О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Я И. Р а д о н . Перевод с немецкого В. Л. Шмульян...
16 downloads
176 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Я И. Р а д о н . Перевод с немецкого В. Л. Шмульяна.
Введение. Ф. Рисе в своей новой важной работе 2) рассмотрел один вид линейных преобразований непрерывных функций, приводящий к красивому обобщению теории интегральных уравнений Фредгольма. Данная работа отчасти посвящена выведению результатов Рисса более вычислительным методом (сам Рисе пред ставил свои результаты в функционально-геометрических терминах). Но она достигает одновременно и другой цели. А именно, оказывается, как это будет изложено в другой работе 8 ), что данное здесь обобщение теории интегральных уравнений является весьма целесообразным аппаратом, отвечающим сущности основных проблем теории потенциала, и приводит к решению первой и второй краевых задач —по крайней мере при логарифмическом потенциале—для областей^ с существенно более общими границами, нежели те, которые доступны теории интегральных уравнений Фредгольма, притом в основном тем же самым простым способом, каким этот красивый метод оперирует при регулярно-ограниченных областях. Если мы желаем возможно шире охватить проблемы теории потенциала этим методом, то выявляется необходимость продолжить сделанное Ф. Риееом в двух направлениях. Во-первых, нельзя ограничиться рассмотрением так назы ваемых „вполне непрерывных" преобразований, а необходимо рассмотреть общий случай. Тут возникает важное понятие „радиуса Фредгольма" для линейного функционального преобразования. Отсюда без труда получается то, что необхо димо для теории потенциала. Во-вторых, рассмотрение второй краевой задачи требует перехода к „сопряженным" или „транспонированным" функциональным уравнениям. Оказывается, что это* таким же образом связано с линейными пре образованиями абсолютно аддитивных функций множеств, как риссовское обоб щение интегральных уравнений связано с его линейными преобразованиями 2
) J. R a d о п, Uber lineare Funktionaitransformationen und Funktionalgleiehungen, Sitzungsberichte d. Akad. d. Wiss. Wien, math.-naturw. Kl., т. 128, 1919, Abt. 11a* стр. 1083—1121. 2 ) Uber lineare Funktionalgleichungen, Acta Mathematica, т. 41, 1918, стр. 71—98. Пе ревод этой статьи печатается в настоящем выпуске „Успехов математических наук*, стр. 175-199. 3 ) t)ber die Kandwertaufgaben beim logarithmischen Potential, Sitzungsberichte d. Aka4. d. "Wise. Wien, math.-naturw. KL, т. 128, 1919, Abt. Па, стр. И23 и. ел. %
О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
201
непрерывных функций. Это обстоятельство вполне соответствует и целям теории потенциала, так как массы и потоки, существенные в принадлежащем Племеди 1) представлении для второй краевой задачи, будучи возможно более обще сфор мулированы, являются абсолютно аддитивными функциями множеств. Благодаря введению абсолютно аддитивных функций множеств нижеприве денные исследования частично представляют собою дальнейшее развитие моей, работы „Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfimktionen" („Теория и применения абсолютно аддитивных функций множеств")2), на кото рую я буду часто ссылаться. В интересах цельности всего изложения я часто входил в рассмотрение вещей, относительно которых можно было ограничиться соответствующими литературными указаниями, в чем прошу извинения у читателя, I. Линейный функционал 1?*). 1. Пусть в пространстве вещественных переменных хи х2,..., хп задано замкнутое множество G, которое мы:в дальнейшем будем называть основным мно жеством. Функция ср, определенная во всех точках множества G, называется непрерывной на G, если для каждой точки Р из G и для каждой последова тельности точек \Рп) из G, сходящейся к Р, lim ?(Р Л ) существует и тогда, конечно4), равен