Математический анализ. Некоторые материалы к лекциям для студентов второго курса

Œ®±ª®¢±ª¨© £®±³¤ °±²¢¥­­»© ³­¨¢¥°±¨²¥²

Œ¥µ ­¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ´ ª³«¼²¥²

‚.€. ‡®°¨·

Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ ¥ª®²®°»¥ ¬ ²¥°¨ «» ª «¥ª¶¨¿¬ ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  2006/2007 ³·¥¡­»© £®¤

Œ®±ª¢  2007

‡¤¥±¼ ¯®¬¥¹¥­» ­¥ª®²®°»¥ ° ¡®·¨¥ ¬ ²¥°¨ «», ¢®§­¨ª¸¨¥ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ·²¥­¨¿ ®¡¿§ ²¥«¼­®£® ª³°±  Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢-¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ ¢ ²°¥²¼¥¬ ¨ ·¥²¢¥°²®¬ ±¥¬¥±²° µ 2006/07 ³·¥¡­®£® £®¤ . ˆ¬¥¥²±¿ ¢¢®¤­ ¿ ®¡§®°­ ¿ «¥ª¶¨¿ ²°¥²¼¥£® ±¥¬¥±²°  (°¿¤ ª ª ¨­±²°³¬¥­²)   ² ª¦¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ´®°¬³«» § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ¬­®£®¬¥°­®¬ ¨­²¥£° «¥, ®²­®±¿¹¥¥±¿ ª ·¥²¢¥°²®¬³ ±¥¬¥±²°³. °¨«®¦¥­» ­¥ª®²®°»¥ ¯°®¬¥¦³²®·­»¥ ª®­²°®«¼­»¥ § ¤ ­¨¿, ¯°®£° ¬¬» ½ª§ ¬¥­®¢,   ² ª¦¥ ½ª§ ¬¥­ ¶¨®­­®¥ § ¤ ­¨¥ ¯¨±¼¬¥­­®© ° ¡®²» ­  ¤®±°®·­®¬ ½ª§ ¬¥­¥ §  ²°¥²¨© ±¥¬¥±²° ¢ ¤¥ª ¡°¥ 2006 £®¤ .

0

’°¥²¨© ±¥¬¥±²°

Ÿ„ Š€Š ˆ‘’“Œ…’ ‚¢®¤­ ¿ «¥ª¶¨¿

1

‘Ž„…†€ˆ…

 ±±¬®²°¥­» ¯°¨¬¥°» § ¤ ·, ¤¥¬®­±²°¨°³¾¹¨¥ ¨­±²°³¬¥­² °¿¤®¢ ¢ ° ¡®²¥. ®±² ¢«¥­» ®±­®¢­»¥ ²¥®°¥²¨·¥±ª¨¥ ¢®¯°®±», ®²­®±¿¹¨¥±¿ ª ¤¥©±²¢¨¿¬ ± °¿¤ ¬¨.

2

I. ‡ ¤ ·¨, ½¢°¨±²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿, ²¥®°¥²¨·¥±ª¨¥ ¢®¯°®±». 0.  §¬¨­ª .

a) ³ª ¸ª  ­  °¥§¨­ª¥ (§ ¤ ·  ‹..Žª³­¿, ¯®±² ¢«¥­­ ¿ €.„.‘ µ °®¢³). b) ˆ­²¥£° « ¨ ®¶¥­ª  ±³¬¬. c) Ž² ®¡¥§¼¿­» ¤® ¤®ª²®°  ­ ³ª ¢±¥£® 106 «¥². 1. ª±¯®­¥­² .

a) ‘²¥¯¥­­»¥ ° §«®¦¥­¨¿ ´³­ª¶¨© exp , cos , sin. b) ‚»µ®¤ ¢ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ®¡« ±²¼ ¨ ´®°¬³«  ©«¥° . c) ª±¯®­¥­²  ª ª ¯°¥¤¥«. d) “¬­®¦¥­¨¥ °¿¤®¢ ¨ ®±­®¢­®¥ ±¢®©±²¢® ½ª±¯®­¥­²». ¥) ª±¯®­¥­²  ®² ¬ ²°¨¶» ¨ °®«¼ ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¨. f) ª±¯®­¥­²  ®² ®¯¥° ²®°  ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° . 2. ¨­®¬ ¼¾²®­ .

a) ‘²¥¯¥­­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨© (1 + x). b) ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ °¿¤  ¨ ° §«®¦¥­¨¥ log(1 + x). c)  §«®¦¥­¨¿ (1 + x2) 1 ¨ arctg x. d)  §«®¦¥­¨¥ (1 x) 1 ¨ ¢»·¨±«¨²¥«¼­»¥ ±²° ­­®±²¨. 3. ¥¸¥­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨©.

a) Œ¥²®¤ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»µ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢. b) ˆ±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ½ª±¯®­¥­²».

4. Ž¡¹ ¿ ¨¤¥¿ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ¨ ° §«®¦¥­¨¿.

a) ‘¬»±« ¯®§¨¶¨®­­®© ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥­¨¿. ˆ°° ¶¨®­ «¼­»¥ ·¨±« . b)  §«®¦¥­¨¥ ¢¥ª²®°  ¯® ¡ §¨±³ ¨  ­ «®£¨¨ ¢ °¿¤ µ. c)  ±±²®¿­¨¥. II. ”®°¬ «¨§ ¶¨¿. 1. ¿¤ ¨ ¥£® ±³¬¬ . 2. “±«®¢¨¿ ¨ ¯°¨§­ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ·¨±«®¢®£® °¿¤ .

a) Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . b) „®±² ²®·­»© ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨. c) ’¥®°¥¬  ±° ¢­¥­¨¿ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨. P 1 d) ˆ­²¥£° «¼­»© ¯°¨§­ ª Š®¸¨ ¨ °¿¤  () = n=1 n1 . e) ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯°®£°¥±±¨¿ ¨ ¯°¨§­ ª¨ Š®¸¨, ¤'€« ¬¡¥° , ƒ ³±± . f) °¨§­ ª €¡¥«¿{„¨°¨µ«¥ ¨ ¯°¨§­ ª ‹¥©¡­¨¶  ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . 3

I. ‡ ¤ ·¨, ½¢°¨±²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿, ²¥®°¥²¨·¥±ª¨¥ ¢®¯°®±».

‚ £¥®«®£¨¨ ±­ · «  ­ ©¤³², ° §¢¥¤ ¾² ¬¥±²®°®¦¤¥­¨¥,   ¯®²®¬ ° §° ¡ ²»¢ ¾². ‚ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ² ª ¦¥. €ª±¨®¬ ²¨ª  ¨ ¯®«¥§­»© ´®°¬ «¨§¬ ¢®§­¨ª ¾² ª ª °¥§³«¼² ² °¥¸¥­¨¿ ª®­ª°¥²­»µ ¢®¯°®±®¢ ¨ § ¤ ·. Ž­¨ ­¥ ¯ ¤ ¾² ± ­¥¡ , ª ª ½²® ¬®¦¥² ¯®ª § ²¼±¿ ­¥®¯»²­®¬³ ±²³¤¥­²³, ª®£¤  ¢±¥ ­ ·¨­ ¥²±¿ ±  ª±¨®¬. ²®² ±¥¬¥±²° ¢ §­ ·¨²¥«¼­®© ±²¥¯¥­¨ ¯®±¢¿¹¥­ °¿¤ ¬, ².¥. ¯® ±³¹¥±²¢³ ¯°¥¤¥«³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. Ž­ ¨¤¥©­® ¯°®±² ¨ ¤®¢®«¼­® ²¥µ­¨·¥­. —²®¡» § ¬¥· ²¥«¼­® ½´´¥ª²¨¢­»©  ¯¯ ° ² ²¥®°¨¨ °¿¤®¢ ­¥ ±¢¥«±¿ ª  ¡±²° ª²­®¬³ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  (±³¹¥±²¢®¢ ­¨¾ ­¥ª®¥£® ¯°¥¤¥« ), ¤ ¤¨¬ µ®²¿ ¡» ­ · «¼­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ²®¬, £¤¥ ¨ ª ª ° ¡®² ¥² ½²®² ¨­±²°³¬¥­². 0.  §¬¨­ª .

a) ³ª ¸ª  ­  °¥§¨­ª¥ (§ ¤ ·  ‹..Žª³­¿, ¯®±² ¢«¥­­ ¿ ¨¬ €.„.‘ µ °®¢³). 1  ‚» ¤¥°¦¨²¥ ®¤¨­ ª®­¥¶ °¥§¨­®¢®£® ¸­³°  ¤«¨­®© 1 ª¬. Ž² ¢²®°®£® ¥£® ª®­¶ , ª®²®°»© § ª°¥¯«¥­, ª ¢ ¬ ±® ±ª®°®±²¼¾ 1 ±¬/± ¯®«§¥² ¡³ª ¸ª . Š ¦¤»© ° §, ª ª ²®«¼ª® ®­  ¯°®¯®«§ ¥² 1 ±¬, ¢» ° ±²¿£¨¢ ¥²¥ °¥§¨­ª³ ­  1 ª¬. „®¯®«§¥² «¨ ¡³ª ¸ª  ¤® ¢ ¸¥© °³ª¨? …±«¨ ¤ , ²® ¯°¨¡«¨§¨²¥«¼­® ±ª®«¼ª® ¥© ­  ½²® ¯®²°¥¡³¥²±¿ ¢°¥¬¥­¨? b) ˆ­²¥£° « ¨ ®¶¥­ª  ±³¬¬. ®±«¥ ­¥ª®²®°®£® ° §¬»¸«¥­¨¿ ¤«¿ ®²¢¥²  ­  ¯°¥¤»¤³¹¨© ¢®¯°®± ¢ ¬ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®«¥§­®© ±³¬¬  Sn = 1 + 21 + 13 R+n::: + n1 .  ‚±¯®¬­¨²¥ ¨­²¥£° « ¨ ¯®ª ¦¨²¥, ·²® Sn 1 < 1 x1 dx < Sn 1 . c) Ž² ®¡¥§¼¿­» ¤® ¤®ª²®°  ­ ³ª ¢±¥£® 106 «¥². ‹¨²«¢³¤ ¢ ±¢®¥© ¨§¢¥±²­®© ª­¨¦ª¥ "Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ±¬¥±¼", £®¢®°¿ ® ¡®«¼¸¨µ ·¨±« µ, ¯¨± «, ·²® 106 «¥² | ¢°¥¬¿, ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ¤«¿ ¯°¥¢° ¹¥­¨¿ ®¡¥§¼¿­» ¢ ¤®ª²®°  ­ ³ª 2.  ®±¯¥¥² «¨ ¡³ª ¸ª  ­  § ¹¨²³ ¨«¨ µ®²¿ ¡» ª ª®­¶³ ±¢¥² ? 1 †³°­ «

Š¢ ­², ?, ?. ‘¬. ² ª¦¥ Œ.ƒ °¤­¥°, € ­³-ª  ¤®£ ¤ ©±¿. Œ®±ª¢ , Œ¨°, 1984. ‘²°.187. € ² ª¦¥ Œ °²¨­ ƒ °¤­¥°, ³²¥¸¥±²¢¨¥ ¢® ¢°¥¬¥­¨. Œ®±ª¢ , Œ¨°, 1990. ‘²°.133. –¨²¨°³¥¬ ¯®±«¥¤­¾¾ ª­¨£³: "²³ § ¬¥· ²¥«¼­³¾ § ¤ ·³ ¢ ¤³µ¥ ¯ ° ¤®ª±  ‡¥­­®­  ®¡ €µ¨««¥±¥ ¨ ·¥°¥¯ µ¥ ¯°¨¤³¬ « „.“¨«ª¨­ ¨§ ®¢®© Š «¥¤®­¨¨. ‚¯¥°¢»¥ ®­  ¡»«  ®¯³¡«¨ª®¢ ­  ¢ ¤¥ª ¡°¥ 1972 £. ¢ ° §¤¥«¥ § ­¨¬ ²¥«¼­»µ § ¤ · ´° ­¶³§±ª®£® ¥¦¥¬¥±¿·­¨ª  Science et Vie, ª®²®°»© ± ¯°¨±³¹¨¬ ¥¬³ ¡«¥±ª®¬ ¢¥¤¥² ¼¥° ¥°«®ª¥­." 2 „¦. ‹¨²«¢³¤, Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ±¬¥±¼. Œ®±ª¢ , ”¨§¬ ²«¨², 1962. ‘²°. 111.

4

1. ª±¯®­¥­² .

a) ‘²¥¯¥­­»¥ ° §«®¦¥­¨¿ ´³­ª¶¨© exp , cos , sin. ‘®£« ±­® ´®°¬³«¥ ’¥©«®°  ± ®±² ²®·­»¬ ·«¥­®¬ ¢ ´®°¬¥ ‹ £° ­¦  ex = 1 + 1!1 x + 2!1 x2 + : : : + n1! xn + rn(x); 1 e
xn+1 ¨ j j < jxj; £¤¥ rn (x) = (n+1)! n cos x = 1 2!1 x2 + 4!1 x4 : : : + ((21)n)! x2n + r2
n(x); £¤¥ r2n(x) = (2n1+1)! cos  + 2 (2n + 1) x2n+1 ¨ jj < jxj; n+1 sin x = x 3!1 x3 + 5!1 x5 : : : + ((2n1)+1)! x2n+1 +
r2n+1 (x); £¤¥ r2n+1(x) = (2n1+2)! sin  + 2 (2n + 2) x2n+2; ¨ jj < jxj. ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ «¾¡®£® ´¨ª±¨°®¢ ­­®£® §­ ·¥­¨¿ x 2 R ¯°¨ n ! 1 ®±² ²®·­»© ·«¥­ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ´®°¬³« ®·¥¢¨¤­® ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾, ²® ¯¨¸³² ex = 1 + 1!1 x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 + : : : + n1! xn + : : : ; n cos x = 1 2!1 x2 + 4!1 x4 : : : + ((21)n)! x2n + : : : ; n+1 sin x = x 3!1 x3 + 5!1 x5 : : : + ((2n1)+1)! x2n+1 + : : : : b) ‚»µ®¤ ¢ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ®¡« ±²¼ ¨ ´®°¬³«  ©«¥° . ®¤±² ¢¨¬ ¢ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ¯¥°¢®£® ¨§ ½²¨µ ° ¢¥­±²¢ ¢¬¥±²® x ª®¬¯«¥ª±­®¥ ·¨±«® ix. ’®£¤  ¯®±«¥ ¯°®±²»µ  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ¬» ¢±«¥¤ §  ©«¥°®¬ ¯®«³·¨¬ § ¬¥· ²¥«¼­®¥ ±®®²­®¸¥­¨¥ eix = cos x + i sin x: ®«®¦¨¢ §¤¥±¼ x = , ­ ©¤¥¬, ·²® ei + 1 = 0. ²® §­ ¬¥­¨²®¥ ° ¢¥­±²¢®, ±®¥¤¨­¿¾¹¥¥ ´³­¤ ¬¥­² «¼­»¥ ª®­±² ­²» ¬ ²¥¬ ²¨ª¨: e  ­ «¨§, i- «£¥¡° , -£¥®¬¥²°¨¿, 1- °¨´¬¥²¨ª , 0-«®£¨ª . Œ» ®¯°¥¤¥«¨«¨ ´³­ª¶¨¾ exp ¤«¿ ·¨±²® ¬­¨¬»µ §­ ·¥­¨©  °£³¬¥­²  ¨ ¯®«³·¨«¨ ´®°¬³«³ ©«¥°  eix = cos x + i sin x, ¨§ ª®²®°®© ®·¥¢¨¤­® ² ª¦¥ ±«¥¤³¥², ·²® cos x = 12 (eix + e ix) ¨ sin x = 21i (eix e ix): c) ª±¯®­¥­²  ª ª ¯°¥¤¥«. Œ» §­ ¥¬, ·²® (1 + nx )n ! ex ¯°¨ n ! 1 ¨ x 2 R . …±²¥±²¢¥­­® ¯®« £ ²¼, ·²® ez := limn!1 (1+ nz )n , £¤¥ ²¥¯¥°¼ z = x + iy | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ª®¬¯«¥ª±­®¥ ·¨±«®. ®¤±·¥² ½²®£® ¯°¥¤¥«  ¤ ¥² ez = ex(cos y + i sin y).  °®¢¥°¼²¥ ½²® ¨ ¯®«³·¨²¥ ´®°¬³«» ¤«¿ cos z ¨ sin z. d) “¬­®¦¥­¨¥ °¿¤®¢ ¨ ®±­®¢­®¥ ±¢®©±²¢® ½ª±¯®­¥­²». 5

‚»° ¦¥­¨¥ ex(cos y + i sin y) ¤«¿ ex+iy ¥±²¥±²¢¥­­ee ¯®«³·¨²¼ ¯°¿¬® ¨§ ±®®²­®¸¥­¨¿ ex+iy = exeiy , ¥±«¨, ª®­¥·­®, ®­® ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ §­ ·¥­¨©  °£³¬¥­²  ´³­ª¶¨¨ exp. °®¢¥°¨¬ ½²® ¯°¿¬»¬ ³±²¼ u ¨ v | ª®¬¯«¥ª±­»¥ P ³¬­®¦¥­¨¥¬. 1 uk ¨ ev := P1 1 m ·¨±« . ®« £ ¿ eu := 1 k=0 k! m=0 m! v , ­ µ®¤¨¬ P P P P eu
ev = ( 1k=0 k1! uk )
( 1m=0 m1! vm) = 1k=0 1m=0 k1! m1! uk vm = P1 1 P P 1 1 k m n u+v = 1 n=0 k+m=n k! m! u v = n=0 n! (u + v ) = e : P Œ» §¤¥±¼ ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ²¥¬, ·²® k+m=n k!nm! ! uk vm = (u + v)n; ¯®±ª®«¼ª³ uv = vu. ¥) ª±¯®­¥­²  ®² ¬ ²°¨¶» ¨ °®«¼ ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¨. € ·²® ¥±«¨ ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ eA = 1 + 1!1 A + 2!1 A2 + : : : + n1! An + : : : ; ±·¨² ²¼ A ª¢ ¤° ²­®© ¬ ²°¨¶¥©, ¯®« £ ¿, ·²® ¨ 1 ®¡®§­ · ¥² ¥¤¨­¨·­³¾ ¬ ²°¨¶³ I ²®£® ¦¥ ° §¬¥° ?  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ A ¥¤¨­¨·­ ¿ ¬ ²°¨¶ , ²®, ª ª «¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, eA ®ª ¦¥²±¿ ¤¨ £®­ «¼­®© ¬ ²°¨¶¥© ± ½«¥¬¥­² ¬¨ e ­  £« ¢­®© ¤¨ £®­ «¨.  ‚»·¨±«¨²¥ exp A ¤«¿ ±«¥¤³¾¹¨µ ¬ ²°¨¶ A:

0 0 1 0 0 ;

 

0 0 1 ;

 0 0 0 1 1

0 10 ;

1 0 ;

0 0 ;

0 1 0! 0 0 1 : 0 0 0

 ³±²¼ €1 ¨ €2 | ¯®±«¥¤­¨¥ ¤¢¥ ¬ ²°¨¶» ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª .  ©¤¨²¥ eA1 , eA2 ¨ ³¡¥¤¨²¥±¼, ·²® eA1
eA2 6= eA1+A2 . ‚ ·¥¬ ²³² ¤¥«®?  ®ª ¦¨²¥, ·²® etA = I + tA + ®(t) ¯°¨ t ! 0.  °®¢¥°¼²¥, ·²® det(I + tA) = 1 + t
tr A + ®(1), £¤¥ tr A | ±«¥¤ ª¢ ¤° ²­®© ¬ ²°¨¶» A.  ‚»¢¥¤¨²¥ ¢ ¦­®¥ ±®®²­®¸¥­¨¥: det eA = etr A . f) ª±¯®­¥­²  ®² ®¯¥° ²®°  ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° . ³±²¼ P (x) | ¬­®£®·«¥­,   A = dxd | ®¯¥° ²®° ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. 0 ’®£¤  (€P )(x) = dP dx (x) = P (x).  °®¢¥°¼²¥, ·²® ±®®²­®¸¥­¨¥ exp(t dxd )P (x) = P (x + t) ¿¢«¿¥²±¿ §­ ª®¬®© ¢ ¬ ´®°¬³«®© ’¥©«®° .  Š±² ²¨, ±ª®«¼ª® ·«¥­®¢ °¿¤  ¤«¿ ex ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¬­®£®·«¥­, ¯®§¢®«¿¾¹¨© ¢»·¨±«¿²¼ ex ­  ®²°¥§ª¥ [ 3; 5] ± ²®·­®±²¼¾ ¤® 10 2 ? 6

2. ¨­®¬ ¼¾²®­ .

a) ‘²¥¯¥­­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨© (1 + x). ‡­ ¿ ¤«¿ ­ ²³° «­»µ §­ ·¥­¨©  ´®°¬³«³ ±²¥¯¥­¨ ¡¨­®¬  (1 + x) = 1 + 1! x + (2! 1) x2 + : : : + ( 1):::n(! n+1) xn + : : : , ¼¾²®­ ¯®­¿«, ·²® ®­  ±¯° ¢¥¤«¨¢  ¤«¿ «¾¡»µ , ²®«¼ª® ±³¬¬  ¯°¨ ½²®¬ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¡¥±ª®­¥·­®©.  ¯°¨¬¥°, (1 + x) 1 = 1 x + x2 x3 + : : : , ¥±«¨ jxj < 1. b) ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ °¿¤  ¨ ° §«®¦¥­¨¥ log(1 + x). °®¨­²¥£°¨°®¢ ¢ ¯®±«¥¤­¨© °¿¤ ¯® ®²°¥§ª³ [0; x], ­ ©¤¥¬, ·²® log(1 + x) = x 12 x2 + 13 x3 + : : : ¯°¨ jxj < 1. c)  §«®¦¥­¨¿ (1 + x2) 1 ¨ arctg x. €­ «®£¨·­®, ­ ¯¨± ¢ ° §«®¦¥­¨¥ (1 + x2) 1 = 1 x2 + x4 x6 + : : : ¨ ¯°®¨­²¥£°¨°®¢ ¢ ¥£® ¯® ®²°¥§ª³ [0; x], ¯®«³·¨¬ ° §«®¦¥­¨¥ arctg x = x 31 x3 + 51 x5 : : : , ¨§ ª®²®°®£® ¯°¨ x = 1, ¢°®¤¥ ¡», ±«¥¤³¥², ·²® 4 = 1 13 + 15 17 + : : : . Œ®¦¥² ¡»²¼ ½²® ¨ ² ª (¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ½²® ² ª), ­® ·³¢±²¢³¥²±¿, ·²® ¬» ³¦¥ ¢»µ®¤¨¬ ­  £° ­¨¶» ¤®§¢®«¥­­®£®. ‘«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥° ²®«¼ª® ³±¨«¨² ­ ¸¨ ®¯ ±¥­¨¿. d)  §«®¦¥­¨¥ (1 x) 1 ¨ ¢»·¨±«¨²¥«¼­»¥ ±²° ­­®±²¨. °¨ x = 1 ° §«®¦¥­¨¥ (1 + x) 1 = 1 x + x2 x3 + : : : ¯°¨¢®¤¨² ª ° ¢¥­±²¢³ 12 = 1 1 + 1 1 + : : : .  ±±² ¢¨¢ ¢ ­¥¬ ±ª®¡ª¨, ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ 12 = (1 1)+(1 1)+ : : : = 0,   ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨ 21 = 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + : : : = 1. ®±«¥ ² ª®£® ¯°¨µ®¤¨²±¿ ±² ¢¨²¼ ¯®¤ ±®¬­¥­¨¥ ¯®·²¨ ¢±¥, ·²® ¬» ² ª ³±¯¥¸­® ¨ ¡¥§§ ¡®²­® ¤¥« «¨, ¯¥°¥¬­®¦ ¿ ¡¥±ª®­¥·­»¥ ±³¬¬» (°¿¤»), ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¨ £°³¯¯¨°³¿ ¢ ­¨µ ·«¥­», ¨­²¥£°¨°³¿ ¨µ. ‚® ¢±¥¬ ½²®¬ ¿¢­® ­ ¤® ° §®¡° ²¼±¿. ²¨¬ ¬» ¢±ª®°¥ § ©¬¥¬±¿,   ¯®ª  ³¯®¬¿­¥¬ ¥¹¥ ®¤­³ ®¡« ±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ °¿¤®¢. 3. ¥¸¥­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨©.

a) Œ¥²®¤ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»µ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢.  ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²¥©¸¥¥ ³° ¢­¥­¨¥ x + x = 0 £ °¬®­¨·¥±ª¨µ ª®«¥¡ ­¨© ¨ ¡³¤¥¬ ¨±ª ²¼ ¥£® °¥¸¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ °¿¤  x(t) =  0 +  1t +  2t2 + : : : . ®¤±² ¢«¿¿ °¿¤ ¢ ³° ¢­¥­¨¥, ±®¡¨° ¿ ·«¥­» ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ±²¥¯¥­¿¬¨ t ¨ ¯°¨° ¢­¨¢ ¿ ª®½´´¨¶¨¥­²» ¯°¨ ®¤¨­ ª®¢»µ ±²¥¯¥­¿µ t ¢ ®¡¥¨µ · ±²¿µ ³° ¢­¥­¨¿, ¯®«³·¨¬ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ±¨±²¥¬³ ±®®²­®¸¥­¨©: 7

2 2 +  0 = 0; 2
3 3 +  1 = 0; 3
4 4 +  2 = 0; : : : …±«¨ ­ · «¼­»¥ ³±«®¢¨¿ x(0) = x0 ¨ x0(0) = v0 ¤ ­», ²® ¨§ x(t) =  0 +  1t +  2t2 + : : : ¨ x0(t) =  1 +  2t + : : : ¯°¨ t = 0 ­ µ®¤¨¬  0 = x0 ¨  1 = v0. ‡­ ¿  0 ¨  1, ²¥¯¥°¼ ¬®¦­® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®¤­®§­ ·­® ­ ©²¨ ®±² «¼­»¥ ª®½´´¨¶¨¥­» ° §«®¦¥­¨¿.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ x(0) = 0 ¨ x0(0) = 1, ²® x(t) = t 3!1 t3 + 5!1 t5 : : : = sin x,   ¥±«¨ x(0) = 1 ¨ x0(0) = 0, ²® x(t) = 1 2!1 t2 + 4!1 t4 : : : = cos x. b) ˆ±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ½ª±¯®­¥­²». € ·²® ¥±«¨ °¥¸¥­¨¥ ¨±ª ²¼ ¢ ¢¨¤¥ x(t) = ¥t ? ’®£¤  x + x = ¥t(2 + 1) = 0 ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 2 + 1 = 0, ².¥.  = i ¨«¨  = i. ® ·²® ½²® §  ±²° ­­»¥ ª®¬¯«¥ª±­®¥ ª®«¥¡ ­¨¿ x(t) = ¥it, x(t) = ¥ it ¨«¨ x(t) = c1¥it + c2¥ it ?  °® ­ «¨§¨°³©²¥ ±¨²³ ¶¨¾ ¨ ¤®¤¥« ©²¥ ¢±¥ ¦¥ § ¤ ·³ ¤® ª®­¶ , ­ ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ x(0) = 0 ¨ x0(0) = 1 ¨«¨ ¥±«¨ x(0) = 1 ¨ x0(0) = 0. ‚±¯®¬­¨²¥ ´®°¬³«³ ©«¥°  ¨ ±° ¢­¨²¥ ¢ ¸¨ °¥§³«¼² ²» ± ¯®«³·¥­­»¬¨ ¢»¸¥. 4. Ž¡¹ ¿ ¨¤¥¿ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ¨ ° §«®¦¥­¨¿.

a) ‘¬»±« ¯®§¨¶¨®­­®© ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥­¨¿. ˆ°° ¶¨®­ «¼­»¥ ·¨±« . ‚±¯®¬­¨¬, ·²® ®§­ · ¥² ¯°¨¢»·­ ¿ § ¯¨±¼  = 3; 1415926::: ¨«¨ ¢®®¡¹¥ ¤¥±¿²¨·­ ¿ ¤°®¡¼ a0; a1a2a3::: ‚¥¤¼ ½²® ±³¬¬  a0100 + a110 1 + a210 2 + a310 3 + ::: Œ» §­ ¥¬, ·²® ª®­¥·­»¥ ¤°®¡¨ ®²¢¥· ¾² ° ¶¨®­ «¼­»¬ ·¨±« ¬,   § ¯¨±¼ ¨°° ¶¨®­ «¼­®£® ·¨±«  ²°¥¡³¥² ¡¥±ª®­¥·­®£® ·¨±«  ¤¥±¿²¨·­»µ §­ ª®¢ ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ²°¥¡³¥² ° ±±¬®²°¥­¨¿ ¡¥±ª®­¥·­®£® ·¨±«  ±« £ ¥¬»µ ¨ ¡¥±ª®­¥·­»µ ±³¬¬ | °¿¤®¢. …±«¨ ¬» ®¡°»¢ ¥¬ ½²®² °¿¤ ­  ª ª®¬-²® ¬¥±²¥, ¬» ¯®«³· ¥¬ ° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«®. ‘ ­¨¬ ¬» ®¡»·­® ¨ ° ¡®² ¥¬. —²® ¯°¨ ½²®¬ ¯°®¨§®¸«®? Œ» ³¯°®±²¨«¨ ®¡º¥ª², ¯®§¢®«¨¢ ±¥¡¥ ­¥ª®²®°³¾ ®¸¨¡ª³. ’.¥. ¬» ¯°¨¡«¨¦ ¥¬ ±«®¦­»© ®¡º¥ª² (§¤¥±¼ ¨°° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«®) ³¤®¡­»¬¨ ­ ¬ ®¡º¥ª² ¬¨ (§¤¥±¼ ° ¶¨®­ «¼­»¬¨ ·¨±« ¬¨), ¤®¯³±ª ¿ ¯°¨ ½²®¬ ­¥ª®²®°³¾ ®¸¨¡ª³, ª®²®°³¾ ­ §»¢ ¥¬ ²®·­®±²¼¾ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿. “«³·¸¥­¨¥ ²®·­®±²¨ ¯°¨¢®¤¨² ª ³±«®¦­¥­¨¾ ¯°¨¡«¨¦ ¾¹¥£® ®¡º¥ª² . Š®¬¯°®¬¨±± ¯°¨µ®¤¨²±¿ ¨±ª ²¼ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ª®­ª°¥²­»¬¨ ®¡±²®¿²¥«¼8

±²¢ ¬¨. b)  §«®¦¥­¨¥ ¢¥ª²®°  ¯® ¡ §¨±³ ¨  ­ «®£¨¨ ¢ °¿¤ µ. ‚ «¨­¥©­®©  «£¥¡°¥ ¨ £¥®¬¥²°¨¨ ¬» ° ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¢¥ª²®°» ¯® ¡ §¨±³. ’° ¤¨¶¨®­­ ¿ ¤«¿  ­ «¨§  § ¯¨±¼ f (x) = f (0)+ 1!1 f 0(0)x+ 2!1 f 00(x)x2+ ::: ´ ª²¨·¥±ª¨ ®§­ · ¥² ²® ¦¥ ± ¬®¥, ¥±«¨ ±·¨² ²¼, ·²® ¡ §¨±®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ­ ¡®° ´³­ª¶¨© ¥n = xn. ²® °¿¤ ’¥©«®°  ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 = 0. €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ ª ª®©-²® ¯¥°¨®¤¨·¥±ª¨© ±¨£­ « ¨«¨ ¯°®¶¥±± f (t) ¯®¤¢¥°£ ¾² ±¯¥ª²° «¼­®¬³  ­ «¨§³, ²® ¨­²¥°¥±³¾²±¿ ¥£® ° §«®¦¥­¨¥¬ P 1 f (t) = n=0 an cos nt + bn sin nt ­  ¯°®±²¥©¸¨¥ £ °¬®­¨·¥±ª¨¥ ª®«¥¡ ­¨¿. ’ ª¨¥ °¿¤» ­ §»¢ ¾²±¿ ª« ±±¨·¥±ª¨¬¨ (¨«¨ ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨) °¿¤ ¬¨ ”³°¼¥. ®¢®¥, ·²® ²³² ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ ±° ¢­¥­¨¨ ± ±¨²³ ¶¨¥© «¨­¥©­®©  «£¥¡°» ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­ ¿ ±³¬¬ , ª®²®° ¿ ¯®­¨¬ ¥²±¿ ª ª ­¥ª®²®°»© ¯°¥¤¥« ª®­¥·­»µ ±³¬¬. ‡­ ·¨², ª°®¬¥ ±²°³ª²³°» «¨­¥©­®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ­ ¸¨µ ®¡º¥ª²®¢ ¤®«¦­® ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­® ²® ¨«¨ ¨­®¥ ¯®­¿²¨¥ ¡«¨§®±²¨ ®¡º¥ª²®¢, ¯®§¢®«¿¾¹¥¥ £®¢®°¨²¼ ® ¯°¥¤¥«¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ± ¬¨µ ®¡º¥ª²®¢ ¨«¨ ¨µ ±³¬¬. c)  ±±²®¿­¨¥. «¨§®±²¼ ®¡º¥ª²®¢ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­ «¨·¨¥¬ ²®£® ¨«¨ ¨­®£® ¯®­¿²¨¿ ®ª°¥±²­®±²¨ ®¡º¥ª²  (®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ ¯°®±²° ­±²¢ ). ²® ­ §»¢ ¥²±¿ § ¤ ­¨¥¬ ²®¯®«®£¨¨ ¯°®±²° ­±²¢ . ‚ ²®¯®«®£¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ ¬®¦­® £®¢®°¨²¼ ® ¯°¥¤¥«¥ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨. …±«¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ²¥¬ ¨«¨ ¨­»¬ ±¯®±®¡®¬ ¢¢¥¤¥­® ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ®¡º¥ª² ¬¨ | ²®·ª ¬¨ ¯°®±²° ­±²¢ , ²®  ¢²®¬ ²¨·¥±ª¨ ®¯°¥¤¥«¥­  ¨ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨, ¨ ¤ ¦¥ ²®·­¥¥, «¾¡ ¿ ¥¥ -®ª°¥±²­®±²¼.  ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ®¤­®£® ¨ ²®£® ¦¥ ¯°®±²° ­±²¢  ¬®¦­® ¨§¬¥°¿²¼ ¯®-° §­®¬³.  ¯°¨¬¥°, ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ¤¢³¬¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ­  ®²°¥§ª¥ ¬®¦­® ¨§¬¥°¿²¼ ¬ ª±¨¬³¬®¬ ¬®¤³«¿ ° §­®±²¨ ´³­ª¶¨© ­  ½²®¬ ®²°¥§ª¥ (° ¢­®¬¥°­ ¿ ¬¥²°¨ª ),   ¬®¦­® ¨§¬¥°¿²¼ ¢¥«¨·¨­®© ¨­²¥£° «  ®² ¬®¤³«¿ ° §­®±²¨ ´³­ª¶¨© ­  ½²®¬ ®²°¥§ª¥ (¨­²¥£° «¼­ ¿ ¬¥²°¨ª ). ‚»¡®° ¬¥²°¨ª¨ ¤¨ª²³¥²±¿ ±®¤¥°¦ ­¨¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© § ¤ ·¨. ˆ² ª, ¯¥°¥µ®¤¨¬ ª ° §° ¡®²ª¥ ­ ¬¥·¥­­»µ ¨¤¥© ¨ ¢»¿±­¥­¨¾ ¢®§­¨ª¸¨µ ¢®¯°®±®¢, ±¢¿§ ­­»µ ± ¯®­¿²¨¥¬ °¿¤  ª ª ¡¥±ª®­¥·­®© ±³¬¬». II. ”®°¬ «¨§ ¶¨¿.

9

1. ¿¤ ¨ ¥£® ±³¬¬ .

®±²®¿­­® ¢±²°¥· ¾¹¨©±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ±¨¬¢®«

1 P an ¨«¨

n=1

a1 + a2 + a3 + ::: + an + ::: ; (1) ¯®¤° §³¬¥¢ ¾¹¨© ±³¬¬¨°®¢ ­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­®£® ·¨±«  ±« £ ¥¬»µ, ­ §»¢ ¾² °¿¤®¬; a1 +a2 +a3 +:::+an = Sn | · ±²¨·­ ¿, ²®·­¥¥, n-¿ · ±²¨·­ ¿ ±³¬¬  °¿¤ ; an | n-© ·«¥­ °¿¤ . °¨°®¤  ·«¥­®¢ °¿¤  ¬®¦¥² ¡»²¼ ®·¥­¼ ° §­®©, «¨¸¼ ¡» ¤«¿ ­¨µ ¨¬¥«  ±¬»±« ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ±«®¦¥­¨¿. ®, ·²®¡» £®¢®°¨²¼ ¢ ²®¬ ¨«¨ ¨­®¬ ±¬»±«¥ ® ±³¬¬¥ °¿¤ , ­³¦­» ¬¥²°¨ª  ¨«¨ ²®¯®«®£¨¿, ¯®§¢®«¿¾¹¨¥ ¤¥« ²¼ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ¯¥°¥µ®¤»: ±³¬¬®© °¿¤  ®¡»·­® ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¥« S = limn!1 Sn ¥£® · ±²¨·­»µ ±³¬¬. …±«¨ ®­ ±³¹¥±²¢³¥², °¿¤ ­ §»¢ ¾² ±µ®¤¿¹¨¬±¿ ¨«¨ £®¢®°¿², ·²® °¿¤ ±µ®¤¨²±¿. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ | ° ±µ®¤¿¹¨¬±¿ ¨ £®¢®°¿², ·²® °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿. Œ» ­ ·­¥¬ ± ·¨±«®¢»µ °¿¤®¢. Œ­®£®¥ ¨§ ²®£®, ·²® ¡³¤¥² ° ±±¬®²°¥­® ­  ½²®¬ §­ ª®¬®¬ ®¡º¥ª²¥, «¥£ª® ¯¥°¥­®±¨²±¿ ­  ®¡¹¨© ±«³· ©. 2. “±«®¢¨¿ ¨ ¯°¨§­ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ·¨±«®¢®£® °¿¤ .

a) Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ¥°¥¯¨± ¢ ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fSng ¢ ²¥°¬¨­ µ ·«¥­®¢ °¿¤ , ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ : „«¿ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  (1) ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ¤«¿ «¾¡®£® ·¨±«  " > 0 ­ ¸¥«±¿ ­®¬¥° N = N (") ² ª®©, ·²® ¯°¨ «¾¡»µ m; n, ² ª¨µ, ·²® N < n  m, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ®¶¥­ª  jan + ::: + am j < ". ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨ n = m ®²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¤«¿ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  ­¥®¡µ®¤¨¬®, ·²®¡» ¥£® ®¡¹¨© ·«¥­ an ±²°¥¬¨«±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ n ! 1. ‚¯°®·¥¬, ½²® ¢¨¤­® ³¦¥ ¨§ ²®£®, ·²® an = Sn Sn 1.  ®ª  ¬» ¯®¤° §³¬¥¢ «¨, ·²® ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ± ·¨±«®¢»¬ °¿¤®¬ (1) ± ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨. ‚¥°­® «¨ ¢±¥ ½²® ¤«¿ °¿¤®¢ ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ¯°®±²° ­±²¢  Rk ¨ ¤«¿ °¿¤®¢ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«? Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­  ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤  ¢«¨¿¥² ²®«¼ª® "µ¢®±²" °¿¤ . ˆ§¬¥­¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ·¨±«  ·«¥­®¢ °¿¤  ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ¥£® ±µ®¤¨¬®±²¼. ƒ °¬®­¨·¥±ª¨© °¿¤ 1 + 21 + 13 + ::: + n1 + ::: ¢ ±¨«³ ª°¨²¥°¨¿ Š®¸¨ 1 + 1 + ::: + 1 > n 1 = 1 . ° ±µ®¤¨²±¿, ¯®±ª®«¼ª³ n+1 n+2 2n 2n 2 10

²®² ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ±²°¥¬«¥­¨¥ ª ­³«¾ ®¡¹¥£® ·«¥­  °¿¤  ²®«¼ª® ­¥®¡µ®¤¨¬®¥, ­® ­¥ ¤®±² ²®·­®¥ ³±«®¢¨¥ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . b) „®±² ²®·­»© ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨. …±«¨ ·«¥­» °¿¤  (1) ¯®  ¡±®«¾²­®© ¢¥«¨·¨­¥ ¬ ¦®°¨°³¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ·«¥­ ¬¨ ±µ®¤¿¹¥£®±¿ ·¨±«®¢®£® °¿¤  b1 + b2 + b3 + ::: + bn + ::: (².¥. j nj  bn ), ²® °¿¤ (1) ±µ®¤¨²±¿ ¨ ±µ®¤¨²±¿ °¿¤ ja1j + ja2j + ja3j + ::: + janj + ::: ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ª°¨²¥°¨¿ Š®¸¨ ¨ ®¶¥­®ª jan + ::: + amj  janj + ::: + jamj  bn + ::: + bm :  ‚¥°¥­ «¨ ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ ¤«¿ °¿¤  (1) ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ¯°®±²° ­±²¢  Rk ¨«¨ ¨§ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«? ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ­¥° ¢¥­±²¢  j nj  bn ¨¬¥¾² ¬¥±²® «¨¸¼ ­ ·¨­ ¿ ± ª ª®£®-²® ­®¬¥°  N ¨ ¤ «¥¥, ²® ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ ®±² ¥²±¿ ¢ ±¨«¥, ¯®±ª®«¼ª³ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ·«¥­®¢ °¿¤  ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ¥£® ±µ®¤¨¬®±²¼. …±«¨ °¿¤ (1) ² ª®¢, ·²® °¿¤ ja1j + ja2j + ja3j + ::: + janj + ::: ±µ®¤¨²±¿ (  ½²®, ª ª ¬» ¢¨¤¥«¨, ¯°¨¬¥­¿¿ ¢»¸¥ ª°¨²¥°¨© Š®¸¨, ³¦¥ £ ° ­²¨°³¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ± ¬®£® °¿¤  (1)3), ²® £®¢®°¿², ·²® °¿¤ (1) ±µ®¤¨²±¿  ¡±®«¾²­®.

’ ª ·²® ¤®ª § ­­»© ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª | ½²® ¯°¨§­ ª  ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨. …±«¨ °¿¤ (1) ±µ®¤¨²±¿, ­® ­¥ ±µ®¤¨²±¿  ¡±®«¾²­®, ²® £®¢®°¿², ·²® ®­ ±µ®¤¨²±¿ ³±«®¢­®. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, °¿¤ 1 1 + 21 12 + 31 13 + ::: + n1 n1 + ::: ®·¥¢¨¤­® ±µ®¤¨²±¿, ­® «¨¸¼ ³±«®¢­®,   ­¥  ¡±®«¾²­®. €¡±®«¾²­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼, ª ª ¢»¿±­¨²±¿, ¢¥±¼¬  ¢ ¦­  ¨ ¯®«¥§­  ² ¬, £¤¥ ¯°¨µ®¤¨²±¿ ¢»¯®«­¿²¼ ° §«¨·­»¥ ®¯¥° ¶¨¨ ± °¿¤ ¬¨ (­ ¯°¨¬¥°, ¯¥°¥¬­®¦ ²¼ °¿¤», ¯°¥®¡° §®¢»¢ ²¼ ¨µ, £°³¯¯¨°®¢ ²¼ ¨ ¯¥°¥±² ¢«¿²¼ ·«¥­» °¿¤ ). ˆ±±«¥¤®¢ ­¨¥  ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨, ®·¥¢¨¤­®, ±¢®¤¨²±¿ ª ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ±µ®¤¨¬®±²¨ ·¨±«®¢»µ °¿¤®¢ ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ¨«¨ ¤ ¦¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨. c) ’¥®°¥¬  ±° ¢­¥­¨¿ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨. 3‚

²¥µ ¯°®±²° ­±²¢ µ, £¤¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢ ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨.

11

¿¤ ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨ ±µ®¤¨²±¿ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¥£® · ±²¨·­»µ ±³¬¬ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³.  §®¢¼¥¬ ½²® ¯°®±²®¥ ­ ¡«¾¤¥­¨¥. 1 1 P P ³±²¼ ¨¬¥¾²±¿ ¤¢  °¿¤  an, bn ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨ n=1 n=1 ¨ ¯³±²¼, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥°  ¨ ¤ «¥¥, ¨¬¥¾² ¬¥±²® ±®®²­®¸¥­¨¿ 0  an  bn. ’®£¤  ¨§ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢²®°®£® °¿¤  ±«¥¤³¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ¯¥°¢®£®,   ¨§ ° ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯¥°¢®£® °¿¤  ¢»²¥ª ¥² ° ±µ®¤¨¬®±²¼ ¢²®°®£®. ²® ²®¦¥ ®·¥¢¨¤­®.  ¯®¬­¨¬, ·²® ¯°® ¢¥«¨·¨­» an ¨ bn £®¢®°¿², ·²® ®­¨ ®¤­®£® ¯®°¿¤ª  ¯°¨ n ! 1 ¨ ¯¨¸³² an  bn ¯°¨ n ! 1, ¥±«¨ ­ ©¤³²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ¯®±²®¿­­»¥ 1; 2 ¨ 1; 2 ² ª¨¥, ·²® 1an  bn  2an ¨ 1bn  an  2bn ¯°¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ §­ ·¥­¨¿µ n. ’¥¯¥°¼ ¬®¦­® ±¤¥« ²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯®«¥§­®¥ § ¬¥· ­¨¥, · ±²® ¨¬¥­³¥¬®¥ ²¥®°¥¬®© ±° ¢­¥­¨¿ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ·«¥­ ¬¨: …±«¨ ·«¥­» ¤¢³µ °¿¤®¢ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­» ¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¯®°¿¤®ª, ²® ½²¨ °¿¤» ±µ®¤¿²±¿ ¨«¨ ° ±µ®¤¿²±¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­®.

‚ · ±²­®±²¨ ½²® ² ª, ¥±«¨ ·«¥­» ² ª¨µ °¿¤®¢  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­», ².¥. an  bn ¯°¨ n ! 1. P1  ¯°¨¬¥° °¿¤ sin n1 ° ±µ®¤¨²±¿, ¯®±ª®«¼ª³ sin n1  n1 ¯°¨ n ! 1, n=1   £ °¬®­¨·¥±ª¨© °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿.  „®ª ¦¨²¥ ¢»¤¥«¥­­³¾ ²¥®°¥¬³ ±° ¢­¥­¨¿, § ¬¥²¨¢, ·²® ³¬­®¦¥­¨¥ ¢±¥µ ·«¥­®¢ °¿¤  ­  «¾¡³¾ ®²«¨·­³¾ ®² ­³«¿ ª®­±² ­²³ ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤ . P d) ˆ­²¥£° «¼­»© ¯°¨§­ ª Š®¸¨ ¨ °¿¤  () = 1n=1 n1 . P1 ¿¤ n1 ¯®¬¨¬® ²®£®, ·²® ¨£° ¥² ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¢  ­ «¨²¨·¥±ª®© n=1 ²¥®°¨¨ ·¨±¥«, · ±²® ±«³¦¨² ª ­®­¨·¥±ª¨¬ ½² «®­®¬ ¤«¿ ±° ¢­¥­¨¿ ¯°¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¨ ±µ®¤¨¬®±²¨. ²®² °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ ²®«¼ª® ¯°¨  > 1.  °®¢¥°¼²¥ ½²®, ¨±¯®«¼§³¿ ±«¥¤³¾¹¨© ¨­²¥£° «¼­»© ¯°¨§­ ª Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­ , ­¥¯°¥°»¢­  ¨ ¬®­®²®­­  ­  ¯°®P1 f (n) ¨ ¨­²¥£° « R1 f (x)dx ±µ®¤¿²±¿ ¨«¨ ¬¥¦³²ª¥ 1  x, ²® °¿¤ ° ±µ®¤¿²±¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­®.

n=1

1

Ÿ±­®, ·²® §¤¥±¼ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ­ ¤® ²®«¼ª® ±«³· © ­¥¢®§° ±² ¾¹¥© 12

´³­ª¶¨¨ f , ¨­ ·¥ ¨ °¿¤, ¨ ¨­²¥£° « ®·¥¢¨¤­® ° ±µ®¤¿²±¿. …±«¨ ¦¥ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¢®§° ±² ¾¹ ¿, ²® ±¯° ¢¥¤«¨¢» ­¥° ¢¥­±²¢  kR+1 f (k + 1)  f (x)dx  f (k) , ±³¬¬¨°³¿ ª®²®°»¥ ¯®«³· ¥¬ k

m X k=n+1

f (k) 

Zm n

f (x)dx 

X

m 1 k =n

f (k):

(2)

Ž±² ¥²±¿ ±®±« ²¼±¿ ­  ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  ¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° «  (².¥. ´ ª²¨·¥±ª¨ ­  ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  ´³­ª¶¨¨).  ‚ ±¢¿§¨ ± ®¶¥­ª ¬¨ (2) ¢±¯®¬­¨²¥ ¡³ª ¸ª³ ­  °¥§¨­ª¥. e) ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯°®£°¥±±¨¿ ¨ ¯°¨§­ ª¨ Š®¸¨, ¤'€« ¬¡¥° , ƒ ³±± . P 1  °¿¤³ ± °¿¤®¬ n=1 n1 , ¯°¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤®¢ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ±° ¢­¥­¨¿ ¨ ¢ ±¢¿§¨ ±® ±²¥¯¥­­»¬¨ °¿¤ ¬¨ ²¨¯  °¿¤  ’¥©«®°  · ±²® ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¨, ¢®§¬®¦­®, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ ´³­P qn |ª ­®­¨·¥±ª¨© ¤ ¬¥­² «¼­»© °¿¤ 1 ¡¥±ª®­¥·­ ¿ £¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯°®£°¥±±¨¿. n=1 ‡ ¬¥²¼²¥, ¨¬¥­­® ®­ «¥¦¨² ¢ ®±­®¢¥ ­ ¸¥© ¯°¨¢»·­®© ¯®§¨¶¨®­­®© ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥­¨¿. P qn ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ jqj < 1 ¨ ¥£® ±³¬¬  ° ¢­  (1 q) 1, ¯®¿¤ 1 n=1 ±ª®«¼ª³ 1 + q + q2 + : : : + qn = 1 1qnq+1 ! 1 1 q ¯°¨ n ! 1. Ÿ±­® ² ª¦¥, ·²® ¯°¨ jqj < 1 ½²®² °¿¤ ±µ®¤¨²±¿  ¡±®«¾²­®, ¯®±ª®«¼ª³ P 1 ±µ®¤¨²±¿ °¿¤ n=1 jqjn. °¨ jqj  1 °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿, ¯®±ª®«¼ª³ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¥£® ®¡¹¨© ·«¥­ ­¥ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾. °®¤¥¬®­±²°¨°³¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ½²®£® °¿¤  ¨ ²¥®°¥¬» ±° ¢­¥­¨¿. °¨§­ ª Š®¸¨ (· ±²® «¨µ® ­ §»¢ ¥¬»© "° ¤¨ª «¼­»¬") ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. P1 an | ¤ ­­»© °¿¤ ¨ q = lim pn janj. ³±²¼ n!1 n=1 ’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ : ) ¥±«¨ q < 1, ²® °¿¤  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿ ; ) ¥±«¨ q > 1, ²® °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿ ;

) ±³¹¥±²¢³¾² ª ª  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¿¹¨¥±¿, ² ª ¨ ° ±µ®¤¿¹¨¥±¿ °¿¤», ¤«¿ ª®²®°»µ q = 1. „®ª § ²¥«¼±²¢®: 13

) …±«¨ q < 1, ²® ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ·¨±«® p 2 R ² ª, ·²® q < p < 1. ”¨ª±¨°®¢ ¢ ·¨±«® p, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¢¥°µ­¥£® p ¯°¥¤¥«  ­ ©¤¥¬ ­®¬¥° N 2 N ² ª®©, ·²® ¯°¨ n > N ¢»¯®«­¥­® n janj < p. P1 ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¨ n > N ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ janj < pn ¨, ¯®±ª®«¼ª³ °¿¤ pn n=1 1 P an (¯® ²¥®°¥¬¥ ±° ¢­¥­¨¿) ±µ®¤¨²±¿

¯°¨ 0  p < 1 ±µ®¤¨²±¿, °¿¤ n=1  ¡±®«¾²­®. ) ®±ª®«¼ª³ q = nlim ja j ¨ q > 1, ²® an ­¥ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ !1 n n ! 1 ¨ °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿. 1 1 P P

) Œ» ³¦¥ §­ ¥¬, ·²® °¿¤ n1 ° ±µ®¤¨²±¿,   °¿¤ n12 ±µ®¤¨²±¿. n=1

n=1

±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. 1 P jan+1 j ³±²¼ ¤«¿ °¿¤  an ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¥« nlim = q. !1 jan j n=1 ’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ : ) ¥±«¨ q < 1, ²® °¿¤ ±µ®¤¨²±¿  ¡±®«¾²­® ; ) ¥±«¨ q > 1, ²® °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿ ;

) ±³¹¥±²¢³¾² ª ª  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¿¹¨¥±¿, ² ª ¨ ° ±µ®¤¿¹¨¥±¿ °¿¤», ¤«¿ ª®²®°»µ q = 1.

°¨§­ ª ¤'€« ¬¡¥° 

‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥: ) …±«¨ q < 1, ²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ·¨±«® p, ·²® q < p < 1; ´¨ª±¨°®¢ ¢ p ¨ ³·¨²»¢ ¿ ±¢®©±²¢  ¯°¥¤¥« , ­ ©¤¥¬ ­®¬¥° N 2 N ² ª®©, ·²® ¯°¨ j «¾¡®¬ n > N ¡³¤¥² jajna+1 < p. ®±ª®«¼ª³ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ·«¥­®¢ ­¥ nj ¢«¨¿¥² ­  µ ° ª²¥° ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ , ¡¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¡³¤¥¬ j ±·¨² ²¼, ·²® jajna+1 < p ¯°¨ «¾¡®¬ n 2 N. nj j a j n +1 ®±ª®«¼ª³ janj
jajnanj1j
: : :
jjaa21jj = jajna+11j j ; ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® jan+1j    1 ja1j
pn . ® °¿¤ P ja1jpn ±µ®¤¨²±¿ ¥£® ±³¬¬ , ®·¥¢¨¤­®, ° ¢­  1ja1pj , n=1 1 P ¯®½²®¬³ °¿¤ an  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿. n=1

) …±«¨ q > 1, ²®, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥°  N 2 N, ¯°¨ «¾¡®¬ n > N ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ jajann+1j j > 1, ².¥. janj < jan+1j, ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ °¿¤  ­¥ ¢»¯®«­¥­® ³±«®¢¨¥ an ! 0, ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ¤«¿ ±µ®¤¨¬®±²¨.

) ‡¤¥±¼ ¬®¦­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¨¬¥° ¬¨, ¯°¨¢¥¤¥­­»¬¨ ¢»¸¥ ¯°¨ 14

¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¯°¨§­ ª  Š®¸¨.

P1

‚»¿±­¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ¯°¨ ª ª¨µ §­ ·¥­¨¿µ x 2 R ±µ®¤¨²±¿ °¿¤ n1! xn: n=1 °¨ x = 0 ®­, ®·¥¢¨¤­®, ±µ®¤¨²±¿ ¨ ¤ ¦¥  ¡±®«¾²­®. jan+1 j jxj = lim = 0. °¨ x 6= 0, ¯®« £ ¿ an = n1! xn, ¨¬¥¥¬ nlim j a j n n !1 n!1 +1 ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²®² °¿¤  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ «¾¡®¬ §­ ·¥­¨¨ x 2 R. 1  € ¯°¨ ª ª¨µ ª®¬¯«¥ª±­»µ z ±µ®¤¨²±¿ °¿¤ P n1! zn ? n=1  “¡¥¤¨²¥±¼, ·²® ª°¨²¥°¨© Š®¸¨, ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ , ¯°¨§­ ª¨ Š®¸¨ ¨ ¤'€« ¬¡¥°  ª ª ¨ ¨µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥ ¨ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ª®¬¯«¥ª±­»¬¨ ¨ ¢¥ª²®°­»¬¨ ·«¥­ ¬¨. °¨§­ ª ƒ ³±± .

 “·¨²»¢ ¿ ­ ª®¯«¥­­»© ®¯»², ¤®ª ¦¨²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿: 1 P ) ¥±«¨ bnbn+1 = 1 + n, n = 1; 2; : : : , ¨ °¿¤ n  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿, n=1 ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¥« nlim b = b 2 R; n !1 1 P p a n = 1 + +  , n = 1; 2; : : : , ¯°¨·¥¬ °¿¤ ) ¥±«¨ an+1 n  ¡±®«¾²­® n n n =1 ±µ®¤¨²±¿, ²® an  ncp ¯°¨ n ! 1; 1 P1 P

) ¥±«¨ °¿¤ an ² ª®¢, ·²® aann+1 = 1+ np + n ¨ °¿¤ n  ¡±®«¾²­® n=1 1 P ±µ®¤¨²±¿, ²® °¿¤ an  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ p > 1 ¨ ° ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ n=1

n=1

p  1 (¯°¨§­ ª ƒ ³±±   ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  ).

f) °¨§­ ª €¡¥«¿{„¨°¨µ«¥ (¢ · ±²­®±²¨, ¯°¨§­ ª ‹¥©¡­¨¶ ) ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ‚±¥, ·²® ¬» ¯®«³·¨«¨ ¢»¸¥, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ®¡¹¥£® ª°¨²¥°¨¿ Š®¸¨ ¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®£® ³±«®¢¨¿ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ , ¯® ±³¹¥±²¢³ ®²­®±¨«®±¼ ª  ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨. °¨¢¥¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ®¤¨­ ¯°¨§­ ª, · ±²® ¯®§¢®«¿¾¹¨© ³±² ­ ¢«¨¢ ²¼ ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤  ¤ ¦¥ ²®£¤ , ª®£¤  °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ «¨¸¼ ³±«®¢­®.  ¯®¬­¨¬ ±­ · «  ±«¥¤³¾¹¥¥ ²®¦¤¥±²¢®, ­ §»¢ ¥¬®¥ ¯°¥®¡° §®¢ 15

­¨¥¬ €¡¥«¿

:

m X k =n

ak bk = Ambm An 1 bn +

X

m 1 k=n

Ak (bk bk+1);

(3)

£¤¥ ak = Ak Ak 1, k = n; : : :; m: …±«¨ bn; bn+1; : : :; bm | ¬®­®²®­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«, ²®, ¤ ¦¥ ¥±«¨ an; an+1; : : : ; am ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  ¨«¨ ¢¥ª²®°», ­  ®±­®¢ ­¨¨ ²®¦¤¥±²¢  (3) ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ­³¦­³¾ ­ ¬ ®¶¥­ª³:

X m ak bk  4 max jAkj
maxfjbnj; jbmjg: k=n n 1km

(4)

 ®«³·¨²¥ ¥¥.

±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ : P1 a b ; ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ¢»¯®«­¿« ±¼ „«¿ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  n=1 n n «¾¡ ¿ ¯ °  ±«¥¤³¾¹¨µ ³±«®¢¨© : P P 1) · ±²¨·­»¥ ±³¬¬» Sk = kn=1 an °¿¤  1n=1 an ®£° ­¨·¥­» ; 1) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ·¨±¥« bn ¬®­®²®­­  ¨ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ;

°¨§­ ª €¡¥«¿{„¨°¨µ«¥

¨«¨

P

2) °¿¤ 1n=1 an ±µ®¤¨²±¿ ; 2) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ·¨±¥« bn ¬®­®²®­­  ¨ ®£° ­¨·¥­ . ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¬®­®²®­­®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ bn ¯®§¢®«¿¥² ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¶¥­ª®© (4), ¯®«®¦¨¢ ¢ ­¥© Ak = Sk Sn 1 : …±«¨ ¢»¯®«­¥­  ¯ °  ³±«®¢¨© 1), 1); ²®, ± ®¤­®© ±²®°®­», ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®±²®¿­­ ¿ M; ·²® jAk j  M ¯°¨ «¾¡®¬ k 2 N;   ± ¤°³£®© ±²®°®­», ª ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ·¨±«® " > 0; ¯°¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ §­ ·¥­¨¿µ n ¨ m ¡³¤¥² ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® maxfjbnj; jbmjg < 4M" : ‡­ ·¨², ¨§ (4) ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ §­ ·¥­¨¿µ n P m ¨ m ¡³¤¥² j k=n ak bk j < "; ².¥. ¤«¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® °¿¤  ¢»¯®«­¥­ ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨. ‚ ±«³· ¥ ¯ °» ³±«®¢¨© 2), 2) ®£° ­¨·¥­­®© ®ª §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨­  P maxfjbnj; jbmjg: ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ¢¢¨¤³ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  1n=1 an ; ¯® ª°¨²¥°¨¾ Š®¸¨ ¤«¿ «¾¡®£® " > 0 ¯°¨ «¾¡»µ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ §­ ·¥­¨¿µ n ¨ k > n ¡³¤¥² jAk j = jSk Sn 1j < ": “·¨²»¢ ¿ ½²®, ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  (4) 16

¢­®¢¼ § ª«¾· ¥¬, ·²® ¤«¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® °¿¤  ¢»¯®«­¥­ ª°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨.  “¡¥¤¨²¥±¼, ·²® ¤®ª § ­­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ P °¿¤  ª ª ¨ ¥£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥, ¥±«¨ ·«¥­» °¿¤  1n=1 an ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  ¨«¨ ¢¥ª²®°» ¯°®±²° ­±²¢  Rk:  ˆ±±«¥¤³©²¥ ¯°¨ x 2 R ¨ ° §«¨·­»µ  2 R ±µ®¤¨¬®±²¼ ±«¥¤³¾¹¨µ °¿¤®¢: P1 1 einx ; P1 cos nx ; P1 sin nx : n=1 n n=1 n n=1 n — ±²­»¬ ±«³· ¥¬ ¤®ª § ­­®£® ¯°¨§­ ª  €¡¥«¿{„¨°¨µ«¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¨§­ ª ‹¥©¡­¨¶ , ³²¢¥°¦¤ ¾¹¨©, ·²® ¥±«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ bn ¬®­®²®­­® ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾, ²® °¿¤ b1 b2 + b3 b4 + : : : ±® §­ ª®·¥°¥¤³¾¹¨¬¨±¿ ·«¥­ ¬¨ (­ §»¢ ¥¬»© ¨­®£¤  °¿¤®¬ ‹¥©¡­¨¶ ) ±µ®¤¨²±¿.  §­®±²¼ ¬¥¦¤³ ±³¬¬®© ±µ®¤¿¹¥£®±¿ °¿¤  ¨ ¥£® n-© · ±²¨·­®© ±³¬¬®© ­ §»¢ ¾² n-¬ ®±² ²ª®¬ °¿¤ .  °®¢¥°¼²¥, ·²® n-© ®±² ²®ª °¿¤  ‹¥©¡­¨¶  ¯® ¬®¤³«¾ ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¬®¤³«¿ (n + 1)-£® ·«¥­  °¿¤ . ‚ · ±²­®±²¨, ±³¬¬  °¿¤  ‹¥©¡­¨¶  ¯® ¬®¤³«¾ ­¥ ¡®«¼¸¥ ¬®¤³«¿ ¯¥°¢®£® ·«¥­  °¿¤ .

17

‚ŽŽ‘›

ª ª®««®ª¢¨³¬³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  ¢²®°®£® ¯®²®ª  ‹¥ª²®° ¯°®´¥±±®° ‚.€.‡Žˆ—, 2006/07 ³·.£®¤ ’¥¬ : Ÿ„› ˆ ˆ’…ƒ€‹›, ‡€‚ˆ‘Ÿ™ˆ… Ž’ €€Œ…’€ 0. ¿¤, ¯°¨¬¥°» ¯®¿¢«¥­¨¿ ¨ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿. (®§¨¶¨®­­ ¿ ±¨±²¥¬  ±·¨±«¥­¨¿; ¢®¯°®±» ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ¨ °¿¤ ’¥©«®° ; ° ±¯°®±²° ­¥­¨¥ ½ª±¯®­¥­²» ¢ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ®¡« ±²¼ ¨ ´®°¬³«  ©«¥° ; ½ª±¯®­¥­²  ®² ¬ ²°¨¶», ®² ®¯¥° ²®°  ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° ; °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨© ¬¥²®¤®¬ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»µ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢.) Ž¯¥° ¶¨¨ ± °¿¤ ¬¨, ¢®§­¨ª ¾¹¨¥ ¢®¯°®±» ¨ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ®±­®¢­»µ ²¥®°¥¬, ¤ ¾¹¨µ ­  ­¨µ ®²¢¥²». 1. ‘µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤ . Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ’¥®°¥¬  ±° ¢­¥­¨¿ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ­²P ­»©, ¨­²¥£° «¼­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). ¿¤  (s) = 1n=1 n s . 2.  ¢­®¬¥°­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ±¥¬¥©±²¢ ¨ °¿¤®¢ ´³­ª¶¨©. Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  ´³­ª¶¨© (¬ ¦®° ­²­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). 3. „®±² ²®·­»¥ ³±«®¢¨¿ ª®¬¬³²¨°®¢ ­¨¿ ¤¢³µ ¯°¥¤¥«¼­»µ ¯¥°¥µ®¤®¢. ¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥, ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¯°¥¤e«¼­»© ¯¥°¥µ®¤. 4. Ž¡« ±²¼ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨ µ ° ª²¥° ±µ®¤¨¬®±²¨ ±²¥¯¥­­®£® °¿¤ . ”®°¬³«  Š®¸¨|€¤ ¬ ° . ’¥®°¥¬  €¡¥«¿ (¢²®° ¿). ’¥©«®°®¢±ª¨¥ ° §«®¦¥­¨¿ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©. ”®°¬³«  ©«¥° . „¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ±²¥¯¥­­®£® °¿¤ . 5. ¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° «. Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ­²­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). 6.  ¢­®¬¥°­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ­²­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). 7. ¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . 8. ¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . ˆ­²¥£° « „¨°¨µ«¥. 18

9. ©«¥°®¢» ¨­²¥£° «». Ž¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ±¢®©±²¢ , ´®°¬³«» ¯®­¨¦¥­¨¿, ° §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ¢§ ¨¬®±¢¿§¼. ˆ­²¥£° « ³ ±±®­ . 10. „¥«¼² ®¡° §­»¥ ±¥¬¥©±²¢  ´³­ª¶¨©. ’¥®°¥¬  ® ±µ®¤¨¬®±²¨ ±¢¥°²ª¨. Š« ±±¨·¥±ª ¿ ²¥®°¥¬  ‚¥©¥°¸²° ±±  ® ° ¢­®¬¥°­®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¬ ¬­®£®·«¥­®¬.

19

‡€„€—ˆ

ª ª®««®ª¢¨³¬³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  ¢²®°®£® ¯®²®ª  ‹¥ª²®° ¯°®´¥±±®° ‚.€.‡Žˆ—, 2006/07 ³·.£®¤ ’¥¬ : Ÿ„› ˆ ˆ’…ƒ€‹›, ‡€‚ˆ‘Ÿ™ˆ… Ž’ €€Œ…’€ 0. ‚» ¤¥°¦¨²¥ ®¤¨­ ª®­¥¶ °¥§¨­®¢®£® ¸­³°  ¤«¨­®© 1 ª¬. Ž² ¢²®°®£® ¥£® ª®­¶ , ª®²®°»© § ª°¥¯«¥­, ª ¢ ¬ ±® ±ª®°®±²¼¾ 1 ±¬/± ¯®«§¥² ¡³ª ¸ª . Š ¦¤»© ° §, ª ª ²®«¼ª® ®­  ¯°®¯®«§ ¥² 1 ±¬, ¢» ° ±²¿£¨¢ ¥²¥ °¥§¨­ª³ ­  1 ª¬. „®¯®«§¥² «¨ ¡³ª ¸ª  ¤® ¢ ¸¥© °³ª¨? …±«¨ ¤ , ²® ¯°¨¡«¨§¨²¥«¼­® ±ª®«¼ª® ¥© ­  ½²® ¯®²°¥¡³¥²±¿ ¢°¥¬¥­¨? ®±«¥ ­¥ª®²®°®£® ° §¬»¸«¥­¨¿ ¤«¿ ®²¢¥²  ­  ¯°¥¤»¤³¹¨© ¢®¯°®± ¢ ¬ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®«¥§­®© ±³¬¬ R nSn = 1 + 12 + 31 + ::: + n1 . ‚±¯®¬­¨²¥ ¨­²¥£° « ¨ ¯®ª ¦¨²¥, ·²® Sn 1 < 1 x1 dx < Sn 1 . 1. P | ¯®«¨­®¬. ‚»·¨±«¨²¥ (et dxd )P (x). 2. °®¢¥°¼²¥, ·²® ¢¥ª²®°-´³­ª¶¨¿ et€x0 °¥¸ ¥² § ¤ ·³ Š®¸¨ x_ = Ax; x(0) = x0 (x_ = Ax | ±¨±²¥¬  ³° ¢­¥­¨©, § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¬ ²°¨¶¥© A). 3.  ©¤¨²¥ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® o(1=n3 )  ±¨¬¯²®²¨ª³ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ª®°­¥© 1 < 2 < ::: < n < ::: ³° ¢­¥­¨¿ sin x + 1=x = 0 ¯°¨ n ! 1. 4. a) ®ª ¦¨²¥, ·²® ln 2 = 1 1=2 + 1=3 ::: . ‘ª®«¼ª® ·«¥­®¢ ½²®£® °¿¤  ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» §­ ²¼ ln 2 ± ²®·­®±²¼¾ ¤® 10 3 ? t 1 3 1 5 b) °®¢¥°¼²¥ ·²® 12 ln 1+ 1 t = t + 3 t + 5 t + :::. t ˆ±¯®«¼§³¿ ½²® ° §«®¦¥­¨¥, ³¤®¡­® ¢»·¨±«¿²¼ ln x, ¯®« £ ¿ x = 1+ 1 t. c) ®« £ ¿ ¢ b) t = 1=3, ­ ©¤¨²¥, ·²® 1 ln 2 = 1 + 1 ( 1 )2 + 1 ( 1 )5 + ::: 2 3 3 3 5 3 ‘ª®«¼ª® ·«¥­®¢ ½²®£® °¿¤  ­ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» §­ ²¼ ln 2 ± ²®·­®±²¼¾ ¤® 10 3 ? ‘° ¢­¨²¥ ± ²¥¬, ·²® ¡»«® ¢ a). ²® ®¤¨­ ¨§ ¯°¨¥¬®¢ ³«³·¸¥­¨¿ ±µ®¤¨¬®±²¨. 5. °®¢¥°¼²¥, ·²® ¢ ±¬»±«¥ €¡¥«¿ a) 1P 1 + 1 ::: = 12 . 1 sin k' = 1 ctg 1 ' b) ' 6= 2n; n 2 Z . k=1 2 2 20

P

c) 21 + 1 ' 6= 2n; n 2 Z . k=1 cos k' = 0 6. „®ª ¦¨²¥ «¥¬¬³ €¤ ¬ ° : a) …±«¨ f 2 C (1)(U (x0)), ²® f (0 x) = f (x0) + '(x)(x x0), £¤¥ ' 2 C (U (x0)) ¨ '(x0) = f (x0). b) …±«¨ f 2 C (n)(U (x0)), ²® f (x) = f (x0) + 1!1 f 0 (x0)(x x0) + ::: + (n 1 1)! f (n 1)(x0)(x x0)n 1 + '(x)(x x0)n; £¤¥ ' 2 C (U (x0)) ¨ '(x0) = n1! f (n)(x0). c) Š ª ¢»£«¿¤¿² ½²¨ ±®®²­®¸¥­¨¿ ¢ ª®®°¤¨­ ²­®© § ¯¨±¨, ª®£¤  x = (x1; :::; xn), ²®-¥±²¼, ª®£¤  f |´³­ª¶¨¿ n ¯¥°¥¬¥­­»µ? 7. a) °®¢¥°¼²¥, ·²® ´³­ª¶¨¿

Z 1 cos xt 1 J0(x) =  p 2 dt 1 t 0 ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾ ¥±±¥«¿ y00 + x1 y0 + y = 0. b) ®¯°®¡³©²¥ °¥¸¨²¼ ½²® ³° ¢­¥­¨¥, ¨±¯®«¼§³¿ ±²¥¯¥­­»¥ °¿¤». c)  ©¤¨²¥ ±²¥¯¥­­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ J0(x). 8. °®¢¥°¼²¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° §«®¦¥­¨© R P +1  1 t 1 () x  k; a) (; x) := x t e dt ' e k=1 ( k+1) x R P p b) Erf(x) := x+1 e t2 dt ' 12 e x2 1k=1 (3=2 1k)x2k 1 ¯°¨ x ! +1. 9. a) ‚±«¥¤ §  ©«¥°®¬ ­ ©¤¨²¥, ·²® °¿¤ 1 1!x + 2!x2 3!x3 + ::: ±¢¿§ ­ ± ´³­ª¶¨¥© Z +1 e S (x) :=

t

1 + xt dt :

0

b) ‘µ®¤¨²±¿ «¨ ½²®² °¿¤? c) „ ¥² «¨ ®­  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ S (x) ¯°¨ x ! 0? 10. a) ‹¨­¥©­»© ¯°¨¡®° A, µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ ª®²®°®£® ¯®±²®¿­­» ¢® ¢°¥¬¥­¨, ¢ ®²¢¥² ­  ¢µ®¤­®© ±¨£­ « (t) ¢ ¢¨¤¥ -´³­ª¶¨¨ ¢»¤ « ±¨£­ « (´³­ª¶¨¾) E (t). Š ª®¢ ¡³¤¥² ®²¢¥² ¯°¨¡®°  ­  ¢µ®¤­®© ±¨£­ « f (t); 1 < t < +1? b) ‚±¥£¤  «¨ ¯® ¯°¥®¡° §®¢ ­­®¬³ ±¨£­ «³ f^ := Af ®¤­®§­ ·­® ¢®±±² ­ ¢«¨¢ ¥²±¿ ¨±µ®¤­»© ±¨£­ « f ? 21

‚ŽŽ‘›

ª ½ª§ ¬¥­³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ §  ²°¥²¨© ±¥¬¥±²° ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  ¢²®°®£® ¯®²®ª  ‹¥ª²®° ¯°®´¥±±®° ‚.€.‡Žˆ—, 2006/07 ³·.£®¤ 1. Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ’¥®°¥¬  ±° ¢­¥­¨¿ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ­²­»©, ¨­²¥£° «¼­»©, P €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). ¿¤  (s) = 1n=1 n s . 2.  ¢­®¬¥°­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ±¥¬¥©±²¢ ¨ °¿¤®¢ ´³­ª¶¨©. Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤  ´³­ª¶¨© (¬ ¦®° ­²­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). 3. „®±² ²®·­»¥ ³±«®¢¨¿ ª®¬¬³²¨°®¢ ­¨¿ ¤¢³µ ¯°¥¤¥«¼­»µ ¯¥°¥µ®¤®¢. ¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥, ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¯°¥¤e«¼­»© ¯¥°¥µ®¤. 4. Ž¡« ±²¼ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨ µ ° ª²¥° ±µ®¤¨¬®±²¨ ±²¥¯¥­­®£® °¿¤ . ”®°¬³«  Š®¸¨|€¤ ¬ ° . ’¥®°¥¬  €¡¥«¿ (¢²®° ¿). ’¥©«®°®¢±ª¨¥ ° §«®¦¥­¨¿ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©. ”®°¬³«  ©«¥° . „¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ±²¥¯¥­­®£® °¿¤ . 5. ¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° «. Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ­²­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). 6.  ¢­®¬¥°­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . Š°¨²¥°¨© Š®¸¨ ¨ ®±­®¢­»¥ ¤®±² ²®·­»¥ ¯°¨§­ ª¨ ° ¢­®¬¥°­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ­²­»©, €¡¥«¿|„¨°¨µ«¥). 7. ¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . 8. ¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . ˆ­²¥£° « „¨°¨µ«¥. 9. ©«¥°®¢» ¨­²¥£° «». Ž¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ±¢®©±²¢ , ´®°¬³«» ¯®­¨¦¥­¨¿, ° §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ¢§ ¨¬®±¢¿§¼. ˆ­²¥£° « ³ ±±®­ . 10. „¥«¼² ®¡° §­»¥ ±¥¬¥©±²¢  ´³­ª¶¨©. ’¥®°¥¬  ® ±µ®¤¨¬®±²¨ ±¢¥°²ª¨. Š« ±±¨·¥±ª ¿ ²¥®°¥¬  ‚¥©¥°¸²° ±±  ® ° ¢­®¬¥°­®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¬ ¬­®£®·«¥­®¬. 11. ‚¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ±® ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬. ¥¯°¥°»¢­®±²¼ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¨ ±¢¿§ ­­»¥ ± ½²¨¬ ¥£®  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢ . Ž°²®£®­ «¼­»¥ ¨ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢. 22

’¥®°¥¬  ¨´ £®° . Š®½´´¨¶¨¥­²» ”³°¼¥ ¨ °¿¤ ”³°¼¥. °¨¬¥°» ±ª «¿°­»µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨© ¨ ®°²®£®­ «¼­»µ ±¨±²¥¬ ¢ ¯°®±²° ­±²¢ µ ´³­ª¶¨©. 12. ‹¥¬¬  ® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥. ª±²°¥¬ «¼­®¥ ±¢®©±²¢® ª®½´´¨¶¨¥­²o¢ ”³°¼¥. ¥° ¢¥­±²¢® ¥±±¥«¿ ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤  ”³°¼¥. “±«®¢¨¿ ¯®«­®²» ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®© ±¨±²¥¬». 13. Š« ±±¨·¥±ª¨© (²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨©) °¿¤ ”³°¼¥ ¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¨ ª®¬¯«¥ª±­®© ´®°¬¥. ‹¥¬¬  ¨¬ ­ . °¨­¶¨¯ «®ª «¨§ ¶¨¨ ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤  ”³°¼¥ ¢ ²®·ª¥. °¨¬¥°: ° §«®¦¥­¨¥ cos(x) ¢ °¿¤ ”³°¼¥ ¨ ° §«®¦¥­¨¥ sin(x)=x ¢ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥. 14. ƒ« ¤ª®±²¼ ´³­ª¶¨¨, ±ª®°®±²¼ ³¡»¢ ­¨¿ ¥¥ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ”³°¼¥ ¨ ±ª®°®±²¼ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¥¥ °¿¤  ”³°¼¥. 15. ®«­®²  ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¢ ±°¥¤­¥¬ ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®£® °¿¤  ”³°¼¥. 16. °¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ ¨ ¨­²¥£° « ”³°¼¥ (´®°¬³«  ®¡° ¹¥­¨¿). °¨¬¥°: ¢»·¨±«¥­¨¥ f^ ¤«¿ f (x) := exp( a2x2). 17. °¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ ¨ ®¯¥° ²®° ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. ƒ« ¤ª®±²¼ ´³­ª¶¨¨ ¨ ±ª®°®±²¼ ³¡»¢ ­¨¿ ¥¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ”³°¼¥.  ¢¥­±²¢®  °±¥¢ «¿. °¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ ª ª ¨§®¬¥²°¨¿ ¯°®±²° ­±²¢  ¡»±²°® ³¡»¢ ¾¹¨µ ´³­ª¶¨©. 18. °¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ ¨ ±¢¥°²ª . ¥¸¥­¨¥ ®¤­®¬¥°­®£® ³° ¢­¥­¨¿ ²¥¯«®¯°®¢®¤­®±²¨. 19. €±¨¬¯²®²¨·¥±ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨© °¿¤. °¨¬¥°:  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ Ei(x).  §«¨·¨¥ ¬¥¦¤³ ±µ®¤¿¹¨¬¨±¿ ¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬¨ °¿¤ ¬¨. €±¨¬¯²®²¨ª  ¨­²¥£° «  ‹ ¯« ±  (£« ¢­»© ·«¥­). ”®°¬³«  ‘²¨°«¨­£ .

23

Š‡€Œ…€–ˆŽŽ… ‡€„€ˆ…

¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ §  ²°¥²¨© ±¥¬¥±²° ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  ¢²®°®£® ¯®²®ª  ‹¥ª²®° ¯°®´¥±±®° ‚.€.‡Žˆ—, 2006/07 ³·.£®¤ Œ®±ª¢ , 19 ¤¥ª ¡°¿ 2006 £. 1.  ±±¬®²°¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ffn g ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­»µ ´³­ª¶¨©, ®¯°¥¤¥«¥­­»µ, ­ ¯°¨¬¥°, ­  ®²°¥§ª¥ [0; 1]. a. Š ª¨¥ ¢¨¤» ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ´³­ª¶¨© ‚» §­ ¥²¥? b. „ ©²¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ. c. Š ª®¢  ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨? („®ª ¦¨²¥ ½²³ ±¢¿§¼ ¨«¨ ¯°¨¢¥¤¨²¥ ¯®¿±­¿¾¹¨© ¯°¨¬¥°, ª®£¤  ² ª®© ±¢¿§¨ ­¥²). 2. „ ­  2-¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ f . Ž­  ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­  ­³«¾ ­  ¨­²¥°¢ «¥ ] ; 0[ ¨ f (x) = 2x ­  ®²°¥§ª¥ [0; ].  ©¤¨²¥ ±³¬¬³ S ±² ­¤ °²­®£® ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®£® °¿¤  ”³°¼¥ ½²®© ´³­ª¶¨¨. 3. a. ˆ§¢¥±²­® ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ (1+x) 1 ¢ ±²¥¯¥­­®© °¿¤ ("£¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯°®£°¥±±¨¿"). ®«³·¨²¥ ®²±¾¤  ±²¥¯¥­­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ ln(1 + x) ¨ ®¡®±­³©²¥ ‚ ¸¨ ¤¥©±²¢¨¿. b. Š ª®¢ ° ¤¨³± ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®«³·¥­­®£® °¿¤ ? c. ‘µ®¤¨²±¿ «¨ ½²®² °¿¤ ¯°¨ x = 1 ¨, ¥±«¨ ¤ , ²® ¡³¤¥² «¨ ¥£® ±³¬¬  ° ¢­  ln2? ®·¥¬³? 4. a. ˆ§¢¥±²­®, ·²® ±¯¥ª²° «¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ (µ ° ª²¥°¨±²¨ª ) p «¨­¥©­®£® ¯°¨¡®°  (®¯¥° ²®° ) € ¢±¾¤³ ®²«¨·­  ®² ­³«¿. Š ª, §­ ¿ ´³­ª¶¨¾ p ¨ ¯®«³·¥­­»© ±¨£­ « g = €f , ­ ©²¨ ¯¥°¥¤ ­­»© ±¨£­ « f ? b. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ p ² ª®¢ : p(!)  1 ¯°¨ j!j  10 ¨ p(!)  0 ¯°¨ j!j > 10. ³±²¼ ¨§¢¥±²¥­ ±¯¥ª²° g^ (¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥) ¯°¨­¿²®£® ±¨£­ «  g,   ¨¬¥­­®, g^(!)  1 ¯°¨ j!j  1 ¨ g^(!)  0 ¯°¨ j!j > 1.  ª®­¥¶, ¯³±²¼ ¨§¢¥±²­®, ·²® ¢µ®¤­®© ±¨£­ « f ­¥ ±®¤¥°¦¨² · ±²®² §  ¯°¥¤¥« ¬¨ · ±²®², ¯°®¯³±ª ¥¬»µ ¯°¨¡®°®¬ € (².¥. §  ¯°¥¤¥« ¬¨ · ±²®² j!j  10).  ©¤¨²¥ ¢µ®¤­®© ±¨£­ « f . 5.  ©¤¨²¥ £« ¢­»© ·«¥­  ±¨¬¯²®²¨ª¨ n-© ´³­ª¶¨¨ ¥±±¥«¿ Z 1 In(x) =  ex cos  cos nd 0 ¯°¨ x ! +1. 24

—¥²¢¥°²»© ±¥¬¥±²°

‡€Œ…€ ……Œ…›• ‚ Š€’ŽŒ ˆ’…ƒ€‹… ‹¥ª¶¨¿ €

25

‘Ž„…†€ˆ…

‚»¢®¤ ¨ ¯¥°¢®¥ ®¡±³¦¤¥­¨¥ ´®°¬³«» § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ª° ²­®¬ ¨­²¥£° «¥.

26

‡€Œ…€ ……Œ…›• ‚ Š€’ŽŒ ˆ’…ƒ€‹…

1.

®±² ­®¢ª  ¢®¯°®±  ¨ ½¢°¨±²¨·¥±ª¨© ¢»¢®¤ ´®°¬³«»

§ ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ.

 ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¨­²¥£° « ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ±«³· ¥, ¬» ¯®«³·¨«¨ ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ¢ ¦­³¾ ´®°¬³«³ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© ¢ ² ª®¬ ¨­²¥£° «¥. ’¥¯¥°¼ ­ ¸  § ¤ ·  ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®¡» ­ ©²¨ ´®°¬³«³ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥. “²®·­¨¬ ¢®¯°®±. ³±²¼ Dx | ¬­®¦¥±²¢® ¢ Rn, f | ¨­²¥£°¨°³¥¬ ¿ ­  Dx ´³­ª¶¨¿,   ' : Dt ! Dx | ®²®¡° ¦¥­¨¥ t 7! '(t) ¬­®¦¥±²¢  Dt  Rn ­  Dx. ‘¯° ¸¨¢ ¥²±¿, ¯® ª ª®¬³ § ª®­³, §­ ¿ f ¨ ', ­ µ®¤¨²¼ ´³­ª¶¨¾ ¢ Dt ² ª, ·²®¡» ¨¬¥²¼ ° ¢¥­±²¢®

Z

Dx

f (x) dx =

Z

Dt

(t) dt;

¯®§¢®«¿¾¹¥¥ ±¢®¤¨²¼ ¢»·¨±«¥­¨¥ ¨­²¥£° «  ¯® Dx ª ¢»·¨±«¥­¨¾ ¨­²¥£° «  ¯® Dt? °¥¤¯®«®¦¨¬ ±­ · « , ·²® Dt ¥±²¼ ¯°®¬¥¦³²®ª I  Rn,   ' : I ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ½²®£® ¯°®¬¥¦³²ª  ­  Dx . ‹¾¡®¬³ ° §¡¨¥­¨¾ P ¯°®¬¥¦³²ª  I ­  ¯°®¬¥¦³²ª¨ I1; I2; : : :; Ik ±®®²¢¥²±²¢³¥² ° §«®¦¥­¨¥ Dx ­  ¬­®¦¥±²¢  '(Ii); i = 1; : : : ; k. …±«¨ ¢±¥ ½²¨ ¬­®¦¥±²¢  ¨§¬¥°¨¬» ¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¯®¯ °­® «¨¸¼ ¯® ¬­®¦¥±²¢ ¬ ¬¥°» ­³«¼, ²® ¢ ±¨«³  ¤¤¨²¨¢­®±²¨ ¨­²¥£° « 

Z

Dx

f (x) dx =

k Z X

i=1 '(Ii )

f (x) dx:

(1)

…±«¨ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  Dx , ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±°¥¤­¥¬

Z

f (x) dx = f (i ) ('(Ii));

'(Ii )

£¤¥ i 2 '(Ii). ®±ª®«¼ª³ f (i) = f ('(i )), £¤¥ i = ' 1(i ), ²® ­ ¬ ®±² ¥²±¿ ±¢¿§ ²¼ ('(Ii)) ± (Ii) = jIij. …±«¨ ¡» ' ¡»«® «¨­¥©­»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬, ²® '(Ii) ¡»« ¡» ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤, ®¡º¥¬ ª®²®°®£®, ª ª ¨§¢¥±²­® ¨§  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨ 27

¨  «£¥¡°», ¡»« ¡» ° ¢¥­ j det '0j (Ii). ® ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬ «®ª «¼­® ¿¢«¿¥²±¿ ¯®·²¨ «¨­¥©­»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬, ¯®½²®¬³, ¥±«¨ ° §¬¥°» ¯°®¬¥¦³²ª®¢ Ii ¤®±² ²®·­® ¬ «», ²® ± ¬ «®© ®²­®±¨²¥«¼­®© ¯®£°¥¸­®±²¼¾ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ('(Ii))  j det '0(i)j (Ii) (¬®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ ¢»¡®°¥ ²®·ª¨ i 2 Ii ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¬¥±²® ¤ ¦¥ ²®·­®¥ ° ¢¥­±²¢®). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, k Z X

i=1 '(Ii )

f (x) dx 

k X i=1

f ('(i ))j det '0(i)j jIij:

(2)

® ±¯° ¢  ¢ ½²®¬ ¯°¨¡«¨¦¥­­®¬ ° ¢¥­±²¢¥ ±²®¨² ¨­²¥£° «¼­ ¿ ±³¬¬  ®² ´³­ª¶¨¨ f ('(t))j det '0(t)j ¯® ¯°®¬¥¦³²ª³ I , ®²¢¥· ¾¹ ¿ ° §¡¨¥­¨¾ P ½²®£® ¯°®¬¥¦³²ª  ± ®²¬¥·¥­­»¬¨ ²®·ª ¬¨  . ‚ ¯°¥¤¥«¥ ¯°¨ (P ) ! 0 ¨§ (1) ¨ (2) ¯®«³· ¥¬

Z

Dx

f (x) dx =

Z

Dt

f ('(t))j det '0(t)j dt:

(3)

²® ¨ ¥±²¼ ¨±ª®¬ ¿ ´®°¬³«  ¢¬¥±²¥ ± ¥¥ ®¡º¿±­¥­¨¥¬.  ¬¥·¥­­»© ¯³²¼ ª ­¥© ¬®¦­® ¯°®©²¨ ±® ¢±¥¬¨ ®¡®±­®¢ ­¨¿¬¨. ‘®¡±²¢¥­­®, ­ ¬ ­ ¤® ²®«¼ª® ¯®ª § ²¼ § ª®­­®±²¼ ¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤¥«¼­®£® ¯¥°¥µ®¤ , ¯°¥¤¯®« £ ¢¸¥£®, ·²® ±²®¿¹¨© ¢ (3) ±¯° ¢  ¨­²¥£° « ±³¹¥±²¢³¥²,   ² ª¦¥ ³²®·­¨²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ­­³¾ ±¢¿§¼ ('(Ii))  j det '0(i)j jIij. °®¤¥« ¥¬ ½²®. 2.

¥ª®²®°»¥ ±¢®©±²¢  £« ¤ª¨µ ®²®¡° ¦¥­¨© ¨ ¤¨´´¥®-

¬®°´¨§¬®¢.

 )  ¯®¬­¨¬, ·²® «¾¡®¥ £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' § ¬ª­³²®£® ®£° ­¨·¥­­®£® ¯°®¬¥¦³²ª  I  Rn (ª ª ¨ «¾¡®£® ¢»¯³ª«®£® ª®¬¯ ª² ) ¿¢«¿¥²±¿ «¨¯¸¨¶¥¢»¬. ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» ® ª®­¥·­®¬ ¯°¨° ¹¥­¨¨ ¨ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ '0 (¢ ±¨«³ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨) ­  ª®¬¯ ª²¥:

j'(t2) '(t1)j  sup jj'0( )jj jt2 t1j  L jt2 t1j:  2[t1;t2]

(4)

b) ²®, ¢ · ±²­®±²¨, ®§­ · ¥², ·²® ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ' ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ­¥ ¬®¦¥² ³¢¥«¨·¨²¼±¿ ¡®«¥¥, ·¥¬ ¢ L ° §.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ª ª®¥-²® ¬­®¦¥±²¢® E  I ¨¬¥«® ¤¨ ¬¥²° d, ²® ¤¨ ¬¥²° ¥£® ®¡° §  '(E ) ­¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ Ld, ¨ ¬­®¦¥±²¢® '(E ) ¬®¦­® ¯®ª°»²¼ (n-¬¥°­»¬) ª³¡¨ª®¬ ± °¥¡°®¬ ¢¥«¨·¨­» Ld ¨ ®¡º¥¬®¬ (Ld)n . 28

’ ª, ¥±«¨ E | n-¬¥°­»© ª³¡¨ª ± °¥¡°®¬ , ¨ ®¡º¥¬®¬ n, ²®p¥£® ®¡° § ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ±² ­¤ °²­»¬ ª®®°¤¨­ ²­»¬ ª³¡¨ª®¬ ®¡º¥¬  (L n)n. c) ˆ§ ½²®£® ±«¥¤¥², ·²® ¯°¨ £« ¤ª®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ®¡° § ¬­®¦¥±²¢  ¬¥°» ­³«¼ ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¬¥°» ­³«¼ (¢ ±¬»±«¥ n-¬¥°­®© ¬¥°»). [‚¥¤¼ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¬­®¦¥±²¢  ¬¥°» ­³«¼, ª ª «¥£ª® § ¬¥²¨²¼, ¬®¦­® ®£° ­¨·¨²¼±¿ ¯®ª°»²¨¿¬¨ ¨§ ª³¡¨ª®¢ ¢¬¥±²® ¯®ª°»²¨© ®¡¹¨¬¨ n-¬¥°­»¬¨ ¯°®¬¥¦³²ª ¬¨ | "¯°¿¬®³£®«¼­»¬¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¬¨".] …±«¨ £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' : Dt ! Dx ª ²®¬³ ¦¥ ¨¬¥¥² ¨ £« ¤ª®¥ ®¡° ²­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' 1 : Dx ! Dt, ².¥. ¥±«¨ ' | ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬, ²®, ®·¥¢¨¤­®, ¨ ¯°®®¡° § ¬­®¦¥±²¢  ¬¥°» ­³«¼ ²®¦¥ ¨¬¥¥² ¬¥°³ ­³«¼. d) ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥ ¿ª®¡¨ ­ det '0 ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¢±¾¤³ ®²«¨·¥­ ®² ­³«¿,   ± ¬® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­®, ²® (¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ®¡ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨) ¢­³²°¥­­¨¥ ²®·ª¨ «¾¡®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯°¨ ² ª®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢® ¢­³²°¥­­¨¥ ²®·ª¨ ®¡° §  ½²®£® ¬­®¦¥±²¢ ,   £° ­¨·­»¥ ²®·ª¨ | ¢ £° ­¨·­»¥ ²®·ª¨ ®¡° § . ‚±¯®¬¨­ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤®¯³±²¨¬®£® (¨§¬¥°¨¬®£® ¯® †®°¤ ­³) ¬­®¦¥±²¢  ª ª ®£° ­¨·¥­­®£® ¬­®¦¥±²¢ , £° ­¨¶  ª®²®°®£® ¨¬¥¥² ¬¥°³ ­³«¼, ¬®¦¥¬ § ª«¾·¨²¼, ·²® ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥ ®¡° § ¨§¬¥°¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨§¬¥°¨¬»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬. (²® ¢¥°­® ¨ ¤«¿ «¾¡»µ £« ¤ª¨µ ®²®¡° ¦¥­¨©.) ® ¤«¿ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬®¢ ¥¹¥ ¨ ¯°®®¡° § ¨§¬¥°¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢ , ®·¥¢¨¤­®, ¿¢«¿¥²±¿ ¨§¬¥°¨¬»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬. e) ®±«¥¤­¥¥, ¢ · ±²­®±²¨, ®§­ · ¥², ·²® ¥±«¨ ' : Dt ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬, ²® ¨§ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¨­²¥£° « , ±²®¿¹¥£® ¢ «¥¢®© · ±²¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®© ´®°¬³«» (3), (­  ®±­®¢ ­¨¨ ª°¨²¥°¨¿ ‹¥¡¥£ ) ¢»²¥ª ¥² ¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¨­²¥£° « , ±²®¿¹¥£® ±¯° ¢ . 3. ‘¢¿§¼ ¬¥° ®¡° §  ¨ ¯°®®¡° §  ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥.

®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥±«¨ ' : I ! '(I ) | ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬, ²®

Z

('(I )) = det '0(t) dt ;

(5)

I

¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¨ ¯®¤¨­²¥£° «¼­®© ´³­ª¶¨¨ det '0. Ž²±¾¤  ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±°¥¤­¥¬, ¢ · ±²­®±²¨, ¯®«³·¨²±¿, ·²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª   2 I , ·²®

('(I )) = det '0( ) jI j; 29

(6)

”®°¬³«  (5) ´ ª²¨·¥±ª¨ ¥±²¼ · ±²­»© ±«³· © ´®°¬³«» (3), ª®£¤  f  1. „«¿ «¨­¥©­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© ®­  ¨§¢¥±²­ , µ®²¿, ¢®§¬®¦­®, ¡¥§ ®¡±³¦¤¥­¨¿ ¤¥² «¥©, ±¢¿§ ­­»µ ± ²¥¬, ·²® ®­  ±¯° ¢¥¤«¨¢  ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª «¨­¥©­»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿¬ ­¥ ²®«¼ª® ¯°®±²¥©¸¨µ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤®¢, ­® ¨ «¾¡»µ ¨§¬¥°¨¬»µ ¬­®¦¥±²¢. ®¿±­¨¬ ½²®. ˆ§¢¥±²­®, ·²® «¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ° ±ª« ¤»¢ ¥²±¿ ¢ ª®¬¯®§¨¶¨¾ ¯°®±²¥©¸¨µ, ª®²®°»¥, ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¢®§¬®¦­®© ¯¥°¥±² ­®¢ª¨ ¯ ° ª®®°¤¨­ ², ±¢®¤¿²±¿ ª ¨§¬¥­¥­¨¾ ²®«¼ª® ®¤­®© ¨§ ­¨µ: ³¬­®¦¥­¨¾ ­  ·¨±«® ¨«¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¾ ª ®¤­®© ¨§ ª®®°¤¨­ ² ¤°³£®©. ’¥®°¥¬  ”³¡¨­¨ ¯®§¢®«¿¥² ±ª § ²¼, ·²® ¢ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ®¡º¥¬ «¾¡®£® ¨§¬¥°¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ³¬­®¦¨²±¿ ­  ²®² ¦¥ ¬­®¦¨²¥«¼, ·²® ¨ ³¬­®¦ ¥¬ ¿ ª®®°¤¨­ ²  (²®·­¥¥, ­  ¥£® ¬®¤³«¼, ¥±«¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ | ­¥®°¨¥­²¨°®¢ ­­»¥ ®¡º¥¬»). ‚® ¢²®°®¬ ±«³· ¥ ´¨£³°  µ®²¿ ¨ ¬¥­¿¥²±¿, ­® ¥¥ ®¡º¥¬ ®±² ¥²±¿ ¯°¥¦­¨¬, ¯®±ª®«¼ª³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ®¤­®¬¥°­»¥ ±¥·¥­¨¿ «¨¸¼ ±¤¢¨£ ¾²±¿, ±®µ° ­¿¿ «¨­¥©­³¾ ¬¥°³.  ª®­¥¶, ¯¥°¥±² ­®¢ª  ¯ °» ª®®°¤¨­ ² ¬¥­¿¥² ®°¨¥­² ¶¨¾ ¯°®±²° ­±²¢¥­­®£® °¥¯¥°  (®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ² ª®£® «¨­¥©­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ° ¢¥­ 1), ­® ­¥ ¬¥­¿¥² §­ ·¥­¨¿ ­¥®°¨¥­²¨°®¢ ­­®£® ®¡º¥¬  ´¨£³°. (  ¿§»ª¥ ²¥®°¥¬» ”³¡¨­¨ ½²® ¯°®±²® ±¬¥­  ¯®°¿¤ª  ¤¢³µ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨©.) Ž±² ¥²±¿ ¢±¯®¬­¨²¼, ·²® ¤¥²¥°¬¨­ ­² ª®¬¯®§¨¶¨¨ «¨­¥©­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¤¥²¥°¬¨­ ­²®¢ ±®¬­®¦¨²¥«¥©. ˆ² ª, ±·¨² ¿, ·²® ¤«¿ «¨­¥©­»µ ¨  ´´¨­­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© ´®°¬³«  (5) ³¦¥ ³±² ­®¢«¥­ , ¤®ª ¦¥¬ ¥¥ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬  ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬ ¿ª®¡¨ ­®¬.  ) ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¥¹¥ ° § ²¥®°¥¬®© ® ª®­¥·­®¬ ¯°¨° ¹¥­¨¨, ­® ²¥¯¥°¼ ·²®¡» ®¶¥­¨²¼ ¢®§¬®¦­®¥ ®²ª«®­¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ' : I ! '(I ) ®²  ´´¨­­®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ t 7! A(t) = '(a) + '0(a)(t a), £¤¥ t | ¯¥°¥¬ ­­ ¿,   a | ´¨ª±¨°®¢ ­­ ¿ ²®·ª  ¯°®¬¥¦¨²ª  I . Ž²®¡° ¦¥­¨¥ A : I ! A(I ) ¥±²¼ ¯°®±²® «¨­¥©­ ¿ · ±²¼ ²¥©«®°®¢±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ' ¢ ²®·ª¥ a 2 I . °¨¬¥­¿¿ ²¥®°¥¬³ ® ª®­¥·­®¬ ¯°¨° ¹¥­¨¨ ª ´³­ª¶¨¨ t 7! '(t) 0 ' (a)(t a), ­ µ®¤¨¬ j'(t) '(a) '0(a)(t a)j  sup jj'0( ) '0(a)jj jt aj: (7)  2[a;t]

“·¨²»¢ ¿ ° ¢­®¬¥°­³¾ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ '0 ­  ª®¬¯ ª²¥ I , ¨§ (7) § ª«¾· ¥¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ 30

 7! "(), ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª ­³«¾ ¯°¨  ! +0, ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ²®·¥ª t; a 2 I  Rn

p jt aj  n =) j'(t) A(t)j = j'(t) '(a) '0(a)(t a)j  "() : (8)

b) ’¥¯¥°¼ ¯¥°¥©¤¥¬ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ´®°¬³«» (5). ®§¢®«¨¬ ±¥¡¥ ±­ · «  ¬ «¥­¼ª®¥ ²¥µ­¨·¥±ª®¥ ®¡«¥£·¥­¨¥: ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¤«¨­» °¥¡¥° ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  I ±®¨§¬¥°¨¬» ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥£® ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ®¤¨­ ª®¢»¥ ª³¡¨ª¨ fIig ±ª®«¼ ³£®¤­® ¬ «®£® ° §P P n n ¬¥°  °¥¡¥° i =  ¨ ®¡º¥¬  i =  , ².¥. I = [iIi ¨ jI j = i jIij = i in. ‚ ª ¦¤®¬ ª³¡¨ª¥ Ii ´¨ª±¨°³¥¬ ­¥ª®²®°³¾ ²®·ª³ ai, ¯®±²°®¨¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥  ´´¨­­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ Ai(t) = '(ai) '0(ai)(t ai), ° ±±¬®²°¨¬ ®¡° § Ai(@Ii) £° ­¨¶» @Ii ª³¡¨ª  Ii ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ Ai ¨ ¢®§¼¬¥¬ "()-®ª°¥±²­®±²¼ ½²®£® ®¡° § , ª®²®°³¾ ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§
i. ‚ ±¨«³ (8) ®¡° § '(@Ii) £° ­¨¶» @Ii ª³¡¨ª  Ii ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥ ' «¥¦¨² ¢
i. ‡­ ·¨², ¨¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢ª«¾·¥­¨¿

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(2 + 2) "() (L)n 1, £¤¥ ¢²®° ¿ ¤¢®©ª  ­ ¯¨± ­  ¤«¿ ¯®£«®¹¥­¨¿ ¢ª« ¤  ±ª°³£«¥­­»µ · ±²¥© ½²®© ®ª°¥±²­®±²¨, ¢®§­¨ª ¾¹¨µ ®ª®«® ª° ¿ ± ¬®© £° ­¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, j
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ˆ² ª ´®°¬³«  (3) ¤«¿ ±«³· ¿ Dt = I ¨ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ f ¤®ª § ­ .  ±±¬®²°¨¬ ¨ ®¡±³¤¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°». ²¨ ®¡±³¦¤¥­¨¿ § ®¤­® ¯®ª ¦³², ·²® ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬» ³¦¥ ¤®ª § «¨ ´®°¬³«³ (3) ­¥ ²®«¼ª® ¤«¿ Dt = I ¨ ­¥ ²®«¼ª® ¤«¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ f . a) °¥­¥¡°¥¦¨¬»¥ ¬­®¦¥±²¢ . ˆ±¯®«¼§³¥¬»¥ ­  ¯° ª²¨ª¥ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¨«¨ ´®°¬³«» ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ª®®°¤¨­ ² ¨­®£¤  ¨¬¥¾² ²¥ ¨«¨ ¨­»¥ ®±®¡¥­­®±²¨ (­ ¯°¨¬¥°, £¤¥-²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ­ °³¸¥­¨¥ ¢§ ¨¬­®© ®¤­®§­ ·­®±²¨, ®¡° ¹¥­¨¥ ¢ ­³«¼ ¿ª®¡¨ ­  ¨«¨ ®²±³²±²¢¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨). Š ª ¯° ¢¨«®, ½²¨ ®±®¡¥­­®±²¨ ¡»¢ ¾² ­  ¬­®¦¥±²¢ µ ¬¥°» ­³«¼ ¨ ¯®²®¬³ ±° ¢­¨²¥«¼­® «¥£ª® ¯°¥®¤®«¥¢ ¾²±¿.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ­ ¬ ­³¦­® ¯¥°¥©²¨ ®² ¨­²¥£° «  ¯® ª°³£³ ª ¨­²¥£° «³ ¯® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª³, ¬» · ±²® ¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ ¯¥°¥¬¥­­»µ

x = r cos ';

y = r sin ':

(10)

²® µ®°®¸® ¨§¢¥±²­»¥ ´®°¬³«» ¯¥°¥µ®¤  ®² ¯®«¿°­»µ ª®®°¤¨­ ² ª ¤¥ª °²®¢»¬ ­  ¯«®±ª®±²¨. °¨ ½²®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª I = V 2 f(r; ') 2 R j 0  r  R 0  '  2g ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ¢ ª°³£ K = f(x; y) 2 R2 j x2 + y2  R2g. ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ £« ¤ª®¥, ­® ®­® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬®¬: ¢±¿ ±²®°®­  ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  I , ­  ª®²®°®© r = 0, ¯¥°¥µ®¤¨² ¯°¨ ½²®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ¢ ®¤­³ ²®·ª³ (0; 0); ®¡° §» ²®·¥ª (r; 0) ¨ (r; 2) ±®¢¯ ¤ ¾². Ž¤­ ª® ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ¬­®¦¥±²¢  I n @I ¨ K n E , £¤¥ E | ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ £° ­¨¶» @K ª°³£  K ¨ ° ¤¨³± , ¨¤³¹¥£® ¢ ²®·ª³ (0; R), ²® ®£° ­¨·¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ (10) ­  32

®¡« ±²¼ I n @I ®ª ¦¥²±¿ ¥¥ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬®¬ ­  ®¡« ±²¼ K n E . ‡­ ·¨², ¥±«¨ ¢¬¥±²® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  I ¢§¿²¼ «¥¦ ¹¨© ±²°®£® ¢­³²°¨ ­¥£® ·³²¼ ¬¥­¼¸¨© ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª I , ²® ª ­¥¬³ ¨ ¥£® ®¡° §³ K ¯°¨¬¥­¨¬  ´®°¬³«  (6). € ²®£¤ , ¨±·¥°¯»¢ ¿ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª I ² ª¨¬¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ¬¨ I ¨ § ¬¥· ¿, ·²® ¯°¨ ½²®¬ ¨µ ®¡° §» K ¨±·¥°¯»¢ ¾² ª°³£ K , ·²® jIj ! jI j ¨ jK j ! jK j, ¢ ¯°¥¤¥«¥ ¯®«³· ¥¬ ´®°¬³«³ (6) ¯°¨¬¥­¨²¥«¼­® ª ± ¬®© ¨±µ®¤­®© ¯ °¥ K; I . ‘ª § ­­®¥, ¥±²¥±²¢¥­­®, ®²­®±¨²±¿ ¨ ª ®¡¹¥© ¯®«¿°­®© (±´¥°¨·¥±ª®©) ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¢ Rn.  §®¢¼¥¬ ±¤¥« ­­®¥ ­ ¡«¾¤¥­¨¥. b) ˆ±·¥°¯ ­¨¿ ¨ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ¯¥°¥µ®¤». m ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ² ª³¾ ¯®±«¥¤®¢ ˆ±·¥°¯ ­¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢  E  R ²¥«¼­®±²¼ ¨§¬¥°¨¬»µ ¬­®¦¥±²¢ fEn g, ·²® En  En+1  E ¯°¨ «¾¡®¬ S1 n 2 N ¨ En = E . n=1

fEn g | ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¨§¬¥°¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  E , ²® : lim  ( E ) = (E ) ; n n!1 b) ¤«¿ «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ f 2 R(E ) ² ª¦¥ f jEn 2 R(En ) ¨

‹¥¬¬ . …±«¨ a)

lim

n!1

Z

En

f (x) dx =

Z E

f (x) dx:

(a) ®±ª®«¼ª³ En  En+1  E , ²® (En )  (En+1 )  (E ) ¨ nlim (En ) !1  (E ). „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ° ¢¥­±²¢  a) ¯®ª ¦¥¬, ·²® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ² ª¦¥ ­¥° ¢¥­±²¢® nlim (En )  (E ). !1 ƒ° ­¨¶  @E ¬­®¦¥±²¢  E | ª®¬¯ ª² ¬¥°» ­³«¼, ¯®½²®¬³ ¥¥ ¬®¦­® ¯®ª°»²¼ ª®­¥·­»¬ ·¨±«®¬ ®²ª°»²»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢, ±³¬¬  ®¡º¥¬®¢ ª®²®°»µ ¬¥­¼¸¥ ­ ¯¥°¥¤ § ¤ ­­®© ¢¥«¨·¨­» " > 0. ³±²¼
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®²ª°»²® ¢ Rm, ¯°¨·¥¬ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ O ±®¤¥°¦¨² § ¬»ª ­¨¥ E ¬­®¦¥±²¢  E ¨ (O)  (E ) + (
) < (E ) + ". „«¿ ª ¦¤®£® ¬­®¦¥±²¢  En ¨±·¥°¯ ­¨¿ fEn g ¯®¢²®°¨¬ ®¯¨± ­­®¥ ¯®±²°®¥­¨¥ ±® §­ ·¥­¨¥¬ "n = "=2n . ®«³·¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ On = En [
n ² ª¨µ, ·²® En  On , (On )  (En ) + S1 S1 (
n) < (En ) + "n ¨ On  En  E . n=1

n=1

33

‘¨±²¥¬  ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢
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; O1; O2; : : :; Ok | ¨§¢«¥·¥­­®¥ ¨§ ­¥£® ª®­¥·­®¥ ¯®ª°»²¨¥ ª®¬¯ ª²  E . ®±ª®«¼ª³ E1  E2  : : :  Ek , ²® ¬­®¦¥±²¢ 
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1; : : :;
k ; Ek ²®¦¥ ®¡° §³¾² ¯®ª°»²¨¥ E ¨, §­ ·¨²,

(E )  (E )  (Ek ) + (
) + (
1) + : : : + (
k ) < (Ek ) + 2": Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® (E )  nlim (En ). !1 (b) ’®, ·²® f jEn 2 R(En ), ­ ¬ µ®°®¸® ¨§¢¥±²­® ¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ª°¨²¥°¨¿ ‹¥¡¥£  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¨­²¥£° «  ¯® ¨§¬¥°¨¬®¬³ ¬­®¦¥±²¢³. ® ³±«®¢¨¾ f 2 R(E ), §­ ·¨², ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±²®¿­­ ¿ M ² ª ¿, ·²® jf (x)j  M ­  E . ˆ§  ¤¤¨²¨¢­®±²¨ ¨­²¥£° «  ¨ ®¡¹¥© ®¶¥­ª¨ ¨­²¥£° «  ¯®«³· ¥¬

Z Z Z f (x) dx f (x) dx = f (x) dx  M(E n E ): n EnEn E En

Ž²±¾¤  ± ³·¥²®¬ ¤®ª § ­­®£® ¢ a) § ª«¾· ¥¬, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ b) ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ±¯° ¢¥¤«¨¢®. €¤¤¨²¨¢­®±²¼ ¨­²¥£° «  ¨ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±·¥°¯ ­¨¿ ®¡« ±²¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ² ª¨¬¨ ®¡« ±²¿¬¨, £¤¥ ´®°¬³«  § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ § ¢¥¤®¬® ¤¥©±²¢³¥², ¯®§¢®«¿¥² ¯°¨¬¥­¿²¼ ¥¥ ¨ ª ¨±µ®¤­»¬ ®¡« ±²¿¬. ‚®®¡¹¥, ¨¤¥¿ ¨±·¥°¯ ­¨¿ «¥¦¨² ¢ ®±­®¢¥ ¬­®£¨µ ª®­±²°³ª¶¨©  ­ «¨§ , ¢ · ±²­®±²¨, ¢ ®±­®¢¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « . Ž¡ ½²®¬ ¢ ¯°®¤®«¦¥­¨¨. Œ» ¯°¨¢¥«¨ ¯°¿¬®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ´®°¬³«» § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®©. ‘¢®¡®¤­® ¢« ¤¥¾¹¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬ ¨±·¨±«¥­¨¥¬ ´³­ª¶¨© ¬­®£¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¬®£«¨ ¡» ¯°¥¤¯®·¥±²¼ ¨­®© ¯®¤µ®¤, ­ ¯°¨¬¥°, ²®², ª®²®°»© ¨§«®¦¥­ ¢ ³·¥¡­¨ª¥. ’ ¬ ¦¥ (¢ ®±­®¢­®¬ ²¥ª±²¥ ¨ ¢ § ¤ · µ) ±²®¨² ¢§£«¿­³²¼ ­  ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ¢ ¦­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´ ª²®¢, ª®²®°»¥ ²¥±­® ±¢¿§ ­» ± ° §¡¨° ¥¬»¬¨ ¢®¯°®± ¬¨.

34

—¥²¢¥°²»© ±¥¬¥±²°

…‘Ž‘’‚…›… Š€’›… ˆ’…ƒ€‹› ˆ ‡€Œ…€ ……Œ…›• ‚ ˆ• ‹¥ª¶¨¿ B

35

‘Ž„…†€ˆ…

¥±®¡±²¢¥­­»¥ ª° ²­»¥ ¨­²¥£° «». Ž¡®¡¹¥­¨¥ ¨ ¤ «¼­¥©¸¥¥ ®¡±³¦¤¥­¨¥ ´®°¬³«» § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ª° ²­®¬ ¨­²¥£° «¥. ˆ­¢ °¨ ­²­®±²¼ ¨­²¥£° «  ¨ ¢®¯°®± ® ²®¬, ·²® ¦¥ ¬» ¨­²¥£°¨°³¥¬. ‡ ¤ ·¨ ¨ ¯¥°±¯¥ª²¨¢».

36

5. ¥±®¡±²¢¥­­»¥ ª° ²­»¥ ¨­²¥£° «».

a) ³±²¼ fEn g | ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  E ,   ´³­ª¶¨¿ f : E ! R ¨­²¥£°¨°³¥¬  ­  ¬­®¦¥±²¢ µ En 2 fEn g. ’®£¤  ¢¥«¨·¨­ 

Z E

Z

f (x) dx := nlim f (x) dx; !1 En

¥±«¨ ³ª § ­­»© ¯°¥¤¥« ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥£® ¢¥«¨·¨­  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  «¾¡®£® ² ª®£® ¨±·¥°¯ ­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  E , ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥±®¡±²¢¥­­»¬ ¨­²¥£° «®¬ ®² ´³­ª¶¨¨ f ¯® ¬­®¦¥±²¢³ E . ‘²®¿¹¨© ¢ «¥¢®© · ±²¨ ¯®±«¥¤­¥£® ° ¢¥­±²¢  ±¨¬¢®« ¨­²¥£° «  ®¡»·­® ¯¨¸³² ¤«¿ «¾¡®© § ¤ ­­®© ­  E ´³­ª¶¨¨, ­® £®¢®°¿², ·²® ½²®² ¨­²¥£° « ±³¹¥±²¢³¥² ¨«¨ ±µ®¤¨²±¿, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ³ª § ­­»© ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«. …±«¨ ¦¥ ² ª®£® ®¡¹¥£® ¤«¿ ¢±¥µ ³ª § ­­»µ ¨±·¥°¯ ­¨© ¯°¥¤¥«  ­¥ ±³¹¥±²¢³¥², ²® £®¢®°¿², ·²® ¨­²¥£° « ®² ´³­ª¶¨¨ f ¯® ¬­®¦¥±²¢³ E ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¨«¨ ·²® ¨­²¥£° « ° ±µ®¤¨²±¿. –¥«¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®¡» ° ±¯°®±²° ­¨²¼ ¯®­¿²¨¥ ¨­²¥£° «  ­  ±«³· © ­¥®£° ­¨·¥­­®© ¯®¤»­²¥£° «¼­®© ´³­ª¶¨¨ ¨«¨ ­¥®£° ­¨·¥­­®© ®¡« ±²¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿. ‚¢¥¤¥­­»© ±¨¬¢®« ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° «  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ±¨¬¢®«®¬ ®¡»·­®£® | ±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , ¯®½²®¬³ ­¥®¡µ®¤¨¬® §­ ²¼, ·²® ¥±«¨ E | ¨§¬¥°¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨ f 2 R(E ), ²® ¨­²¥£° « ®² f ¯® E ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬ ±¬»±«¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ±®¡±²¢¥­­»¬ ¨­²¥£° «®¬ ®² ´³­ª¶¨¨ f ¯® ¬­®¦¥±²¢³ E . ® ¨¬¥­­® ®¡ ½²®¬ £®¢®°¨² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ b) ¤®ª § ­­®© ¢»¸¥ «¥¬¬». ‘®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ¨±·¥°¯ ­¨© «¾¡®£® ±ª®«¼-­¨¡³¤¼ ®¡¨«¼­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯° ª²¨·¥±ª¨ ­¥®¡®§°¨¬ , ¤  ¢±¥¬¨ ¨±·¥°¯ ­¨¿¬¨ ¨ ­¥ ¯®«¼§³¾²±¿. °®¢¥°ª³ ±µ®¤¨¬®±²¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° «  · ±²® ®¡«¥£· ¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 1. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f : E ! R ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­  ¨ µ®²¿ ¡» ¤«¿ ®¤­®£® ¨±·¥°¯ ­¨¿ fEn g ¬­®¦¥±²¢  E ³ª § ­­»© ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥« ±³¹¥±²¢³¥², ²® ­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « ®² ´³­ª¶¨¨ f ¯® ¬­®¦¥±²¢³ E ±µ®¤¨²±¿. ³±²¼ fEk0 g | ¤°³£®¥ ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  E , ­  ½«¥¬¥­² µ ª®²®°®£® ´³­ª¶¨¿ f ¨­²¥£°¨°³¥¬ . Œ­®¦¥±²¢  Enk := Ek0 \ En, n = 1; 2; : : : ®¡° §³¾² ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¨§¬¥°¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  Ek0 , ¯®½²®¬³ ¨§ ³²¢¥°¦¤¥37

­¨¿ b) «¥¬¬» ±«¥¤³¥², ·²®

Z

Z

Z

Enk

En

f (x) dx = nlim f (x) dx  nlim f (x) dx = A: !1 !1

Ek0

®±ª®«¼ª³ f  0,   Ek0  Ek0 +1  E , ²®

Z

9 klim f (x) dx = B  A: !1 Ek0

® ²¥¯¥°¼ ¨±·¥°¯ ­¨¿ fEn g, fEk0 g ° ¢­®¯° ¢­», ¯®½²®¬³ A  B ¨, §­ ·¨², A = B . RR e (x2+y2 ) dx dy. °¨¬¥° 1. ‚»·¨±«¨¬ ­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « R2 2 ³¤¥¬ ¨±·¥°¯»¢ ²¼ ¯«®±ª®±²¼ R ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ ª°³£®¢ En = f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 < n2g. ®±«¥ ¯¥°¥µ®¤  ª ¯®«¿°­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ «¥£ª® ¯®«³· ¥¬, ·²®

ZZ

En

e

(x2 +y2 )

dx dy =

Z2 Zn

d' e r2 r dr = (1 e n2 ) ! 

0

0

¯°¨ n ! 1. ‚ ±¨«³ ¤®ª § ­­®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ³¦¥ ¬®¦­® § ª«¾·¨²¼, ·²® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¨­²¥£° « ±µ®¤¨²±¿ ¨ ° ¢¥­ . ˆ§ ¯®«³·¥­­®£® °¥§³«¼² ²  ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ¯®«¥§­®¥ ±«¥¤±²¢¨¥, ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ²¥¯¥°¼ ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ª¢ ¤° ² ¬¨ En0 = f(x; y) 2 R2 j jxj < n ^ jyj < ng. ® ²¥®°¥¬¥ ”³¡¨­¨

ZZ

En0

e

(x2 +y2 )

dx dy =

0 Zn 12 dy e (x2+y2 ) dx = @ e t2 dtA :

Zn Zn n

n

n

‚ ±¨«³ ¤®ª § ­­®£® ¢»¸¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¯®±«¥¤­¿¿ ¢¥«¨·¨­  ¯°¨ n ! 1 ¤®«¦­  ±²°¥¬¨²¼±¿ ª . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¢±«¥¤ §  ©«¥°®¬ ¨ ³ ±±®­®¬ ¯®«³· ¥¬, ·²®

Z+1 1

e

x2 dx = p:

38

¥ª®²®°»¥ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ­¥ ¢¯®«­¥ ®·¥¢¨¤­»¥ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤ ®±®¡¥­­®±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ª° ²­®£® ¨­²¥£° «  ¡³¤³² ³ª § ­» ­¨¦¥. b) Œ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « . “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 2. ³±²¼ f ¨ g | ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ E ¨ ¨­²¥£°¨°³¥¬»¥ ­  ®¤­¨µ ¨ ²¥µ ¦¥ ¥£® ¨§¬¥°¨¬»µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ µ

Rjfg((xx))jdx g(x) E

´³­ª¶¨¨, ¯°¨·¥¬ ­®£® ¨­²¥£° «  ¨

R f (x) dx

­ 

¢»²¥ª ¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨­²¥£° «®¢

E

R jf j(x) dx

. ’®£¤  ¨§ ±µ®¤¨¬®±²¨ ­¥±®¡±²¢¥­-

E

.

E

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ fEn g | ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  E , ­  ½«¥¬¥­² µ ª®²®°®£® ®¡¥ ´³­ª¶¨¨ g ¨ f ¨­²¥£°¨°³¥¬». ˆ§ ª°¨²¥°¨¿ ‹¥¡¥£  ¢»²¥ª ¥² ¨­²¥£°¨°³¥¬®±²¼ R´³­ª¶¨¨ jf j ­  ¬­®¦¥±²¢ µ ERn , n 2 N, ¯®½²®¬³ R ¬®¦­® § ¯¨± ²¼, ·²® jf j(x) dx jf j(x) dx = jf j(x) dx 



n R g(x) dx = REn+gk(x) dx R gE(xn) dx; £¤¥ k ¨Enn+|k nE«¾¡»¥ ­ ²³° «¼-

En+k nEn

En+k

En

­»¥ ·¨±« . ²¨ ­¥° ¢¥­±²¢  ± ³·¥²®¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 1 ¨ ª°¨²¥°¨¿ Š®¸¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯®§¢®«¿¾² § ª«¾·¨²¼, ·²® R ¨­²¥£° « jf j(x) dx ±µ®¤¨²±¿. E  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ´³­ª¶¨¨ f+ := 21 (jf j + f ), f := 12 (jf j f ). Ž·¥¢¨¤­®, 0  f+  jf j ¨ 0  f 6 jf j. ‚ ±¨«³ ³¦¥ ¤®ª § ­­®£® ­¥±®¡±²¢¥­­»¥ ¨­²¥£° «» ®² ´³­ª¶¨© f+ ¨ f ¯® ¬­®¦¥±²¢³ E ±µ®¤¿²±¿. ® f = f+ f , §­ ·¨², ±µ®¤¨²±¿ ¨ ­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « ®² ´³­ª¶¨¨ f ¯® ½²®¬³ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢³ (¨ ®­ ° ¢¥­ ° §­®±²¨ ¨­²¥£° «®¢ ®² ´³­ª¶¨© f+ ¨ f ). „«¿ ²®£®, ·²®¡» ³²¢¥°¦¤¥­¨¥¬ 2 ¬®¦­® ¡»«® ½´´¥ª²¨¢­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ­¥±®¡±²¢¥­­»µ ¨­²¥£° «®¢, ¯®«¥§­® ¨¬¥²¼ ­¥ª®²®°»© ­ ¡®° ½² «®­­»µ ´³­ª¶¨© ¤«¿ ±° ¢­¥­¨¿.  ±±¬®²°¨¬ ¢ ½²®© ±¢¿§¨ n °¨¬¥° 2. ‚ n-¬¥°­®¬ ¥¤¨­¨·­®¬ ¸ °¥ B  R ± ¢»ª®«®²»¬ ¶¥­²°®¬ 0 ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¿ 1=r, £¤¥ r = d(0; x) | ° ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨ x 2 B n 0 ¤® ²®·ª¨ 0. ‚»¿±­¨¬, ¯°¨ ª ª¨µ §­ ·¥­¨¿µ  2 R ¨­²¥£° « ®² ½²®© ´³­ª¶¨¨ ¯® ®¡« ±²¨ B n 0 ±µ®¤¨²±¿. „«¿ ½²®£® ¯®±²°®¨¬ ¨±·¥°¯ ­¨¥ ®¡« ±²¨ ª®«¼¶¥¢»¬¨ ®¡« ±²¿¬¨ B (") = fx 2 B j " < d(0; x) < 1g. 39

¥°¥µ®¤¿ ª ¯®«¿°­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ± ¶¥­²°®¬ 0, ¯® ²¥®°¥¬¥ ”³¡¨­¨ ¯®«³· ¥¬

Z dx

B (")

r (x) =

Z S

Z1 rn 1 dr Z1 dr f (') d' r = c r n+1 ; " "

£¤¥ d' = d'1 : : : d'n 1 , f (') | ­¥ª®²®°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ±¨­³±®¢ ³£«®¢ '1; : : :; 'n 2, ¯®¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ¢ ¿ª®¡¨ ­¥ ¯¥°¥µ®¤  ª ¯®«¿°­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ¢ Rn,   c | ¢¥«¨·¨­  ¨­²¥£° «  ¯® S , ª®²®° ¿ § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² n ¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² r ¨ ". °¨ " ! +0 ¯®«³·¥­­ ¿ ¢¥«¨·¨­  ¨­²¥£° «  ¯® B (") ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥«, ¥±«¨  < n. ‚ ®±² «¼­»µ ±«³· ¿µ ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ª®£¤  " ! +0. ˆ² ª, ¬» ¯®ª § «¨, ·²® ´³­ª¶¨¿ d(01 ;x) , £¤¥ d | ° ±±²®¿­¨¥ ¤® ²®·ª¨ 0, ¨­²¥£°¨°³¥²±¿ ¢ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ½²®© ²®·ª¨ «¨¸¼ ¯°¨  < n, £¤¥ n | ° §¬¥°­®±²¼ ¯°®±²° ­±²¢ . €­ «®£¨·­® ¯®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢­¥ ¸ °  B , ².¥. ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ½²  ¦¥ ´³­ª¶¨¿ ¨­²¥£°¨°³¥²±¿ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬ ±¬»±«¥, «¨¸¼ ª®£¤   > n. n i °¨¬¥° 3. ³±²¼ I = fx 2 R j 0  x  1; i = 1; : : : ; ng | n-¬¥°­»© ª³¡,   Ik | ¥£® k-¬¥°­ ¿ £° ­¼, § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ³±«®¢¨¿¬¨ xk+1 = : : : = xn = 0.   ¬­®¦¥±²¢¥ I n Ik ° ±±¬®²°¨¬ ´³­ª¶¨¾ d1(x) , £¤¥ d(x) | ° ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨ x 2 I n Ik ¤® £° ­¨ Ik . ‚»¿±­¨¬, ¯°¨ ª ª¨µ §­ ·¥­¨¿µ  2 R ¨­²¥£° « ®² ½²®© ´³­ª¶¨¨ ¯® ¬­®¦¥±²¢³ I n Ik ±µ®¤¨²±¿. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ x = (x1; : : : ; xk ; xk+1; : : :; xn), ²® p d(x) = (xk+1)2 + : : : + (xn)2: ³±²¼ I (") | ½²® ª³¡ I , ¨§ ª®²®°®£® ³¤ «¥­  "-®ª°¥±²­®±²¼ £° ­¨ Ik . ® ²¥®°¥¬¥ ”³¡¨­¨ Z dx Z Z Z du k+1 : : : dxn dx 1 k d(x) = dx : : : dx ((xk+1)2 + : : : + (xn )2)=2 = juj ; I (")

Ik

In k (")

In k (")

£¤¥ u = (xk+1 ; : : :; xn), In k (") | £° ­¼ In k  Rn k, ¨§ ª®²®°®© ³¤ «¥­  "-®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ u = 0. ® ­  ¡ §¥ ¯°¨®¡°¥²¥­­®£® ¢ ¯°¨¬¥°¥ 2 ®¯»²  ¿±­®, ·²® ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « ±µ®¤¨²±¿ «¨¸¼ ¯°¨  < n k. ‡­ ·¨², ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ­ ¬¨ 40

­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « ±µ®¤¨²±¿ «¨¸¼ ¯°¨  < n k, £¤¥ k | ° §¬¥°­®±²¼ £° ­¨, ®ª®«® ª®²®°®© ´³­ª¶¨¿ ¬®¦¥² ­¥®£° ­¨·¥­­® ¢®§° ±² ²¼. c) €¡±®«¾²­ ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « . ‡ ¬¥· ­¨¥. °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 2 ¡»«® ¯°®¢¥°¥­®, ·²® ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨­²¥£° «  ®² ´³­ª¶¨¨ jf j ¢«¥·¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨­²¥£° «  ®² ´³­ª¶¨¨ f . Žª §»¢ ¥²±¿, ¤«¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° «  ¢ ±¬»±«¥ ¥£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¤ ­­®£® ¢»¸¥, ¢¥°­® ¨ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ·¥£® ­¥ ¡»«® ¢ ° ±±¬ ²°¨¢ ¢¸¥¬±¿ ­ ¬¨ ¯°¥¦¤¥ ±«³· ¥ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° «  ­  ¯°¿¬®©, £¤¥ ¬» ° §«¨· «¨  ¡±®«¾²­³¾ ¨ ­¥ ¡±®«¾²­³¾ (³±«®¢­³¾) ±µ®¤¨¬®±²¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « . —²®¡» ±° §³ ¯®­¿²¼ ±³²¼ ¢®§­¨ª¸¥£® ­®¢®£® ¿¢«¥­¨¿, ±¢¿§ ­­®£® ± ¤ ­­»¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥°. °¨¬¥° 4. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f : R+ ! R ®¯°¥¤¥«¥­  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ R+ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ·¨±¥« ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨: f (x) = ( 1)nn 1 , ¥±«¨ n 1  x < n; n 2 N. 1 P n1 ®±ª®«¼ª³ °¿¤ ( 1)n ±µ®¤¨²±¿, ²®, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ¯°¥¤¥« ¯°¨ n=1 A

R

A ! 1 ¨­²¥£° «  f (x) dx ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ ±³¬¬¥ ³ª § ­­®£® °¿¤ . 0 Ž¤­ ª® ½²®² °¿¤ ­¥ ±µ®¤¨²±¿  ¡±®«¾²­®, ¨ ¯¥°¥±² ­®¢ª®© ¥£® ·«¥­®¢ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ °¿¤, ­ ¯°¨¬¥°, ° ±µ®¤¿¹¨©±¿ ª +1. — ±²¨·­»¥ ±³¬¬» ­®¢®£® °¿¤  ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ¨­²¥£° «» ®² ´³­ª¶¨¨ f ¯® ®¡º¥¤¨­¥­¨¾ En ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ·«¥­ ¬ °¿¤  ®²°¥§ª®¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ®±¨. Œ­®¦¥±²¢  En ¢ ±®¢®ª³¯­®±²¨, ®·¥¢¨¤­®, ®¡° §³¾² ¨±·¥°¯ ­¨¥ ®¡« ±²¨ R+ § ¤ ­¨¿ ´³­ª¶¨¨ f . R1 ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « f (x) dx ®² ¯°¥¤º¿¢«¥­­®© 0 ´³­ª¶¨¨ f : R+ ! R ¢ ¯°¥¦­¥¬ ¥£® ¯®­¨¬ ­¨¨ ±³¹¥±²¢³¥²,   ¢ ±¬»±«¥ ¤ ­­®£® ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥². Œ» ¢¨¤¨¬, ·²® ²°¥¡³¥¬ ¿ ¢ ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¯°¥¤¥«  ®² ¢»¡®°  ¨±·¥°¯ ­¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­  ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ±³¬¬» °¿¤  ®² ¯®°¿¤ª  ±³¬¬¨°®¢ ­¨¿ ¥£® ·«¥­®¢. ®±«¥¤­¥¥, ª ª ­ ¬ ¨§¢¥±²­® ¨§ ²¥®°¥¬» ¨¬ ­ , ¢ ²®·­®±²¨ ° ¢­®±¨«¼­®  ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨.   ¤¥«¥ ¯° ª²¨·¥±ª¨ ¢±¥£¤  ¯°¨µ®¤¨²±¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ «¨¸¼ ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ¨±·¥°¯ ­¨¿ ±«¥¤³¾¹¥£® ¢¨¤ . ³±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ¢ ®¡« ±²¨ D ´³­ª¶¨¿ f : D ! R ­¥®£° ­¨·¥­  ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  E  @D. ’®£¤  ¬» ³¤ «¿¥¬ ¨§ D ²®·ª¨, «¥¦ ¹¨¥ ¢ "-®ª°¥±²­®±²¨ 41

¬­®¦¥±²¢  E , ¨ ¯®«³· ¥¬ ®¡« ±²¼ D(")  D. °¨ " ! 0 ½²¨ ®¡« ±²¨ ¯®°®¦¤ ¾² ¨±·¥°¯ ­¨¥ D. …±«¨ ¦¥ ®¡« ±²¼ ­¥®£° ­¨·¥­­ ¿, ²® ¥¥ ¨±·¥°¯ ­¨¥ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼, ¢§¿¢ ¤®¯®«­¥­¨¿ ¢ D ª ®ª°¥±²­®±²¿¬ ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. ˆ¬¥­­® ² ª¨¥ ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ¨±·¥°¯ ­¨¿ ¬» ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ «¨ ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ±«³· ¥, ¨ ¨¬¥­­® ½²¨ ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ¨±·¥°¯ ­¨¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¢¥¤³² ª ®¡®¡¹¥­¨¾ ­  ±«³· © ¯°®±²° ­±²¢  «¾¡®© ° §¬¥°­®±²¨ ¯®­¿²¨¿ £« ¢­®£® (¢ ±¬»±«¥ Š®¸¨) §­ ·¥­¨¥ ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¨­²¥£° « , ® ª®²®°®¬ ¬» ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ³¦¥ £®¢®°¨«¨, ¨§³· ¿ ­¥±®¡±²¢¥­­»¥ ¨­²¥£° «» ­  ¯°¿¬®©. d) ‡ ¬¥­  ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬ ¨­²¥£° «¥. ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ¤ ¤¨¬ ²¥¯¥°¼ ´®°¬³«³ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­»µ ¨­²¥£° « µ ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ±¤¥« ¥¬ ¢¥±¼¬  ¶¥­­®¥, µ®²¿ ¨ ®·¥­¼ ¯°®±²®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ ª ²¥®°¥¬¥ ® § ¬¥­¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ª° ²­®¬ ¨­²¥£° «¥, ¤®ª § ­­®© ¢»¸¥ ¤«¿ ±«³· ¿, ª®£¤  ¢ ´®°¬³«¥ (3) § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© Dt = I ,   f | ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ’¥®°¥¬  ³±²¼ ' : Dt ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®²n n ª°»²®£® ¬­®¦¥±²¢  Dt  Rt ­  ² ª®¥ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢® Dx  Rx,   ´³­ª¶¨¿ f : Dx ! R ¨­²¥£°¨°³¥¬  ­  ¨§¬¥°¨¬»µ ª®¬¯ ª²­»µ ¯®¤¬­®R f (x) dx ±µ®¦¥±²¢ µ ¬­®¦¥±²¢  Dx . …±«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « Dx R ((f  ')j det '0j)(t) dt ² ª¦¥ ±µ®¤¨²±¿ ¨ ¨µ §­ ·¥¤¨²±¿, ²® ¨­²¥£° « Dt

­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾².

Ž¯»² ¡®°¼¡» ± ¬­®¦¥±²¢ ¬¨ ¬¥°» ­³«¼, ­¥®£° ­¨·¥­­»¬¨ ®¡« ±²¿¬¨ ¨ ®±®¡¥­­®±²¿¬¨ ´³­ª¶¨©, ª®²®°»© ·¨² ²¥«¼ ¬®£ ¯°¨®¡°¥±²¨ ­  ° ±±¬®²°¥­­»µ ¯°¨¬¥° µ ¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿µ, ¯®§¢®«¨² ¥¬³ ²¥¯¥°¼ ± ¬®±²®¿²¥«¼­® ¤®ª § ²¼ ±´®°¬³«¨°®¢ ­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ (¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢® ¢±¥µ ­³¦­»µ ¥¬³ ±«³· ¿µ). Ž²¬¥²¨¬ ²®«¼ª®, ·²® «¾¡®¥ ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ Rn, ®·¥¢¨¤­®, ¬®¦­® ¨±·¥°¯ ²¼ ¯°®±²¥©¸¨¬¨ ´¨£³° ¬¨, ±®±² ¢«¥­­»¬¨ ¨§ ª³¡¨ª®¢. „®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢±¥ ¡®«¥¥ ¬¥«ª¨µ ª³¡¨·¥±ª¨µ °¥¸¥²®ª ¢±¥£® ¯°®±²° ­±²¢  Rn ¨ ¡° ²¼ ²¥ ª³¡¨ª¨, ª®²®°»¥ ¯®¯ ¤ ¾² ¢ ­ ¸³ ®¡« ±²¼. …±«¨ ¢±¯®¬­¨²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨­²¥£° «  ¯® ¬­®¦¥±²¢³, ²® ¬®¦­® ¤®ª § ²¼ ¨ ² ª®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ½²®© ²¥®°¥¬». “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 3. ³±²¼ ' : Dt ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´­®¥ ®²®¡° ¦¥n n ­¨¥ ®²ª°»²®£® ¬­®¦¥±²¢  Dt  Rt ­  ² ª®¥ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢® Dx  Rx , 42

f : Ex ! R ¨­²¥£°¨°³¥¬  ­  ¨§¬¥°¨¬®¬ ª®¬¯ ª²¥ Ex  Dx . 0 ’®£¤  ´³­ª¶¨¿ (f  ')j det ' j : Et ! R ¨­²¥£°¨°³¥¬  ­  ¨§¬¥°¨¬®¬ ª®¬1 (E )  D ¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢® ¯ ª²¥ Et = ' x t   ´³­ª¶¨¿

Z

Ex

Z

f (x) dx = ((f  ')j det '0j)(t) dt: Et

e) ”®°¬³«³ § ¬¥­» ¨¬¥¥¬,   ·²® ¨­²¥£°¨°³¥¬, ²¥¯¥°¼ ­¥¯®­¿²­®. ”®°¬³«  § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ª° ²­®¬ ¨­²¥£° «¥ ¨¬¥¥² ¬­®£® ¯®«¥§­»µ ¯°¨¬¥­¥­¨© ¨ ±«¥¤±²¢¨©, ¯°¨·¥¬ ­¥ ²®«¼ª® ¢ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®¬  ±¯¥ª²¥, ­® ¨ ¢ ²¥®°¥²¨·¥±ª®¬ ¯« ­¥.  ¯°¨¬¥°, ®­  ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¢¢¥¤¥­­»¥ ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¯®­¿²¨¿ ¬¥°» ¯°®¬¥¦³²ª , ¬¥°» ¨§¬¥°¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¨ ± ¬®£® ¨­²¥£° «  ®² ´³­ª¶¨¨ ¯® ¨§¬¥°¨¬®¬³ ¬­®¦¥±²¢³, ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ­¥ § ¢¨±¿² ®² ¢»¡®°  ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®© ¤¥ª °²®¢®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¢ Rn. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯¥°¥µ®¤ ®² ®¤­®© ±¨±²¥¬» ¤¥ª °²®¢»µ ª®®°¤¨­ ² ¢ Rn ª ¤°³£®© ² ª®© ¦¥ ±¨±²¥¬¥ ¨¬¥¥² ¿ª®¡¨ ­, ¯® ¬®¤³«¾ ° ¢­»© ¥¤¨­¨¶¥. ‚ ±¨«³ ´®°¬³«» § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© ®²±¾¤  ±«¥¤³¥² ° ¢¥­±²¢®

Z

Z

Ex

f (x) dx = (f  ')(t) dt: Et

® ½²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® ¨­²¥£° « ®¯°¥¤¥«¥­ ¨­¢ °¨ ­²­®: ¢¥¤¼ ¥±«¨ p | ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  E , x = (x1; : : :; xn) | ¥¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥, t = (t1; : : :; tn) | ¢® ¢²®°®©,   x = '(t) | ´³­ª¶¨¿ ¯¥°¥µ®¤  ®² ®¤­¨µ ª®®°¤¨­ ² ª ¤°³£¨¬, ²® f (p) = fx(x1; : : : ; xn) = ft(t1; : : :; tn); £¤¥ ft = fx  '. ‡­ ·¨², ¬» ¯®ª § «¨, ·²®

Z

Ex

fx(x) dx =

Z

Et

ft(t) dt;

£¤¥ Ex ¨ Et | § ¯¨±¼ ¬­®¦¥±²¢  E ¢ ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² x ¨ t ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ˆ² ª, ¨­¢ °¨ ­²­®±²¼ ¨­²¥£° «  ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¨¬¥¥² ¬¥±²®. Ž¤­ ª®, ±° ¢­¨¢ ´®°¬³«³ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ¨ ¬­®£®¬¥°­®¬ ¨­²¥£° «¥, ¬» § ¬¥· ¥¬ ­¥ª®²®°³¾  ¯¯ ° ²­³¾ ¤¨±£ °¬®­¨¾. ‚ ®¤­®¬¥°­®¬ ±«³· ¥ ´®°¬³«  ¯®«³· « ±¼ ± ¬  ±®¡®©, ¥±«¨ ¢ «¥©¡­¨¶¥¢® ¯®¤¨­²¥£° «¼­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ f (x)dx ¢¬¥±²® x ¯®¤±² ¢¨²¼ x = '(t). 43

‚ ¬­®£®¬¥°­®¬ ±«³· ¥ ­¨·¥£® ¯®¤®¡­®£® ¬» ­¥ ­ ¡«¾¤ ¥¬. ®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨, ª ª ½²® ¬» ¤® ±¨µ ¯®° ¤¥« «¨, ¢¬¥±²® x ¯¨± ²¼ (x1; : : : ; xn),   ¢¬¥±²® dx ¯¨± ²¼ (dx1


dxn), ²® ¯®¤±² ­®¢ª  x1 = '1(t1; : : : ; tn); : : :; xn = 'n(t1; : : :; tn) ¢¬¥±²® x = '(t) ­¥ ¤ ±² ­¨·¥£® ¯®µ®¦¥£® ­  ²³ ´®°¬³«³ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ, ª®²®°³¾ ¬» ¯®«³·¨«¨. ²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ±¥°¼¥§­»© ¢®¯°®±. Ž²¢¥² ­  ­¥£® ¢¥¤¥² ª ±®¢°¥¬¥­­®¬³ ¢§£«¿¤³ ­  ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ¨ ¨­²¥£° «, ª ª° ±¨¢®¬³ ¨ ¯®«¥§­®¬³  ¯¯ ° ²³ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬, ª ¨µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¬³ ¨ ¨­²¥£° «¼­®¬³ ¨±·¨±«¥­¨¾, ª ±®¢°¥¬¥­­®© ´®°¬³«¥ ¼¾²®­ -‹¥©¡­¨¶ , ¢ª«¾· ¾¹¥© ¢±¥ ¨§¢¥±²­»¥ ¨ ¯¥°±®­¨´¨¶¨°®¢ ­­»¥ ´®°¬³«»  ­ «¨§ , ±¢¿§»¢ ¾¹¨¥ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥. ® ¤«¿ ½²®£® ­³¦­® ¡³¤¥² ¯°¥¦¤¥ ¢±¥£® ¢¥°­³²¼±¿ ¨ «³·¸¥ ¯®­¿²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « . (Ž·¥­¼ ¯®«¥§­® ®±¢¥¦¨²¼ ¨«¨ ¯®¯®«­¨²¼ §­ ­¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ´³­ª¶¨© ¬­®£¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢ª«¾· ¿ ²¥®°¥¬³ ® ­¥¿¢­®© ´³­ª¶¨¨ ¨ ¥¥ ¢ ¦­¥©¸¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿, ¤ ¾¹¨¥ ¢ ­¥«¨­¥©­®¬ ±«³· ¥ «®ª «¼­»¥ ¢ °¨ ­²» ²¥®°¥¬ «¨­¥©­®©  «£¥¡°»,   ² ª¦¥ ¨µ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨ ¯°¨«®¦¥­¨¿.)

44

‚ŽŽ‘›

ª ½ª§ ¬¥­³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ §  ·¥²¢¥°²»© ±¥¬¥±²° ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  ¢²®°®£® ¯®²®ª  ‹¥ª²®° ¯°®´¥±±®° ‚.€.‡Žˆ—, 2006/07 ³·.£®¤ 1. ˆ­²¥£° « ¨¬ ­  ­  n-¬¥°­®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥. Š°¨²¥°¨© ‹¥¡¥£  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¨­²¥£° « . 2. Š°¨²¥°¨© „ °¡³ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¨­²¥£° «  ®² ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­®© ´³­ª¶¨¨ ­  n-¬¥°­®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥. 3. ˆ­²¥£° « ¯® ¬­®¦¥±²¢³. Œ¥°  †®°¤ ­  ¬­®¦¥±²¢  ¨ ¥¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±«. Š°¨²¥°¨© ‹¥¡¥£  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¨­²¥£° «  ¯® ¨§¬¥°¨¬®¬³ ¬­®¦¥±²¢³. ‹¨­¥©­®±²¼ ¨  ¤¤¨²¨¢­®±²¼ ¨­²¥£° « . 4. Ž¶¥­ª¨ ¨­²¥£° « . 5. ‘¢¥¤¥­¨¥ ª° ²­®£® ¨­²¥£° «  ª ¯®¢²®°­®¬³: ²¥®°¥¬  ”³¡¨­¨ ¨ ¥¥ ¢ ¦­¥©¸¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿. 6. ”®°¬³«  § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ª° ²­®¬ ¨­²¥£° «¥. ˆ­¢ °¨ ­²­®±²¼ ¬¥°» ¨ ¨­²¥£° « . 7. ¥±®¡±²¢¥­­»¥ ª° ²­»¥ ¨­²¥£° «»: ®±­®¢­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¬ ¦®° ­²­»© ¯°¨§­ ª ±µ®¤¨¬®±²¨, ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ¨­²¥£° «». ‚»·¨±«¥­¨¥ ¨­²¥£° «  ©«¥° -³ ±±®­ . 8. ®¢¥°µ­®±²¼ ° §¬¥°­®±²¨ k ¢ Rn ¨ ®±­®¢­»¥ ±¯®±®¡» ¥¥ § ¤ ­¨¿. €¡±²° ª²­®¥ k-¬¥°­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥. Š° © k-¬¥°­®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ª ª (k 1)-¬¥°­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ¡¥§ ª° ¿. 9. Ž°¨¥­²¨°³¥¬»¥ ¨ ­¥®°¨¥­²¨°³¥¬»¥ ¬­®£®®¡° §¨¿. ‘¯®±®¡» § ¤ ­¨¿ ®°¨¥­² ¶¨¨  ¡±²° ª²­®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ¨ (£¨¯¥°)¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ Rn. Ž°¨¥­²¨°³¥¬®±²¼ ª° ¿ ®°¨¥­²¨°³¥¬®£® ¬­®£®®¡° §¨¿. ‘®£« ±®¢ ­­ ¿ ®°¨¥­² ¶¨¿ ¬­®£®®¡° §¨¿ ¨ ª° ¿. 10. Š ± ²¥«¼­»© ¢¥ª²®° ¨ ª ± ²¥«¼­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ª ¬­®£®®¡° §¨¾ ¢ ²®·ª¥. ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®°  ª ª ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®° . 11. „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬  ¢ ®¡« ±²¨ D  Rn. °¨¬¥°»: ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ´³­ª¶¨¨, ´®°¬  ° ¡®²», ´®°¬  ¯®²®ª . Š®®°¤¨­ ²­ ¿ § ¯¨±¼ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© ´®°¬». Ž¯¥° ¶¨¿ ¢­¥¸­¥£® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. 12. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ ®¡º¥ª²®¢ ¨ ±®¯°¿¦¥­­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨© ­  ½²¨µ ®¡º¥ª² µ. °¥®¡° §®¢ ­¨¥ ²®·¥ª ¨ ¢¥ª²®°®¢ ª ± ²¥«¼­»µ ¯°®±²° ­±²¢ ¢ ½²¨µ ²®·ª µ ¯°¨ £« ¤ª®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨. ¥°¥­®± ´³­ª¶¨© 45

¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬ ¯°¨ £« ¤ª®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¨. ¥¶¥¯² ¢»¯®«­¥­¨¿ ¯¥°¥­®±  ´®°¬ ¢ ª®®°¤¨­ ²­®¬ ¢¨¤¥. 13. Š®¬¬³²¨°®¢ ­¨¥ ¯¥°¥­®±  ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬ ± ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ¨µ ¢­¥¸­¥£® ³¬­®¦¥­¨¿ ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬  ­  ¬­®£®®¡° §¨¨. ˆ­¢ °¨ ­²­®±²¼ (ª®°°¥ª²­®±²¼) ®¯¥° ¶¨© ­ ¤ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬¨ ´®°¬ ¬¨. 14. ‘µ¥¬  ¯®¤±·¥²  ° ¡®²» ¨ ¯®²®ª . ˆ­²¥£° « ®² k-´®°¬» ¯® k¬¥°­®© £« ¤ª®© ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨. “·¥² ®°¨¥­² ¶¨¨. ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¨­²¥£° «  ®² ¢»¡®°  ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨. Ž¡¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨­²¥£° «  ®² ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© k-´®°¬» ¯® k-¬¥°­®¬³ ª®¬¯ ª²­®¬³ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾. 15. ”®°¬³«  ƒ°¨­  ­  ª¢ ¤° ²¥, ¥¥ ¢»¢®¤, ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ¨ § ¯¨±¼ ­  ¿§»ª¥ ¨­²¥£° «®¢ ®² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬. Ž¡¹ ¿ ´®°¬³«  ‘²®ª± . ¥¤³ª¶¨¿ ª k-¬¥°­®¬³ ¯°®¬¥¦³²ª³ ¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¤«¿ k-¬¥°­®£® ¯°®¬¥¦³²ª . Š« ±±¨·¥±ª¨¥ ¨­²¥£° «¼­»¥ ´®°¬³«»  ­ «¨§  ª ª ª®­ª°¥²­»¥ ¢ °¨ ­²» ®¡¹¥© ´®°¬³«» ‘²®ª± . 16. ”®°¬  ®¡º¥¬  ¢ Rn ¨ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨. ‡ ¢¨±¨¬®±²¼ ´®°¬» ®¡º¥¬  ®² ®°¨¥­² ¶¨¨. ˆ­²¥£° « ¯¥°¢®£® °®¤  ¨ ¥£® ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ®°¨¥­² ¶¨¨. «®¹ ¤¼ ¨ ¬ ±±  ¬ ²¥°¨ «¼­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ª ª ¨­²¥£° «» ¯¥°¢®£® °®¤ . ‡ ¯¨±¼ ´®°¬» ®¡º¥¬  k-¬¥°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ S k  Rn ¢ «®ª «¼­»µ ¯ ° ¬¥²° µ ¨ § ¯¨±¼ ´®°¬» ®¡º¥¬  £¨¯¥°¯®¢¥°µ­®±²¨ S n 1  Rn ¢ ¤¥ª °²®¢»µ ª®®°¤¨­ ² µ ®¡º¥¬«¾¹¥£® ¯°®±²° ­±²¢ . 17. Ž±­®¢­»¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ²¥®°¨¨ ¯®«¿ (grad, rot, div) ¨ ¨µ ±¢¿§¼ ± ®¯¥° ²®°®¬ d ¢­¥¸­¥£® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ R3. 18. ‡ ¯¨±¼ ° ¡®²» ¨ ¯®²®ª  ¯®«¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨­²¥£° «®¢ ¯¥°¢®£® °®¤ . Ž±­®¢­»¥ ¨­²¥£° «¼­»¥ ´®°¬³«» ²¥®°¨¨ ¯®«¿ ¢ R3 ª ª ¢¥ª²®°­ ¿ § ¯¨±¼ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ¨­²¥£° «¼­»µ ´®°¬³«  ­ «¨§ . 19. ®²¥­¶¨ «¼­®¥ ¯®«¥ ¨ ¥£® ¯®²¥­¶¨ «. ’®·­»¥ ¨ § ¬ª­³²»¥ ´®°¬». „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»© ­¥®¡µ®¤¨¬»© ¯°¨§­ ª ²®·­®±²¨ ´®°¬» ¨ ¯®²¥­¶¨ «¼­®±²¨ ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿, ¥£® ¤®±² ²®·­®±²¼ ¢ ®¤­®±¢¿§­®© ®¡« ±²¨. ˆ­²¥£° «¼­»© ª°¨²¥°¨© ²®·­®±²¨ 1-´®°¬ ¨ ¢¥ª²®°­»µ ¯®«¥©. 20. ‹®ª «¼­ ¿ ²®·­®±²¼ § ¬ª­³²®© ´®°¬» («¥¬¬  ³ ­ª °¥). ƒ«®¡ «¼­»©  ­ «¨§. ƒ®¬®«®£¨¨ ¨ ª®£®¬®«®£¨¨. ’¥®°¥¬  ¤¥  ¬ . 21. °¨¬¥°» ¯°¨«®¦¥­¨© ´®°¬³«» ‘²®ª± : ¢»¢®¤ ®±­®¢­»µ ³° ¢­¥­¨© ¬¥µ ­¨ª¨ ±¯«®¸­®© ±°¥¤». ”¨§¨·¥±ª¨© ±¬»±« £° ¤¨¥­² , °®²®°  ¨ ¤¨¢¥°£¥­¶¨¨. 46

ŽŒ…†“’Ž—Ž… ŠŽ’Ž‹œŽ… ‡€„€ˆ…

¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ ¢ ·¥²¢¥°²®¬ ±¥¬¥±²°¥ 4 ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ¢²®°®£® ª³°±  ¢²®°®£® ¯®²®ª  ‹¥ª²®° ¯°®´¥±±®° ‚.€.‡Žˆ—, 2006/07 ³·.£®¤ ‚»·¨±«¨²¥ §­ ·¥­¨¿ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ­¨¦¥ ´®°¬ ! ¢ Rn ­  ³ª § ­­»µ ­ ¡®° µ ¢¥ª²®°®¢: a) ! = x2dx1 ­  ¢¥ª²®°¥  = (1; 2; 3) 2 T R3(1;2;3); b) ! = dx1 ^ dx3 + x1dx2 ^ dx4 ­  ³¯®°¿¤®·¥­­®© ¯ °¥ ¢¥ª²®°®¢ 1; 2 2 T R4(1;0;0;0). (®« £ ¥¬ 1 = (11; :::; 14); 2 = (21 ; :::; 24).) 1 n 1 n 2. ³±²¼ f ; :::; f | £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨  °£³¬¥­²  x = (x ; :::; x ) 2 Rn. ‚»° §¨²¥ ´®°¬³ df 1 ^ ::: ^ df n ¢ ²¥°¬¨­ µ ´®°¬ dx1; :::; dxn. 3 3. ‚ ®¡« ±²¨ D  R ¤¥©±²¢³¥² ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ ±¨« F .  ±±·¨²»¢ ¥¬ ° ¡®²³, ­¥®¡µ®¤¨¬³¾ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥¹¥­¨¿ ¢ ½²®¬ ¯®«¥ ¨§ ²®·ª¨ a 2 D ¢ ²®·ª³ b 2 D ¢¤®«¼ £« ¤ª®£® ¯³²¨  D. a)  ¯¨¸¨²¥ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¯®¤±·¥²  ½²®© ° ¡®²» ¢ ¢¨¤¥ ¨­²¥£° «a "¯¥°¢®£®" ¨ "¢²®°®£®" °®¤  (².¥. ¢ ²¥°¬¨­ µ ds ¨ dx; dy; dz ±®®²¢¥²±²¢¥­­®). b) °®¢¥°¼²¥, ·²® ¢ £° ¢¨² ¶¨®­­®¬ ¯®«¥ F ½²  ° ¡®²  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¯³²¨ ¨ ° ¢­  ...? 3 4. a) ‚ ®¡« ±²¨ D  R ¨¬¥¥²±¿ ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ V (­ ¯°¨¬¥°, ¯®«¥ ±ª®°®±²¨ ­¥ª®²®°®£® ²¥·¥­¨¿).  ¯¨¸¨²¥ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¯®¤±·¥²  ¯®²®ª  ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ V ·¥°¥§ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­³¾ ¯®¢¥°µ­®±²¼ S = S+2  D ¢ ¢¨¤¥ ¨­²¥£° «  "¯¥°¢®£®" ¨ "¢²®°®£®" °®¤  (².¥. ¢ ²¥°¬¨­ µ d ¨ dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy ±®®²¢¥²±²¢¥­­®). b) ‚§¿² ¢»¯³ª«»© ¬­®£®£° ­­¨ª D  R3.   ª ¦¤®© ¥£® £° ­¨ ¯®±²°®¥­ ¢¥ª²®°, ­ ¯° ¢«¥­­»© ¢¤®«¼ ¢­¥¸­¥© ­®°¬ «¨ ¨ ¯® ¢¥«¨·¨­¥ ° ¢­»© ¯«®¹ ¤¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© £° ­¨. ”¨§¨ª  £®¢®°¨², ·²® ±³¬¬  ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ ° ¢­  ­³«¾ (¨­ ·¥ ¯®±²°®¨¬ ¢¥·­»© ¤¢¨£ ²¥«¼). Œ ²¥¬ ²¨ª  ¤ ¥² ²® ¦¥. ®ª ¦¨²¥ ½²®. c) °¿¬»¬ ° ±·¥²®¬ ¢»¢¥¤¨²¥ § ª®­ €°µ¨¬¥¤  (¯®¤±·¨² ©²¥ ¢»² «ª¨¢ ¾¹³¾ ±¨«³, ¤¥©±²¢³¾¹³¾ ­  ²¥«®, ¯®£°³¦¥­­®¥, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ­ ¯®«­¥­­³¾ ¢®¤®© ¢ ­­³, ª ª °¥§³«¼²¨°³¾¹³¾ ¤ ¢«¥­¨¿ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¼ ²¥« ). 1.

4 ‚§ ¬¥­

®²±³²±²¢³¾¹¥£® ª®««®ª¢¨³¬ .

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