Критерии качества систем автоматического управления: Методические указания

Федеральное агентство по образованию ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизации технологических процессов

В. Г. Васильев Критерии качества систем автоматического управления для студентов 3 курса спец. 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и для студентов 3 курса спец. 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике " по курсу “Управление в медико-биологических системах ”

Tверь 2007

2

УДК [681.326+681322](075.8) ББК 32.965 Я7 Методические указания предназначены для студентов 3 курса спец. 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и для студентов спец. 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике" по курсу “Управление в медико-биологических системах”. Рассмотрены методы оптимизации систем управления по интегральным критериям качества. Обсуждены на заседании кафедры и рекомендованы к печати (протокол N 5 от 16 ноября 2007 г.). Составитель: доцент кафедры Автоматизации технологических процессов В.Г. Васильев.

©Тверской государственный технический университет, 2007 © Васильев В.Г., 2007

3

СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………….……………………….3 1. Интегральные критерии качества…………………………………………4 2. Линейные и квадратичные интегральные критерии качества переходных процессов в системах управления ……………………………………………5 3 Интегральный квадратичный критерий отклонения переходной функции системы от эталона………..……………………………………………………9 4. Алгоритм расчета параметров настройки регулятора по критерию минимума квадрата отклонения переходного процесса от эталона………..10 5. Решение контрольных – тестовых примеров……………………………..12 Использованная литература……………………………………………………16

Введение Качество автоматической системы управления (САУ) определяется совокупностью свойств, обеспечивающих эффективное функционирование как самого объекта управления, так и управляющего устройства, т.е. всей системы управления в целом. Свойства, составляющие эту совокупность и имеющие количественные измерители, называются

критериями (показателями) качества системы

управления. Качество автоматической

системы, как и любого технического

устройчства, может быть оценено такими общепринятыми показателями, как вес

системы,

её

габариты,

стоимость,

надёжность,

долговечность.

Совокупность этих общетехнических показателей характеризует качество СУ в широком смысле. В практике автоматизации термины “качество системы”, “качество управления” используют, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы. Эти свойства

4

предопределяют точность поддержания управляемой величины (выходной величины объекта) на заданном уровне в установившихся и переходных режимах, т.е. обеспечивают эффективность процесса управления. Для такого, более узкого понятия качества САУ, охватывающего только её статические и динамические свойства, применяют термин “качество управления”, а сами свойства

системы,

выраженные

в

количественной

форме,

называют

показателями качества управления. Для анализа качества управления могут быть использованы прямые и косвенные методы оценки. Прямые методы определения качества базируются на

исследовании

переходного

процесса,

дают

наиболее

достоверную

информацию с последующим определением показаний качества. Косвенные методы определения качества позволяют по косвенным признакам, не решая ни дифференциальных,

ни

характеристических

уравнений,

получить

приближенный переходный процесс с приближенными показателями качества. Прямые и косвенные критерии качества характеризует лишь одно какое-либо свойство

системы,

характеристики. параметрами

лишь Все

один

признак

показатели

регулятора

переходной

качества

сложными

связаны

или с

частотной

настроечными

зависимостями,

имеющими

противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшения одних показателей качества и к ухудшению других.

Это значительно усложняет

выбор параметров регулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные критерии показателей

качества,

которые

качества.

вычисляют

Это

либо

особая

категория

непосредственно

по

переходной функции системы, либо по коэффициентам передаточной функции системы. 1. Интегральные критерии качества Интегральные оценки представляют собой определенные интегралы по времени (в пределах от 0 до ∞ , или до ожидаемого времени переходного

5

процесса) от некоторой функции управляемой переменной y(t) (или сигнала ошибки e(t)): Q=

∞

∫ f ( y(t ), t ) dt →

min

0

Подынтегральная функция f выбирается таким образом, чтобы интеграл лучше характеризовал качество системы и проще выражался через коэффициенты передаточной функции замкнутой системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию f вводят не абсолютные значения y(t) или e(t), а их отклонения от конечных, установившихся значений. Таким образом, интегральный критерий можно использовать для выбора оптимального значения какого-либо параметра системы, обеспечивающего экстремум критерия оптимальности. В качестве идеального переходного процесса в принципе может считаться любой, удовлетворяющий тем или иным условиям. Обычно принято считать идеальным переходным процессом или ступенчатый (скачкообразный) переходной процесс, протекающий мгновенно и без перерегулирования, или процесс, представляемый

экспонентной с

заданными параметрами. В практике проектирования систем управления наибольшее применение находят линейные и квадратичные

интегральные

критерии качества. 2. Линейные и квадратичные интегральные критерии качества переходных процессов в системах управления Такие критерии качества имеют следующий вид: ∞

∫

Ј1 =

y dt;

0

∞

∫

Ј2 =

y2 dt;

0

∞

Ј3 =

∫

0

[ y2+ τ2(yx' )2] dt.

6

Здесь y =y(t) – функция времени, характеризующая отклонение регулируемого параметра от заданного значения. Иногда в практике применяются и оценки более общего вида. По величине интегралов Ј1, Ј2, Ј3 можно приблизительно судить о качестве переходного процесса. Показатели качества при этом связываются с площадями, заключенными между подынтегральной функцией и осью времени. Если система из состояния равновесия, характеризуемого y0 = 0, переходит к новому состоянию равновесия при y1, то, очевидно, практически неосуществимым идеалом переходного процесса будет процесс, при котором регулируемой параметр мгновенно достигает заданного нового равновесного значения, т.е. когда переходный процесс имеет скачкообразную форму. Очевидно, что реальный переходный процесс, имеющий вид, показанный на рис. 1.а, тем меньше будет отличаться от идеального переходного процесса, чем меньше будет заштрихованная площадь.

Рис.. 1 Примеры переходных процессов

∞

Интеграл вида Ј1 =

∫

y dt представляет собой алгебраическую (т.е. с

0

учетом знаков) сумму площадей, ограниченных кривой переходного процесса и линией нового заданного состояния равновесия, где отдельные площади суммируются с разными знаками. Такой интеграл может дать правильное суждение о переходном процессе только в случае монотонного переходного

7

процесса. Чем меньше Ј1 тем выше качество регулирования при монотонном переходном процессе. Для колебательного процесса (рис. 1.б) такое суждение может быть и ошибочным. В силу этого область применения интеграла Ј1 ограничена. Качество колебательного переходного процесса поэтому лучше оценивать ∞

интегралом вида Ј2 =

∫

y2dt, т.е. по квадратичному интегральному отклонению.

0

Чем меньше будет сумма абсолютных величин площадей между линией (рис. 1. в), определяющей идеальный переходный процесс, и кривой, соответствующей реальному переходному процессу и чем меньше будет значение этого интеграла,

тем, очевидно, будет выше качественные показатели системы.

Однако, следует заметить, что так как рассматриваемая квадратичная интегральная форма оценивает процесс по сумме площадей, то монотонный и колебательный процессы могут при определенных условиях иметь такое соотношение рассматриваемых площадей, при котором сильно колебательный переходный процесс представится лучшим, чем монотонный, что в ряде случаев

не

является

несущественно,

такая

правильным.

Только

интегральная

форма

если дает

наличие

колебаний

качественную

оценку

удовлетворительно, в противном случае рекомендуется пользоваться другой, более сложной интегральной формулой вида ∞

Ј3 =

∫

[y2+ τ2( y' )2] dt,

0

где y(t) –отклонение регулируемого параметра от заданного значения; τ – постоянная, имеющая размерность времени. Такая форма целесообразна потому, что величина интеграла Ј2 никак не отражает плавности процесса регулирования. Поэтому, для того чтобы учесть плавность протекания процесса, логично добавить оценку, зависящую от скорости изменения регулируемого параметра. Интеграл Ј3 можно преобразовать так:

8

∞

Ј3 =

∫

∞

2

(y+ τy' ) dt - 2 τ

0

∫

∞

y y' dt =

0

∫

(y+ τy' )2 dt + |y2 τ| 0∞ .

0

Так как y∞ = 0, то, обозначая величину y при t = 0 через y0, получим: ∞

Ј3 =

∫

( y+ τy' )2 dt + τ y 02 .

0

При заданной постоянной τ рассматриваемый интеграл имеет минимум, если первое слагаемое в выражении для Ј3 обращается в нуль, т.е. если обращается в нуль подынтегральная функция. Следовательно, Ј3 минимален, если x удовлетворяет уравнению y+ τy' = 0. Отсюда следует, что наилучшее качество переходного процесса имеет место в случае, если он имеет вид экспоненты, определяемой следующим уравнением: y = y0 е-1/τ . Таким образом, идеализированным переходным процессом в этом случае считается не скачкообразная ломаная, а экспонента, к которой и должен стремится реальный переходный процесс. Оценку качества системы по минимуму интеграла Ј3 следует производить только в тех случаях, когда можно, исходя из требований, с одной стороны, плавности переходного процесса регулирования, а с другой стороны – быстродействия, указать примерное значение показателя τ оптимальной экспоненты. При различных значениях τ идеализированная экспонента будет иметь иной вид или, иными словами, величина Ј3 для одного и того же действительного процесса будет при выборе различных τ тоже различна, поскольку в этих случаях один и тот же процесс сравнивается с различными эталонами. Определение косвенных показателей качества по интегралу вида Ј3 дает удовлетворительные результаты и для систем, склонных к повышенной колебательности.

9

Вычисление интегральных оценок, имеет смысл проводить только для заведомо устойчивых систем, и вычисление это может осуществляться различно.

Естественно,

что

любая

коэффициентов передаточной функции

интегральная

оценка

зависит

от

и в конечном счете от выбранных

параметров настройки регулятора. Абсолютное значение любой интегральной оценки само по себе не представляет интереса. Они служат лишь для сопоставления различных вариантов настройки одной и той же системы. 3 Интегральный квадратичный критерий отклонения переходной функции системы от эталона. Расширение класса процессов, применяемых в качестве образцовых (эталонных), и более четкая постановка задачи оптимизации системы достигается при применении интегральной квадратичной оценки Jэт отклонения от заданной (эталонной) функции уэт. Эта оценка Jэт определяется равенством ∞

Jэт =

∞

∫

2

δ (t)dt =

0

∫

[ уэт(t) – y(t)]2 dt

0

и представляет собой площадь, ограниченную кривой квадратичного отклонения δ2 процесса управления в исследуемой системе уп от рационально назначенного наилучшего процесса уэт. Необходимо условием сходимости оценки Jэт служит равенство lim | уэт(t) – y(t)| = 0. t→ ∞

Для критерия ∞

Ј3 =

∫

( x+ τ x' )2 dt + τ x 02 .

0

наилучшее качество переходного процесса имеет место в случае, если он имеет вид экспоненты, к которой и должен стремится реальный переходный процесс. Ранее уже говорилось, что оценку качества системы по данному критерию следует производить только в тех случаях, когда можно, исходя из требований, с одной стороны, плавности переходного процесса регулирования, а с другой

10

стороны – быстродействия, указать примерное значение показателя τ оптимальной экспоненты. Задавая численное значение τ, ограничивают быстродействие оптимальной (эталонной) системы и обеспечивают плавность протекания оптимального процесса. Часто при этом обычно полагают

1/6tp < τ < 1/3 tp где tp - требуемое время установления. Интегральная оценка зависит от коэффициентов передаточной функции системы, которая, в свою очередь, зависит от выбранных параметров регулятора. Для ПИД- регулятора, как известно, их три. Поэтому показатель качества настройки регулятора – величина квадрата отклонения переходного процесса от эталонной кривой может быть представлена в виде функции трех переменных ∞

Jэт =

∫

∞

2

δ (t)dt =

0

∫

[ уэт(t) – y(t)]2 dt = f( Kp, Ki K d)

0

Однако это функцию сложно задать в явном виде, так как y(t)

является

решением дифференциального уравнения, описывающего систему управления. Поэтому задачу поиска

оптимального значения параметров настройки

регулятора проще решать численным методом. Для этого может быть преложен следующий алгоритм. 4. Алгоритм расчета параметров настройки регулятора по критерию минимума квадрата отклонения переходного процесса от эталона Будем полагать, что устойчивость системы зависит от выбранных параметров ПИД – регулятора

и система структурно устойчива.

К

переходному процессу предъявляются следующие требования: процесс должен протекать по экспоненциальной эталонной кривой с целью ограничить быстродействие переходного процесcа и сделать его апериодическим. Тогда

11

вычислительная сторона поиска оптимальных настроек регулятора сводится к следующим основным шагам: 1. Находим передаточную функцию замкнутой системы как функцию настроечных параметров ПИД- регулятора, т.е поиск минимума критерия ведем в пространстве трех переменных. 2. По передаточной функции составляем систему дифференциальных уравнений, описывающих процесс регулирования / управления. 3. Решаем систему дифференциальных уравнений одним из известных нам методов. 4. Находим значение критерия ∞

Jэт =

∫

∞

2

δ (t)dt =

0

∫

[ уэт(t) – y(t)]2 dt

0

5. Сравниваем величину Jэт со значением критерия, полученным

при

выбранных параметрах ПИД- регулятора - Kp, Ki K d. на предыдущем шаге. 6. Если значение критерия окажется меньше, то

параметры

Kp, Ki Kd

запоминаются как потенциально оптимальные по выбранному критерию. В противном случае меняем настройки регулятора и вычислительный процесс повторяем с шага 3. В рассмотренном алгоритме можно выделить три ключевых и сложных с вычислительной стороны пункта: 1) расчет переходного процесса в системе; 2) оценка ее устойчивости; 3) и оптимизации критерия. Рассмотрим подробно последний пункт. Будем полагать, что предельные настроечные параметры регулятора известны и определяются либо его конструктивным исполнением, либо исходя из устойчивости системы при этих значениях. Тогда математически задачу поиска оптимальных настроек регулятора можно записать виде :

12

-требуется найти ∞

Jэт =

∫

∞

2

δ (t)dt =

0

∫

[ уэт(t) – y(t)]2 dt -> min

0

при ограничениях: 0