる(後 述 の定 理6.3.2の

系2)が,

数 は ∂K0上 で 有限 な境 界値 を もつ こ とす ら保 証 され な い.後 述 の定 理

6.3.1を 使 えば,∂K0上

で 有 限 な 境 界値 を もた な いFSH0函

数の例を次 のよ う

に構 成 す る こ とが で き る.   二点x0∈ ∂K0,y0∈R′ を 固 定す る.{xn}n≧1をR′ で,ど の点xnもy0に

の 中 か らx0に 近 づ く点 列

一 致 し な い も の とす る.cn=N(xn,y0)と

と定 義 す る と,υ はR′

お き, 

で 恒 等 的 に ∞ で は な い(υ(y0)=1で

あ

る).各

点xnに

点 質 量(2ncn)-1を

ら,定

理6.3.1に

与 え た 測 度 を μ と す る と,υ=μNで

よ り υ はFSH0函

数 で あ る.一 方,定

理5.5.1の

あ るか

系3に

よ り

 とな る.す なわ ち υは 点x0∈ ∂K0で 有 限 な 境 界 値 を もた な い.   こ こ でFSH函

数,FH函

界 論 の §3.3に

お け る 函 数uΩ,uΓ

  補 助 定 理6.3.1    証 明  FSH函 な い.コン

数 等 の い くつ か の 性 質 を 述 べ,続

FSH函

等 に 対 応 す る 函 数 を 定 義 す る.

数 はR′

数 υ は,そ

い てMartin境

に お い て 優 調 和 で あ る.

の 定 義 に よ り,下

半 連 続 で あ って恒 等 的 に ∞ で は

パ ク トな 閉 包 Ω⊂R′ を も つ 任 意 の 正 則 領 域 Ω を と る と,Ω

て υ∂ Ω≦υ と な る;こ

の こ とか ら,υ

におい

が 優調 和 函 数 の 条 件 を 満 た す こ とが 容 易

に導か れ る.   補 助 定 理6.3.2 

R′ に お け るFSH函

数 の 列{υn}が

あ っ て,R′

の各点で

 が存 在 し,υ が 下半 連続 で あ って恒 等 的 に ∞ で は な い な らば,υ は R′ に お い てFSH函

数 で あ る.

  証 明   任 意 の 正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ を(5.4.2)に

と 任 意 の 点x∈R′

述 べ た 測 度 とす る と,Lebesgue積

＼Kを

と り,μyK

分 論にお け るFatouの

補 題に

よ り

が 成 立 し,υ

がFSH函

  補 助 定 理6.3.3 

数 で あ る こ とが わ か る. R′ に お け るFSH0函

数 の 列{υn}が

あ っ て,R′

 が 存 在 して 下 半 連 続 で あ り,R′ でυ ≦uと な るFSH0函 す る な ら ば,υ

はR′ に お い てFSH0函

数uが

よ りFSH函

数 で あ る.{Kn}を

前 ペ ー ジ の 定 義 のⅱ)に

述 べ た よ うな コン パ ク ト集 合 列 と す る と,す

に 対 し てυ∂Kn≦u∂Knが

成 り立 ち,n→

っ て υ はFSH0函

  定 理6.3.1 

R′ ∪Sに

存在

数 で あ る.

  証 明   こ の 補 助 定 理 のυ は 補 助 定 理6.3.2に

な る.よ

の各点で

∞ の と きu∂Kn→0だ

べ て のn

か ら υ∂Kn→0と

数 で あ る. お け る 任 意 のBorel測

度 μ に 対 し て,そ

の ポ テン シ ャ

ル μNはFSH0函

数 で あ る.

 証 明  まず 函数 υ=μNの

下 半 連 続 性 を 示 す.任 意 の 点y0∈R′

を含 むR′ の 中 の 開集 合 の単 調 減 少 列{Ωn}で  る 集 合)な る も の を と る.測

と定 義 す る;{υn}はnに し,υ=υ∞+υ0と

つ い て 単 調 増 加 で υn≦υ だ か ら,極 函 数Nの

αα

る.よ

か ら,y0の

っ てυ∞ はy0で

  次 に,任

す に は,前

下 半 連 続 と な る.任

あ り,υnはΩnの

あ る 近 傍 で υn>α

と な り,従

っ てυ はFSH函

に 対 し て,定

数 で あ る.υ

がFSH0函

び 任 意 の 点y0∈R′

 と し て よ い.測

定 理6.2.5に

内部 で 連 続 っ てυ∞>α

とな

よ っ て,

数 で あ る こ とを 示

定 義 のⅱ)に を 証 明 す る.こ

の 制 限 を μnと す る と,n→

対 し て(μn0N)(y0)0に よ り,す

意 の

述 べ た 条 件 が 満 た さ れ る こ と を 示 せ ば よ い.

べ た よ うな コン パ ク ト集 合 の 列 と し て, 

と な る か ら,任

下半連続だか

下 半 連 続 で あ る.

の 定 義 のⅱ)に

  そ の た め,再

がy0で

な るnが

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

υK≦ υ と な る.よ

ら成

限 函 数 υ∞は 存 在

性 質 に よ り υ0は 点y0で

下 半 連 続 な こ と を 示 せば,υ

(∵ μn(Ωn)=0)だ

(一 点y0か

度 μ の(R′ ∪S)＼ Ωnへ の 制 限 を μnと し,

な る.核

ら,υ ∞ がy0で

を と り,y0

と な るn0が

対 し て(μn0N)∂Kn(y0)nに

対 し て,測

っ てDn上

で

υ=μ′nN+μ″nN

度μ′mのDn,Dm＼Dnへ

μ′mn,μ″mnと す る と,μ′m=μ′mn+μ″mnで あ っ て,Dmの

の制限をそれぞれ 上で

  (6.3.2)

と な る.(6.3.1)と(6.3.2)をDn(n<m)の +μ″mNはDnに Riesz分

お い て 調 和 だ か ら,μ′nNとμ′mnNは

解 の ポ テ ン シ ャ ル 部 分 で あ る.従 っ てRiesz分

に よ りμ′nはμ′mのDnへ (n,m)に

上 で 考 え る と,μ″nNお

の制限 で あ る.こ

つ い て い え る か ら,R′

対 し てμ′nは μ のDnへ

共 に υ のDnに

の 制 限 に な っ て お り,R′

おけ る

解 の 一 意 性(定 理6.1.8)

の こ とがn<mな

に お け るBorel測

よ びμ″mnN

るす べ て の組

度 μ が 存 在 し て,各nに の 各 点 でμ′nNはnにつ

い て

単 調 に 増 加 し て μNに

収 束 す る.ま

た(6.3.1)と(6.3.2)のDnに

な 部 分 を 比 較 す る こ と に よ り,m>nな

と な る.従 数uに

っ てμ″nNはR′

収 束 す る.定

6.3.2に

の 各 点 でnに

理6.3.1に

よ りuはFSH函

Sの

をR′

で

関 し て 単 調 に 減 少 し て,あ

よ りμ″nNはFSH函

数,従

る こ と に よ り,υ=μN+uが   さ て,υ

らばDn上

っ てFH函

る調 和 函

数 で あ る か ら,補

数 で あ り,(6.3.1)でn→

助定理 ∞

とす

の 中 の 正 則 な 開 集 合 Ω,お

よび

得 ら れ る.

に お け るFSH函

数 と し,R′

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,υ Ω,υΓ な る 函 数 を,以

義 す る.こ

おいて調和

の 手 順 は §3.3の2°),3°)とおお

下 の1°),2°)の

手順で定

む ね 平 行 に 進 め ら れ る.

  1°) R′ の 中 の 正 則 な 開 集 合 Ω に 対 し て H(Ω)={Ω と し,R′

に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集合 の 全 体}

に お け るFSH函

数 υ に 対 し て,R′

上 の 函 数υΩ を

 (6.3.3)

と定 義 す る.こ

の と き,

  (6.3.4) 

R′ に お い て0≦

  (6.3.5) 

υΩ≦ υ,特 に Ω の 上 で はυΩ=υ;

Ω1⊂Ω2な ら ばR′ に お い て υΩ1≦υΩ2; な ら ば,

 (6.3.6)

R′ に お い て{υKn}はnに

  (6.3.4)は Ω1⊂Ω2な

各K∈H(Ω)に

対 して

ら ばH(Ω1)⊂H(Ω2)な

ば,定

理6.1.4と(6.3.3)に

はnに

関 し て単 調 増 加 で 

る と,任

υK≦ υ な る こ と か ら 明 ら か.(6.3.5)は,

る こ と に よ る.(6.3.6)の よ り 

が成 立す る.任 意 の 点x∈R′

対 し て υKn(x)>α

と な るK∈H(Ω)が

  更に,次

の こ とが 成 り立 つ:

ら

を固定す

存 在 し,K⊂

と な る か ら, 

は υΩ(x)に 任 意 に 近 く とれ る か ら,上

が 得 ら れ る.

証 明:m>nな と な る か ら,{υKn}

意 の αα

(Kn)° な る す べ て のnに す る.α

関 し て単 調 増 加 で

の 結 果 と合 わ せ て 

が成立

 (6.3.7) 

u,υ がFSH函

任 意 のFSH函  (6.3.8)

数 な ら ば(u+υ)Ω=uΩ+υΩ;

数 υに 対 して υΩはFSH函

特 に 

  (6.3.9) 

な らばυΩ はFSH0函

Ω1⊂ Ω2な

ら ば 任 意 のFSH函

  (6.3.7)は(6.3.6)か   (6.3.8)の

半 は(6.3.6)と

を 証 明 し よ う.Ω ∩K0=φ

Ω＼K0で

義 に よ り υ∂Fは ∂K0の

る.Ω1の

∩F=φ

だ か ら,任

っ て(6.3.3)に

に お い て0≦υKn 則写 像 の 定

上 で 境 界 値0を

よ りFSH函

数 だ か ら(υΩ1)Ω2が定 義 さ れ

意 のK∈H(Ω1)に

対 し てR′ 上 で(υΩ1)K=

よ り(υΩ1)Ω1=υΩ1を得 る.こ 方,任

れ と(6.3.5)に

意 のK∈H(Ω2)に

中 で 考え たSの

よ り(υΩ1)Ω2≦υΩ1がR′ で 成 立 す る.以

上に よ

任 意 の閉 部分 集合 Γ に対 し て

中 の 開集 合Δ で,  で あ っ て, がR′ の 中 の 正 則 開 集 合 とな る もの の全 体

に お け るFSH函

数 υ に 対 し て,R′

上 の 函 数 υΓ を

  (6.3.10)

と 定 義 す る.こ   (6.3.11)    (6.3.12) 

の と き 次 の(6.3.11∼15)が R′ に お い て0≦ Γ1⊂ Γ2な

成 立 す る: υΓ≦ υ;

ら ばR′ に お い てυ Γ1≦υΓ2;

が単調減少 で    (6.3.13)

はnに

関 し て単 調 減 少 で

な ら ば,R′

よ

対 して

成 り立 つ.

Rの

と し,R′

る 正則 コ ン

数 で あ る こ と が 導 か れ る.

(υΩ1)K≦υΩ1だ か ら,(6.3.3)に

  2°)  Rの

⊃K0な

と る か ら,υ Ω も ∂K0の

りR′ 上 で υΩ1=(υΩ1)Ω1≦(υ Ω1)Ω2とな る.一

り(6.3.9)が

か つF°

半

仮 定 を 満 た す コ ン パ ク ト集 合

よ り0≦υΩ ≦ υ∂Fが 成 立 す る.正

証 明. υΩ1は(6.3.8)に

中 で はυΩ1=υ

ら 直 ち に わ か る.後

は 調 和 で あ る か ら,F＼(K0)°

上 で 境 界 値0を

っ て υΩがFSH0函

υKと な り,従

補 助 定 理6.3.2か

とす る と,Ω

=(υKn)∂F≦ υ∂F,従 っ て(6.3.6)に

  (6.3.9)の

数 υ に 対 し て(υ Ω1)Ω2=υΩ1.

とれ る.{Kn}を(6.3.6)の

の 列 と す る と,υKnが

と り,従

数 で あ る;

ら 明 ら か で あ る.

証 明.前

パ ク ト集 合F⊂Rが

数 で あ る;

にお い て

 (6.3.14) 

υΓ はFH0函

 (6.3.15) 

u,υ

 (6.3.11)は

がFSH函

数 で あ る;

数 な ら ば(u+υ)Γ=uΓ+υ

Γ.

定 義 か ら 明 ら か;(6.3.12)はO(Γ1)⊃O(Γ2)か

(6.3.13)に

お い て,{υΔn∩R}が

単 調 減 少 な る こ と は,(6.3.5)か

な る こ と は,第3章

あ り, 

ら わ か る. ら 明 らか で

に お け る(3.3.15)(103ペ

ー ジ)の 証

明 と 全 く同 じ 方 法 で 示 さ れ る.   (6.3.14)の

証 明.(6.3.13)に

数 で あ り,特にR′ 数 で あ り,し

お い て Ωn=Δn∩Rと

＼ Ωnで は 調 和 だ か ら,υΓ は 補 助 定 理6.3.3に

か もR′ で 調 和,す

な わ ちFH0函

  (6.3.15)は(6.3.7)と(6.3.13)か   定 理6.3.4 

お く と,υΩnはFSH0函

任 意 のFH0函

  証 明   {Dn}をRの

よ りFSH0函

数 で あ る.

ら 直 ち に わ か る. 数 υ に 対 し て,R′

上 で υS=υ が 成 立 す る.

中 に コ ン パ ク トな 閉 包Dnを

も つ 正則 領 域 の 列 で あ っ て

 な る も の と し,Δn=R＼Dn,Ωn=Δn∩ R,Kn=Dn+2＼Dn+1と

お く.こ

の と き 各nに

R′ で υKn≦ υΩn≦υが 成 立 す る.一 ま た 定 理6.3.2の

系2に

方,∂Dn+1(⊂

よ り ∂K0の

対 し てKn∈H(Ωn)で

あ る か ら,

∂Kn)の 上 で は υKn=υ で あ り,

上 で は υ=0=υKnで

あ っ て,υ

と υKnは

D′n+1で は と も に 調 和 で あ る か ら,D′n+1に お い て υKn=υ が 成 立 す る.だ の 結 果 と合 わ せ て,D′n+1に

に お い て Γ=Sと 成 立 し,従

と な る.ま

た 上 の{Δn}は(6.3.13)

した 場 合 の 仮 定 を 満 た す か ら,R′ に お い て 

っ てυS=υ

  次 の 補 助 定 理6.3.4お が,上

お い てυΩn=υ

か ら上

が 成 立 す る. よ び 補 助 定 理6.3.5は

に 定 義 し た υΓ の 性 質 と し て,こ

  補 助 定 理6.3.4 ⅰ) 

が

定 理5.3.1の

 ⅱ)  R′ 上 の 任 意 のFSH函

後 の §6.5で 用 い る 事 柄 で あ る

の §で 証 明 し て お く.

函 数 ω はR′ 上 のFH函

数 υ とSの

数 で あ る.

任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,R′

に

お い て(υ Γ)Γ ≦ υΓ が 成 り立 つ.  ⅲ) 

特 にⅱ)で

υ がFH函

数 で あ っ て,Γ

に 対 し て ωΓ≡0と な る な ら ば,

R′ に お い て(υ Γ)Γ=υΓが 成 り立 つ.   証 明  ⅰ)  ω はR上

で 正 の 値 を と る 調 和 函 数 で,任

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合

K⊂R′

に 対 し て(6.1.13)に

よ りR′ の 上 で ωK≦ ω を 満 た す か ら,R′

上 のFH

函 数 で あ る.  ⅱ)  υΓはFH函

数 で あ る か ら,(6.3.11)に

 ⅲ) の 証 明 を 次 の3段   [第1段]  K1＼Kな

階 に 分 け る.

K,K1,K2がR′

の 中 の 正 則 コン パ ク ト集 合 で あ っ て,K2⊂

る も の と し,ま

R′＼(K∪K2)に

よ りR′ で(υΓ)Γ≦ υΓ と な る.

た 

と お く.こ

のとき

おい て

 (6.3.16)

と な る こ と を 示 す.上

の 式 の 左 辺 の 函 数 をwと

連続 だ か ら,(υK1-υK2)Kが 定 義 さ れ る.∂Kの らw￨∂K>0と

は

な る.ま

た,正

に ∂K2の

＼Kに

よ りR′ ＼(K∪K2)に

上 に よ りw￨∂K∪ ∂K2≧0が

KをR′

わ か った か

な る.と

ころ

おいて

お い てw≧0;す

な わ ち(6.3.16)が

成 立 す る.

の 中 の 正則 コ ン パ ク ト集 合 と し,Ω1,Ω2はR′

正則 開 集 合 で Ω2⊂Ω1＼Kな R′＼(K∪

お い てwK∪K2≧0と

た ∂K2で

数 だ か ら(υK1)K∪K2≦ υK1と な る こ とに よ る).以

上 に よ りR′ ＼(K∪K2)に   [第2段] 

か

おいて

と な る.ま

か ら,w￨∂K2≧0.以

(最 後 の ≦ は,υK1がFSH関

っ て ま たwKが

あ りMKωK2>0だ

上 で は 

則 写 像 の 性 質 に よ りR′ ＼(K∪K2)に

が(6.1.12)に

で

則 写 像 の 性 質 に よ りR′ 上 で υ≧υK1≧ υK2≧0,

υ だ か ら,R′

υK1=υK2(=υ)だ

ら,正

で 連 続 で あ り,従

上 で は(υK1-υK2)K=υK1-υK2で

従 っ て0≦υK1-υK2≦

と な り,特

定 義 さ れ てR′

書 く;υK1,υK2,ωK2はR′

る も の と し て,MKを

第1段

の中の

の よ うに 定 義 す る と,

Ω2)に お い て

 (6.3.17)

と な る こ と を 示 す.Ω1,Ω2に

対 し て(6.3.6)を

⊂H(Ω1),{K2n}⊂H(Ω2)を

と る と,任

満 た す コ ン パ ク ト集 合 列{K1m}

意 のnを

与 え た と き 

((6.3.6)を な る.こ

見 よ)と

な る か ら,十

の と き三 つ 組K,K1m,K2nは

た す か ら,(6.3.16)に

分 大 な るmを

第1段

よ りR′ ＼(K∪

とれ ばK2n⊂K1mと

のK,K1,K2に

対 す る仮 定 を満

Ω2)に お い て

 (6.3.18)

が 成 り立 つ.こ

こ で ま ずm→

∞ と し て か らn→

υK1m→ υΩ1,υK2n→ υΩ2(単 調 収 束)だ コ ン パ ク ト集 合Kの

上 で 一 様 で あ る.だ

υΩ2)Kに 各 点 収 束 し,従

 [第3段] 

っ てR′ ＼(K∪

ωΓ ≡0と な る よ う なSの

 (6.3.19) 

証 明 で あ る.任

の 開 集 合Δ ∈O(Γ)を る;こ

R′＼(K∪

の ときそ れ ぞ れ

定 理 に よ りこれ ら の収 束 は

か ら(6.3.18)の

左 辺 の 函 数 は(υΩ1-

Ω2)に お い て(6.3.17)が

成 立 す る.

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,R′

上 で

結 果 と合 わ せ て(υΓ)Γ=υΓ が 得 ら れ る.以

意 の 正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ と り,更

に(6.3.13)の

の と き Δn⊂Δ＼K(n=1,2,…)な

Ωn=Δn∩Rと

とす る;こ

(υΓ)Γ ≧ υΓ

と な る こ と を 示 せ ば,ⅱ)の 3.19)の

か ら,Diniの

∞

お く と,Ωn⊂

と,Rに

下 は(6.

お け る任 意

仮 定 を 満 た す 開 集 合 列{Δn}を

る よ う に と る こ と が で き る.Ω=Δ

Ω＼K(n=1,2,…)と

な る か ら,第2段

と ∩R,

に よ り

Ωn)の 上 で

 (6.3.20)

が 成 り立 つ.こ Kの

こ でn→

上 で 一様 で あ り,従

っ て ωΩn→ωΓ≡0と

∞ とす る と υΩn→υΓ(単 調 収 束)だ

か ら,こ

っ て(υΩ-υ Ωn)K→(υΩ-υΓ)Kと な る.一

な る か ら,(6.3.20)か

らR′ ＼Kの

上 で

方,仮

の収束は 定に よ

  (6.3.21) 

(υΩ-υ

を 得 る.こ

の 不 等 式 はKの

る.従

て(6.3.9)に

数 で あ る こ とを 示 し て い の左辺におい の

対 し て(υΓ)Δ∩R≧uΓ な る こ と を 示 し て お り,こ

こ

の 不 等 式 の 左 辺 で Δ∈O(Γ)に

対 す る下 限 を

得 られ る.

  補 助 定 理6.3.5 

υ がR′

上 のFSH函

数,Γ1,Γ2がSの

閉部分集合な ら

上 で υΓ1∪ Γ2≦υΓ1+υ Γ2が 成 り立 つ.

  証 明   ま ずK1,K2,K3がR′ な ら ば,R′

の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK3⊂(K1∪K2)°

上 で υK3≦υK1+υK2と

K1の

な る こ と を 示 す.

上 で は 

か つ 

だか ら

K2の 上 で は 

か つ 

だか ら

K3⊂(K1∪K2)° υK2はR′

な る 仮 定 に よ り υK3はR′ ＼(K1∪K2)°

で 下 半 連 続 で あ る か ら,υK1+υK2-υK3はR′

続 で あ る.だ

か ら 上 に 述 べ た 不 等 式 に よ り,K1∪K2を

中 で υK1+υK2-υK3>0と が 存 在 し,こ

のKの

な る.K1∪K2⊂K⊂

上 でυK1+υK2>υK3が

よ りR′ に お い て(υK1+υK2)K≧(υK3)Kが い て は(6.1.12)に

と な る か ら,R′

で 連 続 で あ り,υK1と ＼(K1∪K2)°

で下 半 連

含む適当な開集合 Ω の

Ω な る 正 則 コ ン パ ク ト集 合K 成 り立 つ か ら,正

成 り立 つ.従

則 写 像 の性 質 に

っ て また,R′

＼Kに

お

よ り

に お い て υK3≦ υK1+υK2が

  次 に,Ω1,Ω2,Ω3がR′

成 り立 つ.

の 中 の 正 則 開 集 合 で あ っ て Ω3⊂ Ω1∪ Ω2な ら ば,R′

上 で υΩ3≦υΩ1+υΩ2と な る こ と を 示 す.こ K(Ω3)に

の中 の 任 意 の正 則 コン パ ク ト

の 式 か ら(υ Γ)Ω ≧υΓを 得 る.こ

数 で あ る か ら,上

とれ ば(6.3.19)が

た υΩ-υΓ がR′ 上 で

よ り(υ Ω-υ Γ)Ω ≦ υΩ-υΓ が 成 立 す る.こ

意 の Δ∈O(Γ)に

で υΓ はFH函

Γ

上 のFSH函

よ り(υΩ)Ω=υΩで あ る か ら,上

結 果 は,任

ば,R′

こ でKはR′

の 結 果 は υΩ-υΓ がR′

っ て(6.3.4)に

υΩ-υ

上 で は 等 式 と し て 成 立 し,ま

下 半 連 続 な こ と は 明 ら か で あ る.こ 集 合 だ か ら,上

Γ)K≦

対 し て,K3⊂(K1∪K2)°

存 在 す る こ とは 容 易 に 示 さ れ る.だ

の 仮 定 の も と で は,任

意 のK3∈

と な る よ う なK1∈K(Ω1)とK2∈K(Ω2)が か ら上 に 示 し た こ とに よ り

と な り,こ   さ て,Sの る と, 

の 左 端 辺 のK3∈H(Ω3)に

関 す る 上 限 を とれ ば 所 要 の 不 等 式 を 得 る.

閉 部 分 集 合 Γ1,Γ2に 対 し て,任 な るRの

の 中 の 正 則 開 集 合 と な る も の が あ る.こ

か ら,上

中 の 開 集 合 Δ3で,Δ3∩R′

の と き Δ3∈O(Γ1∪ Γ2)で

 と な る か ら,上

こ こ で Δ1,Δ2は そ れ ぞ れO(Γ1),O(Γ2)の

意 の Δ1∈O(Γ1),Δ2∈O(Γ2)を

と がR′

あ り,か

つ

に 示 し たこ とに よ り

中 か ら互 い に 無 関 係 に 任 意 に 選 べ る

の 式 の 右 端 辺 各 項 の 下 限 を と れ ば υΓ1∪ υΓ2≦υΓ1+υ Γ2を 得 る.

  §6.4  FH0函

数 とFSH0函

数の積分表現

  ま ず 前 §の 結 果 か ら次 の 定 理 が 証 明 さ れ る.   定 理6.4.1 ⅰ)  Borel測

R′ 上 の 函 数uがFH0函

度 μ の ポ テ ン シ ャル μNと

 ⅱ)  R′ 上 の 函 数 υ がFSH0函 度 μ の ポ テ ン シ ャ ル μNと   証 明  ⅰ) uをFH0函

一方

系2)な

,定

成 り立 つ.だ (5.5.19) 

し て 表 わ さ れ る こ と と 同 等 で あ る.

数 で あ る こ と は,υ

数 と し,{Dn}を

よ り ∂Dnの

か ら,D′nに

上 のBorel測

お い てu=μnNと

の 適 当 な 部 分 列 はRの

任 意 のy∈R′

表 わ さ れ る な ら ば,定

FSH0函

存 在 し て υ=μ0N+uと 数 だ か ら,uはFH0函

測 度 μ1が 存 在 し てu=μ1Nと

に 対 し てxに

か ら μ ついて

お い て上 に述 べ た 部分 列 に 関 す

理6.3.1に

の 解 な る こ と が 示 さ れ る か ら,uはFH0函

函 数uが

成 り立 つ.だ

な る こ と が わ か る.

用 い てuがA*u=0の

数 な ら ば,定

こ

の測度の列であ る

っ て μ(R＼R)=0が

に お い てu=μNと

た 定 理6.2.2を

 ⅱ)  υ がFSH0函

性 質

度 μ に 漠 収 束 す る.と

コ ン パ ク ト集 合R＼Dn上

度 で あ る.N(x,y)は

る 極 限 を と れ ば,R′

あ り,ま

函 数Nの

上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る.

お い て 連 続 で あ る か ら,u=μnNに

  逆 にu=μNと

っ て,核

上 の あ るBorel測

対 し て{μk}k>nは

上 のBorel測

R＼{y}に

な る.

度 μnが 存 在 し てu∂Dn=μnNが な る.従

コ ン パ ク ト空 間Rの

か ら,μ(R＼Dn)=0(n=1,2,…),従 はSの

お い て はu=u∂Dnと

理

この式 の左辺はnに 無 関係な有 限

値 で あ る か ら,{μn}は

ろ が 任 意 のnに

証 明 中 に用 い た

お い て 調 和 でu￨∂K0=0(定

定 義 に よ り,D′nに

に よ り 

従 っ て,そ

がR′ ∪Sの 上 のBorel測

前 § の 定 理6.3.4の

対 し て,uがD′nに

る こ と とu∂Dnの

理6.3.2に

上 の

し て 表 わ さ れ る こ と と 同 等 で あ る.

正 則 領 域 の 列 と す る.各nに 6.3.2の

数 で あ る こ と は,uがSの

理6.3.3に な り,こ 数 と な る.だ

よ っ てuはFSH0函

弱 い 解(§1.4参

数で

照),従

って 真

数 で あ る. よ りR′ 上 のBorel測 の と き μ0Nは

定 理6.3.1に

か ら 上 のⅰ)に よ りSの

な る か ら,μ=μ0+μ1と

度 μ0とFH よ り

上 のBorel

す れ ば υ=μNを

得 る.

  逆 は 定 理6.3.1そ

の も の で あ る.

  補 助 定 理6.4.1 

υ をR′ 上 のFSH函

Ω ∩K0=φ

な る も の とす る と,台

R′ に お い て υΩ=μNが

数 と し,Ω

よ り,各nに

に お い てυKn=μnNが

よ うな コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}を

対 し てKnの 成 立 す る.従

上 のBorel測 っ て,核

 と な る.K0⊂K° Kを

ひ とつ 固 定 す る と,∂K0の

υ∂Kで あ っ てK° ＼K0で υ∂Kと な り,従

っ て ∂K0上

性 質(5.5.19)に

υ∂Kも 調 和 だ か ら,K°

度 μ に 漠 収 束 す る.今

っ て,そ

と し,更

度 μnの(Kn)°

にν の(Kn)°,Ω

書 き,対

任 意 のy∈R′

に つ い て Ωaに お い て 連 続 で あ る か ら,υKn=μnNに よ りR′ ＼ Ω に お い て υΩ=μNが

コ ン パ ク ト集 合 Ωa

の 適 当 な 部 分 列 が Ωaの 上 の あ

後 こ の 部 分 列 を{μn}と

書 く こ とに す る.N(x,y)は

と な る こ と を 示 す.測

お い て υKn≦

を得 る.だ か ら上 の結 果 と合 わ せ

で 

の 上 の 一様有 界 な 測 度 の 列 で あ る.従

(6.3.6)に

上 で υKn≦ υ=

＼K0に

と な り,{μn}は

の 部 分 列 を{Kn}と

より

Ω な る正 則 コ ン パ ク ト集 合

上 で は υKn=υ ∂Kで あ り,∂Kの

は υKnも

と る.

度 μnが 存 在 し て,R′

函 数Nの

⊂K⊂R＼

て 

るBorel測

μが 存在 し て

成 立 す る.

  証 明   開 集 合 Ω に 対 し て(6.3.6)の 定 理6.3.2に

をR′ の 中 の 正則 開 集 合 で,

が Ωaに 含 ま れ るBorel測度

応 す る{Kn}

＼ Ω に 対 し てx

お い てn→

∞

とす る と

得 られ る.次 に Ω に お い て υΩ=μN

へ の 制 限,μ の Ω へ の 制 限 を そ れ ぞ れνn,ν

＼(Kn)° へ の 制 限 を そ れ ぞ れν′n,ν″nと す る.こ

の とき

  (Kn)° に お い て  Ω に お い て が 成 立 す るか ら,νnNとν′nNは ン シ ャ ル 部 分 で あ る.だ てνn≦ν(Ω る か ら,測

と も に(Kn)°

か らRiesz分

上 の 測 度 と 考え て).同 度νnはnに

に お け る υ のRiesz分

解 の 一 意 性 に よ りνn=ν′nと な り,従 様 に し てn1n→

∞

と す る と,第2項

と 第4項

は と も に(6.5.11)の

右 辺 に 収束

す るか ら  (6.5.12)

を 得 る.こ

の 事 実 と,恒

等式

とか ら  (6.5.5)が

と な る か ら,こ

の 結 果 と(6.5.9)と

か ら

得 ら れ る.

 系   上の補 助 定理 と同 じ仮 定 の も とで   (6.5.13)

更 に Ω1もR′

の 中 の 正 則 開 集 合 で Ω ⊂ Ω1,Ω1∩K0=φ

ならば

 (6.5.14)

  証 明  (6.5.4)のKと す る と,(6.5.5)に Knの

し て 上 の 補 助 定 理 のⅱ)の よ うなKnを よ っ て(6.5.13)が

上 で は υΩ1=υ,従

理 のⅰ)に す る と,上

よ り(6.5.3)の

得 られ る.ま

っ てR′ 上 で(υΩ1)Kn=υKnと

∞ と

た,Kn⊂

Ω ⊂Ω1だ か ら,

な る.一

方,上

υを υΩ1と す る こ と が で き る.そ

に 述 べ た こ とに よ り

と り,n→

の補 助 定

の 式 でKをKnと

こ こ でn→

∞

と す る と(6.5.5),(6.5.7)に

  補 助 定 理6.5.2  る.こ

υ をDに

よ り(6.5.14)を

属 す るFSH函

数 と し,Γ

得 る.

をSの

閉 部 分 集 合 とす

のとき

 ⅰ)  υΓ(§6.3参 )  Rの

照)はDに

属 す るFH0函

数 で あ る; ⅱ

中 の 適 当 な 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)(§6.3参

照)を

とれ ば

 (6.5.15)

  証 明 は 補 助 定 理6.5.1と よ う な{Δn}と

全 く 同 様 に 行 な わ れ る.ま

し てΔ1a∩K0=φ

な る も の を と れ る か ら,補

明 の 最 初 に 注 意 し た こ と は,今 よ び(6.5.8)の

(6.5.14)を

用 い る こ と に し て,補 助 定 理6.5.1の

成 り立 つ

助 定 理6.5.1の

回 も そ の ま ま 適 用 さ れ る.あ

(6.5.4)お

よび

証明 中 の υKn,υ Ω を そ れ ぞ れ

の ま ま 補 助 定 理6.5

と きKm⊃Kn,Δm⊂Δnと

証

と は(6.3.6),

か わ り に そ れ ぞ れ(6.3.13),(6.5.13)お

υΔn∩R,υΓ と 書 き 直 せ ば,そ m>nの

ず(6.3.13)が

.2の

証 明 に な る.(な

い う包 含 関 係 の 違 い は,(6.5.12)に

る式 の 証 明 や そ の あ た り の 推 論 に は 影 響 し な い;念

お,

対応 す

の た め 注 意 し た.)

  系   上 の補 助 定 理 と 同 じ仮 定 の も とで  (6.5.16)

  証 明   (6.5.13)の

Ω と し て 上 の 補 助 定 理 のⅱ)に お け るΔn∩Rを

と す れ ば,(6.5.15)に   υ がDに 集 合,Γ

よ っ て(6.5.16)を

属 す るFSH函 がSの

で あ っ て,R′

得 る. がΩ

閉 部 分 集 合 な ら ば,§6.3で に お い て0≦

13),(6.5.16)に

∩K0=φ

な るR′

助 定 理6.5.1の

属 す る.Ω1を Ω を Ω1と し,υ

の と き 補 助 定 理6.5.1の

の 中 の正 則 開

述 べ た よ うに υΩ,υ Γ はFSH0函

υΩ≦ υ,0≦ υΓ≦ υ が 成 り立 つ.こ

よ り υΩ,υΓ もDに

開 集 合 と し て,補 を 考 え る.こ

数 で あ り,Ω

と りn→ ∞

の こ と と(6.5.

上 の Ω と同 じ条 件 を 満 た す を υΩ ま た は υΓ と し た 場 合

証 明 か ら わ か る よ う に,υ=υΩ

ⅱ)の よ う に 選 ん だ コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂H(Ω1)の

数

の 場合 に

更 に 部 分 列 を と っ て υ=

υΓの 場 合 の(6.5.5)が ⊂H(Ω1)を

成 り立 つ よ うに で き る か ら,結 局υΩ と υΓに 共 通 の{Kn}

と る こ と が で き る.以

  補 助 定 理6.5.3 

υ お よ び Γ を 補 助 定 理6.5.2の

い て(υ Γ)Γ=υΓ が 成 り立 つ.従   証 明   Ω,Ω1をR′ の と す る.こ ⊂H(Ω1)を

っ て 特 に,R′

選 ぶ と,(6.5.5)が

に お

で(ωΓ)Γ=ωΓ が 成 り立 つ.

の と き 上 に 述 べ た 事 実 に よ り,適

べ て のKnに

と お り とす る と,R′

の 中 の 正則 開 集 合 で Γ ⊂Ωa1か つ

た 函 数 υΩ-υΓ もDに

こ こ でn→

上 の 事 実 を 次 の 補 助 定 理 の 証 明 に 用 い る.

Ω1⊂Ω ⊂Ω ⊂R′ な る も

当 な コ ン パ ク ト集 合 の 列{Kn}

υ=υ Ω と υ=υ Γに 対 し て同 時 に 成 立 す る.ま

属 し(υΩ-υ Γ)￨∂K0=0を

満 た す か ら,(6.5.4)に

よ りす

対 して

∞

と す る と 上 に 述 べ た よ う に 

(L2ω(R′)で強 収 束)と

な る が,更 に,Ω

に お い て は υΩ=υ な る こ と に よ り(υΩ)Ω1

=υ Ω1が成 り立 つ か ら,次 の 不 等 式 を 得 る:

さ て 補 助 定 理6.5.2に

よ り,υ Γ はDに

ジ に 述 べ た 事 実 と 同 様 に し て,適

属 す るFH0函

数 で あ る か ら,前

当 な 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を

(6.5.15)お

よ び そ の υ を υΓ で 置 き 換 え た 事 実 が 成 り立 つ.ま

=Δn∩Rと

お く と, 

ら ば Ωn⊂ Ωmだ

と な り,こ

こ で ま ずn→

∞ と し て か らm→ を 得 る.一

上 で は と も に0に

に ω は 補 助 定 理6.3.4のⅰ)に

を 満 た す か らDに   補 助 定 理6.5.4 

た こ の と き,Ωn

の不 等 式 に よっ て

よ っ て 

立 す る.特

選 ぶ こ とに よ り

(R′上 で有 界 収 束)も 成 立 す る.n>mな

か ら,上

連 続 で あ っ て ∂K0の

ペー

属 す る.よ

∞ 方

と す る と,上 υΓ,(υ Γ)Γ はR′

な る.だ か らR′ よ りFH函

に述べた各事項 に ∪ ∂K0に

お い て

の 上 で(υ Γ)Γ=υΓが 成

数 で あ り,明 ら か に(6.5.1)

っ てR′ 上 で(ω Γ)Γ=ωΓが 成 り立 つ.

υ がR′ 上 のFSH函

数,Γ

がSの

閉 部 分 集 合 で ωΓ≡0と

な る も の とす る と,R′

上 で(υ Γ)Γ=υΓが 成 立 す る.

  証 明   ま ず 定 理6.3.3に

よ りR′ に お け るBorel測

uが 存 在 し て υ=μN+uが

成 立 す る.だ

度 μ とR′ 上 のFH函

か ら 定 理6.4.3に

数

よ って

 (6.5.17)

が 成 立 し,従

っ て ま た 補 助 定 理6.3.4のⅲ)に

よ って

 (6.5.18)

と な る.だ

から

 (6.5.19) 

(μNΓ)Γ=μ(NΓ)Γ,(NΓ)Γ=NΓ

を 証 明 す れ ば,(6.5.18)の

右 端 辺 は(6.5.17)の

両 式 の 左 端 辺 も 互 い に 等 し い こ とが わ か り,こ は(6.5.19)の

μが 一 点xに

ら 直 接 に も い え る.)だ

数

集 中 し た と 考 え て も よ い し,ま

た

か ら(6.3.14)に

よ りNΓ

はFH0函

た 補 助 定 理6.4.2の

に対 し て

証 明 と全 く 同 様 に し て(NをNΓ

と書 く だ

において

 (6.5.21) 

(μNΓ)K=μ(NΓ)K

な る こ とが 示 さ れ る か ら,(6.5.20)と μNΓ が 下 半 連 続 な こ と も,定

NΓ(x,y)(xを

固 定 し てyの っ て,任

ト集 合 列{Kn}を

合 わ せ て(μNΓ)K≦

理6.3.1に

同 様 に し て 示 さ れ る か ら,μNΓ

お け る μNの

はFSH函

μNΓ を 得 る.更

数 で あ る.以

函 数 と考え る)お

上 に よ りFSH函

に お い てnに

が 成 立 し,第1の

数

よ び μNΓ に §6.3の 結 果 を 適 用

意 の 正 則 開 集 合 Ω⊂R′ に 対 し て(6.3.6)の と れ ば.R′

に

下半連続性 の 証 明 と

関 す る単 調収束

よ うな コン パ ク

で

 (6.5.22)

 (6.5.23)

数で

(NΓ)K≦NΓ

が 成 立 す る.ま

で き る.よ

函 数 と考 え た も の はFSH函

っ て 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

 (6.5.20) 

け で)R′

下

を 固 定 し てN(x,y)をyの

れ は 定 理6.3.1で

定 理6.1.6か あ る.従

の 補 助 定 理 の 証 明が 終 る.以

二 つ の 式 の 証 明 で あ る.

  ま ず 任 意 のx∈R′ で あ る.(こ

右 端 辺 と 同 じ に な る か ら,

式 は上 に 述 べ た 意 味 で 任 意 のxに

対 して成 立 す るか ら

も 成 立 す る.ま 列{Δn}を

たSの

任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て(6.3.13)の

と り Ωn=Δn∩Rと

お く と,R′

上 でnに

よ うな 開集 合

関 す る単 調 収 束 で

 (6.5.24)

が 成 立 し,第1の

式 は 上 に 述 べ た 意 味 で任 意 のxに

対 し て成 立 す るか ら

 (6.5.25)

も 成 立 す る.そ

こ で(6.5.21)に

る よ う なKnを

と っ てn→

て(6.5.24),(6.5.25)が の 第1の

お い てKと

し て(6.5.22),(6.5.23)が

∞ と す れ ば(μNΓ)Ω=μ(NΓ)Ω が 得 ら れ,次 成 立 す る よ う な Ωnを と っ てn→

成立す に Ω とし

∞ とす れ ば(6.5.19)

式 が 得 ら れ る.

  次 に(6.5.19)の

第2の

数 と考 え る こ と に し,ま 固 定 す る と,定

っ て(6.3.13)に

よ りR′ ＼Kに

Ω ⊂R′ ＼Kに

よ り(N∂K)Γ=NΓ

か ら,補

点x∈R′

を 固 定 し てN(x,y)をyの

た コ ン パ ク ト集 合K∈K(x)(§5.5に

理6.1.6のⅱ)に

か ら任 意 の 正 則 開 集 合

N∂K∈Dだ

式 を 示 す,一

対 し てR′

助 定 理6.5.3に

述 べ た)を

お い て はN∂K=Nと で(N∂K)Ω=NΩ

が 成 立 す る.一

函

方,正則

よ り((N∂K)Γ)Γ=(N∂K)Γ

一 つ

な る.だ が 成 立 し,従

写 像 の 定義 に よ り が 成 り立 つ.だ

か ら

と な り,(6.5.19)の

第2の

式 が 得 ら れ た.

  さ て,任

意 の 一 点 ξ∈Sを

Γ={ξ}(一

点 ξか ら成 る 閉 集 合)と す る と,(6.4.2)の

とな る か ら,こ (6.4.2)は

固 定 し て,定

理6.4.2で

れ を α(ξ)と 書 く こ と に す る.こ

υ(y)=N(ξ,y)を

考 え,

μ(Γ)の 値 は 点 ξの 函 数

の と き 定 理6.4.2の(6.4.1),

そ れ ぞ れ 次 の よ うに な る:

  (6.5.26) 

す べ て のy∈R′

に 対 し てN(ξ)(ξ,y)=α(ξ)N(ξ,y),

 (6.5.27)

 こ こ で 次 の 事 実 を 証 明 す る.   補 助 定 理6.5.5 

函 数 α(ξ)はSの

上 で0と1の

  証 明   ω{ξ}≡0な る 点 ξに つ い て は,補

値 の み を と る.

助 定 理6.5.4と(6.5.26)に

よ って

従 っ て α(ξ)=α(ξ)2が ξ に つ い て は,定 とc>0で (6.5.26)と

成

り 立 つ か ら α(ξ)=0ま

理6.4.2に

あ る.こ

お い て

の と き(6.4.1)は

補 助 定 理6.5.3に

が 成 り立 つ.よ

な る か ら,こ

お く の こ と と

よっ て

数 υ とSの

で ≧0だ

な け れ ば,R′

  定 義  S0={ξ

な る点

し て,c=μ({ξ})と

ω(ξ)=μN=cNと

  注 意   一 般 にFSH函

  補 助 定 理6.5.5に

あ る.ω{ξ}>0と

υ=ω,Γ={ξ}と

っ て こ の 場 合 は α(ξ)=1で

か ら,υ Γ=0で

た は1で

あ る.

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,υ Γ はR′ 上 で υΓ>0で

で調 和

あ る.

よ り次 の 記 号 と用 語 を 定 義 す る こ と が で き る.

∈S￨α(ξ)=0},S1={ξ

い て は)Neumann型

∈S￨α(ξ)=1}と

理 想 境 界Sの

述 べ る定 理6.6.1と

定 理6.6.3に

書 にお

の 理 由 は 次 の §で

よ る.)

  こ の と き(6.5.26)か

ら 直 ちに 次 の 定 理 が 得 ら れ る.

  定 理6.5.1 

た は ξ∈S1に

ξ∈S0ま

お く.S1を(本

本 質 的 部 分 と呼 ぶ.(そ

N{ξ},(ξ,y)=0ま

従 っ て,す

べ て のy∈R′

に対 して

た はN{ξ}(ξ,y)=N(ξ,y)

が成 立す る.―   こ こ でMartin境 を 証 明 す る た め,い

界 の 場 合(定

理3.4.2)と

同 様 にS0がFσ

集 合 であ る こ と

くつ か の 補 助 定 理 を 準 備 す る.

  補 助 定 理6.5.6 

KをR′

(n-1,2,…)はR′

に お け るFSH函

に 収 束 し て い る とす る.こ

に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,υ 数 で あ っ て,{υn}は

∂Kの

お よ び υn

上 で一 様 に υ

の と き,次 の 式 が ∂K0の 上 の 一 様 収 束 で 成 立 す る:

 (6.5.28)

  証 明   K0を

内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,D∩K=φ

あ る も の を 一 つ と り,D＼K0に 函 数 をGD＼K0(x,y)と

な らば 

す る.こ

お け る §5.2の の と き,正

か つDが

コ ン パ ク トで

境 界 値 問 題(5.2.1)のGreen

則 写 像 の 性 質 に よ り,y∈D＼(K0)° と な る か ら,Green函

数の性

 ⅱ

が存在 して

質 に よ り ∂K0上 の 各 点yで   (6.5.29)

が 成 立 し,ま

た(υn)K(y)に

{υn}が υ に ∂K上 ∂D上

つ い て も 同 様 な 式 が 成 立 す る.一

で 一 様 収 束 す る か ら,正

で 一様 収 束 す る.こ

  補 助 定 理6.5.7 ⅰ)  し,K1,K2∈H(Ω)か

か ら(6.5.28)が

の 中 の 正 則 開 集 合 でΩ

つK1⊂K2と

定に よ り

則 写 像 の 性 質 に よ り(υn)Kが

の こ と と(6.5.29)と

Ω をR′

方,仮

す る と,任

得 ら れ る.

∩K0=φ

意 の ξ∈S,y∈

υKに

な る もの と

∂K0に

対 して

 (6.5.30)

)  Γ をSの と,任

閉 部 分 集 合 と し,Δ1,Δ2∈O(Γ),Δ1⊃Δ2,Δa1∩K0=φ

意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

とす る

対 して

 (6.5.31)

  証 明  ⅰ) (6.5.30)の て 示 さ れ る.ま

で あ っ て,特

た,ξ ∈S,y∈(R′

にy∈

と な る か ら,任

各 法 線 微 分 の 存 在 は 補 助 定 理6.5.6の

∂K0な

＼Ω)∪ ∂K0な

証 明 と同 様 に し

らば

らば

意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

対 し て(6.5.30)が

成 立 す る.

 ⅱ)も 同 様 に し て 証 明 さ れ る.   補 助 定 理6.5.8 ⅰ)  し,(6.3.6)の の と き,任

Ω をR′

の 中 の 正 則 開 集 合 でΩ

∩K0=φ

仮 定 を 満 た す 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂H(Ω)を 意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

な る もの と と る.こ

対 して

 (6.5.32)

)  Γ をSの {Δn}⊂O(Γ)を  (6.5.33)

閉 部 分 集 合 と し,(6.3.13)の と る.こ

の と き,任

仮 定 を 満 た す 任 意 の開 集 合 の列

意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

対 して

  証 明  ⅰ)  任 意 の ξ∈Sを 助 定 理6.4.1を

適 用 す る と,コ

ぞ れBorel測 ∪∂K0に

固 定 し て,yの

度 μn,μ(い

函 数N(ξ,y)に

定 理6.3.2お

ン パ ク ト集 合Kn(n=1,2,…),Ωaの

ず れ も ξに 関 係 す る)が

よび 補 上にそれ

存 在 し て,任

意 のy∈R′

対 して

が 成 り立 つ.だ

か ら,Ω

∩K0=φ

な る こ とに よ り

 (6.5.34)

こ こ で,補

助 定 理6.4.1の

ト集 合Ωaの

証 明 か ら わ か る よ う に,測

上 で 一様 有 界 で あ っ て,そ

っ て 初 め か ら{μn}が た 

る.だ

か ら(6.5.32)に

漠 収 束 す る よ うな 部 分 列{Kn}⊂H(Ω)が

て は 各 点y∈

よ り,上

 は 各 点 ξ∈S,y∈

成 立 す る.と

∂K0に 対 してnに

初 め の コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}に ξ∈S,y∈

∂K0に

と って あ る とす

上 で 連 続,従

の よ うな 部 分 列{Kn}(ξ

∂K0で(6.5.32)が

こ ろ が,補

って 有 界 で あ

に 関 係 す る)に

対 し

助 定 理6.5.7に

よ り

関 し単 調増 加 で あ る.だ か ら

対 し て(部 分 列 を と ら な く て も),す

お い て(6.5.32)が

コ ンパ ク

の 適 当 な 部 分 列 が μ に 漠 収 束 す る.よ

は コ ン パ ク ト集 合 Ωa× ∂K0の

る.ま

度 の 列{μn}は

べての点

成 立 す る.

 ⅱ )も 全 く同様 に し て証 明 され る.   さて こ こで,Rの

中 の 開集 合Δ でΩ=Δ∩R′ がR′ の 中 の正 則 開集 合 とな る

もの に 対 して,Sの

上 の 函 数 αΔ(ξ)を

 (6.5.35)

と 定 義 し,ま

たSの

置 き 換 え て 函数

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,上

αΓ(ξ)を 定 義 す る と,(6.5.31)と(6.5.33)に

と な る.特

に

Γ={ξ}(一

点 の 集 合)と

で定 義 され た α(ξ)にほ か な らな い か ら,上 立 つ.

の 式 のNΩ(ξ,y)をNΓ(ξ,y)で よ っ て 

し た と き の α{ξ}(ξ)は(6.5.27)

の結 果 に よ り次 の補 助 定 理 が 成 り

 ⅰ

 補 助 定 理6.5.9 

任 意 の 一 点 ξ∈Sを

に 関 し て単 調 減 少 か つ 

固 定 し,{Δn}をO({ξ})に

含 ま れ てn

を満 たす 任 意 の 開 集 合 列 とす る と

 (6.5.36)

 以 上 の こ と を 使 っ て 次 の 定 理 を 証 明 す る.   定 理6.5.2 

S0はSに

お け るFσ 集 合 で あ る.

  証 明   任 意 の ξ∈Sと

と お き,ま

δ>0に

た αΔ(ξ)を(6.5.35)で

対 して

定 義 す る.m=1,2,…

な る任 意 の  に対 して

 (6.5.37)

と お き,次

のⅰ),ⅱ)を 証 明 す る:

ⅱ)  各 ΓmはSの

) 

 ⅰ )の 証 明.ξ ∈S0と

す る と α(ξ)=0だ

U(ξ,1/m)な

る 任 意 のΔ ∈O({ξ})に

中 の 閉集 合 で あ る.

か ら,補

と な る.従

{Δn}に 対 し て 

る.逆

助 定 理6.5.9の

っ て,mが

証 明.点

と な る か ら,補

U(ξ0,1/m)な

な わ ち ξ∈S0と

列{ξν}⊂ Γmが

な る.こ

点 ξ0∈Sに

る 任 意 のΔ ∈O({ξ0})を

し て 適 当 なν0を

十 分 大 な る と き,Δa⊂

と っ て,こ

得

定 義 に よ り補 助 定 理6.5.9の

定 を満 たす{Δn}に 対 して  に よ っ て α(ξ)=0,す

よ うな任 意 の

対 し て αΔ(ξ)≦1/2と な り ξ∈ Γmを

に ξ が あ る Γmに 属 す る な ら ば,Γmの

 ⅱ)の

に 対 して

れ で 

仮

助 定 理6.5.5 が 示 さ れ た,

収 束 し て い る と す る.Δa⊂ れ を 一 応 固 定 し,こ

のΔ に 対

とれ ば,ν ≧ν0な る か ぎ りΔ ∈O({ξν})か つΔa⊂U(ξν,1/m)

とな るか ら   (6.5.38) 

αΔ(ξν)≦1/2

が 成 り立 つ.Ω=Δ 8のⅰ)を

適 用 す る と,任

意 の ξ∈Sに  (6.5.39)

∩Rと

対 して

お き,こ

の Ω に 補助 定 理6.5.7のⅰ)と

意 の ε>0に

対 し て 適 当 なK∈H(Ω)を

補 助 定 理6.5. と れ ば,任

が 成 り立 つ.更 N(ξ,y)が

に,υν(y)=N(ξν,y)(y∈R′∪

コ ン パ ク ト集 合S×

上 で 一 様 に υ0に 収 束 す る.だ

∂Kの

∂K0,ν=0,1,2,…)と

お く と,

上 で 一 様 連 続 な こ と に よ り,{υν}は

か ら 補 助 定 理6.5.6に

よ り次 の 式 がy∈

∂K

∂K0に

関 す る 一 様 収 束 で 成 り立 つ:  (6.5.40)

さ てν ≧ν0な ら ば(6.5.38)お

よ び(6.5.39)の

こ でν → ∞

(6.5.40)お

よ び(6.5.39)の

を 得 る.こ

こ で εは 任 意 の 正 数 だ か ら αΔ(ξ0)≦1/2と な り,Δ の と り方 に よ り,

  こ う し てS0がFσ

第2の

分 論 に お け るFatouの

不等式に よ り

と な る.こ

これ は ξ0∈Γmな

と し て,積

第1の

補 題 を 用 い る と,

不等 式 に よ り

る こ と を 意 味 す る.以

上 に よ り Γmは 閉 集 合 で あ る.

集 合 で あ る こ と が 証 明 さ れ た.

 §6.6  極 小FH0函

  FH0函

数,標 準 表 現 と その 一 意 性

数 の 標 準 表 現 とそ の 一 意 性 を 述 べ るた め,ま ず 極 小FH0函

を 導 入 す る.こ

の 概 念 は §3.4に お け る極 小 正値 調 和 函 数 と同 じ考 え で あ る.

  定 義1  R′ 上 のFH0函

数uが

R′ 上 のFH0函  (6.6.1)[

数 υ で,u-υ

で あ る よ うな も の は,uの

とい う条 件 を 満 た す と き,uを   す な わ ち,FH0函 u-υ

もFH0函

数の概念

数 が'極

極 小FH0函 小'で

も ま たFH0函

数(ま

た は 単 に 極 小函 数)と

あ る と は,uと

次 の(6.6.2)と

呼 ぶ.

線 型 独 立 なFH0函

数 と な る よ うな も の は 存 在 し な い,と

  上 の 条 件(6.6.1)は

数

正 の定 数 倍 に 限 る

数 υ で,

い う こ と で あ る.

同 等 で あ る:

uが 二 つ の 互 い に 線 型 独 立 なFH0函

数u1,u2の

 (6.6.2)[

凸 結 合 な ら ば,uはu1,u2の   こ の 性 質 に よ り,極 的 函 数)と

小FH0函

数 の こ と を 端 点 的FH0函

の 場 合(112ペ

あ る い は,む

の § で は'u-υ

だ し,例

がFH0函

し ろ 函 数 の 半 順 序 関 係>を'u>υ

定 義 し て お い て,112ペ

た は単 に 端 点

和 の 意 味 に 使 っ て い る;念

点 的 函 数'な

味 に 使 わ れ る こ とが 多 く,こ

数'と

ー ジ でu≧

υと

読 み 替 え る も の とす る.

と はu-υ

がFH0函

柄 の 本 質 が よ くわ か り,見

に こ とわ っ て あ る よ う に,'調

  '極 小 函 数','端

極 小正 値 調 和 函数

えば112ペ

数 な るこ

ー ジ の 記 述 に お け る不 等 号≧ を す べ て 半 順 序 関

置 き替 え て 読 め ば,事

な お,前 A*-調

同 値 な こ と の 証 明 は,§3.4の

ー ジ)と 全 く同 様 で あ る.た

記 さ れ た と こ ろ は,こ

係>で

数(ま

呼 ぶ こ と も あ る.

  上 の(6.6.1)と(6.6.2)が

と'と

い ず れ か に 一 致 す る.

和'は

第3章

通 し も よ い で あ ろ う.

で はA-調

和,こ

の章では

の た め に 注 意 し て お く.

る用 語 は,こ

とわ りな け れ ば §3.4に

の § の 意 味 に 使 う の は,前

述べ た 意

後 関 係 か ら誤 解 の 恐 れ

が な い 場 合 に 限 るの が 普 通 の よ うで あ る.本 小 正 値 調 和 函 数 を 第3章

書 に お い て は,§3.4に

述べ た 極

・第4章 で 単 に'極 小 函 数'と 呼 ん だ が,こ の §の 意

味 の 極 小 函 数 の こ とは,混 乱 を避 け る た め,今 後 必 ず'極 小FH0函

数'と 呼 ぶ

こ とに し て お く.

  次 にFH0函

数 の 標 準 表 現 を 定 義 す る.前

のBorel集 Borel測

§ の 定 理6.5.2に

合 で あ る か ら,S1=S＼S0もBorel集 度 がS0,S1の

  定 義2  Sの

上 で 考 え ら れ る か ら,次

上 の 有 界Borel測

と呼 ぶ.R′ 上 のFH0函

よ りS0はSの

合 で あ る.よ

っ てSの

中 上 の

の定 義 を 述 べ る こ とが で き る.

度 μ が μ(S0)=0を

満 た す とき μを 標 準 測 度

数uが 標 準 測度 μ を 用 い て 

と

表 わ され る と き,こ の積 分 表 現 を 標 準 表 現 とい う.   以 下 に お い て,ま ず 標 準 表 現 の存 在(定 理6.6.1)を FH0函

示 し,そ れ を 用 い て極 小

数 の特 徴 づけ お よび理 想 境 界 上 の集 合S1と 極 小FH0函

数 の集 合 と の関

係(定 理6.6.2)を 示 し,更 に そ の結 果 を利 用 し て標 準 表 現 の一 意 性(定 理6.6.3) を 証 明す る.ま ず 次 の補 助 定 理 か ら始 め る.   補 助 定理6.6.1  υ をR′ 上 のFSH函 て,S0に

閉部分集合 であ っ

含 まれ る もの とす る と,R′ に お い て υΓ≡0で あ る.

  証 明  [第1段]Γ

をSの

増加列 で 

な る も の と す る.こ

υΓ=0と

数 と し,Γ をSの

閉部 分 集 合 とし,{Bm}をSの

閉 部分 集 合 の単 調

の と き υBm≡0(m=1,2,…)な

らば

な る こ と を 示 す.

  任 意 のy∈R′ ∈O(Bm)を

と 任 意 の ε>0を

と る.各mに

適 当 に と り,υΔm∩R(y)0か

つ ρ-diam(Γ1)0か

あ る か ら,Bに

含 ま れ る 閉 集 合 Γ1で,μ(Γ1)

る も の が 存 在 す る.次

つ ρ-diam(Γ2)0な

の 議 論 を 繰 り返 す と,一

な り,こ のcは(6.6.4)のcと

≡N(ξ1,y)と

な り,従

小FH0函

の Γ を初 めの

点 ξ1∈Γ が 存 在 し てu(y)=

同 じ で あ る.だ か らR′ 上 でN(ξ0,y)

っ て 定 理6 .2.4に

ら μ は ξ0に お け る 点 質 量 で あ り,そ

  次 の 定 理 は,極

る も の が あ る .こ

よ り ξ0=ξ1と な っ て 矛 盾 で あ る.だ

の 質 量 の 値 は(6.6.4)のcに

数 を 特 徴 づ け,集

合S1と

か

等 し い.

極 小FH0函

数 の全 体 と

の 関 係 を 示 す.   定 理6.6.2 ⅰ) 

R′ 上 の 任 意 の 極 小FH0函

的 に 定 ま っ て,uは

次 の 式 で 与え ら れ る:

u(y)=cN(ξ0,y),こ

 (6.6.5) 

 ⅱ)  y∈R′

数uに

対 し て,点

ξ0∈S1が 一 意

こで

の 函 数N(ξ,y)は

ξ∈S1の

と き,そ

の と き に 限 り極 小FH0函

数

で あ る.   証 明  ⅰ) 定理6.6.1に

よ りS1の

な る か ら,補

助 定 理6.6.4(B=S1と

(6.6.4)が,す

な わ ち(6.6.5)が

定 ま る か ら,定

理6.2.4に

 ⅱ)  ξ∈S1と

仮 定 し,yの

上 のBorel測 す る)に

成 立 す る.こ

と な る が,一 ら な い.定

と 表 現 さ れ る か ら,こ を 意 味 す る.だ

υ が と も にFH0函

の と き(6.3.15)と

よ って一 意 的 に

定 理6.5.1に

数

よ り

はu{ξ}=u,υ{ξ}=υ

で なけ れ ば な

よ り υ{ξ}は一 点 ξに 台 を も つ 測 度 μ を 用 い て υ{ξ}=μN の こ と は υ{ξ}=cN(ξ,・)な

か らN(ξ,y)はyの

  逆 にN(ξ,y)がyの

の と きcはuに

存在 して

函 数N(ξ,y)が

方u{ξ}≦u,υ{ξ}≦ υ だ か ら,実 理6.6.1に

点 ξ0∈S1が

よ り ξ0も 一 意 的 に 定 ま る.

N(ξ,・)=u+υ,uと

と 表 わ さ れ た と す る.こ

度 μ が 存 在 し てu=μNと よ り,一

極 小FH0函

極 小FH0函 数 な ら ば,上

る 定 数c≧0が

存 在す ること

数 で あ る. に 証 明 し たⅰ)に

より

とな る ξ0∈S1が る.従

一 意 的 に 定 ま る.こ

っ て す べ て のy∈R′

6.2.4に

よ り ξ=ξ0∈S1と

こ で 定 理6.2.2の

系2に

に 対 し てN(ξ,y)=N(ξ0,y)が

よ りc=1で

あ

成 立 す るか ら,定

理

な る.

  次 に 標 準 表 現 の 一 意 性 を 示 す た め の 準 備 を す る.   任 意 の ξ∈Sを

固 定 す る と き,yの

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′ がKに

函 数N(ξ,y)はFH函

に 対 し てNK(ξ,・)は,定

含 ま れ る 適 当 な 測 度 μ の ポ テ ン シ ャ ル μNに

μ を μξ,Kと 書 く こ と に す る と,任

数 で あ る か ら,任

意 のy∈R′

理6.3.2に

等 し い.よ

よ り台

っ て こ の測 度

に 対 し て 次 の 式 が 成 り立 つ:

 (6.6.6)

NK(ξ,y)≦N(ξ,y)で る.こ

あ っ て,y∈

の こ と と(6.6.6)お

∂K0な

ら ば こ の 不 等 式 の両 辺 は と も に0で

よ び 定 理6.2.2の

系2に

あ

よ り

 (6.6.7)

が 成 り立 つ.   Rの 中 の コン パ ク トな 閉包Dnを

もつ 正 則領 域 の 列{Dn}で

を 満 た す も の を 一 つ 固 定 し,(6.6.6)でK=∂Dnと μξ,nと書 く こ と に す る.こ 任 意 の ξ∈S1,y∈R′

し た 場 合 の 測 度 μξ,∂Dnを

の と き,μ ξ,nは台 が ∂Dnに

含 まれ る測 度 で あ っ て,

に対 して

 (6.6.8)

  こ こで定 め た記 号 似 て い る の で,混

μξ,K,μξ,nは §6.1で

定 め た 正 則 写 像 を 与 え る 測 度 μyKと

同 し な い よ う に 注 意 せ ら れ た い.

  こ の と き次 の 二 つ の 補 助 定 理 が 成 立 す る.   補 助 定 理6.6.5 

函 数fに 対 し て, 

任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

と,R上

の連 続 函 数 で あ る.

の 任 意 の連 続

  証 明   ま ずf∈C30(R′)と

す る.こ

が 成 立 す る か ら,Fubiniの

の と き 定 理5.5.1の

定 理 と(6.6.6)に

系1のⅱ)に

より

よ って

 (6.6.9)

と こ ろ が,正

則 写 像 の 性 質(定

こ れ を(6.6.9)の

よ り任 意 の ξ1,ξ2∈Sに 対 し て

右 端 辺 に 適 用 す る と,N(ξ,y)がS1×

こ と(定 理6.2.2の

次 にR上

理6.1.2)に

系1)に

よ り 

の任 意 の連 続 函 数fに

∂Kの

上 で一 様 連 続 な

は ξ∈Sに つ い て 連続 で あ る.

対 し て,R′ の任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合 上 で

fに 一様 収束 す る函 数 列{fn}⊂C30(R′)が 存 在 す る.(fのR＼K上 に影 響 し ない か ら,{fn}がR＼R′ だ か ら(6.6.7)に

とな る.前

でfに 収 束 し ない こ とは 全 く差 し支 えな い.)

よ り,n→ ∞ の と き ξ∈Sに 関 して 一 様 に

に 示 し た よ うに 

は ξの連 続 函 数 で あ るか ら,上 に

述 べ た 一 様 収 束 に よ り    補 助 定 理6.6.6  パ ク ト空 間Rの

ξ∈S1な

こ こ でn=nkと

らば,前

に 述 べ た 測 度 μξ,nはn→

上 の 測 度 の 列 と考 え る と(6.6.8)に

当 な 部 分 列{μ ξ,nk}がRの

束 す る が,nk>nな 含 ま れ る.任

も ξの連 続 函数 で あ る. ∞ の と き,コ

ン

上 の 測度 と して 点 ξに お け る単 位 質量 に漠 収束 す る.

  証 明   {μξ,n}nをRの あ る か ら,適

の値は結論

上 の あ る 測 度 μ0(ξ に 関 係 す る)に 漠 収

ら ば μξ,nkの台 はR＼Dnに

意 のy∈R′

し てk→

に 対 し て,y∈D′nな

∞

よ り μξ,n(R)≦1で

含 ま れ る か ら,μ0の るnを

とれ ば(6.6.8)に

と す る と,μ ξ ,nk→ μ0(漠 収 束)だ

か ら

台 はSに よ り

ξ∈S1な

る 仮 定 に よ りN(ξ,y)は

極 小FH0函

数(定

理6.6.2)だ

6.6.4に

よ っ て 上 の 式 の 測 度 μ0は あ る 一 点 ξ0∈Sに

お け る 点 質 量 で あ り,そ

で あ る.従

の 質 量 の値cは,  対 し てN(ξ,y)=N(ξ0,y)と

な るか ら,定 理6.2.4に

か ら,補 助 定 理

っ て 任 意 のy∈R′

に

よ って ξ0=ξ で あ る.だ

か ら μ0は 点 ξに お け る単 位 質 量 で あ る;そ れ を μξと書 く.初 め の{μ ξ,n}nの 任 意 の部 分 列 が,上

と 同 じ議 論 に よ り,同 じ μξ に漠 収 束 す る部 分 列 を 含 む か

ら,初 め の列{μ ξ,n}nが μξに 漠 収 束 す る.   以 上 の こ とを 用 い て標 準 表 現 の一 意 性 を 証 明 す る.   定理6.6.3  FH0函

数 の 標 準 表 現 は 一 意 的 で あ る.任 意 のFH0函

数uと,S

の任 意 の 閉 部分 集 合 Γ に対 して,uΓ を 表 現 す る標 準測 度 の 台 は Γ に含 まれ る.   証 明   [第1段]  ちu=μNが

FH0函

数uを

表 現 す る一 つ の 標 準 測 度 μ を と る;す な わ

標 準 表 現 で あ る とす る.こ の とき

 (6.6.10)

で あ る.μ ξ,nを(6.6.8)に 対 し て,汎

現 わ れ る ∂Dnの

上 の 測 度 と し,任

意 のf∈C(R)に

函 数Lμ,nを

 (6.6.11)

に よ り定 義 す る;上 あ る か ら,上 (6.6.10)に

の{…}の

中 は 補 助 定 理6.6.5に

の 右 辺 の 積 分 は 意 味 を も ち,(6.6.8)に よ り,Lμ,nはC(R)の

の 上 のBorel測

度 μnが 存 在 し て,任

よ り ξ∈Sの

連続函数 で

述 べ た μξ,n(∂Dn)≦1と

上 の 正 値 有 界 線 型 汎 函 数 で あ る.だ 意 のf∈C(R)に

か らR

対 して

 (6.6.12)

が 成 り立 つ が,∂Dnの か ら,測  (6.6.13)

上 でf(x)≡0な

ら ば(6.6.11)に

度 μnの 台 は コ ン パ ク ト集 合 ∂Dnに

よ りLμ,n(f)=0と

含 ま れ る.こ

な る

の と きR′ の 上 で

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.任 性 質 に よ り,xの N(x,y)=0と N(x,y)に

意 のy∈R′

を 固 定 す る と き,核

函数fk(x)=min{N(x,y),k}(た

定 義 し て お く)はC(R)に 近 づ く.と

こ ろ がfkに

函 数N(x,y)の

だ しx∈K0の 属 し,kに

と きは

関 し て単 調増 加 で あ っ て

対 し て は(6.6.12)と(6.6.11)に

よ り

が 成 り立 つ か ら,k→ ∞ とす る と積分 の単 調 収束 定 理 に よ り

こ の 右 辺 に(6.6.8)と 順 次 適 用 す る と,任

補 助 定 理6.4.2の 意 のy∈R′

が 得 ら れ,(6.6.13)が   [第2段] 

証 明 中 に 示 し た 等 式(μN)K=μNKを

に対 して

成 立 す る.

(6.6.11)で

定 義 さ れ るLμ,n(f)に

対 して

 (6.6.14)

が 成 立 す る.な

ぜ な ら ば μξ,n(∂Dn)≦1な る こ と と 補 助 定 理6.6.6に

が 成 り立 つ か ら,(6.6.11)に よ っ て(6.6.14)が   [第3段] 

お い てn→

とす る と,積

分 の有界収束定理に

得 られ る.

定 理 の 証 明.FH0函

し てu=μN=νNと

数uに

対 し て 標 準 測 度 μ お よ びν

な っ た とす る.測 度 μ,νか ら 第1段

Lμ ,n,Lν,nお

よ び 測 度 μn,νn(n=1,2,…)を

(6.6.13)に

より

が 成 り立 つ.こ

∞

より

もR′ 上 の 優 調 和 函数u∂DnのRiesz分

で 述 べ た よ うに汎 函 数

定 義 す る と,第1段

こ で 測 度 μn,νnの 台 は ∂Dnに

が存在

含 ま れ る か ら,上

で 証 明 し た

の式 は い ず れ

解 を 与 え る 式 と 考 え ら れ,Riesz分

解 の

一 意 性 に よ りμ n≡νnで あ る.従 てLμ,n(f)=Lν,n(f)と

っ て(6.6.12)に

な る.コン

上の 任 意 の 連 続 函 数hは,Rの

よ りす べ て のf∈C(R)に

パ ク ト距 離 空 間Rの 上 の 連 続 函 数fhに

対 し てLμ,n(fh)=Lν,n(fh)が

成 り立 つ か ら,n→

だ か ら μ=ν と な り,uに

対 し

閉 部 分 集 合 で あ るSの

拡 張 され て,す

べ て のnに

∞ とす る と(6.6.14)に

対 す る 標 準 測 度 の 一 意 性,す

な わ ちuの

よ って

標準表現の

一 意 性 が 示 され た .   こ の こ と と 定 理6.6.1に   最 後 にFSH0函

よ り,定

理6.6.3の

後 半 は 明 ら か で あ る.

数 の 一 意 的 な 積 分 表 現 の 定 理 を 述 べ る.

  定 理6.6.4 

任 意 のFSH0函

S1の 上 のBorel測

度(す

数 υ に 対 し て,R′

な わ ち 標 準 測 度)μ1が

に お け るBorel測

一 意 的 に 定 ま っ て,任

度 μ0と, 意 のy∈

R′ に 対 し て  (6.6.15)

が 成 立 す る.   証 明   FSH0函 FH函 FSH0函

数uが

数 υ に 対 し て,定

存 在 し てυ=μ0N+uと

数 だ か ら,uはFH0函

数uの

こ で μ0Nは

よ り

の 式 は 優 調 和 函 数 υ のRiesz分

よ り μ0とuは

上 に よ り,FSH0函

度 μ0と

定 理6.4.1に

υ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

標 準 表 現 の 存 在 と 一 意 性 に よ り,u=μ1Nと

μ1が 一 意 的 に 定 ま る.以 測 度 μ0とS1の

よ りR′ 上 のBorel測

な る が,こ 数 で あ る.こ

解 を 与 え て い る か ら,定 理6.1.8に だ か らFH0函

理6.3.3に

数 υ に 対 し てR′

上 の 標 準 測 度 μ1が 一 意 的 に 定 ま っ て(6.6.15)が

な る標 準測 度 に お け るBorel 成 立 す る.

第7章 

滑 ら か な 境 界 のNeumann型 理 想 境 界 へ の埋 め込 み

  §7.1  埋 め 込 み の定 理

  第4章 に お い て,Rが

多 様 体Mの

部 分 領 域 で あ っ て,そ の境 界 の一 部(境 界

全 体 で も よい)が 適 当 に 滑 らか な らば,そ の 部分 がRのMartin境

界の中へ同

相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 した.こ の 章 で は,そ の よ うな 滑 らか なRの 境 界 の 部 分 が,偏

微 分 作 用 素A*υ=div(▽

υ-bυ)に 関 す るRのNeumann型

境 界 の中 へ 同相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 す.よ に,集 合E⊂Mの

閉 包E,境

理想

って,こ の 章 で も第4章

界 ∂E等 の用 語 や 記号 は,Mに

と同 様

お け る位 相 で 考

え る も の とす る.   こ の章 は 全 く前 の章 の'続 き'で あ るか ら,前 の章 で約 束 し た 記 号 ・条 件 等 を そ の ま ま用 い る.例 え ば,一 点x0∈Rと が 固 定 され てい る こ とや,条

件(A)な

それ を含 む 正 則 コン パ ク ト集合K0

ど,§6.1に

述 べ た通 りで あ る.(条 件

(A)に つ い ては §5.1を 参 照.)   こ の章 の結 果 を 下 記 の 二 つ の定 理 と し て述 べ,証 明は 次 の二 つ の §で与 え る.   定 理7.1.1  Rが

向 きづ け ら れ たm次

の境 界 ∂Rの 一 部分Sがm-1次 用 素A*の

元C∞ 級 多 様 体Mの

元C3級

単 純 超 曲 面 か ら成 る と し,偏

微分作

係 数aij(x),bi(x)はR∪SでC2級

であ り,b(x)=‖bi(x)‖

が条件

(A)を 満 た す とす る.こ と書 くと,SはRのA*に

の と き,∂Rに

お け る相 対 位 相 で考 えたSの

関 す るNeumann型

へ 同 相 に 埋 め 込 まれ る;正 確 に 述 べ る と,Sの 対 一 に 対 応 し, のとき  (7.1.1) {

部 分 領 域 で,そ

の とき

内 部 をS

理 想 境 界 の 本 質 的 部分S1の 各点zに

中

対 してS1の 点 ξzが一

 ⅲ

で 定 義 さ れ る 写 像 φ は,多 ク ト化R(そ のR∪

様 体Mの

部 分 空 間 と し て のR∪Sと,Rの

れ は コ ン パ ク ト距 離 空 間 で あ る;§6.2参

φ(S)と

部分 空 間 と して

の 同 相 写 像 を 与 え る.(Φ(S)={ξz￨z∈S}.)―

  こ の 定 理 の 仮 定 の も と で は,領 外 法 線nR≡nR(z)お が で き る.こ

照)の

コ ンパ

域Rの境

よ びb(z)の

界 点 と し て の 点z∈Sに

お け る単 位

法 線 成 分 βR(z)≡(b(z)・nR(z))を

考 え ること

の こ と を 用 い て 次 の 定 理 が 述 べ ら れ る.

  定 理7.1.2 

前 定 理 の 仮 定 の も と で,核

函 数N(x,y)は

 (7.1.2)

の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ,次 )  任 意 のz∈Sに

のⅰ),ⅱ),ⅲ)が

対 し て,N(z,y)はy∈R′

 ⅱ)  任 意 のy∈R∪Sと

上 の 定 理 で,xとyの

N(x,y)=0と

し て い る.

  注 意2 

核 函 数N(x,y)は

の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ て い る;注

れ ば,定

理7.1.2を

対 して

少 な く と も 一 方 がK0に

定 理6.2.2に

理7.1.1の

数 で あ る;

対 して

任 意 のz∈S＼{x}に

  注 意1 

か ら,定

の 極 小FH0函

任 意 のz∈S＼{y}に

)  任 意 のx∈R∪Sと

と が で き る.だ

成 り立 つ: ⅰ

属 し 

な ら ば,

よって

意1に

よ り上 のR′ ∪∂K0をRと

意 味 で 点z∈Sと

点 ξz∈S1と

書 くこ を 同一 視 す

述 べ る前 にN(x,y)は

を 含 む 集 合 に ま で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て い る が,定 応(R×R)＼{(z,z}￨z∈R}の

理7.1.2で

はN(x,y)を

上 で 定 義 さ れ て い る も の と し て,そ

1.2)に

拡 張 す る と 考え る.定

理7.1.2が

z∈S)と

定 理6.2.2のN(ξ,y)(y∈R,ξ

対 応 と連 続 性 に よ りN(z,y)=N(ξz,y)な

証 明 さ れ れ ば,こ ∈ φ(S)⊂S)と

一

れ を(7.

のN(z,y)(y∈R,

の 間 に,(7.1.1)に

る 関 係 が あ る こ と は 当 然 で あ る.

よる

  §7.2  核 函 数N(x,y)の

滑 らか な境 界上 へ の拡 張

  この §で は 核 函 数N(x,y)をS上

の点 ま で連 続 的 に拡 張 す る.そ の た め に,

まず 境 界値 問 題 に 関 す るい くつ か の 準 備 をす る.   Mの

中 の 正 則領 域 Ω で,K0を

含 み,そ

の 閉 包 Ω が コン パ ク トな もの を 考

え る.こ の よ うな 任 意 の Ω に 対 し て,Ω′=Ω ＼K0に

お け る境 界 値 問 題

 (7.2.1)

の 核 函 数 を,§5.5に に お け る(7.2.1)と

お け る と 同 様 にNΩ(x,y)と

書 く,こ

の 函 数 は ま た,Ω

′

共 役 な 境 界値 問題

 (7.2.1*)

の 核 函 数 で も あ る.(第1章,定   (7.2.2)  のGreen函

理1.3.2)ま

Au=-f,u￨∂K0=φ0,u￨∂Ω=φ1 数 をGΩ(x,y)と

  (7.2.2*)  のGreen函

た,Ω′ に お け る 境 界 値 問 題

す る と,こ

れ は(7.2.2)と

A*υ=-f,υ￨∂K0=φ0,υ￨∂

共役な境界値問題

Ω=φ1

数 で あ る.

  前 の 二 つ の 章 で 用 い た 条 件(A)を 列{Dn}n=0,1,2,…

でD0⊃K0な

こ の と き 定 理5.1.1に

考 え,そ

の 中 の(5.1.8)を

る も の を 一 つ と っ て,今

よ り,集

満たす領域 の

後 こ れ を 固 定 し て お く.

合

  (7.2.3)

(R′=R＼K0)に

おけ る広 義 一 様 収 束 で

 (7.2.4)

が 成 立 す る.   x,yの

少 な く と も一 方 がK0に

と に よ り,函  (7.2.5) 

数N(x,y)は

属 し 

集合 [R×R]＼{(z,z)￨z∈R}

な ら ばN(x,y)=0と

定義す るこ

の 上 で 連 続 な も の と し て 扱 う こ と が で き る.   Mの

中 の 正則領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包 Ω を も ち,

  (7.2.6) 

D0⊂

な る も の を と る.今

Ω ⊂R,∂

後 し ば ら く,こ

∂Ω ′の 上 の 函 数 α(x)を

Ω ∩S⊂S

の よ うな Ω を 一 つ 固 定 し て 準 備 を 進 め る.

次 の よ うに 定 義 す る:

 (7.2.7)

 ここ で まず,境 界 値 問 題 Ω ′にお い て   (7.2.8) {

∂Ω′に お い て

お よび Ω ′に お い て  (7.2.8*) {

∂Ω′に お い て のGreen函

数G(x,y)を

こ の よ うなGreen函

構 成 す る.α(x)は 数 の 存 在 は 第1章

に 述 べ る よ うに し てG(x,y)を   αn(z)を

∂Ω′の 上 で0≦

に は 述 べ ら れ て い な い が,我

る 値 を と るC2級

の上 では

とな る もの と し,境 界 値 問 題

々は 以 下

構 成 す る こ とが で き る.

αn(z)≦1な

 (7.2.9) {

∂Ω′の 上 で 連 続 で は な い か ら,

の上では

の 函数 で あ っ て

Ω′に お い て  (7.2.10) {

∂Ω′に お い て のGreen函

数 をGn(x,y)と

す る と,こ

れ は(7.2.10)と

共 役 な境 界 値 問 題

Ω′に お い て  (7.2.10*) {

∂Ω′に お い て のGreen函

数 で も あ る.(第1章,定

理1.3.2)こ

の と き,函

数列

{αn(z);n=1,2,…} は ∂Ω′の 上 でnに

関 し て 単 調 増 加 で あ る か ら,第1章

は   (7.2.11) {

 )でnに

の 定 理1.3.5に

より

の 上(た だ し

関 し て単 調 増 加 で あ る;

従 って  (7.2.12) 

が 存在 す る;

極 限 函 数  xとyの

少 な く と も 一 方 が 

属 し,か

つ 

に

 (7.2.13) [

  こ のG(x,y)が ずx,y∈

所 要 のGreen函

Ω′か つ 

な ら ば, 

と な る.

数 に な る の で あ る が,そ

れ を 示 す た め,ま

ならば

 (7.2.14)

お よび

 (7.2.15)

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.   Ω′でHolder連

続 な 任 意 の 函 数fを

と り,函

数

 (7.2.16)

を(7.2.2*)の て は υ=0で

形 の 境 界 値 問 題 の 解 と 考 え る;た あ る.だ

か ら υ はGΩ(x,y)を

だ し(∂ Ω ∩Dn)∪ ∂K0に

用 いて

お い

と 表 わ され る.こ

の 両 辺 の υ に(7.2.16)の

任 意 性 に よ り,す

べ て のx,y∈

と が わ か る.(7.2.15)も   さ て(7.2.14)に Ω′＼S( 

Ω′( 

右 辺 を 代 入 し た 式 を 書 け ば,fの )に

対 し て(7.2.14)が

成 り立 つ こ

同 様 な 方 法 で 証 明 さ れ る.

お い てn→

∞

と す る と,(7.2.12)に

よ り任 意 のx,y∈

)に 対 し て

 (7.2.17)

が 成 立 し,従

っ て ま た,任

意 のx∈

Ω′,y∈ ∂Ω＼Sに

対 して

( nに 関 し て 単 調  (7.2.18)

増 加 で収 束 す る)

そ こ で,(7.2.15)にお に よ り,任

意 のx,y∈

い てn→

∞

と す る と(7.2.12),(7.2.13)お

Ω′∪ ∂K0∪(Ω

∩S)( 

)に

よ び(7.2.18)

対 し て

 (7.2.19)

を 得 る.GΩ(x,y)とNΩ(x,y)の G(X,y)は ら,従

連 続 性 お よ び(7.2.17),(7.2.19)に

任 意 の 

より

で 連 続 な こ と が わ か るか

っ て ま た(7.2.17),(7.2.19)が

す べ て のx,y∈

Ω′( 

)で 成 立 す る

こ と が わ か る.   以 上 の 推 論 で,xとyの ( 

)に対

役 目を 入 れ 替 え る こ と に よ り,す

べ て のx,y∈

Ω′

して

 (7.2.20)

 (7.2.21)

が 示 さ れ る.   GΩ(x,y),NΩ(x,y)の に よ っ て,G(x,y)が

性 質 と(7.2.17),(7.2.19),(7.2.20)お 境 界 値 問 題(7.2.8)お

よ び(7.2.8*)のGreen函

よ び(7.2.21) 数 に な

る こ と が 験 証 さ れ る.特 z∈ ∂Ω ＼(∂Ω＼S)に

に 次 の 性 質 を 記 し て お く:任

意 のx,y∈

Ω′∪ ∂K0と

対 して

 (7.2.22)

 こ こ で 核 函 数NDn(x,y)(n=1,2,…)に   補 助 定 理7.2.1 ⅰ) 

x,y∈

つ い て 次 の こ と を 示 そ う.

Ω ∩D′n, 

な らば

 (7.2.23)

 ⅱ )  x∈Dn＼

Ω,y∈Dn∩

Ω′ な ら ば

 (7.2.24)

 ⅲ)  領 域 Ω の み に 関 係 す る正 の 定 数CΩ と番 号nΩ が存 在 し て,す n>nΩ

べ ての

に対 して

 (7.2.25)

  証 明  ⅰ) 任 意 の 函 数f∈C10(D′n),h∈C10(Ω′)を

と り

 (7.2.26)

な る 函 数u,υ

を 定 義 す る と, D′nに お い て

 (7.2.27)

Ω′に お い て 領域

Ω ∩D′nに お け るGreenの

公式に よ り

右 辺 の 境 界 積 分 に お い て,(7.2.27)に 上 の 積 分 は 全 く消 失 す る か ら,積

よ り 

の 項 は 消 失 し,ま

分 範 囲 は ∂(Ω∩Dn)と

た ∂K0の

書 い て よ い.よ

って

こ の 式 のu,υ

に(7.2.26)の

(7.2.23)がx,y∈

定 義 式 を 代 入 し,函

Ω ∩D′n, 

A*υ=0な  ⅲ) 

域

Ω と 任 意 の 函 数f∈C10(Ω

Ω ∩D′nに お け るGreenの

る こ と に よ り,ⅰ)の ま ずu0(x)≡1な

の 解 で あ る か ら,核

任 意 性 を 考 え れ ば,

に 対 し て 成 り立 つ こ と が わ か る. ⅱ

)  任 意 に 固 定 し た 点x∈Dn＼

に 対 し て,領

数f,hの

公 式 を 適 用 す れ ば,こ

証 明 と 同 様に し てⅱ)の

る 函 数 は,D′nに

函 数NDn(x,z)を

′)を と り,函

数

の領 域 で は

結 論 を 得 る.

お け る 境 界 値 問 題:

用い て

 (7.2.28)

と表 わ さ れ る;す

な わ ち,任

意 のx∈D′nに

対 し て 上 の 等 式 が 成 立 す る.次

領 域 Ω′に お け る 境 界 値 問 題(7.2.2)のGreen函  を 定 義 す る と,こ w￨∂ Ω=0,w￨∂K0=1を に よ り 

満 た す.従

数GΩ(z,y)を

に,

用い て函数

の 函 数 は Ω′に お い てAw=0,

っ て 調 和 函 数 の 性 質(第1章,定

理1.4.2)

は ∂Ω の上 で,い た る と こ ろ正 の値 を と る連 続 函 数 であ るか ら,

正 の最 小値 を とる.nが くか ら,∂Dn∩

増 大 す る と き ∂Dn∩ Ω は ∂Ω∩Sに 一 様 に近 づ い て い の最 小値 も,あ

Ω の 上 で の 

ら適 当 なnΩ とCΩ を とれ ば,す べ て のn>nΩ

る正 の値 に近 づ く.だ か

に対 し て

 (7.2.29)

と な る.さ

て,任

意 のn>nΩ

函 数 υ(z)=NDn(x,z)と るGreenの

を と っ て か ら,任

上 に 定 義 し た 函 数w(z)に

公 式 を 適 用 す る と,υ

とwが

意 の 点x∈Dn＼Ω 対 し て 領 域Ω

を 定 め, ∩D′nに お け

満 た す 方 程 式 と境 界 条 件 に よ って

が 得 られ る;す な わ ち

だ か ら(7.2.28),(7.2.29)に

と な る.こ

よ っ て

こ でxはDn＼

Ω の 任 意 の 点 で あ る か ら(7.2.25)が

  次 に,K0⊂

Ω0⊂Ω0⊂Rか

た と し,Ω0に

お け る 境 界 値 問 題(7.2.2)のGreen函

次 の 補 助 定 理 のⅰ),ⅱ)は

成 り立 つ.

つ Ω0が コ ン パ ク トで あ る 正 則 領 域Ω0が 数GΩ0(x,y)を

そ れ ぞ れ 前 の 補 助 定 理7.2.1のⅱ),ⅲ)と

与 え られ 考 え る と, 全 く同 じ

方 法 で 証 明 さ れ る.   補 助 定 理7.2.2 ⅰ) 

Dn⊃Ω0,x∈Dn＼

Ω0,y∈Dn∩

Ω′0なら ば

 (7.2.30)

 ⅱ)  Dn0⊃ Ω0な

るn0を

とる と

 (7.2.31)

 系  Dn0⊃ Ω0で あ っ て,Fが

領 域 Ω0に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 な ら ば

 (7.2.32)

 こ の 系 は,(7.2.30)の

な る こ と と(7.2.31)を   今 後,R∪Sを

右辺において

用 い れ ば,容

簡 単 にRと

に お け る 相 対 位 相 に 関 す るEの

書 く こ と に し,任 内 部 をIntR

正 則 領 域 Ω を 含 む 正 則 領 域 Ω1で,次   (7.2.33) Ω1は

易 に 示 さ れ る.

Eで

意 の 集 合E⊂Rに 表 わ す.前

対 し て,R

か ら固定 し て い る

の 条 件 を 満 た す も の を 一 つ 固 定 す る:

コ ン パ ク トで Ω1⊂Rか

つ Ω ⊂IntRΩ1.

  前 の 領 域 Ω に 対 す る 境 界 値 問 題(7.2.8),(7.2.8*)のGreen函 を 構 成 し た よ うに,Ω1に そ れ をG1(x,y)と

対 す る 同 様 な 境 界 値 問 題 のGreen函

書 く.こ

き 直 し て お く:x,y∈

数G(x,y)

のGreen函

Ω1∩D′n, 

数 を 構 成 し て,

数 を 用 い て(7.2.23)を

次 の よ うに 書

な らば

 (7.2.23′)

こ こ で,(7.2.23)に z∈ ∂Ω1∩Dnな

お け る 積 分 の 範 囲 を ∂Ω1∩Dnと

ら ばG1(x,z)=0な

る こ と を 用 い た.(7

積 分 範 囲 を 分 け る と次 の よ う に な る:x∈Dn＼Ω,y∈Dn∩

∂D n∩ Ω1と に 分 け, .2.24)も

同様に右辺の

Ω′な ら ば

 (7.2.24′)

  さ て,任 7.2.2の る.そ

意 の コ ン パ ク ト集 合E⊂Ω′1お

よびF⊂

Ω′ を と る と き,補

前 に 述 べ た 条 件 を 満 た す 領 域 Ω0でF⊂Ω0⊂Ω0⊂ こ でDn0⊃

に よ り,(7.2.23)の

Ω0∪Eな

るn0を

最 後 の 積 分 に お け る{…}内

∂Dn∩ Ω1に 関 し て 有 界 で あ っ て,n→ NDn(z,y)の

と れ ば(7.2.32)が

有 界 性(7.2.32)に

∞ の と き0に

よ り,x∈E,y∈Fに

助 定理

Ω と な る も の が あ

成 立 す る.一

方(7 .2.22)

の 式 はn>n0,x∈E,z∈ 収 束 す る .こ

の こ と と

対 して

 (7.2.34)

が 導 か れ る.(7.2.24′)の (7.2.22)を

用 い て,y∈Fに

最 後 の 積 分 に つ い て も 同 様 に し て,(7 対 して

 (7.2.35)

が 示 され る.   以上 の こ とを用 い て,次 の補 助 定 理 を 証 明す る.

.2.31)と

  補 助 定 理7.2.3 

領 域 Ω,Ω1お

述 べ た 通 り とす る と,コ 測 度 μ が 存 在 し て,核

よ びGreen函

数G(x,y),G1(x,y)を

ン パ ク ト集 合(∂Ω1＼S)×(∂Ω＼S)の 函 数N(x,y)は,x∈

上 に

上 の 有 界 なBorel

Ω′1,y∈Ω′, に

対 して

 (7.2.36)

  証 明   E⊂ Ω′1,F⊂ Ω′,E∩F=φ 任 意 の(x,y)∈E×Fに 合E,Fに

な る任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,Fを

対 し て(7.2.36)が

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.こ

対 し て 上 に 述 べ た 条 件 を 満 た す 領 域 Ω0と 番 号n0を

対 し て(7.2.23′),(7.2.24′),(7.2.34),(7.2.35)を (7.2.23′)と(7.2.34)の z1と

書 き 直 す と,こ

文 字zをz1と

右 辺 第2項

が 成 立 す るz1の

範 囲 に 含 ま れ る.よ

に(7.2.24′)(xがz1に

用 い る こ と に す る.ま

書 き,(7.2.24′)と(7.2.35)の

に お け る 積 分 変 数z1の

ず

文 字xを 対 して 成 立

変 域 は(7.2.24′),(7.2.35)

っ て(7.2.23′)の

な っ て い る)の

の集

と り,n>n0に

れ ら の 四 つ の 等 式 は す べ て の(x,y)∈E×Fに

し,(7.2.23′)の

と り,

右 辺 第2項

右 辺 を 代 入 す る と,次

のNDn(z1,y)

の 等 式 を 得 る:

 (7.2.37)

こ こ で,右

辺 の 第2項,第3項,第4項

I(3)n(x ,y)と

書 き,各

  I(1)n(x,y)に Borel測

項 に つ い てn→

つ い て.コ

度 μnを

を そ れ ぞ れI(1)n(x,y),I(2)n(x,y), ∞

の と き の 極 限 を 考 え る.

ン パ ク ト空 間Ⅱ≡(∂

Ω1＼S)×(∂

Ω ＼S)に

お け る 次 の

考 え る:

にお い ては の外 部 の μn測度 は0. こ の と きI(1)n(x,y)は

コ ン パ ク ト空 間Ⅱ

の 上 の 測 度 μnに よ る 積 分 と考 え ら れ

る.(7.2.25)に

よ り,n1=max{n0,nΩ}と

で あ る か ら,測

度 の 列{μn}は

す る と

コ ン パ ク ト空 間Ⅱ

ら 適 当 な 部 分 列{μnν}を

と れ ば,こ

測 度 μ に 漠 収 束 す る.任

意 の(x,y)∈E×Fに

の 上 で 一 様 有 界 で あ る.だ

か

の コ ン パ ク ト空 間 上 の あ る 有 界 なBorel

式の'被 積分 函数' 

対 し て,I(1)n(x,y)を は(z,z1)に

つ い てⅡ

定義す る

に お い て連 続

で あ るか ら,上 に述 べ た 測 度 の部 分 列 の漠 収 束 に よ り  (7.2.38)

を得 る.こ

の右 辺 は(7.2.36)の

最 後 の 項 と同 じで あ る;上 の 式 で もⅡ が 二 つ

の超 曲面 の直 積 で あ る こ とを 意 識 す るた め に,積 分 記 号 を2重 に 書 い て お く.  I(2)n(x,y),I(3)n(x,y)に の 

つ い て.I(2)n(x,y)を

はx∈E,z1∈

∂Ω1∩Dnに

定 義 す る 式 の 被 積 分 函 数 の中

関 し て 有 界 だ か ら,(7.2.35)(xをz1

と書 き直 した も の)に よ っ て  は 

が 得 ら れ る.ま

を意 味 す る.

  以 上 に よ り,(7.2.37)に

お い て(7.2.38)が

考 え てν → ∞

辺 は(7.2.4)に

とす れ ば,左

任 意 の(x,y)∈E×Fに

対 し て(7.2.36)が

成 立 す る よ うな 部 分 列{nν}を よ っ てN(x,y)に 得 られ る.こ

が 示 さ れ た.   補 助 定 理7.2.4 ⅰ) 

核 函 数N(x,y)は

集合

 (7.2.39)

の上 の連 続 函数 に拡 張 され る.  ⅱ) 上 の拡 張 され たN(x,y)は  (7.2.40) 

 (7.2.41)

た,(7.2.34)

次 の境 界 条 件 を 満 た す:

任 意 のx(≡S,y∈(R∪S)＼{x}に

対 して

任 意 のy∈S,x∈(R∪S)＼{y}に

対 して

収 束 す るか ら, れ で 補 助 定 理7.2.3

  証 明  ⅰ)  Sに 含 ま れ る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 Γ と 任 意 のDn0と こ の と き 領 域 Ω と Ω1を,前 よ う に とれ る.こ え る と,補 Borel測 IntRΩ

に 述 べ た 条 件 を 満 た し か つIntRΩ

の Ω,Ω1に

助 定 理7.2.3に

対 応 す るGreen函

⊃ Γ な る こ と に よ り,コ

積 分 変 数z1,zの は(x,y)に

⊃Dn0∪

Ω′, 

Γ な る

数G(x,y),G1(x,y)を

述 べ た よ う に(∂ Ω1＼S)×(∂ Ω＼S)の

度 μ が 存 在 し て,x,y∈

を 与 え る.

に 対 し て(7.2.36)が

考

上 の有 界 な 成 立 す る.

ン パ ク ト集 合 Γ の 適 当 な 近 傍 は,(7.2.36)の

変 域 ∂Ω1＼S,∂ Ω＼Sか

ら 離 れ て い る か ら,(7.2.36)の

右 辺

ついて 集合

 (7.2.42)

の 上 で 連 続 な 函 数 を 表 わ し て い る.だ (7.2.42)の

か ら こ の 式 に よ り核 函 数N(x,y)は

上 の 連 続 函 数 と し て 定 義 さ れ る.x,y∈R′ 

の 値 は 初 め か ら 定 ま っ て い る か ら,こ と り方 に は 関 係 し な い.こ

集合

に 対 す るN(x,y)

の 連 続 的 拡 張 の Γ 上 で の 値 は Ω,Ω1の

こ で Γ はSの

中 で 任 意 に 大 き く と る こ と が で き,

n0も 任 意 に 大 き く とれ る か ら,N(x,y)は

集 合(7.2.39)の

上 の連 続 函数 に拡

張 さ れ る.  ⅱ)  上 のⅰ)の 証 明 か ら わ か る よ うに,集 し てN(x,y)が(7.2.36)で れぞれ

Ω,Γ

合(7.2.42)に

と し た 場 合 に つ い て 証 明 す れ ば よ い.こ

の 変 域 ∂Ω1＼S,∂ Ω ＼Sか 境 界 条 件(7.2.22)を

属 す る(x,y)に

表 わ さ れ て い る と し,(7.2.40∼41)のR,Sを の 場 合 に は,Γ

ら離 れ て い る こ と と,G(x,y)お

満 た す こ と に よ り,(7.2.40∼41)が

対 そ

がz1,z

よ びG1(x,y)が 成 り立 つ こ と は 容 易

に わ か る.

  以 上 で,N(x,y)が (7.1.2)と れ た が,こ

同 じ)ま

集 合(7.2.39)(そ

れ は 前 § に 述 べ た 定 理7.1.2の

で 拡 張 さ れ て 定 理7.1.2のⅱ),ⅲ)が

の § の 結 果 で は,Sは

こ の §の 結 果 を 用 い て 次 の §で'埋 の §の 結 果 と を 合 わ せ て,定

ま だ 理 想 境 界S1に め 込 み'の

理7.1.1と

成 り立 つ こ と が 示 さ 埋 め 込 ま れ て は い な い.

写 像 の 存 在 が 示 さ れ,そ

定 理7.1.2の

  下 記 の 補 助 定 理 は 次 の §で 用 い る も の で あ る が,こ

集合

れ と こ

証 明 が 完 成 す る.

の §で 準 備 し た こ と か ら

直 接 的 に 導 か れ る ので,こ

こで 証 明 し てお く.

  補助 定 理7.2.5  EがR′

∪Sの

パ ク ト集 合 で あ っ てE∩F=φ N(x,y)はE×Fに   証 明  E,Fに

閉 部 分 集 合,FがR′ な らば,前

∪Sに

含 まれ る コン

の 補 助 定 理 で 拡 張 され た 核 函 数

お い て 有 界 で あ る. 対 す る仮 定 に よ り,次 の条 件 を 満 た す 正 期 領 域 Ω で,コ

ンパ

ク トな 閉包 Ω を もつ ものが 存 在 す る:  (7.2.43) 

K0⊂

Ω ⊂Ω ⊂R,IntRΩ

こ の よ うな Ω を 一 つ 固 定 し,こ と,(7.2.24′)と(7.2.25)が y∈Dn∩

⊃F,Ω

∩E=φ.

れ に 対 応 す るGreen函

成 立 す る.(7.2,24′)を

数G(x,y)を

考 える

再 記 す る と:x∈Dn＼

Ω,

Ω′ な ら ば

 (7.2.24″)

ま た(7.2.25)に

よ り

 (7.2.25′)

(7.2.43) 

で あ る か ら,(7.2.25′)と

に よ り 

(7.2.24″)の

右 辺 第1項

に 対 して

と な る 定 数C′Ωが 存 在 す る.一 F∩Dn1と (7.2.35)が

方,任

意 の 番 号n1を

Ω0⊂Ω0⊂ Ω な る 正 則 領 域 Ω0を と る と,任 成 立 す る か ら,(7.2.24″)の

が 成 立 す る.だ

合 わ せ て,

か ら(7.2.24″)に

右 辺 第2項

お い てn→

∞

と っ て 一 応 固 定 し て お き, 意 のy∈F∩Dn1に に対 し て

とす れ ば

対 して

が 任 意 のx∈E∩R,y∈F∩Dn1に れ る か ら,こ (7.2.4)に

対 し て 成 立 す る が,n1は

の 式 は 任 意 のx∈E∩R,y∈F∩Rに

よ りN(x,y)≦C′Ω

7.2.4に

よ りN(x,y)が

E×Fの

上 でN(x,y)≦C′Ω

  補 助 定 理7.2.6    (7.2.44) 

と な る.こ

Ω はMの

D0⊂ Ω⊂R,∂

を 満 た す も の と す る.ま

対 し て 成 立 す る.だ

が(E∩R)×(F∩R)の

集 合(7.2.39)ま

任意に大 き くと

上 で 成 立 し,補

か ら 助定理

で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て い る か ら, れ で 補 助 定 理7.2.5が

証明 さ れ た.

中 の 正 則 領 域 で コ ン パ ク トな 閉 包Ω を も ち, Ω ∩S⊂S 

(こ れ は(7.2.6)と

た 函 数wはRでC2級

同 じ 条 件)

で あ っ て,

では

 (7.2.45) 

とな る もの とす る.こ の と き任 意 のx∈R′

に対 し て 次 の 式 が成 立 す る:

 (7.2.46)

 証 明  任 意 の 函 数h∈C10(R′)を

とり

 (7.2.47)

と 定 義 す る.函

数hの

台 と 領 域 Ω と を 含 む 正 則 領 域 Ω1で 条 件(7.2.33)を

た す も の を と り,Ω,Ω1に を 考 え る.こ

対 応 す る前に 述 べ たGreen函

の と き 函 数N(x,y)(x∈

れ る か ら,(7.2.47)で

数G(x,y),G1(x,y) )が(7.2.36)で

定 義 さ れ た 函 数 υは Ω′に お い てA*υ=-hと   を 満 た す.一

を 満 た し,wとAwの

っ て(7.2.47)に

方wは(7.2.45)に

台 は Ω′に 含 ま れ る.だ

式 に よ って

と な り,従

Ω′1,y∈Ω′, 

よ り

満

表 さ な り

よ って

か ら Ω′に お け るGreenの

公

を 得 る.こ

こ でhがC10(R′)に

対 し て(7.2.46)が

成 立 す る.

属 す る 任 意 の 函 数 で あ る か ら,任

意 のx∈R′

に

  §7.3  埋 め 込 み 定 理 の 証 明

  こ の §で は 前 述 の 定 理7.1.1,定 で,証

理7.1.2を

証 明 す る が,§4.2と

同 じ形 式

明 の 各 段 階 を 補 助 定 理 と し て 述 べ て,そ れ ら を 証明 し て い く こ と に よ り,

前 述 の 定 理 の 証 明 を 完 成 す る.従

っ て 定 理7.1.1の

も の と し て 議 論 を 進 め る.Riemann計 y∈R∪Sの

距 離 をdis(x,y)と

量‖aij‖

仮 定 は 常 に 満 た され て い る に よ っ て 定 義 され る二 点x,

書 く こ と に す る.ま

た,ρ

は §6.2に お い てR

で 定 義 さ れ た 距 離 を 表 わ す.   補 助 定 理7.3.1  応 し て,Rの

任 意 の 点z∈Sに

対 し て,点ξz∈Sが

一 つかつ 唯一つ 対

とな る よ うな任 意 の 点 列{xν}に

中 の   と な る;こ

が 成 り立 つ.(N(ξz,y)は

の と き 任 意 のy∈R′

に 対 し てN(ξz,y)=N(z,y)

前 章 の 理 想 境 界 の 構 成 で 定 理6 .2.2に

れ た も の で あ り,N(z,y)は

対 して

前 §で 補 助 定 理7.2.4の

よ って 定 義 さ

結 果 とし て与 え られ た も

の で あ る.)   証 明   任 意 の 点z∈Sを

与 え る と,こ

れ に 対 し てRに

 と な る も の が と れ る.Rは

り,点 列{zn}はRの 部 分 列{znν}がSの

まRの

上 の 一 点 ξに,ρ

連 続 性(補

任 意 のy∈R′ か ら §6.2に

に 関 し て 収 束 す る: 

を 満 た す 任 意 の点 列{xν}を

け る 拡 張 さ れ たN(x,y)の

と な る.だ

距 離 ρに 関 し て コ ン パ ク トで あ

中に は ρに 関 す る集 積 点 を も た な い か ら,そ の適 当 な

中 に 

 (7.3.1) 

含 ま れ る 点 列{zn}で

助 定 理7.2.4)に

こ こ で{xν}がdis(xν,z)→0な

と る と,前

§に お

よ り

に対 し て

お け る 距 離 ρの 定 義((6

に よ っ て 

い

.2.3)お

よ び(6.2.4)を

見 よ)

とな り,上 の結 果 と合 わ せ て

る任 意 の点 列 で あ る こ とに よ り ,点

ξ∈Sは

点z∈Sに

よ っ て 一 意 的 に 定 ま る こ とが わ か る.よ   で あ り,ま

=N(z,y)を

た(7.3.1)に

っ て こ の ξを ξzと 書 け ば

よ り 任 意 のy∈R′

に 対 し てN(ξz,y)

得 る.

  補 助 定 理7.3.2 

z∈S,{yn}⊂R′

な ら ば,

で あ っ て 

 と な る.   証 明   前 §の 補 助 定 理7.2.4の 函 数N(x,y)は(7.2.36)の

証 明 か ら わ か る よ うに,集

表 現 式 を 用 い て 定 義 さ れ る も の で あ り,そ

域 Ω の 閉 包Ω が 点zお

よ び 点 列{yn}を

含 む と し て よ い.(7.2.36)に

  で あ るか ら,x,y∈ N(x,y)≧G1(x,y)が

成 り立 つ.一

(Ω をΩ1と

し た も の)がx,y∈Ω′1 

GΩ1(x,y)が

成 り立 つ.GΩ1(x,y)は

Green函

合(7.2.39)の

数 で あ る か ら,こ

Ω′(ただ し 

方G1(x,y)に

上 の こ で領 おい て

)に 対 し て

つ い て は(7.2.17)と

同 じ式

に 対 し て 成 立 す る か らG1(x,y)≧ 第1章

で 述 べ ら れ たDirichlet問

の 補 助 定 理 に お け るzと{yn}に

題の

対 し て 定 理1.3.8

に より

と な る.こ

の こ と と 前 の 補 助 定 理7.3.1と

  補 助 定 理7.3.3 

z∈S,{xn}⊂R′

か ら 直 ち に こ の 補 助 定 理 を 得 る.

で あ

な らば

っ て 

  で あ る.   証 明   結 論 を 否 定 す る と,Mに 列{xnν}が

存 在 し て,す

∩S⊂Sと

し て よ い.ま

た こ の と き,R′USに

∪Sに

(R′ ∪S)＼W(z)はR′

∪Sの

上 でN(x,y)≦Cと

が 成 り立 つ.仮

点 列{xn}の

と な る.こ

含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ り,一 閉 部 分 集 合 で あ る か ら,補 な る 定 数Cが

す べ て のν,nに

定 に よ り 

固 定 す る と き距 離 ρ に 関 し てx∈Rの

あ る.従

部分

こ でW(z)

お け る 開 集 合W(z)∩R′

と な る も の が と れ る.点zと

か ら 成 る 集 合FはR′

 (7.3.2) 

近 傍W(z)と

べ て のν に 対 し て 

れ る点 列{yn}で, 

E×Fの

お け る 点zの

に含 ま 点 列{yn}

方,集

助 定 理7.2.5に

合E= よ り,

って

対 し てN(xnν,yn)≦C

で あ り,N(x,y)は

任 意 のy∈R′

連 続 函 数 で あ る か ら,(7.3.2)に

を

お いて

ν→ ∞

とす る と す べ て のnに

と な る.こ

対 し てN(ξz,yn)≦C

れ は 補 助 定 理7.3.2に

  補 助 定 理7.3.4 

反 す る.よ

任 意 の 点z∈Sに

っ て 補 助 定 理7.3.3が

対 し て,点ξz∈Sが

成 立 す る.

一 対 一 に 対 応 し,

の とき   (7.3.3)

の とき

で 定 義 され る写 像 Φ は,Mの

部 分 空 間 と して のR∪Sか

らRの

中への同相写

像 を 与 え る.―   こ の 補 助 定 理 に お い てSをS1と の も の に な る.我

す る こ と が で き れ ば,こ

々 は ま ず こ の 補 助 定 理 を 示 し,こ

れ は 定 理7.1.1そ

れ を 用 い て次 の補 助 定 理 を

証 明 す る と,そ

の 結 果 と し て Φ(S)⊂S1な

る こ と が わ か る.こ

助 定 理7.3.4と

を 合 わ せ て,定

得 られ る の で あ る.こ

方 はMartin境

界 に 対 す る §4.2と 全 く同 じ で あ る が,更

明 は 補 助 定 理4.2.5の

異 な る だ け で あ る.よ

れ る こ とは,補

らR(=R∪S)の

助 定 理7.3.1に

は 自 明 で あ る.任

意 の 点z∈Sに

像 Φ がRに

の 写 像 が 一対 一 で あ る こ と は お い て 同相 写 像 で あ る こ と

お け る Φ の 両 連 続 性 の 証 明 は 補 助 定 理4.2.5

に お け る 証 明 と全 く同 文 と な る.(引 用 す る 補 助 定 理4.2.2,補 そ れ ぞ れ 補 助 定 理7.3.1,補

助 定 理7.3.3と

  こ の 補 助 定 理 に よ りSはSの

助 定 理4.2.4を,

読 み 替 え る だ け で よ い.)

中 へ 同 相 に 埋 め 込 ま れ る か ら,以

コ ン パ ク ト部 分 集 合 をSの

  証 明   ま ず,Sに

意味が

中への一意写像 Φが定義 さ

よ っ て 示 さ れ,そ

よ っ て 示 さ れ る.写

函 数 と し て 極 小FH0函

号S,Rの

明の記述

っ て 証 明 の 筋 道 の み を 述 べ て お く.

よ りR∪Sか

  補 助 定 理7.3.5 

に 上 の補 助 定 理 の 証

用 す る 補 助 定 理 や 式 の 番 号 と,記

補 助 定 理7.3.3に

はSの

の 議論 の進 め

証 明 と全 く同 じ考 え 方 で あ る ば か りで な く,証

も ほ と ん ど 同 文 に な る;引

  ま ず(7.3.3)に

理7.1.1が

の こ と と上 の補

下において

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と も考 え る.

任 意 のz∈Sに

対 し て,ξz∈S1で

あ り,N(ξz,y)はyの

数 で あ る. お け る 相 対 位 相 に 関 す る 開 集 合S＼{z}に

コ ン パ ク ト集 合 Γ を と る.Sを

補 助 定 理7.3.4に

含 まれ る任 意 の

よ っ て Φ(S)と

同一視す る

と,Sの

上 で非 負値 を とる連 続 函数 φ で次 の条 件 を 満 た す もの が 存 在 す る: Γ の 上 で は φ(ξ)>0で

あ り,台

がs＼{z}に

含 ま れ る;

  (7.3.4){

Sに   次 に,Mの

お い て はC2級

で あ る.

中 の 正 則 領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包Ω

の 仮 定(7.2.44)を に お い てC2級

満 た し て,か の 函 数wで

助 定 理7.2.6 の と きR∪S

次 の 条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る;

では

 (7.3.5) 

(D0は

を も ち,補

つ ∂Ω ⊃ Γ な る も の を と る.こ

前 §参 照).更

にS＼Sに

  (7.3.6) 

Rに

よ っ てwは

補 助 定 理7.2.6に

お い て はw(ξ)=0と

お い て 連 続 で あ っ て,w￨s=φ

R′ に 対 し て(7.2.46)が

を 満 た す.

お け る 仮 定(7.2.45)を

成 立 す る;す

定 義 す る と,wは

満 た す か ら,任

意 のx∈

なわち

 (7.3.7)

と こ ろ が,こ

の 式 の 右 辺 はxに

含 む 領 域 Ω1,Ω2を (7.2.36)の

前 §の Ω,Ω1の

た,Awの

性 に よ っ て,(7.3.7)の

台 がΩ

右 辺 のR＼Ω

理6.4.1のⅰ)でμ

ら,yのFH0函

数 で あ る.だ

∪Sに

お け る(7.3.7)の

右 辺 の連 続

に お け る 連 続 性 が 示 さ れ る.)函 任 意 のx∈Rに

を

れ を 用 い てN(x,y)を

に 含 まれ る こ と と核 函 数N(x,y)の

お い て 連 続 で あ る か ら,(7.3.7)は

てN(ξz,y)は,定

連 続 な 函 数 を 表 わ し て い る.(Ω

よ う に と り,そ

形 に 表 現 す る こ と に よ り,R′

性 が 示 さ れ る.ま

Rに

つ い てRで

連続 数wも

対 し て 成 立 す る .さ

が 一 点 ξzに お け る点 質 量 の 形 で あ る か

か ら定 理6.6.1に

よ り標 準 表 現

 (7.3.8)

を も つ;μ1はS1の

上 の 測 度 で あ っ て,定

理6.4.2と

定 理6.2.2の

 (7.3.9)

を 満 た す.こ

の と き(7.3.6),(7.3.7),(7.3.8),(7.3.4)に

よ り

系2に

よ り

と な る か ら,φ り,Γ

が 非 負 値 で あ っ て Γ の 上 で は 正 な る こ と に よ り μ1(Γ)=0と

の と り方 の 任 意 性 に よ り μ1(S＼{z})=0と

と 書 く こ と が で き る.こ

こ で(7.3.9)に

な る.だ

よ りc≦1で

な

か ら(7.3.8)を

あ り,上

の式か ら

 (7.3.10)

c