Учебно-практическое пособие по математике для студентов педагогических вузов нематематических специальностей

Учебно-практическое пособие по математике для студентов педагогических вузов нематематических специальностей

Челябинск 2006

Федеральное агентство по образованию РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный педагогический университет»

Учебно-практическое пособие по математике для студентов педагогических вузов нематематических специальностей

Челябинск 2006

УДК 51(021) ББК 22.1 Я 73 Г 69

Т. В. Горкунова, Е. В. Коробейникова. Учебно-практическое пособие по математике

для

студентов

педагогических

вузов

нематематических

специальностей. – Челябинск: издательство ЧГПУ, 2006. – 166 с.

Учебно-практическое пособие направлено на закрепление студентамибудущими учителями теоретических знаний по дисциплине «Математика» в рамках курса «Математика и информатика», на выработку у них умений и навыков по решению практических задач по темам: «Математическая логика», «Теория множеств», «Системы

счисления», «Комбинаторика», «Теория

вероятностей», «Математическая статистика».

Рецезенты: А. С. Макаров, к. ф.-м. н., профессор ЧГПУ В. Л. Дильман, к. ф.-м. н., доцент ЮУрГУ

©Издательство Челябинского государственного педагогического университета, 2006

СОДЕРЖАНИЕ Введение ............................................................................................................... 5 Тема 1. Логика и исчисление высказываний ............................................... 6 Общие теоретические сведения................................................................ 6 Практические задания. Примеры решений ............................................. 10 Задачи для самостоятельного решения .......................................... 22 Домашнее задание ............................................................................ 29 Контрольные вопросы ............................................................................... 32 Библиографический список ....................................................................... 33 Тема 2. Множества и операции над ними .................................................... 33 Общие теоретические сведения ............................................................... 33 Практические задания. Примеры решений ............................................. 41 Задачи для самостоятельного решения .......................................... 54 Домашнее задание ............................................................................ 57 Контрольные вопросы ............................................................................... 59 Библиографический список ....................................................................... 60 Тема 3. Системы счисления ............................................................................. 60 Общие теоретические сведения ............................................................... 61 Практические задания. Примеры решений ............................................. 67 Задачи для самостоятельного решения .......................................... 81 Домашнее задание ............................................................................ 87 Контрольные вопросы ............................................................................... 89 Библиографический список ....................................................................... 89 Тема 4. Комбинаторика ..................................................................................... 90 Общие теоретические сведения................................................................ 90 Практические задания. Примеры решений .............................................. 93 Задачи для самостоятельного решения........................................... 99 Домашнее задание............................................................................. 102

Контрольные вопросы ................................................................................ 105 Библиографический список......................................................................... 106 Тема 5. Теория вероятностей ............................................................................ 106 Общие теоретические сведения................................................................ 107 Практические задания. Примеры решений .............................................. 112 Задачи для самостоятельного решения........................................... 121 Домашнее задание............................................................................. 128 Контрольные вопросы ................................................................................ 130 Библиографический список......................................................................... 131 Тема 6. Математическая статистика............................................................... 131 Общие теоретические сведения................................................................ 132 Практические задания. Примеры решений .............................................. 142 Задачи для самостоятельного решения........................................... 154 Домашнее задание............................................................................. 163 Контрольные вопросы ................................................................................ 165 Библиографический список......................................................................... 166

Введение Развитие общества, рост конкуренции на рынке труда, разнообразие образовательных программ и учреждений, введение новых методик обучения, управления, контроля и оценки качества образования на основе математических методов с использованием современных технологий предъявляют новые требования к математической компетенции будущего учителя. В естественнонаучный компонент образовательных стандартов второго поколения был введен комплексный курс «Математика и информатика». Данное пособие направлено на закрепление студентами-будущими учителями теоретических знаний по дисциплине «Математика» в рамках данного курса, на выработку у них умений и навыков по решению практических задач по разделам: «Математическая логика», «Теория множеств», «Системы счисления»,

«Комбинаторика»,

«Теория

вероятностей»,

«Математическая

статистика». Материалы пособия могут быть использованы студентами, как для аудиторной работы, так и для самостоятельного усвоения вышеуказанных тем. Также издание может применяться преподавателями для подготовки и проведения практических занятий, организации самостоятельной работы студентов и контрольных и зачетных мероприятий по математике. Практикум разбит на шесть тем, структура каждой из них представлена следующим образом: краткий теоретический обзор темы, примеры решения задач, практические и домашние задания, контрольные вопросы, список литературы. Авторы рекомендуют следующую технологию работы студентов при самостоятельном изучении разделов. 1. Повторить теоретический материал по соответствующей теме, используя лекции или указанную литературу. 2. Ознакомиться с примерами решения задач.

3. Решить

и оформить в соответствии с образцом задачи для

самостоятельной работы, обозначенные *, затем **, затем ***. 4. Правильное решение задач, обозначенных *, означает усвоение темы на оценку

«удовлетворительно»,

задач, обозначенных

**

и

***

–

соответственно «хорошо» и «отлично». 5. Решить задачи одного варианта домашнего задания. 6. Ответить письменно на контрольные вопросы. Тема 1. Логика и исчисление высказываний Цель: получить представление о методах и средствах формальной логики для решения практических задач. Задачи: 1) определять простые и сложные высказывания, выявлять в сложных высказываниях логические связки; 2) осуществлять перевод с естественного языка на формальный и с формального на естественный язык; 3) определять значение истинности логической формулы, доказывать тождественную

истинность

или

ложность

формул,

доказывать

логические законы; 4) решать практические задачи с применением логических

формул и

таблиц истинности; 5) строить цепочки умозаключений с применением законов

формальной

логики. Общие теоретические сведения Математическая логика – формальная теория, изучающая способы правильных рассуждений с помощью специального аппарата символов и исчислений (формализированных языков). Основным объектом исследования математической логики является высказывание. Высказывание (простое высказывание) – это утвердительное повествовательное предложение, являющееся истинным или ложным. В

математической логике высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, … Сложное высказываний.

высказывание Каждой

состоит

логической

из связке

ряда

связанных

сложного

простых

высказывания

соответствует логическая операция, имеющая свое символьное обозначение (см. табл. 1). Таблица 1

Не

Отрицание

А

Правила чтения

Обозначение

Связка

Операция

Условные обозначения логических связок

Не А

И

Конъюнкция

А∧ В

АиВ

Или

Дизъюнкция

А∨ В

А или В

Если…, то…

Импликация

А⇒ В

Если А, то В

…, тогда и только тогда, когда…

Эквиваленция

А⇔ В

А тогда и только тогда, когда В

Пример А – Преподаватель читает лекции, В – Преподаватель ведет практику А – Преподаватель не

читает лекции, В – Преподаватель не ведет практику А ∧ В – Преподаватель читает лекции и (преподаватель) ведет практику А ∨ В – Преподаватель читает лекции или (преподаватель) ведет практику А ⇒ В – Если преподаватель читает лекции, то он (преподаватель) ведет практику А ⇔ В – Преподаватель читает лекции, тогда и только тогда, когда он (преподаватель) ведет практику

Истинное высказывание условимся обозначать латинской буквой T (true), ложное высказывание F (false). Чтобы

определить

значение

истинности

для

сложной

формулы,

необходимо знать значения истинности для операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции (см. табл. 2 - 6). Таблица 2 Таблица истинности для отрицания А А T F F T Таблица 3 Таблица истинности для конъюнкции А В А∧ В T T

T

T F

F

F T

F

F F

F Таблица 4

Таблица истинности для дизъюнкции А В А∨ В T T

T

T F

T

F T

T

F F

F Таблица 5

Таблица истинности для импликации А В А⇒ В T T

T

T F

F

F T

T

F F

T

Таблица 6 Таблица истинности для эквиваленции А В А⇔ В T T

T

T F

F

F T

F

F F

T

Формулы, имеющие все значения истинности при любых значениях переменных, называются тождественно-истинными. Тождественно-истинные формулы являются законами логики. Логические законы доказываются с помощью таблиц истинности. Алгоритм перевода высказываний с естественного языка на формальный 1. Выделить и обозначить простые высказывания. 2. Найти логические связки и заменить их на соответствующие логические операции. 3. Записать логическую формулу сложного высказывания. 4. Сделать проверку на соответствие полученной формулы исходному высказыванию. Алгоритм перевода высказывания с формального языка на естественный 1. Заменить логическую переменную простым высказыванием. 2. Логические

операции

заменить

соответствующими

логическими

связками. 3. Составить предложение. Используя перевод естественной речи на язык математической логики, таблицы истинности, законы формальной логики в рассуждениях, а также теорию

графов,

можно

решать

текстовые

задачи,

встречающиеся

повседневной и профессиональной деятельности любого человека.

в

Практические задания Примеры решений I тип. Определение высказываний, выявление логических связок Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «С утра идет дождь». Решение а) Предложение является повествовательным. б) Мысль выражена утвердительно. в) Относительно данного предложения можно однозначно сказать, является оно ложным или истинным. Ответ: Да, предложение является высказыванием. Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «Реши эту задачу». Решение а) Предложение не является повествовательным (оно побудительное). Ответ: Нет, предложение не является высказыванием. Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «Пробежал дистанцию». Решение а) Предложение является повествовательным. б) Относительно данного предложения невозможно однозначно сказать, истинно оно или ложно, так как не указано, кто пробежал дистанцию. Ответ: Нет, предложение не является высказыванием. Задание. Определить, является ли предложение высказыванием. Если является, то обозначить его и определить истинность: «В море соленая вода». Решение а) Предложение повествовательное. б) Относительно данного предложения можно однозначно сказать, является оно ложным или истинным.

в) Обозначим высказывание латинской буквой: А – В море соленая вода. г) Высказывание истинное, т. е. А = T. Ответ: да, предложение является высказыванием. А – В море соленая вода, А = T. Задание. Определить, из скольки простых высказываний состоит предложение.

Сформулировать

предложение,

используя

наиболее

подходящую логическую связку: «Добросовестный студент учится хорошо». Решение а) В данном предложении два высказывания: «Студент добросовестный», «Студент учится хорошо». б) Наиболее подходящая логическая связка «Если …, то…», так в предложении неявно выражена условная форма. в) Получим предложение: «Если студент добросовестный, то он учится хорошо». Ответ: предложение состоит из двух простых высказываний. «Если студент добросовестный, то он учится хорошо». Задание. Определить, из скольки высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

«В

конце

предложения

надо

обязательно

поставить

точку,

многоточие, восклицательный знак или вопросительный знак». Решение а) Предложение состоит из четырех простых высказываний: В конце предложения надо обязательно поставить точку. В конце предложения надо обязательно поставить многоточие. В конце предложения надо обязательно поставить восклицательный знак. В конце предложения надо обязательно поставить вопросительный знак. б) Так как по смыслу исходного предложения возможен лишь один из вариантов знака препинания, то единственно подходящая логическая связка «или».

в) Получим предложение: «В конце предложения надо обязательно поставить

точку

или

многоточие

или

восклицательный

знак

или

вопросительный знак». Ответ: Предложение состоит из четырех простых высказываний. «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие, или восклицательный знак, или вопросительный знак». Задание. Подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: Если с утра пасмурно, то я беру зонтик. За экзамен я получу «отлично» или за экзамен я получу «хорошо». У зверя нет иголок тогда и только тогда, когда зверь не ежик или зверь не дикообраз. Неверно следующее высказывание: небо пасмурное тогда и только тогда, когда идет дождь. II тип. Перевод с естественного языка на формальный Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч». Решение а) Простых высказываний в данном предложении два: 1. Солнце светит, 2. На небе есть тучи. Обозначим их латинскими буквами: А – Солнце светит, В – На небе есть тучи. б) Логических связок в данном высказывании две: первая – тогда и только тогда, когда, вторая – нет. Первая соответствует операции эквиваленции ( ⇔ ), вторая – операции отрицания ( ⎯ ). в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод о том, что формула имеет следующий вид: A ⇔ В .

г) Делаем проверку: А – Солнце светит, В – На небе есть тучи, Ù операция эквиваленции (тогда и только тогда, когда), х - операция отрицания (нет). Следовательно, формулу A ⇔ В можно прочитать следующим образом: Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч. Ответ: высказывание соответствует формуле A ⇔ В . Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Неверно высказывание: книга интересная, если она дорогая, и ее скучно читать». Решение а) Простых высказываний в данном предложении три: 1. Книга интересная, 2. Книга дорогая, 3. Книгу скучно читать. Обозначим высказывания латинскими буквами: А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно читать. б) В данном высказывании можно заметить две особенности: 1) посылка и заключение «поменялись местами» друг с другом, 2) частица то в данном предложении пропущена, но можно легко определить ее местоположение – после слова что. Логических связок в данном высказывании три: первая – неверно высказывание, вторая – если, …то, третья – и. Поскольку отрицание стоит в начале предложения, данная операция относится ко всей формуле. Первая логическая связка соответствует операции отрицания ( ⎯ ), вторая – операции импликации (=>), третья – операции конъюнкции (/\). в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид: В ∧ С ⇒ А .

г) Делаем проверку: А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу

скучно читать, => - операция импликации (если, …то), х - операция отрицания (неверно высказывание), /\. - операция конъюнкции (и). Следовательно,

формулу

В∧С⇒ А

можно

прочитать

следующим

образом: Неверно высказывание: если книга дорогая и ее скучно читать, то

она интересная. Ответ: высказывание соответствует формуле В ∧ С ⇒ А . Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко». Решение а) Простых высказываний в данном предложении четыре: 1. В пустыне есть вода, 2. В пустыне есть растения, 3. В пустыне много песка, 4. В пустыне очень жарко. Обозначим высказывания латинскими буквами:

А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко. б) Логических связок в данном высказывании пять: первая – нет,

вторая

– и, третья – нет, четвертая – тогда и только тогда, когда, пятая – или. Первая и третья соответствуют операции отрицания ( ⎯ ), вторая – операции конъюнкции (/\), четвертая – операции эквиваленции (Ù), пятая – операции дизъюнкции (\/). в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий

(

)

вид: А ∧ В ⇔ (С ∨ D ). г) Делаем проверку: А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть

растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко, х –

операция отрицания (нет), /\ – операция конъюнкции (и), \/ – операции дизъюнкции (или), Ù – операции эквиваленции (тогда и только тогда, когда).

(

)

Следовательно, формулу А ∧ В ⇔ (С ∨ D ) можно прочитать следующим образом: В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда

много песка или очень жарко.

(

)

Ответ: высказывание соответствует формуле А ∧ В ⇔ (С ∨ D ) . III тип. Перевод с формального языка на естественный Повторите алгоритм перевода с формального языка на естественный из теоретической части занятия.

Задание. Представить логическую формулу в виде высказывания

(

на

)

русском языке: А ∧ В ⇒ С . Решение а) Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание:

А – Пушкин А. С. – поэт, В – Пушкин А. С. – дуэлянт, С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет. б) Логические

операции

заменим

соответствующими

логическими

связками: А – Пушкин А. С. – не поэт; В – Пушкин А. С. – не дуэлянт;

∧ – и; ⇒ – Если …, то … в) Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные заданными высказываниями, а операции – логическими связками: «Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С. доживет до 70 лет». В

соответствии

с

правилами

русского

языка,

избавимся

от

повторяющихся слов: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет

до 70 лет».

Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет». IV тип. Нахождение значения истинности формулы, доказательство логических законов, доказательство тождественной истинности или ложности

формул

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: х , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ . Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно указав порядок действий X ⇔ X ∨ Y ; Решение X ⇔ X ∨Y

X - первое действие;

X ∨ Y - второе действие; X ⇔ X ∨ Y - третье действие.

X Y X

X ∨Y

X ⇔ X ∨Y

1. T T F

T

F

2. T F F

T

F

3. F T T

T

T

4. F F T

F

F

Ответ: формула принимает истинное значение, когда Х – истина,Y – ложь. Во всех остальных случаях формула принимает значение ложь.

Задание: доказать логический закон исключенного третьего X ∨ X .

Решение X∨X

X - первое действие; X ∨ X - второе действие.

X X

X∨X

1. T

F

T

2. F

T

T

Ответ: формула является законом логики. V тип. Решение задач с применением логических формул и таблиц истинности

Задача. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей

собирались в

кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Сергей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел

с

Сергеем. Решение а) Обозначим простые высказывания:

А – Андрей ходил в кинотеатр, В – Владимир ходил в кинотеатр, С – Сергей ходил в кинотеатр. б) Представим известные факты в виде логических формул:

Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей – А ⇔ В ∧ С . Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей – В ⇒ С . Сергей пошел в кинотеатр – С. в) Из условия следует, что формулы А ⇔ В ∧ С = Т и В ⇒ С = Т и С = Т (истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем значения переменных А и В в тех строках, где данные формулы принимают истинное значение (они выделены темным цветом):

А В С В ∧С

В ∧С

А⇔ В∧С

В⇒С

T

T

T

T

F

F

T

T

T

F

F

T

T

F

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

F

T

T

T

F

T

T

T

F

T

T

F

T

F

F

T

F

F

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F

F

T

F

T

г) Так высказывания А ⇔ В ∧ С и В ⇒ С и С истинны в двух случаях: когда А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один – отклоняются).

Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Владимиром. VI тип. Задачи на применение законов формальной логики

Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей – с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить, у какой подружки какая ручка, Синельникова сказала, что у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у каждой из подружек? Решение а) Решим задачу, используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный; в строках – фамилии: С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего цвета, знак «–» – если стержня нет (см. табл. 7.1.).

Таблица 7.1

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы с к з

С К З б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.). Таблица 7.2

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение) с к з

С – К

– – –

З

в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно, у нее может быть только красная ручка. Поэтому у других подружек уже не может быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3. Таблица 7.3

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение) с к з

С – + – К

–

З

– –

г) Из таблицы 7.3 очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл. 7.4.).

Таблица 7.4

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог) с к з

С – + – К – – + З + – – Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя. Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и позволяет не упустить ни одну версию. Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение при тех же условиях задачи.

Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где некоторые из них соединены линиями. Точки – вершины графа; соединяющие их линии – ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой вершины.

Решение Таблица 8

Решение задачи с помощью графа Граф

Пояснение а) а) В задаче идет речь о двух множествах: множество фамилий (С – с С Синельникова, К – Краснова, З – К к Зеленина) и множество цветов (с – синий, з – зеленый, к – красный). З з Построим граф с соответствующими вершинами б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным ребром (линией), а несоответствующие – пунктирной.

Граф в) С

с

К

к

З

з

г)

д)

е)

С

с

К

к

З

з

С

с

К

к

З

з

С

с

К

к

З

з

Пояснение в) Прочитаем условие. Так как у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии, то соединим С и с, К и к, З и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы г) Так как у Синельниковой нет зеленой ручки, то соединим С и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы. Единственным вариантом остается, что у Синельниковой ручка красного цвета. Соединим С и к сплошной линией как соответствующие элементы д) З и к соединим пунктирной линией, как не соответствующие элементы. Так как у Зелениной нет ни красной, ни зеленой ручки, то у нее синяя ручка. Соединим З и с сплошной линией как соответствующие элементы, и К и с – пунктирной, как не соответствующие элементы е) По графу видно, что у Красновой нет ни синей, ни красной ручки, следовательно, у нее может быть лишь зеленая ручка. Соединим К и з сплошной линией как соответствующие элементы

Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая,

у

Зелениной – синяя. Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально решать с помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с числом элементов более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами, то она решается с помощью графов.

Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 1*. Определить, является ли предложение высказыванием. Высказывания обозначить и определить их истинность: а) Сегодня воскресенье. б) Дисплей – это устройство ввода информации. а) Проверь домашнее задание. в) Математика

–

это

наука

о

количественных

отношениях

и пространственных формах действительного мира. г) День был дождливым? д) 19 делится на 5 без остатка. е) Какой красивый дом! ж) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века. Задача 2*. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть. б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть многоточие. в) Ленивому студенту трудно учиться. г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей. д) Чапаев – герой Гражданской войны, а также современных анекдотов. е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед. ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований. Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку.

Задача 4**. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: а) Лампочка горит, когда есть электричество. б) На яблоне растут яблоки. в) У блондина белый цвет волос. г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно, он победитель Олимпийских игр. д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов. е) Зимой на улице холодно. ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть финала. з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга. Задача 5**. В высказываниях, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку. Задача 6***. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: а) Чтобы сдать зачет, студенту необходимо: решить все домашние задания, написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции. б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину в случае, когда он кого-то сильно обидел. в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику. Задача 7**. В высказываниях, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

II тип Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул: а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ. б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить. Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул: а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен. б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы. в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца. г) Можно

будет

кататься

на

роликах

или

велосипедах,

когда

наступит лето. Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это возможно: а) Прочитай книгу и сходи в кино. б) Выучил уроки, если помыл посуду. в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями. III тип Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: а) A ∨ B б) X ⇔ Z в) P ⇒ Q г) A ∧ B д) O ⇒ T е) Y ⇔ W Задача 12**. Представить логическую формулу в виде высказывания русском языке: а) P ⇒ Q ∧ T б) A ∧ B ⇒ C в) D ⇒ G ∨ H

на

г) ( A ⇒ B) ∨ C

д) A ⇔ B ∨ C е) ( X ∨ Y ) ⇔ Z Задача 13***. Представить логический закон в виде высказывания на русском

языке: а) чисто условное умозаключение (( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ C )) ⇒ ( A ⇒C ) б) закон де Моргана ( А ∨ В) ⇒ А ∧ В в) закон Дунса Скотта А ∧ А ⇒ В

(

)

г) закон косвенного доказательства А ⇒ ( В ∧ В ) ⇒ А д) modus ponens (модус утвердительный) (( А ⇒ В) ∧ А) ⇒ В е) modus tollens (модус отрицательный) ( А ⇒ В) ∧ В ⇒ А ж) Разделительно-категорическое умозаключение (( А ∨ В) ∧ А) ⇒ В з) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) (( А ⇒ В) ∧ (С ⇒ D) ∧ ( A ∧ C )) ⇒ ( B ∨ D) и) Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма) (( А ⇒ В) ∧ (С ⇒ D) ∧ ( В ∨ D)) ⇒ ( A ∨ C ) IV тип Задача 14*. Построить таблицы истинности для формул:

а) C ∧ A ⇒ B б) A ∧ C ∨ A ∧ C в) X ∨ Z ⇒ Y г) A ∨ B ⇔ A ∧ C д) (X ⇒ Y )∧ Z е) X ∧ Z ⇒ Y ∨ Z Задача 15**. Определить, являются ли формулы тождественно истинными:

а) ( A ∨ B ) ∧ C ⇔ A ∧ C ∨ B ∧ C б) A ⇒ B ⇔ A ∧ B в) A ⇒ B ∧ A

г) A ⇒ B ⇔ A ∨ B д) A ∨ (B ∧ C ) ⇔ (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C ) е) A ⇒ B ⇔ A ∧ B Задача 16***. Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:

а) A ⇒ B ⇔ A ∨ B б) A ∨ B ⇔ A ∧ B в) чисто условное умозаключение г) modus ponens (модус утвердительный) д) modus tollens (модус отрицательный) е) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) V тип Задача 17*.

Три студента: Андрей, Владимир и Сергей

собирались в

кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел

с

Андреем? Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей,

если известно, что если она угостит А и С, то и В получит свою порцию. Также известно, что А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С. Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель

начальника. Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена видеокамера, охранник выдал заведомо ложную информацию о том, что если в кабинете в момент поломки был заместитель и не было начальника, то в кабинете присутствовал секретарь. Кто сломал калькулятор? Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее

могли находиться три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе допроса смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не было уборщицы или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель солгал. Кто украл полотно?

Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был

инициатором, если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь: «Если я инициировала прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»? Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали

домашнее задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин сказал: «Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил: «Списал Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали неправду. Кто списал на самом деле? Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала

царевна-лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев попали в болото». Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались в болоте». Старший произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или стрела младшего угодила туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из братьев только один сказал правду? Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они

получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня выйдет замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала, что ни одно предсказание не сбылось. Кто вышел замуж? Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за

сессию. Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима сказал, что Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него нет задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из них сказал неправду. Кто на самом деле имеет долги за сессию? VI тип Задача 26*. После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и

«Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины были разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания свидетелей позволили выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигулей» возил владельца машины желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во-

вторых, пассажирами на синей машине видели водителей «Волги» и «Запорожца». В-третьих, водитель «Жигулей» не любит синий цвет, так же сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет. Какой цвет соответствовал каждой марке машины до угона? Задача 27*. Один из друзей – Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог,

другой юрист, третий физик, четвертый художник. Определить, у кого какая профессия, если известно, что Владимир учился с археологом и юристом в одном вузе. Археолог с Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник написал портреты Владимира и Григория. Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой,

Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился, Лена сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с Викой». Даша ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с кем поссорился? Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах

другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на средней, старший не на старшей. Какой брат на какой сестре женился, если известно, что старшая сестра вышла замуж не за младшего брата? Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии,

третий – фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут их мужья. Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их матери. Какой жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей, если жена фантаста не любит детективы? Задача 31***. У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не

соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья брюнетка. Девушки носят костюмы цвета, не соответствующего цвету волос и фамилии. У кого какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки, если Чернова не блондинка? Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют

фамилиям, но при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего

Петром. Отчества юношей не соответствуют ни их фамилиям, ни именам. Но их отчества: Петрович, Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество, если Максимова точно зовут не Иваном? Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой,

сумочки и кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой девушки цвет сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает ни с цветом сумочки, ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит сумочка и кофта, если у зеленоглазой подружки не коричневая сумка? Домашнее задание

Вариант 1 1. Определить,

из

скольких

высказываний

состоит

предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку.

Для

сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания, обвести кружком логическую связку: «Сегодня солнечный летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы». 2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не заплатил за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса». 3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: X ∨ Y ⇔ Y ∨ X ; A ⇒ B ∨ C . 4. Доказать

с

помощью

таблиц

истинности

логический

закон

Дунса Скотта А ∧ А ⇒ В . 5. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Владимиром. 6. Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – тяжелый рок, третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих

направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка, какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает

поп-музыку?

Вариант 2 1. Определить,

из

скольких

высказываний

состоит

предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку.

Для

сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания, обвести кружком логическую связку: «Студент допущен к экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также у него не было много пропущенных занятий». 2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь здоровым тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом». 3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A ∧ B ⇔ B ∧ A ; X ∨ Y ⇒ Z . 4. Доказать закон косвенного доказательства (А ⇒ ( В ∧ В) ) ⇒ А . 5. Преподаватель должен выбрать из трех студентов

участников для

олимпиады. Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то Синицын тоже будет участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только тогда, когда он не возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева участвовала в олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто? 6. Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на оценку, не соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если известно, что троечник не получил пятерку? Вариант 3 1. Определить,

из

скольких

высказываний

состоит

предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку.

Для

сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания, обвести кружком логическую связку: «В случае, когда спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не будет допущен к соревнованиям».

2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето». 3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A ∨ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∨ B) ∨ C ; T ∧ Q . 4. Доказать условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма). 5. В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель сказал, что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов. Козлов решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не пойдет Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех друзей пойдет в поход? 6. Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в «Веселых стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках, третьему – метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим видом спорта. Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие, если известно, что бегун не будет прыгать? Вариант 4 1. Определить,

из

скольких

высказываний

состоит

предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку.

Для

сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания, обвести кружком логическую связку: «Когда я не выполнил домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на занятие». 2. Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что на Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь». 3. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A ∧ ( B ∧ C ) ≡ ( A ∧ B) ∧ C ; Y ⇔ X . 4. Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое умозаключение (( А ∨ В) ∧ А) ⇒ В .

5. В

спортивную

Синельников,

Абрамов,

секцию

решили

Воронин.

записаться

Отношения

три

между

одноклассника: одноклассниками

складываются таким образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и Абрамов будут заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и только тогда, когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не подходит по медицинской справке. Кто из одноклассников записался в секцию? 6. Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в Германию не попадает переводчик с английского языка? Контрольные вопросы 1. Что изучает математическая логика?

2. Как определить, что предложение является высказыванием? 3. Каким союзам русского языка соответствуют операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции? 4. Какие обозначения соответствуют союзам русского языка: … тогда и только тогда, когда …; и; или; если …, то…; не? 5. Какие

значения

истинности

принимают

операции

отрицания,

конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции в зависимости от значений переменных? 6. Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка

на

формальный? 7. Каким образом осуществить перевод с формального языка

на

естественный? 8. Как доказать логический закон? 9. Какого типа задачи и каким образом решаются с помощью таблиц истинности? 10. Какие задачи логического характера удобно решать с помощью таблиц, а какие с помощью графов?

Библиографический список 1. Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В.Грес. –

М.: Логос, 2003. – С. 53–60. 2. Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 34. 3. Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – изд.,

испр.

и

доп.

–

М.:

ИНФРА-М,

2002.

–

(Серия

3-е «Высшее

образование»). – С. 60–75. 4. Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.: И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 4–11. Тема 2. Множества и операции над ними Цель: овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов

реальной и абстрактной действительности. Задачи:

1) научиться

находить

множества

и

их

элементы

в

окружающей

действительности и в абстрактных структурах; 2) осуществлять переход от одного способа задания множества к другому и распознавать возможность такого перехода; 3) определять мощность множеств; 4) определять отношения между множествами; 5) выполнять и определять операции над множествами; 6) доказывать свойства операций над множествами; 7) решать

практические

задачи

с

применением

операций

над

множествами. Общие теоретические сведения

Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах. Пример 1

множество яблок, растущих на яблоне; множество студентов, обучающихся в ЧГПУ; множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения Российской Федерации; множество прямоугольников; множество двусложных слов в русском языке; множество букв в английском алфавите, или множество согласных букв в русском алфавите; множество натуральных чисел; множество иррациональных чисел. Определяющие признаки множества:

1) рассматривается

некоторое собрание

реально

существующих

или

абстрактных объектов или явлений; 2) это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно целое; 3) природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы; 4) все объекты множества должны отличаться друг от друга. 5) Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Принадлежность элемента к какому-либо множеству записывается с помощью символа ∈ . Математическое выражение a ∈ A означает, что объект а принадлежит множеству А, а выражение a ∉ A означает, что объект а не принадлежит множеству А. Способы задания множества:

1)

через характеристическое свойство: D = {y | P( y)}, где P(y) – характеристическое свойство множества D;

2)

перечислением всех элементов множества.

Элементы конечного множества можно перечислить, а элементы бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную

совокупность. Конечные множества можно задать как перечислением, так и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства. Мощность конечного множества – это количество элементов, которые

принадлежат данному множеству, обозначается как m (A), что означает мощность множества А. Пустое множество – это множество, не содержащее элементов.

Мощность пустого равна 0. Отношения между множествами представлены в таблице 9. Таблица 9 Отношения между множествами Отношение. Диаграмма ЭйлераВенна В строго включается в А

А

В

Определение Если каждый

Условная запись

В⊂ А

элемент множества

Условия проверки 1) ( ∀х∈ В )

х∈ А

2)

(∃у ∈ А) у ∉ В

B является

элементом

х

множества А, и в

В подмножество А

множестве А есть хотя бы один элемент, не принадлежащий В, то говорят, что множество В строго включается в

множество А В нестрого включается в А

В

А

Если каждый элемент множества B является

В

элементом

В⊆ А

( ∀х∈ В )

х∈ А

подмножество А

множества А, то говорят, что множество В нестрого включается в

множество А Если В ⊆ А и

А равно В

А=В

х∈ А 2) ( ∀y ∈ А ) y∈В

А ⊆ В , то

А=

1) ( ∀х∈ В )

множества А и В называются равными.

Обозначаются как А =В А и В пересекаются

В

А y

x

Если множества А и

В∩ А ≠ø

(∃х ∈ А) х ∈ В

В имеют общие

элементы, то такие

z

множества называются пересекающимися А и В не пересекаются

В

А х

Если два множества не имеют общих

у

В ∩ А= ø

1)

(∀х ∈ А) х ∉ В

элементов, то они

2)

(∀у ∈ В) у ∉ A

называются непересекающимися

Из элементов нескольких множеств можно образовывать новые множества, такие преобразования называются операциями над множествами. Основные операции над множествами представлены в таблице 10. Таблица 10 Операции над множествами Операция. Диаграмма ЭйлераВенна Пересечение

Обозначение и характеристическо е свойство А∩В =

Определение Пересечением множеств А и В

А

В

= {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В

А∪ В = =

Объединением множеств А и В называется такое множество, все элементы которого принадлежат множеству А или множеству В

А\ В = =

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В

А∩ В

Объединение

А

А∪ В

В

{х | х ∈ А ∨ х ∈ В}

Разность

А

В

{х | х ∈ А ∧ х ∉ В}

А/ В

В случае, когда В – подмножество А (В ⊂ А), разность А\В называют дополнением множества В до множества А и обозначают САВ. A

СА В B

Множество, универсальным

объединяющее для

данных

несколько

множеств.

множеств,

Универсальное

называется множество

–

неоднозначно. Например, рассматриваемые множества А – множество кошек, В – множество собак, С – множество коров. Для множеств А, В, С универсальным являются множества U1 – множество домашних животных, U2 – множество млекопитающих, U3 – множество четвероногих. Основные свойства операций над множествами

1. А ∩ В = В ∩ А Коммутативное

1’. А ∪ В = В ∪ А свойство

операций

пересечения

и

объединения

соответственно. 2. ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ ( В ∩ С ) Ассоциативное

2’. ( А ∪ В) ∪ С = А ∪ ( В ∪ С )

свойство

операций

пересечения

и

объединения

соответственно. 3. А ∩ ( В ∪ С ) = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ С ) Дистрибутивное объединения

и

свойство

операции

3’. А ∪ ( В ∩ С ) = ( А ∪ В) ∩ ( А ∪ С )

операции

объединения

пересечения

относительно

относительно

пересечения

соответственно. 4. А ∩ ( А ∪ В) = А

4’. А ∪ ( А ∩ В) = А

Закон поглощения. 5. А ∩ А = А

5’. А ∪ А = А

Законы идемпотентности. 6. (А\В)\С = (А\С)\В. 7. ( А ∪ В )\С = ( А \ С ) ∪ ( В \ С ) . 8. ( А \ В) ∩ С = ( А ∩ С ) \ ( В ∩ С ) . 9. А \ ( В ∪ С ) = ( А \ В) ∩ ( А \ С ) . 10. А \ ( В ∩ С ) = ( А \ В) ∪ ( А \ С ) . Типы практических задач, для решения которых используется теория множеств Разбиение множеств. Классификация

Классификация – действие распределения объектов по классам. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если: 1) подмножества Х1, Х2, …, Хn, … попарно не пересекаются; 2) объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает с множеством Х.

Если одно из условий не выполнено, то классификация считается неправильной. Классификация относится к такой операции над множествами как разбиение множеств. Наглядно эту операцию можно представить в виде разбитой тарелки. Кусочки разбитой тарелки не пересекаются, и при соединении их вновь получается «целая» тарелка.

Переход от одного способа задания множества к другому

От характеристического способа задания множества к перечислению элементов

целесообразно

переходить

для

конкретизации,

уточнения

полученной информации. Переход к характеристическому способу задания множества обычно осуществляют с целью обобщения, сокращения количества информации при передаче информационного сообщения.

Принадлежность элемента к множеству

При выполнении различных тестов, при решении практических задач часто приходится отвечать на вопрос: «Какой элемент в данном ряде объектов является лишним». В данном случае используется проверка принадлежности элемента к какому-либо множеству. В подобных задачах в первую очередь выясняется, к какому множеству принадлежат большинство элементов, затем проверяется принадлежность каждого элемента к выявленному множеству. Если элемент не принадлежит множеству, то он исключается из ряда предложенных объектов. Отношения между множествами 1. Чтобы избежать двусмысленности, путаницы при изложении своих

мыслей, часто приходится выяснять, в каких отношениях находятся различные множества.

2. Понятие подмножества является обобщением понятия части

и

целого. 3. При введении определений или описании понятий используются родовые и видовые отношения между понятиями. Пусть a, b – понятия, a ∈ А , b ∈ B , А, В – соответственно объемы данных понятий (множество всех объектов, обозначаемых одним термином). Если А ⊂ В , то а – видовое понятие по отношению к в, в – родовое по отношению к а. Видо-родовые отношения понятий зависят от взаимного расположения множеств их объемов. В случае, когда множества А и В пересекаются, об отношениях рода и вида для понятий а и в говорить нельзя. Но при пересечении объемов понятий часто образуется новое слово или словосочетание (студент-спортсмен, матьгероиня, город-герой и т. д.). Для объема любого определяемого понятия существует неопределяемое понятие (категория), в объем которого оно может быть включено. У категорий определения не может быть, они могут быть только описаны.

Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств

Число элементов в объединении двух непересекающихся множеств. Правило 1. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В

– b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т. е. m( А ∪ В) = m( A) + m( B) = a + b . Число элементов в объединении n непересекающихся множеств Правило 2. Множества А1, А2, …, Аn попарно не пересекаются, то

m( А1 ∪ А2 ∪ ... ∪ Аn ) = m( А1 ) + m( А2 ) + ... + m( Аn ) . Число элементов разности двух множеств Правило 3. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве

В – b элементов и B ⊂ A , то во множестве А\В содержится а - b элементов,

т.

е. m( А \ В) = m( A) − m( B) = a − b . Число элементов в объединении двух пересекающихся множеств Правило 4. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В

– b элементов и множества А и В пересекаются и в пересечении содержится с элементов, то в объединении множеств А и В содержится а + b - с элементов m( А ∪ В) = m(A) + m(B) – m( А ∩ В) . Данное правило обосновывается тем что, складывая элементы пересекающихся множеств А и В, мы дважды считаем элементы, принадлежащие их пересечению.

А

А∪ В

В

Практические задания

Примеры решений I тип. Способы задания множеств. Принадлежность элементов множеству.

Мощность множеств Задача. Определить способ задания множества А = {а, б, в, г, д, е, ё, ж, з, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}. Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы: п, 1, L, л, д, g, s, 8, u, й, ж, i, ю, я, 1500 данному множеству. Решение а) Перечислены все элементы множества А, следовательно, множество задано

перечислением.

Любое

множество

можно

задать

с

помощью

характеристического свойства. б) Общим свойством элементов данного множества А является то, что все они буквы русского алфавита. Следовательно, с помощью характеристического свойства множество представимо как А = {x | x – буква русского алфавита}. в) Общее число элементов множества А, множества букв русского алфавита, равно 33, поэтому его мощность m (A) = 33. г) Чтобы определить, принадлежит ли элемент множеству А, достаточно проверить, перечислен ли он как его элемент. Ответ: множество задано перечислением, характеристическое свойство А = {x | x – буква русского алфавита}, m (A) = 33, п ∈ А, 1 ∉ А, L ∉ А, л ∈ А, д ∈ А, g ∉ А, s ∉ А, 8 ∉ А, u ∉ А, й ∈ А, ж ∈ А, I ∉ А, ю ∈ А, я ∈ А, 1500 ∉ А. Задача. Определить способ задания множества С – множества прямых. Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества.

Определить,

принадлежат

ли

горизонтальные

окружность, кошки, вертикальные прямые, числа данному множеству.

прямые,

Решение а) Множество С задано характеристическим свойством неявно. Явная форма задания С = {w | w – прямая}. б) Прямых существует бесконечно много, поэтому множество С является бесконечным и задать его перечислением нельзя. в) Если a – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа, то так как параллельные и перпендикулярные прямые являются прямыми, а все остальные объекты ими не являются, следовательно, a ∈ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∈ C, e ∉ C. Ответ:

Множество

С

задано

характеристическим

свойством,

перечислением не задается, a ∈ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∈ C, e ∉ C, где а – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа. II тип. Отношения между множествами

Задача. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условной записи. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов

Эйлера-

Венна: а) А – множество научных дисциплин, за достижения в которых вручается Нобелевская премия, B – множество всех научных дисциплин. б) E – множество бегемотов, F – множество гиппопотамов. в) G – множество людей, H – множество жилых домов. г) I – множество студентов, J – множество людей, увлекающихся классической музыкой. Решение При решении воспользуемся определениями отношений, приведенных в таблице 9. а) Известно, что за достижения в математике Нобелевская премия не вручается. Получается, что не каждый элемент множества В содержится в множестве А, тогда как каждый элемент множества А принадлежит множеству

В. То есть 1) ( ∀х ∈ А ) х ∈ В и 2) ( ∃у ∈ В ) у ∉ А . Исходя из определения отношения строго включения, приходим к выводу, что множество А строго включается в В. Условная запись А ⊂ В . В

А у

б) Каждый бегемот является гиппопотамом, и каждый гиппопотам является бегемотом, т. е. ( ∀х ∈ E ) х ∈ F и ( ∀y ∈ F ) y ∈ E , следовательно, E ⊆ F и F ⊆ E . По определению равенства множеств приходим к выводу, что множества E и F равны (совпадают). Условная запись E = F.

E=F

в) Ни один человек не является жилым домом, также ни один дом не является человеком (т. е.

(∀х ∈ G) х ∉ H и (∀у ∈ H ) у ∉ G ), следовательно,

множества G и H не имеют общих элементов ( ∃ z ( z ∈ B ∧ z ∈ A) ). Исходя из определения, можно сделать вывод, что множества G и H не пересекаются. Условная запись G ∩ H =

ø.

H G

у

х г)

Существуют

люди,

являющиеся

одновременно

студентами

и

увлекающиеся классической музыкой ∃х( x ∈ I ∧ x ∈ J ) . Также есть студенты, не увлекающиеся

классической

музыкой

∃у ( y ∈ I ∧ у ∉ J ) ,

увлекающиеся

классической

музыкой,

но

не

и

являющиеся

есть

люди,

студентами

∃z ( z ∈ J ∧ z ∉ I ) . Получается, что множества I и J имеют общие элементы, и имеют элементы, принадлежащие одному множеству, но не принадлежащие другому, следовательно, по определению пересекающихся множеств I и J пересекаются. Условная запись I ∩ J ≠ ø. J

I y

x

z

Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Если множества пересекаются, найти их пересечения. Найти универсальное множество

для

данных

множеств.

Изобразить

отношения

между

множествами с помощью кругов Эйлера-Венна. А = {красный, желтый, синий, зеленый}. B = {красный, желтый}. С = {желтый, синий, черный, оранжевый}. D = {коричневый, голубой, розовый}. Решение. Все элементы множества В содержатся во множестве А, но не все элементы множества А являются элементами множества, поэтому В ⊂ А . А ∩ В = {красный, желтый}. А ∩ С = {желтый}. А ∩ D =

U = {множество цветов}. U A B

D C

ø.

Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Сравнить множества B, C, D. Найти попарно пересечение множеств В, С, D. Найти универсальное множество для данных множеств. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна. А = {а | a – студент ЧГПУ}. B = {b | b – студент - филолог ЧГПУ}. С = {с | с – студент-историк ЧГПУ}. D = {d | d – студент первого курса ЧГПУ}. Решение В ⊂ А, С ⊂ А , D ⊂ А, В ∩С , В ∩С =

ø.

В ∩ D – студенты-филологи

первого курса ЧГПУ. С ∩ D – студенты-историки первого курса ЧГПУ. U – множество всех студентов ЧГПУ. А

В

D

U

С

III тип. Операции над множествами

Задача. Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Решение По определению операции пересечения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. То есть С = А ∩ В = {2, 5, 7}. m (C) = 3.

С 1 А

5

10

3

2 7

В 6

9

Ответ: С = А ∩ В = {2, 5, 7}, m (C) = 3. Задача. Найти множество, являющееся объединением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Решение По определению операции объединения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или В. То есть С = А ∪ В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}. m (C) = 8. U – универсальное множество, то есть множество, объединяющее множества А и В. Например, это может быть множество первых 10 натуральных чисел, а именно U = {x | x ≤ 10, где x ∈ N }. 1 10 А

5

2 7

3

В 6

9 С= А ∪ В

U

Ответ: С = А ∪ В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}, m (C) = 8, U = {x | x ≤ 10, где x ∈ N }. Задача. Найти множество, являющееся разностью множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение По определению разности, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В. То есть С = А \ В = {1, 10}. m (C) = 2. А

10 1

5

2 7

3

В 6

9

С = А\В Ответ: С = А \ В = {1, 10}, m (C) = 2. Задача. Даны множества R = {x | x – учитель химии}, E = {y | y – учитель биологии}. Найти R ∩ E, R ∪ E, R\E, E\R, U – универсальное множество для множеств R и E. Решение Опираясь на определения соответствующих операций над множествами, найдем пересечение, объединение и разность данных множеств. R ∩ E = {z | z – учитель химии и биологии} – учителя химии и биологии одновременно. R ∪ E = {w | w –учитель химии или биологии} – все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии. R\E = {y | y – учитель химии} – только учителя химии. E\R = {t | t – учитель биологии} – только учителя биологии. Используя определение универсального множества, найдем U. U = {u | u – учитель} – все учителя, и действительно, заданное подобным образом множество U включает в себя (объединяет) и множество R, и множество E, т. е. R ⊂ U, E ⊂ U. Ответ: R ∩ E – учителя химии и биологии одновременно, R ∪ E все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии, R\E – только учителя химии, E\R – только учителя биологии, U – все учителя.

Задача. Даны множества А = {a, e, f, d, k, l}, В = {b, c, e, d, k, m}. В результате какой операции над А и В получены множества C = {a, b, c, d, e, f, f, k, l, m}, D = {все буквы латинского алфавита}, E = {b, c, m}, F = {e, d, k}, G = {a, f, l}? Решение Проанализируем, из каких элементов множеств А и В составлены множества C, D, E, F. Во множество С включены элементы, принадлежащие и множеству А, и В, а также элементы, принадлежащие А и В одновременно, т. е. можно сказать, что к С отнесены элементы, принадлежащие множеству А или В. Исходя из определения операции объединения, приходим к выводу, что С = А ∪ В. Элементы множества А полностью содержатся во множестве D, элементы множества В полностью содержатся во множестве D, но не все элементы множества D являются элементами А и В. Следовательно, по определению строгого включения множеств А ⊂ D, B ⊂ D. Таким образом, по определению универсального множества D является универсальным множеством для А и В, как множество, объединяющее их. Во множество Е включены элементы, принадлежащие множеству B и не принадлежащие А. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что Е = В\А. Во множество F включены элементы, принадлежащие множеству А и В одновременно. Исходя из определения операции пересечения, приходим к выводу, что F = А ∩ В. Во множество G включены элементы, принадлежащие множеству A и не принадлежащие B. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что G = A\B. Ответ: С = А ∪ В, D – универсальное множество для А и В, Е = В\А, F = А ∩ В, G = A\B.

IV тип. Доказательство свойств операций над множествами

Задача. Доказать дистрибутивное свойство операции пересечения относительно объединения А ∩ ( В ∪ С ) = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ С ) . Доказательство Существует

два

способа

доказательства

равенства

множеств:

аналитический и графический. Воспользуемся графическим способом, а именно,

изобразим

с

помощью

кругов

Эйлера-Венна

операции

над

множествами в левой и в правой частях равенства. Если полученные множества совпадают, то равенство верно, т. е. свойство доказано. Таблица 11 Графическое доказательство свойств множеств Шаг 1.

Левая часть равенства В

С

Правая часть равенства В

А

С А

В ∪С 2.

В

А∩ В В

С

А А

С

А ∩ (В ∪ С ) 3.

А∩C В

С

А

( А ∩ В) ∪ ( А ∩ С ) Как видим, результат (диагональная штриховка на втором шаге) операций над множествами А, В, С из левой части равенства совпадает с результатом операций над этими же множествами (диагональная штриховка на третьем шаге). Следовательно, равенство верное, что и требовалось доказать.

V тип. Задачи на множества Разбиение множеств. Классификация

Задача. Определить основание классификации. Проверить, является ли она правильной, если нет – найти, в чем ошибка: а) меланхолик, флегматик, холерик; б) файлы программ, служебные файлы и файлы данных; в) естественные, искусственные, живые языки. Решение а) Меланхолик, флегматик, холерик – это темпераменты человека. Основание классификации – тип темперамента. Классификация неверная, так как она не полная: не хватает четвертого типа темперамента – сангвиника. б) Файлы программ, служебные файлы и файлы данных – это типы файлов. Основание классификации – назначение файлов. Классификация правильная, так как она полная (нет файлов другого назначения и объединение этих типов файлов дает множество всех файлов) и множества файлов программ, служебных файлов и файлов данных попарно не пересекаются (например, служебный файл не может быть одновременно файлом данных и наоборот). в) Естественные, искусственные – это классификация по происхождению языков. Живые языки относятся к другой классификации (по применению в настоящее время). Очевидно, что классификация неверная, так как она избыточна. И к тому же, множество живых языков пересекается с множествами естественных и искусственных языков (например, русский язык является естественным и одновременно живым). Переход от одного способа задания множества к другому

Задача. Каким способом следует задать множества в следующих ситуациях: а) Мама говорит ребенку: «Собирай исключительно съедобные грибы»; б)

Студентам

перед

началом

летней

педагогической

практики

сообщают: «Подготовьтесь к работе с детьми младшего школьного возраста».

в) Рекомендация врачей: «При температуре -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, 10 градусов голову рекомендуется защищать тонкой шерстяной шапочкой». Решение а) В данном случае множество задано характеристически, ребенку в лесу приходится задавать множество съедобных грибов перечислением: сыроежка, белый, подосиновик, подберезовик, масленок и т. д. б) В данном случае множество так же задано характеристически, но студенты при подготовке к практике должны точно представлять, что речь идет о детях 6-, 7-, 8-, 9-, 10-летнего возраста (т. е. задают множество перечислением). в) Множество задано перечислением, хотя для экономии времени и сокращения длины информационного сообщения множество проще было бы задать характеристическим свойством: «при температуре от -1 до -10». Принадлежность элемента множеству

Задача. Исключите лишние элементы: а) Булгаков, Есенин, Лермонтов, Пушкин, Толстой, Шекспир. б) Прыжки в длину, в высоту, с десятиметровой вышки, тройной прыжок. в) Клубника, арбуз, вишня, яблоко, смородина. г) 22, 17, 180, 25006, 6, 84. Решение а) Представлены элементы множества А – русские писатели. Шекспир не принадлежит данному множеству. б) Представлены элементы множества В – виды прыжков в легкой атлетике. Прыжки с десятиметровой вышки не принадлежат данному множеству. в) Перечислены элементы множества С – ягодные культуры. Яблоко является фруктом, значит, оно не принадлежит данному множеству.

г) Общий признак у большинства чисел: они делятся на два, т. е. принадлежат множеству D – четные числа. 17 – не является четным числом, значит, исключается из данного множества. Ответ: Шекспир, прыжки с десятиметровой вышки, яблоко, 17. Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств

Задача. Известно, что в некотором информационном сообщении содержится 578 согласных букв и 234 гласных (в сообщении отсутствуют ь и ъ). Сколько всего букв в сообщении. Решение Известно, что множества гласных и согласных букв не пересекаются, следовательно, по правилу 1, в сообщении 578+234 = 812 букв. Ответ: 812. Задача. Множество А - студенты ЧГПУ; m(A) = 6000; В преподаватели ЧГПУ; m(B)=340; C – непреподавательский состав ЧГПУ; m(C) = 110. Из скольких человек состоит коллектив ЧГПУ? Решение Данные множества попарно не пересекаются, поэтому по правилу 2 m(A) + m(B) + m(C) = 6000 + 340 + 110 = 6450. Ответ: 6450. Задача. А – абитуриенты, поступавшие в ЧГПУ в 2004 году. m(A) = 2000. В – студенты первокурсники ЧГПУ в 2004/2005 году, m(B) = 900. Сколько абитуриентов, не поступивших в 2004 году в ЧГПУ. Решение B ⊂ A , А/В – абитуриенты, не поступившие в ЧГПУ в 2004 году.

По

правилу 3 m(A/B) = 2000-900 = 1100. Ответ: 1100. Задача. В школьной библиотеке содержатся книги с русскими текстами, книги с английскими текстами, некоторые книги содержат как английские, так и русские тексты. Известно, что из 590 книг в 500 есть тексты на

русском языке, и в 100 книгах – английские тексты. Сколько книг содержат тексты как на русском, так и на английском языке? Сколько книг содержат тексты только на русском языке? Сколько книг содержат тексты только на английском языке? Решение Пусть А – множество книг, содержащие тексты на русском языке, В – на английском языке. Множества А ∩ В пересекаются, поэтому сумма книг на русском языке и книг на английском языке (500+100 = 600) больше общего числа книг (русско-английские книги подсчитаны в сумме дважды, т. к. подсчитаны как книги с русскими текстами, так и книги с английскими текстами). Чтобы найти количество книг, содержащих как русские, так и английские тексты, нужно из суммы книг на русском языке и книг на английском языке (600) вычесть общее количество книг в библиотеке. Т. е. 600 – 590 = 10. Таким образом, книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10; книг, содержащих только русские тексты 500 – 10 = 490; книг, содержащих только английские тексты 100 – 10 = 90. Проверка: всего книг 490+10+100 = 590. Ответ: книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10; книг, содержащих только русские тексты 490; книг, содержащих только английские тексты 90. Задача.

В

бухгалтерии

мебельной

фабрики

было

обнаружено

расхождение в сведениях: за месяц общий объем изготовленных кроватей и кресел 780 единиц, но, по данным из кроватного цеха, кроватей выпущено 360, из кресельного цеха вышло 540 кресел. В чем причина расхождения данных, сколько на самом деле кресел и кроватей выпускают соответствующие цеха? Решение Один из цехов или оба цеха выпускают кресла-кровати. В отчете кресельный цех их представляет как кресла, а кроватный цех – как кровати. Пусть А – множество кроватей, В – множество кресел, А ∩ В – кресла-кровати. Тогда по правилу 4 нахождения числа элементов в объединении двух

пересекающихся множеств m( А ∪ В) = m(A) + m(B) – m( А ∩ В) найдем мощность множества А ∩ В , используя данные задачи. 780 = 360 + 540 m( А ∩ В) . m( А ∩ В) = 120,

т. е. кресел-кроватей произведено 120. Тогда

обычных кресел произведено 540 – 120 = 420, а обычных кроватей 360 – 120 = 240.

Таким образом, полученные данные устраняют расхождение в

бухгалтерских сводках всего 780 единиц продукции, из них 420 кресел, 240 кроватей и 120 кресло-кроватей (780 = 780). Ответ: 660 кресел, 240 кроватей. Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 34*. Определить способ задания множества А = {x | x – буква

английского алфавита}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5. Задача 35*. Определить способ задания множества А = {x | x – натуральное

число}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5. Задача 36*. Определить способ задания множества А = {Январь, Февраль,

Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: среда, Март, 165, *, ф, зима, Август, 3,14. II тип Задача 37**. Определить, о каком отношении между множествами идет речь.

Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить

отношения

между

множествами

с

помощью

кругов

Эйлера-Венна. a) А – множество людей, живущих в Европе, В – множество европейцев;

b) С – множество голубоглазых людей, D – кареглазых млекопитающих; c) G – множество атмосферных осадков, H – множество автомобилей; d) I – множество студентов, J – множество спортсменов. Задача 38**. Сравнить множество А со множествами B, C, D. Если множества

пересекаются,

найти

их

пересечение.

Для

данного

множества

найти

универсальное множество. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна. А – розы, фиалки, гладиолусы, камелии, B – георгины, лилии, C – гладиолусы, фиалки, D – гвоздики, розы, ирисы, тюльпаны. III тип Задача

39**.

Найти

множество,

являющееся

пересечением

множеств

А={д, е, ф, ж, в, г, п, с} и В={а, б, г, и, к, л. ж о} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Задача

40**. Найти

множество,

являющееся

объединением

множеств

А={h, l, m, p, q} и В={l, p, o, g, t, s, h} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Задача

41**.

Найти

множество,

являющееся

разностью

множеств

А={a, b, c, d, e, f, g} и В={h, i, j, a, k, l, f} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Задача 42**. Даны множества А = {10, 26, 17, 34, 56, 84} и В = {2, 4, 28, 46}. В

результате каких операций над множествами А и В получены множества С={10, 26, 17, 34, 56, 84, 2, 4, 28, 46}, D – все натуральные числа, E={}, F={10, 26, 17, 34, 56, 84},G = {2, 4, 28, 46}. IV тип Задача 43**. Доказать следующие свойства операций над множествами,

записать названия свойств:

а) А ∪ В = В ∪ А ; б) А ∩ В = В ∩ А ; в) ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ ( В ∩ С ) . Задача 44**. Доказать следующие законы теории множеств, записать названия

законов: а) А ∩ ( А ∪ В) = А ; б) А ∩ А = А . Задача 45***. Доказать следующие свойства разности множеств:

а) (А\В)\С = (А\С)\В; б) ( А ∪ В )\С = ( А \ С ) ∪ ( В \ С ) ; в) ( А \ В) ∩ С = ( А ∩ С ) \ ( В ∩ С ) ; г) А \ ( В ∪ С ) = ( А \ В) ∩ ( А \ С ) ; д) А \ ( В ∩ С ) = ( А \ В) ∪ ( А \ С ) . V тип Задача 46***. Определить основание классификации. Проверить, является ли

классификация правильной, если нет – найти ошибку. а) Зима, весна, лето, осень б) Понедельник, вторник, четверг, суббота Задача 47***. Каким способом следует задать множество в следующих

ситуациях: а) Замечание тренера: «При температуре ниже -200С не следует кататься на лыжах». б) Преподаватель сообщает студентам: «В течение педагогической практики вы должны будете провести внеклассное мероприятие для учащихся старших классов».

Задача 48***. Исключите лишние элементы:

а) Белка, утка, лебедь, пеликан б) Я, п, д, t, ъ,э в) Бег, плавание, езда на велосипеде, лыжи г) 126, 843, 711, 163, 540 Задача 49 ***. В видеотеке ОРТ имеется 1000 фильмов российского

производства и 2000 фильмов американского производства. А всего в видеотеке 2350 фильмов. Сколько фильмов только российского, только американского и совместного производства имеется в видеотеке ОРТ? Домашнее задание

Вариант 1 1. Определить

способ

задания

множества

А={x

|

x

–

символ

арифметической операции}. Перейти к другому способу задания множества, если

это

возможно.

Определить

мощность

множества.

Определить,

принадлежат ли элементы данному множеству: а, =, 12, +, h, t, : 2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество спортсменов, В – множество бегунов. 3. Найти множество, являющееся пересечением множеств А = { ⊂ , ⊆ , =, ∪ , ∩ } и В = { ∪ , ∩ , \} и мощность найденного множества. Построить

диаграммы Эйлера-Венна. 4. Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства А ∪ ( В ∩ С ) = ( А ∪ В) ∩ ( А ∪ С ) . Вариант 2 1. Определить способ задания множества А={∩, U , \}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: б, д, 136, -28, =, ∩, ⇔ .

2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество крокодилов, В – множество аллигаторов. 3. Найти множество, являющееся объединением множеств А = {рубль, доллар, евро} и В = {марка, йена, эскудо}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. 4. Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона: А∪ А = А . Вариант 3 1. Определить способ задания множества А={x | x – операции между множествами}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: ~, ⊂ , =, д, f, №, 248. 2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество учителей, В – множество специалистов по географии. 3. Найти множество, являющееся разностью множеств А = {чашки, тарелки, блюдца} и В = {супницы, стаканы, чайники, блюдца}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. 4. Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона: А ∪ ( А ∩ В) = А . Вариант 4 1. Определить способ задания множества А={красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества.

Определить, принадлежат ли элементы данному множеству: 5486, -, &, ∨ , синий, фиолетовый. 2. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна: А – множество видов общественного транспорта, В – множество грузовиков. 3. Найти множество, являющееся разностью множеств В = {Пролог, Фортран, Алгол, Паскаль, Си} и А = {Паскаль, Си, Ассемблер}, и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. 4. Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства ( А ∪ В) ∪ С = А ∪ ( В ∪ С ) . Контрольные вопросы

1. Что такое множество? 2. Как множества задаются? 3. Как определить, принадлежит ли элемент множеству или нет? 4. Каким символом обозначается принадлежность, непринадлежность элемента множеству? 5. Чем характеризуется множество с позиции количества элементов? 6. Как принято обозначать характеристику, связанную с количеством элементов множества? 7. На какие классы подразделяются множества по количеству элементов? 8. Что такое универсальное множество? 9. Какие отношения между двумя множествами существуют? 10.

Как задаются отношения между двумя множествами?

11.

Какие условные записи соответствуют отношениям между двумя

множествами? 12.

Какие существуют операции над множествами?

13.

Как определяются операции над множествами?

14.

Какими символами обозначаются операции над множествами?

15.

Какими характеристическими свойствами обладают множества,

полученные в результате различных операций? 16.

Какими свойствами обладают операции над множествами?

17.

Какие существуют типы задач, решаемые в рамках теории

множеств и с ее помощью? Библиографический список

1. Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В. Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 33–45. 2. Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 50–64. 3. Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. (Серия «Высшее образование») – С. 22–35. 4. Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.: И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. С. 12–20. 5. Гришин М. П. Математика и информатика: учебное пособие / М.П. Гришин. – 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – С. 8–18. Тема 3. Системы счисления Цель: овладеть навыками оперирования числами в различных системах

счисления. Задача научиться:

1) осуществлять перевод из десятичной системы счисления в любую

q-

ичную; 2) осуществлять перевод из любой q-ичной системы счисления в десятичную; 3) осуществлять прямой перевод из системы счисления с оcнованием 2n

в

другую систему с оcнованием 2k; 4) выполнять операции сложения и вычитания чисел в различных системах счисления;

5) по

результатам

арифметических

действий

распознавать

систему

счисления, в которой произведено действие. Общие теоретические сведения

Система счисления (с. с.) – язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними. Базис системы счисления – алфавит с. с., состоящий из знаков, называемых цифрами. Количество цифр (знаков) в базисе с. с. называется основанием системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. В непозиционных системах каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примеры различных позиционных систем счисления приведены в таблице 12. Таблица 12 Примеры позиционных систем счисления Название системы счисления

Основание, количество

Базис (алфавит) системы счисления

цифр в базисе

Двоичная

2

{0, 1}

Троичная

3

{0, 1, 2}

Четверичная

4

{0, 1, 2, 3}

Восьмеричная

8

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Десятичная

10

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Шестнадцатиричная

16

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

q-ичная

q

{0, 1, 2, …, q-1}

Запись числа выполняется в форме слова, составленного из алфавита с. с.: xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0, где q - основание с. с., в которой записано число х, n – число разрядов, занимаемых числом х, an , an-1, …, a2, a1 – цифры числа, стоящие в соответствующих разрядах n-1, n-2, …, 1, 0. Форма записи числа в виде многочлена xq = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 называется развернутой формой записи числа. Дробные числа имеют следующую развернутую форму: xq = (an-1an-2…a1a0 , b1b2…bm )q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 + b1 • q-1 + b2 • q-2 + … bm• q-m, где b1b2…bm – цифры, стоящие после запятой, обозначающие дробную часть числа, m – количество знаков после запятой. Примечание: Если в числе не указано основание системы счисления, то считается, что оно представлено в десятичной системе. Правило перевода из q-ичной в десятичную систему счисления Для перевода числа из любой q-ичной системы счисления в десятичную достаточно записать число в развернутой форме, и затем все действия выполнить по правилам, принятым в десятичной с. с. Правило перевода из десятичной в q-ичную систему счисления целых чисел 1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с. с. и все последующие действия производить в десятичной с. с. 2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основании новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя. 3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить число в новой системе счисления: первая цифра – последнее неполное частное, вторая цифра – последний остаток, третья цифра – предпоследний остаток и т. д., записывая остатки в обратном порядке (их получения).

Правило перевода из десятичной в q-ичную систему счисления дробных чисел 1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с. с. и все последующие действия производить в десятичной с. с. 2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой с. с. до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления. 3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой с. с., привести в соответствие с алфавитом новой с. с. 4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. Правило перевода целого числа из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q = 2n 1. Число в двоичной системе разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n. Правило перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления Каждую цифру числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Правило сложения чисел в q-ичной системе счисления (алгоритм аль-Хорезми) Например: (a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q 1. Записать второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Сложить цифры первого разряда (b0 + а0). Если сумма (с0) меньше q, то записать ее в разряд единиц ответа и перейти к следующему разряду. 3. Если сумма (d0) единиц больше или равна q, то представить ее в виде d0 = 1 • q + с0, где с0 – цифра соответствующей q-ой с. с.; с0 – записать в первый разряд ответа, а 1 добавить к цифрам, складываемым в следующем разряде (по аналогии с фразой, знакомой еще с начальной школы «с0 – пишем, 1 – в уме»). Чтобы не забыть прибавить единицу, ее можно записать над а1. 1

(a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q 4. Повторить аналогичные действия со вторым разрядом, затем третьим и т. д., вплоть до сложения цифр старших разрядов. Если их сумма больше или равна q, то в старший разряд ответа добавляем 1. Правило вычитания чисел в q-ичной системе счисления (алгоритм аль-Хорезми) Например: (a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q

1. Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого (b0), вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность (с0) в первый (правый) разряд искомого числа, после чего переходим к следующему разряду. 3. Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) больше соответствующей цифры уменьшаемого (b0), т. е. b0 > а0, и а0 ≠ 0, то нужно уменьшить цифру второго разряда уменьшаемого (а1) на 1, одновременно а0 увеличить на q и уже из этого числа (а0 + q) вычитаем b0 и полученную разность (с0) записать как цифру первого разряда (правого) искомого числа, далее перейти ко второму разряду. Чтобы не забыть об уменьшении а1 на 1, сверху над ним можно поставить точку. (a4 a3 a2 a•1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q 4. Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) больше соответствующей цифры уменьшаемого (b0), т. е. b0 > а0, и а0 = 0, и, например, а1 = 0, а2 = 0, то первую отличную от нуля цифры в уменьшаемом (в данном случае, а3 ≠ 0) нужно уменьшить на 1. Все цифры в младших разрядах, которые равнялись 0, кроме первого, записать как цифру q-1 (а1 = q-1, а2 = q-1). Первый разряд представить как q (a0 = q), вычесть из него b0. Полученный результат (с0) записать в первый разряд искомого числа. Чтобы не забыть об увеличении а1 и а2 до q-1, сверху над ними можно поставить точки. • • (a4 a3 0 0 0)q (b3 b2 b1 b0)q

(c4 c3 c2 c1 c0)q 5. В следующем разряде повторить процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого. Двоичное представление информации в электронно-вычислительных машинах В современных вычислительных установках используется двоичная система счисления для кодирования информации. Бит – минимальная единица хранения информации, представляющая одноразрядное двоичное число: 0 или 1. Байт – восемь расположенных подряд битов памяти (восьмиразрядное двоичное число). Машинное слово – наибольшая последовательность бит, которую процессор может обрабатывать как единое целое (длина слова может быть 8, 16, 32 бита и т. д.). Внутреннее представление числа – запись числа в двоичной системе счисления, соответствующее его представлению в ЭВМ. Знаковый

разряд

–

первый

слева

бит

(разряд)

во

внутреннем

представлении числа, обозначающий положительное (если значение бита = 0) или отрицательное (если значение бита = 1) число. Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове 1. Перевести число N в двоичную систему счисления. 2. Полученный результат дополнить слева незначащими нулями k разрядов. Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого отрицательного числа (-N), хранящегося в k-разрядном машинном слове 1. Получить внутреннее представление положительного числа N. 2. Получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0. 3. К полученному результату прибавить 1.

до

Практические задания

Примеры решений I тип. Перевод из q-ичной системы счисления в десятичную

Задача. Число, записанное в развернутом виде, представить в сокращенной форме 7 • 84 + 5• 83 + 0 • 82 + 1• 81 + 3 • 80. Решение В записи xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 для данного примера q = 8, a4 = 7, a3 = 5, a2 = 0, a1 = 1, a0 = 3. Получаем x8 = 750138. Ответ: x8 = 750138. Задача. Число, записанное в сокращенной форме, представить в развернутом виде 10322004. Решение В записи xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 для данного примера q = 4, a6 = 1, a5 = 0, a4 = 3, a3 = 2, a2 = 2, a1 = 0, a0 = 0. Получаем x4 = 10322004 = 1• 46 + 0 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40. Ответ: x4 = 1• 46 + 0 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40. Задача. Перевести число, записанное в сокращенной форме 530026, в десятичную систему счисления. Решение Используем правило перевода из q-ичной в десятичную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 6, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции. 530026 = 5 • 64 + 3 • 63 + 0 • 62 + 0 • 61 + 2 • 60 = 5 • 1296 + 3 • 216 + 0 • 36 + 0 • • 6 + 2 • 1 = 6480 + 648 + 0 + 0 + 2 = 713010. Ответ: 530026 = 713010. Задача. Найти ошибку в записи числа: а) 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9; б) 24310324.

Решение а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи данного числа отсутствуют коэффициенты перед 85 и 9, отсутствует слагаемое с 82, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 85 и 9 равны 1, коэффициент перед 82 равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1 (2 • 81), степень у 9 равна 80 =1. То есть, если привести данное число к стандартной развернутой форме, получим: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + + 9 = 1 • 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 0 • 82 + 2 • 81 + 9• 80. Ошибка заключается в том, что число записано в восьмеричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}). Ответ: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9. б) Число составлено из цифр четверичной с.с., в базисе которой отсутствует цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}). Ответ: 24310324 Задача. Перевести дробное число 34,42145 в десятичную систему счисления. Решение Используем правило перевода из q-ичной в десятичную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 5, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции. 34,42145 = 3 • 51 + 4 • 50 + 4 • 5-1 + 2 • 5-2 + 1 • 5-3 + 4 • 5-4 = 15 + 4 + 4 •

1 + 2•• 5

1 1 1 4 2 1 4 +1• +4• = 19 + + + + = 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 25 125 625 5 25 125 625 0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,894410. Ответ: 19,894410.

II тип. Перевод из десятичной системы счисления в любую q-ичную

Задача. Перевести целое число 388610 в восьмеричную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода из десятичной в q-ичную систему счисления целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6. Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4. Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4 в остатке. 4 – третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи числа 3886. Итак, 388610 = 74568. Проведенные выкладки удобно представить следующим образом: 3886 8 32 485 68 48 64 5 46 40 6

8 60 56 4

8 7

Ответ: 388610 = 74568. Задача. Перевести дробное число 0,894410 в пятеричную систему счисления. Решение

Воспользуемся правилом перевода из десятичной в q-ичную систему счисления дробных чисел:

0, 8944 • 5 4, 4720 • 5 2, 3600 • 5 1, 8000 • 5 4, 0000 Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой части

первого

произведения,

следовательно,

0,894410

=

0,42145.

И

действительно, когда переводили число 34,42145 в десятичную систему (см. выше), мы получили 19,894410, то есть дробные части этих чисел совпадают 0,894410 = 0,42145. Ответ: 0,894410 = 0,42145. Задача. Перевести смешанное число 19,894410 в пятеричную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы, нужно отдельно перевести в пятеричную с. с. целую часть числа и отдельно – дробную. Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,42145. Переведем 1910 в пятеричную систему: 19 5 15 3 4 Получаем, что 1910 = 345. Итак, 19,894410 = 34,42145. Проведенный в предыдущем типе задач перевод числа 34,42145 в десятичную систему дал аналогичный результат, что подтверждает полученный результат. Ответ: 19,894410 = 34,42145.

III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную

Задача. Перевести 32014 в восьмеричную систему счисления. Решение

Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем полученное число из десятичной системы переведем в восьмеричную: 32014 → y10→ z8. 32014 = 3 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 1• 40 = 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 22510. 225 16 65 64 1

8 28 8 24 3 4

Итак, 32014 = 3418. Ответ: 32014 = 3418. Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение

016 = 02; 116 = 12; 216 = 210; переведем 210 в двоичную систему: 2 2 2 1 0 216 = 210 = 102. Аналогично, получаем 316 = 310 = 112; 416 = 410 = 1002; 516 = 510 = 1012; 616 = 610 = 1102; 716 = 710 = 1112; 816 = 810 = 10002; 916 = 910 = 10012; A16 = 1010 = 10102; B16 = 1110 = 10112; C16 = 1210 = 11002; D16 = 1310 = 11012; E16 = 1410 = 11102; E16 = 1510 = 11112. Сведем полученные данные в таблицу 13.

Таблица 13 Двоично-шестнадцатеричная таблица 16

2

16

2

0

0000

8

1000

1

0001

9

1001

2

0010 A 1010

3

0011 B 1011

4

0100 C 1100

5

0101 D 1101

6

0110 E 1110

7

0111 F 1111

Задача. Перевести 110010100111012 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Решение

Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления с основанием q = 2n, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101. Используя

данные

из

таблицы

13,

заменим

двоичную

группу

на

соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D. Итак, 110010100111012 = = 329D16. Ответ: 110010100111012 = 329D16. Задача. Перевести 8BFD16 в двоичную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n

в

двоичную системы счисления, и используя данные

таблицы 13, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D – 1101. Итак, получаем 8BFD16 = 10001011111111012. Ответ: 8BFD16 = 10001011111111012.

IV тип. Арифметические операции в различных системах счисления

Задача. Выполнить действие в четверичной системе счисления:

130234 + 33234. Решение

Воспользуемся правилом сложения чисел в q-ой системе счисления. То есть запишем второе слагаемое под первым, так чтобы разряды чисел находились друг под другом: 130234 133234 Сложим цифры первого разряда справа по правилам десятичной системы: 3+3 = 6, т. е. имеем случай, когда сумма больше основания системы счисления (4). Представим 6 в четверичной с. с.: 610 = 1 • 4 + 2 = 124. Таким образом, в первый разряд ответа запишем 2, а 1 перенесем в следующий разряд (2 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 24 Сложим цифры второго разряда справа по правилам десятичной системы: 2 + 2 + 1 = 5. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 5 в четверичной с. с.: 510 = 1 • 4 + 1 = 114. Таким образом, во второй разряд ответа запишем 1, а 1 перенесем в следующий разряд (1 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 124 Сложим цифры третьего разряда справа по правилам десятичной системы: 0 + 3 + 1 = 4. Сумма равна основанию системы счисления (4). Представим 4 в четверичной с. с.: 410 = 1 • 4 + 0 = 104. Таким образом, в третий разряд ответа запишем 0, а 1 перенесем в следующий разряд (0 пишем, 1 в уме).

1

130234 133234 0124 Сложим цифры четвертого разряда справа по правилам десятичной системы: 1 + 3 + 3 = 7. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 7 в четверичной с. с.: 710 = 1 • 4 + 3 = 134. Таким образом, в четвертый разряд ответа запишем 3, а 1 перенесем в следующий разряд (3 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 30124 Сложим цифры пятого разряда справа по правилам десятичной системы: 1 + 1 + 1 = 3. Сумма меньше основания системы счисления (4). Таким образом, в пятый разряд ответа запишем 3, а в следующий разряд переносить ничего не нужно. 130234 133234 330124 Ответ: 330124 Задача. Выполнить действие в 6-ой системе счисления:

5300026 – 424556 Решение

Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом: 5300026 424556

Цифра вычитаемого в первом разряде меньше соответствующей цифры уменьшаемого, цифры следующих четырех разрядов равны нулю, поэтому цифру 3 из пятого (справа) разряда уменьшаемого уменьшим на единицу

(«займем единицу»), а нули увеличим до q-1, т. е. до 5 (6-1). В первом разряде уменьшаемого к 2 добавим q = 6 и из полученных восьми отнимем 5, получим 3 – первую (с конца) цифру результата., по правилам десятичной с.с.: •••• 5300026 424556 36 Точки будут напоминать о том, что из 3 произвели заем одной единицы, а нули заменили 5. Цифра, стоящая во втором разряде уменьшаемого, стала 5, 5 – 5 = 0. Цифра, стоящая в третьем разряде уменьшаемого, Цифра, стоящая в четвертом разряде уменьшаемого,

стала 5, 5 – 4 = 1. стала 5, 5 –

2 = 3. •••• 5300026 424556 31036 В пятом разряде уменьшаемого вместо цифры 3 уже 2, в шестом разряде вычитаемого 4. 2 < 4, следовательно, из шестого разряда уменьшаемого займем единицу (5-1 = 4), а в пятом разряде уменьшаемого к 2 добавляем q = 6, получим 8, и теперь из 8 вычтем 4, получим 4. • 5300026 424556 431036 Точка над 5 означает, что из нее заняли единицу, теперь в шестом разряде уменьшаемого стоит 4. В шестом разряде вычитаемого ничего нет, что подразумевает 0. Итак, 4 – 0 = 4. • 5300026 424556 4431036 Ответ: 4431036.

Задача. Пользуясь сложением, составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение

016 = 02; 116 = 12, 2 в шестнадцатиричной получается увеличением единицы на 1. 216 = 116 + 116 = 12 + 12 = 210 = 1 • 2 + 0 = 102. 316 = 216 + 116 = 102 + 12 = 112. Далее аналогично. Процесс сложения в двоичной системе счисления представлен в таблице 14. Таблица 14 Процесс получения двоично-шестнадцатеричной таблицы 16-я

Действие

Результат

16-я

в двоичной в двоичной

Действие в

Результат

двоичной

в двоичной

11 1

02

016

12

116

02

12

816

1112 12 10002

916

10002 12 10012

10102

10112

1

216

102

A16

10012 12 10102

316

102 12 112

112

B16

10102 12 10112

1

416

10012

1

12 12 102

112 12 1002

10002

11

1002

C16

10112 12 11002

11002

16-я

Действие

Результат

в двоичной

в двоичной

1002 12 1012

516

16-я

1012

D16

1

Действие

Результат

в двоичной

в двоичной

11002 12 11012

11012

1

616

1012 12 1102

1102

E16

11012 12 11102

11102

716

1102 12 1112

1112

F16

11102 12 11112

11112

Как видим, результаты, полученные увеличением каждого последующего двоичного числа на 1, совпадают с результатами, полученными при непосредственном переводе (таблица 13). V тип. Дополнительные задачи по системам счисления

Задача. Составить таблицу умножения для пятеричной системы, используя ее, найти 43025 • 3245. Решение

а) Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления: 0 • 0 = 0 • 1 = 0 • 2 = 0 • 3 = 0 • 4 = 0. 1 • а = а, поэтому 1 • 1 = 1, 1 • 2 = 2; 1 • 3 = 3; 1 • 4 = 4. 25 • 25 = 210 • 210 = 410 = 45. 25 • 35 = 210 • 310 = 610 = 1 • 5 + 1 = 115. 25 • 45 = 210 • 410 = 810 = 1 • 5 + 3 = 135. 35 • 35 = 310 • 310 = 910 = 1 • 5 + 4 = 145. 35 • 45 = 310 • 410 = 1210 = 2 • 5 + 2 = 225. 45 • 45 = 410 • 410 = 1610 = 3 • 5 + 1 = 315. Итак, получили таблицу 15.

Таблица 15 Таблица умножения для пятеричной системы счисления • 0 1

2

3

4

0 0 0

0

0

0

1 0 1

2

3

4

2 0 2

4

11 13

3 0 3 11 14 22 4 0 4 13 22 31

б) Найдем произведение 43025 • 3245, используя правила умножения аналогичные правилам, принятым в десятичной с. с., и таблицу 15. Запишем второй множитель под первым так, чтобы разряды совпадали: 43025 3245 Используя таблицу 15, умножим 43025 на 45. 43025 3245 332135 Рассуждали так: четыре на два 13 (по таблице); 3 пишем, 1 – в уме. Четыре на нуль дает 0, да плюс один, – пишем 1. Четыре на три 22 (по таблице); 2 пишем, 2 – в уме. Четыре на четыре 31 (по таблице), да плюс два, – пишем 3, 3 – в уме. Тройку сносим в пятый разряд. Рассуждая аналогично, умножим 43025 на 25, полученное произведение запишем под первым результатом, смещая на разряд влево: 43025 3245 332135 141045 Умножим 43025 на 35, полученное произведение запишем под вторым результатом, смещая на разряд влево:

43025 3245 332135 141045 234115 Сложим полученные произведения, используя правило сложения в q-ной системе счисления для пятеричной с. с.: 43025 3245 332135 141045 234115 31204035 Итак, 43025 • 3245 = 31204035. Ответ: 31204035. Задача. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа, представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему: n = 5, q = 4. Решение

Наибольшее пятиразрядное число, состоящее из 3 как максимальной цифры четверичной системы счисления 333334 = 3 • 44 + 3 • 43 + 3 • 42 + 3 • 41 + 3 • 40 = 97510. Наименьшее пятиразрядное число 100004 = 1 • 44 + 0 • 43 + 0 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40 = 25610. Ответ: 97510 и 25610. Задача. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное отрицательное числа можно представить в двух байтах информации? Решение

Два байта – это 16 бит (т. е. 2 по 8 бит), то есть это 16-разрядное число в двоичной системе счисления. Положительное число начинается (слева) нулем, так как мы ищем максимальное число, то остальные цифры будут единицы. Итак, двоичное представление максимального положительного числа в двух

байтах информации: 0111 1111 1111 11112. Это число проще перевести в 16ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную: 0111 1111 1111 11112 = 7FFF16 = 7 • 163 + 15 • 162 + 15 • 161 + 15 • 160 = = 7 • 4096 + 15 • 256 + 15 • 16 + 15 = 28672 + 3840 + 240 + 15 = 3276710. Отрицательное число начинается (слева) единицей, так как мы ищем минимальное число, то остальные цифры будут нули. Итак, двоичное представление минимального отрицательного числа в двух байтах информации: 1000 0000 0000 00002. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице 13, а затем из 16-ой с. с. в десятичную: 1000 0000 0000 00002 = 800016 = 8 • 163 + 0 • 162 + 0 • 161 + 0 • 160 = = 8 • 4096 + 0 + 0 + 0 = – 2867210. Ответ: 3276710 и – 2867210. Задача. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке: 160810 и –160810. Решение

Воспользуемся правилами получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного и целого отрицательного числа N, хранящегося в kразрядном машинном слове. В нашем случае машинным словом является двухбайтное число, то есть 16-разрядное. Переведем N = 160810 в двоичную систему счисления, получим 110010010002. Внутренне представление этого положительного числа в двухбайтовой ячейке памяти будет следующим: 0000 0110 0100 1000. Для нахождения шестнадцатеричной формы представления числа воспользуемся таблицей 13 и получим 0648. Для нахождения двоичной формы представления отрицательного числа – 160810 найдем обратный код положительного числа 160810, для этого: заменим 1 на 0 в его двоичном представлении (0000 0110 0100 1000): 1111 1001 1011 0111. Прибавим к обратному коду 1:

1 11

1111 1001 1011 01112 12 1111 1001 1011 10002 1111 1001 1011 1000 – это внутреннее двоичное представление отрицательного числа –160810. Его шестнадцатеричная форма: F9B8. Ответ:

0000 0110 0100 1000 и 0648; 1111 1001 1011 1000 и F9B8. Задачи для самостоятельного решения

I тип Задача 50*. Число, записанное в развернутой форме, представить в

сокращенной форме: а) 1•24+0•23+0•22+1•21+1•20; б) F•163+D•162+8•161+0•160; в) 7•85+7•84+5•83+0•82+2•81+0•80; г) 4•108+9•107+7•106+0•105+2•104+1•103+0•102+3•101+4•100; д) 2•72+6•71+6•70; е) 5•94+4•93+3•92+0•91+7•90. Задача 51*. Число, записанное в сокращенной форме, представить в

развернутом виде: а) 21013; б) BF2D16 ; в) 5446; г) 9787510; д)

A3B12;

е) 10100112. Задача 52**. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную

систему счисления: а) 11000102; б) CD516; в) 33124;

г) 47748; д) 32215; е) 1094710. Задача 53***. Найти ошибку в сокращенной или развернутой записи числа:

а) 1040065; б) 76557; в) 10112012; г) 20522123; д) F789G0316; е) 46 + 5 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42; ж) 5 • 64 + 2 • 33 + 2 • 62 + 4 • 6 + 5; з) 2 • 33 + 32 + 3 + 3; и) 55 + 3 • 54 + 4 • 53 + 2 • 52 + 5 + 6; к) B • 166 + F • 164 + 9 • 163 + E • 162 + H • 16 + C. Задача 54***. Перевести дробное число в десятичную систему счисления:

а) 0,1012; б) 0,00112; в) 0,4678; г) 0,0645; д) 0,324; е) 0,1239. II тип Задача 55*. Перевести дробное число из десятичной системы в q-ичную:

а) q = 4; число 0,98610; б) q=2; число 0,5610; в) q=3; число 0,12810; г) q=5; число 0,1410; д) q=6; число 0,64810; е) q=8; число 0,79110.

Задача 56**. Перевести целое число из десятичной системы в q-ичную:

а) q = 8; число 598710; б) q=2; число 25610; в) q=4; число 44810; г) q=7; число 567110; д) q=9; число 7911210; е) q=16; число 8994210. Задача

57***.

Перевести

смешанное

число

из

десятичной

системы в q-ичную: а) q = 6; число 365,84510; б) q=5; число 12,48610; в) q=4; число 101,25610; г) q=7; число 25,57710; д) q=3; число 133,7810; е) q=9; число 16,124510. III тип Задача 58*. Составить таблицу, пользуясь переводом чисел:

а) двоично-четверичную; б) двоично-восьмеричную; в) двоично-32-ричную; г) четверично-восьмеричную; д) четверично-шестнадцатеричную; е) восьмерично-шестнадцатеричную. Задача 59**. Перевести из p-ичной системы счисления в q-ичную через

десятичную: а) 99916 → x8; б) 5667 → x4; в) 758 → x2; г) 1869 → x5; д) 100112 → x6;

Задача 60***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием

2n в другую систему с основанием 2k, используя соответствующие таблицы: а) D1216 → x2; б) 7518 → x2; в) 12234 → x2; г) HFD32 → x2; д) 110000112 → x4; е) 110101002 → x8; ж) 10111100102 → x16; з) 1111011001112 → x432. Задача 61***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием

2n в другую систему с основанием 2k через двоичную: а) CB416 → x8; б) 4468 → x16; в) 2214 → x8; г) 62338 → x4; д) AF916 → x4; е) 21334 → x16. IV тип Задача 62*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку: 1

а)

1010012 110012 11010002

д)

43157 21147 64337

1

б)

е)

1 111

1

32014 3314 31324

1

1

67138 54478 143528

11

в)

34215 24425 114035

ж)

B2116 9D016 15F116

1

г)

з)

1

1

51256 4236 105526

1 111

1

1111012 1101112 11100002

Задача 63*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:

21023 1213 12113

в)

656427 213657 432447

••

г)

•

•

ж)

••

210004 3124 100224

з)

2BA0016 3 F3916 27AC716

••

а)

•••••

б)

д)

8 9В4 716 4АD9A16 3ED9D16

••• •

е)

10011012 110112 1100002

52000210 3245510 48764710

•

Задача 64**. Выполнить действие:

а) A0BC9316 + 69FE4516; б) 11001012 + 100112; в) 3324 + 314; г) 45718 + 4778; д) 56627 + 12467; е) 211213 + 12213. Задача 65**. Выполнить действие:

а) A0BC9316 – 9FE4516; б) 1110110112 – 1001112; в) 2334 – 1314; г) 6758 – 578; д) 5617 – 3257; е) 45346 – 25556. Задача 66***. Пользуясь сложением, составить таблицу:

а) двоично-четверичную; б) двоично-восьмеричную; в) двоично-32-ричную; г) четверично-восьмеричную; д) четверично-шестнадцатеричную; е) восьмерично-шестнадцатеричную.

30245 21345 3405 ••• •

V тип Задача 67*. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа,

представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему: a) n = 4; q = 2; b) n = 3; q = 16; c) n = 4; q = 4; d) n = 5; q = 6; e) n = 12; q = 7; f) n = 4; q = 8. Задача 68**. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное

отрицательное числа можно представить в байте информации? Задача 69**. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке: a) 145110 и –145110; b) 186710 и –186710; c) 233710 и –233710; d) 199710 и –199710; e) 198610 и –198610; f) 230010 и –230010. Задача 70***. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления

целого числа в двухбайтовой ячейке восстановить само число: a) F89A; b) FA7B; c) F8D0; d) F9AA; e) F8D4; f) F7BB.

Задача 71***. Выяснить, в какой системе счисления произведено сложение, и

заменить звездочки цифрами: а)

23*5*? 1*642? 42423?

б)

*54*? *44? 7305?

в)

д)

1**31? *31*3? 34344?

е)

60*4? **52? 13446?

ж)

54**? *723? 10135? *1*44? 33*0? 20044?

г)

1021? ***0? 3121?

з)

24**1? *235*? 116678?

Задача 72***. Составить соответствующие таблицы умножения и выполнить

умножение: а) 1011012 • 1012; б) 568 • 128; в) 1204 • 314; г) 12013 • 1103; д) А516 • 9С16; е) 5617 • 337. Домашнее задание

Вариант 1 1. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: 11001101012 2. Перевести целое число 746 из десятичной в троичную систему счисления. 3. Перевести число 1247 в пятеричную систему

счисления через

десятичную. 4. Выполнить действие: 5278 + 6018; 3256 – 2416. 5. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

представления чисел в двухбайтовой ячейке 235010 и –235010.

внутреннего

Вариант 2 1. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: 6457 2. Перевести целое число 10458 из десятичной системы в 16-ичную. 3. Перевести число 200213 в шестеричную систему счисления через десятичную. 4. Выполнить действие: 4015 + 2335; 3567 – 2647. 5. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 225010 и –225010. Вариант 3 1. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: AF616. 2. Перевести целое число 6125 из десятичной системы счисления в пятеричную. 3. Перевести число CA716 в восьмеричную систему счисления через десятичную. 4. Выполнить действие: 3234 + 2324; 6019 – 5649. 5. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 199210 и –199210. Вариант 4 1. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: 176528. 2. Перевести целое число 4570 из десятичной системы в троичную. 3. Перевести из D9A16 в троичную систему счисления через десятичную. 4. Выполнить действие: 7118 + 5268; 2415 – 1345. 5. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

представления чисел в двухбайтовой ячейке 187710 и –187710.

внутреннего

Контрольные вопросы

1. Что такое система счисления? 2. Какие системы счисления бывают? 3. Что такое базис, основание системы счисления? 4. В чем различие между цифрой и числом? 5. Какие формы записи числа бывают? Как они представляются? 6. Как из десятичной системы перевести число в q-ую и обратно? 7. В чем заключены правила сложения и вычитания в q-ых системах счисления? 8. Какова роль систем счисления в теории информации? 9. Как

получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления десятичных чисел в k-разрядной ячейке? Библиографический список

1. Информатика. 3-е изд. / под ред. А. Н. Степанова. – СПб.: Питер, 2003. – С. 57. 2. Информатика: базовый курс / С. В. Симонович и др. – СПб.: Питер, 2001. – С. 20. 3. Информатика: задачник-практикум: в 2 т. / под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. Том 1. – С. 27–42. 4. Системы счисления: метод. указания для студ. физико-математического факультета / Сост. Л. М. Артищева. – Томск: Центр учебно-методической литературы ТГПУ, 2003. – 28 с. 5. Математика для гуманитариев: конспект лекций / авт. – сост.

И.

И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с. 6. Стойлова Л. П. Математика: учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л. П. Стойлова. – М.: Издательский центр «Академия», 2002, § 17.

Тема 4. Комбинаторика Цель: овладеть навыками подсчета количества различных комбинаций,

подчиненных тем или иным условиям. Задачи научиться:

1) распознавать и решать задачи на правила суммы и произведения; 2) находить число перестановок, размещений, сочетаний без повторений; 3) находить число перестановок, размещений, сочетаний с повторениями; 4) выбирать то или иное комбинаторное правило в практических задачах. Общие теоретические сведения

Решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества

подмножеств,

обладающих

определенными

свойствами,

и

упорядочением множеств. Область математики, которая исследует решение комбинаторных

задач,

называется

комбинаторикой.

Все

задачи,

рассматриваемые комбинаторикой, требуют ответа на вопрос «сколько?» или «сколькими способами?». Правило суммы. Если элемент a из одного множества можно выбрать m

способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m + k способами, при условии, что данные множества не пересекаются. Правило произведения. Если элемент a из одного множества можно

выбрать m способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор пары «a и b» можно осуществить m · k способами. Перестановка n элементов из n элементов. Дано множество, состоящее

из n элементов. Перестановкой называется упорядоченное множество, составленное из данных элементов. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты перестановок: {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначается Pn и находится по формуле Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Число n! читается как «n факториал». Считается, что 1! = 1, 0! = 1. Размещение без повторений из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Размещением без повторений из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из nэлементного множества один раз. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты размещений без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}. Число всевозможных размещений без повторений k из n элементов обозначается Аnk и находится по формуле n!

Аnk = n1⋅4 (n4 −4 1)4 ⋅ (n4−44 2)2⋅… ⋅ (n − (k − 13 )) или Аnk = . 4444444 (n − k )! k множителей

Размещение с повторениями из n элементов по k элементам

Дано

множество,

состоящее

из

n

элементов.

Размещением

c

повторениями из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из n-элементного множества, причем каждый элемент может быть выбран несколько раз. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты размещений с повторениями по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c},

{c,

a}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}.

Число всевозможных размещений с повторениями k из n элементов k

k

обозначается A n и находится по формуле A n = nk. Сочетание без повторений из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием без повторений из n элементов по k элементам называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}. Число всевозможных сочетаний без повторения k из n элементов Ank n! = . обозначается С и находится по формуле С = k! k!⋅(n − k )! k n

k n

Сочетание с повторениями из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием с повторениями из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов, причем элементы могут повторяться. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}. Число всевозможных сочетаний с повторениями k из n элементов ~k ~k (n + k − 1)! . обозначается С n и находится по формуле С n = С nk+ k −1 = k!⋅(n − 1)!

При решении комбинаторных задач в первую очередь необходимо определить, является ли эта задача комбинаторной, т. е. можно ли сформулировать задачу в форме вопроса «сколькими способами?». Затем определить, какое правило нужно применить для этого. 1.

Нужно определить, о скольких множествах идет речь: a. если два множества и более, то возможны два варианта: i. объединение

множеств

(когда

элементы

множества

объединяются с помощью союза «или»), тогда применяется правило суммы. Задача решена; ii. пересечение

множеств

(когда

элементы

множества

объединяются с помощью союза «и»), тогда применяется правило произведения. Задача решена; b. если одно множество, то для определения формулы нужно обратиться к пункту 2. 2.

Определяем, сколько элементов множества участвуют в задаче: a. если n элементов из n без повторов, применяется формула перестановки Pn. Задача решена; b. если k элементов из n, то воспользуемся таблицей 16 для определения формулы. Задача решена.

Таблица 16 Определение комбинаторной формулы Название формулы

Порядок

Повторы

Размещение без повторений из n

существен

отсутствуют

существен

разрешены

Формула

элементов по k элементам Размещение с повторениями из n

n! (n − k )!

Аnk = k

A n = nk

элементов по k элементам Сочетание без повторений из n

не существен отсутствуют

элементов по k элементам Сочетание с повторениями из n

не существен

разрешены

элементов по k элементам

С nk =

n! k !⋅( n − k )!

~k (n + k − 1)! С n = С nk+ k −1 = k!⋅(n − 1)!

Практические задания

Примеры решений I тип. Правила суммы и произведения

Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому языку. Сколькими способами можно выбрать один учебник? Решение В данной задаче речь идет о выборе одного элемента из двух множеств: A – учебники по литературе, B – учебники по русскому языку. Учебник можно выбрать по литературе или по русскому языку. Так как множества объединены с помощью союза «или», то воспользуемся правилом суммы. Мощность множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким образом, общее число способов 4 + 7 = 11. Ответ: 11. Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому языку. Сколькими способами можно выбрать пару, состоящую из учебника по литературе и учебника по русскому языку?

Решение 1 способ (перебор возможных способов)

Пронумеруем учебники по литературе и по русскому языку. Составим таблицу 17, характеризующую возможные выборы пар учебников (переберем все возможные варианты). Таблица 17 Русский язык 1

2

3

4

5

6

7

(1; 1)

(1; 2)

(1; 3)

(1; 4)

(1; 5)

(1; 6)

(1; 7)

(2; 1)

(2; 2)

(2; 3)

(2; 4)

(2; 5)

(2; 6)

(2; 7)

(3; 1)

(3; 2)

(3; 3)

(3; 4)

(3; 5)

(3; 6)

(3; 7)

(4; 1)

(4; 2)

(4; 3)

(4; 4)

(4; 5)

(4; 6)

(4; 7)

Литература 1 2 3 4

Первый элемент в паре – это учебник по русскому языку, второй – по литературе. В таблице 17 представлены все возможные варианты пар, которые можно составить из учебника по русскому языку и литературе. Подсчитаем их количество: 4 строки умножим на 7 столбцов, получим 28 пар. То есть пару, состоящую из учебников по русскому языку и литературе, можно выбрать 28 способами. 2 способ (правило произведения)

В задаче речь идет о двух множествах, выбрать нужно учебник по литературе и русскому языку. То есть элементы из этих множеств объединяются союзом «и». Применим правило произведения. Мощность множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким образом, общее число способов выбрать пару учебников по разным предметам 4 • 7 = 28. Ответ: 28. Задача. Сколько существует четырехзначных чисел?

Решение Четырехзначное число состоит из четырех цифр: abc d . Первую цифру – число тысяч (множество А), можно выбрать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т. е. множество А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Таким образом, задачу можно переформулировать: сколькими способами (N) из элементов множеств A, B, C, D можно составить четверку упорядоченных элементов? Согласно правилу произведения N = 9 · 10 · 10 · 10 = 9000. Ответ: 9000. II тип. Перестановки, размещения, сочетания без повторений

Задача. На Ассамблее ООН должны выступить: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан. Порядок выступления лидеров имеет существенное значение для мировой политики. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений? Решение 1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Возможны следующие варианты перестановок: Путин, Буш, Аннан; Путин, Аннан, Буш; Буш, Путин, Аннан; Буш, Аннан, Путин; Аннан, Буш, Путин; Аннан, Путин, Буш. Итак, всего 6 вариантов расстановки выступающих.

2 способ (правило подсчета перестановок)

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно переставить 3 элемента из 3 без повторов, поэтому применим формулу числа перестановки P3. P3 = 3! = 3 • 2 • 1 = 6. Ответ: 6. Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в данном случае? Решение 1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Путин, Буш; Путин, Аннан; Буш, Аннан; Буш, Путин; Аннан, Путин; Аннан, Буш. Итого 6 способов. 2 способ (правило подсчета размещений)

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно,

А32

= 3 · 2 = 6. Ответ: 6. Задача. Сколькими способами из десяти различных букв можно записать шестибуквенные слова, при условии, что буквы в слове не повторяются? Решение В задаче речь идет об одном десятиэлементном множестве. По условию нужно разместить 6 элементов из 10 без повторов, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно, А106 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151 200.

Ответ: 151 200. Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в случае, если порядок выступлений не играет серьезной роли? Решение 1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Так как порядок выступлений не существенен, то получим следующие различные сочетания: {Путин, Буш} = {Буш, Путин}; {Путин, Аннан} = {Аннан, Путин}; {Буш, Аннан} = {Аннан, Буш}. Итого 3 способа. 2 способ (правило подсчета сочетаний)

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило подсчета сочетаний (порядок в задаче не существенен) без повторения, а именно, С32 =

3 ⋅ 2 ⋅1 3! = = 3. 2!(3 − 2)! 2 ⋅1 ⋅1

Ответ: 3. Задача. Из четырех коробок конфет разных сортов нужно выбрать две коробки в подарок. Сколькими способами это можно осуществить? Решение В задаче речь идет об одном четырехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 4 без повторов, порядок, в котором будут выбраны конфеты для подарка, не существенен. Следовательно, применим правило подсчета сочетаний (порядок не существенен) без повторения, а именно, С 42 =

4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = =6. 2!(4 − 2)! 2 ⋅1 ⋅ 2 ⋅1

Ответ: 6.

III тип. Размещения, сочетания с повторениями

Задача. На Ассамблее ООН должны быть заслушаны ровно два доклада на разные темы. Всего три кандидата на выступление: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан, причем каждый из кандидатов может выступить с обсуждением каждой из тем, в том числе и обеих. Порядок выступления лидеров имеет существенное значения для мировой политики. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений? Решение 1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Возможны следующие варианты: Путин, Буш; Путин, Аннан; Буш, Аннан; Буш, Путин; Аннан, Путин; Аннан, Буш; Путин, Путин; Буш, Буш; Аннан, Аннан. Итого 9 способов. 2 способ (правило подсчета размещений с повторениями)

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 с повторениями, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) с повторениями, а именно, Ã 32 = 32 = 9. Ответ: 9. Задача. На Ассамблее ООН должны быть заслушаны ровно два доклада на разные темы. Всего три кандидата на выступление: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан, причем каждый из кандидатов может выступить с обсуждением каждой из тем, в том числе и обеих. Сколько существует способов выстроить

порядок выступлений, если последовательность выступающих не имеет значения? 1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Возможны следующие варианты {Путин, Буш} = {Буш, Путин}; {Путин, Аннан} = {Аннан, Путин}; {Буш, Аннан} = {Аннан, Буш}; {Путин, Путин}; {Буш, Буш}; {Аннан, Аннан}. Итого 6 способов. 2 способ (правило подсчета размещений с повторениями)

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 с повторениями, поэтому применим правило сочетания (порядок в задаче несущественен) с повторениями, а именно, ~k (3 + 2 − 1)! 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 С n = С32+ 2−1 = = = =6. 2!⋅(3 − 1)! 2 ⋅ 2 4

Ответ: 6. Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 73*. В аквариуме 8 рыбок гуппи, 1 петушок и 2 сома. Сколькими

способами можно выловить одну из рыбок? Задача 74*. В коробке 10 конфет с вишневой начинкой и 12 с абрикосовой.

Сколькими способами можно достать одну конфету? Задача 75*. В пенале 3 ручки и 4 карандаша. Сколькими способами можно

достать одну из письменных принадлежностей? Задача 76*. Студент до университета может поехать на одной из трех различных

маршрутных такси, или одним из двух троллейбусов, а также он может дойти пешком. Сколькими способами студент может добраться до университета? Задача 77*. В магазине 5 ярких ленточек разного цвета и 6 разноцветных

коробок для тортов. Сколькими способами можно упаковать торт?

Задача 78*. В коробке 17 карандашей и 2 фломастера. Сколькими способами

можно составить пару из фломастера и карандаша? Задача 79*.

В упаковке 5 кофейных вафель и 5 шоколадных. Сколькими

способами можно составить пару из разных вафель? Задача 80**. 15 вопросов из одной темы на экзамене составят первую половину

билета, 16 вопросов из другой темы – вторую. Сколькими способами можно скомпоновать билет? Задача 81**. Сколько существует пятизначных чисел? Задача 82 **. Сколько существует трехзначных чисел? Задача 83***. Сколько существует четырехзначных чисел, цифры которых

различны? Задача 84***. Сколько существует трехзначных чисел, цифры которых

различны? Задача 85***. Сколько словарей надо установить в компьютер, чтобы можно

было непосредственно выполнить переводы с любого из 3 языков: русского, английского, немецкого – на любой другой из этих трех языков? II тип Задача 86*. На раскопках были найдены 5 мумий, лежащих отдельно от 5

саркофагов. Сколькими способами могли быть расположены мумии по саркофагам? Задача 87*. На столе 6 пронумерованных урн и 6 пронумерованных шаров.

Сколькими способами можно разместить шары по урнам, чтобы в каждой урне было по одному шару? Задача 88*. У продавца имеется 4 букета и оберточная бумага четырех цветов.

Сколькими способами можно упаковать букеты так, чтобы все были обернуты в бумагу разных цветов? Задача 89*. У Пети 3 друга и 3 книги, которые он хочет преподнести друзьям в

подарок. Сколько вариантов подарков должен рассмотреть Петя? Задача 90**. От пяти платформ необходимо отправить 3 поезда. Сколько

существует вариантов отправки составов?

Задача 91**. Доставка груза может быть осуществлена шестью дорогами.

Сколькими способами менеджер может составить маршрут для двух машин, если они должны ехать различными путями? Задача 92**. В аэропорту 6 выходов на посадку. По расписанию назначен

вылет трех самолетов. Сколькими способами можно организовать посадку? Задача 93**. В детском лагере проводится мероприятие, в котором участвуют 4

отряда. Каждый отряд должен прийти к финишу своей дорогой. Всего дорог пять. Сколькими способами можно отправить отряды к финишу? Задача 94**. Зоопарк приобретает трех тигров. В питомнике имеется 6

животных данного вида. Сколькими способами можно осуществить закупку? Задача 95**. Из 12 наименований в магазин необходимо доставить семь.

Сколькими способами можно осуществить выбор наименований? Задача 96**. Из 7 ингредиентов для приготовления супа нужно использовать

пять. Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от порядка добавления продуктов вкус блюда неизменен? Задача 97**. Из 8 человек, работающих в фирме, каждый день двое должны

отвечать на телефонные звонки. Сколькими способами можно составить расписание работников фирмы, отвечающих на телефонные звонки клиентов? Задача 98**. В кафе работают 17 сотрудников. Каждый день на работу должны

выходить пятеро. Сколькими способами можно составить график работы персонала кафе? III тип Задача 99*. На участие в четырех конференциях претендует шесть человек. На

каждую

конференцию

может

поехать

только

один

человек,

уровень

конференций разный, поэтому порядок назначения человека на поездку существенен. Сколькими способами можно сформировать список участников конференций, если любой из кандидатов может поехать на несколько конференций?

Задача 100**. В метро 6 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в

поезде 3 человека при условии, что они необязательно должны ехать в разных вагонах? Задача 101**. На кафедре работает 4 профессора. Они должны прочесть 2

лекции, причем один человек может прочитать обе лекции. Порядок прочтения лекций важен. Сколькими способами можно отобрать кандидатов для прочтения лекций? Задача 102**. 7 кандидатов должны заполнить 3 анкеты, причем один человек

может заполнить все 3 анкеты. Порядок заполнения анкет играет важную роль. Сколькими способами можно заполнить анкеты? Задача 103*. В стандартной колоде 36 карт. Из четырех тузов разных мастей

извлекается один, запоминается, затем возвращается обратно. Затем извлекается вторая карта. Сколькими способами можно выбрать таким образом пару тузов? Задача 104**. Из команды девяти человек нужно выбрать участников для

четырех забегов, причем каждый из спортсменов может участвовать в нескольких забегах. Сколько существует способов выбрать участников соревнований? Задача 105**. На пляже для игры в волейбол из 15 человек нужно отобрать тех,

кто будет участвовать в трех таймах, причем один человек может участвовать во всех трех играх. Сколькими способами можно отобрать участников? Задача 106**. На конкурсе парикмахеров 3 номинации. Один мастер может

участвовать во всех трех номинациях. Всего кандидатов на участие в конкурсе 20. Сколькими способами можно выбрать конкурсантов? Домашнее задание

Вариант 1 1. В урне 15 красных шаров и 12 белых. Сколькими способами можно достать 1 шар? 2. До своего факультета студент может дойти по любой из четырех лестниц. Сколькими способами студент может подняться до факультета и

потом спуститься при условии, что спуск должен происходить по другой лестнице? 3. Сколько могло бы быть расположений цветов радуги? 4. На соревнованиях 5 человек вышли в финал. Сколько существует вариантов распределения их на трех призовых местах? 5. Из 10 студентов для участия в смотре первокурсников нужно выбрать шестерых. Сколькими способами можно осуществить выбор? 6. Доставка груза может быть осуществлена шестью дорогами. Сколькими способами менеджер может составить маршрут для двух машин, если они могут ехать одинаковыми путями? 7. Всего 8 билетов, из них студент трижды тянет билет. После каждого вытягивания экзаменатор записывает номер билета, возвращает его обратно и перемешивает. Сколько существует сочетаний трех номеров билета, если их последовательность не имеет значения? Вариант 2 1. На складе 6 коробок шоколадных конфет разных сортов и 3 коробки карамели разных сортов. Сколькими способами случайно можно выбрать одну коробку с конфетами? 2. У одного филателиста 3 новые марки, у другого 5. Все марки разные. Сколькими способами коллекционеры могут произвести обмен марки

на

марку? 3. Сколькими способами можно расположить все 7 нот в разной последовательности, если каждая нота используется только один раз? 4. В метро 8 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 3 человека при условии, что все они должны ехать в различных вагонах? 5. Из 7 вторых блюд студенту требуется выбрать два. Сколькими способами он может это сделать? 6. Проводятся финальные соревнования по прыжкам в длину, высоту и тройному прыжку среди восьми участников. Сколько существует вариантов распределения участников по первым местам в соответствующих видах спорта?

7. В

лототроне

13

пронумерованных

шаров.

Выбирается

шар,

записывается его номер, затем он возвращается обратно и лототрон снова всё перемешивает. Сколько существует сочетаний шести номеров шаров, если их последовательность не имеет значения? Вариант 3 1. На лугу 5 разных ромашек и 7 разных васильков. Сколькими способами можно сорвать один цветок? 2. До своего факультета студент может дойти по любой из трех лестниц. Сколькими способами студент может подняться до факультета и потом спуститься? 3. Сколькими способами 5 человек могут занять пять стульев? 4. Из 7 ингредиентов для приготовления супа нужно использовать 5. Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от порядка добавления продуктов меняется вкус блюда? 5. Из пяти вопросов преподаватель на экзамен задаст студенту три. Сколькими способами экзаменатор может выбрать вопросы? 6. На отчетной конференции в профкоме из 10 человек выбирают председателя, заместителя председателя, бухгалтера, секретаря. Сколько существует вариантов исхода выборов, если один человек может совмещать должности? 7. Карточки с буквами русского алфавита перемешиваются каждый раз, когда извлекается одна буква, записывается и возвращается обратно. Сколько различных сочетаний букв можно получить, если порядок их следования не существенен? Вариант 4 1. В магазине 4 упаковки с разными сортами газировки и 5 упаковок с разными сортами минералки. Сколькими способами можно выбрать одну упаковку с напитком?

2. При подготовке к экзамену один студент подготовил письменные ответы на 13 вопросов, другой на 17. Оба подготовили ответы на разные вопросы. Сколькими способами они могут обменять один ответ на другой? 3. Сколькими способами можно расположить шесть экзаменационных билетов в различном порядке? 4. Из 10 различных детских передач, запланированных за день, нужно выпустить в эфир только 6. Сколькими способами можно составить список передач для телепрограммы? 5. В дендрарии 7 кустарников различных пород. Сколькими способами садовод может выбрать 4 кустарника для высадки на участке? 6. В

гараже

предприятия

шесть

различных

машин.

Необходимо

последовательно совершить три перевозки. Сколькими способами можно спланировать поездки, если каждая машина может быть использована в нескольких выездах? 7. Карточки с буквами английского алфавита перемешиваются каждый раз, когда извлекается одна буква, записывается и возвращается обратно. Сколько различных сочетаний букв можно получить, если порядок их следования не существенен? Контрольные вопросы

1. Какие задачи изучает комбинаторика? 2. В чем заключаются правила суммы и произведения? 3. Что такое перестановка и как находится количество возможных перестановок? 4. В чем сходство и отличие размещения без повторений и с повторениями? 5. В чем сходство и отличие сочетания без повторений и с повторениями? 6. В чем основное отличие сочетания от размещения? 7. Как находится число размещений без повторений и с повторениями, число сочетания без повторений и с повторениями?

8. Как правильно выбрать нужную формулу при решении той или иной комбинаторной задачи? Библиографический список

1. Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: учеб. пособие / Х. М. Андрухаев; под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2005. – С. 19–23. 2. Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В. Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 46 – 48. 3. Гришин М. П. Математика и информатика: учебное пособие / М.П. Гришин. – 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – С. 18 – 21. 4. Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 58–60. 5. Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.: И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с. 6. Стойлова Л. П. Математика: учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л. П. Стойлова. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – С. 141–152. Тема 5. Теория вероятностей Цель: овладеть навыками определения вероятности случайных событий. Задачи научиться:

1) отличать достоверное, невозможное, противоположное, совместные и несовместные, зависимые и независимые события; 2) определять пространство элементарных событий, количество общих и благоприятствующих исходов; 3) находить

вероятность

по

классическому,

статистическому

геометрическому определению; 4) находить вероятность суммы и произведения событий; 5) применять комбинаторику для подсчета вероятностей; 6) решать задачи по формулам Байеса и полной вероятности;

и

7) использовать

схему

испытаний

Бернулли

и

предельную

теорему

Пуассона. Общие теоретические сведения

Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Случайное событие – исход наблюдения, эксперимента или опыта, который при реализации некоторого комплекса условий может произойти, а может и не произойти. Элементарный исход – один из возможных вариантов результата опыта. Пример. Проводится опыт (испытание) – подкидывается игральный

кубик. Результат данного опыта является случайным событием, например, выпадает цифра 3. Элементарными исходами являются: выпадение

1,

2, 3, 4, 5 или 6. Пространство элементарных исходов опыта – множество, состоящее из всех элементарных исходов данного опыта. Принятое обозначение {w1, w2, …, wn}. Пусть в результате некоторого опыта может наступить или не наступить событие А. Пространство элементарных исходов опыта {w1, w2, …, wn}. Если наступление некоторого исхода из подмножества данного множества: wi1 или wi2 или … или wim приводит к появлению события А, то wi1, wi2 … wim называются исходами, благоприятствующими появлению события А. Равновозможные исходы – исходы, которые имеют одинаковый шанс произойти или не произойти. Несовместные исходы – исходы, которые одновременно произойти не могут. Событие

называют

достоверным,

если

оно

непременно

должно

произойти. Событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит. Событием, противоположным некоторому А, называют событие, состоящее в том, что А не наступило. События А и В называются несовместными, если

наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Говорят, что событие В следует из события А, если событие В происходит всегда, когда произошло событие А. Два события А и В называются равными, если из А следует В и из В следует А. События называются независимыми, если появление одного события не влечет появление другого. События A1, A2, ..., An образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса условий). Суммой двух событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что произошло событие А или событие В. Произведением

двух

событий

А

и

В

называется

событие

АВ,

заключающееся в совместном наступлении событий А и В. Основные свойства сложения и произведения событий

Пусть А, В – некоторые события, тогда: 1. А + В; АВ вновь являются событиями. 2. А + В = В + А; АВ = ВА (коммутативный закон). 3. А + (В + С) =( А + В) + С; А(ВС) =(АВ)С (ассоциативный закон). 4. Из события А следует сумма этого события с любым событием В: А ⊂ А + В. 5. Из события АВ следуют событие А и событие В: АВ ⊂ А, АВ ⊂ В. А(В + С) = АВ + АС (дистрибутивный закон). Классическое определение вероятности. Пусть некоторый опыт имеет n

равновозможных и несовместных исходов. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных исходов m(А) к общему числу n несовместных равновозможных исходов: Р (А) =

m( А) . n

Свойства вероятности

1. Для любого случайного события 0 ≤ Р(А) ≤ 1. 2. Пусть А1, А2, А3,…, Аk – все события, которые могут произойти в результате опыта. Тогда P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + ... + P( Ak ) = 1 . 3. Пусть А – некоторое событие, тогда верно равенство Р(А) + Р( А ) = 1. Правило суммы вероятностей. Вероятность суммы несовместных

событий есть сумма вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Правило

произведения

вероятностей

независимых

событий.

Вероятность произведения событий есть произведение вероятностей этих событий: Р(А • В) = Р(А) • Р(В). События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Правило

произведения

вероятностей

зависимых

событий.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А) • Р(В/А). Вероятность

суммы

совместных

Вероятность

событий.

суммы

совместных событий есть сумма вероятностей этих событий без вероятности из совместного наступления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А • В). Формула полной вероятности. Пусть B1, B2, …, Bn – полная система

несовместных событий. n

Р(А) = Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2) + … + Р(Вn)Р(А/Вn) = ∑ Р( Вk ) P( A / Bk ) . k =1

Формула Байеса: Р(Вk /А) =

Р( Вk ) Р( А / Вк ) Р( Вk ) Р( А / Вк ) = n . Р( А) ∑ Р( Вk ) P( A / Bk ) k =1

Пусть в результате некоторого случайного испытания может произойти или не произойти определенное событие А. Если событие произошло,

испытание называется успешным, а событие – успехом. Испытание повторяется n раз. При этом соблюдаются следующие условия: вероятность успеха Р(А) = р в каждом испытании одна и та же; результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний. Противоположное событие А событию А называется неудача, и его вероятность обозначается q, причем q = 1 – р, так как в данной схеме подразумевается, что опыт может иметь только два исхода: успех или неудача. Такая последовательность испытаний с двумя исходами (успех/неудача) называется последовательностью независимых испытаний Бернулли или схемой Бернулли. Вероятность того, что в схеме Бернулли из n независимых испытаний произошло ровно k успехов, находится по формуле Бернулли:

Рn (k ) = Cnk p k q n −k . Следствия из формулы Бернулли

1. Рn (n) = p n , Рn (0) = q n . 2. Pn(0) + Pn(1) + Pn(2) + … + Pn(n) = 1. Предельная теорема Пуассона

Рассмотрим случай, когда вероятность р наступления некоторого события А достаточно малая величина. Например, рождение близнецов, достижение столетнего возраста, опечатка в книге и т. д. По формуле Бернулли

Рn (k ) = Cnk p k q n −k . В рассматриваемом случае n → ∞, а р → 0. Пусть величина λ = np остается ограниченной: λ < const,

k – фиксировано. При указанных

условиях справедлива теорема Пуассона Рn (k ) ≈

λk − λ . e k!

Пользуясь теоремой Пуассона, мы можем при определенных условиях

λk − λ заменять вероятность Pn(k) приближенно равным ей выражением . Для e k!

данного выражения составлены таблицы, с их помощью можно для заданных k

и λ найти соответствующее число

λk − λ . Число λ = np – среднее число e k!

успехов. Геометрическое

определение

вероятности.

Пространство

элементарных исходов Ω – произвольное конечное множество на прямой, плоскости

или

n-мерном

арифметическом

пространстве.

События

–

всевозможные измеримые подмножества А множества Ω. Вероятность события А – отношение лебеговой меры множества А и пространства элементарных исходов: Р(А) =

μ ( А) . μ (Ω )

Лебегова мера множества – это обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела. Например, для плоскости геометрическое определение вероятности будет выглядеть следующим образом. Пусть D – некоторая конечная область плоскости. В эту область бросается точка, причем попадание ее в любую точку области D считается равновероятным. Тогда геометрической вероятностью попадания точки в любую область D1, лежащую в D, назовем отношение площади области D1 к площади области D. P(D1) =

S(D1 ) , где S(D1), S(D) – соответственно площади S(D)

областей D1, D. Статистическое определение вероятности. Пусть А – случайное

событие по отношению к некоторому опыту. Предположим, что опыт произведен N раз и при этом событие А наступило в NA случаях. Отношение

ν=

NA называется частотой наступления события А в рассматриваемой N

серии опыта.

С увеличением числа опытов частота стабилизируется,

приближается к некоторой постоянной р(А). Определение. Статистической вероятностью случайного события р(А)

называют связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях опытов.

Количество информации

Количественная зависимость между вероятностью события (P) и количеством информации в сообщении о нем (I) выражается формулой: 1 P

I = log2( ) = – log2P. Практические задания

Примеры решений I тип. Общие понятия теории вероятности. Классическая вероятность.

Геометрическая и статистическая вероятность

Задача. Подкидывается игральный кубик. а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы, благоприятствующие появлению события А – выпало

четное число; г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность.

Решение а) В данном опыте возможны следующие исходы: «выпадение 1», «выпадение 2», «выпадение 3», «выпадение 4», «выпадение 5», «выпадение 6», т. е. пространство элементарных исходов – это множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}. б) Невозможным событием для данного опыта является, например, выпадение семерки. Достоверным событием является событие А – выпадение одного из шести очков: 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6. в) Событие А – выпало четное число, означает, что выпало 2 или 4, или 6, то есть исходами, благоприятствующими событию А, будут {2, 4, 6}. г) Число благоприятствующих исходов для события А три, всего исходов 6, следовательно, по классическому определению вероятности

Р(А) =

3 1 = . 6 2

д) Событие, противоположное событию А, есть событие А – не выпало четное число, т. е. выпало нечетное число. Число благоприятствующих исходов для события А

три {1, 3, 5}, всего исходов 6, итак, по классическому

определению вероятности Р( А ) =

3 1 = . 6 2

Задача. Опыт заключается в том, что на квадратный лист случайным образом кидается шарик. Пусть А – шарик попадает в верхнюю часть листа, В – шарик попадает в правую часть листа. Найти события А + В и А • В. Решение Событие А + В – шарик попадает в верхнюю или в правую часть листа. Событие А • В – шарик попадает в правую верхнюю четверть листа. Графически это можно изобразить следующим образом (см. рис.):

А

В

А+В

А•В

Задача. На 33 карточках написаны буквы русского алфавита. Какова вероятность, что на случайно извлеченной карточке будет гласная буква (А), согласная (В), ни гласная и ни согласная буква (С)? Какова вероятность, что на случайно извлеченной карточке не будет гласная буква ( А), Решение Общее число исходов 33. Исходов, благоприятствующих событию А, десять (все гласные буквы), событию В – двадцать один (все согласные буквы), событию С – два (твердый и мягкий знаки). Итак, по классическому определению вероятности: Р(А) = 10/33, Р(В) = 21/33, Р(С) = 2/33. Вероятность события А – на карточке не будет гласной буквы, можно найти, опираясь на свойство вероятности Р(А) + Р( А ) = 1, то есть Р( А ) = 1 – Р(А) = 1 – 10/33 = 23/33.

Ответ: Р(А) = 10/33, Р(В) = 21/33, Р(С) = 2/33, Р( А ) = 23/33. Задача. Радиус мишени 10 см. Какова вероятность, что стрелок попадет в область от 10 до 7, если круги мишени отстоят друг от друга на 1 см? Решение Задача на геометрическое определение вероятности. Пространство элементарных исходов Ω – вся область мишени, ее площадь вычисляется по формуле площади круга S = πR2 = π • 102 = 100 π. Благоприятствующей областью для искомого события будет круг радиусом 4 см (см. рис.).

1см. 1см. 1см. 1см. … 10 9 8 7

S1 = πR12 = π • 42 = 16 π. Итак, по геометрическому определению вероятности P =

16π = 0,16. 100π

Ответ: 0,16. Задача. В течение 100 лет у нескольких поколений одной семьи на 35 случаев рождения детей в 7 случаях рождались двойняшки. Какова вероятность, что в следующий раз у представителя данной семьи родятся двойняшки? Не родятся двойняшки? Решение Частота появления события колеблется около 7/35. По статистическому определению, вероятность появления двойняшек Р(А) = 7/35. Вероятность не появления двойняшек Р( А ) = 1 – Р( А ) = 1 – 7/35 = 28/35. Ответ: 7/35; 28/35.

II тип. Правила суммы и произведения вероятностей. Формулы полной

вероятности и Байеса Задача. 20 билетов студент знает полностью, в 10 билетах он не знает по одному из двух вопросов; 7 билетов он не знает вообще. Считается, что студент получит положительную оценку, когда ответит хотя бы на один из двух вопросов в билете. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку? Решение Событие А – студент вытягивает билет, который знает; Р(А)=20/37. В – вытягивает билет, который он знает наполовину; Р(В)=10/37. А + В – вытягивает билет, который он знает наполовину или который он знает полностью. А и В – несовместные события, так как студент не может одновременно вытянуть билет, который знает и который знает наполовину, следовательно, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 20/37+10/37. Задача. Один брат выучил 12 билетов из 25, другой – 15. Какова вероятность, что экзамен сдаст хотя бы один брат? Решение Пусть А – первый брат сдаст экзамен. В – второй брат сдаст экзамен. Искомое событие С = А + В, так как сдача экзамена хотя бы одним братом означает, что сдает первый или второй (то есть имеем дело с суммой событий). События совместны, так как сдать экзамен могут и оба вместе. Применим формулу для подсчета вероятности суммы совместных событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А • В). Р(А) = 12/25, Р(В) = 15/25 = 3/5. События А и В независимы, следовательно, Р(А • В) = Р(А) • Р(В) = 12/25 • 3/5 = 36/125. Р(А + В) = 12/25 + 15/25 + 36/125 = 99/125. Ответ: 99/125. Задача. Вероятность того, что один студент вытянет счастливый билет (событие А) 0,45, для другого студента – 0,55 (В). Найти вероятность, что, сдавая экзамен в разные дни (А, В – независимые): оба студента вытянут счастливые билеты (С), один из студентов вытянет счастливый билет (D), ни

один из них не вытянет счастливый билет (Е), хотя бы один вытянет счастливый билет (F). Решение Представим события С, D, E, F через события А и В. Событие С – оба вытянут счастливые билеты состоит из событий А – первый студент вытянет счастливый билет и В – второй студент вытянет счастливый билет, т. е. С = А • В. Событие D – один из студентов вытянет счастливый билет состоит из следующих событий: А – первый студент вытянет счастливый билет и В – второй студент не вытянет счастливый билет или А – второй студент вытянет счастливый билет и В – первый студент не вытянет счастливый билет. То есть, D = А • В + А • В. Событие Е – ни один не вытянет счастливый билет, состоит из событий А – первый студент не вытянет счастливый билет и В – второй студент не вытянет счастливый билет, т. е. E = А ⋅ В . Событие F – хотя бы один не вытянет счастливый билет, состоит из события E – неверно, что ни один не вытянет счастливый билет,

т.

е. F = E = А ⋅ В . События А и В независимы, следовательно, и события В , А независимы. При подсчете вероятности событий можно применять правило произведения независимых событий. Р(С) = Р(А • В) = Р(А) • Р(В) = 0,45 • 0,55 = 0,2475. Р(D) = Р(А • В + А • В) = Р(А • В ) + Р( А • В) = Р(А) • Р( В ) + Р( А ) • Р(В) = Р(А) • (1 – Р(В)) + (1 – Р(А))• Р(В)= 0,45 • 0,45 + 0,55 • 0,55 = 0,2025 + 0,3025 = 0,505 (События А • В и А • В несовместны). Р(Е) = Р( А • В ) = Р( А ) • Р( В ) = (1 – Р(В)) • (1 – Р(А)) = 0,55 • 0,45 = 0,2475. Р(F) = P( E ) = 1 – P(E) = 1 – 0,2475 = 0, 7525.

Задача. Из 29 билетов 13 – счастливые. Какова вероятность того, что первый студент вытянет счастливый билет, а второй следом за ним несчастливый? Решение Пусть В – первый студент вытянул счастливый билет, А – второй студент вытянул несчастливый билет. Тогда событие А•В – первый студент вытянул счастливый билет, а второй – несчастливый. А и В – зависимые события. Р(В) = 13 , при условии, что первый билет был счастливый, вероятность вытянуть 29 несчастливый билет Р(А/В) =

16 16 4 = = . Тогда по формуле для 29 − 1 28 7

произведения зависимых событий Р(АВ) = Р(А/В)Р(В) =

4 13 52 ⋅ = . 7 29 203

Задача. В аудитории занимались 3 группы. В первой группе 5 отличников, во второй – 7, в третьей – 3. а) Какова вероятность, что случайно оставленная зачетка принадлежит отличнику, если в первой группе 22 студента, во второй – 20, в третьей – 25? б) Найти вероятность того, что потерянная

зачетка отличника

принадлежит студенту первой группы? Второй группы? Третьей группы? Решение а) Очевидно, что вероятность искомого события будет изменяться в зависимости от того, студент какой группы потерял зачетку. Пусть А – оставленная зачетка принадлежит отличнику, В1 – зачетка принадлежит студенту первой группы, В2 – зачетка принадлежит студенту второй группы, В3 – зачетка принадлежит студенту третьей группы. В1, В2, В3 – независимые события. События А/В1, А/В2, А/В3 означают, что зачетка принадлежит отличнику, при условии, что зачетка принадлежит студенту первой, второй, третьей группы соответственно. Следовательно, событие А = А · В1 + А · В2 + А · В3, что означает, что событие А наступит в случае, если зачетка принадлежит студенту первой группы и зачетка отличника, или если зачетка принадлежит студенту второй группы и зачетка

отличника, или если зачетка принадлежит студенту третьей группы и зачетка отличника. Поэтому Р(А) = Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2) + Р(В3)Р(А/В3), так как произведение событий А и Вi находится по формуле условной вероятности. Р(В1) = Р(А/В3) =

22 20 25 5 7 , Р(В2) = , Р(В3) = . Р(А/В1) = ; Р(А/В2) = ; 67 67 67 22 20

3 . 25

Таким образом, по формуле полной вероятности Р(А) =

22 5 20 · · + 67 22 67

7 25 3 15 · + = . 20 67 25 67 б) События В1, В2, В3 – попарно несовместны. По формуле Байеса, Р(В1/А) = Р(А/В1) =

Р( В1 А) Р( В1 ) Р( А / В1 ) 22 = . Р(В1) = , Р( А) Р( А) 67

5 15 , Р(А) = (как было найдено ранее), поэтому Р(В1/А) = 22 67

22 5 ⋅ 67 22 = 5 = 1 . Аналогичным образом можно найти вероятность события, что 15 15 3 67 потерянная зачетка отличника принадлежит студенту второй группы и третьей группы: 20 7 ⋅ Р( В2 А) Р( В2 ) Р( А / В2 ) 20 = 7 . 67 = = Р(В2/А) = 15 Р( А) Р( А) 15 67 25 3 ⋅ Р( В3 А) Р( В3 ) Р( А / В3 ) 67 25 = 3 = 1 . Р(В3/А) = = = 15 Р( А) Р( А) 15 5 67

III тип. Комбинаторные задачи на вероятность

Задача. Набирая номер телефона, абонент забыл первые 3 цифры. Какова вероятность правильного набора абонентом цифр наугад? Решение Данную задачу можно разбить на 2 части: 1) Определить, сколькими способами можно составить трехзначное число (первые 3 цифры телефона); 2) Определить вероятность набора абонентом верного номера наугад. Трехзначное число состоит из трех цифр: abc . Первую цифру – число тысячных (множество a), можно выбрать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т. е. множество

а = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, c = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Таким образом, задачу можно переформулировать: сколькими способами (N) из элементов множеств a, b, c можно составить тройку упорядоченных элементов? Согласно правилу произведения N = 9 · 10 · 10= 900. Из

900

номеров

только

один

является

верным,

следовательно,

вероятность набора верного номера наугад Р(А)=1/900.

Ответ: 1/900. Задача. Написано слово МИР! Буквы (символы) записали на отдельных карточках и перемешали. Какова вероятность того, что наудачу извлеченные по порядку буквы снова составят слово МИР! Решение Всего имеется 4 карточки: М, И, Р, !. Из них нужно составить определенное слово из 3 букв и одного знака, т.е. нужно найти количество перестановок 4 символов по 4 местам. Р4 = 4! = 24. При

данных

перестановках

только

один

вариант

расставления

имеющихся символов подойдет по условию. Следовательно, вероятность наудачу составить нужное слово Р(А)= 1/24.

Ответ: 1/24. Задача. В урне лежат 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Какова вероятность того, что 3 шара окажутся с нечетными номерами? Решение Всего нужно вытащить 4 шара из 8. Это можно сделать C84 =

8*7*6*5 = 70 1* 2 * 3 * 4

способами. Из 4 шаров 3 с нечетными номерами можно получить C 43 =

4 *3* 2 =4 1* 2 * 3

способами. Значит вероятность того, что если из 8 пронумерованных шаров извлечь 4 и 3 из них будут с нечетными номерами Р(А)= 4/70 = 2/35.

Ответ: 2/35. IV тип. Подсчет количества информации в сообщении

Задача.

В

пруду

50000

рыб

(8000

карасей,

2000

щук,

40000

пескарей).Какое сообщение наиболее информативно: о том, что рыбак поймал карася, щуку или пескаря? Решение Для начала определим вероятность поймать каждую рыбу. Вероятность поймать карася Р(А)= 8000/50000 = 4/25 = 0,16. Вероятность поймать щуку

Р(А)= 2000/50000 = 2/50 = 0,04. Вероятность поймать пескаря Р(А)= 40000/50000 = 4/5 = 0,8. Зная вероятность поймать каждую рыбу, можно определить количество информации в сообщениях. Количество информации в сообщении о том, что рыбак поймал карася I =

log2 (1/0,16) = log2 (100/16) = log2 (6,25) = 2,64. Количество информации в сообщении о том, что рыбак поймал щуку I = log2(1/0,04) = log2 (100/4) =

log2(25) = 4,64. Количество информации в сообщении о том, что рыбак поймал пескаря I = log2 (1/0,8) = log2 (10/8) = log2 (1,25) = 0,32. На этом основании можно сделать вывод, что наиболее информативно сообщение о поимке щуки.

Ответ: наиболее информативно сообщение о поимке щуки.

Задача. Определить количество информации в слове МАМА, если по данным словаря русского языка частота появления символа: М – 0,026;

А–

0,062. Решение В данной задаче частота появления символов – вероятность их появления, которую используют при подсчете количества информации. Следовательно, количество информации в слове МАМА I = log2(1/0.026) + log2(1/0.062) +

log2(1/0.026)

+

log2(1/0.062)

=

2*log2(1/0.026)

+

2*log2(1/0.062)

=

2*log2(1000/26) + 2*log2(1000/62) ~ 2*log2(38,46) + 2*log2(16,13) = log2(38,46)2 + log2(16,13)2 ~ log2(1479) + log2(260) = =log2(1479 * 260) = log2(384540) ~ 18. Ответ: количество информации в слове МАМА ~ 18 бит. Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 107*. Подбрасывается монета.

а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы, благоприятствующие появлению события А = «выпадение орла»; г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Задача 108*. В мешке 3 геометрические фигуры – куб, тетраэдр, шар. Из мешка

случайным образом извлекается одна фигура. а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы, благоприятствующие появлению события А = «извлечение фигуры без углов»; г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Задача 109*. В лототроне находится 36 шаров. Вслепую извлекается один из

шаров.

а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы, благоприятствующие появлению события А – номер шара будет кратным 6; г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Задача 110*. А – выпадение на кубике числа кратного 2, В – выпадение на

кубике числа кратного 3. Найти события А + В и А • В. Задача 111*. А – извлечение из урны с 36 занумерованными шарами шара с

номером кратным 5, В – извлечение из урны с 36 занумерованными шарами шара с номером кратным 7. Найти события А + В и А • В. Задача 112*. Опыт заключается в покупке лотерейных билетов. А1 –

выигрышным оказался первый билет, А2 – выигрышным оказался второй билет,

А3 – выигрышным оказался третий билет. Пусть события независимы. Найти события

А1А2А3,

А1А 2 А 3 ,

А1 + А2 + А3 ,

А1 А2 + А2 А3 + А1 А3 ,

А1 А2 А3 + А2 А3 А1 + А1 А3 А2 . Задача 113*. В коробке находится печенье, которое из нее достают. А – первое

печенье оказалось «с сюрпризом», В – второе печенье оказалось «с сюрпризом», С – третье печенье оказалось «с сюрпризом». Найти события АВС, АBC + ABC + ABC , АВ + ВС + АС.

Задача 114**. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20.

Какова вероятность того, что число: а) кратно 5; б) кратно 3; в) простое; г) составное; д) не простое, не составное. Задача 115**. В корзине а белых и b черных шаров. Из этой корзины

вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После

этого из корзины берут еще один шар. Какова вероятность, что этот шар также белый? Задача 116**. На книжной полке стоят 17 книг, из них 5 детективов, остальные

учебники, какова вероятность того, что сонный студент наудачу возьмет учебник? Детектив? Задача 117**. В магазин пришло 26 упаковок шампуня. Из них 18 упаковок

шампуня PantineProV, остальные Head&Shoulders. Какова вероятность того, что в случайно взятой коробке окажется PantineProV; Head&Shoulders? Задача 118**. В ящике письменного стола лежат 15 одинаковых ручек, в

четырех из них черный стержень, в 11 синий. Какова вероятность того, что стержень синий? Черный? Задача 119**. Какова вероятность того, что наудачу из колоды в 36 карт будет

извлечена карта: а) красной масти; б) валет; в) пиковой масти? Задача 120**. Какова вероятность того, что из урны с 50 пронумерованными

шарами будет извлечен шар с номером: а) четным; б) кратным 7; в) не кратным 8? Задача 121***. Горнолыжник несется с горы с очень большой скоростью, но

не знает, что поперек всей трассы прорыта канава (очень широкая, что он не сможет пролететь через нее). Через канаву проложен мостик. Если лыжник попадет на мостик, то он останется жив. Найти вероятность того, что лыжник останется жив. Длина канавы 34 м 40 см, а мостик уже канавы на 33 м 48 см. Задача 122***. Какова вероятность, что парашютист не приземлится на

садовый участок, стоящий на посадочном поле, если площадь поля 75 га, а участка 2 га? Какова вероятность, что приземлится?

Задача 123***. Какова вероятность того, что метеорит упадет в озеро,

находящееся в лесу, если площадь леса 180 га, а площадь озера 4 га? Какова вероятность того, что метеорит упадет в лес? Задача 124***. В круг вписан треугольник. Площадь круга 15 см2, площадь

треугольника 8 см2. Какова вероятность того, что стрелок с первого выстрела попадет в круг, квадрат? Задача 125***. Ученик в диктанте из 21 слова допускает 5 ошибок. Какова

вероятность, что в следующем слове он допустит ошибку? Какова вероятность, что не допустит ошибку? Задача 126***. В лотерее из 1000 билетов выигрывает 3. Какова вероятность,

что купленный билет окажется выигрышным? Какова вероятность, что билет окажется невыигрышным? Задача 127***. Из 12 выстрелов стрелок промахнулся 2 раза. Какова

вероятность того, что при следующем выстреле он промахнется? Какова вероятность, что не промахнется? Задача 128***. Человек, занимающийся статистикой, решил провести

эксперимент. Он 274 раза случайным образом набирал телефонные номера. В 156 случаях к телефону подходили женщины. Какова вероятность того, что при следующем

звонке

трубку

возьмет

мужчина?

Какова

вероятность,

что женщина? II тип Задача 129*. Какова вероятность случайного выпадения козырного туза или

козырного короля из колоды в 36 карт? Задача 130*. Какова вероятность выпадения единицы или тройки, или четверки

на игральной кости? Задача 131*. Вероятность, что студент вытянет билет, из которого он знает два

вопроса, 0,4. Вероятность, что из билета он знает один вопрос, 0,1. Студент получит положительную оценку, при условии, если ответит хотя бы на один вопрос в билете. Какова вероятность, что студент получит положительную оценку? Какова вероятность, что студент получит «неудовлетворительно»?

Задача 132*. Вероятность вытащить из урны шар красного цвета 0,3, белого

цвета 0,4. Кроме этого в урне имеются шары черного цвета. Какова вероятность вытащить из урны шар черного цвета? Задача 133*. Два хлебокомбината производят булки с маком и с изюмом. На

пробу экспертам предоставлено 8 булок первого хлебокомбината и 8 – второго. Из общего числа 7 булок с изюмом, остальные с маком. Какова вероятность того, что случайно взятая экспертом булка будет булкой с изюмом, производства первого хлебокомбината? Задача 134*. В аквариуме 4 золотые рыбки, 7 серебряных, 3 красных. Из них 10

самцов и 4 самки. Какова вероятность того, что наудачу выловленная рыба окажется золотым самцом? Задача 135*. У аудиопиратов изъято 80 дисков классической музыки,

записанных в 2004 году, и 76 дисков классической музыки, записанных в 2005 году. Причем в 56 случаях музыка записана на диски CD-RW, а остальная на CD-R. Какова вероятность того, что случайно взятый диск окажется CD-R 2005 года? Задача 136*. В магазине для садоводов имеется 12 пакетиков семян моркови и

14 пакетиков семян свеклы. Из них 7 пакетиков производства Голландии, 19 – производства России. Какова вероятность того, что в случайно взятом пакетике окажутся семена моркови производства России? Задача 137**. Вероятность, что отец купит булку хлеба 0,8, дочь – 0,5. Какова

вероятность, что хотя бы один из них купит хлеб? Задача 138**. Одна подруга опоздает на практическое занятие с вероятностью

1/3, вторая – 4/5. Какова вероятность, что опоздает хотя бы одна подруга? Задача 139**. Вероятность, что одному ученику удастся списать контрольную

работу 3/5, другому – 2/3. Какова вероятность, что спишет решение хотя бы один ученик? Задача 140**. Вероятность того, что первый стрелок попадет в цель – 0,56,

вероятность того, что второй стрелок попадет в цель – 0,43. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель?

Задача 141**. Из 29 билетов 13 – счастливые. Какова вероятность, что первый

студент вытянет счастливый билет, и второй следом за ним

вытянет

счастливый? Какова вероятность, что первый студент вытянет несчастливый билет, а второй счастливый? Какова вероятность, что оба студента вытянут несчастливые билеты? Задача 142**. В подгруппе 5 юношей, 7 девушек. Какова вероятность, что

наудачу выбранные тетради будут принадлежать двум девушкам? Первая тетрадь принадлежит юноше, вторая девушке? Первая девушке, вторая юноше? Обе тетради принадлежат юношам? Задача 143**. На карточках написаны 33 буквы русского алфавита. Какова

вероятность, что из двух наугад выбранных карточек обе будут гласными? Обе согласными? Задача 144**. В урне 10 пронумерованных шаров. Какова вероятность того,

что из двух, наугад выбранных шаров, номера у обоих будут четными? Задача 145***. В зоопарке 3 вольера с обезьянами: в первом живут 3 обезьяны,

во втором – 2, в третьем – 6. Для профилактики их всех должен осмотреть врач. а) Какова вероятность того, что первым на прием к врачу попадет самец, если в первом и втором вольере по одному самцу, а в третьем – 2? б) Найти вероятность того, что самец, первым попавший к врачу, окажется из первого, второго, третьего вольера? Задача 146***. На соревнования прибыло 22 бегуна, 15 пловцов, 7

фехтовальщиков. Для соревнований каждый спортсмен заполнил специальную карточку, в которой указал информацию о себе. а) Какова вероятность того, что случайно взятая карточка принадлежит спортсмену из США, если из США прибыло 12 спортсменов, из Англии – 18, из Франции – 14? б) Какова

вероятность

того,

что

карточка

принадлежит пловцу, бегуну, фехтовальщику?

спортсмена

из

США

Задача 147***. По шоссе проехало 100 машин: 52 – Жигули, 22 – Лада, 26 –

Мерседес. Причем из этих 100 машин 46 заправлялись на автозаправке Лукойл, 38 – Спартак, 16 – Сибнефть. а) Какова вероятность того, что случайно остановленная на шоссе машина окажется Мерседесом? б) Какова вероятность того, что случайно остановленный на шоссе Мерседес воспользовался автозаправкой Лукойл, Спартак, Сибнефть? Задача 148***. На складе находится 15 упаковок туалетной воды, 4 упаковки

духов и 8 упаковок ароматизированных масел. Из всего этого количества 7 упаковок произведено фирмой Oriflame, 9 – Avon, 11 – Faberlic. а) Какова вероятность того, что случайно взятая упаковка будет с ароматизированным маслом? б) Какова

вероятность

того,

что

случайно

взятая

упаковка

ароматизированного масла будет производства Oriflame, Avon, Faberlic? III тип Задача 149*. На отдельных карточках написаны буквы К, М, П, Т, Р, О, Ю, Ь.

Карточки перемешивают и начинают извлекать по одной, составляя слово. Какова вероятность того, что по порядку извлеченные карточки образуют слово КОМПЬЮТЕР? Задача 150*. Какова вероятность того, что обезьяна, постучав по клавиатуре,

состоящей из 105 клавиш, 7 раз напечатает семибуквенное слово? Задача 151*. Имеются 3 пронумерованные урны. Какова вероятность

случайным образом разместить 4 одинаковых шара в первую урну? Задача 152*. Имеются карточки с тремя буквами О, двумя – К и двумя – Л.

Какова вероятность составить случайным образом из карточек с этими буквами слово КОЛОКОЛ.

IV тип Задача 153*. В коробке 50 теннисных мячей (40 желтых и 10 белых).

Поступило сообщение об извлечении из коробки белого мяча. Посчитать количество информации в этом сообщении и в сообщении об извлечении из коробки желтого мяча. Какое сообщение информативнее? Задача 154*. За год учебы ученик получил 100 оценок по математике. Из них

60 – «5», 30 – «4», 8 – «3», 2 – «2». Посчитать количество информации в сообщении о получении каждой из оценок. Расположить сообщения в порядке убывания их информативности. Задача 155*. Определить количество информации в слове КРОССВОРД, если,

по данным словаря русского языка, частота появления символа: К – 0,028; Р – 0,04; О – 0,09; С – 0,04; В – 0,035; Д – 0,025. Задача 156*. Определить количество информации в слове МАТЕМАТИКА,

если, по данным словаря русского языка, частота появления символа: М- 0,026; А – 0,062; К – 0,028; Т – 0,053; Е – 0,072; И – 0,062. Домашнее задание

Вариант 1 1. Студент выучил 17 экзаменационных билетов, а 8 оставшихся не выучил. Какова вероятность, что студент не получит «двойку» (А), что получит «двойку» ( А )? 2. Вероятность того, что на соревнованиях спортсмен из России придет к финишу первым – 0,39. Вероятность того, что к финишу первым придет спортсмен из Беларуси – 0,41. Какова вероятность того, что к финишу первым придет хотя бы один из этих спортсменов? 3. В урне находится 17 шаров: 9 белых, остальные – черные.

Какова

вероятность того, что первый, извлеченный из урны шар будет белый, а следующий черный? 4. Имеется 4 карточки с буквами В, С, А, Я. Какова вероятность того, что студент, извлекая по одной карточке, сможет сложить из них свое имя? Как зовут студента?

5. В лесу водится 500 лосей, 340 медведей и 200 волков. Какое сообщение наиболее информативно, что охотник подстрелил лося, медведя или волка? Вариант 2 1. В ученическом портфеле 5 учебников в синих обложках и 7 в красных. Какова вероятность, что наудачу извлеченный учебник окажется в синей обложке (А)? В красной ( А )? 2. К зачету по литературе нужно было прочитать 34 книги. Студентка 12 книг прочла полностью, 11 – наполовину, а остальные не читала вообще. Какова вероятность того, что она не сдаст зачет? 3. В зоомагазине 12 котят: 2 рыжих, остальные полосатые. Какова вероятность того, что первым купят полосатого котенка, а следующим рыжего? 4. Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при одном бросании 5 костей? 5. Из 100 заявлений, поданных о приеме в ЧГПУ, в 37 говорится о факультете информатики, в 34 – о математическом факультете, в остальных – о филологическом факультете. Какое сообщение наиболее информативно, что абитуриент

поступил

на

факультет

информатики,

филологический,

математический факультет? Вариант 3 1. На полке 5 учебников понадобятся студенту на занятиях, а 17 нет. Какова вероятность, что сонный студент в темноте выберет нужный учебник (А)? Не нужный ( А )? 2. Первый преподаватель не опоздает на пару с вероятностью 0,48, второй – с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что хотя бы один из преподавателей придет на пару вовремя? 3. Дети в детском саду готовятся к новому году – вырезают снежинки из цветной бумаги. На столе вперемешку лежит бумага красного и синего цветов (16 и 13 листов соответственно). Какова вероятность того, что первая снежинка будет вырезана из бумаги красного, а вторая – из бумаги синего цвета?

4. Имеется 2 карточки с буквой Ш, 2 карточки с буквой А и одна карточка с буквой Л. Какова вероятность случайным образом составить из этих карточек слово ШАЛАШ? 5. Определить количество информации в слове ИНФОРМАТИКА, если, по данным словаря русского языка, частота появления символа: Н – 0,053;

Ф–

0,002; К – 0,028; Т – 0,053; Р – 0,04; И – 0,062; М – 0,026; А – 0,062. Вариант 4 1. В коробке 6 конфет с вишневой начинкой, 9 с шоколадной. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная из коробки конфета окажется с вишневой начинкой (А)? С шоколадной ( А )? 2. Два работника приходят каждое утро в магазин, чтобы открыть его для покупателей. Первый работник не опоздает к открытию с вероятностью 0,51, второй – с вероятностью 0,38. Какова вероятность того, что магазин откроется вовремя? 3. Студенту на контрольной работе предложили 8 конвертов с заданиями. Из них 6 конвертов содержат простые задания, остальные – сложные. Какова вероятность того, что, случайным образом выбирая конверты, студент сначала возьмет конверт с простым, а затем со сложным заданием? 4. Имеется 2 карточки с буквой К, 2 карточки с буквой А и одна карточка с буквой З. Какова вероятность случайным образом составить из этих карточек слово КАЗАК? 5. Определить количество информации в слове КОНФЕТТИ, если, по данным словаря русского языка, частота появления символа: Н – 0,053;

Ф–

0,002; К – 0,028; Т – 0,053; О – 0,09; И – 0,062; Е – 0,072. Контрольные вопросы

1. Какое явление можно назвать случайным событием, элементарным исходом? 2. Какие виды элементарных исходов и случайных событий существуют?

3. В

чем

сходство

и

отличие

классического,

геометрического

и

статистического определения вероятности? 4. Как находится вероятность суммы, произведения событий? Для каких событий используются специальные формулы? 5. Чему равна вероятность противоположного события? 6. Какой

формулой

выражается

зависимость

между

количеством

информации в сообщении о наступлении событии и вероятностью его наступления? Библиографический список

1. Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: учеб. пособие / Х. М. Андрухаев; под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и

доп. –

М.: Высш. шк., 2005. – С. 4 – 54. 2. Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В. Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 79 – 88. 3. Гришин М. П. Математика и информатика: учебное пособие / М.П. Гришин. – 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – С. 21 – 27. 4. Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер,

2004. – С. 155 – 167. 5. Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.:

И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 21 – 29. Тема 6. Математическая статистика Цель: овладеть навыками первичной статистической обработки данных. Задачи научиться:

1) находить по данному эмпирическому ряду ранжированный и дискретный вариационные ряды, а также строить интервальный закон распределения и выполнять обратную задачу; 2) по данным выборки строить таблицы и полигоны абсолютных, относительных и накопленных частот, а также, наоборот, по таблицам и

графикам восстанавливать выборку до вида ранжированного вариационного ряда; 3) выбирать наиболее подходящую и вычислять средние степенные и структурные величины; 4) по эмпирическим данным выборки находить показатели

ее

вариации. Общие теоретические сведения

Математическая статистика – наука, изучающая массовые явления для выявления закономерностей и получения некоторых обобщенных показателей, кратко характеризующих полученные данные.

статистическими

Под информация,

характеризующая

данными

понимается

некоторую

любая

числовая

совокупность

объектов,

обладающих теми или иными общими признаками. Все

множество

исследуемых

объектов

называется

генеральной

совокупностью (ГС). Общее свойство объектов генеральной совокупности называется признаком генеральной совокупности.

Выборка (В) (выборочная совокупность) – подмножество генеральной совокупности, где каждый ее элемент выбирается случайным образом.

Объем совокупности (генеральной или выборочной) – количество элементов в ней.

N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки. Из определений ГС и В следует, что N > n (как правило, N > 1000, 10 ≤ n ≤ 100).

Случайная величина – величина, которая в результате опыта принимает то или иное заранее неизвестное числовое значение. Каждой случайной величине Х соответствует некоторое множество чисел. Это – множество значений, которые может принимать величина Х.

Дискретная случайная величина – случайная величина, принимающая отдельные значения хi с вероятностями pi. Причем, если x1, x2, … – возможные значения величины Х, а р1, р2, … – их вероятности, то р1 + р2 + … = 1.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая принимает любые значения из некоторого промежутка на множестве действительных чисел. Пусть х1, х2, …, хn – совокупность случайных значений случайной величины Х, т. е. выборка, тогда данную совокупность хi называют

эмпирическим рядом. Эмпирический ряд х1, х2, …, хn представленный, в порядке возрастания с перечислением

повторяющихся

значений,

называется

ранжированным

вариационным рядом: y1, y2, …, yn (где y1 ≤ y2 ≤ … ≤ yn). Эмпирический ряд х1, х2, …, хn, представленный в порядке возрастания без повторяющихся значений, называется дискретным вариационным рядом:

α1, α2, …, αm (где α1 < α2 ), третья – операции конъюнкции (/\). в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид:

В ∧С ⇒ А. г) Делаем проверку: А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно читать, => - операция импликации (если, …то), х - операция отрицания

(неверно высказывание), /\. - операция конъюнкции (и). Следовательно, формулу В ∧ С ⇒ А можно прочитать следующим образом: Неверно высказывание: если книга дорогая и ее скучно читать, то она интересная. Ответ: высказывание соответствует формуле В ∧ С ⇒ А . Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко». Решение.

а) Простых высказываний в данном предложении четыре: 5. В пустыне есть вода,

6. В пустыне есть растения, 7. В пустыне много песка, 8. В пустыне очень жарко. Обозначим высказывания латинскими буквами: А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко.

б) Логических связок в данном высказывании пять: первая – нет, вторая – и, третья – нет, четвертая – тогда и только тогда, когда, пятая – или. Первая и третья соответствуют операции отрицания ( ⎯ ), вторая – операции конъюнкции (/\), четвертая – операции эквиваленции (Ù), пятая – операции дизъюнкции (\/). в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид:

(А ∧ В ) ⇔ (С ∨ D). г) Делаем проверку: А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко, х – операция отрицания

(нет), /\ – операция конъюнкции (и), \/ – операции дизъюнкции (или), Ù – операции эквиваленции (тогда и только тогда, когда).

Следовательно, формулу

(А ∧ В )⇔ (С ∨ D)

можно прочитать следующим

образом: В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко.

(

)

Ответ: высказывание соответствует формуле А ∧ В ⇔ (С ∨ D ) . III тип. Перевод с формального языка на естественный

Повторите алгоритм перевода с формального языка на естественный из теоретической части занятия. Задание. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском

(

)

языке: А ∧ В ⇒ С . Решение.

Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание: А – Пушкин А. С. – поэт, В – Пушкин А. С. – дуэлянт,

С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет. Логические

операции

заменим

соответствующими

логическими

связками:

А – Пушкин А. С. – не поэт; В – Пушкин А. С. – не дуэлянт;

∧ – и; ⇒ – Если …, то … Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные заданными высказываниями, а операции – логическими связками: «Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С. доживет до 70 лет». В соответствии с правилами русского языка, избавимся от повторяющихся слов: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет». Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет». IV тип. Нахождение значение истинности формулы, доказательство логических

законов, доказательство тождественной истинности или ложности формул Последовательность

выполнения

операций

в

логических

формулах

определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: х , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ . Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно порядок действий X ⇔ X ∨ Y ; Решение. X ⇔ X ∨Y

X - первое действие; X ∨ Y - второе действие; X ⇔ X ∨ Y - третье действие.

указав

X Y

X ∨Y

X ⇔ X ∨Y

1. T T F

T

F

2. T F F

T

F

3. F T T

T

T

4. F F T

F

F

X

Ответ: формула принимает истинное значение, когда Х – истина,Y – ложь. Во

всех остальных случаях формула принимает значение ложь. Задание: доказать логический закон исключенного третьего X ∨ X . Решение. X∨X X - первое действие; X ∨ X - второе действие.

X

X

X∨X

1. T

F

T

2. F

T

T

Ответ: формула является законом логики. V тип. Решение задач с применением логических формул и таблиц истинности Задача. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Сергей пошел в кинотеатр. Выяснить кто пошел с Сергеем? Решение.

Обозначим простые высказывания: А – Андрей ходил в кинотеатр, В – Владимир ходил в кинотеатр, С – Сергей ходил в кинотеатр.

Представим известные факты в виде логических формул:

Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей – А ⇔ В ∧ С . Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей – В ⇒ С . Сергей пошел в кинотеатр – С.

Из условия следует что формулы А ⇔ В ∧ С = Т и В ⇒ С = Т и С = Т (истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем значения переменных А и В в тех строках, где данные формулы принимают истинное значение (они выделены темным цветом): А В С

В ∧С

А⇔ В∧С

В⇒С

T T T

T

F

F

T

T T F

F

T

T

F

T F T

F

T

T

T

T F F

F

T

T

T

F T T

T

F

T

T

F T F

F

T

F

F

F F T

F

T

F

T

F F F

F

T

F

T

В ∧С

Так высказывания А ⇔ В ∧ С и В ⇒ С и С истинны в двух случая: когда А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один – отклоняются). Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Сергеем. VI тип. Задачи на применение законов формальной логики Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей – с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом не соответствующим фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить у какой подружки, какая ручка, Синельникова сказала, что у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у каждой из подружек? Решение.

а) Решим задачу используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный; в строках – фамилии: С –

Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего цвета, знак «–» – если стержня нет (см. табл. 7.1.). Таблица 7.1. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы

с к з С К З

б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.): Таблица 7.2. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

с к з С – К

– – –

З

в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно у нее может быть только красная ручка. Поэтому у других подружек уже не может быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.:

Таблица 7.3. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

с к з С – + – К

–

З

– –

г) Из таблицы 7. 3. очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл. 7.4.): Таблица 7.4. Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог)

с к з С – + – К – – + З + – – Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая,

у Зелениной – синяя. Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но

фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и позволяет не упустить ни одну версию. Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение

при тех же условиях задачи. Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где

некоторые из них соединены линиями. Точки – вершины графа; соединяющие их линии – ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой вершины. Решение.

Таблица 8. Решение задачи с помощью графа

Граф а)

Пояснение а) В задаче идет речь о двух множествах: множество фамилий (С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина) и множество цветов (с – синий, з – зеленый, к – красный).

С

с

К

к

З

з

Построим граф с соответствующими вершинами.

б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным ребром (линией), а несоответствующие пунктирной. в) С

с

К

к

З

з

г) С

с

К

к

З

з

С

с

К

к

З

з

С

с

К

к

З

з

д)

е)

в) Прочитаем условие. Так как у каждой подружки ручка цветом не соответствующим фамилии, то соединим С и с, К и к, З и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы. г) Так как у Синельниковой нет зеленой ручки, то соединим С и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы. Единственным вариантом остается, что у Синельниковой ручка красного цвета. Соединим С и к сплошной линией как соответствующие элементы. д) З и к соединим пунктирной линией, как не соответствующие элементы. Так как у Зелениной нет ни красной, ни зеленой ручки, то у нее синяя ручка. Соединим З и с сплошной линией как соответствующие элементы, и К и с – пунктирной, как не соответствующие элементы. е) По графу видно, что у Красновой нет ни синей, ни красной ручки, следовательно у нее может быть лишь зеленая ручка. Соединим К и з сплошной линией как соответствующие элементы.

Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая,

у Зелениной – синяя. Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально решать с

помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с числом элементов

более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами, то она решается с помощью графов.

Задачи для самостоятельного решения I тип Задача 1*. Определить является ли предложение высказыванием. Высказывания

обозначить и определить их истинность: а) Сегодня воскресенье. б) Дисплей – это устройство ввода информации. в) Проверь домашнее задание. г) Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных

формах действительного мира. д) День был дождливым? е) 19 делится на 5 без остатка. ж) Какой красивый дом! з) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века. Задача

2*.

Определить

из

скольких

высказываний

состоит

предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть. б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть

многоточие. в) Ленивому студенту трудно учиться. г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей. д) Чапаев – герой гражданской войны, а также современных анекдотов. е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед. ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований. Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые

высказывания, обвести кружком логическую связку. Задача

4**. Определить

из скольких

высказываний

состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: а) Лампочка горит когда есть электричество. б) На яблоне растут яблоки. в) У блондина белый цвет волос. г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно он победитель

Олимпийских игр.

д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов. е) Зимой на улице холодно. ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть

финала. з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга. Задача 5**. Для высказываний, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые

высказывания и обвести кружком логическую связку. Задача 6***. Определить из скольких высказываний состоит предложение.

Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: а) Чтобы сдать зачет студенту необходимо: решить все домашние задания,

написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции. б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину, в

случае, когда он кого-то сильно обидел. в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила

либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику. Задача 7**. Для высказываний, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые

высказывания и обвести кружком логическую связку. II тип Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул: а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ. б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить. Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул: а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен. б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы. в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца. ж) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето. Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это

возможно: а) Прочитай книгу и сходи в кино. б) Выучил уроки, если помыл посуду. в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями. III тип.

Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском

языке:

A∨ B X ⇔Z

P⇒Q A∧ B

O ⇒T Y ⇔W Задача 12**. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском

языке: P⇒Q ∧T

A∧ B⇒C D⇒G∨H

( A ⇒ B) ∨ C

A⇔ B∨C (X ∨ Y) ⇔ Z Задача 13***. Представить логический закон в виде высказывания на русском языке:

чисто условное умозаключение

(( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ C )) ⇒ ( A ⇒C ) закон де Моргана

( А ∨ В) ⇒ А ∧ В закон Дунса Скотта

А∧ А⇒ В закон косвенного доказательства

(А ⇒ ( В ∧ В ))⇒ А modus ponens (модус утвердительный)

(( А ⇒ В) ∧ А) ⇒ В modus tollens (модус отрицательный)

( А ⇒ В) ∧ В ⇒ А

Разделительно-категорическое умозаключение

(( А ∨ В) ∧ А) ⇒ В Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)

(( А ⇒ В) ∧ (С ⇒ D) ∧ ( A ∧ C )) ⇒ ( B ∨ D) Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма)

(( А ⇒ В) ∧ (С ⇒ D) ∧ ( В ∨ D)) ⇒ ( A ∨ C ) IV тип Задача 14*. Построить таблицы истинности для формул: а) C ∧ A ⇒ B б) A ∧ C ∨ A ∧ C в) X ∨ Z ⇒ Y г) A ∨ B ⇔ A ∧ C

(

)

д) X ⇒ Y ∧ Z е) X ∧ Z ⇒ Y ∨ Z Задача 15**. Определить являются ли формулы тождественно истинными: а) ( A ∨ B ) ∧ C ⇔ A ∧ C ∨ B ∧ C б) A ⇒ B ⇔ A ∧ B в) A ⇒ B ∧ A г) A ⇒ B ⇔ A ∨ B д) A ∨ (B ∧ C ) ⇔ (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C ) е) A ⇒ B ⇔ A ∧ B Задача 16***. Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:

а) A ⇒ B ⇔ A ∨ B б) A ∨ B ⇔ A ∧ B в) чисто условное умозаключение г) modus ponens (модус утвердительный) д) modus tollens (модус отрицательный) е) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) V тип

Задача 17*. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр.

Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Андреем? Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей, если

известно, что если она угостит А и С, то и В получит свою порцию. Также известно, что А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С. Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель начальника.

Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена видеокамера, охранник выдал заведомо ложную информацию о том, что если в кабинете в момент поломки был заместитель, и не было начальника, то в кабинете присутствовал секретарь. Кто сломал калькулятор? Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее

могли находится три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе допроса смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не было уборщицы или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель солгал. Кто украл полотно? Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был инициатором,

если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь: «Если я инициировала прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»? Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали домашнее

задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин сказал: «Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил: «Списал Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали неправду. Кто списал на самом деле? Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала царевна-

лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев попали в болото». Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались в болоте». Старший произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или стрела младшего угодила туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из братьев только один сказал правду? Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они

получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже

выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня выйдет замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала, что ни одно предсказание не сбылось. Кто вышел замуж? Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за сессию.

Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима сказал, что Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него нет задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из них сказал неправду. Кто на самом деле имеет долги за сессию? VI тип Задача 26*. После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и

«Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины были разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания свидетелей позволили выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигули» возил владельца машины желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во-вторых, пассажирами на синей машине видели водителей «Волги» и «Запорожца». В-третьих, водитель «Жигули» не любит синий цвет, так же сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет. Какой цвет соответствовал каждой марке машины до угона? Задача 27*. Один из друзей Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог, другой

юрист, третий физик, четвертый художник. Определить у кого какая профессия, если известно, что Владимир учился с археологом и юристом в одном вузе. Археолог с Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник написал портреты Владимира и Григория. Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой,

Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился, Лена сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с Викой». Даша ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с кем поссорился? Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах

другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на средней, старший не на старшей. Какой брат, на какой сестре женился, если известно, что старшая сестра вышла замуж не за младшего брата? Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии, третий

– фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут их мужья.

Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их матери. Какой жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей, если жена фантаста не любит детективы? Задача 31***.

У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не

соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья брюнетка. Девушки носят костюмы цвета не соответствующего цвету волос и фамилии. У кого какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки, если Чернова не блондинка? Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют фамилиям, но

при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего Петром. Отчества юношей не соответствуют ни их фамилиям, ни именам. Но их отчества: Петрович, Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество, если Максимова точно зовут не Иваном? Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой, сумочки и

кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой девушки цвет сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает ни с цветом сумочки, ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит сумочка и кофта, если у зеленоглазой подружки не коричневая сумка?

Домашнее задание

Вариант 1. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания,

обвести кружком логическую связку: «Сегодня солнечный летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы». Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не заплатил за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса». Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

X ∨Y ⇔Y ∨ X ; A⇒ B ∨ C . Доказать с помощью таблиц истинности логический закон Дунса Скотта

А∧ А⇒ В . Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Владимиром? Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – металлическую, третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка, какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает поп-музыку? Вариант 2. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания,

обвести кружком логическую связку: «Студент допущен к экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также, у него не было много пропущенных занятий». Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь здоровым тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом».

Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

A∧ B ⇔ B ∧ A; X ∨Y ⇒ Z .

(

)

Доказать закон косвенного доказательства А ⇒ ( В ∧ В) ⇒ А . Преподаватель должен выбрать из трех студентов участников для олимпиады. Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то Синицын тоже будет участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только тогда, когда он не возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева участвовала в олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто? Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на оценку не соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если известно, что троечник не получил пятерку? Вариант 3. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания,

обвести кружком логическую связку: «В случае, когда спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не будет допущен к соревнованиям». Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето». Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

A ∨ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∨ B) ∨ C ; T ∧Q.

Доказать условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма). В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель сказал, что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов. Козлов решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не пойдет Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех друзей пойдет в поход? Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в «Веселых стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках, третьему –

метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим видом спорта. Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие, если известно, что бегун не будет прыгать? Вариант 4. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного

высказывания

подчеркнуть

простые

высказывания,

обвести кружком логическую связку: «Когда я не выполнил домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на занятие». Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что на Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь». Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

A ∧ ( B ∧ C ) ≡ ( A ∧ B) ∧ C ; Y⇔X.

Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое умозаключение (( А ∨ В) ∧ А) ⇒ В . В спортивную секцию решили записаться три одноклассника: Синельников, Абрамов, Воронин. Отношения между одноклассниками складываются таким образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и Абрамов будут заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и только тогда, когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не подходит по медицинской справке. Кто из одноклассников записался в секцию? Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в Германию не попадает переводчик с английского языка?

Контрольные вопросы

Что изучает математическая логика? Как определить, что предложение является высказыванием? Каким

союзам

русского

языка

соответствует

операции:

отрицания,

конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция? Какие обозначения соответствует союзам русского языка: … тогда и только тогда, когда …; и; или; если …, то…; не? Какие значения истинности принимают операции отрицания, конъюнкция, дизъюнкция,

импликация,

эквиваленция,

в

зависимости

от

значений

переменных? Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка на формальный? Каким образом осуществить перевод с формального языка на естественный? Как доказать логический закон? Какого типа задачи решаются с помощью таблиц истинности? Каким образом? Какие задачи логического характера удобно решать с помощью таблиц, а какие с помощью графов?

Библиографический список

Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.: ил. – с. 34. Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2003. – 120 с. – с. 53 – 60. Турецкий В. Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 560 с. – (Серия «Высшее образование»). – С. 60 – 75. Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с.

Тема 2. Множества и операции над ними Цель:

Овладеть навыками теоретико-множественного представления объектов реальной и абстрактной действительности. Задачи:

11)

научиться находить множества и их элементы в окружающей

действительности и в абстрактных структурах; 12)

научиться осуществлять переход от одного способа задания

множества к другому, и распознавать возможность такого перехода; 13)

научиться определять мощность множеств;

14)

научиться определять отношения между множествами;

15)

выполнять и определять операции над множествами;

16)

научиться доказывать свойства операций над множествами;

17)

научиться решать практические задачи с применением операций

над множествами. Общие теоретические сведения

Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах. Пример 1.

множество яблок растущих на яблоне; множество студентов, обучающихся в ЧГПУ; множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения РФ; множество прямоугольников; множество двусложных слов в русском языке; множество букв в английском алфавите, или множество согласных букв в русском алфавите; множество натуральных чисел; множество иррациональных чисел. Определяющие признаки множества:

рассматривается

некоторое

абстрактных объектов или явлений;

собрание

реально

существующих

или

это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно целое; природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы; все объекты множества должны отличаться друг от друга. Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A,

B, C, …, Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы

множества

обозначаются

строчными

буквами

латинского алфавита: a, b, c, …, z. Принадлежность элемента к какому-либо множеству записывается с помощью символа ∈ . Математическое выражение a ∈ A означает, что объект а принадлежит множеству А, а выражение a ∉ A означает, что объект а не принадлежит множеству А. Способы задания множества:

через характеристическое свойство: D = {y | P( y)}, где P(y) – характеристическое свойство множества D; перечислением всех элементов множества. Элементы конечного множества можно перечислить, а элементы бесконечного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную

совокупность. Конечные множества можно задать как перечислением, так и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства. Мощность конечного множества – это количество элементов, которые

принадлежат данному множеству, обозначается как m (A), что означает мощность множества А. Пустое множество – это множество не содержащее элементов.

Мощность пустого равна 0. Отношения между множествами представлены в таблице 9.

Таблица 9.

Отношения между множествами Отношение. Диаграмма Эйлера-Венна В строго включается в А

А

В

Определение Если каждый элемент

Условная запись

В⊂ А

множества B является

Условия проверки 1) ( ∀х ∈ В )

х∈ А

2)

(∃у ∈ А) у ∉ В

элементом множества А, и в множестве А есть хотя бы один

х В подмножество А

элемент не принадлежащий В, то говорят, что множество В строго включается в

множество А. В нестрого включается в Если каждый элемент А множества B является

А

В

В⊆ А

( ∀х ∈ В ) х ∈ А

А=В

1) ( ∀х ∈ В )

элементом множества А, то В

подмножество А

говорят, что множество В нестрого включается в

множество А. Если В ⊆ А и А ⊆ В , то

А равно В

х∈ А

множества А и В называются

А=

2) ( ∀y ∈ А )

равными. Обозначаются как А =

y∈В

В. А и В пересекаются

В

А y

x

Если множества А и В имеют

В∩ А ≠ø

(∃х ∈ А) х ∈ В

общие элементы, то такие множества называются

z

пересекающимися. А и В не пересекаются

В

А х

Если два множества не имеют общих элементов, то они

у

называются непересекающимися.

В ∩ А= ø

1)

(∀х ∈ А) х ∉ В 2)

(∀у ∈ В) у ∉ A

Из элементов нескольких множеств можно образовывать новые множества, такие преобразования называются операциями над множествами. Основные операции над множествами представлены в таблице 10.

Таблица 10.

Операции над множествами Обозначение и характеристическое свойство А∩В = = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Операция. Диаграмма Эйлера-Венна. Диаграмма Пересечение

А

В А∩ В

А∪ В

В

= {х | х ∈ А ∨ х ∈ В}

Объединением множеств А и В называется такое множество все элементы которого принадлежат множеству А или множеству В.

В

А\В = = {х | х ∈ А ∧ х ∉ В}

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В.

Разность

А

Пересечением множеств А и В называется множество состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В.

А∪ В =

Объединение

А

Определение

А/ В

В случае, когда В – подмножество А (В ⊂ А), разность А\В называют дополнением множества В до множества А и обозначают САВ.

A

САВ B

Множество, универсальным

объединяющее для

данных

несколько

множеств.

множеств,

Универсальное

называется множество

–

неоднозначно. Например, рассматриваемые множества А – множество кошек, В

– множество собак, С – множество коров. Для множеств А, В, С универсальным являются множества U1 – множество домашних животных, U2 – множество млекопитающих, U3 – множество четвероногих. Основные свойства операций над множествами:

1. А ∩ В = В ∩ А Коммутативное

1’. А ∪ В = В ∪ А свойство

операций

пересечения

и

объединения

соответственно. 2. ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ ( В ∩ С ) Ассоциативное

2’. ( А ∪ В) ∪ С = А ∪ ( В ∪ С )

свойство

операций

пересечения

и

объединения

соответственно. 3. А ∩ ( В ∪ С ) = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ С ) Дистрибутивное объединения

и

свойство

операции

3’. А ∪ ( В ∩ С ) = ( А ∪ В) ∩ ( А ∪ С )

операции

объединения

пересечения

относительно

относительно

пересечения

соответственно. 4. А ∩ ( А ∪ В) = А

4’. А ∪ ( А ∩ В) = А

Закон поглощения. 5. А ∩ А = А Законы идемпотентности. 10. (А\В)\С = (А\С)\В. 11. ( А ∪ В )\С = ( А \ С ) ∪ ( В \ С ) . 12. ( А \ В) ∩ С = ( А ∩ С ) \ ( В ∩ С ) . 13. А \ ( В ∪ С ) = ( А \ В) ∩ ( А \ С ) . 14. А \ ( В ∩ С ) = ( А \ В) ∪ ( А \ С ) .

5’. А ∪ А = А

Типы практических задач, для решения которых используется теория множеств Разбиение множеств. Классификация

Классификация – действие распределения объектов по классам. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если: 3) подмножества Х1, Х2, …, Хn, … попарно не пересекаются; 4) объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает с множеством Х. Если одно из условий не выполнено, то классификация считается неправильной. Классификация относится к такой операции над множествами как разбиение множеств. Наглядно эту операцию можно представить в виде разбитой тарелки. Кусочки разбитой тарелки не пересекаются, и при соединении их, вновь получается «целая» тарелка.

Переход от одного способа задания множества к другому

От характеристического способа задания множества к перечислению элементов целесообразно переходить с целью конкретизации, уточнения полученной информации. Переход к характеристическому способу задания множества, обычно осуществляют с целью обобщения, сокращения количества информации при передаче информационного сообщения. Принадлежность элемента к множеству

При выполнении различных тестов, при решении практических задач часто приходится отвечать на вопрос: «Какой элемент в данном ряде объектов является лишним». В данном случае используется проверка принадлежности элемента к какому-либо множеству.

В подобных задачах в первую очередь выясняется, к какому множеству принадлежат большинство элементов, затем проверяется принадлежность каждого элемента к выявленному множеству. Если элемент не принадлежит множеству, то он исключается из ряда предложенных объектов. Отношения между множествами Чтобы избежать двусмысленности, путаницы при изложении своих мыслей,

часто приходится выяснять, в каких отношениях находятся различные

множества. Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого. При введении определений или описании понятий используются родовые и

видовые отношения между понятиями. Пусть a, b – понятия, a ∈ А , b ∈ B , А, В – соответственно объемы данных понятий (множество всех объектов, обозначаемых одним термином). Если А ⊂ В , то а – видовое понятие по отношению к в, в – родовое по отношению к а. Видо-родовые отношения понятий зависят от взаимного расположения множеств их объемов. В случае, когда множества А и В пересекаются, об отношениях рода и вида для понятий а и в говорить нельзя. Но при пересечении объемов понятий часто образуется новое слово или словосочетание (студент-спортсмен, матьгероиня, город-герой и т. д.). Для объема любого определяемого понятия существует неопределяемое понятие (категория), в объем которого оно может быть включено. У категорий определения не может быть, они могут быть только описаны. Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств

Число элементов в объединении двух непересекающихся множеств. Правило 1. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В

– b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств

А и В содержится а + b элементов, т. е. m( А ∪ В) = m( A) + m( B) = a + b .

Число элементов в объединении n непересекающихся множеств Правило 2. Множества А1, А2, …, Аn попарно не пересекаются, то

m( А1 ∪ А2 ∪ ... ∪ Аn ) = m( А1 ) + m( А2 ) + ... + m( Аn ) . Число элементов разности двух множеств Правило 3. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В

– b элементов и B ⊂ A , то во множестве А\В содержится а - b элементов,

т. е.

m( А \ В) = m( A) − m( B) = a − b . Число элементов в объединении двух пересекающихся множеств Правило 4. Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В

– b элементов и множества А и В пересекаются и в пересечении содержится с элементов, то в объединении множеств А и В содержится а + b - с элементов

m( А ∪ В) = m(A) + m(B) – m( А ∩ В) . Данное правило обосновывается тем что, складывая, элементы пересекающихся множеств А и В, мы дважды считаем элементы, принадлежащие их пересечению.

А

А∪ В

В

Практические задания

Примеры решений I тип. Способы задания множеств. Принадлежность элементов множеству.

Мощность множеств

Задача. Определить способ задания множества А = {а, б, в, г, д, е, ё, ж, з, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ь, ы, ъ, э, ю, я}. Перейти к другому

способу, если это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы: п, 1, L, л, д, g, s, 8, u, й, ж, i, ю, я, 1500 данному множеству. Решение. а) Перечислены все элементы множества А, следовательно множество задано

перечислением.

Любое

множество

можно

задать

с

помощью

характеристического свойства. б) Общим свойством элементов данного множества А является то, что все они буквы русского алфавита. Следовательно с помощью характеристического свойства множество представимо как А = {x | x – буква русского алфавита}. в) Общее число элементов множества А, множества букв русского алфавита, равно 33. Поэтому его мощность m (A) = 33. г) Чтобы определить принадлежит ли элемент множеству А достаточно проверить перечислен ли он как его элемент.

Ответ: множество задано перечислением, характеристическое свойство А = {x | x – буква русского алфавита}, m (A) = 33, п ∈ А, 1 ∉ А, L ∉ А, л ∈ А, д ∈ А, g ∉ А, s ∉ А, 8 ∉ А, u ∉ А, й ∈ А, ж ∈ А, I ∉ А, ю ∈ А, я ∈ А, 1500 ∉

А. Задача. Определить способ задания множества С – множества прямых. Перейти к другому способу, если это возможно. Определить мощность множества.

Определить

принадлежат

ли

горизонтальные

окружность, кошки, вертикальные прямые, числа данному множеству. Решение.

прямые,

а) Множество С задано характеристическим свойством неявно. Явная форма задания С = {w | w – прямая}. б) Прямых существует бесконечно много, поэтому множество С является бесконечным и задать его перечислением нельзя. в) Если a – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа, то так как параллельные и перпендикулярные прямые являются прямыми, а все остальные объекты ими не являются, следовательно, a ∈ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∈ C, e ∉ C.

Ответ:

Множество

С

задано

характеристическим

свойством,

перечислением не задается, a ∈ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∈ C, e ∉ C, где а – горизонтальные прямые, b – окружность, c – кошки, d – вертикальные прямые, e – числа. II тип. Отношения между множествами

Задача. Определить, о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения между множествами с помощью условной записи. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов ЭйлераВенна: а) А – множество научных дисциплин, за достижения в которых вручается Нобелевская премия, B – множество всех научных дисциплин.

б) E – множество бегемотов, F – множество гиппопотамов. в) G – множество людей, H – множество жилых домов. г) I – множество студентов, J – множество людей, увлекающихся классической .

Решение. При решении воспользуемся определениями отношений, приведенных в таблице 9. а) Известно, что за достижения в математике Нобелевская премия не вручается. Получается, что не каждый элемент множества В содержится в множестве А, тогда как каждый элемент множества А принадлежит множеству

В. То есть 1) ( ∀х ∈ А ) х ∈ В и 2) ( ∃у ∈ В ) у ∉ А . Исходя из определения

отношения строго включения, приходим к выводу, что множество А строго включается в В. Условная запись А ⊂ В .

В

А у

б) Каждый бегемот является гиппопотамом, и каждый гиппопотам является бегемотом, т. е. ( ∀х ∈ E ) х ∈ F и ( ∀y ∈ F ) y ∈ E , следовательно

E ⊆ F и F ⊆ E . По определению равенства множеств приходим к выводу, что множества E и F равны (совпадают). Условная запись E = F.

E=F

в) Ни один человек не является жилым домом, также ни один дом не является человеком (т. е.

(∀х ∈ G) х ∉ H и (∀у ∈ H ) у ∉ G ), следовательно,

множества G и H не имеют общих элементов ( ∃ z ( z ∈ B ∧ z ∈ A) ). Исходя из определения, можно сделать вывод, что множества G и H не пересекаются. Условная запись G ∩ H =

ø.

H G

у

х г)

Существуют

люди

являющиеся

одновременно

студентами

и

увлекающиеся классической музыкой ∃х( x ∈ I ∧ x ∈ J ) . Также есть студенты, не увлекающиеся

классической

музыкой

∃у( y ∈ I ∧ у ∉ J )

увлекающиеся

классической

музыкой,

но

не

и

являющиеся

есть

люди,

студентами

∃z ( z ∈ J ∧ z ∉ I ) . Получается, что множества I и J имеют общие элементы, и

имеют элементы, принадлежащие одному множеству, но не принадлежащие другому, следовательно, по определению пересекающихся множеств I и J пересекаются. Условная запись I ∩ J ≠ ø.

J

I y

x

z

Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Если множества пересекаются, найти их пересечения. Найти универсальное множество

для

данных

множеств.

Изобразить

отношения

между

множествами с помощью кругов Эйлера-Венна. А = {красный, желтый, синий, зеленый}, B = {красный, желтый}. С = {желтый, синий, черный, оранжевый}. D = {коричневый, голубой, розовый}.

Решение. Все элементы множества В содержатся во множестве А, но не все элементы множества А являются элементами множества, поэтому В ⊂ А .

А ∩ В = {красный, желтый}. А ∩ С = {желтый}. А ∩ D =

ø.

U = {множество цветов}. U A B

D C

Задача. Сравнить множество А с множествами B, C, D. Сравнить множества B, C, D. Найти попарно пересечение множеств В, С, D. Найти универсальное множество для данных множеств. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.

А = {а | a – студент ЧГПУ}, B = {b | b – студент - филолог ЧГПУ}. С = {с | с – студент-историк ЧГПУ}. D = {d | d – студент первого курса ЧГПУ}. Решение. В ⊂ А , С ⊂ А , D ⊂ А , В ∩ С , В ∩ С = ø. В ∩ D – студенты-филологи 1 курса ЧГПУ. С ∩ D – студенты-историки 1 курса ЧГПУ. U – множество всех студентов ЧГПУ.

А

В

D

U

С

III тип. Операции над множествами

Задача. Найти множество являющееся пересечением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9} и мощность найденного множества. Построить

диаграммы Эйлера-Венна. Решение. По определению операции пересечения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. То есть С = А ∩ В = {2, 5, 7}. m (C) = 3. С 1

А

10

5

2 7

3

В 6

9

Ответ: С = А ∩ В = {2, 5, 7}, m (C) = 3.

Задача. Найти множество являющееся объединением множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9} и мощность найденного множества. Найти

универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Решение. По определению операции объединения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или

В. То есть С = А ∪ В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}. m (C) = 8. U – универсальное множество, то есть множество объединяющее множества А и В. Например, это может быть множество первых 10 натуральных чисел, а именно U = {x | x ≤ 10, где x ∈ N }. 1 5

10

А

3

2 7

В 6

9

С= А ∪ В

U Ответ: С = А ∪ В = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}, m (C) = 8, U = {x | x ≤ 10, где x ∈ N }.

Задача. Найти множество являющееся разностью множеств А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9} и мощность найденного множества. Построить

диаграммы Эйлера-Венна. Решение. По определению разности, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В. То есть С = А \ В = {1, 10}. m (C) = 2.

А

10 1

5

С = А\В

2 7

3

В 6

9

Ответ: С = А \ В = {1, 10}, m (C) = 2.

Задача. Даны множества R = {x | x – учитель химии}, E = {y | y – учитель биологии}. Найти R ∩ E, R ∪ E, R\E, E\R, U – универсальное множество для множеств R и E. Решение.

Опираясь на определения соответствующих операций над

множествами, найдем пересечение, объединение и разность данных множеств.

R ∩ E = {z | z – учитель химии и биологии} – учителя химии и биологии одновременно.

R ∪ E = {w | w –учитель химии или биологии} – все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии.

R\E = {y | y – учитель химии} – только учителя химии. E\R = {t | t – учитель биологии} – только учителя биологии. Используя определение универсального множества, найдем U.

U = {u | u – учитель} – все учителя, и действительно, заданное подобным образом множество U включает в себя (объединяет) и множество R, и множество E, т. е. R ⊂ U, E ⊂ U.

Ответ: R ∩ E – учителя химии и биологии одновременно, R ∪ E все учителя химии, биологии и учителя одновременно химии и биологии, R\E – только учителя химии, E\R – только учителя биологии, U – все учителя.

Задача. Даны множества А = {a, e, f, d, k, l}, В = {b, c, e, d, k, m}. В результате какой операции над А и В получены множества C = {a, b, c, d, e, f, f, k, l, m}, D = {все буквы латинского алфавита}, E = {b, c, m}, F = {e, d, k}, G = {a, f, l}?

Решение. Проанализируем из каких элементов множеств А и В составлены C, D, E,

F. Во множество С включены элементы принадлежащие и множеству А, и В, а также элементы принадлежащие А и В одновременно, т. е. можно сказать, что к С отнесены элементы, принадлежащие множеству А или В. Исходя из определения операции объединения, приходим к выводу, что С = А ∪ В.

Элементы множества А полностью содержатся во множестве D, элементы множества В полностью содержатся во множестве D, но не все элементы множества D являются элементами А и В. Следовательно по определению строгого включения множеств А ⊂ D, B ⊂ D. Таким образом, по определению универсального множества D является универсальным множеством для А и В, как множество объединяющее их. Во множество Е включены элементы принадлежащие множеству B, и не принадлежащие А. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что Е = В\А. Во множество F включены элементы принадлежащие множеству А и В одновременно. Исходя из определения операции пересечения, приходим к выводу, что F = А ∩ В. Во множество G включены элементы, принадлежащие множеству A, и не принадлежащие B. Исходя из определения разности множеств, приходим к выводу, что G = A\B.

Ответ: С = А ∪ В, D – универсальное множество для А и В, Е = В\А, F = А ∩ В, G = A\B. IV тип. Доказательство свойств операций над множествами

Задача. Доказать дистрибутивное свойство операции пересечения относительное объединения А ∩ ( В ∪ С ) = ( А ∩ В) ∪ ( А ∩ С ) . Доказательство. Существует

два

способа

доказательства

равенства

множеств:

аналитический и графический. Воспользуемся графическим способом, а именно,

изобразим

с

помощью

кругов

Эйлера-Венна

операции

над

множествами в левой и в правой частях равенства. Если полученные множества совпадают, то равенство верно, т. е. свойство доказано.

Таблица 11.

Графическое доказательство свойств множеств

Шаг Левая часть равенства 4.

В

С

Правая часть равенства В

А

С А

В ∪С 5.

В

А∩ В В

С

А

С

А

А ∩ (В ∪ С ) 6.

А∩C В

С

А

( А ∩ В) ∪ ( А ∩ С ) Как видим, результат (диагональная штриховка на втором шаге) операций над множествами А, В, С из левой части равенства совпадает с результатом операций над этими же множествами (диагональная штриховка на третьем шаге). Следовательно, равенство верное, что и требовалось доказать. V тип. Задачи на множества. Разбиение множеств. Классификация

Задача. Определить основание классификации. Проверить является ли она правильной, если нет – найти в чем ошибка: а) меланхолик, флегматик, холерик; б) файлы программ, служебные файлы и файлы данных; в) естественные, искусственные, живые языки. Решение. а) Меланхолик, флегматик, холерик – это темпераменты человека. Основание классификации – тип темперамента. Классификация неверная, так как она не полная: не хватает четвертого типа темперамента – сангвиника.

б) Файлы программ, служебные файлы и файлы данных – это типы файлов. Основание классификации – назначение файлов. Классификация правильная, так как она полная (нет файлов другого назначения и объединение этих типов файлов дает множество всех файлов) и множества файлов программ, служебных файлов и файлов данных попарно не пересекаются (например, служебный файл не может быть одновременно файлом данных и наоборот). в) Естественные, искусственные – это классификация по происхождению языков. Живые языки – относятся к другой классификации (по применению в настоящее время). Очевидно, что классификация неверная, так как она избыточна. И к тому же, множество живых языков пересекается с множествами естественных и искусственных языков (например, русский язык является естественным и одновременно живым). Переход от одного способа задания множества к другому

Задача. Каким способом следует задать множества в следующих ситуациях: а) Мама говорит ребенку: «Собирай исключительно съедобные грибы»; б)

Студентам

перед

началом

летней

педагогической

практики

сообщают: «Подготовьтесь к работе с детьми младшего школьного возраста». в) Рекомендация врачей: «При температуре -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, 10 градусов голову рекомендуется защищать тонкой шерстяной шапочкой». Решение. а) В данном случае множество задано характеристически, ребенку в лесу приходится задавать множество съедобных грибов перечислением: сыроежка, белый, подосиновик, подберезовик, масленок и т. д. б) В данном случае множество так же задано характеристически, но студенты при подготовке к практике должны точно представлять, что речь идет о детях 6-ти, 7-ми, 8-ми, 9-ти, 10-тилетнего возраста (т. е. задают множество перечислением).

в) Множество задано перечислением, хотя для экономии времени и сокращении длины информационного сообщения множество проще было бы задать характеристическим свойством: «при температуре от -1 до -10». Принадлежность элемента множеству

Задача. Исключите лишние элементы: а) Булгаков, Есенин, Лермонтов, Пушкин, Толстой, Шекспир. б) Прыжки в длину, в высоту, с 10-метровой вышки, тройной прыжок. в) Клубника, арбуз, вишня, яблоко, смородина. г) 22, 17, 180, 25006, 6, 84. Решение. а) Представлены элементы множества А – русские писатели. Шекспир не принадлежит данному множеству. б) Представлены элементы множества В – виды прыжков в легкой атлетике. Прыжки с 10-метровой вышки не принадлежат данному множеству. в) Перечислены элементы множества С – ягодные культуры. Яблоко является фруктом, значит, оно не принадлежит данному множеству. г) Общий признак у большинства чисел то, что они делятся на два, т. е. принадлежат множеству D – четные числа. 17 – не является четным числом, значит, исключается из данного множества.

Ответ: Шекспир, прыжки с 10-метровой вышки, яблоко, 17. Подсчет количества элементов в объединении, пересечении и разности конечных множеств

Задача. Известно, что в некотором информационном сообщении содержится 578 согласных букв и 234 гласных (в сообщении отсутствуют ь и ъ). Сколько всего букв в сообщении. Решение. Известно, что множества гласных и согласных букв не пересекаются, следовательно по правилу 1, в сообщении 578+234 = 812 букв.

Ответ: 812.

Задача. Множество А - студенты ЧГПУ; m(A) = 6000; В преподаватели ЧГПУ; m(B)=340; C – непреподавательский состав ЧГПУ; m(C) = 110. Из скольких человек состоит коллектив ЧГПУ? Решение. Данные множества попарно не пересекаются, поэтому по правилу 2 m(A) + m(B) + m(C) = 6000 + 340 + 110 = 6450.

Ответ: 6450. Задача. А – абитуриенты, поступающие в ЧГПУ в 2004 году. m(A) = 2000. В – студенты первокурсники ЧГПУ в 2004/2005 году, m(B) = 900. Сколько абитуриентов, не поступивших в 2004 году в ЧГПУ. Решение. B ⊂ A , А/В – абитуриенты, не поступившие в ЧГПУ в 2004 году. По правилу 3 m(A/B) = 2000-900 = 1100.

Ответ: 1100. Задача. В школьной библиотеке содержатся книги с русскими текстами, книги с английскими текстами, некоторые книги, содержат как английские, так и русские тексты. Известно, что из 590 книг в 500 есть тексты на русском языке, и в 100 книгах – английские тексты. Сколько книг содержит тексты как на русском, так и на английском языке? Сколько книг содержит тексты только на русском языке? Сколько книг содержит тексты только на английском языке? Решение. Пусть А – множество книг, содержащие тексты на русском языке, В – на английском языке. Множества А ∩ В пересекаются, поэтому сумма книг на русском языке и книг на английском языке (500+100 = 600) больше общего числа книг (русско-английские книги подсчитаны в сумме дважды, т. к. подсчитаны как книги с русскими текстами и книги с английскими текстами). Чтобы найти количество книг, содержащие как русские, так и английские тексты, нужно из суммы книг на русском языке и книг на английском языке (600) вычесть общее количество книг в библиотеке. Т. е. 600 – 590 = 10. Таким

образом, книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10; книг, содержащих только русские тексты 500 – 10 = 490; книг, содержащих только английские тексты 100 – 10 = 90. Проверка: всего книг 490+10+100 = 590.

Ответ: книг, содержащих как русские, так и английские тексты 10; книг, содержащих только русские тексты 490; книг, содержащих только английские тексты 90.

Задача.

В

бухгалтерии

мебельной

фабрики

было

обнаружено

расхождение в сведениях: за месяц общий объем изготовленных кроватей и кресел 780 единиц, но по данным из кроватного цеха кроватей выпущено 360, из кресельного цеха вышло 540 кресел. В чем причина расхождения данных, сколько на самом деле кресел и кроватей выпускают соответствующие цеха? Решение. Один из цехов или оба цеха выпускают кресла-кровати. В отчете кресельный цех их представляет как кресла, а кроватный цех – как кровати. Пусть А – множество кроватей, В – множество кресел, А ∩ В – кресла-кровати. Тогда по правилу 4 нахождения числа элементов в объединении двух пересекающихся множеств m( А ∪ В) = m(A) + m(B) – m( А ∩ В) найдем мощность множества А ∩ В , используя данные задачи. 780 = 360 + 540 -

m( А ∩ В) . m( А ∩ В) = 120, т. е. кресел кроватей произведено 120. Тогда обычных кресел произведено 540 – 120 = 420, а обычных кроватей 360 – 120 = 240.

Таким образом, полученные данные устраняют расхождение в

бухгалтерских сводках всего 780 единиц продукции, из них 420 кресел, 240 кроватей и 120 кресло-кроватей (780 = 780).

Ответ: 660 кресел, 240 кроватей.

Задачи для самостоятельного решения I тип. Задача 34*. Определить способ задания множества А = {x | x – буква

английского алфавита}. Перейти к другому способу задания множества, если

это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5. Задача 35*. Определить способ задания множества А = {x | x – натуральное

число}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: g, ж, 256, ~, =, t,q, ю, т, -5. Задача 36*. Определить способ задания множества А = {Январь, Февраль,

Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: среда, Март, 165, *, ф, зима, Август, 3,14. II тип. Задача 37**. Определить о каком отношении между множествами идет речь.

Записать отношения между множествами с помощью условных записей. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна. e) А – множество людей, живущих в Европе, В – множество людей,

живущих в Европе; f) С – множество голубоглазых людей, D – кареглазых млекопитающих; g) G – множество атмосферных осадков, H – множество автомобилей; h) I – множество студентов, J – множество спортсменов. Задача 38**. Сравнить множество А со множествами B, C, D. Если множества

пересекаются,

найти

их

пересечение.

Для

данного

множества

найти

универсальное множество. Изобразить отношения между множествами с помощью кругов Эйлера-Венна.

А – розы, фиалки, гладиолусы, камелии, B – георгины, лилии, C – гладиолусы, фиалки, D – гвоздики, розы, ирисы, тюльпаны. III тип. Задача 39**. Найти множество, являющееся пересечением множеств А={д, е,

ф, ж, в, г, п, с} и В={а, б, г, и, к, л. ж о} и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 40**. Найти множество, являющееся объединением множеств А={h, l,

m, p, q} и В={l, p, o, g, t, s, h} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы ЭйлераВенна. Задача 41**. Найти множество, являющееся разностью множеств А={a, b, ,c, d,

e, f, g} и В={h, i, j, a, k, l, f} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы ЭйлераВенна. Задача 42**. Даны множества А = {10, 26, 17, 34, 56, 84} и В = {2, 4, 28, 46}. В

результате каких операций над множествами А и В получены множества С={10, 26, 17, 34, 56, 84, 2, 4, 28, 46}, D – все натуральные числа, E={}, F={10, 26, 17, 34, 56, 84},G = {2, 4, 28, 46}. IV тип. Задача 43**. Доказать следующие свойства операций над множествами,

записать названия свойств:

А∪ В = В ∪ А; А ∩ В = В ∩ А;

( А ∩ В) ∩ С = А ∩ ( В ∩ С ) . Задача 44**. Доказать следующие законы теории множеств, записать названия

законов:

А ∩ ( А ∪ В) = А ; А∩ А = А .

Задача 45***. Доказать следующие свойства разности множеств:

(А\В)\С = (А\С)\В; ( А ∪ В )\С = ( А \ С ) ∪ ( В \ С ) ; ( А \ В) ∩ С = ( А ∩ С ) \ ( В ∩ С ) ;

А \ ( В ∪ С ) = ( А \ В) ∩ ( А \ С ) ;

А \ ( В ∩ С ) = ( А \ В) ∪ ( А \ С ) . V тип. Задача 46***. Определить основание классификации. Проверить является ли

классификация правильной, если нет – найти ошибку. Зима, весна, лето, осень Понедельник, вторник, четверг, суббота Задача 47***. Каким способом следует задать множество в следующих

ситуациях: Замечание тренера: «При температуре ниже -200С не следует кататься на лыжах». Преподаватель сообщает студентам: «В течение педагогической практики вы должны будете провести внеклассное мероприятие для учащихся старших классов». Задача 48***. Исключите лишние элементы:

Белка, утка, лебедь, пеликан Я, п, д, t, ъ,э Бег, плавание, езда на велосипеде, лыжи 126, 843, 711, 163, 540 Задача 49 ***. В видеотеке ОРТ имеется 1000 фильмов российского

производства и 2000 фильмов американского производства. А всего в видеотеке 2350 фильмов. Сколько фильмов только российского, только американского и совместного производства имеется в видеотеке ОРТ?

Домашнее задание

Вариант 1. Определить способ задания множества А={x | x – символ арифметической операции}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: а, =, 12, +, h, t, : Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения

между

множествами

с

помощью

условных

записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов ЭйлераВенна А – множество спортсменов, В – множество бегунов. Найти множество, являющееся пересечением множеств А = { ⊂ , ⊆ , =, ∪ , ∩ } и В = { ∪ , ∩ , \} и мощность найденного множества. Построить

диаграммы Эйлера-Венна. Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства А ∪ ( В ∩ С ) = ( А ∪ В) ∩ ( А ∪ С ) . Вариант 2. Определить способ задания множества А={∩, U , \}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: б, д, 136, -28, =, ∩, ⇔ . Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения

между

множествами

с

помощью

условных

записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов ЭйлераВенна А – множество крокодилов, В – множество аллигаторов. Найти множество, являющееся объединением множеств А = {рубль, доллар, евро} и В = {марка, йена, эскудо} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона: А∪ А = А .

Вариант 3. Определить способ задания множества А={x | x – операции между множествами}. Перейти к другому способу задания множества, если это возможно. Определить мощность множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: ~, ⊂ , =, д, f, №, 248. Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения

между

множествами

с

помощью

условных

записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов ЭйлераВенна А – множество учителей, В – множество специалистов по географии. Найти множество, являющееся разностью множеств А = {чашки, тарелки, блюдца} и В = {супницы, стаканы, чайники, блюдца} и мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Доказать следующий закон теории множеств, записать название закона:

А ∪ ( А ∩ В) = А . Вариант 4. Определить способ задания множества А={красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый}. Перейти к другому способу задания

множества,

если

это

возможно.

Определить

мощность

множества. Определить принадлежат ли элементы данному множеству: 5486, -, &, ∨ , синий, фиолетовый. Определить о каком отношении между множествами идет речь. Записать отношения

между

множествами

с

помощью

условных

записей.

Изобразить отношения между множествами с помощью кругов ЭйлераВенна А – множество видов общественного транспорта, В – множество грузовиков. Найти множество, являющееся разностью множеств В = {Пролог, Фортран, Алгол, Паскаль, Си} и А = {Паскаль, Си, Ассемблер} и

мощность найденного множества. Найти универсальное множество для множеств А и В. Построить диаграммы Эйлера-Венна. Доказать свойство операций над множествами, записать название свойства ( А ∪ В) ∪ С = А ∪ ( В ∪ С ) . Контрольные вопросы

Что такое множество? Как множества задаются? Как определить принадлежит ли элемент множеству или нет? Каким символом обозначается принадлежность, непринадлежность элемента множеству? Чем характеризуется множество с позиции количества элементов? Как принято обозначать характеристику, связанную с количеством элементов множества? На какие классы подразделяются множества по количеству элементов? Что такое универсальное множество? Какие отношения между двумя множествами существуют? Как задаются отношения между двумя множествами? Какие условные записи соответствуют отношениям между двумя множествами? Какие существуют операции над множествами? Как определяются операции над множествами? Какими символами обозначаются операции над множествами? Какими

характеристическими

свойствами

обладают

множества,

полученные в результате различных операций? Какими свойствами обладают операции над множествами? Какие существуют типы задач, решаемые в рамках теории множеств и с ее помощью?

Библиографический список

Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.: ил. – с. 50 - 64. Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2003. – 120 с. – с. 33 – 45. Турецкий В. Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 560 с. – (Серия «Высшее образование»). – С. 22 – 35. Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с. – С. Гришин М. П. Математика и информатика: Учебное пособие. 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – 116 с. – С. 8 – 18.

Тема 3. Системы счисления Цель:

Овладеть навыками оперирования числами в различных системах счисления. Задачи:

18)

научиться осуществлять перевод из 10-ной системы счисления в

любую q-ичную; 19)

научиться осуществлять перевод из любой q-ичной системы

счисления в 10-ную; 20)

научиться осуществлять прямой перевод из системы счисления с

оcнованием 2n в другую систему с оcнованием 2k; 21)

научиться выполнять операции сложения и вычитания чисел в

различных системах счисления; 22)

научиться по результатам арифметических действий распознавать

систему счисления, в которой произведено действие. Общие теоретические сведения

Система счисления (с. с.) – язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Базис системы счисления – алфавит с. с., состоящий из знаков, называемых цифрами. Количество цифр (знаков) в базисе с. с. называется

основанием системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. В непозиционных системах каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примеры различных позиционных систем счисления приведены в таблице 11.

Таблица 11.

Примеры позиционных систем счисления Основание, Название с. с.

количество

Базис (алфавит) с. с.

цифр в базисе Двоичная

2

{0, 1}

Троичная

3

{0, 1, 2}

Четверичная

4

{0, 1, 2, 3}

Восьмеричная

8

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Десятичная

10

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Шестнадцатиричная

16

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

q-ичная

q

{0, 1, 2, …, q-1}

Запись числа выполняется в форме слова, составленного из алфавита с. с.:

xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0, где q - основание с. с., в которой записано число х, n – число разрядов, занимаемых числом х, an ,

an-1, …, a2, a1 – цифры числа, стоящие в соответствующих разрядах n-1, n-2, …, 1, 0. Форма записи числа в виде многочлена xq = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 •

q1 + a0 • q0 называется развернутой формой записи числа. Дробные числа имеют следующую развернутую форму: xq = (an-1an-2…a1a0 , b1b2…bm )q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 + b1 • q-1 + b2 • q-2 + … bm• q-m, где b1b2…bm – цифры, стоящие после запятой обозначающие дробную часть числа, m – количество знаков после запятой.

Примечание: Если в числе не указано основание системы счисления, то считается, что оно представлено в десятичной системе.

Правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления

Для перевода числа из любой q-ичной системы счисления в 10-ую достаточно записать число в развернутой форме, и затем все действия выполнить по правилам, принятым в десятичной с. с.

Правило перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления целых чисел 5. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с. с. и все последующие действия производить в десятичной с. с. 6. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основании новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя. 7. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 8. Составить число в новой системе счисления: первая цифра - последнее неполное частное, вторая цифра – последний остаток, третья цифра – предпоследний остаток, и т. д. записывая остатки в обратном порядке (их получения).

Правило перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления дробных чисел 5. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с. с. и все последующие действия производить в десятичной с. с. 6. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой с. с. до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления. 7. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой с. с., привести в соответствие с алфавитом новой с. с. 8. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Правило перевода целого числа из 2-ной системы счисления в систему счисления с основанием q = 2n

4. Число в 2-ной системе разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. 5. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 6. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.

Правило перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в 2-ную системы счисления Каждую цифру числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Правило сложения чисел в q-ичной системе счисления (алгоритм аль-Хорезми) Например: (a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q 5. Записать второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 6. Сложить цифры первого разряда (b0 + а0). Если сумма (с0) меньше q, то записать ее в разряд единиц ответа и перейти к следующему разряду. 7. Если сумма (d0) единиц больше или равна q, то представить ее в виде

d0 = 1 • q + с0, где с0 – цифра соответствующей q-ой с. с.; с0 – записать в первый разряд ответа, а 1 добавить к цифрам складываемым в следующем разряде (по аналогии с фразой, знакомой еще с начальной школы «с0 – пишем, 1 – в уме»). Чтобы не забыть прибавить единицу ее можно записать над а1. 1

(a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q

8. Повторить аналогичные действия со вторым разрядом, затем третьим и т. д., вплоть до сложения цифр старших разрядов. Если их сумма больше или равна q, то в старший разряд ответа добавляем 1.

Правило вычитания чисел в q-ичной системе счисления (алгоритм аль-Хорезми) Например: (a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q 7. Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 8. Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого (b0), вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность (с0) в первый (правый) разряд искомого числа, после чего переходим к следующему разряду. 9. Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) больше соответствующей цифры уменьшаемого (b0), т. е. b0 > а0, и а0 ≠ 0, то нужно уменьшить цифру второго разряда уменьшаемого (а1) на 1, одновременно а0 увеличить на q и уже из этого числа (а0 + q) вычитаем b0 и полученную разность (с0) записать как цифру первого разряда (правого) искомого числа, далее перейти ко второму разряду. Чтобы не забыть об уменьшении а1 на 1, сверху над ним можно поставить точку. (a4 a3 a2 a•1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q (c4 c3 c2 c1 c0)q 10. Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) больше соответствующей цифры уменьшаемого (b0), т. е. b0 > а0, и а0 = 0, и, например, а1 = 0, а2 = 0, то первую отличную от нуля цифры в уменьшаемом (в данном случае, а3 ≠ 0) нужно уменьшить на 1. Все цифры в младших разрядах, которые

равнялись 0, кроме первого, записать как цифру q-1 (а1 = q-1, а2 = q-1). Первый разряд представить как q (a0 = q), вычесть из него b0. Полученный результат (с0) записать в первый разряд искомого числа. Чтобы не забыть об увеличении а1 и а2 до q-1, сверху над ними можно поставить точки. • • (a4 a3 0 0 0)q (b3 b2 b1 b0)q

(c4 c3 c2 c1 c0)q 11. В следующем разряде повторить процесс. 12. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Двоичное представление информации в электронно-вычислительных машинах В современных вычислительных установках используется двоичная система счисления для кодирования информации.

Бит – минимальная единица хранения информация, представляющая одноразрядное двоичное число: 0 или 1.

Байт – восемь расположенных подряд битов памяти (восьмиразрядное двоичное число).

Машинное слово – наибольшая последовательность бит, которую процессор может обрабатывать как единое целое (длина слова может быть 8, 16, 32 бита и т. д.).

Внутреннее представление числа – запись числа в двоичной системе счисления, соответствующее его представлению в ЭВМ.

Знаковый

разряд

–

первый

слева

бит

(разряд)

во

внутреннем

представлении числа, обозначающий положительное число (если значение бита = 0) или отрицательное (если значение бита = 1) число.

Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове Перевести число N в двоичную систему счисления.

Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого отрицательного числа (-N), хранящегося в k-разрядном машинном слове Получить внутреннее представление положительного числа N. Получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0. К полученному результату прибавить 1.

Практические задания

Примеры решений I тип. Перевод из q-ичной системы счисления в 10-ную

Задача. Число, записанное

в развернутом

виде

представить

в

сокращенной форме 7 • 84 + 5• 83 + 0 • 82 + 1• 81 + 3 • 80. Решение. В записи xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 для данного примера q = 8, a4 = 7, a3 = 5, a2 = 0, a1 = 1, a0 = 3. Получаем,

x8 = 750138. Ответ: x8 = 750138 Задача. Число, записанное в сокращенной форме представить в развернутом виде 10322004. Решение. В записи xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0 для данного примера q = 4, a6 = 1, a5 = 0, a4 = 3, a3 = 2, a2 = 2, a1 = 0, a0 = 0. Получаем, x4 = 10322004 = 1• 46 + 0 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40.

Ответ: x4 = 1• 46 + 0 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40 Задача. Перевести число, записанное в сокращенной форме 530026 в десятичную систему счисления. Решение. Используем правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 6, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции. 530026 = 5 • 64 + 3 • 63 + 0 • 62 + 0 • 61 + 2 • 60 = 5 • 1296 + 3 • 216 + 0 • 36 + 0 • • 6 + 2 • 1 = 6480 + 648 + 0 + 0 + 2 = 713010.

Ответ: 530026 = 713010. Задача. Найти ошибку в записи числа: в) 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9; г) 24310324.

Решение. а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи данного числа отсутствуют коэффициенты перед 85 и 9, отсутствует слагаемое с 82, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 85 и 9 равны 1, коэффициент перед 82 равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1 (2 • 81), степень у 9 равна 80 =1. То есть, если привести данное число к стандартной развернутой форме, получим: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + + 9 = 1 • 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 0 • 82 + 2 • 81 + 9• 80. Ошибка заключается в том, что число записано в 8-ричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}).

Ответ: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9. б) Число составлено из цифр 4-ричной с.с., в базисе которой отсутствует цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}).

Ответ: 24310324 Задача. Перевести дробное число 34,42145 в десятичную систему счисления. Решение. Используем правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 5, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции. 34,42145 = 3 • 51 + 4 • 50 + 4 • 5-1 + 2 • 5-2 + 1 • 5-3 + 4 • 5-4 = 15 + 4 + 4 •

1 + 2•• 5

1 1 1 4 2 1 4 +1• +4• = 19 + + + + = 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 25 125 625 5 25 125 625 0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,894410.

Ответ: 19,894410 II тип. Перевод из 10-ной системы счисления в любую q-ичную

Задача. Перевести целое число 388610 в восьмеричную систему счисления. Решение.

Согласно правилу перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6. Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4. Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4 в остатке. 4 – третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи числа 3886. Итак, 388610 = 74568. Проведенные выкладки удобно представить следующим образом: 3886 8 32 485 68 48 64 5 46 40 6

8 60 56 4

8 7

Ответ: 388610 = 74568. Задача. Перевести дробное число 0,894410 в 5-ную систему счисления. Решение. Воспользуемся правилом перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления дробных чисел: 0, 8944 • 5 4, 4720 • 5 2, 3600 • 5 1, 8000 • 5 4, 0000 Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой части

первого

произведения,

следовательно,

0,894410

=

0,42145.

И

действительно, когда переводили число 34,42145 в десятичную систему (см. выше) мы получили 19,894410, то есть дробные части этих чисел совпадают 0,894410 = 0,42145.

Ответ: 0,894410 = 0,42145. Задача. Перевести смешанное число 19,894410 в 5-ную систему счисления. Решение. Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы, нужно отдельно перевести в 5-ую с. с. целую часть числа и отдельно дробную. Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,42145. Переведем 1910 в пятеричную систему: 19 5 15 3 4 Получаем, что 1910 = 345. Итак, 19,894410 = 34,42145. Проведенный в предыдущем типе задач перевод числа 34,42145 в 10-ую систему дал аналогичный результат, что подтверждает полученный результат.

Ответ: 19,894410 = 34,42145. III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную

Задача. Перевести 32014 в восьмеричную систему счисления. Решение. Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем полученное число из десятичной системы переведем в 8-ую: 32014 → y10→ z8. 32014 = 3 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 1• 40 = 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 22510. 225 16 65 64 1 Итак, 32014 = 3418.

Ответ: 32014 = 3418.

8 28 8 24 3 4

Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение. 016 = 02; 116 = 12; 216 = 210; переведем 210 в двоичную систему: 2 2 2 1 0 216 = 210 = 102. Аналогично, получаем 316 = 310 = 112; 416 = 410 = 1002; 516 = 510 = 1012; 616 = 610 = 1102; 716 = 710 = 1112; 816 = 810 = 10002; 916 = 910 = 10012; A16 = 1010 = 10102; B16 = 1110 = 10112; C16 = 1210 = 11002; D16 = 1310 = 11012; E16 = 1410 = 11102; E16 = 1510 = 11112. Сведем полученные данные в таблицу.

Таблица 12. Двоично-шестнадцатеричная таблица 16

2

16

2

0

0000

8

1000

1

0001

9

1001

2

0010 A 1010

3

0011 B 1011

4

0100 C 1100

5

0101 D 1101

6

0110 E 1110

7

0111 F 1111

Задача. Перевести 110010100111012 из 2-ой системы счисления в 16ную. Решение. Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления с основанием q = 2n, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101. Используя

данные

из

таблицы

12

заменим

двоичную

группу

на

соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D. Итак, 110010100111012 = = 329D16.

Ответ: 110010100111012 = 329D16. Задача. Перевести 8BFD16 в 2-ую систему счисления. Решение. Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в 2-ную системы счисления, и используя данные таблицы 12, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D – 1101. Итак, получаем 8BFD16 = 10001011111111012.

Ответ: 8BFD16 = 10001011111111012.

IV тип. Арифметические операции в различных системах счисления

Задача. Выполнить действие в 4-ой системе счисления: 130234 + 33234. Решение. Воспользуемся правилом сложения чисел в q-ичной системе счисления. То есть запишем второе слагаемое под первым, так чтобы разряды чисел находились друг под другом: 130234 133234 Сложим цифры первого разряда справа по правилам 10-ой системы: 3+3 = 6, т. е. имеем случай, когда сумма больше основания системы счисления (4). Представим 6 в 4-ой с. с.: 610 = 1 • 4 + 2 = 124. Таким образом, в первый разряд ответа запишем 2, а 1 перенесем в следующий разряд (2 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 24 Сложим цифры второго разряда справа по правилам 10-ой системы: 2 + 2 + 1 = 5. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 5 в 4-ой с. с.: 510 = 1 • 4 + 1 = 114. Таким образом, во второй разряд ответа запишем 1, а 1 перенесем в следующий разряд (1 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 124 Сложим цифры третьего разряда справа по правилам 10-ой системы: 0 + 3 + 1 = 4. Сумма равна основанию системы счисления (4). Представим 4 в 4ой с. с.: 410 = 1 • 4 + 0 = 104. Таким образом, в третий разряд ответа запишем 0, а 1 перенесем в следующий разряд (0 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 0124

Сложим цифры четвертого разряда справа по правилам 10-ой системы: 1 + 3 + 3 = 7. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 7 в 4-ой с. с.: 710 = 1 • 4 + 3 = 134. Таким образом, в четвертый разряд ответа запишем 3, а 1 перенесем в следующий разряд (3 пишем, 1 в уме). 1

130234 133234 30124 Сложим цифры пятого разряда справа по правилам 10-ой системы: 1 + 1 + 1 = 3. Сумма меньше основания системы счисления (4). Таким образом, в пятый разряд ответа запишем 3, а в следующий разряд переносить ничего не нужно. 130234 133234 330124

Ответ: 330124 Задача. Выполнить действие в 6-ой системе счисления: 5300026 – 424556

Решение. Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом: 5300026 424556

Цифра вычитаемого в первом разряде меньше соответствующей цифры уменьшаемого, цифры следующих четырех разрядов равны нулю, поэтому цифру 3 из пятого (справа) разряда уменьшаемого уменьшим на единицу («займем единицу»), а нули увеличим до q-1, т. е. до 5 (6-1). В первом разряде уменьшаемого к 2 добавим q = 6 и из полученных восьми отнимем 5 получим 3 – первую (с конца) цифру результата. по правилам 10-ой с.с.:

•••• 5300026 424556 36 Точки будут напоминать о том, что из 3 произвели заем одной единицы, а нули заменили 5. Цифра, стоящая во втором разряде уменьшаемого стала 5, 5 – 5 = 0. Цифра, стоящая в третьем разряде уменьшаемого стала 5, 5 – 4 = 1. Цифра, стоящая в четвертом разряде уменьшаемого стала 5, 5 – 2 = 3. •••• 5300026 424556 31036 В пятом разряде уменьшаемого вместо цифры 3 уже 2, в пятом разряде вычитаемого 4. 2 < 4, следовательно, из шестого разряда уменьшаемого займем единицу (5-1 = 4), а в пятом разряде уменьшаемого к 2 добавляем q = 6, получим 8, и теперь из 8 вычтем 4, получим 4. • 5300026 424556 431036 Точка над 5 означает, что из нее заняли единицу, теперь в шестом разряде уменьшаемого стоит 4. В шестом разряде вычитаемого ничего нет, что подразумевает 0. Итак, 4 – 0 = 4. • 5300026 424556 4431036

Ответ: 4431036. Задача. Пользуясь сложением составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение.

016 = 02; 116 = 12, 2 в шестнадцатиричной получается увеличением единицы на 1. 216 = 116 + 116 = 12 + 12 = 210 = 1 • 2 + 0 = 102. 316 = 216 + 116 = 102 + 12 = 112. Далее аналогично. Процесс сложения в двоичной системе счисления представлен в таблице 13.

Таблица 13. Процесс получения двоично-шестнадцатиричной таблицы 16-ая

Действие в 2-ой

Результат 16-ая в 2-ой

Действие в

Результат

2-ой

в 2-ой

11 1

1112 12 10002

016

02

02

816

116

12

12

916

10002 12 10012

A16

10012 12 10102

10102

B16

10102 12 10112

10112

C16

10112 12 11002

11002

D16

11002 12 11012

11012

1

216

12 12 102

316

102 12 112

416

516

1002 12 1012

10012

1

102

112

1

112 12 1002

10002

11

1002

1012

1

1

616

1012 12 1102

1102

E16

11012 12 11102

11102

716

1102 12 1112

1112

F16

11102 12 11112

11112

Как видим результаты, полученные увеличением каждого последующего двоичного числа на 1, совпадают с результатами, полученными при непосредственном переводе (таблица 12). V тип. Дополнительные задачи по системам счисления

Задача. Составить таблицу умножения для пятеричной системы, используя ее найти 43025 • 3245. Решение. а) Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления: 0 • 0 = 0 • 1 = 0 • 2 = 0 • 3 = 0 • 4 = 0. 1 • а = а, поэтому 1 • 1 = 1, 1 • 2 = 2; 1 • 3 = 3; 1 • 4 = 4. 25 • 25 = 210 • 210 = 410 = 45. 25 • 35 = 210 • 310 = 610 = 1 • 5 + 1 = 115. 25 • 45 = 210 • 410 = 810 = 1 • 5 + 3 = 135. 35 • 35 = 310 • 310 = 910 = 1 • 5 + 4 = 145. 35 • 45 = 310 • 410 = 1210 = 2 • 5 + 2 = 225. 45 • 45 = 410 • 410 = 1610 = 3 • 5 + 1 = 315. Итак, получили таблицы 14. Таблица 14. Таблица умножения для пятеричной системы счисления • 0 1

2

3

4

0 0 0

0

0

0

1 0 1

2

3

4

2 0 2

4

11 13

3 0 3 11 14 22 4 0 4 13 22 31

б) Найдем произведение 43025 • 3245, используя правила умножения аналогичные правилам, принятым в десятичной с. с., и таблицу 14. Запишем второй множитель под первым так, чтобы разряды совпадали:

43025 3245 Используя, таблицу 14, умножим 43025 на 45. 43025 3245 332135 Рассуждали так: четыре на два 13 (по таблице); 3 пишем, 1 – в уме. Четыре на нуль дает 0, да плюс один, – пишем 1. Четыре на три 22 (по таблице); 2 пишем, 2 – в уме. Четыре на четыре 31 (по таблице), да плюс два, – пишем 3, 3 – в уме. Тройку сносим в пятый разряд. Рассуждая аналогично, умножим 43025 на 25, полученное произведение запишем под первым результатом, смещая на разряд влево: 43025 3245 332135 141045 Умножим 43025 на 35, полученное произведение запишем под вторым результатом, смещая на разряд влево: 43025 3245 332135 141045 234115 Сложим полученные произведения, используя правило сложения в q-ной системе счисления для 5-ой с. с.: 43025 3245 332135 141045 234115 31204035 Итак, 43025 • 3245 = 31204035.

Ответ: 31204035.

Задача. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа, представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему: n = 5, q = 4. Решение. Наибольшее пятиразрядное число, состоящее из 3 как максимальной цифры четверичной системы счисления 333334 = 3 • 44 + 3 • 43 + 3 • 42 + 3 • 41 + 3 • 40 = 97510. Наименьшее пятиразрядное число 100004 = 1 • 44 + 0 • 43 + 0 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40 = 25610.

Ответ: 97510 и 25610. Задача. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное отрицательное числа можно представить в двух байтах информации? Решение. Два байта – это 16 бит (т. е. 2 по 8 бит), то есть это 16-тиразрядное число в двоичной системе счисления. Положительное число начинается (слева) нулем, так как мы ищем максимальное число, то остальные цифры будут единицы. Итак, двоичное представление максимального положительного числа в двух байта информации: 0111 1111 1111 11112. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную: 0111 1111 1111 11112 = 7FFF16 = 7 • 163 + 15 • 162 + 15 • 161 + 15 • 160 = = 7 • 4096 + 15 • 256 + 15 • 16 + 15 = 28672 + 3840 + 240 + 15 = 3276710. Отрицательное число начинается (слева) единицей, так как мы ищем минимальное число, то остальные цифры будут нули. Итак, двоичное представление минимального отрицательного числа в двух байта информации: 1000 0000 0000 00002. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную: 1000 0000 0000 00002 = 800016 = 8 • 163 + 0 • 162 + 0 • 161 + 0 • 160 = = 8 • 4096 + 0 + 0 + 0 = – 2867210.

Ответ: 3276710 и – 2867210.

Задача. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке: 160810 и –160810. Решение. Воспользуемся правилами получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного и целого отрицательного числа N, хранящегося в kразрядном машинном слове. В нашем случае машинным словом является двухбайтное число, то есть 16-тиразрядное. Переведем N = 160810 в двоичную систему счисления, получим 110010010002. Внутренне представление этого положительного числа в двухбайтовой ячейке памяти будет следующим: 0000 0110 0100 1000. Для нахождения шестнадцатеричной формы представления числа воспользуемся таблицей 12 и получим 0648. Для нахождения двоичной формы представления отрицательного числа – 160810 найдем обратный код положительного числа 160810, для этого: заменим 1 на 0 в его двоичном представлении (0000 0110 0100 1000): 1111 1001 1011 0111. Прибавим к обратному коду 1: 1 11

1111 1001 1011 01112 12 1111 1001 1011 10002 1111 1001 1011 1000 – это внутреннее двоичное представление отрицательного числа –160810. Его шестнадцатеричная форма: F9B8.

Ответ:

0000 0110 0100 1000 и 0648; 1111 1001 1011 1000 и F9B8.

Задачи для самостоятельного решения I тип. Задача 50*. Число, записанное в развернутой форме представить в

сокращенной форме: ж) 1•24+0•23+0•22+1•21+1•20; з) F•163+D•162+8•161+0•160; и) 7•85+7•84+5•83+0•82+2•81+0•80; к) 4•108+9•107+7•106+0•105+2•104+1•103+0•102+3•101+4•100; л) 2•72+6•71+6•70; м) 5•94+4•93+3•92+0•91+7•90. Задача 51*. Число, записанное в сокращенной форме представить в

развернутом виде: ж) 21013; з) BF2D16 ; и) 5446; к) 9787510; л)

A3B12;

м) 10100112. Задача 52**. Перевести число, записанное в сокращенной форме в десятичную

систему счисления: ж) 11000102; з) CD516; и) 33124; к) 47748; л) 32215; м) 1094710. Задача 53***. Найти ошибку в сокращенной или развернутой записи числа:

л) 1040065; м) 76557; н) 10112012;

о) 20522123; п) F789G0316; р) 46 + 5 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42; с) 5 • 64 + 2 • 33 + 2 • 62 + 4 • 6 + 5; т) 2 • 33 + 32 + 3 + 3; у) 55 + 3 • 54 + 4 • 53 + 2 • 52 + 5 + 6; ф) B • 166 + F • 164 + 9 • 163 + E • 162 + H • 16 + C. Задача 54***. Перевести дробное число в десятичную систему счисления:

ж) 0,1012; з) 0,00112; и) 0,4678; к) 0,0645; л) 0,324; м) 0,1239. II тип. Задача 55*. Перевести дробное число из 10-ой системы в q-ичную:

ж) q = 4; число 0,98610; з) q=2; число 0,5610; и) q=3; число 0,12810; к) q=5; число 0,1410; л) q=6; число 0,64810; м) q=8; число 0,79110. Задача 56**. Перевести целое число из 10-ой системы в q-ичную:

ж) q = 8; число 598710; з) q=2; число 25610; и) q=4; число 44810; к) q=7; число 567110; л) q=9; число 7911210; м) q=16; число 8994210. Задача 57***. Перевести смешанное число из 10-ой системы в q-ичную:

ж) q = 6; число 365,84510; з) q=5; число 12,48610; и) q=4; число 101,25610; к) q=7; число 25,57710; л) q=3; число 133,7810; м) q=9; число 16,124510. III тип. Задача 58*. Составить таблицу, пользуясь переводом чисел:

ж) двоично-четверичную; з) двоично-восьмеричную; и) двоично-32-ричную; к) четверично-восьмеричную; л) четверично-шестнадцатеричную; м) восьмерично-шестнадцатеричную. Задача 59**. Перевести из p-ичной системы счисления в q-ичную через 10-ую:

е) 99916 → x8; ж) 5667 → x4; з) 758 → x2; и) 1869 → x5; к) 100112 → x6; л) 10112103 → x8. Задача 60***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием

2n в другую систему с основанием 2k, используя соответствующие таблицы: и) D1216 → x2; к) 7518 → x2; л) 12234 → x2; м) HFD32 → x2; н) 110000112 → x4; о) 110101002 → x8; п) 10111100102 → x16;

р) 1111011001112 → x432. Задача 61***. Осуществить перевод числа и из системы счисления с

основанием 2n в другую систему с основанием 2k через двоичную: ж) CB416 → x8; з) 4468 → x16; и) 2214 → x8; к) 62338 → x4; л) AF916 → x4; м) 21334 → x16. IV тип. Задача 62*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:

б)

е)

1

1010012 110012 11010002

1

43157 21147 64337

в)

ж)

1 111

1

32014 3314 31324

1

1

67138 54478 143528

г)

з)

11

д)

34215 24425 114035

1

B2116 9D016 15F116

а)

1

1

51256 4236 105526

1 111

1

1111012 1101112 11100002

Задача 63*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:

21023 1213 12113

в)

656427 213657 432447

••

г)

•

•

ж)

210004 3124 100224

••

з)

2BA0016 3 F3916 27AC716

а)

•••••

б)

••

д)

8 9В4 716 4АD9A16 3ED9D16

••• •

е)

52000210 3245510 48764710

•

10011012 110112 1100002

Задача 64**. Выполнить действие:

ж) A0BC9316 + 69FE4516; з) 11001012 + 100112; и) 3324 + 314; к) 45718 + 4778; л) 56627 + 12467; м) 211213 + 12213. Задача 65**. Выполнить действие:

ж) A0BC9316 – 9FE4516; з) 1110110112 – 1001112; и) 2334 – 1314; к) 6758 – 578; л) 5617 – 3257; м) 45346 – 25556. Задача 66***. Пользуясь сложением составить таблицу:

ж) двоично-четверичную; з) двоично-восьмеричную; и) двоично-32-ричную; к) четверично-восьмеричную; л) четверично-шестнадцатеричную; м) восьмерично-шестнадцатеричную. V тип.

30245 21345 3405 ••• •

Задача 67*. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа,

представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему: g) n = 4; q = 2; h) n = 3; q = 16; i) n = 4; q = 4; j) n = 5; q = 6; k) n = 12; q = 7; l) n = 4; q = 8. Задача 68**. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное

отрицательное числа можно представить в байте информации? Задача 69**. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке: g) 145110 и –145110; h) 186710 и –186710; i) 233710 и –233710; j) 199710 и –199710; k) 198610 и –198610; l) 230010 и –230010. Задача 70***. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления

целого числа в двухбайтовой ячейке восстановить само число: g) F89A; h) FA7B; i) F8D0; j) F9AA; k) F8D4; l) F7BB.

Задача 71***. Выяснить, в какой системе счисления произведено сложение и,

заменить звездочки цифрами: а)

23*5*? 1*642? 42423?

б)

*54*? *44? 7305?

в)

д)

1**31? *31*3? 34344?

е)

60*4? **52? 13446?

ж)

54**? *723? 10135? *1*44? 33*0? 20044?

г)

1021? ***0? 3121?

з)

24**1? *235*? 116678?

Задача 72***. Составить соответствующие таблицы умножения и выполнить

умножение: ж) 1011012 • 1012; з) 568 • 128; и) 1204 • 314; к) 12013 • 1103; л) А516 • 9С16; м) 5617 • 337. Домашнее задание

Вариант 1. Перевести число, записанное в сокращенной форме в десятичную систему счисления: 11001101012 Перевести целое число 746 из 10-ой системы в 3-ичную. Перевести число 1247 в 5-ичную через 10-ую. Выполнить действие: 5278 + 6018; 3256 – 2416. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 235010 и –235010. Вариант 2. Перевести число, записанное в сокращенной форме в десятичную систему счисления: 6457 Перевести целое число 10458 из 10-ой системы в 16-ичную. Перевести число 200213 в 6-ичную через 10-ую.

Выполнить действие: 4015 + 2335; 3567 – 2647. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 225010 и –225010. Вариант 3. Перевести число, записанное в сокращенной форме в десятичную систему счисления: AF616 Перевести целое число 6125 из 10-ой системы в 5-ичную. Перевести число CA716 в 8-ичную через 10-ую. Выполнить действие: 3234 + 2324; 6019 – 5649. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 199210 и –199210. Вариант 4. Перевести число, записанное в сокращенной форме в десятичную систему счисления: 176528 Перевести целое число 4570 из 10-ой системы в 3-ичную. Перевести из D9A16 в 3-ичную через 10-ую. Выполнить действие: 7118 + 5268; 2415 – 1345. Получить

двоичную,

шестнадцатеричную

форму

внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 187710 и –187710. Контрольные вопросы

10. Что такое система счисления? 11. Какие системы счисления бывают? 12. Что такое базис, основание системы счисления? 13. В чем различие между цифрой и числом? 14. Какие формы записи числа бывают? Как они представляются? 15. Как из 10-ной системы перевести число в q-ую и обратно? 16. В чем заключены правила сложения и вычитания в q-ых системах счисления? 17. Какова роль систем счисления в теории информации?

18. Как получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления десятичных чисел в k-разрядной ячейке? Библиографический список

Информатика. 3-е изд. / А. Н. Степанов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.: ил. – С. 57 Информатика: Базовый курс / С. В. Симонович и др. – СПб.: Питер, 2001. – 640 с.: ил. – С. 20 Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера: Том 1. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 304 с.: ил. – С. 2742 Информатика. Базовый курс для 7-9 классов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 384 с.: ил. – С. 36-43 Системы счисления: Методические указания для студентов физикоматематического факультета / Составитель Л. М. Артищева. Томск: Центр учебно-методической литературы ТГПУ, 2003. – 28 с. Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с. – С. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 424 с. - § 17.

Тема 4. Комбинаторика Цель:

Овладеть

навыками

подсчета

количества

различных

комбинаций,

подчиненных тем или иным условиям. Задачи:

23)

научиться распознавать и решать задачи на правила суммы и

произведения; 24)

научиться находить число перестановок, размещений, сочетаний

без повторений; 25)

научиться находить число перестановок, размещений, сочетаний с

повторениями; 26)

научиться выбирать то или иное комбинаторное правило в

практических задачах. Общие теоретические сведения

Решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества

подмножеств,

обладающих

определенными

свойствами,

и

упорядочением множеств. Область математики, которая исследует решение комбинаторных

задач,

называется

комбинаторикой.

Все

задачи

рассматриваемые комбинаторикой требуют ответа на вопрос «сколько?» или «сколькими способами?». Правило суммы. Если элемент a из одного множества можно выбрать m

способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m + k способами, при условии, что данные множества не пересекаются. Правило произведения. Если элемент a из одного множества можно

выбрать m способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор пары «a и b» можно осуществить m · k способами. Перестановка n элементов из n элементов. Дано множество состоящее

из n элементов. Перестановкой называется упорядоченное множество,

составленное данных элементов. Например, для множества {a, b, c}, существуют следующие варианты перестановок: {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b,

c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Число всевозможных перестановок из n элементов, обозначается Pn и находится по формуле

Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n! Число n! читается как «n факториал». Считается, что 1! = 1, 0! = 1. Размещение без повторений из n элементов по k элементам.

Дано множество состоящее из n элементов. Размещением без повторений из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из nэлементного множества один раз. Например, для множества {a, b, c}, существуют следующие варианты размещений без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}. Число всевозможных размещений без повторений k из n элементов, обозначается Аnk и находится по формуле n!

Аnk = n1⋅4 (n4 −4 1)4 ⋅ (n4−44 2)2⋅… ⋅ (n − (k − 13 )) или Аnk = 4444444 (n − k )! k множителей

Размещение с повторениями из n элементов по k элементам.

Дано множество состоящее из n элементов. Размещением c повторениями из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из nэлементного множества, причем каждый элемент может быть выбран несколько раз. Например, для множества {a, b, c}, существуют следующие варианты размещений с повторениями по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}. Число всевозможных размещений с повторениями k из n элементов, обозначается Ã nk и находится по формуле Ã nk = nk. Сочетание без повторений из n элементов по k элементам.

Дано множество состоящее из n элементов. Сочетанием без повторений из n элементов по k элементам называется неупорядоченное подмножество

данного множества, состоящее из k элементов. Например, для множества {a, b,

c}, существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}. Число всевозможных сочетаний без повторения k из n элементов,

Ank n! = . обозначается С и находится по формуле С = k! k!⋅(n − k )! k n

k n

Сочетание с повторениями из n элементов по k элементам.

Дано множество состоящее из n элементов. Сочетанием с повторениями из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов, причем элементы могут повторяться. Например, для множества {a, b, c}, существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}. Число всевозможных сочетаний с повторениями k из n элементов, ~k ~k (n + k − 1)! . обозначается С n и находится по формуле С n = С nk+ k −1 = k!⋅(n − 1)! При решении комбинаторных задач в первую очередь необходимо определить является ли эта задача комбинаторной, т. е. можно ли сформулировать задачу в форме вопроса «сколькими способами?». Затем нужно определить какое правило нужно применить для этого: 3.

Нужно определить, о скольких множествах идет речь: a. если два множества и более, то возможны два варианта: i. объединение

множеств

(когда

элементы

множества

объединяются с помощью союза «или»), тогда применяется правило суммы. Задача решена; ii. пересечение

множеств

(когда

элементы

множества

объединяются с помощью союза «и»), тогда применяется правило произведения. Задача решена; b. если одно множество, то для определения нужной формулы нужно обратиться к пункту 2.

4.

Определяем сколько элементов множества участвуют в задаче: a. если n элементов из n без повторов, применяется формула перестановки Pn. Задача решена; b. если k элементов из n, то воспользуемся таблицей 14 для определения формулы. Задача решена. Таблица 14. Определение комбинаторной формулы Название формулы

Размещение без повторений

Порядок:

Повторы:

существен отсутствуют

Формула:

Аnk =

из n элементов по k

n! (n − k )!

элементам Размещение с повторениями

существен

разрешены

Сочетание без повторений из

не

отсутствуют

n элементов по k элементам.

существен

Сочетание с повторениями

не

из n элементов по k

существен

à nk = nk

из n элементов по k элементам.

элементам

С nk = =

разрешены

n! k!⋅(n − k )!

~k (n + k − 1)! С n = С nk+ k −1 = k!⋅(n − 1)!

Практические задания

Примеры решений I тип. Правила суммы и произведения.

Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому языку. Сколькими способами можно выбрать один учебник? Решение. В данной задаче речь идет о выборе одного элемента из двух множеств A – учебники по литературе}, B – учебники по русскому языку. Учебник можно выбрать по литературе или по русскому языку. Так как множества объединены с помощью союза «или», то воспользуемся правилом суммы. Мощность множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким образом, общее число способов 4 + 7 = 11. Ответ: 11. Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому языку. Сколькими способами можно выбрать пару, состоящую из учебника по литературе и учебника по русскому языку? Решение. 1 способ (перебор возможных способов).

Пронумеруем учебники по литературе и по русскому языку. Составим таблицу, характеризующую возможные выборы пар учебников (переберем все возможные варианты): Русский язык 1

2

3

4

5

6

7

(1; 1)

(1; 2)

(1; 3)

(1; 4)

(1; 5)

(1; 6)

(1; 7)

(2; 1)

(2; 2)

(2; 3)

(2; 4)

(2; 5)

(2; 6)

(2; 7)

(3; 1)

(3; 2)

(3; 3)

(3; 4)

(3; 5)

(3; 6)

(3; 7)

(4; 1)

(4; 2)

(4; 3)

(4; 4)

(4; 5)

(4; 6)

(4; 7)

Литература 1 2 3 4

Первый элемент в паре – это учебник по русскому языку, второй – по литературе. В таблице 1 представлены все возможные варианты пар, которые можно составить из учебника по русскому языку и литературе. Подсчитаем их количество: 4 строки умножим на 7 столбцов, получим 28 пар. То есть пару состоящую из учебников по русскому языку и литературе можно выбрать 28 способами. 2 способ (правило произведения).

В задаче речь идет о двух множествах, выбрать нужно учебник по литературе и русскому языку. То есть элементы из этих множеств объединяются союзом «и». Применим правило произведения. Мощность множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким образом, общее число способов выбрать пару учебников по разным предметам 4 • 7 = 28. Ответ: 28. Задача. Сколько существует четырехзначных чисел? Решение. Четырехзначное число состоит из четырех цифр: abc d . Первую цифру – число тысяч (множество А), можно выбрать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т. е. множество А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Таким образом, задачу можно переформулировать: сколькими способами (N) из элементов множеств A, B, C, D можно составить четверку упорядоченных элементов? Согласно правилу произведения N = 9 · 10 · 10 · 10 = 9000. Ответ: 9000.

II тип. Перестановки, размещения, сочетания без повторений.

Задача. На Ассамблее ООН должны выступить: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан. Порядок выступления лидеров имеет существенное значения для мировой политики. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений? Решение. 1 способ (перебор всех возможных вариантов).

Возможны следующие варианты перестановок: Путин, Буш, Аннан; Путин, Аннан, Буш; Буш, Путин, Аннан; Буш, Аннан, Путин; Аннан, Буш, Путин; Аннан, Путин, Буш. Итак, всего 6 вариантов расстановки выступающих. 2 способ (правило подсчета перестановок).

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно переставить 3 элемента из 3 без повторов, поэтому применим формулу числа перестановки P3. P3 = 3! = 3 • 2 • 1 = 6. Ответ: 6. Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в данном случае? Решение. 1 способ (перебор всех возможных вариантов).

Путин, Буш; Путин, Аннан; Буш, Аннан; Буш, Путин; Аннан, Путин;

Аннан, Буш. Итого 6 способов. 2 способ (правило подсчета размещений).

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно, А32 = 3 · 2 = 6. Ответ: 6. Задача. Сколькими способами из десяти различных букв можно записать шестибуквенные слова, при условии, что буквы в слове не повторяются? Решение. В задаче речь идет об одном десятиэлементном множестве. По условию нужно разместить 6 элементов из 10 без повторов, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно, А106 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151 200. Ответ: 151 200. Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в случае, если порядок выступлений не играет серьезной роли? Решение. 1 способ (перебор всех возможных вариантов).

Так как порядок выступлений не существенен, то получим следующие различные сочетания: {Путин, Буш} = {Буш, Путин}; {Путин, Аннан} = {Аннан, Путин}; {Буш, Аннан} = {Аннан, Буш}. Итого 3 способа.

2 способ (правило подсчета сочетаний).

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило подсчета сочетаний (порядок в задаче не существенен) без повторения, а именно, С32 =

3 ⋅ 2 ⋅1 3! = = 3. 2!(3 − 2)! 2 ⋅1 ⋅1

Ответ: 3. Задача. Из четырех коробок конфет разных сортов, нужно выбрать две коробки в подарок. Сколькими способами это можно осуществить? Решение. В задаче речь идет об одном четырехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 4 без повторов, порядок, в котором будут выбраны конфеты для подарка не существенен. Следовательно, применим правило подсчета сочетаний (порядок не существенен) без повторения, а именно, С 42 =

4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 4! = =6. 2!(4 − 2)! 2 ⋅1 ⋅ 2 ⋅1

Ответ: 6. III тип. Размещения, сочетания с повторениями.

Задача. На Ассамблее ООН должны быть заслушаны ровно два доклада разные темы. Всего три кандидата на выступление: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан, причем каждый из кандидатов может выступить с обсуждением каждой из тем, в том числе и обеих. Порядок выступления лидеров имеет существенное значения для мировой политики. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений? Решение.

1 способ (перебор всех возможных вариантов).

Возможны следующие варианты Путин, Буш; Путин, Аннан; Буш, Аннан; Буш, Путин; Аннан, Путин; Аннан, Буш; Путин, Путин; Буш, Буш; Аннан, Аннан. Итого 9 способов. 2 способ (правило подсчета размещений с повторениями).

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 с повторениями, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) с повторениями, а именно, Ã 32 = 32 = 9. Ответ: 9. Задача. На Ассамблее ООН должны быть заслушаны ровно два доклада на разные темы. Всего три кандидата на выступление: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан, причем каждый из кандидатов может выступить с обсуждением каждой из тем, в том числе и обеих. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений, если последовательность выступающих не имеет значения? 1 способ (перебор всех возможных вариантов).

Возможны следующие варианты {Путин, Буш} = {Буш, Путин}; {Путин, Аннан} = {Аннан, Путин}; {Буш, Аннан} = {Аннан, Буш}; {Путин, Путин}; {Буш, Буш}; {Аннан, Аннан}.

Итого 6 способов. 2 способ (правило подсчета размещений с повторениями).

В задаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 с повторениями, поэтому применим правило сочетания (порядок в задаче несущественен) с повторениями, а именно, ~k (3 + 2 − 1)! 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 С n = С32+ 2−1 = = = =6. 2!⋅(3 − 1)! 2 ⋅ 2 4

Ответ: 6. Задачи для самостоятельного решения I тип. Задача 73*. В аквариуме 8 рыбок гуппи, 1 петушок и 2 сома. Сколькими

способами можно выловить одну из рыбок? Задача 74*. В коробке 10 конфет с вишневой начинкой и 12 с абрикосовой.

Сколькими способами можно достать одну конфету? Задача 75*. В пенале 3 ручки и 4 карандаша. Сколькими способами можно

достать одну из письменных принадлежностей? Задача 76*. Студент до университета может поехать на одной трех различных

маршрутных такси, или одним из двух троллейбусов, а также он может дойти пешком. Сколькими способами студент может добраться до университета? Задача 77*. В магазине 5 ярких ленточек разного цвета и 6 разноцветных

коробок для тортов. Сколькими способами можно упаковать торт? Задача 78*. В коробке 17 карандашей и 2 фломастера. Сколькими способами

можно составить пару из фломастера и карандаша? Задача 79*.

В упаковке 5 кофейных вафель и 5 шоколадных. Сколькими

способами можно составить пару из разных вафель? Задача 80**. 15 вопросов из одной темы на экзамене составят первую половину

билета, 16 вопросов из другой темы – вторую. Сколькими способами можно скомпоновать билет? Задача 81**. Сколько существует пятизначных чисел? Задача 82 **. Сколько существует трехзначных чисел?

Задача 83***. Сколько существует четырехзначных чисел, цифры которых

различны? Задача 84***. Сколько существует трехзначных чисел, цифры которых

различны? Задача 85***. Сколько словарей надо установить в компьютер, чтобы можно

было непосредственно выполнить переводы с любого из 3 языков: русского, английского, немецкого – на любой другой из этих трех языков? II тип. Задача 86*. На раскопках были найдены 5 мумий, лежащих отдельно от 5

саркофагов. Сколькими способами могли быть расположены мумии по саркофагам? Задача 87*. На столе 6 пронумерованных урн и 6 пронумерованных шаров.

Сколькими способами можно разместить шары по урнам, чтобы в каждой урне было по одному шару? Задача 88*. У продавца имеется 4 букета и оберточная бумага четырех цветов.

Сколькими способами можно упаковать букеты так, чтобы все были обернуты в бумагу разных цветов? Задача 89*. У Пети 3 друга и 3 книги, которые он хочет преподнести друзьям в

подарок. Сколько вариантов сделать подарок должен рассмотреть Петя? Задача 90**. От пяти платформ необходимо оправить 3 поезда. Сколько

существует вариантов отправки составов? Задача 91**. Доставка груза может быть осуществлена шестью дорогами.

Сколькими способами менеджер может составить маршрут для двух машин, если они должны ехать различными путями? Задача 92**. В аэропорту 6 выходов на посадку. По расписанию назначен

вылет трех самолетов. Сколькими способами можно организовать посадку? Задача 93**. В детском лагере проводиться мероприятие, в котором участвуют

4 отряда. Каждый отряд должен прийти к финишу своей дорогой. Всего дорог пять. Сколькими способами можно отправить отряды к финишу?

Задача 94**. Зоопарк приобретает трех тигров. В питомнике имеется 6

животных данного вида. Сколькими способами можно осуществить закупку? Задача 95**. Из 12 наименований в магазин необходимо доставить семь.

Сколькими способами можно осуществить выбор наименований? Задача 96**. Из 7 ингредиентов для приготовления супа, нужно использовать

5. Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от порядка добавления продуктов вкус блюда неизменен? Задача 97**. Из 8 человек, работающих в фирме, каждый день двое должны

отвечать на телефонные звонки. Сколькими способами можно составить расписание работников фирмы, отвечающих на телефонные звонки клиентов? Задача 98**. В кафе работают 17 сотрудников. Каждый день на работу должны

выходить пятеро. Сколькими способами можно составить график работы персонала кафе? III тип. Задача 99*. На участие в четырех конференциях претендует шесть человек. На

каждую

конференцию

может

поехать

только

один

человек,

уровень

конференций разный, поэтому порядок назначения человека на поездку существенен. Сколькими способами можно сформировать список участников конференций, если любой из кандидатов может поехать на несколько конференций? Задача 100**. В метро 6 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в

поезде 3 человека при условии, что они необязательно должны ехать в разных вагонах? Задача 101**. На кафедре работает 4 профессора. Они должны прочесть 2

лекции, причем один человек может прочитать обе лекции. Порядок прочтения лекций важен. Сколькими способами можно отобрать кандидатов для прочтения лекций? Задача 102**. 7 кандидатов должны заполнить 3 анкеты, причем один человек

может заполнить все 3 анкеты. Порядок заполнения анкет играет важную роль. Сколькими способами можно заполнить анкеты?

Задача 103*. В стандартной колоде 36 карт. Из четырех тузов разных мастей

извлекается

один,

запоминается,

затем

возвращается

обратно.

Затем

извлекается вторая карта. Сколькими способами можно выбрать таким образом пару тузов? Задача 104**. Из команды девяти человек нужно выбрать участников для

четырех забегов, причем каждый из спортсменов может участвовать в нескольких забегах. Сколько существует способов выбрать участников соревнований? Задача 105**. На пляже для игры в волейбол из 15 человек нужно отобрать тех,

кто будет участвовать в трех таймах, причем один человек может участвовать во всех трех играх. Сколькими способами можно отобрать участников? Задача 106**. На конкурсе парикмахеров 3 номинации. Один мастер может

участвовать во всех трех номинациях. Всего кандидатов на участие в конкурсе 20. Сколькими способами можно выбрать конкурсантов?

Домашнее задание

Вариант 1. В урне 15 красных шаров и 12 белых. Сколькими способами можно достать 1 шар? До своего факультета студент может дойти по любой из четырех лестниц. Сколькими способами студент может подняться до факультета и потом спуститься, при условии, что спуск должен происходить по другой лестнице? Сколько могло бы быть расположений цветов радуги? На соревнованиях 5 человек вышли в финал. Сколько существует вариантов распределения их на трех призовых местах? Из 10 студентов, для участия в смотре первокурсников нужно выбрать шестерых. Сколькими способами можно осуществить выбор?

Доставка груза может быть осуществлена шестью дорогами. Сколькими способами менеджер может составить маршрут для двух машин, если они могут ехать одинаковыми путями? Всего 8 билетов, из них студент трижды тянет билет. После каждого вытягивания экзаменатор записывает номер билета, возвращает его обратно и перемешивает. Сколько существует сочетаний трех номеров билета, если их последовательность не имеет значения? Вариант 2. На складе 6 коробок шоколадных конфет разных сортов и 3 коробки карамели разных сортов. Сколькими способами случайно можно выбрать одну коробку с конфетами? У одного филателиста 3 новые марки, у другого 5. Все марки разные. Сколькими способами коллекционеры могут произвести обмен марки на марку? Сколькими способами можно расположить все 7 нот в разной последовательности, если каждая нота используется только один раз? В метро 8 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 3 человека при условии, что все они должны ехать в различных вагонах? Из 7 вторых блюд, студенту требуется выбрать два. Сколькими способами он может это сделать? Проводятся финальные соревнования по прыжкам в длину, высоту и тройному прыжку среди восьми участников. Сколько существует вариантов

распределения

участников

по

первым

местам

в

соответствующих видах спорта? В лототроне 13 пронумерованных шаров. Выбирается шар, записывается его номер, затем он возвращается обратно и лототрон снова всё перемешивает. Сколько существует сочетаний шести номеров шаров, если их последовательность не имеет значения?

Вариант 3. На лугу 5 разных ромашек и 7 разных васильков. Сколькими способами можно сорвать один цветок? До своего факультета студент может дойти по любой из трех лестниц. Сколькими способами студент может подняться до факультета и потом спуститься? Сколькими способами 5 человек могут занять пять стульев? Из 7 ингредиентов для приготовления супа, нужно использовать 5. Сколько существует способов сварить суп, если вне зависимости от порядка добавления продуктов меняется вкус блюда? Из пяти вопросов преподаватель на экзамен задаст студенту три. Сколькими способами экзаменатор может выбрать вопросы? На отчетной конференции в профкоме из 10 человек выбирают председателя, заместителя председателя, бухгалтера, секретаря. Сколько существует вариантов исхода выборов, если один человек может совмещать должности? Карточки с буквами русского алфавита перемешиваются каждый раз, когда извлекается одна буква, записывается и возвращается обратно. Сколько различных сочетаний букв можно получить, если порядок их следования не существенен? Вариант 4. В магазине 4 упаковки с разными сортами газировки и 5 упаковок с разными сортами минералки. Сколькими способами можно выбрать одну упаковку с напитком? При подготовке к экзамену один студент подготовил письменные ответы на 13 вопросов, другой на 17. Оба подготовили ответы на разные вопросы. Сколькими способами они могут обменять один ответ на другой? Сколькими способами можно расположить шесть экзаменационных билетов в различном порядке?

Из 10 различных детских передач запланированных за день, нужно выпустить в эфир только 6. Сколькими способами можно составить список передач для телепрограммы? В дендрарии 7 кустарников различных пород. Сколькими способами садовод может выбрать 4 кустарника для высадки на участке? В

гараже

предприятия

шесть

различных

машин.

Необходимо

последовательно совершить три перевозки. Сколькими способами можно спланировать поездки, если каждая машина может быть использована в нескольких выездах? Карточки с буквами английского алфавита перемешиваются каждый раз, когда извлекается одна буква, записывается и возвращается обратно. Сколько различных сочетаний букв можно получить, если порядок их следования не существенен? Контрольные вопросы

19. Какие задачи изучает комбинаторика? 20. В чем заключается правила суммы и произведения? 21. Что такое перестановка и как находится количество возможных перестановок? 22. В чем сходство и отличие размещения без повторений и с повторениями? 23. В чем сходство и отличие сочетания

без повторений и с

повторениями? 24. В чем основное отличие сочетания от размещения? 25. Как находиться число размещений без повторений и с повторениями, число сочетания без повторений и с повторениями? 26. Как правильно выбрать нужную формулу, при решении той или иной комбинаторной задачи?

Библиографический список

Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие / Х. М. Андрухаев; Под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. Шк., 2005. – 174 с.: ил. – С. 19-23. Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2003. – 120 с. – с. 46 – 48. Гришин М. П. Математика и информатика: Учебное пособие. 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – 116 с. – С. 18 – 21. Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.: ил. – с. 58 - 60. Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с. – С. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 424 с. – С. 141-152.

Тема 5. Теория вероятностей Цель:

Овладеть навыками определения вероятности случайных событий. Задачи:

27)

научиться отличать достоверное, невозможное, противоположное,

совместные и несовместные, зависимые и независимые события; 28)

научиться

определять

пространство

элементарных

событий,

количество общих и благоприятствующих исходов; 29)

научиться

находить

статистическому

и

вероятность

геометрическому

по

классическому,

определению,

суммы

и

произведения событий; 30)

научиться применять комбинаторику для подсчета вероятностей;

31)

научиться

решать

задачи

по

формулам

Байеса

и

полной

вероятности; 32)

освоить схему испытаний Бернулли и предельную теорему

Пуассона Общие теоретические сведения

Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Случайное событие – исход наблюдения, эксперимента или опыта, который при реализации некоторого комплекса условий может произойти, а может и не произойти. Элементарный исход – один из возможных вариантов результата опыта. Пример. Проводится опыт (испытание) – подкидывается игральный

кубик. Результат данного опыта является случайным событием, например, выпадает цифра 3. Элементарными исходами являются: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Пространство элементарных исходов опыта – множество, состоящее из всех элементарных исходов данного опыта. Принятое обозначение {w1, w2, …, wn}. Пусть в результате некоторого опыта может наступить или не наступить событие А. Пространство элементарных исходов опыта {w1, w2, …, wn}. Если наступление некоторого исхода из подмножества данного множества: wi1 или wi2 или … или wim приводит к появлению события А, то wi1, wi2 … wim называются исходами, благоприятствующими появлению события А. Равновозможные исходы – исходы, которые имеют одинаковый шанс произойти или не произойти. Несовместные исходы – исходы, которые одновременно произойти не могут. Событие

называют

достоверным,

если

оно

непременно

должно

произойти. Событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит. Событием, противоположным, некоторому А называют событие, состоящее в том, что А не наступило. События А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Говорят, что событие В следует из события А, если событие В происходит всегда, когда произошло событие А. Два события А и В называются равными, если из А следует В и из В следует А. События называются независимыми, если появление одного события не влечет появление другого. События A1, A2, ..., An образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса условий). Суммой двух событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что произошло событие А или событие В. Произведением

двух

событий

А

и

В

называется

заключающееся в совместном наступлении событий А и В.

событие

АВ,

Основные свойства сложения и произведения событий:

Пусть А, В – некоторые события, тогда: 6. А + В; АВ вновь являются событиями. 7. А + В = В + А; АВ = ВА (коммутативный закон). 8. А + (В + С) =( А + В) + С; А(ВС) =(АВ)С (ассоциативный закон). 9. Из события А следует сумма этого события с любым событием В: А ⊂ А + В. 10. Из события АВ следуют событие А и событие В: АВ ⊂ А, АВ ⊂ В. А(В + С) = АВ + АС (дистрибутивный закон). Классическое определение вероятности. Пусть некоторый опыт имеет n

равновозможных и несовместных исходов. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных исходов m(А) к общему числу n несовместных равновозможных исходов: Р (А) =

m( А) . n

Свойства вероятности:

4. Для любого случайного события 0 ≤ Р(А) ≤ 1. 5. Пусть А1, А2, А3,…, Аk – все события, которые могут произойти в результате опыта. Тогда P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + ... + P( Ak ) = 1 . 6. Пусть А – некоторое событие, тогда верно равенство Р(А) + Р( А ) = 1. Правило суммы вероятностей. Вероятность суммы несовместных

событий есть сумма вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Правило

произведения

вероятностей

независимых

событий.

Вероятность произведения событий есть произведение вероятностей этих событий: Р(А • В) = Р(А) • Р(В). События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Правило

произведения

вероятностей

зависимых

событий.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А) • Р(В/А). Вероятность

суммы

совместных

Вероятность

событий.

суммы

совместных событий есть сумма вероятностей этих событий без вероятности из совместного наступления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А • В). Формула полной вероятности. Пусть B1, B2, …, Bn – полная система

несовместных событий. n

Р(А) = Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2) + … + Р(Вn)Р(А/Вn) = ∑ Р( Вk ) P( A / Bk ) . k =1

Формула Байеса: Р(Вk /А) =

Р( Вk ) Р( А / Вк ) Р( Вk ) Р( А / Вк ) = n . Р( А) Р ( В ) P ( A / B ) ∑ k k k =1

Пусть в результате некоторого случайного испытания может произойти или не произойти определенное событие А. Если событие произошло, испытание называется успешным, а событие – успехом. Испытание повторяется n раз. При этом соблюдаются следующие условия: вероятность успеха Р(А) = р в каждом испытании одна и та же; результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний. Противоположное событие А событию А называется неудача, и его вероятность обозначается q, причем q = 1 – р, так как в данной схеме подразумевается, что опыт может иметь только два исхода: успех или неудача. Такая последовательность испытаний с двумя исходами (успех/неудача) называется последовательностью независимых испытаний Бернулли или схемой Бернулли. Вероятность того, что в схеме Бернулли из n независимых испытаний произошло ровно k успехов, находится по формуле Бернулли: Рn (k ) = C nk p k q n −k .

Следствия из формулы Бернулли:

5. Рn (n) = p n , Рn (0) = q n . 6. Pn(0) + Pn(1) + Pn(2) + … + Pn(n) = 1. Предельная теорема Пуассона

Рассмотрим случай, когда вероятность р наступления некоторого события А достаточно малая величина. Например, рождение близнецов, достижение

столетнего возраста, опечатка в книге и т. д. По формуле Бернулли

Рn (k ) = Cnk p k q n −k . В рассматриваемом случае n → ∞, а р → 0. Пусть величина λ = np остается ограниченной: λ < const,

k – фиксировано. При указанных

условиях справедлива теорема Пуассона Рn (k ) ≈

λk − λ . e k!

Пользуясь теоремой Пуассона, мы можем при определенных условиях

λk − λ заменять вероятность Pn(k) приближенно равным ей выражением e . Для k!

данного выражения составлены таблицы, с их помощью можно для заданных k

λk − λ . Число λ = np – среднее число и λ найти соответствующее число e k!

успехов. Геометрическое

определение

вероятности.

Пространство

элементарных исходов Ω – произвольное конечное множество на прямой,

плоскости

или

n-мерном

арифметическом

пространстве.

События

–

всевозможные измеримые подмножества А множества Ω. Вероятность события А - отношение лебеговой меры множества А и пространства элементарных

исходов: Р(А) =

μ ( А) . μ (Ω )

Лебегова мера множества – это обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела. Например, для плоскости геометрическое определение вероятности будет выглядеть следующим образом. Пусть D – некоторая конечная область плоскости. В эту область бросается точка, причем попадание ее в любую точку области D считается

равновероятным. Тогда геометрической вероятностью попадания точки в любую область D1, лежащую в D, назовем отношение площади области D1 к площади области D. P(D1) =

S(D1 ) , где S(D1), S(D) – соответственно площади S(D)

областей D1, D. Статистическое определение вероятности. Пусть А – случайное

событие по отношению к некоторому опыту. Предположим, что опыт произведен N раз и при этом событие А наступило в NA случаях. Отношение

ν=

NA называется частотой наступления события А в рассматриваемой N

серии опыта.

С увеличением числа опытов частота стабилизируется,

приближается к некоторой постоянной р(А). Определение. Статистической вероятностью случайного события р(А)

называют связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях опытов. Количество информации

Количественная зависимость между вероятностью события (P) и количеством информации в сообщении о нем (I) выражается формулой: 1 P

I = log2( ) = – log2P

Практические задания

Примеры решений I тип. Общие понятия теории вероятности. Классическая вероятность.

Геометрическая и статистическая вероятность Задача. Подкидывается игральный кубик.

а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы благоприятствующие появлению события А – выпало четное число;

г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Решение.

а) В данном опыте возможны следующие исходы: «выпадение 1», «выпадение 2», «выпадение 3», «выпадение 4», «выпадение 5», «выпадение 6», т. е. пространство элементарных исходов – это множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}. б) Невозможным событием для данного опыта является, например, выпадение семерки. Достоверным событием является событие А – выпадение одного из шести очков: 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6. в) Событие А – выпало четное число, означает, что выпала 2 или 4, или 6, то есть исходами, благоприятствующими событию А, будут {2, 4, 6}. г) Число благоприятствующих исходов для события А три, всего исходов 6, следовательно, по классическому определению вероятности Р(А) =

3 1 = . 6 2

д) Событие противоположное событию А есть событие А – не выпало четное число, т. е. выпало нечетное число. Число благоприятствующих исходов для события А

три {1, 3, 5}, всего исходов 6, итак по классическому

определению вероятности Р( А ) =

3 1 = . 6 2

Задача. Опыт заключается в том, что на квадратный лист случайным образом кидается шарик. Пусть А – шарик попадает в верхнюю часть листа, В – шарик попадает в правую часть листа. Найти события А + В и А • В. Решение.

Событие А + В – шарик попадает в верхнюю или в правую часть листа. Событие А • В – шарик попадает в правую верхнюю четверть листа. Графически это можно изобразить следующим образом (см. рис.):

А

В

А+В

А•В

Задача. На 33 карточках написаны буквы русского алфавита. Какова вероятность, что на случайно извлеченной карточке будет гласная буква (А), согласная (В), ни гласная и ни согласная буква (С)? Какова вероятность, что на случайно извлеченной карточке не будет гласная буква ( А), Решение.

Общее число исходов 33. Исходов благоприятствующих событию А десять (все гласные буквы), событию В – двадцать один (все согласные буквы), событию С – два (твердый и мягкий знаки). Итак, по классическому определению вероятности: Р(А) = 10/33, Р(В) = 21/33, Р(С) = 2/33. Вероятность события А – на карточке не будет гласной буквы, можно найти, опираясь на свойство вероятности Р(А) + Р( А ) = 1, то есть Р( А ) = 1 – Р(А) = 1 – 10/33 = 23/33. Ответ: Р(А) = 10/33, Р(В) = 21/33, Р(С) = 2/33, Р( А ) = 23/33. Задача. Радиус мишени 10 см. Какова вероятность, что стрелок попадет в область от 10 до 7, если круги мишени отстоят друг от друга на 1 см.?

Решение.

Задача на геометрическое определение вероятности. Пространство элементарных исходов Ω – вся область мишени, ее площадь вычисляется по формуле площади круга S = πR2 = π • 102 = 100 π. Благоприятствующей областью для искомого события будет круг радиусом 4 см. (см. рис.).

1см. 1см. 1см. 1см. … 10 9 8 7

S1 = πR12 = π • 42 = 16 π. Итак, по геометрическому определению

вероятности P =

16π = 0,16. 100π

Ответ: 0,16 Задача. В течении 100 лет у нескольких поколений одной семьи на 35 случаев рождения детей в 7 случаях рождались двойняшки. Какова вероятность, что в следующий раз у представителя данной семьи родятся двойняшки? Не родятся двойняшки? Решение.

Частота появления события колеблется около 7/35. По статистическому определению, вероятность появления двойняшек Р(А) = 7/35. Вероятность не появления двойняшек Р( А ) = 1 – Р( А ) = 1 – 7/35 = 28/35. Ответ: 7/35; 28/35. II тип. Правила суммы и произведения вероятностей. Формулы полной

вероятности и Байеса Задача. 20 билетов студент знает полностью, в 10 билетах он не знает по одному из двух вопросов; 7 билетов он не знает вообще. Считается, ученик получит положительную оценку, когда он ответит хотя бы на один из двух

вопросов в билете. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку? Решение.

Событие А – студент вытягивает билет, который знает; Р(А)=20/37. В – вытягивает билет, который он знает на половину; Р(В)=10/37. А + В – вытягивает билет, который он знает на половину или который он

знает полностью. А и В – несовместные события, так как студент не может одновременно вытянуть который знает и который знает наполовину, следовательно Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 20/37+10/37. Задача. Один брат выучил 12 билетов из 25, другой – 15. Какова вероятность, что экзамен сдаст хотя бы один брат? Решение.

Пусть А – первый брат сдаст экзамен. В – второй брат сдаст экзамен. Искомое событие С = А + В, так как сдача экзамена хотя бы одним братом означает, что сдает первый или второй (то есть имеем дело с суммой событий). События совместны, так как сдать экзамен могут и оба вместе. Применим формулу для подсчета вероятности суммы совместных событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А • В). Р(А) = 12/25, Р(В) = 15/25 = 3/5. События А и В

независимы, следовательно Р(А • В) = Р(А) • Р(В) = 12/25 • 3/5 = 36/125. Р(А + В) = 12/25 + 15/25 + 36/125 = 99/125. Ответ: 99/125. Задача. Вероятность того, что один студент вытянет счастливый билет (событие А) 0,45, для другого студента – 0,55 (В). Найти вероятность, что, сдавая экзамен в разные дни (А, В – независимые): оба студента вытянут счастливые билеты (С), один из студентов вытянет счастливый билет (D), ни один из них не вытянет счастливый билет (Е), хотя бы один вытянет счастливый билет (F).

Решение.

Представим события С, D, E, F через события А и В: Событие С – оба вытянут счастливые билеты, состоит из событий А – первый студент вытянет счастливый билет и В – второй студент вытянет счастливый билет, т. е. С = А • В. Событие D – один из студентов вытянет счастливый билет состоит из следующих событий: А – первый студент вытянет счастливый билет и В – второй студент не вытянет счастливый билет или А – второй студент вытянет счастливый билет и В – первый студент не вытянет счастливый билет. То есть D = А • В + А • В.

Событие Е – ни один не вытянет счастливый билет, состоит из событий А – первый студент не вытянет счастливый билет и В – второй студент не вытянет счастливый билет, т. е. E = А ⋅ В . Событие F – хотя бы один не вытянет счастливый билет, состоит из события E – неверно, что ни один не вытянет счастливый билет, т. е. F = E = А⋅ В .

События А и В независимы, следовательно и события В , А независимы. При подсчете вероятности событий можно применять правило произведения независимых событий. Р(С) = Р(А • В) = Р(А) • Р(В) = 0,45 • 0,55 = 0,2475. Р(D) = Р(А • В + А • В) = Р(А • В ) + Р( А • В) = Р(А) • Р( В ) + Р( А ) • Р(В)

= Р(А) • (1 – Р(В)) + (1 – Р(А))• Р(В)= 0,45 • 0,45 + 0,55 • 0,55 = 0,2025 + 0,3025 = 0,505 (События А • В и А • В несовместны). Р(Е) = Р( А • В ) = Р( А ) • Р( В ) = (1 – Р(В)) • (1 – Р(А)) = 0,55 • 0,45 =

0,2475. Р(F) = P( E ) = 1 – P(E) = 1 – 0,2475 = 0, 7525. Задача. Из 29 билетов 13 – счастливые. Какова вероятность того, что первый студент вытянет счастливый билет, а второй следом за ним несчастливый? Решение.

Пусть В – первый студент вытянул счастливый билет, А – второй студент вытянул несчастливый билет. Тогда событие А•В – первый студент вытянул счастливый билет, а второй – несчастливый. А и В – зависимые события. Р(В) = 13 , при условии, что первый билет был счастливый, вероятность вытянуть 29 несчастливый билет Р(А/В) =

16 16 4 = = . Тогда по формуле для 29 − 1 28 7

произведения зависимых событий Р(АВ) = Р(А/В)Р(В) =

52 4 13 = . ⋅ 7 29 203

Задача. В аудитории занимались 3 группы. В первой группе 5 отличников, во второй 7, в третьей 3.

а)

Какова

вероятность,

что

случайно

оставленная

зачетка

принадлежит отличнику, если в первой группе 22 студента, во второй – 20, в третьей – 25?

б) Найти вероятность того, что потерянная

зачетка отличника

принадлежит студенту первой группы? Второй группы? Третьей группы? Решение.

а) Очевидно, что вероятность искомого события будет изменяться в зависимости от того, студент какой группы потерял зачетку. Пусть А – оставленная зачетка принадлежит отличнику, В1 – зачетка принадлежит студенту первой группы, В2 – зачетка принадлежит студенту второй группы, В3 – зачетка принадлежит студенту третьей группы. В1, В2, В3 – независимые события. События А/В1, А/В2, А/В3 означают, что

зачетка принадлежит отличнику, при условии, что зачетка принадлежит студенту первой, второй, третьей группы соответственно. Следовательно, событие А = А · В1 + А · В2 + А · В3, что означает, что событие А наступит в случае, если зачетка принадлежит студенту первой группы и зачетка отличника, или если зачетка принадлежит студенту второй группы и зачетка отличника, или если зачетка принадлежит студенту третьей группы и зачетка отличника.

Поэтому Р(А) = Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2) + Р(В3)Р(А/В3), так как произведение событий А и Вi находится по формуле условной вероятности. Р(В1) =

=

22 20 25 5 7 , Р(В2) = , Р(В3) = . Р(А/В1) = ; Р(А/В2) = ; Р(А/В3) 67 67 67 22 20

3 . 25 Таким образом, по формуле полной вероятности Р(А) =

22 5 20 · · + 67 22 67

7 25 3 15 · + = . 20 67 25 67 б) События В1, В2, В3 – попарно несовместны. По формуле Байеса Р(В1/А) = Р(А/В1) =

Р( В1 А) Р( В1 ) Р( А / В1 ) 22 = . Р(В1) = , Р( А) Р( А) 67

5 15 , Р(А) = (как было найдено раннее), поэтому Р(В1/А) = 22 67

22 5 ⋅ 67 22 = 5 = 1 . Аналогичным образом можно найти вероятность события, что 15 15 3 67 потерянная зачетка отличника принадлежит студенту второй группы и третьей группы: 20 7 ⋅ Р( В2 А) Р( В2 ) Р( А / В2 ) 67 20 = 7 . Р(В2/А) = = = 15 Р( А) Р( А) 15 67 25 3 ⋅ Р( В3 А) Р( В3 ) Р( А / В3 ) 67 25 = 3 = 1 . Р(В3/А) = = = 15 Р( А) Р( А) 15 5 67 III тип. Комбинаторные задачи на вероятность

Задача. Набирая номер телефона, абонент забыл первые 3 цифры. Какова вероятность правильного набора абонентом цифр наугад? Решение.

Данную задачу можно разбить на 2 части:

Определить, сколькими способами можно составить трехзначное число (первые 3 цифры телефона); Определить вероятность набора абонентом верного номера наугад. Трехзначное число состоит из трех цифр: abc . Первую цифру – число тысячных (множество a), можно выбрать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т. е. множество а = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, b = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, c = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Таким образом, задачу можно переформулировать: сколькими способами (N) из элементов множеств a, b, c можно составить тройку упорядоченных элементов? Согласно правилу произведения N = 9 · 10 · 10= 900. Из 900 номеров только один является верным, следовательно вероятность набора верного номера наугад Р(А)=1/900. Ответ: 1/900. Задача. Написано слово МИР! Буквы (символы) записали на отдельных карточках и перемешали. Какова вероятность того, что наудачу извлеченные по порядку буквы снова составят слово МИР! Решение.

Всего имеется 4 карточки: М, И, Р, !. Из них нужно составить определенное слово из 4 букв, т.е. нужно найти количество перестановок 4 символов по 4 местам. Р4 = 4! = 24. При

данных

перестановках

только

один

вариант

расставления

имеющихся символов подойдет по условию. Следовательно, вероятность наудачу составить нужное слово Р(А)= 1/24. Ответ: 1/24. Задача. В урне лежат 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Какова вероятность того, что 3 шара окажутся с нечетными номерами?

Решение.

Всего нужно вытащить 4 шара из 8. Это можно сделать C84 =

8*7*6*5 = 70 1* 2 * 3 * 4

способами. Из 4 шаров 3 с нечетными номерами можно получить C 43 =

4 *3* 2 =4 1* 2 * 3

способами. Значит вероятность того, что если из8 пронумерованных шаров извлечь 4 и 3 из них будут с нечетными номерами Р(А)= 4/70 = 2/35. Ответ: 2/35. IV тип. Подсчет количества информации в сообщении

Задача.

В

пруду

50000

рыб

(8000

карасей,

2000

щук,

40000

пескарей).Какое сообщение наиболее информативно: о том, что рыбак поймал карася, щуку или пескаря? Решение.

Для начала определим вероятность поймать каждую рыбу. Вероятность поймать карася Р(А)= 8000/50000 = 4/25 = 0,16. Вероятность поймать щуку Р(А)= 2000/50000 = 2/50 = 0,04. Вероятность поймать пескаря Р(А)= 40000/50000 = 4/5 = 0,8.

Зная вероятность поймать каждую рыбу, можно определить количество информации в сообщениях. Количество информации в сообщении о том, что рыбак поймал карася I = log2 (1/0,16) = log2 (100/16) = log2 (6,25) = 2,64. Количество информации в

сообщении о том, что рыбак поймал щуку I = log2(1/0,04) = log2 (100/4) = log2(25) = 4,64. Количество информации в сообщении о том, что рыбак поймал

пескаря I = log2 (1/0,8) = log2 (10/8) = log2 (1,25) = 0,32. На этом основании можно сделать вывод, что наиболее информативно сообщение о поимке щуки.

Ответ: наиболее информативно сообщение о поимке щуки. Задача. Определить количество информации в слове МАМА, если по данным словаря русского языка частота появления символа: М – 0,026; А – 0,062. Решение.

В данной задаче частота появления символов – вероятность их появления, которую используют при подсчете количества информации. Следовательно, количество информации в слове МАМА I = log2(1/0.026) + log2(1/0.062) + log2(1/0.026)

+

log2(1/0.062)

=

2*log2(1/0.026)

+

2*log2(1/0.062)

=

2*log2(1000/26) + 2*log2(1000/62) ~ 2*log2(38,46) + 2*log2(16,13) = log2(38,46)2 + log2(16,13)2 ~ log2(1479) + log2(260) = log2(1479 * 260) = log2(384540) ~ 18. Ответ: количество информации в слове МАМА ~ 18 бит. Задачи для самостоятельного решения I тип. Задача 107*. Подбрасывается монета

а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы благоприятствующие появлению события А = «выпадение орла»; г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Задача 108*. В мешке 3 геометрические фигуры – куб, тетраэдр, шар. Из мешка

случайным образом извлекается одна фигура а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы благоприятствующие появлению события А = «извлечение фигуры без углов»; г) найти вероятность наступления события А;

д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Задача 109*. В лототроне находится 36 шаров. Вслепую извлекается один из

шаров а) описать пространство элементарных исходов; б) указать невозможное и достоверное события для данного опыта; в) найти исходы благоприятствующие появлению события А – номер шара будет кратным 6; г) найти вероятность наступления события А; д) найти событие, противоположное событию А и его вероятность. Задача 110*. А – выпадение на кубике числа кратного 2, В – выпадение на

кубике числа кратного 3. Найти события А + В и А • В. Задача 111*. А – извлечение из урны с 36 занумерованными шарами шара с

номером кратным 5, В – извлечение из урны с 36 занумерованными шарами шара с номером кратным 7. Найти события А + В и А • В. Задача 112*. Опыт заключается в покупке лотерейных билетов. А1 –

выигрышным оказался первый билет, А2 – выигрышным оказался второй билет, А3 – выигрышным оказался третий билет. Пусть события не зависимы. Найти

события

А1А2А3,

А1А 2 А 3 ,

А1 + А2 + А3 ,

А1 А2 + А2 А3 + А1 А3 ,

А1 А2 А3 + А2 А3 А1 + А1 А3 А2 . Задача 113*. В коробке находится печенье, которое из нее достают. А – первое

печенье оказалось «с сюрпризом», В – второе печенье оказалось «с сюрпризом», С – третье печенье оказалось «с сюрпризом». Найти события АВС, АBC + ABC + ABC , АВ + ВС + АС.

Задача 114**. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20.

Какова вероятность того, что число: кратно 5; кратно 3; простое; составное; не простое, не составное.

Задача 115**. В корзине а белых и b черных шаров. Из этой корзины

вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из корзины берут еще один шар. Какова вероятность, что этот шар также белый? Задача 116**. На книжной полке стоят 17 книг, из них 5 детективов, остальные

учебники, какова вероятность того, что сонный студент наудачу возьмет учебник? Детектив? Задача 117**. В магазин пришло 26 упаковок шампуня. Из них 18 упаковок

шампуня PantineProV, остальные Head&Shoulders. Какова вероятность того, что в случайно взятой коробке окажется PantineProV; Head&Shoulders? Задача 118**. В ящике письменного стола лежат 15 одинаковых ручек, в

четырех из них черный стержень, в 11-ти синий. Какова вероятность того, что стержень синий? Черный? Задача 119**. Какова вероятность того, что наудачу из колоды в 36 карт будет

извлечена карта: красной масти; валет; пиковой масти? Задача 120**. Какова вероятность того, что из урны с 50 пронумерованными

шарами будет извлечен шар с номером: четным; кратным 7; не кратным 8? Задача 121***. Горнолыжник несется с горы с очень большой скоростью, но

не знает, что поперек всей трассы прорыта канава (очень широкая, что он не сможет пролететь через нее). Через канаву проложен мостик. Если лыжник попадет на мостик, то он останется жив. Найти вероятность того, что лыжник останется жив. Длина канавы 34 м 40 см, а мостик уже канавы на 33 м 48 см.

Задача 122***. Какова вероятность, что парашютист не приземлится на

садовый участок, стоящий на посадочном поле, если площадь поля 75 га, а участка 2 га? Какова вероятность, что приземлится? Задача 123***. Какова вероятность того, что метеорит упадет в озеро,

находящееся в лесу, если площадь леса 180 га, а площадь озера 4 га? Какова вероятность того, что метеорит упадет в лес? Задача 124***. В круг вписан треугольник. Площадь круга 15 см2, площадь

треугольника 8 см2. Какова вероятность того, что стрелок с первого выстрела попадет в круг, квадрат? Задача 125***. Ученик в диктанте из 21 слова допускает 5 ошибок. Какова

вероятность, что в следующем слове он допустит ошибку? Какова вероятность, что не допустит ошибку? Задача 126***. В лотерее из 1000 билетов выигрывает 3. Какова вероятность,

что купленный билет окажется выигрышным? Какова вероятность, что билет окажется невыигрышным? Задача 127***. Из 12 выстрелов стрелок промахнулся 2 раза. Какова

вероятность того, что при следующем выстреле он промахнется? Какова вероятность, что не промахнется? Задача 128***. Человек, занимающийся статистикой, решил провести

эксперимент. Он 274 раза случайным образом набирал телефонные номера. В 156 случаях к телефону подходили женщины. Какова вероятность того, что при следующем звонке трубку возьмет мужчина? Какова вероятность, что женщина? II тип. Задача 129*. Какова вероятность случайного выпадения козырного туза или

козырного короля из колоды в 36 карт? Задача 130*. Какова вероятность выпадения единицы или тройки или четверки

на игральной кости? Задача 131*. Вероятность, что студент вытянет билет, из которого он знает два

вопроса 0,4. Вероятность, что из билета он знает один вопрос 0,1. Студент

получит положительную оценку, при условии, если ответит хотя бы на один вопрос в билете. Какова вероятность, что студент получит положительную оценку? Какова вероятность, что студент получит «неудовлетворительно»? Задача 132*. Вероятность вытащить из урны шар красного цвета 0,3, белого

цвета 0,4. Кроме этого в урне имеются шары черного цвета. Какова вероятность вытащить из урны шар черного цвета? Задача 133*. Два хлебокомбината производят булки с маком и с изюмом. На

пробу экспертам предоставлено 8 булок первого хлебокомбината и 8 – второго. Из общего числа 7 булок с изюмом, остальные с маком. Какова вероятность того, что случайно взятая экспертом булка будет булкой с изюмом, производства первого хлебокомбината? Задача 134*. В аквариуме 4 золотые рыбки. 7 серебряных, 3 красных. Из них 10

самцов и 4 самки. Какова вероятность того, что наудачу выловленная рыба окажется золотым самцом? Задача 135*. У аудиопиратов изъято 80 дисков классической музыки,

записанных в 2004 году, и 76 дисков классической музыки, записанных в 2005 году. Причем в 56 случаях музыка записана на диски CD-RW, а остальная на CD-R. Какова вероятность того, что случайно взятый диск окажется CD-R 2005 года? Задача 136*. В магазине для садоводов имеется 12 пакетиков семян моркови и

14 пакетиков семян свеклы. Из них 7 пакетиков производства Голландии, 19 – производства России. Какова вероятность того, что в случайно взятом пакетике окажутся семена моркови производства России? Задача 137**. Вероятность, что отец купит булку хлеба 0,8, дочь – 0,5. Какова

вероятность, что хотя бы один из них купит хлеб? Задача 138**. Одна подруга опоздает на практическое занятие с вероятностью

1/3, вторая – 4/5. какова вероятность, что опоздает хотя бы одна подруга? Задача 139**. Вероятность, что одному ученику удастся списать контрольную

работу 3/5, другому – 2/3. Какова вероятность, что спишет решение хотя бы один ученик?

Задача 140**. Вероятность того, что первый стрелок попадет в цель – 0,56,

вероятность того, что второй стрелок попадет в цель – 0,43. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Задача 141**. Из 29 билетов 13 – счастливые. Какова вероятность, что первый

студент вытянет счастливый билет, и второй следом за ним

вытянет

счастливый? Какова вероятность, что первый студент вытянет несчастливый билет, а второй счастливый? Какова вероятность, что оба студента вытянут несчастливые билеты? Задача 142**. В подгруппе 5 юношей, 7 девушек. Какова вероятность что

наудачу выбранные тетради будут принадлежать двум девушкам? Первая тетрадь принадлежит юноше, вторая девушке? Первая девушке, вторая юноше? Обе тетради принадлежат юношам? Задача 143**. На карточках написаны 33 буквы русского алфавита. Какова

вероятность, что из двух наугад выбранных карточек обе будут гласными? Обе согласными? Задача 144**. В урне 10 пронумерованных шаров. Какова вероятность того,

что из двух, наугад выбранных шаров, номера у обоих будут четными? Задача 145***. В зоопарке 3 вольера с обезьянами: в первом живут 3 обезьяны,

во втором – 2, в третьем – 6. Для профилактики их всех должен осмотреть врач. Какова вероятность того, что первым на прием к врачу попадет самец, если в первом и втором вольере по одному самцу, а в третьем – 2? Найти вероятность того, что самец, первым попавший к врачу, окажется из первого, второго, третьего вольера? Задача 146***. На соревнования прибыло 22 бегуна, 15 пловцов, 7

фехтовальщиков. Для соревнований каждый спортсмен заполнил специальную карточку, в которой указал информацию о себе. Какова вероятность того, что случайно взятая карточка принадлежит спортсмену из США, если из США прибыло 12 спортсменов, из Англии – 18, из Франции – 14?

Какова вероятность того, что карточка спортсмена из США принадлежит пловцу, бегуну, фехтовальщику? Задача 147***. По шоссе проехало 100 машин: 52 – Жигули, 22 – Лада, 26 –

Мерседес. Причем из этих 100 машин 46 заправлялись на автозаправке Лукойл, 38 – Спартак, 16 – Сибнефть. Какова вероятность того, что случайно остановленная на шоссе машина окажется Мерседесом? Какова вероятность того, что случайно остановленный на шоссе Мерседес воспользовался автозаправкой Лукойл, Спартак, Сибнефть? Задача 148***. На складе находится 15 упаковок туалетной воды, 4 упаковки

духов и 8 упаковок ароматизированных масел. Из всего этого количества 7 упаковок произведено фирмой Oriflame, 9 – Avon, 11 – Faberlic. Какова вероятность того, что случайно взятая упаковка будет с ароматизированным маслом? Какова

вероятность

того,

что

случайно

взятая

упаковка

ароматизированного масла будет производства Oriflame, Avon, Faberlic? III тип. Задача 149*. На отдельных карточках написаны буквы К, М, П, Т, Р, О, Ю, Ь.

Карточки перемешивают и начинают извлекать по одной, составляя слово. Какова вероятность того, что по порядку извлеченные карточки образуют слово КОМПЬЮТЕР? Задача 150*. Какова вероятность того, что обезьяна, постучав по клавиатуре,

состоящей из 105 клавиш, 7 раз напечатает семибуквенное слово? Задача 151*. Имеется 3 пронумерованные урны. Какова вероятность

случайным образом разместить 4 одинаковых шара в первую урну? Задача 152*. Имеются карточки с тремя буквами О, двумя – К и двумя – Л.

Какова вероятность составить случайным образом из карточек с этими буквами слово КОЛОКОЛ. IV тип.

Задача 153*. В коробке 50 теннисных мячей (40 желтых и 10 белых).

Поступило сообщение об извлечении из коробки белого мяча. Посчитать количество информации в этом сообщении и в сообщении об извлечении из коробки желтого мяча. Какое сообщение информативнее? Задача 154*. За год учебы ученик получил 100 оценок по математике. Из них

60 – «5», 30 – «4», 8 – «3», 2 – «2». Посчитать количество информации в сообщении о получении каждой из оценок. Расположить сообщения в порядке убывания их информативности. Задача 155*. Определить количество информации в слове КРОССВОРД, если

по данным словаря русского языка частота появления символа: К – 0,028; Р – 0,04; О – 0,09; С – 0,04; В – 0,035; Д – 0,025. Задача 156*. Определить количество информации в слове МАТЕМАТИКА,

если по данным словаря русского языка частота появления символа: М- 0,026; А – 0,062; К – 0,028; Т – 0,053; Е – 0,072; И – 0,062. Домашнее задание

Вариант 1. Студент выучил 17 экзаменационных билетов, а 8 оставшихся не выучил. Какова вероятность, что студент не получит «двойку» (А), что получит «двойку» ( А )? Вероятность того, что на соревнованиях спортсмен из России придет к финишу первым – 0,39. Вероятность того, что к финишу первым придет спортсмен из Беларуси – 0,41. Какова вероятность того, что к финишу первым придет хотя бы один из этих спортсменов? В урне находится 17 шаров: 9 белых, остальные – черные.

Какова

вероятность того, что первый, извлеченный из урны шар будет белый, а следующий черный? Имеется 4 карточки с буквами В, С, А. Я. Какова вероятность того, что студент, извлекая по одной карточке, сможет сложить из них свое имя? Как зовут студента?

В лесу водится 500 лосей, 340 медведей и 200 волков. Какое сообщение наиболее информативно, что охотник подстрелил лося, медведя или волка? Вариант 2. В ученическом портфеле 5 учебников в синих обложках и 7 в красных. Какова вероятность, что наудачу извлеченный учебник окажется в синей обложке (А)? В красной ( А )? К зачету по литературе нужно было прочитать 34 книги. Студентка 12 книг прочла полностью, 11 – наполовину, а остальные не читала вообще. Какова вероятность того, что она не сдаст зачет? В зоомагазине 12 котят: 2 рыжих, остальные полосатые. Какова вероятность того, что первым купят полосатого котенка, а следующим рыжего? Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при одном бросании 5 костей? Из 100 заявлений, поданных о приеме в ЧГПУ, в 37 говорится о факультете информатики, в 34 – о математическом факультете, в остальных – о филологическом факультете. Какое сообщение наиболее информативно, что абитуриент поступил на факультет информатики, филологический, математический факультет? Вариант 3. На полке 5 учебников понадобятся студенту на занятиях, а 17 нет. Какова вероятность, что сонный студент в темноте выберет нужный учебник (А)? Не нужный ( А )? Первый преподаватель не опоздает на пару с вероятностью 0,48, второй – с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что хотя бы один из преподавателей придет на пару вовремя? Дети в детском саду готовятся к новому году – вырезают снежинки из цветной бумаги. На столе вперемешку лежит бумага красного и синего цветов (16 и 13 листов соответственно). Какова вероятность того, что

первая снежинка будет вырезана из бумаги красного, а вторая – из бумаги синего цвета? Имеется 2 карточки с буквой Ш, 2 карточки с буквой А и одна карточка с буквой Л. Какова вероятность случайным образом составить из этих карточек слово ШАЛАШ? Определить количество информации в слове ИНФОРМАТИКА, если по данным словаря русского языка частота появления символа: Н – 0,053; Ф – 0,002; К – 0,028; Т – 0,053; Р – 0,04; И – 0,062; М – 0,026; А – 0,062. Вариант 4. В коробке 6 конфет с вишневой начинкой; 9 с шоколадной. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная из коробки конфета окажется с вишневой начинкой (А)? С шоколадной ( А )? Два работника приходят каждое утро в магазин, чтобы открыть его для покупателей. Первый работник не опоздает к открытию с вероятностью 0,51, второй – с вероятностью 0,38. Какова вероятность того, что магазин откроется вовремя? Студенту на контрольной работе предложили 8 конвертов с заданиями. Из них 6 конвертов содержат простые задания, остальные – сложные. Какова вероятность того, что, случайным образом выбирая конверты, студент сначала возьмет конверт с простым, а затем со сложным заданием? Имеется 2 карточки с буквой К, 2 карточки с буквой А и одна карточка с буквой З. Какова вероятность случайным образом составить из этих карточек слово КАЗАК? Определить количество информации в слове КОНФЕТТИ, если по данным словаря русского языка частота появления символа: Н – 0,053; Ф – 0,002; К – 0,028; Т – 0,053; О – 0,09; И – 0,062; Е – 0,072.

Контрольные вопросы

27. Какое явление можно назвать случайным событием, элементарным исходом? 28. Какие виды элементарных исходов и случайных событий существуют? 29. В чем сходство и отличие классического, геометрического и статистического определения вероятности? 30. Как находится вероятность суммы, произведения событий? Для каких событий используются специальные формулы? 31. Чему равна вероятность противоположного события? 32. Какой

формулой

выражается

зависимость

между

количеством

информации в сообщении о наступлении событии и вероятностью его наступления? Библиографический список

Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие / Х. М. Андрухаев; Под ред. А. С. Солодовникова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. Шк., 2005. – 174 с.: ил. – С. 4-54. Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М.: Логос, 2003. – 120 с. – с. 79 – 88. Гришин М. П. Математика и информатика: Учебное пособие. 2-е изд., стереотипное. – М.: МГИУ, 2005. – 116 с. – С. 21 – 27. Козлов В. Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.: ил. – с. 155 - 167. Математика для гуманитариев: Конспект лекций. / Авт. – сост.: И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с.

Тема 6. Математическая статистика Цель:

Овладеть навыками первичной статистической обработки данных. Задачи:

33)

научиться

по

данному

эмпирическому

ряду

находить

ранжированный и дискретный вариационные ряды, а также строить интервальный закон распределения, и выполнять обратную задачу; 34)

научиться по данным выборки строить таблицы и полигоны

абсолютных, относительных и накопленных частот, а также, наоборот, по таблицам и графикам восстанавливать выборку до вида ранжированного вариационного ряда; 35)

научиться выбирать наиболее подходящую и вычислять средние

степенные и структурные величины; 36)

научиться по эмпирическим данным выборки находить показатели

ее вариации. Общие теоретические сведения

Математическая статистика – наука, изучающая массовые явления для

выявления закономерностей и получения некоторых обобщенных показателей, кратко характеризующих полученные данные. Под

статистическими

информация,

характеризующая

данными

понимается

некоторую

любая

совокупность

числовая объектов,

обладающих теми или иными общими признаками. Все

множество

исследуемых

объектов

называется

генеральной

совокупностью (ГС). Общее свойство объектов генеральной совокупности

называется признаком генеральной совокупности. Выборка (В) (выборочная совокупность) – подмножество генеральной

совокупности, где каждый ее элемент выбирается случайным образом. Объем совокупности (генеральной или выборочной) – количество

элементов в ней.

N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки. Из определений

ГС и В следует, что N > n (как правило, N > 1000, 10 ≤ n ≤ 100). Случайная величина – величина, которая в результате опыта принимает то

или иное заранее неизвестное числовое значение. Каждой случайной величине Х соответствует некоторое множество чисел. Это – множество значений, которые может принимать величина Х. Дискретная случайная величина - случайная величина, принимающая

отдельные значения хi с вероятностями pi. Причем если x1, x2, … – возможные значения величины Х, а р1, р2, … – их вероятности, то р1 + р2 + … = 1 Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая

принимает любые значения из некоторого промежутка на множестве действительных чисел. Пусть х1, х2, …, хn – совокупность случайных значений случайной величины Х, т. е. выборка, тогда данную совокупность хi называют эмпирическим рядом.

Эмпирический ряд х1, х2, …, хn представленный в порядке возрастания с перечислением

повторяющихся

значений

называется

ранжированным

вариационным рядом: y1, y2, …, yn (где y1 ≤ y2 ≤ … ≤ yn).

Эмпирический ряд х1, х2, …, хn представленный в порядке возрастания без повторяющихся значений, называется дискретным вариационным рядом: α1, α2, …, αm (где α1 < α2