Лабораторный практикум по курсу ''Численные методы анализа''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

М.А.Тынкевич

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по курсу

“ЧИСЛЕННЫЕ

МЕТОДЫ АНАЛИЗА”

для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике» Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 2 от 27. 09 . 2001 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 1 от 27. 09 . 2001

Кемерово 2002

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

1

Лабораторная работа 1 Действия над приближенными величинами Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение. Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами. Пример. 1. F=(a2+b3)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001 Абсолютные погрешности исходных данных: ∆a=0.02 , ∆b=0.01, ∆t=0.0001. Относительные погрешности исходных данных: δa=0.02 / 28.3=0.00071, δb=0.01 / 7.45= 0.00135, δt=0.0001/ 0.7854=0.00013. Находим оценки с учетом, что δ(xy)~δ(x/y)0. Естественно, что предложение и спрос зависят от цены, например, s(z)=az+s0, d(z)= d0 - cz. Соответственно возникает система дифференциальных уравнений y’ = k⋅(s(z)-d(z)) z’ = - m⋅ (y-y0) , относящаяся к т.н. автономным (или динамическим), ибо независимая переменная в систему явно не входит; линия y=y(t), z=z(t) определяет фазовую кривую (траекторию) системы в параметрическом задании (гладкую кривую без самопересечений, замкнутую кривую или точку), которая позволяет судить об устойчивости системы. Пример. Вычисление правых частей оформляем функцией: function f=odu2(t,X) y=X(1); z=X(2); a=20; c=10; s0=10; d0=50; k=0.3; s=a*z+s0; d= d0-c*z; y0=19; f(1)=k*(s-d) ; f(2)=-m*(y-y0); f=f';

Если выполнить решение при y0= 19, z0=2

» [T,Y]=ode45('odu2', [0:0.3:9],[19 » [T Y] » plot(T,Y)

m=0.1;

2]);

будет выведена таблица значений искомых функций ans =

0 0.30000000000000 0.60000000000000 0.90000000000000 1.20000000000000 1.50000000000000

19.00000000000000 20.77579841500000 22.41015259082511 23.76867894580835 24.74271295061668 25.25696216194586

2.00000000000000 1.97318165951000 1.89494628346288 1.77145673174048 1.61260089471649 1.43132879958977 ...

и их графики (рис. 1). Если же предварительно установить опции построения двумерного фазового портрета (функция odephas2) и номера соответствующих пе-

ременных состояния » opt=odeset('OutputSel',[1 2], 'OutputFcn','odephas2');

20 Лабораторная работа 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

2 30

1.8 25

1.6 20

1.4 15

1.2

10

1

5

0

0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.6 12

9

14

16

Рис.1 » [T,Y]=ode45('odu2', [0:0.3:9],[19

18

20

22

24

26

Рис.2 2],opt);

то будет выведен фазовый портрет системы, свидетельствующий о ее устойчивости – гармонии между активом и ценами (рис.2). Выясните, как сказывается на решении соотношение между d0 и s0.

Варианты заданий №

f(t,y)

1

t 3 ⋅ cos

2

ln t ⋅ cos 3

3

− t ⋅ tg 3

4

ln t / sin 2

5 6

y 5

y

y

ty 2

t −4 ty 2 2

t −4

y 3

t0

tk

y0 №

f(t,y)

t0

tk

y0

0

1

3

14

ln t ⋅ sin 3y

1

2

0

1

2

0

15

0

0.5

1

0

2

1

16

y 2t

0

2

1

1

2

0

17

ye −2 t

0

1

1

2

3

1

18

tye −2t

0

1

1

2

3

1

19

t 2 ye −2t

0

1

1

π/4 1

1 1

20 21

tg(t)/y y2t2

0 0

π/4 1

1 1

y

1− t 2

7 8

tg(t)/y2 ye 2t

0 0

9

y 11+−tt

0

1

1/e 22

y2/t2

1

3

1

10

t2 y 1+t

0

1

1/e 23

y ln(t) / t

1

3

1

11

33 y 2

0

1

y2 ln(t) / t

1

3

1

0

24

Лабораторная работа 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 21

12

t ⋅ 2 −t 2 y ( 1−t )2

13

t 3 sin

y 5

0

0.9

0

25

yet / 2

0

1

2

0

1

3

26

ctg(t)/y2

π/4

π/2

1

Лабораторная работа 9 Методы оптимизации Задание 1. Выберите функцию из заданий к лабораторной работе 4, постройте ее график средствами MatLab’а в разумном диапазоне для поиска точек ее экстремумов (наибольшего и наименьшего значений) с заданной точностью (порядка 5 верных знаков) . Задание 2. Для выбранной функции найдите наибольшее значение взятием производной и решением возникающего уравнения f’(x)=0. Задание 3. Для выбранной функции найдите наибольшее значение методом чисел Фибоначчи. Задание 4. Для выбранной функции найдите наименьшее значение методом наискорейшего спуска. Задание 5. Рассмотрите решение поставленных задач стандартными средствами оптимизации MatLab’а.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Тынкевич М.А. Численные методы. – Кемерово: КузГТУ. 1997. – 122 c. 2. Тынкевич М.А. Система MATLAB.Справочное пособие к курсу “Численные методы анализа”– Кемерово: КузГТУ. 2001. – 47 c. 3. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. В 2-х т. –M.: ДИАЛОГ-МИФИ. 1999. – 670 c. 4. Плис А.И., Сливина Н.А. MATHCAD 2000. Практикум для экономистов и инженеров. -M.: Финансы и статистика. 2000. – 656 c. 5. Бахвалов Н.С. , Жидков Н.П. , Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука ,1987. 6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. 7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980.

21

Лабораторная работа 9. Методы оптимизации

8. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990. 9. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972. 10. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. –М.-СПб.-Киев: Вильямс, 2001.

Составитель Моисей Аронович Тынкевич Лабораторный практикум по курсу “Численные методы анализа” для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике»

ЛР № 020313 от 23.12.96 Подписано в печать 29.10. 2001. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 150 экз. Заказ 437. Отпечатано на ризографе. Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д.Бедного, 4А.