ディリクレ形式とマルコフ過程 (紀伊國屋数学叢書 5)

紀伊國屋数学叢書 5

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏  

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉 沢

尚 明   (京都大学教授)

福

島

正

俊

デ ィ リク レ形 式 と マ ル コ フ過 程 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  ポ テ ン シ ャル 論 とマ ル コ フ過 程 論 は古 くか ら相 互 の深 い関 連 が認 識 され なが ら も各 々独 自な発 展 を遂 げ て きた.本

書 は,1950年

代 末 に な っ て 定 式 化 され

た デ ィ リク レ形 式 の理 論 と標 準 マル コフ過 程 の理 論 の各 々 を入 門 的 に 解 説 しつ つ,と

りわけ 前 者 が 後者 や拡 散 過 程 の研 究 に ど の よ うに 役 立 つ か を 明 らか に す

る.   デ ィ リク レ形 式 な る概 念 は,古 典 的 な デ ィ リク レ積 分 や 円 周 上 のDouglas 積 分 の ヒル ベ ル ト空 間 論 的 な 公理 化 と して1959年A.

BeurlingとJ.

Deny

に よ っ て導 入 され た も の であ る.ポ テ ンシ ャル 論 の 発展 とい う観 点 か らは,変 分 原 理 を 徹 底 した も の と してGaussやH.

Cartanの

系 譜 の延 長 上に そ れ を

位 置 づ け る こ とが で き るで あ ろ う.し か しそ れ は古 典 的 概 念 の 単 な る公 理 化 に と ど ま らず,当 初 か ら新 しい 内 容 と新 しい具 体 性 を具 えた 概 念 と して登 場 した. この点 を充 分 に理 解 す るた めに は マ ル コフ過 程 との対 応 を念 頭 に 置 い てみ る必 要 が あ る と思 う.   実 際 本 書 で扱 うL2空 で あ ろ う.第1は

間 上 の デ ィ リク レ形 式 の特 徴 は 次 の3点 に 要 約 され る

そ の関 数 解 析 学 的 側 面 で あ り,そ れ がL2空

間 上 の マル コ フ

的 な対 称 線 型 作 用 素 のな す 強 連 続 半 群 と一 意 的 に 対 応 して い る こ とで あ る.マ ル コ フ過 程 の境 界 問 題 等 に 解 析 的 に 答え る上 で デ ィ リク レ形 式 が 有 効 な枠 組 と な り得 る のは この た め で あ る.第2は

そ の ポ テ ンシ ャル 論 的側 面 で あ って,形

式 の 定 義 域 に 属 す 関 数 に 関す る除外 集 合 を測 度0の 集 合か ら容 量0の

集合へ と

よ り細 か くす る こ とが 可 能 な 点 で あ る.滑 らか な標 本路 を もつ 標 準 マ ル コ フ過 程 を 形 式 に 応 じて構 成 した り,標 準 マ ル コ フ過 程 の ポテ ンシ ャル論 を形 式 の ポ テ ン シ ャル 論 との 関 連 に於 い て 展 開 した りで き るの は こ の た め で あ る.第3の 特 徴 は デ ィ リク レ形 式 が そ の 適 当 な芯 上 で 微 積分 表 示 され,一 定 の確 率 論 的意 味 を も った 測 度 の組{νij,φ,m,k}に

対 応 す る とい う そ の 具 体 性 に あ る.こ

の うちνijは 拡 散 方 程 式 に 於 け る拡 散 係 数 を 関 数 か ら測 度 へ と拡 げ た もの とい う特 色 を もつ.   本 書 は第 Ⅰ部 「デ ィ リク レ形 式 」 と第 Ⅱ部 「対 称 マ ル コフ過 程 」 の2つ の部 分 に わ かれ,各

々3つ の 章 と関 連 文 献 表 か ら成 る.本 文 を進 め る た め の必 要 事

項 は 「補 足 」 と して最 後 に ま とめ た.ま た 各 章 ご とに 「序 」 を設 け そ の章 の性 格 を ご く簡 単 に説 明 した が,第4章

と第6章 の 序 文 で は マ ル コ フ過 程 や 拡散 過

程 の研 究 の 直 観 的 背 景 や歴 史 的経 過 につ い て も少 しば か り触 れ て お い た.対 称 マル コフ過 程 とい う確 率 論 的概 念 とデ ィ リク レ形 式 とい う解 析 学 的 概 念 は 一 見 疎 遠 な も のに 見 え な が ら実 は 同 じ事柄 の表 裏 を な し切 り離 す こ とが で きな い. 本 書 が こ の よ うな認 識 を 深 め るの に わ ず か で も役 立 て ば幸 い に思 う.   本 書 の執 筆 を お す す め 下 さ った の は 飛 田武 幸教 授 で あ る.中 尾 慎 太 郎氏 は原 稿 を通 読 し有 益 な助 言 を寄 せ られ た.真 鍋 昭 治郎 氏 に は校 正 等 の 手助 け を して い た だ い た.ま た 本 書 の作 成 に 関 して紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 の渦 岡 謙一 氏 に色 々 とお世 話 に な っ た.こ れ らの方 々に 心 か ら の感 謝 の 意 を表 わ した い.

1975年4月 

福

島 正

俊

目

次

まえ が き

第Ⅰ 部   デ ィ リク レ形 式 第1章   対 称 形 式 の 理 論  §1.0  序 

3

 §1.1  対 称 形 式 に 関 す る 諸 概 念 

3

 §1.2  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 具 体 例 

9

 §1.3  対 称 作 用 素 の 半 群 と 閉 対 称 形 式 19  §1.4  マ ル コ フ 対 称 作 用 素 の 半 群 と デ ィ リ ク レ形 式 

第2章

 マル コ フ対 称 形 式 とデ ィ リク レ形 式 の 範

29

囲

 §2.0  序 

37

 §2.1  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 最 小 閉 拡 大 

37

 §2.2  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 徴 積 分 表 示 

40

 §2.3  対 称 作 用 素 の 自 己 共 役 拡 大 族 

45

 §2.4  デ ィ リ ク レ拡 大 族 の 最 大 元 

52

第3章 

デ ィ リク レ形 式 の ポ テ ンシ ャル論

 §3.0  序 

58

 §3.1  集 合 の 容 量 と関 数 の 準 連 続 性 

58

 §3.2  エ ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度 と そ の ポ テ ン シ ャ ル 

65

 §3.3  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と 被 約 関 数 

71

第 Ⅰ部 あ とが き 

79

文 献 そ の Ⅰ 

83

第 Ⅱ部  対 称 マ ル コフ過 程 第4章  対 称 標 準 マ ル コ フ過 程 の構 成  §4.0  序 

89

  §4.1  マ ル コ フ 推 移 関 数 と マ ル コ フ過 程 

92

 §4.2  標 準 マ ル コ フ過 程 

97

 §4.3  正 則 デ ィ リ ク レ形 式 に 適 合 し た マ ル コ フ 過 程 の 存 在 と 一 意 性 

111

  §4.4  構 成 の た め の 解 析 的 準 備 

117

  §4.5  正 則 な 標 本 路 の 構 成 

122

第5章 

対 称 マ ル コ フ過 程 の

ポテ ン シ ャ ル 論

  §5.0  序 

129

 §5.1  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と概 極 集 合 の 確 率 論 的 記 述 

130

 §5.2  準 連 続 性 と細 連 続 性 

136

 §5.3  到 達 分 布 に よ る 平 均 と射 影 作 用 素 

143

 §5.4  デ ィ リ ク レ形 式 と マ ル コ フ 過 程 の 開 集 合 上 で の 部 分 

149

 §5.5  ポ テ ン シ ャ ル 論 再 考 

156

第6章  対 称 拡 散 過 程   §6.0  序 

167

 §6.1  デ ィ リ ク レ形 式 の 局 所 性 と標 本 路 の 連 続 性 

170

 §6.2  ブ ラ ウ ン 運 動 と ソ ボ レ フ 空 間 

175

 §6.3  反 射 壁 ブ ラ ウ ン運 動 とそ れ に 類 似 な 拡 散 過 程 

182

  §6.4  多 次 元 拡 散 過 程 と局 所 型 微 積 分 形 式 

188

  §6.5  ス ピ ー ド測 度 と 消 滅 測 度 

194

第 Ⅱ部 あ と が き 

204

文 献 そ の Ⅱ 

209

補

足(積

索

引 

分,容

量,確

率 過 程,マ

ル チ ン ゲ ー ル) 

214 233

第Ⅰ

部   デ ィ リク レ形 式

第1章 

対 称形式 の理論

 §1.0  序  第1章

で は本 書で扱 う種 々 の対 称 形 式 の定 義 と例 を与 え,更 に 閉 対 称 形 式 と

デ ィ リク レ形 式 の果 たす 基 本 的 な役 割 を 明 らか にす る.   §1.1で 対 称 形 式 の閉 性,マ

ル コフ性,正 則 性,局

所 性等 の定 義 を 与え,同

時 に そ れ らが 本 書 の ど の部 分 で 主 な 役 割 を 果 た す か を 説 明す る.こ の 意 味 で, §1.1は 本 書 の 構 成 を 理 解 して い た だ くの に も役 立 つ と思 う.ち

なみ に デ ィ リ

ク レ形 式 とは マ ル コフ的 で閉 じた 対 称 形 式 の こ と であ る.   §1.2で は ユ ー ク リ ッ ド空 間 上 で 微 積 分 表 示 され た マ ル コフ対 称 形 式 の種 々 の 例 を 扱 う.こ の よ うな 表 示 の 一般 性 は第2章

で示 され る.局 所 型 微 積 分 形 式

は 第6章 で 再 び と り上 げ られ るで あ ろ う.   §1.3で は 一 般 の 実 ヒル ベ ル ト空 間 を扱 い,そ

の上 の 閉対 称 形 式 の全 体,正

の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 の全 体,縮 小 的 な 対 称 作 用 素 の 強 連 続 半 群 の 全 体, 縮 小 的 な 対 称 作用 素 の強 連 続 リゾル ベ ン トの全 体 等 が,互

いに1対1に

対応す

る こ とが 示 され る.   §1.4で は 閉対 称 形 式 のマ ル コフ性 が,対 応す る半群 や リゾル ベ ン トの マル コ フ性 に 相 当す る こ とが示 され る.§1.3と リク レ形 式,つ

§1.4は 広 い意 味 の閉 対 称 形 式 や デ ィ

ま り定 義 域 が 必ず し も稠 密 で な い形 式 を も取 り扱 う.そ れ らに

は 必 ず しも強 連 続 で な い リ ゾル ベ ン トや マル コフ リゾル ベ ン トが対 応 して い る.

  §1.1  対 称 形 式 に 関 す る 諸 概 念   集 合Hが space)と

次 の3条

件 を 満 た す と き,Hは

呼 ば れ る.R1=(-∞,∞)と

お く.

実 ヒ ル ベ ル ト空 間(real

Hilbert

  (H.1) 

Hは

線 型 空 間.

  (H.2) 

任 意 のu,υ

∈Hに

実 数 値(u,υ)が

対 応 し て 次 の 性 質 を 満 た す:

(u,υ)=(υ,u),(u+υ,w)=(u,w)+(υ,w),a(u,υ)=(au,υ),u,υ,w∈H, a∈R1.ま

た,任

意 のu∈Hに

対 し て(u,u)≧0で

等 号 が 成 立 す る の はu=0

の と き に 限 る.   (H.3) 

un∈H,(un-um,un-um)→0,n,m→

∞

⇒∃u∈H,(un-u,un-u)→0,n→

∞.

  次 の こ と に 注 意 し て お こ う.(H.2)の (inner

product)と

呼 ば れ る.条

性 質 を も つ 量(,)はH上

件(H.1)と(H.2)だ

は 前 ヒ ル ベ ル ト空 間 と 呼 ば れ る.条

件(H.3)はHが

の 内 積

け を 要 請 す る な らH 内 積(,)か

らきまる

距 離 に 関 し て 完 備 で あ る と い う要 請 に ほ か な ら な い.   しば ら く実 ヒル ベ ル ト空 間Hが 合Jが

あ っ て,Hの

相 の 意 味 で).Jの

与 え られ て い る も の と し よ う.Hの

任 意 の 元 に 対 しそ れ に い く らで も近 い(内 元 が 選 べ る と き,JはHで

稠 密(dense)で

部分 集

積(,)の

位

あ る と い う.H

の あ る 稠 密 な 線 型 部 分 集 合 上 で 定 義 さ れ た 正 の 半 定 符 号 の 対 称 双 線 型 形 式 を, 単 にH上 metric

の 対 称 形 式 と 呼 ぶ こ と に す る .即 form)で

  (E.1)  Hの

あ る とは,次

の2条

ちEがH上

の 対 称 形 式(sym

件 が 満 た され る こ とで あ る.

稠 密 な 線 型 部 分 集 合D[E]が

あ っ て,EはD[E]×D[E]上

の

実 数 値 関 数 で あ る.   (E.2)  E(u,υ)=E(υ,u),E(u+υ,w)=E(u,w)+E(υ,w),aE(u,υ)= E(au,υ),u,υ,w∈D[E],a∈R1.ま   D[E]は (,)は Eが

対 称 形 式Eの 全 空 間Hで

定 義 域(domain)と

常 に 非 負 で あ る. ら か にHの

内 積

定 義 さ れ た 対 称 形 式 の 特 別 な も の に な っ て い る.対

称形式

与 え ら れ た と き,各

(1.1.1) 

た,E(u,u)は

α>0に

呼 ば れ る.明

対 し

Eα(u,υ)=E(u,υ)+α(u,υ),D[Eα]=D[E]

とお く こ と に よ っ て 新 しい 対 称 形 式Eα

が 得 ら れ る.こ

の 場 合D[E]はEα

を

内 積 とす る 前 ヒル ベ ル ト空 間 に な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.   D[E]がE1か

ら定 ま る 距 離 に 関 し て 完 備 で あ る 場 合,対

称 形 式Eは

閉 じて

い る(closed)と

い わ れ る.つ

ま り,次

の 条 件 を 満 たすH上

の対 称 形 式 を閉

対 称 形 式 と 呼 ぶ わ け で あ る.   (E.3) 

un∈D[E]がE1(un-um,un-um)→0,n,m→

あ る 元u∈D[E]が

 問1.1.1 

∞,を

存 在 し てE1(un-u,un-u)→0,n→

EがH上

満 た す な ら,

∞.

の閉 対 称 形 式 な らば,D[E]は

各 α>0に

対 し内 積Eα に 関 す

る実 ヒル ベ ル ト空 間 とな る こ とを示 せ.   対 称 形 式Eが (1.1.2) 

次 の 条 件 を 満 た す と き 可 閉(closable)と

い わ れ る.

un∈D[E]がE(un-um,un-um)→0,n,m→

→0,n→

∞,を

でE(1)=E(2)な

拡 大(closed 実 際H上

拡 大 と い う.対

称 形 武Eが

extension)を

.

あ っ て,D[E(1)]⊂D[E(2)]且

らば,E(2)をE(1)の

持 つ た め の 必 要 十 分 条 件 はEが

の 可 閉 な 対 称 形 式Eが

ら な るE1の

且 つ(un,un)

満 た す な らE(un,un)→0,n→∞

  2つ の 対 称 形 式E(1),E(2)が D[E(1)]上

∞

意 味 で のCauchy列

つD[E(1)]×

可 閉 な こ とで あ る.

与 え ら れ た と 仮 定 し よ う.D[E]の の 全 体 をUと

す る.2つ

満 た す と き,こ

で あ る と 定 義 し,Uの

お く.

  問1.1.2 

上 の 手続 きに よ りH上

の 閉対 称 形 式Eが

要 素 か

のCauchy列{un},

{u′n}がE1(un-u′n,un-u′n)→0,n→∞,を 同 値 類 の 全 体 をD[E]と

閉

の2つ は 同 値

自然 に 定 義 され,EはEの

最

小 閉 拡 大 とな る こ とを 示 せ1).   問1.1.3

以 下 は,対 称 形 式Eが

可 閉 で あ るた め の十 分条 件 で あ る こ とを示 せ.

(1.1.3)  un∈D[E],(un,un)→0,n→∞,な   さ て 対 称 形 式 の詳 しい 理 論,特

らばE(un,υ)→0,∀

υ∈D[E].

に デ ィ リ ク レ形 式 の 理 論 を 展 開 す る た め に は,

実 ヒル ベ ル ト空 間 と し て 特 別 な も の,即

ちL2-空

間 を と り上 げ ね ば な ら な い.

L2-空 間 と い っ て も あ ま り一 般 な 測 度 空 間 を 基 礎 に と る の は 実 際 的 で な い.そ こ で 本 書 で は,充

分 に よ い 性 質 を も つ 位 相 空 間 とそ の 上 のRadon測

度 が与え

ら れ た と し て 話 を 進 め る こ と に す る.   Xを Radon測

局 所 コ ソ パ ク トで 可 分 なHausdorff空 度 と し よ う.即

1)  例 え ば,吉

ちmはX上

田 耕 作[Ⅰ;1]第4編,第1章

間 と し,mを

の 位 相 的Borel集 参 照.

そ の 上 の 正 の 合 族 を 定 義 域 とす る

測 度 で,任

意 の コ ン パ ク ト集 合Kに

た る 所 稠 密 で あ る と す る.即 >0.X上

ち,任

対 しm(K)0に

在 し て 以 下 の2条

ル コ フ と い う言 葉 の 自 然 さ は 本 章 ヒ ル ベ ル ト空 間L2(X;m)上

(1.1.6) 

の対

マ ル コフ 的 で あ る と い わ れ る.

対 し て 適 当 な 実 変 数 関 数φε(t),-∞0に

得 られ る.即

お く.さ

の 軟 化 子j(x)に

等 し く さ す 規 格 化 定 数.軟 て ε>0に

呼 ば れ る.例

お い て得 られ る関 数 は軟 化

対 し てR1上

化 子j(x)と の 関 数

ψε(t)=

よ っ て 

で定 義 され る関 数 φε(t)は(1.1.5)を

満 た し無 限 回 微 分 可 能 で あ

る こ とを 示せ.   さ て マ ル コ フ 対 称 形 式(1.2.1),(1.2.2)が 件 は,(1.2.1)の

右 辺 の 第2項

に 示 そ う.Φ=0が

の 測 度 Φ が0と

な る こ と で あ る.こ

れを以下

局 所 性 を 意 味 す る こ と は,局

所 性 の 条 件(E.6)か

ら明 ら

か で あ る.逆

に 

K,K′

あ っ て Φ(K×K′)>0.u,υ

⊂Dが

と仮 定 す れ ば,K∩K′=φ

で 正 でsupp[u]∩supp[υ]=φ 性 質 を も つu,υ

局 所 性 を もつ た め の 必 要 十 分 条

∈C0(D)を

な る 適 当 な コ ン パ ク ト集 合

∈C∞0(D)を

な る 非 負 関 数 とす る.u,υ 選 び,Rn上

の 軟 化 子j(x)と

各 々Kお

よ びK′

上

を 作 るに は 先 ず 同 じ 充 分 小 さ い δ とに

よ っ てu=jδ*u,υ=jδ*υ 合 列 を 選 び,(1.2.1)の

と お け ば よ い.す 第2項

る とKl↑Dな

る コ ン パ ク ト集

の 積 分 領 域D×D-dを 

で 近 似 す る こ と に よ っ て, 

が 導 か れ る.つ ま りEは

局所的で な

い.

  こ の よ うに 第2項 Eの

局 所 性 を 規 定 す る こ とが わ か っ た が,一

方

局 所 性 が 標 準 マ ル コ フ 過 程 の 標 本 路 の 連 続 性 に 対 応 す る こ と が 第6章

で

示 さ れ る.こ

の 意 味 で 我 々 は(1.2.1)の

を 局 所 型(local に す る.こ れ,基

type),第2項

右 辺 の 第1項

の型 の マル コフ対 称 形 式

の 型 の も の を 飛 躍 型(jump

れ に 対 し て 第3項

礎 のL2空

measure)と

の 有 無 がEの

の 測 度kは

間L2(D;m)を

type)と

消 滅 測 度(killing 定 め る 測 度mは

呼 ぶ こ と

measure)と

呼ば

ス ピ ー ド測 度(speed

呼 ば れ て 各 々確 率 論 的 意 味 を も っ て い る.

  今 まで マル コ フ対 称形 式(1.2.1)の

定 義 域D[E]と

してC∞0(D)を

て きた が これ は あ る意 味 で 最小 の もの で あ って,(1.2.1)の を もつ 限 りC∞0(D)よ

りも も っ と広 いL2(D;m)の

採用 し

右 辺 の積 分 が 意 味

部 分 空 間 をD[E]に

と

っ て も マル コ フ対 称形 式 が 得 られ る.以 下 に い くつ か の特 殊 な 具 体 例 に つ い て こ の点 を 考 察 す るが,そ れ と同時 に個 々の形 式 の可 閉 性 や 閉 性 を も調 べ よ う. 特 に飛 躍 型 対 称形 式 の具 体 例 は,基 礎 の空 間Xが

ユ ー ク リ ッ ド空 間 の領 域 の

場 合 に限 らず 一般 の場 合 に デ ィ リク レ形 式 と して与 え ら れ る.以 Lebesgue測

度dxに

関す るL2空

間 を 単 にL2(D)と

後D上

の

記 す こ とにす る.

 例1 (1.2.6) は(1.2.2)つ

ま りC∞0(D)を

あ る.但 しaijはD上 x∈Dに

定義 域 とす るL2(D)上

の局 所 可 積 分 なBorel関

の局 所 型 の マル コ フ対 称 形 式 で

数 で あ って 任 意 の ξ∈Rnと

任意の

対 して

(1.2.7) を 満 た す も の とす る.こ れ は 測 度νijが 絶 対連 続 な場 合 に相 当す る.   この形 式 は 閉 じて は い な い が,も

し もaijが 次 の2条 件 の うち のいず れ か 一 方 を 満 た

せ ば 可 閉 で あ る こ とを 示 そ う.   (1°.a)  aijの 超 関 数 と し て の1回

偏 導 関 数 がD上

で局 所 可 積 分 な 関 数 で あ る.1≦

i,j≦n.  (1°.b)  aij(x)は

Rnと

一 様 に 楕 円 型 で あ る:適

す べ て のx∈Dに

 (1°.a)を

-(u ,Sυ)がu,υ

対 して成 立す る.こ

代 わ り に(1°.b)を

の表示に よ ってEが

仮 定 し よ う.ul∈C∞0(D)が 

を なす.と

ころ がDは(1°.a)を

普 通 の デ ィ リク レ積 分D

満 たす 特 別 な 形式 だ か ら 

が 成 立 す る.従 って 必 要 な ら部 分 列 を 選 ぶ こ とに よ って  収 束 す る.Lebesgue積

最 後 の項 はmを

条件

可 閉 で あ る.

を 満 た す もの とす る.仮 定 に よ りulは

a.e.に0に

ξ∈

D(S)=C∞0(D),

∈D[E]=C∞0(D)に

に 関 してCauchy列

べ ての

の対 称 線型 作 用 素 を 定義 し,且 つE(u,υ)=

満 た す こ とが わ か る.故 にEは

 (1°.a)の

δ が 存 在 し て,す

仮 定 し て み よ う. 

とお く と,こ れ は 仮定 に よ ってL2(D)上

(1.1.3)を

当な正数

対 して

分 に 開 す るFatouの

はD上

で

補題 に より

充 分 大 き くとれ ば い く らで も小 さ くで きる.つ

ま りEが

可 閉で あ る

こ とが示 せ た.   例2 

mをI=(r1,r2)上

の い た る 所 稠 密 な 正 のRadon測

度 とし

(1.2.8) (1.2.9) 

と お く.そ (D,FR)で

FR={u∈L2(I;m);uは

絶 対 連 続 でD(u,u)0と

φε(u)∈FRも   (D,FR)が

対 し て 問1.2.1の

関数

φε(t)に よ っ て 合 成 関 数

よ っ て 

明 ら か だ か ら,(D,FR)は

マル コ フ 的 で あ る.

閉 じ て い る こ と を 示 す た め に,ul∈FRがD(ul-um,ul-um)→0,

(ul-um,ul-um)→0,l,m→

 はL2(I)内 (I;m)に

の対 称 形 式 を

れ を 示 そ う.

任 意 のu∈FRに

φ ε(u)を 作 る.(1.2.8)に

さ れ るL2(I;m)上

の 形 式 は マ ル コ フ で あ る の み な らず 閉 じ て い て,従

∞,を

満 た す と す る.L2-空

で あ る関 数f∈L2(I)に,ulはL2(I;m)内

各 々収 束 す る.証

な る こ と で あ る.先

明す べ き こ とは,uの

ず 部 分 列 を 適 当 に 選 べ ばI上

間 の 完 備 性 に よ っ て,

で あ る 関 数u∈L2

絶 対 連 続 修 正uが

存 在 し, 

でm-a.e.にulk(x)→u(x),lk

→∞,と

で き る.こ

式 を 適 用 す れ ば,関

れ が 成 り立 つ 点 をaに 数 列{ulk}がI上

様 収 束 す る こ と が 導 か れ る.勿

選 び ,補

足 の(0.1.1)にSchwarzの

の 任 意 の 有 界 閉 区 間 上 で,あ

論u=um-a.e..従

連続 性とdu/dx=fが

  FRの

関 す る)をF0と

部 分 空 間C∞0(I)の

る 連 続 関 数uに

一

って

ここで補足の定 理0.1.5を使え ば,uの絶対

F0)は

不等

閉 包(距 離E1に

可 閉 な マル コフ対 称 形 式(D,C∞0(I))の

わか る.

書 く.閉 対 称 形 式(D,

最 小 閉 拡 大 に他 な ら な い.(D,F0)

が ま た マ ル コフ的 であ り従 って デ ィ リク レ形 式 で あ る こ とは 後 の 一般 論 に よ ら な く て も,次 の よ うに 直 接 確 か め る こ とが で き る.  区 間Iの

左 境 界点r1が

条件

-∞0}の

更に

よ う.H上

の 対 称 作 用 素 の 半 群 ま た は(本

を 要 請 す る と き{Tt,t>0}は H上

semi-definite)で

次 の 条 件 を 満 た す とす る.

 (Tt.1) 

 

自 己 共 役(self-adjoint)

満 た さ れ る こ と で あ る.

の 半 群 と リ ゾ ル ベ ン トの 定 義 を与え

t>0}が

対称

共 役作用 素A*がAの

正 の 半 定 符 号(positive

と い う の は(Au,u)≧0,∀u∈D(A),が

稠

満 た さ れ る と きAを

れ はAの

拡 大 で あ る と い う こ とに 等 し い.A=A*の と い わ れ る.対

の上 の閉 対 称 形 式 の 果

表 わす.

定 義 域 はD(A)で

密 で あ り,(Au,υ)=(u,Aυ),∀u,υ 作 用 素(symmetric

み を 扱 い,そ

はD(Gα)=Hな

るH上

の対 称 作 用 素

リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式:Gα-Gβ+(α-β)GαGβ=0,α,β>0 縮 小 性:(αGαu,αGαu)≦(u,u),α>0,u∈H.

 (Gα.4) 

強 連 続 性:(αGαu-u,αGαu-u)→0,α

を 要 請 す る と き,{Gα,α>0}は  問1.3.1 

H上

→

強 連 続 な リゾ ル ベ ン

の 半 群{Tt,t>0}が

∞,u∈H

ト と い わ れ る.

与 え られ た と き

(1.3.1) とお き,こ れ を{Tt,t>0}の H内

リゾル ベ ン トと い う.但 し右 辺 の積 分 はRiemann和

で の 強収 束 極 限 と して定 義 す る.実 際 に,こ の{Gα,α>0}はH上

トと な る こ とを 示 せ.ま

た{Tt,t>0}が

の

の リゾル ベ ン

強 連 続 な らそ の リゾル ベ ン トも強連 続 で あ る

こ とを 示 せ.   強 連 続 な 半 群{Tt;t>0}に

対 し,そ

の 生 成 作 用 素(generator)Aを

(1.3.2) Auが に よ っ て 定 義 す る.一 定 義 す る た め にGα =0と

仮 定 す る と,リ

っ て(Gα.4)よ

方,強

強 収 束 極 限 と して存 在 す る

連 続 な リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}の

が 可 逆(invertible)で

生 成 作用 素 を

あ る こ と に 注 意 し よ う.実

ゾ ル ベ ン ト方 程 式 よ り全 て の β に 対 し てGβu=0

り 

際Gαu .従

そ こで Au=αu-G-1αu

(1.3.3){

D(A)=Gα(H) と お く.リ

ゾ ル ベ ト方 程 式 に よ り,こ

る.(1.3.3)のAを

のAが

α に 無 関 係 な こ とが 容 易 に わ か

強 連 続 な リ ゾル ベ ン ト{Gα,α>0}の

  補 題1.3.1 

(ⅰ)  H上

生 成 作 用 素 と い う.

の 強 連 続 半群 の生 成 作用 素 は そ の リゾル ベ ン トの

生 成 作 用 素 に 等 しい.   (ⅱ)  H上

の 強 連 続 リゾル ベ ン トの生 成 作 用 素 は 負 の 半定 符 号 の 自 己 共 役

作 用 素 で あ る.   証 明   (ⅱ)の

証:{Gα;α>0}をH上

の 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トと し よ う.

Gα はH全

体 で 定 義 さ れ た 対 称 作 用 素 で あ る か ら,そ

で あ り,従

っ て 生 成 作 用 素Aも

=(u

,Gαu)と

自己 共 役 で あ る.次

お く と リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 に よ り 

の 逆G-1α にu∈Hに

は 自己 共 役 対 しf(α)

≦0.条

件(Gα.3)よ

α→

り 

の 半 定 符 号 で あ る.こ れ は また-Aが u∈D(A)に

∞.従

っ てGα

は正

同 じ性 質 を もつ こ とを 意味 す る.実 際

つ い て,

  (ⅰ)  の 証:H上

の 強 連 続 半 群{Tt,t>0}が

ベ ン トを{Gα,α>0}と A′ とす る.先

ずA′

お く.Ttお ⊂Aを

す る とuはGα

つAu=αu-υ=A′uが

υ,∃ υ∈H,

導 か れ る. w=u-Gα

対 し 

を 示 す た め に は,w=0を

い え ば よ い.と

で あ る か ら(-Aw,w)+α(w,w)=0.一

我 々 をH上

υ

と お

く.

こ ろ が 

方,条

件(Tt.3)に

こ れ でw=0が   補 題1.3.1は

よび

り

こ れ か ら容 易 にu∈D(A)且

A⊂A′

の リゾル

の 生 成 作 用 素 を 各 々Aお

示 そ う.u∈D(A′)と

と表 わ さ れ る.(1.3.1)よ

 逆 にu∈D(A)に

与 え られ た と し,そ

よ びGα

よ り 

示 せ た.(証

の 半群 か ら 自己 共 役 作 用 素 へ と導

終)

く.本

節の以

後 の 議 論 は 主 に 自己 共 役 作 用 素 に 関 す る ス ペ ク トル 計 算 に 基 づ い て 行 な わ れ る. H上

の 対 称 作 用 素SでD(S)=H,S2=Sを

う.H上

満 た す も の を 射 影 作 用 素 とい

の 射 影 作 用 素 の 族{Eλ;-∞0}

とす る と (1.3.10) 

Gα(H)⊂D[E],Eα(Gαu,υ)=(u,υ),u∈H,υ

が 成 立 す る.こ

れ はAの

∈D[E]

ス ペ ク トル 表 示

 に よ って

(1.3.11) (1.3.12) とEが

記 述 され る こ とか ら容 易 に わ か る こ と で あ る.

  (ⅱ):逆 (ⅰ)の υ∈D[E]と

にH上

の 閉 対 称 形 式Eが

与 え ら れ た と し,Eが

よ うに 決 ま る こ と を 示 そ う.α>0とu∈Hを

 で あ るか ら Φ はEα

積 と す る 実 ヒル ベ ル ト空 間D[E]上

ら

固 定 し,Φ(υ)=(u,υ),

お く.

表 現 定 理1)に

適 当 なAか

の 連 続 線 型 汎 関 数 で あ る.従

を内

っ てRieszの

よ って

(1.3.13) 

Eα(Gαu,υ)=(u,υ),∀

な る 要 素Gαu∈D[E]が   こ の よ うに してEか

υ∈D[E]

一 意 的 に 存 在 す る. ら 決 ま る 線 型 作 用 素{Gα;α>0}がH上

の リゾル ベ

ン トに な る こ と を 見 る の は 容 易 で あ る.例 え ば 縮 小 性 の 条 件(Gα.3)は

α(Gαu,

Gαu)≦Eα(Gαu,Gαu)=(u,Gαu)とSchwarzの

に{Gα,

α>0}は

不 等 式 か ら 従 う.更

強 連 続 で あ る こ とが 次 の よ うに し て わ か る.u∈D[E]に

対 し て は

β(βGβu-u,βGβu-u)≦Eβ(βGβu-u,βGβu-u)=β2(Gβu,u)-β(u,u)+ E(u,u)≦E(u,u)だ 1)  吉 田 耕 作[Ⅰ;1]定

か ら,H内 理4.5参

で 照.

βGβu→u,β

→∞.u∈Hに

つい て 同

 

じ 主 張 を す るた め に は,任 の よ う に 選 び,Gα

  Eか

よ っ て 決 ま る 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}の

す る と,-Aは

(1.3.8),(1.3.9)に

りGα(H)⊂D[E′]で

び(D[E],Eα)内 よ り0し とEは

でE′=E.一 で のGα(H)の

か 含 ま な い.即

りEα(Gαu,Gα

方2つ

υ)=(Gαu,υ),

υ)に 等 し い.即

ち よ

直 交 補 空 間 は 各 々(1.3.10)と(1.3.13)

ちGα(H)は

こ れ ら の 空 間 内 で 稠 密.こ

対 し(1.3.8),(1.3.9)を

に 注 意 す る 必 要 が あ る.(ⅰ)に

よ り,こ

.3.10)を

の よ うなAの

満 た す.と

一 意 的 で あ る か ら,Aも

の よ う にE′

で 一 致 す る か らE′=E.

  (ⅲ)  最 後 に 与 え ら れ たEに

で き ま る{Gα,α>0}は

示

の ヒ ル ベ ル ト空 間(D[E′],E′α)お

各 々 の 定 義 域 の 稠 密 部 分 集 合Gα(H)上

ベ ン ト{Gα,α>0}は(1

ら

とす る.E′=Eを

且 つE′α(Gαu,Gα

あ る が こ れ は ま た(1.3.13)よ

Gα(H)×Gα(H)上

生成

正 の 半 定 符 号 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.Aか

よ っ て 定 義 さ れ る 閉 対 称 形 式 をE′

せ ば よ い.(1.3.10)よ u,υ ∈Hで

対 し,u∈D[E]を 

の 縮 小 性 を 使 って 次 の 評 価 を 出 せ ば よ い.

ら(1.3.13)に

作 用 素 をAと

意 の ε>0に

満 た すAの

一意性

生 成 す る強 連 続 リ ゾ ル

こ ろ がEに

対

して(1.3.10)

一 意 的 で な け れ ば な ら な い.

(証 終)   後 の 必 要 の た め こ こ で い くつ か の 補 題 を 示 し て お く.   補 題1.3.3 

閉 対 称 形 式Eと

正 の 半 定 符 号 の 自 己 共 役 作 用 素-Aが

理 の よ うに 対 応 し て い る も の とす る.Aに

前 定

対 応 す る強 連 続 半 群 お よ び 強 連 続

リ ゾ ル ベ ン トを 各 々{Tt,t>0},{Gα,α>0}と

す る.こ

の とき

(ⅰ)   (ⅱ) 

Gα(H)⊂D[E],Eα(Gαu,υ)=(u,υ),u∈H,υ∈D[E].

  (ⅲ) 

任 意 のu∈D[E]に

対 し,D[E]内

t↓0, α

→

で(即

ちE1の

位 相 で)Ttu→u,   t↓0,αGαu→u,

∞.

  証 明   (ⅱ)は(1.3.10)で

示 し た.他

の 証 明 も そ れ と 同 様 で あ る.-Aの

ス

ペ ク トル 族 を{Eλ,λ u)で

≧0}と

積 分 す れ ば(ⅰ)が

し,不

等式

得 ら れ る.ま

 を 測 度d(Eλu, た

 に 対 し  t↓0,u∈

D[E].(証

終)

  一 般 にH上

の 半 群{Tt,t>0}と

リ ゾル ベ ン ト{Gα,α>0}に

対 し,H上

の 対 称 形 式E(t),E(β)を

(1.3.14) (1.3.15) に よ っ て 定 義 す る.こ ximate

symmetric

  補 題1.3.4 

れ を 各 々Ttお

form)と

呼 ぶ.こ

E,-A,Tt,Gα

よ びGα

の 言 葉 の 正 当 性 を 以 下 に 示 す.

は 補 題1.3.3の

の 定 め る近 似 対 称 形 式 を 各 々E(t),E(β)と   (ⅰ)  任 意 のu∈Hに

の 定 め る 近 似 対 称 形 式(appro

通 り とす る.Ttお

よびGα

す る.

対 し,E(t)(u,u)はt↓0の

と き非 減 少 で

(1.3.16)

  (ⅱ)  任 意 のu∈Hに

対 しE(β)(u,u)は

β ↑∞

の と き非 減 少 で

(1.3.17)

  こ の 補 題 の 証 明 は 前 補 題 の 場 合 と 同 様 の ス ペ ク トル 計 算 で 得 ら れ るの で 省 略 す る.補

題1.3.3と1.3.4に

ベ ン ト{Gα;α>0}の

よ っ て 特 に わ か る こ と は,H上 全 体 と 閉 対 称 形 式Eの

全 体 と の1対1対

の 強 連続 リゾル 応が 次の よ う

に 直 接 与 え られ る こ とで あ る.

この よ うな 対応 は実 は 必 ず しも強 連 続 で な い リゾル ベ ン トに対 して も成 り立 つ こ とが 知 られ て い る.そ れ を定 理 と して 述 べ て お こ う.こ の場 合,対 称形 式 に

対 す る要請 も弱 め られ ね ば な ら な い.対 称 形 式Eの

定 義 か ら,"D[E]がH

で 稠 密 で あ る"と い う条 件 を 取 り除 い た と き,Eを

広 い 意味 で の対 称形 式 と

呼 ぶ こ とにす る.   定 理1.3.2  α>0}が

任 意 のu∈Hに 17)の

(ⅰ) 

H上

の(必

与 え ら れ た と し,対

ず し も 強 連 続 で な い)リ

対 しE(β)(u,u)は

β ↑∞

右 辺 に よ っ て 定 義 さ れ るEはH上

  (ⅱ)  逆 にEをH上

ゾル ベ ン ト{Gα;

応 す る近 似 対 称 形 式 をE(β)と

す る.こ

の と き 非 減 少 で あ る.更

に(1.3.

の 広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式 で あ る.

の 広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式 と す る.こ

で 定 ま る{Gα,α>0}はH上

の と き,

の(必

ず し も 強 連 続 で な い)リ

の と き(1.3.13) ゾ ル ベ ン トで あ

る.   (ⅲ)  (ⅰ)に

於 け る対 応 と(ⅱ)に

於 け る対 応 は 互 い に 他 の 逆 対応 に な って

い る.   証 明   (ⅰ)  u∈Hと 1.3.1の

す る.リ

証 明 と 同 様 に し て,Gβ

ゾル ベ ン ト方 程 式 とGβ

の 縮 小 性 に よ り補 題

が 正 の 半 定 符 号で あ り且 つ

(1.3.18) が 成 立 す る こ と が わ か る.こ   {Gα,α>0}の

れ はE(β)(u,u)≧0を

強 連 続 性 は 仮 定 さ れ て い な い か ら,補

ク トル 計 算 に よ っ てE(β)(u,u)の い.し

意 味 し て い る. 題1.3.4の

よ うに ス ペ

β に 関 す る非 減 少 性 を示 す こ とは で き な

か し再 び リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 に よ り

(1.3.19) 但し が 導 か れ る.(1.3.19)の

第1の

式 はE(β)(u,u)が

β ↑∞

の と き非 減 少 で あ

る こ と を 意 味 し て い る.   そ こ で(1.3.17)の

右 辺 に よ っ てH上

す る こ と が で き る が,こ   un∈D[E]が

の 広 い 意 味 で の 対 称 形 式Eを

定 義

れ の 閉 性 は 次 の よ う に し て直 接 確 か め 得 る.

内 積E1(u,u)=E(u,u)+(u,u)に

関 しCauchy列

を な し

た とす る.こ

の と きHの

るが,(1.3.18)に

任 意 の ε>0に る.そ Eが

一 意 元uが

よ り各

β>0に

対 し,nを

あ っ て(un-u,un-u)→0が

成立す

対 して

充 分 大 き く取 れ ば こ の 最 後 の 項 は ε よ り小 さ く な

こ で β ↑∞ と し て,u∈D[E],E(un-u,un-u)≦

ε.こ の よ う に し て

広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式 で あ る こ と が わ か っ た.

  こ こ で 次 の2つ

の 事 実 に 注 意 し て お こ う.

(1.3.20) u,υ

∈Hに

対 しE(β)α(u,υ)=β(u-βGβ+αu,υ)と

お くと

(1.3.21)   (1.3.20)は(1.3.19)の

結 果 で あ る.(1.3.21)を

υ)-E(β)(u,υ)=β2((Gβ-Gβ+α)u,υ)=α と 変 形 し て み れ ば よ い.最

み る た め に は,E(β)α(u,

β2(Gβ+αGβu,υ)=α(βGβu,βGβ+α

後 の項 は

β→ ∞

の と き(1.3.20)に

よ り

υ) α(u,υ)

に 収 束 す る.   Gα

と そ れ か ら 上 の よ う に し て 作 っ たEと

り 立 つ.実

際u∈Hに

対

の 間 に は(1.3.13)の

し て,E(β)α(Gαu,Gαu)=β(Gβ+αu,Gαu)=β(u,

Gβ+αGαu)=(u,Gαu)-(u,Gβ+αu)→(u,Gαu),β (1.3.21)に

よ りGαu∈D[E]且

υ∈D[E]に

対 し て は(1.3.20)よ

  (ⅱ)  逆 にH上 1.3.1の

証 明(ⅱ)と

→∞,が

つEα(Gαu,Gαu)=(u,Gαu).ま

成

り立 つ か ら た任 意 の

り

の 広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式Eが 全 く同 様 に し て,Eに

の リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}が

関 係 が 成

与 え られ た とす る.定

対 して(1.3.13)を

理

満 た すH上

一 意 的 に存 在 す る こ と が わ か る.

  (ⅲ)  ど ち ら の 対 応 も関 係(1.3.13)に

よっ て規 定 され て い る こ とに注 意す

,れば よ い.(証

終)

 問1.3.3 

定 理1.3.1に

 (1.3.22) 

お け る 対 応 は,次

の 関 係 に よ っ て も 規 定 で き る こ と を 示 せ.

D(A)⊂D[E],E(u,υ)=(-Au,υ),∀u∈D(A),∀

υ∈D[E].

  §1.4  マ ル コフ 対 称 作 用 素 の 半 群 と デ ィ リ ク レ 形 式   位 相 空 間Xと

そ の上 の測

度mを

§1.1の

通 り とす る.こ

m)上

の デ ィ リ ク レ形 式 の 果 た す 役 割 を 考 え る.L2(X;m)上

m)な

る 有 界 線 型 作 用 素Sが

の 節 で はL2(X; のD(S)=L2(X;

マ ル コ フ的 で あ る とい う の は,Sが

次 の条 件 を

満 た す こ と で あ る: u∈L2(X;m),0≦u≦1 m-a.e.な

次 の 定 理 は 特 にL2(X;m)上

ら0≦Su≦1 m-a.e..

の デ ィ リ ク レ形 式 の 全 体 とL2(X;m)上

ル コ フ 的 対 称 作 用 素 の 半 群 で 強 連 続 な も の の 全 体 とが1対1に

の マ

対 応 す る こ とを

意 味 し て い る.   定 理1.4.1 

EをL2(X;m)上

応 す るL2(X;m)上 0},{Gα,α>0}と

の 閉 対 称 形 式 と し,Eに

の 強 連 続 半 群 お よ び 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トを 各 々{Tt;t> す る.こ

の と き 以 下 の5条

件 は 互 い に同 値 で あ る.

  (a) 

各t>0に

対 し,Ttは

マ ル コ フ 的.

  (b) 

各

対 し,αGα

は マ ル コ フ 的.

  (c) 

Eは

マ ル コ フ 的.

  (d) 

Eは

単 位 縮 小 に 関 し安 定.

  (e) 

Eは

す べ て の 正 規 縮 小 に 関 し安 定.

α>0に

  関 係(a)⇒(b)お

よび(b)⇒(a)は

らか で あ る.(e)⇒(d)⇒(c)は 1.4.1の

前 節 の仕 方 で 対

各 々(1.3.1),(1.3.7)よ 問1.1.4の

内 容 で あ る.従

証 明 の た め に は,(c)⇒(b)と(b)⇒(e)の2つ

り明 っ て定 理

の関係を示

し さ え す れ ば よ い.   (c)⇒(b)の m-a.e.を

証 明 正 数 α お よ びL2(X;m)の

満 た す も の を 固 定 す る.D[E]上

の2次

形式

要 素uで0≦u≦1 ψ を

(1.4.1) に よ っ て 定 義 す る と,(1.3.13)を (1.4.2) 

ψ(Gαu)+Eα(Gαu-υ,Gαu-υ)=ψ(υ),υ

を 得 る.つ

ま りGαuはD[E]上

  さ てEが

∈D[E]

で ψ を 最 小 に す る 一 意 的 な 要 素 で あ る.

マ ル コ フ 的 で あ る と 仮 定 す る と,任

の 条 件(E.4)を

満 た す 実 変 数 関 数 t∈R1,と

(1.4.3)  ま た￨φ

使 っ て等 式

意 の ε>0対

φε(t)が 存 在 す る.そ

お き 更 にw=φ

ε(Gαu)と

ル コフ性

こ で 

お くと

w∈D[E],E(w,w)≦E(Gαu,Gαu).

t∈R1,が

ε(t)-s￨≦￨t-s￨,  m-a.e..従

こ れ と(1.4.3)と

っ て 

ψ(w)≦

こ れ と(1.4.2)か

成 り立 つ か ら 

を 合 わす と

(1.4.4)  らw=Gαu.特

ψ(Gαu). に 

m-a.e..ε

で あ っ た か ら αGα の マ ル コ フ 性 が 示 せ た こ と に な る.(証   関 係(b)⇒(e)を m)な

し,マ

証 明 す る た め に 補 題 を1つ

るL2(X;m)上

の 線 型 作 用 素Sが

あ る と は,u∈L2(X;m),0≦u,m-a.e.な

は

任

意

終)

準 備 す る.D(S)=L2(X;

正 値 作 用 素(positive る 限 り0≦Su

operator)で

m-a.e.が

成立す る

こ と で あ る.   補 題1.4.1 

(ⅰ)  SをL2(X;m)上

件 を 満 た す 積 空 間X×X上 m)に

属 す る任 意 のBorel可

の 正 値 対 称 作 用 素 と す る と,次

の 対 称 な 正 のRadon測 測 関 数u,υ

の条

度 σ が 存 在 す る:L2(X;

に対 して

(1.4.5)   (ⅱ)  Sが (1.4.6) 

さ ら に マ ル コ フ的 な らば σ(X×E)≦m(E),∀E∈B(X).

 証 明  (ⅱ)は(ⅰ)か

ら直 ち に 従 う.(ⅰ)を

証 明 す るた めに先ず積空間

X×X上

に対 し

の 関 数 

(1.4.7) を 示 そ う. 

と お く.各uiは

続 だ か ら,任 意 の ε>0に 対 し,Kの びξk∈Ek,1≦k≦p,を i≦lと

コ ン パ ク ト集合K上

およ

有 限 分 割 

選 ん で￨ui(x)-ui(ξk)￨0}が

を(S,B)上

次 の 条 件 を 満 た す と き に,こ

の マ ル コ フ 推 移 関 数(Markov

(1.4.14) 

transition

function)と

れ

い う.

ptpsu=pt+su,∀t,s>0,∀u∈B.

但 しBはS上

の 有 界B-可

測 関 数 の 全 体.ま

た マ ル コ フ 核 の族{αRα,α>0}

が あって (1.4.15) 

Rαu-Rβu+(α-β)RαRβ=0,α,β>0,u∈B

を 満 た す と き 族{Rα,α>0}を(S,B)上 resolvent

kernel)とい

  (X,B(X))ま

の マ ルコ

フ リ ゾ ル ベ ン ト核(Markov

う.

た は(X,B*(X))上

の核

κ が 任 意 の 非 負 可 測 関 数u,υ

に

対 し

(1.4.16) を 満 た す と き κ はm-対  今m-対

称(m-symmetric)で

称 な マ ル コ フ核

あ る と い わ れ る.

κ が 与え ら れ た と し よ う.こ

の とき不 等 式

(1.4.17) が 成 り立 つ.実

際Schwarzの

≦ κu2(x),x∈X,の を 使 え ば(1.4.17)が の 元 をL2の

不 等 式 よ り導 か れ る 式(κu(x))2≦

両 端 をmに

よ っ て 積 分 し,κ

得 ら れ る.(1.4.17)に

元 に 移 す 写 像 と み な せ るが,そ

コ フ 的 で 縮 小 的 な 対 称 作 用 素Kに ル コフ 対 称核

のm-対

よ り,κ

κ1(x)・κu2(x)

称 性 と マ ル コフ性

は 本 質 的 に 有 界 なL2

れ は さ らにL2(X;m)上

のマル

一 意 的 に 拡 張 さ れ る こ とが わ か る.Kを

マ

κ の 決 定 す る 対 称 作 用 素 と呼 ぶ こ とに す る.

  次 に(X,B(X))ま

た は(X,B*(X))上

ン ト核{Rα,α>0}が

与 え られ た と し よ う.容

の 決 定 す るL2上

のm-対

称 なマル コ フ リ ゾル ベ

易 に わ か る よ う に{Rα,α>0}

の 対 称 作 用 素 の 族{Gα,α>0}はL2上

で な い マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン トで あ る.定

理1.4.3に

の必 ず し も 強 連 続 よ り,こ

れ に応 じ てL2上

の広 い意 味 の デ ィ リク レ形 式Eが れ るL2上

定 まる.Eは

次 の条 件 に よ って特 徴 づ け ら

の広 い 意 味 で の 閉 対称 形 式 で あ る. R1(B∩L2(X;m))⊂D[E],

(1.4.18) {

E1(R1u,υ)=(u,υ),∀u∈B∩L2(X;m),∀

 同様 に してm-対

υ∈D[E].

称 マル コフ推 移 関 数 はL2上

の必 ず し も強 連 続 で な い マ ル

コ フ半 群 を決 定 す る.こ れ が 強 連 続 とな るた め の条 件 を 与 え よ う.   補 題1.4.2 

(ⅰ)  (X,B(X))ま

た は(X,B*(X))上

コ フ推 移 関 数 を{pt,t>0}と

し,そ

半 群 を{Tt,t>0}と

し

す る.も

pt(x,A)はt>0に

のm-対

れ の 決 定 す るL2(X;m)上

称 な マル のマル コ フ

つ い て 可 測,

(1.4.19) {

が 満 た さ れ れ ば,{Tt,t>0}は   (ⅱ)  (X,B(X))ま

強 連 続 で あ る.

た は(X,B*(X))上

ン ト核 を{Rα,α>0}と

し,そ

ベ ン トを{Gα,α>0}と

す る.も

のm-対

称 な マ ル コフ リ ゾ ル ベ

れ の 決 定 す るL2(X;m)上

の マル コ フ リゾル

し

(1.4.20) が 成 立 す れ ば{Gα,α>0}は   証 明   (ⅱ)か αGαuはuに

強 連 続 で あ る.

ら証明 し よ う.L20(X;m)={u∈L2(X;m);α 強 収 束}と

Gα(L2)⊂L20.Rは

お く とL20はL2の

α>0に

→∞ の とき

閉 部 分 空 間 で あ り,R=

依 存 し な い.υ ∈L2がL20と直

交 す る とす れ ば  ε>0を

に 与 え,コ る.こ

ン パ ク ト集 合Kを

の と き,α>0に

ま たLebesgueの ε>0は =L2を   (ⅰ)を

で任 意

な ら しめ

適 当 に 選 ん で 

関 し一 様 に 

収 束 定 理 に よ り  任 意 で あ っ た か ら 結 局(u,υ)=0.従

っ て υ=0.こ

意 味 す る. 示 す た め にptのLaplace変

換 をRα

と お く;

れ はL20

(1.4.21) {Rα,α>0}はm-対 す るL2上

称 な マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン ト核 と な り,{pt,t>0}の

の マ ル コ フ 半 群{Tt,t>0}と{Rα,α>0}の

マ ル コ フ リ ゾル ベ ン ト{G

同 じ性 質 を 示 せ ば よ い.と い る か ら,後

条 件(1.4.20)を

よ り特 に 次 の こ と が わ か る.(X,B(X))ま

こ と を{Pt;t>0}の

同 様 の 意 味 で(1.4.20)を

意 味 して

終)

称 な マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}が

を 満 た せ ば,{pt;t>0}はL2(X;m)上 め る.Eの

っ

強 連 続 性 を 示 す た め に は{Gα,α>0}の

の 性 質 は 証 明 ず み で あ る.(証

のm-対

の

関 係 で 結 ば れ て い る.従

こ ろ が 条 件(1.4.19)は

  こ の 補 題 と 定 理1.4.1に (X,B*(X))上

決 定 す るL2上

α,α>0}は(1.3.1)の

て 前 節 の 結 果 に よ り,{Tt,t>0}の

決定

たは

あ っ て(1.4.19)

の デ ィ リ ク レ 形 式Eを

一意的に定

決 定 す る デ ィ リ ク レ 形 式 と呼 ぶ こ と に す る.

満 た すm-対

称 な リ ゾル ベ ン ト核 は,あ

る デ ィ リク

レ形 式 を 一 意 に 決 定 す る.   逆 にL2上

の デ ィ リ ク レ形 式 を 与 え れ ば,定

な マ ル コ フ半 群 が 一 意 に 対 応 す る が,こ

理1.4.1よ

正 則 な ら ば,(1.4.19)を

意 味 で 一 意 的 に 存 在 し,Eや さ れ る.こ

れ は 第4章

の強 連 続

の 半群 が適 当 な マ ル コフ推 移 関 数 に よ

っ て 決 定 され て い る か ど うか は 一 般 に は 不 明 で あ る.し 式Eが

りL2上

か し も しデ ィ リ ク レ形

満 た す マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}が そ れ に 対 応 す る半 群 が{pt,t>0}に

で 証 明 さ れ る こ と で あ る が,そ

あ る よ って 決 定

の た め に は 正則 デ ィ リク

レ形 式 の ポ テ ン シ ャ ル 論 と マ ル チ ンゲ ール の 基 本 定 理 を 用 い ね ば な らな い .

第2章 

  §2.0 

マル コフ対 称 形 式 とデ ィ リク レ形 式 の範 囲

序

  マル コ フ対 称形 式 や デ ィ リク レ形 式 が対 称 形 式 全 体 の中 で どれ 位 の範 囲 を 占 め るか とい う問 題 を い くつ か の 角度 か ら検 討 す る のが 本 章 の 課 題 で あ る.   デ ィ リク レ形 式 の 定 義 域 を そ の 稠 密 線型 部分 空 間 で(1.1.5)を φε との合 成 を とる操 作 に関 して閉 じた も のに 制 限 す れ ば,明

満 たす 関 数 らか に可 閉 な マ

ル コフ対 称形 式 が 得 られ る.実 は 可 閉 な マ ル コフ対 称 形 式 は こ の よ うな も の に 限 る とい うのが §2.1の 一 つ の 内 容 で あ る.一 方,§1.2で

導 入 した微 積 分 形

式 は マ ル コフ対 称 形 式 の 例 を 与 え た わ け で あ るが,実 は 可閉 な マ ル コフ対 称 形 式 は 一般 な 条 件 の 下 で この よ うに表 示 され る もの に 限 る とい うの が §2.2の 一 つ の 内容 で あ る.   一 般 に正 の半 定 符 号 の対 称 作 用 素Sの をA(S),そ

正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 拡 大 の全 体

の うち マ ル コ フ作用 素 の 半群 を 生 成 す る もの の 全 体 をAM(S)と

お く.AM(S)がA(S)の

中 で どれ だ け の範 囲 を 占 め るか を対 称 形 式 を用 い て

具 体 的 に 明 らか にす る こ とは,一 つ の関 数 解 析 学 的 課 題 で あ る.§2.3と で は対 称形 式 とデ ィ リク レ形 式 を用 い てA(S)とAM(S)の

§2.4

各 々の最 大元 を

記 述 し,そ れ らを比 較 す る とい う立 場 か らこ の問 題 を と り上 げ る.こ の よ うな や り方 で ソボ レフ空 間H1の

関 数 解 析 学 的 な 位 置 が 明 らか に され る.§2.4の

最 後 に 境 界 条件 との対 応 につ い て も触 れ るで あ ろ う.

  §2.1  マ ル コ フ 対 称形 式 の最 小 閉拡 大   Xとmは

§1.1の

通 り とす る.L2(X;m)上

最 小 閉 拡 大 を 取 る操 作 に よ っ て,も

の 対 称 形 式 が 可 閉 な と き,

と の 形 式 が 持 つ と仮 定 した 性 質,例

えば マ

ル コ フ 性 や 局 所 性 が 保 存 さ れ る で あ ろ うか.こ   定 理2.1.1 

L2(X;m)上

最 小 閉 拡 大Eは

の 可 閉 な 対 称 形 式Eが

ま た マ ル コ フ 的 で あ り,従

  証 明   閉 対 称 形 式Eに 定 理1.4.1に

マ ル コ フ的 な ら ば,Eの

っ て デ ィ リ ク レ形 式 で あ る.

対 応 す る 強 連 続 リ ゾル ベ ン トを{Gα,α>0}と

よ り,αGα

  u∈L2(X;m)が

れ が 本 節 の テ ー マ で あ る.

す る.

の マ ル コ フ 性 を 示 せ ば よ い.

不 等 式0≦u≦1

m-a.e.を

満 た す と す る.(1.4.1)に

の2次

か る.GαuはD[E]上

で ψ を 最 小 に す る 一 意 的 な 要 素 で あ り,υn∈D[E]が

Gαuに

位 相E1の

形 式 ψ を 考 え る と,(1.4.2)よ

よ

っ て 定 義 さ れ るD[E]上

り次 の こ とが わ

意 味 で 収 束す るた め の必 要 十 分 条 件 は 

な る こ と で あ る.   と こ ろ でD[E]はD[E]内

で 位 相E1の

意 味 で 稠 密 で あ る か ら,上

う なυnをD[E]か

ら選 ぶ こ と が で き る.任

フ 性 の 条 件(E.4)を

満 たす 実 変 数 関数

t∈R1,wn=φ

ε(υn)と

てwn∈D[E]且

お く.定

つ ψ(wn)≦

故 にwnはGαuに

意 の ε>0に

対 し,Eの

マル コ

φε(t)を 選 び,φ ε(t)=1/α φαε(αt),

理1.4.1の(c)⇒(b)の証

明 と同様 に し

ψ(υn)が わ か る.従

位 相E1で

の よ

収 束 す る.こ

必 要 な ら 部 分 列 を 選 ん でwn→Gαu m-a.e..一

っ て  れ はL2-収

束 で も あ る か ら, m-a.e.

方, 

ε は 任 意 で あ っ た か ら αGα の マ ル コ フ 性 が 示

だ か ら,  さ れ た こ と に な る.(証

終)

 次 に局 所 性 の保存 に 関す る定 理 を一 つ 与 え よ う.   定 理2.1.2  (ⅰ)Eは

L2(X;m) 

上 の 可 閉 な 対 称 形 式Eが

マ ル コ フ 的.(ⅱ)Eは

局 所 性 を も つ.(ⅲ)D[E]はC∞(X)の

稠 密 部 分 集 合 で 積 に 関 して 閉 じ て い る.(ⅳ)任 包 が コ ン パ ク トな 任 意 の 開 集 合G⊃Kに ∀x∈X-G,を

 こ の ときEの

満 た すu∈D[E]が

最 小 閉 拡 大Eは

次 の 性 質 を も つ とす る.

意 の コ ンパ ク ト集 合Kと

閉

対 し て,u(x)≧1,∀x∈K,u(x)=0, 存 在 す る.

正 則 な デ ィ リ ク レ形 式 で あ り且 つ局 所 性 を

もつ.  証 明  性 質(ⅰ)と

前 定理 に よ ってEは

デ ィ リク レ形 式 で あ る.Eの

正則

性 は(ⅲ)よ (2.1.1) 

り従 う.従

っ てEの

E(u,υ)=0,∀u,υ

局所 性

∈D[E],但

しuと

υ の 台 は コ ン パ ク トで 互 い

に素

を 示 し さえ す れ ば よ い.以 明 す る.υ

∈D[E]な

下 υ はD[E]に

属 す 場 合 に つ い て(2.1.1)を

る 一 般 の 場 合 の 証明 も 同 様 で あ る.我々

ず に 更 に0≦u≦1 m-a.e.と

仮 定 でき る.実

u+l=(0∨u)∧l,u-l=-((-l)∨u)∧0と ⊂supp[u],0≦u+l,u-l≦l,で

証

は 一 般 性 を失 わ

際 一 般 のu∈D[E]に

対 し て,

お け ばsupp[u+l]⊂supp[u],supp[u-l] あ る の み な ら ず,定

理1.4.2に

よ り 

が 成 立 す るか らで あ る.   そ こ でu∈D[E],0≦u≦1 m-a.e.,υ

∈D[E]な

ン パ ク トで 互 い に 素 で あ る と 仮 定 す る.E1の位 か ら選 ぶ.一 な るGに

方K=supp[u]と

対 して 性 質(ⅳ)を と お く.但

るu,υ

を と りそ れ ら の 台 は コ

相 でuに

収 束 す るunをD[E]

閉 包 が コ ン パ ク トなG⊃KでG∩supp[υ]=φ 満 た すw∈D[E]を

し φε,ε>0,はEに

選 ぶ.そ

し て 

対 す るマ ル コ フ性(E.4)を

満たす実変

数 関 数 で あ る.   D[E]が

積 に 関 し て 閉 じ て い るか ら(性

(2.1.2) 

(un-u,un-u)→0,n→

質(ⅲ))un∈D[E]で

あ る が,更

に

∞

(2.1.3) が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.unはuにL2-収 un′→u

m-a.e.な

る部 分 列n′

を 含 む.こ

束す るか ら どん な 無 限 列 も の と き 明 らか にun′

→u m-a.e.で

あ る か ら有 界 収 束 定 理 に よ り

こ れ は(2.1.2)を

意 味 す る.(2.1.3)は

 さ て(2.1.2)と(1.3.13)よ (2.1.4) 

G1(L2)はE1の

り,任

定 理1.4.2(ⅱ)の 意 のw∈G1(L2)に

E1(un,w)→E1(u,w), n→

位 相 でD[E]内

対 し ∞.

で 稠 密 で あ り,ま

E1-ノ ル ム は 一 様 有 界 で あ るか ら,上

結 果 で あ る.

の 関 係(2.1.4)は

た(2.1.3)に

よ りunの

実 は 全 て のw∈D[E]

に 対 して 成 立す る.特

に 

supp[un]∩supp[υ]=φ

で あ る が,un,υ

だ か ら 性 質(ⅱ)を

使 っ てE(u,υ)=0が

∈D[E],

導 か れ る. (証 終)

 §2.2  マル コフ対 称 形 式 の 微 積 分 表 示   §1.2に

於 い て 我 々は(1.2.1)の

例 を 与 え る こ と を 見 た.前 一 般 な もの で あ る こ と に(1.2.1)の

,即

型 の微 積 分 表 示 が マ ル コフ対 称形 式 の具 体

節 と §1.4の 結 果 を 使 え ば,こ

の表示 が実 は 非 常 に

ち 任 意 の マ ル コ フ 対 称 形 式 は 自 然 な 条 件 の 下 で,常

型 に 表 現 さ れ る こ と が 証 明 で き る.

 (X,m)を

§1.1の

 定 理2.2.1 

も の と す る.

L2(X;m)上

の 可 閉 な マ ル コ フ 対 称 形 式Eで

次 の 性 質 を もつ

も の が 与 え ら れ た とす る. (2.2.1)  D[E]はC0(X)の

稠 密 部 分 環 で あ り,任

閉 包 が コ ン パ ク トな 開 集 合G⊃Kに ∀x∈X-G,な

対 し,u(x)=1,∀x∈K,u(x)=0,

る 非 負 関 数u∈D[E]が

 こ の と きEは

意 の コ ンパ ク ト集 合Kと

存 在 す る.

次 の よ う に 表 わ され る.

(2.2.2)

こ こ にElocは (2.2.3) 

局 所 性 を も つ マ ル コ フ対 称 形 式(D[Eloc]=D[E])で

u∈D[E]が

を 満 た す も の,Φ 対 称 な 正 のRadon測

υ∈D[E]の

  証 明   (2.2.1)を が(2.2.2)の り,最

台 の 近 傍 で 定 数 な らEloc(u,υ)=0

は 直 積 集 合X×Xか 度,kはX上

  更 に こ の よ うなEloc,Φ

らそ の 対 角 集 合dを の 正 のRadon測

お よ びkはEか

ら一 意 的 に 定 ま る.

満 た す 可 閉 な マ ル コ フ 対 称 形 式Eが

デ ィ リ ク レ形 式 で あ り,従

マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン ト{G

α,α>0}お

除 いた 空 間 上 の

度 で あ る.

よ うに 一 意 的 に 表 わ さ れ る こ と を 示 す.前

小 閉 拡 大Eは

あ り,

与え ら れ た と し,E 節 の 定 理2.1.1に

よ

対 応 す るL2上

の

っ てEに

よ び そ れ と(1.4.10)の

関係で結ばれ る

X×X上

の 対 称 で 正 なRadon測

度σα(dx,dy)を

  先 ずsupp[u]∩supp[υ]=φ

な るu,υ

考 え る こ とが で き る.

∈D[E]に

対 して

(2.2.4) が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.実

際 こ の と き(1.3.15)で与え

の近 似 形 式E(β)(u,υ)は-β2(u,Gβυ),即 で あ る.(2.2.4)お X×X-d上

ち(2.2.4)の

よび 補 足 の 定 理0.1.4に

の 対 称 で 正 のRadon測

ら れ るE(u,υ) 左 辺 に等 しいか ら

よ り適 当 な 部 分 列βn↑

度Φ

∞

と

が 選べ て

上 で漢収束

(2.2.5) 

と で き る.   次 にG⊂G⊂DでGが

コ ン パ ク トな 開 集 合Gを

る 任 意 のu∈D[E]を

と る.そ

固 定 し,supp[u]⊂Gな

し て 近 似 形 式E(β)(u,u)を(1.4.11)と

同

様 の 仕 方 で 次 の よ うに 変 形 しよ う.

(2.2.6)

 こ の式 は特 に

(2.2.7) を意 味 す る.従 って 必要 な ら βnの 部 分 列 を選 ん で

上 で漠収束

(2.2.8) 

と で き る.こ

こ にkGはG上

く こ と に よ りX上

の 測 度 とみ な す こ と に す る.更

各 コ ン パ ク ト集 合Kへ X上

の 有 界 正 の 測 度 で あ る が,X-G上

の 正 のRadon測

の 制限 はG⊃Kな 度kが

Γ={(x,y)∈G×G;ρ(x,y)≧

お

す れ ばkGの

つ き単 調 減 少 で あ る か ら,

存在 し

(2.2.9) kG→k,G↑X,    さ てρ(x,y)をXの

るGに

にG↑Xと

で0と

X上

で 漠 収 束.

位 相 に 見 合 っ た 距 離 と し,X×X-dの δ}がΦ

部分集合

の 連 続 集合 で あ る と仮 定 す る:Γ

の 内 点 の 集 合 を

Γ0と

す る と きΦ(Γ-Γ0)=0.但

δ>0.supp[u]⊂Gな

るu∈D[E]に

か ら(2.2.5),(2.2.6)お

しGは

上 述 の開 集 合 で

対 し てE(βn)(u,u)→E(u,u)で

よ び(2.2.8).よ

あ る

り

(2.2.10)

  こ の 式 に 於 い て δ ↓0,G↑Xと が 収 束 し,結

す る.(2.2.9)に

注 意 す れ ば,右

求 め る表 示(2.2.2)に

辺 の各 項

局E(u,υ),u,υ

∈D[E],の

到 達 す る.

δ は(2.2.10)の

前 に 述 べ た 性 質 を 満 た す も の を と る こ と に す る.

但 し

(2.2.11.)

右 辺 のGと こ の よ うなGと 見 れ ばElocが

δ の 列 が 選 べ る こ と は 明 らか で あ ろ う.(2.2.11)の 条 件(2.2.3)を

満 た す(従

っ局所性

を も つ)マ

右辺を ル コフ対 称

形 式 で あ る こ と が 直 ち に わ か る.   最 後 にEが

別 のE′loc,Φ′,k′ に よ っ て(2.2.2)の

先 ず 台 が 互 い に 素 なu,υ∈[E]を で 性 質(2.2.3)を

  定 理2.2.1に

と る こ と に よ りΦ=Φ′

使 えばk=k′,Eloc=E′locが

は 一 意 的 で あ る.(証

得 ら れ る.即

が 導 か れ る.そ

こ

ち 表 示(2.2.2)

終)

よ り可 閉 な マ ル コフ対 称 形 式Eか

局 所 的 で(2.2.3)を

よ うに 書 け た と し よ う.

満 たす 部 分Elocを

ら((2.2.1)の

仮 定 の 下 で)

分 離 す る こ とが で きた.Xが

更に微

分 構造 を もて ば,局 所 的 マル コフ対 称 形 式 は次 の よ うに局 所 型 微 積 分 形 式 と し て表 わ され る.   定 理2.2.2 

Dをn次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnの

領 域 と す る.L2(D;m)

上 の 可 閉 で 局 所 性 を も つ マ ル コ フ 対 称 形 式Eで  の が 与 られ た とす る.こ 1≦i,j≦n,とD上

の と き(1.2.3)を

の 正 のRadon測

を 満 たす も

満 た すD上 度kが

のRadon測

一意的に存在 し

度νij,

(2.2.12) が 任 意 の 

に 対 し て 成 立 す る.こ

要十 分 条 件 はEが

条 件(2.2.3)を

  証 明   定 理2.1.1と前定理に Eloc

,Φ,kに

所 性 を も つ と仮 定 し て い る か らΦ≡0で

従 っ て 定 理2.2.2の (2.2.12)に

Radon測

度

(2.2.13) 

わ され る.と

こ ろ がEは

な け れ ば な ら な い(§1.2参

満 た す こ と とk≡0で

局

照).更

に

あ る こ と は 同 値 と な る.

証 明 の た め に は 最 初 か らEが(2.2.3)を

於 い てk≡0と

  さ て(2.2.3)を

に 対 してE(u,υ)は

よ うに一 意 的に表

.2.3)を

あ るた め の必

満 た す こ と で あ る. よ れば, 

よ っ て(2.2.2)の

一 意 性 に よ りEが(2

こ で 更 にk≡0で

満 たす と し て

し た 式 を 導 け ば 充 分 で あ る.

仮 定 す れ ば 前 定 理 の 証 明 に よ り,D×D上

の対 称 な正 の

σβnで βnσβnはD×D-d上

で0測

度 に漢 収 束

を 満 た す も の が 存 在 し,E(u,υ)が(2.2.11)の が わ か る.特

にG⊂G⊂DでGが

に含 ま れ る 

右辺 に よ って表 わ され る こ と

コ ン パ ク トな 開 集 合Gと,台 に 対 し て は,δ>0が

が共 にG

充 分 小 さい とき

(2.2.14) が 成 立 す る.右 とυ

辺 が δ>0に

依 存 し な い の は(2.2.13)の

結 果 で あ る.ま

の 台 に 応 じ て δ を 充 分 小 さ く と っ て 固 定 す れ ば,Gの

な る 任 意 の 開 集 合Gを (2.2.12)を

と 

固定 し よ う.G⊂G′

の関 係 を 利 用 して

⊂G′⊂DでG′

で

(2.2.15) を 満 た す も のを 選 ぶ.そ

(2.2.16)

代 わ りにG⊃G

導 こ う.

  上 の 性 質 を もつG⊂Dを な 開 集 合G′

と っ て も右 辺 の 値 は 変 わ ら な い.こ

たu

してG′ 上 の 測 度 

を

が コン パ ク ト

に よ っ て 定 義 す る.(2.2.14)に

ま た 

  で あ り,

よ り

の全変分 は 

に よ って押 え られ るか ら,必 要 な

ら部 分 列 を選 ん で

(2.2.17) とで き る.但

しνijはG′

上 の有 界 な測 度 で,収

束 はG′ 上 の弱 収 束 の意 味

で あ る.  νijは(1.2.3)を

満 た す.実

際(2.2.16)よ

り 

で あ る か ら,極 も 同 じ 性 質 を も つ.更 と(2.2.16)か

にνijは

δ>0の

と り方 に 依 存 しな い.こ

限 のνij

れ は(2.2.13)

ら 明 ら か な こ と で あ る.

 さ て 

でsupp[u]⊂Gな

これ を(2.2.14)でυ=uと

る も の を 展 開 す る と,x,y∈Gの

とき

お い た 式 に代 入す る と

(2.2.18)

右 辺 の第1項 は βn→ ∞ のとき δ>0に νij(dx)に ￨x-y￨0}をH上

に 対 し て(Gαu,u)は

α ↓0の

の リ ゾ ル ベ ン ト とす れ ば,任 と き単調非

減 少 で あ る.そ

意 のu∈H

こで

(2.3.2) とお く と,JはH上

の 広 い 意味 で の(D(J)が

必 ず しもHで

稠 密 で な い)閉

対 称 形 式 で あ る.   証 明   (Gαu,u)が (ⅱ)の

非 負 で あ り ま た α に 関 し単 調 で あ る こ と は,補

証 明 中 に 示 した.α>0に

対 しJα(u,υ)=J(u,υ)+α(u,υ)と

題1.3.1, お く.

い まun∈D[J]がJ1(un-um,un-um)→0,n,m→

ば,unは

あ るu∈HにHの

位 相 で収 束 す る.一

で あ る か ら,各α>0に

 α ↓0と

∞,を

満 た す とす れ

方 

つ い て(Gα(un-u),un-u)→0,n→

∞.従

し て 

の とき0に

って

こ れ はn→

∞

収束 す る.(証 終)

  SのFriedrichs拡

大 の 生 成 す る リ ゾ ル ベ ン ト{G0α,α>0}か

き ま る 形 式 をJ0と

書 く.ま

たSの

共 役 作 用 素S*と

ら(2.3.2)で

α≧0に

対 して

(2.3.3) と お く.Nα

の 要 素uで 

 補 題2.3.3 

が 有限 な もの の全 体 がN0α で あ る.

-AをH上

の正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 とす る.

  (ⅰ) A⊃S⇔S*⊃A.  

(ⅱ) A⊃Sな

ら ば,Aか

式EAはE(S)の

ら 定 理1.3.1に

よ っ て き ま るH上

の閉 対 称 形

閉 拡 大 で あ る.

(2.3.4) EA(u,υ)=E(S)(u,υ), u,υ

  (ⅲ)  A⊃Sな

∈D[E(S)].

ら ば,各

α>0に

対 し ヒル ベ ル ト空間(D[EA],EA,α)は

次

の よ うに 直 和 分 解 さ れ る.

但し

(2.3.5) 

更 に次 の不 等 式 が成 立す る.

(2.3.6)   注 意   一 般 に,(ⅱ)の 与 え る と,Sの

逆 の主 張 は成 立 しな い.Sと

自己 共 役 拡大 はSに

して最 初 か ら 自己 共 役 な もの を

一 致 して しま うけ れ ど も,E(S)の

閉 拡 大 は 一般 に

は 一 意 的 で は な い か らで あ る 。   証 明   (ⅰ) S*⊃Aな る1).(ⅱ) 

S⊂Aな

らA⊃S**.と

1) 

閉 拡 大 で も あ り,(2.3.4)が F.

Riesz

and

最小閉拡大であ

ら ばD[E(S)]=D(S)⊂D(A)⊂D[EA]で,E(S)(u,υ)

=(-Su,υ)=(-Au,υ)=EA(u,υ),∀u,υ E(S)の

こ ろ がS**はSの

B.

sz.

Nagy[Ⅰ;1]117節

∈D[E(S).こ

れ か らEAが

成 立 す る こ とが 導 か れ る.(ⅲ) D[E(S)] 参 照.

は ヒル ベ ル ト空間(D[EA],EA,α)の と書 く こ と に す る.即

閉 部 分 空 間 だ か ら,そ

の 直 交 補空 間 をHα

ち

(2.3.7) S⊂Aだ

か ら こ の と きEA

ま たHα=Nα

,α(u,υ)=(u,(-S+α)υ)=0.従

∩D[EA]と

  (ⅲ)  の 証 明 を 完 結 す る た め に は,不 これ は 同時 にHα 対 し てNα 1対1の

⊂D[J0]を

とNβ

っ て(2.3.7)は

い う 主 張 と 同 値 で あ る.

等式(2.3.6)を

示 し さ え す れ ば よ い.

も 意味 す る か らで あ る.そ

の た め に,α,β>0に

の間 に は 次 式 で 定 義 さ れ る変 換Pβ,α:Nα

対 応 が あ り,Pβ ,α の 逆 変 換 はPα,β

→Nβ

に よ って

で あ る と に 注 意 して お こ う.

(2.3.8) 実 際(ⅰ)に

よ りA0⊂S*で, 

が 成 立 す る か ら,u∈Nα

に

対 し て はPβ,αu∈D(S*)で,(β-S*)Pβ,αu=(β-α)u+(α-β)u=0.つ Pβ,α∈Nβ で あ る.ま

ま り

た リ ゾ ル ベ ン ト方 程式 より直 ち にPα,βPβ ,αu=u,u∈Nα

が わ か る.   そ こで

α>0とu∈Hα

を 固 定 し,Pβ,αuをuβ

と 書 く こ と に す る.(2.3.

5)に 注意 して 計 算 す れ ば,  故 に  β ↓0と

 Sの 自己 共 役 拡 大Aで で表 わそ う.A(S)内に

あ って,-Aが 順 序〓

得 る.(証

終)

正 の半 定 符 号な も の の全 体 をA(S)

を

(2.3.9) 

EA1(u,u)≧EA2(u,u),u∈D[EA1]

に よ っ て 導 入 す れ ば,A(S)は SのFriedrichs拡 に 最 大 元AKが Krein拡

し て(2.3.6)を

半 順 序 集 合 と な る.補

大A0はA(S)の

題2.3.3(ⅱ)に

最 小 元 で あ る.M.G.

KreinはA(S)

存 在 す る こ と を 示 した.AKをSのKrein拡

大 は 次 の 条 件 で 特 徴 づ け られ るA(S)の

よ り,

大 と呼 ぶ.

一 意 元 で あ る.

(2.3.10) D[EA]⊂D[EAK],EA(u,u)≧EAK(u,u),∀A∈A(S). と こ ろ で 補 題2.3.3(ⅲ)は 実 際,次

我 々 にAKの

の 定 理 を 証 明 す る こ とが で き る.

具 体 的 な 与 え 方 を 示 唆 し て い る.

  定 理2.3.1 

各

α>0に

対 し て,H上

の 形 式EKを

(2.3.11)

(2.3.12)

に よ って定 義す る.EKは な る.そ

してEKに

α>0に

依 存 せ ず に定 ま り,H上

の閉 対 称 形 式 と

対 応 す る正 の 半 定 符 号 の 自己共 役 作 用 素 が-AK(Krein

拡 大)で あ る.   証 明   (ⅰ)  変 換(2.3.8)は 与 え て い る.も

明 らか にN0α

とN0β

の 間 の1対1対

応 を も

し

(2.3.13) な りば

(2.3.14) で あ る か ら(2.3.11)の   補 題2.3.3(ⅲ)に ら れ る.従

右 辺 は 集 合 と し て α に 依 存 しな い こ と が わ か る. 於 い て 特 にA=Aoと

っ てu∈D[EK]を(2.3.13)の

関 係 して 一 意 的 で あ る.そ を(2.3.13)の

こ でu∈D[EK]を

よ う に 表 わ し,(2.3.12)を

定 め る こ とが で き る.こ

お け ばD[E(S)]∩N0α={0}が よ う に 表 わ す 仕 方 は α>0の 固 定 し,各 使 え ばEK(u,u)の

α>0に

得 み に

対 してu

値 を一意的 に

れ は α に 依 存 す る か も しれ な い か ら, 

と

書 い て お く ことに す る と

(2.3.15) 一 方(2

.3.14)よ

り導 か れ る 関 係

(2.3.16) を 使 っ て 計 算す る と,  お よび 

が得 ら れ る.こ

れ よ り 

が 従 うか ら  と な り(2.3.12)は

α に 依 存 しな い量EKを定

義.

 

す る こ と が わ か っ た.ま

た 

だ か ら,EKはH上 (ⅱ)  対 称 形 式EKが

の 対 称 形 式 で あ る.

閉 じ て い る こと,即

完 備 で あ る こ と は,(2.3.15)か よ りD[J0]はJ01に

ちD[EK]が

位 相EK,1に

ら 殆 ん ど 明 ら か で あ る.実

関 し て 完 備で あ る が,N01は

際,補

関 して

題2.3.2に

そ の 閉 部 分 空間 で あ る こ と

に 注 意 し さ え す れ ば よ い.

  (ⅲ)  EKに A=AKを

対 応 す るH上

の正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 を-Aと

示 す.先 ずA⊃Sを

とお く.wはD[EK]の

示 す た め にw∈D(A)に

元 で もあ るか ら 

対 して(α-A)w=f と表 わす と

こ れ よ り 

が わ か る.ま で あ る か らw∈D(S*),(α-S*)w=f.つ

ら,補

題2.3.3(ⅰ)よ

  AがAKを 2.3.3か

りA⊃Sで

 も しあ る定 数γ>0が (2.3.17) 

た  ま りA⊂S*だ

か

あ る.

特 徴 づ け る 条 件(2.3.10)を ら 明 ら か で あ る.(証

し,

満 た す こ と は,EKの

定 義 と補 題

終)

存 在 し,Sが (-Su,u)≧

条件

γ(u,u), 

を 満 た す ときは,SのKrein拡

u∈D(S)

大 は 次 の様 に極 め て単 純 な もので あ る こ とが

わか る.   定 理2.3.2 Sが

条 件(2.3.17)を

満 た す な らば,

(2.3.18) D[EAK]=D[E(S)]+N0 E(S)(u,υ),u,υ (2.3.19) 

∈D[E(S)]の

と き

EAK(u,υ)={

0,    証 明  条 件(2.3.17)よ u∈D[E(S)]に し, 

u,υ

り,不

対 し て 得 ら れ る.従

の ど ち ら か 一 方 がN0に

等 式E(S)(u,u)≧γ(u,u)が っ てRieszの

が 一 意 的 に存 在 し

は方 程 式 

任 意 の

表 現 定 理 に よ り,f∈Hに

(2.3.20) が 成 立 す る. 

属 す と き.

を満 たす.

対

 G00をH上 の α≧0に

の0位

の リ ゾ ル ベ ン ト と い う.上

対 し,G0α

の 不 等 式 を 再 び 使 っ て,任

意

の有 界 性

(2.3.21) を 導 く こ とが で き る.ま 式 を 満 た す.特

た 

は

込 め て リ ゾ ル ベン ト方 程

に ,u∈D[J0]=Hが

  更 に, ∀α≧0,で の1対1対

α=0も

わ か る. あ り,変

応 は,α,β

の 一 方 が0の

に よ りD[eAK]=D[E(S)]+N0.ま

換(2.3.8)に

場 合 に も 拡 張 され る.従 たu∈N0に

と お け ば(2.3.15)よ

よ るNα

とNβ

の間

っ て 定 理2.3.1

対 し て, 

り 

の証 明 も同様 で あ る.(証 終)   つ い で な が ら 以 下 の こ とを つ け 加 え て お く.Sが 合 に は,定

理2.3.2の

結 果Krein拡

  定 理2.3.3 Sが

条 件(2.3.17)を

満 たす 場

大 そ の も の を 直 接 記 述 で き る.

条 件(2.3.17)を

満 たす な ら

(2.3.22) D(AK)=D(S**)+N0 S**u, u∈D(S**) (2.3.23) 

AKu={ 0, 

u∈N0.

 証 明   (ⅰ)  先 ず (2.3.24) D(AK)⊃N0,AKu=0,∀u∈N0 を 示 す.u∈N0な 従 っ てAKの

らば,定 理2.3.2に 生 成 す る リ ゾ ル ベン

で あ り(α-AK)u=αu,即 の 閉 拡 大 で あ り,一

よ りEAK,α(u,υ)=α(u,υ),∀υ トをGα

ちAKu=0.さ 方S**はSの

∈D[EAK].

とす れ ば,u=Gα(αu)∈D(AK) てAKは

線 型 作 用 素 と し てS

最 小 閉 拡 大 だ か ら,(2.3.24)を

考慮す る と

(2.3.25)   (ⅱ)  後 はD(AK)⊂D(S**)+N0を

示 せ ば よ い.そ

の た め の 準 備 と して 次

の 関 係 を 示 す. (2.3.26) M={u∈H,(u,φ)=0,∀φ

∈N0}と

お く とM=R(S**).

 

 先ず   u∈HがR(S**)と

(2.3.27)

直交

が 成 立 す る こ と に 注 意 す る.u∈H,(u,S**υ)=0,∀υ S*の

∈D(S**),と

閉 性 か ら 導 か れ る 関 係(S**)*=(S*)**=S*を

は(S*u,υ)=0,∀υ

∈D(S**),に

れ はS*u=0即

ちu∈N0と

  (2.3.27)は

考 慮 す る と,こ

等 し い.D(S**)はHで

意 味 し,ま

属 し従 っ て0で

稠 密 で あ り,こ

R(S**)はHの

たMの

元 でR(S**)と

あ る こ と を 意 味 して い る.即

の 稠 密 部 分 集 合 で あ る こ と が わ か っ た.従 (2.3.28) 

の仮 定

同 値 で あ る.

特 にR(S**)⊂Mを

る も の はN0に

仮 定 す る.

っ て(2.3.26)の

直交す

ちR(S**)がM ためには

閉部分集合

を い え ば よ い.  こ の た め に は 不 等 式(2.3.17)がS**=Sに 注 意 す れ ば よ い.即

(2.3.29)

対 して も成 立 し て い る こ と に

ち

 (-S**u,u)≧

こ れ にSchwarzの

γ(u,u), 

u∈D(S**).

不 等 式 を 使 え ば(S**u,S**u)≧

従 っ て 今un∈D(S**)が

γ2(u,u),∀u∈D(S**).

あ っ て{S**un}がHのCauchy列

も 同 様 で あ る.unの

極 限 をu∈Hと

S**un→S**u.つ

ま りR(S**)は

を な せ ば,{un}

す る と,S**の

閉 性 よ りu∈D(S**),

閉 じ て い る.

  (ⅲ)  最 後 に  

(2.3.30) を 証 明

D(AK)⊂D(S**)+N0

し よ う.u∈D(AK)に

(2.3.31)   実 際,定

対 しw=AKuと

∃υ∈D(S**),  理2.3.2よ

あ る か ら(2.3.26)か

  さて

と お く と,φ

成 立 す る.実

際

φ ∈D[EAK]だ

φ0∈D[E(S)],φh∈N0,と (2.3.17)よ

w=S**υ(=AKυ).

り-(w,φ)=(-AKu,φ)=EAK(u,φ)=0,∀

つ ま りw∈Mで φ=u-υ

お く と

り φ0=0.

ら(2.3.31)が

∈D(AK),AKφ=0,で か

ら,定

φ ∈N0. 従 う. あ る が,更

理2.3.2に

よ

に φ ∈N0が り

書 け る が,0=(-AKφ,φ0)=EAK(φ,φ0)=E(s)(φ0,φ0).

φ=φ0+φh,

  u=υ+φ,υ

 問2.3.1 

∈D(S**),φ

∈N0,だ

一 般 にH上

か ら(2.3.30)が

わ か っ た.(証

終)

の線 型 作 用 素Aを D(A)=D[E(S)]∩D(S*)

(2.3.32) {

Au=S*u,u∈D(A) に よ っ て 定 義 す る.AはSのFriedrichs拡

大A0に

等 し い こ とを 示 せ1).

  §2.4  デ ィ リク レ拡 大族 の 最 大元   (X,m)を

§1.1の もの と しL2(X;m)上

が 与 え られ た とす る.§2.1の

結 果 に よ りこの と きEの

ク レ形 式 で あ る.し か し一 般 にEの うな 設 問 が 可 能 で あ る.Eの

の 可 閉 な マ ル コ フ対 称 形 式E 最小閉拡大はデ ィリ

閉 拡 大 は一 意 的 で な い の で,当

然次の よ

閉 拡 大 全 体 の 中 で デ ィ リク レ拡 大 の 全 体 は どの

よ うな範 囲 を 占 め るで あ ろ うか.特 に 後 者 の中 に あ る意 味 で の 最 大 元 が存 在す るで あ ろ うか.   本 節 で は簡 単 の た め にEがLaplace作用

素S=1/2Δ

け て い る場 合 に つ い て この問 題 を 考 察 す る.そ ソボ レフ空 間H1が

に よ っ てE(S)と

書

して §1.2に 例 と して登 場 した

上 記 の 特 徴 づ け を 与 え る空 間 で あ る こ とを示 す で あ ろ う.

そ の結 果 と してSのKrein拡

大 は一 般 に は マ ル コ フ半 群 を生 成 しな い こ とが

導 かれ る.最 後 に触 れ る よ うに,こ の 間 の 事 情 は1次 元 の場 合 に は境 界 条 件 の 言 葉 で 述べ る こ とが で き る.  

Rnの

領 域 をDと

し,Laplace作

用素

(2.4.1) を 考 え る.(2.3.1)よ

り

(2.4.2) で あ るか ら,1.2節

1)  Aは

の 結 果 に よ り こ れ はL2(D)上

自己共 役作 用 素A0の

の マ ル コ フ対 称 形 式 で あ る.

拡大 で あ るか ら,Aが

さ えす れ ば よい.対 称 性 の 証 明 は吉 田耕 作[Ⅰ;1]定

対 称作 用 素 で あ る こと を示 し

理44.1参

照.

 1/2Δ

の 自己 共 役 拡 大Aで

あ って,-Aが

正 の半

定 符 号 な もの の 全 体 を

 と し

(2.4.3) Aの と お く.定

理1.4.1に

 に は,(2.3.9)に

H10(D)を

こ で,1.2節 思 い起

の 例3で

こそ う.上

の 半 群 は マル コ フ 的

 の定 め る閉 対 称 形 式 は デ ィ リ

ょ り,

ク レ 形 式 で あ る. て い る.こ

生 成 す るL2(D)上

よ り半 順 序 構 造 が 導 入 さ れ

導 入 さ れ た ソ ボ レ フ 空 間H1(D)お

に 述 べ た よ う に1/2Δ

 の 最 小 元 で あ る が,更

よび

のFriedrichs拡

大A0は

にEA0(u,υ)=D(u,υ),D[EA0]=

H10(D).   定 理2.4.1 

L2(D)上

の デ ィ リク レ形 武(D,H1(D))の

の正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 を-ARと

定 め るL2(D)上

す る と,ARは

 の

最 大 元 で あ る. な らば,Aの

  補 題2.4.1 

定 め るL2(D)上

の デ ィ リク レ

形 式EAは,D[EA]⊂H1(D),EA(u,u)≧D(u,u),u∈D[EA],を

満 た す.

  α>0とu,f∈L2(D)に

あ るた め の

必 要 十 分 条 件 は,容

対 し て,u∈D(S*),(α-S*)u=fで 易 に わ か る よ うに超 関 数 の意 味 で

(2.4.4) が 成 立 す る こ と で あ る.特

にARの

し,u=GRαf,f∈L2,は(2.4.4)を と 補題2.3.3(ⅰ)か 2.4.1の

(2.4.5) 

満 た す こ と が わ か る か らAR⊂S*.こ

れ

の 拡 大 で あ る こ と が 従 う.従

題2.4.1を

証 明  α>0を

 に対 し

固 定 し, ∩D[EA]

際u∈D[EA]は ∩D[EA],と

っ て定 理

示 し さ えす れ ば よい.

EA(u,u)≧D(u,u),u∈Nα

を い え ば 十 分 で あ る.実 u0∈H10(D),uh∈Nα

対

ら,ARが1/2Δ

証 明 の た め に は,補

  補 題2.4.1の

生 成 す る リ ゾ ル ベ ン ト{GRα,α>0}に

補 題2.3.3に 分 解

よ りu=u0+uh,

さ れ,EA.α(u,u)=Dα(u0,u0)+

EA,α(uh,uh).一

方(2.4.4)よ

り

(2.4.6) で あ る か ら(2.4.5)を =Dα(u,u)が

認 め れ ばEA,α(u,u)≧Dα(u0,u0)+Dα(uh,uh)

従 う.

  (2.4.5)を

示 す た め の 準 備 と し てAの

{Gα,α>0}を

生 成 す るL2(D)上

考 え よ う.補 題2.3.3(ⅰ)よ

f∈L2,は(2.4.4)を Gαfをa.e.で

満 た す.特

りA⊂S*で

にf∈C∞0(D)な

適 当 に 修 正 す れ ば,Gαfは

の リゾル ベ ン ト あ る か らu=Gαf,

ら,Weylの

補 題1)に よ り,

無 限 回 微 分 可 能 で し か も(2.4.4)

を 普 通 の 意 味 で 満 た す.更

に αGα の マ ル コ フ 性 が 仮 定 さ れ て い る か ら,補

の 定 理0.1.3よ

の 核Gα(x,E)が

り,D上

足

存 在 して

(2.4.7) 以 後Gα

と書 け ば,核Gα

￨f￨と￨Gαf￨が (2.4.4)を β → ∞,∀

に よ る 積 分 作 用 素 を 意 味 す る も の とす る.Gαfは,

共 にD上 満 た す.こ

で 局 所 可 積 分 で さえ あ れ ば,超

関数 と して方 程 式

の と き ま た,∞>(Gβ￨f￨,￨φ￨)=(￨f￨,Gβ￨φ￨)↓0,

φ∈C∞0(D),で

あ る か ら,

 従 って￨f￨とGα￨f￨が

局 所 可積 分 な らば 超 関 数 の

意味 で (2.4.8)   こ の よ うに し て 得 ら れ た 関 係(2.4.8)を

使 え ば(2.4.5)の

る.u∈Nα

補 題 に よ っ て,uは

∩D[EA]と

す る.再

能 で(α-1/2Δ)u(x)=0,∀x∈D,を 形 式E(β)A(u,u)を(1.4.11)の

(2.4.9)

1)  補 足

§0.1(g)参

照.

びWeylの

証 明は 容 易 で あ 無限回微分可

満 た す と し て よ い.EA(u,u)の よ うに変 形 す る と

近似

と こ ろ がfβ=-β(u2-βGβu2)+2βu(u-βGβu)+βu2(1-βGβ1)で uが

無 限 回 微 分 可 能 な こ と と(2.4.8)を

あ る か ら,

使 うと

(2.4.10) 特 に(2.4.9)よ

りfβ ≧0,∀

 φ ∈C∞0(D),0≦φ

≦1と

す

β≧0だ

か ら,1/4Δu2-αu2≧0.

る.(2.4.9)と(2.4.10)に

よ り 

こ こで

φ ↑1と

し て 

(証 終)   最 後 にRnの

領 域Dが

有 界 で あ る と仮 定 す る とPoincareの

不 等 式1)

(2.4.11) が成立

す る.つ ま り作用 素1/2Δ

のKrein拡

大 をAKと

=0 ,∀u∈N0.但 定 す る と,定

は 条件(2.3.17)を

す る と,定

理2.3.2に

満 た して い る.従 って そ

よ りN0⊂D[EAK],EAK(u,u)

しN0={u∈L2(D);Δu=0}.  数 で な いu∈N0に

≧D(u,u)>0.こ

と仮

対 し て,補

れ は 矛 盾 で あ る.従

題2.4.1よ

って

 定理2.4.2  Dが有 界領域 の とき,L2(D)上 はC∞0(D))のKrein拡

りEAK(u,u)

の対称作用素1/2Δ(定

大 の 生 成 す る 半 群 は マ ル コ フ 的 で は な い.

  実 は 定 理2.3.2の

代 わ りに 定 理2.3.1を

使 う こ と に よ り,上

が 必 ず し も 有 界 で な い 場 合 に 拡 張 す る こ とが 可 能 で あ る.例 Dが

半 空 間D={x∈Rn;xn>0}の

場合 に も1/2Δ

フ半 群 を 生 成 しな い こ とが わ か る.し か しn=1の

の 定 理 をD

え ばn≧2で

のKrein拡大

はマル コ

場 合 は,有 界 な 調 和 関 数が

定 数 しか な い とい う事 情 の た め に 例 外 的 な 現象 が起 こ る.即 ち,  例2.4.1 

D=(0,∞)の

と す る とAK=AR.即  実 際 定 理2.3.1お

1)  溝 畑 茂[Ⅰ;1]補

義域

と きSu=1/2u″,u∈C∞0((0,∞))のKrein拡大をAK ちAKは

マ ル コ フ 半 群 を 生 成 す る.

よ び 定 理2.4.1の

題3.3参

照.

直 前 の 注 意 に よ りD[EAK]=H10((0,∞))+N0α.

 と ころ がL2((0,∞))に属

しau-1/2u″=0を

 

満た す も の の全 体Nα

は1次 元空間 で

の定 数 倍 か ら成 る.uα は またN0α

に属 し

一方

従 っ てEAK=(D,H1((0,∞))).つ

  前 節 か ら今 まで,対

ま りAK=AR.

称 作 用 素Sを

与 え てA(S)やAM(S)内

の典 型 的 な

元 を対 称 形 式 で 特 徴 づ け る問題 を 考 え て きた が,以 後 この問 題 を少 し別 の角 度 か ら眺 め て み る こ とに し よ う.   補 題2.3.3(ⅰ)に て い る.即

よれ ば,一

般 に 任 意 のA∈A(S)はS*の

ち あ る 付 帯 条 件(lateral

condition)Lが

D(A)={u∈D(S*);uはLを

縮小にな っ

あ って 満 た す}

(2.4.12) {

Au=S*u,u∈D(A).

この よ うに してA∈A(S)を 件Lを

定 め る とい う問 題 は(2.4.12)に

於 け る付 帯条

で き るだ け わ か り易 い形 で定 め る とい う問 題 に 置 きか え る こ とが で き

る.特

にD(A)の

全 て の元 が 適 当な 意 味 で の"境 界値"を

て い る場 合 に は,Lを

持 つ こ とが わ か っ

境 界値 に 関 す る条 件 で 記 述 し よ う とす るの は 自然 な こ

とである.実際,特殊な1次元区間の場合にはA(1/2Δ)の

各元を境界条件

で 記 述 で き る こ とが知 られ てい る.  の 場 合.

  例2.4.2

 容 易 にわ か る よ うに D(S*)={u∈L2((a,b));uは (2.4.13) {

微 分 可 能 でu′ は 絶 対 連 続,u″

∈L2((a,b))}

S*u=1/2u″.

 更 に 次 の事 実 が知 られ て い る1).

(2.4.14) 定 理2.3.3よ ら な い.従 1) 

T.

 

D(S**)={u∈D(S*);u(α)=u′(α)=u(b)=u′(b)=0}.

りD(AK)=D(S**)+N0でN0は(a,b)上 っ て(2.4.14)よ Kato[Ⅰ;1],Example

の1次

り 5.32,参

照.

関 数 の全 体 に他 な

と お く と,D(AK)=D(S*)∩{u;uはLKを

満 た す}.つ

ま りAKは

境 界 条 件LK

に よ っ て 決 定 さ れ る.   SのFriedrichs拡 よ びLRは

大A0お

よ びAM(S)の

最 大 元ARを

記 述 す る 境 界 条 件L0お

よ く知 られ て い て1)

L0:u(a)=u(b)=0, LR:u′(a)=u′(b)=0.

  実 際,問2.3.1よ

りD(A0)=D(S*)∩H10((a,b))で

D(A0)=D(S*)∩L0.次 =H1((a

,b))で

にu∈D(AR)を考え

あ る か ら,任

にu∈D(S*)∩LRを

任意の

こ れ はu∈D(AR)を

対 し

れ よ りuがLRを

満 た す こ とが わ か

 とお くと,部

とり

υ∈H1((a,b))に

り

る と,ARu=1/2u″,u∈D[EAR]

意 のυ ∈H1((a,b))に

部 分 積 分 に よ り u′(b)υ(b)-u′(a)υ(a)=0.こ る.逆

あ る か ら,(1.2.11)よ

分積分に よ り

対 し

意 味 す る.

 な お 一 般 の

 を記 述 す る境 界 条 件 の1つ の型 は 次 の も ので あ る.

(2.4.14) こ の と きAの Π12≦O,マ 2,で

生 成 す る半 群 が

正(u≧0⇒Ttu≧0)で

ル コフ的 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は

あ る こ と が わ か っ て い る2).LRは

Πij=0の

あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は Π12≦0お

よび

Πi1+Πi2≦0,i=1,

場 合 で あ る か らARは

群 を 生 成 す るが,LKは

マル コ フ半

 に 対 応 す るか らAKの

生成

す る半 群 は 正 で さえ な い.   L0は

吸 収 壁 あ るい は 固 定 端 の 境 界 条 件,LRは

い わ れ,各 LRのRは

反射 壁(reflecting

barrier)の 頭 文 字 を と った もので あ る.

1)  多 次 元 の 領 域 の 場 合 は §6.2と 2) 

W.

反 射 壁 あ る いは 自 由端 の境 界 条 件 と

々の 言葉 に相 当 す る確 率 論 的 な い しは力 学 的 な意 味 を も って い る.ち なみ に

Feller[Ⅰ;1]参

照.

§6.3を

参 照.

第3章

  §3.0 

  デ ィ リ ク レ形 式 の ポ テ ン シ ャ ル 論

序

 本 章 で は 正 則 デ ィ リク レ形 式 に 関す るポ テ ン シ ャル論 を扱 う.  §3.1で(1-)容 更 にD[E]の

量 の定 義

を 与 え,そ れがChoquet容

元 が 準 連 続 修 正 を もつ こ とや,D[E]に

量 で あ る こと を示 す. 属す 準 連 続 関 数 列 の 収 束

に 関す る基 本 定 理 を 証 明す る.こ の節 で導 入 され る正 則 巣 な る概 念 は第4章

に

於 け る標 準 マル コ フ過 程 の構 成 に於 い て重 要 な役 割 を 果 たす.   §3.2で エ ネル ギ ー有 限 な 測 度 の 族 を 定 義 す る.こ レ形 式 の芯 の選 び 方 に依 存 して定 ま るが,実

の族 は見 か け上 デ ィ リク

はそ れ に依 存 しな い こ とが 明 らか

に され る.ま た エ ネ ル ギ ー有 限 な測 度 の ポ テ ンシ ャルが 概 超 過 関 数 との関 係 で 特 徴 づ け られ る.   §3.3で は 容 量 有 限 なBorel集

合 の 平 衡 ポ テ ンシ ャルや 概 超 過 関 数 のBorel

集 合上 へ の被 約 関 数 等 を定 義 し,そ れ らの い くつ か の特 徴 づ け を 与 え る.こ れ らの特 徴 づ け は,第6章

に於 い て標 準 マ ル コ フ過 程 の諸 量 との対 応 を つ け る上

で 有 効 で あ る.

 §3.1 集 合 の 容 量 と関 数 の 準 連 続 性   位 相 空 間Xと L2(X;m)上 し,こ x∈Xに

そ の 上 の 測 度mは

の 正 則 な デ ィ リ ク レ形 式Eが

の 節 の 前 半 で はEの

Xの

通 り とす る.以

関 し殆 ん ど 全 て のx∈Aに

記 す こ と に す る.m-a.e.(X)を

開 部 分 集 合 の 全 体 をOと

し,A∈Oに

後 本 章 で は,

与 え られ た と し て 話 を 進 め る.但

正 則 性 は 使 わ れ な い.AをXの

関 す る あ る 主 張 が,mに

と き,m-a.e.(A)と  

§1.1の

部 分 集 合 とす る. 対 して 成 立 す る

単 にm-a.e.と 対 して

記 す.

   

(3.1.1)

 

m-a.e.

(3.1.2) とお く.更 に 任 意 の 集 合A⊂Xに

対 して は

(3.1.3) と お き,こ

れ をAの1-容

  定 理3.1.1 

量 ま た は 単 に 容 量 と い う.

CapはChoquet容

と す る と き,補

量 で あ る.即

足 の §0.2(b)の

ちF={A⊂X;Aはcampact}

意 味 で のF-容

量 に な っ て い る.ま

たCap

は 可 算 劣 加 法 的 で あ る.  こ の 証 明 の た め に 補 題 を1つ

準 備 し よ う.

  補 題3.1.1 

と お く.

(ⅰ)  A∈O0に

対 し,LAの

(3.1.4)

 

一 意 元eAが

存 在 して

E1(eA,eA)=Cap(A).

(ⅱ) 

eAは

次 の 性 質 を も つ:0≦eA≦1.m-a.e.,eA=1 m-a.e.(A).

  (ⅲ) 

eAは

次 の2条

a.e.(A). (ⅳ) 

件 で 特 徴 づ け ら れ るD[E]の

E1(eA,υ)≧0,∀

υ∈D[E],υ

一 意 元 で あ る:eA=1m-

≧0,m-a.e.(A).

υ∈D[E],υ=1.m-a.e.(A)な

ら ばE1(eA,υ)=Cap(A).

 ま た 明 らか にLAはD[E]内

 証 明  (ⅰ)

で

閉 じてい る.従 って 中 線 定 理

(3.1.5) を 使 っ て,次 に 選 べ ば,unは

あ るeA∈LAにE1の

ま た(3.1.4)を

満 た すeA∈LAは

  (ⅱ) 

 の よ う

の こ と が わ か る.un∈LAを

u=(0∨eA)∧1と

位 相 で 収 束 し,(3.1.4)が 一 意 的 で あ る.

お く と,u∈LAで

よ りE1(u,u)≦E1(eA,eA)=Cap(A).従   (ⅲ) 

υ∈D[E],υ

∈LAだ

か らE1(eA+ε

≧0 m-a.e.(A)と υ,eA+ε

成 立 す る.

あ

り,ま

たEの

性 質(E.4)′

ε>0に

対 しeA+ε

っ てu=eA. す

る と,任

υ)≧E1(eA,eA).故

意 の

に2E1(eA,υ)+εE1(υ,υ)

υ

≧0.ε

↓0と

し てE1(eA,υ)≧0を

ち,u=1m-a.e.(A)で

に あ るu∈D[E]が

あ る と仮 定 す る.u∈LAで

はw=u+(w-u)と ≧E1(u,u).従

得 る.逆

あ り,ま

書 け,w-u≧0m-a.e.(A)が

た 任 意 のw∈LA

成 立 す るか らE1(w,w)

っ てu=eA.(ⅳ)は(ⅲ)か

  さ て 定 理3.1.1の

この 性 質 を も

ら直 ち に 従 う.(証

証 明 の た め に は,補

足 の 定 理0.2.3に

終)

よ り,次

の補 題 を

示 せ ば 十 分 で あ る.   補 題3.1.2 

(3.1.6) 

Cap(A),A∈O,は

単 調 非 減 少 で,次

の 性 質 を も つ.

Cap(A∪B)+Cap(A∩B)≦Cap(A)+Cap(B),A,B∈O.

(3.1.7)   証 明   Capの よ い.こ

単 調 性 は 自 明 で あ る.(3.1.6)は,A,B∈O0の

と きに 示 せ ば

の と き 

こ こ でu∈D[E]に 規 縮 小 で あ る こ と と,Eの

性 質(E.4)″

正

を 使 っ て い る.

 の 場 合 に 証 明 す れ ば よ い.n>mと

 (3.1.7)は

3.1.1を

対 して,￨u￨がuの

し,補

題

使 っ てE1(eAn-eAm,eAn-eAm)=E1(eAn,eAn)-2E1(eAn,eAm)+E1(eAm,

eAm)=Cap(An)-Cap(Am)→0,n,m→

∞.従

収 束 す る.明

ら か にu=1m-a.e.(A).但

m-a.e.(A)な

らば

っ てeAnは

あ るu∈D[E]に

 ま た

し

υ∈D[E],υ

  故 にu=eAで

≧0

あ り,

 (証終)   補 題3.1.1 

のeAを

開 集 合A∈O0の1-平

の 平 衡 ポ テ ン シ ャ ル(equilibrium

potential)と

衡 ポ テ ン シ ャル,ま い う.平

た は 単 にA

衡 ポテ ン シ ャル は 更

に 次 の 性 質 を も つ.   補 題3.1.3    (ⅱ)  t>0に

Eに

(ⅰ) 

A,B∈O0,A⊂B⇒eA≦eB,m-a.e..

対 応 す るL2(X;m)上

の 半 群 を{Tt,t>0}と

す る と,任

対 し,e-tTteA≦eAm-a.e..

  証 明   (ⅰ) 一 般 にu∈D[E]に と お く とE1(u+,u-)≦0が

対 し 

成 立 す る こ と に 注 意 す る.eA-eA∧eB=(eA-eB)+

意 の

 

はA上

でm-a.e.で0に

等

し い か

らE1(eA-eA∧eB,eA-eA∧eB)=E1(-eA∧eB,

(eA-eB)+)=E1((eA-eB)-,(eA-eB)+)-E1(eB,(eA-eB)+)≦0.故

にeA=eA

∧eBm-a.e..

(ⅱ)  Eに

対 応 す るL2上

を と る.(1.3.1)よ

の リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}と

負 元 υ∈L2

が 得 られ る が,Ttは

り 

ル コ フ 的 だ か ら,こ

し,非

れ は 非 負 で あ る.従

っ て,補

題1.3.3に

マ

注 意 し て 

(証 終)   この 節 の 後 半 の テ ー マは 関数 の準 連 続 性 に つ い て で あ る.先 ず い くつ か の概 念 と記 号 を 導 入 しよ う.   容 量0の

集 合 の こ と を 概 極 集 合(almost

測 度 は0で

あ る こ と に 注 意 し て お こ う.こ れ は 開 集 合Aに

≧m(A)が

成 立 す る こ と か ら わ か る.AをXの

す る あ る 主 張 が,全

て のx∈A-N(但

polar

set)と

しNは

対 し不 等 式Cap(A)

適当 な 概 極集合)に

記 す こ と に す る.q.e.(X)は

はquasi-everywhereの

略 で あ る.

無 限 遠 点Δ

極 集 合 のm

部 分 集 合 とす る.x∈Xに

立 す る と き,q.e.(A)と

  Xに

い う.概

関

対 し て成

単 にq.e.と記

す.q.e.

を つ け加え て コ ンパ ク ト化 した 空 間 をXΔ

と書 く.Xが

既 に コンパ ク トの と き はΔ は 孤立 点 と してつ け 加 え る.A⊂Xに

対 してA∪

の 位 相 はXΔ

で の相 対 位 相 を考 え る こ とに す る.XΔ

上 の 部分 集 合 上 で定 義 さ

れ た 関 数 は 常 に Δ で は0の 値 を と る もの と約 束 して お く.特 にA⊂X上 数uは

断 わ りな しにu(Δ)=0と

この意 味 で例 えばC∞(X)に   さ てX上q.e.で と は,任

意 の ε>0に

の が あ っ て,u￨X-Gが X-G上

お く こ とに よ ってA∪

属す 関数 はXΔ

定 義 さ れ た 関 数uが 対 し,適

か え た も の を 要 請 す る と き,nは

の関

Δ 上 の 関数 とみ なす.

上 の 連 続 関 数 で あ る.

準 連 続(quasi-continuous)で

当 な 開 集 合G⊂Xで,Cap(G)0.更 k→  

らF′kがm-正

ち{F′k}は

の 巣{Fk}に

正 則 巣 で あ る.(証

(3.1.10) 

C∞({Fk})={u;各kに

対 しu￨Fkは

連 続}

対 しu￨FkUΔ

は 連 続}

らか にC∞({Fk})⊂C({Fk}),C∞(X)⊂C∞({Fk}),C(X)⊂C({Fk}).

  定 理3.1.2 

(ⅰ)  SをX上

可 算 集 合 とす る と,X上

  (ⅱ) 

終)

対 して

C({Fk})={u;各kに

C∞({Fk}))が

意 のx∈F′kと,

意 味 す る か らCap(G′k)=Cap(Gk)→0,

(3.1.9) 

と お く.明

際,任

対 し てm(U(x)∩F′k)≧m(U(x)∩Fk)-m(Fk-F′k)

に(3.1.8)はLG′k=LGkを

∞.即

X上

則 で あ る こ と が 従 う.実

の 準 連 続 関 数(狭

の 適 当 な 正 則 巣{Fk}が

い 意 味 で の 準 連 続 関 数)の 存 在 し てS⊂C({Fk})(S⊂

成 り立 つ.

{Fk}をX上

の 正 則 巣,u∈C({Fk})と

す る.u≧0

m-a.e.な

ら ば,

u(x)≧0,

 証 明  (ⅰ)  uを

準 連 続 関 数 とす る と,適 当 な閉 集 合 列{Fk}が   u￨Fkは

{Fk}は

連 続,と

で き る.そ

こで

巣 と な り,ま た 容 易 に わ か る よ うにu∈C({Fk}).

存 在 して,  と お け ば,

  次 にS={ul}な

る 可 算 個 の 準 連 続 関 数 に 対 し て は,各lに

対 し て 巣{F(l)k}

 を 満 た す よ うに す る. 

を 選 ん でul∈C({F(l)k}), と お く と,Fkは

単 調 な 閉 集 合 列 で あ り,ま

に よ り

たCapの

  即 ち{Fk}は

C({Fk}).あ

と は 補 題3.1.4に

従 っ て{Fk}を

可 算劣加法性 巣 で あ り,u∈

正 則 化 す れ ば よ い.Sが

狭 い意

味 の準 連 続 関 数 の 可 算 集 合 の 場 合 の 証 明 も 同 様 で あ る.   (ⅱ)  あ るx∈Fkに

対 しu(x)0に

sense)と呼

ぶ.

対 し

(3.1.11) が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.実 際G={x∈X;￨u(x)￨>λ}と

お く と,こ

れ

 

は開集合で   

Eの

で あ るか ら

正 則 性 に よ り,∀u∈D[E],∃un∈D[E]∩C∞(X),E1(un-u,un-u)

→0,n→

∞.従

っ て 必 要 な ら{un}の

とす れ ば 

部 分 列 を と っ て 

とで きる.但

k=1,2,….そ

N≧kな

と お く.Fkは

こ で 

列 で 

k→

し 

∞.ま

た 任 意 のx∈Fkに対

し,n,m>

らば 

これ は 各kに

対 して,un￨Fk∪Δ

が(un(Δ)=0と

と を 意 味 し て い る.そ

お い て).n→

の 極 限 関 数 をuと

∞

の と き一 様 収 束 す る こ

す る と,u∈C∞({Fk})で

  で あ る か らu=u m-a.e.. 

  D[E]に

 証明 

不 等 式(3.1.11)は

u∈D[E]に

と そ の 極 限uを

任 意 のu∈D[E]に

対 し て 定 理3.1.3の 考 え る.補

題3.1.5よ

た

お く.

対 し て 成 立 す る.

証 明 中 の 関 数un∈D[E]∩C∞(X りu=u

対 して 適 当 な 開 集 合GでCap(G)0に

単調な 閉集 合

q.e.で

あ る か ら,任

意 の ε

な る も の が 存 在 し,X-G上

収 束 す る よ う に で き る.従

っ てλ>0に

で

対 し,λ>ε1>0な

る

任 意 の ε1を 取 れ ば,{x∈X;￨u(x)￨>λ}⊂{x∈X;￨un(x)￨>λ-ε1}∪Gが 十 分 大 き いnに

対 し て 成 立 す る.(3.1.11)よ こ こ でn→

  定 理3.1.4 

uにE1の

∞,ε1→0,ε→0,と

(ⅰ)  un∈D[E]がE1に

部 分 列nkとu∈D[E]が

り  す れ ば よ い.  (証 終)

関 し てCauchy列

存 在 し て,unk(x)→u(x)

を な せ ば,適 q.e..こ

当な

の と ぎunは

位 相 で 収 束 す る.

(ⅱ)  un∈D[E]がE1に un∈D[E]がX上q.e.に

たunはuにE1の   証 明   (ⅱ)は(ⅰ)か

関 しCauchy列 あ る 関 数uに

を な し,ま

たunの

収 束 す れ ば,u∈D[E]で

適 当 な修 正 あ り,ま

位 相 で 収束 す る. ら直 ち に 得 られ る か ら,(ⅰ)だ

け を 示 せ ば よ い.補

     

題3.1.6を

使 え ば,定

理3.1.3の

単 調 減 少 な 集 合 列 ωk∈B(X)が nl→

∞

ε>0に

  unl￨XΔ-ωkは

存 在 して

の と き 一 様 収 束 す る よ うに で き る.こ 対 し 

G1⊃ωkと

な る開 集 合G1を

で き る.ま

た 各unlは

に よ り

選 び,十

意 の

対 して

理3.1.2(ⅰ)

対 し てunl￨XΔ-G2

お く と,Cap(G)0.

  補 題3.1.3に

よ り特 にeA,A∈O0,は

  補 題3.2.1 u∈D[E]に (ⅰ)   uは

概超過

(ⅲ) 

E1(u,υ)≧0,∀υ∈D[E],υ

≧0,m-a.e..

  証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ)は(1.3.1)か

≧0な

ら導 か れ る.(ⅱ)が

ら 非 負 で(ⅲ)が

が(3.1.5)を

これ

成 立 す る.(ⅲ)を

≦E1(u,u)だ

e-tTtG1υ)≧0を

得 る.即

たυ

凸 集 合Lu

最 小 にす る一 意 元 で あ る こ と

に￨u￨∈Luで

か ら,u=￨u￨≧0.ま

題3.1.3(ⅱ)の

仮 定 す れ ば,uは

でE1(w,w)を

使 っ て わ か る.特

  こ こ でEの

成 立 す る とす れ ば,

リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 よ り 

={w∈D[E];w≧u m-a.e.}上

対 し,補

件 は 同 値 で あ る.

的.

u≧0,αGα+1u≦u,m-a.e.,α>0.

補 題1.3.4と

概 超 過 的 で あ る.

対 し て 次 の3条

(ⅱ) 

はυ

の 概 超 過 関 数(1-almost

あ る が,一

∈L2,υ

≧0

m-a.e.な

方E1(￨u￨,￨u￨) る 任 意 のυ

証 明 と 同 様 に し て(u-e-tTtu,υ)=E1(u,G1υち(ⅰ)が

芯D(⊂D[E]∩C∞(X))の

導 け た.  (証 終) 定 義 を 思 い 起 こ そ う(§1.1).

に

D[E]∩C∞(X)自 芯 で あ り,し

体Eの1つ

の 芯 で あ るが,そ

か もEはD×D上

れ よ り狭 い 空 間DもEの

で のみ 具 体 的 に微 積 分 表 示 され て い る こ と

が 実 際 上 は よ く起 こ る.例 え ば 定 理2.1 .2に 於 け る正 則 デ ィ リク レ形 式Eに 対 して は,そ こで 最 初 に 与 え たD[E]が 慮 す る とEに

芯 とな っ て い る.こ の よ うな事 情 を 考

関 す る諸 量 の 記 述 は,Eの

芯D上

の条 件 の み に よ っ て与 え ら

れ る こ とが望 ま しい.  以 後Eの

芯Dで

あ って 次 の2つ の性 質 の うち の 少 な く と も一 方 を 満 た す

もの を取 って 固定 し よ う.  (D.1)  (D.2)  

D⊂D[E]∩C0(X).Dは

に 対 し(1.1.5)を

満 た す 関 数φε(t)が

  定 理1.4.2(ⅰ)に

え ばD[E]∩C0(X)が

にEがC0-正則

た 任 意 の ε>0

あ っ てφε(u)∈D,∀u∈D.

よ れ ばD[E]∩C∞(X)は(D.1)を

よ う な 芯 は 空 で は な い.特

 X上

積 に 関 し閉 じ て い る.ま

満 た す か ら,こ

な ら(D.2)を

の

満 た す 芯 が あ る.例

そ うで あ る.

の正 のRadon測

度 μ で 次 の条 件 を満 たす も の の 全 体 をM0(D)と

お く.

(3.2.2) 

D⊂L1(X;μ)

(3.2.3)   u∈D[E]が  (3.2.3)

る.こ

存在 して

 に 於 け るuは

芯Dの

れ を μ の(1-)ポ

定 義 か ら μ∈M0(D)に

テ ン シ ャ ル と い い,u=Uμ

  こ こで 問題 な の は,測 度 族M0(D)が とで あ る.実 はDに

見 か け上 芯Dの

対 して一 意的 に決 ま

と 書 く.

選 び方 に依 存 す る こ

無 関 係 に特 徴 づ け られ る こ と を示す のが 本 節 の 目標 の一

つ で あ る.先 ず ポ テ ンシ ャル と概 超 過 関 数 の関 係 を調 べ て お こ う.  補 題3.2.2 

u∈D[E]が

ポ テ ンシ ャル で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 はuが

の2条 件 を満 たす こ とで あ る.

(3.2.4) (3.2.5) 特 に 芯Dが(D.2)を

満 た し て い る 場 合 は(3.2.5)は

不 要 で あ る.

次

  証 明   必 要 性 は 明 らか で あ る.逆 と 仮 定 しL=D上 (D.1)を

補 題 の 条件 を 満 た して い る

の 線 型 汎 関 数I(υ)=E1(u,υ),υ

満 た す と き は 補 足 の 定 理0.1.3(ⅰ)よ

た す と き は 定 理0.1.3(ⅱ)よ あ り,ま

にu∈D[E]が

た(3.2.2)が

  定 理3.2.1 

りIは

度

μ の積 分 で

満た

不 要 で あ る. 満 た す と し て,そ

導 け ば よ い.先 ≧0 m-a.e.な

束 す る も の を 選 ぶ.こ わ か る.実

一 意 的 な 正 のRadon測

ず 芯Dが(D.1)を

れ よ り強 い 性 質 で あ る補 題 満 た す 場 合 を 考 え よ う.

る 任 意 の υ に 対 し,υn∈Dで の と き υ+n∈Dは

υ にE1の

際E1(υ+n,υ+n)≦E1(υn,υn)だ

υ にE1の

意 味 で 弱 収 束 す る こ とが

 ∀f∈L2,が

∩C0(X)に

満 た す 場 合 を 考 え る.こ

対 して(3.2.4)を

し て 導 く こ と が で き る.そ

を υ にE1の w≧1な

仮 定 して,同

の と きEはC0-正

要 な ら定 数 倍 す る こ と に よ り,0≦ υ(x)≦1と

る もの を と り

様 に し て υnは

場 合 は 上 と同様 に

こで 非 負 関 数 υ∈D[E]∩C0(X)を

位 相 で 収 束 す る よ う に 選 ぶ.ま

に

でE1に

と り,K=supp[υ] 仮 定 し て よ い.υn∈D

た 非 負 関 数w∈DでK上

 と お く.定

υ にD[E]上

理2.1.2の

証 明 と全

で く同

関 し て 弱 収 束 す る こ とが 示 され る.特   は 非 負 で あ り,

 と こ ろ が

また

則 で あ

じ不 等 式 が 任 意 の 非 負 な υ∈D[E]

対 して も 成 立 す る こ と さ え い え れ ば,υ ∈D[E]の

と お く.必

成 立 す るか

って

  次 に 芯Dが(D.2)を る か ら,uに

位 相 で収

か らE1(υ+n,υ+n)は 一 様 有 界 で あ り,

また ら で あ る.従

満

満 た す 概 超 過 関 数 で あ る こ と で あ る.芯Dが(D.2)を

  証 明   u∈D[E]が(3.2.4)を

υ∈D[E],υ

たDが(D.2)を

ポ テ ン シ ャ ル で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,uが

して い る 場 合 は(3.2.5)は

3.2.1(ⅲ)を

り,ま

考 え る.Dが

成 立 す る こ と が わ か る. (証 終)

u∈D[E]が

条 件(3.2.5)を

∈L,を

  で あ る か ら,(3.2.4)よ

り 

(証 終)   以 後,μ ∈M0(D)の Dに

詳 しい 性 質 を 調 べ る こ と に よ っ て,測

依 存 し な い こ と を 示 す.そ

の た め に,μ

度 の 族M0(D)が

を基 礎 の 測 度 に 絶 対 連 続 な測 度

の列 で近 似 す る こ とか ら始 め よ う.   補 題3.2.3 

μ∈M0(D)に

(3.2.6) 

対 し

gn=n(Uμ-nGn+1(Uμ)), 

と お く とgn≧0

m-a.e.で

n=1,2,…,

あ る.ま

対 し￨υ(x)￨≦υ0(x),x∈X,を

たX上

の 連 続 関 数υ

が,あ

るυ0∈Dに

満 た しさえ す れ ば

(3.2.7) 特 に 測 度gn・mは

μ に 漠 収 束 す る.

  証 明   定 理3.2.1よ a.e.で Uμ)に

あ る.ま

り,ポ

たυ ∈Dに

等 し い か らUμ

gn・mは

テ ン シ ャルUμ

は 概 超 過 的 で あ る か らgn≧0 m-

対 し て は(3.2.7)の

左 辺 は 補 題1.3.4よ

の 定 義 に よ りそ れ は また 右 辺 に 等 し い.特

りE1(υ, に 測 度 列

各 コ ン パ ク ト集 合 上 で 一 様 有 界 で あ る.

  次 に 補 題 の条 件 を 満 たす 一 般 のυ に 対 して も(3.2.7)が そ う.Dが

条 件(D.2)を

満た して い る とき に は これ は 明 らか で あ る.実

こ の場 合,補 題 の主 張 はgn・mが 上 の注 意 に よ りgn・mの

任 意 の 部 分 列 は あ る正 のRadon測

満 た して い る 場 合 を 考 え よ う.連

の 性 質 を も つ と す る と 明 ら か にυ ∈C∞(X)で υk∈D,k=1.2.…,が

度μ′に 漠 収 束す

 υ∈D,で

条 件(D.1)を

際

μ に漠 収 束 す る とい う こ と と同値 で あ る.

る部分列を含むが   さ てDが

成 立 す る こ とを 示

存 在 す る.必

あ り,X上

要 な らυkの

と る こ と に よ っ て￨υk(x)￨≦υ0(x),x∈X,と

あ る か ら μ′=μ. 続 関 数υ

が補題

でυ に 一 様 収 束 す る

代 わ りに(-υ0∨υk)∧υ0を

仮 定 で き る.次

の不 等 式 に注 意

す る.

(3.2.8)

こ の 右 辺 の 各 項 を 各 々Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

とれ ば

と お く.任

意 の ε>0に

 とで き る.そ こでkを

対 し,δ

を充 分 小 さ く

適 当に 選 ん でⅡ0.DはC∞(X) で 負 なw∈Dが

満 た す 場 合 はυ=-(w∨0)∈Dを

-μ(K′)Cap(A)な

(3.3.1),(3.3.5)お

よ び(3.3.6)よ

る 如 く に選 ぶ.

りE1(eA,eK)=E1(eK,eK)で

0≦E1(eA-eK,eA-eK)=Cap(A)-E1(eK,eK).こ Cap(K)≧E1(eK,eK)を

あ るか ら

の よ うに して不 等式

得 る.

  逆 の 不 等 式 を 得 る た め に,Anが An⊃An+1,

コン パ ク トで あ る よ う な 開 集 合 列{An}で

 を満 たす もの を選 ぶ.そ

してAnに

対 す る平 衡 ポテ ン

シ ャ ル と 平 衡 分 布 を 各 々en,νnと

す る.E1(en-em,en-em)=Cap(An)-

Cap(Am),n<m,で

あ るe0∈D[E]にE1の

あ る か らenは

位 相 で 収 束 す る.

そ こで

(3.3.8)

  e0=eK

を 示 そ う.en=1 を 満 た す.一

q.e.(An)で

あ る か ら,定

理3.1.4(ⅰ)に

方supp[νn]⊂Anでνn(An)=Cap(An)≦Cap(A1)が

か ら必 要 な 部 分 列 を 選 べ ば,νnはsupp[ν0]⊂Kな  ν∈D,に

そ こで 等 式

  が 得 ら れ,e0が(3.3.7)を れ で(3.3.8)が

示 せ た.(3.3.8)よ

  以 上 で(ⅰ)の

る 測 度ν0に

漠 収 束 す る.

於 い てn→∞

とす る とE1

満 た す こ と が わ か る.こ

り

量 有 限 な 一 般 のBorel集

Choquet容

量 で あ る こ と(定

(3.3.9)

 

合Bに

理3.1.1)とBの

足(0.2.2))に

よ り

Cap(K)

が 成 立 し て い る こ と に 注 意 し て,Kn⊂B⊂Anな

開 集 合 の 減 少列{An}を

対 し て は,Capが

可 容 性(補

Cap(B)= sup K⊂B,Kはコン

な ら しめ 得 る.今

成 立 す る

等 式 が コ ン パ ク ト集 合 と 容 量 有 限 な 開 集 合 に対 し て は 成 立 す

る こ と が わ か っ た.容

{Kn}と

よ りe0は(3.3.5)

パクト

る コ ン パ ク ト集 合 の 増 大 列

選 ん で 

ま で と 同 様 の 議 論 を す れ ば,D[E]の

元e0が

あ っ てE1(e0,

 

e0)=Cap(B)且

つE1の

位相で

(3.3.10) が 成 立 す る こ とが わ か る.e0=eBを

示 せ ば よ い の だ が,そ

け る条 件(3.3.5)と(3.3.6)がe0に 質 か ら導 か れ る こ と(前   (ⅱ)  eBの

者 に は 定 理3.1.4(ⅰ)を らeBが

か ら υnはX上

と お く とan↓0.こ 従 っ て(3.3.6)か

で 一 様 に 収 束 し て い る.特

仮

に 

考 慮 す る とaneB-υn≧0

q.e.(B).

∞.

ポ テ ン シ ャ ル で あ る こ と が わ か っ た.既

ン パ ク ト集 合Kに

対 し て はsupp[νK]⊂Kで

に 述

あ り,(ⅰ)と

よ りCap(K)=νK(K).

(ⅲ) 

とお き,

(3.1.5)を

使 う とunがE1の

u0∈D[E]は

 な るun∈DKを

位 相 でCauchy列

こ の よ うな{un}の

を な し,し

選 ぶ.

か も極 限 関 数

選 び 方 に 依 存 しな い こ と が わ か る.

(3.3.11.)

  u0=eK

を 示 し さえ す れ ば よ い.K上 DKで

示 す た め に υn∈D,υn↓0,と

の と き(3.3.5)を

あ る νB∈M0の

べ た よ う に,コ

注 意 す れ ば よ い.

条 件 を 満 た す こ とを 導 け

ら0≦E1(eB,υn)≦anCap(B)→0,n→

  こ れ でeBが

特徴づ

対応す る性

使 っ て)に

補 題3.2.2の

明 らか で あ る.(3.2.5)を

定 す る.υn∈C∞(X)だ

(3.2.17)に

対 し て 各 々eAnとeKnの

性 質(3.3.6)か

ば よ い.(3.2.4)は

れ に はeBを

あ る か

らE1(un+ε

で 非 負 な υ,un+ε

2E1(u0,υ)+εE1(υ,υ)≧0.ε

↓0と

υ∈Dと

ε>0に

対 し て は,un+ε

υ)≧E1(u0,u0).こ

こ でn→

∞

す る こ と に よ っ てu0が(3.3.7)を

υ∈ と し て 満 た

す こ と が わ か る.

 (3.3.5)を (D.2)を

示 す た め に,Dが(D.1)を

と お く と υnはDKに

満 た す と き は 

≦E1(un,un)で

満 た す と き に は υn=un∧1と

あ る か ら υnはu0にE1の

属 し,E1(υn,υn)

位 相 で 収 束 す る.従

q.e.(K)が

得 られ る. (証 終)

  こ こ で 定 理3.3.1の 3.3.1(ⅲ)の

って 定 理3.1.4 これ よ り

(ⅰ)に よ って,必 要 な ら部 分 列 を選 ん で  u0=1

お き,

等 式 は,コ

意 味 す る こ と を 少 し 考 え て み る こ と に し よ う.定 ン パ ク ト集 合 の 容 量 がEの

そ の 芯D上

理

の値 のみ に

基 づ い て 直 接 計 算 で き る こ と を 示 し て い る.前

節 の 始 め に 述 べ た こ と で あ る が,

こ れ は 応 用 上 大 切 な こ と で あ る.   定 理3.3.1(ⅱ)は

特 に 次 の こ と を 意 味 し て い る.Borel集

正 で あ れ ば(3.3.9)に >0.こ

よ り適 当 な コン パ ク ト集 合K⊂Bが

の と きKの

平 衡 分 布νK∈M0はB上

  従 っ て 補 題3.2.6と   定 理3.3.2 

Borel集

合Bが

あ っ てCap(K)

に 正 の 質 量 を も つ.

概 極 集 合 で あ るた め の 必要 十分 条 件 は

  前 節 の始 め にL2(X;m)に

μ ∈M0.

属 す 関 数 の(1-)概

超 過 性 の 定 義 を 与 え た.一

属 す 測 度 の ポ テ ン シ ャル の全 体 の族 は,D[E]に

体 の族 に含 まれ て い る.特 (例 え ばEがC0-正

にEが(D.2)の

属す概超過関数全

性 質 を 満 た す芯Dを

もつ 場合

則 の場 合)に は,前 者 と後 者 が 一 致 す る こ とが わか って い

る(定 理3.2.1).後 あ る.本

容量 が

合 わす と

μ(B)=0,∀

般 にM0に

合Bの

者 は この 意 味 で デ ィ リク レ形 式 に と って重 要 な関 数 族 で

節 の最 後 に概 超 過 関数 族 上 の1つ の 基 本的 な変 換 と して,Xの

部分

集 合 上 へ の被約 関 数 を 作 る とい う操 作 に触 れ て お こ う.被 約 関 数 を 特 徴 づ け る 上 で,次

の補 題 が 大 切 な 役 割 を 果 たす.

  補 題3.3.2 

u1はL2(X;m)に

過 関 数 とす る.も

しu1≦u2

属 す 概 超 過 関 数,u2はD[E]に m-a.e.な

らu1もD[E]に

属す概超

属 し,E1(u1,u1)≦

E1(U2,U2).   証 明   (u1-e-tTtu1,u1)≦(u1-e-tTtu1,u2) =(u1

こ の 不 等 式 の 両 端 をtで

,u2-e-tTtu2)≦(u2,u2-e-tTtu2).

割 っ てt↓0と

す る.補

題1.3.4に

よ り 

こ れ はu1∈D[E],E1(u1,u1)≦E1(u2,u2),を

意

味 す る. (証終)   fをD[E]に

属 す 概 超 過 関 数 と し,BをXの

し て(3.3.4)と

類 似に

(3.3.12)

  Lf,B={w∈D[E];w≧f

と お く.Lf,BはD[E]内

任 意 の 部 分 集 合 とす る.そ

q.e.(B)}

の 空 で な い 閉 凸 集 合 で あ る か ら,Lf,B上

でE1(w,

w)を

最 小 に す る 一 意 元 が 存 在 す る.こ

(1-)被

約 関 数(1-reduced

れ をfBと表

function)と呼

わ し,fのB上

へ の

ぶ.

  明 らか に (3.3.13) 

E1(fB,υ)≧0,∀

補 題3.2.1に い る.そ

よ れ ば(3.3.13)はfBが

こ でu=fB∧fと

補 題3.3.2に u=fBで

υ∈D[E],υ

≧0

再び 概 超 過 的 で あ る こ と を 意 味 して

お く と,uは

ま た 概 超 過 的 で あ り,u≦fB

よ りE1(u,u)≦E1(fB,fB).と

な け れ ば な らな い.即

q.e.(B).

こ ろ がuはLf,Bに

m-a.e.. 属す か ら

ち

(3.3.14) fB≦f m-a.e.. (3.3.15) fB=f

  補 題3.1.1と   補 題3.3.3 

q.e.(B).

全 く同 様 に し て 次 の 補 題 を 得 る. D[E]に

属 す 超 過 関 数fのB上

(3.3.13)と(3.3.15)に   X上

のm-可

へ の 被 約 関 数fBは

よ っ て 特 徴 づ け られ るD[E]の

測 関 数uで

次 の3条

0≦u≦f m-a.e.,

(3.3.17) 

uは

(3.3.18) u=f

一 意 元 で あ る.

件 を 満 た す も の の 全 体 をUf,Bと

(3.3.16) 

条 件

お く.

概 超 過 的, q.e.(B).

条 件(3.3.16)はu∈L2を 定 義 が 可 能 で あ り,ま

意 味 す る か ら(3.3.17)に た(3.3.16),(3.3.17)は

於 け るuの

補 題3.3.2に

を 意 味 す る か ら準 連 続 修 正 に 関 す る 条 件(3.3.18)をuに

概超過性の

よ りu∈D[E]

課 す こ とが 可 能 に な

る わ け で あ る.   定 理3.3.3 

fをD[E]に

属 す 概 超 過 関 数,BをXの

任 意 の部 分 集 合 と

す る.   (ⅰ) fのB上

へ の 被 約 関 数fBはUf,Bの

最 小 元 で あ る.即

ちfB∈

Uf,B,fB≦u,∀u∈Uf,B.   (ⅱ)  X上 =f

q .e.(B),を

  (ⅲ)  Bを

のm-可

測 関 数 が あ っ て,0≦u≦fB m-a.e.,uは

満 た す と す る.こ 容量 有 限 なBorel集

の と きu=fB 合,eBを

概 超 過 的,u

m-a.e..

そ の 平 衡 ポ テ ン シ ャ ル とす る.X

上 のm-可

測 関 数uが

(B),を

あ っ て,0≦u≦eB m-a.e.,uは

満 た す と す る.こ

お く.u′

≦E1(fB,fB).一

≦u.最

既 に 示 し た.任

は 概 超 過 的 でu′ ≦fBだ 方u′ ∈Lf,Bで

  (ⅱ) uが(ⅱ)の

意 のu∈Uf,Bに

対 し てu′=fB

か ら補 題3.3.2に

も あ る か らu′=fB即

性 質 を 満 た せ ばu∈Uf,Bで

よ っ てE1(u′,u′) ちfB≦u m-a.e..

あ る か ら(ⅰ)に

よ りfB

初 の 不 等 式 と合 わ せ てu=fB.

  (ⅲ)  補 題3.3.3は

特 に(eB)B=eBを

満 た せ ば(3.3.5)と(ⅰ)に u=eB. 

意 味 し て い る.uが(ⅲ)の

よ りeB=(eB)B≦u.最

性質 を

初 の 不 等 式 と合 わ せ て

(証 終)

  被 約 関 数 を と る 操 作 に 双 対 な も の と して,エ の 変 換 で,掃   μ∈M0の

で あ る.こ

ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度 の 族M0上

散 と呼 ば れ る も の を 定 義 す る こ と が で き る. ポ テ ン シ ャ ル をuと

き,uのB上

す る.Bを

へ の 被 約 関数uBは れ は 補 題3.3.3を

れ る こ とで あ る.μ out)と

q.e.

の と きu=eB m-a.e..

  証 明   (ⅰ)  fB∈Uf,Bは ∧uと

概 超 過 的,u=1

い う.特

容 量 有 限 なBorel集

あ る 一 意 的 な 測 度ν ∈M0の

使 っ て 定 理3.3.1(ⅱ)の

にν を 対 応 さす 変 換 を,B上

にBが

散 に よ っ て 得 ら れ る 測 度 はB上

に 集 中 して い る.

ポ テ ン シ ャル

証 明 と同 様 に し て示 さ

へ の(1-)掃

コ ンパ ク ト集 合 の と き に は,補

合 とす る と

散(1-sweeping

題3.3.1に

よ り,掃

第Ⅰ 部 あ とが き

  第1章

  対 称形 式 の理 論

  §1.1  A.

Beurling-J.

Deny[Ⅰ;1]が

最 初 に 導 入 し た デ ィ リ ク レ形式Eは,

次 の 条 件 と正 規 縮 小 に 関 す る 安 定性 の 条 件(E.4)"を れ る:D[E]はEに 分 で あ り,更

J. Deny[Ⅰ;4]で

関 し て ヒ ル ベ ル ト空 間 を な し,D[E]の に 各 コ ン パ ク ト集 合Kに

各元 は 局所 可 積

対 して 定 数CKが

あ って

は 次 の よ うな 場 合 も扱 わ れ て い る:D[E]はEに

ベ ル ト空 間 で あ り,D[E]の

§1.4の

結 果 か らわ

ル コ フ 推 移 半 群 や マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン トに 主 眼 を 置 く と い う立

場 か ら は こ の 定 義 が 最 も 自 然 な も の で あ ろ う.M. D[E]がL2で

あ って

の 閉 対 称 形 式 で あ っ て マ ル コ フ 性(E.

も つ も の と して デ ィ リ ク レ形 式 を 定 義 す る.§1.3や

か る よ う に,マ

関 し ヒル

各 元 は 自乗 可 積 分 で 且 つ あ る 定 数Cが

  こ れ に対 し て 本 書 で はL2(X;m)上 4)を

満 たす もの と して定 義 さ

Fukushima[Ⅰ;1]で

稠 密 で あ る と い う仮 定 が 外 し て あ る が,こ

は 更に

れ は 境 界条 件 を 記 述

した りす る 上 で 必 要 な こ と で あ る.   しか し本書 の 定 義 だ け か ら で は0次

の デ ィ リ ク レ形 式Eに

次 の ポ テ ン シ ャ ル 作 用 素 が 直 接 定 義 で き ず,従 シ ャ ル の 理 論 等 と の 対 応 が つ き に くい.こ Lions[Ⅰ;1],M. stein[Ⅱ,1]等

Brelot[Ⅰ;2],J.

関 す る 容量 や0

っ て 古 典 的 な ニ ュ ー トンポ テ ン

の 点 を 補 うた め に はJ.

Deny[Ⅰ;2],[Ⅰ;3],[Ⅰ;4],M.L.

Deny-J.L. Silver-

を 参 照 さ れ た い.

  ま た 本 書 で は 非 対 称 な デ ィ リ ク レ形 式 は 扱 っ て い な い.こ

れ に 関 して は

M. Ito[Ⅰ;1],H. [Ⅰ;2],G.

Kunita[Ⅰ;1],[Ⅰ;2],J.

Stampacchia[Ⅰ;1],T.

  §1.3  定 理1.3.1の Theorem2.23参

Bliedner[Ⅰ;1],[Ⅰ;2]

Kato[Ⅰ;1]等

別 証 に つ い て はM.G.

照.ヒ

,J. Elliott

を 参 照 さ れ た い. Krein[Ⅰ;1],T.

Kato[Ⅰ;1]Ⅵ

ル ベ ル ト空 間 上 の 閉 対 称 形 式 の 重 要 性 は 対 称 作 用 素 の

自己 共 役 拡 大 に 関 す るFriedrichs[Ⅰ;1]の

理論 に よ って 認 識 され た もの で あ

る.Friedrichs拡

大 に つ い て は 本 書 の §2.3の

茂[Ⅰ;1]第8章10節

を あ げ て お く.定

他 に 吉 田 耕 作[Ⅰ;1]§44,溝

理1.3.2の

畑

証 明 は 著 者[Ⅰ;1]に

よ

る.   §1.4  定 理1.4.1.はA.

  第2章

Beurling-J.

Deny[Ⅰ;1],J.

Deny[Ⅰ;3]に

負 う.

  マ ル コフ 対 称 形 式 と デ ィ リ ク レ 形 式 の 範 囲

  §2.2  定 理2.2.1と

定 理2.2.2は

明 な しに 述 べ ら れ た も の で あ る.本

最 初A.

Beurling-J.

Deny[Ⅰ;1]に

証

書 の 証 明 は 池 田 信 行-渡 辺 信 三[Ⅰ;1]に

於

け る 証 明 を 参 考 に さ せ て い た だ い た.   §2.3  定 理2.3.1は M.G.

新 し い も の で あ る.定

Krein[Ⅰ;1]に

渡 辺 毅 氏 に 負 う(M.

参 照).A(1/2Δ)の各

[Ⅰ;1]Vol Ⅱ参 W.

元 を境界 条件 る.M.G.

Fukushima[Ⅰ;1],Theorem

N.A.

Akhiezer-I.M.

よ って 得 られ た.本書

で は 多 次元 の場 合 にAM(1/2Δ) 有 界 領 域 の 場 合,DのMartin

境 界 上 の ディ リ ク レ形 式 の あ る 族 に よ ってAM(1/2Δ)の

全 体が特 徴 づ け ら

た 対応 す る 境 界 条 件 が 記 述 さ れ る こ と が 知 られ て い る(M.

[Ⅰ;1]).こ

の 結 果 はH.

[Ⅰ;3],[Ⅱ,1]に

Kunita[Ⅰ;2],

よ っ て作用

  あ ら か じ め 作 用 素Sが

Glazman

境 界条 件 に よ る特徴 づ け は一次 元 の 場 合

の 最 小 元 と最 大 元 しか 問題 に して い な い が,Dが

れ,ま

5.1

よ って特 徴 づ け る こ とは,一次 元の場 合

Krein[Ⅰ;2],

照.AM(1/2Δ)の

Feller[Ⅰ;1]に

定 理2.3.3は

負 う.

  §:2.4  定 理2.4.1は

に は よ く知 られ て い

理2.3.2と

素Sが1/2Δ

J. Elliott[Ⅰ;1], と異 なる場合に拡

与え られ た と き,Sの

M.L.

Fukushima Silverstein

張 され て い る.

拡 大 で あ って マル コ フ作 用 素

の 半 群 を 生 成 す る よ う な も の の 全 体 は ど れ だ け あ る か?こ

の 設 問 は"マ

ル コ

フ 過 程 の 境 界 問 題″

と 呼 ば れ,W.

Fellerの

過 程 の 研 究 の 重 要 な テ ー マ の1つ て は 上 述 の 諸 論 文 の 他 にJ. Ueno [Ⅰ;1], tzell

T.

[Ⅰ;1]を

Shiga-T.

L.

研 究[Ⅰ;1],[Ⅰ;2]以

で あ っ た.こ Doob

の問 題 へ の解 析 学 的 接 近 に つ い

[Ⅰ;1],

Watanabe

来 マ ル コ フ

E. B.

[Ⅰ;1],

Dynkin

M.

[Ⅰ;1],

K.

[Ⅰ;1],

A. D. Wen

I. Visik

あ げ て お く.

 第3章 

デ ィリ ク レ形 式 の ポ テ ン シ ャル 論

  §3.1  デ ィ リ ク レ形 式 を 使 っ て 定 義 さ れ る 容 量 がChoquet容 (定 理3.1.1)は

最 初 にJ.

び 補 題3.1.5は

著者[Ⅰ;2]に

基 本 定 理 で あ る(J.   容 量0の

Sato-T.

Deny

[Ⅰ;2]に

よ る.定

Deny-J.

よ っ て 示 さ れ た.定

理3.1.3と

L. Lions

[Ⅰ;1]参

あ る.つ

ま りq.e.で

ちFourier級

よ

Denyの

照). 明 らか に され る で あ ろ う.概

成 り立 つ と い う主 張 はa.e.で

つ と い う主 張 よ り も よ り詳 し い わ け で あ る.と 問 題に 於 け る 除 外 集 合,即

理3.1.2お

定 理3.1.4はJ.

集 合 を 概 極 集 合 と呼 ぶ 理 由 は §5.1で

極 集 合 の 測 度 は0で

量で あるこ と

こ ろ でFourier解

成 り立

析 や境 界 値

数 が 収束 しな い 点 の 集 合 や 関 数 の 法

線 に 沿 っ て の 境 界 値 が 存 在 し な い 境 界 点 の 集 合 を,測

度0の

集 合 か ら概 極 集 合

へ と細 か く で き る と い う型 の 定 理 が あ り,最 も 有 名 な も の はA. Beurlingの 理[Ⅰ;1]で

あ る.こ

[Ⅰ;1], L. Carleson

の 定 理 の 拡 張 に つ い て はN. [Ⅰ;1]参

照.C.

K. Bary

J. Preston

定

[Ⅰ;1], A. Zygmund

[Ⅰ;1]は

円 周 上 の デ ィ リク

レ形 式 に 関 す る 極 大 不 等 式 を 導 い て こ れ ら の 結 果 を 拡 張 し た.円

周上の対称加

法 過 程 と の 関 連 で 興 味 深 い も の で あ る.   §3.2  定 理3.2.2はA. J. Deny

[Ⅰ;4]で

Beurling-J.

[Ⅰ;1]で

結 果 だ け が 述 べ ら れ,

証 明 が 与 え られ た も の で あ る.

  §3.3  補 題3.3.2はM.

L.

的 に はM.

よ る.

  第3章

Deny

L. Silversteinに

Silverstein

[Ⅰ;1]に

よ る.定

理3.3.2も

の 記 述 は 主 に 第Ⅱ 部 へ の 応 用 を 意 識 した も の で あ り,ポ

自 身 を で き る だ け 一 般 的 に 展 開 す る と い う立 場 は と っ て い な い.ポ 論 の 歴 史 的 沿 革 を も 含 め て こ の 点 を 補 うた め にO.

Frostman

本質

テ ン シ ャル 論 テ ン シ ャル

[Ⅰ;1], H. Cartan

[Ⅰ;1],

M.

Brelot

宮 信 幸[Ⅰ;1]を

[Ⅰ;1], J. あ げ て お く.

Deny

[Ⅰ;4],井

上 正 雄[Ⅰ;1],岸

正 倫[Ⅰ;1]

,二

文献 その Ⅰ

N.I.Akhiezer  [Ⅰ;1] 

and Theory

I.M.Glazman of

linear

operators

in

1961(Vol.Ⅰ),1963(Vol.Ⅱ),ヒ

Hilbert

space,Frederick

ル ベ ルト空

間 論(上

Ungar,New

・下),千

York,

葉 克 裕 訳 ,共

立 出

版. N.K.Bary  [Ⅰ;1] 

A

treatise

on

trigonometric

series,Pergamon,Oxford,1964(Vol,1).

A.Beurling  [Ⅰ.1] 

Ensemble

A.Beurling

exceptionnels,Acta

 [Ⅰ;1] 

and

Math.,72(1939),1-13.

J.Deny

Dirichlet

spaces,Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.,45(1959),208-215.

J.Bliedner  [Ⅰ;1] 

Functional

Ⅱ,Lecture   [Ⅰ;2] 

spaces

Notes

and

their

exceptional

sets,Seminar

on

Potential

Theory

in Math.,no.226,Springer,Berlin-Heidelberg-New

Dirichlet

forms

Elements

de

on

regular

functional

spaces,同

York. 上.

M.Brelot  [Ⅰ;1]  de

documentation

 [Ⅰ;2] 

Etude

la theorie

classique

du

potentiel,Les

Cours

de

Sorbonne,Centre

Universitaire,1959. et

extensions

du principe

de

Dirichlet,Ann.Inst.Fourier,5(1953/

54),371-419. L.Carleson  [Ⅰ;1] 

Selected

problems

Theorie

du

on

exceptional

sets,Van

Nostrand,Princeton(1967).

H.Cartan  [Ⅰ;1] 

potentiel

newtonien;energie,capacite,suites

Soc.Math.France,73(1945),74-106. G.Choquet  [Ⅰ;1] 

Theory

of

capacities,Ann.Inst.Fourier,5(1953/54),131-295.

de potentiels,Bull.

J.Deny  [Ⅰ;1] 

Les

potentiels

 [Ⅰ;2] 

Theorie

de

dirige par  [Ⅰ;3] 

d'energie

la capacite

finie,Acta dans les

espaces

M.Brelot,G.Choquet

Principe

et

complet

du

Math.,82(1950),107-183. fonctionnels,Sem.Theorie

Potentiel,

J.Deny,1964/65

maximum

et

contractions,Ann.Inst.Fourier,15

(1965),259-272.  [Ⅰ;4] 

Methodes

Hilbertiennes

Internazionale J.Deny

and

 [Ⅰ;1] 

Matematico

et

theorie

du

potentiel,Potential

Estivo,Edizioni

Theory,Centro 

Cremonese,Roma

1970.

J.L.Lions

Les

espaces

du

type

de

Beppo

of

functions

Levi,Ann.Inst.Fourier,5(1953/54),305-

370. J.L.Doob  [Ⅰ;1] 

Boundary

properties

with finite

Dirichlet

integrals,Ann.Inst.

Fourier,12(1962),573-621. E.B.Dynkin  [Ⅰ;1] 

General

boundary

Veroyatnost.i

conditions

for

denumerable

Markov

processes,Teor.

Primenen.,12(1967),227-257.

J.Elliott  [Ⅰ;1] 

Dirichlet

spaces

and

boundary

conditions

for

submarkovian

resolvents,J.

Math.Anal.App.,36(1971),251-282.  [Ⅰ;2] 

On unsymmetric

Dirichlet

forms,Can.J.Math.,25(1973),252-260.

W.Feller  [Ⅰ;1] 

Generalized

tions,Illinois  [Ⅰ;2] 

On

second

order

differential

equations

and

their

lateral

condi

differential

equa

J.Math.,1(1957),459-504.

boundaries

and

lateral

conditions

for

the

Kolmogorov

tions,Ann.Math.,65(1957),527-570. K.Friedrichs.  [Ⅰ;1] 

Spektraltheorie

Spektralzerlegung

halbbeschrankter von

Operatoren und

Anwendung

auf

die

Differentialoperatoren,Math.Ann.,109(1934),465-487.

O.Frostman  [Ⅰ;1]  a la

Potentiel theorie

d'equilibre des

et

capacite

fonctions,Medd.Lund

des

ensembles

avec

quelques

applications

Univ.Mat.Sem.,3,1935.

M.Fukushima  [Ⅰ;1] 

On

boundary

conditions

for

multi-dimensional Brownian

motions

with

symmetric   [Ⅰ;2] 

resolvent

Dirichlet

densities,J.Math.Soc.Japan,21(1969),58-93.

spaces

and

strong

Markov

processes,Trans.Amer.Math.Soc.,

162(1971),185-224. 池 田信

行-渡辺

 [Ⅰ;1] 

信 三

拡 散 過 程 の 局 所 構 造Sem.on

Prob.,vol

35,確

率 論 セ

ミ ナ ー,1971.

井 上 正 雄  [Ⅰ;1]  伊 藤

ポ テ ソ シ ャ ル 論(共

立 全 書)1952.

清

 [Ⅰ;1] 

確 率 過 程Ⅱ,岩

波 書 店(現

代 応 用 数 学 講 座),1957.

M.Ito  [Ⅰ;1] 

A

note

on

extended

regular

functional

spaces,Proc.Jap.Acad.,43(1967),

435-440. 伊 藤 清 三  [Ⅰ;1] 

ル ベ ー グ 積 分 入 門,裳

華 房,1963.

T.Kato  [Ⅰ;1] 

Perturbation

theory

for

linear

operators,Springer,Berlin-Heidelberg-New

York,1966. 岸

正 倫

 [Ⅰ;1] 

ポ テ ン シ ャ ル 論,森

北 出 版,1974.

M.G.Krein  [Ⅰ;1] 

The

mations [Ⅰ;2] 

theory and

同上

of

their

self-adjoint

extensions

of

semi-bounded

Hermitian

transfor

applications,Part Ⅰ,Mat.Sbornik,20(62):3(1947),431-495. 

Part Ⅱ,Mat.Sbornik,21(63):3(1947),366-404.

H.Kunita  [Ⅰ;1] 

Sub-Markov

on

Functional

 [Ⅰ;2] 

General

Math.Kyoto

semi-groups Analysis

and

boundary

in related

conditions

Banach

lattices,Proc.International

conference

topics,1969,Tokyo. for

multi-dimensional

diffusion

processes,J.

Univ.,10(1970),273-335.

L.H.Loomis  [Ⅰ;1] 

An

introduction

to

abstract

harmonic

analysis,Van

Nostrand,Princeton,

1953. P.A.Meyer   [Ⅰ;1]  溝 畑

茂

Probability

and

Potentials,Ginn

Blaisdell,Waltham,Massachusetts,1966.

  [Ⅰ;1] 

偏 微 分 方 程 式 論,岩

波 書 店,1965.

ポ テ ン シ ャ ル 論,共

立 出 版,1969.

二 宮 信 幸  [Ⅰ;1]  C.J.Preston  [Ⅰ;1] 

A

theory

Advances F.Riesz

and

 [Ⅰ;1] 

川,清

 [Ⅰ;1] 

application

to

some

convergence

results,

York,1955.関

数 解 析 学(上

・下),秋

立 出 版.

T.Ueno

Multidimensional

diffusion

processes

and

the

Markov

process

on

T.Watanabe

On

Markov

chains

similar

to

the

reflecting

barrier

Brownian

motion,

J.Math.,5(1968),1-33.

M.L.Silverstein  [Ⅰ;1] 

Dirichlet

spaces

 [Ⅰ;2] 

The reflected

 [Ⅰ;3] 

Classification

and

random

Dirichlet of

stable

time

change,Ill.J.Math.,17(1973),1-72.

space,Ill.J.Math.,18(1974),310-355. symmetric

Markov

chains,Indiana

J.Math.,24

(1974),29-77. G.Stampacchia  

[Ⅰ;1] Formes Paris

bilineaires

coercitives

sur

les

ensemble

convexes,C.R.Acad.Sc.

258(1964),4413-4416.

M.I.Visik  [Ⅰ;1] 

On

general

boundary

problems

for

elliptic

differential

equations,Trud.

Moskov.Mat.Obsc.,1(1952),187-246. A.D.Wentzell  [Ⅰ;1] 

On

boundary

Veroyatnost.i

conditions

for

multidimensional

diffusion

processes,Teor.

Primenen.,4(1959),172-185.

吉 田 耕 作  [Ⅰ;1]   

ヒ ル ベ ル

[Ⅰ;2] Functional

ト空 間 論(共

立 全 書),1953.

analysis,Springer,Berlin-Heidelberg-New

A.Zygmund  [Ⅰ;1] 

Trigonometric

the

Univ.4(1965),526-606.

and

Osaka

its

analysis,Ungar,New 原 訳,共

boundary,J.Math.Kyoto T.Shiga

and

B.St.Nagy

and

 [Ⅰ;1] 

capacities

Math.,6(1971),78-106.

Functional

月,絹 K.Sato

of

in

series,Cambridge,1959.

York,1965.

第Ⅱ

部  対 称 マル コ フ過程

第4章

 対 称 標 準 マ ル コ フ過程 の構 成

  §4.0  序   この 章 で は 正 則 デ ィ リク レ形 式 を 任 意 に 与 え た と き,そ れ に 適合 した 標 準 マ ル コフ過 程 が 存 在 す る こ と,お

よびq.e.の

出 発点 を 除 い て は そ の 有 限 次 元 結

合 分 布 が一 意 的 に定 ま る こ とを 示 す.   確 率 現 象 の系 列,即

ち補 足 §0.3の 意 味 でT={0,1,2,…}を

す る確 率 過 程Xt,t∈T,を

考 え る とき,系

時刻集合 と

列 の 各段 階 の 相 互依 存 性 とい う立

場 か ら見 て最 も単 純 な もの が 独 立 試 行過 程 で あ り,次 に 単純 な もの が マ ル コフ 過 程 と呼 ば れ る もの であ る.銅 貨 を何 度 も く り返 して投 げ る と い う実 験 を 想 定 してみ よ う.ま ず 表 が 出 るか裏 が 出 るか とい う結 果 だけ に 関心 が あ る 場 合, t+1回

目の試 み で表 が 出 る とい う確 率 は1/2で

あ って そ れ はt回

目まで の試

み の結 果 に全 く依 存 しな い.こ れ が独 立試 行過 程 の特 徴 で あ る.同 じ実 験 でt 回 目 まで に 表 が 出 た 回 数Xtに

関 心を もつ場 合,系

列{Xt}は

もは や 独 立 試

行 過 程 で は な くな る.   しか し例 え ばX10=6(10回目 か らX11は6ま

まで の試 み で 表 が6回 出 た)と い う条 件 だけ

た は7の 値 を確 率1/2ず

つ で と る とい う こ とが 自動 的 に従 う

ので あ り,そ れ は どの よ うな経 過 でX10=6と

な った か,つ

ま りX1か

らX9

まで の 結 果 が ど うで あ った か とい う こ とに依 存 しな い.い い か え る と将 来 の結 果 の確 率 は 現 在 の状 態 を 知 れ ば過去 の 履歴 に依 存 せず に 一意 的 に 予 測 で き る. マ ル コフ過 程 は こ の よ うな 性 格 に よ って 特 徴 づ け られ る確 率 過 程 の こ とで あ り, この うち特 に上 の例 の よ うに時 刻 集 合が 離 散 的 な 場 合 を 離 散 時間 の マル コ フ過 程 と呼 ん で い る.   本 書 で は,時 刻 集 合 が 連 続 無 限半 区間[0,∞)で

あ るマ ル コ フ過 程 を扱 う.

即 ちXt,t∈[0,∞),が

マル コフ過 程 で あ る とは,任 意 のt≧0に

状 態 空 間 の あ る値xを

とる と い う条 件 の下 で は,s時

過 去{xt′;t′0}が

定 ま る の を 見 た が,こ

群 を 作 る こ と は 一 般 に は 不 可 能 に 近 い の で あ る.

条 件 は 一般

のマル コ

れ か らFeller半

 け れ ど もデ ィ リク レ形 式 が 正 則 な らば,3章

の ポ テ ン シ ャル論 の おか げ で充

分 多 くのfに

もち,ま た適 当な 数 列tn↓0に

対 しTtfは

準 連 続 修 正Ttfを

沿 って はTtnf(x)→f(x)がq.e.に t>0}はC∞

上 のFeller半

成 立 す る.こ の 意 味 でL2上

の半 群{Tt,

群 よ りもあ ま りひ ど く悪 い もの で は な い とい うこ

とが で き る.こ の 点 に 着 目 し,Feller半 群 か ら標 準 マル コ フ過 程 を構 成 す る場 合 と同 じ道 筋 を た ど りな が ら,し か し具 合 の悪 い概 極 集 合(容 量0の 集 合)は 逐 次無 視 して 行 くこ とに よ って 適 当 なBorel概

極 集 合 の外 側 に標 準 マ ル コ フ

過 程 を 構 成 す る こ とが で き る.こ れ が §4.4と

§4.5で 行 な う事 柄 の内 容 で あ

る.最 終 的 には,除 外 した 概極 集 合 の 点 を 全 て 不変 点 と してつ け加 え て,正 則 デ ィ リク レ形 式 に 適 合 したX上

の標 準 マル コフ過 程 を 得 るわ け で あ る.

 この よ うに我 々 の 構 成 法 はFeller半 相 違 は 次 の点 にあ る:正

群 の場 合 と類似 な の で あ るが,重

則 な標 本 路 を 構 成 す る問 題 を,Feller半

は優 マ ル チ ンゲ ー ル の標 本 路 の 正 則 性(補 足 §0.4(d))に が,我

要な

群 の場 合 に

帰 着 さす の で あ る

々の場 合 には そ れ と同時 に 優 マル チン ゲ ール に 関 す る任 意抽 出定 理(補

足 §0.4(c))を

も用 いね ば な らない(補 題4.5.1).標

本 路 の 閉 包 が適 当 な

概 極 集 合 の 外 側 に 留 ま る こ とを 保 証 す るた め に で あ る.  上 の 説 明 か ら推 察 され る よ うに,正 則 デ ィ リク レ形 式 に 適 合 した標 準 マ ル コ フ過 程 は"全 て の 出発 点 に対 して有 限 次 元 結 合 分 布 が 等 しい"と い う意 味 で の 一 意 性 を もた な い .し か し"全 て の出 発 点 に対 して"と い う条 件 を"あ るBorel 概 極 集 合 の外 側 の全 て の 出発 点 に対 して"に 弱 め れ ば 一 意 性 が 成 立 す る.こ の よ うな一 意 性 の定 式 化 は 存 在定 理 の 定 式 化 と共 に §4.3で 与え ら れ る.§4.4 と §4.5の 議 論 は そ の 性 格 上 や や微 細 な もの な ので,読 者 は 最 初 は こ こを飛 ば して先 の章 に 進 まれ て さ しつ か え な い.但 結 果 と して得 られ る 補題4.5.1の

しマ ル チ ンゲ ール の任 意 抽 出 定 理 の

不 等 式 は §5.1で 再 び 用 い られ るで あ ろ う.

  §4.1  マ ル コ フ 推 移 関 数 と マ ル コ フ 過 程  (S,B)を B,の

可 測 空 問 とす る と き,次

非 負 関 数pt(x,A)を(S,B)上

の 条 件 を 満 た す3変 の(時

数t>0,x∈S,A∈

間 的 に 一 様 な)マ

ル コフ 推 移 関

数(Markov

transition

 (p.1) 

function)と

各t>0とx∈Sに

い う.

対 し,pt(x,・)は(S,B)上

の測 度 でpt(x,S)

≦1.  (p.2) 

各t>0とA∈Bに

対 し,pt(・,A)∈B.

  (p.3)

最 後 の 関 係 はChapman-Kolmogorov方 義 に 於 い てt,sがQ+(正

程 式 と い わ れ る.本

の 有 理 数 の 全 体)上

よ うな 場 合 に はpt(x,A)を

特 にQ+を

書 で は,上

の定

の み を 動 く 場 合 も考 え,そ

の

パ ラ メ タ ー とす る マ ル コ フ 推 移 関 数

と 呼 ぶ.   Sに

属 さ な い 一 点Δ

れ る σ-加法 族 をBΔ 関 数 をpt(x,A)と

を 考 え,SΔ=S∪{Δ}と

と 記 す.勿 す る と,こ

論Δ

お き,SΔ

内 でBか

∈BΔ で あ る.(S,B)上

れ はAに

の マ ル コフ推 移

関 し て(S,B)上

ず し も な い.し

か し 次 の よ うに(SΔ,BΔ)上

と に よ っ て,確

率 測 度 の 場 合 に 帰 着 で き る.

ら生 成 さ

の確 率 測 度 で は 必

の マ ル コ フ推 移 関 数 に 拡 張 す る こ

(4.1.1)  問4.1.1(S,B)上

の マ ル コ フ推 移 関 数pt(x,A)か

れ るp′tは,(SΔ,BΔ)上

  Tで

も っ て,[0,∞],[0,∞)ま

る.Tを

時 刻 集合 と し,可

に 関 す る)マ

  (M.1) 

 (M.2) 

測 空 間(S,B)を

い ず れ か を表 わ す こ と に す 状 態 空 間 と す る よ う な({Mt}

の 条 件 を 満 た す 確 率 過 程 の 組M={Ω,M,

に 対 し,{Ω,M,Px,(Xt)t∈T}は,Tを

状 態 空 間 に も つ 確 率 過 程 で あ っ て,{Mt}に

{Mt}t∈TはMの Mt⊂Mg,を

よ って 定 義 さ

の こ と で あ る.

各x∈SΔ

(SΔ,BΔ)を

た は{0}∪Q+の

ル コ フ 過 程 と は,次

Mt,Xt,Px}x∈SΔ

ら(4.1.1)に

の マ ル コ フ 推 移 関 数 に な る こ と を 示 せ.

あ る 指 定 され た 部 分

時 刻 集合 とし 適 合 して い る.但

し

σ-加法 族 の 集 合 でt,s∈T,t<s⇒

満 た す も の. 各t∈TとA∈Bに

対 し てPx(Xt∈A)はx∈SのB-可

測 関 数.

 (M.3)

  (M.4) 

各 点x∈SはBに

属 しPx(X0=x)=1,x∈S.

  (M.5) PΔ(Xt=Δ)=1,t∈T.   条 件(M.3)はMの{Mt}に はMの

関 す る マ ル コ フ 性 の 条 件 とい わ れ る.(M.4)

正 規 性(normality)と

呼 ば れ,Pxがxか

ら出 発 す る 標 本 路 の 法 則 で

あ る こ と を 意 味 して い る.Δ

は 便 宜 上 つけ 加 え る も の でMの

point)と

部 分 σ-加法 族 の 組 を

呼 ば れ る.今Mの

死 点(terminal

(4.1.2) に よ っ て 定 義 す る.但

し右 辺 の 記 号 は{ 

加 法 族 を 意 味 す る.も

しMが{Mt}に

必 ず{F0t}に (M.3)の

}内 の 関 数 族 を 可 測 に す る 最 小 の σ関 し て マ ル コ フ過 程 で あ れ ば,そ

関 し て も マ ル コ フ 過 程 に な る.実

両 辺 の 確 率 変 数 のF0tに

際,F0t⊂Mtで

 Px-

が 得 ら れ る か ら で あ る.今 M,Xt,Px}x∈SΔ

後{Mt}を

あ る か ら,

関 す る 条 件 付 平 均 を と り,(0.4.4)を

 (M.3)′

れ は

使 えば

a.e.,

特 に 指 定 せ ず に,確

率 過 程 の 組M={Ω,

が マ ル コ フ過 程 で あ る と い う と き に は,{F0t}に

関す る マ ル

コ フ過 程 を 指 す も の とす る .  さ て マ ル コ フ過 程Mに (4.1.3) 

対 し

P′t(x,A)=Px(Xt∈A),t∈T,x∈SΔ,A∈BΔ

と おき,P′tの(S,B)へ マ ル コフ 過 程Mの (t∈T-{0}に で あ り,ま

の 制 限 をptと 推 移 関 数 と い う.こ

対 し て)各 た 関 係(4.1.1)を

均 を と り(0.4.6)を

々(SΔ,BΔ)お 満 た す.実

書 く.そ

し て{pt;t∈T-{0}}を

の よ う に し て 定 義 さ れ たp′tとptは よ び(S,B)上 際(M.3)の

の マ ル コ フ推 移関 数 両 辺 のPxに

関す る平

使 え ば  が 得 ら れ る.他

の 関 係 は 自明 で あ る.

1)  部 分σ-加 法 族 に関 す る条 件 つ き確 率 や 条 件 つき 平 均 値 の 定 義 と そ の 初 等 的 性質 に 関 して は補 足 §0.4参 照. 2)  確 率 測 度Pxに 関す る平 均(§0.4参

照)をExで

表わす.

 補 題4.1.1 

M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ,を

 (ⅰ) p′tを(4.1.3)に

マ ル コ フ 過 程 と す る.

よ っ て 定 義 す る とき,

(4.1.4)

が 任 意 のx∈SΔ,0≦t10}の

て

 に 対 して

 且 つ 任 意 の

(4.2.38) 

よ りL2(Rn)

{

な る表示 を 導 こ う.sijは   Plancherelの

行 列Sの(i,j)要

定理 を 使 っ て1)Eの

但 しへ はFourier変

素 で あ る.

近 似 形 式(1.3.14)を

換 を 表 わ す.t↓0と

し て 補 題1.3.4を

計 算す る と

使 うと

(4.2.39)

  (4.2.39)  を 書 き直 した も の が(4.2.38)で

ある.(4.2.38)は

勿 論 §2.2に

於 け る微 積 分 表 示 の 特 別 な 場 合 に あ た っ て い る.

 §4.3  正 則デ ィリク レ形 式 に適 合 した マ ル コ フ過 程 の 存 在 と一 意 性   位相 空 間Xと L2(X;m)上

そ の上 の 測 度mは

§1.1の 通 りと し,以

の正 則 デ ィ リク レ形 式Eが

1) Plancherelの

定 理 に つ い て は 溝 畑[Ⅰ;1]参

後本 章 を 通 じて

与 え ら れ た も の と す る.Eに 照.

は

L2(X;m)上

の マ ル コ フ 対 称 作 用 素 の 半 群{Tt,t>0},リ

α>0}が

一 意 的 に 対 応 し(§1.3,§1.4),ま

テ ン シ ャ ル{eA,A∈O0}⊂D[E]が D[E]の

たEに

よ って 開集 合 の平 衡 ポ

定 義 さ れ る(§3.1).§3.1によ

任 意 の 元 は 狭 い 意 味 で の 準 連 続 修 正 を もつ.今

正 の こ と を 単 に 準 連 続 修 正 と呼 ぶ こ と に す る.D[E]の をD[E]で

れ ば,

後狭 い意 味 の準 連 続 修 元 の準 連 続 修 正 の全 体

表 わ す.

  と こ ろ で 補 題1.3.3に

よ れ ばTt(L2)⊂D[E],Gα(L2)⊂D[E],で

我 々 はTtu,Gαu(u∈L2),eA(A∈O0),等 る.こ

ゾル ベ ン ト{Gα ,

あ るか ら

の準 連 続 修 正 を 考 え る こ とが で き

れ ら の 解 析 的 資 料 に 基 づ い て,正

則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

適 合 した標 準

マ ル コ フ過 程 を 構 成 す る の が 本 章 の 課 題 で あ る.   {pt,t>0}を(X,B(X))上 分 集 合Dで,条

の マ ル コ フ 推 移 関 数 とす る.今C0(X)の

部

件

(4.3.1) を 満 た す もの が あ っ て{pt,t>0}がDに (4.3.2) 

任 意 のt>0とf∈Dに

関 し 次 の 性 質 を も つ とす る. 対 し,ptfはTtfの

こ の と き マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}は

準 連 続 修 正.

正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

適 合 して い

る と い う.   [0,∞]を あ っ て,そ い う.但

時 刻 集 合 と し(X,B(X))を の 推 移 関 数 がEに

し本 節 で はMが

件(M.1)∼(M.5)を し な い.そ

状 態 空 間 とす る マ ル コ フ 過 程Mが

適 合 し て い る と き,MはEに

適 合 して い る と

単 に マ ル コ フ 過 程 で あ る と い う と き に は §4.1の

満 た す も の を 考 え,§4.2の

冒 頭 の 条 件(M.6)は

し て 任 意 の ω∈Ω に 対 し て そ の 標 本 路 がXΔ

条

要求

上で右連続で あ る よ

う な マ ル コ フ 過 程 の こ とを 右 連 続 な マ ル コ フ過 程 と呼 ぶ.   次 の こ とに 注 意 し て お こ う.右 連 続 な マ ル コ フ過 程Mの は(1.4.19)を t>0に

満 た す.実

際ptf(x),x∈X,f∈C∞(X),は(4.2.5)によ

関 し て 右 連 続 で あ りt↓0の

てptのLaplace変換(1.4.21)に {Rα,α>0}が

推 移 関 数{pt,t>0}

定 義 で き る.こ

と きf(x)に

収 束 す る か ら で あ る.従

よ っ て(X,B(X))上 れ は ま たMの

り っ

の リ ゾ ル ベ ン ト核

リ ゾ ル ベ ン ト核 と も呼 ば れ る.

(4.2.5) 

の両 辺 のLaplace変

換 を とれ ば

(4.3.3) が 成 立 す る.但

しf∈bBは(4.2.5)に

於 け る 規 約 通 りにf(Δ)=0と

XΔ 上 の 関 数 に 拡 張 さ れ て い る も の と す る.明

ら か にRα

おいて

は(1.4.20)を

満た

す.   次 の 補 題 は 特 に 適 合 性 の 定 義 が(4.3.1),(4.3.2)に

於 け る 関 数 族Dの

方 に 依 存 し な い こ と を 意 味 す る.ま

適 合 性 がMの

たMへ

のEの

ン トの 条 件 で も 与 え う る こ と を 示 し て い る が,こ   補 題4.3.1 

[0,∞]を

の 右 連 続 な マル コ フ

に 対 し て は,次

の条 件 は 互 いに 同値 で あ

  (ⅰ)  MはEに

適 合 し て い る.

  (ⅱ)  (4.3.1)を

満 た すC0(X)の

部 分 集 合Dが

対 し て,ptfはTtfの

対 し て,ptfはTtfの

属 す任 意 の 非 負Borel可

満 た すC0(X)の

部 分 集 合Dが

対 し て,RαfはGαfの

  (ⅴ)  任 意 の

α>0とL2(X;m)に

測 関 数fに

存 在 し て,任

  証 明   (ⅱ)⇒(ⅰ):任

意 のt>0に

対 し,tn↓tな

選 ぶ と,

方 補 題1.3.3よ

あ り且 つTtnf=Ttn-t(Ttf)は,tn→tの っ て 定 理3.1.4(ⅱ)に

測 関 数f

るtn∈Q+を

し て,ptnf(x)→ptf(x),tn→t,x∈X.一

収 束 す る.従

意 の α>0

属 す る 任 意 の 非 負Borel可

準 連 続 修 正.

Ttf∈D[E]で

意 のt∈Q+

準 連 続 修 正.

に 対 し て,RαfはGαfの

f∈Dに対

存 在 し て,任

準 連 続 修 正.

  (ⅳ)  (4.3.1)を とf∈Dに

で 表 わ す.

準 連 続 修 正.

  (ⅲ)  任 意 のt>0とL2(X;m)に

Ttfに

れ は 応 用上 有 用 で あ る.

推 移 関 数 と リ ゾ ル ベ ン ト核 を 各 々pt,Rα

とf∈Dに

リゾル ベ

時 刻 集合 とす る(X,B(X))上

過 程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈XΔ る.Mの

と り

と き,E1の よ りptfはTtfの

り 位 相で

準連 続修正

で あ る.   (ⅰ)⇒(ⅲ):t>0を固 で,ptfはTtfの

定 し,H={f∈L2(X;m);fは 準 連 続 修 正}と

お き,Hが

非 負Borel可

補 足 の 定 理0.1.2の

条 件(H.

測

1)∼(H.3)を

満 た す こ と を 確 か め れ ば よ い.(H.1)は

よ り(H.3)も m)と

満 た さ れ て い る.(H.2)を

し よ う.こ

自 明 で あ り,ま

た仮 定

示 す た め にfn∈H,fn↑f∈L2(X;

の と きptfn(x)↑ptf(x),∀x∈X.一

方 補 題1.3.3よ

り

(4.3.4) が 成 立 す る か ら,TtfnはTtfにE1の (ⅱ)よ

りptfはTtfの

準 連 続 修 正 で あ る.即

  (ⅲ)⇒(ⅳ):任

意 のf,g∈C0(X)に

こ れ はRαf=Gαfm-a.e.を の準 連 続 修 正 で あ Rαf(x),t↓0.一 E1の

位 相 で 収 束 す る.従

た 仮 定(ⅲ)よ

性 質(1.4.19)よ

方 補 題1.3.3よ

位 相 で 収 束 す る.従

ちf∈H.

対 して

意 味 す る.ま り,ptの

っ て 定 理3.1.4

りptRαfはTtGαf

りptRαf(x)=Rαptf(x)→

りTtGαfはt↓0の

と きGαf∈D[E]に

っ て 再 び 定 理3.1.4(ⅱ)に

よ りRαfはGαfの

準 連 続 修 正 で あ る.   (ⅳ)⇒(ⅴ):不

等式

(4.3.5) を 使 っ て(ⅰ)⇒(ⅲ)の証   (ⅴ)⇒(ⅰ):任 にtに

明 と 全 く 同様に 証 明 で き る 意 のf,g∈C0(X)に

対 し,(ptf,g)と(Ttf,g)は

関 し連 続 で あ り,任 意 の α>0に

た 仮 定(ⅴ)よ

性 質(1.4.20)よ 題1.3.3よ す る か ら,今

れ はptf=Ttfm-a.e.を

りRαptfはGαTtfの

準 連 続 修 正 で あ り,Rα

り αGαptf(x)=pt(αRαf)(x)→ptf(x),α

り αGαTtfはα

→∞

の と きTtf∈D[E]にE1の

ま で と 同 様 の 理 由 でptfはTtfの

  (ⅰ)⇒(ⅱ):自

明 で あ る.(証

  こ の 補 題 か ら 明 ら か な よ う に,Eに

共

対 して

が 成 立 す る か ら(ptf,g)=(Ttf,g),∀t>0.こ 味 す る.ま

.

→∞.一方

意 の 補

位 相 で収束

準 連 続 修 正 で あ る.

終) 適 合 した 右 連 続 な マ ル コ フ過 程 の 推 移 関

 

数 と リ ゾ ル ベ ン ト核 は(1.4.16)の

意 味 でm-対

称 で あ る.

  さ て 以 下 に 述 べ る 存 在 と一 意 性 の 定 理 が 本 章 全 体 を 通 じ て の 主 定 理 で あ る.   定 理4.3.1 

正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

適 合 した(X,B(X))上

のHunt過

程 が 存 在 す る.   定 理4.3.2 

(ⅰ)  (X,B(X))上

の2つ

の 右 連 続 マ ルコ フ 過 程M(1)={Ω(1),

M(1),X(1)x,P(1)x}x∈XΔ,M(2)={Ω(2),M(2),X(2)t,P(2)x}x∈XΔ

が共に正則 デ ィ リ

ク レ形 式Eに

適 合 し て い る とす る.この

極 集 合N∈B(X)

が 存 在 し,任

意 のx∈X-Nに

P(2)x,X(2)t)は (ⅱ) 

と き 適 当 なBorel概

対 し て(Ω(1),M(1),P(1)x,X(1)t)と(Ω(2),M(2),

確 率 過 程 と し て同 値 で あ る.

(ⅰ)に

於 い て 特 にΩ(1)=Ω(2),X(1)t=X(2)t,t∈[0,∞)な

らば

(4.3.6)

  こ の2つ

の 定 理 は 次 の 補 題 に 基 づ い て 証 明 さ れ る.

  補 題4.3.2 

適 当 なBorel集

合Y⊂Xと(Y,B(Y))上

過 程MY={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈YΔ   (MY.1) 

X-Yは

  (MY.2) 

任 意 のt∈Q+と

Ttfの

準 連 続 修 正.但

  (MY.3) 

概 極 集 合. 任 意 のf∈C0(X)に

し{pt}t>0はMYの

で左 極 限 を(YΔ

={Xs(ω);0≦s≦t}の   (MY.4) 

が 存 在 し て 次 の 性 質 を 満 た す.

任 意 の ω∈Ω に対 し,ω

を 満 た し,[0,∞)上

の適 当 な マ ル コ フ

閉 包Rt(ω)はYの

正 則 巣{Fk}が

対 し,Y上

の 関 数ptfは

推 移 関 数 で あ る. の 標 本 路Xt(ω)は 内 に)持

つ.ま

正 則 性 の 条 件(M.6) たt0}と 測 関 数f∈L2(X;m)に

終)

前 半 の主 張 だ けを 示 せ ば 共に補助的な ものと

ら 上 の よ うに し て 作 っ たHunt過

適 合 し(4.3.8),(4.3.9)を

の 非 負Borel可

す る と(4.3.8)

の 適 合 性 を 意 味 す る.(証

適 合 した 右 連 続 な マ ル コ フ過 程M(1),M(2)と

し て 補 題4.3.2のMYか

  M(i)の

推 移 関 数 をptと

準 連 続 修 正,∀t∈Q+,∀f∈C0(X).

よ れ ば,こ

  補 題4.3.2⇒

際Mの

あ る か ら(MY.1)と(MY.2)よ

程Mを

考え よ

満 た す. す る,i=1,2.補

題4.3.1に

対 しp(i)tf,ptfはTtfの

よ り任 意 準連 続

修 正 で あ る か ら,補 て 特 に(4.3.1)を

題3.1.5よ

り

 q .e..従

満 た す 可 算 集 合Dに

対 し て 適 当 なBorel概

っ

極 集合N1が

存在 して

(4.3.11) tに

関 す る 右 連 続 性 と単 調 族 定 理(定

理0.1.2)を

使 え ば,こ

れ よ り

(4.3.12) が 導 か れ る.   次 にBorel概

極 集 合N⊃N1を

(4.3.13) 

適 当に 選 ん で

pt(x,N)=0,∀t>0,∀x∈X-N

と で き る こ と に 注 意 し よ う.実

際MYの性

N′ ⊃N1でY-N′

がMY不

N=N′∪(X-Y)と

お け ば,(4.3.8)に

質(MY.5)よ

りBorel概極

集 合

変 集合 で あ る よ うな も の が 存 在 す る.そ よ り,x∈X-N=Y-N′

pt(x,N)=pt(x,Y∩N′)=pt(x,Y∩N′)=0.但

こで

に 対 し ては

しptはMYの

推移関数

で あ る.   一 般 に(X,B(X))上 (4.3.14) 

の マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}に pt(x,X-S)=0, 

を 満 た す と き,Sを{pt,t>0}に はX-Nが

∀t>0,∀x∈S 関 す る 不 変 集合 と い う.(4.3.12)と(4.3.13)

推 移 関 数{p(1)t,t>0},{p(2)t,t>0}お

通 の 不 変 集 合 で あ り,こ と を 意 味 し て い る.従

を う る.(証

対 し,S∈B(X)が

よ び{pt,t>0}に

れ ら の(X-N,B(X-N))上

っ て 特 にx∈X-Nに

関 す る共

への制限が一致す るこ 対 し て は,(4.1.4)よ

り

終)

  §4.4  構 成 の た め の 解 析 的 準 備   補 題4.3.2の な う.次

マ ル コ フ 過 程 を 構 成 す る た め に,本

節ではその解析的準備を行

の 補 題 か ら始 め る.

  補 題4.4.1 

Fを

抽 象 集 合 と し,Fの

可 算 部 分 集 合GとF×Fか

らFへ

 

の 写 像 の 可 算 集 合Sを   a)  G⊂H⊂F, 

考 え る.こ b) 

を 満 た す 最 小 の 集 合Hは   証 明   Sの

のとき

∀s∈S,s(H×H)⊂H 可 算 集 合 で あ る.

元 か ら な る可 算 列{s1,s2,…}を

考 え,こ

の 中 に は 各s∈Sが

無

限 回 現 わ れ る よ うに し て お く.G0=G,Gn+1=Gn∪sn+1(Gn×Gn),n=0,1,2, … ,と お く と,可 実 際,任

算 集 合 

意 のx,y∈Hと

が 条 件a),b)を 任 意 のs∈Sに

従 っ てs(x,y)∈Gn+1⊂H.(証

対 し て,∃n,x,y∈Gn,s=sn+1.

終)

  こ こ で 前 節 の 始 め に 述 べ た 解 析 的 諸 量Tt,Gα,eAを

  (Ⅰ)  積 分 核pt(t∈Q+),R1の   補 題4.4.2 

満 た す 最 小 の も の で あ る.

考 え よ う.

構 成

適 当 な 正 則 巣{F0k}と(X,B(X))上

の 全 測 度 が1を

い 測 度 の 族{pt(x,・),t∈Q+,x∈Y0},{R1(x,・),x∈Y0}が

条 件 を満 たす.但   u∈bB(X)ま

し 

存 在 して 次 の

と す る.

た はu∈B(X)+に

と お く.R1u(x)も

越 え な

対 して

同 様 に 定 義 す る.こ

の とき

(ⅰ)   (ⅱ)  L2(X;m)に とG1uの

属 す 非 負 可 測 関 数uに

対 し,ptuとR1uは

各 々Ttu

準 連 続 修 正.

  証 明   先 ず 可 算 集 合B0⊂D[E]∩C∞(X)で

次 の性 質 を もつ もの を 選 べ る こ

と に 注 意 す る. (4.4.1) 

B0はC∞(X)内

(4.4.2) 

u,υ ∈B0,a∈Q⇒￨u￨∈B0,u+υ

  実 際C∞(X)は む.各ukとnに

で 稠 密.

可 分 で あ る か ら,あ 対 し 

∈B0,au∈B0. る 可 算 稠 密 部 分 集 合{u1,u2,…}を な るun,k∈D[E]∩C∞(X)を

含 選 び,

G={uk,n;k,n=1,2,…}と

お く.Gは

{D[E]∩C∞(X)}2→D[E]∩C∞(X)な

勿 論C∞(X)で

稠 密 で あ る.ま

る 写 像s0,s1,s2,…

をs0(u,υ)=￨u￨,

s1(u,υ)=u+υ,si(u,υ)=aiu,i=2,3,…,に

よ っ て 定 義 す る.但

…}=Q

前 補 題 を 適 用 す れ ば(4.4.1),

.そ

(4.4.2)を

こ でGとS={s0,s1,s2,…}に 満 た す 可算

集 合B0⊂D[E]∩C∞(X)が

た

し{a2,a3,

得 ら れ る.

  次 に

(4.4.3) と お く と,補

題1.3.3よ

り,H0はD[E]の

に そ の 準 連 続 修 正uを1つ (ⅰ)に

対応 さ せ,uの

よ っ て 適 当 な 正 則 巣{F0k}が

 今

全 体 をH0と

お く と,定

存 在 し,H0⊂C∞({F0k})と

 と お く.t∈Q+を固

の 存 在 を 示 そ う.R1に

可 算 部 分 集 合 で あ る.各u∈H0

定 し,補

題(ⅰ)(ⅱ)を

つ い て の 証 明 も 同 様 で あ る.定

理3.1.2

な る. 満 た す 積 分 核pt

理3.1.2(ⅱ)よ

り,

(4.4.4) (4.4.5) ま たTtの

マル コ フ性 に よ り

(4.4.6) (4.4.5)と(4.4.6)よ

り容 易 に 次 の 不 等 式 が 導 か れ る.

(4.4.7)  以 上 に よ り各x∈Y0に

関 係 したC∞(X)上

の正 値 線 型 汎 関 数lxが

一意的

こ存 在 し,次 を満 たす.

(4.4.8)   実 際,任

意 のu∈C∞(X)に

が 任 意 のx∈Y0に ば よ い.こ はxの

一 様 収 束 す るun∈B0を

つ い て 成 立 す る.そ

の 収 束 はxに

選 ぶ と

こ でTtun(x)の

関 し 一 様 で あ りTtun∈C∞({F0k})で

関 数 と し てC∞({F0k})に

極 限 をlx(u)と

おけ

あ る か ら,lx(u)

属 す る こ と に 注 意 し て お こ う.

  lxに

対 し て は,全

測 度 が1を

越 え な い(X,B(X))上

の 測 度pt(x,・)が

存 在 して (4.4.9) 

lx(u)=ptu(x), 

を 満 た す.上

の 注 意 に よ りptは

  性 質 (ⅱ)に

性 質(ⅱ)を

補 題の 性 質(ⅰ)を

つ い て は,u∈C0(X)+に

あ る こ と を い え ば よい.そ

うす れ ば,補

るwを

題4.3.1に

一様 収 束 す るun∈B0を

と り,υn=(0∨un)∧wと

の 意 味 で も 収 束 して い る こ と が わ か る.従 位 相 で 収 束 す る.一

の と きptu(x)に

収 束 す る.故

お く とυn∈B0で

続 修 正 で あ る.(証

終)

  (Ⅱ)  正 則 巣{Fk}の構   {An}をXの

選 ぶ. あ る が,

収 束 定 理 に よ りL2(X;m)

っ て,不

方Ttυnの にptuは

準連続修正で

於 け る 証 明 と 同 様 に し て,

一 様 収 束 す る の み な らずLebesgueの

TtuにE1の

満 た す こ とが わ か る.

対 し てptuがTtuの

導 く こ とが で き る.u∈C0(X)+に

w∈B0,w≧uな υnはuに

x∈Y0,u∈C∞(X)

等 式(4.3.4)よ

りTtυnは

準 連 続 修 正 で あ るptυnはx∈Y0 定 理3.1.4(ⅱ)よ

りTtuの

準連

成

開 集 合 の 可 算 基 底 とす る.Anは

コ ン パ ク トで あ る と 仮 定 し

て さ し つ か え な い. (4.4.10) 

O1={A;Aは

と お く とO1⊂O0で 連 続 修 正 でbB(X)に

有 限 個 のAnの あ る.各A∈O1に 属 す も のeAを1つ

  今Hを

次 の 条 件 を 満 た すD[E]∩bB(X)の

  (H.1) 

H⊃B0,{eA;A∈O1},

  (H.2) 

∀t∈Q+,pt(H)⊂H,R1(H)⊂H,

  (H.3) 

HはQ上

  Hは

対 し て そ の 平 衡 ポ テ ン シ ャルeAの 対 応 さ せ る. 最 小 の 部 分 集 合 と す る.

の 多 元 環.

可 算 集 合 で あ る.実

×{D[E]∩bB(X)}か

合 併 集 合}

際G=B0∪{eA;A∈O1}と

らD[E]∩bB(X)へ

し,{D[E]∩bB(X)} の 写 像 で 次 の も の を 考 え る .s1;

(u,υ)→u+υ,s2,a;(u,υ)→au,s3;(u,υ)→u・υ,s4,t;(u,υ)→Ptu, s5;(u,υ)→R1u.補

題4.4.1をGとS={s1,s2

,a,s3,s4,t,s5;a∈Q,t∈

準

 

Q+}に

適 用 す れ ば,Hが

  補 題4.4.3 

可 算 集 合 で あ る こ とが わ か る.

適 当 な 正 則 巣{Fk}が

あ って 以 下 の条 件 を満 た す. 

と お く.

  (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

(ⅳ) (ⅴ) (ⅵ) (ⅶ)   (ⅷ)   証 明   (3.3.1)よ 合N1が

りeA(x)=1q.e.(A).O1は

可 算集 合 だ か ら適 当 な概 極 集

存 在 して

(4.4.11) eA(x)=1,∀x∈A-N1,∀A∈O1.   ま た 補 題1.3.3と tk↓0が

定 理3.1.4(ⅰ)よ

り,u∈Hに

対 して 適

当 な 部 分 列

あ って

(4.4.12) がq.e.に

成 立 す る.Hの

と 概 極 集 合N2が

可 算 性 か ら対 角 線 論 法 に よ っ て,uに

選 べ て,(4.4.12)が

全 て のx∈X-N2に

無 関 係 なtk

対 し て 成 り立 つ よ

うに で き る.  そ こ で 定 理3.1.2(ⅰ)を を 満 た す 巣{Fk}を こ れ が(ⅰ)∼(ⅲ)を   (ⅳ),(ⅴ)は

選 ぶ.そ

考 慮 しつ つ,条 し て{Fk}のm-正

件(ⅰ)と  則 化 を 改 め て{Fk}と

記 す.

満 た す こ と は 明 らか で あ る.

各々 の 両 辺 がH⊂C∞({Fk})に

と か ら従 う.(ⅵ)∼(ⅷ)は,補

題3.1.1(ⅱ)と

属 し,ま

たm-a.e.に

補 題3.1.3の

等 しい こ 結 果 で あ る. (証 終)

 

  (Ⅲ) 

(X,B(X))上

  補 題4.4.4 

の マ ル コ フ 推 移 関 数{pt}t∈Q+の

(ⅰ)  適 当 なBorel集

合Y2⊂Y1が

pt(x,X-Y2)=0,∀x∈Y2,∀t∈Q+,を

構成

存 在 しCap(X-Y2)=0,

満 た す.

  (ⅱ)

(4.4.13) と お く と,{pt}t∈Q+は(X,B(X))上

の マ ル コ フ推 移 関 数 で あ る.

  証 明   (ⅰ) m(X-Y1)=0よ (ⅱ)よ

りTtIX-Y1(x)=0

りpt(x,X-Y1)はTtIX-Y1の

m-a.e.が

従 う.補 題4.4.2

準 連 続 修 正 だ か ら,適

当 なBorel集

合

Y(1)1⊂Y1が あ って  が 成 立 す る.同

様 に し て,Borel集

が 存 在 し, 

合 列 

そ こで  と お け ば よ い. (ⅱ)  (4.4.13)で

定 義 さ れ るptが

半群 の 性 質

(4.4.14) を 満 た す こ とを 示 し さえ す れ ば よい.x∈X-Y2の あ る.x∈Y2と る が,こ

す る.(ⅰ)よ

元 をB0の

u∈C0(X)に

な り自 明で

りptpsu(x)=pt(psu)(x)=pt(psu)(x)で

れ は 前 補 題 の(ⅳ)よ

し い.C0(X)の

と き は0=0と

り,u∈Hの

あ

と き は,pt+su(x)=pt+su(x)に

等

元 で 一様 近 似 す る こ と に よ り,(4.4.14)が

全 ての

対 し て 成 立 す る こ と が わ か る.あ

と は 単 調 族 定 理 を 使 え ば よ い. (証 終)

  §4.5  正 則 な 標 本 路 の 構 成   補 題4.4.4  え よ う.定 (X,B(X))上 但 しQ′+は ま た,

で 構 成 し た(X,B(X))上

理4.1.1に

よれ ば,ptを

の マ ル コ フ推 移 関 数{pt}t∈Q+を 推 移 関 数 と し,Q′+を

時 刻 集 合 とす る

の マ ル コ フ過 程M0={Ω0,M,M0t,X0t,Px}x∈XΔ 非 負 有 理 数 の 全 体 を 表 わ し,正

考

の 有 理 数 の 全 体Q+と

が 存 在 す る. 区 別 す る.

(4.5.1) (4.5.2)   補 題4.4.4と(4.1.4)に わ か る.即

よ り,Y2はM0に

関 す る不 変 集 合 で あ る こ と が

ち

(4.5.3)  任 意 のt≧0に

対 して

(4.5.4) と お く.但

しN={Γ

∈M;Px(Γ)=0,∀x∈Y2}.こ

加 法 族 の 集 合{Mt}t≧0,{M′t}t≧0は

  さて 前 節(Ⅱ)に

の よ うに し て 得 られ る σ-

右 連 続 で あ る.

於 け る開 集 合A∈O1に

対 応 して きめ られ た 関 数eAを

え,次 の 基 本 的 な 不 等 式 を 導 こ う.一 般 にXの

部 分 集 合Fに対

考

して

(4.5.5) と お く.{}内

が 空 の と き は σ0F(ω)=∞

と お き,ま

たe-∞=0と

規 約 す る.

  補 題4.5.1

 証 明   x∈Y2を

固定 し

(4.5.6) と お く と,確 実 際,補

率過 程 

題4.3.3によ

は 非 負 有 界 な 優 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る. りY2上

で は 

が 成 立 し て い る か ら,(4.5.3)とM0の Px-a.e.,且

マ ル コ フ性 に 注 意 す れ ば, 

つ 

Px-a.e.,

t>s,t,s∈Q+.   今Q+の

任 意 の 有 限 部 分 集 合Cに対

し,時

刻

(4.5.7) を 考 え る.但 は(M0s)s∈Cに

し{}内

く.σ0A(C)

関 す る 停 止 時 刻 で あ る.

s0

す る とPx(Ω2)

.

  証 明   (ⅰ)  補 題4.5.2(ⅱ)よ

り,適

-Y3)=0

満 た す も の が 選 べ る.

,Px(Ω01)=1,∀x∈Y3,を

当 なBorel集

合Y3⊂Y2でCap(X

  以 下 の 包 含 関 係 を 次 に 証 明 し よ う.

は

(4.5.11) 

あ るt≧0で   先ず 補 題4.4.3よ

りR1(H+)はC∞({Fk})の

点 を 分 離 す る こ と が わ か る.実 ∀u∈H+,と

仮 定 す れ ば 

∀u∈H+,だ

か ら,補

右極 限 を 持 た な い}.

部 分集合 で あ り,Y1∪Δ

際x,y∈Y1∪Δ

の

に対 し てR1u(x)=R1u(y), ,

題4.4.3(ⅲ)に

よ りu(x)=u(y),∀u∈H+.従

って

x=y.   ω∈Ω01-Ω02に

対 し て は,適

で 右 また は 左 極 限 をY1∪Δ σ0x-Fk(ω).tで

当 なt≧0が

存 在 し て{X0s(ω);s∈Q+}はt

内 に 持 た な い.ま

た

ω∈ Ω01だ

か ら∃k,t
s,t′,s′

示 す た め に,t,s≧0,f∈C∞(X),Λ

∈Q+,を

  (4.5.15),(4.5.16)に =E

選 ぶ と,Λ

ち(M.3)が

  補 題4.5.3(ⅲ)はMYの

↓t,s′

か ら 得 ら れ る.(MY.5)の証明

↓sと

し,t′>

マ ル コ フ性 に よ り

す る とEx(f(Xt+s);Λ)

得 ら れ る. 正 規 性(M.4)を意味

∈Ω,から従

∈Mt,と

∈M0t′ だ か らM0の

注 意 し つ つ,t′

x(pYsf(Xt);Λ)即

σ′k(ω)=σ0x-Fk(ω),ω

導 かれる.

し てい

る.(MY.4)(c)は

う.(MY.2)は(4.5.15)と補題4.4.2(ⅱ) は補題4.5.4の

証 明 と 全 く 同様で

あ る.(証

終)

  第5章 

対 称 マ ル コ フ 過 程 の ポ テン シ ャ ル 論

  §5.0  序   本 章 で は最 後 の節 を除 い ては 正 則 デ ィ リク レ形式Eと で 適 合 した 標 準 マ ル コフ過 程Mが

与 え られ た と し,第3章

関 す る ポ テ ンシ ャル論 的 諸概 念 をMの ン シ ャル と到 達 確 率,容

そ れ に §4.3の 意 味 で導 入 され たEに

言 葉 で記 述 す る.そ の結 果,平 衡 ポ テ

量0の 集 合 と殆 ん ど全 て の 出発 点 か ら の到達 確 率 が0

の 集 合,準 連 続 関数 と細 連 続 関 数(標

本路 に沿 っ て の右 連 続 関 数)等 が 各 々同

一 視 さ れ る(§5.1,§5.2).   §5.4で はMの

開 集 合G上

で の部 分(標 本 路 をGか

して得 られ る吸 収 壁 過 程)が,EのG上 の外 側 でそ の準 連 続 修 正 がq.e.に0と

で の 部 分(D[E]の

m)上

らの流 出時 刻 で 吸収 元 の うち特 にG

な る もの のみ を 考 え て 得 られ るL2(G,

の デ ィ リク レ形 式)と 対 応 して い る こ とを 明 らか にす る.こ

述 の よ うなD[E]の

れ は丁 度 上

部 分 空 間 の直 交 補 空間 へ の射 影 作 用 素 が,X-Gへ

の 到達

分 布 に よ る平 均 と して表 現 され る と い う §5.3の 結 果 を い い か え た もの で あ る. 強 マ ル コ フ性 を 使 っ て 得 られ る リ ゾル ベン トの分 解 に 関 す るDynkinの が,こ

公式

れ らの空間 へ の 直 和 分解 を表 わす 式 に他 な らな い こ とを示 す のが §5.3

の 議 論 の一 つ の鍵 で あ る.§5.1∼ §5.4の 諸 結 果 は 次 章 で 拡 散 過 程 を 調 べ る際 に 用 い られ るで あ ろ う.   §5.5で は対 称 なHunt過

程 に 対 す る推 移 関 数 の 絶 対 連 続 性 と リゾ ル ベ ン ト

核の 絶 対 連 続 性 とが 同値 な 条 件 で あ る こ とを 示す.こ

の 事 実 は 正則 デ ィ リク レ

形 式 に適 合 した 対 称 な標 準 マ ル コフ過 程 に 対 しては §5.1で 証 明 ず み の もの で あ る.対 称 な標 準 マ ル コフ過 程 やHunt過

程 を 任 意 に与え た と きそ れ の 決 定す

る デ ィ リク レ形 式 が正則 に な る か ど うか 一 般 に は わ か らな い.け れ ど も与 え ら

れ た 位 相 に 関 す る 関 数 の 連 続 性 の 代 わ り にHunt過 を 採 用 す る こ と に す れ ば,第3章 と い う のが

§5.5の

や §5.1と

程 の 細 位 相 に 関 す る連 続 性

平 行 した 議 論 が 有 効 に 展 開 で き る

内 容 で あ る.

  §5.1  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と 概 極 集 合 の 確 率 論 的 記 述   (X,m)は Eに

§1.1の

も の と し,L2(X,m)上

適 合 し た(X,B(X))上

の 正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eと,

の 標 準 マ ル コ フ過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

が 与 え ら れ た と す る.   B∈B(X)へ

の2種

類 の 到 達時 刻(hitting

time)

(5.1.1) を 考 え よ う.但 Bへ

しinfφ=∞

と規 約 し て お く.σB(ω)は

の 到 達 時 刻 と 呼 ば れσ′B(ω)と 区 別 さ れ る.そ

特 に 時 刻0+以

後での

し て関 数

(5.1.2) を 考 え る.こ か らBへ

こ でe-∞=0と

の(1-)到

に 呼 ぶ わ け は,Mの フ 過 程 の 法 則 をP(1)xと

規 約 し て お く.こ

達 確 率(hitting 推 移 関 数ptの

の うち 普 通pB(x)の

probability)と

方 を,x

呼 ん で い る.こ

の よう

代 わ りにe-tptを

推 移 関 数 とす る マル コ

し た と き,pB(x)=P(1)x(σBk,

u(x) 

-k≦u(x)≦k, 

-k 

u(x)0

に 無 関 係 で あ る が, (5.3.20) 

任 意 のu∈R*に

但 しPHB1は

対 しHB1uはPHB1uの

ヒル ベ ル ト空 間(D[E],E1)の

準 連 続 修 正. 閉 部 分 空 間HB1上

へ の射 影 作 用 素

を 表 わ す も の とす る.   定 理5.3.2 

(ⅰ)  任 意 のf∈B*∩L2(X;m)に

属 す 準 連 続 関 数 で(5.3.19)を   (ⅱ)  uをD[E]に す る と き,HB1uはPHB1uの   証 明   (ⅰ)は

対 しRX-B1fはFX-Bに

満 た す.

属 す 任 意 の 非 負 関 数 と し,uを

そ の任 意 の準 連 続 修 正 と

準 連 続 修 正 で あ る.

証 明 ず み で あ る.(ⅱ)uが

非 負 の み な らず 有 界 で あ る 場 合,

従 っ てu∈B*の un=u∧nを

場 合 に 示 せ ば 充 分 で あ る.一 考 えn→∞

り,任

準 連 続 修 正 で あ る.一

成 り立 つ か ら(補

方E1の

意 の α>0に

対 し てHB1(Rαu)

位 相 で αGαu→u,α α →∞.従

題1.3.3), 

(5.3.21)

 

が わ か れ ば,定

対 しては

とす れ ば よ い か ら で あ る.

  と こ ろ で 有 界 な 場 合 に は(5.3.20)よ はPHB1Gαuの

般 の 非 負u∈D[E]に

理3.1.4(ⅱ)に

→∞,が っ て も し

q.e.

よ りHB1uがPHB1uの

準連 続 修 正 で あ る と

結 論 す る こ と が で き る.   (5.3.21)はuの

準 連 続 性 か ら 従 う.実

集 合Nで,X-NがM-不 も の が 選 べ る.こ

際,補

題5.2.2に

の と きx∈X-Nに

が 成 立 す るか ら,x∈X-Nに

よ りBorel概

極

 ∀x∈X-N,な

変,

る

対 して

対 しては (証 終)

 §5.4  デ ィ リク レ形 式 と マル コ フ過 程 の 開 集 合 上 で の 部 分   本 節 で は前 節 に お け る定 理5.3.2(ⅰ)の

主 張 の意味 を 考 え て み る こ とに す

る.

  補 題5.3.2(ⅱ)に

よ り{pX-Bt,t>0}は(X,B*(X))上

関 数 で あ る か ら,そ

のLaplace変

ゾ ル ベ ン ト核 で あ る.こ

のマ ル コ フ 推 移

換{RX-Bα,α>0}は{X,B*(X)}上

れ は ま たm-対

称 で あ る.実

際(5.3.19)に

の リ よ り 

f,g∈B*∩L2(X;m),で

り,RX-B1はm-対

称 で あ る が,リ

対 し て もRX-Bα   §1.4の L2(X;m)上

がm-対

あ

ゾ ル ベ ン ト方 程 式 を 使 え ば 任 意 の α>0に

称 で あ る こ とが わ か る わ け で あ る.

後 半 に 述 べ た よ うに,m-対

称 な リ ゾ ル ベ ン ト核{RX-Bα,α>0}は

の 必 ず し も強 連 続 と は 限 ら な い リ ゾ ル ベ ン トを 決 定 す る.そ

して

L2(X;m)上

の 広 い 意 味 の デ ィ リク レ形 式 が 一 意 的 に 対 応 す る が,(5.3.19)

は そ れ が 丁 度(FX-B,E)に

一 致 す る こ と を 意 味 し て い る((1.4.18)参

こ の よ うに 推 移 関 数 をptか

らpX-Btに

(D[E],E)か -Bが

ら(FX-B,E)に

変 換 す る操 作 と,デ

ィ リク レ形 式 を

変 え る 操 作 と が 対 応 し て い る わ け で あ る が,X

開 集 合 の 場 合 に こ の 対 応 を も っ と詳 し く調 べ る こ と に し よ う

  先 ず マ ル コ フ 推 移 関 係 を{pt,t>0}か 次 の よ う な 標 準 マ ル コ フ 過 程Mの   補 題5.4.1 

照).

開 集 合G⊂Xを

ら{pX-Bt,t>0}に

.

変 え る こ と は,

変 換 に 対 応 し て い る. 考 え,B=X-Gと

お く,そ

して

(5.4.1) とお く.こ

の と き 確 率 過 程 の 組MG={Ω,M,Xt,Px}x∈GΔ

の 標 準 マ ル コ フ 過 程 で あ り,そ >0}の(G,B(G))上

の 推 移 関 数 は(5.3.18)で

8)を

§4.2の

定 義 さ れ る{pGt,t

へ の 制 限 に 等 し い.

  証 明  MGが(G,B(G))上 §4.1と

は(G,B(G))上

の 標 準 マ ル コ フ 過 程 で あ る こ と を 示 す に は,

条 件(M.1),(M.2),(M.4),(M.6),(M.7)お

確 か め ね ば な らな い.い

よ び(M.

くつ か の 段 階 に 分 け て こ れ ら を 確 か め よ う.

  (ⅰ)  {Xt}t∈[0,∞]は{Ft}t∈[0,∞]に 条 件(M.1)を

適 合 した(GΔ,B(GΔ))上

で あ る.即

ちMGは

満 た す.実

∈B(G)に

対 し て は{Xt∈A}={Xt∈A}∩{t0,x∈G,A∈B(G),と (5.4.2) 

お くと

pt(x,A)=Px(Xt∈A,t0,x∈G,A∈B(G).

即 ち{pt,t>0}は(5.3.18)で

定 義 さ れ た{pGt,t>0}の(G,B(G))上

の 制 限 で あ る.こ こで 閉 集 合B=X-Gに

へ

対 して 

な

る開 集 合 列 を と り

と お い て み る,σAnは{F0t}-停 はB(X)-可

測 で あ り,従

止 時 刻 で あ る か ら,補 っ て そ のG上

題4.1.1(ⅱ)に

へ の 制 限 はB(G)-可

よ りun

測 で あ る.と

こ ろ が(5.2.19)によ

り 

こ れ でpt(x,A)がxに MGに

対 す る 条 件(M.2)が

  (ⅱ)  MGに

関 しB(G)可

測 で あ る こ と,つ

ま り

導 け た.

対 す る 条 件(M.4),(M.6)は

自 明 で あ る.(M.7),(M.8)を

示 す前 に (5.4.3) MGは{Ft}に関

し強 マ ル コ フ

な る こ と を 証 明 す る.   任 意 の{Ft}-停

止時 刻

σ とΛ∈Fに

関 係 が 成 立 し て い る(問

強 マ ル コ フ性 に よ り次 の Px-a.e..そ

題4.2.1): 

で 明 ら か な 関 係{σ0}は

対 応 す るL2(G;m)上

強 連 続 で あ る.ま

の デ ィ リ ク レ形 式 は 丁 度EのG上

た{Tt,t> で の 部 分EG

に 等 し い.   証 明  MGの

推 移 関 数 を{pt,t>0}と

のpGtの(G,B(G))上

す る と前 補 題 に よりptは(5.3.18)

へ の 制 限 で あ る.従

α>0}は{RGα,α>0}の(G,B(G))上 5.3.2(ⅰ)を

っ てMGの

リ ゾ ル ベ ン ト核{Rα,

へ の 制 限 と な っ て い る.そ

い い か え る と,f∈bB(G)∩L2(G;m)に

(5.4.7) 

R1f∈D[EG]且

一 方MGの

対 し

つEG,1(R1f,υ)=(f,υ),∀υ

正 規 性(M.4)と

標 本 路 の右連 続性に

こで定 理

∈D[EG].

よ り

(5.4.8) が 成 立 す る.   こ の 節 の 初 め に 説 明 した こ と と全 く同 様 に し て(5.4.7)か 論 さ れ る.{Rα,α>0}は(G,B(G))上 そ れ の 決 定 す るL2(G;m)上 ((5.4.8)お m)上

のm-対

よ び 補 題1.4.2(ⅱ)).そ

対 し て 標 本 路 の 右 連 続 性 よ りptf(x)の か らLaplace変

換 の 一意 性 に よ り{pt,t>

称 で あ る こ と が わ か り,そ れ の 決 定 す るL2(G;m)上

t>0}のLaplace変 よ り{Tt,t>0}も

換 が{Gα,α>0}に 強 連 続 で,そ

あ る.(証

な っ て い る.従

っ て §1.3の

れ に 対 応 す るL2(G;m)上

開 集 合G上

の部 分EGが

そ の 条 件 を 一般 に 与 え る こ と は 難 し い.し 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Kと

  に 等 し くX-G上 を 満 た す 場 合,次

の 半 群{Tt, 結果に

の デ ィ リ ク レ形

終)

  正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eの

(5.4.9) 

応 す るL2(G;

等 し い.

関 す る 右 連 続 性 が 従 う.だ

式 はEGで

強 連 続 で あ る

し て{Gα,α>0}に対

  と こ ろ で 各f∈C∞(G),x∈G,に

0}もm-対

称 な リ ゾ ル ベ ン ト核 で あ り,

の リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}は

の デ ィ リ ク レ形 式 はEGに

t>0に

ら以 下 の こ とが 結

で0に

そ の 任 意 の 開 近 傍Gに

正 則 ディリ

満 た す と す る.

と な る か,

条件

等 し い 関 数 がD[E]∩C∞(X)内

に 示 す よ う にEGは

  定 理5.4.2 Eが(5.4.9)を

か しEが

い つ まに正則

対 し,K上

で1

に存在す る

ク レ形 式 と 同 じ機 能 を もつ.

  (ⅰ)  集 合A⊂GがEGに

関 し概 極 集 合 で あ る こ と と,Eに

関 し概 極 集 合

で あ る こ と と は 同 値 で あ る.   (ⅱ) D[EG]の

任 意 の 元 はEGに

を{pt,t>0}と

関 す る 準 連 続 修 正 を も つ.MGの

す る と,f∈bB(G)∩L2(G;m)に

続 修 正 で あ る.但

し{Tt,t>0}はEGに

の 意 味 でMGはEGに

推移 関数

対 しptfはTtfの 対 応 す るL2(G;m)上

準連 の 半 群.こ

適 合 し て い る.

  証 明   (ⅰ)  開 集 合A⊂GのEG関 (5.4.10) 

す る(1-)容

量 をCapG(A)と

表 わす と

CapG(A)≧Cap(A).

実 際,B=X-Gと

お き,"q.e."は"Eに

関 す る概 極 集 合 を 除 い て"と

い う意

味 に取 り

(5.4.11) とお く とき,EGの

定 義 に よ りLA(G)はLGA(X)の

元 のG上

へ の 制 限 の全

体 に 他 な らな いが

  (5.4.10)は

特 にEGに

る こ と を 意 味 し て い る.こ

関 す る 概 極 集 合 がEに

の 逆 の 関 係 を 証 明 す る た め に,AがGの

ト部 分 集 合 な る 開 集 合Aを を 考え る.そ

関 す る概 極 集 合 と な っ て い

と り,AのEGに

関 す る1-平

コ ンパ ク

衡 ポ テ ン シ ャ ルeGA(x)

して

但 し 

(5.4.12) 

が 成 立 す る こ とを 示 そ う.そ の た め に はpGAがeGAを

特 徴 づ け る3つ の条 件

(5.4.13) 

(5.4.14) 

pGA(x)=1 m-a.e.(A)

(5.4.15) 

を 満 た す こ と を い え ば よ い.   K=AとGに

対 し て(5.4.9)の

と 容 易 に わ か よ うに  よ り

条 件 を 満 た すu∈D[E]∩C∞(X)を 従 っ て 定 理5.3.2(ⅱ)に

とる

(5.4.16) 明 ら か にpGA(x)=1,x∈A.ま

た(5.3.13)に

でpGAが(5.4.13)と(5.4.14)を へ の 制 限 は,MGの

よ りpGA(x)=0

満 た す こ と が わ か っ た.一

推 移 関 数{pt,t>0}に

関 し1-超

q.e.(B).こ

れ

方pGAのG上

過 的 で あ る:

従 って (5.4.17) 

m-a.e., 

こ の よ う なυ

とpGAのG上

へ の 制 限 を 同 じ記 号 で 表 わ す と,定

が 成 り立 つ か ら で あ る.(5.4.16),(5.4.17)お が 導 か れ る.実 補 題5.1.2に

q.e.

際(5.4.15)に よ りBorel概

於 け るυ

よ び 定 理5.3.2(ⅱ)か

理5.4.1よ

ら(5.4.15)

に 対 し て そ の 準 連 続 修 正υ

極 集合NでX-NがM-不

υ(x)≧0,∀x∈A-N,υ(x)=0,∀x∈B-N.こ

り

を と る と,

変 な る も のが 存 在 し のとき

が 成 立 す るか ら

  こ の よ う に し て(5.4.12)を 合 で あ る と し,こ

れ がEGに

コ ン パ ク ト,N⊂Gと A1,は

り,AnのEに

一 方 よ く使 って きた 関 係

∞,と

で き る.

衡 ポ テ ン シ ャ ル はpAn(x)=Ex(e-σAn)に あ る か ら 

 よ り (5.4.18) 

集合 の 減 少 列An⊃Nで

る も の を 選 びCap(An)↓0,n→

関 す る1-平

等 し く,Cap(An)=E1(pAn,pAn)で

関 し概 極 集

関 し て も概 極 集合 で あ る こ と を 証明 し よ う.Nは

仮 定 し て さ し つ か え な い.開

コ ン パ ク ト,A1⊂G,な

§5.1よ

示 す こ と が で き た.N⊂GがEに

m-a.e..

m-a.e..不

等 式

か らeGAnがEG,1の

位 相 で あ るe0∈D[EG]に

と こ ろ が(5.4.12)と(5.4.18)よ

が わ か っ た.つ   (ⅱ)  (ⅰ)に

りe0=0m-a.e.(G).こ

ま りNはEGに

よ れ ば,X上

の 制 限 はEGに

収 束 す る こ とが わ か る. れ で 

関 し て も 概 極 集 合 で あ る. で 定 義 さ れEに

関 し し準 連 続 と な る.従

関 し て 準 連 続 な 関 数 のG上

っ てEの

正 則 性 か ら(ⅱ)の

へ

前半 の

主 張 は 明 ら か と な る.   次 にMGの

リ ゾ ル ベ ント核Rα

の(G,B(G))上

とす る と,前

へ の 制 限 で あ る.そ

∩L2(G;m)が

定 理 の 証 明 に よ りRα

こ で 定 理5.3.2(ⅰ)と

はRGα

空 間Rα(bB(G)

α に 依 存 しな い こ と を 考 慮 す る と,任 意 の α>0とf∈bB(G)

∩L2(G;m)に

対 し て,RαfがGαfのEGの

と が わ か る .但 しGα

はEGに

意 味 で の 準連 続修 正 で あ る こ

対 応 す るL2(G;m)上

の 後 半 の 主 張 は こ れ を 用 い て,補

題4.3.1の

のリ ゾ ル ベ ン ト.(ⅱ)

証 明 を 全 く同 様 に し て 導 く こ と

が でき る.  (証 終)

  §5.5  ポ テ ン シ ャル論 再 考   (X,m)は

今 まで 通 りとす る.本 節の 目標 は 次 の定 理 を証 明す る こ とに あ る.

m-対 称 な推 移 関 数 を もつ マル コフ 過 程 の こ とをm-対   定 理5.5.1 

MをX上

のm-対

称 なHunt過

称 と呼 ぶ.

程 とす る.こ の と き次 の2条

件 は 同値 で あ る.   (ⅰ)  任 意 のt>0とx∈Xに

対 し,Mの

推 移 関 数pt(x,・)はmに

関

し て 絶 対 連 続.   (ⅱ)  任 意 の mに

α>0とx∈Xに

対 し,Mの

リ ゾ ル ベ ン ト核Rα(x,・)は

関 し て 絶 対 連 続.

  既 に 定 理5.1.3で

こ の 主 張 を 証 明 した が,そ

こ で はMが

正 則 デ ィ リ ク レ形

式 に 適 合 して い る と い う こ と が 前 提 と さ れ て い た.実 際 本 章 で は §5.1に ず 前 節 ま で ず っ と 正 則 デ ィ リ ク レ形 式 が ま ず 与え られ た と し,そ 標 準 マ ル コ フ 過 程 の 性 質 を3章

限 ら

れ に 適 合 した

で 展 開 され た 正則 デ ィ リ クレ 形 式 の ポ テ ン シ ャ

ル 論 を 使 っ て 調 べ る と い う立 場 を と っ て き た.   本 節 で は 逆 に ま ず 任 意 のm-対 与 え られ た と し て み よ う.Mの L2(X;m)上

ちD[E]が

程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

推 移 関 数 は 性 質(1.4.19)を

の あ る デ ィ リ ク レ形式Eを

る か ど うか,即

決 定 す る.け

満 た す か らそ れ は

れ ど もEが

でE1の

位 相 で稠 密

で あ り し か も 以 下 に 示 す よ う に 関 数R1f,f∈B∩L2,はMに

X上

しBはX上

関 す る細 位 相

の 有 界Borel可

に あ ら か じ め 与 え ら れ た 位 相 の 代 わ りにMに

§3.1や

§5.1と

定 理5.5.1が

Rα はptの (5.5.2) 

示 せ る だ ろ う.こ

証 明 す る た め に は(ⅱ)⇒(ⅰ)を

導 き さえ す れ ば よ い.

対 しRα(x,・)はmに

こで 以 後

関 し て絶 対 連 続

の 仮 定 は 以 下 の 議 論 を 簡 素 化 す る の に 役 立 つ.

の 非 負 普 遍 可 測 関 数uがe-tptu(x)↑u(x),t↓0,x∈X,を 過 関 数 と 呼 ば れ た.こ

fが

(5.5.4) 

超 過 関 数 の 単 調 増 大 列 の 極 限 は ま た 超 過 的.

  補 題5.5.1 

非 負 普 遍 可 測 な らR1fは

(ⅰ)  超 過 関 数 はBorel可

超 過的.

測.

  (ⅱ)  u∈L2(X;m)がptの

定 め るL2上

超 過 関 数 な らば,u=u m-a.e.な

る 超 過 関 数uが

正則 化(regularization)ま

満たす と

の 定 義 か ら 簡 単 に 次 の こ とが わ か る.

(5.5.3) 

をuの

証 明 と全 く 同 様 に し て

れ が 本 節 の考え 方 で あ る.

任 意 の α>0とx∈Xに

き,uは(1-)超

っ て,

関 す る細 位 相 を 採 用 し,

ラ プ ラ ス 変 換 で あ り逆 の 関 係 は 自 明 だ か ら で あ る.そ

と仮 定 し て 話 を 進 め よ う.こ   X上

測 関 数 の 全 体.従

平 行 し た 議 論 が で き れ ば 定 理5.3.3の

  さ て 定 理5.5.1を

正則であ

ころが

R1(B∩L2(X;m)はD[E]内

の 意 味 で 連 続 で あ る.但

が

充 分 に 多 くの 連 続 関 数 を 稠 密 に含 ん で い る か ど うか

は 一 般 に は わ か ら な い.と (5.5.1) 

称 なHunt過

の 半 群Ttに

関 し(1位

の)概

一 意 的 に存 在 す る.こ

のu

た は 超 過 的 修 正(excessive modification)

と 呼 ぶ.   証 明   (ⅰ)  uが1-超 だ か らBorel関 仮 定(5.5.2)に

過 的 な ら αRαu(x)↑u(x),α

数u1,u2でu1≦u≦u2な よ りαRαu(x)はBorel可

→ ∞.uは

る も の が 存 在 しu1=u2 測 関 数αRαu2(x)に

普遍可測 m-a.e.. 等 し く,そ

の 極 限uもBorel可

測 で あ る.

  (ⅱ) u∈L2(X;m)がm-a.e.に れば,補

題3.2.1に

非 負 で あ り1位

よ り

(5.5.5) 

αGα+1u≦u m-a.e..

但 し{Gα,α>0}は{Tt,t>0}の なBorel可

リ ゾ ル ベ ン ト.uはX上

い た る所 で 非 負

測 関 数 と し て さ し つ か え な い.

  そ こ でun=u∧nと

お く と,{Gα,α>0}が{Rα,α>0}か

る こ と に よ りRαun=Gαun a.e..β>α

の概 超 過 関 数 で あ る と す

m-a.e..従

と し て こ の 両 辺 にRβ+1を

ら決 定 さ れ て い

っ て(5.5.5)よ

り

αRα+1un≦un

作 用 さ せ 仮 定(5.5.2)に

注 意

mす れ ば

 が 得 られ る.即 ち

(5.5.6) こ の よ う にαRα+1un(x)は

α に つ い て 単 調 増 大 だ か ら そ の 極 限 をunと

お く

と 明 らか に

(5.5.7) が 成 立 す る.と っ てR1fと

こ ろ でRα+1un(x)は

表 わ さ れ る.従

更 に(5.5.4)と(5.5.7)か

っ て(5.5.3)に らunの

  一 方{Gα,α>0}の αkGαk+1un→un

非 負Borel関

強 連 続 性 に m-a.e.と

で き る.従

(5.5.8) un=un

こ こ でn→

数f=un-αRα+1unに

よ りαRα+1unは

よ

超 過 的 で あ り,

超 過 性 が 従 う. よ り 適 当 な 部 分 列αk↑

∞

を 選 ん で,

っ て m-a.e..

∞

と し て 再 び(5.5.4)に

定 義 さ れ る 関 数uが

超 過 的 で あ り且 つuの

こ の よ うな 修 正 の 一 意 性 は(5.5.2)を

に よっ て

注 意 す れ ば 

修 正 に な っ て い る こ と が わ か る.

使 え ば す ぐに 得 られ る.(証

終)

  こ の 補 題 の 証 明 と 同 じ や り方 で 次 の 主 張 が 示 さ れ る こ と に 注 意 し て お こ う: uが

超 過 的 な らば 適 当 な 非 負 有 界Borel関

(5.5.9) 

R1υn(x)↑u(x), 

  実 際υn=n{un-nRn+1un}と が 成 り立 つ か ら,こ

おけ

n→

数 列υnが ∞, x∈X.

ば よ い.こ

れ は 単 調 に 増 大 し てuに

あ って

の と きR1υn(x)=nRn+1un(x) 近 づ く.

  こ こで §5.2に 於 け る細 位 相 の定 義 を 思 い出 そ う.   定 理5.5.2 

超 過 関 数 は 細 連 続 で あ る.

  証 明  uを 超 過 関 数 とす る.こ の とき任 意 のBorel集 Bの

任 意 の正 則 点xに

合BとMに

関す る

対 して 不 等 式

(5.5.10) が 成 立 す る こ と を 示 し さ え す れ ば よ い.   実 際(a,b)を b)}と

任 意 の1次

お く と き,Aが

補 題 に よ りAはBorel集 ら ば(5.5.10)に x∈B.こ

元 区 間 と しA=u-1((a,b))={y∈X;u(y)∈(a,

細 開 集 合 な ら ば 定 理 が 示 さ れ た こ とに な る.と 合 で あ り,ま

よ りx∈B,同

たxがB=u-1([b,∞])の正

則点な

様 にxがB=u-1((-∞,a])の

の よ うに 任 意 の 点x∈AはAcに

か らAの

こ ろが 前

正則点 な ら

関 し 尖 細 で あ る.つ

ま り(5.5.10)

細 開 性 が 導 け る わ け で あ る.

  (5.5.10)の

左 側 の 不 等式 を 示 す た め に,先

ず 任 意 のBorel集合Bへ

の到

達 時 刻 σBに 対 し て

(5.5.11) が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る.こ 5.3.2)か

公 式(補

題

ら 得 ら れ る.

 そ こで  正 則 点xに

と お く.任 対 し て(5.5.11)よ

こ こ で 近 似(5.2.13)を =1に

れ は 近 似(5.5.9)とDynkinの

意 の コ ン パ ク ト集合K⊂Bと

任 意 のBの

り

使 う とK⊂Bを

適 当 に 選 べ ばEx(e-σK)をEx(e-σB)

い く ら で も近 づ け る こ と が で き る.こ

れ で(5.5.10)の

左 側 の 不 等式 が

示 せ た.   (5.5.10)の

右 の 不 等 式 はuがu=R1υ

ば 充 分 で あ る.但 似(5.5.9)を

しυ

は 非 負 有 界Borel可

と表 わ され て い る と きに示 さ れ れ 測 関 数.一

使 え ば よ い か らで あ る.u=R1υ

の 公 式 を 使 う と,任

意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂Bに

般 のuに

つ いて は 近

に 対 し て は 補 題5.3.2のDynkin 対 し,

再 び 近 似(5.2.13)とxがBの

正 則 点 で あ る こ と を 使 っ て,こ の 右 辺 の 第1

項 を い く ら で も小 さ くで き る.(証

終)

  以 上 の 準 備 の 下 に 本 節 の 本 題 に 入 ろ う.Mの 上 の デ ィ リ ク レ形 式 をEと 入 す る.先

ずBorel細

し,Eに

推 移 関 数 の 決 定 す るL2(X;m)

関 す る 集 合Aの

開 集 合Aに

細 容 量Capf(A)を

導

対 し

(5.5.12) LA={u∈D[E];u≧1

m-a.e.(A)}

(5.5.13) とお く.任 意 の集 合Aに

対 して は

Capf(A)=infCapf(B)

(5.5.14) 

A⊂B,BはBorel細

と お く.Capf(A)をAの  

な るBorel細

あ る か ら §3.1で

開集合

細 容 量(fine 開 集 合Aの

定 義 したCapと

(5.5.15) 

capacity)と

全 体 をOfと 今 のCapfと

呼 ぶ.

お く.O0⊂Ofな

る関 係 が

の間 に は

Capf(A)≦Cap(A), ∀A⊂X

な る不 等 式 が 成 立 す る.  

A∈Ofに

対 し て はLA上

補 題3.1.1の

性 質(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)(ⅳ)を

全 く 同 じで あ る.こ りeAは1位

でE1(u,u)を

のeAをAの

最 小に す る 一 意 元eAが 満 た す.証

明 は 補 題3.1.1の

平 衡 ポ テ ン シ ャル とい う.補

の 概 超 過 関 数 で あ る か ら,補 題5.5.1(ⅱ)の

存 在 し, 場合 と

題3.2.1に

よ

意 味 で そ の 正 則 化eA

が 一 意 的 に 存 在 す る.   こ こ で 定 理5.1.3の   定 理5.5.3 

直 前 に 与え た 極 集 合 の 定 義 を 思 い 出 そ う.

(ⅰ) A∈Ofの

平 衡 ポ テ ン シ ャ ルの 正 則 化 をeAと

す ると

(5.5.16)   (ⅱ)  Xの

部 分 集 合 の 細 容 量 が0で

あ る こ と と,そ

れ が 極 集 合 で あ るこ と

とは 同 値 で あ る .   証 明   (ⅰ)  先 ず 次 の こ と が わ か る. (5.5.17)  実際 が

eA(x)=1, ∀x∈A. 空 で ない と す る と,定

理5.5.2に

よ りA′ は

Borel細

開 集 合 だ か ら 

従 って 条件

(5.5.2)に

よ りm(A′)>0.こ

れ はeAがeAの

a.e.に1に

等 しい こ とに 反 す る.

  そ こ で 超 過 関 数eAとAへ (5.5.17)に

修正 で あ り従 っ てA上

の到 達 時 刻

σAに 対 し て(5.5.11)を

でm-

適 用 し,

注 意 し て 次 の 不 等 式 を 得 る.

(5.5.18) 

eA(x)≧Ex(e-σA), 

x∈X.

  こ の 不 等 式 か ら求 め る 等 式(5.5.16)が 関 数 をu(x)と u∈D[E]且

お く と,uも

得 られ る.実

際(5.5.18)の

超 過 的 で あ りeA≧uだ

つCapf(A)=E1(eA,eA)≧E1(u,u).と

あ る こ とに よ りu(x)=1,x∈A.つ

か ら補 題3.3.2に こ ろ がAが

ま りu∈LA.従

右辺の

っ てu=eA

よ り

細 開集合 で m-a.e..超

過

的 修 正 の 一 意 性 に よ り こ の 等 式 は い た る 所 で 成 立 す る.  

(ⅱ) 

0,な

Capf(N)=0と

す る.単

調 減 少 列An∈OfでAn⊃N,Capf(An)→

る も の を 選 ぶ.Capf(An)=E1(eAn,eAn)≧(eAn,eAn)だ

か ら(5.5.16)に

よ り m-a.e..

(5.5.19) 

と お く と,N′

そ こで 

はNを

含 むBorel集

合 で あ り,(5.5.19)

に よ り Ex(e-σN′)=0

(5.5.20) 

m-a.e..

こ の左 辺 は0の 超過 修正 だ か ら,こ の 等 式 は 全 て のx∈Xに 即 ちNは

対 して 成 立 す る.

極 集 合で あ る.

  逆 にNが

極 集 合 で あ る とす る.Nは

ま た §3.1の

場 合 と同 じ く細 容 量 の 可 算 劣 加 法 性 が わ か る か ら,Nは

トで あ る と し て よ い.こ f∈L2を

の と き 更 にN上

とれ ば 

と定 理5.5.2に (5.5.21) 

概Borel集

コ ンパ ク

り真 に 大 き な 有 界連 続 関 数 な る 関 係 が 成 立 す る が,(5.5.3)

よ りRnfは

N⊂Aな

1)  (5.1.18)参

で1よ

合 で あ る と し て よ い1).

るA∈Ofが 照.

細 連 続 で あ り し か もD[E]に 存 在す る

属 す.従

って

と し てCapf(N)=0を

導 け ば よ い.

 先ず (5.5.22) 

m(N)=0

に 注 意 し て お く.実 際Nは る がFatouの

極 集 合 だ か らpt(x,N)=0,∀t>0,∀x∈X,で

補題に よ り

な るBorel可

  今f(x)>0,x∈X,  μ=f mと

集 合Nに

の 減 少 列Anを

定 理5.2.2の(5.2.12)′

測 関 数fを

を 適 用 す る と1),適

選 ん でAn⊃N, 

と り測 度 当な開集合

こ こ で(5.5.22)を

で あ り,結

慮 す る と 

局 

考

従 って m-a.e..

(5.5.23)    そ こ で(5.5.21)のAとAnの

共 通 部 分 を 改 め てAnと

と な る の で,(5.5.16)と(5.5.23)に

お

く とAn∈Of

よ り m-a.e..

(5.5.24) 

と ころでAnは

単 調 減 少 だ か ら補 題3.1.1の

つ ま りeAnはE1の e0=0.故

位 相 で あ るe0∈D[E]に

性 質(ⅳ)を

∞.An⊃Nで

理5.5.3(ⅱ)に

同 じで あ る.定

い う記 号 を"細

容 量0の

よ り こ れ は"極

理5.5.3(ⅱ)が

  こ こで §5.2と

1)  Mを

あ っ た か ら

集 合 を 除 い て"と

集 合 を 除 い て"と

い うこ と と全 く

集 合 が 存 在 す る.

平 行 に 次 の 概 念 を 導 入 し よ う.X上q.e.に

連 続 で あ る と は,適

い う意 味

更 に 次 の こ とを意 味 して い る こ とを注 意 して

意 の 極 集 合 に 対 し そ れ を 含 むBorel極

uがq.e.細

よ り

終)

  こ の 節 で は 以 後"q.e."と に 使 う.定

使 って

収 束 す る が,(5.5.24)に

にCapf(An)=E1(eAn,eAn)→0,n→

Capf(N)=0.(証

お く:任

あ

当 なBorel極

標 準 マル コフ過程 よ り も強 くHunt過

(5.2.12)′ を 使 う とい う理 由 のみ のた め で あ る.

集 合Nが

定 義 され た 関 数 あ っ てuはX-N

程 で あ る と仮 定 した の は,こ

こで

上 で(こ

れ は 細 開 集 合 で あ る)Borel可

後 半 の テ ー マ はD[E]の て 定 理3.1.4の

測 且 つ 細 連 続 な る こ と で あ る.本

任 意 の 元 がq.e.細

節 の

連 続 な修 正 を も ち且 つそ れ に つ い

型 の 収 束 定 理 が 成 立 す る こ と を示 す こ と に あ る.そ

の ため に い

くつ か の 補 題 を 準 備 し な け れ ば な ら な い.   補 題5.5.2 fnをX上

の 超 過 関 数 の 単 調 減 少 列 と しそ の 極 限 関 数 をfと

す る.も

らばf=0

しf=0

m-a.e.な

  証 明   ε>0に

q.e..

対 しKをAε={x∈X;f(x)≧

す れ ば(5.5.11)でB=K,u=fnと

ε}の コ ン パ ク ト 部 分 集 合 と お い た 式 でn→

∞

とす る こ とに よ り

(5.5.25) が 得 ら れ る.   f=0 m-a.e.と は(1-)超

仮 定 す れ ば(5.5.25)よ

りEx(e-σk)=0 m-a.e..こ

過 的 だ か ら 一 意 性 の 補 題5.5.1(ⅱ)に

こ こ でBorel集合Aε

の 近 似(5.2.13)を

と し てEx(e-σA)=0,x∈X,を

得 る.但

が 極 集 合 で あ る こ と を 意 味 し,従   補 題5.5.3 

Borel集

合Bと

よ りEx(e-σK)=0,x∈X.

使 え ばEx(e-σAε)=0,x∈X.ε

↓0

しA={x∈X;f(x)>0}.こ

っ てf=0

q.e..(証

点x∈X-Bを

傍 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,xがBの (5.5.26) 

の左 辺

れ はA

終)

考 え る.X-Bがxの 非 正 則 点 で あ る こ と,即

細近 ち

Px(σB>0)=1

が 成 立 す る こ とで あ る.   証 明   必 要 性 は 細 開 集 合 の 定 義 よ り 自 明 で あ る か ら十 分 性 だ け を 示 せば よ い.   一 般 にBorel集

合Bに

X;Ex(e-σn)=1}だ

対 し て そ の 正 則 点 の 全 体 をBrと

か ら 定 理5.5.2に

(5.5.27) 

よ りBrはBorel集

Px(σBr0)=1,と X-C∪Anはxの

極 集 合 で あ り,ま

れ でuがxに

題5

分 大 き なn .5.3に

よ り

の制 限 は相 対 細 位 相 の

於 い て 細 連 続 で あ る こ とが わ か っ

た.  (証 終)   補 題5.5.5 

q.e.細 連 続 な 関 数uがm-a.e.に0に

  証 明   uのq.e.細 合 

連 続 性 の 定 義 に 於 け るBorel極 は 細 開 集 合 で あ り,従

等 しい な らばu=0 集 合Nを

q.e..

考え る と,集

っ て(5.5.17)の

証 明 と

全 く同 様 にu=0 m-a.e.か

らA=φ

が 導 か れ る.(証

終)

  以 上 の 準 備 の 下 に 本節 の 後 半 の 主 定 理 を 示 す こ とが で き る.   定 理5.5.4 

(ⅰ)  D[E]の

  (ⅱ)  D[E]に

属 すq.e.細

任 意 の 元uはq.e.細

連 続 な 修 正uを

も つ.

連 続 関 数unがE1に

関 しCauchy列

適 当 な 部 分 列nkとq.e.細

連 続 関 数u∈D[E]が

存 在 し てunk(x)→u(x)

q.e..ま

位 相 で 収 束 す る.

たunnはuにE1の

  (ⅲ)  un∈D[E]がE1に

関 しCauchy列

細 連 続 修 正unがX上q.e.に すq.e.細

を な し,ま

あ る 関 数uに

細 連 続 で あ る.そ

存 在 す る.定 こ でD[E]に

属

位 相 で も収 束 す る.

よ り任 意 のu∈D[E]にE1の

列R1fn,fn∈B∩L2,が

適 当 なq.e.

収 束 す れ ば,uはD[E]に

連 続 関 数 で あ り,unはuにE1の

  証 明   (ⅰ)  (5.5.1)に

たunの

を な せ ば,

位 相 で 収束 す る 関 数

理5.5.2と(5.5.3)に

属 すBorel可

よ り各R1fnは

測 な 細 連 続 関 数uに

対 す る評 価

(5.5.29) を 使 え ば,定

理3.1.1の

証 明 と 全 く 同 様 に して,あ

意味で準連続な関数uが わ か る.こ

る部 分 列nkと

存在 し 

の と き 明 ら か にu=u

細位相 の

q.e.が 成 立 す る こ と が

m-a.e..ま

た 補 題5.5.4に

よ りuはq.e.

細 連 続 で あ る.   (ⅱ)  補 題5.5.5を (5.5.29)を

使 え ば,補

任 意 のq.e.細

題3.1.6の

証 明 と 全 く同 様 に して,不

連 続 関 数u∈D[E]に

こ れ を 使 え ば 後 は 定 理3.1.4の

証 明 と同様 で あ る.

  (ⅲ) (ⅱ)と

ら従 う.(証

補 題5.5.5か

  本 節 の 最 初 に 述 べ た 定 理5.5.1は

等式

対 して 成 立 さ す こ と が で き る.

終)

以上 の ポ テ ン シ ャル論 を用 い る こ とに よ っ

て 次 の よ うに 証 明 で き る.   定 理5.5.1の (5.5.30) 

証 明   条 件(ⅱ)を

f∈B∩L2に

対 しptf(x)はq.e.細

な る こ と を 示 せ ば よ い.実 pt(x,B)=0 m-a.e.で

仮 定 す る.こ

際m(B)=0と

あ る か ら(5.5.30)と

の と き(ⅰ)を

導 くに は

連続 仮 定 す れ ばptのm-対 補 題5.5.5に

称性に よ り

よ りpt(x,B)=0,

x∈X-N.こ

こにNは

適 当 なBorel極

集 合 で あ る.あ

とは 定 理5.1.3の

証

明 と同 じ く

こ れ で 条 件(ⅰ)が   (5.5.30)を

導 け た こ と に な る.

示 す た め にptの

ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}を (5.5.31)f∈C0(X)に

決 定 す るL2上

考 え る.そ

の 半 群{Tt,t>0}と

対 しptfはTtfのq.e.細

連続な修正

を 示 す.ptRαf(x)=Rαptf(x)はGαTtf∈D[E]の   x∈X.一

の と きTtfにE1の (5.5.31)が   (5.5.31)か

そ の リ

して

細 連 続 修 正 で あ り,

方 補 題1.3.3よ

り

位 相 で 収 束 し て い る か ら,定

αGαTtfは

α→

理5.5.4(ⅲ)に

得 ら れ る. ら(5.5.30)を

証 明 と 同 じ で あ る.但

し,そ

を 使 わ ね ば な ら な い.  (証 終)

導 く や り方 は,補 の 際 定 理3.1.4(ⅱ)の

題4.2.1の(ⅰ)⇒(ⅲ)の 代 わ り に 定 理5.5.4(ⅲ)

∞

よ り

第6章

 対 称拡散 過程

  §6.0  序   殆 ん ど 全 て の 標 本 路 が 連 続 で あ る よ う な標 準 マ ル コ フ過 程 を 拡 散 過 程 と い う. 第4章

で は,正

則 デ ィ リ ク レ形 式 に 適合 し た 標 準 マ ル コ フ過 程 の 存 在 が 示 さ れ

た の で あ る が,§6.1で

は,形

式 が 更 に §1.1の

意 味 で の 局 所 性 を も つ こ と とそ

れ に 適 合 した 拡 散 過 程 が 存 在 す る こ と と が同値 な 条 件 で あ る こ と が 証 明 され る.   Fellerの

条 件 を 満 た す マ ル コ フ 推 移 関 数ptに

に 標 準 マ ル コ フ 過 程Mを Kinneyの

対応 さ せ る こ と が で き る が,ptが

述べた よ う

更 にDynkin-

条 件 と呼 ば れ る性 質 Kは

(6.0.1) 

を も て ばMは

コ ンパ ク ト

実 は 拡 散 過 程 と な る こ と が 知 ら れ て い る.(6.0.1)と

条 件 はLindeberg型

の 条 件 と呼 ば れ,標

くか ら知 られ た も の で あ る.と (E.6)は(6.0.1)よ

こ ろ で デ ィ リ ク レ形 式 に 関 す る 局 所 性 の 条 件

り もず っ と弱 い も の で あ る に も か か わ らず,第5章

を 導 く こ と が で き る.そ え ばR.M.

同 じ型 の

本 路 の連 続 性 のた め の条 件 と して古

ン シ ャ ル 論 を 使 う こ とに よ っ て(E.6)か

や り方(例

対 して は §4.2で

ら(6.0.1)に

の 結 果(6.0.1)か

近 い 性 質(補

のポテ 題6.1.2)

ら標 本 路 の 連 続 性 を 証 明 す る 普 通 の

Blumenthal-R.K.

Getoor[Ⅱ;1]の(9.10)参

照)と

類 似 な 方 法 で 拡 散 過 程 を 対 応 させ う る の で あ る.   推 移 関 数 に 対 す るDynkin-Kinneyの

条 件 は1次

の 連 続 性 の た め の 十 分 条 件 で しか な い.し 必 要 条 件 で も あ る.こ   §6.2で

はRn上

元 の場 合 を除 い て は標 本 路

か し条 件(E.6)の

の 証 明 の た め に は §5.3の の ブ ラ ウ ン運 動 と 開 集 合D上

方 は そのための

結 果 を 用 い ね ば な ら な い. の 吸収 壁 ブ ラ ウ ン運動 が 各

各1位

の ソ ボ レ フ 空 間H1(Rn)とH10(D)に

た ブ ラ ウ ン推 移 関 数 のL2の の 一 部 は §5.4の   §6.3か

適 合 し て い る こ と を 証 明 し,ま

意 味 で の 生 成 作 用 素 を 決 定 す る.§6.2と

結 果 の 応 用 と い う性 格 を も っ て い る.

ら §6.5ま

で は §6.1の

定 理 の 具 体 的 応 用 を 扱 う.空

定 義 域 とす る デ ィ リク レ積 分 はL2(D)上 則 で は な い が,Dの

適 当 な 拡 張D*を

過 程 で あ っ て,D上

考 え,L2(D*)上

の デ ィ リ ク レ形 式 と く てD*上

の拡 散

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン運 動 の 拡 張 とな って い る もの を 対 応 さ

せ る こ と が で き る.こ

の よ う に 状 態 空 間 の 拡 張 に よ る デ ィ リ ク レ形 式 の 正 則 化

と そ の 確 率 論 的 意 味 を 明 ら か に す る の が §6.3の

Rn上

間H1(D)を

の デ ィ リ ク レ形 式 と し て は 一 般 に 正

考 え な お せ ば 正 則 で しか も 局 所 性 を も つ こ とが 示 され る.か

 1930年

§6.3

代A.N.

課 題 で あ る.

Kolmogorov[Ⅱ;1,2]やW.

Feller[Ⅱ;1]等

の マ ル コ フ 推 移 関 数Pt(x,A)がLindeberg型

則 条 件 の 下 で は2階

に よ っ て,

の条 件 を 含 む 適 当 な正

の放 物 型 微 分 方 程 式

(6.0.2)

に 従 う こ と が 明 ら か に さ れ た.但 号,c≧0.aijは

拡 散 係 数(diffusion

coefficient),cは   そ れ 以 来,次 れ た と き,そ

しaij(x)はi,jに

消 滅 係 数(killing

関 し対 称 で 正 の 半 定 符

coefficient),biは coefficient)と

の 設 問 が 問 題 に さ れ て き た.解 の 推 移 関 数 が 方 程 式(6.0.2)に

ず れ の 係 数(drift

呼 ば れ る.

析 的 試 料{aij,bi,c}が

与え ら

従 う よ うな拡 散 過 程 が 一 意 的 に 存

在 す る か?係

数 が 滑 らか な 場 合 に は こ の 設 問 は2通

られ て い る.一

つ は ブ ラ ウ ン 運 動 に 関 す る伊 藤 積 分 を 使 っ た 確 率 微 分 方 程 式 を

解 き,求

りの仕 方 で肯 定 的 に答 え

め る 標 本 路 を 直 接 構 成 す る と い う方 法 で あ る1).他

は偏微分方程式論

で 得 られ て い る 放 物 型 方 程 式 の 基 本 解 の 性 質 を 使 っ て,そ Dynkin-Kinneyの 1) 

K.

2) 

例え

Ito[Ⅱ;3,4,5] ばE.B.

れ がFellerや

条 件 を 満 た す こ と を 確 か め る と い う解 析 的 方 法 で あ る2).

, H.P. Dynkin[Ⅱ;2]Chap.

McKean[Ⅱ;2]等 5を

を 参 照. 参 照.

 これ に 対 し本 書 で は(6.0.2)の

右 辺 が形 式 的 に 自己 共 役 な 場 合

(6.0.3) に 関 心 を もつ.し

か し作 用 素Sを

直 接 考え る代 わ りに,そ

れ か ら導 か れ る対

称形式 (6.0.3)′

を 眺 め て み よ う.既

に 本 書 で は §1.2に

於 い て,こ

の 右 辺 よ り も ず っ と一般

な もの

(6.0.4) を 扱 っ て い る.こ

の 形 式Eは

フ対 称 形 式 と 考 え て,局 式(6.0.4)に

新 た な 測 度mに

基 づ くL2(D;m)上

所 型 微 積 分 形 式 と 呼 ば れ た.作

於 け る 測 度 νijやkが

のマル コ

用 素(6.0.3)は

特 にLebesgue測度に

対 称形

関 し絶 対 連 続 で あ

る と い う特 別 な 場 合 に あ た っ て い る わ け で あ る.   そ こ で 我 々 の 設 問 は 次 の 通 り と な る:解 た と き,対

在 す る か?第2章

お よ び §6.1の

答 え る こ と が で き る(定 閉 な ら ば,そ

析 的 試 料{νij,m,k}が

応 す る 局 所 型 微 積 分 形 式 に 見 合 っ たD上

の 意 味 で 一 意 的 で あ る.逆 芯 に も つ も の は,こ

結 果 を 総 合 し て,こ れ に 対 し て 次 の よ うに

理6.4.1):L2(D;m)上

の 最 小 閉 拡 大 に適合 にm-対

与 え られ

の 拡散 過 程 は 一意 的 に存

し たD上

の 対 称 形 式(6.0.4)が の 拡 散 過 程 が 存 在 し,定

称 で 正 則 なD上

可

理4.3.2

の 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

の よ うに して 得 ら れ る も の に 限 る.

  こ の よ うに 我 々 の 設 問 は さ しあ た っ て 局 所 型 微 積 分 形 式 の 可 閉 性 と い う解 析 的 問 題 に 帰 着 さ れ る.そ §6.5で

はmとkに

こ で §6.4で

は 可 閉 性 の た め のνijに

対 す る条 件 を 問 題 に す る.現

的 条 件 を 用 意 す る の は 困 難 で あ る が,§6.4で

対 す る 条 件 を,

段 階 で はνijに 対 す る 一 般

はνijがLebesgue測

度に 関 し

絶 対 連 続 で あ る 場 合 に 限 ら ず 可 閉 性 の た め の い くつ か の 十 分 条 件 を 与 え る で あ ろ う.

  §6.5で

は 特 に 正 則 区 間 上 の1次

さ れ る.そ

元 拡 散 過 程 が デ ィ リ ク レ形 式 を 用 い て 構 成

の 結 果 上 述 のmとkが1次

元 の 場 合 よ く知 られ た ス ピ ー ド測 度 と

消 滅 測 度 に 他 な ら な い こ と が 明 ら か に な る.

  §6.1  デ ィ リ ク レ 形 式 の 局 所 性 と 標 本 路 の 連 続 性   (X,m)は

§1.1の

(X,B(X))上

も の と す る.殆

ん ど全 ての 標 本 路 が 連 続 で あ る よ う な

の 標 準 マ ル コ フ過 程 を 拡 散 過 程(diffusion

即 ち 標 準 マ ル コ フ過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ (6.1.1) 

Px(Xt(ω)はt∈[0,ζ(ω))に

process)と

い う.

が 関 し連 続)=1,x∈X

を 満 た す と き,Mを(X,B(X))上

の 拡 散 過 程 と呼 ぶ わ け で あ る.

  本 節 の 目 的 は 次 の 定 理 を 示 す こ と で あ る.   定 理6.1.1 

L2(X;m)上

の 正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

関 す る 次 の2つ

の条

件 は 互 い に 同 値 で あ る.   (a) 

Eは

局 所 性 を も つ.

  (b) 

Eに 適 合 し た(X,B(X))上

  以 後 しば ら くL2(X;m)上

の 拡 散 過 程 が 存 在 す る.

の 正 則 デ ィ リ ク レ 形 式Eと

(X,B(X))上

のHunt過

程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

  補 題6.1.1 

z∈Xと00}が

し てptf(∈C∞(Rn))はTtfの

正 し け れ ばTtfは §4.3の

意 味 でEに

勿 論Eに

準

対応 してい るわ け

適 合 して い る とい え るわ け で

あ る.   先ず

(6.2.5) な る 関 係 を 証 明 し よ う.u∈C∞0(D)に Taylor展

開 し,gt(y)がyの

関 係 しな い 定 数.  C′ もxに

従 って 定 数.uの

ま わ りで

回 転 に 関 し不 変 で あ る こ とを 使 え ば

  Cはxに

但し

対 しu(x+y)をy=0の

台 は コ ン パ ク トで あ る か ら,ル

補 題1.3.4に

よ れ ば,こ

れ は(6.2.5)を

関 係 しな い

ベ ー グ の 有 界 収 束 定 理 に よ り

意 味 す る.

  次 に ブ ラ ウ ン推 移 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 と し て 得 ら れ る リ ゾ ル ベ ン ト核{Rα, α>0}を考え,

(6.2.6)  だ か ら

を 示 す.実 際   従 っ てSchwarzの

不等式 よ り

  (6.2.5)と(6.2.6)か

ら 求 め る 関 係(6.2.4)が

簡 単 に 導 け る.実

はH1(Rn)内

で 稠 密 で あ っ た か ら((6.2.2)),(6.2.5)よ

(6.2.7) 

D[E]⊂D[E′],E′(u,u)=E(u,u),∀u∈D[E].

一 方(6

.2.6)に

内 でE′1の =E.だ

よ りR1(C∞0(Rn))⊂D[E]で

位 相 で 稠 密.と

.2.4)が

よ り,R1(C∞0(Rn))上

そ の リ ゾ ル ベ ン トの 関 係(1.3.3)お

関 係(1.3.10)に (6.2.8) 

の 強 連 続 半 群 の生 成 作 用 素

結 果 に よ り デ ィ リ ク レ形 式E=(D,H1(Rn))に

  一 般 にAと

よ り,次

対 応 し て い る.

よ び リ ゾ ル ベ ン トとEの

の 同 値 性 が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.

u∈D(A),Au=f⇔u∈D[E],E(u,υ)=-(f,υ),∀υ

い ま の 場 合(6.2.8)の ∈C∞0(Rn),な

∈D[E].

右 側 の 条 件 は,u∈H1(Rn),D(u,υ)=-(f,υ),∀

る 条 件 と 同 値 で あ る.(6.2.2)が

導 け た.(証

  これ でn次

υ

成 立 し て い る か ら で あ る.明

らか に こ の 条 件 はu∈H1(Rn),1/2Δu=f(∈L2(Rn)),と同 (6.2.3)が

で はE′

示 せ た.

  (ⅱ)  ブ ラ ウ ン推 移 関 数 の 決 定 す るL2(Rn)上 Aは(ⅰ)の

り,

あ る が,R1(C∞0(Rn))はD[E′]

こ ろ が(6.2.7)に

か らD[E′]⊂D[E].(6

際C∞0(Rn)

値 で あ るか

終)

元 ブ ラ ウ ン運 動 と ソボ レフ空 間 の対 応 が わ か った か ら両者 に 第

5章 の 結 果 を 適 用 す る こ と が で き る.ブ

ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト核 は ル ベ ー

グ測 度 に関 し絶 対 連 続 で あ り,そ の 密 度 は 関 数 て 記 述 さ れ る.従

っ て 定 理5.1.3に

意 味 で の 概 極 集 合 は,n次 で の 極 集 合 に 等 し い.つ

よ り デ ィ リ ク レ形 式E=(D,H1(Rn))の

元 ブ ラ ウ ン運 動M={Ω,M,Xt,Px}x∈Rnの

量 を 定 義 す る と き,一

0で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,適

当 なBorel集

Px(σB0}はRn上

際,ブ

ラ ウ ン推 移 関 数 の 定 め るL2(Rn)上

考 え る と,定

理6.2.1に

の リ ゾ ル ベ ン トを{Gα,α>0}と びRαfの

す る とw=Gαf=Rαf

っ てA a.e..こ

れ とwお

よ

従 う. 公 式 をw=Rαfと

ブ ラ ウ ン 運 動 のGc=Rn

の 到 達 時 刻 σGcに 適 用 し て

と こ ろ が(6.2.12)よ G上

の強 連 続 半 群 の生 成 作 用

よ りw∈D(A),(α-A)w=f.従

連 続 性 よ り(6.2.14)が

  こ こ で 補 題5.3.2のDynkinの -Gへ

の ブ ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト核 で

でw=uで 1)  補 足

りf(x)=0,x∈G,で あ り,ブ

§0.1(g)参

照.

あ る か ら右 辺 の 第1項

は0.ま

ラ ウ ン 運 動 の 標 本 路 の 連 続 性 に よ りXσGcはGの

た 境

界 ∂Gに

属 す.(6.2.13)が

  定 理6.2.2の て(ⅰ)か

示 せ た.  (証 終)

証 明   (ⅰ)が

示 さ れ れ ば よ い.(ⅱ)は

ら 導 け る か らで あ る.と

ウ ン運 動MDは

こ ろ で §5.4の

定 理5.4.2(ⅱ)の

結 果 に よ れ ば,吸

意味 でED適

デ ィ リ ク レ形 式E=(D,H1(Rn))のD上

前 定 理 と全 く同 様 に し

合 し て い る.こ

で の 部 分.従

収壁 ブ ラ こにEDは

っ て(ⅰ)の

ためには

(6.2.15) を い え ば よ い こ と に に な る.   い まH1(Rn)の2つ

の 閉部 分 空 間

(6.2.16) FD={u∈H1(Rn); u=0

q.e.(Rn-D)}

の閉包

(6.2.17) 

を 考え る.但

しC∞0(Rn;D)はC∞0(D)の

に 拡 張 した も の の 全 体.H1(Rn)の の と す る.定

元 をRn-D上

リク レ形 式(DD,H10(D))はL2(Rn)上

関す る も

の 広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式(D,

の デ ィ リ ク レ形 式 と み な した も の.一

と 同 一 視 で き る.従

お い てRn上

位 相 は 常 にD(u,u)+(u,u)に

義 に よ りEDはL2(Rn)上

FD)をL2(D)上

で0と

方L2(D)上

の デ ィ

の 広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式(D,FD)

っ て 求 め る 関 係(6.2.15)は

(6.2.18) FD=FD と 同 等 で あ る.   広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式(D,FD)と(D,FD)に 対 応 す る,必 α>0}お

ず し も強 連 続 で な いL2(Rn)上

よ び{Gα,α>0}と

な る こ と と 同 等 で あ る が,そ (6.2.19) 

G1f=G1f, 

定 理1.4.3の の リ ゾ ル ベ ン トを,各

す る.(6.2.18)はL2(Rn)上

意 味で 々{Gα,

でGα=Gα,α>0

のためには ∀f∈L2(Rn)∩C∞(Rn)

が 示 さ れ れ ば よ い.   f∈L2(Rn)∩C∞(Rn)に Gα

とGα

また

(6.2.20)

対 しu=G1f-G1fと

お きu=0

は 共 に マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン トだ か ら,uは

a.e.を

示 そ う.

本 質 的 に 有 界 で あ る.

実 際 自 明 な 関 係FD⊃FD⊃C∞0(Rn;D)に を 使 う と,υ ∈C∞0(Rn;D)の

注 意 しG1とG1の

と き(6.2.20)の

性 質(1.3.13)

左 辺 は(f,υ)-(f,υ)=0に

等 し い.  (6.2.20)はuのD上

へ の 制 限 が 超 関 数 の 意 味 で 

す こ と を 意 味 す る.Weylの

補 題 よ り,uにD上

存 在 し てuはD上

で1-調

和 で あ る.uが

D上

こ でuをRn-D上

で 有 界 連 続.そ

に 拡 張 す る.こ

連 続 修 正u′ ま たu′=0

でa.e.に

で0と

お く こ とに よ りRn上 で 有 界 で あ り,ま

際u∈FDはH1(Rn)の

を もつ が,u′=u

の関 数 たuの

元 だ か ら少 な く と も1つ

a.e.(D).補

q.e.(Rn-D).結

等 し い 関 数uが

本 質 的 に 有 界 で あ った か らuは

の と き 拡 張 さ れ た 関 数uはRn上

準 連 続 修 正 と な る.実

を 満た

局u=u′

題3.1.5に

q.e..こ

よ りu′=u

れ は 特 にuの

の準

q.e.(D).

準 連 続 性 を意 味

す る.   閉 包 が コ ン パ ク トな 開 集 合 列{An}でAn⊂An⊂An+1,An↑Dな

選 び 

と お く.ま

極 集 合 をNと

す る.uがRn上

補 題6.2.1お

よ び(6.2.10)を

と こ ろ がXσ x∈D-N.結

∈ ∂Dで

たuに

成 り立 つ よ う なBorel

で 有 界 で あ りD上

で1-調

和 で あ る こ と,

使 って

あ り,ま

局u=0

る もの を

対 し(6.2.10)の

たRn-D上

q.e.,u=0

a.e.が

でu=0で

あ る か

示 せ た.(証

らu(x)=0,

終)

  §6.3  反 射壁 ブ ラ ウ ン 運動 と それ に 類似 な拡 散 過 程   前 節 の 後 半 で はRnの D内

領 域D上

の吸 収 壁 ブ ラ ウ ン運 動 を 扱 った が,こ れ は

か ら出発 し た ブ ラ ウ ン 運 動 の標 本 路 をDの

境 界 ∂Dに 到 達 し た 時 刻

σ∂Dで 吸収 して 得 られ る もの で あ った.し か しσ∂Dで 吸収 して し ま う 代 わ り に,σ ∂D以 後連 続 的 にD内

に 入 り込 む よ うに し,D内

で は再 び も との ブ ラ ウ

ン運 動 の 法 則 に 従 って動 く よ うな標 本 路 を もつ 拡 散 過 程 を 考 え る こ とが で き る. この際,内

部 に 入 る傾 向 と境界 に 再 び接 近 す る傾 向 とが 瞬間 的 に せ り合 うの で

そ の標 本路 は非 常 に複 雑 な軌 跡 を画 き,直 接 構 成 す る のは 容 易 な こ とで は な い.

こ の よ うな 運 動 の 中 で 一 番 典 型 的 な も の が 反射 壁 ブ ラ ウン 運 動 と 呼 ば れ る も の で あ り,こ

れ はH10(D)に

で な くH1(D)に

  先 ず 簡 単 の た め にDが2次 え て み よ う.対

元 上 半 平 面{(x1,x2)∈R2;x2>0}の

場合 を 考

応 す る 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 はD={(x1,x2)∈R2;x2≧0}上

拡 散 過 程 で あ っ て,推 (6.3.1) 

の

移 関 数 が ル ベ ー グ測 度 に 関 す る密 度

pt(x,y)=gt(x-y)+gt(x-y), 

を も つ も の と し て 定 義 され る.但 る.2次

関 係 し て い る.

x,y∈D

しy=(y1,y2)に

対 しy=(y1,-y2)と

元 ブ ラ ウ ン運 動M={Ω,M,Xt,Px}x∈R2の

す

標 本 路Xtを(X(1)t,X(2)t)

と座 標 成 分 表 示 す る と き

(6.3.2) と お い て 得 ら れ るD上

の 拡 散 過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈Dが

丁 度D上

の

反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 に な っ て い る こ と を 見 る の は 容 易 で あ ろ う.   一 方 §1.2で

も 触 れ た よ うに,H10(D)の元

境 界 ∂D={(x1,x2)∈R2;x2=0}に

に 含 ま れ 且 つ そ こ で 稠 密 で あ る.い れ はL2(D)上

属 す 関 数 で あ っ て,

於 け る 境 界 値 がa.e.に0に

し て 特 徴 づ け られ る こ と が 知 られ て い る.従

か ら,こ

はH1(D)に

等 しい もの と

っ てH1(D)∩C∞(D)はH10(D)

ま の 場 合H1(D)はH10(D)よ

の デ ィ リ ク レ形 式(DD,H1(D))が

り真 に 広 い 正則ではない こと

を 意 味 し て い る.   し か し な が ら 基 礎 の 空 間Dの

代 わ り に そ の 拡 張Dを

と 同 一 視 す る こ と に よ り(DD,H1(D))をL2(D)上 す と き,こ

れ は 正 則 で あ る.実

際C∞0(Rn)のD上

考 え,L2(D)をL2(D) の デ ィ リ ク レ形 式 と み な へ の 制 限 をC∞0(D)と

お

くと (6.3.3) 

C∞0(D)はH1(D)内

で稠密

と な る こ と が 知 ら れ て い る た め,本 ∩C∞(D)がH1(D)とC∞(D)の   補 題6.3.1 

示 す よ うにH1(D)

双 方 で 稠 密 で あ る と い え る か ら で あ る.

上 半 平 面D上

デ ィ リ ク レ形 式(DD,H1(D))に   証 明   f∈C∞0(D)を

節 の 終 りの 部 分(b)で

と る.Mの

の 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動MはL2(D)上

の正 則

適 合 し て い る. リ ゾル ベン ト核 を{Rα,α>0}と

す る と,

(6.3.1)よ

り

(6.3.4)  但 しRα

Rαf(x)=Rαf1(x)+Rαf2(x),  は2次

元 ブ ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト核,f1はfをR2-D上

0と お い てR2上 f2(y)=f(y)と R2上

x∈D.

に 拡 張 し た も の,f2はD上 し て 定 義 さ れ るR2上

の 関 数 は 定 理6.2.1に

理6.2.1とWeylの

で

で0,y∈R2-Dに

の 関 数.(6.3.4)の

よ りH1(R2)に

対 して は

右辺で定義 さ れ る

属 す か らRαf∈H1(D).ま

補 題 に よ りRαfはD上

た定

で 無 限 微 分 可 能 で あ り,普

の 微分 の意 味で 

x∈D,を

通

満 た す.

 と ころで,簡 単 な計 算 で 確 か め られ る よ うに

(6.3.5) 従 って任 意 のυ ∈C∞0(D)に 対 し,部 分 積 分 を実 行 して

を 得 る.(6.3.3)と

補 題4.3.1よ

り,Mが(DD,H1(D))に

適 合 して い る こ

と が わ か っ た.  (証 終)   D上

の 反 射 壁 ブ ラ ウン 運 動 の 推 移 関 数{pt,t>0}の

群 の 生 成 作 用 素Aに

つ い て,定

記 述 を 行 な う こ と は,上

理6.2.1(ⅱ)や

定 め るL2(D)上 定 理6.2.2(ⅱ)に

相 当す る

半 平 面 の よ うな 簡 単 な 場 合 に も既 に 容 易 で は な い.f

が 滑 ら か な ら ばRαfは(6.3.5)な

る 境 界 条 件 を 満 た す が,一

に つ い て は こ の よ う な 条 件 を 記 述 し に く い た め で あ る.し 関 数 族 を ∂D上 の 関 数 族 に 移 す 線 型 写 像Lで ized normal

の半

derivative)と

般 のf∈L2(D)

か しD上

の一 定 の

一 般 化 さ れ た 法 線 微 分(general

呼 ば れ る も の が 定 義 可 能 で あ り,Aが

(6.3.6) と 記 述 さ れ る こ と が 知 られ て い る1).   再 び一般 の 領 域D⊂Rnの 1)  こ の よ う な 記 述 は,一 界 を 考 え れ ば 成 立 す る.J.L.

場 合 に 戻 ろ う.§6.1の 般 の 領 域Dに Doob[Ⅰ;1],

対 し て も ∂Dの M.

結 果 と上 記 の 観 察 に 基 づ 代 わ りにDのMartin境

Fukushima[Ⅰ;1]参

照.

い て,Dに

関 係 し た 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 や,そ れ に 類 似 の 拡 散 過 程 を 定 式 化 し

構 成 す る こ と が 可 能 で あ る.話 (6.3.7) 

を 一 般 に して

H10(D)⊂L⊂H1(D),(DD,L)はL2(D)上

を 満 た す よ うなH1(D)の

部 分 空 間Lを

ハ ウ ス ドル フ 空間D*が

boundary)と

つC∞(D*)の

関 す るDの

拡 張 で あ

部 分 集 合 と し て 位相D(u,u)+(u,u)に

関 し稠 密

部 分 集 合 と して一様 に 稠 密 で あ る と き,D*をLに

拡 張 と す る.こ

m(A)=￨A∩D￨, 

に よ っ て 定 義 す る.但

し￨ ￨は

Radon測

際,任

度 で あ る.実

A∈B(D*)

拡 張D*が

れ は 明 らか に 正 則 で あ る.

少 な く と も1つ

存 在 す る と き,Lを

の と き 上 述 の よ うに(DD,L)をL2(D*;m)上

(regularization)と   定 理6.3.1 

(ⅰ)  (6.3.7)を

関 す るDの1つ

礎 空 間Dの

拡 張 に よ る)正

  (ⅱ)  D*上

の 拡 散 過 程MのD上

書 く.

部 分 空間Lが

す る.こ

適 合 し たD*上

存 在 す る.

属 す 関 数 で,D*上

満 た すH1(D)の

の 拡 張 をD*と

Xt,Px}x∈D*が

体 を,L∩C∞(D*)と

正則化可

の正 則 デ ィ リク 則化

呼 ぶ.

の 正 則 デ ィ リ ク レ形 式(DD,L)に

1) Lに

対 し て,u(x)≧1,

同 一 視 す る こ とに よ っ て,(DD,L)をL2(D*;

レ 形 式 と み な す こ と を,(DD,L)の(基

と し,Lに

い た る所 稠 密 な

存 在 す る か ら, 

の デ ィ リ ク レ形 式 とみ な す と き,こ 関 す るDの

の 測 度mを

意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂D*に

るu∈L∩C∞(D*)が

能 と い う.こ

の と きD*上

ル ベ ー グ 測 度 を 表 わ す.mは

L2(D*;m)をL2(D)と

  Lに

い う.D*-DをD

呼 ぶ こ と が あ る.D*がDの

関 す るDの

(6.3.8) 

m)上

所 コ ン パ クト で 可 分 な

稠 密部 分 集 合上 へ の 同相 写像

拡 張 と呼 ぶ.

  D*をLに

x∈K,な

らD*の

拡 張(enlargement)と

り,L∩C∞(D*)1)がLの で あ り,且

考 え よ う.局

あ っ て,Dか

が 存 在 す る と き,D*をDの の 理 想 境 界(ideal

の デ ィ リ ク レ形 式

正則化可能

の と きL2(D*;m)上 の 拡散 過 程M={Ω,M,

で の 部 分MD={Ω,M,Xt,Px}x∈Dは

に適 当 に拡 張 す れ ばC∞(D*)の

元 とみ なせ る もの の 全

L2(D)上

の デ ィ リ ク レ形 式(DD,H10(D))に

  こ の 定 理 の 後 半 の 主 張 は,特 し てはD上

適 合 し て い る.

にD*上

の 拡 散 過 程Mがq.e.の

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン運 動 のD*上

を 意 味 し て い る.実

際,定

理6.2.2に

よ りD上

={Ω ,M,Xt,Px}x∈Dも(DD,H10(D))に 理(定

理4.2.2)に

N⊂Dが

意 のx∈D-Nに

  定 理6.3.1の

対 し て;確

よ り,Nはn次

る か ら で あ る.u1,u2∈LのD*上

き る.Ui∩D=U0iと

お く.u1は

(DD,L)は

うす れ ば 定 理6.1.1が

開 集 合U02上

適用 で き

共 に コ ン パ ク トでK1∩

適 当 な 開 近 傍Uiを

でa.e.に0.u2の

選 ん でU1∩U2=φ

でa.e.に0だ

か ら,そ

とで の超 関

超 関 数 と し て の 導 関 数 はU01 つ まり

っ て 

局 所 性 を も つ.

  (ⅱ)  定 理6.2.2(ⅰ)の -Dを

理

の 正 則 デ ィ リ クレ 形 式(DD,L)

で の 台K1,K2が

数 と し て の 導 関 数 もU02上 でa.e.に0.従

率 過 程{Ω,M,Xt,Px}は

元 ブ ラ ウ ン 運 動の 極 集 合 で あ る.

証 明   (ⅰ)  L2(D*;m)上

が 成 立 す る とす る.Kiの

極 集合

同 じ 有 限次 元 結 合 分 布 を も つ.定

が 局 所 性 を も つ こ と を 示 し さ え す れ ば よ い.そ

K2=φ

って一 意 性 の定

関 す る 適 当 なBorel概

吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動{Ω,M,Xt,Px}と 5.4.2(ⅰ)と(6.2.9)に

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動MD

適 合 し て い る.従

よれ ば,(DD,H10(D))に

存 在 し,任

出発点に対

へ の連 続 的延 長 に な って い る こ と

と っ て)証

証 明 と 全 く 同 様 に し て(Rn-Dの

代 わ りにD*

明 で き る . (証 終)

  こ の よ うに(6.3.7)を

満 た すH1(D)の

部 分 空間Lが

正則 化 可 能 な ら ば,

こ れ に 対 し て 吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動 の 延 長 と して の 拡 散 過 程 を対 応 さす こ と が で き る こ と が わ か っ た.そ

れ で は い つLが

正 則 化 可 能 か と い う 問 題 が 生 じ る.

こ れ を い くつ か の 場 合 に つ い て 考 察 し て み よ う.   (a) L0=H10(D):(DD,H10(D))は す るDの

拡 張 で あ る.対

既 に 正 則 で あ り,D自

応 す る 拡 散 過 程 は 勿 論D上

身 がL0に

の 吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動

で あ る.   (b) L1=C∞0(D)のH10(D)内

で の 閉 包:但

関

しC∞0(D)はC∞0(Rn)のD

上 へ の制 限 で あ る.(DD,L1)は Rn内

正 則 化 可 能 な デ ィ リ ク レ形 式 で あ り,Dの

で の 閉 包DがL1に

  実 際 §2.1で

関 す るDの

拡 張 と な る.

の 議 論 か ら 明 ら か な よ うに(DD,C∞0(D))はL2(D)上

コ フ 対 称 形 式 で あ る か ら,定

理2

.1.1に

の マル

よ りL1はL2(D)上

の デ ィ リク レ

形 式 で あ る.

(6.3.9) で あ る か らL1∩C∞(D)はL1内

で 稠 密.次

こ と を 示 す た め に,C∞(D)の す る.u∈C0(D)に

元 がC0(D)の

対 し て は,Tietzeの

に 拡 張 しu∈C0(Rn)と

に こ れ がC∞(D)で

元 で 一 様 に 近 似 で き る こ とに 注 意 拡 張 定 理 を 使 っ てuをRn上

す る こ と が で き る.問  と お く と,Rn上

こ ろ がuδ

のD上

へ の 制 限 はC∞0(D)に

L1∩C∞(D)がC∞(D)で   L1に

題1.2.1の

適 用 す れ ば,D上

L2=H1(D):Dが

注 意 す れ ば

の 対 称 な 拡 散 過 程 で あ っ て,吸

拡 張D*と

か しDが

充 分 滑 らか な らば(例

してDが

持 型 空 間 と呼 ば れ る も とれ る か ど うか 一 般

有 界 で あ っ て も な くて も,DのRn内 えば

満 た す の で2)L2=L1.(b)に

∂DがC1-級

よ っ て,こ

収壁

存 在 す る こ とが わ か る.

正 則 化 可 能 な こ と が 知 られ て い

し て は,Martin-倉

の を 具 体 的 に 構 成 し な け れ ば な ら な い.D*と

∂Dが

と

属 す か ら,(6.3.9)に

有 界 の と きL2は

関 す るDの

に は 不 明 で あ る.し

軟 化 子jδ に よ っ て

稠 密 で あ る こ と が わ か っ た.

定 理6.3.1を

る1).L2に

に連 続

で 一 様 に 

ブ ラ ウ ン 運 動 の 延 長 と な っ て い る も の が 少 な く と も1つ   (c) 

も稠 密 で あ る

な ら ば)Dは

の と きD上

で の境 界 条 件(6.3.3)を

の 拡 散 過 程 がL2に

対

応 す る.

  一 般 にH1(D)が

正 則 化可 能 で あ る と き,こ

定 理6.3.1の

意 味 で 対 応 す る 拡 散 過 程 をD*上

ing

Brownian

barrier 1)  M.

Fukushima[Ⅱ;1]参

2)  溝 畑 茂[Ⅰ;1],169頁

motion)と 照. 参 照.

呼 ぶ.Dが

れ に関 す るDの

拡 張D*上

に

の 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動(reflect た また ま半 空 間 の 場 合 に は

(6.3.2)に

よ って ブ ラ ウ ン運 動 を折 り返 して得 られ るD上

の拡 散 過 程 は,こ

の意 味 で 反 射 壁 ブ ラ ウ ン運動 に な って い る(補 題6.3.1).上 Dが

に 見 た よ うに,

有 界 な 場 合 や ∂Dが 滑 らか な 場 合 に は 反 射 壁 ブ ラ ウ ン運 動 が存 在す る.

  §6.4  多次 元 拡 散 過 程 と局 所 型 微 積 分形 式  DをRnの

領 域 と し,mをD上

いた る所 稠 密 なRadon測

度 とす る.§1.2

で 定 義 した よ うに

(6.4.1)

に よ っ て 与 え られ るL2(D;m)上 う.但 はD上

しνij,1≦i,j≦n,は(1.2.3)を の 正 のRadon測

  D上

の対称 形 式 の こ とを 局 所型 微積 分形 式 と い

称)で

のRadon測

度 の 組.k

度.

の マ ル コ フ過 程Mが

移 関 数 がm-対

満 た すD上

右 連 続 な 標 本 路 を も ち 且 つm-対

あ る と す る.こ

ち そ の推

結 果 に よ り,Mの

推 移

関 数 はL2(D;m)上

の 強 連 続 な マ ル コ フ 対 称 作 用 素 の 半 群 を 定 め,そ

れ に対

し て はL2(D;m)上

の デ ィ リ ク レ形 式Eが

正 則 で あ り更 に §4.3の る と い う.そ

の と き §1.4の

称(即

意 味 でMがEに

  定 理6.4.1 

D上

れ に §6.1の のm-対

同 値 類1)の 全 体 と,L2(D;m)上

し こ のEが

適 合 し て い る と き,Mを

し て 正 則 デ ィ リク レ形 式Eの

  §1.2,§2.1,§2.2,そ

一 意 に 対 応 す る.も

芯 をMの

正則 であ

芯 と も呼 ぶ.

結 果 を 総 合 し て 次 の 定 理 を 得 る.

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

芯 に もつ も の の

の 可 閉 な 局 所 型 微 積 分 形 式 の 全 体 とは1対1

に 対 応 す る.   証 明   MをD上 る.Mの Eに

のm-対

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 と しC∞0(D)を

決 定 す る デ ィ リ ク レ形 式 をEと

適 合 し て い る の だ か ら 定 理6.1.1に 1)  L2(D;m)上

す る と,Mは よ りEは

芯 に もつ とす

正 則 デ ィ リク レ 形 式

局 所 性 を も つ.従

の 同 じ半 群 を決 定 す る もの は 同 値 とみ な す.定 理4.3.2に

同値 な も の 同士 はq.e.の

出発 点 に 対 して 同じ 有 限 次 元 結 合 分 布 を もつ.

っ てE よれ ば,

のC∞0(D)上

へ の 制限 を 改 め てEと

も つ マ ル コ フ 対 称 形 式 で あ る.こ な 測 度νij,kに

述 べ た よ うにEは

定 理2.1.2に

か も 局 所 性 を も つ.そ

て そ れ に 適 合 したD上

のm-対

よ りL2(D;m)上

のm-対

可 閉であ

の正 則 デ

こ で 定 理6.1.1をEに

称 な 拡 散 過 程Mを

芯 に も っ て い る.(証 よ り,D上

の 対 称 形 式Eが

局 所 性 を もつ マル コ フ対 称 形 式 で

ィ リ ク レ形式 で あ り,し

  定 理6.4.1に

一 意的

よ うに 表 わ さ れ る こ と が わ か る.

っ て そ の 最 小 閉 拡 大Eは

か にMはC∞0(D)を

可閉で局 所 性 を

適 用 す れ ば,Eが

よ っ て 与 え られ るL2(D;m)上

る と 仮 定 し よ う.§2.1に あ る.従

らか にEは

れ に 定 理2.2.2を

よ っ て(6.4.1)の

  逆 に(6.4.1)に

お く と,明

適用 し

作 る こ と が で き る.明

ら

終)

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

芯 に も

つ も の を 決 定 す る 問 題 が 次 の 解 析 的 な問 題 に 帰 着 さ れ た こ と に な る:L2(D; m)上

の 局 所 型 微 積 分 形 式(6.4.1)を

可 閉 な ら し め る た め に 測 度 の組(νij,k)

の 満 た す べ き 必 要 十 分 条 件 は 何 か?   こ の 問 題 に 一 般 的 な 答 を 用 意 す る の は 困 難 で あ る が,以 条 件 を 与 え て み よ う.本

節 で はmは

ル ベ ー グ 測 度,k≡0の場

つ ま り問 題 は 次 の 通 りで あ る:(1.2.3)を {νij;1≦i,j≦n}が

下 に い くつ か の 十 分

満 た すD上

合 を 調 べ る.

のRadon測

度 の組

ど の よ うな 条 件 を 満 た す と き

(6.4.2) はL2(D)上

の 対 称 形 式 と し て 可 閉 で あ る か?

  (1°) νijが ル ベ ー グ 測 度 に 関 し絶 対 連 続 の と き 即ち (6.4.3) νij(dx)=aij(x)dx,  と 書 け{aij(x),1≦i,j≦n}はD上 を 満 た す も の とす る.こ 考 察 し た.そ は(6.4.2)は   (1°.a) 

1≦i, j≦n の 局 所 可 積 分 関 数 の 族 で あ っ て(1.2.7)

の よ うな 場 合 の 可 閉 性 に つ い て は §1.2の

れ に よ れ ば{aij}が

次 の2条

例1で

既 に

件 の うち の ど ち ら か を 満 た す 場 合 に

可 閉 で あ る. aij(x)の

超 関 数 と し て の1回

偏 導 関 数 がD上

の局 所 可積 分 な 関数

で あ る.1≦i,j≦n.   (1°.b) aij(x)は ξ∈Rnと

一 様 に 楕 円 型 で あ る:適

全 て のx∈Dに

  こ の よ うに{aij}が

当 な 正 数 δ が 存 在 し て,全

ての

対 して, 一 様 に 楕 円 型 で あ る か,ま

滑 ら か で あ れ ば(6.4.2)の

た そ うで な い 場 合 で も 適 当 に

可 閉 性 が 保 障 さ れ る.し

し 滑 ら か さ が 壊 れ て い る 場 合 で も,次

か しaij(x)の

の よ うに(6.4.2)が

退 化 も許

可 閉 とな る場 合 が あ

る.   簡 単 の た めD=Rnと  (1°.c) 

す る.い

1≦k≦n-1に

ま,全

て の1≦i,j≦nに

対 し て は 超 関 数 微 分 

は 

で あ る が, 

ついて

はRn上

局所 可 積

上 だ け で 普 通 の 意 味 で存 在 しそ こ

で連続 と仮定 す る.こ

の と き(6.4.2)は

可 閉 で あ る.実

際,x=(x1,…,xn)に

しx′=(x1,…,xn-1)と

表 わ す こ とに し,F0={u∈C∞0(Rn);適

あ っ て,xn∈(-δ,δ)な

らu(x)はx′

く.(1°.a)の

の み に 依 存 しxnに

場 合 の 証 明 と全 く 同 様 に し て,形

制 限 した も の は 可 閉 で あ る こ と が わ か る.次

式(6.4.2)の

関 し定 数}と

お

定 義 域 をF0に 対 し

≦xn≦2δ

u(x′,xn-2δ) 

(6.4.4) υδ(x)={

当 な δ>0が

に 任 意 のu∈C∞0(D)に

u(x′,0) -2δ

対

xn>2δ

u(x′,xn+2δ) xn0},Rn-={x∈Rn;xn0と

す る と き,L2(Fθ)上

上の ル ベー グ測

の 可 閉 な 対 称 形 式Eθ

る も の.

(6.4.8)  任 意 のu∈C∞0(Rn)に 可 積.但

元 ユ ー ク リ ッ ド 空間Fθ

間 をL2(Fθ)と

でD[Eθ]=C∞0(Fθ)な

Θ をパ ラメータ

∈ Θ} .

対 しEθ(uθ,uθ)は

θ∈ Θ の 関 数 と し て μ-

上 へ の 制 限 を 表 わ す.

し て 次 の よ う な 形 式 を 導 入 す る.

(6.4.9) つ ま りn-1次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Fθ

重 ね 合 せ(superposition)と

上 の可 閉 な 対 称 形 式 の測 度

μ による

デ ィ リ ク レ積 分 の 定 数 倍 の 和 と してEを

定 義す

る わ け で あ る.   定 理6.4.2 

(ⅰ)  (6.4.6)∼(6.4.8)な

義 され るL2(Rn)上   (ⅱ)  更 に(6.4.7)に

る 条 件 の 下 で(6.4.9)に

よ って定

の 対 称 形 式 は 可 閉 で あ る. 於 け るEθ

がFθ

上 の可 閉 な 局 所 型 微 積 分 形 式 な ら

ば,Eも

可 閉 な 局 所 型 微 積 分 形 式 で あ る.

  簡 単 だ が 重 要 な 補 題 を 準 備 し よ う.   補 題6.4.1 

x=(x1,x2,…,xn)∈Rnに

対 しx′=(x1,x2,…,xn-1)と

書

くと

(6.4.10) 但 しCはu∈C∞0(Rn)に

よ ら な い 定 数.

  証 明   C∞ 関 数φ(xn)でxn=0の を と る.そ

近 傍 で1,xn≧1の

と き0と

して 

な る も の

にSchwarzの

不

等式 を適用 し

こ れ に よ り(6.4.10)は   定 理6.4.2の 理2.2.2を  

(ⅰ)の

証 明   (ⅰ)の

終)

み を 示 せ ば よ い.こ

れ か ら(ⅱ)を

導 くに は定

使 え ば よ い. た め にuk∈C∞0(Rn),E(uk-ul,uk-ul)→0,k,l→∞,(uk,uk)

→0,k→∞,と   E(u,u)≧

明 ら か で あ る.(証

仮 定 しE(uk,uk)→0を δD(u,u)が

導 く.

成 り立 っ て い る こ と と,形

まず こ の と きD(uk,uk)→0,k→

∞.と

こ ろ が,補

式Dの

可 閉 性 と に よ り,

題6.4.1とDirichlet

積 分 の座 標 変 換 に関 す る不 変 性 に よ り

(6.4.11) が 任 意 の θ∈Θ ベ ー グ 測 度.従

に 対 して 成 立 して い る.こ

こ にdx′

はFθ

上 のn-1次

元 ル

っ て 各 θ∈Θ に つ き

上で

(6.4.12) 

 さ て{uk}はEに

関 しCauchy列

を な す か ら,部  と で き る.μ

な るΘl∈B(Θ)が

分 列kj→∞

は σ-有 限 だ か ら 

存 在 す る が,各lに

つ い て不 等 式

を選んで

が成 立 す るか ら μ に 関 す る殆 ん ど全 て の θ∈ Θ に対 して

(6.4.13) つ ま り(6.4.13)が Cauchy列

成 り立 つ よ うな θ に 対 し て は{uθkj}は

に な っ て い る.と

り立 っ て い る か ら,こ

こ ろ がEθ

は 可 閉 で あ り,し

形 式Eθ

の意 味 で

か も(6.4.12)が

成

の よ うな θ に対 して は

(6.4.14)   従 っ てFatouの

補 題 と3角

最 後 の 項 はnと

不等式 に より

共 に い く ら で も 小 さ くな る.(証

  例 え ばD=R2の

場 合,νij,1≦i,j≦2,が

(6.4.2)は(6.4.9)の

終)

次 の よ うに 与 え ら れ る 微 積 分 形 式

特 別 な 場 合 に あ た っ て い る.

(6.4.15)

但 し μ お よび に は,定

ν は1次

理6.4.1と

元 の 正 のRadon測

定 理6.4.2に

よ り,R2上

  最 後 に 次 の 点 に 注 意 し て お こ う.補 代 わ りにRn内 に そ の 領 域Dを

度.こ

の よ う な{νij,1≦i,j≦2}

の 拡 散 過 程 が 対 応 し て い る.

題6.4.1は

超 平 面{x∈Rn;xn=0}の

の 滑 ら か な 超 曲 面 に 対 して も 成 立 す る1).従 と り,超

平 面 族{Fθ}の

曲 面 族 を と っ て も 定 理6.4.2が

代 わ り にDに

成 立 す る.こ

含 ま れ るC∞

の よ うに 考 え る と,例

中 心 と す る 同 心 球 面 上 の 対 称 拡 散 過 程 を 適 当 にsuperposeし,そ 運 動 に 加 え る こ と に よ っ てRn上 1)  溝 畑 茂[Ⅰ;1],定

理3.8.

っ てRnの

代わ り 級の超

えば 原 点 を

れ をブ ラウン

の 新 しい 拡 散 過 程 を 得 る こ と が 可 能 で あ る.

こ の よ うな 拡 散 過 程 を 記 述す る微 積 分 形 式 と しては,(6.4.2)の

よ うな 直 交座

標 を 使 った表 示 よ りも極 座 標 表 示 の方 が便 利 で あ ろ う.

  §6.5  ス ピー ド測 度 と消 滅 測 度   前 節 では,領 域D⊂Rn上

のm-対

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

芯に も

つ も の を決 定 す る問 題 が 次 の解 析 的 問 題 に 帰 着 され る の を 見 た:L2(D;m) 上 の局 所 型 微 積 分 形 式(6.4.1)を

可 閉 な ら しめ るた め の測 度 の 組{νij,k}の

満 た す べ き必 要 十 分 条 件 は 何 か?   こ の設 問 は さ しあ た って2つ に 分 け て 考 え る こ とが で き る.即 ち   (Ⅰ)  mが

ル ベ ー グ測 度 で あ り,k≡0の

場 合 に(6.4.2)を

可閉 な ら しめ る

た め の{νij}の 条 件 は何 か?   (Ⅱ)  {νij}がL2(D)上 この ときD上

の微 積 分形 式(6.4.2)を

の どの よ うなRadon測

微 積 分 形 式(6.4.1)は   前 節 では(Ⅰ)に

可 閉 にす る と仮 定す る.

度mとkに

対 してL2(D;m)上

の

可 閉 とな るか?

対 す る十 分 条 件 をい くつ か与 え た わ け で あ る.設 問(Ⅱ)の

方 は,ユ ー ク リ ッ ド空 間 の領 域 上 の 局所 型 微 積 分形 式 に 対 して だ け で な く,も っ と一 般 に 定 式 化 で き る の で,本   (X,m)を

§1.1の

通 り と し,EをL2(X;m)上

式 で あ っ て,D[E]がC0(X)の の と きEの

節 で は 先 ず そ の 点 に 簡 単 に 触 れ て お こ う.

あ る 稠 密 部 分 集 合Dに

最 小 閉 拡 大Eは

定 理1.2.1に

ク レ形 式 と な るか ら,こ れ に 対 して §3.1の 容 量Cap(A)が

の 可 閉 な マ ル コ フ対 称 形

定 義 で き る.定

等 し い も の とす る.こ

よ りL2(X;m)上 意 味 でXの

理3.3.1(ⅲ)に

各 部 分 集 合Aの(1-)

よれ ば コ ン パ ク ト集 合Kに

対 して は

(6.5.1) が 成 立 す る.容

量0の

  定 理6.5.1 

m′ とkをX上

(6.5.2) 

集 合 は 概 極 集 合 と呼ば れ た. の 正 のRadon測

m′(B)≧m(B),∀B∈B(X),

の正 則 デ ィ リ

度 で各 々

(6.5.3) 

任 意 の 概 極 集 合A⊂Xに

を 満 た す も の とす る.こ

対 しk(A)=0

の とき

(6.5.4) に よ っ て 定 義 さ れ るEは,L2(X;m′)上

の マル コ フ 対 称 形 式 と し て 可 閉 で

あ る.   証 明   un∈DがEに n→∞

関 しCauchyを

が 成 り立 つ と仮 定 す る.こ

もCauchyを

な し,ま

E(un,un)→0,n→

部 分 列nkが

な し,且

つ 

の と き定 理 の 条 件 に よ りunはEに

従 ってEの

た  ∞,が

成 立 す る が.定

あ って, 

可閉 性 に よ り

理3.1.4と(6.5.3)に

k-a.e..故

関 して

よ り適 当 な

で

に 

な けれ ば な らな い.こ れ でE(un,un)→0,n→∞,即

ちEの

可閉性が示 さ

れ た. (証終)   §1.2で 少 し 触 れ た こ とで あ るが,マ ド測 度(speed

measure),kは

消 滅 測 度(killing

上 の 定 理 の よ うに ス ピ ー ド測 度 をmか ば,Eの

ル コフ対 称 形 式 に と ってmは measure)と

らm′ に,測 度 を0か

最 小 閉 拡 大 に 適 合 した標 準 マ ル コフ過 程MはEの

合 した 標 準 マル コ フ過 程Mに 変 換 が,mやkの

ス ピー

呼 ば れ る.

らkに 変 更す れ 最小閉拡大に適

移 され る こ とに な る.し か しMか

らMへ

の

名前 が 示 唆す る よ うな確 率 論 的変 換 に よ って 実現 され う る

も のか ど うか 一 般 に は 不 明で あ る.お そ ら くkの

変 更 は,Mを

適 当 な概 極 集

合 の外 部 に 制限 し た も の の あ る乗 法 的 汎 関数 に よ る変 換 を意 味 し,mの

変更

は 適 当 な概 極 集 合 の 各点 を不 変 点 に す る操 作 とそ の 外 部 に 於 い て の あ る加法 的 汎 関 数 に よ る時 間 変 更 を行 な う操 作 との 結 合 を意味 す る もの と思 わ れ る.   いず れ にせ よ概 極 集 合 な る概 念 は,こ

の種 の変 換 論 に 於 い て も重 要 な 役 割 を

果 た して い る.と こ ろが1次 元 拡 散 過 程 に 対 して は 非 常 に 特 別 な場 合 を 除 い て は,空 集 合 以 外 の概 極 集 合は 存 在 しな い.こ に 到達 す る た め に は,区

間(a,b)の

れ は,連

続 な標 本路 がaか

らb

全 て の点 を通 過 しな け れ ば な らな い と い

う1次 元 空 間 の 特 殊 性 を反 映 した もの で あ る.概 極 集合 の不 在 性 が,1次

元拡

散 過 程 の 研 究 を 多 次 元 拡 散過 程 の そ れ よ りもず っ と易 し く して い る理 由 の1つ に な って い る.以 下 に §1.2の 例2に 関 連 して この 間 の事 情 を考 え てみ る こ と に しよ う.   mを1次

元 区 間I=(r1,r2)上

の い た る と ころ稠 密 な正 のRadon測

度 と し,

(6.5.5) (6.5.6) 

FR={u∈L2(I;m);uは

(6.5.7) 

絶 対 連 続 でD(u,u)0に

す る と,§3.1で

使 っ た 論 法 に よ りpn

収 束 す る.従

こ ろ がpn=1

意味で の

っ て 各 点x∈Iで

m-a.e.(Jn)とpnの

た υ∈F0がyで

連続 性 か

非 負 と す る と,任

対 し て υδ(x)=υ(x)+δg01(x,y)はx=yの

 δ↓0と E1(p,υ)≧0.結

局pが

意

近 傍で正 であ るか ら し て

次 の 性 質 を も つ こ と が わ か っ た.

(6.5.11) こ の 性 質 はpをF0の (6.5.8)と

元 と し て 一 意 的 に 特 徴 づ け る も の で あ る.そ

こで 等 式

比 較 す る こ とに よ り

(6.5.12) を 得 る.一

方Choquet容

こ れ に(6.5.12)を

量 の性 質 に よ り

代 入 す れ ば(6.5.10)が

  こ の よ う に 局 所 性 を もつL2(I;m)上 に 関 し て は,Iの

の 正 則 デ ィ リ ク レ 形 式E=(D,F0)

各 点 が 正 の 容 量 を も つ こ と が わ か っ た.Eに

の 拡 散 過 程 をM0={Ω,M,X0t,P0x}x∈Iと い の だ か ら,定

理4.2.2に

一 意 的 に 定 ま る .特 か ん が み て,M0はI上 は,吸

得 られ る.

よ りM0は

にmがI上

し よ う.空

集 合 以 外 に概 極 集 合が な

任 意 のx∈Iに

対 して確 率過 程 と して

の ル ベ ー グ 測 度 の 場 合 に は,§6.2の

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 と 一 致 す る.一

収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 の 標 本 路 をmに

時 間 変 更す る こ と に よ りM0が

適 合 したI上

般 のmの

結 果に 場合

応 じた 適 当 な加 法 的 汎 関 数 に よ って

得 られ る の で あ る が,本

書 で は こ の点 に 詳 し く

は 触 れ な い.   一 般 にu∈F0と

同 じL2(X;m)の

限 る.実

際,他

3.1.5に

よ りu=u

∀x∈I.従

同 値 類 に 属 す 関 数 の 準 連 続 修 正 はuに

に 準 連 続 修正uが

m-a.e.だ

か ら,補

題

q.e..と こ ろ が 概 極 集 合 は 空 集 合 しか な い か らu(x)=u(x)

っ てM0の

{Rα,α>0}と

あ っ た とす る とu=u

,

推 移 関 数 と リ ゾ ル ベ ン ト核 を 各 々{pt,t>0}お

す る と,補

題4.2.1に

よ び

よ り

(6.5.13) 但 しBはI上 pは

の 有 界Borel関

§3.3の

数 の 全 体.ま

意 味 で の1点{y}の(1-)平

て 定 理5.1.1に

た(6.5.11)で

特 徴 づ け られ る

衡 ポ テ ン シ ャ ル に 他 な らず,従

っ

より

(6.5.14) 但 しE0xはP0xに   M0の

よ る 平 均 を 表 わ す.

推 移 関 数 はm-対

称 で あ る.従

ベ ン ト核 の み な らず 推 移 関 数 もmに る.定

理5.5.1に

っ て(6.5.13)は,特

ル

関 して 絶 対 連 続 で あ る こ とを 意 味 して い

訴 え る 必 要 は な い.ま

こ と に よ りE0y(-σ{y})=1を

にM0のリゾ

得 る.こ

た(6.5.14)に

於 い てx=yと

れ は 各 点y∈Iが

お く

そ れ 自身 に 対 し てM0

に 関 す る 正 則 点 で あ る こ と を 意 味 して い る.  こ こ でpを

も う少 し詳 し く表 示 し て み よ う.§1.2に

の 解,つ 上 の 正 の1-調 (1.2.10)の =0)を

ま り積 分 方 程 式(1.2.12)の

和 関 数u1(u2)で

解 の こ と を1-調

狭 義 単 調 増 加(狭

意 味 で 正 則 境 界 点 な らu1(r1)=0(r2が

於 い て,方

和 と 呼 ん だ.I

義 単 調 減 少)で

あ り,r1が

正 則 境 界 点 な らu2(r2)

満 た す も の が 存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る .こ

(6.5.11)で

程式

のu1とu2を

使 えば

特 徴 づ け られ るpが の と き 

(6.5.15) 

と 表 わ さ れ る こ とが わ か る.実

際(6.5.11)に

ま う よ うな 任 意 の 関 数φ ∈C∞0(I)に 見 た よ うにpが

区間(r1,y)上

の とき よ り台 が(r1,y)に

対 して は,E1(p,φ)=0.こ

で1-調

含 まれ て し れ は §1.2で

和 で あ る こ と を 意 味 す る.し

か も

p∈F0だ

か らr1が

(r1,y)上

正 則 な らp(r1)=0.ま

たp(y)=1.こ

れ ら3つ x∈(r1,y),も

の 関 数 を 一意 的 に 決 定 す る も の で あ る. 

じ 条 件 を 満 た す か ら(6.5.15)の

の条 件 は

最 初 の 等 式 が 得 ら れ る.後

同

の 等 式 も同様 に し

て わ か る.   (6.5.15)は り,Iの

特 にp(x)>0,∀x∈I,を

任 意 の2点

間 にM0に

意 味 し て い る.従

関 す るcommunicationが

っ て(6.5.14)に あ る こ と,即

よ ち

(6.5.16) が わ か る.(6.5.15)か

ら は 更 にg01(x,y)の

表示

Cは

(6.5.17) 

を 得 る こ と が で き る.実 (6.5.12)と(6.5.15)に

際(6.5.8)か

らg01(x,y)の

正の定 数

対 称 性 が わ か る か ら,

これ をCと

よ り 

け ば よ い.g01(x,y)が(6.5.17)の の 両 辺 をf・dmで

お

よ うに 変 数 分 離 形 に な っ た の で(6.5.8)

積 分 し,そ

の 左 辺 の 微 分 と積 分 の 順 序 を 入 れ か え れ ば,

(6.5.18) が 導 か れ る.即

ち 再 生 核g01はM0の

リ ゾ ル ベ ン ト核 のmに

と な っ て い る こ と が わ か っ た.同 (6.5.8)の

関す る 密度 関数

様 に して エ ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度

両 辺 を 積 分 し(3.2.17)と

比 較 す る こ と に よ り,μ

μ によって

の ポ テ ンシ ャル

Uμ が

(6.5.19) と表 わ され る こ とが わ か る.   以 上,正 M0の

則 デ ィ リ ク レ形 式E=(D,F0)と

性 質 を 調 べ て き た.こ

は 正 則 で な い.し

そ れ に 適 合 し たI上

の拡 散 過 程

れ に 対 し て デ ィ リ ク レ形 式E=(D,FR)は

一般 に

か し §6.3の

場 合 と 同 様 に 状 態 空 間Iの

を 正 則 化 す る こ とが 可 能 で あ る.即 (r1,r2)に

ち,も

しriが

拡 張 に よ って これ

正 則 な ら ば,こ

れ を 区 間

境 界 点 と して つ け 加 え る こ と に よ っ て 得 られ る 新 た な 区 間 をIと

表

わ す こ と に し,m(ri)=0と はL2(I;m)上

お い てmをI上

る とE=(D

,FR)

の デ ィ リ ク レ形 式 とみ な し て 正 則 で あ る こ と を 証 明 す る こ と

が で き る.勿

論Eは

局 所 性 を も つ か ら,こ

が 存 在 す る.(E,M)に にIの

散 過 程MのI上

で の 部 分 が 丁 度M0に(マ

各 点 のEに

れ は 定 理5.4.2の

の 拡 散 過 程M

対 す る場 合 と同様 の性 質 を導 く

関 す る 容 量 は 正 で あ る .ま

たI上

の拡

ル コ フ過 程 の 同 値 性 を 除 い て)等

結 果 で あ る.

  本 節 の 後 半 で は §1.2の 例2に の で あ るが,§1.2の

れ に 適 合 したI上

対 し て も(E,M0)に

こ と が で き る.特

し い.こ

に 拡 張 す る.す

例2を

関 連 した1次

元 拡 散 過 程 の 性 質 を 調 べ て きた

も う少 し一 般 に し て ,こ

れ に 消 滅 測 度kを

形 式 を 考 え て も全 く 同 じ 結 果 を 導 く こ と が で き る.こ

加 えた

れ を 定 理 の形 で ま とめ て

お こ う.   区 間I=(r1,r2)上 Radon測

の 測 度mは

い ま ま で 通 り と す る.kをI上

度 と し,(6.5.5)と(6.5.7)の

の正 の

代 わ りに

(6.5.5)′

(6.5.7)′  D[E]={u∈L2(I;m);uは

絶 対 連 続 でD(u,u)