This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
муЛ.у (1) применять нельзя. В этом случае для вычисления интеrрала можно поступать . . 1 Л е р в ы- й с n о с о б·. Разложить дробь т- на простейшие. Имеем z -6z .' 1 l 1 1 1 = • zZ -6z 6 Z6 Z Лодстав.Л.я'я: в интеrрал, . пОJt'уЧЩ.{
так
!.
1•-21"'5
--е'2
l
dz= z2 - бz 6
·
�·· . . -·
ezl dz z -6
·
1•-2/=S
·
·
-
1 6
-
J-
lz-21=5
-
ezl dz 1 е36 l 1 1ri. = - 2rrie36 - -211'i = z 6 6 3 ·
52
Глава
2. Интегрирование. Ряды. БесконечнЩJ,пронэведенИя
ch z dz = 1 j z dz - 1 j ch % (z J + 1)3(z- l) 81•1=2 -;=т 8lz\=2 . 1•1=2 1 j ch z 2 dz - -�. - ch z dz . (z 1) 21•1=2 (z + 1)3 ;-- 4 1•1=2 _ К первым двум интегралам применяем интегральную формулу Коши (1): chz ф 21Га. ch 1. chz dz = 21Гi ch 1, 1 --z-1 z +1 J 1•1=2 fzf=2 Используя линейность интеграла, получим ch .
_z + 1 dz 1
+
=
·
. ch z .. . dz = 21Гi( ch z )' 1 , = -21ra sh 1, -2 . •= ' z 1 -1 J( ) 1•1=2 chz dz = 21Гi (ch z)" , = 1ri chl. 1 --(z + 1)3 2! z=- 1 lzl=2
Третий и четвертый интегралы вычисляем с помощью формулы (2) : +
_
_
Окончательно получим
1 ch = 21Гi ch 1 --21Гi ch 1 -1 21Гi sh 1 --1Гi ch z dz --z 8 8 4 2 1 3(z-1) ( + ) J 1•1=2 sh 1- ch 1 1Г'i 1Гi · = 2е 2 и с центрами в точкаJ�: В т о р о й с п о с о б . Построим окружности z1кались = -1 и z2 = 1 достаточно малых радиусов таких, чтобы окружности не пересе и целиком лежали круге !zl � 2. В трехсвязной области, ограниченной окружностями l z l = 2, и "(2 , подынтегральная . функция всюду аналитична. По теореме Коши для многосвязной области имеем ch z dz = j ch z dz j ch z dz ( 3) · z (z -1) -1) 1)3(z 1)3(z + (i + 1)3(i -1). + ( J 2 f•f= К первому интегралу правой части (3) применим формулу (2), предварительно представив подынтегральную функцию в виде chz chz = z-1 (z + 1)З(z-1) (z + 1)3 · chz Функция z 1 является аналитической внутри поэтому в силу формулы (2) chz dz =. j chz z 21Гi ( chz ) "j - = 2e-1 + ch1 . J (z. + 1)3(z- .1) (z + 1)3 d :;= 2! z ..,---�--. =
-
1
+
= -
11
11
в
+
1'1
_
1'2
11 ,
_
z- l
1'1
12_
1' 1
·
1
=-l
4
1Г t .
·· § т. Ряды в ком11лексной ()(Jла(:;ти Ко второму июеrрму Кощи (1)
J
�
в
nравой части (3) приме.няем иmеrральную фОрмулу
ch z dz
(z + l )З(z
- 1)
J
ch z
=j � .
dz =
z -. . 1
�
Окончательно получаем
t zl"'2
53
ch z 4z (z + l)З( z - 1)
.
= -11'i 2е
211'1. (zch+ z1 )3 1
.
•"''
::;;:
. ch l ?rt --:f.
- 1 + ch l .ch l 1ri + "'• т = - 2е · 4
t> '
Задачи дпя самостоятельноrо реwения Вычислить следующие интеrралы:
177.
J f
1* '
1 80.
.
lz/=2
1 83.
J J
cos z - dz. z3 .
z sh z (z2 - l )2 dz . 1 8 1 .
1•1= 1/2
1 85.
. 1 78.
IФ !/2
j j
fф l
sh 2 z . dz
1•-ЗI=б
·
179.
1.
1«-' 1 /"' 1
z dz . (z - 2)3(z + 4)
1r . l соs --1 dz . з z z+
1 84.
l '- sin z 4z . z2 .
1 86.
J
1•-21,.1
sin i z dz (z - I ) 2 (z - 3)
1 82.
J
1•-21,.3
·
Chfli!fz z'
_
4z 2 dz .
'
e'l·•
dz . .(z 2 + 4)2
J
fz-lf=l/2
е•• dz . 2 (z - 1 ) 2
§ 7 � Ряды в комnлексной области Пусть имеем ряд с комплексными ЧJiенами z,+
Z2 + . . . + Zn + . . .
=
00
Е Zn ,
( 1) .
n=l
где Zn = Xn + iYn · Ряд ( 1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся как ряд
так
х 1 + х2 + . . . + Xn + . . .
=
и ряд tlt+ У2 +
• ·
· + Yn +.
• ·
=
00
2: Xn ,
(2 )
n=l 00
2:: Yn· n=l
·
( 3)
1
Ряд
(
1)
� сходится ряд
называется абсолютно сходящимся,
l zt l
+
l z2l + · · ·
+ l zn l + · · ·
=
Oti' .
'
l)t�l.
(4)
п:t
Ряды (2), (З), (4) являются рядами с дей�ными членами, и вопрос об их сходИмости решает�я с помощью· Известных признаков сходимости рядов в действительной области.
ПрИмер 1 . Исследовать на сходимость ряд оо
in
2: ;.. n n=l
n
Решение. Имеем е1• = cos + i sin n. Таким образом, вопрос· о сходимости
·данноrо ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными <J.Ленами: ""
cos n
E -;r- " n• l
Каждый иэ этих рядов сходится абсолютно. Следовательно, данный ряд сходится 1>
\
абсолютно.
Пример 2. Исследовать на сход�мость ряд
Решение. Имеем
е;,.,.. = cos ..... + s s1n - . ,..
1r
11'
•
n
• ,.. "" sm
, "" cos -
Ряд
•
n
Е ---П. сходится. Следрвательно, данный ряд . n . расходится, а ряд Е __д n. n• l
n= l
расходится.
·
t>
Задач и дпя самостоятельного решения Исследовать на сходимость ряды: . . . "" "" """ ' cos ш .
1 87. L....t n= l
1 88•
L R::c.1
n s�� tn . .
1 89.
""
.Е ... ,
'i
2
��
с
�
.
190. .·
""
i211
.Е ne r=n ·
· n= l _ v
55
. § 7. Ряды в комплексной облаСти 1.9 1 . 1 94.
n
оо
Е n= l
· e{rf
00
1 92.
.;n .
ln n · Е n=l sh in 00
Е n=l
t
( 1 + i)"
2"/2 cos in ·
1 93.
ch i � ln n . n= l n
1 95.
1 96.
fJ � �
s i . n= I stn an 00
?;
;
tg 1rn ·
Степенной ряд Ряд; вида
Со + CtZ + C2Z
2
+.
n n . , + CnZ + . . = � L....J CnZ , 00
( 5)
.
n=O z
где Со, с1 и т. д. - комплексные постоянные, а комплексная переменная, называется степенньtМ_рядом в ,комплексной области. -
.·
Теорема Абеnя. Если степенной ряд (S) сходится пР.и некоmором значении z = zo , то он сходится и притом абсолютно при всех значениях z , для которых lzl < !zo\. Еслиряд (5) расходитСя при z = z1 , то он расходится и при любом значении z , для которого lzl > l�t l · Обласn; сходимости ряда ( 5) есть круг с ценТром в начале координат. РадИус сходимости степенного ряда определяетс.ц по формулам
R = нт � n-+oo ICn+ t l
или
(6)
(en # O)
1 . R = ltm л::-1 ' n n-+oo у len l
(7)
если указанные пределы существуют.
Пример 3. Определить радиус сходимости степенного р�да 00
I: cos in · zn . n=O
Решение. Имеем с" =
cos in =
Для нахождения радиуса сходимости
R
=
lch n.J lim ch (n + Щ oo l ... ,.
.
= =
е
-" + е" 2
.
l1m
ch n.
R применяем фо',рмулу (6): .
ch n li m ,....oo ch (n + l)
,..... 00
=
1
=
ch n lim ,....oo ch n · ch l + sh n · sh l
ch 1 + th n · sh 1
=
ch 1 + sh 1
=е
-1
,
=
56
rrонэведениfl
2: Интегрирование. Ряды. . БескQнечнtiв;:
Глава
так как
lim thn lim е"en +- еe--"n = n-+oc 1 +- е-е-2,.;.2.. = . 1. =
'n-oo
1
lim
'n-+ 00 '
с
Итак, радиус сходимости Данного степенного �яда
R
=
�-1,.
[>
Пример 4. Найти радиус сходимости степенного ряда 00
L(l + i)11zn . n=O
Решение. Находим модуль коэффициенt!l с,. = (I + i)" : Применяя формулу (7), найдем радиус сходимости данного степенного ряда
1 R = """"'I1m. "" .."..�
1. .fi
::ж: - .
Задачи дл я самостоятельного решения Найти радиусы сходимости следующих степенных рядов: 1 97.
""
� еi n z n . n=l
200.
n=l
""
f= n=O
С:)
"
203. � 1·nz n .
""
z"
�sin"(l+in) ·
209 .
Ряд � c,.z"
мости r' .
00
n=о
� ei'lf/n z".
201 .
Е сь !..n z " .
204.
206.
""
1 98.
207.
""
202.
n=l
"" L: .
205.
L:
(18)
r.
Пример 8. Найти область сходимости ряда
(l + i)n+l zn n=l оо
L Решение.
Здесь
с_,. = (1 + i).н 1 , с:..,._, = (1
r=
.
IШI.
,._""
!(t
1( 1
+ i)"+2 1
Решение.
= О.
Поэтому
../i.
""""""
1>
�
�
Имеем
с_" = sin in = i sh n,
Поэтому
.
sin in (z + i)n ' с_"_ 1 = i sh (n "t I).
. е"+1 - �-·-• sh (n + I) li sh (n + l)J . r = ltm = lim . . = ltm е" - е-:• "-"" li sh nl п-оо sh n п-оо
·
Zo
9. НQйти область сходимости ряда ·
·
i)"+2,
' . . l.tm \ 1 + z\. = ..fi. ')n+I J =
+.
Данный ряд сходится в ооласти .jzj >
Пример
+
' ·
.
·
·
е - e-ln-l
ltm ,.....,. 1 - е- 2" •
=
= е.
§ 7. Ряды в комnлексной обла.сти
-i
Следоваrельно, ряд сходиТсЯ в области lz + i l > и радиуса е .
zo =
е,
61
т. е. вне круга с центром в точке [>
· Задачи для са мостоятельного решения Определить область сходимости следующих рядов:
1 i)"z 1 · ( n= l 00
Е
229.
"
.
00
n=l о6
3"
+1
n=l
.
00
n=-oo
Cn ( Z - Zo ) п •
� ( С-п ) 00
=
C-J
234.
оо
Е
n= l оо · "" L...J n=l
-n
c;sin
·
�Г" (z - 2 -
236. L...J
Z
Ряд вида
�
233. ""
Е (Z + 2 .).. .
235.
231 •
00
Е e"(iz)-" .
232.
+ni./2)" z n=l 1 . (z � 4" + 1)" � (z + 1 - .i(" n+a n=l
Е оо (./2
230.
·
.
п=J '
z .- Zo
п
. . + -- + Со + Ct ( Z z - z0
I: 00
+
Cn ( Z - Zo )
n=O
- Zo )
п=.
. .
+
•
С
+ . + п (Z .
. .
·
- Zo )
C-n
i)"
(z - zo )n
п+...
.
+...
( 19)
. сходится в области, в которой сходятся ряды
2: 00
·
C- n
n= t (z 00
L n=O
zo ) 11
c,. ( z - zo )
"
C- t
= -- + z - zo
С
-2
(z - z0 ) 2
(20)
+...,
= Со + Ct (z - zo ) + c2 (z -
zo )
2
+. '
. .
(2 1 )
Пусть ряд (20) сходится в области l z - zo l > r, т. е; вне круга с центром в точке z = z0 радиуса r , а ряд (21) в круге l z - .tol < R. Тогда, если 1)
> R, то ряд ( 19) расходится всюду; 2) r < R , то ряд ( 1 9). сходится в кольце r ;::: О, О < R. < +оо. r
r
< !z
Пример 1 О. Определить область сходимости ряда оо
�
еi п + (z + 1 )"
�· оо
(z + l ) п eiп+J/2
·
- zo l
< R. Здесь
,' 'J
62
Бескон�ведения
Интеrрнро�не. . Ряды.
Тh:ава 2;
Решение. Для ряда
. ln 1
� : 00
·
(z
Следовательно,
r ==
J/:
)"
. имеем
lim
le'("+') l
п-оо
.. -. --
.je'" l
•.
. = '1,
так что nервый ряд сходиТся в области /z + · 1 / > 1 .
� (z - zo)"
о
Для степенн � ряда �· in+l/2 e 11=0 с,. = е
-in-1/2
,
имеем ·
· Еrо'радиус сходпмости . . lc,.\ ·R = I1m 1 -1 = "-'"" С..+ 1 1 .
_
-i(n+l)-1/2 '" ...,.+1 - e .
l1m . .1
,._
•
l e-in-l/2 1
е
-i(,нti- 1/2! = · .
так, что второй ряд сходится в области lz + ll < всюду.
l.
.1 ,
Д анный ряд расходится 1>
При.,.ер 1 1 . Определить область сходимости ряда
� (3 + 4i)n + .� ·( Z+ 2i)·n � + 2i)n � (z
.
. Д
Решение.
6
·
"" (3 + 4i) " 9. ля яда имеем (z + .2i)" .
2: n=J
с_,. = (3 + 4•')" ,
Следовательно,
r= •
' ltm
п-оо
. с_,._, = (3 + 4 •) '
+' .
. 1 (3 + 4i) "+ 1 1 . • ::: 5. l( . . " = l 3 +. 4al 3 + 4') / 11...,ссэ
I1m •
.
Первый ряд сходится в области l z + 2il > 5 . Дляряда .
"
_ с,. = 6 .,.
_"_, . C..+l =· 6 .
(\
2: n=O
(z + 2i ) "
-6 .
Поэтому радиус сходимости этого степенного ряда будет равен
имеем
.
.
" \6 - l Jun -n-1 1 . = 6. ·1.!,-+С " ; >11 + Е ..оэдким выкладкам. Обычно, если это возможно, ксполъзук>тся roroвьre разложения 8 ряд Тейлора элементарных функций. ·
Пример • 1 2. Разложить в ряд Лор ана в кольце
1
/ (z) = z 2 ( .
.
-
.
О ·� fz
-
ll
2.
рас)(одится, а ряд (32) дл� функции
то и подавно
lzl
> 1.
> 1.
lz/
-
1
z3 .·1 1 + . .+ ; + + . = 6 . 1 z2 1
;+2 +
-
z z2 . z3 4 + 8 - 16
Ряд (30) для функции
l
·
.
+
1
· ·
·
'
/
+z 2
при
.
lzl
--.1- будет сходиться, так как если lzl 1 - 1 z '
> 2 > 2,
68
Глава 2. Интегрирование. Ряды. БесконечНfllе произведения Функцию f(z) представим в таком виде:
,
..
1 1 1 1 1 . f(z) = -z -- + - -- = -z -2 + --т 1 �· z 1 - � 1 z z Используя формулу (12), получим 1 1 1 5 7 1 ' 1 2 4 8 = -' " 2 j(z) = - 1 - - .;,_ - ----' - --- . . , z z z2 z3 z z 2 z3 z z z2 z3
1 1 1+; 1-;
+
(
или
( ' . '· · . ')
+ . . . + 1+-+ - + - + .. . ) ( - 1 + 2 2z + 1 1 5 7 = - + - + ··· · 2 2 3 z + z - 2 ; ,z z -z4 �
+
+.
)
Этот пример показы ает, что для одной и той же фунКции f(z) ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец. 1> ·
·
J(z) z2 2z- 3z 3
Пример 1 5. Разложить в ряд Лорана функцию ·.
+
=
в окрестности ее особых точек.
2
Решение. Особые точки функции f(z): z1 = 1, z2 = 2 . 1 ) Разложение /(z) в окрестности точки z 1 = 1 , т . е . в кольце О < lz - 11 < 1 . Представим функцию /(z) в виде суммы элементарных дробей 2z - 3 1 1 -:---:--- = -- + -- . z 2 - 3z + 2 z - 1 z - 2
Правую часть преобразуем так:
2z - 3 1 = - (z - 1) · z2 - 3z 2 z - 1 Применяя разложение (12), в котором z заменено на -(z - 1), получим 2z - 3 1 (z - 1) 2 . . . ] , = - - + (z z 1 - 3z + 2 z - 1
1
+
1) + ""
[1
или
+
·
1 - "'(z - J)" � . ·
2z - 3 - z 2 Г 3z + 2 - z - 1
-о----
1
(33)
2) Разложение f(z) в окрестности точки z2 = 2 , т. е. в к0льце О < lz -2 1 < \ .
Имеем
1 1 + 1 = - 1 + z - 2 = -z - 2 1 + (z - 2) ' 1 = -_-2 + 1 - (z - 2) + (z - 2) - (z - 2)3 + . . . , z
2z - 3 1 --:----- = -zЗ - 3z 2 z
+
·-
2
или
'
2z - 3 1_ 2 3z z ·2 - z - 2
·
+
_
_
( + "' � 00
n=O
-
1 ) n (z
_
2)"
·
1>
(34)
69
§ 7. .Ряды в · комплексной области ·
Задачи дпя самостоятельного. решения Разложить
в ряд Лорана в окрестности ТОЧЮJ z ::::: О
s nz 250. i 2 . . z
251 . 255.
е -1. 258. •
,259,
z
Разложить
. -
. ')
z4 tos - .
(z
265.
_
z0 = - 1 .
1 2)(z
_
3)
1 + .COS Z
,
а)
l
266. (z + 2)( l + z 2 ) ' 2z + 3
267. z2 + 3z + 2 268.
' а)
_
---,:-
2 < lz !
Жителей
( 1 + u1 ) ( 1 + и2 ) . . .
(1 + Un),
которое будем обозначать символом Pn , то есть n ( 1) п(l + Uk). k=ol Полагая n равным 1, 2, 3 , . . . , получим nоследовательность комrщексных , отличных от нуля. (или действительных) чисел Pt . Р2 · . . . , Pn Pn
=
( 1 +Ut)(l + и2 )
.
.
.
(1 + Un)
=
• . . .
Предел (если он существует) n lim Pn = lim + Uk ) = р, n-+oo : n-+oo k= 1 00 называется значением бесконечного произведения п (1 + uk ) и записывается следующим образом k=l n оо (2) lim Pn = Hm П(1 + uk ) = П(1 + uk ) р . n-+oo n->oo k= 1 k= 1 Число Pn ес�ь частичное произведение бесконеч�tого произведения Определение 1 .
П
О
существует число
� N выпqлняется неравенство
t� - 1
(5)
1 < е.
'
в самом деле , если Jфоизведение
00
п( 1 +иk) сходится к числу р, где k=l .
.!. nри неоrраниченном возрастании р ::f. О, .то отношение Pn .
к
l,
поскольку '
Jim · l..
n-oo Pn
Р _. lim Pn n-oo
= _
=
�
Р
=
1
(p ::f. O).
n стремится
Глава 2. интегрирование. Ряды. Бесконечные f]рОИЗВедения
72
Наоборот, если отношение, L. стремится к единиЦе при неоrраниченном · Pn возрастании n, то произведение ( 1 +и 1 )( 1 +и2) . (1 + иn ) . .. сходится к числу р . Докажем, что необходимым условием сходимости бесконечного про изведения . .
.
является
lim
n-->oo
'Un
=
О.
(6)
·Действительно, если Pn- 1
=
(1 + и 1 )( 1 + и2) .. : ( 1 + 'Un...: l ),
Pn = (1 + и1)( I + и2) . .. (1 + Un- 1 )( 1
Pn Pn = 1 + иn , или 'Ufl = Pn- 1 Pn- 1 где р =1= О , то, следовательно,
то
-- -
--
un),
l . Е ели теперь 1.1m Pn n-oo
_!!.!!._ n-.oo Pn-·t
lim 'Un = lim
n-->oo
+
-
·
=
· Pn- 1 11m n-->oo
=
р,
l = О,
что и требовалось доказать.
Признак сходимости бесконечного произведения. Теорема 1 .
Если ряд
00
L:,: uk
абсолютно сходится, то сходится и
k= l
бесконечное произведение
00
П( 1 + uk). k=l
Введем понятие бесконечного абсоЛютно с�одящегося произведения. Определение 3.
Бесконечное произведение
00
п(l + 'Uk ) = ( 1 + ul )( l + u2) . . . (1 + 'Un) ... k=l
(7)
абсолютно сходится, если сходится произведение 00
П( 1 k=l
+
lиk l) =
(l + lи 1 !)( 1 + lи2l) . . . ( 1 + lиn l) . .. .
( 8)
§ 8. Бесконечные произведения , Теорема 2. Бесконечное произведение тольк(1 тогда, когда сходится Р!lд
73
(1) сходится абсолютно тогда и
00
:E !иkl·
(9)
k=l
Теорему l мqжно сформулировать теперь следующим образом: ЛIQбое абсолютно сходящееся произведение сходится.
Оnределение 4. Бесконечное произведение
(7)
если оно сходИтся, а бесконечное nроизведение '
'
сходится условно, расходится.
(8)
Пример 3. Показать, что бесконечное произведение
Ц[l
сходится ·
k + (- l) + l условнd.
�] = (J + 1) ( 1 - �) (� + �) � 1 - �) . . .
{
( 1 0)
Решение. Нетрудно убедиться в том, что Pn
откуда следует, что lim р,. . П"""+ СС
=
==
С друтой стороны, ряд
n+ n
1,
1,
если n нече�ое, если n четное,
1 , т. е. произведение (10) сходится. 00
.
� 1
2::: lщl = 2::: k
·•=•
'
является расходищимся (гармони-
ческий ряд). Тогда бесконечное произведение (10) не сходится абоолютно. Таким образом, бесконечное произведение ( 10) сходится условно. . 1> . •=•
Теорема 3. Пусть дано бесконечное произведение все сомножители положительны, т. е. бесконечное произведение
uk
>
00
П(1 k= l
+ Uk ) , где -
1 (k = 1, 2, . . . ). TQZдa
00
П
Задачи дпя самостоятепьног о решени я Доказать сходим:ость и найти значения следующих бесконечных nроизведений:.
276. ft ( 1 + � 1 ) •=2
k2
.
277.
278� fi ( 1 - k(k� l) ) .
fi ( :2) . 1-
k=2
k=!
Исследовать на сходим:ость следующие бесконечные nроизвез.ения:
279. !} {1 - k(k � l) ) . 281 . !} ( 1 - (k J J)P ) '
280. п ( k:I) . 282. g ( 1 - (2k: J)2 ). 1 '-
p > l.
2° . Ра зпоженив некоторых фун кци й в бесконеч ные про · изведения. Известно , что функцию sin z можно разложить в беско
Ц(
нечное .произведение следующим образом:
sin .z = z Подставив в это разложенйе
()О � =п 11' .
'
11:1
( � -�) _
..
4k2
)
z2 1 - 21r2 k 1f z = 2 , nолучим со
=
•
оо (2 k - 1) (2k + 1) . п ( 2 k) 2
(1 ) .
' '
ГЛАВА
·. Вычеты функциij..
3
§ 9. Нули фун кци и . И золи рова н ные осо бые точки 1 ° . Нуп и фун кции . Пусть функция J (z) является аналитичес
z0 • Точка z0 называется нулем функции j(z) порядка (или кратности) n, если выпОлняются условия коИ в точке
J(zo) = О,
/'(zo) = О,
..
..
'
n = 1 , то точка z0 назывgетсЯ nростым нулем. Точка zo яf!,Ляется нулем n-го порядка функции I�z), аналитической в точке Zo , тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенстоо Если
J.(z)
=
(z - zo)n