Πιθανότητες και στατιστική

SCHAUM'S

OUTLINE

SERIES

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Schaum's OuJline of Theory and Problems of PROBABILITY AND STA ΤΙSΤΙCS)

MURRA Υ R. SPIEGEL, Ph. D. FORMER PROFESSOR ΑΝD CHAJRMAN OF MATHEMATlCS RENSSELAER POLYTECHNJC INSTlTUTE OF CONNECTlCUT

ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ:

ΣΩΤΗΡΙΟΣ Κ. ΠΕΡΣΙ Δ ΗΣ,

Ph. D .

Κ ΑΘΗΓ ΗΤΗΣ ΠΑΝ Ε ΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑ ΛΟΝ ΙΚΗΣ

McGRA W-HILL, NEW YORK ΕΣΠΙ

, ΑΘΗΝΑ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Τό σπουδαίο καί γοητευτικό πεδίο τών πιθανοτήτων αρχισε νά άναπτύσσεται

τόν

170 αίώνα μέ τίς προσπάθειες διάσημων μαθηματικών, δπως ό Fermat καί ό Pascal, νά άπαντήσουν σέ έρωτήσεις σχετικές μέ τυχερά παιχνίδια. 'Όμως, μόλις

τόν 20ό αίώνα θεμελιώθηκε μιά αύστηρή μαθηματική θεωρία μέ άξιώματα, ό­ ρισμούς καί θεωρήματα.

Μέ τήν πάροδο του χρόνου ή Θεωρία Πιθανοτήτων

αρχισε νά έφαρμόζεται όχι μόνο στή μηχανολογία, τή φυσική καί τά μαθηματικά, άλλά καί σ'

αλλα πεδία, δπως στήν οίκονομία, τή γεωργία, τό έμπόριο, τήν

Ιατρική, τήν ψυχολογία, κτλ.

Σέ πολλές μάλιστα περιπτώσεις οί έφαρμογές συ­

νέβαλαν στή διεύρυνση καί έπέκταση της θεωρίας. 'Η Στατιστική αρχισε νά άναπτύσσεται πολύ νωρίτερα άπό τή Θεωρία Πιθα­ νοτήτων κυρίως μέ τή συλλογή, όργάνωση καί παρουσίαση δεδομένων μέ πίνακες

καί γραφικές παραστάσεις.

Μέ τήν πρόοδο της Θεωρίας Πιθανοτήτων άναγνω­

ρίστηκε δτι ή Στατιστική μπορεί νά χρησιμοποιηθεί γιά νά βγουν σωστά συμπε­ ράσματα καί νά ληφθουν λογικές άποφάσεις άπό μιά άνάλυση τών δεδομένων, δπως στή

δειγματοληψία καί τήν πρόβλεψη.

Σκοπός αύτου του βιβλίου είναι νά παρουσιάσει μιά σύγχρονη είσαγωγή στή Θεωρία Πιθανοτήτων καί τή Στατιστική σέ πανεπιστημιακό έπίπεδο. κόλυνση του άναγνώστη τό βιβλίο διαιρείται σέ δύο μέρη.

Γιά διευ­

Τό πρώτο άσχολεί­

ται μέ τή Θεωρία Πιθανοτήτων (καί μπορεί μόνο του νά χρησιμοποιηθεί σάν είσαγωγή στό θέμα), ένώ τό δεύτερο μέ τή Στατιστική. Τό βιβλίο αύτό μπορεί νά χρησιμοποιηθεί ή σάν κύριο σύγγραμμα γιά ενα τυ­ πικό μάθημα σέ πιθανότητες καί στατιστική η σάν ενα συμπλήρωμα γιά όποιοδή­ ποτε αλλο άναγνωρισμένο σύγγραμμα.

Μπορεί άκόμα νά χρησιμοποιηθεί άπό

έπιστήμονες έρευνητές καθώς καί γιά αύτοδιδασκαλία.

'Υπολογίζεται δτι ή ϋλη

του μπορεί νά διδαχτεί σ' ενα έτήσιο μάθημα η έκλεκτικά σ' ενα έξαμηνιαίο.

Εύχαριστώ ίδιαίτερα τόν

Literary Executor του Sir Ronald Α. Fisher, F.R.S., Logman Group Ltd., London, γιά τήν αδεια νά χρησιμοποιήσω τόν Πίνακα ΠΙ άπό τό βιβλίο τους Statistical Tables for Biol~ gical. AgricuZturα! αnd Medica! Reseαrc}l (6η εκδοση, 1974). Μ' αύτή τήν εύκαι­ ρία εύχαριστώ άκόμα τόν David Beckwith γιά τήν έξαιρετική σύνταξη του βιβλί­ ου καί τόν Nicola Monti γιά tήν καλλιτεχνική του έργασία. τόν Δρα

Frank Yates, F.R.S.,

καί τήν

Μ. Σεπτέμβριος

R.

SPIEGEL

1975

.... ' .'~'

"":

ΧΕ ~ .. " - , ....... --.

w;

"' •

-\,.",

· 'Si.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ

"Οτανγνωρίζουμε τό νόμο εξελίξεως ενός αίτιοκρατικου φαινόμενου, μπορουμε άπό όρισμέ­ να άρχικά δεδομένα νά προβλέψουμε τί θά γίνει μετά άπό κάποιο χρονικό διάστημα.

Συχνά

δμως δέ γνωρίζουμε τό νόμο, γιατί τό φαινόμενο είναι πολύπλοκο καί δέ δέχεται λεπτομερή

μαθηματική περιγραφή η δέν μπορεί νά διατυπωθεί νόμος πού νά εκφράζει μιά σχέση αίτιου­ άποτελέσματος.

Σέ κάθε περίπτωση δμως θέλουμε νά ξέρουμε τί θά γίνει.

Αύτή ή επιθυμία

προβλέψεως του μέλλοντος είναι ενα άνθρώπινο όνειρο, τόσο άρχαίο όσο καί ή άνθρώπινη ϋπαρξη.

Στήν περίπτωση πού δέν ύπάρχει αύστηρός αίτιοκρατικός νόμος, ή επιθυμία αύτή βρίσκει τήν επιστημονική της ενσάρκωση στή Θεωρία Πιθανοτήτων καί τή Στατιστική.

Ή Θεωρία

Πιθανοτήτων άποτελεί, μπορεί νά πεί κανείς, ενα είδος θεωρητικής προβλέψεως του μέλ­ λοντος, γιατί σ' αύτή θεωρουμε γνωστή τήν πιθανότητα νά συμβεί κάτι άλλο. είναι ενα είδος πρακτικής προβλέψεως του μέλλοντος.

Ή Στατιστική

Σ' αύτή μελετάμε βασικά τίς πιθανό­

τητες πραγματοποιήσεως διαφόρων έναλλακτικών καταστάσεων, άφου έξετάσουμε στήν πρά­ ξη τί συμβαίνει σέ παρόμοιες καταστάσεις.

'Από τή γενική καί άφηρημένη αύτή περιγραφή

είναι φανερό ότι ή Θεωρία Πιθανοτήτων είναι πιό «βασική» επιστήμη, ένώ ή Στατιστική είναι πιό «έφαρμοσμένψ' καί στηρίζεται στή Θεωρία Πιθανοτήτων.

Καί οί δυό δέχονται αυστηρή

μαθηματική θεμελίωση καί διατύπωση. Είναι πολύ δύσκολο νά δώσει κανείς σ' ενα μόνο σύγγραμμα τίς θεωρητικές βάσεις τής Θεωρίας Πιθανοτήτων καί τίς πρακτικές έφαρμογές τής Στατιστικής.

'Ακόμα πιό δύ­

σκολο εΙναι νά προσπαθήσει κανείς νά ίκανοποιήσει τό φοιτητή, πού θέλει ενα σύγγραμμα

κατανοητό, καί τόν επιστήμονα η επαγγελματία, πού θέλει σαφείς καί σύντομες όδηγίες γιά τίς εφαρμογές.

Τό σύγγραμμα τοϋ Μ.

R. Spiegel, •Απλά

πετυχαίνει αύτά σέ άξιοθαύμαστο βαθμό. πρώτο μέρος.

πού δίνεται εδώ στήν ελληνική γλώσσα, καί μεθοδικά είσάγονται οί πιθανότητες στό

'Από τά σύνολα πηγαίνουμε εϋκολα καί άνάλαφρα στίς πιθανότητες, στίς

τυχαίες μεταβλητές, στίς κατανομές.

Στό δεύτερο μέρος παρουσιάζεται πρώτα ή δουλειά πού

χρειάζεται γιά τή συλλογή στοιχείων, ή δειγματοληψία, καί άκολουθουν διαδοχικά πολυπλο­

κότερα θέματα: οί εκτιμήσεις, οί ελεγχοι, ή προσαρμογή καμπυλών καί ή άνάλυση διασποράς. 'Αποδείξεις δίνονται εκεί πού χρειάζονται καί μόνον όταν είναι άρκετά άπλές ωστε νά μήν επισκιάζουν μέ τόν όγκο καί τίς δυσκολίες τους τίς εκφωνήσεις τών θεωρημάτων.

'Εφαρ­

μογές δίνονται μέ μορφή λυμένων καί άλυτων προβλημάτων σέ τυχερά παιχνίδια, γεωμε­ τρικά προβλήματα, καθημερινές ερωτήσεις, ιατρικές ερευνες, οίκονομικά θέματα, εκλογικές

προβλέψεις, βιομηχανικούς ελεγχους ποιότητας καί πολλούς άλλους τομείς, όπου σήμερα οί Πιθανότητες καί ή Στατιστική χρησιμοποιουνται ευρύτατα.

Καί όλα αυτά προϋποθέτουν άπό

τόν άναγνώστη τή γνώση όλίγων άνώτερων γενικών μαθηματικών, πού διδάσκονται στά δύο

πρώτα χρόνια μετά τή μέση εκπαίδευση.

'Έτσι τό βιβλίο αύτό εΙναι κατάλληλο σάν κύριο τι

βοηθητικό σύγγραμμα γιά όλους δσους ένδιαφέρονται η χρησιμοποιουν Πιθανότητες καί Στατιστική.

Στό θέμα πού πραγματεύεται τό βιβλίο αυτό ύπάρχουν πολλά καί καλά πανεπιστημι­ ακά συγγράμματα, πού βέβαια χρησιμοποιήθηκαν σάν βάση γιά τήν όρολογία, πού δμως

παρ.ουσίασε κάποιες δυσκολίες, επειδή γράφεται γιά πρώτη φορά στή δημοτική γλώσσα. αύτό μέ βοήθησαν πολλοί συνάδελφοί μου πού τούς εύχαριστώ πολύ. ευχαριστίες στόν εκδοτικό οίκο

McGraw-Hill

πού παραχώρησε τά δικαιώματα, τό τυπογρα­

φείο Λεοντακιανάκου γιά τή φωτοστοιχειοθεσία του ελληνικοϋ κειμένου, τήν

PRINT

Σ'

'Επίσης όφείλονται

GRAPHO-

Ε.Π.Ε. γιά τήν εκτύπωση καί τήν εκδοτική εταιρεία ΕΣΠΙ γιά τή σύνθεση τύπων

καί κειμένου γιά τήν άρτια εμφάνιση του βιβλίου.

Τέλος, ευχαριστίες όφείλονται στόν

κ. Π. Μωυσιάδη γιά μιά κριτική άνάγνωση τής πρώτης εκδόσεως. Μάϊος

1977

Σ.

ΠΕΡΣΙΔΗΣ

••

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Μέρος Ι

Κεφάλαιο

1

ΣΥΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ή νΕννοια του Συνόλου.

γράμματα του

Τό βασικό Σύνολο καί τό Κενό Σύνολο.

Δειγματόχωροι.

Θεωρήματα μέ Σύνολα.

Γεγονότα.

Μερικά Σημαντικά Θεωρήματα.

Πιθανότητες ύπό

Θεωρήματα γιά

τής

Συνθήκη.

Θερημα ή Τύπος του

'Απαριθμήσεως.

τελεστές.

Διαγράμματα

Ή Προσέγγιση του

Δέντρων.

StirIing

Πιθανότητες ύπό Συνθήκη. Διατάξεις.

γιά τό

Τά Ά­

'Εκτίμηση Πιθανοτήτων.

Συνδυαστική Άνάλυση.

Bayes.

1

Διαν

'Αρχή του Δυϊσμου.

Ή νΕννοια τής Πιθανότητας.

ξ~iliματα τής Πιθανότητας. Γεγονότα.

2

....................................

Ύποσύνολα.

Πράξεις μέ Σύνολα.

Venn.

Πειράματα Τύχης.

Κεφάλαιο

Πιθανότητες

'Ανεξάρτητα

Ή Θεμελιώδης Άρχή

ΣυνδυασμοΙ

Διωνυμικοί Συνν

n1.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

38

ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Τυχαίες Μεταβλητές.

Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας.

Συναρτήσεις Κατανομής γιά

4ιακριτές Τυχαίες Mεταβλητές~- Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συναρτήσεις Κατανο-­ μής γιά Συνεχείς Τυχαίες Mε~αβλητές.Ό Κανόναζτου LeibI1iZ.' Γραφικές Παραστάσεις. 1 Πολυδιάστατες Κατανομές. 'Ανεξάρτητες 'Τυχαίες Μεταβλχn&ς . -'-Αλλαγή ΜεΉ!Ι3λψων. ~ςΙhθαΥ.ότηmς...Συναρτήσεων Τυχαίω:ν Μετqβ~ητω~ Συνελίξεις. Συνθήκη. Γεωμετρικά Προβλήματα. .-

Κεφάλαιο

3

Κατανομές ύπό

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 'Ορισμός τής Μέσης 'Τιμής. τή Μέση Τιμή. σπορά.

Συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητων.

Ή. Διασπ~ρά 1.

Έάν ενας δειγματόχωρος εχει πεπερασμένο πλήθος σημείων (όπως στό Παράδ. πεπερασμένος δειγματόχωρος.

τούς φυσικούς άριθμούς

σιμος.

ο;?; χ ;:::

1-7

1.16),

καλείται

'Εάν τά σημεία του δειγματόχωρου μπορουν νά άντιστοιχηθοϋν μέ

1,2,3, ...

ενα πρός εναν, καλείται απειρος άριθμήσιμος δειγματόχωρος.

'Εάν τά σημεία του δειγματόχωρου μπορουν νά άντιστοιχηθουν του αξονα χ (π.χ.

Οι

1)

μέ τά σημεία ~νός διαστήματος

ενα πρός ενα, τότε ό δειγματόχωρος καλείται απειρος μή άριθμή­

'Ένας πεπερασμένος η απειρος άριθμήσιμος δειγματόχωρος καλείται διακεκριμένος η δια­

κριτός δειγματόχωρος.

'Ένας απειρος μή άριθμήσιμος καλείται καί μή διακεκριμένος η συνεχής

δειγματόχωρος.

ΓΕΓΟΝΟΤΑ

'Ένα ένδεχόμενο η γεγονός εΙναι ενα ύποσύνολο Α ενός δειγματόχωρου δυνατών άποτελεσμάτων.