Об интегрировании дифференциальных линейных уравнений с переменными коэффициентами

ОБЪ ИНТЕГРИРОВАНА

Д И Ф Ф Е Р Е Н Щ А Л Ь Н Ы Х Ъ ЛИНЕИНЫХЪ УРАВНЕН1Й. СЪ ПЕРЕМЕННЫМИ ЕОЕФФИЩЕНТАМИ.

С. А. Юрьева. Въ этомъ мемуаре я предлагаю способъ для приведешя интегрировашя дифференщальнаго линейнаго уравнешя /г-го по­ рядка съ переменными коеффищентами и съ двумя перемен­ ными, зависимымъ и независимымъ, къ решешю алгебраическаго уравнения n-й степени и къ интегрированш дифферен­ щальнаго линейнаго уравнешя втораго порядка; и для приведешя интегрировашя системы m совокупныхъ линеиныхъ уравиенш съ переменными коеффищентами и m -\- 1 пере­ менными, m зависимыми и однимъ не зависимымъ, содержащихъ производную высшаго, ?г-го порядка, по крайней мере хотя отъ одного зависимаго переменцаго по независимому, къ интегрированш дифференщальнаго линейнаго уравнешя 2-го порядка, и къ решешю алгебраическаго уравнешя тп-т степени. Весь мемуаръ состоитъ изъ следующихъ трехъ главъ. ГЛАВА I. ИнтегрирующШ множитель дифференщальнаго ли­ нейнаго уравнешя гг-го порядка. Соотношеше между част­ ными определителями (déterminants mineurs) полнаго опре­ делителя, составленнаго изъ частныхъ интеграловъ диффе­ ренщальнаго линейнаго уравнешя п-то порядка, и ихъ производныхъ до п—1 порядка, доставляющее систему двухъ совокупныхъ линеиныхъ уравненш, решающихъ воиросъ на-

— 452 — етоящаго мемуара, и потому названныхъ мною рпшающими уравнешями. Решакищя уравнетя для дифференщальнаго ли­ нейнаго уравнетя n-го порядка. Примеръ: решакищя ура­ внетя для дифференщальнаго линейнаго уравнетя 6-го по­ рядка. Поверка. ГЛАВА II. Приведете интегрироватя решающихъ уравне­ нш для дифференщальнаго линейнаго уравнетя п-то порядка къ решешю алгебраичеекаго уравнетя и-й степени и къ интегрированш дифференщальнаго линейнаго уравнетя 2-го порядка. Примеръ: приведете интегрироватя р'Ешающихъ уравнешй для дифференщальнаго линейнаго уравнетя 6-го порядка. III. Решакнщя уравнетя для системы m совокупныхъ уравненш линейныхъ дифференщальныхъ съ m-f 1 пе­ ременными, n-го порядка и съ переменными коеффищентами. ГЛАВА

Г Л А В А I. § 1. Пусть предложено для интегрирования следующее дифференщальное линейное уравнеше ?г-го порядка: 1

J^LJ-T

L

dt* ^

dn

~~ix LT

l

dtn-1^

2

Г

~~*'х • т г~3х

rfr~2i"

з

1г=Гз

1 +

••••

+ т , _ , | + т^ = о где Tj, Т2, Т3, Т л _ £ , Тп суть данныя функцш независима™ переменнаго t. Означивъ чрезъ œs общШ членъ ряда символовъ для чаетныхъ интеграловъ этого уравнетя, такъ что изъ oos выве­ дутся означетя всехъ этихъ частныхъ интеграловъ, сообщивъ последовательно букве s значетя цифръ: 1,2, 3, .... п— %, п— 1,п; означивъ чрезъ х9г общШ членъ ряда сим-

— 453 — воловъ для означешя производныхъ разныхъ порядковъ отъ х по t, такъ что означешя этихъ производныхъ будутъ по­ лучаться изъ х8г, сообщая г последовательно значешя: О, I, II I V . . . . (п 2), ( п — 1 ) , (п), заметивъ при этомъ, что х° = х , и, наконецъ означивъ чрезъ Д определитель со­ ставленный изъ п2 элементовъ, частныхъ интеграловъ уравнешя I и производныхъ отъ нихъ по * до п — 1-го поряд­ ка, мы, какъ известно, имеемъ*): 1)

**

da

(»)

d ä

{п)_

^А

- ~ W

-I-

-Т,А в—2



Рж

(n)

.

^

Нт-тя=з> ^

*

rf2A

ть значешя: 1, 2, 3 . . . . , n — 1 , n и знакъ суммы S s относится ко ВСБМЪ значешямъ s. Сравнивъ это уравнеше съ уравнешемъ 1) XYII, которое можетъ быть написано такъ: dy заключаемъ, что ХТХ

dA

|

*Ь

t +

. +

dA

rfi +

" ^/d ^ d £ ^ • • • • + *;. R + ^ - Л + » + в » + • ••• +в„_, +R„_, f/A _ dys

R,

^n-v —

d^ *^-,)

гдт, а есть неизвестная функщя t независящая отъ s. Это самое уравнеше можетъ быть написано и такъ:

465 —

dA_ _ R2 + R , 4 R n _ , + R w _ ,

(/A = a П— 1 ' Уравнеше XIX есть то самое соотношеше, которое даетъ возможность свести интегрироваше дифференщальнаго линей­ наго уравнешя /г-го порядка съ переменными коеффищентами на интегрироваше дифференщальнаго линейнаго уравне­ шя втораго порядка и на р$шеше алгебраическаго уравнешя П'к степени. Я называю его основнымь уравненюмъ. Взявъ сумму уравеенш XI и интегрируя уравнеше полу­ ченное въ результата, наидемъ, принявъ въ расчетъ положеHie XIII, следующее уравнеше: XXI

dA

с1А

»

|

dA

4-^-4- —

= е~*§*+* [ft + R, + .. . + Вя_£ + V - 2 ] * - § } * . Сложивъ уравнешя XII отъ 1) до п — 2) включительно, находимъ:

d^=5 + ä^

+ - + IH/ 1 "' + *' + *' + -' 2

+ Rn_1 + R„_2]^-J[R3 +R4 + R, +....+ Rre_2 4 K_t}zdfXXII.

4 .... 4(~ir- 2 J[R re _ № 4R M _J^"- s + (-1Г- 1 ]В*-,«Й"- 1 -

— 466 — Полагая для краткости: XXIII.

В, + R2 + .... + R ^ 2 + К^

=М

и соединяя XXI уравнеше съ XIX и XXII съ XX получаемъ, прйнявъ во внимаше 1) уравнеше XI и шложеше XIII: .ч _ г Г + г Г ц *

dzl

tJ

, M dz

i)e y\uZ-^di+

--=«*

XXIII. 2

2) f [M — R,]stf* — f [M — R2 — RJz доставить преобразованному уравнение видъ уравнеdk Н1Я X, существуетъ такое соотношеше между (w _ 2) , .— . . , - — , — , что уравнеше XIX будетъ частнымъ dye> + - • +

^

Складывая первыя n—# уравненШ системы XXX получаем^

2

+ ~=J[M-~R^J^^J[M - Rg_f - R g ]^ 2 + .... + - . +(-Ora~(9+2,J[Rw_2 + Rn_1]^"-(?+i) W—