Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Уссурийский государственный педагогический институт» Кафе...
317 downloads
232 Views
504KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Уссурийский государственный педагогический институт» Кафедра алгебры и геометрии
Калинина Е.А., Пидюра Т.А.
ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
УССУРИЙСК-2009
ББК 73 У 11 Рекомендовано кафедрой алгебры и геометрии для использования в учебном процессе
Калинина Е.А., Пидюра Т.А. Б73
ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ.- Уссурийск, 2009. – 72 с.
В пособие включены разделы по алгебре и теории чисел, входящие в программу изучения курса основ высшей алгебры. Содержит теоретические сведения, примеры решения задач, примерные варианты контрольной работы. Для студентов-заочников и студентов дистанционного обучения. ББК 73
Θ Калинина Евгения Александровна, 2009 Θ Пидюра Татьяна Алексеевна, 2009
2
ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое предназначено для
Вашему
вниманию
учебно-методическое
пособие
студентов – заочников и студентов дистанционного
обучения, изучающих курс основ высшей алгебры. Оно содержит разделы по алгебре и теории чисел, входящие в программу изучения этого курса. Поскольку пособие, в первую очередь нацелено на развитие логического мышления и формирование навыков решения задач у студентов, то в нем помещены теоретические сведения (необходимые математические понятия и приводимые иногда без доказательств теоремы), а также большое количество иллюстрирующих
их
примеров.
Пособие
содержит
весь
материал,
необходимый для выполнения контрольной работы по вышеуказанным разделам. Контрольная работа содержит 20 вариантов по 10 заданий в каждом. Варианты контрольной работы выбираются согласно последним двум цифрам в номере зачетной книжки. Если последние две цифры в номере зачетной книжке превышают 20, то необходимо вычитать 20 из последних двух цифр номера зачетной книжки до тех пор, пока не останется число меньше либо равное 20, так, например, номер зачетной книжки 07148, последние две цифры 48, дважды вычитая по 20, получаем номер варианта 8. Несколько слов об обозначениях, принятых в данном пособии. Основные определения помещаются в рамки, выделяются курсивом, а вводимое понятие – жирным шрифтом. Вводимые обозначения отмечаются вертикальной чертой по левому полю. Примеры начинаются с заголовка «Пример», нумерация их составная: номер раздела, затем номер примера в данном разделе. Текст примеров набран курсивом более мелким шрифтом и завершается символом «■». Этот же символ используется для завершения отдельных утверждений типа теорем. Следует также отметить общепринятые математические символы, используемые в данном пособии:
3
∀ - любой ∃ - существует ! - единственный M - делится нацело
∧ - «и» ∨- «или» ∈ - знак принадлежности ⇒ - следует ∩ - пересечение двух множеств ∪ - объединение двух множеств НОД – наибольший общий делитель НОК – наименьшее общее кратное N – множество натуральных чисел Z – множество целых чисел
4
СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………….......……………...3 1. Натуральные числа……………………………………………………..7 1.1.
Множество натуральных чисел……………………………………....7
1.2.
Аксиоматическое построение множества натуральных чисел…...10
1.3.
Метод математической индукции…………………………………..13
2. Целые числа………................................................................................16 2.1.
Отношение делимости и его свойства …………………………….16
2.2.
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида……………….19
2.3.
Наименьшее общее кратное………………………………………..23
2.4.
Простые
числа.
Каноническое
Бесконечность разложение
множества
составного
простых числа
чисел. и
его
единственность………………………………………………………25 3. Теория
сравнений
и
ее
арифметические
приложения…………………………………………………………….31 3.1.
Числовые сравнения и их свойства………………………………...31
3.2.
Полная и приведенная
системы вычетов. Теорема Эйлера и
Ферма………………………………………………………………...34 3.3.
Линейные сравнения с одной переменной………………………...39
3.4.
Арифметические
приложения
теории
сравнений………………………………………………………….....43 4. Комплексные числа………………………………………………..….45 4.1.
Алгебраическая
форма
комплексными
комплексного
числами
числа. в
Действия
над
алгебраической
форме…………………………………………………………………47 4.2.
Геометрическое изображение комплексных чисел………………..52
4.3.
Тригонометрическая
форма
записи
комплексного
числа………………………………………………………...………..53 5. Решение задач……………………………...…………………………..58 6. Примерные
варианты
для
контрольной 5
работы…………………………………………………………………...60 7. Литература……………………………………………………………...72
6
1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Число - это важнейшее математическое понятие. Натуральные числа, используемые для счета в практической деятельности, появились на самых ранних этапах развития человеческой цивилизации. Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало – число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали, и в языке первобытных народов существовали различные словесные обороты для обозначения одного и того же числа разных предметов. Отвлеченное понятие натурального числа (т.е. числа, не связанного с пересчетом конкретных предметов) появляется и закрепляется вместе с развитием письменности и введением для обозначения чисел определенных символов. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже не только непосредственной практической деятельностью человека, но и явилось следствием развития математики.
1.1.
МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Натуральные числа – это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, 4, … , n, …..
(1.1.1)
Из любых двух соседних чисел в записи (1.1,1) число, стоящее справа, называется последующим относительно числа, стоящего слева. Натуральные
числа
(1.1.1)
образуют
множество,
называемое
множеством натуральных чисел. Множество всех натуральных чисел обозначается символом N : N={1; 2; 3; … ; n; …}. Множество натуральных чисел является упорядоченным множеством, т.е. для любых двух натуральных чисел m и
n имеет место одно из
следующих соотношений: либо m=n (m равно n), либо mp; поэтому говорят, что множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания. Так, например, натуральное число 5 больше натурального числа 3. Их разность существует и равна натуральному числу 2: 5-3=2. Натуральное число 6 меньше натурального числа 8. Их разность 6-8 уже не будет натуральным числом. Деление натуральных чисел. Деление натуральных чисел есть операция, обратная умножению, т.е. соответствие, которое упорядоченной паре натуральных чисел (n;p) ставит такое натуральное число q, что n=p⋅q. О числе q говорят, что оно получено в результате деления числа n на число p, и пишут q=
n , или q=n/p, или q=n:p. p
Число q называется частным натуральных чисел n и p; число n называется делимым, а число p – делителем. Во множестве натуральных чисел частное определено не для любой 9
пары натуральных чисел (n;p),
т.е. множество натуральных чисел не
замкнуто относительно операции деления. Так, например, положим n=7, p=2. Для этой пары натуральных чисел нельзя подобрать такое натуральное число q, чтобы выполнялось равенство 7=2⋅q. Натуральная степень числа. Свойство ассоциативности операции умножения натуральных чисел позволяет ввести понятие натуральной степени натурального числа: n-й степенью натурального числа m называется натуральное число k, полученное в результате умножения числа m самого на себя n раз: k=m m2 ⋅ ... m 1⋅4 4⋅3 . n
сомножителей
Для обозначения n-й степени числа m обычно используют запись: mn ,
в которой число m называется основанием степени, а число n – показателем степени.
1.2. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ
ПОСТРОЕНИЕ
МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Выше были приведены некоторые свойства натуральных чисел, а также были введены операции над натуральными числами, подчиненные правилам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Излагая сведения о натуральных числах и действиях с ними, мы неявно обращались к интуитивному пониманию многих понятий, которыми мы ежедневно пользуемся и при этом получаем правильные результаты. Так, например, нам кажется естественным, что 3+2=2+3, и мы даже не задумываемся, откуда берется это свойство операции сложения натуральных чисел. В математике, естественно, возникает вопрос, а сколько же таких 10
именно некоторых первичных утверждений (аксиом) о натуральных числах необходимо выдвинуть, чтобы из этих аксиом в виде теорем можно было получать все известные из нашего жизненного опыта свойства натуральных чисел и операций над ними. Оказывается, что все свойства натуральных чисел могут быть выведены как теоремы из пяти аксиом и формул, определяющих операции сложения и умножения натуральных чисел. Аксиомы натуральных чисел (аксиомы Пеано): I.
1 (единица) есть натуральное число
II.
Для каждого натурального числа n имеется точно одно натуральное число, называемое его последующим и обозначаемое S(n).
III.
Всегда S(n)≠1.
IV.
Из равенства S(n)=S(m) следует m = n.
V.
Принцип полной индукции. Множество натуральных чисел, содержащее 1 и для каждого из n элементов следующий за ним элемент S(n), содержит все натуральные числа.
Сложение и умножение натуральных чисел определяется формулами n+1 = S(n), m+S(n)=S(m+n); m⋅1=m, n⋅S(m)= n⋅m + n. Из аксиом Пеано и определения операций сложения и умножения натуральных чисел как теоремы следуют законы коммутативности и ассоциативности сложения и умножения, свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. Из аксиом Пеано и определения операции сложения также следует свойство упорядоченности множества натуральных чисел: для любых двух натуральных чисел m и n либо m=n (m равно n), либо m (больше) и знака < (меньше): натуральное число m считают больше натурального числа n ( и пишут m>n), если существует такое натуральное число k, что m=n+k; натуральное число m считают меньше натурального числа n (и пишут mn для любого k следует m+k>n+k; из m=n для любого k следует m+k=n+k; из mn⋅k; из m=n для любого k следует m⋅k=n⋅k; из m 0. Выпишем множество целых чисел, кратных b , и расположим его в порядке возрастания: …b(-2), b(-1), b⋅0, b⋅1, b⋅2, …, bq, b(q+1), … И пусть bq - наибольшее кратное b , не превосходящее a , т.е. bq ≤ a < b(q+1). К обеим частям неравенства прибавим -bq, получим: 0 ≤ a-bq < b. положив a – bq = r , получим a = bq + r , где 0 ≤ r < b, т.к. b > 0, то b = |b|, т.е. 0 ≤ r < |b|. 2. ∀a∈Z, b < 0. Т.к. b < 0, то -b > 0 и по случаю 1) для a и -b найдутся q и r такие, что a = (-b)q + r = b(-q) + r , где 0 ≤ r < - b, а т.к. - b = |b|, то 0 ≤ r < |b|. Т.о., существование показано для ∀a∈Z, b ≠ 0 . II.) (единственность). Предположим, что для a, b ∈Z существуют два неполных частных q1 и q2 , и два остатка r1 и r2 такие, что a = bq1 + r1 , где 0 ≤ r1 < |b|, a = bq2 + r2 где 0 ≤ r2 < |b|. Тогда bq1 + r1 = bq2 + r2 или b(q1 - q2) = r1 - r2 (*), т.к. 0 ≤ r1 < |b| и 0 ≤ r2 < |b| ⇒ 0 ≤ |r1 - r2| < |b|. Рассмотрим равенство (*) по модулю: |b|⋅|q1 - q2| = |r1 r2|. Равенство возможно лишь при условии r1 - r2 = 0 или r2 = r1 , но тогда единственность доказана. 18
2.2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Введем следующие определения.
Целое число δ ≠ 0 называется общим делителем целых чисел a1, a2, a3, …, an , если каждое из этих чисел делится на δ.
Целое число d называется наибольшим общим делителем чисел a1, a2, a3, …, an, если: 1) d является общим делителем этих чисел, 2) d делится на любой общий делитель этих чисел. Теорема 2.2. Наибольший общий делитель чисел a1, a2, a3, …, an
определен
однозначно с точностью до знака. Доказательство: Пусть d1 и d2 – НОД чисел a1, a2, a3, …, an. Т.к. d1 – НОД, то d1 M d2 (как на общий делитель). Аналогично d2 M d1 . По свойству 10 делимости целых чисел d1 = d2 или d1 = - d2. ■ Условимся в силу этой теоремы за НОД чисел a1, a2, a3, …, an брать положительное значение и обозначать d = (a1, a2, a3, …, an). Пример 2.1. Наибольший общий делитель чисел 135 и -180 равен 45. в самом деле, множество положительных делителей числа 135 имеет вид: A={1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135}, а для числа -180 – вид: B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}. 19
Пересечением этих множеств является A∩ B={1, 3, 5, 9, 15, 45}. Число 45 является общим делителем чисел 135 и -180 и делится на все остальные общие делители этих чисел, т.е. на 1, 3, 5, 9, 15. Значит, (135,-180)=45. Заметим, что 45 – наибольший по величине положительный общий делитель чисел 135 и -180. ■
Из определения общего делителя еще не следует, что наибольший общий делитель любого конечного множества целых чисел существует. Чтобы доказать существование наибольшего общего делителя, опишем способ нахождения наибольшего общего делителя, предложенный великим древнегреческим
математиком
Евклидом.
Этот
способ
называют
алгоритмом Евклида. Он основан на следующей теореме. Теорема 2.3. Для любых целых чисел a и b, b ≠ 0, существует НОД этих чисел, причем: а) если a M b, то (a, b) = |b| , б) если a не M b, то НОД равен последнему, отличному от нуля остатку при последовательном делении a на b с остатком r1 , b на r1 с остатком r2 , r1 на r2 с остатком r3 и т.д. Доказательство: а) Пусть a M b, т.к. и b M b, то b - общий делитель a и b . Если c - любой общий делитель чисел a и b , то a M c и b M c. Учитывая, что b - общий делитель a и b , и b M c - любой общий делитель, то |b| - есть НОД. б) Если a не M b , то по теореме о делении с остатком:
20
a = bq1 + r1 , где 0 ≤ r1