Курс лекций по математическому анализу

Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет

ББК 22.161я73 Г 23

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор, зав.кафедрой «Математический анализ БГУ М. Н. ОЧИРОВ доцент кафедры «Прикладная математика» ВСГТУ С. Г. БАРГУЕВ

В.Д. Гатабон

Гатабон В.Д. Г 23 Курс лекций по математическому анализу. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2003 – 72с. ISBN 5-89230-163-Х

Курс лекций по математическому анализу

В пособии в сжатой форме излагается материал, относящийся к одному из важнейших разделов математического анализа "Введение в анализ", который является фундаментом для изучения последующих разделов. Изложение материала сопровождается достаточно большим количеством примеров и задач, способствующих лучшему усвоению теоретического материала. Предназначено для студентов 1-го курса специальности "Прикладная математика".

ББК 22.161я73 ISBN 5-89230-163-Х

 ГАТАБОН В.Д., 2003г.  ВСГТУ, 2003г.

Улан-Удэ, 2003

Оглавление. Введение 1. Предмет и задачи математического анализа 2. Элементы теории множеств 3. Символика математической логики Глава 1. Действительные числа 1.1. Рациональные числа 1.2. Иррациональные числа 1.3. Упорядочение множества действительных чисел и его непрерывность 1.4. Границы числовых множеств 1.5. Арифметические операции над действительными числами 1.6. Свойства действительных чисел 1.7. Неравенства для абсолютных величин Глава 2. Теория пределов 2.1. Числовая последовательность и ее предел 2.2. Простейшие свойства сходящихся последовательностей 2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 2.4. Свойства пределов 2.5. Неопределенные выражения 2.6. Монотонные последовательности 2.7. Лемма о вложенных отрезках 2.8. Подпоследовательности, верхний и нижний пределы 2.9. Фундаментальные последовательности, критерий Коши Глава 3. Функции одной переменной 3.1. Понятие функции 3.2. Элементарные функции 3.3. Предел функции 3.4. Свойства предела функции 3.5. Вычисление пределов 3.6. Предел монотонной функции 3.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 3.8. Непрерывность функции в точке 3.9. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва 3.10. Непрерывность и разрывы монотонных функций 3.11. Функции, непрерывные на отрезке 3.12. Равномерная непрерывность функций

Введение 1. Предмет и задачи математического анализа. Среди всех наук математика занимает особое место, так как ее аппарат используется во всех областях человеческой деятельности. Она может быть определена, например, как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Математический анализ - раздел математики, объектами изучения которого являются функции, т.е. переменные величины, зависящие от других переменных величин. Название "математический анализ" представляет собой сокращенное видоизменение старого названия "Анализ бесконечно малых", так что одним из самых важных понятий в нашем курсе будет понятие предельного перехода и связанные с ним понятия. Математический анализ является основным среди фундаментальных курсов, читаемых на специальности "Прикладная математика". Он формирует базу для последующего изучения таких математических дисциплин как дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, методы вычислений, функциональный анализ, методы оптимизации. Аппарат математического анализа является необходимым инструментом для построения и исследования математический моделей, с помощью которых изучаются самые разнообразные процессы и явления окружающего нас мира.

2. Элементы теории множеств. Понятие множества является одним из основных понятий в математике, это первичное понятие, и его нельзя определить через другие, более простые понятия. Множество - это совокупность объектов произвольной природы. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве натуральных чисел, множестве точек

на прямой и т.д. Объекты, входящие в данное множество, называются элементами множества. Будем обозначать множества буквами А, В, ..., Х, У, ..., а их элементы буквами а, b, ..., х, у, ....Тот факт, что элемент а входит в множество А, записывается так: а ∈ А или А ∋ а. Запись а ∉ А означает, что элемент а не принадлежит А. Если все элементы, из которых состоит множество А, входят и в множество В, то А называется подмножеством множества В. В этом случае будем писать: А ⊂ В или В ⊃ А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Любое множество содержит ∅ в качестве подмножества. Для обозначения множеств часто используются фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом описываются элементы, из которых эти множества состоят. Например, N = {1, 2, 3, ...}- множество всех натуральных чисел, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - множество всех целых чисел, А = {х: 5х-2 < 0} - множество, состоящее из всех чисел, удовлетворяющих неравенству 5х-2 < 0. Два множества А и В называются равными (обозначение: А=В), если А ⊂ В и В ⊂ А. Пусть А и В - произвольные множества. Суммой, или объединением, множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств; при этом пишут: С = А ∪ В (или С = А + В). Ясно, что А ∪ А = А; и вообще, если В ⊂ А, то А ∪ В = А, в частности, А ∪ ∅ = А. Операция объединения коммутативна: А ∪ В = В ∪ А. Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Если А, В, С три произвольных множества, то (А ∪ В) ∪ С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В и С. Из этого определения следует, что (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С), т.е. что операция объедине-

ния ассоциативна, поэтому вместо (А ∪ В) ∪ С пишут А ∪ В ∪ С. Если дана совокупность множеств {Аi} (i =1, 2, ..., n), n

то их объединение U Ai состоит из элементов, принадлеi =1

n

жащих хотя бы одному из множеств Аi, при этом U Ai не i =1

зависит от порядка множеств Аi. Произведением, или пересечением, А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Очевидно, что А ∩ А = А; если В ⊂ А, то А ∩ В = В. Если А и В не имеют ни одного общего элемента, то говорят, что множества А и В не пресекаются или что их пересечение есть пустое множество: А ∩ В = ∅. Из определения пересечения следует, что А ∩ В = В ∩ А, т.е. что операция пересечения коммутативна. Если А, В, С - три произвольных множества, то (А ∩ В) ∩ С есть множество элементов, принадлежащих множествам А ∩ В и С, т.е. одновременно всем множествам А, В и С, поэтому операция пересечения, ассоциативна: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) и вместо (А∩В) ∩ С можно писать А ∩ В ∩ С. Для совокупности {Аi} (i = 1, 2, ..., n) множеств их пересечением является множество элементов, принадлежащих сразу всем множествам А1, А2, ..., Аn, обозначается это пересечение через

n

∩ Ai и не зависит от порядка множеств Аi. Так как,

i =1

очевидно, для любого множества А А ∩ ∅ = ∅, то если хотя n

бы одно из множеств Аi =∅, то ∩ Ai = ∅ . i =1

Операции объединения и пересечения связаны между собой соотношениями дистрибутивности: (А∪В)∩С=(А∩С)∪(В∩С) (1) и (А∩В)∪С=(А∪С)∩(В∪С) (2). Докажем равенство (1) (равенство (2) доказывается ана-

логично). Пусть х ∈ (А∪В)∩С, тогда х ∈ А∪В и х ∈ С; так как х ∈ А∪В, то х ∈ А или х ∈ В; пусть, для определенности х ∈ А, тогда х ∈ А∩С и х ∈ (А∩С)∪(В∩С), значит, (А∪В)∩С ⊂ (А∩С)∪(В∩С). Пусть теперь х ∈ (А∩С)∪(В∩С), тогда х ∈ А∩С или х ∈ В∩С, пусть, для определенности, х ∈ А∩С, тогда х ∈ А∪В и х ∈ С, значит, х ∈ (А∪В)∩С, следовательно, (А∩С)∪(В∩С)⊂ (А∪В)∩С. Равенство (1) доказано. Разностью А\В называется совокупность всех тех элементов из А, которые не содержатся в В. Ясно, что А\А = ∅. Заметим, что в общем случае (А\В)∪В ≠ А. Но если В⊂А, то (А\В) ∪В = А.

3. Символика математической логики. Для сокращения записи будем использовать некоторые логические символы. Будем обозначать буквами α,β,γ, ... какие-либо предложения, например, α = { f ( x ) = 0} , β = { f ( x ) ≤ M } и т.д. Запись "α ⇒ β" означает: "из предложения α следует предложение β", знаком "α ⇔β" будем обозначать тот факт, что предложения α и β эквивалентны, т.е. что из α следует β и из β следует α. Запись "∀х ∈ А: α" означает "для всякого (любого) элемента х ∈ А имеет место предложение α", символ ∀квантор всеобщности; запись "∃у ∈ В: β" означает "существует (найдется) элемент у ∈ В, для которого имеет место предложение β", символ ∃- квантор существования. Символом α обозначается отрицание предложения α, т.е. выполнение предложения, противоположного α. Ясно, что " ∀x ∈ A:α " ⇔" ∃x ∈ A:α " и " ∃y ∈ B: β "

⇔ ∀y ∈ B: β , т.е. для того, чтобы построить отрицание данной логической формулы, содержащей символы ∀ и ∃, надо

знак ∀ заменить на ∃ и наоборот, а знак отрицания перенести на предложение, стоящее после двоеточия. В качестве примера построим отрицание предложения " ∃M: ∀x ∈ A:f(x) ≤ M" . " ∃M: ∀x ∈ A:f(x) ≤ M" ⇔ " ∀M: ∃x ∈ A:f(x) ≤ M" ⇔ " ∀M: ∃x ∈ A:f(x) > M" .

1. Действительные числа 1.1. Рациональные числа При изучении основных понятий математического анализа таких, как сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование, необходимо основываться на точно определенном понятии числа. Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел N появилось в связи со счетом предметов, затем было введено Z и множество рациональных чисел m  Q =  , где m, n ∈ Z , n ≠ 0 . Предполагая известной аксиоn  матику натуральных чисел, остановимся подробно на системе аксиом рациональных чисел, среди которых имеются такие, которыми не обладают постоянные числа и которые присущи переменным величинам. Система аксиом рациональных чисел состоит из четырех групп. I. Аксиомы порядка. Эта группа аксиом основывается на понятии "больше", которое обусловливает выполнение следующих свойств: I.1. Для каждой пары рациональных чисел а и b имеет место одно и только одно из соотношений: а = b, a > b, a < b. I.2. Если a > b, b > c, то a > c.

I.3. Если a > b, то найдется такое число с, что a>с> b. II. Аксиомы, связанные с действиями сложения и вычитания. Каждой паре рациональных чисел а и b поставлено в соответствие число а + b, называемое их суммой, удовлетворяющее условиям: II.1. a + b = b + а II.2. (a + b) + c = a + (b + c) II.3. Существует число 0 (нуль) такое, что для любого рационального числа а а + 0=а. II.4. Для любого рационального числа а существует единственное противоположное ему число -а такое, что а + (-а) = 0. Разностью а - b называется число с, которое надо прибавить к b, чтобы получить а. Это число есть а + (-b), так как а + (-b) + b = а + [(-b) + b] = {в силу II.4} = а + 0 = а. II.5. Если a > b, то для любого рационального числа с a + c > b + c. III. Аксиомы, связанные с действиями умножения и деления. Каждой паре рациональных чисел а и b поставлено в соответствие число a ⋅ b (или аb), называемое их произведением, удовлетворяющее условиям: III.1. ab = ba III.2. (ab)с = а(bc) III.3. Существует число 1 (единица), отличное от 0 и такое, что a ⋅ 1 = a для любого рационального числа а. III.4. Для любого рационального числа a ≠ 0 сущест1 такое, что вует единственное обратное ему число a 1 a ⋅ = 1. a Частным чисел а и b называется число с такое, что c ⋅ b = a ; это равенство будет выполнено, если при b ≠ 0 по-

1 ложить c = a , так как b a  1 1  c ⋅ b =  a ⋅  b = a  ⋅ b = a ⋅ 1 = a; c = . b   b b III.5. (a + b)c = ac + bc III.6. Если a > b и c > 0, то ac > bc . IV. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число c > 0, существует натуральное число n такое, что n > c.

1.2. Иррациональные числа Для практических вычислений рациональных чисел вполне достаточно. Однако числа нужны еще для измерения геометрических и физических величин. Для этих целей рациональных чисел уже недостаточно. Так, например, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами единичной длины равна 2 , легко показать, что число 2 p нельзя представить в виде дроби , где p, q - целые числа, q т.е. 2 - иррациональное число. Существуют различные способы введения иррациональных чисел. Наиболее распространенным является способ, основанный на понятии сечения во множестве рациональных чисел, который был предложен в конце 19-го века немецким математиком Р. Дедекиндом. Разбиение множества всех рациональных чисел на 2 непустых множества А и А/ называется сечением, если: 1) каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств А или А/, 2) ∀a ∈ A и ∀a ′ ∈ A′ a < a ′. Множества А и А/ называются при этом нижним и верхним классами соответственно, будем обозначать сече-

ния символом A / A′ . Ясно, что для любого рационального х, меньшего a ∈ A , x ∈ A , и для любого рационального х, большего a ′ ∈ A′ , x ∈ A′. Примеры сечений. 1. Положим A = {a ∈ Q : a < 1}, A′ = {a′ ∈ Q : a′ ≥ 1} . Ясно, что A / A′ является сечением, причем в А/ число 1 является наименьшим элементом, а в А нет наибольшего элемента, так как какое бы а ∈ А ни взять, в силу аксиомы I.3, найдется рациональное число, лежащее между а и 1. 2. Если взять сечение A / A′ такое, что A = {a ∈ Q : a ≤ 1}, A′ = {a′ ∈ Q : a′ > 1} , то у него в А/ нет наименьшего, а в А число 1 является наибольшим элементом. 3. Рассмотрим теперь сечение A / A′ , у которого в А входят все отрицательные рациональные числа, число нуль и все положительные рациональные числа а, для которых

{

}

a 2 < 2, A′ = a ′ ∈ Q: a ′ > 0 и a ′ 2 > 2 . У построенного таким образом сечения в А нет наибольшего элемента, а в А/ наименьшего. Докажем, например, что в А нет наибольшего числа. Пусть а - любое положительное число из А, тогда 1 2  a2 < 2. Легко подобрать n такое, что  a +  < 2 , для чего  n 2a + 1 достаточно взять n > (такое n существует, в силу ак2 − a2 сиомы Архимеда). В самом деле, при любом таком n будет 2a 1 2a 1 , откуда выполняться неравенство 2 − a 2 > + > + n n n n2 2a 1  1 2 + 2 =  a +  < 2 , а это означает, что а не являет n n n ся наибольшим элементом. Аналогично можно показать, что в А/ нет наименьшего числа. a2 +

Достаточно очевидно, что не существует сечений, у которых в нижнем классе имеется наибольшее число и одновременно в верхнем - наименьшее. Таким образом, сечения могут быть трех видов: 1) в А нет наибольшего числа, а в А/ есть наименьшее; 2) в А есть наибольшее число, в А/ нет наименьшего; 3) в А нет наибольшего числа и в А/ нет наименьшего. В первых двух случаях говорят, что сечение производится рациональным числом r (которое является пограничным между классами А и А/), или что сечение определяет рациональное число r (в примерах 1, 2 r = 1). В третьем случае пограничного числа не существует; будем говорить, что сечение 3-го вида определяет некоторое иррациональное число α, которое как бы вставляется между всеми числами a ∈ A и a ′ ∈ A′ (в примере 3 α = 2 ). Для однообразия удобно и рациональные числа определять как сечения. Ясно, что для каждого рационального числа r существуют два определяющих его сечения. Впредь, говоря о сечении, определяющем рациональное число r, условимся включать r в верхний класс. Можно показать, что иррациональные числа представляются в виде бесконечных десятичных непериодических дробей. Множество всех рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных (или вещественных) чисел и обозначается R.

1.3. Упорядочение множества действительных чисел и его непрерывность

Два иррациональных числа α и β, определяемых сечениями А/А/ и В/В/ соответственно, считаются равными в том и только в том случае, если эти сечения тождественны,

т.е. если А = В и А/ = В/. Это определение сохраняет свою силу и в случае, если α и β - рациональные числа. Будем считать, что α > β, если А ⊃ В, причем А ≠ В (или, что то же самое, если А/ ⊂ В/, причем если А/ ≠ В/). Рассматривая сечения в области рациональных чисел, мы видим, что в случае сечения 3-го вида в ней не существует пограничного числа. Именно эта неполнота области рациональных чисел, наличие в ней "пробелов" обусловили введение иррациональных чисел. Рассмотрим теперь сечения в области действительных чисел. Под таким сечением будем понимать такое разбиение этой области на два непустых множества А и А/, что: 1) каждое действительное число попадает в одно и только одно из множеств А и А/; 2) ∀α ∈ A и ∀α ′ ∈ A′ α < α ′ . Оказывается, для любого такого сечения среди действительных чисел всегда найдется пограничное число, производящее это сечение, а именно, имеет место основная теорема Дедекинда: Для всякого сечения А/А/ в области действительных чисел существует действительное число α, которое производит это сечение. Это число α будет либо наибольшим в нижнем классе А либо наименьшим в верхнем классе А/. Это свойство области действительных чисел называют ее полнотой или непрерывностью.

1.4. Границы числовых множеств Рассмотрим некоторое бесконечное множество действительных чисел. Любое из чисел множества обозначим через х, а все множество через Х = {x}. Если существует число M : x ≤ M ∀ x ∈ X , то будем говорить, что множество Х ограничено сверху, а число М - верхняя граница множества Х. Аналогично, если существует m: x ≥ m ∀x ∈ X , то Х называется ограниченным снизу множеством, а число m -

нижней границей. Ограниченные и сверху и снизу множества называются ограниченными. В то же время существуют неограниченные либо сверху, либо и сверху и снизу множества. Если множество неограниченно сверху, то за его верхнюю границу принимается "несобственное" число "+∞", а за нижнюю границу неограниченного снизу множества принимают "-∞", при этом считается, что -∞ < +∞ и для любого конечного действительного α -∞ < α < +∞. Если Х ограничено сверху (снизу), то оно имеет бесконечное множество верхних (нижних) границ. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей (или верхней гранью) и обозначается M ∗ = sup X = sup x . Аналогично наибольшая из всех нижx∈ X

них границ называется точной нижней границей (или нижней гранью) и обозначается m∗ = inf X = inf x . Из опредеx∈ X

∗

∗

ления следует, что если M (m ) - верхняя (нижняя) грань множества Х, то: 1) ∀x ∈ X x ≤ M ∗ ( x ≥ m∗ ) ; 2) для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется x ′ ∈ X такое, что x ′ > M ∗ − ε ( x ′ < m∗ + ε ) . Верно и обратное: если M ∗ (m∗ ) удовлетворяет условиям 1 и 2, то M ∗ (m∗ ) - верхняя (нижняя) грань. Условимся считать, что если Х не ограничено сверху (снизу), то sup X = +∞ (inf X = −∞) . Рассмотрим вопрос о существовании sup и inf для произвольного множества. Для неограниченного множества этот вопрос решен выше. Если множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет бесконечное множество верхних (нижних) границ. Но среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наибольшее или наименьшее. Например, среди всех правильных дробей нет ни наибольшей, ни наименьшей. Тем не менее имеет место теорема:

Если множество Х = {x} ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) границу. Доказательство проведем для верхней грани. Рассмотрим два случая. 1. Среди чисел х множества Х есть наибольшее x . Тогда ∀х ∈ Х х ≤ x , т.е. x является верхней границей множества Х. Но так как x ∈ Х, то для любой верхней границы М x ≤ М, значит, x = sup x. 2. Среди чисел х множества Х нет наибольшего. Произведем сечение в области всех действительных чисел, включив в верхний класс А/ все верхние границы α/ множества Х, а в нижний класс А все остальные действительные числа α. Ясно, что Х ⊂ А, так что оба класса непусты. Это разбиение действительно является сечением, так как все действительные числа входят в один из классов и каждое число из А/ больше любого числа из А. Тогда, по теореме Дедекинда, существует действительное число β, производящее это сечение, при этом ∀х ∈ Х ⊂ А х ≤ β и β является наименьшим в классе А/, т.е. β = sup x. Точно так же доказывается существование нижней грани у ограниченного снизу множества. Из доказательства теоремы вытекает, в частности, что как верхняя, так и нижняя грань могут принадлежать или не принадлежать множеству. Примеры. 1   1) X =  x = , n ∈ N  - ограниченное множество. Ясn   но, что sup X = 1 ∈ X , inf X = 0 ∉ X . 2) X = { x ∈ R: x ≥ 0} . Это множество ограничено снизу, причем inf x = 0, и неограниченно сверху, так что sup x = +∞ .

1.5. Арифметические операции над действительными числами

Пусть даны два действительных числа α и β. Рассмотрим рациональные числа а, а/ и b, b/, удовлетворяющие неравенствам: a < α < a/ и b < β < b/ (1). Суммой α + β чисел α и β называется такое действительное число γ, которое содержится между всеми суммами вида а+b, с одной стороны, и всеми суммами вида а/+b/ , с другой: а + b < γ < а/ + b/. Можно показать, что для любой пары действительных чисел α и β такое число γ существует и единственно. Кроме того, данное определение суммы не противоречит определению суммы для рациональных чисел (в этом мы убедимся в следующем параграфе). Пусть α, β - положительные действительные числа, и пусть а, а/ и b, b/ - положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (1). Произведением αβ чисел α и β называется такое действительное число γ, которое содержится между всеми произведениями вида аb, с одной стороны, и всеми произведениями вида а/b/ , с другой. Такое число γ существует и единственно, каковы бы ни были положительные действительные числа α и β. Данное определение произведения согласуется с определением произведения для рациональных чисел, что будет показано в следующем параграфе. Пусть теперь α, β - произвольные (не обязательно положительные) действительные числа. Условимся считать, что α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0 , каково бы ни было α. Если оба множителя отличны от 0, то α β = α ⋅ β , если α и β - числа одного знака и α β = − α ⋅ β , если числа α и β имеют разные  α , если α ≥ 0, знаки, где α =  − α , если α < 0.

1.6. Свойства действительных чисел В этом параграфе будет установлено, что введенные выше операции над действительными числами удовлетворяют системе аксиом, сформулированных в 2.1 для рациональных чисел, но для действительных чисел с таким образом введенными операциями эти аксиомы являются свойствами, которые необходимо доказать. Итак, сформулируем четыре группы свойств действительных чисел, ограничившись доказательством лишь некоторых из них. Группа А. Свойства порядка. А1. ∀α, β ∈ R имеет место одно и только одно из соотношений: α = β, α > β, α < β. А2. Если α > β и β > γ, то α > γ. Доказательство. Так как α > β, то А ⊃ В, а так как β > γ, то В ⊃ С, где А/А/, В/В/ и С/С/ - сечения, определяющие числа α, β и γ соответственно. Из включений А ⊃ В и В ⊃ С вытекает А ⊃ С, причем А ≠ С, значит, α > γ. А3. Если α > β, то найдется γ такое, что α > γ > β (свойство плотности). Заметим, что какими бы (быть может, сколь угодно близкими) ни были α и β такие, что α > β, чисел γ, удовлетворяющих неравенству α > γ > β, можно выбрать сколь угодно много. Свойство А3 может быть усилено таким образом: каковы бы ни были два действительных числа α и β такие, что α > β, найдется рациональное число r, удовлетворяющее неравенству: α > r > β (на самом деле таких рациональных чисел - бесчисленное множество). Группа Б. Свойства операций сложения и вычитания. Б1. α + β = β + α. Б2. (α + β) + γ = α + (β + γ). Б3. α + 0 = α.

α - β).

Б4. α + (-α) = 0 (число α + (-β) называется разностью

Б5. Из α > β следует, что α + γ > β + γ для любого γ. Докажем Б3. Возьмем а, а/, b, b/ такие, что а < α < α/, b < 0 < b/, тогда, очевидно, a + b < a < α < a ′ < a ′ + b ′, откуда, в силу произвольности а, а/, b, b/, и из определения операции сложения следует, что α + 0 = α. Замечание к Б4. Число -α определяется следующим образом: если А/А/ - сечение, соответствующее числу α, то к нижнему классу A числа -α отнесем все рациональные числа -а/, где а/ - любое число из класса А/, а в верхний класс A включим все числа -а, где а - любое число из класса А. Группа В. Свойства операций умножения и деления. В1. αβ = βα. В2. (αβ)γ = α(βγ). В3. α1 = α. 1 В4. Если α ≠ 0, то α ⋅ = 1 (если β ≠ 0, то число

α

α⋅

1

β

α ). β В5. (α + β)γ = αγ + βγ. В6. Из α > β и γ>0 следует, что αγ > βγ.

называется частным

Докажем, например, В2. Пусть сначала α, β, γ > 0. Возьмем произвольные а, а/, b, b/, с, с/ такие, что 0 < a < α < a/, 0 < b < β < b/ , 0 < c < γ < c/. Тогда ab < αβ < a/ b/ , bc < βγ < b/ с/ и (аb)с < (αβ)γ < (а/b/ )с/, а(bc) < α(βγ) < а/(b/ с/), но (ab)с = а(bc) = abc, (а/b/)с/ = а/(b/с/) = а/b/с/, т.е. получили, что abc < (αβ)γ < а/b/с/ и abc < α(βγ) < а/b/ с/ , откуда в силу произвольности а, а/, b, b/, c, с/, и из определения операции умножения следует, что (αβ)γ = α(βγ). В случае чисел произвольных знаков надо лишь учесть правило знаков.

Замечание к В4. Если положительное число α опре1 ~ ~ деляется сечением А/А/, то для числа сечение А / А / α ~ строится таким образом: в класс А включаются все отрица1 тельные числа и нуль, а также все числа вида / , где а/ а ~/ / любое число класса А , а в верхний класс А включим все 1 числа вида , где а- любое положительное число класса а ~ ~ А. Легко убедиться в том, что А / А / - сечение, определяю1 щее положительное число, которое и обозначим через .

α

Если α < 0, то полагаем

1

α

=−

1

α

.

Группа Г. Архимедово свойство. Каково бы ни было число γ < 0, существует натуральное число n такое, что n > γ. В самом деле, если С/C/- сечение, определяющее γ, то ∀с ′ ∈ С ′, с ′ φ γ , но по аксиоме Архимеда для рациональных чисел существует натуральное число n , большее с/, а тогда и подавно будет n > γ. Из архимедова свойства следует, в частности, что каково бы ни было ε φ 0 , всегда можно указать натуральное 1 число n такое, что π ε . n

1.7. Неравенства для абсолютных величин Здесь мы остановимся на наиболее часто применяемых неравенствах, содержащих абсолютные величины действительных чисел.

1) Если β > 0, то неравенство α π β эквивалентно двойному неравенству: -β < α < β. В самом деле, если α π β , то α < β и -α < β, т.е. α >-β; значит, -β < α < β. Обратно, если α < β и α > -β, то имеем одновременно: α < β и -α < β, т.е. α π β . 1а) α ≤ β ⇔ − β ≤ α ≤ β . 2) α + β ≤ α + β . Это неравенство вытекает из очевидных неравенств: − α ≤ α ≤ α и − β ≤ β ≤ β , складывая которые почленно, получаем: − ( α + β ) ≤ α + β ≤ α + β , откуда, в силу 1а), получаем требуемое. 2а) α − β ≤ α + β . Это следует из 2), если в нем β заменить на -β. 3) α − β ≥ α − β . Т.к. α = (α + β) - β, то в силу 2а), α ≤ α + β + β , откуда и следует требуемое. 3а) α − β ≥ α − β . Вытекает из 3) с помощью замены β на -β. 4) α + β ≥ β − α . Т.к. β = (α + β) - α то в силу 2а), β ≤ α + β + α , откуда следует требуемое. 4а) α − β ≥ β − α . Получается из 4), если в нем β заменить на -β. 5) α − β ≥ α − β . Это следует из 3а) и 4а) с учетом 1а).

2. Теория пределов. 2.1. Числовая последовательность и её предел

Переменная величина x считается заданной, если указано множество X={x} значений, которые она может принять. Постоянную величину можно рассматривать как частный случай переменной: ее множество значений состоит из одного элемента. При введении понятия предела переменной величины x недостаточно знать лишь из какого числового множества X принимает значения эта переменная, а надо знать также, какие именно значения и в каком порядке она их принимает. Пусть дан натуральный ряд чисел: 1, 2, ..., n, .... Если каждому n по какому-либо закону сопоставить некоторое действительное число xn, то получаем так называемую числовую последовательность: x1, x2, ..., xn, ...(1), члены или элементы которой xn занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров. Коротко последовательность (1) будем обозначать {xn}. Часто переменную x, принимающую последовательность значений вида (1), называют вариантой. Примеры последовательностей: 1  1 1  1)   = 1, , ,... , n   2 3  1 1   1  2) −  = − 1,− ,− ,... , 2 3   n  1  1 1   3) ( −1) n + 1  = 1,− , ,... , n  2 3    n − 1  1 2  4)   = 0, , ,... ,  n   2 3 

{

}

, ,−11 , ,...} , 5) ( − 1) n = {− 11 6) xn = a ∀ n - стационарная последовательность. Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если ∀ε>0 ∃Ν=Ν(ε) такое, что при всех

n>N выполняется неравенство xn − a < ε (2), при этом будем писать lim xn = lim xn = a или xn → а и говорить, что n →∞

последовательность {xn} (или варианта x = xn) стремится (сходится) к числу а. Неравенство (2), очевидно, эквивалентно двойному неравенству а-ε < xn < a+ε, которое геометрически означает, что точка (число) xn принадлежит интервалу (а-ε, а+ε). В дальнейшем этот интервал будем называть ε - окрестностью точки а и обозначать Uε(a). Поэтому на геометрическом языке определение предела можно сформулировать таким образом: варианта x = xn имеет пределом число (точку) а, если ∀ε > 0 ∃Ν = Ν(ε) такое, что при всех n>N xn ∈ Uε(a). А это означает то, что каково бы ни было мало ε > 0, вне Uε(a) если есть точки, изображающие члены последовательности {xn}, то их конечное число. Примеры. 1) Легко проверить, что последовательности 1)-3) 1 стремятся к 0. Возьмем, например, xn = , ясно, что при n 1 1 1 n> xn − 0 = < ε , так что можно положить N=   *) . n ε n Отличаются эти последовательности друг от друга тем, что все члены первой последовательности больше предельного значения, все члены второй - меньше, а третья последовательность характерна тем, что ее члены попеременно становятся то больше, то меньше предела.

2) Покажем, что lim

n −1 = 1, неравенство n

n −1 1 − 1 = < ε будет выполнено при всех n > N, где n n 1 N=  . ε  3) Пусть xn = n a (а>1). Докажем, что lim xn =1. Для доказательства воспользуемся неравенством Бернулли: (1+х)n > 1+nx ∀x>0, в котором положим x = n a − 1, тогда a −1 a > 1 + n( n a − 1) , откуда n a − 1 < , поэтому неравенстn во

x n − 1 = n a − 1 < ε будет выполнено при n > N =

 a − 1  ε  .

2.2. Простейшие свойства сходящихся последовательностей Сходящимися будем называть последовательности {xn}, для которых существует конечный lim xn = a. 1. Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: Пусть lim xn = a. Тогда для ε = 1 найдется N(1) такое, что для n > N(1) будет выполняться неравенство x n − a < 1, тогда, в силу 1а) (§2.7), x n < a + 1.

{

}

Если положить М = max x1 ,..., x n , a + 1 , то для всех n = 1, 2,... будет выполнено неравенство x n ≤ M , т.е. последовательность {xn} ограничена. Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, x n = ( −1) n + 1 .

*)

Символ [a] означает целую часть числа.

2. Если lim xn = a, то ∀p: pN будет выполняться неравенство xn>p. Доказательство. Возьмем ε < a-p. Тогда ∃N=N(ε) такое, что при n > N xn > a-ε > a-(a-p)=p, т.е. xn > p. Точно так же можно показать, что если lim xn = a и q>a, то при достаточно больших n будет xn < q. Следствие. Если lim xn = a и а>0 (а0 (xn r > 0 . 3. Сходящаяся последовательность не может иметь больше одного предела. Доказательство. Допустим, вопреки доказываемому, что lim xn = a и lim xn = b, причем a0 ∃Ν=Ν(ε) такое, что при n>N α n < ε . Легко видеть, что если xn → a, то разность αn = xn - a есть бесконечно малая, и обратно, если αn - бесконечно малая, то xn → a, т.е. для того, чтобы варианта xn имела своим пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы разность αn = xn - a была бесконечно малой, или, что то же самое, чтобы xn имело вид xn = a+αn, где αn - бесконечно малая.

Варианта β = βn называется бесконечно большой величиной (или просто бесконечно большой), если для любого сколь угодно большого Е>0 существует N=N(E) такое, что при n>N βn > E . При этом будем писать lim βn = ∞ или βn → ∞ и говорить, что βn стремится к бесконечности. Если бесконечно большая βn принимает только положительные или только отрицательные значения (по крайней мере, при достаточно больших n), то говорят, что lim βn = +∞ или βn → +∞ и соответственно lim βn = -∞ или βn → -∞. Множества (Е, +∞), (-∞, Е), {x: |x|>E}, где Е - произвольное число, называются окрестностями "точек" соответственно +∞, -∞, ∞. Отметим следующие очевидные свойства бесконечно малых и бесконечно больших: 1 1. Если βn - бесконечно большая, то α n = - бесβn конечно малая. В самом деле, возьмем произвольное ε > 0. Так как 1 lim |βn| = ∞, то для Е = найдется N=N(E) такое, что при

ε

n>N βn >

1 1 , тогда при этих n α n = < ε , что и требоE βn

валось. 2. Точно так же можно доказать, что если αn - беско1 - бесконечно большая. нечно малая, то βn =

αn

3. Если xn - ограниченная варианта, αn - бесконечно малая, то xnαn - бесконечно малая.

Действительно, ∃M>0 такое, что ∀n |xn|≤M. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда можно подобрать N=N(ε) такое,

αn
N

4. Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть также бесконечно малая. Доказательство. Ясно, что достаточно доказать для двух слагаемых. Пусть αn, βn - бесконечно малые. Тогда ∀ ε > 0 найдутся N/ = N/(ε) и N// = N//(ε) такие, что при n>N/

αn
N//

βn
N |αn+βn| ≤ |αn|+|βn| < ε, что и требовалось доказать.

2.4. Свойства пределов 1. Если xn=C ∀n, то lim xn = C. 2. Если lim xn = a, lim yn = b, то lim (xn±yn)=a±b (1), lim (xnyn)=ab (2). Доказательство. xn=a+αn, yn=b+βn, где αn, βn - бесконечно малые. Тогда xn±yn=(a±b)+(αn±βn) ⇒ (1), xnyn=ab+(aβn+bαn+αnβn) ⇒ (2). 3. Пусть lim xn = a, lim yn = b, причем yn≠0, b≠0, тоx a гда lim n = . yn b Доказательство. Так как lim yn ≠ 0, то при достаточно больших n |yn| > r >0. При таких n имеем

xn a a + α n a 1 1 − = - ограниченная − = (bα n − aβn ). byn yn b b + βn b by n 1 1 1 варианта, так как = < , bαn -aβn - бесконечно byn br b yn малая, значит

xn a − yn b

- бесконечно малая, поэтому

x a lim n = . yn b 4. Если ∀n xn≤yn и lim xn = a, lim yn = b, то а≤b. Доказательство. Допустим, что a>b. Возьмем r: a>r>b. Тогда ∃ N/ : при n> N/ xn>r, в то же время ∃ N// : при n> N// ynN будут одновременно выполняться неравенства xn>r и ynyn, что противоречит условию. Замечание. Если бы в условии было xn < yn (вместо xn ≤ yn), то все равно можно утверждать только, что a ≤ b. n −1 n +1 Например, xn = , yn = , xn < yn, lim xn= lim yn = 1. n n 5. Если ∀n xn ≤ yn ≤ zn и lim xn = lim zn = a, то lim yn = a. Доказательство. Взяв ε > 0, можно найти N/: при n> N/ xn>a-ε и N// : при n> N// znN=max{ N/ ,N//} a-ε < xn ≤ yn ≤ zn< a+ε, откуда | yn -a|< ε, что и требовалось доказать. Следствие. Если ∀n a ≤ xn ≤ yn и lim yn =a, то lim xn = a. Замечание. Свойства 4, 5 распространяются на случай бесконечных пределов.

2.5. Неопределенные выражения В свойствах 2, 3 предполагалось, что варианты xn и yn стремятся к конечным пределам. Сейчас рассмотрим случаи, когда один или оба предела равны бесконечности, а, в случае частного, когда lim yn = 0. В этих случаях получаются так называемые неопределенные выражения (будем называть их неопределенностями).  0 1. Неопределенность вида   . Пусть lim xn = lim yn  0 x = 0. lim n может иметь различные значения или даже не yn 1 1 существовать. Например, если xn = 2 , yn = , то n n x x 1 1 lim n = 0 ; если xn = , y n = 2 , то lim n = ∞ ; если yn yn n n xn a 1 = а . Наконец, если xn = (a ≠ 0) , yn = , то lim yn n n ( −1) n + 1

x , то lim n = ( −1) n + 1 не существует. yn n n  ∞ 2. Неопределенность вида   . Такого вида неоп ∞ x ределенность возникает при вычислении lim n , когда lim yn xn =±∞ , lim yn =±∞ . например, если xn=n, yn=n2, то x xn 1 = → 0 ; если xn=n2, yn=n, то lim n = lim n = +∞ ; если yn yn n xn =

, yn =

1

[

]

x xn=аn, yn=n, то lim n = а ; если xn = 2 ± ( −1) n + 1 n , yn=n, yn x то lim n = lim 2 + ( −1) n + 1 не существует. yn 3. Если xn→0, yn→±∞, то выражение xn ⋅ yn является неопределенностью вида 0⋅∞. 1 1 1 Примеры: xn = 2 , yn=n, xn y n = → 0 ; xn = , yn=n2, n n n

[

то xnyn=n→∞; xn =

]

a

( −1) n + 1

, yn = n,lim x n yn = a ; xn = , n n yn = n, lim xn yn = lim (-1)n+1 не существует. 4. Если xn, yn стремятся к ∞ разных знаков, то xn + yn представляет собой неопределенность вида ∞ -∞. Примеры: xn = 2n, yn = -n, xn+ yn = n → +∞; xn = n, yn = -2n, то xn+ yn= -n → -∞; xn = n+а, yn = -n, xn+ yn=a → a; xn = n+(-1)n+1, yn = -n, lim (xn+ yn) = lim(-1)n+1 не существует. Далее рассмотрим более содержательные примеры на раскрытие неопределенностей. 1) Пусть P(n)=a0nk+ a1nk –1+...+ ak–1n+ ak, Q(n)=b0nl+ b1nl –1+...+ bl–1n+ bl, где ai ( i = 1, k ), bj( j = 1, l ) – заданные P ( n) представляет собой неопределенность числа. Тогда Q ( n) ∞ вида   , её можно раскрыть таким способом: ∞ a a1 ak  0 , если k = l , a0 + + ... + k b P (n)  0 n k −l n = lim n = ± ∞, если k > l , lim b1 bl Q ( n)  0, если k < l. b0 + + ... + l n  n 

[

]

2) Вычислить A = lim (n + 1) k − n k , если 0 < k < 1. k    1   1 1 k k k  0 < (n + 1) − n = n 1 +  − 1 < n k 1 +  − 1 = 1−k . Так  n   n   n  1 как lim 1−k = 0 , то по свойству 5 А = 0. n 3) ( n + 1 − n )( n + 1 + n ) lim n ( n + 1 − n ) = lim n = n +1 + n

= lim

n n +1 + n

4) Вычислить

1+ n

A=∑ i =1

zn =

n n2 +1 n 1

yn = ∑

1

= lim

1 +1 n

1 n2 + i

=

1 2 xn =

. Обозначим

n n2 + n

,

, 1

1

1

= + +Κ + . Ясно, n2 + i n2 + 1 n2 + 2 n2 + n что xn ≤ y n ≤ z n и lim xn = lim z n = 1 , поэтому А = lim yn = 1. i =1

an 5) Вычислить lim k , если a > 1, k > 0. положим a = 1 + λ , n n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 n λ +Κ > λ ; при n тогда a n = (1 + λ ) = 1 + nλ + 2 2 n (a − 1) 2 2 n n −1 > и a > n ; при k = 1 > 2 2 4 a n a n (a − 1) 2 an n lim = +∞ , при k < 1 = > , nk n n 4

an an an > ⇒ = +∞ , lim nk n nk

( )  > (a )

a n  a1 k = n k  n

k

n



1k n

n

всех k > 0, a > 1 lim

⇒ lim

если

k

>1,

то

an = +∞ . Таким образом, при nk

an = +∞ . nk

∞ При раскрытии неопределенностей вида   часто ∞ бывает полезна теорема Штольца: Пусть xn , y n → +∞ , x x − xn−1 , если предел в причем уn+1 > yn. Тогда lim n = lim n yn y n − y n−1 правой части равенства существует. Доказательство. Предположим вначале, что xn − xn−1 lim = l . Тогда ∀ε>0 ∃N такое, что при n > N y n − y n−1 x − xN xn − xn−1 ε ε − l < или n − l < . Рассмотрим разность yn − y N yn − y n−1 2 2

xn − l и преобразуем ее: yn xn x − lyn + xN − xN + ly N − ly N xN − ly N l ( y N − yn ) −l = n = + + yn yn yn yn  xn − xN yn − y N x − ly N  x  x − xN − l  ⇒ ⋅ = N + 1 − n  n yn − y N yn yn yn  yn − y N   x x − ly N x − xN ⇒ n −l ≤ N + n − l < ε при n > N/, где N/ > N yn yn yn − y N x x − ly N ε < . Таким образом, lim n = l . таково, что N yn 2 yn +

xn − xn−1 = +∞ . Тогда при достаточy n − xn−1 но больших n xn − xn−1 > yn − y n−1 , значит, варианта xn возy − y n−1 y растает, и применив теорему к n , так как lim n =0, xn xn − xn−1 y x получим, что lim n = 0 , откуда lim n = ∞ , что и требоваxn yn лось доказать. Рассмотрим еще примеры. log a n (a > 1) . Полагая xn = log a n , 6) Вычислить A = lim n y n = n , получаем: log a n − log a (n − 1) n = lim log a = log a 1 = 0 . A = lim n − (n − 1) n −1 6) Пусть lim a n = a . Найдем lim bn , где a + a2 + Κ + an . Положим bn = 1 n xn = a1 + a2 + Κ + an , yn = n , тогда (a + a2 + Κ + an ) − (a1 + a2 + Κ + an−1 ) lim bn = 1 = lim an = a n − (n − 1) . 1k + 2 k + Κ + n k 8) Вычислить A = lim (k ∈ N ) . Полаn k +1 xn = 1k + 2 k + Κ + n k , y n = n k +1 , получаем: гая Пусть теперь lim

A = lim

nk . Так как n k +1 − (n − 1) k +1

(n − 1) k +1 = n k +1 − (k + 1)n k + Κ , то A = lim

nk 1 = . k (k + 1)n + Κ k +1

2.6. Монотонные последовательности Числовая последовательность {xn} (варианта xn) называется возрастающей (убывающей), если ∀n xn+1 > xn (xn+1 < xn). Аналогично вводятся понятия невозрастающей и неубывающей вариант. Варианта называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей, либо невозрастающей, либо неубывающей. Теорема. Неубывающая (не являющаяся стационарной) ограниченная сверху варианта xn сходится. Если неубывающая варианта xn не ограничена сверху, то lim xn = +∞. Аналогично, невозрастающая ограниченная снизу варианта имеет конечный предел, а если невозрастающая варианта не ограничена снизу, то lim xn = –∞. Доказательство. Пусть xn – неубывающая ограниченная сверху варианта. Тогда множество ее значений {xn} имеет верхнюю грань а = sup{xn}. Значит, для всех n xn ≤ a и ∀ε > 0 найдется номер N, такой, что xN > a-ε, а, в силу неубывания xn, при n > N xn > xN, значит, при n > N |xN – a| 0 ни взять, найдется по крайней мере одно значение xN , большее ε, а так как xn – неубывающая варианта, то при n > N xn > ε, значит, lim xn = +∞. Теорема доказана. Примеры. cn 1) Пусть xn = (с > 0). Ясно, что n! c n +1 c xn +1 = = xn ⋅ (n + 1)! n +1

(1)

и при n > c-1 xn+1 < xn, т. е. варианта xn убывает и, очевидно, ограничена снизу, в частности, нулем. Значит, существует lim xn= a, но и lim xn+1= a. переходя в (1) к пределу, получаем а = а⋅0 = 0 ⇒ а = 0. 2) xn = c + c + Κ + c (с > 0). Ясно, что xn+1 = c + xn . Варианта xn, очевидно, возрастает и ограничена сверху, например, числом c + 1 . Значит, lim xn = lim xn+1 = a ⇒ а2 = с +а⇒ a=

4c + 1 + 1 . 2

3) Пусть a > b > 0. положим a1 =

a+b , b1 = ab , a> a1 >b1 > 2

a1 + b1 , b2 = a1b1 , a1 > a2 > b2 > b1. Про2 a + bn должая так далее, имеем: an+1 = n , bn+1 = an bn . Так 2 как, очевидно, an > an+1 > bn+1 > bn, то an – убывающая, bn – возрастающая варианты, причем a > an > bn > b, т. е. обе варианты ограничены, значит, имеют пределы α = lim an, β = a + bn lim bn. Переходя к пределу в равенстве an+1 = n (или в 2 равенстве bn+1 = an bn ), получаем α = β = µ(a, b) – среднее арифметико-геометрическое чисел a и b. b. Пусть далее a2 =

n

 1 4) xn = 1 +  . Покажем, что это возрастающая варианта.  n В самом деле, по формуле бинома Ньютона:

1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) 1 xn = 1 + n ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 +Κ + n n n 2! 3! n(n − 1)Κ (n − k + 1) 1 n(n − 1)Κ (n − n + 1) 1 + ⋅ k +Κ + ⋅ n = k! n n! n (1) 1  1  1  1  2  = 1 + 1 + 1 −  + 1 − 1 −  + 2!  n  3!  n  n  1  1   n −1  + Κ + 1 −  Κ 1 −  n!  n   n  При переходе к xn+1 добавится новый, (n+2)-й член, а каждый из записанных членов увеличится, т. е. xn+1 > xn. В ограниченности сверху можно убедиться, если в (1) опустить все множители в скобках: 1 1 1 1 1 1 xn < 2 + + + Κ + < 2 + + 2 + Κ + n−1 < 3 . Значит, n! 2 2 2 2! 3! варианта xn имеет конечный предел, равный e = 2,7182818284… – иррациональное число. Таким образом, n

 1 lim1 +  = e .  n

2.7. Лемма о вложенных отрезках Лемма. Пусть задана последовательность отрезков

σn=[an, bn] (n=1, 2, …), вложенных друг в друга, т.е. таких, что σn+1 ⊂ σn с длинами, стремящимися к нулю: dn = bn -

an→0. Тогда существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Доказательство. Ясно, что при любом фиксированном m a1≤ a2≤ …≤bm, так что числовая последовательность {an} является неубывающей и ограниченной сверху, значит, по предыдущей теореме существует число с такое, что lim аn = с, при этом an ≤ c ≤ bm. Так как в этих неравенствах n и

m произвольны, то при любом n будет выполняться неравенство an ≤ c ≤ bn, т.е. с ∈σn ∀n. Покажем, что найденная точка с – единственная, удовлетворяющая сформулированному свойству. Пусть существует другая точка с/ ∈σn ∀n. Тогда an ≤ c ≤ bn и an ≤ c/ ≤ bn, откуда bn - an ≥ |c/ - c| ∀n, а это противоречит условию: dn → 0, что и требовалось доказать. Замечание. Доказанная лемма часто используется в другой формулировке: Пусть {xn} – неубывающая, {yn} – невозрастающая последовательности, причем ∀n xn < yn и, по крайней мере, одна из этих последовательностей имеет общий конечный предел: с = lim xn = lim yn.

2.8. Подпоследовательности, верхний и нижний пределы Пусть дана числовая последовательность {xn}, выберем из ее членов бесконечное множество элементов с номерами n1< n2 < n3 < … < nk < nk+1 0 можно найти такое N, что при n > N |xn – a| K будет выполняться неравенство: nk > N. Тогда при таких k будет выполняться и неравенство: xnk − a < ε , т. е. lim xnk = a . Точно так же можно убедиться в том, что если lim xn = ∞, то и lim xn = ∞.

Если последовательность {xn} не имеет предела, то она может иметь сходящиеся подпоследовательности. Например, варианта xn= (-1)n+1 не имеет предела, но варианты x2k-1 = 1 и x2k = -1, являющиеся подпоследовательностями, имеют пределы, равные 1 и –1 соответственно. Из любой ли последовательности действительных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность? Ясно, что если последовательность {xn} не ограничена сверху (снизу), то она, очевидно, содержит подпоследовательность, стремящуюся к +∞ (-∞). Положительный ответ можно дать и в случае ограниченной последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности {xn} можно извлечь подпоследовательность {xn}, имеющую конечный предел, который называется частичным пределом. Доказательство. Так как {xn} – ограниченная последовательность, то все числа, ее составляющие, заключены между некоторыми числами a и b. Разделим отрезок [a, b] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содержаться бесконечное множество элементов данной последовательности. Обозначим эту половину [a1, b1] (если в обеих половинах содержится бесконечное множество элементов из {xn}, то любую из них). Отрезок [a1, b1] также делим пополам и обозначим через [a2, b2] ту из половин, которая содержит бесконечное множество элементов из {xn} и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-м шагу получим отрезок [ak, bk], содержащий бесконечное множество элементов из {xn}. Ясно, что длина k-го отрезка равна b−a bk − ak = k , которая стремится к нулю при k → ∞. Тогда 2 по лемме о вложенных отрезках lim ak = lim bk= c. Построим теперь подпоследовательность {xnk } , сходящуюся к с, следующим образом. В качестве xn1 возьмем

любой из элементов xn, содержащихся в [a1, b1], за xn2 возьмем любой из xn, больших x n1 и содержащихся в [a2, b2] и т. д. На k-м шаге в качестве xnk возьмем любой из xn, больших выбранных ранее xn1 , xn2 ,…, xnk −1 и содержащихся в [ak, bk]. Такая процедура всегда осуществима, так как каждый из отрезков [ak, bk] содержит бесконечное множество чисел xn, т. е. содержит элементы xn со сколь угодно большими номерами. Так как ∀k ak ≤ xnk ≤ bk и lim ak = lim bk= c, то и lim xnk = c , что и требовалось доказать. Таким образом, у любой последовательность существуют частичные пределы (конечные или бесконечные). Можно показать, что среди этих частичных пределов есть наибольший и наименьший, они называются верхним и нижним пределами соответственно и обозначаются limxn и limxn . Сформулируем точное определение: Верхним (нижним) пределом последовательности {xn} называется конечное или бесконечное число M (m), обладающее двумя свойствами: 1) существует подпоследовательность {xnk } такая, что lim xnk = M (m) ; 2) для любой сходящейся подпоследовательности lim xnk ≤ M (≥ m) . Ясно, что если {xn} не ограничена сверху, то из нее можно извлечь подпоследовательность {xnk } такую, что lim xnk = +∞ , так что limxn = +∞ . Аналогично, если {xn} не ограничена снизу, то limxn = −∞ . Может оказаться, что limxn = −∞ , тогда limxn = −∞ и lim xn = −∞ . Аналогично,

если limxn = +∞ ,то limxn = +∞ и lim xn = +∞ .

В общем случае имеет место утверждение: для любой числовой последовательности {xn} limxn ≤ limxn , равенство в этом соотношении имеет место тогда и только тогда, когда существует lim xn (конечный или бесконечный), и тогда limxn = limxn = lim xn .

2.9. Фундаментальные последовательности, критерий Коши Числовая последовательность {xn} называется фундаментальной (или сходящейся в себе), если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что при n, m > N выполняется неравенство |xn-xm| 0 ∃N такое, что при всех n > N |xn – a| N, то для таких n и m будут одновременно выполняться неравенства: |xn – a| K(ε ) xnk − c < ε / 2 . В силу (1) для

взятого ε найдется такое N(ε), что при n, m > N(ε) | xn-xm | < ε/2 (3). Так как nk → 0 при k → ∞, то можно найти такое k1 > K(ε), что nk1 > N (ε ) , поэтому xnk1 − c < ε / 2 . Полагая в (3) m = nk1 , получим: xn − c = xn − xnk1 + xnk1 − c ≤ xn − xnk1 + xnk1 − c < ε 2 + ε 2 = ε

т. е. lim xn = c .

3. Функции одной переменной 3.1. Понятие функции Пусть Х – числовое множество и пусть задан закон, по которому каждому значению переменной х из Х поставлено в соответствие одно определенное значение переменной y, тогда переменная у называется функцией от переменной х, заданной на Х (обозначение y=f(x), y=ϕ(x), y=y(x) и т. д.), при этом х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная. Функции могут задаваться, вообще говоря, различными способами. В математическом анализе рассматриваются, как правило, функции, заданные аналитически, т. е. в виде формулы, указывающей на те операции или действия над значениями переменной х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение переменной у. Кроме аналитического способа существуют также табличный и графический способы. Пусть дана функция y=f(x) (1). Множество Х всех значений переменной х, при которых правая часть равенства (1) имеет смысл, называется областью определения функции f(x). Множество Y всех значений переменной у таких, что y=f(x), где х ∈ Х, называется областью изменения функции f(x), или образом множества Х при отображении f, при этом говорят, что функция f отображает X на Y (запись: f(Х)=Y или f: X→Y).

Если функции f и ϕ заданы на одном и том же множестве Х, то естественным образом определяются сумма f f +ϕ, разность f –ϕ, произведение f ⋅ϕ, частное . Это новые

ϕ

функции, значения которых выражаются соответственно f ( x) , х ∈ Х, где в формулами f (х)+ϕ(х), f (х)–ϕ(х), f (х)⋅ϕ(х), ϕ ( x) случае частного предполагается, что ϕ(х)≠0 на Х. Пусть f: X→Y, а ϕ: Y→Z, тогда z=ϕ(f(x)) называется функцией от функции или суперпозицией функций f и ϕ; она определена на Х и отображает X в Z. Возможна более сложная ситуация типа: f: X→Y, ϕ: Y→Z, ψ: Z→U, тогда f: X→U, т. е. z=ψ(ϕ(f(x))) и так далее. Важным средством задания функции является график. Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Оху, на оси Ох возьмем отрезок [a, b] и построим какую-либо кривую, обладающую свойством: какова бы ни была точка x ∈[a, b], прямая, проходящая через нее параллельно оси Оy, пересекает кривую Г в одной точке М. Такую кривую будем называть графиком. График задает на отрезке [a, b] функцию y = f(x) следующим образом: если х – произвольная точка отрезка [a, b], то соответствующее значение y = f(x) определяется как ордината точки М. Таким образом, с помощью графика дается вполне определенный закон соответствия между х и y = f(x). Мы задали функцию с помощью графика на множестве Х = [a, b]. В других случаях Х может быть интервалом, полуинтервалом, всей действительной осью и т. д. Функция на различных частях области опреде-

ления может быть задана различными формулами. Например, пусть поезд, вышедший из пункта А в момент времени t = 0, в течение двух часов шел со скоростью 100 км/час и, прибыв в пункт В, стоял там один час, а затем в течение трех часов со скоростью 80 км/час двигался дальше. Тогда функция s = f(t), выражающая расстояние от поезда до пункта А в момент времени t, будет иметь вид: при 0 ≤ t ≤ 2, 100t  f (t ) = 200 при 2 < t ≤ 3, 200 + 80(t − 3) при 3 < t ≤ 6.  И, наконец, рассмотрим табличный способ задания функции. Пусть, например, измеряется температура Т воздуха через каждый час в течение суток. Тогда зависимость температуры от времени можно представить в виде таблицы, в которой каждому моменту времени t = 0, 1, 2, …, 24 соответствует определенное значение Т: t T

0 T0

1 T1

2 T2

… …

24 T24

Если каждому значению переменной х ∈Ε, в силу некоторого закона, соответствует некоторое множество ех значений переменной у, то говорят, что этим законом определяется многозначная функция y = f(x). Если для каждого х ∈Ε множество ех состоит из одного числа, то получаем однозначную функцию. В дальнейшем под словом «функция» будем понимать именно однозначную функцию.

3.2. Элементарные функции 1. Постоянная функция у = С. Каждому действительному числу х ставится в соответствие одно и то же значение переменной у, равное С.

2. Степенная функция у = хα, где α – любое постоянное действительное число (заметим, что операция возведения в степень любого действительного числа с любым действительным показателем и операция логарифмирования для любого положительного действительного числа при положительном действительном основании могут быть введены с помощью сечения). В случае, если α – иррациональное число, будем предполагать х > 0 (х = 0 допускается лишь при α > 0). 3. Показательная функция у = ах, где а > 0, а ≠ 1; х может принимать любое действительное значение. 4. Логарифмическая функция у = log a x, где а > 0, а ≠ 1; х принимает лишь положительные значения. 5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x (иногда еще используются функции y = sec x, y = cosec x). Следует иметь в виду, что аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, выражают эти углы в радианах. Функции sin x и cos x определены для всех значений аргумента, для tg x и sec x исключатся значения вида (2k + 1)

π

2

(k ∈ Z ) , а для

ctg x и cosec x – значения вида kπ (k∈Z). функции y = Arcsin 6. Обратные тригонометрические x, y = Arccos x, y =Arctg x, y = Arcctg x (а также y = Arcsec x и y = Arccosec x). Заметим, что значения обратных тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, выражают эти углы в радианах. Указанные функции являются многозначными. Обычно рассматривают лишь одну “ветвь” каждой из этих функций: y = аrcsin x, y = аrccos x (эти функции определены на отрезке [-1, 1]), y =аrctg x, y = аrcctg x (эти функции определены на всей числовой прямой), при этом Arcsin x = аrcsin x + 2kπ, Arccos x= аrccos x + 2kπ, Arcctg x = аrcctg x + kπ, Arcctg x = аrcctg x + kπ, k ∈ Z.

Перечисленные функции 1 – 6 будем называть простейшими элементарными функциями. Всякая функция, составленная из простейших элементарных функций с помощью применения конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Замечания: 1. В качестве упражнения настоятельно рекомендуется самостоятельно построить графики простейших элементарных функций с указанием их основных свойств. 2. Иногда к простейшим элементарным функциям относят также следующие функции (которые, вообще говоря, могут быть получены из функций 1 - 6): 1) целая рациональная функция, или многочлен степени n y=P(x)=a0xn + a1xn-1 + …+ an-1x + an, где а0, а1, а2, …, аn – заданные действительные числа, называемые коэффициентами; областью определения многочлена является вся числовая прямая; 2) дробная рациональная функция, являющаяся отношением двух многочленов P( x) a0 x n + a1 x n−1 + Κ + an−1 x + an = , она определена y= Q( x) b0 x m + b1 x m−1 + Κ + bm−1 x + bm для всех значений х, кроме тех, для которых Q(x) = 0; 3) гиперболические функции: e x − e−x e x + e−x sh x = , ch x = , 2 2 sh x e x − e − x ch x e x + e − x th x = = x , cth x = = ch x e + e − x sh x e x − e − x (гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс), они определены для всех значений х, за исключением cth x, который не определен при х = 0; эти функции проявляют замечательную аналогию с тригонометрическими функциями:

ch (x ± y) = ch x⋅ch y ± sh x⋅sh y, sh(x ± y) = = sh x⋅ch y ± ch x⋅sh y, откуда ch2 x–sh2 x=1, ch 2x = ch2 x+ sh2 x, sh 2x=2ch x⋅ch x; проверим, например первую формулу: ex+ y + ex− y 2 e x + y + 2e x − y ch( x + y ) = = = 2 4 e x+ y + e x− y + e x+ y − e x− y + e− x− y + e− x+ y + e− x− y − e− x+ y = = 4 =

e x (e y + e − y ) + e x ( e y − e − y ) + e − x (e y + e − y ) − e − x ( e y − e − y ) = 4

=

e x + e− x e y + e− y e x − e− x e y − e− y ⋅ + ⋅ = ch x ⋅ ch y + sh x ⋅ sh y. 2 2 2 2

3.3. Предел функции Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, самой этой точки (под окрестностью точки х = а будем понимать любой интервал, содержащий эту точку; в частности, δ - окрестностью точки х = а Uδ(а) будем называть интервал (а-δ, а+δ)). Число А называется пределом функции y = f(x) в точке х = а (или при х→ а), если ∀ε > 0 ∃δ =δ(ε): 0 < |x - a| 0 и подберем δ так, чтобы при |x a| 0 существует такое ∆ > 0, что |f(x) - A| < ε, как только х > ∆ (х < -∆), будем писать при этом: lim f ( x) = A . Это определение эквивалентно x → +∞ ( x →−∞ )

следующему: Число А есть предел функции f(x) при х→ +∞ (-∞), если функция определена для всех х таких, что х > M (x < M) при некотором M >0 и для любой последовательности {хn}, сходящейся к +∞ (-∞) lim f(xn) = A. В дальнейшем в выражении lim f ( x) = A под а будем x →a

понимать конечное число или ∞, и можно дать общее определение: число А называется пределом функции f(x) при х→ а (или ∞), если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а, кроме, быть может, самой этой точки, и если ∀ε > 0 найдется такая окрестность U(a) точки х=а, что ∀х∈ U(a) имеет место неравенство |f(x) - A| M (x < -M), где M >0 – любое число.

3.4. Свойства предела функции В силу 2-го определения, все свойства предела варианты, перефразировав, можно автоматически перенести на предел функции. Например, 2-е простейшее свойство можно сформулировать так: 1. Пусть lim f ( x) = A (конечное число) и A>p (Ap (f(x)p (A + ε ∆ будет выполняться неравенство ах > E. Аналогично можно показать, что lim a x = 0 (при а>1). x → −∞

1 Если а∈(0, 1), то lim a x = lim   x →+∞ x →+∞ a  

−x

=0 и

−x

1 lim a = lim   = +∞ . x → −∞ x → −∞ a   2) Если а>1, то lim log a x = +∞ , lim log a x = −∞ . x

x → +∞

x → +0

В этом можно убедиться следующим образом: возьмем произвольное Е > 0, тогда при х > aЕ будем иметь log a x >E, а при х∈(0, a-Е) будет выполняться неравенство log a x <E. an 3) Из полученного в 2.5 предела lim k = +∞ легко n →∞ n x a получить, что lim k = +∞ (а > 1, k > 0). x → +∞ x

4) Аналогично, используя полученный там же реlog a n = 0 (а>1), можно показать, что зультат: lim n →∞ n log a x lim = 0 (а>1). Отсюда, заменив х на хk (k > 0), можно x → +∞ x log a x = 0 , откуда получаем (заменой х на получить, что lim x → +∞ xk 1 ): lim x k log a x = 0 (а > 1, k > 0). x x→+0 5) В приложениях часто используется следующий sin x = 1 (1). Из геометрических соображений предел: lim x →0 x легко установить, что при х ∈ (0, π/2) sin x < x < tg x (2). Разx 1 < , или делив (2) на sin x, получим: 1 < sin x cos x sin x sin x 1> > cos x , откуда 0 < 1 − < 1 − cos x , а так как x x sin x x x 1 − cos x = 2 sin 2 < 2 sin < x (в силу (2)), то 0 < 1 − <x, 2 2 x sin x − 1 < x , отсюда и следует (1). или x Замечания: 1. Доказанный предел часто называют первым замечательным пределом. 2. Предел (1), как правило, применяется в более общей sin α ( x) = 1 . Например, форме: если limα ( x) = 0 , то lim x →a α ( x) x →a x −1 x −1 2 sin 2 sin 2 1 − cos ( x − 1) 2 = 2 lim 2 =1. = lim lim 2 2 2 x →1 x →1 x →1 2 ( x − 1) ( x − 1)  x −1  4   2 

6)

2-м

замечательным

пределом

часто

называют

x

 1 lim 1 +  = e (3). x →±∞ x  Предел (3) при х→+∞ докажем, исходя из доказанного в 2.6 предела числовой последовательности n

 1 lim1 +  = e . Заметим прежде всего, что, по теореме из n →∞  n 3.7, для любой последовательности натуральных чисел {nk}, nk

 1  стремящейся к ∞, lim1 +  = e . Пусть х пробегает ка nk  кую-либо последовательность {хk} значений, стремящуюся к +∞, причем можно считать, что ∀k xk > 1. Положим nk = [ 1 1 1 xk], так что nk ≤ xk < nk+1 и nk → +∞. Тогда < ≤ , nk + 1 x k nk nk

xk

   1  1 1  < 1 +  ≤ 1 +  откуда 1 + xk   nk    nk + 1  nk

  1  1    = 1 + но 1 +  nk + 1   nk + 1   1 1 +   nk 

nk +1

 1   1 +  nk + 1 

nk +1

, −1

 1   , ⋅ 1 +  nk + 1 

nk

 1  1 = 1 +  ⋅ 1 +  ,  nk   n k 

nk +1

nk +1

 1 → e, 1 +  nk nk

а

так

как

nk

 1 1  → e и 1 + → 1, 1 + → 1 , nk + 1 nk 

  1  1  = lim1 + то lim1 +  nk  nk + 1 

  

nk +1

= e и по свойству 5 преxk

 1 делов числовых последовательностей lim 1 +  = e . x →+∞ xk  

Пусть теперь xk → - ∞, причем можно считать, что xk < - 1. Положим xk = -уk, тогда уk→ +∞, причем уk > 1. Далее, xk

  1 1  1 +  = 1 −  xk  yk   

− yk

 y  =  k   yk − 1 

yk

 1   = 1 + y k − 1  

yk −1

 1   lim1 +  yk − 1 

и так как, по доказанному,

 1   1 + y k − 1  

yk −1

=e

и

xk

  1 1   = 1 , то lim 1 +  = e . Таким образом, с lim1 + x →−∞ xk    yk − 1  x

 1 учетом 2-го определения предела функции, lim 1 +  = e . x →±∞ x  Замечание. Предел (3), как правило, применяется в то более общей форме: если limα ( x) = 0 , x →a

lim[1 + α ( x)]

1 α ( x)

x →a

1 x

= e . В частности lim[1 + x] = e . x →0

7) lim sin x не существует, так как двум последоваx →±∞

 1    1  тельностям значений х  2n − π  и  2n + π  (n = 1, 2, 2    2   3, …), стремящимся к ∞, отвечают последовательности значений функции, имеющие разные пределы 1 1   sin  2n − π = −1 → −1 , sin  2n + π = 1 → 1 . 2 2   Аналогично можно показать, что не существует 1 1 lim sin , но функция x sin → 0 при x → 0 , так как x →0 x x 1 x ⋅ sin ≤ x . x

P( x) , x → ±∞ Q ( x ) где P ( x) = a0 x k + a1 x k −1 + Κ + ak −1 x + ak , 8)Рассмотрим lim

Q( x) = b0 x l + b1 x l −1 + Κ + bl −1 x + bl . Ясно, что

a a   lim P( x) = lim x k  a0 + 1 + Κ + kk  = lim Q( x) = x → ±∞ x → ±∞ x x  x → ±∞  b b   = lim xl  b0 + 1 + Κ + ll  = ±∞ , x → ±∞  x x  причем знак предела зависит от четности показателей k, l и P( x) от знаков коэффициентов a0, b0. поэтому при x → ±∞ Q ( x) ∞ представляет собой неопределенность вида   , которая ∞ может быть раскрыта так же, как в §3.5: ± ∞, если k > l , a a a0 + 1 + Κ + kk  P( x) x x =  a0 , если k = l , = lim x k −l lim  x → ±∞ Q ( x ) x → ±∞ b b b b0 + 1 + Κ + ll  0 x x 0, если k < l. (1 + x) r − 1 = r , где r > 0 – рациоx →0 x

9) Докажем, что lim

нальное число. Пусть вначале r = n – натуральное число. По формуле бинома Ньютона имеем n(n − 1) 2 nx + x + Κ + xn n(n − 1) (1 + x) n − 1 2 = n+ x + Κ + x n −1 = x x 2 n (1 + x) − 1 =n. откуда lim x →0 n

1 , m ∈ N . Полагая m x = (1 + y ) m − 1 , имеем

Пусть теперь r =

m

1 + x − 1 = y , откуда

(1 + x) r − 1 m 1 + x − 1 1 y = = → , так как, m (1 + y ) − 1 x x m очевидно, если x → 0 , то y → 0 . n И, наконец, если r = , то, используя ту же подстановку, m получаем: n

y n (1 + x) r − 1 (1 + x) m − 1 (1 + y ) n − 1 (1 + y ) n − 1 = = = ⋅ → m m x x y m (1 + y ) − 1 (1 + y ) − 1 .

3.6. Предел монотонной функции Пусть функция f(x) определена на множестве Х={х}. Функция называется возрастающей (убывающей) на этом множестве, если для любых х/, х//∈Х таких, что х/ < х//, выполняется неравенство f(х/) < f(х//) (f(х/) > f(х//)). Если же из х/ < х// следует f(х/) ≤ f(х//) (f(х/) ≥ f(х//)), то функция называется неубывающей (невозрастающей). Функции всех этих типов носят название монотонных. Теорема. Пусть функция f(x) не убывает на интервале (а, b) (конечном или бесконечном). Если она ограничена сверху числом М, то существует конечный предел lim f ( x) ≤ M . Если же она не ограничена сверху, то x →b − 0

lim f ( x) = +∞ .

x →b − 0

Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена сверху. Тогда множество ее значений {f(x)} имеет конечную точную верхнюю границу sup f ( x) = A ≤ M . По свойству x∈( a ,b )

точной верхней границы для любого ε > 0 существует х/∈(a, b) такое, что А-ε < f(x/) ≤ A. А так как f(x) не убывает на (a, b), то при х∈( х/, b) f(х/) ≤ f(х). Таким образом, для любого ε > 0 можно указать х/ < b такое, что А-ε < f(x) < A+ε для всех х, удовлетворяющих неравенствам х/ < х < b. Это и значит, что lim f ( x) = A . x →b − 0

Если функция f(x) не ограничена сверху, то для любого сколь угодно большого Е найдется х/∈(a, b) такое, что f(x/) >E, тогда для х > х/ и подавно f(x) >E, и это и означает, что lim f ( x) = +∞ . x →b − 0

Точно так же можно доказать, что если неубывающая на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) функция f(x) ограничена снизу числом т, то существует конечный предел lim f ( x) = A ≥ m . Если же функция не ограниx→a + 0

чена снизу, то lim f ( x) = −∞ . x→a +0

В качестве упражнения рекомендуется самостоятельно сформулировать и доказать аналогичные утверждения для невозрастающих функций.

3.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые функции при х β ( x) в предположении, что → а. Рассмотрим отношение α ( x) α(х) ≠ 0 при х, достаточно близких к а. Если β ( x) lim = k ≠ 0, ∞ , то α(х) и β(х) называются бесконечно x→a α ( x) β ( x) = 0 , то бесконечно малыми одного порядка. Если lim x→a α ( x)

малую β(х) будем считать бесконечно малой высшего порядка по сравнению с α(х) (обозначение: β(х)= о(α(х)). Например, по сравнению с бесконечно малой α = х при х → 0 бесконечно малые sin x, n 1 + x − 1 будут одного n sin x 1+ x −1 1 = 1, lim = , а бесконечx →0 x →0 x x n но малая 1-cos x будет высшего порядка по сравнению с х, 1 − cos x так как lim =0 . x →0 x Существуют и несравнимые бесконечно малые, наβ 1 1 пример, α = x, β = x sin lim = lim sin не существует. x → 0 x → 0 x α x Бесконечно малая β(х) называется бесконечно малой порядка р>0 (относительно бесконечно малой α(х)), если величины β и α p являются величинами одного порядка, т. е.

порядка, так как lim

β = k ≠ 0, ∞ . Например, 1-cos x является бескоx →a α p

если lim

нечно малой 2-го порядка относительно х, так как 1 − cos x 1 lim = . x →0 x2 2 Бесконечно малые α и β называются эквивалентными (обозначение: α~β), если их разность γ = β−α является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с каждой из них, т. е. γ = о(α) и γ = о(β). На самом деле достаточно потребовать, чтобы γ была величиной высшего порядка по сравнению с хотя бы одной из них, так как, если, например,

γ = о(α), то lim

γ γ = lim β α +γ

γ = lim α

γ 1+ α

= 0 , т. е. γ = о(β).

Критерий эквивалентности: для того, чтобы бесконечно малые α и β были эквивалентными, необходимо и

достаточно, чтобы lim

β β = 1 . В самом деле, если lim = 1 , α α

β − 1 → 0 , тогда γ = β − α = δα будет величиной α высшего порядка по сравнению с α, так как γ lim = lim δ = 0 . Обратно, если α ~ β, то, по определению, α γ β  γ = β − α = o(α ) , тогда lim − 1 = lim = 0 , откуда α α  β lim = 1 , что и требовалось доказать. α то δ =

Из рассмотренных выше примеров с помощью этого критерия можно установить, что при х → 0 sin x ~ x, tg x ~ x, 1 arctg x ~ x, m 1 + x − 1 ~ x , ln(1+x) ~ x, ex –1 ~ x. m Доказанный критерий позволяет установить важное свойство эквивалентных бесконечно малых, которое ис0 пользуется при раскрытии неопределенностей вида   : 0 если α1 ~ α2 и β1 ~ β2, то lim Примеры.

β1 β β α β = lim 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = lim 1 . α1 β 2 α 2 α1 β2

(

)

1 x + x3 1+ x + x −1 1 1) lim = lim 2 = . x →0 x →0 sin 3x 3x 6 3

конечно малые на обратные им. Отметим только, что при х →+∞ бесконечно большая ах (а > 1) будет высшего порядка, а бесконечно большая log a x (a > 1) – низшего порядка по сравнению с любой степенью xk (k > 0)(см. примеры 3,4 из § 5).

x2 ln(1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) = lim = = lim lim x → 0 ln cos x x → 0 ln(1 + cos x − 1) x → 0 cos x − 1

2)

x2

= lim

x →0

(

x − 2 sin 2 2

= − lim

x →0

x2  x 2  2

= −2

2

3.8. Непрерывность функции в точке

)

sin e x +1 − 1 e x −1 − 1 = lim =1. x →1 x →1 x − 1 ln x И наконец, из критерия вытекает также свойство транзитивности эквивалентных бесконечно малых: если α ~

3) lim

β и β ~ γ, то α ~ γ. В самом деле, lim

γ γ β = lim ⋅ = 1 . α β α

Пусть теперь lim ϕ ( x) = limψ ( x) = +∞ , т. е. величины x →a

x →a

ϕ и ψ являются бесконечно большими при х → а. ψ ( x) Если lim = k ≠ 0, ∞ , то ϕ и ψ считаются бескоx→a ϕ ( x) ψ само нечно большими одного порядка. Если отношение ϕ является бесконечно большой, то ψ – бесконечно большая высшего порядка по сравнению с ϕ и наоборот. Если отноψ шение не имеет предела, то величины ϕ и ψ несравнимы. ϕ Бесконечно большая ψ называется величиной р-го порядка (относительно ϕ), если величины ψ и ϕ р являются бесконечно lim

большими

ψ = k ≠ 0, ∞ . ϕp

одного

порядка,

т.

е.

если

Нет необходимости рассматривать примеры, так как в рассмотренных выше примерах достаточно заменить бес-

Одним из важных понятий математического анализа, наряду с понятием предела, является понятие непрерывности функций. Определение 1. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки (и в самой этой точке) и если lim ∆y = lim [ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 (1). ∆x →0

∆x →0

Если в равенстве (1) положить x = x0 + ∆x , то оно примет вид: lim f ( x) = f ( x0 ) . Значит, исходя из определеx → x0

ния предела функции, можно сформулировать понятие непрерывности на языке “ε - δ ”: функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки (и в самой этой точке) и если ∀ε>0 ∃δ = δ(ε): |x-x0| < δ ⇒ |f(x)-f(x0)| < ε. Учитывая определение 2 предела функции, сформулируем определение 2, эквивалентное первому: функция y = f(x) непрерывна в точке х0, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к х0, lim f ( xn ) = f ( x0 ) . xn → x0

Из свойства 4 предела функции вытекает теорема 1: Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то будут непрерывны в этой точке и функции f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) и f ( x) (если g(x0)≠0) . g ( x)

Теорема 2. Пусть функция ϕ(у) определена на множестве Y значений функции f(x). Тогда если функция f(x) непрерывна в точке х0, а ϕ(у) непрерывна в соответствующей точке у0= f(x0), то сложная функция ϕ(f(x)) будет непрерывна в точке х0. Доказательство. Возьмем произвольное ε>0, по нему, в силу непрерывности ϕ(у) в точке у0 = f(x0) можно найти σ > 0 такое, что из |у-у0| < σ следует |ϕ(у)- ϕ(у0)| < ε. В силу непрерывности f(x) в точке х0, по найденному σ можно подобрать такое δ > 0, что из |х-х0| < δ следует |f(x)f(x0)| = | f(x)-у0| < σ. Отсюда следует, что для взятого ε > 0 из неравенства |х-х0| < ε вытекает |ϕ(f(x)) - ϕ(у0)| = |ϕ(f(x)) ϕ(f(x0))| < ε, а это и означает непрерывность функции ϕ(f(x)) в точке х0. Примеры непрерывных функций.

1) Функция f(x) = х непрерывна ∀х, так как если хn → x0, то f(xn) = xn → x0 = f(x0). Очевидно, является непрерывной во всех точках и функция f(x)= С, так как ∀х ∆у = f(x+∆х) f(x) = С – С = 0. поэтому, в силу теоремы 1, будут непрерывными любой одночлен ахn и многочлен Р(х). ДробноP( x) рациональная функция будет непрерывной при всех Q( x) значениях х, при которых Q( x) ≠ 0 . 2) f(x) = ах. Достаточно ограничиться случаем а > 1. Так как lim a x = 1 и а0= 1, то функция ах непрерывна в точке x →0

х = 0. Пусть теперь a x − a x0 = a x0 a x −x0 − 1 , при

(

)

х0 – x → x0

любое значение, a x −x0 → 1 , значит,

a x − a x0 → 0 , т. е. xlim a x = a x , значит, функция ах непре→x 0

0

рывна при всех значениях х. В частности, будет непрерывной при всех х функция ех, а вместе с ней непрерывными будут и гиперболические функции. 3) f(x) = sin х. Легко видеть, что для всех значений х |sin x| ≤ |x|. Поэтому x − x0 x − x0 x + x0 cos ≤2 = x − x0 . 2 2 2 Для любого ε>0 положим δ = ε, тогда при | x − x0 | < δ будет выполняться неравенство |sin x – sin x0| < ε, что и доказывает непрерывность функции sin x при любом значении х. Будет непрерывной при всех х и функция f(x) = cos х, sin x − sin x 0 = 2 sin

как суперпозиция функций у = sin u, u = текает

непрерывность

x ≠ (2k + 1)

π

2

функций

π

− x . Отсюда вы2 tg x, sec x (при

) и ctg x, cosec x (при x ≠ kπ).

3.9. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке х0 справа (слева), если f ( x0 + 0) = lim f ( x) = f ( x0 )  f ( x0 − 0) = lim f ( x) = f ( x0 )  x → x0 + 0 x → x0 −0   (1). Если же то или другое из соотношений (1) не выполняется, то говорят, что функция f(x) в точке х0 имеет разрыв (справа или слева). При этом, если f(х0 + 0) (f(х0 - 0)) существует, но f(х0 + 0) ≠ f(х0) (f(х0 - 0) ≠ f(х0)), то такой разрыв называется обыкновенным или разрывом первого рода (в этом

случае говорят, что функция f(x) в точке х0 справа (слева) имеет скачок, по величине равный f(х0 + 0) - f(х0) (f(х0 - 0) f(х0))). Если f(х0 + 0) или f(х0 - 0) равен ∞ или не существует, то х0 – точка разрыва второго рода. Может случиться так, что существуют конечные равные между собой пределы f(х0 + 0) или f(х0 - 0), но в точке х = х0 функция f(х) не определена. В этом случае точку х0 называют точкой устранимого разрыва, имея в виду, что если доопределить функцию в точке х0, положив f(х0 ) = f(х0 + 0) = f(х0 - 0), то функция f(х) становится непрерывной в этой точке. Ясно, что если х0 – левый (правый) конец промежутка Х, в котором определена функция f(х), то можно говорить о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же х0 – внутренняя точка промежутка Х, т. е. не совпадает ни с одним из его концов, то непрерывность функции в этой точке равносильна ее непрерывности одновременно справа и слева. Примеры разрывных функций. 1. f(х) = [x]. Для всех нецелых значений х, т. е. х ∈ (m, m+1) функция непрерывна, при х = m f(x) непрерывна справа, а слева имеет разрыв первого рода. 1 2. f ( x) = . В точке х = 0 функция имеет разрыв второx го рода справа и слева, т. к. f(+0) = +∞, f(-0) = -∞. 1 3. f ( x) = sin (при х ≠ 0). В точке х = 0 функция имеет x разрыв второго рода справа и слева, так как оба односторонних предела не существуют. 1 4. f ( x) = x sin (при х ≠ 0). Точка х = 0 – точка устраx нимого разрыва, так как lim f ( x) = 0 . x →0

5.

 1x  f ( x) = a при x ≠ 0, 0 при x = 0

(а > 1).

1 x

f (+0) = lim a = +∞ , f(-0) = 0. значит, в точке х = 0 x → +0

справа – разрыв второго рода, слева функция непрерывна.

3.10. Непрерывность и разрывы монотонных функций Из доказанной в 3.6 теоремы следует, что монотонная на отрезке [a, b] функция f(x) может иметь на нем точки разрыва лишь первого рода. В самом деле, если точка х0 является одним из концов отрезка [a, b], то утверждение вытекает непосредственно из теоремы. Если же х0 – внутренняя точка интервала (a, b), то теорему надо применить отдельно к отрезкам [a, х0] и [х0, b], на каждом из которых функция будет монотонной. При этом, если функция является неубывающей, то f(х0 - 0)≤ f(х0) ≤ f(х0 + 0). Теперь легко установить критерий непрерывности монотонных функций: Если значения неубывающей (невозрастающей) на отрезке [a, b] функции f(х) сплошь заполняют некоторый отрезок [c, d] (т. е. каждое значение у ∈ [c, d] принимается функцией хотя бы один раз), то f(х) непрерывна в каждой точке отрезка [a, b] (в точках a и b подразумевается односторонняя непрерывность). Действительно, если в точке х0 ∈(a, b) функция имеет разрыв, например, слева, то это может быть только скачок, значит, существует предел f(х0 - 0), причем f(х0 - 0) < f(х0), а тогда при x < x0 f(х) ≤ f(х0 - 0), при x > x0 f(х) ≥ f(х0), т. е. значения у, лежащие между числами f(х0 - 0) и f(х0), функцией не принимаются, что противоречит условию.

Замечание: Сформулированный критерий (с некоторыми оговорками) справедлив и для бесконечных промежутков. С помощью этого критерия можно установить непрерывность остальных (в дополнение к рассмотренным в §8) основных элементарных функций. Например, функция f(x) = arcsin x непрерывна во всех точках отрезка [-1, 1], так как она возрастает на этом отрезке, и ее значения сплошь  π π заполняют отрезок − ,  .  2 2 Таким образом, все основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

3.11. Функции, непрерывные на отрезке Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в точке х = b. Первая теорема Больцано – Коши. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)⋅f(b) < 0. Тогда найдется по крайней мере одна точка c ∈ (a, b) такая, что f(c) = 0. Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0, a+b f(b) > 0. Разделим [a, b] пополам точкой ; если 2 a+b f  = 0 , то теорема доказана, так как можно положить  2  a+b a+b c= , если f   ≠ 0 , то на концах одного из отрез2  2   a + b  a + b  , , b  функция будет принимать значеков a, 2   2   ния разных знаков, обозначим его [a1, b1], ясно, что f(a1) < 0,

a +b  f(b1) > 0. Разделим [a1, b1] пополам; если f  1 1  = 0 , то  2  a +b  теорема доказана, если f  1 1  ≠ 0 , то за [a2, b2] возьмем  2  ту из половинок отрезка [a1, b1], для которой f(a2) < 0, f(b2) > 0. Продолжая так далее, мы либо после конечного числа шагов придем в точку, в которой функция обращается в нуль (и теорема доказана), либо получим бесконечную последовательность вложенных отрезков {[an, bn]} такую, что b−a f(an) < 0, f(bn) > 0 (1) и bn − an = n (2). Построенная по2 следовательность удовлетворяет лемме о вложенных отрезках, так как, в силу (2), lim(bn − an ) = 0 ; поэтому существует точка с, принадлежащая всем отрезкам [an, bn], для которой lim an = lim bn = c . Переходя в неравенствах (1) к пределу, получим с учетом непрерывности f ( x) : f (c) = lim f (an ) ≤ 0 и одновременно f (c) = lim f (bn ) ≥ 0 , откуда f(c)=0, что и требовалось доказать. Замечания. 1. Требование непрерывности функции существенно. 1 Например, функция f ( x) = [x ] − нигде не обращается в 0, 2 1 1 хотя f (0) = − , f (1) = . 2 2 2. Теорема имеет применение при решении уравнений. Например, уравнение 4х = 8х имеет очевидный корень х = 2; не столь очевиден корень, заключенный между числами 1 0 и , его существование вытекает из непрерывности 2

функции f(x) = 4х - 8х и из того, что f (0) = 1 > 0 , 1 f   = −2 < 0 . 2 Вторая теорема Больцано – Коши. Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], и f(a) = A, f(b) = B, причем А ≠ В. тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В найдется по крайней мере одна точка с ∈ (a, b) такая, что f(c) = C. Доказательство. Пусть для определенности А < В, так что А < С < В. Введем в рассмотрение функцию F(x) = f(x) - C, она непрерывна на [a, b], причем F(а) = f(а) – C < 0, F(b) = f(b) – C > 0, тогда, по доказанному найдется точка с ∈ (a, b) такая, что F(c) = 0 или f(c) = C. Теорема доказана. Теорема (о существовании обратной функции). Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b] и возрастает (убывает) на нем, и пусть f([a, b]) = [c, d]. Тогда на [c, d] существует однозначная обратная функция x = g(y), также возрастающая (убывающая) и непрерывная. Доказательство. Пусть f(x) возрастает на [a, b]. Ее значения сплошь заполняют отрезок [c, d], поэтому для каждого у0 ∈ [c, d] найдется значение х0 ∈ [a, b] (притом, в силу монотонности f(x), единственное) такое, что f(x0) = у0. сопоставляя именно это х0 произвольно взятому у0, получим однозначную функцию x = g(y), обратную к у = f(x). Покажем, что g(y) возрастает на [c, d]. Пусть у/ < у// и x/ = g(y/), x// = g(y//), тогда у/ = f(x/), у// = f(x//). Если х/ > х//, то в силу возрастания f(x) было бы и у/ > у//, что противоречит условию. Не может быть и х/ = х//, так как тогда было бы и у/ = у//. Значит, неравенство у/ < у// влечет за собой неравенство х/ < х//. Непрерывность функции g(y) вытекает из критерия непрерывности. Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем, т.

е. существуют числа m и M такие, что m ≤ f(x) ≤ M ∀х ∈ [a, b]. Доказательство. Предположим, что f(x) не ограничена. Тогда для каждого n = 1, 2, … найдется значение х = xn ∈ [a, b] такое, что |f(xn)| ≥ n (3). По теореме Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности {xn} можно извлечь подпоследовательность {xnk } , сходящуюся к некоторому значению x0 ∈ [a, b]. В силу непрерывности f(x) lim f xnk = f ( x0 ) , в то время, как из (3) вытекает

( ) lim f (x ) = ∞ . nk

Полученное противоречие доказывает тео-

рему. Замечание. Если функция непрерывна на интервале (a, b) или на полуинтервале [a, b) или (a, b], то она может быть неограниченной на нем. Например, функция f ( x) = 1 x непрерывна на (0, 1], но не ограничена на нем. Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своих точных верхней и нижней границ, т.е. найдутся такие точки х = х0 и х = х1, что значения f(x0) и f(x1) будут, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями функции f(x). Доказательство проведем для наибольшего значения. По первой теореме множество значений функции f(x) ограничено сверху, поэтому существует sup f ( x) = M . По x∈[a , b ]

свойству sup для каждого n = 1, 2, … найдется значение 1 x = xn ∈ [a, b] такое, что M − < f ( xn ) ≤ M . Из ограниченn ной последовательности {xn} можно извлечь подпоследовательность {xnk } , сходящуюся к x0 ∈ [a, b] , тогда в силу непрерывности f ( x nk ) > M −

функции

f ( x nk ) → f ( x 0 ) ,

а

так

как

1 , то в пределе f ( x0 ) ≥ M , но f(x0) не может n

быть больше М, поэтому f ( x0 ) = M , что и требовалось доказать. Заметим, что и здесь требование непрерывности функции на отрезке [a, b] является существенным. Например, sup arctg x = x≥0

π

2

, но нет такого значения х, при котором

функция arctg x принимает значение, равное

π 2

.

3.12. Равномерная непрерывность функций Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке Х (замкнутом или нет, конечном или бесконечном). Тогда для каждой точки х0 ∈ Х по заданному ε > 0 можно найти δ > 0 такое, что |f(x) - f(x0)| < ε, как только |х - х0| < δ. При этом для различных х0 при одном и том же ε число δ будет, вообще говоря, различным. Определение. Если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что неравенство |х - х0| < δ влечет за собой неравенство |f(x) - f(x0)| < ε, каковы бы ни были x, x0∈ Х, то функция f(x) называется равномерно непрерывной на Х. Заметим, что непрерывность функций в каждой точке промежутка Х не влечет за собой равномерной непрерывности в этом промежутке. Например, функция 1 f ( x) = sin непрерывна в каждой точке полуинтервала x 1 2  2 ,x= , где n – любое нату 0,  . Положим x0 = (2n + 1)π nπ  π число,

тогда

f ( x0 ) = sin(2n + 1)

π

= ±1 , 2 f ( x) = sin nπ = 0 , так что |f(x) - f(x0)|=1, то есть для ε = 1 нельзя указать δ, удовлетворяющее неравенству |х - х0| < δ

ральное

 2 одновременно для всех x, x0 ∈  0,  , хотя для каждого от π дельного х0, в силу непрерывности f(x) такое δ существует. Теорема Кантора. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке. Доказательство. Предположим, вопреки доказываемому, что для некоторого ε > 0 найдутся такие х0/ и х/ ∈ [a, b], что | х/ - х0/| < δ , но |f(х/)- f(х0/)| ≥ ε, какое бы δ > 0 ни взять. Возьмем последовательность положительных чисел {δn}, стремящуюся к нулю. Для каждого δn найдутся x0( n ) , x ( n ) ∈ [a, b] такие, что x ( n ) − x0( n ) < δ n , но f ( x ( n ) ) − f ( x0( n ) ) ≥ ε . По теореме Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности {x(n)} можно извлечь подпоследовательность {x ( nk ) } , сходящуюся к некоторой точке x0 ∈ [a, b] , аналогично, из последовательности {x0( n ) } можно извлечь подпоследовательность {x0( nk ) } , которая, так как x ( nk ) − x0( nk ) → 0 , также сходится к х0. тогда, в силу непрерывности f(x), f ( x ( nk ) ) → f ( x0 ) и f ( x0( nk ) ) → f ( x0 ) , так что f ( x ( nk ) ) − f ( x0( nk ) ) → 0 , а это противоречит тому, что f ( x ( n ) ) − f ( x0( n ) ) ≥ ε . Полученное противоречие доказывает теорему.

Список рекомендуемой литературы 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- СПб.:Мифрил, 1995. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1958, 496с. 3. Никольский С.М. Курс математического анализа. - М.: Физматгиз, 2000. – 592с. 4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Изд.5-е стереотип. Т 1-2-3. -М.: Физматгиз, 1963. 5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Изд.3-е. -М.: Физматгиз,1960.