Об элементарной эквивалентности производных структур свободных полугрупп, унаров и групп

Алгебра и логика, 43, N 6 (2004), 730—747

УДК 512.57

ОБ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОИЗВОДНЫХ СТРУКТУР СВОБОДНЫХ ПОЛУГРУПП, УНАРОВ И ГРУПП∗) А. Г. ПИНУС

Единственным инвариантом бесконечно порожденных свободных алгебр FV (k) данного многообразия V является мощность k множества свободных порождающих. При этом все подобные алгебры FV (k), независимо от кардинала k, имеют одинаковое локальное строение, в силу чего все они элементарно эквивалентны между собой (неразличимы на языке логики первого порядка). Совершенно иная ситуация складывается при изучении производных структур свободных алгебр FV (k), в частности, полугрупп их эндоморфизмов End FV (k), решеток их конгруэнций Con FV (k), решеток их подалгебр Sub FV (k), групп их автоморфизмов Aut FV (k). Отношение элементарной эквивалентности для каждых из этих производных структур свободных алгебр индуцирует отношение эквивалентности на классе всех бесконечных кардиналов: k ≡VEnd λ ⇔ End FV (k) ≡ End FV (λ), k ≡VCon λ ⇔ Con FV (k) ≡ Con FV (λ), k ≡VSub λ ⇔ Sub FV (k) ≡ Sub FV (λ), k ≡VAut λ ⇔ Aut FV (k) ≡ Aut FV (λ). В работе рассматриваются лишь конечно базируемые многообразия V конечной сигнатуры. В этом случае для любого бесконечного кардинала k V -свободная k-порожденная алгебра FV (k) может быть определена на ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00258. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2004

Об элементарной эквивалентности производных структур

731

множестве k формулами логики второго порядка, поэтому справедливость данных отношений эквивалентности равносильна совпадению совокупностей формул логики второго порядка некоторого фиксированного вида, истинных на кардиналах k и λ. Классификация некоторых фрагментов логики второго порядка получена в [1], где изучались расширения логики первого порядка с кванторами по предикатам P , удовлетворяющим определенной фиксированной формуле ϕ логики первого порядка сигнатуры hP i. Там доказано, что выразительные возможности любой подобной логики (зависящей от выбора формулы ϕ) совпадают с выразительными возможностями одной из следующих четырех логик данного типа: — логики первого порядка УИП; — монадической логики Mon — логики второго порядка с кванторами по произвольным одноместным предикатам; — симметрической логики Sym — логики второго порядка с кванторами по двухместным предикатам, соответствующим произвольным перестановкам на основном множестве; — полной логики второго порядка 2ИП — логики второго порядка с кванторами по произвольным предикатам на основном множестве. Заметим, что совпадение теорий бесконечных кардиналов в первых двух из перечисленных логик индуцирует на совокупности всех бесконечных кардиналов одно и то же отношение ▽ (истинное на любой паре бесконечных кардиналов). Совпадение теорий бесконечных кардиналов в логике Sym индуцирует на классе всех бесконечных кардиналов отношение эквивалентности ≡p [2]. Через ≡2 обозначается отношение эквивалентности на классе всех бесконечных кардиналов, индуцированное совпадением теорий этих кардиналов в логике 2ИП. Как отмечено выше, в случае конечно базируемых многообразий V конечной сигнатуры справедлива импликация k ≡2 λ ⇒ k ≡VEnd λ & k ≡VSub λ & k ≡VAut λ & k ≡VCon λ. Почти во всех известных к настоящему времени примерах конечно базиру-

732

А. Г. Пинус

емых многообразий V конечной сигнатуры отношения ≡VEnd , ≡VCon , ≡VAut , ≡VSub совпадают с одним из отношений ▽, ≡p , либо ≡2 . Вопрос об элементарной эквивалентности полугрупп эндоморфизмов свободных алгебр решен, имеет место ТЕОРЕМА А [3]. Отношение ≡VEnd совпадает с отношением ≡2 . Обзор результатов об отношениях ≡VSub , ≡VCon , ≡VAut для различных конкретных многообразий групп, решеток, линейных пространств, о классах многообразий, удовлетворяющих тем или иным общим условиям, с формулировками ряда открытых проблем содержится в [4]. В настоящей работе дается описание отношений ≡VSub , ≡VCon для ряда многообразий полугрупп, унаров, групп, а также для некоторых более общих классов многообразий. Напомним, что многообразие V называется нормальным, если для любых нетривиального терма t(¯ x) сигнатуры этого многообразия и переменной y тождество t(¯ x) = y не является истинным на V . Многообразие V удовлетворяет свойству (∗), если понятия ∨-неразложимой и главной конгруэнций на V -свободных алгебрах FV (k) совпадают. ЛЕММА 1. Многообразия всех полугрупп и всех коммутативных полугрупп обладают свойством (∗). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть θ — это ∨-неразложимая конгруэнция на FV (k), где V — многообразие всех полугрупп. Пусть a — одно из самых коротких слов полугруппы FV (k) такое, что θ-класс, содержащий a, не одноэлементен, а b — одно из самых коротких слов, входящих в класс a/θ и отличное от a. Тогда либо θ = θa,b и θ — главная конгруэнция, либо сущеW ствует hc, di ∈ θ \ θa,b . Пусть R = θ \ θa,b и θ′ = θc,d . В силу леммы hc,di∈R c6=a, d6=a

А. И. Мальцева о строении конгруэнций, порожденных некоторой совокупностью пар, и выбора элементов a, b выполняется ha, bi 6∈ θ′ и θ = θa,b ∨ θ′ , θ 6= θa,b , θ 6= θ′ , что противоречит ∨-неразложимости θ. Легко проверить, что главные конгруэнции на алгебрах FV (k) будут ∨-неразложимы. Аналогично рассматривается случай, когда V — многообразие всех коммутативных полугрупп.

Об элементарной эквивалентности производных структур

733

В последующих рассуждениях неоднократно используется ЛЕММА Мальцева (см. [4]). Для любой алгебры A = hA; σi и любых элементов a, b, c, d эквивлентны следующие условия: 1) hc, di ∈ θa,b ; 2) для некоторых натурального n и термов p1 (x, y¯1 ), . . . , pn (x, y¯n ) сигнатуры σ существуют кортежи элементов e¯1 , . . . , e¯n из A такие, что c = p1 (a, e¯1 ), d = pn (b, e¯n ) и pi (a, e¯i ) = pi+1 (b, e¯i+1 ) для 1 6 i 6 n. ТЕОРЕМА 1. Для любого нетривиального нормального многообразия V со свойством (∗) отношения ≡VCon и ≡2 совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — нетривиальное нормальное многообразие со свойством (∗). Тогда разбиение алгебры FV (k) на два класса {α} и FV (k) \ {α} (для любого α ∈ k) является конгруэнцией алгебры FV (k), которую обозначим как µα . Пусть элементарные формулы M (x) и N (x) решеточной сигнатуры выражают максимальность элемента x (среди элементов решетки, отличных от наибольшего ▽) и его ∨-неразложимость соответственно. Рассмотрим следующую формулу  2 2 ϕ(x) = M (x) & ∀ y1 , y2 y1 6= y2 & & N (yi ) & & yi ∨ x = ▽ i=1

i=1

 → ∃z(z ≤ y1 ∨ y2 & N (z) & y1 ≤ z ∨ y2 & y2 ≤ z ∨ y1 ) . Заметим, что Con FV (k) |= ϕ(µα ) для любого α ∈ k. Пусть θ1 , θ2 ∈ 2

2

i=1

i=1

∈ Con FV (k) таковы, что θ1 6= θ2 & & N (θi ) и & θi ∨ µα = ▽. Найдутся a, b ∈ FV (k), для которых θ1 = θα,a и θ2 = θα,b . В качестве элемента z, чье существование утверждает формула ϕ(µα ), можно взять конгруэнцию θa,b . Покажем обратное: если Con FV (k) |= ϕ(θ) для конгруэнции θ, то θ = µα для некоторого α ∈ k. Итак, пусть Con FV (k) |= ϕ(θ). Заметим, что |k/θ| 6 2. В противном случае k/θ = {A1 , A2 , A3 , . . .}, а выбирая конW груэнцию θ′ = θ ∨ θa,b , получили бы, что θ < θ′ . В силу леммы a,b∈k\A1

Мальцева и поскольку V — нормальное многообразие (для любых терма ¯ возможно только тогда, t(x, y¯), d¯ ∈ FV (k) и α, β ∈ k равенство β = t(α, d)

когда t(x, y¯) совпадает с переменной x и α = β), для любых α ∈ A1 и

734

А. Г. Пинус

β ∈ k \ A1 имеет место hα, βi 6∈ θ′ , т. е. θ′ 6= ▽. Последнее противоречит максимальности θ. Итак, |k/θ| 6 2. Рассмотрим случай, когда |k/θ| = 2. Покажем, что k/θ = {{α}, k \ {α}} для некоторого α ∈ k. Допустим противное, т. е. k/θ = {A, B} и |A|, |B| > 2. Пусть α1 6= α2 ∈ A и β1 6= β2 ∈ ∈ B. В силу свойства (∗) для многообразия V имеет место Con FV (k) |= 2

2

|= & N (θαi ,βi ) & & θ ∨ θαi ,βi = ▽. i=1

i=1

В силу предположения, Con FV (k) |= ϕ(θ). Значит, найдется η ∈ ∈ Con FV (k), которая ∨-неразложима, η ≤ θα1 ,β1 ∨θα2 ,β2 , θα1 ,β1 ≤ θα2 ,β2 ∨η и θα2 ,β2 ≤ θα1 ,β1 ∨η. Поскольку многообразие V нормально и по лемме Мальцева, для любых попарно различных α, β, γ, δ ∈ k и любой конгруэнции µ на FV (k) из θα,β ≤ θγ,δ ∨ µ вытекает θα,β ≤ µ. Поэтому θα1 ,β1 , θα2 ,β2 ≤ η, т. е. η = θα1 ,β1 ∨ θα2 ,β2 . Последнее противоречит ∨-неразложимости конгруэнции η. Итак, k/θ = {{α}, k \ {{α}} для некоторого α ∈ k. Покажем теперь, что |α/θ| = 1, т. е. для любого a ∈ FV (k) из ha, αi ∈ θ следует a = α. Предположим противное, пусть a ∈ FV (k), hα, ai ∈ θ и a 6= 6= α. Пусть β 6= γ ∈ k \ {α} и η1 = θα,β , η2 = θa,γ . Поскольку Con FV (k) |= |= ϕ(θ), найдется ∨-неразложимая, а, значит, главная конгруэнция η = θc,d такая, что θc,d ≤ θα,β ∨ θa,γ , θα,β ≤ θa,γ ∨ θc,d , θa,γ ≤ θα,β ∨ θc,d . Так как θa,γ ≤ µα , θα,β 6≤ µα и θα,β ≤ θa,γ ∨ θc,d , то θc,d 6≤ µα т. е. c = α. Если d 6= γ, то θα,β ≤ µγ , θc,d ≤ µγ и из θa,γ ≤ θα,β ∨ θc,d вытекает θa,γ ≤ µγ , что противоречит определению µγ . Тем самым, имеет место равенство d = γ, т. е. θc,d = θα,γ и θα,γ ≤ θα,β ∨ θa,γ . Пусть µα,β — это конгруэнция на FV (k) с классами эквивалентности {α, β}, FV (k) \ {α, β}. Тогда θa,γ ≤ µα,β и θα,β ≤ µα,β . Поэтому неравенство θα,γ ≤ θα,β ∨ θa,γ влечет неравенство θα,γ ≤ µα,β . Полученное противоречие доказывает, что в случае, когда |k/θ| = 2, для некоторого α ∈ k имеет место k/θ = {{α}, k \ {α}}, а θкласс, содержащий α в алгебре FV (k), состоит из единственного элемента α. Максимальность θ влечет равенство θ = µα . Покажем теперь, что случай |k/θ| = 1 невозможен. Пусть hα, bi 6∈ θ для некоторого b ∈ FV (k). В силу предположения b 6∈ k. Пусть γ ∈ k \ {α}. Найдется элемент b1 ∈ FV (k) такой, что b1 6= b и hγ, b1 i 6∈ θ. Так как

Об элементарной эквивалентности производных структур

735

Con FV (k) |= ϕ(θ), то существует главная конгруэнция θc,d такая, что θc,d ≤ ≤ θα,b ∨ θγ,b1 , θα,b ≤ θc,d ∨ θγ,b1 , θγ,b1 ≤ θc,d ∨ θα,b . Для любого δ ∈ k \ {α, γ} имееет место θα,b , θγ,b1 ≤ µδ , откуда θc,d ≤

&

δ∈k\{α,γ}

µδ . Следовательно,

выполняется один из случаев 1) {c, d} ∩ k = ϕ, 2) {c, d} ∩ {α, γ} = 6 ϕ. В случае 1, θc,d , θγ,b1 ≤ µα , а из θα,b ≤ θc,d ∨ θγ,b1 вытекает θα,b ≤ µα , что невозможно. В случае 2 положим c = α. Тогда θγ,b1 ≤ θα,d ∨ θα,b . Последнее при d, b 6∈ k невозможно, так как θα,d , θα,b ≤ µγ , а θγ,b1 6≤ µγ . Итак, условия Con FV (k) |= ϕ(θ) и θ = µα для некоторого α ∈ k равносильны. Пусть теперь формула ψ(x) выражает, что x есть инфимум тех элементов y, для которых ϕ(y). Значит, Con FV (k) |= ψ(θ) тогда и только тогда, когда θ = & µα , а FV (k)/θ = {{α}, FV (k) \ k | α ∈ k}. Поэтому суα∈k

ществует формула ψ(x) такая, что для любых бесконечного кардинала k и θ ∈ Con FV (k) имеет место Con FV (k) |= ψ(θ) тогда и только тогда, когда [θ, ▽]ConF (k) ∼ = Part(k), где Part(k) — решетка разбиений множества k. V

В [6] доказано, что для бесконечных кардиналов k и λ решетки Part(k) и Part(λ) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда k ≡2 λ. Следовательно, отношения ≡VCon и ≡2 совпадают. Теорема доказана. Из леммы 1 и теоремы 1 непосредственно вытекает СЛЕДСТВИЕ 1. Для многообразия V всех (коммутативных) полугрупп отношения ≡VCon и ≡2 совпадают. Аналогичная ситуация имеет место для многообразия всех (коммутативных) полугрупп и для отношения ≡VSub . ТЕОРЕМА 2. Для многообразия V всех (коммутативных) полугрупп отношение ≡VSub совпадает с отношением ≡2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — многообразие всех полугрупп (случай, когда V — многообразие всех коммутативных полугрупп, рассматривается аналогично). Заметим, что с помощью элементарных формул полная логика второго порядка на кардинале k интерпретируется в алгебраи-

736

А. Г. Пинус

ческой системе Lk = hA1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ P (A1 ); f1 , f2 , g, ∈, P1 , P2 , P3 , P4 i, где k — бесконечный кардинал, {A1 , A2 , A3 } — разбиение множества k, P (A1 ) — совокупность всех подмножеств множества A1 , f1 (f2 ) — биекция множества A1 на множество A2 (A2 на A3 ), g — двухместная функция, осуществляющая биекцию множества A1 × A2 на множество A3 , а предикаты P1 , P2 , P3 , P4 выделяют, соответственно, множества A1 , A2 , A3 , P (A1 ). Таким образом, достаточно построить относительно элементарную интерпретацию (с формульно выделяемым семейством параметров) систем Lk в решетках Sub FV (k). Отметим, что только однопорожденные полугруппы FV (k) являются ∨-неразложимыми элементами решетки SubFV (k) и, тем самым, выделяются в этой решетке некоторой элементарной формулой W (x). Для любого подмножества B ⊆ FV (k) через hBiV будет обозначаться полугруппа, порожденная в FV (k) этим подмножеством. В случае, когда B = {b}, будем использовать запись hbiV вместо h{b}iV . Рассмотрим элементарную формулу U (x) = W (x) & ∀u, v(W (u) & W (v) & x ≤ u ∨ v & x 6≤ u & x 6≤ v → ∃y(W (y) & u ≤ y & v ≤ y)). Нетрудно заметить, что SubFV (k) |= U (B) тогда и только тогда, когда B = = hαq iV для некоторых α ∈ k и натурального q. Определим элементарную формулу O(x) = U (x) & ∀z(U (z) & x ≤ z → x = z). Очевидно, что для полугруппы B ⊆ FV (k) отношение SubFV (k) |= O(B) имеет место тогда и только тогда, когда B = hαiV для некоторого α ∈ k. Через S(x) обозначим элементарную формулу, утверждающую, что элемент x является супремумом совокупности элементов y меньших чем x и удовлетворяющих формуле O(x). Отношение SubFV (k) |= S(B) справедливо тогда и только тогда, когда B = hBiV для некоторого B ⊆ k.

Об элементарной эквивалентности производных структур

737

Рассмотрим элементарную формулу Q(x, y, z) = O(y) & O(z) & W (x) & ¬O(x) & x ≤ y ∨ z & ∀y ′ , z ′ (W (y ′ )& W (z ′ ) & x ≤ y ′ ∨ z ′ & x 6≤ y ′ & x ≤ z ′ → (y ≤ y ′ &z ≤ z ′ ∨ y ≤ z ′ & z ≤ y ′ )) & y 6= z. В силу замеченного выше, для любых подполугрупп B1 , B2 , B3 полугруппы FV (k) имеет место Sub FV (k) |= Q(B1 , B2 , B3 ) тогда и только тогда, когда B2 = hαi, B3 = hβi, а B1 = hαβiV или B1 = hβαiV для некоторых различных α, β ∈ k. Положим Q′ (x) = ∃y, zQ(x, y, z). Пусть элементарная формула R(x) утверждает, что x является супремумом элементов y, меньших x и таких, что Q′ (y). Отношение Sub FV (k) |= R(B) верно в том и только том случае, если полугруппа B порождается некоторой совокупностью слов вида αβ для различных α, β ∈ k. Пусть 0 и 1 — наименьший и наибольший элементы решетки, соответственно. Рассмотрим формулу F (x1 , x2 , y) = x1 ∧ x2 = 0 & S(x1 ) & S(x2 ) & R(y) & ∀z, z ′ , z ′′ (Q(z, z ′ , z ′′ ) & z ≤ y → z ′ ≤ x1 & z ′′ ≤ x2 ) & ∀z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 (Q(z1 , z2 , z3 ) & Q(z4 , z5 , z6 ) & z1 ≤ y & z4 ≤ y → (z2 = z5 ↔ z3 = z6 )) & ∀z2 (O(z2 ) & z2 ≤ x1 → ∃!z1 , z3 (z1 ≤ y & z3 ≤ x2 & Q(z1 , z2 , z3 ))) & ∀z3 (O(z3 ) & z3 ≤ x2 → ∃!z1 , z3 (z1 ≤ y & z3 ≤ x1 & Q(z1 , z2 , z3 ))). Для любых подполугрупп B1 , B2 , L имеет место Sub FV (k) |= F (B1 , B2 , L) тогда и только тогда, когда множество B = {hα, βi | hαβiV ⊆ L} есть график некоторой биекции между дизъюнктными множествами A1 = = {α ∈ k | hαiV ⊆ B1 } и A2 = {β ∈ k | hβiV ⊆ B2 }. Через ϕ(x1 , x2 , x3 , y1 , y2 ) обозначается формула x1 ∨ x2 ∨ x3 = 1 & & F (x1 , x2 , y1 ) & F (x2 , x3 , y2 ) & x1 ∧ x3 = 0. Для любых подполугрупп B1 , B2 , B3 , L1 , L2 полугруппы FV (k) имеет место Sub FV (k) |= ϕ(B1 , B2 , B3 , L1 , L2 ) тогда и только тогда, когда множества A1 = {α ∈ k | hαiV ⊆ ⊆ B1 }, A2 = {α ∈ k | hαiV ⊆ B2 }, A3 = {α ∈ k | hαiV ⊆ B3 } образуют разбиение множества k, а множества B1 = {hα, βi | hαβiV ⊆ L1 },

738

А. Г. Пинус

B2 = {hα, βi | hαβiV ⊆ L2 } — графики некоторых биекций множества A1 на A2 и A2 на A3 соответственно. Рассмотрим элементарную формулу  3 N (x) = W (x) & ∃u1 , u2 , u3 & O(ui ) & x ≤ u1 ∨ u2 ∨ u3 i=1

& x 6≤ u1 ∨ u2 & x 6≤ u2 ∨ u3 & x 6≤ u1 ∨ u3 & ∀w1 , w2 (W (w1 ) & W (w2 ) & x ≤ w1 ∨ w2 & x 6≤ w1 & x 6≤ w2 → ((w1 = u1 & Q(w2 , u2 , u3 ) ∨ w1 = u2 & Q(w2 , u1 , u3 ) ∨ w1 = u3 & Q(w2 , u1 , u2 )) ∨ (w2 = u1 & Q(w1 , u2 , u3 ) ∨ w2 = u2  & Q(w1 , u1 , u3 ) ∨ w2 = u3 & Q(w1 , u1 , u2 )))) . В силу отмеченных выше свойств формул O(x), W (x), Q(x, y, z) для полугруппы B ⊆ FV (k) имеет место Sub FV (k) |= N (B) тогда и только тогда, когда для некоторых α, β, γ ∈ k выполняется равенство B = hαβγiV . Пусть формула M (x) утверждает, что x является супремумом элементов y, меньших x и удовлетворяющих формуле N (y). Рассмотрим формулу T (x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , z) = ϕ(x1 , x2 , x3 , y1 , y2 ) & M (z)  3 & ∀u, z1 , z2 , z3 u ≤ z & N (z) & & O(zi ) & u ≤ z1 ∨ z2 ∨ z3 i=1

3



→ & zi ≤ xi & ∀z1 , z2 i=1



2

& (O(zi ) & zi ≤ xi )

i=1

 → ∃!u, z3 (u ≤ z & z3 ≤ x3 & O(z3 ) & N (u) & u ≤ z1 ∨ z2 ∨ z3 ) 

& ∀z3 O(z3 ) & z3 ≤ x3 → ∃!u, z1 , z2



2

& (O(zi ) & zi ≤ xi )

i=1

& u ≤ z & N (u) & u ≤ z1 ∨ z2 ∨ z3



.

Очевидно, что для любых подполугрупп B1 , B2 , B3 , L1 , L2 , D ⊆ FV (k) имеет место Sub FV (k) |= T (B1 , B2 , B3 , L1 , L2 , D) тогда и только тогда, когда множества A1 , A2 , A3 (где Ai = {α ∈ k | hαiV ⊆ Bi }) образуют разбиение множества k, множества Bi = {hα, βi | hαβiV ⊆ Li } являются графиками некоторых биекций A1 на A2 и A2 на A3 соответственно, а множество D = {hhα, βi, γi | hαβγiV ⊆ D} — график некоторой биекции A1 × A2 на

Об элементарной эквивалентности производных структур

739

A3 . В силу этого, для любого набора подполугрупп B1 , B2 , B3 , L1 , L2 , D полугруппы FV (k) таких, что Sub FV (k) |= T (B1 , B2 , B3 , L1 , L2 , D), совокупность формул O(x) & x ≤ B1 ∨ O(x) & x ≤ B2 ∨ O(x) & x ≤ B3 ∨ S(x) & x ≤ B1 , O(x) & O(y) & ∃u(Q(u, x, y) & x ≤ B1 & y ≤ B2 & u ≤ L1 ), O(x) & O(y) & ∃u(Q(u, x, y) & x ≤ B2 & y ≤ B3 & u ≤ L2 ), O(x) & O(y) & O(z) & x ≤ B1 & y ≤ B2 & z ≤ B3 & ∃u(N (u) & u ≤ x ∨ y ∨ z), O(x) & S(y) & x ≤ B1 & y ≤ B2 & x ≤ y, O(x) & x ≤ B1 , O(x) & x ≤ B2 , O(x) & x ≤ B3 , S(x) & x ≤ B1 задает интерпретацию алгебраической системы вида Lk в решетке Sub FV (k). В силу элементарной интерпретируемости логики второго порядка на кардинале k в системах вида Lk , отмеченной в начале доказательства, отношения ≡VSub и ≡2 совпадают на классе всех бесконечных кардиналов. Теорема доказана. Для любого нормального многообразия V отношения ≡VAut и ≡Vp совпадают. Поэтому справедливо СЛЕДСТВИЕ 2. Для многообразия V всех полугрупп (всех коммутативных полугрупп) тройки отношений h≡VSub , ≡VAut , ≡VCon i и h≡2 , ≡p , ≡2 i совпадают. Окончательно проясняет ситуацию с тройкой отношений h≡VSub , ≡VAut , ≡VCon i для многообразия V полурешеток следующая ТЕОРЕМА 3. Для многообразия V полурешеток, отношения ≡VCon и ≡2 совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу отмеченной выше интерпретируемости полной логики второго порядка на множестве k в решетке Part(k)

740

А. Г. Пинус

достаточно построить элементарную интерпретацию последней в решетке Con FV (k). Отметим ряд простых свойств решетки Con FV (k): а) для любых a, b ∈ FV (k) имеет место равенство θa,b = θa,a∧b ∨ θb,a∧b ; б) для любых a, b, c ∈ FV (k) таких, что a < b < c, имеет место равенство θa,c = θa,b ∨ θb,c ; в) для любых a, b, c, d ∈ FV (k) включение hc, di ∈ θa,b равносильно тому, что c = d, либо c = a ∧ s и d = b ∧ s для некоторого s ∈ FV (k) (это непосредственно следует из леммы Мальцева); г) для конгруэнции θ на полурешетке FV (k) ее ∨-неразложимость равносильна равенству θ = θa,a∧α для некоторых a ∈ FV (k) и α ∈ k. Проверим только последнее свойство. Действительно, ∨-неразложимость конгруэнции вида θa,a∧α следует из свойств ”а“—”в“. Для доказательства обратного, пусть A = {ha, a ∧ αi | a ∈ FV (k), α ∈ k, θa,a∧α ≤ θ и не существует b ∈ FV (k) такого, что θb,b∧α ≤ θ и a < b}. В силу свойств ”а“—”в“ имеют место соотношения θ=

W

θa,a∧α

ha,a∧αi∈A

и

W

θa,a∧α < θ для любого B ⊂ A, что и завершает проверку.

ha,a∧αi∈B

Так как для любых a, b ∈ FV (k), a < b, в силу свойства ”в“ име-

ет место равенство θa,a∧α < θb,b∧α , то максимальными ∨-неразложимыми конгруэнциями на FV (k) будут конгруэнции вида θα,α∧β для различных α, β ∈ k. Пусть θm — максимальная среди конгруэнций на FV (k), не содержащая максимальных ∨-неразложимых конгруэнций. Как уже было отмечено выше, для любых a, b ∈ FV (k) справедливо ha, bi ∈ θm ⇔ a = b или a, b 6∈ k. Пусть M — совокупность всех максимальных ∨-неразложимых конгруэнций полурешетки FV (k). На M введем отношение θ1 ∼ θ2 ⇔ θ1 ∨ θm = θ2 ∨ θm .

Об элементарной эквивалентности производных структур

741

Из описания максимальных ∨-неразложимых конгруэнций, определения конгруэнции θm и включения θα,α∧β ∈ M вытекает θα,α∧β/∼ = {θα,α∧γ | γ ∈ k \ {α}} = Mα . Заметим: для любых α, β ∈ k, θα,β — минимальная конгруэнция θ на FV (k) такая, что {θ ∨ θ1 | θ1 ∈ Mα } = {θ ∨ θ2 | θ2 ∈ Mβ }. Равенство {θα,β ∨ θ1 | θ1 ∈ Mα } = {θα,β ∨ θ2 | θ2 ∈ Mβ } очевидно. Для доказательства обратного достаточно проверить, что для любой конгруэнции θ и любых α, β, γ ∈ k неравенство θβ,β∧α ≤ θ ∨ θα,α∧γ влечет неравенство θα,α∧β ≤ θ. Действительно, в силу компактности конгруэнции θβ,β∧α найдутся пары ha1 , δ1 i, . . . , han , δn i, где ai ∈ FV (k), δi ∈ k такие, что hai , ai ∧ δi i ∈ θ и θβ,β∧α ≤ θa1 ,a1 ∧δ1 ∨. . .∨θan ,an ∧δn ∨θα,α∧γ . Свойства ”в“, ”г“ влекут совпадение пары hα, βi с одной из пар hai , δi i и равенство β = γ. Таким образом, имеет место неравенство θα,α∧β ≤ θ. Аналогично, θβ,α∧β ≤ θ, т. е. θα,β ≤ θ, что и требовалось показать. В силу вышесказанного существуют элементарные формулы ϕ(x), ψ(x, y), R(x) решеточной сигнатуры такие, что M = {θ ∈ Con FV (k) | Con FV (k) |= ϕ(θ)}, а формула ψ(x, y) определяет отношение ∼ на множестве M , {θα,β | α 6= β ∈ k} = {θ ∈ Con FV (k) | Con FV (k) |= R(θ)}. На совокупности всех конгруэнций на полурешетке FV (k) определим отношения: θ1 ≡ θ2 ⇔ для любой конгруэнции вида θα,β (α, β ∈ k) неравенства θα,β ≤ θ1 и θα,β ≤ θ2 равносильны; θ1  θ2 ⇔ для любой конгруэнции вида θα,β (α, β ∈ k) неравенство θα,β ≤ θ1 влечет неравенство θα,β ≤ θ2 . Тем самым, отношения ≡,  определимы на решетке Con FV (k) элементарными формулами, а решеточно упорядоченные множества hCon FV (k)/ ≡; i и hPart(k); ≤i изоморфны. Теорема доказана.

742

А. Г. Пинус Свободные порождающие полурешетки FV (k) — единственные ∧-

неразложимые элементы полурешетки, все автоморфизмы этой полурешетки индуцируются перестановками на k. Отсюда, по теореме 3 и в силу [7] справедливо СЛЕДСТВИЕ 3. Для многообразия V полурешеток тройки отношений h≡VSub , ≡VAut , ≡VCon i и h≡2 , ≡p , ≡2 i совпадают. Рассмотрим теперь аналогичные проблемы для многообразий унаров, т. е. алгебр, сигнатура которых содержит лишь одноместные функции. Напомним, что с вопросом об эквивалентности производных структур свободных алгебр очевидным образом связан вопрос об их элементарной определимости в классе им подобных. Через F VCon (F VSub ) обозначается совокупность решеток вида Con FV (λ) (Sub FV (λ)), где V — некоторое многообразие, а λ — произвольный кардинал. Решетка Con FV (k) (Sub FV (k)) элементарно определима в классе F VCon (F VSub ), если для некоторой элементарной формулы ϕ отношение Con FV (λ) |= ϕ (Sub FV (λ) |= ϕ) имеет место тогда и только тогда, когда k = λ. Кардинал k определим в полной логике второго порядка, если для некоторой формулы ϕ полной логики второго порядка отношение λ |= ϕ имеет место тогда и только тогда, когда k = λ. ЛЕММА 2. Пусть V — конечно базируемое многообразие конечной сигнатуры, а для любого бесконечного кардинала k существуют V -алгебра Ak мощности k и конгруэнция θ на Ak такие, что [△, θ]ConA ∼ = Part(k). k

Тогда кардинал k определим в полной логике второго порядка в том и только том случае, если решетка Con FV (k) элементарно определима в классе F VCon . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Д о с т а т о ч н о с т ь очевидна в силу определимости решетки Con F(k) на кардинале k формулами логики второго порядка. Н е о б х о д и м о с т ь. Для любого бесконечного кардинала k существуют θ′ , θ′′ ∈ Con FV (k) такие, что [θ′ , θ′′ ]ConF (k) ∼ = Part(k). Пусть карk

k

k

k

V

динал k определим в классе всех кардиналов некоторой формулой ϕk пол-

Об элементарной эквивалентности производных структур

743

ной логики второго порядка. В силу отмеченной выше интерпретации полной логики второго порядка на кардинале k в элементарной теории решетки Part(k), найдется элементарная формула ϕ′k решеточной сигнатуры такая, что для любого бесконечного кардинала λ отношение Con FV (λ) |= ϕ′k выполняется тогда и только тогда, когда k = λ. Нетрудно убедиться в существовании элементарной формулы ϕ′k+ такой, что для бесконечного кардинала λ отношения Con FV (λ) |= ϕ′k+ и λ = k + равносильны. В [8] доказана конечная аксиоматизируемость класса {Part(λ) | λ — бесконечный кардинал} в классе всех полных решеток. Пусть ψ — элементарная формула такая, что для любой полной решетки L отношение L |= ψ равносильно изоморфизму L ∼ = Part(λ) для некоторого бесконечного кардинала λ. Тогда для любого бесконечного кардинала λ Con FV (λ) |= ∃x1 , x2 ([x1 , x2 ] |= ϕk & ψ) & ¬∃y1 , y2 ([y1 , y2 ] |= ϕk+ & ψ) ⇔ λ = k. Другими словами, решетка Con FV (k) элементарно определима в классе F VCon . Лемма доказана. ТЕОРЕМА 4. Пусть V — произвольное нетривиальное многообразие унаров. а) Отношения ≡VSub и ▽ совпадают. б) Для любого бесконечного кардинала k решетка Con FV (k) элементарно определима в классе F VCon тогда и только тогда, когда кардинал k определим в полной логике второго порядка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Поскольку для любых подалгебр B1 , B2 произвольной V -алгебры множество B1 ∪ B2 также является подалгеброй, решетки вида Sub FV (k) дистрибутивны и потому локально конечны. Тогда для любого натурального n число попарно не ≡n -эквивалентных (различимых формулами, имеющими n кванторов) дистрибутивных решеток, даже с выделенным фиксированным числом элементов, конечно. С помощью игр Эренфойхта–Фрессе легко показать элементарную эквивалентность решеток Sub FV (k) и Sub FV (λ) для любых бесконечных кардиналов k и λ.

744

А. Г. Пинус б) Пусть σ = hfi (x) | i 6 ni — сигнатура многообразия V . Если V ре-

гулярно (т. е. в левые и правые части тождеств, истинных на V , входят одни и те же переменные), то для любого кардинала k алгебра Ak = h{aα | α ∈ ∈ k}; σi такая, что fi (aα ) = aα для любых α ∈ k и i 6 n, входит в V и Con Ak ∼ = Part(k), откуда следует требуемое. Если V нерегулярно, то найдутся термы t1 (x), t2 (y) такие, что V |= |= t1 (x) = t2 (y), откуда, в частности, V |= t1 (x) = t1 (y). Пусть Q = = {t(x) | t(x) — терм сигнатуры σ, и V |= t(x) = t(y)}. Пусть Qk = = {t(α) | t(x) ∈ Q, α ∈ k}. Очевидно, что Qk — подалгебра алгебры FV (k) и, в силу нетривиальности V , Qk 6= FV (k). Пусть Q′k — максимальная, не содержащая свободных порождающих алгебры FV (k), подалгебра алгебры FV (k), включающая в себя Qk . Пусть V ′ — подмногообразие многообразия V , выделяемое в V совокупностью тождеств {t(x) = t(y) | t(α) ∈ Q′k } и Q∗k = {t(α) ∈ FV ′ (k) | t(x) — терм сигнатуры σ, V ′ |= t(x) = t(y) и α ∈ k}. Очевидно, что Q∗k — максимальная, не содержащая свободных порождающих алгебры FV ′ (k) подалгебра алгебры FV ′ (k). Элемент t(α) ∈ FV ′ (k) назовем периодическим, если существует терм pt (x) такой, что выполняется равенство pt (t(α)) = α, и непериодическим в противном случае. Легко заметить, что Q∗k — это множество непериодических элементов алгебры FV ′ (k). Пусть Q′′α (α ∈ k) — совокупность всех периодических элементов однопорожденной алгебры FV ′ (α). Тогда {Q∗k , Q′′α | α ∈ k} является разбиением алгебры FV ′ (k). Оно является конгруэнцией θ алгебры FV ′ (k). Достаточно проверить, что при любых t(α) ∈ Q′′α и fi ∈ σ, либо fi (α), fi (t(α)) ∈ Q′′α , либо fi (α), fi (t(α)) ∈ Q∗k . Действительно, если fi (α) ∈ Q∗k , то V ′ |= fi (x) = fi (y), следовательно, fi (α) = fi (t(α)) ∈ Q∗k . Если же fi (α) ∈ Q′′α , то в силу периодичности элемента fi (α) существует терм pfi (x), при котором pfi (fi (α)) = α и V ′ |= pfi (fi (x)) = x. Значит, pfi (fi (t(α))) = t(α) ∈ Q′′α и pt (pfi (fi (t(α)))) = α, т. е. элемент fi (t(α)) периодический, поэтому fi (t(α)) ∈ Q′′α . Фактор-алгебра Ak = FV ′ (k)/θ имеет вид h{aα , b | α ∈ k}; σi, где для любой fi ∈ σ и всех α ∈ k либо fi (aα ) = aα , либо fi (aα ) = b, при-

Об элементарной эквивалентности производных структур

745

чем совокупность fi ∈ σ последнего типа непуста. Пусть Q′ — конгруэнция алгебры Ak , соответствующая разбиению {{aα | α ∈ k}, {b}}. Тогда [△, θ′ ]ConAk ∼ = Part(k), и в силу леммы 1 имеет место п. ”б“ теоремы и для случая нерегулярного многообразия унаров. Теорема доказана. В [9] дано описание отношений ≡VSub (значит, и совпадающих с ним отношений ≡VCon ) для многообразий V векторных пространств над любыми конечными полями. Все эти отношения совпадают с отношением ≡2 . Эти результаты проясняют свойства отношений ≡VSub , ≡VCon для многообразий V групп. Через AGp обозначим многообразие абелевых групп порядка p. Многообразия AGp и Vp (векторных пространств над полем GFp ) рационально AG

V

p , а также класэквивалентны, значит, совпадают отношения ≡Conp и ≡Con

сы элементарно определимых решеток в классах F AGp, Con и F Vp, Con . Из V

p и ≡2 , проведенного с помодоказательства совпадения отношений ≡Con

щью интерпретации полной логики второго порядка в элементарной теории класса решеток F Vp,Con , вытекает, что решетка Con FVp (k) элементарно определима в классе F Vp,Con тогда и только тогда, когда кардинал k определим в логике второго порядка. Поскольку для любого многообразия V абелевых групп решетки Con FV (k) и Sub FV (k) изоморфны, решетка Sub FV (k) элементарно определима в классе решеток F VSub тогда и только тогда, когда решетка Con FV (k) элементарно определима в классе решеток F VCon . Для любого нетривиального многообразия V групп имеет место включение AGp ⊆ V для подходящего простого числа p. Поэтому и по лемме 1 справедлива ТЕОРЕМА 5. а) Для любого нетривиального конечно базируемого многообразия V групп решетка Con FV (k) элементарно определима в классе F VCon тогда и только тогда, когда кардинал k определим в полной логике второго порядка. б) Для любого нетривиального конечно базируемого многообразия V абелевых групп решетка Sub FV (k) элементарно определима в классе F VSub тогда и только тогда, когда кардинал k определим в полной логике второго порядка.

746

А. Г. Пинус Напомним, что тождество t1 = t2 называется регулярным, если тер-

мы t1 и t2 зависят от одних и тех же переменных. Многообразие V называется регулярным, если оно аксиоматизируемо совокупностью регулярных тождеств. Пусть σ = hf1n1 , . . . , fknk i — некоторая функциональная сигнатура. Через 2σ обозначим двухэлементную алгебру h{0, 1}; σi такую, что для любых 1 6 i 6 k и a1 , . . . , ank ∈ {0, 1} справедливо fi (a1 , . . . , ank ) = 1 ⇔ a1 = a2 = . . . = ank = 1. В [10] доказано, что многообразие V сигнатуры σ является регулярным тогда и только тогда, когда оно включает в себя алгебру 2σ . Пусть Vσ — подмногообразие многообразия V , порожденное алгеброй 2σ . Положим x ∧ y = f1 (x, y, . . . , y), и пусть VS — многообразие всех полурешеток, т. е. многообразие, порожденное алгеброй h{0, 1}; ∧i. Очевидно, что многообразия Vσ и VS рационально эквивалентны, поскольку fi (x1 , . . . , xni ) = = x1 ∧ (x2 ∧ (. . . ∧ (xni −1 ∧ xni ) . . .)). Значит, решетка Con FVσ (k) элементарно определима в классе F Vσ,Con тогда и только тогда, когда решетка Con FVS (k) элементарно определима в классе F VS,Con . Поэтому, по теореме 3 и лемме 2 имеет место ТЕОРЕМА 6. Для любого нетривиального конечно базируемого регулярного многообразия V конечной сигнатуры решетка Con FV (k) элементарно определима в классе решеток F VCon тогда и только тогда, когда кардинал k определим в логике второго порядка.

ЛИТЕРАТУРА 1. S. Shelah, There are just four second-order quantifiers, Isr. J. Math., 15, N 2 (1973), 282—300. 2. S. Shelah, First order theory of permutation groups, Isr. J. Math., 14, N 1 (1973), 149—162; Errata to: First order theory of permutation groups, Isr. J. Math., 15, N 3 (1973), 437—441. 3. S. Shelah, Interpreting set theory in the endomorphism semi-group of a free algebra or in a category, Ann. Sci. Univ. Clermont. 60, Math., 13 (1976), 1—29.

Об элементарной эквивалентности производных структур

747

4. Ю. М. Важенин, А. Г. Пинус, Элементарная классификация и разрешимость терий производных структур, в печати. 5. А. И. Мальцев, К общей теории алгебраических систем, Матем. сб., 35, N 1 (1954), 1—20. 6. А. Г. Пинус, Элементарная эквивалентность решеток разбиений, Сиб. матем. ж., 28, N 3 (1988), 211—212. 7. А. Г. Пинус, Г. Роуз, Элементарная эквивалентность решеток подалгебр свободных алгебр, Алгебра и логика, 39, N 5 (2000), 595—601. 8. A. G. Pinus, H. Rose, Second order equivalence of cardinals: an algebraic approach, in: I. Chajda (ed.) et al., Contributions to General Algebra 13, Klagenfurt, Verlag Johannes Heyn, 2001, 275—284. 9. O. Belegradek, V. Tolstykh, The logical complexity of theories associated with infinite dimensional vector spaces, Proc. Math. Easter Conf. Model Theory, Berlin, 1991, 12—34. 10. B. J´ onsson, E. Nelson, Relatively free products in regular varieties, Algebra Univers., 4, N 1 (1974), 14—19.

Поступило 24 июля 2002 г. Адрес автора: ПИНУС Александр Георгиевич, ул. Революции, д. 10, кв. 15, г. Новосибирск, 630099, РОССИЯ. e-mail: [email protected]