Московский автомобильно-дорожный институт (Государственный технический университет) Кафедра высшей математики
Е.Г.Давыд...
43 downloads
153 Views
920KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Московский автомобильно-дорожный институт (Государственный технический университет) Кафедра высшей математики
Е.Г.Давыдов
Лабораторный практикум по специальным главам высшей математики Для студентов 2-3 курсов и аспирантов
Методические указания
Москва 2004
Содержание 1. Лабораторная работа 1. Первичная обработка результатов наблюдений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Пример выполнения работы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Лабораторная работа 2. Доверительные интервалы . . . . . . . 7 4. Пример выполнения работы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Лабораторная работа 3. Критерий согласия Пирсона . . . . 10 6. Пример выполнения работы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7. Лабораторная работа 4. Сравнение параметров распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8. Пример выполнения работы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 9. Лабораторная работа 5. Дисперсионный анализ . . . . . . . . . 15 10. Пример выполнения работы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 11. Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций . . . . . . 20 12. Пример выполнения работы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 13. Лабораторная работа 7. Матричные игры . . . . . . . . . . . . . . 28 14. Пример выполнения работы 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 15. Пополнение меню Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Лабораторные работы и методические указания
по специальным главам высшей математики С помощью многофункционального программного пакета Scientific WorkPlace, текстовой редактор которого позволяет создавать сложные научно-технические документы, а математический процессор помогает выполнять необходимые вычисления и построение графиков и диаграмм, можно организовать вычислительный практикум с составлением индивидуальных заданий для лабораторных работ, которые могут быть распечатаны с хорошим качеством печати. При желании можно проводить проверку результатов работы и оценивать ее с помощью Exam Builder − частью пакета. Рассмотрим примеры некоторых из таких работ, сопровождая каждую работу примером ее выполнения.
1. Лабораторная работа 1. Первичная обработка результатов наблюдений 1) Составить выборку объемом n = 81 + M (M = N mod 9 + N mod 7, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µ = M и средним квадратическим отклонением σ = 3. 2) Найти оценку x ¯ математического ожидания µ и исправленные 2 оценки s и s соответственно дисперсии σ 2 и среднего квадратического отклонения σ генеральной совокупности X. 3) Найти наименьший и наибольший элементы выборки и размах выборки A. Разделив интервал [min x; max x] на 10 равных по длине частичных интервалов I1 ,. . . , I10 , найти длину h этих интервалов. 3
4) Найти частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . 5) Построить гистограмму частот.
2. Пример выполнения работы 1 1. Пусть n = 81, µ = 6 и σ = 2. Применяя команду Statistics + Random N umbers, откроем диалоговое окно, в котором выберем N ormal в поле Distribution, наберем 81 в поле How M any?, 6 в поле M ean, 2 в поле Standard Deviation и закроем окно (OK). Получаем выборку объемом n = 81. Заключим полученные числа в скобки, поставим перед ними x = и о п р е д е л и м полученный вектор в среде SWP, используя команду Def initions + N ew Def inition. Итак, необходимые для обработки наблюдения xi (i = 1, 81) получены и определены в среде SWP. x = (8.3517, 4.8733, 6.4708, 3.1149, 3.8416, 5.9560, 0.82944, 5.1135, 3.9934, 5.9443, 9.0525, 4.7898, 6.3281, 7.306, 4.9179, 10.27, 6.3688, 4.7667, 5.1026, 7.6476, 6.5043, 6.3837, 7.6560, 2.5155, 8.2462, 5.6789, 2.8881, 4.4386, 4.9627, 5.4835, 2.9277, 6.8404, 4.9079, 4.9531, 6.1121, 9.0432, 2.4218, 3.1825, 2.4474, 4.1068, 5.79, 9.9930, 3.4842, 5.8872, 8.227, 6.7383, 5.9369, 7.238, 9.487 6, 3.761 8, 5.0165, 5.0704, 6.9068, 4.7252, 4.1059, 9.1947, 6.9059, 2.9462, 6.7039, 7.2671, 5.3456, 4.1052, 5.342 5, 5.3026, 5.8626, 5.1571, 5.7057, 8.5192, 5.8829, 8.6556, 3.4126, 8.8435, 7.1837, 8.6929, 4.1479, 2.3171, 4.7185, 2.3257, 9.4463, 3.1624, 4.3045). 2. Используя команды Statistics + M ean, Statistics + V ariance и Statistics + Standard Deviation, находим оценки параметров генеральной совокупности X, вводя каждый раз текстовой курсор в поле выборки. Получаем: Mean(s): 5.6859, Variance(s): 4.4987, Standard deviation(s): 2.0848, т.е. µ ≈ x ¯ = 5.6859, σ 2 ≈ s2 = 4.3462
4
и σ ≈ s = 2.0848. Напомним, что n
n
k=1
k=1
1 X 1X 2 xk и s = (xk − x x ¯= ¯)2 . n n−1 3. Найдем наименьший и наибольший элементы выборки и размах выборки A. Применяя команду Evaluate, находим min x = 0.82944, max x = 10.27, A = max x − min x = 9.4406. С помощью Def initions + N ew Def inition определим в среде SWP длину h частичных интервалов и вычислим ее значение. Получаем h=
max x − min x = 0.94406. 10
4. Найдем частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . Обозначим через a левый конец интервала [min x; max x] и определим его в среде SWP: a = min x. Набираем и с помощью команды Evaluate вычисляем частоты: 81 X Heaviside(a + h − xk ) = 1; w1 = w2 = w3 = w4 = w5 = w6 =
k=1 81 X
(Heaviside(a + 2h − xk ) − Heaviside(a + h − xk )) = 5;
k=1 81 X
(Heaviside(a + 3h − xk ) − Heaviside(a + 2h − xk ) = 8;
k=1 81 X
(Heaviside(a + 4h − xk ) − Heaviside(a + 3h − xk )) = 9;
k=1 81 X
(Heaviside(a+5h−xk )−Heaviside(a+4h−xk )) = 18;
k=1 81 X
(Heaviside(a+6h−xk )−Heaviside(a+5h−xk )) = 14;
k=1
5
81 X w7 = (Heaviside(a+7h−xk )−Heaviside(a+6h−xk )) = 10;
w8 = w9 =
k=1 81 X
(Heaviside(a + 8h − xk ) − Heaviside(a + 7h − xk )) = 5;
k=1 81 X
(Heaviside(a + 9h − xk ) − Heaviside(a + 8h − xk )) = 7;
k=1 81 X
w10 = −
k=1 81 X k=1
Heaviside(a + 10h + 0.1 − xk )−
Heaviside(a + 9h − xk ) = 4.0.
С помощью пиктограммы N ew Def inition определим полученные частоты в среде SWP. w1 = 1, w2 = 5, w3 = 8, w4 = 9, w5 = 18, w6 = 14, w7 = 10, w8 = 5, w9 = 7, w10 = 4. Построим таблицу частот: w1 1
w2 5
w3 8
w4 9
w5 19
w6 14
w7 10
w8 5
w9 7
w10 . 4
5. Для построения гистограммы частот набираем следующее длинное математическое выражение (при этом в конце каждой строки надо применять команду Insert + Spacing + Break + Allowbreak, чтобы эти строки создавали единое выражение): (a, 0, a, w1 , a+h, w1 , a+h, 0, a+h, w2 , a+2h, w2 , a+2h, 0, a+2h, w3 , a + 3h, w3 , a + 3h, 0, a + 3h, w4 , a + 4h, w4 , a + 4h, 0, a + 4h, w5 , a + 5h, w5 , a+5h, 0, a+5h, w6 , a+6h, w6 , a+6h, 0, a+6h, w7 , a+7h, w7 , a + 7h, 0, a + 7h, w8 , a + 8h, w8 , a + 8h, 0, a + 8h, w9 , a + 9h, w9 , a + 9h, 0, a + 9h, w10 , a + 10h, w10 , a + 10h, 0, a, 0). С помощью команды P lot 2D + Rectangular строим график. Используя пиктограмму P roperties, открываем окно P lot P roperties, в разделе Items P lotted выбираем M edium как Line 6
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
2
4
6
8
10
Рис. 1. Гистограмма частот T hickness и закрываем окно (OK). Получаем гистограмму частот (рис. 1).
3. Лабораторная работа 2. Доверительные интервалы 1) Составить выборку объемом n = 10 + M (M = N mod 6 + N mod 5, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µ = M и средним квадратическим отклонением σ = 3. 2) Найти оценку x ¯ математического ожидания µ и исправленные оценки s2 и s соответственно дисперсии σ 2 и среднего квадратического отклонения σ генеральной совокупности X. 3) С доверительной вероятностью γ = 0.95 найти доверитель7
ный интервал для математического ожидания µ. 4) С доверительной вероятностью γ = 0.95 найти доверительный интервал для дисперсии σ 2 . 5) Используя полученный доверительный интервал для дисперсии σ 2 , найти приближенный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ.
4. Пример выполнения работы 2 1. Пусть n = 10, µ = 6 и σ = 2. Применяя команду Statistics + Random N umbers, откроем диалоговое окно, в котором выберем N ormal в поле Distribution, наберем 10 в поле How M any?, 6 в поле M ean, 2 в поле Standard Deviation и закроем окно (OK). Получаем выборку объемом n = 10: 3.9934, 5.9443, 9.0525, 4.7898, 6.3281, 7.306, 4.9179, 10.27, 6.368 8, 4.7667. 2. Используя команды Statistics + M ean, Statistics + V ariance и Statistics + Standard Deviation, находим оценки параметров генеральной совокупности X, вводя каждый раз текстовой курсор в поле выборки. Получаем: Mean(s): 6.3738, Variance(s): 4.0321, Standard deviation(s): 2.008, т.е. µ ≈ x ¯ = 6.3738, σ 2 ≈ s2 = 4.0321 и σ ≈ s = 2.008. Напомним, что n
n
k=1
k=1
1 X 1X 2 xk и s = (xk − x x ¯= ¯)2 . n n−1
Используя команду Def initions + N ew Def inition, определим в среде SWP x ¯ = 6.3738 и s = 2.008. 3. Известно, что доверительный интервал для математического ожидания µ нормальной генеральной совокупности X с неизвестной дисперсией σ 2 находится следующим образом: ¸ · s s ¯ + t√ , µ ∈ [a, b] = x ¯ − t√ , x n n 8
где t определяется с помощью случайной величины T , распределенной по закону Стьюдента с ν = n − 1 степенями свободы, так, что Pr(−t < T < t) = γ, т.е. Pr(T < t) = γ + (1 − γ)/2 = (1 + γ)/2. Используя функции SWP, получаем t = TInv((1 + γ)/2, n − 1). С помощью команды Evaluate N umerically получаем · ¸ s s ¯ + TInv(0.975, 9) √ [a, b] = x ¯ − TInv(0.975, 9) √ , x = 10 10 = [4.9374, 7.8102] .
4. Известно, что доверительный интервал для дисперсии σ 2 нормальной генеральной совокупности X находится следующим образом: · 2 2 (n − 1) ¸ (n − 1) s s , , σ 2 ∈ [c, d] = V2 V1
где V1 и V2 определяются с помощью случайной величины χ2 , распределенной по закону Пирсона с ν = n−1 степенями свободы, так, что Pr(T < V1 ) = (1 − γ)/2 и Pr(T < V2 ) = γ + (1 − γ)/2 = (1 + γ)/2. Используя функции SWP, получаем V1 = ChiSquareInv((1 − γ)/2, n − 1) и V2 = ChiSquareInv((1 + γ)/2, n − 1). С помощью команды Evaluate N umerically получаем · ¸ 9s2 9s2 [c, d] = , = ChiSquareInv(0.975, 9) ChiSquareInv(0.025, 9) = [1.9076, 13.438] .
5. С помощью команды Evaluate, используя полученный доверительный интервал для дисперсии σ 2 , находим приближенный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ. s "s # 2 2 9s 9s , = σ∈ ChiSquareInv(0.975, 9) ChiSquareInv(0.025, 9) = [1.3812, 3.6658] . 9
5. Лабораторная работа 3. Критерий согласия Пирсона 1) Составить выборку объемом n = 81 + M (M = N mod 9 + N mod 7, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µ = M и средним квадратическим отклонением σ = 3. 2) Найти наименьший и наибольший элементы выборки и ее амплитуду A. Разделив интервал [min x; max x] на 10 равных по длине частичных интервалов I1 ,. . . , I10 , найти длину h этих интервалов. 3) Найти частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . 4) С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.
6. Пример выполнения работы 3 1. Пусть n = 81, µ = 6 и σ = 2. Аналогично разделу 1 примера работы 1 построим нужную для обработки выборку объемом n = 81. Аналогично разделу 2 примера работы 1 находим оценки параметров µ и σ генеральной совокупности X. Получаем: Mean(s): 5.6859, Standard deviation(s): 2.0848, т.е. µ ≈ x ¯ = 5.6859 и σ ≈ s = 2.0848. 2. Этот раздел совпадает с разделом 3 примера работы 1. Получаем интервал [min x; max x], где min x = 0.82944, max x = 10.27, A = max x − min x = 9.4406. С помощью Def initions + N ew Def inition определим в среде SWP длину h частичных
10
интервалов и вычислим ее значение. Получаем h=
max x − min x = 0.94406. 10
3. Аналогично разделу 4 примера работы 1 найдем частоты w1 ,. . . , w10 , где wk − количество элементов выборки, принадлежащих частичному интервалу Ik . Обозначим через a левый конец интервала [min x; max x] и определим его в среде SWP: a = min x. Получаем вектор частот w = (1, 5, 8, 9, 18, 14, 10, 5, 7, 4). С помощью команды Def initions + N ew Def inition определим его в среде SWP. 4. С уровнем значимости α = 0.05 проверим нулевую гипотезу H0 : генеральная совокупность X распределена по нормальному закону против конкурирующей гипотезы H1 : не H0 . Известно, что критерием проверки является случайная величина χ2 =
m X (wk − npk )2 k=1
npk
m X wk2 = − n, npk k=1
где wk − частоты, pk − вероятность попадания случайной величины X на интервал Ik , m − число интервалов (m = 10). Если верна гипотеза H0 , то χ2 подчиняется закону Пирсона с ν = m − r − 1 степенями свободы, где r равно числу параметров случайной величины X, замененных на их оценки при подсчете вероятностей pk (у нас r = 2, так как применяются оценки µ = 5.6859 и σ = 2.0848). С помощью команды Def initions + N ew Def inition определим n = 81, µ и σ в среде SWP. Известно также, что Pr(X ∈ [a, b]) = NormalDist(b, µ, σ) − NormalDist(a, µ, σ). С помощью команды Evaluate вычисляем наблюдаемое значение критерия. χ2набл = 10 P wk2 − n(NormalDist(a + kh, µ, σ) − NormalDist(a + (k − 1)h, µ, σ)) k=1 −n = 6.7517.
11
Находим критическое значение критерия χ2крит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы H0 и критическую область. С помощью команды Evaluate получаем критическое значение χ2крит = ChiSquareInv(1 − α, m − r − 1) = ChiSquareInv(0.95, 7) = 14.067.
Так как χ2набл = 6.7517 < χ2крит = 14.067, то гипотеза H0 принимается. Лучше сказать, что данные наблюдений (выборка) не противоречат тому, что генеральная совокупность X подчиняется нормальному закону с параметрами µ = 5.6859 и σ = 2.0848.
7. Лабораторная работа 4. Сравнение параметров распределений 1) Составить выборку объемом nx = 91 + M (M = N mod 4 + N mod 3, N − номер студента по списку группы) из нормальной генеральной совокупности X с математическим ожиданием µx = 812 и средним квадратическим отклонением σ x = 13 и выборку объемом ny = nx − 2 из нормальной генеральной совокупности Y с математическим ожиданием µy = 812+M mod 3 и средним квадратическим отклонением σ y = 13.2. 2) Найти оценки x ¯, y¯, sx и sy . 3) По полученным выборкам с помощью теста Фишера − Снедекора при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что дисперсии σ 2x и σ 2y генеральных совокупностей X и Y равны. 4) По полученным выборкам с помощью теста Стьюдента при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что математические ожидания µx и µy генеральных совокупнос-
12
тей X и Y равны, предполагая, что их дисперсии σ 2x и σ 2y равны, но не известны.
8. Пример выполнения работы 4 1. Пусть nx = 10, nx = 9, µx = 827, µy = 823, σ x = 12 и σ y = 12.2. Аналогично разделу 1 примера выполнения работы 1 построим нужные для обработки выборки. X: 841.11, 820.24, 829.82, 809.69, 814.05, 826.74, 795.98, 821.68, 814.96, 826.67. Y : 841.62, 815.62, 825.0, 830.97, 816.40, 849.05, 825.25, 815.48, 817.53. 2. Аналогично разделу 2 примера выполнения работы 1 находим оценки параметров µx и σ x генеральной совокупности X. Получаем: Mean(s): 820.09, Standard deviation(s): 12.378, т.е. x ¯ = 820.09 и sx = 12.378. С помощью пиктограммы N ew Def inition определим значения x ¯ и sx в среде SWP. Для генеральной совокупности Y получаем Mean(s): 826.32, Standard deviation(s): 12.160, т.е y¯ = 826.32 и sy = 12.160. С помощью пиктограммы N ew Def inition определим значения y¯ и sy в среде SWP. Напомним, что оценки подсчитывались по формулам n
1X xi x ¯= n
для
µx ,
1 X 2 (xi − x sx = ¯)2 n−1
для
i=1 n
σ 2x .
i=1
3. Сначала проверим гипотезу о равенстве дисперсий у X и Y с помощью теста Фишера − Снедекора и, если это подтвердится, то проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий у X 13
и Y , используя тест Стьюдента, который требует, чтобы дисперсии были равны, хотя их значения не известны. Основная (нулевая) гипотеза H0 : σ 2x = σ 2y против конкурирующей гипотезы H1 : σ 2x > σ 2y . Известно, что критерием теста является случайная величина s2x F = 2 > 1, sy которая распределена по закону Фишера − Снедекора со степенями свободы ν 1 = nx − 1 = 9 и ν 2 = ny − 1 = 8 (если верна нулевая гипотеза). Найдем наблюдаемое значение критерия Fнабл = s2x /s2y = 1.0362. Находим критическое значение Fкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы и критическую область. С помощью команды Evaluate находим Fкрит = FInv(1 − α, ν 1 , ν 2 ) = FInv(0.95, 9, 8) = 3.3881. Так как Fнабл < Fкрит , то принимается нулевая гипотеза о равенстве дисперсий у X и Y , т.е. данные наблюдений не противоречат тому, что генеральные совокупности X и Y имеют одинаковые дисперсии. 4. Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий у X и Y с помощью теста Стьюдента. Основная (нулевая) гипотеза H00 : µx = µy против конкурирующей гипотезы H10 : µx 6= µy . Известно, что критерием теста является случайная величина x ¯ − y¯ T = q s0 n1x +
1 ny
, где
s20
(nx − 1) s2x + (ny − 1) s2y = , nx + ny − 2
которая распределена по закону Стьюдента со степенями свободы ν = nx + ny − 2 = 17 (если верна нулевая гипотеза). С помощью команды Evaluate получаем 14
s
9s2x + 8s2y = 12.276. s0 = 17 Тогда наблюдаемое значение критерия x ¯ − y¯ q Tнабл = T = = 0.65109. 1 1 12.276 10 + 9
Находим критическое значение Tкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы и критическую область (при H10 критическая область двусторонняя). С помощью команды Evaluate находим Tкрит = TInv(1 − α/2, ν) = TInv(0.975, 17) = 2.1098. Так как |Tнабл | < Tкрит , то принимается нулевая гипотеза о равенстве средних у X и Y , т.е. данные наблюдений не противоречат тому, что генеральные совокупности X и Y имеют одинаковые математические ожидания.
9. Лабораторная работа 5. Дисперсионный анализ 1) Составить m = 5 выборок объемом n = 6 + N mod 4 + N mod 3 (N − номер студента по списку группы) из нормальных генеральных совокупностей X1 ,. . . , Xm с математическими ожиданиями µi = 9 + 0.1n + 0.01i(−1)i , i = 1, m, и средними квадратическими отклонениями σ = 3. 2) С помощью теста Кочрана при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что генеральные совокупности X1 ,. . . , Xm имеют равные дисперсии, т.е. σ 21 =. . . = σ 2m . 3) С помощью теста Фишера при уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о том, что генеральные совокупности X1 ,. . . , Xm имеют равные математические ожидания, т.е. µ1 =. . . = µm . 15
10. Пример выполнения работы 5 1. Пусть m = 5, n = 7, µi = 8 + 0.01i(−1)i , i = 1, 5, и σ = 2. Применяя команду Statistics + Random N umbers, откроем диалоговое окно, в котором выберем N ormal в поле Distribution, наберем 7 в поле How M any?, 7.99 в поле M ean, 2 в поле Standard Deviation и закроем окно (OK). Получаем выборку объемом n = 7. Поставим красную запятую после последнего члена полученной выборки и повторим предыдущую операцию еще 4 раза, каждый раз набирая соответствующее значение для M ean: µ2 = 8.02, µ3 = 7.97, µ4 = 8.04, µ5 = 7.95. Получили 35 чисел, разделенных запятыми. 7.7779, 10.765, 5.9956, 6.0270, 7.5724, 12.619, 4.4621, 9.4495, 8.8663, 11.905, 3.6167, 6.203, 10.113, 7.2038, 10.768, 7.654 9, 4.638 3, 10.96, 5.3231, 9.062 4, 9.5369, 9.3381, 9.1626, 9.3143, 7.7863, 8.5062, 11.763, 6.5013, 6.3847, 6.6862, 8.8231, 7.9903, 7.3341, 11.413, 5.519. С помощью команды M atrices + Reshape открываем диалоговое окно, в котором набираем 7 как N umber of Columns и закрываем окно. Получили 5×7-матрицу, строками которой являются 5 выборок соответственно из генеральных совокупностей X1 ,. . . ,X5 . Выделим (закрасим) матрицу и с помощью пиктограммы Brackets возьмем ее в квадратные скобки, перед которыми наберем в математической моде (красным) x =. Получим 7.7779 10.765 5.9956 6.0270 7.5724 12.619 4.4621 9.4495 8.8663 11.905 3.6167 6.203 10.113 7.2038 x = 10.768 7.6549 4.6383 10.96 5.3231 9.0624 9.5369 9.3381 9.1626 9.3143 7.7863 8.5062 11.763 6.5013 6.3847 6.6862 8.8231 7.9903 7.3341 11.413 5.519
Заключим полученные числа в скобки, поставим перед ними x = и о п р е д е л и м полученную матрицу в среде SWP, используя команду Def initions + N ew Def inition. Итак, необходимые для обработки наблюдения xij (i = 1, 5, j = 1, 7) получены 16
и определены в среде SWP. 2. С уровнем значимости α = 0.05 проверим нулевую гипотезу H0 : дисперсии генеральных совокупностей X1 ,. . . , X5 равны (т.е. σ 21 =. . . = σ 25 ) против конкурирующей гипотезы H1 : не H0 . Известно, что критерием проверки является случайная величина s2max C= m , X s2k k=1
где s2k − исправленная оценка дисперсии случайной величины Xk . Если верна гипотеза H0 , то C подчиняется закону Кочрана с ν 1 = n − 1 и ν 2 = m степенями свободы. Для нахождения оценок sk и x ¯k (они потребуются при выполнении раздела 3) с помощью команды M atrices + T ranspose транспонируем1 матрицу x. Применим к транспонированной матрице коx5 , где манду Statistics + M ean, чтобы получить оценки x ¯1 ,. . . ,¯ n 1 P x ¯i,j , после чего снова применим эту команду к полученx ¯i = n j=1 m 1 P ным оценкам, чтобы получить оценку x ¯= x ¯i . m i=1 Теперь найдем оценки sk . Поставим текстовой курсор в поле транспонированной матрицы и применим команду Statistics + Standard Deviation. Окончательно получаем. 7.7779 9.449 5 10.768 9.3381 6.3847 10.765 8.8663 7.654 9 9.162 6 6.6862 5.9956 11.905 4.6383 9.3143 8.8231 6.027 3.6167 10.96 7.786 3 7.9903 . 7.5724 6.203 5.3231 8.5062 7.3341 12.619 10.113 9.0624 11.763 11.413 4.462 1 7.203 8 9.536 9 6.501 3 5.519 1
Это связано с тем, что в матрице SWP рассматривает выборки (векторы) по столбцам.
17
Standard deviation(s): [2.8738, 2.7501, 2.5153, 1.6216, 1.9481], Mean(s): [7.8884, 8.1939, 8.2777, 8.9103, 7.7358], Mean(s): 8.2012. Перед вектором с sk набираем (красным) s =, перед вектором ¯ набираем z и с помощью N ew с x ¯k набираем2 y =, перед x Def inition определяем s, y и z в среде SWP. Получаем s = [2.8738, 2.7501, 2.5153, 1.6216, 1.9481]; y = [7.8884, 8.1939, 8.2777, 8.9103, 7.7358] ; z = 8.2012. С помощью команды Evaluate вычисляем наблюдаемое значение критерия. Получаем Cнабл
max2 s = 5 = 0.28904. P 2 sk k=1
Находим критическое значение критерия Cкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы H0 и критическую область. К сожалению, в SWP нет не только соответствующих функций для распределения Кочрана, но в Help нет и таблиц для нахождения критических значений для этого распределения. Поэтому приходится воспользоваться учебниками или задачниками, в которых имеются такие таблицы. Существует и другой способ − дополнить Help, поместив там соответствующие таблицы3 (и не только для распределения Кочрана). Итак, из таблицы Кочрана для уровня значимости α = 0.05 и степеней свободы ν 1 = n − 1 = 6, ν 2 = m = 5 находим Cкрит = 0.5063. Так как Cнабл = 0.28904 < Cкрит = 0.5063, то гипотеза H0 верна. Лучше сказать, что данные наблюдений не противоречат тому, что дисперсии генеральных совокупностей X1 ,. . . , X5 равны (т.е. σ 21 =. . . = σ 25 ). 2
В SWP x ¯ означает сопряженное комплексное число. Поэтому вместо x ¯ употребляем y. 3 В разделе 15 можно найти инструкции по встраиванию соответствующих файлов с применением Windows-технологии поиска.
18
3. С уровнем значимости α = 0.05 проверим нулевую гипотезу H00 : математические ожидания генеральных совокупностей равны (т.е. µ1 =. . . = µ5 ) против конкурирующей гипотезы H10 : не H00 . Известно, что при условии равенства дисперсий критерием проверки является случайная величина F =
Dфакт /(m − 1) , Dостат /(mn − m)
n m m X X X (¯ xi − x (xi,j − x где Dфакт = n ¯)2 и Dостат = ¯i )2 . Если верна i=1
i=1 j=1
H00 ,
то F подчиняется закону Фишера с ν 1 = m − 1 = 4 гипотеза и ν 2 = mn − m = 30 степенями свободы. С помощью команды Evaluate вычисляем наблюдаемое значение критерия. Используя введенные ранее обозначения для оценок ¯ = z, получаем математических ожиданий x ¯ i = yi и x
Fнабл =
30 · 7 4
5 P
5 P
(yi − z)2
i=1 7 P
= 0.25208.4
(xi,j − yi )2
i=1 j=1
Находим критическое значение критерия Fкрит , которое разделяет область принятия нулевой гипотезы H00 и критическую область. С помощью команды Evaluate получаем Fкрит = FInv(1 − α, m − 1, mn − m) = FInv(0.95, 4, 30) = 2.6896. Так как Fнабл = 0.25208 < Fкрит = 2.6896, то гипотеза H00 принимается, т.е. данные наблюдений (выборки) не противоречат тому, что математические ожидания генеральных совокупностей X1 ,. . . , X5 равны (т.е. µ1 =. . . = µ5 ). 4
Обращаем внимание на то, что индексы у элементов xi,j матрицы должны быть разделены запятой.
19
11. Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций 1) Найти решение дифференциального уравнения y 00 + nxy 0 + y = nx(cos x + 1) + x, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y 0 (0) = 2, с помощью приближенных методов, где n = N (N − номер студента по списку группы). Затабулировать значения решения y(x) на интервале [0; 1] с шагом 0.1. 2) Построить график решения y(x) на интервале [0; 5]. 3) Взяв 5 точек с абсциссами приблизительно 0, 2, 3, 4, 5 на графике решения y(x), найти по этим точкам интерполяционный многочлен f (x) степени 4 и построить графики функции f (x) + 0.1 и решения y(x) на одном рисунке. 4) Взяв 6 точек с абсциссами приблизительно 0, 1, 2, 3, 4, 5 на графике решения y(x), найти по этим точкам линию регрессии y на x методом наименьших квадратов. Построить ее график и выбранные точки на отдельном рисунке.
12. Пример выполнения работы 6 Если дана функция f (x) и точки Mk (xk , f (xk )), k = 0, 1,. . . , n, на ее графике, то интерполяционным многочленом Pn (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 является алгебраический многочлен степени n такой, что f (xk ) = Pn (xk ) для всех k = 0, n. Линией регрессии y на x, построенной на базе точек Mk методом наименьших квадратов, является прямая, заданная уравнением 20
y = ax + b с такими коэффициентами a и b, что функция двух переменных n X (f (xk ) − axk − b)2 g(a, b) = k=0
принимает наименьшее значение.
1. Пусть n = 30. Щелкаем по пиктограмме M atrix, в появившемся диалоговом окне выбираем размеры матрицы: три строки и один столбец (эта матрица свяжет вместе уравнение и начальные условия) и щелкаем по кнопке OK. Затем в первой строке шаблона матрицы набираем уравнение y 00 + 30xy 0 + y = 30x cos x + 31x, причем при наборе штрихов применяем только клавишу