Òàðàí Ò. À.
Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè
Êèåâ «Ïðîñâ³òà» 2003
Ïðåäèñëîâèå
ÁÁÊ ????? ????? Ò ?? Ò ??
Òàðàí Ò. À. Îñ...
41 downloads
309 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Òàðàí Ò. À.
Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè
Êèåâ «Ïðîñâ³òà» 2003
Ïðåäèñëîâèå
ÁÁÊ ????? ????? Ò ?? Ò ??
Òàðàí Ò. À. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ê.: Ïðîñâ³òà, 2003. 288 ñ. Àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Èë. 103. Òàáë. 25. Ñïèñîê ëèò.: ñ. 287 (48 íàçâ.) Àííîòàö³ÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Àííîòàö³ÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ àííîòàöèÿ. Ðåöåíçåíòû:
?. ?. ????????? ?. ?. ?????????
Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ Òàðàí Òåòÿíà Àðõèï³âíà
Îñíîâè äèñêðåòíî¿ ìàòåìàòèêè (Ðîñ³éñüêîþ ìîâîþ)  àâòîðñüê³é ðåäàêö³¿ Êîìïþòåðíà âåðñòêà Ì. ª. ϳãóðíîâ Äèçàéí îáêëàäèíêè ?. ?. ?????????
ISBN-966-7115-
© Òàðàí Ò. À., 2003 © ÏÒÔ «Ïðîñâ³òà», 2003
ϳäï. äî äðóêó ??.??.2003. Ôîðìàò 84õ108/32. Ïàï³ð îôñ. Ñïîñ³á äðóêó îôñåò. Óì. äðóê. àðê. ??,??. Îáë.-âèä. àðê. ??,??. Çàì. ¹ . Íàêëàä ???? ïð.
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì êóðñîì ïðè ïîäãîòîâêå ñïåöèàëèñòîâ ïî èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì è èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è ïðîãðàììèðîâàíèå ñóùåñòâóþò óæå áîëåå ïÿòèäåñÿòè ëåò, äî ñèõ ïîð íåò òàêîãî ó÷åáíèêà, êîòîðûé ñòàë áû «êëàññè÷åñêèì» äëÿ ýòîé äèñöèïëèíû. Ó÷åáíèêè ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îòðàæàþò îáëàñòü èíòåðåñîâ è ñèìïàòèè èõ àâòîðîâ. Ýòî âî ìíîãîì îáóñëîâëåíî ðàçíîîáðàçèåì ìàòåðèàëà, êîòîðûé îòíîñÿò ê êóðñó «Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà». Ïðåäëàãàåìûé ó÷åáíèê íå ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì â ýòîì îòíîøåíèè. Êíèãà íàïèñàíà ïî ìàòåðèàëàì ëåêöèé, êîòîðûå â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ëåò ÷èòàþòñÿ àâòîðîì â Íàöèîíàëüíîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò». Ýòî âòîðîå èçäàíèå ó÷åáíèêà, ïåðâîå èçäàíèå âûøëî â 1998 ã. â èçäàòåëüñòâå «Ïðîñâ³òà». Öåëüþ ó÷åáíèêà ÿâëÿåòñÿ èçëîæåíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ìåòîäîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ èçó÷åíèÿ ïîñëåäóþùèõ äèñöèïëèí ñïåöèàëüíîñòåé «ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà», «èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè» è ïð., ôîðìèðîâàíèå ìèðîâîççðåíèÿ íà äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó è ëîãèêó êàê íà ôóíäàìåíòàëüíóþ íàóêó, èñïîëüçóåìóþ äëÿ ôîðìàëèçàöèè çíàíèé. Ïîýòîìó â êíèãó âêëþ÷åíû îñíîâíûå ðàçäåëû, èñïîëüçóåìûå â íîâûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèÿõ, òàêèõ êàê ñèñòåìû îáðàáîòêè äàííûõ, ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ ñèñòåì, ñèñòåìû èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Êíèãà ñîñòîèò èç 15 ãëàâ. Óñëîâíî åå ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè. Ïåðâàÿ ÷àñòü ñîäåðæèò òðàäèöèîííûå ðàçäåëû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè: òåîðèþ ìíîæåñòâ, òåîðèþ îòíîøåíèé è îòîáðàæåíèé, îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ.  ïîñëåäíåå âðåìÿ â òåîðèè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà âñå ÷àùå èñïîëüçóþòñÿ òàêèå ñòðóêòóðû, êàê ðåøåòêè, ïîýòîìó â ó÷åáíèê âêëþ÷åíû îñíîâû òåîðèè ðåøåòîê è èõ ïðåäñòàâëåíèé. Âòîðàÿ ÷àñòü ó÷åáíèêà ïîñâÿùåíà ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Ïðè èçëîæåíèè îñíîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïðèìåíåíèþ ëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ôîðìàëèçàöèè çíàíèé è ðàññóæäåíèé. Ïðè èçëîæåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè âåäóùèìè ÿâëÿþòñÿ èäåè, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿòèåì àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà, åãî èñïîëüçîâàíèåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíûõ ñèñòåì, îòîáðàæåíèåì ôîðìàëüíîé ñèñòåìû íà ìîäåëè è ïðèìåíåíèåì ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ ôîðìàëèçàöèè è èññëåäîâàíèÿ ïðîáëåìíûõ îáëàñòåé. Ïîýòîìó ïðè èçëîæåíèè ëîãèêè ïðèâîäèòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñîäåðæàòåëüíûõ ëîãè÷åñêèõ çàäà÷. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ó÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èíæåíåðîâ, â êíèãó âêëþ÷åíû íåêîòîðûå äîâîëüíî àáñòðàêòíûå ðàçäåëû îñíî-
4
Ïðåäèñëîâèå
âàíèé ìàòåìàòèêè: èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ôîðìàëèçàöèÿ àðèôìåòèêè è òåîðåìà øäåëÿ î íåïîëíîòå. Çíà÷åíèå òåîðåìû Ãåäåëÿ âûõîäèò çà ðàìêè ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè è èìååò îáùåìàòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð. Ýòà òåîðåìà ãîâîðèò î íåâîçìîæíîñòè ïîëíîé ôîðìàëèçàöèè ñêîëüêî-íèáóäü ñëîæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îáñóæäåíèè ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì ôîðìàëèçàöèè, ñðàâíèòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé ÷åëîâåêà è êîìïüþòåðà è ò.ä. Ïîýòîìó çíàêîìñòâî ñ òåîðåìîé Ãåäåëÿ ñëåäóåò ñ÷èòàòü ýëåìåíòîì ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû, íåîáõîäèìûì íå òîëüêî äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ-ìàòåìàòèêîâ, ïîäîáíî òîìó, êàê çíàíèå î íåâîçìîæíîñòè âå÷íîãî äâèãàòåëÿ íåîáõîäèìî íå òîëüêî äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ-ôèçèêîâ. Ïîñëåäíÿÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ îñíîâ òåîðèè àëãîðèòìîâ. Îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ èçó÷åíèþ ïðîáëåìû âû÷èñëèìîñòè è ñâÿçè åå ñ ïðîáëåìàìè ëîãè÷åñêîãî âûâîäà. Ìíîãèå ðàçäåëû, òàêèå, êàê «Êîìáèíàòîðèêà», «Àáñòðàêòíûå àëãåáðû», «Òåîðèÿ àâòîìàòîâ», íå âîøëè â äàííîå èçäàíèå.  îñíîâíîì ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíè ÷èòàþòñÿ â äðóãèõ êóðñàõ, à òàêæå îãðàíè÷åííîñòüþ îáúåìà êíèãè. Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Î. Ï. Êóçíåöîâó çà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó íàä ãëàâîé «Òåîðèÿ ãðàôîâ», à òàêæå çà öåííûå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå èì ïðè ÷òåíèè ðóêîïèñè. Àâòîð òàêæå ãëóáîêî áëàãîäàðåí Ñ. Â. Ñèðîòå, ãëàâíîìó ðåäàêòîðó èçäàòåëüñòâà «Ïðîñâ³òà», áåç êîòîðîãî ýòà êíèãà íå áûëà áû èçäàíà, è Ì. Å. Ïèãóðíîâó, âçÿâøåìó íà ñåáÿ òðóä ïî ïîäãîòîâêå ìàêåòà êíèãè, à òàêæå ñâîèì ðåöåíçåíòàì ....
Ãëàâà 1.
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ 1.1. Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà
Ñîçäàòåëåì òåîðèè ìíîæåñòâ áûë Ãåîðã Êàíòîð1 . Îñíîâîé ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 1.1. (ïî Êàíòîðó) Ìíîæåñòâî S åñòü ëþáîå ñîáðàíèå îïðåäåëåííûõ è ðàçëè÷èìûõ ìåæäó ñîáîé îáúåêòîâ íàøåé èíòóèöèè èëè èíòåëëåêòà, ìûñëèìîå êàê åäèíîå öåëîå. Ýòè îáúåêòû íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå Êàíòîðà íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì, ýòî èíòóèòèâíîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà.  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âûçûâàåò ñåðüåçíûå çàòðóäíåíèÿ. Ñóùåñòâåííûì ïóíêòîì êàíòîðîâñêîãî ïîíèìàíèÿ ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñîáðàíèå îáúåêòîâ «ìûñëèòñÿ êàê åäèíîå öåëîå», ò.å. ñàìî ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îäèí ïðåäìåò. Ñàìè æå «îáúåêòû íàøåé èíòóèöèè èëè èíòåëëåêòà» ìîãóò áûòü ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíûìè: ìíîæåñòâî ìîæåò ñîñòîÿòü, íàïðèìåð, èç ñòóäåíòîâ äàííîãî êóðñà, çâåçä íà íåáå èëè ïðîñòûõ ÷èñåë, îïðåäåëåíèå íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ïðèðîäó ïðåäìåòîâ, âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâî.  ìàòåìàòèêå â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ îáû÷íî âûñòóïàþò òàêèå îáúåêòû, êàê òî÷êè, êðèâûå, ÷èñëà, ìíîæåñòâà ÷èñåë è ò. ï. Êàíòîðîâñêàÿ ôîðìóëèðîâêà ïîçâîëÿåò òàêæå ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà, ýëåìåíòû êîòîðûõ ïî òîé èëè èíîé ïðè÷èíå íåëüçÿ òî÷íî óêàçàòü.  êàíòîðîâñêîé êîíöåïöèè ìíîæåñòâà óêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâà äîëæíû áûòü «ðàçëè÷èìûìè» îáúåêòàìè, ò.å. ìíîæåñòâî íå ìîæåò ñîäåðæàòü äâóõ îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ. Ýïèòåò «îïðåäåëåííûé» ïîíèìàåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè äàíî êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî è íåêîòîðûé ïðåäìåò, òî ìîæíî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ýòîò ïðåäìåò ýëåìåíòîì äàííîãî ìíîæåñòâà èëè íåò. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè.  äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ: N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; Z ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë; Q ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë; C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îá ýëåìåíòàõ ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó, è çàïèñûâàþò ýòî òàê: x ∈ A (÷èòàåòñÿ: «x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A», èëè «x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A»). Äîïóñêàåòñÿ çàïèñü: x1, x2, ..., xn ∈ A, åñëè âñå ýòè ýëåìåíòû ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A. Çàïèñü x ∉ A îçíà÷àåò, ÷òî x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. 1
Ãåîðã Êàíòîð (Cantor) (18451918) íåìåöêèé ìàòåìàòèê.
6
Ãëàâà 1
Îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîå ìíîæåñòâî X, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòû x1, x2, ..., xn, áóäåì îáîçíà÷àòü X = {x1, x2, ..., xn}.  ÷àñòíîñòè, {x} òàê íàçûâàåìîå åäèíè÷íîå ìíîæåñòâî, åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ x. Åñëè ìíîæåñòâî X êîíå÷íîå, òî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå îáîçíà÷àåòñÿ |X|. Íàïðèìåð, åñëè X = {a, b, c}, òî |X| = 3. Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå íå èìååò çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, {a, b, c} è {c, a, b} ýòî îäíî è òî æå ìíîæåñòâî. Ýëåìåíòû êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâà ñàìè ìîãóò áûòü ìíîæåñòâàìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî A = {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}} åñòü ìíîæåñòâî èç òðåõ ýëåìåíòîâ (|A| = 3), à èìåííî: {1, 3}, {2, 4} è {5,6}. Ìíîæåñòâà B = {{1, 2}, {2, 3}} è C = {1, 2, 3} ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà, òàê êàê ýëåìåíòàìè ïåðâîãî ÿâëÿþòñÿ {1, 2}, {2, 3}, è |B|= 2, à ýëåìåíòàìè âòîðîãî 1, 2 è 3, |C| = 3. Ìíîæåñòâà D = {{1,2}} è G = {1,2} òàêæå ðàçëè÷íû, òàê êàê ïåðâîå îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, èìåþùåå åäèíñòâåííûì ñâîèì ýëåìåíòîì {1, 2}, à âòîðîå èìååò ñâîèìè ýëåìåíòàìè 1 è 2. Íà îñíîâàíèè êàíòîðîâñêîãî ïîíèìàíèÿ ìíîæåñòâà ìîæíî äàòü îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà ÷åðåç åãî ñâîéñòâà, êîòîðûå ïîñòóëèðóþòñÿ êàê èíòóèòèâíûå ïðèíöèïû. 1.1.1. Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï îáúåìíîñòè Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï îáúåìíîñòè ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äâà ìíîæåñòâà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ. Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ: A = B, íåðàâåíñòâî A ≠ B. Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà êàêèõ-ëèáî äâóõ êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ A è B ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî åñëè x ∈ A, òî x ∈ B, è îáðàòíîå: åñëè x ∈ B, òî x ∈ A. Ïðèìåð 1. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A âñåõ ÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíî ìíîæåñòâó B ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû äâóõ íå÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë. Äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî x ∈ A, è äîêàæåì, ÷òî x ∈ B. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ A, òî x = 2m, òàê ÷òî x = (2m 1) + 1. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ B. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî x ∈ B, è âûâåäåì îòñþäà, ÷òî x ∈ A. Åñëè x ∈ B, òî x = (2p 1) + (2q 1), îòêóäà x = 2(p + q 1), èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî x ∈ A. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, ñëåäîâàòåëüíî, A = B.
Ìíîæåñòâà
7
1.1.2. Èíòóèòèâíûé ïðèíöèï àáñòðàêöèè Îáîçíà÷åíèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþ ïåðå÷èñëåíèÿ åãî ýëåìåíòîâ ñëèøêîì ãðîìîçäêî, ÷òîáû åãî èñïîëüçîâàòü äëÿ çàäàíèÿ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ, õîòÿ è êîíå÷íîå, íî áîëüøîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, è âîâñå íåïðèìåíèìî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå 1.2. Áóäåì ïîíèìàòü ïîä âûñêàçûâàíèåì ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê èñòèííîå èëè ëîæíîå. Òîãäà ïîä îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì (ôîðìîé) îò x P(x) áóäåì ïîíèìàòü êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç ñëîâ è ñèìâîëà x, òàêóþ, ÷òî åñëè êàæäîå âõîæäåíèå x â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìåíèòü îäíèì è òåì æå èìåíåì íåêîòîðîãî ïðåäìåòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðîäà, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ âûñêàçûâàíèå. Íàïðèìåð, êàæäîå èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé åñòü ïðåäèêàò îò x: 5 äåëèò x; õ2 + x + 1 > 0; x ëþáèò Äæîíà; õ2 = 2; 0 < x. Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü èíòóèòèâíûé ïðèíöèï àáñòðàêöèè. Ëþáîé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P(x) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî A òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå ïðåäìåòû à, äëÿ êîòîðûõ P(a) åñòü èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, ðàâíû, òî ëþáîé ïðåäèêàò P(x) îïðåäåëÿåò â òî÷íîñòè îäíî, âïîëíå îïðåäåëåííîå, ìíîæåñòâî, îáû÷íî îáîçíà÷àåìîå â ìàòåìàòèêå ÷åðåç {x | P(x)}, ÷òî ÷èòàåòñÿ òàê: «ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x, ÷òî P(x)». Òàêèì îáðàçîì, a ∈ {x | P(x)} â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè P(a) èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå âîïðîñà, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé ïðåäìåò a ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà {x | P(x)}, åñòü ðåøåíèå âîïðîñà, îáëàäàåò ëè a íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ñâîéñòâîì (êà÷åñòâîì). Ïîýòîìó, êîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A èñïîëüçóþò êàêîé-íèáóäü ïðåäèêàò P(x), åãî îáû÷íî íàçûâàþò îïðåäåëÿþùèì ñâîéñòâîì ìíîæåñòâà A.  òàêîì ñëó÷àå ïðèíöèï àáñòðàêöèè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå óòâåðæäåíèÿ: «Êàæäîå ñâîéñòâî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî». Ââåäåíèå â îáðàùåíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ îïðåäåëÿþùèõ èõ ñâîéñòâ ïðîöåäóðà, õîðîøî èçâåñòíàÿ èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Íàïðèìåð, îêðóæíîñòü ðàäèóñà 2 íà ïëîñêîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ x, ÷òî x íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè â äâå åäèíèöû îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìíîæåñòâà, îïðåäåëåííûå ïîñðåäñòâîì íåêîòîðûõ ñâîéñòâ: A = {x | x ∈ N, x < 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
8
Ãëàâà 1
B = {x | x åñòü ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà çàìêíóòîì îòðåçêå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îò 0 äî 1}. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ èñïîëüçóþòñÿ è ðàçëè÷íûå âèäîèçìåíåíèÿ îñíîâíîé ñêîáî÷íîé çàïèñè. Íàïðèìåð, C = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ëåæàùèõ â èíòåðâàëå [0, 1], à D = {x ∈ Q+ | x2 < 2} ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êâàäðàòû êîòîðûõ ìåíüøå ÷èñëà 2. Âìåñòî òîãî ÷òîáû ïèñàòü {y | y = 2x, ãäå x åñòü öåëîå ÷èñëî}, ìû ìîæåì íàïèñàòü {2x | x ∈ Z}. Àíàëîãè÷íî ÷åðåç {x 2 | x ∈ Z} îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë. Ïðèíöèï îáúåìíîñòè, ïðèíöèï àáñòðàêöèè è ïðèíöèï âûáîðà (ïîêà, çà íåíàäîáíîñòüþ, íå ñôîðìóëèðîâàííûé) ýòî òà îñíîâà, íà êîòîðîé ñòðîèòñÿ êàíòîðîâñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíîå ïîíÿòèå, èñïîëüçóåìîå ïðè ôîðìóëèðîâêå ýòèõ ïðèíöèïîâ, ýòî ïðèíàäëåæíîñòü ýëåìåíòà ìíîæåñòâó. 1.1.3. Îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ Ââåäåì åùå äâà îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè. Îïðåäåëåíèå 1.3. Åñëè A è B åñòü ìíîæåñòâà, òî ãîâîðÿò, ÷òî A âêëþ÷åíî â B, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B (ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü: A ⊆ B èëè B ⊇ A).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ìíîæåñòâî A åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B. Òàêèì îáðàçîì, A ⊆ B îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî x, åñëè x ∈ A, òî x ∈ B. Ìíîæåñòâî A ñòðîãî âêëþ÷åíî â B, èëè B ñòðîãî âêëþ÷àåò A, èëè A åñòü ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî B, åñëè A ⊆ B è A ≠ B (ñèìâîëè÷åñêè: A ⊂ B). Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë ñòðîãî âêëþ÷åíî â ìíîæåñòâî Z öåëûõ ÷èñåë, à ìíîæåñòâî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñòðîãî âêëþ÷àåò Z. Îñíîâíûå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ: • X ⊆ X ðåôëåêñèâíîñòü, • X ⊆ Y è Y ⊆ Z âëå÷åò X ⊆ Z òðàíçèòèâíîñòü, • X ⊆ Y è Y ⊆ X âëå÷åò X = Y àíòèñèììåòðè÷íîñòü. Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âûðàæàåò â òåðìèíàõ îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ äâà øàãà â äîêàçàòåëüñòâå ðàâåíñòâà äâóõ ìíîæåñòâ: äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî X = Y, íàäî äîêàçàòü, ÷òî X ⊆ Y, à çàòåì, ÷òî Y ⊆ X. Èç ïðèíöèïà îáúåìíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò áûòü òîëüêî îäíî ìíîæåñòâî, íå èìåþùåå ýëåìåíòîâ. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïóñòûì ìíîæåñòâîì è îáîçíà÷àþò åãî ñèìâîëîì ∅. Ïóñòîå ìíîæåñòâî åñòü ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî ìíîæåñòâà.
Ìíîæåñòâà
9
Êàæäîå ìíîæåñòâî A ≠ ∅ èìååò, ïî êðàéíåé ìåðå, äâà ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâà: ñàìî A è ∅, ò.å. A ⊆ A è ∅ ⊆ A. Êðîìå òîãî, êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A: åñëè a ∈ A, òî {à} ⊆ A. Ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà A áóäóò òàêæå ìíîæåñòâà, ñîñòàâëåííûå èç äâóõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, òðåõ ýëåìåíòîâ, è òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A. Îïðåäåëåíèå 1.4. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì-ñòåïåíüþ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ ℘(A). Íàïðèìåð, åñëè A = {1, 2, 3}, òî ℘(A) = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}. Ïîä÷åðêíåì ðàçëè÷èå ìåæäó îòíîøåíèÿìè ïðèíàäëåæíîñòè è âêëþ÷åíèÿ: åñëè B ⊆ A, òî B ∈ ℘(A), à åñëè à ∈ A, òî {a} ⊆ A è {a} ∈ ℘(A). Òåðìèí «ìíîæåñòâî-ñòåïåíü ìíîæåñòâà A» ïðèíÿò â êà÷åñòâå íàèìåíîâàíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A îòòîãî, ÷òî äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A, ñîñòîÿùåãî èç n ýëåìåíòîâ, ℘(A) èìååò 2n ýëåìåíòîâ. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå. Áóäåì îáîçíà÷àòü C kn êîëè÷åñòâî âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê n! èç n ïî k, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé: .  êîíå÷íîì ìíîæåk! (n − k)! ñòâå À, ñîñòîÿùåì èç n ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàòñÿ: ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ∅, Ñ 1n îäíîýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, Ñ 2n äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, ... , Ñ kn k- ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, ... , 1 = Ñ nn ñàìî ìíîæåñòâî À. Èòîãî: C 0n + C 1n + C 2n + ... + C kn ... + C nn = = (1 + 1)n = 2n ïîäìíîæåñòâ.
1.2. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Ïðîäîëæàÿ îïèñàíèå ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ íîâûõ ìíîæåñòâ èç óæå ñóùåñòâóþùèõ, ìû ââåäåì äâå îïåðàöèè, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ èç äâóõ ìíîæåñòâ ñòðîèòñÿ íîâîå ìíîæåñòâî. Îïðåäåëåíèå 1.5. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A ∪ B è ÷èòàåòñÿ êàê «îáúåäèíåíèå A è B») åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A èëè B, ò.å. A ∪ B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}. Çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ íå èñêëþ÷àþùèé ñìûñë ñëîâà «èëè». Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, x ∈ A ∪ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x åñòü ýëåìåíò õîòÿ áû îäíîãî èç ìíîæåñòâ A è B. Íàïðèìåð: {1, 2, 3} ∪ {1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
10
Ãëàâà 1
Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A ∩ B è ÷èòàåòñÿ êàê «ïåðåñå÷åíèå A è B») åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè îáîèõ ìíîæåñòâ A è B, ò.å. A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}. Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, x ∈ A ∩ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A è ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B. Íàïðèìåð: {1, 2, 3} ∩ {1, 3, 4} = {1, 3}. Äëÿ âñÿêîé ïàðû ìíîæåñòâ A è B èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå âêëþ÷åíèÿ: ∅ ⊆ A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. Îïðåäåëåíèå 1.7. Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ (èëè äèçúþíêòíûìè), åñëè A ∩ B = ∅, è ïåðåñåêàþùèìèñÿ, åñëè A ∩ B ≠ ∅. Ñèñòåìà ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ðàñ÷ëåíåííîé, åñëè ëþáàÿ ïàðà åå ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ íåïåðåñåêàþùåéñÿ. Îïðåäåëåíèå 1.8. Ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà Õ áóäåì íàçûâàòü òàêóþ ðàñ÷ëåíåííóþ ñèñòåìó U íåïóñòûõ è ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Õ, ãäå êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Õ ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ ýëåìåíòîì íåêîòîðîãî (ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷íîñòè îäíîãî) ýëåìåíòà ñèñòåìû U. Íàïðèìåð, {{1, 2}, {3}, {4, 5}} åñòü ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà {1, 2, 3, 4, 5}. Îïðåäåëåíèå 1.9. Àáñîëþòíîå äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà A (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A′ èëè ¬A) ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà A: {x | x ∉ A}. Îïðåäåëåíèå 1.10. Îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà B äî ìíîæåñòâà A ýòî ìíîæåñòâî A ∩ B′; îíî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A\B (èíîãäà A B), ÷òî ÷èòàåòñÿ êàê «A ìèíóñ B». Òàêèì îáðàçîì A\B = A ∩ B′ åñòü ñîêðàùåíèå äëÿ {x ∈ A | x ∉ B}, ò.å. ýòî ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà B. Îïðåäåëåíèå 1.11. Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B, îáîçíà÷àåìàÿ ÷åðåç À ÷ B (èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ A∆B èëè A + B), îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ∈ A ÷ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîìó èç ìíîæåñòâ À è Â: A ÷ B = {x |(x ∈ A è x ∉ B) èëè (x ∉ A è x ∈ B)}. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî A ÷ B = (A\B) ∪ (B\A). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà îïåðàöèÿ êîììóòàòèâíà: A ÷ B = B ÷ A, àññîöèàòèâíà: (A ÷ B) ÷ C = A ÷ (B ÷ C) è äèñòðèáóòèâíà
Ìíîæåñòâà
11
îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ: (A ÷ B) ∩ C = (A ∩ C) ÷ (B ∩ C). Êðîìå òîãî, A ÷ A = ∅ è A ÷ ∅ = A. Åñëè âñå ðàññìàòðèâàåìûå â õîäå êàêîãî-ëèáî ðàññóæäåíèÿ ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà U, òî ýòî ìíîæåñòâî U íàçûâàþò óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì (äëÿ ýòîãî ðàññóæäåíèÿ). Íàïðèìåð, äëÿ ýëåìåíòàðíîé àðèôìåòèêè óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì ñëóæèò Z, à äëÿ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ ãðàôè÷åñêîé èëëþñòðàöèè îòíîøåíèé, êîòîðûå ìîãóò èìåòü ìåñòî ìåæäó ïîäìíîæåñòâàìè êàêîãî-ëèáî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, ÷àñòî èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìûå äèàãðàììû Âåííà ïî èìåíè àíãëèéñêîãî ñâÿùåííèêà Äæîíà Âåííà (18341923)1, ïðèìåíÿâøåãî èõ â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî ëîãèêå. Äèàãðàììà Âåííà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ìíîæåñòâ â âèäå òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ: óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U èçîáðàæàåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê íåêîòîðîãî ïðÿìîóãîëüíèêà, à åãî ïîäìíîæåñòâî A â âèäå êðóãà èëè êàêîé-íèáóäü äðóãîé ïðîñòîé îáëàñòè âíóòðè ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. Ïðàâèëüíåå, îäíàêî, áûëî áû íàçâàòü èõ äèàãðàììàìè Ýéëåðà, ïîñêîëüêó çàäîëãî äî Âåííà èõ óïîòðåáëÿë çíàìåíèòûé øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê Ëåîíàðä Ýéëåð (17071783)2. Íèæå íà ðèñ. 1.1. ïîêàçàíû îñíîâíûå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.
Àáñîëþòíîå Îáúåäèíåíèå Îòíîøåíèå ìíîæåñòâ âêëþ÷åíèÿ: äîïîëíåíèå: A′. A ∪ B. A ⊆ B, A ∩ B = A.
Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A ∩ B.
Ðèñ. 1.1. Äèàãðàììû Âåííà è êðóãè Ýéëåðà. Âïðî÷åì, ñòàâ äîêòîðîì íàóê è, áóäó÷è èçáðàí â Àêàäåìèþ àíãëèéñêîå Êîðîëåâñêîå îáùåñòâî, Âåíí ïîëíîñòüþ îòêàçàëñÿ îò öåðêîâíîé äåÿòåëüíîñòè â ïîëüçó çàíÿòèé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêîé è äàæå îôîðìèë ïèñüìåííûé äîêóìåíò, óäîñòîâåðÿþùèé åãî íåñïîñîáíîñòü ê èñïîëíåíèþ îáÿçàííîñòåé ñâÿùåííèêà. 2  «Ïèñüìàõ íåìåöêîé ïðèíöåññå» (1768) Ë. Ýéëåð, îáúÿñíÿÿ ñâîåé êîððåñïîíäåíòêå ïðîñòîòó àðèñòîòåëåâîé ñèëëîãèñòèêè, ñèñòåìàòè÷åñêè èçîáðàæàë îòäåëüíûå ìíîæåñòâà îáúåêòîâ êðóãàìè íà ïëîñêîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû, ìàëî îòëè÷àþùèåñÿ îò äèàãðàìì Âåííà, ÷àñòî íàçûâàþò êðóãàìè Ýéëåðà. Âïðî÷åì, ïîäîáíûå ãðàôè÷åñêèå èëëþñòðàöèè òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûõ è ëîãè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé âñòðå÷àëèñü è äî Ýéëåðà, íàïðèìåð â âåñüìà ïðèìå÷àòåëüíûõ, íî, ê ñîæàëåíèþ, îñòàâøèõñÿ íåîïóáëèêîâàííûìè çàìåòêàõ ïî ëîãèêå Ãîòôðèäà Âèëüãåëüìà Ëåéáíèöà (16461716). 1
Ãëàâà 1
12
1.3. Àëãåáðà ìíîæåñòâ 1.3.1. Îïðåäåëåíèå àëãåáðû ìíîæåñòâ Îïðåäåëåíèå 1.12. Àëãåáðà ýòî ìíîæåñòâî îáúåêòîâ ñ îïðåäåëåííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè, îòâå÷àþùèìè íåêîòîðûì ñâîéñòâàì. Îáû÷íî àáñòðàêòíàÿ àëãåáðà çàäàåòñÿ êàê äâîéêà A = , ãäå Ì ìíîæåñòâî îáúåêòîâ àëãåáðû (íîñèòåëü àëãåáðû), Σ ìíîæåñòâî îïåðàöèé (ñèãíàòóðà àëãåáðû). Ìíîæåñòâî îïåðàöèé îïèñûâàåòñÿ ñâîèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå çàäàþòñÿ ñèñòåìîé àêñèîì äàííîé àëãåáðû. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U. Äëÿ êðàòêîñòè â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü åå ïðîñòî àëãåáðîé ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå 1.13. Îïðåäåëèì àëãåáðó ìíîæåñòâ êàê ÷åòâåðêó: <M, ∪, ∩, ′>, ãäå M ìíîæåñòâî-ñòåïåíü óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U, à ìíîæåñòâî îïåðàöèé ñîñòîèò èç îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ (∪), ïåðåñå÷åíèÿ (∩) è äîïîëíåíèÿ (′) ìíîæåñòâà äî ìíîæåñòâà U.  ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ îòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâó ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 1.1. Äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ A, B è C íåêîòîðîãî óíèâåðñóìà U ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâàìè: 1) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (àññîöèàòèâíîñòü); 2) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (êîììóòàòèâíîñòü); 3) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (äèñòðèáóòèâíîñòü); 4) A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A; 5) A ∪ A′ = U, A ∩ A′ = ∅. Èç ýòèõ òîæäåñòâ, ïðèíÿòûõ êàê àêñèîìû, ìîæåò áûòü âûâåäåíà ëþáàÿ òåîðåìà àëãåáðû ìíîæåñòâ áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïîíÿòèÿ ïðèíàäëåæíîñòè. Èç ïðèâåäåííûõ âûøå äåñÿòè òîæäåñòâ âèäíî, ÷òî êàæäîå ïðàâîå òîæäåñòâî ïîëó÷åíî èç ëåâîãî çàìåíîé ñèìâîëà ∪ íà ∩ è íàîáîðîò, à òàêæå çàìåíîé ∅ íà U è íàîáîðîò. Îïðåäåëåíèå 1.14. Ðàâåíñòâî, ïîëó÷åííîå èç èñõîäíîãî çàìåíîé âñåõ ñèìâîëîâ U íà ∅, ∅ íà U, ∪ íà ∩, ∩ íà ∪, íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì èñõîäíîìó.  ïðèâåäåííîì âûøå ñïèñêå òîæäåñòâ 15 êàæäîå òîæäåñòâî èìååò äâîéñòâåííîå åìó òîæäåñòâî. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì
Ìíîæåñòâà
13
ê ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè: äëÿ ëþáîé òåîðåìû àëãåáðû ìíîæåñòâ äâîéñòâåííîå åé óòâåðæäåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé. 1.3.2. Òåîðåìû àëãåáðû ìíîæåñòâ Òåîðåìà 1.2. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäìíîæåñòâ A è B íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 6) åñëè äëÿ âñÿêîãî A A ∪ B = A, òî B = ∅, åñëè äëÿ âñÿêîãî A A ∩ B = A, òî B = U; 7) åñëè A ∪ B = U è A ∩ B = ∅, òî B = A′; 8) A′′ = A, 9) ∅′ = U, U′ = ∅; 10) A ∪ A = A, A ∩ A = A (çàêîíû èäåìïîòåíòíîñòè); 11) A ∪ U = U, A ∩ ∅ = ∅; 12) A ∪(A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A (çàêîíû ïîãëîùåíèÿ); 13) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ (çàêîíû äå Ìîðãàíà)1. Äîêàæåì íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî òîæäåñòâà 15. Óòâåðæäåíèå 6. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ A ∪ B = A äëÿ âñåõ A, òî ýòî âåðíî è äëÿ A = ∅, ò.å. ∅ ∪ B = ∅. Òîãäà èç 2) ñëåäóåò: ∅ ∪ B = B ∪ ∅, ò.å. B ∪ ∅ = ∅. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî 4), B ∪ ∅ = B. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî B = ∅. Óòâåðæäåíèå 7. Äîêàçàòåëüñòâî (â ñêîáêàõ óêàçàíû íîìåðà ïðèìåíÿåìûõ àêñèîì è óòâåðæäåíèé). B = (4) = B ∪ ∅ = (5) = B ∪ (A ∩ A′) = (3) = (B ∪ A) ∩ (B ∪ A′) = = (2) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ A′) = (ïî óñë.) = U ∩ (B ∪ A′) = (5) = = (A ∪ A′) ∩ (B ∪ A′) = (2) = (A′ ∪ A) ∩ (A′ ∪ B) = (3) = = A′ ∪ (A ∩ B) = (ïî óñë.) = A′ ∪ ∅ = (4) = A′. Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 8 ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 7: àêñèîìû 5 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: A′ ∪ A = U, A ∩ A′ = ∅ â ñèëó êîììóòàòèâíîñòè îïåðàöèé ∪ è ∩ (àêñèîìû 2). Òîãäà, ïî óòâåðæäåíèþ 7, A = A′′. Äîêàçàòåëüñòâî îñòàëüíûõ óòâåðæäåíèé ïðåäëàãàåòñÿ ÷èòàòåëþ ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî.
Îãàñòåñ äå Ìîðãàí (De Morgan) (18061871) øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Çàíèìàëñÿ àëãåáðîé, òåîðèåé ðÿäîâ. Íåçàâèñèìî îò Äæ. Áóëÿ ïðèøåë ê îñíîâíûì èäåÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.
1
Ãëàâà 1
14
1.4. Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà Ðàññåëà Íåîãðàíè÷åííîå ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà àáñòðàêöèè âûçûâàåò âîçíèêíîâåíèå ïàðàäîêñîâ â êàíòîðîâñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ.  1902 ã. Áåðòðàí Ðàññåë1 îòêðûë ïàðàäîêñ, îñíîâàííûé íà îäíîì ëèøü îïðåäåëåíèè ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâà ëèáî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ, ëèáî íå ÿâëÿþòñÿ. Òàê, ìíîæåñòâî àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé ñàìî ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêòíûì ïîíÿòèåì, à ìíîæåñòâî âñåõ çâåçä íà íåáå íå ÿâëÿåòñÿ çâåçäîé. Ìíîæåñòâî çâóêîâ òàêæå ÿâëÿåòñÿ çâóêîì. Àíàëîãè÷íî, ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ñàìî åñòü ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì M ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ, è N ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ ýëåìåíòàìè ñàìèõ ñåáÿ. Ê êàêîìó æå èç ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâ îòíåñòè ìíîæåñòâî N? Èíûìè ñëîâàìè, ÿâëÿåòñÿ ëè N ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ? Åñëè N ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñåáÿ, ò. å. N ∈ N, çíà÷èò N ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì M, ò.å. N ∈ M, íî òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà M, N ∉ N, ò. å. N íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè N íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ, òî N åñòü ýëåìåíò N, à íå M, è N ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ, ÷òî îïÿòü ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì. Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà Ðàññåëà èçâåñòåí â ïîïóëÿðíîé ôîðìå êàê ïàðàäîêñ áðàäîáðåÿ (ïàðèêìàõåðà).  îäíîé äåðåâíå áðàäîáðåé îáÿçóåòñÿ áðèòü âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ æèòåëåé, êîòîðûå íå áðåþòñÿ ñàìè. Êàê áûòü ñàìîìó áðàäîáðåþ: äîëæåí ëè îí áðèòü ñàìîãî ñåáÿ? Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé îòâåò ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîñêîëüêó áîëüøèíñòâî ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè èñïîëüçóåò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå ïîíÿòèÿ è ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ îñíîâîé ýòèõ ðàçäåëîâ, òî îáíàðóæåííûå ïàðàäîêñû â íà÷àëå 20-ãî âåêà ïîñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå äîñòîâåðíîñòü âñåé ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè â öåëîì. Âûõîäîì èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ áûëà àêñèîìàòèçàöèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Îäèí èç âàðèàíòîâ òàêîé àêñèîìàòèçàöèè, ñèñòåìà àêñèîì ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ, áóäåò ïðèâåäåí â ãëàâå 4. Áåðòðàí Ðàññåë (Russel) (18721970) âûäàþùèéñÿ àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ôèëîñîô, ëîãèê, îáùåñòâåííûé äåÿòåëü. Îñíîâîïîëîæíèê àíãëèéñêîãî íåîðåàëèçìà è íåîïîçèòèâèçìà. Îäèí èç êëàññèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ëèòåðàòóðå (1950). (Íà ðóññêèé ÿçûê ïåðåâåäåíà «Èñòîðèÿ çàïàäíîé ôèëîñîôèè» Á. Ðàññåëà è íåêîòîðûå äðóãèå åãî ôèëîñîôñêèå è ëèòåðàòóðíî-ôèëîñîôñêèå ïðîèçâåäåíèÿ, à òàêæå íàó÷íî-ôàíòàñòè÷åñêèå ðàññêàçû). Îïóáëèêîâàííûå â 19101913 ãã. äâóõòîìíûå «Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè» Áåðòðàíà Ðàññåëà è Àëüôðåäà Íîðòà Óàéòõåäà (18611947) ñîäåðæàò îäíó èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ è ïðîäóìàííûõ ñèñòåì ëîãè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè, îêàçàâøóþ áîëüøîå âëèÿíèå íà Ä. Ãèëüáåðòà (18621947). 1
Ãëàâà 2.
ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎØÅÍÈÉ 2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êàêîé-ëèáî ñâÿçè ìåæäó îáúåêòàìè èëè ïîíÿòèÿìè â ìàòåìàòèêå ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèåì «îòíîøåíèå». Íàïðèìåð, ñâîéñòâî ýëåìåíòà ïðèíàäëåæàòü èëè íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì «x ∈ X», ïðè÷åì, åñëè ýëåìåíò ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó, òî îòíîøåíèå âûïîëíåíî, à åñëè íå ïðèíàäëåæèò, òî íå âûïîëíåíî. Âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâà â äðóãîå ìíîæåñòâî «X ⊆ Y» òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì. Íà ìíîæåñòâå ëþäåé çàäàíî îòíîøåíèå ðîäñòâà, íàïðèìåð, «x îòåö y». Åñëè âçÿòü êîíêðåòíûõ ëþäåé è ïîäñòàâèòü èõ èìåíà âìåñòî x è y, òî ìû ïîëó÷èì èñòèííîå èëè ëîæíîå âûñêàçûâàíèå, íàïðèìåð: «Ëàèé îòåö Ýäèïà» èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, «Ïîëèá îòåö Ýäèïà»1 ëîæíîå.  ýòîì ñìûñëå îòíîøåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðåäèêàòîì, êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â èñòèííîå èëè ëîæíîå âûñêàçûâàíèå ïðè ïîäñòàíîâêå â íåãî êîíêðåòíûõ ýëåìåíòîâ èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì åùå îäíó îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâàìè. Îïðåäåëåíèå 2.1. Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ X è Y íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð <x, y>, òàêèõ, ÷òî x ∈ X è y ∈ Y. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ êàê X × Y = {<x, y> | x ∈ X, y ∈ Y}. Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ýëåìåíòîâ <x, ó> îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç x è y. Êðîìå òîãî, åñëè <x, ó> = , òî x = u è ó = v. Ïðèíÿòî íàçûâàòü x ïåðâîé, à y âòîðîé êîîðäèíàòîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû <x, ó>. Ïðèìåð. Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà X = {1, 2} è Y = {2, 3, 4}. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâ: X × Y = {, , , , , }. Ðàññìîòðèì ïîäìíîæåñòâî ýòîãî äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ A = {, , , , }. Ýòî íå ÷òî èíîå, êàê îòíîøåíèå ρ1: x < y «x ìåíüøå y». Íà òîì æå ìíîæåñòâå óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ìîæíî âûäåëèòü åùå îäíî îòíîøåíèå ρ2: y = x + 1 ýòî ïîäìíîæåñòâî {, }. Äðóãîå îòíîøåíèå ρ 3: x = y ýòî ïîäìíîæåñòâî {}. Ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð îáðàçóåò áèíàðíîå îòíîøåíèå. Îïðåäåëåíèå 2.2. Áèíàðíîå îòíîøåíèå åñòü ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ. Ýäèï, Ïîëèá è Ëàèé ãåðîè òðàãåäèè Ñîôîêëà «Öàðü Ýäèï». Ýäèï áûë íå ðîäíûì ñûíîì Ïîëèáà è ïîòîìó âòîðîå âûñêàçûâàíèå ëîæíî. Ðîäíûì æå îòöîì Ýäèïà áûë Ëàèé, è ïîòîìó ïåðâîå âûñêàçûâàíèå èñòèííî.
1
Ãëàâà 2
16
Áèíàðíîå îòíîøåíèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê: <x, ó> ∈ ρ èëè xρó. Ýòè âûðàæåíèÿ ýêâèâàëåíòíû è ÷èòàþòñÿ êàê «x íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè ρ ê ó». Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå n-àðíîãî (n-ìåñòíîãî) îòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî êàê ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ n ìíîæåñòâ: X1 × X2 × ... × Xn = {<xi1, xi2, ..., xin> | xi1 ∈ X1, xi2 ∈ X2, ..., xin ∈ Xn}. n-àðíîå îòíîøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ n-îê (÷èòàåòñÿ: «ýíêà»). Óïîðÿäî÷åííóþ n-êó íàçûâàþò èíà÷å êîðòåæåì. Ïîäìíîæåñòâî êîðòåæåé èç n ýëåìåíòîâ îáðàçóåò nàðíîå îòíîøåíèå. Ïðè n = 2 èìååò ìåñòî áèíàðíîå îòíîøåíèå, ïðè n = 3 èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí òåðíàðíîå îòíîøåíèå. Ïðèìåðû. 1. Äëÿ íåêîòîðûõ îòíîøåíèé ïðèíÿòû ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ: ðàâåíñòâî: x = y; òîæäåñòâî: x ≡ y; íåðàâåíñòâà: x ≥ y, x ≤ y, x y; ïðèíàäëåæíîñòü: x ∈ Y, x ∉ Y; âêëþ÷åíèå: X ⊆ Y, X ⊂ Y; êîíãðóýíòíîñòü: x ≅ y. 2. Ìíîæåñòâî {, , , }, áóäó÷è ìíîæåñòâîì óïîðÿäî÷åííûõ ïàð, åñòü áèíàðíîå îòíîøåíèå. Íå èìåÿ íèêàêîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ, ýòî îòíîøåíèå, åñòåñòâåííî, íå èìååò è ñïåöèàëüíîãî íàçâàíèÿ. 3. Åñëè m îáîçíà÷àåò îòíîøåíèå ìàòåðèíñòâà, òî ∈ m îçíà÷àåò, ÷òî Äæåéí ÿâëÿåòñÿ ìàòåðüþ Äæîíà. 4. «x è y ðîäèòåëè z» òåðíàðíîå îòíîøåíèå. 5. Ïðèìåðîì n-àðíîãî îòíîøåíèÿ, ãäå n = 4, ìîæåò ñëóæèòü òàáëèöà: Ôàìèëèÿ 1 Èâàíîâ 2 ...
Ãîä ðîæä. 1958 ...
Ìåñòî æèòåëüñòâà Îáðàçîâàíèå Êèåâ âûñøåå ... ...
Îïðåäåëåíèå 2.3. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ρ (îáîçíà÷åíèå: Dρ ) íàçûâàþò ìíîæåñòâî ïåðâûõ êîîðäèíàò ýëåìåíòîâ èç ρ, îáëàñòüþ çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ ρ (îáîçíà÷åíèå: Rρ ) ìíîæåñòâî âòîðûõ êîîðäèíàò ýëåìåíòîâ èç ρ. Íàïðèìåð, êàê îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, òàê è îáëàñòüþ çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ äëÿ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà U ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ℘(U); îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ äëÿ îòíîøåíèÿ ìàòåðèíñòâà ñëóæèò ìíîæåñòâî âñåõ ìàòåðåé, â òî âðåìÿ, êàê îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîãî îòíîøåíèÿ ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé.
Òåîðèÿ îòíîøåíèé
17
2.2. Ñïîñîáû çàäàíèÿ îòíîøåíèé 2.2.1. Ãðàôèê îòíîøåíèÿ Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ïëîñêîñòè îñíîâûâàåòñÿ íà äîïóùåíèè î òîì, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè è äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì R × R ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Êàæäîé òî÷êå íà ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò åå êîîðäèíàòû óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà <x, y>. Ïîýòîìó îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå R ìîæíî èçîáðàæàòü íà ïëîñêîñòè íåêîòîðîé êîíôèãóðàöèåé èëè ìíîæåñòâîì òî÷åê. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå ïðÿìîé y = x â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå 2.4. Åñëè îñíîâíûì ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ñëóæàò îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, òî ìíîæåñòâî òî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàì îòíîøåíèÿ, íàçûâàþò ãðàôèêîì ýòîãî îòíîøåíèÿ. Íèæå íà ðèñ. 2.12.4 ïðèâîäÿòñÿ ÷åòûðå ïðèìåðà îòíîøåíèé, äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåí åãî ãðàôèê.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ãðàôèê ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè, ýòà ÷àñòü ïëîñêîñòè íà ÷åðòåæå çàøòðèõîâûâàåòñÿ.
{<x, y> ∈ R × R | y = x} Ðèñ. 2.1.
{<x, y> ∈ R × R | y ≥ x} Ðèñ. 2.2.
{<x, y> ∈ R × R | 0 ≤ x ≤ 2 èëè 0 ≤ y ≤ 1} Ðèñ. 2.3.
{<x, y> ∈ R × R | 0 ≤ x ≤ 2 è 0 ≤ y ≤ 1} Ðèñ. 2.4.
Ãëàâà 2
18
2.2.2. Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ ìíîæåñòâà Åñëè çàäàíî îòíîøåíèå xρy, x ∈ X, y ∈ Y, òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâ X è Y ìîæíî èçîáðàæàòü òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè, à óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ëèíèåé ñî ñòðåëêîé (äóãîé), íàïðàâëåííîé îò x ê y: . Òîãäà îòíîøåíèå íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ãðàôà. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå ρ1 = {<xi, xi>, <xi, xg>} ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 2.5. Îòíîøåíèå ρ2 = {, , } ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà (ñì. ðèñ.2.6).
Ðèñ. 2.5. Ãðàô îòíîøåíèÿ ρ1.
Ðèñ. 2.6. Ãðàô îòíîøåíèÿ ρ2.
2.2.3. Ìàòðè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ îòíîøåíèé Çàäàäèì îòíîøåíèå ρ: «x äðóæèò ñ ó» íà ìíîæåñòâå M, ãäå Ì = {a1, a2, a3, a4} ìíîæåñòâî ïåðñîíàæåé. Ýòî îòíîøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå òàáëèöû (ìàòðèöû), ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû åäèíèöå, åñëè ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè åñòü îòíîøåíèå äðóæáû, è íóëþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Èç ýòîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî a 1 a1 a2 a3 a4 äðóæèò ñ a3, a2 íå äðóæèò íè ñ êåì, a1 1 0 1 0 êðîìå êàê ñ ñàìèì ñîáîé, à a3 äðóæèò a2 0 1 0 0 ñî âñåìè, êðîìå a 2 . Òàêîé ñïîñîá a3 1 0 1 1 çàäàíèÿ îòíîøåíèé íàçûâàåòñÿ a4 0 0 1 1 ìàòðè÷íûì ñïîñîáîì.  ýòîì ñëó÷àå îòíîøåíèå ρ ∈ X × Y ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìàòðèöû A = || aig || ñ ýëåìåíòàìè aig, ãäå i íîìåð ñòðîêè, g íîìåð ñòîëáöà; aig = 1, åñëè ýëåìåíòû xi è yg íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè ρ, è aig = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Åñëè || aig || = 0, ò.å. äëÿ âñåõ i è g aig = 0, òî ρ ≡ 0 ïóñòîå îòíîøåíèå; åñëè || aig || = 1, ò.å. äëÿ âñåõ i è g aig = 1, òî ρ ≡ 1 ïîëíîå îòíîøåíèå.
Òåîðèÿ îòíîøåíèé 2.3.1. Òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè
Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïåðåñå÷åíèåì îòíîøåíèé α è β íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå, îïðåäåëÿåìîå ïåðåñå÷åíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð. Ïóñòü α: «x ≥ y», β: «x > y». Òîãäà ïåðåñå÷åíèå ∫∑ α∩β åñòüîòíîøåíèå «x > y». Îïðåäåëåíèå 2.6. Îáúåäèíåíèå îòíîøåíèé α è β îáðàçóåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð. Ïóñòü α: x > y, β: «x = y», òîãäà èõ îáúåäèíåíèå åñòü îòíîøåíèå α∪β: x ≥ y. Îïðåäåëåíèå 2.7. Âêëþ÷åíèå îòíîøåíèé: α âêëþ÷åíî â β, åñëè ìíîæåñòâî âñåõ ïàð <x, y> ∈ α ñîäåðæèòñÿ è â îòíîøåíèè β, ò.å. α ⊆ β, åñëè äëÿ êàæäîãî <x, y> ∈ α, <x, y> ∈ β. Îïðåäåëåíèå 2.8. Åñëè α îòíîøåíèå, çàäàííîå íà Ì, òî îáðàòíîå îòíîøåíèå α 1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê xα 1y = yαx. Íàïðèìåð, åñëè α: «x > y», ãäå x, y ∈ R, òî îáðàòíîå åìó îòíîøåíèå α 1: «y > x», èëè «x ∈ goƒ îáðàçóåò êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé goƒ. Çàïèñü goƒ ïðîèçâîäèòñÿ â ïîðÿäêå, îáðàòíîì òîìó, â êîòîðîì ïðîèçâîäÿòñÿ îïåðàöèè ƒ: E → F, g: F → G. Òàêèì îáðàçîì, â ìàòåìàòèêå ïðèíÿòî ïðàâèëî, ñîãëàñíî êîòîðîìó êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé goƒ íàäî íà÷èíàòü ñ âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ƒ, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà ñïðàâà. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü f: R → R ⇔ y = x 1; g: R → R ⇔ y = ex. Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé goƒ: R → R ⇔ y = ex 1, fog : y = ex 1. 2. Ïóñòü f: R → Z ⇔ y = [x] (öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà x); g: Z → {0, 1} ⇔ (y) mod2. Òîãäà gof: R → {0, 1} åñòü ([x]) mod2 îñòàòîê îò äåëåíèÿ öåëîé ÷àñòè ÷èñëà x íà 2. Òåîðåìà 3.1. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé àññîöèàòèâíà, ò.å., åñëè ƒ, g, h îòîáðàæåíèÿ E â F, F â G è G â H ñîîòâåòñòâåííî, òî (hog)oƒ = ho(goƒ), ÷òî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: hogoƒ.
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
33
Ðèñ. 3.10. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü <x, u> ∈ ho(goƒ), <x, z> ∈ goƒ, ∈ h. Ïîñêîëüêó <x, z> ∈ goƒ, òî ñóùåñòâóåò òàêîå y, ÷òî <x, y> ∈ ƒ, è ∈ g, à ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ∈ h, òî ñóùåñòâóåò è ∈ hog. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè <x, y> ∈ ƒ è ∈ hog, òî ñóùåñòâóåò è <x, u> ∈ (hog)of (ñì. ðèñ. 3.10). Òåîðåìà 3.2. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé íå êîììóòàòèâíà. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû î÷åâèäíî, îíî îñíîâàíî íà ñàìîì îïðåäåëåíèè êîìïîçèöèè. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâà îòîáðàæåíèÿ ƒ: y = sin x è g: y = x2, ãäå x, y ∈ R. Êîìïîçèöèÿ goƒ: y = sin2x, à êîìïîçèöèÿ ƒog: y = sin x2. Î÷åâèäíî, ýòî ðàçëè÷íûå ôóíêöèè. Îïðåäåëåíèå 3.11. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà E â E, ïðè êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò ïåðåõîäèò â ñåáÿ, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì è îáîçíà÷àåòñÿ IE. Äëÿ òîæäåñòâåííûõ îòîáðàæåíèé ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà1: foIE = IFof = f. Òåîðåìà 3.3. Îòîáðàæåíèå f: E → F èìååò îáðàòíîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f áèåêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè f èíúåêöèÿ è ñþðúåêöèÿ, òî íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ƒ1: F → E. Òàê êàê ƒ(x) ñþðúåêöèÿ, òî êàæäûé ýëåìåíò èç F èìååò õîòÿ áû îäèí ïðîîáðàç â E: ∃x ∈ E (ƒ(x) = y), ò.å. ñîîòâåòñòâèå ƒ1: F → E âñþäó îïðåäåëåíî íà F è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì. Åñëè âñå ðàññìàòðèâàåìûå îòîáðàæåíèÿ åñòü áèåêöèè, òî äëÿ êàæäîãî îòîáðàæåíèÿ ñóùåñòâóåò îáðàòíîå, è ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç E â F îáðàçóåò ãðóïïó, â êîòîðîé òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ IE, IF ÿâëÿþòñÿ ëåâîé è ïðàâîé åäèíèöåé. 1
34
Ãëàâà 3
A òàê êàê ƒ(x) èíúåêöèÿ, ò.å. äëÿ x1 ≠ x2 ƒ(x1) ≠ ƒ(x2), òî êàæäûé ýëåìåíò y èìååò òîëüêî îäèí ïðîîáðàç, ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå ƒ1: F → E ôóíêöèîíàëüíî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f1: F → E ôóíêöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ƒ áèåêöèÿ. Ïîñêîëüêó ƒ1 îòîáðàæåíèå, òî êàæäûé ýëåìåíò y èç F èìååò ïðîîáðàç â E, ò.å. îòîáðàæåíèå ƒ ñþðúåêòèâíî. Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ƒ1 ôóíêöèîíàëüíî, òî êàæäîìó îáðàçó ƒ(x) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðîîáðàç x, ò.å. ƒ èíúåêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ƒ áèåêöèÿ. Òåîðåìà 3.4. Åñëè ƒ è g ôóíêöèîíàëüíûå îòîáðàæåíèÿ, ëèáî ñþðúåêöèè, ëèáî èíúåêöèè, ëèáî áèåêöèè, òî ìîæíî äîêàçàòü ðÿä óòâåðæäåíèé î ñâîéñòâàõ êîìïîçèöèè ýòèõ îòîáðàæåíèé. Ýòè ñâîéñòâà îòîáðàæåíû â òàáë. 3.1, ãäå ñèìâîëàìè îáîçíà÷åíû: Î îòîáðàæåíèå, Ñ ñþðúåêöèÿ, È èíúåêöèÿ, Á áèåêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ 16 óòâåðæäåíèé ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ. Òàáëèöà 3.1. goƒ Î Ñ È Á
Î Î Î Î Î
Ñ Î Ñ Î Ñ
È Î Î È È
Á Î Ñ È Á
Îòîáðàæåíèÿ. Ôóíêöèè
35
Åëè y1 åñòü îáðàç ýëåìåíòà x ∈ E, òî z1 åñòü îáðàç ýëåìåíòà x â G, ò.å. ñóùåñòâóåò ïàðà, <x, z1> ∈ goƒ. Ýëåìåíò y2 ìîæåò íå èìåòü ïðîîáðàçà â E, è, ñëåäîâàòåëüíî, íå êàæäûé ýëåìåíò z èìååò ïðîîáðàç â E, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî goƒ íå ñþðúåêöèÿ. Ïîñêîëüêó f èíúåêöèÿ, òî ñóùåñòâóþò ïàðû <x1, y1> ∈ f, <x2, y2 > ∈ f, è y1 ≠ y2, à òàê êàê g ñþðúåêöèÿ, òî âîçìîæíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïàðû ∈ g, ∈ g, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïàðû <x1, z> ∈ goƒ, <x2, z> ∈ goƒ, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî goƒ íå èíúåêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, goƒ ïðîñòî îòîáðàæåíèå. Ïðèìåð. Ïóñòü f: R → R ⇔ y = x 1 áèåêöèÿ; g: R → R ⇔ y = e2x èíúåêöèÿ (òàê êàê íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà õ ∈ R, äëÿ êîòîðîãî ó = 0 åñòü îáðàç). Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé goƒ: R → R ⇔ y = e2(x 1) èíúåêöèÿ, ñîãëàñíî òåîðåìå 3.4.
3.5. Çàìåíà ïåðåìåííîé è çàìåíà ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 3.12. Ïóñòü ƒ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà E ñî çíà÷åíèÿìè â F. Åñëè u ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà E1 âî ìíîæåñòâî E, òî ìîæíî ïîñòðîèòü íîâóþ ôóíêöèþ ƒ1 = ƒou, îïðåäåëåííóþ íà E1 ñî çíà÷åíèÿìè â F (ðèñ. 3.12). Ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíà çàìåíà ïåðåìåííîé, èëè çàìåíà èñõîäíîãî ìíîæåñòâà E íà E1, è ÷òî ƒ1 ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì ƒ ïðè ýòîé çàìåíå ïåðåìåííûõ. Ïðîèçâåäÿ â âûðàæåíèè ƒ(x) ïîäñòàíîâêó x = u(x1), ïîëó÷àþò âûðàæåíèå ƒ1(x1). Èíîãäà ýòî îáîçíà÷àþò êàê ƒ*(x1) = ƒ(u(x1)).
Ïðèìåð. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå: êîìïîçèöèÿ èíúåêöèè è ñþðúåêöèè åñòü îòîáðàæåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g ñþðúåêöèÿ, f èíúåêöèÿ, goƒ èõ êîìïîçèöèÿ, è ïóñòü <x, y> ∈ f, ∈ g, <x, z> ∈ goƒ (ñì. ðèñ. 3.11). Ðèñ. 3.12. Çàìåíà ïåðåìåííîé.
Ðèñ. 3.11. Êîìïîçèöèÿ èíúåêöèè è ñþðúåêöèè. Ïîñêîëüêó g ñþðúåêöèÿ, òî äëÿ âñÿêîãî z ∈ G ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåé ìåðå îäèí ïðîîáðàç y ∈ F, è, âîçìîæíî, ñóùåñòâóþò ïàðû ∈ g, ∈ g, ãäå y1, y2 ∈ F, z1, z2 ∈ G. Òàê êàê f èíúåêöèÿ, òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ E ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî îáðàçà y ∈ F.
Îïðåäåëåíèå 3.13. Ïóñòü v ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì îòîáðàæåíèåì F â ìíîæåñòâî F1. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü íîâóþ ôóíêöèþ ƒ* = voƒ, îïðåäåëåííóþ íà E ñî çíà÷åíèÿìè â F1 (ðèñ. 3.13).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïðîèçâåäåíà çàìåíà ôóíêöèè èëè çàìåíà ìíîæåñòâà çíà÷åíèé F íà ìíîæåñòâî F1 è ÷òî ƒ* ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ƒ ïðè ýòîé çàìåíå. Çàìåíó ôóíêöèè íàçûâàþò åùå àïïëèêàöèåé ôóíêöèé. Èíîãäà ýòî îáîçíà÷àþò êàê ƒ*(x) = v(ƒ(x)). Ïðèìåð. Ïóñòü èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ E → F: ƒ(x) = x2. Çàäàíû ôóíêöèè: E1 → E: u(x1) = x1 + 1; F → F1: v(x) = 2x. Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííîé â ôóíêöèè ƒ(x): ƒ(u(x1)) = (x1 + 1)2. Âûïîëíèì çàìåíó
Ãëàâà 3
36
Ãëàâà 4.
ÌÎÙÍÎÑÒÜ ÌÍÎÆÅÑÒÂ 4.1. Îïðåäåëåíèå ìîùíîñòè
Ðèñ. 3.13. Çàìåíà ôóíêöèè. ôóíêöèè â ôóíêöèè ƒ(x): v(ƒ(x)) = 2x2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè çàìåíå ïåðåìåííîé ìû ïîëó÷àåì íîâóþ ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò íîâîé ïåðåìåííîé, à ïðè çàìåíå ôóíêöèè íîâóþ ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò òîé æå ñàìîé ïåðåìåííîé. Ìîæíî ïðîèçâåñòè îäíîâðåìåííî è çàìåíó ïåðåìåííîé è çàìåíó ôóíêöèè: ƒ3 = voƒou. Çäåñü ƒ3 ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ƒ ïðè çàìåíå ïåðåìåííîé u è çàìåíå ôóíêöèè v. Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëåííûõ âûøå ôóíêöèé: ƒ3 = voƒou = v(ƒ(u(x1))) = 2(x1 + 1)2.
Ïîíÿòèå ìîùíîñòè ìíîæåñòâ ñâÿçàíî ñ îöåíêîé ÷èñëà ýëåìåíòîâ â íåì.  êîíå÷íîì ìíîæåñòâå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìîæíî ïåðåñ÷èòàòü. ×èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå Õ îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî êàê |Õ|. Íàïðèìåð, åñëè X = {a, b, c}, òî |X| = 3. Åñëè äâà ìíîæåñòâà èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, òî ìåæäó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Òîãäà âñå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, èìåþùèå îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ, áóäóò ýêâèâàëåíòíû ïî ÷èñëó ýëåìåíòîâ â íèõ è îáðàçóþò îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ýòîò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæåò áûòü îáîçíà÷åí öåëûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, îïðåäåëÿþùèì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâàõ. Âñå îäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà îáðàçóþò îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, äâóõýëåìåíòíûå äðóãîé, è òàê äàëåå. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, îáúåäèíÿþùèé âñå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ, ðàâíûì äàííîìó ÷èñëó. Ìîùíîñòü îáúåäèíåíèÿ íåñêîëüêèõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëàì: |X ∪ Y| = |X| + |Y| |X ∩ Y|; |X ∪ Y ∪ Z| = |X| + |Y| + |Z| |X ∩ Y| |X ∩ Z| |Y ∩ Z| + |X ∩ Y ∩ Z|. (×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü ýòè ðàâåíñòâà ñàìîñòîÿòåëüíî è íàéòè îáùåå âûðàæåíèå.) Ðàññìîòðèì òåïåðü áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Äëÿ íåêîòîðûõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ òîæå ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, äëÿ ìíîæåñòâà ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñïèñêà: {2, 4, 6,
}, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1, 2, 3,
) áóäåò íóìåðàöèåé ýòîãî ñïèñêà, ò.å. ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå ƒ(n) = 2n, äëÿ êàæäîãî n ∈ N ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N â ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ÷åòíûõ ÷èñåë ðîâíî ñòîëüêî æå, ñêîëüêî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ïîäìíîæåñòâà ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ÷èñåë, ò.å. ÷åòíûõ ÷èñåë ðîâíî ïîëîâèíà èç âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë! Ïîëó÷àåì, ÷òî â íåêîòîðîì ñìûñëå ÷àñòü ðàâíà öåëîìó1. È ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Ýòîò ôàêò, çàêëþ÷àþùèéñÿ â òîì, ÷òî ìåæäó áåñêîíå÷íîé ñîâîêóïíîñòüþ è åå ñîáñòâåííîé ÷àñòüþ ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, îòìå÷àëñÿ åùå Ïëóòàðõîì è äðóãèìè äðåâíèìè ó÷åíûìè.  1638 ãîäó Ãàëèëåé îòìåòèë, ÷òî ìåæäó öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè è èõ êâàäðàòàìè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, è íàçâàë «ïàðàäîêñîì» ñâîå íàáëþäåíèå, ïîñêîëüêó ýòîò ôàêò âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñ åâêëèäîâîé àêñèîìîé, ñîãëàñíî êîòîðîé öåëîå áîëüøå ëþáîé èç ñâîèõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòåé, ò.å. ÷àñòåé, íå ñîâïàäàþùèõ ñî âñåì öåëûì.
1
38
Ãëàâà 4
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà ëþáîå åãî áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü P ⊂ N. Âûáåðåì â P íàèìåíüøèé ýëåìåíò è îáîçíà÷èì åãî x1; âû÷òåì ýòîò ýëåìåíò èç P è íàèìåíüøèé ýëåìåíò èç âñåõ îñòàâøèõñÿ îáîçíà÷èì x2. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïðèñâîèì íîìåð êàæäîìó ýëåìåíòó èç P. Ýòà íóìåðàöèÿ åñòü áèåêöèÿ N → P: n → xn, ãäå xn åñòü (n + 1)-é â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýëåìåíò P. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî íå÷åòíûõ ÷èñåë, ìíîæåñòâî êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâî ëþáûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé, íàïðèìåð, ax + b, ãäå a, b ∈ N, áóäóò ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé è âîéäóò â îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îïðåäåëåíèå 4.1. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì äâóõ ìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ ðàâíîìîùíîñòüþ, à êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ ýòèõ ìíîæåñòâ. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà X îáîçíà÷àåòñÿ card X. ×èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òàêæå íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ, òîãäà card X = |X|. Äëÿ ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå E ∼ F.
4.2. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ âîçìîæíî áëàãîäàðÿ ñâîéñòâàì ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé. Èç îïðåäåëåíèÿ èíúåêöèè ñëåäóåò, ÷òî èíúåêöèÿ èç ìíîæåñòâà E â ìíîæåñòâî F âîçìîæíà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â E íå áîëüøå, ÷åì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â F: |E| ≤ |F| (äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ), ïðè÷åì, åñëè íå ñóùåñòâóåò èíúåêöèè èç F â E, òî ýòî íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ñòðîãîå íåðàâåíñòâî |E| |F|.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
39
Ýòè ñâîéñòâà îáîáùàþòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñëåäóþùåé òåîðåìîé. Òåîðåìà 4.1 (Êàíòîðà Áåðíøòåéíà1). Ïóñòü Å è F äâà ïðîèçâîëüíûõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâà. Òîãäà: à) ëèáî ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç E â F, ëèáî ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç F â E (îäíî íå èñêëþ÷àåò äðóãîãî); á) åñëè ñóùåñòâóþò èíúåêöèè E → F è F → E, òî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç E â F. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ìíîæåñòâî E ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà F, à ìíîæåñòâî F ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà E, òî E è F ðàâíîìîùíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü E ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó F1 ìíîæåñòâà F, à F ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó E1 ìíîæåñòâà E (ñì. ðèñ. 4.2, a). Ïðè âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ìåæäó E1 è F ïîäìíîæåñòâî F1 ⊂ F ïåðåõîäèò â íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî E2 ⊂ E1. Ïðè ýòîì âñå òðè ìíîæåñòâà E, E1 è E2 ðàâíîìîùíû, è íóæíî äîêàçàòü, ÷òî îíè ðàâíîìîùíû ìíîæåñòâó F, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìíîæåñòâó E1. Òåïåðü ìû ìîæåì çàáûòü ïðî ìíîæåñòâî F è åãî ïîäìíîæåñòâà è äîêàçûâàòü òàêîé ôàêò: åñëè E2 ⊂ E1 ⊂ E0, (ãäå E0 îáîçíà÷åíèå äëÿ E) è E2 ðàâíîìîùíî E0, òî âñå òðè ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíû. Ïóñòü f ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå E0 → E2, òàê, ÷òî ýëåìåíò x ∈ E0 ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòó f(x) ∈ E2. Êîãäà E0 ïåðåõîäèò â E2, ìåíüøåå ìíîæåñòâî E1 ïåðåõîäèò â êàêîå-òî ìíîæåñòâî E3 ⊂ E2 (ñì. ðèñ. 4.2, á). Àíàëîãè÷íî, ñàìî E2 ïåðåõîäèò â êàêîå-òî ìíîæåñòâî E4 ⊂ E2. Ïðè ýòîì E4 ⊂ E3, òàê êàê E2 ⊂ E1.
Ðèñ. 4. 2. Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Êàíòîðà Áåðíøòåéíà. Êàíòîð ñôîðìóëèðîâàë ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà â 1883 ãîäó, ïîîáåùàâ âåðíóòüñÿ ê íåé ïîçæå, îäíàêî, íå âûïîëíèë ýòîãî îáåùàíèÿ. Ïåðâûå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áûëè äàíû Øð¸äåðîì (1896) è Áåðíøòåéíîì (1897).
1
Ðèñ. 4.1. Èíúåêöèÿ E → F.
40
Ãëàâà 4
Ïðîäîëæàÿ ýòî ïîñòðîåíèå, ïîëó÷àåì óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ E4 ⊃
è âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå f: E0 → E2, ïðè êîòîðîì Ei îòîáðàæàåòñÿ â Ei + 2. Ôîðìàëüíî ìîæíî îïèñàòü E2n êàê ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ìíîæåñòâà E0 ïîñëå n-êðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèè f. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî E0 ìû ðàçáèëè íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñëîè Ai = Ei\Ei + 1 è íà ñåðäöåâèíó A = ∩i Ei. Ñëîè A0, A2, A4,
ðàâíîìîùíû, òàê êàê ôóíêöèÿ f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A0 è A2, ìåæäó A2 è A4 è ò.ä. Àíàëîãè÷íî, ðàâíîìîùíû è ñëîè ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè. Òåïåðü ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå g ìåæäó E0 è E1. Ïóñòü x ∈ E0, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ýëåìåíò g(x) ñòðîèòñÿ òàê: g(x) = f(x) ïðè x ∈ A2k è g(x) = x ïðè x ∈ A2k + 1 èëè x ∈ A (êàê ïîêàçàíî íèæå).
Ýòî äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Êàíòîðà Áåðíøòåéíà: à) åñëè ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ E → F è íå ñóùåñòâóåò èíúåêöèè F → E, òî ìíîæåñòâî F èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî áîëüøóþ, ÷åì ìîùíîñòü E: card F > card E. á) åñëè ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ F → E è íå ñóùåñòâóåò èíúåêöèè E → F, òî ìíîæåñòâî F èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî ìåíüøóþ, ÷åì ìîùíîñòü E: card F < card E. â) åñëè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç F â E, òî ìíîæåñòâà F è E ðàâíîìîùíû: card F = card E. Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ, èëè êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì. Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíîìîùíûõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè. Ýòè ÷èñëà ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå. Ìîùíîñòü ïóñòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà íóëþ: card ∅ = 0. Ìîùíîñòü áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ òðàíñôèíèòíûì êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì, èëè ïðîñòî òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ýòî ôàêòîð-ìíîæåñòâî ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ è òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
41
4.3. Ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 4.2. Ìîùíîñòüþ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N. Ñ÷åòíûì íàçûâàåòñÿ âñÿêîå ìíîæåñòâî X, ðàâíîìîùíîå ìíîæåñòâó N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìîùíîñòü ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà îáîçíà÷àåòñÿ êàðäèíàëüíûì òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì ℵ 0 (÷èòàåòñÿ: àëåô-íóëü)1. Ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà X îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà áèåêöèÿ èç X íà N (îäíàêî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî òàêàÿ áèåêöèÿ çàäàíà). Èíà÷å ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå ñïèñêà (äàæå, åñëè ýòîò ñïèñîê áóäåò áåñêîíå÷íûì). Òîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå åãî ïîðÿäêîâûé íîìåð â ýòîì ñïèñêå, ò.å. ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî îòîáðàæåíèå èç N â X ƒ(n): N → X, ãäå n ∈ N. Òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ íóìåðàöèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî çàíóìåðîâàòü ìîæíî ëþáîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî X êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ X â N, èëè, åñëè X ≠ ∅, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ N íà X. Ïðèìåð. Ìíîæåñòâà âñåõ ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë X è ìíîæåñòâî N ðàâíîìîùíû, òàê êàê ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ X → N è ñþðúåêöèÿ N → X. Äîêàæåì ðÿä òåîðåì î ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâàõ. Òåîðåìà 4.2. Ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q+ ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå äðîáè m/n, ãäå m, n íàòóðàëüíûå ÷èñëà, n ≠ 0. Çàïèøåì ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà â âèäå òàáëèöû: 1/1 1/2 1/3
2/1 2/2 2/3
3/1 3/2 3/3
4/1 4/2 4/3
1 4 9
2 3 8
5 6 7
10 11 12
Ïðàâàÿ òàáëèöà çàäàåò íóìåðàöèþ ýëåìåíòîâ ëåâîé òàáëèöû (ñòðåëêè óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå íóìåðàöèè). Òîãäà ìû ìîæåì âûïèñàòü ýëåìåíòû ëåâîé òàáëèöû (ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë) â âèäå ñïèñêà, â êîòîðîì êàæäîìó ýëåìåíòó ñîîòâåòñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî: 1/1 2/1 2/2 1/2 3/1 3/2 3/3 2/3 1/3 4/1 4/2 4/3
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
Ìîæíî âñòðåòèòü äðóãîå îáîçíà÷åíèå ìîùíîñòè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà: card N = ν.
42
Ãëàâà 4
Ïîëó÷åííûé ïåðåñ÷åò äîêàçûâàåò ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà âõîäÿò â ýòîò ïåðåñ÷åò ñ ïîâòîðåíèÿìè: íàïðèìåð, 1/1 = 2/2 = 3/3 =
=1. Îäíàêî, íåòðóäíî ñîñòàâèòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåäóðó âû÷åðêèâàíèÿ ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷èñåë èç ýòîãî ïåðåñ÷åòà. Ìû ïîêàæåì äàëåå, ÷òî è áåç âû÷åðêèâàíèÿ ïîâòîðåíèé äîêàçàòåëüñòâî ñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà Q+ óæå çàâåðøåíî. Òåîðåìà 4.3. Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ñïèñîê: 0 1 1 2 2 3 3
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
0 1 2 3 4 5 6
Òîãäà êàæäîìó ÷åòíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, à êàæäîìó íå÷åòíîìó ïîëîæèòåëüíîå. Ïîñòðîåííàÿ áèåêöèÿ äîêàçûâàåò òåîðåìó. Òåîðåìà 4.4. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. Òåîðåìà 4.5. Ìîùíîñòü ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ℵ 0 ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì òðàíñôèíèòíûì êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî E èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíó ñ÷åòíóþ ÷àñòü (ò.å. ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî áåñêîíå÷ℵ 0 íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. íîãî ìíîæåñòâà E ñîîòíîøåíèå card E > ℵ ℵ 0. Ýòî îçíà÷àåò, ïî òåîðåìå Áåðíøòåéíà, ÷òî ñóùåñòâóåò card E ≤ ℵ èíúåêöèÿ E → N, ò.å. â N ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ÷àñòü P, òàêàÿ, ÷òî ìåæäó E è P ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ. Îäíàêî ìåæäó ìíîæåñòâîì N è åãî áåñêîíå÷íîé ÷àñòüþ P òîæå ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ. Îòîáðàæåíèå n → xn, ãäå xn åñòü (n + 1)-é â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýëåìåíò P, ℵ 0. îïðåäåëÿåò áèåêöèþ N íà P. Òîãäà ïîëó÷èì, ÷òî card E = ℵ
4.4. Êàðäèíàëüíàÿ àðèôìåòèêà Åñëè ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ Å → F, òî ñàrd F ≤ card E. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè F íå ïóñò, è åñëè â êàæäîì èç ïðîîáðàçîâ âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó1, òî ïîëó÷èì íåêîòîðóþ ÷àñòü Å, ðàâíîìîùíóþ F. Íàïðèìåð, ôàêòîð-ìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó â êàæäîì èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ íåòðóäíî, íî ïîäîáíûé âûáîð â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ çàòðóäíèòåëåí. Ïîñëå ìíîãî÷èñëåííûõ ñïîðîâ â íà÷àëå âåêà âîçìîæíîñòü òàêîãî âûáîðà áûëà ââåäåíà êàê àêñèîìà òåîðèè ìíîæåñòâ àêñèîìà âûáîðà, èëè àêñèîìà Öåðìåëî.
1
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
43
Å ïî íåêîòîðîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè âñåãäà èìååò íå áîëüøóþ ìîùíîñòü, ÷åì ñàìî ìíîæåñòâî Å. Îòñþäà, à òàêæå èç òåîðåìû 4.5 ñëåäóåò, ÷òî â êëàññå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå ïîðÿäêà: åñëè α ÿâëÿåòñÿ êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà ìîùíîñòè β, òî α ≤ β. Íåòðóäíî ïîêàçàòü (äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ýòî ïðîñòî, à äëÿ áåñêîíå÷íûõ ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà), ÷òî ýòî îòíîøåíèå ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî, ñëåäîâàòåëüíî, îíî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Èç òåîðåìû Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà, ò.å. ëþáûå äâà êàðäèíàëüíûå ÷èñëà ñðàâíèìû. Íà ìíîæåñòâå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî îïðåäåëèòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü. 1. Ñëîæåíèå. Ïóñòü α è β êàðäèíàëüíûå ÷èñëà, à ìíîæåñòâà E è F èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ìîùíîñòè card E = α è card F = β. Òîãäà α + β ñóììà ìîùíîñòåé E è F, ýòî ìîùíîñòü âñÿêîãî ìíîæåñòâà, äîïóñêàþùåãî ðàçáèåíèå íà äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè, ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâàì Å è F ñîîòâåòñòâåííî. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ìíîæåñòâà E è F íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî ìîùíîñòü èõ îáúåäèíåíèÿ ðàâíà α + β. 2. Óìíîæåíèå. ×åðåç α⋅β îáîçíà÷àåòñÿ ìîùíîñòü äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ Å × F. Èíûìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå α⋅β ýòî êàðäèíàëüíîå ÷èñëî îáúåäèíåíèÿ α íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷àñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ìîùíîñòü β. 3. Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü. ×åðåç αβ îáîçíà÷àåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Å F, ò.å. ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé èç F â E: card (F → E) = card (E F) = card E card F. Òåîðåìà 4.6. Îïåðàöèè, îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë, îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1. Àññîöèàòèâíîñòü è êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ. 2. Àññîöèàòèâíîñòü è êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ. 3. Äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ: α⋅(β + γ) = α⋅β + α⋅γ. 4. Äëÿ âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ: a) (αβ)⋅(αγ) = α β + γ, b) αγβ γ = (α⋅β)γ, c) ((α)β)γ = α b⋅⋅γ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ñâîéñòâ îñíîâàíî íà îïðåäåëåíèè è ñâîéñòâàõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ.
Ãëàâà 4
44
 êà÷åñòâå ïðèìåðîâ äîêàæåì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà. Ñâîéñòâî 3. α⋅(β + γ) = α⋅β + α⋅γ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü card A = α, card B = β, card C = γ, ãäå ìíîæåñòâà A, B, C ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è ïóñòü a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C. Ñîîòíîøåíèå 3 âûïîëíÿåòñÿ, åñëè A × (B ∪ C) ∼ (A × B) ∪ (A × C). Ðàññìîòðèì ýòè ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî A × (B ∪ C) ñîñòîèò èç ïàð {, }, ïðè÷åì b ≠ c, òàê êàê B ∩ C = ∅. Ìíîæåñòâî (A × B) ∪ (A × C) ñîñòîèò èç îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ïàð {} ∪ {}, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó {, }, ãäå b ≠ c. Êàê âèäèì, ýòè äâà ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò. Ïîêàæåì, ÷òî äèñòðèáóòèâíîñòü ñëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. α + (β⋅γ) ≠ (α + β)⋅(α + γ). Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îòíîøåíèå ðàâíîìîùíîñòè A ∪ (B × C) ∼ (A ∪ B) × (A ∪ C) íåâûïîëíèìî. Äåéñòâèòåëüíî, A ∪ (B × C) ýòî ìíîæåñòâî, ïîëó÷åííîå îáúåäèíåíèåì {a} ∪ {} = {a, }, ò.å. ýòî ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç âñåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A è ïàð , â òî âðåìÿ êàê (A ∪ B) × (A ∪ C) = {, , , }. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà. Èíà÷å ýòî ìîæíî ïîêàçàòü òàê: (A ∪ B) × (A ∪ C) = = ((A ∪ B) × A) ∪ (A ∪ B) × C) = (A × A) ∪ (B × A) ∪ (A × C) ∪ (B × C), ÷òî íå ýêâèâàëåíòíî A ∪ (B × C) = (A × B) ∪ (A × C).
4.5. Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ êàðäèíàëüíîé àðèôìåòèêè Òåîðåìà 4.7. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà m ≥ 1 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà: ℵ 0 = ℵ ℵ 0 è ℵ 0m = ℵ ℵ 0. m⋅ℵ Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî N × N ðàâíîìîùíî N, ò.å. ℵ 0⋅ℵ ℵ 0 = ℵ ℵ 0 (áàçèñ èíäóêöèè). Ýëåìåíòû äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ N × N ìîæíî âûïèñàòü â âèäå òàáëèöû: (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
(1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)
(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
45
Ââåäåì äèàãîíàëüíóþ íóìåðàöèþ. Ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿåò áèåêöèþ N íà N × N. Ñëåäîâàòåëüíî, N ýêâèâàëåíòíî ℵ 0 = ℵ 02 = ℵ ℵ 0. N × N, ò.å. ℵ 0⋅ℵ ℵ 0, è ïîêàæåì, ÷òî òîãäà Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ℵ 0m 1 = ℵ ℵ 0m = ℵ ℵ 0. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå N m 1 ñ÷åòíî. Òîãäà, ñîãëàñíî áàçèñó èíäóêöèè, äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ℵ 0. äâóõ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ N m 1 × N = N m òàêæå ñ÷åòíî, ò.å. ℵ 0m = ℵ Ñëåäñòâèå. Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ èëè ñ÷åòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Å êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I íåêîòîðàÿ ÷àñòü N (I ⊂ N) è Ai (i ∈ I) íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà Å, è äëÿ âñÿêîãî i Ai ≠ ∅ (íî, åñëè Ai = ∅, òî ýòî íè÷åãî íå ìåíÿåò, òàê êàê åñëè Ai = ∅, òî îáúåäèíåíèå íå èçìåíèòñÿ). Ïóñòü ƒi ñþðúåêöèÿ N íà Ai. Òîãäà îòîáðàæåíèå (i, n) → ƒi(n) áóäåò ñþðúåêöèåé I × N íà Ïîñêîëüêó I × N ñ÷åòíî, òî
U Ai .
i∈I
U Ai êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî.
i∈I
Òåïåðü ìîæíî èíà÷å äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ñ÷åòíî. Êàæäîé ïàðå (p, q) (q ≠ 0) ìíîæåñòâà Z × Z ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî p/q. Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé ïîäìíîæåñòâà Z × Z íà Q. Çíà÷èò, Q íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî, íî òàê êàê îíî ñîäåðæèò N â êà÷åñòâå ñâîåãî ïîäìíîæåñòâà, òî Q ñ÷åòíî. Òåîðåìà 4.8. Åñëè A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à B êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, òî A ∪ B ∼ A (ðàâíîìîùíû), ò.å. card(A ∪ B) = card(A). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A1 ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A. Îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâ ñ÷åòíî, îáúåäèíåíèå ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ òàêæå ñ÷åòíî, ïîýòîìó A1 ∪ B ∼ A1. Ìíîæåñòâî A ∪ B íå èçìåíèòñÿ, åñëè èç íåãî âû÷åñòü, à ïîòîì äîáàâèòü ïîäìíîæåñòâî A1. Òîãäà A ∪ B = (A\A1) ∪ (A1 ∪ B). Ïîñêîëüêó A1 ∪ B ∼ A1, òî (A\A1) ∪ (A1 ∪ B) ∼ (A\A1) ∪ A1. Íî (A\A1) ∪ A1 = A, ñëåäîâàòåëüíî, A ∪ B ∼ A, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Òåîðåìà 4.9. Åñëè α è β êàðäèíàëüíûå ÷èñëà, òàêèå ÷òî α ≠ 0 è β ≠ 0, è åñëè ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç íèõ òðàíñôèíèòíî, òî ñóììà α + β è ïðîèçâåäåíèå α⋅β ðàâíû íàèáîëüøåìó èç íèõ, ò.å. α + β = max{α, β}, α⋅β = max{α, β}.
Ãëàâà 4
46
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî, òî ëèáî α ≤ β, ëèáî β ≤ α. Èç òåîðåìû 4.8 ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü îáúåäèíåíèÿ äâóõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ áîëüøåé ìîùíîñòüþ. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë è ïåðâîãî ðàâåíñòâà: α + β = max{α, β}, ñëåäóåò âûïîëíèìîñòü è âòîðîãî: α⋅β = max{α, β}. Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó 4.7 ïîëíîñòüþ. Äîêàçàòåëüñòâî. ℵ 0 (ïî òåîðåìå î ñ÷åòíîñòè îáúåäèm⋅ℵ ℵ 0 = ℵ0 + ℵ0 + ... + ℵ0 = ℵ 14442444 3 m ðàç íåíèÿ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ); ℵ 0m = ℵ 0 ⋅ ℵ 0 ⋅ ... ⋅ ℵ 0 = ℵ ℵ 0 (ïî òåîðåìå î ñ÷åòíîñòè äåêàðòîâà 1442443 m ðàç ïðîèçâåäåíèÿ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ). Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìû ïîëó÷àåì ñîãëàñíî òåîðåìå 4.9: òàê êàê ℵ 0 = ℵ ℵ 0. m ≤ ℵ 0, òî m⋅ℵ Èñïîëüçîâàíèå êàðäèíàëüíîé àðèôìåòèêè ïîçâîëÿåò íàì ëåãêî äîêàçûâàòü íåêîòîðûå òåîðåìû î ìîùíîñòè ìíîæåñòâ. Ïðèìåðû. 1. Îïðåäåëèì ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì, èç ÷åãî ñîñòîèò ýòî ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî âñåõ îäíîýëåìåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýòî ìíîæåñòâî N, âñå äâóõýëåìåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçóþòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì N × N, òðåõýëåìåíòíûå N3, k-ýëåìåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçîâàíû äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì N k è òàê äàëåå. Êàêîå áû áîëüøîå ÷èñëî k ìû íè âçÿëè, äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò ÷èñëî k +1 è, ñîîòâåòñòâåííî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíîé k + 1. Ïîýòîìó ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé óõîäèò â áåñêîíå÷íîñòü.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü E = N ∪ N2 ∪ N3 ∪
∪ N k ∪
, ò.å. ýòî îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà ℵ 0, card N2 = ℵ ℵ 02,
, card N k = ℵ 0k
, òî E. Ïîñêîëüêó card N = ℵ ìîùíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ℵ 0 + ℵ ℵ 02 + ℵ ℵ 03 +
+ ℵ ℵ 0k +
= ℵ 0. card E = ℵ 2. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñ÷åòíîñòè íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñïîñîá êîäèðîâàíèÿ1. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì 1
 [Êëèíè, 1973] ýòîò ñïîñîá íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì öèôð.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
47
êîäîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ äâîè÷íûé êîä: êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå äâîè÷íîå ÷èñëî. Ñóùåñòâóþò ýôôåêòèâíûå ïðîöåäóðû ïåðåâîäà ÷èñëà â äâîè÷íûé êîä è îáðàòíî, ïîýòîìó òàêîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Óñòàíîâèâ òàêîå ñîîòâåòñòâèå, ìû ïîëó÷àåì, íàïðèìåð, ÷òî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ÷åòíî (íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 1). Äëÿ êîäèðîâàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî äâîè÷íóþ, íî ëþáóþ ñèñòåìó ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì k.  êà÷åñòâå ïðèìåðà äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà ýòî äåéñòâèòåëüíûå êîðíè àëãåáðàè÷åñêèõ (ïîëèíîìèàëüíûõ) óðàâíåíèé ñ îäíèì íåèçâåñòíûì ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè: a0xn + a1xn 1 +
+ an 1x + an = 0, (n ≥ 1, a0 ≠ 0). Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîëè÷åñòâî åãî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé êîíå÷íî è íå ïðåâûøàåò ñòåïåíè óðàâíåíèÿ. Òîãäà, åñëè ìû ñìîæåì ïåðåñ÷èòàòü âñå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, òî ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé êàæäîãî óðàâíåíèÿ, ò.å. ýòî áóäåò îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, êîòîðîå ñ÷åòíî. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè áåç ïîòåðè îäíîçíà÷íîñòè ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñòðîêè, çàïèñûâàÿ ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé ïîñëå ïåðåìåííîé x, íàïðèìåð: 3x3 + 6x2 + x 2 = 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ îêàçûâàþòñÿ êîíå÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè, ñîñòàâëåííûìè èç 14 ñèìâîëîâ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, +, , =. Ïåðâûé ñèìâîë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå åñòü 0. Òîãäà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê ÷èñëà â ÷åòûðíàäöàòèðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ.  ðåçóëüòàòå êàæäîå óðàâíåíèå, ïðåäñòàâëåííîå êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýòèõ ñèìâîëîâ, ÿâëÿåòñÿ çàïèñüþ íåêîòîðîãî öåëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà â ýòîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, ò.å. êîäîì ýòîãî ÷èñëà â ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì 14. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ áóäåò ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òåì ñàìûì áóäåò ïîñòðîåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâîì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ïîäìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èíûìè ñëîâàìè, àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïåðåñ÷èòàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîäàìè êîòîðûõ îíè ÿâëÿþòñÿ ïðè èíòåðïðåòàöèè âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ ñèìâîëîâ êàê öèôð ÷åòûðíàäöàòèðè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Ïîñòðîåííûé ïåðåñ÷åò äîêàçûâàåò ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ÷åòíîñòü
Ãëàâà 4
48
ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, êàê óêàçàíî âûøå, ñëåäóåò êàê ñ÷åòíîñòü îáúåäèíåíèÿ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.
4.6. Íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà Òåîðåìà 4.10 (Êàíòîðà). Êàêîâî áû íè áûëî ìíîæåñòâî E, ìíîæåñòâî åãî ïîäìíîæåñòâ èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî áîëüøóþ ìîùíîñòè Å. Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðàíñôèíèòíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë íå îãðàíè÷åííà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ ƒ: E → ℘(E), ò.å. ñþðúåêöèÿ ƒ ìíîæåñòâà E íà ìíîæåñòâî åãî ïîäìíîæåñòâ ℘(E). Òîãäà äëÿ x ∈ E ƒ(x) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ℘(E), ò.å. íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì Å. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ïîäìíîæåñòâî E, îáðàçîâàííîå èç òàêèõ x ∈ E, ÷òî x ∉ ƒ(x). Òàê êàê A ∈ ℘(E), òî â E ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ýëåìåíò y, òàêîé, ÷òî ƒ(y) = A. Åñëè y ∈ ƒ(y) = A, òî, ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà A, y ∉ A, ÷òî íåâîçìîæíî. Åñëè y ∉ ƒ(y) = A, òî y ∈ A.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîñêîëüêó, îäíàêî, ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ E â ℘(E), à èìåííî, x → {x}, òî E èìååò ìîùíîñòü, ìåíüøóþ ìîùíîñòè ℘(E), à çíà÷èò, è ñòðîãî ìåíüøóþ ìîùíîñòè ℘(E). Òåîðåìà 4.11. Åñëè ìíîæåñòâî E áåñêîíå÷íî, òî ìíîæåñòâî ℘f (E) êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ E ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó E. Äîêàçàòåëüñòâî. Îòîáðàæåíèå (x1, x2, ..., xn) → {x1, x2, ..., xn}, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó (x1, x2, ..., xn) èç E n ïîäìíîæåñòâî E, îáðàçîâàííîå èç ýòèõ ýëåìåíòîâ (íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ), ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ñþðúåêöèåé E n íà ìíîæåñòâî ℘n(E) íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ E, îáðàçîâàííûõ íå áîëåå ÷åì èç n ýëåìåíòîâ. Íî òîãäà card ℘n(E) ≤ card E n = card E (òåîðåìà 4.7), è ïîñêîëüêó card ℘n(E) ≥ card E, òî card ℘n(E) = card E. Ïóñòü òåïåðü ƒn: x → ƒn(x) íåêîòîðàÿ áèåêöèÿ E íà ℘n(E). Ïîëîæèì ƒ0(x) ≠ ∅ äëÿ âñåõ x ∈ E. Òîãäà (n, x) → ƒn(x) áóäåò íåêîòîðîé ñþðúåêöèåé ℵ 0⋅card E = N × E íà ℘f (E), à çíà÷èò card ℘f (E) ≤ card (N × E) = ℵ = card E (â ñèëó òåîðåìû 4.8, íåðàâåíñòâà ℵ 0 ≤ card E è òåîðåìû 4.9). Ïîñêîëüêó îáðàòíîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì card ℘f (E) = card E. Çàìå÷àíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà A ìíîæåñòâà E íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ϕA, îïðåäåëåííàÿ íà E è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå {0, 1}, òàêàÿ, ÷òî ϕA(x) = 1, åñëè x ∈ A, è ϕA(x) = 0, åñëè x ∉ A. Çàäàíèå ýòîé ôóíêöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ïîäìíîæåñòâî (÷àñòü) A ìíîæåñòâà E. Òîãäà êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó áóäåò ñîîò-
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
49
âåòñòâîâàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèé âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç 0 è 1. Íàïðèìåð, åñëè E = {a, b, c}, òî ïîäìíîæåñòâó A = {a, c} áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü âåêòîð ϕA = , ïîäìíîæåñòâó B = {b} âåêòîð ϕB = è ò.ä. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x) çàäàåò ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé ϕ: E → {0, 1}, ò.å. {0, 1}E. Òîãäà, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 4.11, ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìíîæåñòâà-ñòåïåíè ℘(E) ìíîæåñòâà E íà ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé ϕ: E → {0, 1}. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì ìíîæåñòâà ℘(E) ÿâëÿåòñÿ card {0, 1}E = 2card E. Òåïåðü òåîðåìó Êàíòîðà (4.10) ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Êàêîâî áû íè áûëî êàðäèíàëüíîå ÷èñëî α, 2α > α. ℵ 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò íåñ÷åò ÷àñòíîñòè, 2ℵ0 > ℵ íûå ìíîæåñòâà. Ìû äîêàçàëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Òåîðåìà 4.12. Ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî (1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Òîãäà åãî ìîæíî çàíóìåðîâàòü, è êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëó÷èò ñâîé íîìåð. Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn, ãäå n = 1, 2, 3,
. Áóäåì èñïîëüçîâàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ϕn(p), êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, ïðèíàäëåæèò ëè íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn èëè íåò: ϕn(p) = 1, åñëè p ∈ Sn, è ϕn(p) = 0, åñëè p ∉ Sn. Òîãäà êàæäîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Sn áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü áåñêîíå÷íûé äâîè÷íûé âåêòîð ϕn è ìíîæåñòâî ýòèõ âåêòîðîâ, ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ, òàêæå ìîæíî çàíóìåðîâàòü. Ñîñòàâèì ýòó íóìåðàöèþ è çàïèøåì åå â âèäå òàáëèöû: 1 2 3 4
k
ϕ1 ϕ1(1) ϕ1(2) ϕ1(3) ϕ1(4)
ϕ1(k)
ϕ2 ϕ2(1) ϕ2(2) ϕ2(3) ϕ2(4)
ϕ2(k)
ϕ3 ϕ3(1) ϕ3(2) ϕ3(3) ϕ3(4)
ϕ3(k)
ϕk ϕk(1) ϕk(2) ϕk(3) ϕk(4)
ϕk(k)
Ýëåìåíòàìè òàáëèöû ÿâëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòàâëåííûå èç 0 è 1. Íà äèàãîíàëè òàáëèöû òàêæå íàõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé è åäèíèö:
50
Ãëàâà 4
ϕd = ϕ1(1), ϕ2(2), ϕ3(3),
, ϕk(k),
Ñîñòàâèì àíòèäèàãîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕd′ ïî ïðàâèëó: ϕd′ (1) = 1 ϕ1(1), ϕd′ (2) = 1 ϕ2(2),
ϕd′ (k) = 1 ϕk(k). Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òàáëèöå õîòÿ áû îäíèì äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕd′ âñå-òàêè âõîäèò â ïîñòðîåííûé ïåðåñ÷åò, äîïóñòèì, ñ íîìåðîì k. Òîãäà ϕd′ = ϕk, è, ñîãëàñíî ïðàâèëó, åå ýëåìåíòû: ϕd′(1) = ϕk(1) = 1 ϕ1(1), ϕd′(2) = ϕk(2) = 1 ϕ2(2),
ϕd′(k) = ϕk(k) = 1 ϕk(k). Ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ äâîè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íåñ÷åòíî. Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 4.11, ýòî ìíîæåñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé ϕ: N → {0, 1}, ò.å. {0, 1}N, è ìîùíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 2ℵ0. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ áåñêîíå÷íàÿ äâîè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì âåêòîðîì áåñêîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å., ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ, òî òåì ñàìûì äîêàçàíà íåñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Íî ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà N è ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â N, ò.å. ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ îòîáðàæåíèé ƒ(n): N → N, ò.å. NN, ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà åñòü ℵ 0ℵ0. Ïîñêîëüêó ýòè äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíû, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ℵ 0ℵ0 = 2ℵ0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (êàê êîíå÷íûõ, òàê è áåñêîíå÷íûõ) åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ℘(N) ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìîùíîñòü êîòîðîãî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå 4.11, ðàâíà 2ℵ0. Îòñþäà ìû ïîëó÷àåì òîò æå ðåçóëüòàò: ℵ 0ℵ0 = 2ℵ0. Ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà, èñïîëüçîâàííûé â äàííîé òåîðåìå, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì Êàíòîðà. Ìû äîêàçàëè íåñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà ℘(N) ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè, óñòàíàâëèâàþùåé âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
51
äâîè÷íûìè âåêòîðàìè. Îäíàêî ìû ìîãëè áû ïðèìåíèòü äèàãîíàëüíûé ìåòîä íåïîñðåäñòâåííî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû 4.13 åùå ðàç äåìîíñòðèðóåò ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåñ÷åòíîñòè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà (0, 1), õîòÿ ýòîò ðåçóëüòàò íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.12. Êàæäîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà (0, 1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, çàïèñü êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ñ ñèìâîëîâ 0,
Òåì ñàìûì óñòàíàâëèâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ìíîæåñòâàìè. Äèàãîíàëüíûé ìåòîä Êàíòîðà èìååò è äðóãóþ ôîðìàëèçàöèþ, íå èñïîëüçóþùóþ íåïîñðåäñòâåííîãî ïåðåñ÷åòà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ýòèì ñïîñîáîì, ðàññìîòðèì äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî íåñ÷åòíîñòè ìíîæåñòâà âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî (2) òåîðåìû 4.12. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Òîãäà ìîæíî ñîñòàâèòü ñïèñîê L = S0, S1,
, Sk,
, â êîòîðîì êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëó÷èò ñâîé íîìåð. Ñîñòàâèì òåïåðü åùå äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè U è U′ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè i ∈ Si, òî i ∈ U, è åñëè i ∉ Si, òî i ∈ U′. Òàêèì îáðàçîì, â U′ ïîïàäóò âñå òå ÷èñëà i ∈ N, êîòîðûå íå âõîäÿò â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Si ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íîìåðîì i. (Íàïðèìåð, åñëè ÷èñëî 3 âõîäèò â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S3, òî îíî âîéäåò â U, à åñëè íå âõîäèò, òî â U′.) Òîãäà, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè U è U′ òàêæå äîëæíû âîéòè â ñïèñîê L ñ íåêîòîðûìè íîìåðàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü U′ âõîäèò â ñïèñîê ñ íîìåðîì k: U′ = Sk. Òîãäà íîìåð ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè k òîæå äîëæåí âîéòè ëèáî â U, ëèáî â U′. Îäíàêî, åñëè k ∈ Sk, òî k ∈ U, ñëåäîâàòåëüíî, k ∉ U′, ò.å. k ∉ Sk, à åñëè k ∉ Sk, òî k ∈ U′, ò.å. k ∈ Sk. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.
4.7. Ìîùíîñòü êîíòèíóóìà Òåîðåìà 4.13 (Êàíòîðà). Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà (0, 1) íåñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì Êàíòîðà. Áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ëþáîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà (0, 1) â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè. Êîíå÷íûå äðîáè òàêæå ïðåäñòàâèìû â òàêîì âèäå, íàïðèìåð, ÷èñëî 0,5 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê 0,4999999... Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî ýòèõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Òîãäà èõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñïèñêà. Ñîñòàâèì ýòîò ñïèñîê è çàïèøåì åãî â âèäå òàáëèöû, ãäå ïðåäñòàâëåíû äåñÿòè÷íûå ÷àñòè ÷èñåë:
Ãëàâà 4
52 a1 a2 a3
ak
1 a11 a21 a31
ak1
2 a12 a22 a32
ak2
3 a13 a23 a33
ak3
k a1k a2k a3k
akk
Ñîñòàâèì òåïåðü áåñêîíå÷íîå àíòèäèàãîíàëüíîå ÷èñëî b = b1b2...bk... ïî ïðàâèëó: i-é ðàçðÿä ÷èñëà bi ïîëîæèì ðàâíûì 1 + ai i, åñëè ai i ≠ 9 è ai i = 8 (èëè ëþáîìó äðóãîìó ÷èñëó, îòëè÷íîìó îò 9), åñëè ai i = 9. Åñëè ìíîæåñòâî ÷èñåë èç (0, 1) ñ÷åòíî, òî ïîñòðîåííîå ÷èñëî b äîëæíî âîéòè â ýòîò ñïèñîê ñ êàêèì-ëèáî íîìåðîì, íàïðèìåð, ñ íîìåðîì k: b = ak. Íî òîãäà b1 = ak1 = a11 + 1, b2 = ak2 = a22 + 1, ..., bk = akk = akk + 1, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà (0, 1) íåñ÷åòíî. Îïðåäåëåíèå 4.3. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà (0,1) íàçûâàþò ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà. Ìîùíîñòü êîíòèíóóìà îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C. Ìîùíîñòü êîíòèíóóìà ýòî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, ò.å. card R = C, èáî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ (0, 1) → R, íàïðèìåð, x → log x/(1 x). Ïðèìåðû. 1.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû äîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè, íàçûâàþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè. (Òðàíñöåíäåíòíûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà e è π.) Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî, à ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë íåñ÷åòíî, òî ñóùåñòâóþò òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà è äàæå «áîëüøèíñòâî» âåùåñòâåííûõ ÷èñåë òðàíñöåíäåíòíî. 2. Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê R n ñ ðàöèîíàëüíûìè èëè àëãåáðàè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ñ÷åòíî, òàê êàê åãî êàðäèíàëüíîå ÷èñëî ðàâíî ℵ0n = ℵ ℵ0, à ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê R n ñ âåùåñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè íåñ÷åòíî è ðàâíî êîíòèíóóìó. Òåîðåìà 4.14. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà: ℵ 0⋅C = C⋅C = C m = = C ℵℵ0 = C, ãäå m ≥ 1 öåëîå. m⋅C = ℵ Äîêàçàòåëüñòâî. Âñå ýòè êàðäèíàëüíûå ÷èñëà íå áîëüøå C ℵℵ0 è íå ìåíüøå C, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî C ℵℵ0 = Ñ. 2
Äåéñòâèòåëüíî, C ℵℵ0 = (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0 = 2ℵ0 = Ñ. Îäíàêî, ôàêò: 2ℵ0 = Ñ òðåáóåò äîêàçàòåëüñòâà.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ
53
Åñëè âçÿòü ÷èñëà èç Å = (0, 1), òàêèå, ÷òî â èõ èçîáðàæåíèè ïðèñóòñòâóþò ÷èñëà 0, 1, 2,
, 7, òî ýòî ìíîæåñòâî áóäåò ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}N, ñëåäîâàòåëüíî, åãî ìîùíîñòü ðàâíà 8ℵ0. Ñàìî ìíîæåñòâî Å èìååò ìîùíîñòü ≤ 10ℵ0 (ìû ïèøåì ≤ èç-çà äâîÿêîãî äåñÿòè÷íîãî èçîáðàæåíèÿ ÷èñåë). Ïîýòîìó 8ℵ0 ≤ card E ≤ 10ℵ0, îòêóäà 2ℵ 0 ≤ card E ≤ 16ℵ 0 = (24)ℵ 0 = 2 4ℵℵ 0 = 2ℵ 0, ñëåäîâàòåëüíî card E = 2ℵ0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, card E = C. Ñëåäîâàòåëüíî, 2ℵ0 = C. Ñëåäñòâèå 1. Ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà (ïîñêîëüêó îíî ðàâíîìîùíî R 2: C 2 = C). Ñëåäñòâèå 2. Ëþáîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîãî ÷èñëà èçìåðåíèé n íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Ñëåäñòâèå 3. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, èáî èõ êàðäèíàëüíîå ÷èñëî ðàâíî C ℵℵ0 = Ñ. Ñëåäñòâèå 4. Ìíîæåñòâî Å íåïðåðûâíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Êàæäîé òàêîé ôóíêöèè ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë çíà÷åíèé ôóíêöèè â òî÷êàõ ñ ðàöèîíàëüíûìè àáñöèññàìè. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè òî÷êè âçàèìíî îäíîçíà÷íû ñ N, òàê êàê Q ñ÷åòíî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, åå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ÷àñòü ìíîæåñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, ýòî ìíîæåñòâî Å èìååò ìîùíîñòü, íå áîëüøóþ Ñ. À òàê êàê ýòî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åå çíà÷åíèå â îäíîé òî÷êå, íàïðèìåð, â íà÷àëå êîîðäèíàò, ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé Å íà R, òî Å èìååò ìîùíîñòü, íå ìåíüøóþ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Ñëåäîâàòåëüíî, Å èìååò ìîùíîñòü Ñ. Ñëåäñòâèå 5. Ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé èìååò ìîùíîñòü, ñòðîãî áîëüøóþ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, èáî åãî ìîùíîñòü ðàâíà ÑÑ (à åñëè ñî çíà÷åíèÿìè 0 è 1 òî 2C), à ÑÑ = (2ℵ0)C = 2ℵ0C = 2Ñ > Ñ. Òàêèì îáðàçîì, áîëüøèíñòâî ôóíêöèé èìååò íå ìåíåå îäíîé òî÷êè ðàçðûâà.
4.8. Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà Ïðè èññëåäîâàíèè ìîùíîñòåé áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ áûë óñòàíîâëåí òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî. Ëèíåéíàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà ñóùåñòâóåò íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî. ℵ 0 ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì òðàíñôèíèòíûì ÷èñëîì. Îäíàêî íè÷åãî íå èçâåñòíî î òîì, êàêîå òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì çà ℵ 0. Ñóùåñòâóåò ëèøü ïðåäïîëîæåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êîíòèíóóì-ãèïîòåçîé.
Ãëàâà 4
54
Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà. Êàðäèíàëüíîå ÷èñëî 2ℵ0 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà ℵ 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ℵ 0 < 2ℵ0 è ìåæäó íèìè íåò íèêàêîãî äðóãîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà. Ýòîò ôàêò òðåáóåò äîêàçàòåëüñòâà. Ìû íè÷åãî íå çíàåì î ìíîæåñòâàõ, êîòîðûå íåñ÷åòíû, íî ìåíåå, ÷åì êîíòèíóàëüíû, íå çíàåì äàæå, ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ìíîæåñòâà. Îòñóòñòâèå ïðèìåðîâ ïîäîáíûõ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì íåâîçìîæíîñòè èõ ñóùåñòâîâàíèÿ, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå î íåïîñðåäñòâåííîì ñëåäîâàíèè 2ℵ0 çà ℵ 0 ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåçîé, à íå òåîðåìîé. Ìîæíî ïîéòè äàëüøå è ñôîðìóëèðîâàòü áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå. Îáîáùåííàÿ êîíòèíóóì-ãèïîòåçà çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà α êàðäèíàëüíîå ÷èñëî 2α íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà α. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîℵ0
âàòåëüíîñòü êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë íåîãðàíè÷åííà: ℵ0 èìååò íóëü» äâîéñòâåííûì áóäåò óòâåðæäåíèå «ìíîæåñòâî èìååò åäèíèöó». Ñîãëàñíî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè, âñå ñâîéñòâà ðåøåòîê, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùåé ãëàâå, ôîðìóëèðóþòñÿ â âèäå äâóõ óòâåðæäåíèé, äâîéñòâåííûõ äðóã äðóãó. Îïðåäåëåíèå 5.23. Ôóíêöèÿ ϕ: P → Q íàçûâàåòñÿ àíòèèçîòîííîé (àíòèòîííîé), åñëè: èç x ≤ y ñëåäóåò, ÷òî ϕ(x) ≥ ϕ(y), (2) à âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ϕ, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (2) è (2'): èç ϕ(x) ≤ ϕ(y) ñëåäóåò x ≥ y, (2') íàçûâàåòñÿ äóàëüíûì èçîìîðôèçìîì. Ïðèìåð. Íà ðèñ. 5.7 ïðÿìàÿ y = x åñòü àâòîìîðôèçì R → R, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Ïðÿìàÿ y = x åñòü äóàëüíûé àâòîìîðôèçì; ýòî îòîáðàæåíèå áèåêòèâíî è àíòèòîííî: åñëè x1 ≤ x2, òî y1 ≥ y2. Ñèñòåìû , äóàëüíî èçîìîðôíûå < X, ≤ >, ÿâëÿþòñÿ äâîéñòâåííûìè ïî îòíîøåíèþ ê X.
Îòíîøåíèå ïîðÿäêà
71
Ðèñ. 5.7. Ðèñ. 5.8. Àâòîìîðôèçì è Äóàëüíûé èçîìîðôèçì äóàëüíûé àâòîìîðôèçì. (ñàìîäâîéñòâåííîå ìíîæåñòâî). Ïðèìåð. Ìíîæåñòâà E è E′ íà ðèñ. 5.9. äâîéñòâåííû äðóã äðóãó. Îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì: ïðÿìîå è îáðàòíîå îòîáðàæåíèÿ áèåêòèâíû è èçîòîííû. Îòîáðàæåíèå ψ íà ðèñ. 5.9, á íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, îíî íå ñîõðàíÿåò ïîðÿäîê, íàïðèìåð, b ≤ d, íî ψ(b) || ψ(d).
Ðèñ. 5.9. à) Èçîòîííîå îòîáðàæåíèå, èçîìîðôèçì. á) Íåèçîòîíîîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 5.24. Ó-ìíîæåñòâî, äóàëüíî èçîìîðôíîå ñàìîìó ñåáå, íàçûâàåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì.  ñàìîäâîéñòâåííîì ìíîæåñòâå äëÿ ëþáîãî x îáðàç ϕ(ϕ(x)) îáðàçà ϕ(x) ñîâïàäàåò ñ x: ϕ(ϕ(x)) = x. Òàêèå ñàìîäâîéñòâåííûå (äóàëüíûå) àâòîìîðôèçìû íàçûâàþòñÿ èíâîëþöèÿìè. Ïðèìåðû. 1. Ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.8 ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå ϕ(a) = d, ϕ(b) = c, ϕ(c) = b, ϕ(d) = a ÿâëÿåòñÿ äóàëüíûì àâòîìîðôèçìîì. Ïîâòîðíîå ïðèìåíåíèå ýòîãî îòîáðàæåíèÿ äàåò òå æå ñàìûå ýëåìåíòû, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî ñàìîäâîéñòâåííîñòè: ϕ(ϕ(x)) = x. 2. Ñâîéñòâîì ñàìîäâîéñòâåííîñòè îáëàäàåò ìíîæåñòâî-ñòåïåíü ℘(Ð) âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Ð, óïîðÿäî÷åííîå
Ãëàâà 5
72
îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ. Îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó åãî äîïîëíåíèå äî ìíîæåñòâà Ð, âçàèìíî îäíîçíà÷íî è îáðàùàåò âêëþ÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâîñòåïåíü ℘(Ð) ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì (ñì. ðèñ. 5.5). 3. Íà ðèñ. 5.9, à) ïîêàçàíû ìíîæåñòâà E è E′, äâîéñòâåííûå äðóã äðóãó. Íà ðèñ. 5.9, á) ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî E íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå ψ íå ÿâëÿåòñÿ äóàëüíûì èçîìîðôèçìîì: b ≤ d, îäíàêî ψ(b) = c è ψ(d) = b íåñðàâíèìû. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ íå ñóùåñòâóåò äóàëüíîãî èçîìîðôèçìà. 4. Ìíîæåñòâî íà ðèñ. 5.10 íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèå ϕ(ϕ(x)) = x âûïîëíÿåòñÿ íå äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè: ϕ(a) = e, ϕ(b) = d, ϕ(c) = b, ϕ(d) = c, ϕ(e) = a,
ϕ(ϕ(a)) = ϕ(e) = a, ϕ(ϕ(b)) = ϕ(d) = c, ϕ(ϕ(c)) = ϕ(b) = d, ϕ(ϕ(d)) = ϕ(c) = b, ϕ(ϕ(e)) = ϕ(a) = e.
Ðèñ. 5.10. Íåñàìîäâîéñòâåííîå ìíîæåñòâî.
5.5. Ãðàäóèðîâàííûå ìíîæåñòâà Òåîðåìà 5.4. Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ öåïü èç n ýëåìåíòîâ èçîìîðôíà îðäèíàëüíîìó ÷èñëó n (öåïè öåëûõ ÷èñåë 1, ..., n). Èíûìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ϕ ìåæäó n-ýëåìåíòíîé öåïüþ X è ìíîæåñòâîì {1, 2, ..., n}, òàêîå, ÷òî x1 ≤ x2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ(x1) ≤ ϕ(x2). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ îòîáðàæàåò íàèìåíüøèé ýëåìåíò x ∈ X â 1, íàèìåíüøèé ýëåìåíò èç îñòàâøèõñÿ â 2 è ò. ä. Òîãäà êàæäîìó ýëåìåíòó öåïè áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Îïðåäåëåíèå 5.25. Äëèíîé l[P] ó-ìíîæåñòâà Ð íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äëèí öåïåé â Ð. Äëèíà êîíå÷íîé öåïè n ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé n 1 (ýòî î÷åâèäíî, åñëè ïîñìîòðåòü íà äèàãðàììó öåïè). Åñëè l[P] êîíå÷íî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ó-ìíîæåñòâî P èìååò êîíå÷íóþ äëèíó. Îïðåäåëåíèå 5.26. Âûñîòîé, èëè ðàçìåðíîñòüþ, h[x] ýëåìåíòà x íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äëèí öåïåé 0