Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел ''Квантовая физика'')

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и Ф и зи ч е ски й ф а культе т К а ф едр а о пт и ки...

Author: Шунина В.А.

19 downloads 170 Views 266KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и

Ф и зи ч е ски й ф а культе т

К а ф едр а о пт и ки и спект р о ско пи и

М ето д и ч еск и е у к а за ни я к реш ени ю за д а ч пок у рсу ф и зи к и для студе нто в 3 кур са дне вно г о о тде ле ни я ф а культе та пр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки

( р а здел «К ва нт о ва я ф и зи ка » )

Со ста ви те ль: В.А . Ш уни на

ВО РО НЕЖ - 2001

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

2

Со де р ж а ни е 1. Ко р пускуляр ные сво йства све та .Во лно вые сво йства ч а сти ц… … … ..3 2. Ква нто во -ме ха ни ч е ски е о пе р а то р ы… … … … … … … … … … … … … … 7 3. О дно ме р но е дви ж е ни е ч а сти цы в по те нци а льно м по ле … … ...… … … .11 4. Це нтр а льно -си мме тр и ч но е по ле . А то м во до р о да … … … … … … … … ..17 5. Те о р и я во змущ е ни й и ва р и а ци о нный пр и нци п.....................................22 Л и те р а тур а ................................................................................................27


3

1. К о рпу ск у л ярны е свойства света . В ол новы е свойства ч а сти ц П р и и спуска ни и и по г ло щ е ни и све т ве дёт се б я по до б но по то ку э ле ме нта р ных ч а сти ц с э не р ги е й, за ви сящ е й о т ч а сто ты (дли ны) во лны све та . Ква нтсве та на зыва е тся ф о то но м. Ф о то н, ка к и ч а сти цы, о б ла да е тэ не р ги е й hc ε = hν = hω = , (1.1) λ hν hω h = = hk = (1.2) и мпульсо м p = c c λ ε hν h ω h и ма ссо й m = 2 = 2 = 2 = (1.3) . λc c c c Зде сь, ν – ч а сто та све то во й во лны, λ – дли на све то во й во лны, с – ско р о сть све та в h ва кууме , h – по сто янна я П ла нка , р а вна я 6 ,63 ⋅ 10 −34 Д ж ⋅с, h = . 2π Связь ме ж ду э не р г и е й ф о то на , вызыва ю щ е г о вне ш ни й ф о то э ф ф е кт, и ма кси ма льно й э не р ги е й выле та ю щ и х э ле ктр о но в да ётся ф о р муло й Э йнш те йна : mυ 2 . hω = A + 2 Кр а сна я г р а ни ца ф о то э ф ф е кта h кр а нс = A. П о де Б р о йлю , сво б о дно дви ж ущ е йся со ско р о стью υ со по ста вляе тся пло ска я мо но хр о ма ти ч е ска я во лна h h 2π h h λ= = . = = p mυ mυ 2 mE m0 Зде сь m = – р е ляти ви стска я ма сса ч а сти цы. 1 − υ 2 c2 Сле дстви е м ко р пускуляр но -во лно во й пр и р о ды ми кр о ч а сти ц являе тся со о тно ш е ни е не о пр е де лённо сти Г е йзе нб е р га ∆ xi ⋅ ∆ pi ~ h , где ∆ xi – не о пр е де лённо сть ко о р ди на ты, ∆ pi – не о пр е де лённо сть со о тве тствую щ е й пр о е кци и и мпульса ч а сти цы. За да ч и 1. М о щ но сть со лне ч но г о по то ка Φ на Зе мле в по лде нь со ста вляе т о ко ло 1,3 2 кВт/м . Со лне ч ный по то к пр е дста вляе т со б о й ли ве нь ф о то но в. Сч и та я для пр о сто ты ка ж дый ф о то н мо но хр о ма ти ч ным, а ве сь со лне ч ный по то к со ста вле нным и з ф о то но в о ди на ко во й ч а сто ты ν = 5 ⋅ 1016 1се к ( λ = 6 ⋅ 10 −7 м), о пр е де ли ть пло тно сть ф о то но в в по то ке .


4

Р еш ени е: П о то к э не р г и и , пе р е но си мо й ф о то на ми , дви ж ущ и ми ся со ско р о стью с скво зь ква др а тный ме тр пло щ а ди по пе р е ч но г о се ч е ни я за е ди ни цу вр е ме ни , де N – ко нце нтр а ци я. О тсю да о ч е ви дно , р а ве н Φ = N ⋅ hω ⋅ c , г

N=

Φ 1,3 ⋅ 10 3  1  = = 1,4 ⋅ 10 11  3  − 34 16 8 hω ⋅ c 1,05 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 м 

2. На и б о льш а я дли на

све то во й во лны, пр и ко то р о й мо ж е т и ме ть ме сто ф о то э ф ф е кт для во льф р а ма , λmax = 2 ,75 ⋅ 10 −7 м. О пр е де ли ть р а б о ту выхо да , на и б о льш ую ско р о сть и э не р г и ю э ле ктр о но в, выр ыва е мых и з во льф р а ма све то м −7 с дли но й во лны λ = 1,8 ⋅ 10 м. Р еш ени е: Ра б о та выхо да э ле ктр о на Aвых = hν min . У ч и тыва я, ч то ми ни ма льна я для c ф о то э ф ф е кта ч а сто та све та ν min = , по луч и м λmax hc Aвых = ≈ 7 ,2 ⋅ 10 − 19 Д ж . λmax c И з ур а внени я Эйншт ейна для ф о т о эф ф ект а с учёт о м т о го , чт о ν = , на йдём λ 2  hc  5м υ=  − Aвых  ≈ 9 ,1 ⋅ 10 . m λ с  В да нно м случ а е ф о то э ле ктр о ны мо ж но р а ссма тр и ва ть ка к р е ляти ви стски е ч а сти цы, та к ка к по луч е нно е зна ч е ни е υ >λ) по те нци а льно г о б а р ье р а u(x) x   2 2  D ≈ exp − ∫ 2m[u( x ) − E ]dx , (3.7) h x   1 где x1 и x2 – то ч ки по во р о та , в ко то р ых u(x)=E, l – ш и р и на б а р ье р а .


12

u(x) -l

0

l x

I

II

-u0

III

За да ч и 1. Ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в о дно ме р но м по те нци а льно м по ле u(x) (пр ямо уг о льна я по те нци а льна я яма ш и р и но й 2l и глуб и но й u0), по ка за нно м на р и с. 3.1. На йти ВФ и спе ктр ф и ни тно г о дви ж е ни я (Е0).

Ри с. 3. 1

Р еш ени е: Д ля ка ж до й и з о б ла сте й (р и с. 3.1) за пи сыва е м ур а вне ни е Ш р ёди нг е ра: 2 2 h d ΨI I. u(x)=0, − = EΨ I пр и x< -l; 2m dx 2 h 2 d 2Ψ II II. u(x)=- u 0 , − − u0Ψ II = EΨ II пр и -l< x l. 2m dx 2 2mE Вве дём о б о зна ч е ни я k 2 = 2 , h 2m( E + u0 ) 2mE  u  да = 2  1 + 0  = k 2 n 2 . То г 2 E h h  d 2Ψ + k 2Ψ = 0 пр и x > l ; 2 dx d 2Ψ + k 2 n 2Ψ = 0 пр и x < l . 2 dx Ра ссмо тр и м пр е ж де ф и ни тно е дви ж е ни е , т.е . − u0 < E < 0 . Та к ка к в э то м u случ а е k 2 < 0 и n 2 = 1 + 0 < 0 , то вве дём но вые де йстви те льные пе р е ме нные E 2m E ϖ и ν : k = iϖ , ϖ 2 = 2 , h u  u n = iν , n 2 = 1 − 0 = − 0 − 1 = −ν 2 . E E 

d 2Ψ То гда − ϖ 2Ψ = 0 , x > l ; 2 dx d 2Ψ − ϖ 2 n2Ψ = 0 , x < l . 2 dx Э ти м ур а вне ни ям удо вле тво р яю тф ункци и Ψ I = Aeϖ x + A ′e −ϖ x , x > l ; Ψ III = B ′eϖ x + Be − ϖ x , x > l ;


13

Ψ II = Ceiϖ ν x + De − iϖ ν x , x < l . Тр е б о ва ни е ко не ч но сти ф ункци и на б е ско не ч но сти да ёт A′ = 0 и B ′ = 0 , ч то о б е спе ч и ва е т мо но то нно е уб ыва ни е ф ункци и пр и x → ∞ . В о б ла сти II Ψ(x) о сци ли р уе т. На г р а ни ца х о б ла сте й р е ш е ни е и е го пр о и зво дна я до лж ны б ыть не пр е р ывны, ч то пр и во ди тк ур а вне ни ям: Ae −ϖ l = Ce −iϖ ν l + De iϖ ν l , для x=-l (1) −ϖ l iϖ ν l − iϖ ν l Be = Ce + De , для x=l (2) −ϖ l −iϖ ν l iϖ ν l ϖ Ae = iϖν Ce − iϖν De , для x=-l (3) − ϖ Be −ϖ l = iϖν Ce iϖ ν l − iϖν De −iϖ ν l , для x=l (4) П р е о б р а зуе м си сте му (1)-(4); сло ж и м (1) и (2), а (4) выч те м и з (3): (5) ( A + B )e −ϖ l = 2( C + D )cos ϖ ν l ; ( A + B )e −ϖ l = 2ν ( C + D )sin ϖ ν l . Те пе р ь выч те м (2), а (3) и (4) сло ж и м: ( A − B )e −ϖ l = −2i ( C − D )sin ϖ ν l ;

(6) (7)

( A − B )e −ϖ l = 2iν ( C − D )cosϖ ν l . (8) И з (5)-(8) сле дую тусло ви я сущ е ство ва ни я р е ш е ни я си сте мы (1)-(4): 1 ли б о A-B=C-D=0 и tgϖν l = ; ν ли б о A+B=C+D=0 и tgϖν l = −ν . Д р уг и е ко мб и на ци и да ю тΨ ≡ 0 . П е р во е усло ви е да ётр е ш е ни е (A на хо ди м и з (5)): eϖ l cos ϖ ν l e − ϖ x , x > l (9) Ψ ( x ) = 2C  x < l. cos ϖ ν l , Во лно ва я ф ункци я ч ётна я. За ме ти м, ч то ве р о ятно сть о б на р уж и ть ч а сти цу вне ямы, т.е . в о б ла сти , не до ступно й для ч а сти цы пр и кла сси ч е ско м дви ж е ни и , о тли ч на о тнуля. Вто р о е усло ви е с ко нста нто й А, на йде нно й и з (7), пр и ве дётк р е ш е ни ю e − ϖ l sin ϖ ν l eϖ x , x < − l ,  (10) Ψ ( x ) = 2iC  sin ϖ ν l , x < l,  ϖl −ϖ x , x > l. e sin ϖ ν l e

И з усло ви я но р ми р о вки о пр е де ли м ко нста нту С:

1  1 C= 1 +  ϖ l 2 l

−1

2


14

Те пе р ь о пр е де ли м э не р г е ти ч е ски е ур о вни . Д ля ч ётных со сто яни й 1 tgϖ ν l = . У мно ж и м на ϖl и вве дём но вые пе р е ме нные ξ=ϖνl и η=ϖl. ν П о луч и м ξ tgξ =η. За ме ти м, ч то ξ

=

U0 2

h 2ml

2

+η

2

2

2m E l 2 U 0 = ϖ l (ν + 1) = = E h2 2 2

2

= γ 2 , где γ – б е зр а зме р на я ко нста нта , не за ви сящ а я о тэ не р ги и .

ξ tgξ = η Ре ш а я си сте му  2 , о пр е де ли м ξ, а сле до ва те льно , и зна ч е ни я 2 2 ξ + η = γ  э не р г ии.  2m E  U 2mU 0 2 2m E 2 ξ 2 = ϖ 2ν 2 l 2 = 2  0 − 1 l 2 = l − 2 l , h  E h2 h  о ткуда E n = − E = −U 0 + η ξ ξ1

ξ2

Ри с. 3. 2

u

E

-l 0

II

l

-u0

I

x III

Ри с. 3. 3

h2 2

ξn2 .

2ml Си сте му удо б но р е ш а ть г р а ф и ч е ски , г де ξ б удут то ч ка ми пе р е се ч е ни я о б о и х г р а ф и ко в (р и с.3.2). А на ло ги ч но на хо дятся En для не ч ётных со сто яни й. О тме ти м, ч то ур о вня Е=–U0 не т. Ч а сти ца ло ка ли зо ва на в ~ ~ ко не ч но й о б ла сти пр о стр а нства 2 l ( l > l ) , в си лу ч е го не о пр е де лённо сть в и мпульсе б уде т со ста влять ~ ∆p ~ h 2 l , в то вр е мя ка к пр и Е=–U0 , о на до лж на б ыла б ы р а вняться нулю . Те пе р ь р а ссмо тр и м случ а й Е>0. В э то м случ а е n и k – де йстви те льные ве ли ч и ны 2mE U k 2 = 2 > 0 и n2 = 1 + 0 > 0 , E h по э то му Ψ I = A1eikx + Ae −ikx , x > l ;

Ψ III = Beikx + B2 e −ikx , x > l ;

Ψ II = Ce iknx + Ge −ikn x , x < l . Г р а ни ч ные усло ви я б удут о пр е де ляться по ло ж е ни е м и сто ч ни ка ч а сти ц. П р е дпо ло ж и м, ч то и сто ч ни к на хо ди тся сле ва о т ямы. То г да во лна , р а спр о стр а няю щ а яся в о тр и ца те льно м на пр а вле ни и о си x пр а ве е ямы, до лж на о тсутство ва ть, т.е . B2≡ 0. В случ а е и нф и ни тно г о дви ж е ни я ВФ не являе тся ква др а ти ч но и нте г р и р уе мо й. О дни м и з спо со б о в но р ми р о вки в та ко м случ а е являе тся выб о р а мпли туды па да ю щ е й во лны, р а вно й е ди ни це , т.е . A1≡ 1.


15

У сло ви я сш и ва ни я на гра ни це да дутси сте му ур а вне ни й: eikl + Aeikl = Ce −iknl + Ge iknl , Beikl = Ce iknl + Ge − iknl , e −ikl − Aeikl = nCe −iknl − nGe iknl , (11) Be ikl = nCe iknl − nGe − iknl . 2

2

A B и пр о зр а ч но сти D = . На м на до на йти ко э ф ф и ци е нт о тр а ж е ни я R = A1 A1 И склю ч и м и з си сте мы C и G, ко мб и ни р уя ур а вне ни я по два . И з по луч е нных двух ур а вне ни й на йдём А и В, по льзуясь пр а ви ло м Кр а ме р а , по сле ч е г о ко э ф ф и ци е нто тр а ж е ни я D пр и ме тви д n2 D= ; 2 2 2 1 2 n + 4 n − 1 sin 2 knl

(

)

R = 1 − D. Ри с. 3.3 и ллю стр и р уе т по ве де ни е ВФ пр и и нф и ни тно м дви ж е ни и . И з-за о тр а ж е ни я а мпли туда во лны спр а ва ямы ме ньш е , ч е м сле ва . П р и R=0 а мпли туда во лны спр а ва и сле ва о тямы б уде то ди на ко ва . 3. П р и и зуч е ни и э ми сси и э ле ктр о но в ме та лла ми не о б хо ди мо пр и нять во вни ма ни е V(x) то о б сто яте льство , ч то э ле ктр о ны с э не р ги е й, до ста то ч но й для выхо да и з ме та лла , мо гут 0 о тр а ж а ться о т г р а ни цы ме та лла . Ра ссмо тр е ть x о дно ме р ную с по те нци а ло м V = −V0 пр и х0 (вне ме та лла ) -V0 (р и с. 3.4). О пр е де ли ть ко э ф ф и ци е нт о тр а ж е ни я э ле ктр о на с э не р ги е й Е>0 о т по ве р хно сти ме та лла Ри с. 3. 4 пр и V0 = 10 э В, E=0.1 э В.

(

О тве т: R = V02

E + V0 + E

)

4

; R = 0 ,67 .

4. Ч а сти ца ма ссы m па да е т на пр ямо уг о льный по те нци а льный б а р ье р (р и с. 3.5), пр и ч ём е ё э не р г и я E < V0 . На йти ко эф ф и ци е нт пр о зр а ч но сти D б а р ье р а . Ра ссч и та ть D для э ле ктр о на и пр о то на с E=1 э В для V(x) э то г о б а р ье р а , е сли V0=2 э В, l=1 A0. V0 E E 2  E О тве т: D ~ 16  1 −  exp − 2m(V0 − E ) l  ;  h  V0  V0  x I

0

II

l

III

Ри с. 3. 5

D=0,777; D = 3 ,6 ⋅ 10 −19 . 5. О пр е де ли ть ко э ф ф и ци е нт о тр а ж е ни я R ч а сти цы

о тпр ямо угольно г о б а р ье р а (р и с. 3.5) для случ а я, ко гда э не р ги я ч а сти цы E > V0 (на дб а р ье р но е о тр а ж е ни е ).


О тве т: R =

(k

2

−ϖ

(

2

) sin

16 2

ϖl

)

4 k 2ϖ 2 − k 2 − ϖ 2 sin 2 ϖl

,

г де k = 2mE h ,ϖ = 2m( E − V0 ) h

.

6. П о ка за ть, ч то со б стве нные

ф ункци и ур а вне ни я Ш р ёди нгер а для ч а сти цы, за пе р то й в о дно ме р но м пр ямо уг о льно м «ящ и ке » с б е ско не ч но высо ки ми сте нка ми , о р то г о на льны. 7. П о ка за ть, ч то ср е дне е зна ч е ни е ко о р ди на ты x для ч а сти цы, за пе р то й в о дно ме р но м пр ямо уг о льно м по те нци а льно м «ящ и ке » с а б со лю тно не пр о зр а ч ными «сте нка ми », р а вно l 2 , где l – ш и р и на «ящ и ка ». На ч а ло ко о р ди на т со впа да е т с о дно й из сте но к «ящ и ка ».


4. Ц ентра л ьно-си мметри ч ное пол е. А том вод ород а . За да ч а во до р о до по до б но г о а то ма , во кр уг ядр а ко то р о г о дви ж е тся о ди н э ле ктр о н, пр е дста вляе тсо б о й ти пи ч ную за да ч у на дви ж е ни е в по ле це нтр а льно й си лы. И зуч е ни е те о р и и во до р о до по до б ных а то мо в и ме е т пр и нци пи а льно е зна ч е ни е для те о р и и мно гоэ ле ктр о нных а то мо в. Б уде м сч и та ть ма ссу ядр а М б е ско не ч но б о льш о й по ср а вне ни ю с ма ссо й э ле ктр о на m и со вме сти м на ч а ло ко о р ди на т с ядр о м а то ма . У ч ёт дви ж е ни я ядр а M ⋅m ≈ m. пр и ве дётк за ме не ма ссы э ле ктр о на m на пр и ве дённую ма ссу µ = M +m У р а вне ни е Ш р ёди нгер а для во до р о до по до б но г о а то ма и ме е тви д 2 2m  ze  (4.1) ∇ 2Ψ + 2  E − Ψ = 0 . r  h  О пе р а то р Л а пла са в сф е р и ч е ски х ко о р ди на та х ∇2 = ∆ =

1 ∂  2 ∂  1  1 ∂  ∂  1 ∂ 2  (4.2) r sin θ + +       ∂ r  sin 2 θ ∂ 2 ϕ  r 2 ∂ r  ∂ r  r 2  sin θ ∂ r 

Во лно ва я ф ункци я э ле ктр о на в а то ме во до р о да мо ж е тб ыть пр е дста вле на в ви де пр о и зве де ни я двух ф ункци й Ψnlm ( r ,θ ,ϕ ) = Rnl ( r )Ylm ( θ ,ϕ ) . (4.3) П р и э то м со де р ж и ттр и це ло ч и сле нных па р а ме тр а n, l, m: n=1,2,... со впа да е тс но ме р о м ур о вня э не р г ии; ква нто во е ч и сло l о пр е де ляе т ве ли ч и ну ква др а та мо ме нта ко ли ч е ства дви ж е ни я L2 = h 2 l( l + 1 ), ( l = 0 ,1,2 ,...,n − 1 ), (4.4) а ква нто во е ч и сло m – z-пр о е кци ю мо ме нта LZ = mh, ( m = − l ,...,0 ,...,+ l ). (4.5) Уг ло ва я ч а сть во лно во й ф ункци и Ylm ( θ ,ϕ ) о ди на ко ва пр и дви ж е ни и в це нтр а льно м по ле с пр о и зво льно й за ви си мо стью о тr и и ме е тви д Ylm ( θ ,ϕ ) = Θ lm ( θ )Φ m ( ϕ ) , (4.6) где Θ lm ( θ ) = ( −1 )m

( 2l + 1 )( l − m )! Pl 2( l + m )!

m

(cosθ ),

∂m Pl (cosθ ) = Pl (cosθ ), ∂ cosθ m 1 ∂l Pl ( x ) = ( x 2 − 1 )l , l l l !2 ∂ x Pl (cosθ ) – по ли но м Л е ж а ндр а . exp( imϕ ) . Φm ( ϕ ) = 2π m

[

]


(4.7) (4.8) (4.9)

(4.10)

18

О тме ти м, ч то р е ш е ни е ур а вне ни я для Φ (ϕ ) мо ж е тб ыть та кж е и ли не йна я ко мб и на ци я ти па : 1 Φ1 ( ϕ ) = A eimϕ + e − imϕ = B cos( mϕ ) = cos( mϕ ), π (4.11) 1 imϕ − imϕ Φ2 ( ϕ ) = A e −e = B ′ sin( mϕ ) = sin( mϕ ). π У р а вне ни е Ш р ёди нг е р а для р а ди а льно й ч а сти во лно во й ф ункци и в це нтр а льно -си мме тр и ч но м по ле пр и о б р е та е тви д L2  d 2 R 2 dR 2m  + + (4.12) E −U −  R = 0. 2mr 2  dr 2 r dr h 2 

(

)

(

)

З а да чи 1. В а то ме во до р о да 1s-со сто яни е (о сно вно е со сто яни е ) сф е р и ч е ски си мме тр и ч но : a) на йти но р ми р о ва нную ф ункци ю Ψ ( r ) и э не р г и ю E1 э то г о со сто яни я; b) о пр е де ли ть ве р о ятно сть на хо ж де ни я эле ктр о на на р а ссто яни и о т r до (r+dr) о тядр а в да нно м со сто яни и ; c) о пр е де ли ть, на ка ко м р а ссто яни и о т ядр а э ле ктр о н б уде т на хо ди ться с ма кси ма льно й ве р о ятно стью W ( r ) ; d) на йти ср е дни е зна ч е ни я р а ди уса , по те нци а льно й и ки не ти ч е ско й э не р г и й в 1s-со сто яни и . Р еш ени е: a) У р а вне ни е Ш р ёди нг е р а для а то ма во до р о да в си сте ме СГ С и ме е тви д 2m  e2  ∆Ψ + 2  E − Ψ = 0 r h  1s-со сто яни е сф е р и ч е ски си мме тр и ч но , т.е . Ψ – ф ункци я за ви си тто лько о т r. На йдём э ту ф ункци ю . П р о ди ф ф е р е нци р уе м е ё два ж ды:

∂ Ψ ∂Ψ ∂ r ∂Ψ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂Ψ x = = = , ∂ x ∂r ∂ x ∂r ∂x ∂r r 2

∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ x 2 ∂Ψ  x  ∂ 2Ψ = − +  . ∂ x2 r ∂ r r3 ∂ r  r  ∂ r2 А на ло г и ч но по y и z. П о дста вляя в ∆Ψ , на хо ди м ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 3 ∂Ψ 1 ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 2 ∂Ψ . ∆Ψ = + + = − + = + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 r ∂ r r ∂ r ∂ r2 ∂ r2 r ∂ r Во лно во е ур а вне ни е те пе р ь пр и ме тви д  ∂ 2 Ψ 2 ∂Ψ  2m  e2  + + E −     = 0. r ∂ r  h2  r  ∂ r2 П р о сте йш е е р е ш е ни е б уде тΨ ( r ) = C ⋅ exp( −α r ) .


19

∂Ψ ∂ 2Ψ = − Cα e − α r , = Cα 2 e − α r = α 2Ψ 2 ∂r ∂ r Э то , по сле по дста но вки в ур а вне ни е , по зво ляе тза пи са ть e2  2α 2m  2 α − + 2 E +  =0. r r h  П о сле дне е ур а вне ни е б уде тве р но для лю б ых r пр и выпо лне ни и двух усло ви й: 2me 2 2mE 2 − 2α = 0 . +α =0 и h2 h2 me 4 Сле до ва те льно , E1 = − 2 . Э то э не р г и я о сно вно г о со сто яни я а то ма во до р о да . 2h 1 me 2 1 E1 = 13 ,5 э В. α = 2 ≡ , о ткуда r1 = = 0 ,53 A0 – пе р вый б о р о вски й р а ди ус α r1 h а то ма во до р о да . Ко нста нту C о пр е де ли м но р ми р о вко й Ψ-ф ункци и , ко то р а я в о б щ е м ви де ∞

∫Ψ

за пи сыва е тся ф о р муло й

−∞ ∞

В на ш е м случ а е

2

dτ = 1 .

2 ∫ 4π A e

− rr

1

r 2 dr = 1 . И нте г р и р уя (см. пункт 2), на йдём

0

A=

1 π r13

. Но р ми р о ва нна я ф ункци я пр и ме тви д R( r ) =

1 π

r13

e

− rr

1

. 2

b) П о о пр е де ле ни ю , ве р о ятно сть о б на р уж и ть э ле ктр о н в э ле ме нте о б ъёма dτ = = r 2

dr sinθ dθ dϕ выр а ж а е тся ф о р муло й dW ( r ,θ ,ϕ ) = Ψ ( r ,θ ,ϕ ) dτ . Д ля ш а р о во г о сло я ме ж ду r и (r+dr) dτ = 4π r 2 dr .

Сле до ва те льно , dW ( r )dτ = C 2 exp(− 2r r1 )4π r 2 dr . c) О пр е де ли м ма кси ма льно е зна ч е ни е W(r)-ф ункци и .  dW  = 0.    dr  r = r m

О ткуда rm = r1 , т.е . на и б о ле е ве р о ятно стно е р а ссто яни е со впа да е тс пе р вым б о р о вски м р а ди усо м а то ма во до р о да . r r$ r r$ p$ 2 e2 $ $ a) У ч и тыва я, ч то r = r , p = −ih∇; T = и для а то ма во до р о да u = − , 2m r за пи ш е м ср е дни е зна ч е ни я: ∞ 4π ∞ − 2r1r 3 2 < r > = ∫ rΨ ( r )dτ = e r dr = 4r1 ∫ e − 2 ρ ρ 3 dρ , 3 ∫ π r1 0 0


20

r – но ва я пе р е ме нна я и нте гри р о ва ни я, выр а ж а ю щ а я р а ссто яни е r1 э ле ктр о на о тядр а в а то мных е ди ни ца х. e2 2 4e 2 ∞ − 2 ρ < U > = − ∫ Ψ ( r )dτ = − ∫ e ρ dρ . r r1 0 где

ρ=

1  h2 2  2 < T >= ∫  − ∇ Ψ ( r )dτ = π r13  2m  2h 2 ∞ − rr1 1 ∂  2 ∂ − rr1  2h 2 ∞ − rr1 ∂  2 − rr1  = ∫ e r 2 ∂ r  r ∂ r e  dr == mr 4 ∫ e ∂ r  r e  dr , mr13 0 1 0 и нте г р и р уя по ч а стям и пе р е хо дя к б е зр а зме р но й пе р е ме нно й ρ, по луч и м 2h 2 ∞ − 2 ρ 2 < T > = 3 ∫ e ρ dρ . mr1 0 Во зьмём о ти нте г р а ла

∞

∫e

∞

− ∫ e − λρ ρ dρ = − 0

∫e

− λρ

0

∞

ρ 2 dρ =

1 λ

пе р вую , вто р ую и тр е тью пр о и зво дные по

1 , λ2

2 , λ3

− ∫ e − λρ ρ 3 dρ = − 0

dρ =

0

па р а ме тр у λ :

∞

− λρ

6 . λ4

h2 В на ш е м случ а е λ=2. И ме я в ви ду, ч то r1 = , me 2 на хо ди м 3 3h 2 < r > = r1 = , 2 2me 2 e2 me 4 me 4 = − = − 2 , < T >= 2 . r1 h 2h me 4 П о лна я э не р г и я < E > =< U > + < T > = − 2 . 2h 2. Ч а сти ца дви ж е тся в це нтр а льно -си мме тр и ч но м по ле . У р а вне ни е для р а ди а льно й ч а сти во лно во й ф ункци и Rnl пр е о б р а зо ва ть к ви ду ур а вне ни я Ш р ёди нгер а для о дно ме р но г о дви ж е ни я. 3. Си сте ма со сто и т и з двух ч а сти ц, ма сса ко то р ых µ1 и µ2. Выр а зи ть о пе р а то р r$ r$ r r сумма р но г о о р б и та льно г о мо ме нта l + l и сумма р но г о и мпульса p$ + p$ ч е р е з 1

2


1

2

21

ко о р ди на ты це нтр а

тяж е сти

r r r µ 1 r1 + µ 2 r2 R= µ1 + µ2

и

вза и мно г о

р а ссто яни я

r r r r = r2 − r1 . П о ка за ть, ч то е сли по те нци а льна я э не р ги я вза и мо де йстви я ч а сти ц r r за ви си т о т и х вза и мно г о р а ссто яни я U = U ( r2 − r1 ) , то гами льто ни а ну мо ж но пр и да ть ви д

H$ = −

h 2 ( µ1 + µ 2 ) h2 ∆R − ∆ r + u( r ) 2( µ1 + µ2 ) 2 µ1 µ 2

r r г де ∆ R и ∆ r – о пе р а то р ы Л а пла са по ко мпо не нта м ве кто р о в R и r . 4. На йти р а ссто яни я, на ко то р ых ве р о ятно сть на хо ж де ни я э ле ктр о на в а то ме

во до р о да и ме е т ма кси мум в 2p- и 3d-со сто яни ях, е сли и зве стны р а ди а льные ф ункци и в э ти х со сто яни ях: − r r − 2rr1 1 e ; 2p-со сто яни е : R2 ( r ) = A2 re 2r1 = 3 r 4 2π r 1 1

3d-со сто яни е : R3 ( r ) =

2

− r  r  − 3rr1 2 = A3 r e 3r1 .   e 3 r  π r1 1

1 34

О тве т: r = 4r1 ; r = 6 r1 . 5. Ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в сф е р и ч е ски си мме тр и ч но й по те нци а льно й яме ,

г де u( r ) = 0 пр и r < r0 и u = ∞ пр и r = r0 , где r0 – р а ди ус ямы. На йти : a) во змо ж ные зна ч е ни я э не р г и и и но р ми р о ва нные со б стве нные ф ункци и ч а сти цы в s-со сто яни ях (l=0), г де Ψ-ф ункци я за ви си т то лько о т r. П р и р е ш е ни и ур а вне ни я Ш р ёди нгер а во спо льзо ва ться по дста но вко й Ψ = χ r ; b) на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е rвер и ве р о ятно сть W на хо ж де ни я ч а сти цы в о б ла сти r = 0 , < r 2 > = 0  1 − , 2 3 2π 2 n 2 

r02  6  < ( r − < r > ) > = < r > − < r > =  1 − 2 2  .. 12  π n  2

2

2


22

5. Теори я возму щ ени й и ва ри а ци онны й при нци п Б о льш и нство пр е дста вляю щ и х и нте р е с ква нто во -ме ха ни ч е ски х си сте м о пи сыва ю тся ур а вне ни е м Ш р ёди нг е р а , ко то р о е сли ш ко м сло ж но для то г о , ч то б ы мо ж но б ыло по луч и ть е го то ч но е р е ш е ни е . О дна ко ч а сто о ка зыва е тся, ч то ка ка ято б о ле е пр о ста я, до пуска ю щ а я то ч но е р е ш е ни е си сте ма о ч е нь по хо ж а на и сти нную , для ко то р о й не уда ётся по луч и ть то ч но е р е ш е ни е . Если и зве стны во лно вые ф ункци и и э не р гети ч е ски е ур о вни э то й б о ле е пр о сто й си сте мы, и х мо ж но и зме ни ть та к, ч то б ы в р е зульта те э то г о о ни ста ли б ли ж е к и сти нным во лно вым ф ункци ям и э не р ги ям. П усть и зве стны со б стве нные зна ч е ни я и со б стве нные ф ункци и г а ми льто ни а на H ( 0 ) : H ( 0 )Ψn( 0 ) = E n( 0 )Ψn( 0 ) . (5.1) Не о б хо ди мо о пр е де ли ть э не р г и и и со б стве нные ф ункци и г а ми льто ни а на H: (0 ) $ $ $ $ H = H +W , г де H0 – о пе р а то р г а ми льто ни а на не во змущ ённо й си сте мы, W$ – о пе р а то р во змущ е ни я. То г да и сти нные э не р г и и и во лно вые ф ункци и за пи сыва ю тся в ви де Em = Em( 0 ) + E m( 1 ) + E m( 2 ) + ... , (5.3)

Ψm = Ψm( 0 ) + Ψm( 1 ) + Ψm( 2 ) + ... . Э не р ги я и во лно ва я ф ункци я нуле во го пр и б ли ж е ни я: Em( 0 ) = Ψm( 0 ) H ( 0 ) Ψm( 0 ) и Ψm( 0 ) со о тве тстве нно . П о пр а вка пе р во г о по р ядка и вто р о г о к э не р ги и m-го ур о вня р а вны (0 ) (0 ) $ (0 ) Em = Ψm W Ψm = ∫Ψm( 0 )*W$ Ψm( 0 ) dV = Wm m

Em( 2 ) =

∑

Wn m

(5.4) (5.5) (5.6)

2

. (5.7) Em( 0 ) − E n( 0 ) Во лно ва я ф ункци я в пе р во м пр и б ли ж е ни и и ме е тви д Wn m Ψm( 1 ) = Ψm( 0 ) + ∑ ( 0 ) Ψ (0 ) . (5.8) (0 ) n n ≠ m E m − En Д р уги м пр и б ли ж ённым ме то до м ква нто во й ме ха ни ки являе тся ва р и а ци о нный пр и нци п. О н г ла си т, ч то э не р г и я, выч и сле нна я с и спо льзо ва ни е м во лно во й ф ункци и , не мо ж е т б ыть ме ньш е и сти нно й ми ни ма льно й э не р г ии си сте мы. Сущ е ствуе т ме то д выб о р а луч ш е й пр о б но й ф ункци и . О б ыч но по льзую тся сле дую щ и ми двумя по дхо да ми . В пе р во м и з ни х во лно ва я ф ункци я за пи сыва е тся в ви де ф ункци и о дно г о и ли б о льш е го ч и сла па р а ме тр о в, ко то р ые за те м ва р ьи р ую тся, ч то б ы на йти ми ни мум э не р ги и . Д р уг о й по дхо д р а зви т Ри тце м. О н пр е дло ж и л пр о б ную ф ункци ю в ви де суммы ф ункци й. Са ми ф ункци и не ва р ьи р ую тся, но и х ве са являю тся ва р ьи р уе мыми па р а ме тр а ми . n≠m


23

З а да чи 1. Д ля о дно ме р но г о гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а на йти э не р ги и и во лно вые ф ункци и о сно вно го и пе р во г о во зб уж дённо го со сто яни й, и спо льзуя ва р и а ци о нный пр и нци п. Р еш ени е: Г а р мо ни ч е ски м о сци ллято р о м в ква нто во й ме ха ни ке на зыва е тся си сте ма с па р а б о ли ч е ски м по те нци а ло м. Её сво йства мо ж но о пр е де ли ть, р е ш а я ур а вне ни е Ш р ёди нг е р а для ч а сти цы в по те нци а льно й яме па р а б о ли ч е ско й ф о р мы:  h 2 d 2 kx 2  + − Ψ = EΨ . 2   2m dx 2 За да ч а до пуска е т то ч но е р е ш е ни е . Ре ш е ни е пр и во ди т к сле дую щ и м выво да м. Э не р ги я г а р мо ни ч е ско г о о сци ллято р а ква нто ва на и пр и ни ма е тзна ч е ни я En = hω 0 n + 21 , n = 0 ,1,2 ,... ,

(

)

k (k – си ло ва я по сто янна я: F = − kx ). Во лно вые ф ункци и m г а р мо ни ч е ско г о о сци ллято р а являю тся пр о и зве де ни е м по ли но мо в (за ви сящ и х о тсме щ е ни я) Э р ми та и г а уссо вых ф ункци й. Ре ш и м э ту за да ч у пр и б ли ж ённым ме то до м. Ва р и а ци о нный ме то д выч и сле ни я э не р ги и о сно вно г о со сто яни я си сте мы сво ди тся к и спо льзо ва ни ю не р а ве нства де Ψ – пр о и зво льна я ф ункци я, удо вле тво р яю щ а я E0 ≤ ∫Ψ ∗ H$ Ψ dτ , г усло ви ю но р ми р о вки ∗ ∫Ψ Ψ dτ = 1 . П р и выб о р е пр о б но й ф ункци и уч тём, ч то во лно ва я ф ункци я о сно вно г о со сто яни я не до лж на и ме ть узло в и Ψ → 0 пр и x → ±∞ . зде сь

ω=

П усть Ψ ( x ,α ) = Ae

− 21 α x 2

1

α  4 . И з усло ви я но р ми р о вки на хо ди м A =   . π

∞

E0 = min ∫ Ψ ∗ H$ Ψ dx = min J (α ) , −∞

α J (α ) =   π

1

2

∞

∫

e

− 12 α x 2

−∞

 h 2 d 2 mω02 2  − 1 α x 2 − + x e 2 dx . 2 2  2m dx 

d2 Ра зб и в и нте г р а л на сумму и нте г р а ло в и взяв пр о и зво дную , по луч и м dx 2 1 ∞ ∞ 2  2 α 2 h  −α x 2 2 −  −α ∫e dx + α ∫ x 2 e − α x dx  +   π  2µ  −∞ −∞  α +  π

1

2

mω02 2

∞

∫x

−∞

2 −α x 2

e

1  h 2α mω02  dx −  + . 4 m 2 


24

Зде сь пе р вый и нте г р а л – и нте г р а л Э йле р а -П уа ссо на , вто р о й и нте г р а л б е р ётся путём ди ф ф е р е нци р о ва ни я и нте г р а ла Э йле р а -П уа ссо на по па р а ме тр у α. Та к ка к E0 = min J (α ) , то

dJ (α )

1  h 2 mω02  =  − 2  =0, 4 m dα α  mω0 о ткуда α = . h П о дста вляя на йде нно е α, по луч и м E0 = J (α ) =

hω , 2

1

 mω 0 2   mω 0  4 Ψ0 ( x ) =  x .  exp −   2h  πh  Э ти зна ч е ни я э не р г и и и во лно во й ф ункци и со впа да ю т с и х то ч ными выр а ж е ни ями , ч то г о во р и то б уда ч но м выб о р е пр о б но й во лно во й ф ункци и . Д ля выч и сле ни я э не р г и и и во лно во й ф ункци и пе р во г о во зб уж дённо г о со сто яни я на до взять пр о б ную ф ункци ю Ψ1 , о р то г о на льную к Ψ0 . П р о сте йш е й та ко й ф ункци е й б уде т Ψ1 ( x ,β ) = Bx exp − 12 β x 2 .

(

)

Д е йстви те льно , ∞

∞

−∞

−∞

∫Ψ0 ( x ,α )Ψ1 ( x ,β )dx = AB ∫ xe

− 21 ( β + α ) x 2

dx = 0 ,

та к ка к по дынте г р а льна я ф ункци я не ч ётна я. И з усло ви я но р ми р о вки ∞

∫

−∞

Ψ 12 dx

=B

∞

2

∫x

2 −β x2

−∞

e

dx = B

2

π

1

2β

2

3

=1

2

1

 2β 3  4 на хо ди м B =   .  π  d2 Ра зб и в и нте г р а л на сумму и нте г р а ло в и взяв пр о и зво дную , по луч и м dx 2 1 ∞ ∞ 2  2 α 2 h  −α x 2 2 −  dx + α ∫ x 2 e − α x dx  + −α ∫e   π  2µ  −∞ −∞  α +  π

1

2

mω02 2

∞

∫x

−∞

2 −α x 2

e

1  h 2α mω02  dx −  + . 4 m 2 


25 1

 2  2  mω0  Ψ1 ( x) =      π  h 

3

4

 mω0 x 2  x exp − . 2h  

2. На йти по пр а вку к э не р г и и о сно вно г о со сто яни я ли не йно го гар мо ни ч е ско г о

о сци ллято р а за сч ёт а нгар мо ни ч е ски х ч ле но в в по те нци а льно й э не р г ии 3 4 u( x ) = ax + bx , г де a и b – по сто янные . Ра ссмо тр е ть по пр а вку в пе р во м по р ядке те о р и и во змущ е ни й. Р еш ени е: Ква нто вые ур о вни не во змущ ённо й си сте мы – это ур о вни гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а , ч ьи со б стве нные ф ункци и и со б стве нные зна ч е ни я и зве стны Ψn0 ( x ) и En( 0 ) = hω 0 n + 12 , n = 0 ,1,2 ,... .

(

)

М а тр и ч ные э ле ме нты о пе р а то р а во змущ е ни я в пе р во м пр и б ли ж е ни и и ме ю тви д Wn n = ∫Ψn( 0 ) ∗W$Ψn( 0 )dx =

=

∞

2 Ψn( 0 ) ax 3 dx −∞

∫

+

∞

2

(0 ) 4 3 4 ∫ Ψn bx dx = axn n + bxn n .

−∞

П е р вый ма тр и ч ный э ле ме нт р а ве н нулю и з-за не ч ётно сти по дынте г р а льно й ф ункци и . То гда En( 1 ) = Wn n = bxn4 n . И спо льзуя зна ч е ни я ма тр и ч ных э ле ме нто в для гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а (на пр и ме р , Д . И . Б ло хи нце в «О сно вы ква нто во й ме ха ни ки »), за пи ш е м р е зульта т 3 1 h2  2 (1) 4 En = bxn n = b 2 2  n + n +  . 2 m ω0  2 Д ля о сно вно г о со сто яни я n=0 и по пр а вка пе р во г о по р ядка для э то г о ур о вня пр и ме тви д 3 h2 ( 1) En = b 2 2 . 4 m ω0 3. В пе р во м пр и б ли ж е ни и те о р и и во змущ е ни й выч и сли ть и зме не ни е э не р г ии э ле ктр о на в куло но вско м по ле ядр а для о сно вно г о со сто яни я пр и уве ли ч е ни и за р яда ядр а на е ди ни цу ( β-р а спа д ядр а ). e 4 mz О тве т: W11 = − 2 . h 4. Д ля ч а сти цы, на хо дящ е йся в б е ско не ч но г луб о ко й по те нци а льно й яме ш и р и ны a (0<x

Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел ''Квантовая физика'')

Recommend Documents