Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий: Учебное пособие

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ И НЕГОЛОНОМНЫХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Калининград 1998

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ И НЕГОЛОНОМНЫХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ Учебное пособие

Калининград 1998

УДК 514.76 Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий: Учебное пособие / Калинингр. ун-т. - Калининград, 1998. 82 с. ISBN 5-88874-110-8 Рассматриваются два основных понятия дифференциальной геометрии: гладкое многообразие и связность в главном расслоении. Наряду с обычным (голономным) гладким многообразием исследуется неголономное многообразие. Теория связностей в главных расслоениях распространяется на неголономный случай. Вводятся нормализация и оснащения подмногообразий голономного и неголономного гладких многообразий, сводящие связности к подсвязностям, эквивалентные связностям и индуцирующие связности. Предназначается для студентов и аспирантов, специализирующихся в дифференциальной геометрии. Может быть интересным для преподавателей и научных работников. Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПбКЦ). Печатается по решению редакционно-издательского Совета Калининградского государственного университета. Рецензенты: кафедра высшей математики Калининградского высшего военно-морского училища (зав. кафедрой, кандидат физико-математических наук, доцент В. Е. Спектор), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Калининградского государственного технического университета Л. А. Жарикова.

ISBN 5-88874-110-8

© Калининградский государственный университет, 1998

Юрий Иванович Шевченко Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий Учебное пособие Лицензия №020345 от 14.01.1997г. Редактор Н.Н. Мартынюк. Оригинал-макет подготовлен И.А. Хрусталевым. Подписано в печать 16.09.1998 г. Формат 60×90 1/16. Бум. для множит. аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 5,0. Уч. изд. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ . Калининградский государственный университет 236041, Калининград обл., ул. А. Невского, 14.

СОДЕРЖАНИЕ Введение ........................................................................................................

4

А. Исторический обзор и постановка проблемы ................................... 5 Б. Описание работы .................................................................................

12

Глава I. Голономное и неголономное гладкие многообразия ................... 19 §1. Гладкое многообразие ....................................................................... 19 §2. Неголономное гладкое многообразие ............................................... 25 §3. Параллелизуемое многообразие и группа Ли .................................. 28 §4. Составное многообразие и главное расслоение ............................... 34 Глава II. Связности в расслоениях .............................................................. 39 §5. Групповая связность в главном расслоении ..................................... 39 §6. Ковариантный дифференциал геометрического объекта ................ 42 §7. Линейная связность в расслоении реперов ...................................... 47 Глава III. Оснащения подмногообразия ..................................................... 54 §8. Подмногообразие гладкого многообразия ....................................... 54 §9. Прикасающиеся пространства подмногообразия ............................ 56 §10. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием 61 §11. Нормализация подмногообразия .................................................... 65 §12. Оснащения, эквивалентные связностям и индуцирующие связности ..........................................................................................

67

Заключение ...................................................................................................

72

Приложение ..................................................................................................

74

Библиографический список ....................................................................... 75

3

ВВЕДЕНИЕ “Дифференциальное исчисление нашего века мало похоже на классическое, излагаемое в основных курсах математического анализа, и гораздо эффективнее его. Пока оно недостаточно широко используется в математике и смежных областях знаний, а главное − далеко не с той полнотой, которая возможна” [Вас]. “Метод внешних форм и подвижного репера − одна из наиболее ярких, многообещающих теорий современной дифференциальной геометрии. Он применяется с одинаковой легкостью в классической теории поверхностей и в геометрии n-мерного кривого пространства...” [Фин]. “Кривые и поверхности, служившие основными объектами изучения в классической дифференциальной геометрии все больше вытесняются теперь n-мерными дифференцируемыми многообразиями с заданными на них различными геометрическими структурами” [ББВФ]. “Дифферециальная геометрия многомерных пространств различных “связностей” (в смысле Картана) является одним из интереснейших разделов современной математики. Очень велико ее значение и в современной физике и механике” [ВУ]. “Если на поверхности зафиксирован способ “параллельно” переносить касательные векторы вдоль кривых, то говорят, что на этой поверхности задана связность. Необходимость сравнивать те или иные геометрические величины в разных точках “кривого” пространства делает понятие связности одним из важнейших в геометрии и физике” [АВЛ]. “Параллельное перенесение − обобщение понятия параллельного переноса на пространства более сложной структуры, чем евклидовы (например, так называемые пространства аффинной связности и, в частности, римановы пространства). Параллельное перенесение позволяет сравнивать геометрические образы, относящиеся к различным точкам пространства.” Мат. энц. словарь. М., 1995. С.450. “Связность − понятие дифференциальной геометрии, возникшее в связи с понятием параллельного перенесения. Связность − определенный тип связей (сопоставлений) геометрических образов, относящихся к различным точкам рассматриваемого пространства. Связность характеризуется геометрическими свойствами преобразований касательных пространств от точки к точке, например, так называемая аффинная связность определяется аффинным отображением касательных пространств, и при этом геометрические образы сравниваются по их аффинным свойствам. Обобщение понятия аффинной связности приводит к понятию пространства со связностью относительно любой группы Ли.” Мат. энц. Словарь. М., 1995. С.539. 4

“...трактовка понятия связности, при которой над многообразием как над базой рассматривается последовательность расслоений, слои которых являются линейными представлениями дифференциальных (либо обобщенных дифференциальных) групп, а связность ассоциируется с полями плоскостей, располагающихся в слоях этих расслоений” [Рыб5]. “Понятие индуцированной связности может быть приложено к различным вопросам и, по-видимому, должно играть очень важную роль в классических геометрических теориях” [Кар2]. “Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой” [ПС; Стол2,3]. Здесь и далее в квадратных скобках указаны начальные буквы фамилий авторов из библиографического списка. Если имеется несколько работ одного автора, то к буквам добавляется номер работы в авторском списке. При упоминании фамилии автора рядом в квадратных скобках пишется лишь номер работы, либо начальные буквы фамилии, когда работа одна. Наконец, если у работы несколько авторов, то указываются первые буквы фамилий авторов. Во всех 12-ти параграфах нумерация формул, определений и теорем ведется независимо. При ссылках на формулу или теорему другого параграфа к их номеру приписывается слева номер параграфа с точкой. Каждый из следующих ниже разделов А и Б разбит на 12 пунктов, соответствующих параграфам. Выражаю благодарность К. В. Поляковой за помощь в оформлении работы. А. Исторический обзор и постановка проблем 1. Понятие дифференцируемого или гладкого многообразия лежит в основе многих дифференциально-геометрических и общематематических теорий. По степени фундаментальности его можно сравнить с понятием множества. Гладкое многообразие [Ак, Ал1, АВЛ, Баз, ББВФ, БК, Вас, ВУ, Г, ГКМ, ЕЛОШ, Егор, ЗВ, КН, Лап5, Лих, Ном, Нор2, Раш, Стер] обобщает кривые и поверхности трехмерного евклидова пространства, рассматриваемые локально в классической дифференциальной геометрии и глобально в аналитической геометрии. Многообразия, снабженные дифференциально-геометрическими структурами, являются предметом современных исследований [Ак, АВЛ, Вас, ЕЛОШ, Лап5, Лих, Лум11,Ос2, Стер, Шир]. 5

Специализация многообразия приводит (см., например, [Шев11]) к важнейшим понятиям геометрии: группе Ли, главному расслоению, однородным пространствам, пространствам со связностями и др. Настоящая работа относится к дифференциальной геометрии, разрабатываемой методом продолжений и охватов Лаптева [Баз; Вас; Ев3; ЕЛОШ; Лап2,3; МО; ОРШ], обобщающем метод подвижного репера и внешних форм Картана [Ак; Баз; Ев2; ЕЛОШ; Кар4,5; Мал3,4; Фав; Фин; Щ; Sl]. Глобальный объект − гладкое многообразие − изучается с локальной точки зрения, причем получаются результаты, имеющие глобальный характер. Дело в том, что структурные формы многообразия являются линейными комбинациями дифференциалов локальных координат точки многообразия, но эти координаты не фиксируются. По-видимому, Слебодзинский [Sl] впервые начал исследование гладкого многообразия с деривационной формулы − разложения дифференциала точки многообразия по базисным векторам касательного пространства к многообразию в этой точке. Неявно деривационная формула использовалась Лаптевым [5], на ее существование указано в книге [ЕЛОШ]. М. А. Акивис [Ак] пользовался деривационной формулой в явном виде и опирался на структурные уравнения многообразия, введенные Лаптевым [5], которые являются внешними квадратичными уравнениями и выражают условия полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений, фиксирующей точку многообразия. Он продолжил деривационную формулу, т.е. продифференцировал ее внешним образом и использовал лемму Картана, что привело к дифференциальным уравнениям базисных векторов касательного пространства. Дальнейшие продолжения дают симметричные базисные векторы касательных пространств высших порядков к многообразию в рассматриваемой точке. При продолжениях предполагается полнота дифференциалов точки многообразия и касательных векторов произвольного порядка, что аналитически записывается в виде равенства нулю внешних дифференциалов от обычных дифференциалов точки и векторов. Продолжения структурных уравнений многообразия состоят в их внешнем дифференцировании и применении обобщенной [Лап5] леммы Картана. В результате нескольких продолжений получаются структурные уравнения для новых форм, симметрию которых показал М. А. Акивис [Ак] с помощью симметрии базисных касательных векторов высших порядков. При фиксации точки многообразия эти формы являются инвариантными формами дифференциальной группы соответствующего порядка, введенной Вагнером [2]. Дифференциальные группы действуют в касательных пространствах высших порядков [Лап5]. 2. Лаптев [5] доказал, что аппарат внешних форм в обобщенной лемме Картана при продолжении внешних квадратичных уравнений допускает 6

новые формы, которые в общем случае не симметричны. Это позволило Ю. Г. Лумисте [3,7] ввести неголономные дифференциальные группы и назвать обычные дифференциальные группы голономными. Встает проблема: если голономные дифференциальные группы действуют в касательных пространствах к гладкому многообразию, то где действуют неголономные дифференциальные группы? Эта проблема разрешается с помощью нового понятия − неголономного гладкого многообразия [Шев9,10,12,13]. Термины “неголономная поверхность”, “неголономное многообразие” и “ неголономное пространство” используются в разных смыслах [Бл3,4; Бл; Боч; Ваг1; Вас; Кар1,2; Ков1-3; Лап7; ЛО; Лум9; Мал2; Нав; Поп; Рыб4; Син; Сл; Стол1,2; Фав; Щ; Mih; Van; Vr] при построении конструкций, обобщающих в том или ином направлении поверхность в однородном пространстве или само это пространство. Неголономное гладкое многообразие обобщает, с одной стороны, обычное гладкое многообразие, которое в связи с этим естественно называть голономным [Шев9], с другой стороны, неголономное пространство Картана [Кар1,2], т.е. пространство с групповой связностью, в частности, пространство аффинной связности [Кар3, Нор2]. К понятию неголономного гладкого многообразия с глобальной точки зрения приблизился В. В. Корниевский [1,2]. Для введения неголономного гладкого многообразия приходится отказываться от полноты дифференциалов [Ков1, Лап1, Раш, Сх, Фав] элементов подвижного репера многообразия: точки многообразия и базисных векторов касательных пространств всех порядков. В этом случае базисные векторы утрачивают симметрию. Несимметричные векторы используются в деривационных формулах подвижного репера неголономного гладкого многообразия. Впервые неголономное гладкое многообразие исследовал А. К. Рыбников [4], говоря, что рассматривает многообразие, отнесенное к неголономным реперам. В дальнейшем под гладким многообразием понимается как голономное, так и неголономное многообразие. Итак, понятие гладкого многообразия допускает расщепление. Это не было замечено ранее потому, что различие между голономным и неголономным гладкими многообразиями обнаруживается во 2-й дифференциальной окрестности точки многообразия, а при исследовании многообразий основное внимание уделялось 1-й окрестности. 3. Существование неголономных гладких многообразий можно доказать, рассматривая конкретные многообразия и выясняя их неголономность. С этой целью изучено параллелизуемое многообразие [Ал2, Sl], называемое также многообразием со структурой абсолютного параллелизма [Стер]. Частным случаем параллелизуемого многообразия служит группа Ли [Ак, АВЛ, Баз, БК, Вас, ЕЛОШ, Егор, ЗВ, КН, Лих, Ном, Стер, Фав, Э]. В дальнейшем будет решен вопрос: какими гладкими многообразиями − 7

голономными, либо неголономными − являются параллелизуемое многообразие и группа Ли? 4. Вслед за теорией гладких многообразий развивается теория расслоенных пространств, называемых также расслоениями и составными многообразиями [Ак; АВЛ; Баз; БК; Ваг3; Вас; Вощ; ЕЛОШ; Егор; ЗВ; КН; Лап5,6; Лих; Ном; Ос1; Стер; Хар]. Они представляют из себя специальные гладкие многообразия. Локально расслоение является прямым произведением двух многообразий, поэтому первоначально оно называлось косым произведением. Расслоенное пространство − это такое гладкое многообразие, каждая точка которого принадлежит некоторому подмногообразию, называемому слоем. Слои не пересекаются, поэтому возникает фактормногообразие слоев, называемое базой. Между слоями имеется диффеоморфизм, что позволяет говорить о типовом слое. Основное место занимают главные расслоения, типовыми слоями которых служат группы Ли. Интересны вопросы о том, когда составное многообразие голономно, а когда неголономно, может ли быть главное расслоение голономным? 5. Другое фундаментальное понятие дифференциальной геометрии − связность − впервые обнаружено при параллельном перенесении ЛевиЧивита [ББВФ, ГКМ, Лум13, T, L]. Теория расслоений является основанием теории связностей [Ак; АВЛ; Баз; БК; Бл1,2; Ваг3; Вас; Вед; Ев1; ЕЛОШ; Егор; ЗВ; КН; Лап5; Лих; Лум1-6,8,10,12-19; Ном; ОРШ; Рах; Рыб1-5; Стер; Ч1-4; Eh]. В общем расслоении рассматривают линейную дифференциально геометрическую связность [Бл1, Ваг3, Шев8, Eh], а в главном расслоении − фундаментально групповую связность [ЕЛОШ, Кар1, Лап3, Шев7]. Лаптев [2] ввел общую фундаментально групповую связность, которую не удается [Шев4,6] полностью описать с помощью обычных главных и общих, а также двухъярусных расслоений [Ос1]. Для отличия от общей связности Лаптева связность в главном расслоении будем называть групповой связностью [Рах]. Из всех этих связностей групповая связность имеет наиболее широкие приложения. В связи с расщеплением гладких многообразий на голономные и неголономные многообразия главные расслоения также распадаются на классы, например, в зависимости от голономности, либо неголономности базы расслоения. Встает проблема описания групповых связностей в главных расслоениях разной степени неголономности. 6. Леви-Чивита [L] ввел параллельное перенесение вектора вдоль поверхности риманова пространства. Параллельное перенесение вектора удобно описывать с помощью его ковариантного дифференциала (иногда называемого абсолютным, инвариантным, либо неголономным) или с использованием ковариантных производных вектора. Аналитически парал8

лельное перенесение вдоль линии на поверхности определяется путем обращения в нуль ковариантного дифференциала или ковариантных производных. Понятия ковариантного дифференциала и ковариантных производных, а значит и параллельное перенесение, легко распространяются на ковекторы и, вообще, произвольные тензоры. Эти параллельные перенесения осуществляются в линейной связности, которая в классической терминологии называется аффинной связностью [ББВФ; Кар3; Лих; Лум10,14; Ном; Нор2; Раш], причем Фавар [Фав] говорит о линейной аффинной связности. Дальнейшие обобщения [Бл1; Саб; Шев2,5; Kol; Sz] ковариантного дифференциала, ковариантных производных и параллельного перенесения связаны с теорией геометрических объектов [Ваг2, МО, Ос3] в главном расслоении, поля которых заданы на базе расслоения. Для этого пользуются групповой связностью главного расслоения. 7. Над гладким многообразием возникает последовательность главных расслоений реперов высших порядков с типовыми слоями − дифференциальными группами, которые будут голономными, либо неголономными в зависимости от исходного многообразия. Из дифференциальных групп всех порядков голономная и неголономная группы совпадают лишь в простейшем случае 1-го порядка, когда они являются линейными группами, действующими в касательных пространствах к голономному и неголономному гладким многообразиям. Групповая связность в расслоении реперов 1-го порядка называется линейной связностью. До развития теории расслоенных пространств такая связность называлась аффинной. Линейная (аффинная) связность − это одна из первых открытых связностей. Однако даже теория линейных связностей имеет различия на голономном и неголономном многообразиях. 8. Дифференциальная геометрия зародилась как геометрия линий и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, т.е. как геометрия 1мерных и 2-мерных многообразий достаточно общего вида, погруженных в 3-мерное многообразие весьма специального вида. Развитие геометрии происходило в разных направлениях, из которых отметим несколько: 1) увеличение размерностей объемлющего пространства и погруженного многообразия; 2) последовательное обобщение объемлющего пространства, в качестве которого рассматривались аффинное, проективное и другие классические пространства, произвольное однородное пространство, пространства с соответствующими связностями, римановы пространство и многообразие и, наконец, произвольное гладкое многообразие; 3) отказ от объемлющего пространства и изучение многообразия самого по себе с глобальной точки зрения; 4) задание и исследование структур на гладком многообразии. В рамках этих направлений изучение подмногообразия гладко9

го многообразия является естественным обобщением классической дифференциальной геометрии. 9. В каждой точке многообразия имеется последовательность касательных пространств высших порядков, обладающих тем свойством, что касательное пространство любого порядка содержится в касательном пространстве следующего порядка, причем последовательность пространств бесконечна. Если дано подмногообразие, то оно, будучи гладким многообразием, также обладает аналогичной последовательностью касательных подпространств различных порядков. Для поверхности аффинного пространства картина проще, т.к. касательное пространство к аффинному пространству отождествляется с ним самим, а последовательность соприкасающихся подпространств конечна. В случае подмногообразия гладкого многообразия возникает вопрос о существовании промежуточных касательных пространств к подмногообразию, обусловленных наличием двух последовательностей касательных пространств и подпространств. 10. В аффинном и проективном пространствах при исследовании семейств, описанных линейными фигурами [Мал1,5,6; Шев3], многократно использовался метод ассоциированных расслоений [Ж; Кр1,2; Рум; Худ1,2; Ц1,2; Шев1,3]. Этому методу непосредственно предшествовали работы И. В. Близникене [Бл], В. И. Ведерникова [Вед] и Ю. Г. Лумисте [1,4,6]. К аналогичным идеям в конкретных случаях пришли Г. П. Бочилло [Боч] и К. В. Навицкис [Нав]. Дальнейшее развитие метод ассоциированных расслоений получил в работах К. В. Поляковой [1-4] при изучении поверхности проективного пространства, рассматриваемой с различных точек зрения. Найдены новые охваты объектов, задающих связности в ассоциированных расслоениях. Получена геометрическая интерпретация объектов связностей и их подобъектов с помощью разнообразных параллельных перенесений, для описания которых использованы ковариантные дифференциалы геометрических объектов и необычные проективно-ковариантные дифференциалы. Встает проблема построения главного расслоения, ассоциированного с подмногообразием гладкого многообразия, и задания в нем групповой связности. 11. Понятие нормали возникло в дифференциальной геометрии поверхности евклидова пространства. В многомерном случае она представляет собой плоскость, проходящую через точку поверхности и ортогонально дополняющую соответствующую касательную плоскость до всего пространства. При переходе к аффинному пространству теряется ортогональность, поэтому в каждой точке поверхности невозможно построить единственную нормаль. В связи с этим производят нормализацию поверхности 10

полем нормалей, которые в некоторой степени компенсируют отсутствие перпендикулярности в аффинном пространстве. Построение нормализации внутренним образом является основной задачей аффинно-дифференциальной геометрии поверхности, которую решали многие геометры (см., например, [Лап4, Шв]). Из статьи [Шев1] следует, что над поверхностью аффинного пространства, рассматриваемой как семейство касательных плоскостей, возникает главное расслоение с типовым слоем – подгруппой стационарности центрированной касательной плоскости. Ассоциированное с поверхностью расслоение содержит подрасслоения касательных и нормальных линейных реперов, типовыми слоями которых являются касательная линейная группа, действующая в касательной плоскости, и нормальная линейная факторгруппа, действующая в нормальном факторпространстве. Нормализация поверхности индуцирует групповую связность в ассоциированном расслоении, в частности, касательную и нормальную линейные связности. Если подвижной репер адаптирован полю нормалей, то ассоциированное расслоение сужается до главного расслоения касательных и нормальных линейных реперов со связностью. При этом нормальная линейная факторгруппа становится подгруппой аффинной группы и действует в нормали. На нормализованной по Нордену [1,2] поверхности проективного пространства касательная линейная связность известна давно [Нор1], а нормальная линейная связность появилась сравнительно недавно [Нор2]. Более общая нормальная центропроективная связность введена А. В. Чакмазяном [1,2,4]. Содержащая неиндуцированные касательную и нормальную линейные связности групповая связность в расслоении, ассоциированном с ненормализованной поверхностью, рассмотрена в работе [Шев1]. Доказано, что нормализация поверхности индуцирует групповую связность. Нормальная линейная связность на оснащенной поверхности аффинного пространства возникла в работах [АЧ; Ч3,4]. Понятие нормали аффинной поверхности распространено на подмногообразие гладкого многообразия [Егиаз, ЗВ, МО]. Встает вопрос: какова роль нормализации подмногообразия для задания связностей? На поверхности в аффинном пространстве наряду с нормализацией рассматривались оснащающие пространства высших порядков (см., например,[Лап4,Шв]), на которые натягивалась нормаль поверхности. Для многообразия и его подмногообразия разнообразные оснащающие подпространства введены А. К. Рыбниковым [1-5]. Более того, он предложил геометрическую трактовку [Рыб5] понятия связности с помощью полей оснащающих подпространств. Настоящая работа развивает эту тематику. Б. Описание работы 11

1. Гладкие многообразия изучены с локальной точки зрения методом продолжений Лаптева. Исследование основано на деривационной формуле Слебодзинского для точки многообразия и структурных уравнениях многообразия Лаптева. Показано, что над обычным (голономным) гладким многообразием возникает последовательность расслоений реперов высших порядков, типовыми слоями которых являются дифференциальные группы Вагнера, действующие в касательных пространствах соответствующих порядков, отнесенных к реперам с симметричными базисными векторами. 2. Введено неголономное гладкое многообразие. Доказано, что с неголономным гладким многообразием ассоциируется последовательность расслоений реперов разных порядков, типовыми слоями которых являются неголономные дифференциальные группы Ю. Г. Лумисте, действующие в соответствующих касательных пространствах, отнесенных к реперам с несимметричными базисными векторами. 3. Из гладкого многообразия, которое может быть неголономным, выделено параллелизуемое многообразие с помощью требований: а) в правых частях структурных уравнений многообразия содержатся лишь внешние произведения базисных форм с коэффициентами – функциями на многообразии; б) эти функции антисимметричны и образуют тензор на многообразии, называемый структурным; в) структурные функции и их продолжения удовлетворяют обобщенным тождествам Якоби. Каждая структурная функция является относительным инвариантом на параллелизуемом многообразии. Получены результаты: 1) параллелизуемое многообразие неголономно; 2) параллелизуемое многообразие с абсолютным структурным тензором есть группа Ли; 3) параллелизуемое многообразие, относительные инварианты которого оказываются абсолютными, суть группа Ли; 4) группа Ли является неголономным гладким многообразием. 4. Составное многообразие есть частный случай гладкого многообразия, из которого оно выделяется с помощью бесконечной серии условий. Дан анализ условий 1-го порядка. Показано, что неголономность базы или типового слоя составного многообразия достаточна для неголономности самого многообразия. Из составного многообразия получены главное расслоение и его обобщения – расслоения параллелизуемых многообразий и групп Ли. Проанализированы условия 1-го порядка, выделяющие главное расслоение. Установлена неголономность главного расслоения и его обобщений. Введено минимально неголономное главное расслоение. 5. Изложен способ Лаптева задания связности в главном расслоении с помощью перехода к новым обозначениям с последующим частичным возвратом исходных обозначений. Эта методика позволила найти известные выражения кривизны через объект связности и его пфаффовы производные 12

с помощью структурных постоянных группы Ли, являющейся типовым слоем главного расслоения. Кривизна групповой связности главного расслоения в общем случае не является тензором на базе расслоения, а составляет квазитензор лишь в совокупности с объектом связности. Если главное расслоение минимально неголономно, то кривизна – тензор. Показано, что пространство групповой связности неголономно. 6. С помощью способа Лаптева задания групповой связности введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных геометрического объекта относительно этой связности. Обращение ковариантного дифференциала в нуль вдоль линии базы расслоения характеризует параллельное перенесение фигуры, определенной геометрическим объектом. Введено распределение параллельности. Вдоль касающихся его линий можно осуществлять параллельный перенос фигуры. Выделено три случая, когда распределение параллельности: 1) заполняет все касательное пространство − фигура переносится абсолютно параллельно (аналог свободного вектора); 2) вырождается в точку − поле фигур абсолютно непараллельно (аналог поля связанных векторов); 3) является собственным распределением, т.е. существуют кривые, вдоль которых можно осуществить параллельный перенос, и кривые, вдоль которых это сделать нельзя (аналог скользящего вектора). Ковариантные производные геометрического объекта относительно групповой связности составляют геометрический объект лишь в совокупности с исходным объектом. Самостоятельно ковариантные производные образуют псевдотензор, т.е. объект, вообще говоря, не являющийся геометрическим объектом, обращение которого в нуль инвариантно. В случае абсолютного параллелизма проанализирована описывающая его система линейных неоднородных уравнений и выделены три подслучая, когда число компонент геометрического объекта: а) больше размерности группы Ли − фигура не может переноситься параллельно ни в какой связности; б) равно размерности группы Ли − существует единственная групповая связность, в которой данное поле фигур абсолютно параллельно (аналог связности Леви-Чивита); в) меньше размерности группы Ли − есть бесконечное множество связностей, относительно которых поле фигур абсолютно параллельно. Другой взгляд на систему линейных уравнений, отвечающих абсолютному параллелизму, дает возможность утверждать, что любую фигуру можно включить в абсолютно параллельное поле относительно заданной групповой связности. 13

7. В качестве одного из важнейших примеров групповой связности рассмотрена линейная (аффинная) связность в расслоении линейных реперов над голономным и неголономным гладкими многообразиями. Получены известные формулы для объекта кручения как альтернации объекта линейной связности и объекта кривизны, выраженного через объект связности и его пфаффовы производные. На неголономном гладком многообразии кручение образует квазитензор, а на голономном гладком многообразии − тензор. Вследствие этого в голономном случае обращение кручения в нуль инвариантно и выделяет линейную связность без кручения или симметрическую линейную связность. В неголономном случае линейная связность всегда с кручением или несимметрическая почти во всех точках многообразия. Задание линейной связности неголономного гладкого многообразия эквивалентно оснащению А. К. Рыбникова многообразия полем подпространств, дополняющих касательные пространства до соприкасающихся пространств 2-го порядка. При этом оснащающее подпространство распадается в прямую сумму голономного и антиголономного подпространств. Подробнее изучено голономное гладкое многообразие с линейной связностью, которое естественно называть пространством линейной связности, но часто называется пространством аффинной связности. Линейная связность без кручения эквивалентна оснащению многообразия полем голономных подпространств А. К. Рыбникова, обладающих тем же свойством, что и в неголономном случае, но меньшей размерностью. Несимметрическая линейная связность голономного многообразия дает возможность задать на нем поле голономных оснащающих подпространств, поэтому оснащение А. К. Рыбникова необходимо для задания линейной связности с кручением. В 2-мерном случае тензор кручения определяет 1-мерное подпространство касательного пространства. Линейная связность (с кручением) неголономного гладкого многообразия интерпретируется локально внутри соприкасающегося пространства 2го порядка с помощью проекции смежного касательного пространства на исходное касательное пространство параллельно оснащающему подпространству. Линейная связность без кручения голономного многообразия характеризуется аналогичной параллельной проекцией. Найдены дифференциальные уравнения компонент объекта кривизны, из которых следует, что кривизна линейной связности (с кручением) неголономного многообразия образует квазитензор лишь вместе с объектом связности. Кривизна как симметрической, так и несимметрической линейной связности голономного многообразия является тензором. Пространство линейной (аффинной) связности неголономно даже в случае голономности исходного гладкого многообразия. 14

8. Исследуются подмногообразия голономного и неголономного гладких многообразий при одновременном их рассмотрении. Согласно методу Лаптева дифференциальные уравнения подмногообразия есть линейные зависимости, в которых часть структурных форм многообразия выражена через остальные. Последние являются структурными формами подмногообразия. С использованием методики, применяемой в способе Лаптева задания групповой связности, продолжены структурные уравнения подмногообразия. Эти продолжения дают возможность высказать гипотезу о том, что подмногообразие голономного, либо неголономного гладкого многообразия является соответственно голономным, либо неголономным многообразием. Расслоение линейных реперов многообразия естественно сужается на подмногообразие. Линейная связность расслоения реперов над многообразием порождает линейную связность в этом сужении. Иначе говоря, если дано подмногообразие базы пространства линейной связности, то в сужении расслоения реперов многообразия на подмногообразие возникает внутренняя линейная связность. Порожденная связность имеет более общий вид по сравнению с данной в том смысле, что базисные индексы объекта линейной связности принимают лишь часть значений слоевых индексов, а не те же значения, как в исходном случае. 9. Использование дифференциальных уравнений подмногообразия в деривационной формуле многообразия приводит к соответствующей формуле для подмногообразия. Подвижной репер касательного пространства многообразия, адаптированный касательному подпространству подмногообразия, называется адаптированным репером 1-го порядка многообразия. Адаптация репера приводит к обращению в нуль фундаментального объекта 1-го порядка и, следовательно, к упрощению уравнений подмногообразия и их продолжений. При этом получаются дифференциальные уравнения подмногообразия, отнесенного к адаптированному реперу 1-го порядка. Их продолжение дает дифференциальные уравнения фундаментального объекта 2-го порядка, который в отличие от соответствующего объекта поверхности в аффинном пространстве является квазитензором, а не тензором. В связи с разбиением значений индексов многообразия на две серии, одна из которых отвечает размерности подмногообразия, множество базисных касательных векторов 2-го порядка разбивается на подмножества. Анализ дифференциальных уравнений для векторов этих подмножеств позволяет найти базисные векторы соприкасающегося подпространства подмногообразия и установить инвариантность в совокупности с касательными векторами многообразия четырех подмножеств векторов, на которые в неголономном случае натянуты 4 подпространства соприкасающегося про15

странства: а) X − сумма касательного пространства и соприкасающегося подпространства; б) Y,Y′ − подпространства одинаковой размерности, пересекающиеся по подпространству X; в) Z=Y+Y′. В голономном случае картина упрощается: X⊂Y=Y′=Z. Подпространство X охарактеризовано геометрически. Подпространство Z натянуто на подпространства Y и Y′ в неголономном случае и совпадает с ними в голономном случае. Значит, основную роль играют подпространства Y и Y′, которые названы левым и правым прикасающимися пространствами. Найден 2-й дифференциал точки (под)многообразия вдоль (под)многообразия. Из его выражения видно, что соприкасающееся (под)пространство 2-го порядка является линейной оболочкой множества (под)пространств, смежных с касательным (под)пространством вдоль (под)многообразия. Для смещений 2-го порядка точки возможны еще два варианта, когда она смещается сначала вдоль многообразия, затем − вдоль подмногообразия, и наоборот. Тогда левое (правое) прикасающееся пространство Y (Y′) есть оболочка пространств, смежных касательному пространству (подпространству) вдоль подмногообразия (многообразия). В пространстве линейной связности, т.е. расслоении реперов многообразия с линейной связностью, исследованы пересечения X0, Y0, Y0Б , Z0 нормали А. К. Рыбникова многообразия с подпространствами X, Y, Y′, Z. Все подпространства и их пересечения заданы уравнениями в репере 2-го порядка многообразия. Найдено аналитическое условие того, чтобы пересечение X0 подпространства Х с нормалью многообразия было нормалью подмногообразия. В этом случае линейная связность многообразия и эквивалентное ей оснащение названы адаптированными подмногообразию. Итак, если линейная связность многообразия адаптирована подмногообразию, то подмногообразие является базой подпространства линейной связности. 10. С учетом дифференциальных уравнений подмногообразия в репере 1-го порядка расслоение линейных реперов над многообразием сокращается до главного расслоения с типовым слоем − подгруппой стационарности касательного подпространства в касательном пространстве. Это расслоение названо ассоциированным с подмногообразием. Оно имеет два главных подрасслоения: 1) расслоение касательных реперов с типовым слоем − линейной группой, действующей в касательном подпространстве; 2) расслоение нормальных реперов с типовым слоем − линейной факторгруппой, действующей в нормальном подпространстве − факторпространстве касательного пространства по касательному подпространству. 16

С помощью теоремы Картана-Лаптева найдены дифференциальные уравнения компонент объекта, задающего групповую связность в ассоциированном расслоении. Объект связности содержит подобъекты касательной и нормальной линейных связностей. Получено выражение объекта кривизны групповой связности через объект связности и его пфаффовы производные. Показано, что групповая связность ассоциированного расслоения порождается линейной связностью сужения расслоения реперов многообразия на подмногообразие, если линейная связность и подмногообразие адаптированы. Значит, в расслоении, ассоциированном с подмногообразием пространства аффинной связности, при адаптации связности подмногообразию возникает внутренняя связность. 11. Под нормализацией подмногообразия понимается присоединение к каждой его точке нормали − линейного пространства, дополняющего касательное подпространство до касательного пространства. Найдены дифференциальные уравнения квазитензора, задающего нормаль. Доказано, что нормализующий квазитензор, его пфаффовы производные, объекты касательной и нормальной линейных связностей позволяют охватить остальные компоненты объекта групповой связности. В этом случае групповая связность названа нормализованной. Формы групповой связности внесены в дифференциальные уравнения нормализующего квазитензора. Это дало возможность получить ковариантный дифференциал и ковариантные производные нормализующего квазитензора относительно групповой связности. Найден внешний дифференциал от ковариантного дифференциала нормализующего квазитензора. Линия на подмногообразии (точнее, направление в касательном подпространстве) задается выражениями базисных форм подмногообразия через параметрическую форму. В силу найденных внешних дифференциалов система дифференциальных уравнений, полученная приравниванием нулю ковариантных дифференциалов компонент нормализующего квазитензора, вполне интегрируема вдоль любой линии на подмногообразии. Переход от ковариантного дифференциала к ковариантным производным приводит к эквивалентной системе линейных однородных уравнений. Анализ этой системы позволяет сформулировать следующие результаты: 1) переносить параллельно нормаль (нормализующий квазитензор) в групповой связности в общем случае нельзя; 2) поле нормализующего квазитензора абсолютно параллельно относительно нормализованной связности, иначе говоря, нормаль из точки подмногообразия переносится параллельно в нормализованной связности вдоль любой кривой подмногообразия, проходящей через точку, при произвольном смещении нормали; 17

3) для частных полей нормали и групповой связности возможны линии, вдоль которых параллельное перенесение нормали осуществить можно, и линии, вдоль которых это сделать нельзя. 12. Внесением форм групповой связности в дифференциальные уравнения для базисных векторов касательного пространства найдены ковариантные производные этих векторов. Они определяют пространство Y∗ типа Y0, дополняющее касательное пространство до левого прикасающегося пространства Y. Часть ковариантных производных задает подпространство X∗⊂Y∗ типа X0, составляющее в прямой сумме с касательным подпространством соприкасающееся подпространство 2-го порядка. Доказано, что оснащение подмногообразия полем пространств Y∗ эквивалентно заданию групповой связности, которая характеризуется внутри левого прикасающегося пространства Y проекцией смежного касательного пространства на исходное параллельно пространству Y∗. При этом касательная линейная связность, эквивалентная полю оснащающих подпространств А. К. Рыбникова X∗, характеризуется самостоятельно в соприкасающемся подпространстве с помощью проекции соседнего касательного подпространства на исходное параллельно пространству X∗. Пфаффовы производные базисных векторов, определяющих нормаль подмногообразия, в совокупности с векторами нормали задают продолженную нормаль, составляющую в прямой сумме с соприкасающимся подпространством левое прикасающееся пространство Y. Преобразованием дифференциальных уравнений базисных векторов нормали с помощью форм нормальной линейной связности получены ковариантные производные этих векторов, которые определяют дополнение нормали до продолженной нормали. Показано, что оснащение нормализованного подмногообразия полем дополнений нормалей эквивалентно заданию нормальной связности и позволяет интерпретировать ее внутри продолженной нормали проекцией смежной нормали на исходную параллельно дополнению нормали. Следовательно, оснащение нормализованного подмногообразия полями подпространств X∗ и дополнений нормалей индуцирует нормализованную связность. Доказано, что оснащение подмногообразия полем подпространств F (X+F=Y, X ∩ F − соприкасающееся подпространство) позволяет задать нормальную связность. Значит, F ∪ X∗-оснащение нормализованного подмногообразия индуцирует нормализованную связность. Показано, что оснащение нормализованного подмногообразия полем подпространств V, составляющих в прямой сумме с касательными подпространствами пространства X, дает возможность задать касательную связность. Отсюда следует, что оснащение нормализованного подмногообра18

зия полями подпространств V и дополнений нормали индуцирует нормализованную связность. Аналогичную роль играет F ∪ V-оснащение. Рассмотрено оснащение нормализованного подмногообразия полем подпространств W, дополняющих касательные подпространства до левых прикасающихся пространств Y и содержащих подпространства V. Доказано, что F ∪ W-оснащение нормализованного подмногообразия индуцирует групповую связность, не являющуюся нормализованной. Для подмногообразия базы пространства линейной связности, связность которого адаптирована подмногообразию, определены оснащения с помощью полей следующих подпространств X∗= X0, Y∗=Y0 и F как прямой суммы подпространства Y0 и касательного подпространства. Кроме того, на нормализованном подмногообразии возникнут поля подпространств V и W как прямые суммы нормали с подпространствами X0 и Y0 соответственно. Глава I. ГОЛОНОМНОЕ И НЕГОЛОНОМНОЕ ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ §1. Гладкое многообразие

Рассмотрим n-мерное многообразие Vn некоторого класса дифференцируемости. Смещение dA любой точки А∈Vn с точностью до бесконечно малых 1-го порядка лежит в касательном n-пространстве Tn к многообразию Vn в точке А [Ак, ЕЛОШ, Лап5, Sl], значит, dA= ωI eI (I,J,K,L=1, n ),

(1)

где eI − базисные векторы линейного пространства Tn, ωI − структурные формы многообразия Vn. Дифференциальные формы ωI имеют вид

ωI = x JI dx J ,

(2)

где dxJ дифференциалы некоторых локальных координат xJ точки А∈Vn, матрица коэффициентов x JI невырождена, т.е. det( x JI )≠0. Обозначим буквой D внешнее дифференцирование. Учитывая, что DdxJ=0, продифференцируем равенства (2) внешним образом D ωI =d x JI ∧dxJ,

(3)

где символ ∧ означает внешнее умножение. Для выражения дифференциаJ

∗

лов dx умножим равенства (2) на элементы матрицы ( x IK ), обратной матрице ( x JI ) 19

∗

∗

x ω = x IK x JI dxJ = δ JK dxJ =dxK. I

K I

Подставим результат в уравнения (3) ∗

∗ K J

D ω =d x ∧ x ω = d x ∧ x ωJ = ωJ ∧ ωJI , I

I J

J K

K

I K

∗

где ω =- x JK d x IK , причем выражения форм ωJI могут быть более общими I J

[Лап5]. Итак, формы ωI удовлетворяют структурным уравнениям Лаптева D ωI = ωJ ∧ ωJI .

(4)

Отсюда следует, что структурные формы ωI дифференцируемого многообразия Vn образуют так называемую полную совокупность форм, а система уравнений ωI =0 вполне интегрируема и фиксирует точку А∈Vn, т.к. справедлива цепочка эквивалентностей A=const ⇔ dA=0 ⇔ ωI eI=0 ⇔ ωI =0. Предполагая, что дифференциал dA является полным D(dA)=0,

(5)

продифференцируем внешним образом уравнение (1) и разрешим по лемме Картана deI= ωJI eJ+ ωJ eIJ,

(6)

причем новые векторы eIJ, принадлежащие касательному пространству 2-го порядка T2, симметричны e[ IJ ]=0,

(7)

где квадратные скобки обозначают альтернирование: e[ IJ ]= 12 (eIJ-eJI). Пространство T2⊃Tn имеет размерность

1 dimT2=dimTn+ C 2n +n= n(n+3). 2 Дифференцируя структурные уравнения (4) внешним образом и разрешая по обобщенной лемме Картана [Лап5], получим I , D ωJI = ωJK ∧ ωJK + ωK ∧ ωJK

(8)

I удовлетворяют условиям причем новые формы ωJK I ωJK ∧ ωJ ∧ ωK =0.

20

(9)

Структурные уравнения (4,8) показывают, что над многообразием Vn возникает главное расслоение реперов L n 2 (Vn), типовым слоем которого является линейная группа L n 2 =GL(n). Структурные уравнения группы L n 2 получаются из уравнений (8) при фиксации точки А∈Vn D π JI = π JK ∧ π IK ( π = ω | ω I = 0 ).

(10)

Уравнения (6) в фиксированной точке многообразия Vn принимают вид:

δe I = π JI e J (δ=d| ω I = 0 ).

(11)

Значит, линейная группа L n 2 со структурными формами π JI действует во множестве векторов eI, т.е. в касательном пространстве Tn. Полагая, что дифференциалы deI − полные D(deI)=0,

(12)

продолжим дифференциальные уравнения (6) de IJ = ωIJK e K + ωIK e KJ + ωJK e IK + ωK e IJK ,

(13)

причем новые векторы e IJK касательного пространства 3-го порядка Т3 симметричны по двум последним индексам eI[ JK ]=0.

(14)

Альтернируя уравнения (13) и учитывая условия симметрии (3) векторов eIJ, получим ω[KIJ ]e K + ωK e[ IJ ] K = 0 , что эквивалентно равенствам ω[KIJ ]e K = 0 , ωK e[ IJ ] K = 0 , откуда в силу линейных независимостей базисных векторов еK и структурных форм ωK имеем ω[KIJ ] = 0 ,

(15)

e[ IJ ] K = 0 .

(16)

Равенства (14,16) дают симметричность векторов eIJK по всем индексам [Ак], поэтому размерность касательного пространства Т3 находится по формуле 1 dimT3=dimT2+ C 3n + 2C 2n +n= n(n2+6n+11). 6 Отметим, что равенства (15) достаточны для выполнения условий (9). Продолжая структурные уравнения (8), найдем 21

I L I I DωJK = ωJK ∧ ωIL − ωILK ∧ ωJL − ωJL ∧ ωLK + ωL ∧ ωJKL , I ωJKL ∧ ωK ∧ ωL =0.

(17) (18)

Структурные уравнения (4,8,17) с учетом условий (15) показывают, что над многообразием Vn построено главное расслоение реперов 2-го порядка L2(Vn), типовым слоем которого служит дифференциальная группа 2-го порядка L2⊃L с размерностью dimL2=n2+n( C 2n +n)= 12 n2(n+3). Группа имеет структурные уравнения (10) и следующие I L I Dπ JK = π JK ∧ π IL − π ILK ∧ π JL − π JL ∧ π LK ,

(19)

I симметричны по нижним индексам. Из уравнений (13) причем формы π JK следует

δe IJ = π IJK e K + π IK e KJ + π JK e IK .

(20)

Уравнения (11,20) показывают, что в пространстве Т2, отнесенному к подвижному реперу 2-го порядка {eI, eIJ}, действует дифференциальная группа L2 со структурными формами π JI , π IJK ( π[KIJ ] = 0) . Предполагая, что дифференциалы deIJ − полные D(deIJ)=0,

(21)

L L L e L + ωIJL e LK + ωIK e LJ + ωJK e IL + ωL e IJKL , ΔeIJK= ωIJK

(22)

продолжим уравнения (13) причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом: ΔeIJK=deIJK- ωIL eLJK- ωJL eILK- ωLK eIJL. По лемме Картана новые векторы eIJKL, принадлежащие касательному пространству 4-го порядка Т4, удовлетворяют соотношениям eIJ[KL]=0.

(23)

Альтернируя дифференциальные уравнения (22) по индексам I,J и пользуясь симметрией векторов eIJ, eIJK, найдем ω[ IJ ] K e L + ω e[ IJ ] KL = 0 , L

L

откуда ω[ IJ ] K = 0 , e[ IJ ] KL = 0 . L

22

(24)

Аналогично получаем ωI[ JK ] = 0 , e I[ JK ] L = 0 . L

(25)

L Из равенств (24,25) следует симметричность форм ωIJK по нижним индексам, что достаточно для выполнения условий (18). Соотношения (23-25) дают симметричность векторов eIJKL∈T4, поэтому касательное пространство 4-го порядка Т4 имеет размерность

dimT4=dimT3+ C 4n + 3C 3n + 3C 2n + n =

1 n(n3+10n2+35n+50). 24

Продолжением уравнений (17) вводится расслоение реперов 3-го поI I , ωJKL , две последних сорядка L3(Vn) со структурными формами ωI , ωJI , ωJK вокупности которых симметричны по нижним индексам. Типовым слоем служит дифференциальная группа 3-го порядка L3⊃L2 с размерностью dimL3=dimL2+n( C 3n + 2C 2n + n )= 16 n2(n2+6n+11). Группа L3 действует в касательном пространстве Т3. При дальнейших продолжениях уравнений (22) возникнут симметричные векторы e I1 ... I p ∈Tp, причем размерность касательного пространства Тp

порядка p можно находить по формуле [Лап5]: dim Тp = C pn +p -1. В результате продолжений уравнений (17) получатся структурные уравнения реперов p-го порядка Lp(Vn) со структурными формами ωI , ωJI1 ,..., ωJI1...J p и типовым слоем - дифференциальной группой p-го порядка Lp, dimLp=n( C pn + p -1), действующей в касательном пространстве Tp того же порядка. Определение. Рассмотренные в §1 многообразие Vn, касательное пространство Tp, дифференциальная группа Lp и расслоение Lp(Vn) назовем голономными и при необходимости будем писать нулик над их обозначе0

0

0

0

0

ниями: V n , T p, L p, L p( V n ). 0

Терема [Лап5]. С голономным гладким многообразием V n ассоцииру0

p

0

ется последовательность расслоений голономных реперов L ( V n ) поряд0

0

0

ков p=1,2,... Типовым слоем расслоения L p( V n ) над многообразием V n яв0

0

ляется голономная дифференциальная группа L p( L 1=GL(n)), действую0

щая в голономном касательном пространстве T p, отнесенном к подвижному реперу { e I1 , e I1I2 ,..., e I1... Ip }, где векторы симметричны (неразличимы при перестановках индексов). 23

Записывая внешний дифференциал правой части деривационной формулы (1) с помощью уравнений (4,6), но без использования условия (5) в левой части, получим DdA= ωK∧ ωI eIJ, откуда видно, что равенство (5) эквивалентно условиям (7) симметричности векторов eIJ. Поступая аналогично с формулой (6) с помощью уравнений (4,8,13), найдем DdeI= ωK ∧ ωJ eIJK, откуда следует DdeI=0 ⇔ eI[JK]=0, что вместе с условиями (16) эквивалентно симметричности векторов eIJK по всем индексам. Подобно показывается эквивалентность симметричности векторов e I1 ... I p и обращения в нуль-вектор внешних дифференциалов от обычных дифференциалов точки А и векторов e I1 ,..., e I1... Ip−2 Замечания 1. Исследование проводится методом внешних форм, поэтому нет необходимости пользоваться локальными координатами точек многообразия. Более того, Лаптев [5] и Ю. Г. Лумисте [3] разными способами показали инвариантность совокупности структурных форм ωI . Значит, наш локальный подход к гладкому многообразию имеет глобальный характер. 2. Формулы (1,6) обобщают деривационные формулы аффинного пространства, при ωI =0 они дают δА=0 и равенства (11), поэтому касательное пространство Тn к многообразию Vn в точке А часто наделяют структурой центроаффинного пространства. Аналогично поступают [Рыб1] с касательными пространствами высших порядков. 3. Дифференцируя формулу (1) обычным образом, получим формулу

d2A=(d ωI + ωJ ωJI )eI+ ωI ωJ eIJ, наглядно показывающую, что касательное пространство 2-го порядка Т2 натянуто на векторы eI, eIJ, что обозначают так Т2=[ eI, eIJ]. Пространство Т2 обобщает соприкасающуюся плоскость кривой трехмерного пространства, поэтому будем в дальнейшем называть его соприкасающимся пространством, либо соприкасающимся подпространством в зависимости от рассмотрения многообразия, либо подмногообразия.

24

4. Лаптев [5] и М. А. Акивис [Ак] описали, фактически, голономное 0

гладкое многообразие, поэтому голономное касательное пространство T p является слоем касательного расслоения p-го порядка Лаптева [5], отличного от соответствующего расслоения Вагнера [2]. 0

5. Голономная дифференциальная группа L p открыта Вагнером [2] под названием “полная дифференциальная группа”. Она действует в соответст0

вующем голономном касательном пространстве T p − слое касательного расслоения Лаптева порядка p. К расслоению Лаптева [5] присоединено 0

p

0

главное расслоение голономных реперов L ( V n ). §2. Неголономное гладкое многообразие I достаПредварительно отметим, что симметричность (1.15) форм ωJK точна для выполнения условий (1.19). Однако, в силу доказательства Лаптева [Лап5] равенства (1.15) не являются необходимыми для выполнения условий (1.9). Значит, аналитический аппарат допускает в общем (неголоI , удовномном) случае несимметричные по нижним индексам формы ωJK I при летворяющие условиям (1.9). Аналогично, симметричность форм ωJKL перестановках любых нижних индексов обеспечивает выполнение условий (1.18), хотя для справедливости последних достаточно более слабых услоI по вий полуголономности [Лап5]: ωJI [ KL ] =0 – симметричности форм ωJKL

двум последним индексам. В общем (неголономном) случае условия (1.18) I могут выполняться, когда формы ωJKL несимметричны ни по одной паре нижних индексов. Подобное утверждение можно сделать относительно форм ωJI1 ...J p . Поставим вопрос: какие предположения из §1 нужно ослабить, чтобы метод внешних форм работал в наиболее общей ситуации? Для ответа проанализируем цепочку рассуждений в §1, где показано, 0

I симчто на обычном (голономном) гладком многообразии Vn формы ωJK метричны по нижним индексам. Равенства (1.15) получены из уравнений (1.13) в силу условий симметрии (1.7) векторов eIJ. Условия (1.7) найдены с применением леммы Картана к дифференциальному следствию уравнения (1.1) в предположении (1.5) о полноте дифференциала dA. Уравнения (1.13) получены продолжением уравнений (1.6) в предположении (1.12) о полноте дифференциалов deI. Если мы откажемся от полноты хотя бы одI ного их дифференциалов dA, deI, то доказать симметричность форм ωJK не

25

I удастся. Симметричность форм ωJKL по всем нижним индексам доказана с помощью дополнительного предположения (1.21) о полноте дифференциалов deIJ с использованием доказанной ранее симметрии векторов eIJ, eIJK. Цепочка рассуждений имеет вид: I ⎫ ⎧ ωJKL − симм. ⎫ ⎫ ⎧ ω[KIJ ] = 0 ⎪ ⎨ ⎪ ⎬⇒⎨ D(de I ) = 0⎭ ⎩ e IJK − симм. ⎬ ⇒ ⎩ e IJKL − симм. ⎬ ⇒ ... D(de IJ ) = 0 ⎪⎭ D(de IJK ) = 0 ⎪⎭

D(dA ) = 0 ⇒ e[ IJ ] = 0

Отказ, например, от полноты хотя бы одного из дифференциалов dA, deI, deIJ приведет к невозможности доказательства симметричности вектоI ров eIJKL и форм ωJKL по нижним индексам. Рассмотрим общий случай, отказываясь от предположения, что dА – полный дифференциал. Уравнение (1.1) не удается продолжить прежним образом и получить уравнения (1.6), но допустим, что в них дифференциалы deI – неполные, а векторы eIJ – несимметричные. Подобный взгляд распространим на деривационные формулы (1.13), (1.22),... Тогда будут несимметричными векторы e I1I2 ,..., e I1... Ip ,... и формы ωJI1J 2 ,..., ωJI1 ...J p ,... по нижним индексам. Определение. Если все дифференциалы в формулах (1.1,1.6,1.13,...) являются полными, т.е. внешние дифференциалы от них равны нульвектору, то гладкое многообразие Vn назовем голономным. Если же эти дифференциалы неполные [Ков1, Лап1, Фав], т.е. не выполняются предположения (1.5, 1.12, 1.21,...), то многообразие Vn назовем неголономным ~ [Шев9,10,11] и обозначим Vn . В §1 рассматривалось, фактически, голономное гладкое многообразие 0

Vn . Касательное пространство p-го порядка неголономного гладкого мно~ ~ гообразия Vn обозначим T p , n ( n p − 1) ~p p-1 (n>1). dim T =n(1+n+...+n )= n −1 Обозначения касательных пространств и их подпространств в голономном и неголономном случаях можно не различать, если для отличия в неголономном случае писать Dim вместо dim и говорить о неголономной размерности взамен голономной. Например, неголономная и голономная размерности соприкасающегося пространства Т2 запишутся так: n DimT2=n(1+n), dimT2= (n+3). 2 26

В общем случае структурные уравнения (1.4, 1.8) показывают, по~ прежнему, что над неголономным многообразием Vn имеется главное рас~ слоение реперов L n2 ( Vn ), типовым слоем которого является линейная ~ группа L n2 =GL(n), действующая в касательном пространстве Tn к много~ ~ образию Vn в фиксированной точке А∈ Vn . Здесь нет отличия от голоном0

ного многообразия Vn . Различие обнаруживается, начиная с расслоения 2~ го порядка. Действительно, над неголономным многообразием Vn возни~ ~ кает главное расслоение неголономных реперов 2-го порядка L2 ( Vn ) со структурными уравнениями (1.4, 1.8, 1.17) без условий (1.15), типовым слоем которого служит неголономная [Лум3] дифференциальная группа 2~ ~ ~ го порядка L2 ⊃ L n 2 , dim L2 =n2(1+n). Группа L2 действует в касательном ~ ~ пространстве 2-го порядка T 2 к неголономному многообразию Vn в точке ~ А∈ Vn . Далее вводится расслоение неголономных реперов 3-го порядка ~ ~ I I L3 ( Vn ) со структурными формами ωI , ωJI , ωJK , ωJKL , несимметричными ни по ~ ~ какой паре нижних индексов. Типовым слоем расслоения L3 ( Vn ) является ~ ~ неголономная дифференциальная группа 3-го порядка L3 ⊃ L2 , ~ ~ dim L3 =n2(1+n+n2). Группа L3 действует в касательном пространстве 3-го ~ порядка T 3 . В результате получается ~ Теорема. Над неголономным гладким многообразием Vn возникает по~ ~ следовательность расслоений неголономных реперов Lp ( Vn ) порядков p=1,2,..., типовым слоем каждого из которых является неголономная ~ ~ дифференциальная группа Lp ( L1 =GL(n)) соответствующего порядка с размерностью 2 p ~p . ~ p n ( n − 1) (n>1), dim L =n dim T = n −1 ~ действующая в касательном пространстве T p , отнесенному к подвижному реперу { e I1 , e I1I2 ,..., e I1... Ip }, где все векторы несимметричны (различны

при перестановках индексов). Замечания 1. С точностью до 1-й дифференциальной окрестности голономное и неголономное гладкие многообразия совпадают. Это служит причиной того, что их обычно не различают. 27

2. Впервые исследовал неголономное гладкое многообразие А. К. Рыбников [4], говоря, что рассматривает дифференцируемое многообразие, отнесенное к неголономным реперам. ~ 3. В неголономном случае соприкасающееся пространство T p есть слой касательного расслоения А. К. Рыбникова [4], обобщающего расслоение Лаптева, но не совпадающего с расслоением Эресмана [Лум7], называемого также неголономным соприкасающимся сверхвекторным расслоением [Лум8]. 4. Введенные Ю. Г. Лумисте неголономная дифференциальная группа и соответствующее главное расслоение, присоединенное к многообразию более общим способом, чем у нас, назывались им впоследствии полуголономной дифференциальной группой и расслоением полуголономных кореперов [Лум7],а также расслоением соприкасающихся неголономных сверхреперов [Лум8]. §3. Параллелизуемое многообразие и группа Ли

Возьмем r-мерное гладкое многообразие Пr со структурными уравнениями Лаптева D ωα = ωβ ∧ ωβα (α, β, γ, δ, ε=1, r ),

(1)

продолжение которых имеет вид (1.8): α D ωβα = ωβγ ∧ ωαγ + ωγ ∧ ωβγ ,

(2)

причем α ωβγ ∧ ωβ ∧ ωγ =0.

(3)

Предположим, что в правых частях уравнений (2) содержатся те же формы, что и в левых, т.е. формы ωβα являются линейными комбинациями базисных форм ωγ α ωβα = Cβγ ωγ ,

(4)

α где Сβγ − некоторые функции на многообразии Пr. Подставляя выражения

(4) в уравнения (1), получим α D ωα = Cβγ ωβ ∧ ωγ .

(5)

Обозначая круглыми скобками симметрирование, преобразуем уравнение (5)

28

D ωα = (C (αβγ ) + C[αβγ ] )ωβ ∧ ωγ = C[αβγ ]ωβ ∧ ωγ , потому что 1

1

2

2

C (αβγ ) ωβ ∧ ωγ = C (αβγ ) ωβ ∧ ωγ + C (αβγ ) ωβ ∧ ωγ = 1 1 1 1 = C(αβγ ) ωβ ∧ ωγ - C(αβγ ) ωγ ∧ ωβ = C β γα ∧ ωγ - C(αγβ ) ωβ ∧ ωγ =0. 2

2

2

2

α Эти преобразования объясняют, почему коэффициенты Сβγ в уравнениях

(5) считают антисимметричными: С (αβγ ) =0.

(6)

Дифференцируя внешним образом структурные уравнения (5), получим α α ωδγ − C αδγ ωβδ )∧ ωβ ∧ ωγ =0. (d Сβγ - Cβδ

(7)

α Допустим, что функции Сβγ образуют тензор на многообразии Пr с диффе-

ренциальными уравнениями α βγ

def

α α δ α δ − Cβδ ωδγ − C αδγ ωβδ + Cβγ ωαδ = Cβγ Δ С = dCβγ δω ,

(8)

причем согласно соотношениям (6) C (αβγ ) δ = 0 .

(9)

Уравнения (8) с помощью выражений (4) упрощаются ∧

α δ α dCβγ = C βγ δω ,

(10)

α α α ε α ε ε α C βγ δ = Cβγδ + Cβε C γδ + C εγ Cβδ − Cβγ C εδ .

(11)

где ∧

При фиксации точки А многообразия Пr, т.е. при ωδ = 0 , из уравнений (10) α =0. Значит, в фиксированной точке А многообразия Пr функции имеем δ Cβγ α α Cβγ = Cβγ (А) принимают определенные значения. Таким образом, каждая из α является относительным инвариантом [Лап2]. функций Cβγ

Преобразуем равенства (7) с помощью уравнений (8) и выражений (4) α ε (Cβγδ − Cβγ C αεδ )ωδ ∧ ωβ ∧ ωγ =0.

(12)

Лемма. Равенство 29

C αβγ ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0,

(13)

где формы ωα линейно независимы, имеет место тогда и только тогда, когда функции C αβγ удовлетворяют условиям C[ αβγ ] =0. Доказательство. В силу антикоммутативности внешнего произведения линейных форм коэффициенты C αβγ можно считать антисимметричными

по рядом стоящим индексам α,β и β, γ, поэтому C αβγ = - Cβαγ = Cβγα = - C γβα = C γαβ = - C αγβ . Следовательно, при циклической перестановке индексов величины C αβγ не меняются. Запишем симметрирование и альтернирование функций C αβγ 1 C ( αβγ ) = ( C αβγ + Cβγα + C γαβ + C αγβ + Cβαγ + C γβα ), 6 C[ αβγ ] =

1 ( C αβγ + Cβγα + C γαβ - C αγβ - Cβαγ - C γβα ). 6

Сложим левые и правые части этих формул def 1 C( αβγ ) + C[ αβγ ] = ( C αβγ + Cβγα + C γαβ ) = C{αβγ } , 3

где фигурные скобки обозначают циклирование. Преобразуем равенство (13) 3 C αβγ ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0, ( C αβγ + Cβγα + C γαβ ) ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0, C{αβγ } ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0, C( αβγ ) ωα ∧ ωβ ∧ ωγ + C[ αβγ ] ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0. Первое слагаемое обращается в нуль, поэтому C[ αβγ ] ωα ∧ ωβ ∧ ωγ =0 ⇔ C[ αβγ ] =0. В силу леммы из равенств (12) получим C[βγ δ ] - C[εβγ C αε δ ] =0, откуда с учетом условий (6,9), найдем обобщенные тождества Якоби C{αβγ δ} = C{εβγ C αε δ} .

(14)

Определение 1. Гладкое многообразие Пr со структурными уравнениями (1) при выполнении условий (4,6,8,9,14) называется параллелизуеα мым [Sl] с тензором кручения Cβγ или многообразием со структурой аб-

30

α солютного параллелизма [Стер]. Совокупность функций Cβγ будем назы-

вать структурным тензором. Теорема 1. Параллелизуемое многообразие Пr неголономно. Доказательство. Дифференцируя внешним образом формы (4), получим α α γ Dωβα = dCβγ ∧ ωγ + Cβγ C δε ωδ ∧ ωε .

Используя уравнения (8), найдем α δ Dωβα = (Cβγδ ωδ + C αδγ ωβδ − Cβγ ωαδ )∧ ωγ .

(15)

Внешнее произведение ωβγ ∧ ωαγ = ωβδ ∧ C αδγ ωγ совпадает со 2-м слагаемым в формуле (15) после раскрытия скобок, поэтому формулу можно представить в виде (2), где α δ α ωβγ = Cβγ ωαδ − Cβγδ ωδ .

(16)

α Согласно условиям (6,9) формы ωβγ антисимметричны по нижним ин-

дексам. С другой стороны, γ δ ωβγ ∧ ωαγ = Cβδ ωδ ∧ ωαγ = Cβγ ωγ ∧ ωαδ ,

поэтому формула (15) представляется в виде (2), где вместо выражений (16) нужно взять α α ωβγ = C αγδ ωβδ − Cβγδ ωδ ,

(17)

причем эти формы несимметричны по индексам β и γ. Вне зависимости от α не являются симметричвыражений (16), (17) трехиндексные формы ωβγ ными по нижним индексам, поэтому многообразие Пr неголономно. α Определение 2. Структурный тензор Cβγ назовем абсолютным (ср. [Лум15]), если правая часть дифференциальных уравнений (8) равна нулю, т.е. α Cβγ δ =0.

(18)

Теорема 2. Параллелизуемое многообразие Пr с абсолютным струкα турным тензором Cβγ является группой Ли Gr. Доказательство. С учетом условий (18) соотношения (14) упрощаются

C{εβγ C αε δ} =0.

(19) 31

∧

α = 3C{αβ ε C εγδ} , откуда Подставляя условия (18) в выражения (11), найдем C βγδ ∧

α с помощью равенств (19) получим C βγδ =0. Тогда упрощаются уравнения

α α =0 ⇔ Cβγ =const, т.е. относительные инварианты стали абсолют(10) dCβγ α , удовлетворяющие условию антисимметрии ными. Итак, постоянные Cβγ

(6) и тождествам Якоби (19), определяют r-членную группу Ли Gr со структурными уравнениями (5). Теорема 3. Параллелизуемое многообразие Пr, относительные инварианты которого являются абсолютными, есть группа Ли Gr. ∧

α βγ

α Доказательство. В случае C =const из уравнений (10) имеем C βγδ =0.

Используя

выражения

(11),

найдем

α Cβγδ = 3C{εβγ C αε δ} ,

откуда

C{αβγ δ} = 3C{εβγ C αε δ} , что в сопоставлении с условиями (14) дает тождества Якоби (19), характеризующие группу Ли Gr. Теорема 4. Группа Ли Gr является неголономным гладким многообразием. Доказательство. Пусть дана группа Ли Gr со структурными уравнениями (5), которые получены из уравнений (1) подстановкой выражений α антисимметричны (6) и удовлетворяют тождествам (4). Константы Cβγ Якоби (19). Дифференцируя внешним образом выражения (4) с помощью уравнений (5), получим α γ D ωβα = Cβγ C δε ωδ ∧ ωε .

(20)

Преобразуем тождества Якоби (19) α γ γ γ Cβγ C δε + C αδγ C εβ + C αεγ Cβδ = 0.

Выражая отсюда 1-е слагаемое и подставляя в уравнения (20), имеем γ γ D ωβα = ( −C αδγ C εβ − C αεγ Cβδ )ωδ ∧ ωε .

(21)

Раскроем скобки, воспользуемся выражениями (4) и антисимметрией (6) в 1-м слагаемом γ Dωβα = − ωαγ ∧ ωβγ − C αεγ Cβδ ωδ ∧ ωε .

Пользуясь антикоммутативностью внешнего умножения в 1-м слагаемом и взаимозаменяя индексы γ и δ во 2-м слагаемом, получим δ Dωβα = ωβγ ∧ ωαγ − C αεδ Cβγ ωγ ∧ ωε ,

32

а это формула (2), в которой α δ ωβγ = Cβγ ωαδ .

(22)

α Здесь формы ωβγ антисимметричны по индексам β и γ.

Формулу (21) можно преобразовать иначе. Раскрывая скобки, видоизменим 2-е слагаемое γ Dωβα = −C αδγ C εβ ωδ ∧ ωε + ωβγ ∧ ωαγ .

Переставляя слагаемые местами и взаимозаменяя индексы γ и δ, имеем Dωβα = ωβγ ∧ ωαγ − C αγ δ C δεβ ωγ ∧ ωε , т.е. получили формулу (2) с другими, трехиндексными формами α ωβγ = C αγδ ωβδ ,

(23)

которые несимметричны по нижним индексам. α Итак, формы ωβγ не являются симметричными по индексам β и γ вне зависимости от их выражений (22,23). Значит, группа Ли Gr неголономна независимо от разных представлений присоединенных к ней структурных уравнений (2). Замечания 1. В структурных уравнениях (5) обычно пишут множитель

1 2

, что не

играет существенной роли и не всегда удобно. 2. В случае группы Ли Gr тождества Якоби (19) можно получить непосредственно из условий (7), не вводя понятие структурного тензора и обобщенных тождеств Якоби (14). 3. Теорема 4 доказана самостоятельно без помощи структурного тензора, хотя она является следствием теоремы 1, т.к. формы (22,23) есть частные случаи форм (16,17) при условии (18). 4.Трехиндексные формы (16,17,22,23) удовлетворяют условию (3), т.к. для параллелизуемого многообразия оно эквивалентно обобщенным тождествам Якоби (14), а для группы Ли Gr − тождествам Якоби (19). §4. Составное многообразие и главное расслоение

Исследуем N-мерное гладкое многообразие VN со структурными уравнениями (1.4) 33

D ωI = ωJ ∧ ωJI (I,J,K= 1, N ).

(1)

Продолжение уравнений (1) дает (1.8) I , D ωJI = ωJK ∧ ωIK + ωK ∧ ωJK

(2)

I ωJK ∧ ωJ ∧ ωK =0.

(3)

I симметричны Если многообразие VN голономно, то формы ωJK

ω[IJK ] =0.

(4)

Из этих условий следует выполнение условий (3), но не наоборот. Если многообразие VN неголономно, то условия (3) выполняются для несимметI . ричных форм ωJK Зададим натуральное число mr) − фигура Ф не может переноситься абсолютно параллельно ни в какой связности; б) единственное решение (k=r) − объект связности Γiα однозначно выражается через геометрический объект λu и его пфаффовы производные λui , т.е. существует единственная групповая связность, в которой фигура Ф переносится абсолютно параллельно (аналог связности Леви-Чивита); в) бесчисленное множество решений (k