/
Математика
для
техникумов
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ЧАСТЬ 1
ИЭДЯllие третье. переработанное
Под редакцией Г. Н. ЯКОВЛЕВА
Допущено М Uf/ucrnepcmsoAl высшего спец llаЛЬf{о�ообразоuа"ия саср
в качестве цчеБНIIf{а
дАЯ
i (с) _!, l> Т.2:6
�� 1А й it;�1t -- «:�:��� B A ы
"
среднего
cpeaHt/.t ц/щuаАЬНblХ учебных заведений
т �XH:
·
и
- /j . .).�
.; J � .. �.":,.,, �
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО.МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРА ТУРЫ
1987
�
22.1 М34 УДК 51 (075.3)
ЬБК
� �iКа:::овс�ий
ехни кумо в.
� я
Дл ебра г
М
н ачала
анализа:
Кутасов А . Д. , и. r ЯГ � �ев�: 3 - е изд., переУчебник. г' Л и др.; од ред. . П ЛукаllКИН . . Г физ.-мат. . лит., 1987.-464 с. ред. л . ка. Нау М.: р аб . -
м атеМ ТИ
М.
КО
�
чала анаКнига является пер ВОЙ частью учебника« Алгеб ра и на граммой по про ей етствии с деЙ соотв В Ю о С; У Щ ли�а», написанн г� : ней школы. математике для те н кумов на базе неПОЛНО 1 перераб ' книг г ь издания о е g При подготовке тРет . система упражнени Tal1l1: упрощено изложе :е� приведена в порядок именн, а в рВУ пере есен част н и Ю торой ·:: н р яд обязательных тем го приложе и неопределенный интеграл, определенный инт.еграл ш 2-е издание вы ло в 1981 г. среднеи школы , Для учащихся техНИКУМОВ на базе неполной
�
:
��eCTBeHHO •
реЦ ен зент
енко оительного т тост Ю Се Л ппара р"иР преподаватель Ленин градского Р адиоа аГОГllческих нау к никума кан,цидат пед .
ОГЛАВ ЛЕН И Е
_
.
Предисловие
§
1702010000-138 053 (02)-87
68-87
I©
.
.
.
.
3.
§ 4.
М
.
. . . . . . . . . . . . 9 МНОЖЕСТВО Д ЕЙСТВИТ ЕЛЬ НЫХ ПРИ ЧИСЕЛ. ЖЕН НЫЕ В.Ы 1 . Множества 1f БЛИ ЧИСЛЕНИЯ . • . опер ации над . . . 11 ними . . , . . 1. Множество и . , . • . его элементы. . . 1/ Подмножества ( 11 ресечение м ножеств (12). 3. ) . 2 . Пе Объединение Мно 4. Вычитание " жеств (13). множеств. Д опо лнение до МНо вопросы для жества (13). КОНТР ОЛЯ Упраж нения 1 .1. . . . , . " § 2. РаЦиональные числа1.20 . .. . . . . . . .. . 1. Натуральные и . . . . . . . ц еЛые чис ла (/6). 2. РаЦlI ЧИСла (16). 3 . ональные Пред ставление ( , рациональных ТИчными дроБНМ Чl1сел деся /f(17). 4. Р аЦ иО /;а льные нечные пер и Ч/fСЛ(J и ре\:ко; одическm деС , ЯТИчные .. д о и Вопросы длн КОНтроля ' " Упражнения . . 1.21- 1.32 . . _ _ . 24 . ;r Дей стви тель н ы е ЧИс ла . . .. . . . 24 . . . 1. Множеств . . . о действите . . • . . 25 льных Чисел над действител (25). 2. Действ ьными чис лам ия и (261 ЛижеНIJН дейст Деся тичные ПРl1б вительных чисел ((27). 4. nсь и чис лова ! Упражнения 3:39-3.41
2. Предложения, заВИ Сящие от перемеJtной (63). 3. Знаки общности и существования (64). Вопросы для. контрол я ;Упражнения 2.1 -2.7 .
§ 8. Метод математической ИНДУКЦИII
1.
.
При нци п и мето д мате матической И НДУIЩИII (67). Обобщение метода мат емаТllчеСI{оii индукции (69). Вопросы для контроля • . . . . . . . . .�. . . Упражнения 2. 8 - 2.1 2 . •
§ 9. Различные виды теорем
11
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
.
их взаимосвязь
.
.
.
.
.
.
.
г л а в а 3.СИСТЕМbI
УРАВНЕНИ Й И НЕРАВ ЕН СТ В § 10. У равнения и системы уравнений . . . 1. Квадратные уравнени
"
•
. . . . . . . . я (77). 2. Уравнения с одним неllзвестным (общий случ ай) (78). 3. Уравнен ия и Сl/' стемы уравнеНIIЙ с двум я неизвестными (81). Воп росы для контроля . . • • . . . . . . • . . . " Упражнения 3.1-3.6 . . . . . . . . .
§ 11 . Системы двух линейных уравнений
и ОПределитеЛlt второго поря дка
.
с двумя
.
.
.
.
.
"
.
неизвестны_
. . . . . . " Системы двух линеЙII ЫХ уравнений с двумя неllзвестными (88). 2. Геометрическая иллюстрация решения систем двух линейны х уравнении с двумя неизвестными (92). 3. Определители второго порядка (94). 4. Свойства определителей втор ого порядка (96). Вопросы для контроля . . • . . . . . . . . . • . " Упражнения 3.7 - 3.18 . . . . • . . . . МIf
1.
.
§ 12. Определители третьего порядка и их свойства 1. МаТ .
РIIЦЫ
.
•
.
.
"
. ." и определители третьего порядка (100).2. Свойства определнтелей третьего порядка (102). _ Вопросы для контроля . . • . . . . . . . . . • • " Упражнения 3.19-3.25 • . . . . . . . . . •
" § 1 3*. Системы лииейных уравнени й со МНОГIIМИ неизвестными 1. Системы .
4
.
.
трех линt>йных уравнений с тремя неизвест2. Системы ЛlIнейных уравнени и с n неиз
(105) . BeCTHbJMJ! (111).
IIЫМН
•
65
§ 16.
66
67
70 70
§
77
86 86 88
99 100
1 04
§ 19.
104
105
•
ФУНКЦИИ .... . .
(1 ';4)'
.
•
•
.
.
В, то rазность А в называется доnолнение,м В до множества А (рис. 4). Отметим, что результат операции «дополнение:Ь суще ственно зависит от того множества, до которого «допол няется» данн()е множество. Например , дополнением мно жества целых чисел до множества всех рацион.альных
1.4. Найдите все подмножества множества А ={З; 4; 5}. 1.5. Сколько подмножеств у множества, состоящего 1) 113 одного элемента; 2) из двух элементов; 3) IIЗ трех элементов; 4) IIЗ пяти элементов; 5) из десяти элементов? 1.6. Найдите А n 8, если 8={3; 5; 6}; 1) А={3; 4; 5}, 2) А={О; 1; 7; 8}, 8={-7; О; 6 ; 9}; 3) A={I; 3; 5; 7}, 8={ 2; 4; 6; 8}; 8={-1; О; 1; 2; 3}. 4) A={I; 2; 3},
ЕСЛII А _utожесmsа �
PIIC.
3
Рис. 4
чисел является множество всех дробных чисел; ес�и же рассматривать ДОIl ол Hel-III е множества целых чисел до множества действительных чисел, то дополнением этого множества будет множе�тво всех дробных и всех ирра циональных чисел. В оп р осы
для
к онт р оля
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Каl{ИМ И способами можно задать множество? Какие множества называются равными? Что называется подмножеством данного множества? Какое множество называется пустым? Что называется пересечеНlojем множеств? Какие множества называются непересекаЮЩИМIJСЯ? Что называется объединением множеств? Что называется разностыо множеств? 9. Что называется дополнением множества? 10. В каком случае разность А 8 есть дополнение множества 8 до множества А? Упражнения
1. 1 . Найдите множество корней уравнен и я (х2 1) ( х2+5х+6)=0. 1 .2. Н айдите множество всех целых чисел, удовлетворяющих не равенству х2.;;;; 5. 1 .3. Пусть М - множество всех корней уравнения -
хБ+3х4+х3- 1=0. . 1 1 Какие из ч исел 1; -1; 2; -2 являются элементами множества М? 14
1 .7. Пусть M - МНОЖес'Тво всех KopHe� урав нени я 2x 8+x3-rx:=0. На йдите пересечение этого множества с множествами А={ 1, 2, 3}, 8={0; 1; -I}, С={-2; -1; I}. 1 .8. Найдите А U В для множеств А и В, указанных в упр . 1.6. 1 . 9. Найдите А"-..,В и lJ'...A . дЛЯ множеств А и В, ук аза нных в упр. 1.6. 1 . 1 0. Найдите А"-..,М, lJ'.... M , С"-."М дЛЯ множеств А, В, С , М , указанных в упр. 1 7. .. , С"-."М, кото1 . 1 1 . Найдите объединение множеств А"-..,М, f!'...M рые определены в упр. 1.10. 1 . 1 2. Найдите дополнение множества А до множества В, если 1) A={I; 2; 3}, В={О; 1; 2; 3; 5};
{-}
; О; 1 ; 2; 3;
2) A={I, 2; 3},
В=
3) А={О; I},
8={-1; О; 1; -2}.
}
4 ;
1 . 1 3. Чему равны А U В, А n В, А"-..,В, если А с в? 1 . 1 4. Найдите М"ножества А U В, А n 8, А U С, А n С, 8 U С, В n С, если А={-4; -3; -2; -1; О; 1; 2}, В={4; 3; 2; 1; О; -1; -2}, С ={-4; -3; - 2; -1; О; 1; 2; 3; 4}.
1 . 1 5. Найдите' А U 8 U С и А n 8 n С, где А, В, С определеllЫ . упр. 1.14. 1 . 1 6. П усть N-миожество натуральных чисел, Z-множеетво целых чисел, а множества А, 8, С определены в упр. 1.14. Найдите А n N, В n z, В u Z, N n Z, (А n 8) n N. 1 . 1 7. Пусть N - множество натуральных чисел, Z -множество целых чисел Q- МJlОЖес'Тво рациональных чисел, R-множество действительн�х ч исел. Как зти множества связаны между собой? 1 . 1 8. Найдите все элементы множеств M={xEQI2x=3}, E={xENlx -3 < 5}. 1 . 1 9. Пусть F1 - множество всех паралле.10граммов, F2-множе ство ВСех прямоугольников, Fз -множество всех ромбов, F4 - мно Жество всех квадратов. Найдите множества Fi n Р2, Р2 n Fз, Р2 U Ра U Р4 U Fi, Р1 n Р2 n Fз n Р,. 1 .20. докажите равенства (А U 8) n С= (А n с) U (8 n с), (А n 8) U С= (А U С) n (8 U С). 11
15
§
2.
Р ациональные ч исла
1 . Н атуральные и целые числа. П редставления о чис пах у человечества складывались постепенно под влия Нl!ем требований праКТI!КИ. Натуральные числа 1 , 2 , 3, . . , появились в СВЯЗII С необходимостью подсчета предметов, т. е. с необходимо стью ответить н(! вопрос: «Сколы обыкн овенной дроби равен натуральной степени числа ] О, то эту дробь можно за пи са ть в виде конеtlf/.ОЙ десяmuчно'й дроби. Например, .
.
циональных чисел.
16
;Н
•
I "}
Q-J:, i2,Б
()- �l)-
Очевиди&, Jlюбу ю коне чную десят ичну ю дроб ь можн о за п и сать в виде обык нове нной дроб и , п р и чем посл е сокр а ще�I ИЯ ее знаменате ль не имеет друг их прос тых делите леи, кроме 2 и 5. П р и м е р 1 . З ап исать в виде несо крат имых обык но венн ых дроб ей следу ющи е десят ичные дроб и: 0,2; -0,25; 1 ,4. 6, Име ем 1 2 0,2=10 = 5; 2 -0,25=-1 0 = - ; .
14
;
7
1,4 =10=5 ....
1'4,
•
+ = 0,333 . . . ;
3 50'
6
25'
.
7
6, Восп ольз уемся способом домн ожен ия числи теля и знаменате ля на степе ни чисел 2 и 5: 3
3·2
6
6·4
50=1 00 = 0 , 06; 25 =
100
= 0,24;
.5 7 -20=-17 00 = - 0 , 35.
Анал огич ный резу льта т полу чим и с пособ ом «делен и я угол ком» ч исли теля на знаменате ль . ... Есл и зна �енате ль не у или У < х. Например, 1,467 . . < 2 ,458 . , так как 1 < 2 (здесь т = О); 1 ,467 . . . < 1 ,476 . . , так ка!< 1 , 46 < 1 ,47 (здесь т = 2); - 2 ,4793 . . . < - 2 ,4737, Та!< как - 2,479 < - 2 ,4741 (здесь т = 3). Чтобы п риближенно найти сумму, разность, п роизве дение и частное двух бесконечных десятичных дробей , нужно проделать соответствующие действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над n-ми отрезками этих бесконечных десятичных дробей . для этого можно вос пользоваться любым микрокалькулятором. Следовательно, н x ;f= y ,
.
.
.
.
Х + У � Xn + Уn ' x - y � xn - Y/I ' xy � ХnУ n ' хn х -�-.
у
Уn
При делении , конечно, предполагаетс я , что У =1= О и У" =1= О. Очевидно, чем больше n , тем с большей точностью будут вычислены результаты соответствующих действий. Оцен ка точности вычислени й будет рассмотрена ниже. 3 . Десятичные п риближения действительных чисел. для любого положительного ч исла чис ло Х;I = ao , a1a2 . . . а называется n-.М десяmиЧНЫ.At при " бл ижением числа х с недостатко.М с точностыо до 10 - ", а Ч llСЛО Х;; = aQ ,Q1a" . . . а n + 10-" называется I1-М деСЯl1lllЧ НЫЛt приближением с избытко.М с точностью' до 10 - " .
27
Например , для числа Vз = 1 , 732 1 . "
ч исла
на йти приближенно сумму этих чисел и оценить точ ность полу ченног о прибл ижени я . /':" Очевидно, можно считать, что
1 ; 1 ,7; 1 ,73; 1 ,732; ' 1 ,732 1
являются десятичными п риближени ями с недостатком соответственно с точностью до 1 , до 0, 1 , до 0, 0 1 , до 0 , 00 1 , до 0, 000 1 , а числа
л + V2 � 4,55. Оценим точность этого приближенного равенства. Из данных условий следует
2; 1 , 8 ; 1 ,74; 1 ,733; 1 ,7322
3, 1 4 � п � 3, 1 5 , 1 ,4 1 :::;; V2� 1 ,42.
являются десятичными прибл ижени ями с избытком с точностью до 1 , дО О, I и т. д. Заметим, что для положительного ч исла n-е десятичное приближение с недостатком совпадает с n-м отрезком соответствующей бесконечной десятичной дроби. Для любого отрицательного числа
Сложив почленно эти неравенства , получим
4, 55 � n + V2 � 4 , 57.
X = - QО , QIQ2 · . · QIIQII+i · · · , где ao � O,
Отсюда следует, что
12-е десятичные приближения определяются слеДУЮЩI!М образом: ,
J
Xn = - Qо , QlQ2 " · Q" - lОIl ; x� = - ао,а1а2 ' • • аn.
в
х
28
V2 = 1 ,4 1 . . .
,
+ V2 � 4,55 и
n
+ V2 � 4 , 57
с т очностью до 0 , 02. Чтобы подчеркнуть, что 4 ,55 � л + V2, а 4,57 � n + V2, говорят, что ч исло 4,55 явл яется nри БЛllжением с недостатком (снизу), а число 4 ,57 - приближением с избытком (сверху) суммы n + V2 с точностью цо 0 ,02. Возможно, одно ИЗ этих приближен и й являетс я более точным, чем второе , но, исх�дя только из данных усло В И Й , нельзя сказать , какое из них более точное. Более 'точное приближение суммы n + V2 дает среднее ари фметическое найденных п риБЛIlжений с недостатком и с избытком. Именно,
х:n � x� � х � x� � х;n . '.
л = 3, 1 4 . . . ;
этоы случае говорят, что n
в этом случае n-е десятичное приближение с избытком совпадает с 12-М отрезком соответствующей бесконечной десятичной дроби. Очевидно, что десятичные приближения любого ч исла х обладают следующим свойством: если т < 12, то
Таким образом, любое десятичное приблпжение ч исла с недостатком не больше числа х, а любое десятичное приближение с и збыТJ{ОМ не меньше числа х. Кроме того, по мере возрастания точности десятичные приближения с недостатком не убывают, а десятичные приближения с избытком не возрастают. Используя десятичные приближения с недостатком и с избытком, можно оценить точность приближенных вы числеНIIЙ с действительными числами. Как это делается , рассмотрим н а прпмерах. П р и м е р 1 . Зная два первых десятичных знака у _ бесконечн ых десятичных дробей , равных л и V 2:
о :::;; (л + V2) - 4 ,55 :::;; 4 ,57 - 4 , 55 = 0 , 02 , о :::;; 4 ,57 - (л + V2) � 4 , 57 - 4 ,55'= 0,02.
п + V2 � 4 ,56
с Точностью до 0,0 1 , так как
1 п + V2 - 4 ,56 1 � 0,0 1 . �
В этом случае пишут n + V2 = 4 ,56 + 0 , 0 1 . " П р и м е р 2 . Исходя И З условий п редыдущего п ри мера, на йти приближенно разность л - V2 и оценить точность пол ученного п риближения . 29
6, Можщ>
СЧIIтать, что
6, Так
n - V2 � 1 ,73.
Оценим :г�чность этого п риближенного равенства. Так как 3, 1 4 - 1 , 42 � n - V2 � 3, 1 5 - 1 ,4 1 , 1 ,72 � n - V2 � 1 ,74, то, очевидно, n - V 2 = 1 ,73 ± 0 ,0 1 , т . е. n - V2 � 1 ,73 с точностью до 0,0 1 . & П р и м е р 3. Исходя из условий п римера 1 f найти приближенно п роизведение n V2 и оценить точность по лученного п риближени я . 6, Так как 3, 1 4 � n � 3, 1 5, 1 ,4 1 � V 2 � 1 ,42, то 3, 1 4 . 1 ,41 � n V2 � 3, 1 5 . 1 ,42. В ыполнив умножение конечных десятичных дробе'й , получим' " 4 , 4274 � n V2 � 4 , 5 1 30. Следовательно, число 4 ,4274 являетс я п риближением с недостатком, а 4,5 1 30 - приближением с избытком п роизведени я n V2. , Так как сомножители rтроизведен и я были взяты с точностью до одной СОТОЙ, то и у п р иближений естественно оставлять только сотые знаки. Тогда 4 , 42 < n V 2 < 4 , 52.
Из этих неравенств следует, что \ n V2 � 4,47
v2- = 4 ,47
± 0,05.
&
(О ПРllближенных вычислениях более подробно будет рассказано в следующих параграфах .) П р и м е р 4. Исходя IIЗ услови й примера 1, найти п риближенн о частное У-1t2' и оценить точность полученнога приближ ения . зо
14 ___ 1t 1 , 42 � ."г 2-
З.
___
�
З , 15
Т4Т , '
то , вычи слив частные конечных десятичных дробей со ответст ненно с недостатком и с избытком с точностью до ОДН О Й тыс ячной , получим неравенство п 2 ,2 1 1 < у- 2' < 2,235 ) пз
которого следует, что п у- 2' = 2 ,223 ± 0,0 1 2
или
,
уп2' = 2,22 ± 0,02 . &
4 . Коорди на т ная ось и числовая п ря мая. На пло скости рассмотрим некоторую п р я мую. На этой п рямой зафиксируем некоторую точку О. Эта точка О, которую будем называть начальной точкой , данную п рямую раз бивает на два луча (рис. 5). На одном из этих лучей о
•
о
А
•
1
Р ис. 5
выберем некоторую точк у А и отрезок ОА п р и.мем за единицу длины. Отрезок ОА называется единичным от резком , а точка А -едини чной точкой . В ыбор единичной точк и А на п рямой с н ачальной точкой О определяет на ЭТО Й прямой п оложительное наnрasление. Луч ОА назы ваетс я положительны.!.! лучО.!.! , а противоположный луч отри цательным лучом.
с точностью до 0,05, т. е. rn
) а называетс я бесконечньш nрО.меZ{� ожествообозначается (а; ) Аналогично опреде-
бесконечные промеЖУТКI! [ а ; + 00 ) , ( - 00 ', Ь) , ( -00 ; Ь] . Множество R также " ногда называется бесконечньш п ромеЖУ ТI 0 см 2
= 0,5
ШI,
ПОС.'lе ОI\р�'r.rlе Н II Я п ол у чаем : сто рону мы. А ;. 01lзведе:III Я ? граlllща ОТlЮС lпеД ЫlOii погреШНОСТII частного? гра Н lща ОТIЮСIIТt'.1 ыюii погреШIiОСТII степени? ГРЗfl lща ОТIIОСlI тедьноН погреШНОСТlJ корн я?
1 .52. На ЙДlIте сумму х + у, СС.1I! х = 7,8 ± 0,05, у = 3,4 ± 0,05; 2) х = -2,6 ± 0,0 1 , y = I ,5 ± 0,02; 3) Х = 1 ,25 ± 0,05, у = 1 ,02 ± 0,02; 4) х = 7, 1 ± 0, 1 8, у = 6,2 ± 0,02.
существ енно боль ше Ясн о, что если ПОР ЯДОК числ а х !) и х имею г О Д И Н х у, + х поря дка ч и сла у, то ч и сла � и х -у � х х+у поря док , и можно "сч итат ь, что о т ью. с дост аточ но хоро шеll точв и
h1 = 0,36 . д, !.. � 4 у
с точ
Ilz :
hJ = 0,5 · 0 , 03 + 0,5 · О , 1 2 = 0 , 075, hl =
2
12
2
5
+ з = 6' = 0,8333
ху = 3 ,6 + 0 , 075,
!.. = 4 + 0 , 84 . у
Отметим, что полученные пр иБЛlJженные значення !!меют по одной значащей Цllфре. А. П р и м е р 2 . Hal'ITII произведение ху, если а) x = 1 00 , 00 + 0, 005, y = 0 , 1 0 ± 0,005; б) х = 300,00 ± 0 , О05, y = 0 , 1 0 + 0,005 . /'::, В первом случае имеем ху � 1 О ос точностью до
CoOo�o + �,g) = 0 , 5 005.
Во втором случае ху � 30 с ТОЧIlОСТЫО до
h = 30 · (зgо�о + �,g) = 0, 0005 + 1 ,5 = 1 , 5005 .
При ближенное значение лроизведени я в перво м слу чае имеет две значащие цифры, а во втором случае- толыю одну значащую Щ fфР У, А В рассмотренных лримерах , Iращается в IIСПl lllюе высказывание для всех эле�1ентов множества и . 2 . Предложение р ( t) , Е и , 05ращаеlСЯ в IICTll ll lloe uысказыванltе отя бы для пдн.огп И; другими словами, сущеСТl3ует э ле м нт а Е и , для которого Р (а) - истинное ВЫСI О , х Е R. то высказывание (Ух) р (х) ложно, а высказывание (3х) р (х) истинно. Если g (x) - предложеШI.е х2 � О, Х Е R, то оба высказывания ("1 х) q (х) и (3х) q (х) истинны. Если r (х) предложение х2 + 1 < О , х Е R, то высказывания (Ух) r (х) и (3х) r (х) ложны. Подчеркнем еще раз, что для того, чтобы опроверг нуть высказывание вида (Ух) Р (х) , х Е и, достаточно ука зать только один элемент а Е и, для которого Р (а) ложно. Элемент а множества и, для которого предложение Р (х) НЕ-верно, называется кОrtmРnРlшером для высказывани я (Ух) Р (х). Таким образом, чтобы убедиться в ложности высказывания (Ух) р (х) , достаТОЧНQ найти (или, как еще говорят, построить) однн контрпример. Пусть р (n) , n Е N,- пред ложение «число n2 + n + 4 1 -простое». для высказываШIЯ (Уn) р (n), т. е . для высказываНIlЯ «Прll всех натуральных значеНIIЯХ число n2 + n + 4 1 - простое», элемент n = 40 является контрпримеРО:'1, так как число 40� + 40 + 41 = 40 4 1 + 4 1 делится на 4 1 , Т. е. не является просты.У. Интересно отметить, что для всех n < 40 преД.10женне Р (n) ист.и нно. общностll V
=
,
.
е
В опросы для ' 1 . Что называется 2. Что называется 3
Алгеб р а . ' 1 . 1
кон трол я
высказыванием? отрицание).! данного высказывания?
65
3. Что называется множеством истинности предложения с пере-
}!енной? 4. Какие два предложения с переменной называются раВНОСIIЛЬblbIMII? 5. Что называется отрицанием предложения с переменной? . В чем состоит высказывание р (х)? 7 . В чем состоит высказываНИ \J (зх) Р (х)? р (х)? 8 . Что Ilазывается l 2:r I!c eJl натуральнш > 1.
n
2. 12. дока ж ите, что любую с уммУ денег, (\ольwую 7 копеек мож но разменять ТОАЬКО т рехкопеечн ы ми If пятикопеечн ыми та ми.
MOHe�
§ 9. Р азличные виды теорем и их взаимосвязь ' 1 . В заимно обратн ые теоремы. Т еоремы в математике
ак прави ло, фо!мм'�·ли �УЮТСf! (или могут быть Сформу! JкI ирова ны) в так ид . 70
жества и из предложе элемента х мно(х). , Дл я каждогОт пре q дложение ния Р (х) следуе о, каж дую теорему так огО вида можно льн ате дов Сле записать следующиМ образом: (1) х Е и. (Vx) (p (x) :=;> q (x)) , наз ывается условием теорем ы, пред Предложени е р (х) ени ем тео рем ы. люч ложени е q (х)м_, зак ли четырехуголь-е рим ер, теорем у: «Ес Рас смотри напрам гонали ТОЧКОЙ пер лог м, то егоуслдиа ся ник х _п ара лле теоремы явл яетмм ови пополам». Здесь ьни к ем сечени я дел ятсРя (х) гра ело алл четыр еху гол ниех_ пар али предложение тео: рем q (х): диа гон предложе дел м. и заключением ка х точыола поп я ятс ия чен пересе и �етыр еху гол ьниния р (х) �ой Be ecT O>t< на MH Оба предложе ольню{ов. и q (х) заданы ' всех ' че�ыре хуг еще оди н пример . ' Пусть Р (х) -п,редложеРассмотр им амм Х явл йется ромбом», q (х) -п редло ние «па раллелогри пар аллелограмма х вза\'!МН Q пеl?пенди жение «ди аго налпредложе ния заданы на мн ожест�е и всех кул ярн ы». Оба ОВ. Тоtда теорема вида ,( 1 ) СОСТОИТ в ' ,сле пар аллелограММ:любого пар аллел6грамма вер но утвержде дующем: «Для елограмм - рьм б, то �гo дl1а гона,ли 'Взаимно ние : если пар аллны>.. Обычно эту : теорему формулируют пер пендик у ляр онали ромба вза имн о пер пеН ДI:\ КУЛ ЯР\НЫ». кор оче : '«Диаг краткой формул ировкой подразУ:меваетс я Но под этой ' содержИ'тс .я ' в" той раз в-ер нутой форм'у лиименно , то, что мы толью? �T,() дал и. :�: "'ровке, кот ору юем теоремы, и'меющие вид ( 1 ), буд" ем'." зап и В дальнейш (!blВ a'fЬ" ,I;щроче:, .. .X�ppeMЫ
.'
р (х) => q (х) и
, , 1 , ',
q (х) => р (х) взаимнО обратн:ым и.
,., ,,
.;
. "_, , . 1
:'
называютС Я у из этих теорем называют прямой , тогда Иногда одн бую из дву х обратной. 5lCH o, что лю другую называют пряму ю. за ь fl.О при нят , еня ых теорем можвид вза имн о обр атн тами пом , что лен ия но, овие и закв люмесчен Из данного опр едемой ие, теоремы усл в формулировкермпря ули ров ку обратныой.вза имн О обратных теомы пол учи м фоимать, Важн о пон ствлятчтоьсядлявсепар возможности, а име нно: рем' могут осуще ы могут быть три вер ны ми; 1 ) обе тео рем 71 •
/
одна из теорем может быть верной, а другая неверной ; 3) обе теоремы могут быть неверны. . Приведем соответствующие примеры. Теоремы «Если сумма цифр натурального числа де лится на 3, то и число делится на 3» и «Если натураль ное число делится на 3, то и его сумма цифр делится на 3» являются взаимно обратными. Из арифметики И3вестно, что обе эти теоремы верны. Теоремы «Если четырехугол ьник- прямоуголыI к,' то его д'!агонали равны» и «Если диагонали четырехуголь Н!ша равны, то четырехугольни к - прямоугольн ию> также являются взаимно обратоыми. Как известно, первая нз этих теорем верна. Вторая теорема неверна: в качестве к онтрпримера можно взять равнобочную трапецию. Этот пример показывает, что из двух взаимно обрат ных теорем одна может быть верна, другJа я - неверна. для теоремы «Если хотя' бы одно И З двух натураль ных чисел делится на 3, то и их сумма делится на 3» обратная формулируется так: «Если сумма двух натураль ных чисел делится на 3, то по к'р айней мере одно нз слагаемых ,целится .на 3». Очевидно, что обе эти теоремы (и прямая, и обратная) неверны. теорем ы . Te�peM Ы 2. Вза и м но р (х) => q (х) и р (х) => q (х) называются взаимно противоположными. Следовательно, если в формулировке некоторой T�O ремы заменить условие и заключение их отрицаниями. то получится формулировк& теоремы, противоположной исходной. Например, для теоремы «Если четырехуголь ник -парал лелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам» противополож ная формулируется следующим об разом: «Если четырехугольник не является параллелограм мом, то его диагонали точкой пересечения не делятся пополам». В данном случае обе теоремы верны. Нетрудно привести пример двух взаимно П Р ОТИ ВОПОJЮжных теорем, из которых одна будет верной, а другая - неверной. для каждой теоремы 2)
_
ПРОТИПОПОЛО Ж l l ы е
р (х) => q (х)
можно сформулировать еще три TeopeMЫ� обратную: q (х) => р (х); противоположную: р (х) =} q (х);
72
Й 11' q (x:) => p (x) . и четырех T�O �е м� «Есл Н ОД С е Х тв че G И ка л в ем �н али за мно ерпеНДl1КУ Возьм аг ди его то , мб ро ик ьн угол теорема верна ) . ся так: л яр ны» ( указанные Т Р и т�оре:аЬ: Ф� �У ли руютхуг ольни к а � Тогда е четыр . «Е с л д он а. ем ое те ая тн ра об ы, пендикуляр;ом вза имно к пер » (�eo;���P��� м ро ся е� ля у голь ни яв че ве Р теорема: «Едслиаигона о��жна яомб, ��о�N:��ник его то ер рты е хуголь ендинку ве не а ем ор те ( ы» ля рн л/ не пе рп на ; на я обратннеой ; «Е слн и пдипе;�т�:�� о��ж ольни ка :::�� �е ��� Рис . 8 агон али четыныре, хуг го ху ре ты че то яр ул ик пенд омБОМ» (теор ема верна). и противол яется р O pe O ример р мая теорема обра ая и aCCM : � � � : T HH Вp сти нным и , иеа не явлтняет с зал ока ся нои ат обр т ная лож ен по пад сов Э о М НЫ J10Ж И щест ная су противоположМежду эт ими че;ырьмя видами теорем ым. случайн вза и мосв язь , а именно : вует теснаяемы 1 ) теор =} p (x) , р (х) => q (х) и q (x) на я об р атной , одновременно ож ол оп ив от пр и ая ям пр е. т. истинны или ложны ; 2) тео р емы р (х) => q (х) , q (х) => р (х) и же одновремен но так , ная ож пол во оти пр и т. е. обр атниаяложны. доказывать исти нн ы ил следует, что He необходимости ую и обрат а , � н ям сюд пр От и мер аза � ап�анав сти нность Доксам и теор емы .тем аем лив все четыре мы, ус ы мы ную теоре теорем . все х четырехдоказательство пр ямой теоремы Р (х)сл=>учqая(х)х И но гда ст ям и. В таки х связ ан о о некоторымидоктразаудтьно теор ему q (х) => р (х) , из оследует попыкоттаотьсои� вытекает исти нность ис ходнойвн те » ого оти р к ти пр ос истинн зательства от ремы. Известнстыоии т мветотодм, «�оTO авместо пр ямой теоремы досо й к ак ра з ти про б тивоположную Оч���Н�� формулиаю к азыв. Не бходим ов и ся . При и ДOCTa�� нО)}, «необ точ та о частые 3 «до р овке теорем о исп ол�зу тер мины 73 п ротивоп оложную
о бp a�HO
-
-
�ОДИ МО» , «необходимо и достаточно». Выясним смысл этих терминов. Если теорема р (х) => q (х) верна, то условие теоремы р (х) называют достатОЧНЫ�t условие�t для заключения q (x), а заключение теоремы q (х) называют неоБХОQимым УСЛО вием для р (х). Рассмотрим еще раз теорему «Если- четырехугольник прямоугольник, то его диагонали равны». Эта теорема верна, и , следовательно, условие теоремы является достаточным условием для заключения, т. е. для то го чтобы диагонали четырехугольник а были равны, достаточно , чтобы четырехугольн ик был прямоуголь· Н ИКОМ. Заключение этой теоремы является необходимым усло вием для условия теоремы, т. е. для того чтобы четырех угольник был прямоугольни ком, необходимо, чтобы диаго нали четырехугольни ка были равны. Если справедлива не только теорема р (х) => q (х), но и ей обратная q (х) => р (х) , то р (х) является необходимым и достаточным условием для q (х) , а. q (x) - необходиМЬМt и ,достаточным условием для р (х). " Рассмотрим теорему «Если сумма цифр натуралыщГj) числа делится на 3, то и число делится на 3». Вьrш.е уже отмечалось, что эта теорема и теорема, ей обратная, gep HbI. Поэтому можно сказатъ, что для делимости tJисла на 3 необходUAtO и достаточно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. , Следует помнить, что в тех случаях, когда в теореме содержатся слова «неоБJtiодимо И достаточно» , доказатель ство обязательно должно состоять из доказатеЛhотва необ ходимости м 'доказательства достаточности. Ведь _ в такой формулирьвке ' на ' самом деле объединены ФОРМУЛИРОВ КII двух теорем: : прямой и обратной. Каждая нуждается в до казательстве, так как из справедливости одной не'следует справедливость другой. ' П р и м'е р. Заменить многоточия словами «необходимо» , «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы полу. чились верные утверждения: а) для того чтобы выиграть в лотерее, . , . .иметь хотя бы один лотерейный билет; б) для того чтобы сумма двух деЙ 1'Вительных чисел была числом раи.иональным, . . . , ч�обыС каждое слагаемое было рациональным числом; в) для того чтобы треугольник был равнобедренным , чтобы углы при основании были равны. ,
•
.
,4
. ,
,
одимо . ь словом «не» обх а) м ноготочие слеенидут�т сз::в�нит ите!!. получ , точно «доста м ие зам Если мн оготочжде лож ное утвер ние. дение пол vчи тся , если многоточие ерж б) истинноеомутв«доста чтобы кажБдое то���� условинее 'являе слов за мен ить тся нео ХQ' льным ра ц числом было мое гае сла чисел 1 + V 2 ДИМЫМ. Н апри мер, сумма ирра циоH a �ЬHЫX яется рацион��:Н ��ов��:О;�еОБХ ОДИМО», «ДО· и 1 - V2 явл MHOГOT� в) При замебне оди мо достаточно» полу чаютс я, оче х «нео чно» тато с утверждения. Адостаточ но» часто употре бви дно, ис'т инные одимо и ь ко Вместо слов «необх тогда» , «в том И тол да, и толькопол « тог у, т так же слова вид ляю езно иметь в т же . в том случае», «те и тол ько те» зо свя этих к ак отдеЛ��� части « слу чае», что рассм атри ваемые том в ько тол ва , мер апри ова имеют смысл. Нзамен «необх одимо», а сл слово яют а» тогд о Заме оль Т но». н аточ «Т к , «в ом случае» за ме яю слово «дост «тогда» е, ч от ино да СЛ ВО словие» замен яют словом «приз говор ят о до т го нео2ходJмом nрuзнаке,неили тниамк»ещи говорят ходи а онец , о об мом и доипаточноМ nрuзнаке , или , н к статочноМ nризн.аке . Чl'iсла на ' 9 еасть цифр Напр име р, делим ость �Y:p�b�HaK л д е имости числа н 9. ' 6-Х �И-МЫИ 6.
,
.JI.octa-точный. И нео О
.
' B e o p 0 6: W А ./I И к о н т р, О Л Я
.
'
теоре.Мы? а ы а ется у словие Чт � в м те ореМ Ы? з н о � ие е лю 2'. Что называ тся зак ч и 8Т е ? взаи мно 06Р НЫМИ ютсЯ зыва на 3. Как ие теоремы ОЖНЪ1ми? ИВОПОЛ Т о П' О взаимн Р ются 4. Как ие теоремы называ о? вног оти п а зательства от р IS. В чем состоит метод док ')r словиеМ остаточн ым у v· Что называется д ., словием ')r б ходи мым у нео тся зывае на 7. Что н м? МЫМ и достаточ ы называетсЯ не06ходИ 8. Какое условие
м о и воп оложн ы � т.еоре , дву Х взаимно п р т П р иведите п р имер гая - невер на . ы нз K�OPЫ X одна была б I являютс Я по отношеН И � и 2.14. Какие нз следу ющ Хротивоположными , п ротивоположны,", п и атным обр м ч исел де литсЯ наu.ело на , 7 , ���т:ы �Р1 исла n� 1 (n ;;;;. на 24 необходимо, чтобы -
�
5)
n
,
Урав не н и я и системы у рав не ни й равенство вида 1 . Квад рат н ые у рав н е н и я. Люб ое (1) f (х) = g (х), ся уравне е ФУНКЦ ИИ ,. называетмен,н где f (х) и g (х) - некоторы ой х); nере й одн,о нием с одним н,еизвестн,ым х (или с ью част вой -пра (х) а g ью,f (х) называется левой част уравнени я ( 1 ). решением (или корн,ем) урав нени я Число а называется при в обе тановке а вместо х нств с неизвестным х) если чаетсяподс раве овое числ ое верн полу части уравнени я знач ит най,Т И все решения этого ураво.Решить уравнени енен ия . уравнени ями явля ются Простейшим и, нели нейными определе ния я. Нап омн им основные квадратные уравнени иям . внен ура ым ратн квад 1{ и формулы, ОТ!jосящиеся Уравнен ие вида § JO.
(2)
вается а , при чем а =1= О, назы где а, Ь , с- некоторыно,е числ те же ет им (2 е ние вне ) что ура квадратн,ым. Оче вид ний вне ура из решени я, что и каждое Ь х2 + -а Х = - -а ' , Ь2 -Ь2 = -ь х + с
С
х2 + 2 - 2а
4a� 4а2 а . ' ) 2 _- Ь2 _4а24ас х + 2а ( ь
,
•
(3)
квад вается aUCKpUJ.tttHaHmoM Число D = Ь2 - 4ас назы что ует, след я (3) ратн,ого уравн,ен,ия (2). Из УJ>ав нени еНitЙ реш т имее не е нени ратное урав если D < О, то квад дей ых чисе л, так как квадм.ратЕсл на множестве действительн и льны ствитель ного, числа не может быть отри цате
77
то ква тное ура вне ние имеет одно решен lIе ь а еслдра и D > О то квадратное ура вне ние име 2а ' ет решен ия
D = О,
х= дпа
-
,
x=
ь ± ,rr D
2а ак им образом квадратн О ура внение - не ний на множестве действитель :ы х ч исел , есл имеет реше одно решение , если = О . имеет два решен и D < О; имеет и я , если D > О. ' Причем все решенияD ква есть, находятся по Форм��аеТН ОГО уравнени я (2), если они _
_
2а
т
х=
�b ±
-
_
. -
У ЬЗ - 4ас 2а
З амети м, что для ура вне ния формула " ,
(4)
-р ±
х
:
у ;;сас
.
а
I
, ,В,
, . . .�
"
.
' х1· .-:-
.
......;
.
'-
'
-
'
.
.
-т.з- = ---с 3 :
1 '"
2 .... П р и :-.r е р 2 Реши ть ур ени е + 2х + 2 - О 6. Т ак как D = 22 - 4 · 2авн решени й не имеет �a мно - 4 ' T� дан ное ура внение Ответ:
- J '.'
Х2 - -, з , · _
'
'
,
х2
.
действи тельных жестве ��трав: нен корней л;::�тrтельных и я с одн им
.
. . !
ч исел, т н ым (Общи й случай). П усть задан ы ДB� ура внен =:из�ес И лю бое реше ние перво го ур авнения является ре �енСЛ ием второг то ВТорое ура вне ние наз ыва авнени я , ется следствuем опеур 'f Е сли ур ав не рв ог о. х _g х ур авнени я f - (х) _ние )2 ( ) z ( ) явл яетс я следствием g( (Х то будем писа ть _.
1
18
-
,
,
ff (х) = gi (х) � f.
( ) = g! ( ) х
х .
>=
gz (х) .
Сформулируем несколько утверждений, которые назы ваются nравuламu nреобразованuя уравнений . 1) Для любых f (х) и g (х) .
f (х) = g
( ) � f (х) - g (х) = О. х
о Действительно, если хо - решение первого уравне ния, т . е . f (xo) = g (xo) , то f (xo) - g (xo) = 0 , т. е. хо - ре шение второго уравнения, и наоборот .• 2) Если функuия q> (х) определена для всех х, то --
f (х) = g (х) � f (х) q> ( х) = g (х) ,Ч> (х) .
Действительно, еслр f (ха) = g (хо) , то и f (хо) q> (хо) = 0днако .riОЛ УЧ�iВшееся уравнение может иметь решения , которые не являются решениями исход- ' ного уравнения .• Например, уравнение х2 -, - l не имеет , решений, а уравнение хз = - х имеет решени� х = о . З) Каждое решение, уравнения nх) g (х) = О есть реше ние либо уравнения f (х) = О , либо уравнения ' g (х) = О ,' т. е. g (х) О . f (х) g (х) = О � f (х) , .о , или о Действительно, если f (хо) g (хо ) = 0,' то либо f (хо) = 0, либо g (хо) О . (Конечно, возможен и случай, ког.в.а f (хо) = О и g (хо) = О . ) Однако, если f (хо) = О , но g (х) не определена при х = хо , то хо не является решением уравнения f (х) g (х) = О .• Например, 3 X ' X+ = 0 � x = 0 или х = -3! Ix1 , причем число -3 является решением данного уравнения Х а число О не является решением, так как оно не В О 3 ТХТ ' дит в область определения функuии х+ 4) Для любых f (х) и g (х) и любого n Е N О
!
, ;, частности ' для ' ура вне ния х! + 2рх + с О име = ем . x, ' = р ± Vр2 _ С, , ' Р р п и м е р ' 1 ешить ура вне ние 3х2 -j-. 5х + 2 - О \'! ' л т ак как U - 1. ' то данное ура имеет два' решениDя= 52; - 4 , 3 , 2 внение " . ' ::' 5 I , х1 = : 2" , : ' �l и х - 5 + 1 2 .-; ,
fl (х) = gl (х) � f� (х)
о
ах2 + 2рх + с = О
пр ин имает вид
Два уравнения , называются равНОСUЛЬНbtJ.tu (или эквuва· если У них одно и то же множество решений. Оч евидно, если уравнения равносильны, то каждое из них я вляется следствием другого. В этом случае будем писать .ленmНblАtU) ,
= g (хо) q> (Хо) '
.
=
=
f (х) == g
( ) � (f (х» n х
?"
(g (х) n.
79
_
Здесь в общем слу чае 11 ел ьзя пос а � , На пример , ур� нен ие r ВII Т.Ь зна к ра вн о. - - 1 не им еет nешеН IIИu , а уравн ени е 'r (х - 1 ) 2 им еет реш ен ие . ' Л Р п м е р 1 . Реш ить урав нен п х + 1 2-х е C I I ,1blIOCTH
6
( 3 - х)
•
Ум нож им обе 1 ). Т огда
(2-t +
х+ I 2-х З - х = 2х + !
х -х
х2 =
части
3 - х = 2х + 1 '
да и ног о
х = -() 5
ура внеНIIЯ
на
=;> (х + I) (2x + I ) = (2-x) ( 3- x, � � 2х2 + 3х + 1 = 6 -5х + х2 � ·2 + 8х- 5 = О. .л
Лоследнее кв адр атное у рав нен ие и меет ! = + 1р 3 ) Есл этих си стилеом. иногда азывается правилом МН- 1жителOеи. tI Il Й рим на � H то прав ени я сис.ем ура внеН р ассмот ." 'Методы реш е ра х . кр'етных пр им 1 . р еш ить систему уравне ни й р е м и Пр J х2 + у2 = 25 � u
!
.
_
u
•
\
х- у = 5.
.
·
;:
х =. у, +5 , ы �ах одим нен 6. Из в тор ого урав не ния сис тем ие, п ое урав Х в 5 пер во ажен 5е 2 дляУ2, = тол ько ее а Подстави в -это нивыр щ рж соде 2 , + ) + (у е не ав ур лучи м ' . ое � , Ре ши м это ур'а вн ен ие : неи зве:стн ' . , 2;;2 + 1 0у = 0 , Уl = О и У2 - -5'.. .'. " : _ : . , ,!:z О . , . , у + 'на ХОДИМ Xi = 5', x2 ' , '. Из :ура:�flения МХ - н 5 си стема и меет два реlI!�R И 5! ная "' . неТ. . ' . . , '., ТакиМ' 'образо,' и, дару ги и ни ше ре х 5) � (О и ; � ). (5; О) , . Ответ: (5; О); ( .0 , - 5 А. еше н ия н азывается мето сь зде ный � ) ил и методом исключен-ия . Применен и (см праMeT�� ви нов .р вк nодсma , дом ыдущее ре!?ение , и спользу, я п он ятие а пред ем ш , Запи ИG>СИ ЛЬНОСТ И систем : = у + 5 ,'
•
1 " :,'
•
.
.
.
., ' .
_
.
.
3.9.
•
\
4x + ky = 4
х - 3 у = 2? имеет решрение ешите-ур�внения : \ 5 \ � � \ = O; 2) х2 + х 1 ) x� + 3 . 1 0.
\�
3)
tg
ctg
;
l ogs
1
,
\
0 -4 = ;
\ \ � �\ ; 3 \ + \ \ \ \ и е следующие системы дву х еделителеи реш т
1 5 5 X� =
.
3 5 5Х 3 _7х 85 2 = 3. \ Х2_ 4 2 . �4 1 о С пом щ ы.? �ПI мя неизвест ныМ И: неНИII ву 4х + у = 17, линей.ных урав х- у=5 J 4)
3.11.
В оп р ос ы
-
;
4)
6!
\
•
\ ; -� \ 5) \ � � \ ; 6) \ � Н о поряд450ка\: . еде\ лите:rn \вsтiорог е 0 вычислит 2r n 45Q \ IOg2 32 о з ; 2) 450 sin 450 , 1 ) IO C1i 16 I Og5 1 2 5 600 \ 1 0;,2 8 lоgl/З 27 \ 4) \ 7з00 ' :inin 900 \ ' 3) Ig 1 000 1 ейны х уравнений лин х дву а тем сис k нии 1 � Из третьего у р а
все коэффици енты
.
. 2).
для
z
в
перв OI
x + 2y + 4 (10 -зх + у) = З l 1 =2 \ f 5х + у .{2 (10 -зх + у) 9. ными дв у м я неи звест
нени й с ему двух у р а в Полу ч и ли с и ст и меть дем б н и я У у п р още и у. после
J
х
1 1х - 6у = 9 , х- Зу = "':9 . \
с п особ ов, § и з о п и са н н ых в зна л тему М сис ющее т х юБЫ тве ству Реши в эту т е пе р ь н а ОДИ М соо , наи дем чен ие U
х - 3 у = 4. г: г = 10:",- з . З + 4 = 5. 5) . " систему ' (3' 24; Реш Ответ ить п р и м. е р ' . х + Зу + г = 13,6 , 2х + Зу + Зz = 8. зх + Зу + г
\
11
=
истемы у ра в нен и я с И З вто ро го н о ен п очл , и из н а � в ычтем ум но ж енн ое п редва р ите Л о а ние , енное не ож в умн ура пер в ое е дв р ител ьно ни я - пер вое , вне ра у о ег т еть с и стему тогда п ол у ч и м .
;;
{ х -З+ зуу ++ гг == 6,1 ,
H� 3 .
_6у _2г = -10ое. ,
2
втор
{ х +-ЗЗуу ++ гz==6,
нии тье го ура вне в ы чтем и з тре и м ч олу П ум ноже нное н а .
2
п редва р и тель но
1,
_4г = -1 2.
н азы вае му ю п ол У чил и та к ниЙ. Треу гол ьные с и стемь В резул ьтат е оследнег самом деле , и з п реша ютс . ИВ на хО И М е О я л и н у вне oro o й и н а р гк ура в не Д з BT p T Z O Q о , н у ра в нен и я в ид 2 и з пе рвогО п олу Qае м )(, = 1 . ,
::: треугольНУЮ систему ур п р е О бр а З ОВ
у=з . Ответ:
•
;
�
•
(1; ; ; з ) . А
101
3 а м е ч а н и е.
Решение системы л и нейных уравнени й путем сведени я ее к треугольной системе у равнений на зывается Аtетодо,м Этот метод я вляется частным случаем метода исключени я переменных. Он примени м к системам с любым числом у равнени й и неизвестных. Метод Гаусса ш и роко используется при ч исленном реше н и и систем, содержащих и ногда десятки и COTHlf уравне н ий и неизвестных, на современных электронных выlис- лительных машинах . Пример Решить систему двух уравнений с U'ремя неизвестнымИ!
Гаусса.
3.
{ 3x2х-+ 2y-i= 12, 3у + г = 1.
t::. данная система я вляется частным случаем системы трех уравнений с тремя неизвестными . В качестве третьего уравнени я - можно рассматривать , н а пример , первое уравнение, второе уравнение и л и , наконец, уравнение'
О·х + О ·у + О · г = О.
Сложив почленно уравнения данной системы, получим у равнен ие
5х-у = 13. Следовательн о, у = 5х- 1З . Подставив это для у во второе уравнен ие, на йдем z = 1 - 2x + 3 (5x- 13) IЗх- З8.
значение
=
ТШ< И М образом, люба я тройка чисел
х, u = 5�- IЗ, z = I Зх- 38, где х Е R, является решен ием данной системы, и других решений нет. Omsemi система и меет бесконечное множество решений x E R. A П р и м е р 4. Решить систему
(х; 5х- 13; I Зх - З8) ,' { 2х + 3у- г = О, 4х + 6у-3г = О.
108
=
.
о решен ии бесконечн ое м н. ожеств Ответ: с истема и меет Е R. А о , Реш ить с истему П р и ме р
(Х; - � х;
)
5.
х
\ 2х + Зх3у +-8уг =="30,8,
х + 5у + г = 22 .
в нен и я , исклювторое и т р етье ура 6. Сложив поч ленно чаем неи звестное м ет с первым у равнениео авн р Полу ченн ое ур авнение ема ист ' дан на я с Следовате Ю НblМ веСТ еиз . н дан н ой с истемы. мя тре дву х у р авнени и с с ильн а си стеме
,
г , . Зх + 8у = 30. c���a:a
j \
3х + 8у = зо , х + 5у + г = 22 .
\I
ч исло, и реШ\lМ где с _ п рои звольнсе п олож и м - , ьно � и У! с истему отн ос ител
г-с
J \
зх + 8у = 30 , х + 5у = 22- с. � \ � �\ = 7 = ль Так ({ак опр еделите ие п р и любо м с. система и меет р ешен лител и � = 11 31 0 3 � 8с-26, � = \ = \ 22 -с x
110
у
не ра вен ну лю , то вычисл и в опреде-
30 \ = 36- 3с, 22-с
I3с - 26 ' у -- � . 7 х = -г
нах одИМ форм ула м Кра ме ра
8с-26
Зу.
6u - З (2х + Зу)
тел ьн о, 2х + Зу = О. Следова у = - з2 х ' г = 2х- 2х = 0.
, х= 7
Подс тз в и в во второе уравнение , получим 4х +
е.
бая тр ойка ч исел Таки м обра зом, лю
t::. Из первого у равнения находим г = 2х +
т.
О,
y _- � , г = с, 7
мы, ется Решен ием систе где с Е R , я вл я система не и меет.
и дру гих решени й
ество решени и ет бескон ечн ое м н ож име а тем сис ет: Отв ... с _ п р ои звольн ое ч исло. . �.
дан ная
(8С- 26
-Г 1
7
'
с)
,
•
1 0!i'
Jl ЫМИ
При реше ни и систем дву х уравне н и и с двумя неи звес ти с п ользов а л ись оп редел ител и второг о пор ядк а ( § . ' А налог и ч но, п р и реше Н •1 И с истемы тр ех уравнени й с тремя неи звестными и ногда удоб но испол ьзовать, оп р едели теЛII третьего п ор ядка. Определитель •
1 1)
(1)
д=1
�� :� ��I(1) ЬЗ
аз
СЗ
Д Д Д
�; �
.
(.1 )
6. x=� 6. у -- Ту , г = � 6. '
(3)
где (lХ' z - оп ределители ' п ол учающи ес я из оп редеу' лителя заменой соответственн о пер вого, второго, тре т ьего столбцов столбцом из св б членов системы ( 1 ) . Ф ор му лы (3) называ ются фо Р у а м и К рамера дл я си стемы трех ур а внений с тр емя неи звестным и Есл и д - о , то система либо не имеет решени й , л ибо и меет бесконечное но ество решени й , к от ые ор могут быть найдены метод м сключе н и я . Пример . Решить с и стему
( 1)
� �ДH ЫX
(1)
_
; ;
�
.
{ 3х2х -+ 3уу ++ 2гг == 51 4,
6
х + 2у- г = 7 :
6. Вычислим оп ределител ь с и стемы .. 1 3 2 3 2 2 -1 Так как #= О, то с истема и меет единстве нное решен ие. В ычислим теперь и дz
д = 1 -1 1 Д
Дх = 1 1:
7
. Д ДУ _� г, '-- 1 4 . ( - з') - 3 · (-1 9) + 1 . 17 = 32', 2 '- 1
1
7
-
{ ахх ++ ауу ++ zг == а,l ,
х + У + aг = a�
ени е, бес кон ечн ое и меет еди нствен н ое реш ний. шен ий , не и мее т реше тем ы еде 6. В ЫЧИ СЛИ М опр лит ель сис
. '
:
мно жес тво ре
а
ени й . ечн ое мно же ств О реш кот оро е имеет бес кон е и меет реш ен и й . н м,а сте и с а До каж ем , что п р и zо) - решени е. Т огд п усть Допу ст и м п роти вное :
{
а = -2 уо ; (хо; ,' -2хо + уо + го == 1-2 , г о + хо -2уо 4. = -2го Хо + уо
0 = 3,
п олу чае м эти т р и ура вне н и я , Сл ож и в поч лен нО о. оложе ние неверн т. е. сделан ное п р едп и меет , п р и система реш ени й не Ответ: при ени й , п р и реш ечн ое множествО система и меет бес кон нст вен ное еди т мее и система че н и ях всех ост аль ны Х зна
а= 1
-
а
Д = \ �1 �1 � \ = a l � �I - I � �I+ I � � I = а- 2) = = а (a�- 1 ) -(a - l) + l -а = (a- l). (a�= +(а1)2 (а + 2). оп реде !< роме а = 1 и а = -2, П р и всех зна чен и я х а, тема сис о, льн ате дов сле аве н нул ю и , но лит ель с и сте мы не р рав ма с и сте решени е. П р и а = 1 и меет еди нст вен ное И ым стн н и ю с тре мя неи зве сил ьна одному ура вне x + y + z= l,
2 . ( - 3) -3 · ( -5) + 1 · 7 = 16.
д = 1 ;1 : ;1 \ - 2 · ( - 1 9) - 1 4 · (-5) + 1 . 16 = 48 , · ' 6,�1� -1 i I 2 +- 17) - � , 16 + 1 4 - 7 � 1 6. у
НО
1
'.
в фор
(3), 16 = 1 . 6. z 6. у 4 8 = 32 Z = 6.х 3' = = = 16 у 2, T = = Х = Т Т6 т Т6 Otrl8em: (2; 3; 1 ) . А ниях ть , п р и каК их зна че
П р и м е р 7. Оп редели систем а у р а вне ни й
называется оп ределителем C IICTeMbI Можно доказать что если определитель #= О O C CTeMa и меет еди н � стве нное реше Н llе , I< отор ое M ет ыть наидено по фор мул а м
Д
й зна че н и я определит еле Подста в и в н айд енн ые м и ч у п ол r.ryлы Кра мер а
а = -2
а
-ре ше н ие . ... вес тны ми . Х урав нен ий с n н еиз 2 . Систем ы ли ней нЫ неи звест n с ий нен т ли ней ны х у рав вне н иЙ1 ра Ра ссм отр им с и сте му у и чис ле н�и звеСТНblХ ны ми . П р и бол ьш оМ
111
неизвестные обозначаются одной декса ми , нап р имер
бук вой с р азными
8 коэф�ициенты у равнен и я - буквой с двумя
н а п ример
a i/, где i
= 1 , 2, . . . , т , i
=
ыр ех у рав нен и й ни е си стем ы и з чет В частНОСТИ , ре ше ени ю системы реш к ится еизвестны МИ свод н мя ь р четы с u С тре мя неи зве стн ым и . тр е х урав не н и и ть с и стему П р и м е р 1 . Ре ши
и н
{
и ндексам и ,
1 , 2, . , . , n.
Здесь п е р вый и ндекс обозначает номер у равнен и я , а вто рой - номер неизвестного, п р и котором стоит этот к оэф фициент. В так и х обозначениях система трех л инейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид
Система и меет вид
{
т
{
+ a12xz + а1зхз = Ь1 , а21Х1 + а22Х2 + а2зхз = Ь2 , аЗ1Х1 + аЗ2Х2 + аззхз = ЬЗ' у ра внен и й
al1xl + a12xZ + aZ1X1 + a2ZX2 +
с
n
неи звестными
. . . + а1"Х " = bi , . . .
+ а2"Х" = Ь2 ,
' a lxl
( 1)
'
'� -+- a�nZ�2 + : . : -+- a�n,,�,, Ьrn'.
Заметим, что ч исло неизвестных ний т в общем случае между собой Возможны все три случа я :
т = n,
Решением ура6нения
т < n,
n
n
неи звестными Xi ; Xz' Х" называется любая конечна я последовательность из n чисел (с1; Cz; ; сп) така я , что п р и Х1 = С1 , Х2 = CZ, , Х" = сп уравнение п ревращаетс я в верное ч исловое р авенство . РешеНllе.М сисmе,и.ы О ) называется люба я к(щечн а я о п оследовательность и з n чисел (с1; С2; ; С") , кот р а я я вл яетс я решением каждого и з уравнен и й системы. Как и системы с двумя и тремя неизвестным и , си стемы т ли нейных уравнени й с n неизвестны ми решаются методом исключе н и я неизвестных . Решение системы и з т уравне н и й с n неизвестным и.. исключение м одного из неи звестн ых всегда сводится к решен и ю системы из т - l у равнений с n - l неиз в естными . •
•
t
•
•
•
•
112
I
•
•
•
•
"
:�
- н и Й искл юча ем не известное l урав очленн о и з трет ьего и вычте 3 на и м ож на и2 умн м е и ни ие у множ а вто рое ур авн ен ии. нен у р ав нени я , а затем с нов ого и перв но и з четвер тог о И вычтем поч лен Ю систему . получ и м следующУ
{'
I
-1 , xl - 4xz + 3хз - 2Х4 = 1 4х2 - 1 1хз + 7Х4 = 6 , 1 2х2 - 8хз + Х4 = 8, 9х2 - 1 0хз + 7Х4 = -2 ,
ной сист еме. р а в нос ильн ую Д�H и к решен и ю системы стемы свод тс я Ре ше ни е это и си неи зве стн ым ю у р а вне н и й С тре мя . тре х последн и х
{
и ч исло у равне никак не связаны.
т > n.
о у р авн е-
тог трет ьег о и четвер вне 6. Сн ача ла и з пер вог о , Для это гО второе ура
al1xi
л и нейных
-4, 2Хl + Xz - 4хз + 3х J = -1, 4 = Х1 - 4х2 + 3хз - 2Х 3, 3x1 + Z'Xz - 2хз + XJ 6 2 Xl + 4х2 - 2ХЗ - 3Х4 = .
1 4Х2 - 1 1Хз + 7Х4 = 6 , 1 2х - 8х а + х4 = 8 , 9xi2 - 1 0хз + 7Х4 = -2 . •
ем пар агр аф е. реш аЛ И С ь В п редыдущ Т а к и е с и сте мы уже п р и мер методО М на дов и з и звестн Ы х мето Ре ши в ее одн и м = 2 , Х4 - О ХЗ , 2 = вест ных , н а йдем Х2 иси лючени я неиз ени я а зате м из у р ав н ,
-
,
. -1 Хl - 4"V2 + 3Х 3 - 2х • =
•
ьностЬ и ::���тел м данн ой с истеЫЬ1 ,
Т а к и м ?б р а з ом.. пос ется р ( 1 ; 2; 2; О ) я вля реш ени й нет .
... Ответ: ( 1 ; 2; 2; 0) . _
8
АJlгебра,
q. 1
з чет ыре х чис ел и ДРУ Г ll Х
П р Ii 1\1 е р
\
{
2.
Решить с истему
=
Xl - хз + 2Х4 = 6, X1 + X2 - ХЗ + х4 = 4, 2x1 - X2 + 3Х а - 2Х4 = 1 , 3x1 -X2 + ХЗ - Х4 = О .
(2)
gH :Кiз���� ��: ���
6. П р и ме н и м метод Гаусса. В пе в О е ФllциеllТ п р и Х1 не равен О (если бы н ' Е качестве первого уравне н и я следовало бы взять то ' в котором он не р а вен О) . Исключим неизвестное х1· Д из третьего и четвертого уравнений системы YP H п е р вое уравнение систеМ bI вычтем из BTOPOГ ' п ервое ур авнение с и стемы умнож и м на 2 и вычтем и з третьег о у р а внен и я ; первое у р авнение системы у множ и м lIa 3 и вы чтем из четвертого у р а внени я . Получ им систему , р а н носильную данной:
�� :����
�
(
I
Х1 - Ха + 2х( = 6, Х2 - х , = -2 , '- Х2 + 5хз - 6х. = - 1 1 , - Х2 + 4хз - 7Х4 = - 1 8.
�� : :е �
Исключим T P TOГO у р авнен и й с и Д.1! ЯХ2 из третьего и этого слож им B стемЬ! (3) . а внен и е системы сначала с третьим , а затем с чет рты В результате полу ч и м систему , равн осильную да н ной:
{
Хl - Ха + 2Х4 = 6, х2 - х4 = -2 , 5X8 � 7Х4 = - 1 3, 4хз - 8Х4 = -20.
�
:
( 4)
Исключим теперь неизвестное х и третьего и четвертого ( 4 ) . для этог ура н нен и й с истемы ретье ура внение си стемы разделим на 5 , у множ и м затем на и Dы чтем из четверто"го ура внен и я .
( 4)
4
Получим треугольную с истему , р а в н ос и ль н у ю да нной :
( х1 - хз + 2х. = б, X2 - �4 = -2', 5хз -7х4 = - 1 З ,
1
114
I .L
48 12 ':- "5 Х' = - "5 '
(5 ) Х 4 = 4 , под о у р а в не н и я с ист емы На йдя и з чет вер тог тем ы и н айдем сис в третье ура вне ние ста в и м это зна чен ие Х2 2, а и з одиМ х а н ы тем не н и я сис Хз = 3; и з вто рог о у рав п оследователь ени ем с истемы будет п ер воГ О - Хl = 1. Реш
(5)
( 1 ; 2 ; 3 ; 4.). ное решени е ( 1 ; 2 ; 3; Ответ : система и меет еДИНС"l' вен у тем сис П р и м е р 3. Реш ить Xl + Х2 + Хз + X� = 2 , 2 x1 + 3Х2 + Ха + Х4 = 6 , = XL + Х2 - Хз
ность
\
4) .
4.
l3нен и й с четырь МЯ неl эту с ист ему т р е х у р а D тем выч я и нен в а р сса . Из вто рог о у вес тны МИ методОМ Гау у мно жен ное ени е , п ред вар ите льн о авн ур вое поч лен но пер вое . По л у ч и t\\ пер тем выч я и ен у р авн на 2, из тре тье го у ур авне н и й тем сис ю ыlю гол у тр�
6. Реш и м
\
Хl + -"2 + ХЗ + Х4 = 2 , х2 - хз -х4 = 2 , - 2хз -х4 = 2 ,
1 ::;= с, где с ой систем е. По лож ив Х р ав нос иль ную исх одн с и сте мы ная и внен ура , из тре тье го с про из вол ьно е ч исл О 1 2 ' i\з с второг о на ходим Х2 = + из ' -2 1 = ход им Хз азо м, лю бая пос ле Xt = 2 -с . Т а к и м обр пер во го пол уча ем ;с , 1 ; -1 четы рех ч н сел 2 - с ; + до ватель нос ть из тем ы, и др у г и х реш ени ем да н ной сис где с Е R , явл яетс я не и меет. решени й с и стема жес тво реш ен и й име ет бес кон ечн ое мно ема Ответ: с ист
(
(2
_
с;
1+
�;
-1
-�
; с
)
,
�
- -f
)
с Е R. А
контроля в оп росы для
I"1 ли неи' ных у р а в не Н И ение м сист емы трех Что назы вает ся реш ? с тре мя неи звестн ыми сса? 2. В чем заключается метод Гау трех ;I И для реш ени я системы ера рам К ы мул З а п и ш ите фор . ыми тн тре мя неи звес Heii ных у рав нен ий с емы 'Т рех мера для реш е н и я сист 4. В как о'>l слу чае фор мул ы К р а ы? ним име р неп И с трем я неизвесТ liЫМ ли ней ных у равне н и й х л и не й н ы х у р а в не ой-л ибо сист емы тре как мер и р п те веди и 5. П р ие; еди нств енно е реш е н ныМ И, кот ора я а) и меет н и ii с тре мя неиз вест И I"I . Н е реш меет и е н ) в реше н н и ; 6) имеет бесконечное мно жество
1.
3.
8'"
1 15
6. 87. 9.
Как записывается линейное уравнение щем в иде? .
с. n
неиз!!естными в об-
Что называется решением уравнения с n неизвестны ми? . Что назы вается решением системы т уравнении· с n неизвестными? Может ли однородная система
не I1меть
1IИ
одного решения?
т
уравнений с
n
неизвестными
У п ра ж н е ния
Зху+ г- 4=0, 4=0, 2) { 2хХ+2Уг=7, 1) { 2х+ х+2уу+ г=2, y+2z-16=0; Зх-5у+2z=-7' х-2у+2г -5 = { х+2у+Зz- I З 0,, { , 3) 7х2х++ у-у- г=г=5,10; 4) 34х-2 х+2у+2г-16=О у+5г- 5-0 2 хз=2 { 22ХlХl -+ ЗХ2+ , { 42Хl+ ;� = :: � �;: : �'l, 2) х Х2 4 з=9, 6ХlХI -+ 5Х2+2х Х2-5хз=9; з==-17;I. +2 х { ХI =9, Х2 з -Зх Х2 з З) 32Хl-ЗХ2Х2+2хз= Хl +2хХ22 -5+ЗхзХЗ== -11З� ; . 4) ЗХXIl-4 - хз=5. 3х+4у+ 1=0. 2) { 4х+7у=4, Зх- у=З. { 2х-5у-ЗО=0, 4x+2y-12=0; . - х+6у=9. 4х-5у-l =0. 17=0,. 2х+Зуx+2y-lО=0 3.26. Решите следу ющие системы: г-
�
- .
3 .27. Решнте следующие системы:
1)
I
2
Щ
\ t
3 . 28. Определите, имеют ли решение следующие системы:
1)
�.29. Прямая зада на уравнением
'Уста новите, п роходит ли она через ТОЧ КУ зада н ных уравнениями
пересече ния
прямых.
3.30. Решите системы четырех линеЙ IJЫХ ура внений с четырьмя неизвестным и :
аау+ 2г= 0. х+ { 2х+ у+ 3г= 0, 4х- у+7г=0 а 4г=г= 0,О. у+ { 8х+ у+ аха2х+3у+ 2г=0
система ур авне ний
3 .3 t. П р и каки х знач ения х
ние? llMeeT един стве нное реше 3.32
• .
сист ема у равн ений
При каки х значения х
О реше ни й ? имее т бесконеч ное множеств
тв § 11. Н ерав енст ва и систем ы нера венс ным . Нера венство 1 . Не раве нств а с одни м неиз вест (х) . где f (х) и g (х) неко вида f (х) < g (х) или f (х) :::;;; g венством с одним н еиз нера торы е фун кци и , н азыв аетс я . вестным х (или с одно й перемен ной х) вают ся строгим и . назы (х) g < (х) f вида ства Нер авен ми. В даль ней рогu нест а нера венс тва вида f (х) �g (х)
-
-
ржден и я , как п р авил о, будут шем все определе ния и утве ги х нера венс тв. фор мул иров атьс я для стро нера венс тва с одни м Ч исло а назы вает ся решением числ а а в место неиз вке тано подс и р п неи звестны м. если чаем верн ое ч исло вое не р а вест ного в lIера венство полу веп ств о . числ о а удовлетво р яет В этом слу чае гово р я т . что нера венству f (х) < g (х). тся реше нием нера венства Н апри мер ,. числ о О я вляе 1 > О , а Ч,исло - 1 не я в 1 = 2 0 · + 2х + 1 > О . так как 2 . (- 1 ). + 1 = - 1 < О . л яе тся реш ени ем. та к как нера венство» озн ачает Треб ован ие «реш ить данн ое тва или пока зать , что веllс нера ГО Эl 0 я и найт и все реше н й. оно не имеет реш ени авенство П р и м е р 1 . Реш ить нер
3x - l > О.
е числ о удовлетв оряе т Очевидно , что если неко торо ор яет и нера венс тву летв удов оно то , данн ому нер авен ству тельн о. любое � нсло, удовлетх > , и н з обор аг. Следова
6
�
вор я ющее
1
х > '3 ' я вл яетс я реш ение м
нера венс тву
гих решений оно не IIмеет , н о го нера венства , и дру
116
Ответ:
(� ;
+
00
)
•
дан-
А
1 17
Ответ можно зап и сать и
так :
1
х > 3" '
Т а к а я запись
ответа также я вл яется п равильной и допустимой. П р и м е р 2. Решить неравенство x� < О. 6:. дан н ое неравенство не и меет решени й , так как квад рат любого действительного числа больше нуля (если х =F О) или р авен нулю (есл и х = О) . Ответ: решени й нет. & два неравенстаа наЗblваются равносильными (или экви
валентными) , если они имеют одно и то же м ножество решений. Д р у г и ми словами , два неравенства называются
равносил ьным и , если каждое решен ие первого неравенств,," явл яетс я �ешением второго и каждое решение второго нера венства явл яется решением первого и л и если оба неравенства не и меют реше н и й . Н а п р и ме р , неравенства 3x - l > О и 6х > 2 равно сильны. Неравенства х2 > 1 и х > 1 не являются р ав но с ил ьными , та,К к а к , например , число -2 я вл яется реше нием первого нерав f 2 (х) < g2 (х). Н а п р и мер , нера венство х2 > 1 явл яетс я не р авенства х > 1 , т . е. х > 1 � х2 > 1 .
следствием
Очевидно, два нераве нства равносильны, если каждое и з них я вляется следствием другого. В этом случае будем п исать
Н а п р и ме р ,
3х
- 1 > О � 3х > 1 .
аве нств а , то хо шен и е в торо го нер равенст ва. вает с я , что Анал о г И Ч НО до казы
-
-
решеlJlJ е первог о неравен о Де й ствительно, если хо ства , т. е . f (хо) < g (хо) , то f (хо) -g (хо) < О , т . е . хо решение второго неравенства. И наоборот, если хо - ре-
Н8
реш ени е
пер вог о не
x) > О . • f (X) < g (x) # g (x) - f ( ао О тельное то неравенсm е . т. 2 ) Е сла число т · n а х 'с х ) , mg ( < т m у ) ( вносильн о р н , f (х) < g (х) ра х). т! (х) < mg (х) � f (х) < g ( Если же т < О , то . т ! (х) < mg И # f (х) > g (х)
:: :::
;
•
сле
,
нер аве нст в сво йст в ч исл овы х О Пу сть т > О · Из то m! (х ) < mg (хо)
о дует : если хо такое , что f (хо ) < g (хо) ение н е ра · что есл и хо - реш чает, озна и Это а веН СТВ а и н а обор от. нер реш ени е и f ( х) < g (х) , в енства ( С mg (x) � < но х) ,' mf о ва тель J Б т (x» mg (х) , и н_ао ОРО о А на лоГИ Ч НО доказывается , ли m ' О � f (х) < g (х) , ес . x > g (х) ' если т < . . х что mf (х) < mg ( ) # f ( ) нст ва с модулем. раве Не а , 2 . л ине й н ы е п одроб но и з учаЛ ИСI Л и ней ные и ква дра тные нер е и и я е лен п м ие о р де и м соот вет ст в ующ в шко ле . Н а помн тоды р еше н и я . Не равенс тва вид� b ;i: рх + q , + Ь > рх + q и л и ах +
�o :е� >.
!
He paBeHCT : B�IIC1 Ba
ах
blj,tLl .
ела наз ываютс Я лuн еЙН екотор е л и не й н ы м и где а, Ь , р, q - � � ра нст а яв ляются Обе част и лине и ноГО ю фу н кци ям и . сво дит ся к реш ени " ны х нер аве нст в Ре ше н и е л и неи нер аве нст в вида ах > Ь и ах < Ь , Очеви дно, что _ нек отор ые числа . г де а И Ь 1 ) есл и а > О, то
:� :�
ь
ax > b � X > a ' ь
ax < b � x < а '
до ка жем несколько теорем о ра В Н ОСI1ЛЫIOСТИ не ра венств .
1 ) Нершзенство f (х) < g (х) РМ/.jосиЛЫiО неравенству f (x) - g (х) < О , �. е . f (х) < g (х) � f (х) g (х) < О .
-
т . е.
м нож еством
бес ко неч н ый
Р еше н и
и нте р в ал
й
( аЬ .'
)
нер аве нст ва
ах >
Ь
явл яе:г ся
реш е + 00 , а мн ожеством , а ' ечн ый и нте рва л - 00
< Ь _ бес кон н и й нер аве нства ах
.
'
•
( . !2.) .
119
2 ) если а < О, то
О бъеДI! НИВ неотрицательн ые и отрицательны е решения 1
да нного неравенств а , получи м , что любое ч исло х < 3 511:!ляется решени ем и други х решений нет.
ax > b � x < � ' а
I
ax < b � x > � ' а
(
т. е . множес тво м реш ен и й нер авен ства ах > Ь явл яет ся ИllТервал - 00 '' а а нер авен ства ах < Ь - инт ерв ал
; ( йСлу ь
)
+ 00 .
�)
= о·х
'
о·
о· Х о
Ьи Ь, следует расс мот реть особо. дей ствr нел ьно ' есл и Ь > , то нера венс тво > Ь не имеет t'вешени й , а нер авен ству < Ь Удовлетвор яет любое дей ств ите ль ное чис ло Есл и ' Ь < О , то нер авен ство < Ь не имеет реш ени . / О > Ь удовлетвор яет любое д€йств ител � ь ч сли , то нера веllс тва О · х > Ь и < Ь реше ll И И� не и меют. П р и м е р 1 . Реш ить нера венс тва: а) t > � x - 2'' 2 > х + 2; б) в) 2х 2 > 2х + 1 .
о. х
о· х
�ellcTBl= 'оХ
о·х
:
:���
2х + х+ 1 + 6. а) -2 х + 1 > ; х - 2 � .� х > 3�х> б) х + 1 > х + � � о· х > 1 ; следова тель но , данн ое неравенство реше нии не и меет' в) 2х + 2 > 2х + 1 � о· х '> - 1 ; следовател ьно ' да н ном у нера веllС - 6;
ТВУ удовлетв оря ет люб ое де ист . витель ное число т . е . мно жес тво реш ен ий - это мно жес тво R всех деист вител ьных чисел . • . П.р и м е р 2. Реш ить нера венс тво 2х +IхI < 1' 6. да нное нера венс тво не явл яетс я лин ейны м о его реш ение сводится к реш ени ю лин ейн ых не р' . Деи. стви тель но, . если расс матр и вать �о то 2х + I I 3х и , следовательн о,' да нноетоль ко н и мает вид 3х < Его нео тр нца тель ным и решени я � будут все числ а из п роме ЖУТI - 2, откуда x > - I . Поэтому н а промежутке (-2; 1 ) решением будет любое x E ( - I ; 1 ). Если
х
�
1,
то данное неравенство п ри н имает- вид
х - l < х + 2 + 1 , т. е. О · х < 4. Поэтому на данном про
межутке решением нер авенства будут числа х � 1 . О бъедини в получен ные решени я , получим множество всех решен и й: х > - 1 .
.....
Ответ: х > - 1 . А 3. К вадратные не равенства. Неравенства вида
ах2 + Ьх + с > О, ax� + Ьх + с < О, где а, Ь, с - некоторые числа , п р и чем а =/= О, называются квадратны ми .
Известно, что если ДИСI О, то к вадратный трехчлен можно п редставить в виде
'
х=
1.
о;
!20
[ о; + ) .
O aB:��;� HepaBe H�;;O �p
х =2х - х = х х
�
О, то к вадратична я функци я у -.ax� + Ьх + с обра щаетс я в нуль в дв у х точк а х Х = Х1 и Х = Х2 И в этих точках меняет зна к . Действительно, пусть для оп реде1:;: 1
--
лен ц ости
l'
Х1 < Х2 ; тогда (Х-Х1 ) (X - Xz) > О, 2 (Х - Х1 ) (х - х ) < О, (Х - Х1) (х- х2 ) > О,
С едовательно , если � + 00 )
' (-"2'
если если ес л и
D > О, то
Х < хl ' Х1 < Х < Х2> Х > Х2.
на и нтервалах .
ах2 + Ьх + с > О,
если
а > О,
ax� + Ьх + с < О,
есл и
а < О,
(х1; х2) ах2 + Ьх + с < О,
если
а > О,
ах2 + Ьх + с > О,
если
а < О.
-2
(-00'' х1 )
а на и нтервале
D
Если = О, то квадрати чная фун к ц и я об ра щается в н уль только в одной точке н яет знака :
ах2 + Ьх + с > О,
ах2 + Ьх + с < О,
если
а > О,
если
а < О,
у = ах2 + Ьх + с
х = хо и не ме
дЛЯ любого х =1= Хо' Если < О, то квадратное ура вне ние ( 1 ) не и меет действительных корней т . е . к вадрати чна я функци я ' У = ах2 + Ьх + с не обращаетс я в нуль и н е мен яет знака а и менно'. ах2 + Ьх + с > О , если а > О и ах2 + Ьх + с < , если а < О,. дЛ Я любого х Е R. ' . П р и м е р 1 . Реш ить неравенства ' ,О; а ) х - 5х- 6 > О; б) х2 - 5х - 6
D
О; б) _х2 + 6х - 9
< О; I г) _х2 + 6х - 9 :;:;;; 0. в) 6. Очевидно , что _ х2 + 6х - 9 = - (х - 3)2 . Следова о х =l= 3 и -x� + 6xтель но, _х2 + 6х - 9 < 0 для любог - 9 = 0 для х = 3. в) х = 3; Ответ: а) реше ни й нет; б) любое Х =1= 3; г) любое х Е R. " ва П р и м е р 4. Решить нера венст : l 0 < 0; + 6х + х2 б) 0; > 0 l + 6х + а) х2 1 0 :;:;;; 0. + 6х + г) х2 в) х2 + 6х + 1 0 � 0; О = О реше ний не + 6х + х2 е нени 6. Квадрат ное урав ч н а я фун кция у = х2 + и меет . Следовательн о, квадрати нуль и не мен я ет знак а. в + 6х + 1 0 н и где не обращается х2 то О, = х и . + 6х + l 0 > 0 для люТак как у > 1 0 п р а)
_х2 + _x2 + 6x - 9 � 0;
1
бого х
Е R.
Е R;
б)
а) любое х г) реш ен и й нет. "
Ответ:
R; -х Е 4 . Р ацион альны е нераве нства . Рl (х)
Q l (X)
реше ний
нет;
в) любое
Нерав енств а в ида
х
< Р2 ( ) Q 2 (X) '
некоторы е мног очле ны , где р 1 (х ) , Q l ( х) , Р 2 (х)- И Q 2 {X) ими п р и мера ми ра тейш Прос и. ьным назы ваютс я раци онал ли ней ные и квадратцион альн ЫХ нера венс тв явля ются ные нера венства . нера венст в п р ои лл!ОстМетоды реше н и я раци онал ьных . р и руем на л р и мера х. Пр и ме р
6. Дан ное
Реши ть нера венст во
1.
x+ l
х
-2 > 1.
ву нера венст во равн осилъно нера венст
2 - 1 > О,
х+l Х-
1 1 п оэтому л юбое ч исло
ги х реше ний нет.
•
.
т. е.
х>2
Опюет: х > 2. " П р и м е р 2. Реши ть
3
-2 х-
> О,
я в л яется реше нием и дру
неравенств о
�+� > 1 .
123
(
/:::, О чевидно , что
x+ l > 1 x+ I _ 1 � 2-х 2�x
>
o � 2x2-х - I > О.
Отношение двух чисе л положительно тогда · и толь ко fQгда , когда числитель и знаменатель одного знака. По fТOMY и з последнего неравенства следует, что если > О , то и 2 - х > О, т. е. Х должно удовлетворять
Ix- 1
рум нера венствам
1 Х > 2"
Если
же
;
неравенствам
х
/:::, .ц,а нная
1
1
3 . Р ешить неравецство
x2+x. x - l l < 2х +- 1.
x� + х- 1 < 2х + 1 � x� + х - 1 2х - 1 < О � x� l х- I -x� + 2х < О х (х -2) > О � х- I � х- I �
.
� x (x - 2) (х - 1 ) > О.
Решая последнее неравенство методом интервалов (рис . получим О < х < 1 , Х > 2. А
е Q
1 2) ,
'6?
Рис.
12
5 . Систем ы н е равенств. Ч исло а называется решением ам;темы Hepaвeн,cmв с одним неUЗ8естным, если оно я вля
t
1
{
равносильна
f
{
х< 1, 2 t х< .
системе '\
Ответ: х < 1 . & П р и м е р 2 . Решить си.стему неравен ств 2х + > х + 2, х - 1 > 2х.
1
6. Данная система нер авенств равноси льна системе Х > 1, :га к как к аждое неравенс тво системы заменено - 1 > Х,
р а в носильн ым неравен ством. Получе н н а я система не имеет решен и й , следовательно, и дан на я не имеет решен и й . & П р и м е р 3. Решить систему неравен ств
{,
{
x2 - 3x + 2 � 0, x -x� + 2 � 0.
6. Данна я система р авноси льна системе
(x - 1 ) (x - 2 ) � 0, - (х + 1 ) (х- 2) � О.
�
Реш а я первое нер а венство системы методом и нтерва 1 или х � 2. лов , п олучим (рис. 1 3) х
Рис.
х2 + х- 1 > О,
х + 2 > О,
а число -2 не является решением этой сис темы, так как оно не я вляется решением второго неравенства, хотя и явл яется решением первого нера венства.
124
3х < х + 2 ,
система
l'I'Cя решением к аждог о неравенства системы. Например, число 1 я вл яется решением системы двух .равенств
{
{
1 < 2" x + 2 . L X+
< 2" и х > 2 . О чевидно,
Ответ: 2" < Х < 2. А
_
систем у нераве нств П р и ме р
< 2. Следовательно, любое
и х
(� 2 )
'lИсло из и нтервала
Решить систему неравенс тв - значит найти множество х все решени й систем ы. Две системы не равенст в называются равноси ЛЬНЫАtu , й. есл и они и меют одн о и то же множество решени р им на рассмот ств неравен систем решений риемы П
-1
� x � 2.
�
Рис.
1
13 14
2
2
Реша я второе неравенс тво системы, полу чим ( рис.
1 4)
125
•
I
Объедин я я найденные ч исловые промежутки , получим - 1 � x � 1 и х = 2. А П р и м е р 4. И зобразить на коорди натной плоскости хОу м н ожество решений системы нер а венств
{
y � x + 3, y � - x + 3.
!J
.у
о
з
15
Рис.
А н алогично,
126
3y + 4x - l > О.
tY
2у < 3х- 5, 3у > - 4х + 1
(
и ли
5
3
5
< '2 Х - '2 '
4
1
У > -3 Х + з'
4
з 2) Строи м п рямые У = '2 х - '2 и У = - з х + з · 1
3) Перво му нераве нству системы будут удовлетворят ь всех точек
полуп лоскост и ,
лежащ их н иже
Р ис. 1 7
J
х
пря мой
неравенства у � изображается в виде ЩlOжества точек п олу . плоскости , лежа щих н иже (ПОА) п р я мой У = -х + 3 и на ЭТОЙ пр я мой (рис. 1 6 ) . Ясно, что системе нера венств ( 1 ) удовлетворяют !{о орди.наты тех и только тех точек , которые п р инадлежат пересечениio множеств точ·ек . зада в аемых каждым из . II� ох равенств сис темы (на рис . 1 7 искомое множество · riOK P bITO
множество
J
.,
2у - 3х + 5 < О,
16
жества точек I'IOлуплоскости , лежащих выше (над)
о
{
коорд инаты
о
lI = x + 3 и на это(J· 'Пр ямой (рис . 1 5).
-3
{
Ре.ш ить с истему неравенств
3
J
Рис.
5.
мы: � 1 ) В ыражаем у и з каждого нерав енств а систе
(1)
6. На координатноfl плоскости хОу м ножество всех решений неравенства у � х + 3 изображается в виде м н о-
-J
П р им е р
решений
�-x + 3
двойной штр и ховкой) . '"
5 з прямой У = '2 х - '2 ; ВТ.ОрОМУ неравен ству системы будут
1 4 у = -з х +
удовлет ворять коорди наты u
щих в ыше п р я мои
4)
всех
точек
плоскости , лежа-
3'
Данной системе неравен ств удовлетвор я ют коорди е явл и наты тех и 'Fолько тех т{)чек ПЛОСiЮсти , которы
127
ются общими для первого и второго из указанных мно жеств точек ( на рис. 1 8 искомое м ножество точек по крыто двойной ШТР И ХОВКОЙ ) . & В оп р о с ы для к о нтрол я 1 . Что называется решением неравенства с одним неизвестным? 2. Какие два неравенства называются равносильнымиr 3. В каком случае одно неравенство является следствием другого? 4. Какое неравенство называется линейным? 5. Какое неравенство называется квадратным? б. Приведите пример к вадратного неравенства, которое не имеет ( решений. 7. Дайте определение рационального неравенства.
3.38. Изобразите на координаТllоii плоскости ХОУ множество ра.. шений каждой из следующи. х систем неравенств: 2 4 x+y� 1 , x+ y � I , 3) 2) 1) 2 x�O; y� O; Y � '3 x + 4 ; . -- - Х ; 5 2
2) (х - З) � < х (х + 2) +81 х 7 4х + 1 4) 5 - з < '2 - В- '
3.34. Решите неравенства:
1) х + 1 < 1 х 1; 2) 1 3х- 9 1 > 4х - 5; 3) 1 3х - б l < х + 2 ; 4) - 3 1 х + 20 1 < - 20 ; б) 1 3x - 2 1 - 5 < l x + l l' I x+3 1 > l x-2 1; 3.35. Решите неравенства:
5)
2) 4) б) В)
1) х� + х - б � О ; 3) 3х� - 1 9х + б < О; Б) 2x� + 3x - 5 � 0; 7) бх� - 7х + 2 > О ;
3.36. Решите неравенства:
2х - 1 + 1 < О'' 2х - 3 1 - 3у 1 > О 3) ; 3 - Ву + 2 z- 3 z- 1 5) < ; 4z 3 4z + 5
1)
--
_
2)
x� - 2x + 3 � 0; x � + 9 < бх;
x (x + 5) < 2 (x� + 2) ; (х + 4) (х + б) < б (Х + Q) ,
128
{
х + у - 3 :;;;. О , - бх - 7у + 42 � Оi 2х+ у - 2 > {) , х - 2у + 2 < О .
x - у + l � О,
�{
х ..; 2 ; 2� - y + 2 � O, x- y � - 2 , х ';;;;; 2х - у - З � 0;
1,
· " . §, .1 5. Понятие о задачах линейного програММ.ИРО8�Н И Я
н.ачнем с рассмотрения одной простой задачи о .р ере. �озке хлеба. !(",е ГОРQда П р и м е р . Дл я снабжения �pex районов ежедневно район Первый . хлебозавода два меются �ЭМ и П требляет хлеба 26 т, второй - 1 4 т , трети й -:- 1 () т . Хлебозавод N!! 1 выпекает ежедневно 30 т хлеба , ' а хле б.О�авоД N'l 2 - � Т. Стоимость В рублях достаВК И J оди,ОЙ' тонны хлеба с каждого хлебозавода каждому району ари"
.
9
.
-·ве.в.ена в таблице
Район ХnебоэавоД
3 3
2
з
4 5
6
2
-
{
--
{
x- l � O, y- l � O,
5)
{
x � O, x+y- 2 � O,
-
3.37. Решите системы неравенств: х + 2 > 2х + 3, 1) . 2) 2х + 3 > Зх + 5; 3 2 (2х - 3) < Бх - т , 3) 4) вх - 5 < l бх - В ' 2
{
{
- 4 .,;;;: х � б, - з � у ..; 2 ;
х+ l
> 3'' х+2 2 3 4) > ; 2х - 1 3х - 4 2 б-у < '3 ' б) У б
{
8)
{
{
{
Зх- 5 > 23 - 4х,
7х + З < 9x - l ; 4х б -- < Х + З , 7 3х + В -- > 2х + 4 . 4 -
Требуется . составить наиболее экономный план ( про грамму ) перевозки хлеба. /:,. Обозначим через х число тонн хлеба, которое бу. \Дет перевозиться с хлебозавода N'l 1 в первый район, а через у - ч исло тонн хлеба, которое будет перевозиться с этого хлебозавода во второй ра йон . Тогда в третий район с хлебозавода N'l 1 будет перевозиться 30 - х - у тонн. Так как пеРВ�IЙ район ежедневно потребля ет 26 тонн 5
Алгебра, ч.
1
1 29
,. .
хлеба, то 26 - х тонн нужно доставлять с хлебозавода N!1 2. Аналогично с хлебозавода N!1 2 нужно доставл ять второму району Н -у , а третьему району х + у - 20 тон н хлеба . Следовательно, ежедневный план перевозок хлеба можно представить таблицей Хлебоз�вод
1
N2 1 N2 2
х 26 - х
I
РаА о н 2
у 14-у
I
ах п рямо й 1, зада н· знач ени е она п р ин имает во всех точк ной ура внен ием
точк а х пересече· в частност и , стои мост ь S равн а с в A BCD E. ка льни н и я прямой 1 с гран ицей мног оуго у
3
30 - х - у х + у - 20
Легко видеть, что стоимость S всей перевозки равна сумме попарных произведени й чисел из первой таблицы на соответствующие числа второй таблицы:
Рис. 19
Так как количество хлеба , п р ивозимого в данный u раион города , не может быть отрицательным, то все ч исла второй таблицы должны быть неотрицательными :
I
�
l
x � O, y � O, 30 -x -y � 0, 26 - x � O, 1 4 - y � O, x + y - 20 � 0.
(2)
М,
функцией . Покажем, что целевая функция S свое наиме iьшее } значение п р инимает в одной из вершин МНОГОУГОЛЬНl.fКа A BCDE. Пусть функция S принимает значение о в некоторой точке М многоугольника ABCDE. Очевидно, что это же 130
Очевидно, что если п р и некотором значени и с п рямая (3) проходит через внутренние точки многоугольника A BCDE, то й люба я п р ямая , заданная уравнением 288 - 4х - 5у = с - б, роходит чере з вну п р и дост аточ но мало м б > О та кже п Е. Поэтому такое трен ние точ к и мно гоуг ольн ика А ВСО мин имал ьныМ , и , быть S не может знач ение функ ции . прин имает на она ение знач ее еньш с ледовательно , наим рые пересе кото (3) , п рямы х , зада нны х урав нени ем вида BCD E. A ка и н оль гоуг , каютСЯ толь ко с гран ицей мно пере сека рая кото , я яма р п ая люб Легк о видеть, что ател ьно обяз ка, льни ' ется толь ко с гран ицей мног оуго евая цел что ует, след да Отсю u из п роходит чере з его верш ину. и одно в ение знач ее еньш наим фун кция S п р и нима ет , верш ин многоуг оль ник а АВС ОЕ. доиu и з верш ин мно Найдем тепе рь знач ени я S в каж гоуг ольн и ка А ВСО Е : . 1 = 1 94 , . ( S ( A) = 288 - 4 6 - 5 4 S (B) = 288 - 4 . 1 6 - 5 . 1 4 = 1 54, S (С) = 288 - 4 · 26 - 5 · 4 = 1 64 , S (0) = 288 - 4 . 26 = 1 84, S (Е) = 288 - 4 · 20 = 208.
I
Стоимость S можно рассматривать как функцию точ координаты которой удовлетворяют неравенствам (2). Множество всех таких точек я вляется м ногоуголь ником ABCDE ( рис. 1 9). Функцию S называют целевой ки
:с
о
S.= 3х + 4у + 6 (30 - х - у) + 3 (26 -х) + + 5 ( 1 4 - у) + 2 (х + у - 2 0) , т. е. S = 288 - 4х - 5у. (1)
(
( 3)
288 - 4х - 5у = с.
1
I
t
131
.
Х л ебозав од
М 21 N�
I
I
Район 2
I
б� ,
N� N�
О
х у
3x-2y+6� 3х+ y-3�0. 3-x�0, { x+y-2�O , y-x�O, 2х-4-y�0. I�
Найдите наибольшее значение функции S = 2, условии, что и удовлетворяют ограничен и я м : О,
3.40.
у
j
'\ t
Найдите наименьщее значение функции S = удовлетворяют ограничен и я м : �словии , что Х И О,
40
(х +у)
12х+4у
при
33
I
2
45
I
3
2
5
план доставки хлеб а.
- ,
• J
при
3.4 1 . Два хлебозавода выпекают хлеб для трех населенных пунк· 'I'ов, хлебозавод N� 1 выпекает ежедневно т хлеба , хлебозавод
132
21
I
омны й Требуется составить на иболее экон
Заметим , что наибольшее значение стоимости S равно 208 и п ри нимается в точке Е (20; О) . Соответствующий план переВОЗ0� является самым дорогим . По сравнению с ним самый экономный способ перевозки дает экономию в 54 рубля ежедневно, а за год около .20 тысяч рублей . & Мы рассмотрели п ростейшую транспортную задачу. Многие вопросы экономики и плани ровани я сводятся к подобного рода задачам . Замети м , что в рассмотренной задаче целевая функ uи я является линейной фун кцией своих переменных и ограниче н и я задаются линейными неравенствами . ПоэтtJму та кие задачи называются задачами линейного nрограмми рования. Таким образом , задачи линейного программиро ва НI1Я - это задачи нахожде н и я оптимальных п роизводст венных п рограмм в случае , когда целева я функци я и ограничения ли нейные.
3.39.
•
Населен н ы!! пункт
3
У п раж нен ия
Л � go ТI0Л� П�Н�:ждого-Х Леб; ;
2- 20
Хлебоза вод
1016 14 10 .' О .
2-20
П ОТ РеБ Я т. Насе ленны й пункт N� I ежедн евно. т, населенныи населенный пункт Nc;. хлеба в руб ях Стои мост ь доставки Од1l0 И тонн ы т задана та лице и пунк ый ленн насе ый завода в кажд
No
Отсюда видно, что наиме ньшее значение S равно 1 54 и п ринимается в точке В , т . е. п ри х = 1 6, у = 1 4. Таким образом, самый Эl VX' не я вл яется ни четной , Ни нечетн ой, так как она опреде лена на множестве (О; + 00 ) , которое не является сим метрич ным относи тельно начала коорди нат. Ясно также, что указан ное выше услови е не я вляетс я достаточным . В этом легко убедит ься , рассмотрев, наприм ер , функц ию f (х) = х + 1 , определенн ую на всей число вой п рямой . Она не явл яется ни четной , н и нечетн ой. В месте с тем область определени я этой функц ии являет ся множеством, симметричны м относи тельно начала коорди нат. 7. Периодические функц ии Функц ия f с областью определени я А называ ется периодическо й , если сущест вует ч исло l ::/=: О такое, что для любог о х из множества •
140
•
А выполн яется равенство
f (х - l) = f (х) = t (х + 1).
В этом случае ч исло 1 называется периодом функции ' . Если ч исло 1 является периодом функции f , то оче видно, что ее пер и одами будут также числа n l, где n - любое целое число, кроме О. П р и м е р. , Исследовать на п.е риодичность функцию t (х) = х - [х] . 6. Эта функция , называется �робной частью числа х. Вычислим нескольк о ее значении : f (2) = 2 - 2 = О; , f (5,32 ) = 5,32 - 5 = 0,32; " ' ' f (0,32) = 0,32 - 0 = 0,32; ; f (-3,2 1 ) = - 3 , 2 1 - (-4) = -3,2 1 + 4 == 0 ,?9; : 1 О для любы х X1 и Х2 =l=- Xj , то f (x2) - f (x1) < О . . Числовая функция f называется yf5bl8ающей , если для любы х Х) и Х2 из области определен и я f таки х , что Х! < Х2, выполняется неравенство f (X1) � f (х2). Например , фун к ция f (х) = - [х] я вляется убывающей на R ( рис. 27). На рис. 2 8 изображен графи к еще одной у бывающей функции . Легко видеть, что если функци я f (х) - строго возра стающа я ( возрастающа я ) , то функция -f (х) - строго убы вающая ( убывающая ) ,' и н аоборот. ,
1 + (- 1 ) 1 _ 0, 2
и т . д . Следовательно, да нная последо вательность и меет вид
-1
А так как X� + X1XZ
1 42
Использу я эту формулу, можно . вычислить любой член последовательности . Нап ример,
1 .
--,
- 64 ' • . •
П р и м е р 3 . Пусть а " = 3, n Е N. Тогда последова тельность и меет вид 3; 3; 3; ' " Каждый член данной последовательности п ринимает значение, равное трем . Последовательность, у которой все члены п ринимают равные между собой значеН!i Я ' называетс я постоянной
1
последовательностью. 2. Укажем еще один способ зада н и я последовательно-
с п о с о б. ( и н д у к т и в н ы й) сти - р е к у р р е н т н ы й Этот способ задания последовател ьности состоит в что указывается п равило ( обычно это формула ) , п щее вычислить общий член последо
I
,
I
п редыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности . .Формула , позволяющая вычислить общий член после довательности через п редыдущие члены, носит назва ние реку ррентного соотношения . Примером рекуррентного СООТНОRJения может служить фОРМУJ!а a,, = 2a" _ 1 - a" _ 2 ' (1) Orметим , L\TO заданием только рекуррентного соотно шен и я последоват'е льность п олностью ' не' определяется , Все дело в ТОМ , что первые члены последовательности нельзя вычислить по рекуррентномУ. соотношению. Напри мер , формула ( 1') не имеет смысла прй n '� 1 и n = 2 , та к как члены, ао и a_i с номерами О и - 1 не существуют, поэтому з н ачения a i и а2 надо задавать дополнительно. Такие значени я а 1 и а2 для данной п оследовательности называются начальными . далее, начиная с аз, рекуррент пое соотношение и начальные члены a1 и а2 позволяют вычислить любой член последовательности. Пусть, например, а 1 = 1 , а2 = О. Тогда ' аз .. 2а2 "":"" а1 ' 2 · 0'- 1 = -1 ', .. , , a4 = 2a;j - a2'= 2 . ( - I ) -O = -2 , а б = 2а 4 - аз = 2 . ( -2) - ( - I ) = -3 и т. д. Та ки м образом, рассмотренна я выше последова тель ность будет задана, если указаны формула а,, '= = 2a" _ 1 -'a" _ 2 и первые два члена послеДОl!ательности а1 = и а2 = О. 3. Последовательность может быть зада на словесно� т. е. описани�м ее' членов. Например: а) последовательность (а,, ) , где а ,, -десятичное п ри бл и жение ' с избытк ом с точностью до 'n-го десятичного знака ; ' вычисление пока:3ывает, что a1 = 2; a2 = 1 , 5 ; аз = I ,42; а4 = 1 , 4 1 5; . . ; б) , последовательность (аn ) , где а ,, - n-е четное число; начало этой последовательности и меет вид 2;. 4; 6; 8; 1 О; 1 2; . . . ; в) п оследовательность (аn ) , где а n = 2 , если n - четное, и а,. = О , если n - нечетное. Заметим , что в последнем случае легко находится формула для общего члена : аll = 1 + (- 1 )". , При и зучени и последовательностей 'удобно использо вать и х геометр ическое изображение. для этого исполь зуются в основном следующие два способа. ·148- "
1
V2'
.
t
•
•
•
Рис. 3 1
115 i!.J,
I
е8
•
1 .1 .1
О
=
111
fj .lf ;5
8
1
,
,
/
"2
Рис. 32
а" = На рис. 33, 34 и зобр ажен а последовательн ость 1 + а,,+l "> . . . Короч е, последовательность (а,,) называ ется строго убы вающей, если а,,+l < а" для всех n. Напр имер, последовательность 1 ; 1 /2 2 ; 1/3 2; . • . ; 1 /n 2; • • ; 2.
Монотонные
последовательности .
•
149
строго убывающая , так как 1 /(n+ 1 )2 < 1/n2 для всех N . На рис. 35, где члены последовательности изображены точками числовой оси , кажда я· точка, соответствующая п ослед�ющему члену an+ i , лежит левее точки , соответст Rующеи п редыдущему члену аn• t1z
fl4 t1J
d(
•
, ..
о f 1
•
f
iб 9
7j
Рис.
35
1
ос
. � . � . 1. . 1. . � . Например, последовательность � 2 ' 2 ' 3 ' 3 ' 4 ' 4 ' ' '' ' . я вляется убывающей , так как п редыдущи й член не меньше последующего. Если члены последовательности и зобразить точками числовой п рямой , то каждая точка , соответствую щая последующему члену an+ i , будет лежать не правее ТОЧКИ, соответствующей предыдущему члену а" (рис. 36). I f
О
7i
q" , оз I
,
.!... 3
02 ;0, I
..1 2
Рис.
36
1
..
:с
роследоватеJ,IЬНОСТЬ (аn) называется строго возрастаю щеи, если каждый п оследующий член больше п редыду щего, т. е. если ai
< а2 < а з < . . . < а" < а,,+! < . . .
Короч� , последовательность (аn) называется строго воз растающеи , если а" < a,,+ i для всех n. зn 1 Последовательность а" = ; , n Е N,- строго возра стающа я , так к ак 3n + 2 3n - 1 1 an+ 1 - an = n 1 --n- = n (n l ) О + +
>
и , следовательно, all + i > а" для всех n. На рис. 37, где члены последовательности изображены точками ч исловой ОСИ , кеждая точка, которая соответствует последующему члену all + 1 , лежит правее точк и , соответствующей п ре дыдущему члену all• 150
f
о
�
Последовательность (аn) называется убывающей, если an+ i :::;;; а:: для всех n, или, другими словами , каждый п ре дыдущии член не меньше последующего.
� ; l1.5 1
Последо вательность (а,,) называется возрастающей , если аn :::;;; аn+ ! для всех n , или , другим и словам и , если каждый последующи й член не меньше предыдущего.
i. Z,5i"п� d(
dZ dJ Q�
с. 37 Ри
[Н
Наприме р, последов ательность 1 ; 1 ; 2; 2 ; 3; 3; 4; 4; . . . есть возраст ающая, так как каждый последующий член не меньше предыдущего. Если члены последовательн ости и зобрази ть точками ч исловой п р ямо й , �o каждая точка, а' ; Ц2; О
I 1
O.N O"; ) а"; 06; I
2
Рис. 38
I
J
07; а8; I
4
');
.1J
.J
соответствующа я последующему члену an+I, будет лежать не левее точки, соответствующей предыду щему члену а" (рис. 38). Очевид но, что не всякая последо вательн оет , являетс я монотон ной. НаI1ример , п оследов ательности 1 1 1 ; 2 ; '3 ; 4; 5' ; 6; . . . и 1 ; О; 1 ; О; 1 ; О; 1 ; О; . . .
не являютс я монотон ными. т 3 . Ог ра ничен н ые и неогра н иче нные п оследов а тель нос и . если Последователь ность (all) называется огiюниченн,ой, существ уют числа М и т такие, что для любого n имеет место неравенство т :::;;; а" :::;;; М . В п ротивно м случае о н а называе тся н,еогран,ичен,н,ой . Имеются неогран иченные ПОС.ТJедо вательн ости трех видов. 1 . Последо вательность такова , что для нее существует число т и не существует числа М. В этом случае п ро неогран иченную п оследовательность говорят , что она яв л яется огран,ичен,н,ой сн,изу и н.eoepaH UtleHHoU сверху. 2 . для последовательн ости существует число М и не существует числа т. В этом случае о неогран иченной последо вательн ости говорят , что она я вл яется огран,ичен, н,ой сверху и н,еогран,uчен,н,ой сн,изу. 3. Последо вательн ость такова , что для нее не сущест вуют оба числа т и М . Тогда говорят , что такая после Дователыюсть я вляется н,еогран, uчен,н,ой и сверху, tl сн,изу.
151
Напри мер , последовател ьности а = -!. n � и аn = ( _ I ) n 1 ограни чен ные, так как O� fi2 � 1 и -1 :::;;;; (- l )n :::;;;; 1 для любого n E,N. Последователь ности аn = n , аn = -2n. a,, = (- l )n n являются неогра ничен ными. действител ьно, последовател ь ность а" = n будет огран иченн ой снизу , так как 1 � n для любого n Е, N, и неогра ничен ной сверху , так как не существует числа М такого , что n :::;;;; М для любого n E, N. Анало гично доказываетс я, что последовательность а,, = -2n является огран иченн ой сверх у и неогра ничен ной снизу , а последовательность а" = (- l ) n n является неограниченной и св.е рху, и снизу . Геометрическ и ограниченнос овательности (а,,) означает существован ие отрезкать[ni;послед М ] , на котором поме щены все члены ЭТОЙ послед ьности . Одновременно замети м, что для неогра ниченновател ой послед ьности (а,,) такого отрезка [т; М ] , которому принаовател длежа т все чле ны аn , не существует. Н апример, для огран иченно й последовательности (:� ) число т = О и число М 1 , так как о :::;;;; n1� :::;;;; 1 для любого n Е, N. Таким образом, все члены данной последовательности принадлежат отрезку [О; 1 ] . для неегр аниче нной последоват сти а" -2n, n Е, N, число М равно -2, а числа тельно не сущес твует. В самом деле, всегда найдется член последовательности , что ai = -2i < m, т. е. не принадлеж ит отрезкуai[т;такой М], где т < -2 -лю60е число. Для этого достаточно взять номер i > [ - ; ] . Следовательно, не существует 01ipC3Ka [т; М ] , которому прина длежа ли бы все члены данно й последовательности . Заметим, что в случае монотонной последовательно сти нахождение числа т (или числа М) облегчается, так K a l{ для строго возрастающей (или возрас й) после довательности m = af, ибо Qi :::;;;; an, n E N,тающе а для убывающей (или убывающей) последовательности Мстрого = at , ибо аn :::;;;; Щ , n Е N. Поэтому для установлени я огран ичен ности строго возрастающей (или возрастающе й) последо вательности достаточно установить огран иченность сверх у (т. е. найти число М), а для огран иченности строго убы вающей (или убывающей) последовател достаточ но установить огран иченность снизу ьности (т. е. найти чис ло т) . 11
=
=
152
Например, последовательность а" = l - nI , n Е N,строго возрастающая , поэтому т = й \ = о :::;;;; а" для любого n E, N. Т ак как l - � < l для любого n E, N, то М = l . Следовательно, данная последовательность - ограничен ная. Последовате.� ьность а" = 1 + � , n Е N,- строго убы- . вающая, поэтому M = al = 2 � an для любого n E, N. Так как 1 < 1 + �n для любого n E N, то т = 1 . Следовательно, , -ограниченная. данна я последовательность И в за к лючение отметим, что последо!3ательность (аn) б удет ограни ченной тогда и только тогда, когда с�щест вует ТЗlюе ч исло В, что 1 а" I :::;;;; в для любого n . Деистви тельно, достаточно положить В равным наибольшему из . чисел 1 т I и 1 М 1 · Например, для ограниченной последовательности ( 1 + � ) числа ' т = 1 и М = 2, поэтому В = 2, т. е. 1 1 + � 1 � 2 для любого n E N. 11.
В о п р о с !.\ д л я
1. 2. 3.
контроля
Что Назы ваетс я послед ватеЛЫ IОСТЬЮ? К а к и е спосоОы зада н и я последовательностей вь\ знаете? П Р fl ведите
п ример
зада н и я
последоватеЛЬflОСТИ
с
помощью
формулы n -го члена.
4.
П р и ведите
5. 6.
П р и веДИ1е п р и м е р CJlOBeClJoro задаll И Я
п р и ме р
рекур реllТНОГО
зада н и я
последоватеJlЬ-
НОС1И.
слу чае
Кака я она
последоватеЛЬНОС1И.
последова1елЬНОС1Ь называется возрастающей?
называется
строго
возрастающей?
П р и ведите
В
каком
п римеры
таких последователЬВОС1еЙ.
7.
Какая
н азывается
последова1ельвость вазывае1СЯ убывающей? -Когда Оllа
С1РОГО
убывающей? П р и веДtпе
п р имеры так и х последо
вательностеЙ.
8. 9.
П р и ведите п р имеры вемонотон н ы х последоватеЛЬНОС1еЙ. Какая
последова1ельность
называется ограничен ной?
дите п ри м е р ы MOHO'fOHHblX огравиqеВlIЫХ последоватеЛЬНОС1еЙ.
10.
П р и ведите
л р имеры
неог ра ни ч е н н ы х
П р и ве
последоватеЛЬВОС1ей,
в том числе неогр а н ичеllНЫХ сверху и неог р а н и ченвых с н изу.
153
4 _ n2 аn = n2- 7n + 6; 5) аn = .1 n2 + 5n + 6; 6) an = � ; ( _ 1)" . /1� + (�- I)' n n.' 3/12+2 · 9 = а , n ) 7) а,, = --пг- ; 8) а n = n+ n 1 1 1 1 1 1 . 1 0) 1 ; 1 ; 2"; '2; 4 ; 4: 6'; б ' . 1 1 ) 1 ; 1; 3; 3; 5; 5 ; 7; 7; . . . ; 1 1 1 12) 3; '2 ; 5 ; 4 ; 7 ; 6' ; . • • 4 . 22. Установите, что последовательность (аn), заданная
4)
)' пражнения
4. 14.
Выпишите первые шесть членов следующих последователь.
ностей:
_ n-1 n' ; 2) a = ЗnZ- 1 3) 1) а" = n + n n2 + 1 ; а,, = ( n2 I)+4 ; l n ( - I)n n 1. 4) а" 4 " ; 5) а,. = 2 + 3'" 6) .а,. = --' n 4. 15. Я вляется ли членом последовательности число: 1) 289; 2) 361 ; 3) 1000 ; 4) 223? 4. 16. Содержится ли среди членов последовательности а" =n2-17n . число: 1 ;,' 1) -30; 2) -12; 3) -IOO? Если содержится, то какой номер имеет этот член? 4. 17. Н айдите первые пять членов последовательности (а,,), если 1 ) a1 = I , a,,+i=an + l ; 2) а1 = 7, a,, + f = a,, - 3 ; 1 1 3) ai = -5 , all+i = 2an ; 4) а1 = -; 6 ' a,,+i = а" 5) al = y 2; a� +i= Y2 + an ; 6) ai =a2 = I , an+ 2 = a,, +a,,+I. 4. 18. Выпишите первые четыре члена последовательностей , сос
.
=
строго убывает . Установи те, что последов ательность
--
-п
о
2
11
По
(� У; (�) ( ; ) (:) С )
п
реку р-
(а") , заданная рекур 4 . 23. " + 1 а 2 строго возрастает. рентно: аn +1" = а" и а1 = , 4.24. Какие из дан ных последовательностей ограниче ны и какие неогран ичены : ..!.. � n n: 1) а = .' 2) a" = n - l ; 3) a,, = (- I) n 1 + ( - 1)"-�. (_ 1)" 4} а" = ( - 1)" n2; 5) а" = -n- ; 6) а" ' 2 2'" ) 5. n - 9 а,, 2n - , 7) а n = -2 ' 3n + 3 ; 8) а" = -n 10) аn = 3-n: 1 1) а,, =n ? 4.25. Последовательность (а,,) задана рекуррентно:
,.
5)
•
рентно:
тавленных из десятичных приближений с избытком и с недостатком для следующих иррациональных чисел:
1 ) УЗ; 2) У5; 3) У? 4 . 19. Напишите формулу общего члена последовательности, пер вые пять членов которой совпадают со следующими : 1 ) 3· 2; 5·22 ; 7 · 23; 9 · 2'; 1 1 . 2& ; 2) '21 ; 222 ; 233 ; 24' ; 25. ; 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 : 3) [.2; 2.3 3 . 4 4 . 5 5.6 2 5 2 2 2 4) ; ; 1 ; ; 1 1 1; I ; I 2 у 2' 3 У З; 4 У 4; 5 У 5 ' 4. 20. Изобразите геометрически (двумя способами) следующие последовательности, заданные общими членами: n+'; 1 ) an = n +1 l ; 2) a,, = (- I)" n1 ; 3) a,, = 2n _ 1 1 + ( _ 1 ) "- 1 ; 6) 4) а" = з; аn = 1 + ( n 1 )" ; n 5) а" = 2 3n + 1 1 - 5n ; 9) а,, = 2 + -1 ; 10) = 3 -. 7) а,, = --; 8) а" = аn - n1 4.21. Установите, какие из следующих последователь иостей яв ляются монЬтонными , а какие немонотонными: � - 3 ; 2) аn = n +-; . 4 1) а" = n 2n 3) an = (- I)" n -6; 154
,
Докаж ите, что она ограни чена. Последовательность
4.26.
(а,,)
ai = O , а2 = 1 :
и
задана рекуррент но:
а,, + 1 = а,, +2а,,_!
•
ДокС\жите, что она огранич ена. 4.27. Последовательность
(а,,) задана рекуррентно.. ai = 2 и a,,+1 = all + l.
Докажите что она неогра ничена . задана рекуррен тно: Последовательность
4.28.
п
(а,,)
l + a� Щ = 1 и а" +1 = -а- ' "
,,
докажите, что она неограни чена.
§ 1 8. П редел последовательности
или
числовой последовательности. Сходя щиеся и расходя щиеся числовые последовательнос1lИ. Рассмотрим последовательность (1 аn = n- , 1 . П редел
Зn- l n E N.
)
Легко видеть, что значения членов этой последова тельности по мере возрастания и х номера n располага ются сколь угодно близко к числу 3. Поставим пере� собой задачу - придать этому утверждению точную математи ческую формулировку. С этой целью сначала ответим lIа следующий вопрос. Каким должно быть чтобы модуль разности а n - 3 был меньше О,ОО I ? Так как
аn � а при
Зn 1 - з1 = 1 � = � n I , I аn - 3 1 < 0,00 1 выполняется для любого
то неравенство
n > No = 1 000.
�
Для произвольного положительного 8 неравенство l an - 3 1
равносильно неравенству
1
n > -;-1 .
(2 )
Так как нас интересуют
n, то имеем: неравенство (2) вылюбого n > N = [ ; ], где [�] -целая
натуральные значения
i полняется для
найдетс я номер N N (8) т�кой , что выпол няетс я неравенство
о'
=
, , " '1 a� - � 1 I ��+ � - � 1 < е п р и n > N . =
(3)
Так как
n
Сформулируем теперь определение предела последо вательности. О п р е Д е л е н и е 1 . Число а называется пределом ' nослед(Jвательн,осmu (аn), если для каждого положитель : 80ГО числа 8 найдетсsr такое натуральное число' N, что t для любого N выполн яется неравенство
n>
� 00
лом чис и говор ят: «Последовательность (аn) имеет lIреде а». к чис тся сходи (аn) ость тельн едова ло а» или «Посл завыбор Рассмотрен ный приме р показывает, что (8). висит от ч исла 8, т. е . N = N щая , О п р е Д е л е н и е 2. Последова тельн ость, имею а редел ая � предел , назыв аетс я' сходящейся, а не и меющ расходяiцеЙся. Рассмотрим неС I N =
[�1·
доват ельно 2 . Геомет ри ческий смы сл схОДИМОСТИ посл�
....,.,
ю предестн . Пусть l i rn аn = а; тогда , согла сно определени " что ла , дл я l О существует N такое , ' аn - а l < 8 для всех n ,> N.
Та к как е). О, делом нуль. Поэтому , каково бы ни было число е
159
lщтер�ал ( - 8; + 8) (окрестность точки нуль) будет со держать почти все члены последоваi'ельности , т. е. все члены последовательности , за исключением их конечного числа самом деле, реша я неравенство < е, полу� . В 1 " 1 < е для n > чим, что О < , т. е. все члены да ннои n е последовательности о номерами n, большими номера N = � находятся в е-окрестности нуля, а вне ее на ходится лишь конечное число членов последовательности , номера которых не превосходят N . Рассмотрим еще пример. Пусть дана послеДО8атель ность
I�I
[ ],
. ' О; 1 ; 0\ 1 1
•
.
.
I
1 + (- 1 )n 2
;
;n�( �
•
3 . Необходимое условие сущесtвоваtfия п редела после довательности. Т е о р е м а. Если последовательность имеет nре'!�л , то она. ограничена.
О Из определения предела . следует: если последова тельность (аn ) имеет своим пределом число а, то, напри мер , для е = 1 найдется номер N такой , что вне и нтервала (a - l � а + 1) могут оказаться .лишь члены ai , а., " ' , aN • Среди чисел ai, а2, " ' , aN , а - l , а + 1 найдем наимень шее и наибольшее _ и обозначим их соо гветственно через т и М . Очевидно, что т � аn � М для всех n, т. е. последовательность (аn ) ограничена. 11 Из доказанной теоремы следует, что ограниченность последовательности есть необходимое условие а.ущество-
=
_
а
4 . Единствен ность п редел я щаяся
Всякая схо предел . один л то. ЬКО имеет
Т е о р е м а.
nоследоваmeЛЫiOсть
п оводить методом от про � УД::ееJя п оследовательность (а n) , тИ ВIIОГО. допустим , чт а < Ь. О Доказательство
лич ных предела а котора я имеет два раз Ь - а О получи м 3- >' , Тогда, положив 8 = -
и Ь.
а + 6 < Ь - е.
T�K
Эта последовательность предела не имеет. В самом деле,. каково бы ни было число а, можно указать такую его e-окреСi'НОСТЬ, что вне ее заведомо лежит бесК(�нечное Ч КСЛО ' членов данной последовател�нос ти. i(еЙствительно. так как раСС1.'ОЯНИ6 между точками О и 1 l р' а" вно 1 ,. то в . ;. .И I:tI�рвале в�дэ;. (а - е; а + е) , где О < е < 2' не сод.ержитс я либо ' О , либо 1 , т'. ' е . всякий раз вне у�заliНQЙ e'JOKp'ecrнOCTlf точки а будет находиться бескон ечное ч ис 'ло члеflОВ данной последовательности . СледоватеJiыiо, у любого числа а: имеется е-окрестность, вне ' которой на ходится бесконечное число членов данной последователь ности, а это и означает, что данная последовательность предела не й меет , т. е. она расходящаяся.
1 60
�
тельством часто полья пре ела� послед ним обстоя предела у пос ле ствия , вани отсут зуются дл у тановлени я последователь ность аn Н апри мер ост дов �) , n Е N, �еогран иче нна я и поэтому п редела не имеет. последовател ьности.
как
- а' } .1 т а n -
n.... '"
Пусть
(1 )
то , согласно опр еделен ию предел а,
N l. ' что дл я всех n > N 1 сти , а < а + е. С дру гой сто l а - а l < е и, в частно то I ': ое, так 2 N ет p��ы, так как l i m а n = Ь , то существу е и в частности , Ь - 6 < а,,' для всех n > ,.;2....t<SJаn - ь 1 < 1 ' чим что Ь-е < а < а +8 полож ив N = m ax { N l � т нер аве нству ( l )r� Сле до· и N , lЮ Э для иметь двух раз n> нО, п ослед ате ьность не может ватель личн ых пределов . ател ьности . Осн овные тео5. Бесконеч но м алые оследов дователь нос тях. Доказа х после рем ы о бесконе ч нО м ал с)'ществе нно uблегчаются , елах пре о ем теор тельств а нечно ма лой последовател ь если ввести пон яти е б ско ности . тельность называется 'бесО П Р е Д е л е н и е. Последова авен нул ю . дел Р KOHettHo Аtалой, есл и ее пре явл яется беско n На пр име р , последовател ьность Рав ен нул ю. Последова неч но мал ой ,1 так как ее предел так как так же беСI О найдется N- такое ' что
(5)
ность , так как
I
t
'
'.
(�)
l' 2n - l О 1т n2- = .
n-+
случа'я , Замет им далее , что теорема 3 и меет' место и для предемеет и е н сть когда огран иченн ая последовательно бесконе чно мала . Н а п риме р , по�ледователь ность 6-
(dn )
'1
63
ла я , а (- I ) n - огран и ченна я последовател ьность , не и ме ющая п редел а . Их п рои зведен ие, последовате льнос ть a,. :::::II (_ I ) n n .= 2'i" n Е N ' , бесконечн о малая , так как 11 т (- I) = О.
-
. ..
2'1
3 а м е ч а н и е. Так как беско неч но малая последова-: тельн ость и меет п редел , т . е. огра н и чена (см. п . 3), то из теоремы 3 следует, что произведение двух бескон n
Н "
ечн J,шлых последовательностей есть бескон ечно малая послео ' .. дователЬ/юсть. Напр имер ,
( ) 21n
и
( з1,,) - беСI{онечно
малые последо..
вател ь н ости. ИХ п роизведен и е , последоват ельно сть бесконечн о мала я . 6.
(�,)
Теоре мы о п ределах последователь носте й . П р и вы..
числе нии пределов часто приходится испол ьзова ть теоре мы о п ределе суммы , разно сти , п рои зведе н и я и частн ого. т е о р е м а 1 (о пределе суммы ). Если после дователь.. насти (а,,) и (Ьn) сходятся, то последовательность (аll + ыl)
также с�одится и о П усть
'
liт (а,. + Ьn ) = Нт а" + В т Ь" .
11-+ 00
n � Q::I
.-
n -+ оо
то гда по теореме 1 и з п. 5
а ,, = а + аn , г де (аll ) - бес конечно мала я , bn = b + f3" , где (f3n ) - бесконечно мала я . Склад ывая эти равен ства , получ им
а" + ь" = (а + Ь) + (а,. + (311 ) '
Так как сумма двух бесконечно малых п ослеДОВ(lтельнос" теЙ есть бесконечно ма лая последователь ность, то (an + f3n) -' беск онечно малая. Таким образом , согласно теореме 1 IIЗ п . 5 имеем
(а nЬn ) также сходится и Вт (аnЬ,,) = (liт аn) (Вт Ьn )' n -+- Ф
о Пусть
Вт а ,. =а
Методом мате мати ческ ой и ндук ц и и мож но дока
Нт Ь ,. = Ь;
и
n -t>- Ф
n -+- ОО
тогда (см. теорему 1 из п . 5)
а" = а + а" и Ь " = Ь + f3" ,
где (�n ) И ({3n) � бесконечно малые . Перемножи в послед н и е равенства, получ им .a"b� = аЬ + (00" + 'af3" + а,,{3n) ·
,.
Из теорем 2 и 3 и замеча н и я из п. 5 следует, что ( Ьаn + малая последовательность. + а{3 + а ,,{3,,) - бесконечно Следовательно, согласно теореме 1 из п. 5 ,
Н т (аnЬ,,) = аЬ = (liт'а,,) (Нт Ь,,). n -+- оо
(& 4 00
n -+ ОО
Методом математической и ндукц и и доказывается , что
предел nроизведенtlЯ конечного числа сходЯlЦихся последо вательностей существует и равен nроизведениlO их пределов. С л е Д с т в и е 1 . Постоянный множитель можно вы н осить за знак предела: lim (са,,) = с · liт а". n -+ оо
n -+ Ф
о Согласно теореме 2
liт (са,,) = Вт с · Нт а" = с · Н l11 а,,1
n-+Ф
n-+со
n -+- со
n -+ ОО
так к ак Н т с = с . •
�;;
в и е 2 . Если последовательности (t:l,,) и (bll) Сле сходятся, то nоследоватеЛЬНQсть (а" - Ьn) также сходшn ся и
Н т (аn -Ьn) = Н т а,, - Н т Ьn '
lim (а,. + bll ) = а + Ь = lim а,. + lim ьn • •
зать, что предел СУА1А1Ы конечного числа nоследовательност.ей , име ющих пределы, существует и равен сумме пред елов этих nоследовательностеЙ. Т е о р е м а 2 (о п ределе п рон зведе ни я). Если последо вательности ( аn) и (ьи> сходятся, то последоват ельность 164
n -+- СО
n -t>-ctJ
n -+ Ф
n -Jo- CJ:)
о Согласно теореме 1
liт (а - Ь ) = li т (а,. + ( - 1 ) Ьn ) = Нт а,. + Н т (- 1 ) Ь,..
n -+ Ф
п
п
п
-+- (JJ
Далее , с учетом следстви я 1 получим
liт (а - Ьn ) = liт а,, - liт Ь,. . • n
n � C;V
n -.. Ф
n -+ QCI
,.
165
Приведем без доказательства теорему о п ределе Ч�СТНОГ9. Т е о р е м а 3. Если последовательности (аn) и (ьn) ' где Ьn =1= О, сходятся и Ьn -1= О, то последовательность
1im
( :: ) также сходится и
n-+'"
1·1т а-n" =
n -+ '"
Ь
lim
аn
n -+ '" --
li rh
n -+ '"
Ьn '
В)
' l1 т
n -+ '"
1 1• т
n -+ '"
4) 8n-3 . б) l'1 т 8 (n-2 -3n-4 2 -7 ' 13 n 3 n n. 2 3n -3n- l 4-5n-nЗ •
n -+ '"
n .... ..
Нт
n .... ..
=
( 8 -�n ) ( �n - 7 )
�
n = 8- 0 = 8 0-7 - 7 '
13 1· l' 1т - - 1т 7
n 4 3 · 8 (n2 - 3n- 4) . 111 l -n - n2 :=; -2 . б) 1 1т 1 = 4 1 8 2 3 n n. _з _ _1 _ 4 n� n 3 3 2 -3n--ЗI = 11111 . . n - ii2 - ;jЗ в ) "l 1 �� 3n 4 -5n n 4 5 = О. А --- - 1 nз n� П n -+ '"
_
_
n
.... оо
n -+ "'
n
1
n > N2·
и , следов ательно,
. (1) каждого е > О существует та кее N , \ cll - a \ < е.
Таким ебразем, дл я выполняется неравенстве ( 1 ) . А что для всех n и означает , что l iт c� = a. a
>N
П р и м е р 2. Н айти
1 .
-
. 1·1 т n1 s ш n.
11 � Ф
__
I
и
это
Нт ..!..n = О,
rt -+- aJ
то, сегласне доказанной теореме, 1ih1
n ..... ""
� sin n = О. &
7 . Бесконечно больш ие последовател ьности. Связь меж-
ду бесконечно большой и бесконечно малой последовате ль-
ностями . О п р е Д е л е н и е. Песледевательность (аn) называется бесконечно . большоЙ, если для каждого полежительнего числа А на йдется такое натуральное числе что. дл я выпелн яется неравенстве I а,. I > А . В этем любого n случае п ишут
N,
>N
-+
ри доказательстве некет орых теорем и решен ии задач удобно. п ользова ться следующей теоремой . . 1 66
{N,; N 2 } ,
n > Ni,
те Пеэтому , если n тах а - е < all � cl1 � bn < а + е
О < n s ш n ,::::: n
n .... ..
n � OQ
Nt,
N 2'
/::. Так как
liт 8 - ljm
n .... ..
е>
>N=
/::, а) Числите ль и знаменат ель п редставл яют собой рас ходящие ся п оследова тельности (так как они неограни че ны), поэтему непесредственне п римен ять теерему о п ре деле частнеге нельзя. В этем случае пеступим так: чи слитель и знаменат ель разделим на n (от этеге дробь не и зменитс я ) , а затем п рименим деказанн ые тееремы о. п ре дела х последевател ьнестеЙ . При ведем подробн ую запись в ычислени я п редела: Нт
Тегда , сегласне епределеНИlq предела песледовательности, дл я каждого О найдется такое \ чте а - е < аn < а + е для всех что. и найдетс я такее a - е < Ьn < а + е дл я всех
n -+ '"
8 -� 8n-3 = lim _ __ n 1im �- 7 = n -+ '" 13 -7n n
=
fl -+ ф
Рассмотр им п ри меры вычислен ия пределов' с помощью теорем о пределах. П р и м е р 1 . Найти п ределы: а)
Т е е р е м а. Если между членами трех последовател ь ностей ( аn) , (Ьn) и (сп ) выполняются неравенсmва а ,. � � сп �bn , причем пределы (а n ) u (Ьn) существуют u равн ы между собой , то u предел (сп ) существует и равен об щему пределу (аn) и (Ьn)' о Пусть lim an = a и 1im Ь" а.
Например ,
Нт n
n -+ оо
= 00 "
бесконечно большая.
т. е. о
последовательность ( n) � !
161
Т е о р е м а. Если п.оследоваtrlлl! ьностЬ (а ), где
n бесконечно большая, то nоследоваmeЛЫiОСтЬ нечно малая, и наоборот.
(a�)
an ::l== 0, -
беско
О Пусть ( аn) - бесконеч но больш а я последовательнос ть. Тогда, согласно определению, для каждого А > О найдет ся N такое, что
Полож ив
Т ак как
е
8
I а" I > А
= А1 '
для всех
n > N.
из соотношеНIIЯ
(1)
(1)
1
здесь может быть произво льным положи тельным числом, то это и означает , что Н т � = о т. е. ' последовательность
(�) - бесконечно малая.
n�OD all
Пусть теперь последовательность (аn) - бесконечно ма ла я . Тогда, по определению , дл . я каЖДОL(; 8 > О найдется N такое, что
l a ,, 1 < 8 для всех 1
ПОЛОЖII В А = "8
> О,
из соотношени я (2) получ и м
I I та;;т > -;;- = А
т. е .
последовательность
n > N.
для всех n
( �) a
-
(2)
> N,
бесконечно БОJlьша я . Ii
(�)
Наприме р, последова тельность - бесконе чно м а Jlа я , а последовательн ость (n) - беСJ 1 . ..
n � ""
6 Если
n -+ ао
т. е. последовательность ( 1 + hn) - бесконечно больша я . И з неравенства (3) следует, что последовательность (q" )
168
1.
Пусть теперь I q I < Если q = О , то qn = О для лю бого натурального n и , следовательно,
Нт qn = О.
n ... >
1 +1 1.' По только что доказанному последовательность (+) n , n N,- бесконечно БОЛЬШ: Я . то
""
е:
В силу теоремы о связи между бесконечно большои и бесконечно малой последовательностями последователь ность qn, .п е: N , - бесконечно мала я , т. е. li т qn = О. А
n � ",
8 . СУLЦествова н ие предела У монотон ной огран иче нной последователь ности. для установлени я существования п ре
дела последовательности широко используется следующий достаточный признак существования предела. Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а. Всякая монотонная
ограниченная последовательность имеет предел.
доказательства этой теоремы мы не ·приводим. Заме тим, что в теореме Вейерштрасса сформулирова ны доста точные условия существован и я предела последователь ности , но способ нахождени я этого предела не указы вается. П р и м е р. Используя теорему Вейерштрасса, дока зать существование предела у последовательности с об щим членом
( � ): n E N.
an = I +
1:::. Рассмотр и м вспомогательную последовательность с общим членом
Ьn '
Iql >
1 , то I q l = l + h, где h >' o, и соглас но HepaBe HCT�Y Бернулли (см. § 8 , п. 1 , при мер 2) 1 q I n = ( l + h)n � 1 + hn. ( 3) Очевидно, что lim ( l +... hn) = 00 Jj"
т. е.
Н т qn = 00 .
Если же q ::l== О,
получи�
та,;т < А = 8 для всех n > N . 1
тоже бесконечно большая ,
( 1 + � ун .
Очевидно, что эта последовательность ограничена снизу, О. докажем, что она убываетl так как
Ьn >
( l +�Y
n�n H (�)" (n- l)n J)n+l n (n+ ( 1 + � ) "+ 1 L ( � I Y + l -т,;(n2) n +l . n - l = � n + l . n - l = I _1_ n+ l . n-l . = (n�_ ( n�- 1 ) n ( + n�- l ) n I) n +1 n bn _ i
=
169
1 1 )n+1 > 1 + (n + 1 ) . -21 1 = -n В( 1 + n-.1 n.- 1 = 1 + nn- 1 '
Согласно неравенству Бернулли при n � 2
т.
е.
( l + n��IY+l> n� 1 .
О п р е Д е л е н и е . Если последователь ность частичных с у мм ряда сходитс я , то ряд называется сходящимся, а п редел последовател ьности частичных сумм н азывается суммой ряда. Если последователь ность частичных сумм р асходится , т о р яд называется расходящц.мся. Пусть дан ряд Пример
1. , � ( - 1) n - � = 1 - 1 + 1 - . . . + ( _ 1 ) " -1 + . . . ""
Таким образом , дл я любого n � 2 bn _ f. Ь,.
> _n_ n - 1 = 1 . n- l n
n= 1
•
Отсюда следует" что последовательн ость (Ьn) убывает. Кроме того , о на ограничена, так как О � Ь,. � Ь1 дЛЯ любого n Е N. Следовательно, по теореме Вейер штрасса последовательность и меет предел . Рассмотр и м теперь предел последовательности ,
(Ьn)
= nlim� (I+..!..) =��bn . n ..... ""
liт ( 1 + ..!..n ) " существует. n�C»
обозначать буквой е, т. е .
Нт
� OO
n
Этот п редел прин я то
( 1 + ..!..n )" = е.
Ч исло е и грает боль шую роль в математике, естествозна н ии и техн и ке . Эго число и ррациона льное, с точностью до 1 0-' оно равно 2,7 1 83. � 9. П он ятие числового ряда . дл я заданной числово й ПОСЛ,едователь ности (аn) выра�ение вида ,
� а,. = а1 + ав + аз + . . ею
n=1
. + а,. + . . .
(1)
называется бесконечным числовым рядом. В этqм случае f1 азывается n-м (общим) членом ряда. GYMMbl = 1;1 т . д. на, зываютс� чaqтичными pY(r!Мaм.и ряда ( 1 ) , CY�Ma =. '11 + + а,. называется nru частичной суммой.
+ а2 + . 1 70
а", $1 = а1 , Sz а1. + ав , Sз = at + ав + аз .
.
S"
Sз = S4 = . . . , S'in - i = S2n =
предела не и меет , значит , ряд
1
� ( _ 1 ) n -l '"
'"
1
1
расходится .
n= 1
П р и М е р 2. Рассмотрим ряд
1
1
L n (n + I) = т:2 + 2 .З + З.4 + · · · + n (n + I) + ' " n= 1
n
n ..... ..
S l = 1 , S2 =
(аn).
1 + J. У+1 limф а,. = nНт ( 1 + ..!..n ) " = Нт. .. ( n-1 = liт n.... 1 + n n ..... ф � ..... ....... 1 + -n = Ита к ,
Последовательность частичных сумм этого р яда О, 1, 1, О, О,
Построим последовательность части чных сумм этого р яда:
S = а1 = т:21 = 1 - "21 ' S2 =a1 + а2 = 1 �2 + 2�З = ( 1 - i-) + (i--i) = 1 -+ 1
.
......... a� � a� � . + а" = ( 1 - i-) + (i- - � ) . . . . .
.
j
. . + S�, + C� - +) + ' " + ( n�I - :1 ) + ( � - n� I ) = I - n � l '
Лег к о видеть, что
l iт S,, = lim ( l - n �I ) = I . n4ОС I1 -io- OO
З н ачит, да нный ряд, согласно оп ределению, сх одится , и т. е. его сумма равна
1,
1 L n=1 (n + l) = . со
n
I
П р и М е р 3. Рассмотрим беск онеч ную десятич ную с п ом ощь ю кото р ой предста вля етс я дроб ь ао ,а1а2а з действител ь ное ч исло а. Эгу дробь можн о зап исать в •
•
.
,
)71
следующем виде�
(2) е. в виде некоторого ч ислового р яда . Очевидно, ча стич ные суммы этого р яда я вляются десятич ными п р и бл ижениями числа (1, с недостатком : S" = (1,,,_i' Т а к к а к (см . п р и мер 3 и з п . (1,,, = (1" то ряд (2) сходится
т.
6. Так как последовательность
рой
а1 = 1
при
сходитс я , и на йдем его сумму. Iq !< ак и звестно, при q =F для суммы ,n. первых членов этои п рогресс и и , т. е. дл я n-Й частичной суммы р яда ( 1 ) , и меет место формула
1< 1
II -Н1:)
Iql
- aJ n -t- <J'J
_2 • "" х - l1 , x�-
1·lт
х ......
--
.
Если же для некоторой последовательности з начен и й а р гумента хn :::/= а , n Е N , сходящейся к а, последователь ность соответствующих значений функций f (хn) , n Е N, предела не имеет, то функци я f (х) н,е имеет предела в точке а. Ф ункция t (х) н,е имеет предела в точке а и тогда , когда для двух различных последовательностей значений а ргумента , сходящихея к а , последовательности соответствующих значений фу нкции имеют р азные пределы. р имер
3.
х,
доказать, что Нт _ , не существует. Х
О
Х-+
РассмЬтрим последовательность, сходящуюся к н улю: 1
..!.. , n E N. Тогда l i m f (x�) = Нт n n -+ Ф
n -+- со
+ = 1 . Рассмотрим _
n
теперь другую последовательность, сходящуюся к н улю: 1
х;; = _ 2.. , n E N. Т огда 1 i m f (x�) n .
Короче , В = l i т f (х) , если li т f (х,, ) = В д.г.я х -+а
Следовательно I
пр.огрессии
если известно, что
n -+ ею
'
Нт n -+ со
jn
_
= - 1 . Так
n
К a I{ для двух различных последовательностей аргумента ,
сходящихея к н улю, последовательности соответствующих значений функции имеют разные п ределы , то п редел в то : ке' х = О не существует. А ФУН КЦИИ t (х) =
, ;I
Отметим, что точка а , в которой рассматри вается п ре дел функции f (х) , может ПРl1 надлежать области опреде лен ия функции t (х) (см . п р и мер 1 ) , а может и не при надлежать , так ка!{ при на хождении п редела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке (см. приме р 2). / Используя оп ределен ие п редела , на йдем пределы не которых функци й . П р и м е р 4. доказать, что предел постоя н ной функции равен этой же постоянной. 6. Пусть f (х) = с для всех х из некоторого и нтервала , содержащего точ к у а. Тогда для любой последователь а при n � 00 , имеем t (хn ) = С � ности (х,,) та кой , что Х" �
lim f (х,,) = С.
n
-
Алгебра, ч .
1
...... оо
Следовательно,
С л е Д с т в и е. Постоянный ,Множитель ,Можно выносить за знак предела, т. е.
l i m t (х) = liт с = с. А. П р и м е р 5 . Доказать, что для t (х) = хI
l iт (с! (х» = с Нт t (х), х-+а
lim t (х) = lim х = а. x�a
если Нт t (х) существует.
х-+й
6. для любой последовательности (хn ) такой , что хn � а
при
n
-+
00 , и меем l i m t (х;) = Нт хn = а . Il - � Ф
Х-+а
Т е о р е м а 3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
Следовательно , согласно определению п редела
если Нт g (х) =1= О .
Нт х = а. А. 2 . Теорем а о единственности предела .
о П усть
UMetnb
двух разных
пределов в точке. D ДОl 1
не имеет п редела в точке х = 1 . 6 Llанная фун кция (рис. 4 1 ) оп ределена н а всей числовой п р ямой. Рис. 4 1 Вычислим односторонние пределы этой ФУНКЦИИ в точке х = 1 ;
-2
Х4 1 - 0
f ( 1 + О) = lill1 (2 + х) = 3. . Х4 1 + 0
Ита к , f ( 1 - О) =1= f ( 1 + О). Следовательно, данная функция н е и меет п редела в точке х = J . А 5. О пределе функции при Х -+ ± 00 . Бесконечный предел функции . П р и изучении свойств функций при хо дится рассматривать п редел функции в бесконеч ности , бес конечный п редел фу нк ци и в точ ке, а также бесконечный п редел в бесконечност и. Остановимся подробнее на п ределе функци и в беек 0, нечности , т. е. п р и х -+ + оо и п р и х -+ - 00. 182
в
n-+ОО
п ишут
этом случае
Аналогично,
lim f (х) = В.
Х-+- + 00
liт f (х) = С, если liт f (хn) = С для любой (хn) такой
х-). - 00
что liт хn = - оо .
n-+�
П р и м е р 1 . Llоказать, что
х2 _ 1 2+3
.
11т
Х4+ОО Х
6 Рассмотри м п роизвольную такую, что
•.
= 1.
последовательность (х,,)
Н т XIl = + 00 .
Так как последовательность
{ (хn) =
Х�+- зl х,.
= 1-
� х,, -г
з ,
n E N,
сходится к 1 , то, согласно определен ию, .
11т
Х-+ + ОО
Легко в идеть, что и
х
{ ( 1 - 0) = liт (_ хЗ ) = _ I , ,.
n4ОО
ности (хn) тако й , что lim Х,. = + 00 .
.\:40
П р и м е р 2. Llоказать , что функ ция
f (х) =
Пусть функци я f (х) о п ределена на всей числовой п р ямой . Ч исло ' В на з ывается предело!!! функции f (х) при х -+ + 00 , если liт f (хn) = В для любой последователь·
.
х' - I '+3
х2 - 1 2+ 3
11т
Х
Х4 - ОО
= 1.
Х.
= 1.•
в ряде случаев поведение функци и f (х) разное п р и х -+ + 00 и п р и х ---+ - ОО . На п р име р , для функции f (х) = У9х2 + 1 определеннои дл я всех х 1 имеем =1= , , =
Х"":'l
v
v9xi+! · = -3 , 1 1т х- 1
Ха+ - CIO
l'1т v9x2+i = 3. х- 1
Ха+ + ао
Поэтому п р и исследова н и и свойств функци й рассматри вают как Нll1 f (х) , так и lill1 f (х) . Х-+ + 00
х-+ - оо
Кроме рассмотренного случая конеч ного предела функ� ции f (х) при х � а (или х ± 00) и споль�уется пон ятие -+
.
бескон ечного предела . На пр име р , фун кци я f (х) , опре. = ,� " . Х #, . деле нная для всех х =1= О (рис. 42) , п р и нимает сколь угодно , большие з начени я п р и х - О. в этом случае ГOBO P�T, что I
1&1
функци я в точке ность , И
х = О имеет своим пределом бесконеч-
I = 00 . п и шут 1·1т 2 х .
х-+- о
Сформулируем определение бесконечного п редела ! если для любой п оследовательности значе н и й а ргумента (хn ) тако.Й , что Xn :f= а и liт:х,. = .!/ n... ..,
= а, имеет место liт t (хn) = ..
n"'Ф
= 00, то говорят, что предел функции t (х) в точке а есть бесконечн ость, и п и шут liт t (х) = 00 . х-+-й
Если в данном оп ределе _..I.----1_....L.-=-I'-..1..._'---'-_ н и и услов ие xn :f= а замен ить : на условие Х,. < а ( и л и XI1 > Рис. 42 > а), то получим оп ределен ие беСIюнечного левого п ре дела (соответственно п равого п редела ) фу нкции · f (х) в точке а. А налогично о п р еделя ются бесконеч н ые п ределы в бес конечности , т. е. п ределы вида l i т f (х) = 00 . П
Р и м е р 2.
Наити п редел
Ь. Разделим ч ислитель
Нт
х-+ + ао
l'
lП1
•
х-+ + ао
3х3 + х + 4 14 - Х.2 - хЗ '
+
4
3+ x� 3хВ + х + 4 . � 3 11т = = 1 = -З . А 14 1 14 - Х2. _ Хэ х-+- + ао - -- 1 хВ "
З а м е ч а н и е 1 . В п р имерах 1 и 2 п р и х -+ + 00 ч и слитель и знаменатель стремятся к бесконечности . В та к н х 00
случ а ях гово р я т , что имеется
неоп ределенность вида 00 '
а нахожде н ие п редела называют раскр ытием нео п ределен00
ности вида -;;;; . Приме р
3.
Н а й т и п редел
l ь. Нт ХО
Согласно данному оп ределению непрерывность функ ции f в точке хо означает выполнимость следующих усло вий : 1 ) функци я f должна быть определена в точке хо: 2) у функции f �олжен существовать предел в точке хо; J87 "
3) предел функции f в точке хо совпадает со значением функции в этой точке. Например, функция 1 (х) = XZ определена на всей число, вой прямой, и lim XZ = 1 .
.
х -+ 1
I TaK как { ( 1 ) = 1 , т. е. значение f (x) = xZ в точке х = 1 совпадает с пределом при х -+ 1 , то, согласно определе i нию, функция f (х) х2 непрерывна в точке х = 1 . Если использовать леВbJЙ и правый пределы функции , . то можно определить левостороннюю и праВОСТОRОНН ЮЮ непрерывности функци и , а именно: функци я называется непрерывной слева в точке хо , если lim f (х) = f (хо) , =
I
Х -+ Х. - О
и
1.
непрерывной справа в m01lкe хо, если '
•
---- .'
Нт
-�
Х -+ Х. + О
f (х) = f (Хо)'
Нап р имер , функция f ( х) = х - [х] непрерывна всюду, за исключением целочисленных значений аргумента х, в которых она непрерывна справа !/ (см. рис. 25) . Дадим другую формулировку оп ределени я непрерывности ФУНКЦИИ через приращения функции и аргу мента. Пусть задана функци я f (х), х Е (а; Ь), и п усть хо - некоторое значение аргумеН1а из интервала Рис. 43 (а; Ь). Тогда , если х Е (а; Ь) -другое фиксированное значение аргумента , то разность х-хо называется приращением аргумента и обозначается I1х, т. е. I1х'= Х -Хо' В эти х обозначениях х = хо + I1х. Разность f (х) - f (хо ) = f (хо + I1х) - f (хо) называется приращением функции f в точке хо и обозна чается 111 или l1у (рис. 43). Если функция f непрерывна в точке хо, то, согласно определению, •
Ы т f (х) = f ( хо)
188
х -+ х.
и , следовательно, lim (f (х) - f (хо» = О, а это значит, что У. -+ Х. Нт 111 О.
[!ОХ -+
О
=
Из последнего соотношения следует, что если f (х) непрерывна в точке хо, то малому riриращению аргумента соответствует малое п риращение функции или, точнее, п риращение функции 1 есть фун кция , бесконечно мала я при I1х -+ О. Следовательн о, можно дать определение непрерывности функции в точке в следующем виде: функци я I (х), х Е (а; Ь) , называется непрерывной в точке хо Е (а; Ь) , если ее п ри ращ� ние в этой точке есть ФУНКЦИЯ , бесконечно малая при 11x -+ О. 2. П римеры.
П р и м е р 1 . Исследовать на непрерывность в точке хо = О функцию 1 (х) = sign х (читается «сигнум Х» или «знак х»): 1 для х > О, О для х = О, sign x = - 1 для х < О.
,{
6
Из задания функции (рис. 44) видно, что f (-О)
=
1im (- 1 ) = - 1 ,
Х -+ - о
1 ( + О) = 1im 1 Х -+ + 0
=
! этой функци и, должна пересечь ось Ох. !I Таf(ИМ образом, функци я , удовлетво ряющая услови ям теоремы 6, пересе кает ось Ох, т. е. существует хотя бы одна точк а , в которой данная функци я обращается в нуль. : z :с 1 Например , так как функция f (х) = I -2 = _ хз , x E [- l ; 2] , - непрерывная , I I { (- 1 ) = + l > О и { (2) = -8 < О , то I согласно теореме 6 существует точка, I в которой функци я обращается в нуль. 1 1 ( действительно, в точке х = О функци я 1 I f (х) = - хЗ обращается в нуль, т. е. -8 I If (О) = О (рис. 48). . Приведем пример непрерывнои Функ l.ии , удовлетвор яющей условиям тео ремы 6, у которой имеется Несколько Рис. 48 точек, в которых она принимает значе ни я, равные нулю. Функция f (х) = =х3 ---: 2х2, X E [- l ; 3] ,- непрерывна я , � ----{ (- 1 ) = -3 < О и { (3) = 9 > О. Легко в идеть, что в точках х = О и х = 2 дан 1 I ная функция обращается в нуль, т. е. 7 1 f (О) = О и t (2) = О (рис. 49). 1 1 Заметим, что с помощью теоремы 6 1 , мvжно уста навливать существование 1 1 'нулей функции и находить их при 1 ближенное значение. 1 . 1 Например, р�мотрим непрерывную I функцию f (х) = х4-х- l , х Е [ l ; 2] . Так 1 I как f ( 1 ) = - 1 < О и f (2) = 1 3 > О, то сог ! 1 ласно теореме 6 функци я имеет нуль на -j�-k-..l.f-+-:-- отрезке [ 1 ; 2]. Разделим отрезок [ 1 ; 2] -! : пополам, найдем его середин у Х1 = 1 ,5 . Тш{ как { ( 1 ,5) � 2 , 56 > O, то, следова I телыю, на отрезке [ 1 ; 1 ,5] функция имеет -3 нуль. Разделим отрезок [ 1 ; 1 ,5] пополам, Рис. 49 найдем его середину Х2 = 1 ,25; так как t ( I ,25) � O, 1 9 > O, то на отрезке [ 1 ; 1 25] функци я имеет нуль. Раздели м отрезок [ 1 ., 1 ,25 I п �полам найдем его середину хз = 1 , 1 25. Т ак !{al{ f ( 1 , 1 25) '-;:::d -0,525 < О, то на отрезке [ 1 , 1 25; 1 ,25] функция •
7
Алгебра.
ч. 1
j qз
имеет нуль. Такиы образом, нами установлено существо вание нуля у данной функции и найдено его приближен ное значение с точностью до. 0,025. Т е о р е м а 7. Если функция непрерывна на отрезке,
то среди значений, nРUНИ.Аtае.м.ых ею на аnю1tt отрезке, существуют наU.Atf!flhшее и HQu60, e значения . Прц эnю1tt она nрuнимnет все зн.аЧЕНИЯ .между нацболЬ!uuм и наимень шим значениями . f (х) = хЗ - 2х2 , неп р е рывная На ример , функция Х Е [- 1 ; 3 ] , п р и нимает наибо.льшее значение в точке
I�
п
= 3 , т. е. 1 ( 3 ) = 9, наименьшее значение - в точке х = - 1 , т. е. 1 (- 1 ) = -3, а множество значений функции есть отрезок [- 3 ; 9] (см. рис. 49).
х
\
2 5х +6 ; G7 x -+ з х.х2 - 1 ) lJ m 2 Х -+ -1 5Х. + 4х- 1 3- 3х-2 , 9) l'�n Х 3 5)
.
11т
x�-2x-3
,
_
1 1) liт
&.
хЗ - 3х+2 2_ 4 +3
'6) 11�т t x
; i
Х
X
х6 _ 1 . 8) 11....т 1 х
10)
l'
х3 - 1 ; х- l -2
-
1т
,rr
х .... 8
1 3) 15)
Нт
х ....
о
li mо У 5- х у5 + х )(
х ....
Нт
х .... о V 16)
В о п росы для кон троля
тя
1 . Какая фУНКLLИЯ называе с
непрерывной? Какая точка называется точкоjj непреРЫIJНОСТИ Фующии? Какая точка fJазывается точкой разрыва ФУНКЦИl1? Сформулируйте теорему о сумме конечtЮТО чисда непрерывных ФУНКЦIIЙ. СфОРМУЮl руйте теорему о произведевНl1 конечното числа не прерывнЪ1Х Функций. 6 . Сфор му л и р й е теорему об ОТ1юшенН1I ДBY� непрерывных ФункцИl"!. 7. Всякий ли многочлен ЯВЛRется непрерывной функцией? В. Любая ли раЦНОJlадьная фушция является непрерывной функцией?
2. 3. 4.
5.
ут
Упра>кнення
4.48. Исследуй те на не прерывность следующие ФУR1Щин; 1) f (х) = 2х+ 1 в ТОЧ JGI Х Х= 1 , x = - I ; 2 О, в точка х х = о, х = - 1 и Х= 1 I 2) f (х) = {Х О-, 1 , Х.:;;; > Хх О,О, 3) f (X) = { X ' > о в точках x = - I , х = О х = 2, l + Х , х ,:;;; 4) f (х) = x- I x l в ТО'lКЗХ х = -4 , х= О и х = 3 ; {2 I 1X, 1, II xx ll ";;;> 11 ,, в точках x= --: I , х= О X = � 5) [ (х) = ... 4 .49. Найдите п ределы: 1) lim (4х-х3); 2) lim (� + 3x - 5) ; х -+ 2 -1 (� . 3х-8 Q, . 3x + x� �I�� 4х + 2 ; � �li.:no 2x�+x + l 2
,
и
и
х ....
194
, '
I
.,
х2 х2 +4 - 2
lim
х .... 3
У 2х + iO - 4
х- 3
Глава 5 Э Л ЕМЕН Т А Р Н Ы Е Ф У Н К Ц И И •
V-
§ 2 1 . Степени и лога рифмы 1 . Арифмет ические корн и . Из школьно го J(ypca алгебры известн о, что арифметически.м квадратным корнем из числа а называетс я неотрицательное ч исло, квадрат ко торого равен а . А рифметич �ский lшадратн ый ,(орень из числа а обозна чаетс я Va. Например ,
V49 = 7 ;
y� = � ;
VO = O ;
V Б2 = I Ь 1 ·
V O , 0625 = 0 ,25;
Основн ыми свойствами квадрат ных корней являют ся сле дующие: a � O , b � O; a � O, Ь > О.
Часто пр!! решении задач приходится находить корпи уравнения Х" = а , где n E N. Наприме р, решить уравнен ие
х4 = 1 6.
Это уравнение имеет два действительных кор н я : X1 = 2 и Х2 = -2. Корень x1 = 2 - п оложительное число. Это ч исло н азывают арифметическим корнем четвертой степени и з ч исла 16 и обозначают VIб. Отрицатель'ный корень Х2 = = -2 уравнени я х4 = 1 6 обозначается - VIб. Введем понятие корн я n-й степени из неотрицатель ного числа. Корнем n-иu степени из неотрицательного числа назыв;з.ется неотрицательное ч исло, n-я степень которого равна дан ному числу. ] 96
Этот корень называЮf арнфметическим корнем n - п степени (n � 2) из неотрицательного чнсла (а � О) и обозначают ;Уа. Если n = 2 , то в.место Va пишут Va. Нап ример , число 3 ЯВ.l\.Яется арифметическим кор не. ! шестой степени и з числа 729, т. е. 729 = 3. Существуют также корни нечеТII О Й степени из OT r · ' · цательных ч исел. Например, число -2 есть корень п ятс:i степени I1з числа -32, т. е. V-32 = -2 . Корень нечетноi"! степени из · отрицательного Ч I1С!!3 а обозначаетс я тем же снмволом 2k + V- . Основные свойства арифметического кор н я n-Й степеlШ 1 . К о р е н ь и з п р о и з в е д е II И Я:
V' аЬ =
;Уа . ;Уь,
(1)
где a � O, b � O, n E N, n � 2 . 2. К о р е н ь и з д р о б и:
V'a VI1ь = {/Ь '
(2)
где a � O , Ь > О, n E N, n � 2. 3. В о з в е Д е н и е к о р н я в с т е л е н ь:
( ;У а)tn = ;У а"' ,
где a � O , m E N, n E N, n � 2 . 4. И 3 В Л е ч е н и е к о р н я и з
!(
(3)
О Р Н я:
(4)
'VV'a = ntVa,
где a � O, m E N, n E N, m � 2 , n � 2 . Докажем первое из эти х свойств. О Левая и п ра вая части равенства ( l ) - неотр ицатель ные числа, так KaK . a � O, b � O, и корни - арифмеТlI че ские. По с войству степени с натуральным показателем 1 1 определению кор н я n - й степени получаем
( V'a . V' b )n = ( ;уа)n . ( �/Ь)" = аЬ . • Аналогично доказываютс я и дру гие свойства к ор н я . П р им ер
. / зт='. В) V v 64 , г)
1 . . Выч ислить:
V
10
а)
V 4
-
16 0,008 1
-
-
., б)
V 256
.
V8 '
-2 27 · 8 . 197
V 0,0081 6 1 = ;;Vi6 = _2_ = � _ 6 � ' 0 , 008\ V 2� = V 2� = V32 = 2) V8 ,
6 а) б) в) г)
03 ,
y"V64 = V64 = 2;
3
2
· 27 · (-8) = ум V -8 = -22710 · 8 = V V 8 4 2 - ""::6""'4---
П р и м е р Z. Упростить выражение л
= 23 = 8; 2) (( { ) - 3 ) = ({ у = � ;
V� _� _ I а I. А Ь2 Ь2 -
W '
-3
1 1 1 3) ( 1 6 . 25)2 = 1 6 2 . 252 = 4 . 5 = 20;
--
з
4)
J b8 Vb�
2 . Степень с рациональным показателем. Оп ределим степеl l Ь положительного действительного числа с рацио н альным показателем .
а � О, г = .!!!: , где т Е Z , n Е N; тогда степень n а' определяется ра венством П у сть
1
2iз =
1 253 = ( �/
V27 = 3;
8з = ( VB) 2 = 22 = 4;
(1 )
1 25) 2 = 25; 3 6 - + = V3 6 - 1 =
2) (а" ),' = а '" , ; 3) (аЬ)' = а'Ь';
(-F)' = �: ;
5) если а > 1
8
19
9
=
� _ .!.. (9)
2
1
. -1 = � = 23 � = � 2 ' (3�)
-
_ .!..
2
3
2
3
5) 7-3 > 7- 7 , так как 7 > 1 и - 4 < - 3 ; 6)
(+)Ы .!..
2.
7) 2 Б < 3 Б
3
+ у. 2 8,
« ,
так как О
Ь';
2" ;
}
1
1
1
1
= а2 _ ь2 + ь2 = а2. А 3. Степе н ь с действительным показателем. Покажем, как можно определить степень с и рраа.ионалъ'ным локазателем на п р имере степени 5 VЗ. , ' " , • • . последователь Обозначим через Г 1 , ' 2 ' Г з , H O�TЬ десятичных п риближений числа Vз с недостатком: •
•
.
Г1 = 1 ,7; г2 = 1 ,73; '8 = 1 ,732; г4 = 1 ,7320; . , .
свойства монотонности С'fe'1ени
Эти ч исла являютс я рациональным и , для н и х определены степени : 51 , 7 ;
5 1 ' 13; 51 , 13 2 ; 5 1 , 1320 ; . . '.
Эта последовательность возрастает и ограничена . сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Этот предел 199
обозначается
5VЗ.
6. Так Kal{ 3 > ] и V'2 > ] , 4 1 , то по свойств у воз р � стан и я степени 31(-; > 31 , 41 . •
Поэтому можно записать
5VЗ = l im 5 гn•
П р и м е р 2. Упростить
Дадим определеlIие степеI-IИ с любым действительным показателем сх,. О п р е Д е л е н и е. Пусть действительное число сх, запи сано в виде бесконечной десятичной дроби и пусть сх,,, , n Е N, - последовательность его десятичных приближений с недостатком. Тогда для любого действительного числа а > О степень аа определяется равенством
а > 1,
(а О, то аХ < ЬХ ; 8) если а < Ь и Х < О, то аХ > ЬХ; 9) если а > О, а � 1 , аХ, = аХ., то Xj = Х2 . ЭТИ свойства степеней с действительны м и ля ми примем без доказательства. и 31, 4�. П р и м е р 1 . Сравнить числа
6)
200
действителыI мм по!{а
(ьV Н 2) Z- V Ь
а'"
'IНСЛО. Toгдa�. еСЛII то по:ледо вательность ства степевеll с раШlOнаJlЬНЫМИ показател я ми будет и о г ра н и че н ной свер х у ч ислом а если О < а < 1 ,
о
Ь Z V' - З . Ь Ь - Z У7
Докажем, что для любого действител ьного ч исла а и любого деi'I СТВИТСJI ЬНОГО ч исла степень сущ�ствует, т . е. существуст п редеJl О Для Jlюбого действнтеJlЫЮГО ЧИСJlа а последова телыlстьь его Д С Я ПI Ч В Ы Х п ри6J1l! же н и й с недостатком (а n ) является неубывающеii и огра ll и чеН IIОЙ. Пусть, на п ример, СХ N � � для все х n , где � - целое
(1).
•
6. Применяя свойства степени зателем , получаем
(1)
а>О
ь.
- 2 \! , Ь 2 У, - э ) V ( ЬV Ь + 2 2 - Ь
Это равенство являетс я п росто другой формой оп ределе н и я логарифма , его часто называют ОСНОВНЫМ логарифмuчеСКUАt тождеством . Нап ример : 3 1 ) 3 - ]Og2 8, так как 2 = 8; 1 1 . -3 2 ) - 3 = 1 оg З 27 ' так как 3 = 27 '
2
3) 2 = 10gVБ 5� так как (V'б) = 5;
свойства монотон ности степени
1
= lоgэ Vз , так как 32. = Vз; 4) ..!.. 2
5)
показате
61og, 7 = 7 ;
6)
10g,ь 1
3
_
1 5
•
П р и м е р 1 . Вычислить: а) 10gl /5 25; б) ' } Og27 243. 6. а) Пусть 10g 1/5 2 = х. Тогда по определе нию лог а-
5
зV'2
,.
201
•
(� у
( � ух (� )
н,
р ифма = 25, откуда = - 2 . Па свойству мо нотонности степени Х = - 2. Ответ: 10g 1,ь 25 = - 2. б) Пусть 10g27 243 = x . Тогда по определению лога 5 р ифма Z7X = 243, откуда- 33:f = 3Ь , 3х = 5, Х = з . . .
. 1 6. П о определению логарифма х 4 - Х > О . Решая это неравенство , получим 1 < Х < 4. А 5. Основные �свойства лога рифмов. Из оп ределен и я
следует, что ло �ифм определен лишь для положитель ных чисел. Приl'v� без доказательства , что логарифм определен для любого положительного действител ьного числа. Сфор.мулируем о с н о в н ы е с в о й с т в а логарифмов . Пусть а , X1 , Х2 и х - положи.тельные действи тельн ые ч �сла , п ричем а * 1 . Тогда справедливы следующие Y�Bep ждени я : 1 ) 10ga (X1X2 ) = 10ga xi + log,. х2 - логарифм произведени я . О П о определению логарпфма и свойству умножени я . степеней и меем и поэтому по определению лога рифма 10ga (Х1Х2 ) = 10ga Х1 + 10ga Х2 · 2) 10gaXX = a. l0ga x - логарифм степени.
О Аналогично , по определению логарифма и свойству
возведени я степени в степень имеем х:х = ( a1oga хух = аа. loga \ 202
4) Е сли а > 1
и
a
Х! < Х2 ,
} свойства
то loga Х1 < 1 0g XZ' ЮНОТОН5) Бсл 1 О < а < 1 и Х1 < Х2 , насти .10 га р и фж а 110 loga X1 > lo� x� . О Пусть а > 1 и Х1 < Х2• Если бы было loga Х1 � 1 0ga Х2 ,
то В силу свойства степеНII a 10ga х, � a Joga X� ,
{
1
-
= lоgа (хlх21 ) = logа Хi + l оgа х 2 1 = lоgа Хi - lоgа х2 . 1i1 10ga � Х2
OmaerJZ: 10g2 7 243 = 3 ' А
8
I-
х· 3) 10ga -1 = 1 0ga X l оgа Х2 ло га р и фм частного. О Из свойств 1 и 2 логарифмов следует
Х2
5
действие нахождения логарифма числа называют логарuфJиuрованuе.лt . Отметим особые случаи. Если а > О, а * 1 , то 1 ) 10ga a = 1 , так как а1 = а; 2) 10ga 1 = 0, так как а О = 1 . Например, log6 6 = 1 ; 10g 1 = О. П р и м е р 2. В ычи сл и ть 7 - з log, 2 . 6, 7 - З 1оg7 � = (7 1og, 2) -� = ( 2) - 3 = . А П р и м е р 3. При каких значениях Х существует х- l og� 4 _ ? x
следовательно,
т. е. Х1 � Х2• Полученное неравЕ'НСТВО противоречит тому, что Х1 < Х2 • Следовательно ,
I
10ga Х; < 10ga Х2 • • -
Аналогично доказывается и свойство 5 монотонности ' логарифма. П р и м е р . Вычислить: а) 10gs 1 6 + l ogs 4; б) lоgь 375 1 1 - log. 3; в) '2 10gз 3 6 + lоgз 2 - lоgз lr/ё6 - '2 10gз 8. 6, а) logs 1 6 + 10gs 4 = logs ( 1 6 - 4 ) = logs 64 = 2; 375
б) lоgь 375 - Iоgь 3 = l оg,о; з = l оgъ 1 25 = 3; 1
1
в) 2 10gз 36 + 10gа 2 - 10gs V6 - "2 1 0g з 8
=
= l og. V 36 + 10gB 2 - (I оgз V 'б + 10gз V B) =:j
зв.2 = I оgз у У V 6-
8
= lоgз
12
,г -
r 48
=
12
'
1
= lоgз --:;т= = l оgз V".) = 2 ' А 4· r 3
6 . Формула перехода от логарифмов по одному осно ванию к 'лога рифмам по другому. основанию. По опреде лению логарифма c = aloga c, где с > О , а > О, а * 1 .
Прологарифмируем обе части равенства п о основанию
Ь > О, Ь * 1 :
203
По свойству логарифма степени получи м 10 gb С = loga с . I ogb а .
= 110gb
Эта формула обычно записывается в таком виде: logа с
!!Ь
с
а
называется формуло й перехода к друго,му основанuю. П олученная формула позвол яет на х одить лога р ифмы чи сел по осно ванию а, если известны логарифмы по основанию Ь. Эта формула очень часто применяется п ри решении лог а р ифмических уравнений и неравенств. И з нее, в чаСТНОСТII , следует, что и
5.
Поясните, что понимается под степенью с и р рациональным ]Г ' казателем на при мере 3
2,
6.
П(;
Назовите , основные свойства степени с действительным пока· зателем. Дайте оп ределение лога рифма ч исла. Запишите основное лога
7.
рифмическое тождсство. В. НаЗОВJlте основные свойства логарифмов. Запишите формулу перехода от лога рифма
9.
по одному основа
нию к логарифму по другому ОСllOваllИЮ, При ведите пример.
10.
Какие логарифмы называl?Т натуральными, десятичными?
Упраж не и и я 5. 1 . Найдите значения выражений:
1)
П р и м е р. Вычислить lоgЗ2 2. 6. Перейдем к логарифмам по основанию 2, использу я
формул у перехода:
Ответ: lоgЗ2 2 =
lоgЗ2 2 =
log2 2 logz 32
1
5. ' ..
= 5'1 -
Наиболее употребительными на практике являются десятичные логарифмы, когда в качестве основани я берется число 1 0, и натуральные логарифмы, когда в качестве основания берется ч исло е = Нm 1 + е � 2 ,7. n n-+Ф десяти чный логарифм числа Ь обозначается Ig Ь, а на- : туральный логарифм обозначается ln Ь. Примен я я формулу перехода, можно свести вычисле ние логарифма чис·ла по любому основанию к вычисле н и ям десятичных ИЛIl натуральны х логарифмов по спе циальным таблицам логарифмо в или на м икрокальк уляторе.
( �) n ,
Y9 . 25. 100; З) V 1000.27·8 ; 5) V I 6.625.81 ; 7) 1 00000 ;
V�·
5.2. Вычислите:
J)
Vd7 ;
2)
2) 4) 6) 8)
Y64 . 36' . 100001
V 64· 125· 729;
VO', 0081 . 0,OOI6.625; VO,00001 . 32.0,00243·.
5 243 . V Т6 4) V 1 8 ' vз 6) V192 . -VT � ' V@ V24 . V � ; ([9» V O ,09 ' VO,3 ' VO,3. · 125 ; V 64
5) V2 . ;14;
8) VR , V2 ;
3)
вт ;
з2 '
3' ; I..!J)
'2 ;
Вопросы для контроля
J.
Дайте определени е а рифметического квадратного корня из числа. ПРИВ'едите пример. Дайте определени е KOPHiL n-Й степени из числа. Приведите примеры. Каковы основные свойства корня n'Й степени? Дайте определени е степени с рациональ ным показателе м, П р и. ведите пример .
2. 3. 4.
204
/1/250
5.4. Выч ислите:
. �
. 1) ]1
5)
/_
; )2)
V 324 3) - ; V4
V 20
V�
У200- у а . k VЗ2 + i/Т08 . , � �/ 4 у2
2 24 4) V 7 '. V
205
]1 З 3) 9 ] U:9h ;
( )
2
4 1 8) 486 , 9' .
5.6.
О 3 1 24 · 3 4
9)
5. 10.
1
бl, 7 . 2 1 , 3 3 - 1, 3
] ; 10)
4 '
Выведит� общи й м ножитель за скобки:
1) а-а 2 ; 2) 15аь2 +5а 2 Ь ; 1 3) у - (xz) 4 4) IOx3 '(х ) 5х 3 , 5.7. У простите (воспользуйтесь тождеством a� - b� = (а-Ь) (а+Ь» : 2 2 4 )1 ] _уЗ1 y� ; 2) 9а52 _ЬБ -3а" _ уЗ 3а· -Ь· 5.8. Упростите (воспользуйтесь тождеством а3+Ь3 = (а +Ь) (a2- аЬ +Ь2) или а3 _ Ь3 = (а-Ь) (а2+аЬ+ Ь2» : �
�
I
x
x
Х
;
4)
1 2 5 3 : 53 ; ]
1)
�
а-Ь
3)
Х
1
+ 2
!.. !..
хЗ _ х 3 у3
х+у
4)
!.. !..
�
�
Ь
_ !l3
+у
•
+ Ь3 1а а+Ь З1 ; 2) а За-Ь 3 +
a� _ Ь3 I
!..
2
�
1
J
_
�
!..
�
x�1
�
;
Х
1
1
.13 _ Ь 3
х 3 _ х3 у З + у З
+ уЗ
""" J ---,� I ":'--� +�
]
х3 +хЗ уЗ + у З
.
9Б; 2) 21,7 и 20,в ; 3) ( + у . 7 И ( � ) � 4) 411' 6 2 И 411'·7; 5) ( + )� · и (+ ) 11'5; 6) 3п и зз, 1 4; 7) ({) 1 .7 ( +) 11'3 ; 8) ( � ) 11'7+ 2 ( � ) Зll�- 1 ; 1)
93 2
4
0' 8 ;
и
И
206
. 5.ii
11'-
,r -
vя
И
11'-
VБ
_ --== =_ _ • •
,
Решите у равнения:
1) 34Х = 32 ; 2) ({ ) 3 % = ( � ) -1 ; 3) (+ у = 2; 4) 5X = (� У; 3 = v-5 ; 8) 25% �Г-2 = 5 v-5; 7) 5% vя 5) 1 6%=4, 11' 2 ; 6) 32 Х = 2 З 9) �УЗ)� = 3 v:.з ; 1 O).7�x=-:- I ; 1 1 ) ( � ) З% = 1 ; 1 2) ( � }\: VБ = 1. Jt ;
5. 12.
Вычислите:
1) 10g12 1 44 ; 2) log1 6) Ig O,OOOI.
5. 13.
з
3) log1 256;
вт ;
4)
4'
log. 6251 ; 5) Ig I000;
lоgv-з 9 УЗ; 2) ogV 7 V49 ; 3) Jogv,? I }/ 7 49 100; 5) 710g, � ; 6) O,l logo", 4; 7) 3� log, 4) Ig lO V � -� log1/o -Iog, 8) 7 - log, 9 ; :) (� ) 10) 5 Вычислите:
1)
5. 14.
х3 _ у З ( 5 . 9.) Сравни те между собой следующие пары чисел: \--./
1) 2 2 - 3 З . 8 З ; 2) 4 1 - Н з . 16 3 . 3) 2 +111'2З + 1 + 11' . 3 4 2 4 ' 11 15 + 3' ; 5) (9V 3 - 2_ 3 � VЗ- З ) . ЗЬ - 2 VЗ ; 4) 211'з . 33 + 2 11' з + 6 5 6) (7 2 V2� 49V2-1) .7- 2 11'2',
l
,? g
�
х -- у
2
Вычислите:
Вычислите:
-:=-.
�
;
4;
......
1) lоgб IOg2 lоgз log2 512; 2) loga аЗ Va;l.) 3) IOg12 2 + I g 2 72 ; 4) log. 35 - log• 7 : � 1 IOg 7 + log 32 - 2' CjI 2' 4 4 1 Jog4 28; �'"?) 12 - '21 l оgз 32 +'21 10&з 6. 5. 15. Вычислите, если Ig 3 0, 477; Ig 2 0,30 1 ; Ig 5 0,699: 1) 2) l og2 5; 3) УЗ; 4) У9. .
-
O J
•
�
log. 3 ;
5. 16.
,
-'
loge
logз
�
�
logs
При каких значениях х существуют выражения:
. 2) - ..V/ x�-5x+6 1) ..Vj'2x+3 ' 4-х 1+-2x 5х 3 -х 6 , r;. � log6 3х + 1 ;� � 7 - 2х ? 1
�
-
.'
og
207
§ 22. Показательна я , логарифмическая 1 . П оказательная функ ци я . Пусть
'IИСЛО а > О, а =1= 1 . Тогда функция
задано некоторое
у = а", x E R, называется nоказаmeлыlOй функцией.
( { у.
П р н м е р 2. Построить график фун кции У =
и степенная функции
(1)
О с н о в н ы е с в о й с т в а п о к а з а т е л ы! о й ф у н к ц и и. 1 . По оп ределению, показатеЛЫlа я функци я определе
на на множестве R всех действитеЛЬНblХ чисел. 2. Множеством ЗНШlений показательноц ФУНКЦИИ явля
6. Вычислим значения функци и для нескольких зна чений аргумента :
х = -2, у = 9; х = - I , у = 3; х = о, y = l ; 1
Х = 1 , у =з ;
х = 2, y = g1 .
Построим эти точки. Основание степени меньше 1 , следовательно, фунющ я строго убывает, т. е. с увеличе н ием аргумента значеНIIЯ функции уменьшаются . Учиты13ая , ЧТО функция опред�лена на всей числовой п рямоii
ется множ�тво R + всех положительных действитеЛЫIЫХ чисел. Действительно, для любого Уо > О существует хо = = loga уо , и п оэтомУ. аХ' = Уо' 3. Показательная функци я является строго возрастаю щей, если а > 1 , и строго убblвающей , если О < а < 1 . Это следует из свойсгв монотонности степени с дейст вительным показателем. 4. Показательная фуНI\ЦИЯ неnрерывна в любой т.оч ке хо Е R, так K�K можно доказать , что для любого а > О, а =1= 1, будет выполняться условие
l i т аХ = аХ'. ХО 5. Если а > 1 , то l i т аХ = + 00 , l i m аХ = О. \ Х-+ + Ф Х-+ - Ф Если О < а < 1 , то l i m а" = О, l i m q,X = + 00 .
у
�
'!
9 7
11
::,.,
5
х -+
Х-+
х-+ + r.t:J
-
00
П р и м е р 1 . Построить график функции у = 3". 6. Вычислим �значе н и я функции дл я нескольк и х значе ний а ргумента:
1
·
1
х = -2 , Y = g ; x = - I , у = з ; х = О, у = l ; Х = 1 , у = 3; х = 2, у = 9.
Построим эти точ ки. Основание степени больше 1 , сле довательно, функция строго возрастает, т,- е. с увеличе нием аргумента значени я функции увеличиваются . Учи тьша я , что функци я определена на всей ч исловой п рямой и непрерывна , соедин яем н а йден н ые точ к и г рафи ка сплош ной линней (рис. 50). " В общем случае для а > 1 график показательной фУНIщии имеет в ид (рис. 5 1 ). 208
Рис. 50
Рис. 5 1
-2 -1
О
Рис. 52
2 .:с
и непрерывна, соедин яем найденные точк и г рафи ка сплошной лин ией (рис. 52) . А . в общем случае для О < а < 1 график показательно!"! функции и меет вид (рис. 53). Отметим, что Гl;?афики всех показательных фУНКЦII Й п роходят через точку (О; 1 ) . П р и м е р 3 . Используя графи к , н айти корн и уравнения = Х + 3.
(�у
6, Лев а я ч асть уравнения п редставляет собой показа
(;у
тельную функцию, п равая - ли нейную. Построим на одно!! координатной п лоскости графики функций у =
у = х + 3 (рис. 54). Алгебра.
ч.
1
11
20)
Из рисунка что абсцисса точки пересечения графиков приблизительно равна - 1 . Проверим значение - 1 , подставив его вместо х в уравнение. Проверка пока зывает, что X = -I -корень уравнения. Рисунок показы иает, что других корней ypaBHeHlIe не имеет. • ВИДНО,
а
будет выполняться условие . 1 irn loga х = loga ХО' х -+ хо 5. Если а > J , то
=1= 1 ,
l i m loga х = + 00 ,
Х -+- + се
Если О < а < 1 , то
Jim !oga X = -ОО ,
Х-+-+ се
Пример �
1.
Нт !oga Х = - 00. +О
X-J>
Нт Х-+- + О
!oga X = + OO .
Построить график функции у = l оg
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1
Рие.
53
Рие.
2. Логарифмическая функция. Пусть задано некоторое число а > О , а =1= 1 . Тогда функция
(1)
называется логарифмической функцией. . Если а = е, то логарифмическая функция обозначается у = ln х , а если а = 1 О, то обозначается у = 19 х . Ос н о в н ы е с в о й с т в а л о г а р и фм и ч е с к о й фу н к ц и и 1 . По определению, логарифмическая функция опре
делена на множестве R + всех положительных действитель ных чисел. 2.
Из определения логарифма Чllсла по данному осно ванию следует, что логарифмическая функция является функцией, обратной к показательноЙ. Действительно,\если логарифмическая функция у = loga числу а ставит в соответствие число � , т. е. В = loga а, то показательная функция у = аХ числу В ставит в соответствие число а, т: е. а = af3, и наоборот. Поэтqму множеством значений логарифмической функции является множеством R всех действительных чисел. 3. Логарифмическая функция является строго возра стающей, если а > 1 , и строго у6ываюt.ЦeЙ, если О < а < 1 . �o следует из свойств монотонности логарифма. 4. Логарифмическая функция непрерывна в любой точке :хо Е R + , так как можно доказать, что для любого а > О , х
210
. .
I I I I 9
7
-1
·-2,
з
l��x
I
О
54
•
х.
')'
х
Рве. 55
/::,. Вычислим значения фушщии для нескольких значе . ний аргумента: I
X = g ' у = -2;
I
Х= З ' y = -J;
х = 3, у = J ;
Х = 1 , у = О;
х = 9, у = 2.
Построим эти точки. Основание логарифма больше J , поэтому функция строго возрастает. Учитывая, что фуНl 1 . 5. Да йте определение степенной ФУ НКЦИИ. Приведите примеры степенных функций. 6. Назовите основные свойства степенной функции, определенной на множестве положительных 'чисел, и укажите, как эти свойства иллюстрируются графиком ФУНКЦИИ.
О
О
Упражнения •
5. 1 7.
!I
62
1)
Областью определения этой функции ' является жество всех действительных чисел. Функция тУ VXi четная, е. ее график симметричен: относи ельн:о оси ординат. 2 14
на
одном
чертеж� графики
Укажите сходство
и
=
щю
Функций
различие
у = 3Х,
графиков этих •
Выполните а и алогнq ное п редыдущему задание для функции
5. 19. Найдите область оrrределения и дующих функций:
1
6.
т.
Х
� у , y= ( � у , y = ( � )X . у= ( 5. 1 8.
Рис.
(;) .
Постройте
у = 2Х, у = функций!
-1 О
ДJIЯ это о
Построим несколько ВЫЧНСЛIIМ
( -} у +
lНожество значений сле
1 (�YI ; у = ( -} ) - Х.=;:
y = 2I x l ; 2) у = -2Х ; 3) у = I ЗХ - 3 1; 4) y = 2 -
5) у =
( -}ух
I�1;
6) у =
_
Постройте графики этих функций. 5.20. Решите графически уравнения: 1 ) 2X = x�; 2) 2Х = 4х; 3) 2х = хЗ; 4)
5) 2Х = 5 -Зх; 6) 2I x 1 = x+ l.
1 ; 7)
2x - t = x + l ; 215
5.23. Н а йдите область оп ределения и множество значений еле ДУЮЩI1)( фу нкций:
П р и м е р 2. Решить уравнение 4); - 1 = 3зх. 6 Логарифмируя обе части данного уравнения по осно ванию' 4, получаем х- 1 = 3x !og4 3' и, следовательно,
Постройте графию! этих функц и й . li:�C помощыо г рафика л роиллюстрируйте решение неравенств:
В символической записи решение выглядит таю 1 0g4 Ззх � х- 1 = 4Х - 1 = 3 зх � log4 4x -�
5.2 1 . ' Постройте на ' одном и том же чертеже
графики функlt Н Й
у = Jogз х, у = Jogз · ъ х, У = Jogs х. Укажите сходство и различие в гра
фиках этих функц иЙ. 5.22. Выполните аналогич ное п редыдущему задание дЛЯ ФУНКЦIIЙ
у = Jоgj/з х , y = J ogO•5 x . y = Jog 1/4 X .
2 y = Jogo.b l x l ; 3) y = l log x l ; 4) y = I Jog1 /2 x l ; ) 5) y = log2 (-x) ; 6) Y = l lozg1/ 2. (-x) l. 1) y = l og2 I x l ;
2; '2) lоgз х � 2; 3) Jоg1/з х
х - 2 � x > - 2. Оrrюеm: х > - 2 . •
П р и м е р 2. Решить неравенство
1
или
log� х + 2 1оgз х - 8 = О.
Решая. первое из них , получим Xi = 1 . Реша я второе уравнение относительно lоgз х, получим lоgз х = --:- 1 ± 3, т. е. l оgз х = 2 , l оgз х = - 4 , откуда х =9 , 2
I
Х =В l ' З
Проверка п оказьmает, что все кор ни удовлетвор яют дан ному уравнению.
\
Оrrюеm: Xi = l , х2 = 9 , ХЗ = В ' .
3. П окаэательные и логарифмические неравенства . Методы решен и я показательных и логарифмических нера венств рассмотрим на конкретных примерах. Основные приемы решения эти х неравенств опираются на свойства возраста ни я или убывания соответствующих функций. П р и м е р 1 . Решить неравенство 32Х > 3"-�. 222
116 '
6. Так как 16 = "2 и показательная функция с основанием , меньшим 1 , убывает, то данное неравенство вы полн яется для тех и только тех х, для которых 2х - 1 < 4, т. е. для х < 2,5. Оrrюern: х < 2 ,5 . • П р и м е р 3. Решить неравенство 3X-� . 2X > 2 2. 6. 3х-! . 2х > 2 2 � 3х . 3 - � , 2" > 2 2 � � 3" . 2" > зz:.! � 6" > 6 2 � Х > 2 . • .
П р и м е р 4. Решить неравенство 2" > 3. 6. Прологарифмируем обе части данного неравепства
по осrюванию 2, получим
х l og2 2 > I Og2 3 ,
х>
log2 3 .
•
П р и м е р 5. Решить неравенство
Эго уравнение равносильно следующим двум, lоgз х = О
( 1 )'
(-} )�X-:II >
( � У'- 2Х < { .
6. ПрологаРИ фмируем обе, части данного неравенства
l по основан ию '2 ' затем воспользуемся тем, что показа тельная функци я с основаниеМ , мецьшим 1 , убьmает. Тогда 2" < � X� - 2х > 3 � х2 - 2х - 3 > О . -
( ; У'
�
Решая полученное квадратное неравенство, находим, что > 3 или х < - 1 . Оrrюеm: х < - 1 или х > 3 . • П р и м е р 6. Решить неравенство logs (2х + 1 ) < l og. 5. 6. Е сли некоторое х удовлетворяет заданному вер авенству, то оно удовлетвор яет неравенству
х
2x + l > 0,
так ка к логарифм определен лишь для положительных чисел, и неравенст ву 2x + l < 5,
так как логаРl1фмическа я функция с основанием, боль ШЮ1 1 , возрастает. ОчеВIIДНО , и наоборот, если х удовлетворяет этим ДВУ\1 Hepa BeHCTBa�! , то х удовлетворяет и данному неравенству. Решая систему неравенств { 2х+ 1 > О, 2х + 1 < б , находим, что -Q,б < х < 2. Ход решения этого неравенства можно записать сле дующим образом : 2х + 1 > О ' � � х > - О,б, � 1 0gэ (2х + 1 ) < l оg,з б � { 2х + 1 < б l х < 2 �-0,б < х < 2. 2. & Ответ: -О,б < х < П р и м е р 7 . Решить неравенство lоgз (бх-6) < 2. 6 10gB (бх-6) < 2 � 10gэ (бх- 6) < 10gз 9 � 5х-6 < 9, � { БХ < lб, ( х < 3, � 6 < х 6 � t х > � 5 -6 > 0 П р и м е р 8. Решить неравенство 10�, (3х + 1 ) < < l ogM ( x - l ) . 6 Левая часть неравенства определена лишь для Х таких, что 3х + 1 > О, а правая-для х > 1. Учитывая это з�мечание и используя свойство убывания логарифми ческои функции основанием, меньшим 1 , получаем, что данное нераве':!,ство равносильно следующей системе нера венств. 3Х + l > 0 , х> 1, 3х + 1 > х- l .1 Решением этой системы будет любое х > 1 , и других решений она не имеет. . . Ответ: х > 1 . & П р и м е р 9. Решить неравенство l ogi _ x (x - 2) � � I . 6 Левая чаать неравенства определена для х, у довлетворяющих условиям l -x > О , х-2 > 0 , l -x =? l. 5
с
224
числа, Очевидно, что нет ни одного действительного Поэтому дан которое удовлетворяло бы этим условиям. ное неравенство не имеет решений. & )/пражнения ) 5.28. Решите у равнения :
(�Y (�Y
; 2) 23Х = 5Х ; 3) 3Х = 7Х/ 2 ; . Х-3 4) 5Х -Э = 23 - Х ; 5) 5 2 = 7Х- 3 ; 6) 2x + � + 3 . 2X + 1 + 7 . 2Х = 68; 7) 42X - l + 4�x � - 4�x-4 = 3 16 i - 10 · � + 9 = 0; 8) 54х + 3 . 54x -� = 1 40 ; 9) 1)
=
10) J O · 25Х + 1 8 · 5х - 4 = 0,
5.29. Решите у равнения:
(� у
(+)
(}Y
X
1) Зх - 5 = 8 1 ; 2) 9X:1 = 27x! - 1 ; 3)
4) 1 , 8X2 _ 5X -�1 = 5 , 832;
.
х 6) 3
1 --
2
(fУ
@ 2 1 . 3Х _ 3x + � = 5х + � _ 5Х + З ;
1 х --
2 _ 22 х = 4
-7 =
-3
1 x + -� 2
Х
-З ;
�.!) 27 . 3� l X + 1) _ 3x + � = 2;
�
2х + 2 х = 2а, 8) 2X+ 2 + V X' - 3 _ 5 . 2Х + V �+ 8 = 0 где а - действителыюе число. 5.30. Решите уравнен и я : 1) зх+ � + з х = 108; 2) 7. 3х+ l _ 5 х + � = 3Х + 4 _ 5х + З ; 3 ) 5�X + l = 5X + 4; 4) 4x- � _ 1 7 . 2x -4 + 1 = 0 ; 5) 2x2 - 1 _ з хZ = 3 х2 - 1 _ 2х2 +� ; 6) 5х 2 _ З х2 + 1 = 2 (5х 2 _ 1 _ Зх2'-2) ; -l Х + 1) +� . = 343Х + 3 : 1 25Х + З.
('-Т);{ � y ( � )
5.3 1 . Решите уравнения:
{
1) I Og4 (5х + 6) = 0; 2) logl/b
( �) 7X +
2
j
= 2;
(
t-5 3) I g ( 2х) + ]g (х + 3) = I g ( 12х - 4) ; 4) I g �_ 2 = 2 ; 5) logl/ (х - У x� - 1 6) = - 1 ; 2 6) log 2 (з; х-� + 7) = 2 + log 2 (зх
-
1 + 1);
7) (3 - lg х + t g 3) 19 х = 2 Ig 3 + 2 ;
{
9) lоgз х + lоg .� 3 = 2,5 ;
Алгебра',
'1.
1
� 19 (х 2
!оgЗ 4 х -
5.32. Решит," уравне�Н1Я : 1 9 (х2 + 2х) - 19 У х + 2 = О,; �l)
}
8
10) 9 · 3
8)
( 91 )
!g
Х) = Ig у х;
logx 2s
= 0. ...
'-
I
225
)4 Ig� x-2 = lg x2; 3) 4 Ig� x+ lg x� = 2; 0 ,5 1 og2 (x� - 2x) - log2 У 6 - х = 0; 5) 1 + IOg2 (3х+ 1) = IOg2 (x� -5); \,§J IOg2 (4 - х) + IOg2 ( 1 -2х) =2 IOg2 3; 1) Ig (169 + xB) - 3 Jg (х+ I ) = 0; 8) Ig (x 9) + 2 1g Y2x- l = 2; 11) log2 (9.P",
•
""
=
ч.
1
24 1
П р и м е р 3. Упростить выражение sin ( х + : ) cos ( х-: ) -cos ( х + т) , sin ( х- � ) .
Все формулы приведения даны в следующей таблице:
.
6.
ИСПОЛЬЗУЯ формулу синуса разности, получим Sil1 ( х+ � ) - СОs ( х-� ) -СОS ( х+ � ) . sin ( x-� ) = = sin ( ( х + � ) - ( х- �)) = sin � = 1 . А 4.
Пример
6
l + tg 2,4 . tg O, 15 t g 2,4 - tg О , 1 5
У простить
По формуле тангенса разности получим l ' = _l_ = ct g 2 ,25 А .
l + tg 2,4 · tg 0, 1 5 = t g 2, 4 - 0, 1 5) tg 2,4 - tg О , 1 5 (
При мер
Решить уравнение SlП Х cos 2 + S l П 2' cos х = О .
6
Так как
.
Х
.
Х
x·cos '2Х + SШ. 2Х ·С05 Х SlП 3х'2 ' 3х = О . Следовател ьно, 3х2 = nl� , т . е. то SlП. 2 х - - nk где k Е Z.. SlП •
=
•
I
2 - 3
'
2
х= з пk, k E Z. " 2, Формулы п риведени я . Формулы, выражающие три гонометрические функции аргументов -а; '2n ± а; п ± а; '23 л ± а; 2лk ± а через тригонометрические функции аргумента а, где а любое допустимое значение аргумента, называются фор Ответ:
от
муламu 242
n.рцведе н.ия.
sln
-а
cos а
- sin a
- tg a
- ctg a
- sin a
cos а
- ctg a
- tg a
siл а
cos a
c tg a
tg а
- cos a - cos a
- s!n a siл а
tg а - tg a
ctg a - ctg a
siл а
- cos a
- ctg a
- tg a
т -а
- slл а
- cos a
ctg a
tg а
· 2п + а 2n - а
cos а cos а
sln а
tg а - tg a
ctg a - ctg a
2 n
2-
а
n+а п-а
3n +
т
3n
а
t g 2,25
5. •
СО!
n +а
'
Функция
Аргумент
- siл
а
tg
ctg
Люба» из формул приведения может быть выведена с по мощьrO фCJрмул суммы И разности двух аргументов. 11 р и м е р 1 . Доказать, что sin ( � -а ) . cos а, cos ( � - а ) = sin ля любого а Е R. 6. По формуле для синуса разности двух аргументов получим sш ( 2-а ) = sш. 2n , соs а- .сОS'2n · sш. а = соsа. Аналогично, по формуле для косинуса разности . n '2 , s .ша = sш. а .... cos ( 2 -а ) = cos 2n , cosa + SШ Свойство периодичности позволяет сводить вычисления значений тригонометрических функций любого действи тельного аргумента к вычислению их значений ДЛЯ аргу MellТa в промежутке от О ДО 2п (для тангенса и KOTalI генса -в промежутке от О до п). Формулы приведения позволяют свести вычисления значений тригонометрических функций любого аргумента, принадлежащего области определения этих функций, вычислению их значении в промежутке от О до 2n ' �
.
п
П
1{
.
.
•
u
243
1 011:
П р 11 М е р 2. Вычислить cos -з- .
6 cos
1 0л: з
-
11: ) 4л: 4Л: ) = соs ( 2л + т = COS T = COS ( л + з •
==
11: 1 '" = - СОS з = - 2" ' -
П р и м е р 3. Упростить выражение
( � сх. ) + COS (л + сх.) + tg ( -а ) + ctg (2:n: -сх.). )+ 6. s i n ( � + а ) + cos ( л + сх. ) + tg (
sin
+
32"t
3211:
- сх.
( 2л -сх.) = cos cx. - cos cx. + ctg cx. - ctg cx. = О. � 4. Решить уравнение cos (:n:-O,5x) + Пример + cos ( л + 0,5х) = О. 6. - cos О, 5х cos О, 5х = О, 2 соs О 5х = 0, cos 0,5х = о, 0,5x = � + :n:k, х = л + 2лk, где k Е Z. Ответ: х = л · (2k + 1), k E Z. " + ctg
-
-
,
3. Т ригонометрические функции двойного и половин
ного аргументов. Формулы двойного а ргумента выражают через три го тр и гонометрические функции аргумента нометри ческ ие фуюшии аргумента а. Если в формуле дл я косинуса сумм ы ' положить = сх., то получим
Итак, синус двойного аргу.менma равен удвоеННОlttу nро изведению синуса lt косинуса данного аргумента. Аналогично выводятся формулы двойного аргумента для тангенса и котангенса, 2 t g-"
tg 2сх. =
и
ctg 2 ,, - 1
с t g 2сх. = 2 t . c g" Пример В ычислить сх. = Дано 3 2 · 4" 2 tg а 3 6. 2сх. = 1 t g " = 3 '7 . .. � 2 1
1.
tg
cos 11,
2сх. = cos (сх. + сх.) = COS а cos cx. - si n сх. s i n а,
следовательно,
cos 2a = cos2 cx. - s i n2 cx..
Итак, косинус двойного аргу.мента равен разности квад ратов косинуса и синуса' данного apeylttC Hma. а. , Если в формуле ДЛЯ си нуса С) ммы ПОЛШ!,\lТЬ т о получи м
�=
sin
2сх. = sin (а + а) = sin а cos а + sin
и , следовательно, sin 2сх. = 2 sin а cos сх.. 244
о:
cos а,
3/4.
tg
_(:) =
_
tg 2сх.. л/2.
П р и м е р 2. Дано s i n сх.= 0,8, 0 < сх. < лить s i ll 2а. 6. s i n 2cx. = 2 s i n cx. cos cx. = 2 · 0 , 8 cos cx. = V 1 - si112 сх. = 1 --::0:-: ,8=2 V'
1 ,6 .
= 1 ,6 ·
Вычис
= 0 , 96. А
П р и м е р 3. Решить уравнение sin 3х cos 3х + 6. s i n 3x cos 3x +
-} = 0 ,
� = О.
2 si n 3x cos 3x + l = 0, sin
6х = - 1 , 6х = - � + 2лk,
2сх.
�
1 - t g 2. "
11:
k E Z . _'"
11:
х = - 1 2 + з k,
Е с ли выразить п равую часть формулы для cos 2а только через одну тригонометри ческую функцию (си нус или косинус) , то получим s i n2 сх., cos 2сх. cos 2а 2 cos2 cx. - I . Эти формулы дают возможность выразить ' sin2 сх. , cos2 а и сх. через cos 2сх.:
= 1 -2 =
tg 2
s ш" сх. = •
9
1 - cos 2 + cos 2
cos2 а = 1
tg2 сх. _
-
2"
2"
•
•
1 - cos 2" 1 + cos 2" .
245
Эти формулы и ногда называют ф ормулш.tU nон,ижен,U8 степеНи. П р и м е р 4. Вычислить sin а, если cos 2а = 4;5 н О < а < n/2. 1
2а. =
2
cos
:
4
11: У2 6. Так как COS T = -2- ' то
+ nk, >: = : + i k, k E Z \ �
cos 2x = - I ,
2х = �
1 -5
6. Имеем: S1П а = - 2 -2 = О" 1 Следовательно, sin a = VQ,1 , так как sin a > О. А 11: . В 11: И cos В' П р и М е р 5 . В ычислить slП •
. или cos 2x + 1 = 0,
cos 2x = O
2Х = n + 2лk, x = "2 + nk, k E Z. A n
4. Преобразование произведения т ри гонометрических функци й в сумму и разность , и наоборот. Если тождества
sin (а + р) = sin а cos р + cos а sin р, siп (а -р) = sin а cos р - cos а sin р
сложить почленно, то получим
.
s шв = •
11:
(1
т. е.
У2 - -2- V2 - Y 2 ' . 2 = 2
и cos � > О. А
aroctg(- уз) arcsin ( - � ) +0,83arccos 1; 3) S ( �п �2} 4) cos ( arccos-} ) ; tg (arctg vз); 6)-", s:tg ( Ц( � 3 ) 7) sln ( .�2) ; 5) (S») :2 ( arccos �З) 9) racos (Sln 56Л) ; arotg ( ctg 34л). 270 1)
-
-
а,гс.
:
.r
,
ln а г с i
i
lЭ)
агс.соэ
Рис.
.1/ = «
94
J
а < -(
1. У р а в н е н и е в и да s in x = a.
(1)
Так как I sin х I � 1 , то ур а в нение ( 1 ) при а > 1 и п р и а < - 1 р ешений не имеет ( рис.
94).
271
Если 1 , то уравнение (1) принимает sin х = i ; но решения: Х = 2" + 2kn, k Е Z. (2) Если a = - l , то уравнение (1) принимает вид sin x = - I ; его решения: Х = - � + 2kn, k E Z. (3) Пусть теперь I а I < 1 . Так как период Сfшуса равен 2n, то для решения уравнения ( 1 ) достаточно найти все ре шения на любом отрезке длины 2n. На отрезке [- � 32Л] функция синус имеет два промежутка своеи строгои монотонности: отрезок [ - 2"1t ; 2"Л ] ' на котором функция возрастает и принимает только один раз значение а; отрезок [� 32Л] где ФУНКЦИ Я убывает и принимает только оди'н раз значение а. Решением уравнения (1) на отрезке [- � ; �] будет arcsin а (по определению арксинуса). Для решения урав нения (1) на отрезке [� ; 3; ] применим формулу sin x = = sin (n-х). Очевидно, чт� если х Е [ � 32Л] , ТО (n-х) Е � ; �] , и поэтому решением уравнения sin (n-х) = а Е[ . Т.е. x = n.- аГСSl. ? а. на отрезке [ 2"Л ; "231t l будет n-х=агсsша, для получения всех решений уравнения ( 1 ) к каж дому из двух полученных решений прибавим числа вида 2kn, где k Е Z. Следовательно, x =arcsin a + 2kn, (4) (5) х = n-arcsin а + 2kn. Обе серии решений можно объединить: (6) х = (-l)k arcsin а + nk, k Е Z. В самом деле, при k четном :получается формула (4), при k нечетном получается формула (5). П р и м е р 1 . Решить уравнение sln 3;(;: VЗ!2. 6. Согласно формуле (6) . 3x= (- 1)karcsin �З + kn, k E Z. 272 а=
tc
u
. •
=
;
u
;
-
Так как arcsin �З = � , то 3х = (-l)k � + лk. nk л Ответ: х = (-l)k g + з ' Il€; Z '" П р и м е р 2. Решить уравнение sin 2х = - 1 . 6. По формуле (3) имеем 2х = - � + 2kn. Otn8em: х = - � + kn, k Е Z. .. П р и м е р 3. Решить уравнение sin х -0,4099. 6. Согласно формуле (6) х= (-I )k arcsin (-0,4099) + nk, k Е Z. Используя МИ I< рокалькулятор или таблицы, находим x �(-I)k (-.24°12') + 1�0° k, k Е Z, x� (-I )k+l 24°12' + 1800k, k Е Z. " ение ви а 2. У (7) cos x = a. Так как I os х 1 < 1 , то уравнение (7) при а > 1 и при а < -1 решений не имеет (рис. 95).
�!Д
,
р а в 11
;
Д
у
у= а ,
f
=1
а>1
211 -1
Рис.
Если а = 1 , то уравнение (7) принимает вид cos х = 1; его решения: (8) х = 2nk, k Е Z. а = - 1 то уравнение (7) принимает вид соsх=-l ; его Если решения: , (9) х = n + 2лk, е. x = .n: (2k + l), k E Z. Пусть теперь I а I < 1. Так �aK период косинус� равен все 2n, то для решения уравнения (7) достаточно наити решения на любом отрезке длины 2n. 273 т.
, •
95
у=й, а О и для про изво дно и ли у (рис . 97) , т'о, исп оль зуя фор мул ней ной фун кци и , пол учи м 1 , если х > О , = х = 1 х) (1 ) ' - 1 , есл и х < О. f' (
{
3 ) Вы числяем предел Н т (х2 + ххо + ха) = 3хб.
I!
f (х) = f (Хо)
Х -' Х о
(1)
I
В то чк е докажем , что ФУН КЦИ Я f (х) = I х I имеет прои звод ной . тому Есл и х < О, т о f (х) = - х, и поэ { (х) - { (О) Нт - х = - 1 . 1 1· т Х
.... - о
х-О
х
= О не
- х .... - о х
_
Есл и х > О , то f (х) = х , и поэтому li х ....u1 + О
{ (х) - { (О) х- О
·х = Нm О Х = 1 . Х -+ +
про извод Следовательн о, фун кци я f (х) = I х \ не имеет нои в точке х = О . А
293
В оп росы для кон троля
1 . Что назы вает ся Производной фун кци и в. точке? 2
. 3.
ции .
4.
Как ая Фун кци я назы вает ся дИфферен цируемой ? Чем у равн а П РоИзводная пост ояни ой? Сформул ируй те необходимое усло вие дИфферен цируемос ти функ
5. П р и ведите прим еры фун кций , кото ры( не и меют Производной в некоторой точк е.
�:я
У праж н
6 . 1 . Самолет п ролетает путь Мос квы до Ташкента, равн 2736 км, за 3,В ч . Оп ределите средот ый скор ость ДВИж ения самолета 6.2. Расс тоян ие между ' Москвойнюю . и Нов осиб и рско м 3200 км. Ско" РbJЙ поезд прох одит это расс
64
тояние за ч. Определите среднюю скорость движ ения поезда. 6.3. Точ ка движется прямолин ейно по зако ну
s (/) = vol + at� T s - путь в метр ах, 1 - врем я
(зде сь и везде даль ше дите мгно венн ую Скор ость этой точк и : . J ) при 1 = 0;
2) при " = /0' 6.4. Точ ка движется
в секу ндах ). Най
пря мол и нейн о по зако ну
�
_
f ' (хо) = 11. т f (x) - f (xo) = l 1' т х - хО
x -t- xo
Х -4 Хо
f (х)
(u (x) + v (x» - (u (xo) + v (xo)) _ х - хо
i m и (х) - и (хо) + l i m V (X�=:(XO) = U ' (Xo) + V' (xo). = хl-+ х ...... х. х - хо х. О
Так как произвольная Итак, + и' точка и нтервала (а; Ь), то .имеем (х» ' = и ' (х) f' (х) = (и (х) (х). Случай разности рассматривается а налогично . • П р и м е р ы. а)
f ' (хо) = (хо ) и' (хо) · +и
в)
хо + и'
(x2 + x + 5 )' = (x2)' -t (x + 5)' = 2x + l ; (х3 + V:X)' = (х3)' + (VX") = 3х2 -t �x. ; (х2 + 4х + 15)' = (х2 )' + (4х + 15)' = 2х + 4. 2
,
м е ч а н и е. Методом математической индукции до казывается спра ведли вость формулы в мом ент врем ени
'о,
§ 30. П рои зво дна я суммы , раз нос ти, П JЮи зведен ия и частного фун кци й
,
Ь) , которая О Сумму функций и (х) + и через ачим оБО функцию , бой новую З ляет со едста в !l пр и найдем производную этой функции , исходя и з опреде лени я . Пусть хо - некоторая точка и нтервала ( а ; Ь) . Тогда
3а
s (t) = 2 YT ; 2) S ( /) = 3 t ; 3) s (/) = tЗ + У Т, 6.6. На йдите ПРОИЭВОДlJbJе следующ их фун кци й в точк ах х х = J , х = 5: = хо, J) { (х) ";' х2 ; 2) f (x) = 2x 2 + 1 ; JJ f (Х) = (х + З)2; 4) f (х) = хЗ + 2х + J ; 5) f (х) = у х; 6) f (х) = J - хз; 7) f (х) = ух - x�. J)
± и' . (х) , где х Е ( а ;
и)'
б)
s (/) = 3/2 - 21 + 3. Най дите мгн овен ную скор ость ЭТой J ) в нача льный момент врем ени точк и:. 1 - О' 2) через 5 с после на'JЗЛЗ движ ен ;;-;; '' 3) в Момент врем ени 1 = 2 с. 6.5. Нзй дите мгно венн ую скор ость тел(! ДВижущегося по зако ну:
для любого х Е (а; Ь). Короче , (и + = и '
' -) .. П рои зводная Суммы и разн Т е о р е м а. Если функции и ост и фун кци й. 6QaHble. 60 всех точках интервала(х) u v (х) имеют пр оиз· (а; Ь), то (ц (Х), =:t= v (х»' = и' (х) ± и ' (х) .
( U 1 (х) + и 2 (х) + . . . + ll k (х» ' = и ; (х) + и ; (х) + .
.
. +
и;' (х)
для любого конечного числа слагаемых . 2. П роизводная п роизведения функ ци й . Т е о р е м а . Если функц ии и (х) и (х) имеют nроuз водные во всех точках Uf/.тервала (а ; Ь), то
и
и
(и (х) (х» ' для любого
хЕ
(а;
= и' (х) и (х) + и (х) и' (х)
Ь). Короче, '
(и и) ' = и и + ии . ,
,
х Е (а; Ь), О Обознач и м произведение II (х)и (х) через f и найд ем производную этой функции, исходя из опреде лен и я . Пуст ь хо - некоторая точка и нтервала (а ; Ь). Тогда I (x) � f (xo) =' 1 1' u (x) r/ (x)х--uх (xo) v (x�) . ,. [' (хо) .1т т х -т х, х - хо О
=
.f oт .f.
(х),
295
Далее, так как и {х) v
то
(х) - и (ха) V
(ха) =
= (и (х) - и
(
,
f
'
(хо ) = Нт
.1' -+.1'.
•
и , следовател ьно,
и
(хо» v (х) + и (Ха) (v (х) - v (хо» ,
(х) - u (хо) v (х) - v (хо» х - ха V (х) + и (хо) х - хо
v
)
....
Так как хо - прои звол ьная точк а и нтер вала ( а; Ь) , то имеем: = (и (х) v (х» ' = и ' (х) v (х) + и ' (х) и (х).
\
П р и м е р ы. а) « х + 5) (х- 8» ' = (х + 5) ' (х - 8) + (х - 8) ' (х + 5) = 1 (х - 8) + 1 · (х + 5) = 2х - 3 ; б) (х2 ( 2х - 7» ' = (х2) , {2х - 7 ) + х2 ( 2х - 7 =
.
)' = = 2 х ( 2х - 7 ) + х2 . 2 = 6х2 - 1 4х ; ' в) ( 5 - 3х» = ( V i)' ( 5 -3х) + VX- (5 - 3х)' = = � (5 - 3х) + vx ( - 3) = 5 - 3x - 6x 5 _� = 2 Ух 2 Ух 2 Ух С л е Д с т в и е. Л осmоян.гtыЙ множитель АtOЖНО выно сить за знак производной :
(VX-
•
( а{ (х» ' = af' (х).
О При мени в
теор ему о л роиз водu ой прои зведения к
а{ (х) , где а - число, получи м (а! (х»' = (а) ' t (х) + at' (х) = о . t (х) +
П р и м е р ы.
а)
б)
3 . П роиз водн ая част ного двух функ циii. Т е о р е м а . Если фуmщuи и (х) и v водные во всех точ ках интервала а; (х) U.меюtn произ ( Ь) , nptl 'teJt v (х) =j::. О для любого х Е (а; Ь), то ' и (Х» ' и х) v (х) - u (х) v' (х) = ( 296
( 7J (х) )
v�
(х)
•
и�
-
u (x) v (xo) - tt (xo) v (x) f (x) - f (хо) _ Jlm . , I' 7J f (хо ) = 11т (х) v (хо) (х хо) = х х .1' х• Х -+ Х. 1 . и (х) v (хо) - и (хо) v (х) 11т ( = тх - хо v. хо) х хо
о
....
Далее, так как и (х) v (хо ) - и (хо) v (х) = (х» , = ( и (х) - и o )} v (хо ) + u (хо ) (хо) то v (х) - v (хо) 1 и (х) u ( хо) V (хо) - и (хо ) f' (хо) = 7J2 (XO) хlim х - хо х - хо ...... х. 11 ,
--
следовательно,
( -
f , (xG ) =
(и
(x
-и
)
v (Хо) l l ' (Хо) - ll (Хо) (хо) . v2 (хо)
V'
Так как хо - произвольная точ ка и нтервала ( а; Ь) , то в послеДllе!"l формуле хо мож � о заменить на х. . Отметим частнь!й случаи доиазаннои фор �улы.. 1 ' � V v� · П р и м е р ы.
( )-
u
_ _
а)
at' (х) = а{ ' (х).
(Х;)' = f (х2) ' = � х; (� + 5х У = ( � ) ' + (5x) ' = f (X3) ' + 5 (X) ' = X2 + 5.
-
через f (х) и найдем f' (х) , использ у я определение производной. Пусть хо - некотор ая точка интерва ла (а; Ь) . Тогда О
f ' (хо) = v (хо ) и ' (хо) + и (хо) и ' (хо).
f ' (х)
( и )' и (х) Обозначим ч астное v (х)
для любого х Е (а; Ь). Короче, _ vu' - uv'
б)
( 1х+l + 9X ) ' = ( 4 -х3 х )t
B o n p o c bJ
(x+ l ) ( 1 + 9х)' ':'''' ( 1 + 9х) (x + l)'
= (х + 1 )2 (x + l ) . 9 - ( 1 + 9x) . 1 _ _8� = - (х + l )� , (х + l)� (4 - х) (х3) ' _ х3 (4 - х)' = (4 х) 2 12х- - 2х3 (4 - х) 3x� _ хз ( - 1 ) = (4 - x)� . = . . (4 - x)� _
-:-
•
д л я к о нтроля
1 . Сформули руйте теорему о производнои CY MMbJ (разности) дву х фун кц ий. 2. Сформулируйте теорему о ПРОIIЗВОДНОЙ произведения Дв у х . Ф унк ц и й . 3. Сформулируйте теорему о П Р ОИЗВОДНОII IlaCTHoro дву х ФУ нкц и й .
.
297
Упр аж нени я
6.7. Н айдите производные следующих фуикций:
' 2) g (х) = x� + x + 1 ; 3) h (х) = У х + x� + 3; 4) tI (х) = х3 + У х ; 5) у (х) = х3 + х2 + У х + 4; 6) u (x) = 1 + 4x + x3; 7) w (x) = 3x + 4 1 + x2 + x3. 1 ) f (х) = х + 1 ;
�
�
6.8. Найдите п роизводные следующих функци й :
1) ' (х) = - 8х; 2) ' (x) = х; 3) ' (x) = - х; 4) f (х) = Зх + У х - 3х2 ; 5) f (х) = I - 5х - 3х3 + 4 У х ; 6) ' (х) = (х - 9) (х+ 1 ) ; 7) ' (Х) = Х3 (Х -' У х) ; 8) f (х) = x� - ух : 9) f (х) = (х2 - Зх - 1 ) ( 1 -4х- ЗхЗ) .
;(
)
�
6.9. Докажите, что п роизводная разности двух Функций равна разнос'(и их производиых, если эти П РОlIзводные существуют. 6. I О. Докажите формулу для нахождения ПРОИЗВОДllОЙ от произ. ведения трех дифференцируемых функций:
f
(х)
(ищ) , = и'щ + ll V'W + uvw'. 6. 1 1 . На йдите производные в точке х = 1 следующих фУllКЦИЙ: 3 3х- l х2 1 1) { (Х) = 5х + 4 ; 2) g (x) = -=- ; 3) h (x) = � x 2х ; 4 8x x Ух х3-:- У х у Х=-2х2 - 5х3 4) tI (х) = 3 - ; 5) u(х) х2 - 5 .' 6) W (х) = Х ХЗ х - Зх3 6; 12. Докажите, что если фу нкция f (х) дифференцируема и :;:: О ,
( х) ) = (
то для любого ч исла k справедлива формула: k
f
'
- kf '
g (q> (х» = ( l g х + хЗ + 1 )2 + Vlg х + хЗ + 1 , q> (g (х» = Ig (х2+ VX') + (х2 + VX')� + 1 . А Рассмот ренный пример показы вает, что результ ат' суперп озиции двух различ ных функци й зависи т от по рядка. в котором эти функци и следую т, т. е. вообще говоря , q> (g (х» =1= g (Ч> (х» , если q> (х) =1= g (х) . 2. П роизво дн а я слож ной функ ци и . ' Т е о р е м а . Пусть функция у = g (х), х Е (а; Ь)., имеет nроизводную в точке Ха Е (а; · Ь). а функция Z = q> ( у) опре делена на интервале, содержащем множество значен ий фуltкц ии g, и имеет nРОИЗ80дную в точке Уа = g (ха) Тогда сложная функция f (х) = q> (g (х» имеет nроuзводн,ую в точке Ха , которая вычисляется по формуле f ' (хо) = = q> ' (Уа) g ' (хо) или, оnусКШl значения аргументов, '
( 1)
(х)
'� (х)
.
§ 3 1 . П РОИ380дная слож ной и. обратной функций 1 . Сложн ая функция . Пон ятие сложной функции ш� роко используется в математике. Со сложными фу нкциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики пр и рассмотрении различных вопросов. Пусть заданы две функции у = g (х) и г = q> ( у ) ' причем область определения фу нкции q> содеРЖIIТ множество значени и. функции g. ФУНКЦИ Я , за данная формулой Z = q> (g (x» � называется сложной функцией , составленной из функции g И q>, или суnеРnОЗtlцuей функций g и q> . . Напри мер , фуНIЩИ Я z = 3· lg ( l + x2) есть сложная фУ)IКЦН Я , составлен ная нз более I простых функций z = 3 1g y и y = l + x2• Подобным ж е образом можно рассматр ивать сложные ФУН КЦИИ, являющиеся суперпозицней более , чем двух 2gij
фун кций . Напри мер , функци я z = Ig ( 1 + VX) может быть расс мотрен а как суперп озиция следую щих ФУНКЦИЙI z = lg v, и = 1 + у , y = VX'. П р и м е р. Для функций g (х) = х2 + VX' И q> (х) = Ig х +. + хЗ + 1 составьте g ( Ч> (х» и q> (g (х» . 6 Использ уя определенпе сложно й функци и , получае м
о Доказательство теоремы проведем для случая , когда функuии q> И g есть строго монотонные функuии. Рас смотрим равенство f (х) - f (хо)
х - ха
(j)
ф (g (Ха» х - хо
(g (х»
(2)
-
ПО услови ю теоремы У = g (х) и Уо = g (хо) поэтому можн о за п исать так: g (x) - g (xa ) = y - yo и p aBeHcTBQ хо) = (j) (у) ер (Уо) g (х) - g (Хо) _ ' (_ х - хо У-Уа ,
(2)
-
(3)
•
Т а к к а к g (х) имеет производную в точ к е Хо • а значит, и непрерывна в этой точ к е, то У = g (х)- уо при х Ха, -
т. е.
у - Уо при
.l z.. + { - J.. z
--------�-- � -
...
Х - Хо·
( 4)
m
Найдем теперь производную сложной функции , ис пользуя определение производной и равенства (3) и (4) : 1·
1т
t (x) - t (xo) х - хо
х -+ х.
О.
f' (хо) = ер ' (уо) · g' (хо)
Найти
•
Отсюда и следует фор мул а ( 1 ) . П р и м е р'. Найт и произ воДную
Таким образом,
= (х2 + 3х+ 1 0)2.
df - 1 (у) df (х) = 1 . dx dy
l'
= 1т
П р и ме р 1.
о п р оизводной слож ной для любого х Е (а; Ь). По теореме ФУ НК ЦИ И и ме ем
6. 13. Для
и
h ( х) у Х+ - 'Г
ФУНКЦ IIЙ
зада н ных
�адаllН.�lе ф у н к ц и и
п РеC'ТБiX�ф У Н К Ц I iJ! :
LJ у
=
' (x) = x� + 3x - l , g (x) = lg ..x + 3 f (h), g (11) , g (f) , h (f) , h (g).
х- l f (g) , х2 + 1 CO�TaBbTe
у х2 + 3х + 4
и предс тавьте в в иде с у пе рп оз и ц и
;(]) У
4) У = Ig (3х2.+ х + 4 ) ;
5)
1 х2 + 5х + 1 ; 3) 1
У
У 3 - I g х ;.
УХ
у = Vх - 2
�у
х+ 1 , . '. 8 ) у = 7) у 4 - У x + lg ( 1 + :) - 3 + У x + lg х '
� Н а iiдите
-
1
более
Ух;
1 9 (x� + x3)
,
•
ии: произ водпые слеДУ ЮЩIIХ функц
�)C» У = (x� _ 3)3 ; X 3) у = ( �2� У ; 4) у = сзх�����х у . X
CJ
y = (23 + 1 � +
ций § 32 . П роизв одны е некоторых элеме нтар ны х функ § 1 8 мы 1*. П редел ы , связа нные с числом е . В п . доказали , что 1 lim 1 +� п -+ '"
(
9
)п
существует, и этот предел обозн аЧИЛI l буквой е.
ЗОl
-
i,
Так как [z] � z � [z] + l , то, ПОЛОЖИВ n ЧИ М неравенства
= [z] ,
п олу-
( 1 + n� у ( 1 + + у � ( 1 + � ) ��: ������ z > 1 . Отсюда и и з теоремы о пределе п ро- ' у ФУНКЦИИ, испол ьзуя результаты . 9 § 1 8 n+ 1
�
1
n
заключаем , что
�\,, ( I + +Y = e.
,
(1)
Заменой пер емеННОlf у = -z из формулы ( 1 ) можно вывести •
У
( 1 + ..!.у . )' У = е.
lim
....
_
00
(2)
х
в фор мулах ( 1 ) 11 сделаем замены z = I/x и у = J /x соответственно. Так как --L 00 yl " при -.. О п ри z -.. --г у - 00 , то lim ( 1 + х) 1/Х = е.
(2)
-+
Х
(3)
И З формулы
....
__
(3)
о
следует, что I n ( l + x)
lim Х
=
х
.... О
•
1.
(4)
Действительно, так к ак . " 1 11 ( 1 + х) 1 1т l + x) I/X ' ( n l m i l = х х .....
О
х --r-
О
то, используя неп рерывность логар ифмической функции ' получим и формулу = Jn е 1 . lim 1 п ( l +
(3),
х)1/Х
" .... о
=
далее , из формулы ( 4 ) следует 1.
1
el - l
! 1т � О
....
= 1.
х) .
(5)
действительно , положн� t - In ( 1 + , получим . 1. х - 1• 1т -- = lim t х ""* 1 .... О О 1 11 ( 1 + х) , ,. 1 , ,. , 2. П роизводная показател � ной функции. Рассмотр им ФУН КЦИЮ f (х) = еХ, � Е R.
et_1
•
302
" .�
•
I
'
\ "
.
'
ет nроuзводную в каждой Т е о р е м а. Фун кция еХ име исляется по овой nрЯJ.tOй , и ее nроuзводная выч .
точке числ формуле
(еХ)' = еХ
•
( 1)
.
пр ямой . Тогда о Пус ть хо - некотора я точк а числ овой f (x) - f (xo) = l'1т e" - еХо • ' .t' (хо) = l 1т х- хо " .... х.
Исп ольз у я фор мул у
t'
х :- хо
(5)
п . 1 , отсюда полу чаем
t (хо) = еХо 11т ,
.
.
" .... х.
" .... ",
е,, - х. - l
х - хо
=ro•
Ита к, (хо) =еХо. числ овой п р я мой , Так как хо - прои звол ьная точка нить на х. Так им заме но мож то в последней фор мул е ХО обра зом, имее м = (еХ)' = еХ • • ",. аХ , х Е R , ция f с л е Д с т в и е. П ОJW.Заmeльн,ая функ ке число точ дой каж в где а > О, а =1= 1 , . дифференц ируема муле фор по тся сляе вычи вой прям ой, и . ее nроuзводн.ая (аХ ) ' = rr l п а. й слож ной фун кци и , О Исп оль зуя фор мул у про изводно а затем форм улу ( 1 ) , полу чаем = (& 1п а) ' = e� I n а (х In а)' = еХ 1п а l п а = аХ 1 п а.
f' (х)
(х)
(2)
f' (х)
Так им обра зом , (аХ) ' = а" l n a . • ую фун кци и У = е"' + 1 . П р и м е р J " Найти про изводн изводной сло жно й фун кци и . 6. Исп оль зуя фор мул у про ' дан ной фун ]{ци и: и фор мул у ( J ), нах оди м про изводну ю J;. е"' + 1 . ' у ' = ( е"' + 1 ) .,. &' +,1 ( х2 + 1 ) ' = l ть фу нкци ю у = 8"' + Х + . П р и м е р 2. ПР ОДld ффе рен цир ова нах оди м , исп ользуя кци и 6. Про извоДную дан ной фун кци и И фор мул у фор мул у прои зводной сложной фун 2 1 )' = у ' = ( 8 З" ' + Х + l ) ' = 8ЗХ' + Х + l l п 8 . ( 3х + Х = 8 ЗХ' +Х+ 1 1 п 8 . ( 6х 1 ). J;.
2х .
(2):
+
фун кци и П Р И м е Р 3. Най ти про изводну ю
+
6. Исщ>льзуя сначала формулы дЛЯ ПРОИЗI:!ОДНОЙ про изведени я и сложной функции, а затем формулу (2), получи м � �' + Х + З у = (хз + 4х + 1 6)' 4 ! .
( 4.!..' Х1+Х + З ) , (x3 + 4.-1 + 1 6) = 41 + Х + 3 . (3Х2 + 4) + 5 х2 + х + 3 ) (х3 + 4х + 1 6) =1 + 4�X2 � +f+ . 3 · 1 п 4 . (4 : X2+x.f 3 =4 С3х2 + 4 + ]П 4 ( � х + 1 ) (х3 + 4х + 1 6» ) . А
и
6 Использу я формулу пронзводной сложной функции формулу ( 1 ) , получаем
,
У =
+'
+
Ь х'
'
3. П роизводна.я логарифми ческо й функции. Рассмотри м
ФУНКЦ И Ю
.
y = ] oga x , x E ·R + , где а > О , а =1= 1 . Т е о р е м а . Л огаpt.lф.мическая функция дuфферен ц u pyeAta в своей области определения, и ее nроuзводная
вычН,сляется по фОРАlуле
(loga x)' = х1 1- . I1 а
О РаСС МОТРII М сначала ФУНКЦИ Ю у == 1 п х , x E R + . Най дем ее лрои зводну ю, исходя из определен и я и испол ьзуя форму лу (4) из п. 1 : У' = 1 i m 6.х
-+
-
111 (х + дх) - I I1 х
=
Нт 'н
-+
О
Jn
Таким образ ом,
--. ь'х
(1+ ) = ь'х
дх
О
х
(1пх)'
Нт
6Х -+
О
=J..х
(
� х .
)
1 11 (1 + �) = � . дх х ' х
=
(1)
Рассмотрим теперь логари фмичес кую функци ю у og х ] a , где а > О , а =1= 1 . Как известн о, ]oga X = In x и поэтому 111 а '
(1oga х)' =
J
l
_ _
х l1 а
••
П р и м е р 1 . ПродиФФеренцировать функцию 304
у ::::; l n (x� :,.
3х + 9).
(2)
2
(ln (х. + 3х + 9»
Приме
р
' _ '(х2 +зх + 9)' _ 2х + 3 х2 + 3х + 9 - х2 + 3х + 9
=
2. Найти произвоДную ФУЮЩIIi; у log2�x3 + 3х 2 + 4х + 2).
...
, _
6. Производную данной фУН КЦII И наХОДIlМ, IIСПОЛЬЗуя формулу ПРОИЗВОДНОЙ сложной функции И формулу у ' = ( l оgз (х3 + 3х2 + 4х + 2 » ' = 3х2 + 6х + 4 _ (х3 3х2 - (X3 T3X� r 4x -J. 2) 1 11 2 - (х3 + 3х2 + 4х + 2) 111 2 . А
(2):
+ г4х+2)'
_
П р н м е р 3. Найти производную функции у = (х2 + 3) lп (2х + 1 ).
6. Используя фор мулы для производной лроизведения и сложной функци й , а также формулу (·1 ) , получим у ' = (х2 + 3 ) ' l n (2х + 1 ) + (х2 + 3) О П (2х + 1 » ' ' = 2x ln (2x + 1 ) + (Х2 + з) =
(�:t?
=
(х = 2х l п (2х + l ) + 2 2х2++ 3 . А l
)
4. П роизводная степенной функции. Рассмотрим функ цию y = X:X-, x E R+ , где a E R. Т е о р е м а . Степенная фУI-lКЦUЯ дифференцируема
в своей области оnределеl-lия, по формуле
II
ее nр оизводная выч.исляется
(x�)' = axGt- 1• D Пусть у = ха , x E R+ , где a E R. Тогда icз. = еа l n х ,
и поэтому, согласно лраВIIЛУ дифференцирования сложной функции , (ха)' = (еа l� Х)' eGt ln Х (а ln х)' ха а/ = axa - 1 ,
т . е.
=
=
(1)
3 а м е ч а н и е . Для некоторых а, например натураль ных , степенная функци я определен'а на всей ч исловой 305
-
пр ямой . Положим X = - Z, z > О , получим x- хо, т . е. абсцисса точки М пр иближ а тс я ся ит М , стрем точка и вательно О М следо , к абс циссе точки с таваясь на кривой [. П р и эти х условиях о М е о точк к , секущая М о М ' ' вообще говор я , мен яет свое положение, вращая с ь вокруг точки Мо, т. е. измен яется · у г ол 1-"А Если функци я f (х) дифференцируе ма в точке хо, то {' о lim f - f о Нm (х ) х х x -r x. х -+ х .
tg � ='
(х) (хо) =
и следова тельно, существует пряма я МОТ, явл яюща яся п едельным положен ием секущей при п р ибл ижении точ к и М по кривой к МО• Эта п р я ма я , как известно, будет касательн ой к К Р ИВОЙ L в точке М О ' Таким образом, если функция У f (х) дифферен ц и р уема в точке ХО, то ее график имеет касательну!? в точке u (Хо ; f (хо ))-, угловой коэфф Jщиент котор ои равен f (хо ) · Сказанное позволяет дать следующее геометр ическое истолкован ие производной: nроизводная фУНlщи tt f (х) в
р
=
u
точке хо равна угловому коэффициенту касаmелы.t,ои к графику функции в точке (хо; f ( Хо))' И
з 3. Уравнения касательной и нормали к к� ивои . курса геометр н и вы знаете, что в П Р Я МQ� ГОЛЬНОИ дека р то вой системе координат уравнение п рямои с у" г ловым ко)ф фнциентом проходящей через точку М О (хо; У о ) , имеет вид (1) u
. k,
y - yo = k (x-xo) '
f ' (-" о) , Поэтому ' положив в ураШIений ( 1 ) уо f (хо) и . к кр ивой [ . в то ч ке получим уравнение ка хо , f (х) � f (хо ) . х < хо , f (х) � � f (хо ) хо и х из (а; Ь) , х =1= хо,
докажем сначала теорему о необходимом' условии возрастания на интервале. Теорема
Согласно определению возрастающей на функ то ции , если а если то Следовательно, для любых справедливо неравенство О f (хх) -- хо! (хо) � :::-- . ·
832
Так как f (х) дифференцируема на (а; Ь), то, переходя пределу в последнем неравенстве при х хо , получим (xo) � O . • " (х) = Нт f (xх)-f - хо Расс�отрим теперь теорему о необходимом убывания функции на интервале. f (х) , Т е о р е а 2. Если дифференцируеАtaя функция (х) � О для
к
->-
Х -+ Х.
УСЛОВН II
х
м
Е (а; Ь) , убывает на интервале (а; Ь) , т о "
(х)-убывающая,. то фУНКЦIIЯ1 , Так как функция щая, теоремы -возрастаю и поэтому, в силуОтсюда (х) сле для любого х Е (а;Ь) Ь). •. (а; Е х любого для (х) что дует, возрастает . или Интервалы, H ;'I которых функция ости этой монотонн ми уБЬfвает, называютс я интервала . и функци . что если функция f (х) Заметим без доказателья)ства, (а; Ь) и непре интервале на ая (убывающа возрастающ ' ей (убы возрастающ будет она то и , а Ь точках в рывна [а; Ь]) . вающей) и на отрезке 2. Теорема Лагранжа . При доказател ьстве теорем ти функции сущест о достаточных условиях монотоннос венно используется следующая теорема, которая Ifа зы вается теоремой Лагранжа. Т о р е м а Л а г р а н ж а. Если функция f (х) , х Е [а; Ь ] ,
любого х из интервалq (а; Ь) . f О = (х) f Р Р' (х) = - t' (х) � О �О f'
.
е
непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема н а ин тервале (а; Ь) , то найдется точка с Е (а; Ь) ' mдкая, ttmo имеет место формула (1) f (Ь) - ' ( а) = f' (с) (Ь- а). фор формулой Лагранжа (1) мулой конечных nриращениЙ .
или Формулу назьmают по а без доказательства,1 07). Мы приводим теорему Лагранж смысл этой теоремыи (рис. ясним лишь геометрический точк А (а; f (а) На графике функц�и f (х) рассмотрим коэффициент угловой что видеть, и НЬ; f (Ь)) Легко се_.j,щеЙ А В., проходящей через точки А и В, равен f (bi=�(а) Запишем формулу ( 1 ) в следующем виде ! а) ( 2) f' (с) = f (b�=:( Вспоминая геом�трически Й смысл производной, можно сказать, что формула (2), а следовательно, и формула ( 1 )•
333
означает следующее: на и нтервале (а; Ь) найдется точка с та к а я , что угловои к оэфф и циент к асательной к графику функции t (x) в точке С с абсциссой , равной с, совпадает g
" (х) > О дл я I х I > 1 , то, согласно теорем е 1 , данна ,. функция оозрастает н а интервалах ( - 00 ; - 1 ) и ( 1 ; + (0). Так как f ' (х) О для I х I 1 , то, согласно теореме 2, данная функция убывает на интервале ( " 1 ; 1 ) . А . П р и м е р 2. Н а йти интервалы монотонности функции
О. Так как f' (х) < О для любого х Е (О ; е- 4 ) , то на ин тервале (О; е-4) данная функция убывает. Так как f' (х) > О дл я х > е-', то на и нтервале (е- 4 ; + (0 ) данная функци я возрастает . •
I
'
.
•
§ 37. И сследован ие экстреМУМ О8 функции 1 . О понятии экстремума функции . О п р е Д е л е н и е 1 . Точка хо называется точкой ми нимума функци и f (х), если существу:т такая окрестн ость точки' хо , что дл я всех х =1= хо из этои окрестности выполняетс я неравенство t (х) > f (хо) ' О п р е Д е л е н и е 2. 'Точка хо называется точкои АЮ- . ксим.Ума функции f (х), если существует така я окрестность точки хо . что дл я всех х =1= хо из этой окрестности вы полняется неравенство t (х) < f (Хо) ' "
!I
В о п р о с ы для к о н троля
1 . Сформулируйте необходимое условие возраста ния функции на интервале. . 2. Сформулируйте необходимое условие убывания ФУНКЦИИ на интервале. 3. Какие интервалы называются интервалами МОнотонности функции? 4. СфОРМУЛИРУI!те теорему ЛаrраюКа. Сформулируйте достаточное условие возрастания ФУ""" IIИ на интервале. 6. Сформулируйте д \статочное условие убывания Функции иа интервале. 7. Какие точки наЗbt lЮТСЯ критическими для функции? ' 8. Сфо рмулируйте правило нахождения интервалов монотонности.
5.
У п раж и ения .
1 ) f (х) = 5х - 2 ; 2) f (х) = 4-- 9х;
836
5
ll.
. х, ;Cz
$J
$ч
J}s '(св $7
$8
Рис. [08
Точки максимум а и минимум а функции называю тся точками экстремума данной функции , а ;mачени я функ ции в точках максиму ма и м и н и мума J-\азываются мак CUJ.tYMaмu и минимумами функции или экстрем.умами фун,кции. . Рассмотр им функцию f (х) , определе нную на отрезке [а; Ь] (рис. 1 08). Т очк и xi , ХЗ И х& - точки макс.имума , а х1" х и х7 -точк и минимума . Из графика даннои фУНКции видно, что м и нимум функции в точке х = Х4 больше максимум а ЭТQЙ функции в точке х = Xi ' Последнее обстоя тельство не противоре чит определен ию экстремум ов ФУН К ции , так Kal< в ' определен и и экстремум ов сравниваются значени я функции в точке со значениям и функции из некоторой окрестно сти этой точки . Таким образом, П О ll я'Гие .
7.20. Определите интервалы . монотонности следующих Фун.кциЙ: 4 4) f (х) = --
о
х
-
; 5)
[
3) f (х) = з; ;
f (х) = x!+x- l ; 6) f (х) = (х + l)ЭJ
•
337
экстр мума связан о с определенной окрестностью данно:и точкивсегда (опред еленн м) из области опреде ления функц ии, а не со ымвсейместо облас Поэтому иногда для обо.значе ния этого понятия употртью. ебляе тся терми н ло кальН ыи экстремум , е. экстре мум, связа нный с опреде ленны м местом. 3 а м е ч а н и е. Точки а и Ь (см. рис. 1 08) не отно сятся к экстр емаль ным точка м функц ии " так как у точе а и Ь не сущес твует б-окрестностей, принадлежа щих к об ласти определения данной функции. 2 . Необх е услов ие сущес твова ния экстре мума. Рассмотрим одимо снача ла необходимое условие существова ния экстремума для диффе руемой функции. Т е о р е м а Ф е р м а.ренци Если точка является точко экстремума функции у = f ( ) и в этой точке существуетй nроизводная " (хо) , то она равна нулю: " ( ) = О. о для еленности будем считать, что хо-точка макси мума.опред Согла определени ю это значи т, что сущест вует �-oKpeCТlH)(;TЬсноточки такая , что для всех =1= хо из Этои б-окрестности выполхоняетс енство ' (х) < ' (хо). По услов ию теоремы функц ияя нерав f (х) имеет в точке хо производну ю. Поэто му, одной стороны, � " (хо ) = l im f (х) - f (хо) ::--О, х - хо х -+ х. - о так как х - хо < О и f (х) -! (х ) < О для всех х Е Е (хо - б хо), а с другой стороны, t ' (хо) = lim f (х) - ! о(хо) -...-: �:: О , х- х . Х -+ Х. + О так как х -хо > О и t (x) - t (xo) < О для,.. всех х Е (х ; хо + б). След овате , t' (хо) = о. Доказ ательствольно для точки минимума проводится ана логич но. • 3 а м е ч а н и е. В теорем е Ферма устано влено лишь необх одимое условие существова ния экстремума . Это усло вие позволяет лишь выделить точки , в которых функц ия может иметь экстр Это значи т, что не ,- хая крити ческая точка являеемум. тся экстре мальн ой. Напри мер, функци я f (х) = им е. точк€: х = О производную , равную нулю, : но для этои Ф. цИИ то.чка х = О не является экстремальнои." Мы рассмотрели те критически е точки , в которых производна я функц ии равна нулю, эти точки иногда наЗЗ8 т.
хо
х
хо
х
С
;
о
о
___
хз
зыБютT стационарны/,си. Рассмотрим критические точка, функция не имеет производных. в кПоторых р и м е р 1 . Пусть t (х)_ = 1 х 1 (см. рис. 40) _ В п. � § 29 было установлено, что в точке х = О производнои существует. Следовательно, точка даннОЙ функции не точка. Так как t (x» O для всех x =O-акритическая t (О) = О , то , следовател ь но, t (х) > t ( О) дЛЯ всех х =1= О , х -;ь О . Последнее и означа!J о определению 1 , ет, согласн О есть точчто точка х =функ ции f (х) = ка минимума =I x l· П р и м е р 2. Пусть ( {х) = =3x-l x l (рис. 1 09). В точке х = О данная функция не имеет производной т. е. х = О - кри тическая точка данной функ ции. Так как для всех х < О f (х) < [ (О ) , а для всех х > О [ (х) > [ ( О) , то в точке х = О данная функция не имеет экст ремума. РИС. 3. Достаточиые условия существования экстремума. У словимся в следующей терминологии: будем говорить, что некоторая функция q> (х) меняет знак с· плюса на ми нус при переходе через точку хо, если существует такая б-окрестность ( о - б о б) ТОЧК\1 хо, что слева от точки Хо, т. е. для x E (xoх -б; ; хо)х +, функция О, а справа от точки , т. е. для х Е (Хо; хо + б), функция (х) < О. Ана логнчно уславливаются в терминологии оq>перемене зна ка функции с минуса на плюс при переходе через точ ку Т е о р е м а 1 . Пусть фУНКЦИЯ f (х) непрерывна в точке 1
х
1 09
хо.
ХО и в ее б-окрестности UAteem nроuзводную, кро,че, быть .может, СGlrЮЙ точки хо• Тогда если производная f' (х) при переходе !lерез точку ХО меняет знаК С плюса на AtUHYC, то точка хо является тО/IКОЙ АщксиМУ.ма функции [ (х); . если nРОllзводная [' (х) при переходе через точку хо меняет знак С минуса на плюс, то точка хо является т ОЧКОй MUHu),tYMa функt-{ии f (х) ; точки если СУЦ-{ествует окрестность хо - ; хо + хо, в которой nроизводная f' (х) сохраняет свой знак, то в mO'IKe хо данная функция f (х) не имеет экстреМУАta.
а)
б)
в)
(
б
б)
З39
-
6. 1 ) ВЫЧИСЛIIМ производную данной функции:
о Пусть п роизводная { ' (х) при переходе через точку хо
меняет знак с плюса на минус. Это значит, что сущест вует число б > такое, что {' (х) > О для всех х из ин тервала ( хо - б ; хо) и (х) < для всех х и з интервала (x�;. хо + б) . Так как для х Е (хо - б; х ) , то по (х) > теореме 1 из п. § следует, что на интервале (хо - б; хо) Ф У I� К ЦИ Я f (х) возрастает. Следовател ьно, f (х) < f для всех х из и нтер вала (хо - б; Хо) 'Так как (х) < для ' х Е (хо; хо + б) , то по теореме из п . § следует, что на интервале (хо: хо + б) функция f (х) убывает. Поэтому (х) < (хо) для всех х из и нтервала (хо; о + б) . ТЭI О для всех < и f (х) < О для все х Х .Е (О; 1 ) . Поэтому , согласно теореме 1 (см. п . 3), ТОЧIО Далее, т ак как f ' (х) < О для всех х Е . . 6 для всех х > 5. ' то по теореме 1 (см. п . ) точка х == 5 я вляется точкой минимума, причем минимум ФУ НIЩШI
f'
х = О.
х О
( о; � ) f' (х)
(О) = О.
3
равен f
( � ) � -:2,03. &
6
Пусть функция f (х), х Е (а; Ь) , неп ре Правило рывна и и меет вторую производную всюду на (а; Ь), к р о ме, быть может, конечного числ а точек. Тогда, чтобы найти экстремумы функции , надо: 1 ) найти стационарные точки функции f (х) ; в каждой стационарн ой точке вычислить вторую п роизводную: если вторая производная .J]Q.оожительна , то эта точка -точка минимума данной функции , если вторая производная отрицательна, то эта точк а - точка макси мума; если вторая п роизводная равна нулю, то для уста новления экстремума необходимо использовать первое п ра вило. Пример Найти экстремумы функции
2.
2)
2.
.
х'
f (x) = t - 2ха + 5 .
6. 1 ) Вычисляем первую производную:
и
f' (х) = х3 - 4х = х (ха - 4) = 2. находим стационарные точки: Х1 = -2, Х2 = О, . 2 ) В ы числяем вторую п роизводную: f " (х) = 3х2 -4 и
подсчитываем
ее
ХЗ
значения в 'стационарных точк � х :
{" (-2) = 8 > О, f" (0) = -4 < 0, f" (2) = 8 > 0.
34 1
Следовательно, данная функция имеет: а) в точке х= -2 минимум, равный f (-2) = 1 ; б) в точке х = О максимум, равный f (О) 5; в) в точке 2 минимум, равный f (2) = 1 . • =
х=
В о п р ос ы Д Л Я ко н т р ол я
1. Какая точка называется точкой минимума функцин?
2 . Какая точка называется точкоii максимума функции? 3 . Какие точки называются точками экстреМУА>lа Функц-ии?
4. Что называется максимумом функции? 5. Что называется мин имумом функции? 6. Какие зН'ачения функции называются экстремумами функции? 7. Сформулируйте Teo�eMY Ферма (необх одимое условие существо вания экстремума). . 8. Какие точк и называются стационарными? 9. Сформулируйте достаточное условие существова н и я экстремума с помощью производной первого порядка. 10. Сформулируйте достаточное условие существования экстре мума с помощью прои зводной второго порядка. Сформулируйте правило нахождения экстремума функции с помощью п роизводной первого порядка. 12. Сформулируйте правило нахождения экстремума Функции 'с помощью ПРОИЗВОДflОЙ второго порядка.
1 1.
У п ра жн е ни е
;1;2]) Найдите экстрем мы следующих функций:
@f (x) = 1 +4x-x2; 2 f (х) = З + х� - 6х ; С!!) ! (х) = � x4 - x� + 5 ; ®Jf (х)= � хЗ - х4 + 5 ; 5) t (х) = = + ; ; 6) f (х) = у х ; 7) t (х) = Ух; З/8) t (х) = V х2;
9) t (х) = х2е-Х ;
10) f (х) = еХ + е-х;
11) f (x)=x ln x; 12) f (x) = -1 + In x. х
§ 38. В ы пуклость графика функции 1 . О понятии выпуклости графика функции.
На рис. 1 1 0 изображены графики функций, каждая из которых явля ется возрастающей на отрезке [а; Ь] , однако хорошо видно различие в их поведении; в случае а) график функ . I. ии обращен вы.п уклостью вниз; в случае б) - выпук лостью вверх; в случае в) на интервале (а; с) графИ1�
342
е . а на юrrервал клостью вверх обращен выпу ф(с;ункЬ)ции зре точки ской триче геоме С вниз. -вы пуклостьюения «обращен выпу клостью вниЗ» и выраж вверх» ВПОЛ!-Jе понятен. Придадим ния смысл ью «обращен выпуклост этим выражени ям точны й математический смысл и дадим !J .
!J
!/
о
11
:r:
d.
Q
О
с
1 10 в какую сторону обращена выяснения того, крите рий дляграфи ии. выпуклость л е н ика 1функц . Графи к непре рывно диффе ренци руеОпре е ыn укл.ы.м вверх мой функци и f(а;(х) Ь), , х Е ( а ; Ь), называе тся в на убываетэтой (�) f' я водна произ если на интервале f' (х) возра ик граф то Ь), (а; на стает (а; Ь). А если функци и называется выnукл.ы.м вниз. Рис.
е
Д
!I
/1
о
I
tt
d
/;
:0
0
tt
111 клый к функции выпу что если тграфи Легко видетегоь, точки . касат его й ниже любо т касательвверх. то все так каклежа ель ициен коэфф ой углов . А если график выной (рис. 1 1 1 , а) , с возрастани ем х лежат выше лю ной уменьшается 1 1 1 , б) , то все пуклый вниз (рис. й (кроме, конечточки но, самой точки каса бой его касательно ния) . ых график рвалы , на котор н и е 2. Инте О п р е Д е л елый интерва аются назыв вниз, или функции выпук вверх ции. функ ика граф и л ами выпуклост Рис.
I
343
2. Достаточ ное условие ВЫ�клости графика ФУНКЦИИ
Т е о р е м а . Пусть функц ия { (х) , х Е (а; Ь), имеет пер : в�� и вторую nроизводн ые. Тогда, если {" (х) < О для всех х Е (а,. Ь) то на июnервале (а; Ь) график функции { (х) ; выnуклы и вверх, если же {" (х) > О для всех х Е (а'' Ь) , то график фун�ции f (х) вып уклый вн из на '(а; Ь) . О сли f (х) < О для всех х (а, Ь) , то, согласно тео - р еме из п . 3 § 36 , ФУНКЦИЯ f ' Е(х) убывает на интервале (а; Ь). Следовательно, согласно !I определению , трафи к фУН КЦII И f (х] на и нтервале (а; Ь) выпук лы и вверх. Если же {" (х) > О для всех х Е (а; Ь), то, соглас �IO теореме 1 из п. 3 § 36 f ФУНКЦИЯ { ' (х) возрастает на Иl! � z тервале (а, Ь). Т аким образом, 1 () согласно определению, график Рис. 1 12 ФУНКЦИ И f (х) на и'rпервале (а; Ь) выпуклый вниз . • Условие знакопостояriства второй производной явлл лсь достаточным условием выпуклости (вверх ил � вниз) графи ка функци и , не я вляется вместе с тем необходимы м у словием� Так, например , графи к . фУН КЦИ И f (х) = � + 1 ВрIПуклыи вниз на всей '!-исловой прямой, однако ее вто рая производна я f" (х) = 1 2х2 обращается в нуль в точке х = О (рис. 1 1 2)_ Сфермулируе м теперь правило нахождения интервал ов выпуклости графи ка функции . Пусть ФУН КЦI:IЯ У = f (х) , х Е (а ; Ь) , имеет в и нтервале (а; Ь) п роизводную второго порядка к роме бытI; может коне чного �исла то.ч ек , и f W (х) имеет не б�лее конечно г� числа нулеи в интервале (а; Ь). Toг�a д.gя нахождения и нтервалов выпуклости г рафи ка этои функции надо: 1 ) найти все точки, в которых или' f" (х) = О, или {" (х) не существует (эти точк и называются к ритическими точ ками функции по второй п ро изводной); 2) В каждом из и нтервалов, на которые разбивается и нтервал (а; Ь) к ритическими точками, найденными в пер вом пункте данного правила, установить знак f" (х). Если в рассматриваемом и нтервале f" (х) > О, то на этом интервале график функции выпуклый вниз ' если же {" (х) < О , то выпук лый вверх. П р и м е р 1 . Найти и нтервалы выпуклости графика ФУНКЦ ИИ { (х) = хЗ •
i
344
_
ой имеет 6. Данн ая функ ция на всей ч ислов ой прям н , име л овате 2 След ь о х. (х) И f = 6 3 ) п рои зводные f' ( х = х ' "
й п роизв одной . Она етс Я одна крити ческа я точка по второ нтерв ала ( - 00 ; О) и два на разбивает число вую пр ямую и (О; + (0 ) . всех Так как ' " (х) > О для всех х > О и f" (х) < О для але нтерв и на вниз I О) . В силу !I=Т(Х)'/ непрерывности второй произу водной найдется стность � точки хо такая , б-окре что f" (х) < О (соответственно {" (х) > О) всех х на но сти. По теоремеэтойиз окрест п. 2 данпараграфа график данI!О�о функц ��I:-!L...:-. нои ии на интервале б (хо; + хо б) будет ВЫПУК1 15 лый вверх етственно вниз) Последнее противоречит тому, что(соотв хо является точкои перег иба. Значи т, {" (хо) = О . • Т е о р е м а 2 (д о с т а т о ч н о е у с л о в и е). Пусть фун.кци я f (х) н.а ин.тервале (а; Ь) имеет производн.ую вто рого порядка. Тогда , если f" (х) мен.яет зн.ак п ри перехо де аргУАtен.та через хо Е (а, Ь), то хо является абсци ссой точ ки перегuба графика дан.н.оЙ фун.кц ии . О Пусть " (х) при перех оде через точку хо меняет знак с минуса на fплюс. Тогда в силу теоре мы из п. 2 точка хо такова, что, с одной сторо ны, от точки хо графи функ ции у = f (х) обращен выпук лостью вверх , а с кдруго сторо ны, от этои точки хо обращен выпук лостью вниз.й По.следнее , согласно опр'еделени ю, означает, что точка (хо, (хо» - 'FOчка перегиба график а функци и f (х). Анало гичноf доказывает что и в случае, когда {" (х) при пере ходе через точку ся, хо меняе с плюса на минус точка ( хо ; f (хо»- точка пер�гибат знак график функци и f (х) . • Сформу лируем правило нахожда ения точек перегиба графика функции . Пусть функци я y = f (x) , х Е (а ; Ь), имеет в ин ервале (а; Ь) производную второг о порядк а кроме быть тможет конечного :исла точек, и {" (х) имее; не 'бо�ее конеч ног� числа нулеи интервале (а; Ь). Тогда для нахожден ия точек перегибав графика этой функции нужно:
1 ) найти критические точки функции ПО второй про изводной; некоторой 2) исследовать знак второй производной окреспiости критической точки. Если {" (х) меняет знак при переходе аргумента через критическую точку хо, то (хо; f (хо» -точка перегиба гра- ' фика данной функции. П р и м е Найти точки перегиба графика функци и
! О; если х Е (О; 1 ) , то 1" (х) < О . Таким образом, точка (х1; f (X1» = (О; 1 ) -точка перегиба . Если x E (I -б; 1 ) , то {" (х) < О, а если х Е ( I ; 1 + б) , то {" (х) > О . Следовательно , точка (х2; f (х2» = (1; 0) ТОЧI{а перегиба . • 4 . Исследование к вадратичной функции. Как известно, функция f (х) = ах2 + Ьх + с, где х Е R и а =1= О, называется квадратичн.оЙ , а многочлен ах2 + Ьх + с, а =1= О, часто назы вают К8адратн.ым трехчлен.ам. Квадратичная функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, т. е. для любого х из R. Производная этой функции f ' (х) = = 2ах + Ь существует при любом х Е R и обращается в нуль в единственнои точке хо = - 2аЬ ' В ычислим значение Уо функции I (х) в точке 'Хо! f (хо) = f ( - :а ) = - � ,
дЛЯ
{l
а
L-__
_ _ _
с
Рис.
_..
/z
I
.z;
=
.•
346
И
И
•
I
где D = Ь2 -4ас-дискриминант квадратного т рехчлена . Напомним, что знаком дискриминанта D определяется чи�ло и существование действительных корней квадратного трехчлена ax� + Ьх + Сl
I
347 j
а) есл� D > О , то трех член имеет два действит ельн ых корня : ь - уп и х2 = _ ь + у 15 .' 2а 2а
б) если D = О, то трех член имеет один дейс твительн ый кор ень : ь хо = - 2а ;
В) если D < О, то трех член не и меет дейс твит ельн ых
корн ей, т. е. не существует дейсfвителыю го ч исла ; я вля ющегоС� корн ем квад ратн ого трех член а. § , , Il
j
: I I I
.о>и
I I
Z
, -;;j-:"гт'-+-+о
' ,
O !/р
:JJI
,1It
':
1,
n ' :·: -Г- .:К7-:-I -�I1\-;-r,
\
t j I,Z
_N�"_-
:
:
.о-о
I
I
I
,
,
f � "_" _ _ � _ _ _ � w _ _ _ _ _ _
-�-------- ----"-�
,
.
:
'
,
IJ
: f
,
/J
:
11
:
,116
�
�
ЛI. . '
)
I
«>0
:
Рис.
О и D = Ь2 - 4ас = ( -4) 2 - 4 . 1 . (-5) = 36 > О, то мы и меем ' дело со случаем 1 1 ' На йдем координаты вершины пара болы, явля�щейс я графиком данной функции :
R'.
так
Ь
Il О, то f ' (х) < О п р и х хо и f ' (х) > О п р и х > хо · Следовательно , функ ция (х) О п р и х < хо и f' (х)' () п ри х > Хо' Поэто�у квадратичная функци я f (х) возрастает оо}. на и нтервале ( - 00 ; хо) и убывает на � нтервале (хо; Та к как f ' (хо) = О и п роизводная t ' (х) п р и переходе х через точку хо мен я ет знак с плюса н а lйинус , то функ Шi Я t (х) и меет в точке хо маl{СИМУМ, т. е.
и
'
Уо = f (хо) = f (2) = 22 - 4 · 2 - 5 = -9.
Таким образом, данная фУНIши я в точке хо = 2 имеет минимум , т . е. fmin f (2) = -9. Реша я у равнение х2 - 4х -5 ='0 , найдем абсциссы точек пересечени я графика функ ции с осью ОХ: х1 = - 1 и � = 5. На йдем значение функции в точке Х = О: f (О) = -5 . Следовательно, парабола- пересекает ось Оу в точке (О; -5) . График данной функции изображен на р ис . 1 1 7 . А Л Р и м е р 2 . Построить график функции (х) = = x� + 2х - З. =
�
.f
349
Так как а= - � < О и D = b!- 4ac= 2� -4 ( -�) (-3> = 4-4 = 0, то мы имеем дело со случаем3 I I аолож и� получим f (О) = -3, т. е . граф ик функци� пересекаетх =осьО, Оу в точке (О; -3) . Найдем координаты ВI;:РШ ИНЫ пара болы : хо = --2а = 3 ' Уо = f (3) = О. График данной функции изображен на рис . 1 1 8 . ... 6,
х
ь
//
!I i&
О
fjJ
f
4 . Сформулируйте достаточ ное условuе I!ЫПУКЛОСТИ графика функ ции . 5. СФормули рr йте правило на хождения и нтервалов выпуклосТ1l граф ика функции . 6. Какая точка называется точкой перегиба г рафика функции? 7. Сформулируйте необходимое условие существования точки перегиба графика функции. . В. Сформулируйте достаточное условие с.уществования точки пе· региба графика функции. 9. Сформулируйте п равило нахождения точек перегиба графика функ ции. У п ражнения
:с
7.22. Для графиков следующих функцик. найдите интервалы,
в
которых график функций обращен выпуклостыо вверх и вниз: 1) f (х) = х3 _ 6х2 + 1 2х+ 4 ; 2) f (х) = (х + 1 )4; ' (х) = х4 - 6х2 + 4 ; 4) ' (x) = x4 + Bx� + 1 6. 7.23. Исследуliте квадратичн ые функции и постройте их графики: 1) f (x) = x� + 2x - 3; 2) { (x) = 4x� - 6x - 7; 1 3) { (х) = 3 + 4х - х2 ; 4) ' (X) = - 4 x� + x - l : 1 5) { (x) = - 4x� + 2x - 1 ; 6) f (x) = - S" r. + 2x - 5;
3)
Рис. I I B
7) { (x) = x� + x - 2 ;
Рис. 1 1 9
е р 3. Построить график фун кции f (х) =-П3х2р и+м2хl. 6, В данном случ ае а = - 3 < О и D = b2- 4ac =22 _4 (- 3) (- 1 ) = -8 < О, по�том�имеет о случай I Iз. Положив х= О, лучи м f ( ) - . 1 , т. е. мест ик пересекает ось Оу в точке (g; - 1 ). Найдем теперь граф координаты верш ины параболы: хо = _ 2!:...а = _ 2�. (_-2_3) _- З1
=
и
Yo =f ( � ) = - 3 ( � / + 2 . +- 1 = - � . График данной функ ции изображен на рис. 1 1 9 . "
Вопрос ы для К О н т роля 1 . К акой график называется выпуклым вверх? 2. Какой график называется в ыпуклым вниз? 3. Какие интер вал ы называются и нтерв алами в ыпуклости графика функции?
350
В) { (x) = x� - 2x + 3.
§ 39. П остроен ие графиков фу н кций
Прямая у = kx + Ь называется. графика функции f (х) при х -- + 001 если . Нт (f (x) - kx - b) О. Таким образом, если прямая у = kx + Ь является асимп- ' тотой графика функции f (х) при х -- + ТО функция а (х) = f (x) - kx - b является бесконечно малой при х + Orсюда следует, что 1. Дсимптоты .
асимnто
той
=
х-+ + 00
00,
-+
k=
и
f (х) _ Ь + сх (х) х х
поэтому k
00 .
=
так как
Нт f
х.... + QO
Нт
(х) Х
Ь + сх (х) х
•
О. 351
/:). Т ак как
далее, b = f (x)- kx-a (x) и поэтому
Ь = Н т (f (x) -kx) . х-+ + о)
А н ало гично оп редел яется и нах Одитс я аси мптота гра фи к а функ ции п р и Х - - оо . м е р 1 . Най ти асим птоты граф ика фун кци и f (х)
3� �� Х /:). Так
'1= -
f (х)
=
как
3х9-+- = 3 k = li т f х(х) 1"1т х2. 3 i Ь = l т (f (x) - kx) = li т ( Х!+ 1 _зХ ) _ - l'1т -Х1 = 0' Х то п р ям а я у = Зх является аси мптото и гра фик а фун кци и f (х) п р и х -+ + легко убедитьс я , что эта же п р я мая Х-+ + '"
Х-+ + ОО
=r
Х-+ + ОО
1
Х-+ + '"
I
Ь=
k = l iт ' (хх) = ....Нт. х2x(х� ++ x1 ) = 2 , ( 2Хх2+·+1Х - 2х ) = = Нт -kx) (x) (f liт ..... = li т ( х +Х 1 ) = - 1 ' х-+±со
х
•
00.
±
'"
х-+± оо
± со
у = 2х- l
Х-+ ± '"
__
--+ +
являеТСi} асимптотой графика да н то п р ямая 00 . График и при Х и р п ной функции функции изображе н на рис. 1 2 1 . • П р и м е р 3. Пусть дана функци я
х --+ -оо
f (x) = � (Vx2 + x + l + VX2�x + 1) .
Х-+ + '"
.
х
Найти асимптоты. /:). Вычисли м п ределы: = , y x2 -I- х + I + У х2 - х + I " ! ' ) 1·1 I 1 1Л1 т (х
k = .... -Х = -2 . х Ь = Н т (t (x) -kx) =-} Н т (Vх2 + х + l + V�2-х+ I -2х} = О. Итак , п р ямая у = х явл яетс я аСИЩIТ01:0Й графика даН IlОЙ функци и при х- + Рассмотр им теперь пределы п р и х --+- оо: x k = lim ' (хх) = .!...2 l iт V 9 + x + I +х V x2 - х + l = - 1 , Ь = Нт (f (x) - kx) = = -}·. Н т (V х! + Х + 1 + V xZ-х + 1 + 2х) = о. Х
Х-++ '"
+ со
=
Х-+ + Ф
00 .
Х-+ _ 00
X-J>
•
х-+ _ 00
-,Ф
Х-+ - 00
Рис.
1 20
Рис.
121 -
у=-
у Зх я в�яется асцмптотой и при х Г раф ик фун�ции и зобра ен на рис. 1 20 . А � . _ 2x� �� м е р 2. НаИТИ ' асимлтоты графика ФУНlЩИИ f (Х) = . - Х::П- ' =
352-
-
00.
х я вляетс я асимптото!' ! Следователь но, п р яма я Изображе для графика данной функции ПрИ ние графика дано на рис. 1 22 . А Пр ямая а называетс я вертикал.ьноЙ асимптото й графика функции есЛИ
х - ":" оо.
х'==
1 2 ЛЛ! ебра ,
f (х), 11т f (х) х-+а- О
ч.
1
=
00
или
Н т f (х) =
х....а + О
00 .
853
Заметим , что п ри нахождении верти кальн ых асимп то1.1 графи ка ФУНКЦ ИИ' f (х) в качестве точк и а, через котор ую может п роходить верти кальн ая асимптота , следует р ае сматр ивать точ к и разры ва данно й функц ии f (х). П р и м е р 4. П усть f (х) = x� 4 ' Найти асимптоты. 4 6. Р"а ссмотр им точки х = 2 и х ==; -2. Имее� lim f (х) ==; lim
х-->- ± 2
�4 = 00 ,
х-->-± 2 Х_ -
и поэтому п рямые х = 2 и х = -2 являются вертик аль ными асимпт щами график а данной функци и .
!J
!J
)/ Il -z ;
Рис. 122
о
Рис. 1 23
:г
:с
'
4 Графи к функц ии f (х) = x� 4 изобр ажен на рис. 1 2 3 . А
--
l' 1 П р и м е р 5 . Пусть дана функц ия f (х) = 2" х . - (Х - l).2 ' Найти асимптоты . 6. Рассмотр им точк и х = О и х = 1 , где эта функ ция не определ ена. В этих точках
!�� C� - (x� l)�) = + 00 , �i�l (:� - (X� I)� ) = - 00 .
Следовательно , пр ямые х = О и х = 1 явля ются верти кальн ыми асимп тотам и графи ка данно й функ ци и . Кром е того, п р ямая у = О явля ется асим птотой графика функ ции при х -± оо . Изоб раже ние графи ка функ ции дано н а рис. 1 24 . ... 2 . П риме ры построени я г рафи ков функций . При по строе нии графи ков функ ций можн о использовать следую щую схему! з54
1 ) Найти область определения функци и , если она за. ранее не у казана. Проверить функцию на четность и нечетность. 2) 3 ) Исследовать функцию на периодич ность. 4) Найти точки пере· У ,: сечени я графика Функции с осями коорд инат. ! 5) Найти и нтервалы : знакопостоя нства функции. Найти асимптоты о графика функци и . 7 ) Исследовать функ цию на монотонност ь. 8) Найти точки экст ремума функции. . 9) Найти точк и пе региба и и нтервалы Рис. 124 графика выпуклости функции . . 1 0) Построить графи к . Отметим , что не всегда нужно точно следовать даннои схеме п р и построении графика функции. Иногда для по строен и я графика функции достаточно п п . 1 )-6). хз П р и м е р 1 . Построить график ФУНКЦИИ f (х) = х; - I . 6. 1 ) Область определени я функци и - вс я числовая п р яма я , к роме Х = + 1 , х = - I . 2 ) f (х) - нечетная функци я , так как f ( - х) = - f (х). Поэтому для построени я графика у ==; f (х) достаточно исследовать �e для х � О. , 3) Функция непериодическая. 4) График функции пересекает оси, координат только в точке (О; О). Точки х\ = -1 , xi = О и хз = 1 разбивают ч исловую прямую на четыре и нтервала :
.
6)
�
i:,
u
(-00; - 1 ), ( - 1 ; О), (О; ' 1 )
и
( 1 ; + 00).
5 ) Найдем знаки ФУН КЦИИ лишь в и нтервалах (О; 1) ( 1 ; + 00 ): f (х) < О для всех х Е (О; 1 ) , f (х) > О для всех х Е ( 1 ; + 00).
н
в силу нечетности данной функции имеем f ( x) < О для всех x E (-оо ; - 1 ) , t (x) > О для всех x E (- I ; О) .
35�
6) Так как
f (х) = ±оо и х= 1 и х= -1
Нт
х -+ + 1 ±О
то прямые асимптота м и . А так - K�II{
Нт
Х-+- } ±о
f (х) = ±оо , верти кальными_
я вл яются
х3 = 1 , ' = l1т Х (Х2. - 1 ) Н т (f (x)-kx) = Нт ( 2� I -X) = 0, х. графи к дан ной функции и меет асимптоту у = х. 7) Найдем прои зводпую: " (х) , х2(x�(х-2 -3) I)� • l'
Х-+ ± 00
то
t (х)
1т Х-+ ± ОО х
х-+ ± оо х-+±
00
Он'а существует во всех точках числовой п р ямой , кроме и р авна нулю в точках и Поэ тому l{ритическими точками функции будут
х= ±I, х = о х = ± Vз. х1 = - Vз, х2 = - 1 , хв = О, х4 = 1 , хб = vз. Изучи м поведение t ' (х) в о){ рестности J{аждой крит и чес){ой точи и . Вследствие нечетности f (х) достаточно рассмотреть зна к f' (х) на промежу тках ( - 1 ; О), (О; 1 ) , ( 1 ; Vз) 11
['
( V З; + оо ) . Резулыаты исследован и я запишем в табли цу
убывает
1
о нет экстремума
Х=
убывает
1.
j убывает
I
о минимум
3УЗ =2-
/
х '" (х)
I I
х= х ± х=
'" (х) =
•
х> 1
х О дл я любого х Е [-8; - 1 ]. . Следовательно , на отрезке [-8 ; - 1 ] Функuия п р и нимает наи меньшее значение при х = -8, а наибольшее значение при х = -;- I : _
{ ози .. = f (-8) = - 4 0 , [8а.6 = [ ( - I ) = -3. б) Обе критические точки функции п р и надлежат от резку [ - 1 ; 1 ] . Следовательно, наибольшее и наименьшее значения данной' функции на отрезке [ - � ; 1 ] находятся среди значений f (- I ) = -3, { ( О) = О , { (O,8)�- 1 ,03 и f ( I ) = - I , поэтому { наиб = О , {наим = -3. А П р и м е р 2. Н айтй наибольшее и наименьшее значе ния фун кции f (х) = 2хЗ- 9х2 + 1 2х - 3 па отрезке [О; 3] . 6. Решив уравнение f ' (x) = 6х2 - 1 8х + 1 2 = 6 (х- 1 ) (х - 2) = О, найдем к ритические ТОЧI{И х = 1 и х := 2.
и
368
_
f (0) = - 3, f � 1 ) = 2 , f (2) = 1 , f (3) = б будет наименьшиlvt ,:Значением, а наибольшее - наибольшим значением данной функции на отрезке [О; 3] . Поэтому fн!им = - 3 и fн аИб = б . & ?ассмотрим несколько задач с конкретным содержа н ием, для решен и я которых необходимо найти наибольшее или н аименьшее значе� ..;o. +-,," :C � +-h m-----,.,...",, '--r ние некоторой функции. П р и м е р 3. Какой из п р я моугольни ков с перимет ром 2р и меет наибольшую t::s площадь? 6. Прямоугольников с п е р и метром 2р имеется беско нечное множество. Н аша за fL'- О, а =1= 1 . а В частности, � dx = еХ + С. 5. � cos x dx = sin х + С . 1.
о Так как df (х) = f ' (х) dx и f является первообразной
для своен производной f' , то
� df (х) = � f' (х) ш = f (х) + С. •
,"
3. Если функция f (х) имеет первообразную, то п р и а =1= О верно равенство
� af (х) dx = a � f (x) ш.
_
еХ
(3)
,
Это свойство означает, что постоянный отличный от нул я множитель можно выносить за знак и нтеграла . 4. Если функции f (х) и g (х) имеют первообразные, то (4) (f (x) + g (x» dx = f (x) dx + g (x) dx.
�
7.
�
�
Это свойство означает, что интеграл от суммы двух ФУНК ций равен с умме и.нтегралов от этих фун кци й . Доказательство свойств 3 и 4, аналогично доказатель' ству первых двух свойств. Формула (4) естественным образом обобщается на слу чай суммы n (n > 2 ) функци й. П р и м е р . Найти (2 sin х + 3е-х) dx. 6. Согласно свойствам 4 и 3 неопределенного и нтеграла получаем
�
�
'
368
� f (x) dx = F (x) + C.
х+ а
г
lП
ot
I
-
Последнее раве нство следует из известных формул: ( -cos x)' = sin x и ( -е-Х ) ' = е-Х. А
может быть записана в виде и нтегральной формульr:
С,
x� + at
e-х dх = -2 соs х - 3е- х + С.
�. Таблица неопределенных интегралов. ИЗ определе н и я и нтеграла следует, что всякая формула для п роиз, водной конкретной функци и , т. е. формула вида F ' (х) = f (х) ,
.
x2 - � - 2a
� (2 sin x + 3е-Х ) ш � � 2 sin x dx + ) 3e-x dx = s i n x dx + 3
cos 2
-
х
�
=2
� s l n x dx = -cos x + С.
5 dx х = tg Х + С dx 8. 5 stл 2 х = - сtg х + С. dx 1 а =1= О . 9 .. 5 а' + х2 = a- arctg -a + 10 . 5' dx - ( I n I х - а I +' С , а =1= О. dx_ 3 = а сs. ах + С а =1= О . 1 1. а2 , 1 S V ·dx х I n (х + V·x! + а ') + С . а =1= О. 1 2. , SV dx- а' = I n / x + Vx' - а' \ + С , а =1= О. 1 3. х2 V S 6.
1 j
Кажда я из формул 1 - 1 3 СПР'8веДЛИВ1i на каж ом п ромежут�е, принадлежащем облас'Ги определеиия� n ,J. и нтегральной функции. Спра-ведли-вость К8ЖД@Й п 111rи веденных формул можно установить дифференцированием. Проверим, например , формулу 3. Здесь надо рассмотреть два случа я . 1 ) Пусть х > О ; тогда I х I = х и формула 3 примет вид
5 d: = lп х + С.
Дифференцируя , получим
_
i � � �L
3
:?>
3
( l n x + C) ' =
�+0=� .
�
-�---------'L---------
=-
---
-
2) Пусть х
< О;
тогда I х
1 = -х и фор мула 3 имеет вид
S � = l n (-х) + С.
Дифференцируя , будем иметь
(1п ( -х) + С) '
.
= + О = �х . -1 -х
И нтегралы, приведенные в р ассмотренной выше табли це, получили н азван ие табличных инmегРШlOв.
§ 42. Методы Jlнтегрирования 1 . Метод н епосредственн'ого интегрирования. Неnосред cmeeHHbt,l,t интегрированием lIазывается такой метод вы числения и нтегралов , при котором они сводятс я к та б личным путем применения к ним основных свойств неопре деленных и нтегралов. ПРI! этом подынтегральную функцию обычно предвар ительно соответствующим образом п реоб разуют. П р н м е р 1 . Н айти ( l + 6. Преобразовав подынтегральную фУЮ{ц И Ю и восполь и нтеграл а , н аходим и З0В � ВШ И СЬ свойствами
�
VX)2 dx.
4 3 � ( 1 + VX')2 dx = � ( 1 + 2 VX' + х) dx = = S dx + 2 S VX'dx + S xdx = x + 4х[х + х; + С.
Последнее равенство получено с помощью табличного J 1. • СХ = '2 и и нтеграла 2 соответственно п р и
370
П р и м е р 2 . Найпi
сх = О, S 2�x4 dx.
СХ =
-
-
- --
�
-------""-
-----
-
6. И нтеграл сводится к табл ичным и нтегралам 3 = (сх 3): S 2�х4 dx = 2 S d: + S хз dx = 2 1 n I х I + � + С . • П р и мер
2
и
� 3х . 42Х dx.
3.
Найти 6. Преобразовав подынтегральную функцию, п риводим (а и нтеграл к табличному и нтегралу
4 = 48): S 3х . 42Х dx = S 3х 1 6x dx = S 48х dx = J�B:B + С . А П р и м е р 4. Н айти S cos2 i dx. 6. Так как 2 cos2 i = 1 + cosx, то S cos2 i dx = +S ( 1 + cos x) dx= + (х + siп х) + С А
В оп р ос ы дл я ко н тр о л я
1 . Ка ка я Функ ц и я наз ывается первообразной дл я функц и и t (х), х Е (а; Ь)? 2. Что назы ваетс я неопределенным и нтегралом функции t (х)? 3. Вер!"'ы ли утверждени я : а) первообразна я суммы двух функ ц ий равна сумме первообраЗIIЫХ этих фун к ций; б) неопределенный интеграл разности двух функций равен соответствующей разности . интегралов от этих функ ц ий? 4. Почему формула (3) неверна при а = О? 5. Докажите справедливость формул 1 0 - 12 дл я табличных ин тегралов.
- _.
..
П ри ме р
5.
Н айти
S 25�4X�. '
(а = � )
простых преобразован и й подынтегрально й : функц и и приходим к табличному интегралу 9 6. Путем
r J
dx =. r
25 + 4x�
J4
dx
(�+ x� )
=
1 r "4 J
dx
( � у + x� =
= '41 ' s1 arctg sх + C = 110 з.гсtg 2хs + С . ... '2
'2
x� dx П р и м е р 6 Н айти . 3 + x� ' 6. Интеграл п риводится к табличному и нтегралу 9 V3): 3 х -3 dx 3 + х2 - 3 dx 3 + х2 3+ + х22 3+ � 3 +x� =
S
(а = 5 х2
= dx+ S S x dx = S = S ш- 3 S 3�X� = х - 3 . ;3 arctg VЗ + С = = x - VЗагсtg
и dX П р и м е р 7 . н аити S 3x� - 5 '
;3
-1 С . ..
87 1
6 И нтеграл
(а = с dx = J 3х2 - 5
У% )r : J
dx
2 -. / 5 У. 3
1
(а
П
=
3 ( x� - % )
=3 '
Р
1
" и м е р 8 . Н а ити
. +)
6 Сводим
к
СВОДИТС Я
и нтеграл
.
S
[ 3J 1
1п
1' 1
'-. / dx I 2
1
- x�
•
х
+с
.t. 1
и нтегралу
3
.
С.
= з а г сs l П 3х + : . I
Yx2 + 4 - 4 Y X2 - 4
1 3 (а = 2) :
+. С . "
у x4 - t6
dх.
А А
6 Данный и нтеграл сводится к табличным и нтегралам
r у'Х2+'4 - 4 УХС4 ш ' r dx - 4 r dx _ J . у х4 - 1 6 J У х2 - 4 J У x� + 4 11
= lp l x +
V х2 - 4 1 - 4 1 п (х + Vх2 + 4) + С . А.
П р и м е р 1 0 . Найти
5 Sin2 :�OS2 X •
6 Так как s i n2 х + cos2 Х = 1 , то I sin� х cos� х
.sin2 х+ cos2 х 1 = siл� х cos2 х = cos2 Х
+
) siл� х'
.
372
dx = х cos� х
5
dx -cos2 Х
+5
где F (t) - какая-либо первообразная фующи и f (t ) , t = g (х) . Действительно, согласно этому правилу получаем = Р ' (g (х» g' (х) = f (g (х» g ' (х). (Р (g (х» +
С)'
Правую часть формулы ( 1 ) обычно записывают в виде
� f (t) dt,
(2)
где t = g (x) . Из формулы ( 1 ) следует, что есл и подынтегральное выр·ажение имеет вид f (g (х) g ' (х) dx = f (g (х» dg (х) (3) g ' (х) dx
МОЖliо свести к и нтегралу (2) с помощью замены пер� · менной , положив t = g (х) . П р и м е р 1 . Найти cos (5х + 3) dx. 6 Подынтегральное выражение пр нводится к виду (3) .
�
cos (5х +
3) dx = '5 cos (5х + 3) d (5х + 3) I
(здесь f (х) = cos (5х + 3) , g (х) = 5х + 3). Сделав замену переменной t = 5х +. 3 , получим А sin t sln (5х + 3) . 1 cos (5х + 3) dx = = '5 cos t dt
5
5
П р и м е р 2. Найти (::.. Так как
то , положив t = 2х
•
dx -- = t x - ct g х + sш� х .
g
� f (g (х»
+ с.
= -5- + С
� (2х + 1 )10 dx.
5
(2х + 1 )1° dx = -} (2x + 1 )10 d (2x + 1 ) ,
Таким образом , и нтеграл СВОДIIТСЯ к табличным интегра лам 7 и 8:
5 sш3-'
(1)
или приводится К. этому виду , то интеграл
= з а ГСS I П -I
" П р и м е р 9. Н аити
� f (g (х)) g' (х) dx = F (g (х» + С,
3
таБЛИЧ !l О МУ
�'" V
12
1
2 . И н тегрирован ие Мt:ТОДОМ замен ы переменной (метод п 6дстановки). в основе метода п одстановки (или метода замены перем�нной) вычислен ия неопределенных интегра лов лежит следующая формула , являющаяся ПРОСТЫ\1 следствием правила дифференцирования сложной функцин:
�
ху У 1 = 2 Y 1 5 n 1 х Уз 3 + У55 1 dx ,rг 1 - 9х2 .
. ) J!,(}--'r ) . I =3j (3 ) j
)
х+
-
dx
ПУ vf + С ==> v�
x� - ( x
l{
1
10
табличному и нтегралу
с . ..
S
(2х + l ) lO dx = -}
5
+ 1,
получим
(2х + 1 )l° d (2x + I ) = . �
S t1o dt =
=w+ c= t11'
(2х + 1 ) 1 1 22
+ с.
373
П р и м е р 3. Найти � хех2 м. 6. Положив t = х2, находим 5 хех2 dx = i 5 ех2 м2 = -} 5 et dt = -} et + С � + С. & х2 dx З ' П р и м е р 4. Найти 5 4+ 3х 6. Подынтегр ,:л ьное выражен ие приводится к . виду . 1 d (4 + 3х3) 9 ' 4 +3x� , t = 4 + 3х3 , получим 5Положив 2.dx x � S d (4+ 3x3) � s 4 + Зх� = 9 4 +3х3 = 9 �t -_ 1 1 = 9 1 п l t l + C = 9 1 n I 4 + 3xS I + С . & =;
ех&
'"
П р и м е р 5. Найти 5 � х. е 1/Х м. 6. Положим t = X-1 тогда Х = 71 и dx = - (fdt ' образом, 5 �� e1/X dx = 5 t2et ( - :: ) = - 5 et dt = '
.
I
Таким
= - еt + С = � еl/X + С . &
П р и м е р 6. Найти S V l l +dxJOx -х� , . 6. Так как 1 1 1 0х - х2 = 36 - (х - 5)2, то С помощью замены переменнои:;Г t = х - 5 интеграл сводится к таблич ному иптегралу! dx dx d (х -5) S' VlJ + IOx- х� S УЗ' 6 -(х-5)�. =t S Y6�-(x.-х5)�-5= = S V6� - t� а rсsш 6' + С = а rсsш -6- + С . & П р и м е р 7. Найти � х V 1 - х2 м. 6. Сделаем подстановку t = l -х2, тогда dt = - 2х м, dt т. е. х м = - т , Поэтому 5 х V 1 - х2 dx = S Vt ( - �t ) = --} 5 Vt dt = а!
=
874"
-� , �
t 3/ 2 + C = _
�
( 1 - X2_)3/2 + C. A
П р и м е р 8. Найти � siп х соs7 х dx. Положим t = cos х, тогда dt = - sin х dx. СледовательНО, соэ8х- + С. & 5 s inx cos7xdx = - 5 t7 dt = - stB + С = - s dx П р и м е р 9. Найти 5 slЛХ . 6. П е р в ы й с п о об. Преобразовав подынтегральное выражение dx sin x dx - d cos x SiJjX = sin2 х = 1 - соэ2 Х И положив t = cos х, приходим К табличному интегралу 1 О: = �2 l n l t' +- 11 1 + С = ..!.2 1п 1I +- сcoоэs хx + С. = S (�� 5� -1 sin х В т о р о й п о о б. Преобразуем подынтегральное вы ражение следующим образом: d .2. d .2. d .2. 2 2 ах ' 2 . -= = = SiJjX х х х х х s ш - со s tg g соэ� 6.
.
с
с
.
с
--
.
·2 2 х tg '2 '
t T
--
tg
'2
T
положим u = Тогда получим 5 s�x = S d: = l n l u l + c = ln l tg � ' + с . &: х П р м е р 1 0 . Наити S Varcsin2 l - x� dx. dx 6. Положим t = arcsin x, тогда dt = V х; . Таким образом, . S a s n2 х dx = S t2 dt = .Е... + С = (arosin х)3 + 9. & 3 3 V l - x� d П р и м е р 1 1 . Найти S 1 + V х · 6. Сделаем замену переменной , положив х = t2, t � О. Тогда, так как dx = 2 t dt, получим 1 S 1 +dxу х = 2 S .!.!!:!. . = 2 S + - 1 dt = 1 +' 1+' = 2 5 dt -2 5 l�t = 2t -2 111 (l + t ) + С = = 2 Vx - 2 1 п ( 1 + V'X) + С . А 375
И
u
rc
1-
i
t
П р и м е р 1 2 . Найти
S YeXdx- I '
= [2, t > О, тогда 2! dt еХ d.x = 2! dt , d.x= + t� l '
6 Положим еХ - 1
1•
.
dx = 2 S � = 2 arctg t + с = 1 t�+l
Следовательно,
SV
еХ _
.
= 2 arc tg VеХ - 1 + с . ... П р и м е р 1 3. Найти � V4-x2d.x. " 6 Положим x = 2 sin t, I t l � ; , тогда d.x = 2 cos t dt t = arcsin ; . Следовательно, V 4 - х2 = V 4-4 sin2 t = 2 Vl -siпЧ = 2 cos '.
I!
u = (а + ь) х во ВТОРОМ , найдем mt \ sin (a-b) xdx = S аs-Ь dt = J - Ь) х + С cos t + С1 . _ cos а(а-Ь . = _ а-Ь S sin (a + b) xdx = S ;�� du = o (a +b) x + с ' =-� а+ Ь + C2 = - c s а+Ь 2 ра ле и
(а+ЬЬ) Х) + с. (а -ЬЬ) х + cos а+ 5 sin ax cos bxdx = 2 ( cos а-
Следователь но, если а ± ь >=1= О, то � -
При
� V 4 - х2 dx = � 2 cos [ . 2 cos t dt = 4 � cos2 t dt = 2 � ( 1 + cos 2t) dt ...:.. 2t + sin 2! + с.
Так как
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t V 1 - sin2 t = = 2 . ; У 1 ( i ) 2 = � V4 - x2 , -
S V4- Х2 dx = 2 аГСSiП ; + ; V4 - х2 + С . А 1 4. Найти � sin ax cos bxdx, а ::;6 0, Ь ;z!= 0.
Пример 6 П р еобразовав трн гонометрич еСJ< l I Х пронзведеlIие функции в сумму согласно IIзвестной формуле
sin cos Ьх = s in (а -Ь) x + sin (а+ Ь)
S sin
ах
ах
cos bxd.x = + S sin
' (а - ь)х
Если а ± Ь ::;6 О , ТО, П ОЛожив
376
=О
и нтеграл вычисл яется. еще проще:
cos 2ах + С 5 S .l П ах соs ах dХ = 2 5 S l П 2�x dx = -� 1
.
� sin sin Ьх d.x, � cos ах cos Ьх dx, ах
=
получим
ь
Аналогично вы.числяются и нтегралы
Таким образом,
то
а ±
t
2
х
'
dx + � S � in (а + ь) х = (а -Ь) х в первом и ш егdx .
а =1- О,
'"
. •
Ь =i= О.
П р и м е р 1 5 . Найти и нтегралы от рациональ ных Функ Ц!I Й :
l 2) 5 х2 +7х2х + 1 d.x; 2 хЗ х 3 4) 5 x2 +x+_.I 2 dx. · 3 ) 5 x2_ 4x +5 dx;
6 В этом примере все подынтегральные функции имеют
П I IД
г,з,е Р" (х) - многочлен степени n . Способ и нтегрирова н и я таких дробей зависит от того, имеет ли корни знаменатель дроби и является ли рациональная дробь правильной или неправильной (n � (n < 1 ) Здесь подынтегральная функция явл яется правиль ной рациональной дробью, знаменатель имеет два корня : х -5. Представим подынтегральную функцию в виде .л сум мы:
2).
2)
=
2, =
3х+ 5
А
В
х-2 +х+5
377
и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю: А (х + 5) + 8 (х - 2) 3х + 5 х2 -т- 3х - l 0 х2 + 3х - 10 _
ИЗ
3х + 5 = А (х + 5) + В (х - 2).
Полагая в полученном тождестве х = 2, находим 7А = 1 1 ' 11 получаем - 7В = - 1 0 , B = � ' Полагая х = -5, А =, 7
7 .
функция представима
J 1 /7 + 1 0/7 3х + 5 = х2 + 3х - 10 х -2 х + 5 '
Поэтому
2) В этом случае знаменатель рациональной дроби имеет l{ратный корень х'= - 1 . Предста вим подынтегральную функцию в виде суммы: 7х - I А + 8 = (х + 1)� х+ l x� + 2x + 1
и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю: х2 + 2х + 1 7х - l
ИЗ
=
х2 + 2х + 1
А (х + 1) + 8
Полагая здесь , например , х = 2 , а затем х = О , получим 3 В = 4 и - 4А + В = -2, т. е. А = 2" Следовательно,
S
3 3х - 2 = x� � 4x + 5 dx '2
7 х= x� + 2x + l d
378
х- l
=
7 1п I
(x - 2)� + 1
=
= '2 n (х2 - 4х + 5) + 4 arctg (х - 2) + 1 •
С.
3х - l = А (х + 2 ) + В (х - 1 ) ;
при х = 1 получае� А = 3" ' при х = -2 получаем В = 3" Таким образом, 2
� + С. 1
7
3 2/3 .ХЗ + 1 + 7/ = х- l + х +2 х- l X� +,x - 2
Следовательно, х+ 1 1 + х
x S d
Многочлен х2 + х - 2 = (х - l ) (х + 2 ) имеет два кор н я : х = 1 и х = -2 . Поэтому далее поступаем так же, как и при решении п римера 1 ) ,
8
' (х + 1 ) 7 S �8 S d(x + l )� х+ l
(х2 - 4х + 5) + 4 x� - 4x + 5 3
3х - l .хЗ + l 1 + x� + x - 2 ' x� + x _ 2 = X -
x� + 2x + 1 = х + 1 - (х+ l)�'
S
d
А 3х - l В X� + х - 2 = х- I + х + 2 '
Полагая в нем х = - l , находим В = -8 ; полагая х = О , получаем А + В = - 1 , т. е. А = 7. Следовательно, Поэтому
S
4) Подынтегральная функция не я вляется правильной рациональной дробью, так как степень числителя равна 3. В таких случаях следует, разделив числитель на знаме натель, представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. В дан ном случае, после делен и я многочлена хз + 1 на многочлен х2 + х - 2 , получим
•
7x - 1 = А (х + 1 ) + В. 7
1 (x� - 4x + 5)� + В x� - 4x + 5 ' x� - 4x + 5
3х - 2 = А (2х - 4) + В.
полученного равенства следует тождество
7х - I
А
3х - 2 x� - 4x + 5
Для определени я коэффи циентов А и В получаем тождество
этого р авенства следует тождество
Следовательно, подынтегральная в виде
3) З наменатель рациональной функции не и'меет корней. Представим подынтегральную функцию в виде суммы.
.ХЗ+ I
'
7
S х� + х _ 2 dХ = 2 - Х + 3' l п l х - 1 1 + 3' ln I x + 2 1 + С . & x�
2
37!)
I
3*. И нтегрирование по частям. Согласно правилу диф �ренцирования п роизведени я имеем
общее правило для определения того, какой сомножитель в подынтегральном выражении следует обозначать через и н какой через dv. Ограничимся поэтому следующими ре [{омендациямн : 1 ) Применение формулы и нтегр ирования п о чаGТ Я М целесообразно в тех случаях , когда подынтегральное вы ражение удается представить в виде произведения двух множителей и и dv таким образом, чтобы и нтегрирова ние выражений dv и v du было более простой задачей , чем интегрирование исходного выражения и dv. 2) При вычислении и нтегралов вида
d (uv) = v du + u dv.
Поэтому
: Интегрируя
и dv = d ( ии) -и dи-.
обе части этого равенства , получим . u dv = d (uv) - и dи.
�
�
�
Используя свойство неопределен ных и нтегралов! получим формулу
� d (и и) = ии + С ,
� u dv = uv - � и dи.
� р (х) lп х dx, � Р (х) arcs i n х dx, � Р (х) arc tg х dx,
где р (х) - многочлен , за функцию и принимается СООТ B�TCTBeHHO 111 х , аrсsiп х, arctg х (см. п римеры 2 , 4 ) . 3 ) .пр и В �IЧ J:l слении и нтегралов вида ,
(1)
Эта формула называется формулой интегрирования п о /(асmям.
П р и м ё Р 1 . Найти !::. ПоЛ(�жим
q'огда
� Р (х) еа'Х dx, � Р (х) s i n ах dx, � Р (х) co_s ах di,
� хе" dx.
du ='dx,
V
и
�
Таким образом, используя формулу ( 1 ), будем иметь
� хе" dx = xe" � е" dx = �e" _е" +'с.
3 а м е ч а н и е. Если Прff решени и этого примера мы ' положили бы , u = е" , и, следоват�льно,
380
� еа;< cos Ьх dx,
. а2 + Ь 2 =1= О,
и = 1п х, dv = dx,
-} 5 х2е" dx,
е . и нтегрирова ние по частям привело б!>I к интегралу более сложному, чем исходный . ... При использовании формулы и нтегрирования по частям для Н,а х.ождения и нтегралов от произведения нельзя дать
т.
Ьх dx,
�
x� и = т,
то, применив формулу ( 1 ), получили бы -
еах' s i n
формула и нтегри роваН!1 Я 'по частям п римен·яется последо вательно два раза , причем оба раза за и выбирается либо показательная функци я , либо тригонометрическая. После дву кратного и нтегр и рования по частям п олучается ЛЙнеЙ. ное уравнение ОПlOсительно искомого и нтеграла (см. при мер 6). П р и м е р 2. НаЙТI;J lп х dx. 6. Положим
-
5 хе" dx = �� е"
=1= О ,
принимается м ногочлен Р (х) (см. примерь� . 1 , ' 3) . Если многочлен Р (х) выше первой степени , ' то ' опера цию интегри рован и я по частям следует п рименить нес колько раз (см. пример 5) . 4) При вычислени и и нтегралов вида
за
= е".
dи = e" dx,
а
тогда ., du = .!!!. х
v = х.
Отсюда , согласно формуле ( 1 ), I
5 lп х dx = х lп х 5 х d: = х lп, х -
-
5 dx
='
= х lп х -х + С .... 38 1
S
.Для вычислени я п оследнего .интеграла еще раз п рименим интегрирование по частям, положив dv = cos 2x dx. и = 2х - 5,
П р и м е р 3. Найти x cos x dx. /:). Положим и = х, dv =< cos x dx, · rrогда du = dx, v = sin x.
Т ак
S (2х - 5) соэ 2х dx =
Поэтому , и спользуя формулу ( 1 ) , имеем'
S x cos x dx = x sin x - S sin x dx = x sin x + cos x + C . •
S
Следовательно,
S x arc tg х dx = T x�
x� - 5x "'" - -2
S
х2 dx l + x�
=
S
I + X� - 1
/:).
X� dX arc t g x - '2 S l + x �' l
l + x;
dx l + x�
1
x (x - 5) sin 2x dx.
тогда du = (2х - 5) dx,
По формуле ( 1 ) получаем
S x (x - 5) Sin 2x dx = ::=
ЗВ2
.
�
2х
2
5
sin �x +
cos 2x 2
+ C!J
.
2х- 5
I + 1 0x - 2x�
4
\
1
.
2х- 5
cos 2x + 4- siп 2х + С . •
dv = sin 2x dx, u = еЗХ, os 2х du = 3еЗХ dx, v = c 2 _
По формуле ( 1 ) получаем
х
х2 + =2 - arct g x - '2 + C ,
S
Положим
тогда
Р (х) = -
= x - агсtg х + С.
Ит ак , 1 х" х x arctg x dx = -i агсtg х- '2 + т агсtg х + С = П р и м е р 5. Найти /:). Полож им
S
sin 2х - sin 2х dx =
П р и м е р 6. Найти Р (х) = S еЗХ sin 2х dx.
x�
и=т·
dx = S dx - S
5
соэ 2х + -4- SШ 2х + '4 соэ 2х + С = ::=
Вычислим отдельно последний интеграm S
2
x (x- 5) sin 2x dx =
I
dx 1 + x� '
2х
Таким образом,
П р и м е р 4. Найти S х arctg х dx. /:). Положим U = arctg х, dv = x dxi тогда dи =
sln 2х
как dи = 2dx, и = -2- I то
� е3Х соэ 2х � s еЗХ cos 2x dx. +
Для нахождения последнего и нтеграла применим еще раз формулу и нтегрирования по частям: dv = соэ 2х dx, u = е3Х, •
,
dv = sin 2х dx, cos 2х ' и = - -2
du = 3е3Х dx, и=
-} sin 2х.
S еЗХ соs 2х dx = � еЗХ siп 2х - { S esx sin 2x dx =
Тогда
1 3 ' 2х - '2 = '2 еЗх sш Р (х) .
Т аким образом, для Р (х) получаем уравнени е Р (х) = -
-} е3Х cos 2х + � ( -} еЗХ srn 2х - { Р (х) )
t
из к оторого находим х2 - 5х
- -2- о; 2х. 2) F {х} = 2 ух + � х3/2 f (х) 1х1 , х > о ; 8. 1 . Докаж ите, что функц ия
фу"кци и
F (х) = 2'1 t.g, х, 4) F (х) = агсооэ -х1 ,
f
f (х):
sln х х I I < 2; (х) = 1t
OOS3 Х
'
(х) = х rг x�1 - 1 .
.
'
Х
> 1.
f (х) = sln х 3х; f (х) = 2s1 х; f (х) = f (х) = ОО;?
1) F (х) = 2х F (х) = 3) F (х) =arclg x + arcctg х, 4) F (х) = sign х, 8.4. Квкая: из функций
F (х)
Fi = 2"1 sln2. х + 1 , F2 = 3 - 21 соэ2 Х' Fз = 4 - 41 является первообразной для функции f = sin х cos х?
соэ
псрво-
2х
график кота· (хо ; УУо):= f (х) первообрззнуlO, 1 2) У= 1) y =2X- 3, (3; 3); х - 2 , х 2, (4 ', о)·, 4) Y = � ' Х < о, (-3 ; 4) ; 3) у=х2 , (2 ; 3) ' 2
8.5. Найдите для: функции рой проходит через точку
>
,
х
+ s ln (l +x), ( 1 ; 1) ; 6) Y = l x \, (-2; 4). 2 .�_ r х 8.6. Пусть функция F (х) является первообразной функ� ии f (х) на всей числовой прямой. Верны ли следующие утверждения. если f (х) - периодическая функция, то F (х) - периодическа я ., еслн f (4 - не'Iетная функция, то F (х) - четная ; 2)3)1) если f (х) - четиая: функци я , то F (х) - нечетная? 8. . Найдите какую-либо первообраЗIlУЮ функции f (х): 7 1) f (х) = 1 +х4 ; 2) f (х) =х3 (х2 - 1); 3) f (х) = (x� - 1)�; 4) f (х) = 2х3 - 5х2 - 7х - 3; 4+х2 ' х > о; 6) f (х) = 4 + 2 + 1 х < о ; 5) f (х) = -Т х3 x� х ' 1 х х+ 1 8) f (х) = 2 -ух f (х) = у х 7 ) v-; : 5) У =
_
'
j{];)Наilдите неопределенные IIlIтегра.1Ы:
5 (ax2 + bx +c) dx; 4) � х (х+ 1 ) (х +2) dx ; х _ 3х·_ х2 + 1 dx' 6) r 8 J (х+.. 1 ) (х---'- l dx. 7) -i; 2 -3) d»', 8) � хЗ- 3хх22-+3Х � ...o.-'--"'Х х2, 8.9. Найдите неопределенные интеграЛj>l: x� + УХЗ+ 3 dx; 2) 1) х v- ' ух
� (ax + b) dx; {з � (7 _3х _ х3) dx; 1 )i �г,5) r ( Х\О - 1О х dx: J 1)
2)
_
хЗ
.
2 '
З8'1
f
.
8.3. Является ли на всей числовоii прямой ФУНКЦIIЯ: образной для функции 8 cos 2 соэ соэ 4х, 2s 1l1 Х , n х cos 2)
cos
г.
I
�
=
5�, ]с
11
Алгебра.
ч.
1
�
'
) "Г,/ ',.7 О , по лу чим нераве нство
т�
�
b
a
ь
S
.
f (x) dx � M.
а
Отсюда и следует форму ла ( 1 ). Дейст вител ьно, так ' ка к t (x) непрер ывна н а [ а ; Ь] , т о она принимает любое зна чение на отрез ке [т; М] и , в частн ости , зна чение , равное
�
b
S t (х) dx, т. е . существует так а я точка с 1 S t (х) . • t (с) =, ь
a
а
Ь
а
ь
� [а; Ь] , что
dx
а
для неотри uатель ной функци и теорема о средне м имеет простое геомет ри ческое истолк ование J площадь кри волинейной трапеции , соответ!J ствую щей функ ции: " равна площа ди п р ямоуг ольни ка , у котор ого основ ание равно ос нован ию трапеции , а высота , равна одному из значе ний фун к ц и и (рис. 1 34) . х h с О а З а м е ч а н и е. Ф ормул а ( 1 ) Рис. 1 34 справедлива не только для интеграл ов, у которы х нижни й предел и нтегр и рован и я меньш е верхн его, но и для интегра лов , у к оторы х нижн ий предел больше верх него для доказ ательства следует воспо льзов аться формулой . (5) п. 1 . 6 . Оп ределе нный и нтеграл с переме нным верхн им п ре делом. Пусть функц ия f (х) непре рывна на отрезке [а; Ь] . Тогда она интег рируема на любом отрезке [а; 'х] , ГДf.. х Е [а ; Ь] . Рассм отрим функц ию Ф (х) 400
х
= � f (t) dt, а
.
Х Е [а; Ь] .
(1 )
функци я называе1'СЯ lUlтеграло,М, с nepeMeliHbl),t верх· ни'м' пределом . Т е о р е м а. Если функция f (х) непрерывна па отрезке [а; Ь] , то функция · ( 1 ) имеет nроuзводную на этом от резке и )(. т е ( 1) dt = f (х) . . . (2 ) ' ф' (х) = t (х),
Эта
.
'
d� �. !
.
а
Эта теорема называетс я теоремой о дифференцировании интеграла по верхнеJИУ пределу. . Кратко ее можно 'с формулир овать с�едующи м образом. верх nроизводная интеграла от неnреРЬ/8нои функции по . нему пределу равна подынтеграль ной фующии . О Из определен и я функции Ф (х) и свойств и нтеграла (см. сеойство 5) следует, что Ф (х) - ф ( хо) =
х
ХО
х
а
хо
� f ( 1) dt - � f ( t) dt = � f и) dt
а
дл я любых х и хо из [а; Ь] . К последнему и нтегралу применим теорему о среднем (см. также замеч а н и е в кон це п . 5) . Тогда ф ( Х) --;, Ф (хо) = f
(с) (х -хо), с Е [х; хо ] . ес,:Ли х < Хо'
где с Е [хо; х] , если х. < х, и Та ким образом , дл я любого х =1= Ха наидется такое лежащее между .х и хо. что Ф (х) - ф х - хо
с,
(Ха) = f (с).
. По определ ению производной находим ф' (хо)
.
lim = Х4Хо
ф (х)
=� (хо)
х
О
= l i m f (с) = f (Хо) ' Х-4Хо
Последнее равенство получено и з предположени я . что функция f (х) непрерыв на на отрезке [а; Ь] и , следова тельно, непрерыв на в точке хо; Так !{ак хо - произвол ь� ная точка отрезка [а; Ь] , то Ф (х) = f (х) . что и требова лось доказать . • С л е Д с т в и е. Для каждой непрерывн ой на отрезке функции существует первообразная . О В силу доказанной теоремы, если' функция f (х) , х Е [а; Ь] , непрерыв на , то первообр азной для нее является 14 Алгебра,
ч.
I
40 1
функция
х
� f (х) dx, а
" 1
х Е [а ; Ь) . •
•
• .�
{'
3)
В оп р ос ы дл я ко н т р ол я
1 . Что назы в ается определенны м Иl,Jтег р алом от фу щ о (см. рис, 1 33). 6. Эта задача была решена в § 43 (пример 2) путем составления интегральных сумм с последующим предель ным переходом. Развитая после этого теория позволяет проще. �аданная фигура я в решить криволинейной эту задачу гораздо ляется трапецией, и, следовательно, ее площадь равна определенн.ому интегралу ,
так как
S х2 dx = �З + С, то s=
�
x2 dx =
; 1: 'а; (кв, ед.). &
405
2 52
П р и м е р 5. Вычислить интегралы:
1)
1 1 1
-� �'dx;
2)
Д d� 4) 5 4 6.
о
1)
,
5)
+3хЗ;
8ЫЙ и нтеграл
5
'112 /4 5
s in 2
dx
х С052
.
х'
V 4-x2 'dx;
о
2
В пр.имере
'11/3
1
п.
§
42
j ' dx; 6) S I11 X dx. о
3) .
хе х
ПОэтому
2
'
-1 е
, J'
2 +-х4 dx = 2 JI1 / х l + 4х4 12 = 2 1 11 2 + 4- 1 = 4J 5 + 2 111 2. 5х 4 1
2) Соответст вующий неопределенный интеграл был БЫ числен ранее (см. пример 1 0 п. 1 § 42):
dx х С052 х = tg Х - сt g х + С . формулу (2), получаем
s in 2 х С052
sin 2
х
-
1
g х
сi g х
2 /nn/l43 = v -3 � уз = уЗ'
Следовате льно,
5
о
-1 п.
406
5
' хеХ
хех '
4) Неопределенный 2 § 42:
S
x2 dx
4 + 3 хЗ
dx = -} ex' + С.
dx = J.2 ех "
о
-1
---
вычисляем определенный и нтеграл
Заметим, что с геометрической ТОЧКII зрени я получен ный результат очевиде н , так как данный и нтеграл равен площади четверти к руга радиуса 2. 6) НеопределенН,ый и нтеграл был уже найден методом и нтегр ирован и я по частям (см . п ри мер 2 п . 3. § , 42):
� I11 Х dx = Х In x-x + С. � ln x dx = x In x -xle = е I n e - e + 1 = 1 . " е
1
1
п.
2
П р и 'М е р 6. Вычислить
'115/6 о
1
::0-
х'
6. Найдем неоп ределенный интеграл
5 d 5 1 + :05 х = 5 2 С05dx2 -х = d tg � = tg ; + С. 2
=J2 ' -
8
ИlIlJ'еграл был н а йден I
(2)
По формуле Ньютона -Лейбница вычисляем определен ный и нтеграл
1
З) С помощью замены переменн ой в п р и мере 3 . § 42 был найден !1 нтеграл
s
О
1
_
n 1 4 + 3х /110 = 9t I п 4, 7 х
2
2
n/3(' dx i;�
t
=9 I
5 v 4 - x2 dx = 2 arcsin i + ; V 4 _x2 1 � = 2 arcsin 1 = п.
При меня я формулу Ньютона - Л ейбница , получаем
Применя я
dx
.,
--x 5 V 4 - х2 м = 2 a rcsin T + T v 4 - xt + С,
По формуле
x
5
о
х'
4 + 3xs
1.1
5) Неопределенный и нтеграл был найден в п римере 1 3 с помощью замены переменной:
был найден неопределе н-
+.-1.'4 dx = 2 111 / x l + 4х4 + С ' 5 2-
t
2 § 42
п.
1
5·
.
= 9 1 11 1 4 + ЗхЗ / + о.
'115'12 dx 'Л/2 l + cos x = g 2 0 = tg 4 = 1 . ..
'
Примен я я формулу Ньютона - Л ейбница, получаем в
п римере
4
о
t
�
П р и м е р 7 . Вычислить
�
� (V2x + V'X) d.x. 8
о
407
)1
6 ИСIЮльзуя свойства 3 и 2 определенного и нтеграла формулу Н ьютона - Л ейбн и ца , находим
� (V2x + VX) dx = V� � X1/2 dx + � х 1/З dх = 8
о
8
8
О
О .г -
/8 /8 3 /84 = = V2 . хЗ/2 + � Х 4/З = � V 8З + � V ,2
_
Пр
н
3
8.
мер
4
О
f
Вычислить
(х) =
{
3
О
4
=
6з4 + 12 =�.Q. А
� t (х) dx, где если х Е [О; 1], еСЛJl х Е О ; 2].
6. Так K a l{ и нтеграл от О до 2 равен сумме интегря лов от О до 1 н от ДО 2 (согласно свойству 5 OГlPCд�ленных и нтегралов) , то .
2
1
� f (х) dx = � е
О
О
Х
2 1
� еХ
+ х2 21 О
11
1
=
= е- + 4 """"': 1 = е + i А
1
П р и м е р 9. Доказать неравенства 1
300 < 6 На отрезке [О ;
5
1 00 О
100]
е - Х dx
1
х + 1 00 < 1 00 '
Поэтому для подынтегральной функции и меем oцeНl 300 ' пол у чаем
1 300
(�) , а а " q> (а), и поэтому правые части 13 формулах ( 2 ) и (3) равны. Следовате,[lЬНО, равны . и леI3bte части , Т. е. справедли ва формула ( 1 ). . Формулу ( 1 ) можно записать в следующем виде: 11
� { (x) dx = � { (q> ( t » ь
а
а
dq> и)·
(4)
Таким образом, п р и замене переменной интегрирова н и я х = q> (t) следует под знаком и нт�грала всюду заме нить х на q> (t) и соответствующим образом изменить пре делы и нтегрирования . При вычислении определенны х интегралов формулы ( 1 ) и (4) пр именяют не только слева направо, но и справа налево (см. п р имер 2). ПР
11
М е р 1 . Вычислить
3
� х V 1 + х dx.
6. ПримеНIIМ формулу (4), положив Х = 1 2 _ 1 , t > '0. На х одим dx = 2 1 dt, V I + Х = t , новые пределы интегри о
рования а = 1 , � = 2. Следовательно, 3 2 Х V 1 + Х dx = 2 1 2 и 2 - 1 ) dt =
�
о
=2
1
2
36 = 2 ( 32 - 1 _ 8 - 1 ) 5 3 11 5 . А 1
1
2
1
=
П р и м е р 2. Вычислить 1 e5/n t cos t dt. .
о
6. За п и шем подынтегральное выражеНIIе �n f c os t dl = es1n I d s i n t.
n
� es1n
о
f
cos t d t =
1
� еХ dx = I�
о
.
П р и м е р 3. Пусть функция резке [ - 1; 1] . доказать, что 410
еХ
f ( х)
=
Dиде
е- 1 . А
,1
2) если { (х) - четная функци я , то
� f (х) dx = 2 � f (х) dx. 1
1
(6)
О
_/
6. Представим интеграл в виде суммы и нтеграЛОВI
� f (х) dx 1
1
-
=
о
1
� { (х) dx + � { (х) dx. О
-1
в и нтеграле по отрезJ- о· t
I
�
J
.
параболой !I = 10.6. Н а ЙДlIте площадь cj'игу р ы, огранич енной и ос ями координ а т, =x� - 2x + 3, касател ьноi'1 к неi'l в точке (3; 6) ой у 10.7. Н айдите площадь фигуры, ог ра н иченной ь парабол рдина т . о ю ос и 5) (3; точке в ней к ноi'l касатель x� - 2x + 2, и ям 10.8. Найдите площадь фнгуры, огранич енной п р ой х = 1 , г ; 1 ,5). перболой у = 1 + ..!.. и касатеЛ ЬНОI". к ней в точке (2 =
=
х
.
. § 48. П римен ение определенного интег рала при решен ии фи-зич еских задач 1 . Задач а о вычислении пути . Пусть матер иальн ая стыо точка движе тс я П Р Я МОЛlI нейно с некоторой скоро т ЭТt! пройде й которы , v = v (t). Требуется найти путь Ь. = / до а = t от ни време ток точка За п р омежу I
С1
Q
Ct о
Ь
J
Рис.
.
1) у = - х2, у = х- - 2х - 4 ' 2) 2y = x� + x - 6, 2у = 6 + Зх - х2•' - 3) У = GХ, х2 = Ьу, G > о, Ь > О.
9) У = sin2 Х, У = х siл х, х Е [ О ; п] ; 1 0) у = а гсsiп х, y = arccos х, у = О.
о
] ) у = х2 - 5х + 6, у = О ; 2) у = cos х, у = о, х = о, х = 2п.
10.4.
т1 ;
i
'
8) У = � In х, у = �os Х, х Е о ;
"
о
I
t·L
146
В простей шем случае, если скорость п остоянна, т. е. v (t) = Vo = const, то путь, пр ойденный точкой , равен (по опр.еделению, известному из курса физики) прои зведению скорости на время движени я ; s
= vo (b -a).
В общем случае , ! Ь), вы. сота h. Предполагается, что поверхность воды достигает верхнего края плотины. Подсчитаli те давление для случая а = 400 м, Ь = 200 м, h = 20 м. 10. 1 9 . Определите силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса 'R = 6 м, диаметр которого нахо дится на поверхности воды. ' О . 2(). Определите давление ноды Ila вертикальный прямоугольны й шлюз С основанием 1 0 М и высотой 6 м. Определите также дав леllие на нижнюю половину шлюза. 10.21 . Вычислите силу давлен ня воды lIa треугольную пластину с OC HOBa l l lieM а и высотой h, вертикально в нее погруженную (осно ваllие совпадает с уровнем воды). 1 0.22. Выч ислите снлу давления воды ua вертикальную заслонку, ЗЗl - 2 ; 6) - t < х < :.
3.34. 1) х < -
3.35. 1) х < -3
5) 8)
3.36. 1)
4)
1
28; n > 2998. 4.32. n > 26; ,1 > 251 . 4.33. Последовательностн 1 ) ; 3); 6) сходящиес я ; 2) ; 4) ; 5) расходящиес я . 1 2 1 1 3 ; 2) О; 3) - 2 ; 4) - Т , 5) - 2'j ; 6) 3 ; 7) 2; 8) 2 ; 4 . 34 . 1 ) 2 4 9) 3 '
4.24.
80 40 и х> 3; 3
1 х > 2 ; 2) х Е R ; 3) 3 4VБ7 ;
48
41; 2) 4; 3) 48; 4) 25 ; 5) -6; 6) 4§ ' 1
8)
.
� 3 ; 3) 9)
;
6)
8)
V 8- 2 < 1 ; 10)
9)
�
уЗ .
>
Vз ;
3; 2) х > - 1 ; 3) х > и х > 1 ; 6) х < log2 3; 7) х
З; 5) х < О. и х :> 2; 8) х Е R. 1) ( 00 ; 2]; 2) [ 1 ,5; + (0 ) ; 3) ( 00 ; -2 ] ; 4) (2 ; 3) ; 5) (- 1 ; 1 ) ; . 6) (О; 2).
5 .35. 1)
-
х 1 ; 9) 1 1 1 1 1 1) 0 < х < 1 0) '9 < х 1 ; и х > 3' 15 1 ) 1 ,39; 1 , 1 3 ; 1 ,75; 2 , 79 ; 4,27; 2,55; 0 ,47; 0,75; 2) 22,5°; 1 08°; 2290; 89,90; 36,7°; 208°.
7)
5.37.
+ < х < 6;
"2
9) Jog 2 (а ± 1) 3; 2)
7) 7 ; 8) 1 3 ;
5.34.
Е
1) 9; 2) 1 ; - '3 ; 3) 1 ; 4)
5.33. 1)
1 6; 8) 9" ; 9) 25;
; 2 � x � 3 ; 3) -
-
5.32. 1) 1 ;
'
8 3 5 . 1 4 . 1 ) О; 2) 3 ; 3) 2; 4) 1 ; 5) 2; 6) 2 '
5. 15.
2)
3 ; 7) 9" ; 8) 4 ; ?) 1 08;
+ ь+ ( 3а+ + ь+ ) ; 3) x � С �-z+) ;
Область определення х(Е R, х :;!: О; множество значеннА - R; область определения х R. х :;!: О; множество значениii - R ; 3) область определеНRя - R+ ; м ножество значениА - (О; + 00 ) : 4 ) область определеНR я - R+ ; МНОЖество значею!й - [О; + 00 ) ; 5) область определения (- 00 ; О) ; м н ожество значений - R; 6) область определения - ( оо ; О) ; множество знаЧе ни й - R + , Нет, ' 3 1) О ; 2) О; 3) О; 4) 3; 5) 3 ; 6) 2 ; 7) 2.5j 8) "4 ; 9) О ; -2; 1 0)
5.23, 1)
3)
где
k E Z;
2)
nk,
k E Z;
� -1.
1) i + 2nk , k E Z j 2) 2nk, k'E Z;
'
-
445
:rt 2:rt 4) 3+3 k, kEZ. 5.42. 1 ) -0,6018; 2) -0,8660; 3) 1 , 1578; 4) 0,6494; 5) 0,5878; 6) -0,8090. 4 3' 5. 4 3. соз а = -О, 6 ; tg а = - "3 ; c!g а = - 4 :rt З) 2" k, k E Z ;
,4
-
22
З) '4 ( 1 :rt
, У _ . 5 5,48. - 122 '
5 47.
с
Ь
Ь
�
соз 3а; 36 5.54. 5' . 856 5.55 . 65' 63 и 33 5.56. 65 65 '
-
4)
да ;
з)
5) нет.
Б) 7)
2'-
У2 . 2 ' 2 ; 2) 1)
5.53. 1)
да;
1 ; 3) slПI а ; 4) 1 , 2) l' 3) .!. ' · 4) уз . 5) У 2 + У б . 6) У , 2 ' 2 ' 4 '
5.50. 1) 2; 2) 5. 5 1 . 1 )
З)
да ;
2:rt 5'" k,
О; 3) 1 2) 2" ;
1; 4) � 3)
;
5) 1 ; 6) О.
1 ; 4) .rГ3 соз а;
5)
6. 71.
24
У
6.72.
б
tg а ctg �; 6) cos 2� cos 3�.
kE
:rt
5. 59.
0
5.6 1 . 1 . 1 5.62. Т .
1
5. ах; 4) 2x cos (x - I ) - x2 sin (x - I ); 5) 2 cos (З+ 2х) - 2 SI П (3 + 2х) ; 6) 24 sin2 4х cos 4х; 7) 1 + tg2 3х; 8) 6 (tg2 3х- t g2 2х) ; 9) 24 tg2 4х ( 1 + t g2 4х); 10) -24 ctg2 2х ( 1 + ctg2 2х). 7 а mп 1) ,Г ; 2) ,г . ; 3) n 2x2 1 49x� l a2x2 V l r r . 2х . ,г r I - x" "':"' 1 = =� 2х У х - I 6х2 1 1 _ х6 1 1 � x12 х2 2х aгcsin х+ , Г -' r l - x2 4 а mп 2) 1) 3) Y I - 1 6x2 ' V I - a2x� Y I - n2 x2 . 2х
-
х2 - , r 1 - х2
6.З4. 2х aгccos х - , г
6.З5. О.
· 6.З7. 1 ) 6.З9.
-
_
� 9 ; 2' 1 + х2
-�
х2
1
:J
l +m2X2 .' т
3)
т _ _о
1 + n2x�
' x :j:: О.
6.40. 2х aгotg х2+
�X4'
1 1 6.4 1 . --==== х V 4х2 - 1 1 6.42. ,г r а2 _ х2 2 n 6 . 4З . 1 ) - + 2 ; 2) 1 + n2x� ; 3) 1 4х •
1
6.44. 1 +
2 '
х"
тп 1 + n2x� '
x :j:: О. .
453
.
6 .4 5
.
7 . 10. 54 (м/с2) . 7. 13. 2 1 0,25 (Дж). 7 . 14. 430 m .
4 arotg 2'х
1 + 4x� '
6.46. 2х arcctg х - + "'� . 1
2 (х2 _ J )
х-
6.47. x4 + 6x� + 1 ' 6.48. О. 6.49. 1 ) 5х4 - 24хЗ - 24х2 ; 2)
�( 56X7 + 2x ( у xl_ 1 ) 2
�
ь 7. 16. (J) = -2cl + b ; � = -2c; ( = ' 2с 7. 17. 23 А . 7. 18. 1 ) 1 ,00201 Дж/(кг · ОС); 2) 1 ,0 1 3 Дж/(кг . ОС). 7 . 1 9. v = - kАе - "t . 7. 20. Возрастает н а R; 2 ) убывает на R ; 3 ) убывает
Y 2) ( yx - l ) � -
,1г_ (7х8 + У2 x� + УБ» 2 r х
3) (3 ;- x - l Ox9) ( Ух+3х 7 - 8) + (3Х - х2 _ ХlО) (
4)
(
JOxD + 33x10 +
6.50. J )
( ++
3
Vt + 1 2[2
�T ) ��I1 V(2))
2
x
+
t+
7 . 21 . 1 )
yJ v = 24 ,
Е N.
. • .
7
.
13
7. 1 . У = -4х - l , у = - х + - '' у - о ·, - l, х4 4 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9 . 454
у = 4х - l , У = 3х +
I
1 4
13
у = - - х +'1
1 , у= - 3 х+ 1 ; I
.
45°; 0°; 45°, J ; О. ( l ; О) . 45°. 2 ; -2; 4 ; -4. 45° ; 0°; 1 35°. 4 (м/с), а ( 1 ) = 2 (м /с2) ; v {l =
.
7
У=3
(3) = 8 (м/с) ,
.. .
а
(3) = 2 (. м/с2).
; ; + (0 ) ;
6)
возра.
(�
(1; )
; + 00 )
; 1 1)
убывает на ( - 00 ;
(/\ + 1);
�)
- 00 ;
-1)
и
Н1
1 2) возрастает на (- 00 ; 1 )
)
3 ' убывает на \ "2 ; + 00 . 2
(
.
�
7.22. 7. 23.
точка минимума, fm in = f (- I ) = -4; 2) убывает Ila возраста ет и а =I
' х = 1 ; У = 1 , х = 3.
-
1 1) ми нимум при х = - ; 1 2) мини мум при х= 1. е 1) Выпукла вверх на (- 00 ; 2) . выпукла вниз на (2 ; + (0 ) ; 2) выпукла ввиз на R ; 3 ) выпукла ВНJlз на (- 00 ; - 1 ) и ( 1 ; + 00) , выпукла вверх н а (- 1 ; + 1 ) ; 4) ВЫDукла вниз на R. 1) Убывает на (- 00 ; - 1 ) , возрастает на (- 1 ; + (0 ) . x = - -
(�)
=-
({ ;
3; ;
+ 00
3)
)
, х=
� - точ ка
возрастает
на
(- 00; �), I
м ивн му ма ,
(- 00 ;
'mln =
2), убывает
на
(2 ; -"+ (0) , х = 2 - точ к а максимума , f mзх = f (2) = 7 ; 4) воз растает (2 ; + 00 , х = 2 - точка tЭКСlfмума, Н3 (- 00 ; 2), убывает lIа
f шах = f (2) = О;
(�; + 00 )
6) tI
)
(
экстремумов; 7) нет экстремумов; 8) минимум при х = 0; '9) мини мум при х = О; MaKC MYM при х = 2 ; 1 0) МИ НRМУМ при х = О;
=ex;
6.51 . 70. 6 .54. 1) 3,003; 2) 1 , 4435; 3) 2.89; 4) 3 , 1 1 ; 5) 1 ,442 ; 6) 3,08 . 6.55. J ) 4,0208; 2) J ,995 ; 3) 5 ,00 1 77; 4) 0,484 ; 5) 0,05 ; 6) -0,0 1 75 ; 7) 0,965 ; 8) 1 ,037; 9) -0 , 03 . Г Л А В А
и возрастает на
Максимум при х = 2; 2) минимум при х = 3 ; 3) МНШfМУМ при х = - У2 и х = У2, максимум при х = О ; 4) мзксимум при . 1 Х = 4" ; 5) максимум при х = - 4 , МИ Н И МУМ при х = 4 ; 6) нет
yV = yVI = . . . = o;
,
tl
-{)
( 1 ; + (0), убывает на (- 1 ; 1 ) ; 1 0) возрастает на
и на
y ' ' ' = 6�x2 + eX, yJ V = 1 20x + ex , yV= J 20 + ex, УУ! = yV I l =
sin ( зх + n;) ,
00 ;
и убывает на
З е4 ( ,
' 3) c o s f! Е N; 4) у = е Х + 2х, у" = еХ + 2, y ' ' ' = yl V = . . . = еХ ; 5) у' = Бr + ех у" = 20хЗ + ех , 6) 2nе2Х + 3"
-
( 1 ; + (0), возрастает на
' у = 4 (х + 3)З,
у " ' = 24 (х + 3) ,
(х+ n;) ,
(
стает на (- 00 ; + (0 ; 7) убывает на (- 00 ; -1) и возрастает на (- 1 ; + (0 ) ; 8) убывает на (- 00 ; - 1 ) и на (о; 1 ) , во зрастает на (- J ; О) и на ( 1 ; + (0 ) ; 9) возр,гстает на ( - 00 ; - 1) и на
eI2 - 1 ;
(sin х + n2л ) , n Е N; 2)
у" = 1 2 (х + 3)2 ,
на
;
� 2 IХ6) ;
� Х- б/7 ) 111 x + x9 + 3xIO + X- �/7;
5) ( 2[� + 2! у7+ 1 +
6)
2
на (- 00; о) U U (O ; + (0 ) ; 4) возрастает на ( - 00 ; 5) U (5 ; + (0 ) ; 5) убывает
5)
, х=
{-
возрастает
;13
)
( 00; {- ) , ({-) � + (0) , ( -i) , -
- то ч ка ма ксимума , fшах = f
возрастает Аа (- 00 ; 5), убывает ва (5;
максимума, fшах = f (5) = 0 ; 7) убывает на растает на
(
-
убывает на
� ; + 00 )
I
Х=-
=_
;
х = 5 - то,/ка
- 00 ;
воз-
� - то чка минн мума, fm\n = 455
, =f
( ;) -=--
��
� ; ' 8)
убываеТ ' на (- СО ; 1),
возрастает
,
растает, на каж)юм
на
х = l -точка минимума, !min = f ( J ) � 2. 7.24. 1 ) х = 2; у = О; 2) x = l ; 3) у = - х при х -+ - оо и у = х при х -+ + оо ; 4) х = О и у = х + 6; 5) х = - I и у = х - 3; 6) х = 1 , х = - l и у = О, f , 7.25. 1 ) Область определени я : R; функция не является ни четной, и н нечетной ; функция непериодическая ; график пересекает ось абсцисс в точках (- 1 ; О), ( 1 ; О), (3; О) и ось орди нат в точке (О; 3) ; f (х) > О на (- 1 ; 1) и (3; + 00 ) f (х) < О на ( 00 ; - 1 ) 2 УЗ и ( 1 ; 3) ; аси мптот нет; возрастает на ( - 00 ; 1 - -- ) з 2 УЗ 2 УЗ 2 УЗ 1 + -- ; + 00 ) , убывает на 1 - -- ; 1 + -- ) ; и з з з 2 УЗ IIмеет м.зксимум в точке х = 1 - -- , !тах � 3,06, и минимум з 2 УЗ в точке х = 1 + -- ' fmin � - 3,06; выпукла вверх на (- 00 ; 1 ) 3 и вниз н а ( 1 ; + 00 ) ; х = I - точка перегиба ; @ область опреде лен и я : R; функция четная ; фу нкция непериодичес к а я ; графи к пе ресекает ось абсцисс в точ к а х (-3; О), (- 1 ; О) ; ( 1 ; О), (3; О) и ось ординат в точке (О; 9) ; ' (х) > О на (- 00 ; -3), (- 1 ; 1 ) и ·(3; + 00 ), f (х) < О на (-3; - 1 ) и ( 1 ; 3) ; асимптот нет; воз растает на (- У5; 0) и ( У5; + оо ), убывает на (- оо ; - У'Б ) и (О; У 5 ) ; имеет максимум в точке х = О; 'тах = 9', и ми нимум в точ ках х = ± У 'Б, fmil1 = - 1 6; выпукла вверх "а
(1;
+ 00),
,
(
,
,
( у; ; y � ) у� ( v � 00 ) и
-
; +
вниз
( - ; ; хо ) и (2;
( -� ) ; �) , о;
(-1;
V� -�) U ( -� ; 2 ) U
и вниз на (- I / УЗ ; I / УЗ); х = ±
( - �) ; ( (- � )
4) область определени я :
- 00 ;
- точки
функци я не является ни четной, ШI нечетной ; функция неперио дическая; график пересекает ось абсцисс в точке ( 1 ; О) и ось орди нат в точке
f (х) < О на
456.
1 x�- 2
о;
; 1
н
f (х) > О на
(2;
(
- 00 ;
--} )
и ( 1 ; 2),
+ (0 ) ; верти кальные асимптоты:
и х = 2; прямая y = O - аСlIмптота при х -+ ± 00 ; воз'
О,8З - точка
переги6а ;
вверх
на
5) область
f (х) > О на (- 00 ; - 1) и (2; + 00 ) , f (х)
( - s � - �+Ci 2 . 400 2. сos8 х -сos х + з- + с: . 1 0) s ln х - -з- +сi
1 5) 4'
1
Jt - -;
- � (2 - 5х)З/2 + С ;
2
4
6)
o 7;е c + С:
1 5) _есо ! х + С:
1
1
_
С;
IЗ) In l s!n x l + C;
g arctg х8 + С ;
7)
sш х
+
1 1) -CO�6 Х + С ;
8. 18.
6) - 90 (З + 5х3)U + С ;
X � 2
. 1 х 3 5) 2 cos 3 - '2 сos х + Сf
{Х + l ) - ll 11
C;
)
SШ
�
1
arcsttJ
8.16. 1) 9 -§-
1
1
I
1
5)
.
(�
х2 - 4Х
) Jn
х-
•
х
4) 5' sш (5х - 7) + 2'51 соз (5х- 7) + С, � x� + 4X +CI
6) х агсsln х+ У l - х! + С; 7) х агссоs х - У I _ х! + С� 8) x arotg Х - 2 I +х!) + С. I
n
(1
8. 20*. 1) - (х! + 2х + 2) е - х +С; 2) (2 - х�) соs х + 2х sш х+С; З) х О п! х -'2 l п х + 2) + С; 4) х агссоз! х - 2 Y I - х� аГСС ОЗ Х - 2х + С ; 1 s In 2х - 5 соз 2х еЗ Х С (зln х + соз х) е Х + С: 5) + . 2 ; lЗ V 2
6)
461
- x�t 1 е-Х' +С; 2) 2 ( Ух - 1 ) еУХ+ С ; 3) 2 (2-х) cos Ух +4 Ух sln Ух +С; 1 x2 aгctg Х�- 1 1п ( 1 +х4) +С; 4) (ln [п х- 1) Iп х+С; 5) 2" 4 У { ( х� агс.соз � x� - 1 )+с. 6) •
-
ГЛАВА 9 11. 1. (e - I) кв. ед. (I - cos 1 ) кв. ед. 1) Второй; 2) второй; 3) второй; 4) nepBbIii 11.4. 1) S x� dx; 2) S Sl� х dx + 2. 1) О; 2) sln b�; 3) -вln a�, 11.6. 1) 4; 2) 310 ; 3) "821 ; 4) ln 2 ; 5) т ; 6) 2"1 [п 2"3 ; ' 4 7) arotg 3 aгatg 2 ; 8) [п '3 ' 28 ; 3) 32 ; 4) 1 ; 5) 1 2 ; 6) 4 - 2 1п 3; 14 0.7. 1) з , 2) з 2 + У5 у'-- 8) 7) [п t+ 2 11.8. 1) 2'1 ; 2) О; 3) 4) 31 ' 5) О: 6) О; 7) '23 ; 8) [п 34 . 1 е 1 )� : 3) [п (1 + е); 4) aгctg е- � 2) ( 1) e�; '.9. 5 '.10. 1) 2"1 ; 2) Iп 2; 3) Т • 4) sln 1 . 1 2) 1 1 3) n- 2! 4) 2; 5) [п 2 - 1 ; 6} 1 :, 1} Т 8) e1ttl . 7) � если р ес и 2) О, если р уЕ: 0. 1 2. 1) О, если р 11.2. 11.3.
lI.a.
Х
Х
- 1
1
11:
-
i
1
8. Н*,
'. 14.
'.16.
..Ш
п:
- 11
p - q;
3) О.
200 У2. 1)
2
кв.
е•. ;
.) (1-�)
•
•
11:
I
0,694. 11. 18. 0,995:
9. 17.
11:
6 -
:;i: q;
32 2) '3 КВ.
I
11:
ед. ;
=
1
к в.
ед. ;
6) In 2
q;
3) "41
q;
к в.
кв. ед.
ед. ;
4) 1
кв.
n,
1 1. 4. 1) 0,09; 2) 0,67. 9.21 . 0.746 . 9.22. 184 . .23. 1) 3,2413; 2) 1,1 А В А 10 16 кв. ед. ., 2 ед. ; 3) 8 кв. ед.; ) 4) 3 кв. 36 2) ; ед. кв. 10.1 . 1) 3 у _ - 1 .кв. ед. � + ( 11: 6) ; 12 2 . . 5) (22 1п 2-6) кв. ед. 10.2 . 1) i кв. ед. ; 2) 4 кв. ед. [25 9 12 кв. ед. ! 10.3. 1) 6'I кв. е . , 2) -2 кв. ед. ', 3) 8 . 2 4) "29 кв. е . , 5) 3-3 кв. ед ' 6) -3 кв. ед. 125 10.4 . 1) 9 кв. ед. ; 2) 6" кв . ед ' 3) --3 кв. ед. ("::" _ ..!.. ) кв. ед. : 3 10.5. 1) 76'7 кв. ед. ', 2) "4 кв. ед. : 3) 36 кв. ед. .. 4) 2 3 5) '316 кв. ед" ' 6) � кв. ед. ; 7) (1 - � ) кв. ед.; ед. 8) ( у 2 - 1 ) кв. ед. ; 9) � кв. ед.; 10) ( у2 - l) кв. 10.7. 9 кв. ед. 10.6. '29 кв. ед. 265 3 . 10.9 ед. кв. �) 2 (IП . 10.8 10. 11. 32 20. 10.10. 5·42с. 10.1 3. ,375 10. 12. 19 10. 15. 122 10. H. 10. 17. 2,45 10. 16. (8R + l�a )
9. 1 9. 9.20.
8 . 2 1 *. 1)
л
л
Д •
.!
Д •
. •
аЬ
м.
м.
м.
а=
и.
м.
\0. 18. a�2 Ь /12, 523 МН .
10. 20. 1,8 1724,8 10.224.2. 0,16 10.
]\\Н ,
ед. ;
�.
10
1.
)
Н.
Дж.:.,...
1,3)
,\\Н .
eoi( � --}) .
ah2
м.
МН .
10. 19. 1 .4 1'1Н .
10. 2 1 . т ·
10.23. ДЖ. -1..Q.,2, 5. о.54'д"ж. З�
463
-
__
--- -- �
--�--
------�r---�--------------�----------------------�--
--
--
,
Мечислав И гнатьевич Каченовский, Юрий М и ха йлович Коляги н , Александр Дмитриевич Кутасов. Геннадий Лаврович Л ука н к н н , Вачаган Арташесович Оганесян, Геннаднй Н и колаевич Яковлев АЛГЕБРА
И
НАЧАЛА АНАЛИЗА
Ч а сть Редактор Т. А. П ан ькова Художест.венныЙ редактор Т. Н. Кольченко ТеХflИческий редактор А. П . Колесникова Корректоры Г. В. Подвольская, Н . Б. р у м я н цева И В N9 82325
Сдано в набор 23. 1 2.86. Подписано в печать 05.06.87. Форма'!' 84х 108'/". Бумага тип. N9 3 . Литературная гарнитура. Печать высо Kail. Усл. печ. л. 24.36. Усл. Кр. -отт: 24.57: уч:-изд: Л : 25,56: Тираж 370 000 экз. (l-й завод 1 - 150 000 ЭКЗ.). З ак з М 784 1 . Цена 95 коп.'
а
Ордена Трудового Красного Знамени издательство сНаука. Главная редакция физико-математической литературы 1 1 707 1 , Моснва. В-7. 1 . Ленинский проспеftт, 15
Октябрьской Революции и о р Набрано и сматрицировано в орден ден а Трудового Красного Знамени МПО сПервой Образцоаой типо графии� имени А . А. Жданова Союзполиграфпрома при Государст венном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и ftИИЖ· НОЙ торговли. 1 1 3054, Москве, М - 5 4 , Валовал, 28 ОтпечатаНQ в тиrIOгр фин издательства спеит Р&В6л юции , 39.
сКоммун а . , Г, воронеж, про