Хорновы классы предикатных систем и многообразия частичных алгебр

Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 23-46

УДК 512.57

ХОРНОВЫ КЛАССЫ ПРЕДИКАТНЫХ СИСТЕМ И М Н О Г О О Б Р А З И Я Ч А С Т И Ч Н Ы Х АЛГЕБР*)

В- А. ГОРБУНОВ, М . С . Ш Е Р Е М Е Т

В работе предлагается подход, позволяющий для частичных алгебр применять методы теории квазимногообразий предикатных систем. Для всякой частичной алгебры Л рассматриваем два ее предикатных пред­ ставления. Первое — это график алгебры Л, в котором основными от­ ношениями являются графики ее основных операций. Второе получается из графика алгебры Л, если в качестве основных отношений добавляются области определения ее операций. Выбор представления зависит от рас­ сматриваемого типа вложения для частичных алгебр. Переход к графи­ кам сохраняет основные алгебраические конструкции и позволяет исполь­ зовать стандартные методы теории алгебраических систем. С другой сто­ роны, понятия подалгебры и конгруэнции, дословно переносимые с алгебр на предикатные системы, теряют свою силу. Более адекватное определе­ ние конгруэнции на алгебраической системе дано Горбуновым и Тумано­ вым в [1]. Понятие оператора порождения, вводимое в настоящей работе, для предикатных систем представляет собой возможный аналог обычной операции порождения для алгебр. Отметим, что существует другой подход, предложенный в работах Андрека, Немети [2] и Бурмайстера [3]. В его основе лежит идея переноса "' Работа выполнена при финансовой поддержке Госкомитета РФ по высшему обра­ зованию, проект 1998 г., совместной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 96-01-00097, и Немецкого научно-исследовательского общества, проект 436113/2670, а также при поддержке ФЦП "Интеграция", проект 274.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

24

В. А. Горбунов, М. С. Шеремет

существующей теории для полных алгебр на частичные с помощью тео­ рии категорий. При таком подходе главным становится вопрос о том, что является действительным аналогом обычных тождеств в случае частич­ ных алгебр. В [2, 3] было найдено несколько исчислений, для которых, в частности, доказаны теоремы полноты и аналоги HSP-теоремы Биркгофа. Те же исследования показали, что сходство между частичными и полны­ ми алгебрами достаточно ограниченно. И именно с точки зрения теории категорий частичные алгебры обладают многими "плохими64 свойствами, характерными для предикатных систем, а не для полных алгебр. Мы считаем, что в случае частичных операций возможно несколько в равной мере естественных интерпретаций равенства. Изучение частичных алгебр с различных точек зрения приводит к необходимости рассматри­ вать различные семантики равенства: семантика Эванса возникла в связи с исследованием проблемы равенства слов и связанной с ней проблемы вложения [4], истинность тождеств в семантике К лини связана со строе­ нием клонов частичных операций [5], а эквациональная логика в сильной семантике наиболее близка к эквациональной логике полных алгебр [2, 3]. Здесь предлагается некоторое общее определение семантики, охваты­ вающее такие примеры, как слабая семантика, семантика Эванса, семанти­ ка Клини, сильная семантика. На множестве всех семантик задается предпорядок по "силе"; доказывается, что некоторые свойства многообразий частичных алгебр в данной семантике определяются ее положением в этом множестве. Устанавливается, что в любой семантике каждому многообра­ зию частичных алгебр соответствует хорнов класс предикатных систем, допускающий оператор порождения и замкнутый относительно прямых пределов и ретрактов. Наконец, для таких классов доказываются аналоги теоремы Биркгофа о подпрямом разложении и теоремы Тейлора о резидуальной малости. Поэтому эти теоремы применимы и для многообразий частичных алгебр в произвольной семантике.

Хорновы классы предикатных систем

25

§ 1. Представления частичных алгебр Поскольку мы будем рассматривать лишь частичные алгебры и пре­ дикатные системы, условимся для краткости говорить "алгебра" вместо "частичная алгебра" и "система" вместо "предикатная система". Для си­ стем будем придерживаться понятий и обозначений, принятых в [1, б]. Пусть Q — некоторая функциональная сигнатура, u(f) — арность символа / Е Q. Далее под алгеброй А будем подразумевать алгебру сиг­ натуры £2, т. е. Л = (A; fA)

f

^, где А — непустое множество, носитель

алгебры Л, a fA} f € ft, — частичные отображения из A"W в А, основ­ ные операции алгебры Л, Через dom fA обозначается область определения функции / л , а через graph fA

- ее график:

graph/* 4 = { ( а 0 , . . . ,а п _1,а„) € А п : / л ( а 0 , . . . , a „ - i ) = «п}« Запись вида / л ( а о , . . . , a n - i ) = a n означает, что частичная функция

fA

определена на аргументах ао,.. • , a n _i и равна а п . Алгебра Л называется полной, если dom / = A r ^ , / E ft, и дискретной, если dom / = 0 , / G ft. Пусть Л, 3 — алгебры. Отображение гз4) Если семантика F получена из G преобразованием поворота [сдвига), то А \= (s &р t)[a]

А \= (s &Q t)[cr]

для любых термов s, t, алгебры А и означивания а : X —> А. Будем говорить, что семантики F и G подобны, и использовать обо­ значение F ~ G, если F можно получить из G с помощью преобразований поворота и сдвига. В силу предложения 2.1 отношение F ~ G является эквивалентностью. Семантику F назовем неприводимой, если для любых s,t £ Т вклю­ чение F[s, t) С F[t, s) влечет равенство F[s, t) = F[t, s). Поэтому неприво­ димые семантики подобны лишь тогда, когда они отличаются на преобра­ зование поворота. Ясно, что любую семантику можно привести к неприво­ димой с помощью преобразования сдвига — достаточно положить F[t, s) равным F[s, t) во всех случаях., когда F[t, s) D F[s, t). Определим на множестве семантик отношение А Л\= (s &р t)[a] 2) Если F~F'

влечет

uG~G',moF'

А \= (s « G t)[o].

< G'.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Это утверждение следует непосредственно из определений. 2) Пусть в, t — произвольные термы. Обозначим PQ = F(s,t)}

Pi =

= F(£, s), Qo ==